Современные проблемы физики. Введение в теорию сверхтекучести - Халатников И.М.

Author: Халатников И.М.

Tags: физика теоретическая физика физика твердого тела твердое тело

Year: 1965

Similar

Современные проблемы антропогенеза

Коллективные явления в плазме . Современные физико-технические проблемы

Философские проблемы современной физики

Задачи по физике твердого тела

Text

СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
ФИЗИКИ
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
«.Успехи физических наук»
'*")¦
*•¦
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

И. М. ХАЛАТНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
СВЕРХТЕКУЧЕСТИ
twfipan
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

530.1
X 17
УДК 530.14
АННОТАЦИЯ
Монография посвящена изложению со-
современного состояния теории сверхтекуче-
сверхтекучести. Явление сверхтекучести занимает
исключительное место в современной фи-
физике. В первую очередь интерес к этому
явлению объясняется тем, что здесь мы
сталкиваемся с применением квантовых
законов в области макроскопической фи-
физики. Интенсивное изучение этого явления
способствовало прогрессу всей физики
твердого тела, а идеи и методы теории
сверхтекучести оказались плодотворными
во многих разделах физики, включая и
столь отдаленные от геории твердого тела,
как, например, теория атомного ядра. Автор
книги внес значительный вклад в развитие
теории сверхтекучести.
Книга рассчитана на научных работни-
работников и инженеров, а также может служить
учебным пособием для аспирантов и сту-
студентов старших курсов, специализирую-
специализирующихся в области теоретической физики и
физики твердого тела.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 6
1. Энергетический спектр квантовой жидкости и сверхте-
сверхтекучесть 7
2. Термодинамические функции гелия II 14
3. Квантование движения жидкости 20
4. Связь энергетического спектра возбуждений со струк-
структурным фактором жидкого гелия II 23
5. Энергетический спектр слабо неидеального бозе-газа 29
6. О форме спектра элементарных возбуждений вблизи
особых точек 33
7. Взаимодействие элементарных возбуждений 41
8. Гидродинамика сверхтекучей жидкости 54
9. Диссипативные члены в гидродинамических уравнениях 61
10. Распространение звука в сверхтекучей жидкости ... 65
11. Излучение звука в сверхтекучей жидкости 69
12. Поглощение звука 75
13. Разрывы в сверхтекучей жидкости 77
14. Четвертый звук 85
15. Капиллярные волны 86
16. Гидродинамика вращающейся сверхтекучей жидкости 88
17. Гидродинамика сверхтекучей жидкости вблизи Х-точки 101
18. Кинетическое уравнение для элементарных возбужде-
возбуждений 106
19. Теплопроводность 112
20. Первая вязкость 119
21. Коэффициенты второй вязкости гелия II 121
22. Звук в жидком гелии II вблизи абсолютного нуля . . . 125
23. Теплообмен между твердым телом и гелием II .... 128
24. Растворы посторонних частиц в сверхтекучем гелии II 136
25. Диффузия и теплопроводность в слабых растворах Не3
в гелии II 152
Литература 158

ПРЕДИСЛОВИЕ
Со времени открытия П. Л. Капицей явления сверх-
сверхтекучести в жидком гелии II прошло немногим менее
30 лет. Можно без преувеличения сказать, что влияние
этого открытия на всю макроскопическую физику было
поистине революционным.
Объяснение этого явления, данное Л. Д. Ландау и
основанное на оригинальном применении квантовых зако-
законов к макроскопическим системам, способствовало про-
прогрессу всей теории твердого тела. Дальнейшее развитие
физики твердого тела показало, что явление сверхтеку-
сверхтекучести не является чем-то исключительным и присущим
только сверхтекучему гелию. По существу, в том или
ином виде это явление обнаруживается во всех макро-
макроскопических системах в области действия квантовых зако-
законов. Так, в сверхпроводимости мы имеем дело со сверх-
сверхтекучестью электронов в металлах.
Идеи и методы теории сверхтекучести оказали исклю-
исключительное влияние и на другие разделы теоретической
физики. Современная теория ядра широко использует
представление о сверхтекучих свойствах ядерного вещества.
Настоящая книга посвящена изложению современного
состояния теории сверхтекучести.
*,. Автор
26 декабря 1964 г. »

I. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
В жидком гелии при температуре 2,18°К происходит
фазовый переход второго рода. Ниже Я-точки жидкий
гелий (гелий II) обладает рядом необыкновенных свойств,
наиболее замечательным из которых является сверхтекучесть,
открытая П. Капицей. Сверхтекучестью называют способ-
способность жидкого гелия II протекать без трения через узкие
капилляры. Можно без труда убедиться в том, что де-
бройлевская длина волны атомов гелия при температурах
порядка 1—2° К сравнима с межатомными расстояниями.
Отсюда следует, что гелий II является существенно кван-
квантовым объектом. Таким образом, гелий II представляет
собой не классическую, а квантовую жидкость. Как из-
известно, имеется два устойчивых изотопа гелия — Не4 и
Не3 с массами 4 и 3 в атомных единицах соответственно.
Свойством сверхтекучести обладает жидкость, образован-
образованная из атомов Не4, т. е. из частиц, подчиняющихся ста-
статистике Бозе. Атомы Не3 также образуют квантовую
жидкость, которая, однако, в указанной выше области
температур свойством сверхтекучести не обладает. Кван-
Квантовую жидкость, образованную фермиевскими частицами,
принято называть ферми-жидкостью. Таким образом,
свойством сверхтекучести обладает лишь жидкость, со-
состоящая из бозе-частиц.
В последнее время стало, однако, ясно, что в ферми-
жидкости, состоящей из атомов Не3, при достаточно
низких температурах (по-видимому, порядка 0,001°К)
должно происходить спаривание, т. е. образование частиц
бозевского типа. А это обстоятельство должно сопро-
сопровождаться возникновением сверхтекучести. Таким образом,
складывается впечатление, что свойство сверхтекучести

8 1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ
присуще в том или ином виде всем квантовым жидкостям.
Перечень макроскопических объектов, являющихся кван-
квантовыми жидкостями, ограничен лишь упомянутыми двумя
жидкостями, образованными изотопами гелия *). Однако
со свойствами сверхтекучести мы встречаемся и в других
объектах. Так, электроны в металлах при низких темпе-
температурах могут образовывать пары, т. е. бозе-частицы,
что приводит к сверхтекучести «электронной жидкости».
Сверхтекучесть «электронной жидкости» проявляется, по-
поскольку жидкость заряжена, в форме сверхпроводимости.
Таким образом, свойство сверхтекучести присуще различ-
различным квантовым объектам при низких температурах и не
является столь экзотическим, как казалось раньше. Уста-
Установление связи между явлением сверхтекучести и кванто-
квантовыми свойствами системы и на этой основе последова-
последовательная теория этого явления были осуществлены Л. Ландау
[1, 2, 3]. Согласно классической механике при абсо-
абсолютном нуле температур все атомы должны покоиться,
а их потенциальная энергия должна иметь минимум. Следо-
Следовательно, при низких температурах атомы могут совер-
совершать лишь малые колебания около некоторых положений
равновесия, т. е. все тела при этом должны затвердевать,
образуя кристаллическую решетку. Жидкий гелий — един-
единственная жидкость, в которой квантовые эффекты про-
являются раньше, чем жидкость затвердевает. Это объяс-
объясняется относительно слабым взаимодействием атомов гелия.
Во всех других средах взаимодействие атомов достаточно
сильно, так что тела затвердевают до того, как проявятса
квантовые эффекты. При абсолютном нуле система атомов,
образующих твердое тело, находится в энергетическк
наинизшем (основном) состоянии. При отличных от нул;
температурах система находится в возбужденном состоя-
состоянии — атомы совершают колебания около*"по^ожений рав'
новесия. Энергия кристалла будет суммой энергий кван
товых осцилляторов. Каждый из осцилляторов при этот
может находиться в каком-либо из возбужденных состоя'
ний. Вместо того чтобы говорить об осцилляторе в п-\
*) Быстро распадающийся изотоп Не* мало изучен, однакс
несомненно, жидкость из атомов Не6 должна была бы обладат;
свойством сверхтекучести.

1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ 9
возбужденном состоянии, можно рассматривать и колеба-
колебательных квантов. Эти кванты-фононы соответствуют зву-
звуковым волнам, подобно световым квантам-фотонам, пред-
представляющим волны света. Таким образом, состояние
системы характеризуется совокупностью длинноволновых
звуковых квантов-фононов. Фононы обладают энергией,
которая линейно связана с импульсом (точнее, «квазиим-
«квазиимпульсом»). Используя представление о фононах, можно
объяснить все свойства твердых тел при низких темпера-
температурах. Ситуация, которую мы сейчас описали, не является
исключительной в квантовой механике. Всякая система
произвольно взаимодействующих частиц в слабовозбуж-
слабовозбужденном состоянии может рассматриваться как совокупность
отдельных элементарных возбуждений. Каждое элемен-
элементарное возбуждение ведет себя подобно некоторой квази-
квазичастице, способной двигаться сквозь тело. Оно обладает
определенной энергией и импульсом. Функцию, характери-
характеризующую зависимость энергии элементарного возбуждения
от импульса, называют энергетическим спектром тела.
Обозначим посредством е энергию элементарного воз-
возбуждения в жидком гелии как функцию импульса р. Вид
энергетического спектра при малых значениях импульса р
устанавливается легко. Малым импульсам соответствуют
длинноволновые возбуждения, которые, как очевидно,
в жидкости являются просто продольными звуковыми
колебаниями. Таким образом, соответствующие элементар-
элементарные возбуждения представляют собой звуковые кванты-
фононы. Энергия фононов является линейной функцией
импульса:
г = ср, A.1)
где с — скорость звука. По мере увеличения импульса
кривая г(р) отклоняется от линейности. Однако дальней-
дальнейший ее ход не может быть получен из общих соображе-
соображений. Л. Ландау для объяснения экспериментальных зна-
значений термодинамических величин жидкого гелия предло-
предложил изображенный на рис. 1 вид энергетического спектра.
Дело в том, что одних фононов оказалось недостаточно
для объяснения температурной зависимости и абсолютной
величины таких термодинамических характеристик, как,
например, теплоемкость. Как легко видеть, элементарные

10 1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ
возбуждения с энергией вблизи минимума на кривой рис. 1
будут давать конкурирующий с фононами вклад во все
термодинамические величины. Соответствующие возбужде-
возбуждения были названы ротонами, и их энергия из общих
,,. свойств функций вблизи
22 . . минимума может быть
-q . . представлена в виде
18 ¦ е_д , (Р—РоУ
1П -I "•" 2(г *
A.2)
Здесь р0 — значение им-
импульса, при котором функ-
функция е имеет минимум, рав-
равный А. Точные значения
параметров, характери-
характеризующих энергетический
If
S
h
0 MQIBUWB QttW &&I* спектр гелия, найдены по
к А'1 рассеянию нейтронов жид-
р j ' ким гелием. Монохрома-
Монохроматические нейтроны в гелии
поглощают (или испускают) элементарные возбуждения. Из-
Измеряя энергию рассеянных под данным углом нейтронов,
можно восстановить весь спектр элементарных возбужде-
возбуждений. Таким образом получены следующие значения пара-
параметров спектра [4]:
А = 8,6°К, /70=1,9- 108 см-\ (х = 0,16/иНе4.
Величину [х, имеющую размерность массы, обычно назы-
называют эффективной массой ротона.
Концепция элементарных возбуждений предполагает,
что количество их невелико, так что энергия их взаимо-
взаимодействия между собой невелика по сравнению с их соб-
собственной энергией. В этом случае газ элементарных воз-
возбуждений можно рассматривать как идеальный газ. По-
Поскольку при возбуждении жидкости фононы и ротоны
могут появляться поодиночке, то очевидно, что они дол-
должны обладать целочисленным моментом и подчиняться ста-
статистике Бозе. Таким образом, фононный и ротонный газы
описываются в равновесии равновесными функциями ста-
статистики Бозе. Что касается ротонов, то их энергия содер-
содержит большую величину А, и поэтому распределение Бозе

1. ЭМЕРГЕТИЧрСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ Ц
может быть заменено распределением Больцмана. Модель
идеального газа возбуждений, таким образом, пригодна
при температурах, не слишком близких к Я-точке. Вблизи
^-точки возбуждений много, и их взаимодействие стано-
становится существенным. Время жизни, определяемое их вза-
взаимными соударениями, становится малым, а неопределен-
неопределенность энергии возбуждений — сравнимой с их энергией.
Поэтому концепция элементарных возбуждений вблизи
^-точки оказывается непригодной. Однако практически
уже при температурах порядка 1,7—1,8° К и ниже в гелии
фононный и ротонный газы можно считать идеальными.
Покажем теперь, как из приведенных представлений
об элементарных возбуждениях в гелии следует свойство
сверхтекучести. Вначале предположим, что гелий находится
при абсолютном нуле температуры, т. е. в основном энер-
энергетическом состоянии. Пусть жидкость теперь течет через
капилляр со скоростью т. Если бы при этом жидкость
испытывала трение, часть кинетической энергии диссипи-
ровала бы, превращалась в тепловую энергию. Нагревание
гелия означало бы переход в возбужденное состояние.
Но мы знаем, что квантовая жидкость не может получать
энергию непрерывным образом. Для того чтобы такая
жидкость перешла в ближайшее возбужденное состояние,
в ней должно появиться элементарное возбуждение. Пусть
энергия, которую имело бы возникающее возбуждение
в движущейся вместе с жидкостью системе отсчета, равна
е,(р), а соответствующий импульс равен р. Тогда в не-
неподвижной системе отсчета энергия системы изменится на
величину
A.3)
Переход жидкости в возбужденное состояние будет энер-
энергетически выгоден в том случае, если выполнено условие
0. A.4)
Очевидно, что наиболее благоприятная для выполнения
этого условия ситуация будет в том случае, когда импульс
образованного возбуждения направлен противоположно
скорости. В этом случае из A.4) следует, что
A.5)

12 1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ
Очевидно, что возбуждение может возникать в жидком
гелии, если условие A.5) выполнено по крайней мере
в точке спектра, где отношение е(р)/р имеет минимальное
значение. Таким образом, окончательно получаем условие,
необходимое для рождения возбуждения:
p <L6>
Для наличия сверхтекучести необходимо, чтобы
Тогда при значениях скорости движения гелия v, меньших
критического значения х>кр, рождение возбуждения энер-
энергетически невыгодно, и жидкость движется без диссипации
энергии, т. е. без трения. Течение жидкости без трения
не будет замедляться, т. е. будет сверхтекучим. Наоборот,
при скоростях, больших vKp, движение гелия будет сопро-
сопровождаться рождением возбуждений и, следовательно,
диссипацией энергии. Спектр элементарных возбуждений
жидкого гелия, как это видно из рис. 1, удовлетворяет
условию A.7). Минимум отношения е/р осуществляется,
как это следует из условия экстремума
d е X_de е_ ~
d~p p ~pd~p /i5 '
в точке, где
Т-Тр' 0-Ч>
т. е. в точке, где прямая, проведенная из начала коор-
координат, касается кривой zip). Для спектра жидкого гелия
эта точка лежит недалеко от минимума кривой в(р) и
численно равна примерно 60 м/сек. Это значение на не-
несколько порядков превосходит реально наблюдающиеся
значения критических скоростей в гелии II. Объяснение
этого, по-видимому, состоит в том, что, как мы увидим,
в сверхтекучем гелии, кроме фононов и ротонов, могут
существовать возбуждения другого типа, так называемые
квантованные вихри. Хотя эти возбуждения из-за малого
статистического веса и не играют роли в термодинамике,

1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КВАНТОВОЙ ЖИДКОСТИ 13
они, благодаря либеральным условиям их рождения, играют
роль в гидродинамике, определяя значение критических
скоростей*). Заметим, что при выводе критерия A.6)
нигде не использовалось то обстоятельство, что в жидкости
отсутствуют готовые возбуждения. Наличие таких возбуж-
возбуждений не препятствовало бы выводу, и поэтому критерий
A.6) будет справедлив и при температурах, отличных от
абсолютного нуля. Однако наличие возбуждений при не
равных нулю температурах вносит определенное своеоб-
своеобразие в характер течения гелия II по капиллярам. При-
Присутствующие в жидкости возбуждения будут отражаться
от стенок и передавать им часть своего импульса. Благо-
Благодаря этому та часть жидкости, которая увлекается дви-
движением возбуждений, будет вести себя как нормальная
вязкая жидкость и будет тормозиться благодаря трению
о стенки. Таким образом, при Г = 0 через капилляр про-
протекает вся жидкость без трения, при Т Ф О — лишь часть.
Получилась своеобразная ситуация: в сверхтекучей жидко-
жидкости возможны одновременно два независимых движения.
Часть жидкости, которая увлекается движением возбуж-
возбуждений, ведет себя как нормальная жидкость, остальная
часть — сверхтекучая — не испытывает трения и, пока ско-
скорость не превосходит критического значения, движется
независимо от нормальной части. Итак, в гелии II могут
существовать одновременно два движения: сверхтекучее
со скоростью vs и нормальное со скоростью vn. Каждому
из этих движений соответствует своя эффективная масса.
Сумма сверхтекучей и нормальной масс равна полной
массе жидкости. Оба движения происходят независимо
(по крайней мере в области малых значений скоростей vs
и vn, не превосходящих некоторых критических значений),
так что передача импульса от одного к другому невоз-
невозможна. Импульс j единицы объема гелия II, таким обра-
образом, слагается из двух частей:
*) Критическая скорость, связанная с рождением квантован-
квантованных вихрей, зависит от диаметра капилляра; имеет место соот-
соотношение i/Kp d ~ bjm. Поэтому так существенна для наблюдения
сверхтекучести узость капилляра. В широких трубках значение
i/Kp чрезвычайно мало и наблюдение сверхтекучести невозможно.

14 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II
Коэффициент р„ называют плотностью нормальной части
жидкости, a ps — плотностью сверхтекучей части жидкости.
Сумма р„ и р, равна плотности жидкости
Отношение р„/р в Я-точке равно единице; с понижением
температуры оно убывает, стремясь к нулю при 7 = 0.
Пусть в гелии одновременно происходят два поступа-
поступательных движения со скоростями vn и vs. Энергия эле-
элементарного возбуждения в неподвижной системе отсчета
Е(р) выражается через энергию г(р) в системе отсчета,
в которой сверхтекучая часть жидкости покоится, с по-
помощью соотношения
E(p) = e(p) + pvs. A.11)
Нормальное движение жидкости связано с поступа-
поступательным движением газа возбуждений, происходящим со
скоростью vn. Функция распределения и для элементарных
возбуждений зависит от энергии относительного движе-
движения Е'\
-pvn. A.12)
Таким образом, в движущемся гелии II распределение
фононов по энергиям определяется функцией Планка
A.13)
с функцией е, определяемой соотношением A.1).
Распределение же ротонов по энергиям определяется
функцией Больцмана
( е + ^*р) A.14)
с функцией е, определяемой соотношением A.2).
2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II
Не очень близко к Я-точке плотности фотонного и
ротонного газа невелики, и, как уже говорилось, эти
газы могут рассматриваться как идеальные. В этом случае
все термодинамические функции слагаются из двух частей:
из части, обязанной фононам, и части, обязанной ротонам.

2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II 15
При вычислении термодинамических функций мы вос-
воспользуемся функциями распределения фононов и рото-
ротонов A.13) и A.14). При этом зависимостью функций
распределения от относительной скорости <оп — <os в пер-
первом приближении можно пренебречь. Указанная зависи-
зависимость проявляется в области таких значений vn —¦ <os,
при которых в обычных условиях наступает нарушение
сверхтекучести. Лишь при распространении в гелии II
звука большой амплитуды удается достичь заметных зна-
значений относительной скорости vn — vs. В этом случае
появляется необходимость учета квадратичных относи-
относительно разности vn — vs членов в термодинамических
функциях.
Вычислим вначале термодинамические функции для
покоящегося гелия II. Они могут быть получены с по-
помощью формул статистики Бозе. Фононы, как известно,
подчиняются статистике Бозе; распределение ротонов не
зависит от типа статистики благодаря наличию в энергии
ротона большого постоянного члена А ~^> kT.
Свободная энергия бозе-газа равна
= — kT J In (l + «)dtp B.1)
/ , p2 dp do ,
I dxp = ,„ mз элемент объема в ^-пространстве,
do — элемент телесного угла]. После однократного инте-
интегрирования по частям B.1) получаем
1хр, B.2)
что дает возможность вычислить свободную энергию газа
возбуждений. Энтропия возбуждений находится диффе-
дифференцированием свободной энергии B.2) по температуре:
дР 1 С i дг
(»' — производная функции распределения по аргументу).
Свободная энергия, энтропия и тепло-
теплоемкость фононного газа. Выполнив в B.2) инте-
интегрирование с функцией распределения A.13), находим

16 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II
свободную энергию фононного газа (е = ср):
p-2Ldxp = -±Eph. B.4)
Энергия Eph фононов в единице объема гелия II равна
,™ я4
(/ iff \з
Npft « 2,4 • 4л I „ fi I — число фононов в единице объема
гелия III. Энтропия фононного газа находится или по
общей формуле B.3), или непосредственно дифференци-
дифференцированием полученного выражения B.4) для свободной
энергии; таким путем находим
dFDh 16я* / kT \3
°рл— дТ — 45 R\2nhcj • {г-0)
Далее вычисляем теплоемкость фононного газа:
T \з
Свободная энергия,, энтропия и тепло-
теплоемкость ротонного газа. Свободная энергия ро-
тонного газа в единице гелия II находится по общей
формуле B.2) с функцией распределения A.14). При
интегрировании необходимо учитывать то обстоятельство,
что импульсы ротонов по своей величине близки к р0.
Таким путем находим
Pr==: — kTMr, B.8)
где Мг — число ротонов в единице объема гел^ия:
_А
T
Дифференцированием соотношения B.8) находим энтропию
ротонного газа:
1г = АЛ/(т+т) B-9)

2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II 17
Далее вычисляем теплоемкость ротонного газа:
Суммируя результаты B.6), B.7), B.9) и B.10), находим
выражения для энтропии и теплоемкости единицы объема
гелия II:
Вычисления, аналогичные приведенным, могут быть
произведены для случая не равной нулю относительной
скорости w = vn—<о5. Не останавливаясь на несложных
выкладках, приведем окончательные выражения для тер-
термодинамических функций, получающихся в этом случае:
f =F , (l wIc^T2, A Wt
1 ph. ' ph^ /u ' ' \Л ¦ 1OJ
hT &\\Щ-, B.14)
wycY2- B.15)
wyc^-2, B.16)
pow ±/ kT pow . pow\ „
-+рТ \J^shTr~ch^r) <2л7>
С —С kT sh PoW -I- F l PoW sh PoW
w — \'°n-~vs\ есгь относительная скорость нормального
и сверхтекучего движений. Буквами без черты обозначаем
значения термодинамических функций в покоящемся ге-
гелии II.
Нормальная плотность
Импульс единицы объема гелия II в системе отсчета,
движущейся вместе со сверхтекучей частью, равен, со-
согласно A.9),
P = J — pvt = pu(va — v,). B.19)
2 И. М. Халатников

18 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ II
С другой стороны, этот импульс может быть пред-
представлен в виде интеграла
— pon)dxp, B.20)
взятого по всем элементарным возбуждениям. Сравнивая
B.19) и B.20), получаем соотношение, определяющее
величину нормальной плотности:
9п (-о,, — «,) = / Р» (е+fos — pvn) dxp. B.21)
В случае малых значений разности (vn — vs) функцию
распределения п можно разложить в ряд по степеням этой
разности. Нулевой член разложения обращает интеграл
правой части в нуль. Первый член разложения дает
Формула B.22) справедлива при малых значениях раз-
разности (vn — vs).
Вычислим вначале фононную часть нормальной плот-
плотности. Подставив в B.21) функцию распределения A.13),
получим
9nph <•. - •.) - / Р [ехР
Произведя несложное интегрирование и опустив общий
множитель (vn — vs) в левой и правой частях B.23), на-
находим
P»p* = |:§i(l-«8/c2)"8. B-24)
Произведем аналогичные вычисления для ротонов. Имеем
Отсюда без труда находим
kT sh PoW\

2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЕЛИЯ И
19
Нормальная плотность гелия рп равна сумме pnph и рпг.
Согласно B.24) и B.25) имеем
pow
B.26)
В случае малых значений скорости относительного
движения нормальной и сверхтекучей частей зависимостью
Рпрй и Рпг от w — IVn — vs\ можно пренебречь. Формулы
B.24) и B.25) в этом случае дают
lie
3 С2 '
__
ЪкТ r'
B.27)
B.28)
B.29)
В области температур выше 0,8—1°К ротоны играют
основную роль во всех термодинамических функциях.
Однако относительный вклад ротонов в величину указан-
указанных функций быстро убывает с убыванием темпера-
температуры. Это объясняется тем, что ротонные части функ-
функций убывают с температурой по экспоненциальному
закону, в то время как фононные убывают по степенному
закону Т3.
Практически, как уже отмечалось, во всех задачах
можно не учитывать зависимость термодинамических вели-
величин от скорости относительного движения w = vn — vs.
Это объясняется тем, что в области скоростей, где на-
наблюдается явление сверхтекучести, отношения w/c и
wpQ/kT очень малы. Однако при рассмотрении задачи
о распространении звука большой амплитуды указанной
зависимостью пренебрегать уже нельзя. Наконец, заметим,
kT
что, поскольку с>—, зависимость от © в большей
Ро
степени сказывается для ротонных величин, чем для фо-
нонных.

20 3. КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
3. КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [1]
Классическая жидкость может быть описана заданием
плотности р и вектора потока массы J, которые опреде-
определяются следующим образом:
— га), C.1)
j = 2 Pj> (* - га) = 2 mavab (/? - га). C.2)
Суммирование производится по частицам системы, va и
ра — скорость и импульс частицы с массой та. При пере-
переходе к квантовой жидкости необходимо величинам р и j
поставить в соответствие некоторые операторы.
Рассмотрим одну частицу массы т. Оператор для этой
частицы определяется таким образом, чтобы его среднее
значение I т|)* (г) рф(г) dV равнялось /m|A|). Этому условию
удовлетворяет оператор p = mb(R — г). Аналогичным об-
образом для системы частиц оператор р будет иметь по-
прежнему вид C.1).
Вектор потока, согласно квантовой механике, равен
-|- {Г (R) Va|> (/?) - а|> (/?) Vt* (/?)}. C.3)
Снова для простоты рассмотрим классическую плот-
плотность потока для одной частицы j = pb (R — г). Соот-
Соответствующий симметризованный квантовый оператор равен
y=i{p6(/?-r) + 6(/?-r)p), C.4)
где р = -г- V — оператор импульса (V действует ,на коор-
координату г). Убедимся в том, что среднее значение опера-
оператора C.4) равно C.3). Действительно, имеем

движения жидкости 21
или, после интегрирования по частям в первом члене,
f Г /ф dV = -J- f {- # (/? - г) Va|>* + ifft (Л - г) V^} =
т. е. как раз выражение C.3).
В общем случае произвольной системы частиц опе-
оператор потока равен сумме выражений C.4) по всем ча-
частицам:
В гидродинамике наряду с потоком j употребляется ско-
скорость v. Соответствующий квантовый оператор равен
C.6)
Соотношения коммутации между введенными операто-
операторами получаются непосредственным вычислением комму-
коммутаторов. Для примера приведем вычисление коммута-
коммутатора j и р. Согласно C.1) и C.5) имеем
У1Р2 — Р2У1=
ТПпп
'ГТ7аб (Гв — Rl) + б (Га — /?i) Ve] б (Га — /?2) —
— 6 (Га — /?2) [ Va6 (Га - /?!) -+- б (Га — /?l) Ve]} =
— -J ~6 (Га ~ Rl) V6(/?1 ~Лг) = ТP'V6 (/?' ~ *2>- C-7>
Аналогичным образом получают и другие соотношения
коммутации (индексами 1 и 2 обозначаются значения опе-
операторов в точках /?j и /?2):
PiP2 — P2P1 = °. C.8)
OiP2 — P2»1 = TV6(/?i-/?2). C.9)
»i/»a* - «яЛ/ = т * (Л, - /?2) -^- (rot «)/4. C.10)
Еще одно соотношение можно получить, применив опе-
операцию rot к левой и правой частям C.9):
— р2 rot vx = 0. C.11)

22 3. КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Применение полученных соотношений коммутации к макро-
макроскопическому движению приводит к уравнениям гидро-
гидродинамики в операторном виде. Плотность энергии макро-
макроскопической системы равна
*%- + Е(р). C.12)
Макроскопический характер описания проявляется во вто-
втором члене в C.12), который выражает внутреннюю энер-
энергию Е(р) только как функцию плотности р. Соответ-
Соответствующий квантовый оператор имеет вид
Р C.13)
а функция Гамильтона системы равна интегралу
v. C.14)
Уравнения гидродинамики определяют производные по
времени от переменных риг». Для вычисления указан-
указанных производных образуем коммутатор из оператора Га-
Гамильтона и соответствующих величин. Таким образом,
имеем
Подставив сюда оператор Гамильтона в форме C.12),
после несложных вычислений получаем уравнение непре-
непрерывности в операторном виде
C.15)
Аналогичным образом находим производную от скорости
v = j(Hv — vH), *
откуда следует уравнение движения в операторной форме
1чр. C.16)
*i+(**
где давление р, как и в классической жидкости, равно
Ч д Е
р <*7-

4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СТРУКТУРНЫЙ Ф4КТ0Р 23
4. СВЯЗЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
ВОЗБУЖДЕНИЙ СО СТРУКТУРНЫМ ФАКТОРОМ
ЖИДКОГО ГЕЛИЯ II
Между формой энергетического спектра и структур-
структурным фактором жидкости имеется тесная связь (Фейнман [5]).
Рассмотрим некоторое возбужденное состояние жидкости,
состоящей из бозе-частиц. ¦ф-функцию этого состояния
будем искать в виде симметричной суммы
взятой по всем атомам системы. f(ra) есть некоторая
функция радиуса-вектора атома номера а, Ф — волновая
функция основного состояния, зависящая от координат
всех атомов. Для нахождения функции / (га) применяем
вариационный метод.
Запишем гамильтониан системы:
где U — потенциальная энергия системы, а энергию от-
отсчитываем относительно основного состояния Ей. Волно-
Волновая функция основного состояния удовлетворяет поэтому
уравнению
ЯФ = 0. D.3)
Далее вводим функцию
¦ф=.РФ. D.4)
Подействовав на функцию D.4), взятую в таком виде
гамильтонианом D.2) и учитывая D.3), получаем
Щ = Н (РФ) = -
Здесь pN = Ф2 есть плотность вероятности для основного
состояния *). Она определяет вероятность той или иной
*) ^-функция основного состояния не имеет узлов, поэтому
Ф может быть выбрана вещественной.

