/
Text
A. H. КУШНИРЕНКО
ВВЕДЕНИЕ
В НВАНТОВУЮ
ТЕОРИЮ
ПОЛЯ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
университетов и педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —1971
530.1
K96
УДК 530.145
Кушниреико А. Н.
К96 Введение в квантовую теорию поля. Учеб.
пособие для вузов. М., «Высш. школа», 1971.
304 с. с илл.
Настоящее учебное пособие содержит ввод-
вводные сведения по квантовой теории поля. Книга
рассчитана на студентов физических и математи-
математических факультетов университетов и пединститу-
пединститутов. Она может быть полезной для научных ра-
работников, впервые приступающих к изучению
квантовой теории поля.
2—3—2
302—70 530.1
Анатолий Никанорович Кушниренко
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
Научный редактор А. А. Боргардт
Редактор издательства Е. С. Гридасова
Технический редактор Р. С. Роднчепа
Корректор В, А. Орлова
Сдано в набор 15/IX 1970 г.
Подп. к печати 27/ IV 1971 г.
Формат 84Х I Ов'/.г. Объем печ. л. 9,5. 15,96 усл. п. л.
Уч. -изд. л. 12,81. Изд. А» ФМ—263. Тираж 21 000 экз.
Цена 55 к. Зак. тип. 1361
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1970 г.
Позиция № 302
Москва, К-51, Неглиниая ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа».
Московская типография № 4 Главполиграфпром.-i
Комитета по печати при Совете Министров СССР)
В. Переяславская, 46
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является курсом лекций по квантовой
теории поля, прочитанных автором в течение ряда лет в Киев-
Киевском университете студентам механико-математического
факультета. Автор поставил перед собой цель в сжатой и
строгой форме с изложением основных выкладок дать чита-
читателю основной «классический» материал по квантовой тео-
теории поля, который, по-видимому, должен в той или иной
степени войти в любую будущую квантовую теорию поля.
Те разделы квантовой теории поля, которые, по нашему
мнению, в настоящее время еще не получили своего окон-
окончательного развития, не нашли отражения в данной книге.
В первой главе книги рассмотрен вводный материал —
постановка вопроса в квантовой теории поля, типы полей,
представления уравнения Шредингера, инвариантность тео-
теории относительно преобразований Лоренца. Во второй гла-
главе исследованы различные свободные поля (шредингеровс-
кое поле, мезонные поля, электронное и электромагнитное
поля). Третья глава посвящена общим вопросам теории взаи-
взаимодействия полей. В четвертой главе приведены простей-
простейшие квантово-полевые задачи. В пятой главе дана методика
устранения расходимостей в квантовой теории поля, кото-
которая используется в шестой главе для расчета радиацион-
радиационной поправки к магнитному моменту электронов и для рас-
расчета сдвига атомных уровней водорода.
Настоящая книга рассчитана на студентов старших кур-
курсов физических факультетов университетов и пединститу-
пединститутов, знакомых с теоретической механикой, электродинами-
электродинамикой, специальной теорией относительности, квантовой ме-
механикой и высшей математикой (включая элементы теории
групп, теории обобщенных функций) в объеме программ
физических факультетов университетов (и пединститутов).
В заключение автор выражает благодарность А. А. Бор-
гардту за ценные замечания, сделанные при просмотре ру-
рукописи настоящей книги.
ВВЕДЕНИЕ
Квантовая теория поля [1, 2, 3, 4], являющаяся одним
из наиболее важных разделов теоретической физики, воз-
возникла из необходимости установить одинаковый подход как
к системе частиц, так и к полю, через которое эти частицы
взаимодействуют. Квантовая теория поля, близкая по свое-
своему математическому аппарату методу вторичного кванто-
квантования в обычной квантовой механике, стала теоретической
базой для рассмотрения проблемы взаимодействующих час-
частиц. Поскольку любое вещество состоит из частиц той или
иной природы, методы квантовой теории поля проникли
постепенно во все разделы теоретической физики — в тео-
теорию твердого тела, в атомную и ядерную физику, в кванто-
квантовую химию.
Современная квантовая теория поля может быть разде-
разделена на две части: 1) теория поля, построенная на основе
гамильтонова (или иначе лагранжиева) формализма (дина-
(динамический подход); 2) теория поля, не использующая гамиль-
гамильтонова формализма
Во втором направлении можно указать на два основных
метода: аксиоматический подход и метод непосредственного
построения матрицы рассеяния (S-метод). Аксиоматический
метод строится на основе ряда аксиом. В нем строго опреде-
определяются операторы поля, однако уравнение Шредингера в
нем не используется.
На основе этого метода получены также строгие диспер-
дисперсионные соотношения. Уравнения, возникающие в аксиома-
аксиоматическом методе, являются, очевидно, более общими чем
уравнения гамильтонова метода. На наш взгляд, аксиома-
аксиоматический метод даст возможность более строго осмыслить
гамильтонов метод и в конце концов сольется с них в буду-
будущей квантовой теории поля.
В S-методе, отказываясь от рассмотрения полевых опе-
операторов, считают, что физический смысл имеют только на-
наблюдаемые величины (матричные элементы), и поэтому не
интересуются внутренней структурой полей. Следователь-
Следовательно, S-метод можно назвать феноменологической квантовой
теорией поля.
По нашему мнению, изучение негамильтоновых методов
имеет большой интерес, так как оно в конечном итоге вне-
внесет соответствующий вклад и в развитие гамильтонова фор-
формализма в квантовой теории поля, который является фунда-
фундаментом настоящей и возможно будущей квантовой теории
поля. Вот почему в настоящей книге рассматривается толь-
только динамический подход к квантовой теории поля. Целый
ряд трудностей, возникших на пути развития квантовой тео-
теории поля в динамическом подходе, одно время привел неко-
некоторых авторов к пессимистическим взглядам на нее. В част-
частности Гайтлер в своей книге «Квантовая теория излучения»
[5] высказывал предположение, что квантовая теория поля,
вероятно, неприменима в области высоких энергий. Види-
Видимо, такое заявление является преждевременным и скорее
его следует отнести не к самому аппарату квантовой теории
поля, а к теории возмущений, которая в то время была един-
единственным методом решения квантово-полевых задач. Как
известно, одна из наиболее ощутимых неприятностей в ди-
динамической квантовой теории поля состоит в возникнове-
возникновении расходящихся интегралов при решении квантово-по-
квантово-полевых задач. Проблему устранения расходимостей решил в
1947 г. Бете, введя идею перенормировки масс и зарядов. В
этот период появились работы С. Томонага A946 г.) и
Ю. Швингера A948—1949 гг ) по ковариантной формулиров-
формулировке уравнений квантовой теории поля.
Большой шаг вперед в развитии квантовой теории поля
сделал Бете A947 г.), который рассчитал лэмбовский сдвиг,
качественно объясненный в 1938 г. Д. И. Блохинцевым. За-
Затем была получена радиационная поправка к магнитному
моменту электрона. Объяснение последних двух эффектов
ознаменовало новую эру в развитии квантовой теории
поля.
Квантовая теория поля, привлекшая внимание как фи-
физиков-теоретиков, так и математиков, стала бурно разви-
развиваться. В 1947—1949 гг. Р. Фейнман предложил ковариант-
ную теорию возмущений и построил для нее диаграммную
технику. Ф. Дайсон в 1949 г. доказал связь диаграммной
техники Фейнмана с ковариантной формулировкой теории
поля, предложенной С. Томонагой и Ю. Швингером. Дай-
соном была разработана также ковариантная теория пере-
перенормировок для любого порядка теории возмущений. Даль-
Дальнейшее развитие полученных выше результатов нашло от-
отражение в работах Н. Н. Боголюбова, Д. Д. Иваненко,
А. А. Соколова и др.
Устранение расходимостей при помощи перенормировки
масс и зарядов является некоторой удачной полумерой, ко-
которая всегда вызывала у физиков определенное чувство не-
неудовлетворенности. Возможно, что возникновение расходи-
расходимостей обусловлено использованием в современной теории
поля метрики специальной теории относительности, что
связано с пренебрежением в теории поля гравитационными
эффектами. Последнее обстоятельство, по всей вероятности,
приводит к существенному пороку теории: к непримени-
неприменимости ее для очень малых областей пространства и к рас-
ходимостям при больших импульсах.
Вполне возможно, что будущую квантовую теорию поля
следует строить на базе общей теории относительности, т. е.
на базе общековариантного формализма. При этом необхо-
необходимо решить вопрос о квантовании нелинейных уравнений
поля, который представляет, как известно, определенную
математическую трудность. Можно надеяться, что на этом
пути удастся построить квантовую теорию поля, примени-
применимую для сколь угодно малых областей пространства и ли-
лишенную таких пороков, как расходимости. В такой теории
можно будет найти соотношения между затравочными и
экспериментальными массами и зарядами. Определив из
этих соотношений затравочные массы и заряды, мы изба-
избавимся от необходимости выполнения процедуры перенор-
перенормировки масс и зарядов.
Из сказанного следует, что более детальный учет свойств
пространства — времени, связанный с переходом от метри-
метрики специальной теории относительности к метрике общей
теории относительности, может привести к революционному
преобразованию квантовой теории поля. Как хорошо из-
известно, аналогичная ситуация имеется при переходе от
метрики классической физики к метрике специальной те-
теории относительности.
Конечно, и общая теория относительности не полностью
описывает реальный пространственно-временной мир, свой-
свойства которого фактически неисчерпаемы. В связи с этим сле-
следует отметить, что нарушение закона сохранения четнос-
четности при слабых взаимодействиях находится в органической
связи со свойствами пространства — времени.
Если отвлечься от проблемы корректного устранения рас-
расходимостей, то можно считать, что в квантовой электроди-
электродинамике положение более или менее удовлетворительное.
Однако нельзя утверждать это об общей теории сильно взаи-
взаимодействующих частиц — адронов. Существует несколько
моделей, в рамках которых пытаются классифицировать
адроны и объяснить их физические свойства. К ним отно-
относятся: траектории Редже, модель унитарной симметрии (мо-
(модель кварков) и бутстрап-метод (Чу). Наибольший успех
был достигнут в рамках модели унитарной симметрии. Од-
Однако без преувеличения можно сказать, что в связи с неуда-
неудачей экспериментально обнаружить кварки, можно прийти
к выводу, что вопрос о построении общей теории адронов
весьма далек от завершения. Кроме того, столь красивый и
изящный групповой подход к проблеме построения теории
адронов обладает ограниченными возможностями. Безус-
Безусловно, что последовательная строгая теория адронов долж-
должна базироваться на динамических принципах, учитываю-
учитывающих законы взаимодействия между частицами, входящими
в такую составную связанную систему, как адрон.
В связи с существующими в модели кварков трудностями, ав-
автором настоящей книги предложена новая модель адронов [7], ко-
которая базируется на следующих предположениях.
Предположение I. В природе существует псевдовекторный изо-
спинорный бозон Ка> обладающий следующими свойствами: а) масса
бозона больше, чем масса нуклона; б) бозон Ка и соответствующий
антибозон /(„ в результате очень сильного взаимодействия могут
превратиться в пару нуклон—антинуклон (и наоборот).
/(„-бозоны и нуклоны в данной модели считаются фундаменталь-
фундаментальными частицами.
Предположение II. Вклад, вносимый в энергию связи составной
системы взаимодействием между двумя фундаментальными части-
частицами, меньший, чем соответствующий вклад, вносимый взаимодейст-
взаимодействием между фундаментальной частицей и фундаментальной анти-
античастицей (предполагается, что соответствующие частицы находятся
в аналогичных одночастичных состояниях).
Предположение III. Последовательное присоединение к нукло-
нуклону антибозоиов Кп, помещенных на один и тот же однобозонный энер-
энергетический уровень, приводит к созданию связанных систем, массы
которых вплоть до насыщения сил взаимодействия подчиняются
закону эквидистантности.
В данной модели адрон является связанной составной частицей,
состоящей из нуклонов, /(„-бозонов и их античастиц. Барионное чис-
число равно разности между числом нуклонов и числом антинуклонов,
входящих в адрон. Странность равна разности между числом
/(а-бозонов и числом антибозонов Ка, из которых состоит адрон.
Законы сложения моментов и изоспинов позволили получить раз-
разумную классификацию адронов. Нуклон и антибозон ~Ка, входящие
в мезон, могут образовать связанную подсистему, сходную по своим
свойствам с Л-гипероном. Поэтому большинство мезонов состоит
из протонов, нейтронов и Л-подсистем, что приводит к возникнове-
возникновению 5иC)-симметрин, которая для мезоиов дает массовую формулу
Окубо и Гелл-Манна. При увеличении спина мезоиа входящая в него
Л-подсистема разрушается. В этом случае массовые соотношения
для мезонов дает формула смешивания, которая здесь легко выводит-
выводится. Показано, что существует пять нонетов (девяток) мезонов.
Для барионов, для которых в данной модели БЩЗЬсимметрия
не существует, массовые соотношения вытекают из предположения
III.
Из предположения I следует, что время жизни /(„-бозона не
превышает 10~23 сек. Это затрудняет его обнаружение. Анализ масс
адронов показывает, что масса Яа-бозона равна приблизительно
трем массам нуклона.
Операторы нуклонного поля ij) и Ка-бозонного поля cpv должны
удовлетворять соответствующим перестановочным соотношениям и
уравнениям:
(О— Цп)фЗ'(*)=г —"X" № Yv Y- Ч ij>L ( т. Р)+—
Ф+Р) =0, B)
где
f C)
Фу1—оператор заряженного /Са-бозонного поля; 9v2 — оператор ней
трального Яа'бозонног0 поля; -фр — оператор протонного поля;
¦фп — оператор иейтроииого поля; Рг и Р2—операторы уничтоже-
уничтожения соответственно заряженного и нейтрального шпуриона (или
операторы рождения антишпурнонов); Р^ и Р^"—операторы рож-
рождения соответственно заряженного и нейтрального шпуриона (или
операторы уничтожения аитишпурионов); fv—константа изовектор-
ной связи; /s—константа изоскалярной связи; х. (ft=I, 2, 3)—изо-
спиновые матрицы Паулн; ц0 — масса /С„-бозона (ц0 > 0).
Шпуриойы—вспомогательные фиктивные частицы, обладающие
следующими свойствами:
1) для заряженного шпуриона изотопический спин Г=1/2,
Т3=1/2, странность S=+l; Для нейтрального шпуриона Т=!/2,
Т3= —1/2, странность S=-)-l; странность антишпуриона равна
S= —1;
2) операторы Р. и Р^~ коммутируют с полевыми операторами
i>« чу
3) оператор Рг является унитарным, т. е.
=PiP + =I (i = l, 2); D)
4) если ?—оператор зарядового сопряжения, то
?Pt6-l = Pf (i=l,2); E)
5) если ?„ — вектор гильбертова пространства состояний, то
где I и k — положительные целые числа (или нули).
Из первого свойства следует, что Кп-бозон имеет странность +1.
а странность антибозона К.а равна —1. Условие F) обеспечивает вы
полнение закона сохранения странности в сильных взаимодейст-
взаимодействиях и объясняет правило парного рождения /(„-бозона совместно
с соответствующим антибозоном1.
Рассматривая уравнения A) и B) как уравнения Эйлера для
некоторого интеграла действия, находим оператор энергии системы
взаимодействующих нуклонного и /(а-бозоиного полей:
где HF—оператор энергии свободного нуклонного поля! Нд- — опе-
оператор энергии свободного Ка-бозонного поля:
(ф+т, Р)+-
+ э. с. (8)
— оператор энергии взаимодействия нуклонного и Л^-бозонного
полей.
Формулы A), B), G) и (8) легко так обобщить, чтобы учесть
электромагнитное поле.
Рассматриваемая выше квантовая теория поля является пере-
перенормируемой.
Формулы G) н (8) позволили обосновать предположение III.
В формулах A), B), G) и (8) оператор if можно считать операто-
оператором некоторого общего спинорного поля. В тривиальном случае \р —
оператор нуклонного поля. Однако при наложении на вектор со-
состояния разумных дополнительных условий, оператор^: можно рас-
рассматривать как оператор поля электронов и электронного нейтрино
или как оператор поля мюонов и мюоиного нейтрино2. При этом
1 Согласно свойству F) на графах Фейнмана нет внешних
шпурионных линий. Поэтому все графы Фейнмана имеют четное
число вершин и четное число внешних /(„-бозонных линий, а К-ме-
зон, имеющий структуру (N, N, Ка), должен рождаться в паре с соот-
соответствующей античастицей.
2 Таким образом, здесь протон, нейтрон, электрон, мюон и оба
нейтрино рассматриваются как различные состояния унитарного
фермиона.
9
разность масс электрона и мюона объясняется наличием умеренного
взаимодействия мюона с вакуумом /(а-бозонного поля, а сильное
взаимодействие из соотношения G) выпадает.
Для описания слабых взаимодействий в левую часть формулы
G) следует добавить оператор энергии:
] э.с., (9)
где gw — константа связи слабых взаимодействий; г1 = \^п)-
Оператор (9) объясняет реакции с AS=jtO. Подставляя в форму-
формулу (9) найденный из уравнения A) оператор (pvl для случая, когда
/s = 0, получим оператор энергии универсального слабого четырех-
фермионного взаимодействия:
где GB (x — у) удовлетворяет уравнению
(?-Но) °в (х-у) = 84(х-у).
Обобщение формулы A0) на случай, когда /s ^= 0. не представляет
трудностей.
Эксперимент в согласии с выражениями (9) и A0) показывает,
что реакция Л -»¦ p + e~+ve протекает в 10 раз слабее, чем реак-
реакция п ->¦ e~+ve + p. Отсюда следует, что ^/4язк 100.
Как известно, нуклоны и я-мезоны — это те адроны, о
существовании которых мы уже знали на наиболее ранней
стадии развития ядерной физики. Поэтому вполне естест-
естественно, что построению общей теории элементарных частиц
предшествовало построение теории нуклонного и мезонного
полей (квантовой мезодинамики). Квантовая мезодинамика
была оформлена в виде самостоятельной физической теории,
призванной объяснить явления физики мезонов, являющей-
являющейся разделом физики элементарных частиц. Как хорошо из-
известно, квантовая мезодинамика при помощи теории воз-
возмущений только качественно объяснила некоторые явле-
явления в мезонной физике.
Возникает естественный вопрос: какова природа столь
значительных неудач квантовой мезодинамики? Вполне
понятно, что неудач-и при решении задач квантовой мезоди-
мезодинамики могут быть вызваны или принципиальной пороч-
порочностью основных уравнений квантовой мезодинамики, или
10
несостоятельностью методов решения этих уравнений. Еще
хуже, если здесь имеют место обе причины.
Вопрос о корректности уравнений квантовой мезодина-
мики чрезвычайно трудный и деликатный. К решению это-
этого вопроса можно подойти двояко: или в результате стро-
строгого анализа принципиальных основ квантовой теории по-
поля в рамках аксиоматического подхода, или путем практи-
практической проверки различных вариантов квантовой теории
поля. Во втором случае необходимо прежде всего быть уве-
уверенным, что существуют эффективные методы решения прак-
практических квантово-полевых задач.
На ранней стадии развития квантовой теории поля наибо-
наиболее распространенным методом решения квантово-полевых
задач являлся метод теории возмущений. В квантовой элект-
электродинамике, где константа взаимодействия мала, теория
возмущений уже во втором приближении дает довольно хо-
хорошие результаты. В квантовой мезодинамике, где взаимо-
взаимодействие между мезонным и нуклонным полями является
сильным, применение теории возмущений нельзя считать
обоснованным. В связи с этим были предприняты много-
многочисленные попытки построения различных методов теории
сильной и промежуточной связи.
Наибольшую известность получили такие методы:
1) метод разложения решения по обратной константе связи;
2) метод Тамма—Данкова, представляющий своеобразный
вариант метода Галеркина в теории поля; 3) дисперсионный
метод [21. Первые два метода столкнулись с определенными
трудностями при устранении расходимостей. Наибольшей
популярностью при анализе задач квантовой мезодинамики
в настоящее время пользуется метод дисперсионных соот-
соотношений, позволивший получить большое количество соот-
соотношений, связывающих полные и дифференциальные се-
сечения различных процессов.
В работе [8] предложен ковариантный метод сильной свя-
связи, основанный на использовании метода моментов и метода
Бубнова—Галеркина. Применение метода моментов в кван-
квантовой теории поля заново поставило вопрос о сходимости так
называемых «расходящихся» рядов, т. е. рядов, расходя-
расходящихся в классическом смысле. В настоящее время существует
громадное количество обобщенных методов суммирования
«расходящихся» рядов.
Автор настоящей книги ввел новый метод обобщенного
суммирования «расходящихся» рядов, названный естест-
естественным суммированием.
Естественная сумма «расходящегося» ряда — это предел
последовательности приближенных решений соответствую-
соответствующего уравнения, полученных методом моментов («соответст-
(«соответствующее уравнение» — уравнение, решением которого яв-
является рассматриваемый «расходящийся» ряд). Доказано,
что при некоторых условиях естественное суммирование
является регулярным. А также показано, что если ряд сум-
суммируется в естественном смысле к конечной «сумме», то при
определенных условиях он также суммируется по методу
Пуассона—Абеля и притом к той же сумме.
ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
В природе существуют поля различного рода. Наиболее
хорошо изучено электромагнитное поле. В меньшей степе-
степени изучено поле ядерных сил и поле сил тяготения (грави-
(гравитационное поле). Ядерными силами называются силы взаи-
взаимодействия между частицами в ядре.
Как будет рассмотрено в гл. II, каждому полю соответ-
соответствуют частицы с определенной массой покоя. Электромаг-
Электромагнитному полю соответствуют фотоны, масса покоя которых
равна нулю. Полю тяготения соответствуют гравитоны, ко-
которые также обладают массой покоя, равной нулю. Юкава
впервые предположил, что ядерное поле — это поле, обла-
обладающее частицами с массой покоя порядка 200 электронных
масс, т. е. с массой, промежуточной между массой протона и
массой электрона. Поэтому частицы ядерного поля были
названы мезонами (от греческого слова «мезос» — средний),
а само ядерное поле — мезонным.
В классической теории состояние любого физического
поля характеризуется некоторой конечной совокупностью
функций tyj =if>/ (x, у, г, t), т е. функций координат и вре-
времени, называемых функциями поля.
В релятивистской теории поле описывается набором функ-
функций, преобразующихся по какому-либо неприводимому пред-
представлению группы Лоренца; так, например, электромаг-
электромагнитное поле описывается четырьмя функциями Л„ (г, t),
образующими и пространстве Минковского 4-мерный вектор-
потенциал. Нейтральное мезонное поле описывается одной
функцией и, следовательно, его волновая функция может
быть скаляром пли псевдоскаляром в пространстве Мин-
Минковского. Эксперимент показал, что мезонное поле являет-
является псевдоскалярным. Гравитационное поле описывается
симметричным тензором второго ранга в четырехмерном про-
пространстве (т. е. является тензорным).
13
В классической теории поля функции поля подчинены
уравнениям поля, которые обычно представляют собой диф-
дифференциальные уравнения с частными производными вто-
второго порядка.
Допустим, что нам необходимо решить задачу о движе-
движении системы частиц определенного сорта (например, элект-
электронов), взаимодействующих с электромагнитным (или ка-
каким-то другим) полем. До создания квантовой теории поля
подобная задача решалась так: электроны описывались
квантово-механически, а электромагнитное поле — клас-
классически. Такой подход к решению поставленной задачи яв-
является непоследовательным, он не дает возможности опи-
описать корпускулярные свойства поля (рождение и анниги-
аннигиляция частиц), проявляющиеся в целом ряде эксперимен-
экспериментов. Поэтому сразу же после построения квантовой механи-
механики возникла необходимость в построении теории, которая
описывала бы также процессы рождения и аннигиляции
частиц. Такой теорией является квантовая теория поля. В
этой теории в упомянутых выше задачах (и в других анало-
аналогичных задачах) учитываются как процессы рождения и ан-
аннигиляции квантов электромагнитного поля, так и процес-
процессы рождения пар электрон — позитрон, которые являются
квантами электронно-позитронного поля.
Для построения квантовой теории поля необходимо обоб-
обобщить уравнение Шредингера
на такую систему взаимодействующих полей, другими сло-
словами, необходимо составить оператор энергии для такой
системы.
Отметим, что поле является динамической системой с бес-
бесконечно большим числом степеней свободы. Поэтому вектор
состояния Y в квантовой теории поля зависит от бесконечно
большого числа динамических переменных. Следовательно,
вектор состояния 4х в квантовой теории поля является функ-
функционалом.
Для того чтобы определить оператор энергии поля или
системы взаимодействующих полей, используем схему по-
построения квантовой механики. Сущность этой схемы в прос-
простейшем случае, допускающем классический аналог, состоит
в следующем:
1) строим функцию Гамильтона системы;
14
2) заменяем в функции Гамильтона динамические пере-
переменные (т. е. пространственные координаты и импульсы)
соответствующими операторами, на которые накладываем
перестановочные соотношения:
х\к)рУ)-р\')х\к)^ти8ы (i,/ = 1,2,3), A.2)
где х\к)— координаты &-й частицы; р\1) — операторы проек-
проекций импульса /-й частицы;
3) полученный оператор энергии подставляем в урав-
уравнение Шредингера A.1).
Проследим за реализацией этой методики для построения
квантовой теории поля
Сначала построим функцию Гамильтона для поля. Будем
считать, что физическое поле описывается системой функций
Фь $2, ¦•¦• Чт- Для простоты предположим, что т — ко-
конечное число. Разобьем все пространство на малые объемы
¦SV = Дд;Д(/Дг, которые назовем ячейками поля. В опреде-
определенном приближении можно считать, что функции поля во
всех точках ячейки имеют одно и то же значение. Координа-
Координаты центра «тяжести» ячейки являются ее обобщенным номе-
номером. Значения функций х|эу (/'=1, ... , т) внутри ячейки мож-
можно принять за обобщенные координаты. В соответствии с
этим функция Лагранжа элементарной ячейки поля равна
М =
г|з,-, -^ Д* Дг/ Дг,
где X — плотность функции Лагранжа (плотность лагран-
лагранжиана) в заданной ячейке поля. Функцию Лагранжа всего
поля приближенно можно выразить в виде суммы
L (t) * 2 X Дх Дг/ Дг;
переходя к пределу, когда максимальные значения Дат, Дг/
и Дг стремятся к нулю, последнюю формулу преобразуем
к виду
,-, -Adxdydz. A.3)
dxj
После предельного перехода переменные х, у, г являют-
являются «непрерывным» номером бесконечно малых ячеек поля,
а функции tyj (x, у, z, t) — обобщенными координатами
этих ячеек; множество всех значений (х, у, z) имеет мощность
континуума.
16
Лагранжиан системы полей равен сумме лагранжианов
полей плюс лагранжианы взаимодействий. В случае двух
взаимодействующих полей имеем
где Lx и L2 — лагранжианы соответственно первого и вто-
второго полей; Lint — лагранжиан взаимодействия этих полей.
Зная лагранжиан поля, построим интеграл действия для
поля:
'2
5= \L{t)dt=-\X{x, у, г, t)dxdydzdt. A.4)
и
В дальнейшем вместо обозначений х, у, г и t введем x{\)t
хB), *C) и X(Q) = ct, а интегрирование по этим переменным
обозначим символом J ...d4x. Обычно плотность лагран-
лагранжиана является функцией от функций полей i|)j(*<i)
х{0)) и их первых производных:
Будем считать, что компоненты, для которых i = 1, ..., пи
относятся к первому полю; компоненты, для которых i =
= пх Ч- 1, «1 + 2 «1 + п2, относятся ко второму полю
и т. д. Из принципа стационарного действия, согласно кото-
которому 6S = 0, можно получить уравнения Эйлера:
которые являются уравнениями поля, так как из них можно
определить функции г|);.
Функция Гамильтона для элементарной ячейки поля, оче-
очевидно, равна
^¦И /lib
— X
dV =
Функцию Г= У, —:— ф&—f? называют плотностью га
16
Мильтониана Таким образом, функция Гамильтона всего
поля, т. е. его полная энергия, равна
A.6)
Выражение nk = dX/d^k называется функцией поля, ка-
канонически сопряженной с функцией г|зА. Вводя nk, выра-
выражения для Г и Я можно переписать в виде
т
г= 2 щ^— х,
2 щ^
'-1 A.6')
Н= U 2 n^j — Xjdxdydz.
Если функция Лагранжа поля неизвестна, то ее можно вос-
восстановить по известным уравнениям поля, рассматривая их
как уравнения Эйлера для некоторого функционала S-
интеграла действия.
Перейдем теперь ко второму пункту построения теории
поля — к построению оператора энергии системы полей.
Для этого по аналогии с квантовой механикой в гамильто-
гамильтониане чисто формально заменим функции Я/ и г)),- соответ-
соответственно операторами я, и if,, на которые следует наложить
определенные перестановочные соотношения. Для того что-
чтобы полученное выражение было эрмитовым оператором, в нем
необходимо еще произвести симметризацию. Процесс сим-
симметризации осуществляется следующим образом: всякую
функцию вида /(я(> if),) формально можно разложить в ряд
Тейлора:
тогда симметризованная функция f (nj,tyj) имеет вид
п, m
это выражение является эрмитовым оператором.
Производя симметризацию, получаем выражение
Н = J -g ]? (я^Ч- г^ л7.) -?Sim dx dy dz, A.7)
l '=i J ;
2 Зак. 1361 . J7-
которое, строго говоря, не имеем права в полной мере счи-
считать оператором энергии системы полей. Чтобы это показать,
составим перестановочные соотношения для операторов ка-
какого-нибудь одного поля.
В квантовой механике перестановочные соотношения
записываются для операторов координат частиц и операто-
операторов проекций импульсов частиц. Оператор проекции импуль-
импульса частицы выражается формулой
dL
»--*,¦
где L — лагранжиан всей системы частиц.
Аналогично этому, в квантовой теории поля необходимо
составить перестановочные соотношения для операторов
динамических величин, описывающих поведение волнового
поля в его бесконечно малых ячейках. Такими операторами
являются, во-первых, операторы усредненных по ячейке
значений волновых функций, которые будем обозначать че-
через if>/ (Лт,,); во-вторых, операторы
A.8)
где Axft— объем k-тл ячейки поля. Операторам ф,- в кванто-
квантовой механике соответствуют координаты частиц, а операто-
операторам р,— операторы импульсов частиц Оператор лагран-
лагранжиана системы полей приближенно равен
L =2 ?(**,...)Axfe, A.9)
где %(xk, ...)Axh — оператор функции Лагранжа &-й ячей-
ячейки поля; так как %(хк,...) зависит только от значений функ-
функций поля и их производных, взятых именно внутри &-й ячей-
ячейки, то, подставляя L из выражения A.9) в A.8), получаем
Pj (Л1*) = ~ = -~К-^- Ат, = п, (Ахк) Ат, A.10)
ду, d^j (Axft)
18
В квантовой теории поля на операторы i?;(ATfe) и
п (АтА) накладываются перестановочные соотношения:
[i(ft) ф,()] [рДй Р/ )] =0,
аналогичные соотношениям A.2) квантовой механики. Учи-
Учитывая A.10), первое соотношение A.11) перепишем в виде
[яЬ(Атй), я,- (Axk.)}=ih8(rk, г*-) б/,., A.12)
где символ 6(rh> г*-) ~-^— равен (Дт*-)-1, если rfe и
IV относятся к одной ячейке, и равен нулю в остальных
случаях.
Можно показать [14], что предел последовательности
функций 6(гб, г/г'), когда размеры всех ячеек поля стремят-
стремятся к нулю, является некоторой сингулярной обобщенной
функцией, называемой дельта-функцией Дирака 6s(r — г').
Поэтому в пределе перестановочное соотношение A.12) по-
получает следующий символический вид:
[b(r,f), я,- (г', /)] =ift6»(r —г')б/г, A.13)
смысл которого будет объяснен ниже. Аналогично из A.11)
находим
№Дг,0,^-(г, t)] = [я,(г, 0, я, (г'. 0] =0; A.13')
эти квантовые перестановочные соотношения составлены
для двух операторов, взятых в один и тот же момент вре-
времени.
В гл. II будет показано, что перестановочные соотноше-
соотношения вида A.13) и A.13') имеют место для частиц с целым спи-
спином. Для полей, которым соответствуют частицы с полуце-
полуцелым спином, подчиняющиеся принципу Паули, вместо пе-
перестановочных соотношений A.13) и A.13') необходимо ввес-
ввести антиперестановочные соотношения вида
№,(г, 0. я,-(г', *)]+ =1П6Цг-г'N,г,
[Ыг, 0. Ф/' (г', t)] + = [я,- (г, t), я,- (г', О] + =0,
2* 19
Где введено обозначение
[А,в]+=Ав+6А.
В правых частях первых перестановочных соотношений A.13)
н A.14) стоит 6-функция, которая является обобщенной
функцией и дает закон, по которому любой достаточно глад-
гладкой функции f(x) сопоставляется число. Таким образом, пер-
первые формулы A.13) и A.14) имеют символический смысл, а в
полном виде они записываются следующим образом:
О- nr(x',t)] = ihf(x',t)8ir,
J d*xf(x, t) [ib(x. t), п,- (х\ t)] + =ihf(x', tNir,
где f(x)^f(x, t)—основная функция.
Обычно в качестве основных функций выбирают класс
функций, бесконечно большое число раз дифференцируе-
дифференцируемых и финитных, т. е. отличных от нуля лишь в конечных
областях. Отсюда следует, что в квантовой теории поля опе-
операторы if,- (x) и л/ (х) являются обобщенными операторами,
определяемыми через функционал
clk{f), A.15)
где /, k — индексы состояний; ?,и Wh — векторы состоя-
состояний; cih—постоянная; f(x) — основная функция.
Функционал A.15) определяет обобщенный оператор
¦ф,- (х) как некоторый закон, по которому каждым двум век-
векторам состояния ?;. и Wk [при заданной основной функции
f(x)\ сопоставляется некоторое число cih.
Определяя оператор гр, (*) соотношением A.15), мы стал-
сталкиваемся с трудностями при нахождении оператора ij>,-2(*).
А так как лагранжиан свободного поля в классической тео-
теории поля должен быть квадратичным относительно функ-
функции -ф/ (*), то при формальном переходе к квантовой теории
необходимо в нем заменить функцию tyj2(x) оператором if>;2 (я),
который, как сказано ранее, определить трудно. Таким об-
образом, в квантовой теории свободных полей построение опе-
оператора Лагранжа и оператора энергии путем замены в соот-
соответствующих классических выражениях функций tyj(x) на
операторы tyt (x) вызывает серьезные и обоснованные возра-
20
жения Это в еще большей степени относится к теории не-
нескольких взаимодейств>ющих полей. Чтобы обойти эту
трудность, потребуем, чтобы вектор состояния системы по-
полей Ч; определялся правилом
Ч'= Jim ?„, A.16)
где а — набор некоторых параметров; Чга — решение урав-
уравнения полученного в результате обобщения обычного урав-
уравнения Шредингера:
ih |- V (Nd, () = Г &хТ (х) У (Nd, t) A.17)
(Nd — набор динамических величин).
Для построения обобщенного уравнения выясним в об-
общих чертах структуру оператора плотности энергии fa. В
классической теории поля плотность гамильтониана си-
системы взаимодействующих полей равна
Г = Г,, + Г\П„ A.18)
где IV — плотность гамильтониана свободных полей; Tim —
плотность гамильтониана взаимодействия.
Рассмотрим для простоты теорию двух взаимодействую-
взаимодействующих действительных скалярных полей ty(x) и ф(лг), в которой
IV содержит члены, квадратичные относительно волновых
функций г|^(дг) и ф (х), а Г,-п< содержит произведение вида
чр2(х) ф(дг). Следовательно, можно принять Г^= IV Ь|>2(*);
Ц> (х)] и, например, Г,„/ = Gty2(x)q>(x), где G — постоянная
связи. В последних выражениях сделаем замену:
(х) у (х) ф (х) -> JJ /«(х, у, г) ij>+ («/)ф (у) ф (г) d* yd* г,
где fa(x, у) и /а (а:, г/, г) —основные функции. В резуль-
результате получим оператор плотности квазиэнергии в следую-
следующем виде:
Г„ (х) = J d* yfa (х, у) tfr [ф (х) $ (у); ф (х) Ф (у)] +
U (х, у, г) Гш [tj> (у) ф (у) Ф (z)l, A.20)
21
где основные функции fa (*, у), /„ (х, у, г) подбираются
таким образом, чтобы при и-хх,, оператор Га формально
стремился к плотности классической функции Гамильтона.
Таким образом, если в A.20) вместо операторов i|5 (x)
и ф(д;) подставить функции поля \р(х) и ф (х), то должно
выполняться равенство
lim ra(x) = r/r|fW; Ф2(^)]4-Ггп([^2
а-*аа
Для более сложных систем полей вместо соотношения A.20)
возникает более сложное выражение.
В квантовой теории полей уравнение Шредингера со-
согласно A.17) будет иметь вид
Га(х) *Fa (Nd, t), A.21)
где Га (х) в рассмотренном частном случае выражается фор-
формулой A.20). Можно записать A.19) и A.20) в симметричес-
симметрической форме, т. е. симметризовать, однако этого делать мы не
будем и предоставим читателю возможность самостоятель-
самостоятельно проделать симметризацию.
Для построения квантовой теории полей было бы разумно,
таким образом, принять следующую систему аксиом:
1. Состояние системы полей характеризуется обобщен-
обобщенным вектором состояния *Р, который является пределом по-
последовательности векторов Wa, зависящих от набора пара-
параметров (считаем, что этот предел существует хотя бы при
t = ± °° ) и являющихся решением уравнения, сформули-
сформулированного в пункте 5.
2. При любых значениях параметров а ф а0 векторы
Wa являются векторами некоторого фиксированного пол-
полного гильбертова пространства Н, т. е.
а) если *Ра и Фа ? Н, то и с ^ + с2 Фа ? Я, где сх и
сг — постоянные числа;
б) каждым двум векторам Wa иФ»(Я можно сопоста-
сопоставить число (х?а, Фа)~скалярное произведение векторов;
в) (Ч'а, ?а)>0—метрика гильбертового пространства,
положительно определенная;
г) норма вектора ЛЧ^ц| =V(xVa. Ч*а)— конечное число.
В гильбертовом пространстве можно определить обоб-
обобщенный оператор ^(х) как закон, по которому каждым
22
двум векторам гильбертового пространства И и основной
функции /(х) сопоставляется число с (/):
Можно определить обобщенный оператор % (х) \pj (у) как
закон, по которому каждым двум векторам гильбертового
пространства Wa и Фа и основной функции f (х, у) сопо-
сопоставляется число с (f):
JJ & xd} yf (х, у) (Фа, $ (х) Ъ (у) ?а) = с (/).
Аналогично определяются более сложные операторы.
3. Среди обобщенных операторов существует такой класс
операторов ijj+ и if, которые удовлетворяют определенным
перестановочным соотношениям и некоторому дифферен-
дифференциальному уравнению и которые можно, интерпретировать
как операторы рождения и уничтожения частицы в задан-
заданной точке, а их соответствующие Фурье-компоненты ait и
аи — как операторы рождения и уничтожения частицы с за-
заданным импульсом к. Динамическим величинам в кванто-
квантовой теории поля можно сопоставить самосопряженные опе-
операторы, построенные из операторов такого класса.
4. При t = ± оо существует вектор состояния матема-
математического вакуума Ч\, для которого at *FV = 0 (при всех
импульсах к).
5. Векторы последовательности СРа] являются реше-
решениями уравнения Шредингера A.21) с оператором плот-
плотности квазиэнергии типа A.20), причем Hm4/'a = 1F не за-
a -*-a0
висит от способа выбора основных функций fa(x, у),
/а (X, У, Z).
6. Теория должна быть лоренц-инвариантной в том смыс-
смысле, что выражение lim f а(х) должно иметь лоренц-инвариант-
ный вид, т. е. должно формально совпадать с лоренц-ин-
лоренц-инвариантной плотностью классического гамильтониана.
В теории взаимодействующих полей затравочные массы
и заряды частиц не совпадают с экспериментальными мас-
массами и зарядами и отличаются от них на величины полевых
добавок drrii и dgi.
7. Еще до перехода к пределу при а -*¦ а0 в решении
уравнения Шредингера A.21) следует выразить затравоч-
затравочные массы и заряды частиц через их соответствующие экспе-
экспериментальные величины и только после этого перейти к пре-
пределу а -> а„, причем предполагается, что это обеспечивает
23
получение конечных результатов при решении квантово-
полевых задач.
Процедура, описанная в п. 7, называется перенормиров-
перенормировкой массы и заряда.
Программа построения квантовой теории поля в рамках
приведенной аксиоматики является наиболее целесообраз-
целесообразной. В последующих главах, там, где нет особой необходи-
необходимости в строгом изложении материала, будем придерживать-
придерживаться общепринятой методики исследования, в которой опера-
оператор энергии системы в квантовой теории поля будет иметь
вид, формально совпадающий с соответствующим гамиль-
гамильтонианом классической теории. Там, где мы не имеем пра-
права уклоняться от более строгого рассмотрения вопросов, бу-
будем придерживаться сформулированной в этом параграфе
системы аксиом.
§ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛЯ. ,
ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Если поле комплексное, то оно несет какой-то заряд (в
частном случае это может быть электрический заряд); если
поле не обладает никаким зарядом, то оно описывается дей-
действительными волновыми функциями. Так, например, фото-
фотоны и гравитоны — частицы нейтральные; им соответствуют
электромагнитное и гравитационное поля, состояние кото-
которых характеризуется действительными функциями. Наобо-
Наоборот-, электронно-позитронное поле описывается комплекс-
комплексными функциями, причем двум знакам электрического заря-
заряда частиц соответствуют две комплексно-сопряженные функ-
функции. Покажем, что отмеченные свойства присущи и осталь-
остальным полям.
В электродинамике плотность лагранжиана имеет вид
где Ац — компоненты вектора-потенциала электромагнит-
электромагнитного поля. Четырехмерный вектор плотности электрического
тока согласно B.1) равен
Это правило обобщим для нахождения четырехмерного век-
вектора плотности электрического тока, обусловленного любым
24
заряженным полем, описываемым функциями г|> и \Jj*. Пусть
? — лагранжиан рассматриваемого заряженного поля. Взаи-
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем
описывается путем замены компоненты импульса рц на обоб-
обобщенный импульс:
е \, B.3)
с
т. е. путем замены
д д , ie
iаФ*
i<7ф* дф * \
поэтому лагранжиан SS = SE\ **-, -^х-, ^ , я|5 при наличии
V ax\i ax\t. I-
электромагнитного поля заменяется выражением
B-5)
Отсюда, подставляя ^ в выражение B.2), находим
B-6)
Таким образом, четырехмерный вектор плотности электри-
электрического тока при отсутствии электромагнитного поля (или
в бесконечно слабом электромагнитном поле) выражается
формулой
ie { dSB ,, дг? \ ,п _.
Ы^* B7)
Если рассматриваемое поле вещественно, т. е. еслигр = я|5*,
то согласно B.7) плотность электрического тока /^ = 0, что
находится в полном согласии со сказанным в начале § 2.
Как будет видно в следующих главах, в свободном лагран-
лагранжиане X обычно содержатся произведения вида г|)*я|),-, что
и обеспечивает его вещественность. Поэтому лагранжиан
25
является инвариантным по отношению к так называемому
калибровочному преобразованию первого рода:
где а — действительная постоянная, или
ty/->-l|>/6 ~A— lE)tyh
где е — действительная бесконечно малая постоянная. Таким
образом, при калибровочном преобразовании имеем
dty. = гег|)г, Si|),-= — iei|>/. B.9)
Если плотность лагранжиана X инвариантна относитель-
относительно калибровочного преобразования первого рода, то соглас-
согласно B.9) тензор энергии-импульса поля
dSS д± , dSS dib*\ , „,-
HV=— I
dip ' dxv dip* ' dxv
дх„ дх„
также будет инвариантным относительно этого преобразо-
преобразования.
Покажем теперь, что четырехмерный вектор плотности
электрического тока, обусловленного комплексным полем,
удовлетворяет уравнению непрерывности. Действительно,
имеем
dx~h2d
B.10)
откуда, учитывая уравнения поля, получаем
B.П)
26
Согласно B.9) преобразуем формулу B.11) к виду
или
^i a/ e
B.12)
v
Так как при калибровочном преобразовании B.9) плот-
плотность лагранжиана ^должна быть инвариантной, т.е. 6Ж=О,
то из формулы B.12) следует уравнение непрерывности для
четырехмерного тока:
Если учесть, что хD)= id и /<4>= 'Ф, то можно фор-
формулы B.7) и B.13) переписать в следующем виде:
р= —
(*= 1,2,3), B.14')
^ + divj=O. B.15)
а/
Уравнение B.15) — закон сохранения электрического за-
заряда, записанный в дифференциальной форме.
Вместо полевых функций г|з иг|з* можно ввести две вещест-
вещественные функции % и \р2. Действительно, для поля, описы-
описываемого одной комплексной функцией \|з, можно написать
1>=yf Oh + iih). Ч>* = у^(Ч>1->2)- BЛ6)
41
Покажем, что уравнения Эйлера
?••(%
a r^p a
OX/ ^1 О uju л
полученные в результате варьирования i|) и \|)*, эквива-
эквивалентны уравнениям Эйлера, полученным в предположе-
предположении, что гр! и \р2 являются независимыми. Из B.16)
имеем
» fJJV A I (J ±). B.18)
= ( + i
5я|)* /2 \аф,
Согласно B.18) сумма и разность уравнения Эйлера для
tyi и уравнения Эйлера для г|J, умноженного на i, дают урав-
уравнение B.17), что и требовалось доказать.
Подобная же ситуация имеет место и для гамильтониа-
гамильтониана. Действительно,
*=f, **=f- ' B.19)
дф дф v
Кроме того, можно написать
Учитывая выражения B.16), получаем отсюда
(я + я*), 14 = -^-(я-я').
и, следовательно,
я=—J= (ях —»я8), я* = у=-(n! + in2). B.21)
Так как из соотношений B.16) и B.21) следует, что
Ят|) + Я* Tjj* = Ях t|3j -Ь Я2 Т|J,
то для плотности гамильтониана находим формулу
Г = пЦ + п*$* — ? = п1у1-\-п2у2 — ?. B.22)
28
Аналогично получаем формулу для плотности импульса
G= — яу\|) — я*у\|)* = —-яг yi^ —я2 у\|э2. B.23)
При переходе к квантовой теории поля функции i|), \|э*, я
и зх* заменяются операторами rjj, ty+, я и я+, на кото-
которые накладываются перестановочные соотношения вида:
(г), я (г')] = №+ (г), я+ (г')] = Ш б» (г-г'), 24)
г), $ (г')] = № (г), г|>+ (г')] = [ф+ (г), ij>+ (г')] =
= [л (г), я (г')] = [я (г), я+ (г')] = [я (г), я+ (г')] =
если рассматриваемому нами полю соответствуют частицы
с целым спином. Для частиц с полуцелым спином вместо
B.24) на операторы поля необходимо наложить соответст-
соответствующие антиперестановочные соотношения:
№(г), ф(г'I + = 1КгЖ1-') + 1|>(г'Жг)=0 и т. д.
Из первых двух соотношений B.24) следует, что пары (т|), я)
и (\|)*, я*) являются двумя парами канонически сопря-
сопряженных функций.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
В квантовой механике состояние системы описывается
единичным вектором в гильбертовом пространстве, который
называется вектором состояния. Изменение состояния си-
системы во времени описывается изменением вектора состоя-
состояния в гильбертовом пространстве. Указанное изменение
можно представить многими способами. В первом способе
вектор состояния вращается, а координатная система в гиль-
гильбертовом пространстве остается неподвижной; такое пред-
представление называется шредингеровским. Во втором спосо-
способе, который называется гейзенберговским представлением,
вектор состояния неподвижен, а система координат вращает-
вращается. В шредингеровском представлении операторы не зави-
зависят от времени, от времени зависит вектор состояния ?(/).
В гейзенберговском представлении операторы изменяются со
временем, а вектор состояния не зависит от времени.
Можно построить бесконечное множество промежуточ-
промежуточных представлений, в которых вращается как вектор состоя-
29
ния, так и система координат в гильбертовом пространстве.
Наибольшее значение из всех промежуточных представле-
представлений имеет так называемое представление взаимодействия.
Рассмотрим подробно представления Шредингера, Гейзен-
берга и взаимодействия.
Введем следующие обозначения:
4?s, Ls — вектор состояния и оператор в представлении
Шредингера; WH, LH — то же в представлении Гейзен-
берга; W], L1—то же в представлении взаимодействия.
Представление Шредингера. В этом представлении пове-
поведение системы описывается изменяющимся со временем век-
вектором состояния Ws (f), который определяется уравнением
Шредингера
^^l,HsWs(t), C.1)
inH(t),
dt
где Hs — оператор энергии системы (не зависящий от вре-
времени для замкнутых систем).' Динамическим переменным
замкнутых систем соответствуют операторы, не зависящие
явно от времени. Средние значения динамических величин,
определяемые формулой
(*FS(/), FsWs(t)), C.2)
могут зависеть от времени через вектор состояния ^)
Представление Гейзенберга. Полагая, что оператор Н5
не изменяется во времени, проинтегрируем формально урав-
уравнение C.1):
( ^)H. C.3)
Подставляя Ws (t) из C.3) в выражение C.2), получаем
expj-f
или
(Р} = (УН, P"VH), C.4)
где
exp( — i -^
"Формула C.4) показывает, что среднее значение динамичес-
' кой величины в данном случае зависит от времени через опе-
¦30
ратор; формула C.5) дает переход от оператора в представ-
представлении Шредингера к оператору в представлении Гейзен
берга Формула C.3) является формулой перехода от векто-
вектора состояния в представлении Гейзенберга к вектору со-
состояния в представлении Шредингера. Согласно C.5) имеем
Нн = Hs. C.5')
Дифференцируя обе части равенства C.5) по времени,
получаем
— i%2L— = [Н , F J. C.6)
Формула C.6) определяет изменение во времени оператора
в гейзенберговском представлении. Если оператор энергии
не зависит от времени, то вектор состояния в уравнении
C.1) можно представить в виде
подставляя отсюда Ws в формулу C.1), находим уравне-
уравнение для множителя Фн:
ННФН = ?ФН. C.8)
Как известно читателю из квантовой механики, уравнение
C.8) имеет решение, вообще говоря, не при всех значениях
параметра Е. Те значения параметра Е, при которых урав-
уравнение C.8) имеет решение, называются собственными зна-
значениями оператора энергии, а соответствующие им решения
уравнения C.8) называются собственными векторами. Пусть
Ф^ — один из векторов стационарного состояния, а Еп —
соответствующее ему собственное значение оператора энер-
энергии. Тогда, учитывая выражение C.7), получаем формулу
)
= (Ф?, Р3Ф%)ехр\±-(Еп-Еп,)^, C.9)
характеризующую зависимость матричных элементов от
времени.
Представление взаимодействия. Оператор энергии си-
системы обычно делят на две части. Например, его можно пред-
представить так
HS = H^+HL, C.10)
31
где Но—оператор энергии свободных полей; Н,„/ — опе-
оператор энергии взаимодействия.
Произведем унитарное преобразование волнового век-
вектора:
(З.П)
в правую часть C.11) входит не весь оператор Н5, а
только его часть Но- Подставляя x?s из C.11) в выра-
выражение C.2), получаем
<F> = (V'.F'V),
где
F' = ехр \~ Ы A F5 ехр { ^-Н^] C.12)
— унитарное преобразование от оператора в представлении
Шредингера к оператору в представлении взаимодействия.
Дифференцируя выражение C.11) по времени и исполь-
используя уравнение C.1), получаем формулу для изменения во
времени вектора состояния
где
Й| [^Й5}Й&{?й!}. C.14)
Таким образом, вектор состояния системы в представлении
взаимодействия W удовлетворяет уравнению Шредингера
C.13) с оператором энергии взаимодействия в представлении
взаимодействия Hjnt.
Дифференцируя соотношение C.12) по времени и учи-
учитывая, что Но = Но, находим формулу для изменения
во времени оператора в представлении взаимодействия:
_{Tj?t'=[H'o, F']. C.15)
Сюда в отличие от C.6) входит не весь оператор энер-
энергии Ну, а только его часть Но-
Итак, основные уравнения имеют следующий вид:
в представлении Шредингера
32
в представлении Гейзенберга
в представлении взаимодействия
Векторы состояния и операторы в этих трех пред-
представлениях связаны между собой унитарными преобразо-
преобразованиями:
xVs(t),
Замечания. 1. Как известно, оператор взаимодействия Не-
Нелинейная комбинация членов вида
Afn/=$f(O, г)...^@, г).
Переходя к представлению взаимодействия, получаем
Щ t^ $*@. г) ехр (- -j ft* /j=^{ (<, г)...^(/,г).
