/
Text
PROBLEME
DER PLASTIZITATSTHEOR1E
von
WILLIAM PRAGER
Professor der Angewandten Mechanik
Brown University, Providence, R. I„ USA
BIRKHAUSER
BASEL UND STUTTGART
1955
В. ПРАГЕР
ПРОБЛЕМЫ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Перевод с немецкого А. И. СМИРНОВА
под редакцией Э. И. Григолюка
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
12-5-4
В. Прагер
Проблемы теории пластичности
Редактор И, К. Снитко
Техн, редактор Е, А. Ермакова Корректор М. М. Шулименко
Сдано в набор 27/111 1958 г. Подписано к печати 23/VI 1958 г. Бумага 84Х108,/«>.
Физ. печ. л. 4,25. Условн. печ. л. 6,97. Уч.-изд. л. 6,13. Т-03973. Тираж 10 000 экз.
Цена книги 6 р. 30 к. Заказ 1653.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Московского городского
...................Совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая", 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ............................. 7
Из предисловия автора.......................................10
Глава I. Механические свойства пластического материала 11
§ 1. Введение ............И
§ 2. Динамическая модель идеально-пластического материала 12
§ 3. Кинематическая модель.14
§ 4. Двутавровая балка, нагруженная поперечной силой и из*
гибаюшим моментом.....................................15
§ 5. Особенности поведения в пластической области .... 19
§ 6. Растяжение и кручение тонкой трубы.............................21
§ 7. Историческая справка...........................................23
§ 8. Кинематическая модель и пластический потенциал . . 24
§ 9. Пластический потенциал.................25
§ 10. Обобщенный пластический потенциал..................26
§11. Примеры: условие текучести, закон текучести и рас-
сеивание энергии для плоского напряженного состояния
(по Мизесу и Треска)....................................27
Глава П. Механическое поведение пластических систем . 31
§ 1. Геометрическое представление напряженных состояний
однажды статически неопределимой фермы, нагружен-
• ной однопараметрическим семейством нагрузок .... 31
§ 2. Многоугольник текучести.............................33
§ 3. Механическое поведение при нагрузке и разгрузке . . 35
§ 4. Экстремальный принцип..............................................................37
§ 5. Несущая способность................................................................39
§ 6. Приспособляемость..................................................................40
§ 7. Обобщение на многократно неопределимые фермы и
балки .........................................................................................42
§ 8. Историческая справка...............................................................45
Глава Ш. Расчет по предельным нагрузкам .... ... 47
§ 1. Обобщенные напряжения и обобщенные скорости дефор-
маций; область текучести; принцип максимальной удель-
ной мощности рассеивания............................................................................47
§ 2. Поля напряжений и скоростей, принцип возможных ско-
ростей .................................................50
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Основные теоремы, относящиеся к способам расчета по
предельным нагрузкам.....................................51
§ 4. Различные определения предельной нагрузки; примене-
ние нестационарных полей.................................54
§ 5. Портальные рамы.........................................................................56
§ 6. Учет продольной силы.62
§ 7. Круговые рамы.........................................................................65
§ 8. Условие текучести и закон текучести для пластин ... 68
§ 9. Несущая способность пластин.73
§ 10. Условие текучести и закон текучести для цилиндрической
оболочки.............................................81
§ 11, Несущая способность цилиндрических оболочек .... 86
§ 12. Изменение несущей способности с увеличением дефор-
мации 91
§ 13. Применение метода расчета по предельным нагрузкам
в других областях......................................................................................95
Глава IV. Конечные пластические деформации............... 97
§ 1. Введение ........................................ 97
§ 2. Плоские пластические течения.......................98
§ 3. Основные соотношения................................99 .
§ 4. Геометрическое соответствие физической плоскости и
плоскости напряжений . . ........................103
§ 5. План скоростей.106
§ 6. Построение полей линий скольжения и планов скоростей
по граничным условиям...................................ПО
§ 7. Предельные случаи.........111
§ 8. Условие положительной мощности рассеивания . . . .114
§ 9. Прессование плоского тела.117
§ 10. Проникновение жесткого клина в плоское полупростран-
ство; сочетание приведенной диаграммы и плана ско-
ростей .................................................124 .
§ И. Плоское течение растянутого стержня с выточкой . . 128
§ 12. Пример линеаризации растяжения трубы..............132
Именной указатель.......................................135
Предметный указатель....................................135
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книга Вильгельма Прагера «Про-
блемы теории пластичности» посвящена некоторым избранным
задачам пластичности. Написанная по материалам лекций, про*
читанных автором в Цюрихском федеральном политехническом
институте, она не может претендовать на систематическое из-
ложение затронутых в книге вопросов, а является своего рода
кратким введением, содержащим минимальное число математи-
ческих операций и значительное количество наглядного иллю-
страционного материала.
В первой глав? излагаются различные модели пластических
тел при линейном напряженном состоянии (жестко-пластиче-
ского и упруго-пластического), постулируются зависимости
между напряжением и скоростью деформации применительно к
жесткому идеально-пластическому материалу, предлагается
оригинальная модель, позволяющая описать упруго- и жестко-
пластическое поведение двутавровой балки, нагруженной в
плоскости наибольшей жесткости осевой силой и изгибающим
моментом. Последняя модель может быть использована и в ряде
задач подобного рода, например для исследования пластического
поведения тонкостенной трубы при совместном кручении и рас-
тяжении. Затем описывается теория пластического потенциала,
в которой напряженное состояние определяется п обобщенными
напряжениями, а пластическое течение характеризуется п обоб-
щенными приращениями пластических деформаций. В качестве
примера теории пластического потенциала, а ,также его обоб-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
щения (исходя из условия текучести Мизеса и Треска —Сен-Ве-
нана) рассматривается растяжение пластинки в двух направле-
ниях.
Следующая глава содержит анализ работы ферм и балок за
пределом упругости. В виде примера разобрана однажды
статически неопределимая ферма, причем ее поведение иллю*
стрируется с помощью некоторого геометрического представле-
ния. В связи с определением несущей способности конструкции
обсуждаются экстремальные принципы и вводится понятие о
приспособляемости.
Самая большая по объему третья глава состоит в описании
методов определения несущей способности различных элементов
конструкций. Здесь сформулированы основные теоремы о пре-
дельных нагрузках, установлены понятия о стабильном, стати-
чески возможном поле напряжений и о нестабильном, кинема-
тически возможном поле скоростей. В качестве иллюстрации
разобран расчет несущей способности портальной рамы с за-
деланными пятами, в котором учтено влияние только изгибаю-
щих моментов; при этом определяется значение изгибающего
момента, соответствующего образованию пластического шарнира
и его значения, исходя из анализа кинематики процесса раз-
рушения. Далее разобраны круговое кольцо под действием
диаметрально направленных сил, осесимметричная круговая и
квадратная пластины при поперечной нагрузке, бесконечно длин-
ная круговая осесимметричная цилиндрическая оболочка, подвер-
женная действию кольцевого давления. Материал во всех разоб-
ранных случаях считается жестко-пластическим. Затем примени-
тельно к опертой осесимметричной круговой пластине рассмат-
ривается влияние деформации на ее несущую способность.
Наконец, в последней главе исследуются конечные пласти-
ческие деформации в технологических задачах теории пластич-
ности. Здесь для плоской задачи теории пластичности выве-
дены известные уравнения Массо—Хенки и Гейрингер, уста-
навливается геометрическая связь между плоскостью напряжений
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
9
и действительной (физической) плоскостью, а также между
действительной плоскостью и плоскостью годографа и далее
вводится условие совместности полей напряжений и скоростей
деформаций. Здесь проанализировано волочение полосы при
установившемся пластическом течении, проникновение жесткого
клина в пластическое полупространство, растяжение стержня
с глубокой выточкой, волочение тонкостенной цилиндрической
трубы через жесткую коническую матрицу. В последнем случае
решение получено на основе линеаризации условия текучести и
связанного с ним закона течения.
Более подробное изложение вопросов, затронутых в книге,
можно найти в ряде монографий, опубликованных на русском
языке ’).
В целом книга представляет интерес для лиц, интересую-
щихся вопросами пластических деформаций металлов.
Декабрь 1957 г.
Э, И, Г риг о люк
^Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, М.—Л., 1948;
Гвоздев А. А., Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия, Стройиздат, М., 1949; Ржаницын А. Р.,
Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов, Строй-
военмориздат, М., 1949; Хилл Р., Математическая теория пластич-
ности, перев. с англ., Гостехиздат, М., 1956; Качанов Л. М.,
Основы теории пластичности, Гостехиздат, М., 1956; Прагер В.,
Ходж П., Теория идеально-пластических тел, перев. с англ., ИЛ,
1957; Гоффман О., Закс Г., Введение в теорию пластичности
Для инженеров, перев. с англ. Машгиз, М., 1957.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
В ноябре 1954 года по приглашению швейцарских профессо-
ров автор прочитал в Швейцарской высшей технической школе
(ЕТН) ряд отдельных лекций по избранным проблемам теории
пластичности. Настоящая книга в основном представляет собой
записи этих лекций. Выбор обсуждаемых проблем определялся
частично научными интересами лектора и частично желанием
избежать пересечений с направлениями научной работы в ЕТН.
По этой причине в этих лекциях не обсуждался, например,
важный раздел об устойчивости в пластической зоне, в которой
Штюсси, Коллбруннер и другие швейцарские исследователи
внесли ценные результаты.
В. Прагер
ГЛАВА I
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА
§ 1. Введение
Механические свойства твердых тел гораздо разнообразнее
свойств жидкостей или газов. Было бы, например, очень трудно
составить такую систему дифференциальных уравнений, которая
при сложном напряженном состоянии одновременно и сколько*
нибудь правдоподобно описывала бы упругое изменение формы
тела, последействие и гистерезис, ползучесть и пластическое
течение. Даже в том случае, если бы такую систему и можно
было указать, она была бы, наверное, очень сложна для
практического определения напряжений и деформаций деталей
машин и сооружений. Поэтому инженер должен выбирать более
простую систему уравнений, описывающую только те механи-
ческие свойства, которые являются существенными для рас-
сматриваемой им задачи. Каждая такая система определяет
некоторый идеальный материал, и задача инженера должна
заключаться в том, чтобы выбрать тот идеальный материал,
который лучше всего подходит для решения задачи.
В области твердых тел таким наиболее известным идеаль-
ным материалом является идеально-упругое тело. Соотноше-
ние, связывающее напряжения и деформации такого тела, из-
вестно под названием закона Гука. Хотя этот закон исполь-
зуется почти во всех случаях определения напряжений и де-
формаций в машиностроении и строительной механике, нетрудно
привести примеры, где применение этого закона оказывалось
бы лишенным смысла. На самом деле, поскольку закон Гука
описывает только упругую область, т. е. описывает механиче-
ское поведение тела при достаточно малых напряжениях и
12 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
деформациях, то, когда условия задачи требуют перехода- за уп-_
ругую область, использование этого соотношения будет незакон-
ным. Так, например, согласно теории упругости у основания остро-
го надреза должно возникнуть бесконечно большое напряжение.
Поскольку очевидно, что такое напряжение лежит за пределами
упругости любого реального материала, то определение упругих
напряжений вблизи острого надреза лишено смысла.
§ 2. Динамическая модель идеально-пластического
материала
Гораздо менее известным идеальным материалом является
идеально-пластическое тело, которому убудут посвящены эти
лекции. При характеристике какого-либо идеального материала
первым шагом является описание поведения материала при
простом растяжении или сжа-
X тии. Часто является необходи-
х А АДА ~ ' мым описать это поведение с
X V V V V ** помощью некоторой модели. Так,
например, идеально-пластиче-
ское тело, находящееся в про-
Рис. 1 стом напряженном состоянии,
может быть представлено с по-
мощью некоторой пружины. Один конец этой пружины (рис. 1)
закреплен неподвижно, в то время как другой конец находится
под действием осевой силы. Эта сила и перемещение точки ее
приложения определяют напряжение и деформацию упругого
образца.
Рисунки 2 и 3 изображают соответствующие модели иде-
ально-пластического материала. Прямоугольный параллелепи-
пед на рис. 2, а, преодолевая некоторую постоянную силу
трения, может скользить на своем основании. Движущая сила
и перемещение точки ее приложения снова оценивают напря-
жение и деформацию некоторого идеального материала. На
рис. 2, б изображена диаграмма напряжение — деформация для
этого материала. До тех пор, пока абсолютная величина прос-
того напряжения а лежит ниже некоторого критического зна-
чения а0, материал остается жестким; в тот момент, когда
абсолютная величина напряжения а достигнет значения о0,
начинается пластическое течение материала при постоянном
напряжении. В силу этого рассмотренный идеальный материал
§ 2] ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСК. МАТЕРИАЛА 13
называется идеально-пластическим материалом. На рис. 3, а
приведена модель идеального упруго-пластического материала.
Диаграмма напряжение—деформация этого материала при про-
стейшем напряженном состоянии изображена на рис. 3, б.
Р
(о)
(6)
Рис. 2
Отрезки ОА на рис. 2, б и 3, б соответствуют первона-
чальному нагружению до предела текучести при растяжении,
отрезки АВ — пластическому течению при постоянном напря-
жении растяжения, отрезки ВС—полной разгрузке с последу-
ющим приложением сжимающей нагрузки вплоть до предела
текучести при сжатии и отрезки CD — пластическому течению
при постоянном напряжении сжатия.
Существенная разница между этими идеально-пластическими
материалами и идеальным материалом Гука выступает тогда,
когда пытаются аналитически описать диаграммы напряже-
14 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. !•
ние — деформация, изображенные на рис. 2, б и 3, б. Идеально-
упругое тело характеризуется некоторой обратимой, однознач-
ной связью между напряжением и деформацией. Идеально-
пластический материал не обладает такой однозначностью.
Например, на диаграмме напряжение — деформация, изображен-
ной на рис. 2, 5, вдоль АВ различные деформации соответству-
ют одному и тому же напряжению, тогда как вдоль ВС одна
и та же деформация соответствует различным напряжениям.
Такое поведение будет описываться следующими соотно-
шениями:
ё = 0, если а1 < aj,
sgn б = sgn о, если a2 = aj,
О)
где а означает напряжение и е — скорость деформации.
Соотношения в первой строчке (1) показывают, что обра-
зец ведет себя как жесткое тело до тех пор, пока абсолют-
ная величина напряжения а остается меньше напряжения те-
чения а0. Соотношения во второй строчке (1) содержат утверж-
дение, что образец пластически растягивается или сжимается,
смотря по тому, достигло ли напряжение предела текучести
при растяжении или при сжатии.
Следует заметить, что соотношения (1) говорят только
о том, положительна или отрицательна, или равна нулю ско-
рость деформации, тогда как величина ее вообще остается
неизвестной. Рассматриваемый идеально-пластический материал
является, таким образом, материалом, лишенным вязкости,
§ 3. Кинематическая модель
Упомянутые выше модели являются динамическими моделя-
ми в том смысле, что напряжения и деформации можно выра-
зить через силы и перемещения. Будет, очевидно, трудно постро-
ить подобную модель для сложного напряженного состояния.
Поэтому мы прекратим дальнейшее исследование динамиче-
ских моделей и вместо этого рассмотрим кинематическую мо-
дель, с помощью которой как напряжения, так и деформации
можно выразить через перемещения.
На рис. 4 изображена кинематическая модель жестко-плас-
тического идеального материала при простейшем напряженном
§ 4]‘
ДВУТАВРОВАЯ ВАЛКА
15
состоянии 1). Кулиса А может скользить без трения вдоль
горизонтальных направляющих В. Цапфа С скользит без тре-
ния в кулисе А и передает ей свое движение только тогда,
когда она упирается в один из концов кулисы. Направляющие,
кулиса и цапфа имеют вертикальные указатели, которые в
$ *4—Н Жестко-пластическое
। । I состояние
1 Ее । _ I
у-------1 зП Упруго-пластическое
। Y а | состояние
Рис. 4
начальный момент совпадают друг с другом. Перемещение
цапфы относительно кулисы представляет напряжение а, а
перемещение кулисы относительно неподвижных направляю-
щих — деформацию е. Диапазон возможного перемещения цапфы
в кулисе соответствует удвоенной величине напряжения пре-
дела текучести а0. Такая же схема может служить в качест-
ве модели идеального упруго-пластического материала. В этом
случае перемещение цапфы относительно кулисы опять изобра-
жает напряжение, а абсолютное перемещение цапфы отно-
сительно неподвижных направляющих соответствует произве-
дению модуля упругости Е на деформацию е.
§ 4. Двутавровая балка, нагруженная поперечной силой
и изгибающим моментом
Для того чтобы разобрать некоторые особенности пла-
стического поведения тела при сложном напряженном состоянии*
рассмотрим двутавровую балку, нагруженную изгибающим
*) Р г a g е г W., The theory of plasticity: A Survey of recent achlev-
ments, Proc. Inst Meeh. Engrs. 169, 41—57 (1955); русский перевод
дан в приложении к книге: Прагер В. и Ходж П., Теория
идеально-пластических тел, ИЛ, М., 1956. {Прим, ред.)
16 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
моментом М и продольной силой N. При этом будем пре-
небрегать изменением нормальных напряжений по толщине
тонкой полки и тем добавком к равнодействующим напряже-
ний М и N, который дает стенка. При определении напряже-
ний ай и о0, действующих на нижнюю и верхнюю полки, для
Рис. 5
исключения несущественных постоянных примем половину вы-
соты стенки балки за единицу, измерения плеча момента и
площадь поперечного сечения полки за единицу измерения
площади. В этих единицах измерения изгибающий момент и
продольная сила выражаются соотношениями вида (рис. 5)
М = аи — а„, 1
(2)
Если обозначить деформации полок через е0 и ев, то дефор-
мация е и кривизна х средней линии балки будут:
(3)
Напряженное состояние в поперечном сечении балки можно
описать либо с помощью аи и а0, либо с помощью М и N;
переход от первого метода описания ко второму осуществляет-
ся с помощью соотношений (2). Аналогично деформированное
состояние может задаваться либо с помощью ев и е0, либо с
помощью е и х; две эти пары определяющих параметров
связаны друг с другом соотношениями (3).
Рассмотрим сначала упруго-пластическую балку. Так как
напряжение в полке зависит только от ее собственного про-
§ 4]
ДВУТАВРОВАЯ БАЛКА
17
цесса деформирования и не зависит от процесса дефор-
мирования другой полки, то кинематическую модель, изоб-
раженную на рис. 4, можно обобщить следующим образом.
Жесткая квадратная рама А (рис. 6) приводится в движение
таким образом, что она в своей плоскости может без трения
совершать любое перемещение. Гладкая цилиндрическая цап-
фа В может свободно перемещаться внутри рамы; она сооб-
щает раме движение только тогда, когда упирается в одну
из ее сторон или в один из ее углов. Движение цапфы будет
относиться к неподвижной прямоугольной системе координат,
расположенной в плоскости рамы; координатные оси этой сис-
темы параллельны сторонам рамы. В начальный момент средняя
точка рамы С и средняя точка В цапфы совпадают с началом
координат О. В соответствии с заданным законом деформиро-
вания цапфа будет тогда двигаться таким образом, чтобы
координаты точки В всякий раз изображали мгновенные вели-
чины £ев и Вектор ОВ будем называть поэтому векто-
ром деформаций. Соответствующим ему вектором напряже-
ний будет вектор СВ\ его компонентами относительно осей
координат являются напряжения аа и а0. Часто полезно пред-
ставить деформацию как сумму упругой и пластической состав-
ляющих; для того чтобы эти состарлядащщ^отлнчпть дцну от
18 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
другой, будем употреблять начальные буквы (е) и (р). Вследст-
вие этого закон Гука запишется в виде
а0=£е^ и at=EetM.
Вектор напряжений является вместе с тем вектором упругих
деформаций. Так как ОВ изображает' полную деформацию,
то ОС должно быть равно вектору пластических деформаций.
Для того чтобы доказать, что эта модель правильно пере-
дает поведение упруго-пластической балки, примем, что рама
Рис. 7
и цапфа занимают положения, указанные на рис. 7,а. Тогда
нижняя полка балки находится у предела текучести при растя-
жении, тогда как верхняя полка находится еще в упругой
области. Если теперь сообщить цапфе малое перемещение
вверх и вправо, т. е. вызвать у обеих полок малую допол-
нительную деформацию, то вследствие отсутствия трения в
цапфе это вызовет появление направленной вправо сцлы,
действующей на раму. Следовательно, рама будет двигаться
по горизонтали вправо. В процессе этого движения растет
только горизонтальный компонент вектора пластической де-
формации ОС, что соответствует тому факту, что в данном
случае пластически растягивается только нижняя полка.
Рассматривая балку как составную часть некоторой несу-
щей конструкции, условимся описывать напряженное состояние
с помощью изгибающего момента М и продольной силы N,
§ 5] ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
19
а деформированное состояние с помощью деформации е и кри-
визны х. Как видно из уравнений (2) и (3), эти величины
можно получить из нашей модели, отнеся векторы напряжения
и деформации к системе осей координат, изображенных на
рис. 7, о в наклонном положении; при этом, конечно, нужно
ввести новый масштаб по осям координат. На рис. 7, б наша
модель изображена вновь в более удобном положении. Та же
самая модель может использоваться и для описания поведения
жестко-пластической балки. В этом случае СВ опять является
вектором напряжения, а деформация изображается теперь векто-
ром ОС, компоненты которого непосредственно равны е и х.
§ 5. Особенности поведения в пластической области
Мысленно перемещая модель упруго-пластической балки,
мы обнаружим некоторые, частично неожиданные, особенности
поведения ее в пластической области.
Мгновенная величина напряжения зависит вообще не толь-
ко от мгновенной величины деформации, но и от общего
Рис. 8
процесса деформирования. На рис. 8, а и б показано по-
ведение модели для двух различных способов деформирования,
приводящих, однако, к одному и тому же конечному дефор-
мированному состоянию. Если средняя точка цапфы В переме-
щается вдоль пути 0—1—2 на рис. 8, а, то рама перемещается
от обозначенного штрих-пунктиром начального положения
20 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
вправо вверх в конечное положение, обозначенное сплошными
линиями. Если в другом случае В движется вдоль пути
0—Г—2 на рис. 8, б, то рама сначала движется налево вверх
в обозначенное пунктиром промежуточное положение, а затем
вправо вверх в конечное положение, обозначенное сплошными
линиями. Несмотря на то, что оба способа деформиро-
вания ведут к одному и тому же конечному деформи-
рованному состоянию, напряженные состояния в обоих
случаях будут различны.
Однако при известных условиях эта зависимость напряжен-
ного состояния от процесса деформирования исчезает. Например,
на рис. 9, а при процессах деформирования 0—1—2—3 и
0—Г—2'—3 цапфа приходит в соприкосновение только с одной
стороной рамы. Таким образом, оба процесса деформирования
приводят к одному и тому же конечному положению рамы.
Аналогичным образом процессы деформирования 0—1—2—3 и
0—Г—2'—3 на рис. 9, б приводят к одному и тому же конечному
положению рамы, потому что цапфа в положении / приходит
в соприкосновение с углом рамы и в течение остальной части
пути продолжает соприкасаться с этим углом. Следовательно,
в обоих случаях, проиллюстрированных на рис. 9, мы име-
ем указанную независимость напряжения от процесса де-
формирования.
Рисунок 10 иллюстрирует другой замечательный эффект.
Прямолинейному пути цапфы 0—1—2—3 соответствует процесс
деформирования, при котором кривизна х в удлинение а уве-
§ 6] РАСТЯЖЕНИЕ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОЙ ТРУБЫ
21
личиваются таким образом, что их отношение остается посто-
янным. В процессе движения цапфы по пути 0—1 изгибающий
момент и продольное усилие
что их отношение остается
в точности постоянным. В то
время как цапфа движется
от 1 к 2, изгибающий мо-
мент увеличивается, а про-
дольное усилие уменьшается;
затем величины их М = М0
и М —О сохраняются по-
стоянными, причем яв-
ляется моментом, соответ-
ствующим пределу текуче-
сти материала при чистом
изгибе. Чрезвычайно про-
стому процессу нагружения
увеличиваются таким образом,
соответствует, таким обра-
зом, сравнительно запутанная история напряжений.
§ в. Растяжение и кручение тонкой трубы
Аналогичные кинематические модели можно указать и для
других элементов конструкций, работающих в области пласти-
ческих деформаций. Для того чтобы на опыте выяснить об-
ласть применимости предлагаемых соотношений между напря-
жениями и деформациями, часто прибегают к исследованию
поведения тонкостенных трубок при совместном действии
растяжения и кручения. На рис. 11 изображена соответствую-
щая кинематическая модель для некоторого упруго-пластического
идеального материала, подчиняющегося условию текучести
Мизеса ’)и ради простоты считаемого несжимаемым. При этом о
означает осевое напряжение, т — касательное напряжение, е —
осевую деформацию, у—деформацию сдвига, Е— модуль упру-
гости, а0 — предел текучести при растяжении. Вследствие
предположения о несжимаемости материала модуль сдвига состав-
ляет одну третью часть модуля упругости.
5 von М i s е s R., Mechanik der festen Кбгрег implastlsch deformab-
len Zustand, GOttinger Nachrichten, Math.-phys. kt, 582—592, 1913;
имеется русский перевод в сборнике «Теория пластичности», ИЛ,
М., 1948. {Прим, рео.)
22 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
Рама (в форме круга) на рис. 11 не имеет ни прямолиней-
ных сторон, ни углов. Поведение модели, изображенной на
рис. 11, при совместном действии растяжения и изгиба будет
вследствие этого значительно проще, нежели поведение выше
рассмотренной модели балки. Это может показаться неправдо-
подобным, поскольку в балке мы имели дело только с одно-
осным напряженным состоянием, а в трубе — с совместным
действием растягивающих и сдвигающих напряжений.
Объяснение заключается в том, что модель, изображенная
на рис. 11, или вообще теория пластичности Мизеса весьма
упрощенно описывают действительное поведение пластического
материала. Поэтому не было бы неожиданным, если бы срав-
нение результатов эксперимента с предсказаниями этой теории
показало бы, что теория передает только основные черты, но
не детали поведения реального пластического материала. Экс-
периментатор не всегда правильно оценивает это положение
и неправильно критикует теорию Мизеса. Эту теорию нетруд-
но изменить таким образом, чтобы она лучше соответствовала
результатам эксперимента. Если говорить о нашей модели, ’то,
вероятно, вместо круглой рамы потребовалось бы применить
раму с углами и с прямыми или слегка изогнутыми сторона-
$ 7] ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 23
ми и, конечно, потребовалось бы более медленное изменение
размера или формы рамы по мере роста деформации растяги-
ваемой и закручиваемой трубы. Однако такое «улучшение»
теории Мизеса настолько бы усложнило ее применение к прак-
тическим задачам, что такую улучшенную теорию вскоре, ко-
нечно, признали бы бесполезной. Развитие электронных счет-
ных устройств может оправдать такую критику. Однако в этом
случае устройства окажут определенное влияние и на услож-
ненную теорию.