24 *. энергетический спектр и структурный фактор
конфигурации rN (r1* обозначает совокупность радиусов-
векторов всех N атомов системы). Энергия системы нахо-
находится как минимум выражения
<? = f фЙ1р dNr = JJt-Yi f < V ¦ V) Pn dNr D.6)
a
при дополнительном условии, что нормировочный интеграл
/ = J г|Л|5 dNr = J F*FpN dNr D.7)
имеет фиксированное значение. Энергия Е равна (S//. Со-
Согласно D.1) функцию F записываем в виде суммы
^ = 2/@ D.8)
а
по всем атомам системы. Подставим это выражение в нор-
нормировочный интеграл D.7)
D.9)
и зафиксируем два каких-либо значения номеров атомов
а и Ь. Затем проведем интегрирование в D.9) по коор-
координатам всех остальных атомов; таким путем получим
I = f f (г,) / (/¦„) р2 (г,. r2) drx dr2, D.10)
где р2 — вероятность нахождения одного атома в точке
с координатой гг, а другого — с г2. Аналогичным образом
можно, проинтегрировав р# по координатам всех атомов,
за исключением одного, получить функцию Pi(r), дающую
вероятность нахождения атома в точке г в жидкости, на-
находящейся в основном состоянии. Эта величияа, очевидно,
не зависит от г и равна некоторому числу р0! Что же
касается функции р2 (/"j, /*2), то в силу однородности и
изотропности жидкости ее можно записать в виде р2 =
= pQp(r1—r2). Таким образом, нормировочный интеграл
можно переписать в виде
/ = Ро / /* (г,) / (г2) р (г, - r2) drx dr%. D.11)

4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР 25
Интеграл D.6) для энергии (S после подстановки F
в форме D.8) и интегрирования по координатам всех
атомов, за исключением одного, приобретает вид
2/ге
Теперь выбираем функцию /(г) таким образом, чтобы
отношение (S// имело минимальное значение. Проварьировав
отношение©// по /*, из D.11) и D.12) находим уравнение
Р (г, - rj) / (г„) rfr2 = - Л у*/ (гх). D.13)
Полученное уравнение имеет решение *)
/(r) = exp(/ftr). D.14)
Этому решению соответствует значение энергии
' DЛ5)
где S (к) есть фурье-компонента корреляционной функции
S(k) = j p (r)exp (ikr) dr. D.16)
Функция S(k), как видно из ее связи с корреляционной
функцией р (г), представляет собой структурный фактор
жидкости, характеризующий взаимодействие жидкости
с различными частицами при абсолютном нуле температуры
(рассеяние нейтронов, Y"KBaHT0B и ДР-)- Структурный
фактор S (k) не может быть вычислен. Однако он хорошо
известен из эксперимента. Наиболее характерные свойства
этой функции могут быть получены из элементарных со-
соображений. При больших k функция S (к) стремится
к единице; при этом корреляционная функция обращается
в 6-функцию. Функция S (к) имеет максимум при значениях к
¦*) Такого рода функция / была предложена впервые Бай-
лем. Для малых значений волнового вектора k волновую функ-
функцию возбужденного состояния Байль записывал в виде У\ е аФ.

26 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР
2я
порядка —, где а — межатомное расстояние, чему соот-
соответствует максимум функции р (г) при г порядка а,
когда два атома находятся на расстоянии, равном среднему
межатомному. Наконец, при малых значениях k функция
S(k) стремится к нулю по линейному закону, в соответствии
с тем, что на больших расстояниях корреляция исчезает.
S0r)
г/г
Рис. 2.
На рис. 2 изображена функция 5 (ft) и следующая из
нее функция E(k). Начальный линейный участок E(k)
соответствует фононной части спектра. Вблизи минимума
кривая E(k) имеет вид
k2
Наконец, при k -> оо E(k) = ¦*—.
Приведем теперь другой поучительный вывод формулы
Файнмана, основанный на гидродинамике квантовой
жидкости [6]. Запишем гамильтониан квантовой жидкости
(см. C.14))
D.17)
Для слабовозбужденного состояния жидкости плот-
плотность р можно представить в виде
<Pi<CPo). D-18)

4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР 27
где р0 = const. Далее, разложим р, и в в ряд Фурье:
pi=7r2(p^*r+K-с-)- DЛ9)
v
Из уравнения непрерывности
р -|- div (уо — О
находим связь между vk и рй:
Разложим теперь гамильтониан И в ряд по р, и v и,
ограничиваясь квадратичными членами, получим *)
±. f
D.22)
Здесь ф (г, г') есть вторая функциональная производная
от плотности энергии Е(р); она полностью определяется
свойствами невозмущенной жидкости. В силу изотропии
и однородности жидкости функция ф (г, г') зависит только
от \г — г'\. Переходим в D.22) к фурье-компонентам:
Полученное выражение имеет вид суммы гамильтонианов
осцилляторов с частотами
©2 (?) = &2фАро> D.24)
Таким образом, слабовозбужденное состояние жидкости
представляет собой совокупность элементарных возбужде-
*) Линейный по pi член в разложении D.22) обращается
в нуль. Действительно, он имел бы вид Г i|> (r) p, (r) dV. В силу
изотропии и однородности ij) (г) = const, а интеграл I pi (r)dV==0.

28 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР
ний, каждое из которых' описывается уравнением для
гармонического осциллятора. Согласно квантовой механике
энергия Еь такого осциллятора определяется его частотой:
+у), » = 0. 1,2,... D.25)
Энергия основного состояния жидкости, таким образом,
равна
г Л
EQ=jE(р0) dV-f
где второй член в D.26) есть нулевая энергия осцилля-
осцилляторов. Сравнив D.26) и D.23), находим
Наконец, из D.24) и D.27) получаем снова формулу D.15),
определяющую энергию элементарного возбуждения:
|р*|2
где S(k)=-y—— есть фурье-компоненты функции кор-
корреляции плотности
S(r_r')==ML)-n)(n(r>)-n) D29)
Здесь п (r) = p (г)/т — плотность числа частиц.
Приведенный гидродинамический вывод справедлив
лишь для волновых векторов k < — (а—межатомное рас-
расстояние), т. е. там, где жидкость может быть рассмотрена
как сплошная среда. Поэтому формула D*5), является
справедливой лишь в области малых значений волновых
векторов. Благодаря тому, что она дает правильный пре-
предел при &-»оо, т. е. при переходе к свободным части-
частицам, ее можно рассматривать как хорошую интерполяцию
в области импульсов k <~—. Представляется естественным.
обобщить гидродинамический вывод на случай Т Ф 0.
При этом энергия Е (р, S) зависит от двух переменных р

5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР БОЗЕ-ГАЗА 29
и 5, и в разложении Фурье возникает два типа осцилля-
осцилляторов. Первый — уже рассмотренный выше и второй
тип — осцилляторы «второго звука». При малых значениях
импульса энергия возбуждений, связанная с осциллятором
второго типа, определяется формулой
Ek = hu2k, D.30)
где и2 — скорость второго звука (см. § 10, A0.15)). Та-
Таким образом, мы получаем возбуждения, являющиеся кван-
квантами второго звука. Следует, однако, помнить, что
о квантах второго звука можно говорить только в том
случае, когда их длина волны больше длины свободного
пробега обычных возбуждений, т. е. когда имеет место
двухскоростная гидродинамика. Благодаря этому послед-
последнему обстоятельству вклад квантов второго звука во все
эффекты обрезается длинами волн порядка длины свобод-
свободного пробега возбуждений (ротонов и фононов), и по-
поэтому оказывается пренебрежимо малым.
5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛАБО
НЕИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-ГАЗА
Задача о теоретическом определении энергетического
спектра реальной жидкости, естественно, не может быть
решена. Поэтому представляет интерес рассмотрение ка-
какой-либо простой модели, в которой возникал бы энерге-
энергетический спектр со свойствами, близкими к описанным выше.
Рассмотрим неидеальный бозе-газ частиц (со спином
нуль). Спектр возбуждений в случае слабой неидеальности,
когда имеет место теория возмущений, может быть полу-
получен точно (Боголюбов [7]).
Гамильтониан системы при вторичном квантовании за-
записывается в виде
й = 2 i пр %+w
где операторы а+ и а удовлетворяют известным соотно-
соотношениям коммутации:
= &„„:. а.па„, — а„,ап = 0,
E.2)
' - аРаР = Ьрр" пРаР' ~ аР'аР = °'
«;*;.-«;.«;=о.

30 8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР БОЗЕ-ГАЗА
Пусть рассматриваемая система находится вблизи абсо-
абсолютного нуля. Тогда почти все частицы вследствие бозе-
конденсации будут находиться в конденсате, т. е. будут
иметь энергию, равную нулю (р = 0).
Мы будем интересоваться возбужденными состояниями
(малые р). Поэтому матричный элемент взаимодействия
UPiP2- p,Pi можно просто заменить на постоянную, которую
мы обозначим через а. Следующее упрощающее обстоя-
обстоятельство для слабовозбужденного состояния состоит в том,
что почти все частицы находятся в конденсате. Таким об-
образом, полное число частиц N равно
причем 2 Np <^ M). Поскольку число конденсатных ча-
частиц велико, то эти частицы можно рассматривать клас-
классически и заменить всюду операторы а+ и а0 на Y^o ¦
В энергию взаимодействия главный вклад дают члены,
описывающие взаимодействие частиц конденсата между
собой 0-{-0-»0 + 0 и взаимодействие неконденсатных
частиц с частицами конденсата.
Выпишем эти члены:
E.4)
Далее, выразим No через N и 2 atap c помощью E.3)
и подставим в E.4); получаем
N2 N
E.5)
Таким образом, гамильтониан E.1) с интересующей нас
точностью равен

5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР БОЗЕ-ГАЗА 31
Полученный квадратичный по операторам а и а+ гамиль-
гамильтониан с помощью преобразования Боголюбова приводится
к диагональному виду. Для этого вводим новые операторы
а+ и а. , связанные с а+ и а линейным соотношением:
ap = apap+vpa-p-\
Из требования, чтобы новые операторы удовлетворяли
обычным соотношениям коммутации для бозе-операторов,
следует
11 58
Подставив а+ и а в виде E.7) в E.6), получаем
р>0
{(¦?
Для диагональности полученного гамильтониана необхо-
необходимо, ч
тельно,
у
димо, чтобы члены вида а+а+ отсутствовали, следова-
следоваИз двух уравнений E.8) и E.10) находим коэффициенты
ир и vp и подставляем их в E.9). Окончательно получаем
E.11)
где «нулевая» энергия ZTq равна
~ 2V Lk \\1т
V
p>0

32 S. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СЙЕКТР БбЗЁ-ГАЗА
Полученный результат весьма примечателен. Из E.11) мы
видим, что слабовозбужденное состояние рассматриваемой
системы представляет собой суперпозицию элементарных
возбуждений с энергетическим спектром
2 Nay /Na'
При достаточно малых р:
имеем
т. е. элементарные возбуждения являются фононами со
скоростью звука
'-/
?¦
При больших значениях р имеет место более сложный закон
дисперсии, асимптотически приближающийся к спектру
свободных частиц гр-=-?—. Однако следует помнить, что
произведенный анализ был справедлив лишь для доста-
достаточно малых значений р.
Вернемся теперь к выражению E.12) для энергии основ-
основного состояния Ео. Хотя сумма в E.12) и расходится,
однако, как было показано Ли и Янгом [8], можно полу-
получить конечный результат, если выразить матричный эле-
элемент а через его значение во втором приближении теории
возмущений. Второе приближение теории возмущений дает
Выразив отсюда а через аB) и подставив в F.12), по-
получаем
2 , Na'
2V

6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 33
Заменим сумму в E.18) на интеграл и выполним не-
несложное интегрирование. Наконец, вместо матричного эле-
элемента перехода введем более удобную величину — ампли-
амплитуду рассеяния
после чего окончательно получаем
Е = 2яйW / l _j 128 |/"f!^.\ ,-5_20)
m^ \ 15)^л У V )
Полученная формула представляет первые два члена раз-
ложения энергии основного состояния по степеням а -гИ •
Таким образом, все рассмотрение справедливо для случая
короткодействующих сил, когда амплитуда рассеяния мала
по сравнению с расстоянием между частицами.
6. О ФОРМЕ СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ВОЗБУЖДЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК [3]
Исследуем свойства спектра вблизи точек, где возмо-
возможен распад возбуждения на два.
Из законов сохранения энергии и импульса следует
тогда уравнение
е(/>) = е@) + е(|/>~0|). F.1)
Здесь р — импульсы распадающегося возбуждения, q и
р — q — импульсы образующихся возбуждений. Предпо-
Предполагаем, что у спектра имеются устойчивые области. Мате-
Математически это означает, что вплоть до некоторого р0
уравнение F.1) не имеет решений, а, начиная с р0, по-
появляется возможность удовлетворить уравнению F.1). Для
этого необходимо, чтобы, как функция q, правая часть
уравнения F.1) имела минимум. Вектор q может быть за-
задан двумя величинами: абсолютной величиной q и углом Ф,
образованным векторами q и р. Условия экстремума
3 И. М. Халатников

34 6. Форма спектра элементарных возбуждений
правой части по переменным q и cos § имеют соответст-
соответственно вид
е'(\р - q\)pq = Q. F.3)
Штрихами обозначено дифференцирование по аргументу.
Из условия F.3) следует, что либо q—>0, либо
г'(\р — q\) = Q. Таким образом, согласно F.2) и F.3),
имеются две возможности:
а) <7 = 0, е' @) = е' (р) cos ft, F.4)
б) в' (\р — q\) — 0, е'(<7) = 0. F.5)
В случае а) при распаде испускается возбуждение
с импульсом <7-»0, т. е. фонон. Из условия F.4) мы ви-
видим, что впервые испускание фонона произойдет там, где
г' (р) — ± в' @). Поскольку в бозе-системе длинноволно-
длинноволновые возбуждения являются фононами, то в' @) — с — ско-
скорости звука. Таким образом, в точке спектра, где начи-
начинается неустойчивость, происходит испускание фонона,
вылетающего либо по направлению ф — 0), либо против
направления (ф = я) импульса распадающегося возбужде-
возбуждения. При этом мы предполагаем, что кривая е(р) имеет
непрерывную производную. В принципиально возможном,
однако мало вероятном случае излома кривой г(р) фонон
будет вылетать под углом Ф, определяемым соотноше-
соотношением F.4)
Е' (Р) '
В случае б) распад происходит при значениях импуль-
импульсов возбуждений q и р — q, для которых энергия е имеет
минимум. Величина импульса q и угол вылета опреде-
определяются при этом двумя уравнениями F.5). *-
Экстремум правой части F.1) по углу ¦& йожет быть
достигнут также и на границах области, т. е. при углах
¦& = 0 и ¦& = я (случай в)). В этом случае из условия F.2)
следует
Bf(q)=±B'(pifq). F.6)
Таким образом, при таком распаде возбуждения вылетают
с одинаковой по величине скоростью под углом ¦& = 0

6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 35
или ¦& = л друг к другу. Можно показать, что указан-
указанными тремя случаями исчерпываются все возможные точки
неустойчивости спектра. Заметим, что для спектра возбуж-
возбуждений слабо неидеального бозе-газа E.13) неустойчивость
появляется в самом начале спектра. Действительно, имеет
место случай а), поскольку при ?->0 и —j- > 0 правая
часть F.1) имеет минимум. В спектре жидкого гелия
имеет место обратная ситуация: благодаря противополож-
ному знаку -jy на фононной части спектра фононы ока-
оказываются устойчивыми относительно распада на два.
Рассмотрим теперь подробно свойства спектра в точ-
точках, где возможен распад возбуждений (пороговые точки).
Исследование производится методами квантовой теории
поля. Необходимо выяснить особенность гриновской функ-
функции возбуждения О (р) вблизи порога распада (р — 4-им-
пульс с компонентами е, р). Взаимодействие между воз-
возбуждениями предполагается имеющим трехчастичный харак-
характер. Соответствующая вершинная часть есть Г (/?; q\ р — q).
Гриновская функция G(p) выражается через нулевую
функцию О0(р) для «свободного» возбуждения и вершин-
вершинную часть Г уравнением Дайсона
; q; p-q)Q(q)Q{p — q)TQ{p; q; p —
F.7)
где Го есть вершинная часть в первом приближении тео-
теории возмущений (некоторое затравочное взаимодействие).
а) Свойства спектра вблизи порога ро-
рождения фонона. Предполагаем, что испущенный фонон
устойчив и при малом q спектр имеет вид (а > 0)
cq —aqz. F.8)
Однако, как мы увидим, член с а в й(?) окажется в даль-
дальнейшем несущественным. Далее предполагаем, что вблизи
порога (р = рс) спектр имеет вид
«(Р) ~ ееН- с (jp — ре) + р {р - pf)\ F.9)

36 6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
и особенность появляется в высших членах по (р — рс).
Естественно, что вычисления должны подтвердить это по-
последнее предположение. При этом, для того чтобы правая
часть F.1) имела минимум по q, необходимо, что р было
больше нуля. Действительно, при cosu= 1 и р = рс пра-
правая часть F.1) равна
и имеет минимум по q при р > 0.
При малых со и q гриновская функция равна
и пропорциональна функции распространения фонона.
При р яа рс и е « гс гриновская функция возбуждения
имеет особенность. Мы предположим, что О~ (р) вблизи
нуля имеет вид
О (р) = д~1 [с Ар ¦+ P (АрJ — Ае — /6], F.11)
Ар = р - Рс, Аг = г — гс
плюс члены более высокого порядка, которые подлежат
определению. Вершинная часть для фонона при малых q
пропорциональна q, так что имеем
Го(/>; <7J P — q) = g(fl> Г(р; q; p — q) = gq. F.12)
Нас интересует та часть интеграла в уравнении Дай-
сона F.7), которая содержит особенность. Несложный
анализ выражения F.7) показывает, что особенность воз-
возникает в интеграле при интегрировании по малым значе-
значениям со и q, для которых нам известны все входящие
в интеграл функции. Таким образом, предполагаемая осо-
особая часть интеграла F.7) равна **•
, , о4 da d cos (I da
const ' ч ч
f
2—гб] [с (Ар—q cos ft)—Ae + »+ P (Ap—qf—ib\'
F.13)
В полученном интеграле существенный вклад дают углы ¦&,
близкие к нулю. Поэтому можно всюду положить cos $ = 1.
Интегрирование по со можно распространить на интервал

6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 37
— оо < (о < оо, после чего интегрирование сводится к взя-
взятию вычета в точке о = cq. В результате получаем
const J* q2 dq In (x — 2$q Ap + p?2), F.14)
где д; = сАр—Де + р(АрJ.
Последнее интегрирование по q производится без труда
после разложения выражения под логарифмом на множи-
множители; таким путем находим
; — F-15)
! —(Р ~а)х.
Отсюда в непосредственной близости от полюса О(р)
(нуля О~ (р)) получаем (x<z^f> (АрJ) особую часть G~ (р):
(АрK In (—Ар). F.16)
С учетом F.11) имеем
О (p)=b~l [с Ар+р (ApJ-f y (ApK In (— Ap)-Ae]. F.17)
Из формулы F.17) следует, что энергия возбуждения
вблизи порога испускания фонона равна
е=е,+с (р-р,)+р (р-pcJ+Y (Р~РсK1" (Рс-Р)- F18)
При р > рс в энергии е появляется отрицательная мнимая
часть, равная —ул(АрK, что означает появление затуха-
затухания. При этом время жизни обратно пропорционально (АрK.
Заметим, что этот результат можно было бы получить по
теории возмущения. Это объясняется тем, что взаимодей-
взаимодействие с длинноволновыми фононами всегда является сла-
слабым. Выше был рассмотрен случай, когда фонон испу-
испускается под углом й = 0 к направлению импульса распа-
распадающегося возбуждения. Для другого возможного случая,
когда ¦& —я, меняется только кинематика распада, харак-
характер же особенности остается тем же.
Далее рассмотрим сначала случай в) (как более про-
простой), а затем уже случай б).
в) Свойства спектра вблизи порога рас-
распада на два возбуждения с не равными нулю
параллельными импульсами. Из физических
соображений очевидно, что главный вклад в интеграл

38 6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЯ
в уравнении F.7) в этом случае дает область импульсов q,
близких к значению q0, с которым рождается новое возбуж-
возбуждение. Функция Грина вблизи порогового значения q0 не
имеет особенностей и записывается вблизи полюса в обыч-
обычном виде
Q(q) = A (e (q) — со — Й). F.19)
Это обстоятельство значительно упрощает весь дальней-
дальнейший анализ. Разбиваем область интегрирования в инте-
интеграле F.7) на две, выделив небольшую окрестность вблизи
q0 и е0. Интегрирование по этой небольшой области, как
и можно ожидать, выдает нерегулярную часть гриновской
функции вблизи рг= рс, В указанной небольшой области
вершинные части Г и Го можно считать постоянными.
Таким образом, нерегулярная часть определяется инте-
интегралом
Г
J И?) — » —/8]
dsgdm
[e(\p-q\) — e + a>-ib]
При р-= рс сумма e(<y) —(— e(|jo—q\) имеет минимум как
функция q, и ее можно записать в виде
РЪ
F.21)
Здесь vc — скорость образующихся возбуждений,
п = V-?Ec
-?о) '
Вводим новые переменные и= \q — qo\ и ир% = uc^
после чего интегрирование в F.20) выполняется элемен-
элементарно, и мы получаем
/^-' С dud cos ф ./•—т г- е г,»,
О '~ / —т т—[-5-5 ггл 5—V'f/.A/'—Ае. F.22)
Ар—Де
Поскольку точка р = рс и 8 = 8^.
При Д/? = 0 и Де —Q Q~l (р) должна обращаться в нуль,

6. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 39
а следовательно, регулярная часть О (р) при малых Ар
и Ае должна иметь вид а' Ар -\- Ь' Ае. Таким образом,
окончательно имеем
vcAp —Ае]. F.23)
Энергия возбуждения определяется уравнением О~ (р) = 0.
Решение этого уравнения при р < рс имеет вид
с = ec + vc (р _ рс) ~ (^±^J (/» - Pcf- F-24)
При этом должно быть выполнено неравенство
(а + vc) >0
При р ^> рс уравнение О~ (р) = 0 не имеет решений ни
действительных, ни комплексных. Таким образом, кри-
кривая е(р) вблизи порога имеет наклон vc и далее не про-
продолжается.
б) Распад на два возбуждения, вылетаю-
вылетающие под углом друг к другу. В этом случае, со-
согласно F.5), рождающиеся возбуждения имеют энергии,
соответствующие минимумам на кривой е (р). Имея в виду
спектр жидкого гелия, у которого минимум соответствует
ротонам, мы будем говорить о распаде возбуждения на
два ротона с энергиями
F.25)
По тем же соображениям, что и в предыдущем случае,
нерегулярная часть гриновской функции возникает от инте-
интегрирования в уравнении Дайсона по области q, близкой
к р0. Однако при этом вершинная часть оказывается также
нерегулярной вблизи порога. Чтобы увидеть, с какого
рода особенностями мы встречаемся в этом случае, рас-
рассмотрим интеграл F.20), который получается в уравнении
для О~ , если вначале предположить, что Г регулярна
(теория возмущений). Этот интеграл после подстановки

40
в. ФОРМА СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
F.25) и введения цилиндрических координат
Чу =
легко вычисляется:
dq dq'z
1П^-+ <7p)coscp,
in-^-f-<7')sincp
О
со). F.26)
Для вычисления Г(р; р—р0; р0) вблизи q=p0 следо-
следовало бы решить соответствующее интегральное уравнение,
связывающее Г с некоторой затравочной Го. Мы не будем
подробно останавливаться на этом. Заметим только, что
анализ такого уравнения приводит к необходимости сум-
суммирования ряда геометрической прогрессии, члены которой
есть степени интеграла вида F.26). Таким образом, удается
показать, что
Г (/>; р — р0; Р)
F.27)
Подставив такого вида Г в уравнение Дайсона F.7) и
произведя интегрирование, аналогичное F.26), получаем
нерегулярную часть О~ (р) вблизи порога в виде
а
Поскольку О (рс) — 0, окончательно получаем
Р Рс— 2Л-е
In
F.28)
F.29)
Из уравнения О '(/?)== О с помощью F.29) получаем
при р < рс спектр вблизи порога
F.30)

7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 41
Таким образом, в этом случае кривая е(р) оказывается
в точке р = рс с горизонтальной касательной (касание
бесконечного порядка).
Имеющиеся в настоящее время экспериментальные ней-
тронографические данные [4] указывают, что, по-видимому,
в сверхтекучем гелии имеет место этот последний случай,
т. е. кривая е(р) заканчивается в точке, где происходит
распад на два ротона.
7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ВОЗБУЖДЕНИЙ [10, 11]
Начальный участок энергетического спектра является
в первом приближении линейным (фононы). Однако в ряде
эффектов оказывается существенной дисперсия фононной
части спектра, т. е. отклонение энергетической кривой от
линейной зависимости. Ввиду чрезвычайной малости эффекта
его невозможно определить по существующим нейтроно-
графическим данным. Не ясно также, можно ли этот эффект
вычислить теоретически, рассматривая систему взаимодей-
взаимодействующих фононов. Имея в виду, что спектр фононов
устойчив и учитывая изотропию жидкости, можно сразу
для начального участка фононного спектра написать сле-
следующее выражение:
е = срA—ур>), G.1)
где Y — существенно положительная величина. Оценки ве-
величины у можно произвести, интерполируя всю энергети-
энергетическую кривую; такая интерполяция дает
Y~2,5- 1037 г'2 см~2 сек2. G.2)
Однако к этой оценке следует относиться с осторожностью
ввиду ее чрезвычайной грубости.
Далее рассмотрим вопрос о квантовании поля фоно-
фононов. Представим плотность жидкости р (г) и скорость <о (г)
в виде рядов по плоским волнам:
Р (г) = Ро + y=r ? (pke'»r + 9\е-Ч"). G.3)

