Современные
хгробл е мы
МЕХАНИКИ
Л.Л1.ЭСаланов
НЕКОТОРЫЕ
ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ
D

ГОСуаДРСХаБИЫОЕ ИЗДАТЬ
ТЕХИИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕР
1949

СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ
под общей редакцией
проф. А. и. ЛУРЬЕ
и проф. Л. Г. ЛОЙЦЯНСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1949 МОСКВА
JI. M. КАЧАНОВ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 19 4 У МОСКВА
12-5-4
Редактор Л. И. Чекмарев	Техн, редактор К. М. Во wok
Подписано к печати 15/ХП 1949 г. Печ. л. 10,25. Уч. изд. л. 9,01. Тираж 4000 экз.
35200 тип. зн. в печ. л. А-15817. Цена 5 р. 40 к., переплет 50 к. Заказ № 5478.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР,
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................. 7
Г л а в а I. Ползучесть
§ 1.	Ползучесть.................................   9
§ 2.	Уравнение	ползучести при растяжении......... 13
§ 3.	Уравнения ползучести при сложном напряженном
состоянии........................................ 25
Глава II. Вариационные принципы в теории ползучести
§ 4.	Общий вариационный принцип.................. 37
§ 5.	Начальное упругое состояние................. 44
§ 6.	Состояние установившейся ползучести..........45
§ 7.	О приближении к состоянию установившейся пол-
зучести ......................................... 51
§ 8.	Теорема энергии............................. 52
Глава III. Приближенное решение задач неустановив-
шейся ползучести .................................. 55
§ 9.	Неустановпвшаяся ползучесть при заданных на-
грузках ......................................... 56
§ 10.	Приближенное решение релаксационных задач . . 62
Глав а IV. Простейшие осесимметричные задачи
§11. Полый цилиндр под действием внутреннего да-
вления .......................................... 65
§ 12.	Сферический сосуд под	действием	внутреннего
давления..................................... 72
§ 13.	О концентрации напряжений у отверстий.........76
§ 14.	Релаксация напряжений в	насаженном	кольце	...	78
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Изгиб
§ 15.	Чистый изгиб.................................. НО
§ 16.	Общий случай изгиба........................... 86
§ 17.	Изгиб кривых стержней........................ 9-1
§ 18.	Изгиб кривых тонкостенных труб •.............. 95
Глава VI. Кручение
§ 19.	Начальное упругое состояние...................107
§ 20.	Установившаяся ползучесть скручиваемого стержня 111
§ 21.	Неустановившаяся ползучесть скручиваемого стерж-
ня. Релаксация.....................................118
§ 22.	Концентрация напряжений, вызванная мелким пазом
на поверхности скручиваемого стержня...............121
§ 23.	Кручение круглых стержней переменного диаметра 131
Гла_ва VII. Изгиб пластин
§ 24.	Основные положения.......................146
§ 25.	Вариационное уравнение скорости прогиба пла-
стины .............................................149
§ 26.	Осесимметричный изгиб	круглой	пластины	....	152
§ 27.	Минимальные свойства	напряженного	состояния
пластины...................•...................156
§ 28.	Неравенство для скорости прогиба под сосредото-
ченной нагрузкой...................................160
Цитированная литература.............•....................163
ПРЕДИСЛОВИЕ
Явление медленной текучести твердых тел (в частности
металлов), находящихся под нагрузкой, известно давно. Теку-
честь металлов быстро возрастает с увеличением температуры.
С развитием котло- и турбостроения, распространением газо-
вых турбин и многих других машин, работающих в усло-
виях высокой температуры, явление текучести металлов
приобрело очень большое значение и получило название
ползучести металлов. Ползучесть определяет, по существу,
прочность упомянутых важнейших машин и ограничивает
возможность перехода к более экономичным и конструк-
тивно выгодным высоким температурам. Проектирование
подобных машин требует умения рассчитывать (опыты
длительны и очень трудны) ползучесть тел более или менее
сложной формы; это может быть выполнено лишь на основе
теории движения ползущей среды.
Опубликовано много теоретических и экспериментальных
работ, посвященных построению такой феноменологической
теории (в дальнейшем мы будем называть ее теорией ползу-
чести). В настоящей монографии излагаются некоторые вопросы
теории ползучести металлов, разработанные преимущественно
автором.
Глава I посвящена уравнениям ползучести при сложном
напряженном состоянии; при этом ползучесть рассматривается
как нелинейно-вязкое течение. Эта теория описывает основ-
ные черты длительного процесса ползучести при достаточно
простом нагружении.
Точное решение задач теории ползучести крайне трудно,
да и вряд ли необходимо, если учесть приближенный харак-
тер исходных уравнений. Поэтому в книге раззиваются при-
ближенные методы решения, основывающиеся на вариацион-
ных принципах, доказываемых в главе II.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
В главе III с помощью общего вариационного принципа (§4)
приводится приближенное решение задач неустановившейся
ползучести, точное решение которых является очень трудной
математической задачей даже в простейших случаях (напри-
мер в случае чистого изгиба). Это приближенное решение
основывается на знании предельных состояний тела-—началь-
ного упругого и состояния установившейся ползучести. Началь-
ное упругое состояние тела можно считать хорошо изученным;
определение же состояния установившейся ползучести совпа-
дает, по существу, с решением задач „обычной" теории малых
упруго-пластических деформаций, дополненной условием не-
сжимаемости.
По этой общей схеме в последующих главах рассматри-
ваются некоторые осесимметричные задачи (гл. IV), изгиб
(гл. V) и кручение стержней (гл. VI), изгиб пластин (гл. VII).
Для нахождения концентрации напряжений (вызванной
местными резкими изменениями очертаний тела), важной для
оценки прочности в условиях ползучести, энергетические
методы, конечно, мало пригодны; некоторые задачи о концен-
трации напряжений при кручении рассмотрены в гл. VI методом
малого параметра.
Общие вопросы в книге изложены достаточно подробно,
частные задачи — более сжато. От читателя требуется зна-
комство с основами теории упругости и теории пластичности.
В заключение приношу искреннюю благодарность А. Э. Да-
нюшевскому за ряд критических замечаний.
Л. М. Качанов
ГЛАВА 1
ПОЛЗУЧЕСТЬ
§ L Ползучесть
I. Ползучесть при постоянной на грузке. Для
изучения ползучести металлов обычно проводятся опыты по
растяжению стержней при постоянной температуре и фикси-
рованных нагрузках. Продолжительность опытов весьма раз-
лична— от нескольких часов
до нескольких лет (в литера-
туре [40] описаны уникальные j
опыты по ползучести стали,
продолжавшиеся 100 000 часов
с 27 марта 1931 г. до 8 октября
1942 г.). Типичные результаты
длительных испытаний показаны А
на фиг. 1. Здесь по оси абс- 0
цисс отложено время t, а по оси	ф j
ординат — относительное удли-
нение стержня ех. При нагру-
жении стержень получает начальную деформацию г", изобра-
жаемую отрезком СМ, которая, в зависимости от величины
нагрузки, может быть упругой или упруго-пластической. Затем
следует участок АВ, характеризуемый убыванием скорости
ползучести и обычно называемый первым периодом ползучести’,.
длительность его относительно невелика. По мере приближе-
ния к точке В убывание скорости деформации замедляется и,
наконец, скорость деформации становится практически постоян-
ной на участке ВС, называемом вторым периодом ползучести.
Этот период минимальной скорости ползучести, обычно весьма
длительный, заканчивается либо „хрупким" изломом в точке С„
10
ПОЛЗУЧЕСТЬ
(гл. I
л 160 „вязким" разрушением вследствие образования шейки
(участок CD). Если напряжение велико (для данной темпера-
туры), то второй период может быть кратковременным или
даже вовсе отсутствовать. В дальнейшем мы будем основы-
ваться на достаточно длительных испытаниях, содержащих
хорошо выраженный участок постоянной скорости ползучести.
Для выяснения зависимости ползучести от напряжения опыты
Фиг. 2.
проводятся при различных фиксированных нагрузках. Нафиг. 2
показаны результаты опытов [28] над сталью при темпера-
туре 450° С, длившихся свыше трех с половиной лет1; по
оси ординат отложена лишь деформация ползучести т. к.
о
начальная деформация ед. здесь не представляет для нас инте-
реса.
По опытам минимальная скорость деформации ползучести
(обозначим ее через ;.г) является монотонно возрастающей
функцией напряжения ах. Различными исследователями предло-
жено много аналитических зависимостей, основанных на обра-
ботке опытных данных. Мы остановимся па одной из таких
1 Обычно продолжительность опытов значительно меньше.
ПОЛЗУЧЕСТЬ
11
зависимостей, наиболее распространенной и наиболее удобной
для расчетов
£=^(03)3™	(1.01)
где (оо) и т— постоянные, характерные для данною мате-
риала при данной температуре. В справедливости соотноше-
ния (1 01) нетрудно убедиться, если нанести эксперименталь-
ные точки иа логарифмическую сетку; они будут располагаться
по прямой линии. По наклону этой прямой линии вычисляют
значение т\ оно, как правило, больше единицы и доходит
иногда до десяти. Приводим, в качестве примера, некоторые
данные о гп и Вх (оо).
Материал	Температура	т
Сталь 0,33% С .	. . 400е С	6.9
Сталь 12% Сг .	. . 454° С	4.4
1,8-Ю-зо
\см1/ час
5,0-10~*3
Лх(со)
кг « 1
см2) час
Заметим, что для области очень малых напряжений степен-
ная зависимость (1.01) не оправдывается.
II Влияние температуры. С увеличением темпера-
туры скорость ползучести возрастает. При переходе от одной
температуры к другой, вообще говоря, меняются как т, так
и Bt (оо). В ряде случаев показатель т претерпевает значи-
тельные изменения; иногда же этот показатель в известном
интервале температур слабо меняется, и влияние температуры
сказывается лишь на изменении коэффициента ВДоо). Инте-
ресные данные о влиянии температуры можно найти в статье
Одинга [16J.
Для соответственных температур (соответственной тем-
пературой называется отношение абсолютной температуры,
при которой производится опыт, к абсолютной температуре
плавления данного металла) процессы ползучести различных
металлов в качественном отношении сходны между собой.
Это обстоятельство позволяет заменить изучение ползучести
стали при высокой температуре изучением ползучести свинца
при комнатной температуре.
III. Релаксация напряжений. Если в момент / = 0
сообщить стержню некоторую начальную деформацию и
12
ПОЛЗУЧЕСТЬ
I ГЛ. I
Фиг. 3.

имеют различный
затем поддерживать эту деформацию неизменной, то напря-
жение стержня Од, с течением времени убывает; это явление
релаксации напряжения объясняется развитием в стержне де-
формации ползучести. Кривая релаксации характеризуется рез-
ким спаданием напряжения в начальной стадии процесса
(фиг. 3). Некоторые данные о релаксации напряжений будут
рассмотрены ниже.
IV. Меняющиеся н а г р у з-
к и. Если резко менять нагрузки (бы-
строе уменьшение нагрузки, измене-
, ние ее направления, снятие нагрузки
и т. п.), то течение процесса ползу-
- чести приобретает сложный характер
и недостаточно изучено. Приведем
некоторые качественные результаты.
При уменьшении напряжения с до
о2 ползучесть становится более низкой, чем при напряжении о2.
постоянном с самого начала опыта. При снятии нагрузки на-
блюдается явление, сходное с явлением упругого последей-
ствия. Именно, деформация ползучести с течением времени
несколько убывает („обратная" ползучесть).
V. „В я з к и е“ и „хрупкие" разрушения при пол-
зучести. Разрушения при ползучести
характер в зависимости от свойств мате-
риала при данной температуре. Разруше-
ние углеродистой стали (при температуре
ниже 550° С), меди, свинца, некоторых
сплавов и т. п. носит вязкий характер,
сопровождаясь большими удлинениями и
образованием шейки. В качестве примера
„вязкого" разрушения на фиг. 4 показано
разрушение котельной трубы под дейст-
вием внутреннего давления I12!; пунктиром
нанесены первоначальные размеры трубы.
Машины, работающие в условиях высокой температуры,
большей частью изготавливаются из специальных теплоустой-
чивых сталей, отличающихся малой ползучестью; разрушение
таких сталей обычно наступает при малых деформациях и
носит хрупкий характер; оно начинается, как правило, в ме-
стах концентрации напряжений.
§ 2J
J РАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
13
Фиг. 5.
так как иногда
На фиг. 5 показано „хрупкое* разрушение хвостового
крепления турбинной лопатки при температуре 700°С 1421.
VI. Задачи теории ползучести. В связи с изло-
женным, перед теорией ползучести стоит задача определения
деформаций тела и внутренних усилий в нем при заданных
внешних нагрузках и смещениях (на поверхности тела).
Если .материал тела характеризуется вязким разрушением при
данной температуре, то величина внешних
нагрузок лимитируется допустимыми де-
формациями тела; при этом обычно можно
не обращать внимания на повышенные зна-
чения напряжений в отдельных местах
тела.
Если же материал подвержен „хруп-
кому* разрушению, то, помимо дефор-
маций тела, необходимо рассмотреть кон-
центрацию напряжений, вызванную резкими
локальными изменениями очертаний тела.
Последнее обстоятельство подчеркнут
высказывается ошибочное мнение о юм, что при ползучести
напряжения сглаживаются и на концентрацию напряжений
можно не обращать внимания (подобно тому как при стати-
ческой нагрузке упруго-плас-ического тела при нормальной
температуре не следует бояться перехода за предел упругости).
§ 2. Уравнение ползучести при растяжении
I.	Основное уравнение. Процесс ползучести есть
процесс неравновесной пластической деформации. При фикси-
рованных внешних воздействиях на тело (постоянные нагрузки,
постоянные заданные смещения) последнее испытывает пол-
зучесть в той или иной форме. Вследствие этого, соотноше-
ния, связывающие компоненты деформации и компоненты
напряжения, характерные для равновесных процессов дефор-
мации (см. 171), вообще говоря, непригодны для описания
ползучести. Процесс ползучести во втором периоде (уча-
сток ВС, фиг. 1) естественно рассматривать как процесс
нелинейно вязкого течения. Первым периодом ползучести
в ряде случаев нельзя пренебрегать (например, в задачах
релаксации и неустановившейся ползучести). Далее, кривые
14
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[ГЛ. 1
ползучести в первом приближении можно считать геометри-
чески подобными 1 (фиг. 2). Эти соображения приводят к сле-
дующему обобщению зависимости (1.01):
>-П	>-) W
Сж —	(t)t
(2.01)
B,(t)
I
где
Фиг.
6.
есть

0

где (/) — положительная убывающая функция времени
(фиг. 6), отсчитываемого от момента начала ползучести,
асимптотически стремящаяся к предельному значению /^(оо).
В рассматриваемых опытах напря-
жение фиксировано; интегрируя
(2.01) по времени от 0 до по-
__ лучим:
«” = 2,(0^,	t2.02)
t
Sj (0 =	(t) dt (2.03)
о
положительная монотонно
возрастающая функция (фиг. 6).
При больших t 2,(/) является линейной функцией времени.
Очевидно, что за 2j (/) можно взять одну из кривых пол-
зучести (см. фиг. 2), умножив ее ординаты на с“,п, где
Од, — напряжение, отвечающее выбранной кривой. Вернемся
к уравнению (2.01). Примем, что скорость деформации пол-
зучести при медленных и достаточно плавных изменениях
напряжения описывается тем же уравнением (2.01). Пусть,
далее, напряжения не превышают предела упругости при дан-
ной температуре. Тогда полная скорость деформации будет
складываться из скорости деформации ползучести и ско-
рости упругой деформации т. е.
но
у ___ 1 do^g
(2-04)
1 Заметим, что условие подобия не является существенным для
теории.
§ 2|
УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
где Е— модуль упругости; следовательно:
Е---П (/13w_L_ JL
’э“яп1,!Ь i Е fit '
15
(2.05)
Это соотношение обобщает известное уравнение Максвелла
г»==₽’« + ^. (3 = const), (2.06)
которое получается из (2.05) при Вг (/) = c°nst и т=1.
Свойства рассматриваемой среды можно представить простой
механической моделью, состоящей из последовательно соеди-
ненных упругого элемента 1 и элемента вязкого
(фиг. 7). Жидкость в элементе 2 с течением
времени густеет соответственно множителю Bt(t)
в (2.05), и вязкость ее возрастает, стремясь
к некоторому предельному значению.
Функция Вг (Z) и постоянная т легко опре-
деляются из простейших опытов; однако, как мы
увидим ниже, в вычислении Bl{t) нет необходи-
мости; достаточно знать зависимость (Z), которую
можно непосредственно снимать с кривых ползуче-
сти. Так как Вг (I) dt = d\2x, то уравнение (2.05)
приводится к виду, не содержащему времени t
явным образом
Фиг. 7..

(2 07)
Как подчеркивалось ранее, уравнение (2.05)
справедливо при некоторых ограничениях: при не слишком ма-
лых скоростях ползучести и при напряжениях, изменяющихся
медленно и монотонно; кроме того, начало процесса ползучести
должно протекать при достаточно больших напряжениях1 *. Эти
условия в практических задачах обычно выполняются; локальное
нарушение этих условий (например, вблизи нейтральной плос-
кости в задаче изгиба) несущественно. При указанных огра-
ничениях неинвариантность уравнения (2.05) относительно
изменения начала отсчета времени, подчеркнутая Ю. Н. Работ-
иовым [I7J, существенного значения не имеет.
1 Естественно, что уравнение пластической деформации спра-
ведливо при более значительных ограничениях, нежели закон Гука.
16
ПОЛЗУЧЕСТЬ
(гл. I
II.	Задача о релаксации напряжений. В момент
t = 0 стержень получил начальное удлинение глЧ), которому
по закону Гука отвечает напряжение
(2.08)
В дальнейшем при t > 0 длина стержня остается неизмен-
ной, т. е. гх= $"-ps^=sa.o—const; следовательно ;iC = ^r = 0
и согласно (2.05):
В1«4‘+^ = о.
Разделяя переменные, интегрируем это уравнение при
»1ачальном условии (2.08):
С
J
вхо
После простых вычислений получаем:
**=^7Т	О.	(2.09)
где введены безразмерные величины
= р;	EQ. (/)	1 = /*.	(2.10)
Так как zn> 1, a с течением времени неограниченно
возрастает, то напряжение в стержне падает, стремясь со
временем к нулю. Кривые релаксации по уравнению (2.09)
нанесены на фиг. 8 для некоторых значений т. В начале
процесса напряжение быстро спадает; релаксация напряжений
в материалах, характеризуемых большей скоростью ползучести,
протекает более интенсивно.
Если известны кривые ползучести (см. фиг. 2) и число т,
то построение кривой релаксации трудностей не вызывает.
Задаемся каким-нибудь значением р и по (2.09) вычисляем t*
(или пользуемся для этого графиком, аналогичным графику
на фиг. 8). Берем одну из кривых ползучести <зх = const = <зх1
(желательно в области напряжений, близких к и пола-
гаем (t) = sxlcx\. По выбранной кривой находим такое
время, для которого
УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
17
III. Сопоставление с опытами по релаксации.
Для оценки правильности полученного решения следует обра-
титься к опытным данным. К сожалению, имеется очень мало
рационально поставленных опытов по релаксации, позволяю-
щих провести сопоставление данных по релаксации с резуль-
татами опытов при постоянных напряжениях. Кроме того,
трудности точного замера весьма малых деформаций в тече-
ние длительного промежутка времени и неизбежные деформа-
ции самих испытательных релаксационных машин вызывают
у некоторых исследователей сомнения в точности получаемых
данных.
Воспользуемся результатами опытов Девиса [30] по пол-
зучести и релаксации красной меди при температуре 165° С.
Па фиг. 9 показаны кривые ползучести, на фиг. 10 —
кривая релаксации (сплошная линия). Модуль упругости меди
Е — 0,99 • 106 А:г,'си2, начальное напряжение 3^ = 949 кг/см2-,
по вычислениям Попова р9] /н=1,6. Теоретическая кривая
релаксации по уравнению (2.09) (пунктир на фиг. 10) лежит
несколько ниже экспериментальной
К аналогичному заключению пришел Дейвенпорт [ на
основании кратковременных (8 часов) опытов по ползучести
и релаксации скручиваемых тонкостенных медных труб при
гемперат. рах 150—200°С.
2 Зак. 5478. Л. М. Качанов.
18
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[ГЛ. I
Трамплер [44] по экспериментальным кривым релаксации
(при разных начальных напряжениях) для специальной стали
при температуре 5383 С построил кривую ползучести при
фиксированном напряжении. Построение было выполнено гра-
фически на основе положения: „скорости деформации пол-
§ 21	УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
19
зучести в равные моменты времени яри равных напряжениях
одинаковы*. Это положение согласуется с принятым нами
законом ползучести (2.01).
Трамплер получил хорошее совпадение вычисленной кри-
вой ползучести (сплошная линия на фиг. 11) с эксперимен-
тальной (пунктир).
IV. Пример. Ползучесть стержневой ре-
шетки. В качестве простого примера, иллюстрирующего
протекание процесса ползучести, рассмотрим ползучесть ре-
шетки, изображенной на фиг. 12 и состоящей из трех одина-
ковых стержней длины I и площади
поперечного сечения F. На узел О
действует постоянная сила Р. Напря-
жение в стержне / обозначим через ор
в стержнях 2 — через а2; точно так
же будем отличать относительные
удлинения и скорости относительных
удлинений стержней 1 и 2 (еп е2;
;2)- Условием равновесия будет:
P = f(o1-f-oJ. (2.11)
Фиг. 12.
Условие неразрывности деформаций имеет вид:
81==2е2 или Ej = 2c2.	(2.12)
Но согласно закону ползучести
Е, = В1(ОоГ+^-^. (1=1,2).	(2.13)
2*
20	ПОЛЗУЧЕСТЬ	fl л. г
Внося (2.13) в (2.12) м исключая с2 с помощью (2.11),
получаем дифференциальное уравнение
в> (0 оГ + 4	= 2В1 (О (? -	• (2.14)
В момент /=0 решетка находится в упругом состоянии,
определяемом законом Гука; условимся соответствующие напря-
жения и деформации отличать одним штрихом (aj, sj,.. .).
Легко видеть, что
°i — 3 f. > <	з f.- •	(2.15)
Отбросим теперь в соотношении ползучести скорость
упругой деформации	заменим функцию В{ (/) ее пре-
дельным значением В, (со) и при законе — Bt (оо) о™ опре- ]
делим напряжения и скорости деформации (условимся отли-
чать их двумя штрихами). Вместо (2.14) имеем:
= sj .	(2.16) i
Далее находим (р.= 1/т):
2^ Р -	1 Р	/О1_.
□1 ==--------; з2 ------------.	(2.17)
1 + 2й F	1 + 2^ F	v 7
Это состояние назовем состоянием установившейся пол-
зучести. Вернемся теперь к уравнению (2.14) и рассмотрим
общий случай. Разделяя переменные и интегрнр}я от мо-
мента /—0, получаем:
«1
,f =	(2.18)
al
где положено
/ р \М
Р.(С) = 2(^—С) —	(2.19)
В силу уравнения (2.16):
^(оГ) = 0.	(2.20)
§ 2]
УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ Г1?И РАСТЯЖЕНИИ
21
Далее
dP^- = — т [2(тг —	1 "Г] < °-	(2 21)
Заметим, что cj < а5 и в интервале	функ-
ция Р* G) отрицательна. Вточксч = <з1 функция P^(Q имеет
нуль первого порядка и, следовательно, интеграл в (2.18)
Фиг. 13
при С = oi расходится. Так как 2}(/) — возрастающая функ-
ция времени (фиг. 6), то уравнение (2.18) определяет Oj как
положительную монотонно убывающую функцию, асимптоти-
чески приближающуюся к предельному значению а1# В частном
случае т = 2 нетрудно найти, что
2 j- /2
-2 + К2Ч-С;
3/2 4-4
3/2—4
(2.22)
где введены безразмерные величины
ctF ♦ EQi(t)P *
— =°ь 2F
(2.23)
Кривая, соответствующая
фиг. 13 сплошной линией.
этому уравнению, показана па
22
ПОЛЗУЧЕСТЬ
I гл. I
Итак, при фиксированной внешней нагрузке напряженное
состояние решетки монотонно изменяется от начального упру-
гого (при / = 0) к установившемуся состоянию (при / = оо).
Ниже мы увидим, что в телах сложной формы, при фикси-
рованных нагрузках, картина ползучести имеет такой же
характер.
V. Другие теории ползучести. В этом разделе
мы кратко рассмотрим другие теории ползучести.
1.	Теория старения1 * * * основывается на зависимости, уста-
навливаемой между деформацией, напряжением и временем.
Принимают, что деформация ползучести описывается соотно-
шением
ёд. = Qj (/) ах.
Присоединяя сюда упругую деформацию, получаем:


(2.24)
Функция 2j (/) и постоянная т определяются так же, как
и раньше, и имеют прежний смысл. Соотношению (2.24),
очевидному при постоянном напряжении, часто придают более
общий характер и полагают, что оно справедливо и при
медленно и монотонно изменяющихся напряжениях. Это,
вообще говоря, неверно; можно указать случаи, когда соот-
ношение (2.24) приводит к нелепости (пусть, например,
нагрузка уменьшается, стремясь с течением времени к нулю,
тогда в конце процесса мы будем иметь по (2.24) Еа = 0,
что абсурдно). Для выяснения вопроса о применимости теории
старения при напряжениях, медленно и монотонно изме-
няющихся в некотором интервале, были проведены сле-
дующие опыты 181. Свинцовые стержни при комнатной темпе-
ратуре растягивались под действием изменяющейся нагрузки;
опыты продолжались 3, 6, 9 и 12 часов, причем напряжения
возрастали (или убывали) пропорционально времени от 40
до 80 кг[см* (от 80 до 40 кг [см9). Изменения нагрузки осу-
ществлялись втеканием (вытеканием) воды. Параллельно были
1 Установившейся терминологии нет; под теорией старения мы
будем понимать излагаемую ниже теорию, не связывая ее с явле-
нием старения в физике металлов. Теорию, развитую в предыдущих
параграфах, мы условимся называть теорией течения.
§ 2|	УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
23
проведены обычные испытания при постоянных напряжениях
длительностью в 12 часов. Результаты опытов показаны на
фиг. 14 (для ясности чертежа из последнего исключены кри-
вые трех- и девятичасовых испытаний). Вследствие разброса
точек, количественные зависимости установить не удалось,
однако качественные выводы несомненны; они свидетель-
ствуют о резком противоречии опытных данных и предска-
заний теории старения и в то же время подтверждают теорию
течения, т. к. скорости деформации при переменных напря-
жениях согласуются с уравнением (2.05).
Заметим, что все же в случаях релаксации и постоянной
внешней нагрузки теория старения приводит к правильным
качественным результатам (см. ниже § 9 и § 10); далее,
решение задач по теории старения связано с меньшими мате-
матическими трудностями. Этим, невидимому, объясняется
распространение теории старения.
Релаксация по теории старения рассматривается очень
просто; согласно (2.24), имеем:
“1 ал “Г £ — £•
24	ПОЛЗУЧЕСТЬ	[гл. I
или в прежних безразмерных величинах (2.10):
<*=^.	(2-25)
откуда вытекает, что р стремится со временем к нулю. Кривые
релаксации по теории течения располагаются ниже кривых (2.25)
и характеризуются более резким спаданием напряжения. Если
мы построим кривую релаксации по теории старения для дан-
ных Девиса (построение выполняется так же, как и в разделе 1П
настоящего параграфа, но t* вычисляется по формуле (2.25)),
то придем к кривой, нанесенной на фиг. 10 точками и близ-
кой к опытной кривой релаксации. Основываясь на этом,
иногда судят о правильности теории старения.
По нашему мнению указанное совпадение не устраняет
недостатков теории старения, которой следует дать отрица-
тельную оценку.
Обратимся к другому примеру — решетке (фиг. 12). Со-
гласно уравнениям (2.11), (2.12) и (2.24), находим при ш = 2:
1 3’*”2
Г1С= ~2 (с* —2)2 —2'
Эта зависимость нанесена на фиг. 13 пунктиром; легко
видеть, что теория старения значительно удлиняет период
неустановившейся ползучести.
Состояние установившейся ползучести одинаково описы-
вается теориями течения и старения, и, по существу, сво-
дится к соответствующей задаче теории малых упруго-пла-
стических деформаций.
В заключение заметим, что Н. М. Беляев 14 развил теорию
старения в несколько иной форме.
2.	Теория упрочнения, предложенная Надаи и Дейвеи-
портом I2®!, исходит из функциональной зависимости между
напряжением, деформацией и скоростью деформации ползу-
чести /(е", Ох) =0.
Эта теория почти не разработана и, повидимому, мало
перспективна, так как связана с огромными математическими
трудностями при неизбежном искажении опытных данных.
За подробностями отсылаем к упомянутым работам, а также
к статьям Работнова I17.18! и Чурикова I261.
* 3]
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
25
3.	Наследственная теория. IO. Н. Работнов предложил 1171
использовать для описания ползучести теорию наследственной
упругости Больцмана—Вольтерра. Эта весьма общая и гиб-
кая теория при сложном напряженном состоянии приводит
к большим математическим трудностям, которые Ю. Н. Работ-
нову удалось частично преодолеть (см. I16.17!).
4.	Замечание о физических теориях ползучести. Боль-
шое количество работ посвящено теоретическому определению
зависимости между минимальной скоростью ползучести, напря-
жением и температурой. В основе этих работ лежат неко-
торые физические представления о механизме пластичности.
Обычно исходят из представлений об атермической (сдвиговой)
и термической (диффузионной) формах пластической дефор-
мации. Эта схема не объясняет всех явлений, наблюдаемых
при ползучести сложных металлических сплавов, употребляе-
мых в технике.
§ 3. Уравнения ползучести при сложном напряженном
состоянии
I.	Уравнение установившейся ползучести.
Напряженное состояние в некоторой точке тела характери-
зуется компонентами напряжения ох, оу, ог; xxyt тув,
совокупность которых образует тензор напряжения. Главные
напряжения обозначим через ар о2, а8 (условимся при этом,
что 0!>о2>о8).
Деформация в некоторой точке тела характеризуется
компонентами деформации ех, sy, ее; ^ху, у2а.; через
е2> гз обозначим главные удлинения. Компоненты деформа-
ции связаны с проекциями вектора смещения uxt иу, иг
известными соотношениями:
__ дих	__ диг । дих	(3 01)
®	>	• • •» Угх дх * дг '	\ '	)
Скорость деформации в некоторой точке тела характери-
зуется шестью компонентами	уХу, fiyz, г[гх.
Обозначим через vxt vyi ve проекции вектора скорости
в рассматриваемой точке; тогда величины
х ~~ дх ' ду * dz
26
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[гл. I
представляют собой скорости относительных удлинений соот-
ветственно в направлениях х, у, zt а величины
суть скорости скашивания первоначально прямых углов.
Через $2> мы будем обозначать главные скорости
деформации. Величины	. ..,7]гЯ! используются в гидро-
механике, где можно найти их подробный вывод *. В теории
ползучести мы рассматриваем лишь случай малой деформа-
ции; тогда проекции скорости vy, vg будут равны частным
производным по времени от проекций смещения:
дих	ди у	ди,
* dt > vy~ dt » vz~ dt
Следовательно:
t ___
“ dt *
(3.04)
(3.05)
-U
dt
dt '
Заметим, что направления главных скоростей деформации,
вообще говоря, не совпадают с главными направлениями
деформации.
Тела различным образом сопротивляются нормальным и
касательным напряжениям, поэтому важное значение приоб-
ретают величины, которыми можно охарактеризовать нор-
мальные и касательные напряжения в данной точке и кото-
рые не зависят от выбора координатной системы. Такими
величинами, как известно, являются среднее давление
и интенсивность касательных напряжений
Т'= + -7=Х
Vj_______________________________________
ХрЛ	(3-06)
Подобными же величинами, характеризующими объемные
деформации и деформации сдвига, являются относительное
1 См. также 171, § 4.
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
27
изменение объема е =	-}- ъу -I- е, и интенсивность дефор-
маций сдвига
Аналогичное значение имеют скорость относительного
изменения объема $ —	•$ -|- и интенсивность скоростей
деформаций сдвига
"= + /уХ______________________
хуС (^-9!+C„-y4-(5-W!+4A4-^+4L)- (3.08)
Нормальное и касательное напряжения (оп и тм) на неко-
торой площадке с нормалью п удобно изображать с помощью
Фиг. 15.
кругов Мора (фиг. 15). Точно так же можно представить
деформированное состояние в данной точке и картину ско-
ростей деформации. В правой части (фиг. 15) построена
диаграмма Мора для скорости деформации; по оси абсцисс
отложена скорость относительного удлинения в направлении
нормали к данной площадке. Пусть эта нормаль наклонена
под углом а к плоскости, проходящей через главные оси 7, 3
скорости деформации; половина скорости сдвига т]7) в пло-
скости измерения угла а откладывается по оси ординат.
Смещение кругов влево соответствует условию несжимае-
мости ^+^+^=0.
Перейдем теперь к основным положениям, вытекающим
из рассмотрения экспериментальных данных; последние отно-
28
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[гл. I
сятся ко второму периоду ползучести, характеризуемому
постоянством скоростей ползучести. В этом смысле мы будем
здесь говорить об установившейся ползучести. Опыты пока-
зывают, что процесс установившейся ползучести при слож-
ном напряженном состоянии определяется касательными
напряжениями и протекает в общем по законам „обычного"
пластического деформирования.
1.	Изменение объема тела является упругой деформацией,
следовательно:
(3.09)
где индексом „п“ мы отличаем, как и ранее, компоненты
скорости деформации ползучести.
2.	Главные напразления тензора напряжений и тензора
скоростей деформации ползучести совпадают.
3.	Диаграммы Мора для напряжения и скорости дефор-
мации ползучести подобны.
4.	Интенсивность скоростей деформаций сдвига ползу-
чести № является функцией интенсивности касательных
напряжений Т, характерной для данного материала при дан-
ной температуре.
Из подобия кругов Мора следует, что (индекс „п“
опускаем):
Е1 —Ез _ $2 —__ Ез—£1 _ г
°1 —®2	О»— с3 ~ °1	•'*
где /—некоторая, пока неопределенная, функция инвариан-
тов напряжения и скорости деформации. Очевидно, что
—^2— (°i — os)/j ^2	— (°2 — °з)/»
5»-^=(»»-»<)/•	(З-Ю)
Разности	— Е3, с8—суть главные скорости
сдвига, а разности — а2, с2 — а3, о3 — суть удвоенные
главные касательные напряжения. Возводя равенства (3.10)
в квадрат и складывая, находим:
H"=2fT.
(3.11)
§ 3|	УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	29
В силу четвертого положения отсюда вытекает, что
/ — функция Т; соотношение (3.11) удобно теперь записывать
в форме:
//п = 2/(Г)7'.	(3.12)
Зависимости (3.10) нетрудно привести с помощью (3 09)
к виду:
=	— °)	(/=1,2,3).	(3.13)
Пользуясь обычными формулами перехода, связывающими
компоненты напряжения в ортогональной системе координат
х, у, г с компонентами напряжения в системе главных осей,
получаем:
ИТ. п.
и т. п.
(3-14)
При одноосном растяжении мы исходили из степенной
зависимости (1.01); в общем случае имеем1:
На = 25 (оо) Тм или f (Г2) = В (оо) Т'"’”1,	(3.15)
где В (оо)—некоторая постоянная, а показатель m имеет
прежнее значение. При одноосном растяжении ф. 0,
~ °з == 0;	0; $2 == £s q и из (3.15) находим:
^=25(оо)3	2 с”‘.
Сопоставляя эту формулу с формулой (1.01), получаем:
?»-ц
2В (оо) = 3 2 ВДоо).	(3.16)
II. Замечание об экспериментальных дан-
н ы х. Проведенные опыты относятся преимущественно к изу-
чению ползучести тонкостенных труб, находящихся под
действием внутреннего давления р, осевой силы Р и скручи-
вающего момента М; эти нагрузки обычно комбинируются
1 Ниже мы б) дем пользоваться обозначением
/(Л,оо) =/( Л) = В (оо)Л(Г).
30
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[гл. 1
попарно (растяжение и кручение, растяжение и внутреннее
давление и т. п.). Для тонкостенной трубы можно считать,
что напряжения в ее стенке распределяются равномерно,
вследствие чего они легко вычисляются, если известны на-
грузки; соответствующие деформации (осевое удлинение е2,
относительное увеличение диаметра, равное еф, и сдвиг ^ф2)
замеряются. Варьируя нагрузки, можно создать произвольное
плоское напряженное состояние. Сопоставление таких опытов
с обычными испытаниями при простом растяжении позволяет
судить о правильности уравнений ползучести. Другие опыты
посвящены изгибу и кручению в условиях ползучести. Опыт-
ные данные в общем подтверждают уравнения ползучести
(3.14), хотя отдельные экспериментальные точки иногда
значительно отклоняются от теоретических предсказаний.
Необходимо дальнейшее накопление и уточнение опытных
данных по ползучести при сложном напряженном состоянии;
в этом направлении еще многое надо сделать.
В тонкостенной трубе, находящейся под действием вну-
треннего давления р и осевой силы Р, напряжения таковы:
аг0;	= bf_a ; а2 = __лс) >	(3-17)
где 2а, 2Ь — соответственно внутренний и наружный диа-
метры трубы. По формулам (3.14) находим скорости дефор-
мации
3 В(со) Т’"-1 (1	j)? Л ! ,
)Ти,-1(2
(3-18)
где введены обозначения:
х =
кра$
При этом
г2 = -3 (рп) [^p+r + G+l) ]
у P ABi J Е НИЯ П О Л ЗУ Я ЕСТ И
31
Так как 3-1- 1 «2, то при х=1 скорость ползучести
в осевом направлении равна нулю; этот случай отвечает
трубе с донышками, испытывающей внутреннее давление, и
легко осуществим на опыте. Вывод об отсутствии осевой
ползучести хорошо подтверждается экспериментально. На
фиг. 16 показаны результаты опытов Нортона lS6l по ползу-
чести стальных (углероди-
сто-молибденовых) труб
(2д—80,1 леи, 2^=101,6мм)
при давлении р= 113,7 атм
и температуре 566° С.
Мы ограничиваемся этим
замечанием, отсылая чита-
теля К работам Р-П, 27, 34, 36],
в которых можно найти
Фиг. 16.
подробности об экспериментах и литературные указания.
III. Общие уравнения ползучести. Приведенные
выше уравнения относились к установившейся ползучести.
Распространим эти уравнения на общий случай так же, как
мы это делали при простом растяжении (§ 2). Постоян-
ную £(оо) заменим функцией времени B(t), причем
2В (/) = 3 2 Я, (/).
(3.19)
Далее, учтем упругие деформации е*, е^, ..
запные с напряжениями законом Гука
v 1 (	3'/	v 1 _ )
х 2G\ х 1 -f- м А '•‘У G ху
и т. п. ) и т. п. J
свя‘
(3.20)
где G — модуль сдвига, v — число Пуассона*.
1 При высоких температурах коэффициент Пуассона по опы-
там |311 приближается к половине; это, конечно, не означает, что
материал становится несжимаемым, т. к. в этих опытах коэффици-
ент Пуассона определялся косвенно. Из опытов вытекает, однако,
что сжимаемостью материала в задачах ползучести обычно можно
пренебрегать, так как с повышением температуры податливость
материала в отношении деформаций сдвига резко возрастает по
сравнению с податливостью объемному сжатию. В дальнейшем, как
правило, мы не будем пренебрегать сжимаемостью материала, так
как это пренебрежение не вносит сколько-нибудь значительных
упрощений в развиваемый ниже метод решения.
32
ПОЛЗУЧЕСТЬ
[ГЛ. I
Компоненты полной деформации
гя = sS“h exJ ev = гу 4~ еу> • • • » Тгсг “ 1&» 4" Ъ*’ (3-21)
Дифференцируя по времени, получаем:
4“	~ ~Ь •  • » "Чхг ~ "Ч*» 4~	(3*22)
Внося сюда компоненты скорости деформации ползучести
и упругой деформации и полагая В (t)fi (Г2) =/(Т®, О»
находим1:
'®=/(Г2»0 (°а> —3)4"2G ^(°®—f-4.-^0) “ т- л’>
1 д	(o.zoj
у ~ 2/ ( 7”а, t) ъЯу -J-	хХу и т. п.
В частности при степенной зависимости
?О, = В(0 Г"‘-,(оа: —°) + 2G^(°®—lip0) 11 т- П*>
1 д	}v>*ze>
= 25 (/) Тт 1	4~ и т* п’
Полученные уравнения, обобщающие среду Максвелла,
предложены многими исследователями (Джефрис 1»®1,
Одквист 1з71 и т. д.), заменявшими /?(/) постоянной вели-
чиной. Это упрощение сильно ухудшает результаты теории
в задачах неустановившейся ползучести и вряд ли целесо-
образно. Как и ранее (§ 2), уравнения (3 24) нетрудно при
помощи преобразования
В (f) dt = dQ
привести к виду, не содержащему времени t в явной форме.
Введем теперь функцию напряжений и времени
7»
A = J/(C, 0Ж	(3 25)
О
и условимся называть ее дополнительным рассеянием.
1 Производную по времени следует понимать как полную (суб-
станциональную) производную, так как уравнения ползучести отно-
сятся к деформации определенной частицы тела. В рассматриваемом
нами случае малой деформации полные производные можно заме-
нить частными производными по времени.
УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
33
Остановимся на механическом смысле Д. Так как
иа
— dT*^-2TdT,
Следовательно, функция Л по величине равна площади,
«штрихованной на фиг. 17 горизонтальными линиями; кри-
_ЛЛ'	______
пая 00' здесь изображает зависи-
мость № = 2/(Га, f) Т при фи-
ксированном времени. Площадь,
.^штрихованная вертикальными ли-
ниями, представляет собой удельною
работу деформации ползучести в
единицу времени и равна
TdHn.
(3.26)
£ =
Величина L равна удельной мощ-
ности деформации, рассеиваемой при
пластическом деформировании; по
аналогии с функцией рассеяния в теории вязкой жидкости
функция L может быть названа рассеянием. Дополнением
площади L до прямоугольника НпТ является величина Л.
Вследствие подобия
где Л1 = Д1(Г9) явно
степенной зависимости
кривых ползучести можно положить
A = B(/)An	(3.27)
от времени не зависит. Наконец, для

(3.28)
(с точностью до несущественной аддитивной постоянной).
Нетрудно видеть, что уравнения, связывающие компоненты
скорости деформации ползучести с напряжениями, могут быть
представлены в форме:
►д  ЭЛ ид  ЭЛ
(3.29)
3 Зак. 5478. Л. М Качанов.
.14
ПОЛЗУЧЕСТЬ
| ГЛ. 1
Введем, далее, упругий потенциал
тт=4	Т‘.	(3.30)
Л- yj
где k — коэффициент объемного
гласно формулам Кастильяно:
сжатия, равный —р
1 — 2 г
; со-
v	дП у	dll
т * да,. * s-,/	дт,, ’

Теперь мы можем общие уравнения ползучести
представить в следующем виде
(3.23)
~ дся
и
т. п.,
(3.32)

и т. п.
Функцию напряжений и времени
ан
дг
(3.33)
условимся называть дополнительной мощностью деформа-
ции.
IV. Влияние температуры. Для рассмотрения пол-
зучести неравномерно нагретых тел необходимы уравнения
ползучести, учитывающие влияние температуры 0. Нетрудно
вывести эти уравнения. В правых частях (3.21) к относитель-
ным удлинениям следует добавить температурное расшире-
ние аО, где а — коэффициент линейного расширения. Будем
считать, что температура 6 не зависит от времени. Тогда
формулы (3.22) сохраняются полностью, общие соотношения
(3.23) также остаются при условии, что функция f зависит
и от температуры, т. е.
t, 6).
4 -I
\глинвиня ПОЛЗУЧЕСТИ
Если, подобно предыдущему, ввести функцию
я*
А - [/(<, /, 0)Л,
О
II» упомянутые соотношения можно представить в виде фор-
мул (3.32).
В приложениях зависимости (3.23) при условии
/=/(7V,0)
получают сложный вид, крайне затрудняющий решение даже
простых задач. В частности, если исходить из степенной
зависимости (3.24), то показатель /и, вообще говоря, меняется
с 1емпературой. Иногда зависимость показателя т от темпера-
туры в данном интервале температур слабая и можно считать т
постоянным.
В этом случае мы будем говорить о простой зависи-
мости от температуры; тогда уравнения (3.24) сохраняют
свою структуру (лишь функция В = В (/, 0)) и не вносят
существенных усложнений в решения конкретных задач.
V. Замечание об уравнениях теории старе-
п и я. В теории старения компоненты деформации связаны
с компонентами напряжения. Формулы (3.21), очевидно, со-
храняются; при этом компоненты упругой деформации опре-
деляются по закону Гука (3.20). Компоненты деформации
ползучести связываются с напряжениями уравнениями теории
малых упруго-пластических деформаций, включающими время
в качестве параметра:
А=2Л(Т2, О’ч, I (3.34)
и т. п. )	II т. п. J
При степенной зависимости
Д(Л,/) = а(ЛГ"»-‘,	(3 35)
г ае
t
2 (/) = J В (/) dt.	(3.36)
о
;й:
ПОЛЗУЧ ECU,
jui. I
Введем функцию напряжений и времени
Т*
f /.&<) Л
О
(3.37)
и назовем ее дополнительной работой Тогда общие уравне-
ния теории старения можно записать в форме:
«.— ^-(Л + П) и т.п.,
(3.38)
Дополнительная работа /? имеет простой механический смысл
(см. р], гл. IV). Уравнения теории старения, как уже от-
мечалось выше (§ 2), неудовлетворительны.
ГЛАВА II
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ
1 очное решение задач теории ползучести крайне трудно1,
да и вряд ли необходимо, если учесть приближенный харак-
тер исходных уравнений ползучести. Поэтому важное значе-
ние приобретают приближенные методы решения. В этой
главе устанавливаются вариационные принципы, на основе
которых можно строить приближенные решения. Так, в сле-
дующей главе с помощью общего вариационного принципа (§ 4)
будет дано приближенное решение задачи о неустановившейся
ползучести.
§ 4. Общий вариационный принцип
1. Вывод вариационного
рим некоторое тело (фиг. 18), занг
ничейный поверхностью 5, и нахо-
иящееся в состоянии ползучести.
Пусть на тело действуют объемные
силы (Д', У, Z); на части поверх-
ности заданы поверхностные
нагрузки (Х„, Ум, Z„), а на осталь-
ной части S2 — скорости (ух, vyt vg).
В некоторый момент времени / в рас-
сматриваемом теле будут напряже-
ния эх, ау>. тга.. Последние удо-
влетворяют трем дифференциальным
'равнениям равновесия (силами инерции пренебрегаем вслед-
1 Полная система уравнений теории ползучести содержит урав-
нения (3.23), условия совместности Сен-Венана (для ..^г)	и
дифференциальные уравнения равновесия.
у р авнения.
мающее объем
Рассмот-
ри, огра-
38
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ |ГЛ. II
ствие их ничтожности из-за крайней медленности процесса
ползучести):
лг-+-^+-эг+'¥=°	<401)
где символ (х, у, z) означает, что два других уравнения
образуются круговой заменой букв х, у, г, и трем условиям
равновесия на части поверхности 6\:
ах cos (л, х) хху cos (л,j) 4- cos (л, г) = Хн
(х,у, z). (4.02)
Кроме того, скорости точек части поверхности Sa должны
иметь заданные значения. Напряжения, соответствующие
этому реальному состоянию ползучести, будем называть
истинными. Рассмотрим в тот же момент времени t неко-
торое мыслимое распределение напряжений:
°® 4“ °0®’	4~ 8оу> • • • » ^zaa 4~ от«®>
бесконечно близкое к истинному и также удовлетворяющее
дифференциальным уравнениям равновесия
д (<ъ + 5^)	д (%ху 4- Ъхху)	д (yxz 4- Itxz)
Зх ' ду	dz	—0
(х.Л z) (4.03)
и граничным условиям на 5/
К +	cos (л, х) -4- (хху 4- отту) cos (л, v) 4-
("®г + 8тхг)со5(л,г) = ^,1-^8Л'м	(х,у, г), (4.04)
где оЛ,,, BFn, 8Zn—произвольные бесконечно малые вариа-
ции поверхностной нагрузки, а Зод,, . ..,	— беско-
нечно малые вариации напряжений.
Поскольку мы не накладываем больше никаких условий
на вариации напряжений, то новое, мыслимое напряженное
состояние не может, вообще говоря, отвечать какой-либо
сплошной деформации. Сплошность деформации отличает
истинное напряженное состояние от близких мыслимых
напряженных равновесных состояний. Покажем, что это
ОБЩИЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
ЗУ
свойство истинного распределения напряжений выражается
в экстремуме некоторой функции напряжений.
Вариации напряжений и поверхностных нагрузок, очевидно,
\равновешиваются, т. е.
cos (л, х) 4- 6тад cos (л, у) Ц- 0-яг cos (л, г) = 8А'„
(•*, У у *) (4.06)
Рассмотрим теперь мощность вариаций .напряжений на
истинных скоростях
J J f (М^4- ’j/Ч + • •  4- wUdV-
У
Заменяя компоненты скорости деформации	их
выражениями через проекции скорости va, vy, vz по формулам
(3.02), (3 03), интегрируем по частям:
/ J J / J J	J J JV^dV

д	Т
Преобразуем теперь первые интегралы в правых частях
»о формуле Гаусса — Остроградского
3Q
v
•“ | J [Pcos (л, л) 4- Q cos (я,у)cos (н, г)] 4S (4.07)
' <>
40
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ |ГЛ. II
в интегралы по поверхности 5 и сложим все равенства;
легко найдем после несложных преобразований
+ J I (Ч® I8’® cos (л, х) +	cos (п, у) 4 - 5т„ cos (л, г)| +
Но вариации напряжений удовлетворяют уравнениям равно-
весия (4.05), (4.06), следовательно:
TIJ +  • • + d И =
v
=“// (v^X„ + vvW„ + vziZn') dS- (4.08)
Я
Это уравнение справедливо для любой медленно движу-
щейся сплошной среды. Обратимся к рассматриваемой нами
теории ползучести; здесь компоненты скорости деформации
. ,угх связаны с напряжениями зависимостями (3.32).
Далее, вариации напряжений	.., 8тгя и вариации
поверхностной нагрузки %Хп, 8УП>.. .,8Z„ сообщаются нами
Мысленно в некоторый фиксированный момент времени /. Эти
вариации совершенно не связаны с вариациями в сколь угодно
близкий момент времени t dt и во времени могут изменяться
произвольно, хотя бы скачкообразно. Наложим теперь ограни-
чение на характер изменения вариаций во времени. Именно,
потребуем, чтобы вариации напряжений и внешних сил не
изменялись во времени. Таким образом, вариации будут как
бы застывшими в течение всего процесса. Тогда операции
дифференцирования и варьирования можно менять местами,
причем
'	••••	=	=	0.09)
S и
ОБЩИЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
41
Теперь, пользуясь соотношениями (3.32) и условиями
(1.09), получаем:
'.ТСЗЯ> “Ь" • • • 4*	“Ь »	(4-Ю)
причем
. dll
° dZ
-811.
Таким образом, вариационное уравнение (4.08) приобре-
тает вид:
8 f ( [(л + ^)<<И= [ |'(tla,5X„+^8r„+^Z„)<75.(4.11)
* ’ V	' S
Пусть мощность вариаций внешних сил на истинных ско-
ростях равна нулю
+ vJ>Yn + v^Zn) dS = 0.	(4.12)
Это условие выполняется, например, в случаях:
1	На поверхности тела 5 заданы напряжения, тогда
8Ли — 8 Yn = 8Zn = 0 на 5. Этот случай мы будем называть
основной задачей.
2.	Часть поверхности тела Sj свободна от напряжений,
на другой части <$а заданы постоянные смещения; тогда на S2
vx — vv = vz—Q. Задачи этого типа при условии равенства
нулю и объемных сил мы будем называть релаксационными
задачами.
3.	На части поверхности тела St заданы напряжения,
а на другой части <Sa—постоянные смещения {сметанная
задача).
Итак, при условии (4.12):
* И J (А+
V
(4.13)
। е. истинное распределение напряжений характеризуется
* тационарностью дополнительной мощности деформации тела.
42
ВАРИАЦИОННЫВ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ |гл. II
Вследствие подобия кривых ползучести, уравнение (4.13)
можно переписать в виде:
»f 1ДвЮА.+$|<н'-о,
(4.14)
где Aj явно от времени не зависит. Наконец, при степенной
зависимости уравнение (4.13) принимает форму
8Ш1^Тр“+1 + 7г]<,'/ = 0-	<415>
V
Установленный вариационный принцип в некотором смысле
можно рассматривать как обобщение принципа Кастильяно.
В дальнейшем чертой сверху мы будем иногда обозначать
интеграл по объему V от соответствующей величины, на-
пример:
A= f f [ AdV, П= f Н Udi7 и т. д.
* V	' V
II.	Некоторые следствия. 1. Пусть /^(/=1,
2, 3, ...) — сосредоточенные силы, приложенные к телу, а<}
7* — соответствующие направляющие косинусы этих сил,
vxi, vy<i vzi — проекции скорости точки приложения силы Р4.
Тогда, исходя из общего вариационного уравнения (4.11)
и полагая, что только одна сила Pt получает бесконечно
малое приращение 8Р<, а опоры тела неподвижны, находим:

Но выражение внутри круглых скобок в правой части
этого уравнения есть проекция vt скорости точки приложе-
ния силы Pt на линию действия последней, следовательно:
(4-16)
т. е. частная производная дополнительной мощности дефор-
мации тела по величине любой приложенной сосредоточен-
ной силы равна скорости точки - приложения этой силы по
S 4)
ОБЩИЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
43
направлению действия последней. Обычными рассуждениями
нетрудно установить, что это утверждение справедливо
и в отношении обобщенных сил и скоростей. Приведенная
теорема очень удобна для определения скоростей ползу-
чести в отдельных точках тела, и в дальнейшем мы неодно-
кратно будем ею пользоваться.
2, Пусть напряженное состояние тела является функцией
некоторого числа параметров („лишние неизвестные") А,,
Va, . .., Х9. Условие стационарности дополнительной мощ-
ности деформации Ф приводит в этом случае к системе
уравнений
dXi d/) = 0	(i= 1, 2, ..., s), (4.17)
которая является системой дифференциальных уравнений пер-
вого порядка относительно производных -^i(i = 1,2, —, а).
Для определенности задачи к системе (4.17) следует при-
соединить начальные условия
А;|е = 0 = ^0.	(4 18)
Значения XiQ находятся из решения соответствующей
упругой задачи. Так как Л = В(/)Л1, где Aj явно от вре-
мени не зависит, то система (4.17) имеет вид:
S(Z)lr+'Sf^=0 0=1,2.................4)' (419)
В качестве простого примера рассмотрим задачу о пол-
зучести прежней решетки (§ 2). С помощью (3.28) получаем:
>де через > 0 обозначено лишнее неизвестное — напряже-
ние в стержне 1. Далее
П = /7±[.$ + 2(£-о,)3].
Согласно (4,19) приходим к прежнему дифференциальному
уравнению
3 dai . и н»	У"!	«
44
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ [гл. II
при начальном условии
2 Р
°М=о = jy
Заметим, что система уравнений (4.19) относится не
только к случаю действия постоянных нагрузок, но и к ре-
лаксационным задачам, когда на границах тела заданы по-
стоянные смещения. Остановимся кратко на простейшем
примере релаксации напряжений в стержне (§ 2); неизвест-
ным здесь является напряжение (/) > 0. Дополнительная
мощность деформации стержня
д- . an_ 21F
' dt ~~ т 4- 1
В,
। д IF а
•~д7 2ёаач
где I — длина стержня, a F= const — площадь поперечного
сечения. Условие стационарности Ф приводит к известному
нам дифференциальному уравнению релаксации
£ (л+$) -iF [«« +1 %|=°-
§ 5. Начальное упругое состояние
В начальный момент времени t=Q (при нагружении)
деформации ползучести равны нулю, и тело получает лишь
упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука *. Таким
образом, начальное состояние тела является упругим состоя-
нием и описывается уравнениями теории упругости. Компо-
ненты напряжения, деформации и т. п., относящиеся к на-
чальному состоянию тела, мы будем иногда отличать одним
штрихом (например, ая, су, ...; еа> еу, ... и т. д.).
Ниже приведены формулировки известных вариационных
принципов теории упругого тела, так как в дальнейшем они
нам понадобятся.
I. Принцип минимума потенциальной энер-
гии системы. Форма, которую принимает упругое тело
под действием заданных сил и перемещений, отличается от
1 Случай пластической деформации, происходящей при нагру-
жении тела, также может быть рассмотрен, но мы на нем не оста-
навливаемся.
<, с |	СОСТОЯНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
45
всех возможных (с точки зрения наложенных геометрических
связей) тем, что только истинная форма равновесия тела
сообщает минимум полной энергии системы
। 're