§ 7. Историческая справка
Исторически условия текучести и соотношение между на-
пряжениями и деформациями были выведены как независимые
друг от друга составные части теории пластичности. Так, на-
пример, Мизес1) при математической обработке часто неудоб-
ных для применения условий текучести Треска2 *), употребляв-
шихся в старых теориях, использовал постулированную Сен-
Венаном8) и Леви4 * * *) связь между напряжениями и деформаци-
ями. С другой стороны, наша модель выявляет связь между
формой рамы и способом, с помощью которого движение цапфы
преобразуется в определенное движение рамы. В пределах
теории пластичности соответствующая связь между условием
текучести и соотношением между напряжениями и деформаци-
ями раскрывается с помощью понятия пластического потен-
циала. С помощью нашей модели соответствующая форма
этого понятия •) предполагает .раму без углов. Это ограничи-
тельное предположение было недавно устранено введением по-
нятия обобщенного пластического потенциала*).
') von Mises R., Mechanik der festen KOrper im plastisch defor-
mablen Zustand, GOttinger Nachrichten, Math.-phys. kl., 1913, 582 — 592.
*) T r e s с a H., MSmoire sur 1’Scoulement des corps solides, Мёпъ
prSs. solides, Мёт. prSs. div. Savants 18, 733 — 799 (1868).
’) de S a i n t V e n a n t B., MSmoire sur 1’Stablissement des Squa-
tions differentielles des mouvements intSrieurs opSrSs dans les corps
solides ductiles au dela des limites ой 1’SlasticitS pourrait les ramener
A leur premier Stat, C. R. Acad. Sci. (Paris) 70, 473 — 480 (1870).
4) LSvy M., MSmoire sur Squations gSnSrales des mouvements
intSrieurs des corps solides ductiles au dela des limites ой 1’SlasticitS
pourrait les ramener a leur premier Stat, C. R. Acad. Sci. (Paris) 70,
1323- 1325 (1870).
•) von Mises R., Mechanik der plastischen Formanderung von
Kristallen, Z. angew. Math. Meeh. 8, 161 — 185 (1928).
•) Koi ter W. T., Stress-strain relations, uniqueness and variational
theorems for elastic-plastic materials with a singular yield surface, Qu-
24 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
§ 8. Кинематическая модель и пластический потенциал
Для того чтобы объяснить понятие пластического потенци-
ала, обратимся опять к кинематической модели, изображенной
на рис. 11. Заметим, во-первых, что масштабы по осям коор-
динат выбраны таким образом, что, несмотря на различные
упругие постоянные при растяжении и сдвиге, работа dA, со-
вершаемая напряжениями в процессе бесконечно малой дефор-
мации, пропорциональна скалярному произведению вектора на-
пряжения на приращение вектора деформации:
а(£Л) + (с/3)^=£(аЛ+-с4Гу) = Е</Л. (4)
Заметим, далее, что в упругой области векторы напряжения
и деформации совпадают. Как легко доказать, масштабы по
осям координат определяются с помощью двух этих условий
с точностью до некоторого произвольного общего множителя.
Рассмотрим теперь некоторое заданное напряженное состо-
яние на пределе текучести и некоторую заданную бесконечно
малую деформацию, которую нельзя осуществить, оставаясь
только в упругой области. Согласно нашей модели это озна-
чает, что цапфа, находящаяся в соприкосновении с рамой, по-
лучит некоторое бесконечно малое перемещение, направленное
наружу рамы. Свободная от трения цапфа будет тогда дей-
ствовать на раму с некоторой силой, направленной в точке
соприкосновения по нормали к раме. Так как направляющие
рамы исключают ее вращение, то рама будет двигаться посту-
пательно в направлении внешней нормали в точке соприкосно-
вения с цапфой и одновременно проскальзывать относительно
цапфы. Если, следовательно, разложить бесконечно малое пере-
мещение цапфы на два компонента — вдоль нормали в точке
соприкосновения и перпендикулярно к ней, то нормальный компо-
нент дает перемещение рамы и поэтому представляет приращение
пластической деформации, тогда как касательный компонент дает
приращение упругой деформации и, в силу закона Гука, так-
же и изменение напряжения. Ортогональность векторов, пред-
ставляющих изменение напряжения и приращения пластической
art. appl. Math It, 350 — 354 (1953); Prager W., On the use of
singular yield conditions and associated flow, J. appl. Meeh. 20, 317 —
320 (1953).
§ 9] ПЛАСТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 25
деформации, означает, что при изменении напряжения не
происходит затраты работы на увеличение пластической
деформации. В дальнейшем мы будем использовать этот прин-
цип, а также и свойство выпуклости кривой текучести, кото-
рое наблюдалось во всех до сих пор рассмотренных примерах,
в качестве основных аксиом теории пластичности.
§ 9. Пластический потенциал
Рассмотрим упруго-пластическую среду, напряженное состо-
яние которой задано с помощью обобщенных напряжений
Qp ..., Q„. Обозначим соответствующие обобщенные дефор-
мации через 0р ..., qn так, что’
rf4 = Q1d91+...+Qnd9e (5)
представляет работу, затрачиваемую напряжениями на беско-
нечно малом приращении деформации.
Пусть предел текучести будет задан с помощью непре-
рывной дифференцируемой функции
Ф(<2,.....Q„)=o. (6)
В пространстве напряжений п измерений с прямоугольными
координатами Qv ..., Qn уравнение (6) изображает замкну-
тую выпуклую поверхность, окружающую начало координат.
Знак функции Ф выбираем таким образом, чтобы напряженное
состояние до предела текучести соответствовало отрицатель-
ному значению Ф. Некоторое заданное напряженное состояние
на пределе текучести изображается определенной точкой на
поверхности текучести (6). Бесконечно малые изменения
dQv ..., dQn этого состояния, которые не ведут к разгрузке
ниже предела текучести, должны удовлетворять соотношению
^. + •••+^=0. (7)
При этом частные производные нужно брать в рассматривае-
мой точке поверхности текучести. В дальнейшем эта точка
будет называться точкой напряжений. Поскольку направляю-
щие косинусы внешней нормали в точке напряжений про-
порциональны частным производным уравнения (7), то из
этого уравнения следует, что вектор изменения напряжения
26 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
перпендикулярен к этой нормали, т. е. должен быть паралле-
лен касательной плоскости к поверхности текучести в точке
напряжений.
Теперь приращения напряжения не совершают работы на
приращениях dcff\ ..., dcff пластической деформации. Если
э!и приращения пластической деформации рассматривать как
компоненты некоторого вектора в' пространстве напряжений, то
этот вектор должен быть перпендикулярен ко всем возможным
векторам приращения напряжения, и поэтому его направление
будет совпадать с направлением нормали к поверхности теку-
чести в точке напряжений. Таким образом, имеем:
Х dQl ’ * * * * ’ dQn — К dQn »
где 1 — произвольный коэффициент пропорциональности. Эта
система уравнений, связывающая приращения пластической де-
формации с напряжениями, будет называться законом течения.
Условие, заключающееся в том, что при пластическом те-
чении должно происходить рассеивание механической работы,
приводит к ограничению относительного знака к. Согласно (8)
рассеиваемая работа определяется выражением
<ЗА?)+ • •.[с.^4- ••+о»й]>0-(9)
Для выпуклой первоначально замкнутой поверхности текучести
выражение, заключенное в (9) в скобки, положительно. Сле-
довательно, коэффициент пропорциональности X также положи-
телен.
§ 10. Обобщенный пластический потенциал
Связь условия текучести с законом течения, которая да-
ется уравнениями (6) и (8), известна под названием теории
пластического потенциала Мизеса1). Недавно эта теория была
обобщена Койтером8). Койтер считает, что предел текучести
*) Mises It, Mechanik der pl astischen Formanderung von Kri-
stallenF Z. angew. Math. Meeh. 8, 161 — 185 (1928).
*) К о i t e r W. J., Stress-strain relations, uniqueness and variati-
onal theorems for el .-plastic, mater, with a singular yield surface, Quart,
appt Math. It, 350 — 354 (1953); Prager W., On the use of singular
yield conditions and associated flow rules, J. appl. Meeh. 20, 317 —
320 (1953).
§ П]
ПРИМЕРЫ
27
будет определяться несколькими функциями (Qp ...» Qn),
Ф2(Qp Qn), ...,ФА(0р Напряженное состо-
яние лежит ниже предела текучести, если для него все эти
функции принимают отрицательное значение. Когда, например,
функции ФА, ... , ФА обращаются в нуль, тогда как все дру-
гие принимают отрицательное значение, то закон текучести (8)
Койтер преобразует следующим образом:
aqn ~~KftdQn
(Ю)
где 1Л, ..., 1А — произвольные неотрицательные коэффициен-
ты пропорциональности.
В случае теории Мизеса напряженное состояние предела
текучести определяет приращение деформации только с точ-
ностью до некоторого положительного множителя. Прираще-
ние пластической деформации, определяемое с точностью до
некоторого положительного множителя, мы будем называть
пластическим механизмом. По теории Койтера напряженное
состояние на пределе текучести определяет /-параметрическое
семейство пластических механизмов, если (/ — 1) функций те-
кучести для этого состояния равны нулю. Примеры применения
теории пластического потенциала Мизеса и теории обобщенно-
го пластического потенциала Койтера содержатся в следую-
щем параграфе.
§ 11. Примеры: условие текучести, закон текучести
и рассеивание энергии для плоского напряженного
состояния (по Мизесу и Треска)
В качестве примера приложения теорий пластического потен-
циала и обобщенного пластического потенциала рассмотрим
двухосное растяжение или сжатие прямоугольной пластины
постоянной толщины (рис. 12). Напряженное состояние пластины
определяется главными напряжениями at и а2, а деформиро-
ванное состояние — главными деформациями Sj и е2.
В качестве условия текучести используем, во-первых, ту
сйецйальную форму, которую принимает условие Мизеса для
рассматриваемого здесь случая:
28 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. !
где а0 означает напряжение предела текучести при растяже-
нии. В соответствии с (8) из этого условия текучести получим
закон течения
Л^=1(2а,-а,), ^=1(2^-»,). (12)
Коэффициент пропорциональности 1
4
пиши
*О|
шттттл
4
Рис. 12
4
может быть легко исклю-
чен из уравнений (12). В
результате найдем:
л?’_2в1- ««
de(₽) “ 2а, - а,'
Поскольку отношение
¥ описывает мгно-
венный механизм течения,
то уравнение (13) показы-
вает, чтр этот механизм
будет однозначно опреде-
ляться напряженным со-
стоянием.
Коэффициент пропорциональности X можно исключить из
уравнения (12) и с помощью условия текучести (11). Как
ле ко доказать, имеет место следующее соотношение:
dt™ 4- 4- dt^d^ = За’Х*. (14)
Подставляя полученное отсюда выражение для X в урав-
нения (12) и разрешая получающееся соотношение относи-
тельно и а8, найдем:
~ + depC® ’ I
_ „„ ’ ’ (,5)
“ 73 + rfECP>*+d6(₽)d,W'
Правые части этих уравнений являются однородными функци-
ями нулевого порядка относительно приращений пластических
деформаций; поэтому они зависят только от механизма теку-
чести. Уравнения (15) показывают, таким образом, что напря-
женное состояние однозначно определяется пластическим ме-
ханизмом. , ,
§ 11]
ПРИМЕРЫ
29
Резюмируя, мы устанавливаем, что при использовании
условия текучести Мизеса напряженное состояние и пластиче-
ский механизм находятся друг с другом во взаимообратимой
однозначной зависимости.
В однородных выражениях нулевого порядка, например в
правой части уравнений (15), можно сразу заменить прираще-
ние деформаций через соответствующие скорости деформаций.
В дальнейшем это обстоятельство будет часто использоваться.
Скорость рассеивания механической энергии при пласти-
ческом течении следует называть мощностью рассеивания.
Мощность рассеивания, отнесенная к единице площади пласти-
ны, могла бы называться удельной мощностью рассеивания.
Последняя равна
D==o1e^)-J- vj*,
где и означают скорости пластической деформации.
Если в этом выражении заменить напряжения с помощью со-
отношений (15), то в результате получим:
D = + .
Следовательно, удельная мощность рассеивания однозначно
определяется через скорость пластической деформации.
Если условие текучести Мизеса заменить условием Треска ’),
то получим пример применения теории обобщенного пласти-
ческого потенциала. Согласно условию текучести Треска необ-
ходимо, чтобы абсолютная величина наибольшей разности глав-
ных напряжений была равна постоянному значению о0. По-
скольку равный нулю компонент напряжения, нормальный к
плоскости пластины, следует рассматривать как одно из трех
главных напряжений, то шесть функций текучести будут иметь
следующий вид:
= Ф» = °« — °о- ф. = ®« — ’1— °,.
ф« = — ф. = -®. — Ф. = -
Для каждого напряженного состояния, которое описывается вы-
ражениями
°. =°»> О <’.<’<). (18)
*) Т г е s с а Н., Мёшо1ге sur l’£coulement des corps solides, Мёш.
ргёв. div. savants 18, 733 - 799 (1868).
30 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. I
<!>! равно нулю, тогда как все остальные функции текучести
становятся отрицательными. Тогда согласно (10) получим сле-
дующий закон течения:
de&>=\, de(^ — 0, (19)
где \ > 0. Здесь мы имеем некоторый определенный пласти-
ческий механизм (уравнение (19)), совместный с целым рядом
напряженных состояний (уравнение (18)).
Рассмотрим, далее, напряженное состояние
а1==0, а± = а0, (20)
йри котором Ф3 и Ф3 равны нулю, а все остальные функции
текучести будут отрицательными. Используя уравнения (10),
получим закон течения
(&&>==—13, + \ (21)
с неотрицательными Х3 и к3. Для некоторого частного вида
напряженного состояния (уравнение (20)) имеем однопараметри-
ческое семейство пластических механизмов (уравнение (21)).
Резюмируя, устанавливаем, что в случае условия текучести
Треска однозначность связи между напряженным состоянием и
пластическим механизмом пропадает.
Ввиду этого обстоятельства замечательно, что удельная
мощность рассеивания однозначным образом определяется через
скорости деформации. В случае, который описывается уравне-
ниями (18) и (19), получаем:
+ = (22)
В случае же, описываемом уравнениями (20) и (21), имеем
D=a3>. (23)
Легко доказать, что в обоих случаях имеет место соотношение
D = ^a0(|^>| + |^| + |^ + ^|). (24)
Это соотношение остается справедливым и в других случаях,
которые здесь не рассматриваются.
ГЛАВА II
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Геометрическое представление напряженных состояний
однажды статически неопределимой фермы,
нагруженной однопараметрическим семейством нагрузок
В качестве особенно простого примера упруго-пластической
системы рассмотрим изображенную на рис. 13,а однажды ста-
тически-неопределимую ферму, которая по предположению
находится в упруго-пластическом состоянии. В качестве на-
грузки допускается положительное или отрицательное множе-
ство нагрузок, подобных изображенным на рис. 13, а. Таким
образом, все подлежащие рассмотрению напряженные состоя-
ния образуют однопараметрическое семейство.
Перенумеруем стержни фермы и обозначим длину, пло-
• щадь поперечного сечения и силу, действующую на Z-й стер-
жень, соответственно через Zz, Ft и Sz. Точно так же как и
при определении упругих напряжений, сначала из рассмотре-
ния исключается возможность продольного изгиба, поскольку
опасность возникновения продольного изгиба не может и обсуж-
даться, пока не определены силы, действующие на стержни.
Примем, что Z-й стержень может пластически растягиваться
(или сжиматься) при постоянной силе S+^>0 (или S^"<0).
Между этими граничными значениями сил стержень остается
упругим.
Сначала совершенно оставим в стороне возможность пла-
стической деформации фермы и определим упругие напряже-
ния для указанной на рис. 13, а нагрузки так, как будто бы
все стержни могут неограниченно находиться в упругом состоя-
нии. Определенную подобным образом силу, действующую
на Z-й стержень, обозначим через S'. Рассмотрим затем
32
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
свободную статически определимую ферму (см. рис. 13, б), нахо-
дящуюся под действием приложенной к ней системы нагрузок,
и обозначим соответствующую силу в Z-стержне через S''. Для
внешне статически неопределимых стержневых ферм, подобных
изображенной на рис. 13, система сил S'', действующих на
стержни, представляет состояние самонапряжения. Так как
рассматриваемая ферма является однажды статически неопре-
делимой, то силы, действующие в стержнях, для любого возмож-
ного состояния самонапряжения должны быть кратны силам
Когда нагрузка на ферму д раз кратна нагрузке, приве-
денной на рис. 13, а, то при отсутствии пластической дефор-
мации силы, действующие вдоль стержней, имеют вид jisj;
в противном случае эти силы выражаются в форме gSJ -f- vS,.
Таким образом, при определении упруго-пластических напря-
жений нужно найти зависимость множителя v от истории
нагружения. Этот процесс можно очень сильно упростить
с помощью следующего геометрического представления напря-
женных состояний в рассматриваемой ферме.
Обозначим модуль упругости /-го стержня через Et и вве-
дем числа упругости
Л —
МНОГОУГОЛЬНИК ТЕКУЧЕСТИ
33
§ 2]
Для произвольных значений множителей g и v работа
упругих деформаций, соответствующая силам в стержнях
puS'-j-vS,, опРеДеляется выражением
=g*E4 »л2+*‘ Е4 № (п
причем суммирование распространяется* на все стержнц фермы.
Последний член во второй строчке уравнения (1) можно истол-
ковать как виртуальную работу силы S'', действующей на стер-
жень на пути удлинения упругого напряженного состояния.
Иначе, по принципу возможных перемещений этот член можно
понимать как возможную работу приведенных на рис. 13,6
нагрузок на перемещениях узлов фермы, изображенной на
рис. 13, а при упругом напряженном состоянии. Так как эта
работа равна нулю, то
А, = g’ 2 4 + ** £ у “№ • (2)
. Уравнение (2) позволяет представить напряженные состоя-
ния фермы с помощью точек на некоторой плоскости напряже-
ний. Прямоугольными координатами этой плоскости являются
s=gч=* /L4“A"2- ®
Тогда квадрат расстояния точки напряжений от начала коор-
динат равен согласно (2) работе упругих деформаций, соот-
ветствующей рассматриваемому напряженному состоянию.
§ 2. Многоугольник текучести
Рассмотрим теперь поведение фермы под действием нагру-
зок типа, указанного на рис. 13, а; при этом предположим,
что интенсивность нагрузки g непрерывно увеличивается от
нуля. Некоторое заданное значение g в плоскости напряжений
соответствует некоторой прямой, параллельной оси 7), которая
могла бы называться прямой равновесия, потому что каждая
ее точка представляет случай возможного состояния фермы при
нагрузках указанной интенсивности.
2 В. Прагер
34
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Для достаточно малых величин интенсивности нагрузки
ферма будет вести себя, как упругая конструкция, т. е. точка
напряжений будет лежать на осн Е. Другими словами, в упру-
гой области из всех вероятных состояний равновесия осуще-
ствляется то, при котором расстояние точки напряжений от
начала координат, а вместе с этим и работа деформаций будут
минимальными.
Условиями текучести для растяжения или сжатия сила
в стержне ограничивается интервалом ^ак как
где И и v согласно (3) пропорциональны ко-
ординатам в плоскости напряжений, то
(4)
Точки Е, 7) плоскости напряжений, удовлетворяющие нера-
венству (4), заполняют бесконечную полосу, содержащую
в силу неравенств
St < 0 и
и начало координат. Эта полоса будет называться полосой
текучести Z-ro стержня. Полосы текучести, соответствующие
всем стержням фермы, заполняют некоторый выпуклый много-
угольник, который должен называться многоугольником теку-
чести. Точки напряжений, лежащие снаружи многоугольника,
можно исключить из рассмотрения, потому что этим точкам,
по крайней мере в одном стержне, соответствует напряжение,
превышающее предел текучести.
Количество пар параллельных сторон многоугольника теку-
чести не обязательно 'должно быть равно числу стержней
фермы. Это объясняется тем, что стержни распадаются на две
группы такого рода, что многоугольник, составленный из полос
текучести первой группы, лежит внутри многоугольника, со-
ставленного из полос текучести второй группы. Тогда много-
угольник текучести фермы определяется уже полосами теку-
чести первой группы и имеет столько пар параллельных сторон,
сколько стержней содержит эта группа.
Когда сила, вызывающая течение стержня Z, имеет одну и
ту же абсолютную величину для растяжения или сжатия, то
полоса текучести этого стержня симметрична относительно
§ 3] МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРИ НАГРУЗКЕ И РАЗГРУЗКЕ 35
начала координат. Если это положение имеет место для всех
стержней, то многоугольник текучести имеет в качестве своего
центра симметрии начало координат. Однако в общем случае
силы, вызывающие течение стержня, имеют разные абсолют-
ные величины при растяжении и сжатии, и многоугольник теку-
чести никакой симметрией обычно не обладает.
§ 3. Механическое поведение при нагрузке и разгрузке
Для того чтобы исследовать основные черты упруго-пласти-
ческого поведения фермы, примем, что многоугольник текучести
имеет форму, указанную на рис. 14. Начало координат О изо-
бражает первоначальное ненапряженное состояние. Если исхо-
возрастает, так что точка напряжения движется вдоль осн G
до тех пор, пока она не достигнет в точке 2 другой стороны
многоугольника текучести, которая может соответствовать
стержню I. Поскольку этот стержень только начинает течь,
сила, действующая на него, должна оставаться постоянной,
хотя интенсивность нагрузки продолжает увеличиваться. Точка
2*
36 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
напряжений должна поэтому двигаться вдоль стороны 2—3
многоугольника текучести.
Если интенсивность нагрузки будет увеличиваться и за зна-
чение, которое дается абсциссой точки 3, то точка напряжений
движется далее вдоль стороны 3—5, которая может соответ-
ствовать стержню k. Поскольку путь 3—5 ведет от края
2—3 полосы текучести стержня Z внутрь этой полосы, то тече-
ние стержня k способствует разгрузке стержня Z. Таким обра-
зом, монотонное возрастание интенсивности нагрузки не
исключает временной разгрузки отдельных стержней.
После того как точка напряжений достигнет положения 4,
интенсивность нагрузки может уменьшиться. Так как эта раз-
грузка имеет чисто упругий характер, то в процессе разгрузки
точка напряжений опишет прямую, параллельную оси £. Когда
точка напряжений окажется в положении 6, то интенсивность
нагрузки равна интенсивности нагрузки в положении 7, но
напряженные состояния будут совершенно различны. Следова-
тельно, напряженное состояние зависит не только от
мгновенных нагрузок, но и от всей истории нагружения.
Точка 7 изображает остаточное напряженное состоя-
ние в ферме после полной ее разгрузки. Когда после этой
разгрузки прикладывается все увеличивающаяся нагрузка обрат-
ного знака, то точка напряжений продолжает двигаться по той
же самой прямой, параллельной оси Е, до тех пор, пока не
достигнет в точке 8 стороны многоугольника текучести, кото-
рая может соответствовать стержню I. При дальнейшем нагру-
жении того же знака точка опишет путь 8—9—10—11, причем
повторится течение в стержне, ранее приведенном к разгрузке.
Разгрузка от точки 11 с последующей переменой знака на-
гружения представляется путем 11—13—15—16—2... Точка
13 соответствует полной разгрузке, а интенсивность нагрузки
в точке 14 равна интенсивности нагрузки в точках 1 и 6.
Из состояния, изображенного точкой 4, возможно осуще-
ствить полную упругую разгрузку 4—7. Работа упругих
деформаций, соответствующая остаточному напряженному со-
стоянию, равна квадрату ординаты начальной точки 4 пути
разгрузки. Однако разгрузка из состояния 5 упругой может
быть только частично (5—77); прежде чем нагрузка сни-
мется совершенно, стержень I начинает пластически деформи-
роваться, и остаточное напряженное состояние после полной
разгрузки представляется точкой 18. В этом случае ордината
§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП 37
начальной точки пути разгрузки не является больше мерой
работы деформаций остаточного напряженного состояния 18.
Поскольку, однако, эту ординату полезно часто истолковать
механически, вводится понятие фиктивного остаточного на-
пряженного состояния, т. е. такого напряженного состояния,
которое получилось бы в результате полностью упругой раз-
грузки. Для разгрузки из точки 5 это фиктивное остаточное
напряженное состояние представлено точкой 19.
§ 4. Экстремальный принцип
Этот параграф посвятим экстремальным принципам упруго-
пластического поведения систем. Эти принципы отображены
на рис. 14, и, ссылаясь на этот рисунок, мы будем формули-
ровать их сразу в самой общей форме.
Заметим сначала, что вдоль пути нагрузки 0—1—2—3—5
точка напряжений всегда является точкой прямой равновесия,
лежащей ближе всего к началу координат, и никогда не попа-
дает наружу многоугольника текучести. Эта геометрическая
характеристика напряженного состояния имеет место только до
тех пор, пока не происходит разгрузки. Например, точка
напряжений 6 не может быть квалифицирована таким же обра-
зом. В результате имеем следующий минимальный принцип:
до тех пор, пока не происходит разгрузки, среди всех
возможных состояний равновесия осуществляется то, при
котором работа упругих деформаций будет минимальной;
при этом напряжения в конструкции нигде не должны
превосходить предел текучести. Это принцип Хара и Кар-
мана1). Как заметили Прагер и Саймондс2), этот принцип
можно сформулировать также следующим образом: до тех
пор, пока не имеет места разгрузка, среди всех возмож-
ных состояний равновесия осуществляется то, для кото-
рого работа деформаций, соответствующая фиктивному
остаточному напряженному состоянию, будет минимальна;
l) Haar А., К й г ш й n Т., Zur Theorie der Spannungszustande in
piastischen und sandartigen Medien, Gottinger Nachr., Math.-phys.
KI., 1909, 204—218. (Имеется русский перевод в сборнике «Теория
пластичности», ИЛ, М., 1948 (Прим. ред.)].
2) Prager W., Symonds Р. о., Stress analysis in elastic-plas^
tic structures, Proc, ord Symp. appl. Math. (Ann. Arbor, Mich.,
Juni 1949) (New York, 1950), 187—197.
38
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
при этом напряжения в конструкции нигде не превосходят
предела текучести.
Какова бы ни была формулировка принципа, следует заме-
тить, что выражение «разгрузка» означает здесь только умень-
шение интенсивности нагрузки, но не временное уменьшение
сил в отдельных стержнях. Например, при нагрузке вдоль
пути 0— 2—3—5 на рис. 14 принцип остается справедливым
и за точкой 3, хотя сила в стержне i вдоль пути 3—5 умень-
шается. Только что сформулированный принцип непосред-
ственно связывает напряженное состояние с условиями нагру-
жения в предположении, что это состояние нагружения
достигнуто без временной разгрузки. Если допустить разгрузку,
то такая непосредственная связь между напряженным состоя-
нием и внешними силами отсутствует. В этом случае имеет
место принцип Гринберга1), рассматривающий мгновенное
напряженное состояние как заданное и высказывающий опре-
деленное предположение относительно связи между бесконечно
малыми изменениями состояния нагружения и состояния напряже-
ния. В свете используемого на рис. 14 геометрического спо-
соба выражения результатов это означает, что мгновенное
положение точки напряжений считается известным и ищется
связь между ее бесконечно малым перемещением и бесконечно
малым смещением прямой равновесия. Очевидно, что имеет
место следующее правило: когда прямая равновесия дви-
жется в соответствии с изменением интенсивности на-
грузки, то точка напряжений описывает самый короткий
путь, совместимый с требованием, чтобы точка всегда
находилась на прямой равновесия, соответствующей мгно-
венной интенсивности нагрузки, и никогда не должна выхо-
дить за границы многоугольника текучести. При механи-
ческом истолковании принцип Гринберга означает следующее:
при некотором заданном бесконечно малом изменении
состояния нагружения среди всех возможных статических
изменений напряженного состояния осуществляется то,
для которого работа упругих деформаций, соответст-
вующая приращению напряжений, будет минимальна;
напряжения при этом нигде не превзойдут предела
текучести.