42 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ
Здесь р0 — равновесная плотность, k — p/h — волновой век-
вектор фонона, связанный с частотой соотношением
со = с/г. G.5)
Далее воспользуемся соотношением коммутации C.9)
р (г,) v (г2) — v (г2) р (г,) = j V6 (г, — г2),
из которого для компонент Фурье следуют соотношения,
справедливые при rot v = 0:
РрР? ~ РдРр = ~2Т 6''91 ^ ^
W/,=^p G.7)
Гамильтониан рассматриваемой системы — жидкого гелия
в объеме V — равен
Л / 1 ч
V. G.8)
Без учета ангармонических членов он выражается через
фурье-компоненты плотности в следующем виде:
Здесь пр — число фононов с импульсом р. Из G.6) и G.8)
находим отличные от нуля матричные элементы фурье-ком-
понент плотности
pеШ- GЛ 1}
После этих предварительных замечаний перейдем к рас-
рассмотрению различных возможных случаев взаимодействия
элементарных возбуждений друг с другом.
Рассеяние фонона фононом
Спектр фононов вида G.1) устойчив—распад фонона
на два или более фононов невозможен, так как невоз-
невозможно при этом одновременно удовлетворить законам со-

7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 43
хранения энергии и импульса. Взаимодействие фононов
обязано наличию ангармонических членов в гамильто-
гамильтониане G.8). Матричные элементы плотности G.10) и G.11)
пропорциональны j/"p, т. е. существенно зависят от энер-
энергии фонона. При низких температурах (Т < 7\) энергия
фононов заведомо много меньше дебаевской энергии. По-
Поэтому взаимодействие фононов слабо, и можно рассчиты-
рассчитывать возможные процессы по теории возмущений. Первый
из возможных процессов — рассеяние фонона фононом —
является четырехфононным. Ограничиваясь членами четвер-
четвертого порядка по р', запишем гамильтониан G.8) в виде
H = H0 + V3+V4, G,12)
где Но — гамильтониан свободного поля фононов, содер-
содержащий члены второго порядка по р', V3 содержит ангар-
ангармонические члены третьего порядка:
и наконец, V4 — члены четвертого порядка по р':
р' есть отклонение плотности от ее значения в неподвиж-
неподвижной жидкости. Амплитуда перехода двух фононов в два
других получается из кубических по р' членов в энер-
энергии (V3) во втором приближении теории возмущений и
из членов четвертой степени по р' в первом приближении
теории возмущений
з|/>'¦/>;),
+ <р. p,|V4|p'. Pl). G.15)
Вычисление амплитуды перехода в общем случае приводит
к довольно громоздким формулам. Однако в дальнейшем
оказывается достаточным знания амплитуды перехода в том
случае, когда импульс одного из сталкивающихся фононов
много меньше импульса другого (р <<^ рг). Мы ограничимся
этим случаем. Тогда из всех промежуточных состояний
в сумму G.15) дает наибольший вклад состояние, в кото-
котором q — p~\- рх. При этом знаменатель указанной суммы,

44 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
если не учитывать дисперсию спектра фононрв, обращается
в нуль при значении угла 0 между импульсами р и pv
равном нулю. Таким образом, учет дисперсии существенно
необходим. Ограничиваясь указанным случаем, вычисляем
дифференциальное эффективное сечение рассматриваемого
процесса:
р\р[р' b{z(p) + t{Pl)-z{p')-z{p[)) -
P P '
То обстоятельство, что выражение G.16) имеет острый
максимум при малых значениях угла 0, позволяет легко
выполнить интегрирование, необходимое для получения
полного сечения. В результате для полного сечения рас-
рассеяния фонона с импульсом р фононом с импульсом pv
усредненного по всем углам 6, получаем следующее вы-
выражение:
ji(u + 2)V?
fc (/7<с^ GЛ7)
Безразмерный параметр и равен приблизительно шести.
Согласно G.16) эффективное сечение достигает максимума
при нулевом угле между импульсами сталкивающихся фо-
нонов. Из законов сохранения следует, что в этом случае
при рассеянии не происходит изменения направлений им-
импульсов фононов. При этом происходит лишь быстрый
обмен энергиями между фононами, а следовательно, и уста-
установление энергетического равновесия в фононном газе.
Процесс установления энергетического равновесия в фо-
фононном газе играет существенную роль в кинетических
явлениях в сверхтекучем гелии. Точное вычисление времени
релаксации, характеризующего установление энергети-
энергетического равновесия в фононном газе, не представляется
возможным, так как трудно точно сформулировать задачу.
Однако с помощью результата G.17) можно подойти к ре-
решению такой задачи в двух предельных случаях.
В первом случае мы предполагаем, что функция рас-
распределения фононов в области малых энергий несколько
отличается от равновесной на величину 6га. Интеграл столк-

7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 45
новений, характеризующий скорость приближения функ-
функции распределения к равновесному значению, равен
— я'«; (п -f-1) (л, + 1)} йрх Bяй)~3. G.18)
Предполагая функции tiy п! и пх равновесными, отсюда
получаем
/(«) = — bnfco(p, pj)«-!«'«;(«j4-1)^!Bяй)~3. G.19)
Таким образом, время релаксации фиксированной группы
фононов равно
3. G.20)
Для случая p<^iPi в интеграле G.20), как мы убе-
убедимся, играют главную роль фононы с энергией порядка 6kT.
Поэтому для упрощения равновесные функции можно взять
в виде виновских функций. Подставив в G.21) выраже-
выражение G.17) для а(р, /?,), в итоге получаем время релакса-
релаксации фононов малой энергии
/ К dPv G.21)
или после элементарного интегрирования
() су Bяй)» \ с
Аналогичным путем можно получить время релаксации
фононов большой энергии. Предполагая р~^>pv из G.20)
в этом случае получаем
? / G-23)
Наконец, снова после элементарного интегрирования на-
находим
tB~ D8fi2p0J су Bяй)»

46 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Тот факт, что импульс рх мал, учитывается в инте-
интеграле G.23) автоматически, поскольку в нем играют суще-
существенную роль энергии порядка 2kT. Подставив числен-
численные значения всех параметров и интерполируя между ука-
указанными предельными случаями, получим следующую
формулу, приближенно справедливую для всех энергий
; + 6K. G.25)
Сравнение полученного времени с другими временами,
характеризующими различные другие процессы, показы-
показывает, что установление энергетического равновесия в фо-
нонном газе происходит очень быстро. Таким образом,
во всех случаях можно предполагать наличие энергети-
энергетического равновесия.
Рассеяние фонона ротоном
Вычислим эффективное сечение рассеяния фонона рото-
ротоном. Ротон, находящийся в фононном поле, можно рас-
рассматривать как частицу в движущейся среде. Этому соот-
соответствует появление в энергии ротона дополнительного
члена — pv, или в симметризованном виде
Здесь р — оператор импульса ротона, v — оператор ско-
скорости фонона G.4). Наличие фононного поля также свя-
связано с изменением плотности среды. Разложив энергию
ротона в ряд по плотности р' до членов второго порядка,
dA n' а- 1 Г *A -4- ! (дР°\Ц п'2 G 97^
-^9 +TL^r + ]rbr) Jp" Gl27)
находим
Нг0 — энергия ротона в отсутствие фонона, р' — оператор
плотности фонона G.3). В разложении G.27) мы пренебре-
пренебрегаем членами, содержащими разность р — р0, так как
большинство ротонов имеет импульс р, близкий к р0.
Член с производной дД/др G.27) мы также в дальней-
дальнейшем не будем удерживать, так как он заведомо меньше

Г. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 47
члена G.26). Таким образом, окончательно энергия взаимо-
взаимодействия фонон — ротон записывается в виде
Процесс рассеяния фонона ротоном является двухфонон-
ным, потому интересующие нас переходы получаются из
линейного члена по v в G.28) во втором порядке теории
возмущений и в первом порядке из квадратичных (по р')
членов *).
Так, вычисленная амплитуда перехода для рассматри-
рассматриваемого процесса, с учетом малости импульса фонона р
по сравнению с импульсом ротона р0 и малости энергии
фонона по сравнению с \хс2, имеет следующий вид:
pg Г<э2д 1 (дРо\2~\
= -^-\-^т-\- — 1-р-) .
G.29)
Здесь я и я' — единичные векторы в направлении импуль-
импульсов падающего и рассеянного фононов, m — единичный
вектор в направлении импульса ротона.
Из законов сохранения энергии и импульса следует,
что рассеяние фонона на ротоне подобно рассеянию легкой
частицы тяжелой. Величина импульса фонона и направ-
направление импульса ротона практически при рассеянии не
*) Тот факт, что уравнения гидродинамики являются нели-
нелинейными, несколько усложняет картину. Действительно, если
решать уравнения гидродинамики методом последовательных при-
приближений, то из суперпозиции плоских волн, имеющихся в пер-
первом приближении, во втором приближении мы получим члены,
содержащие произведения фононных амплитуд. Поэтому уже
в первом приближении теории возмущений первый член в G.28)
сможет давать нужные переходы. Более подробный анализ этого
вопроса, однако, показывает, что скорость г> во втором прибли-
приближении содержит произведение амплитуд с множителем р — р',
где р и р' — начальный и конечный импульсы фонона. Поскольку
импульс фонона много меньше импульса ротона р0, то рассея-
рассеяние, как это следует из законов сохранения, происходит упругим
образом, так что р w p'. И следовательно, указанным эффектом
можно пренебречь.

48 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
меняются. С помощью G.29) находим эффективное диффе-
дифференциальное сечение
(mnf(mnf\AAdo. G.30)
Усреднив сечение по всем направлениям импульса ротона,
окончательно получаем
Входящий в формулу угол я|) образован направлениями
импульсов падающего и рассеянного фононов. Полное
сечение находится интегрированием G.31) по всем углам
рассеяния:
Приведем приближенные значения производных от пара-
параметров спектра по плотности, найденные из анализа
экспериментальных данных:
dlnp
-0,57,
р
Gl33)
Рассеяние ротона ротон<Яй
Теория не дает никаких сведений о характере взаимо-
взаимодействия ротонов друг с другом. Однако для вычисления
температурной зависимости характерных для процесса рас-
рассеяния ротона ротоном времен оказывается достаточным
знания соответствующей вероятности с точностью до по-
постоянного множителя. Такая вероятность мало чувстви-
чувствительна к выбору вида энергии взаимодействия. Мы выби-

7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
49
раем энергию взаимодействия ротонов в виде 6-функции
от расстояния между ротонами
-rx), G.34)
г и гх — радиус-векторы ротонов, Vo — некоторая по-
постоянная.
В качестве волновых функций выбираем плоские волны,
симметризованные по парам сталкивающихся и рассеянных
ротонов. С помощью таких волновых функций вычисляем
матричный элемент перехода. Проинтегрировав квадрат
модуля матричного элемента по фазовому объему одного
из рассеянных ротонов, находим вероятность перехода dw
в виде
dw ¦
G.35)
Из вида энергетического спектра следует, что большин-
большинство ротонов будет обладать импульсами, по абсолютной
величине близкими к р0. Следовательно, изменения им-
импульсов ротонов при рассеянии по своей величине будут
значительно меньше р0.
Пусть импульсы ротонов р и р1 до столкновения обра-i
зуют угол 0. Тогда из рис. 3 легко видеть, что импульсы
Р+Р, X
Рис. 3.
ротонов после столкновения, вводя переменную /, можно
представить в следующем виде:
Р\ = Л>
причем |/| <С рп.
4 И. М. Халатников
cos у
sin -^ ,
G.36)

50 7- ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
В новых переменных элемент фазового объема сво-
сводится К g
dp' = 2np0smjdfxdfr G.37)
а закон сохранения энергии — к
/* cos3 ¦§¦+/» sin» | = -g-0> .-/7oJ + Jr(p1_A)J. G.38)
Для вычисления полной вероятности рассеяния ротона
ротоном необходимо произвести в G.35) интегрирование
по фазовому объему рассеянной частицы. В выражении G.36)
от координат в фазовом пространстве зависит только
6-функция, содержащая закон сохранения энергии.
Если для удобства интегрирования ввести вспомога-
вспомогательную переменную g при помощи соотношения
то с учетом G.37) и G.38) указанное интегрирование
6-функции по фазовому объему рассеянной частицы произ-
производится весьма просто, и в результате получаем
G.39)
Й4 COS2 -g-
Обратная величина среднего времени tT между двумя
соударениями ротона получается из G.39) умножением
на плотность ротонов Nr, определяемую формулой B.8')
и усреднением по всем углам, образованным импульсами
сталкивающихся ротонов. Таким образом, находим
Постоянная | Vo |2 по данным о вязкости гелия равна
приблизительно 3,5- 10~76. *•
Поглощение и испускание фононов
и ротонов
При соударениях элементарных возбуждений возможны
неупругие процессы, сопровождающиеся изменением числа
квазичастиц. Подобные процессы можно разделить на
три типа:

'/. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 51
а) процессы испускания (или поглощ&ния) фононов;
б) процессы взаимного превращения ротонов в фононы;
в) процессы испускания (или поглощения) ротонов.
Мы будем интересоваться процессами наиболее вероят-
вероятными для каждого типа.
Наиболее вероятный из процессов типа а) — пятифо-
нонный процесс, в котором два фонона превращаются
в три. Вероятность такого процесса вычисляется по теории
возмущений аналогично четырехфононному процессу. Инте-
Интересующая нас амплитуда перехода получается в третьем
порядке теории возмущений из ангармонических чле-
членов V3 G.13), из членов V4 и V3 во втором порядке и
членов пятого порядка в первом приближении. При этом
в суммах по промежуточным состояниям также возникают
резонансные знаменатели, когда импульсы начальных и
промежуточных фононов имеют близкие направления. По-
Поэтому наибольший вклад дают члены третьего порядка
теории возмущений, имеющие по два резонансных знаме-
знаменателя. При этом дисперсия спектра фононов оказывается
существенной, так как лишь учет _ее обеспечивает сходи-
сходимость угловых интегралов. Мы не будем производить
полное выч мление вероятности пятифононного процесса,
поскольку основной параметр дисперсии у в ответ входит
в квадрате и плохо известен. Для выяснения же темпера-
температурной зависимости соответствующих кинетических коэф-
коэффициентов достаточно знать зависимость вероятности от
импульсов фононов. Несложные оценки позволяют заклю-
заключить, что средняя по углам вероятность пятифононного
процесса пропорциональна кубу некоторого импульса:
w~p3. G.41)
Какие конкретно импульсы входят в w, оказывается
в дальнейшем несущественным. Пусть полное число фоно-
фононов в единице объема (вообще не равное равновесному)
есть Nph. Скорость изменения числа фононов благодаря
пятифононному процессу может быть записана в виде
Nph = -ffff {nxn2n, (я4 + 1) (я6 + 1) -
— («i + О («2 + 1) («з + О ЧЧ) d™ dp\LPn\*p3 • G-42)

52 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Если полное число фононов не равно равновесному,
то это означает, что функции распределения п содержат
не равный нулю химический потенциал \ipfl:
«={ехр[(е — \iph)lkT]— \\~\
При малых отклонениях от равновесия разложим функ-
функцию п по степеням \ipll, ограничиваясь линейными по \iph
членами; имеем:
-яо(яо+1)|у>
G.43)
Функция п с индексом нуль соответствует равновесным
функциям распределения для фононов (^ = 0). После
несложных преобразований с помощью (/.43) соотноше-
соотношение G.42) принимает вид
tfio«2o%>(%L-l)X
w,.. , ,ч .... dPxdPidPi \ipk
/4V60-T-*/--' Bяй)в А7- •
Обозначив коэффициент в равенстве, связывающем
скорость изменения Nph с величиной ц^, через Грй, имеем
=ТТ J f j J йЮге20«30 («40+ 1) X
Без большого ущерба для точности в подынтеграль-
подынтегральном выражении в G.44) можно пренебречь функциями
распределения га40 и я50 по сравнению с единицей. Тогда
интегрирование по фазовым объемам импульсов трех
сталкивающихся фононов (pv p2 и р3) производится не-
независимо, что позволяет заменить dw на w, опустив при
этом одно интегрирование. Таким образом, получаем
-. G.44a)
Подынтегральное выражение в G.44а) пропорцио-
пропорционально р12. После интегрирования в G.44а) по фазовым

?. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 53
объемам сталкивающихся фононов получаем температур-
температурГ
G.45)
ный закон для Гр1г:
где а — не зависящий от температуры коэффициент.
Полученное соотношение G.45) устанавливает темпе-
температурную зависимость именно той величины, которая
существенно войдет в дальнейшие вычисления.
Из анализа экспериментальных данных по поглощению
звука коэффициент а равен примерно 1 • 1043.
Перейдем к процессу б). Прямое превращение фонона
в ротон, очевидно, невозможно, так как импульс фонона р
много меньше импульса ротона р0. При столкновении
энергичного фонона (с энергией порядка А) с ротоном
возможно образование двух ротонов. При этом угол между
направлениями импульсов возникающих ротонов не должен
быть слишком мал, как это следует из закона сохранения
импульса. Как и в предыдущем случае, можно произвести
оценку вероятности такого процесса. Для оценки можно
считать, что фонон большой энергии взаимодействует
с ротоном подобно ротону, т. е. энергия взаимодействия
фонон — ротон в этом случае имеет вид б-функции G.34).
Подобно предыдущему, скорость приближения числа рото-
ротонов и фононов к равновесным значениям выражается через
соответствующие химические потенциалы
Nr = -Tphr(Vr-VPh)' Nph = Tphr(iir — iiph). G.46)
Коэффициент Tphr определяется полным интегралом столк-
столкновений, связанным с рассматриваемым процессом превра-
превращения фонона в ротон (и обратно). Не останавливаясь
на промежуточных выкладках, приведем окончательный
результат:
I у I2 дЧ2
Г
Амплитуда Vo для рассматриваемого процесса неизвестна,
однако если взять в качестве Vo его значение для взаимо-
взаимодействия ротон — ротон, то, очевидно, мы получим верх-
верхнюю оценку величины ThT. Для дальнейших исследований

54 8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
кинетических процессов мы выделим из Г'рШ его темпера-
температурную зависимость и запишем G.47) в виде
2А
Трь, = Ъе- т . G.48)
Коэффициент Ь может быть найден из анализа соот-
соответствующих экспериментов по поглощению звука; он ока-
оказывается равным -~4- 1050.
Что касается процесса в), т. е. превращения двух
ротонов в три (и наоборот), то ввиду сильного запрета
как по энергиям, так и по импульсам он оказывается мало-
маловероятным и в интересующих нас явлениях не играет роли.
8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ
ЖИДКОСТИ [12]
Используя микроскопические представления о сверх-
сверхтекучей жидкости, изложенные выше, можно построить
полную систему гидродинамических уравнений. Основные
положения, на которых будем базироваться, заключаются
в следующем. Упорядоченное движение возбуждений увле-
увлекает за собой лишь часть жидкости, характеризующуюся
«нормальной» плотностью р„. Остающаяся часть, «сверх-
«сверхтекучая», характеризующаяся плотностью р^ = р — рп. при
этом совершает независимое движение, и что очень важно,
это последнее является потенциальным. Таким образом,
в сверхтекучей жидкости одновременно могут происходить
два независимых движения — нормальное и сверхтекучее —
со скоростями соответственно vn и vs, причем
rot^ = 0. (8.1)
Условие потенциальности сверхтекучего движения (8.1)
не должно нарушаться до тех пор, пока скорости дви-
движения не достигнут критических значений, когда возни-
возникает взаимодействие нормальной и сверхтекучей частей
жидкости.
После этих замечаний полная система гидродинами-
гидродинамических уравнений может быть получена, исходя из одних
только законов сохранения и принципа относительности
Галилея.

8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 55
Закон сохранения какой-либо величины имеет универ-
универсальную форму дифференциального вида: производная по
времени от сохраняющейся величины равна дивергенции
некоторого вектора.
Закон сохранения массы жидкости связывает плот-
плотность р и поток j (импульс единицы объема) уравнением
непрерывности
p+divy = 0. (8.2)
Закон сохранения импульса дает уравнение движения
# + ^ = 0, (8.3,
где Hlk есть тензор потока импульса.
Вначале мы не будем рассматривать диссипативные
процессы. Тогда движение происходит обратимым обра-
образом, и энтропия 5 сохраняется. Поэтому можно написать
S-|-div/=•=(), (8.4)
где F— вектор потока энтропии. Поскольку энтропия
связана только с возбуждениями, то она должна пере-
переноситься нормальным движением. Следовательно, поток
энтропии равен Svn. Однако мы не будем в данном пункте
ссылаться на микроскопическую картину и покажем, что
соотношение F== S<on следует из законов сохранения.
Поэтому пока F для нас будет оставаться некоторой не-
неизвестной величиной, подлежащей определению.
В сверхтекучей жидкости возможны два движения и
соответственно в гидродинамике должно быть два урав-
уравнения движения. Одним из них является уравнение (8.3),
второе уравнение определяет производную по времени
от vs. Поскольку roivs = 0, то можно написать
i,+ v(<p+4)=0- (8.5)
где ф — некоторая скалярная функция.
Уравнения (8.2)— (8.5) представляют собой полную си-
систему гидродинамических уравнений сверхтекучей жидкости.
Однако смысл они могут приобрести лишь после того,
как будет выяснен вид неизвестных членов IIift, F и <р.
Для определения вида этих членов мы воспользуемся
законом сохранения энергии, который в дифференциальной

56 8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
форме записывается в виде
-^ + divQ = 0, (8.6)
где Е — энергия единицы объема жидкости; Q — поток
энергии. Необходимо, чтобы неизвестные члены в урав-
уравнениях (8.2) — (8.5) были выбраны таким образом, чтобы
уравнение (8.6) выполнялось автоматически. Кроме того,
мы воспользуемся принципом относительности Галилея,
позволяющим выяснить зависимость всех величин от ско-
скорости vs при заданном значении разности чзп — vs.
Для дальнейшего удобно ввести новую систему от-
отсчета (/Со), в которой скорость сверхтекучего движения
данного элемента жидкости равна нулю. Система от-
отсчета Ко движется относительно исходной К со скоро-
скоростью vs. Значения интересующих нас величин связаны
в рассматриваемых системах известными соотношениями *):
(8.7)
VskJoi + Щк> (8-8)
(8.9)
v2 \ v2
/ pv \ v
Q = (-Y- + о Jo + ?o ).^ + -21 Jo + ««, + ». (8.10)
F=Svt+f. (8.11)
*) Формулы (8.7)—(8.11) следуют непосредственно из принци-
принципа относительности Галилея. Покажем, например, как получается
соотношение (8.8) для обычной жидкости. Тензор потока им-
импульса в обычной гидродинамике равен
П1к = рщик + рЬш
(и — скорость, р — давление). Скорость жидкости и в непо-
неподвижной системе связана со скоростью и' в системе, движу-
движущейся со скоростью v: и = и' -\- v. Подстановка я*в выражение
для П;й дает '
Обозначив импульс единицы объема жидкости в движущейся
системе отсчета буквой _/„, окончательно находим искомое соот-
соотношение
П« = (WiVk + V[jok -f VkJoi + Щк-
Естественно, что полученная формула сохраняет свой вид и
в гидродинамике сверхтекучей жидкости. Остальные формулы
получаются аналогичным путем.

8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 57
Здесь Jo—импульс, Щк—тензор потока импульса, Ео—энер-
Ео—энергия, q—вектор потока энергии, /—поток энтропии
в системе /Со.
В системе /Со жидкость движется со скоростью г>„—г>,,
и, очевидно, все величины (jQ, я/й, Ео, q, /) могут зави-
зависеть только от указанной разности. Для энергии Ео имеет
место термодинамическое тождество
dE0 = Т dS + ц dp + («я - «,. rf/0). (8.12)
Здесь \х — химический потенциал, Т — температура. Третий
член в формуле (8.12) выражает просто тот факт, что ско-
скорость есть производная энергии по импульсу, и его следует
рассматривать как определение скорости <оп. Из соображе-
соображений симметрии следует, что вектор j0 может быть направ-
направлен только по vn — vs\ таким образом, можно записать
Л = РЯК -«,)• (8-13)
Соотношение (8.13) следует рассматривать как опре-
определение нормальной плотности р„. Из (8.7) и (8.13) сле-
следует тогда соотношение
У = РЛ + Р»»„. (8-14)
где ps = p — р„.
Идея дальнейшего вывода состоит в следующем. Диф-
Дифференцируем энергию Е по времени и выражаем все
производные от термодинамических величин, j и vs по
времени, используя уравнения (8.2)—(8.5). Затем вычис-
вычисляем div Q, используя формулу (8.10), и подставляем Е и
div Q в уравнение (8.6). После значительных сокращений
получаем
div q = — (mV) vs ¦+- (vn - vs) (Vm) + jQ (vn — ¦»,, V) vn +
+ C/o — 5 («„ - vs)) V (ф — |i) - vr (/— S («>„ - <zg) +
+ div(/r+yo(i). (8.15)
При этом вместо nik введен другой тензор
mik = ^* 4- l^o — TS — W — (»,, - vs< Jo)] ?>ik- «8-16)
При отсутствии диссипации энергии величины mik, q, f
и ф являются функциями термодинамических переменных
и скоростей и не зависят от их производных по времени

58 8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
и координатам. Это обстоятельство позволяет однозначным
образом получить из (8.15) выражение для искомых величин
l*tk = j'ot('°n* — Vsk)- f=S(Vn-Vs). ф= П. 1
q = Tf+ ixj0 - (*„ - vs, vs) j0 + <«„-«,) (vJo)- J ( ' )
Далее окончательно получаем
F = f-\-Svs = Sva. (8.18)
- [?0 -TS-W- (vn - vs, Jo)] bik, (8.19)
Q= (|i+ -y-) (./o + P^) + s74 + «„(«Jo)- (8-20)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в (8.19),
представляет собой полное давление, которое, по опре-
определению, равно производной от полной энергии жидкости
по объему при постоянных полной массе, полной энтро-
энтропии и полном импульсе относительного движения
p = -*iEsP- = -E0 + TS + \ip + (vn-vs. Jo). (8.21)
Подставив полученные выражения для F, <р и U.ik
в уравнения (8.3) — (8.5), получим полную систему гидро-
гидродинамических уравнений сверхтекучей жидкости
(8.22)
-h/0 ulyva+(vnV) jo+Vp = 0, (8.23)
, (8.24)
O. j. (8-25)
Тензор потока импульса n/s с учетом (8.14) можно
переписать в виде
где первый член представляет собой поток импульса нор-
нормального движения, а второй — поток импульса сверхтеку-

8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 59
чего движения. Полученные уравнения гидродинамики
(8.22) — (8.25) довольно сложны, поскольку входящие
сюда величины \х, рп, S и т. д. являются функциями относи-
относительной скорости vn—vs, вид которых может быть най-
найден лишь с привлечением микроскопической теории.
Общие гидродинамические уравнения заметно упро-
упрощаются в случае не слишком больших скоростей. Следует
иметь в виду, что свойство сверхтекучести нарушается
при скоростях, превышающих некоторое критическое зна-
значение. Однако в нестационарных условиях, например при
распространении звука, скорости могут значительно пре-
превосходить критическое значение. Таким образом, суще-
существуют области применения общих уравнений, где про-
проявляется нелинейный характер уравнений (см. § 13). Если
ограничиться квадратичными членами относительно скоро-
скоростей, то можно пренебречь зависимостью р„ и р^ от ско-
скоростей. Выбираем в качестве независимых термодинамиче-
термодинамических переменных давление р и температуру Т.
Запишем термодинамическое тождество для химического
потенциала; согласно (8.12) и (8.21) имеем
s (8.26)
o = —.
P
Отсюда легко находится зависимость энтропии 0 и плот-
плотности р от относительной скорости w = юп — vs. Из общих
соотношений для производных
да 1 д рл dp 2 1 д рл ,_ _
(да2) 2 дТ р д (да2) ^ 2 о/> р '
находим первые члены в разложении о и р по w2
р (р, Т, w) = р (/,, Г) +1 р2«;2 -*-&.. (8.29)
Подставив эти выражения в общие уравнения (8.22)—(8.25),
получим уравнения, справедливые с точностью до членов

