Вантовые покрытия (расчет и конструирование) - Дмитриев Л.Г., Касилов А.В.

Author: Дмитриев Л.Г. Касилов А.В.

Tags: строительство строительные материалы строительно-монтажные работы строительные конструкции строительное проектирование инженерные системы зданий

Year: 1974

Similar

Проектирование предварительно напряженных вантовых систем

Признаки аварийного состояния несущих конструкций зданий и сооружений

Каталог конструктивных решений по усилению и восстановлению строительных конструкций зданий и сооружений

Невидимый конфликт

Text

Л. Г. ДМИТРИЕВ, А. В. КАСИЛОВ
ВАНТОВЫЕ ПОКРЫТИЯ
(РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ)
Изд. 2-е, переработанное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «БУД1ВЕЛЬНИК»
КИЕВ—1974
6С4.03
Д53
УДК 69.024.5
Л Г. Дмитриев, А. В. Касилов. «Вантовые покры-
тия». Расчет и конструирование. Изд. 2-е, перера-
ботанное и дополненное. Киев, «Буд1вельннк», 1974,
стр. 272.
В книге изложены основные методы расчета и прин-
ципы конструирования вантовых покрытии, обра-
зованных системой гибких нитей и жестким опорным
контуром. Анализируются конструктивные схемы
покрытий и тенденции их развития.
Значительное место уделено вопросам статиче-
ского и динамического расчета покрытий, алгорит-
мам, ориентированным на использование ЭВМ. Раз-
виты вопросы оптимального проектирования ванто-
вых покрытий на основе методов математического
программирования. Методы расчета иллюстрирова-
ны числовыми примерами, принципы конструирова-
ния сопровождаются решениями из практики проек-
тирования и строительства вантовых систем в СССР
и за рубежом.
Книга рассчитана на инженерно-технических и на-
учных работников проектных и научно-исследователь-
ских организаций, а также может быть полезна
студентам строительных вузов и факультетов.
Рисунков 104, таблиц 19, библиография из 73 пози-
ций.
С) Издательство «Буд1вельник», 1974 г.
„ 0325—054
Д М203(04)—74
11—74
ПРЕДИСЛОВИЕ
Интерес к вантовым покрытиям, проявляемый со стороны инже-
неров-исследователей, проектировщиков и строителей, с годами
не ослабевает. Этому способствуют не только экономические до-
стоинства таких покрытий, но и наличие развитых методов расчета
и приемов конструирования, положительный опыт строительства
многих оригинальных сооружений в СССР и за рубежом.
За шесть лет, прошедших после выхода первого издания данной
книги, предложено много рациональных схем вантовых покрытий,
значительно углублены исследования их статических и динами-
ческих свойств, развиты существовавшие методы расчета, решены
новые задачи. Большие успехи достигнуты в исследовании кине-
матических свойств вантовых систем, в использовании ЭВМ, пред-
приняты положительные попытки решения задач оптимального
проектирования.
В данной книге рассматриваются вантовые покрытия, обра-
зованные в пролете системой гибких нитей и жестким опорным
контуром. Для этой широко распространенной группы висячих
покрытий авторы изложили основные вопросы, связанные с их про-
ектированием в современных условиях. Содержание книги соответ-
ствует следующим основным направлениям исследования и проек-
тирования вантовых покрытий.
1. Выбор конструктивной схемы вантового покрытия и ее анализ.
Вопросы этого направления в основном освещены в гл. I. На осно-
ве предлагаемой классификации рассматриваются возможные
конструктивные схемы покрытий, их свойства и особенности.
Приводятся общие принципы проектирования и обеспечения пред-
варительного напряжения вант. На примерах принципиально
новых схем характеризуется общая тенденция развития вантовых
покрытий.
Рациональному выбору конструктивной схемы во многом помогает
опыт проектирования и строительства вантовых покрытий. Неко-
торые примеры их помещены в гл. VIII и отражают главным обра-
зом опыт СССР. С другими примерами читатель может ознако-
миться в работах[25, 33,55,73]и др.
2. Исследование напряженно-деформированного состояния ванто-
вых систем. Основное свойство вантовых систем, помимо нелинейной
3
зависимости деформаций от напряжений, заключается в том, что
они принимают очертание (равновесную конфигурацию) в зави-
симости от геометрических и статических условий. В связи с этим
в гл. II рассматриваются мгновенно-жесткие системы различных
рангов изменяемости. Кинематический анализ позволяет более
осмысленно подойти к выводу уравнений напряженно-деформиро-
ванного состояния систем в декартовых и криволинейных коорди-
натах. Расчетные схемы рассматриваются в основном в виде поло-
гих и непологих шарнирно-стержневых систем.
3. Методы решения уравнений. Это направление примыкает
к предыдущему и связано с решением нелинейных уравнений
напряженно-деформированного состояния вантовых систем. Хотя
методы решения основываются на общематематических предпосыл-
ках, прямое применение последних не всегда возможно. Поэтому
применяют различные модификации методов, основанные на ис-
пользовании особых свойств вантовых систем. Освещенные в гл. III
численные и аналитические методы доведены до численных прило-
жений. В целях облегчения понимания сути примеры рассматри-
ваются в упрощенной постановке и носят иллюстративный харак-
тер. Учитывая, что в практике проектирования расчет вантовых
систем производится на ЭВМ, в гл. VI помещены блок-схемы алго-
ритмов, описание программ для ЭВМ и рекомендации по их приме-
нению. Здесь же кратко освещены вопросы использования ЭВ/М
не только для выполнения расчетов, но и для проектирования в бо-
лее широком смысле.
4. Оптимальное проектирование вантовых покрытий. На наш
взгляд, это наиболее интересное направление, ибо оно объединяет
почти все вопросы расчета и конструирования, решаемые современ-
ными математическими методами. В гл. IV отражены общие поло-
жения оптимального проектирования и ряд частных задач.
5. Динамика вантовых систем. Необходимость учета динами-
ческих характеристик для вантовых покрытий очевидна, однако
практическое решение задач этого направления затрудняется
в связи с нелинейными свойствами их. Предлагаемые методы дина-
мического расчета (гл. V) даны в нелинейной постановке и основы-
ваются на теоремах аналитической механики. Применяются асимп-
тотические методы и методы, связанные с преобразованием функций
Лагранжа к специальному виду.
6. Конструирование вантовых покрытий. Конструктивные ре-
шения узлов и отдельных элементов в полной мере должны обеспе-
чивать условия работы, предопределенные статической схемой
покрытия. Здесь пока не существует однозначных правил и все
рекомендации сводятся к разработке набора приемов конструиро-
вания, иллюстрированных принципиальными решениями. В таком
духе и освещается материал гл. VII. Приведенный анализ конструк-
ций узлов и элементов позволит обоснованно выбрать материал, тип
анкеров и т. п. Многие из решений применяются в реальных объек-
тах.
Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЯХ
§ 1. Основные понятия и определения
Покрытия, у которых основная несущая конструкция, перекры-
вающая пролет, работает на растяжение, называют висячими.
Следует заметить, что многообразие висячих покрытий не дает
возможности выбрать единый определяющий критерий, в равной
степени характеризующий все покрытия. Составными частями почти
каждого висячего покрытия являются собственно покрытие или
пролетная часть и опорный контур, воспринимающий реакции от
пролетной части.
В зависимости от конструктивных и статических особенностей
схемы висячие покрытия можно разделить на вантовые, висячие обо-
лочки, системы комбинированные и с внешними тросами.
Покрытия, пролетная часть которых образована сетью несущих
гибких нитей * (вант) с последующей укладкой на нее ограждаю-
щих элементов без обеспечения совместной работы их между собой
и с опорным контуром, называют вантовыми.
Они являются наиболее характерными представителями висячих
покрытий и по существу занимают промежуточное положение меж-
ду чисто висячими и традиционными схемами покрытий.
В вантовых покрытиях чаще всего применяют гибкие нити в виде
элементов с пренебрежимо малой жесткостью на изгиб и кручение,
с равномерным распределением напряжений растяжения в сече-
ниях, нормальных к их продольным осям.
Вантовые покрытия, как и все висячие, являются распорными.
Опорный контур их (бортовой элемент) в виде замкнутого кольца,
квадрата и т. д. или отдельных разомкнутых элементов восприни-
мает распоры чаще всего в уровне покрытия и конструируется
из жестких элементов, способных работать на сжатие, изгиб или
кручение. Восприятие распора от пролетной части покрытия также
возможно при помощи оттяжек, заанкеренных в грунт, или контр-
форс. Иногда распор воспринимается так называемым гибким кон-
туром, где отсутствуют напряжения изгиба и кручения.
К вантовым покрытиям можно отнести так называемые тканевые
оболочки из хлопчатобумажных и синтетических материалов.
* В механике нитью называют материальную линию, которая под действием
внешних сил может принимать любую форму в пространстве [64].
5
Ткань, представляющая собой сеть, образованную двумя семейства-
ми взаимно пересекающихся гибких нитей, при значительном уве-
личении количества нитей и соответствующем уменьшении расстоя-
ния между ними, является ограждающей и несущей конструкцией
и отличается от обычных мембран отсутствием касательных напря-
жений.
Вантовые покрытия могут быть использованы как промежуточный
этап при строительстве так называемых висячих оболочек, когда
Рис. 1.1. Висячее покрытие цирка в Донецке.
на натянутую сеть укладывают железобетонные или армоцемеш ные
плиты с последующим омоноличиванием швов вместе с вантами
(рис. 1.1, 1.2). В таком случае ванты являются основной арматурой
висячей оболочки, а контур вантовой сети служит в дальнейшем в
качестве бортового элемента оболочки. Возможно также образо-
вание висячих оболочек путем укладки монолитного железобетона по
вантовой сети.
Ограждающие конструкции и бортовой элемент висячих оболо-
чек связаны совместной работой и представляют собой жесткие
пространственные системы, способные воспринимать значительные
эксплуатационные нагрузки, в том числе и неравномерные. Вантовые
сети как промежуточное звено для создания висячих железобетон-
ных оболочек получили очень большое распространение.
В некоторых случаях висячие оболочки выполняют из тонко-
листовой стали, алюминия, в виде многослойной деревянной плиты,
которые в статическом отношении представляют собой мембраны,
способные воспринимать, кроме нормальных, касательные напря-
жения.
6
Покрытия, пролетная часть которых состоит из гибких вант
и жестких элементов, работающих на изгиб, называют комбиниро-
ванными висячими. Жесткие элементы в комбинированных покрыти-
ях способствуют распределению сосредоточенных и неравномерных
нагрузок на значительное количество несущих гибких вант.
Рис. 1.2. Висячие покрытия (США):
и — Ралей-аренз; б — аэровокзал в Чантили.
Существуют также висячие покрытия с внешними тросами (под-
весные покрытия), образуемые жесткой пролетной конструкцией,
подвешенной к вантам, закрепленным на стойках-пилонах. По-
крытия с внешними тросами, схемы которых по сути заимствованы
из практики мостостроения, имеют простую конструкцию, однако
ухудшают внешний вид здания и во многом ограничивают планиро-
вочные решения.
Среди разнообразных конструктивных схем висячих покрытий
наибольший интерес с инженерной точки зрения представляют
7
вантовые покрытия на жестком опорном контуре с пролетной час-
тью в виде различных систем вантовых сетей.
Гибкая нить как элемент строительных конструкций привлекала
внимание инженеров и ученых с давних времен. Теорией веревоч-
ного многоугольника, разработанной на основе изучения свойств
гибкой нити, и применением этой теории к расчету висячих мостов
занимались еще Вариньон, Ляме, Клайперон, Навье и др.
Свойства гибкой нити как элементов механических передач
исследованы в работах Лагранжа, Эйлера и других выдающихся
ученых. В 1690 г. братьями Бернулли и Лейбницем была решена
задача о цепной линии, результаты которой имели большое значе-
ние для последующих исследований. История развития науки о
свойствах нити описана в работе [64]. Как элемент покрытий гиб-
кая нить применяется сравнительно недавно. Первыми вантовыми
покрытиями вполне совершенных форм следует считать покрытия
павильонов Всероссийской выставки в Нижнем Новгороде, запроек-
тированных и осуществленных в 1896 г. выдающимся инженером
и ученым В. Г. Шуховым (рис. 1.3).
Долгое время строители опасались применять покрытия, несущая
конструкция которых выполнялась из гибких нитей. Причина за-
ключалась в недостаточной изученности свойств таких покрытий
и в отсутствии методов расчета, проверенных практикой. К первым
исследованиям в этой области относятся работы Г. Маркуса и
А. П. Синицина, в которых сетки различных структур трактуются
как дискретный аналог мембран.
В последние годы появилось большое количество работ, посвя-
щенных вопросам расчета вантовых покрытий. Особое внимание
было уделено теории расчета систем из гибких нитей [6, 7, 22, 23,
28—31, 41—44, 46—48, 50, 51, 54] и расчету отдельных элементов
висячих покрытий [5, 24, 35, 36, 38].
Из зарубежных представляют интерес работы С. Ендо [65],
X. К. Банделя [66], В. Корнеллиуса [67], Р. С. Ривлина [68],
Ф. К- Шлейера [69], Эрас и Эльце [70], Д. Яверта [71], О. Фрея
[58] и 3. Соботки [55].
Вопросы расчета и проектирования вантовых покрытий также
освещались в работах [8—15, 18—21].