') Greenberg Н. Т., Complementary minimum principles for
an elastic-plastic material, Quart, appl. Math. 7, 85—95 (1949).
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
39
§ 5]
§ 5. Несущая способность
В § 3 было показано, что напряженное состояние в общем
случае зависит не от мгновенных условий нагружения, а от
общей истории нагружения. Однако, как видно из рис. 14,
имеется определенное предельное состояние нагружения, для
которого история нагружения, будет несущественной. Так,
например, прямая равновесия, проходящая через точку 5, имеет
ее в качестве единственной общей точки с многоугольником
текучести, так что напряженное состояние для этой интенсив-
ности нагружения должно было бы изображаться точкой 5 всякий
раз, когда достигалась бы эта интенсивность нагружения.
Аналогичное замечание можно сделать и относительно точки 12.
Абсциссы точек 5 и 12 ограничивают предельную вели-
чину интенсивности нагружения для нагрузки обоих знаков;
следует поэтому сказать, что в состояниях 5 и 12 ферма на-
ходится на границе своей несущей способности или дости-
гает своей предельной нагрузки.
С практической точки зрения особенно важное значение
имеет то обстоятельство, что история нагружения не играет
никакой роли при определении предельной нагрузки. На самом
деле типичная несущая конструкция подвергается действию
группы нагрузок (например, собственный вес, снеговая нагрузка,
давление ветра и т. п.). Предельное значение интенсивности
нагрузки для каждой из этих групп может быть оценено до-
статочно точно, однако порядок сочетания этих нагрузок друг
с другом или последовательность их действия до сих пор не-
известны. Если предельная нагрузка зависела бы от истории
нагружения, то тогда требуемых-для ее определения предва-
рительных сведений вовсе не имелось бы. Расчет несущих
конструкций в этом случае должен бы быть ограничен упругой
областью, внутри которой история нагружения не играет ни-
какой роли.
Из рис. 14 вытекает еще один важный принцип. Прямые
равновесия, проходящие через точки 5 и /2, можно назвать
предельными прямыми равновесия. Вследствие выпуклости мно-
гоугольника текучести любая прямая равновесия, лежащая между
предельными прямыми равновесия, состоит из внутренних точек
многоугольника текучести. Таким образом, имеет место сле-
дующий принцип: несущая способность некоторой конст-
рукции не может истощиться под нагрузками, для
40 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
которых можно найти равновесное состояние, если при
этом нигде не достигается предел текучести.
В более или менее неопределенной форме этот принцип
был известен конструкторам уже давно; в явной форме впер-
вые он, вероятно, был сформулирован Файнбергом
§ 6. Приспособляемость
В этом параграфе будет рассмотрено поведение упруго-пла-
стической фермы при повторном нагружении; при этом пред-
полагается, что интенсивность нагрузки колеблется между за-
данными предельными значениями.
Когда, например, эти предельные значения заданы точка-
ми 4 и 11 на рис. 14, то каждый цикл нагружения содержит
в себе периодическую пластическую деформацию соответственно
путям нагружения 15—16—3—4 и 8—9—10—11. Стержень /,
например, течет в одном направлении, когда точка напря-
жений движется .от точки 16 к точке 3, и в противоположном,
когда точка напряжений движется от точки 9 к точке 10.
Эти знакопеременные течения при растяжении и сжатии вслед-
ствие связанной с ними усталости материала скоро приведут
к разрушению стержня.
Когда предельные значения интенсивности нагрузки заданы
абсциссами точек 4 и 9, то наблюдается соотношение иного
рода. Каждый цикл нагружения здесь также содержит перио-
дическую пластическую деформацию, однако перемены знака
течения не происходит. Всякий раз, когда точка напряжений
пробегает отрезок 3—4, стержень течет в одном и том же на-
правлении. Аналогичное положение имеет место и для стержня I
и пути нагружения 8—9. Эти продолжающиеся в одном на-
правлении течения также скоро приведут к разрушению стержня
или по меньшей мере повлекут за собой недопустимую дефор-
мацию фермы.
Рассмотрим, наконец, предельные значения, которые за-
даются абсциссами точек 1 и 11. Первое нагружение вплоть
до интенсивности, заданной точкой /, является полностью
упругим, такими же упругими будут следующие за ним раз-
грузка и нагрузка обратного знака вплоть до точки 20. В то
’) Ф а й н б е р г С. М., Принцип предельной напряженности, При-
кладная математика и механика 12, 63—68 (1948).
ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ
41
§ 6]
время как интенсивность нагрузки возрастает от абсциссы
20 до абсциссы //, течет стержень k. Затем точка напряже-
ний описывает путь 11—14 в обратном направлении, и пла-
стическая деформация больше не имеет места. Конструкция
приспособилась к заданным пределам нагружения и сопротив-
ляется всем дальнейшим циклам нагружения полностью упругим
образом.
Как показывают приведенные ранее примеры, способность
к приспособляемости упруго-пластической конструкции огра-
ничена, и исследование, направленное на решение вопроса о
том, лежит ли заданная предельная величина интенсивности
нагрузки в пределах способности к приспособляемости, имеет
очевидное практическое значение. В этой связи важен уста-
новленный впервые Блейхом * *) закон для однажды статически
неопределимой конструкции. Меллан2) впоследствии доказал
этот закон для общего случая.
Для того чтобы получить этот закон из рис. 14, примем
опять, что заданные предельные значения интенсивности на-
грузки соответствуют абсциссам точек 1 и 11. Как было
видно выше, этот цикл нагружения конструкции протекает
таким образом, что точка напряжения проходит отрезок 11—14
вторично в обратном направлении. Проведем теперь прямые
разновесия 1—23 и 11—21, соответствующие этим пределам
нагружения. Очевидно, что конструкция приспособится к рас-
сматриваемому циклу нагружения, если он состоит из отрезка,
параллельного оси £, который будет ограничен этими прямыми
равновесия и целиком лежит внутри многоугольника текучести.
(На рис. 14, например, таким отрезком является не только
отрезок 11—14, но также и отрезок 21—23.) Эти геометри-
ческие образы можно истолковать механически следующим по-
ложением: заданные предельные значения интенсивности на-
грузки лежат в пределах способности конструкции к при-
способляемости, если остаточное напряженное состояние
’) В1 е i с h Н., Ueber die Bemessung statisch unbestimmter Stahltrag-
werke unter Berficksichtigung des efastichplastischen Verhaltens des
Baustoffes, Bauingenieur 1920, 261 (1932).
*) M e 1 a n E., Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal-
pl a stischem Baustoff, Sitz.-Ber. Akad. Wiss., Wien, Abt. II a, 145, 195—218
(1936); Der Spannungszustand eines Mises-Henckyschen Kontinuums bei
Veranderlicher Belastung, там же 147, 73—87 (1938); Zur Plastizitat
des rdumlichen Kontinuums, Ing.-Arch. 9, 116—126 (1938).
42 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
(например, состояние 22 на рис. 14) можно задать таким
образом, чтобы напряжения, получающиеся в результате
наложения упругих напряжений, соответствующих пре-
дельным значениям нагрузки на остаточные напряжения,
нигде не превосходили предела текучести. Этот закон от-
нюдь не утверждает, что использованное для его доказатель-
ства остаточное напряженное состояние (22) действительно
имеет место после происшедшего приспособления. При извест-
ных условиях это остаточное напряженное состояние может
быть даже фиктивным в указанном выше смысле.
§ 7. Обобщение на многократно неопределимые
фермы и балки
Хотя мы и проанализировали (без доказательства) в наи-
более общей форме некоторые результаты, однако приведен-
ные выше выводы ограничивались однажды статически неопре-
делимой конструкцией. Теперь нужно исследовать вопрос о
том, насколько далеко распространяется наш геометрический
способ исследования на многократно статически неопредели-
мые конструкции и на другие упруго-пластические констру-
кции.
Отметим, во-первых, ту основную роль, которую играет
для нашего геометрического анализа равенство нулю суммы
JJet/S/S/. При геометрическом анализе равенство нулю этой
суммы мы будем понимать как соотношение ортогональности
между упругим напряженным состоянием У и состоянием са-
монапряжения S". Так как состояние самонапряжения не тре-
бует никаких внешних нагрузок или допускает нагрузки, ко-
торые не совершают работы на перемещениях, соответствую-
щих упругому состоянию, то состояние самонапряжения
необходимо будет ортогональным к каждому упругому состоя-
нию. Однако, если представить себе дважды статически неоп-
ределимую конструкцию, несущую однопараметрическое се-
мейство нагрузок, то увидим, что наряду с упругим состоя-
нием необходимы еще два других, St и S, , ортогональных
к этому и друг к другу, для того, чтобы можно было выра-
зить любое напряженное состояние в виде линейной комбинации
этих основных состояний напряжения. Если коэффициенты этой
линейной комбинации обозначить через X, ц, у, то, обобщая
§ 7] ОБОБЩЕНИЕ НА МНОГОКРАТНО НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ 43
выражение (3), получим:
4=^ /ЕгХ'.
C = v ]/ £4 аХ" • (5)
Эти выражения можно рассматривать как прямоугольные коор-
динаты точки напряжений в трехмерном пространстве напря-
жений. Теперь некоторая заданная интенсивность нагрузки X
соответствует плоскости равновесия £ = const. Условия те-
кучести для некоторого стержня фермы при растяжении и
сжатии ограничивают положение точки напряжений некоторой
областью пространства, заключенной между двумя параллель-
ными плоскостями. Совокупность этих областей, соответствую-
щих различным стержням фермы, определяет полиэдр теку-
чести, который будет сам выпуклым, поскольку он является
сечением выпуклой области. Дальнейшее обобщение изложен-
ных выше соображений предоставляется читателю.
Несколько другие геометрические соотношения имеют место
для однажды статически неопределимой фермы, находящейся
под действием двупараметрического семейства нагрузок. Для
этого случая произвольное напряженное состояние будет пред-
ставлено в виде линейной комбинации двух ортогональных
упругих напряженных состояний и S/ и одного самосопря-
женного напряженного состояния S; . Выражения (5) по-преж-
нему можно рассматривать как прямоугольные координаты в
пространстве напряжений. Некоторое семейство нагрузок, за-
данное определенными значениями 1 и ц, соответствует теперь
прямым равновесия £ = const и /) = const. Дальнейшие вы-
воды опять можно предоставить читателю.
Для того чтобы доказать, что наши геометрические рас-
суждения отнюдь не ограничиваются фермой, рассмотрим не-
разрезную балку на рис. 15, а; при этом полагаем, что из-
гибная жесткость EJ вдоль балки переменна. В рамках
технических расчетов на изгиб напряженное состояние балки
определяется эпюрой момента. Любое напряженное состояние
можно представить в виде линейной комбинации упругого на-
пряженного состояния (рис. 15, б) и состояния самонапряжения
44
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
(рис. 15, в}. Эти напряженные состояния ортогональны в том
смысле, что
$М'М"(1х* = 0,
где ЛГ и Мп — изгибающие моменты в текущем сечении балки
х, соответствующие этим напряженным состояниям; dx*— со-
кращенное обозначение Интеграл при этом должен рас-
пространяться на всю балку. Обозначая коэффициенты рас-
Рис. 15
сматриваемой линейной комбинации через X и |х, по аналогии
с (3) вводим прямоугольные координаты точки напряжений на
плоскости напряжений
Если рассматривается идеально-пластическое состояние балки,
то абсолютная величина изгибающего момента М в любом по-
перечном сечении х не может превышать момента текучести
Мо для этого сечения; таким образом,
— + (7)
В плоскости напряжений уравнение (7) опять определяет не-
которую бесконечную полосу. Для фермы, изображенной на
§ 8] ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 45
рис. 13, нужно рассмотреть только конечное число таких
полос. В настоящем случае для каждого значения х получаем
одну полосу. Поперечное сечение этого простого бесконечного
множества полос представляет во всяком случае выпуклую
фигуру, и легко видеть, что все полученные для фермы соот-
ношения имеют место и для балки.
§ 8. Историческая справка
Закончим эту главу несколькими замечаниями исторического
характера. Использованное здесь геометрическое представление
напряженных состояний в однажды статически-неопределимой
конструкции принадлежит Ржаницыну ’). Однако последний в
случае многопараметрического семейства состояния нагружения
не выяснил значения ортогональных напряженных состояний и
поэтому не дал вполне безукоризненного исследования этого
случая. Правильное толкование, пожалуй, впервые дано в на-
стоящей работе. Другие геометрические представления пове-
дения упруго-пластических конструкций были даны Прагером* 8),
Саймондсом и Прагером8), Финци 4), Франчози®) и Ходжем®).
Хар и Карман логически обосновали названный в их честь
принцип. Исследованию ограничений, связанных с законностью
применения принципа, посвящено много новейших исследова-
х) Р ж а н и ц ы н А. Р., Расчет сооружений с учетом пластических
свойств металлов, Стройвоениздат, М., 1949.
*) Prager W., Problem types in the theory of perfectly plastic
materials, J. Aero. Sci. 15, 337—341 (1948).
8) Symonds P. S., Prager W., Elastic-plastic analysis of stru-
ctures subjected to loads varying arbitrarily between prescribed limits,
J. appl. Meeh. 17, 315—323 (1950); Prager W., Symonds P. S.,
Stress analysis in elastic-plastic structures, Proc. 3 rd Symp. appl. Math.
(Ann. Arbor., Mich., Juni 1949) (New York, 1950), 187—197.
*) F i n z i L., Strutture reticolari elastoplastiche. Principle del mini-
mo lavoro plastico. 1st Lombardo Sci, Lett. Rend. cl. Sci. Mat.nat(3), 16(85),
7—26 (1952); Sforzi e deformazioni nelle strutture reticolari elastoplas-
tiche, там же, 225—240 (1952); Propriety delle strutture elastoplastiche
nello spazio delle iperstatiche. Pontificia Acad. Sci. Acta 15, 121—136
(1953).
•) F r a n c 1 о s i V., Sul calcolo a rottura delle strutture monodi-
mensionali in regrime elastoplatico, Giorn. Genio Civ. 90,387—400(1952).
•) Hodge P. G., Jr., Residual stresses in metals construction
(edited by Osgood W. R., New-York, 1954), 163. [Имеется русский перевод
в сборнике статей «Остаточные напряжения», ИЛ, М., 1957.(Прпл<. /дед.)]
46 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. II
ний ’). Если принять, что нет никакой местной разгрузки, то
этот принцип можно легко вывести из общего принципа Грин-
берга. Однако рассмотренный здесь пример означает, что
требование отсутствия местной разгрузки может явиться не-
нужным ограничительным предположением. Основательного
исследования этого вопроса, кажется, еще не существует.
Появление знакопеременной пластической деформации в
противоположность приспособляемости несущей конструкции к
заданному циклу нагрузки известно уже давно8). Однако воз-
можность существования прогрессирующей пластической де-
формации без изменения знака течения была недавно открыта
Хорном8).
’) См., например, Prager W., Symonds Р. S., Stress analy-
sis in elastic-plastic structures, Proc. 3 rd. Symp. appl. Math. (Ann.
Arbor., Mich., Juni 1949) (New York, 1950), 187—197.
*) См., например, В1 e i c h H., Ueber die Bemessung statisch
unbestimmter StahltragwerkS unter Beriicksichtigung des elastisch-
Slastischen Verhaltens des Baustoffes, Bauingenieur 19/20, 261 (1932);
[elan E., Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal-plasti-
schen Baustoff, Sitz.-Ber. Akad. Wiss., Wien, Abt Ila, 145, 195—218
(1936); Der Spannungszustand eines Mises-Henckyschen Kontinuums bei
veranderlicher Belastung, там же 147, 73—97 (1938); Zur Plasitzitat
des raumlichen Kontinuums, Ing. arch. 9, 116—126 (1938).
8) H о r n e M. R., Fundamental proportions in plastic theory of
structures. J. Instn. Civ. Engrs. 34, 174—177 (1950).
ГЛАВА Ш
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
§ 1. Обобщенные напряжения и обобщенные
скорости деформаций; область текучести;
принцип максимальной удельной мощности рассеивания
В этой главе будет обсуждаться метод определения пре-
дельной нагрузки жестко-пластической среды одного, двух и
трех измерений. Нити, балки и рамы принадлежат к первой
группе, мембраны, пластины и оболочки — ко второй.
Механическое поведение жестко-пластической среды будет
описываться с помощью соотношения между обобщенными
напряжениями Qp ..., Qn (см. § 9 главы 1) и соответ-
ствующими им обобщенными скоростями деформаций
• ••> Яп- Последние находятся в таком соответствии с
напряжениями, что удельная мощность рассеивания выража-
ется соотношением вида ’)
СА + • • • + Qn4n-
Для балки, например, имеется только одно обобщенное
напряжение, изгибающий момент и одна обобщенная скорость
деформации — скорость изменения кривизны. Это является
следствием связей, накладываемых технической теорией из-
гиба балок: средняя линия балки считается нерастяжимой и
требуется, чтобы прямой угол между любым поперечным сече-
нием и средней линией оставался прямым в процессе изгиба.
Продольная и поперечная силы, которые в общем случае дол-
жны входить в уравнение равновесия, должны рассматриваться
1) См. Prager W., General theory of limit design, Sektionsvort-
rag, 8. Internet. Kongr. Theor. Angew. Meeh., Istanbul, 1952.
48 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. III
не как обобщенные напряжения, а как соответствующие
реакции на эти связи.
Для оболочки вращения при осесимметричной нагрузке
имеем четыре обобщеных напряжения — нормальные силы и
изгибающие моменты в направлении меридиана и параллели.
Соответствующими обобщенными скоростями являются скорость
изменения кривизны и скорость удлинения в этих направле-
ниях.
В трехмерной жестко-пластической среде обобщенные
напряжения и скорости деформации совпадают с напряжениями
и скоростями деформации, определяемыми обычным образом.
Согласно теории пластического потенциала, изложенной в
§§ 9 и 10 главы I, механическое поведение идеально-пласти-
ческой среды определяется ее условиями текучести. Поскольку
здесь рассматривается только жестко-пластическая среда, все
деформации будут пластическими, и верхний индекс р можно
опустить.
В «-мерном пространстве напряжений условия текучести
определяют некоторую выпуклую область — область теку-
чести. Внутренние точки области текучести представляют
напряженные состояния до предела текучести, граничные точ-
ки представляют напряженные состояния, соответствующие
пределу текучести. Так как эта область — выпуклая, то в
каждой ее точке имеется по крайней мере одна касательная
плоскость, называемая гиперплоскостью, которая проходит
через эту граничную точку и ограничивает полупространство,
содержащее рассматриваемую область.
Пусть точка Р является граничной точкой области теку-
чести, Qp ..., Qn — соответствующие напряжения и qx ..., йп—
связанные с этими напряжениями скорости деформаций. Если
рассматривать эти скорости как компоненты некоторого вектора
в пространстве напряжений, то согласно теории пластического
потенциала и обобщенного пластического потенциала область
текучести в точке Р должна иметь касательную плоскость,
нормальную к этому вектору, причем вектор направлен в об-
ласть полупространства, не содержащую области текучести.
Рис. 16, а — в иллюстрирует это положение для различных ти-
пов граничных точек. Точка Р на рис. 16, а является регулярной
граничной точкой: область текучести имеет только одну каса-
тельную плоскость, проходящую через Р. В свою очередь
эта плоскость в качестве общей точки с областью текучести
§ 1] ОБОБЩЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 49
имеет только точку Р. Точки Р на рис. 16, б и в являются
особыми. На рис. 16, б через точку Р проходит бесчисленное
множество касательных плоскостей, и каждая из них в каче-
стве общей точки с областью текучести имеет только точку Р.
На рис 16,в через точку Р проходит только одна касатель-
ная плоскость; однако эта плоскость содержит бесконечное
множество граничных точек области текучести.
В случаях, представленных на рис. 16, а и б, вектор q
скорости деформации однозначным образом определяет вектор
Рис. 16
напряжения Q. В случае, изображенном на рис. 16, 5, имеет-
ся бесчисленное множество векторов напряжений Q, совмест-
ных с рассматриваемым вектором q. Однако во всех трех
случаях удельная мощность рассеивания D, т. е. скалярное
Произведение векторов Q и q, однозначным образом определяет-
ся вектором скорости деформации q
£>==Z)(4X,...,?B). (1)
Вектор q представляет заданную систему скоростей дефор-
маций, вектор Q представляет связанное с этим вектором
напряженное состояние и вектор Q* соответствует произволь-'
ному напряженному состоянию ниже предела текучести
(рис. 16, а). Вследствие выпуклости области текучести имеем:
Q*4<Qq = D(^,.(2)
Удельная работа рассеивания, соответствующая факти-
чески некоторой данной системе скоростей деформации.
50 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. Ill
будет, следовательно, всегда больше фиктивной удельной
работы рассеивания, которая определяется по заданным
скоростям деформаций и произвольному напряженному
состоянию ниже предела текучести.
Этот принцип максимальной удельной мощности рассеи-
вания упоминался уже Мизесом1 2) в связи с постановкой его
теории пластического потенциала; правда, при этом он под-
разумевал только области текучести, имеющие вполне регу-
лярное очертание. В дальнейшем выводы этого принципа при
тех же самых ограничениях дали Тейлор *) и Хилл•). Основное
усилие при обобщении Койтером теории пластического потен-
циала было направлено к сохранению этого принципа.
§ 2. Поля напряжений и скоростей,
принцип возможных скоростей
До сих пор исследовались только местные обобщенные
напряжения (Z = 1, ..., п) и соответствующие им местные
скорости деформаций qt. Когда эти местные величины опреде-
лены для каждого элемента объема, одно-, двух- или трех-
мерной среды, то говорят уже о поле напряжений и поле
скоростей деформаций.
Пусть сплошная среда подвержена действию определенных
обобщенных нагрузок Р* (я = 1, ..., р.) и поле напряжений
не выбрано произвольно, а должно находиться в равновесии с
этими нагрузками. Условия равновесия содержат определенные
производные напряжений по координатам пространства. В даль-
нейшем будет рассматриваться только непрерывное поле на-
пряжений, для которого все производные по координатам
пространства вплоть до производных самых высших порядков,
входящих в условия равновесия, являются непрерывными фун-
кциями положения точки в сплошной среде.
Сплошная среда подчиняется определенным кинематическим
условиям, и поле скоростей деформаций не может выбираться про-
l) Mises R., Mechanik der plastischen Formanderung von Kris-
tallen, Z. angew. Math., Meeh. 8, 161—185 (1928).
2) T а у 1 о r G. I., A connection between the criterion of yield
and the strain-ratio relationship in plastic solids, Proc. Roy. Sos. [Al
191, 441—446 (1947).
a) H i 11 R., A variational principle of maximum plastic work in
classical plasticity, Quart. J. Meeh. appl. Math. 1, 18—28 (1948).
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
51
§ 3]
извольно, а должно определяться по полю скоростей переме-
щений, удовлетворяющих этим условиям. Выражения для
скоростей деформаций содержат определенные производные
скоростей перемещений по координатам пространства. В даль-
нейшем будут рассматриваться только непрерывные поля
скоростей перемещений, для которых в сплошной среде имеют
место все производные по координатам от скоростей переме-
щений вплоть до самых высших, которые встречаются в выра-
жениях для скоростей перемещений. Обобщенные скорости
перемещений точек приложения нагрузок обозначим через р*
так, что
и
Х=1
представляет значение мгновенной работы нагрузок Рх.
Рассмотрим теперь систему нагрузок Рх и некоторое про-
извольное поле напряжений которое находится в равновесии
с этими нагрузками. Независимо от этих нагрузок и напряже-
ний рассмотрим, далее, поле скоростей перемещений, которое
могло бы сообщить точкам приложения нагрузок скорости р*.
Скорости деформаций, соответствующие этому полю, обозна-
чим через По принципу виртуальных скоростей имеем:
н- р »
(3)
Х = 1 /=1
где dV означает «элемент объема» сплошной среды, интегри-
рование же должно распространяться на всю среду. Для
дальнейшего важно, чтобы кинематические величины р\ и
не зависели от динамических величин Рк и Qt.
§ 3. Основные теоремы, относящиеся к способам
расчета по предельным нагрузкам
В этом параграфе разберем основные теоремы, касаю-
щиеся способов расчета по предельным нагрузкам; они поз-
волят решить вопрос о том, исчерпывают или не исчерпы-
вают заданные нагрузки несущую способность жестко-пласти-
ческой среды.
52 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. Ill
При этом оказались полезными следующие понятия ’):
а) Поле напряжений называется статически допустимым,
если оно обладает сформулированными выше свойствами
непрерывности и находится в равновесии с заданными нагруз-
ками Рх. Такое поле называется стабильным, если напряжения
во всей сплошной среде остаются ниже предела текучести.
б) Поле скоростей перемещений называется кинематиче-
ски допустимым, когда оно обладает изложенными выше
свойствами непрерывности и удовлетворяет связям, наложенным
на сплошную среду. Такое поле скоростей называется неста-
бильным, когда работа заданных нагрузок Рх больше распро-
страненного на всю среду интеграла от удельной мощности рас-
сеивания D(q^ вычисленной по скоростям поля деформации.
С учетом этих понятий первая основная теорема, касаю-
щаяся метода определения несущей способности, может быть
сформулирована в следующем виде: в жестко-пластической
сплошной среде не могут иметь места пластические де-
формации при нагрузках, для которых можно задать
стабильное, статически допустимое поле напряжений.
Для доказательства этой теоремы обозначим заданные
нагрузки через Рх, напряжения стабильного, статически допус-
тимого поля — через Q* и допустим сначала, что теорема неверна.
Тогда либо нагрузки Рх, либо даже меньшие нагрузки
ХРх(О<Х<1) приведут к возникновению пластического тече-
ния. Обозначим через Q{ напряжения, возникающие в процессе
этого квазиустановйвшегося течения, через qt— скорости де-
формаций и через рх — скорости перемещения точек приложе-
ния нагрузки. Применим затем принцип виртуальных скоростей
к нагрузкам ХРх, скоростям рх и q{ и к напряжениям Ql и
XQJ,' которые уравновешивают нагрузки ХРх. В результате
получим:
х £ pj>.= J 2 QfrdV^l $ 2 QfadV. (4)
X=1 1 = 1 /=1
’) Cm. Drucker D. C., Greenberg H. J., Prager W., The
safety factor of an elastic-plastic body in plane strain, J. appl. Meeh.
18, 371—378 (1951); см. также Prager W., Hodge P. G. Jr., The-
ory of perfectly plastic solids (New York, 1951), гл. VII, § 33,
гл. VIII, § 39 [Русский перев.: Прагер В., Ходж ГЬ, Теория
идеально-пластических тел, ИЛ, 1957. (Прим, ped.)]', Drucker D. С.,
Prager W., Greenberg Н. J., Extended limit design theorems
for continions media, Quart, appl. Math. 9, 381—389 (1952).