60 8. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
второго порядка:
В формулу (8.33) входит химический потенциал \i не-
неподвижной жидкости. В полученных приближенных урав-
уравнениях скорости считаются малыми по сравнению со ско-
скоростями первого и второго звука. Общие уравнения также
заметно упрощаются в случае, когда скорости малы лишь
по сравнению со скоростью первого звука и сравнимы по
величине со скоростью второго звука. В этом последнем
случае возможно найти общее решение в виде одномер-
одномерной бегущей волны. Заметное упрощение происходит ввиду
слабой зависимости нормальной плотности р„ от квадрата
относительной скорости да2.
Остановимся теперь на граничных условиях, налагаемых
на термодинамические величины. Очевидно, что нормаль-
нормальная компонента потока j на стенке должна обращаться
в нуль, поскольку не может быть переноса вещества через
границу. Что касается скорости нормального движения vn.
то она связана с движением газа возбуждений, который
обладает всеми свойствами вязкой жидкости. Поэтому
тангенциальная компонента чзп на поверхности твердого
тела должна быть равна нулю. Нормальная же компо-
компонента Ч)п (по оси z) не равна нулю и определяет поток
тепла от жидкости к твердому телу согласив (8.20); этот
поток при ]г = 0 равен STvnz. При этом непрерывными
остаются нормальные компоненты потока тепла в жидко-
жидкости и в твердом теле. Температуры жидкости и твердого
тела на границе испытывают скачок (см. § 23), пропор-
пропорциональный величине теплового потока.
Выберем оси х и у вдоль поверхности твердого тела,
а ось z перпендикулярно ей. Тогда указанные граничные

9. ДИССИПАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ В УРАВНЕНИЯХ 61
условия запишутся в следующем виде:
РЛ, + РЛ, = 0. vnx = vny = 0, (8.34)
STvnz = - хтв DJ)ib . Тжтк - Т7В = Kqz. • (8.35)
Здесь хтв — коэффициент теплопроводности твердого тела
(о смысле коэффициента К см. подробнее п. 23).
Во многих случаях теплопроводностью твердого тела
можно пренебречь. В этом случае можно хтв положить
равным нулю, и мы имеем
vnz = 0, vsz = 0, (8.36)
т. е. имеем граничные условия для <оп, как у нормальной
жидкости, и для vs, как у идеальной жидкости.
Движущаяся сверхтекучая жидкость при наличии нор-
нормального к стенке потока вызывает тангенциальные силы,
действующие на поверхность твердого тела. Это видно из
того, что компонента потока импульса Пхг в этом случае
отлична от нуля. Действительно, используя первое из
соотношений (8.34), находим указанную компоненту
П*г = РАЛ»
Выразив компоненту vnz через нормальную компоненту
потока тепла qz, окончательно получаем
П„ = -^-(*„-*„)• (8.37)
9. ДИССИПАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ [13]
Полученная в предыдущем параграфе система уравне-
уравнений (8.22) — (8.25) описывает движение сверхтекучей
жидкости в отсутствие диссипации энергии. Неравновес-
Неравновесность приводит к появлению во всех потоках специфиче-
специфических членов, зависящих от производных по координатам,
от скоростей и термодинамических переменных. Следует
обратить внимание на то, что в неравновесных условиях
обычные определения термодинамических величин теряют
смысл и нуждаются в уточнении. Если по-прежнему под р
понимать массу единицы объема жидкости, а под j — ее

62 9. ДИССИПАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ В УРАВНЕНИЯХ
импульс, то уравнение непрерывности сохраняет свой обыч-
обычный вид
p+divy = 0. (9.1)
Далее, под Ео мы будем понимать энергию единицы
объема в той системе отсчета, где сверхтекучая часть
покоится. Остальные термодинамические переменные опре-
определяем, как те функции плотности р, энергии Е и относи-
относительной скорости w, какими они являются в состоянии
термодинамического равновесия. При этом энтропия
S(p, E, w) не будет истинной энтропией, интеграл от
которой I S dV обязан возрастать со временем. Однако
для слабо неравновесных условий, когда градиенты всех
величин малы, так определенная энтропия практически
будет совпадать с истинной энтропией. Действительно,
легко видеть, что линейные по градиентам члены не могут
присутствовать в разложении в ряд энтропии, так как они
знакопеременны. Энтропия же равновесного состояния
имеет максимально возможное значение. Поэтому разло-
разложение энтропии по малым градиентам начинается с квад-
квадратичных по градиентам членов, которыми с интересующей
нас точностью можно пренебречь.
Закон сохранения импульса, как и ранее, записываем
в виде
0.2)
с тем отличием, что в потоке импульса, кроме обычных
членов (8.19'), имеется неизвестный диссипативный член xik,
подлежащий определению. Аналогично включаем дополни-
дополнительный член Vh в уравнение сверхтекучего движения (8.25)
= 0* ' (9.3)
(по-прежнему roi i)s = 0).
Очевидно, что выражение для потока энергии Q в законе
сохранения энергии также изменяется на некоторую вели-
величину Q'
-55г ~f-div (Q -j~ Q') = 0. (9.4)

9. ДИССИПАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ В УРАВНЕНИЯХ fi3
Что касается энтропийного уравнения, то оно не имеет
теперь вида уравнения непрерывности, поскольку энтропия
не сохраняется, а возрастает. Мы воспользуемся требо-
требованием возрастания энтропии для определения неизвестных
диссипативных членов. Дифференцируя по времени выра-
выражение (8.9) для Е, имеем
Далее исключаем производные по времени с помощью
уравнений (9.1) — (9.3), в результате получаем
== T [ S + div I Svn -f -^ I 1 + h div (j — pvn) +
dt>'nl I
При этом, поскольку в неравновесных условиях в потоке
энтропии может также появиться дополнительный член,
мы для выяснения его вида к правой и левой частям (9.6)
добавляем некоторый член div q с неизвестной величиной q.
Сравнив уравнение (9.6) с уравнением (9.4), получаем
уравнение, определяющее скорость возрастания энтропии:
* OCf ^ — Т ГС? j_ n VJ f /Q J\
М f «j i —¦"¦ \i i и 3 >p u V 1 ) \J.lt
> ll' l К y-1*» . / T \ /
и выражение для дополнительного диссипативного потока
тепла
Q/ = ?-|-A(i/ —fw^ + w,,. (9.8)
Стоящее в правой части уравнения (9.7) выражение
представляет собой диссипативную функцию сверхтекучей
жидкости. Если пространственные производные от скоро-
скоростей и термодинамических переменных невелики, то в пер-
первом приближении все добавки в уравнениях (т/й, /г, q)
являются линейными функциями от указанных производных.
Из закона возрастания энтропии тогда следует, что дис-
сипативная функция должна быть существенно положитель-
положительной квадратичной формой от тех же производных. Из этого

64 5. ДИССИПАТИВНЫЕ ЧЛЕНЫ В УРАВНЕНИЯХ
последнего требования немедленно следует вид неизвестных
членов
— 6ik [?, div(j - pvj + b divwj. (9.9)
A = — ?3 div (y — рг>„) — ?4 div vn, (9.10)
g = —kV7\ (9.11)
В тензоре потока импульса тгй мы, как обычно, выде-
выделяем комбинацию производных 1>п со следом, равным нулю
(первая вязкость).
В силу принципа симметрии Онзагера для кинетических
коэффициентов имеет место соотношение
?i = ?v (9Л2)
Коэффициенты ?х, ?2, ?3, ?4 имеют смысл коэффициен-
коэффициентов второй вязкости. Всего, таким образом, имеется три
независимых коэффициента второй вязкости, т) является
коэффициентом первой вязкости, и он существенно связан
с нормальным движением, а и есть коэффициент тепло-
теплопроводности. Как и следовало ожидать, коэффициента,
аналогичного первой вязкости, для сверхтекучего движения
не возникает.
Запишем теперь в окончательном виде уравнения гидро-
гидродинамики сверхтекучей жидкости с учетом диссипативных
членов:
p-f div ,/ = (), (9.13)
djj . дПш _ д \ I dvni дупк 2 . dvn[
dt ' дгь дг/г \ ' \ drk * дГ{ 3 '* dri
, (9.14)
, (9.15)
(9.16)
Диссипативная функция равна
! = С2 (div г»лJ4-^3 (div (j—pvn) J+2^ div vn div (j—pvn)-\-

10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 65
Для обеспечения положительности функции R кинети-
кинетические коэффициенты ц, ?2> Сз и % должны быть положи-
положительными, a ?, удовлетворять неравенству
??<?&. (9.18)
10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ
ЖИДКОСТИ
В звуковой волне скорости vn и vs предполагаются
малыми *), а термодинамические величины почти равными
равновесным значениям. Распространение звука в гелии II
описывается системой гидродинамических уравнений (8.22)—
(8.25), которая в данном случае может быть линеаризо-
линеаризована. После линеаризации указанные уравнения приобре-
приобретают вид:
^ 0, A0.1)
= 0 (op = 5), A0.2)
0, A0.3)
0. A0.4)
Исключим из уравнений A0.1) и A0.3) импульс /', в ре-
результате получим
^W = bp. (Ю.5)
Далее из трех уравнений A0.2), A0.3) и A0.4) исключим
скорости vn и vs. Для этого продифференцируем по вре-
времени уравнение A0.2), а к уравнениям A0.3) и A0.4)
применим операцию div. Исключив из полученных таким
образом уравнений члены -^-div»,, и -^т-diws, получим
^^ 0. A0.6)
*) Имеется в виду малость скоростей vn и vs по сравнению
со скоростью звука.
5 И. М. Халатников

66 Ю. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
Выразим в этом уравнении производную ~ с помощью
уравнения A0.5) и воспользуемся термодинамическим тожде-
тождеством (8.26). В итоге находим
Уравнения A0.6) и A0.7) определяют изменения термо-
термодинамических величин в звуковой волне.
Перейдем в указанных уравнениях к независимым
переменным р и Г, которые представим в виде р=Ро~\- р',
Т = Т0-\- Т', Величины с индексом нуль есть равновесные
значения, а со штрихом — их изменения в звуковой волне.
Уравнения A0.6) и A0.7) в результате приобретают вид
*»* *ГГ A0.8)
dp dt2 и ' дТ dt2
^**??Ъ = о. (ю.9)
dp dt2 ' ОТ dt2 р„
Ищем решение системы A0.8)—A0.9), представляющее
бегущую в некотором направлении плоскую волну. В такой
волне величины р' и Т изменяются по закону ехр — to X
X \t ) (ось х выбираем в направлении распростра-
распространения волны, со — частота, и — скорость звука). При таком
законе изменения величин р' и Т' система уравнений
A0.8) —A0.9) переходит в
|Р=о. A0.10)
Условием совместности этих уравнений является равен-
равенство нулю их определителя. Раскрывая указанный опре-
определитель, получаем биквадратное уравнение** t
,р) \дТ ^ р„
которое после несложных преобразований приобретает вид
LI dp )g ^ pn \ da )p\ ^ pn \da }p \ dp )T
A0.13)

10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 67
Уравнение A0.13) определяет две возможные скорости
звука в гелии II. Коэффициент теплового расширения
практически оказывается у всех тел очень малым.
{{Ж)
дТ)р1
У гелия II же величина этого коэффициента аномально
мала. Поэтому, согласно известным термодинамическим
соотношениям, теплоемкости Ср и Cv в гелии II практически
можно считать равными. Но в таком случае производные
др \ I др \ I др\
-т— и -Г . связанные соотношением \-г—\ —
др )т и V др )а V др )а
р. \-~\ , с большой степенью точности также можно
~ Cv \др )т
считать равными. Это обстоятельство значительно упро-
упрощает уравнение A0.13), его .
корни в этом случае равны В
«'-/idSSfen- A0Л5)
720
ТОО
80
ffO
40
20
\
\
Рис. 4.
Первый корень определяет
скорость обычного (первого)
звука в гелии II. С такой ско-
скоростью, согласно уравнению
A0.5), распространяются в ге-
гелии II колебания давления
(плотности). Второй корень и2
определяет скорость так назы-
называемого второго звука. Со-
Согласно уравнению A0.7) с такой
скоростью в гелии II распространяются колебания темпе-
температуры (энтропии). Возможность распространения неза-
незатухающих температурных волн является специфическим
свойством гелия II. Температурная зависимость скорости
второго звука, вычисленная по формуле A0.15), графи-
графически изображена на рис. 4. В Я-точке р5=0 и скорость м2
также обращается в нуль. При достаточно низких темпе-
температурах (ниже 0,5° К), когда все термодинамические ве-
величины определяются только ф:нонами, величина скорости
м2 стремится к пределу с[\ 3 .

68 Ю РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
Второй звук можно рассматривать как волны сжатия
и разряжения в газе возбуждений. Это непосредственно
следует из того, что колебания температуры вызывают
колебания плотности возбуждений. Скорость второго
звука, таким образом, представляет собой скорость звука
в газе возбуждений. Предельное значение м2 = с/\/ 3
следует непосредственно из известного результата о ско-
скорости звука в газе со спектром е — ср *).
Остановимся подробнее на физической природе обоих
видов звуковых волн. Рассмотрим плоскую звуковую
волну, в которой все переменные величины пропорцио-
нальны exptoU . Обозначая штрихом переменные
части соответствующих величин, получим из A0.1) — (Ю.4)
систему алгебраических уравнений
up' — / = 0, иар' + ира' — apvn = 0,
•/ I Г\ I ТЧ 1 / П A0.16)
uj — р =0, uvs-\-aT' р =0. v
Перепишем эту систему в более удобном для анализа виде:
p' = uy = uj', A0.17)
Полученные уравнения устанавливают связь между коле-
колебаниями различных величин в звуковых волнах двух типов.
Для каждого типа звуковых волн следует подставить со-
соответствующее значение скорости звука их или и2 из A0.14)
и A0.15). Волны первого звука представляют собой
колебания плотности р, если пренебречь тепловым расши-
расширением; колебания температуры в них вообще отсут-
отсутствуют. Согласно A0.18) в этом случае vn = vs. Другими
словами, в волнах первого звука гелий движемся как це-
целое, т. е. нормальная и сверхтекучая части колеблются
вместе. Волны первого звука, очевидно, аналогичны
обычному звуку в обычных средах.
В волнах второго звука испытывают колебания темпе-
температура и энтропия. Давление же и плотность в рассмат-
*) Так, например, в газе фотонов скорость звука равна
с/}' 3, где с —скорость света.

И. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 69
риваемом приближении не колеблются. Тогда из A0.17)
следует, что j' = f>sv's -j- pnv'n = 0. В такого рода колеба-
колебаниях нормальная и сверхтекучая части совершают движение
навстречу друг другу так, что суммарный поток вещества
отсутствует в каждый момент времени. Возможность суще-
существования незатухающих температурных волн есть специ-
специфическое свойство сверхтекучей жидкости, обязанное на-
наличию двух движений. В обычных средах температурные
волны затухают благодаря теплопроводности на расстояниях
порядка длины волны (— у — , где % — температуропро-
температуропроводность), и, таким образом, никакой периодичности в та-
таких волнах нет.
При учете теплового расширения возникает зацепление
между колебаниями первого и второго звуков, т. е. воз-
возникают колебания температуры в волнах первого звука
и колебания давления в волнах второго звука. Формулы,
связывающие соответствующие амплитуды колебаний, по-
получаются с помощью соотношений A0.17), A0.18) [14].
Вводим коэффициенты пропорциональности между скоро-
скоростями и переменными частями температуры и давления:
vn = avs, p' = bvs, T' = cv>. A0.19)
С точностью до членов первого порядка по коэффициенту
теплового расширения а получаем для первого звука
ар и\и? aT - и?-
Й 2
и для волн второго звука
о, ар u\ui apuiul a2
а*=---{ V—^-^,b2= У 2 сг=—!. A0.21)
р„ ар„ и\ — и*2 о{и\ — и§ а
11. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ
ЖИДКОСТИ [14, 15]
Различная физическая природа первого и второго звуков
обусловливает различие в способах излучения их. Рас-
Рассмотрим несколько примеров излучения звука. Начнем
с излучения звуковых волн плоскостью, совершающей

70 11. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
колебания в перпендикулярном себе направлении (которое
выбираем в качестве оси х). Запишем скорость vs (по
направлению оси х) в первом и втором излучаемых зву-
звуках соответственно в виде
Из граничных условий (8.36) следует, что на поверхности
твердого тела скорости vsx и vnx совпадают со скоро-
скоростью поверхности voe~lat. Таким образом, имеем
где av a2 — коэффициент в формуле A0.19). Отсюда
находим
п
' п * , /11 О\
А 1 Г ^ '
(С — теплоемкость). При этом используем формулы A0.20)
и A0.21), которые упрощаются при не слишком низких
температурах, когда можно пренебречь и^ по сравнению
с и\.
Поскольку при колебательном движении средняя кине-
кинетическая энергия равна средней потенциальной, полная
плотность энергии равна
Е = Pys + рХ = i | А |» (р,+рла2). A1.3)
Поток энергии (интенсивность) получается умножением
этой плотности на соответствующую скорость звука. Для
отношения интенсивностей излучаемых волн второго
и первого звуков имеем
Выпишем также выражения для 1г и /2 через амплитуды
колебаний давления p'Q и температуры Гц:
С11-

И. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 71
Интенсивность излучения второго звука в рассмотренном
случае оказывается ничтожно малой — пропорциональной
квадрату коэффициента теплового расширения. Колеблю-
Колеблющаяся указанным способом плоскость излучает в основном
первый звук. Это легко понять, если обратить внимание
на то, что на поверхности твердого тела vs = vn, а вто-
второй звук связан с наличием разности vn — vs.
Относительное движение компонент сверхтекучей и
нормальной можно вызвать с помощью периодически
изменяющего свою температуру тела, погруженного в ге-
гелий II. Рассмотрим, например, излучение звука от непо-
неподвижной твердой плоскости с периодически меняющейся
температурой.
Граничные условия на поверхности состоят в этом
случае в равенстве нулю перпендикулярной к плоскости
компоненты потока вещества j, а также в пропорцио-
пропорциональности разности температур твердого тела и жидкости
плотности теплового потока. Для вычисления интенсивно-
стей получаемого звука, однако, достаточно воспользо-
воспользоваться первым из этих условий, согласно которому имеем
откуда
Для
отношения
А,
А,
Р/Л + Ps „
P/l«2 + Ps
интенсивностей
h с
a
au2
A1.6)
Это отношение очень велико (более 103), так что практи-
практически в данном случае излучается только второй звук.
Своеобразное явление обращения второго звука в пер-
первый и обратно имеет место при отражении звука от гра-
границы между жидким гелием и его паром. Действительно,
распространяющаяся в гелии II волна второго звука, от-
отражаясь от поверхности раздела жидкость — пар, создает
на ней колебания температуры, приводящие к периодиче-
периодическому испарению и конденсации газа, в результате в паре
вблизи поверхности возникают колебания плотности, рас-
распространяющиеся в глубь пара в виде обычных звуко-
звуковых волн.

72
П. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим случай падения волны второго звука T't
на границу между гелием II и его паром (рис. 5). При
этом возникают две отраженные волны в жидкости: Т'т
(отраженная волна второго звука) и р' (волна первого
звука) и одна волна в паре р' (адиабатическая волна). Мы
предполагаем, что теплопро-
1р' водностью пара можно прене-
пренебречь. Это всегда можно сде-
сделать для частот звука, удовле-
~с2
творяющих условию со <^ —
_ я
(с — адиабатическая скорость
звука, х — температуропро-
температуропроводность пара). Однако в гра-
граничных условиях, несмотря на
то, что температурная волна
быстро затухает, следует, как
это будет видно, учитывать
температурную волну Т'.
В качестве граничной плос-
плоскости выбираем плоскость ху.
Из однородности задачи в этой плоскости следует, что
все волны будут иметь одинаковые компоненты kx, ky
волнового вектора. Отсюда непосредственно следуют со-
соотношения, определяющие направления распространения
возникающих волн. Пусть xz есть плоскость падения
волны 7"., а Э, 6j, 62 и Э — углы между направлениями
распространения волн Т\, р', Т'г, р' и осью z соответ-
соответственно. Тогда из равенства kx и ky следует, что все
волны лежат в одной плоскости:
sin е,=-^-sine, ea = e, sine= —, (и.7)
Mj и u2— соответственно скорости первого и второго зву-
звуков в жидкости, с — скорость звука в паре.
— iat+ix— sin 8
Введем величину ? (х, t) — ?}ще а> , характе-
характеризующую колебания границы раздела. Выпишем теперь

11. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 73
условия, которые должны выполняться на границе раздела
жидкость — пар. Индексом 0 обозначаем амплитуды соот-
соответствующих величин, чертой — значение соответствующих
величин в паре и без черты—в жидкости,
а) Равенство сил, действующих на границу,
//Y4 ()
у — коэффициент поверхностного натяжения.
б) Равенство плотностей потоков вещества через
границу
р
и,
в) Равенство плотностей потоков энергии
1.9)
w (_ ?21^ />) + (^щ\ + р _р^ ?!L cos e Gf > _ zf) =
— тепловая функция, а—энтропия,
г) Равенство температур
а—коэффициент теплового расширения пара,
д) Равенство химических потенциалов
I р(о) _ 0 (Г)
р Р
В интересующем нас интервале частот можно пре-
небречь поверхностным натяжением [——5-<^.М в урав-
нении A1.8). Кроме того, учтем, что а/а<^1, р/р<^1,
после чего система A1.8) — A1.12) упрощается, и мы

74 II. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
находим
F» р™ 2pg^H П113)
Рл Р \О
_cos54Esi
(
р \а
р„ р \ а
где
cos0
= l/ I — 4-
V Ч
Используя формулы A1.5) и A1.13) — A1.14), вычи-
вычисляем коэффициент отражения второго звука R2, коэффи-
коэффициент трансформации второго звука в первый R1 и
в обычный звук в паре R:
r r-j- (ИЛ
Kl = -. ¦ —-zr r-j-,
( cos ё-Ь-Р^Ш ^- cosG)
\ pn p \a I щ I
4-PA i/a\2JL cose cos ёГ
R= , 0" P \o I u2 __ ^_
B\
I»!
Из A1.17) видно, что при углах падения 0 > arcsin —
отсутствует отраженная волна первого звука в жидкости,
а при углах 0 > arcsin -=!¦ отсутствует и прошедшая в пар
с
звуковая волна. Таким образом, в этом последнем случае
происходит полное внутреннее отражение второго звука.

12. ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА 75
Полное внутреннее отражение имеет место в области
температур выше 0,7° К. в которой с > м2.
Следует обратить внимание на малость коэффициента /?х,
определяющего трансформацию второго звука в первый
в жидком гелии II.
12. ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА [16]
Наличие диссипативных процессов в сверхтекучей
жидкости приводит к поглощению звука. Для исследова-
исследования вопроса о распространении звука при наличии дис-
диссипации запишем общие уравнения (9.13) — (9.16) в ли-
линеаризованном виде:
/ = 0, A2.1)
dvnk
dt ' dri дг/i \ дг^ dri
2
3 5
:)Ч"
= х
OVnl
'* дг,
¦ С4 div
] +
Vn\-
. A2
A2
A2
.2)
.3)
•4)
В звуковой волне скорости vn и vs и изменяющиеся
части термодинамических величин р' и а' (которые мы
выбираем в качестве независимых переменных) меняются
по закону е ч "' {х — направление распространения
волны, со — частота звука). Скорость звука и в данном
случае будет комплексной величиной, ее мнимая часть
будет определять поглощение. Для упрощения вычислений
воспользуемся малостью теплового расширения в гелии II.
Тогда после исключения переменных i)n и <vs из уравне-
уравнений A2.1) —A2.4) получаем два уравнения:
A2.5)

76 12. ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА
Условие совместности системы A2.5), A2.6) записы-
записывается в виде равенства нулю ее определителя. Однако
для небольших частот со можно ограничиться в уравнениях
линейными по ю членами. А это означает, как легко
видеть, возможность пренебречь членами с а' в уравне-
уравнении A2.5) и членами с р' в уравнении A2.6). В результате
получаем два независимых однородных уравнения, из
которых следуют уравнения, определяющие скорости звука:
[О -т *-2-и2 =
\ до р^а ;
Корень уравнения A2.7) определяет скорость первого
звука с учетом затухания:
Корень же уравнения A2.8) определяет скорость второго
звука также с учетом затухания:
Скорости их и и2 являются комплексными величинами.
Поэтому комплексными величинами будут также и волно-
волновые векторы k = —. Действительная часть волнового
вектора определяет изменение фазы колебаний с расстоя-
расстоянием, мнимая же часть есть просто коэффициент поглоще-
поглощения звука. Мнимая часть волнового вектора для. первого
звука, согласно A2.9), равна
Таким образом, коэффициент поглощения первого
звука О] зависит только от двух кинетических коэффи-
коэффициентов: коэффициента первой вязкости ц и коэффициента

13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 77
второй вязкости ?2- То обстоятельство, что другие коэф-
коэффициенты (tj, ?3 и х) не входят в выражение для с^,
связано с пренебреженным эффектом теплового расширения
гелия II. Так, учет теплопроводности дает дополнительное
слагаемое в аг вида
Заметим, что главную роль, как показывают вычисления
коэффициентов р^. в поглощении первого звука играет
вторая вязкость, связанная с коэффициентом ?2-
Коэффициент поглощения второго звука равен мнимой
части волнового вектора, вычисленной с помощью выраже-
выражения A2.10):
а2 = Im — = г- — I — л +
2 и 294 р„ I 3 ^
-^-?- 4^}- 02.13)
Подробный анализ показывает, что главную роль в погло-
поглощении второго звука играет теплопроводность, эффект кото-
которой описывается последним слагаемым в формуле A2.13).
13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ [171
Распространение звуковых волн большой амплитуды,
как известно из гидродинамики, приводит к возникнове-
возникновению разрывов ударных волн. Сущность этого явления
заключается в следующем. Точки профиля волны пере-
перемещаются с различными скоростями, а это приводит
к изменению его формы со временем: точки с большими
значениями скорости выдвигаются вперед (в оэычной
гидродинамике на гребне волны), обгоняя точки с мень-
меньшими скоростями. В конце концов профиль звукового
импульса может настолько выгнуться, что станет неодно-
неоднозначной функцией координаты. Физически такое положение
невозможно. В действительности в волне возникает разрыв,
отсекающий часть искаженного профиля. В результате
все величины в волне оказываются всегда однозначными

78 13. РАЗРЫВЫ 6 СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
функциями координаты. Возникающие из звуковой волны
ударные волны обладают, естественно, малой интен-
интенсивностью.
Аналогичные явления должны иметь место в волнах
первого и второго звуков в гелии II. Разрывы в волне
первого звука должны, естественно, полностью соответ-
соответствовать обычным ударным волнам — на них испытывают
скачки в основном лишь давление, плотность и скорости
vn = vs; скачок же энтропии, а с ним (при пренебреже-
пренебрежении тепловым расширением) и скачки температуры и отно-
относительной скорости IV являются малыми величинами третьего
порядка.
Разрывы же в волне второго звука являются специ-
специфическими для сверхтекучей жидкости явлением, пред-
представляющим собой в основном разрыв температуры. Вместе
с температурой испытывает скачок и относительная ско-
скорость <w, разрывы же остальных величин являются малыми
высшего порядка.
Выясним условия, которые должны выполняться на
поверхности разрыва в гелии II. Для этого вводим систему
координат, движущуюся вместе с разрывом (со скоростью и
относительно неподвижной системы). Ось х выберем по
направлению нормали ' к поверхности разрыва, скорости
жидкости предполагаем направленными вдоль этой же оси *).
На поверхности разрыва должны быть непрерывны
следующие величины:
а) Плотность потока массы жидкости
1==О A3.1)
(здесь и ниже квадратные скобки обозначают разность
значений соответствующей величины по обеим сторонам
разрыва).
б) Плотность потока импульса *¦
в) Величина, стоящая под знаком градиента в уравнении
сверхтекучего движения (8.25), т. е. сила, действующая
*) Мы не рассматриваем здесь тангенциальных разрывов,
на которых могут испытывать скачок касательные к поверхности
компоненты скорости.