Основное преимущество вантовых покрытий заключается в их
экономичности, получаемой за счет более целесообразного использо-
вания затраченного материала. С увеличением перекрываемого проле-
та экономичность вантовых покрытий значительно возрастает. Теоре-
тические расчеты и примеры из практики проектирования и строи-
тельства показывают, что вантовые покрытия дают возможность
перекрывать рекордно большие пролеты без промежуточных опор.
Зная форму провисания и прочность материала на растяжение,
нетрудно подсчитать теоретически возможное расстояние между
опорными точками вантового покрытия. Так, максимальный пролет
вантового покрытия при применении высокопрочной стали может
достигнуть 36,1 км [55].
8
Достоинством вантовых покрытий является, их технологичность
и возможность монтажа без лесов. При последующем превращении
вантового покрытия в висячую оболочку омоноличивание швов
производится в опалубке, подвешиваемой к плитам ограждения или
вантам.
Рис. 1.3. Покрытие павильона Всероссийской выставки в Нижнем Новго-
роде (1896 г.).
Существенным обстоятельством, обеспечивающим широкое рас-
пространение вантовых конструкций, является возможность при-
менения современных высокопрочных материалов, которые вслед-
ствие сравнительно низкого модуля упругости не могут с надлежа-
щим эффектом использоваться в других конструкциях.
9
Обладая относительно небольшой стрелой подъема или провиса-
ния (в пределах 1/20—1/25 пролета), вантовые покрытия обеспечи-
вают наименьшую строительную высоту здания, уменьшают внутрен-
ний объем и расходы на системы отопления и эксплуатацию здания.
Отсутствие в основных элементах сжимающих напряжений обес-
печивает повышенную огнестойкость вантовых покрытий, так как
исключается явление потери устойчивости — наиболее характерная
причина разрушения при пожаре.
Вантовые покрытия, обладающие большими возможностями фор-
мообразования, предопределяют архитектурную выразительность
здания.
Павильоны Всемирной выставки в
Брюсселе, спортивные комплексы
Олимпийских игр в Токио, Скво-Вел-
ли, Гренобле, Мюнхене характеризу-
ют возможности вантовых покрытий.
Существенным недостатком ванто-
вых покрытий является их большая
деформативность, связанная с тем,
что ванты могут изменять свою на-
чальную геометрическую форму в за-
висимости от вида внешней нагрузки.
Возникающие при этом перемещения
в отличие от упругих, имеют в основ-
ном так называемый кинематический
характер и могут достигать боль-
ших величин. Так, при действии со-
нити получает значительные отклоне-

Рис. 1.4. Форма гибкой нити при
действии нагрузки:
а — сосредоточенной; б — сосредо-
точенной и распределенной.
средоточенной силы форма
ния от первоначальной (рис. 1.4). Если такую же сосредоточенную
силу прикладывать к нити, предварительно загруженной равно-
мерно распределенной нагрузкой, отклонение от первоначальной
формы уменьшится, так как нить под действием нагрузки принимает
форму соответствующей веревочной кривой. Если одна из нагрузок
(в данном случае, постоянная распределенная) преобладает, то
отклонение от первоначальной соответствующей ей формы при дей-
ствии других нагрузок будет незначительным.
Таким образом, уменьшить кинематические перемещения можно
при помощи постоянной нагрузки, создаваемой увеличенным соб-
ственным весом или усилиями предварительного напряжения
(замена одной нити двумя, имеющими кривизну разных знаков;
одна нить является несущей, а другая — напрягающей). Более
подробный кинематический анализ вантовых систем см. в гл. II.
В вантовом покрытии седловидной формы напрягающие ванты
создают дополнительную постоянную нагрузку для несущих вант,
что способствует уменьшению деформативности покрытия в целом
при действии неравномерных нагрузок. Каждая нить такой сети
является пригруженной и поддерживаемой другими нйтями, чем
одновременно обеспечивается пространственная работа.
10
Мероприятиями по обеспечению жесткости вантовых покрытий
добиваются стабильности их геометрической формы при измене-
ниях характера временных нагрузок. Поэтому напрягающие ван-
ты иногда называют стабилизирующими.
Таким образом, сравнительно большая деформативность вантовых
покрытий может быть в значительной мере ликвидирована совре-
менными методами предварительного напряжения. В этом смысле
недостаток может рассматриваться как особенность вантовых
покрытий.
§ 2. Типы вантовых покрытий. Их свойства и особенности
Рассмотрим типы вантовых покрытий, одновременно классифици-
руя их по группам (рис. 1.5). При этом будем исходить из положе-
ния, что покрытие состоит из пролетной части и опорного контура,
рассматриваемых во взаимосвязи. Основная задача в проектирова-
нии вантовых покрытий состоит в создании удовлетворительной
поверхности и соответствующих бортовых конструкций. При таком
подходе очертание покрытия в плане является производным и не
всегда удовлетворяет планировочное решение. Процесс отыска-
ния рациональной поверхности и соответствующего очертания
опорного контура покрытия при исходном плане в общем случае
представляет собой достаточно трудную задачу.
Первая группа признаков классификации пролетной части отража-
ет форму покрытия в плане. План может быть очерчен прямыми,
кривыми или комбинацией прямых и кривых линий. Начиная с про-
стейших геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, круг,
овал и т. д.), план покрытия иногда имеет более сложное комби-
нированное очертание, найденное из условия функционального
назначения здания.
Вторая группа признаков отражает геометрию поверхности,
играющую важную роль в теории расчета вантовых сетей.
Одним из основных понятий в теории поверхностей являются по-
нятия о кривизнах кривой и поверхности. Кривизна кривой в точ-
ке определяется как предел отношения угла между двумя соседними
касательными, проведенными в двух смежных точках, к длине дуги
между этими точками при стремлении ее к нулю, т. е.
k = lim .
As-О As
D 1 й
Величину р = , обратную кривизне, называют радиусом
кривизны нити в той же точке.
Кривизна кривой в каждой точке равна кривизне соприкасаю-
щейся окружности и обратна величине радиуса этой окружности.
Рассмотренную кривизну называют нормальной или первой в от-
личие от кривизны кручения, называемой второй. Кривизну кру-
чения можно рассматривать как меру отклонения пространствен-
ной кривой от плоской.
11

Геометрические свойства поверхностей можно исследовать путем
изучения кривизны их линий. В теории поверхностей доказывается,
что в любой точке поверхности существует только два взаимно
перпендикулярных направления, в которых нормальная кривизна
в общем случае достигает соответственно наибольшего и наимень-
шего значений [17]. Исключение составляют точки закругления,
так называемые омбилические, в которых кривизна остается одина-
ковой по всем направлениям и любые из этих направлений можно
принять за главные. Например, все точки сферической поверхности
являются омбилическими.
Когда говорится о линиях главных кривизн поверхности
и k2, имеются в виду такие линии, направление которых в каждой
точке совпадает с главными направлениями поверхности. Произве-
дение главных кривизн в данной точке наиболее полно характери-
зует геометрию поверхности и называется гауссовой или полной
кривизной поверхности, т. е.
К — kyk^.
Иногда при исследовании поверхностей пользуются понятием
так называемой средней кривизны, которая определяется как
полусумма главных кривизн в данной точке поверхности
fj _ fe] Ч~ ^2
л — 2
Для характеристики поверхности вантовых покрытий пользуются
в основном понятием гауссовой кривизны.
При К > 0 и К < 0 точки поверхностей являются соответствен-
но эллиптическими и гиперболическими и принадлежат к поверх-
ности положительной и отрицательной гауссовой кривизны. Во
втором случае центры кривизн нормальных сечений, проходящих
через данную точку, лежат на нормали с разных сторон поверх-
ности.
Точки поверхности, в которых Д' = 0, являются в общем случае
параболическими и принадлежат к поверхности нулевой гауссовой
кривизны. Одно из главных направлений таких поверхностей не
имеет кривизны, т. е. является прямолинейным: конус, цилиндр или
их вырождение —> плоскость.
Поверхности покрытия, имеющие одинаковые геометрические свой-
ства на любом участке, условимся называть простыми поверхнос-
тями. Часто простые поверхности можно описать элементарными
функциями.
Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто используемые
в вантовых покрытиях.
Из поверхностей переноса наибольший интерес представляют
линейчатые поверхности торса (цилиндрические, конические),
гиперболический (одна из разновидностей так называемых косых
линейчатых поверхностей — коноидов) и эллиптический параболо-
иды.
13
Являясь поверхностью отрицательной гауссовой кривизны ги-
перболический параболоид образовывается параллельным пере-
мещением образующей параболы вдоль направляющей (рис. 1.6).
Уравнение гиперболического параболоида в декартовых коорди-
натах можно представить так:
X2 ___ у2- _
~уу~г-
При этом параметрические уравнения главных парабол имеют вид:
х2 = 2рг\ у2 = — 2qz.
Рис. 1.6. Поверхности вантовых покрытий в виде гиперболического (а)
и эллиптического (б) параболоида:
I — эллипс; 2 — главные параболы; 8 — гипербола; 4 — асимптоты.
Основные параметры р и q определяются для каждого конкретного
случая в зависимости от пролетов и стрелок парабол. Поверхность
гиперболического параболоида в пересечении с горизонтальной
плоскостью z — 0 имеет два семейства прямых линий, описывае-
мых следующими уравнениями:
—— _}_ _JL_ = 0;
/р /-7
______У— = 0.
Ур Уч
Следовательно, поверхность является линейчатой и может быть
образована движением прямых линий, соответственно параллель-
ным асимптотам заданной горизонтальной гиперболы. Однако ли-
нейчатость гиперболического параболоида косая и не дает возмож-
ности ему разворачиваться на плоскость.
Минимальные поверхности гиперболического параболоида полу-
чают во всех случаях, когда средняя кривизны ее Н равна нулю
(главные кривизны kr и k2 отличаются только знаком). Асимпто-
тические линии — линейчатые образующие в них взаимно перпен-
дикулярны, так как являются биссектрисами прямых углов между
главными направлениями.
Направлять нити вантовой сети, очерченной по поверхности ги-
перболического параболоида, можно по-разному, где граничными
формами будут в одном случае прямолинейная, в другом — криво-
линейная.
14
Исходя из требования обеспечения необходимой жесткости и наи-
меньших усилий рационально направлять нити по линиям глав-
ных кривизн поверхности. При этом достаточную жесткость можно
достичь небольшими усилиями за счет натяжения вант одного на-
правления (предварительное напряжение достигается здесь взаим-
ным воздействием пересекающихся нитей). При применении сеток
с нитями, направленными по линейчатым образующим, усилия
предварительного натяжения необходимо прикладывать ко всем
нитям, так как они между собой в работе не связаны. Такая сеть
не имеет большой жесткости даже за счет предварительного натя-
жения.
Эллиптический параболоид является поверхностью положитель-
ной гауссовой кривизны и образовывается движением эллипса
по главным параболам, причем эллипс при движении остается себе
подобным (рис. 1.6). Когда параметры соответствующих главных
парабол равны между собой, эллипс становится окружностью,
а эллиптический параболоид параболоидом вращения. В верти-
кальных сечениях поверхности, параллельных плоскостям главных
парабол, получаем семейства конгруэнтных парабол, т. е. таких,
которые при наложении совпадают с соответствующими главными,
Эллиптический параболоид линейчатостью не обладает, так как
в своей поверхности не содержит асимптотических линий. Требо-
вание направления нитей по линиям максимальных кривизн пол-
ностью относится и к поверхности эллиптического параболоида.
Существуют вантовые покрытия, в которых простые поверхности
являются элементарными составными ячейками с различной комби-
нацией их в плане. Такие поверхности условимся называть состав-
ными. Естественно они не описываются элементарными функциями
и могут иметь переломы по линиям сопряжения простых поверхнос-
тей. В этом случае по линиям сопряжения необходимы какие-
либо жесткие элементы, уравновешивающие напряженное состояние
в месте разрыва кривизны. Составные поверхности могут быть
и кусочно-гладкими, т. е. не иметь разрывов в кривизне поверх-
ности, но состоять из отдельных участков.
Когда говорится о поверхности сети, то это еще не значит, что
вантовая сеть всеми своими точками принадлежит последней.
Реальная вантовая сеть образует пространственный многоугольник,
вписываемый в расчетную поверхность. При этом некоторые ап-
пликаты вершин такого многоугольника (узлы сети) могут и не сов-
падать с аппликатами непрерывной поверхности, описываемой
аналитически.
Поверхности вантовых покрытий дополнительно можно условно
разделить на пологие и непологие. К пологим относят такие покры-
тия, внутренняя геометрия которых с достаточной степенью точ-
ности для практических расчетов может отождествляться с гео-
метрией на плоскости. В этом случае вводимая гипотеза о поло-
гости дает погрешности, величины которых находятся в пределах
точности наших сведений о реальных нагрузках, действующих
15
на покрытие, характеристиках применяемых материалов и точнос-
ти вычислений.
Третья группа признаков предлагаемой классификации преду-
сматривает разделение вантовых покрытий в зависимости от струк-
турных особенностей сети.
Под структурой вантовой сети будем подразумевать закон или
характер расположения элементов сети-нитей по всей поверхности
или на части ее. При этом необходимо учитывать направление эле-
ментов сети относительно инвариантных направлений поверхности
и конфигурацию элементарных ячеек, получающихся в результате
пересечения принятых направлений. Структура характеризует
схему в топологическом отношении. Если закон образования струк-
туры сети одинаков на всей поверхности, такую структуру принято
называть регулярной. Могут быть различные нерегулярности
в структуре сети. Тогда последняя носит название нерегулярной сети.