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
53
§ 3]
Здесь Qz — напряжения, совместимые со скоростями де-
формации qh так что
где D(q.)—удельная мощность рассеивания, вычисленная по
скоростям деформации. С другой стороны, напряжения Q* по
величине ниже предела текучести, потому что они соответ-
ствуют стабильному полю напряжений. Поэтому из неравенства
(2) следует:
1=1
Поскольку положительный множитель X в выражении (4) может
быть больше единицы, то оно приводит к противоречию.
Поэтому предположение, что теорема неверна, не оправдывается.
Вторая основная теорема, касающаяся метода расчета
по предельным нагрузкам, формулируется следующим образом:
в жестко-пластической сплошной среде пластические де-
формации возникают под действием каждой системы
нагрузок, для которой можно задать некоторое неста-
бильное, кинематически допустимое поле скоростей пере-
мещений.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
предыдущей теоремы. Обозначим заданные нагрузки опять
через Рх, а через qt и рх— скорости деформации и скорости
точек приложения нагрузки, соответствующие нестабильному,
кинематически допустимому полю скоростей перемещений.
Допустим сначала, что теорема неверна. Тогда под нагрузками
Рх сплошная среда должна вести себя как жесткое тело,
т. е. должно было бы существовать некоторое поле напряже-
ний Q?, находящееся в равновесии с этими нагрузками, на-
пряжения которого нигде не превосходят предела текучести.
Применяя принцип виртуальных скоростей к динамическим
величинам Рх и Q* и кинематическим величинам рх и q., получим:
и . л п
= (5)
Здесь напряжения Q* будут ниже или выше предела текучести,
так что если предположить существование соотношения (2),
54
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. IB
то знак < будет заменен на знак Таким образом, выра-
жение (5) можно записать в следующей форме:
2 Pj>x< \D(q,}dV. (6)
С другой стороны, и сц соответствуют нестабильному
полю скоростей перемещений. Для поля такого рода, по опре-
делению, имеет место следующее соотношение:
2 Pjx>\D(^dV. (7)
Х=1
Противоречивость выражений (6) и (7) доказывает теорему.
§ 4. Различные определения предельной нагрузки;
применение нестационарных полей
Вышеуказанные теоремы касаются условий возникновения
пластических деформаций в жес/што-пласти ческой сплошной
среде при действии заданной системы нагрузок. Эти условия
нужно теперь связать с понятием предельной нагрузки. С этой
целью возвратимся к рис. 14 и к определению несущей спо-
собности, которое было приведено в § 5 главы II. Там речь
шла об ^лдуго-пластической ферме. Однако легко видеть, что
в рис. 14, не считая несущественного равномерного изменения
масштаба по осям координат, ничего не меняется, если модули
упругости Е. всех стержней фермы умножить на один и тот
же коэффициент. Если этот коэффициент неограниченно уве-
личивать, то можно сколь угодно приблизиться к жестко-
пластической ферме. Такая ферма остается, конечно, жесткой,
тогда как точка напряжений описывает путь 0—2 на рис. 14.
На отрезке 2—3 стержень i находится на пределе текучести
и поэтому может пластически деформироваться, если нет упру-
гих стержней, напряжения в которых еще не достигли пре-
дела текучести и которые остаются жесткими и препятствуют,
таким образом, подобной деформации. Аналогичным образом
можно показать, что при дальнейшем повышении интенсив-
ности нагрузки ферма остается жесткой до тех пор, пока
точка напряжений не достигнет положения 5. Начало пласти-
ческих деформаций в жестко-пластической ферме соот-
ветствует, таким образом, достижению предельной на-
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ 55
грузки упруго-пластической фермы. Это свойство было
указано Хиллом ’), который назвал предельную нагрузку пре-
делом текучести жестко-пластической конструкции.
Необходимым условием для правильного применения метода
расчета по предельным нагрузкам является знание того обсто-
ятельства, что как определение предельной нагрузки упруго-
пластической системы, приведенное в § 5 главы II, так и
определение предельной нагрузки как предела текучести жест-
ко-пластической системы, данное Хиллом, преставляют далеко
идущие идеализации поведения действительных конструкций.
В § 5 главы II было молчаливо принято, что деформации
упруго-пластической конструкции, нагруженной предельной
нагрузкой, настолько малы, что условия равновесия, как и в
случае упругих напряжений, можно составлять для недеформи-
рованной конструкции.
Правдоподобность этого предположения должна, конечно,
доказываться в каждом отдельном случае. К этому мы возвра-
тимся в § 12. При анализе по методу Хилла эта проблема не
возникает, так как при нагрузке ниже предельной никакой
деформации жестко-пластической конструкции не наблюдается.
Зато, однако, понятие Хилла о жестко-пластическом материале
представляет гораздо далее идущую идеализацию фактического
поведения материала, нежели понятие об упруго-пластическом
материале.
Справедливость предположения Хилла должна, конечно,
также доказываться в каждом отдельном случае. В основе
этого доказательства лежат те же самые соображения, кото-
рые лежат в основе доказательства пренебрежимой малости
деформаций упруго-пластической конструкции при нагрузке
ниже предельной. Следовательно, в противоположность встре-
чающимся в литературе утверждениям * *), с практической
точки зрения нет большой разницы между двумя определениями
предельной нагрузки.
До сих пор предполагалось, что рассматриваемые поля на-
пряжений и скоростей обладают определенными свойствами
*) Н111 R., On the state in a plastic-rigid body at the yield point,
Phil. Mag. [7] 42, 868-875 (1951).
*) См., например, упомянутую в предыдущей сноске работу
Хилла, а также Lee Е. Н., On the significance of the limit load
theorems for an elastic-plastic body, Phil. Mag. [7], 43, 549—560 (1952);
Hill R., Comments on Dr. Lee’s paper, там же, 560—561 (1952);
56 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. Ш
непрерывности. Это предположение является, однако, более
сильным, нежели необходимо для доказательства основных
теорем. В рамках этой работы невозможно провести всесто-
роннее обсуждение допустимых нарушений непрерывности для
различных практически важных типов жестко-пластических
сред. Общий метод, который мог бы быть применен при та-
ком анализе, описан Прагером1). Во многих случаях соотно-
шения, имеющие место при разрыве непрерывности, можно
получить, рассматривая разрыв непрерывности как предель-
ный случай некоторой тонкой области, в которой напряжения
и деформации меняются хотя и быстро, но все-таки непре-
рывно. Примеры такого рассмотрения будут приведены в
дальнейшем.
§ 5. Портальные рамы
Исторически метод расчета по предельным нагрузкам сна-
чала был развит для неразрезной балки *). Для жестко-пласти-
ческой балки напряженное и деформированное состояния в лю-
бом поперечном сечении определяются изгибающим моментом
М и кривизной я; при этом предполагается, что связь между
М и х такая, как изображено на рис. 17. Если абсолютная
величина изгибающего момента меньше Af0, балка остается
прямолинейной. Так как абсолютная величина изгибающего
момента, как правило, достигает значения Л40 только в от-
дельных поперечных сечениях, то деформация ограничивается
этими сечениями, которые можно рассматривать как пласти-
ческие шарниры. Для неразрезных балок положение пласти-
ческих шарниров большей частью легко определить интуитивно,
так что расчет предельной нагрузки не представляет никаких
трудностей. Пока применение метода расчета по предельным
нагрузкам было ограничено неразрезными балками, не было
необходимости в систематическом методе определения предель-
ной нагрузки. Однако положение совершенно изменилось,
^Prager W., Discontinuous fields of plasticstress and flow»
Allgemeiner Vortrag, 2 nat. Kongr. Meeh. (Ann. Arbor, Michigan, 1954)»’
Proceedings (New York, 1955), 21—22.
*) Kazinczy G., Betonszemele (Budapest) 2, 68, 83, 101 (1914);
KistN. C., Inaugural dissertation, Techn. Hochschule Delft, 1917;
см. также J. A. van den Broek, Theory of limit design (New York,
1948).
§ 5]
ПОРТАЛЬНЫЕ РАМЫ
57
когда перешли к рассчету многопролетных или многоэтаж-
ных рам1).
Специальная форма, которую принимают основные теоремы
метода расчета по предельным нагрузкам для балок и рам,
была установлена Гринбергом и Прагером8) до того, как ста-
ли известны общие теоремы. Особенно целесообразный способ
применения этой теоремы дали Саймондс и Нил8). Поясним
его на примере, приведенном на рис. 18. Рама, заделанная
на обоих концах с жесткими связями в углах, имеет постоян-
ное поперечное сечение, для которого изгибающий момент,
соответствующий состоянию текучести Л40, должен быть опре-
делен таким образом, чтобы несущая способность рамы дости-
галась как раз при заданных нагрузках.
Для прямого ненагруженного участка балки экстремальные
значения изгибающих моментов достигаются на концах. Пла-
*) Baker J. F., A Review of recent investigations into behaviour
of steel frames in the plastic range, J. Instn. Civ. Engrs. 31, 188—243
(1949X The design of steel frames, The Structural Engr. 27, 397—431
(1949).
*) Greenberg H. J., Pr a ger W., On limit design of beams
and frames, Brown Univ. Techn. Report, No. A 18—1, Providence, R. I,
USA, 1949; Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs. 77, Separate, No. 59 (1951);
Trans. Amer. Soc. Civ. Engrs. 117, 447—484 (1952); заключительная
дискуссия.
’) S у mon ds P. S., Neal B. * G., Recent progress in plastic
methods of structural analysis, J. Franklin Inst 252, 383—407, 469—
492 (1951).
58
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
стические шарниры ограничены поэтому поперечными сечения-
ми, обозначенными на рис. 18 цифрами 1—6\ однако не во
всех шести поперечных сечениях образуются пластические
шарниры.
Рассмотрим некоторую последовательность пластических
шарниров, которые превращают раму в механизм с некото-
рым числом степеней свободы. Первоначальные скорости соот-
ветствующего движения поперечных сечений рамы определяются
с точностью до некоторого общего множителя; они поэтому
определяют некоторый пластический механизм. На рис. 19,
а — в изображены три основных пластических механизма,
из которых с помощью линейных комбинаций можно получить
все другие механизмы. Таким образом получен, например,
пластический механизм, изображенный на рис. 19, г. Для
этого пришлось скомбинировать пластические механизмы 19, а
и в таким образом, чтобы уничтожить изменение угла в точ-
ке 3.
ПОРТАЛЬНЫЕ РАМЫ
59
§ 5]
Таблица 1 содержит угловые скорости для основных пла-
стических механизмов а, б и а, с которыми открываются (или
закрываются) пластические шарниры (если судить по внутрен-
нему углу). В последнем столбце таблицы помещены соответ-
ствующие работы, произведенные нагрузками. Величины,
стоящие в каждой строчке, определены, конечно, только с точ-
ностью до некоторого общего множителя.
Таблица 1
Механизм Угловая скорость, сек~1 Мощность, тм сек~1
поперечное сечение
> 1 2 3 4 5 6
а -1 4 — 3 0 0 0 6
б 0 0 — 1 2 — 1 0 2
в — 1 0 1 0 — 1 1 6
Мощность рассеивания в пластическом шарнире равна про-
изведению момента текучести Мо на абсолютную величину
угловой скорости в этом шарнире. Таким образом, для меха-
низма а, например, общая мощность диссипации в шарнирах
/, 2 и 3 по таблице 1 равна 8Л4О тмсек~\ тогда как ра-
бота в единицу времени, произведенная нагрузками, равна
Ътмсек~\ Следовательно, работа нагрузок в единицу вре-
мени должна была бы превышать суммарную мощность рас-
сеивания, если Л40 было бы меньше г^тм. По второй основ-
ной теореме метода расчета по предельным нагрузкам следует,
что величина 8/4 тм является нижней границей для Л40, когда
заданная система нагрузок не должна превышать несущую
способность рамы. Подобным образом каждый пластический меха-
низм дает нижнюю границу для Мо. Наибольшее из этих нижних
граничных значений следует взять в качестве Л40. Если огра-
ничиться только механизмами пластичности, помещенными
в таблице 1, то оставалось бы рассмотреть только механизм а.
Однако мы должны исследовать также линейные комбинации
основных пластических механизмов.
60
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
Поскольку мы ищем наибольшую нижнюю границу для
Мо, необходимо стремиться к увеличению отношения работы
нагрузок в единицу времени к коэффициентам Л40, входящим
в мощность рассеивания. Для этой цели наиболее всего под*
ходят комбинации с положительными коэффициентами, для
которых угловая скорость, по крайней мере одного шарнира,
будет равна нулю. Например, для комбинации а-]*-За угловая
скорость в шарнире 3 исчезнет. Угловые скорости в шарнирах
/, 2, 5 и 6 соответственно будут равны — 4, 4—3 и 3 сея"1,
а работа нагрузок в единицу времени будет равна 24/пл сея"1.
Для любого меньшего значения Мо рассматриваемый меха*
низм привел бы к нестабильному кинематически допустимому
полю скоростей. Таким образом, согласно второй основной
теореме заданные нагрузки превысили бы несущую способ-
ность рамы.
Для того чтобы исследовать вопрос о том, достигнуто ли
значение Мо = 12/7 тм, определим изгибающие моменты в
сечениях 1--6. Рассмотренный пластический механизм пред-
ставлен на рис. 19, г; пластические шарниры этого механизма
находятся в точках /, 2, 5 и 6\ угловые скорости положи-
тельны в точках 2 и 6 и отрицательны в точках 1 и 5. Та-
ким образом, имеем:
= = Л41 = Л45 = -Л4О, (8)
причем изгибающий момент считается положительным, если
он приводит к возникновению растягивающих напряжений на
внутренней стороне рамы. Простейший метод расчета
состоит в применении принципа виртуальных скоростей к пла-
стическому механизму а. Используя величины, стоящие в пер-
вой строчке таблицы 1, получим:
— ^4-4/И, —ЗЛ18 = 6.
Подставляя сюда из (8) величины и и учитывая
полученное выше значение Af0=12/7 /пл, имеем:
2И, = ^. (9)
Аналогичным путем, применяя принцип виртуальных скоростей
к пластическому механизму bt можно получить
(10)
ПОРТАЛЬНЫЕ РАМЫ
61
§ 5]
Рассмотрим теперь поле напряжений, определяемое изги-
бающими моментами (8), (9) и (10) и условием, что вдоль
каждого участка балки 1—2, 2—3, ..., 5—6 изгибающий
момент изменяется линейно в зависимости от расстояния, из-
меряемого вдоль этого участка. Если принять, что это поле
'напряжений для заданных нагрузок является статически
допустимым, то можно следующим образом применить основ-
ную теорему. Как нагрузки, так и изгибающие моменты этого
поля умножим на некоторый коэффициент, меньший единицы.
Тогда приведенные моменты для этих приведенных нагрузок
представляли бы также некоторое статически допустимое
12
поле напряжений, и для рам с Л40 = у тм это поле было
бы стабильным. По первой основной теореме можно было бы
тогда заключить, что приведенные нагрузки исчерпывают не-
сущую способность рамы. Сочетание этого результата с полу-
ченным выше привело бы к заключению, что заданные на-
грузки в точности соответствуют несущей способности рамы
.. 12
с =
Для того чтобы полностью оправдать это заключение,
нужно еще доказать, что поле напряжений, определяемое вы-
ражениями (8), (9) и (10), на самом деле является стати-
чески допустимым. Теперь эти изгибающие моменты удовлет-
воряют условиям равновесия, которые получаются в результате
применения принципа виртуальных скоростей к механизмам,
изображенным на рис. 19, а, б и г. Необходимо поэтому от-
ветить на вопрос о том, имеются ли еще такие условия рав-
новесия, которые содержат только изгибающие моменты и ли-
нейно не зависят от трех указанных выше условий равнове-
сия. Так как в совокупности имеется шесть неизвестных
изгибающих моментов Mlt ..., М9 и рассматриваемая рама
является трижды статистически неопределимой, то для шести-
изгибающих моментов можно составить только 6—3=3 линей-
но-независимых условий равновесия. Поскольку изгибающие
моменты (8), (9) и (10) удовлетворяют трем линейно-незави-
симым уравнениям, то, следовательно, фактически они пред-
ставляют статически допустимое поле напряжений. Между
прочим, следует отметить, что число линейно-независимых
условий равновесия всегда соответствует числу независимых
пластических механизмов.
62
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. II]
§ 6. Учет продольной силы
В предыдущем параграфе было принято во внимание только
то влияние, которое оказывают на пластическую деформацию
изгибающие моменты, действующие на раму. Теперь мы хо-
тим исследовать, как должен изменяться метод расчета, если*
учесть также влияние продольной силы.
Для некоторой идеализированной двутавровой балки совме-
стные действия усилий подобного рода были уже исследованы
в § 4 главы I. Обозначим изгибающий момент и продольную
силу соответственно через М и N, скорости кривизны и удли-
нения через х и е, момент текучести при простом изгибе
через Мо и силу, вызывающую течение при простом растяже-
нии, через No. Предел текучести при совместном действии
усилий представляется тогда квадратом, изображенным на рис. 20.
При этом для того, чтобы освободиться от выбранных прежде
с целью упрощения специальных единиц, в качестве прямо-
угольных координат выбраны отношения 2И/2ИО и NjNQ.
Для точки напряжений, лежащей внутри этого квадрата,
рама остается жесткой. Когда точка напряжений лежит на ка-
кой-либо стороне квадрата, но не совпадает с любой из его
вершин, то вектор скорости деформации с компонентами MQx
§ 6]
УЧЕТ ПРОДОЛЬНОЙ силы
63
и имеет направление внешней нормали к этой стороне.
Если, наконец, точка напряжений попадает в одну из вершин
квадрата, то вектор скорости деформации является линейной
комбинацией единичных векторов, направленных по внешним
нормалям сторон, прилегающих к этой вершине.
Соответствующий анализ можно, конечно, легко провести
для любой формы поперечного сечения. В качестве примера
рассмотрим поперечное сечение в виде сплошного прямоуголь-
ника (рис. 21, а). Как обычно это делается в технической тео-
рии изгиба, примем, что осевые скорости удлинения линейно
зависят от высоты поперечного сечения (рис. 21, б). Так как
все положительные скорости удлинения соответствуют одному
и тому же напряжению, именно напряжению течения при растя-
жении, и все отрицательные скорости удлинения соответствуют
напряжению — а0, то в общем получается, что картина распре-
деления напряжений имеет вид, изображенный на рис. 21, в.
Разлагая это распределение напряжений таким образом, как
изображено на этом рисунке, легко представить М и N в виде
зависимостей от параметра £, определяющего положение нуле-
вой линии скорости удлинения. Для случая, представленного
на рис. 21, а,
при и = найдем, что
Af = 4Af0C(l —N=NO(2C-1). (11)
64 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. Ill
Исключая из этих соотношений £, получим функцию текучести
м+m2_i=o
которая представляет, однако, только часть условий текуче-
сти, поскольку нужно рассмотреть еще случай
Как видно из рис. 21,6, пластический механизм, соответст-
вующий условию текучести (12), определяется выражением
: . . 4=4(25-1). (13)
Из выражений для Л1о n.N0 следует, что
а_4Л«0
•А-х-
Подставляя это соотношение в уравнение (13) и используя
§ 7] КРУГОВЫЕ РАМЫ 65
второе уравнение (11), получим:
4 = (14)
х nJ
Если левую часть (12) обозначим через Ф, то согласно теории
пластического потенциала имеем:
хдФ А хдФ 217V
Х~ *дМ~ М,' ' (15)
Эти условия опять определяют пластический механизм (14).
Другие области изменения параметра а именно
о, " О’.
могут быть исследованы аналогичным образом. В результате
найдем, что все случаи описываются условием текучести вида
Для этого условия, которое изображено на рис. 22, тео-
рия обобщенного пластического потенциала Койтера дает пра-
вильный пластический механизм.
§ 7. Круговые рамы
В качестве примера учета продольной силы при определении
предельной нагрузки рассмотрим изображенное на рис. 23, а кру-
говое кольцо с постоянным двутавровым поперечным сечением.
Квадрат на рис. 20 соответствует условию текучести
Отсюда легко видеть, что удельная мощность рассеивания равна
О=4|л<.«+^ё| + ||л<^-^ё|. (18)
На самом деле, если, например, рассмотреть точку напряжений Р
на рис. 20, то вектор скорости деформации с компонентами
Л40х и Моё имеет направление внешней нормали к стороне
квадрата АВ, Поэтому
Л10х = АГ0ё. (19)
3 в. Прагер
66
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
Удельная мощность рассеивания равна
D = Mx-\-Ni, (20)
где М и N соответствуют координатам точки Р, Если под-
ставить сюда выражение для ё из (19) и учесть условие те-
кучести (17), то в результате найдем D = MQx. Для рассмот-
ренных здесь положительных значений х и ё уравнение (18)
дает одинаковое значение удельной мощности рассеивания.
Легко поэтому видеть, что выражение (19) остается справед-
ливым, если точка напряжений лежит на какой-либо другой
стороне квадрата или совпадает с его вершиной.
Обратимся теперь к кольцу, изображенному на рис. 23, а,
и сначала не будем учитывать влияния продольной силы. Тогда
пластические шарниры образуются в поперечных сечениях
Л, В, А' и В', и квадранты, ограниченные этими шарнирами,
остаются жесткими. В соответствии с нашим упрощенным
методом исследования скорости удлинения в этих шарнирах
должны быть равны нулю и точки А и В должны двигаться
по вертикали или горизонтали. Центр моментов квадранта АВ
будет поэтому находиться в точке Со (рис. 23, а). Если ш
является угловой скоростью этого квадранта, то к вертикальной
скорости точки А добавляется слагаемое <о/?; увеличение угло-
§ 7]
КРУГОВЫЕ РАМЫ
67
вой скорости шарниров А или В за счет квадранта равно <о.
Поскольку на этот квадрант приходится половина нагрузки Р,
действующей в точке А, то рассматриваемое поле скоростей
будет нестабильным, если
или
щ
R
(21)
Таким образом, нагрузка, удовлетворяющая неравенству (21),
превышает несущую способность рамы, если пренебрежение про-
4Л1
дольной силой является оправданным. Для Р=-н5 на рис.23, б
к
нанесены силы и моменты, действующие на квадрант АВ.
Из условия равновесия следует, что продольная сила в точке
Л должна быть равна нулю. Видно, что изгибающий момент вдоль
квадранта АВ нигде не превосходит величины Мо. Для каждой
нагрузки имеется, следовательно, некоторая стабиль-
ная статически допустимая моментная поверхность, так что эта
нагрузка не может исчерпать несущую способность рамы, если
предположить, что пренебрежение продольной силой
допустимым. При этом предположении предельная
равна, следовательно, в точности
4Л40
R ’
является
нагрузка
Допустим теперь, что вышеприведенный метод расчета
позволяет правильно определить знак продольной силы, и по-
пробуем учесть влияние этого продольного усилия. Из рис. 23, б
видно, что в А продольная сила равна нулю, тогда как в В
она положительна. Следовательно, в шарнире В наряду с угло-
вой скоростью раскрытия х появится еще скорость удлинения ё.
Однако шарнир А может и не обладать никакой скоростью
удлинения, хотя по условию текучести, изображенному на рис. 20,
из условия N=0 не обязательно следует, что ё = 0. Если
допустить, что скорость удлинения в шарнире А равна нулю,
то, принимая во внимание соотношение между к и ё, даваемое
выражением (19), получим, что центр моментов будет занимать
положение С (рис. 23, а). Вертикальная скорость точки А равна
поэтому
3*
68
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
Как для шарнира Л, где х<0 и ё=0, так и для шар-
нира В, где х>0 и g>0, из соотношения (18) следует, что
D=iW0|x|. Так же как и прежде, найдем поэтому, что рас-
сматриваемое поле скоростей будет нестабильным для
Таким образом, согласно второй основной теореме метода
расчета по предельным нагрузкам правая часть выражения (22)
является верхней границей несущей способности рамы в том
случае, когда учитываются продольные усилия. Как и ожида-
лось, эта верхняя граница меньше, нежели предельная нагрузка,
которая была определена при пренебрежении продольными
силами. Читателю предоставляется возможность показать с
помощью исследования условий равновесия, аналогичного вы-
шеприведенному, что правая часть выражения (22) в точности
равна предельной нагрузке с учетом продольных сил.
Разницу между (21) и (22) можно оценить следующим
образом. Если F—площадь поперечного сечения одной полки
и h — расстояние между средними линиями полки, то
Л10 = а0ГЛ и N0 = 2a0F,
и поэтому
Мо___h
No~2'
Поскольку в практических случаях можно считать малым *
по сравнению с единицей, то правая часть (22) меньше правой
части (21) на 5О~°/о.
За дальнейшими примерами задач с учетом нормальных
усилий читатель отсылается к работе Оната и Прагера1).
§ 8. Условие текучести и закон текучести
для пластин
Этот и следующий параграфы будут посвящены анализу
несущей способности жестко-пластических пластин, причем
*) О n a t Е. J., Р г a g е г W., Limit analysis of arches, J. Meeh.
Phys. Solids 1, 77—89 (1953); The influence of axial forces on the
collapse load of frames, Proc. 1st Midwestern Conf. Solid Mechanics,
Urbana, 111., 1953, 40—42.
§ 8] УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ И ЗАКОН ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ПЛАСТИН 69
главным образом будут исследоваться круглые пластинки в
случае осесимметричной нагрузки. Выберем среднюю точку
горизонтального сечения рассматриваемой круглой пластины
в качестве начала некоторой цилиндрической системы коорди-
нат г, 0, z. Примем, что ось z этой системы направлена вер-
тикально вниз. Пусть пластина вдоль всего края r=R будет
либо шарнирно оперта, либо защемлена. Толщину пластины
обозначим через h и будем считать распределенную нагрузку
р=р (г) на единицу площади положительной, если она направ-
лена вниз.
Вследствие осевой симметрии касательные напряжения тг0
и равны нулю. Кроме того, для обычных величин на-
пряжения изгиба будут значительно выше напряжений и тгг
Вследствие этого напряженное состояние некоторого типичного
элемента пластины можно приближенно считать плоским и
рассматривать ог и ое как главные напряжения. Скоростями
деформации, соответствующими этим напряжениям, будут
скорости удлинения ег и еь; они связаны со скоростями кри-
визны хг и срединной поверхности пластины с помощью
соотношений
ё,=г*г. ё,=гй,. (23)
В излагаемой ниже теории изгиба жестко-пластических
пластин, которая была развита Хопкинсом и Прагером1), ис-
пользуется условие текучести Треска. Таким образом, согласно
уравнению (24) § И главы I мощность рассеивания, прихо-
дящаяся на единицу поверхности, равна
4 °0 (I * г 1 + Н 91 +1 1).
Если подставить сюда выражение (23) и проинтегрировать
по толщине пластины, то получим мощность рассеивания на
единицу площади поверхности средней плоскости пластины в
следующей форме:
D = lAf0(|ir| + |iJ + |if + *e|), (24)
где
’) Hopkins Н. О., Prager W., The load carrying capacities of
circular plates, J. Meeh. Phys. Solids 2, 1—13 (1953).