X exp
Таким образом, переход к оператору Н(-п^ осуществляется заменой
в операторе &fnt операторов поля ^ @, г) на операторы ij>'(/, г) по
формуле
У (t, г) = ехр [-j Ц ^ ys @, г) ехр ( - у ft« / ) . C.16)
2. Согласно формулам C.12) и C.16) в представлении взаимо-
взаимодействия операторные выражения динамических величин можно
рассматривать как функции операторов поля в представлении Гей-
33
зенберга для свободных полей, т. е. как функции операторов, удов-
удовлетворяющих однородным уравнениям свободных полей Поэтому
операторы поля if> в представлении взаимодействия удовлетворяют
таким же перестановочным соотношениям, как и для свободных
полей.
§ 4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ОТНОШЕНИЮ
К ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ЛОРЕНЦА
Можно построить бесконечное множество вариантов
различных теорий поля, но из всего этого многообразия не-
необходимо отобрать только те теории, которые удовлетворяют
определенным требованиям. В случае, когда пространство
считается псевдоэвклидовым, одним из основных требова-
требований, налагаемых на теорию поля, является ее инвариант-
инвариантность по отношению к преобразованиям Лоренца. Под ин-
инвариантностью классической теории поля по отношению
к преобразованиям Лоренца будем понимать инвариант-
инвариантность интеграла действия поля; ковариантность уравнений
поля относительно этих преобразований при этом будет вы-
выполняться автоматически. Так как элемент объема в четы-
четырехмерном пространстве инвариантен относительно преобра-
преобразований Лоренца, то согласно A.4) для инвариантности дей-
действия S достаточно, чтобы плотность функции Лагранжа X
была инвариантна относительно этих преобразований.
При построении квантовой теории поля мы сталкиваем-
сталкиваемся с определенными трудностями. Как было показано в
§ 1, при строгом подходе в теорию необходимо ввести функ-
функции fa(x, у, г). Если подобрать эти функции так, чтобы
теория была лоренц-инвариантной, то в этом случае не бу-
будет выполняться условие интегрируемости уравнения Шре-
дингера. Если же функции fa(x, у, г) подобрать так, чтобы
выполнялось условие интегрируемости уравнения Шредин-
гера, то теория не будет лоренц-инвариантной. Для того
чтобы преодолеть это противоречие, необходимо заметить,
что практически нужна такая теория, в которой функции
/а (х, у, z) обеспечивают выполнение условия интегрирова-
интегрирования и обеспечивают законность всех математических опера-
операций на всех этапах вычислительного процесса; при этом в
конце вычислительного процесса, осуществляя предельный
переход а->-а0, мы получаем окончательное выражение,
имеющее лоренц-инвариантный вид. Квантовую теорию по-
поля, удовлетворяющую этим требованиям, будем называть
асимптотически лоренц-инвариантной.
34
Квантовая теория поля будет асимптотически лоренц-
инвариантной, если уравнение Шредингера для поля будет
асимптотически ковариантным, а перестановочные или ан-
тйперестановочные соотношения для операторов поля будут
асимптотически инвариантными относительно преобразо-
преобразований Лоренца. В уравнении Шредингера
ihd-^ = UaiVa D.1)
время играет особую роль, а поэтому это уравнение не яв-
является асимптотически ковариантным. Этот формальный де-
дефект теории был ликвидирован Томонагой A946 г.) и Швин-
гером A948 г.), которые модифицировали уравнение D.1).
Для этого в пространстве Минковского вместо гипер-пло-
скости / = const они ввели произвольную пространственно-
подобную гиперповерхность о. Нормаль к указанной по-
поверхности в любой ее точке х является времени-подобной;
никакие две точки поверхности а нельзя соединить свето-
световым сигналом, так как любые две точки этой поверхности
разделены пространственно-подобным интервалом. Каждой
точке х гиперповерхности а можно сопоставить время t(x),
которое называется локальным временем точки (отметим,
что все точки плоскости t = const имеют одно и то же время
t); поэтому на поверхности о вектор состояния Wa будет
функционалом от t(x), т. е. W = W\t(x)]. Оператор энергии
Н можно представить в виде суммы по элементарным ячей-
ячейкам пространственно-подобной поверхности а:
На^ЕГа/МДУа. D.2)
а
Рассматривая уравнение D.1) как сумму бесконечно боль-
большого числа уравнений, записанных для каждой точки про-
пространственно-подобной поверхности, и учитывая D.2), най-
найдем уравнение для t-й элементарной ячейки
Л ' \\=ral(x).AVWa[t(x)]. D.3)
oi (х)
Пусть а и а' — две пространственно-подобные поверхности,
отличающиеся на бесконечно малую величину в окрест-
окрестности некоторой точки х в пространстве Минковского
(рис. 1).
35
Введем вариационную производную:
eygW =jjm Та ['
S()
— lim — —-—. D.4)
где
Рис. 1
Учитывая определение D.4), перепишем уравнение D.3)
в виде
Лс -^^ = tai (х) Wa (a). D.5)
Формула D.5) представляет собой краткую запись бес-
бесконечной системы уравнений D.3). Так как AQ(x) = cAV X
X At{x) — инвариант и определение пространственно-по-
пространственно-подобной поверхности не связано с выбором какой-либо опре-
определенной инерциальнои системы отсчета, то уравнение D.5)
будет асимптотически ковариантным, если плотность гамиль-
гамильтониана асимптотически лоренц-инвариантна. Итак, если
плотность гамильтониана асимптотически лоренц-инвариант-
лоренц-инвариантна, то уравнение движения системы D.5), получившее на-
название уравнения Томонага^—Швингера, имеет один и тот
же вид в любой частной системе координат при a -*¦ а0.
Плотность гамильтониана будет асимптотически лоренц-
инвариантной, если плотность лагранжиана асимптотически
лоренц-инвариантна и не зависит от ij)ft, так как в этом слу-
случае согласно формуле A.6) fai = —%ai-
Найдем условие интегрируемости бесконечной системы
уравнений D.5) [или, что то же самое, уравнений D.3)]. Для
этого, используя D.5), образуем вторые вариационные про-
производные для х и х' ф х.
36
Согласно уравнению D.5) имеем
Но результат не должен зависеть от порядка дифферен-
дифференцирования, т. е. должно быть
б2 ?„ б2 ?„
= , D.7)
6а(х')-6а(х) 6о(х)8а(х') v
отсюда согласно D.6) и D.7) находим
[Ki(x),tat(x')]=0, D.8)
где х и х' — точки, лежащие на пространственно-подобной
поверхности а.
Итак, для того чтобы система уравнений D.5) была ИН'
тегрируемой, необходимо, чтобы для любых двух точек л!
и х', лежащих на пространственно-подобной поверхности,
выполнялось условие D.8). Условие D.7), а также вытекаю-
вытекающее из него условие D.8), называется условием интегрируе-
интегрируемости системы уравнений D.5).
ГЛАВА II
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ
(СВОБОДНЫХ) ПОЛЕЙ
§ 1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРОВСКОГО ПОЛЯ
В природе все существующие волновые поля находятся
во взаимодействиях. Однако полезно предварительно иссле-
исследовать изолированные поля, не взаимодействующие с дру-
другими полями. Квантовая теория свободного (изолирован-
(изолированного) поля, очевидно, должна быть наиболее простой.
В качестве примера, иллюстрирующего особенности ма-
математического аппарата квантовой теории поля, приведем
квантование уравнения Шредингера, рассматриваемого как
уравнение для некоторого классического поля ty(x, у, z, t).
Уравнение Шредингера имеет вид
ih^ = -^nS/2^ + U(r,t)b A.1)
где U(r, t) — потенциальная энергия частицы. Построим
квантовую теорию этого поля, используя разработанную
в гл. I методику. Будем рассматривать уравнение A.1) как
уравнение Эйлера некоторой вариационной задачи, для ко-
которой плотность лагранжиана имеет вид
% = myit — — уЧ>*И>—^О". ОФ'Ф— ihify A.2)
и где функции т|з и а|з* считаем независимыми.
Действительно, подставляя в уравнения Эйлера
в_ ваз _Q
xh а I ii ~
д[дхк
д dS
dxh д
38
выражение для X, получим уравнение A.1) и уравнение,
сопряженное с A.1):
Функции, канонически сопряженные с г|) и ty*, даются
выражениями:
iV, ^ i%^. A.4)
Согласно уравнениям A.2) и A.4) плотность гамильто-
гамильтониана равна
* ^ . -A-5)
а функция Гамильтона всего поля
H=lrdV. A.6)
В квантовой теории согласно уравнению A.5) оператор
квазиэнергии шредингеровского поля имеет вид
tf«= JJ/a(r, r')[?V^+(r)V*(r') +
+ U {T) + U (r>) У>+ (r)$ (r')\dV dV, A.7)
где fa(r, г')—основная функция, причем /a(r, r') = /a(r', r).
На операторы я и ij; накладываются перестановочные
соотношения
№(г, 0. Л(г',0]=»»в»(г-г'),
или
[ф(г,О. i+(r',0]=63(r-r'), A.8)
№(г, 0, 1)(г', 0] = К>+(г- 0. ^+(г', 0] =0. A.8')
Энергия — величина действительная, поэтому оператор
энергии поля должен быть эрмитовым. Последнее условие
будет выполняться, если г[)+—оператор, эрмитово сопря-
сопряженный с $. Действительно, учитывая формулу (АЁ)+-=
= В+А+, из уравнения A.7) получаем
= Jj7« (г, г') { ?
39
что и требовалось доказать. Пусть функция V не ?ави-
сит от t, тогда оператор энергии не зависит от времени
явно и из формулы ihh = [L,Ha], где L—произвольный
оператор, следует, что энергия поля является интегралом
движения. В этом случае уравнение Шредингера для поля
получает вид
НаФа = ?„Фа> A.9)
где Фа — вектор состояния поля в квантовой теории.
Пусть uh(r)—ортонормированные функции, где k—набор
дискретных индексов; разложим операторы ty и \р+ в ряд
по функциям uh(r):
где Bk—новые операторы. Подставляя отсюда -ф и гр+
в формулу A.8), получаем
2 [Bhuk(r), Bf> ul (r')] = б« (г-r').
*, к'
Умножая обе части последнего равенства на и\ (г)«/ (г'),
интегрируя полученное равенство по г и г' и учитывая
ортонормированность функций ик, получаем
1(т)щ(г')ЬЦт-г')дУdV = bh{, A.11)
аналогично из соотношения A.8') находим
[Bft)B,] = [Bt,B^]=0. A.1 Г)
Подставляя выражения A.10) для операторов -ф и -ф4"
в формулу A.7), получаем
[? ]r)] dVdV. A.12)
40
Если uh(r) — собственные функции оператора энергии для
одной частицы с собственными значениями Eh, т. е. если
функции uk(r) удовлетворяют уравнению Шредингера
k = Ehuh, A.13)
то формулу A.12) можно переписать в следующем виде:
Й« = 4 В?~В< (Т ?" (г' г')«/ (г)«гИ X
X (Ej+EJdVdV. A.14)
Выберем основные функции /а (г, г') таким образом, чтобы
тогда из формулы A.14) получим следующее выражение
для оператора энергии:
Н = 1 im Н„ = -1- 2 В+ В, Г и, (г) щ (г) (Ej + Ej dV =
2 i.i J
J.EJ = 2iNjEJ, A.16)
где rt, = 6+6,.
Введем теперь эрмитов оператор
Na = 5 fa (Г, Г') ф+ (Г) ф (Г') dV flfV, A.17)
который будем называть оператором числа квазичастиц.
Л Л Г А
Подставляя г|> и г|> из A.10) в выражение для Na,
имеем
Na = S Bf В/ g /a (Г, Г') U, (Г) ^ (г') dV dV'\ A.J8)
отсюда, учитывая A.15), получаем выражение для опера-
оператора числа частиц
N = lim Na = ^ fit В/ С щ (г) м; (г) dV =
= SB+B/ = 2N/, A.19)
Как видно из выражений A.16) и A.19), операторы А и
N коммутируют, поэтому они одновременно могут быть
41
приведены к диагональному виду и, следовательно, имеют
общую систему собственных векторов; кроме того, из
формулы
тй= [n, н]
следует, что N—интеграл движения.
Найдем собственные значения Nn и собственные век-
векторы оператора N, для этого рассмотрим уравнение
или NO> = MI). A.20)
k
Оператор N — эрмитов, поэтому его собственные значе-
значения вещественны. Оператор Nft — оператор числа частиц
в состоянии k.
Все операторы Nk коммутируют друг с другом, поэто-
поэтому их можно одновременно привести к диагональному
виду. Согласно выражениям A.19) и A.20) Ф# =
=zfN1fNifNafNi--, где fNk— собственный вектор опера-
оператора N*, соответствующий собственному значению Nh
этого оператора. Собственные значения Nk не отрица-
отрицательны; действительно, имеем
Nh~
(Ч-Ч) ~ (?»к'^) >0' ('21)
где (JNh, fN'\—скалярное произведение волновых векто-
векторов }ык и fN>
Рассмотрим вектор ф2 = Bfe fu., где ./Vft > 0. Имеем
tih ф1 = N* В* fNh = Bf В* В* fNk =
-= F* Bt~!) К fNh = В* N* fNk - Bk fNh =
1)ф1. A.22)
Таким образом, фг — собственный вектор оператора N^,
соответствующий собственному значению Nh—1. Анало-
Аналогично можно показать, что фт = (Bk)mfNh — собственные
векторы оператора Na, соответствующие собственным зна-
значениям Nh—т, где /п>1—целое число. Эта последо-
42
вательность должна где-то оборваться, так как собствен-'
ные значения оператора N& не могут быть отрицатель-
отрицательными.
Рассмотрим теперь вектор X1 = Bt In, Имеем
Nk X, = N, Bf fNh = Bf Bk Bt fNh =
= Et(\+Uthk)fNh=(Nh+l)X1. A.23)
Отсюда следует, что Х1 — собственный вектор оператора
N/г, соответствующий собственному значению Nk-\- 1.
Можно показать, что векторы Xm = (B^)m fs —собствен-
—собственные векторы оператора N&, соответствующие собствен-
собственным значениям Nk-\-m (m — целое число, причем т>1).
Итак, оператор N* имеет бесконечно большое число
собственных значений. Полагаем: Nh = nh-\-Nl, где пн—
целое положительное число или нуль, 0 < Л^<1. Найдем
N% Согласно доказанному имеем
bktNh = Air4Nk_v btfNh = Brlhll + l, A-24)
где A^~l и B~k —некоторые числа. Пусть N\—первое
(наименьшее) собственное значение оператора Nfe. Тог-
Да /д,о ,=0 и Bft/n =0, откуда следует равенство
&t$hfNo = NUNo = O. A.25)
Из него вытекает, что N^ = 0, а поэтому Nh = nh, т. е.
собственные значения оператора Л^ равны целым поло-
положительным числам или нулю, .а собственные значения
оператора N равны
JV = 2nfe. A.26)
k
Собственные векторы fnk должны быть нормированными
на единицу, т. е. должно быть (/„ft, /„ft) = l. Поэтому,
учитывая равенства A.24), можно написать
(fnh + l, fnh + \) = Bk [fnh, B* Bk fnh) =
Bl(f («+l)/) (n+l)BI
43
откуда Bh = A + nh)~u<i' аналогично находим, что
Л, = njf1/2. Подставляя найденные значения для Ah и Bh
в формулы A.24), получаем
fnh+x = (l + nh)-l<*Btfnh, ^_,=лГ1/2&*/лй, A.27)
а подставляя fn из выражения A.27) в формулу Фдг^
= fnlfnt ».fnk..., находим
= V nh+\ON+i(n1, ..., nh+\,...), ^i 28)
6^Фл^(«1 «ft, .-.)= У^Флг_1 (rtj nh—l, ...),
где Ф#— вектор состояния поля (с N частицами).
Из формул A.22) и A.23), которые можно перепи-
переписать так
и из формул A.24) следует, что, действуя оператором Bfe
на собственный вектор Фс собственным значением п, полу-
получим собственный вектор с собственным значением п —1 и,
соответственно, действуя оператором BJ на указанный век-
вектор, получим собственный вектор с собственным значением
п + 1. Отсюда вытекает, что оператор Bt можно интерпре-
интерпретировать как оператор рождения частицы в состоянии к,
так как его действие на вектор состояния сводится к увели-
увеличению на единицу числа частиц в состоянии, которое харак-
характеризуется набором квантовых чисел к. Аналогично опера-
оператор В*" можно интерпретировать как оператор уничтожения
частицы в состоянии с волновой функцией uh (г). Введем «ва-
«вакуум-вектор» Фу = @, 0, ..., О, ...), у которого все nh = О
и, следовательно, п = 0, а поэтому и ЫФу = 0. Из опреде-
определения вакуума-вектора вытекает, что
ЁйФу = 0 (для всех k).
Многократно действуя операторами В^ на вакуум-вектор
Фу, построим базисные векторы гильбертова пространст-
пространства:
Ф* (пг пк,...) = W ... nh\ ..J-1'2 (Bt)"' ...(№... Фч, .
A.29)
44
где множитель (nt\ ...nh\ ...)-1/2 введен для нормировки
а через (В^)"ьфу обозначено «^-кратное применение,
оператора В*!" к вектору Фу.
Перейдем к нахождению собственных значений опера-
оператора энергии. Согласно формуле A.16) оператор энергии Н
в ^-представлении имеет следующие собственные значения;
E = %nhEh. A.30)
k
Формула A.30) дает энергии стационарных состояний
поля. В каждом одночастичном состоянии k число частиц
nh постоянно. Состояния поля описываются векторами со-
состояния Ф„ (nlt ..., nh ,...), которые одновременно являют-
являются собственными векторами операторов H,N и всех Nft.
Изложенные результаты полностью совпадают с резуль-
результатами квантовой механики для системы многих частиц, не
взаимодействующих между собой (если учитывать только
симметричные решения уравнения Шредингера). Можно
показать, что обе теории будут полностью эквивалентными
и при наличии взаимодействия между частицами. В обоих
случаях мы имеем теорию частиц, подчиняющихся стати-
статистике Бозе — Эйнштейна, т. е. теорию частиц, не подчиняю-
подчиняющихся принципу Паули. Такими частицами являются, напри-
например, фотоны и я-мезоны. Для частиц, подчиняющихся стати-
статистике Бозе—Эйнштейна, числа пкиогут принимать все поло-
положительные целые значения или нуль, т. е. в каждом одно-
частичном состоянии системы может находиться любое чис-
число частиц. Последнее обстоятельство является следствием
из перестановочных соотношений A.11) для операторов Bk
и Вд" или, что то же самое, из перестановочных соотноше-
соотношений A.8) для ij> и ijrK
Нерелятивистская квантовая механика применяется и
для исследования системы частиц, подчиняющихся принци-
принципу Паули. В этом случае берутся решения уравнения Шре-
Шредингера, антисимметричные относительно обмена координат
двух частиц. Правила перестановок для т|) и ф+ надо выбрать
теперь так, чтобы операторы N* = Bf В^ имели только два
собственных значения: 0 и 1. Йордан и Вигнер показали
19], что для этого перестановочные соотношения
[А,В] =АВ —ВА = С
45
необходимо заменить антиперестановочными вида
[А,в]+-Ав+вА=с.
В случае шредингеровского поля, подчиняющегося прин-
принципу Паули, антиперестановочные соотношения имеют
вид
Подставляя сюда выражения для ty и г(з+из формул A.10 ,
найдем антиперестановочные соотношения для Вк и В*~:
[Bt,Bj\+ = Sih [В;,В,]+ = [В+ В+] + = 0. A.32)
Найдем собственные значения оператора N&; согласно со-
соотношениям A.32) B/iBk~0, поэтому имеем
-B?BhBhBt = BtBh = Nh. A.33)
Для собственных значений оператора Nfe имеем уразне*
ние
KfNk = nhfNh, A.34)
откуда
tilfNh = nUNk. A.35)
Учитывая выражения A.33), A.34) и A.35), находим
n\ — nh (для произвольных k). A.36)
Это уравнение имеет только два решения nk = 0 и 1 в пол-
полном соответствии с принципом Паули. Собственные значе-
значения оператора полного числа частиц N = SN* равны п =
k
— 0, 1, 2 Так как зависимость оператора Н от В^"
и В* не изменяется при изменении условий, налагаемых на
операторы поля, то для собственных значений оператора
энергии справедлива та же самая формула
где, однако, п& пробегают только два значения 0 или 1. Из
соотношений A.32) имеем для операторов Вк
B^ = Bf=0, B^Bft + EfeBt=l. A.32')
46
Эти соотношения удовлетворяются матрицами
О 0
О 1
о о
тогда
Условие Nfe/Oft = 0, где fOh — вакуум-вектор, удовлетворя-
удовлетворяется, если /0 = [ 1 . Действительно,
h \ О
В формуле A.37) k — номер одночастичного состояния;
0ft и lft—означают соответственно, что в состоянии k нет
частицы или находится одна частица. Далее
0
(К38)
Таким образом, flk — вектор состояния частицы (k — кван-
квантовые числа)
Можно доказать справедливость следующих формул:
согласно которым операторы В*!" и Bk — операторы рожде-
рождения и уничтожения частиц в состоянии k. Действительно,
если подействовать оператором Щ на Ф%, получается век-
вектор Фг с tik =1; действуя этим оператором на Фь получаем
нуль; далее, действуя оператором В* на Фъ получим Фу,
тогда как действие этого оператора на вектор состояния
ФУ дает нуль.
47
Собственные векторы оператора N можно согласно вы-
выражениям A.37) и A.38) представить в следующем виде:
A.41)
Действуя &f на некоторую функцию Фп, получим
= (- О*-1 fit - &Li Ы B
Ф„+1A1; ...,Ц_,, lkl \k+],
= (_l)*-i Bt...filti В fBH,...Ov = 0.
Эти две формулы можно записать так
к—!
— nh X
ХФ„+1(Л1 1— nh, ...); A.42)
аналогично находим
хФ„-1(«1 1-%,...). A.43)
§ 2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО НЕЙТРАЛЬНОГО
СКАЛЯРНОГО (ПСЕВДОСКАЛЯРНОГО) МЕЗОННОГО ПОЛЯ
Мезонное поле может быть заряженным или нейтраль-
нейтральным. Построим квантовую теорию свободного нейтрального
мезонного поля. В классической теории такое мезонное поле
описывается действительной скалярной или псевдоскаляр-
псевдоскалярной функцией, которая удовлетворяет следующему уравне-
уравнению:
> = 0, B.1)
/ тс
где \i — некоторая константа (ц = —' , где т — масса
ft
мезона). Различие между скалярным и псевдоскалярным
полями проявляется во взаимодействии с другими полями.
48
Уравнение B.1) будем рассматривать как уравнение
^?
Эйлера для функционала S= J $ ZdVdt, где плотность лаг-
tt
ранжиана имеет вид
{-с1И2Ф1}- B-2)
Действительно, подставляя выражение для X из формулы
B.2) в уравнение Эйлера, получим уравнение B.1). Функция,
канонически сопряженная с ср, равна
я = ^? = ф. B.3)
Согласно выражению B.2), для плотности гамильтониана
получаем
Г = {[я2 + с2(уфJ + с>2Ф2], B.4)
откуда видно, что Г является положительно-определенной
функцией, как это и должно быть для плотности энергии.
В квантовой теории надо перейти от функций ф и я к
операторам ф и я, на которые накладываются перестановоч-
перестановочные соотношения:
[ф(г,ф(г')]-[я(г),я(г')]=О.
Согласно формуле B.4) оператор квазиэнергии поля име-
имеет вид
= { (Т fa (г> г/) {" (г) " С"') + с2 V«P (г) УФ (г') +
) B.6)
Так как энергия — величина действительная, достаточно,
чтобы оператор На был эрмитовым, а для этого достаточно,
чтобы были эрмитовыми операторы ф и я (ф+= ф, я+=я).
3 зек. 1361 W
Предположим, что функция /а(г, г') отлична от нуля
только тогда, когда точка г и точка г' находятся внутри ку-
куба объема V = L3, где L — длина ребра куба. Это предполо-
предположение эквивалентно предположению, что мезонное поле
заключено внутри указанного куба. При этом можно разло-
разложить оператор ф в ряд Фурье:
Д [ске'
B.7)
где «к — с']^[1г~\- к2, а Ск и с?—новые операторы. Опе-
Оператор, даваемый формулой B.7), является эрмитовым, как
это и должно быть.
Подставляя выражение B.7) для ср з формулу B.5),
находим перестановочные соотношения для си и cf:
( '
Далее подставляя ф из B.7) в формулу B.6), полу-
получим следующее выражение для оператора квазиэнергии
поля:
х {ск с_ь-JJ dV dV /а (г, r')exp[i (к г—aj—к' r'-(ok-1)] +
/а(г,г')ехр[/(—\
X (jf JJ0(,)p[(
+ htlldVdV'fa(r,r') x
X exp[f( —kr+ «)k < + k' r' — «V t)])\. B.9)
60
В четвертой сумме B.9) произведем замену
к-»- —к и к'-> —к',
тогда вместо B.9) получим
Н — i й v о \"~1~ г -4- —1 B 9')
к 2J
где
Qk = у- ^ dV dV fa (r, r') exp i к(г - г'),
а ея — оператор, стремящийся к нулю при а-»-а0.
Оператор cit йДсм. § 1)имеет собственные значения Як(Ик—
целое положительное число или 0). Поэтому при а ~ а0
оператор квазиэнергии На имеет следующие собственные
значения:
Р /**s й ^V СЛ i v\ \ 1 /О 1 С\\
к \ г/
Если все числа заполнения пк равны нулю, т. е. если ме-
мезоны в поле отсутствуют, то квазиэнергия поля равна свое-
своему минимуму:
!k, B.11)
который называется нулевой квазиэнергией поля.
Можно так подобрать /а (г, г'), чтобы ряд B.11) был схо-
сходящимся и нулевая квазиэнергия поля была конечной. При-
Принимая нулевую квазиэнергию поля за начало отсчета энер-
энергии, получим следующую формулу для квазиэнергии мезон-
ного поля:
Е'а&Еа—Е(а0) = П^ nkQk. B.12)
к
Можно выбрать основные функции /a(r, г') таким обра-
образом, чтобы они удовлетворяли условию A.15). Учитывая
(!.15) и переходя к пределу a -> a0, из формулы (А) полу-
получаем
lim Qk = <flk- (Б)
a^a0
Согласно формулам (Б) и B.12), выражение для энергии
поля приобретает вид
B.Г2')
51
Интересно отметить, что ввиду равенства (Б)
Так как эта сумма расходится, то нулевая энергия поля бес-
бесконечна.
Пусть мезонное поле, находящееся в стационарном со-
состоянии, характеризуется числами заполнения nlt n2, ... .
Согласно формуле B.12') энергия мезонного поля равна
сумме энергий пх мезонов, находящихся в состоянии 1, п2
мезонов, находящихся в состоянии 2, и т. д. При этом энер-
энергия мезона, находящегося в состоянии к, равна /гсок =
= flcY\i2 + к2 = сУт2с2 + р2, где т = — — масса ме-
мезона, а р = hk — его импульс.
Таким образом, целое число пк выражает число частиц
с импульсом hk. Чтобы убедиться в этом, определим собст-
собственные значения оператора импульса мезонного поля G.
Для определения вида оператора G заметим, что плотность
импульса в классической теории поля равна
1 т 5ф dSS Зф ¦ дф , 1 о о /о i о\
= —-Хф=_ ---я, к =1,2,3, B.13)
откуда получаем оператор квазиимпульса поля
Этот оператор является эрмитовым, так как
= ^+^=|ф^ BЛ5)
dx dx
Учитывая принятые здесь свойства основных функций
fa и подставляя в формулу B.14) выражение для ф из
B.7), получаем
х{ C
+ "ct с±„. 55/а(г,г')ехр|—«(кг—шк<—Wr'-ak4)}dVdV'} +
+ (к' С0к + ксок-) { Ск C^SS /а (Г, Г') X
Хехр[/(кг—сок* —к'г' + юк. t)]dVdV+с$ ск. х
X Ц/а (г, г') ехр [—j (kr-cok t — к' г' +сок- t)] dV dV')]. B.16)
52
Учитывая A.15) и соотношение
8kkl, (В)
из формулы B.16) находим, что оператор импульса поля
равен
G = lim Ga =
B.17)
Собственные значения оператора с? ск равны Пи (см. § 1).
поэтому собственные значения оператора B.17) равны
G = 42kB«k+1). B.18)
1 к
Так как 2 к = 0 (каждые два вектора к и — к сокращают-
сокращаются), то формулу B.18) можно переписать так
B.19)
Следовательно, согласно выражению B.19) в стационарном
состоянии мезонного поля существует /гк мезонов, каждый
из которых обладает импульсом Йк.что и требовалось дока-
доказать.
§ 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЗАРЯЖЕННОГО СКАЛЯРНОГО
МЕЗОННОГО ПОЛЯ
Как уже упоминалось в § 2 гл. I, заряженные поля долж-
должны описываться комплексной функцией. Поэтому для опи-
описания заряженных мезонов введем две действительные функ-
функции фх и <р2, из которых образуем комплексные поля ф и ф*.
В классической мезонной теории функции ф и <р*, описы-
описывающие заряженные скалярные или псевдоскалярные ме-
зонные поля, должны подчиняться однородному уравнению
Клейна—Гордона:
(П2-и2)ф = о, (П2-^)ф*=о, C.1)
дг б2 б2 б2
где ?2 = -т- + —г—(-Г-2— +—2-.Эти уравнения мож-
дх{п дхB) дх{3) дх{4)
но рассматривать как уравнения Эйлера для функциона-
53
ла S — \\XdVdt, где плотность лагранжиана выражает-
выражается в виде
— с2(уф*,уф) — c2fi2cp*<p- C.2)
Так как согласно формуле C.2) плотность лагранжиана
(инвариантна относительно преобразования калибровки
Ф-»-фе/а, ф*-»-ф*е~'а), то для мезонного заряженного по-
поля находим выражения для плотности заряда и тока:
dSS
Учитывая уравнения C.1), можно проверить выполнение
закона сохранения заряда (т. е. убедиться в удовлетво-
удовлетворении уравнения непрерывности для вектора j^).
Функции, канонически сопряженные с ф и ф*, равны
-%-*¦<•-¦%-+ C-3)
Согласно формулам C.2) и C.3) для плотности гамиль-
гамильтониана получаем выражение
Г = яф + я*ф* — X = ф ф* + с2 уф уф* + с2 \кг фф*, C.4)
откуда видно, что Г является положительно-определен-
положительно-определенной функцией, как это и должно быть для плотности
энергии. В квантовой теории надо перейти от функций ф
и ф* к операторам ф и ф+, на которые накладываются
перестановочные соотношения
ЙбЗ(г-г'),
C-5)
')
В остальных (не выписанных) перестановочных соотно-
соотношениях в правой части стоит нуль.
54
Согласно выражению C.4) оператор квазиэнергии по-
поля равен
C.6)
где/а (г, г')—основная функция, обладающая свойством
A.15). Так же как и в § 2, будем полагать, что /а(г, г')
отлична от нуля только в том случае, когда точки гиг'
находятся внутри объема куба V — U, где L—ребро ку-
куба. При этом можно разложить операторы поля в ряд
Фурье
Ф (г, *) = "т= 2 \/т~ ^ ехР I' (кг-м" 'И +
YV к V г<йк
+ btexp[—i(kr—akt]], 3 ?.
Ф+(r, 0 =-^r-Ц l/r^-[«k+exp [-г (kr-cok01 +
yv к v г(йк
+ 5kexp[t(kr—cok0]]»
где ак и at—операторы поглощения и рождения поло-
положительно заряженных мезонов, а Ьк и bt — операторы
поглощения и рождения отрицательно заряженных мезо-
мезонов. Очевидно, ак и a\t коммутируют с ^ и b?. Под-
Подставляя выражения C.7) для ф и ф+ в формулы C.5),
получим перестановочные соотношения для операторов
аи и Ьк:
[ak. ak+<] = [i>k, ?k"']=6kk' C.8)
(остальные пары операторов попарно коммутируют).
Подставляя выражения C.7) для операторов поля в
формулу C.6), находим следующее выражение для опе-
оператора квазиэнергии мезонного поля:
X ((coku3k-+c2kk'4-cV2)(ak at'
¦f bit &k-exp[— t(kr — akt— k'r' — cok-
-f (—cokcok-+ c2kk' + c2n2) {akb-k' exp[t(kr — cok^ —
— k'r' — cok< t)]+ bit at.k- exp \i(kr — akt—k'r'~
C.9)
55
отсюда, учитывая формулы A.15) и (В), получаем
Н = ПтНа= — ^мк [at ak-\- ak at-f- b~? b^-\- bk bt\-,
C.10)
где
Найдем теперь операторы импульса и электрического
заряда. Плотность импульса в классической теории по-
поля можно записать в виде
g= —(луф + уф*л*). C.11)
Согласно формуле C.11) оператор квазиимпульса мезон-
ного поля равен
C.12)
отсюда, используя формулы A.15), (В) и C.7), получаем
G =l\mGa = h^lk(atak—bkbt) C.13)
а->-ао к
—оператор импульса мезонного поля.
Плотность электрического заряда в классической тео-
теории равна
р=_1--1(ф*ф_ф<р*). C.14)
Согласно C.14) оператор полного электрического квази-
квазизаряда равен
?°=-1'тйМ^г0[ф+(г)ф(г')-ф (r)v+(r')]dVdV;
C.15)
отсюда, учитывая формулы A.15), (В) и C.7), находим
оператор полного электрического заряда
Q = lim&= ?2[а?ак + ак а?—Ь?Ьк—6ъЬ?]. C.16)
Обозначим собственные значения операторов at ak и
... + _ (+
bt bk через «к и пк\пк и лк—целые положительные чис-
56
ла или нуль). Тогда собственные значения операторов
Н, G и Q выражаются следующими формулами:
(л к + пк) + 2Е0, C.17)
к
G = П ^ к (лк—йк — l) = 2 йк ("к —«к), C.18)
C.19)
Эти формулы можно интерпретировать так: каждый из Пк
мезонов обладает зарядом -\-е, импульсом +Йк и энергией
Йсок, а каждый из /гк мезонов обладает зарядом —е, импуль-
импульсом —Йк и энергией Йсок.
В природе существуют как нейтральные, так и заряжен-
заряженные мезоны. Можно рассматривать заряженные и нейтраль-
нейтральные мезоны как компоненты единого мезонного поля1. Эта
точка зрения последовательно осуществлена в симметрич-
симметричной мезонной теории Кеммера. В теории Кеммера удалось
получить ядерные силы, т. е. силы взаимодействия между
нуклонами, не зависящие от зарядового состояния нукло-
нуклонов, что как раз и наблюдается на опыте. Обозначим через
Фз(ф3 = фР волновую функцию, описывающую нейтраль-
нейтральные мезоны. Заряженные мезоны, как и раньше, будем опи-
описывать функциями фх и ф2. Оператор квазиэнергии мезон-
мезонного поля можно записать в виде
На= — \\ fa (г, г') V я5 (г) Я; (г') -j- с2у ф5 (г)уф5 (г') +
2 JJ s=l
+ с2ц2Ф5(г)ф5(г')] , C.20)
отсюда, разлагая операторы поля в ряды Фурье и учи-
учитывая формулы A.15) и (А), получаем выражение для
оператора энергии
H = lim Ha = 2^cok(akbak+Skbbk+ckbck)+3?'o. C.21)
a=do k
1 Так как массы заряженных и нейтральных мезонов близки,
то говорят, что они образуют изотопический триплет.
57
где ct и ск—операторы рождения и уничтожения ней-
нейтральных мезонов.
Можно показать, что собственные значения оператора
энергии равны
2 3?0. C-22)
к
+ - О
где Пк, пк, пк — целые числа или нуль (числа соответст-
соответственно положительных, отрицательных и нейтральных ме-
мезонов).
Состояние мезонного поля, характеризующееся отсутст-
отсутствием в поле мезонов, называется мезонным вакуумом. Если
Фу — вектор состояния мезонного вакуума, то должно вы-
выполняться условие
=ск Ф„ = 0 (для всех к). C.23)
§ 4. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО
ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ
В квантовой механике электрон описывается уравне-
уравнением Дирака
ihty +iHc a Vi|3—тс2 Щ = 0, D.1)
где г|з—волновая функция, являющаяся биспинором сле-
следующего вида:
V
cij, a2, а3—эрмитовы матрицы Дирака:
D.3)
58
причем
а = i а, 4- \а2 + ка3.
Матрицы Днрака подчиняются следующим правилам ком-
коммутации, полностью определяющим их алгебру:
«v <V + Оц av = 26V(Jl (v, fi = 1,2, 3, 4).
Если ввести матрицы Паули
1 \ . /О -Л Л /1 0\
°1 = ч о
\ . /О
и единичную матрицу
10'
1,
то матрицы Дирака можно записать в следующем виде:
'О о,\ . /О о,\ л /0 о Л . // ОД
J
D.5)
Уравнение, эрмитово-сопряженное относительно уравне-
уравнения D.1), имеет вид
^ +c2^^0, D.1')
iH + ichy^
где \()+—матрица, эрмитово-сопряженная с \|э и содержа-
содержащая одну строку и четыре столбца.
Введем обозначения, принадлежащие фон-Нейману:
уА=-фа4 = шЛр* (ft = 1.2,3), Y4 = p, D6)
t = t>+P.
где эрмитовые матрицы у^ удовлетворяют соотношениям
Согласно формулам D.6) уравнения D.J) и D.Г) можно
преобразовать к виду
D.7)
59
где х1 = х, хг — у, x9 = z—компоненты радиуса-вектора г;
xt = ix@) = ict; X = ~-
В уравнениях D.7) по индексу ц производится сум-
суммирование от 1 до 4. Умножая второе уравнение D.7)
справа на—if>, а первое уравнение D.7) слева на if и
складывая их, получим уравнение непрерывности
^ = 0, D.8)
где 5ц = сфу,,1|)—четырехмерный вектор плотности потока
вероятности. В трехмерной форме уравнение D.8) имеет
вид
^ + divs = 0, D.8')
где S(oi =—й|)у4 ^ = ty+l[P—плотность вероятности нахож-
нахождения электрона в данной точке пространства, s = ctJj уЧ5 =
= п|)+ш|) — трехмерный вектор плотности потока вероят-
вероятности.
Для заряженной частицы, несущей электрический за-
заряд е, выражение
р = — tevf>Y4 'Ф = ei|)+ ^ D.9)
дает плотность распределения электрического заряда в
пространстве, а выражение
j = ectyyty = ecty+aty D.10)
—трехмерный вектор плотности электрического тока. Сог-
Согласно формулам D.9) и D.10) четырехмерный вектор
плотности электрического тока имеет вид
/и = есЩ^. D.11)
Уравнения D.1) и D.Г) можно получить из вариацион-
вариационного принципа
б
ео
если в качестве плотности лагранжиана взять выражение
D.12)
dxv
а при варьировании X функции \р и t|) считать независи-
независимыми. Действительно, из формулы D.12) имеем:
i\chy^- + mc2ty\, -=0,
Учитывая это, из уравнений Эйлера
_д_ _d$S ^Ё.=о, А-*Ё-_^- = О D.14)
дхц дхц
(Х= 1,2,3,4)
получаем уравнения Дирака D.7).
Из выражений D.13) находим также плотность гамиль-
гамильтониана
Функция Гамильтона для всего электронно-позитронного
поля в объеме V имеет вид
Н = Г dVY= — i Г dV
= (dV[ihc\p+ay^ — тсЦ+$у}. D.16)
Из D.16) следует вещественность функции Гамильтона Я;
действительно, интегрируя в формуле D.16) по частям
половину первого члена, преобразуем ее к виду
Н = Г dV | — (г|)+ауг|) - у^+а^) — тс2Ц+Щ .D.17)
В правой части формулы D.17) опущен интеграл по поверх-
поверхности, так как он равен нулю ввиду обращения \р в нуль на
бесконечности или в силу периодических граничных усло-
условий. Согласно выражению D.17) Н+ = Н, что и доказывает
вещественность функции Гамильтона Н.
Подставляя в формулу D.17) разложение ^ и ijj+ в ряды
Фурье, можно доказать, что функция Гамильтона Н не
является положительно определенной. Позже будет пока-
показано, что в квантовой теории при определенных условиях
соответствующий оператор энергии можно сделать положи-
положительно-определенным. Трактуя уравнение Дирака как урав-
уравнение некоторого классического электронно-позитронного
поля, заменяем в квантовой теории функции г|з и г|э+ опе-
операторами г|з и г|э+. В результате из формулы D.16) получаем
оператор энергии электронно-позитронного поля
Н = litn Ha= lim \\ dVdV' fa(r,r')
а-*а0 а-*а0 "
-mcV(r)N (г')] = Hm 2 f f dV dV /а (г, г') х
а-.а„ /.I *" *"
X [t»c*t(r)iAv4»,(r')-mc»4»f (r)Mi(r')]- D-18)
Оператор полного числа электронов и позитронов в
поле равен
N= limNa= lim ^ dV dV fa(r,r')i+(r)^(r'); D.19)
оператор полного заряда поля имеет вид
Q = Игл Qa = lim e j f dV dV /a (г, г') ф+ (г)-ф (г'). D.20)
Для свободного электронно-позитронного поля, которое
рассматривается в этой главе, операторы Q и N коммути-
коммутируют с оператором энергии Н. Следовательно, данные опе-
операторы можно одновременно с оператором Н привести к ди-
диагональному виду Поэтому операторы Н, N и Q имеют
общую систему собственных векторов. Кроме того, имеем
tAN = [fi,ft]=0 и itiQ = [Q, H] = 0,
отсюда следует, что число частиц и заряд поля являются ин-
интегралами движения.
Для того чтобы найти собственные значения операторов
Н, Л и Q, разложим операторы поля -ф+ и яр в ряды Фурье
62
по решениям уравнения Дирака для свободного электрона.
Полная система этих решений, ортонормированных в кубе
объема V, выражается в виде
,, . . {r\—r.t у—I/2p/kr (А 9П
и 1, к 6 \l I —¦ ь i iks v 'с , V'
где к = -| — волновой вектор плоской волны, Cj,ks'—ам-
Cj,ks'—амплитуда волны; числа j и s пробегают значения от 1 до 4.
Индекс s характеризует собственные значения уравне-
уравнения Дирака. Решения, для которых s = 1,2, соответствуют
двум ориентациям спина при положительном значении энер-
энергии
Екъ = 4- (%гсг k2 + mici)l/'2 (s=l,2); D.22)
решения, для которых s = 3, 4, соответствуют отрицатель-
отрицательному значению энергии
Eks = — (Й2с2к2 + т2с4)'/2 (s = 3,4). D.23)
Четыре компоненты D.21) образуют матрицу с одним
столбцом
"l.ks С)
,ks С) D 24)
,ks С)
,ks С)
где функции U/,ks ортонормированы согласно формуле
/
Разложения операторов tyj и if/" в ряды по функциям U/,ks
имеют вид
ФУ(г,о= 2Ak4(/)«,lks(r), ^(г,о
k,s k,s
D.26)
где Aks и Ай — зависящие от времени операторы ампли-
амплитуд. Подставлля выражения D.26) для операторовг|зи г(з+
в оператор На, получаем
На= lim 2 А^Дк-с [f/ц (г, r')uks(r) [ihcay — тсЩ х
а-а (kk''ss-)
Xuk-s-(r')dVdV. D.27
63
Учитывая, что функции и,,ks удовлетворяют уравнению
Дирака
2 [Шсапу — mc^ji)uLk's' (r) = ?k-s и}Л-в- (г), D.28)
из формулы D.27) найдем выражение для квазиэнергии
поля1
2 (^.А^АЛ) Eki Fk"' , D.29)
k,s
где
t* JJ /а (г, г') Ик>) uks (г')
Аналогично находим выражение для электрического ква-
квазизаряда поля
Q««e2AF«,AiUke4'a)F?). D.30)
k,s
Полученные выше результаты не зависят от условий, на-
наложенных на операторы г? и г[з+. Если на Ир и г}з+ нало-
наложить условия
то, как известно, для Aks и А^5 согласно формулам D.26) бу-
будем иметь соотношение
[Aks, Ail"'S'] = 6kk'6SS'.
При этом собственными значениями оператора А? Akf яв-
являются целые положительные числа и нуль. Так как Екз
и ?к4 — отрицательные величины, то оператор энергии
поля На в данном случае может иметь отрицательные соб-
собственные значения сколь угодно большой абсолютной вели-
величины2. В рассматриваемом случае при наличии взаимодейст-
взаимодействия с электромагнитным полем электроны должны все вре-
время излучать фотоны, переходя при этом в состояния все
более низкой энергии.
1 В формуле D.29) мы пренебрегли недиагональными матри-
матричными элементами, так как при а, ско^ь угодно близком к а0, их
можно сделать сколь угодно малыми.
2 При а -»• а0 энергия в данном случае може) иметь отрица-
отрицательные значения.
64
Для устранения этой трудности можно предположить,
что на операторы -ф и ij;+ наложены условия
Подставляя в соотношения D.31) выражения D.26) для
операторов гр, и ijO", получим для операторов A?s и Aks соот-
соотношения вида
[Aks,Ak',.]+= [Ak+S) Akb'i']+ = 0, D32)
При выполнении этих равенств собственные значения
оператора А?, Aks равны нулю или единице; отсюда вы-
вытекает, что собственные значения операторов На, Qa со-
соответственно равны
льС Qa^eStibFLV, D.33)
k,s k,s
где число nks может принимать значение, равное нулю или
единице.
Чтобы избавиться от трудностей, связанных с отрица-
отрицательными энергиями, Дирак предположил, что в нормаль-
нормальном состоянии, т. е. в вакууме, все положительные энерге-
энергетические электронные уровни свободны, а все отрицатель-
отрицательные энергетические уровни заняты
(для всех к). Такое состояние электронно-позитронного по-
поля является равновесным, так как в силу принципа Паули
переходы в состояние с отрицательной энергией осуществ-
осуществляться не могут.
Дирак предположил также, что электроны, находящие-
находящиеся на отрицательных энергетических уровнях, ненаблю-
даемы; наблюдаемыми являются отклонения от состояния
вакуума. Поэтому в формулах D.33) из Еа и Qa надо вы-
вычесть соответствующие вакуумные значения этих величин:
65
:2 2?ksfb»' Qvac~2 2
к s=3 к s=3
Производя эту вычитательную процедуру, получим
следующие выражения для полной наблюдаемой квазиэнер-
квазиэнергии и полного наблюдаемого квазизаряда:
l s=3
Q{oll~Qa-Qla)=e%FkV (j; nks- 2
k \s=I s=3
где nk< = 1 — nks; при этом n'ks = 0, если состояние
ks (где s = 3,4) занято, и «ks = 1, если оно незанято («дыр-
(«дырка» в вакууме).
Переходя в последних формулах к пределу а -*¦ а0,
получим выражения для полной наблюдаемой энергии и
полного наблюдаемого заряда1:
fobs = 2 Г S Пк> Eks + 2 Пк* 1?ks
к Ь=1 «=3 J
2[ Лк*— 2 "к»! • D-35)
к Ls-I s = 3 J
Из выражений D.34) и D.35) следует, что электрон, на-
находящийся на положительном энергетическом уровне, ве-
ведет себя как частица с отрицательным зарядом, тогда как
отсутствие электрона на отрицательном энергетическом
уровне проявляется как наличие электрона с положитель-
положительным зарядом в состоянии с положительной энергией. Итак,
дырка в вакууме может быть интерпретирована как поло-
положительно заряженный электрон, т. е. как позитрон. Из
выражения D.34) следует, что масса покоя позитрона равна
массе покоя отрицательно заряженного электрона. В тео-
теории Дирака, предсказавшей существование позитронов
еще до открытия их в космических лучах, показано [10],
что позитрон может рождаться в паре с отрицательно за-
заряженным электроном в результате поглощения микросис-
микросистемой кванта света, энергия которого должна превышать
2тс2 « 1 Мэв. Формула D.34) показывает, что теперь
наблюдаемая энергия положительна и равна сумме энергий
всех электронов и позитронов.
1 Формулы D.34) и D.35) — точные равенства, так как недиаго-
недиагональные элементы, пренебрежение которыми делало равенства D.33)
приближенными, при а ==• а0 равны нулю.
66
Итак, электроны, являющиеся фермионами и обладаю-
обладающие спином 1/2, должны подчиняться принципу Паули. Этот
вывод является частным случаем общей теоремы Паули,
согласно которой частицы с нулевым и целым спином под-
подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна, а частицы с полу-
полуцелым спином — статистике Ферми—Дирака, основанной
на принципе Паули.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим сред-
среднее значение оператора электрического тока в состоянии
вакуума Данный оператор согласно D.11) имеет вид
Обозначим через Ф% вектор вакуумного состояния, а че-
через <Зщ>0 среднее значение оператора JM в состоянии ва-
вакуума, т. е.
(r, г') X
X (Фу, $ (г) -jv ф (г') Фу) dV dV. D.36)
Подставляя в эту формулу выражения D.26) для г?+ и \}з,
можно показать, что выражение (Зп(х)H бесконечно вели-
велико. Гейзенберг знал об этой трудности еще в 1934 г. Как уже
показано, бесконечная средняя плотность электрического
тока в состоянии вакуума вызвана электронами, заполняю-
заполняющими все состояния с отрицательной энергией. Так как за-
заряд и ток в состоянии вакуума ненаблюдаемы, то необхо-
необходимо соответствующим образом изменить оператор плот-
ности электрического тока, чтобы среднее значение по ва-
вакууму от такого модифицированного оператора равнялось
нулю.
Модифицированный оператор плотности электрического
тока можно определить так
где
jf г')]д(г, r')dVdV, D.37)
a-» a»
и можно показать, что
(ФУ, ^(*)Фу) = 0. D.38)
Преобразуем выражение для оператора J^*). Для этого
введем понятие об упорядоченном или нормальном произ-
произведении. Произведение операторов, в котором операторы ис-
испускания частиц стоят слева от операторов поглощения,
назовем нормальным. Пусть А, В, С, .... X — операторы
поглощения и испускания. Если А-В-С...Х — данное опе-
операторное произведение, то соответствующим нормальным
произведением является оператор 8рА'-В'...Х', где А', В',
С' X' — та же совокупность операторов, что и А, В, ...,
X, но расположенная таким образом, что операторы
испускания стоят слева от операторов поглощения, а мно-
множитель бр равен +1 или —1 в зависимости от того, являет-
является ли перестановка электронно-позитрониых операторов
четной или нечетной. Отдельные операторы испускания (или
поглощения) друг относительно друга могут быть располо-
расположены как угодно. Нормальное произведение обозначается
символом1 N:
N(AbC...X) = 6pA'b'... Х". D.39)
Если т|) = и+а+, где и — оператор поглощения, a v+—
оператор испускания частиц, то
IQ (А... ЩС ... X) = N (А ... ВиС... X) +
+ N(A...Bo+C...X).
Покажем, что оператор j,j можно представить так
), D.40)
где для простоты опущены аргументы г и г'. Действи-
Действительно, пусть
ty = u + v+, ty = u+ + v, D.41)
где и, и+ — операторы поглощения и испускания электро-
электронов; Ь, Ь+—операторы поглощения и испускания пози-
1 До сих пор символом Л обозначался оператор числа частиц.
Начиная с этой страницы, символ N будет использоваться только
для обозначения нормального произведения операторов.
68
тронов. Согласно D.41) имеем
~11цй? — Щ Va— Vjtllt — Vjtva] =
= Y (vjall ! ["а" «В — vtva] + [utof — Ч
Используя антиперестановочные соотношения для a^s и
cikS, получим равенства
или
iltvf = —V~$ut, VaU$=— Uji Va,
... ... . ,+ ^ л+ D.42)
Учитывая это, находим
Используя теперь оператор нормального произведения N,
перепишем формулу D.43) в виде
}[у = ес{у^)а& N [ut t i^]
или, учитывая, что Nvavf= — vfva,
]'11 = есП(ц>у11Ц>). D.44)
Формула D.44) совпадает с соотношением D.40'.
Замечание. В § 1—4 показано, что энергия вакуума для любого
поля равна бесконечности. Этот недостаток теории легко ликвиди-
ликвидировать путем упорядочения (т. е. нормализации) рассмотренных опе-
операторов энергии поля. Так, например, в квантовой мезодинамике
вместо оператора B.61* следует взять оператор
На = уП /а(г, г')
+c*VL2<p(r)ip(r')}dVdV.
69
§ 5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
При отсутствии электрических зарядов и токов электро-
электромагнитное поле описывается системой уравнений
Q2A, = 0 ([1=1,2,3,4), E.1)
где Лц — компоненты четырехмерного вектора-потенциала,
удовлетворяющие условию Лоренца
^ = 0 E.2)
дх
(трехмерный вектор-потенциал А = (ЛA), ЛB), Л(з>), а
Л,4> = «ф, где Ф — скалярный потенциал).