13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 79
на единицу массы сверхтекучей части жидкости,
A3.3)
(знаком ~ над буквой отмечаем соответствующие термо-
термодинамические величины как функции р, Т и w).
г) Плотность потока энергии; согласно (8.20) это
условие гласит:
„2 \ . 1
= 0,
а так как первый член непрерывен в силу условий A3.1)
и A3.3), то достаточно потребовать:
Возвратимся теперь к неподвижной системе координат.
Для упрощения дальнейших вычислений будем считать,
что по одну сторону от разрыва имеется невозмущенная
жидкость; другими словами, здесь vn = vs — 0, и все
величины равны своим равновесным значениям. Скорость
разрыва и будем считать положительной, если разрыв
движется в сторону невозмущенной жидкости. Тогда
в условиях A3.1) — A3.4) скорости us и vn в движущейся
вместе с разрывом системе координат надо положить
равными и на невозмущенной стороне, а по другую сто-
сторону от разрыва заменить на vs — ми vn — и, где теперь vs
и vn будут относиться к неподвижной системе отсчета.
Для дальнейшего удобно ввести, наряду с разностью
w = vn — vs, скорость v, формально связанную с плот-
плотностью потока соотношением j = pv. В результате усло-
условия A3.4) принимают вид:
рон = р (и — v), A3.5)
A3.6)
A3.7)
РоТоаои =роТ (и - v --^ w\+pnw{u — v — &-t
A3.8)

80 13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
(индексом нуль отмечаем равновесные значения величин,
буквы без индекса обозначают значения величин по дру-
другую сторону разрыва).
Полученная система позволяет в принципе найти ско-
скорость ударных волн и скачок величин на разрывах.
Однако ввиду сложной зависимости термодинамических
величин от относительной скорости ¦да общее исследование
было бы чрезвычайно громоздким. Мы ограничимся рас-
рассмотрением разрывов небольшой интенсивности, когда
можно ограничиться квадратичными по ¦да членами в раз-
разложении термодинамических величин \х, а и р.
Исключим с помощью уравнения A3.5) величину и—v
из остальных равенств и подставим в них для ц, а и р
выражения (8.26), (8.28) и (8.29). Таким путем получаем
систему
A3.9)
I* —1*0 $-(Р2) +
j[^ ^^] = O. A3.10)
рои (То - Тоао) - w (оГр, + -^«2
Для дальнейшего анализа выбираем в качестве незави-
независимых переменных давление р и температуру Т и разлагаем
все величины в ряд по степеням Ар — р — pQ и AT = Т—То,
ограничиваясь членами не выше второго порядка. Кроме
того, пренебрегаем, как это мы делали до сих Лор, зави-
зависимостью плотности р от температуры. После указанного
разложения система A3.9) —A3.11) приобретает вид
_^.р,„.^Л.] = 0. A3.12,

13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 81
2р2 2 у dp p J
-А-^- = О. A3.13)
АГри (а +
- w (oTPs
^-+2р,р„) = 0. A3.14)
В линейном приближении полученная система уравне-
уравнений значительно упрощается. Приравняв нулю определи-
определитель э/ой системы (условие ее совместности), находим
уравнение
выражающее в первом приближении значение скорости и.
Корни уравнения A3.15) равны
«?о=4р« A3Л6>
Полученный результат совершенно очевиден: слабые
разрывы давления или температуры распространяются
со скоростью соответствующего звука.
Система уравнений A3.12) —A3.14) после подстановки
полученных значений скорости и позволяет выяснить связь
скачков Ар, AT и ¦да на разрыве. Таким путем убеждаемся
в том, что первому корню соответствуют скачки AT и w
более высокого порядка по Ар, чем первый. Второму же
корню соответствуют скачки Ар порядка выше первого
t) И. М. Халатников

82 13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
относительно Л71 и w. Кроме того, в этом случае имеет
место следующая связь между ЛГ и w.
AT = wu2^.. A3.18)
Первому корню соответствует разрыв давления, аналогич-
аналогичный ударным волнам в обычных средах. Второму же
корню соответствует разрыв температуры (температурный
разрыв).
Разрывы давления (ударные волны). Пре-
Пренебрежем в уравнении A3.11) членами выше второго
порядка; в результате получим уравнение
определяющее значение скорости разрыва давления во вто-
втором приближении
{^} A3.20)
При небольших значениях скачка скорости на поверхности
разрыва, согласно A3.1), имеем
Учитывая это соотношение, перепишем формулу A3.20)
в виде
{^} A3.21)
Решение A3.21) совпадает с выражением для скорости
разрывов в обычных средах. Подставив полученное значе-
значение и2 в остальные два уравнения, убеждаемся в том, что
в этом случае скачки ЛГ и w оказываются выше второго
порядка относительно скачка давления Л/>.
Таким образом, разрывы давления в гелии II полностью
аналогичны ударным волнам в обычной гидродинамике.
Знак выражения -т— In (ри10) в гелии II так же положите-
положителен, как и в обычных средах. Следовательно, ударные
волны этого типа могут быть только волнами сжатия. Пер-
Первый член в A3.20) равен скорости первого звука в гелии II;
в первом приближении разрыв давления распространяется
со скоростью, равной скорости первого звука.

13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 83
Температурные разрывы. Второму корню и20
соответствуют отличные от нуля в первом приближении
скачки ДГ и w. Пренебрежем в уравнениях A3.12)—A3.14)
членами более высокого порядка, чем второй. Уравнение
A3.12) позволяет выразить скачок давления Др через зна-
значения скорости w; указанный скачок оказывается второго
порядка малости относительно w (или ДГ):
-i^lo-kif)]- A3-22)
Подставим полученное значение Д/> в уравнение A3.13)
и исключим из уравнений A3.12) и A3.14) скорость w.
В результате находим уравнение
A3.23)
определяющее величину скорости и2 во втором приближе-
приближении. Разрешив уравнение A3.23) относительно и и учтя
определение A3.17), получим
Полученную формулу можно записать в виде
Температурные разрывы — специфическое явление, харак-
характерное только для сверхтекучей жидкости. Формула A3.25)
определяет скорость температурных разрывов в гелии.
В первом приближении температурные разрывы движутся
со скоростью, равной скорости второго звука и20. Знак
производной -^уг In (И20 -j5r) меняется в зависимости от
температуры; это обстоятельство приводит к своеобразным
явлениям.
Точки профиля волны второго звука движутся с раз-
различными скоростями. Это приводит к изменению формы

13. РАЗРЫВЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
профиля волны со временем. В тот момент, когда форма
профиля становится неоднозначной функцией координаты,
возникают разрывы (в данном случае температурные).
Скорости точек профиля волны на поверхности разрыва
изменяются скачком. Скорость поверхности возникающего
разрыва при этом зависит от указанного скачка скорости.
Согласно формуле A3.25) она равна*)
. 1
Ио = Иоп -г- тг
)
дТ д . * „
¦ — — In I «|0
да
A3.26)
(Wj и w2 — значения относительной скорости с обеих
сторон поверхности раз-
разрыва).
Во втором звуке ско-
скорость w связана со ско-
скоростью нормального дви-
движения соотношением w=
— vn —. Выражая вели-
величину w через vn, перепи-
перепишем A3.26) в виде
«2 = и20 -f у «2 (^/П + V я2) ¦
A3.27)
3?
fe
^|<^
*
где
аТ д
A3.28)
Коэффициент а2 меняет
знак при изменении темпе-
рис. б. ратуры. Зависимость его
от температ*урц изображена
графически на рис. 6. При температурах выше 2,00°К
и в интервале 0,4 — 0,9°К коэффициент а2 < 0, в осталь-
остальной области а2 > 0. В области температур, где а2 < 0,
поверхности разрыва возникают на заднем фронте волны,
*) При выводе формулы A3.25) скорость w с одной стороны
разрыва считалась равной нулю. В общем случае получается
указанный в тексте результат.

14. ЧЕТВЕРТЫЙ ЗВУК 85
в области же температур, где а2 > 0, наоборот, на перед-
переднем фронте волны. Возникновение разрыва на заднем
фронте волны является специфическим свойством второго
звука в гелии II, неизвестным для обычного звука.
14. ЧЕТВЕРТЫЙ ЗВУК [18]
В узких капиллярах возможна такая ситуация, когда
длина свободного пробега возбуждений становится срав-
сравнимой и может превосходить диаметр трубки. В этом
случае при течении гелия нормальная часть будет непо-
неподвижной. При этом по сверхтекучей части жидкости могут
распространяться звуковые колебания, так называемый
четвертый звук. Скорость четвертого звука находится из
линеаризованной системы гидродинамических уравнений,
в которых следует положить <о„ = 0. Согласно (8.22) —
(8.25) имеем
p-f-pdiv<o,. = 0, A4.1)
^-fV|i = 0, A4.2)
5 = 0. A4.3)
Исключив из первых двух уравнений скорость vs и
учитывая тождество (8.26) для [х, получим
р = -^-Д/> —ор,Д7\ A4.4)
Уравнение A4.3), если пренебречь коэффициентом теп-
теплового расширения др/дТ, дает
р^ДГ + а^Лр = 0. A4.5)
Из уравнений A4.4) и A4.5) следует волновое урав-
уравнение для р
имеющее периодические решения, распространяющиеся со
скоростью

86 15. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ
¦, f~~<>P
«1=1/ —г
где «1=1/ —г скорость первого звука, а и2 =
1/
У
—га1ат\ скорость второго звука (см. A0.14),
Рп @0/01)
A0.15)).
Таким образом, в узких капиллярах могут распро-
распространяться звуковые колебания по сверхтекучей компоненте
со скоростью, определяемой формулой A4.7). Такого
рода колебания названы Аткинсом четвертым звуком. Прак-
Практически в формуле A4.7) при всех температурах второй
член оказывается много меньше первого.
15. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ
На свободной поверхности гелия II могут распростра-
распространяться волны, затухающие в глубь жидкости. Это явление
совершенно аналогично капиллярным волнам на поверх-
поверхности классической жидкости. Выбираем ось z по нормали
к поверхности, обозначаем через ? отклонение координаты
поверхности от равновесного положения. Если пренебречь
эффектами, связанными с присутствием пара, то на поверх-
поверхности жидкости должны выполняться следующие граничные
условия.
а) Нормальный поток жидкости через поверхность
должен равняться нулю:
«,-р? = 0. A5.1)
б) Сумма сил давления и поверхностного натяжения
должна равняться нулю (поверхность — плоскость ху):
(у — коэффициент поверхностного натяжения). *
в) Должен обращаться в нуль поток энтропии через
поверхность, а следовательно,
««-? = 0. A5.3)
Из A5.1) и A5.3) следует, что 2-компоненты нормаль-
нормальной и сверхтекучей скоростей должны равняться скорости
поверхности ?.

15. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 87
Рассмотрим периодическую волну, распространяющуюся
по направлению х и затухающую в глубь жидкости. В ней
все величины изменяются по закону ехр(—l<nt-\-lkx—Y.Z).
Поскольку линеаризованные уравнения гидродинамики сво-
сводятся к волновым уравнениям, частота ю, волновой век-
вектор k и величина к связаны соотношением
ij = ft2 —к2. A5.4)
В пределе для малых частот имеем просто й=и; z-кои-
понента уравнения движения дает связь, которая должна
иметь место на поверхности:
— Ш]'г—у.р' A5.5)
(штрихом отмечаем переменные части всех величин). А из
условия A5.2) имеем
p' + yk% = 0. A5.6)
Поскольку у^ = р?, из A5.5) и A5.6) окончательно
получаем
со2 = 1ft3. A5.7)
Таким образом, капиллярные волны в сверхтекучей
жидкости имеют такой же закон дисперсии, как и в клас-
классическом случае.
Ситуация изменяется в том случае, когда мы рассма-
рассматриваем волны, бегущие вдоль пленки гелия II. В этом
случае, если толщина пленки невелика, нормальная часть
в колебательном движении не участвует и граничные ус-
условия изменяются.
Вместо условия A5.1) имеем
РЛ,-(* = 0. A5.8)
Уравнение движения сверхтекучей части дает связь
/owM + x(i/ = 0. A5.9)
Из A5.8), A5.9) и A5.6) получаем другое дисперсионное
уравнение:
Ш2 = ??. X ?3. A5.10)

88 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
Уравнение A5.10) имеет место, очевидно, в том случае,
когда длина волны волн много меньше толщины пленки
h(khy$> 1). В общем случае аналогичные вычисления дают
уравнение
2==i?.X^3thM- A5.11)
Р Р
Волны, распространяющиеся по сверхтекучей жидкости
(<оп — 0) вдоль пленки, иногда называют третьим звуком.
16. ГИДРОДИНАМИКА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ [19, 20, 21]
В основе рассмотренной в § 8 гидродинамики сверх-
сверхтекучей жидкости лежало экспериментально подтвержден-
подтвержденное предположение о безвихревом характере сверхтеку-
сверхтекучего движения. Из этого немедленно следует, что при
вращении сверхтекучего гелия, скажем в цилиндрическом
сосуде, во вращение должна увлекаться только нормаль-
нормальная часть жидкости. Сверхтекучая же часть жидкости при
этом должна оставаться неподвижной. Это также непос-
непосредственно следует из простой микроскопической картины.
Действительно, при вращении сосуда возбуждения, стал-
сталкиваясь со стенкой, увлекаются вращением, так что нор-
нормальная часть жидкости движется вместе с сосудом. Сверх-
Сверхтекучая же часть со стенками не взаимодействует и стоит
неподвижно. Однако это следствие не подтверждается
экспериментом. Если бы описанная картина была верна,
то глубина мениска жидкости во вращающемся сосуде
была бы в рп/р раз меньше глубины мениска, образован-
образованного классической вращающейся жидкостью. Эксперимент
же этого не подтверждает. Вращающаяс» сверхтекучая
жидкость образует мениск, имеющий такую же глубину,
как и классическая жидкость, т. е. опыт устанавливает,
что при вращении сосуда с сверхтекучей жидкостью вра-
вращением увлекается вся жидкость.
Для того чтобы понять указанную ситуацию, вернемся
снова к условию потенциальности сверхтекучего движения.
Потенциальность сверхтекучего движения выражается
условием rot vf = 0. Это же условие по теореме Стокса

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 89
может быть записано в виде равенства нулю циркуляции
сверхтекучей скорости vs вдоль произвольного контура L:
§vsdl = 0. A6.1)
L
Умножим соотношение A6.1) на т. — массу атома ге-
гелия. Таким образом, мы получим слева величину, которая
в квантовой механике подлежит квантованию. Предста-
Представляется поэтому естественным рассматривать условие A6.1)
как частный случай более общего квантового условия
т. ®vsdl=2nnh (n—целое число). A6.2)
Можно попытаться получить квантовую теорему о цир-
циркуляции A6.2) для бозе-жидкости, исходя из общих прин-
принципов.
Рассмотрим жидкость при абсолютном нуле в основном
состоянии, Волновая функция Фо в этом состоянии является
симметричной функцией координат без узлов. Функция Фо
может быть выбрана действительной и в дальнейшем может
полагаться равной положительному числу. Пусть система
как целое движется с равномерной скоростью vs. При
этом волновая функция приобретает фазу -т Nnvos —тт~ и
будет равна (суммирование ведется по всем ./V частицам
системы)
Предположение об отсутствии узлов позволяет заклю-
заключить, что волновая функция непрерывно зависит от фазы.
Формула A6.3) является точной для равномерного дви-
движения. В общем случае, когда скорость vs меняется от
точки к точке, можно ввести в рассмотрение величину
изменения фазы Лф при небольшом смещении координат
частиц Дг;:
Дф = 3-»2ХЛг'- A6.4)

ЭО 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
Выберем в системе некоторое число частиц, образую-
образующих замкнутый контур. Сдвиг частиц вдоль контура не
меняет состояния системы, поэтому фаза может при этом
измениться лишь на целое число 2я. Таким образом, со-
совершая предельный переход, получаем
т. е. как раз искомое квантовое обобщение циркуляцион-
циркуляционной теоремы. При отличной от нуля температуре каждое
из имеющихся в этом случае возбуждений с импульсом р
внесет в волновую функцию дополнительный множитель
-g-/"¦*)¦
Однако при этом фаза, обязанная движению системы
со скоростью vs, останется неизменной. Если в A6.5)
выбрать контур L так, чтобы он не проходил вблизи воз-
возбуждений, то весь предыдущий вывод от этого не изме-
изменится.
Из формулы A6.2) следует, что в сверхтекучей жид-
жидкости возможны две различные ситуации, в зависимости
от того, равно ли п нулю или не равно. При п = 0 имеем
lot ч?я = 0, и для случая вращения в односвязной области
отсюда следует vs = 0. При п ф О ситуация сложнее.
Циркуляции вокруг некоторых особых линий в этом слу-
случае не равны нулю. На этих линиях, являющихся аналогом
вихревых нитей, известных в обычной гидродинамике,
имеем особенность в vs. Естественно, что вблизи вихре-
вихревых нитей приведенные выше рассуждения уже непригодны.
Однако если не интересоваться детальной структурой
ствола вихря, то единственное ограничение возникает
лишь на форму контура L, который не должен проходить
слишком близко от ствола вихря.
Рассмотрим движение сверхтекучей жидкости во вра-
вращающемся цилиндрическом сосуде. Поле скоростей еди-
единичного вихря с осью, параллельной оси вращения, со-
согласно A6.2) определяется формулой
v *" A67>

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 91
Его кинетическая энергия, приходящаяся на единицу
длины, равна
ъ
P f*Vtordr р?1п± A6.8)
где а — радиус ствола вихря, имеющий размер порядка
межатомного расстояния, a b — некоторый условный внеш-
внешний радиус вихря. Радиус вихря Ь связан с числом вихрей,
приходящихся на единицу площади N, очевидным соот-
соотношением
ri>2
Наконец, еще свяжем плотность вихрей N с величиной
j. Согласно A6.2), используя теорему Стокса, имеем
N = ¦№2*1. A6.9)
Для выяснения общей картины вращения сверхтекучей
жидкости воспользуемся вариационным методом. Стацио-
Стационарному состоянию соответствует минимум величины
F — Ма0, где F — свободная энергия, М — момент жид-
жидкости, со0 — угловая скорость вращения сосуда. Свободная
энергия движущейся жидкости слагается из свободной
энергии покоящейся жидкости Fo и кинетической энергии
v\ v\ *)
Р5-5- + РП-9" • Ввиду аддитивности кинетической энер-
энергии и момента М можно движение сверхтекучей жидкости
рассматривать независимо от нормальной и минимизировать
величину Es — М3щ, где Es и Ms относятся к сверхтеку-
сверхтекучей части. Нормальная часть жидкости, как легко видеть,
будет совершать при этом вращательное движение по типу
твердого тела, т. е. со скоростью vn = mor. Энергия Е
*) Строго говоря, такое разделение является приближенным
вследствие того, что термодинамические переменные зависят от
относительной скорости vn — vs. В пределах интересующей нас
точности это обстоятельство в данном вопросе, однако, не
является существенным.

92 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
сверхтекучего движения (далее индекс s для простоты
опускаем) равна
r. A6.10)
Второй член в формуле есть энергия вихрей, вычисленная
с помощью формул A6.7), A6.8) и A6.9). Аналогично
вычисляется момент жидкости:
M — p, vr2nr dr H-p» •?;— / 2nrdr. A6.11)
Здесь второй член, так же как и в A6.10), обязан вкладу
вихрей. Поскольку вычисления вклада вихрей имеют ло-
логарифмическую точность, то, строго говоря, включение
этого члена является в известном смысле превышением
точности и его можно было бы опустить. Варьируем раз-
разность Е — Ма>0 по 6г>, получаем *)
( — — — (
6о{(р —ov)+-;?- °" V
~
-|_J1 / JL\rbv\n n— \2ndr. A6.12)
Из требования обращения первого интеграла в нуль сле-
следует уравнение
^(") + ?^l?(«r) = 0. A6.13)
Обращение второго интеграла A6.12) в нуль происходит
автоматически, если hv равно нулю на границах интегри-
интегрирования.
Полученное уравнение A6.13) определяет поле сверх-
сверхтекучей скорости во вращающемся цилиндрическом сосуде.
*) Напоминаем, что в цилиндрических координатах
Id,,

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 93
Уравнение A6.13) имеет два точных решения:
г> = с0ог, A6.14)
v = -j. A6.15)
Первое решение соответствует твердотельному враще-
вращению, а второе ирротационному с ротором скорости, рав-
равным нулю. Заметим, что сумма решений A6.14) и A6.15)
не удовлетворяет уравнению A6.13). Предположим, что
вращение твердотельного типа захватывает область внутри
некоторого радиуса Rt. Во внешней же области имеет
место ирротационное решение с полем A6.15). Миними-
Минимизируя затем свободную энергию по Rt, мы найдем вели-
величину Rt, которая, как мы увидим, оказывается меньше
радиуса сосуда R. Таким образом, расчет подтверждает
сделанное предположение. Константа k определяется из
граничного условия v(R) = g>qR *). Получающееся при
использовании граничного условия решение, однако, не
сшивается при г = Rt с решением A6.14). Согласно урав-
уравнению A6.13) непрерывными должны быть величины vr
и —т— (vr). Следовательно, при г, близких к Rt, реше-
решения A6.14) и A6.15), вообще говоря, должны быть под-
подправлены. Легко видеть, что в уравнении A6.13) имеется
единственный параметр размерности длины 1/ —. Истин-
ное решение будет отличаться от принятого нами лишь
в узкой области вблизи Rt порядка 1/ — **). Область же
ирротационного движения, как мы сейчас увидим, имеет
размер порядка 1/ ¦— In — . Таким образом, поскольку
производимые здесь вычисления имеют логарифмическую
степень точности, то небольшой областью вблизи Rt, где
решения A6.14) и A6.15) следовало бы подправить, можно
просто пренебречь и считать, что в области внутри Rt
*) Граничное условие для v необходимо поставить, так как
при варьировании свободной энергии предполагалось, что на гра-
границах би = 0.
**) Это обстоятельство подтверждается более подробным
расчетом.

94 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
имеет место поле скоростей v — щг и вне ее v = .
Подставляем такое поле скоростей в выражение для
Е— Мщ и минимизируем его по Rt. Таким путем на-
находим
A—A\
Rt R)
Правая часть в A6.16) во всех интересных случаях мала,
поэтому приближенно имеем
R-R. = ^y ^-\n~. A6.17)
Из полученной формулы мы видим, что область ирро-
тационного движения сравнительно мала. Однако благо-
благодаря заметному логарифму (порядка 15) она доступна
наблюдению. Области ирротационного движения будут
также возникать в случае вращения гелия между коакси-
коаксиальными цилиндрами. В этом случае будут две такие
области: на внутренней и внешней границах жидкости.
Вычислим теперь интересующую нас часть свободной
энергии Е—Ма0, связанную со сверхтекучей компонен-
компонентой. Подставив полученное значение Ri в A6.10) и A6.11)
и учитывая малость R — Rt, находим
Е — Жсо0 = — 4- яр5с0о#2 + 4" Р*исооЯ2 In —. A6.18)
Второй член в формуле A6.18) обязан наличию вихрей
и, как мы видим, повышает свободную энергию. Поэтому
возникающие вихри будут иметь наименьший момент,
соответствующий в формуле значению п=\.
Резюмируя сказанное, мы видим, что при вращении
сосуда со сверхтекучей жидкостью возникающие вихревые
нити имитируют вихревое движение практически во всем
сосуде с ротором скорости, равным удвоенной частоте
вращения сосуда, т. е. так, как при вращении твердого
тела или классической вязкой жидкости. При этом во всем
объеме жидкости, не занятом вихревыми нитями, rot4Jy = 0.
Полностью свободной от вихревых нитей оказывается
лишь небольшая область вблизи стенок сосуда, в которой
совершается ирротационное безвихревое движение.

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 95
О критических скоростях
Вычисление критических скоростей, связанных с воз-
возможностью рождения фононов или ротонов, согласно
F \
¦икр —min — J дает значения, на два
порядка превосходящие наблюдаемые и не зависящие от
толщины капилляров. Экспериментально наблюдаемое зна-
значение критических скоростей и правильная зависимость
их от толщины капилляра непосредственно следуют из
возможности рождения в сверхтекучей жидкости вихре-
вихревых колец. Эти своеобразные возбуждения характеризуются
энергией [20]
и импульсом
/> = Р^-, A6.20)
зависящими от радиуса кольца R (а — толщина ядра
вихря).
Применив критерий Ландау к данной ветви спектра,
получим
vKD = min - == -?- In —. A6.21)
КР р Rm a v '
Полученная формула объясняет наблюдающееся постоянство
произведения vKpR и дает близкое к наблюдаемым значе-
значение критических скоростей.
Уравнения гидродинамики вращающейся
сверхтекучей жидкости
Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости при
наличии вихрей могут быть получены феноменологическим
путем, с помощью законов сохранения. При этом также
выясняется вид диссипативных членов, связанных с нали-
наличием отличного от нуля rot1»,. Основное отличие рассма-
рассматриваемого движения от безвихревого движения состоит
в зависимости внутренней энергии жидкости от абсолют-
абсолютной величины rot <d5. Эта зависимость выражается в диф-
дифференциальной форме:
(x>=\rotvs\. A6.22)

96 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
Согласно A6.8) коэффициент X с логарифмической сте-
степенью точности равен
X = ps-^\n±. A6.23)
Далее действуем тем же способом, что и в § 8 при вы-
выводе уравнений гидродинамики при го1г>5 = 0. Записываем
все уравнения в форме дифференциальных законов со-
сохранения. Уравнение непрерывности при этом остается
неизменным:
p-f-divy = 0, A6.24)
и по существу является определением вектора потока
массы жидкости j. К тензору потока импульса Hi/t и
вектору потока энергии Q мы добавляем пока неизвест-
неизвестные члены, соответственно nik и q. Таким образом,
уравнения сохранения энергии и импульса записываются
в виде
^ ) = О, A6.25)
Энергия единицы объема Е с помощью преобразования
Галилея выражается через внутреннюю энергию жидкости Ео
в системе отсчета, движущейся со скоростью сверхтеку-
сверхтекучей части:
E = ±pv* + j0o3 + Ev A6.27)
где j0 — импульс единицы объема жидкости в этой же
системе. Он выражается через полный импульс j в не-
неподвижной системе:
В термодинамическое тождество, определяющее внутрен-
внутреннюю энергию Ео, кроме членов, содержащихся в (8.12),
необходимо добавить член X da>, выражающий изменение
энергии благодаря наличию rot-о,.. Таким образом, имеем
dE0 = Тd5+ |idp + («я - **• <Ш +" *•dc0- A6-29)

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 97
Невозмущенные тензор потока импульса Uik и поток
энергии Q определяются формулами (8.19) и (8.20):
B
где давление р равно
/» = —?0+Г5+ир + (в„-в,. Л)-
Полная система гидродинамических уравнений содержит
еще два уравнения: уравнение сверхтекучего движения и
уравнение роста энтропии
ib. + («,,V)«, + Vn=/. A6.30)
^- + ulvSv „ = -?¦, A6.31)
где вектор / и диссипативная функция R подлежат
определению. Воспользуемся теперь законом сохранения
энергии A6.25) для определения дополнительных членов
в уравнениях гидродинамики. Для этого дифференцируем
по времени левую и правую части равенства A6.27) и
подставляем из уравнений A6.24), A6.26) и A6.30) про-
производные по времени от величин j, p и vs. В результате
получим
Ё = — div Q — div (яч>л) -f- T (S + div Svn) + Ы +
+ lvnr^- + nlfl^ + (у-рг>„. /+[», «„-«,]). A6.32)
где
Вводим единичный вектор v = »)/co и вычисляем с по-
помощью A6.30) производную ю:
0 = V rot tfs = VrOt {/+[0), Vn— 4)s\) — VrOt [W4Jn]. A6.33)
Подставим полученное выражение для со в A6.32) и сгруп-
сгруппируем все члены, имеющие вид дивергенции; таким путем
7 И. М. Халатников

98 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
находим
Е + div {Q+(дад +1 [v, /+ [», «„ - «,] ]} =
= Г E + div S*n) + Ц +
+ (/+[». «„ — «,]. У —poB + rotA,v). A6.34)
Сравнив теперь A6.34) с уравнением сохранения энер-
энергии A6.25) и уравнением возрастания энтропии A6.31),
получим
, «я—«,1Ь A6-35)
— (/+[». «„ — «,]. У —fWB + rotb). A6.36)
Из требования положительности диссипативной функции /?
следует наиболее общий вид для функции f и тензора nik:
f= — [w, <»„ — <oj + a [w, У — ри„ + rot A,v] +
+ P[vt». У — p<i>;! + roUv]] —
— Yv(o>. У — pun + rotA,v) (P, Y>0), A6.37)
A6.38)
Тензор напряжений т/й выражается обычным образом через
коэффициенты вязкости (см. (9.9)).
Импульс относительного движения, согласно A6.28),
равен *)
У )
Выразив разность j — p<on через vn — v/.
У — fW» = Уо + № — Р»я = — Р, («я
*) При наличии в жидкости выделенного направления о»
возникают, вообще говоря, эффекты, обязанные анизотропии
жидкости. Это обстоятельство приводит к тому, что вместо
коэффициента вязкости т) возникает тензор вязкосФи т). ,
в импульсе /0 появляется компонента вдоль направления та и
т. д. Однако эти эффекты квадратичны по и и чрезвычай-
чрезвычайно малы.