3* В. Прагер
70
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ill
С другой стороны имеет место, конечно, соотношение
(25)
Выражение (24) для удельной мощности рассеивания дает
полное описание механического поведения жестко-упругой пла-
стины. На самом деле, связь между скоростями кривизны и
изгибающими моментами получим, сравнивая выражения (24) и
(25). Вследствие того, что в уравнение (24) входят абсолют-
ные величины хг и х0, то при этом нужно исследовать отдельно
различные области изменения величин хг и хе. Например,
сравнивая правые части (24) и (25) для — 0, получим:
4л/о(—+*«—*>•—*«)=^л+^л- <26)
Так как это соотношение должно выполняться для каждой
пары значений хг и х0, удовлетворяющей неравенству
—хг > х0 > 0, то для всех значений хг и х0 имеют место
соотношения
Я = ^е = 0- (27)
Из получаемых, таким образом, соотношений для дальнейшего
будут нужны только те, которые собраны в таблице 2. По-
следний столбец этой таблицы указывает сторону или вершину
изображенной на рис. 24 области текучести, относящуюся
§ 8] УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ И ЗАКОН ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ПЛАСТИН 71
к рассматриваемой строке. Для точки напряжений внутри этой
области пластина остается жесткой, т. е. скорости кривизны
равны нулю. Для идеально-пластической пластины точки напря-
жений не могут располагаться вне шестиугольной области
текучести. Ссылаясь на стороны и вершины этого шестиуголь-
ника, мы будем подразумевать, что в некоторой точке пластины,
в которой имеют место соотношения первой строчки таблицы,
пластина находится в пластическом состоянии А и т. д.
Таблица 2
Скорость кривизны Изгибающий момент Сторона или вершина шестиугольника теку* чести на рис. 24
Мг
х. ч V о ® * V о м» м0 А
хг = 0, Хц > 0 0<Afr<Mo м0 АВ
0< — хг<х& 0 м0 В
0< — хг = хв мг-м^=-мт —Ч < М,<0,0 <М, <4 ВС
— хг>*е >0 -ч 0 С
Кроме соотношений, помещенных в таблице 2, необходимо
составить еще условия равновесия и установить также связь
между скоростью кривизны и вертикальной скоростью v(r)
точки средней плоскости пластины. В условия равновесия на-
ряду с изгибающими моментами входит также поперечная си-
ла Q, действующая в сечении г = const. Эта сила считается
положительной, если при переходе от больших значений г к
меньшим она будет направлена вниз. В этом случае условия
равновесия имеют вид
(rQ)' + r₽ = 0, (28)
(rM'}'-Mb-rQ = 0, (29)
72
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
где штрих означает дифференцирование по г. Если в центре
пластины отсутствует сосредоточенная нагрузка, то попереч-
ная сила для г = 0 должна быть равна нулю. Проинтегриро-
вав (28) по г и подставив результат в (29), получим условие
равновесия
г
(гМгУ-М,= -\гр<1г, (30)
о
которое не содержит более силу Q, зависящую от реакций,
а определяется моментами напряжений Мг и Afe.
Если направленную вниз скорость v считать положитель-
ной, то скорость кривизны будет определяться следующими
выражениями:
*г== *9 = у • (31)
При применении вышеупомянутых соотношений для опре-
деления предельной нагрузки круглой, осесимметрично опертой
и нагруженной пластины из жестко-пластического материала
необходимо заметить, что в общем случае пластина распа-
дается на несколько областей, находящихся в различных пла-
стических состояниях, приведенных в таблице 2. Вследствие
осевой симметрии задачи граница Г между двумя такими об-
ластями будет иметь форму круга. Теперь нужно установить
соотношения между различными механическими параметрами
по обеим сторонам Г.
Условия равновесия и непрерывности пластины требуют,
чтобы поперечная сила Q, изгибающий момент Мг и скорость v
менялись вблизи Г непрерывно. При исследовании поведения
остальных механических величин /И9, хг и хд допускается воз-
можность одновременного обращения в нуль хг и х9 вдоль Г,
несмотря на то, что кажется невероятным, чтобы этот случай
встретился в тех примерах, которые будут рассматриваться.
Если М9, хг и хд меняются на Г непрерывно, то напря-
женное состояние на Г соответствует некоторой вершине ше-
стиугольника на рис. 24. То же самое положение имеет место,
когда х9 непрерывно, тогда как хг терпит разрыв на Г.
Когда х0, а поэтому также и ф' терпят разрыв на окруж-
ности Г, то Г будет представлять собой шарнирную окруж-
ность. Для рассматриваемой здесь осесимметричной задачи
§ 9] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН 73
для пластины шарнирная окружность играет ту же роль, ко-
торую играет пластический шарнир при определении предель-
ной нагрузки балок. Шарнирная окружность должна рассмат-
риваться как предельный случай некоторой малой кольцеоб-
разной области, в которой ъ' изменяется сильно, но все же
непрерывно. Когда ширина этой области стремится к нулю,
Хг 1-г
то отношение неограниченно возрастает. Поэтому вдоль
*8
шарнирной окружности пластина находится в состоянии А или
С; это значит, что | Мг | = 2И0. Там, где абсолютная вели-
чина Мг не достигает этого значения, v должна быть непре-
рывной функцией г.
Для того чтобы определить несущую способность рассмат-
риваемой пластины, нужно решить следующую математическую
задачу. Распределенная нагрузка р=р(г) задана с точностью
до некоторого постоянного множителя g. Требуется найти наи-
большую величину g, для которой могут быть указаны такие
функции Afr(r), М0 (г) и v(r)t которые в интервале
удовлетворяют следующим условиям:
1) функции Л4Г, Мц и v носят характер кусочно-непрерыв-
ных функций С1 или С° или С*;
2) Мг и Л4в удовлетворяют условию равновесия (30), в
котором р следует заменить на gp; в центре пластины МГ = М^
3) точка напряжений с координатами Л4Г, лежит внутри
или на границе шестиугольника, изображенного на рис. 24;
в первом случае скорости кривизны (31) равны нулю; во вто-
ром они связаны с напряженным состоянием Mr, соотно-
шениями, собранными в таблице 2;
4) разрыв непрерывности v' имеет место только там, где
|А1Г| = /ИО;
5) у шарнирно опертого края Afr = O и v = 0; у защем-
ленного края v = 0 и либо v' = 0, либо |Afr| = Af0 (в по-
следнем случае край является шарнирной окружностью).
§ 9. Несущая способность пластин
В качестве первого примера рассмотрим изображенную на
рис. 25 шарнирно опертую круглую пластинку постоянной
толщины, несущую суммарные нагрузки Р, и Pt. Первая
из этих нагрузок равномерно распределена по всей пластине,
тогда как вторая равномерно распределена по площади
74
РАСЧЕТ 110 ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
круга О «С г а. В силу этого
па*
имеем:
для 0^г<^а,
для a<^r^R.
(32)
Под влиянием такой нагрузки изгибающие моменты Мг и
М9 во всей пластине будут положительны. Таким образом,
пластическое состояние пластины должно быть типа FAt А
h
Р
Р
Рис. 25
или АВ. Пластический механизм, соответствующий состоянию
ГЛ, характеризуется соотношениями хг>0, х0 = О. Такие
значения скоростей кривизны не были бы совместимы с урав-
нениями (31), так что этот пластический механизм и вместе
с ним пластическое состояние FA не может иметь места. Для
состояния А МГ=М6 = МО, и для заданной нагрузки эти зна-
чения не совместимы с условием равновесия (30). Состояние А
является поэтому недопустимым для любого конечного интер-
вала г. Однако вследствие осевой симметрии задачи оно будет
иметь место в центре пластины. Остальная часть пластины
должна поэтому находиться в состоянии АВ, т. е. МГ = МЦ
для O^r^R. Подставим теперь умноженную на g нагрузку
(32) и величину Л4в = Л40 в условие равновесия (30) и про-
интегрируем получившееся соотношение при условии Mr=M0
для г = 0. В результате получим:
/И, = )
для
М» 6 п^,Г* 6 **
За* —2у)
(33)
для
§ 9]
несущля СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН
75
Поскольку на шарнирно опертом крае радиальный изгибающий
момент должен равняться нулю, из второй строчки уравнения
(33) получим следующее значение для g:
6кМ0
•
р,+р,(з-2£)
Необходимо отметить, что коэффициент нагрузки g не зависит
» а
от радиуса пластины К, а определяется только отношением ъ.
Г\
Прежде чем в качестве решения нашей задачи принять
статически допустимое поле напряжений, определяемое коэф-
фициентом нагрузки (34), равенством Л40 = Л1о и соотноше-
нием (33), необходимо убедиться в том, что Л4Г в интервале
0<Zr<ZR остается в пределах интервала 0 и Л1о, соответ-
ствующего рассматриваемому состоянию АВ. Таким образом,
для некоторого коэффициента нагрузки, сколь угодно мала
отличающегося (в меньшую сторону) от правой части (34),
существовало бы стабильное, статически допустимое поле на-
пряжений. Поэтому согласно первой основной теореме метода
расчета по предельной нагрузке коэффициент нагрузки, соот-
ветствующей несущей способности пластины, должен быть по
крайней мере равен величине (34).
Для того чтобы показать, что этот коэффициент нагрузки
в точности равен величине (34), исследуем вопрос о том,
можно ли найти такое поле скоростей v(r), которое совме-
стимо с рассматриваемым полем напряжений. Соответственно
второй строчке таблицы 2 для пластического состояния АВ
имеют место соотношения хг = 0, зев>0. Тогда первое урав-
нение (31) показывает, что v линейно зависит от г,
v=v,(l—£•). (35)
Здесь уже учтено граничное условие v = 0 для r = R. Вслед-
ствие отсутствия вязкости у материала скорость v определена,
конечно, только с точностью до некоторого постоянного мно-
жителя, обозначенного в (35) через v0.
Существование кинематически допустимого поля скоростей
(35), совместного с рассматриваемым полем напряжений дока-
зывает, что искомый коэффициент нагрузки равен в точности
76
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. III
величине (34). На самом деле скорости кривизны, соответст-
вующие (35), даются согласно (31) выражениями вида
х,=0, *, = £. (36)
Таким образом, согласно (24) удельная мощность рассеивания
равна
Г)__
Rr ’
и мощность рассеивания для всей пластины может быть вы-
ражена в виде
R
2тт J Drdr = 2itMovo. (37)
о
С другой стороны, мощность можно представить с помощью
умноженного на g выражения (32) в форме
R
2n|iJ/Wr</r=^{pi-|-Pt(3-2-£)l. (38)
о ' 7
Сравнение (37) с (38) показывает, что для некоторого коэф-
фициента нагрузки, сколь угодно мало превышающего значе-
ние (34), уравнение (35) определяет некоторое нестабильное
кинематически допустимое поле скоростей. Поэтому по второй
основной теореме коэффициент нагрузки, соответствующий не-
сущей способности, равен величине (34). Этот результат
вместе с полученным ранее доказывает, что искомый коэффи-
циент нагрузки в точности равен величине (34).
Соотношение (34) содержит следующие особые случаи.
Для нагрузки Pv равномерно распределенной по всей пластине,
коэффициент предельной нагрузки равен 6п , а для нагруз-
ки Pt, сосредоточенной в центре пластины, он равен 2п^.
В качестве второго примера определения предельной на-
грузки пластины рассмотрим круглую пластину постоянной
толщины, защемленную по всему краю и нагруженную равно-
мерно распределенной нагрузкой интенсивности р на единицу
площади. Прежде всего определим тот коэффициент на-
грузки g, который соответствует несущей способности пла-
стины,
§ 9]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН
77
Поскольку можно ожидать, что на защемленном крае пла-
стины изгибающий момент Мг будет отрицательным, то пла-
стина не будет целиком находиться в пластическом состоянии
АВ. Примем поэтому, что состояние АВ имеет место только
внутри некоторого определенного круга г = р; вне этого круга
имеет место состояние ВС. Для последнего согласно четвертой
строчке таблицы 2 имеем хг= — хг Тогда согласно уравне-
ниям (31) будем иметь:
<Г+у = 0 для г>р.
(39)
Так как скорость v для r — R должна быть равна нулю, то
дифференциальное уравнение (39) говорит о том, что для
D
г>р скорость v пропорциональна In-у-. Это делает невоз-
можным обращение в нуль v' на краю пластины r = R, так
что край пластины должен быть шарнирной окружностью.
Изгибающий момент на краю пластины равен поэтому
Л4г(/?)=-Л40.
Для области внутри круга г = р, так же как в предыду-
щем примере, найдем:
Mr=^MQ— ^-gpr* для 0*СггСр. (40)
На окружности г = р, где имеют место пластические состо-
яния АВ и ВС, будет Мг (р) = 0. Подставляя это значение
в уравнение (40), написанное для г=р, и разрешая относи-
тельно р, получим:
Р=г/^
г V HP
(41)
Вне круга г=р имеет место состояние ВС; окружной изги-
бающий момент для этого состояния согласно таблице 2 ра-
вен М9 = Мо Мг. Подставляем это значение в условие рав-
новесия для нагрузки gp и интегрируем при условии Мг (р) = 0.
В результате получим:
М,=Мл In у — цр (г* —рг) для р < г < R. (42)
На краю пластины Мг= —Мо. Подставляя в уравнение (42)
выражение для gp, вытекающее из (41), и вычисляя получаю-
78
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
щееся в результате выражение для r=R, имеем
о
трансцендентное уравнение для — :
следующее
’+1п7=4(7-• ’) • <43>
Решая численно это уравнение относительно р и подставляя
полученное значение в уравнение (41), получим, наконец, иско-
мый коэффициент нагрузки
И=11,26тг^Ь, (44)
где Р=п/?,р дает суммарную нагрузку. Коэффициент на-
грузки (44) равен примерно удвоенной величине коэффициента
для шарнирно опертой пластины с такой же нагрузкой.
Хотя определение коэффициента нагрузки (44) основыва-
лось главным образом на статических соображениях, все же,
однако, мы не пренебрегаем полностью кинематическими усло-
виями, связанными с выражением (39). В частности, читателю
предлагается показать, что в действительности можно задать
кинематически допустимое поле скоростей, совместное с рас-
смотренным полем напряжений. Не проводя этого доказатель-
ства, нельзя считать величину (44) достоверной.
В качестве последнего примера рассмотрим квадратную
пластину постоянной толщины, шарнирно опертую по всему
краю и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой р.
Верхнюю границу для коэффициента предельной нагрузки
можно легко получить из кинематически допустимого поля
скоростей. Рассмотрим, например, такое поле скоростей, ко-
торое стремится превратить первоначально плоскую пластину
в прямую квадратную пирамиду. Скорости деформаций, соот-
ветствующие этому полю скоростей, ограничены на диагоналях
пластины. Для того чтобы подсчитать мощность рассеивания,
соответствующую этому разрывному полю скоростей деформа-
ций, нужно это поле рассматривать как предельный случай
непрерывного поля, которое можно представить в виде квад-
ратной пирамиды со слегка закругленными ребрами. Таким
образом, найдем, что удельная мощность рассеивания на еди-
ницу длины диагонали выражается произведением краевого
изгибающего момента Л40 на относительную угловую скорость
части пластины, смежной с этой диагональю. Как видно из
§ 9] несущля СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН 79
2v
рис. 26, эта относительная угловая скорость равна ——= , где '
а у 2
— скорость средней точки пластины и а — половина сто-
роны квадрата. Приравнивая суммарную мощность рассеивания
мощности нагрузки цр, получим:
или
4*И 2^W'lf«==44e'wn'«
И у Z w
п par
(45)
Поскольку этот коэффициент нагрузки соответствует неко-
торому кинематически допустимому полю скоростей, он пред-
ставляет верхнюю границу для искомого коэффициента пре-
дельной нагрузки. Нижнюю границу можно определить по
некоторому стабильному, статически допустимому полю напря-
жений. Так как ранее предполагавшаяся осевая симметрия
теперь отсутствует, то сначала нужно обобщить вышеприве-
денные рассуждения о механическом поведении жестко-пласти-
ческой пластины на тот случай, когда напряженное состояние
задается в виде зависимостей изгибающих моментов Мх, Му
и крутящего момента Мху от прямоугольных координат х, у
в плоскости пластин (рис. 26). Поскольку использованные
выше условия текучести Треска теряют свой простой кусочно-
линейный характер, когда приходится иметь дело не с глав-
ными напряжениями (или главными изгибающими моментами),
то подобное обобщение привело бы к значительным трудно-
стям, и поэтому оно выходит за рамки этой работы. Рассмот-
рим поэтому только особенно простое статически допустимое
поле напряжений, для которого эти трудности не возникают.
Моменты этого поля представим в форме
Мх = с(а2 — х1), Му = с (а8—/), Мху=0, (46)
где постоянная с должна быть выбрана таким образом, чтобы
удовлетворялось условие равновесия
^^х I О 1 и п / Л7\
дх* +2дхду+ ду*
В результате найдем с = ^. Вследствие того, что AfXJ, = O,
моменты Мх и Му являются главными изгибающими момен-
80
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ill
тами. Таким образом, условие текучести будет изображаться
шестиугольником, представленным на рис. 24; величины Мг и
тИ9 на этом рисунке должны быть заменены, конечно, через
и Условие, чтобы ни один из главных моментов не
Рис. 26
превышал величины AL, приводит, с учетом выражения (46),
М
к величине = Сравнение двух полученных значений с
дает:
(48)
Это значение ц, найденное при условии статически допусти-
мого поля напряжений, представляет нижнюю границу иско-
мого коэффициента предельной нагрузки. Для практических
приложений величины (45) и (48), конечно, недостаточно
ограничивают коэффициент предельной нагрузки.
Следует отметить, что те рассуждения, которые приводят
к выражению (45), соответствуют в точности предложенному
§ 10] УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ 81
Иогансеном ’) методу определения размеров железобетонных
плит. По терминологии, используемой в методе расчета по
предельной нагрузке, рассматриваемые Иогансеном механизмы
разрушения являются кинематически допустимыми полями ско-
ростей. Поэтому те нагрузки, которые Иогансен считает раз-
рушающими нагрузками, в действительности являются верхними
границами для предельной нагрузки и рассуждения Иогансена
нуждаются в некотором дополнении, заключающемся в рас-
смотрении статически допустимых полей напряжений, которые
дают нижние границы предельной нагрузки.
•
§ 10. Условие текучести и закон текучести
для цилиндрической оболочки
В этом и следующих параграфах будет исследоваться не-
сущая способность жестко-пластических осесимметричных ци-
линдрических оболочек. Для этого введем цилиндрическую
систему координат г, 0, z с осью z> совпадающей с осью
оболочки.
Осесимметрический характер деформации требует, чтобы
каждый элемент оболочки сдвигался в плоскости, проходящей
через ось z. Таким образом, деформация не будет влиять на
угол между двумя соседними сечениями, образованными пло-
скостями, проходящими через ось, т. е. скорость кривизны
в окружном направлении должна быть равна нулю. Эта кине-
матическая связь соответствует реакции на действие окруж-
ного изгибающего момента Л1в, который поэтому не будет
входить в условие текучести для оболочки. Следовательно,
обобщенными напряжениями являются продольные силы и
Nz в окружном или осевом направлениях и изгибающий мо-
мент Мг в осевом направлении. Соответствующими скоростями
деформации являются скорости удлинения ge, ёг и скорость
кривизны хг.
В § 6 для прямоугольного сплошного поперечного сечения
было сформулировано нелинейное условие текучести (16)
(рис. 22); однако в примере, рассмотренном в § 7, в основу
было положено кусочно-линейное условие текучести (17)
(рис. 20). Как видно, например, из уравнения (19), такие
кусочно-линейные условия текучести ведут к особенно простым
l) Johansen К. W., Brudlinieteorier (Kopenhagen, 1943).
82
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. И!
законам текучести. Поэтому с целью упрощения расчета не-
линейные условия текучести часто линеаризируются, т. е.
криволинейное очертание области текучести часто аппроксими-
руется вышеописанным многоугольником. Квадрат, показанный
на рис. 22 пунктиром, является такой достаточно грубой
аппроксимацией области текучести для прямоугольного попе-
речного сечения. Для того чтобы освободиться от геометри-
ческих представлений, можно вывести основное соотношение
следующим чисто механическим способом. Если до некоторой
степени учесть только влияние внешних волокон прямоугольного
поперечного сечения и полностью пренебречь всеми внутрен-
ними волокнами, то получим кусочно-линейное приближение
действительного условия текучести.
Исследуем теперь с учетом этих соображений указанную
выше цилиндрическую оболочку и рассмотрим усилия ЛГе, Ыг
и Мг, обусловленные напряжениями g£, g^ и Gj, g® в крайнем
внутреннем или в крайнем внешнем слое оболочки. Выбирая
половину толщины оболочки за единицу длины, получим по
аналогии с уравнением (2) § 3 главы I
+ (49)
На плоскости напряжений, приведенной на рис. 27, напря-
женные состояния cj, а'г и Gf, а® изображаются теперь точ-
ками I и а. Тогда координаты средней точки с отрезка ia
представляют согласно (49) продольные силы We и Ыг с точ-
ностью до несущественного множителя, равного двум. Изги-
бающий момент Мг выражается с точностью до того же мно-
жителя с помощью разности абсцисс точек i и с.
Для рассматриваемых крайних слоев оболочки положение
точек i и а ограничивается условиями текучести Треска
т. е. шестиугольником ABCDEF на рис. 28. Следовательно, если
желают найти наибольший изгибающий момент Мг, совмести-
мый с заданными продольными силами А/е, т. е. с неко-
торым заданным положением точки с, то точки а и i нужно
искать внутри или на границе этого шестиугольника. При
этом точка с должна являться серединой отрезка /а, а раз-
ность абсцисс точек i и с должна быть по возможности наи-
большей. На рис. 28 такие точки i и а нанесены для неко-
торой заданной точки с. Оказывается, что до тех пор, пока
точка с лежит в заштрихованной области, искомый максима ль-
§ 10]
УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
83
84
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[гл. in
ный изгибающий момент Mz определяется расстоянием точки С
от прямой AF. Следовательно, эта область является нормаль-
ной проекцией боковой поверхности полиэдра текучести
в пространстве напряжений Ne, Nz, Мг на плоскость (N0, Nz).
Определяя подобным образом все возможные положения точки с
Рис. 29
в шестиугольнике ABCDEF,
получим полиэдр текучести
(симметричный относительно
плоскости (N^ Ng) и изо-
браженный на рис. 29). Для
того чтобы яснее показать
форму полиэдра, на этом ри-
сунке пунктиром изображено
несколько сечений, параллель-
ных плоскости (Nfr Mz). Вы-
брав на рис. 29 в качестве
координат в пространстве на-
пряжений отношения -г/, тт,
М. Л ‘ °
тг » мы освободились от спе-
циальных единиц, введенных
для упрощения рассуждений. Здесь NQ— сила, при которой
происходит течение материала при чистом растяжении, и Мо—
изгибающий момент, при котором происходит течение мате-
риала при чистом изгибе. Если обозначить напряжения тече-
ния при растяжении через а0 и толщину оболочки через Л, то
Ч = М и МЛ=^-.
Полиэдр текучести, изображенный на рис. 29, впервые был
построен Ходжем'). Довольно длительные точные расчеты,
проведенные для цилиндрической оболочки, приводят к по-
верхности текучести, изображенной на рис. 30. Эти расчеты
были одновременно опубликованы в независимых друг от друга
работах Ходжа1) и Оната1). Универсальное условие текуче-
’) Н о d g е Р. G. Jr., The rigid-plastic analysis of symmetrically
loaded cylindrical shells, J. Appl. Meeh. 21, 336—342 (1954).
2) Hodge P. G. Jr., The rigid-plast’c analysis of symmetrically
loaded cylindrical shells, J. Appl. Meeh. 21, 336—342 (1954).
•) Onat E. T., The plastic collapse of cylindrical shells under
axially symmetrical loading, Quart Appl. Math. 13, 63—72 (1955).
§ 10]
УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ОБОЛОЧКИ
85
сти для оболочки вращения было
гером *).
Для того чтобы дать лучшее
текучести на рис. 30 пункти-
ром опять показаны сечения,
параллельные плоскости (/V0,
Если использовать сокра-
щенные обозначения
П=\
9 >Vo’ г ~
то различные области поверх-
ности текучести, пронумеро-
ванные на рис. 30 римскими
цифрами, можно определить
следующим образом.
установлено Онатом и Пра-
представление о поверхности
Рис. 30
Часть I — плоская и ограничена дугами парабол
л„ = 1, т,=±2лг(1 — пг). (50)
Часть II также плоская и ограничена дугами парабол
«к —«г=1. тг=±2пг(1+п1). (51)
Часть Ш лежит на параболическом цилиндре
тг=\— п', (52)
который ограничен плоскостями
2л,— пг=±1 • (53)
и плоскостью (пг, nt). Части IV и V лежат на параболоиде
=± у {2 - (2л, - 1 )* - (2л, - 2лг -1 )*}. (54)
Начало координат является центром симметрии этой поверх-
ности текучести. Во всех точках поверхность имеет однозначно
’) О n a t Е. Т., Prager W., Limit analysis of shells of revo-
lution, Koninkl. Nederl. Akad. Wet, Proc. [B] 57, 534—548 (1954).
86
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
определенные касательные плоскости, за исключением точек
параболических дуг (50) и (51) и отрезка CD, а также точек,
симметричных с этими точками относительно начала координат.
Соответствующие боковые грани полиэдра текучести, изоб-
раженного на рис. 29, лежат в плоскостях:
1. ле=1; )
II. лб— пг=\\
III. пг— тг=—1;
IV. 2л9 — дг-|~/иг = 2;
V. 2л—п—т=2.
V ~ *
(55)
§11. Несущая способность цилиндрических оболочек
Отсылая читателя за более сложными примерами к выше-
указанной работе Ходжа, разберем здесь только случай беско-
нечно длинной трубы. В плоскости z = 0 труба нагружена
направленными наружу радиальными силами интенсивности Р
на единицу длины окружности трубы (рис. 31). Поскольку для
такой нагрузки Ыг равна нулю, то в качестве обобщенных
напряжений будем иметь только 1\L и Мг. Предел текучести,
соответствующий полиэдру рис. 29, изображается поэтому
сечением этого полиэдра плоскостью Nz = 0. Это сечение
представляет шестиугольник, изображенный на рис. 32.
Верхнюю границу коэффициента pi предельной нагрузки
легко получим из поля радиальных скоростей v = v(z), изо-
браженного на рис. 33.
§ 11] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
87
88
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
Рассматривая, например, шарнирную окружность / как пре-
дел небольшой зоны в осевом направлении, в которой произ-
, dv
водная v = -г изменяется хотя и сильно, однако все же не-
dz
прерывно, получим, что мощность рассеивания, приходящаяся
на единицу длины этой окружности, равна произведению Af0
на абсолютную величину относительной угловой скорости при-
легающих отрезков трубы. Для окружностей /, // и./// эти
абсолютные величины относительных угловых скоростей равны
v 2v v
— ' ~ и 7"» так что мощность рассеивания в трех шарнирных
окружностях, приходящаяся на единицу длины окружности
трубы, равна Для участка трубы между шарнирными
окружностями / и // ё6 будет положительно, а х2 будет равно
нулю. Этот пластический механизм соответствует точке на-
пряжений А на рис. 32. Таким образом, удельная мощность
рассеивания, приходящаяся на единицу площади средней поверх-
ности трубы, равна Nfa. Поскольку для каждого из участков
трубы / — // и // — /// скорость удлинения gfi равна среднему
v
значению то мощность рассеивания для этого участка,
приходящаяся на единицу длины окружности труб, равна
. Наконец, работа нагрузки, умноженной на коэффициент
предельной нагрузки, приходящаяся на единицу длины окруж-
ности трубы, равна y.Pv. Приравняв эту работу суммарной
мощности рассеивания, получим верхнюю границу для коэффи-
циента предельной нагрузки, зависящего, однако, от /,
и — рг (56)
Если определить I таким образом, чтобы это верхнее гранич-
ное значение было наименьшим, то в результате найдем:
/ = 1/(57)
F /Vq
где h==-^ — толщина оболочки. Подставляя это значение I
в уравнение (56), получим верхнюю границу коэффициента
несущей способности
н = 2^ У А. (58)
§ 11] НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
89
Нижнюю границу коэффициента несущей способности можно
определить по статически допустимому полю напряжений.