Электромагнитное поле проявляется в результате дейст-
действия на электрические заряды. Это действие характеризует-
характеризуется напряженностями электрического Е и магнитного Н по-
полей, которые выражаются формулами
H = rotA, E= -.— +уф. E.3)
с dt
Компоненты потенциала не определяются однозначно, так
как градиентное преобразование
А^А' = А-уХ, <p-+cp'=<p + -L^ E.4)
не изменяет Е и Н. Но так как на Av наложено условие Ло-
Лоренца, то скалярная функция X должна удовлетворять усло-
условию
?2Х=0.
Таким образом, электромагнитное поле является вектор-
векторным полем, динамика которого описывается четырьмя функ-
функциями Лу пространственных координат и времени. Уравне-
Уравнения движения поля E.1) можно рассматривать как уравне-
уравнения Эйлера для действия с плотностью лагранжиана
70
Согласно E.5) импульсы, канонически сопряженные с Лд,
равны
д(? 1 дАи
л„= — = 1 . E.6)
(дА ц\ 4я*а*
Используя эту формулу,* находим плотность гамильто-
гамильтониана
где по /г ведется суммирование от 1 до 3.
В квантовой теории функции Лц и лц заменяем опе-
операторами Лд и Яц, на которые накладываем перестановоч-
перестановочные соотношения:
[А, (г, о. Mr', 0]=-
= ;ft6MV63(r—г'), E.8)
[Ад (г, t), Av(r', О] = |яд(г, t), nv (г', 0]=0
(фотоны —кванты электромагнитного поля, они не подчиня-
подчиняются принципу Паули).
Согласно выражению E.7) оператор энергии электро-
электромагнитного поля имеет вид
H=limHa = lim — [[dVdV'fa(r, r') X
a->a0 a -> a0 8л J J
М Ml M М * I /г n\
—:; ; 1 :; т~-— • w-y)
dxw дхD) dxh dxk J
Операторы поля Ац в формуле E.9) можно разложить в
ряды Фурье по решениям волнового уравнения E.1), ко-
которые имеют вид
A i 1 — I/—1 /2 1/ ^л^с й<^ pi (kr—соО (К 1 Г)!
Чц, кл — » I/ скл с j ^<j.iv/
где е\а — вектор поляризации; к — волновой вектор.
Введем четырехмерные векторы 6 = /^= (k, i ц>/с) =
= (к, ikw) и х = хц = (г, id), тогда можно написать
kx = &ц #ц = кг—at. E.11)
Учитывая E.11), перепишем формулу E.10) в виде
&V**. E.12)
Подставляя Лц из E.12) в формулу E.1), находим дис-
дисперсионное соотношение
k* = 0, E.13)
из которого следует, что | к | = — .
о
Функция E.10) или E.12) описывает плоскую волну
частоты ю = с|к|, распространяющуюся в направлении
волнового вектора к и линейно поляризованную в направ-
направлении вектора поляризации е^. При заданном к индекс
Я. (как и индекс (л) может пробегать целые значения от 1
до 4.
Выберем векторы ей' в качестве ортов системы ко-
координат, т. е. положим
е{кк = бця,- E.14)
Тогда если направить ось xs вдоль к, а оси xL и х2 пер-
перпендикулярно к вектору к и друг к другу, то число % = 3
будет соответствовать продольной поляризации, а числа
Я. = 1, 2 — поперечной, в то время как число К = 4
относится к скалярной («временной») поляризации. Отсюда
находим соотношения поперечности и продольности:
0 , если к = 1,2
|к|, если^ = 3,
— , если л = 4,
с
и условия ортогональности
бкЯ ?кА.' =O\a.', ?|a ?kA. = ^nVi E.16)
ИЛИ
(б в \==^ 6 (е^^ e^"j = 6 /^1 fi'^
72
Полагая, что основные функции /„ (г, г') отличны от ну-
нуля только тогда, когда как точки г, так и точки г' находят-
находятся внутри куба объема V = L3 (где L — ребро куба), раз-
разложим операторы Ац в ряды Фурье по функциям E.12):
2( ц. кА. Al. кя). E.17)
кД
где акъ Skx—-операторные амплитуды. Суммирование по
к является суммированием по состояниям поляризации.
Подставляя выражение E.12) для Лц> кя. в формулу E.17),
получаем
2/f^^ + W-n E-18)
Подставляя это в равенство E.8), находим перестановоч-
перестановочные соотношения для аы-
[йкА> ЯкХ] =бккбях»
Г А 1 Г ~ 1 л ( Л ^
[ami. ak'x-J -- [ak»., ak'A,'J =0.
Так как в классической теории функции Аг(х) A=1, 2, 3)—
действительные, а Al(x) = iA0(x)—мнимая функция, то
отсюда следует, что в квантовой теории операторы
А, (/ = 0, 1, 2, 3) должны быть эрмитовыми. Поэтому из
выражения E.18) следует, что
aki = at, A=1, 2, 3), ак4 = iai0, ak4 = гак0,
где aki и ail/ (/ = 0, 1, 2, 3)—эрмитово-сопряженные опе-
операторы.
При этом первое перестановочное соотношение E.19)
получает вид
[ак„ й]=1 (/ = 0, 1, 2, 3). E.19')
Отсюда следует, что собственные значения операторов
числа частиц Nk/ = ait/flk/ (/ = 0, 1, 2, 3) равны Nk, =
=0,1, 2, ...(см. § 1 настоящей главы) и операторы а к( и ati
при 1 = 0, 1, 2, 3 являются соответственно операторами
поглощения и рождения поперечных, продольных и ска-
скалярных фотонов.
73
Таким образом, можно написать
аЙФп(..., nkl, ...)=l/«k/ + 1Ф„+1 '•¦-. пк1 + 1, ...),
, E.20)
ак,Фп(..., «к/, ...)=у пк/Ф„_,(..., пк/— 1,...),
(/ = 0, 1, 2 3)
где
Ф„(Яа, .... Ла-, ...) = (/!„! ••• «а'!...)-'/2 X
а Фу — вектор, удовлетворяющий условию
при / = 0, 1, 2, 3 и для всех к.
Как уже отмечалось, потенциал Лц в классической тео-
теории определяется неоднозначно, поэтому на него наклады-
накладывается условие Лоренца E.2), которое в квантовой электро-
электродинамике можно переписать символически так
Е-*«0. E.21)
Оно, однако, является противоречивым1. Действительно,
подставляя в условие E.21) разложение E.18) и используя
формулу E.15), получаем
^M *)
@)
[ ton) eikx -(ak3 + tak4) e~'**] =0, E.21')
k
откуда следует, что
flk3 + iflk4=0, ak3-f/ak4 = 0. E.22)
Согласно первой формуле E.22) dk3 = —шк4) что невоз-
невозможно, так как операторы акз и а^4 в квантовой теории яв-
1 Кроме того, условие Лоренца несовместимо с перестановоч-
перестановочными соотношениями
[Ац(х), Av (х')\ — 4nific2D0 (х — x')
В самом деле, из последнего равенства имеем
±У К (х), ]
Согласно условию E.21) левая часть этого равенства равна нулю, в
то время как правая часть его нулю не равна.
74
ляются независимыми Поэтому потребуем, чтобы в кван-
товои электродинамике обратился в нуль не оператор -д--,
ох\х
а среднее значение этого оператора в произвольном состоя-
состоянии Ф, т е. чтобы выполнялось для любого вектора состояния
Ф условие, символически записанное в виде
Последнее условие можно переписать так:
2
к
-(Ф, [акз + гак4]Ф)е-ш}=0. E.23)
Если потребовать, чтобы
(акз + /ак4) Ф - (ак3- ato) Ф = 0, E.24)
то отсюда вытекает, что
ь 0. E.25)
Условие E.24) согласно E.25) является достаточным для
выполнения условия E.23).
Из выражений E.24) и E.25) находим
(Ф, [(а&
или
(Ф, [atz акъ—ак0 ato] Ф) =
= (^3^3) — (akoaAt> = 0. E.26)
С другой стороны, можно потребовать, чтобы
(ак3 + йк4) Ф = (а&—аы) Ф = 0, E.27)
откуда следует
®*(akz—ato) = O. E.28)
Отсюда видно, что условие E.27) является достаточным
для выполнения условия E.23).
75
Из последних Соотношений получаем
(Ф, [Сакъ—а?о)Са?г+ак0) +
+ (акз+ ato) (аЙ — ак0)] Ф) =0
или
( [Й 1])О. E.29)
Используя перестановочные соотношения E.19'), перепи-
перепишем формулы E.26) и E.29) в окончательном виде
+ 1, E.26')
-l. E.29')
Будем считать, что в природе реализуются только такие со-
состояния электромагнитного поля, для которых векторы Ф
удовлетворяют условию E.24), а не условию E.27). Дейст-
Действительно, при этом предположении согласно формуле E.26)
можно, как это будет видно ниже, сделать так, чтобы энер-
энергия так называемого вакуумного состояния равнялась ну-
нулю. Выясним физический смысл соотношений E.26') и E.29'),
которые можно переписать так
<як8>—<лк0>= + 1, E.26")
— <Яко>=-1. E.29")
Отсюда видно, что согласно формуле E.23) в природе не
могут реализоваться такие состояния, в которых одновре-
одновременно равны нулю числа продольных и скалярных фотонов
с одним и тем же волновым числом к. Согласно соотноше-
соотношениям E.26") и E.29") в природе реализуются только такие
состояния, для которых абсолютное значение разности чис-
числа скалярных и числа продольных фотонов с одним и тем
же волновым числом к равно единице.
Преобразуем теперь оператор энергии E.9). Подставляя
в оператор E.9) выражение E.18) для Ац, получаем
Н — —- 7, Юк (йкЯ.йкЛ+ ЯкЛОкя)> E.30)
2 -в
к, а
аналогично для оператора импульса поля находим
к, %
78
Используя соотношения E.19) и E.26), из выражения
E.30) най;:ем следующие собственные значения оператора
энергии:
к Л=1 к к=3
4
где 22 — ©к —энергия электромагнитного вакуума.
к 1=1
Если вместо соотношения E.26) взять соотношение
E.29), то вместо E.32) получим такие собственные зна-
значения оператора энергии:
E.32')
к А,= 1
Аналогично находим собственные значения оператора
импульса поля E.31)
2
()> E>33)
к Л=1
В формулах E.32) и E.33) сумма пьх + пк2 выражает число
поперечных фотонов с импульсом Йк и энергией Йо)к- Энер-
Энергия и импульс поля определяются только поперечными фо-
фотонами (к = 1, 2), числа продольных и скалярных фотонов
Пкя, Пк4 не входят в выражения для энергии и импульса
поля. Согласно E.32) энергия поля получает минимальное
значение, когда все числа Лк?Д =1,2) обращаются в нуль,
т. е. когда поперечные фотоны отсутствуют.
Состояние поля, характеризуемое равенством нулю всех
чисел пк1 (к = 1,2), назовем поперечным электромагнит-
электромагнитным вакуумом. Следовательно, если Фу — вектор состоя-
состояния поперечного электромагнитного вакуума, то для всех
к должны выполняться условия:
йкьФу = 0 (к = 1, 2).
В гл. VI будет показано, что электромагнитный ваккум,
взаимодействуя с электронами, обусловливает ряд наблю-
наблюдаемых явлений.
Как видно из предыдущего рассмотрения, энергия элект-
электромагнитного вакуума, равная минимальной величине, в то
77
же время равна бесконечности; чтобы избежать этой труд-
трудности, можно с самого начала переформулировать теорию,
введя вместо оператора энергии E.9) оператор энергии
электромагнитного поля:
rt = lim rta = lim — ffaVaV'Mr, г') х
a-a,, a~ae 8л J J
где N — оператор нормального произведения.
Вычисления, аналогичные тем, которые были про-
проделаны для нахождения собственных значений оператора
E.9), дают следующие собственные значения оператора
E.34):
2
? = 2 2 К«>кПк1. E.35)
к \=1
Отсюда видно, что при такой переформулировке оператора
энергии электромагнитного поля энергия вакуума стано-
становится равной нулю в полном соответствии с физическими
представлениями о вакууме. Аналогичную переформули-
переформулировку оператора энергии можно сделать и в случае других
полей, что обеспечит равенство нулю энергии соответствую-
соответствующих вакуумов.
С помощью дополнительного условия E.23) исключа-
исключались из рассмотрения продольные и скалярные фотоны. По-
Подобная процедура не является, строго говоря, релятивистс-
релятивистски инвариантной, так как в другой движущейся системе
координат снова появляются продольная и скалярная ком-
компоненты электромагнитного поля.
Гупте [11] и Блейлеру [12] удалось так сформулировать
квантовую электродинамику, чтобы теория была симметрич-
симметричной относительно всех четырех компонент потенциала и пол-
полностью релятивистски инвариантной. Для этой цели Гупта
вместо операторов ait (I = 0, 1, 2, 3) ввел операторы о^, (/ =
= 0, 1, 2, 3) при помощи формул
ako = —a?o= «Як4, ак/ = а^=ак/ (/ = 1,2,3), E.36)
«кО = —Шк4> «к/ = Як/-
78
Действительно, согласно формулам E.36) перестановочные
соотношения E.19) получают вид
[ак„ ак,] = 1 (/ = 0, 1, 2, 3), E.37)
откуда видно, что аь; (/ = 0, 1, 2, 3) являются операто-
операторами рождения, а а^/ (/ = 0, 1, 2, 3) — операторами унич-
уничтожения фотонов.
Вектор вакуумного состояния Wv теперь должен удов-
удовлетворять условиям
ak,4'v = 0 при | = 0, 1, 2, 3 и всех к. E.38)
Оператор энергии электромагнитного поля, если отбросить
энергию вакуума, согласно выражениям E.36) получает
вид
H = ^2«k(aki аи +ak2ak2 + ak3ak3— а*оако)' E-39)
к
В формулы E.37) и E.39) все четыре компоненты элек-
электромагнитного поля входят на одинаковых основаниях.
Формулы E.36) можно представить в виде
ак/ = Л"'а^т| 0=0,1,2,3). E.40)
Для того чтобы выражения E.36) и E.40) совпадали, не-
необходимо, чтобы оператор т| обладал свойствами:
ato Л = — т)ако- и? Ч = Witt 0'=1> 2, 3). E.41)
Операторы ак/ будем называть операторами, сопряженными
по Гупту относительно операторов ак/, В общем случае для
произвольного оператора L можно построить сопряженный
по Гупту относительно него оператор при помощи следую-
следующей формулы:
L = r)"]L+i E.42)
где L+ — оператор, эрмитово-сопряженный оператору L.
Если выполняется условие
L = L, E.43)
то такой оператор L будем называть самосопряженным по
Гупту.
Обычно среднее значение оператора L определяется фор-
формулой
(L) = OF, L4') = j Y* L Y dg.. E.44)
79
где W* — вектор состояния, комплексно-сопряженный W,
dq — произведение дифференциалов динамических пере-
переменных, от которых зависит W; при этом считают, что Т яв-
является нормированным вектором состояния:
*4dq=l. E.45)
Теперь можно иначе определить среднее значение оператора;
для этого определим скалярное произведение по Гупту
(У, фH = (Т, ^)== J У*цФ dq E.46)
и потребуем, чтобы среднее значение самосопряженного по
Гупту оператора выражалось следующим образом;
<L>0 = (VF, LW)o s (Y, i\LV) = f V*4LWdq. E.47)
Покажем, что для вещественности среднего значения само-
самосопряженного по Гупту оператора необходимо, чтобы опе-
оператор т) был самосопряженным. Действительно, из формулы
E.47) имеем
<L>S = j?*L+ri+1Fd</= jY^L^f1^^ E.48)
Если т)=т|+ и L = L, то из формулы E.48) следует, что
<L>o =<L>o, и значит среднее значение самосопряжен-
самосопряженного по Гупту оператора будет действительным, если
^ — самосопряженный оператор.
Рассмотрим теперь скалярное произведение
(V, ЧH = (Ч, ЦУ), E.49)
где вектор состояния Ч можно представить в виде
, E.50)
к, Я
где Wv—вектор вакуумного состояния. Если на ri нало-
наложить дополнительное условие
ггЛ^,, E.51)
то формула E.49) получает вид
(V, Т)о = ±1, E.52)
где знак плюс будет в том случае, когда для перестановки
оператора г\ к вектору состояния 4;v требуется четное число
перестановок с операторами ако и а^0 (в противном случае
будет знак минус). Из формулы E.52) видно, что скаляр-
скалярное произведение по Гупту E.46) вводит в гильбертово про-
пространство, натянутое на базисные векторы Ч1" = П aka^v.
к,К
так называемую индефинитную метрику.
Условие Лоренца в пространстве с индефинитной метри-
метрикой записывается символически в следующем виде:
откуда следует соотношение
-Eкз-ак0) <Г'**] Ф) = 0. E.54)
Здесь, так же как и раньше, имеются две возможности. Рас-
Рассмотрим только одну из них. Положим, что
(акз — ак0)Ф = 0. E.55)
Условие, сопряженное по Гупту относительно условия
E.55), запишется в виде
Ф*(акз + ак0) = 0, E.56)
отсюда находим
(Ф, г) [(ак3 + ак0)(ак3 — ak0) +
+ (акз + ak0) (ak3— ak0)] Ф) = 0,
или
(Ф, r| [ak3 ak3— ak0 ak0] Ф) =
= <ak3ak3>G— <akoako>G = O. E.57)
Принимая во внимание это равенство, из выражения E.39)
получим следующие собственные значения оператора энер-
энергии:
? = 2 2&»кЛ1л. E.58)
к Я=1
4 Зак. 1361 81
Таким образом, и в случае определения среднего значения
по Гупту (путем введения в гильбертово пространство ин-
индефинитной метрики) полная энергия продольных и скаляр-
скалярных фотонов в допустимых состояниях, как это видно из
формулы E.57), равна нулю. Аналогичный вывод полу-
получаем и для полного импульса электромагнитного поля.
Итак, в случае свободного поля состояния с продоль-
продольными и временными (скалярными) фотонами не вносят вкла-
вклада в физически наблюдаемые величины.
§ 6. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ
Найдем перестановочные соотношения для операторов
поля, взятых в различные моменты времени, и убедимся в их
релятивистской инвариантности.
1. Теория скалярного мезонного поля. Для оператора
поля имеем (см. § 2):
Ф (г, 0 = ^2 \
к У
f
. F.1)
Используя формулу F.1) и учитывая, что [ck,
= [с?, с it] =0, находим
[ф(г.О, Ф(г'.<0Ь-т-2!
F.2)
Принимая во внимание, что [сь, ct'] = бкк', после сум-
суммирования по к' преобразуем выражение F.2) к виду
F-3)
В предельном случае а->а0 переходим от нормирующего
объема V = L3 к бесконечной области. При этом надо пе-
перейти от дискретных k-значений к k-континууму соглас-
согласно формуле
L-3 2 / (к) -> Bя)-» f / (к) <lk F.4)
к
82
(dk = dkO)dkl2)dka,)). В результате из соотношения F.3)
получим
[<p(r, t), cp(r\ t')\ =ihD0(r — r', t — t'), F.5)
где
D0(r—r', t —1') = — -—— g'k(r~r ' sincD( ~ dk F.6)
— перестановочная О0-функция.
Если / = /', то из F.5) в пределе находим:
[ф(г, /), ф(г', <)] =ШH(г-г'; 0) = 0, F.7)
[я(г, 0, я(г'.<)] = [ф(г.<). ф(г',О] =
r0' F-8)
[Л(г,О. Ф(г',О] =
- D0(r —г'; ^—ГI = — ШЬ3(г—г'), F.9)
где
fi3(m =_J— Г e'kR dk F.10)
Таким образом, перестановочные соотношения F.5) при
t -* t' переходят в известные соотношения B.5).
2. Теория электромагнитного поля. Операторы элек-
электромагнитного поля выражаются в виде (см. § 5):
X
I ^ I/ (Л
к
X [акке1{"~Ш) + акке-цкг-ш>\ еЦ?. F.11)
Используя формулу F.11), находим
[Av(r,Q, Av 0", 01-У22
X
Л*
Учитывая соотношения E.16) и E.19), преобразуем F.12)
к виду
[Av(r,0. Av-(r',r)] = ~^y—х
V к Шк
x(e'*(M')-e-'*(*-*')j6vv.. F.13)
Переходя в формуле F.13) от суммирования по к к ин-
интегрированию в k-пространстве, согласно F.4) получим
[Av(r,0. AV (г', О]=4шЙс2Do(*-*')Sw, F.14)
где D0(x) определяется формулой F.6). Дифференцируя
соотношение F.14) по V и затем полагая t' — t, преобра-
преобразуем его к виду
[Ай (г, t), nv (r'( /)] = №б» (г - г') вд„, F.15)
т. е. получаем обычные перестановочные соотношения
E.8) для операторов поля, взятых в один и тот же мо
мент времени.
3. Теория электронно-позитронного поля. Определим
зависимость операторов A^s и Aks от времени. По обще-
общему правилу можно написать
ihkks = [AkS) н], mkt. = [At, rt];
подставляя сюда выражение D.29) для Н и используя
перестановочные соотношения D.32), получаем
Л .Л
ihAu s = ?к s Aks, ihA?s = — Як s АИ.
Интегрируя последние уравнения, находим
Aks (f) =
Учитывая
эти
2
k,s
i
.@)e * ,
выражения,
Abi(o«/>ki(r
Ай(О =
напишем
k,s
,@)e . F.16)
-i-
/.k.(r)e • F.17)
k,s
84
Используя перестановочные соотношения D.32) и форму-
формулы F.17), находим соотношения антикоммутации для
операторов \р, взятых в различные моменты времени:
[гЬ(г, 0. $/(г\ /')] + = [^(г, 0. $t(r',t')]+ = O; F.18)
[i(r, о. *^(r'. o]+ =
== 2 [Aks, AjJvJ + Hj, kS(r)«*,k'S'(r') X
k.k'.s.s'
¦^ k.s
°] FЛ9)
Хехр
^ k.s
Преобразуем экспоненту в правой части F.19):
ехр( _; ftii) =Cos ^11 -isin ^^ = cos-^^ -
K \ ft / ft A A
iEks sin( | J5ks | т/А) _ / д iEks \ sin( | ?k s i т/Я) /g 20)
ft IfiksIM ~[dt ft J |?ks|/ft '
где т = /—/'. Заметим, что величина
« I Eks I -i/~5 i 9" mC
^o)==i^-L = yk2 + X2, где Х = —»
не зависит от s. Принимая во внимание формулу F.20)
и уравнение Дирака
c2[$)ir}ui>iks(r) = EksUj,ks(r), F.21)
перепишем соотношения F.19) в виде
2 (/;- ^ с(а)/г у —t'cx(^);T )x
,s Г [ Л )
F.22)
Решение уравнения F.21) можно представить так
[см. D.21 ]:
85
где согласно формуле D.25) для c;,ks имеем условия пол-
полноты
s = 6Jl. F.23)
Согласно формулам D.21) и F.23) из формулы F.22) по-
получаем
[%(r, t), ff(r', t')]+ = —
v V / -3 ^k(r-r') sineT/k2 + x2 _
— i_ л. /> f «1 л Г7 y>v I r\ j Id ^r r' / /'^ (ft oa\
С I ОТ J
где
Om (r, 0 = - У L~3 e'kr Sind^k2+X2 . F-25)
Умножая соотношение F.24) на i($)tt' и суммируя по /,
находим
^[|] Dm(r-r', t-f)
или
^~X) Dm(r-rV-O- F-26)
Переходя от нормирующего объема V к бесконечной об-
области, совершим переход от дискретных k-значений к
k-континууму согласно формуле F.9). В результате по-
получим
\^+^dk. F.27)
86
4. Свойства пт-функции.
Первое. Функцию Dm(r,t) можно преобразовать к
виду
wJf5n F-28)
где
п
Чтобы проверить формулу F.28), учтем, что
б (
Итак, функция 6(fe2 + x2) является антисимметричной
относительно }^k2 + X2- Построим симметричную функцию
(относительно
Используя множитель
о/, у fe@) f 1, если ?<0)>0,
\^@)/ — ¦-" = I
l«@)| l —1, если &@)<0,
запишем последнюю сумму следующим образом:
^^1— X
X [б (*«,,-
X [б (А{0) - /РТх) -б (А<о) +
Эта формула и может быть использована для проверки
F.28).
Покажем теперь, что функция Dm(r, t) — лоренц-инва-
риантная. Трехмерный вектор к совместно с ?<о) = —
С
87
образует четырехмерный вектор, поэтому фаза волны
kr — k{0)Ct является релятивистским инвариантом. Четы-
Четырехмерный элемент объема dkdk{0) также релятивистски
инвариантен, 6-функция б(&2+%2) — релятивистски инва-
инвариантна, так как она зависит только от релятивистского
инварианта k2. Наличие в формуле F.28) б-функции
S(&a-f-%2) говорит о том, что интегрирование проводится
по поверхности k2-\-%2=0, а поэтому знак частоты в дан-
данном случае релятивистски инвариантен. Отсюда следует
релятивистская инвариантность функции в(/г(о>)= |fe@>, ¦
Все это говорит о том, что От-функция и полученные
перестановочные соотношения F.5), F.14) и F.26) явля-
являются лоренц-инвариантными.
Второе. Имеет место соотношение
= 63(r —г'). F.29)
BлK
Третье. Из F.27) видно, что Dm(r — г', t — t') —
четная функция пространственных координат и нечетная
функция времени, т. е.
Dm(r, t) = Dm(-r, t) = -Dm(r, -t) =
= -Dm(-r, -t). F.30)
Четвертое. Так как интеграл в формуле F.27) пред-
представляет суперпозицию волн типа exp {/(kr ± со/)), кото-
которые являются решениями уравнения Клейна — Гордона, то
и Dm(r, t) также является решением этого уравнения, т. е.
(D2-H2)Dm(r, 0 = 0. F.31)
Пятое. Так как Dm(r — г', 0) = 0, то из инвариант-
инвариантности Dm(r, t) следует, что Dm равно нулю во всей области,
внешней по отношению к световому конусу г8 — с2/2 = 0,
так как каждая мировая точка, принадлежащая к этой об-
области, при помощи преобразования Лоренца может быть
сведена к точке с t = 0, т. е.
Dm(r, 0 = 0 при с|/|<|г|.
88
Шестое. Выполняя интегрирование в выражении
для От-функции, получаем
Dm(r, t)=-
/ (у У с2 t2 — г2)
к/"г —для времени-подобной об-
у с212 г2
у
ласти
О —для пространственно-подоб-
пространственно-подобной области,
F.32)
где е(/) = —, а #<¦>, /,—функции Ханкеля и Бесселя
соответственно. Вблизи светового конуса (г2—с2?2жО)
выражение F.32) принимает вид
Dm (г, 0 ~ — е (t) о (г2 с2 ?а) -f-
(Y2
— е(/) — для времени-подобной области
8я
0 —для пространственно-подобной области.
Согласно F.33) функция Dm(r, t) имеет
на световом конусе б-образную особен-
,,2
ность и скачок на — е (/) при переходе
8п
от пространственной области к временной.
В случае электромагнитного поля (%=0)
формула F.32) примет вид
F.33)
F.34)
Таким образом, в случае электромагнит-
электромагнитного поля на световом конусе (рис. 2) су- Рис- 2
ществует б-образная особенность, но ска-
скачок на нем отсутствует, т. е. функция Do тождественно
равна нулю как в пространственно-подобной, так и во
времени-подобной области.
Представление F.34) можно получить, если выполнить
89
интегрирование по углу между векторами к и г в выражении
для D0(r, /):
D0(r, 0= —
о
= -e(*N(r2—сЧ2),
2я
Замечание. При выводе формулы F.28) использовалась формула
Ь(х — х') + Ь(х—х")
6 [(*-*') (*-*')]= |х._х.| F-35>
или
<\jf(x)b[(x-x)(x-x»)]dx= J
F.36)
где f (x)—основная функция
Действительно, правая часть в последнем выражении равна
r w j~~, ~. ax = ; ~. ¦ (o .37)
— oo
Пусть х0—точка, лежащая внутри (х', x"), и для определенности
х < х", тогда левая часть в формуле F.36) может быть записана
так:
х„
f(xN[(x — x')(x — x")]dx= { f(xN[(x— x')\x'— x"l]dx +
f(x)b[\x' -x"\(x~x")]dx. F.38)
Если хх < хп < х2> то, делая замену переменной у— х\с\, получим
, f()
5 (itt) 1тг—iVi'F-39)
| С I
после чего формула F.38) принимает вид
f(xN[(x-x')(x-x»)]dx= ПХ{^^) • F.40)
Из F.37) и F.40) следует справедливость формулы F.36).
90
5. Физическая интерпретация. Возникает вопрос: при
каких условиях некоторую физическую величину можно из-
измерить в различных точках пространства Минковского так,
чтобы акт первого измерения не влиял на акт второго изме-
измерения?
Дадим ответ на этот вопрос. Пусть L иМ — операторы,
соответствующие физическим величинам L и М. В общем
случае имеет место соотношение
[L, M]=iG, F.41)
где G — некоторый оператор. Как известно, из формулы
F.41) вытекает неравенство (см. стр. 14 и 92 в [13]):
AL-AM>|<G>|, F.42)
где <G>—среднее значение оператора G, а
Из неравенства F.42) следует, что если операторы L и М,
соответствующие некоторым физическим величинам, не ком-
коммутируют между собой, то не существует состояний систе-
системы с определенными значениями величин L и М. При этом
состояния системы характеризуются значениями L и М, за-
заключенными в интервалах AL и AM. Если же операторы L и М
коммутируют, то, как это следует из формулы F.42), си-
система может находиться в состоянии с определенными зна-
значениями величин L и М.
Используя полученный вывод, мы заключаем, что из пе-
перестановочных соотношений типа F.15) следует соотноше-
соотношение неопределенностей
A^(r, t) ¦ А^г (г', t')>Dm(r-r', t-t'). F.43)
Так как функция Dm обладает б-образной особенностью на
световом конусе | г — г'|2 = c2\t — f |2, а б-функцня имеет
непосредственный смысл только после интегрирования по
области, заключающей б-образную особенность, то, строго
говоря, необходимо брать значения поля не в дискретных
мировых точках, а усреднять их по пространственно-вре-
пространственно-временным областям п и п'. Обозначая операцию усреднения
91
символами Mq и Mq', преобразуем соотношение F.43) к ви-
ДУ
AfM^O-, t)}A\MQ,yr(r'.. OJ>
>hMaMa.Dm(r-r'. t-t'). F.44)
Если любая точка из области Q отделена от любой точки об-
области Q' пространственным интервалом
| г - г' | > с 11 - t'\,
то из формулы F.44) имеем
А {Мй^.(г, /)) .А\Ма. гр,. (г', Г)} ==0. F.45)
Таким образом, если операторы, изображающие изме-
измеряемую величину в разных точках, коммутируют друг с дру-
другом, то соответствующую величину можно измерить в разных
точках пространства Минковского так, чтобы одно измере-
измерение не влияло на другое. Это объясняется тем, что в данном
случае |r—r'| >c\t — t'\, а поэтому возмущение поля,
вызванное актом измерения в одной области и распростра-
распространяющееся даже со скоростью света, не может достигнуть
другой области. Если же области Q и Q' хотя бы частично
связаны световыми сигналами, то акт одного измерения мо-
может влиять на акт второго измерения.
Приведенные выше рассуждения справедливы в реля-
релятивистской теории. В нерелятивистской теории на скорость
передачи взаимодействия не налагаются ограничения, по-
поэтому в этом случае подобные выводы могут и не иметь силы.
(Не следует забывать, однако, что нерелятивистская теория
неточна! — Прим. ред.)
ГЛАВА III
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ПОЛЕЙ
(МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ)
§ 1. ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА
1. Классификация преобразований Лоренца. В § 2, 3
будут построены выражения для плотности лагранжианов
взаимодействия двух или более полей. Такие выражения
должны быть лоренц-инвариантными. При рассмотрении
системы полей, включающей одно или несколько спинор-
ных (дираковских) полей, в выражение для плотности лаг-
лагранжиана взаимодействия должны быть включены соот-
соответствующие спинорные функции в комбинации с матрица-
матрицами Дирака. При этом надо выбрать такие комбинации мат-
матриц Дирака, которые обеспечивают лоренц-инвариантность
плотности лагранжиана взаимодействия. Для того чтобы
уметь делать необходимый выбор комбинаций матриц Ди-
Дирака, необходимо знать их трансформационные свойства, к
изучению которых сейчас и переходим.
Рассмотрим выражения вида
где г|з и ty — спинорные функции, 6— оператор, представ-
представляющий собой произведение нескольких матриц у^. Преж-
Прежде чем изучать свойства таких выражений, введем различ-
различные классы преобразований. Наиболее важным классом
преобразований являются преобразования Лоренца
93
или в матричной форме
х' = ах, A.Г)
где
SV^v = Svx 0-2)
и
(коэффициенты avv. действительные).
Преобразование Лоренца называется собственным, если
det|aVn| = det|a|= + 1 и аоо>О. A.3)
Несобственные преобразования Лоренца могут быть вы-
выражены как произведение собственных преобразований Ло-
Лоренца и простейших несобственных преобразований, пред-
представляющих собой отражения пространственно-временных
осей. Существуют следующие классы отражений:
1) пространственные отражения, при кото-
которых
и одна из координат преобразуется по формуле
в то время как остальные остаются неизменными;
2) пространственная инверсия, при которой
Х@) = Х{0)> A-6)
а все xk преобразуются по формуле
<*,= -*,*,(*= Ь 2' 3); <17>
3) обращение знака времени:
*('о) =—*((»• *<'*)=*<*> (fe = 1- 2, 3); A.8)
4) обращение знака времени и простран-
пространственная инверсия:
'*@) = -*@)' хш = -хш (* = 1.2,3). A.8')
Для первого и второго классов отражений а00 > 0, а
для третьего и четвертого а0A <С 0. Для первых трех клас-
классов отражений det | а |= —1, а для четвертого класса det \a\ =
= +1. В дальнейшем не будут рассматриваться преобра-
преобразования, которые содержат изменение знака времени, т. е.
ограничимся случаями, когда а00 >0.
94
2. Собственные преобразования Лоренца. При преобра-
преобразовании Лоренца волновая функция i|/ в новой системе коор-
координат получается из функции ty при помощи линейного пре-
преобразования1
ф' = $1>, A.9)
где S — четырехмерная матрица, не зависящая от коор-
координат пространства Минковского. Матрица § имеет об-
обратную матрицу ¦§ ~' и зависит только от ауц- Поэтому
формулу A.9) можно переписать в виде
Уравнение Дирака имеет вид
[Ё—ера—р/п0с2]г|; = 0, A.10)
или
\ц=о •* /
где yo =—ф, р=—ihy. E = ih — . Для ковариантно-
ковариантности уравнения Дирака необходимо, чтобы в новой системе
координат выполнялось равенство
[Ь. —ср а—ртосг]г|) =0, A.11)
или
Учитывая, что согласно преобразованию A.1)
_±L, A.12)
и используя преобразование A.9), из уравнения A.10')
найдем
и
1 Матрицы S образуют представление группы Лоренца.
95
Умножая это уравнение слева на S, получаем
Сравнивая уравнения A.14) и A.11'), заключаем, что
уравнение Дирака будет ковариантным при преобразова-
преобразовании координат Лоренца, если выполняется условие
Рассмотрим некоторые частные случаи собственных пре
образований Лоренца.
Вращение в плоскости Xt. В данном случае
формулы A.1) имеют вид
—ctshy, ct' = ctchy—
y' = y, z' = z.
Для обратного преобразования можем написать
*=*'chy-f tf'shy, ct = ct'chу + х' shy, A.17)
y = y', z = z'.
Согласно A.17) для оператора энергии-импульса имеем
следующие формулы преобразований:
сря = ср'х ch у+Ё' sh у, Ё = Ё' ch у + ср'х sh у,
A.18)
= Ру> Рг = Рг-
л л /
Подставляя выражения для компонент оператора энер-
энергии-импульса из формул A.18) в уравнение A.10), полу-
получаем
[(Ё'—cp;a,)(chy — a,shy) — cp^a,— cp'za3 — $m0c2j\p=0.
A.19)
Умножая это уравнение слева на оператор
и учитывая, что матрица at антикоммутирует с матрицами
а2, а3 и р, преобразуем уравнение A.19) к виду
где
l=e 2 1i|?. A.20)
Таким образом, в данном случае матрица S равна
&xt = ch— a,sh— = e 2 1. A-21)
xt 2 1 2 \ /
Для преобразования, обратного преобразованию A.20),
имеем
ijj^S^', A.22)
где
S^1=chi+a1sh^-=e2 . A.23)
Из преобразования A.20) имеем
у л
У+ = ip+ (ch ± -alSh^.) =Ц+ е 2 l , A.24)
так как at—эрмитова матрица. Умножая формулу A.24)
справа на ip, находим
или согласно выражению A.23)
?=^3;Л A.25)
Вращение в плоскости ХУ. В этом случае
формулы преобразований координат имеют вид
* = ;t'cos<p—у'sin у, у = у' cos <р + х' sin ф, A.26)
97
а формулы преобразования для оператора энергии-импуль-
энергии-импульса можно записать в виде
p'xsinq, A.27)
Подставляя эти выражения в уравнение Дирака A.10) и
умножая слева полученное равенство на оператор
cos — -f (*! а2 sin —,
преобразуем уравнение A.10) к виду A.11) и найдем
закон преобразования для г|)-функции:
Ч?' = $„*, С1-28)
где
? ф,ЛЛ.ф а\ а2 ~2~ .. пПк
1 ~~ f*OS т I rj /у С1П ' — п /I yUl
ху п I 12 q ' V * /
Преобразование, обратное преобразованию A.28), имеет
вид
i|> = S^V, A.28')
где
Из формулы A.28), учитывая, что ах и а2—эрмитовы
операторы, получаем
3,7' A.31)
(здесь учтены коммутационные соотношения для аг и а2).
Умножая формулу A.31) справа на i$, находим
A.32)
^ i
или согласно выражению A.30)
^'^SJ-1. A.33)
98
Преобразования A.20) и A.28) показывают, что ре-
решения уравнения Дирака ty преобразуются не как тен-
тензор, а как полувектор, вращение которого при повороте
координат на угол у или ср характеризуется углом -3-
или —; величины, преобразующиеся по законам A.20)
и A.28), являются спинорами.
3 Пространственная инверсия. Формулы преобразова-
преобразования координат в данном случае имеют вид
*,о,
отсюда имеем:
*,'о, = *«>,. ** = -** (* = !. 2' 3)> О-34)
дх10) дх{0) dxh dxk
=_^t (й=1, 2, 3). A.35)
dx
Учитывая последние соотношения, преобразуем уравнение
Дирака A.10') к виду
4Ь = 0. A.36)
(Ъ.Уг,Уг.Т»4+
\ dx(Q) дх(\) д1СB) дхC)
Умножая это уравнение слева на р\ получим уравне-
уравнение A.11'), где
а|/ = р> A.37)
Таким образом, в данном случае матрица &t равна $;
матрица обратного преобразования также равна р\ так
как Р2 = 1. Из формулы A.37) имеем: г|)'+ = \р+ Р, так как
матрица J3 эрмитова. Умножая последнее равенство на
ф справа, получим
или
^'=^Sr' EГ1=$)- . A.38)
4. Обращение знака времени. Формулы преобразова-
преобразования в рассматриваемом случае имеют вид
*io) =-*(о,. x'k = *k (* = 1. 2, 3). A.39)
99
Согласно формулам A.39) имеем:
^—^-. ?—?*- (*=1.2, 3). A.40)
дх dx dx
дх@) дх@)
Учитывая формулы A.40), преобразуем уравнение Дира-
Дирака A.10') к виду
То-р-+ Уг -Л- + V* ~~-+ Ь -p-
дх{0) дх{1) дх{2) дх{3) J
A.41)
Умножая уравнение A.41) слева на YiY2y3, получим
уравнение A.11'), в котором новая функция выражается
в виде
*' = TiV. T» * = ¦§«*• A-42)
Таким образом, в данном случае матрица St равна Уг
Легко показать, что
Следовательно, матрица обратного преобразования равна
— (ViTiTe). т- е-
$Г] = {ъугу3)-1 = -(ЪЪЪ)- A-44)
Из формулы A.42), учитывая, что матрица у^ эрмитова,
имеем
i|)'+ = y+ v+y+ у+ = у+ y3 У2 Т, =
==—^+У2УзУ1 = —^+У1У2Уз- A-45)
Умножая A.45) на ф справа, находим
«У+ 3 = - ^+ Ti Y« Ts & = ^+ Р Yi Уг Уз.
или с учетом формулы A.44)
ф' = —ф$Г'. A-46)
Принимая во внимание равенства A.25), A.33), A.38) и
A.46), мы приходим к выводу, что формула
1 A.47)
100
имеет место для тех преобразований, которые не меняют
знака времени (аоо>О), в то время как соотношение
ф'=_^ S A.48)
справедливо для преобразований, содержащих отражение
времени (аоо<О).
5. Трансформационные свойства выражений вида
г|)Оф. Покажем, что эти выражения преобразуются по
тензорным представлершям группы Лоренца. При преобра-
преобразовании Лоренца A.1) согласно формулам A.9) и A.47)
находим
гр'(*') 61|>'(*') = •*(*)?"' 6§if.(x). A.49)
Рассмотрим простейшие частные случаи:
а) 6 = t. Равенство A.49) получает вид
*?(*'I|>'(х') = 1^(хЖх), A-50)
откуда следует, что выражение г if) if) является скаляром;
б) 6 = Yn (Ц = 0, 1, 2, 3). Согласно формуле A.15)
равенство A.49) преобразуется к виду
i^^ A.51)
и
Отсюда видно, что компоненты ty y^ ty составляют четырех-
четырехмерный вектор;
в) 6= a"v = -i- (уд yv—vvyM)=— aV|\ Используя преоб-
преобразование A.15), запишем формулу A.49) в виде
—, ,vniiv.///\ 7 , i?-l "uvc , V^V T iP^ i
if) (х)сг ij) (x) = Tj?(x)b a b ip = 2j 2j Q-w %x ч3 а V-
p ^
A.52)
т. е. выражение i|>allVii|) преобразуется как антисиммет-
антисимметричный тензор второго ранга;
г) 6 = у5 = ^ух у2 7з- ^Ри собственных преобразова-
преобразованиях Лоренца имеем
к') = ^ (х) S~' y5 S i\> (х) ==^ (*) Vs Ф (•*)• t1 -53)
101
тогда как при пространственной инверсии получаем
A.54)
т. е if y5ip преобразуется как скаляр при собственных
преобразованиях Лоренца и меняет знак при пространст-
пространственной инверсии. Следовательно, т|з yb if) является псевдо-
псевдоскаляром;
д) б = Уб 7м- • Можно показать, что четыре выражения
Ф (х) ?5 Vjx ^ W образуют псевдовектор.
Легко также показать, что
^ = 1, 2, 3),
0*. v= 1,2,3).
= l. 2, 3).
Таким образом, все рассматриваемые выражения являют-
являются эрмитовыми.
§ 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
1. Общие сведения. Для построения теории двух (или
более) взаимодействующих полей необходимо построить плот-
плотность лагранжиана, которая должна быть суммой плотнос-
плотностей лагранжианов изолированных полей и плотностей ла-
лагранжианов взаимодействия. В спинорной электродинамике
где Xd — плотность лагранжиана поля Дирака; Ху — плот-
плотность лагранжиана электромагнитного поля, Xtnt — плот-
плотность лагранжиана взаимодействия. Эти плотности должны
иметь лоренц-инвариантную форму и размерность плотнос-
плотности энергии. Очевидно, Xint должна состоять из членов, в ко-
которые в качестве множителей входят как волновые функции
i|j И1|>* электронно-позитронного поля, так и волновые функ-
функции Ац электромагнитного поля. Соответствующий член за-
запишем как GA(x)B(x), где G — константа связи; множитель
А(х) относится к первому полю, а множитель В(х) — ко вто-
второму полю.
102
Взаимодействия делятся на локальные и нелокальные.
В первом случае множители А(х) и В(х) берутся в одной и
той же точке пространства Минковского. Кроме того, взаи-
взаимодействия делятся на взаимодействия прямые и взаимо-
взаимодействия с производной. Если ни в А(х), ни в Щх) не вхо-
входят производные от функций поля, то взаимодействие назы-
называется прямым, в противном случае — взаимодействием
с производной. Так как энергия — величина действитель-
действительная, то оператор АВ должен быть эрмитовым. Рассмотрим
кратко различные типы взаимодействий.
2. Прямые локальные связи.
Взаимодействие скалярного и спи-
норного полей. Пусть ср — волновая функция ска-
скалярного поля, а г|) — волновая функция спинорного поля.
Как известно, ^—скаляр1. Полагая А = ср и В = п|тф, по-
получаем следующее выражение для лоренц-инвариантной
плотности лагранжиана взаимодействия:
2ш =--&$№¦ B-1)
Взаимодействие псевдоскалярного
испинорного полей. Пусть теперь ср — волно-
волновая функция псевдоскалярного поля, а -ф — как и раньше,
волновая функция спинорного поля. Так какт^'Ф — псевдо-
псевдоскаляр, то эрмитово лоренц-инвариантное выражение для
плотности лагранжиана взаимодействия, в частности, мо-
может иметь вид
2ш = 0Ъъ№. B-2)
где функция ср может описывать нейтральные я-мезоны, а
функция г|) — нуклоны.
Взаимодействие векторного и спи-
спинорного полей. Пусть функция срй описывает век-
векторное поле, выражение^ у^ г|), где г|э — функция спинор-
спинорного поля, является вектором. В данном случае плотность
лагранжиана взаимодействия имеет вид
1 Утверждение не совсем точное, хотя это обстоятельство и не-
несущественно для дальнейшего (см. Ю. Ш в и н г е р. Теория кван-
квантованных полей. —Прим. ред.).
103
Если в формуле B.3) вместо фм поставить четырехмерный
вектор-потенциал электромагнитного поля, то получим член
взаимодействия классической электродинамики, который
можно записать так:
1 Л
С лшк "
Взаимодействие псевдовекторного и
спинорного полей. Пусть ф^ — компоненты псев-
псевдовекторного поля. Выражение ifOsYn i|> является псевдовек-
псевдовектором, поэтому для плотности лагранжиана взаимодейст-
взаимодействия получаем
int
B.4)
3. Локальные связи с производной.
Плотность лагранжиана взаимодействия
скалярного поля со спинорным можно запи-
записать так
где F — константа связи; ц = -^-; т — масса частицы ска-
h
лярного поля ф; if—функция спинорного поля.
Плотность лагранжиана взаимодействия
псевдоскалярного и спинорного полей (псев-
(псевдовекторная связь) имеет вид
Взаимодействие векторного и спинорного
лей. Г
дем тензор
полей. Пусть ф —компоненты векторного поля. Вве-
v
104
•*v dxv д *"» v
Комбинируя тензор F^ с антисимметричным тензором
4>V^' где V = i~^p,vv— VvV- получим
B.7)
4. Локальное взаимодействие между спинорными полями
При Р-распаде имеет место взаимодействие трех спинорных
полей: нуклонного урм, электронно-позитронного ^>е и нейт-
нейтринного tyv. Для описания C-процесса Ферми предложил сле-
следующий вид взаимодействия:
ш %%%%, B.8)
где обе матрицы 6 одинаковы. Функция свободного поля ipv
удовлетворяет уравнению Дирака для частицы с массой по-
покоя, равной нулю. В качестве оператора О можно взять один
из следующих пяти операторов:
В 1935 г. Конопинский и Уленбек для описания Р-распада
ввели взаимодействие с производной вида
Однако эксперименты находятся в противоречии с теорией
Р-распада, основанной как на формуле B.8), где оператор
имеет вид B.9), так и на формуле B.10). Учитывая это, а
также принимая во внимание другие соображения, Фейн-
ман и Гелл-Манн в 1958 г. предложили так называемое уни-
универсальное четырехфермионное взаимодействие, выражае-
выражаемое формулой B.8), где под 6 следует понимать оператор
Yn(l + Уъ)- Точно такой же закон четырехфермионного взаи-
взаимодействия получили Сударшан и Маршак на основе ана-
анализа экспериментальных данных.
Юкава для объяснения Р-распада предложил взаимо-
взаимодействие вида %NN + ?ev, где
B.11)
105
(О > g), а ф — волновая функция мезонного поля. В
квантовой теории поля функция ф заменяется на оператор
Ф, описывающий процесс рождения и поглощения виртуаль-
виртуального мезона в промежуточном состоянии. Ответственным за
такое взаимодействие не является я-мезон. Возможно, что
ответственным за р*-распад является тяжелый векторный
мезон, получивший название W-мезона. Если такой мезон
существует, то его масса должна быть большей, чем трой-
тройная масса нуклона (см. «Введение»).
§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Рассмотрим взаимодействие заряженного поля с элек-
электромагнитным. Для учета этого взаимодействия необходимо
заменить рд на р\ ¦+- еА^ (где е — заряд частицы), т. е. опе-
оператор д/дх^, действующий на комплексную функцию ф, не-
необходимо заменить по формуле
— аГ— 1T^ = D,. C.1)
* fie
\х.
Оператор д/дх^, действующий на ф*, заменяется операто-
оператором
»*=-k+JbA»' C-2)
оператор д/дхц, действующий на вещественное поле, остав-
оставляем неизменным.
1. Взаимодействие дираковского и электромагнитного
полей. Плотность лагранжиана свободного дираковского
поля имеет вид
C.3)
Для получения плотности лагранжиана системы взаимодей-
взаимодействующих заряженного дираковского и электромагнитного
полей необходимо заменить в формуле C.3) оператор д—'
пользуясь C.1), и добавить к ?й лагранжиан электромаг
106
нитного поля. В результа те получим
8л ?л дх,, дх
ц. v »¦
г /л ... \
+ 1~\
C.4)
Итак, плотность лагранжиана взаимодействия равна
Подставляя выражение для X из формулы C.4) в соот-
соответствующие уравнения Эйлера, получим уравнения для
взаимодействующих полей:
н-0- (з-б)
^^, C.7)
где ут ~у —транспонированные матрицы Дирака. Из
уравнения C.7) следует, что плотность тока определяет-
определяется по формуле
^ C.8)
Учитывая C.8), перепишем формулу C.5) в виде
С
р.
Используя C.4), найдем выражение для плотности гамиль-
гамильтониана
Г = Г, + 1\ + Гш. C.9)
Так как %ш не содержит производных от волновых
функций, то
^^ (зло)
107
Член в правой части C.10) с ц—4 имеет видеф^+гр, как и долж-
должно быть для плотности энергии электростатического взаи-
взаимодействия. В квантовой теории поля функции г|э, г|э и А^
заменяют операторами ¦ф, ^ и Л^, которые удовлетворяют та-
таким же самым перестановочным соотношениям (для одного
момента времени), как и для свободных полей.
Оператор плотности электрического тока необходимо вы-
выбрать в виде (см. гл. II):
jtl(x) = ecN(^yii^), C.11)
поэтому для оператора плотности энергии взаимодействия
получаем
Вводя обозначение
А = уц Ац,
перепишем формулу C.12) так
l\n, = -<*}($ А ф). C.13)
Замеча ие. В дальнейшем операторы и векторы состояний будем
брать в представлении взаимодействия, так как в этом представле-
представлении перестановочные соотношения для двух операторов, взятых
в различные моменты времени, будут иметь тот же вид, что и в теории
свободных волновых полей. Во всех остальных представлениях эти
соотношения имеют более сложный вид.
2. Взаимодействие заряженного скалярного поля с элект-
электромагнитным полем. Плотность лагранжиана заряженного
скалярного поля имеет вид
Для получения полного лагранжиана рассматриваемой си-
системы полей заменим в выражении C.14) оператор д/дхц
оператором D^ и добавим к Хт лагранжиан электромагнит-
электромагнитного поля. В результате получим
— V-v *c,\»x no i (ЗЛ5)
108
или
ср ср ( ср \ ср
где Ху — плотность лагранжиана свободного электромаг-
электромагнитного поля,
— плотность лагранжиана взаимодействия. Варьируя X
по Ац, получаем уравнение Даламбера
П^=-4я^-, C.17)
а при варьировании по ф и ф* находим уравнения Клейна—
Гордона с учетом взаимодействия с электромагнитным
полем. Согласно уравнению C.17) плотность электромаг-
электромагнитного тока равна
к-.{±. C.18,
Подставляя сюда выражение для X из формулы C.15),
находим
iec2 I (Эф* дер Л п еас « * ln . m
/v = —- Т^Ф — -~- Ф — 2— ЛФФ*. 3.19)
h \dx dx ) h?
h \dxv dxv ,
Учитывая C.19), выражение для плотности лагранжиана
взаимодействия C.16) можно преобразовать к виду
%ш = - 2 ^ 1* + ТГ 2 А* ФФ*> C-20>
С V " V
где /v определяется формулой C.19).
