Г. Эв Райнус
IP1® ©от®тг
йй К О Г© ОТ [Р ® 5П О V Ю QdD к
Ей &0 © СТ © ОТ [р Э Л ® -[Г ОТ ОТ О Н
Стр ой из дат >1968
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ЗОНАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ И ПРОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ ТИПОВОГО И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ
ЛЕНЗНИИЭП
Г. Э. РАЙНУС
РАСЧЕТ
МНОГОПРОЛЕТНЫХ ТРОСОВ И МНОГОПРОЛЕТНЫХ ФЕРМ
ИЗ ТРОСОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
ЛЕНИНГРАД I96B
УДК 624.072.327
Научный редактор инж. Г. Ф. ВОЛКОВ
В книге излагаются методы расчета гибких нитей и систем таких нитей на статическую нагрузку. Особое внимание уделено расчету двухпоясных вантовых систем — ферм из тросов.
Рассмотрены вопросы, связанные с применением вычислительной техники к расчету рассматриваемых систем. Проведен анализ погрешности исходных допущений, па основе которого предложены методы уточнения результатов расчета.
Книга предназначена для инженеров-строителей, работающих в проектных организациях, а также для научных работников.
3-2-5
19-БЗ-25-67
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы все более широкое применение в практике строительства находят висячие покрытия различных типов.
Использование висячих покрытий позволяет достаточно просто (без лесов) осуществлять монтаж пространственных конструкций и в то же время наиболее эффективно использовать материалы, обладающие высокой прочностью при растяжении, за счет применения гибких элементов типа пленок и нитей.
Наибольшее применение среди висячих покрытий находят конструкции, основным элементам которых служат весьма гибкие стержни. Используя некоторую идеализацию, свойственную расчетным схемам, эти стержни (тросы) можно рассматривать как абсолютно гибкие нити.
Естественно, работа по проектированию и созданию висячих покрытий должна строиться на основе достаточно четких представлений о работе их элементов и знании особенностей расчета простейших конструктивных схем. Именно эти вопросы и рассматриваются в настоящей книге, причем основное внимание уделяется системам в виде ферм из тросов.
До недавнего времени не существовало единого подхода к задачам о расчете систем гибких нитей. Отсутствие четко сформулированных исходных положений приводило к необходимости использования специальных приемов решения отдельных задач [9] и 118], вызывало разночтения и даже ошибки.
Первые попытки разработки единой методики расчета различных систем гибких нитей содержатся в работах, вошедших в сборник «Висячие покрытия» HI, но поскольку в них проводится разработка общих методических основ, целый ряд практически важных задач не рассматривается.
Принципиально методика расчета гибких нитей может быть построена как решение частной задачи нелинейной теории упругости 120]. Однако в настоящей книге необходимые построения выполняются на основе достаточно традиционных приемов сопротивления материалов, что дает возможность читателю не обращаться к дополнительной литературе. В связи с практическими потребностями проектирования систем с гибкими нитями в книге рассматриваются вопросы рационального выбора основных параметров систем.
Основные расчетные положения иллюстрируются числовыми примерами. В свою очередь, эти примеры используются для иллюстрации особенностей поведения рассматриваемых систем.
За помощь, оказанную при работе над материалом книги, автор выражает глубокую благодарность профессору В. А. Гастеву и А. П. Морозову.
ВВЕДЕНИЕ
Висячие покрытия различных типов осуществлены в ряде стран В частности, фермы из тросов были применены в США для покрытия аудитории диаметром 75 м (рис. I) и в ГДР для здания автобусных мастерских пролетом 50 м (рис. 2).
В ряде конструкций использованы однопролетные и многопролетные системы, известные за границей как фермы Яверта. К ним следует отнести покрытия стадиона пролетом 83 м в Стокгольме, магазина самообслуживания пролетом 43 я близ Парижа, канатной фабрики — 5 пролетов по 16 м — в Швеции.
Особое место среди систем такого типа занимает висячий мост для канатной дороги пролетом 900 лх, выполненный в 1956 г. при строительстве Волгоградской ГЭС.
Достигнутый в указанных сооружениях экономический эффект позволяет рекомендовать более широкое использование подобных конструкций в практике отечественного строительства.
Чтобы выявить основные факторы, подлежащие в дальнейшем учету при построении расчетных схем, остановимся несколько подробнее на конструктивных особенностях систем с гибкими нитями.
Основным элементом большинства висячих систем, как уже указывалось, является гибкий трос (гибкая пить). Характерная особенность гибких тросов заключается в способности существенно изменять начальные очертания при изменении характера внешнего воздействия. Вследствие этого при расчете гибких нитей и образованных ими систем в ряде случаев оказываются неприменимыми основные приемы классической строительной механики; задача оказывается, по меньшей мере, геометрически нелинейной.
Достаточно очевидно, что элемент, соответствующий гибкой нити, может быть использован в конструкции лишь при наличии не очень значительно смещающихся концевых опор (закреплений) и при условии, что приняты определенные меры, ограничивающие его подвижность.
В конструктивном отношении гибкие нити (тросы) могут выполняться в виде пучков высокопрочной проволоки, канатов и сплошных стержней различного профиля. В зависимости от вида гибких нитей и самого характера концевых опор меняется способ присоединения гибкой нити к опорам — система анкеровки. На систему анкеровки влияет также величина подлежащего восприятию усилия, которое, в свою очередь, определяет необходимое сечение элемента.
Некоторые начальные сведения о рациональной области применения различных типов анкеров дает табл. 1, составленная инженером А. Г. Чепиком.
4
При использовании в висячих покрытиях различных систем анкеровки следует иметь в виду, что во избежание существенной концентрации напряжений, возникающих при местном изгибе, необ-
Рис. 1. Покрытие аудитории в г. Утика (США)
1 — несущий трос; 2 — напрягающий трос; 3 — распорка: 4 — стальное кольцо; т — железобетонное опорное колыю
Рис. 2. Схема покрытия з гания автобусных мастерских в ГДР
ходимо обеспечивать возможность некоторого поворота анкеров в вертикальной плоскости. Этого можно достигнуть применением шайб с шаровой поверхностью или соответствующей обработкой упорной части анкера. Особенно просто удовлетворить этому требованию при использовании закреплений под коуш (рис. 3).
Таблица Т
Область рационального применения различных типов анкеров
Канаты одно-пр ядевые спиральные
I Не применяются
Канаты спиральные закрытые
Тросы двойной свивки
Г ильзо-клиновые с натяжным стаканом; гильзоклиновые под коуш; с зажимами под коуш; клиновые зажимы с литым или составным корпусом'
Анкеровка разрезными клиньями
Пучки из параллельных проволок
Заливные анкерные муфты
Пучки многослойные со спиральным сердечником
Анкеровка разрезными клиньями с закаленным сердечником
Пучки однослойные
Гильзо-стержневые; система Фрейссине; система ББРФ
Стержни
Анкеровка разрезными клиньями
Анкеровка гайками на параллельной резьбе; система Ди-видаг; коническая резьба
Не применяются
Подвижность гибких элементов в вертикальной плоскости может быть ограничена созданием некоторого постоянного пригруза или использованием предварительного натяжения. В качестве пригруза обычно используются ограждающие элементы покрытия; их вес должен по меньшей мере превосходить возможную интенсивность ветрового отсоса. Пригруз, как правило, применяется в висячих покрытиях, несущие элементы которых (тросы) имеют одинаковое направление провеса. Ограждающие элементы покрытия в этом случае выполняются обычно из железобетона, а их опирание на тросы осуществляется через закладные элементы (рис. 4).
Предварительное натяжение в висячих покрытиях возможно лишь тогда, когда тросы имеют различное направление выпукло-
6
стп. Примером таких систем могут служить фермы из тросов. Соединение разновыпуклых тросов достигается в них с помощью подвесок или распорок. Возможное конструктивное выполнение со-
Рис. 3. Схема закрепления под коуш
ответствующих узлов показано на рис. 5. Предварительное натяжение может создаваться раздвижкой распорок (стягиванием подвесок), раздвижкой опор, натяжением одного из тросов.
Ограждающие конструкции покрытия в системах с предварительным натяжением могут выполняться легкими (собственный вес до 20 кгА/и2), а их опирание на несущие конструкции осуществляется либо в узлах соединения тросов с распорками, либо непосредственно на тросы. Во всех случаях соединение
Рис. 4. Схемы опирания плиты покрытия на несущий трос
i — несущий трос; 2 — фиксатор
легкого покрытия с несущими элементами конструкции не должно допускать отрыва первого под действием ветрового отсоса.
Вопрос о рациональном способе натя-
жения и крепления ограждений еще нуждается в детальном иссле довании. В настоящее время все указанные варианты представляются равноценными, и выбор конкретной конструктивной схемы зависит от местных условий.
Задача проектирования висячих систем оказывается сравни
тельно сложной как в конструктивном отношении, так и с точки зрения расчета. Недостаток опыта проектирования таких систем приводит к необходимости тщательного исследования их свойств
на основе достаточно точных методов расчета и моделирования. При этом возникают задачи определения усилий и деформаций
7
элементов при различных видах внешних воздействий, а также выбора оптимальных параметров конструкции, обеспечивающих восприятие этих воздействий.
Рис. 5. Схемы соединения троса с распоркой (подвеской)
1 — трос; 2 — распорка (подвеска)
В связи со сложностью решения указанных задач весь расчет систем с гибкими нитями целесообразно строить по принципу «от простого к сложному». Поэтому при построении расчетных схем используются упрощающие допущения, влияние которых на точность расчета затем анализируется особо.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
РАСЧЕТ ПОЛОГИХ НИТЕЙ
§1. ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ГИБКИХ ПОЛОГИХ НИТЕЙ
Под гибкой нитью в настоящей работе понимается призматический стержень, жесткость которого на изгиб и кручение пренебрежимо мала по сравнению с жесткостью при растяжении. Таким образом, мы практически будем рассматривать идеально гибкие нити постоянного сечения. Характерной особенностью таких нитей является наличие в любом сечении, нормальном к оси, только растягивающих равномерно распределенных напряжений. Следовательно, вектор, соответствующий усилию в нити, всегда направлен по касательной к ее оси, и в процессе расчета нет необходимости делать различие между понятиями «нить» и «ось нити». В результате существенно упрощается построение уравнений равновесия нити и ее элементов.
Важное упрощение достигается также введением предположения о том, что внешняя нагрузка, действующая на нить, задана в функции от координат, которые от деформации нити не зависят.
Перейдем к непосредственному выводу уравнений для расчета нити, формулируя вводимые допущения по мере надобности.
Пусть нить отнесена к прямоугольной декартовой системе координат X, У, Z (рис. 6, а), и при этом уравнение ее оси до деформации, связанной с воздействием внешней нагрузки, можно представить в векторной форме
r0(x) — xi 4- Мх)7 + z0(x)ft,	(1)
где	г0 (х) — радиус вектор;
г, /, k — направляющие орты координатных осей;
х, £/0 (х), z0 (х)— координаты точки нити в начальном состоянии.
В результате воздействия внешней нагрузки нить претерпевает некоторую деформацию, вследствие чего изменяется уравнение ее оси
r(x) = [x + «(x)]-i + i/(x)-/ + z(x)-k =
= (x\-u)i 4 (y0 + v)j (z0 + w)k,	(2)
где а, v, w — перемещения точек нити соответственно вдоль осей X, У, Z.
9
В форме (1) и (2) уравнение оси нити может быть записано лишь тогда, когда возможно установить взаимно однозначное соответствие между точками оси и их абсциссами. Впрочем, для задач, возникающих при расчете строительных конструкций, это ограничение не существенно.
Рассмотрим условия равновесия дифференциально малого элемента нити длиной dx. Так как нагрузка не зависит от деформации нити, то без ущерба для общности можно считать, что эта нагрузка задана в функции от координат х. Тогда на элемент dx действует внешняя нагрузка q-dx.
а)
Рис. 6. Схема нити а — общая схема нити; б — схема равновесия элемента нити; в—схема деформации элемента нити
Эта нагрузка должна уравновешиваться внутренними усилиями в нити, равнодействующая которых (рис. 6, 6) равна
где о — вектор напряжений;
F — площадь поперечного сечения, постоянная по длине нити.
Таким образом, в векторной форме уравнение равновесия принимает вид
F^ + 9 = 0.	(3)
dx
По определению идеально гибкой нити вектор о направлен по касательной к оси нити. Вследствие (2) косинусы углов наклона к осям координат касательной к деформированной оси нити равны
1 I- и' у'	г'
I + е 1 + ₽	1 — е
10
В этих формулах штрих обозначает дифференцирование по х. а 1 + ё =	= ] (1 + н')2 + (J/')2 4- (z')2 -	(4)
Таким образом а можно представить в виде
о = —^7 [(1 4- и'} i 4- y'j -I- z'k ],	(5)
I 1 e
а уравнение равновесия (3) заменить эквивалентной ему системой трех скалярных уравнений
где qrt q.„ qr — составляющие внешней нагрузки по осям координат;
о — модуль вектора о.
В соответствии с уравнением (1) начальная длина дифференциально малого элемента нити
= 1/1+(%)2+(^)2-Л.
В результате деформации длина этого элемента изменяется (рис. 6, в)
ds = 1 (1 + и')2 + (УТ + (z')2 -dx
и относительное удлинение
е =	=	(?)
где
“'(,+4-и')+т^2^г+^2“(г;)21 '+(%)2+(^)2
В общем случае, когда задан закон зависимости напряжений от деформаций в виде
о = Сз	(9)
и
(С _ некоторый оператор), подстановка (9) в (6) позволяет с учетом (8) и (7) свести задачу к решению системы трех уравнений с неизвестными и. v, w или и, у, z. При этом задача может оказаться нелинейной как геометрически [вследствие (7)1, так и физически [вследствие (9)1-
Упрощение достигается, если внешняя нагрузка не имеет составляющей, направленной вдоль оси X, то есть qv = 0.
Тогда из первого уравнения (6) следует
Г5(1 + И = Г(1 Uf) Cz =
(10)
где Н — постоянная интегрирования (по физическому смыслу это проекция усилия в нити на ось X).
Подставляя (10) в два последних уравнения (6) и интегрируя их, получим
у' = ^(1+и + с,(1 4 «'); п
z' +И 4-с2(1 4-к');
п
И
u'dx',
(И)
z-.
z — —- 4- С2х
н 2
где Qy, Q2, My, Мг — перерезывающая сила и изгибающий момент в шарнирно опертой балке пролета х2—Xj соответственно от нагрузок qy, q2;
хь х2 — характерные абсциссы точек нити;
С2, С3, С i—постоянные интегрирования, определяемые на основании граничных условий для у, z\ х — текущая абсцисса точки нити (xj х х.2). Подстановкой (11) в выражения для е, е можно (10) свести к уравнению с неизвестными и,Н. Разрешая полученное таким образом уравнение относительно и и интегрируя его, можно на основании граничных условий для и получить уравнение для определения параметра И. Задача будет решена, если И найдено.
Практический интерес представляет случай, когда связь между напряжениями и деформациями задается законом Гука о — = Ее, где Е — модуль упругости материала нити.
Заметим, что при этом относительные удлинения обычно пренебрежимо малы по сравнению с единицей, например для стали при напряжениях 10 000 кг!см2 относительное удлинение составляет
12
0,5%. Следовательно, можно отождествить точное значение е с первым членом его разложения в ряд Тейлора.
Величина и' оказывается одного порядка с величиной относительного удлинения, если уравнения (1), (2) описывают гладкие кривые. Таким образом, можно считать, что и также пренебрежимо мало по сравнению с единицей.
Вследствие указанных допущений имеем
При qx = 0 в соответствии с (10)
(14)
1 4- е I • е
где R = EF — жесткость нити при растяжении.
На основании (12)
з
“ = т I1 +	(г°)212 - т К*')2- «+f/)2- ОД =
3
+ |.</42+ (4))2|2 -П£/о+тс’')_“/(го + ^'“',)‘
Интегрируя последнее выражение, получим
“ W-“ Ь) - -R J I1 + W + (*o)2J2
- Т j [Ю2+(И2]Л + т f W + (го)21dx’ <15) *1 *1
13
ПЛИ	3
и (х2)-и (х,) J [1	(%)2 + (г0)2] 2 dx-
- [«'(%+ y»') + K/(^ + v“/)]d*-	(16)
Уравнения (15) и (16) существенно используются при решении различных задач, рассматриваемых в настоящей работе, и мы будем неоднократно возвращаться к ним, а сейчас уточним значения основных величин, входящих в эти уравнения, и область рационального применения каждого из них.
Из (11) на основании введенных допущений следует
у1 =.	С.; z' = — ' С»;
у Н 1 н
(17)
у =	4 С,х ' С.,; г = -г- + С..х 4- С4.
* н	н	J
Таким образом, вычисление величины J |(£/')2 + (г')2] dxt входящей в уравнение (15), не вызывает принципиальных трудностей и применительно к отдельным задачам рассмотрено в следующем параграфе.
Для систем с предварительным натяжением можно считать форму нитей в состоянии после предварительного натяжения вполне определенной, а следовательно функции у^, zn известными. Этот случай подробнее рассмотрен в главе II. Именно при нем оказывается удобным использовать уравнения вида (16). Величины v, w определяются как разность между конечной формой нити [г/ (х), z (х) вычисляются по (17) I и начальной формой нити (у0, z0).
Несколько сложнее обстоит дело с заданием начальной формы нити, описываемой функциями ynt zn, при расчете отдельных нитей и систем нитей, в которых не применяется предварительное натяжение. Если считать нить невесомой, то в начальном состоянии, когда не действует внешняя нагрузка, о значении функций у0, г0 ничего сказать нельзя.
Нетрудно, однако, видеть, что для решения задачи на основе уравнения (15) важно знать не сами функции yG, z0, а величину
Л = .( [|%12 + (Zo)2| dx-
-V,
В соответствии со сказанным вся схема расчета имеет практический смысл постольку, поскольку величина А может считаться независимой от выбора конкретного значения функций yOt zn. В связи с этим вводится допущение о пологости нити: под пологой нитью понимается такая, для которой с допустимой в расчете точностью
14
величина А не зависит от выбора конкретной начальной формы. Так как инвариантными в строгом смысле слова для гибкой нити являются ее начальная длина и расстояние между опорами I, то оказывается необходимым выразить интересующую нас величину через них. Считая начальную форму нити достаточно гладкой кривой, можно под пологими понимать нити, для которых величины (£/0)2, (z^]2 пренебрежимо малы по сравнению с единицей.
Перейдем теперь к непосредственному определению величины А, считая точки с абсциссами х1т х2 точками закрепления концов нити.
Если точки с абсциссами х2 расположены на одном уровне, например на оси X, то в соответствии с известной формулой для длины кривой
^o = Jl Ч-^Г+^о)2-^ Л,
Используя разложение подынтегрального выражения в ряд Тейлора, имеем
Л = /[(%)2Чго)2]^ = 2(£о-')-	08)
-V,
При выводе выражения (18) предполагалось, что величина 1 V-J
— 1 [(^о)4 + (го)4| dx пренебрежимо мала по сравнению с Л.
Если точки нити с абсциссами х1г х2 расположены на разном уровне, но длина нити на участке между этими точками мало отличается от расстояния между ними (рис. 6, а), то, принимая yQ = О (плоская кривая), имеем =	. tg<=,
где <р — угол наклона к оси X прямой, проходящей через точки с абсциссами хъ х2.
Тогда, используя тригонометрическое тождество 1 + tg2 <р =
= —, можно выражению для длины нити придать вид
COS2<f
L, - I J/ 1 4- (z')2 dx = —!— I ] 14- cos2 ©-z'(2 tg © 4- z') -dx.
*v	cos &•	v
Разлагая это выражение в ряд Тейлора и пренебрегая величинами, порядок которых выше (zj)2, получим
LO '	(’ [‘ + 0052	~
-V,
— Y cos" ъ (г; )2 (tg2 ?+...)] dx.
15
Учитывая, что f z\dx = 0 и-2—— - I. окончательно найдем COS
А = J (г0)2 dx = J (г;)2Л + tg* <? (хг — х,) =
Х|	Д’.
= 2^=^ + (x,-xl)tg2?	(19)
COS3 q и по аналогии
л = jW +	+ ^-<1^?- (20>
Кроме того, вследствие допущений, принятых при выводе (18), (19), можно в уравнениях (15), (16) принять
<21>
х,
Некоторые частные значения величины А для конкретных видов кривых z0 приведены в табл. 2, которую поясняет рис. 7. Во-
просы, связанные с различием в выражениях для определения указанной величины у различных авторов, рассматриваются в § 12 в связи с обсуждением погрешности расчетных уравнений, полученных в настоящей книге.
Заметим, что полученные для гибких нитей соотноше-
Рис. 7. Схема к табл. 2
ния носят весьма общий характер. Их умелое использование позволяет получить расчетные уравнения для различных типов систем, образованных гибкими нитями 11], (14], 123]— |27 ]. Расчет некоторых из таких систем подробно рассматривается ниже. Излагаемый при этом материал до некоторой степени является иллюстрацией способов применения уравнений настоящего параграфа.
Характеристика кривой
А
2
Таблица 2
Уравнение кривой Z	ч-т)		'Н-Н)	ч-Ш)|	
А = 2		з /	1	3,6 — I	2/?J f- 2k — 1 ’ I	TT
16
§ 2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ОДНОПРОЛЕТНЫХ НИТЕЙ
Гибкая упругая нить с неподвижными опорами, расположенными на одном уровне
Граничные условия для г/, у, z имеют вид
11 (A'i> = и (*2) = У М = у (х2) - z (х\) = z (х2) - 0.
В соответствии с (17) при указанных граничных условиях
	г-Ъ. н	н Таблица 3 Характеристика нагрузки D
Схема нагрузки	
%птпшши.	™		q'-P	qpP	p'-P 12	12	192
		
		p (<f	(12x - I2i- - 2>l '.-p-	(121 - Г№-	3₽91-^-
9		
17
Подставляя эти величины в (15). с учетом (18) получим
Н°'[//Т4ТЛ] = Т°’	(22)
1=Хг-х- А = J [(%)’ + Kf | dx	2 (Lo - Z);
D =
Значения D для некоторых частных случаев загружения даны в табл. 3. Вообще же величина D может вычисляться по аналогии с интегралом Мора.
Как частные случаи из (22) следуют расчетные уравнения для нерастяжимой нити (относительное удлинение равно нулю) и струны (нити, у которой длина равна расстоянию между опорами).
Если нить нерастяжима
—. Для струны