(5.01)
(5.02)
есть плотность упругой по1енциальной энергии тела, выра-
женная в функции компонентов деформации, а
.</ = ] f J (Х«.+ r«„ + Z«,)rfC+
Г
-4- f J (*««= 4-	+Да) as
8
(5.03)
есть работа внешних сил; варьируются смещения и^, иц, иг,
причем внешние силы не зависят от смещений.
И. Принцип Кастильяно. Истинное напряженное
состояние упругого тела в отличие от мыслимых стати-
чески возможных напряженных состояний, отвечающих тем
же приложенным внешним * силам, сообщает упругой потен-
циальной энергии тела минимум, т. е.
с J J J II д' И О (82П > 0).	(5.04)
v
Здесь П. выражено в функции напряжений, т. е.
П =	(5.05)
§ 6. Состояние установившейся ползучести
I. Состояние установившейся ползучести.
Обратимся теперь к основным уравнениям ползучести (3.23).
Отбросим в этих уравнениях слагаемые, относящиеся к упру-
юй деформации, и функцию B(f) заменим ее предельным
значением В (со) (напомним, что вследствие подобия кривых
46 ВАРИАЦИОННЫ!? ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ |1Л. И
ползучести /(Т9, со) = B(co)/j (Т8) э?/(П) Тогда
нения (3.23) примут вид:
1	•<!,,„ = 2/ (7%, 1
И т. п. J	и т. п. J '
урав-
(6.01)
Разрешая эти уравнения относительно компонентов на-
пряжения, получаем:
°® — о = 4# (Н9)	| гХ]/ = 2g (/79)	|
?	(.	(6 02)
и Т. II. I	и т. и. )	4
При ЭТОМ
Н=2/(Т9)Т или T = 2^(H9)W.	(6.03),
Введя функции:
т»	//-
A = J7f.)«;	(6.04)
о	о
которые встречались уже ранее (§ 3), мы можем предста-
вить соотношения (6.01) и (6 02) в форме:
е дл. .	» дЛ _ дА .с л_
“ д^а ’	‘~ dtzx <6’05)
°®	0 = ^с~ ~ях ==	• 1 (6.06)
Q->y	ог|«.т
Напомним, что Л называется дополнительным рассеянием,
a L — рассеянием. В случае степенной зависимости
/У = 2В(со)Р" или T=2S*(co)№>	(6.07)
где положено
В* (оо) =-~ [2Я(со)]-1\	(6.08)
Следовательно:
/(7е) = В (oo)T*»-i или g(/72)=B*(oo)№-1. (6.09)
Нетрудно, наконец, найти, что
д=32^1)р« + 1
т 4-1
№ -И
н+ 1
(6.Ю)
(6.П)
1 По недосмотру автора в формулах (56.05) в ]7) пропуи|ена а.
<,|	состояние УСГЛНОВИВПГВЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ	47
Рассмотрим теперь задачу о ползучести тела, подчиняю-
щегося принятым нами усеченным уравнениям, под действием
постоянных во времени нагрузок и скоростей (на <S#).
Внеся (6.06) в дифференциальные уравнения равновесия
п перейдя с помощью (3.02), (3.03) к проекциям скорости vx,
мы получим для неизвестных функций vx, vy,
- систему трех дифференциальных уравнений; четвертым
сравнением служит условие несжимаемости div^ = 0. Оче-
видно, что время и дифференцирование по времени не будут
входить в эти уравнения и в граничные условия. Следова-
тельно, решение поставленной задачи представляет собою
установившееся течение тела, характеризуемое постоянством
во времени напряжений и скоростей деформации. Условимся
называть это решение состоянием установившейся ползучести
и будем отличать его двумя штрихами (например ож, ;
; "•> 4 . ..; vXt ... и т. д.).
Если мы заменим в соотношениях (6.01),. (6.02) компо-
ненты скорости деформации	• компонентами де-
формации еш, е?/, .. ., а скорости Оу, г>х, заданные на S2,
смещениями их, иу, иг в единицу времени, то тем самым
мы придем к задаче теории малых упруго-пластических
деформаций, так как уравнения (6.01), (6.02) перейдут
ири этом в уравнения теории малых упруго-пластических
деформаций (с точностью до размерности функций /(...),
.4» (...)) для состояния упрочнения (см. PJ, стр. 52).
Таким образом, решение задач установившейся ползучести,
ио существу, ничем не отличается от решения соответствую-
щих задач теории малых упруго-пластических деформаций
для состояния упрочнения.
В теории установившейся ползучести важное значение
имеют два вариационных принципа, аналогичные принципам
1еории упругости.
II. Принцип минимума мощности системы.
Пусть a^, Оу,	—напряжения, a vm, vyi vz — скб-’
рости, соответствующие истинному движению точек тела под
действием объемных сил АГ, К, Z, поверхн8стных{ нагрузок
V,„ Yn, Zn (на Sj) и постоянных во времени скоростей
£<с> 'i'y, заданных на 5а. Сообщим точкам тела беско-
нечно малые приращения скоростей	%v£t удовле-
48
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ {ГЛ. II
творяющие заданным условиям для скоростей на S2 (т. е
на SQ	=	= 0) и уравнению несжимаемости*
|;Н+^Ч = о.	<612)
^-Зфд.4
дх х 1
Рассмотрим мощность внутренних сил на вариациях ско-
ростей
J JI (°®*5® + ° А + • * • + d v‘
к
Воспользовавшись соотношениями (3.02), (3.03), интегри-
руя по частям и применяя формулу Гаусса — Остро град-
ского (см. аналогичное преобразование в § 4), найдем, что,
в силу дифференциальных уравнений равновесия (4.01) и
|раничных условий (4.02), справедливо уравнение:
J J J ЧЧ-НА+  • •
V
= f J f ИЧ, + УЧ+z4) d v +
V
+ f f (ЧЧ +	+ Z,,4) OS. (6.13)
s
Для рассматриваемой нами среды компоненты скорости
деформации и напряжения связаны уравнениями установив-
шейся ползучести (6.06); с их помощью легко получаем:
~Ь ”Ь • • • 4“	=
Пусть, далее, внешние силы X, У, Z; Хп, Уп,
зависят от скоростей точек тела; тогда уравнение
принимает вид:
8{f П1"1'--5’}
V
= 0,
Zn не
(6.13)
(6Л4)
где
я=J f.((XV*+г ’»+d v+
+ f f (X^+Y^ + Z^dS (6.15)
6
§ Ч
СОСТОЯНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
49
есть мощность внешних сил. Выражение внутри фигурных
скобок в (6.14) условимся называть мощностью системы.
Нетрудно показать, что дан истинного движения мощ-
ность системы достигает минимума. В самом деле, вторая
вариация мощности системы равна
82£ = J J [ WLdV.
v
Но, подобно тому, как эго сделано в теории малых
упруго-пластических деформаций (см. 1?1, § 34), можно по-
лучить, что
о2Д
2 dT

где через	....обозначена интенсивность
вариаций скоростей сдвига; напомним, что
5»ЧА4-Л=о; 8k+^+«.=o-
Величина внутри фигурных скобок не может быть отри-
цательной (см Н); далее, для реальных тел всегда
-^>0
dH и’
Легко видеть, что 82£ может обратиться в нуль только при
всех вариациях, одновременно обращающихся в нуль, следо-
вательно, 82£ > 0.
В заключение, вернемся к уравнению (6.14); пусть объем-
ные силы равны нулю, часть поверхности тела St свободна
от нагрузок, а на S2заданы скорости; тогда 8^ = 0 и урав-
нгние (6.14) принимает вид:
Й£ = 0.
(6.16)
П1. Минимальные свойства напряженного со-
стояния. Сопоставляя истинное распределение напряжений
с бесконечно близкими мыслимыми статически возможными
распределениями напряжений и поступая так же, как и в § 4,
-мы придем к вариационному уравнению
J J	{(vJX. + v^Y. + v^ZJdS, (6.17)
V	s
4 Зак. 5478. Л. М. Качанов.
50 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ [гл. п
которое является укороченным уравнением (4.11). Мощность
вариаций поверхностных нагрузок, стоящая в правой части
уравнения, обращается в нуль в тех же частных случаях,
какие рассмотрены в § 4; тогда из уравнения (6.17) полу-
чаем:
оА, = О.	(6.18)
Для истинного распределения напряжений реализуется мини-
мум дополнительного рассеяния Л, правда, при одном доба-
вочном условии, возникающим из-за несжимаемости среды
в состоянии установившейся ползучести. Вычисляя вторую
вариацию 82Aj, получим (см. аналогичную формулу в 1'1,
§ 43):
Го(Г2)]2| 11
L 2Г J / Т •
Выражение внутри фигурной скобки неотрицательно, а для
реальных материалов > 0. Пусть вариации нормальных
напряжений удовлетворяют условию
8з -4- Ьз -|- За, = 0.
•Ж* I У i Л
Выясняя теперь условия одновременного обращения в нуль
величин о(Г?) и нетрудно найти, что o2Aj > 0.
Из полученных вариационных уравнений вытекают важ-
ные для приложений следствия, подобные рассмотренным
выше следствиям вариационного уравнения (4.11); приведем
лишь окончательные формулировки:
1.	В случае действия сосредоточенных сил (/ = 1,2,...):
(6.19)
2.	В случае „лишних неизвестных" А'* последние опре-
деляются из системы уравнений:
<^=°-	(6 20)
7|	О ПРИБЛИЖЕНИИ К СОСТОЯНИЮ ПОЛЗУЧЕСТИ	51
§ 7. О приближении к состоянию установившейся
ползучести
1. В § 2 на примере ползучести решетки было показано,
что под действием постоянной нагрузки напряженное состоя-
ние изменяется от начального упругого к состоянию уста-
новившейся ползучести. Подобная картина вообще характерна
для ползучести тел под действием постоянных нагрузок.
Можно считать (доказательство этого положения отсутствует),
что по прошествии известного промежутка времени на-
ступает состояние ползучести, близкое к установившемуся.
Если этот промежуток мал по сравнению с длительностью
„жизни" рассматриваемого тела, то изучение ползучести по-
следнего можно проводить, основываясь на уравнениях уста-
новившейся ползучести, что значительно проще. В задачах
релаксационного типа установившееся состояние характери-
зуется отсутствием напряжений и скоростей деформации;
общая же картина ползучести также сводится к изменению
напряженного состояния от начальною упругого к устано-
вившемуся (нулевому) состоянию.
Рассмотрим основную задачу, в которой заданы постоян-
ные внешние нагрузки; тогда напряженное состояние тела
определяется вариационным уравнением:
ЧЛ + 7г) = 0-
Интегрируя это уравнение по времени от О до /, полу-
чаем:
t
8 Ц Л dt -f- П (/)] — 8П (0) = О,
о
где 11(0— упругая потенциальная энергия тела в момент
времени t, 11(0) — упругая потенциальная энергия тела в на-
чальный момент времени / = 0. Но в начальный момент вре-
мени распределение напряжений упругое, поэтому в случае
заданных внешних сил оно удовлетворяет уравнению Ка-
стильяно 8П(0) = 0; следовательно
г[/л<«+и(о] = 0.	(7,01)
4*
52 вариационные Принципы в теории ползучести [гл. п
Основываясь на этом уравнении, можно указать критерий
приближения к состоянию установившейся ползучести, если
воспользоваться некоторыми соображениями, имеющими,
правда, нестрогий характер. Булем полагать, что упругая
энергия II (0не может существенно превышать энергию II (0);
это вытекает из постоянства действующих внешних нагрузок,
вследствие чего в теле всегда будут конечные напряжения
в достаточно большой части объема У при конечных на-
грузках; более того, по той же причине 11(0 и А(0 огра-
ничены. Известно, что деформированное и напряженное
состояния упругого тела в существенном определяются глав-
ными членами в выражении упругой энергии. Подобное же
положение справедливо, конечно, и в теории ползучести.
Здесь с течением времени соотношение между положитель-
t	t
ними величинами 11(0 и J A(f)dt меняется, так как J Adt
о	о
возрастает вместе со временем. В начале процесса ползу-
чести (при малых 0 превалирует 11(f), и тогда напряжен-
ное состояние характеризуется уравнениями теории упругости.
t
Позднее j*Ad/ становится более значительным по величине,
о
и тогда напряженное состояние характерно для состояния
установившейся ползучести. Таким образом, состояние пол-
зучести, близкое к установившемуся, наступает тогда, когда
деформации ползучести превышают более или менее значи-
тельно упругие деформации, соответствующие напряженному
состоянию при больших /,
Это замечание относится лишь к случаю действия задан-
ных внешних сил (т. к. здесь £П(0) = 0).
§ 8. Теорема энергии
I. Неустановившаяся ползучесть. Пусть тело,
испытывающее ползучесть, занимает объем V, ограниченный
поверхностью 5, пусть на части Sj этой поверхности заданы
напряжения Xw Yny Zu, а на остальной части 6'2 заданы
* И
ГЕОРЕМЛ ЭНЕРГИИ
53
скорости точек S2. Рассмотрим мощность внешних сил
-S' = / J / <-Xv* + ^a + Z^dV+
+ f J (*a+ г„^4-лЛ) (IS.
s
Исключая в поверхностном интеграле величины Хп, Yn>
7.п с помощью соотношений (4.02) и преобразовывая его
в объемный по формуле Гаусса — Остроградского, получаем:
/ М £+>++*)+«, (•••)+
I ”.(•••) Ы V+ J J J (зД, -|- o„Zy +  • + d
Вследствие уравнений равновесия (4.01) первый интеграл
в правой части равен нулю, следовательно:
3 = f f f («Л+	+  •  + ЬЛ*) d I/. (8.01)
V
Это соотношение справедливо для достаточно медленного
движения всякого сплошного тела. В случае ползучести
напряжения и компоненты скорости деформации связаны
формулами (3 32); с помощью последних легко находим:
’ЧИ|(-4+-+-£)+
д / ан ,	, ап X
dt Vх дсх “Г • • • dXzx)
1 I дп
\ дзх dt “*“*•’ • ’ дхгх dt ) f
Величина внутри последней круглой скобки равна ;
т. к. II — однородная квадратичная форма напряжений, то
вторая скобка равна 2П; далее, мы примем степенной закон
ползучести; тогда Л — однородная функция напряжений степени
w-|-1 и величина внутри первой скобки равна (/я-|-1)Л.
Таким образом:
-3,=Ш [<«+’>А+-1Нdv- <8О2)
г
54
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ [ГЛ. Н
Первое слагаемое в правой части есть мощность дефор-
мации ползучести, второе — скорость приращения упругой
потенциальной энергии тела.
Рассмотрим в качестве примера релаксационные задачи.
В этих задачах напряжения на Sj равны нулю, а на 52
заданы постоянные смещения, следовательно, vx=vy—vs=6
на <S2; таким образом ~ 0, и уравнение (8.02) получает вид:
ff/[('n+i)A+4r]rflz=0-	(8ОЗ)
Так как Л положительно, то из (8.03) вытекает, что
упругая потенциальная энергия тела все время убывает.
Уравнением (8.03), как мы увидим ниже, удобно пользо-
ваться при рассмотрении релаксационных задач.
II. Состояние установившейся ползучести.
Воспользуемся основным уравнением (8.02) и внесем в него
компоненты скорости деформации ty, ..., т)гл; по уравне-
ниям установившейся ползучести (6.01). После несложных
преобразований найдем, что подинтегральнос выражение равно
2/(7^)Т2 или, вследствие (6.03), просто TH. Таким образом
= J J [ THdV.	(8.04)
v
В случае степенной зависимости с помощью (6.07) полу-
чаем из (8.04):
^ = (/«4- 1)А = (р-|-1)L.	(8.05)
III. Принцип Сен-Вен а на. В тесной связи с теоре-
мой энергии находится принцип Сен-Венана, справедливый,
конечно, и в теории ползучести. По этому принципу систему
сил, действующую на относительно малую часть тела, можно
заменить любой другой статически эквивалентной системой
усилий, т. к. при этом напряженное и деформированное со-
стояния тела заметно изменяются лишь вблизи рассматривае-
мого места приложения нагрузки.
ГЛАВА Ill
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
^УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
В начальный момент времени / = 0 распределение напря-
жений н деформаций описывается уравнениями теории упру-
гости. Вследствие ползучести напряженное состояние тела
с течением времени будет изменяться, стремясь (при постоян-
ных внешних воздействиях на тело) к состоянию установив-
шейся ползучести. Можно считать, что при достаточно боль-
шом времени состояние тела будет близко к установившемуся
состоянию. Тем не менее важно знать протекание процесса
нсустановившейся ползучести; во-первых, потому что многие
тела находятся в состоянии нсустановившейся ползучести
в течение большей части своей „жизни" (например, турбин-
ные диски), во-вторых, даже в случае тел, пребывающих зна-
чительную часть своей „жизни" в состоянии установившейся
ползучести, часто необходимо знать темп приближения к уста-
новившемуся состоянию. Упомянем, наконец, о важном классе
релаксационных задач.
Точное решение задач нсустановившейся ползучести
является очень трудной математической задачей даже в про-
стых случаях (например, в задаче чистого изгиба). Так как
исходный закон ползучести описывает явление ползучести
приближенно, то нет смысла искать точные решения при
помощи тех или иных сложных и громоздких методов, тем
более, что с качественной стороны картина нсустановившейся
ползучести проста. Ниже дано эффективное приближенное
решение задач нсустановившейся ползучести, основанное на
общем вариационном принципе, доказанном в предыдущей
главе.
56
ПРИБЛИЖЁННОЕ решение задач
[ГЛ. Ш
§ 9. Неу становившаяся ползучесть при заданных
нагрузках
1. Общее решение. Пусть на поверхности тела S
заданы напряжения Xw Уп, ZKy неизменные во времени (так
же, как и объемные силы А, У, Z). В начальный момент
времени i — 0 распределение напряжений и деформаций опи-
сывается уравнениями теории упругости; соответствующие
величины мы условились ранее отличать одним штрихом
(зж, су, ..ет,	мы предполагаем, что это реше-
ние известно. Напряжения и скорости деформации, отвечаю-
щие состоянию установившейся ползучести, мы отличаем
W W	Г/ и
двумя штрихами (ож, ау,	Будем считать,
что это решение также известно.
При заданных нагрузках картина неустановившейся ползу-
чести сводится к медленному и монотонному изменению напря-
женного состояния от упругого (при t — 0) к установивше-
муся (при t = оо). Это подсказывает следующий способ
построения приближенного решения.
Процесс неустановившейся ползучести определяется, как
мы знаем (§ 4), вариационным уравнением
8.f.fJ(A+w)dl/=0-
(9.01)
Напомним, что здесь сопоставляются статически возможные
напряженные состояния. Будем искать приближенное реше-
ние уравнения (9-01) в виде:
ах~ '(04;
==а Х (О ’гг.т t (0 Тга«,
где т(^), т(/)— произвольные функции времени. Так как
системы напряжений ох, о'у, ..., хгх и о^,	..., xzx удо-
влетворяют в отдельности дифференциальным уравнениям
равновесия (4.01) и граничным условиям (4.02), то для того,
чтобы построенная система напряжений ох, о?, . .., тга) была
статически возможной, необходимо, чтобы
т(0.
$ 0J ПЕУСТА110ВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ НАГРУЗКАХ 57
Тогда
— Зт
’л:

°.v
(9.02)
тгг — ~хх }“ ' (0 (“г с — тглЛ-
Внесем теперь эти значения в выражения упругой энер-
гии II и дополнительного рассеяния А = Б(/)Ар так как
~.С, • • • > ~zx’> °х, • • • J 'tzx известны, то II и Л, являются функ-
циями одного переменного г, т. е. 11= II (г), Aj = Aj(r).
Следовательно, условие стационарности дополнительной мощ-
ности тела, выражаемое вариационным принципом (9.01), при-
водится к уравнению
Д[в(ол,и+^п(х)]=о,
откуда сразу вытекает дифференциальное уравнение для неиз-
вестной функции т(0:
В (/) кЬО.	= о.	(9.03)
а-.	*	№ di	'	7
Прежде всего заметим, что II (т) — квадратичная функ-
ция т; в самом деле, пусть о, Т означают среднее давление
и интенсивность касательных напряжений, относящиеся к раз-
юс г м Од. = <зх ах*г Оу = Оу jy’ ... j тех = ъях	Тогда
”<т> = / J Л (? + к г!) +	+
V
+ 120	(3«-’<,)+•••] +
4-z2(|A^ + +-?2)plZ. (9.04)
Следовательно:
=21 I f (I dV> ° (9 05)
' Y
58
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
[ГЛ. Ill
и от х независит;при этом предполагается, что начальное упру-
гое состояние и состояние установившейся ползучести тожде-
ственно не совпадают (т. е. о ф О, Г ф О одновременно).
Вернемся теперь к уравнению (9.03). Это уравнение с разде-
ляющимися переменными; интегрируя его при очевидном на-
чальном условии:
при t = Q х — 0	(9.06)
(в начальный момент времени распределение напряжений
упругое), находим:
(907)
о
где Q(t) имеет прежнее значение (§ 3), а:
<9-08>
Напряжения о^, а7, •.., хгх являются решением вариацион-
ного уравнения (см. § 6):
8Aj = 0.
Если искать решение этого уравнения в форме (9 02), то
для т(/) получится уравнение
J7J/.(ngW-o.
V
Это уравнение имеет очевидное решение х = 1. Следовательно:
Р(1) = 0.	(9.09)
дТ2
Заметим, что /1(7'2)>0, а -т- есть линейная функция х.
Далее, вычисляем
[ШЖ)'"+
V
+J j,9,о)
9] ПЕУСТЛНОВИВЦПЯСЯ ПОЛ {УЧЕСТЬ ПРИ НАГРУЗКАХ	59
Нетрудно видеть, что
Ц- = 27’2 > 0;
rf/1
rf7'2
0.
(9.11)
Первое неравенство очевидно; рассмотрим второе. Интен-
сивность скоростей деформаций сдвига ползучести (см. § 3):
Н» = 2/?(0/1(Т2)Л
отсюда
^ = 2В(о[/,(П + 27«$J
пли
rf/1 1 (dHn Нп\	fQ12
dT*~ AB(t) гД (IT ТГ	k ’
как скорость ползучести резко возрастает с увели-
напряжения, то кривая зависимости интенсивности
(9.13)
Так
чением
скоростей деформаций сдвига И'1 от интенсивности касатель-
ных напряжений Т обращена вогнутостью
вверх (фиг. 19), следовательно:
(1Нп	Нп __ЛВ	ЛВ
аг	Т ~ ВС	во>()-
Таким образом, величина внутри квад-
ратной скобки в (9.10) положительна и
V"<°-
dt
Итак, Р (т) — монотонно убывающая
функция, положительная в интервале 0^т<1 и обращаю-
щаяся в нуль первого порядка при т = I. Поэтому при т = 1
интеграл в (9.07) расходится. Далее, функция 2 (f) монотонно
возрастает со временем,стремясь к бесконечности по линейному
закону при t —>со (фиг. 6). Следовательно, уравнение (9.07)
определяет т (I) как монотонно возрастающую функцию времени,
асимптотически приближающуюся к значению т== 1 при t—>со
(сплошная линия на фиг. 20). Согласно полученному реше-
нию, состояние ползучести с течением времени меняется от
начального упругого к состоянию установившейся ползучести,
60
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
|ГЛ. III
Для простейших задач найденное решение является точным.
В случае степенной зависимости /1(Т3)=7'т-1 и тогда
(9.14)
И
Если т — четное число, то Р (т)—полином степени tn.
Аналогичным методом мог>т быть изучены задачи, в кото-
рых фигурирует условие статической эквивалентности (напри-
мер, задачи кручения, изгиба
и т. д.). Ниже мы
ряд
здесь
И.
рассмотрим
развитого
приложений
метода.
О в ы ч и
слепнях.
Остановимся кратко на вычи-
слительной стороне вопроса.
Обозначим интеграл в правой
части (9.07) через У(т). При
четном т интеграл J (т) берется, однако проще его нахо-
дить численно, строя по способу Эйлера (см. 1-’’\ т. 2) инте-
гральную кривую уравнения
I
(9.15)
при начальном условии
J(0) = 0.	(9.16)
Во многих частных задачах Р(т)— полином степени tn
при любом целом т. Тогда, построив кривые т = т(2) для
различных целых т, мы можем кривую для дробного tn найти
интерполированием. Непосредственное построение кривой
т = т(й) при дробном т можно провести, например, так:
разбиваем интервал	на некоторог число I равных
отрезков длины А сечениями = где & = 0, 1, 2
Интегралы Р(тл) находим по тому или иному способу
численно. Кривая т = т (S) строится, далее, по способу
Эйлера.
III. Замечание о приложении аналогичного
метола в теории старения. Если исходить из урав-
нений теории старения (§ 3\ то вместо вариационного прин-
9| ПЕуСГАНбВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ НАГРУЗКАХ Ь)
ципа (9.01) будет справедлив вариационный принцип ]см. И,
§ 70]:
8 J J J lQ(0Ai4-lUrfH = 0.	(9.17)
v
Воспользуемся здесь той же схемой построения прибли-
женного решения (9.02); тогда уравнение (9.17) принимает
вид:	_
2 <о л1 + = °-	(»•'»)
• t	•
Начальное состояние од., о^, .., xzx удовлетворяет урав-
нению Кастильяно 811 = 0; если искать решение этого урав-
нения в форме (9.02), то получится уравнение для т (/)
1см (9.01)]:
+2ЛД'т*’,;+
4~ J2G (°®	4~ • • • J =о,
очевидное решение которого есть т = 0. Следовательно:
и
+ ю	) 4- •  • ] d V = 0. (919)
Поэтому
Если теперь воспользоваться введенным выше обозначе-
нием (9.0S), то уравнение (9.18) получает вид:
(9.21)
62
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
[ГЛ. III
По этому решению т(/) монотонно возрастает от значе-
ния т = 0 при / = 0 к значению т=1 при t—>оо. Таким
образом, качественно картина та же, что и раньше. Однако,
по решению (9.21) функция т(/) стремится к предельному
значению более медленно, мем по решению (9.07); на фиг. 20
кривая t (Z) по (9.21) показана пунктиром.
§ 10. Приближенное решение релаксационных задач
I. Общее решение. Пусть на части поверхности
тела заданы фиксированные смещения, а на остальной
ча.ти напряжения равны нулю; объемные силы также
полагаем равными нулю. В начальный момент времени £—0
мы имеем упругое состояние сх, ау, ..., тгх. Вследствие пол-
зучести напряжения с течением времени уменьшаются по вели-
чине, стремясь к пулю. Ищем приближенное решение задачи
в виде:
== р (0 ах; Су = Р (/) Оу, ...; Хгх = р (0 хгх, (10.01)
где р (/)—произвольная функция времени. Так как =4, fy, •••, т4г
удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям
равновесия, то Од., оу, ...,тга также удовлетворяют им; по
той же причине условия равновесия (4.02) на части поверх-
ности 5, удовлетворяются. Так как ах, av, ..., тгх известны,
то, внося (10.01) в выражения для II и Ап получаем, что
И и Aj являются функциями одного р, т. е. И = П(р),
А1 = А1(р). Тогда условие стационарности дополнительной
мощности деформации тела (4.13) принимает вид:
|;[в(ОЛ1(р)4-^г>] = о>
откуда вытекает дифференциальное уравнение для р(/):
(10.02)
В начальный момент времени мы имеем упругое состоя-
ние, следовательно:
при t = 0 р = 1.
(10.03)
§ 10J ПРИБЛИЖЕННОЕ решение релчксационных задач 63 ’
Нетрудно видеть, что
у? = 2ТГ > О
ари
и от о не зависит. Интегрируя теперь уравнение (10.02),
находим:
— ,р J
d2II Г dp
s<')=~5? J	(10 04>
* rf?
При р> 0 мы имеем:
= 2о J f j /г (paT'a) T/a dV > 0.	(10.05)
у
Напомним, что Т' — интенсивность касательных напря-
жений для упругого состояния. Остановимся на степенной
зависимости /j (Г2)) — Р"-1, тогда
V
Выполняя теперь в (10.04) интегрирование, находим:
<* = •—(10 03)
где введено безразмерное время
Г=х2(0,	(10.07)
причем
х= J | J	J J ll'dv)_1>0. (10.0b)
Так как t* — монотонно возрастающая функция го
с течением времени р(/) уменьшается, стремясь при /—>со
к нулю. Уравнение (10.06) формально совпадает с рассмо-
тренным в первой главе уравнением релаксации напряжения
в стержне (2.09). Это объясняется тем, что по найденному
решению (10.06) кривая релаксации при фиксированном m
вычисляется раз навсегда для тел любой формы; для каждой
64
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(ГЛ. Ill
конкретной задачи меняется лишь отсчет по оси времен
(в зависимости от значения х). Кривые релаксации для целых
т приведены на фиг. 8. Значения р(/) для нецелых т можно
определять интерполированием или непосредственно строить
по уравнению (10.06), при этом коэффициент х находится
но одному из способов численного интегрирования. Для
упомянутой задачи о релаксации напряжений в растянутом
стержне (§ 2) мы имеем:
ш Ч 1 г т 1
= х==2ЕЗ °-®	’	(10.09)
где —фиксированное относительное удлинение.
Решение (10.01) для простейших задач является точным;
в более сложных задачах оно должно рассматриваться как
первое приближение (обычно достаточное для приложений),
т. к. по этому решению распределение напряжений в любой
момент времени подобно начальному aXt av, . .., При
дальнейшем уточнении решения (если оно необходимо) целе-
сообразно основываться на найденном первом приближении.
II. Замечание о приложении теоремы энер-
г и и. Дифференциальное уравнение релаксации нетрудно
получить с помощью теоремы энергии (§ 8), которая в дан-
ной задаче при степенной зависимости формулируется в виде:
(и+1)л+-’ = о.
Так как
(m+l)A = 2B(0pw^ [ |
v
то мы приходим к прежнему дифференциальному уравнению.
ГЛАВА iV
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
В этой главе мы рассмотрим несколько простейших осе-
симметричных задач теории ползучести. В отношении важной
задачи о ползучести вращающегося диска мы ограничимся
кратким замечанием. Упругое состояние вращающихся дисков
изучено очень детально. Задачу о пластической деформации
дисков рассматривали Соколовский 1231 и Работнов 1,91.
Ползучести дисков (установившейся и неу становившейся)
посвящены работы Бейли (211, Одквиста 13'1, Содерберга НЧ,
Попова (381, Филиппова 1251 и др. Заметим, что неустано-
вившаяся ползучесть вращающихся дисков в случае основной
задачи (см. § 4) проще всего может быть рассмотрена по
общему методу, изложенному в § 9. При этом установив-
шееся состояние можно рассчитать, следуя упомянутым
работам Соколовского I28! и Попова 1381.
§ 11. Полый цилиндр под действием внутреннего
давления
I. Основные положения. Поставленная задача встре-
чается во многих технических вопросах. Пусть г, <?, z — цилин-
дрические координаты, 2а, 2Ь — внутренний и наружный диа-
метры цилиндра, v—скорость радиального перемещения.
Напряжения ог, оф, иг в силу осевой симметрии являются
главными. Для тонкостенного цилиндрического сосуда с до-
нышками, испытывающего внутреннее давление ползучесть
в осевом направлении отсутствует (см. § 3). Ниже мы будем
рассматривать задачу о ползучести толстостенного цилин-
дрического сосуда с днищами; примем, для простоты, что и 5
5 Зак. 6478. Л. М Качанов.
66	ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ (|'Л. IV
в этой задаче ползучесть з осевом направлении отсутствует,
т. е.
Ег = 0.	(11.01)
Это допущение не является существенным и может быть
снято.
Напряжения аг, а? должны удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению равновесия
(И-02)
и граничным условиям
при г = а <зг = —р;	при r =	аг=»0. (11.03)
IE Начальное упругое состояние описывается
известными формулами Ламе:
аг = ^(1 — о? =5 (l-h^); °£ = < (И.04)
где положено
с' —_££!_
* — ’
Нетрудно найти, что
T' = s'^y.	(11.05)
Суммируя ог, легко получаем, что по оси трубы действует
растягивающая сила р • ira2.
Ш. Состояние установившейся ползучести.
Так как деформации ползучести не связаны с изменениями
объема, то по (11.01) получаем (штрихи опускаем):
е,+Ч=°-
но
t ___________________dv j. ____v
Ч”7‘
Следовательно:
— 4-—=0
dr'r
откуда
г
§ 11]
ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР
67
где с?! — произвольная постоянная. Интенсивность скоростей
деформаций сдвига
Н" = 2^.	(11.06)
Далее, из условия = 0 и соотношений установившейся
ползучести вытекает, что <зг — а = 0, отсюда
с”-07)
Теперь нетрудно найти, что (в случае внутреннего давле-
ния >0, сг 0, б?! > 0):
=	—	(11.08)
Интенсивности Т" и И" связаны зависимостью (§ 6):
Т" = 2В* (оо) H"v- = 21 + нД *(оо) 0^)и.
(11.09)
Исключая с помощью последних соотношений разность
с? — ог из дифференциального уравнения равновесия, полу-
чаем:
(оо)1
ar	v ' г \/2 /
откуда
°Г = - — В * (оо)	+ С2.
Определяя произвольные постоянные С,, С2 по граничным
условиям (11.03), находим:
где введено обозначение
.,// _ Ра>
Нетрудно, наконец, найти, что

(11-11)
5*
68
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Суммируя о*, получаем, как и выше, что
ь
2тс J* tydr—picat,
а
(П-12)
что, между прочим, оправдывает допущение (11.01).
IV. Неустановившаяся ползучесть рассматри-
вается по общему методу, изложенному в предыдущей главе.
Напряжения представляются в форме:
°г=°г 4-х (0 (°г—М; °<t = <44-' (0 (°?—<4);
°г = °г + х (0 (°* — °*)-
(11.13)
Исходя из этих формул, нетрудно вычислить, что
Т= Г 4-т(/) (Г— Г).
(И-14)
Сумма напряжений аг попрежнему равна piza2.
Функция ?(/) определяется соотношением (9 07); в данной
задаче
ь
р(т)=— 4kJ Тт (Т"—Т') г dr.	(11.15)
а
При целом m Р(х) есть полином степени т. Вычисление
интеграла J(t) проводится обычным способом (см. § 9). На-
ходим, далее
ь
™ = 2л J [зЛ (а" -	+ 2 (Г - Г)2] г dr,
а
где интегрирование легко выполняется; окончательных формул
мы не приводим. Найдя кривые т = т(2) для различных
целых т, мы можем кривую для дробного т построить интер-
полированием. Непосредственное построение кривой 7 = 7 (21
при дробном т осуществимо по способу, указанному § 9.
Таким образом, решение нсустановившейся задачи связано
с простыми, хотя, быть может, и несколько громоздкими вычис-
лениями. Следует заметить, что эти вычисления необходимо
провести раз навсегда для данных значений — и т; можно
§ 11)
ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР
69
поэтому построить графики, пользование которыми весьма
просто
V. Случай тонкостенной трубы. В случае отно-
сительно тонкостенной трубы вычисление можно провести
в общем виде. Введем безразмерную переменную х посред-
ством соотношения г = с(1-|-х), где 2с = а-|- Ь\ очевидно,
что —Д Д, где Д. Для относительно тонко-
V -j- л
стенных труб величина Д<^1, например, Д<0,1. Началь-
ное упругое состояние трубы описывается формулами Даме
(11.04), установившееся состояние — формулами (11.10). Сле-
дуя общему методу, решение задачи о неустановившейся ползу-
чести ищем в виде (11.13). Разложим разность о* — а
в ряд по степеням х, отбросив в разложении члены порядка
выше второго; выполнив необходимые выкладки, получим, что
< ——1)(Д2 —а:2).
(11.16)
Разность а”— </ мы найдем из дифференциального урав-
нения равновесия (11.02), внеся в него значения о*—*-а'г
согласно (11.16). Не останавливаясь на простых выкладках,
приводим результаты:
% — % ~	(Д2 — Зх2 — 2х).
Таким образом,
=г = о; + т(/)£-'!^(Д2-^);	I
, п	’ (11.17)
о,=о,+- (Z) £.(.^ Ч (Д«—Зх> - 2*). ]
Интенсивность касательных напряжений
где
, _ (1-Д2)2 _ 1
4Д
70
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. IV
Функцию т(7) определим, как всегда, из условия стацио-
..	~Г . <ЭИ ГТ
парности дополни1ельной мощности A -j-	. Примем, для
простоты, что материал несжимаем, т. е. k — 0 (см. § 3),
тогда вариационное уравнение (9.01) в рассматриваемой нами
задаче принимает вид:
Г Г 2В (/)	।__1_ dT2] (1 ।	./у. — Q
di J L'« + l 1 2G dt J I1 — и
— Д
или
Д
A'-g-L26(f) J 7-»x(14-x)2rfx = 0, (11.19)
—д
где с точностью до Д2 по сравнению с единицей положено
д
Г	2
I х2(1 -J-x)8dx = -у Д8. Рассмотрим интеграл
•)	<5
— д
д
Р{ (т) = | Ттх (1 -Ц- *)2 dx —
— д
2^-J2x(1+x)8x|
’» х dx
(х+	’
отличающийся, очевидно, лишь постоянным множителем от
Р(т). Второе слагаемое в квадратной скобке при гд<;10
меньше 1/4; развертывая квадратную скобку в строку би-
нома Ньютона и интегрируя почленно получающийся беско-
нечный ряд, находим:
д	д
\	/ Р Vй 1 Г х dx I о /	1 \ Г	х2 dx	।
“ VA/ I J (X 4- 1)2»»-» 4" 2 (/л	1) Т J	+ |р»-Ь +
— д	— д
m
5? HI
ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР
71
Нетрудно видеть, что
с единицей
А
[ Л"1(1	=
с точностью до Да по сравнению
“Аг Д’и 2 п нечетное
п + 2	(11.20)
—Д’1*1 п четное,
/I -[-• 1	’
। to а — некоторое число, а п > 0 — целое число.
Ограничиваясь в разложении Р1 (?) выписанными слагае-
мыми, получаем с помощью (11.20):
(£)"|(*-4)Д»Х
X [1 — Т —	(4 — т) ДЧ21.
[	5 /л	' J
Пусть
6 (т— I)2 ,. ч .21	.
-с-----— (4 — ni) Л2	1
5 т	7	^==>-
Это условие выполняется, например, при т < 5, если
Л <^0,1; тогда
₽>(-) = - (44)”'4 ('» - О	— Д	(11.21)
Внеся это значение в (11.19), получаем дифференциаль-
ное уравнение для т (Z):
£-₽, В (0(1--) = 0.	(11-22)
где введено обозначение
\ /
Интегралом дифференциального уравнения (11.22\ удов-
летворяющим нулевому начальному условию
при t = 0	- = О,
является функция
? — 1 —
где введено безразмерное время
= 31 2 (О-
(11.23)
(11.24)
12
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. IV
Зависимость (11.23) показана нафиг. 21 сплошной линией.
Решение этой же задачи по теории старения р] приводит
к уравнению
т —^2(0(1—г) =0,
откуда
г=-Ат-	<п-25>
Эта кривая нанесена на фиг. 21 пунктиром. На фиг. 22
показано распределение напряжений о,., о подсчитанное
по формулам (11.17), для раз-
личных моментов времени, ха-
рактеризуемых значениями т =
= т (/). По оси ординат отложены
Фиг. 22.
Фиг. 21
безразмерные напряжения о* = стг;°<р, ср., о* = о/аф> ор_, где
ра
% ср. — ь — а есть сРеднее тангенциальное напряжение
в стенке трубы. Принято, что А ==0,1, a zn —4,5. С тече-
нием времени максимум о? перемещается с внутренней стенки
трубы (при £ = 0) на внешнюю.
§ 12. Сферический сосуд под действием внутреннего
давления
I.	Основные положения. Рассмотрим задачу
о ползучести сферического сосуда, испытывающего внутрен-
нее давление р. Пусть г, <р, %—сферические координаты,
2/7, 2Ь — внутренний и наружный диаметры сосуда, v—ско-
§ 12]
СФЕРИЧЕСКИЙ СОСУД
73
рость радиального смещения. Напряжения о,., о?} az вследствие
симметрии являются главными напряжениями, причем av = ay
и Зо = ar-J-2^. Интенсивность касательных напряжений
(°? >0, ar < 0):
Т=-^-(<>,-оД	(12 01)
Напряжения о,., должны удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению равновесия
r^H-2(ar-o0 = O	(12 02)
и граничным условиям
при г —а с, ——р', при г—Ь °г — 0. (12.03)
II.	Начальное упругое состояние описывается
хорошо известными формулами теории упругости
°;=Ф -(4)’]; о;=ф + Иг)3] (12-04)
|де положено
pa8
si = *з_ аз •
Интенсивность касательных напряжений
(12.05)
III.	Состояние установившейся ползучести.
Из условия несжимаемости
5г + 2$т=О
и известных соотношений
dr* *	' Г
получаем
« =	(12.06)
где Сх— произвольная постоянная. Интенсивность скоростей
деформаций сдвига равна
Н" = -^= (5,-Е,) = 2/3-§ .	(12.07)
У Q	*
74	ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. IV
Согласно зависимости (6.07) получаем:
Исключая с помощью (12.01) разность	— а,. в диф-
ференциальном уравнении (12.02) и интегрируя его, находим:
Определяй произвольные постоянные С2 из
условий (12.03), получаем:
|раничных
(12.08)
где положено
» Ра^
’Е—  - ------- .
1 ftip-----дЗц
Интенсивность касательных напряжений
(12.09)
IV.	Не у становившаяся ползучесть. Ищем
решение в форме:
°г = ^-Н(0(°г — °г); <\> = ох = <4 + т(0 (°т“°?)- (12.10)
Нетрудно видеть, что
T=r-j-T(/)(rz—Г);
ь
Р(т)= — 8tcJ Тт{Т" — T')r2dr;
а
_	Ъ
= 4* / [34 (а" — а')2+4-(Г — Г')2] <-2 dr.
а
Вычисление кривой т = т(2) проводится по общей схеме
(§ 9).
§ 12]
СФЕРИЧЕСКИЙ СОСУД
75
V.	Н е у с та н о в и в ш ая с я ползучесть тонко-
стенного' сферического сосуда может быть рас-
смотрена подобно тому, как это было сделано для тонкостен-
ной трубы. Введем безразмерную переменную к посредством
соотношения г == с (1 -]- х), где 2с = а~\- bt причем, как и
ранее, —Д^х^Д, где	Для тонкостенного со-
суда Д <d 1. Решение нсустановившейся задачи ищем в обыч-
ной форме (12.10). Разлагая а,— а,. в ряд по степеням х
и отбрасывая в разложении члены порядка выше второго,
получаем:
^-(1—1) 0s—х’).
Разность — <з9 находим из дифференциального уравне-
ния равновесия (12.02), внеся в него полученное выражение
для аг — аг. Тогда исходные формулы (12.10) принимают
вид:

(12.11)
Интенсивность касательных напряжений
7'=(T$S> + TW^-<1-tl))/r^(l+A 02.12)
где
3 (1—да)з
2 6Д
3 1
2 6Д •
Функция т(/) определяется из условия стационарности
дополнительной мощности, которое в рассматриваемой задаче
для несжимаемого материала (6 — 0) таково:
2g (0
т 1

£Д=Х1дг^. 4-28(1) JТ”‘х(1 4-.г)’Л = 0. (12.13)
76
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
Подобно предыдущему находим:
Р2(’) = j Г«-л(1+х)»<7х = —1)Д»Х
-1д
X [1 — • - -RT ("'~1)~- (И - 3'«) ^’] 
Пусть
А/"*—1)! (и _ з/«) д2| С 1,
10 т 4	7 I
тогда
^0 = -(^-рЛ'4)"‘2(т-1)Д°(1--)-	(1214)
Теперь из (12.13) получаем дифференциальное уравнение
для т(/):
-£-₽2S(Z)(l—т) = 0,
где обозначено
?. = 2тО(^-|/	.	(12.15)
Искомое решение
т=1—е-*2*,	(12.16)
где введено безразмерное время
<2» = ₽а2 (<)•	(121П
Решение этой же задачи по теории старения имеет вид:
т=^+г-	(12Л8>
Таким образом, кривые, показанные на фиг. 21, отно-
сятся и к задаче о неустановившейся ползучести тонкостен-
ного сферического сосуда при условии замены величи-
нами
§ 13. О концентрации напряжений у отверстий
С помощью найденных выше решений можно рассмотреть
простейшие задачи о концентрации напряжений, вызванной
цилиндрическим отверстием или сферической полостью в поле
§13] о КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ У ОТВЕРСТИЙ	77
равномерного всестороннего растяжения (сжатия). Изменение
напряженного состояния, вызванное отверстием, следует оце-
нивать в теории ползучести по значениям интенсивностей
касательных напряжений у отверстия и на большом удалении
от него.
1. Концентрация напряжений у цилиндри-
ческого отверстия в поле равномерного всестороннего
растяжения. Эта задача характеризуется предельными усло-
виями:
при г = а ог — 0;
при г — оо ог =	= az — qt
(13.01)
(13.02)
где q—заданная величина.
Начальное упругое состояние описывается формулами:
[/ Г \ *1	Г	/ г \21
1 — („)]; °т = ^[1-г (т) ];	(1з.оз)
Нетрудно найти, что
Т'а — q»	Т'со — 0,
(13.04)
где Та и Тто означают соответственно интенсивности каса-
тельных напряжений на краю отверстия и на бесконечности.
Состояние установившейся ползучести описывается за-
висимостями:
о,. = 7
°z=q [1 +(Н— О (7)^] »	(13.05)
которые нетрудно вывести с помощью решений § 11 и при-
веденных выше предельных условий. При этом
7«=н;	7'^=0.	(13.06)
Неустановившаяся ползучесть может быть рассмотрена
обычным методом (§ 9) при лг<2; при т'^-2 интеграл
расходится.
78
ПРОСТЕЙШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. IV
II. Концентрация напряжений у сферической
полости. Задача о концентрации напряжений у сферической
полости в поле равномерного всестороннего растяжения
может быть рассмотрена при помощи решений § 12; в этой
задаче предельные условия таковы:
при г = а	о,. = 0
при г==оо аг = ач> = з./ =^)	(13.07)
где q — заданная величина.
Начальное упругое состояние описывается формулами:
— (у)3]; о? = 5с==^[1 + 4(7 8]- (13 08)
Здесь
=	т^ = о.	(13.09)
Состояние установившейся ползучести характеризуется
напряжениями:
Г.	Г. . Зц — 2/а\8?1 наш)
Q—j р o?==o7.=tf [Н—§—(7) ]• (131°)
При этом
т«=ХАм: т"=о.	(13.11)
§ 14. Релаксация напряжений в насаженном
кольце
Рассмотрим в качестве примера задачу о релаксации
напряжений в кольце (2а, 2Ь — внутренний и внешний диа-
метры, h — высота), насаженном на жесткий вал с опреде-
ленным натягом; пусть начальное давление кольца на вал
(при t = 0) равно р. С течением времени давление кольца
на вал будет уменьшаться вследствие ползучести кольца.
I. Начальное упругое состояние кольца описы-
вается формулами Ламе
<v=$ р — (у)2]*	+ (4)2]; <4 = о, (14.01)
§ 14J РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В НАСАЖЕННОМ КОЛЬЦЕ 79
где s' имеет прежнее значение (§ И). Нетрудно видеть, что
o'=2s
3
(14.02)
II. Релаксация напряжений в кольце, согласно
приближенному решению (см. § 10), описывается зависи-
мостями:
«г = р(**)°Н Р ('*)<£ °г = 0»	(14.03)
где $*=х2(/) — безразмерное время. Необходимо вычислить
множитель х. Находим:
1Г = 2кА I (4 T'^rdr —
,) \ 2	1 2G )
а
1 Г . . 1  1 pyi .
з fe2_fl2 |_z« -Г	} gU/J’
Пусть, например, т — 3. Тогда (9“i/ff):
_ Es'2 1 + 15^ 4- зе< -Р 3^
' з 3(1— v)-j-2'(I -Н)₽*’
Давление на вал
^r'r—a == Р (t ) р’
Кривые р = р (I*) показаны на фиг. 8.
(14.04)
ГЛАВА V
ИЗГИБ
§ 1Б. Чистый изгиб
При рассмотрении этой задачи мы будем придерживаться
Фиг. 23.
общей схемы, изложенной в гл. III.
Для простоты предполагаем, что
сечение стержня симметрично отно-
сительно плоскостей xz, уг (ось г
направлена по оси стержня).
Изгибающий момент действует в
плоскости уг (фиг. 23).
Обозначим через 2Ь (_у) ширину
профиля, через 2h — максимальную вы-
соту его.
I. Начальное упругое состояние (/=0). Здесь
мы имеем:
л
/ Му	/	г	\
°е = — ,	(Z = 4 J b(y)y^dy) ;
о
d2u , М
dz>- — ~ EI *
(15.01)
(15.02)
где и — и (г) —ордината упругой линии балки в момент t = 0,
а I — момент инерции. Потенциальная энергия единицы длины
балки равна
п, М? EI(dW
11 ~ 2EI ~~ 2 V dz'~)
(15.03)
II. Состояние установившейся ползучести.
Исходим из степенной зависимости
и = Вх(^)оГ или = [вДоо)]-^, (15.04)
§ 15]	ЧИСТЫЙ ИЗГИБ	81
1 ,
где ц = —< 1; в область отрицательных у напряжение и
скорость деформации ;2 продолжаются нечетным образом. Из
соображений симметрии ясно, что плоские сечения, нормаль-
ные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и
после деформации, поэтому
=	(15.05)
где через k обозначена установившаяся скорость изменения
кривизны оси стержня. По уравнению равновесия
h
4 j* yb(y)dy — M.	(15.06)
о
Внося сюда а, и согласно (15.04), (15.06), получаем:
I k	(оо)] - И4 = ± ж,	(15.07)
|де введено обозначение
h
4 = 4 У^(у)у’(15.08)
о
Эту величину условимся называть моментом инерции
она зависит только ог формы сечения и показателя т; при
/ч=1 получаем „обычный" момент инерции /. Теперь с по-
мощью (15.05) и (15.07) находим:
w /Л
oe = 7-J”K,	(15.09)
‘т
где двумя штрихами мы отличаем, как и ранее, установив-
шееся состояние. Обозначим через v — v(z) скорость изме-
нения ординат линии прогибов балки в состоянии установив-
шейся ползучести. Очевидно, что при малых деформациях и
прогибах /г =	, следовательно
где под £) = [£?! (со)] 1 мы будем понимать жесткость
стержня при ползучести. Введем теперь рассеяние единицы
6 Зак. 5478. Л. М. Качанов-
82
ИЗГИБ
(ГЛ. V
длины балки L" и дополнительное рассеяние (также на единицу
длины) Л", определив их следующим образом:
ZL" = Mb(^\-	8Л" = ^5ЛГ,	(15.11)
\dz2J *	dz2
где о — знак варьирования. Исключая с помощью (15.10)
..
в первом соотношении 2И, а во втором -г-? и переходя к самим
uZ*1
функциям L" и Л", получаем (с точностью до аддитивной
постоянной):
=	(15.12)
[л 11 dz2	т 1 1	1	4	'
В дальнейшем эти функции будут играть важную роль,
так как для случая нелинейной зависимости (15.04) они за-
меняют выражения упругой потенциальной энергии (15.03).
III. Неустанови вша яс я ползучесть при по-
стоянном изгибающем моменте. В этом случае
нужно найти точку стационарности дополнительной мощности
изгибаемого стержня
л
ВФ=48 j />(v)(a + ^)<v = 0	(15.13)
о
при условии постоянства момента внутренних сил (15.06)-
Но в задаче изгиба от нуля отлично только напряжение аг>
поэтому
П = ±о:;	Л=^<+*	(15.14)
Нетрудно убедиться в том, что уравнение Эйлера этой
задачи вариационного исчисления (в силу условия (15.06) мы
имеем изопериметрическую задачу) выражает так называемую
гипотезу плоских сечений = Ху, где параметр X опреде-
ляется согласно уравнению равновесия (15.06). Так как не-
обходимо пользоваться полным уравнением ползучести (2.05),
то решение задачи неустановившегося изгиба наталкивается
на большие математические трудности и может быть достиг-
нуто лишь сложным численным способом. Будем, поэтому,
§ 15]	чистый изгив	83
искать приближенное решение задачи в форме:
= <4 ~Н (0 (°* — °*)>	(15.15)
где т(^) — подлежащая определению функция времени. Введем
безразмерные величины
Р	°*=л!й;	(15л6)
Заметим, что коэффициент зависит лишь от формы се-
чения и показателя т и всегда меньше единицы; в самом
деле:
1 ।
xi== f	Р C'lW’*1	< 1,
о	о
так как 0 <1 т] 1 и т > 1; •/, — 1 только при т = 1. Таким
образом
= +	(15.17)
где положено
^1 = Х1Т — Ti-	(15.18)
Вернемся к основным уравнениям (15.13) и (15 Об); урав-
нение равновесия (15.06), очевидно, удовлетворено, а допол-
нительная мощность Ф теперь является функцией лишь пере-
менного т. Условие стационарности Ф выражается уравнением
^- = 0, развертывая которое получаем дифференциальное
уравнение для искомой функции т (/):
I I”-* ЕВ, (/) Р, (-) - 2, g = О, (15.19)
где положено:
1
Л(-) = -J" h+^(0 г,|» У,Р(ч)</ч;
о
1
S1 = J
о
(15.20)
б*
84
ИЗГИБ
[гл. V
Начальное условие для т(1):
при/=О т = 0.	(15.21)
Интегрируя дифференциальное уравнение (15.19) при
условии (15.21), получаем:
(1522)
О
где введено безразмерное время
(15.23)
id I * I
Легко видеть, что