Вантовая сеть может быть образована одним, двумя, тремя и бо-
лее семействами гибких нитей, каждое от одного параметра.
Наиболее простой сетью является сеть, образованная одиночными
вантами, располагаемыми параллельно друг другу и подвешенными
к опорному контуру. Она обладает высокой кинематической по-
движностью и применяется в сетях, превращаемых в последующем в
висячие железобетонные оболочки.
• Поверхность покрытия, образованного одиночными вантами,
может быть нулевой либо отличной от нуля кривизны. Последняя
создается путем постепенного изменения стрелок провисания вант
или за счет соответствующего очертания контура. При разных стрел-
ках провеса цилиндрическая поверхность превращается в конои-
дальную.
Вантовые покрытия с сетью из параллельных нитей могут при-
меняться в исключительных случаях и лишь при очень большом
собственном весе ограждающих конструкций. Вес покрытия должен
быть таким, чтобы любая временная неравномерная нагрузка
не вызывала значительных кинематических перемещений, и во вся-
ком случае быть больше величины нагрузки, вызываемой отрица-
тельным давлением ветра (отсосом). В противном случае жесткость
должна быть обеспечена за счет предварительного напряжения,
создаваемого путем замоноличивания швов между ограждающими
плитами под временным пригрузом.
Кинематическую податливость отдельной нити можно уменьшить
путем введения дополнительной нити и превращением системы
из однослойной в двухслойную (двухпоясную). Без предваритель-
ного натяжения гибкие элементы вантовых ферм при сжатии вы-
ключаются из работы. Предварительное натяжение повышает жест-
кость ферм до пределов жесткости обычных и дает возможность
гибким элементам воспринимать сжатие. Пояса ферм (несущий
и напрягающий) могут быть связаны при помощи жестких распо-
рок, гибких подвесок или одновременно распорок и подвесок или
гибких раскосов (рис. I. 7, а).
16
Гибкая нить может быть элементом радиальных систем
(рис. 1.7, б), образованных обычно на круглом опорном контуре
и имеющих, как правило, поверхность вращения положительной
гауссовой кривизны. Возможно применение центральной стойки,
поддерживающей внутреннее растянутое опорное кольцо. Такая
система имеет поверхность вращения отрицательной гауссовой
кривизны и в литературе называется шатровой. Сравнение ради-
альных сетей с ортогональными при одинаковом очертании опорного
контура и стрелах провисания показывает, что расход материала вант
на единицу площади горизонтальной проекции на первую систему в
полтора раза меньше, чем на вторую [28]. Такое явное преимущест-
во радиальных систем служит залогом их широкого применения.
Аналогично вантовой сети из отдельных параллельных нитей,
радиальные сети без предварительного напряжения являются
геометрически изменяемыми и применяются как промежуточная
стадия для создания висячих оболочек. Центральную стойку ради-
ального покрытия шатрового типа жестко защемляют в фундаменте
либо в месте нижней опоры предусматривают шарнир, тем самым
превращая стойку в качающуюся. Такое решение применяют
в том случае, когда хотят исключить работу центральной и контур-
ных стоек на горизонтальные усилия от вантовой сети. В противном
случае не обеспечивается самоуравновешенность системы в гори-
зонтальной плоскости. Провес вант в шатровых покрытиях может
быть различным.
Если ванты в месте примыкания к наружному контуру касатель-
ны к горизонтальной плоскости, то вся нагрузка от покрытия пере-
дается на центральную опору. Контурные стойки в таком покрытии
удобны для монтажа, обеспечивают устойчивость покрытия и мо-
гут быть заменены вертикальными или наклонными оттяжками
(можно с предварительным натяжением).
Разновидности радиальных двухслойных покрытий представле-
ны на рис. 1.7, в.
В связи с тем, что радиальные вантовые системы на круглом плане
являются самоуравновешенными, неравномерности загружений при
осесимметричной постоянной нагрузке существенного изменения
в усилиях вант не дадут. Однако это положение не справедливо для
радиальных вантовых двухпоясных систем с общим внутренним
кольцом. Горизонтальные усилия от вант двух поясов, связанных
в центре общим кольцом, не уравновешиваются наружными опор-
ными контурами, которые стремятся сместиться относительно друг
друга в горизонтальной плоскости. При этом наружные колонны
и опорные контуры начинают работать на изгиб.
Для обеспечения общей пространственной жесткости двухпояс-
ного радиального покрытия по кольцам в местах расположения рас-
порок или подвесок предусматривают решетчатые связи в виде
сплошной ленты. Расстояние между кольцевыми связями по радиу-
су покрытия принимается в пределах 1000—1200 г, где г — радиус
инерции наименьшего по сечению ванта.
17
5
Рис. 1.7. Схемы вантовых покрытий:
а, б — из отдельных вант и ферм, расположенных соответственно параллельно и радиаль-
но; в — радиально-кольцевое; г — радиально-складчатые системы Д. Дверта; д _ради-
альное на опорном контуре в виде одной и трех восходящих спиралей; е — радиальное
с безизгибным опорным контуром.
Напрягающие и несущие ванты в радиальных системах распо-
лагаются попарно в одной вертикальной плоскости. В некоторых
случаях ванты каждого слоя могут быть смещены на круговой шаг
относительно друг к другу. В этом случае раскосы располагаются
уже не в вертикальной плоскости, а с наклоном в кольцевом и в ра-
диальном направлениях. При опирании плит ограждения на пояса
системы образуется складчатое покрытие (рис. 1.7, а), получившее
название системы Яверта [711.
При применении вантовой радиальной сети вогнутого типа воз-
никают трудности с отводом атмосферных осадков с покрытия. Та-
кие покрытия, как правило, имеют сложный внутренний водоотвод.
Естественный водоотвод обеспечивает конструкция вантового ра-
диального покрытия, предложенного Г. П. Морозовым* (рис. 1.7,д).
Опорный контур предлагается выполнить в виде восходящей одной
или нескольких спиралей. В связи с тем, что опорный контур
в любом случае получается разомкнутым, необходимы дополнитель-
ные конструктивные мероприятия, обеспечивающие нормальную
его работу.
Круг и эллипс являются наиболее благоприятными фигурами
для радиальных сетей. Однако такие очертания предопределяют
форму здания, не всегда отвечающую его функциональному на-
значению. Конструкция радиального вантового покрытия, предло-
женная Н. В. Никитиным**, обеспечивает изменение формы со-
оружения в плане при сохранении наивыгоднейшей формы опорного
контура (рис. 1.7, е). Колонны сооружения размещают по контуру
проектируемого сооружения. Радиальную систему вант подвеши-
вают на опорное кольцо, вынесенное за контур сооружения и очер-
ченное в плане в виде веревочного многоугольника системы сил,
действующих от вант.
Устойчивость опорного кольца обеспечивается колоннами. Изме-
нением угла наклона участка вант от колонн до опорного контура
варьируют усилия, действующие на него.
С целью уменьшения количества типоразмеров элементов покры-
тия—железобетонных плит—радиальная вантовая сеть может быть
выполнена с дополнительными параллельными вантами, отстоящими
друг от друга в пределах каждого сектора на одинаковом расстоянии
(рис. 1.8). Концы дополнительных вант соответственно закреплены
на основных вантах и на опорном контуре. Данная схема ***, од-
нако, обладает некоторыми недостатками: усложняется конструк-
ция примыкания дополнительных вант к основным, однотипные узлы
примыкания дополнительных вант к опорному контуру по конструк-
тивному выполнению отличаются друг от друга при круговом очер-
тании последнего.
* Г. П. Морозов. Авторское свидетельство на изобретение № 155280.
** Н. В. Никитин. Авторское свидетельство на изобретение № 163742.
*** А. К. Е р м а к о в, В. П. Редько. Авторское свидетельство на изоб-
ретение № 243805.
20
Рис. 1.8. Покрытие ради-
ально-параллельной си-
стемы (план).
Сети, полученные в результате пересечения двух семейств кри-
вых, применяют для многих вантовых покрытий.
Легко представить себе радиально-кольцевое вантовое покрытие
шатрового типа (см. рис, 1.7, в). При перемещении центрального
узла вверх сеть получит предварительное напряжение. Такое ван-
товое покрытие имеет самостоятельное применение.
Экспериментальные исследования показывают [59], что кольце-
вые ванты необходимо применять и в висячих железобетонных обо-
лочках шатрового типа. Радиально-кольцевую вантовую систему
можно выполнить и двухслойной.
Перекрестные вантовые сети, образован-
ные двумя семействами нитей, могут быть
ортогональными и косоугольными. Ортого-
нальные сети с пересекающимися под пря-
мыми углами в плане нитями наиболее рас-
пространены.
Ванты в [ненапряженной ортогональной
сети на плоском четырехугольном опорном
контуре имеют очертания парабол раз-
личных кривизн, а некоторые участки
поверхности — отрицательную кривизну
(рис. 1.9, а).
В большинстве случаев ортогональные и
косоугольные сети являются предваритель-
но напряженными, имеют самостоятельное
применение или используются для создания
ной из наиболее распространенных поверхностей, по которой очер-
висячих оболочек. Од-
чены предварительно напряженные ортогональные сети вантовых
покрытий, является поверхность гиперболического параболоида.
На рис. 1.9, б, в, г представлены ортогональные сети гиперболиче-
ского параболоида на различных планах.
Связь формы поверхности в ортогональных сетях с очертанием
опорного контура и структурой сети предопределяет неограничен-
ное количество различных схем покрытий.
Поверхность ортогональной предварительно напряженной ванто-
вой сети на квадратном плане с полной симметрией очертания опор-
ного контура состоит из четырех простых поверхностей, прибли-
жающихся в угловых зонах к гиперболическим параболоидам (рис.
1.9, д). Такая комбинация поверхностей обусловливает наличие
сплощенных зон покрытия, в средней части его, и нитей, имеющих
на отдельных участках кривизну разных знаков. Наличие сплощен-
ных зон и нитей с различными знаками кривизн по длине ведет
к понижению общей жесткости покрытия.
Такую поверхность можно улучшить введением по осям симмет-
рии покрытия дополнительных вант, так называемых тросов жест-
кости, способных воспринимать горизонтальные натяжения от при-
мыкающих вант. При горизонтальной связи в узлах пересечения
сети с тросом жесткости (рис. 1.9, е) участки нитей, имеющие
21
разные по знаку кривизны, могут иметь различные по величине уси-
лия.
Несколько облегчают работу опорного контура тросы жесткости
ортогональных вантовых сетей, направленные в углы его перелома
Рис. 1.9. Сети вантовых покрытий:
а — ортогональная на плоском контуре; б, в, г — ортогональная гиперболического пара-
болоида соответственно на квадратном, круглом н ограниченном двумя кривыми плане;
д — ортогональная на симметричном пространственном контуре; е — то же, с тросами
жесткости; ж, а, и — ортогональная с тросами жесткости соответственно на квадратном,
треугольном н шестиугольном планах.
(рис. 1.9, ж, з). Несущие ванты располагаются параллельно сторонам
фигуры (треугольника, квадрата и др.) и всю основную нагрузку
передают на тросы жесткости.
В вантовом покрытии на шестиугольном плане (рис. I. 9, и) трос
жесткости является основным элементом, при помощи которого обра-
зуется косоугольная сеть (тросы жесткости направлены по трем
главным диагоналям, а остальные ванты — параллельно им). Форма
22
опорного контура дает возможность подвергнуть систему предвари-
тельному напряжению.
Пространственная жесткость ортогональных предварительно на-
пряженных сетей обеспечивается вовлечением в работу всех вант так-
же при действии несимметричных нагрузок. Повышение жесткости
вантовой сети, помимо увеличения усилий предварительного напря-
жения, можно достигнуть путем осуществления ряда конструктив-
ных мероприятий. В частности, в поверхности покрытия возможно
устройство ферм жесткости, поясами которых будут являться смеж-
ные несущие или напрягающие ванты (рис. 1.10) *. Фермы жест-
кости при несимметричных нагрузках обеспечивают более эффектив-
ное включение в работу вант, расположенных в незагруженных
участках покрытия. Учитывая, что
фермы жесткости препятствуют го-
ризонтальным смещениям узлов се-
ти, которые при несимметричных I
загружениях, например при загру-
жении полупролета, будут иметь I"
наибольшие значения в средних |
узлах, их целесообразно распола- •—К/
гать в средней зоне покрытия.
Необходимо обратить внимание Рис. 1.10. Ортогональная сеть ио-
на то, что трудности обеспечения вишенной жесткости,
предварительного напряжения эле-
ментов решетки этих ферм могут существенно повлиять на прак-
тическую реализацию этого предложения. Необходим также допол-
нительный расчетный анализ, позволяющий установить количест-
венную оценку повышения деформативности с учетом того, что фер-
мы жесткости имеют криволинейное очертание и подвергаются
явлению кручения.
Два направления вант являются минимально необходимыми для
создания предварительного напряжения (при этом очертание опор-
ного контура соответствует сети). Однако существуют вантовые се-
ти, образованные тремя и более направлениями нитей.