Гибкая упругая нить с неподвижными опорами, расположенными на разном уровне
Граничным условиям можно придать вид
У (*i) = (xj -= и (xj = и (х2) - 0; у (х.,) Л1у; z (х2) — hz. Тогда
if =	4—; г' = %- +	;
П Х2 — А'1	Н х., — Xj
у	h,J — А«) - г	+ hz (X — Х1)
Н х2 — Л| ’	Н л., — xj
Подставляя эти величины в (15) и имея в
(23)
виду, что
| Qiflx " | Qzdx = 0, на основании (20) получаем Л	Л.
Н2 [н	+<£о - о -V+<х- - *>) ‘g2 -
L R cos3	СО*8 ф	ь *
(Л'2 -
Г h2	I D
(*2-^)] = у
18
Нетрудно видеть, что третье и четвертое слагаемые в квадратных скобках взаимно уничтожаются. Учитывая, что =/ — рас-COS«p
стояние между опорами, получим
№ Г//—-— + —-—1 = ~.
|_ R cos3 <р 2 cos3 о ]	2
(24)
Здесь и в дальнейшем под — понимается разность между начальной длиной нити и расстоянием между ее опорами.
В случае нерастяжимой нити с опорами на разном уровне из (23) следует
Н =
D cos3
А
(25)
а в случае струны
( DR
I 2 (х. — хх)
COS ?.
Таким образом, полученные уравнения для расчета нити с опорами на разном уровне естественно переходят (при ф — 0) в уравнения для расчета нити с опорами на одном уровне.
Предварительно натянутая струна
с опорами на одном уровне
В этом случае начальная длина нити меньше расстояния между ее опорами, и до момента приложения внешней нагрузки нить должна быть растянута на величину N , где N — усилие предварительного натяжения.
Если концы нити лежат на одном уровне и после предварительного натяжения закрепляются неподвижно, то
« (*s) — “ (-4) -= # —р—
где Н — горизонтальная составляющая силы N.
Остальные величины (у, z) имеют тот же смысл, что и для нити. Соответственно уравнению (15) можно придать вид
/у2 Г /у х%—Xi_[] Х“ х* 1 ~
L R	R ] ~ 2
19
Предварительно натянутая струна с опорами на разном уровне
Ограничимся случаем y(i = у = 0. Имеем
/(*)=£- Mg?;
V/ u(x2)—u(xj = — cos 7. к
Подстановка этих величин в (15) дает уравнение
//2 Гн х.-хх _N I ( cus? SJ-n ?.tg?	sin2 ?	,
[ R cos3 <р R '	R 'J 2
Учитывая соотношения/V = — I — ——-- и в соответствии cos у	cos 7
°	"2
с основными допущениями пренебрегая величиной — cos?-smz?
R по сравнению с единицей, получим
Н2 \н Ч — Н j = —.	(26)
[ R cos3 у	R cos3 J 2
Нить или струна с упруго смещающимися в горизонтальном направлении опорами
В случае нити
и (xj = алН‘, и (х2) —-7.2/7.
В случае струны, отсчитывая горизонтальные смещения от положения, принимаемого после предварительного натяжения, имеем
и (xj = аг(Н — Н); и (х2) = — я2 (Н — Н).
Значения yt z определяются формулами (23). Тогда из (15) получаем:
а)	уравнение для расчета нити
Н2 Ь/ — + Й2 + я I + _ —1 = Д .	(27)
[ * R cos3 с	1 /	2 cos8 f J 2
б)	уравнение для расчета струны
//М/7-Н)(^- + ,= Д.	(28)
\R cos3	/2
Нить (струна), опоры которой получают дополнительное перемещение
Пусть
М(Л'1) =их\ и(х2) =щ>\ '
v(x^ = 14;	ц(х2) = v2;	(29)
W (XJ = li'f, w (x2) =-- w2.
20
Для рассматриваемых нами упругих элементов совершенно безразлична последовательность приложения внешних воздействий. Вследствие этого можно считать, что смещение опор произошло до приложения внешней нагрузки. В таком случае остается вычислить расстояние между опорами нити с учетом смещений (29).
Обозначим и0 = и2 — v0 = v2 — w0 = w2 — wx. Тогда
11 =1 (-4 —*1 л «(,)2 +	+ t’o)2 + (Лг 4 %)2 =
= 1 (%2	*i) 4" h, /k [ 1	2
1
ц0 ^*2 — X1 H-- WoJ + l'o (hy + t'o j 4“ ^’O H-— Wqj
1
Учитывая, что I = [(x2—xj2 + h2v T ^zj и предполагая смещения u0, d0, wa малыми по сравнению с l (но не по сравнению с hyt h2), приближенно получим
l'o (hy + 4“ ) + (hz f V к'о) G = I + и0 cos ?	----------- .
Таким образом, учет смещений опор приводит к предыдущим: уравнениям, если величину £0 — / заменить величиной
— — Uq cos ф------i-------------------------.
При этом следует иметь в виду, что для струны А — _ й х~ ~ А1 — _ Nl R cosy
«о cos2 9
2	R cos3 'у
Окончательно имеем
ха —। A
R cos3 7	2 cos3 7
(30)
Температурные воздействия
На основании рассуждений, аналогичных изложенным выше, температурные воздействия можно учесть изменением начального-значения длины нити, т. е.
L, = £0 (1 4-аД/),
21
Значения 7-Ю9 для расчета
X.	0.0010	0.0015	 . 020	0.0025	0.0030	. 0.0035
-0,0070		-	*	| -	—	— 1
—0,0060	—		-	1	—	— 1
—0,0050 —0,0040 -0,0030	1 1 1			—		- 1 6.125
—0,0020	—		-	3,125	9,000	18,37
—0,0010	-	1,125	4,000	9,375	18,00	30,63
0,0000	1,000	3,375	8,000	15,63	27,00	42,87
- 0,0010	2,000	5,625	12,00	21,88	36,00	55,13
- 0,0025	3,500	9,000	18,00	31,25	49.50	73,50
-0,0050	6,000	14,63	28,00	46,88	72,00	104,1
-0,0075	8,500	20,25	38,00	62,50	94,50	134,8
-1-0,0100	11,00	25,88	48,00	78,13	117,0	165,4
- 0,0150	16.00	37,13	68,00	109,4	162,0	226,6
- 0.0200	21,00	48.38	83,00	140,6	207,0	287,9
- 0,0250	26,00	59,63	108,0	171,9	252,0	349,1
- U,0300	31,00	70,88	128,0	203,1	297.0	410,4
-i 0,0350	36,00	82,13	148,0	234,4	342,0	471,6
- 0,0400	41,00	93.38	168,0	265,6	387,0	532,9
- 0,0500	51.00	115.8	208.0	328,1	477,0	655,4
-+ 0,0600	61,00	138.4	248,0	390,6 7 =	567,0 = =2 (= + ?);	777,9
где L, — длина нити в результате изменения температуры;						
а — коэффициент линейного расширения материала нити; А/ — перепад температур.						
В результате задача сводится к ранее рассмотренным путем А замены — на величину						
=	\t.	(31)
2'2
Все полученные расчетные уравнения можно представить в следующей безразмерной форме
*2 (* + ₽) = 7,	(32)
где	£="-•
R ’
о___ Lo — I	~
Р — х------относительная разность между длиной нити и ее
пролетом (в случае струны 0 принимает отрицательное значение—1:
* )
D cos3 т 4	2R- (л2 — a J
22
гибкой упругой нити
Т а б типа 4
	0,0040	0.0045	0.0050	0.0055	0,01’60	| о.огбз	।	и.и070
	16,00 32,00 48,00 64,00 80.00 104,0 144,0 184,0 224,0 304,0 381,0 464.0 544,0 624,0 704,0 864,0 1024	10,13 30,37 50,63 70,87 91.13 111,4 141,8 192,4 243,0 293.6 394.9 496.1 597.4 698,6 799,9 901,1 1104 1306	25,00 50,00 75,00 100,0 125,0 150,0 187,5 250,0 312.5 375,0 500,0 625,0 750,0 875,0 1000 1125 1375 1625	15.13 45,37 75,63 105,9 136,1 166,4 196,6 242,0 317,6 393,3 468,9 620,1 771.4 922,6 1074 1225 1376 1679 1981	36.00 72,00 108,0 144.0 180,0 216.0 252.0 306,0 396,0 486,0 576,0 756,0 936,0 1116 1296 1476 1656 2016 2376	21,13 63,37 105.6 147.9 190,1 232,4 274,6 316.9 380,3 485,9 591,5 697,1 908,4 1120 1331 1542 1753 1965 2387 2810	49.00 98,00 147,0 196,0 245.0 294.0 343,0 392.0 165.5 588,0 710,5 833,0 1078 1323 1568 1813 2058 2303 2793 3283
	о	А Р =	7 ="- 2 (л-2 — Л'1) Так как у ' 0, одна перемена знаю пение имеет один образом, рассматрр		D cos3				
			г/г^-тх) то в уравнении (32) имеет место одна и только эв коэффициентов, из чего следует, что это урав-и только один положительный корень. Таким 1ваемая задача всегда имеет единственное ре-				
шение.
На основании (32) составлены табл. 4 и номограмма (рис. 8).
Для пользования ими следует по известным значениям нагрузки и параметров нити определить f>, у, тогда Н = ~R.
Пример 1
Определить горизонтальную составляющую усилия в инти длиной Го = = 100,667 л, пролетом /=100,000 м, на которую действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью = 0,2 т/м и нагрузка, равномерно распределенная по полупролету интенсивностью q2 = 0,4 т/м. Площадь поперечного сечения нити F = 12,5 см2, модуль упругости ее материала Е = 1,6-10® кг/см2 (рис. 9).
На основании исходных данных жесткость нити при растяжении
R EF 1,6-10®-12,5 кг = 20-103 т.
По эпюре перерезывающих сил, построенной для заданной нагрузки, вычисляем D (см, табл. 3):
D - ( — 4-	/3 = 14 170 т2м.
\ 12	12	192 2/
23
Х-Ю9
С 10	20	30	40	50	60	70 Е> 10*
Рис. 8. Номограмма для расчета гибких упругих нитей
В соответствии с принятыми обозначениями Dc^l =--------------------------14170--------|77,|.10-9.
2 (х2 — х,) Я2 2-100 (20• 103)2
6.67-IO”3.
Х2--100
По табл. 4, проводя линейную интерполяцию между Р = 5-10“3 к р = = 7,5-10“3 найдем, что при Р = 6,67-10—3 значению с = 4-10“3 соответствует у = 170,7-10~9, значению £ = 4,5-10“3 соответствует у = 226,6-1 (К9.
Окончательно при Р = 6,67-10“3, у = 177,1-Ю-9 имеем £= 4,06-10“3 и Н = 6 R = 4,06-10“3-20-103 = 81,2 т.
ЦЦПНПГП .......
Ц|Ц||||1НН1ННННШ чго,2т/м
50 м	______50 м
Рис. 9. Расчетная схема к примеру 1
В заключение рассмотрим возможное упрощение уравнения для расчета гибкой нити (24). При построении этого уравнения мы исходили из (15), однако, если использовать эквивалентное (15) уравнение (16), то становится ясным, что в некоторых случаях возможно добиться упрощения расчетных уравнений за счет пренебрежения v' w'	f Г
величинами —, — по сравнению с у , z соответственно.
Очевидно, это пренебрежение вполне оправдано, если величины
J (w')2 dx	[ (v')2 dx
x,	X|
2 J z'w'dx	2 j y'v'dx
X,	x,
нс превосходят требуемой точности расчета.
Прибегая к такому упрощению и используя очевидную зависимость v' = у' — y’Q, w' = z' — z'ot получим вместо (16) уравнение
R
dx —
— j — (%)2J dx~ j [z'zo — (zo)2] dx- (33) X»	xt
25
Зависимость погрешности расчета
0,5	1,0
0,000 0,025 0,176 0,309	0,000 0,148 0,267 0,367
0,090 0,100 0,150 0,200	0,045 0,100 0,150 0.200
В результате уравнению для расчета гибкой упругой нити с неподвижными опорами на разном уровне можно придать подстановкой (20), (23) в (33) вид
Я2 ^~-XL И _  == В, R cos3 cos3 у
(34)
где В =	+ QjJj dx, причем г\ = z0----; y\ = y0—
— Xt
Из уравнения (34) в случае нерастяжимой нити следует
Н = ^-cos3^.	(35)
Для плоской нити (^ = 0, Qv == 0) значение А/, полученное из (35), равно значению этой же величины, найденное из (25), если
AD — B- = f (z^dx-	(Q,z0)2dx = 0.	(36)
Это равенство имеет место, когда Qz и z'Q пропорциональны, т. е. z0 является веревочной кривой для действующей на нить нагрузки q2. В более общем случае, в соответствии с неравенством Буняковского,
AD — В2" 0.
Таким образом, определение усилий в нерастяжимой нити по формуле (35) дает результат, заниженный по сравнению с получаемым по (25).
Уравнение (34) дает приемлемые результаты [погрешность по сравнению с (24) до 5% J при стрелах провеса в пределах пролета, если суммарная величина дополнительной нагрузки не превосходит 50% от суммарной величины основной нагрузки. При этом под основной понимается нагрузка, веревочная кривая для которой описывается функциями у, z.
26
от принятой расчетной схемы
Т <1 б л и ц а 5
2.0
3,0
0,000 0,079 0.187 0,292 0.386 - 0,000 0.0915 0,19b 0J41 0,595
0,020 0,050 0.100 0,150 0,200 I 0.010 0,050 0,100 0,150 0.200
Для более строгой оценки можно использовать величину z —
= — или 1 —х, причем 1 '>х ' 0. Если х = 1, погрешность
зависит от отношения(см. табл. 5). Для нерастяжнмой ниги
эта погрешность примерно в два раза меньше величины 1—х. Вообще имеет место зависимость
1 — х = О (2 — о) 4- ~-
'Vй]
(37)
с помощью которой можно определить погрешность, возникающую при замене уравнения (24) уравнением (34).
В (37) приняты обозначения
где Р, ; имеют тот же смысл, что и в (32); 6 — относительная погрешность (отношение разности решений (24) и (34) к решению (24) ].
§ 3.	ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОДНСПРОЛЕТНЫХ НИТЕЙ
Полученные выше уравнения позволяют определить основные параметры гибкой упругой нити. Проиллюстрируем это на примерах нити и предварительно натянутой струны, считая их концевые опоры неподвижными и ограничиваясь случаем у = у0 = 0. Получение аналогичных результатов в остальных случаях не должно представить труда, так как сводится к изменению числового значения некоторых коэффициентов.
1.	По заданной нагрузке и геометрическим параметрам нити в начальном состоянии (А, I) подобрать ее сечение F, если допускаемое напряжение составляет [и|, а модуль упругости материала нити равен Е.
Заметим, что усилие в любой точке нити можно, учитывая (10), (23), определить по формуле
N = я/1 + (гТ = у 1 + (£- + tg?j2.
(38)
27
При точности, принятой в настоящей работе, эта формула эквивалентна следующей (см. (25)1:
Г	/------\2-| 2
Л/ = Н i+(q] z —-rtg? .
[	\ р Deos3 у	/ J
Следовательно,
/тГ ’ * FF Е ' где
Тогда из (32) следует
1
F = — = Г Pcos3y ] 2 _L J_ 1 Л Dcos3? (40)
Е [	] Е Е I 21(х.г-х1)'
Обычно максимальное значение перерезывающей силы имеет место на опорах, и его можно отождествить с наибольшей опорной реакцией в балке.
Пример 2
Подобрать сечение нити при хг—xi = 100 л, <р = 45°, Lo = 142,4*21 л, (ст J = 10 000 кг/см2, Е = 2-10° кг/см2, если на нее действует равномерно распределенная нагрузка qx ~ 0,2 т/м и нагрузка, равномерно распределенная по полупролету q2 = 0,4 т/м.
При заданной нагрузке и параметрах нити
з /о	5	> \ (хо — Xj)3 cos3 v
Deos = F 9^2 т — <?5 J —------------- =
= 5008 т~м 5008- 10е кг-м;
A = 2(L0—Z) _ 2 лг; 3 - L°~l 0.01.
(x2 — Xi)
Максимальная опорная реакция
max Q = / — qx — <7J (x.» — x,) - 25 m. \ 2	8
По формуле (39) определяем коэффициент т:
= т - 0.555 I000Q Е ~	2 !0«~
28
и по формуле (40) имеем
1	/_________________5008-106
21°° I (0,273-10“2)2-(0,273-10~2
0,01) 2100
8.1 си-
Если воспользоваться табл. I, то по интерполяции между величинами пятого и шестого столбца найдем при 0 — 0.01 и ; = 2.73-10~3, что у = 95-10—9 и	________________
р 1 .. Г 5008 10е	,
F ------ I/-------------------8.1 г.и-.
2-10е У 2-95-10-9-100
2.	По заданной нагрузке, пролету и длине нити LK, соответствующей действию нагрузки, определить сечение и начальную длину L,„ если допускаемое напряжение [ст I и модуль упругости материала нити Е.
В этом случае распор в нити может быть определен как в нерастяжимой при Ак =- 2 (LK — I) по формуле (25):
। ГDeos3v
Тогда F =	, где т берется по формуле (39).
/и к]
На основании уравнения (24) имеем
= Deos*?  Я(хг-х.) ,	41
°	2№	EF
3.	По заданной нагрузке, пролету, материалу и величине допускаемого напряжения |о 1 подобрать сечение струны и величину предварительного натяжения, при которых прогиб не превосходит величины ьу0.
Так как для струны w (х) = z (х) — h ——— , то из (23) следует
Л'е —
н = max М (л)	42)
и’о
Соответственно
Г = —-—.	(43)
COS [□]
Напомним, что для струны т cos <р.
Тогда из (26) имеем
Н = Н----------cos3 <?	(44)
2(х. —л,>«-
и усилие предварительного напряжения
N = -Д—.	(45)
cosy
29
4.	По заданной постоянной нагрузке q (х) и временной нагрузке р (х) подобрать по известному пролету и материалу нити ее начальную длину и сечение так, чтобы прогиб под действием временной нагрузки не превосходил
Прогиб нити вследствие (23) для рассматриваемого случая должен подчиняться неравенству
Л13 М1 '	/лсч
u’o z max	(46)
п 2 п 1 I
где	— распор в нити и балочный момент при действии
нагрузки q (х);
АЛ, М2— аналогичные величины при действии нагрузки q U) + Р ДО-
Из (46) следует
АЛ — max | М2 —	1,	(47)
I
где * = тЛ -
Г/ 1
На основании (24)
Hl I АЛ + — Л) = — D.> cos3 ф;
I 2 R 2	'	2	"
+ _L	COS3 ср,
\ R 2	)	2	1
(48)
где Dj, D2 — величина D при действии нагрузки q и q + р соответственно.
Исключая из (48) величину Л, получим
з £)о — A)j42
C°S3?
2(хг —jq)
(49)
Заменяя АЛ по неравенству (47), найдем
(max | ТИ2 —	I)3
2 (х2 — xQ
DjE-cos3 у-ш3
(50)
Определенное таким образом значение F удовлетворяет условию (46), но при этом может не удовлетворять условию прочности. Очевидно, расчетное усилие возникнет при действии той нагрузки, которой соответствует большее значение D. Для определенности будем считать такой нагрузкой q + р (при этом ip > 1). Таким образом, в соответствии с (38) и (47) сечение инти, помимо условия (50), должно удовлетворять условию
~ 1 ~ ?
*'о
(max | M, — ’ЬМ, V +	x
7	^1)
I
X (max IM2 — фЛЛ |) 4- (max Q2)2]2 —.
(51)
30
В результате этих рассуждений можно предложить следующий путь решения поставленной задачи: задаваясь ч]?, из (50) находим величину F, тогда Н2 можно определить из (49), а —--из (48). Ес-
ли при этом значении гр выполнено условие (51), задача решена.
Заметим, что допустимые значения величины гр лежат (при Е>2 > ЕЕ) в пределах
(52)
При этом значение гр, близкое к 1, может иметь место, как это следует из физических соображений, в случае струны с весьма большой величиной предварительного натяжения, а значение гр, 1 Л £>2 равное I/ , в случае нерастяжимои нити.
Решение задачи можно рассматривать как некоторую функцию гр. Следовательно, возможно значение гр, при котором F имеет минимальное значение.
Принципиально возможна следующая усложненная постановка задачи: для нити известного пролета, изготовленной из заданного материала, подобрать сечение, начальную длину и интенсивность основной нагрузки q (х) с заданным законом распределения гак, чтобы дополнительный прогиб от заданной дополнительной нагрузки р (х) не превосходил ш0. При решении этой задачи возможно определение значений искомых величин, при которых стоимость системы в целом минимальна.
Поясним изложенное на примере нити, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (х) и равномерно распределенной по левой половине пролета нагрузкой р (х).
Начнем с определения аналитического вида выражения Л41, Л42.
Имеем
О
_________^(1______/)	Для правой	половины	про-16________________________________________лета;
(х2 —хх)2ц . I_для левой	половины	про-
16	лета,
. 2х
где t =--------;
Х2—Л1
х — расстояние от центра пролета до рассматриваемой точки.
Таким образом.
,д|Л12-фЛ1,| = || (1 — t) — k (1 — /2) | pte-xi)2 1; (i + z—2z«)—л (i — z2) ।
где k = — (i — 1).
P '
для правой части; для левой части,
31
Нетрудно показать, что
max
) Л42 —	1
Р (х2 — Xi)2
(k — 1,5)2 ПрИ
2 — k
при k
1 > k > 0 и k > 1,86;
1,86 k I.
С учетом принятых обозначений
= г* 2г-1.25 с = 2g о.
D,	с"-	₽
Соответственно F, А определяются следующими выражениями: при 0 < k . 1
£ _ I — 1	<* ~ 1 »5)°	__________1	к/
“	(2 — Л)я (с2 2с 4- 1.25) — с2|2
' р (Л2 — Xt)4 31.
£u>ycos3j * 28
[2 ч
^pCQS3?	8
Х-2 — Ху	3
при k > 1
F __ -L — 1 (k — 0,5)°	_________1_________
~	' Л3 с2 2с 4 1,25 —с2ф2 Л
Р (х2 — A'i)4 Et£)gCOS3Cf
128
А _ c2-La — (с2 4 2с 1,25) fe2 cos3 9
~2 ~ ф — 1	(k — 0,5)4 [ х2 — хл
При расстановке указанных пределов мы исходили из того, что должно выполняться условие (52). Легко убедиться, что в этом случае 0 < k С 1,12.
Результаты расчетов по приведенным формулам сведены в табл. 6. при этом числовые множители, стоящие в квадратных скобках и зависящие от конкретных данных задачи, опущены, а получаю щиеся безразмерные величины в дальнейшем отмечены звездочкой Для пояснения получающихся результатов приведен также рис. 10, на котором схематически показана кривая зависимости А от F при некотором фиксированном значении с. Если величины А и F таковы, что соответствующая им точка располагается в области, ограниченной указанной кривой и отмеченной на рис. 9 штриховкой, прогиб меньше допустимой величины; в противном случае прогиб заведомо больше допустимого.
32
ьэ
>. Райнус
Таблица 6
Определение параметров нити с учетом ограничений по прогибам
k		0,000	0,100	0,200	0,300	0,400	0,500	0,600	0,700	0,800	0,900	0,950	1,000	1,050
		1,125	1.031	0,940	0,846	0,756	0,667	0,579	0,492	0,407	0,327	0,278	0,250	0,288
р (х3 — хг)2														
0,500	ф	1,000	1,200	1,400	1,600	1,800	2,000	2,200	2,400	2,600	2,800	2,900	3,000	3,100
	* F	0,000	0,0856	0,1180	0,1220	0,1135	0,0987	0,0823	0,0655	0,0515	0,0420	0,0396	0,0416	0,172
11 U	Л 2	—оо	-9,60	-5,13	—3,43	-2,28	-1,12	0,405	2,83	7,13	15,4	23,7	34,1	28,4
		1,000	1,100	1,200	1 ,300	1,400	1,500	1,600	1,700	1,800	1,900		2,00	2,050
8 с	?	0,000	0,0329	0,0492	0,0550	0,0545	0,0495	0,0430	0,0361	0,0304	0,0259		0,03125	0,290
II	А 2	— оо	-27,5	-14,3	—9,56	-6,63 1	—3,90	-0,745	3,96	11,85	27,10		60,0	50,0
Q	Ф	1,000	1,050	1,100	1,150	1,200	1,250	1.300	1,350	1,400	1,450		1,500	1,525
8 CN	F	0,000	0,0108	0,0172	0,0200	0,0207	0,0197	0,0180	0,0159	0,0137	0,0128		0,0208	эо
и	А 2	-оо	—87.0	—44 4	-29,3	-20,30 1	-12,95	-4,38	7,05 1	25,9	53.2		137 |	103
Из табл. 6 и рис. 10 следует:
1. При заданном с величина Ао (этой величине соответствует F() такова, что если А > Ао, прогиб всегда больше (с ростом с зна-
чение А о растет).
2. При заданном с и А > 0 независимо от прочности нити существует минимальное значение Fr (этой величине соответствует AJ, при котором прогиб не превосходит w0. С ростом с значение FA убывает.
3. Значение Ао больше значения Л2, соответствующего нера-
стяжимой нити, следовательно, в
Рис. 10. Пояснительный график к табл. 6
некоторых случаях увеличение площади сечения (при неизменной начальной длине) приводит к возрастанию абсолютной величины прогиба.
4. В некоторых случаях увеличение предварительного натяжения может привести к росту прогибов (на графике рис. 10 эта область соответствует участку между точками 0, F3 и Л4, FJ.
5. Минимальное значение распора. какого можно добиться в гибкой нерастяжимой нити при ограничении ее прогиба от дополнительной нагрузки [р(х) ], определяется величиной указан-
ной нагрузки и отношением допустимого прогиба к пролету, не зависит от величины основной нагрузки lq (х)1 и пролета (в рассмотренном примере минимальное значение Н2 имеет место при
k — 1,0; этому значению соответствуют Ао, Fo > Fj).
6. Если при минимальном значении распора, принятом в соответствии с предыдущим пунктом, и заданном значении с не удовлетворяется условие прочности, следует принять А — А.> (для нерастяжимой нити) и подобрать сечение исходя из условия прочности.
7. Значение постоянной нагрузки (коэффициент с), при котором одновременно выполняется и условие прочности и условие | w [ - " можно найти при минимальном значении распора за счет изменения коэффициента с. Если при некотором значении с удовлетворяется условие прогибов, но не удовлетворяется условие прочности, следует уменьшить с (при этом F() растет, а Л(| убывает). Аналогично следует поступать, если за основу принимается минимальное значение сечения Fг
34
§ 4. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ НИТИ
Наряду с различными видами однопролетных нитей в практике проектирования и строительства встречаются элементы, которые по характеру работы можно рассматривать как многопролетные нити.
Простейшим расчетным случаем таких элементов является многопролетная нить, промежуточные опоры которой свободно перемещаются в направлении оси X, будучи неподвижными в остальных направлениях (шарнирно подвижные опоры). Всякая полностью неподвижная опора для такой нити служит концевой в том смысле, что расчет участков по разные стороны от нее может производиться независимо. Из условий равновесия многопролетной нити с шарнирно подвижными промежуточными опорами следует, что при действии поперечной нагрузки величина горизонтальной составляющей усилия в нити Н на всех участках нити одинакова.
Уравнения (15), (17) полностью применимы к отдельным участкам нити. Для определенности условимся считать первой левую неподвижную опору нити, а номер пролета — равным номеру его левой опоры. Обозначая индексом i величины, относящиеся к ьому пролету нити, имеем
xi-il	з
J Р + (%.)2+(2й)2] 2dx-
/ч	(х) ,	, . ,
Ч W = „ + Уы (л) + 17/
'	1 I
Wi(x)=M^L + zOi(z,.) + 171
(54)
где	x — текущая абсцисса нити;
х., х. ( — абсциссы начала и конца i-ого пролета;
Мг1 — изгибающие моменты в шарнирно опертой балке пролета хг+1— х. от нагрузки, приложенной г< нити в этом пролете.
Подставляя (54) в (53) и производя суммирование получающихся при этом уравнений по всем пролетам нити, с учетом равен-
где т — общее число пролетов нити;
D,, А. — величины D, А, вычисленные для Лого пролета (под понимается разность между длиной нити в юм пролете и расстоянием между опорами этого пролета).
В частности, когда опоры нити неподвижны, “ К'|| —«(х1) =°-
В случае, когда крайние опоры упруго податливы и имеют место температурные воздействия, аналогично (27), (31) получим
tn	т
+ 2(4^+= т2Р*’ (56) ^1	i —I
где а — коэффициент линейного расширения материала нити;
Л/, — перепад температур в Лом пролете;
ар ал2 , — коэффициенты упругой податливости крайних опор нити.
Заметим, что смещение промежуточной опоры (лг£) в каких-либо направлениях приводит к изменению параметров нити па примыкающих к этой опоре участках |величины А , А. изменяются так же, как величина А применительно к уравнению (30)1-
Полученные уравнения (55) и (56) аналогичны выведенным в § 2. Таким образом, для расчета рассматриваемой многопролетной нити может быть использовано уравнение (32) и соответственно номограмма (рис. 8), а также табл. 4.
В этом случае
36
Несколько сложнее рассчитывается многопролетная нить с упруго податливыми в горизонтальном направлении промежуточными опорами.
К каждому пролету такой нити по-прежнему применимы уравнения (53), (54), но на различных участках нити различно. Обозначая через а,- коэффициент упругой податливости Z-ой опоры нити, имеем
h-. i)—ui (*i) =	।—Ht)—ai (Hi—=
= a« t \HiД 1 — (Я/ ! + а/) Ч- +	(57)
Расчет нити при этом сводится к решению системы т кубических уравнений с неизвестными А/г:
н\ [/2^1 + а, + Я|) н, + — [ IR cos3 'fi	/	2cos3 fi
D
2
—---------а/+1Н,
2COS3 ff-
< I < т)\
R cos3 ? i	1 / 1
— а,Н,_|] =-^-(при 1
(58)
2 m
Г / x„, । — *
I I >» । 1_m
[\ Reason
4- °,