(О < т

В точке т= 1 функция /^(т) имеет нуль первого порядка,
так что интеграл в (15.22) расходится при х=1. Таким об-
разом, картина неустановив-
шейся ползучести при изгибе
аналогична общей картине, рас-
смотренной в гл. III. При це-
лом т Pj (') — полином сте-
пени /п; тогда интегрирование
в (15.20) легко выполняется.
Кривую -с = т(/1) проще всего
строить численным интегриро-
ванием по методу Эйлера (см.
§ 9). При фиксированном т
для сечения определенной формы (например, прямоугольной)
кривая T = T(fi) строится раз навсегда. Значения i при дроб-
ном т можно определять интерполированием.
Рассмотрим в качестве примера стержень прямоугольного
о	1	24*1*	7 D
сечения при т = 3; тогда у. = —,	— -д-. Вычисляя
Pj (т), получаем:
Pl “ h 1 ^0 +33'
188 Л
2673 w ) *
§ 15]
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
85
Инте1ральная кривая т = т(4*), где /**==-^4, построен-
ная но способу Эйлера, показана на фиг. 24.
IV. Релаксация. Пусть стержень сохраняет сообщен-
ную ему в начальный момент времени кривизну; выясним,
как релаксирует изгибающий момент в стержне. Это нетрудно
сделать, если следовать общему методу (§ 10), необхо-
димо лишь вычислить коэф-
фициент х.
В нашем случае;
= —7;
Т 1
II
/3 /
1 MV
где Мо— начальное значе-
ние изгибающего момента. Так, для прямоугольного сечения
легко получаем:
2Е
MJi т~1
(15.24)
Кривые релаксации показаны на фиг. 8.
V. Некоторые формулы. Момент инерции 1т вы-
числяется по формуле (15.08). Для прямоугольного сечения 1т
находится легко.
Для круга радиуса а получаем:
Но
е
J ___________ 2fc-i
J	= Г(Л-Н ’
0
где k — некоторое число, а Г() — гамма-функция. Таким
образом

86
ИЗГИБ
[гл. V
Для быстрого определения коэффициента q (у.) построен
график (фиг. 25). Для кругового кольца момент инерции 1т
находится посредством вычитания. В заключение приводим
некоторые формулы.
Прямоугольник (высота 2Л, ширина 2Л>)
— 1 _|_ ц/..
о
1 2т
1 Зт ’
V _ 1 (т—1)« b
~ 9 т (т 4- 2) /I *
Л/туг (радиус а):
Г К ,
I==-4ai>
у1 = W);
= ? (р-) й31^;
=	(2Н—U —
Круговое кольцо (внутренний радиус а, внешний радиус Ь;
a =alb):
к 1—
1 ^Я (lA) 1—а3+Н ’
Л» = 7(р) (£3!> —я3+О;
S. = ^[*1 ?(2|*-•
§ 16. Общий случай изгиба
Перейдем к случаю изгиба стержня под действием попереч-
ных нагрузок; мы изложим решение этой задачи, основанное на
обычном в задачах сопротивления материалов пренебрежении
влиянием касательных напряжений.
1. Начальное упругое состояние (/ — 0) опи-
сывается зависимостями (15.01), (15.02), причем изгибающий
момент М здесь уже является функцией г. Методы нахожде-
ния упругой линии и — и (?) общеизвестны и мы на них не
останавливаемся. Напомним лишь, что упругая потенциальная
энергия балки равна
i	I
1 т г_ f El ((Ри\^ , Г М2
j	(z~ J ~2ЕГ^2'	(16.01)
о	о
где I—длина балки.
§ 16]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА
87
П. Состояние установившейся ползучести.
Мы будем считать, что и в состоянии установившейся ползу-
чести стержня, изгибаемого поперечными силами, можно
пренебречь влиянием касательных напряжений и пользоваться
соотношениями (15.09), (15.10). Определение скорости изме-
нения ординат линии прогибов балки сводится к интегриро-
ванию дифференциального уравнения (15.10) при тех же, что
и для упругой балки, граничных условиях. Интегрирование
легко выполняется
Z Z
Г Г 1 1”*
г» = ± j j —dz dz	Cxz Ц- С2,
«о
те С2 — произвольные постоянные; двукратный интеграл
приводится к однократному
Г 1 М
^ = ^1 (г—Q-^L<4-C^-J-C2.	(16.02)
’ го
Знаки в этих формулах следует выбирать так, чтобы
м	~ d2v
совпадали знаки второй производной и правой части.
Напряжения вычисляются по формуле (15.09).
III. Вариационноеуравнениеустановившейся
скорости прогиба. Истинная скорость прогиба балки
в состоянии установившейся ползучести должна сообщать
минимальное значение мощности балки (см. § 6). Составим
соответствующее вариационное уравнение. Пусть скорость
прогиба v = v (г) получила бесконечно малое приращение
совместимое с геометрическими связями (условиями закрепления
балки). Мощность внутренних сил на этих вариациях равна
(см. § 15)
J W dz.
о
Если р (г) — нагрузка на единицу длины балки, то мощность
внешних сил равна
i
Jp (z)Zvdz.
о
Приравнивая эти мощности м считая, что нагрузка р (г)
88
ИЗГИБ
[гл. V
не зависит от скорости v, получим вариационное уравнение
I
°.I	—p^v^dz = Q. (16.03)
о
Эго уравнение заменяет собою как дифференциальное
уравнение изгиба (15.10), так и граничные условия (подроб-
нее об этом см ГЛ, § 35).
Основываясь на уравнении (16.03), удобно искать прибли-
женные решения по методу Ритца.
IV. Приложение принципа минимума дополни-
тельного рассеяния. Выше было установлено (§ 6),
что истинное распределение напряжений сообщает минимум
дополнительному рассеянию тела А" (если мощность вариаций
внешних сил равна нулю); было также показано, что если
к телу приложены сосредоточенные обобщенные силы Piy то
дЛ"
частная производная равна соответствующей обобщенной
скорости Vi точки приложения силы Эта теорема очень
удобна для определения скоростей прогиба в задачах устано-
вившейся ползучести при изгибе. При этом
г
о
|Af 1^4-1
D(m + D
(16.04)
Установившаяся скорость прогиба под сосредоточенной
силой Pt в направлении последней (или угловая скорость
поворота сечения со в точке приложения сосредоточенного
момента 2И0) равна
vt =
дЛ."
дР<
(16.05)
Наконец, лишние неизвестные Х%, Х'г, ..., Xg для состоя-
ния установившейся ползучести определяются из уравнений
дА" дЛ" _
—з- *= О; -—= 0;
дХ*.	дХ^
А	Л

(16.06)
§ 1CI
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА
89
V. Пример. Рассмотрим задачу об установившейся пол-
зучести консольной балки, изгибаемой собственным весом и
сосредоточенной силой Р ла конце; сечение балки постоянно.
Изгибающий момент
Л/ = Р(/-г)-|--1(/ -г)2,
где у — вес единицы длины балки. Скорость прогиба под
силой
v = D .1 М 'ЭР аг-
О
Введем безразмерные величины С и А:
l—Z = l',',	7^ = 1. .
Теперь
1
~ pmtm + 2 I* ,
v = —&—	(1+AQ»»C1+,M^.	(16.07)
о
Пусть /. < 1, тогда можно воспользоваться разложением
Л«=1
Интегрируя почленно, находим:
СО
(16.08)
Случай невесомой балки соответствует л = 0.
VI. Неустановившаяся ползучесть. Рассмотрим
сначала статически определимые задачи; реакции опор в этом
случае известны, следовательно, мы имеем задачу о ползу-
чести тела под действием постоянных заданных нагрузок,
изученную в § 9. Разыскивая решение в виде:
сг =	~ (С (°2 —- 4),
90
ИЗГИБ
{гл. V
мы придем, очевидно, к прежнему результату
=	(16.09)
О
d-li
и нужно лишь установить конкретный вид и Р (т). При-
меняя общую формулу (9.14) к изгибу, находим:
Р(т) = —8.3
<h)dy.
(16.10)
Введем безразмерные величины (15.16) и ограничимся,
для простоты, рассмотрением стержня постоянного попереч-
ного сечения; после некоторых преобразований, получаем:
£1 =	£ д'; р(т) = 8	И р (Х) Л" (16.11)
/	1	4 ’	/w(/3v.1)w+1	1	1
где /\(т) и £1 даны формулами (15.20), Л"— дополнитель-
ное рассеяние (16.04), а II' — упругая потенциальная энергия
балки (16.01) в начальном состоянии. Теперь из (16.09)
следует:
т
о
где введено безразмерное время
(16ДЗ)
bill
Полученная зависимость т от /и совпадает с прежней
зависимостью t от 4 в задаче чистого изгиба; для данного
поперечного сечения и фиксированного т кривая т = т (/*t)
строится раз навсегда, независимо от эпюры изгибающего
момента. В каждом конкретном случае производятся лишь
иные отсчеты по оси времен; эти отсчеты определяются фор-
мулой (16.13) и зависят, конечно, от эпюры изгибающего
момента.
§ 16]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА
91
Рассмотрим простейший пример—изгиб консоли прямо-
угольного поперечного сечения силой, приложенной на конце.
Изгибающий момент М — Р(1 — г); находим:
ff/ _ P4i . V' —	рт+1 im+2
11	б£/’	(ct-}-1)(m-|-2)D ’
27тЕ (Plh\™	(|
— (П1	1)2 ( f )	А
Перейдем теперь к статически неопределимым задачам.
Обозначим лишние неизвестные через АГ1, АГ2, ..., Х8. Пусть
в начальном состоянии (7 = 0) эти величины имеют значения
А\, X?, ..Х3, а в состоянии установившейся ползучести —
А'1, Х'ъ, ..., Хя. Напряжения ag, <зг можно считать извест-
ными. Рассмотрим состояние нсустановившейся ползучести.
В каждом сечении балки изгибающий момент М является
линейной функцией заданных нагрузок и лишних неизвестных.
Дополнительная мощность будет, очевидно, функцией лишних
неизвестных Аг1, Аг2, .. ., Х9. Значения последних определятся
из условий стационарности дополнительной мощности
•^(1 + #) = 0	(<=1,2.......S).	(16.14)
Это — система обыкновенных дифференциальных уравне-
ний первого порядка относительно ; к ней следует при-
соединить начальные условия
при 7=0 Х< = Х<	(7=1,2,...,$). (16.15)
Система (16.14) в развернутой форме такова
_	8	__
+	=	(16.16)
А — 1
Так как П — квадратичная функция напряжений и, следо-
v <Э2П
вательно, квадратичная функция А<, то	постоянны;
разрешая систему уравнений (16.16) относительно производ-
ных (определитель системы Д > О, т. к. II — положи-
92
ИЗГИБ
[гл. V
тельная квадратичная форма), найдем:
~dF~~ Д Zi ^ik дХк .	“
Л=1
(16.17)
-	ГЛ
гд<? — алгебраическое дополнение элемента • Отсюда
вытекает, что—>0 с приближением к установившемуся
состоянию, т. к. при А"< = Л/ все -^А- = 0 в силу (16.06).
Интегрирование системы нелинейных уравнений (16.17), вообще
говоря, затруднительно; исключение составляет случай $== 1,
для которого сразу получается решение в квадратурах.
Приближенное решение рассматриваемой задачи ищем
в форме
=	— (i = l, 2___________s) (16.18)
Теперь, как и в общем случае (§ 9), дополнительная
мощность деформации является функцией лишь от т; условие
стационарности Ф приводит к прежнему дифференциальному
уравнению (9.03), решение которого есть
SW=#J-W- (1619)
Это решение характеризуется прежними свойствами. В рас-
сматриваемой задаче
i	i
Ст —	Г 1ЛИ’П + 1
n==J^7^; A^BJoo) J	<16-20)
о	6
где М — изгибающий момент, выраженный в функции
При s = 1 мы получаем точное решение.
VII.	Пример. Рассмотрим задачу о неустановившейся
ползучести балки (фиг. 26), изгибаемой моментом Л40, прило-
женным на опоре. Обозначим реакцию опоры через Xv Тогда

§ 16J
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА
93
Нетрудно найти, что Х1 = ^^. Пусть /я = 3, тогда
Л" = ~ I
4D .!
о
и	дХ"
Найдем Xi; условие —т-=0 приводит к кубическому
дХ\
уравнению
КЗ —^>а-|-5Х —-g =^0, (16.21)
X[l.
где введено обозначение К = -77— ;
А10
это уравнение имеет лишь один ве-	фиг. 26.
шественный корень 1= 1,61, следо-
вательно, X" = 1,61	. Полагаем Хг— Х[ -}- т (/) (zY"—А'),
вносим в выражение изгибающего момента Л1 и по фор-
муле (16.20) находим поливом третьей степени от т
dz D ’
z
| Л13(/—z)dz.
о
Нетрудно видеть, что т = 1 обращает в нуль и что
----п- < 0. Далее, находим:
«X*
_	I
dr H 1 Г { dM \2 , F /л ,. МД2
«?-= £7 J ("л Рг= ЗИ (°-11 Т) 
о
Функция ?=•:(£>) определяется уравнением (16.19); на
вычислениях мы не останавливаемся.
VIII.	Релаксационные задачи. Пусть в момент
времени / = 0 ось балки получила в некоторых точках за-
данные смещения и повороты, которые в последующее время
t > 0 не изменяются; предполагается, что балка свободна от
нагрузок.
94
ИЗГИБ
[гл. V
Релаксационные задачи этого типа решаются общим мето-
дом (§ 10), так что вопрос сводится к вычислению о* и
коэффициента х по формуле (10.08). Заметим, что
V	о
I	Л
f f f rw+W=4 fl-^- b(y)y'+mdyt
J J J	J I 13 /	J
v	о'	о
где ЛТ— изгибающий момент в начальном упругом со-
стоянии.
Вычислив х, исходим из уравнения релаксации (10.06)
или соответствующего графика.
§ 17. Изгиб кривых стержней
I. Общие положения. Будем считать размеры попе-
речного сечения стержня малыми сравнительно с радиусом
кривизны осевой линии. Тогда с достаточной точностью можно
пользоваться для упругой потенциальной энергии и дополни-
тельного рассеяния элемента стержня соответствующими
формулами для прямого стержня. Суммируя, получим:
z
ТТ/ С Л42
(17.01)
для начального состояния, где ds — дифференциал дуги осе-
вой линии стержня, а I — длина ее Для состояния устано-
вившейся ползучести
Д"= /	(17.02)
о
Скорости смещений и поворотов оси стержня в отдель-
ных точках проще всего определять по теореме (6.19).
Теория нсустановившейся ползучести развивается аналогично
предыдущему.
§ 18}
ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
95
II. Пример. Рассмотрим установившуюся ползучесть
при чистом изгибе стержня круговой формы (фиг. 27). Здесь
М = const, следовательно:
Л (т-р1)Р^а’ О7-03)
где R — радиус кривизны
оси стержня. Скорость из-
менения угла а:
а) = ^лГ-	(1,04}
Таким образом
=	(17.05)
a D v '
Фиг. 27.
§ 18. Изгиб кривых тонкостенных труб
Опыты по изгибу лирообразных компенсаторов показали,
что деформации последних в несколько раз превышают зна-
чения, вытекающие из классической теории изгиба. Карман
показал [3S], что причиной этого является сплющивание
трубы при изгибе и дал приближенную теорию изгиба упру-
гих тонкостенных труб с криволинейной осью, хорошо под-
тверждаемую экспериментами. Результат Кармана—так назы-
ваемый коэффициент Кармана — широко применяется в инже-
нерных расчетах.
Теория Кармана основана на предположении об идеальной
упругости материала трубы. Однако сплющивание. трубы
оказывает существенное влияние на изгиб кривых труб в усло-
виях ползучести (и при „обычном" пластическом изгибе);
эта задача рассматривается ниже, причем мы ограничиваемся
случаем установившейся ползучести.
I. Деформация трубы. Мы будем придерживаться
той же схемы деформации трубы, какая была развита в работе
Кармана.
Рассмотрим тонкостенную круглую трубу, изогнутую
по дуге круга радиуса /? (фиг. 28); пусть г — радиус сре-
динной линии S сечения трубы, нормального к осевой ли-
нии, — толщина стенки трубы. Положение некоторой
точки трубы будем характеризовать углом углом с и рас-
96
ИЗГИБ
[ГЛ. V
стоянием С, отсчитываемым от средней линии сечения в на-
правлении радиуса-вектора; при этом
Труба изгибается моментами М. При деформации угол а
перейдет в угол R— в Rlt длина же осевой линии трубы
ОО{ не изменится, т. е. aR = a1R1.
Следовательно:
Да = 04— а = а/?(——тП.	(18.01)
Предполагая сперва сечение трубы неизменным, нахо-
дим относительное удлинение волокна, лежащего на расстоя-
Фиг. 28.
нии _y = rsin«> от оси x(x,y,z — подвижной триэдр осей;
плоскость yz совпадает с плоскостью кривизны оси трубы):
е — У^а
Будем считать, что
/?>г»Ль	(18.02)
тогда
(18-03)
Вследствие сплющивания сечения продольные волокна
трубы получают дополнительное удлинение e,i2. Пусть иу—
§ 18]
ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
97
смещение некоторой точки Р срединной линии $ в напра-
влении у (фиг. 29). При неизменном угле а длина волокна
трубы после сплющивания равна 1Л — (R 4 до сплю-
щивания длина волокна равна /=-=(/? -j-j*) я, поэтому
- —	— Чу
Полное удлинение волокна
. J / Да . х
(18.04)
Вычислим теперь относительные удлинения в перпенди-
кулярных к продольному волокну направлениях » и С (фиг. 29),
предполагая, что поперечные сечения трубы после дефор-
Фиг. 29.
мании остаются плоскими, а прямая в направлении С пере-
ходит в прямую же линию. Тогда поперечное сечение испы-
тывает „деформацию изгибаu и
где т\— радиус кривизны средней линии 4 (после дефор-
мации); радиус-ьектор линии равен

гдеиг—радиальное смещение точки срединной линии (фиг. 30).
Выражение кривизны в полярных координатах имеет вид:
4
И
7 Зак. 5478- Л М Качанов-
98
ИЗГИБ
{гл. V
Считая величины
dur
dy ’
(flu*
dy2
малыми сравнительно с р
и удерживая в последней формуле члены первого порядка
малости, получаем:
(18.05)
из
Наконец, удлинение ес (в направлении оси С) определяем
условия несжимаемости материала:
еФ “Ь е<? + ес = °-
(18.06)
Очевидно, что взаимно-перпендикулярные направления
о, 6, С после деформации также взаимно-перпендикулярны,
следовательно, они являются главными направлениями дефор-
мации. Поперечное сечение испытывает „изгиб", поэтому
можно принять, что срединная линия s сохраняет длину,
изменяясь лишь по форме. Это условие приводит к про-
стому соотношению между смещениями иг и а . Угол drs
и дуга ds = rdy после деформации будут соответственно
равны d'sx и dsu причем в силу нерастяжимости срединной
линии dsi = ds. Нетрудно видеть, что
.	(r-|-«r)d?4-daT	/
<*fi =------7+Tr-------«t1 + 7 -rfj “'*•
rd-. (1 +	.
Теперь из условия dsx = ds получаем:
du,.
r d<?
Используя это соотношение и замечая, что
и.. = «_ sin © -4- cos ©,
В	•	* I Т	*
приходим к формулам:
1 /Да .	।	.
е. = — ( — г sin © -4- cos ©--г-— sin ©
т Г \ а	‘ 1 "	‘	«'?
£ fd^Utf t du^y
%	j-2	J ’
ч= —Оч+М- .
(18.07)
1
(18.08)
§18]	ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
99
Для того чтобы перейти к скоростям деформации, про-
дифференцируем (18.08) по времени
1 / <0	.	।
<? + -?. c°s?
„ de? £ t d3vv
% = ~dt ~ /2 L'rf?5' ‘
^=-А-НД
► (18.09)
где — скорость в направлении оси е>, <в — скорость изме-
нения угла а. Направления ф, <р, £ являются главными напра-
влениями скорости деформации.
Скорость можно представить некоторым рядом Фурье;
удержим в этом ряду лишь первое слагаемое, являющееся
главным членом в разложении и характеризующее сплющи-
вание круговой линии s. Тогда
-Цр — — Су sin 2'i; vr = — 2CiCOs2'y. (18.10)
Положим, далее, 2С1==-^-гС, где С—подлежащая опре-
делению постоянная; угловая скорость о> также должна быть
найдена. Теперь
E, = -^Sccos2?. I
Постоянные С и ш мы определим из условия минимума
мощности системы (§ 6); при этом мы
сначала найдем С при фиксированном ш
(т. е. при 8в2?=0) из условия минимума
рассеяния £ = min. Второе же уравнение
мы получим, сопоставляя мощность вну-
тренних сил с мощностью внешних сил.
II. Ан рокси мация кривой TH.
В некотором интервале скоростей дефор-
мации апроксимируем кривую TH параболой (фиг. 31):
Т^ЪАуН — 4А2Н\
(18.12)
(18.11)
где ^!>0, Л2>0 — константы. Так как всегда	то
7*
100
ИЗГИБ
(гл. V
апроксимация (18.12) пригодна лишь при Н </Уп
тельно:
у___-^2	1
следова-
(18.13)
Выбор зависимости TH в форме (18.12) позволяет пре-
одолеть алгорифмические трудности.1 При этом вариационное
уравнение L = min получает вид:
(Д/Т2 —H/P)dC=min, (18.14)
т. к. напряжения и скорости деформации не зависят от ф.
Ш. Определение С и ш. Вычислим прежде всего
интенсивность скоростей деформаций сдвига Н\ с помощью
условия несжимаемости находим:
(18-15)
Внеся сюда	по формулам (18.11) и выполняя
в (18.14). интегрирование по <р и ( (на вычислениях мы не
останавливаемся), получаем:
£ = 7[₽(С,Х) — С(СД)Л],	(1816)
где введены обозначения
гВ соответствующей задаче теории малых упруго-пластических
деформаций следует полагать Г=2Д^Г— 442Г3, где Дг А'г— неко-
торые постоянные; эта зависимость недавно использована в задаче
§ 18]	ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
101
Заметим, что Р(С, X) и Q(C, X) очевидно, положительные
формы, т. е. Р(С, X) > О, Q(C, X) > 0.
Условие стационарности L приводится к кубическому
уравнению относительно С:
1 dL
Т дС
— Р'(С> X) — Q' (С,Х)Л=0,
(18.18)
где штрих означает дифференцирование по С. Далее, мощ-
ность момента Л4:
= /Иш.
Но но формулам (8.04) и (18.12)
2. >
Tf/dV=Rar [ d? f —
о 1 I
Следовательно, предыдущее соотношение приобретает вид:
v
Р(С, X) — 2Q(C, Х)ЛГ= У,	(18.19)
где положено
Система уравнений (18.18) и (18.19) определяет вели-
чины С, w. Непосредственное решение этих уравнений,
конечно, затруднительно. Поступим следующим образом.
Рассмотрим плоскость переменных Л, У; на ней уравнения
(18.18), (18.19) представляют семейство кривых
- р'<с-
Q' (С, X) ’
Г=Р(С, Х)-2<2(С, М^СГГ)’
(0
зависящее от одного параметра X. Далее, исключая из
формул для X и У неизвестное , приходим ко второму
о пластическом изгибе пластины [«]. Для алюминиевого сплава
в цитированной работе приведены следующие данные: А[ — 2.65Х
ХЮ5 KzjcM^, j4£=s5,17« 10* KtjcM?; эта апроксимация дает хорошие
результаты при Г<8,5-10~3.
102
ИЗГИБ
[гл. V
семейству кривых
где положено
ХУ2 = zza,
м ук
(И)
Пересечение соответствующих кривых семейств (I), (II)
даст нам искомые значения X, У, по которым уже легко
найти со. Это решение пригодно для не слишком больших
значений изгибающего момента; в самом деле:
п	,
7,86 /б -HiAtW
где W7^3,2 r2Aj — момент сопротивления. По основной
зависимости (18.12) для простого растяжения имеем:
^ = 2А, ]/2Е4 — 4А^2^.
Рассмотрим изгиб прямой трубы; отбросим в последнем
соотношении слагаемое 4Л9(}/’2^)8, тогда есть макси-
мальное напряжение; действительное напряжение будет, оче-
видно, ниже по величине. Но согласно (18.12):
М