Сеть с треугольными ячейками в принципе может быть образова-
на на любой поверхности. Так, в гиперболическом параболоиде не-
сущие тросы направляются вдоль линий главных кривизн, а напря-
гающие—' под углом 45е к несущему. В связи с тем, что на поверх-
ности гиперболического параболоида невозможно существование
правильных треугольников 117), узлы треугольной сети необходимо
образовывать путем принудительного крепления. При этом ванты в
плане получают не прямолинейное, а ломаное очертание. В таком
покрытии напрягающие ванты, направленные не под прямым уг-
лом к несущим, выполняют свое назначение в том случае, когда они
не совпадают с линейными образующими данной поверхности.
* Н. С. Москалев, Л. П. Ч е к а л е в. Авторское свидетельство на изо-
бретение 231777.
23
В противном случае эффект предварительного натяжения практичес-
ки теряется.
Вантовая сеть с треугольной структурой обладает тем преиму-
ществом, что ее элементарная треугольная ячейка является всегда
плоской. Это дает возможность заполнять ячейки между вантами
хрупкими материалами, например стеклопанелями.
Треугольная ячейка хорошо сочетается с шестиугольным планом.
Очертания опорного контура позволяют обеспечить предваритель-
ное напряжение сети. Сеть шестиугольной структуры обладает осо-
быми свойствами, о которых речь пойдет ниже.
Перечисленные структурные схемы вантовых сетей классифи-
цируются только с точки зрения конструктивных особенностей каж-
дой и не так строго отражают особенности внутренней геометрии
их, вытекающие из положений теории поверхностей. Понятие «ван-
товая сеть» не всегда совпадает с математическим понятием «сеть на
поверхности».
Сетью в теории поверхностей [17] называют два семейства кривых
на поверхности, каждое из которых зависит от одного параметра.
Существует большое количество сетей, классифицируемых в тео-
рии поверхностей по типу внутренней геометрии и условию их су-
ществования на различных поверхностях. Кроме ортогональных
и асимптотических сетей в теории поверхностей различают геодези-
ческие, полугеодезические, чебышевские и др.
Наибольший интерес для вантовых покрытий представляют сети,
образованные геодезическими линиями поверхности. Нормальная
кривизна зависит от формы поверхности и изменяется при изги-
бании ее. Геодезическая кривизна принадлежит внутренней гео-
метрии поверхности и является инвариантной при изгибании. Таким
образом, линия, геодезическая кривизна которой в каждой точке рав-
на нулю, является кратчайшей линией на поверхности между дву-
мя произвольными точками и носит название геодезической.
Чтобы линия поверхности была геодезической, необходимо и
достаточно, чтобы ее главная нормаль во всех точках совпадала
с нормалью к поверхности или чтобы линия была прямая. В качестве
примера геодезической сети может служить предварительно на-
пряженная тканевая оболочка, узлы которой не препятствуют про-
скальзыванию. Асимптотическая сеть на поверхности отрицательной
гауссовой кривизны является также геодезической. На развертыва-
ющихся поверхностях (конус, цилиндр) геодезическая сеть может
быть и ортогональной.
В чебышевской сети в каждом координатном четырехугольнике
противоположные стороны имеют одинаковую длину.
Для рассматриваемых пологих вантовых покрытий учет внутрен-
ней геометрии не является необходимым. Однако анализ структур
вантовых сетей, основанный на положениях теории поверхностей,
дает возможность более строго подходить к решениям вантовых по-
крытий и в определенной степени является основой для разработки
новых структур. Кроме того, знание геометрических параметров раз-
24
личных сетей полезно для дальнейших усовершенствований стати-
ческих расчетов [29].
Четвертая группа признаков классификации предусматривает
разделение вантовых покрытий на без предварительного напряже-
ния и предварительно напряженные.
Следует различать предварительно напряженные покрытия, в ко-
торых усилия предварительного напряжения передаются на опор-
ный контур и имеют самостоятельное применение, и покрытия, в
которых подобные усилия передаются на конструкции ограждения
в процессе превращения вантовой системы в висячую оболочку.
В покрытиях второго вида растягивающие усилия в вантах урав-
новешиваются сжимающими усилиями в материале ограждающих
плит.
В принципе возможен и третий вид предварительного напряжен-
ного покрытия, в котором усилия предварительного напряжения вос-
принимаются' опорным контуром и конструкциями ограждения по-
крытия одновременно.
По пятой группе признаков вантовые сети в зависимости от мате-
риала подразделяют на сети из стальных канатов, пучков высоко-
прочной проволоки, арматурных стержней и прочих материалов.
Вторая составная часть покрытия — бортовой элемент (опорный
контур) классифицируется по четырем группам признаков: форма и
очертание, характер статической работы, характер опирания на
колонны, материал.
Опорные контуры по форме могут быть плоские и пространствен-
ные с прямолинейным и криволинейным, замкнутым и незамкнутым,
симметричным и несимметричным очертанием. Очертание опорного
контура тесно связано с фюрмой покрытия в плане. Исключение со-
ставляют покрытия, аналогичные приведенному на рис. 1.7, е.
Жесткие опорные контуры могут быть изгибными и безизгибными,
распорными и безраспорными. При выборе формы контура необ-
ходимо стремиться к тому, чтобы он был безизгибным и безраспор-
ным. В первом случае опорный контур испытывает только напряже-
ния центрального сжатия, во втором — облегчается работа фун-
даментов.
Термины «безизгибный» и «безраспорный» должны рассматривать-
ся в связи с определенными внешними воздействиями на контур.
Контур, безизгибный при одном воздействии может стать изгибным
при другом. Под безизгибным контуром подразумевается контур,
безмоментный в своей плоскости, при этом возможно возникновение
моментов, действующих из плоскости контура и зависящих от ха-
рактера опирания его. Задача о безмоментности опорного контура
вантового покрытия может быть поставлена по-разному. Имея опор-
ный контур заданной формы, можно определить закон нагружения
его распорами вант, при котором в его сечениях изгибающие момен-
ты будут равны нулю (затем закон распределения усилий стремятся
выполнить в натуре), или, зная закон распределения усилий, най-
денный из условия безмоментности контура, находят его очертание.
25
Рис. 1.11. Перекрестная система вант па опор-
ном контуре в виде двух арок с пятами выше
замков:
1,2 — несущие и напрягающие ванты.
При решении задачи в первой постановке план покрытия и очер-
тание контура при проектировании обычно задают (при этом очень
трудно избежать изгибающих моментов, возникающих при различ-
ных нагрузках на покрытие, особенно, неосесимметричных).
С точки зрения безраспорности и безизгибности наиболее рацио-
нальным является плоский контур, очерченный по окружности при
радиальной сети вант и осесимметричной нагрузке.
Контур покрытия, показанного на рис. 1.9, б, испытывает изгиб,
а в двух самых низких точках действуют распоры. Замена прямо-
линейного контура арками не избавляет его от распора, возникаю-
щего в местах перелома
арок.
Решение, предложенное
Г. П. Морозовым* (рис. 1.11),
несколько улучшает работу
опорного контура в виде
двух наклонных арок.
Для обеспечения сжатия
в арках пяты их находятся
не ниже замков, как при-
нято, а выше. Между жест-
ко соединенными пятами
наклонных арок располага-
ют несущие ванты, сходя-
щиеся у пят и расходящие-
ся у замков. Перпендикулярно к оси, проходящей через пяты
арок, располагают напрягающие ванты. Таким образом, усилия
предварительного напряжения вполне отвечают форме опорного кон-
тура, а усилия от полезной нагрузки передаются в виде сосредото-
ченных сил у пят наклонных арок.
К недостаткам такого решения следует отнести полную нерегу-
лярность структуры сети, различие в кривизнах несущих вант и,
следовательно, в усилиях. Кроме того, могут возникнуть трудности
обеспечения пространственной кривизны несущих вант в процессе
предварительного натяжения.
Прямолинейные контуры вантовых сетей (см. рис. 1.9, ж, з) не
имеют распоров, а моменты возникают только от усилий предвари-
тельного натяжения. Основные усилия при помощи троса жесткости
передаются в местах перелома контура и, следовательно, не вызы-
вают изгибающих моментов. Следует заметить, что нагружение мно-
гоугольного контура силами, приложенными в вершинах, явля-
ется лишь необходимым, но не достаточным условием безмомент-
ности. Необходимо, чтобы величины сил удовлетворяли условия
равновесия каждой его стороны и всего контура в целом.
Принцип концентрации основных усилий у мест перелома опор-
ного контура для обеспечения безизгибной работы последнего в
Г. П. Морозов. Авторское свидетельство на изобретение № 169768.
26
различных модификациях используется очень часто. Для зданий пря-
моугольного или многоугольного очертания в плане этот принцип
реализуется наиболее просто и эффективно (рис. 1.12, а) *. Па-
раллельные ванты сети располагаются по концентрическим фигурам
(в данном случае по вписанным друг в друга квадратам), соответст-
вующим очертанию бортового элемента в плане. Ванты крепятся к
г 0 е
Рис. 1.12. Вантовые системы с безизгибным опорным контуром:
а — параллельная система с диагональными элементами; б, в, г — системы с
передачей усилий в углы перелома опорного контура; д — ромбическая сеть на
эллиптическом плане; е — двухслойное покрытие с тросами-подборами.
лучевым элементам, представляющим собой, как правило, жесткие
висячие арки, заанкеренные в углах бортового элемента. Геометри-
ческие параметры диагональных (лучевых) элементов и вант взаим-
но связаны. При этом возможны формы покрытия в виде пересека-
ющихся параболических цилиндров или коноидальных поверхнос-
тей. Последний случай возможен при разных стрелках провеса вант,
увеличивающихся в направлении от центра к бортовому элементу.
При определенных параметрах очертания диагональных вант и
бортового элемента в угловых колоннах (в местах перелома борто-
вого элемента) возникают растягивающие усилия. Концентрация
значительных по величине усилий в узлах затрудняет конструиро-
вание последних, обусловливает повышенный расход материалов.
* Р. Н. М а ц е л и н с к и й, Н. С. Катин, А. Н. С т у л ь ч и к о в.
Авторское свидетельство на изобретение № 151460.
27
Безизгибная работа опорного контура достигается также в по-
крытии, схему которого предложил Н. С. Москалев (рис. 1.12,6)*.
Сеть состоит из двух систем радиальных вант, центрами которых яв-
ляются противоположные углы прямоугольного опорного контура.
Концы вант в пролете закреплены на висячем диагональном элемен-
те, связывающем два других противоположных угла контура. Хотя
общая схема предельно проста, передача усилий от пучка радиальных
вант в углы контура требует особой конструкции узла и значитель-
ного развития его габаритов.
Распоры системы параллельных вант могут быть также переданы
в углы опорного контура с помощью дополнительных «ветвящихся»
приконтурных вант (рис. 1.12, в) **. Учитывая пологость углов на-
клона «ветвящихся» вант в плане, схему можно применять лишь в
зданиях небольшой протяженности. Большой недостаток схемы со-
стоит в наличии нерегулярности в приконтурной структуре, что за-
трудняет унификацию ограждающих элементов покрытия.
Радиальная вантовая сеть применяется, как правило, в зданиях
криволинейного очертания. Стремление использовать ее без из-
менений для зданий прямоугольного очертания приводит к появле-
нию больших изгибающих моментов в контуре, от чего общая эффек-
тивность покрытия снижается. Существует много предложений,
цель которых состоит Ь сочетании особых статических свойств ра-
диальной сети с безизгибной работой прямоугольного в плане опор-
ного контура. Одна из схем представлена на рис. 1.12, г. В ней ра-
диальные ванты закреплены на гибких тросах-подборах, которые всю
нагрузку передают в углы перелома бортового элемента. Недостат-
ком решения является необходимость организации внутреннего
отвода атмосферных осадков. Для обеспечения наружного отвода
устраивают специальную нерабочую надстройку или конструиру-
ют двухслойное покрытие в виде радиальных безраскосных ферм.
Требования, предъявляемые к опорному контуру и вантовой се-
ти, часто противоречивы и поэтому многие удачные в статическом
отношении схемы вантовых покрытий являются компромиссными
решениями. Примером такого решения может служить схема косо-
угольной сети на эллиптическом плане (рис. 1.12, д). Автор предло-
жения***, задавшись целью обеспечить безизгибность эллиптического
опорного контура при действии равных усилий во всех вантах, по-
казал, что такому состоянию соответствует косоугольная (ромби-
ческая) структура сети с ячейками, в которых отношение диагоналей
ромба равно отношению полуосей эллипса.
Применяя тросы-подборы в системах, состоящих из параллель-
ных безраскосных ферм (рис. 1.12, е), можно повысить жесткость
покрытия за счет вовлечения в работу торцевых конструкций зда-
ния и повышения жесткости бортового элемента (предложение
* Н. С. Москалев. Авторское свидетельство на изобретение № 251189.
** В. Н. Шимановский, В. Н. М а ц в е й к о, В. И. К и р е е н к о,
Ю. Н. Лузин. Авторское свидетельство на изобретение № 322477.
*** ф. А. Г о х б а у м. Авторское свидетельство на изобретение № 197921.
28
цнииск им. В. А. Кучеренко) * и вместе с тем обеспечить без-
изгибную работу опорного контура (предложение НИИСК, Киев) **.