3. Взаимодействие электромагнитного поля с нуклон-
ным и заряженным скалярным полями. Рассмотрим теперь
взаимодействие трех полей: нуклонного поля, заряженного
скалярного доля и электромагнитного поля. В случае пря-
прямой связи член, описывающий взаимодействие нуклонного
поля со скалярным, обычно берутв виде г'С^ф -Н|л);ф*). На-
Наличие электромагнитного поля учитывается заменой д/дх^
на Dn в выражениях для плотности лагранжианов свобод-
свободных полей1.
1 Подобная замена допустима только в лагранжианах, дающих
волновые уравнения 1-го порядка (Дирака и Кеммера). — Прим.
ред.
109
В случае взаимодействия с производной, которое опи-
описывается членом вида
также необходимо произвести замену д/дх^ на Оц и в лаг'
ранжиане взаимодействия C.21). В результате этого в вы-
выражении для плотности лагранжиана взаимодействия воз-
возникает член, включающий волновые функции трех полей:
*ш=~ i 2 (НччКф-ф*)- C-22)
В теории псевдоскалярного мезонного поля вместо фор-
формулы C.22) получим
2i»/=-- -г 2 (n5iH)(<p-T*)' C-23)
ц пс v
Замечание. При переходе к квантовой теории поля необходимо
произвести упорядочение (т. е. нормализацию) оператора плотнос-
плотности энергии взаимодействия, что обеспечивает обращение в нуль соот-
соответствующих вакуумных токов.
§ 4. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ. 5-МАТРИЦА
Найдем решение уравнения Шредингера в представле-
представлении взаимодействия
md-^-=um{t)<s>a{t), D.1)
где На; — оператор квазиэнергии взаимодействия. Инте-
Интегрируя это уравнение, получим
&). D-2)
Будем решать интегральное уравнение D.2) методом после-
последовательных приближений, в нулевом приближении Фц@ =
= Фа(^о). Подставляя это значение Фа@ в правую часть
D.2), находим второе приближение
НО
Подставляя Фп@ из формулы D.3) снова в правую
часть D.2), находим второе приближение
+~к 1йш' ('i} dti Фа {to)+Фа ('о) D>4)
и т. д. В итоге точное решение уравнения D.1) можно
представить в виде ряда
@ =
...Йв/(/п)Ф«('о)- D.5)
Отсюда, подставляя Фа@ в формулу D.1), убеждаемся, что
последнее уравнение удовлетворяется. Формулу D.5) можно
переписать так
Фа(О = $а(*Л)Фа(*о). D-6)
где
оо
~ 2
'п—1
Оператор Sa(/, ^0), введенный Дайсоном, является унитар-
унитарным и называется Sa-матрицей. Он преобразует вектор задан-
заданного начального состояния Фа(^0) в момент времени tQ в век-
вектор конечного состояния Фа@ в момент времени t; очевид-
очевидно, Sa(t0, to)= 1 и t > tx > U > ¦¦¦ > tn-\ > —>t0. Пре-
Преобразуем входящие в формулу D.7) кратные интегралы.
Рассмотрим сначала член Sa2(t)-
t t,
SaZ (t) = - J dt, I dtt fta/ (h) Ha, (g, D.8)
'o
здесь интегрирование производится по треугольнику ABC
(рис. 3).
11!
Поменяем в формуле D.8) tt на /2 и обратно t2 на /х, тогда
получим
@ = - \ dtt \ dtx Й„, (/,) Й„, (/,). D.9)
Здесь интегрирование производится по треугольнику ABD.
ЕСЛИ бы На; (tj) И На; (^2) КОММуТИрОВЭЛИ, ТО ПОДЫНТв-
гральные выражения в формулах D.8) и D.9) совпали бы
у(- \С
t t,
Рис. 3
и Sa2 (t) можно было бы представить как половину инте-
интеграла по квадрату ACBD. Но в общем случае На/ (tj
не коммутирует с На< (t2) и поэтому требуется ввести хро-
хронологический оператор Р, выражаемый формулой
a((?1)Ha((r2)J=
Ш(Ц если t2>tv
Учитывая определение D.10), преобразуем формулу D.8)
к виду
1 ' '
Sa2 @ = - 7 S *1 S ^^2 Р [Йв, (/х) Йа/ (tt)] .
Аналогично для /г-го члена в D.7) получаем
112
В результате для Sa-матрицы получаем
t0 D.11)
Обычно для применения полученных результатов исполь-
используют так называемую адиабатическую гипотезу (Дайсон).
Смысл этой гипотезы состоит в следующем. Начальный мо-
момент времени t0 устремляем к — оо, а конечный момент вре-
времени t к + оо. Причем для усреднения членов, гармоничес-
гармонически зависящих от времени / и t0, оператор энергии взаимо-
взаимодействия умножаем на сходящийся множитель вида егх I ' I,
который после всех преобразований стремим к единице
(что достигается предельным переходом % -> 0). Так как при
/->-±оо оператор е~м' >Н( = 0, то, следовательно, в адиа-
адиабатической гипотезе векторы начального и конечного состоя-
состояний являются собственными векторами невозмущенного опе-
оператора энергии Но. Указанные векторы будем называть
векторами состояний систем свободных или «голых» час-
частиц. Принятые предположения справедливы, если рассея-
рассеяние частиц не приводит к возникновению или распаду свя-
связанных состояний. Уточним, что речь идет о связанных со-
состояниях, которые обусловлены взаимодействием «кванто-
«квантованных» полей. Связанные состояния, обусловленные внеш-
внешними полями, из рассмотрения не выбрасываются.
Расчеты в квантовой электродинамике, основанные на
адиабатической гипотезе, хорошо согласуются с эксперимен-
экспериментом. Однако в реальной действительности невозможно адиа-
адиабатически или каким-либо другим способом выключить, а
затем снова включить взаимодействие между полями. По-
Поэтому адиабатическая гипотеза является просто удобным
математическим приемом.
Согласно адиабатической гипотезе рассеяние происхо-
происходит следующим образом:
1. В момент / = —оо система свободных частиц (фото-
(фотонов, электронов, позитронов), находящихся далеко друг
от друга и не взаимодействующих между собой
[е-^|'1Н; =0], описывается вектором состояния Фа/(—оо)—
собственным вектором оператора энергии Но. Поэтому
подФа,(—оо), который не зависит от времени, можно пони-
понимать как вектор в представлении взаимодействия, так и
вектор в представлении Гейзенберга с Н = Но.
2. Затем адиабатически включается взаимодействие,
5 Зак. 1361 П§
что приводит к взаимодействию частиц с вакуумом, в ре-
результате чего частицы обволакиваются «шубой» из виртуаль-
виртуальных бозонов и пар фермион — антифермион. «Голая» час-
частица, одетая в такую шубу, интерпретируется как физичес-
физически реальная частица, энергия и импульс которой удовлет-
удовлетворяют соотношению р2 + %а = 0. В момент времени, ког-
когда взаимодействие между частицами можно считать все еще
очень малым, а сами частицы достаточно удалены друг от
друга, состояние системы физических («одетых») частиц (с те-
теми же импульсами и спинами) описывается вектором состоя-
состояния Ф„(О = Sa(/0, - <х>)Ф„,(- со).
3. При полном включении взаимодействия происходит
рассеяние частиц. Начиная с момента времени t = Т + /0,
частицы, удаляясь друг от друга, почти не взаимодействуют
между собой, но все еще взаимодействуют с вакуумом и ос-
остаются еще облаченными в шубы.
Состояние системы физически реальных (одетых) ча-
частиц после рассеяния описывается вектором состояния
Ф«@ = $„(*, -<х>)Фш(-оо).
4. В момент времени t — + оо взаимодействие адиаба-
адиабатически выключается и частицы, теряя свои шубы и удаляясь
друг от друга, становятся снова свободными (голыми). Со-
Состояние такой системы голых частиц описывается вектором
СОСТОЯНИЯ ФаК"Т" °°)-
Вектор конечного состояния системы Фа/(+ °°) имеет один
и тот же вид как в представлении взаимодействия, так и в
представлении Гейзенберга. Рассмотренный процесс взаи-
взаимодействия частиц должен протекать так, чтобы энергия
системы частиц в конечный момент времени равнялась энер-
энергии системы частиц в начальном состоянии при t = —<х>. Век-
Векторы состояния Фш(— °о) и Фа/(+ оо) связаны соотношением
>) = За(+оо, _оо)Фш(_оо), D.12)
где согласно формуле D.11) для Sa(+o°i —°°) имеем
Sa(+°°, — оо) =
l Л» ••• 5 Л-р [йп<- ^ ¦¦йа1 {i^-DЛЗ)
2 тйЬ i
П=0 \1П> "'
Так как оператор энергии взаимодействия равен
J tai(x)dV, D.14)
—00
Ш
to,'обозначая dix~cdt-dV, преобразуем формулу D.13)
к виду
S«(+oo, — оо) =
(
Матрицу Sa(+°o, —оо), называемую матрицей рассеяния
или Sa-матрицей, ввел Уилер в 1937 г., а начало ее при-
применению положил Гейзенберг A943 г). Квадрат матрич-
матричного элемента
S(W=lim(Oa/( йаФа1) D.16)
a->a0
дает вероятность перехода системы из начального со-
состояния Фа, в некоторое конечное состояние Фа/.
Если система состоит из взаимодействующих между со-
собой электромагнитного и электронно-позитронного полей,
то оператор плотности квазиэнергии взаимодействия равен
Гш (х) = -eN J J d* yd4 г/„ (х, у, г)$ .г) А (у) ф (г), D.17)
где А = YM Ар. Множитель А включен в нормальное
произведение, так как относительный порядок множите-
множителей i|>Ynij> и Ам (х) несуществен, ибо они коммутируют.
Вместо хронологического оператора Р введем хроноло-
хронологический оператор Т, действие которого сводится к упоря-
упорядочению всех множителей в произведении операторов таким
образом, чтобы для любого оператора все операторы, взя-
взятые в более ранние моменты времени, находились справа от
него, а все операторы, взятые в более поздние моменты, на-
находились слева от него; знак по пученного упорядоченного
произведения операторов должен быть положительным, если
в процессе упорядочения совершается четное число переста-
перестановок электронно-позитронных операторов, и отрицатель-
отрицательным, если — нечетное. Таким образом, если tx > tn > ...>/2,
то
t [кг (h) A2 (Q ... А„ (*„)] = бр к, (М А„ (tn) ... А2 (tt), D.18)
где бр = ±1. Итак, Т-произведение отличается от Р-про-
изведения множителем бр, который равен +1, если в ра-
равенстве D.18) совершается четное число перестановок Фер-
5* 115
ми-операторов, и райен —1, если — нечетное. Учитывая
формулы D.17) и D.18), 5а-матрицу можно представить в ви-
виде
*• - 2 (|)" „7 ! I I
п))}. D.19)
Здесь вместо Р-оператора поставлен Т-оператор, так как
между ними теперь нет разницы ввиду того, что операторы
Ферми входят в S-матрицу всегда парами, в которых оба
множителя зависят от одного и того же времени.
§ 5. ТЕОРЕМЫ ВИКА
Рассмотрим операторное выражение
e = f(AB)-N(A6), E.1)
где А и В — два произвольных оператора, представляющих
собой суперпозиции операторов рождения и поглощения
частиц. Если операторы А и В в произведении АВ уже упо-
упорядочены по времени справа налево в порядке возрастания
t, то выражение E.1) можно переписать в виде
С-=АВ — N(AB). E.2)
Если А — оператор рождения частицы, а В — опера-
оператор поглощения частицы, то N (А В) = А 6 и С = 0;
если же А — оператор поглощения частицы, а В—оператор
ее рождения, то &(Ав)=±ЙА, причем в последнем
равенстве надо взять знак плюс, если А и В—операторы
Бозе, и знак минус, если эти операторы являются Ферми-
операторами. Итак, если А и В — операторы Бозе, то
С —коммутатор этих операторов, если же А и 6 — опера-
операторы Ферми, то С — антикоммутатор. В обоих случаях
действие оператора С на вектор состояния сводится
116
к умножению его на некоторое число, которое будем
называть сверткой или связкой операторов А и В. Связку
операторов А и В обозначим через АA)ВA) или А В.
Таким образом, можно написать
f (А В) —N (А В) = АЁ. E.3)
Имеют место следующие теоремы.
Первая теорема Вика. Т-произведение п линейных
операторов равно сумме их yV-произведений со всеми воз-
возможными комбинациями сверток (включая и член без
сверток), т. е.
ШД,... АП) = Л(АХ А,... а„) + ы(а<11>аУ)...а„) +
+ N{A\l>A2kil) ... А„)+ ... +
+ fl (aV'a^^A^ ... АИ АЬ'2, АпЦ. E.4)
Здесь различные цифры сверху обозначают различные
свертки. Если сворачиваются операторы Бозе, то их можно
просто поставить рядом. Сворачиваемые операторы Ферми
можно поставить рядом, умножив предварительно iV-npo-
нзведение на б/;, где 8р = 1, если р-четное число произве-
произведенных при этом парных перестановок операторов Ферми,
и 6;, =— 1, если р — нечетное число таких перестановок.
Так, например, если Av А2, А3, А4, А5, А„—операторы
Ферми, то
Доказательство. Если произвести в каждом
члене формулы E.4) одновременно одинаковые перестановки
сомножителей, то от этого равенство не нарушится. Пере-
Переставим множители в членах формулы E.4) так, чтобы в ле-
левой ее части произведение операторов было упорядочено по
времени, т. е. чтобы операторы были расположены в поряд-
порядке возрастания времени, если двигаться справа налево. При
этом символ Г-произведения в левой части E.4) можно опус-
опусти гь.
Расположим теперь операторы в левой части E.4) таким
образом, чтобы все операторы поглощения были справа от
операторов рождения, т. е. Л^-упорядочим левую часть E.4).
Для этого самый левый /V-неупорядоченный оператор рожде-
П7
ния будем последовательно переставлять со всеми операто-
операторами поглощения, которые стоят левее этого оператора. При
этом в соответствии с формулой
E.5)
возникнут дополнительные члены со свертками между пере-
переставляемыми операторами. Продолжая подобную процеду-
процедуру упорядочения и с другими неупорядоченными оператора-
операторами испускания, в конечном итоге представим исходное Г-про-
изведение в виде суммы N упорядоченных произведений
операторов. Такие iV-произведения могут иметь как поло-
положительный, так и отрицательный знак, но если под симво-
символами yV-проигведений поставить множители так, чтобы они
снова стали 1 '-упорядоченными, то все /V-произведения по-
получат положительный знак.
Таким образом, мы представили Г-произведение в виде
суммы N -произведений, однако в эту сумму войдут только
члены со всеми возможными комбинациями сверток между
парами iV-неупорядоченных операторов.
Так как свертки между iV-упорядоченными операторами,
которые являются к тому же Т-упорядоченными, равны
нулю, то можно считать, что в правую часть равенства вхо-
входят члены со всеми возможными комбинациями сверток
между парами (как /V-неупорядоченных, так и /V упорядо-
упорядоченных) операторов. Этим первая теорема доказана пол-
полностью.
Определение. Г-произведение
T{N(A1A.iha)...N(hikbAe)},
множители которого являются ^-произведениями, будем
называть смешанным Г-произведением.
Вторая теорема Вика. Смешанное Т-произведение мож-
можно разложить на сумму N -произведений аналогично фор-
формуле E.4), но при этом отсутствуют члены со свертками опе-
операторов, входящих в одно и то же нормальное произведение.
Например, при разложении произведения
t {A&]SI(CDE)...Z}
отсутствуют члены со свертками
С<0) D(a) С@)Ё(а) D<r7) Ё(о>
118
При доказательстве теоремы не нужно менять местами опе-
операторы, стоящие под знаком одного и того же /У-произведе-
ния, ибо эти операторы уже N-упорядочены, а поэтому чле-
члены со свертками таких операторов должны быть опущены.
§ 6. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ
S-МАТРИЦЫ. ГРАФЫ ФЕЙНМАНА
В квантовой электродинамике отдельные члены S-мат-
рицы являются интегралами от смешанных Т-произведе-
ний операторов i?>, ty и А. Используя вторую теорему Вика,
эти произведения можно представить в виде суммы нормаль-
нормальных произведений тех же операторов с соответствующими
множителями. Каждому такому нормальному произведению
можно сопоставить граф (диаграмму) Фейнмана. Методика
построения графов Фейнмана заключается в следующем
Четырехмерные векторы хи х2, ..., хп, по которым в S-мат-
рице производится интегрирование, на графе изображаются
точками, которые называются вершинами (или узловыми
точками) графа.
При составлении графов Фейнмана учитывается, что
¦ф = и + у+, ty = u++v, А = а+ + а,
где м+, v+, а+ — операторы рождения соответственно элект-
электронов, позитронов и фотонов; и, v, a — операторы уничто-
уничтожения соответственно электронов, позитронов и фотонов.
Свертка операторов Ферми1 г|)(д:,) и ty(xm) изображается
сплошной прямой линией, соединяющей вершины xt и хт
и направленной от точки xt к точке хт. Эта линия, очевидно,
описывает процесс рождения электрона в точке xt и погло-
поглощения его в точке хт или процесс рождения позитрона в точ-
точке хт с последующим его поглощением в точке xt. Свертке
операторов Бозе А(х,) и А(хт) сопоставим пунктирную ли-
линию, соединяющую точки xt и хт. Такая линия изображает
процесс рождения фотона в одной вершине с последующим
поглощением его в другой вершине. Оператору ^(я,-) сопос-
сопоставляется сплошная линия, выходящая из точки xt и ухо-
уходящая на бесконечность. Эта линия описывает процесс рож-
1 В следующем параграфе будет показано, что свертка одина-
одинаковых операторов Ферми [например,§(х() и ф (дгт)] равна нулю. По-
Поэтому 13КИМ сверткам мы не сопоставляем никаких линий.
119
дения свободного электрона или процесс поглощения сво-
свободного позитрона. Свободный оператор ^>(х() изображается
сплошной линией, приходящей из бесконечности в точку
хг. Такая линия соответствует процессу поглощения свобод-
свободного электрона или процесс излучения свободного пози-
позитрона. Оператор К{хь) обозначим пунктирной линией, вы-
выходящей из точки xt и уходящей на бесконечность. Эта ли-
линия изображает процесс поглощения или рождения сво-
свободного фотона. Пунктирной линией, выходящей из верши-
вершины xt на бесконечность, обозначим также «внешнее» элект-
электромагнитное поле. Как видно из формулы D.19), из каждой
вершины графа выходит одна фотонная и две электронные
линии. Члену п S-матрицы соответствуют графы с п верши-
вершинами. Так как в электродинамике п-й член пропорционален
множителю 1—)п~( — Г, то полученные от него матрич-
матричные элементы также будут пропорциональными (—) .
\hc)
Графы, изображающие такие процессы, называются гра-
графами л-го порядка. Таким образом, графы с п. вершинами —
это графы л-го порядка. Один и тот же граф, соответст-
соответствующий некоторому нормальному произведению операторов
полей, может описывать ряд различных процессов рассея-
рассеяния.
Члены, графы Фейнмана которых отличаются только
перестановкой индексов вершин, называются эквивалент-
эквивалентными. Эквивалентные произведения описывают одну и ту
же совокупность процессов и равны между собой Второму
члену S-матрицы соответствует шесть различных графов
Фейнмана второго порядка, изображенных на рис. 4.
На рис. 5 изображено 15 графов, описывающих все эф-
эффекты третьего порядка. На рис. 4 и 5 с графами приведены
соответствующие им операторные выражения.
Кроме диаграмм, представленных на рис. 4, б—д, сле-
следует взять еще диаграммы, в которых вершины I и 2 пере-
переставлены. Сумма матричных элементов, соответствующих
двум топологически эквивалентным диаграммам, равна уд-
удвоенному значению матричного элемента, соответствующе-
соответствующего одной из упомянутых диаграмм.
Заметим, что линия электрона ввиду закона сохранения
заряда нигде не может обрываться, поэтому число внешних
электронных линий всегда должно быть четным.
120
лл л, ллл
i 1
л лл ллл
v%
Ллл Ллл
(fAp)(fA
е)
Рис. 4
а) два одновременно происходящих эффекта первого порядка;
б) рассеяние электрона на электроне (позитрона на позитроне),
электрона на позитроне;
в) рассеяние фотона электроном; излучение двух фотонов; двукрат-
двукратное рассеяние электрона (позитрона) во внешнем поле; тормозное
излучение электрона (позитрона); образование пары; превращение
пары в 2 фотона;
Г) взаимодействие фотона с электронно-позитроиным вакуумом
(«собственная» энергия фотона);
д) взаимодействие электрона с вакуумом электромагнитного по-
поля («собственная энергия электрона);
ej виртуальное образование пары электрон — позитрон и фотона с
последующим поглощением нары и фотона (переход вакуум вакуум)
121
V\ / \ 1 Я l А Л л Л Л Л Л~Л л
т Y A (?AmA9)(fA?)
ДЛЛ, АЛЛ,,ЛЛЛ, ~6*--Л— I 1 I 1
v V
О
л лл л^л л л^л л
()()(A)
л л л Длд л л л
fAf)(fAf)(fAf
л л л «лд, ,л л л.
(Af)(fAf)(*Ay)
ллл
(pAf
» !' ! ! /,ftU)/,7.2,»i/,r,
Рис. 5
§ 7. СВЕРТКИ ОПЕРАТОРОВ. СРЕДНЕЕ ПО ВАКУУМУ
ОТ ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ОПЕРАТОРОВ
1. Вычислим свертку операторов электромагнитного
поля
А*(*)А;.(д-') = Т [Ад (х) Av (*')]-N [A, (x)Av (*')]• GЛ>
Пусть t~>t'. Рассматривая иоле в бесконечном пространст-
пространстве, разложим оператор Av в интеграл Фурье (по плоским
волнам):
BяK/2 { ?
4т7 f 2 /^
BяK/2 { ?t Г *@)
. G.2)
Можно показать что перестановочные соотношения для
операторов aki и а^\ в данном случае имеют вид
Кь ак'к'\=Ь3(к — к')
К*., «к Я.'] = [flkX., Як'Х.'] =0.
Подставляя в формулу G.1) выражение G.2) для Av и
учитывая, что при t > Г хронологический оператор f мож-
можно опустить, получим
he
г X
(к) (к') П' ' "@) я@)
G.3)
X
к к'
G.4)
J23
Подставляя эти выражения для Т [Лд
N [Лд (х)Ау(х')] в формулу G.1), находим
¦ ' к к' \, V У "@)R@)
i(kk''){)l% G.5)
Используя перестановочные соотношения для акк, преоб-
преобразуем формулу G.5) к виду
— eK eki вкк "к, G.b)
(к) Я К<°)
но так как
i^ki ^kl =6^,, G.7)
то формулу G.6) можно переписать в виде
Г eik(x-x'tdkb^ (f>f). G.8)
(k) <U)
Если t<Zt', то в выражении G.3) необходимо переста-
переставить местами переменные без штрихов со штрихованными
переменными. Учитывая это, получим в обоих случаях
(для t^>t' и t' > t) следующую формулу для свертки:
*') = Яс (*-*')• 8м * G.9)
где
— причинная функция.
Найдем среднее значение по вакууму от хронологиче-
хронологического произведения двух операторов Бозе:
(ФУ)Т Ail(x)Av(x')(Sv) = (iAlx(x)Av(x')H, G.11)
где Фу — вектор вакуумного состояния поля, т. е. такого
состояния поля, в котором отсутствуют частицы (все числа
124
заполнения равны нулю). Согласно формуле G.1) имеем
<Т {А, (х) Av (*') 1 >0 = СК (х) А? (*')>„ + (N (А„ (*)AV (х')Ьо.
G.12)
Так как связка является с-числом, то
<А? (х) А° (*')>„ = К (*) А? (*') = Dc (х—х') вду. G.13)
Вычислим второй член в формуле G.12); согласно G.2)
имеем
<iQ{AM(*)Av(*')}>o = JL- f f тгг=^х
У к@) к(о>
л, a/
.4o'. G.14)
Так как в состоянии вакуума числа поперечных фотонов
равны нулю, то
Справедливы также формулы
Предположим, что в общем случае
23к-к'), G.15)
где х (&) — произвольная функция от ^. Кроме того, пред-
предположим, что при всех Я, выполняются соотношения
Из формул второй главы [см. E.15)] видим, что
(е 1)«) = (е2, к) =0, (е3, к) — —, (e4,k) = i—,
с о
125
а из формулы G.15) следует
1'<акз"к'3>0 = <акЗак<4>0 = <ЧА'3>0=— 1'<амак 4>0 =
вк'). G.16)
Все полученные выше формулы можно записать в виде
*Ч) х (?) а3 (к - И,
Пользуясь формулами G.17), преобразуем соотношение
G.14) к виду
<n (AM (*)AV (*')}>„ =
йс f v 1 „ ,
-— ____ 1 7 . (Ър \ (bo \ rciQ b (у vi /э(М-) i?(v) v (Ъ\ пЪ
"— 1 .^^ \ > / 11' I х~"'э **¦ \Л " / ^\ 1 ' Л \.ге/ w*»j
¦ BяJ J "^ «@) л л
(к) Я, л'
G.18)
или, так как е^' e[v) = б^, то
<N (Ар. (л:) Av (л:')}>0 = ^ J ~JL-- cos ft (x—*') х(?) dk. G.18')
Полагая
2ЙС С ' G.19)
перепишем формулу G.18') в виде
IX V
G.18")
Учитывая формулы G.12), G.13) и G.18'), окончательно
получим для <ТАц (*) Av (*'))„ следующее выражение:
Dlv (х-х') = <f {Ад (х) Av(*')}>„ = Dc(х-х') б^ +
+ —^-Ф (*-*'). G.20)
Второе слагаемое в правой части G.20) обязано произ-
произвольности калибровки потенциалов. Если выбрать такую
•126
калибровку, при которой NS~NO — О, то оно обратится
в нуль. Отметим однако, что физические величины не
зависят от произвольной функции ц>(х). Это следует из
свойства градиентной инвариантности этих величин.
2. Вычислим свертку операторов электронно-позитрон-
ного поля
Й (*)Фе (*') = t |$а (х) % (x')}-N [$а (х) % (*')]• G.21)
Пусть f>t'. Рассматривая поле в бесконечном простран-
пространстве, разложим ty и ij) в интеграл Фурье по плоским
волнам:
Г 4 -
J 21 А* с/."« «"'**Л- G-22)
1
Можно показать, что в данном случае операторы А|« и
А? подчиняются следующим соотношениям коммутации:
[Akl, Ak-bs]+ = 63(k-k'NSS',
[AkSl Ak.s]+ = [Ai!i> At>,']+*=o.
Подставляя выражения G.22) для if и t|) в формулу G.21),
получаем
к к' s = l s' = l
Р- к s BnK
J j 2 2A+Ak,s, ?.. ksCp> k..e-'«*«-*'*'»Adk'. G.23)
к к'<! = 1 S'=l
Так как Ats (s=l, 2) —операторы рождения электронов,
127
Aks (s = 3,4) — операторы рождения позитронов, то фор-
формулу G.23) можно переписать в виде
AjT Ak' ' Co. ks X
k' s=l s' = l
к к' S=l s' = l
4 4
Лг f f 2 2 A*-S" Ak+s *„. ks <*. кч- б"' (**-*'*') dk dk'.
Л) к k's' = lS = 3
G.24)
Учитывая перестановочные соотношения Aks, из форму-
формулы G.24) получаем
(k)s = 3
(<в<0). G.25)
Если же t < f, то аналогично находим
(<в>0). G.26)
4 2 _
Вычислим -суммы 2 са. ь ср. кб и 2 са к4 с8 ks, входя-
s = 3 s ^ 1
щие в формулы G.25) и G.26); для этого рассмотрим
уравнение Дирака
— 1Йг|з— гЙс(ау)^ + «гс2р1]5--=О. G.27)
Подставляя в уравнение G.27) разложение г|з в интеграл
Фурье
4
. kbeik*dkAks, G.28)
128
где k — (к, г — ) и &* = кг—&(О)Л:(О) = кг—Ы, получим
уравнение Дирака в импульсном пространстве
(«k+xPK,kS = 7-*a>kS> G-29>
где
ca, ь и поделив
Так как спиноры са, ki и ca, k2 относятся к состояниям
с положительной энергией, а са. кз и са, к4—к состояниям
с отрицательной энергией, то добавляя к правой и левой
частям уравнения G.29) выражение -L^
с
полученное равенство на 21 со |, имеем
ks, если a»0(s=l, 2),
о, если со < 0 (s = 3, 4).
ca, kS =
Аналогично находим
0) I
V ks
О, если ro>O(s = l, 2),
-a, ks' еСЛИ Ш < О (S = 3, 4).
G.31)
Учитывая соотношение G.30), можем написать
Ca, ksC0,ks
Ca, ks
s=l
5=1
|со|
ks
и
а согласно формуле ортонормировки
4
из формулы G.32) получаем
G.32)
G.33)
129
Умножая G.34) на г(р)пь учитывая, что \р => ity+p. yh~
= mftp, у4 = ^, и суммируя по а, преобразуем формулу
G.34) к виду
^k.cBk.e^<-'Vv*v + x)Bx- G-35>
Согласно уравнению G.31) аналогично получаем
>.k. = I^ <'**,-*V G-36)
2
Используя G35) и G.36), преобразуем формулы G.25) и
G.26) к виду
(ю<0, *>*'); G.37)
2 BпK
к
д
pu
к С
(со>О, *<О- G.37')
Обе формулы G.37) и G.37') можно переписать так
где
1 f g/kr -i | oo| I /|
V
1 f gk | oo| I |
Д (*) = —Vn dk- G-39)
V ; 2Bя)8 М. V
к
130
Аналогично можно покачать что
4>9(*'>*2(*)=Sfle (*'-*)> „ЛГА
~. ^ G.40)
Найдем среднее значение по вакууму от хронологиче-
хронологического произведения двух операторов Ферми:
(Фу, f $„ (*)% (Х')Ф*) = <? ^а (*)%> (*')>„. G.41)
где Ov — вектор вакуумного состояния поля, в котором
отсутствуют частицы (все числа заполнения равны нулю).
Согласно формуле G.21) имеем
G.42)
Так как свертка является с-числом, то
<?а (X) $ (*')>„ = ^а (*)Ф? (*') = ~SU (Х'-Х). G.43)
В нормальном произведении операторов ^а (л;) и % (л:')
содержатся операторные произведения четырех типов:
АИ Ak-S', AkbAk-s-; АИ Aik',
G.44)
^AksA^-s- = — A^s- Aks,
но так как Ак5Фу = 0, то вклады в среднее по вакууму
от нормального произведения if и гр за счет оператор-
операторных произведений первого, второго и четвертого типов
равны нулю. Вклад в это значение за счет операторных
произведений третьего типа также равен нулю вви-
ввиду ортогональности двух векторов Ф„ и АИ AjJv Фу=
= Ф2(... Iks •¦• lk-s'...)» T- e- ввиду того, что
(<DV, Фг) = (<DV, At At-s- Фу) = 0.
Таким образом, имеем
<N ($„%)>„ = 0, G.45)
а учитывая формулы G.43) и G.45), перепишем оконча-
окончательно формулу G.42) в виде
f$ *')• G-46)
131
3. Рассмотрим свойства функций Dc(x) и Se(x).
Представим функцию Г)с(х) з виде интеграла по четы-
четырехмерному импульсному пространству. Для этого вос-
воспользуемся формулой
П1
tc
¦dk
@).
G.47)
где &2 = k2 — k@) =% — k%)\ с— путь интегрирования, ле-
лежащий в комплексной плоскости k{0) (рис. 6). Так как подын-
подынтегральная функция в нижней полуплоскости при / i> О
-f
У
с I
I
Рис. 6
? °
1
\
4
\
ч
У
Ш
T
-i
H@)
X
r
/
/
/
Рис. 7
стремится к нулю (из-за наличия обрезающего множителя
ехр{— | lm{k@)\t\, то для доказательства формулы G.47)
при t > 0 путь интегрирования дополним полуокружностью
бесконечного радиуса, лежащей в нижней полуплоскости
&@). Так как интеграл по нижней полуокружности равен
нулю, то интеграл в правой части G.47) равен вычету в точ-
точке &@) = -, умноженному на 2ш; в результате получаем
формулу G.47). Если же t < 0, то путь интегрирования
необходимо дополнить полуокружностью бесконечного ра-
радиуса в верхней полуплоскости k^t. Интеграл по этой полу-
полуокружности равен нулю, а интеграл в правой части G.47)
в данном случае равен вычету в точке &<о) = , умножен-
умноженному на 2ш; мы снова получаем формулу G.47). Если в
G.47) заменить знаменатель k2 подынтегрального выражения
на k2 — te, где е — бесконечно малое положительное число,
то полюсами при этом будут точки
положение которых показано на рис. 7. При этом можно
.132
интегрировать вдоль вещественной оси &(о). Учитывая соот-
соотношение G.47) получаем
4л/ге С pikx
?><(*) = -—d*k. G.48)
v BлL (J k*
с
Действуя на правую и левую части формулы G.48) опе-
оператором Даламбера, легко убедиться, что Dc (х) удовлет-
удовлетворяет уравнению
[JDc(x) = 4mhcb*{x). G.49)
Таким образом, Dc (x) является функцией Грина для волно-
волнового уравнения '. Правую часть в формуле G.48) можно пе-
переписать в виде четырехмерного интеграла Фурье
[у (Х) = _!_ Г Dc (k) eikx d* k, G.50)
где компонента Фурье равна
D4k)=~-. G.51)
Найдем компоненту Фурье Dclix (k) функции D^v (л:).
Так как дифференцированию функции по лгц соответствует
умножение ее компоненты Фурье на ik^, то
где /(k?) — произвольная функция от инварианта №, яв-
являющаяся Фурье-образом функции <р(х). Полагая /(&2)=0,
получим D^v(^)=D'(^N(iV. При /(й2)=— -^- функция
D^v (й) имеет вид
Такая функция Dc^(k) обладает свойством поперечности:
1 В квантовой теории поля, кроме Dc(x), часто рассматривают-
рассматриваются и другие функции, удовлетворяющие уравнению вида G.49).
которое в координатном представлении выражается в виде
Физические величины не зависят от произвольной функции
<р(х), а следовательно, не зависят и от f(k2).
Рассмотрим теперь функцию Sc(x), которая определена
формулой G.39) Можно показать что в четырехмерном
виде
1 Г JkX
Ас /х) = __L_ ' d* k. G52)
Действуя на правую и левую части формул G.52) оператором
Даламбера, убеждс*емся, что функция А (х) должна удовлет-
удовлетворять уравнению
(?2-Х2)Л<« = г6*(*). G-53)
Таким образом, &с(х) — функция Грина уравнения Клей-
Клейна — Гордона. Формулу G.39) перепишем в виде
'(*)*'** <*'*. G-54)
где согласно формуле 7.52) компонента Фурье имеет вид
Так как ?2+ xs= — (*'Тц*ц—х) (»Ум^и + х). тоФурье-ком-
поненту можно символически представить так:
Sc(k)=—± (Х-^Х-'О). G.56)
В знаменателе формулы G.56) не записываем мнимую вели-
величину —/|т)|(|т)| -> 0), а считаем х комплексной величиной
с бесконечно малой отрицательной мнимой частью. Согласно
G.39) формулу G.53) можно переписать в виде
G.57)
Отсюда видно, что S1 (а-) является функцией Грина для
уравнения Дирака.
§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Для определения вероятности некоторого процесса в за-
заданном приближении необходимо вычислить матричные
элементы следующего вида:
a*Oa(-) (*=1,2,...,л). (8.1)
a-a0
где Sa? — k-и член матрицы рассеяния; Фа, — вектор на-
начального состояния, описывающий систему свободных час-
частиц в начальном состоянии; Фа| — вектор конечного состоя-
состояния изучаемой системы. Так как свободные частицы обла-
обладают определенными импульсами, удобно представить вхо-
входящие в выражение для Su* операторы полей, свертки между
операторами и внешние потенциалы в виде разложений по
плоским волнам. Дальнейшие рассуждения будем проводить
в рамках квантовой электродинамики, при этом рассмотрим
систему, состоящую из спинорного и электромагнитного
полей, взаимодействующих между собой. Полученные при
этом результаты легко обобщить на изучение процессов,
обязанных взаимодействию полей другой природы.
Предположим, что функция fa(x, у, г) отлична от нуля
только тогда, когда точки х, у и z находятся внутри гипер-
гиперкуба объема Q = cTV, где L — длина ребра трехмерного
куба, Т — интервал времени. Это эквивалентно предполо-
предположению, что взаимодействующие поля заключены внутри
указанного гиперкуба. При этом можно разложить опера-
операторы поля в ряды Фурье. Подставляя разложения операто-
операторов поля в ряды Фурье в правую часть формулы (8.1), так
же, как и во второй главе, замечаем, что оператор Sa<. яв-
является оператором в классическом смысле. Это позволяет
выбрать основные функции fa(x, у, г) таким образом, чтобы
они удовлетворяли условию
I im /a (х, у, г) = б4 (дс — у) б4 (х — г).
а->а„
Учитывая это условие и переходя в формуле (8.1) к пределу
a -> a0, получим выражение для SlkJf.
Точно такое же выражение для S/*1/ получится, если
в формуле (8.1) сначала.перейти к пределу а ->- осо, а затем
разложить операторы поля в интегралы Фурье. Совпаде-
Совпадение результатов показывает, что первый строгий путь
135
является обоснованием второго символического рассмот-
рассмотрения выражения, стоящего в правой части формулы (8.1).
Исходя из этого, чтобы сократить выкладки, с самого нача-
начала в формуле (8.1) перейдем к пределу а -*¦ а0 и разложим
операторы поля в интегралы Фурье. Аналогично будем
поступать в остальных параграфах настоящей главы, а
также в гл. IV,V.
Разложения операторов в интегралы Фурье дают фор-
формулы:
Av(*) = -J— [d'ki /^ {ак, eikx
dipApi Ci-ps eipx s{p2-%i)' (8-3)
Связки между операторами согласно G.9) и G.38)
равны
Bя)'J
аа W%°(*') - -5ре„ (х-х) = —^ J d*pSU (Р)
(8.4)
Интеграл Фурье внешнего потенциала А^\х) можно запи-
записать в виде
AJT» (ж) = -±ft j d^qAf(q)e^, Af (g) = J d« х<» (х) *-'«*.
(8.5)
Вектор состояния Ф^ (и Фу) можно представить в виде линей-
линейной комбинации произведений частных векторов состояния,
каждый из которых описывает систему из определенного
числа частиц одного и того же сорта с одинаковыми импуль-
импульсами и спинами (или поляризациями).
Введем обозначения: fe(nps) — вектор состояния элект-
электрона; /Y («kx)^—вектор состояния фотона; «ps—числоэлект-
136
ронов в состоянии с импульсом ftp и с заданным спино-
спиновым квантовым числом s; пик—число фотонов в состоянии
с импульсом ftk и поляризацией X.
Матричные элементы операторов полей легко опреде-
определяются из формул (8.2) и (8.3). Матричные элементы опе-
операторов ф (х) и ty(x), соответствующие поглощению и испус-
испусканию электрона или позитрона с импульсом Йр и кван-
квантовым числом s равны
(/ @ps+), ^1
W), •ф!
(8.6)
При выводе формул (8.6) учтено, что Ajj~s+, А?+—операторы
рождения и поглощения электрона с импульсом ftp; Aps-,
Ар^- —операторы рождения и поглощения позитрона с
импульсом — ftp. Матричные элементы оператора Ац (х), со-
соответствующие поглощению и испусканию фотона с им-
импульсом ftk и поляризацией X, согласно формуле (8.2)
равны:
))= — ^
(лki)) = Х /
BлK/2 У *@)
(8.7)
Подставим выражения для сверток, внешних потенциалов
и матричных элементов из (8.4), (8.5), (8.6) и (8.7) в формулу
(8.1). Группируя множители типа e'pxi с заданным х} (здесь
р — четырехмерные волновые векторы свободных частиц или
переменные интегрирования в интегралах Фурье для функ-
функций Л<е), S ' и Dc), получим e'^p)xi, причем число векто-
векторов в 2р равно трем, т. е. равно числу линий, проходящих
через вершину х\ графика. Как известно, интеграл по х, от
137
множителя e<(Ip)*' равен BяLб4Bр), где б4(Ер) — четы-
четырехмерная б-функция. Поэтому проинтегрировав по
xlt ..., хк, получим произведение k четырехмерных б-функ-
ций.
Каждой линии графа соответствует определенный четы-
четырехмерный вектор р. Функции S' и D', описывающие вну-
внутренние линии графа, зависят от (хл — хг), где хл н х2 —
координаты концов соответствующей внутренней линии.
Поэтому концам любой внутренней линии соответствуют две
б-функции, в которые вектор р входит с противоположными
знаками. На этом основании векторы hp, соответствующие
внутренним линиям графа, можно интерпретировать, как
четырехмерные импульсы виртуальных частиц, рождаемых
на одном конце внутренней линии и поглощаемых на другом
ее конце. По компонентам временной и пространственной
составляющих четырехмерного импульса виртуальной час-
частицы производится интегрирование. Поэтому между этими
составляющими не существует никакой связи.
Внешним линиям графа, уходящим на бесконечность,
соответствуют четырехмерные импульсы реальных частиц,
принимающих участие в рассматриваемом процессе.
В выражении для S'*1) интегрирование производится
как по импульсам виртуальных частиц, так и по перемен-
переменным q, которые возникли от разложения внешних потенциа-
потенциалов в интеграл Фурье. Кроме того, в выражении для S\k).,
производится суммирование по поляризациям виртуальных
фотонов.
Четырехмерные б-функции, возникшие при интегриро-
интегрировании по x-i, ..., xh, обеспечивают соблюдение закона сохра-
сохранения энергии-импульса в каждой вершине графа.
В матричном элементе каждой функции Dc на графе
Фейнмана соответствует внутренняя фотонная линия, двум
концам которой сопоставляются матрицы yv и у^ При этом
в матричном элементе матрицы ух и Sc располагаются в та-
такой последовательности, считая справа налево, в которой
они встречаются на соответствующем графе, если двигаться
на нем вдоль электронной линии.
Рассмотрим частный случай, когда граф содержит замк-
замкнутые электронные петли с четным числом электронных ли-
линий. Покажем, что в выражении S\nJj каждой электронной
петле соответствует взятый со знаком минус след произведе-
произведения матриц 7ц и Sc, относящихся к данной петле. Для этого
138
рассмотрим часть графа, содержащую замкнутую электрон-
электронную линию (рис. 8; квадраты А и В обозначают остальную
часть диаграммы) Множитель, которому сопоставляется
петля на рис. 8, равен
= N
(R R)
Используя выражение для сверток операторов, получим
G = — ( Yn)ap Spe (JC, — ДСа) ( Yv)eP Spa (ДСа — ЛГХ) =
= -Sp[Y,S'(Xl-xt) YvS'¦(*,-*!)], (8.9)
что и требовалось доказать.
Рис. 8
Аналогично можно показать, что для диаграммы с I
замкнутыми электронными петлями, состоящими из чет-
четного числа линий, матричный элемент S\nJf получает мно-
множитель (— 1)' .
В заключение приведем правила написания матрич-
матричных элементов для произвольной диаграммы, найденные
Фейнманом.
1. Внешней электронной или позитронной линии со-
соответствует СПИНОр Vps = Bп)-'А1? Ср., ИЛИ Up. = Bп)~3/2 Ср, ,
причем cps+и cps+ соответствуют поглощению и испуска-
испусканию электрона с импульсом Йр и поляризацией s4a, а
c_ps-и c_.pS поглощению и испусканию позитрона с
импульсом ftp и поляризацией s~.
2. Внешней фотонной линии, описывающей фотон со-
ответствует множитель а^ — Bл)~
3/2
у
2я/гс
где
(о = ?(о)С—частота; е(^> — единичный вектор поляризации;
внешней фотонной линии, описывающей внешнее электро-
электромагнитное поле,— множитель Bя)~4 А^1 {q) — A^\q).
139
3. Внутренней электронной линии с импульсом tip
соответствует матрица
Bд)«
1
BлI
4. Внутренней фотонной линии с импульсом hk соот-
соответствует множитель
* V BлL V ' Bjx)j ik*
5. Вершине диаграммы с индексом суммирования ц, в
которую входят электронная линия с импульсом fipl и
фотонная линия с импульсом hk и из которой выходит
электронная линия с импульсом frp2, соответствует мно-
множитель
6. Матрицы, действующие на спинор, располагаются
справа налево в таком порядке, в котором они встречаются
при движении вдоль электронной линии.
7. В матричный элемент диаграммы, содержащей замк-
замкнутую электронную петлю с четным числом электронных
линий, входит взятый с обратным знаком след произведе-
произведения матриц 7ц и Sc, относящихся к рассматриваемой петле.
Матричные элементы диаграмм, в которые входят замкну-
замкнутые электронные петли с нечетным числом электронных ли-
линий, равны нулю (см. § 9).
8. По четырехмерным импульсам внутренних линий,
изображающих виртуальные частицы, и по переменным q,
возникшим от потенциалов внешних полей, производится
интегрирование, а по поляризациям виртуальных фотонов—
суммирование.
9. Численный множитель, стоящий в выражении для
S\nJf перед интегралом, равен
где / — число электронных петель с четным числом электрон-
электронных линий; 8р — четность перестановки индексов импуль-
140
/I 2 \
сов электронов в {:,'. j[ "."J (здесь 1, 2,... нумеруют началь-
начальные, а Д, /2, ... — конечные импульсы электронов); п —
число вершин в диаграмме Фейнмана; г — число эквивалент
ных диаграмм, описывающих данный процесс.
В квантовой мезодинамике (скалярной или псевдоска-
псевдоскалярной) необходимо добавить следующие правила:
1) каждой внутренней мезонной линии с импульсом hk
соответствует множитель
ft 1
BяLс/
2) каждой внешней мезонной линии, изображающей
мезон с энергией Йо)к = й |/fca-|-lu2i соответствует фактор
BяK'2
3) каждой вершине, в которую входят нуклониая линия
с импульсом Spj и мезонная с импульсом Hk а из которой
выходит нуклонная линия с импульсом Нр2, соответствует
множитель
где G — мезонный заряд, Г — соответствующий оператор.
§ 9. ЗАМКНУТЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛИНИИ
С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ВЕРШИН
Теорема Фарри. Суммарный матричный элемент, соот-
соответствующий диаграммам, содержащим замкнутые внутрен-
внутренние электронные или другие фермионные петли, состоящие
из нечетного числа линий, равен нулю.
Доказательство. Процесс, в котором принимает
участие нечетное число виртуальных фотонов, описывается
двумя графами с противоположными направлениями обхода
вдоль замкнутой электронной петли (рис. 9). Сумма мат-
матричных элементов, соответствующих этим диаграммам, S?i/
и S°li определяет весь процесс:
Sw = Sfi, + S?:,. (9.1)
141
Согласно формуле (8.8) петлям на рис. 9 соответствуют
множители, входящие в S?.lf и S?i.j (Л/ —число вершин в
петле):
...SF(p-kN)y^SF(p)}, (9.2)
Stf= \d*p'Sp[SF(p')y]X SF(p'-
6)
I
/ + \ /
c, \ /
/ ч /
Рис. 9
Используя формулу
A = SpC~1AC, (9.3)
где А и С—произвольные матрицы1, преобразуем Sfjj к
виду
S\t)= ] d*p' Sp[C-] SF(р')ССг'у^СС'1 SF(p' + kN)C...
v^C]. (9.4)
Выберем матрицу С так, чтобы выполнялось соотношение
где Уп — матрица, транспонированная относительно мат-
матрицы у . Тогда согласно формуле (9.5) имеем
1 Однако следует учесть, что матрица С не должна быть
сингулярной,
142
Используя формулы (9.5) и (9.6) получаем
...S'i-p' + kJvJ, (9.7)
а производя замену переменной р' = —р и учитывая со-
соотношение Sp A = Sp А, где Л — произвольная матрица,
найдем
...S^p-MY^S''(/>)]. (9.8)
Согласно формулам (9.2) и (9.8) при нечетном Л/ матрич-
матричный элемент S' = S\a2.j +5|^., равен нулю, что и требо-
требовалось доказать.
Полученный результат интерпретируется следующим
образом. Фермионные линии соответствуют положительным
или отрицательным электронам (см. рис. 9, где приведены
зяряды частиц). Диаграмма на рис. 9, б отличается от диа-
диаграммы на рис. 9, а обратным направлением электронных
линий, так как обратному направлению линии заряженного
фермиона соответствует обратный знак заряда, то матрич-
матричный элемент S}t\ отличается от матричного элемента S(ta2f
только множителем (—IK = —1, откуда S\a2j + S\b}j = 0.
В общем случае любой замкнутый многоугольник из
электронных линий (замкнутая петля) с нечетным числом
вершин дает нулевой вклад в матричный элемент.
§ 10. ВЕРОЯТНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ
Определим вероятность перехода системы из начального
состояния, описываемого вектором состояния Ф;, в конеч-
конечное состояние, характеризуемое вектором состояния Фу.
В приведенных далее процессах начальные и конечные со-
состояния относятся к непрерывному спектру. Поэтому нам
требуется рассмотреть обычную задачу теории рассеяния,
когда до включения взаимодействия имеется s потоков раз-
различных частиц с вполне определенными волновыми числами
р, р, и внутренними квантовыми числами аь ..., as,
характеризующими спин, заряд, массу, и вычислить сред-
-.113
нее число частиц, рассеянных с волновыми числами, нахо-
находящимися в интервалах (pi + ^Pi), •••. (Рг ~Ь фг) и с внут-
внутренними квантовыми числами aj, ..., аг. Вектор состояния
для случая одной частицы можно представить в виде
(ЮЛ)
где Фу—вектор вакуумного состояния; а?а—оператор
рождения одной частицы. Из A0.1) имеем
p. A0.2)
Полагая, что N — общее число частиц с заданным а, будем
интерпретировать выражение |х0 (р)|2Ф как число частиц,
характеризуемых внутренним квантовым числом а и обла-
обладающих импульсом, заключенным в интервале (р, р + dp).
Таким образом, Хо (р) — волновая функция частицы в им-
импульсном представлении. Фурье-компонента этой функции
является волновой функцией в конфигурационном представ-
представлении
Фа (г) = -^зТг J e'prXa (P) dp. A0.3)
Квадрат нормы функции фо(г) равен
величина |<p<j(r)|2dV — число частиц в объеме dV. Пусть
N-*-oo, но так, чтобы при этом
A0.4)
Тогда согласно формуле A0.3)
|cpa|(r)|2->n,
и в пределе на единицу объема будет приходиться п частиц.
Согласно A0.4) из выражения A0.1) для волнового вектора
одночастичного состояния, нормированного на единицу
объема, в пределе получим
+0Фу. A0.5)
Вектор состояния нескольких сортов частиц равен
Фг= JdPiXo,(Pi)dpta,... $<*Р.Хо.(р.)#ЛФ,, (Ю.6)
К4
а квадрат нормы такого вектора состояния равен произве-
произведению квадратов норм векторов одночастичных состояний:
¦Аналогично находим, что вектор многочастичного состоя-
состояния, нормированный для частиц каждого сорта на единицу
объема, равен
Ф, = BЯ)»»/* V4«2-«S ^ (Pi)flo: (P.)- flo", (Р„) Фу. (Ю.7)
В результате взаимодействия система перейдет из состояния,
описываемого вектором A0.7), в состояние, которое харак-
характеризуется вектором
.Р8 о, , (Ю.8)
Среднее число частиц в конечном состоянии, описывае-
описываемом вектором состояния Ф/; равно
КффI' A0.9)
(Ф/.Ф/)
Действительно, пусть (Ф^)-—полная система векто-
векторов (конечных) состояний, где Ф^ = Ф^—вектор интере-
интересующего нас состояния. Вектор ФП = 8Ф; можно разло-
разложить вряд по полной системе векторов {Ф}*'}:
Фа=5ф;='?пГ' A0Л0)
откуда находим
(Фа. Фа) = 2кА!а. A0.11)
k
Если интерпретировать (Фо, Фа ) как полное число частиц
во всех конечных состояниях, то согласно формуле A0.11)
квадрат модуля коэффициента ск дает число частиц, которое
под действием взаимодействия перейдет в состояние, характе-
характеризуемое вектором Ф(^\ Умножая скалярно левую и правую
6 Зак. 136* -45
части A0.10) на вектор состояния Ф/ЦФ/Ц и учитывая свой-
свойство ортогональности этих векторов, получаем
0 ЦФ/11
Возведя правую и левую части A0.12) в квадрат, приходим к
формуле A0.9).