следовательно,
п <	Далее:
1 / vw \Я
6"	'
Легко видеть, что < о,6, а Щ|тах = где
0,38	? -С 1 (так как С может лишь незначительно превы-
шать единицу — см. ниже). Следовательно X < 0,4. В дей-
ствительности, X значительно меньше единицы.
Обратимся к семейству кривых (I). Рассмотрим функцию
Р (С, X); Р' (С, X) обращается в нуль в „точке Кармана»
С 6
54-6Х2 *
(18.21)
§ 18]	ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
юз
Нетрудно видеть, что Р(С, X) обращена вогнутостью
вверх и в точке Ср имеет абсолютный минимум, равный
Р (Ср, X) > 0. Далее, как мы знаем Q(C, X) > 0; легко убе-
диться в том, что Q" (С, X) > 0, a Q' (С, X) монотонно воз-
растает, обращаясь в нуль в точке Cq, где Q(C, X) имеет
минимум. Значения корней Ср и Cq даны на фиг. 32 в фуик-
Фиг. 32.
ции параметра X. При значении Х = Хх = 1,152 корни совпа-
дают, т. е. Ср = С„ == Ct = 0,462.
Исследования Кармана показали, что в соответствующей
упругой задаче первое приближение является недостаточным
для малых X <0,3. Поэтому и в нашем случае первое при-
ближение следует считать ненадежным для малых X; на этом
основании мы не будем в дальнейшем рассматривать значений
X < 0,3.
Так как Л"^-0 и при данном X X может изменяться от
нуля, а Ср Cq соответственно при X Xj, то необходимо
различать следующие интервалы изменения параметра С
в формулах (1):
при X < Xj С > Ср-,
при Х = Х2	С=СХ;	(18.22)
при X > Xt	0<С<Ср.
104
ИЗГИБ
{гл. V
Эти интервалы показаны на фиг. 32 штриховкой. Случаю
X = Хх отвечает прямая линия
r=P(C1, X,) —2Q(C„ Х,)Х (18.23)
Точкам на оси У соответствует решение Кармана для
упругой трубы (если, конечно, перейти от скоростей дефор-
мации к компонентам деформации). Если X очень велико
(прямая труба), то параметр С=0.
Этому случаю на плоскости X, Y отве-
чает прямая линия У=1 — 6Х, Если
нам известны изгибающий момент Л4,
геометрические характеристики трубы
и свойства материала, из которого она
изготовлена, то мы можем вычислить
безразмерные параметры Х,л и, следо-
вательно, выбрать соответствующую
кривую в каждом из рассматриваемых
семейств; точки пересечения выбран-
ных кривых приведут к искомым значениям X, Y. При этом
следует брать только верхнюю точку пересечения Х1У Yt
(фиг. 33), т. к. именно в ней достигается минимум L. В самом
деле, с помощью (18.19) и (II) получаем:
Z =	Х)№].
где 71—некоторая положительная постоянная. При малых Л
кривая У= Y (X) монотонно убывает, тогда	т. к.
в случаях X^Xj Q(C, X) при переходе от Х2 к Xi умень-
шается; в случае же Х = Х1 Q (С\, Xj) есть постоянная.
Можно принять, в согласии с подсчетами, что значения С
мало отличаются1 от значений Ср; это позволяет построить
простое решение. Положим
где с — малая величина. Разлагая правые части (I) в ряд по
степеням с и удерживая в разложении лишь первые степени,
получаем:
v___(^!>»Х) у___________р(С _________20 (С ) 1	г
(Ср, X) ’ у — р СЧ» Л) <Ч> к) Q' (ср, X) с-
1 Это объясняется’тем, что Сд\близко к Ср, а Х« 1.
§ 18}
ИЗГИБ КРИВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ
105
Исключая отсюда с, находим:
У==Р(Ср, X) —2Q(Cp, Х)Х.
С помощью (II) получаем:
*
(18.24)
(18 25)
где положено
Г* =	’ 7 = 6/^ (А); q 3^(СрЛ) '
Значение <—1 соответствует решению Кармана, когда
/ ==0 (с прежней, конечно, оговоркой). Корни Л* уравнения
(18.25) даны на фиг. 34. Заметим, что решение существует
лишь для малых у (у <0,145). Если пренебрегать сплющива-
нием, то С—0, д(Х)==1, Р(0, Х) = 1; обозначим соот-
ветствующий корень уравнения (18.25) через <0. Тогда
в силу (18.17), (18.20):
а>0____ М 1
где через <я0 обозначена скорость изменения / а в пренебре-
жении сплющиванием. Если же учи-
тывать последнее, то
о = шох*»	(18.27)
где
=	(18.28)
причем
(18 26)
Фиг. 34.
1	10 + 12X2	(18 2Q1
^Р(Ср,К	)	14-12 Х2	Y 1- к?  £л <7 }
есть коэффициент Кармана. Таким
образом, вопрос сводится к вычи-
слению множителя k^0/k^‘ этот мно-
житель зависит не только от раз-
меров трубы и свойств материала, но и от величины изги-
бающего момента. Так как q (Х)^> 1 (см. фиг. 35), то всегда
АЛ > 1
106
ИЗГИБ
[гл. V
но не превышает 1,3. Кривизной оси трубы практически
можно пренебрегать при Х>3. При меньших X в первом
приближении можно пользоваться обычным коэффициентом
Кармана хв0; поправка к последнему не превосходит 30% и
может быть легко найдена. Подчеркнем, что эти выводы
относятся, разумеется, к случаям, когда закон ползучести
удовлетворительно апроксимируется в рассматриваемом ин-
тервале напряжений зависимостью (18.12).
IV. Рассмотрим пример пластического изгиба трубы
(R = 20 см, г —2 см, = см), изготовленной из алю-
миниевого сплава, характеристики которого даны в примеча-
нии на стр. 100. Пусть действует изгибающий момент
/14 = 5000 кгем. В нашем примере X = 0,5; j/TC'= 12,5;
п — 2,35 • 10~2; х*0 = 3,25. Если пренебрегать сплющиванием,
то q (X) == 1 и х=0.32«10-2; соответствующий корень
k^a\. Если учитывать сплющивание, то </(Х)=4; у—1,3-10-2
и А* = 0,985. Согласно (18.28), получаем х*=3,3.
ГЛАВА Vi
КРУЧЕНИЕ
которые нам
Фиг. 36.
В этой главе мы рассмотрим ползучесть скручиваемых
цилиндрических стержней произвольного поперечного сечения.
Согласно общему методу, необходимо сначала рассмотреть
задачи об упругом кручении и об установившейся ползучести
скручиваемого стержня. Первая из этих задач хорошо изучена,
и мы приведем лишь некоторые результаты,
понадобятся в дальнейшем. В конце главы
рассматривается кручение круглых стержней
переменного диаметра.
§ 19. Начальное упругое состояние
I. Основные положения. Проведем
ось z параллельно оси стержня и закрепим ниж-
ний конец стержня (фиг. 36). При упругом кру-
чении поперечные сечения стержня поворачи-
ваются как твердое тело, но, вообще говоря,
не остаются плоскими, т. е.
= — Огу, иу = Огх, и’г = Оф' (х, у),
где 0—угол кручения на единицу длины
стержня, аф'(х,у)—неизвестная функция; попрежнему мы
отличаем начальное состояние (£ = 0) одним штрихом. Ком-
поненты начальной упругой деформации
(19.01)
108
КРУЧЕНИЕ
(гл. VI
Вследствие закона Гука получаем:
% = °i=’< = Tii,= 0»	(19.02)
Из трех дифференциальных уравнений равновесия остается
одно
^4- ^> = 0.	(19.03)
дх ' ду	4	7
Внеся в него напряжения согласно (19.01), (19.02), най-
дем, что я/ (*> У) удовлетворяет уравнению Лапласа. Из
условия отсутствия нагрузок на боковой поверхности стержня
нетрудно получить предельное условие для функции ф'(х, у).
Другая формулировка задачи основана на введении функ-
ции напряжений F' = F' (х, _у):
_дг'	_	дг'
ду ’	—	дх •
Теперь уравнение равновесия удовлетворено. Из условия
совместности деформаций (19.01) вытекает дифференциаль-
ное уравнение для функции напряжений
2О»-=0.	(19.05)
На боковой поверхности стержня, в силу (19.02), первые
два уравнения Коти (402) удовлетворяются тождественно,
третье же приводится к виду;
— dF' — dF'
cos(«, *) 37 —cos (л, у)-ду = 0,
где п — нормаль к контуру С поперечного сечения стержня;
так как cos (л, х)—^> cos (л, _у) = — где dC-—диф-
ференциал дуги контура, то последнее уравнение перепи-
сывается в форме
dF'dy дР dx_dP_
ду dC* дх dC~~ дС ~ и’
т. е. на контуре сечения
F'= const.	(19.06)
Для односвязного контура можно принять
Г = 0 на С.	(19.07)
§19]	НАЧАЛЬНОЕ УПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ
109
Вследствие этого крутящий момент М для односвязного
контура
М — J J (хсуг —dxdy = 2 J J F' dx dy. <19.08)
II. Вариационное уравнение. Задача упругого кру-
чения представляет собой, в общем, простую математическую
задачу. Несравненно более трудной задачей является, как мы
увидим ниже, задача об установившейся ползучести скручи-
ваемого стержня. Здесь более или менее общий прием при-
ближенного решения основывается на вариационном уравне-
нии задачи. При этом полезно исходить из функции напря-
жения в соответствующем приближенном решении упругой
задачи. Поэтому мы кратко рассмотрим вариационное урав-
нение Кастильяно в задаче кручения.
При отсутствии массовых сил уравнение Кастильяно
имеет вил:
8ШП^=/г
V	S
(и' ъхм + и' а г 4- и' az j ds.
4 х я 1 у п 1 е п
В задаче кручения
V	S
где /—длина стержня. Вычислим теперь работу вариаций
поверхностных нагр)зок. На нижнем основании г —0:
cos (л, я) = cos (л, ji)=0; cos(n, г) =— 1;
мг»= - 5;8Г; 8Г»=/х 8Г; 8Z» = °:
ux = и'у = °; <=(*> л
и поэтому здесь работа вариаций поверхностных сил равна
нулю (так же, как и на боковой поверхности стержня).
На верхнем основании z = l'.
cos (л, х) = cos (л, у) = 0; cos (л, г) = 1;
8Х„ = ^8Г; 8Г„ = -А8Г; 8Z„ = 0;
Ux = — 0/у; л' = 0/х; л' = Оф'(х, у).
110
КРУЧЕНИЕ
1гл. VI
Следовательно:
J J (и'хЪХп-\-...) dS = 2Ы j* ^dF'dxdy —
ь	г- /тл	а 1
-W j j +
Преобразуя последний интеграл в интеграл по контуру С,
получаем, что этот интеграл равен нулю, т. к. на контуре
cF' = 0. Таким образом, вариационное уравнение кручения
имеет вид:
s/,=8f J U [(Н+О-2'^}^^”0-
(19.09)
III. Приложение метода Ритца. Приближенное j
решение полученной вариационной задачи нетрудно построить j
с помощью метода Ритца. Особенно просто находится j
„первое приближение". Возьмем за функцию напряжений i
F' (х, у) некоторую функцию CiFj (х, у), обращающуюся |
в нуль на контуре и подходящим образом имитирующую |
прогибы мембраны, натянутой на том же контуре (см. мем- I
бранную аналогию в теории кручения), где Ci — подлежа- 1
щий определению параметр. Тогда / = / (Ci) и условие ,|
й/(С')	1
экстремума Г выражается уравнением-----—— — 0, линейным, 3
очевидно, относительно Сь Разрешая это уравнение, получаем: I
Ci = 2G0
J JP[dx dy
-----•	(19.10) |
dxdy
i = (x3-6(/-A2)-
Рассмотрим пример — кручение стержня прямоуголъ- -
ного поперечного сечения (ширина 2Ь, высота 2k). Положим |
(19.11) |
Подставляя эго значение в формулу (19.10), находим:
^=4^,-	(19-12) I
$
§ 20] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ скручиваемого стержня 1 11
Угол кручения па единицу
крутящего момента М зависи-
мостью (19.08); внося в нее
найденную функцию F =
и проводя вычисления, полу-
чаем:
Л1 g~ * ^9~l~Q *» (19.13)
Найденное соотношение
мало отличается от точного.
IV. Кручение к р у г-
лого стержня. Эта задача
имеет элементарное решение;
приводим его, т. к. оно потребуется нам в дальнейшем.
Функция напряжений
Напряжение
dF' 2М
dr г.п*Г
(19.14)
(19.15)
§ 20. Установившаяся ползучесть скручиваемого
стержня
I. Основные положения. Задача об установившейся
ползучести скручиваемого стержня совпадает, по существу,
с задачей „обычного1' пластического кручения при произволь-
ной зависимости между напряжениями и деформациями, если
скорости itp, цу, vz заменить смещениями их, иу, иг. Из-
вестно М, что картина деформации при пластическом круче-
нии та же, что и при упругом. Поэтому
фд; = — oozj»; vy =	= <о'/(ху),	(20.01)
где — угловая скорость кручения на единицу длины
стержня; условимся считать ее положительной. Вычисляя
компоненты скорости деформации, получаем:
= 5г = '<\ху — 9-
112
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
Вследствие этого, из соотношений установившейся ползу-
чести вытекает, что
К	ft	IT	ft
Од. =	= az = xXy = 0
и отличны от нуля компоненты туг. Интенсивность каса-
тельных напряжений
Т=-}-Угг„+^.	(20.02)
Для функции </' (х, у) нетрудно получить дифференци-
альное уравнение и соответствующее граничное условие; это
уравнение нелинейное и решение его связано с большими
математическими трудностями. Мы будем поэтому исходить
из вариационного уравнения для функции напряжения
F" — F” (х, .у), основываясь на котором можно строить срав-
нительно простые приближенные решения. Компоненты на-
пряжения
- dF" . - _	dF"	,on
Xxz — ~ду~ ’ <уг —	дх *	(20.03)
Граничное условие для функции напряжения имеет, оче-
видно, вид (для односвязного контура):
Д,,= 0.	(20.04)
Крутящий момент
Ж =2 ffF"dxdy.	(20.05)
II. Вариационное уравнение. Исходим из общего
вариационного уравнения (6.17):
8 J / J AdV = J J (4бХ„+	as.
V	s
В рассматриваемой нами задаче варьируется функция на-
пряжений F", причем вариация oF" произвольна внутри'
контура поперечного сечения и равна нулю на самом кон-
туре. Нетрудно показать, подобно предыдущему (§ 19), что
J J (?лЪХп -J- ...) dS = 2<nZ J JZF" dx dy.
s
Далее, при степенном законе Л——Следова-
m -f- 1
тельно, вариационное уравнение установившейся ползучести
§ 201 УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СКРУЧИВАЕМОГО СТЕРЖНЯ 1 13
скручиваемого стержня имеет вид:
о/" == о J J [4фТ Р"f 1 “	] dxаУ = °1» <20 06)
причем
Из этого уравнения вытекает дифференциальное уравне-
ние для функции напряжений F" (xty) (уравнение Эйлера
вариационной задачи (20.06)). Его можно написать сразу,
пользуясь общим правилом, но нетрудно вывести это диф-
ференциальное уравнение непосредственно. Выполняя в (20.06)
варьирование, получаем:
J )[2В(оо)Г»-'(^8
НО
/т-1 (^£^5	£_ (-ут-1	__qF" — (Т111-'
1 kdx дх ) дх v dxQr ) Г дх v Ox,
Аналогичное соотношение имеем и для второго слагаемого
. (dF" * dF"'
-*I -ч—о •
дг"\
Преобразовывая теперь двойной интеграл
в криволинейный, находим:
T»i -1
’ dy) + 2fi(co)]oF,rfA‘rf>'+'
+	Г’»-1 ^ZF"dC=0.
' 2 J дп
Но на контуре С вариация 8F" = 0, следовательно, кри-
волинейный интеграл равен нулю. В силу произвольности
bF" внутри области получаем дифференциальное уравнение
\д12.
О)	л
2Я(сс) =0*
(20.07)
Это уравнение иным путем впервые получил Надаи 1851;
оно линейно относительно производных второго порядка и
принадлежит к эллиптическому типу, так как т^\ (на до-
казательстве этого мы не останавливаемся). Решение этого
8 Зак. 5478. Л. М. Качанов.
114
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
уравнения известно лишь для нескольких частных случаев.
Мы будем исходить из вариационного уравнении (20.06), ре-
шая его приближенно методом Ритца. Для этого положим
F”(x,y) = CiFx(x,y\
где Ci — подлежащий определению параметр, a F^x, у) —
подходящая функция; за Fi (х, j') можно, в частности, взять
Fi(x, у), т. к. поверхность напряжений /4 = Ft (.v,v) имеет,
в общем, такую же форму. Теперь Г = / (CJ является функ-
цией одного переменного Сх; условие экстремума Г' приво-
дит к следующему значению С^.
0>
В (о )
(20.08)
I* J Fi dx dy
т-} 1
Заметим, что „первое приближение" по Ритцу для полу-
чения локальных характеристик (например — напряжений
в местах резкого изменения контурной кривой) ненадежно
Ш. Пример — стержень прямоугольного се-
чения. Положим, как и ранее (§ 19):
д! = (х? — F1) (у* — /г2)>
тогда
J F[dxdy=^t№.
Интеграл в знаменателе (20.08) нетрудно вычислить для
значений т = 1, 3, 5, 7... Положим ^-~-==р (целое число)
и введем обозначения:
ь	л
[л2 0> -Л(д* — A2)2/ dx == b- fyV Cv2 — A2)2 0’ -J) dy = hj
о	о
(/ = 0, 1, 2,..., p),
1 Построение дальнейших приближений связано с решением
системы нелинейных алгебраических уравнений.
§ 20) УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ скручиваемого стержня 115
тогда
р
dx dy — 4? 11
д/-;
дх
Г]
\ <Ъ' / J
р
Для промежуточных значений т можно пользоваться интер-
поляцией. Крутящий момент
V
IV. Стержень круглого сечения. Эта задача эле-
ментарна, т. к. для круглого стержня поперечные сечения
остаются, как известно, плоскими, т. е. v) = 0. Сле-
довательно:
= — шу;
Переходя к полярным координатам г, <р, получаем:
(20.09)
Согласно соотношениям установившейся ползучести (6.02),
имеем:
г''г = 2g шг.	(20.10)
Угловая скорость кручения <о определяется из условия
статической эквивалентности
М = (ujV2) г3 dr.
6
При степенной зависимости (6.07):
т^г — 213* (со) (w/-)'\
Теперь из (20.11) получаем:
АЦЗ + и)
4к В* (оо) а3 4 и
Следовательно:
"   М (3 + н) ( г V
^г — 2^	\И) *
(20.11)
(20.12)
(20.13)
8*
116
КРУЧЕНИЕ
|ГЛ. V!
Распределение напряжений (фиг. 38) имеет более сглажен-
ный характер, чем для упругого тела. В рассматриваемой
задаче функция напряжений
причем
Р"  м<3 + нО 1 Г, /ГУ+|Л |
2^2 l-J-ii'L1. \а) J’
(20.14)
dF"
^'==~~dF'-
Для полого стержня (диаметры 2а; 2b, b > а) нетрудно
найти, что напряжение
" _ С3 + Р) 1
Ч* 2тг/Р .__________/« \3 I Р
1 “ (Ц )
г\и
b)
(20.15)
V. Ползучесть тонкостенных открытых про-
филей. В простейших случаях удается преодолеть трудности
Фиг. 38.
интегрирования нелиней-
ного уравнения (20.07).
Легко получить решение
задачи о скручивании
стержня узкого прямо-
угольного сечения (фиг.
39). С помощью этого ре-
шения можно вычислить
сопротивление кручению
удлиненных профилей,
—i—I—
Z3-* 1
lb-------
Фиг. 39.
профилей, состоящих из узких прямоугольников и, вообще,
различных тонкостенных незамкнутых профилей.
Для узкого прямоугольника допустимо считать, что функ-
ция напряжений F" не зависит от х. Тогда дифференциаль-
ное уравнение (20.07) принимает вид:
d dF" l»‘ , w _ п
dy 'dyl — 2fi(oo) “~U‘
§ 20] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СКРУЧИВАЕМОГО СТЕРЖНЯ 117
Интегрируя это уравнение при очевидных условиях
цр»
при у = О — = 0,
при у = ziz h. F" — о,
находим
д.//_Г «>	1р-Л1+^ Г. /уМ I	ох
F *-“[2Я(оо) | 14-pL1	\h)	|
В область отрицательных у F" продолжается четным обра-
зом. Крутящий момент /Л и угловая скорость се связаны
в соответствии с (20.05) соотношением
Г «о Ъ 8^3+и
47=hnsd 2+7-	<201ь>
Максимальное касательное напряжение
1 " I X^F" I Г	/ОЛ
I |гаах — I dy |y==h~-[2fi(oo) ] •	(20.17)
Как уже указывалось, это решение пригодно для расчета
установившейся ползучести тонкостенных открытых профилей.
При этом в (20.16) вместо 2# следует внести длину средней
линии профиля (при Л = const); максимальное касательное
напряжение вычисляется по формуле (20.17). При медленно
меняющемся h нужно исходить из уравнения (20.05).
VI. Обобщение теоремы Б ре л та. Пользуясь фор-
мулами (20.01) и условием однозначности скоростей, полу-
чаем:
Г* ==	dx + f\yzdy = 2<о X*,
с*
где X*—площадь, ограниченная замкнутой кривой С5, ле-
жащей в сечении стержня. Так как
^г = 2/(П^; v = -2/(n^',
то с другой стороны
и*
следовательно:
С &F”
Ф/ (П	dC" - - « V ».	(20.18)
118
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
VII. Ползучесть тонкостенных замкнутых
профилей. Ограничимся рассмотрением двусвязной области
(фиг. 40). На контурах Со и С\ функция напряжений F" по-
стоянна. Основываясь на малости толщины трубы 2/г, при-
нимаем, что F" меняется линейно от F = Л на внутрен-
нем контуре до F" = 0 — на внешнем
(см. 1’1, гл. IV). Тогда
(20.19)
где S — площадь, ограниченная кривой
проходящей посередине между Со и С\.
Далее, мы имеем:
dF"	/ F? V
дп 2h ’	~ \ 2Л / ‘
По теореме (20.18) получаем (при степенной зависимости):
В (со)
Из уравнений (20.19), (20.20) находим
циальная слагающая напряжения, как и при
нии, равна
М
tf =-------.
* 4ft S
(20 20)
’ г/
Fi и ш. Танген-
упругом круче-
VIII. В заключение заметим, что для величины кру-
тящего момента, соответствующего данной скорости углового
кручения, можно указать двустороннюю оценку подобно тому
как это сделано в теории малых упруго-пластических дефор-
маций. За подробностями отсылаем читателя к книге ав-
тора 1’1, гл. IV.
§ 21. Неустановнвшаяся ползучесть скручиваемого
стержня. Релаксация
I. Неустановнвшаяся ползучесть при по-
стоянном крутящем моменте. Ищем решение задачи
о неустановившемся кручении в виде:
Г^Г-|_Т(/)(Г' —Г),
(21.01)
§ 21] НЕУСТЛН0ВИВ111ЛЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ СКРУЧИВАЕМОГО СТЕРЖНЯ 119
где т (/) — неизвестная функция времени. Очевидно, что функ-
ция напряжений F = F (х, у) удовлетворяет условию F = О
на контуре и условию статической эквивалентности
Л/ = 2 J J Fdxdy.
(21.02)
Воспользуемся общим решением, полученным в § 9. В на-
шем случае
причем
РЮ—/ f J f^y^axdy,
И
dP
Р(1) = 0, £<0, а
(dF"_____dF^\- । (dJZ- _
\ d.v dx ) I \ dy dy J
При степенном законе
T"H1 dxdy.
(21.03)
Функция т (/) определяется соотношением
т
GS(O = zJ J T-dxdy J
6
(21.04)
II. Пример — неустановнвшаяся ползучесть
круглого стержня. Функции напряжений F' и F" для
круглого стержня даны формулами (19.14) и (20.14). Введем
безразмерные величины:
г=£; х2=1±^<1; К2 = х2:р — С; (21.05)
/: = б4оа(0(-^(^)	;
1
Р2Ь) = -J (с+тг2)“Г^^.
о
120
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. Vf
Тогда
I f ( T*dxdy = 2w4C^\ ( ПС К =	,-К ,
.' J	\каЧ J 2	\г«зу 32 ({Л j)
о
и решение (21.04) приобретает вид:
rfx
(21.06)
При т целом Р2(т)— полипом степени т.
при /л — 3:
Например,
Р(г)=1(1-.)(1+1г + 5,1^;
при т = 5:
PW = 5L(l-T)(l + e,»+i«-5,3 + ^,«).
На фиг. 41 показаны кривые т = т(О» вычисленные по
уравнению (2106) для /я==3; 5. Приемы вычисления
кривых т обсуждались
в § 9.
III. Релаксация
крутящего момен-
та. Пусть в начальный
момент времени t= О
стержень был закручен
моментом 7И0, а затем
верхнее основание стерж-
ня z = I было закре-
плено. С течением вре-
мени момент M = будет уменьшаться по величине.
Ищем решение поставленной задачи в виде:
F = p(/)F'(x, у/).	(21.07)
Для р(/) мы получим, очевидно, прежнее решение (§ 10):
§ 221	концентрация напряжений	121
где Г*~х2(/); в рассматриваемой задаче:
7«+ 1
M(S’+(£)‘W
Со>ласно соотношению (21.02), находим:
Для круглого стержня
_ tn 4-3 / пл3 Х’”-1
(21.08)
(21.09)
(21 10)
§ 22 Концентрация напряжений, вызванная мелким
пазом на поверхности скручиваемого стержня
I. Основные положения. Концентрация
вызываемая резкими локальными изменениями
имеет большое значение для оценки прочности
в состоянии ползучести. Здесь мы рассмотрим
концентрацию напряжений, вызванную мелким
продольным пазом на поверхности скручиваемого
круглого стержня. Полученные результаты,
однако, распространимы на другие формы по-
перечного сечения и на случай кольцевой вы-
точки. Заметим, что ниже рассматривается со-
стояние установившейся ползучести.
В задаче кручения стержня с сечением,
близким к круговому, удобно исходить из урав-
нений, отнесенных к полярным координатам
<р, где — безразмерный радиус век-
напряжений,
формы тела.
Фиг. '12
тор, а — характерный размер стержня, с — по-
лярный угол. В такой системе координат (в этом параграфе
мы опускаем штрихи"):
1 UF. _	1 дЕ
~~~ a t д? ’ V ~ а ’
(22.01)
122
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
а квадрат интенсивности касательных напряжений
“ a2 LUU С2 J *
(22.02)
Дифференциальное уравнение кручения в новых коорди-
натах проще всего получить, исходя из вариационного прин-
ципа и пользуясь инвариантностью уравнения Эйлера. Преоб-
разуя функционал в (20.06) к полярным координатам

и составляя уравнение Эйлера, получаем:
(ст»-. £) +£(|	С=0. (22.03)
II.	Кручение круглого стержня было рассмотрено
выше (§ 20). Функция напряжений (отличаем ее здесь нуле-
вым индексом):
•   ^tnax
0	1 Д-1.
(22.04)
где положено (см. § 20):
_ (3 Ц-р.) Л7
гаах 2п«з
III.	Кручение стержня с сечением, близким
к круговому. Пусть уравнение контура сечения имеет вид:
С=14-Хф(?),	(22.03)
где Х^>0— малый безразмерный параметр, а ^(?) — непре-
рывная периодическая функция, причем | (?) |	1. Восполь-
зовавшись малостью параметра X, можно линеаризовать задачу,
сведя ее к ряду линейных задач. Считая X достаточно малым,
ограничиваемся первым приближением и разыскиваем решение
уравнения (22.03) в виде:
F(C, ?) = Fo (О +	(С, ?),	(22.07)
где Ф = Ф (С, ?)— новая неизвестная функция. Внося (22.07)
в дифференциальное уравнение (22.03), разлагая К (Г) в ряд
(22.05)
§ 22J
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
123
по степеням А. и отбрасывая члены разложения степени выше
первой, получаем:
но /C(Ffi)=O, следовательно:
[4-к(л] ==о.
LoA ' ' р.=х0
Проведя вычисления, находим:
д2Ф ,	,2 с>-Ф .	, ЭФ .	,	. чг2 rfC’ ЭФ п
^> + «•’-3^+ »• -эг+ «<(«-1 У-’	%=<>.
dr.
Нетрудно убедиться в том, что
(Му
v dr2 .
-гр- = 1.
dr о
dt.
Таким образом, Ф (С, <р) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
(2,«-1)С^ + /Л»^+^ = 0.	(22.08)
Рассмотрим теперь условия на контуре. Мы имеем:
при С = 1 + >4 (?)	(’. ?) = °-
Разлагая значения F0(C) и Ф (С, <р) на контуре в ряд ио
степеням X, получаем:
Го(1)+ *[($),_>*(<f)+<1,(1’ '?)]+•• =°-
но
/го(1) = о; (тй),_ =-«т«»х-
Следовательно, функция Ф(С, <р) должна удовлетворять
граничному условию
при С = 1 Ф G, ?) = (ср).	(22.09)
124	КРУЧЕНИЕ	(гл. Vf
Наконец, условие статической эквивалентности имеет вид:
2я i+ж?)	sre 1+>Ф(<р)
М с г	С г