Поскольку даже для линеаризированного условия текучести
(рис. 32) точный расчет утомителен, то в целях упрощения
расчета заменим шестиугольник рис. 32 вписанным прямоуголь-
М
ником; отношение сторон этого прямоугольника оставим пока
неопределенным. Предельная нагрузка, соответствующая такому
прямоугольнику, является, конечно, нижней границей предель-
ной нагрузки, соответствующей шестиугольнику.
Условие равновесия элемента оболочки (рис. 34) имеет вид
M'z=Q, Q' = -ty, (59)
где штрих обозначает дифференцирование по z. Вблизи точек
приложения нагрузки N* будет положительна, и поскольку
поперечная сила трубы, нагруженной нагрузкой в сечении
2=0, равна то изгибающий момент не может иметь
Л
постоянного значения. Точка напряжений должна поэтому лежать
на стороне ВС прямоугольника текучести (рис. 32), т. е. в выра-
жении (59) = Исключение Q из уравнения (59) приво-
дит к следующему дифференциальному уравнению для Мг*.
М"г=-^. (60)
Так как изгибающий момент в сечении z = 0 должен быть
отрицательным, то полагаем УИЖ(О)=^ — МГ Далее, AG(0) =
4 в. Прагер
90
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ill
==С(О) = |Л-^. Интегрируя (60) и используя эти условия,
получим:
Mz=-Mt^z-^. (61)
Согласно (61) максимальный изгибающий момент будет в сече-
нии
г=^=г'- (62)
Из условия, что этот максимальный момент не .должен превос-
ходить величину Mlt получим коэффициент нагрузки
-рф-1- (63)
Однако, прежде чем взять величину (63) в качестве нижней
границы коэффициента предельной нагрузки, необходимо убе-
диться в том, что поле напряжений, определенное на участке
трубы равенствами = и (61), допускает не-
прерывное продолжение через z = zl без перехода через пре-
дел текучести.
Такое продолжение дается, например, выражениями
Ni = Nl,Mi=Mi—^(z—zx)*для г,ОО. + ^г,
для ,. + $ <<<,,+$.
(64) .
На самом деле, величины Q, N* и Мг этого поля в сечении
z = zx непрерывно переходят в соответствующие величины
вышеупомянутого поля и в сечении только
испытывает разрыв непрерывности, который, однако, не нару-
шает условий равновесия. Наконец, в сечении z = zt -f-
Q, и Мг равны нулю с тем, чтобы по ту сторону этого
сечения труба была свободна от напряжений.
Выражение (63) дает, следовательно, нижнюю границу для
коэффициента предельной нагрузки, который соответствует вер-
шинам вписанного в шестиугольник (рис. 32) прямоугольника.
§ 12]
ИЗМЕНЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
91
Наибольшее нижнее предельное значение, которое может быть
получено таким образом, соответствует величинам МЛ:=МО,
= и равно
Л
J/
(65)
Конечно, исходя из практических соображений, границы (58) и
(65) не слишком удаляют одну от другой. Согласно Драккеру ’),
коэффициент предельной нагрузки, соответствующий шести-
угольнику на рис. 32, равен
___ 1 7Q ^0 1 /~~Е_
И—•>'* р у д .
тогда как точное значение этого коэффициента для поверхности
текучести, изображенной на рис. 30, составляет:
g=l,82^
Поскольку в случае шестиугольника между и Мг существует
кусочно-линейная связь, то дифференциальное уравнение (60)
может быть проинтегрировано с помощью круговых и гипер-
болических функций. Однако при использовании точного нели-
нейного условия текучести необходимо прибегать к численному
интегрированию.
§ 12. Изменение несущей снособности
с увеличением деформации
Теории расчета по предельным нагрузкам, изложенные в пре-
дыдущих параграфах, имеют дело с такой интенсивностью
нагрузки, при которой начинается деформация жестко-пласти-
ческой конструкции.
Для суждения о практическом значении этой интенсивности
важно знать, требует ли прогрессирующая деформация, чтобы
интенсивность нагрузки оставалась без изменения, увеличива-
лась или уменьшалась. Знак и приблизительную величину этого
влияния часто можно определить по полю скоростей, которое
*) Drucker D. С., Limit analysis of cylindrical shells under
axially-symmetric loading., Proc. 1st Midwestern Conf. Solid Mecha-
nics, Urbana Ill. (1953), 158—163.
4*
92
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
используется в методе расчета по предельным нагрузкам. Это
поясняется на примере шарнирно опертой круглой пластины,
которая в середине нагружена единственной сосредоточенной
силой Р.
На рис. 35 показано изменение прогиба § с ростом на-
грузки Р, которое Фулкес и Онат наблюдали при течении
стальных пластин радиусом 127 мм (5 дюймов) и толщиной
25,4 или 6,35 мм. (Прогиб и нагрузка выражались в безраз-
мерной форме и были отнесены соответственно к толщине
пластины Лик теоретической предельной нагрузке 2шИ0.)
Теоретическое поведение жестко-пластической пластины пред-
ставлено на рис. 35 линией ОАВ. Наблюдаемое на опыте поведе-
ние пластины может быть приближенно представлено с помощью
двух прямых; ордината точки пересечения двух этих прямых
может быть названа нагрузкой текучести. Для толстой пла-
§ 12]
ИЗМЕНЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
93
стины с -^- = 5 нагрузка текучести равна приблизительно 86%
от теоретической предельной нагрузки. Эта цифра характери-
зует практическое значение теоретической предельной нагрузки
для сравнительно толстых пластин. Однако для тонкой плас-
D
тины с -у = 20 нагрузка текучести составляет приблизительно
только 66% от теоретической предельной нагрузки и выше-
указанная теория не имеет никакого практического значения.
Это необычное поведение тонких пластин объясняется значи-
тельным прогибом, который имеется у каждой такой пластины
уже в упругой области. Следовательно, в начале пластической
деформации тонкая пластина также не может приближенно
считаться плоской, как это предполагалось в изложенной выше
теории.
Даже для толстой пластины по этой теории самое большее
можно произвести оценку той интенсивности нагрузки, при
которой начинается пластическая деформация. По мере роста
деформации плоская пластина переходит в оболочку. Для того
чтобы связать увеличение интенсивности нагрузки, обусловлен-
ное пластическим течением, с прогибом, необходимо вычислить
предельные нагрузки одного из однопараметрических семейств
оболочек вращения. Так как эти расчеты были бы довольно
трудоемкими, то Хейфорнуейт и Онат *) предложили следующий
приближенный способ.
Поле скоростей (35) соответствует переходу от плоской
пластины к пологой конической оболочке. Примем поэтому, что
в течение первой фазы деформации пластина имеет форму
конуса. Если пластина может скользить без трения относи-
тельно своих опорных колец, то эта деформация не приводит
к искривлению или удлинению в радиальном направлении. По-
этому расстояние некоторой частицы, лежащей в срединной
поверхности конической оболочки, от вершины равно первона-
чальному расстоянию этой частицы от средней тбчки плоской пла-
стины. Для малых углов наклона образующегося конуса отно-
сительно средней плоскости пластины прогиб может быть
приближенно выражен в виде & = /?р, а удлинение в окружном
направлении приближенно равно —тт.
’) Hay th or nth waite R. М., On at E. T., Brown University
Report OOR—3172/4.
94 РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ [ГЛ. 111
Поскольку материал лишен вязкости, то масштаб времени
явлений деформации не играет никакой роли. Таким образом,
можно время отождествить с углом р, и тогда для «скорости
удлинения» в окружном направлении получим следующее выра-
жение:
8в = -р. (66)
«Скорость кривизны» в окружном направлении может быть
выражена аналогичным образом в виде
х, = ±. (67)
Удельная мощность рассеивания, приходящаяся на единицу пло-
щади срединной поверхности, равна
h
2 *2
j |e,4-i^|d2r=0o^A4-|xe|^). (68)
h
Подставим сюда se и x0 из (66) и (67) и проинтегрируем по
всей срединной поверхности. В результате получим суммарную
мощность рассеивания
/?
f2nrD</r=^.TO(/?8*4-2itiMe7?, (69)
О
вЛ1
где вместо была представлена 3 и =
Мощность приложенной в центре сосредоточенной силы Р
равна PR, поскольку «скорость» средней точки пластины по-
лучается в результате дифференцирования прогиба по «вре-
мени» р. Сравнение обоих выражений для мощности дает:
Р=2пЛ1,(1+4^). (70)
Несмотря на большие допущения, которые были сделаны
при выводе этой формулы, изображенной на рис. 35 в виде
дуги параболы ЛС, она хорошо совпадает с результатами
экспериментов.
§ 13] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАСЧЕТА В ДРУГИХ ОБЛАСТЯХ 95
§ 13. Применение метода расчета по предельным
нагрузкам в других областях
До сих пор метод расчета по предельным нагрузкам рас-
сматривался как глава теории пластичности. Для того чтобы
показать, что этот метод может быть применен в других обла-
стях, рассмотрим арку, образующуюся из жестких клиновидных
камней, соединенных друг с
другом без цемента. Примем,
что трение между соседними
камнями достаточно велико,
для того чтобы помешать
скольжению. Изменение кри-
визны арки может быть осу-
ществлено только за счет
того, что соседние камни бу-
дут поворачиваться один от-
носительно другого около Рис. 36
общего ребра (рис. 36).
Обозначим высоту камней через 2Л, их относительную угло-
вую скорость через ®> и относительную линейную скорость сред-
ней точки их боковых поверхностей через v. Поскольку
камень считается жестким, то допустимы только такие пары
значений о>, v, которые не приводят к взаимному проникнове-
нию камней. Следовательно,
(71)
Для «скоростей деформаций» в своде, удовлетворяющих
условиям (71), мощность рассеивания равна нулю; для всех
других пар значений со, v необходимо положить мощность рас-
сеивания равной нулю, для того чтобы исключить появление
подобных пар значений. Ранее этими условиями, налагаемыми
на мощность рассеивания, мы определяли «область текучести»,
представленную на рис. 37; она ограничена полупрямыми
W<0, |JM| = *|N|, (72)
где М — изгибающий момент и N—продольная сила в сече-
нии свода. Из уравнений (72) следует, что в «состоянии тече-
ния» каждой не равной нулю нормальной силе должно соответ-
ствовать сжимающее усилие, действующее на нижнюю или
96
РАСЧЕТ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ НАГРУЗКАМ
[ГЛ. Ш
верхнюю кромки камня. Связь между «пределом текучести» и
«пластическим механизмом» опять соответствует обобщенной
теории пластического потенциала, и таким образом здесь можно
применить метод расчета по предельным нагрузкам. В частно-
сти, в вершине Af = N= 0 область текучести пластического
механизма определена неоднозначно, потому что с этим напря-
женным состоянием совмес!имо и полное отделение второго
камня.
Применение метода расчета по предельным нагрузкам к
сводам было разработано Кухаряном ’). Другой областью при-
менения метода расчета по предельным нагрузкам, которая до
некоторой степени лежит вне теории пластичности, является
теория давления грунта8).
’) Kooharian A., Proc. Amer. Concrete Inst. 49, 317 (1953).
•) Сравни здесь Drucker D. C., Prager W., Soil mechanics
and plastic analysis or limit design, Quart appl. Math. 10, 157 (1952).
ГЛАВА IV
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
§ 1. Введение
В рассмотренных до сих пор приложениях теории пластич-
ности пластические деформации считались малыми. Таким об-
разом, например, условия равновесия могли составляться для
недеформированной системы. Однако, когда хотят исследовать
такие технические процессы формоизменения, как, например,
прессование или прокатка, то это ограничение, очевидно, не
должно иметь места. Поэтому в этой главе будут рассмотрены
конечные пластические деформации.
В то время как в теории пластичности учет конечных де-
формаций. значительно усложняет математический аппарат, ис-
следование подобных деформаций в теории идеально-пластиче-
ского материала не составляет больших трудностей по сравне-
нию с теорией вязкой жидкости, где даже самые простейшие
задачи, например пуазейлевское течение в круглой трубе,
включают конечные пластические деформации. Это замечатель-
ное различие основано на том, что в теории пластичности
напряжения связаны с деформациями, тогда как и в теории
идеально-пластического материала, и в теории вязкой жидко-
сти напряжения связаны со скоростями деформаций. Для того
чтобы определить деформацию тела, нужно сравнить мгновен-
ное его очертание с возможно дальше отстоящим от него по
времени прежним его очертанием; с другой стороны, для оп-
ределения скорости деформации нужно сравнить мгновенное
очертание с другими, бесконечно близкими к нему. Таким об-
разом, конечность деформации совершенно не проявляется в
дифференциальных уравнениях идеально-пластического матери-
ала или вязкой жидкости, тогда как на дифференциальные
уравнения упругого тела она оказывает значительное влияние.
98 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
§ 2. Плоские пластические течения
Плоское течение упруго-пластического материала является
одной из старейших и наиболее часто рассматриваемых задач
теории пластичности. Здесь при соответствующих граничных
условиях поле напряжений будет статически определимо, т. е.
для определения трех компонентов напряжения достаточно двух
условий равновесия и условия текучести и не нужно прибегать
к соотношениям между напряжениями и деформациями. Теория
этого статически определимого поля напряжений, созданная
Хенки1 * *) и Прандтлем’), была развита далеко за пределы ее
практического значения*). В действительности имеется очень
мало практически важных задач, для которых граничные усло-
вия имеют тот вид, который требуется для статической опре-
делимости поля напряжений. Как правило, граничные условия
содержат как напряжения, так и скорости и определение поля
напряжений нельзя отделить от определения поля скоростей 4).
Большое число практически важных частных задач такого сме-
шанного типа успешно было разрешено в течение последних
лет5). Однако общего метода решения таких задач еще не
создано.
Большое число решений, полученных до сих пор, построено
из особенно простых полей линий скольжений, в которых по
крайней мере одно семейство линий скольжения состоит из
прямых линий. Поля напряжений и скоростей, соответствующие
такому полю линий скольжения, будут описываться сравнительно
*) Н е n с к у Н., Uber einige statisch bestimmte Faile des Gleich-
gewichts in plastischen Kdrpern, Z. angew. Math. Meeh. 3,241—251 (1923).
[Имеется русский перевод в сборнике «Теория пластичности», ИЛ,
М., 1948 (Прим, ред.).]
*) Р г a n d 11 L., Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen
Satz Uber das plastische Gleichgewicht, Z. angew. Math. Meeh. 3,401
«[Имеется русский перевод в сборнике «Теория пластичности»,
1948 (Прим, ред.).]
’) См., например, Соколовский В. В., Теория пластичности,
изд. АН СССР, М., 1946.
4) Ср., например, Lee Е. Н., The theoretical analysis of metal
forming problems in plane strain, J. appl. Meeh. 19, 97 (1952).
*) Ср., например, Hill R., The mathematical theory of plasticity
(Oxford, 1950), главы VII до IX; русский перевод: Хилл Р., Матема-
тическая теория пластичности, Гостехиздат, М., 1956 (Прим, ред.).]
Prager W., Н о d g е Р. G. Jr., Theory of perfectly plastic solids,
New York, 1951. [Русский перевод: Прагер В., Ходж П., Теория
идеально-пластических тел, ИЛ, М., 1956 (Прим, ред).]
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
99
§ 3]
простыми математическими формулами и поэтому подходят для
решения определенных граничных задач. Правда, прямые ли-
нии скольжения почти всегда требуют прямолинейных очерта-
ний, так что эти простые поля линий скольжения могут только
изредка применяться для решения краевых задач с криволи-
нейными границами. Если оба семейства линий скольжения яв-
ляются криволинейными, то аналитическое исследование полей
напряжений и скоростей затруднительно, и поэтому предпочи-
тается графический метод исследования, который будет опи-
сан ниже.
§ 3. Основные соотношения
Поле скоростей будет называться плоским, если можно
выбрать такую прямоугольную систему координат х, у, z,
чтобы компоненты скорости vx и vy не зависели друг от друга
и компонент vg был тождественно равен нулю. Скорость уд-
линения еж и скорости касательной деформации ухг и также
тождественно равны нулю. Далее, вследствие допущения о
несжимаемости материала скорости удлинения гх и ёу равны,
но противоположно направлены.
В основу дальнейших рассуждений положены условия те-
кучести Мизеса и теория пластического потенциала. Условие
текучести Мизеса для трехмерной сплошной среды при обыч-
ных обозначениях напряжений имеет вид
(«ж — ’>)’ + <Ъ- — + («Ж — +
4-6(^+^+^=2а;, (1)
причем а0 является пределом текучести при простом растяже-
нии. Нормальные напряжения ах, ау, соответствуют скоро-
стям удлинения ёх, е^, еж и касательные напряжения тх>, тух,
тгх — скоростям деформации сдвига уху, у>ж, Таким обра-
зом, теория пластического потенциала приводит к трем соот-
ношениям вида
ёх=21(2аж-а,-ах) (2)
и трем соотношениям вида
Чху ~ 1(3)
где X является положительным, но уже другим произвольным
коэффициентом пропорциональности. Поскольку для рассматри-
ваемой здесь плоской задачи ухж и fyt равны нулю, то из
100
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[ГЛ. IV
этих соотношений между напряжениями и деформациями сле-
дует, что тхг и равны нулю, а аг определяется выражением
Следовательно, компоненты напряжений ах, и ъху являются
характеристиками напряженного состояния.
Для некоторой произвольной точки Р в плоскости (х, у)
на рис. 38 изображено взаимное положение сечений, проходя-
щих через Р перпендикулярно к плоскости (х, у), и вектора
напряжений S, проходящего в точке Р из заштрихованной об-
ласти сечения в незаштрихованную. В дальнейшем за положи-
тельное направление нормали п примем направление от точки
Р в незаштрихованную область.
Рис. 38, а изображает физическую плоскость (плоскость
(х, у)), а рис. 38,6 — плоскость напряжений. Направление
сечения определяется углом а между п и положительным на-
правлением оси х. Этому направлению сечения в плоскости
напряжений соответствует некоторая точка Л, которая опре-
деляется вектором напряжений S, проходящим в точке Р через
поверхность сечения, следующим образом. Величина S опре-
деляется длиной вектора О'А на плоскости напряжений от на-
чала координат О' до точки А. Направление S определяется
по следующему правилу: угол между S и п по величине
больше, а по знаку совпадает с углом между осью а плоско-
§ 3] ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 101
сти напряжений, параллельной оси х, и вектором О'А. Когда п
направлено по положительной ветви оси х, то соответству-
ющая точка в плоскости напряжений занимает положение X с
координатами а = аж и т=— txy (рис. 38,6).
Хорошо известно, что точки плоскости напряжений, соот-
ветствующие различным направлениям сечения в физической
плоскости, отвечают кругу напряжений Мора. Далее вспомним,
что центральный угол, соответствующий дуге ХА этого круга,
равен 2а. На круге Мора имеется поэтому некоторая точка
Р* такая, что направления сечения Р'Х и Р'А, соответствующие
X и А, будут параллельны друг другу. Легко видеть, что
координаты точки Р' равны а = ах и т=тж>; в дальнейшем
эту точку будем называть полюсом круга напряжений. Если
круг напряжений и его полюс заданы, то точка круга напря-
жений, соответствующая любому направлению сечения, лежит
на одной из прямых, проведенных через полюс в направлении
сечения.
Самая высокая и самая низкая точки круга напряжений
(точки / или // на рис. 38, б), соответствуют сечениям с мак-
симальными касательными напряжениями. Эти направления се-
чения, даваемые соответственно Р7 и Р7/, будем называть
первым или вторым направлениями скольжения. Кривые в пло-
скости (х, у), которые в каждой своей точке имеют / или //
направление, будут называться первыми или вторыми линиями
скольжения. Так как расстояние /-// равно диаметру круга
напряжений, то угол ip'll является прямым углом, иными сло-
вами, линии скольжения образуют ортогональную сетку.
Если учесть, что ^=^=0» и заменить зг согласно вы-
ражению (4), то для рассматриваемого здесь плоского дефор-
мированного состояния условие текучести Мизеса примет вид
+ = = (5)
где £=~= означает напряжение течения при чистом сдвиге.
Поскольку левая часть уравнения (5) равна квадрату макси-
мального касательного напряжения в плоскости (х, у), то ус-
ловие текучести (5) говорит о том, что пластическое течение
может начаться только там, где максимальное касательное.
напряжение достигает критического значения k.
В плоскости напряжений максимальное касательное напря-
жение изображается ординатой точки I или радиусом круга
102
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
напряжений. Таким образом, когда в некоторой точке Р пло-
скости напряжений имеет место пластическое течение, то ра-
диус круга Мора, соответствующего этой точке, равен k.
Рис. 39 показывает, насколько обстоятельно известно на-
пряженное состояние в некоторой точке поверхности Р, когда
известен вектор S поверхностного напряжения в этой точке и
С
Рис. 39
известно, что здесь начинается пластическое течение. Интен-
сивность S и угол ср между этим вектором и внешней нор-
малью к поверхности рассматриваемого тела в точке Р опре-
деляет соответствующую точку А в плоскости напряжений.
Однако через точку А можно провести две окружности ради-
уса k, центры которых находятся на оси а плоскости напря-
жений. Каждая из этих окружностей представляет возможное
напряженное состояние в точке Р. Левой окружности соответ-
ствует меньшая абсцисса центра круга, т. е. меньшая вели-
чина среднего нормального напряжения, нежели правой окруж-
ности. Поэтому решение, соответствующее левому кругу, бу-
дем называть слабым решением, а решение, соответствующее
правому кругу,—сильным решением1). Которое из двух ре-
шений подходит к данной краевой задаче — зависит от сово-
купности граничных условий, и этот вопрос не может быть
решен исследованием граничного условия в какой-либо отдель-
ной точке. На рис. 39 точки Р' и Р' являются соответственно
полюсами для слабого и сильного решений.
’) В теории давления грунта соответствующее различие известно
под названием активного и пассивного давления грунта.
§ 4]
ГеОМЕТРИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ
юз
§ 4. Геометрическое соответствие физической плоскости
и плоскости напряжений
Для того чтобы пояснить определенные геометрические со-
отношения между физической плоскостью и плоскостью напря-
жений, рассмотрим произвольную точку Р, физической плоско-
сти (рис. 40, а) и элементы Р,Р2 и соответственно пер-
вых и вторых линий скольжения, проходящих через точку Р1У
(а) (б)
Рис. 40
и элементы линий скольжения РвРа и PaQa, проходящих через
точку Pt. Исследуем, как изменится напряженное состояние
при переходе из точки Рг в точку Ра вдоль первой линии
скольжения. Пусть левая окружность на рис. 40, б изображает
напряженное состояние в точке Pv а правая окружность —
напряженное состояние в точке Pt. Положение центра первой
окружности определяется средним нормальным напряжением а
в точке Р1Э а положение полюся Р' определяется углом 0, со-
ставляемым первой линией скольжения, проходящей через Р,,
с осью у. Соответствующие «вели шны в точке Ра можно обо-
значить через а-|-^а и ®Рассмотрим равновесие пря-
моугольного элемента PJ\QiQh определяемого точками Рп
Ра и Так как стороны РгР* и PtQt лежат на линиях
скольжения, то нормальное и касательное напряжения, переда-
ваемые на элемент через эти стороны, равны соответственно
среднему нормальному напряжению а и касательному напряже-
нию течения k. В отличие от этого сторона PaQ* не лежит
на второй линии скольжения, проходящей через Ра, а состав-
ляет с ней бесконечно малый угол ч/б. Однако, поскольку
104 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ.ТУ
направление линии скольжения PtQt соответствует максимальному
касательному напряжению, то для соседних направлений каса-
тельное напряжение изменяется непрерывно, т. е. касательное
напряжение для направления PtQ* равно k с точностью до
бесконечно малых величин второго порядка. То же самое имеет
место для стороны рассматриваемого прямоугольного элемента.
Касательные усилия, передаваемые четырьмя сторонами этого
элемента, образуют поэтому две противоположно направленные
пары сил. Таким образом, для того чтобы уравновесить нор-
мальные напряжения интенсивности а на гранях PtPt и PtQlt
нормальные напряжения вдоль Q,Q* и PtQ* должны с точно-
стью до бесконечно малых величин второго порядка иметь ин-
тенсивность а.
Направление сечения PtQt соответствует самой нижней
точке У/, левого круга на рис. 40, б, поэтому прямая, соеди-
няющая эту точку с полюсом этого круга Р', параллельна Р&.
Поскольку нормальное напряжение для PeQj имеет ту же са-
мую величину, как и для PjQp то та точка второго круга,
которая соответствует направлению сечения PeQ*, лежит на
вертикали, проходящей через //х, и расстояние ее от //, яв-
ляется бесконечно малой величиной второго порядка, потому
что расстояние между центрами кругов является величиной
первого порядка малости. Следовательно, с точностью до ве-
личин второго порядка направление сечения PtQ* соответствует
также точке IIv Прямая, которая соединяет эту точку с по-
люсом второго круга, должна, следовательно, иметь направ-
ление PeQ*, а поэтому также и направление PXQV Другими
словами, точки II,, Р' и Р* лежат на одной и той же прямой.
Рассмотрим теперь оба круга напряжений с их полюсами
как два следующих друг за другом состояния некоторой пло-
ской жесткой системы, совершающей плоское движение. Для
того чтобы перевести систему из первого положения во вто-
рое, нужно сначала повернуть ее около центра левого круга
(при этом точка Р' перейдет в точку Р*), а затем сообщить
системе поступательное перемещение в направлении оси а до
совпадения точки Р* с точкой Р'. Угол между касательной
Р*Р' к окружности и хордой P'JIt можно рассматривать как
описанный угол, опирающийся на дугу //jP', и поэтому он
равен углу //^Р', или углу 0. Угол Р*Р[Р\ также равен О,
так что треугольник P\P*Pt является равнобедренным треуголь-
ником. Поскольку отрезок ЦР* параллелен ltP’t и поэтому
§ 4] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ
105
также Р2Р8, то угол P'J^P* равен dO. Дуга PJP* соответст-
вует поэтому центральному углу 20, и длина ее равна 2&rf0.
Так как треугольник PJP*P' — равнобедренный, то перемеще-
ние, соответствующее повороту на угол 20, по величине равно
26^0, т. е. круг напряжений катится по прямой t = k.
Таким образом, в процессе рассматриваемого поворота на угол
20 центр круга перемещается вдоль оси а на величину
da = 2kdti. (6)
Поскольку круги, изображенные на рис. 40, б, представляют
напряженные состояния в двух соседних точках Р, и Рв одной
из семейства первых линий скольжения, уравнение (6) показы-
вает, что вдоль первых линий скольжения разность а — 2&0
равна некоторой постоянной величине.