Согласно A0.8) из равенства A0.9) находим
^ П1...П8BяKЧ(Ф/, §Фр,о,-р.а.I' 3)
1 (Ф/.Ф/) "
Вектор конечного состояния системы частиц, рассеянных
в интервалы волновых чисел Api,..., Дрг в окрестности
средних значений р|,... ,рг, можно записать в виде
,а1...кгогЛ1...*кг, A0.14)
где п\— число частиц 1-го сорта в единице объема; G—об-
G—область интегрирования, равная произведению объемов
Ар'... Дрг. Квадрат нормы вектора Фг равен
(Ф,, Ф/) = BяK' П (щАр]). A0.15)
Подставляя выражения A0.14) и A0.15) для Фг и (Фя Фг)
в формулу A0.13), находим
-"- f Л,... dK (Фк1 Ol... к 0/ йФР1 в1... Ps O/X
Др J
: f
Др, ... Др, J
л1...п8|(Ф... р' ... , §Ф...р...)| Api ... Apr, A0.16)
где
После выполнения в (Ф..., §Ф...) всех указанных в § 8
интегрирований получим
146
В формуле A0.17) остается только одна четырехмерная
б-функция, которая содержит разность начальных и ко-
конечных четырехмерных импульсов частиц (деленных на %).
Согласно A0.17) имеем
Для того чтобы избавиться в формуле A0.18) от одной
б-функции, заметим, что
64(<7)=-!_ lim Г е^а4х A0.19)
Bя)< г. v~oo J V
(V. сТ)
отсюда имеем
[[bii,q)\idiq = [diq^{q)\-^— lim f е">х&
J J BяL V. Г-зо J
L (V. cT)
= _i_ lim Г d*x- lim -1—VT. A0.20)
BП)« И. Г^оо J И. Г-ооBлL '
V T
J
V, cT
Из этого следует, что
7
Формулу A0.21) можно получить и другим способом. Действи-
Действительно, можно написать
-lin. i- [
в-юо я q
отсюда вытекает
2 1 sin2 9*о 1 ,. .. 1 sin2 9*0
*0->эо я2 q2 л *„-*> *0-.оо я ха q*
Как известно, для б-функции справедлива формула
б(о)= lim ^г- . A0.22)
*0-.ос я xaq*
Поэтому окончательно получим
m2x0, A0.23)
что для четырехмерной функции Дирака приводит к формуле A0.21),
так как VT = 2xu-2yu-2z^2ta.
6* И7
Учитывая формулу A0.21), получим для |(Ф...,
выражение
'Т. A0.24)
Подставляя выражение A0.24) в A0.16) и деля на VT,
получим формулу для числа частиц, рассеянных в интер-
интервал dpi ,..., dpi в единице объема за единицу времени:
A0.25)
В случае рассеяния частицы на частице (r = s—2) фор-
формула A0.25) получает вид
P1=cBa)in1nt\M,f\ib* (pt + pt—p'i—p2) dp\ dpi A0.26)
Так как pi-полностью определяет рг и, наоборот, инте-
интегрируя в A0.26) по р2, найдем
Рг = с BлJ пх п21 Mif |2б4 (Pl {0) + р2{0)- р\ @) - р; @)) dpJ,
A0.27)
где N[if взято при р2 = р1+р2 — Рь Чтобы избавиться
в формуле A0.27) от б-функции, поступим следующим
образом. Имеем
dp! = d3pl = | p| |2d|p
а из соотношения j p', |2— p'*wJrl!i = Q находим
|р; hi/>;[=/>; @,^@),
поэтому выражение для dp', приобретает вид
Интегрирование по р\ @) легко выполнить, если заменить
dp, @) на d(^p'{ @)). Так как %р'. @)-функция от р\ @),
то
148
откуда
@)
A0.30)
Учитывая
формулу A0.30),
d3pi—dpl Pi
дР\ @)
находим, что
д{^Рцо)}
дР\ @)
A0.31)
Подставляя отсюда d3p\ в выражение A0.27) и интегри-
интегрируя по р\ @), получаем
@)
'I @)
;1 @)
Как известно, Р3 можно представить так:
Р3 = /ix n2 v12 do,
A0.32)
A0.33)
где v12 — модуль разности скоростей частиц в первом пучке
относительно частиц во втором пучке; do — дифференциаль-
но,е эффективное поперечное сечение.
Скорость у12 = с, если частицы в первом пучке — фото-
фотоны. Если же эти частицы обладают массой покоя, отличной
от нуля,то v12= c^-\ действительно, в системе координат,
Р@)
связанной с частицей второго пучка, имеем
'12'
Величина do имеет размерность площади [смг\, а интеграл
от do по полному телесному углу называется полным эффек-
эффективным поперечным сеченнем.
149
Сравнивая формулы A0.32) и A0.33), для дифференциаль-
дифференциального эффективного поперечного сечения получаем выражение
-!2i-dQ\
@)
ар,
@)
A0.34)
отсюда находим полное эффективное сечение интегриро-
интегрированием по du\'.
о (р
сBя)
2,
MlffdQ\. A0.35)
Допустим, что пучок рассеивающихся частиц не поля-
поляризован (т. е. частицы этого пучка имеют различные ориен-
ориентации спина), а приборы, регистрирующие рассеянные час-
частицы, реагируют на частицы со всеми значениями проекции
спина. В этом случае по спиновым индексам рассеянных
частиц производится суммирование, а по спиновым индек-
индексам рассеивающихся частиц — усреднение. Обозначая эти
операции символом 2, перепишем выражение для дифферен-
• о
циального поперечного сечения в виде
с BлK р, р,
@)
@)
др
I @)
A0.36)
§ 11. ВЕРОЯТНОСТИ ПРОЦЕССОВ РАССЕЯНИЯ ВНЕШНИМИ
ПОЛЯМИ И ЧАСТИЦАМИ В СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЯХ
1. Рассеяние внешними полями. В данном случае внеш-
внешним линиям графов Фейнмана, изображающим внешние
поля, нельзя приписать определенные волновые числа.
Поэтому импульс системы не сохраняется, сохраняется толь-
только энергия (если внешние поля не зависят от времени). Для
150
матричного элемента S-матрицы теперь получаем формулу
(Ф..., $o...) = 6Bp@,-2p('o,)Mt/. (П.1)
Используя формулу A0.23), находим отсюда
Согласно A1.2) при помощи вычислений, аналогичных
вычислениям § 10, получим число частиц, рассеянных
в интервалы dp\ dp'r B единицу времени:
A1.3)
Пусть частица при рассеянии на внешнем поле рождает
еще одну частицу с волновым вектором к (тормозное
излучение). Полагая s—\, r = 2, перепишем формулу
A1.3) в виде
P = cBnyn1\Ml/\4(pU0)-p'U0)-k@))dp'ldk. A1.4)
Выполнив интегрирование по dp\ @), а также суммирова-
суммирование и усреднение по спиновым индексам, из выражения
A1.4) найдем
^i\Mi/f\p[lp[i0)d^dk
а р\ @) р\ @) @)~и
A1.5)
Формулу A1.5) можно представить в виде
Pj = пх v1 da1,
отсюда находим дифференциальное эффективное сечение
рассеяния внешним полем:
d сBя?|Д1 |2| | ; dQ']dk\ =0.
Р1 @) Р\ @) *@)
A1.6)
2. Процессы с участием частиц, находящихся в свя-
связанных состояниях1. Вектор одночастичного связанного
состояния можно записать в виде
а?ФУ, (П.7)
1 Предсгавление взаимодействия Фарри для связанных состояний
изложено в гл. VI.
151
где А,— квантовые числа этого состояния Квадрат нормы
этого вектора равен
(Ф..Ф,) = ?<?<* (П.8)
и, следовательно, с^сх представляет вероятность того, что
частица находится в состоянии с квантовыми числами А,.
Функция С), — волновая функция частицы в Х-представле-
нии Волновую функцию частицы в конфигурационном пред-
представлении можно записать так:
Ф(г) = |^ф^(г), (П.9)
где (рх — стационарные волновые функции (собственные
векторы оператора энергии частицы). Квадрат нормы функ-
функции ф(г) равен
(Ф, Ф) = ^^Сг1 = ^. A1.10)
Пусть теперь сх = би. Тогда формула A1.10) преобра-
преобразуется к виду
(Ф, Ф)=1, A1.11)
а формула A1.7) —к виду
Ф, = а+Фу. A1.12)
Ради простоты ограничимся следующим примером: найдем
вероятность самопроизвольно!о перехода частицы одного
сорта из связанного состояния А, в связанное состояние ц с
одновременным рождением частицы другого сорта В данном
случае вектор начального состояния выражается формулой
A1.12) Вектор конечного состояния можно записать так:
j A1.13)
Дк
где ajt — оператор рождения частицы первого сорта в ^-со-
^-состоянии; ata — оператор рождения частицы второго сор-
сорта в состоянии с волновым числом к и внутренними кван-
квантовыми числами а, Дк — интервал волновых векторов, в
котором заключен волновой вектор частицы второго сорта.
Квадрат нормы вектора Фу равен
По общим правилам квантовой механики среднее число час-
152
тип в конечном состоянии с вектором состояния Ф, равно
(Ф/, Saj~ фЛ2
(Ф/. Ф,) "Дк
J
АР
= Дк(Ф. . , &D...J. A1.15)
В рассматриваемом случае для частиц, находящихся
в связанных состояниях (так же, как и в первом случае),
импульс не сохраняется, сохраняться будет только энергия;
следовательно, квадраты матричных элементов S-матрицы
надо подсчитывать по формуле A1.2).
Подставляя выражение A1.2) для матричного элемента в
формулу A1.15) и деля на Т, получим число частиц второго
сорта, рассеянных в интервал dk в единицу времени:
c|k|fe@)
—
j^/(UQ)l{Q) A1.16)
интегрируя по ?<о), избавляемся от б-функции и находим
о- \пл1)
@) ''i @) @)
Здесь необходимо еще произвести суммирование по спино-
спиновым индексам (или по индексам поляризации).
§ 12, ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА В ТЕОРИИ
ПСЕВДОСКАЛЯРНОГО МЕЗОННОГО ПОЛЯ
В классической теории псевдоскалярного вещественного
мезонного поля, взаимодействующего простейшим образом
со спинорным полем, плотность гамильтониана взаимодейст-
взаимодействия выражается формулой
Согласно замечанию, сделанному в конце § 3, при переходе
к квантовой теории поля вместо формулы A2.1) получим
следующее выражение для оператора плотности энергии
взаимодействия (в представлении взаимодействия): ;
f«и (*)
~ G S
A2.2)
Согласно формуле A2.2) S-матрица в мезоиной теории по-
получает форму, аналогичную S-матрице в квантовой элект-
153
родинамике. Матричный элемент от S\ равен нулю, так как
энергия и импульс не сохраняются при излучении или по-
поглощении свободного мезона свободным нуклоном. Поэто-
Поэтому рассмотрим матричный элемент от S2l который имеет вид
= iteYv Jd'*1 J d% ^ ${Xl) *5 *{Xl) *{Хг) Уь
t[i^]|, A2.3)
Здесь Т-произведения для нуклонных и мезонных операто-
операторов записаны отдельно, ибо они коммутируют между собой.
Диаграммы, соответствующие отдельным членам матричного
элемента от S2, имеют такой же вид, как диаграммы, пред-
представленные на рис. 4.
Рассмотрим отдельные члены матричного элемента от
S2. Выражение Ы^^Щфф) имеет вид (SiJ, ему соответст-
соответствует граф на рис. 4, а. Матричный элемент от (SiJ равен
нулю, так как энергия и импульс не сохраняются. Выра-
Выражению (¦фФ'ф)('ффтЬ) соответствует диаграмма на рис. 4, б;
I i
она описывает процессы рассеяния нуклона на нуклоне,
антинуклона на нуклоне. Диаграмме на рис. 4, в соответст-
соответствует выражение(фф1())(г1>ф1|з); эта диаграмма описывает рас-
рассеяние мезона на нуклоне, рассеяние мезона на антинукло-
антинуклоне, аннигиляцию нуклона и антинуклона с излучением двух
мезонов, рождение пары нуклон—антинуклон двумя взаимо-
L Г~'
действующими мезонами. Выражению (¦ффф) (^Ф'Ф) сопостав-
сопоставляется граф на рис. 4, г, описывающий взаимодействие ме-
мезона с нуклонно-антинуклонным вакуумом (собственная
I— — |
энергия мезона). Член СФф^Х^фЧ1) и соответствующий ему
граф на рис. 4, д описывают взаимодействие нуклона или
антинуклона с вакуумом мезонного поля (собственная энер-
энергия нуклона). Наконец, выражение (ф<Й>)(ф<И'), диаграмма
I.
Фейнмана которого представлена на рис. 4, е, описывает
виртуальное образование пары нуклон—антинуклон и ме-
мезона с последующим поглощением и пары, и мезона (пере-
(переход вакуум-вакуум, т. е. флуктуации вакуума).
ГЛАВА IV
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
§ 1. СПОНТАННОЕ (САМОПРОИЗВОЛЬНОЕ) ИЗЛУЧЕНИЕ
ФОТОНА
Рассмотрим возбужденный атом. Будем считать, что воз-
возбуждение вызвано переходом только одного электрона на
более высокий энергетический уровень. Найдем вероятность
спонтанного перехода электрона на первоначальный энер-
Рис. 10
гетический уровень с одновременным излучением соответ-
соответствующего фотона. Этот переход описывается членом S-мат-
рицы первого порядка Sj и графом на рис. 10.
Электроны в начале и конце процесса находятся в свя-
связанном состоянии. Поэтому обе электронные линии на рис. 10
необходимо описывать не плоской волной, а соответствую-
соответствующими волновыми функциями связанных состояний. Обоз-
Обозначим: uie""'p<°)'t<0)—функция, соответствующая входя-
входящей линии на графе Фейнмана; и.уР@) *<°>— функция, соот-
соответствующая выходящей линии на графе Фейнмана, где
мг и Uf — не зависящие от времени решения уравнения Ди-
Дирака для электрона в кулоновском поле. Фотонной линии
в матричном элементе соответствует множитель
V
155
Учитывая сказанное, для матричного элемента спонтанного
излучения фотона получаем выражение
;(;fe(o,)- A1)
В этой формуле поперечное электромагнитное поле опи-
описывается при помощи множителей eW и e{$ ¦ Согласно
выражению (II.5.12) имеем
Учитывая это, найдем квадрат модуля матричного эле-
элемента S,-.,./:
A.3)
Учитывая выражение A.3), по формуле (III. 11 17) нахо-
находим вероятность испускания фотона в единицу времени:
^f A.4)
или окончательно
\^]f A.5)
где dQ' — элемент телесного угла в направлении излуче-
излучения фотона. Эта вероятность не равна нулю, если квадрат
матричного элемента
^ulerl^dV A.6)
не равен нулю. Матричный элемент М^ в нерелятивистском
случае в первом приближении равен матричному элементу
дипольного момента
^]гщйУ, ,..., A.7)
где щ им, — собственные функции стационарного уравне-
уравнения Шредингера для электрона в потенциальном электроста-
электростатическом поле атомного ядра. Формула A.7) получается из
равенства A.6) разложением экспоненты е~'к' в степенной
ряд. Исследование выражения для dit позволяет найти пра-
правила отбора для дипольного излучения.
§ 2. КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Комптоновское рассеяние — рассеяние фотона на элект-
электроне. Этот процесс в наинизшем приближении описывается
двумя диаграммами Фейнмана второго порядка (рис. 11).
На первом графе происходит сначала поглощение фотона
с импульсом Йк, а затем испускание фотона с импуль-
импульсом Йк', на втором графе — наоборот, сначала излучается
фотон с импульсом йк , а затем поглощается фотон с импуль-
импульсом Йк. Матричный элемент для изучаемого процесса в пер-
первом порядке равен нулю, а во втором порядке равен
S|/=S^>:+S{f», B.1)
где
00
X f Г
e< (**.-*'*.-p'*.+№) cYi p.t. e'(v) (yv)y6 X
—oo
00
lB 5i xj^^^^^#(v^4,pS' B-2)
—00
Вводя обозначения для скалярных произведений:
Ё-й"^, 0 = *Тр*р B.3)
и интегрируя по хг и х2, преобразуем формулу B.2)
к виду
p,s,e;« f^(-^eaex
-q)^(k'-p'-q). B.4)
Интегрируя в B.4) no q, имеем
-p'-k'). B.5)
Матричный элемент Sjf получим из Sjf заменой Ё' на
Ё, (P+R) на (Р-К'), (p + k) на (p-k1):
Из выражений B.1), B.5) и B.6) находим
|Siy|» =— г- k,p>5-{Ev6-Y^f2~Xla6a Ё«Р +
для удобства выражение в фигурных скобках обозначим
через L:
¦ -it'«~ »Е • B8)
158
Выберем систему координат, в которой электрон вначале
покоился, т. е. в которой р = (О, 0, 0, i%). Тогда будем
иметь
', k')~2(p, fc')
= -2(р, k') =
Отсюда получаем формулу
B.9)
Упростим М. Учитывая свойства матриц Дирака, получим
d = — 2 (а, Ь). B.10)
Используя формулу B.10), в которую вместо а и b под-
подставлены Р и Ё (или Ё ), а вместо а и b—р и е (или
е'), представим М в виде
Учитывая, что в B.7) оператор М действует на волновую
функцию электрона с(р) в импульсном представлении,
а также используя уравнение Дирака в импульсном про-
пространстве:
перепишем выражение для Л1 в виде
М = А:('о)Ё'КЁ — 2(р, e)k'@)E
+ 2(р, e')kmt.
С помощью калибровочного преобразования подберем та-
такие векторы поляризации, которые имеют только про-
пространственные компоненты. В этом случае
(р, е) = (р, в') = 0, B.11)
159
так как вектор р имеет только временную компоненту,
а векторы е и е' — только пространственные компоненты.
Поэтому для М получаем выражение
'. B.12)
Согласно формуле B.8) имеем
(cp-s' Lcps)+ = О'срЧ' PLcps)+= — tcps L+f5cp.S' =
= — ;4fS$L+Pcp.s< = — cpsLcpv, B.13)
где введено обозначение L = P L+ p. Используя это, на-
напишем
(cps- LcpsJ = —(cp's- Lcps) (cps Lcp'S'). B.14)
Преобразуем далее выражение для M = EM+f3:
М= р[^@)Ё'КЁ+ ^@)ЁК'Е']+р =
: К Е , B.15)
где учтено, что
Выражение для | S;/ |2 дает вероятность рассеяния фотона
электроном с определенным спином в начальном и конечном
состояниях.
Если электрон находится в состоянии с неопределенным
спином, то следует произвести усреднение по спину в на-
начальном состоянии и суммирование по спину электрона в
конечном состоянии, т. е. необходимо определить сумму
2 2
<iS./|2> = ±2
s«=.l s'
Согласно равенству B.13) имеем
'¦ 2 2
s=l s'
2 2
•¦=-—У У Vc (L) с )-\д A) с 1 =
5» ^d Md L a, p's' v 'op Э, psJ I \, ps v '\b 6, p's'J
•160
Учитывая дважды формулу A11.7.35)
2 .
2 'Са. р5 СР, ps
преобразуем выражение B.16) к виду
/a i L (t) -'(p-x)py(E) /i
о *d a, p V v 'aP On vS б, рV
^Sp(P'-X)M(P-x)M].B.17)
Введем обозначение -
B = (P'-x)M(P-x)M. B.18)
Для вычисления SpB воспользуемся следующими тео-
теоремами.
Теорема 1. Можно циклически переставлять матрич-
матричные, сомножители под знаком следа.
Так, например,
2 (руу 2 yf^ p
; d,P, Y a, P, Y B.19)
Теорема 2. След произведения нечетного числа мат-
матриц . ум равен нулю.-
Доказательство. Воспользуемся формулой
VsT^+iVs^0- B-20)
или
АЛЛ 1 Л
Уь V,, Y5 = ~ Уй,
откуда
Взяв следы обеих частей равенства B.21) и учтя теорему 1,
приходим к соотношению
откуда видно, что след произведения нечетного числа
матриц уц равен нулю. В частности
SpV(i = O. B.23)
Аналогично находим
Sp y5= -Sp [T(i Y5 y~l] = -Sp v5=0. B.24)
Теорема 3. Если п — четное число, то
[К - К) = ?(~
где i, А, /, т ...—некоторая комбинация индексов vlt va,
v3 .. . Сумма в выражении B.25) берется по всем возмож-
возможным комбинациям пар чисел (i, k), (/, т) ...; число членов
суммы, т. е. число таких комбинаций, равно
п1 = 1-3-5 ... (л— 1).
AI
Число Р в B.25) определяется следующим образом. Каждой
матрице yv сопоставляем точку на окружности, распола-
располагаем эти точки в том же порядке, в котором расположе-
расположены матрицы Yv. и соединяем точки попарно прямыми
линиями.
Тогда каждой прямой линии, соединяющей точки i и
k, соответствует множитель 8ik, а каждому способу соеди-
соединения точек, т. е. каждому разбиению индексов I, k, I,
т, ... на пары (t, k), (I, m), ... — член в сумме B.25),
причем Р—число точек пересечения прямых линий.
Проверим эту теорему для частных случаев. Пусть
сначала л = 2, тогда согласно перестановочным соотноше-
соотношениям
\ i + Vv Уд = 2вцу B.26)
имеем
SP(Уд Vv)= SP(К Тд) = YSP^Vv Уд + Уд yv) =
= 6j,vSp/ = 4бдУ, B.27)
162
где учтено, что
Sp / = 4. B.28)
Пусть теперь п = 4; используя теорему 1 и формулы
B.26) и B.27), получаем
SP Т„ Tv Vp Yo = Sp [26^ - yv yJ Yp Yo = 26^vSp yp ya-
~ SP Vv \ Yp Ye = 8^v 8pa- Sp Yo Yv Y^ Yp = 8Spv Spa-
- Sp [26OV - Vv Yj Y|l Yp = 86^v 6pa-860v %р +
+ SP Vv Yo ^ Тр = 8о^ 6pO-86av бцр + Sp yp Yv i Y^ =
= 4v «pa-86av «,p + Sp [2Spv- Yv Yj Ya Y,=
= 86,,v 6pa-86av б„р + 8fipv бац ~ SP Vv Yp Yo V
откуда следует окончательная формула
|Sp(V, Yv Yp Ya)= 6,v «pa-6av «„,+ 6pv V
Yv Yp Ya)
Теорема 4. Из формул B.25), B.27), B.29) следует,
что след произведения матриц yv Равен следу произве-
произведения матриц yV' записанных в зеркальном порядке, т е.
SP TV| Vv2 - YVn = SP YVn ... i2 YVj- B-30)
Если A = шм y^. В = ibv yv, ..., где а, b ... попарно ком-
коммутируют, то из теорем 2 и 3 следуют формулы:
SpA = Sp(ABC)= Sp(ABCDE) = ... = 0, B.31)
|SpAVl ... AVn = ±2(-lf{alak)(a,am) ....B.32)
Если п = 2, 4, то формула B.32) соответственно прини-
принимает вид
¦1 Sp (А В) = - (ab) = -ац 6Д, B.33)
— Sp (А В С D) = (ab) (cd) — (ас) (bd) + (ad) (be). B.34)
163
Будем использовать также соотношения:
Spv4A = 4.aD)=-4a@), B.33')
Spy4kBC = 4\al0)(bc)-(ac)b{0) + (ab)c@)}, B.34')
которые можно получить из формул B.33) и B.34).
Переходя к вычислению SpB, согласно формуле B.18)
имеем
SpB = Sp(P'-x)M(P-x)M =
= Sp Р М Р М — х Sp Р'М М—
x2Sp MM, B.35)
где второй и третий члены равны нулю согласно теоре-
теореме 2. Поэтому из равенства B.35) находим
SpB = SpPMPM + x2SpMM + Sp(P-P)MPM. B.36)
Рассмотрим первый член в этом выражении. Учитывая
равенства B.10), B.11) и соотношения
(Р, &)= -Хб@), (Р, k')=-%kw, B.37)
произведем перестановку второго и третьего множителей
в произведении под знаком следа в первом члене фор-
формулы B.36). В результате получим
M = SpP(?('0)ft КЁ f ?@)ЁК'Ё')РМ =
= —Sp РРММ-2SpР(jfe('o, Ё Ё %k@) + kl0) ЕЁ' xk{0)) M.
B.38)
Пусть а = (a(i). aB). aC)> a<4)) — некоторый четырехмер-
четырехмерный вектор. Тогда согласно B.26) можно написать
& = - Ц.) V, + aB) V2 + flC, V3 + a,4) Y4J =
4
= -2 al=-a\ B.39)
\i • , A = 0 -
В частном случае отсюда имеем
P2=_p2 = x2f _к»=А*=:О, E2^-t. B.40}
%
Поэтому сумма первых двух членов в выражении B.36)
равна
G1 = SpPMPM+ x2Sp ММ =
+ ЁЁ')М ==
+ ЁЁ')х
i'R'fi). B.41)
Подставляя в формулу B.41)
находим, что
G1 = 4xk{0)k'@)(e,e') SpP(fc('o, Ё КЁ'+А@)Ё' К'Ё).
Используя затем формулу B.34), преобразуем Gx к виду
G1 — 32 [х^@) 6@) (б, е')]2 = 32 [х&(о> ^<о> cos б]2, B.42)
где 9 — угол между векторами е и е''.
Рассмотрим теперь третий член в выражении B.36).
Используя закон сохранения энергии-импульса
= p' + k', B.43)
или
Р + К=Р+К, B.43')
перепишем этот член в виде
G2 = Sp(P— P)MPM = Sp (К—К')МРМ =
= (fc('0)JSp(K-K')E' КЁРЁКЁЧ
+ jfe@) k[o) Sp (К - К') Ё' К Ё Р Ё' R Ё +
+ кф) k[0) Sp (К - К') Ё К' Ё' Р Ё R Ё' +
+ (^JSp(K-R')EK'E'PE' К Ё. B.44)
Согласно теоремам 1 и 4 второй и третий члены ц фор-
формуле B.44) равны между собой,, Поэтому имеем ..., . . ь
G2 =4(.^0>J4+ 2А(о,'4|<»A»^-у -1- ^, /«, B.45)
«W5
где
B = SpKE КЁРЁК Ё,
t3 = Sp R Ё' КРЁ' RE,
t4 = Sp(K-K')EK'E РЁ' КЁ.
Переставляя в выражении для ^ оператор Р с двумя
операторами, стоящими справа от него, согласно форму-
формулам B.10) и B.11) получим
)Sp(R-K')EKE. B.46)
Переставляя местами второй и третий операторы в пра-
правой части B.46), согласно соотношениям B.10), B.11) и
B.40) найдем, что
t, = -2/^,0) Sp (К- Ю к + 4 (е\ к) ъЫ Sp (К- к) Е,
B.47)
а учитывая, что (k',e') = O и К2 = 0, по формуле B.33) по-
получаем
h = 8х*,о) (k, k') + 16 (е\ kf %kw. B.48)
Аналогичные вычисления для /4 дают формулу
*4 = 8хЙ('о, (k, k')+ 16xfe('o) (e, k')\ B.49)
Преобразуем далее выражение для i2:
t2 = 2Sp К Ё Р Ё' К Ё (е', k) =
= -2(е\ ^)SpE КЁРЁ K=2(e'f fe)SpKPE' Г. B.50)
Применяя формулу B.34), приведем t2 к виду
h=-8%k[o)(k,er. B.51)
Аналогично для /3 нпйдем
is^-8%k@)(k',e)\ B.52)
Используя формулы B.48), B.49), B.51) и B.52), пре-
преобразуем G2 к следующему виду:
<5а = 8_x*@) k[0) (k, k') {ki0) - ki0)). B.53J
.1E6
Умножая равенство B.43) на k' и учитывая, что
получим
откуда
(k, fc') = (p,
Для того чтобы определить
B.43) в квадрат:
р2_|_?2_|_2(р, k) = p'
Так как
то из равенства B.55) имеем
(р\ k') = (p, k
«) + Х*@). B.54)
(р', fe'), возведем уравнение
2 + ^'2 + 2(р', k'). B.55)
ft'2
)=—Х^@). B.56)
Подставляя это выражение для (р', k') в формулу B.54),
находим
и получаем
^2 = 8/ &@) &@)
Складывая Gx и G2, имеем
л Л .О 1 _
Согласно равенствам B.7), B.
модуля матричного элемента
|М Г е*
Dлйс) *@) @) Р@) Р@)
Подставляя это выражение
S(o> — *@)) B.57)
(*@)— ^@)J. B.58)
+ il^L + Jm_2 B.59)
fc@) fe@) I
16), B.18) и B.59) квадрат
Мг/ равен
\ СО''2 6 | '0) | @' ° |
L ^@) *(о> J
B.60)
для | М(/ Is в формулу
р | (/ | фуу
(III. 10.36), находим эффективное дифференциальное по-
поперечное сечение для Комптон-эффекта:
dk@)
х
@> BйС)а fc@) p@) р;0)
х f ^4 1 (
Исследуем выражение ~^- . Имеем
или
2n' — k' 4-l/~k2 4- fr'?m Ik k' cos it 4- v2 B fi21
где § — угол рассеяния между векторами к и к'.
Применяя закон сохранения энергии, из формулы
B.62) получаем
= ! + fe('0)-fe@)cosa _ _
dfe,
V ^o,+fc;o)-2fc@)fc('o)C
fe@)-fe@)cos& P@) + ^0)~fe@) C0S&
_ j , fe@)-fe@)
A—cos &) ¦ . .•
-. B.63)
P@)
Рассмотрим скалярное произведение (k, k'):
(k, k') = kk'-kwk[0)= —*(O,*('o)(l—cos#). B.64)
Сравнивая выражения B.57) и B.64), находим
k(O)k'(O)(\— COS§) = X(?@) — *@)),
откуда
^ B.65>
Согласно этому формула B.63) приобретает вид
»арно>*Ч-. B.66)
Учитывая это равенство, преобразуем формулу B.61)
к виду
do = II(tmXdSi [4cos*e + V)+ ^i-2], B.67)
4 \ ^ L ^ ^ J
где г„ = — — классический радиус электрона.
"hex ¦ . .¦ '
168.
Формула B.67) называется формулой Клейна—Нишины
для комптоновского рассеяния. Эта формула дает значение
da для случая, когда начальный квант света имеет опреде-
определенную частоту и определенное направление поляризации,
а вектор поляризации рассеянного кванта составляет с век-
вектором поляризации начального кванта угол 0 (см. рис. 12, б).
Если вектор поляризации е' перпендикулярен к е, т. е. если
cos G = (е, е') = 0, то
B68)
7
coswsim)
*<0
Рис. 12
Если же векторы е' и е лежат в одной плоскости
(в плоскости к'е), то, как видно на рис. 12, б, имеем
cos20=l - cos2 q> sin*
B.69)
где ф — угол между плоскостью (kk') и плоскостью (ке).
Подставляя выражение Для eos20 из B.69) в форму-
формулу B.67), получим для данного случая эффективное диф-
дифференциальное поперечное сечение
4
fe@,
B.70)
Суммарное поперечное сечение равно
da — do L -i-doii --
= A (hSL YdQ (ii°2- + -^ - 2 sin2 # cos2 фУ B.71)
(о:
Если начальное излучение неполяризовано, то усредняя
по углу ф, получим
,2 I k
<do}
i==A (h°L.\
2 U(o) /
"@)
. B.72)
169
Определяя из равенства B.65) величину
к.
0)
1+8A —COS»)
формулу B.72) преобразуем к виду
, где е =
r1
!—cos»J
2[l+e(l-cos»)]2\ (l+cos2&) [l + e(l— cos»)]/'
B.73)
Эта формула дает хорошее совпадение теоретической вели-
величины do с опытными данными. На рис. 13 приведены теоре-
de
rc-.f.<t
OJ5C
D.Z5 ¦
о-
ч
^ - -|
У*
1)
SO' 90' 120° 150° №
Рис. 13
тическая кривая, полученная по формуле B.73), и экспери-
экспериментальные данные (обозначенные точками) для случая,
когда е = 0,173.
§ 3. РОЖДЕНИЕ ПАРЫ ЭЛЕКТРОН — ПОЗИТРОН
Превращение фотона в пару электрон — позитрон каза-
казалось бы можно описать в первом приближении теории воз-
возмущений. Однако можно показать, что для сохранения энер-
энергии и импульса необходимо присутствие в процессе еще
одной частицы. Такой частицей может быть атомное ядро,
в электростатическом поле которого может произойти акт
превращения фотона в электронно-позитронную пару. От-
Отсюда следует, что процесс рождения пары в наиболее низ-
низком приближении теории возмущений является процессом
второго порядка и описывается графами Фейнмана, пред-
представленными на рис. 14.
170
Внешнее поле обозначается пунктирной линией, идущей
от кружка. По общим правилам построения матричных эле-
элементов 5-матрицы проводим сопоставление:
а) внешней линии электрона множитель
б) внешней линии позитрона множитель
а-р5 = BяГ3/2и_р5е-грл;' (s = 3, 4);
а) б)
I Т \
I I ff-к \
*г\ V' гГ\ V' ,
X X X \
Рис. 14
б) внутренней линии электрона множитель
г) внешней линии фотона с соответствующей вершиной
множитель
Потенциал электростатического поля атомного ядра равен
A%(r) = U = -f, C.1)
где eZ — заряд ядра. Отсюда находим его Фурье-компо-
Фурье-компоненту 1:
eZ
Г е~"кГ dV~-
J г
BлK/2 J г BлK/2(к'J'
1 Интеграл в формуле C.2) имеет следующий смысл:
,-fk't
С е-"
lim I e~&r dV.
е->0.
171
Поэтому имеем
Bл)
ИЛИ
AneZ Г .^1 л; C.3)
[
BлK J I k'
C.3')
Следовательно, внешней линии электростатического поля
атомного ядра и соответствующей вершине надо сопоста-
сопоставить множитель вида
*!* Л 6 (fe'0>) е'4'^' d*k'.
2
Учитывая сказанное, послг выполнения всех интегриро-
интегрирований для графа на рис. 14, а находим следующее выра-
выражение матричного элемента:
к—Р —p'l
Матричный элемент для графа на рис. 14,6 получим,
если в формуле C.4) поменяем местами у4 и Ё, а также
заменим (—Р + К) и (—р+&) соответственно на (Р —R)
и {p'-k):
2Ze3 Г he -
BлJ (hef
у V~(U) r(U) r(u)/ /о c\
Складывая выражения C.4) и C.5) и возводя в квадрат
модуль, получим
( »(»(О)-Р(О)-Р('о)) I2
I | k-p-^p' |2 J '
.172
где
J
Здесь
"pvjv
учтено,
(—Г
4
ЧТО
(p.
к)—
к)
(р , k) I
/г
(-
(р'-^J + Хг=-2(р', к).
Введем обозначения:
4i,
Используя формулу B.10) и следствие из нее
У4.А + Ау4 = 2шD) = -2а@I B.10')
получим
__1_{ЁКу4+Ёу4(Р'+х) +2р('0)Ё}. C.9)
В выражении C.7) оператор N действует на волновую
функцию электрона, удовлетворяющую уравнениям:
Поэтому второй и пятый члены в формуле C.9) равны
нулю. Это позволяет переписать ее в виде
N=— —, C.10)
(р.*) (Р'.Л)
где
Аналогично получаем
^¦_ _? ?L_ C 12)
(Р.*) (р'.йI
173
где
а= Ё Ку4 + 2(р, <?)у4; Б = у4КЁ + 2р('0)Ё. C.13)
Просуммируем выражение C.7) для J по спиновым со-
состояниям электрона s' и позитрона s. Используя формулы
(III.7.35), (III.7.36) для р' и — р и B.13), получим
^.p'S"'aV 2p@)
1 /А' .Л Г> /
P@)
)A()^]J, C.14)
где введено обозначение
t=(P-x)fi(P+x)N. C.15)
Согласно формулам C.10) и C.12) представим С в виде
суммы:
t = —^— +—^— + ^ C.16)
(РуЛ)* (Р'.йJ (Р, k)(p',k)
где
С,=(Р -х)а№+ХM, C2 = (P'-xN(P+x)F, 1
Сз = -(Р-х)«(Р+х)&-(Р-х)ИР+х)а. Г
Имеем:
= SpP a Pa— x2Spaa, C.18)
SpC2=Sp(P -x)fc(P+x)& =
- SpP'ftPfe— x2Spft 6, C.18')
SpC3= -SpP aPH X2Spa 6 —
-SpP' bPa jr X2Sp6a. C.18")
174
В этих формулах учтено, что след произведения нечет-
нечетного числа матриц ум равен нулю. Учитывая B.10),
B.10'), равенства
а также принимая во внимание ортогональность векторов
е и k, т. е. условие (е, k) = 0, согласно равенствам B.33),
B.34) и B.10) из формул C.18) находим:
SpC, = -8(р, k) [(p't k)+2k{0) р@)]-Ще,р) |(р', к)(е, р)~
~(e,p')(k,p)+2p[0)k[0)(e,p)) +
+ 16(«, pf [(р\ р) + 2р'@) р@)]-16Х«(в, р)\ C.19)
SpС2 = -8 (р, Л) [(р\ Л) + 2Л@) р@)] +
+ 16(в. р) {(р', А)(в, р)-(в, р')(А, р) + 2р('о, А@)(е, р)) +
+ 16(в, рJ [(р', р) + 2р('0) р@)]-16х«(в, рJ, C.19')
Spt.3= - 16(в, р)(в, р')(-(р
+ р@)(р', k)—p[Q)(p, k)]—(p', k){p, к)—хП*0) —
-(е,ру(р',к)-(е,р'Г(р,к)}. C.19")
Если исходное у-излучение является неполяризованным,
то полученные выражения необходимо еще усреднить по
двум направлениям поляризации фотона в\ (К = 1, 2). Для
этого следует вычислить выражения SpC сначала для К = 1,
а затем для "к = 2, после чего взять половину суммы най-
найденных результатов. Эта процедура сводится к вычислению
сумм
2 («ь Р)а. 2 (вь Р'I и 2 (вх,р')(вл,р).
Первые две суммы вычисляются так. Учитывая, что
el = {\, 0, 0, 0), <?2 = @, 1, 0, 0), имеем:
2
i (вХ' Р) -РО)+Р?2).
2 C.20)
Величина У р2{1) + р\2) — проекция вектора р на направ-
направление, перпендикулярное вектору к. Поэтому имеем
(рис. 15)
2
где в—угол между к и р. Аналогично находим
2
где 0' —угол между к и р'.
C.22)
Рис. 15
Рис. 16
Вычислим третью сумму. Рассматривая рис. 16, на
котором вектор р лежит в плоскости <X1XS и Ф — угол
между плоскостями (кр) и (кр')( находим:
p.i, = | р | sin 9, /?'..= I p'| sin в'cos ф,
РB> = 0> pB,4p'IC0S(p"- .
Отсюда имеем
2
Jj^v P)(ev P') = P(i) P(',) +PB)P('2) =
= | р j -| р'| sin в sin в' cos ф. C.23)
Используя формулы C.21)—C.23), получаем
Dpfd)_,) +
— &@) B1 р Н р'| sin 0 sin 9' cos ф + р2 sin2 9 + р'2 sin2 8')J,
C.24)
где
q = k—p — p',
(к, р) = /цо) | р | cos 9, (к, р') = kl0) ! р'\cos 0',
РР' = I РI • I p'l (cos 9 cos е' + sin 9 sin 0' cos <p).
В качестве примера покажем, как получается первый член
в правой части C.24). С этой целью выделим в выражениях
для SpQ и SpC2 члены, пропорциональные (е, рJ. Согласно
равенству C.16) первую группу членов делим на (р, kJ,
вторую — на (р, k) (р\ k). Складывая полученные таким
образом результаты, найдем
-Р('о) Р,о>+ ()@)}
Считая, что ядро имеет очень большую массу М (по сравне-
сравнению с массой электрона), пренебрегаем кинетической энер-
энергией ядра JL. Поэтому законы сохранения импульса и
энергии в данном случае можно записать в виде
q=k-P-p\ *(O)-p(O)-p;O)=o.
Учитывая законы сохранения энергии и импульса, для J
получим выражение
у= - 1^-gl {(p\ q) + 2p('02) + (k, p)-A@) pj,
(Р> */
где учтено, что
(Р'J-(Р('о,J+Х2 = О.
Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
'2-2(k, p)_2(k, р')+2(Р> р').
Вычитая из верхнего равенства нижнее и учитывая,
что Р2 —Р20) + Х2 = 0 и к2—/г20) = 0, получим
q2=-2(k, р) + 2й(О)р(О) + 2(р'J-2(к, р') + 2(р, р').
7 зак . 1J61 177
Отсюда находим
kl0) р@)
(k, р) = (к, p)-kl0) р@) = - |* + Р'2-(к. Р')+(Р, Р'У
Подставляя это выражение в формулу для J и учитывая
закон сохранения импульса, окончательно получим
(к>р)г
Это, согласно формуле C.21), совпадает с первым членом
в правой части C.24), что и требовалось показать. Анало-
Аналогично находим остальные члены в формуле C.24). Таким об-
образом, усредненное по направлениям поляризации у-кван-
та и просуммированное по спинам электрона и позитрона
выражение для | Mif |2 можно записать в следующем виде:
1222 iv С;
1222 iv- ,28„.».,.С;.р,>,„,
Поперечное сечение рассматриваемого нами процесса [см.
формулу (III. 11.6)] равно
XdQpdQp. |p|2d|p|. C.26)
Используя формулу [см. (III. 10.28)]
выражение C.26) перепишем в виде
2 2
C.27)
Так как выражение для da не зависит от угла <р\ то
можно выполнить интегрирование по углу ф', используя
для этого равенство dQ,p- = sin б' d%' dcp'. В итоге возникает
множитель 2я. Учитывая что а= — т—> получим
Не 137 у
178
для дифференциального поперечного сечения образования
пары электрон — позитрон формулу Бете и Гайтлера:
Z2 |p|-|p'|dp@)sin6sin6'ded9'd<p
do = — . —^ X
1373 2n*(dO)|q|«
v f I Pi8 sin2 9 / - 2\, |p'|8sin39' v
X ) DAo) — q )+ : X
(Ао)Я)+ ,
[pto)—ipicosej3 [P@)-ip'icose']2
2[p|-|p'|sin6sin9'cosq>
Гр(о,-1р|со.в].[р;о,-|р'1со,в']
Х
2|p|.|p'|sin9sin9' cos <p + | p psin^ + l p'|ssin29' \
; I .
[P@)-|p|cos9].[p@)-|p'|cos9'] j
C.28)
Производя здесь интегрирование по углам и по всем воз-
возможным значениям р@), получим полное поперечное сече-
сечение <тпар. Сравнивая апар с полным поперечным сечением
сгкомп для комптоновского рассеяния, которое можно полу-
получить из формулы B.73), найдем, что комптоновское рассея-
рассеяние преобладает в случае, когда у-кванты обладают малой
энергией. Наоборот, когда у-кванты имеют большую энер-
энергию, преобладает образование пар.
Экспериментально измеренные значения отношения
cru p/tfK0Mn хорошо согласуются с теорией.
Следует заметить, что из формулы C.28) легко получить
поперечное дифференциальное сечение для тормозного из-
излучения электрона в поле ядра. Как известно, этот процесс
заключается в испускании фотона электроном, проходящим
через электрическое поле ядра. При этом ядро принимает
часть импульса, что обеспечивает выполнение закона сохра-
сохранения энергии. В первом приближении тормозное излуче-
излучение описывается двумя графами второго порядка, изобра-
изображенными на рис. 17, где р — начальный четырехмерный им-
импульс электрона, q — импульс, паредаваемый ядру, р' —
конечный четырехмерный импульс электрона, k — импульс
излучаемого фотона, заштрихованный кружок символически
обозначает электрическое поле ядра. На рис. 17, а электрон
сначала передает часть импульса ядру, а затем излучает
фотон, а на рис. 17, б, наоборот, электрон сначала излучает
7* 179
фотон, а затем передает часть импульса ядру. Поперечное
сечение данного процесса согласно формуле (III.11.6) равно
с, C.29)
s V J
где иг = с^-, причем
Р@)
dk = ка d | к | dQit = kf0) dki0) dQkdkIO). C.30)
/ л/
Рис. 17
Из сравнения рис. 14 и рис. 17 видно, что рис. 17
можно построить из рис. 14 путем преобразования
или
1р|-Чр1. 1р'|-Нр'1>
C.31)
Совершая преобразования C.31), вместо формул C.25) и
C.24) получаем
- 2 z2e«
¦^SpC, C.32)
где
2\ , 8p'asin2e' (. 2
+ / ш. ьЛ 21PI • 1 Pr 1 sin 6 sin 8J cos ф (—4p@) P('o)+q2)+
(p, «)(p , я)
+ 2&fO)( — 2 | p |-|p' | sin 0 sin 9'cosф +
+ |p|2sin2e + |p'|2sin28')). C.33)
Учитывая формулы C.29), C.30), C.32) и C.33) находим,
что эффективное поперечное дифференциальное сечение
180
тормозного излучения электрона в поле атомного ядра
равно
p2sin26
o p + p'2sin26'
+ 2^@) (p.*)(
где
(p, k) = ki
(//, *) = A@) (P@) — I P' I COS 0').
При вычислении C.34) учтено, что
dQk dQp- == sin ЭсШф sin 0' d0' с?ф'
и интегрирование проведено по ф'.
§ 4. АННИГИЛЯЦИЯ ПАРЫ ЭЛЕКТРОН — ПОЗИТРОН
Рассмотрим процесс превращения электрона и позитро-
позитрона в у-квант. Диаграмма первого порядка, соответствую-
соответствующая этому процессу, изображена на рис. 18. Однако про-
процесс, описываемый этой диаграммой, запрещен законами
сохранения энергии и импульса. Действительно, в данном
случае эти законы имеют вид
Переходя к системе центра масс электрона и позитрона
(Pi + Рг = 0)» замечаем, что второе равенство не выпол-
выполняется. Следовательно, процесс превращения пары элект-
электрон—позитрон в два фотона описывается в первом прибли-
приближении двумя диаграммами второго порядка, изображенными
на рис. 19. В системе центра масс электрона и позитрона
181
имеем:
Pi = — Р2 = P, kj=—k2 = k,
где /?@)== l' p2 + x2 p — четырехмерный импульс элек-
электрона; P@), — p—четырехмерный импульс позитрона;
Р@) = &<о) = | к |, к—четырехмерный импульс первого фо-
фотона; p{O) = k(O),—к— четырехмерный импульс второго
фотона.
л
А ль Л
Рис. 19
Пользуясь правилами Фейнмана, составляем матричные
элементы рассматриваемых процессов:
<4-2»
Складывая эти равенства, получаем
М(п h) e* Csp*
где оператор
M-(Pl, ^Ё^Р.-^ + х) ei + El(^i-R, + x) 6s(Pi. h)
D.4)
действует на волновую функцию электрона. Осуществляя
в выражении D.4) коммутации множителей и учитывая
уравнение Дирака в импульсном представлении
преобразуем М к виду
+ (ри к,) [2 (Л, в,) Ёх-Ё, R, Ё2|. D.5)
Отсюда легко получаем
М = (р!, кг) [2 (р1( в1) Ё2- Ё Д2 Ё2] +
+ (Pi. *i) 12 (Pi, е2) Ёх - Ё2 R, Exj. D.6)
Принимая во внимание формулы (III.7.35) и (III.7.36),
усредним выражение |М(р, k)\2 по спинам электрона и
позитрона и найдем, что
2
Д
5) S
Spf>, D.7)
где введено обозначение
D = (P2-X)M(P1 + 7)M. D.8)
Используя закон сохранения четырехмерного импульса
Pb = K + k2—Pi'
преобразуем выражение для D к виду
D = 6, + D2 + 63, D.9)
где
М,
D.10)
Используя затем формулы B.31), B.32) и соотношения
{К ех) = (kt, е2) = (*!, е2) = (kv et) =0, k\ = k\ = 0, j
(*i. Pi) = (ki- Pi)—A?o)=*o»(|p|cos6—
(*8. Pl) = (k2. Pi)" *@)=—
— {klt k2) = 2^@),
где б— угол между векторами к! и р^ в результате
сложных вычислений получим:
Sp6x = 32*Bо, (р, «!> (р, К) {2 (elf е2) (р, ег) (р, е2) +
+ k2i0) + (p,eiy + (p,e2n,
SpD2 = -32k2(Q)(p, kx){p, kt) B(eu et)(p, ex){p, e2) +
, e2)*}-32{2k20)(P,ei)(P,e*) +
(e1,e2)(p,kl)(p,k2)}*,
183
ЛD0) (P. ei? (P.
Учитывая формулы
(p.
S (P.
2
A, A
= — P2sin«6,
D.12)
D.13)
выполним суммирование по направлениям поляризации
фотонов:
D.14)
2
—p2cos2
X,X' s,s'
Сечение рассматриваемого процесса равно
dQ,
= 2, так как
где учтено, что
= 2&(oi, и и12 = 2
B ki(
ft,@)
D.15)
()
. Отсюда согласно формулам D.14)
()
и D.7) получаем окончательное выражение для диффе-
дифференциального эффективного сечения аннигиляции элек-
тронно-позитронной пары:
X
X
40)-
p2+p2sin2(
2p4sin40
. D.16)
184
ГЛАВА V
УСТРАНЕНИЕ РАСХОДИМОСТЕЙ ИЗ S-МАТРИЦЫ
ПЕРЕНОРМИРОВКОЙ МАССЫ И ЗАРЯДА
§ 1. ОБЩИЙ АНАЛИЗ ГРАФОВ ФЕЙНМАНА
Часть графа, не содержащая внешних линий и не свя-
связанная электронными и фотонными линиями с остальной
ее частью, описывает процесс, происходящий в вакууме,
и называется вакуумной петлей. Вакуумным петлям соот-
соответствуют члены, входящие в выражение (Фу, SOV), модуль
которого равен единице. Действительно, вектор вакуумного
состояния Фу описывает невырожденное состояние, обла-
обладающее наименьшей энергией. Поэтому согласно закону
сохранения энергии-импульса вектор 4r = S"Dv может от-
отличаться от Фу самое большее постоянным множителем с,
т. е. вектор ФУ является собственным вектором операто-
оператора S:
?фу = сФу. A.1)
Отсюда ввиду унитарности S-матрицы, если (Фу, Фу)=1,
получаем
|с|2= 1, или c = eia,
где а—действительное число. Поэтому
(Фу,$Фу) = е'в, A.2)
что и требовалось доказать.
Имеем
(Фу, 5Фу) = 1 + 2 (Фу, U, Фу), A.3)
где члены, входящие в сумму, стоящую в правой части, опи-
описывают соответствующие вакуумные петли (или системы
вакуумных петель).
185
Пусть Уг- — матричный элемент t-й вакуумной петли
или i-й системы вакуумных петель. Тогда формулу A.3)
можно переписать в виде
(ФУ1$ФУ) = 1 +? V,. A.4)
Любому процессу можно поставить в соответствие счетное
множество графов Фейнмана (см., например, рис. 51), от-
отличающихся друг от друга всеми возможными вакуумными
петлями. Этому множеству графов в матричном элементе
рассматриваемого процесса соот-
соответствует множитель
1 + V2+V3+...) =
З A.5)
Поперечное сечение рассеяния про-
пропорционально квадрату модуля
этого выражения, т. е.
о~\М\\ A.6)
оо
Отсюда видно, что сумма 2 V:,
Рис. 20 «= 1
учитывающая вакуумные петли, не
входит в поперечное сечение ис-
исследуемого процесса. Поэтому в дальнейшем вакуумные пет-
петли можно вообще не рассматривать.
В графах Фейнмана наибольший интерес представляют:
1) собственно-энергетические электронные части; 2) собст-
собственно-энергетические фотонные части; 3) вершинные части;
4) части рассеяния фотона на фотоне. Рассмотрим эти
части.
1. Собственно-энергетические электронные части. Собст-
Собственно-энергетической электронной частью называется такая
часть графа Фейнмана, которая соединяется со всей осталь-
остальной частью только при помощи двух электронных линий.
На рис. 20 приведены собственно-энергетические электрон-
электронные части второго и четвертого порядков. Собственно-энер-
Собственно-энергетические части электрона могут быть компактны-
компактными и некомпактными. Граф называется компакт-
компактным, если его нельзя разбить на части, соединенные между
собой только одной линией (см. рис. 20, а, в, г, д); в про-
противном случае он называется некомпактным (см. рис. 20, б).
186
Обозначим через t,w множитель в матричном элементе,
соответствующий собственно-энергетической части W. Он
является функцией четырехмерного импульса входной или
выходной электронной линии (эти импульсы равны между
собой в силу закона сохранения энергии-импульса). Сум-
Сумма множителей IV, соответствующих всем собственно-энер-
собственно-энергетическим частям W, называется собственно-энергетичес-
собственно-энергетической электронной функцией:
W
Символически эту функцию обозначим квадратом. По-
Поэтому графу на рис. 21 соответствует сумма всех диаграмм
Рис. 21 Рис. 22
(с собственно-энергетическими электронными частями), в
которых электронная линия соединяет две вершины А и В.
Сумму множества таких графов и обычной электронной ли-
линии, соединяющей вершины А а В, можно заменить одним
графом, на котором две вершины А и В соединены эффектив-
эффективной электронной линией (рис. 22; жирная сплошная линия).