2 cos3 vm
„ fj I ___________ &m
11	g
Решение такой системы может быть получено методом последовательных приближений. В зависимости от относительной податливости промежуточных опор в качестве первого приближения следует принимать значение Н для многопролетной нити первого типа (oct- -> сс) или значение Н в однопролетных нитях (oct -> 0) Последующие приближения получаются решением кубических уравнений типа
{н<у Г /	+ а.+( + J	+ Л
L \ R cos3 %-	/	2cos3fz
_а.	=_OL>
(59)
где k — порядок приближения.
Наряду с двумя рассмотренными типами многопролетных нитей возможна многопролетная нить смешанного типа, у которой часть промежуточных опор шарнирно подвижна, а часть упруго податлива. В этом случае многопролетную нить можно считать состоящей из участков, ограниченных упруго податливыми опорами.
37
причем внутри каждого участка опоры шарнирно подвижные. Соответственно решение задачи описывается системой уравнений, аналогичной (58), но каждое из уравнений системы относится уже не к отдельному пролету, а к целому участку и имеет вид, аналогичный (55):
Ait 2cos3 ц

(60)
Здесь индекс t соответствует номеру участка между упруго податливыми опорами, а индекс i — номер пролета на этом участке, отсчитываемый от левой упруго податливой опоры; tnt — число пролетов на участке t.
Общее число уравнений в системе (60) на единицу меньше числа упруго податливых опор, считая, что к последним относятся и крайние опоры нити.
Принципиально схема решения задач о подборе сечения нити по прочности (при известной нагрузке и параметрах нити) и о подборе сечения нити и ее начальной длины при заданных ограничениях на прогиб (при известных нагрузке и материале нити) для многопролетных нитей с шарнирно подвижными промежуточными опорами совпадает со способом решения аналогичных задач для однопролетных нитей, рассмотренным в предыдущем параграфе. Решение задач такого типа для случая упруго податливых промежуточных опор несколько сложнее, но может быть проведено с помощью методов итеративного типа.
Пример 3
Определить горизонтальную составляющую усилия в нити, загружение и схема которой даны на рис. 11, если сечение нити F = 10,0 см2, модуль упругости материала Е=2Ю° кг/см2, начальная длина нити в первом и третьем пролетах Li = L-л = 142,421 м, во втором пролете L* = 100,667 л.
На основании исходных данных жесткость нити при растяжении
R = 2-106-10 = 20-10° кг - 20-10’ чг.
Характеристики нагрузки:
Di = D3 =
0,22-1003
12
= 3310 т - м;
~	0,62-100-s
О.» --------------— 30 000 т- м.
I2
38
В соответствии с (55) расчетное уравнение принимает вид:
Н3 (100-2 2 + 100	100 2?) Н [(142,421 — 141.421) 2 2 +
41
+ (100,667—100) + (142,421 — 141,421) 2 2 J =
= -у (3310 - 30 000 1 3310), откуда следует
/У2 (//-0,0333	6,323)	18 310.
Окончательно Н = 48 т.
ШПППШ 4,-w
Н I I I I I I I И И I и И И Н I I I I t I t I I t t I > ц- 0.2 ч»
Пример 4
Подобрать сечение нити, загружение и схема которой даны на рис. 11 если Li = £3 = 142,421 м, L2 = 100,667 м, Е = 1,6-10е кг! см2, [oj = ®= 10 000 кг!см3.
В соответствии с предыдущим примером з	3
Di = 36 620 tn3 м; V1 -£‘ -~-- 6,323 м;
cos3 V/ i = i
3
= 665 ж; ₽ = -	- 0,95-10“2.
cos3	665
Горизонтальная составляющая усилия в нерастяжимой многопролетной нити
39
По формуле (40) определяем значение коэффициента т у опор 1 и 2:
Н'+Й+'П’-'-
Принимаем наименьшее из значений т = т\ = 0,645. Тогда
0,645-10000	.^2
1,6-10»
В соответствии с (41) имеем
1 Г______________________36 620-106________________1 2
2-10® [ (0,403 10-2)2 (0,403-10“2 +0,95 10“2) 2-665 ]
Пример 5
Определить горизонтальные составляющие усилий на отдельных участках многопролетной нити, показанной на рис. 11, если крайние опоры неподвижны, а податливость промежуточных опор 2 и 3 одинакова и составляет 0,05 м!т. Сечение нити F = 12,5 с/<2; модуль упругости материала Е = 1,6-10е кг! см2-, начальная длина нити в первом и третьем пролетах одинакова и равна 142,421 ж, а во втором пролете составляет 100,667 м. Как и в примере 3, Di — Ds — 3310 т~м; D2 = 30 000 т2м. Вследствие симметрии конструкции и загружения Hi = Нз и на основании (58) задача сводится к решению системы уравнений:
ТУ2 170,05 ] Н + 2,828 — 0,0577 1 = — ;
1 [\20 -103	) 1	2 J 2
д/2 Г/ —122— г о, юо)	+ 0,667 — 0,1007/1 = 30 00^-.
2[\20-103 I 2	\|	2
При составлении этих уравнений учтено, что
*=* = *4^=282*;	^- = 100л;
cos3 45° cos3 45°	cos3 0е
—-----1 = —----- _ 2 828 м- —-— = 0,667 м;
cos3 45е cos3 45°	’°	’ cos3 О3
R = 20-10® кг — 20-103 т.
Податливость промежуточных опор в рассматриваемом примере довольно велика и за первое приближение в соответствии с ранее данными рекомендациями следовало бы принять значение Н, полученное для многопролетной нити с шарнирно подвижными промежуточными опорами. Однако, для того чтобы на конкретном примере показать, что выбор значения величин в первом приближении не столь существен и отражается лишь на объеме расчетов, мы в первом приближении принимаем значения Н для однопролетных нитей. Дальнейший расчет представлен в табл. 7.
40
Расчеты к примеру 5
Таблица 7
Этапы приближений	Расчетные уравнения	т
1	//](0,064Ш1 4 2,828) = 1655 //2(0,110/7.,+ 0,667) = 15 000	20,1 49,5
2	(0,0641/7г + 0,360) = 1655 /7^ (0,1 Ю//2 — 1,343) = 15 000	27,8 56,0
3	Н-х (0,0641	+ 0,028) = 1655 /7| (0,110//2 — 2,113) = 15 000	29,4 58,7
4	77] (0,0641/71 — 0,107) = 1655 //2(0,110/72 — 2,273) - 15 000	30,1 59,4
5	/7, (0,0641^—0,142) = 1655 Hl (0,110/7., — 2,343) = 15 000	30,3 59,5
§ 5. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ НИТЕЙ, ОБРАЗУЮЩИХ УЗЕЛ
Рассмотрим систему нитей, образующих узел, схематически показанную на рис. 12. Для математического описания такого
узла удобно воспользоваться цилиндрической системой координат с началом в самом узле.
Ограничимся случаем, когда каждая из нитей, образующих узел, загружена поперечной нагрузкой, параллельной некоторой оси (оси Z). Соответственно в плоскости, перпендикулярной оси Z, выбирается полярная система координат. Направление /-ой нити полностью характеризуется углом между некоторой фиксированной осью (осью X) и проекцией нити на плоскость, перпендикулярную
Рис. 12. Схема нитей, сходящихся в узле
оси Z. Для упрощения дальнейших
выкладок будем считать условия закрепления внешнего конца нити заданными (внутренним концом нити считается сам узел).
41
Очевидно, под действием нагрузки узел может получить некоторое перемещение, проекции которого на оси X, У, Z будут равны uyi vy, wy (ось Y предполагается перпендикулярной осям X, Z, о которых сказано выше). Соответственно конец нити, принадлежащий узлу, сместится в направлении нити на величину
щ (0) = иу cos + vy sin 6Z,	(61)
а в направлении оси Z — на величину wy.
Заметим, что при схеме загружения, которая нами принята, влиянием смещения конца нити в плоскости XOY по нормали к направлению нити на усилия в нити можно пренебречь.
Применяя к каждой из нитей уравнение (30), получим систему т (по числу нитей) уравнений, связывающих значения усилий в нитях Ht с перемещением узла иу, vy, wy. Кроме того, применительно к узлу должны выполняться * уравнения статики.
Условие равновесия всех сил, приложенных к узлу, в проекции на ось Z имеет вид
т
2^(0) 4-^=0,	(62)
где Ру — сосредоточенная сила, приложенная в узле;
z\ (0) — тангенс угла наклона нити в плоскости ХО Y в узле.
Аналогично (23) получим
/ v Mt ।	, X /«
Zi + + Vh + Wi ~~ ’
z'(0) = вН°)  hi u>i  wy
Hi k k
где hlt w, — аппликата и смещение внешнего (по отношению к узлу) конца нити;
It—длина проекции нити на плоскость XOY.
Следует отметить, что при выбранной системе отсчета перерезывающая сила Qi (0) равна величине опорной реакции Wty в балке пролета взятой с обратным знаком, т. е. Qt (0) = — Wiy (положительное направление реакции противоположно положительному направлению нагрузки).
В соответствии со сказанным уравнению (62) можно придать следующий вид:
т	т	гп
Условия равновесия ции на оси X, У:
(63)
всех сил, приложенных к узлу, в проек-
т	т
V Ht cos 6, = 0; V Ht sin Bi = 0
(64)
42
Таким образом, для расчета узла получается система из т 4- 3 алгебраических уравнений.
Уместно напомнить, что по своему характеру нить способна воспринимать только растягивающие усилия, являясь по отношению к узлу односторонней связью. Это необходимо учитывать при расчете узла, выключая из него соответствующие величины.
При решении описанной выше системы уравнений для расчета узла можно рекомендовать следующий метод последовательных приближений:
1.	В качестве начальных значений принимается
, ДО) _ (0) _	(0) _ л
Uy — Vy — Wy — v.
2.	Пусть «уЛ), v{y\ w{y\ и\п\ w\n) величины, найденные из предыдущего этапа расчета, причем под ut понимается перемещение внешнего конца нити вдоль проекции нити на плоскость X0Y. Тогда величины //!п) вычисляются при значениях
иу =	\ vy = Vyn), wy =	= Uin\ w{ =
При этом, если Мп) 0, принимается Мл) — 0.
3.	По находятся величины:
’(и, = X(n)g22-y(n)gl2 . 2	*
С11С ’2 ~ °12
о1А2-“?2
(65)
(66)
(67)
где
43
В частности, если внешние концы нити закреплены упруго податливо в горизонтальном направлении (щ --- а£Я£), имеем х("> = V (1+0,-^-)cose,; Г(я, = ^	+ arsine,.
Заметим, что по физическому смыслу уравнения (65), (66) означают распределение невязки, получающейся при подстановке Н'р в (64), между элементами узла так, как если бы последние образовывали статически неопределимую стержневую систему.
4.	В качестве основы для последующего этапа приближений принимаются величины
Uy = Uy ~}~Uy , Vy — и Г Uy , если wlyn\ wly} одного знака, то
4nU,= ±«+4»):
в противном случае
(п ' I) 1	(л)
ЯУу =------------WX) .
у 2	У
Процесс считается законченным, если значения величин, найденных на двух последовательных этапах расчета, близки в смысле потребной точности вычислений.
Разумеется, если по каким-либо соображениям известны направление прогиба узла и порядок величины wy, процесс несколько сокращается, и в качестве w{y} можно принять указанное значение wy.
Практический интерес представляет узел, в котором пересекающиеся нити соединены так, что их взаимное смещение исключено только в вертикальном направлении. Схема такого типа иллюстрируется рис. 13 для примера 6, рассмотренного ниже. В этом случае нити по характеру работы приближаются к двухпролетным (узел соответствует средней опоре).
Усилие в каждой из нитей выражается через нагрузку и вертикальное перемещение узла wy уравнением
£,	_ u„	-0.^ \
f^_|\ ^и СО83уг1- ^cos3^ / 1ц COS~3 уц 4- I# cos“3 if#
= ------—fo+P*------------- _Ri_ .	(68>
COS 3	4- l2i COS 3 ff2l 2
Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к левой и правой частям нити;
Lt — длина всей нити (сумма длин левой и правой часги);
4-1
lt — hi + hi — пролет нити;
— разность горизонтальных смещений правого и левого концов нити.
Условие равновесия узла описывается уравнением вида (63)
S н‘ + i) ~ “ S(U7’« ' т Р«+
т
где WyU, аналогичны величине формуле (63) и являются балочными реакциями от нагрузки, приложенной в левой и правой частях нити.
При рассматриваемой схеме соединения нитей в узле условия равновесия узла в плоскости XOY выполняются автоматически, так как величина Н для каждой нити одинакова на обоих участках. Соответственно решение системы уравнений (68), (69), описывающих узел рассматриваемого типа, сводится к изложенному выше, причем необходимость счета по (65), (66) отпадает, так как уравнения (64) удовлетворяются тождественно.
Если внешняя нагрузка состоит из сосредоточенной силы Ру, приложенной в узле, образованном струнами, задача расчета сводится к решению одного кубического уравнения. Действительно, в соответствии с (30) усилие в каждом элементе определяется выражением
И, = к.. +	_ u,.) I ht _|_	_	(70)
Л
На основании (63)
т
V Н, ' ~(и,у~ю,) = Р	(71)
Окончательно для определения wt. получаем
„3 1 VI fliCOSy, v 2 Xi /3
Cl Ri cos -fl
7 J fl
fftC03Slf‘ — 2,5Й,Ш; +№*) + //;
т

Rt cos ----------------------lC’,-

(72)
45
В частности, если wt = ht- = 0, т. е. все элементы, образующие узел, лежат в одной плоскости XOY, а внешние концы закреплены неподвижно, то
=	=	(73)
В практике строительства и проектирования нашла также применение система, при которой нити пересекаются в двух узлах, расположенных на одной вертикали и соединенных между собой распоркой (рис. 14). При расчете таких систем, как правило, можно пренебречь деформацией распорки (сжатие, растяжение) и влиянием горизонтальных составляющих усилий в распорке на условия равновесия узлов.
В результате таких допущений уравнения статики имеют вид:
Ht cos е( = 0; 5 Н, cos 6, = 0;
У. Ht sin 6( = 0; У Нj sin 6(. = 0.
Здесь индекс i, изменяющийся от 1 до п, относится к нитям, пересекающимся в верхнем узле (узел 1), а индекс /, изменяющийся от 1 до /и, соответствует нитям, пересекающимся в нижнем узле (узел 2).
Процесс расчета такой системы аналогичен изложенному выше для случая, когда все тросы пересекаются в одном узле, но при этом следует различать величины иу1, vylt uy2t vy2t относящиеся соответственно к верхнему и нижнему узлу. Каждая из этих величин определяется при последовательных приближениях по формулам (65), (66) в соответствии со значениями параметров тросов, сходящихся только в данном узле (первом или втором).
Не представляет труда в этих расчетах учесть и горизонтальную составляющую усилия в распорке (подвеске). Само усилие в распорке можно найти (при известных //,, Hf и wy) из условия равновесия узла; его составляющие в направлении осей X и ¥ также легко вычисляются, если известны величины иу1, иу* и цу1,
Лр=-^	Fp=	(76)
hy	hy
46
где ЛГр — усилие в распорке;
hy — расстояние между узлами 1 и 2.
Тогда учет влияния горизонтальных составляющих усилий в распорке сводится к замене величин Xift), y|ft) на Х>А) + Хр°, уНЮ + yj*) и величин 4‘’, на	— Х*’,	— yf» при
определении смещения узлов в плоскости ХОУ, проводимом в соответствии с (65), (66).
Анализ результатов расчета даже простейших узловых систем, образованных двумя нитями, лежащими в одной вертикальной плоскости, позволяет указать на ряд особенностей их поведения.
Пример 6
Узел образован двумя нитями, лежащими в одной вертикальной плоскости (ряс. 13). Соединение тросов в узле исключает их взаимное вертикальное смещение, не препятствуя горизонтальным. К нити 2 на участке 2 при-
Рис. 13. Расчетная схема к примеру 6
ложена равномерно распределенная вертикальная нагрузка q = 1 т!м.
Жесткости нитей при растяжении одинаковы и равны Ri = /?2 = 12-10* т.
Требуется провести расчет узла при геометрических размерах, пока-
занных на рис. 13, и при Нц = 0; Нц = 100 /и; Нц = 200 т.
Вычисляем характеристику нагрузки
12СЛЗ
D22 = —	- = 1,04-10* Т2м.
12
На основании (68) усилие во втором тросе определяется из уравнения