16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ 99
преобразуем / к виду
[о), rot A,v]
— pp,[v[w,
= —J- [о), rot A,v] — A + Ч»,) [». «„ — «, — •?-
. va— „4 —JL-rotb). A6.39)
Выпишем окончательно уравнение сверхтекучего движе-
движения A6.30)
= L [M, rot A,v] — р'р4 Го>, ч?„ — <z>s — rot
— pp, [v, [со, «я — г»5 — j- rot b] ] -f-
-f-YPov(o). да — да -rotA,v). A6.40)
Здесь P'Ps^ 1 + аР^- Последние три члена в A6.40) опи-
описывают силу взаимного трения, коэффициенты р и р' вы-
выражаются через коэффициенты В и В', введенные Холлом
и Вайненом [21], при помощи соотношений
Р 2 pps ' н 2 pp., v /J
Члены с rot^v проявляются во взаимном трении в случае,
когда имеют место поперечные изгибы вихрей. Продоль-
Продольная сила (последний член в A6.40)) вдоль о) действует
в том случае, когда направление отдельных вихревых
нитей отклоняется от направления среднего вихря, напри-
например при тепловых колебаниях. Ввиду малости этого
эффекта коэффициент у, по-видимому, крайне мал. Обу-
Обусловленная вихревым движением добавка к тензору потока
импульса
^ (i6.42)
состоит из двух частей: перенормировки давления Ха> и
члена, характеризующего натяжение вихрей, — Xcofcos/co.
Из формулы A6.35), подставив выражение A6.42) для Пц,

100 16. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ
находим выражение для дополнительного потока энергии q
tf = Mv. /+l«V»]]. A6.43)
В отсутствие продольной силы (у = 0) этому выражению
можно придать более изящный вид, допускающий простое
истолкование. Применив к уравнению A6.40) операцию rot,
имеем
,»]} =rot [«?в»]. A6.44)
Это уравнение описывает перенос вектора ы со скоростью
- vs - ± rot *,v
+ pp,[v. «„ — «, —JLrot b]. A6.45)
Это есть скорость движения вихревых нитей (при отсут-
отсутствии продольного трения). Теперь поток энергии q может
быть записан в окончательном виде
9- = co-§-[v[^v]], A6.46)
из которого видно, что энергия вихрей переносится в пер-
перпендикулярном к о) направлении.
Остановимся на граничных условиях, которым должна
удовлетворять сверхтекучая компонента на поверхности
твердого тела и на свободной поверхности, помимо об-
обращения в нуль нормальной компоненты скорости vs.
В случае свободной поверхности должны быть равны,
как обычно, касательные компоненты натяжений, т. е.
nNx = соЛгсог = 0. Следовательно, вихри перпендикулярны
поверхности (N— вектор нормали к поверхности). На
твердой поверхности имеет место несколько более слож-
сложная ситуация. Если поверхность шерохЗбата, то вихри
движутся вместе с поверхностью. В случае же проскаль-
проскальзывания вихрей на поверхности будет иметь место дис-
диссипация энергии. Из подсчета диссипируемой энергии
можно показать, что в общем случае на поверхности,
движущейся со скоростью а, будет иметь место условие
(при у = 0)
vL — e = C[v[tfv]] + C'[tfv]. A6.47)

17. СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ ВБЛИЗИ &-ТОЧКИ Ю1
где коэффициенты ? и t,' имеют следующий порядок ве-
величины:
(d — средний размер шероховатостей).
Абсолютно шероховатой поверхности соответствует
обращение коэффициентов ? и ?' в нуль, абсолютно глад-
гладкой поверхности ? и ?'—>со.
17. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ
ВБЛИЗИ А.-ТОЧКИ [22, 23]
В теории фазовых переходов второго рода обычно
вводится малый параметр, характеризующий близость со-
состояния системы к Л-точке. Затем термодинамические
потенциалы разлагаются в ряд по этому параметру, и
величина его определяется минимизацией потенциала.
Вдали от Х-точки мы имеем дело с идеальным газом воз-
возбуждений, и нормальная плотность жидкости р„, а следо-
следовательно и ps, находится по формуле B.22). Вблизи
Я-точки такой подход уже невозможен, и следует вос-
воспользоваться методом малого параметра. Таким парамет-
параметром может служить величина ps, обращающаяся в нуль
в Л-точке. Более удобным оказывается введение некото-
некоторой комплексной функции ty(x, у, z, 1) = г\е1<?, опреде-
определяемой таким образом, что
При достаточно малых значениях <»„ и vs энергию еди-
единицы объема Е разлагаем в ряд по vn и VxJj
^ + EQ{9, S, M8). A7.2)
Далее, выразив ф через р^ и vs, получим
л «2 t2

102 17. СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ ВБЛИЗИ Л-ТОЧКИ
Последний член в A7.3) представляет собой специфически
квантовую добавку.
Равновесные значения -ф и "ф* находятся путем миними-
минимизации энергии Е по \|з* и ip при заданном значении им-
импульса j: ¦
= (Р - т\ ф |2) *„+ -у- (W~ W). A7.4)
Умножим A7.4) на неопределенный лагранжев множитель и
и прибавим к выражению A7.3). Затем варьируем по-
полученную сумму по 1|>* и юп (при постоянных р, S, j и ip)
и исключаем а. Таким путем находим уравнение
определяющее равновесное значение if.
Перейдем теперь к выводу полной системы гидроди-
гидродинамических уравнений. Указанные уравнения можно по-
получить, исходя из законов сохранения, как это было
сделано выше при выводе уравнений двухскоростной
гидродинамики. Начнем с уравнения, определяющего функ-
функцию \|з. Исходим из предположения, что состояние системы
определяется заданием величины ip (так же как и других
термодинамических величин), т. е. что г|) удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению по t. По ана-
аналогии с квантовой механикой пишем
1Ь^. = 1% A7.6)
где Z — некоторый линейный оператор. Поскольку вели-
величина р^ = /и|ф|2 может релаксировать (не сохраняться и
превращаться в рл), то оператор L не является эрмитовым.
Эрмитову часть оператора L можно по аналогии с урав-
уравнением Шредингера записать в виде
-шА + и- ' <17-7>
где
и функция g подлежит определению.

17. СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ ВБЛИЗИ Л-ТОЧКИ ЮЗ
Что касается антиэрмитовой части, то она описывает
приближение ps к равновесному значению и в равновесии
должна обращаться в нуль. Если отклонение от состояния
равновесия мало, то ее, согласно A7.5), можно записать
в виде
где Л — некоторый безразмерный коэффициент, пропор-
пропорциональный обратному времени релаксации. Окончательно
получаем следующее уравнение для ip:
2от тп
dt 2от тп|\ dp
Коэффициент Л, как показывает несложный анализ,
должен быть действительным, так как в противном случае
возможен был бы перенос сверхтекучей части жидкости
нормальной скоростью. Все остальные уравнения записы-
записываются в обычном виде:
уравнение непрерывности
закон сохранения импульса (8.3)
'
* "" 2т \drt drk v drt dr
+ РЛЛа + Ай + Т/й. A7.13)
и наконец, закон возрастания энтропии (9.16)
?. A7.14)
Члены х1к, q и R, наряду с g, подлежат определению.
Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось
уравнение
i| = -divQ. A7.15)

104 17. СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ ВБЛИЗИ СТОЧКИ
Далее дифференцируем выражение A7.2) для Е по вре-
времени и выражаем производные по времени ф, р, S и vn
с помощью A7.11) — A7.14). Затем подбираем неизвест-
неизвестные члены таким образом, чтобы все члены, которые
не удается заключить под знак div, обратились в нуль.
Кроме того, учитывая положительность функции R,
в результате находим
q —— JtvT,
I dvn, . dvnk 2 « ,. \ A7.16)
Что же касается члена g и части тензора xik, имеющей
не равный нулю след, то их можно положить равными
нулю, так как они связаны со второй вязкостью, а вблизи
Я-точки основная диссипация происходит за счет релакса-
релаксации р, определяемой коэффициентом Л.
Выпишем теперь окончательно получающиеся таким
путем уравнения:
дЕп ' -|>, A7.17)
_ф*Дф) = о, A7.18)
A7.19)
¦ + к. с.) +
г 2т \ дп дг/i v дг
+ А* - Л (^- + ^f- ~jbik dlvf..») , A7.20)
' дЕ0 *"
г ф
• -f- div pvn — -=- div

17. СВЕРХТЕКУЧАЯ ЖИДКОСТЬ ВБЛИЗИ Л-ТОЧК.И 105
Рассмотрим случай малых градиентов Vps, когда спе-
специфически квантовые эффекты малы. В этом случае
V\p можно заменить всюду на vs, применив к урав-
уравнению A7.17) операцию grad и сделав в остальных урав-
уравнениях указанную замену; получаем более простую систему
уравнений:
дЕп дЕп ПК 1
^ + ^^^s-K)\ = 0, A7.22)
L + div(№ + p,,*g = 0, A7.23)
^}p, A7.25)
IKm
В этих уравнениях, в отличие от рассмотренных в § 8
уравнений гидродинамики, величина ps не считается за-
заданной, а является независимой величиной. Приближение
ее к равновесному значению определяется уравнением
A7.25). Коэффициент Л определяет величину поглощения
звука вблизи 1-точки. Он просто связан с коэффициен-
коэффициентами второй вязкости. По экспериментальным данным
коэффициент Л имеет величину, приблизительно равную 15.
Функцию ^(р, S, Ps) принципиально можно определить
из экспериментальных данных о зависимости теплоемкости
гелия и ps от температуры и давления вблизи ^-точки.
Область применимости уравнений ограничена неравенством

106 18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ
Тх — T<^TV Наиболее интересной областью применения
рассмотренных здесь уравнений являются процессы
при наличии вихрей, в которых имеют место большие
градиенты ps.
18. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ [13]
Функция распределения элементарных возбуждений
удовлетворяет кинетическому уравнению
дп , дп дН дп дН
где /(и) — интеграл столкновений, конкретный вид кото-
которого пока для нас несуществен. Гамильтониан И квази-
квазичастицы при наличии сверхтекучего движения со ско-
скоростью vs равен
A8.2)
где е (р) — ее энергия в системе отсчета, где сверхтекучая
компонента покоится. Исходя из кинетического уравнения,
можно получить уравнения гидродинамики сверхтекучей
жидкости. При этом находятся выражения для потоков
импульса и энергии, необходимые для вычисления кинети-
кинетических коэффициентов. Умножим уравнение A8.1) на
компоненту импульса р{ и проинтегрируем по всему
р-пространству. Благодаря закону сохранения импульса
интеграл от правой части равен нулю; таким путем по-
получаем
д С . Г дп дН . Г дп дН . п
или после несложного преобразования
Здесь и в дальнейшем чертой будем обозначать интегри-
интегрирование по ^-пространству. Подставив в A8.3) выражение

18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ 107
A8.2) для Н, получим уравнение движения
де,
определяющее изменение во времени полного импульса
относительного движения нормальной и сверхтекучей
частей.
Запишем теперь уравнение движения для полного
импульса:
j = pn + pvs. A8.5)
Поскольку полный импульс сохраняется, то производная
от него по времени равна дивергенции симметричного
тензора потока импульса П.1к (8.3):
Тензор потока импульса П1к в неподвижной системе от-
отсчета, согласно (8.8), можно выразить через его значе-
значение nik в системе отсчёта, движущейся со скоростью vs:
а- A8.7)
Вычтем из уравнения A8.6) уравнение A8.4) и восполь-
воспользуемся уравнением непрерывности
В результате получим
де. д де.
nP
Из условия rot vs = 0 следует, что сумма последних трех
членов в A8.9) должна быть произведением плотности р
на градиент некоторой функции. Производную -^-,
очевидно, можно переписать в виде ТР/Г"* Кроме того,

108 18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
тензор ntk при абсолютном нуле в отсутствие возбужде-
возбуждений должен быть равен pobik (р0—давление сверхтекучего
гелия при 7 = 0). Из этих требований однозначно следует
вид тензора nlk:
A8.10)
причем, согласно термодинамическому тождеству (8.26),
(|Л0 — значение химического потенциала при Г = 0).
Подставим A8.10) в уравнение A8.9) с учетом A8.11),
в результате получим
dv, \ д v. 1
+ ?Ь + «+} 0 A8.12)
Таким образом мы получили уравнение сверхтекучего дви-
движения. Сравнив A8.12) с (8.25), убеждаемся в том, что
химический потенциал fi равен
-|rfV A8.13)
второй член в этой формуле обязан вкладу возбуждений.
Получим теперь выражение для вектора потока энер-
энергии Q. Для этого вычислим производную по времени от
полной энергии системы и выразим все производные по
времени с помощью уравнений движения, уравнения не-
непрерывности и кинетического уравнения через координат-
координатные производные. Затем, сгруппировав все члены под
знаком div, получим выражение для Q. Полная энергия Е
слагается из кинетической энергии (8.9)
г-2 _ •*• ,
Ex = p-? + vsnp. A8.14)
внутренней энергии газа возбуждений
Ев = пё A8.15)
и нулевой энергии Ео (при Т = 0), определяемой тожде-
тождеством
A8.16)

18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 109
Производная по времени от кинетической энергии, согласно
A8.4), A8.8) и A8.12), равна
— д I Ш v
—2?7 №.i + nPi) ~ vsi ^r npt (Wk
Для нахождения производной от внутренней энергии
умножаем левую и правые части кинетического уравнения
на е и интегрируем по всему пространству. Интеграл от
правой части при этом равен нулю, поскольку при со-
соударениях энергия сохраняется, и мы получаем
е^. + е *L|«.._e *L|«=0. A8.18)
dt ^ drk dpk dpk дгк К '
или, после несложного преобразования,
д д I де,
nE+nEW
l=0- A8Л9)
Используя уравнения A8.16), A8.17) и A8.19), находим
производную по времени от полной энергии
дЕ д \ — / дг v
vl
-А_я). A8.20)
Таким образом, вектор потока энергии Q равен
д
-^H. A8.21)

ЦО 18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Кинетические коэффициенты
Функция распределения для возбуждений в движущемся
равномерно и находящемся в равновесии сверхтекучем
гелии равна
[(е + ^^)]"', A8.22)
Равновесная функция п0 удовлетворяет кинетическому урав-
уравнению, обращая интеграл столкновений в нуль. В случае,
когда равновесие нарушено, функция распределения п
отличается от равновесного значения и должна быть найдена
решением кинетического уравнения. Эта в общем случае
неразрешимая задача упрощается для слабо неравновесных
состояний, в которых отклонение от состояния равнове-
равновесия мало. Отклонение от состояния равновесия в этом
случае полностью определяется заданием первых производ-
производных от скоростей юп и <os и термодинамических пе-
переменных по координатам, величины которых предпола-
предполагаются малыми. Другими словами, скорости vn и va и
термодинамические переменные медленно меняются вдоль
системы, так что в кинетическом уравнении всеми стар-
старшими производными и степенями первых производных
можно пренебречь.
Рассмотрим слабо неравновесное состояние системы.
Тогда можно считать, что в каждом данном небольшом
участке системы имеется приближенно локальное равно-
равновесие, т. е. что функция распределения может быть пред-
представлена в виде
1, A8.23)
где «!<C!^o и по есть равновесная функция A8.22),
зависящая от локальных значений скоростей и термоди-
термодинамических переменных. При подстановке в «инетические
уравнения A8.1) функции распределения A8.22|в левой
части достаточно ограничиться дифференцированием функ-
функции п0, так как малая добавка пх сама содержит первые
производные, и ее дифференцирование приводит к появле-
появлению старших производных, которыми можно пренебречь.
Правая же часть — интеграл столкновений — при под-
подстановке функций распределения вида п0 обращается
в нуль, и в ней в первом приближении можно ограничиться

18. КИНЕТИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ 111
линейными по пг членами. Таким образом, задача линеа-
линеаризуется — мы получаем линейное интегральное уравнение,
левая часть которого задана и выражается через первые
производные от скоростей и термодинамических перемен-
переменных. Подставим функцию распределения п0 в левую часть
кинетического уравнения. При этом, наряду с малостью
пространственных производных, будем считать малой раз-
разность скоростей юп — vs. Последнее обстоятельство ни-
нисколько не ограничивает задачу, поскольку разность ско-
скоростей vn — vs должна быть мала по сравнению со ско-
скоростью звука (первого и второго). Как известно,
сверхтекучесть нарушается значительно раньше, чем этот
предел может быть достигнут. Вычислим сначала произ-
производную по времени; согласно A8.1) имеем*)
~Ш"~П \ kT [dt Р dt ^p dt ) kT* dt
Выбираем в качестве независимых переменных плотность р
и энтропию S. Выразим производные по времени через
пространственные производные; в линейном приближении,
согласно (8.22) - (8.25), имеем
^- = _divy. — = -Sdivvn,
pa^(vn-vs) = -S7T. A8.25)
С учетом A8.25) преобразуем A8.24) к виду
Далее вычисляем скобку Пуассона в левой части кине-
кинетического уравнения:
*) Штрихом обозначаем дифференцирование функции по
аргументу п' =* — п A + ")•

112 19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Собрав все члены A8.26) и A8.27), получаем кинети-
кинетическое уравнение в интересующем нас приближении:
дТ
1 / дТ . дТ
Для дальнейшего удобно выделить из последнего члена
де,
в фигурной скобке -r—V(pvn) члены вида div1»,,, а остаю-
остающуюся часть симметризовать, после чего окончательно
получаем
VT ( ST де\ ! де
6 j ^
Анализ уравнения A8.29) показывает, что в полном соот-
соответствии с § 9 члены, содержащие div(y — pvn) и diva?,,,
определяют вторую вязкость в сверхтекучей жидкости
(всего три коэффициента); член с градиентом темпера-
температуры VT — теплопроводность и, наконец, последний член —
первую вязкость. Вычисление соответствующих кинетиче-
кинетических коэффициентов мы и произведем ниже, используя
общее уравнение A8.29).
19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ [16]
При наличии градиента температуры в сверхтекучем
гелии возникает макроскопическое движение жидкости,
характер которого определяется уравнениями движения.
Макроскопическое движение нормальной части жидкости
сопровождается обратимым переносом тепла, Однако,

19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 113
кроме макроскопического потока тепла, согласно прове-
проведенному в § 9 анализу, при этом имеет место некоторый
необратимый поток тепла
q = ~nW, A9.1)
величина которого существенно определяется коэффициен-
коэффициентом теплопроводности х. Для вычисления коэффициента
теплопроводности необходимо решить кинетическое урав-
уравнение, которое при наличии градиента температуры, со-
согласно A8.29), имеет следующий вид:
Рассматриваемое явление теплопроводности имеет много
общего с теплопроводностью классической жидкости.
Однако имеются и специфические особенности, связанные
с тем, что в данном случае эффект связан с возбужде-
возбуждениями и их необычным характером энергетического спектра.
Так, для чисто фононного газа левая часть уравнения A9.2)
тождественно равна нулю и, следовательно, соответствую-
соответствующий коэффициент теплопроводности должен был бы быть
равным нулю.
Дальнейшие вычисления произведем, разбив поток A9.1)
на две части, обязанные соответственно ротонам и фоно-
нам. Коэффициент теплопроводности % при этом слагается
также из двух частей — ротонной (хг) и фононной (ярЛ):
Ротонная часть коэффициента
теплопроводности
Ротонная часть коэффициента теплопроводности %г
определяется в основном процессами рассеяния ротонов
ротонами. Взаимодействие ротонов с фононами оказывается
несущественным в области относительно более высоких
температур (выше 0,9° К). При более же низких темпера-
температурах это взаимодействие начинает играть существенную
роль. Однако поскольку основной вклад в теплопровод-
теплопроводность в этой области температур вносят, как мы видим,
фононы, то соответствующим ротонным эффектом можно
просто пренебречь. Вычисление v.r мы производим лишь
8 И. М. Халатников

114 19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
по порядку величины и выясняем при этом температурную
зависимость этого коэффициента. Более точные вычисления
не имеют смысла, поскольку характер взаимодействия
ротонов друг с другом неизвестен (см. § 7). В таком
случае можно также упростить задачу, заменив интеграл
столкновений на величину
A9.3)
где tT есть некоторое характерное время, которое мы
в дальнейшем отождествим со временем соударения рото-
ротонов, определенным формулой G.40). Подставив выраже-
выражение A9.3) в правую часть A9.2) и решив уравнение от-
относительно п — п0, получим
п' „~ I ST дв \ , .. г, ,ч
»-»<> = -!7Г?7"(р — -*Sp)tT. A9-4)
Далее, вычисляем поток энергии:
A9.5)
Сравнив A9.5) с A9.1), находим выражение для коэффи-
коэффициента теплопроводности:
]
дг I ST де,
Вычисление интеграла A9.6) с функцией распределе-
распределения для ротонов вида A.14) дает следующий результат:
А^2 / 3SSrT^\
[1 ) ^197>
PnNr
Второй член в скобке в формуле A9.7) практически
всегда мал, и им можно пренебречь. Подставив в A9.7)
выражение G.40) для tr, окончательно получаем
,98
Таким образом, ротонная часть коэффициента теплопро-
теплопроводности медленно растет с понижением температуры, как
Обратная степень 7\

19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 115
Фононная часть коэффициента
теплопроводности
При рассмотрении фононного вклада в теплопровод-
теплопроводность самым существенным оказывается процесс рассеяния
фононов ротонами.
При решении кинетического уравнения большие упро-
упрощения возникают благодаря тому, что установление равно-
равновесия по энергиям в фононном газе происходит быстрее
указанных выше процессов. Установление энергетического
равновесия осуществляется при рассеянии фононов друг
другом на малые углы; соответствующие времена были
вычислены в § 7. Такой процесс не дает вклада в явле-
явления переноса (теплопроводность, вязкость), однако обе-
обеспечивает установление энергетического равновесия для
фононов с заданным направлением импульса. Это позво-
позволяет для описания фононов пользоваться равновесными
функциями, характеризуя фононы, движущиеся в каждом
данном направлении, своей температурой.
Второе обстоятельство, которое следует иметь в виду,
связано с процессом установления равновесия по числу фо-
фононов, который осуществляется пятифононным механизмом.
Пятифононный процесс B фонона ^ 3 фонона), как мы
видели, также происходит без изменения направления
сталкивающихся фононов. При Т >0,9°К времена, харак-
характеризующие этот процесс, сравнимы с временами, характе-
характеризующими рассеяние фонона ротоном. При Т < 0,9° К.
благодаря быстрому выходу из игры ротонов, процесс
установления равновесия по числу фононов оказывается
более быстрым, чем рассеяние фононов. В связи с этим
вторым обстоятельством функция распределения для фо-
фононов заданного направления содержит некоторый хими-
химический потенциал (функцию направления; ниже 0,9° К эту
функцию можно считать равной нулю). Таким образом,
функция распределения фононов, движущихся в заданном
направлении, может быть представлена в виде
\ A9.9)
где а' — некоторая функция направления — аналог хими-
химического потенциала, а Т' — температура. Отклонение

116 19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
функции распределения от равновесного значения, со-
согласно A9.9), равно
A9.10)
(T — равновесная температура фононного газа). Выберем
ось z по направлению VT; тогда левая часть кинетиче-
кинетического уравнения A9.2) содержит в виде множителя cos'd,
где ¦& — угол между импульсом фонона и осью. Поскольку
уравнение A9.9) линейное, угловая зависимость функций а'
Т'~Т
и —~— очевидна:
Т> т
a =acosTT, —~— = Ecos#. A9.11)
Интеграл столкновений в правой части уравнения A9.9)
слагается из четырех частей, обязанных соответственно
рассеянию: Irpk — фононов ротонами, 1рр — фононов фо-
нонами, /[V — фононов фононами на малые углы и /v — двух
фононов, сопровождаемому рождением третьего (пяти-
фононный процесс). Проинтегрируем уравнение A9.9)
слева и справа по всем фононам и по всем энергиям
фононов (lip2dp и llzp2dp\. При этом, согласно
сказанному выше, интегралы
jl1Yp2dp, jf1Yep2dp, flYep2dp
равны нулю.
Что касается интеграла 1рр, то, как можно показать,
он тождественно равен нулю. Это очевидно из физических
соображений, поскольку при соударениях фотонов импульс
сохраняется, и поэтому не может возникать поток.
Далее, согласно G.44), имеем
1 Г
-gf J 'V«V — al ph' (IV. 14)
Вычисление интеграла Irph производится несложным обра-
образом с использованием формулы G.31) для дифференциаль-

19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ц7
ного эффективного сечения рассеяния фонона ротоном:
ltph = cosmrc f da (p, ip) A — cos ip) X
Отсюда после интегрирования по телесному углу do по-
получаем
¦jf) • A9.13)
где О —величина, имеющая размерность времени и ха-
характеризующая рассеяние фонона ротоном:
1 _6lNtr
в "~ 4лс L
A9.14)
Воспользуемся формулами A9.10)—A9.13) после
усреднения по всем фононам и по всем энергиям фононов
(при заданном направлении ¦&); получим из кинетического
уравнения два уравнения, определяющих величину аир:
здесь 8рЛ есть время, характеризующее пятифононный
процесс:
Зная величины а и р, а тем самым, согласно A9.10), и
неравновесную часть функции распределения, мы без труда
можем вычислить поток энергии и, следовательно, вели-
величину фононной части коэффициента теплопроводности.
Заметим, однако, что в полученном виде решение ки-
кинетического уравнения A9.10) не удовлетворяет условию
Г р (п — п0) dx = 0. В действительности поэтому при на-
наличии градиента температуры в гелии возникает некоторое

118 19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
макроскопическое движение жидкости с относительной ско-
скоростью vn—vs, такой, что \ p(n—n^dx-\-pn{vn—vs) = 0.
Поэтому равновесные функции распределения фононов и
ротонов будут зависеть не просто от энергии е, а от
комбинации е — (р, юп — vs). Разлагая равновесные функ-
функции в ряд по vn — vs, получим добавки — ¦*? (р, <оп — vs),
где vn — vs находится из предыдущего условия. Таким
образом, полная добавка к функции распределения фоно-
фононов равна
6„ = (я - п0) -h-g- ~ р f (я - п0) р' dx\
где разность п — п0 определяется формулой A9.10).
Аналогичным образом для функции распределения ро-
ротонов имеем добавку
Это обстоятельство приводит к следующему выражению
для потока энергии, обязанного фононам (и ротонам):
-(' -
Отсюда после несложных вычислений получаем оконча-
окончательный результат:
/ s
Время 8, благодаря экспоненциальной зависимости от
температуры числа ротонов Nr, быстро возрастает с убы-
убыванием температуры, таким образом, %ph в основном из-
изменяется с температурой по закону ед/*г, причем ниже
1,4° К фононная часть коэффициента теплопроводности %ph
уже заметно превосходит ротонную часть (иг). При тем-
температурах ниже 0,9° К. как указывалось, 8^>0рЛ, и по-
последняя скобка в A9.17) может быть заменена на единицу.