Как известно, обычной внутренней электронной линии соот-
соответствует функция SF; эффективной же внутренней линии
электрона сопоставлена некоторая другая функция Ge, ко-
которую называют электронной функцией распространения,
или полной (обобщенной) электронной функцией Грина.
Функция G" должна зависеть только от разности координат
х -к'.
Рассмотрим, наконец, внешнюю электронную линию,
выходящую из вершины А диаграммы D (рис. 23). В выс-
высших приближениях теории возмущений появляются графы,
сходные с графом D, в которых во «внешнюю» электронную
линию, выходящую из вершины А, включены различные
собственно-энергетические электронные части (см. рис. 23).
Сумма множества электронных линий со всеми различными
собственно-энергетическими электронными частями и обыч-
обычной электронной линии, выходящих из вершины А, графи-
графически изображена на рис. 24 эффективной внешней элект-
электронной линией.
187
2. Собственно-энергетические фотонные части. Собст-
Собственно-энергетической <}отонной частью называется такая
часть графа Фейнмана, которая соединена с остальной ее
частью только двумя фотонными линиями. На рис. 25 изоб-
изображены фотонные собственно-энергетические части второго
и четвертого порядков. Собственно-энергетическая фотон-
фотонная часть также называется компактной, если ее
Рис. 23 Рис. 24
нельзя разбить на части, соединенные между собой только
одной фотонной линией (см. рис. 25, а, в, г). Собственно-
энергетическая некомпактная часть фотона, изображенная
на рис. 25, б, состоит из двух компактных частей. Множитель
в матричном элементе, обусловленный собственно-энерге-
Рис. 25
тической фотонной частью, обозначим через П^. Он являет-
является функцией импульса входной или выходной фотонной ли-
линии; сумма множителей П^ всех фотонных собственно-энер-
собственно-энергетических частей называется собственно-энергетической
фотонной функцией:
Символически эту функцию обозначим квадратом. По-
Поэтому граф на рис. 26 изображает сумму всех диаграмм
(с собственно-энергетическими фотонными частями), в кото-
которых фотонная линия соединяет две вершины А я В. Сумма
множества таких графов и обычной фотонной линии, соеди-
соединяющей вершины А и В, графически изображена на рис. 27
эффективной фотонной линией (жирная пунктирная линия).
Обычной внутренней фотонной линии соответствует
функция DF; эффективной фотонной внутренней линии со-
188
поставлена некоторая другая функция G"*, которую называют
фотонной функцией распространения или полной (обобщен-
(обобщенной) фотонной функцией Грина. Рассмотрим множество гра-
графов, отличающихся друг от друга только частью, которая
Рис. 26 Рис. 27
соединяет внешнюю фотонную линию с вершиной А. Сумма
множества фотонных линий со всеми различными собствен-
собственно-энергетическими фотонными частями и обычной фотон-
фотонной линии, выходящих из вершины А, гра-
графически изображена на рис. 28 эффектов-
ной внешней фотонной линией.
, А А
Рис. 28
3. Вершинные части диаграмм. Вершинной частью диа-
диаграммы Фейнмана называется часть, связанная с остальной
частью диаграммы двумя электронными и одной фотонной
а) \к Q !
_А_ J±L_
Р, Рг
Щ\ е)
Рис. 30
линией. Вершинная часть изображается символически в ви-
виде треугольника (рис. 29). Вершинные части третьего и пя-
пятого порядков показаны на рис. 30. Множитель в матричном
элементе, соответствующий определенной вершинной час-
части Y, обозначим через Лу, а всю сумму подобных функций,
189
соответствующих всем компактным вершинным частям —
через А:
В дальнейшем будем рассматривать только компактные
вершинные части, так как любую некомпактную вершинную
часть можно представить как совокупность компактной вер-
I
Рис. 31
шинной части и эффективных электронных и фотонных ли-
линий. Функцию, равную сумме функций всех компактных
вершинных частей и обыкновенной вершинной диаграммы
(рис. 31), которой соответствует выражение BлL ^у^, на-
назовем вершинной функцией:
Гц B)
или
В импульсном представлении матрица Лм является
функцией двух электронных (рх; р2) и одного фотонного (k)
четырехмерных импульсов, соответствующих линиям, вы-
выходящим из вершинной части. Таким образом, имеем Лд =
= Лй(рь р2; k), причем согласно закону сохранения энер-
энергии-импульса р1 — р2 = k.
Собственно-энергетические и вершинные части делятся
на приводимые и неприводимые. Часть гра-
графа называется неприводимой, если она не содержит в себе
собственно-энергетических и вершинных частей; в против-
противном случае она называется приводимой. На рис. 20, а диа-
диаграмма является неприводимой, остальные диаграммы на
этом рисунке — приводимые (диаграмма б — некомпакт-
некомпактная; диаграммы в, г содержат собственно-энергетические
части, а диаграмма д — вершинную часть). На рис. 25, а
диаграмма является неприводимой, остальные диаграммы
190
на этом рисунке — приводимые. Неприводимыми вершин-
вершинными частями являются диаграммы а, в на рис. 30; осталь-
остальные графы на этом рисунке — приводимые (диаграммы б,
ж, з содержат вершинные части, диаграммы г, д, е — собст-
собственно-энергетические части).
4. Часть рассеяния фотона на фотоне. Часть графа Фейн-
мана, соединенная с остальной частью при помощи четырех
фотонных линий, называется частью рассеяния фотона на
li-J
Рис. 32
фотоне. Множитель в матричном элементе, соответствую-
соответствующий части графа, описывающей рассеяние фотона на фотоне,
обозначим через
М {kt, k2, ks, k4).
На рис. 32 представлен граф, изображающий рассеяние
фотона фотоном в четвертом приближении теории возмуще-
возмущений. Матричный элемент, соответствующий этому графу,
имеет вид
S|4if = пц (AJ av (ft,) ax (k3) aa (A4) X
где a№ (ki), av (k2), a% (k3), aa (kt) — четырехмерные функ-
функции, описывающие фотоны с импульсами kv k2, k3 и fe4.
Докажем, что собственно-энергетические функции фотона
и электрона пропорциональны соответствующим добавкам
к собственным энергиям этих частиц.
Пусть вектор Ф^ является собственным вектором не-
невозмущенного оператора энергии Но:
Н0Фг = ЯгФг. A.7)
Здесь i означает набор квантовых чисел начального со-
состояния, /—конечного, а т — промежуточного.' '
Рассмотрим матричный элемент
^ S (ф,,'§пф,); A.8)
191
для первого члена в правой части A.8) можно написать
(Ф/,Ф,) = б/г, A9)
второй член имеет вид
00
(ф,Дф,) = _-1_ J л(флй!(оф,). AЛ°)
Перейдем от представления взаимодействия к представ-
представлению Шредингера:
rt!(o=^A*'ftf(ge~*4'. (l.ii)
Используя формулу A.11), преобразуем A.10) к виду
LtBf-ЕЛ t
или
-5,)(©/tftf Ф,). A.12)
Используя условие полноты системы {Ф^}, третий член
в правой части формулы A.8)
00 ОО
— оо —см
A.13)
— оо
преобразуем к виду
00
— 00
х j dtt(Q>m,Ul(tJ Ф,). A.14)
— 00
192
Отсюда согласно формуле A.11) получаем
<1 jf
Интеграл по t2 в этом выражении определим следующим
образом:
= lim \ dt2 en
|e|-*0 jr
A* ef(»
-oo |e|-*0 jr
A.16)
lel-o ?i-?m+»[e|
Используя A.16), преобразуем формулу A.15):
— a_?> , A.17)
ИЛИ
Продолжая рассматривать следующие члены в правой
части соотношения A.8), окончательно найдем
2 (Ф„ йп Ф,) = -2m6 (Et-Ef) \(Ф,, Hf Ф<) +
л=1 I
{Et-Em)iE-Em.) +-/• AЛ8)
193
Как известно, матричный элемент (Ф,, §п Ф<) можно
представить так
(Ф/,§„Ф,) = М|?) б (?,-?,); A.19)
учитывая это, перепишем формулу A.18) в виде
л=1
Пусть Фг — вектор состояния одной частицы. Если
начальное состояние совпадает с конечным (т. е. если
i = f), то матричный элемент (Ф^, ftf Ф,) = Д-Е^—доправ-
ка к собственной энергии частицы в первом приближении
неинвариантной теории возмущений [в электродинамике
(Ф„Н?Ф,)_0], 2 <**«-><«-'**'> -АД,-»».
т Ь( — Ьт
правка к собственной энергии частицы во втором при-
приближении теории возмущений и т. д.
Отсюда следует, что в квантовой электродинамике
= (Ф„ ft?Ф,) + 2 <°Г*У (>^Ф''-+... (..2.)
ОТ й/~^ОТ
— полная добавка к собственной энергии частицы вслед-
вследствие взаимодействия ее с электромагнитным и электронно-
позитронным вакуумом.
Принимая во внимание равенство A.21) и полагая / = /,
из формулы A.20) находим
2 M|f =-2я1Д?. A.22)
л=1
Если Ф/ — вектор состояния, в котором находится один
свободный электрон, то SMf"' = 2(p) представляет собой
сумму всех собственно-энергетических функций электрона,
которая согласно выражению A.22) пропорциональна до-
добавке Д? к собственной энергии этого электрона.
194
Аналогично, если Ф^ — вектор состояния, в котором на-
оо
ходится один свободный фотон, то 2Mf"' = Yl(k) является
суммой всех собственно-энергетических функций фотона,
которая на основании соотношения A.22) пропорциональна
добавке АЕ к собственной энергии рассматриваемого фото-
фотона.
§ 2. РАСХОДИМОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕДЕЛЬНЫМ
ПЕРЕХОДОМ В НЕПРИВОДИМЫХ ДИАГРАММАХ
Рассмотрим некоторую неприводимую часть диаграммы
после того, как в ней совершен предельный переход а -*¦ а0.
Пусть п — число вершин в этой части, F — число ее
внутренних линий (Fe — число электронных, Fy — число
фотонных линий, F — Fе + Fy). В матричном элементе
этой диаграммы стоит многократный интеграл по импуль-
импульсам виртуальных частиц:
B.1)
где подынтегральная функция является дробью, структуру
которой сейчас определим. Каждой внутренней электронной
линии при больших р соответствует множитель SF(p) ~ —,
а каждой внутренней фотонной линии — множитель DF(p) ~
~ —г- Поэтому подынтегральная функция в формуле B.1)
является дробью /?~ (q) ~{Fe+2 F\\ в выражении B.1) ин-
интегрирование ведется по F различным импульсам внутрен-
внутренних линий. Однако эти импульсы не независимы, так как
в матричный множитель, соответствующий части диаграммы
с п вершинами, входит п б-функций. Каждая б-функция
обеспечивает закон сохранения энергии-импульса для за-
заданного узла, а одну из п б-функций необходимо отнести
к закону сохранения энергии-импульса для внешних линий.
Поэтому число независимых импульсов, по которым про-
производится интегрирование, равно F + 1 — п. Отсюда сле-
следует, что интеграл B.1) можно переписать так
^
(?)*'
B.2)
195
Так как рассматриваемая диаграмма неприводима, то
подынтегральная функция в формуле B.2) не распадается
на множители, содержащие независимые переменные. По-
Поэтому в области больших импульсов интеграл B.2) сходит-
сходится, если
он расходится, если К < 0.
Интеграл B.2) расходится логарифмически, если К = 0;
линейно, если К = —1; квадратично, еслиТС = —2, и т. д.
Учитывая, что через каждую вершину графа проходят две
электронные линии и одна фотонная, а также учитывая, что
каждая внутренняя линия соединяет две вершины, а внеш-
внешняя линия — только одну вершину, получим
= n, B.3)
где Ne—число внешних электронных линий; Ny—число
внешних фотонных линий. Согласно формуле B.3) имеем
K = ±Ne + Ny-4, B.4)
отсюда находим все случаи расходимостей для неприво-
неприводимых частей графов Фейнмана:
а) Ne = 2, Ny = 0, K = — 1—линейная расходимость;
б) Ne = 2, Ny — l,R = 0 —логарифмическая расхо-
расходимость;
в) jVe = O, Ny=l, /C = —3—кубическая расходимость;
г) jVe = O, Ny = 2, K=— 2—квадратичная расходи-
расходимость;
д) Ne = 0, Ny = 3, K= — l — линейная расходимость;
е) Ne = 0, Ny = 4, К = 0 —логарифмическая расхо-
расходимость;
ж) jVe = O; Ny = 0, К — —4—расходимость четвертого
порядка.
На рис. 33 представлены простейшие неприводимые гра-
графы, которым при предельном переходе а ->- а0 соответст-
соответствуют в матричных элементах расходящиеся интегралы. Су-
Существует только один неприводимый собственно-энергети-
собственно-энергетический электронный граф и только один неприводимый
собственно-энергетический фотонный граф. Неприводимых
196
вершинных графов и графов рассеяния фотона на фотоне
существует бесконечно большое число. Графы в и д (см.
рис. 33) имеют нечетное число внешних фотонных линий,
поэтому согласно теореме Фарри соответствующие им
суммы матричных элементов равны нулю; граф ж, опи-
описывающий переход «вакуум-вакуум», исключается из рас-
рассмотрения на основании соображений, высказанных в § 1.
Таким образом, существует только четыре типа расхо-
димостей. Им соответствуют неприводимые собственно-энер-
не-о
Рис. 33
гетические части электрона и фотона, вершинные части и
части рассеяния фотона на фотоне. Итак, 2, П, Л и М —
интегралы, расходящиеся после предельного перехода а -*-
-*а0.
Надеясь, что в будущей квантовой теории поля удаст-
удастся непосредственно получить конечные выражения для функ-
функций 2, П, Л и М, в настоящее время для устранения упомя-
упомянутых выше расхождений можно использовать некоторые
физические соображения и на их основе построить матема-
математическую процедуру, называемую перенормировкой мас-
массы и заряда.
Все интегралы, входящие в любые матричные элементы,
могут быть сделаны конечными до перехода к пределу а -*•
-*- а0. Действительно, в матричный элемент входят опера-
операторы энергии взаимодействия, содержащие основную функ-
функцию fa(x, у, г), а ее всегда можно подобрать так, чтобы ин-
интегралы, входящие в матричный элемент, были сходящими-
сходящимися. В дальнейшем операторы поля, свертки и функция fa(x,
у, z) разлагаются в ряды Фурье. После проведения интегра-
интеграции по пространствам Минковского возникают четырехмер-
четырехмерные символы Кронекера, которые снимают некоторые сум-
суммирования по четырехмерным импульсам. В итоге получают
матричный элемент, в который входят суммы по четырех-
197
мерным импульсам. Эти суммы являются заведомо сходя-
сходящимися, так как проведенные преобразования не могут из-
изменить величину матричного элемента. Полученные суммы
можно заменить интегралами по четырехмерным импульсам.
Поэтому изложенная процедура эквивалентна введению
в матричном элементе под интегралы по четырехмерным им-
импульсам соответствующих «обрезающих множителей». Мож-
Можно так подобрать функцию fa(x, у, г), чтобы обрезающий
множитель, например, имел вид
У (л>П, B-5)
1 2 A Pi \
где щ — некоторые постоянные; К — предельный импульс.
Чтобы упростить выкладки, можно взять обрезающий мно-
множитель в более простом виде
'*<? B.6)
О, если агрг>К.
Тогда функции 2, П, Л и М будут функциями предельного
импульса К- Все преобразования, выполняемые над функ-
функциями 2, П, Л и М при перенормировке массы и заряда,
осуществляются до перехода к пределу К -*¦ оо (который
является частным случаем предельного перехода а -*- а0), а
поэтому вполне законны. После выполнения интегрирова-
интегрирования и упомянутой процедуры перенормировки массы и за-
заряда, в полученных выражениях необходимо перейти к пре-
пределу К -*• оо, что дает вполне определенный конечный ре-
результат.
Первоначально квантовая теория поля в гамильтоновой
форме формулировалась без введения в ее основные уравне-
уравнения функции fa(x, у, г). Поэтому при устранении указан-
указанных ранее расходимостей для придания законности опера-
операциям с расходящимися интегралами вводились в теорию
где-то на пол-пути необходимые обрезающие множители.
С нашей точки зрения, такое введение обрезающих множи-
множителей, призванных «подштопать» теорию, сформулирован-
сформулированную с самого начала некорректно, является непоследова-
непоследовательным. Дело заключается в том, что уравнение Шредин-
гера
dt
198
до сих пор применяемое в квантовой теории поля, воз-
возможно не имеет решения в обычном понимании этого слова.
Это уравнение, по всей вероятности, имеет обобщенное ре-
решение, являющееся пределом Ч* = lim Va, где ?а — реше-
ние уравнения Шредингера вида
'*=-•-ft. *..
Здесь Аа получено введением под интеграл в ft основной
функции fa(x, у, г). Эта точка зрения была сформулирова-
сформулирована еще в начале первой главы в виде соответствующих посту-
постулатов.
§ 3. ИДЕЯ МЕТОДА УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ
Множители в матричных элементах, соответствующие
собственно-энергетическим и вершинным частям, а также
частям рассеяния фотона на фотоне, можно разложить по
формуле Тэйлора
^f~ (Я* - РОД) + ±R (P), C.1
C.2)
CL Л 3
Л (Pi. Pv k) = A (pQ, p0; 0) + AR (pu p2; &), C.3)
M (kx, kv k3, kt) = M @, 0, 0, 0) + Мл (klt k2, k3, kt), C.4)
где p0—импульс свободного электрона, удовлетворяющий
условию ро + X2 = 0-
Легко показать, что
Т =Zi (Ро) »Ти» 13.5)
тогда формулу C.1) можно переписать в виде
199
Вводя обозначение
10 (Ро) = 2 (Ро)- Щ^- Ро»-±г (Ро) X,
преобразуем последнюю формулу к виду
±(p). C.1')
Так как функция П (k) должна быть инвариантной функ-
цией от k2 (строго говоря, при предельном переходе
а ->¦ а0), то [ 5т- ) = 0 и — д. = Пх бар. Поэтому
равенство C.2) можно переписать так
В формулах C.1) —C.4) в пределе, когда /С-voo, выра-
выражения д} ' —j , Л (Ро> Pot 0) и М @, 0, 0, 0, 0) расхо-
расходятся логарифмически, j?(p0) — линейно и П@) — квад"
ратично. В дальнейшем покажем, что выражения ^я(р),
ПЛ (k), А/? (рь р2; к) и МЛ (рх, р2, р3, р4) представляются
в виде сходящихся интегралов. Они соответственно назы-
называются перенормированными собственно-энергетическими
функциями электрона и фотона, перенормированной вер-
вершинной функцией и перенормированной функцией рассея-
рассеяния фотона на фотоне. Вполне понятно, что
2я (Р) == ~О~ Ял Лп 2 (Р ) ' (Ри Poti) (Pv Pov)
(р> р' > р0),
* (k) = -Jp Щд^ П (Ю ka kfi ky
(k>k'> 0),
2
«(Pi, p2; Pi—p2)= j а|~л(рьр2;р; —рг)
(Pt>Pi>Po)>
4 д
д
= У st-
(, )
(k>k'> 0),
200
где р0—импульс свободного электрона (ро + Х2==О)
ласно § 2 функции 2> п> ЛC> и М имеют следующую
структуру:
АC> (plt p2; k) = )diq-R3(p1—q, p2—q);
M(kv k2, k3, kJ^
причем при больших значениях \q\
Ri~±, R*—т, ^3~4' ^—x- <3-8>
q* q* q* q*
Подставляя выражениеC.7)'для 2, П, Л<3' иМ в формулу
C.6), проводя в C.6) под знаком интеграла дифференциро-
дифференцирование по волновым числам внешних частиц р и k, а также учи-
учитывая, что р и k встречаются в подынтегральных функциях
в сумме с вектором q, получим для 2Л, ПЛ, Л# и Мл форму-
формулу вида
\ C.9)
где при больших |^|
F~—. C.10)
Из выражений C.9) и C.10) видно, что функции tR, Щ
AR3) и М# сходятся абсолютно.
В приведенных рассуждениях была рассмотрена вер-
вершинная часть третьего порядка А^3>. Полученный результат
легко обобщается на случай произвольной неприводимой
вершинной части порядка Bя -f 1).
Идея устранения перечисленных ранее расходимостей
сводится к следующему:
1) в матричные элементы вместо функций 2(Р)> Щ?),
А(р1)р2;й), М (рх, р2, р3, рй), которые расходятся при
/<->-оо, соответственно ставятся перенормированные функ.
ции ^к (р), Пл (k), AR (plt p2; k), MR (plt pa, p3, p4), в ко-
которых переходят к пределу /(->оо;
2) проведенная замена эквивалентна вычитанию из
первоначальных функций соответствующих членов, рас-
201
ходящихся в пределе при К -*¦ оо, что эквивалентно отбра-
отбрасыванию указанных членов в соответствующем ряде Тэй-
лора. Исходя из физических соображений и предпосылок,
следует обосновать введенную методику устранения расхо-
димостей, основанную на отбрасывании в разложениях в
ряд Тэйлора тех членов, которые расходятся при К -*¦ оо.
В квантовой электродинамике для обоснования закон-
законности вычитания членов, расходящихся при К -> оо, ис-
используются следующие три физические принципа: 1) пере-
перенормировка массы электрона; 2) перенормировка заряда
электрона; 3) требование калибровочной инвариантности
теории.
Первые два принципа, дающие возможность отбросить
(вычесть) члены 2(р0) и д?г ' будут подробно рассмот-
рассмотрены в следующих параграфах настоящей главы. В данном
параграфе покажем, как, пользуясь третьим принципом,
можно обосновать законность вычитания членов П@) и
М@, 0, 0, 0).
Ввиду градиентной инвариантности теории электромаг-
электромагнитного поля наблюдаемые физические величины зависят
только от тензора электромагнитного поля
а не от самих потенциалов Лм(&). Поэтому физические вели-
величины должны обращаться в нуль при k^ = 0, а следователь-
следовательно, и П@) = 0. Величина П@) пропорциональна собствен-
собственной энергии фотона, т. е. пропорциональна массе покоя фо-
фотона. Следовательно, из градиентной инвариантности тео-
теории вытекает, что масса покоя фотона равна нулю. Кроме
того, из инвариантности выражений относительно пре-
преобразования калибровки следует, что М@, 0, 0, 0) = 0.
Итак, вычитание констант П@) и М@, 0, 0, 0), расхо-
расходящихся при К -> оо, обосновывается требованием кали-
калибровочной инвариантности теории.
§ 4. ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ И ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА
1. В §2 было показано, что матричный элемент собст-
собственно-энергетической части расходится. Устранение этой
расходимости можно осуществить при помощи пе-
перенормировки массы электрона. Физи-
Физическая сущность этой операции заключается в следующем.
202
Электрон испускает и поглощает виртуальные фотоны, т. е.
взаимодействует с электромагнитным вакуумом. Это взаимо-
взаимодействие является ответственным за собственную электро-
электромагнитную массу электрона 6т. Сумма собственной электро-
электромагнитной массы электрона 6т и механической «затравоч-
«затравочной» массы т0 равна общей массе электрона тс, которую и
определяют экспериментально (определить эксперименталь-
экспериментально /лц и Ьт отдельно нельзя). Однако масса, стоящая в урав-
уравнении Дирака, является массой свободного изолированно-
изолированного электрона т0, которая неизвестна. Таким образом, в урав-
уравнении Дирака должно стоять Хо == —jp а не Хс = ^§~-
Так как известна только общая масса электрона тс. то
уравнение Дирака необходимо записать в виде
=^)- D.1)
Уравнение D.1) является уравнением Эйлера для ин-
интеграла действия с плотностью лагранжиана
где
D.3)
Плотность функции Лагранжа системы двух взаимо-
взаимодействующих полей равна
D-4)
где ^v—плотность функции Лагранжа электромагнит
ного поля; ?ш— плотность функции Лагранжа взаимо-
взаимодействия;
\% %A$ $ D.5)
— перенормированная плотность лагранжиана взаимо-
взаимодействия.
203
Согласно формуле D.5) перенормированный оператор
плотности гамильтониана взаимодействия имеет вид
Wt = -Ш = - ieN $ А у + 18тс* $ $. D.6)
Первый член здесь обусловливает появление в графах Фейн-
мана обычных трехлучевых вершин, а второй член порож-
порождает двухлучевые вершины (рис. 34).
Из вершины на рис. 34 выходят только две электронные
линии, фотонные линии из нее не выходят. Покажем, что
при определенном выборе б/л член ?(Ро) в правой части вы-
Рис. 34
ражения C.1) для любой собственно-энергетической части
электрона компенсируется членом Lit так как этот член
дает только одну дополнительную неприводимую диаграм-
диаграмму, которая представляет собой электронную собственно-
энергетическую часть с матричным элементом, не содержа-
содержащим импульса электрона. Каждую диаграмму, содержащую
обычную неприводимую электронную собстЕенно-энерге-
тическую часть, дополняем аналогичной диаграммой, в ко-
которой вместо обычной неприводимой собственно-энергети-
собственно-энергетической части включена собственно-энергетическая часть,
представленная на рис. 34. Сумме таких собственно-энер-
собственно-энергетических частей электрона в матричном элементе соот-
соответствует множитель
( )+ ^r+ i8b 4J)
Можно так подобрать1 8%, чтобы ^B> (р0) + i8% = 0. Это
можно сделать ввиду независимости 2<2) (Ро) от Р- Рас"
смотрим теперь произвольную приводимую компактную
диаграмму W для собственной энергии электрона. Сог-
ОТ
204
г j ^^ - - _ — - --- к- 4
1 Из соотношения рр + (Х.о + б/J = 0 видно, что б/ зависит
Ро-
ласно рис. 34 имеем
Iiw (Р) = tw (Р) + <б% = 2w (Ро) +
где в ?*wвместо /л0 подставлена масса тс, причем каждой
неприводимой компактной электронной собственно-энер-
собственно-энергетической части, входящей в W, вместо выражения ?
сопоставляем функцию ЁB>'. При выбранном значении х
правой части D.8) член i6% полностью компенсирует ?*w (p0).
Второй член в формуле C.1), как будет показано дальше,
Рис. 35
компенсируется в матричных элементах различных процес-
процессов первым членом из разложения Лц в ряд Тэйлора C.3).
Можно обосновать законность отбрасывания второго
члена в правой части равенства C.1), кроме того, следую-
следующим образом. Рассмотрим эффективную электронную ли-
линию, выходящую из графа Фейнмана на рис. 35. Этой ли-
линии в матричном элементе соответствует множитель
v=v + SF±v, D.9)
второй член которого дает вклад в электромагнитную массу
электрона. Так как при подстановке в уравнения поля
вместо т0 массы тс уже учтена электромагнитная масса
электрона, то надо положить
&"(p)±{p)v(p) = 0. DЛ0)
Поскольку а имеет полюс первого порядка в точ-
точке Суц рц -— — %с, то ^ (р) должна иметь в этой точке
нуль второго порядка, а этим свойством как раз обла-
обладает только третий член в правой части равенства C.1),
который обозначен через 2я(/>)-
205
2. Пусть электрон движется в слабом электромагнитном
внешнем поле Л(?>. Взаимодействию электрона с этим полем
в первом и третьем приближении теории возмущений соот-
соответствуют графы на рис. 36. Граф на рис. 36, б описывает
процесс излучения электроном фотона, который порождает
виртуальную пару электрон — позитрон.
Таким образом, электрон, взаимодействуя с внешним
электромагнитным полем, порождает вокруг себя «облако»
виртуальных электронно-позитронных пар. Ввиду этого
0-к
о
Рис. 36
свойства вакуума аналогичны в некоторой степени свойст-
свойствам диэлектрика; взаимодействие электрона с виртуаль-
виртуальными электронно-позитронными парами приводит к поля-
поляризации вакуума, что эквивалентно изменению заряда элект-
электрона. В результате этого полный (т. е. экспериментальный)
заряд электрона равен
где е — «затравочный» заряд электрона, 8е — его добавоч-
добавочный заряд, обусловленный поляризацией вакуума. В со-
современной теории бе выражается расходящимся интегра-
интегралом. С другой стороны, экспериментально можно опреде-
определить только ес, тогда как отдельно найти е или бе нельзя.
Подставляя е = ес — бе в формулы D.5), получим
%\cJt = iecNyAip— ibeNty A$ — i8mc2y$, D.9')
откуда следует, что если в %tnt подставить величину ес
вместо е, то в порядке компенсации надо вычесть из
kint выражение ibeN^Aty. Действие члена—ibeN^Aty
эквивалентно изменению компонент потенциала электро-
электромагнитного поля. Таким образом, этот член можно учесть,
если вместо тензора напряженности электромагнитного
поля Fnv ввести тензор F^ — F^ (I + б/I'2. Так как
206
плотность функции Лагранжа свободного электромагнитно-
электромагнитного поля равна 2!v= />v» то действие члена — ibek tyAty
16я
и будет учтено, если вместо Ху ввести плотность лаг-
лагранжиана '
а, 1 Р2 S/ Р2
Отсюда следует, что можно отбросить — г'б?$г|зЛ$, доба.
вив в оператор плотности лагранжиана член—~ F^v.
Относя это слагаемое к оператору плотности лагранжиана
взаимодействия, можно теперь переписать последний в сле-
следующем виде2:
?int = iecNqAq-i6mc*^- -^F*v. D.10')
16л
1 Этот результат можно получить так. В представлении
Гейзенберга имеем
д 4n e г-2. а л-1
s^Ffv = -VTl*'Vv*J- (A)
Согласно формуле (Л) получаем
Легко показать, что это выражение для 6^ эквивалентно выра-
выражению
или
^=+^V"s;A11. (В)
Беря полусумму выражений (Б) и (В), находим
где
При переходе из представления Гейзенберга в представление взаи-
взаимодействия вид формулы (Г) не изменяется.
2 Второй и третий члены в правой части выражения D 10')
обычно называются контрчленами.
207
Так как последний член в D.10') пропорционален квадрату
тензора поля, то при переходе к импульсному пространству
отсюда возникают члены, пропорциональные квадрату им-
импульса фотона, которым соответствуют диаграммы Фейн-
мана с двумя фотонными линиями, выходящими из одной
вершины. Эти диаграммы являются диаграммами собст-
собственной энергии фотона. Следовательно, к каждой диаграм-
диаграмме, в которую входит неприводимая собственно-энергети-
собственно-энергетическая фотонная часть, надо добавить диаграмму, которая
отличается от первой заменой обычной собственно-энерге-
Рис. 37
тической части фотона частью, приведенной на рис. 37. Сум-
Сумме этих собственно-энергетических частей фотона в матрич-
матричном элементе соответствует множитель
-62, D.11)
где P(k) — выражение, соответствующее диаграмме рис. 37.
Можно так подобрать б/, чтобы было -^- • №+Р • /гг = 0
(эта операция осуществляется еще до перехода К -*¦ оо).
Рассмотрим теперь произвольную приводимую компакт-
компактную диаграмму W собственной энергии фотона. Вычислим
для нее Uw, подставляя вмес-о т и е величины те и ес. При
этом каждой неприводимой компактной собственно-энерге-
собственно-энергетической части электрона (или фотона), входящей в W, со-
сопоставим вместо?B>(р)илиП;2)(р)функцию t 2>'илиПB>(&).
В конце вычислений к П^^) добавим член Р • &2, соответст-
соответствующий собственно-энергетической части фотона, представ-
представленной на рис. 37. В итоге получим
nw(k) = nw(k) + P-k*. D.12)
Очевидно, что при выбранном нами значении б/ в пра-
правой части последнего равенства член Р ¦ кг полностью ком-
пенсирует выражение ^fe2' • к .
Можно обосновать законность вычитания иэ ЩА;) чле-
члена dft8 & еЩе и другим способом. Действительно, рассмот-
рассмотрим эффективную фотонную линию, выходящую из графа
208
Фейнмана на рис 38. Этой линии соответствует функция
a(k) = a (k) + if (k) П (k) a (Jfe), D.13)
где второй член несет ответственность за собственную мас-
массу фотона. Так как масса покоя фотона равна нулю, то
должно быть
Dl'(k)n(k)a(k)=0. D.14)
Функция D' имеет полюс второго порядка при k = 0, по-
поэтому функция П при k = 0 должна иметь нуль третьего
порядка. Этому условию удовлетворяет функция Щ, но не
о-
Рис. 38
удовлетворяют первые два члена в правой части C.2). По
этому необходимо в формуле C.2) отбросить члены П@) и
дП@) ,, ,,
'2 к1, расходящиеся при л -*¦ <х>, и во всех матричных
элементах заменить П функцией Р#, в которой предвари-
предварительно совершен предельный переход К -> оо
Таким образом, учитывая условие инвариантности теории
относительно преобразования калибровки и используя опе-
операцию перенормировки массы и заряда электрона, удалось
устранить четыре расходящихся выражения из шести имею-
имеющихся. В дальнейшем, используя так называемое тождест-
тождество Уорда, покажем, что в выражении для матричного эле-
элемента оставшиеся два расходящихся интеграла взаимно
компенсируются.
Замечание. Введение контрчленов можно обосновать еще и не-
несколько иным способом Действительно, рассмотрим третий член
Бц-матрицы
— OO
где
?а1 (*) = -« ^ d* Уа4 zfa (*¦ У> г)%(г)К(у)${г).
Хронологическое произведение, очевидно, теряет свой смысл, если
Hi @)==J/2 @)' г1@)=г2@>.
б зак. 1361 209
Это делает необходимым доопределение Т-произведения с помощью
введения дополнительных контрчленов в исходный оператор
энергии взаимодействия Используя эти контрчлены, условие ин-
инвариантности теории относительно преобразования калибровки и
тождество Уорда, доказываемое в следующем параграфе, можно уст-
устранить все выражения, расходящиеся при К-<-оо. Введенные таким
образом контрчлены можно интерпретировать в духе идей перенор-
перенормировки массы и эаряда [2].
§ 5. ТОЖДЕСТВО УОРДА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ
При k = 0 имеет место тождество Уорда
A,(p,p;O) = -^*f>\ E.1)
he dPil
Для доказательства этого соотношения рассмотрим тож-
тождество
Sc(p)[S»]-' =1. E.2)
Дифференцируя его по Рц, получим
Учитывая, что
$с(Р)=-г-^ ¦ т. е. [§»]-'-fYnPn + x. E-4)
преобразуем формулу E.3) к виду
a-!^=-;S'(phV§f(p), E.5)
т. е.
?^^^(р). E.5')
Правой части формулы E.5) соответствует простейшая
вершинная диаграмма, на которой импульс фотона равен
нулю (рис. 39). Таким образом, формальное дифференциро-
дифференцирование функции распространения Sc по переменной р^ эк-
эквивалентно включению в электронную линию внешней фо-
фотонной линии с нулевым импульсом.
210
Для простого собственно-энергетического графа имеем
2> (Р) = Bnr[^)^yvSF(p-k)yvDF(k)d^k. E.6)
Дифференцируя E.6) по рй и используя выражение E.5'),
находим
E.7)
\к=0
I
| Р
Рис. 39
Для вершины на рис. 30, а имеем
X Yti S (р2 — k) Yv DF (k) d* k E.8)
Полагая k1 = 0, рг — р2 = р и сравнивая это равенство с
выражением E.7), получаем тождество Уорда:
E.9
Составляя аналогичные соотношения для вершинных
частей более высоких порядков и производя суммирова-
суммирование, получим соотношение E.1), где 2* — сумма выражений
S(p), относящихся ко всем компактным частям W собст-
собственной энергии электрона, а Лй — сумма выражений
Лц(р, Р; 0), относящихся ко всем компактным вершинным
частям V. Согласно выражению C.5) для случая, когда р% +
+ Х2= 0, тождество Уорда получает вид
Лц (р0, р0; 0) = — У(л 2.1 (Ро)- ( >
Покажем, что на основании тождества Уорда выражения
^Ро' и А(р0, р0; 0), входящие в матричные элементы и
8* 211
расходящиеся при К -*¦ оо, компенсируются. Проиллюстри-
Проиллюстрируем это на примере рассеяния электрона во внешнем поле.
Этому процессу в первом и третьем приближениях теории
возмущений соответствуют графы, представленные на рис. 40.
Графам б, в, г, д соответствует сумма матричных элементов:
М<73) = v2 Л<ц3> {ръ р2, q) \ (q) Vl +
+ Bn)*!Z-\ltyVLA'tl(q)v1 +
+ v'2 у». \ q) Vi + v2 Yn \ (q) v\
a)
Рис. 40
где штрих над v и А означает, что в соответствующую элект-
электронную или фотонную линию включена простейшая собст-
собственно-энергетическая часть.
Обозначим через SF'(p) электронную функцию распро-
распространения, соответствующую сумме обычной внутренней
электронной линии и внутренней электронной линии с вклю-
включенной в нее простейшей собственно-энергетической элект-
электронной частью. Очевидно, эта функция равна
E.11)
где
1 (Р) = % (Ро) + (* Ъ Ри + %) 2i (Ро) + 2r (P)- E-12)
После перенормировки массы электрона, отбрасывая в
формуле E.12) линейно расходящуюся при К-+°° кон-
константу 2о(Ро) получим
2 (Р) = (i Ъ Р» + X) 2i (Ро) + 1r(p)- E-13)
S12
Учитывая, что SF (p) - [BлL (i УиРм4-%I~ '• и подставляя
из E.13) в формулу E.11), получим
SF' (р) = $'(р) + щ<% (Ро) $'(р) + SF(р) 2« (Р) Sf(p).
E.14)
Согласно C.1) и C.6) для свободного электрона 2«(р) = 0
и поэтому в данном случае имеем
]^(р)- EЛ5)
Поскольку функция S (р) является Фурье-компонентой
функции Фейнмана {Т [ty(x)ty(x')\H, величину SF' (p)
можно рассматривать как соответствующую Фурье-компо
ненту функции Фейнмана с переопределенной волновой
функцией (в пространстве импульсов):
(последнее равенство написано на том основании, что 2i
является малой поправкой, пропорциональной е2). Следо-
Следовательно,
А
b' = 1-Slw. E.16)
2 Bл)* v '
Далее можно написать
AC)(Pi.P2;?) = A<3) (Ро,ро;0) + А^(рир,;к). E.17)
Подставляя выражения для v' и Л<3) из формул E.16)
и E.17) в формулу E.10), найдем
М},8) = v2 ЛC) (р0> р0; 0) Лд (q) Ol +~vt
где ?К6 — перенормированный матричный элемент, соот-
соответствующий графу на рис. 40, в.
Согласно тождеству Уорда E. Г) первый и третий члены
в правой части E.18) компенсируются, в результате чего
это выражение можно переписать в виде
213
Формула E.19) дает конечную величину для матричного
элемента рассматриваемого процесса (в третьем приближе-
приближении теории возмущений). Таким образом, расходимость
в матричном элементе М(/У, обязанная вершинной части,
сокращается с расходимостью, которая осталась в собст-
собственно-энергетической части электрона после перенормиров-
перенормировки массы электрона.
В качестве второго примера сокращения интегралов
у^ и Л (р0, р0; 0), расходящихся при К -*¦ оо, рассмот-
рассмотрим поляризацию вакуума с точностью до членов, пропор-
пропорциональных е*. Этому процессу соответствуют графы, изо-
а) С
-о- -
Рис. 41
Сраженные на рис. 41. Устранение расходимостеи в данном
сл\чае производится точно таким же способом, как и в пер-
первом случае. В обоих примерах имеются вершинные части
третьего порядка и собственно-энергетические части элект-
электрона второго порядка. В более высоких приближениях тео-
теории возмущений появляются вершинные части порядка вы-
выше третьего и собственно-энергетические части электрона
порядка выше второю, что значительно затрудняет приме-
применение разработанной выше методики для доказательства
сокращения оставшихся расходимостеи. Для того чтобы до-
доказать перенормируемость матричных элементов в любом
приближении теории возмущений, в последующих парагра-
параграфах рассмотрим некоторые дополнительные вопросы.
Суммируя полученные ранее результаты, можно сфор-
сформулировать следующие выводы:
1. Пусть М(р, k) — расходящийся множитель в матрич-
матричном элементе, связанный с неприводимыми внутренними ча-
частями графа; р и k — импульсы электронных и фотонных
линий, которые соединяют рассматриваемую часть графа
с остальными частями. Для устранения расходимости в мат-
матричном элементе необходимо из М(р, к) вычесть несколько
первых членов разложения М(р. k) в ряд по степеням (рй —
— рОц) или &й. Число вычитаемых членов должно быть
минимально необходимым для обеспечения сходимости ос-
214
татка Мл(р, k), который называют перенормированным
значением функции М(р, к).
2. В интеграле, определяющем М(р, kI:
М (р, k) = \ R (р, ?, t) d4
можно сначала выполнить интегрирование по некоторой
конечной области, затем вычесть из него необходимое число
членов разложения в ряд по степеням (рд — рОд) и k^, a
после всего этого сделать предельный переход к бесконечно
большой области интегрирования.
3. Операция перенормировки аддитивна: если расходя-
расходящееся при а-»-а0 выражение является суммой нескольких
интегралов, то каждый из них можно перенормировать от-
отдельно (если один из интегралов сходится, то нет еще ос-
оснований утверждать, что он совпадает с перенормирован-
перенормированным выражением).
§ 6. ПОЛНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
(ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ)
Перед нами стоит задача обосновать операцию устране-
устранения расходимостей для совокупности Есех диаграмм, опи-
описывающих любой процесс. Для этого необходимо опериро-
оперировать с функциями, учитывающими поправки от высших
приближений теории возмущений. Такими функциями яв-
являются так называемые полные функции Грина.
Рассмотрим средние по вакууму:
<Т {$„(*)$„(*')§(>„. (t|A,WAv(.v')S|H! F.1)
где S — матрица рассеяния (S-матрица), которую можно
представить в виде ряда
S = i + VfVb..- F.2)
Подставим это выражение для S в формулы F.1). Нуле-
Нулевой член в разложении S-матрицы приводит к функциям
Грина Sc (x — х') и D' (х — х'), которым соответствуют на
графах Фейнмана простые линии (рис. 42). Используя яв-
явный вид Si, можно показать, что члены в формулах F.1),
обязанные Sb равны нулю. Член S.,, несет ответственность
1 Заметим, что операция перенормировки не является одно-
однозначной [2].
215
за появление в выражениях F.1) членов, пропорциональ-
пропорциональных следующим интегралам:
X
F.3)
Рис 43
Этим выражениям, которые дают поправки второго порядка
к функциям Грина S' и D1, соответствуют диаграммы, изо-
изображенные на рис. 43. Аналогично можно показать, что ос-
остальные члены в формуле F.2) дают поправки более высо-
высоких порядков к функциям S' и D'.
В выражениях F.1) содержатся, однако, члены, соот-
соответствующие ненаблюдаемым вакуумным процессам, кото-
которые описываются графами Фейнмана без внешних линий.
Действительно, otS2 в формулах F.1), кроме F.3), появляют-
появляются еще члены, пропорциональные выражениям:
X
F.4)
К (х) Av (х') J d* Xl d* x. Ax (^)Ap (Xl) X
ix (х) % (х') I d* xx
х Sp 11), (Xl) ij, (x2);A ^ (X2) ^ (^j Yp| _
216
которым соответствуют диаграммы, изображенные на
рис. 44. Вакуумным петлям на этом рисунке соответствуют
определенные члены в среднем по вакууму от S-матрицы;
So = <S >0 = (Фу, SOV) F.5)
Всю совокупность слагаемых в первом выражении F.1) мож.
но разбить на бесконечное множество следующих последо-
х' х
Рис. 44
сательностей членов. Первой последовательности соответст-
соответствуют графы, показанные на рис. 45. Сумму этой последова-
Рис 45
тельности обозначим через G(c>, где функция G(c] —полная
электронная функция Грина (электронная функция распро-
распространения).
Рис 46
Второй совокупности членов сопоставляются графы, по-
показанные на рис. 46. Согласно рис. 46 сумма второй сово-
совокупности членов равна G{i:)(x — к') ¦ V,, где G{e)(x — х) —
функция, описывающая эквивалентную электронную линию,
2! 1
a Vi — множитель, характеризующий вакуумную петлю
с двумя вершинами.
Аналогично можно построить другие последовательности
членов, которые будут отличаться от второй последователь-
последовательности тем, что им будут поставлены в соответствие графы с
вакуумными петлями другой топологической структуры.
Таким последовательностям графов в матричном элементе
будет соответствовать множитель G{e)(x — x')-Vt, где мно-
множитель Vt относится к соответствующей вакуумной петле.
Отсюда следует формула
<f (^a$pS) >0 = GU(l + Vr+ V,+ V3+ ... + Vn+...).
F.6)
Так как члены Vt порождены петлями, то
S0 = <S>0=(Ov,SOv) = ] + K1+K2+... + l/n + .... F.7)
Учитывая формулу F.7), находим полную электронную
функцию Грина
Geap = -4-<f(^BS)>0. F.8)
Аналогично получаем полную электромагнитную функцию
Грина
^AAvS))o. F.9)
Оценим теперь величину выражения /SH. Так как век-
вектор вакуумного состояния Ф| описывает невырожденное
состояние, обладающее наименьшей энергией, то согласно
закону сохранения энергии-импульса вектор W ~ SCDV может
отличаться от Ф^ самое большее постоянным множителем
С. Отсюда следует, что вектор CDV является собственным век-
вектором оператора S:
S Фу = COV.
Отсюда ввиду унитарности S-матрицы получаем, что
\С\г=1
или
С = е'°,
где a—действительное число. Поэтому
218
Производя анализ, аналогичный анализу, проведенному
для внутренних линий, можно показать, что внешним экви-
эквивалентным линиям соответствуют следующие матричные эле-
элементы:
(Ov,t *(*) SO,), (Фг f $B S ФУ), F.10)
(<t>v,f A»(x)S<t>r),
где Фг — вектор одночастичного состояния.
Выше мы работали в представлении взаимодействия. Рас-
Рассмотрим теперь матричные элементы операторов if и А^в
гейзенберговском представлении. Для этого заметим, что
зная лагранжиан, можно построить тензор энергии-импуль-
энергии-импульса T^v, а из ГцУ можно сконструировать оператор 4-вектора
энергии-импульса Рц. Временная компонента Р@> опера-
оператора Рц является оператором энергии системы.
Операторы Рц коммутируют друг с другом, поэтому мож-
можно найти такое представление, в котором они имеют общую
систему собственных векторов с собственными значениями
Р^"=р^", F.П)
где г — полный набор физических величин, определяющих
состояние. Каждый вектор состояния W" описывает состоя-
состояние с определенными энергией и импульсом. Любое состоя-
состояние системы характеризуется не только энергией и импуль-
импульсом, но и набором других физических величин, например
электрическим зарядом. Следовательно, г = (р^, а), где
а — другие квантовые числа.
Наинизшее энергетическое состояние системы, как из-
известно, называется состоянием вакуума. Вектор этого со-
состояния обозначен через Фу. В состоянии вакуума
рд = 0 (^i= 1,2,3,4),
что обеспечивает релятивистскую инвариантность основ-
основного состояния системы. Электрический заряд вакуумного
состояния также полагается равным нулю. Для возбужден-
возбужденных состояний системы должно выполняться неравенство
Р@)>0,
из которого согласно специальной теории относительности
вытекает соотношение р2 <; 0.
219
Учитывая сказанное, легко получаем следующие фор-
формулы для матричных элементов операторов if и Ац в пред-
представлении Гейзенберга:
?) = 1 (г)о (р)е'Р*,
*)^> ( '
(ф", А" (х) ф") = л'СЫ*) «-'**.
где g (г), |'(г), г[ (г), tj'(г) —некоторые инвариантные
функции квантовых чисел /•; о (р) — функция одноэлек-
тронного состояния; ац—у ?-?- ew — четырехмерный
вектор (eW — единичный вектор поляризации фотона; V —
нормировочный объем).
Введем обозначения:
1{г) = \'(г) = г\'г при p*+i* = 0,
ч(/-) = ч'С-) = ^1/2 при ft« = 0,
тогда формулы F.12) при />2-|»Хс= 0 и ^2 = 0 можно
переписать в виде
)=^2и{р)е«»' (р« + Х)=0,
§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Рассмотрим процесс рассеяния фотона на электроне. Во
втором приближении теории возмущений этому процессу
соответствует граф, изображенный на рис. 47, а в четвер-
четвертом приближении — графы, изображенные на рис. 48. Мно-
Множество диаграмм, приведенных на этих рисунках, сводится
к одной так называемой эффективной скелетной диаграмме,
приведенной на рис. 49.
Для того чтобы получить матричный элемент, соответст-
соответствующий графу на рис. 49, необходимо составить матричный
элемент для процесса, изображенного на графе второго по-
220
рядка на рис. 47, а затем в полученном выражении произ-
произвести замену:
В результате получим искомый матричный элемент
М = 21Za2Maiv v2 fM (р2 + &2, p2; k2) Ge (p2 + &2) X
X rv (Pi, Pi + ki, kj) vv
Таким образом, при исследовании какого-либо процес-
процесса можно совокупность различных графов заменить одним
скелетным графом, который по
форме совпадает с графом Фейн- \ /
мана для этого процесса, взятым \ /
в наинизшем неисчезающем приб- \х( - хг/
лижении теории возмущений. В та-
таком скелетном графе все линии
являются эквивалентными, а все
вершины характеризуются вер- рис 47
шинными функциями Гц. Чтобы
вычислить соответствующие матричные элементы, необ-
необходимо прежде всего найти уравнения для определения
функций Гц, Ф и Ge. Для этого подставим в формулу F.8),
6 !
! !
Рис. 48
дающую выражение для функции 6е, разложение матрицы
рассеяния F.2) и рассмотрим все множество полученных
при этом членов, которое можно поделить на счетное мно-
множество подмножеств.
Первому подмножеству членов соответствуют графы,
представленные на рис. 50. Этому подмножеству графов
Фейнмана в матричном элементе соответствует множитель
^(l+V'1+l/3 + V'3+....) = Sr(S)fl. G.1)
221
Второму подмножеству членов соответствуют графы,
приведенные на рис. 51. Первый член второго подмножества
дает первая формула F.3), которую можно переписать так:
af»(*—*i) Йу' (хх — Х2)§,Суб(х2— X'),
Второму подмножеству графов Фейнмана в матричном
элементе соответствует множитель
N / JiO + Vi + V2 + Vs+ ...) =
N , / =^,<S>0> G.2)
/ \ t-му подмножеству графов Фейнмана
/ \ сопоставляется множитель
Рис. 49 •/j<S>0, G.3)
где
2p'y' (xi—х2) —множитель, соответствующий г-й собствен-
собственно-энергетической электронной части.
/? , х'\ (I ^h\ /i _?»\ /L-Д Iх. .х\
( (еКсФ),(е)(е1
Рис. 50
Рис 5]
Учитывая формулы G.1), G.2) и G.3), получим
>,f ,. с' _j_ /" I / _l / I ) ^7 4)
222
Сумму в правой части G.4) можно преобразовать к виду
00
2 Jl=l#X1d*Xt&eafi(X - Xj) 2pv (Xi — X2)&Cr6(X2— X'),
G.5)
где 2sv' == 22$v—собственно-энергетическая электрон-
электронная функция. Согласно формуле G.5) равенство G.4) по-
получает вид
&{х—х')= ^c(x-x')jii2A
X±(Xl-x2)Uc(x2—x'). G.6)
В импульсном представлении формула G.6) приобретает
следующий вид:
6e(p)=$F(p)+SF(p)±(p)UF(p). G.7)
Аналогично подставляя выражение F.2) для § в форму-
формулу F.9), находим
ix1dixiDlk(x—х1)ПХу(х1 — x2)DyV(x2—x'), G.8)
где П—фотонная собственно-энергетическая функция. В
импульсном представлении формула G.8) получает вид
Gjv (*) = DFV (k) + DFK (k) ПКа (k) DFav (k). G.9)
Формулы G.7) и G.9) имеют следующую геометрическую
интерпретацию. Пусть внутренней электронной линии со-
сопоставляется функция SF(p); эквивалентной электронной
собственно-энергетической части — функция 2(р); участ-
участку графа — произведение соответствующих функций, сум-
сумме двух графов — сумма соответствующих произведений.
Тогда видно, что формуле G.7) соответствует граф на рис.22.
Эквивалентная собственно-энергетическая часть, кото-
которую обозначаем квадратом, равна сумме графов, построен-
построенных из компактных частей. Это графически изображено на
рис. 52, где прямоугольником обозначена компактная
223
электронная часть, которой соответствует функция 2*. Из
рис. 52 получаем равенство
аналогично находим, что формуле G.9) соответствует граф
на рис. 27, а из рис. 53 получаем
П = П* +П* DFП* + ... = П* A — DF П*)-1, G.11)
где П* — функция, соответствующая компактной электро-
электромагнитной собственно-энергетической части, изображенной
на рис. 53 прямоугольником.
-tKKKHH*
Рис. 52 Рис 53
Подставляя выражения G.10) и G 11) для t и П соответст-
соответственно в формулы G.7) и G.9), получим уравнения Дайсона:
6е (р) = SF (р) + sF (р) 2* (р) 0е (р), п . 2.