Изменение а и 0 вдоль одной из линий скольжения второго
семейства может быть исследовано аналогичным образом. Обо-
значив приращение а и 0 вдоль одной из линий скольжения
второго семейства через За и 30, получим:
За = —2&36, (7)
так что вдоль любой второй линии скольжения сумма a-f-2&0
остается постоянной.
Как пояснялось в связи с рис. 39, полюс круга напряже-
• ний определяет, имеем ли мы дело со слабым или сильным
. решением. Таким образом, в этом смысле полюс Р' можно
рассматривать как изображение напряженного состояния в со-
ответствующей точке Р физической плоскости. Когда точка Р
движется вдоль одной из первых линий скольжения, то полюс
Р\ согласно вышеприведенным выводам, описывает в плоскости
напряжений обыкновенную циклоиду. При этом мгновенные на-
правления движений точки Р в физической плоскости и точки
Р' в плоскости напряжений нормальны друг другу. (На рис.
40, б /,Р; даёт первое направление скольжения и //jPJ — на-
правление движения полюса Р'.) Таким образом, на плоскости
напряжений точка за точкой мы получаем отображение физи-
ческой плоскости, обладающее тем свойством, что первые ли-
нии скольжения физической плоскости соответствуют обыкно-
венным циклоидам в плоскости напряжений, которые будут
точками круга напряжений, когда последний катится по прямой
T = k. При этом соответствующие элементы линий скольжения
и циклоид ортогональны друг другу. Аналогичным образом,
б В. Прагер
106 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
вторые линии скольжения физической плоскости соответствуют
обыкновенным циклоидам, которые описывают точки круга на-
пряжений, когда последний катится по прямой т = — k. Соот-
ветствующие друг другу элементы линий скольжения и цик-
лоид здесь также ортогональны.
В аналитической форме эта картина была установлена
Зауером1). Геометрическое толкование, приведенное здесь, при-
надлежит Прагеру8). Характеристические соотношения (6) и (7),
имеющие место вдоль линий скольжения, обычно называются
соотношениями Хенки’), хотя они представляют только част-
ный случай общих соотношений, выведенных в теоретических
исследованиях давления грунта Массо4).
§ 5. План скоростей
В этом параграфе будет исследоваться план скоростей
плоского пластического течения и его изображения в физичес-
кой плоскости и в плоскости напряжений.
По теории пластического потенциала условие текучести (5)
может быть записано в виде
~2 <Jy) = уХу = 2ктху. (8)
Если выбранные здесь оси координат мы будем считать на-
правленными вдоль линий скольжения, то получим, что равен-
ство нормальных напряжений в обоих направлениях скольжения
требует равенства нулю скоростей удлинения в этих направ-
лениях. Из этого условия вытекают соотношения между компо-
нентами скоростей в направлении скольжения, которые мы и
хотим вывести.
* ) Sauer R, Uber die Gleitkurvennetze der ebenen plastischen
Spannungsverteilungen bei beliebigem Flissgesetz, Z. angew. Math.
Meeh. 29, 274 (1949).
* ) Prager W., A geometrical discussion of the slip line field in
plane plastic flow, Trans. Roy. Inst. Technology, Stockholm, Nr. 65 (1953).
* ) H e n с k у H., Uber einige statisch bestimmte Faile des Gleich-
gewichts in plastischen Кбгрегп, Z. angew. Math. Meeh. 3, 241—251
(1923). (Имеется русский перевод в сборнике «Теория пластичности»,
ИЛ, М., 1948 (Прим, ред.).}
4) Ср., например, М a s s a u J., Mdmoire sur I’intdgration graph!-
que des Equations aux ddriveds partielles (Edition du Centenalre, Co-
mity national de M6canique, Bruxelles, 1952).
§ 5]
ПЛАН СКОРОСТЕЙ
107
Пусть отрезки PxPt и PtP* на рис. 41, а опять являются
следующими друг за другом соседними элементами первой ли-
нии скольжения. Разложим вектор скорости в точке Рх на
компоненты и vt в первом и втором направлении скольже-
ния. Соответствующие компоненты скорости в точке Pt пусть
будут vx-\-dvx и Поскольку скорость удлинения
элемента PJ\ равна нулю, то векторы скоростей Р, и Р2
должны иметь одинаковые нормальные проекции на прямую PJ\.
Вдоль любой из линий скольжения выполняется поэтому соот-
ношение
dv1 — vtdft = 0. (9)
Аналогичным образом получим соотношение, имеющее место
вдоль любой второй линии скольжения
^ + ^/6 = 0, (10)
где $ опять обозначает приращение вдоль любой второй
линии скольжения. Уравнения (9) и (10) были выведены
Гейрингер1).
На плане скоростей рис. 41,6 отрезки (УР^ и ОпР\ пред-
ставляют векторы скоростей в точках Рг и Рв. Так как нор-
мальные проекции этих векторов на прямую Р,Рв одинаковы,
то отрезок PJPJJ должен быть нормален к отрезку РХРГ Соот-
ветствующий элемент любой линии скольжения в физической
’) G е i г i n g е г Н., Beitrag zum vollstandigen ebenen Plastizitats-
groblem, Ber. 3 Internal. Kongr. angew. Meeh. Stockholm, 1930, Bd. 2,
5*
108 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
плоскости и его изображение на плане скоростей также орто-
гональны1)»
Из этого свойства ортогональности и свойства ортогональ-
ности, найденного выше, следует далее, что соответствующие
элементы изображения линии скольжения в плоскости напряже-
ний и на плане скоростей параллельны друг другу.
До сих пор неподвижное поле скоростей предполагалось
непрерывным, хотя разрывные поля совместимы с понятием
идеально-пластического невязкого материала. Несжимаемость
материала ведет к тому, что компонент скорости в направлении
нормали к линии разрыва не может изменяться скачкообразно.
Отсутствие вязкости у материала допускает, однако, скачко-
образное изменение компонента скорости в направлении каса-
тельной к линии разрыва.
Рассматривая линию разрыва как предельное состояние не-
которой тонкой полосы, в которой скорости меняются хотя и
очень сильно, но непрерывно, получим, что линия разрыва не-
прерывности должна быть линией максимальной скорости сколь-
жения. Однако уравнения (8) показывают, что направления
главных напряжений совпадают с направлениями главных ско-
ростей деформации, и вследствие этого направления максималь-
ных касательных напряжений также совпадают с направлением
максимальной скорости скольжения. Линия разрыва непрерыв-
ности является поэтому линией скольжения.
Рассмотрим линию разрыва непрерывности, являющуюся
первой линией скольжения. Компонент скорости vt, нормальный
к этой линии, должен иметь одинаковую величину по обе сто-
роны этой линии, но касательный компонент скорости может
принимать по обе стороны этой линии различные значения
и v*. Записывая уравнение (9) для обеих сторон линии раз-
рыва и вычитая одно из этих уравнений из другого, получим:
—d^ = 0. (И)
Таким образом, скачок тангенциальной составля-
ющей скорости будет сохранять постоянное значение вдоль
линии разрыва. Этот результат имеет место также и для ли-
ний разрыва, являющихся вторыми линиями скольжения.
’) Этот результат был одновременно получен Гейрингер
(GeiringerН.)(Proc.Nat. Acad. Sci., Washington, 37, 214 (1951)) и Гри-
ном (Green A. P.) (Phil. Mag. (7) 42, 900 (1951)).
§ 5]
ПЛАН СКОРОСТЕЙ
109
Пусть точки Л и В на рис. 42, а являются смежными точ-
ками некоторой линии разрыва с. На плане скоростей рис. 42, б
обе стороны с соответствуют различным кривым с” и
Изображения Л’ и В" точек Л и В находятся на кривой с*, а
изображения этих точек Л** и В**на кривой с**. Так как ли-
ния разрыва с является некоторой линией скольжения, а соот-
ветственные элементы линии скольжения в физической плос-
кости и их изображения на плане скоростей являются ортого-
нальными, то касательные к сп и с** соответственно в точках
А” и Л** направлены по нормали к с в точке А. Поскольку»
далее, отрезок А"А*" представляет скачок касательного ком-
понента скорости в точке Л, то этот отрезок должен совпасть
с общей нормалью к с" и с*” в точках А" или Л**. Подобным
же образом отрезок ZTB* лежит на общей нормали к с” и с*
в точках В" или В**. Наконец, поскольку скачок касательной
составляющей скорости имеет вдоль с постоянное значение, то
Л*Л** =ВГВ*\ Следовательно, кривая с*” параллельна кривой с*.
Обе стороны линии разрыва в физической плоскости
отображаются на плане скоростей на две параллельные
кривые.
Исследуем важный особый случай полученного результата.*
Когда движение по одну сторону линии разрыва с является
поступательным перемещением, то эта сторона отображается
на одну-единственную точку С*. Цели с изогнута, то другая
110
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[гл. IV
сторона соответствует дуге круга с*" со средней точкой С",
Если, однако, с является прямой, то другая сторона также
отображается на одну-единственную точку с*\ т. е. движение
по эту сторону линии разрыва также является поступательным
перемещением.
§ 6. Построение полей линий скольжения
и планов скоростей по граничным условиям
В следующем примере показано, как с помощью изложен-
ных выше геометрических свойств из граничных условий можно
сконструировать поле линий скольжения и план скоростей.
Рис. 43
Пусть вдоль некоторого отрезка границы с заданы поверх-
ностные напряжения и пусть известно, что материал в окрест-
ности с находится в пластическом состоянии. Пусть точки В и С
на рис. 43, а являются двумя смежными точками с. Как разъ-
яснялось в связи с рис. 39, заданные поверхностные напряжения
в В и С определяют отображения этих точек в плоскости на-
пряжений, если только известно, с каким решением (со слабым
или сильным) имеют дело. На рис. 43, б, в основу которого
доложено слабое решение, точки В’ и С могут быть изобра-
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
111
§ 7]
жениями точек В и С в плоскости напряжений. Изображение
первой линии скольжения, проходящей через В, является ци-
клоидой, которая описывается точкой В*, когда круг, изобра-
женный сплошной линией, катится по прямой т=&. Изобра-
жение второй линии скольжения, проходящей через С, описы-
вается точкой С, когда круг, изображенный пунктиром, катится
по прямой т = — k. Точку пересечения этих циклоид обозна-
чим через D\ а соответствующую ей точку в плоскости на-
пряжений— через D.
Для того чтобы приближенно определить положение точки
D, будем приближенно считать дуги линий скольжения BD и CD
короткими отрезками круговых дуг. Касательные к этим дугам
в В, С и D ортогональны соответствующим касательным цикло-
иды в плоскости напряжений. Далее, если обозначить точку
пересечения касательных в крайних точках дуг BD и CD со-
ответственно через точки 1 и 2, то имеем следующие со-
отношения: Bl =D\ и C2=D2. Для того чтобы получить
первое геометрическое положение D, проведем В1* и D*l*
параллельно нормалям циклоиды BD' в точке В' или D' и
положим В1* равным D1*; тогда прямая BD* представляет
место точек D. Для того чтобы получить второе геометричес-
кое положение D, нужно таким же образом исходить из
точки С. Напряженное состояние в точке D однозначно опре-
деляется координатами точки D' и предположением о слабом
решении.
После того как по заданному поверхностному напряжению
таким способом сконструировано поле линий скольжения, можно
аналогичным путем определить поле скоростей по заданным
скоростям поверхности. Для этого необходимо использовать
свойство ортогональности соответствующих элементов линий
скольжения и их изображений на плане скоростей.
§ 7. Предельные случаи
В приведенном выше рассуждении молчаливо предполага-
лось, что некоторая область физической плоскости будет
отображаться на некоторую же область плоскости напряжений.
С другой стороны, при исследовании * геометрической связи
между точками физической плоскости и точками плоскости
плана скоростей уже упоминался случай, при котором некото-
рой области,' физической плоскости соответствует одна-еднн-
112 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
ственная точка на плане скоростей1). Отображение физичес-
кой плоскости на плоскость напряжений может выродиться
подобным же образом. Подобное вырожденное отображение
зачастую встречается в приложениях.
Пусть точки Я и В на рис. 44, а являются смежными точ-
ками некоторой прямой первой линии скольжения £, а окруж-
ность в плоскости напряжений на рис. 44, б является кругом
Л
Рис. 44
Чтобы найти полюс Л*
Мора для напряженного
этого круга, используем тот факт, что прямая, соединяющая А'
с наивысшей точкой / круга, параллельна прямой g.
Теперь нужно найти в плоскости напряжений точку В\
соответствующую точке В в физической плоскости. Поскольку
В лежит на первой линии скольжения, проходящей через Л,
то В' должна лежать на циклоиде, которую описывает точка А'
состояния в
А.
’) Примеры других типичных краевых задач см. у Прагера
‘rager W). A Geometrical discussion of the slip line field in plane
ow, Trans.-Roy-Inst Technology, Stockholm, Nr. 65 (1953).
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
ИЗ
§ 7]
при качении круга напряжений по прямой т = /г. Далее, нор-
маль к этой циклоиде в точке В' должна быть параллельна
касательной к линии скольжения g в точке В, точно так же
как нормаль циклоиды в точке Л' параллельна касательной к
g в точке А. Так как это имеет место для любой точки В линии
g и поскольку линия g является прямой, то точки & и А'
должны совпадать, т. е. вся прямая линия скольжения g будет
отображаться в точку А. Следовательно, напряженное со-
стояние вдоль некоторой прямолинейной линии скольжения
остается неизменным.
Если вторая линия скольжения Л, проходящая через Л,
является криволинейной, то ей соответствует циклоида Л', ко-
торую описывает точка Л' при качении круга напряжений по
прямой т = — k. Вторая линия скольжения, проходящая че-
рез В, будет отображаться на ту же самую циклоиду, причем
всегда точка В выбирается на линии g. Каждая точка циклоиды
h' соответствует поэтому некоторой первой линии скольжения.
Когда точки С и D являются точками одной из таких линий
скольжения /, то касательные к i в точках С и D должны
быть ортогональны касательным к h' в точках C = D'1).
Поэтому линия скольжения i является прямой линией. Таким
образом, обнаруживается, что некоторая прямолинейня линия
скольжения никогда не может существовать изолированно,
а является всегда одной из линий семейства прямолиней-
ных линий скольжения.
Область, в которой только одно из двух семейств линий
скольжения состоит из прямых линий, называется веером.
В частном случае, когда эти прямые проходят через одну точку,
говорят о центрированном веере. В этом случае линии сколь-
жения второго семейства являются концентрическими окружно-
стями. Вообще, прямые линии скольжения веера являются об-
щими нормалями параллельных кривых, образующих другое
семейство линий скольжения. В любом случае в физической
плоскости веер отображается на дугу циклоиды в плоскости
напряжений.
Если считать, что вторая линия скольжения Л, проходящая
через А (рис. 44, а) является также прямой линией, то эта линия
скольжения также отображается в точку А'. В этом случае поле
’) Здесь, так же как и на рис. 44, подразумевается, что соответ-
ствующие точки совпадают. {Прим. ред.\
114
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[ГЛ. IV
линий скольжения состоит из пересекающихся под прямым углом
прямых и напряженное состояние во всем поле постоянно. Та-
кое поле будет поэтому называться полем постоянного
напряженного состояния.
Вообще, некоторому семейству прямых линий в физической
плоскости на плане скоростей соответствует некоторое семейство
прямых линий (рис. 44, в). Если, однако, вектор скорости вдоль
некоторой прямой скольжения остается постоянным, то эта прямая
скольжения отображается на одну-единственную точку плана ско-
ростей, а все поле линий скольжения отображается на одну-единст-
венную кривую hn (рис. 44, г). В приложениях часто встречается
следующий случай: hn представляет собой некоторую окруж-
ность и начало координат 0я плана скоростей попадает в центр
этого круга. Тогда скорость во всех точках физической пло-
скости имеет одинаковую величину и линии тока совпадают
с криволинейными линиями скольжения.
Геометрическая связь между физической плоскостью и пло-
скостью напряжений может, также выродиться так, что некоторая
циклоида плоскости напряжений будет соответствовать одной-
единственной точке физической плоскости, являющейся тогда
общей точкой линий скольжения одного семейства. В такой
точке поле напряжений имеет особенность. Более подробное
исследование этой особенности предоставляется читателю.
§ 8. Условие положительной мощности рассеивания
Вышеприведенное рассуждение о геометрической связи фи-
зической плоскости с планом скоростей не учитывает одного
важного условия, заключающегося в том, что с данным полем
линий скольжения совместимо только такое поле скоростей,
для которого мощность рассеивания нигде не становится отри-
цательной.
Для того чтобы исследовать влияние этого условия, опре-
делим сначала направления касательных напряжений, действую-
щих на элемент, ограниченный линиями скольжения. Выберем
три вертикальных элемента Pv Р9 и Q, (рис. 45, а) таким
образом, чтобы отрезок PtP9 лежал на одной из первых линий
скольжения, а направление отрезка PtQt получалось бы при
повороте отрезка РгР2 на прямой угол против часовой стрелки.
Поскольку направления касательных напряжений не зависят
от величины среднего нормального напряжения а, можно поло-
§ 8] УСЛОВИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ РАССЕИВАНИЯ 115
жить а = 0, т. е. принять начало координат О' плоскости
напряжений на рис. 45, б, являющееся центром окружности,
за точку Р,. Направление касательного напряжения, действую-
щего на сторону элемента, совпадающую с первой линией
скольжения, получается тогда поворотом внешней нормали к
этой стороне на прямой угол по часовой стрелке. Однако для
того чтобы получить направление касательного напряжения,
действующего на стороне элемента, совпадающей со второй
линией скольжения, внешнюю нормаль к этой стороне элемента
нужно повернуть на прямой угол против часовой стрелки.
Мощность определенных таким образом касательных напряже-
ний считается положительной при уменьшении прямого угла
в точке Рк Рассматривая различные положения полюса PJ на
круге напряжений рис. 45, б, легко убедиться, что этот ре-
зультат носит общий характер, в предположении, что вершины
Pv Р9 и Q, выбраны указанным выше образом.
Скорость сдвига у, с которой происходит уменьшение пря-
мого угла в Р„ можно получить из рис. 41, а. Обозначив
длину отрезка F\Pt через ds, получим приращение у за счет
удлинения стороны Р,Рв в виде
^+©,^=0. (12)
as 1 1 as ' '
Аналогичным образом найдем приращение у за счет удлинения
стороны P.Q.:
8^ 80
(13)
116
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[ГЛ. IV
где 5s означает длину элемента PtQv Подставив в (12) и (13)
выражения для db и 50, полученные из (9) и (10), и предпо-
лагая, что ни Vj ни vt не обращаются в нуль, получим после
некоторых преобразований:
(14)
где q = v\-\-,v\— квадрат скорости. Выражение в скобке в
формуле (14) является положительным, если скорость растет
при поступательном перемещении в направлении скорости.
Рис. 46
Если построить линии тока в физической плоскости и их
отображения в плоскости скоростей, то можно легко опреде-
лить, имеет или не имеет места последний случай.
Пусть на рис. 46, a PltPt и являются вершинами неко-
торой малой ячейки линий скольжения, выбранной согласно
указанным выше правилам. Отображениями этих точек на плане
скоростей пусть будут точки PJ, Р* и QJ. Вектор скорости v
в точке Рг изображается вектором (УР\, идущим из начала
координат плоскости плана скоростей к точке PJ. Линия тока,
проходящая через Pv встречает границу рассматриваемой
ячейки в точке R\ соответствующей точкой на плане скоро-
стей пусть будет точка /?*. Отрезок O"Rn на рис. 46, б ко-
роче отрезка Следовательно, при движении вдоль линии
тока в том направлении, в котором направлена скорость,
последняя уменьшается, т. е. выражение в скобке в уравне-
нии (14) отрицательно. Поскольку, однако, компоненты и
§ 9] ПРЕССОВАНИЕ ПЛОСКОГО ТЕЛА 117
скорости v в направлениях PxPt и Р/}х соответственно
являются положительными, то скорость сдвига (14) оказы-
вается отрицательной. Следовательно, план скоростей рис. 46, б
не совместим с полем линий скольжения на рис. 46, а.
Вывод уравнения (14) становится сомнительным, когда
или vt делаются равными нулю. Однако этот случай легко
обойти, накладывая на рассматриваемое поле скоростей подхо-
дящим образом выбранное поступательное перемещение так,
чтобы после такого наложения компоненты скоростей были
отличны от нуля. Поэтому для нового поля скоростей уравне-
ние (14) будет выполняться. С другой стороны, новая скорость
сдвига равна старой, потому что поступательное перемещение
является бездеформационным движением.
Вышеуказанный критерий совместности некоторого поля
скоростей с некоторым заданным полем линий скольжения мо-
жет быть иным. Критерий, отличный от приведенного выше,
в котором используется кривизна линий скольжения и их
отображений на плане скоростей и который поэтому труднее
использовать, был дан Грином1).
§ 9. Прессование плоского тела
Исследование конечных пластических деформаций сравни-
тельно просто можно провести для задач стационарного пла-
стического течения. Для этого течения поле линий скольже-
ния в физической плоскости и его отображения на плоскость
напряжений и на план скоростей не изменяются со временем.
Однако, вообще, при движении некоторой частицы в постоян-
ном поле напряжений или в поле скоростей напряженное ее
состояние или ее скорость изменяются.
В качестве примера стационарного процесса течения рас-
смотрим прессование плоского тела через хорошо смазанную
матрицу. При этом, во-первых, примем, что уменьшение тол-
щины, достигаемое в результате прессования, составляет
ровно 5О°/о. Если перед или после прессования ширина тела
будет значительно больше его толщины, то в основном мы будем
иметь дело с некоторым плоским пластическим течением. На
рис. 47, а изображена верхняя половина поля линий скольже-
’) Green А. Р., The plastic yielding of notched bars due to ben-
ding, Quart. J. Meeh. appl. Math. 6, 223 (1953).
118 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
ния, предложенного для этого случая Хиллом ’). Поле состоит
из центрированного веера АВС и его зеркального отображения
относительно штрих-пунктирной оси симметрии. Поскольку ни
около гладкой стенки, ни около оси симметрии касательные
напряжения переноситься не могут, то линии скольжения АВ и
Рис. 47
АС должны подходить к оси симметрии и к стенке под уг-
лом 45°. Получающийся при этом угол раскрытия веера в 90°
соответствует принятому уменьшению толщины. Такое умень-
шение толщины и несжимаемость материала приводят к тому,
что скорость U материала в выходном сечении равна удвоен-
ной скорости и штампа.
Как было показано в § 7, веер АВС отображается на одну-
единственную циклоиду в плоскости напряжений. Так как мы
желаем исследовать чистое прессование без растяжения прес-
суемого тела, то компонент вдоль оси х вектора напряжений
на АВ должен быть равен нулю. Таким образом, вдоль пря-
мой АВ, наклоненной к оси х под углом в 45°, ах = 0, и,
следовательно, напряженное состояние вдоль этих прямых линий
скольжения будет постоянно, а касательное напряжение т
равно нулю в Л, а поэтому оно равно нулю и вдоль АВ.
Следовательно, полюс В' круга напряжений, соответствующего
АВ, попадает в начало координат плоскости напряжений. Этот
’) Н i 11 R., A theoretical analysis of the stresses and strains in
extrusion and piercing, J. Iron Steel Inst. 15% 177 (1948).
§ 9] ПРЕССОВАНИЕ ПЛОСКОГО ТЕЛА 119
круг напряжений должен быть одним из кругов, изображенных
на рис. 47, б. Круг, показанный сплошной линией, соответ-
ствует отрицательной величине ау вдоль ЛВ, другой круг —
положительной величине ау. Поскольку последний случай ка-
жется неправдоподобным, выбираем круг, изображенный сплош-
ной линией. Однако в дальнейшем еще нужно доказать спра-
ведливость этого предположения. Прямая, проведенная через В’
параллельно ЛВ, проходит через самую нижнюю точку II в
этого круга; следовательно, прямая АВ является второй линией
скольжения. Отображение первой круговой линии скольжения
ВС в плоскости напряжений (рис. 47, б) представляет циклоиду
В'С', описываемую точкой В' при качении круга напряжений,
изображенного сплошной линией, по прямой т=&. Точкам 7,
2 и 3 дуги круга АС в плоскости напряжений соответствуют
точки 7', 2' и 3', которые легко можно определить, используя
свойство ортогональности соответствующих касательных круга
и циклоиды. Тогда С' является полюсом пунктирного круга
напряжений, представляющего некоторое постоянное напряжен-
ное состояние вдоль АС. Вращение, с помощью которого
сплошной круг можно совместить с пунктирным, определяется
двойной величиной угла между IJ3' и 7сС', который равен тг.
Следовательно, абсцисса точки С равна ах =— (2-|-тг)&,
а ордината xXJ = 0. Если представить линию АС в виде ло-
маной ступенчатой линии, бесконечно малые ступеньки кото-
рой образованы линиями, параллельными осям координат на
рис. 47, а, то окажется, что горизонтальный компонент силы
на АС равен
Поскольку иа материал за выходным сечением не действует
никакая горизонтальная сила, то горизонтальное усилие, пе-
редаваемое на прессуемый материал справа через АС, должно
уравновешиваться горизонтальным усилием, передаваемым
штампом слева. Таким образом, среднее давление на единицу
поверхности штампа равно
Обратимся теперь к плану скоростей, изображенному на
рис. 47, в. Пластическое течение может иметь место только
внутри области, покрытой линиями скольжения, т. е. внутри
веера АВС.
120
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[ГЛ. IV
Прессуемый материал, находящийся между штампом и ду-
гой круга ВС, движется поэтому вправо как твердое тело со
скоростью штампа и, материал (((.мертвый, материала), заклю-
ченный в треугольнике ACD, остается в покое, а справа от АВ
прессуемый материал движется поступательно со скоростью
U = 2и. При этом границы веера АВ, ВС и СА должны быть
линиями разрыва поля скоростей.
Скорость в точке С по левую сторону линии разрыва СВ,
имеющей форму дуги круга, на плане скоростей представ-
ляется вектором О”С*” (рис. 47, в), тогда как по правую
сторону этой линии вдоль границы СА должен располагаться
мертвый материал. Далее, скачок скорости С*”С должен иметь
направление касательной к линии разрыва СВ в точке С. Это
условие однозначным образом определяет точку С".
Поскольку вся левая половина линии разрыва СВ будет
отображаться на точку С*" плана скоростей, то ее правая часть
должна соответствовать дуге круга С'В с центром в точке С**
(см. § 5 этой главы). Точки В, Г, 2п, 3" этой дуги круга,
соответствующие точкам В, 1, 2, 3 линии разрыва, опреде-
ляются с помощью условия ортогональности соответствующих
касательных.
Справа от линии разрыва АВ имеет место скорость U = 2и,
которая на плане скоростей будет изображаться вектором О"В*",
причем (УВ*" = 2 (О"С*"). Как легко убедиться, скачок ско-
рости, изображаемый отрезком В'В*п, касателен к линии раз-
рыва АВ.