wu (5-° Ь wy)
12 10* I
50-2-50 ]
1,04-10*
2
12-10* 2-50 ’
или
77* [Я3 — Н2 + w (10 — 2toJ -12] = 6,25-10® Л
Усилие в первом тросе соответственно равно
= /Л+ ^(1° +2^)-12-
На основании (69)
25
Wy — ------------------
У	2
(Ri+A/2)-±-
625 + 2,5(^2 — 77!) 772+771
Последовательность расчета и его результаты видны из табл. 8.
47
Расчеты к примеру 6
Таблица 8
-)тапы вычислений		(10—	12—/<,. т	| Н„ т	Hi, т	Чг *
		Н С			
1	0,00	и, оо	0	184	5,90
2	2,95	145	562	147	—0,72
3	1,12	104	165	155	1,81
4	1,46	124	226	151	1,16
5	1,31	116	199	153	1,45
6	1,38	120	211	152	1.32
7	1,35	118	206	152	1,37
8	1,36	119	207	152	1,36
		Н 100 т			
1	0,09	—100	100	224	2.88
2	1,44	23	322	180	0,54
3	0,99	—4,5	243	186	1,13
4	1,06	0,0	254	184	1,02
5	1,04	-1.2	251	185	1,05
		Н 200 т			
1	0,00	-200	200	280	1.72
2	0,86	-113,5	321	231	0,72
3	0,79	-120,5	310	234	0,800
4	0,795	- 119,6	310.5	235	0,795
Расчеты
Этапы вычисления	1^1 О', м		wy(10— лг	Wy(wi 2Wy)‘ м-	^22 п [И 1/^00 ’ т	Н„, т	
						Hi, о	
1	5,65	1,360	9,90	17,30	254	348	
2	4,38	1,230	9.28	15,35	217	290	
3	4,06	1,320	9,71	16,70	214	296	
4	3,91	1,265	9,45	15,85	207	284	
5	3,83	1,290	9,66	16,23	208	287	
6	3,79	1.280	9,52	16,20	205	285	
						= 100 tn	
1	3,83	1,040	8,24	12,57	91	343	
2	3,09	0,982	7,90	11,75	69	315	
3	3,91	0,991	7,95	11,85	65	312	
4	2,89	0,985	7.90	10,80	64	311	
					"а -	= 200 т	
1	2,38 I	0,795 I	6,68 I	|	9.23	1	|	—51	I 380	
2	1,58	0.770	6,51	8,88	—84	341	
3	1.91 |	0,762 1	6,44	|	|	8.80	|	1	—77	|	352	
4Ь
Пример 7
Рассчитать узел, рассмотренный в предыдущем примере, если соединение в нем Исключает всякое взаимное смещение нитей.
Усилия в нитях в соответствии с (30) определяются по формулам;
#п = #п + 1^200 + wy (10 2иуг)) -12;
#12 = #12 Ь I— «_у200 F wy (10 -и 2юм)]-12;
#2i = #21 f- [м^ОО —1^(10 F- 2Wy)J • 12;
= («22 - «22 Ь IS200 + % ('° - 4)1 • '21 “
= 1,04.10. ..IgJ* 2	50
В соответствии с (65), (67)
#22 4 #12 — #11 — #21
104 4-12- —
50
1250 - 2,5 (#„ + Н12 — Н21 — Н22)
#11 4 #21 4 #12 4 #22
к примеру 7
Таблица 9
нга» т	А/м, т	/Уи, т	+ + ?? ’ + э	/Уц+Т/ц	 —Н>,—Н~, т	1*	“V м	Л1
72	17	171	608	232	122	1,100	—1,27
79	0	178	547	191	33	1,410	—0,32
ЮЗ	0	179	578	220	14	1,210	—0,15
96	0	180	560	204	7	1,315	—0,08
103	0	180	570	210	4	1,270	—0,04
104	0	180	569	209	I	1,280	—0,02
159	93	206	801	203	71	0,925	—0,74
167	80	211	773	191	17	1,000	—0,18
173	75	212	772	198	2	0,978	—0,02
172	75	213	771	195	1	0,987	—0,01
242	1 189 1	I 250 I	1	1061	I	183	1	77	I 0,745	1 -°’8°
269	160	260	1040	186	-32	0,755	°’33
260	1 169 1	1 261 |	|	1042	1	182	о	| 0,765	1	0,00
49
В качестве значений и\!\ принимаем результаты предыдущего примера.
Нетрудно видеть, что смещение узловой точки первого троса в предыдущем примере равно нулю. Смещение узловой точки второго троса
%. (VI
Uy,	'	
А 2	*22
При На = О
и,2 = 152. 5-0.10-<+ 1.37 (2.5 - 0.54^ =	*
*12	50
При Hij = 100 т
и у, = (185 — 100). —  ИГ4 + '^t2’50—0.5 1,04) =	1(г2
*® 1	12	50
При Hij = 200 т
= (234 - 200)• “ • 10~4 +	(2.50-0.5.0.7^ =	2 *
v’	12	50
Остальные расчеты представлены в табл. 9.
Пример 8
Рассчитать систему, показанную на рис. 14, принимая параметры тросов и нагрузки такими же, как в примерах 6,7.
Предполагается, что изменением длины распорки (подвески) можно
обеспечена.
Усилия в тросах определяются по тем же формулам, что и в примере 7.
Сжимающее усилие в распорке и растягивающее усилие в подвеске равны по абсолютной величине н составляют
V = (W„ -Г 771.J
пренебречь, а устойчивость сжатых элементов
Рис. 14. Расчетная схема к примеру 8 а — система нитей с распоркой а центральном узле-б — система нитей, соединенных в центральном узле подвеской
— (^и + Н 12) х
X (0,05 4- 2iiy„10-2).
Горизонтальные смещения узлов:
при схеме рис. 13, а (распорка)
Hj '2 — ^11	'
212.-^ 50
50
иу2 —
H.2Z—H.2l — Xp
10*
50
при схеме рис. 13, б (подвеска)
«_«1 =
Я13-Яп-Хр
212 —
50
* Н^ — Н2Х , Хр
Uu2----------------------
104
2-12- — 50
где
х„ = ц»-ц«« дг
5,0
Вертикальное перемещение узлов одинаково и определяется по той же формуле, что и в примере 7.
В качестве первого приближения принимаем результаты примера 6 (значения н1/2 см. в примере 7). Результаты расчета приведены в табл. 10.
Таблица 10
Расчеты к примеру 8
Наименование величин	Единица измерения	нч		
		0	100 т	200 т
U{/2	м	11,30 10'2	7,66-10“ 2	4,79-10~2
иу\	»	0,00	0,00	0,00
Wy	»	1.36	1,04	0,795
Wy(5—wy)	м*	4,95	4,12	3,34
wy (5 + Wy)	»	8,65	6,27	4.60
—Н2.2 ' [u^olO2 1- Wy(5— ^)] 24	tn	390	185	—5,0
T/ц = T/12	*	207	251	310
7/2l —	»	152	185	234
7/11 T/l2 -j- T/21 k //22	»	718	872	1088
7/ и	77 к — H si — 7/22	»	ПО	132	152
	»	31,9	35,6	40,8
1 x₽l	»	0,720	0,545	0,391
* * uy2	м	0,I510'3	0,11-Ю-3	0,08-10-3
'Wy	»	1,36	1,05	0,800
51
Пример 9
Несколько неожиданный результат получается при расчете системы нитей, рассмотренной в примере 7, на действие нагрузки, симметричной относительно узла (рис. 15). Исходные данные и результаты расчетов представлены в табл. И.
Таблица II
Расчеты к примеру 9
(при -у- - 4-1U3 глЛи j
			^(2ft + ^)		_wy{2h-~wy)^	
h, м	H, = H,. m	w., м	21	x x # + 77,. m	m	I	X x у- 4 77a = я2, m	
2,5	0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600	0,950 0,765 0,740 0,700 0,650 0,600 0,550 0,500 0,460	226 376 570 760 947 1134 1322 1510 1700	605 677 795 923 1069 1225 1393 1567 1746	0 71 274 480 687 895 1102 1310 1517	0,950 0,765 0,735 0,700 0,645 0,595 0,545 0,503 0,462
5,0	0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600	—0,155 ^0,060 0,150 0,217 0.255 0,263 0,265 0,263 0,255	—61 224 460 687 900 1102 1303 1503 1704	497 604 725 870 1030 1200 1376 1560 1749	63 176 340 513 700 892 1091 1292 1496	—0,152 4-0,070 0,150 0,217 0,250 0,261 0,267 0,262 0,253
10,0	0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600	—0,278 —0,155 —0,062 —0,001 4-0,030 0,057 0,071 0,079 0,084	—219 —77 350 599 824 1046 1257 1463 1667	453 547 665 812 971 1151 1334 1523 1714	225 325 450 601 776 954 1143 1337 1533	—0,279 -0,155 —0,061 -0,002 40,020 0,055 0,071 0,079 0,084
D=^=5^=69>5I03m2Jl(;
45	45
рЛ — Hi — - у (2h + Wy) • 4- IO3] = 139- 10е;
L	2 50	J
•	2085— /1(77!— НЛ
Wy - wu = -----—-----M.
j H, + H2
52
h 2 5
При -у-	— 0,05 поведение системы напоминает поведение струны.
Прогиб в точке О с увеличением предварительного натяжения падает.
Однако уже при -у- =	= 0,10 наблюдается своеобразное явление:
прогиб в точке О с ростом предварительного натяжения сначала уменьшается по абсолютной величине, затем начинает расти и по достижении некоторого значения И вновь начинает падать.
Таким образом, в рассматриваемом типе систем увеличение предварительного натяжения может приводить к росту перемещений в определенных точках. Разумеется, увеличение прогиба узла при увеличении предварительного натяжения может иметь место и при других типах загружеиия.
Рис. 15. Расчетная схема к примеру 9
Анализ результатов, полученных в примерах 6—9, позволяет сделать следующие выводы:
1.	Устранение взаимного смещения тросов в горизонтальном направлении мало сказывается на вертикальном перемещении узлов (при воздействии только вертикальной нагрузки), но может приводить к существенному перераспределению усилии между тросами.
2.	Как правило, горизонтальные составляющие усилий в распорке не оказывают существенного влияния на поведение узла, и можно считать, что распорки (подвески) не влияют на взаимное смещение тросов в горизонтальном направлении (исключая взаимное смещение тросов в вертикальном направлении). Лишь при очень малой длине подвески (распорки) ее влияние на взаимное смещение тросов в горизонтальном направлении может оказаться существенным.
3.	При внеузловом характере приложения внешней нагрузки предварительное натяжение не всегда уменьшает перемещение узла. В некоторых случаях с ростом предварительного натяжения перемещение узла, вызываемое действием внешней нагрузки, растет.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ФЕРМЫ ИЗ ТРОСОВ
§ 6. РАСЧЕТ ОДНОПРОЛЕТНЫХ ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
Методы и приемы построения уравнений для расчета рассмотренных систем нитей в значительной мере применимы и к фермам из тросов. Некоторые типы таких ферм уже упоминались во введении (рис. 1, 2). Характерным для них является наличие двух поясов, образованных весьма гибкими элементами — тросами, которые соединяются между собой с помощью подвесок (распорок) (рис. 16).
Ферма I типа (рис. 16, а) образуется тросами, раздвинутыми с помощью распорок. После предварительного натяжения распорки такой фермы оказываются сжатыми. Вследствие этого приходится принимать специальные меры против возможной потери распорками устойчивости.
В фермах II типа (рис. 16, б) пояса стягиваются подвесками. Таким образом, подвески в основном работают на растяжение. Это обеспечивается и выбором соответствующей величины предварительного натяжения.
Поскольку необходимая жесткость распорок (подвесок) обеспечена, естественно предположить, что в работе обоих типов ферм при восприятии внешней нагрузки нет существенного различия. Это обстоятельство находит отражение и в предлагаемой ниже методике расчета.
Фермы III и IV (рис. 16, в, г) типов будут работать так же, как фермы первых двух типов, если в местах пересечения поясов не ввести специальные узлы, устраняющие возможность взаимного смещения тросов в горизонтальном направлении. Если же с помощью конструктивных мероприятий возможность взаимного смещения поясов в горизонтальном направлении устранена, характер деформаций ферм последних типов может существенно отличаться (при действии вертикальной нагрузки) от характера деформаций ферм I и II типов. Следствием различия в деформациях является и различие в усилиях.
Так как пояса фермы являются гибкими, они способны воспринимать сжатие лишь постольку, поскольку сжимающие усилия в них не превосходят величины предварительного натяжения. Таким образом, конструкция в целом работает благодаря предварительному натяжению, и предельным моментом в существовании це-
54
Рис. 16. Схемы однопролетных ферм из тросов а — ферма I типа; б — ферма II типа; в — ферма-111 типа; г — ферма IV типа; 1 — несущий трос; 2 — напрягающий трос; 3 — распорки; 4 — подвески
лостной конструкции является появление в одном из ее поясов сжимающих усилий.
Расчет ферм из тросов, рассматриваемых в настоящей работе, строится при следующих допущениях:
1.	Пояса фермы образованы пологими идеально гибкими упругими элементами (тросы в расчетном отношении эквивалентны нитям);
2.	Внешняя нагрузка, действующая на ферму из тросов, направлена вертикально (вдоль оси / декартовой системы координат) и задана в функции от положения точки на горизонтальной оси;
3.	Подвески (распорки) первоначально вертикальны, не препятствуют горизонтальным смещениям точек тросов. Их отклонением от вертикального положения, вызванным деформацией фермы под нагрузкой, можно полностью пренебречь; точнее, можно полностью пренебречь влиянием горизонтальных составляющих усилий в распорках (подвесках) на работу фермы в целом;
4.	Подвески (распорки) исключают взаимное смещение тросов в вертикальном направлении (нерастяжимы и несжимаемы);
5.	Расстояние между соседними распорками (подвесками) весьма мало.
Влияние этих допущений на точность расчета будет подробно рассмотрено в § 12. В дальнейшем индексами 1, 2 обозначены величины, относящиеся соответственно к выпуклому в направлении возрастания Z (несущему) и вогнутому в том же направлении (напрягающему или стабилизирующему) тросам фермы.
Из условий равновесия элемента фермы (рис. 17) следует
Нх + Н2 = —q(x\ 1 dx2 2 dx?
(77)
где Нъ Н.2 — горизонтальные составляющие усилий в соответствующих тросах (вследствие принятых допущений Hlt Н2 постоянны по длине троса);
z2 — форма соответствующего троса;
q (х) — интенсивность внешней нагрузки.
Так как сжатием и отклонением от вертикального положения распорок (подвесок) пренебрегаем, имеет место зависимость
Zi = 2i + w‘> z2 = z2 4- wt	(78)
где zb z2 — некоторая начальная форма троса, например форма троса после предварительного натяжения;
w — вертикальное перемещение, отсчитываемое от начального положения.
Рис. 17. Схема равновесия элемента фермы
Зависимость вида (78) должна иметь место, в частности, и при q = 0. В этом случае
= °.	(79)
где Нъ Н2 — горизонтальные составляющие усилий предварительного натяжения.
На основании (79) при определенном выборе начала отсчета имеем
j± = -^-=k,	(80)
z,
где k — некоторое положительное число.
56
Отношение (80) имеет интересный физический смысл. Очевидно, пропорциональность существует не только между самими функциями, но также и между их производными. В свою очередь, пропорциональность производных означает, что касательные в некоторой точке х к кривым zlt z2 пересекаются в точке, лежащей на оси X. Указанные точки пересечения касательных являются мгновенными центрами вращения распорок (подвесок), а так как они лежат на одной прямой, то ферма из тросов кинематически эквивалентна струне. Именно это обстоятельство и обусловливает меньшую по сравнению с обычными нитями деформативность таких ферм. Более того, соответствующим подбором параметров фермы всегда можно добиться при заданных значениях zx, z.lt чтобы се прогиб не превосходил допускаемой величины.
С учетом (80) уравнению (77) можно придать вид
+ <81>
где штрихами обозначена операция дифференцирования по х.
Дважды интегрируя это выражение и учитывая, что w = О по концам пролета фермы, получим
м «-<//, - kH^ + —М
w (х) =---------------------Ж-.	(82)
'	я, + н2
Здесь Л4 (х) — изгибающий момент в шарнирно опертой балке того же пролета, что и нить от нагрузки q (х);
h — вертикальное расстояние между концами тросов на опоре.
Для дальнейшего введем обозначения:
Н = Н1 + Н2\ H=Hl + H2t T-~Hx—kH2. (83)
При этом
Т7 kH . 7Т Н _ rj kH к Т _ г,
Л1 1   	у 17 о   *	| —	> И *
1	1 + k 2 I + k 1	11 k
Н~^т (84)
1 1 k
w,(x)= — H
(85)
где Q (x) — перерезывающая сила в балке того же пролета, что и нить, от нагрузки q (х).
На основании общих допущений, принимаемых для расчета пологих упругих нитей и сформулированных в § 1 при выводе (16),
57
зависимость между перемещениями и усилиями в тросах фермы имеет с учетом (80) вид:
|и'; + т“')Л; (Ж>
«. и -". м	- то/)Л- <87>
где хь х2 — абсциссы характерных точек нити; а остальные величины имеют прежний смысл.
В частности, если тросы ферм, схематически показанных на рис. 16, а, б, закреплены по концам пролета неподвижно, имеем:
«1 (х2) — ut (xt) = —---------— ;
Ri cos3
«2 (x2) — u2 (Xj) =	,
/?2COS3<?2
(88)
где I = x., — xP
В более общем случае, когда опоры фермы податливы в горизонтальном направлении, величины ut- (xj, щ (х2) являются некоторой функцией Н2, а следовательно, и А/, Т.
Пусть, в частности, смещения опор в горизонтальном направлении пропорциональны величинам горизонтальных составляющих усилий в тросах. Так как в наших расчетах за начальное принимается состояние фермы после предварительного натяжения, то
«1 (*1) = «11 (W1 - «1) + «is(W2- н2)
zKi
(Х2) ==	°11 (Н1 ^1) °12(^2 ^г) + Н1 — - I
"2 U1) = «21	- Й1) + «22 (Hi —	— Н2 —;
2/?2
«2 М = — «21 (W1 —	— i22(H2 — Н2) -|- Н., -L-
(89)
Здесь за положительное направление щ (х^ принято смещение в направлении возрастания х. Соответственно и величина 6f/-, равная смещению опоры в точке I от единичной силы, приложенной в точке /, положительна, если сила, направленная в сторону возрастания х, вызывает горизонтальное смещение в том же направлении. При этом вследствие упругости опорных элементов 6Z/- = 58
Введем обозначения, аналогичные использованным в предыдущей главе:
А = J (?;)2 dx; В = j Qz'tdx; D = j Q-dx.
Тогда в соответствии с (85)
f	В —ТА f. ,v, , D — ТТВ р Т-А
I и* z.dx =-----; | (w )~ dx =------------.
J 1 H J	H-
(90)
(91)
Подставляя (91) и (89) в (86), (87), получим систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных Т и Н. Для придания этой системе уравнений более удобного вида следует:
а)	умножив уравнение (86) на k, сложить его с (87);
б)	вычесть из уравнения (86) уравнение (87).
Тогда
(Н-Н)ри-Тр12
1 D — ЧТ В -t- Т*А
2	Н2
/и	. 'г В—ТА
— (Н — Н)р12Ч-Тр22- ----
(92)
где
Ри —	F £**~~р~)	(°11	°и)	+
4" (°22 + 4?)1 — 7ТГ ;
Р12 —	----~Р~)----- (°U °U °12
* <\ * <> 1
---- (612 4“ °12-------41-------4г)] .. , . - J
(1 L Й)“
Р22 —	—F	4- r\i 4- 41 — 2 (о12 -|- о12) 4- 4г + 4гj	ky, •
При решении системы уравнений (92) удобен метод последовательных приближений. В этом случае на каждом этапе последовательных приближений Т определяется из второго уравнения (92):
Т = & ' Н № — Н}	(93)
А -4~ Н Р22
После этого Н определяется из первого уравнения (92) по значению Tt найденному из уравнения (93):
Ц^(н — Н — -£^т}= — (D — 27В + Т2А).	(94)
\	Pl! I 2ри
59
На первом этапе последовательных приближений в уравнении (93) можно принять Н = Н.
Система уравнений (93), (94) подстановкой первого из них во второе может быть сведена к одному алгебраическому уравнению пятой степени, с помощью которого, в частности, доказывается существование и единственность решения полученной системы.
Заметим, что уравнения для расчета фермы из тросов, закрепленной по концам пролета неподвижно, получаются при
=	= ° О’,/= 1.2).
Уравнения (93), (94) выведены для ферм из тросов I и II типов (рис. 16, а, б). Если пояса фермы соединены между собой в одной или двух точках по длине пролета так, что взаимное смещение поясов в горизонтальном направлении в этих точках исключено, то получаются соответственно фермы III и IV типов (рис. 16, в, г).
Расчетные уравнения для фермы IV типа естественным образом должны переходить в уравнения для фермы III типа в случае, когда расстояние между двумя точками соединения поясов равно нулю.
Считая, что указанные связи между поясами введены после предварительного натяжения, получим, что до приложения внешней нагрузки
(95) — u.2(al) =	1(1 —а) I] = Н2 —— ,
2/?г
где а 4- а + а = 1 (см. рис. 16, г).
После постановки связи между поясами фермы в точках.v = al и л = (1 — а) I должны выполняться условия
П1(70 — «2(70 = «21(1 —7)Л —«11(1 — а)/| =
/ //» _ Ну \	al
\ г?-.	/?, /	2
(96)
Учитывая, что практическое применение имеют в основном фермы из тросов, симметричные относительно центра пролета, ограничимся пока именно этим случаем (более общий тип ферм из тросов рассмотрен в § 11 в связи с вопросом о применении вычислительной техники для расчета ферм из тросов). Таким образом, ос = а.
Постановка связей в точках х — al и х — (1 — а) I приводит к тому, что при действии внешней нагрузки усилия в одноименных тросах в общем случае на каждом участке фермы будут различны.
60
В то же время из условия равновесия фермы под действием вертикальной нагрузки при принятых допущениях следует:
+	~ ^1= ^2’	(97)
где символами Д, * обозначены величины, относящиеся соответственно к участкам: 0 х al; а/ < х (1 — а) Z;
(1 — а) /ч<хч</.
Аналогично (81) имеем:
иЛ = — w" = —	-A^ + fzi) п -А (<7 + Tz'i) п	при 0<><.а/; при а/<;х<;(1 — а)/;	(98)
U/" - —		при (1 —аП	" 1,	
где
t = Hl — kft2; f = Hx — kH2, T = H1 — kH2;
И = Нг + Н2 = Н2 =	+ н2.
(99)
Прогиб фермы в точках al, (1 — а) I (если пренебречь величиной горизонтальных смещений этих точек по сравнению с al) на основании условий равновесия части фермы между опорой и узлом соединения поясов:
w (aZ) = w (a*Z) = ± Г/И (aZ) + (т - Т) -Д- - Т -А-w[(l —a)Z ] = Й1[(1 —i)Z ] = -А |Л4 [(1 —a) Z] — п
/ у,	у» \ ah rjp h 1
Из (98) с учетом (100) следует:
“ - тН"	Н+гЫ+fb
i - i [« И - й, И - т	+ (Т -1)	;
; - Л(М м-т м+-л_]- (г- ГА_(1 _	.
(100)
(101)
61
В соответствии с (86), (87) имеем:
al о
/
3)	«,(/)-«!J Р*'-(1 — о) I
а/
4)	й. (аГ* — й2 (0) = Н2 + J w [kzt — --wjcbc;
О
(102)
5)	U2 [(I-») 1] -Й.Дс/1 =""-£ +
К"
6)	w2 (/) —	w (fczi--------l—w
Удобные для расчета уравнения получаются в результате следующих комбинаций уравнений (102):
а)	сумму первых трех уравнений, умноженную на k, сложить с суммой трех последних уравнений;
б)	из суммы 1-го и 3-го уравнений отнять сумму 4-го и 6-го уравнений;
в)	из 2-го уравнения вычесть 5-е уравнение;
г)	из суммы 3-го и 4-го уравнений вычесть сумму 1-го и 6-го уравнений.
Выполнив указанные операции, получим, учитывая работу связей в точках а/, (1—а) /, в соответствии с (95), (96) систему четырех уравнений:
62
[u'x (I) — Ur (0)] k 4- [u2 (/) — u2 CO)] = (+-
+ ii1a)l-k+ (H2a + H2i +Hta)-^--------------- f [if ]!dx +
b
-I- J (w')2dx 4- J (u/)2</x];
al	(1 —a) i
Ihtlj—U! ((1 — a) /j + uja/)— MO) — u2(l) —
— ill ((1 —a) /) + «2 («О — «2(0) = (#i +	---
Ri
^2
“f	/
| w Z\dx b | w z^dx
6	(i- ;>/
(ЮЗ)
«1 (fl —a) /) —(a/) —u2 (fl — a) /) + «2	=
0-})z
= Нг— —H* —-----------(1 4--/г)	| w Zidx;
Ri “ R.	a!
«1 (I) — иг ((1 —a) /) -h w2 (*/) — «2 (0) — «ib/) -|-
4- «! (0)----«2 (/) 4- «2 ((1 --я) = I #1 — #11 — —
R\
-(£-w2)^ + (1+*)
К2
af	l.
| w Zidx — J w z^x
6	(i
Левая часть уравнений (103) определяется из условий закрепления тросов по концам пролета. При условиях вида (89) имеем:
«1(0) = 8iJ#i —#i)	<#?—#2> —
«. (/) = - ги (н, - я, । - г121 н, - н2} +	;
«2 (0) = гг1 (Н. - «! I + «и I н2 — н21 -	;
«2 (/) = - «и (Ht - й,) - г2. < нг - н.г) +	.
(104)
63
На основании обозначений (99)
1 + к	1 T k	H	+ f 1	14-Л
h2="^-, 2	1 k	H =		H -
	2	1-rft ’	2	14*
(Ю5)
Окончательно уравнения для расчета фермы рассматриваемого типа принимают вид:
Т - Т Т-Т Hr^ = В4 B+//(ff-W)(pi2+pJ.
2 2Л L Н (раг 4- Р22)	2А Н (ры рзз)
Г 4- Г ______Нгд________Г —Г _
2 ^--^-4^+1)	2
1 и КГ
В — В\ Н{Н — Н) /21
у, = В | Н (И — Н) р12	.
А — 2А Нр22
#2 /7 _ _ Pis 71 _ £12 г — £12 fl = _L [Р _
[	Рп Ри Pu J 2рп
-2 (ТВ + ТВ + ТВ) + (Т+
4-Т7’-24 4- 7*(4—24)], где
а/	(1 —a) z	Z
В = [ Qzidx; В = j Qzidx; В = j Qzidx;
О	al	(1 —a) I
4 = f(j;)2A= / G)2 dr, ° о- ;>/
'12
(1 + Л)*
P12
(1 P)2 ’
^12 ~ [(/?T ~k	~ k ~ ~
1
(1 + k)~ ’
64
=[<£+£1а+г“ ~2й,п-+Ч ;
Pt2 ~ 1₽Г * я?) (I । *)2 ’
Р-’2 — [(т;—I-а + °и — 2дг» + й221-----;
|?я2 R1 )	J (I  fe)2
^12 ~ Р12 ’ Pl2* ^2а ~ Р22	Р22»
остальные величины имеют тот же смысл, что в (92).
При решении системы уравнений (106) методом последовательных приближений следует начинать с трех первых уравнений. В остальном процесс аналогичен изложенному применительно к системе (93), (94).
При а = а = 0, а = 1 система (106) совпадает с (93), (94), если учесть, что в этом случае Т = t = Т = Т.
Заметим, что усилия в вертикальных элементах (распорках, подвесках) могут быть определены по известным усилиям в тросах следующим образом:
а)	если внешняя нагрузка приложена к напрягающему тросу,
yvp = ^; = -^(x)-H2z;;	(107)
б)	если внешняя нагрузка приложена к несущему тросу,
Л/р =	= ~Ч & ~	•	0 08>
Здесь под 7Vp понимается усилие в распорках (подвесках), приходящееся на единицу длины пролета фермы; zt =	4- w — очер-
тания троса при действии нагрузки q (х).
В конструктивном отношении к рассмотренным типам ферм и 5 тросов близки многостоечные шпрепгели с двумя затяжками (рис. 18). Уравнения для расчета таких систем 1261 можно получить на основе использованных методов, считая, что к балке жесткости применима техническая теория изгиба стержней.
Тогда условие равновесия принимает вид
Ehif = —М (х) + (Н^ 4- ад,	(109)
где w — прогиб стержня, отсчитываемый от некоторого начального положения;
zz — расстояние от оси стержня до соответствующего пояса (распорки предполагаются несжимаемыми);
— усилие в соответствующем поясе от нагрузки, вызывающей изгибающий момент М (х);
Е1 — жесткость балки при изгибе.
65
3
г. э. Райнус
К каждому из тросов по-прежнему применимы уравнения (86), (87), ио величина сближения опор зависит от обжатия и изгиба стержня, т. е.
«1	— Uj (х,) = и2 (х2) — и2 (Xi) = — H --i- f (w'Y dx, (HO)
К z о
где H =	+ tf2;
R — жесткость стержня при сжатии.
С помощью подстановки (110) в (86), (87) нетрудно убедиться, что усилия в тросах шпренгеля прямо пропорциональны прогибу. Следовательно, уравнение (109) линейно относительно прогиба и к шпренгельным системам (при расчете на поперечную нагрузку) применим принцип независимости действия сил. Указанное об-