= J FO(C)C<K+1 J d? J Ф(У?)СЛ,
об	об
но с точностью до Xs:
1 + Хф (?)	1
f Fq (У С rfC = f Fa (У ' <Г, + Ц, (?) F„ (1);
б	о
1+>-Кт)	1
( ф(У?)С</;=|Ф(С,	т).
О	о
Кроме того:
2к 1
/Jo(’) = o; f <*? J F'.f-.Kd’;.
о о
Таким образом, условие статической эквивалентности сво-
дится к требованию
2п 1
J (1'0 J Ф (С, ©) г (it, = 0.	(22.10)
о о
Будем искать решения уравнения (22.08) вида:
R (С) cos nff, R (С) sin пф,	(22.11)
где п > 0 — целое число, a R(С)—неизвестная функция.
Легко находим, что
+	vR==0-	(2212>
Это уравнение имеет решение
/?(^=сяс»+с;сч
где Сп, Сп — произвольные постоянные, а
«П, ’^-•Ц^ + |Л(Ц^)24-1‘«г- (22->3)
§ 22]
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
126
Очевидно, что х^<0; т. к. при С — 0 напряжения должны
быть ограниченными, то следует положить == 0. 11о той же
причине следует отбросить все решения, для которых
(22.14)
Заметим, что при выборе решений в форме (22.11) усло-
вие статической эквивалентности (22.10) удовлетворяется.
Так как в дальнейшем мы будем пользоваться представлением
СО
4 (?) = 4- X ("»•cos //? Ь sin «?).
п — 1
(22.15)
где л0, ап, Ьп — коэффициенты Фурье, то нам потребуется
решение, отвечающее постоянному члену а0 ряда (22.15);
такое решение может быть получено непосредственно из фор-
мул (22.04), (22.05), если вместо а подставить «(1-|-й0А) и
в разложении по Л отбросить все члены, содержащие А. в сте-
пенях выше первой. Приводим окончательные результаты, не
останавливаясь на выкладках:
1 ___3 + Г14-Н
2 ’
Лифо (0 = —
1+н
(22.16)
Если р=1 (этот случай соответствует упругой среде
Гука, если перейти от скоростей к смещениям), то полу-
ченные решения позволяют удовлетворить граничному усло-
вию (22.09), в котором функция ф(<р) задана некоторым
рядом Фурье. В общем же случае р. < 1 построенное реше-
ние не будет содержать первых членов ряда Фурье (число
их определяется условием хм^> 1) и, следовательно, произ-
вольному граничному условию удовлетворить нельзя. Можно,
однако, рассматривать различные частные задачи, интересные
для приложений. Остановимся здесь на задаче о концентра-
ции напряжений, вызванной мелким продольным пазом на
поверхности скручиваемого стержня.
IV.	Кручение круглого стержня с продоль-
ным пазом. Пусть
^ (?) = “ (cos2/^y,
(22.17)
126
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
где р, q — целые числа; q будем считать большим числом,
так что Ф(?) отлично  от
n , 2rt |
точек 9 = 0, =t - ,	,
нуля практически только вблизи
... Вычисляя величину безраз-
Фиг. 43.
Таким образом, мы
мерного радиуса кривизны рЛ кри-
вой (22.06) при © = 0, получаем:
1 -3X4-3X2 —дз
1-2Х + Х2-1^9Х(1-А)
Нас интересует случай мелкой,
но резкой впадины (фиг. 43), по-
этому нужно считать p2q\ 1;
тогда
2	9
т* е’ д~р^' (22.18)
имеем задачу о кручении круглого
стержня с р малыми продольными пазами; число р мы вы-
берем в дальнейшем. В высшей алгебре доказывается, что
функцию (22.17) можно представить суммой
q
- C<lS”-5 g ± (2«) — S (? - л) Cos "Р ?	<22Л 9>
п — 1
где, как обычно, обозначено
= <2?)}
\ п / п! (2<у — л)! *
Число р выбираем так, чтобы удовлетворялось условие
Сопоставляя (22.19) и построенные решения, со-
гласно граничному условию (22.09), получаем
Ф(С. ?)=-^,(2/)фо(О-
q
COS"P <22-2°)
Я = 1
где
*»р = )Л,	(22.21) 1
§22]
к ОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
127
Вычислим теперь напряжения тД., тД, соответствующие
найденному решению ХФ (С, ср), на дне паза, т. е. при ср —О,
С=1—X. Согласно формулам (22.01), (22.20), (22.16),
находим:
max I 25'/-1
(22.22)
ГЛ	о / г Л — И\2	1
Рассмотрим у.„р; т. к. 0<р<.1, то I  2  1 следо-
вательно, взяв достаточно большое р, чтобы
получим:
ира
/1 — [л\2
\~2~) ’
Таким образом:
=r ОЗХт- -	Цг5-+у
где введены обозначения:
ч	ч
п=1	м=1
Первая сумма легко вычисляется, если в (22.19) положить
<? = 0:
•^1 — 1	24
(22.23)
Вычислим вторую сумму; рассмотрим наряду с функцией
— (<р) = cos3® р -X-, представленной тригонометрической
128
КРУЧЕНИЕ
| ГЛ VI
/ (?) = <7cos^<p-|-
суммой (22.19), другую функцию:
Ч sin (2<? — 1) Р-~	sin5 q
2sin^	2sin2^
q
=	/? cospny.
11 = 1
Каждое слагаемое суммы 5a является произведением соот-
ветствующих коэффициентов разложений функций ^(о) и /(<р);
тогда в силу обобщенного равенства Парсеваля, доказывае-
мого в теории тригонометрических рядов, получаем:
& =1 С cos^bcos 2Чх+
Л J Г 4	2 sin a:	2sin2x| ’
о	J
где положено х=^; здесь первый интеграл равен [20J:
к/2
5's — f cos99 л cos 2qx dx = ?£.
- л j	1	2ri
о
Второй интеграл легко преобразуется к виду:
S" = —~ 5^4*	| cos2tfx sin2 qx ctg .v dx.
о
Но при большом q с достаточной точностью
к/2	я/2
| cos20x sin 2qx ctg x dx^ cosV sx sin 2qx ctg x dx .
о	0
Таким образом:
§ 22|
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
129
т. к. — очень малое число. Третий интеграл представим
в виде:
х'2	г.
2 f /sin лх\2 .	1 f cos2(7x — 1
- -т.1 («нт; dx~ г. .1 dx -
о	о
Г./2
2 I’cosHr— 1
- J sin1 x
. Наконец, в последнем интеграле
Здесь первый интеграл в правой части (интеграл Фейсра)
равен — q\ далее, второй интеграл вычисляется (посредством
разложения подинтегральной функции в тригонометрическую
сумму) и равен
подинтегральная функция является произведением ограничен-
CQS^X —— 1
ной монотонно убывающей (по модулю) функции —g.-2-— на
сильно колеблющуюся знакопеременную функцию sina^x—
поэтому величина этого интеграла относительно мала. Его
можно оценить довольно точно, однако за недостатком
места мы на этом не останавливаемся и ограничимся
замечанием, что уже грубая оценка показывает, что
рассматриваемый интеграл по модулю значительно меньше
единицы и, следовательно, им можно пренебречь, т. к. осталь-
ные слагаемые в велики (напомним, что q — большое
число) Используя приближенную формулу для факториала I311:
. 1
---я 4-— —«
]/ 2к п 2 е
справедливую при большом л, находим
1
2*/ \ q /
следовательно,
9 Зак 5478. Л. М Качанос
130
КРУЧЕНИЙ
[гл. Vt
В силу соогнотен (22ия.18) |/ ~ =-~'у —- ; так как
удерживается лишь первая степень X, то при рЛ, имеющем
порядок X:	___
^г~ ЪпаД0»8 У трк К J )’
причем вторым слагаемым в скобке можно пренебречь. При-
соединяя основное решение (22.05), получаем окончательную
формулу
V..» = Tn>«(l+0-8/^)-	(2224>
Результат не зависит от числа пазов р, так как возму-
щения, вносимые малым пазом, ощутительны лишь вблизи
последнего. Заметим, что для случая упругого стержня (при
т— 1) Нейбер 1181, пользуясь совершенно другим методом,
получил формулу:
Сопоставляя последние формулы, мы заключаем, что по-
строенное нами первое приближение несколько сглаживает
распределение напряжений. Основываясь на этом, можно для
технических приложений рекомендовать следующую формулу
для определения концентрации напряжений в состоянии пол-
зучести:
Лпах = т<рг,мах ~ Tmai (1 “Ь	'	(22.25)
Так как /п> 1, то концентрация напряжений при ползу-
чести ниже, чем для упругого тела.
V. В заключение, остановимся на нескольких замеча-
ниях. Концентрация напряжений у малого паза зависит от
напряжения тт(а, которое имело бы место, если бы паза не
было. Поэтому полученное решение (22.25) пригодно и для
определения концентрации напряжений, вызванной мелким
продольным пазом на поверхности стержня произвольного
профиля; нужно лишь взять соответствующее значение ттах.
Далее, функция напряжений (FC, <Р) — Fo (С)-|-ХФ (С, <р)
нам известна, и по общему методу (§ 9) можно приближенно
найти изменение во времени напряженного состояния вблизи
§ 23] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 131
паза (ог начального упругого к конечному установившемуся)
и вычислить при помощи уравнений ползучести (3.24) общую
деформацию ползучести у паза. Так как л—малая величина,
можно в первом прибли-
го для определения функции '(/)
женин не обращать внимания -на
наличие паза. В частности, для
круглого стержня можно восполь-
юваться кривыми, приведенными
на фиг. 41.
Найденное значение концен-
трации напряжений характерно,
Фиг. 44.
очевидно, для состояния чистого сдвига. Следовательно, фор-
мула (22.25) справедлива и для мелкой кольцевой выточки
на поверхности круглого скручиваемого стержня (фиг. 44);
ого будет показано ниже (§ 23).
§ 23. Кручение круглых стержней переменного
диаметра
В этом параграфе мы кратко рассмотрим ползучесть скру-
чиваемых круглых стержней переменного диаметра. Пусть
нижнее сечение стержня закреплено, а верхнее испытывает
действие момента Ж (фиг. 45). Направим ось z
г ।	цилиндрических координат г, о, z по оси стержня,
__+-М	а плоскость z — 0 совместим с нижним сечением
стержня (верхнее сечение г = /1).
I । jLrh I. Упругое кручение (при /=0). При
упругом кручении поперечные сечения остаются,
Г 4- j как известно, плоскими, но радиусы искри-
/ вляются, т. е.
у	иг=и'^ °; Ч=< <г-л
т	Тогда компоненты деформации е' = е' =
f	е' =	= 0, а
z *rz 9
Фиг. 45.	Y' — г —(— V V =^г—(—
•г® дг\г/’	dz\r}'
где введено обозначение = и. Далее, вследствие закона
Гука а'г — о' = о'. — ~ге — б. Отличные от нуля напряжения
, т’ должны удовлетворять дифференциальному уравне-
132
КРУЧЕНИЕ
[гл. vi
нию равновесия (см. уравнения равновесия в цилиндрических
координатах):
/г(^-.,) + й (<%) = 0.	(23.01)
Этому уравнению можно удовлетворить, введя функцию
напряжений F' = F,{ri z):
2 , c'F' о . dF‘
г?	dz ’ ‘чг dr
Боковая поверхность стержня свободна от напряжений;
основываясь на этом, легко найти (т. к. от нуля отличны
лишь напряжения тГ(₽, и cos(n, «-) == 0, где п— нормаль
к поверхности стержня), что на боковой поверхности
(s — длина дуги контура меридионального сечения):
dFf
.	~ds~® или F' == const.	(23.02)
Скручивающий момент в каком-либо сечении z — -const:
Af = 2к J dr = 2r [Г (r2, z) — F' (rp z)J, (23.03)
где fj, r2— соответственно внутренний и наружный радиусы
сечения (в случае полого вала). Так как аддитивная постоян-
ная в функции напряжений не влияет на распределение на-
пряжений, то всегда можно принимать, что F' (г2, г) ~ 0.
Из закона Гука и условия совместности деформаций y'r<f и
вытекает дифференциальное уравнение для функции на-
пряжений:
Д/1	—п
дг \г5 dr ) < dz Vе dz)
(23.04)
Предельным условиям на концах стержня z = 0, обычно
удовлетворяют в смысле принципа Сен-Венана.
II. Установившаяся ползучесть. Каргина дефор-
мации при установившейся ползучести в общем аналогична
картине деформации при упругом кручении: поперечные се-
чения остаются плоскими, но радиусы искривляются, т. е.
. .	^ = < = 0;	^ = ^(r, z).
§ 23| КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОЮ ДИАМЕТРА 133
Компоненты скорости деформации	— О
<i
. dfv\ « д (v\
r4=‘rdr(r): V=rsl-r-)' <23 0о>
где введено обозначение	В силу соотношений уста-
новившейся ползучести (6.02) отличны от нуля только ком-
поненты напряжения	которые должны удовлетворять
дифференциальному уравнению равновесия (23.01); подобно
предыдущему, вводим функцию напряжений F" = F" (г, z),
rV = -	; А' = - д-~- .	(23.06)
т» dz ’ v* dr	v '
Ниже мы останавливаемся лишь на случае сплошного
стержня; тогда rt = 0 и на боковой поверхности
F" = 0,	(23.07)
а крутящий момент
М == —2*F" (0, г).	(23.08)
Интенсивность касательных напряжений
Дифференциальное уравнение для функции напряжений F"
можно получить из соотношений установившейся ползучести
(6.01) и условия совместности скоростей деформации тц
и т;*в. Мы, однако, будем исходить из вариационного урав-
нения, которое само по себе полезно для построения при-
ближенных решений.
В рассматриваемой задаче
= 8aff = 8o" = 8< = 0, а:
от" =—-^8F";
Г©	г 0Z
вариации напряжений 6о" =
5 «	1 S П,г
ОТ = —„ 5- о/ .
г^дг
Вариационное уравнение (6.17) принимает тогда вид (ин-
тегрирование по <? выполняется):
Ъ ( f Ardrdz = J vZx^rdr— J vox?erJr, (23,10)
134
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
где означает вариацию касательного напряжения в се-
чениях z=lv0. Если в этих сечениях задана скорость v,
то вариация Зт^ а следовательно, и вариация 8F" произ-
вольна в этих сечениях. Если же задано касательное напря-
жение то 8т?г «= 0 при z — О, в этом случае
3 f f Ar dr dz = 0.	(23.11)
Так как напряжения на основаниях г—О, = мы
полагаем известными, то интегрирование соотношений
1 dF" -	А
ПРИ *=°> z = i
определяет функцию F" на основаниях. Таким образом, F"
следует считать заданным на всей поверхности стержня, по-
этому на всей поверхности стержня bF" — 0. Нетрудно убе-
диться в том, что уравнением Эйлера вариационной задачи
(23.10), (23.11) является дифференциальное уравнение
+	=	(23.12)
Это уравнение относится к уравнениям Монжа — Ампера
эллиптического типа; действительно, вычисляя обычным путем
дискриминант D (см. напр., Гурса, Курс математического ана^
лиза, т. II) и предполагая, что Тz/z const, получаем:
D=_____
4r* T dT ’
т. к. для реальных материалов > 0; следовательно, урав-
нение (23.12) имеет лишь мнимые характеристики.
Вернемся к условиям на торцах стержня г = 0, z~lx\
здесь задана функция напряжений F" — F" {г). Для длинных
стержней этому условию можно обычно удовлетворять инте-
грально, заменяя его по принципу Сен-Венана условием ста-
тической эквивалентности (23.08).
III.	Установившаяся ползучесть тонкостен-
ного полого вала переменного диаметра. Распре-
дед енир напряжений р таком стержне не зависит от материала.
§ 23J КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОЮ ДИАМЕТРА 135
В самом деле, пусть г0 = г0(г) — радиус срединной поверх-
ности вала, 2k = 2h(z)— толщина сгенки по нормали к сре-
динной поверхности. Вследствие малости толщины 2h сравни-
тельно с другими измерениями стержня можно полагать, что F
меняется линейно по толщине оболочки
ной поверхности до F" — С на вну-
тренней поверхности и не зависит от г.
Тогда
" _ п " = 1 дР"
хгз— v,	-^2	'
от F" = 0 на наруж-
Согласно условию статической экви-
валентности:
Г— М
2к •
Фиг. 46.
Касательное напряжение в нормальном
(фиг. 46) равно
М
'Я A It. *
сечении O'/V
(23.13)
а напряжение
;z = TNsinZ.
(23.14)
Компоненты скорости деформации находятся согласно
закону ползучести.
IV.	Кручение круглого стержня, близкого
к цилиндрическому. Интегрирование нелинейного урав-
нения (23.12) для стержня произвольного очертания связано
с большими математическими трудностями. В случае стержня,
форма которого не сильно отличается от цилиндрической,
задача линеаризуется и допускает интересные решения.
Постановка задачи. Выберем некоторый цилиндр, близ-
кий к рассматриваемому стержню, и примем его радиус за
характерный размер а; введем безразмерные координаты:
г г г
₽—с=~-
Пусть 21 = есть безразмерная длина стержня. Начало
системы координат возьмем в среднем его сечении (фиг. 47).
136
КРУЧЕНИЕ
|Г.I. V!
Уравнение поверхности стержня зададим в форме:
Р-1+ЧЮ,
1,
(23.15;
где X 0 — малый безразмерный параметр, а G) — непре-
рывная функция в интервале (— / С -^ /). Для простоты
ограничимся рассмотрением сплошного стержня (случай полого
стержня кратко обсуждается ниже), тогда для функции
Фиг. 47.
напряжений имеем краевое условие (штрихи"
опускаем):
при р = 1 4- Х-> (Q F(р, С) = 0 (23.16)
и условие статической эквивалентности:
F(0,	(23.17)
Из ограниченности напряжений и
при р == 0 вытекает, что производные
должны стремиться к нулю при
медленней, чем р2. В дальнейшем
мы будем исходить из степенной зависимости
/(7'*)=В(со)Т«-1.	(23.18)
Кручение цилиндрического стержня.
Пусть X = 0. Функция напряжений, которую мы будем отли-
чать для этого случая нулевым индексом, зависит лишь от
координаты р. Вследствие этого
т,.? — 0; т?г =	»	(23.19)
а решение уравнения (23.12) при степенной зависимости (23.18)
имеет вид:
F0=C1P»^4-C2,
где Ср С9 — произвольные постоянные. Используя условия
(23.16) и (23.17), находим:
~ О -Р8+,Х).	(23.20)
где, как и ранее (§ 20), положено:
_	_ ^(3 + Ю
•	2пд!‘	*
(23.21)
d/- дР
д? ’ др
р -> О не
§ 23j КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 137
Дифференциальное уравнение н-го приближения. Обра-
тимся к общему случаю, когда X ф. 0; решение ищем в виде
ряда по степеням X:
СО
Ffe С)=	С)А»,	(23.22)
п==0
где Fn(p, — новые неизвестные функции. Внося этот ряд
в дифференциальное уравнение (23.12) и собирая после пре-
образований коэффициенты при одних и тех же степенях А,
получаем (мы не останавливаемся на несколько громоздком
выводе, отсылая читателя к работе 1®1):
2 (^—v -ф»)=°- (23-23)
« — О
где Ф„ зависит от функций Ff с индексом, меньшим и; за-
метим, что
Фх = 0,
и т. д.; здесь введено обозначение
(23.24)
3^-3)(-<$МШ
В силу произвольности А из (23.22) вытекает последова-
тельность линейных уравнений:
У <23-25)
(п = 1, 2, 3,...).
Граничное условие. На боковой поверхности стержня,
т. е. при р = 1 —Аф (С) имеем в силу (23.16), (23.22):
+	с)/»=о.
Разлагая Fn в ряд по степеням X и собирая члены с оди-
наковыми степенями А, приходим к граничному условию для
138
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. VI
Р»(р, -):
fo(i)=o;
/»(!. Ч = -	(23'2Ь)
к = 1
(п=1, 2, 3,...),
где через 5П(С) обозначена правая часть в (23.26), незави-
сящая от Fn.
Условие статической эквивалентности. Согласно (23.17)
и (23.22), имеем:
£ r„(o. QX«=-^,
п»0
следовательно,
FДО, С) = 0 (Л=1, 2, 3,..)
V.	Решение в полиномах относительной.
Пусть
V
♦ <0=2Л*(т)‘	(23.28)
А=1
Первое приближение ищем в форме
р
^<р. 0= 2Л*(р)(т)’	<23-29)
Л»1
где Rk (р) — некоторые функции р. Внося (23.29) в диффе-
ренциальное уравнение (23.25) при п — 1 и приравнивая
нулю коэффициенты при (-j-} , получим систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений:
_ 1	+2т	0^	.	(А+1)№+2)
т ар1	р	dp	т	—и
1*=>, 2, з..р),
§ 23] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 139
причем в этой записи следует полагать	— 0.
Эта система просто интегрируется; прежде всего находим
из двух последних уравнений системы
К,= А,Р» + В,-,
Rp -1 ~Ч- Вр _ j,
где Ар, Ap^t; Вр, Rp-i— произвольные постоянные. Внося
/?*, в третье и четвертое (снизу) уравнения (23.30),
находим	и т. л. Произвольные постоянные опре-
деляются из условия на границе
(А=1, 2, 3,..., р), (23.31)
вытекающего из (23.26), и условия статической эквивалент-
ности
flfc(0) = 0 (& = 1, 2, 3,..., р).	(23.32)
Первое приближение получено; дальнейшие приближения
строятся подобным же образом, правда, в полиномах более
высокой степени относительно С (так, — в полиномах
степени 2р,	—в полиномах степени Зр и т. д.).
Рассмотрим в качестве примера кручение конического
стержня; здесь
яс)=-4-
Но изложенному способу легко находим первое прибли-
жение
F,(₽, С) = 'И(32^и)|р°^.
Нетрудно убедиться в том, что при р = 1 решение Fo -j- aFj
с точностью до X2 совпадает с известным точным решением
задачи о кручении упругого конического стержня.
Несколько более сложные вычисления приводят ко вто-
рому приближению
F, (р. С) =	(С“ + Йт) ₽’+и-
VI. Решение в рядах Фурье. Построенные выше
решения элементарны и достаточно общи (ибо в интервале
140
КРУЧЕНИЕ
(ГЛ. VI
— /, -}- I непрерывную функцию ф(С) можно равномерно апро-
ксимировать полиномом), но не всегда удобны. Рассмотрим
решение уравнения (23.25) в рядах Фурье. Пусть F,* =
= Fn(p, X) — частный интеграл неоднородного уравнения
(23.25), обращающийся в нуль при р = 0 вместе с первыми
производными (см. выше). Решение однородного уравнения
Frt0(p, •) Должно удовлетворять граничному условию:
Q = S1G) — F:(1,	(23.33)
Правая часть (23.33) — известная функция; представим ее
тригонометрическим рядом
Sn (') - аип	У («т». cos	-j- b.pn sin ,
p = i
где aontapitt bp,t — коэффициенты Фурье. Разыскивая, далее, ре-
шения однородного уравнения вида R (р) cos , R (p)"sin ,
удовлетворяю’чне упомянутым требованиям па оси стержня
Fro(0.Q.=O; -^^-*0, -V^-0 при р_0
и граничному условию (23.33), находим формальное решение
(обозначено 3 4 Р = 2а): -
где /а— бесселева функция мнимого аргумента порядка а.
Полученный ряд, вообще говоря, обладает неудовлетвори-
тельной схояшостыв, таккдк обычно 5П (/—0) фSn(—l4- 0).
Однако, мейользуя решения в полиномах Q (см. выше), можно
в желательной мере улучшить сходимость. Для наших целей
достаточно, чтобы рг.д Фурье имел коэффициенты вида О (р-8),
поэтому невыход имо устранить разрывы функции Sn (С) и ev
§ 23J КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 141
производной. Введем обозначения

и рассмотрим решение однородного уравнения

I !± (Stf 4_ лL_ LdtY I
[ 2 U ) ' l 4 m (a4- 1) \7 ) J ’
обладающее такими же разрывами. Тогда п-ое приближение
/'м(р, Q можно представить суммой
i'n (Р> Q =	(9, С) -J- 2Й (о, Q +	+
где «0»> йдп, Ьрп—коэффициенты Фурье функции Su— 2.,,
имеющие порядок О(/>~8).
Рассмотрим задачу о кручении волнистого стержня
*(C) = cos^,
где q— целое число;
первое приближение
т. к. Fi(p, Q=0, то легко находим
Ма
--« Р
га» *
cos—
Пользуясь этим решением, нетрудно показать, что малая
волнистость стержня в первом приближении не влияет на
угол кручения.
VII. Решение в интегралах Фурье. Основываясь
на принципе Сен-Венана, несколько изменим формулировку
задачи. Продолжим стержень в обе стороны, сведя его концы
непрерывным и достаточно плавным образом в бесконечный
цилиндрический стержень радиуса а. Можно считать, что
в уравнениях (23.25) правые части Фя (о, С) стремятся к нулю
142
КРУЧРМЙб
{гл. Vi
при |С|-> оо. Пусть /^«(р, С)— частное решение неоднород-
ного уравнения (23.25), стремящееся к нулю вместе с пер-
выми производными (см. выше) при р -> 0, а также при
С|->со. Решение однородного уравнения ищем в форме
(р) cos $С, /? (р) sin sC, где (р) — неизвестная функция,
a s — произвольный параметр. Нетрудно видеть, что част-
ным решением однородного уравнения, обращающимся в нуль
при р = 0, является функция
p“/e (A cos < -f“ # sin sQ,
\ у mJ
где /в(...) — бесселева функция мнимого аргумента по-
рядка а; А, В можно считать произвольными функциями
параметра $. Суммирование по s приводит к решению одно-
родного уравнения в виде:
ОО
Г„о(Р.О = Р“ [
О
cossC-1- В (s) sin $С] ds, (23.35)
причем предполагается, что A(s\ B(s) достаточно быстро
убывают при $-»со. Функция F„0(p, С) при р = 1 должна
принимать заданное значение -SW(Q—<$«(£)—F«(l, С).
Можно считать, что для построенного бесконечного стержня
5п(С)->0 при | С| —> оо; пусть S)t (С) возможно представить
интегралом Фурье
СО со
Sn (Q = I* ds J Sn (/) cos s (С — t) dt.
0	—co
Сопоставляя эту формулу с предыдущей, находим:
Особенной простотой отличается первое приближение;
здесь Ф, «= 0, следовательно F* = О и 5* (С) = — ~ ^(С).
§ 23| кручение круглых Стержней переменного диаметра 14-3
Таким образом:
Л(рЛ) =
4- (t) cos s (С — t) dt ds.
(23.36)
VIII. Кручение стержня с кольцевой выточ-
кой. Пусть
Ш = ~ exp (-W),	(23.37)
где k — положительное число; стержень имеет вид цилиндра
с кольцевой выточкой, глубина которой равна X; с увеличе-
нием k выточка суживается.
В меридиональном сечении стержня радиус кривизны дна
вы точки (т. е. при С==0):
илв *=йг (23 38)
Внося (23.37) в решение (23.36) и пользуясь известной
формулой
СО
т	f---
exp (—£r-) cos s (' — t)dt=y j cos • exp (
—co
получаем:
f,(h	J ^^exp(-^cos.<dS. (23.39)
0 M Г—)
\ yf tri /
Определим напряжения	соответствующие реше-
нию XFj, при C = 0.
Дифференцируя (23.39) и пользуясь известным соотно-
шением теории бесселевых функций
.г/р (*) « Р4 (*) + a7z?+1 (х),
144
КРУЧЕНИЕ
|ГЛ. VJ
находим:
На дне выточки р = 1—Л; при этом нетрудно видеть,
что с точностью до величины порядка Л по сравнению
с единицей первый интеграл равен Во втором инте-
грале отношение бесселевых функций положительно и моно-
тонно возрастает, приближаясь к единице; при —— > М где
у т
N—достаточно большое число, это отношение можно при-
нимать равным единице. Пусть	1; тогда можно
показать, что второй интеграл равен 2k = j—- с точностью
до величин порядка	по сравнению с единицей.
Прибавляя теперь к (25.40) нулевое приближение (23.19)
при р — 1 — X, получаем:
Последним слагаемым в этой формуле можно обычно
пренебрегать. Таким образом, мы получили формулу, най-
денную .ранее в задаче кручения цилиндрического стержня
с продольным пазом (§ 22).
IX. Заключение. Вопрос о сходимости рассмотрен-
ного процесса остается открытым (как и в предыдущем