Во втором случае жесткие горизонтальные связи — распорки,
располагаемые в уровне опорного контура, шарнирно соеди-
няются с тросом-подбором и опорным контуром. Конструкция
узла опирания распорок на контур должна обеспечивать свободу
перемещений вдоль ферм, вследствие чего опорный контур не вос-
принимает поперечных сил, а все усилия через тросы-подборы
концентрируются в углах перелома контура. Решение по идее и
конструктивному выполнению достаточно простое и несомненно будет
широко применяться в практике проектирования и строитель-
ства прямоугольных в плане зданий.
По характеру опирания различают подпертый и свободный от
опор контуры. Следует различать опоры, необходимые для опреде-
ленной статической работы покрытия и предусматриваемые по ар-
хитектурным соображениям. Размещение опор отражается на вели-
чине изгибающих моментов из плоскости контура, в криволинейных
контурах — на величине крутящих моментов.
§ 3. Принцип формообразования вантовых покрытий
с ортогональной структурой сети
на гиперболическом параболоиде
Одной из наиболее распространенных поверхностей вантовых
покрытий является поверхность гиперболического параболоида.
При этом сеть чаще всего представляет собой два семейства взаимно
перпендикулярных вант, имеющих максимальную по величине
Рис. 1.13. Вантовое покрытие, состоящее из четырех гиперболических па-
раболоидов.
* Ю. С. Мкрчанц. Авторское свидетельство на изобретение Ns 238118.
** В. Н. Ма цвейко, В. Н. Ш и м а н о в с к и й, В. И. К и р е е н -
ко, Ю. Н. Лузин. Зависимое авторское свидетельство на изобретение
Ns 322477.
29
(для данной поверхности) и различную по знаку кривизну. Такие
поверхности дают возможность создавать экономичные предвари-
тельно напряженные сети, обладающие достаточной жесткостью. Не
случайно большинство осуществленных вантовых покрытий имеют
поверхность гиперболического параболоида или близкую к нему.
Однако применение вантовых сетей, очерченных по поверхности
Рис. 1.14. Покрытие на опорном контуре в виде трех
наружных и трех внутренних пересекающихся арок:
/, 2 — напрягающие и несущие ванты; 3 — жесткие свя-
зи между арками.
одного параболоида, естественно, ограничивает архитектурные и кон-
структивные решения покрытий. Поэтому часто используют состав-
ные поверхности вантовых сетей, в которых гиперболический па-
раболоид является элементарной составной ячейкой. На рис. 1.13
представлено одно из таких покрытий. Подобные композиции мож-
но образовывать из гиперболических параболоидов на любом плане.
При помощи трех гиперболических параболоидов на опорном кон-
туре из пересекающихся арок, наклоненных к горизонту под раз-
личными углами, можно образовывать также составную поверхность
покрытия (рис. 1.14), Центральные бортовые арки, соединенные ме-
ЗО
жду собой, одновременно воспринимают вертикальную нагрузку и,
таким образом, дают возможность отказаться от промежуточных
опор. Такие схемы целесообразны при перекрытии больших проле-
тов — от 150 м и более. При перекрытии названных пролетов
вантовым покрытием, очерченным по поверхности одного гиперболи-
ческого параболоида, перепад высших и низших точек получается
огромным, что приводит к бессмысленному увеличению объема
здания.
Рис. 1.15. Вантовые сети на кусочно-гладких поверхностях:
а, б — формообразование соответственно одного гиперболического параболоида
и нескольких: / — горизонтальная плоскость; 2, 3 — напрягающие и несущие
ванты.
Обычно поверхности рассмотренных схем не являются кусочно-
гладкими, когда по линиям сопряжения параболоидов имеются пе-
реломы поверхности. Это требует устройства в местах переломов обыч-
но жестких элементов, уравновешивающих напряженное состояние
поверхности, что вызывает дополнительные затраты материалов и,
следовательно, уменьшает эффективность вантовых систем. Оправ-
данными в этом случае являются поиски новых рациональных реше-
ний вантовых сетей, которые бы обладали достоинствами сетей ги-
перболического параболоида и не содержали жестких элементов,
кроме опорного контура. Важно также найти общий принцип струк-
турного образования ортогональных сетей на любом опорном кон-
туре.
Если проанализировать формообразование поверхности одного
прямого гиперболического параболоида на квадратном плане (рис.
1.15, а), то можно заметить, что его поверхность условно членится на
четыре участка, каждый из которых также представляет собой па-
раболоид. Очевидно, такая поверхность не имеет разрыва кривизны,
а линии сопряжения участков (в данном случае асимптоты — ли-
нейчатые образующие) являются прямыми линиями и находятся в
одной горизонтальной плоскости. Следуя замеченной особенности
и взяв в качестве основной ячейки гиперболический параболоид на
ромбическом плане, можно создать более сложные кусочно-гладкие
поверхности. При этом количество сопрягаемых параболоидов дол-
жно быть четным и высотные отметки внешних углов опорного кон-
тура должны чередоваться. Направляя ванты по линиям максималь-
ных кривизн каждого параболоида, достигаем полного соответствия
между структурой сети и поверхностью. Одна из таких сетей пред-
ставлена на рис. 1.15, б.
31
Очевидно, что подобный принцип применим при любом очерта-
нии в плане опорного контура. Рассмотрим применение этого прин-
ципа к сетям на опорном контуре в виде арок.
Схема ортогональной вантовой сети на опорном контуре из двух
арок, примененная в выставочном здании г. Ралей (США), стала
Рис. 1.16. К определению очертания опорного контура покрытия с ку-
сочно-гладкой поверхностью гиперболических параболоидов.
классической и занимает одно из главных мест во всем многообра-
зии вантовых покрытий. В ней гармонично сочетаются рациональные
формы, поверхность и очертание опорного контура (см. рис. 1.2, а).
Однако создать рациональную ортогональную вантовую сеть на
опорном контуре из трех и более наклонных к горизонту арок, ис-
пользуя лишь два направления нитей относительно всей поверхнос-
32
ти, не представляется возможным. В этом случае нити имеют раз-
личные кривизны с недопустимо малыми величинами, появляются
нежелательные сплощенные зоны поверхности.
Чтобы избежать таких недостатков, нити необходимо направ-
лять по линиям кривизны в пределах каждого параболоида. В случае
арочного очертания опорного контура удобно исходить из параболи-
ческой формы всех нитей с наперед заданной величиной кривизны.
Проследим геометрическое построение опорного контура при лю-
бом четном количестве сопрягаемых гиперболических параболоидов,
начиная с четырех. Следовательно, центральный угол каждого
360°
параболоида будет равен----, где п = 4, 6, 8, 10, 12 и т. д., что соот-
ветствует 2, 3, 4, 5, 6 и т. д, опорным аркам.
Рассмотрим два смежных полусектора в системе координат ОХУ
(рис. 1.16). Вдоль линий кривизн каждого сектора в направлении
от центра проведем два семейства конгруэнтных парабол с началом
каждой на линии сопряжения параболоидов.
Уравнение семейства парабол первого участка (выше плоскости
ХОУ) запишем в виде
z = -g-(-x2 —*i).
С другой стороны, уравнение арки имеет вид
z = Ьх — а,
(1)
(2)
где b — tg Р;
— участок, отсекаемый проекцией прямой на оси Z.
Приравняв левые части и выполнив необходимые преобразования,
получаем следующее уравнение очертания бортового элемента в пла-
не (в первом участке):
</= |/
, . k
а — Ьх -р х2
(3)
Путем аналогичных геометрических построений и аналитических
выкладок определяем уравнение очертания бортового элемента в
проекции на плоскость XOZ
(4)
где у = d — fx; f — tg у.
Задавшись углами наклона Р и у, нетрудно определить два дру-
гих параметра d и а. При этом исходят из непрерывного очертания
бортового элемента, для чего приравнивают соответствующие
2 3—2835
33
производные уравнений линий в точке перехода прямолинейного уча-
стка борта в криволинейный. Величина k задается исходя из обес-
печения необходимой геометрии покрытия.
Таким образом, опорным контуром покрытия являются не плос-
кие арки, а аркообразные элементы, состоящие из участков (в пре-
делах радиальных секторов) с кривизной в одной из плоскостей —
Рис. 1.17. Фазы изменения структуры ортогональной сети в зависимости от увели-
чения количества аркообразных элементов:
а — на опорном контуре из двух арок; б, в, а. д — то же, соответственно из трех, четырех,
пяти и шести аркообразных элементов; е —-радиальная на круглом опорном контуре.
вертикальной или горизонтальной. Образованная по такому прин-
ципу поверхность не имеет разрывов кривизны, линии сопряжения
параболоидов находятся на одной горизонтальной плоскости, а
кривизна поверхности в кольцевом направлении по линиям сопряже-
ния меняет свой знак.
Предложенный принцип структурного образования вантовых се-
тей покрытий * лег в основу разработанных ортогональных сетей
при количестве аркообразных элементов от двух до бесконечности.
В связи с этим проследим фазы изменения структуры ортогональ-
ной сети, поверхности и предварительного натяжения в зависимос-
ти от увеличения количества аркообразных элементов (рис. 1.17).
* Л. Г. Дмитриев, А. В. К а с и л о в, И. Э. К и м е л ь ф е л ь д,
Е. К. Лажечникова. Авторское свидетельство на изобретение Ns 169226.
34
Схема сети на опорном контуре из двух арок может рассматриваться
как частный случай предлагаемого принципа образования сетей.
Действительно, при п = 4 уравнение (4) вырождается в уравнение
(2), а это значит, что в данном случае бортовые арки являются пло-
скими. В других случаях (при п > 4) бортовые элементы являются
аркообразными.
С увеличением количества аркообразных элементов количество
радиальных секторов, в пределах которых принята ортогональная
сеть, увеличивается. Это, в свою очередь, ведет к уменьшению влия-
ния предварительного натяжения сети, а при бесконечном возраста-
нии количества аркообразных элементов они образуют замкнутый
кольцевой контур. При этом несущие ванты образуют простую ра-
диальную сеть, очерченную по поверхности вращения.
В случае, когда самые низкие и самые высокие точки контура при
увеличении количества аркообразных элементов сохраняют свои
отметки, возможна вторая форма перехода ортогональных сетей
в преднапряженное покрытие, состоящее из прямого и обратного
куполов непрерывной радиальной структуры, соединенных непре-
рывными вертикальными связями типа подвесок. Промежуточные
формы этого перехода — покрытия в виде вантовых складок «си-
стемы Яверта».
§ 4. Равнопрочные структуры сетей вантовых покрытий
Основной недостаток почти всех вантовых систем заключается в
том, что при действии на покрытие произвольной вертикальной на-
грузки усилия в вантах неодинаковы. Это ухудшает технико-эко-
номические показатели покрытий, так как при подборе сечений на
разные усилия получаются различные по пло-
щади поперечного сечения ванты, а при их
унификации — перерасход материала. Кроме
того, различные усилия в вантах неблагопри-
ятно влияют на работу бортового элемента,
затрудняют осуществление и регулирование
предварительного напряжения в вантах.
Большой интерес представляет направление
развития конструктивных форм покрытий,
сеть которых была бы равнопрочной и обла-
дала свойством уравнивать усилия в элемен-
тах при действии произвольной вертикальной
нагрузки. Очевидно, что эффект использо-
вания прочностных характеристик применяе-
мых материалов в таких сетях будет макси-
мальным.
Рассмотрим пологую систему, состоящую
3ina< (as)«tga, (уг);
Cosa/taJ™ 1.
Рис. 1.18. К условию
равновесия узла сети
шестиугольной струк-
туры.
из трех элементов-вант, сходящихся в одном
узле под углом 120° друг к другу (рис. 1.18). Из условия равно-
весия узла в горизонтальной плоскости следует, что под действием
2*
35
Рис. 1.19. Схемы вантовых покры-
тий с шестиугольной структурой
сети:
а — план; б, в — однослойное покры-
тие соответственно с внутренним и на-
ружным отводом воды; г, д — двух-
слойное соответственно с центральным
барабаном и с распорками: 1 — ванто-
вая сеть; 2, 3 — соответственно опор-
ные внешний н внутренний контуры;
4 — центральная опора; 5 — наружные
опоры по контуру; 6 — раздвижной
барабан; 7 — распорки.
узловой вертикальной силы
горизонтальные составляю-
щие усилий в вантах равны.
Присоединяя к каждому сво-
бодному концу такой системы
последовательно еще по два
элемента и соблюдая приня-
тый закон образования узла,
можно получить вантовую
сеть шестиугольной структу-
ры, обладающую свойством
равенства усилий во всех ее
элементах. В связи с поло-
гостью поверхности такой се-
ти ее ячейки практически со-
храняют в плане форму пра-
вильных шестиугольников как
в загруженном, так и неза-
груженном состояниях. В си-
лу статической определимости
работы узлов одинаковые уси-
лия в элементах будут возни-
кать также при действии раз-
личных по величине и распо-
ложению узловых сил.
Под одинаковыми здесь под-
разумеваются усилия, возни-
кающие от одного произволь-
ного загружения вантовой се-
ти. При количественном и качественном изменении внешней нагруз-
ки соответственно изменяются усилия в элементах, оставаясь при
этом равными по всей сети. Аналогичное явление мы имеем в от-
дельной пологой гибкой нити, когда при приложении к ней различ-
ных по величине вертикальных сил усилие в нити (распор) являет-
ся по всей длине постоянной величиной. В этом смысле шести-
угольную структуру вантовой сети в статическом отношении можно
трактовать как пространственную одиночную гибкую нить. Шести-
36
угольная сеть равного натяжения может рассматриваться также
как дискретная модель уравнения Лапласа.