стоятельство существенно отличает шпренгельные системы от остальных типов вантовых конструкций/
Учитывая, что z (0) = z (I) = 0, а следовательно,
/	i
f wz'fix = — f w'z.dx,	(111)
b	b
можно на основании (109), (86), (87), (ПО) получить
1 1
Hi 777 f 1М (х) («ад — «12Zo)] dx;
1 (
--С12г1) 1
где
Д = а11а22~аЛ2 ’
(112)
66
Кроме того, дважды интегрируя (109), имеем
Гг v	х 1 х	1
w =	+ -J- [dx f zYdx---------[dx [zrdx +
El Li! «	li i	J
+ 77 [fdx jz^dx----^-(dxfz^dxl,	(113)
I b о 1 о b J
где и.»б — прогиб балки жесткости под действием внешней нагрузки.
Следует подчеркнуть, что величины Hit определяемые по формулам (112), отличаются по своему существу от одноименных величин в фермах из тросов. В шпренгельных системах для получения полного усилия в тросах необходимо сложить величины Н(, вычисленные для каждого вида загружения (в том числе и предварительного натяжения). В фермах из тросов под Ht понимается конечное значение усилия, определяемое по суммарному значению нагрузки, так как к таким фермам принцип независимости действия сил не применим.
§ 7. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
На основе рассмотренных в предыдущем параграфе однопролетных ферм из тросов могут быть образованы многопролетные системы. Очевидно, характер работы многопролетных ферм из тросов должен зависеть от вида промежуточных опор (шарнирно подвижные, упруго податливые) и от метода соединения между собой тросов, принадлежащих соседним пролетам. При этом во всех случаях будем считать, что связь между тросами осуществлена после предварительного натяжения, а величина последнего одинакова во всех тросах с одинаковым направлением провеса.
Простейший случай многопролетной фермы из тросов схематически показан на рис. 19, а. Отличительной особенностью многопролетной фермы этого типа является то, что промежуточные опоры препятствуют только вертикальным перемещениям, а связи между тросами, ограничивающие их взаимное смещение в горизонтальном направлении, отсутствуют.
В этом случае естественно считать в соответствии с допущениями § 6, что усилия в тросах с одинаковым направлением провеса во всех пролетах одинаковы, следовательно,
Ни +	= Н: Т = Ни -Н21,	(114)
где индекс i соответствует номеру пролета фермы, отсчитываемому так же, как и в многопролетных нитях (§ 4).
3*
67
В каждом пролете должны иметь место зависимости вида (86), (87):
«х. <А.) - (хи) = (Ни - Ни)	-
-r2i
____J wi 4- dx\
xli
u* fe) — (xu) =	— H2i) -—--------------4-
R2i COS3 'ftf
x2i
+ J Wi (fczif-----------
(115)
Здесь *!,, x2i — абсциссы начала и конца z-ro пролета в некоторой единой для всей фермы) системе координат:
h^x2i — xu.
При этом
Uli (Х1/) = UU— I (x2»-l)’ W2/ (Xh) ~ U2i~ 1 (*>/- J »	(116»
а величины в левой части (115) относятся только к горизонтальным перемещениям, вызываемым внешней нагрузкой.
а)
Ф1
Ф1
Рис. 19. Схемы многопролетных ферм из тросов
о — простейший тип многопролетноп фермы (на участке между крайними опорами отсутствуют связи, препятствующие взаимному смещению тросов в горизонтальном направлении); б — над промежуточными опорами имеется связь, устраняющая возможность взаимного смешения тросов в горизонтальном направлении; в — внутри каждого пролета имеются точки, в которых устранена возможность взаимного смещения тросов в горизонтальном направлении; г — промежуточные опоры упруго податливы в горизонтальном направлении
68
Для крайних пролетов граничные условия можно считать аналогичными (89), а именно:
U'li) — *11 [Нц —	+ о12 (Нл — Н2);
и21 (л'ц) — ой1 (Нц — Нг] о22 (А7-21— А72);
111т (х1т) = — rjll [Him — ^1) — *12 (^2/л — Н2) i U2m (Х2т) ”	*_1 ( ^Ьп Нг )	О.,2 ( Н.^ — Н2} ,
(117)
где т — число пролетов фермы.
Последний член выражений (89) не входит в (117), так как он фактически учтен в правой части (115).
Считая, что вертикальные перемещения на всех опорах равны нулю, имеем аналогично (85) и (91)
QiW-Tz^ .	+
. №.----------------------- .
гп	-Ч/
где
Л, ~ i (zu]2dx\ В( = | QiZ\tdx\
-Ч»	4i
D. = f Q-dx.
(118)
Складывая первое уравнение (115), умноженное на k, со вторым и производя суммирование по всем пролетам, получим при условиях вида (116), (117) уравнение
V (Dt — 2TBt 4- Г-Л£)
(Н - Я) р„ - Тр1г = ±	.	(119)
Вычитая из первого уравнения (115) второе и производя суммирование по всем пролетам, имеем, учитывая (116), (117),
— (Н — Н)Р12 4- Tpi2
^(Bi-TAd
i ______
И
(120)
69
В уравнениях (119) и (120) приняты обозначения:
Р1! =
tn
< ^li
Pi.
tn
P22 —
'	,2' J (1 k?
Из (120), (121) следует
T = —---------------------
Нг |н —/У —
— V (D, — 2TB, + T2^,.). 2рц j j
(121)
(122)
(123)
При решении системы уравнений (122), (123) применим тот же прием, что и при решении системы (93), (94).
Нетрудно видеть, что система уравнений (122), (123) отличается от уравнений, полученных для однопролетных ферм, введением вместо характеристик нагрузки и жесткости суммарных значений соответствующих величин.
На рис. 19, б показана схема многопролетной фермы, при которой тросы соседних пролетов соединяются между собой на промежуточной опоре так, что их взаимное смещение в горизонтальном направлении в этой точке полностью исключено.
Расчетные уравнения для такой фермы до некоторой степени зависят от того, было ли введено указанное ограничение на взаимные смещения тросов до предварительного натяжения или после. Для определенности будем предполагать, как на это уже указывалось в § 6, что в момент осуществления предварительного натяжения взаимное смещение разноименных тросов не ограничено, а связь, устраняющая это смещение, накладывается после осуществления предварительного натяжения.
(1 т ky '
(1 + W ’
m
70
В этом случае суммарное значение усилий в тросах каждого оролега одинаково:
Ни + Иц — Н.	(124)
В то же время величина Ни — kH2l = Tt для всех пролетов может быть различна. Кроме того, в каждом пролете должны выполняться соотношения вида (115).
Вследствие предполагаемого характера соединения тросов фермы между собой
Uli (X2i) = U2l (X2l) = Uu+ I (ХП , 1) = u2i+ I (Xli I 1)
(при	—1).	(125)
Легко показать, что при wt (хи) = ш, (х2£) = 0 должны иметь место равенства
Qi -
w. =----------- (при 1 <7<т).	(126)
н
Тогда при граничных условиях (117) уравнения для расчета фермы получаются следующим образом:
а)	из первого уравнения системы (115) вычитается второе (всего m расчетных уравнений);
б)	к первому уравнению системы (115), умноженному на k, прибавляется второе, а затем суммируются полученные уравнения для всех пролетов фермы.
Учитывая (125) и (117), аналогично (122), (123) имеем:
В, + Н (Н - Н) р\2
Т, =------- .----------- (при 1 < i < tn}-,	(127)
А/ + Н Р-22
<’« ” [(iS S	<s" —- s->] irh?"'
lnp"
« - [(£	& u -(i- - 4
71
р* = К + Э + 811 - 2812 + Ч (Г :
(приК^ш);
ps=[Gr+;г)++Ч(Г^-
Многопролетные фермы из тросов, схематически показанные на рис. 19, е, образуются из однопролетных ферм IV типа, рассмотренного в предыдущем параграфе.
Будем считать, что закрепление тросов на промежуточных опорах не препятствует взаимному смещению разноименных тросов в горизонтальном направлении. Тогда сумма усилий в разноименных тросах постоянна на всех участках, и, кроме того,
=• ^|,_1; /?2. = (ПРИ 1 < ‘ < т>-	(128)
Аналогично (115) можно записать:
О ии—1 (x2i— 1)	Uu—J (X2i—1	а/_Л—|1 ~
Klz—1
X2i—1
J
X2i~I “ °z—lli— i
2)	Мц (Xh 4“	(*1*) = (^lf — ^i) ~—ai —
Л xti 'ail< - f
3)	UU [x2i - aM - йи (xu +	= (H„ - /7,) -!^L -	(l29)
X2i ~ aili
- f 7-у кфх; xli * aill
4> «а-. K-,) - «я_,	)=(A„_I - wt) x
K2i—\
X'2i—\
+ J “'Ll (4 - ± dx-
72
5) u2i (*1, |- a4/t-) u2i (xl{) —	—~—f-
xu
6) u2i (x2( — 7,-/z) — w2, (x1( 4- £./.) = (H2i — H2)	4
R^i
x2i “ aill
+ J ч(*г;,—l-w^dx. vt/ ailt
(129)
Выражения для прогибов в каждом пролете имеют вид (100), т. е.
vt>i = 7t!m-(x> —	— Tt—^— +
п \	I 4- к


В этих формулах под х понимается расстояние между рассмаь риваемой точкой z-ro пролета и его левой опорой.
Для того чтобы получить расчетные уравнения, следует:
а)	из суммы 1-го и 2-го уравнений (129) вычесть сумму 4-го и 5-го уравнений;
б)	из 3-го уравнения системы (129) вычесть 6-е;
в)	сложить уравнения (129), предварительно умножив первые три из них на fe, а затем сложить полученные уравнения для всех пролетов фермы.
Если при этом учесть характер соединения тросов в точках их пересечения, исключающий взаимное смещение тросов в горизонтальном направлении, и равенства (128), а условия закрепления тросов на крайних опорах принять в виде (117), то в результате получим следующую систему расчетных уравнений:
73
Л2
2 , ..
* h?
A1------------
Ml -t ky
r hV22
• ft2	-1
A1---------— ------- + HP-??
A;
h2 i—I
 k)2
h2 . :
л2
h-i 0+*)2
ft2
h2
hz
k (1 k)z
UJi+fe)2
(при 1
T I T ft2
4 (I + fe)2
(131)
Am------------j- Hp™
lm (1 । kF 22
(H-H)p™
A *2 z*/n----------------
im (1 i kF
A.
---------- (при 1
2Л£ + Hp^
m
где
H2 H — H
m
^Pn I i==l
к / Г; л2
J
p!2 =
---k-±
₽21	Ru
ai (°n — Ч2) — (^12—^22)
^’12 Pl2
-!i----k-±
Ня Ri
(при 1 < i < /и);
74
—	----1---------------- (при 1 i 'm);
12 \ Ra Ru J (1 + ft)2	'
₽L = (~£~ + -£—)“i + S” — 2di2 + ?jm ] -77 k,, ’•
L \ 'mi 'mi /	J (1 4- ky
Pk = ₽k = (777 +	,, °' (при 1 < » < m);
\ *М/	'»2l I* T ft)
P^ =
bn
Rim
I
(1 + ky ’
pL = (—-—I—-—)—-— (при
22 \ Ru Ru ) (1 + ft)2 H	'
Г m
-f- Л2 (6U 4
Gll) -I- 2/? (©12 + 012) -f-
T (G22 ~Ь G2'2)l--------------------•
2	| (I + ft)2
При решении этой системы следует иметь в виду, что вследствие (128) 7. и = Т1 и, кроме того, значения величин с индексом, меньшим 1 или большим /и, равны нулю.
Как частный случай системы (130) (при а- = 0) получаются уравнения для расчета многопролетных систем, образованных фермами III типа.
Перейдем к многопролетной конструкции, образованной фермами IV типа, с упруго податливыми промежуточными опорами. В частности, такая система получается, если промежуточные опоры образованы упругими стойками, заделанными в фундамент (рис. 19,г).
Если жесткость указанных стоек велика, многопролетная система в расчетном отношении как бы распадается на отдельные однопролетные фермы с неподвижно закрепленными по концам пролета тросами. Если жесткость стоек мала, система по характеру работы приближается к рассмотренным выше многопролетным фермам с шарнирно подвижными промежуточными опорами.
Разумеется, уточнить влияние жесткости опор на работу системы можно только выполнив расчет многопролетной фермы с упруго податливыми опорами.
Без существенного ущерба для общности результатов можно считать, что натяжения в одинаковых тросах для всех пролетов
75
одинаковы и по концам каждого пролета имеют место условия типа (117):	(
«и (*к) = ЦНи — Й,) - (Ни-, - Н1)1+ 421(^2, - Н4) —
-(Нц-,-Н2)к
uli (X2i) — *11	1*+1 — ^1) —	— ^1)1 *"
+ *12 [(^2/+1	^г)	(^2/	^2)]'*	I (132)
ии (Хъ) = o2I [(Hlf -	- (Ни_> - HJ] 4-
+ *22 [(^2i ^2)	{^2i—1	^г)1»
U2i (X2i) — &2I [(/^li+1-^1)-(Hli -^1)1 +
4- 1(^+1 - #2) -	- Д>)Ь
При этом ошп = и на каждом участке верны зависимости (115) и (130). Нетрудно видеть, что расчетным уравнениям в этом случае можно придать вид, напоминающий систему уравнений (106), с той, однако, разницей, что в левой части добавляются величины, зависящие от усилий в тросах соседних пролетов:
(Л + Л) + (Л - Л) —----=
2Ai + Н1 (Р 22 + р22 )
= 4FT77FTTF' <*'+ 'в‘+ н‘ “ ") & + 2/1/ 4- Н. (р и 4- рю)
+₽;2)+- «) Иг1 + (”1+1 - «) иг+
+ (^i—1Г22 * “Ь	1Г2?*) ] )’
(Т, - 7-,.) + (7, + Л) ——-----------------=
2 Г л, —----1 + Н, (р' + р'а)
L 4(l+fe)2j^
Т--------агА------:—— \'в‘-в< +
2 Г ~ it (1+kr ]+я‘ (р“ +
+ н, [(я, - н) ",;2 + (//._, - н) 'г<-< -
- (^+, - W) 1-	- ti+ /£Ч|;
т- В‘, + Д,-Рп . Л/-2Л', + И,Рй
(133)
76
//2b -7У _	(Гр;2 + Т^2 + 7>‘? + Т^-> +
Рп
+ t Л' ' I +	- H) Иг1 + (Я,+, - W) ,-] =
= -4- Ш - 2 (ТД + тГв, + Г,В,) + (Т, - ttf X ЭД1
хР‘“ /7П-И.)+	(А,-2AJI,
\	Ч \1 ~Г KJ /
где
4 = '"и’1 = (*Ч + 2fe8j2 + «У -TTTTir•• (I -f- к)
(133)
I
г1 = rz i ' 12	* 12
P (6jj ву + (oj2 |
1
(1 I fc)z ’
r* = rl —- rl ’ » 12	* ]2	42»
Г22 — Г22 1 (Sll ^12 + °2г) (j fej2 »
—1 __
°nm —" jnm>
а остальные коэффициенты имеют тот же смысл, что в (106).
Как частный случай системы (132) можно получить уравнения для расчета многопролетных ферм остальных типов в случае упруго податливых промежуточных опор.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим задачу о расчете радиальной системы ферм из тросов, схематически показанной на рис. 20, а. На рис. 20, б изображен радиальный элемент системы на участке между узлом и внешней опорой (узел — внутренняя опора). В расчете предполагается, что узел можно рассматривать как точку, а система координат аналогична описанной в § 5 для узла нитей.
Пусть в точке х = ailt пояса радиального элемента по окончании предварительного натяжения соединены между собой так, что их взаимное смещение в горизонтальном направлении исключено.
Для дифференциально малого элемента фермы должны выполняться зависимости типа (98):
(134)
при граничных условиях
w£(Zz) = 0;	(я,-/,) =	(я,/,); wl(0) = wu.	(135)
77
Величина w{ (а^х) определяется из условия равновесия части фермы на участке между внешним концом радиального элемента и точкой х = а£/£:
(аА) = -7Т nt
aihj
I 4
(136)