Теперь, после того как таким образом найдено поле ско-
ростей, совместимое с граничными условиями и указанным
выше полем напряжений, определим линии тока происходящего
течения. Для этой цели на каждом луче АВ, А1, ... рис. 47, г
в физической плоскости наметим соответствующие направления
скоростей, которые на плане скоростей даются прямыми (УВ'
или (УТ........Тогда линии тока являются интегральными
кривыми этого поля направлений, т. е. они должны пересекать
эти лучи под заданными углами. Точность этого графического
интегрирования можно проверить следующим образом. Если,
например, слева от ВС линии тока делят высоту матрицы на
четыре равные части, то вследствие несжимаемости материала
линии тока справа от АВ должны делить уменьшенную высоту
тоже на четыре равные части. Следовательно, линии тока,
§ 9] ПРЕССОВАНИЕ ПЛОСКОГО ТЕЛА 121
подходящие слева и очерченные веером АВС, должны кон-
чаться в середине и в четвертушках отрезка АВ.
Наконец, мы должны еще доказать, является ли мощность
рассеивания, соответствующая вышеуказанным напряжениям и
скоростям, повсюду положительной. Рассмотрим, например,
точку 1 на рис. 47, г. Здесь отрезки 1В и 1А являются со-
ответственно элементами первой и второй линий скольжения и
нормальны друг другу; компоненты скорости в точке 1 (т. е.
вектор ОТ на рис. 47, в) в указанных направлениях положи- •
тельны. Далее, скорость на ВА, определяемая кривой О"В',
больше скорости на 1А, определяемой кривой ОТ. Следова-
тельно, скорость увеличивается при движении в направлении
скорости от точки 1 вдоль линии тока. Для рассматриваемого
здесь стационарного течения это свойство можно вывести
проще, констатируя, что частица, находящаяся в точке 7, в
тангенциальном направлении только ускоряется, а не замед-
ляется. Поэтому согласно критерию, выведенному в § 8, мощ-
ность рассеивания в точке 1 будет положительной. Легко по-
казать, что это положение имеет место во всем веере АВС.
Теперь нужно еще доказать, является ли положительной
мощность рассеивания, соответствующая напряжениям и скач-
кам скоростей ца линии разрыва. Как видно, по кругу напря-
жений, изображенному на рис. 47, б сплошной линией, вектор
напряжений, переносимый, например, с правой стороны АВ на
левую, направлен по положительной ветви оси у', следова-
тельно, его касательный компонент направлен от В к А С дру- .
гой стороны скачок тангенциальной составляющей скорости
при переходе АВ слева представляется на рис. 47, а отрезком
ВВ*”. Таким образом, знак этого скачка скорости соответ-
ствует знаку касательного напряжения, и мощность рассеивания
на линии разрыва является положительной. Аналогичным обра-
зом убедимся без труда, что другие разрывы также приводят
к положительной мощности рассеивания.
В результате устанавливаем, что найдено кинематически
возможное поле скоростей, определенное для всего материала
и совместное с полем напряжений, определенным в веере АВС.
Соответствующая этому полю мощность рассеиЬания нигде не
принимает отрицательного значения. Для материала вне веера
АВС, который остается жестким, мощность рассеивания, кото-
рая могла бы отвечать напряжениям в этой области, всегда
равна нулю.
122 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
Как было выведено в § 9 главы III, из вышеприведенного
утверждения следует, что величина давления штампа, вычис-
ленная по полю напряжений, является верхней границей для
действительного давления штампа при плоском прессовании
жестко-пластического идеального материала. Для того чтобы мож-
но было утверждать, что вычисленная величина дает действитель-
ное давление штампа, необходимо еще показать, что поле напря-
жений, определенное до сих пор только внутри веера ЛВС,
может быть продолжено в жесткий материал статически допус-
тимым образом так, что предел текучести материала нигде не
будет превзойден. В область, находящуюся справа от ЛВС,
такое продолжение возможно провести тотчас .же. Можно, на-
пример, принять, что в треугольниках ACD и АВО имеют
место напряженные состояния, изображаемые пунктирным или
сплошным кругом на рис. 47, б, и что справа от АО материал,
выходящий из штампа, свободен от напряжений. Тогда, не-
смотря на то, что на прямой АО терпит разрыв, такой раз-
рыв непрерывности не нарушает ни одного условия равновесия.
Однако продолжение поля напряжений из области ЛВС в
область, расположенную слева от нее, представляет менее прос-
тую задачу и до сих пор еще не известно продолжение, удов-
летворяющее всем условиям.
Для явлений плоского пластического течения, которые можно
хорошо исследовать даже с помощью изложенных здесь мето-
дов, эта проблема продолжения поля напряжений из области
пластического течения в жесткую область является, пожалуй,
самой значительной из еще не разрешенных задач. Важным
вкладом в эту задачу, хотя и не дающим полного ее решения,
являются недавно появившиеся работы Бишопа1 2 *) и Хилла8).
Вытяжка,, равная 50°/о, положенная в основу вышеприведен-
ного примера, приводит к особенно простому полю линий сколь-
жения. После исследования подобного случая нередко с помощью
продолжения полей скольжения частного вида можно получить
решение более широкого класса задач. Для рассматриваемого
здесь процесса прессования это показано на рис. 48. Внутри
веера АВС поле напряжений совпадает с полем, представленным
на рис. 47. Однако затем веер, продолжается еще наружу
’) Bishop J. F., On the complete solution to problems of defor-
mation of a plastic rigid material, J. Meeh. Phys Solids 2, 43 (1953).
2) H i 11 R., On the limit set by plastic yielding to the intensity of
singularities of stress, J. Meeh. Phys. Solids 2, 278 (1954).
§ 9]
ПРЕССОВАНИЕ ПЛОСКОГО ТЕЛА
123
124 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [гЛ. IV
через луч ЛС, а луч А1 продолжается с помощью криволи-
нейной линии скольжения 1—5, которая должна подходить к
оси симметрии под углом 45°. Тогда с помощью методов, опи-
санных в § 6, по точкам /, 2, 5 и точкам 2' 5\ 6' пло-
скости напряжений определяем точку 6 и т. д. Наконец,
верхняя граница матрицы определяется благодаря тому, что
линии скольжения5—6 — ...должны подходить к ней под углом
45°. С помощью соответствующего выбора лу.ча А1 можно
обеспечить положение этой границы в определенных пределах.
Читателю предоставляется исследовать единственность рис. 48.
Укажем здесь только, что линией разрыва непрерывности поля
скоростей вместо линии скольжения АВ является линия сколь-
жения А—1—5. Для того чтобы не перегружать рис. 48,
эти .линии изображены в большем масштабе, чем тот, кото-
рый требуется для соблюдения необходимой точности.
§ 10. Проникновение жесткого клина
в плоское полупространство; сочетание приведенной
диаграммы и плана скоростей
За задачей стационарного пластического течения в порядке
возрастающей сложности следует задача псевдостационарного
пластического течения, на которую впервые указали Хилл,
Ли и Таппер1). В этом случае поля линий скольжения в раз-
личные моменты времени подобны друг другу, а отображения
поля линий скольжения в плоскости напряжений и на плане
скоростей с течением времени не меняются.
В качестве примера псевдостационарного пластического те-
чения рассмотрим проникновение хорошо смазанного клина в
пластическое полупространство. На любой стадии процесса
проникновения глубина проникновения является единственным
характерным линейным размером. Следует поэтому ожидать,
что сетка линий скольжения будет подобным образом увеличи-
ваться пропорционально глубине проникновения i. При / = 0
сетка стягивается в некоторую точку О, которую назовем
центром возмущения.
При стационарных задачах поле скоростей не меняется
с течением времени и траектории частиц совпадают с линиями
,) Н111 R., Lee Е. Н., Т и р р е г S. J., The theory of wedge
indentation of ductile materials, Proc. Roy. Soc., London, серия A,
188, 273 (1947).
§ 10]
ПРОНИКНОВЕНИе ЖЕСТКОГО клина
125
тока. В нестационарных же задачах определение траекторий
осложняется тем обстоятельством, что поле скоростей рас-
ширяется и с течением времени охватывает все большее и
большее число частиц.
Как заметили указанные выше исследователи, лучше всего
псевдопластическое течение изучать на приведенной диаграмме.
Проведем из центра возмущения О радиус-вектор г некоторой
произвольной частицы Р в физической плоскости
Г = Г*/, (15)
где t является линейным размером, определяющим некоторую
стадию процесса течения (в рассматриваемом примере это будет
глубина проникновения клина). Опишем теперь движение час-
тицы Р в физической плоскости с помощью движения точки
Р* радиуса-вектора г* на приведенной диаграмме. При этом
начало ‘ координат О* приведенной диаграммы соответствует
центру возмущения О в физической плоскости. Когда сетка
линий увеличивается так, что в различные моменты времени
остается подобной самой себе, ее отображение на приведенной
диаграмме остается неизменным. Согласно уравнению (15) глу-
бина проникновения клина является единицей длины на при-
веденной диаграмме.
«Вектор скорости» частицы Р физической плоскости равен
v = ~-, а вектор скорости точки Р* на приведенной диаграмме
г*
равен v*=—тт. Таким образом, согласно (15) имеем:
(It г*
fv* = v — г*. (16)
Отложим теперь вектор V от начала координат О* приведен-
ной диаграммы. Конечная точка Р" этого вектора соответствует
на плане скоростей с началом О* точке Р физической плоскости.
Тогда из уравнения (16) следует, что вектор V* имеет направ-
ление Р*Р". В силу этого свойства комбинации приведенной
диаграммы и плана скоростей можно легко исследовать траек-
торию Р* на приведенной диаграмме.
Частица, которая в некоторый момент времени находится
на свободной поверхности, вообще не проникает внутрь тела,
а будет оставаться на поверхности. Таким образом, траектория
соответствующей точки на приведенной диаграмме будет
совпадать с отображением поверхности на этой диаграмме.
126 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
Значит, это отображение должно быть таким, чтобы касательная
к нему в любой точке Р* проходила через соответствующую’
точку Р" комбинации плана скоростей с приведенной диаграммой.
Это свойство было впервые замечено Грином1).
Обращаясь теперь к поставленной выше задаче о проник-
новении клина, примем предварительно, что поле линий сколь-
жения имеет вид поля, изображенного на рис. 49. Этот рисунок
изображает только левую половину поля. Граница АВ венца,
образующегося в результате проникновения клина, считается
прямолинейной. В прямоугольном равнобедренном треугольнике,
образованном АВ и линиями скольжения АС и ВС, имеет место
постоянное напряженное состояние. К клину прилегает тре-
угольник AED, равный треугольнику АВС, в котором имеет
место постоянное напряженное состояние; оба треугольника
разделяются друг от друга веером ACD. Для того чтобы
определить положение и наклон венца АВ относительно невоз-
мущенной поверхности пластической м^ссы, примем, что глу-
бина проникновения t = 1, так что поле линий скольжения
в данный момент совпадает со своим отображением на приве-
денной диаграмме. Под линией скольжения BCDE материал
находится в покое, тогда как выше этой линии скольжения
материал течет вдоль нее влево вверх. Таким образом, эта
’) Green А. Р., On the use of hodographs in problems of plane
plastic strain, J. Meeh. Phys. Solids 2, 73 (1954).
§ 10]
ПРОНИКНОВЕНИЕ ЖЕСТКОГО КЛИНА
127
линия скольжения является линией разрыва поля скоростей.
Однако разрыв скорости не влечет за собой разрыва в пере*
метении, потому что линия разрыва проникает в материал
вместе с клином, так что одна определенная частица находится
под влиянием разрыва скорости только в течении бесконечно
малого промежутка времени. Нижняя сторона линии разрыва
отображается на начало О* плана скоростей, верхняя сторона
соответствует дуге круга с центром в О*.
При определении «скорости» v в качестве «времени» ис-
пользовалась глубина проникновения f, т. е. вертикальная
скорость клина была выбрана в качестве единицы скорости.
Следовательно, на нашем плане скоростей скорость клина пред-
ставляется вектором, идущим из начала О* к вершине клина Е.
Скорость некоторой частицы, находящейся на прямой ЛЕ, может
отличаться от скорости клина только на величину скорости
скольжения, направленную вдоль АЕ. С другой стороны, ча-
стица, находящаяся на АЕ в бесконечно малой окрестности
точки Е, движется вдоль прямой ED, составляющей угол в 45°
со стороной клина ЕЛ. Таким образом, можно найти отобра-
жение частицы Е* на плане скоростей, если провести через
О* линию, параллельную ED до пересечения с отрезком ЛЕ.
Точка пересечения Е” определяет тогда радиус дуги круга
с, соответствующей верхней стороне линии BCDE.
В соответствии с геометрией выбранного поля линий сколь-
жения отрезки ЛЕ и ЛЕ имеют одинаковую дли ". Далее,
точке В плана скоростей соответствует некоторая точка В*
дуги круга с, причем так, что О*В" параллельно прямой ВС,
составляющей с АВ угол в 45°. Затем, согласно вышеизложен-
ному, касательная к свободной поверхности в точке В, т. е.
прямая ВЛ, должна проходить через точку В*. Как легко убе-
диться, эти условия определяют точки Л и В, положение
которых находится просто с помощью подбора. Наконец, в ка-
честве контрольного условия можно использовать равенство
площадей поверхности венца и вытесненного треугольника.
Читателю предоставляется возможность исследовать поле
напряжений, соответствующее определенному выше полю линий
скольжения, и, в частности, напряжения сжатия, возникающие
на сторонах клина. Здесь мы хотим прибавить только еще
несколько замечаний, касающихся поля скоростей и траекторий
частиц. Из геометрической связи между физической плоскостью
и планом скоростей следует, что треугольники ЛВС и ADE
128 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [гЛ. IV
целиком отображаются на точке В" или Е” плана скоростей,
и каждому лучу веера ACD соответствует некоторая точка
дуги круга с. Итак, во всем поле линий скольжения ABCDE
величина скорости определяется величиной радиуса круга с.
Теперь можно легко изобразить траекторию некоторой про-
извольной частицы на приведенной диаграмме рис. 49. Нижняя
сторона BCDE соответствует на плане скоростей точке О*.
Следовательно, под этой линией скольжение траектории каждой
частицы представляет прямую, направленную к О*. Смотря по
тому, как попадает частица в поле линий скольжения, через
ВС, CD или DE, на приведенной диаграмме будем иметь три
типа траекторий. Все три*типа изображены на рис. 49 линиями,
обозначенными цифрами /, // или III. Линия /, например,
является прямолинейной снизу от ВС и направлена к точке О*;
в треугольнике АВС эта линия также является прямолинейной,
но направлена к точке В*. Внутри веера ACD линия стано-
вится криволинейной; например, в точках пересечения линии
со сторонами АС и AD или линией, делящей пополам угол
веера, касательные к этой линии направлены в точки В” или Е"
или в среднюю точку дуги круга ЕЕ. В треугольнике ADE ли-
ния опять становится прямолинейной и направлена в точку Е*.
Определенные таким образом траектории дают понятие о
процессе формирования материала. Мы узнаем, например, что
материал, отображающийся на приведенной диаграмме на тре-
угольник АВС, повсюду движется в направлении О*В*. Следо-
вательно, первоначально этот материал заполняет треугольник
BCF, причем F является точкой пересечения прямой, прове-
денной из А параллельно О*В" с невозмущенной поверхностью ’).
§ 11. Плоское течение растянутого стержня с. выточкой
К сожалению, имеется мало задач пс^вдостационарного те-
чения, которые имели бы важное практическое значение1).
И даже при учете тех задач (касающихся обратных псевдоста-
*) Для ознакомления с подробным исследованием процесса дефор-
мации, а также с картиной деформации первоначально квадратной
решетки читателю следует обратиться к работе: Hill R., Lee Е. Н.,
Tupper S. J., The theory of wedge indentation of ductile materials,
Proc. Roy. Soc., London, A188, 273 (1947).
2) Cp. Hill R., Some special problems of indentation and compres-
sion in plasticity, Ber. 7. Internat. Kongr. angew. Meeh., Bd. I (London,
§ И] ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ 129
ционарных течений), которые были впервые упомянуты Ли ’),
эта группа задач сравнительно мала.
В порядке возрастающей трудности за ней следует группа
задач, которые, кажется, не могут быть еще систематически
изложены. Хотя в задачах этой группы поле линий скольжения
меняет свое очертание в процессе течения, однако отображения
линий скольжения в плане скоростей не изменяются, так же
как их отображения на плоскость напряжений представляют
собой циклоиды, которые не изменяются в процессе деформации.
То обстоятельство, что картину линий скольжения в плоскости
напряжений и на плане скоростей нужно начертить только
один раз, очевидно, облегчает изучение переменного поля линий
скольжения в физической плоскости.
На рис. 502) показана задача подобного рода. Речь идет
о растянутом стержне с выточкой, толщина которого в направ-
лении, перпендикулярном к плоскости фигуры, достаточно велика,
так что имеет место некоторое плоское течение. Рис. 50, а
изображает только правую половину стержня вблизи основания
надреза выточки. Выточка предполагается настолько глубокой,
что контуры стержня справа на рисунке не изображены. Читателю
предоставляется самому изучать плоскость напряжений, изобра-
женную на рис. 55, б, и план скоростей, представленный на
рис. 50, в. Мы ограничимся тем, что покажем, почему отобра-
жения линий скольжения на плане скоростей являются фикси-
рованными кривыми.
Границы AtAs и ASES поля линий скольжения в физической
плоскости являются линиями разрыва поля скоростей. На плане
скоростей (рис. 50, в) материал, находящийся сверху от
отображается в точку /Г, а материал, лежащий под Л5£5,
отображается в точку £* *. При этом точка А"5 определяется
как вершина прямоугольного равнобедренного треугольника
K”L”A". Какое бы ни было очертание дуг скольжения AtAs и
Л5£5, в физической плоскости их отображения на плане ско-
ростей попадают на окружности, проходящие через Л" с цент-
рами в точках /С и
*) L е е Е. Н., Plastic flow in a V-notched bar pulled in tension,
J. appl. Meeh. 19, 331 (1952).
*) Взята из работы: Prager W., A. Geometrical discussion of
the slip line field in plane plastic flow, Trans. Inst Technology, Stock-
holm, Nr. 65 (1953).
130
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[гл. IV
§11] ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ 131
Закрепим теперь в плоскости напряжений (рис. 50, б) по-
ложение оси а, а вопрос о положении оси т оставим пока от-
крытым. Если положение точки возьмем произвольно, то
Рис. 51
указанным на рис. 50, б способом можем построить некоторую
сетку циклоид. Дуги циклоид, выходящие из точки А'5, на
плане скоростей соответствуют дугам кругов, выходящих из
точки А*. Параллельность соответствующих касательных позво-
ляет построить на плане скоростей криволинейную сетку, соот-
132
КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
[ГЛ. IV
ветствующую сетке циклоид в физической плоскости. Как бы
ни менялась конфигурация выточки в физической плоскости
в процессе течения, мы всегда можем выбрать в этой плоскости
линии скольжения таким образом, чтобы на плане скоростей
им соответствовали раз и навсегда начерченные кривые. Считая,
что скорости, полученные на плане скоростей, имеют место
в течение короткого промежутка времени, получим малые пере-
мещения граничных точек, а вместе с тем и новую форму
выточки, изображенную на рис. 50, а пунктиром. Чего можно
достичь этим способом при известном терпении, видно из рис. 51,
взятого из работы Гарра, Ли и Ванга1). Этот рисунок изобра-
жает три стадии процесса деформирования первоначально квад-
ратной сетки левой половины стержня.
§ 12. Пример линеаризации растяжения трубы
Графические методы, описанные в предыдущих параграфах,
очень напоминают аналогичные методы, применяющиеся к ис-
следованию двумерных сверхзвуковых течений. Приходит по-
этому мысль исследовать возможность перенесения сюда других
методов, оказывающихся полезными при исследовании сверх-
звуковых течений.
В существовании подобной возможности можно убедиться
на следующем примере линеаризации.
Рассмотрим тонкостенную трубу, которая протягивается
через хорошо смазанную коническую матрицу (рис. 52, а).
Поскольку напряжения сжатия, развивающиеся между трубой
и матрицей, малы по сравнению с напряжениями <зт и в мери-
диональном и окружном направлениях, то напряженное состояние
в стенке трубы можно рассматривать как плоское. Тогда эллипс,
приведенный на рис. 52, б, изображает условие текучести
Мизеса. В частности, напряженные состояния в трубе
на входе и выходе из матрицы могут изображаться точка-
ми Л и В. Очевидно, что точка А на рис. 52, б зани-
мает правильное положение, поскольку на входе в матри-
цу ада = 0 и Положение точки В является пока
еще не известным.
’) G а г г L. J., L е е Е. Н., W a n g A. J., Brown University. Report
DA-2598/3 (1953).
§ 12] ПРИМЕР ЛИНЕАРИЗАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ ТРУБЫ 133
Аппроксимируем теперь дугу эллипса АВ секущей АВ*
т. е. используем линеаризированное условие пластичности
— (17)
где с — произвольная еще неизвестная постоянная. Согласно те-
ории пластического потенциала это линеаризированное условие
Рис. 52
текучести соответствует закону течения, по которому отно-
шение скоростей удлинения и ёг в меридиональном и окруж-
ном направлениях сохраняет постоянное значение
Ч
Этот закон течения, условие несжимаемости материала и форма
матрицы полностью определяют процесс деформирования трубы
в процессе волочения. После того как этим способом определено
изменение толщины стенки вдоль матрицы, из условия равно-
весия в меридиональном направлении и линеаризированного
условия пластичности можно определить напряжения ат и аг.
Весь расчет легко может быть проведен для некоторого еще
неопределенного с. Величина с, наконец, может быть определена
из условия, что напряженное состояние на входе в матрицу
должно изображаться одной точкой эллипса Мизеса. Например,
для отношения у = 2 меридиональное напряжение на входе в
матрицу по этому расчету равно
^=0,693»,. (19)
134 КОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ [ГЛ. IV
Свифт1) исследовал ту же самую задачу; используя, однако,
линеаризированное условие текучести, он сохранил нелинейный
закон текучести Мизеса и нашел с помощью численного инте-
грирования, что а^ = 0,685 а0. Представленная выше одновре-
менная линеаризация условия текучести и закона течения ведет
к весьма простому расчету и практически дает ту же самую
величину напряжения, необходимого для волочения трубы.
’) Swift Н. W., Stresses and strains in tube drawing, Phil. Mag. (7),
40, 883—902 (1949).
ИМЕННОЙ
Бакер (Baker J. F.) 57
Бишоп (Bishop) 122
Блейх (Bleich H.) 41. 46
Ванг (Wang A. J.) 132
Гарр (Garr L. J.) 132
Гвоздев A. A. 8
Гейрингер (Geiringer H.)107, 108
Гоффман О. 9
Грин (Green A. P.) 108, 117, 126
Гринберг (Greenberg H. T.) 38, 52, 57
Драккер (Drucker D. C.) 52, 91, 96
Закс Г. 9
Зауер (Sauer R.) 106
Ильюшин A. 8
Иогансен (Johansen К. W.) 81
Казинци (Kazinczi G.) 56
Карман (Kdrmfa T.) 37
Качанов Л. M. 9
Кист (Kist N.) 56
Койтер (Koiter W. T.) 24, 26
Кухарян (Kooharian A.) 96
Леви (Levy M.) 23
Лн (Lee E. H.) 55, 124, 128, 130, 132
УКАЗАТЕЛЬ
Macco (Massau J.) 106
Мелан (Melan E.) 41
Мизес P. (von Mises R.) 21, 23, 26, 27, 50
Нил (Neal B. G.) 57
Онат (Onat E. J.) 68, 84. 85. 92. 93
Прагер В. (Prager W.) 9, 15, 24, 26, 37,
45, 46, 47, 52. 56. 57, 68. 69. 85, 96,
106, 112, 130
Ржаницын P. A. 45
Саймондс (Symonds P. S.) 37, 45, 57
Свифт (Swift H. W.) 133
Сен-Венан (de Saint Venant B.) 23
Таппер (Tupper S. J.) 124, 128
Тейлор (Taylor О. I.) 50
Треска (Tresca H.) 23, 29
Файнберг С. M. 40
Финци (Finzi L.) 45
Франчози (Franciosi V.) 45
Xap (Haar A.) 37
Хейфорнуейт (Haythornthwaite R. M.) 93
Хенки (Hencky H.) 106
Хилл (Hill R.) 9, 50, 55, 118, 122,124, 128
Ходж (Hodge P. G.) 9, 15, 45, 52, 84
Хопкинс (Hopkins H. G.) 69
Хорн (Horne M. R.) 46
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Балка двутавровая, нагруженная попе*
речной силой и изгибающим момен-
том 15
Веер ИЗ
— центрированный ИЗ
Вектор деформаций 17
— напряжений 17
Гука закон И
Деформации конечные 97 и д.
Диаграмма напряжение — сжатие иде-
ально-пластического материала 13
— приведенная 125
Закон Гука И
— течения 26
Интенсивность нагрузки 33
Круг напряжений Мора 101
Линеаризация растяжения трубы 132
Линия скольжения 108, 110
Материал жестко-пластический 54
— идеально-пластический 12
-идеально-упругий И
—, лишенный вязкости 14
136
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Материал «мертвый» 120
— упруго-пластический 54
Механизм пластический 27, 58
Многоугольник текучести 33, 34
Модель динамическая 14
— кинематическая 14
Мора круг напряжений 101
Мощность рассеивания 24, 29, 47
Нагрузка обобщенная 50
— предельная 39, 47 и д., 54 •
— текучести 92
Напряжения главные 69
— обобщенные 25, 47
Область текучести 64
Оболочка цилиндрическая 81 и д., 86
Ортогональность между упругим напря*
женным состоянием и состоянием
самойапряжения 42
План скоростей 106
Пластина 68 и д., 73 и д.
Плоскость напряжений 100, 103
— равновесия 43
— физическая 100, 103
Поверхность текучести 25
Поле напряжений 50
----стабильное 52
----статически допустимое 52
— постоянного напряженного состояния
114
— скоростей деформаций 50
----перемещений 51
------кинематически допустимое 52
------нестабильное 52
Полоса текучести 34
Полюс круга напряжений 101
Потенциал пластический 23, 24, 25
----обобщенный 23, 26
Предел текучести 55
Прессование плоского тела 119
Принцип виртуальных скоростей 51
— Гринберга 38
— максимальной удельной мощности
рассеивания 50
Принципы экстремальные 38
Приспособляемость 40
Прямая равновесия 33, 39, 43
Работа рассеивания удельная 49
Рама круговая 65
— портальная 56 и д.
Расчет по предельным нагрузкам 47
---------, вторая основная теорема 53
---------, первая основная теорема 52
Решение сильное 102
— слабое 102
Сила продольная 62
Скорость деформации 14, 29, 50
---обобщенная 47
— перемещения 51
Состояние напряженное остаточное фик-
тивное 37, 42
--- плоское 69
— самонапряжения 32
Способность несущая 39
--- пластин 73
---цилиндрических оболочек 86
Стержень с выточкой, плоское течение
128 и д.
Тело жестко-пластическое 54
— идеально-пластическое 12
— идеально-упругое 11
— лишенное вязкости 14
— упруго-пластическое 54
Теорема основная вторая метода расче-
та по предельным нагрузкам 53
---первая метода расчета по предель-
ным нагрузкам 52
Течение пластическое псевдостационар-
ное 124
---стационарное 117
Труба тонкостенная при совместном
действии растяжения и кручения 21
Условие пластичности линеаризованное
132
— текучести 27, 64 -»
— — Мизеса 27
---Треска 29
Центр возмущения 124
Числа упругости 32
Шарнир пластический 56