Предлагаемая структура дает возможность разработать различные
схемы вантовых покрытий (рис. 1.19) *.
Однослойное вантовое покрытие с внутренним отводом воды пред-
ставляет собой систему вант шестиугольной структуры, натянутых
на опорный внешний контур, очерченный по окружности. Пред-
варительное натяжение сети осуществляется притягиванием ее к
центральной опоре, верх которой располагается ниже положения
внешнего опорного контура. Структура сети и принцип предваритель-
ного натяжения обеспечивает поверхность вращения отрицательной
гауссовой кривизны. Заметим, что такую же поверхность может
иметь лишь радиально-кольцевое шатровое покрытие.
Покрытие с шестиугольной структурой сети является родственным
радиальным системам покрытия, однако, на наш взгляд, облада-
ет многими преимуществами. Предварительное натяжение радиа-
льных систем производится путем поддержания растягивающих
напряжений в вантах при одновременном замоноличивании швов ме-
жду железобетонными плитами, поэтому применение плит заполне-
ния без связи в работе их с вантами невозможно. Предлагаемая схе-
ма позволяет применить для ограждающих конструкций панели из
синтетических материалов и легких сплавов без обеспечения сов-
местной работы их с вантовой сетью. Величина распора во всех эле-
ментах сети постоянна. Это обеспечивает идеальные условия работы
опорного контура, являющегося безизгибным при любой неравно-
мерной нагрузке. Применение одного типоразмера ограждающих
плит и единой конструкции узлов пересечения вант дает возможность
проектировать максимально унифицированные покрытия различных
пролетов.
При необходимости наружного отвода атмосферных осадков мо-
жет применяться схема покрытия, показанная на рис. 1.19, в.
В этом случае предварительное натяжение сети осуществляется от-
тягиванием ее от горизонтальной плоскости вверх при помощи цент-
ральной опоры.
Возможна схема двухслойного вантового покрытия с использо-
ванием шестиугольной структуры сети, каждый слой которой очер-
чен по поверхности отрицательной кривизны (рис. 1.19, г). Предва-
рительное напряжение осуществляется раздвижкой центральных
траверс специального барабана при помощи домкратов.
В двухслойном покрытии с поверхностью положительной гаус-
совой кривизны предварительное натяжение осуществляется поста-
новкой распорок в каждый узел шестиугольной сети. Затруднения
конструктивного порядка могут отнести эту схему в область теоре-
тических решений, однако с точки формообразования вантовых
покрытий такая схема представляет интерес (рис. 1.19, д).
* Л. Г. Дмитриев, Г. Б. Г и л ь м а н, А. В. К а с и л о в. Авторское
свидетельство на изобретение № 181798.
37
Недостатком сети шестиугольной структуры является ее много-
дельность, обусловленная тем, что ячейки сети изготавливаются
из отдельных сравнительно коротких элементов, которые необходи-
мо соединять в каждом узле. Это обстоятельство затрудняет приме-
нение для вант стальных тросов. Поэтому целесообразно создать
систему, которая обладала бы свойством сети шестиугольной струк-
туры, но имела бы более длинные элементы с минимальным коли-
чеством сложных узлов пересечения вант. Этой цели отвечают покры-
тия, схемы которых показаны на рис. 1.20.
Основная идея схемы на рис. 1.20, а заключается в том, что два
семейства перекрестных вант у контура переходят в систему корот-
ких вант, направленных под углом 120° к основным вантам. Это
Рис. 1.20. Сети с равными усилиями в элементах:
а — с «выравнивающей» зоной у контура; б — то же, в пролете.
обеспечивает равенство усилий в вЯнтах, примыкающих к таким уз-
лам, а вследствие проскальзывания перекрестных вант в пролет-
ных узлах — равенство усилий во всех остальных вантах. Форма
опорного контура при этом может быть произвольной.
Выравнивание усилий можно получить как для всех элементов
сети (путем соответствующего соединения групп вант в углах),
так и для двух групп вант — несущих и напрягающих. При выравни-
вании усилий во всех элементах схема имеет повышенную дефор-
мативность, так как влияние кривизн нитей на работу проявляется
незначительно. По статической работе она аналогична плоской сети
с равными усилиями во всех элементах. Очевидно, что более рацио-
нально применять схему с выравниванием усилий отдельно для
несущих и напрягающих вант.
Выравнивание усилий можно достичь не только путем располо-
жения коротких элементов указанной структуры у контура, но
и в пролете перекрестных систем и систем с параллельными нитями
(рис. 1.20, б). Эти схемы эффективны при восприятии односто-
ронних и неравномерных нагрузок. Принцип выравнивания усилий
путем создания небольшой специальной приконтурнон или пролет-
38
ной зоны можно распространить и на другие схемы покрытий.
В частности, можно проектировать двухслойные системы.
К качественно новым результатам приводит применение принципа
выравнивания усилий к сетям треугольной структуры. Если одно-
слойную вантовую сеть треугольной структуры «раздвинуть» в уз-
лах вертикальными распорками таким образом, чтобы ванты трех
направлений попеременно опирались в верхних и нижних узлах
распорок и примыкали бы к узлам под углом в плане 120° друг
к другу, получаем важное свойство такой схемы (рис. 1.21): при
действии любой вертикальной нагрузки усилия в вантах будут
Рис. 1.21. Вантовое покрытие с выравниванием усилий по
трем группам элементов:
а — план;- б — аксонометрия: / — ванты; 2 — распорки; 3 — бор-
товой элемент; 4 — плита.
уравнены по трем группам, так как существует всего три незави-
симых .направления, образующих замкнутые шестиугольники.
Каждый конец распорки развязан в трех направлениях, составля-
ющих в плане углы 120°, причем направления примыкания вант
у верхних и нижних узлов повернуты в плане на 60° относительно
друг друга.
Как и прежде предполагается, что эта схема относится к классу
пологих систем со всеми вытекающими последствиями.. В стадии
предварительного напряжения предлагаемая схема обеспечивает
наличие всего одного типа усилий во всех элементах, что значитель-
но облегчает выполнение предварительного напряжения. Варьи-
руя длину распорок, можно обеспечить соответствующую форму
покрытия.
Как будет показано в гл. II, вантовые покрытия относятся к клас-
су так называемых мгновенно-жестких систем и даже при наличии
предварительного напряжения обладают повышенной деформатив-
ностью. Этот недостаток является главным препятствием в случае
применения вантовых систем для перекрытий, требования к жест-
кости которых более повышены. В определенной мере он устранен
в схеме (рис. 1.22), образованной путем соединения по вертикали
двух сетей по рис. 1.21 таким образом, что нижние узлы распорок
39
верхней сети совпадают с верхними узлами распорок нижней сети,
т. е. путем параллельного переноса по вертикали нижней сети на ве-
личину высоты распорки.
Верхние и нижние узлы распорок по-прежнему раскреплены в трех
направлениях, а средний узел раскреплен шестью вантами. Обра-
зованная таким образом схема обладает важным свойством — гео-
Рис. 1.22. Вантовое покрытие треугольной структуры повы-
шенной жесткости:
I — ванты; 2 — распорка; 3 — опорный контур; 4— сборная плита.
метрической неизменяемостью, а следовательно, повышенной жест-
костью. В силу структуры сети равенство усилий достигается лишь
в каждых трех вантах, примыкающих к верхним или нижним узлам
распорок.
§ 5. Обеспечение предварительного натяжения вантовых
покрытий
В связи с тем что вантовые покрытия представляют собой про-
странственные конструкции, собираемые из отдельных элементов,
предварительное напряжение их выполняется при монтаже непосред-
ственно на строительной площадке. При этом применяют предвари-
тельное напряжение: последовательное каждого ванта сети и одно-
временное всех вант сети.
Первый принцип является наиболее распространенным и универ-
сальным. Производится натяжение каждого ванта, поэтому определе-
ние проектной длины последнего не требует особой точности, так
как в процессе натяжения ошибки легко компенсируются. Последо-
40
вательность подтягивания вант должна быть принята исходя из
обеспечения минимальных усилий в опорном контуре при монтаже.
Таким образом может быть осуществлено предварительное напря-
жение почти любого вантового покрытия. В вантовых фермах с рас-
порками аналогичный принцип осуществляется в случае, если их
напрягают путем последовательной постановки (раздвижки) распо-
рок. В радиальных двухпоясных системах принцип последователь-
ного натяжения эффективно реализуется путем вытяжки лишь на-
прягающего ванта со стороны примыкания к центральному бара-
бану. Для исключения появления больших изгибающих моментов
в бортовом элементе преднапряжение осуществляется в несколько
этапов (ступеней) путем последовательного попарного обхода диа-
метрально противоположных вант.
Более индустриальным является принцип предварительного на-
пряжения, заключающийся в одновременном натяжении всех вант
сети. Он предопределяет конструктивное решение бортового эле-
мента, закрепление вант и в определенной степени структуру сети.
Раздвижкой колец центрального барабана двухпоясной радиаль-
ной сети покрытия (см. рис. 1.7, б) достигается одновременное пред-
варительное натяжение всех вант. Аналогичное натяжение сети
(по характеру) за счет протягивания центральной траверсы-кольца
к внутренней опоре достигается в покрытии, изображенном на
рис. 1.19, б. Притяжение траверсы можно осуществить натяжны-
ми болтами, выпущенными из центральной анкерной опоры и имею-
щими на концах резьбу. В вантовых фермах принцип одновремен-
ного натяжения всех элементов может быть осуществлен при натя-
жении одного пояса. Последний относится, в основном, к вантовым
сетям, имеющим определенные особенности: общий узел для всех
нитей, равную величину натяжения и т. д. Однако он применим и
к перекрестным сетям.
Можно представить покрытие с ортогональной сетью вант на по-
верхности гиперболического параболоида, в котором бортовые
элементы осуществляют в небольших пределах вращательно-посту-
пательное движение. В начальный период бортовой элемент нахо-
дится в положении, при котором несущие и напрягающие ванты
закреплены в бортовом элементе и не напряжены. При повороте
и опускании бортового элемента в проектное положение все ванты
получают одновременное предварительное напряжение.
Существенный недостаток одновременного натяжения всех вант
путем опускания и поворота бортового элемента заключается в по-
вышенной точности определения их проектных длин перед натяже-
нием. Ошибки в длинах вант могут существенно отразиться на рабо-
те бортового элемента при предварительном натяжении, так как
распределение усилий от вант трудно контролировать. Кроме того,
конструкция бортового элемента, обеспечивающего вращательно-
поступательное движение, естественно усложняется.
Последовательное и одновременное натяжение вантовой сети
может осуществляться одной или многими ступенями.
41
Для сетей, являющихся основой для создания железобетонных
оболочек (радиальные сети, система из параллельных нитей и др.),
преднапряжение, как правило, осуществляется путем пригруза
их временной нагрузкой с последующей передачей усилий предна-
пряжения (после снятия груза) на железобетон оболочек. Величина
пригруза обычно принимается равной весу конструкции кровли
и снеговой нагрузки.
Принцип преднапряжения путем приложения временного груза
применяется также и в других схемах покрытий, в частности, в по-
крытиях с перекрестными сетями. Прикладывая пригруз ступенями
к несущим вантам и соответственно подтягивая напрягающие ванты,
можно существенно облегчить работу опорного контура на монтаже
[27 J.
Величина усилия предварительного натяжения определяется
расчетом. Жесткость покрытия зависит в основном от кривизны
вант и предварительного натяжения, поэтому определение опти-
мальных величин последнего представляет большой интерес. Ис-
ключая частные случаи, эта задача еще не решена и при проекти-
ровании покрытий величины предварительного напряжения, удов-
летворяющие условиям прочности и жесткости покрытия, находят
методом «проб и ошибок», т. е. путем многократного расчета при
варьировании параметров задачи. Весьма важно, чтобы в любом
напряженно-деформированном состоянии напрягающие ванты со-
храняли предварительное напряжение и, таким образом, не выклю-
чались из работы.
Предварительное натяжение вантовых покрытий осуществляется
механическими способами при помощи простых и динамометрических
гаечных ключей; винтовых стяжек и распорок типа фаркопф; специ-
альных стяжных приспособлений; полиспастов и тяговых лебедок;
механических и гидравлических домкратов.
Ддя создания небольшого по величине предварительного натяже-
ния применяют обычные гаечные ключи. При этом концы вант дол-
жны иметь резьбу. При навинчивании гаек ванты укорачиваются
и получают предварительное напряжение (резьба гаек должна быть
чистой и хорошо смазанной). Кроме того, в процессе натяжения не-
обходимо предусматривать меры против закручивания вант.
Усилие, которое можно создать при завинчивании гаек, опреде-
ляется по приближенной формуле
Так, при крутящем моменте 7Икр = 350 кгм (рычаг 0,7 м, мускуль-
ная сила рабочего около 50 кг) и коэффициенте трения k — 0,2
в ванте из арматурного стержня диаметром 30 мм можно создать
силу преднапряжения около 6 т. Коэффициент трения можно су-
щественно уменьшить, применяя подшипники качения, располагая
их между гайками и опорными листами. Силу натяжения можно
увеличить путем применения ключей с удлиненными рукоятками.
42
Рис. 1.23. Приспособления для натяжения вант:
а — тарированный гаечный ключ с динамометром Д; б — при-
способление системы Козлова (с усилием до 20 т); 1 — шарни-
ры; 2 — захват; 3 —• силовой вйнт.