где wy — вертикальное смещение узла.
Рис. 20. Схема радиальном системы ферм из тросов а — общий вид; б — схема радиального элемента
Интегрируя (134) при граничных условиях (135) и учитывая (136), получим
Для радиального элемента должны выполняться соотношения (86), (87), из которых, так же как для других типов ферм, рассмотренных выше, в соответствии со (137) следует
78
Н'Р?2^
wj4
hif
Wyf
f htf ' 4(1+*,-)®
^1Z (0 — ^24 (0 ' .
___ “и (0) — Цц (0) ] .
(138)
rf Hi-Hi-
Pl2 ________ P 12	___
p\i 1 ₽ii '
“и (Q kj + u2l (I) — uu (0) kj — u2i (0) w2y
Мл
I
(J -°z) ll (1 + ktf (l-gt)/z (I + W
а остальные величины имеют прежний смысл.
Уравнения (138) позволяют определить горизонтальные составляющие усилий в поясах элемента радиальной системы, если известны величины смещения концов этих поясов, т. е. узла и внешних опор. При этом величина и}1 (0) определяется через горизонтальные перемещения соответствующего узла по формулам (61).
Из условия равновесия узла в целом следует, что при принятых допущениях должны выполняться уравнения:
£ Ни cos 0. = 0; 3 Я>, cos е, = 0;
i«=l	i= 1
т	т	. г.	1 (139)
2J sin 0, = 0;	/721 sin 6, = 0;	1	’
Z-l	z=d
n ______	m
3 H,. P (0) +	(0)1 4- 1 H2/	(0) + wt (0) = Py,
i = 1	1	1	; |
где Py — внешняя сосредоточенная сила, приложенная в узле.
79
В соответствии со (137) последнее из уравнений (139) можно представить в виде
где — балочная реакция от нагрузки, приложенной к г-му элементу, на опоре, соответствующей узлу.
При решении радиальной системы рассматриваемого типа применим итерационный процесс, описанный в § 5, с той лишь разницей, что усилия в тросах следует определять по уравнениям (138).
§ 8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
Поясним изложенное в § 6 и 7 на конкретных примерах расчета. При этом будем считать основные параметры всех рассчитываемых типов ферм одинаковыми:
Пролет фермы	............... / — 90 л
Стрелы провеса после предварительного натяжения тросов:
несущего	...	/, = 5 »
напрягающего	....	/2	4 »
Модуль упругости материала -даосов ....£ = 2-106 кг/см-Плошадь поперечного ойчения тросов:
несущего	................. Ft = 36 см2
напрягающего...................... F2 = 12 »
Результаты расчетов одно (к при
Тип фермы	Схема за гружения	в, т м	в. т и	В. тм	в, тм	D. т!м	н, т	Т, т	Т, т	Т. т	
1. л	1	360	—	—	—	87 500	248	202	—	—	
	II	135	—	—	—	20900	231,5	80,9	—	—	-
111	I	360	—	—	—	87 500	248	202	—	—	
	11	—	95,6	—	39,4	20900	197	—	161,5	-	
IV	1	—	117	126	117	87 500	243	—	219	178	
	11	—	74.7	18.0	.2,3	20 900	203		162	П.з(	
80
Суммарная величина горизонтальных составляющих усилий предварительного натяжения .....................................
Деформативиость опор однопролетных ферм:
©и = си — 0,250- IO”3 м/т
612 = ©12 — 0,0924- IO’3 м/т
©22 = ©оз — 0,0416-10—3 м/т
Н - 144 т
В соответствии с этими данными имеем:
k = & = — = 0,8;
/,	5
li\ = 	= 64 т; Нг =	77	= 80 т.
1	1 +*	i Ц к
Для ферм, пояса которых очерчены по квадратной параболе,
i, (х) = -у- х (I — х) = х (0,222 — 0,247 • 1(Г2х) м;
А = — -	= 1,481 м.
3 I
Пример 10
Определить усилия в элементах ферм и деформации самих ферм, показанных на рис. 21. Схемы загружения показаны там же.
Ограничимся подробным расчетом для фермы IV типа (рис. 21, б, /V). Результаты расчетов остальных типов ферм, показанных на рис. 21, приведены в табл. 12.
Таблица 12
пролетных ферм из тросов меру 10)
	• Т, т	Я,. т	я,. т	Я,. т	н„ П1	Я., т	НЛ9 т	я„ т	Я,, т	max w, м	tnlnw, м
	-1	222,1	—		-	25,6	—	—	—	0,826	—
	-	147,8	—		—	83,7	—	—	——	0,985	—0,658
		222,1	—	—	—	25,6	—	—	—	0,826	—
	-2,9	——	177,3	—	86	—	19,7		111,0	0,683	—0,234
	219	—	230	207	230	—	13,3	36,1	13,3	0,914	—
	3,0 |	-	180	131	92	-1	22,8	71,5	1П.о|	0,764	—0,305
61
a)
т Чг
п
<7 = 1,2 Vw
IIIII ~111Н1П111
* 1 i *- ГТ I » » » I » I I о >
Рис. 21. Расчетная схема к примеру 10 а — схемы загружения; 6 — схемы ферм
Основные коэффициенты фермы
а - 0.1465; a l — 2^ -- 0.707;
'<2
♦	8 Л -	8	52
—-------- (1з3)	—---------(1 — 0,7073) = 0 479 м.
3	1	3	90
.4 —2*4* 0,523 и; .4----------—----- 0,479 ------0 340 л
/(1 I	90  1,82
---- - 0,479 м. k)~
82
В соответствии с обозначениями (106) при
— - 1,250-10-3 м/т; — = 3,750-10~3 м/т
Ри = ((0.8s-1,250 + 3,750) + 0.82-2-0.250 j 0,8-4-0.0924	2-0,0416] X
10—3
X--------= 1,620 10~3 м/т;
1.82
р13 = Аз = |(3,750— 1,250-0,8)-0,1465 — 0,8(0.250 — 0.0924; —
in—3
— (0,0924 — 0,0416)1---------- 0.0698 - Ю'3 vim
1,8s
3
рх, = (3,750 — 1,250• 0,8) 0,707 —-—	0.600-10“3 м/т-
1.82
Р12 — Р12 4 Ра Pis 0,739-10 3 м/т;
P2S = Р22 = [(3,750 4- 1,250)-0.1465 ; 0,250 — 2 0,0924 г 0,0416] X
10—3
X—-------= 0,260-10-3 м/т;
1,82
-	10—3
р22 = (3,750 4- 1,250)-0,707 • —----= 1,090-10—3 м/т;
1,82
р22 = р23р22	р.».,	1,610 10-3 м/т.
Характеристики нагрузки [формулы см. в табл. 13]
I схема загружения:
В = 360 тм; В = В = 117 тм; В -- 126 тм; D - 87 500 т2м.
М = 1215- ~^~{l---------—) тм.
II схема загружения:
В = 135 тм; В = 74,7 тм; В = 48,0 тм; В = 12,3 тм; D = 20 900 т2м;
' х(37,13 — 0,600х) при 0<х . 45 м (отсчет х от левой опоры вправо),
М =
х (3,37 4- U,150x) при 0<,л	45 м (отсчет х oi правой опоры
влево).
83
Таблица 13
Характеристики ферм из тросов и внешней нагрузки
			IP
Схема нагрузки	dllllllllllllirrmniiniE	J ’	а, ГТГ1Тгтт-^и-гггТП11о.
Схема фермы	Ейду	X	г
	4-т’]		4-Ж1
А	_i6 21 3~ ' 1		7,2 1
А	8	fl т		. А 3,6 (1 — а») —
D	HHi)2 - 4H]
В	1 4- и» qdfy 3
В	[(’ “	“ И1) T 111 (' “ ’3) ]
	 • 1	-з'1 >3(1	, H)
в	-’a)(jx,-I) -y'1-’’’]
AD - B-’	"H-
Здесь Ц! = -2S- ; р, =	.
Qip Г 13и? + 10^ -I 13	I
IT I-------------!Й b ( 1 “ ,M> I
<д//1 [0,15 (1 * fh) иа!
_21?Л. id _-,3) (i 12ц,_ И1) . з.бц, (i - ;»)i
Ha 0,15i3 (1	;ц)|
ki _;») (ц,	i2;x, -1)	3.6 (। - ;»)j
wu/o’ 0.01 (i -h)«
"Расчет фермы по I схеме загружения
Решение уравнений (106). Учитывая симметрию фермы и загруження* имеем Т ~ Т.
Первое приближение (Н = Н): - в
126
------i--------------------------------=- = 185 /п;
Л-2Л + 77ры 0,523 4-144-1,090-10-3
t Т=	1174-117
А 4 /7(р22 *- Р22)-0,5	0,479	144-0,260-10"3
Так как Т = Т, то Т = 226,5 т.
В первом приближении из уравнения
Н*\н - 144 - we®8. .453—2^0 -185] =
L	1,620	1.620 J
453 т.
(87 500 — 2 (453-117 4- 185-126) J 226.52-2 X
X 0,479 4- 1852-0,523]
определим Н = 243 т.
Во втором приближении из уравнений (106) следует:
=,	126 4- 243 (243 — 144) 0,600-10~3
1 — --------------------------------- = I/O Ш‘.
0,523 ' 243-1,090-10-3
234 + 243(243- 144) 0,139 10^	-
—--------------------------5-------= чоо т, 1 = +1У т.
0,479 ] 243-0,260-10—3
0^1.438-^“. 178) = 1,620	1,620	)
Н — 144 —
--------------[87 500 — 2 (438 -117 4- 178-126) 4- 2I92-2 X 2-1.620-КГ3
X 0,479 4- 1782-0,523];
находим Н = 243 т.
Окончательно Н = 243 т\ t = Т - 219 m; f = 178 т.
Определение усилий в тросах [см. формулы (105)]:
= /У. =	= -°-8'243 + 219 = 230 т;
1 + *	1.8
Я, = *Н + Т 0,8-243 -г 178 1	---------— -------------------- z(j/ mz
1,8
1 ; k
H—t
н2 = н2 =
1 ! k
243 - 219	.
--------------- = 13,о т.
1.8
- Н— Т 243-178
п2 = —----— = ----------= 36,1 гп.
1-Ь*	1,8
^6
Определение прогибов [см. формулы (101) [:
w (х) = w (х) =	[1215-	(90 — х) — 219х (0,222 — 0,247- 10“2х)1
У1г	I
= 0,244 • 10~Зх (90 — х) м\
max w = 0,248 м при х = 13,2 м и х = 76,8 м\
w (х) = —— 11215- — (90 — х) — 178 [х (0,222 — 0,247-10~2х) -243 (	902	[	1,8
— 219 • -у|"| = 0.661 - IO"Зх (90 — х) — 0,422 ж;
max w = 0,913 м при х = 45 м.
Расчет фермы no II схеме загружения
Решение уравнений (106). Первое приближение:
_________48,0_________
0,523	144-1,090-КГ3
-- 70,5 т\
74,7 + 12,3
----------------------—т- — 168/?г;
0,479+ 144-0,260-10"6
74,7-12,3 ----------------------=- = 165 т, 0,340+ 144-0,260- Ю“3
откуда Т = 166,5 /л, Т = 1,5 т.
В первом приближении из уравнения
Н — 144-----!— (0,0698-166,5 + 0,600-70,5 1 0,0698-1.5)1 =
1,620	I
=---------------5- 120900— 2 (166,5 -74,7 I 70,5-48,0	1,5 12,3)
2-1,620-10-3 *
+ 166,52-0,409 + 166,5-1,5-2-0,479 + 70,52-0,523|
находим Н = 202 т.
Во втором приближении из уравнений (106) следует:
f = 48,0 4 202 (202— 144)-0,600- 10~3	3
0,523 + 202-1,090-10“3
74,7 + 12,3 Ь 202 (202— 144) 0,0698 • 10~~3	J65 0 /л.
0,479 + 202-0,260-10—3
74,7—12,3	,,Q. .
-------------------— = 159,0 /л; 0,340 + 202-0.260-103
t = 162 rn; Т = 3,0 т.
87
В результате решения уравнения
/У2Г/у _ И4-----!— (0,0698-162 j- 0,600-74,3 + 0,0698-3,0)1 =
L	1,620	J
=- ------!-------— !2С 900 — 2 (162-74,7 {- 74,3-48,0 + 3,0-12,3) -f-
2-1,620-КГ3
159,02-0,409	162-3,0-2-0,479 + 74,32-0.523]
находим Н = 203 т.
Окончательно Н = 203 т\ Т = 162 т, Т 74,3 т\ Т = 3,0 т.
Определение усилий в тросах [см. формулы (105)]:
Ну = 180 т- Ну = 131 т\ Ну = 92 т;
Н. -= 22,8 /л; Н2= 72 т\ Н = 111 т.
Определение прогибов [см. формулы (101)]:
w (х) - —— Гз7,1л — 0,600л2 — 162л (0,222 — 0,247 - 10~2л) + 203 L
159 •	= х (0,0272 — 0,000985л)
^отсчет л от левой опоры вправо 0 < л < 13,2 ж);
— 1,084 4- 0,123л F 0.00205x2;
w" 2<5з~ }37,1х ~ 0,600x2 — 74,3 ,х (0,222 ~ °’00247*) ~ 2*51 —
_ 162 -	159 -	--Х ] -
1,8	1,8-90 |
•(отсчет л от левой опоры вправо 13,2 < л < 45 At);
й»203 13,40х °*150x2 — 74’31* (0’222 — °»00247х> — 2-51 —
45	4 5г 1
_ 162 - —; 159 •	’ х = 0,882 — 0,0864л + 0,001645л2;
1,8	1.8-90 j
•(отсчет л от правой опоры влево 13,2 с л < 45 м);
W (л)	—1— [3.40Л 1 0,150л2 — 3,0л (0,222 — 0,00247л) — 159 X
X j - л (— 0,00803 + 0,000704л).
•(отсчет л от правой опоры влево 0 < х < 13,2 л).
В соответствии с этим
max w ~ 0,764 л при л = 30 л<, отсчет от левой опоры;
.min w = — 0,305 л при л = 26,3 м, отсчет от правой опоры.
Ъ8
Пример 11
Определить усилия в поясах многопролетных ферм, показанных на рис. 22.
Ограничимся подробным расчетом для фермы III типа при равномерном загружения всех пролетов. Основные данные по результатам расчета других типов миогопролетных ферм, показанных на рис. 22, приведены в табл. 14.
Учитывая симметрию фермы и нагрузки, все искомые величины определяем для первого и второго пролетов.
о)
I	о-=1,2т/м
[ШШИтПШШНННШИШ1ШИИНЙЙ1
Е	q-1,2 т/м
шшшшпш
1,27/м
штшштшш.
ш
д~127/м
шпшшпш
Рис. 22. Расчетная схема к примеру 11 а — схема загружения; б — схемы ферм
Основные коэффициенты фермы [см. (131)]
Л2 /<(1+А)2
at = 0,1465; aL = 1 — 2at- -- 0,707; Zj = Л2 0,479 ж;
* А2
= 0,0695 ж; At------------------ 0,409 ж;
/(14-й)2
At — 2Л/ = 0,523 ж;
•	Л2
2А:---------------- - 0,888 ж;
Л (1 +*)2
Ри = [3(3,750 4- 0,82-1,250) 4- 0,82-2-0,250 4- 0,8-4-0,0924 4-10—3
4-2 0,0416] * у -= 4,425-10—3 м/ш'9
89
Результаты расчетов много
(к при .
Тип фермы	Схема загруже-НИЯ	w ‘И	g II	7„ m	e	E II I1	E	E 3? II 3:	Hu, m	E	
	1	265	205	-	-	—	-	232	—	-	
1	II	1 ^1	143 1		_ !	—	-	212	-	-	
	41Г	l.22J	781		b	—	-	165	-	-	
	i 1	1	266	—	; ae		205	1 _	-	231	-	
11	Il 1 	1	228	-1	204 |	-	9	—	-	215	-	
	III	192 (207)*		4(4)	-	207 (205)	—	—	(92)	-	
	I	270	_ 1	218	179	225	179	-	241	219	
111	II	281	—	236	180	109	28	-	256	225	
i	III	261	-1	—13	23	126	179	—	109	129	
* Величины, стоящие в скобках, соответствуют Н = 160 т (при Н =
р J2 = 1(3,750 — 0,8-1.250) - 0,1465 — 0,8 (0,250 — 0,0924) —
io—з
- (0,0924 — 0,0416)]--------= 0,0852-10~3 м/т;
1,82
Pl2 = Р12 = Pi2 = (3.750 — 0,8-1,250).0,1465- -yLl =
= 0,1245-JO”3 ж/m;
P j2 P12 = (3.750 — 0,8-1,250) 0,707- -10 - = 0.600-10“3 м/т;
1,82
Pl22 = 1(3,750 4- 1,250)-0,1465 4- 0,250 — 2-0,0924 4-0,0416] - _2Р_2.
1,82
= 0,260-10—3 м/т;
90
Таблица 14
пролетных ферм из тросов меру И)
II <£ ’5S	IU *!,J/	Е £ я	Е «ас	IU	S *3: и <3: ii_ *-£е	ffj., Ш	У чЗ 3	~ | см а
-	—	33	—	—	—	—	0,717	0.717
-	—	86	—	—		1 1 “	1,680	—2,400
-	—	109	—	—	—	—	— 1.425	3,014
232	—	—	35	—	34	—	0,743	—0,714
106	-	—	13	—	122	—	0,852	—0,185
(204)	—	—	(ИЗ)	—	О)	—	(—0,104)	(0,917)
245	219	—	29	51	25	51	0,863	0,759
186	141	—	25	56	95	140	1,185	—1,220
186	216	—	152	132	76	41	—0,758	1,760
144 т стабилизирующий трос выключается из работы).
•	*	10—3
₽22 = Р22 = Р22 = <3’750 + 1.250)«0,1465--------- 0,226-10“3 м/т;
1,82
р ‘2 = р^ = (3,750 + 1,250) 0,707 -	= 1,090-10“3 м/т.
В соответствии с табл. 13 для каждого загруженного пролета
Di = 87 500 т2м; В{ = Bt = 117 тм; Bt = 126 тм.
Расчет фермы
Решение уравнений (131). В качестве исходного значения Н принимаем полученное в предыдущем примере, а именно Н = 243 т.
Первое приближение:
Л + Л
________0,0695_________ 0,409 + 243-0,260-10—3
117 + 243(243- 144) 0,0852-10 3 = 252 т, 0,409 + 243-0,260-10~3
91
? ________ 0_,0695_________ ,	=
' 0,888	243-0,452-10—3
117 2 , 243(243—14 4)-0,249-10~3 _ 213
0,888	243-0,462-10—3
«откуда 7*1 “ 218,5 т\ Т2 = 227,5 т.
„	-	126 , 243(243— 144) 0,600-10~3
0,523	243-1,090-10~3
Наконец, для определения Н решаем уравнение
Н2\н — 144 ---------—(218,5-0,0852-2 1 178 0,600-3 + 227,5-0,1245-4)1
1	4,425	J
I03
=- ----- [87 500 3 — 2 (218.5-117 2	178-126-3 Ч- 227,5-117-4) р
2-4,425
- (227,5— 218.5)--2 0.409	(2-227,5-218,5 , 227,52)-2-0,479-j-
178- 0,523-3].
Отсюда Н 270 т.
Второе приближение:
? _____ 0,0695_____________=
'	2 0,409	270-0,260-10~3
117 г 270(270— 144) 0,0852- 10“3
-------------------------------- = 2Ы) т; 0,409 4 270-0,260-10-3
t ________0,0695___________ у,
1 0,888	270-0,452-10—3	2
117-2 г 270 (270 — 144) - 0,249-10“3
--------------------------- —---- = 240 т. 0,888	270-0,452-10~3
Таким образом, Г, = 217,5 /и; Т2 = 225 т.
х.	126 , 270(270— 144)-0,600-10“3
Ti Т-z --------------------------------------=и 179 т.
0,523 т 270-1,090-10—3
Так как значения Tif 7\, Т2 в первом и втором приближении весьма близки, то окончательно
Н = 270 Л = 217,5 /л; Тй = 225 /я; Tt = Т2 = 179 т.
Определение прогибов (см. уравнения (130)]:
1215—179-2,5 — 217,5 2,5 J 7,5 1,25
max а/!	---------------------- -----------
270
0,863 м;
1215— 179-2,5 — 225 2.5 ша\ W- —-----------------------------
.270
- 0,759 л.
S2
Рассмотренные примеры позволяют сделать следующие выводы:
I. Характер соединения тросов фермы между собой может оказывать существенное влияние на величину усилий в поясах и на значение прогибов фермы;
2. Суммарная величина усилий в поясах фермы для различных типов ферм из тросов примерно одинакова.
§ 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ.
ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
При проектировании любой конструкции обычно возникают задачи двух видов:
1. Проверить выполнение определенных условий, означающих, что при известных параметрах конструкции и нагрузки то или иное предельное состояние в процессе эксплуатации этой конструкции не наступает.
2. Подобрать параметры конструкции так, чтобы при известных внешних воздействиях то или иное предельное состояние не имело места.
Первая из этих задач, в сущности, решалась применительно к фермам из тросов в двух предыдущих параграфах, где получены уравнения для определения прогибов ферм из тросов и усилий в элементах этих ферм по известным параметрам в состоянии предварительного натяжения (стрелы провеса, усилия предварительного натяжения, площади поперечного сечения и характер соединения поясов фермы между собой).
Рассмотрим вторую задачу. Ее решение позволяет рационально выбрать основные параметры фермы.
Практически для ферм из тросов, как и для других металлических конструкций, можно различать два предельных состояния: первое — по прочности, второе — по прогибам.
К первому из этих предельных состояний обычно относят и расчет по устойчивости. Аналогом потери устойчивости для ферм из тросов является обращение в нуль усилия в одном из тросов, т. е. выключение этого троса из работы конструкции целиком или на отдельных участках.
Указанное обстоятельство приводит к изменению расчетной схемы конструкции (вместо фермы из тросов работает отдельный трос), но после принятия определенных конструктивных мер может и не представлять опасности для существования сооружения в целом.
Если в силу высказанных соображений выключение одного троса фермы из работы конструкции не представляется опасным, при подборе параметров фермы по первому предельному состоянию (прочности) усилие предварительного натяжения может приниматься равным нулю (Н = Hi = Н.2 = 0).
Очертания тросов должны соответствовать веревочной кривой основной части внешней нагрузки (например, постоянной нагрузке).
93
Сечение и стрела провеса несущего троса определяются по полной нагрузке, характер распределения которой совпадает с основной, как для отдельной нити. Стабилизирующий трос должен препятствовать «выхлопу», поэтому его параметры можно определить, если на ферму из тросов действует как нагрузка, направленная вниз (собственный вес, снег и т. п.), так и нагрузка, направленная вверх (например, ветровой отсос за вычетом собственного веса). В этом случае параметры стабилизирующего троса определяют по нагрузке, направленной вверх, считая характер ее распределения таким же, как у основной нагрузки.
При проверке прочности системы на другие виды загружения, отличающиеся от указанных выше характером распределения нагрузки, следует осуществить расчет по уравнениям предыдущих параграфов при Н = 0. Если усилия в тросах, определенные при таком расчете, положительны,— они истинны. В противном случае один из поясов фермы на указанную нагрузку не работает и усилие в другом тросе определяется как в отдельной нити.
После того как усилия в тросах найдены, надо проверить уапо-вия прочности и в случае их нарушения увеличить сечение тросов.
Рассмотрим теперь случай, когда выключение троса (целиком или на отдельных участках) из работы конструкции представляется опасным. Очевидно, усилие предварительного натяжения при этом должно быть задано так, чтобы полное усилие при действии нагрузки было положительно.
Если все параметры фермы известны, то усилия в поясах определяются по уравнениям предыдущих параграфов. Осуществив такой расчет и убедившись, что усилия в поясах фермы положительны, следует проверить, не получил ли один из тросов обратный выгиб. Наличие обратного выгиба означает, что в процессе загружения фермы исследуемый трос из работы выключался и, следовательно, предварительное натяжение мало. Заметим, что при выполнении условий
К2
2/
k”A
2/ . , или —- - —	1
/?т А
(141)
1
соответствующий трос заведомо из работы конструкции не выключается ни при каких загружениях (разумеется, при обеспечении его прочности). Пусть теперь выключение троса целиком или на отдельном участке является именно тем предельным состоянием, по которому осуществляется подбор параметров.
Если значение всех параметров, кроме усилий предварительного натяжения, задано из каких-либо соображений, то полученные в предыдущих параграфах уравнения в принципе позволяют определить усилия предварительного натяжения.
Рассмотрим однопролетную ферму I типа с несмещающимися в горизонтальном направлении опорами.
Для определенности принимаем, что в результате возникновения предельного состояния Н2 = 0. Практически это должно озна-
94
чать, что напрягающий трос выключился в момент, когда к ферме приложили расчетную вертикальную нагрузку, направленную вниз. Тогда в соответствии с (84) Н = Т = Нг, и из (86), (87) получим
(142)
<143)
Существование положительного решения уравнений (142), (143) означает, что рассматриваемое предельное состояние возможно.
Из (143) следует _____________________________________________ _ 1
н = — . (> + *> + W*2 - (‘ - *) ( +	2	П441
1	А	(1	—	'
где
2	, н. 21	В2
*	Я, Ak2	AD
Единственность знака в формуле (144) перед радикалом устанавливается из анализа результата при х = ? = 1.
Вследствие (141) рассматриваемое предельное состояние существует лишь при ср2 < 1. В § 2 показано, что 1 "> х > 0. Таким образом, для того чтобы Hlt определенное по формуле (144), было положительным, необходимо и достаточно

а для существования рассматриваемого предельного состояния необходимо, чтобы

(145)
Условие (145), в частности, показывает, что нагрузка кососимметричного вида не может вызвать нулевого усилия в стабилизирующем тросе, если в состоянии предварительного натяжения он имеет симметричную форму (в этом случае х = 0).
Рассмотрим случай, когда х = 1, т. е. очертания несущего троса совпадают с веревочной кривой для нагрузки. Тогда из (144)
/7,= —---------!---.	(146)
А 1 Ч k срЛ
Принимаем
//1 = Н2 = o2F2,	(147)
где F, — площадь сечения троса;
с1=Л1- для пологих тросов примерно равно напряжению Ft
в них.
95
Подставляя (146), (147) в (142), получим
= _LГ _ 2 + ^(1-?) I
Л Г *(1+т) J
(148)
£2 где р= —
Так как
допустимых
01
с2
(148) должно быть 1
значении	.
r k
положительным, то наименьшее из
Следовательно, при k < 1 и оди-
наковом материале тросов их полное использование по прочности невозможно.
При практическом расчете можно из уравнения (142) найти величину Ну и соответствующую жесткость троса Ry как для от-kH.l
дельной нити при различных значениях —— , считая материал тросов, нагрузку, очертание несущего троса и величину k известными. После того как Н уу Ry определены при некотором значении //2, не представляет труда с помощью (143) найти величину /?2 и, следовательно, сечение F...
Очевидно, что значения Hit при которых сумма Fy 4- F2 минимальна и условия прочности выполнены, являются в данной
задаче самыми рациональными.
Такой подход к решению задачи приводит к выводу, что сечение стабилизирующего троса следует принимать из конструктивных соображений (минимально возможное), если внешняя нагрузка имеет единственное направление воздействия (вниз). В этом случае сечение несущего троса близко к сечению, получающемуся для отдельной нити.
Все предыдущие соображения относились к подбору параметров фермы по первому предельному состоянию, и можно было заметить, что с этой точки зрения ферма из тросов фактически не имеет преимуществ перед отдельной нитью.
Картина меняется, если при подборе параметров необходимо удовлетворить условиям второго предельного состояния (деформа-тивность). На наш взгляд, для ферм из тросов, как и для других висячих систем, проверка по деформативности является совершенно обязательной. К сожалению, в настоящее время мы не располагаем
достаточным критерием для определения величины допустимых про* гибов вантовых систем. Можно считать, что эта величина сущест-
венно зависит от типа ограждающей конструкции покрытия, от
способности этой конструкции выполнять свои функции при тех или иных прогибах. По-видимому, уточнению допустимых проги-
бов висячих систем во многом будет способствовать анализ их ра-
боты при динамических воздействиях.
В настоящее время при проектировании обычно принимают до-
пустимый прогиб порядка
I I —	— пролета конструкции.
96
В тех случаях, когда очертания несущего троса после предварительного натяжения совпадают с веревочной кривой для внешней нагрузки, уменьшения прогибов можно добиться за счет уменьшения напряжений в тросах. Последнее достигается увеличением сечения пояса или стрелы провеса.
В то же время, если очертания пояса существенно отличаются от веревочной кривой для действующей на ферму нагрузки, уменьшение прогибов достигается главным образом увеличением предварительного натяжения.
В общем случае расчет фермы из тросов с учетом прогибов следует производить по формулам § 6, 7, решая совместно систему уравнений, полученных при определении величин Т и Н и выражений для прогиба.
При этом максимальный прогиб принимается равным допускаемому, и выражение для w (х) позволяет вычислить необходимое значение Н. Значения величин 7, Н определяются непосредственно из расчетных уравнений.
В свете сказанного становится понятным значение критерия близости очертания поясов фермы к веревочной кривой для действующей на ферму нагрузки.
Для установления этого критерия рассмотрим, как изменяются величины Т и Н, если тросы фермы считать нерастяжимыми в смысле малости упругих удлинений по сравнению с величиной А. (Для ферм из тросов возможно введение понятия нерастяжимости и в другом смысле, а именно: можно предполагать, что изменение величин предварительного натяжения, вызываемое действием внешней нагрузки, пренебрежимо мало).
В этом случае уравнения (86), (87) принимают вид
J w (zj 4- -у- w J dx = 0;	---^-w^dx = 0	(149)
-V.	Xi
или
J wz^dx = 0; J (ьу')2^х = 0.	(150)
Анализ уравнений, полученных для определения величин Т и Н в предыдущих параграфах, показывает, что в основном величина Т изменяется как распор в гибкой пологой нити, имеющей начальную стрелу провеса, а величина Н изменяется как усилие в предварительно натянутой струне.
С учетом этих соображений и уравнений (150) для приближенной оценки величин Т и Н можно получить следующие выражения:
а)	для ферм I и II типов на основании (92)
Т = А; нЧн-Я—Й=- Au	*-); (151)
А V	Ри Л / 2pu \ А I
ЧА Г. Э. Райнус	97
б)	для ферм III типа на основании (106) при я = 0,5
В —В
4h*
Л/(1
I уу_уу ^12 — ____ Pl2 —	_______& — В___
I	Pu A P1I А Г______________J/r ____1
I	L л/(Глг1
(152]
4№	1
Л/(1	Л)2]
в)	для фермы IV типа на основании (106)
ул ул __ В В , т _____ ? _ ____В ---- В______ .
~~Г'	~ 2Л Г1________™ -Г’
L Al (1 ky- J
Т =---—г!
А — 2А
уу2 I f-J _ Н — ^12	___ Р1Ъ &________
|	Pn	2А "PIT ' А — 2А
___г12 В —В =
Рп 2А Г]____
[	4/(l + *r-J
(153)
1 |D _ В2 _ (В________В)-_________(В — В)2
2pu j А—2А 2А 2лГ1 2ft2 1
I	[	Л/(1 ky J
г)	для многопролетнон фермы I типа на основании (122)
98
д)	для многопролетной фермы II типа на основании (127) Т - Bi .
(т \
е)	для многопролетной фермы IV типа соответствующий результат получим на основании (131), определяя величины Т из системы уравнении:
т. ,1~ т ,1~
ф 1-1 /,!(! I*)2	'* ’ Zt(l *)*
1	4(1 ky	/,_,(! ky
Bi в,-\
~~ Я ,г~ л ,1’2	'
1 ii(i *)2 ’	4^(1 ky
ti =-----------l — (при 1 ' i m)
At — 2И/
(156)
и подставляя результат в последнее уравнение системы (131):
+	+ЛЛ-2А].	(157)
По существу, выражение, стоящее в правой части приведенных выше формул для определения //, позволяет выделить класс нагрузок, для которых очертания поясов фермы близки к веревочной кривой.
Так, в соответствии со (151) значение Н в однопролетной ферме
I типа зависит от величины D—— , которая, как показано в § 2,
А
обращается в нуль тогда и только тогда, когда Q пропорционально Z] — веревочная кривая для ^(х)].
V24*
99
Для фермы III типа, благодаря наличию связи между тросами в центре пролета, можно указать как бы два вида веревочных кривых (рис. 23). Соответственно величина
________{В-Ву
А -----------<*_1
1	4/(1+ 4* J
может обращаться в нуль, если симметричная и кососимметричная части нагрузки изменяются на полупролете фермы по одинаковым законам.
1НШННН»»Н1ММ""
Действительно, в случае симметричной нагрузки, для которой г, является веревочной кривой,
В = В и D— — = 0,
А
как в ферме I типа. В случае кососимметричной нагрузки того же вида
В=0и D----------__________= 0.
4-------^L_l
L	>i/(i+*Fj
Чтобы убедиться в справедливости последнего равенства, достаточно рассмотреть трос AOD (рис. 23, б).
100
Если очертания поясов фермы близки к веревочной кривой для нагрузки [правая часть последних уравнений (151) — (155) пли (157) равна нулю], параметры фермы можно определить, предполагая, что при достижении допустимого прогиба усилие в соответствующем тросе на некотором участке (ограниченном точками закрепления или узлами, в которых полностью исключено взаимное смещение поясов) обращается в нуль. Для этого, задаваясь Л, /?, по формулам (151) — (156) определяют величины Т для всех участков фермы при рассматриваемой нагрузке; величина Н принимается равной наибольшему из найденных указанным путем значении Т или в — раз больше него (если выключается напря-
т \
тающий трос, Н = Т\ если несущий, Н =- —]. По определенным таким образом величинам 7/, Т не представляет труда найти горизонтальные составляющие усилий в тросах и соответствующие сечения из условий прочности. После этого можно с помощью уравнений § 6, 7 найти значение Н для заданного типа фермы.
Найденные таким образом величины используются при проверке условий прочности и деформативности фермы в соответствии с уравнениями § 6 или § 7 в зависимости от типа фермы. Если условия предельного состояния не выполняются, следует увеличить сечение тросов или стрелу провеса (величину Л).
Если правая часть последних уравнений (151) — (155) или (157) не равна нулю, усилия в тросах фермы, как правило, не обращаются в нуль. В этом случае исходные значения Т определяются по формулам (151) — (156), а величина Н находится из условия для прогиба | w (х) | ^дСП- По найденным таким образом значениям Т и Н определяются усилия в поясах фермы и (из условий прочности) сечения этих поясов. Величина Н определяегся из последних уравнений (151) — (155) или из (157).
Если при проверке условий второго предельного состояния по уравнениям § 6, 7 выясняется, что они нарушены, необходимо увеличение предварительного натяжения и соответствующее условиям прочности изменение сечений поясов.
Пример 12
Подобрать сечения поясов и усилия предварительного натяжения для фермы, схема и характер загружения которой показаны на рис. 24, так, чтобы удовлетворялись условия прочности и деформативности, если расчетное сопротивление материала поясов 10 000 кг! см*, модуль упругости Е = = 2-10е кг! см*, а щдоп = 0,450 м. Опоры фермы не смещаются.
В соответствии со схемой рис. 24 Д = 5 м, a f2= 4 м. Предполагая очертания несущего троса после предварительного натяжения соответствующими веревочной кривой для равномерно распределенной нагрузки, имеем
Zt = х (0,222 — 0,247 1О-2 х); А = 1,481 м; кроме того,
k = h- =- — = 0,8.
Л 5
1П1
Характеристики нагрузки при различных схемах загружения определены в соответствии с формулами табл. 13 и сведены в табл. 15.
Расчет состоит из трех основных этапов.
qltPi=l,5r/M ^н,= 7,2т/м
НПШПИНШППШНШНШП]
£,Р)= 1.5 т/м	уг1н)= 1,2 т/м
lUIIIHi ШПТП Щ((и„ниинт
^Р)=- 0.4 т/м £Hi=-0.3 т/м
TH 4 f 1	1 1 1 ТЛ И И Ш ИМП ПИ П И И I
0,4 т/м	q^-0,3 т/м
Рис. 24 Расчетная схема к примеру 12 а — схема загружения; б — схема фермы
Основные характеристики нагрузки (к примеру 12)
Таблица 15
Наименование величин	Схема загружения (рис. 24)		
	I	п	in
В(р), ГПМ В™, » £)<р\ т2м D(H>, » тм	450 360 137000 87 500 1215—(1 — -—^ 90 \	90 /	165 135 32 100 20 900 х (37,13 — 0,600л) при 0 ' х " 45 м (отсчет х от левой опоры вправо) X (3,37 + 0,150л) при 0 < х < 45л (отсчет х от правой опоры влево)	—120 —90 9700 5460 _304—(1 —— 90 \	90 }
102
I этап. Определение ориентировочных значений основных параметров
а)	Предположим, что при действии нормативной равномерно распределенной нагрузки = 1,2 т/м прогиб достиг 0,450 м, а стабилизирующий трос выключился из работы (фактически можно допустить Н2 = 0 при действии нагрузки ^р) = 1,5 т/м). Тогда
М	1215
-----------= 223 г.
5,00 + 0,45
f + ^доп
Соответственно
Ну 223-103
[а] ~	10 000
= 22,3 см2.
С другой стороны, на основании (142), при Н = Т = Ну, Н2 = 0
Ч J
откуда следует, что наибольшего значения сечение достигает при Н2 = 0:
₽- --------&--------=----------™----------------- 75
° д\ 2.103._L/J?L5W Л
#2 j	2 V 2232	)
б)	Рассуждая аналогично при загружении фермы по схеме III нормативной равномерно распределенной нагрузкой = — 0,30 m/м, получим:

нг= 304
4,00 4- 0,45
67 500 с о
-------= 6,75 см2:
10 000
67,5-90
2.103—---------------0,83-1,481
2	67,52
= 24,3 см2.
в)	Полученные в пп. «а» и «б» предельные значения Fr- соответствуют случаю
0 с Н < 223-1,8 = 400 т.
При увеличении значения Н можно в соответствии со (142) уменьшить значения по сравнению с наибольшими величинами, найденными выше.
г)	В соответствии со (151) при загружении по II схеме
Тогда (см. табл. 15)
х (37.13 — О.бООх) — 91,2х (0,222— 0,247-10" 2х) для левой части пролета; х(3,37 + 0,150х) —91,2х (0,222 — 0,247-10" 2х) для правой части пролета.
При этом max j М—Tzy[ =190 тм.
103
Необходимое значение И определяется из условий деформативности:
max | М — T~Z1 [ _ 190 П ---------------------- — --- — 4ZU /.
^доп	0,45
Соответственно по (84)
Hi = 240 г. Н2 = 185 т.
д)	Выполненные расчеты показывают, что наибольшие значения усилий в тросах и наибольшая величина Н соответствуют расчету по II схеме загружения, поэтому и дальнейшее уточнение параметров фермы производится по этой схеме загружения.
II этап. Уточнение значений основных параметров
а)	Принимаем Ft = 30 слг, F2 = 24 см2 и определяем Т, Н по уравнениям (93), (94) при Н = 425 /п, имея в виду проверить условия деформативности. На основании обозначении (92)
рп = 0,850-10“3 м/г, pi-, - 0,186-10-3 м/г,
р.,2 - 1,015-10“3 м/т.
Уравнения (93), (94) принимают вид
Н 425 — А!®®. Т--------------!----------— (20 900 — ЧТ -135 + Т* -1,481);
°.850	2-1,015-10-3	4252
т _ 135 t 425(425 -//) • 0,186 -10~3
1,481	425-0,850-10-3
Решая указанные уравнения методом последовательных приближений, найдем Т = 72,5 m; Н = 377 т. При этом
max 1 М — Tzy I = 262 тм\ max w =	— 0,615 м.
425
Следовательно, необходимо увеличить значение А/:
/7	= 583 г
0,45
б)	В соответствии со значениями Н = 583 m, Т = 72,5 m увеличиваем сечения тросов Fx = F2 = 37,5 см2. Тогда
Ри = 0,606-10~3 м'г. р12 = 0,074-10—3 м/г,
р22 = 0,740-10“3 м/г
Вновь вычисляем значения Г, Н-.
т 135 + 583 (583 — Н) - 0,074 -10~ -
1,481 +583-0,740-10“ 3
И - 583 — Т--------------------2------- . —1— (20 900 — ЧТ 135 + Г2-1,481).
0,606	2-0,606-10~3	5832	7
В результате Т = 71,5 ш; Н = 552 tn.
104
При этом max | М—Tzx I — 268 ти и
max w -------- - 0.46U и u»- = 0,450 w.
583	л
Таким образом, значения Fx, F., --- 37,5 см2, H = 552 т обеспечивают выполнение условий деформативности при загрузке по II схеме.
Ill этап. Проверка условий прочности и деформативности
При полученных значениях Ft = f2, Н производится проверка выполнения условий прочности (по расчетной нагрузке) и условий деформативности (по нормативной нагрузке). Результаты расчетов представлены в табл. IG
Результаты расчетов (к примеру 12)
Таблица 16
	Схема ia гр ужения (рнс. 24)					
	1		в		111	
Наименование величин	расчетная	норма-тинная	расчетная	нормативная	расчетная	нормативная
						
						
						
						
						
Н, т	597	595	600	583	545	547
Т, »		238	190	88	71,5	-63,5	—46,6
Яр »		265	—	217	—	206	—
н2,» . . . .	199	—	285	—	338	—
/ о , кг/см- Ft	7100	-	5800		5500	-
На Go - 	— ,	» ‘ F-	5320	—	7600	—	9000	-
max w, м ....	—	0,163	—	0,460	—	—и,1зо
В приведенном примере, если исходить только из прочностных соображений, можно было бы уменьшить сечения тросов, однако при этом возрастут прогибы и условия деформативности фермы будут нарушены. Можно считать, что при заданных А и k значения FXl F2, Н близки к оптимальным. Отметим, что фактически они определены из условий деформативности фермы при загружении по 11 схеме.
§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ.
УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИИ
Под начальными параметрами фермы из тросов понимаются величины, характеризующие ее элементы до создания предварительного натяжения. Выше получены уравнения для расчета ферм из тросов при известных параметрах в состоянии предварительного натяжения. Открытым остался вопрос о том, как должны выбираться начальные параметры фермы, чтобы после предварительного натяжения получились требуемые значения.
105
Естественно ожидать, что при одних и тех же начальных величинах параметры в состоянии предварительного натяжения будут зависеть от способа осуществления натяжения, и наоборот. На рис. 25 схематически показаны три из возможных способа осуществления предварительного натяжения. В первом из них предварительное натяжение осуществляется путем стягивания подвесок
Рпс. 25. Схемы осуществления предварительного натяжения в фермах из тросов
а — натяжение при помощи стягивания подвесок (раздвижки распорок); б — создание общего натяжения натяжением одного из тросов; в — натяжение тросов раздвижкой опор
(раздвижки распорок) в вертикальном направлении. При этом на каждый из поясов фермы действуют внешние силы, равные силам, с которыми стягиваются подвески (раздвигаются распорки).
Предварительное натяжение в схеме рис. 25, б осуществляется натяжением одного из тросов; при этом через подвески (распорки) предварительное натяжение передается в виде нагрузки на другой трос.
Предварительное натяжение в схеме рпс. 25, е осуществляется одновременным натяжением обоих тросов. Последнее может быть, в частности, осуществлено раздвижкой опор.
Разумеется, возможны и комбинированные способы, при которых на разных этапах натяжение осуществляется по разным схемам.
Поскольку предполагается, что связи, препятствующие взаимному горизонтальному смеще-
нию точек тросов, устанавливаются по окончании предварительного натяжения, все рассмотренные схемы могут быть сведены к расчету нитей.
Так как в результате предварительного натяжения очертания поясов оказываются подобными (80), то естественно считать, что такое подобие имеет место и в начальном состоянии, т. е.
40>(*)
г<с>(л) Р'
При этом предполагается, что
—------= 77,
<1 (х)
где р, п — некоторые положительные числа.
(158)
(159)
1U6
слп предварительное натяжение осуществляется в соответствии со схемой рис. 25, а, имеем на основании (15) для однопролетных ферм с упруго податливыми опорами

А	Д<°>
-----1--------•
2	2	’
тЧЧ'Ч
(160)
2	2
где Л(Р) = величина Л, найденная по z!0) (х);
/ = х2 — хР
Если величины Я1, Я1» Т?2» А известны, из уравнении (160) можно найти Л(0), р2Л(0), т. е. разности между начальной длиной тросов и их пролетом.
Усилия, которые следует создать в подвесках (распорках), определяются формулой
W = w = — ^2 w>	<161)
где /Vp — погонное значение усилия предварительного натяжения в распорке (подвеске).
В тех случаях, когда предварительное натяжение осуществляется по схеме рис. 25, б, длину подвесок (распорок) можно считать неизменной и равной длине этих элементов после предварительного натяжения. Следовательно,
(1+р) г®1 — (1-|-fe) г,.	(162)
Для определенности будем считать, что предварительное натяжение осуществляется с помощью напрягающих тросов. Тогда для несущего троса имеет место зависимость
т ±^ = /7^--i +	(163)
Вследствие (162)
A	(164)
Предварительное натяжение по схеме рис. 25, в осуществляется раздвижкой опор. При этом
«2 М — “2 №) = “1 (*2> — и1 (*1) = т •	<165>
П| , А2
Соответственно вместо (160) имеем
Я1 Н2 . г, I А Д<°) , -------------I — /71	»
7?! 1- /?..	7?1	2	2
4- Н2
Я1 + Я2
/ = /72-1-_^А+р=
Д(°>
2
(166)
5*
107
Кроме того, длина распорок остается неизменной, т. е. выполняются равенства (162), (164). а отношение величин Н,, Н2 должно равняться k.
Построенные уравнения относятся к однопролетным фермам из тросов. В случае многопролетных ферм из тросов начальные параметры определяются аналогично, для этого в расчетных уравнениях величины /, А, А<0) следует заменить суммой аналогичных величин, взятых по всем пролетам фермы.
Для ферм из тросов, как и для большинства видов упругих систем, последовательность приложения внешних воздействий не сказывается на окончательном результате. В соответствии с этим учет температурных воздействий может быть сведен к изменению параметров предварительного натяжения. Естественно, определение этих параметров проводится так же, как и в том случае, когда начальные параметры известны. Для упрощения выкладок, в соответствии с ранее сделанными допущениями, не будем учитывать при расчете на температурные воздействия влияние соединения тросов между собой. Тогда можно считать, что к каждому из тросов фермы применимы уравнения вида (160), в которых АТ, А, Л(0) определены с учетом температурных воздействий, что в дальнейшем отмечается индексом t.
При этом
л(0)
= Г<°>(1	oU/2)-/,
(167)
где Ар — начальная длина троса;
at — коэффициент линейного расширения;
-— перепад температуры в соответствующем тросе.
Пренебрегая изменением длины подвесок (распорок), имеем аналогично (164)
А,
(168)
Из уравнении типа (160) найдем
108
Величина kt должна удовлетворять соотношению
(170)
Из (169) и (170) следует
Ии +л)3-^—	2₽;
А™
2
+ *)3у
(171)
При определении kt по уравнению (171) рационален итерацион-
----------------------------------------Ь ^/^12 I" ^22
ный подход, при котором в величине —------значение k,
---}- сп -г
принимается из предыдущего этапа. В первом приближении kt = k.
Для многопролетных ферм из тросов величины Л, Л/0), I следует заменить суммой аналогичных величин, взятых по всем пролетам фермы.
В заключение рассмотрим два примера расчета.
Пример 13
Определить начальные параметры фермы (рис. 14, а) пролетом 90 л, если в состоянии предварительного натяжения = Hz = 10 т; f} =	=
-	- /	12 v l3\
= 4,5 лг, z, (л) = fi 11 — у 1 при F| = 8,3 см2, Fz = 2,4 см2, модуле упругости материала тросов Е = 1,7-103 т/см2 и несменяемых опорах фермы.
На основании исходных данных имеем
Ri - 1,7.10®.8,3 = 14,1-Ю3 г,
Ro = 1,7-103-2,4 = 4.08-103 т-
В соответствии со (161) усилия в распорках на единицу длины пролета соста вят —	4 S
/V = ю- —^—-24 р 90s
т. е. погонные усилия в распорках изменяются по линейному закону от нуля в центре пролета до 0,133 т/м по концам.
|^|-_2_| 2£l т/м-I 90 I 15 | 90 |
109
Так как
A fi 4 52 — = 3,6 — = 3,6	= 0,810 л,
2 I 90
то на основании (160)
= 0.810-----10‘9°  = 0,746 м:
2	14,1-103
p2_d!°L = 0,810-----10'9° • = 0,590 м.
2	4,08-103
Таким образом, начальные длины тросов равны = 90,746 ж; £<0) = ",590 м-
Кроме того,
Из условия (159)
Следовательно,
/j(0) = n/j = 0,960-4,5 = 4,320 м-
= p/j°) = 0,890-4,320 =3 3,845 м.
Начальные длины распорок изменяются по закону
Пример 14
Определить параметры фермы с учетом температурного воздействия, если ферма, рассмотренная в предыдущем примере, подвергается в процессе эксплуатации конструкции перепаду температур:
Д/| - М2 = — 50° при aj = а2 — 12-10~6 —-— град
В соответствии со (167) и результатами предыдущего примера
л(0)
—	=90,746(1 — 50-12-10“6)— 90 = 0,692 м
2
= 90,590 (1 — 50-12- IO"6) — 90 = 0,536 м.
Р‘~Г
Тогда
Pt =
0,536
0,692
- 0,775.
110
Величина kt определяется из уравнения (171), которое в рассматриваемой задаче принимает вид:
fe? [(1 +1)2-0,81 о—0,5361 — £ [2.0.775—х
L 4,08-103]
[14 1 - 10я!
0,775 — 2 - — - -	.0,692 =
4,08-103]
14 1-103
= 1(1 ' I )2-0,810 — 0,692)-.
4,08-103
Л<°>
Или, разделив обе части уравнения на —— = 0,692 м, получим
Л? -3,905 + k~t -1,900 4- kt -6,125 = 12.700
и kt = 1,035. Тогда
= —L?— = 4,420 м;
1	1 + 1.035
H t =	-0,810 — 0,692
[V1 + 1,035/
14,1-IO3
90
14,3 m;
H2t = [|l,035- -+-!- f -0,810—0,53б1 -,0-8-— = 13,8 m.
2t Ц I-] 1,035/	J 90
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА НИТЕЙ И ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
§11. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
ПРИ РАСЧЕТЕ ГИБКИХ НИТЕЙ И ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
Изложенный в предыдущих главах материал позволяет читателю судить о тех вычислительных трудностях, которые приходится преодолевать в процессе расчета гибких нитей и систем, образованных такими нитями.
Существенную помощь в выполнении сложных и трудоемких расчетов, как известно, может оказать использование вычислительной техники. Вопрос о рациональном применении конкретного типа вычислительной техники зависит от ряда причин, среди которых важнейшее значение имеют точность расчетной схемы и количество информации, которую необходимо обработать. Эти вопросы довольно тесно связаны между собой.
Действительно, на ранней стадии разработки системы того или иного вида, как правило, оказывается достаточной условная оценка, которую обычно можно получить с помощью весьма упрощенных и немногочисленных расчетов. Таким образом, на этой стадии точность расчетной схемы и количество обрабатываемой информации малы, а следовательно, возможно использование примитивной вычислительной техники.
Наоборот, при окончательной отработке систем или конструкций даже самых простых типов требуется тщательный анализ и верное прогнозирование их поведения при широком классе внешних воздействии. Как правило, при этом требуется довольно высокая точность расчетной схемы, а объем обрабатываемой информации резко возрастает с усложнением самой системы и с расширением класса возможных воздействий.
Если вспомнить, что системы, рассматриваемые в настоящей книге, являются нелинейными, то станет понятной необходимость автоматизации их расчета, при которой основная переработка информации осуществляется, например, с помощью цифровых автоматических машин.
Действительно, для того чтобы узнать, какое изменение усилий или прогибов вызывает в нити воздействие некоторой дополнительной нагрузки, необходимо полностью рассчитать эту нить, во-первых, на воздействие основной нагрузки, во-вторых, на одновре
112
менное воздействие основной и дополнительной нагрузки, и только после этого можно получить ответ на поставленный вопрос в виде разности результатов указанных воздействий. Напомним, что в классических системах, для которых применим принцип независимости действия сил, аналогичная задача решается непосредственным расчетом системы на дополнительную нагрузку. При этом имеется еще и некоторая возможность упрощений за счет использования расчетов «на единичные воздействия».
Однако, говоря о рациона л ьности автоматизации расчетов, не следует забывать, что при этом ставится довольно трудоемкая задача не столько перед машиной, сколько перед человеком-программистом. Как правило, задача программирования столь трудоемка, что составление программы расчета, которую затем используют один раз, может оказаться оправданным лишь в исключительных случаях. С другой стороны, чем шире класс систем, решаемых на основе конкретной программы, тем сложнее программа, а следовательно, и ее использование. Насколько нам известно, возникающая дилемма решается интуитивно: создаваемые программы позволяют решать достаточно крупный «в пределах разумного» класс задач.
В соответствии со сказанным, в настоящем параграфе кратко наметим возможные схемы программ расчета основных типов систем, рассмотренных раньше.* Следует заметить, что эти схемы могут оказаться полезными даже при проведении простейших расчетов «вручную», так как позволяют привлекать к их выполнению менее квалифицированных сотрудников.
При расчетах всех типов систем, образуемых с помощью гибких нитей, существенную роль играет решение уравнения вида (32), к которому сводятся многие расчетные уравнения главы I:
^ + 3) = у.
Заметим, что к этом)' же виду приводятся последние из уравнений (106), (127), (131), (133), (138), а также уравнения (94) и (123). По физическому смыслу задачи в уравнении (32) ] > 0 и требуется найти положительный корень :	0.
Нетрудно показать, что при у 0 уравнение (32) имеет один и только один положительный корень. Доказательство следует из того, что число перемен знаков в коэффициентах уравнения (32) в точности равно единице.
При решении уравнения (32) можно воспользоваться методом последовательных приближений в соответствии со следующей формулой, вытекающей из метода Ньютона:
. _ gl-i (2^fe—1 4 Р) + у	(172)
k	(3’*-i	23)
где нижний индекс k равен номеру этапа приближений.
* Разработанные на описываемой основе программы имеются в лаборатории математических методов и вычислительной техники ЛенЗНИИЭПа и намечаются к изданию.
113
Для сходимости процесса, описываемого уравнением (172), достаточно принять в качестве исходного приближения
'О=1Р1 + 'Т-
(173}
При этом, если с0 = 0, то £ = О и процесс счета должен на этом
оканчиваться.
Рис. 26. Блок-схема программы решения уравнения (32)
Разумеется, выбор исходного приближения в виде (173) является не единственно возможным, однако задание с0 в таком виде исключает необходимость разграничения различных вариантов (7 = О, ₽ < 0, р - 0, ? > 0).
Блок-схема программы расчета по (172) представлена на рис. 26г где под 8 понимается необходимая относительная точность расчета.
Составление программы расчета радиальной системы нитей (узел нитей) может быть выполнено на основе алгоритма, изложен-
114
Рис. 27. Блок-схема программы расчета узла нитей
115
ного в § 5. Соответствующая блок-схема представлена на рис. 27. При этом имеется в виду система, образованная совокупностью двух узлов, соединенных между собой вертикальным элементом (распоркой, стяжкой).
В случае системы, состоящей из одного узла, достаточно указать, что число нитей, сходящихся во втором узле, равно нулю. Разграничение между элементами, сходящимися в разных узлахт можно осуществлять либо по специальному признаку, включенному в исходную информацию об элементе, либо придерживаясь строгой последовательности в распределении исходной информации (сначала информация об элементах, сходящихся в первом узле, затем — об элементах, сходящихся во втором узле).
Рис. 28. Схема многопролетной фермы из тросов общего вида а — схема фермы в целом; б — схема пролета фермы
Для расчета всех типов ферм из тросов, рассмотренных во второй главе, достаточно разработать программу расчета многопролетной фермы, схематически показанной на рис. 28, у которой промежуточные опоры предполагаются упруго подвижными. При соответствующем выборе параметров такой фермы можно получить любую из ферм, рассмотренных в главе II.
Разумеется, метод получения исходных уравнений и принимаемые при этом допущения аналогичны изложенным в § 6, 7.
Из условий равновесия каждой части рассматриваемой фермы (рис. 28, б) и отсутствия вертикальных смещений на опорах аналогично (100) следует:
ВД КО = ту- ГAfКА)-Л ~ + П£ I	1 + к
(174)
116
((1 — “<) lt) = ГM< ((1 — a() /,) —
(174)
где смысл основных обозначений тот же, что и в главе II, а смысл коэффициентов л-, ait az виден из рисунка 28, б.
Из условий равновесия дифференциально малого элемента фермы аналогично (101) имеем:
+ (r'r'h-rTL.)f;
’	(175)
А)"
Л i	rp ill I I
‘ 1 4- k ~~ 1 1 \ k / \ ~ V / J "
В каждом пролете усилия в тросах и перемещения связаны между собой зависимостями, имеющими вид (129). При этом в общем случае горизонтальные перемещения точек тросов, расположенных над опорами, описываются формулами вида (132). Кроме того,
* '
(176)
117
vf.	(1— aj f£-	lt
j (i'j2dx + J (i')2dx+ J (w;.)2dx =
0	*ilt	(14) li
L P©. _ 2 (T iBl + fjii + r’-B.) + (T*A + t2A + T*A) —
1	/ rjy h	h \ |
/Г \ 1+Л	1 + k ) ] *
(176)
Окончательные расчетные уравнения получаются аналогично (133). Учитывая, что при машинном счете существенную роль играет единообразие расчетных уравнений, мы запишем их в следующей форме:
[й2	1	* i, h	1
А.--------h Н.р* 4- 7’- —= В. 4- Н. X
‘ Ц (1 k)2	' 22 J li (1 4- W '
X [[Hi -	pj, + (H,_, - H) 4 + Г_,4];
T’ hi hi
1 li (1 - k)2
4~ 7\ A.-------------—-----4- H;P'»> I =
1 [ 1 /t (l+ ft)2 ' ~ J
- Д + ". [(". - "} ib +	, - ") + + T, ,4];
Tt Л + H'p^) = B, + Ht (Ht - H) fa
\P\\ Pl! ' P\l l) -
Pli	Ph	4i
= -T- Ш2 (T,B, + r,B, + Д.в,.) + 2p'n
(177)
w2
l
r22
Pll.
+ (Т?А' + 7? Л, + T?A,)— — (T, ------T. —Hi -Y1
I \ I i k I -’ * / J
где индекс i может принимать любые значения от 1 до m (ш — число пролетов); если i — 1 =0 или i + 1 = tn 4- 2, то обозначенная им величина принимается равной нулю.
Значения коэффициентов уравнений (177):
~ [(я* k R-i) "1”	1
(1 + Ь)2 ’
118
р“ = [(£ -k £) -k <г" - гУ - - М
'Р'2 “ [( Лй k Ru ) “' k (г" ~ г'2' - (г’2 ~	7Г~' W ’
р2г = [(i? + 7?) “'+ г" -2г‘2 + гЧ 7ГПГ:
-i _ (Ji____. k \ °z
Р22	( ₽2ё + Rii) (1 -Г Л)2 ’
р22 = [(тГ- + ~d~~) а‘ +	— 2о{г + йг] - 1 —;
r IA Ra Ruf	J (1 | Л)2
rii ~	+ 2ЛЙ12 + 0^2) —  + ьу J
fn = (k2 dji + 2/eoi2 + 622)-!——;
f(2 = [Л (бц ------б|2) + (ojp
1
(1 r k)2 '
П2 =	( 0ц ---oj2) h ( Ч2
г‘2)]_J_;
(I -Л)2
Г22 = (oh — 2g‘i2 4- 622)	1 — ;
U -r Rr
Г22 = ( Oil — 2^2 + ^22

остальные величины имеют тот же смысл, что и в § 6, 7.
Решение системы уравнений (177) может проводиться двойной итерацией, т. е. при значениях усилий с индексами i— 1, i + 1, найденных на предыдущем этапе вычислений, определяются последовательными приближениями, как для однопролетной фермы, величины с индексом i. В качестве первого приближения следует принимать результаты расчета многопролетной фермы с подвижными опорами (подвижным опорам соответствуют о£/-* Поэтому на первом этапе приходится решать систему уравнений вида
119
— Вх+Н{Н—Н)р\^,
h~	* .	. ч 1	' h.h;, .
“ 7^Г~& 4 H[p^ 4 ₽22 ] T‘ 1/<("i *)’ =
= B,_, + в. + H (H - H) (p'J1 + pj ,
(178)
j' tJU^n 1
"‘ l,„ (1 1 kF
. + f IЛ — — 1—
™ I m Ml kf-
— Bm +H (H—U) p"2-
T. (Л, 4- Hp'2) = B. + H (H- H] pj2.	(179)
H2
V |D, — 2(7\В,. + T,B, 4- T,B,) +
i = J
+ fl A, -\-flA, 4 TlAi — -y- (f, ——Tf	.
(180)
где учтено, что T.^, = 7\ и при вычислении коэффициентов piJt соответствующих промежуточным опорам, исключены величины, зависящие от податливости опор.
Уравнения (178) получаются при этих условиях в результате сложения соответствующих уравнений (177): первое из уравнений (177), относящееся к /-му пролету, складывается со вторым из уравнений, относящихся к i—1 пролету. Уравнение (180) получается с учетом постоянства Н для всех пролетов как сумма по всем значениям i последнего из уравнений (177). Подчеркнем, что величины Tt в соответствии со (178) определяются (при фиксированном значении Н) решением системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
120
Ввод программы	1	
। V	
Ввод чисел: параметры ферм, параметры нагрузки признаки типов ферм	, т — количество пролетов	| о—относительная погрешность счета ;а — признак упругости опор	
	1		
Формирование коэффициентов уравнений (178), (179) с учетом признаков типа фермы для фиксированного значения Н	
	
*	
Решение уравнений (178), (179)	j	1
	
|	Формирование коэффициентов уравнения (180)	1
V	
|	Решение уравнения (180)	
V	>0
	
Проверка окончания счета для случая подвижных промежуточных опор Проверка по признаку упругости опор р.	
	