20. ПЕРВАЯ ВЯЗКОСТЬ 119
20. ПЕРВАЯ ВЯЗКОСТЬ [24]
Задача о вычислении коэффициента первой вязкости
очень сходна с рассмотренной выше задачей о теплопро-
теплопроводности. Рассмотрим сверхтекучий гелий, в котором нор-
нормальная скорость юп является функцией координат.
Кинетическое уравнение для задачи о вязкости, со-
согласно A8.29), имеет следующий вид:
п' I дг 1 А дг \
~~ W [~Щ Р*~Т ik ~др р) х
Для нахождения коэффициента вязкости необходимо вы-
вычислить возникающий поток импульса, который мы разо-
разобьем на две части — ротонную и фононную.
Для вычисления ротонной части коэффициента вяз-
вязкости г)г заменяем I (п) на (сравни § 19)
B0.2)
Стоящее здесь время tr, вообще говоря, не совпадает со
временем tr, использованным в § 19 для вычисления ро-
ротонной части коэффициента теплопроводности. Лишь при
условии, что вероятность рассеяния ротона ротоном имеет
острый максимум при рассеянии на малые углы, оба вре-
времени совпали бы. Поскольку, однако, нас будет интере-
интересовать лишь температурная зависимость цГ, приближение
B0.2) является достаточным. Подставив B0.2) в B0.1)
вместо / (я), найдем затем п — п0 и вычислим тензор по-
потока импульса; получаем:
¦=а/т?-Р"(а—по>ахр =
г
B0.3)
Выполнив необходимое интегрирование в B0.3), находим
ротонную часть коэффициента вязкости:

120 20- ПЕРВАЯ ВЯЗКОСТЬ
Выражение B0.4) содержит только не зависящие от тем-
температуры величины, поэтому г\г является константой.
Вычисление фононной части коэффициента вязкости r\pk
производится совершенно аналогично вычислению фонон-
фононной части коэффициента теплопроводности. Отличие со-
состоит лишь в двух пунктах. Во-первых, благодаря другой
ji j
симметрии задачи величины а и —~— (формула A9.10))
ищем в виде
а' = аР2 (cos ft), Ilzi?l==pp2(cosft). B0.5)
Во-вторых, рассеяние фононов фононами на большие углы
дает вклад при температурах ниже 0,9° К (интеграл Iрр
не равен нулю).
Не останавливаясь на подробных вычислениях, при-
приведем окончательный результат
0,4NphkTQ
1 + 8е/ерЛ
i
1+9/56трЛ
Здесь время Bph определяется формулой A9.16), время 8
несколько отличается от 0 (формула A9.14)):
]_ _ Nr6\ г Ро (face)» 1»
е 4яг L й2р J
и наконец, время xph, характеризующее четырехфононный
процесс, равно
1 _ 3-13!(и+2)< (кТ\9
)
xph ~ 5.. 21» Bя)8 Й7р2с \ с ) ' и~ с dp' к '
Численный анализ формулы B0.6) дает сл^дуфщий ре-
результат: фононная часть коэффициента вязкости возра-
возрастает с убыванием температуры по экспоненциальному
закону ед/*г; при температурах ниже 0,7° К. когда суще-
существенным является только эффект рассеяния фононов
фононами, этот закон заменяется законом Т~5. При тем-
температурах ниже 1,4° К постоянный вклад ротонной вяз-
вязкости пренебрежимо мал по сравнению с фононным.

21. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ ГЕЛИЯ П 121
21. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ ГЕЛИЯ II [11]
Уравнения движения гелия II с учетом второй вяз-
вязкости, согласно (9.14) и (9.15), записываются в виде
vsdiv j-f- (J - p*g divva -f-
{? ^}, B1.1)
f) V{CdlvC/fw) + ?dIvwB}- B1-2)
Необычный характер гидродинамики гелия II приводит
к появлению четырех вторых коэффициентов вязкости.
Согласно принципу Онзагера коэффициенты ^ и (Ц равны.
Выясним зависимость коэффициентов второй вязкости от
температуры и других термодинамических величин. При
этом мы исходим из того, что вторая вязкость в гелии II
обусловлена процессами, связанными с изменением общего
числа фононов N ph и ротонов Nr.
Пусть NT и Nph есть числа соответственно ротонов
и фононов в единице объема гелия II, а цг и \iph — их
химические потенциалы. В состоянии равновесия, когда цг
и \x.ph равны нулю, число ротонов и фононов являются
функциями плотности р и энтропии S гелия и равны соот-
соответственно Nr0 и Nр1г0. В выведенной из состояния равно-
равновесия системе числа Мг и Nр1г будут изменяться со вре-
временем, стремясь принять равновесные значения yVr0 и Nph0.
Рассмотрим малые отклонения от состояния равновесия,
при которых плотность и энтропия мало отличаются от
постоянных равновесных значений. Без ограничения
общности будем предполагать малыми также скорости vn
и vs. Уравнения, характеризующие приближение системы
к состоянию равновесия, можно написать, разлагая ско-
скорости изменения числа частиц Nr и Nph по степеням хи-
химических потенциалов. Если ограничиться линейными по [ir
и fip/! членами, то указанные уравнения принимают вид
B1.3)
Nph4- div Nphvn = yphr[ir - yppnph. B1.4)

122 21. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ ГЕЛИЯ II
где yrr, yrph, yphr и урр—кинетические коэффициенты,
симметричные по индексам г и ph. Члены вида Л/г>д
в уравнениях B1.3) и B1.4) учитывают то обстоятельство,
что фононы и ротоны участвуют в движении нормальной
части гелия II со скоростью vn. Пренебрегая в уравне-
уравнениях B1.3) и B1.4) квадратичными эффектами, получаем
Nr + N, dlv vn = — yrr\ir + Ърн^рн- B1 -5)
pft + Nph div vn = yfphpr — YpplAp*. B1-6)
Изменение термодинамических величин р, 5 со вре-
временем определяется уравнениями непрерывности для плот-
плотности и энтропии, которые в рассматриваемом случае,
подобно уравнениям B1.5) и B1.6) после линеаризации
приобретают вид
p-t-divy = O,
S + Sdivvll = 0. B1.7)
Числа ротонов Мг и фононов Nph зависят от трех пере-
переменных: р, 5, [хг или [xpft. Для достаточно медленных про-
процессов отклонения от состояния равновесия указанные
числа ротонов и фононов успевают следовать за измене-
изменением термодинамических величин. В этом случае произ-
производные Nr и Nph выражаются через производные р и 5.
Учитывая B1.7), перепишем уравнения B1.5) и B1.6)
в виде
dNr ., . . . , /., dNr c dNr
+ VrphV-рн- B1-8)
= VrphV-r — VppVpi,- B1.9)
Полученные уравнения B1.9) и B1.10) определяют вели-
величины химических потенциалов [хг и црА через div (у— рг>„)
и divwn для случая медленных неравновесных процес-
процессов в гелии.

21. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ ГЕЛИЯ II 123
Встречающиеся в уравнениях кинетические коэффи-
коэффициенты просто выражаются через коэффициенты Г, вы-
вычисленные в § 7 для конкретных процессов. Сравнивая
B1.5) и B1.6) с G.40) и G.42) и учитывая определение Г,
находим
Угг = * г ~Ь *• г ph.' УтрЬ — УрНг ^ *• г ph.' Ур'р == *ph
B1.10)
Коэффициент Гг мал по сравнению с ГгрД и Грй и им
можно пренебречь. Соотношения B1.8) и B1.9) тогда дают
dN
dN, c 6NT
B1.11)
Дополнительные члены в уравнениях движения B1.1)
и B1.2) обусловлены процессами, связанными с измене-
изменением общего числа ротонов Nr и фононов Nph. Таким
образом, указанные члены обязаны зависимости давления р
и потенциала \к от химических потенциалов [хрД и цг и равны
. соответственно
Приравняв правые части уравнения B1.1) и B1.2) ука-
указанным выражениям и подставив выражения B1.11)
и B1.12) для цг и \xph получаем два равенства. Поскольку
полученные равенства должны выполняться при любых

124 21. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ ГЕЛИЯ II
значениях divtfn и div(j — ptfn). то из них следует:
1 d|i /„ dNr „ d^Vr \
Определим с помощью следующего тождества функцию Ео:
Nrdiir-NphcHipll. B1.17)
Функция Ео является аналогом энергии и при постоянных
химических потенциалах обращается в энергию единицы
объема жидкости. Давление р выражается через функ-
функцию Ео с помощью соотношения
р = — ?0 + 5Г + (хр. B1.18)
Из B1.17) и B1.18) следуют выражения для производ-
др др
ных -—— и , :
da dNr d\x dNph
"ФТ^ ар ~д^== Ф~* B1>20)
Воспользовавшись соотношениями B1.22) и B1.23), пере-
перепишем выражения для коэффициентов второй вязкости

22. ЗВУК В ЖИДКОМ ГЕЛИИ II ВБЛИЗИ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ 125
гелия II в следующем виде:
I dN /., dN c dN
54 = Ci. B1-24)
Коэффициенты Ci и C4 оказались равными, как и следо-
следовало ожидать из принципа симметрии кинетических коэф-
коэффициентов. Производные, входящие в выражения для
коэффициентов второй вязкости, вычисляются с помощью
известных выражений для чисел ротонов и фононов и
энтропии гелия II.
Поглощение первого звука в гелии II определяется
величиной коэффициента ?2 (см- § 12). Экспериментальные
значения коэффициента поглощения первого звука в ге-
гелии II для области температур 1,57—2,0° К позволяют
с удовлетворительной степенью точности вычислить неиз-
неизвестные коэффициенты а и b в формулах для Tph и ГгрД.
Таким образом, находим
ГрЛ « 1 • Ю^Т11, Trph « 4 • 1050е-2Д/7". B1.25)
Полученное значение для Trph, естественно, оказалось
меньше верхнего предела, даваемого формулой G.47).
22. ЗВУК В ЖИДКОМ ГЕЛИИ II
ВБЛИЗИ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ [25]
Рассмотрим явление распространения звука в жидком
гелии II вблизи абсолютного нуля.
Вблизи абсолютного нуля длина свободного пробега
возбуждений быстро возрастает и может превосходить

126 22. ЗВУК В ЖИДКОМ ГЕЛИИ II ВБЛИЗИ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ
длину волны звука. В этой области температур суще-
существенную роль играют только фононы, а вкладом ротонов
можно пренебречь. Очевидно, что в таких условиях урав-
уравнения гидродинамики для газа возбуждений уже непри-
неприемлемы. Свойства такого газа описываются кинетическим
уравнением, в котором столкновительный член прене-
пренебрежимо мал. Таким образом, функция распределения фо-
нонов п(р, г, t) удовлетворяет уравнению
дп , дп дН дп дН _
~Ш^~~дг dp др дг ~и> {ггл)
здесь Н = е (р)-\~ pvs, e— энергия фонона, зависящая от
плотности, с учетом дисперсии равная
е(р) = срA— ур2). B2.2)
Величины р и vs, играющие роль внешних условий для
фононов, определяются двумя уравнениями (см. A8.13),
A8.8)):
p) = O, B2.3)
dv, I v2- I* де,
v2- I* де, \
-Т + J ^nd,p)=0, B2.4)
где [х0 — значение химического потенциала при абсолют-
абсолютном нуле, ар — импульс возбуждения в системе отсчета,
в которой vs = 0. Положим п = п0 -f- га', р = р0 -j- p',
га0 и р0 — равновесные значения, а га', р' ик, — малые
величины, изменяющиеся по закону ехр (— Ш + ikr). Ли-
Линеаризовав уравнение B2.1), B2.3) и B2.4), получим сле-
следующую систему: *•¦
_ щ п' + vk^fe (-|- р' + роа) = 0,
' — kvsp — k Г рп' йт = 0,
сор
* (т+/й°5- ахУ + kfwn'd%=
B2.5)

22. ЗВУК В ЖИДКОМ ГЕЛИИ II ВБЛИЗИ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ 127
Здесь v = де/др и использован тот факт, что, согласно
тождеству (8.26), d\i0 = dpo/p — с2 dp/p*).
Обозначим угол между векторами k и р через 6 и
разрешим первое из уравнений B2.5) относительно п':
дп0
п' = зг- р ¦
I/COS0
дс
~дг~ ? «./A-«cos в \Ж v г "s ""° "z1' B2'6)
Подставив я' в два других уравнения B2.5), после интег-
рирования по 0 получим
оо
а дс Г р* dp дпа I а \2. со + kv
~k dp J 4я2Й3 де, \ kv ) со — kv
"р \~др) J 4я2Л3 де \kv ) а> —
¦kv
• kv
I
dp дп0
In
- kv
|- СО
ш.й Г р4
~~ \Т ' ~др J 4я
L
dp дп0 I и \2. а-\- kv
2Й3 "Ж7" Ift^j k
B2.7)
При этом мы сохраняем лишь большие логарифмические
члены; логарифм окажется большим, как мы увидим, по-
поскольку со » kc, a v za с.
Условие совместности уравнений B2.7) дает нам дис-
дисперсионное уравнение
оо
ckj J
<?/»„
де
дс
a—kv [с dp
*) Вообще говоря, подобно тому как это имеет место в тео-
теории ферми-жидкости, существует зависимость функционального
вида энергии возбуждения от плотности возбуждений: бе =
= j /6л dx. Однако в данном случае этот эффект мал. Его вклад
в интересующие нас результаты будет порядка fNp/,/k Т. Простая
же оценка дает fN JkT~(xkTjhyl^<^l, поскольку с^
kT/b^

128 23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II
Отсюда для низких температур после несложного инте-
интегрирования получим
~кТ)
B2.9)
Таким образом, скорость звука при низких температурах
больше, чем при абсолютном нуле, на величину 6с, опре-
определяемую формулой B2.9).
23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ
И ГЕЛИЕМ II [26]
Теплопередача между твердым телом и жидким гелием
отличается рядом особенностей, обязанных большому
теплосопротивлению границы между указанными средами.
Наличие большого теплосопротивления приводит к воз-
возникновению на такой границе скачка температуры при
наличии потока тепла от одной среды к другой. Величина
этого скачка пропорциональна величине потока тепла
и изменяется по закону Т~ с температурой.
Затрудненность теплообмена между твердым телом
и гелием II можно качественно понять, если учесть зна-
значительное различие в скоростях звука в твердом теле
и жидком гелии II (скорость звука в гелии II на порядок
меньше скорости звука в твердых телах). Благодаря та-
такому различию импульсы фононов в твердом теле и жид-
жидком гелии той же температуры будут заметно отличаться.
Последнее обстоятельство не позволяет фононам из твер-
твердого тела переходить в жидкий гелий (и обратно), так как
при произвольных углах падения фонона невозможно удо-
удовлетворить одновременно законам сохранения импульса
и энергии *)•
Рассмотрим границу твердого тела и жидкого гелия,
через единицу площади которой протекает поток Q, и най-
найдем связь между величиной этого потока и скачком тем-
температуры на границе 67\ Мы будем считать, что гелий
*) По тем же причинам еще более затруднительным оказы-
оказывается процесс превращения ротонов в фононы твердого тела.

23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II 12§
находится в равновесном состоянии с температурой Т,
твердое тело—с температурой Т-\-ЬТ, и вычислим поток
тепла от твердого тела к гелию.
Выберем систему координат так, чтобы ось z была
нормальна к границе раздела, причем область z > 0 за-
заполнена жидким гелием. Рассмотрим отражение плоской
звуковой волны, падающей из жидкости. Поле скоростей
в жидкости можно задать с помощью скалярного потен-
потенциала ф так, что
. B3.1)
В твердом теле вектор и (и — вектор смещения) можно
представить в виде суммы градиента некоторого скаляра Ф
и ротора некоторого вектора ф:
a = gTad Ф-|-rot ф. B3.2)
Пусть волновой вектор k падающей волны лежит в плос-
плоскости xz. Выберем потенциал ф таким образом, чтобы
tyx =г|зг = О, и обозначим г|зу = г|). Пусть, далее, угол
падения звука 0, частота &». Имеем тогда
Фл />lk>(x s'n6,—zcos ВЛ — teit /по о\
— r\]fZ iv * i' i (Zo.o)
где k = — , k, — —, k, = — и в силу однородности за-
С С/ Cf
дачи в направлении х
sin9 sine, sin 9;
с ~~ ct — ci '
Здесь с — скорость звука в жидкости, cv ct — скорости
продольного и поперечного звука в твердом теле. Для
простоты мы предполагаем, что твердое тело является
изотропным.
Так как, если -ф = 0, то rota = 0, а diva = 0 при Ф=0,
то коэффициенты А1 и At есть соответственно амплитуды
продольных и поперечных колебаний в твердом теле.
На границе раздела, т. е. при z = 0, должны выпол-
выполняться условия непрерывности нормальных смещений
и напряжений.
9 И. М. Халатников

130 23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II
Первое условие можно записать в виде
— /гг cos 6(Л, +/г, sin 9,Л, =/г cos 6 (Л — Ло). B3.4)
Учитывая, что в жидкости тензор напряжений aik
равен —pbik, где давление р — — P-^-i а в твердом теле
°и. = 2ZM«« + D{c}- 2с)) uubik, ulk = 1 (g + *?).
B3.5)
запишем условия непрерывности напряжений:
A? cos2 0И<+A? sin 29,^ = 0, B3.6)
с2. \ о
1 — 2 -—• sin2 6г) Л, — sin 2QfAt = — (Л -f- Ло), B3.7)
С[ / D
р — плотность жидкости, D—плотность твердого тела.
Система уравнений B3.4)—B3.7) при заданном Ло
имеет следующее решение:
A Zt cos2 2%t+Zt sin2 29f-Z _. -
Ло "~ Z, cos2 29, + Z< sin2 29, -f Z ' ( OlO)
A — -P 2zicos 29< /23 9^
Ao ~* D Zjcos229, + Z, sin2 29,-f-Z ' ^-^
^__J 2Z, sin29< „ _
Ao~ D ^°lu^
где
Напишем теперь выражение для коэффициента про-
прохождения w звуковой волны, определяемого как отноше-
отношение средней энергии, проходящей в единицу времени
в твердое тело, к энергии, падающей tf& поверхность
металла с падающей волной. Первая из них равна работе
сил давления жидкости, т. е.
/^=tapq>-gj-. B3.11)
вторая
-fif- с cos 6 | Ло |2.

23 ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II 131
Учитывая, что в формуле B3.11) под <р следует понимать
вещественную часть соответствующего комплексного выра-
выражения B3.3), приведем B3.11) к виду
Подставив сюда B3.3), получим
?)} B3-|2)
Формулы B3.12) и B3.8) можно применить для вычисле-
вычисления потока тепла от жидкости к твердому телу w. Заме-
Замечая, что при попадании на границу одного фонона с энер-
энергией Йсо в твердое тело переносится энергия haw, получаем
W= n^ccosQUvw^. B3.13)
где интегрирование по углам проводится в пределах
0^cos9<Cl, a n—функция Планка для фононов. Под-
Подстановка сюда B3.12) дает
оо
W = Re fa (—) Нас X
J \kTl
2тЫш rcos9/1_AWi + 4Wcos0. B3.14)
BясK J у AQ J \ AQ J
Интеграл по частотам легко вычисляется, и в результате
получаем
где
B3.16)

132 23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II
Входящий в формулу B3.16) интеграл разобьем на три
части:
/,= f cos 0/l — — Wl +^-\rfcosG, B3.17)
{ \ Ao)\ Ao)
/„== f cos9 (l — — Wl +^Wcos6, B3.18)
i \ Ao) \ Ao)
1
/8= / cose(l--^Wl+?Wcos9. B3.19)
Подставляя значение —г- из B3.8) и учитывая, что в об-
ласти 0^cos9^]/l—c2/c2t величины соэ6г и cosG^
чисто мнимы, причем cos 0г> ^ == /1 cos 6г> ^ |, а в области
У1 — с2/с2 <; cos 0 <; ]А — с2/с2 cos 9, действителен, но
cos 0г мнимый, получаем
Zl cos2 28< + Zt Si 29<
;2ef)»-Z»rfcOs
B3.20)
. f Ztsin229, . n ,no _,.
/, = 4pc / 5-—r^ %.—-. rfcos9, B3.21)
_j/ Z 1 COS ZW, 4- Z ^ Sin ZO>
~ 1 гГ";—л* 1*1 tit 1
•«•¦¦
Г Zt cos'29f+ 2,8111» 29,
jр7с^2ё7+г^П?2ё^
В знаменателях подынтегральных выражений в B3.21)
и B3.22) мы пренебрегли величиной Z по сравнению
с Zj, ?, что законно, так как отношение pc/Dc( весьма мало.

23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II 133
Рассмотрим первый интеграл 11. Поскольку в области
интегрирования Zt и Zt чисто мнимы, этот интеграл, взя-
взятый формально по действительной оси в комплексной
плоскости переменной cos 0, также представляет собой
чисто мнимую величину и поэтому не дает вклада в B3.16).
Существенно, однако, что подынтегральное выражение /j
имеет полюс, расположенный в верхней полуплоскости
очень близко от действительного значения cos 0 = cos 0lt
где cos 0j определяется из условия обращения в нуль
величины Z; cos2 29,4~ ^/sjn2 20, — Z. Последнее условие
соответствует поверхностным волнам Рэлея на свободной
поверхности твердого тела. Значение cos 6 в полюсе
является корнем уравнения
Z, cos2 29, + Zt sin2 29/ — Z = О, B3.23)
что, как видно из B3.8), эквивалентно условию равенства
нулю амплитуды отраженной волны. Полюсу соответствует,
таким образом, решение, представляющее собой почти
У
О 1 cos&
Рис. 7.
плоскую волну в жидкости, падающую на поверхность, и
волну, близкую к рэлеевской, в твердом теле. Расстояние
полюса от действительной оси весьма мало (по порядку
величины оно равно отношению акустических сопротивле-
сопротивлений жидкость — твердое тело: pc/Dct—¦ 10~ ), поэтому
относительно небольшое смещение контура интегрирования
в верхнюю полуплоскость (такое смещение может быть
обусловлено реально всегда существующим затуханием)
приводит к тому, что полюс оказывается расположенным
между контуром и действительной осью. Таким образом,
интегрирование в B3.20) следует проводить по контуру,
изображенному на рис. 7 (контур Со). Этот контур удобно
деформировать в контур С. Интеграл по той части кон-
контура С, которая совпадает с действительной осью, как
уже указывалось выше, не дает вклада в B3.16). Остав-
Оставшаяся часть выражается известным образом через вычет

134 23 ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II
подынтегрального выражения в полюсе. В результате имеем
[Z, cos2 29, + Z, sin2 20,]cos е-сс
B3.24)
Производя в B3.24) дифференцирование и полагая 0 = Qv
получим
fB3lnerl)/ ——=
2Dc?\ \2 У sin2 6,-1
2 sin29.-e?
?/e? I"
,-_ 2 sin9.e?/e? I
+ /sin2 0, — 1 ' tL' , B3.25)
2(sin29,-c2/C2)Je=ei
где учтено, что отношение с2/с2 мало.
Введем обозначение ?, (cJcj) = ¦ „
sln "<
г| = с,/с, и
перепишем B3.25) в виде
* ? 2A — 'Q2/ff) j " ' '
Рассмотрим теперь интеграл /, определяемый формулой
B3.21). Переходя от переменной интегрирования cos0
к cos 0,, получим
2рс3 1 С Ac] cos2 9,1 sin2 29,1
D 2с) J ' с| cos4 2в^ -f c^ sin2 20f | sin2 26; |
B3.27)
Интеграл /3 в B3.22) разобьем на две части:
<=229,
-f 4pc / ^os0(^cos2f^;in22e<J. B3.28)

23. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ И ГЕЛИЕМ II 135
В первом интеграле B3.28) перейдем к переменной инте-
интегрирования cos 0г, во втором — cos Эг Тогда
2pc3
- f
4с, cos^ 9, sirT 29;
(с2 cos2 29, + с] sin 29, sin 26,J
rj / dcos0J
(tf sin 29, sin 29, + c? cos2 29,)'
B3.29)
Сумму /2 + /з можно несколько упростить, введя в ка-
качестве переменной интегрирования y = sin20, в B3.27) и
в первом из интегралов B3.29) и у = sin2 29, во втором
интеграле B3.29):
V 1 - УЛг dy
С
¦ J A-2^L^
1/Т12
4y(yr1»-l)dy
Путем несложного.преобразования этому выражению можно
придать иной вид:
f 4y/T
: +
1D
/
-2yJ+16y2(l-;
B3.31)
Наконец, подставляя B3.31) и B3.26) в B3.16), полу-
получим для потока тепла W от жидкости к твердому телу

136 24, посторонние Частицы в сверхтекучем гёлйи ii
формулу B3.15), где
1
4yj/j-y(yif-l)rfy ,
— 0 С
о
1/П2
+7-/i-g9;rS?L} ¦ B3.32)
Численное значение функции F зависит от упругих
констант твердого тела, однако она изменяется в неболь-
небольших пределах, оставаясь порядка единицы.
Если температура жидкости Т равна температуре твер-
твердого тела, то поток тепла W компенсируется таким же
по величине потоком, но направленным от твердого тела
к жидкости. Если же имеется малая разность температур ЬТ,
то результирующий тепловой поток Q равен
Произведя дифференцирование в B3.15), получим оконча-
окончательно связь между скачком1 температуры на границе ЬТ
и потоком тепла через границу:
Таким образом, тепловое сопротивление границы ока-
оказывается пропорциональным Т~ , т. е. довольно быстро
возрастает при понижении температуры.
24. РАСТВОРЫ ПОСТОРОННИХ ЧАСТИЦ
В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II [27, 28]
Свойства слабых растворов посторонних частиц в сверх-
сверхтекучем гелии могут быть выяснены на основе самых общих
соображений. Под посторонними частицами подразуме-
подразумеваются атомы изотопа Не3, электроны, ионы атомов Не4

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 137
и т. д. В слабом растворе растворенные частицы практи-
практически не будут взаимодействовать друг с другом. Обладая
большой длиной волны, они не будут локализованы в опре-
определенном месте жидкости. Взаимодействие примесей с ато-
атомами Не4 приведет к появлению дополнительных энергети-
энергетических уровней. Состояние примесей можно классифици-
классифицировать по значению непрерывной переменной импульса.
Таким образом, каждой частице примеси соответствует
некоторое элементарное возбуждение, характеризующееся
энергией — функцией импульса. Логически возможны раз-
различные типы спектров. Однако фактически мы имеем дело
с самым простым случаем, когда энергия е есть просто
квадратичная функция импульса р с некоторой эффектив-
эффективной массой т*:
е=?о+1& B4.1)
(е0 — некоторая постоянная «нулевая энергия»).
Так, для случая, когда посторонними частицами являются
атомы изотопа Не3, имеет место спектр типа B4.1) с эффек-
эффективной массой т* л> 2,8/иНе3. По-видимому, спектр B4.1)
имеет место также для случая электронов и ионов. До тех
пор, пока скорость примесных частиц р/т* меньше ско-
скорости звука в сверхтекучем гелии, такая частица не способна
излучать фононы. Излучение ротона также невозможно,
если энергия примеси р2/2т* не превосходит энергию
ротона А. Таким образом, примесные частицы, движущиеся
с «дозвуковыми» скоростями, не будут взаимодействовать
со сверхтекучей частью жидкости. Однако примесные
частицы будут сталкиваться и взаимодействовать с фоно-
нами и ротонами и, естественно, будут увлекаться их дви-
движением. Поэтому в условиях слабого раствора примесные
частицы увлекаются нормальным движением жидкости.
Следует подчеркнуть, что полученный вывод об участий
примесей в нормальном движении нисколько не связан
с тем: сверхтекучи или несверхтекучи атомы примеси
сами по себе. Так, атомы маложивущего изотопа Не6,
способные сами по себе образовывать сверхтекучую
жидкость, в слабом растворе в Не4 будут участвовать
только в нормальном движении. Распределение атомов
примеси по энергиям определится в области не очень

138 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
низких температур статистикой Больцмана. В области же
низких температур необходимо учитывать вырождение
примесного газа и взаимодействие частиц примеси друг
с другом. Если спин частиц s полуцелый, то температура
вырождения То равна
() ; B4.2)
о
0 km*
для примесей с целым спином имеем
tfNW* я32/'
То= ° v B4-3)
0 km* 2Bs+lJ/' V '
Здесь NQ = pfm — число атомов Не4 в 1 ем3, m — масса
атома Не4.
Для случая, когда примесью являются атомы Не3, при
с < 10~2, Г0<0,1°К- Следует иметь также в виду, что
при низких температурах становится существенным взаимо-
взаимодействие атомов примеси между собой. Энергия такого
взаимодействия порядка Uc, где U — характеристическая
энергия, для случая Не3 порядка нескольких градусов.
В классической области (при Т > То) можно легко
получить термодинамические функции для слабых раство-
растворов. Поскольку примеси участвуют в нормальном движе-
движении, они дают вклад в нормальную плотность рп1, который
может быть вычислен по общей формуле B.22) *)
Подставив сюда больцмановскую функцию распределения
n = NQcBnm*kT)-'he-P'i2m*llT, B4.4)
получаем очевидный результат *" ,
рп1=^- B4.5)
(с — атомная концентрация). При достаточно низких тем-
температурах вклад элементарных возбуждений—фононов и
*) Все дальнейшие вычисления производим для физически
интересного случая, когда спектр имеет вид B4.1).