Gv (k) = DF (k) + DF (k) П* (k) Gv (k), ( '
или
1 = -A V* (n)
(P) SF(p) * (Ph
Gy(p) DF(k)
— n*(k). G.13)
В координатном представлении уравнения G.12) пере-
переходят в интегральные уравнения
Ge(x-x') =§((x-x')
x6e(x2-x')d*Xld*x2,
Gy(x— x') = Dc (x — x') +1 Dc (x — xj П* (x1—x2) X
X.Gv(x2—x')d*x1dix2.
Определим теперь выражения для ?* и П*. Рассмотрим
граф на рис. 54, его можно интерпретировать или как граф
224
с двумя вершинными частями третьего порядка, или как
граф с одной вершинной частью пятогс порядка. В зависи-
зависимости от того, как группировать вершины, этому графу
надо сопоставить скелетный граф на рис. 55, а или на
рис. 55, б. Отсюда следует, что в компактных собственно-
энергетических частях должна быть только одна эквивалент-
эквивалентная вершинная часть и одна обычная вершина. В против-
противном случае одна и та же собственно-энергетическая часть
а) к
t \
Рис. 54
Р Р-к Р
может учитываться дважды. Учитывая сказанное, функциям
?* и П* сопоставим графы, изображенные на рис. 56. Со-
Согласно рис. 56, а для нахождения ?* надо составить мат-
матричный элемент для собственно-энергетической электронной
части второго порядка, а затем в полученном выражении
сделать замену
iy _^ (jY> SF -> Gr
и, кроме того, для одной из вершин сделать з амену
Лд -»¦ Ги.
В результате получим
2*(/>) = lKGe(p-k)tv(p,p-k\k)G^(k)d4i. G.15)
Аналогично, используя рис. 56, б, находим
njlv (k) = —SpJ V & (р) f v (p, p — k; k) Ge (p — k) d4 p.
G.16)
Интегрирование в формулах G.15) и G.16) учитывает все
графы на рис. 56 с разными импульсами виртуальной ча-
частицы. Подставляя выражения G.15) и G.16) для ?* и П*
225
в формулы G 12), получим два интегральных уравнения для
трех неизвестных функций 6е, Gv и Гц,:
Ge(p) = SF(p) + SF(p) \ Яц G' (p-k)tv{p, p-k;k)x
X SpJ Я* бЧР) Го (р, р— k;k)Ge(p-k)d*p-GyoV(k).
Для того чтобы можно было определить эти функции, не-
необходимо систему уравнений G.17) дополнить еще одним
уравнением, которое можно составить, используя для этого
функциональное интегрирование. Однако полученную сумму
трех уравнений для трех функций G ¦, Gv и Гц в настоящее
время решать не умеют, ввиду того что пока нет еще эф-
эффективных методов вычисления функциональных интегра-
интегралов.
Теперь выведем уравнения, которым удовлетворяют ам-
амплитуды внешних линий. Подставляя разложение F.2) для
S в первый матричный элемент F.11) и выполняя те же пре-
преобразования, которые приводят к формуле G.6) для G", по-
получим
(Фч, t Ц(х) SOr) = (ФУ, \j5 (x) Ф,) +
+ \sc(a;— х')'?(х — х"){Фу,:$(х")Фг)Л*х'с1*х". G.18)
Учитывая формулы F.10) и F.12) и переходя к импульс-
импульсному представлению, из выражения G.18) находим
v(p) = v(p) + SF (p) 2 (р) v (p). G.19)
Аналогично получаем
%(р)=Ъ(р)+Ъ(р)±(р)?(р), G.20)
(k)a(k). G.21)
Формулам G.19) и G.20) соответствует граф на рис. 24, а
формуле G.21) — граф на рис. 28.
226
Замечание. Применяя к первому уравнению G.14) дифферен-
/ - д \
циальиыи оператор I 7ц^~+Хо] и учитывая, что
( V» Щ; + ХоУс(х-х') = 6Чх-х'),
получим
~ + Х°)й'(* - х') =-il^(x~x")Ge (X"-x')dH- +
+ 6*(х—х'). G.22)
Вводя интегральный оператор с ядром 2* (х—х")
М& (х —x') = i J2*(x —x")Ge(x"—x')d*x", ' G.23)
перепишем формулу G.22) в виде
(x-x') = 6M^-^'). G.24)
Оператор М называется массовым оператором.
а2
Применяя ко второму уравнению G.14) оператор П2 = ~—y
ц
и используя уравнение O2DC (х—х') = 4ш'йсб4 (х—х'), аналогично
находим
— х'), G.25)
где ^ — интегральный оператор с ядром П* (х—х'), т. е.
"—x')d*x\ G.26)
Оператор Р называется оператором поляризации вакуума (или
поляризационным оператором).
Так как [ Уи'я^~ + ЗСо] ф = 0 и QM=0, to уравнения G.19) и
G.21) можно преобразовать к виду
) = О, G.27)
(П2+Р)Л=О. G.28)
Производя перенормировку массы электрона и фотона, запишем
эти уравнения так:
G.29)
G.30)
227
§ 8. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Теорема. Функцию распространения Gv можно предста-
представить в виде
Gjv (*-*') = W , t [Л? (х) А? (*')] ^v ), (8.1)
где k(f—гейзенберговский оператор; W" — вектор состоя-
состояния вакуума в представлении Гейзенберга.
Доказательство. Перейдем в правой части (8.1)
от представления Гейзенберга к представлению взаимодейст-
взаимодействия. Предположим, что преобразование векторов состояния
выражается формулой
H, (8.2)
где Q(t) — ун тарный оператор.
Подставляя выражения для W1 (t) и W' (ta) в формулу
xY'(t) = S(t, foL"(fo), получим
Q(t) = S(t,to)Q(tti). (8.3)
Для определения Q{t) подставим в равенство (8.2) W'(t) =
= ехр( — HO^WS, где Vs (t) = ехр ( —±- н
Q(/) из формулы (8.3). В результате получим
(8.4)
Это соотношение должно иметь место при любом t, при
t = tb оно приобретает вид
(yHo^oj ехр ( —jL
При ^о = О отсюда имеем
l. (8.5)
Учитывая это, перепишем равенство (8.3) в виде
Q(t)--=$(t,O). (8.6)
228
Согласно (8.6) формула (8.2) принимает ряд
V'(t)=S(t 0L". (8.7)
На основании (8.7) для любого оператора можно напи-
написать
L'(t) =S{t,O)LH(t)S~l(t,O). (8.8)
Пусть t>t'. Учитывая выражения (8.7) и (8.8), полу-
получаем
J~ (??, А" (*) к" (х1) V?) = (Чг(, (оо), § (оо, 0) §-' (t, 0) х
xK(x)U(t,0) S-l(t',O)k'v(x')S(t',O) X
XS(O, — oo)Yi (-ос)). (8.9)
Далее пользуясь формулами
преобразуем соотношение (8.9) к виду
У=«(оо), S(oo, t)k'll(x)S(t,t')ki(x')x
xS(t', -oo)'Fi(-oo)). (8.9')
Используя, наконец, Т-оператор и учитывая, что
$(*>, t)S(t, t')$(t', -*>) = $,
перепишем формулу (8.9') в виде
(ii[k!k'x')S]Wi(-00)). (8.9")
Для одночастичных стационарных состояний и для ва-
вакуум ого состояния вектор Ч^+оо) может отличаться
от вектора W'r (— оо) лишь несущественным фазовым
множителем, который по модулю равен единице, т. е.
^(оо) = §(оо, — оо)?'(— оо) = в'вУ^(—оо), (8.10)
отсюда имеем
/а« ^) S (8.10')
229
где введено обозначение ^Р'^Ч^ (— ею) Подставляя вы-
выражение (8.10) для 4/v(o°) в формулу (8.9") и учитывая
(8.10'), получаем
K^K^s]^)=GlAx_xtl (89,„}
Теорема доказана.
Аналогично можно доказать, что
Gap (х-х') = (У?, f [#f (х) $ (х')\ О,
' К> ТА' S У[) = (V?, Ан ??),
где г—полный набор физических величин, характери-
характеризующих стационарное состояние, <$>,.,, = (»р', SW{).
1. Функция распространения фотона. Согласно выра-
выражению (8.1) при *@)>*@) (т- е- ПРИ t>t') имеем
Gv (у v'\ — (wH I Дн (у\ Дн /v-'\ I mH\ /я ill
На основании правила умножения матриц перепишем это
в виде
где *?"—полная система векторов стационарных состоя-
состояний. Подставляя в формулу (8.12) выражения F.12) для
матричных элементов, получаем
г
что можно переписать так [полагая r = (k, s, К)]:
G?v (х —х') = 21Л (k, s)\2 2<' (k) a[X) (k) etk{x-"'\ (8.14)
k, s X
где Я, — число, характеризующее поляризацию; s — сово-
совокупность остальных квантовых чисел.
230
В общем случае fe(O) = |/"к2 -f М2, где М — масса систе-
системы. Поэтому в формуле (8.14) суммирование по четырех-
четырехмерному вектору k можно заменить суммированием по трех-
трехмерному вектору к и по М. При этом сумму в выражении
(8.14) можно разбить на две части: в первой М = 0, а во
второй М >¦ 0. В результате формула (8.14) преобразуется
к виду
^)^)x') + A, (8.15)
К, Л
(М=0)
где А — вторая сумма. В первой сумме индекс s отсутствует,
так как состояния одного фотона характеризуются только
импульсом и поляризацией.
При лг@)<Г*@) выражение для G> отличается от выраже-
выражения (8.15) заменой k на — k. Так как суммирования по к и—к
тождественны, в общем случае имеем
GJV (х - х') = Z 2 a^(k) а[к) (k) X
к, Я,
(М=0)
х ехр [/к (г —г') — * I к | (*@) — ^@))] + А (х — х'). (8.16)
Сумма в формуле (8.16) равна Dc(x — x')-^. Учитывая
это, из (8.16) получаем
Glv(x — x') = ZDc(x—х')Ь^-\-А{х—х'). (8.17)
Представляя функцию Грина фотона в виде четырехкрат-
четырехкратного интеграла Фурье, находим
%1 A(k). (8.18)
Можно показать (на чем не будем останавливаться), что
функция A (k) имеет вид
где р(М2) — некоторая функция от Мг. Согласно (8.18)
функция Gy (k) имеет полюс при &2-0, т. е. в точке,
соответствующей состоянию реального фотона.
231
2. Функция распространения электрона. Согласно вы-
выражению (8.1) при *@) >*,'(), имеем
&а»(х-х') = №\№(хI$(х')\У!!). (8.19)
Используя равенство F.12), из (8.19) находим, что
баз (* — *') = 2Е (г) I' (r) va (р) I (р) eip(x-x'>
г
ИЛИ
(8.20)
где \х — число, определяющее поляризацию; s — совокуп-
совокупность остальных квантовых чисел Так как /?.„,= }^р2 4-М2,
то суммирование п о четырехмерному вектору р можно
заменить суммированием по трехмерному вектору р и
по М. В результате формулу (8.20) запишем в виде
&»(*-•*') = 2 ?(P,S) g'(p,s)S>a рцй„ puX
p.M s ц
xexp [ф(г-г')-« VfTM2{xw-x'i0))]. (8.21)
При x([))<Zx'{Q) получим формулу, отличающуюся от
(8.21) заменой х — х' на х' — х. Поэтому в общем случае
для G находим формулу
Gap (x—xr) = Zj 2 fо. рц у3 рд ехр [ф (г — г') -
р.
-i Vp2 + т\ | *@) —Jt('0) |] + В. (8.22)
Первая сумма в (8.22) относится к состоянию реального
электрона, поэтому индекс s в ней отсутствует; второй
член является суммой состояний с М > тс Учитывая, что
первая сумма (8.22) равна §?« (х — х')> можно переписать
формулу (8.22) в виде
6е (х—х1) = Zx йстс {х—х') + В (х—х% (8.23)
Для коэффициентов Фурье в разложении
Ge (х-х') - j Ф рд' (р) е'"^-*'»
?33
находим
6е (р) = Z, S? (р) + S (р) = -^- . ,. ' + В (р). (8.24)
Можно показать (это легко сделать читателю самостоя"
тельно) что функция В (р) выражается формулой
Г
Р < —
где р (М) — некоторая функция от %м — Мс/Н. Согласно
(8.24) функция С/(р) имеет полюс при p2-\-%^ = 0t т. е.
в точке, соответствующей состоянию реального электрона.
3. Следствие из тождества Уорда Дифференцируя
по р формулу
и учитывая тождество Уорда, получим
u + — К (Р. Р: 0I (8.25)
Так как Яд + Ам (р, р: 0) = f u (p, р; 0), то выражение (8.25)
переписывается в виде
Пусть из вершинной части выходят внешние электрон-
электронные линии, для которых р2 -4-/2 = 0. В этом случае G,
согласно (8.24) равно
0е (р) = _?L_ . _—! . (8.27)
Подставляя это выражение для Ge (p) в формулу (8.26),
получаем
f 1^-VM (P2+^ = 0)> (8.28)
или
1\(р, р; 0) = ZT'V
233
§ 9. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ
И ЗАТРАВОЧНЫМ ЗАРЯДАМИ ЭЛЕКТРОНА
Можно доказать справедливость соотношения
Z1 / 2 /П 1 \
е, (9.1)
где Z — некоторая постоянная. Действительно, заряд элект-
электрона можно определить, изучая движение электрона во внеш-
внешнем электромагнитном поле. Этому процессу соответствует
а) б) д)
Т * Т (
II-1 !
Рис 57 Рис. 58
множество графов Фейнмана, три из которых изображены на
рис. 57 (внешняя пунктирная линия соответствует внеш-
внешнему электромагнитному полю). Данное множество графов
является эквивалентным скелетному графу, представлен-
представленному на рис. 58. Матричный элемент, соответствующий гра-
графу на рис. 58, имеет вид
Мг/=уГ(Хиац. (9.2)
Так как
(9.3)
К(р, p;0)='KZy (рг + х?=0),
то формулу (9.2) можно преобразовать к виду
М„ = — BяL VZ v Yu va». (9.4)
' Не
Если положить ес = У^е, то матричный элемент (9.4) бу-
будет иметь вид, сходный с видом матричного элемента, полу-
полученного в первом приближении теории возмущений.
Полный заряд электрона можно также определить, ис-
исследуя рассеяние электромагнитных воль с малым волновым
числом (k ->- 0) на покоящемся электроне Этому процессу
234
соответствуют: а) диаграммы, сводящиеся к скелетной диа-
диаграмме на рис. 49; б) диаграммы, к замкнутым электронным
петлям которых подключены внешние фотонные линии;
в) диаграммы, являющиеся собственно-энергетическими ча-
частями с двумя фотонными линиями, подключенными к элект-
электронной линии (рис. 59). Диаграммы второго типа содержат
электронные петли с четным числом фотонных линий (вы-
(выходящих из них), причем для некоторых фотонных линий
k = О (см. рис. 59, б). Такие диаграммы связаны соотноше-
«0.
Рис. 59
нием Уорда с диаграммами, содержащими петли с нечетным
числом вершин, для которых матричный элемент равен нулю
согласно теореме Фарри. Поэтому диаграммы типа, пред-
представленного на рис. 59, б, не вносят вклада в матричный
элемент.
Учитывая, что для внешних фотонных линий k~+ 0, и ис-
используя тождество Уорда, получим вклад в матричный эле-
элемент от диаграммы третьего типа:
(9.5)
Используя соотношение G.7), находим.
Sw-Wwr&wWwF-Wip)]-1- (9.6)
Согласно (9.6) имеем
235
Подставляя сюда выражение (8.24) лля 6е:
6е (р) = Zx S?c (р) (р2 -+ - %i) (8.24')
и учитывая, что
[SF(p)]-lv="v[SF(p)\-[=0,
получим
My = 0.
Графам первого типа соответствует скелетная диаграмма
на рис. 49, которой отвечает в матричном элементе вы-
выражение
Ма =~а2^ахЛг [f"n(Pi4A. р2; *») Ge(p2+k2) tv{p1,p1+k1,k1) +
-f Г\-(р2 + р2, p2; kj&fa+kjtvfa, py+h; А,)] Щ.
(9.8)
Эта формула при kt = k2 = 0 получает вид
[Гц(р, р; 0)G»fv(p, p; 0) +
Используя формулу (8.24') и соотноления
v = YZ\V> v — V^i v, a~
преобразуем М2 к виду
(9.9)
Матричный элемент (9.9) отличается от матричного элемента
второго порядка для рассеяния фотонов с нулевым импуль-
импульсом только множителем Z. Таким образом, вклад в матрич-
матричный элемент для процесса рассеяния фотонов с нулевым
импульсом-энергией от выброшенных графов более высокого
порядка можно учесть, производя в соответствующем гра-
графе второго порядка замену заряда «голого» электрона его
полным зарядом ес, который согласно формуле (9.9) равен
ес = ej/Z. Указанная операция называется перенорми-
перенормировкой заряда электрона.
236
Можно показать, что из выражения (9.9) следует форму-
формула Томсона
Щ, (9.10)
3 \ 4л/л2 /
которую можно использовать для определения полного за-
заряда электрона.
Л. Д. Ландау, а затем Боголюбов Н. Н. и Ширков Д. В.
показали [2], что в пределе, когда К -*¦ °°, во втором при-
приближении теории возмущений имеем Z -> —с». Подставляя
это значение для Z в формулу (9.1), получим для затравоч-
затравочного заряда бессмысленный результат
е = -*=-+^-, (9.11)
У Z I ос
согласно которому затравочный заряд — чисто мнимая и
бесконечно малая величина. Однако такой вывод про-
противоречит условию эрмитовости исходного оператора
энергии.
Результат (9.11) иногда интерпретируется как доказа-
доказательство внутренней противоречивости и незамкнутости
современной квантовой теории поля. Однако такое утвержде-
утверждение является преждевременным, так как формула (9.11)
получена во втором приближении теории возмущений.
Вопрос о противоречивости или непротиворечивости кван-
квантовой теории поля является еще открытым и для своего
разрешения требует более строгих исследований.
§ 10. ПЕРЕНОРМИРОВКА ФУНКЦИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
И ВЕРШИННЫХ ЧАСТЕЙ. ПЕРЕНОРМИРОВКА
МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
/. Перенормированные функции. В формулы для опре-
определения функций распространения и и Gv входят функ-
функции 2 (р) и П (р), расходящиеся при /С->-оо; вершинная
часть Гц также расходится при /(—>-оо. Поэтому целе-
целесообразно вместо Ge, Gy, Гц и коэффициента вершины А,ц
ввести перенормированные функции распространения Gec
и Gyc, перенормированную вершинную функцию Гс>1 и пе-
перенормированный коэффициент вершины ХС11 при помощи
237
следующих формул:
G* = Z7'Ge; G^Z^G\ _
VCII=Z1Z Гц; Ac(l = Zj у Z Я,р,.
Найдем уравнения для определения G', GJ и Гсм,.
2. Первое уравнение. Для нахождения первого урав-
уравнения воспользуемся формулой G.12):
Ge(p)=SF(p) + SF(p)X*(p)Ge(p), A0.2)
где
±* (р) = ^ d*ki»Ge {p-k)tv{p, p-k;k)GlAk) (Ю.З)
— собственно-энергетическая функция компактной части
электрона, выраженная через неперенормированные функ-
функции. Добавляя к обеим частям формулы A0.2) член
Z7lGe(p) = 6ec, получим
&е(р) = SF (p)+ SF(pJ* (p) Ge (p) + (ZTl - 1) Ge (p). A0.4)
Используя соотношение
^(Р)(/^РЦ + Хе)Bя)«=1, (Ю.5)
где 7С = —~ ! тс—наблюдаемая масса электрона (т. е.
%
учтено, что уже произведена перенормировка массы элект-
электрона), формулу A0.4) преобразуем к виду
Gec(p) = SF(p) + SF(p) [?* (р)-Bя)* A -ZT1) (/ у^ +
+ %c)]Ge(p). A0.6)
Введем теперь регуляризованную собственно-энергетиче-
собственно-энергетическую функцию электрона для компактной собственно-
энергетической части:
где р0 — четырехмерный импульс свободного электрона.
Для определения второго и третьего членов в правой
238
части A0.7) воспользуемся формулой
ле , . = TF7~7 2 (Ро).
G (Po) S (р0)
или A0.8)
полученной из соотношения A0.2), и формулой (8.24),
которая для значений р2, близких к —%2С, имеет вид
^ i-+Q. (Ю.9)
Сравнивая равенства A0.8) и A0.9), имеем
откуда
0-2Tl)v (io.li)
Подставляя выражения A0.10) и A0.11) для 2*(р0) и
-^—t* (p0) в формулу A0.7), находим
2«(Р) = Г(Р)-^LA-27') (!ЪР» + Хс). A0.12)
Учитывая это и равенство Gc(p) =Z7'6e(p), из выраже-
выражения A0.6) получаем
(pN'c(p), A0.13)
где
%(p) = Zl±'R(p). A0.14)
Согласно соотношению A0.7) формулу A0.14) можно
переписать в виде
где
Подставляя в правую часть A0.16) выражения A0.1) для
G", %>», fv и Gv, получаем
2* (р) = J d*k"kcv.G'c(p—k) f cv (p, р —ft; fty GVvlfe). (Ю.17)
239
Формулы A0.13), A0.15) и A0.17) дают первое уравнение
для нахождения G'c, G] и l\v.
Вводя общую регуляризованную собственно-энергети-
собственно-энергетическую функцию электрона
S* (р) - ?я+2r s'; 2'r + % sF % s' 2« +... =
= 2rA-S«)-\ A0-18)
можно преобразовать формулу A0.13) к виду
F(p)%(p)SF(p). A0.19)
3. Второе уравнение. Для получения второго уравне-
уравнения используем формулу
Gv (k) = DF (k) + DF (k) П* (k) Gy (k), A0.20)
где
Ид?(*) = —Sp j d^pi^G" (p)tv (p, p-k; k) G' {p-k)
A0.21)
— собственно-энергетическая фотонная функция компакт-
компактной собственно-энергетической части, выраженная через
неперенормированные функции. Добавляя к обеим частям
формулы A0.20) член G? —Z~[ Gy, получим
G? (*) = DF (k) + DF (к) П* (k) Gf (k) + (f (k) (Z-' — 1).
A0.22)
Так как
'flfe).!, A0.23)
то формулу A0.22) можно преобразовать к виду
\u*(k) {*plL(\-Z-i)kAGy (k).
\ innc )
A0.24)
Введем регуляризованную собственно-энергетическую
функцию фотона для компактной собственно-энергети-
собственно-энергетической части:
П«(*)=П>)-П>)- (^B.)|^.A». A0.25)
240
Для определения второго и третьего членов в правой
части A0.25) воспользуемся формулой
или
Gy(k) ЫЧс У К
полученной из соотношения A0.20), и формулой (8.18),
которая для значений k2, близких нулю, имеет вид
1 ^K A0.27)
Gy(k) v ЫПс
Сравнивая равенства A0.26) и A0.27), находим
откуда
Равенство П*@)=0 согласуется с градиентной инвари-
инвариантностью теории электромагнитного поля.
Подставляя выражения A0.29) для (ЩШ) и П*@)
\ dk% /о
в формулу 10.25), находим
n*(k)= BnLk* A-Z-1), A0.28)
Anhc
П*@) = 0, °Ц-<*М =ШИ A-Z-'). (Ю.29)
U"R(k) = n*(k)--^^-n-Z-1). A0.30)
АлЬс
Учитывая это и равенство Gyc (k) =Z~l Gy (k), из формулы
A0.24) получим
Gyc (k) = DF [k) + DF (k) n*R (k) Gyc (k), A0.31)
где
tt'R(k) = Zn"R(k). A0.32)
Используя формулу A0.25), соотношение A0.32) можно
переписать в виде
UR(k) =П'(к)-П\0)-(^Р-}^.Р, A0.33)
где
ii;v(ft)=zn;v(ft). (Ю.34)
9 зав.. 1361 ' ; ЧИ,
Подставляя в правую часть A0.34) выражения A0.1) для
6е, 1ц, fv и Gy, получаем
П^(&) = — Sp f d4pXcn дес (р) Г„ (p, p — k\k) G\ (p-k).
A0.35)
Формулы A0.31), A0.33) и A0.35) дают второе уравнение
для нахождения GeCt Gy и Гп.
Вводя общую регуляризованную собственно-энергети-
собственно-энергетическую функцию фотона
Пй (А) = Пл+ tl'R DF n"R+ U'R DF fl'R DF tiR + ...=
= n*R(l-^n«)-', A0.36)
можно преобразовать формулу A0.31) к виду
Ot (k) - DF (k) + DF (k) UR (k) DF (k). A0.37)
4. Третье уравнение. Уравнения A0.13) и A0.31) со-
содержат три неизвестные функции Gec, Gy и Гсд. Поэтому
к ним необходимо добавить еще одно уравнение. Для
получения третьего уравнения воспользуемся третьей
формулой A0.1):
1+AJl A0.38)
где
KiPx, р» ft)-SA; =2 J л(fУЧИТ-1 (суГ^ (Ю.39)
— сумма вершинных функций, выраженная через непе-
ренормированные функции Гд, Ge и Gv,
В формуле A0.39) индекс суммирования п пробегает
положительные нечетные значения, начиная с трех. Вы-
Выражение для Ад записано нами схематически.
Введем функцию
А1д (plt р2; К) = 2 AV = Z, YzK (Pi, p2; k). A0.40)
я
Подставляя в правую часть A0.40) выражения A0.1) для
функций Гц, 6е и Gy, получаем
п— 1
-. AlM(p11pt;ft) = 2jdT(fe)' (GO" @?) 2 . A0.41)
242
Формула A0.41) дает сумму вершинных функций, выра-
выраженную через перенормированные функции Гд, 6е и Gv.
Согласно соотношению A0.40) формула A0.38) при-
приобретает вид
fkvl + AUl{pupt;k). A0.42)
В правую часть A0.42) входит функция Ащ, которая при
К -> оо расходится. Чтобы устранить эту расходимость,
добавим и отнимем в правой части A0.42) выражение
AiM (р0, ро,0). В результате получим
ARil(Pl, p2, к), A0.43)
где
Arm (Pi, Pi, k) = Alll(p1, р2; k)—А,д(р0, р0; 0),
а рОд удовлетворяет равенству ро + Хс — 0-
Как известно, функция ЛДд (рх> р2; А) при /С->-оо не
расходится. Покажем, что и выражение [—AiM(po,po;0)+
-\-Z1YZ~'kv] при /(->оо является также сходящимся.
Действительно, согласно формуле A0.40) имеем
Aim (Ро. Ро, ty=Z1; ZAM (р0, р0; 0)
или
A1(i(p0, po;O) = -Z1/ZV + Z1}Azf^po, ро;О). A0.44)
Так как согласно выражению (8.28) 1Х Гд (р0, р0; 0) = Яд,
то формулу A0.44) можно переписать в виде
Л1д(р0) ро;0) = A-Z,)^ZV A0.45)
На основании A0.45) формула A0.43) приобретает вид
fq^/Z^ + A^pj,/?,;*), A0.46)
или
tAPv p2; k)--~~ ъ+Ъ*(Рх, р2; *). (Ю.47)
Формула A0.47) дает искомое третье уравнение для на-
нахождения функций дес, Gyc, ГСц.
5. Матричные элементы. В уравнения A0.13), A0,31) и
A0.47) не входят расходящиеся (при К -*¦ °°) выражения.
9* . 243
Поэтому можно ожидать, что, решая Эту систему уравнении,
получим конечные выражения лля перенормированных функ-
функций (fc, Gyu fc(i. Если выразить матричный элемент через
перенормированные функции, то такой перенормиро-
перенормированный матричный элемент тоже, очевидно, должен
являться конечной величиной. Чтобы вычислить мат-
матричный элемент некоторого процесса, достаточно рассмот-
рассмотреть совокупность всех неприводимых скелетных диаграмм
для этого процесса, в которых внутренним электронным и
фотонным линиям и вершинным частям отвечают множители
и , Gy и Гц, а внешним линиям — множители она. Тем
самым будут учтены все приводимые диаграммы. Пусть одна
из неприводимых скелетных диаграмм имеет п вершин, Fe
внутренних электронных линий, Fy внутренних фотонных
линий, Ny внешних фотонных линий и Nе внешних элект-
электронных линий. В каждой вершине диаграммы сходятся две
электронных и одна фотонная линия, причем каждая внут-
реняя линия соединяет две вершины, а внешняя — только
одну. Поэтому имеют место равенства
n=Fe+-^ = 2Fy + Ny. A0.48)
Символически матричный элемент для рассматриваемого
скелетного графа можно записать в виде
М~ j (f )n(Gefe (Gv)Fv (vfe (afy dx A0.49)
Подставляя сюда перенормированные функции
fM = ZT'Z-1/2fCJl> & = 1Л, Gy = ZG}, A0.50)
а также
v=Z\/2v, ~a = Za, e = Z~1/2 e0
и учитывая равенство A0.48), получаем
J (Г сУ
(afy dx. A0.51)
Таким образом, матричный элемент A0.51) выражен через
перенормированные функции Г,ц Gec, Gy и истинный заряд
электрона ес. Постоянные Z и Zx не входят в выражение
244
A0.51). Поэтому формула A0.51) дает конечное значение
для матричного элемента и в предельном переходе К -*- °°-
Итак, доказано, что в квантовой электродинамике пере-
перенормировкой массы и заряда электрона устраняются рас-
расходимости во всех приближениях теории возмущений.
§ 11, ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Любой физический процесс изображается множеством
неприводимых скелетных диаграмм W с различным числом
вершин п. Скелетная диаграмма W состоит из эквивалент-
эквивалентных (эффективных) внешних и внутренних линий и эффек-
эффективных вершинных частей. Если эффективной диаграмме
W некоторого процесса соответствует в матричном элементе
выражение AW, то множеству всех скелетных эффективных
диаграмм этого процесса надо сопоставить в матричном эле-
элементе множитель
2 ()
W
Для определения входящих в формулу A1.1) перенор-
перенормированных функций ГСц, ис и G] необходимо решить
систему уравнений A0.19), A0.37) и A0.47), или, что то же
самое, систему уравнении
Gey {k) = DF (k) + DF (k) Пд (k) Gyc (k),
P»=P2=Po.
Ввиду известных математических трудностей эта система
уравнений решается приближенно. При этом функции
Гсд, GI и Gyc представляют в виде рядов по степеням
245
e*. F? качестве первого приближения для этих функций,
очевидно, необходимо взять выражения
(ГсдH = BяL -^ vu. (Gc)o = Sf, (GcvH = Df. A1.2)
he
Для демонстрации методики приближенного вычисле-
вычисления функций Гсд, Go G? и матричных элементов в ка-
качестве примера возьмем задачу о рассеянии фотона элек-
электроном.
Рис. 60
В первом неисчезающем приближении (т. е. во втором
приближении теории возмущений) этому процессу соответ-
соответствует диаграмма, представленная на рис. 47. Матричный
элемент, соответствующий этой диаграмме, пропорциона-
пропорционален е2с и символически равен
М = - Bя)* (^ J j (yHsT (аJ
Во втором неисчезающем приближении (в четвертом при-
приближении теории возмущений) добавляется элементарный
граф на рис. 60, а граф на рис. 47 рассматривается как
скелетный, в котором функции Гьд, G"c и GJ вычисляют-
вычисляются с точностью до el по формулам:
г ? ?
(П.З)
G^S' + S^'S', A1.4)
D}i2) =DF + DF U^ DF, A1.5)
где 2r2> — перенормированная собственно-энергетическая
электронная часть второго порядка; Пд2> — перенормиро-
перенормированная собственно-энергетическая фотонная часть второго
порядка а Л«3) — перенормированная вершинная часть
246
третьего порядка Оператор Л.д3) можно определить, вы-
вычисляя функцию вершинной части A'J по элементарной
диаграмме на рис. 30, а. Функции ^2| и П^ согласно вы-
выражениям A0.15) и A0.33) находим по следующим фор-
формулам:
A1.6)
A1.7)
где 2B) (р) — собственно-энергетическая часть электрона,
вычисленная по диаграмме на рис. 20, а, и ПB)(&) — собст-
Рис 61
венно-энергетическая фотонная часть, вычисленная по диа-
диаграмме на рис. 25, а. Во втором приближении вычисления
осуществляются с точностью до е\.
В третьем неисчезающем приближении (т. е. в ше-
шестом приближении теории возмущений) рассматриваются
диаграммы на рис. 61, которые считаются элементарны-
элементарными; диаграмму на рис. 60 полагаем скелетной и заменяем
в ней функции Гсд, Gec и G/ на Г^\ G*B) и G?<2), ис-
используя для этого формулы A1.3) —A1.7), т. е. ГС(Д,
G\ и GJ для рис. 60 вычисляются с точностью до е2. Кро-
Кроме этого, в третьем приближении учитывается
диаграмма на рис. 47, которая, как и во
втором приближении, считается скелетной, но
теперь для нее функции Гф и Ь\ вычисляются с точ-
точностью до е\. Оператор Гс3) находим по формуле
(Ц.8)
Вершинная часть Ai^ пропорциональна е\. Она вычис-
вычисляется по элементарной неприводимой диаграмме, пред-
247
ставленной на рис. 30, в. Вершинная часть Ajj;'. пропор-
пропорциональная е{, вычисляется пи скелетной диаграмме на
рис. 30, а, для которой функции fc(i. Gec и Gyc вычисля-
вычисляются с точностью до el.
Вычислим 2^' с точностью до е* ¦ Очевидно, что
V<4> _ V<4> l_V<4>l.V<4> Ml Ch
где 2'д соответствует графу рис. 62,a, z'\1r~ графу
рис. 62;б; 2ni'ft —гРаФУ
На графе рис. 62, а, который содержит внутри собст-
собственно-энергетическую часть второго порядка 2B)> необ-
необходимо вначале заменить 2<2) величиной 2д2>> опреде-
определяемой формулой A1.6). Затем, учитывая эту замену,
вычисляем величину 2i4>> соответствующую всей диаг-
диаграмме, и повторно производим перенормировку: заменяем
2;4> выражением ^ir' по формуле
A1.10)
На графе рис. 62, б, который содержит фотонную собствен-
собственно-энергетическую часть второго порядка ПB), вначале за
меняем П<2> на П1!' согласно формуле A1.7), а затем, с учетом
этой замены, вычисляем соответствующую величину 1(iV
для всей диаграммы на рис. 62, б, которую перенормируем
по формуле A1.10).
Для диаграммы на рис. 62, в, которая содержит вершин-
вершинную часть Ар3', поступаем аналогично. Согласно общим пра-
правилам написания матричных элементов для рис. 62, в имеем
Л<3) (р, р- </2, </2) S1"' (р -q2)
), A1.11)
248
где
А<3) - jj d* qx К SF(p-qj К $F(p- qt- qt) i, D» (q.).
A1-11')
Выражение 2in расходится линейно в области больших
| ql |, | q21 и является примером перекрывающихся
расходимостей1.
Устраним расходимость, содержащуюся в ^jtl. Для
этого преобразуем выражение A1.11) к виду
±\'\ = А<,3> (ро, р0,0) $ d< ?S"(р-?) ^v D^(9) +
+ S d«9Xv S' (p- <7) D^ (9) Ai3) (p0, p0> 0) + 2(iVi> A1.12)
где
Ai3) (po, Po, 0) = $ d4 <7^ SF (po-q) К SF (p0 -<7) ?„ D"^);
A1.13)
p0 — волновой вектор свободного электрона, удовлетворяю-
удовлетворяющий соотношению ро + ti — 0.
При перенормировке вершинных частей первые два чле-
члена в правой части A1.12) обращаются в нуль. Перенормируя
последний член, получим для ?\Ц следующее перенорми-
перенормированное выражение:
D>\
) (Р.-Род). A1.14)
В заключение этого параграфа рассмотрим еще один
пример. На рис. 63 приведены приводимые вершинные части
пятого порядка. Для нахождения перенормированных вер-
вершинных частей Лк5д, соответствующих диаграммам на рис. 63,
заменим их соответствующими эквивалентными неприводи-
неприводимыми скелетными диаграммами. Эквивалентные неприво-
неприводимые скелетные диаграммы представлены на рис. 64, где
черный треугольник изображает вершинную часть треть-
третьего порядка Ад3), а жирные линии изображают функции рас-
распространения, вычисленные на основе собственно-энерге-
собственно-энергетических частей второго порядка Sr1 и Пд2).
1 Заметим, что перекрывающимися расходимостями называются
расходимости в собственно-энергетических частях, в которых часть
внешних вершин заменена на вершинные части.
249
Вычислим сначала А(м3>, соответствующую графу на
рис. 63, а, и, используя выражения для j^' и П(|' на-
находим функции G*(p) и Gj(?). Найденное выражение для
Лд3) перенормируем. Затем по графам на рис. 64, а, б и s
вычисляем Ееличины Л (|5), A if и A|ii, после перенорми-
перенормировки которых получаем конечные величины A(^
и MI
Рис. 63
Таким образом, методика устранения расходимостеи,
связанных с приводимыми графами, и перекрывающихся
расходимоаей сводится к следующему: 1) сначала устра-
а)
б)
Рис. 64
няем расходимости во внутренних вершинах и собственно-
энергетических частях графа, заменяя его скелетной непри-
неприводимой диаграммой, в которой линиям и вершинам соот-
соответствуют функции Gl, G\ и f-nJ 2) затем устраняем рас-
расходимость, обязанную всему графу как целому.
Необходимо еще доказать, что после выполнения пер-
первого пункта не возникает новых типов расходимостеи, кро-
кроме перечисленных в § 2. Для этого достаточно доказать, что
функции Gc(p), Gyc и Ггд (q, q, 0) ведут себя асимптотически
в области больших импульсов, так же как и функции SF(p),
D'\k) и уц. Используя формулы A0.19) и A0.37) и учитывая,
250
что ?r(p) и Пд (р) асимптотически при \р\ >• х< ведут себя
соответственно как \р\ и \р2\ (с точностью до множителя
/0пА"). как это можно показать непосредственным вычисле-
вычислением), а также принимая во внимание, что при больших \р\
(p),
Р
приходим к выводу, что при |р|>Хо функции Gec(p) и
Gf &) могут отличаться от Sf и DF только множителем
вида / | In ?j J. Итак, в общем случае сколь угодно
сложных частей собственной энергии и вершинных час-
частей имеют место следующие асимптотические выражения
для функций Gec, Gyc и Гoi".
Gyc(k)~D"(k)ft 1п-=5-
где fi, /2 и /3 — безразмерные полиномы от логарифмичес-
логарифмических аргументов1. Следовательно, после устранения расходи-
мостей во внутренних частях диаграммы будет получен ин-
интеграл, подынтегральная функция которого, кроме рацио-
рациональных дробей рассмотренного типа, может содержать в
качестве множителей лишь логарифмы от импульсов, что
не меняет характера расходимости интеграла. Итак, новых
типов расходимостей. кроме изученных в § 2, не возникает.
Замечание. Если порядок диаграммы стремится к бесконечности,
го?,, /а и f3 могут стать бесконечными рядами, что может изменить
характер асимптотического поведения функций gi, Gyc и Гсц В по-
последнем случае приведенные рассуждения могут потерять силу. Так,
например, если окажется, что /1( }„, ?3 являются рядами типа
то интеграл, полученный при выполнении .первого пункта (т. е. при
перенормировке внутренних частей графа), будет иметь расходи-
расходимость, характер которой будет отличаться от характера расходи-
расходимостей, изученных в § 2.
1 Это утверждение доказал Леманн.
251
§ 12. ПЕРЕНОРМИРУЕМЫЕ И НЕПЕРЕНОРМИРУЕМЫЕ
ТЕОРИИ
Рассмотрим некоторую компактную диаграмму Фейн-
мана G, которой соответствует матричный элемент S,,/.
Определим степень расходимости интеграла I, входящего
в Sj, /. Пусть п — число вершин в С С помощью б-функции
в I снимается 4 (л — 1) интеграции (оставшаяся б-функция
выражает закон сохранения четырехмерного полного им-
импульса). Таким образом, число независимых переменных
интегрирования равно 4(F — п + 1). где F — полное число
внутренних линий. Вводя в 4(F — п + 1)-мерном простран-
пространстве «радиус» Р, произведение независимых дифференциалов
Udpt запишем в виде p^-n+n-i dP.
Свертки, входящие в S^, можно записать так:
где щ — полином степени г, относительно р^. Произве-
Произведение всех сверток при больших \pt\ дает множитель
2 ri~2F 2('г-2)
pi =Pi
в котором суммирование производится по всем внутренним
линиям. Пусть X — число операторов дифференцирования
в операторе энергии взаимодействия (или число импульс-
импульсных множителей). Множитель в матричном элементе, обу-
обусловленный вершинами, имеет вид РпХ. Таким образом, при
больших \pt\ подынтегральное выражение принимает форму
2(г/+2)-4(п-1)-1+пЛ
Р I — рш @))
где
ш(С?) = ^(/', + 2)-4(л —1)+лХ
— индекс диаграммы G. Интеграл, входящий в S«_,f, рас-
расходится, если
со (G) > О,
и сходится, если
со (G) < 0.
252
Индекс вершины определим равенством
_ j_
2 h
где суммирование производится по всем внутренним линиям,
входящим в i-ю вершину. Согласно формуле A2.2) имеем
<o(G)=2<d,+4, A2.3)
ибо каждая внутренняя линия входит одновременно в две
вершины. Если все линии, входящие в вершину, являются
внутренними, то ее индекс получает максимальное значение
юГх. Если
A2.4)
то из выражения ,12.3) получаем
со (О) < 4.
Если же
соГх>О,
то можно составить такую диаграмму G с достаточным коли-
количеством вершин, у которой индекс co(G) будет больше, чем
любое наперед заданное большое число.
Формулу A2.2) можно преобразовать к виду
и,»©/™"-1 2 (/-* +2), A2-5>
'ext
где /ех1 — индекс внешних линий, входящих в i-ю верши-
вершину. Согласно A2.5) формулу A2.3) перепишем так:
' l /ext
где в последнем члене суммирование производится по всем
внешним линиям рассматриваемой диаграммы. Если все
ютах ^ 0> Т0 согласно формуле A2.6), при co(G) > 0, число
внешних линий /V диаграммы не превышает четырех. Та-
Таким образом, в этом случае w(G) и N ограничены сверху чис-
числом 4. Если же сотах > 0, то обе суммы в A2.6) могут быть
сделаны сколь угодно большими при неотрицательном co(G).
253
Поэтому теперь co(G) и N будут Неограниченными. В связи
с этим типы взаимодействий делятся на два класса: взаимо-
взаимодействия первого рода, когда все со; ^ 0; взаимодействия
второго рода, когда некоторые из Ш; > 0.
Для взаимодействий первого рода индекс любой диаграм-
диаграммы co(G) — величина ограниченная. Следовательно, в этом
случае существует конечное число типов расходящихся
диаграмм. Для устранения расходимостей требуется конеч-
конечное число контрчленов в операторе энергии взаимодействия,
а следовательно, и конечное число перенормировочных кон-
констант. Во втором случае индекс диаграммы может быть боль-
больше любого наперед заданного числа; в этом случае сущест-
существует бесконечное число различных типов расходящихся
диаграмм. Для устранения этих расходимостей требуется
бесконечное число контрчленов в операторе энергии взаи-
взаимодействия, а следовательно, и бесконечное число перенор-
перенормировочных констант. Каждой константе должна соответ-
соответствовать определенная физическая величина. Итак, в теории
с взаимодействием второго рода для перенормировки необ-
необходимо использовать бесконечное число физических вели-
величин. Последняя операция неосуществима. Таким образом,
теории с взаимодействиями первого рода являются пере-
перенормируемыми, а теории с взаимодействиями второго рода—
неперенормируемыми1.
Рассмотрим более подробно взаимодействия первого и
второго рода. В формуле A2.1) число г, для скалярного и
векторного полей с массой нуль со скалярной связью (на-
(например, для электромагнитного поля) равно нулю, для спи-
норного поля со спином 1/2 — равно единице, для вектор-
векторного поля uv (при х Ф 0) со скалярной связью — равно
двум. Так как при со™* ^0 число внешних линий в диаграм-
диаграммах с неотрицательным индексом не может быть более четы-
четырех, то максимальное число операторных множителей в лаг-
лагранжиане взаимодействия первого рода также равно четы-
четырем. Согласно формуле A2.2) индекс вершины с четырьмя
линиями
1 Если вспомнить, что все существующие перенормировки (ис-
(исключением является только перенормировка заряда в методе Швин-
гера) проводятся в рамках теории возмущении, это заключение пред-
представляется несколько преждевременным. — Прим ред.
254
где суммирование производится по всем линиям, выходящим
из данной вершины, будет только тогда не больше нуля, ког-
когда все четыре линии будут иметь rt = 0 и когда X = 0.
Таким образом, из всех операторов плотности энергии
взаимодействия с четырьмя операторными полевыми мно-
множителями к взаимодействиям первого рода относятся лишь
выражения типа
Ф1Ф2Ф3Ф4. Ч*1<?гАцАч< А*АцА\Ах,
где ф — скалярное поле. Остальные операторы плотности
энергии взаимодействия с: четырьмя операторными поле-
полевыми множителями относятся к взаимодействиям второго
рода. Примерами таких операторов плотности энергии взаи-
взаимодействия являются следующие выражения:
а) {api О т^г) { ^з 0^4) —оператор плотности энергии
взаимодействия четырех ферми-полей (этот оператор плот-
плотности энергии был введен Ферми в теории Р-распада)
(со, = 2);
б) «PiTagJ-'A. (ю,= 0;
в) фхфаМцУн (сог = 2),
где ф — скалярное поле; Ац, Ыц — векторные поля.
Операторы плотности энергии взаимодействия первого
рода с тремя операторными полевыми множителями могут
иметь следующие структуры: а) произведение из скаляр-
скалярных и электромагнитных функций без производных вида
Ф1Ф2Ф3. фАгЛм (со, = —1);
б) произведение из скалярных и электромагнитных функ-
функций с одной производной первого порядка
в) произведение одной скалярной, одной векторной и од-
одной электромагнитной функций
г) произведение двух спинорных и одной скалярной
(или электромагнитной) функций
a,p a,p.и ' '
255
Все остальные взаимодействия^ у которых оператор плот-
плотности энергии взаимодействия/содержит три операторных
полевых множителя, относятся к неперенормируемым тео-
теориям. Примером такой теории является теория с операто-
оператором плотности энергии взаимодействия вида
2
а,р.и
Если О** = Yh Ye. a Ф — псевдоскаляр, то эта формула дает
оператор плотности энергии взаимодействия псевдоскаляр-
псевдоскалярной мезонной теории с псевдовекторной связью. Если же
О1 = уц, а ф — скаляр, то получаем то же самое в скаляр-
скалярной мезонной теории с векторной связью.
Кроме того, к неперенормируемым теориям следует от-
отнести теорию, в которой рассматривается тензорная связь
векторного поля с спинорным полем. Оператор плотности
энергии взаимодействия в такой теории имеет вид
Итак, перечислены все возможные взаимодействия первого
рода, так ка,к операторы энергии взаимодействия, состоя-
состоящие из произведения только двух операторных полевых
множителей, не описывают процессов взаимного превраще-
превращения частиц.
§ 13. ПЕРЕНОРМИРОВКА В МЕЗОННОЙ ТЕОРИИ
В квантовой теории псевдоскалярного мезонного поля
с псевдоскалярной связью, так же как и в квантовой элект-
электродинамике, расходящимися являются матричные элемен-
элементы следующих диаграмм Фейнмана: 1) собственно-энерге-
собственно-энергетических частей фермиона и мезона; 2) вершинной части;
3) части рассеяния мезона на мезоне. В первых двух случаях
удается устранить расходимости путем перенормировки
мезонного заряда G и масс нуклона и мезона. В результате
перенормировки массы мезона в операторе энергии взаимо-
взаимодействия возникает контрчлен вида —Ь\и\г{х). В третьем
случае нельзя устранить расходимость, основываясь на
требовании калибровочной инвариантности, как это дела-
делалось в квантовой электродинамике. Итак, в данном случае
имеется расходимость, которую не удается устранить пере-
856
нормировксй массы или заряда (константы связи). Согласно
идее перенормировки для устранения этой расходимости
в оператор плотности энергии взаимодействия включается
контрчлен вида кц>4 с соответственно выбранным коэффи-
коэффициентом X.
Определенный интерес в мезонной теории поля пред-
представляют так называемые треугольные диаграммы. Про-
Простейшая треугольная диаграмма представлена на рис. 9.
Индекс треугольной диаграммы равен 1. Поэтому соответ-
соответствующий ей матричный элемент является линейно расхо-
расходящимся.
Треугольной диаграмме соответствует матричный эле-
элемент, пропорциональный шпуру величины
где hplt hp2, hps—импульсы виртуальных фермионов.
Учитывая, что матрицы уь и Yn> входящие в Р, антиком-
мутируют между собой, преобразуем A3.1) к выражению
с числителем
Y8(-F\ + X)(P2+X)(- Р* + %). A3.2)
Для получения матричного элемента необходимо взять шпур
от выражения A3.1) или A3.2). Учитывая равенства
находим, что шпур выражения A3.1) равен нулю, а следо-
следовательно, в псевдоскалярной мезонной теории матричный
элемент для треугольной диаграммы равен нулю. Это поло-
положение может быть доказано для общего случая замкнутой
петли с нечетным числом вершин (аналог теоремы Фарри).
Из этой теоремы следует, в частности, невозможность распа-
распада под действием взаимодействия Г, =—ОМ^Уафф тяжелого
псевдоскалярного мезона на два (или, в общем случае, на
четное число) более легких псевдоскалярных мезона.
В скалярной мезонной теории в операторе плотности
энергии fj вместо оператора у6 стоит единица. Поэтому
вместо выражения A3.2) имеем
P,+ X)- A3.4)
257
Беря шпур от этого выражения и учитывая, что
получим отличный от нуля результат (расходящийся). Для
устранения этой расходимости в оператор энергии взаимо-
взаимодействия вводим коктрчлен вида аср3, где а — бесконечная
величина (при К -*¦ со).
Рассмотрим теперь треугольную диаграмму, из которой
выходит две фотонных и одна мезонная линия. Такая диа-
диаграмма описывает распад мезона на два фотона. Матрич-
Матричный элемент, соответствующий такой диаграмме, пропор-
пропорционален величине
Если O=Y5 (псевдоскалярная мезонная теория), то в
матричном элементе содержится член с операторным
выражением
Y5 Y4 Yi Y2 Y3= Y5 = 1;
если же 0=1, то отличный от нуля результат дают
члены, содержащие четное число матриц yyi.
Итак, как з псевдоскалярной, так н в скалярной мезон-
ной теории получен отличный от нуля результат. В обеих
теориях рассмотренный матричный элемент является кали-
бровочно инвариантным и сходящимся. В соответствии с этим
отметим, что распад нейтрального псевдоскалярного я-ме-
зона на два фотона действительно наблюдается эксперимен-
экспериментально.
Аналогично можно получить отличный от нуля матрич-
матричный элемент для распада скалярного мезона на два псевдо-
псевдоскалярных мезона.
§ 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
При вычислении S, ПиЛ встречаются интегралы, у ко-
которых подынтегральная функция содержит «обрезающий
:-/.ксжитель» вида B.5) или B.6). Ради простоты остановимся
258
на обрезающем множителе B.6). В этом случае упомянутые
интегралы имеют вид
, ()
а, а2...а„
где ап — полиномы второго порядка относительно рд; Ф (р)
— полином порядка т относительно рм, а интегриро-
интегрирование проводится по некоторой конечной области N в че-
четырехмерном пространстве р.
В конце всех вычислений необходимо переходить к пре-
пределу /V -> оо. При этом интегрирование, проводимое по
отрезку прямой, расположенной на комплексной плоскос-
плоскости ?@), распространяется на весь контур, изображенный на
рис. 6 или рис. 7. Для вычисления интегралов типа A4.1)
методом параметризации используется тождество
1
1 С un~l du
J 142)
пА"а =J [au+a(l-u)]n+] ' A4-2)
о
где А — полином второго порядка относительно р.
В частном случае, когда п = 1, формула A4.2) имеет вид
1
1
= Г а t^ x_t , ¦ A4.3)
о
что легко проверить непосредственным вычислением интег-
интеграла.
Используя тождество A4.2), перепишем интеграл A4.1)
в следующем виде:
i I i
/ = («_ 1I}х1~2 dxj )X2~3 dx2... ^djfn_i Q(Xi,...,*„_,),
oo о
A4.4)
где
а k и / зависят от параметров хг,..., хп—\. После под-
подстановки в формулу A4.1) выражения для \1ахаг ...ап
была произведена перестановка интеграции по хг, хг,... ,
хп-\ с интеграцией по (Ро)<РB)>РC)>Р@))- Эта операция
является вполне законной, так как если интегрирование
239
по /7@) производится вдоль койтура с (см. рис. 6 или 7),
то ии одно из а, не обращается в нуль. Если интеграл
A4.5) сходится, то, делая замену p — k->p, можно пре-
преобразовать его к виду
f$(P)rf«P И6)
J B /)"
В частном случае, когда Ф(р) = р^ F (р2) — антисиммет-
антисимметричная подынтегральная функция, где F(p2) — функция
аргумента р2, интеграл A4.6) равен нулю, т. е.