н - 1 v <г	
Формирование коэффициентов уравнении (177) с учетом признаков типа фермы	1
V			
|	Решение уравнений (177)	
	 i 	 I	
Проверка окончания счета	1 ^1 1
V '<• 		 I	
Вычисление прогибов (175)	
	
V	
Останов	
Рис. 29. Блок-схема программы расчета многопролетной фермы из тросов
121
При расчете фермы конкретного типа следует иметь в виду -необходимость некоторых изменений в системе уравнений (178) — (180), зависящих от типа фермы.
В фермах I типа (отсутствие связей, устраняющих взаимное смещение тросов в горизонтальном направлении по всей длине) выполняется условие Ti = Ti = Ti = T (для любых i). Соответствующее расчетное уравнение получается как сумма всех уравнений (178), (179).
В фермах II типа (связь тросов, устраняющая взаимное смещение в горизонтальном направлении, находится над опорами) Tt = =•= Т, = 0. Соответственно уравнения (178) отбрасываются.
В фермах III типа (связь, устраняющая взаимное смещение тросов в горизонтальном направлении, выполнена в одной точке внутри пролета) Т, = 0. Уравнения (179) отбрасываются.
Уравнения для расчета ферм IV типа (в каждом пролете имеются две точки, в которых устранена возможность взаимного смещения тросов в горизонтальном направлении) получаются за счет соответствующего выбора значений величин at-, at-, ai и соответствующих характеристик геометрии и нагрузки.
Аналогично исключается счет по отдельным уравнениям систем (178) — (180) или (177) (в случае упругих промежуточных опор), если в разных пролетах ферма имеет различный тип.
Все операции по отбрасыванию счета по отдельным уравнениям, так же как процесс замены уравнений (177) уравнениями (178) — (180), должны предусматриваться логикой программы. С этой целью в исходную информацию вводятся специальные признаки, описывающие тип фермы в каждом пролете. Блок-схема получающейся программы счета показана на рис. 29.
Следует указать, что изложенный материал не охватывает всех вопросов применения вычислительной техники для расчета вантовых систем. В частности, не вызывает сомнений возможность построения программы с оптимизацией получаемых результатов. Соответствующие алгоритмы описаны в § 3 и 7. При этом следует иметь в виду, что в системах с гибкими нитями существенная часть материальных затрат приходится на опорные конструкции, поэтому, как правило, необходима оптимизация конструктивного решения в целом. Разработка указанного вопроса выходит за рамки настоящей книги и требует проведения дополнительных исследований.
§ 12. АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ, ВНОСИМОЙ ДОПУЩЕНИЯМИ, ПРИНЯТЫМИ ПРИ РАСЧЕТЕ НИТЕЙ
И ФЕРМ ИЗ ТРОСОВ
При выводе расчетных уравнений, полученных в первых двух главах, были использованы некоторые допущения о характере работы и материале рассчитываемых элементов и систем. Тем самым
122
в расчет вносится некоторая погрешность и накладываются ограничения на область применимости полученных результатов.
Начнем с анализа погрешности расчета упругих пологих нитей. Эта погрешность связана с тем, что в расчете предполагалась возможность пренебречь по сравнению с единицей величиной относительного удлинения е и отношением разности между длиной нити и пролетом к длине пролета —.
Вследствие этих допущений коэффициенты уравнений, а следовательно, и их решения имеют неустранимую погрешность порядка
Л = max (г, -±).
(181)
Поэтому можно считать нить нерастяжимой, если
4)4^)’
и эквивалентной струне при — <>2.
Знание величины неустранимой погрешности А позволяет указать естественные границы учета таких факторов, как податливость и смещение опор, воздействие температуры и т. п. Например, если коэффициенты упругой податливости опор (at) не превышают квадах
рата величины —, то опоры можно считать неподвижными. Ri
Следует указать, что определение пологой нити по отношению стрелы провеса к длине пролета неприемлемо, так как при ^4 этом погрешность в вычислении величины — может колебаться в весьма широких пределах. Не совсем верно оценивать погрешность допущения о пологости и по максимальному значению величин (у')2, (z^)2, так как фактически приходится иметь дело лишь А с их средними значениями, равными —
Необходимо отметить, что в то время как отказ от первого из допущений (s < 1) требует пересмотра всех полученных результатов, отказ от второго допущения (пологости) связан лишь с необходимостью уточнить начальную форму нити. Последнюю в ряде задач (например, для систем с предварительным натяжением) можно считать известной.
Естественно попытаться уменьшить погрешность, вносимую допущением о пологости нитей, для систем без предварительного натяжения. Действительно, для пологих нитей, считая, что на
19.4
чальная форма является достаточно гладкой кривой, допустима в соответствии с теоремой о среднем оценка
f (z')4 dx - (г' (х))“ f (z')2 dx -*---Г J (г')2	. (182)
X,	х,	X2 Xj Lx,	J
где х — некоторая точка из интервала (х2, xj.
На основании (182) при относительной погрешности порядка (L°z~~)2 имеем аналогично (19)
---L°~--------= А — — (1 — 3 sin2 4- — sin4 .	(183)
Уточненное значение А находится решением уравнения (183). В частности, для нити с опорами, расположенными на одном уровне,
-
А =	----•	(184)
Выражение (184) эквивалентно используемому в работах [17], [18]. Однако рекомендуемое в этих работах применение приближенной формулы П. Л. Чебышева для определения длины пологой кривой	____________
L» = z/1 + T(f)‘	<185>
при расчете нити неприемлемо, если ее начальная форма отлична от квадратной параболы. Это связано с тем, что в расчете фактически фигурирует величина Lo — /, вычисление которой по (185) может привести к существенной ошибке.
Проведенный анализ погрешности, вносимой в расчет гибких нитей основными допущениями, позволяет рекомендовать для практических расчетов как наиболее простые формулы из книги В. К- Качурина [9] и из настоящей работы.
Уравнения, предложенные Р. Н. Мацелинским [17], [18], содержат члены, которыми в соответствии с исходными допущениями можно пренебречь.
Рассмотрим теперь возможные пути уточнения уравнений, полученных для расчета ферм из тросов. Основные допущения, при которых строится этот расчет, сформулированы в начале § 6. Первые два из этих допущений, в сущности, означают, что пояса фермы можно рассматривать как пологие нити. Как уже указывалось, в системах с предварительным натяжением начальная форма нитей (в наших задачах zlf z2) известна. Таким образом, за счет первых допущений в расчет вносится погрешность порядка в, характерная для всей теории.
Специфическими для ферм из тросов являются три последних допущения. Имея в виду дать принципиальную схему учета второстепенных факторов, мы ограничимся соответствующими построе
121
ниями для ферм из тросов I типа (рис. 16, п), хотя распространение получающихся результатов на другие типы ферм не встречает принципиальных трудностей.
Первая часть третьего допущения о вертикальности распорок (подвесок) в начальном состоянии является требованием к конструктивному выполнению фермы из тросов. Переход к иному конструктивному типу должен в какой-то мере отразиться на расчете. В то же время в процессе работы конструкции обязательно должны возникнуть горизонтальные перемещения точек тросов, что, в свою очередь, скажется на положении распорок (пюдвесок).
Вследствие отклонения распорок (подвесок) от вертикального положения на тросы фермы начинают действовать горизонтальные силы, пропорциональные усилиям в распорках (подвесках) и тангенсам углов их наклона к оси Z.
Если считать, что к моменту приложения внешней нагрузки распорки (подвески) вертикальны, указанный тангенс составит
«1 — а-2
(186}
где и£ (х) — горизонтальные смещения точек тросов, когда за на-
чальное принимается положение этих точек после
предварительного натяжения;
Zp W — длина распорки (подвески) в точке х.
Горизонтальные силы, действующие на тросы со стороны распорок, равны по величине и направлены в противоположные стороны. Обозначив величину этих сил sp, получим
(187)
При этом горизонтальные составляющие усилий в тросах равны:
H.= H2c~Svi
(188)
где Hic — постоянная по длине троса часть численно равная значению HL в точке хг;
SP= ppdx-
Подставляя (188) в (77) п учитывая, что распорки нерастяжимы, получим
Ни/' = — q (х) — 7>; - Sp (1 + k) z\.
(189)
где Н = Н1С 4- Нк; Т = Н1с - kH*.
125
Соответственно вместо (86), (87) имеем
где
«1W - «1 (Х1) - (Нъ - Н\ + Sp)	_
SP = Jspdx-
(190)
Прибегая к методу последовательных приближений, можно обозначить
(2)	-I (191)
9<2)(x) = 9w-^s;,i,(i+fe)zI,)
где Sp1’ определяется в соответствии со (188) по величинам Np, ии u2t вычисленным с помощью уравнений § 6 при действии q (х).
На основании (189), (190), учитывая обозначения (191) и граничные условия (89), можно получить систему уравнений для определения усилий в тросах фермы с учетом отклонения распорок от вертикального положения, аналогичную (93), (94):
А - Н <2>р2г
(W2’)2 [н2-7?- ~	- да1»)] =
= _L [£><21 _ 2Т'-'В'2' + (7'<-))-’ Д], 2рц
(192)
где
Р22> - Р /?Г + йг) “(г” ~ 2''12 + М ]
1
(1 1 ftp ’
- [i £	_ k (5п _ '(51г _ м ] <1	
В{2}, Di2\ Н{2\ Т*2> — величины B,D, Н пТ, соответствующие нагрузке q{2} (л); рп, р12, р22 имеют тот же смысл, что в (92).
126
Решая систему (192), можно получить в соответствии со (188) уточненные значения горизонтальных составляющих усилий в тросах.
Упругие удлинения подвесок (укорочения распорок), которыми мы пренебрегали на основании четвертого допущения, приводят к тому, что вертикальные перемещения несущего и напрягающего тросов оказываются различными. Разность этих перемещении должна равняться упругому удлинению подвески (укорочению распорки).
Прибегая к ранее введенным обозначениям, получим
ш2 —	= Д/р-А-,	<193)
где Ер, Fp — модуль упругости п сечение распорки;
/р — начальная длина распорки.
Пусть w =	— вертикальное перемещение несущего троса.
Подставляя (193) в (77), (78), найдем
Hw" = — q — Tz\ — Н.. —	(194)
4	1	1 dx"- \epFp)	'	’
Это уравнение отличается от аналогичного условия равновесия для фермы с несжимаемыми распорками только последним слагаемым правой части. Имея в виду использовать метод последовательных приближений, обозначим
<	/” = q (х);
„ „ ,	(195)
9(2> = <7 (х)+ //!>’>
dx“ \ЕрГр/
Так как мы приняли w = wl9 то уравнение (86) остается без изменений, в то время как вместо (87) имеем
«2 (х2) - «2 (XJ =	+
R2 COS8 V-2
-	f- j w' [kz\---w') dx + S>,
где
<	p = J (w2 — w,)' (kz\ — ay') dx.
Если величину <p оценить по результатам первого этапа вычислений, расчет на втором этапе сведется к уменьшению величины и2 — и2 (%i) на число, равное значению ср. Таким образом,
127
принципиально расчетные уравнения не меняются, но с учетом высказанных соображений принимают вид
В<2> „М Pii_Hw4_L_
Г<2>1 +* .
А Н<2*р.„
(/у'2')2!//’2» — Н — т™ + -— • -^1 =
[	Pit	Ри 1 - fej
(197)
= -L [£>и — 27’(2|В(2> 4- IT12’)2 Л], 2рп
где В(2), £>(2) — определяются по нагрузке д(2) [см. (195)1.
Как показывают проделанные расчеты, погрешность, вносимая допущением о несжимаемости распорок, не превыш ает 1%. Погрешность, вносимая допущением об отсутствии отклонения распорок (подвесок) от вертикального положения, в случае существенных прогибов фермы (порядка	пролетаj, особенно при воздействии
односторонней нагрузки, может оказаться значительной (до 10%).
Рассмотрим, наконец, последнее из введенных в § 6 допущений, на основании которого оказалось возможным использовать при построении расчетных уравнений дифференциальные зависимости.
Нетрудно видеть, что в тех случаях, когда распорки (подвески) расположены дискретно, а внешняя нагрузка приложена только в узлах соединения тросов с распорками, предложенная методика и полученные уравнения полностью применимы.
В этом случае вместо интегральных и дифференциальных соотношений достаточно ввести соответствующие конечно-разностные зависимости. Следует иметь в виду, что при этом гладкие кривые заменяются ломаными, а следовательно, интегрирование должно заменяться суммированием в соответствии с формулой трапеций.
Несколько сложнее обстоит дело, если при дискретном расположении распорок может иметь место внеузловое приложение нагрузки. Тогда к каждому из тросов по-прежнему применимы уравнения вида (86), (87), однако вертикальные перемещения одноименных точек тросов, вообще говоря, не равны.
М-Ч) -«!<*.)	----
/?1 COS3 ft
(л2) — н2 (xj (Н., — Н2)	— Х1 +
/?.» COS3 ft
-J- I иуЦ kz\ — I dx.
(198)
128
Из условия равновесия нити, пренебрегая горизонтальными составляющими усилий в распорках (подвесках), получим
*	W; , W; О.
W (х) = -2-2----L _|_ lL ;
А/	Н,
*.	wi ।—Ы;	Q. (:Л
ш., (х) - -2-2---I'-lL-,
2	А/	Н.
Л1	(199)
E'i <-г> =	1 - Е'у) s	;
Ш2 W = (“у I — “’у) ij + “’у +	.
П 2 где
Wi (х) — прогиб /-го троса в точке х;
Wj — прогиб фермы в точке, соответствующей /-й распорке (левая опора считается первой распоркой);
А,- — расстояние по горизонтали между j-й и {j - - 1)-й распорками;
— отношения расстояния по горизонтали от /-го узла до точки х к Ду- (0 су " I);
Qi7, Mij — перерезывающая сила и изгибающий момент в балке пролета Ау от нагрузки, приложенной к /-му тросу на участке между »-й (/ + 1)-й распорками. Из условия равновесия фермы в целом, проводя вертикальное сечение у /-и распорки и проектируя все силы на ось Z, имеем
п „ Fziy,i - ziy , к'у I-Гсу . <?ty <°)]
Q6i~ lL ~ л « J
(200) L	А/	J
где Q6/- — перерезывающая сила в балке пролета х.2—хг от нагрузки, приложенной к ферме (х) q2 (х)1 в точке, соответствующей /-й распорке.
Тогда
-^-^=-----------------------------'—	(201)
Кроме того, на основании (199) имеем
т
129
[	(—Ц + -- itydx = 2 Ц. , — Wf) х
X+ _L .	+ _L_ v D (203)
V •*;	2	Д,.	)	2Н1Г, '
где m — число участков (m 4- 1 — число распорок вместе с опорами).
Аналогично (93), (94), подставляя (202), (203) в (198), получим:
(204)
Н- \н — Н — рг] = — ID — 27В + ТгА + (1 + k) X I	n.. I	1
D = V |Q6/- |Q1( (0) + Q2, (0)] I2 Л,;
j *
В = V :<?«- IQ1/ (0) + <2W (0)1) (2y+1 -Ziy) ;
J I
и, кроме того, использованы соотношения
Заметим, что по физическому смыслу задачи
(205)
(206)
Нарушение этого неравенства означает, что в одном из тросов возникли сжимающие усилия.
130
При решении уравнений (204) удобен метод последовательных
Т
приближений, при котором величина — уточняется по результа-
ту
там расчета на предыдущем этапе.
Пример 15
В качестве примера расчета на внеузловую нагрузку рассмотрим систему, представленную на рис. 30, при /7 = 0, /?> = /?» = 12-104 ш и неподвижном закреплении опор.
/2,5т			37,5г(?6
			

Рис. 30. Расчетная схема к примеру 15
При заданных параметрах k = 1,
Рп = р22 = 0,420- IO”3 м,т; р12 =~ 0.
А = 1(2,5 — 0)2+ (0 — 2,5)*]-50 - 0.250 л;
В = |(12,5 — 0)-(2,5—0) -{ (12,5—25)-(0 —2,5)|	62,5 тм;
D = [(12,5— О)2	(12,5— 25)£]-50 - 15 600 т*м
Г--503
V D1S = 0; У D.; = 0 -f-	- 10 400 тЧм.
Т ' t '	12
Исходные значения неизвестных определяются из уравнений:
r = A = _®iL = 250 m;	<а>
А 0,25
цг.1ц-Н---------— (D-2TB л-Т^А).	(б)
к	Ри /	2Р11
Так как в результате подстановок (а) в (б) оказывается, что Н Т то в качестве исходного значения принимаем /7=7 = 250 tn.
Дальнейшие расчеты представлены в табл. 17, где в первом приближе-
131
Таблица 17
Расчеты к примеру 15
Т н	fi, .	Ю400		1 J	И' 11901IS600 — 2Г-62.5 4 Г--0.25 • 2	10 400 1	Н, т
		"(-vf			
		0.250	//-0.42-10—3			
0	59,0 80.0 78,5	।			35,7-10G ।	33,3-10°	250 330 322
0,121	1	1 53,5 61,0			43,5-10° 43,0-10°	322 352 350
0.148		57,0 56.5		45,2 10°	350 356
0,153		54,6		45,7-10е	356 357
яии принято — = 0 1среднее из области допустимых значений этого отно-Н
Т
шения по (206)], а в дальнейшем принимается — равным среднему из зна-Н
чений этой величины в начале и конце предыдущего этапа.
Окончательно: Т — 54.6 m; Н -= 357 т; Н, = 205,8 tn; = 151,2 т.
Наконец, по (192) находим
12,5-25 — 54,6--
= 1,36б .и.
Отметим, что в примере 6 уже проведен расчет только что рассмотренной системы другим методом, при этом результаты совпадают с полученными выше.
При замене распределенной нагрузки сосредоточенной силой, приложенной в узле, Н2 0, т. е. в данном случае такая замена приводит к совершенно неверному результату.
При практическом конструировании следует избегать приложения к фермам из тросов внеузловон нагрузки. Если этого сделать не удается, необходим учет нети иного характера загружения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Висячие покрытия. Сборник статей. НИИЖБ. Госстройиздат, 1962.
2.	Висячие покрытия кругового очертания в плане. НИИЖБ. Госстрой-издат, 1962.
3.	Г л и к и н И. Д. Расчет пологих предварительно напряженных вантовых ферм по предельному состоянию.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 5.
4.	Гордеев В. Н. Расчет висячего покрытия на некоторые виды нагрузок.— В кн.: Теория пластин и оболочек. Изд. АН УССР, 1962.
5.	Д м и т р и е в Л. Г. и С о с и с П. М. Программирование расчета пространственных конструкций. Госстройиздат УССР, 1963.
о. Дмитриев Л. Г. К расчету вантовых покрытий. —«Вестник АСиА УССР». 1961, № 2.
7.	Загорянский Л. А. Практический способ расчета предварительно напряженных ванто-балочных систем.— «Известия АСиА СССР». 1963, № 2.
8.	К а р а д ж и К. М. Расчет тросовых сетчатых покрытий по предельному состоянию.— В кн.: Стальные предварительно напряженные и тросовые конструкции. Стройиздат, 1964.
9.	К а ч у р и н В. К. Теория висячих систем. Госстройиздат, 1962.
10.	К а ч у р и н В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. ГИТТЛ, 1956.
11.	Качу р и н В. К. О подборе сечения гибкой нити.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 2.
12.	К У з н е ц о в Э. Н. Радиальные вантовые системы. Госстройиздат, 1963.
13.	Кузнецов Э. Н. Статический расчет двухпоясных вантовых систем.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1962, № 5.
14.	К у р б а т о в О. А. К статическому расчету предварительно напряженных вантовых систем со сжатыми распорками.— Доклады XXIV научной конференции ЛИСИ. Инженерные конструкции. 1966.
15.	Л и л е е в А. Ф. н С е л е з и е в а Е. Н. Методы расчета пространственных вантовых систем. Стройиздат, 1964.
16.	Масленникова Ю. И. Статический расчет гибкой нити. «Изв. вузов». «Строительство и архитектура», 1965, № 2.
17.	М а ц е л и н с к и й Р. Н. Статический расчет упругих нитей.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1959, № 4.
18.	М а ц е л и н с к и й Р. Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. Госстройиздат, 1950.
19.	М о с к а л е в Н. С. Расчет двухпоясных вантовых систем. В кн.: Стальные предварительно напряженные и тросовые конструкции. Стройиздат, 1964.
20.	Н о в о ж и л о в В. В. Основы нелинейной теории упругости. Гостех издат, 1948.
21.	Пшеничное Г. И. К расчету висячих покрытий, круглых б плане.— «Инженерный журнал», т. II, № 3, 1962.
22.	Рабинович Я- С. О статическом расчете гибкой нити при больших провисаниях.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1963, № 5.
23.	Р а й н у с Г. Э. Расчет ферм с поясами из тросов. ЛДНТП, 1962
24.	Р а й н у с Г. Э. Расчет пространственной сетки из тросов. — В кн._-«Теория пластин и оболочек». АН УССР, 1962.
25.	РайнусГ. Э. К расчету сеток из тросов и балок.— В кн.: Тезисы докладов XXI научной конференции ЛИСИ, 1963.
133
26.	Р ом ан о в В. П. Некоторые вопросы расчета шпренгельных систем.— Доклады XXIII научной конференции ЛИСИ. 1965.
27.	Р о м а н о в В. П. Об устойчивости многостоечных шпренгелей. — «Строительная механика и расчет сооружений». 1965, № 1.
28.	Сидорович Е. М. К расчету гибких нитей на упругих опорах.— «Изв. вузов». «Строительство и архитектура», 1965, № 6.
29.	Сидорович Е. М. К расчету многопролетных пологих нитей.— «Изв. вузов». «Строительство и архитектура», 1965, № 12.
30.	С и д о р о в и ч Е. М. Статический расчет мгновенно жестких вантовых ферм на упругих опорах.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1966, № 1.
31.	С о п о ц ь к о Ю. Л. К расчету предварительно напряженной круговой вантовой конструкции.— «Строительная механика п расчет сооружений», 1960, № 6.
32.	Фойнштейн В. А. Расчет предварительно напряженной многопролетной струны.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1962, № 4.
33.	Ф р е й О. Висячие покрытия. Госстройиздат. 1960.
34.	Ц а п л и н С. А. Висячие мосты. Дориздат, 1949.
35.	Щедров В. С. Основы механики гибкой нити. Машгиз, 1961.
36.	Б е л ч е в П. Едноотворен предварительно напрегнат двупоясен «въжен биндер» с взаимо обратни кривини. «Изв. ин-та технической механики», т. II, 1965. (болг.)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие	....................................... 3
Введение...	4
Глава первая. Расчет пологих нитей......................  9
§ 1.	Теория расчета гибких пологих	нитей................. —
§ 2.	Уравнения для расчета однопролетных нитей.......... 17
§ 3.	Выбор основных	параметров	однопролетных нитей	27
§ 4.	Многопролетные	нити................................ 35
§ 5.	Расчет системы нитей, образующих узел . .	И
Глава вторая. Фермы	из тросов............................54
§ 6.	Расчет однопролетных ферм из тросов...................... —
§ 7.	Расчет многопролетных ферм из тросов..................... 67
§ 8.	Примеры расчета ферм из тросов...........................80
§ 9.	Предельные состояния ферм из тросов. Выбор основных параметров ...................................................... 93
§ 10.	Определение начальных параметров ферм из тросов. Учет температурных воздействий.................................. . . 105
Глава третья. Общие вопросы расчета нитей и ферм из тросов ... 112
§ 11.	Применение вычислительной техники при расчете гибких нитей и ферм из тросов..............................................—
§ 12.	Анализ погрешности, вносимой допущениями, принятыми при расчете нитей и ферм из	тросов............................... 122
Литература................................................. 132