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 139
ротонов — в нормальную плотность рп0 быстро убывает,
и постоянный вклад примесей рд/ может превосходить
первый. При концентрации с—10" 9no~Pni при темпе-
температуре Т « 1°К-
Энтропия. Применение общих формул термодина-
термодинамики слабых растворов дает для энтропии 1 см3 раствора
следующее выражение:
So — энтропия чистого гелия.
Теплоемкость. Теплоемкость 1 см3 гелия, содер-
содержащего примеси, равна
C = Co + -|woc&; B4.7)
Со — теплоемкость чистого гелия.
Вклад примесей в теплоемкость оказывается менее
заметным, чем в энтропию и в нормальную плотность.
Уравнение гидродинамики растворов [12,29]
Основное свойство растворов, которое используется
при выводе уравнений гидродинамики, это полное увлече-
увлечение примесей нормальным движением. Для слабых рас-
растворов это утверждение строго доказано. Можно при-
привести ряд аргументов в пользу того, что и для концен-:
трированных растворов имеет место такая же ситуация,
т. е. примеси при всех концентрациях участвуют только
в нормальном движении. Строгое теоретическое доказа-
доказательство этого утверждения отсутствует. Однако для наи-
наиболее интересного случая, когда примесями являются
атомы изотопа Не3, эксперимент по измерению нормаль-
нормальной плотности раствора подтверждает это. Здесь следует
сделать несколько оговорок. По-видимому, такая ситуация
имеет место лишь в том случае, если примеси не могут-
сами по себе, образовывать сверхтекучую жидкость. Как
известно, в Не3 при очень низких температурах, ниже
0,01° К, по-видимому, возможно спаривание с момен-
моментом, не равным нулю, и возникновение свойства сверх-
сверхтекучести. Аналогичное явление спаривания возможно и

140 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ И
в растворах, однако при еще более низких температурах.
Поэтому утверждение об участии примесей только в нор-
нормальном движении не должно распространяться на столь
низкие температуры, где возможна сверхтекучесть при-
примесей *).
Кроме того, для тех же растворов Не3 в Не4 на фазо-
фазовой диаграмме ниже 0,8° К имеется область расслоения на
две фазы. Мы будем рассматривать растворы вне этой
области.
Итак, пусть примеси участвуют только в нормальном
движении, тогда, наряду с уравнением непрерывности
-g- + div./ = 0, B4.8)
выражающим закон сохранения вещества для всей жид-
жидкости, можно написать уравнение непрерывности для при-
примесей
-^-pc + divpc^^O. B4.9)
Уравнение B4.9) представляет собой закон сохранения
массы примесей, переносимых с нормальной скоростью vn.
Далее, записываем уравнение непрерывности для энтро-
энтропии, учитывающее тот факт, что энтропия также пере-
переносится только нормальным движением
5 + div5w/( = 0. B4.10)
Уравнение движения
выражающее закон сохранения импульса j раствора, со-
сохраняет такой же вид, как и в чистом сверхтекучем гелии,
поскольку давление, а следовательно, и тензор Hik для
раствора и для чистого гелия II определяются одинаковым
образом.
*) Для смеси двух сверхтекучих жидкостей принципиально
возможна ситуация, при которой в жидкости будут происходить
три независимых движения: нормальное со скоростью vn и два
сверхтекучих со скоростями v's и vs. Уравнения такой трех-
скоростной гидродинамики получены в работе [30].

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 141
Наконец, уравнение сверхтекучего движения, помня,
что 1-0^ = 0, запишем в виде
0. B4.12)
где ф—неизвестная функция, подлежащая определению.
Далее, как и в случае чистого гелия II, воспользуемся
законом сохранения энергии. Вычисляем производную
от полной энергии раствора по времени и выражаем с по-
помощью уравнений B4.8)—B4.12) все временные произ-
производные от термодинамических величин и скоростей через
производные по координатам. При этом следует иметь
в виду, что термодинамическое тождество, определяющее
внутреннюю энергию.Ео, содержит дополнительную пере-
переменную — концентрацию с
u — vs, dj0) *). B4.13)
Сгруппировав полученные таким образом члены под зна-
знаком дивергенции, находим выражение для вектора потока
энергии
( ) PJJ. B4-14)
а из требования, чтобы члены, не имеющие вида дивер-
дивергенции, тождественно равнялись нулю, выясняется неиз-
неизвестная функция ф в уравнении B4.12)
Ф = (х-^С. B4.15)
Таким образом, уравнение сверхтекучего движения окон-
окончательно приобретает вид
+Ц-у*)=0. B4.16)
Выразим встречающиеся в формулах настоящего параграфа
потенциалы [х и Z через химические потенциалы [х4 ге-
гелия II и растворенных частиц [х3 в растворе. Из сообра-
соображений аддитивности свободную энергию раствора можно
*) Потенциал Z ниже будет выражен через химические по-
потенциалы посторонних частиц и гелия в растворе.

142 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
представить в виде
, т. ^—, .. —).
N3m3-f N4m4' Nama-\-N4mJ
B4.17)
Здесь N4 и Л/3 — числа атомов гелия II и растворенного
вещества, т4 и т3 — массы соответствующих атомов,
V — объем, занимаемый раствором.
Свободная энергия F единицы объема раствора, оче-
очевидно, равна
F = pf. B4.18)
Химический потенциал [Х4 гелия II в растворе равен
Аналогичным образом для растворенных частиц находим
=f — ^-v-\-(l—c)-^-, B4.20)
J dv ' v ' дс у '
3 /Из 0N3 dv дс
с = -jj jzjj концентрация раствора,
ir ]
— = удельный объем.
Дифференцируя выражения B4.18) и учитывая соотно-
соотношения B4.19) и B4.20), находим искомую связь:
)
L B4-22)
При помощи B4.22) находим выражение ;z$ra ^нтропии
единицы массы раствора
В общем случае, ввиду наличия взаимодействия между
частицами растворенного вещества и гелия II, выражения
для химических потенциалов ц,3 и ц.4 не могут быть напи-

24 ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 143
саны. Единственный случай, когда можно написать выра-
выражения для Из и [х4, есть случай идеального раствора:
ьт
^з=^зо + —Inc. B4.24)
ьт
^4 = ^40+^ In A-е) B4.25)
((А3о и [Х40 — химические потенциалы частиц растворенного
вещества и гелия II). Для энтропии о имеем, согласно
B4.23),
k k
а == A — с) о40 + со30 — — A — с) In A — с) — — с In с.
3 B4.26)
Согласно (8.21) и B4.13) для термодинамического по-
потенциала раствора имеет место тождество
pd\i = — SdT + dp + Zdc — j0 d (vn — vs). B4.27)
Из тождества B4.27) для случая небольших значений
разности скоростей (vn — vj (см. § 8) следует интеграль-
интегральное соотношение
|i = [х, (р, Т.с)-& (vn - vs)\ B4.28)
где потенциал \хс удовлетворяет тождеству
pfl![x(, = — SdT — dp-\-Zdc. B4.29)
Комбинация потенциалов [X и Z, содержащаяся в уравне-
уравнении движения B4.26), согласно B4.21) и B4.22) выра-
выражается через химические потенциалы:
(X — |с = ф3 + A — с)[Х4 —с([Х3—[Х4) = |х4. B4.30)
Для слабых растворов и небольших значений разности
(vn — vs), согласно B4.25), указанная комбинация равна
c n ix( T) B4.31)
В этом случае уравнение B4.16) приобретает вид
1
j
B4.32)

144 24 ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
Из уравнений B4.11) и B4.16) следуют условия равнове-
равновесия для растворов. В состоянии равновесия, когда vn =
= v = 0, имеем .
р = const, B4.33)
[х —- — с = const. B4.34)
Для слабых растворов условие B4.34) записывается в виде
kTc
йо(Р- Т) — = const,
или в дифференциальной форме {dp = 0):
B4.35)
Таким образом, в растворе, в отличие от чистого гелия II,
можно в стационарных условиях создать градиент темпе-
температуры; при этом автоматически возникает градиент кон-
концентрации. Уже при небольшом градиенте температуры
в слабом растворе почти все примеси соберутся на холод-
холодном конце.
Диссипативные процессы в растворах
Остановимся на диссипативных процессах в растворах;
при выяснении этого вопроса действуем совершенно ана-
аналогично тому, как это делалось для чистого гелия II.
В этом случае имеем дополнительные члены в уравнениях
движения и в уравнении непрерывности для растворенных
частиц:
-^-4- — СП -4- Ч —О
* ¦ ' - B4.37)
B4.38)
Дополнительные члены учитывают возможные диссипатив-
диссипативные процессы. Затем из закона сохранения энергии полу-
получаем выражение потока энергии
• с Н—гг I -г ?со„ ~г <Ь /1)„
B4.39)

24 ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 145
и уравнение, определяющее скорость изменения энтропии,
= — | h div (J — (уоп) + т div vn.-+-
B4.40)
Далее, из положительности диссипативной функции заклю-
заключаем, что неизвестные коэффициенты должны иметь вид
т = — С, div (у — (№„) — ?2сНу»л, B4.41)
А = — Се div (У — ря„) — C4divon, B4.42)
^--aV^-p^VT, B4.44)
e = -Yv|;-6ivT. B4.45)
В силу принципа симметрии кинетических коэффициентов
имеют место два соотношения:
Ci=?4. P = Y- B4-46)
Коэффициенты ?j, ^2> ^з> ^4 имеют смысл коэффициентов
второй вязкости раствора; г\ — коэффициент первой вяз-
вязкости раствора. В выражении для теплового потока q
удобно исключить V —y • выразив эту величину через
поток примесей g и VT:
Коэффициент теплопроводности определяем таким образом,
чтобы при равном нулю потоке g поток тепла равнялся бы
— и V7\ Таким образом имеем
)^ B4-48)
Далее, аналогично тому, как это делается в обычных
растворах, переходим в выражении для потока примесей g
Ю И. М. Халатников

146 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
к обычным переменным р, Т и с и вводим обозначения:
D = ^A(J\, B4.49)
pDkT = aT-jfc\^r)+fr, B4.50)
д ( Z
B4.51)
дс
После этого потоки g к q приобретают вид
B4.52)
д Z kr д Z \
W B4>53)
Величина D является коэффициентом диффузии, a kTD —
коэффициентом термодиффузии. Величину kpD называют
коэффициентом бародиффузии. Этот последний существен
лишь при наличии градиента давления. Он не зависит
от кинетики и полностью определяется термодинамическими
свойствами раствора.
Выясним теперь, как выглядят потоки g и q в ста-
стационарных условиях. Согласно уравнениям B4.33) и B4.34)
в стационарных условиях (при малых градиентах)
р — const,
\i с = const.
С помощью термодинамического тождества B4.27)
находим связь между градиентами концентрации и темпе-
температуры в стационарных условиях:
В стационарных условиях полный поток растворенных
частиц равен нулю:
= 0.- B4.55)

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 147
а полный поток тепла равен выделяемой на единицу по-
поверхности гелия мощности Q:
Q = (Zc + ST)vn+q. B4.56)
Скорость vn в стационарных условиях не равна нулю;
из уравнения B4.11) следует в этом случае равенство
нулю только полного импульса. Согласно B4.54) и B4.55)
оба потока g и q и скорость vn в стационарных усло-
условиях пропорциональны градиенту температуры. Мы выра-
выразим их через VT и подставим в формулу B4.56). Таким
путем находим
Т ( д 1 S \ kT д / Z\ у2
r7
de\i>
B4.57)
Теперь видно, что для характеристики растворов удобно
ввести некоторую эффективную теплопроводность хЭфф,
которая является определенной комбинацией коэффициен-
коэффициентов диффузии, термодиффузии и теплопроводности и равна
Т ( д I S \ kT д
дс[р)
B4.58)
Эффективная теплопроводность иЭфф связывает VT с вы-
выделяемой в растворе мощностью:
Q = —xB(M,V7\ B4.59)
С помощью формул B4.21), B4.22) вычислим иэфф для
слабых растворов:
^{( ?)Ы! B4.60)
(о0 — энтропия единицы массы чистого гелия II). Для до-
достаточно слабых растворов второй член в формуле B4.60)
обратно пропорционален концентрации раствора и пре-
превосходит коэффициент теплопроводности и. Заметим здесь,
что в чистом гелии II при наличии VT отсутствует ста-
стационарное решение уравнений гидродинамики. В стацио-
стационарном случае из постоянства давления р и потенциала (X
следует постоянство температуры в гелии.
10"

148 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
Запишем теперь в окончательном виде уравнения ги-
гидродинамики растворов в гелии II с диссипативными чле-
членами:
р -|- div j = 0,
dvn, , dvnk 2 . w
X
lk & div ^ -«
div «„
= div||
Ц- VT +
B4.61)
= V {?3 div (j — pvn) -f- lA div vn).
Согласно тем же соотношениям уравнение возрастания
энтропии приобретает вид
Q--
B4.62)
R = С3 [div (J - рфл)]2 + С2 [div vn
+ 2?,div(./ — p©n)
Звук в растворах посторонних частиц
в гелии II
Воспользуемся системой уравнений B4.8) — B4.12) и
получим формулы, определяющие скорость звука в рас-
растворах произвольной концентрации. Указанная система,

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ И 149
будучи так линеаризована, запишется в виде:
B4.65)
dvs
dt
Исключим из системы B4.65) скорости v'n и vs; в резуль-
результате получим три уравнения:
Ps
B4.66)
Выберем в качестве независимых переменных темпе-
температуру Т, давление р и концентрацию с. В звуковой
волне эти величины можно представить в виде сумм по-
постоянных равновесных значений и небольших добавок,
которые мы будем обозначать теми же буквами со штри-
штрихом. Ищем решение системы B4.66), соответствующее
плоской волне; в этом случае указанные небольшие до-
добавки изменяются по закону ехр (—toit——и (х—на-
(х—направление распространения волны, и — скорость звука).
Представив все величины в системе B4.66) в таком виде,
получаем
. ( р„ да , д Z ) ,
\psa dp dp p fy
да
дТ
$-
дс
да
да
да
B4-67)

150 24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II
Условие совместности полученной системы дает уравнение,
определяющее скорость звука в растворе:
. р„ ( da dp da dp ) „ ( dp I . d Z\
ps { dT dp dp dT ) { dp \ ' dT p }
do
dp d (Z
B4.68)
Для краткости мы ввели полные производные
*L = eL-l.!L1.J!!L -^==iZ._j_-^4— B4 69)
dT дТ^ дс а дТ' dp др ^ дс а др '
= а— с
да_
дс
B4.70)
(/ есть одна из трех термодинамических функций о, р, Z/p).
Уравнение B4.68) мало пригодно для исследования ввиду
его чрезвычайной громоздкости. Воспользуемся упрощаю-
упрощающим обстоятельством, состоящим в том, что производная
др/дТ практически оказывается всегда чрезвычайно малой.
Пренебрегаем в B4.68) всеми членами, содержащими ука-
указанную производную, кроме того, воспользуемся соотно-
соотношениями, вытекающими из термодинамического тождества
cHi = ±dp—e dT+~dc,
Р ' Р
а именно:
dp P
1 др да _J_ др_ да
р2 дс ' др р2 ~дТ' ~дс
В результате уравнение B4.68) приобретает вид
д Z
дТ р '
B4.71)
и4
д IZ
Ря
дТ
Рп
°2 1
дТ
с2 д
с Sc
(ZY
_
- =0.
B4.72)
др

24. ПОСТОРОННИЕ ЧАСТИЦЫ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ II 151
Решим это уравнение относительно и2 и воспользуемся
тем, что один из корней и2, определяющий скорость пер-
первого звука, значительно превосходит по величине второй и2,,
определяющий скорость второго звука; в результате на-
находим (ul<^uf)
? ' <24-74'
В первом приближении при малых значениях концен-
концентрации с скорость первого звука не зависит от концен-
концентрации*). Скорость же второго звука содержит линейные
по концентрации с члены а и с2-^ (потенциал Z за-
зависит от концентрации с по логарифмическому закону).
Величины а и -^—(—), определяющие скорость второго
звука B4.74), для идеального раствора равны
ос iti^ tn$
c2~dFy==kT[m4(l-c) +^"J- B4.76)
Для слабых растворов выражения B4.75) и B4.76) обра-
обращаются в
- _ , kc , д Z kTc
а формула B4.74) — в
*) Подчеркнем, что этот результат получается только в пред-
предположении, что др/дТ = О, так как точное выражение для и\,
вытекающее из уравнения B4.68), содержит члены, линейные по
концентрации и пропорциональные произведению (др/дТ) (др/дс).
**) Молярная концентрация е = -ту-.—г-3 связана с концен-
(•"'8 "Г /
трацией с, фигурирующей в наших формулах, соотношением
1 . tn3 /1 \

152 25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не' В ГЕЛИИ II
26. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не3 В ГЕЛИИ II [31]
Для вычисления кинетических коэффициентов раство-
растворов необходимо найти функции распределения возбуждений
в растворе при наличии небольших градиентов термодина-
термодинамических величин и скоростей. Очевидно, что такая задача
может быть решена лишь для слабых растворов, когда
примесные возбуждения можно рассматривать как некото-
некоторый идеальный газ. Мы ограничимся рассмотрением явле-
явлений диффузии и теплопроводности, которые, согласно
B4.60), тесно связаны между собой и вместе определят
теплопередачу в растворах. Кинетическое уравнение, опре-
определяющее функцию распределения возбуждений п, в ра-
растворе имеет обычный вид A8.1)
дп . дп дН дп дН ... .„,- ,.
Гамильтониан возбуждения, согласно A8.2), равен
B5.2)
где е — энергия возбуждения в системе координат, в ко-
которой vs = 0; при наличии двух движений со скоростями
vn и vs равновесные функции распределения зависят от
аргумента (е — рял + pvs)/kT. Функции распределения
фононов и ротонов даются формулами A.13) и A.14).
Функция же распределения примесных возбуждений равна
Я(== (JEE.) Bnm*kT)-'k ехр (- е + pv°~рт" ) B5.3)
(индексом / отмечаем все величины, относящиеся к при-
примесям).
Пусть в растворе имеются градиенты температуры VT
и концентрации Vc. Неравновесные функции распределения
в этом случае будут определяться решением кинетического
уравнения. Мы будем предполагать, как это обычно де-
делается, что в каждом данном месте системы имеется ло-
локальное равновесие, т. е. в каждом данном месте функция
распределения в первом приближении равна равновесной
функции с локальными значениями температуры и концен-
концентрации. При малых значениях градиентов V71 и Vc изме-

25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не' В ГЕЛИИ 11 153
нения других величин будут определяться уравнениями
гидродинамики растворов в линейном приближении. Под-
Подставив в левую часть кинетического уравнения B5.1) функ-
функции распределения примесей B5.3) и выразив все произ-
производные по времени с помощью уравнений гидродинамики
через соответствующие градиенты, получим интересующее
нас кинетическое уравнение
Таким же образом выводятся уравнения для функций рас-
распределения фононов и ротонов:
' kT р / k д
B5.5)
здесь п' — производная от функции распределения фоно-
фононов или ротонов по аргументу. Для решения системы
кинетических уравнений B5.4) — B5.5) необходимо знать,
как взаимодействуют элементарные возбуждения — фононы,
ротоны и примеси — между собой. Вычисление соответ-
соответствующих дифференциальных и полных эффективных се-
сечений производится аналогично тому, как это было сделано
в § 7 для случая взаимодействия фононов и ротонов.
Рассеяние примеси ротоном
Энергия взаимодействия примеси с ротоном выбирается
в виде 6-функции расстояния между ними
и = и01Ь(г-гг). B5.6)
Вычисление по формулам теории возмущений дает сле-
следующие выражения для среднего по углам эффективного
сечения:
Здесь т* — эффективная масса примеси, ц — эффективная
масса ротона.

154 25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не3 В ГЕЛИИ II
Рассеяние примеси примесью
Энергия взаимодействия двух примесей также выби-
выбирается в виде 6-функции, но со своей амплитудой U02,
отличной, естественно, от U01. Вычисления по теории воз-
возмущений дают сечение рассеяния примеси примесью:
Рассеяние фонона на примеси
Поскольку длина волны фонона больше дебройлевской
длины волны примеси, то внутренняя структура примеси
несущественна. Можно рассматривать примесь как неко-
некоторую частицу, находящуюся в фононном поле. Энергия
возмущения рассматриваемой задачи тогда равна
^ ^-p'+±^-p'2; B5.9)
р — оператор импульса примеси, v — скорость среды,
р' — отклонение плотности раствора от равновесного зна-
значения при наличии в нем фонона, е0 — нулевая энергия
примесного возбуждения.
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния фо-
фонона примесью на угол ф, вычисленное с энергией возму-
возмущения B5.9), имеет следующий вид:
Т 0 + cos ¦>cos2 ¦ +
B5Л0)
рс \ ф ) (лс2 т
~Г рс \ др
k — импульс фонона, с — скорость звука.
Диффузия
Вычисление коэффициента диффузии производится в не-
нескольких предельных случаях, для которых возможно ре^
шение кинетического уравнения. Вначале рассматривается

25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не' В ГЕЛИИ II 155
область относительно высоких температур, когда в чистом
гелии играют основную роль ротоны. В этой области
температур удается решить кинетическое уравнение для
очень малых концентраций, когда число частиц примеси
много меньше числа ротонов, и в обратном предельном
случае, когда число ротонов мало по сравнению с числом
частиц примеси. Затем рассматриваются относительно низ-
низкие температуры, когда ротонов мало и существенно лишь
взаимодействие фононов с примесями. В этой области
температур задача решается также для двух предельных
случаев, когда число примесных частиц мало по сравне-
сравнению с числом фононов и наоборот.
Мы не будем останавливаться на довольно громоздких
вычислениях и приведем окончательную формулу для коэф-
коэффициента диффузии
(_Ряо_\ + (ос 1 i\
\ Рл / тъ
которая представляет собой интерполяцию между резуль-
результатами, полученными для указанных предельных случаев.
Здесь рл — полная нормальная плотность, рп0 — вклад
в нормальную плотность, обязанный ротонам и фононам,
tl — среднее время соударения примеси с фононами и ро-
ротонами, равное
UT """ B5.12)
Среднее время соударения фонона с примесью
о
Наконец, время Qpfl характеризует установление равновесия
в фононном газе по числу фоноигв. Оно было введено
нами ранее при вычислении кинетических коэффициентов
в чистом гелии (формула A9.161). Смысл формулы B5.11)
хорошо понятен, так как, не считая безразмерного мно-
множителя (р„/рJ. остальные множители получаются из про-
простых газодинамических соображений, согласно которым

156 25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не3 В ГЕЛИИ II
Термодиффузия
Термодиффузионное отношение kT играет роль при
вычислении потока примесей
^-VTj B5.14)
лишь при относительно больших концентрациях раствора,
когда число примесных возбуждений велико по сравнению
с числами фононов и ротонов. Рассмотрение этого явле-
явления производится аналогично явлению диффузии и приводит
к следующему результату:
B5.15)
Теплопроводность
В растворах, так же как и в чистом гелии II, при
галичии градиента температуры возникает добавочный
поток тепла, величина которого определяется коэффициен-
коэффициентом теплопроводности и. Этот коэффициент в растворе
слагается из ротонной, фононной и примесной частей.
Вычисления, аналогичные произведенным при рассмотрении
теплопроводности гелия II, позволяют получить каждую
из этих частей. Мы не будем приводить здесь соответ-
соответствующих громоздких формул. Отметим лишь, что по-
подобно чистому гелию II наиболее существенный вклад
в и дает фононная часть, в заметном температурном ин-
интервале изменяющаяся по экспоненциальному закону e&lkT.
Быстрый рост npll с понижением температуры объясняется
происходящим при этом быстрым возрастанием длины
свободного пробега фононов.
*¦¦•
Эффективная теплопроводность растворов
При заданном градиенте температуры в растворе авто-
автоматически возникает градиент концентрации. Поэтому, как
мы видели в § 24, возникающий при этом поток тепла
в растворе в стационарных условиях определяется неко-
некоторой комбинацией из коэффициентов диффузии, термо-
термодиффузии и теплопроводности (иЭфф), которую мы назвали

25. ДИФФУЗИЯ В СЛАБЫХ РАСТВОРАХ Не3 В ГЕЛИИ II 157
эффективной теплопроводностью (формула B4.60)). Под-
Подставив выражения для D и kT, даваемые формулами B5.11)
и B5.14), в формулу B4.60), получим эффективную
теплопроводность слабого раствора
.
Ч- « B5.16)
(о0 — энтропия раствора без примесного вклада).
Первое слагаемое в B5.16) обязано явлениям диффу-
диффузии и термодиффузии. Среднее время соударений примесей
с фононамл и ротонами мало зависит от концентрации, по-
поэтому вклад первого члена в иЭфф возрастает с уменьше-
уменьшением концентрации с по закону 1/с. Что касается темпе-
температурной зависимости первого слагаемого, то благодаря
быстрому убыванию энтропии с понижением температуры
величина его быстро убывает. Наоборот, второе слагае-
слагаемое (и), как мы указывали, растет с убыванием темпера-
температуры. Поэтому эффективная теплопроводность (иэфф) имеет
характерный минимум, который хорошо виден на приве-
приведенном в [31] рисунке.

ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 A941).
2. L. Landau, J. Physics И, 91 A947).
3. L. Landau, Phys. Rev. 75, 884 A949).
4. D. Henshaw, A. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 A961).
5. R. F e у n m a n, Phys. Rev. 94, 262 A954).
6. Л. П и т а е в с к и й, ЖЭТФ 31, 536 A956).
7. Н. Боголюбов, Изв. АН СССР, сер. физ., 11, 77 A947).
8. Т. D. Li, С. N. Yang, Phys. Rev. 105, 1119 A957).
9. Л. Питаевский, ЖЭТФ 36, 1168 A959).
10. Л. Ландау, И. Халатников, ЖЭТФ 19, 637 A949).
И. И. Халатников, ЖЭТФ 20, 243 A950).
12. И. Халатников. ЖЭТФ 23, 169 A952).
13. И. Халатников, ЖЭТФ 23, 8 A952).
14. Е. Lifschits, J. Physics 8, ПО A944).
15. В. Пешков, ЖЭТФ 18, 857 A948).
16. И. Халатников, ЖЭТФ 23, 21 A952).
17. И. Халатников, ЖЭТФ 23, 253 A952).
18. R. R. Atkins, Phys. Rev. 113, 962 A958).
19. И. Бекаревич, И. Халатников, ЖЭТФ 40, 920
A961).
20. R. Feynman, Progr. Low. Teor. Phys. 1, ch. 11, North
Holland Pablishing Co., 1955.
21. H. Hall, Phyl. Mag. Sup. 9, 89 A960).
22. Л. П и т а е в с к и й, ЖЭТФ 35, 408 A958).
23. Л. Ландау, И. Халатников, ДАН 96, 469 A954).
24. Л. Ландау, И. Халатников, ЖЭТФ 19,709A949).
25. А. Андреев, И. X ал а т н и ков, ЖЭТФ 44, 2058 A963).
26. И. Халатников, ЖЭТФ 22, 687 A952).
27. Л. Ландау, И. П о м е р а н ч у к, ЛАН 59, 669 A948).
28. И. Померанчук, ЖЭТФ 19, 42 A949).
29. И. Халатников, ЖЭТФ 23, 265 A952).
30. Р. Архипов, И. Халатников, ЖЭТФ 33, 758 A957).
31. И. Халатников, В. Ж ар к ов, ЖЭТФ 32, 1108 A957).

Исаак Маркович. Халатников
Введение в теорию сверхтекучести
(Серия «Современные проблемы физики»)
М., 1965 г., 160 стр. с илл.
Редактор В. Д. Козлов
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректор М. Я. Липелис
Сдано в набор 3/11 1965 г. Подписано к пе-
печати 22/V 1965 г. Бумага «4х108'/„. ф». вечЯМЙ
Условн. печ. л. 8,2. Уч.-изд. л. 7,11 Тираж 4500 ш.
Т-06950. Цена книги 36 коп. Заказ № 1166.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Главполнграфпрома Государственного
комитета Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ ПО ФИЗИКЕ:
Бардин Д ж., Шриффер Д ж., Новое в изучении
сверхпроводимости. Перевод с английского, 1962, 172 стр.,
44 коп.
Белов К. П., Магнитные превращения, 1959, 260 стр.,
87 коп.
Вульф Ю. В., Избранные работы по кристаллофизике
и кристаллографии, 1952, 344 стр., 1 р. 03 к.
Китайгородский А. И., Рентгеноструктурный ана-
анализ мелкокристаллических и аморфных тел, 1952, 586 стр.,
2 р. 42 к.
Кривоглаз М. А., Смирнов А. А., Теория упорядо-
упорядочивающихся сплавов, 1958, 388 стр., 1 р. 48 к.
Лесник А. Г., Модели межатомного взаимодействия
в статистической теории сплавов, 1962, 98 стр., 25 коп.
Книги продаются в книжных магаз^геах, а также высы-
высылаются почтой наложенным платежом всеми областными,
краевыми и республиканскими отделениями «Книга — почтой».
В случае отсутствия книги в местных магазинах заказы сле-
следует направлять по адресу: Москва, В-71, Ленинский про-
проспект, 15, В/О «Союзкнига», отдел научно-технической лите-
литературы.