_о. A4.7')
(P2+Dn
Отсюда, а также из инвариантности функции F(p2) относи-
относительно вращений в четырехмерном импульсном пространст-
пространстве следует вторая формула
При вычислении интеграла A4.6) необходимо помнить, что
в нем интегрирование по р(о> производится вдоль «замкну-
«замкнутого» контура с на рис. 6. Согласно основной теореме о вы-
вычетах результат интегрирования не изменится, если контур
с деформировать так, чтобы полюса подынтегральной функ-
функции, находящиеся внутри контура с, продолжали оставать-
оставаться внутри деформированного контура с. В частном случае
деформацию контура с можно выполнить таким образом,
чтобы часть нового контура проходила вдоль мнимой оси
на комплексной плоскости р(о» (см. рис. 7). При этом р,0) =
= ф(оъ где р(о) — действительное число. Отсюда вытекает,
что р2 = р2 — рBA) = р2 + р@) > 0. Последнее означает,
что в р-пространстве имеется евклидова метрика. Это поз-
позволяет в четырехмерном р-пространстве ввести сферичес-
сферическую систему координат:
p(i) = pcos01, рB) = р sinG, cos 6а, g,
= Р sin вг sin e2 coscp, p@) = р sin 6X sin e2 sin ф.
Легко проверить, что из формул A4.8) следует соотно-
соотношение
П ) + А 2) + Р?3) + Р@) = Р2 > 0,
260
элемент объема в четырехмерном р-пространстве в сфе-
сферической системе координат выражается формулой
dk dp[0) = d4 ?' = Ht H2 H3 Ht dp dQ1 d% d<p. A4.9)
Метрические коэффициенты Ht вычисляются обычно по
формуле
где ы' = р, «2 = 01, «3 = 92, ы4 = ф. Используя формулы
A4.8), из выражения A4.10) имеем
Я,= 1, Я2 = р, Ha = pslnQ1, ^4 = psin91 sin 92. A4.11)
Согласно формулам A4.11) объем A4.9) приобретает вид
d4 k' = р3 sin^i sin 02 dpdex dO8 dq>. A4.12)
Подставляя это выражение для d*k' в интеграл A4.6),
получаем
8) d* р _ С ф(Р*) dPdP@) = . С <^(pi)dpdp[0) ^
_ Г Ф (р8) d* р _ С ф(Р*) dPdP@) = . С
Q-
J (,
R Я Я 2л
¦ ,f f f Г Г Ф (p2) P3 sin2 8t sin 82tfp 48^8^9 ^ (Н 13)
где /?—радиус сферы в четырехмерном импульсном про-
пространстве. Производя здесь интегрирование по 0,, 02 и <р,
находим
я «8
(W>*P =2яН Г Ф(р8)р^р =n»f f Ф(г)г^г . A4.14)
J (Рг + 0л J (Р2 + Ол J (г + 0л V
о о
Используя эту формулу, легко вычислить интегралы:
A4.15)
Г—~-~ =я2! (In --— 1 ] , A4.15')
- = яЧ 5 (п>3), A4.16)
где />0 (в последней формуле положено /?-»-оо).
261
Делая в формуле A4.16) замену p~*-p — k и /-f ?*->-/,
получим
В частном случае, когда F(p2)=l, формула A4.7')
имеет вид
= 0. A4.18)
(Р* + 1)п
Производя в A4.18) замену p-+p — k и / + ?2->/, со"
гласно формуле A4.17) находим
Чтобы вычислить логарифмически расходя щийся интеграл
Л (Л, 0 = f ¦ . A4.20)
N
созершим замену p—k~*-p, l — k2->l в формуле A4.15').
В результате получим
ф*И A4.21)
где, однако, область интегрирования N' несколько отли-
отличается от области 'V, по которой производится интегриро-
интегрирование интеграла A4.20). Покажем, что интеграл A4.20) с уве-
увеличением R сколь угодно мало отличается от интеграла, стоя-
стоящего в левой части A4.21). Действительно, радиус R' ги-
гиперсферы N' в четырехмерном р-пространстве отличается
от радиуса R гиперсферы N на конечную величину. Отсюда
следует, что с увеличением R отношение R'/R стремится к
единице, а логарифм этого отношения стремится к нулю.
Поэтому для разности рассматриваемых интегралов имеем
lim Г
N — N'
Г
J
Учитывая ьто, можно написать
f._._J^ _ = лЧ1111_«1_1). ¦ A4.22)
262
Вычислим логарифмически расходящийся интеграл
2
:р*-2рк+1Г
Производя замену p—k->p, преобразуем интеграл A4.23)
к виду
J (р2_9рк + 1у Jt (pi+ /_*»)»
n
Далее имеем
Pa P% d"P __ 6<л
(P2 + If ~~ 4
— /
4
Согласно формулам A4.15') и A4.16) отсюда получим
f1==^6OT{lntf2— In/--|}. A4.24)
Кроме того,
Г Ра'4/? ^0, f dip =^ A4.25)
J (Р2 + 03 J (Р2 + 03 2/
Учитывая равенства A4.24) и A4.25), получаем
L. A4.26)
Интегрируя формулу (И.26) по kx, находим
п-5!—i-1+Ca, (Н.27)
где са—некоторая постоянная.
Для нахождения постоянной са подставим в формулу
A4.27) ka — 0. Тогда интеграл в левой части A4.27) со-
согласно равенству A4.18) обратится в нуль и из A4.27)
следует, что
са = 0. A4.28)
Согласно A4.28) формула A4.27) приобретает окончатель-
окончательный вид
— f}. A4.29)
263
§ 15. ЭЛЕКТРОННАЯ СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Найдем выражение для электронной собственно-энер-
собственно-энергетической части второго порядка, которой соответствует
диаграмма на рис. 33, а. Используя правила Фейнмана,
имеем
2B)(Р) = (— ) \d*ky Sc (p — k) у De (k), A5.1)
где
В выражение для Dr(k) включена «масса» фотона Я. Та-
Такая модификация функции Dc(k) позволяет устранить так
называемую инфракрасную расходимость в 22(р), т. е. рас-
расходимость соответствующих интегралов при малых значе-
значениях четырехмерного импульса hk. Подставляя выражения
A5.2) для S' и Dc в формулу A5.1), получаем
Не
Используя соотношение
Ya Ye~b Ye Ya ~ 2^ао, A5.4)
преобразуем числитель подынтегральной функции в A5.3)
к виду
Y L—'' Ya(P—^)a"^ 5CJ Y = 2t va (p—k) -f- 4%. A5.5)
Принимая во внимание это равенство и формулу
1
=Г
о
(*« + X») [(р-АI + X2] J
о
где / = (р2 + Х2—Я,2) jc + Я.2, из выражения A5.3) находим
&»>(p) = ^Lfd«* ^^-*>«+^L, A5.7)
^ кн; he J J (ft2—2kpx + l)* '
264
что согласно формулам A4.22) и A4.29) можно пере-
переписать так:
Я2- \-\dx ln(/-pV)| +
pW) . A5.8)
Произведем перенормировку функции 2<2)(Р)- Для этого
учтем, что импульс р0 свободного электрона удовлетво-
удовлетворяет уравнению Дирака в импульсном представлении:
A5.9)
Согласно этому равенству, чтобы найти 2B) ПРИ Р = Ро>
заменим в 2<21 (Р) выражение va Pa чеРез 'Х- В резуль-
результате получим
A5.10)
где /0 = Я.2A — дс). Кроме того, формально дифференцируя
формулу A5.8) по уар а, находим
Ac
A5.11)
206
Подставляя в это равенство «х вместо уа ра, имеем
<?sB> (p)
д"аРа
Л=Ро
n(lo — p2ox2)-
1
8xt3e
he
I
0
2(
1
f
J
n
1 1 о
4 2
In// _n2
Учитывая формулы A5.8), A5.10) и A5.12), вычислим
перенормированную электронную собственно-энергетиче-
собственно-энергетическую часть второго порядка:
X
p* J
f
dx\.
+
A5.13)
j
Элементарные вычисления приводят к следующим фор-
формулам:
i
х dx __
ЙУ ~ х2 " 1
где
f—^
J у2*2-?
2)
— 2 — -1п-^- + —
2 ^ 22
266
1
3) Г t*L =_L_**m *-!!
I
4) f
1
5) ldjcln(/—рг хг)=21пу—
о о
i
1
6) jdJt-JK In (/-p2 л;2) = In %-j
Используя полученные результаты, преобразуем вы-
выражение A5.13) к виду
п II
1 (р х -\- к х) dx I! .1 г- 1 II
тЗгтгт^г^-плтп! Г <1514)
2S7
В пределе, когда А->-0, имеем
lim f
я-oJ -Р2
1
x(p*x* + W)dx 3
lim Г
Я—oJ
0 u
In —^—-;
P4
lim/A = O.
Учитывая последние равенства, из формулы A5.14) нахо-
находим выражение для перенормированной электронной собст-
собственно-энергетической части второго порядка в приближении
малых значений «массы» фотона Я:
A5.15)
В гл. VI будет показано, что член Wjr), расходящийся
при К -> 0, можно исключить из теории специальным прие-
приемом, основанным на использовании инвариантности теории
относительно калибровочного преобразования.
§ 16. ПЕРЕНОРМИРОВКА ФОТОННОЙ
СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Фотонная собственно-энергетическая функция второго
порядка имеет вид
П{Д| (k) = — Sp j V SF [p) ).v SF(p-k) d'p =
268
Так как физические величины не зависят от продольной
части функции A6.1), можно ее отбросить и интересовать-
интересоваться только ее поперечной частью. При этом можно формулу
A6.1) переписать в виде
^) A6.2)
Для нахождения П<2) (k) возьмем шпур от левой и правой
частей A6.2), тогда
откуда
(p
A6.3)
Вычисляя Sp {4x2—2P(P—К)), преобразуем ПB (k) к виду
или
d* p 8 / е
X
Х(Х2_^)Г_—^ rP_k t—_. A6.5)
Первый интеграл A6.5) расходится квадратично:
Г dip = —ш2 х2 In — + я2 iL\ A6.6)
J Р2 + Х2 X2
Используя формулу
1
269
где Kx = kx и lx = k2x + %2, а также формулы A4.22) и
A4.27), получим
*1]}, A6.7)
Учитывая A6.6) и A6.7), преобразуем A6.5) к виду
Перенормируем функцию ПB)(й). Для этого вычтем из
П<2) (k) выражение П<2) @)-\~k2 ( -д-р-) . которое равно
) (^^Aп+
ЙА* j0 3(Яс)« I Х 2^ х2 6
A6.9)
Согласно равенствам A6.8) и A6.9) имеем перенорми-
перенормированную функцию
. A6.10)
Полагая здесь х = —^, преобразуем Пд2> (k) к виду
A6.11)
Учитывая, что
1
1
Г rife2
j ГJ In 1 -\ A — '
_, L 1
из формулы A6.11) получим окончательно
^}. A6.12)
§ 17. ПЕРЕНОРМИРОВКА ВЕРШИННОЙ ЧАСТИ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ВНЕШНИМИ ЭЛЕКТРОННЫМИ
ЛИНИЯМИ
Вершинной части третьего порядка A^3) (plf p2; ^) соот-
соответствует диаграмма, изображенная на рис 30, а. Поль-
Пользуясь правилами Фейнмана, напишем
SF {p2- щ к sF(pi-k) К F
A7.1)
Если рх и p2 — волновые векторы свободного электро-
электрона, то AJi3)(pi, p2; q) содержит инфракрасную расходимость.
Поэтому при вычислении А^3'^, рг\ q) функцию Dh (k)
определим так:
( i^ ! , A7.2)
т
где X—«масса» фотона. Подставляя выражения для SF (р)
и DF(k) в формулу A7.1) и полагая P = tp(iy(i, Q = iqllyVL-
находим
—i [ъ (Р2-Х) Гц То Ъ+ Yv Yo Yn (Pi—X) Yv] t0—
— Yv Ya Yn Yt Yv /at). (I7-3)
где
k k d1 k
Нетрудно показать, что расходящимся при больших
\k\ является только третий интеграл (причем он расхо-
расходится логарифмически); в области малых \k\ при Я = 0
расходится только первый интеграл Поэтому в /„ и /ат
положим Х = 0.
Принимая во внимание, что р\=р\~—^2, а такл<е
учитывая формулы
(
i Г .
: J (*2-
где Py — ypi + i) — у)р2, px — xpyt ^ = A— -^)^2, преобра-
преобразуем интегралы A7.3'):
1 1
dlk
(k*~-2Pxk+lxK'
A7.4)
1 l
f Г Г knkTd*k
/ot = nU 2xdx -5-5 .
272
Интегрируя в формулах A7.4) по К согласно § 14 полу-
получаем
d4 k п'Ч \
2 ls-px
1^
С kadlk пЧ
kakxd>k я2/ Г L2 , 3
A7.5)
Учитывая это и интегрируя в формулах A7.4) по х, на-
находим
— —п
I —5— >
A7.6)
Кроме этого, имеем
«/)sin2e], A7.7)
где q = p2—p1, <72=—4x2sin20. Вводя в выражение A7.7)
новую переменную I по формуле
tge
получим
Ру ~ — X Tf
cos* g
Аналогично находим
10 Зак. 1361 273
Используя формулы A7.8) и A7.9), преобразуем интеграл
/ к виду
i e e |
X2 sin 26 | J cos 6 j
Проинтегрируем первый интеграл в формуле A7.9') по
частям
е е
b^i*-!***6* A7Л0)
о о
тогда окончательно получим
Подставляя выражения A7.8) и A7.9) для р\ и ру0 в вы-
выражения для /„ и /ат, преобразуем эти интегралы к виду
г'=т«!п(*'+р«)' A7Л2)
2Z2sin2e
Л
Для преобразований коэффициентов, стоящих перед
интегралами /, /„, 1ОХ, используем соотношения:
—2А, ^^
) = — Ш, A7.13)
где по индексу \i производится суммирование от 1 до 4.
Формулы A7.13) получаются из соотношения А6+ВА =
— —2АВ = —2AilBil, которое в частном случае можно пе-
переписать так:
iytlK^ — lkyll—2All, A7.14)
274
отсюда находим
ГцА?гц=-А^$Гц + 21Лк>7д. A7.15)
Полагая теперь в формуле A7.15) последовательно R = l,
В, ЙС, получим соответственно вторую, третью и чет-
четвертую формулы A7.13), согласно которым выражение,
стоящее в A7.3) п ред /, можно переписать в виде
F>i+PiYM)-2x2i- A7.16)
Так как в матричных элементах функция AJ,31 умножается
слева на v.,, а справа — на vJt то в формуле A7.16)матри-
uv Рг, стоящую слева, и матрицу Р1? стоящую справа,
можно заменить на — % (матрицу Рх, стоящую слева, за-
заменяем на Р, =Р2— Q, а матрицу R,, стоящую справа, — на
Р2 = р! + 0)- В итоге множитель перед I приобретает вид
Yv(Ps-x)ym(Pi-x)yv = 4X*Y.i + 20Ym 0.A7.17)
Умножая равенство уц 0 = — Q уп + 2iqlt слева на 0. най-
найдем
0ymQ = ?2Ym + 2mQ- A7.18)
Второе слагаемое в правой части A7.18) равно нулю, так
как
Учитывая это, представим коэффициент, стоящий перед
/ так-
Yv(P»-x)y\.(Pi-x) Yv = 4x2Ym + 2^Ym- A7 19)
Аналогично находим выражения для множителей, стоя-
стоящих перед интегралами /0 и /от:
2—X) Yn Yo Yv+ Yv Vo Yn (Pi — x) Yv= —
YvYa Ym Yx Yv=— 2 Yt Ym V A7.20)
На основании формул A7.11), A7.12), A7.19) и A7.20)
275
получим следующее выражение для A(M3>(pj, рг\ q);
К3> (Л. Р2; Я) = ^~ {D X2 + 2?2) уц/ + I4tx (Pi
+ 2 (Р, + Р2) уд 0 - 2 О'гДР, + Р2) -± (Р, + Р2) 7м X
X
где
/с, =-^.
¦i О
1
I лл
sin 26
2д2
Учитывая уравнение Дирака (iyaPa
равенство A7.21) в следующем виде:
-47Д3}1 A7.21)
. A7.22)
~0, перепишем
+ -
откуда получаем
A7.23)
j
A7.24)
Вычитая выражение A7.24) для Л^31 (plt рг; 0) из
^ц3> (РкРг; 9). найдем перенормированную вершинную
функцию третьего порядка:
A7.25)
276
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМЫ О СВЯЗИ СРЕДНИХ И СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С МАТРИЦЕЙ
РАССЕЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. СВЯЗЬ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С S-МАТРИЦЕЙ
Теорема 1. Если для заданного вектора Wh можно найти
такой вектор xYoh, являющийcяv собственным вектором не-
невозмущенного оператора Но, чтобы выполнялось равенство
^ = $(/,-00L^, A.1)
гдео—матрица рассеяния, порожденная оператором воз-
возмущения Hf = H —Но, то среднее значение физической
величины в состоянии *?h равно
(L\=\im{Wok>S+TL(t)SWoh), A.2)
'-»0
где Т/—хронологический оператор; L — оператор рассмат-
рассматриваемой физической величины в представлении взаимо-
взаимодействия (т. е. в представлении «возмущения»).
Доказательство. Среднее значение физической
величины в момент времени / = 0 определяется формулой
<L>» = OFft, ?чд,_0, A.3)
где xVh—вектор состояния системы в представлении взаи-
взаимодействия; С—оператор рассматриваемой физической
величины в том же представлении. Можно написать со-
соотношение
?ft = S(/, + oo)*Fob A.4)
277
где То* —вектор состояния системы в момент времени
/=-foo. Согласно выражениям A.1) и A.4) формула A.3)
приобретает вид
<L>ft= \\m{WOk, S(oo,t)L(t)S(t,-oo)Wt)>l) A.5)
(-¦О
Вводя хронологический оператор Т, перепишем эту фор-
формулу в виде
<L>ft=lim (?„*,? L@ SVci*). (L6)
t-*o
Из равенств A.1) и A.4) вытекает, что
4V = S4V A.7)
Подставляя отсюда WokB формулу A.6), находим
=lim (SyOkjL(t)SWok)- A.8)
0
Если ввести матрицу S+, сопряженную с матрицей S, то
из A.8) получим формулу A.2). Теорема доказана.
Замечание. Из закона сохранения энергии и импульса вытекает,
что адиабатическое выключение возмущения должно привести си-
систему в состояние с теми же энергией и импульсом, какие система
имела до адиабатического включения возмущения Таким образом,
если Уц — невырожденный энергетический уровень, то можно на-
написать
<F0 = c4'0 |c|=l. A.9)
Соотношение A.9) выполняется для вакуумного и одночастичного
состояния, а также для основного состояния связанной системы ча-
частиц. Во всех этих случаях согласно формулам A.6) иA 9) среднее
абсолютное значение физической величины определяется так:
o)|. A.10)
J-»-0
§ 2. СВЯЗЬ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ С S-МАТРИЦЕЙ
Из гл. I следует, что при t = 0 векторы состояний и
операторы в представлении Гейзенберга и в представ-
представлении взаимодействия совпадают:
Lf0, = L' @) = S@,/)L' (/) S @, t) B.1)
278
Полагая B.1) t——оо, находим
?" = §@, — oo)lF7(— oo). B.2)
Так как WH совпадает с независящим от времени множи-
множителем в векторе состояния в представлении Шредингера,
то можно написать
где Hj —оператор энергии взаимодействия; Е—энергия
системы. Выясним смысл вектора Т'/(—оо). Для этого
устремим постоянную связи в Нг к нулю. В этом случае
Н< ->- 0, S @, — оо)-> 1, ?->- Ео, а уравнение B.3) непрерыв-
непрерывным образом преобразуется в уравнение
откуда следует: если WH—собственный вектор оператора
Н, то lF0 = 1F/( — оо) является собственным вектором опе-
оператора1 Но. Аналогично доказывается, что ^(оо) также
является собственным вектором оператора Но, вообще го-
говоря, отличным от W (— ос). Необходимо заметить, что
не имеет силы обратное заключение. Именно, если
W (— оо) является собственным вектором оператора Но, то
из выражения B.2) вовсе не следует, что ?н будет соб-
собственным вектором оператора Н. Такое утверждение бу-
будет иметь силу только тогда, когда У (—оо) является
вектором невырожденного состояния. В противном случае
вектор S@,—оо)Ч^0( —оо) может оказаться супер-
суперпозицией собственных векторов оператора Н. Только
при специальном выборе векторов W'k(—оо) каж-
каждому вектору W'kl—оо) будет соответствовать определен-
определенный вектор 4f? = §@, — оо)'?1(—оо), являющийся собст-
собственным вектором оператора Н. Векторх?[(—оо) является
линейной комбинацией
т
1 Это утверждение строго доказали Гелл-Манн и Лоу [4].
279
где ctkm—коэффициенты, определяемые из законов сохра-
сохранения физических величин (или из условия минимума
энергии системы), a [W'm\ —первоначальная система век-
векторов состояния, соответствующих собственному значению
Ео оператора Но. Вместо нахождения векторов?* ( —<х>)
можно попытаться расщепить вырожденные состояния
оператора Но путем добагления к нему оператора АН<г
(при этом после всех вычислений необходимо устремить
к к нулю).
Теорема 2. Если можно собственный вектор Ч*1^ опе-
оператора Но, соответствующий уровню энергии Ео, выбрать
так, чтобы 4fj = S(O, — оо)^ был собственным векто-
вектором оператора Н = Н0-)-Нг, то собственное значение опе-
оператора энергии н определяется формулой
B>6)
или
Е,= lira (?0,,$+ТЙ (/)§*„), B.7)
i->-0
где S —матрица рассеяния, порожденная оператором энергии
взаимодействия Н,, взятым в представлении взаимодействия.
Доказательство. Уравнение B.3) можно перепи-
переписать так:
Н @) S @, - оо) Уо1 = Et § @, - -о) Yol. B.8)
Умножая его скалярно на вектор S+ (оо, О)^, получим
(?„„ S (оо.О) Н @) S @, - оо) Ут) = Et (V0l, S ?0/), B.9)
откуда следует формула B.6).
В частном случае, когда ?0[ описывает невырожден-
невырожденное состояние, из формулы B.6) находим
\El\ = \im\(yol,tti(t)SVol)\. B.10)
Умножая уравнение B.8) скалярно на Еектор S+(oo,0)X
X S ^?ol, получим
(?„„ S+S (оо.О) Н @) S @, - оо) Уо/) = Et {Wm, S+& Wol),
B.11)
280
откуда, согласно условию унитарности
SS+ = S+S = 1, B.12)
находим формулу B.7), что полностью доказывает теорему.
§ 3. АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
Теория Дирака дает для магнитного момента электрона
величину
"•-¦?¦¦ C1)
где т — масса электрона; е — заряд электрона.
Шупп, Пидд и Крейн [1, 2] эксперимемально измерили
магнитный момент электрона, который оказался равным
И = A,0011609±0,0000024) ц,-
Учитывая взаимодействие электрона с вакуумом электро-
электромагнитного поля, Швингер [15] вычислил \х- Его результат
0, где а»-^.
Аналогичные вычисления Соммерфилда П6] дали для
следующую величину:
JL _ 0,328 4 W = 1,0011596 р0,
что находится в прекрасном согласии с результатом экспе-
эксперимента Шуппа, Пидда и Крейна.
Вычислим добавку к магнитному моменту электрона,
обусловленную взаимодействием электрона с электромаг-
электромагнитным вакуумом [17]. Для этой цели используем теорему
2. Согласно формуле B.6), во втором приближении теории
возмущений для энергии электрона в слабом постоянном од-
однородном магнитном поле можно написать выражение
Е(Нг)=Ит4-
-± J Л, J
—со —ос
281
где ?„—вектор состояния электрона при выключенном
взаимодействии,
C-3)
а Н,@ — оператор энергии взаимодействия, не зависящий
от напряженности внешнего магнитного поля.
Оператор энергии взаимодействия Н, (t) ради упроще-
упрощения выкладок будем брать в виде
H,(t) = -e JdVtf [?(*)Ад(x)f,»$(*)], C.4)
хотя, строго говоря, вычисления следовало бы проводить
с оператором
Й«| @ = - е j dV J d4 у J d* zfa (x, y, z) N [| (г) Ац (y)y^(z)},
а затем перейти к пределу, когда а->а0.
Второй член в выражении для Zt равен нулю, так
как вектор состояния Wo ортогонален вектору состояния
НД/I?,,. Третий член в C.3) является собственно-энер-
собственно-энергетической электронной функцией. Так как ?0 —вектор
состояния свободного электрона, то после перенормиров-
перенормировки третий член в выражении C.3) обратится в нуль. В
итоге получим, что
Z,=CFOfYo). C.5)
Согласно формуле C.2) магнитный момент электрона равен
н =о
J л, (v0, f м (о rt; (^) ft
—OO —ОО
C.6)
282
где Hz— напряженность магнитного (внешнего) поля, а
М = — е\ ydV N (г|) у-± ty) C-7)
—оператор магнитного момента. Оператор М получает-
получается в виде коэффициента при — Нг в операторе энергии
взаимодействия:
ЙГ «S dV ISJ ($ Y^^JT1 *) C-8)
после подстановки в него
А? = -уНг, Af = Aie) = A[e) = 0. C.9)
Рассмотрим первый член в правой части формулы C.6):
= —llim Уо, e^ydVfiiiy^VX C.10)
Выражение mt вычисляется при #г = 0. Поэтому в
формуле C.10) можно подставить разложение операторов
электронно-позитронного поля по плоским волнам:
s=J
где Ар 5 и А^—соответственно операторы уничтожения
и рождения электрона, если s=l, 2. В результате по-
получаем1
X D(Po)c4os0Ti«"p.s.exp[ — i(q0 —p0) г], C.12)
где D(p0) —амплитуда разложения вектора состояния по
векторам состояний свободного электрона. Используя
оо
- с
2л J
xe-lkxdx=*i—6{k), C.13)
dk
1 При этом полагаем, что Ч^ = W Р» ^(Р ) \0 So ™v
283
из выражения C.12) находим
mi = ~t 5d q° Sd p°D (Qo) D (Po) ?<"" ^ Cp° s° ~?^8a (Po ~4o)*
C.14)
Далее, используя свойство б(х)
Гdxf (х) ± б (х-х') --= -?!??. (а<х'<Ь), C.15)
J дх дх'
а
преобразуем формулу C.14) к виду
Щ = —j- {dqo\D(qo)|aFq.Soу,-^-cqoSo -
Z, J dqot
f UD(q)^FYC C.16)
В формулу C.16) входят матрицы Дирака
'О 0 0 1\ /0 0 0 —Л
0010] л /0 0 { 0]
О 1 О О I- ^=1 о - i 0 0 1'
,10 0 0/ \ / О О О/
@01 0\
О 0 0-1
1 0 0 О I (Зл7>
0-10 О/
и решение уравнения Дирака для свободного электрона1
О
К
1 Это делается в интересах упрощения вычислений. В квантовой
теории поля нет случаев, когда использование представлений алгеб-
алгебры Дирака или Кеммера было бы необходимым. — Прим. ред.
284
где
В случае покоящегося электрона формулы C,18) и
C.19) приобретают вид
Согласно формулам C.17) и C.18) имеем
^ C.21)
Выражение cPiYicpi Для покоящегося электрона равно
нулю. Пусть функция [D (р0)]2 является дельтообразной
функцией ба (Ро — р) = ^- i обладающей свой-
я (Ро—р) +«
ством
-р); C.22)
производная от дельтообразной функции равна
*%(ро-р) 2 «(Ро-Р)у
C23)
дРоу я [(Ро - РJ + а2J '
Отсюда видно, что эта производная равна нулю в точке
= 0. C.24)
Ро
Используя формулу C.21) и свойство производной от
дельтообразной функции, приходим к выводу, что второй
интеграл в правой части формулы C.16) равен нулю.
Поэтому эта формула получает вид
285
Для свободного электрона, обладающего импульсом р,
можно написать
-p). C.26)
а-*0
Согласно этому из формулы C.25) имеем
m, = -fecPi Vi-jr^- • C-27)
ФB)
Подставляя сюда выражения C.18) и C.17) для cpI, Vi и
уг, получаем
/и, =-^-. C.28)
Тзким образом, первый член в правой части формулы
C.6) дает дираковский магнитный момент электрона;
второй член равен нулю ввиду ортогональности вектора
состояния Wo вектору состояния f М (t) Н, (t^ х?0.
Рассмотрим третий член формулы C.6)
оо ао
1
/
...„ ш z- Urn J dt,j dt, (Vo, T M @ ht (ф, (tm. C.29)
— oc —ос
Используя выражения для оператора M(t) и для опера-
оператора энергии взаимодействия fy
(¦ф Т^ф)/, C.30)
а также применяя теорему Вика, преобразуем формулу
C 29) к виду
=-~- lim \ydV \d*xA d% x
N
286
+ K ^^Ш^ММ^^М),,^)}- C.31)
I i
Легко показать, что первый, второй и четвертый члены
формулы C.31) не вносят вклада в магнитный момент
электрона. Третий член в C.31) после подстановки в не-
него выражений для разложения операторов if и г|> из
C.11) и выражений для сверток из формул
C.33)
(где D — произвольная постоянная) и использования фор-
формул C.13) и C.15) получает вид
«i =гтгг.Со.-г- Т„ \fle*—: ..... X
X
C.34)
В круглых скобках правой части формулы C.33) стоит
произвольный член Dk kv/k2, появление которого обяза-
обязано инвариантности уравнений электродинамики относитель-
относительно калибровочного преобразования
\~+\ +
где х — произвольная скалярная величина. Можно таким
образом подобрать постоянную D, входящую в этот член,
чтобы ликвидировать так называемую инфракрасную рас-
расходимость, т. е. расходимость интегралов при малых
значениях четырехмерного импульса [17].
Так как р и q — импульсы свободного электрона, то
в выражении C.34) перенормированные части при р = q
287
обращаются в нуль. Поэтому формулу C.34) можно пе-
переписать в виде
йBлK
C.35)
где
I=i
х
I '*
q = p= 0
C.36)
X
X
Операторы I и Ё можно записать так:
Ё =
C.38)
где
vJ V C.39)
+ 0 V,Y2VV.
1)Y,(Y4+1)YV.
[YaY, (Y4+ 1) + (Y4 + l) Y,Ya] YV5
288
r - — у„ = —^
•/ар— ] 0TJ3 . l — J P72 . (O.W)
• M.V __ Г Дц ^y "g^ ^ T|J,V _ Г ^Ц ^У Ьу A* k
Приведенные выше итегралы вычисляются элементар-
элементарно. В результате получим
I = 2viY2 —+V2V1 Т«.
Х
о
= TYiY, -2
V о
C.41)
о
Подставляя эти выражения для операторов I и Ё в
формулу C.35) и учитывая, что
Cqs Yl • 2 Y4 Os Os 11 i2^0s » ^O.rrZ^
находим
— 2) — + 4— D, C.43)
J X
0 J
Полагая, что D = 2, отсюда имеем
Следовательно, магнитный момент электрона в при-
принятом нами приближении равен
Это результат, найденный Швингером.
II Зак 1361 289
§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФАРРИ
ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
Существует обширная область квантовой теории поля,
в которой решаются задачи для систем частиц, находящихся
в связанных состояниях. Для решения подобных задач Фар-
ри в 1951 г. предложил представление взаимодействия спе-
специального вида [4]. Фарри исходил из уравнения Шредин-
гера в представлении взаимодействия:
th-^- = Hll(t)Vl(t), D.1)
где
ft! =Й1°-|) + Й}'-/>; D.2)
D.3)
— оператор энергии взаимодействия с квантованным
электромагнитным полем;
D-3')
—оператор энергии взаимодействия с внешним полем,
описываемым вектором-потенциалом А^ (х).
Произведем унитарное преобразование вектора состоя-
состояния
Ур (t) = exp l-L H?' !) t\ У1 (t). D.4)
В это выражение входит не весь оператор Н{, а только
его часть Hje'7>. Из формулы D.4) следует унитарное
преобразование от оператора в представлении взаимодейст-
взаимодействия к оператору в представлении Фарри
tF = exp j-1 Hf' " t\ V exp {- -1 H)e'7) t\. D.5)
Дифференцируя равенство D.4) по времени и исполь-
используя соотношение D.5), получаем уравнение для вектора
состояния 4fF (t):
^HFWF, D.6)
2Э0
где
Hf = ехр i-L И}'' П /) И}0" " exp f *- ЙГ " t). D.7)
l л J I * )
Таким образом, вектор состояния системы в представле-
представлении Фарри tyF удовлетворяет уравнению Шредингера D.6)
с оператором энергии взаимодействия Н? в представлении
Фарри. Дифференцируя соотношение D.5) по времени, на-
находим уравнение для оператора в представлении Фарри:
/Й df/ ГД(е, Р) fF] ,
При выводе формулы D.8) учтено, что
НГ'" = ЙГ'/7). D.9)
В соотношение D.8) входит не весь оператор энергии
взаимодействия Hf, а только его часть Н^' F)-
Используя формулы D.8) и D.5), можно показать, что
операторы поля в представлении Фарри \pF и А? подчи-
подчиняются следующим уравнениям:
W-^-^Ai" (*)¦'(*). D.10)
К(х)=К(х), П2А?(*) = 0. D.11)
Таким образом, оператор полягMр удовлетворяет уравнению
Дирака, написанному для случая, когда существует внеш-
внешнее электромагнитное поле А^,(д;). Из формул D.6) и D.7)
следует, что операторы поля г|з и ip целесообразно разлагать
по полной системе собственных функций уравнения Дира-
Дирака с внешним потенциалом. Действительно, собственные
векторы оператора Но + Н/ являются векторами состояний
системы (невзаимодействующих) частиц, находящихся в од-
ночастичных состояниях, описываемых уравнением Дира-
Дирака с внешним потенциалом.
Пусть {фр(*)} — система решений уравнения D.10), за-
записанного в неоператорном смысле, где индекс р обозначает
И* 291
набор квантовых чисел (как одночастичных связанных со-
состояний, так и одночастичных состояний рассеяния). Разло
жим оператор tyF(x) в ряд Фурье по функциям {q>e (•*)!¦¦
р, D-12)
где знак 2 означает суммирование по дискретным одночас-
тичным состояниям и интегрирование по одночастичным
состояниям рассеяния. Функции Фй(*) можно представить
гак:
Фв(х) = Фр(г)е , D.13)
где ?р — энергия частицы в состоянии р. Разложение в ряд
Фурье, даваемое формулой D.12), является законным толь-
только в том случае, когда существует энергетическая щель меж-
между собственными значениями положительной и отрицатель-
отрицательной энергий. Это условие выполняется в случае достаточно
слабого внешнего поля.
В случае сильных полей может наступить перекрытие
полос с положительной и отрицательной энергиями, а это
нарушит стабильность вакуумного состояния Ф„ спонтан-
спонтанным рождением электронно-позитронных пар.
В теории возмущений решение уравнения D.6) имеет вид
VF(tt)=&F(ti>tOV'(ti), D-14)
где
X [t [tf (x,) Г? (x,)... ff (*„)]}, D.15)
Пусть Фд — вектор состояния системы, состоящей из одно-
одного фермиона, находящегося в связанном состоянии а; Еа —
энергия этого состояния, т. е. собственное значение энер-
энергии, соответствующее собственной функции сра уравнения
Дирака, в оператор энергии которого включено внешнее
поле. В результате взаимодействия фермиона с вакуумом эле-
электромагнитного поля его энергия изменяется на величину
292
АЕи< определяемую согласно § 1 гл. V скалярным произве-
произведением вида (Ф^, S'7 Фа).
Для проведения количественных расчетов необходимо
воспользоваться диаграммной техникой. Однако в отличие
от обычного представления взаимодействия в данном слу-
случае свертка фермионных операторов определяется форму-
формулой
§.*(*,, *) = К, t №'(*,)$"(*!)] ФО. D.17)
где Фу — вектор вакуумного состояния в представлении
Фарри.
Если ввести функцию включения (знаковая функция)
то можно написать
D.18)
-1 при*@)<<,@),
Действуя на обе части формулы D.19) оператором
получим
%y)] = 4?>*VW У* (У)] ~
D.20
Для знаковой функции имеет место следующее соотно-
соотношение:
Кроме того, если х{0)=у 0), то для операторов i>F(х) и
г|) (д:) можно написать антиперестановочные соотношения
[?(х), ^(г/)]+ = фб3(х-у). D.22)
293
Учитывая равенства D.21), D.22) и уравнение D.10) выра-
выражение D.20) преобразуем к виду'
Тс Ьл»(х)+%}f W{х)*"{у)}= б"(х~у)- D-23)
Беря среднее значение по вакуумному состоянию Ov от
правой и левой частей формулы D.23), согласно опреде-
определению D.17) получим
](*. У) = ЬЧ>С-У1 D-24)
Умножим обе части формулы D.24) на ехр( — грх^+ ф2У)
и проинтегрируем по всему пространству х и у, В ре-
результате правая часть преобразуется к виду
\ d4x § d4yb4 (x—у) е-'"' х+р< « = \ с14хе~1 <"'-"•>х =
= Bя)^^Р1-р2), D.25)
а второй член левой части запишется в форме
, у) е-'* *+1»°- у =
Pi-p')§f(p', У))- D-26)
В формуле D.26) использовано равенство [18]
\ #*<--<•*. - Л^ (х) Sf (*, у) = J dV4 (Pi - Р') §Г ip', У),
D.27)
где а^ (р)—Фурье-образ функции Aev (дг), a §f (р\ jy)—
Фурье-образ функции Sf(Ar, у) по переменной i/. Вводя
Фурье-образ функции Sf (*, г/) по обеим переменным:
«/е""»§Г(р', г/), D.28)
перепишем равенство D.26) ак:
\ d4x \ й*уА1 (х) Se (х, у) е~'". *+'*>• * =
- Bя)« J dy< (Pl -p') Sf (p', p2). D.29)
Используя определение Фурье-образа функции Sf (x, у):
-'"' ч-"* 9 ^ (л, у), D.30)
J
294
преобразуем первый член в левой части D.24). Интегри-
Интегрируя по частям,
получаем
d*y j?- Sf (д:, .
'(x,y)e-iP'*V
y)e-iPl ,
P' V = fy
P,
^x
(Pi- Pa)-
D.31)
Рис. 65
Учитывая выражения D.25), D.29), D.30) и D.31), урав-
уравнение D.24) представим в импульсном пространстве:
(Pl)+^-S'?(p1) X
ПС
f(p', Pt), D.32)
где
{Р) =
—Фурье-образ обычной свертки.
Итак, получено интегральное уравнение для определе-
определения Фурье-компоненты свертки фермиевских операторов
в представлении Фарри. Решая это уравнение методом ите-
итераций, можно второй член в формуле D.32) разложить в ряд
по степеням константы связи е. Отсюда следует, что линии
связанного электрона, которую будем обозначать двумя
близко расположенными параллельными линиями, соот-
соответствует бесконечно большое число графов. Первый граф
представляет собой обыкновенную электронную линию, опи-
описываемую первым членом в правой части D.32); (п -+- 1)-й
граф представляет обыкновенную электронную линию, из
п точек которой выходит п внешних линий, описывающих
внешнее электромагнитное поле. Отсюда следует, что соб-
собственно-энергетическая часть фермиона изображается гра-
графом Фейнмана, эквивалентным бесконечной сумме обычных
графов Фейнмана (рис. 65), отличающихся друг от друга
числом линий внешнего электромагнитного поля, исходя-
исходящих из точек фермионной линии.
295
Любое расходящееся при К ->- оо выражение, содержа-
содержащее в качестве множителей под интегралом функции Sf,
в представлении Фарри, при помощи формулы D.32) можно
выразить через выражения, расходящиеся при К ->• оо и со-
содержащие только функции SF в представлении взаимодейст-
взаимодействия, и конечные выражения с функциями Sf в представлении
Фарри. Полученные таким образом выражения, расходя-
расходящиеся при К -+ оо, можно перенормировать, применяя ме-
методику, изложенную в гл. V.
§ 5. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
Используя уравнение Дирака, можно вычислить энер-
энергетические уровни атома водорода. Оказывается, что в тео-
теории Дирака уровни 2si/2 и 2р</г для атома водорода совпада-
совпадают. Однако в 1947 г. Лэмб и Резерфорд [19] экспериментально,
установили, что между 2s,/, и 2/7|/!-УР0ВНЯМИ существует энер-
энергетическая щель, равная 1057,77 ± 0,1 Мгц. Теоретически
эту щель можно объяснить следующим образом. Электрон
атома водорода взаимодействует с вакуумом электромаг-
электромагнитного поля. Это взаимодействие приводит к сдвигу уров-
уровней 2s>/, и 2рч,. Разность сдвигов и дает наблюдаемую энер-
энергетическую щель.
Сдвиги уровней можно подсчитать по формуле (V.1.22)
где М}"'-^ матричный элемент, определяемый из соотно-
соотношения
(Ф,, $„Ф,) = М}?' fi (?,-?,). E.2)
В формуле E.2) векторы состояний Ф1 и Фг взяты в
представлении Фарри, $>п — (п + 1)-член матрицы рассея-
рассеяния, порожденной оператором взаимодействия, взятом так-
также в представлении Фарри.
Учитывая, что М.\У = 0, и ограничиваясь вторым приб-
приближением теории возмущений, из формулы E.1) получим
приближенное значение сдвига атомного уровня
-!-Щ\ E.3)
296
Чтобы найти М$\ вычислим выражение (Фу, 5аФ().
Имеем
Имеем
оо оо
/ф § ф ) = _
| Jл,<ф„ tйГ(/jйГ(/^ф,),
—оо —оо
E.4)
или
j J
E.5)
Так же, как и в § 4, оператор плотности энергии возь-
возьмем в виде
ГГ (х) = --J № (х) Д (х), V (х)] , E.6)
где
Операторы ifF и iJjf можно разложить в ряд Фурье
по собственным функциям уравнения Дирака для атома
водорода. Это уравнение, как известно, имеет вид
?ф, ' E.7)
где
Й = —- + тс*$—ihcay E.8)
г
г
— оператор энергий, а фр (г) — волновая функция электро-
электрона в атоме водорода; р — набор квантовых чисел.
Искомое разложение имеет вид (см. формулы (II.4.26)
и D.12)
E.9)
297
Подставляя выражение E.6) для f f в формулу E.5), при-
применяя теорему Вика и учитывая формулы E.9), получаем
Фг) = -gj- J d*Xl J d**, {Ф
x ym Фо (*») °f (*i —*2) +"qp0 (*i) уц Фо (*i) ^f (*i—*«) x
xSpfi^Sf^, *,)]}. E.Ю)
Согласно уравнению D.32) фермионную свертку можно
представить в виде
где ДА — добавки к обычной свертке, пропорциональные ek.
Для фотонной свертки имеем
D' Осг-^АМ 1(хг) -^Lf^.e»<*-4 E.12)
Подставляя в формулу E.10) выражения E.11) и E.12)
для сверток и интегрируя по tt и f2, во втором прибли-
приближении относительно е находим
хi У+х'+Х ^Ф°(Гг)"^ 6ХРlf>1 (p + k)~
—/г,(р + к)]б(р(О) + А(О) + р0(О)N(р(О) + Л(О) + р;(О)),
E.13)
где было положено: р0 @) = — , /7о(О)==~ и Учтено> что
(Фу, Фу)=1. Разложим спиноры <ро(г) в ряд Фурье. За-
Заметим, что в задаче об атоме водорода спинор ф(г) имеет
следующую структуру [20]:
298
1) первый тип решения (/ = / )
у 2 /
/—1/2, m—1/2
щ 1-1/2, m+l/2
i i
Y,
2(/+l)
1+1 +m
H-l/2. m-l/2
E.14)
где функции /?(/¦) и S(r) удовлетворяют системе уравне-
уравнений'
E.15)
2) второй тип решения (/ = /4 )
Ф =
-я»
f + 1/2, m-l/2
Г'
2 (/+ ]) '+"/2, от+1/2
~о/ /—1/2, т—1/2
r — m,
/-1/2, m+1/2
E.16)
где функции R(r) и S(r) удовлетворяют системе уравне-
уравнений:
E.17)
299
В формулах E.14) и E.16) Ykll — известные сферические
функции, причем Y00 = —= .
у An
Для основного состояния атома водорода 2si /2 (/ = О,
/=1/2) формула E.14) при т=\/2 принимает вид
R(r)Y00
E.18)
Из уравнений E.15) следует, что
S(r) —R{r). E.19)
v / 2Л37 ч) v ;
Учитывая это, для состояния 2s1/2 из формулы E.18)
получаем приближенное выражение
1
E.20)
Для состояния атома водорода 2р1/2 (/ = 1,/= 1/2) из
формулы E.16) при т = 1/2 получаем
'R(r)Y10/V3\
3 . E.21)
-iS(r)Y00 I
О /
Учитывая, что в данном случае R<^S, отсюда для <р0
находим приближенное выражение
0
E.22)
Проведем сначала вычисление энергетического уровня
2s 1 /г• Для этого в формуле E.20) функцию R(r) разло-
разложим в интеграл Фурье
300
где R(p)—Фурье-образ функции R(r). Подставляя полу-
полученное выражение для <р0 (г) из E.20) и E.23) в формулу
E.13) и производя интегрирование по гх и г2, находим
X
(Ф,, &,. Ф,) = —|j|-1Y. f J<fp| R (p) I-
^1* E.24)
Отсюда следует, что M/f равно:
Подставляя выражение E.25) для М};} в формулу E.3),
определим сдвиг уровня 2si/2
Аналогично для сдвига уровня 2pi/2 получаем выра-
выражение
где 5(р) — Фурье-образ функции ()
Производя в формулах E.26) и E.27) перенормировку
массы и заряда, а также устранение инфракрасной расходи-
расходимости методом, рассмотренным в § 3, после элементарных
вычислений для радиационных смещений энергетических
уровней в атоме водорода получим следующие значения:
Л? Bs1/2) = 1034 Мгц,
Д?Bр1/2) = —17 Мгц.
301
Отсюда видно, что ввиду взаимодействия электрона с элект-
электромагнитным вакуумом уровень 2si/ лежит выше уровня
2p.h на 1051 Мгц.
Учитывая целый ряд поправок, для разности между энер-
энергетическими уровнями 2si/t и 2pi/s! атома водорода можно по-
получить значение A057,70 ± 0,15) Мгц. Экспериментальное
значение для этой величины, полученное в 1947 г. [19], рав-
равнялось A057,77 ± 0,1) Мгц.
В новом эксперименте [21] для лэмбовского сдвига най-
найдено значение
АЕ = A058,07 ± 0,1) Мгц.
ЛИТЕРАТУРА
1 А. И. Ахиезер, В. Б. Берестеакий. Квантовая
электродинамика. М., «Наука», 1969
2. Н. Н. Б о г о л ю б о в, Д. В. Ш и р к о в. Введение в тео-
теорию квантованных полей. М., Гостехиздат, 1957.
3. А. А. С о к о л о в, Д. Д. И в а н е н к о. Квантовая теория
поля. М.—Л., ГИТТЛ, 1952.
4. С. Ш в е б е р. Введение в релятивистскую квантовую тео-
теорию поля. М., ИЛ, 1963.
5. В. Г а й т л е р. Квантовая теория излучения. М., ГИТТЛ,
1940.
6. М. А. Марков. Гипероны и К-мезоны. М., Физматгиз,
1958.
7. А. Н. К у ш н и р е н к о. Информационное письмо ИПМ АН
УССР от 8. VII. 1966 г.; препринт ИПМ АН УССР № 1, 1969.
8. А. Н. К у ш н и р е н к о. Изв. вузов. Физика, 3, 19 A965).
9. P. J о г d а п, Е. Р W i g п е г, Zs. f. Phys. 47, 631, A928).
10. П. А. М.Дирак. Принципы квантовой механики. М.,
Физматгиз, 1960.
11. S. Gupta, Proc. Phys. Soc, A63, 681 A950).
12. К- Bleuler. Helv. Phys. Acta. 23, 567 A950).
13. И. И. Гольдман и В. Д. Кравченко в. Сборнии
задач по квантовой механике. М., Гостехиздат, 1957.
14. Я. Микусинский и Р. Сикорский. Элементар-
Элементарная теория обобщенных функций. М., ИЛ, 1959.
15. J. Swinger. Phys. Rev. 75, 1912 A949).
16. С. М. Sommerfield. Phys. Rev. 107, 328 A957).
17. A. H. К у ш н i p e н к о. Допов^ АН УССР, 7, 884 A965).
18. И. С н е д д о н. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1955
19. W. E. L a m b, R. С R e t h e r f о г d. Phys. Rev 72, 241
A947).
20. Э. Ферми. Квантовая механика. М., «Мир», 1965.
21. Phys. Rev. Lett. 17, №2, 69A966).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие : 3
Введение 4
Глава I. Общие сведения
§ 1. Постановка задачи в квантовой теории поля. ..... 13
§ 2. Комплексные поля. Плотность электрического тока. . . 24
§ 3. Представления уравнения Шредингера 29
§ 4. Инвариантность по отношению к преобразованиим Лорен-
Лоренца 34
Глава II. Квантовая теория изолированных (свободных)
полей
§ 1. Квантован теория шредингеровского поля 38
§ 2. Квантовая теория свободного нейтрального скалярно-
скалярного (псевдоскалярного) мезонного поля 48
§3. Квантовая теория заряженного скалярного мезонного
поля 53
§ 4 Квантовая теория свободного электронно-позитронного
поля 58
§ 5. Квантовая теория свободного электромагнитного поля 70
§ 6 Перестановочные соотношения для различных момен-
моментов времени 82
Глава III. Квантовая теория взаимодействующих полей
(метод возмущении)
§ 1. Трансформационные свойства операторов Дирака 93
§ 2. Взаимодействия между нолями 102
§ 3. Взаимодействие с электромагнитным полем 106
§4. Теория возмущений. S-матрица 110
§ 5 Теоремы Вика 116
§ 6. Графическая интерпретация отдельных членов S-матри-
цы. Графы Фейнмана 119
§ 7. Свертки операторов. Среднее по вакууму от хронологи-
хронологического произведения двух операторов 123
§8. Представление матричных элементов в импульсном про-
пространстве 135
§9. Замкнутые электронные линии с нечетным числом вершин 141
§ 10. Вероятности различных процессов 143
§11. Вероятности процессов рассеяния внешними полями и
частицами в связанных состояниях 150
§ 12. Диаграммы Фейнмана в теории псевдоскалярного мезон-
мезонного поля 153
303
Глава IV. Примеры расчета процессов взаимодействия
электронов с фотонами
§ 1. Спонтанное (самопроизвольное) излучение фотона. . . . 155
§ 2. Комптоновское рассеяние 157
§ 3. Рождение пары электрон—позитрон 170
§4. Аннигилиция пары электрон—позитрон 181
Г л а в а V. Устранение расходимостей из S-матрицы пере-
перенормировкой массы и заряда
§ 1. Общий анализ графов Фейнмана 185
¦ § 2. Расходимости, связанные с предельным переходом в
неприводимых диаграммах 195
§ 3. Идея метода устранения расходимостей 199
§ 4. Перенормировка массы и заряда электрона 202
§5. Тождество Уорда и его применение для устранения рас-
расходимостей 210
§6. Полные функции Грина (функции распространения). 215
§ 7. Интегральные уравнения для функций распространения 220
§ 8. Параметрическое представление функций распростра-
распространения 228
§9. Соотношение между нкспериментальным и затравочным
зарядами электрона 234
§ 10. Перенормировка функций распространения и вершин-
вершинных частей. Перенормировка матричных элементов. . . 237
§ 11. Приближенное вычисление матричных элементов. . . 245
§ 12. Перенормируемые н неперенормируемые теории. . . 252
§ 13. Перенормировка в мезонной теории 256
§ 14. Вычисление интегралов методом параметризации. . 258
§ 15. Электронная собственно-энергетическая часть второго
порядка 264
§ 16. Перенормировка фотонной собственно-энергетической
функции второго порядка 268
§ 17. Перенормировка вершинной части третьего порядка с
внешними электронными линиями 271
Глава VI. Теоремы о связи средних и собственных зна-
значений физических величии с матрицей рассеяния и их
применение
§ 1. Связь средних значений физических величин с S-матрицей 277
§2. Связь собственных значений оператора энергии с S-мат-
S-матрицей 278
§ 3. Аномальный магнитный момент электрона 281
§ 4. Представление взаимодействия Фарри для связанных
состояний 290
§ 5. Радиационное смещение атомных уровней 296
Литература 302