Существуют гаечные ключи, в которых усилие натяжения контроли-
руется при помощи динамометра (рис. 1.23, а). Существующими тари-
рованными гаечными ключами можно натягивать ванты с силой
до 30—35 т.
Натяжение при помощи винтовых стяжек и распорок типа фар-
копф осуществляется за счет удлинения или укорочения элементов
43
и создания, таким образом, распора. Чаще всего стяжки и распорки
применяют в вантовых фермах и других двухслойных покрытиях.
В практике строительства предварительно напряженных конст-
рукций, особенно объектов связи, широко распространено специ-
альное приспособление для натяжения, предложенное В. К. Коз-
ловым * (рис. 1.23, б).
Приспособление выполнено в виде двух рычагов, одни концы
которых соединены между собой шарнирной тягой, а вторые — си-
ловым винтом для изменения расстояния между ними. Натяжение
производится вручную путем вращения рукоятки. В некоторых слу-
чаях применяют динамометр, устанавливаемый между одним из ры-
чагов и концом ванта. Таким приспособлением можно создать уси-
лие предварительного натяжения 5,5—60 т.
Создание преднапряжения при помощи домкратов является наи-
более универсальным из всех известных способов. Особенно широко
распространены гидравлические домкраты одиночного и двойного
действия.
Домкраты ДГС (домкраты гидравлические стержневые) — тя-
нущего действия, однопоршневые, с их помощью производится на-
тяжение вант из арматурных стержней и других изделий с конце-
выми нарезными креплениями. Домкраты типа ДГС могут разви-
вать тяговое усилие 8—63 и иметь ход поршня 125—500 мм.
Домкраты ДГП (домкраты гидравлические пучковые) — тяну-
щие — толкающего действия, ими производится натяжение вант
из пучков высокопрочной проволоки с последующим креплением их
в анкерной колодке с пробкой. Тяговое усилие домкратов ДГП
может быть 16—160 т. Ход поршня 125—500 мм.
Домкраты ДГ (домкраты гидравлические стендовые) — толкаю-
щего действия, однопоршневые, ими натягиваются наиболее мощ-
ные ванты.
Домкраты типа ДГ могут развивать тяговое усилие 31,5—500 т
и иметь ход поршня 500—1600 мм.
Как правило, использованию домкратов сопутствует изготовление
дополнительных нестандартных приспособлений, необходимых для
соединения вант с тяговой гайкой штока домкрата непосред-
ственно или при помощи переходных звеньев, для преобразования
толкающего действия домкратов в тянущее при помощи передвиж-
ных траверс и т. п. Муфты подвижных траверс навинчиваются не-
посредственно на анкер либо на тяговую резьбовую гайку. Ванты
закрепляются путем подвинчивания гаек или вставки вилкообраз-
ных шайб.
Гидродомкраты приводятся в действие от ручной или механи-
зированной насосной станции.
Контроль натяжения вант производится по силе натяжения и де-
формациям, Сила натяжения определяется по динамометру гаечно-
* В. К. Козлов. Авторское свидетельство на изобретение № 118177.
44
го ключа, показаниям тензометра или манометра насосной станции
гидродомкрата.
Натяжение вант по деформациям наиболее точно можно опреде-
лить по выходу штока гидравлического домкрата, менее точно— по-
средством замера напряжений в вантах.
Существует несколько типов электронных и механических при-
боров, при помощи которых с различной степенью точности замеря-
ют силу предварительного натяжения вант.
Электронные частомеры серии «ИНА» определяют величину
натяжения как функцию от частоты собственных колебаний вант
и используются в основ-
ном для замеров в корот-
ких ваитах, на которые
другие ванты при замере
частоты не оказывают
существенного влияния.
Более надежны пру-
жинные приборы, осно-
ванные на замерах уси-
лий преднапряжений пу-
тем динамометрирования
поперечной силы, воз-
Рнс. 1.24. Прибор для определения усилий в
вантах:
1 — прямая пластина; 2 — индикатор; 3 — то же,
изогнутая; 4 — упорная стойка; 5 — вант; 6 — за-
хват.
никающей от бокового нажатия на вант*. Один из таких приборов
показан на рис. 1.24.
Вант в виде пряди, троса или стержня заводят в пазы крайних
захватов и при помощи силового винта осуществляют боковое дав-
ление на него. Динамометрическое пружинное устройство в виде
прямой и изогнутой пластин деформируется. Это фиксируется инди-
катором-мессурой. По графику, полученному заранее на основании
тарировочных измерений, данные индикатора переводят в силу
натяжения в ванте.
Для исключения ошибок в определении усилий замеры желатель-
но производить на нескольких участках вдоль вант, и среднее уси-
лие определять по формуле
Н __
° ~ ЪЦ
(i = 1 ... п),
где На — усилие на замеряемом участке;
1{ — длина участка;
п — количество участков.
При необходимости определения деформаций (удлинений) вант
по замеряемым усилиям модуль упругости надо принимать не на-
чальный пли касательный, а секущий.
* Н. Е. Блинков. Авторское свидетельство на изобретение № 163763.
П. Е. М а н д р и к, А. А. Ш у р и г и н. Авторское свидетельство на изобре-
тение № 150671.
45
В процессе натяжения производят визуальные наблюдения.
На ванты из пучков наносят риски, по которым следят за перемещени-
ем проволоки. Очень важно, чтобы при натяжении вант была обеспе-
чена свобода деформации.
Сила предварительного натяжения должна учитывать потери от
релаксации материала вант (5%) и податливости анкеров. Увели-
чивать силы предварительного натяжения за счет податливости
анкеров целесообразно лишь для коротких вант [2].
Глава II
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ
§ 1. Понятия о нелинейно-деформируемых
и мгновенно-жестких системах
В основе большинства задач строительной механики лежит прин-
цип возможных перемещений, являющийся самым общим принципом
механики абсолютно твердого тела и упругих систем при малых
перемещениях. Он позволяет перемещения или какие-либо другие
деформации некоторых систем выразить линейными однородными
функциями внешних воздействий. В строительной механике такие
системы называют линейно-деформируемыми.
Необходимыми условиями, при которых системы могут считаться
линейно-деформируемыми, являются следующие: материал должен
быть идеально упругим; изменения в геометрических размерах
и других характеристиках вследствие бесконечной малости пере-
мещений, вызванные внешним воздействием, должны быть пре-
небрежимо малы.
Следует заметить, что все строительные конструкции нелинейны,
так как не могут абсолютно точно удовлетворить вышеперечислен-
ным условиям. Принцип расчета линейно-деформируемых систем
или, иначе, линеаризация задач строительной механики, произво-
дится для упрощения теории расчета и устранения математических
трудностей, связанных с нелинейными уравнениями напряженно-
деформированного состояния системы и возможностью воспользо-
ваться хорошо развитой теорией решения линейных уравнений.
Два условия существования линейно-деформируемых систем
лежат в основе линейной теории расчета несущих конструкций, как
два принципа линеаризации действительных систем.
Первое условие (или первый принцип линеаризации, относящий-
ся к физическим свойствам материалов) основано на том, что на-
пряжения и деформации связаны линейной зависимостью, определя-
емой законом Гука, и выражает физическую линеаризацию действи-
тельных систем. Все системы, материал которых не следует закону
Гука, обладают физической нелинейностью.
Второе условие или второй принцип линеаризации касается гео-
метрии деформированной системы и, таким образом, выражает
геометрическую линеаризацию действительных систем.
Малые перемещения в обычных строительных конструкциях обес-
печиваются главным образом за счет геометрической неизменяемо-
сти системы, т. е. за счет определенного расположения достаточно-
го количества связей.
47
Рис. II. 1. К определению кине-
матических свойств гибких ни-
тей.
В рассматриваемых вантовых системах этот принцип не выпол-
няется. Во-первых, количество связей, как правило, меньше необ-
ходимого. Например, в системе на рис. II. 1 недостает одной связи.
Во-вторых, геометрические особенности вантовых систем могут
привести к такому расположению ее элементов, при котором доста-
точное количество связей не превращает ее в геометрически неиз-
меняемую систему. Примером может служить плоская сеть тре-
угольной структуры.
Таким образом, в вантовых системах узлы или отдельные точки
могут перемещаться на значительные расстояния. При этом, естест-
венно, что вторая идеализация расчетной схемы, связанная с гео-
метрией ее, может привести к значи-
тельным погрешностям при определе-
нии напряженного состояния и дефор-
мативности системы, так как оконча-
тельная геометрия системы в этом
случае будет существенным образом
отличаться от начальной.
Физическая линеаризация для вантовых систем вполне оправдана,
так как применяемые материалы для вант в диапазоне эксплуата-
ционных напряжений вполне соответствуют закону Гука. Следо-
вательно, в вантовых системах следует рассматривать только гео-
метрическую нелинейность.
Рассмотрим возможные причины возникновения больших переме-
щений в вантовых покрытиях.
Прежде всего, напряжения в несущих элементах-вантах вслед-
ствие применения высокопрочных материалов могут быть настоль-
ко большими по сравнению с напряжениями в обычных строитель-
ных конструкциях, что приведут к значительным деформациям
системы. Такая нелинейность связана с количественной характерис-
тикой напряженного состояния, а, следовательно, с количественной
характеристикой внешней нагрузки.
Другой причиной возникновения больших перемещений может
быть необеспеченность геометрической неизменяемости системы.
С этой точки зрения вантовые сети покрытий разделяют на системы
геометрически изменяемые и мгновенно-жесткие, обладающие осо-
быми свойствами.
Каждая нить вантовой сети в отдельности представляет собой гео-
метрически изменяемую кинематическую цепь, которая для воспри-
ятия той или иной нагрузки должна принять соответствующую
этой нагрузке форму, т. е. изменить существенным образом свою
начальную геометрию. Подобно тому, как геометрически неизменя-
емые системы при определенном подборе геометрических парамет-
ров могут превратиться в мгновенно-изменяемые (рис. 11.2), гео-
метрически изменяемые системы превращаются в мгновенно-жесткие.
Мгновенно-жесткой называется система, представляющая собой
плоскую или пространственную кинематическую цепь, которая имеет
положительное число степеней свободы и тем не менее в случае
48
б
Рис. II.2. Мгновенно-жесткая (а)
и неизменяемая (6) системы.
абсолютной жесткости ее звеньев допускает лишь бесконечно малые
перемещения [44].
Мгновенно-жесткие и мгновенно-изменяемые системы имеют мно-
го общего. Так, внешняя нагрузка при абсолютной жесткости эле-
ментов вызывает бесконечно большие усилия. Если учесть удлине-
ния стержней, усилия в результате .
изменения начальной формы получа- |₽
ются конечными, зависящими не толь- I-------—.—I---------1—&
ко от нагрузки, но и от жесткости а
стержней.
Важное свойство вантовых шарнир-
но-стержневых систем с недостающими
связями заключается в существовании
для них равновесных конфигураций \
при отсутствии внешних усилий, т. е.
в стадии преднапряжения. Используя
это свойство, Кузнецов Э. Н. [29] пред-
ложил статический критерий устой-
чивого равновесия систем с началь-
ными усилиями и дал кинематическую
мых (Н), мгновенно-изменяемых (М-И), мгновенно-жестких (М-Ж)
и изменяемых (И) пространственных шарнирно-стержневых систем.
Суть классификации состоит в следующем:
классификацию неизменяе-
При достаточном количестве связей S = 3N (S — количество
стержней, А'-количество узлов) система является неизменяемой
или мгновенно-изменяемой (I, II квадрант таблицы)*. При недо-
статочном количестве связей <S < 3N система является мгновенно-
жесткой или изменяемой (111,1V квадрант таблицы).
Более определенное деление систем производится в зависимости
от ранга якобиевой матрицы уравнений связей (г) и квадратичной
формы («), знакоопределенной или знакопеременной, полученной
в результате разложения уравнений связей в ряды Тейлора (с удер-
жанием двух первых членов) с использованием множителей Лаг-
ранжа.
* В общем случае количество связей должно быть достаточным или избыточ-
ным, т. е. S > ЗА’.
49
Такой анализ позволяет строго классифицировать системы в са-
мом общем виде. Исследование мгновенно-жестких систем показы-
вает, что они обладают еще рядом особых свойств, которые могут
быть положены в основу дополнительного кинематического анализа.
Об этом более подробно будет изложено в § 2 настоящей главы.
Таким образом, мгновенно-жесткие системы обладают смешанной
природой и являются переходными между геометрически изменяемы-
ми и неизменяемыми системами.
Насколько изменится началь-
ная форма нити, зависит от ха-
рактера нагрузки или от соотно-
шения величин узловых нагру-
зок при дискретном ее приложе-
нии.
Для каждой нити в зависимос-
ти от ее начальной формы суще-
ствует один вид нагрузки, вос-
приятие которой возможно без
существенного изменения на-
чальной геометрии. Такая на-
грузка называется равновесной
и должна быть пропорциональна
начальным кривизнам нити.
Так, для нити, имеющей на-
чальную форму в виде параболы,
равновесной будет равномерно
распределенная нагрузка. Для
вантовой сети в целом равновес-
ная нагрузка представляет собой
линейную комбинацию равновес-
ных нагрузок отдельных нитей.
Рис. 11.3. Перемещения точек нити:
а — упругие; б — кинематические.