§ 23] КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА 145
параграфе). Сопоставление результатов с известными точными
решениями теории упругости свидетельствует о близости
приближенного решения, получаемого из частных сумм ряда
(23.22), к точному решению при достаточно малом X. Про-
стота предельного условия (23.26), не содержащего произ-
водных функции 0 (ч), позволяет получать удовлетворитель-
ные результаты уже в первом приближении; в этом смысле
показательна задача о кручении стержня с малой коль-
цевой выточкой так как здесь имеется лишь близость
нулевого порядка в очертаниях рассмотренного стержня и
исходного гладкого цилиндра.
Заметим, наконец, что кручение круглого полого стержня,
по форме не сильно отличающегося от полого цилиндра,
рассматривается аналогично сплошному стержню (см. [5]).
10 Зак. 5178. Л М Качанов.
ГЛАВА VII
ИЗГИБ ПЛАСТИН
В этой главе рассматривается изгиб пластин в условиях
установившейся ползучести; неустановившаяся ползучесть
может быть изучена по общему методу (§ 9).
Решения, излагаемые ниже, основываются на энергети-
ческих уравнениях и позволяют сравнительно просто и
с практически достаточной точностью находить прогибы
пластины; напряжения определяются при этом с большей
ошибкой.
§ 24. Основные положения
I. Деформация пластины. Мы примем, что основ-
ные допущения теории изгиба упругих пластин средней тол-
щины справедливы и при пластическом изгибе, т. е.:
1. Срединная плоскость
пластины ху (фиг. 48) не
растягивается
2. Прямые, перпендику-
лярные до деформации к
срединной плоскости, после
деформации переходят в пря-
мые, перпендикулярные к
срединной поверхности.
Заметим,что в рассматри-
ваемом нами случае малых
прогибов приведенные допущения имеют, в сущности, геоме-
трический характер и не связаны со свойствами материала.
Это обстоятельство подчеркнул В. В Новожилов 1141.
§ 24]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
147
Согласно принятым допущениям (штрихи " опускаем):
дхл)	о«*
т'о, = — z ; 'Vu ——z —,
я дх * и оу ’
(24.01)
где т/д., vv — проекции скорости точек пластины, а
ы = w(x,у)— скорость прогиба пластины. Исходя из (24.01),
вычисляем компоненты скорости деформации
----гдх^’ 'V" z dy2 ’	^гдхду}
'f>IXz = ’f\yz==()-	(24.02)
При рассмотрении установившейся ползучести материат
следует считать несжимаемым; следовательно:
t	'*164	I	ГПА О 0 4
4“ — z “Ь j •	(24.03)
Интенсивность скорости деформации сдвига
nt 1 I Г/д?»Л2 । /д2«Л2 . d?wd?w . ( d2w \2ТЧ
н=2И{|щ)	+^<^+(5^)1 } =
=2|z;-z, (24.04)
где через z обозначена величина в фигурной скобке.
II. Усилия и моменты, действующие в сечениях пластины,
определяются обычным образом. Воспользуемся формулами
?у, то при степенной
(6.02); т. к. За = за.-|-о1/
зависимости (6.09):
a = — SB* (co
d"w
.ох^ 1
,, = -86* (оо)	4
(240S)
- „ = — 4В* (со) 1 г.
ХУ	' > дх ду
В сечениях х — const на единицу длины срединной линии
действуют изгибающий момент Gx, крутящий момент
касательные усилия Sxy и нормальное усилие Тх‘.
Gx= J aaz dz; К = — J тж{, zdz; = J zre dz, (24.06)
^xy == J* ^xy dz>	J* dz,
1©*
148
ИЗГИБ ПЛАСТИН
{ГЛ. VII
где интегрирование производится по толщине пластины (от
z — — h/2 до Л/2). В сечениях у = const действуют
моменты Gy, К, усилия Nyt Sxy, Ту. Так как напряжения
(24.05) — нечетные функции г, то,очевидно,7х=7у =	—
= Syao = 0-
Усилия и моменты в некотором сечении, нормаль к кото-
рому образует с осями х, у углы « и — с, представ-
ляются известными формулами:
Gn — С?д, cos2 с?-р Gy sin2 — Ksin2cp;
Кп — -у (Оя— Gy) sin 2 ср-]- К cos 2а;
(24.07)
Mi = Mecos ? “h М/sin
Внося
получаем:
напряжения (24.05) в (24.06) и интегрируя по z,
d2w
дх ду ’
(24.08)

где
_2В*(оо)
— 2 + и
(24.09)
есть жесткость пластины. С помощью (24.04) и (24.08) на-
пряжения ош, Оу, Тду можно представить в виде (г^-0):
oa.= D*Gajzn; Oy = D*Gy?iA; хау = — D* Kz\ (24.10)
причем в область отрицательных z напряжения продолжаются
нечетным образом, а
D*—
1 2j\h)
III. Дифференциальное уравнение ско-
рости прогиба пластины. Изгибающие и крутящий
моменты связаны, как известно, дифференциальным соотно-
I*
f
I
t
]
I
I
I
r
I
i
I
I
I
I
I
§ 25] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРОГИБА ПЛАСТИНЫ 149
шением, вытекающим из условий равновесия выделенного
элемента пластины:
дх2 ' ду2 дхду ”	*
(24.11)
где р = р(х, у) — давление, распределенное по верхней по-
верхности пластины. Внося сюда Gx, Gy, К по формулам
(24.08), получаем дифференциальное уравнение скорости про-
гиба пластины:
Решение этого нелинейного дифференциального уравнения
даже в простейших случаях наталкивается на большие мате-
матические трудности. Приближенное решение удобно строить,
исходя из энергетических уравнений.
§ 25. Вариационное уравнен/е скорости прогиба
пластины
1. Вариационное у р а в н е н и е. Применим в задаче
об установившейся ползучести изгибаемой пластины вариа-
ционное уравнение (6.14), характеризующее минимальные
свойства истинных скоростей; это уравнение в случае пла-
стины принимает вид:
8 Jiz J J	1 dx “У - '“& = °-
где qJS?— мощность внешних сил на вариациях скорости
прогиба S-A7 Внося сюда значения Н из (24.04) и выполняя
интегрирование по z, получаем:1
dxdy —	=0.	(25.01)
1 Соответствующие вариационное и дифференциальное уравне-
ния для прогиба пластины в теории малых упруго-пластических
деформаций указаны А. А. Ильюшиным (8J.
150
ИЗГИБ ПЛАСТИН
[ГЛ. VII
На пластину действу ет поверхностная нагрузка р = р (х, у);
вдоль края пластины приложены сила Q и изгибающий мо-
мент М (фиг. 48). Поэтому
J* J р (х, j*) Bw rfx rfy-|-Bw	(25.02)
где ds — элемент дуги контура пластины, п — нормаль к
контуру, Вте»— вариация скорости прогиба. Если в (25.01)
выполнить варьирование и интегрированием по частям изба-
виться обычным образом от производных вариации Bw, то
после ряда преобразований, на которых мы не останавли-
ваемся, получим уравнение*
J(w)6tiy dxdy-\- ^Nn —	— Q^owds—
— <5 (Gn — Л4) л Bw ds = 0.
V	ОТТ
(25.03)
Так как внутри области вариация 6w произвольна,то от-
сюда вытекает уже известное нам дифференциальное уравне-
ние скорости прогиба J(w) = 0.
Рассмотрим некоторые случаи закрепления края пластины.
1.	Края пластины зажаты', тогда вдоль края
д
6w = 0;	= 0	(25.04)
и оба контурных интеграла в (25.03) равны нулю.
2.	Края пластины оперты', тогда вдоль края
= 0; М = 0.
(25.05)
Первый контурный интеграл равен нулю; во втором же
t dw
интеграле д __ на контуре произвольно, следовательно, дол-
дп
жно выполняться условие
Ои = 0.	(25.06)
3.	На края пластины действуют заданные силы и
моменты. В этом случае 8w и 6 — произвольны на контуре
§ 25J ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ СКОРОСТИ ПРОГИБА ПЛАСТИНЫ 151
и из (25.03) вытекают предельные условия
= Af.	(25.07)
В частности, если края пластины свободны, то в (25.07)
следует положить Л1 = 0; Q = 0.
Геометрические условия, налагаемые на скорость прогиба
(5х» = 0,	^ = 0 для зажатого края; та/ = 0 для опертого
дп
края), называются жесткими граничными условиями. Условия
равновесия на контуре (G„ = 0 для опертого края; Nn —
—	=	“ М в ^У436 3), содержащиеся в самом
вариационном уравнении,называются „естественными" гранич-
ными условиями. При решении вариационного уравнения
(25.01) прямыми методами жестким условиям необходимо
удовлетворять заранее, естественным же граничным условиям,
вообще говоря, можно не удовлетворять заранее, они будут
удовлетворены в силу самого вариационного уравнения. Сле-
дует, однако, заметить, что при приближенном решении вариа-
ционного уравнения (25.01), когда ограничиваются несколь-
кими слагаемыми по Ритцу, полезно для увеличения точности
решения удовлетворить заранее и естественным гранич-
ным условиям. Эго нетрудно сделать, т. к. нам известно,
как выражаются усилия и моменты Nnt Кп, Gn через ско-
рость прогиба и).
II. Приложение метода Ритца. Так как функ-
ционал в (25.01) неквадратичный, то использование метода
Ритца в сколько-нибудь полной форме связано с большими
трудностями, возникающими при решении системы нелиней-
ных алгебраических уравнений 1 относительно параметров Си
С2, С8,.... Если, однако, ограничиться простейшей формой
решения, содержащей лишь один параметр Clt то последний
легко находится. В самом деле, пусть мы подобрали подхо-
дящую функцию Wj (х, у), удовлетворяющую поставленным
нулевым граничным условиям; тогда Cwj (х, у)> где С—про-
извольный параметр, также будет удовлетворять граничным
1 Для отдельных задач теории ползучести решение может быть
получено численным путем.
152
ИЗГИБ ПЛАСТИН
[гл. VI1
условиям. Согласно вариационному уравнению (25.01), необ-
ходимо найти минимум функции
A (L) О+1 — А (^) С = min,
где Л(£), A (S?) — постоянные, вычисляемые в каждой задаче
по ivi (х, но тогда
г Г ___________>
L (и+ ПЛ(L)| •
Точность подобного решения вариационной задачи (25.01)
определяется удачным выбором функции ту, (х, j). Хороших
результатов обычно можно достигнуть, если взять за (х,у)
поверхность прогиба в соответствующей задаче теории упру-
гости. Целесообразно, как уже упоминалось выше, заранее
удовлетворять статическим граничным условиям на контуре
(естественным условиям).
Решение в форме Cwl(xf у) приводит к практически хо-
рошим результатам для скорости прогиба, напряжения опре-
деляются при этом с большей погрешностью.
§ 26.	Осесимметричный изгиб круглой пластины
1.	Общие уравнения. Рассмотрим в качестве при-
мера осесимметричный изгиб пластины (фиг. 49); 2а, 2Ь—
Фиг. 49.
соответственно внутренний и наружный диаметры пластины.
Здесь

(26.01)
§26] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ 153
где 5Г,	— скорости относительных удлинений в радиальном
и тангенциальном направлениях; при этом
(2G.O2)
Изгибающие моменты Gr, О? связаны со скоростью про-
гиба w формулами:
(26.03)
и удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия
^[^(Г0г)-0,]+рг = 0.	(26.04)
Срезывающее усилие
wr = 7[-^('-Gr)-0,].	(26.05)
Вариационное уравнение (25.01) принимает вид:
ъ
oj yJ+Prdr—6^ = 0,	(26.06)
а
причем
ъ
6j?’==2rc | p(r)owrdr-f-2~[<Qr	-2т?Гл1го(26.07)
v	L	J**
а
Рассмотрим, для простоты, сплошную пластину (п = 0),
заделанную или опертую по краю г — Ь. Введем безразмерную
координату
(0 <Р< 1)
154
ИЗГИБ ПЛАСТИН
{ГЛ. VII
и обозначим интеграл в первом слагаемом уравнения (26.06)
через L; нетрудно видеть, что при D — const:
II. Частные случаи. Рассмотрим несколько простых
задач.
1. Опертая пластина под действием равномерного да-
вления. Здесь
d~w । 1 dw
dp2 2р dp
прир=1 w==0; Gr = 0.
Второе („естественное") условие может быть записано
в виде:
при р=1
Кроме того, очевидно:
при р = 0
Этим условиям удовлетворяет полином
w=c,(i—
(26.09)
Внося это значение в (26.06) и вычисляя, находим:
где положено
, __ lift5 /	м»
1 “ 12/13А 12/T3D$J
о
I
§ 26] ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ 155
Значения Sj даны на фиг. 50. Скорость прогиба в центре
। пластины
wo = ™/₽«о = Cr
2.	Заделанная пластина под действием равномерного
давления. Здесь мы имеем жесткие граничные условия
при р=1 w = 0;	~^ = 0.
Разыскивая скорость прогиба в форме:
w = C(l — о2)2,	(26.10)-
находим
г УГз
2 — 4 U \ 12Z)Sa / ’
где положено
Кривая Ss = Sg(p) показана на фиг. 50; наконец, w0 =
= w/p=0=Ca.
Мы рассмотрели случай распределенной нагрузки; если
пластина изгибается сосредоточенной силой Р, приложенной
в центре пластины, то
=	(26.11)
где 6ад0 — вариация ско-
рости прогиба в центре
пластины. Приводим резуль-
таты вычислений для рас-
смотренных выше задач в
случае действия сосредото-
ченной нагрузки.
3.	Опертая пластина
под действием сосредото-
ченной силы. Скорость прогиба
(26 09), но здесь
Фиг. 50.
представляется формулой
11 • Ь2 /	11 Р \т
12/13 112 /13 nOSj ' ’
(26.12).
156
ИЗГИБ ПЛАСТИН
(ГЛ. VII
4.	Заделанная пластина под действием сосредоточенной
оилы. Скорость прогиба представляется формулой (26.10),
но здесь
т/Тз. /а / V13 Р \т
с*=-4-4™ тез;) 	<26-13>
В заключение заметим, что нетрудно рассмотреть другие
нагрузки, а также ползучесть пластин с отверстием; на этом
мы не останавливаемся.
§ 27.	Минимальные свойства напряженного
состояния пластины
Минимальные свойства напряженного со-
стояния тела при установившейся „ползучести характе-
ризуются вариационным уравнением (§ 6):
^T-»dV=
V
= И (t>^+^Y„ + ^Zn)dS,	(27.01)
S
причем сопоставляются статически возможные напряженные
состояния. Этим уравнением нетрудно воспользоваться в теории
изгиба пластин. Так как здесь работой напряжений ог, тхг,
-гуг можно пренебрегать, то интенсивность касательных на-
пряжений
[аа> + ау —	4“ S-uiy] .
г
Внося сюда напряжения согласно (24.10), получаем:
Т=foi++эк3]"-. <2702)
у о
Теперь после интегрирования по z уравнение (27.01) при-
нимает вид:
<8 JJ + —	+ dxdy =
== J J Ър • w dx dy -J- (j) ds — §ZMjP ds, (27.03)
f-
§ 27] МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НАПРЯЖЕННОГО состояния 157
где введено обозначение
Bijco) A	р-\w/2V+2от
т 4- 1 V (hj
и мощность вариаций внешних сил на истинных скоростях
прогиба w написана в развернутой форме. Подчеркнем, что
сопоставляются статически возможные изгибающие и крутя-
щий моменты, т. е. удовлетворяющие дифференциальному
уравнению равновесия (24.11) и условиям равновесия на кон-
туре пластины. Дифференциальное уравнение равновесия можно
отождествить различными способами, например, положив
(р = const):
г д^Ф х*. г* д2Ф у*2. „ д2Ф
G*~ ду- Р4’ г'х2 Р'4 » ^^дхду* (27-04)
где ф=ф(л,у) — произвольная функция; подчинив ее задан-
ным статическим условиям на контуре, мы получим стати-
чески возможное распределение напряжений; тем самым задача
сводится к вариационному уравнению относительно одной
неизвестной функции Ф. Так как сколько-нибудь полное реше-
ние этого вариационного уравнения затруднительно, то можно
говорить лишь о более или менее удачном использовании
метода Ритца в простейшей его форме. Заметим, что приме-
нение этого приема к вариационному уравнению (27 03) не-
сколько затруднено (в сравнении с вариационным уравненивхМ
скорости прогиба пластины, § 25), меньшей наглядностью
функции Ф(лг, у) и тем, что часто встречающиеся краевые
условия (заделка, шарнирная опора) являются в данной ва-
риационной задаче естественными, а не жесткими; последнее
обстоятельство затрудняет выбор подходящей функции Ф
в качестве приближения. Однако, в некоторых случаях исполь-
зованием обоих вариационных принципов можно установить
верхнюю и нижнюю границы для скорости прогиба. Такие
оценки нетрудно получить в задаче изгиба пластины сосре-
доточенной нагрузкой (силой или моментом).
Ограничимся, для простоты, рассмотрением осесимметрич-
ного случая изгиба круглой пластины сосредоточенной силой.
II. Изгиб круглой пластины сосредоточен-
ной силой. Вариационное уравнение (27.03) для изгиба
158	ИЗГИБ ПЛАСТИН	[гл. VII
сплошной пластины силой Р, приложенной в центре, в по-
лярных координатах г, ф имеет вид (при h = const):
*	от 4-1
I (Gr — GyG^ 2 р dp = min. (27.05)
о
при условии, что внешние силы не варьируются; здесь поло-
жено р^г/Ь, где 2Ь— диаметр пластины. При этом изгибаю-
щие моменты Grt Gv удовлетворяют дифференциальному урав-
нению равновесия (26.04) при р — 0, т. е.
4Вг(рси~о’]=о’ (27-о6)
(всюду, кроме точки р = 0) и условию равновесия на контуре
р = 1 (например, для опертой пластины Gr = 0 при р = 1).
Сумма перерезывающих сил Nr [см. формулу (26.05)1 для
всякого цилиндрика, выделенного из пластины поверхностью
р = const, должна равняться—Р:
2itpbNr — — Р.
(27.07)
Из (27.06) следует
^(pGr)—	= const = С\	(27.08)
Но тогда в силу (26.05) I\!r—C'!bp\ теперь из (27.07)
получаем:
=	(27.09)
Вернемся к уравнению (27.08); перепишем его в виде:
п t dGr Р
°г °т + р — 2п •
Полагая, что при р —> 0 разность Gr— G- стремится к пре-
Р	v
делу где с — некоторое число, получаем:
(27.10)
§ 27] МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НАПРЯЖЕННОГО состояния 159
Отсюда вытекает, что Gr имеет при р = 0 логарифмиче-
скую особенность
Gr =
(1 -|- с) (In р а0 -f- tfjp 4-.. .),
(27.11)
где д0, др д2, ...—коэффициенты разложения. Теперь из
уравнения равновесия находим
<?<₽ = —	(1+^(1п₽-|-Г^ + «о-г2й1Р + ---) (27.12)
Коэффициенты с; н0, а}, ... произвольны; их необходимо
подчинить заданному статическому условию на контуре пла-
стины. Тогда моменты Сг, О? будут статически возможными,
и упомянутые коэффициенты определятся из условия минимума
дополнительной мощности пластины (27.05). Найдя коэффи-
циенты с; а0, Др —, вычисляем скорость прогиба w0 под
силой по общей теореме (§ 6):
т	л г	/n+1
^о=-^=2^2л-^ J (G24-G| —GrG?) 2 pdo. (27.13)
о
Остановимся на примере опертой пластины; из условия
Ог = 0 при р = 1 получаем:
Д^ - ]“ Д| |— До —| ... == 0.
В качестве простейшего приближения примем, что все
коэффициенты
а0 = ал = д2 = .. • = О,
тогда
Or=--^(14-c)lnp; О?= — -^(1+с)1пР — ^с. (27.14)
Параметр с определится из условия минимума (27.05);
если т. = 1, то нетрудно видеть, что с = —1/4; при этом (27.14)
есть точное решение задачи об изгибе упругой пластины
(при v = АЛ. Сохраним, для простоты, это значение с и при
160
ИЗГИБ ПЛАСТИН
[ГЯ. VII
другом т; тогда по формуле (27.13) находим:
(27.15)
где положено (см. фиг. 50):
1 .<
S3 = f-*-J	] (91n2p —31np+1) 2 pdp.
6
§ 28. Неравенство для скорости прогиба под сосредото-
ченной нагрузкой
I. Вывод неравенств а. Для установившейся скорости
прогиба под сосредоточенной нагрузкой можно указать дву-
стороннюю оценку аналогично тому, как это сделано в теории
упругости Вебером 1461.
Пусть на некоторое тело действует сосредоточенная на-
грузка Р. Согласно принципу минимума мощности системы (§ 6):
L =L—Pw0 = min,
(28.01)
где ‘Wq — скорость в направлении действия силы в точке
приложения последней. Но в силу (8.05)	— Pw0 = (и 1) £;
следовательно:
V*	1 г»
L =-------=—.	— mm.
т + 1 и
Если Wq — истинная скорость, то L* =	‘
Для всякого приближенного решения
7* _	Г*
ь — — w + ]
где wQ — приближенное значение скорости под силой; таким
образом,	Заметим, что при приближенном решении
мы получаем:
w0 = аРт,
§ 28J	НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ СКОРОСТИ ПРОГИБ/Ч	161.
где а>0 — некоторый коэффициент; следовательно:
рт •
(28.02)
Рассмотрим теперь минимальные свойства напряженного
состояния. Здесь (см. § 6):
Д* = Л — Pw0 — min,
где — истинная скорость; т. к. A = Pw0— L, то
~г»	т п
Л =-----------—г Pwn = min.
т -f- 1 и
Если Р — истинная нагрузка, соответствующая скорости
то Л* —
P“WQ. Для всякого приближенного
решения
т
т ф-1
где Р — приближенное значение нагрузки, отвечающей ско-
рости 4£}q. Но тогда Р^Р; т. к. при этом решение задачи
имеет вид:
р=м,
(28.03)
где р > 0 — некоторый коэффициент, то
p/rt
Итак, мы получили двустороннюю оценку

(28.04)
И. Пример — изгиб опертой круглой пластины.
Неравенство (28.04) относится к телам любой формы. Рас-
смотрим в качестве примера задачу об изгибе опертой круглой
11 Зяк. 5478. Л. М. Качанов.
162
ИЗГИБ ПЛАСТИН
[ГЛ. VII
пластины силой Р, приложенной в центре. Согласно прибли-
женным решениям, найденным в § 26 и 27, имеем:
г;
I?,'13\ 12/13т:3,О7	(2”)“
Внося эти значения в неравенство (28.04) и преобра-
зовывая, получаем:
(0.44)™+l	w0
2МГ (И + 1)Д^3(.£)“
(28.05)
Эту оценку можно, конечно, улучшить более удачным
выбором приближений.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕР АТ У РА
I.	Беляев Н. М. Применение теории пластических деформаций
к расчетам на ползучесть деталей при высоких температурах.
Изв. АН СССР, отд. техн, наук, № 7, 1943.
2.	Д а н юш е в с к и й А. Э. и К а ч а н о в Л. М. Ползучесть труб.
Советское котлотурбостроение, № 10. 1940.
3.	Ильюшин А. А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.
4.	Качанов Л М. Ползучесть при сложном напряженном состоя-
нии. Котлотурбостроение, № 4, 1947.
5.	К а ч а н о в Л. М. Пластическое кручение круглых стержней
переменного диаметра. Прикл. матем. и механика, т. XII, в. 4, 1948.
6.	Качанов Л. М. К теории неустановившейся ползучести. Прикл.
матем. и механ., т. XIII. в. 4, 1949.
7.	К а ч а н о в Л. М. Механика пластических сред. Гостехиздат, 1948
8.	Качанов Л. М. иКац Ш. Н. О теориях ползучести. Котло-
турбостроение, 1950. (Печатается).
9.	К а ч а н о в Л. М. Пластический изгиб кривых тонкостенных
труб. Котлотурбостроение, № 6, 1949.
10.	Лейбензон Л. С. Элементы математической те рии пластич-
ности. Гостехиздат, 1943.
11.	Малинин Н. Н. Основы расчетов на ползучесть. Машгиз, 1948 г.
12.	Михайлов-Михеев П. Б. Металл в современном котлотурбо-
строении. ОНТИ, 1937.
13.	Нейбер Г. Концентрация напряжений, Гостехиздат, 1947 г.
14.	Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.
Гостехиздат, 1948.
15.	Одинг И. А. Интерпретация характеристик ползучести метал-
лов. Советское котлотурбостроение, № 5, 1946.
16.	Работно в Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием.
Прикл. матем. и механ., т. XII, в. 1,1948.
17.	Работнов Ю Н. Некоторые вопросы теории ползучести.
Вести. Моск. Госуд Унив., № 10, 1948.
18.	Работнов Ю. Н. Расчет деталей машин на ползучесть. Изв.
АН СССР, отд. техн, наук, № 6, 1948.
19.	Работнов Ю. Н. О диске равного сопротивления. Прикл.
матем. и механ., т. XII, в. 4, 1948.
20.	Рыжик И. М. Таблицы интегралов. 1948. ОГИЗ.
21.	Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. Ill, ГТТИ, 1934.
22.	Соколовский В. В. Теория пластичности. Изд. Ак. Наук
СССР, 1946.
11*
164
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
23.	С о к о л о в с к и и В. В. Пластическое напряженное состояние
вращающихся дисков. Прикл. матем. и механ., т. XII, в I, 1948.
24.	Тимошенко С. П. Теория упругости. ОНТИ, 1937.
25.	Филиппов А. П. Напряжения во вращающихся дисках турбо-
машин при учете ползучести. АН УССР, Сборник трудов
лабор. проблем быстроход. машин, выи. I, 1919.
26.	Ч у р и к о в Ф С. К вопросу о напряжениях и деформациях
при высокой температуре. Вести Моск Госуд. Унив., № 2, 1949.
27.	Bailey. R. W. The Utilization of Creep Test Data in Engineering
Design Proc. Inst. Meeh. Eng., v. 131, стр. 131,1935
28.	Creep Data. Published by ASTM a. ASME. 1938.
29.	Davenport. Correlation of Creep and Relaxation Properties of
Copper. Journ. of Appi. Meeh., v. 5, No 2, 1938.
30.	Davis E. Creep and Relaxation of Oxygen-Free Copper. Journ.
of A ppi. Meeh., v 10, No 2, 1943.
31.	Everett a. Miklowitz. Poisson's Ratio at High Temperatures.
Journ. of A ppi. Phys., v. 15, No 8 1944.
32,	Jeffreys. On Plasticity and Creep in Solids. Proc. Roy Soc.
London, A-I38, стр. 283, 1932.
33.	Karman Th. Ueber die Fomianderung diinnwandiger Rohre,
insbesondere federnder Ausgleichrohre. Zst VDI, стр 1889. 1911.
34.	Marin. Mechanical Properties of Materials and Desigli. N-Y.—
London, 1942.
35.	N a d a i A. The Creep of Metals under Various Stress Conditions.
Th. v. Karman Anniversary Volume. 1941.
36.	Norton F. Creep in Tubular Pressure Vessels. Trans, of the
A. S. M. E, A ril, 1939
37.	Odqvist. Creep Stresses in a Rotating Disc. Proc. Fourth Int.
Congr. Appl. Meeh., 1934.
38.	Popov E. P. Stresses in Turbine Disks at High Temperatures.
Journ. Franklin Inst., May, 1947.
39.	Popov E. P. Correlation of Tension Creep Tests with Relaxation
Tests. Journ. of Appl Meeh., v. 14, No 2, 1947.
40.	Robinson E. 100.000 Hour Creep Test. Meehan. Eng-g, March.
1943.
41.	Soderberg R. The Interpretation of Creep Tests for Machine
Design. Trans, of ASME, v. 58, No 8, 1936.
42.	Sulzer Technical Review, No 4, 1948. Creep Tests and their
Application to Gas-Turbine Design.
43.	Trifan D. On the Plastic Bending of Circular Plates Undet Uni-
form Transverse Loads. Quarterly of Appl. Mathem. v. VI, No 4.1949.
44.	Tr urn pier. Relaxation of Metals at High Temperatures. Journ.
Appl. Phys., v. 12, N 3, 1941.
45.	Weber C. Veranschaulichung und Anwendung der MinimalsStze
der Elastizitatstheorie. Zst. f. angew. Math. u. Meeh.. Bd. 18. 11.6,
1938.
Строка
Опечатки
Напечатано
	По
Должно быть	чьей
	вине
33
82
108
151
5 снизу
б сверху
14 снизу
3 сверху
(с точностью до не-
существенной адди-
тивной постоянной)
2(/0
= Л4 Nn
Зак. 5478
Вычеркнуть
+ 2G0
Авт.
V
Тип.