Чем больше нагрузка по своему характеру отличается от рав-
новесной, тем значительнее отличие конечной формы нитей от
начальной и, следовательно, тем сильнее будет сказываться нели-
нейность системы. Нелинейность, связанную с количественной харак-
теристикой внешней нагрузки, можно классифицировать как гео-
метрическую нелинейность первого рода в отличие от нелинейности,
связанной с качественной характеристикой внешней нагрузки, ко-
торую можно классифицировать как геометрическую нелиней-
ность второго рода. Например, если нить, имеющую начальную
форму с постоянными- кривизнами, загрузить равномерной нагруз-
кой или силами, одинаковыми по величине при дискретном прило-
жении внешней нагрузки, то вследствие упругого удлинения нить
займет новое положение по форме, подобной начальной, т. е. будет
описываться кривой с постоянными кривизнами (рис. II.3, а).
Величины прогибов будут зависеть исключительно от величины
нагрузки. При некоторых больших значениях нагрузки прогибы
могут быть достаточно большими.
50
В этом случае будет иметь место нелинейность первого рода.
При обычных (часто встречающихся) значениях нагрузки и упругих
характеристиках нитей нелинейностью первого рода, как правило,
можно пренебречь. Однако, если ту же нить загрузить иной по ха-
рактеру нагрузкой, например одной силой (рис. II.3, б), то для
восприятия такой нагрузки нить существенным образом изменит
свою начальную форму, прогнувшись по треугольнику с вершиной
в узле, где приложена сила. Кроме того, дополнительно перемес-
тятся узлы вследствие упругих деформаций нити.
Если в первом случае величины прогибов зависят только от упру-
гого удлинения нити, то во втором они связаны с изменением формы
и удлинением нити. Очевидно, что значения перемещений во втором
случае будут намного больше. Если перемещения от упругого
удлинения нити малы настолько, что ими можно пренебречь, то
в этом случае будет иметь место нелинейность второго рода.
Все сказанное выше в значительной мере относится и к мгновен-
но-жестким системам. Хотя перемещения в них не имеют кинема-
тического характера, изменение начальной формы также зависит
от вида внешней нагрузки, поскольку является следствием необес-
печенности их геометрической неизменяемости. Таким образом,
работа вантовых покрытий характеризуется в основном нелиней-
ностью второго рода.
Однако, если к вантовой сети приложена равновесная нагрузка,
то статическая работа нитей не отличается от геометрически неизме-
няемых систем. Вантовую систему на действие равновесной нагруз-
ки можно рассчитывать, пренебрегая нелинейными членами урав-
нений.
Учет геометрической нелинейности не дает возможности поль-
зоваться привычными для инженера законами и теоремами клас-
сической строительной механики (закон независимости действия
сил и наложения, принципы возможных перемещений и взаимности
работ и т. д.). Все эти трудности приводят к необходимости раз-
работки специальных методов расчета вантовых покрытий нелиней-
но-деформируемых систем.
§ 2. Кинематический анализ геометрически нелинейных
систем
Как будет показано ниже, расчетные схемы вантовых систем можно
представить шарнирно-стержневыми моделями. При расчетах, осо-
бенно если они выполняются на ЭВМ путем в общем-то формаль-
ным, особое значение приобретает предварительный анализ струк-
туры шарнирно-стержневой системы, так как очень часто только
в результате трудоемкого расчета обнаруживается, что система
изменяема или близка к изменяемой. Предварительный анализ'
хотя и требует дополнительных расчетных действий, в итоге пред-
ставляет информацию о свойствах системы, которая дает возмож-
ность судить о целесообразности дальнейшего статического расчета.
51
Кроме того, анализ шарнирно-стержневых систем расширяет наши
представления о их свойствах и позволяет обоснованно ставить и ре-
шать задачи синтеза таких систем, включая нахождение опти-
мальной (по заданному критерию) конфигурации. Анализ структуры,
основанной на кинематических свойствах систем, обычно проводится
на базе аналитических критериев и оценок состояния.
Примем узлы произвольной пространственной шарнирно-стержне-
вой системы за некоторую систему материальных точек. На положе-
ние этих точек наложим ограничения геометрического характера,
которые, следуя терминологии аналитической механики [4], будем
рассматривать как стационарные, конечные, идеальные, удержи-
вающие (напряженные) связи.
Уравнения этих связей в общем виде можно представить как
№« (х ) = О,
где а = 1, 2, 3,..., т— число стержней (связей), включая опорные;
i = 1, 2, 3,..., 3 н;
п — число узлов (шарниров);
У— обобщенные координаты узлов *.
Уравнения связей представим разложением в степенной ряд
(в окрестностях заданной конфигурации), первые и вторые члены
которого удержим:
«Ъ (*') = аа,,Ъх + -4-2 На.щбх'бУ = О,
где 6У, Ьх1' — вариации обобщенных координат;
а’1’’ dxfdyJ
Коэффициенты ааЛ образуют якобиеву матрицу системы.
Примем Ьх‘ = ци‘, где р — сколь угодно малая положительная
величина; н‘ — новая переменная, конечная по величине. Тогда
уравнения связей примут вид:
2 О.а,1и‘ + -4- Z ааЛли1и' = 0. (II. 1)
i 2 i.j
Для мгновенно-жестких систем действительны следующие со-
отношения:
т^.п; r<m; d = m—-г, (П-2)
где г — ранг якобиевой матрицы ааЛ;
d — дефект этой матрицы.
* В дальнейшем изложении будут применяться также индексы Р, у и /, k, ко-
.торые имеют границы, равные соответствующим границам а и i.
52
Запишем уравнения связей так:
Фа (/) = Va, <РР (%'),
где Va— матрица вращения (Va, Vp = 6«) такая, что
Val^p.i = bal,i> = Oj VaOp.',/ = ba,i,j\
al — 1, 2, 3, ... , r; a2 = r + 1, r 2, ... , tn-, al -f- a2 = a.
В результате преобразования взамен выражения (II. 1) получим
систему уравнений:
2 ba\tt + -^ 2 и'и! = 0;
. . (П.З)
IL ba-i.i.jltll1 = o.
. 2
Такое преобразование всегда возможно на основании соотношений
(II.2).
Введем новые переменные ql = V'jii'Vj, где V/ — матрица такая,
что после необходимой перенумерации переменных удовлетворя-
ются соотношения
= ба 1,(15 &al,/V{-2 = 0;
il = 1,2, ,., , r; i — il = i2; i2 — r + 1, r + 2, ... , n.
В результате преобразования, пренебрегая членами, содержащими
множитель при S > 2, получим систему уравнений:
2 + "7Г 2 Cal.il,/29(V2 =
11 . . 11,/2 (п.4)
2 Ca2&,rfll2q'2 = о.
12,/2
Исследуем матрицы са2, Z2, /г- Очевидно, что каждая связь,
представленная квадратичной формой ca2, Z2,/2<7/2<7г2 = 0, может
быть также представлена связями
= 0; (a3=l,2, nl),
если собственные числа матрицы сК2,/г,/г не различаются по знакам.
Связи гйз,1-2<7г2 — собственные векторы, соответствующие от-
личным от нуля собственным числам этой матрицы; nl — коли-
чество положительных собственных чисел.
В результате получим систему уравнений:
2 6alZl</1 + "о" 2 Cal,t2,/2<7/29 2 = Ф
Л z t2,/2
V л1’2 Л
^Саз,,29 = U,
12
53
которую формально можно представить в виде:
5 aa,iQl + -7-5 = °;
п2 (П.5)
а = 1, 2.....ml; ml = г + У nl,
1
где п2 — количество квадратичных форм, удовлетворяющих усло-
вию знакоопределенности.
Сформулируем предложения, позволяющие определить ранг из-
меняемости рассматриваемых систем.
Предложение 1. Если ранг матрицы а'аЛ равен числу перемен-
ных (г ~ п), то система неизменяема во втором приближении
и является мгновенно-жесткой системой первого ранга изменяе-
мости.
Преобразования можно повторить и каждый раз дополнять по
возможности систему новыми линейными уравнениями.
Предложение 2. Если ранг матрицы а^л равен числу переменных
(г = п) и получена после R шагов, то система неизменяема в
(R + 1)-ом приближении и является мгновенно-жесткой системой;
ранг изменяемости ее равен R.
Полученному результату можно дать следующую физическую
интерпретацию. В основу кинематического анализа положен прин-
цип ожесточения реальных стержней системы. Каждый стержень
шарнирно-стержневой системы сопротивляется удлинению. Если
устремить его жесткость на растяжение-сжатие к бесконечности,
то он может быть представлен связью, препятствующей изменению
расстояния между его концами.
Каждый предварительно растянутый стержень, принадлежащий
подсистеме, которая допускает устойчивое самонапряженное со-
стояние, сопротивляется перекосу. Если устремить величину пред-
варительного натяжения к бесконечности, то стержень может быть
представлен связью, препятствующей перекосу его концов. Поэто-
му задачей приведенного анализа является определение подсистем,
допускающих устойчивое самонапряженное состояние в тех случаях,
когда для неизменяемости системы недостаточно только тех связей,
которые препятствуют удлинению стержней. Как известно, количест-
во независимых самонапряженных состояний системы или подсистем,
допускающих самонапряжение, равно степени ее статической не-
определимости (т — г). Эти подсистемы представлены квадратич-
ными формами в системах (II.3) и (II.4). Знакоопределенности этих
форм соответствует устойчивое самонапряжение. Линейным уравне-
ниям, расширяющим систему, на каждом шагу соответствуют связи,
препятствующие перекосу стержней. Их появление возможно при
устремлении величины самонапряжения к бесконечности. Если
эти связи увеличивают степень статической неопределимости систе-
мы, то возможно появление новых устойчивых ее самонапряженных
состояний.
54
Таким образом, каждому шагу сопутствует устремление к беско-
нечности новых жесткостных характеристик системы, а это возмож-
но в том случае, если прежние жесткостные характеристики си-
стемы соответствуют бесконечностям более высоких порядков.
Разделение мгновенно-жестких систем по рангам изменяемости
позволяет учитывать эти особенности. На рис. II.4 представлены
простейшие примеры систем первого, второго и третьего рангов.
Среди основных свойств шарнирно-стержневых систем можно вы-
делить топологическую неизменяемость. Смысл этого понятия, по-
видимому, можно связать со следующими утверждениями: геомет-
рически неизменяемая система всегда неизменяема топологически;
а б 6
Рис. II.4. Мгновенно-жесткие системы первого (а), второго (б) и третьего (в) рангов
изменяемости.
геометрически неизменяемая система геометрически неизменяема
хотя бы в одной конфигурации узлов.
Следовательно, свойство топологической неизменяемости свя-
зано лишь со способом соединения узлов между собой стержнями и
не зависит от конкретного расположения узлов (конфигурации узлов)
в пространстве.
Для анализа каждая шарнирно-стержневая система представля-
ется графом так, что каждому узлу системы соответствует вершина
графа, каждому стержню — ребро графа. При этом различают вер-
шины свободные, соответствующие незакрепленным узлам системы,
и вершины связанные, соответствующие узлам системы. Очевидно,
что если добавить к системе стержни, попарно соединяющие за-
крепленные узлы, то рассматриваемые свойства системы не изме-
нятся. В представляющий систему граф добавим соответствующие
ребра и, таким образом, будем различать свободные и связанные
ребра.
В дальнейшем будем различать одно-, двух- и трехмерные шарнир-
но-стержневые системы в зависимости от размерности пространства,
в котором они рассматриваются. Рассмотрим основные параметры
системы и соотношения между ними.
У1-Уз = Уо. (П.6)
Здесь i — размерность пространства;
у‘ — количество всех узлов системы (вершин графа);
Уо—количество незакрепленных узлов (свободных узлов);
Уз — количество закрепленных узлов (закрепленных вершин).
= 4 (П-7)
55
Здесь с1' -— количество всех стержней системы (ребер графа);
Со — стержни, соединяющие попарно узлы, из которых
хотя бы один незакрепленный (свободные ребра);
Сз — стержни, соединяющие закрепленные узлы (закре-
пленные ребра).
Количество связанных ребер будем в дальнейшем назначать
так, чтобы выполнялось соотношение
(4--4=1 (П.8)
и чтобы при этом образовалась цепь из связанных ребер и вершин
графа. Степень статической неопределимости можно выразить фор-
мулой
Н‘^с‘0-1у{0. (II.9)
Важной характеристикой графа является, как известно, цикло-
матическое число
Ц = с — у + х,
где х •— число компонент связности графа.
В дальнейшем для простоты будем рассматривать системы, пред-
ставленные связным графом (х = 1):
Ц = с' — у + 1. (11.10)
Для анализа системы можно воспользоваться следующими пред-
ложениями.
Предложение 3. Степень статической неопределимости неизме-
няемой системы больше или равна степени статической неопредели-
мости любой ее части. Однако последнее не является конструктив-
ным и должно быть дополнено.
Предложение 4. Одномерная система топологически неизменяема,
если она представлена связным графом, имеющим хотя бы одну
связанную вершину.
Предложение 5. Двухмерная система топологически неизменяе-
ма, если существует топологически неизменяемая одномерная си-
стема *, где каждому стержню (ребру) двухмерной системы соответ-
ствует узел (вершина) одномерной системы; каждому закрепленному
стержню (ребру) двухмерной системы соответствует закрепленный
узел (вершина) одномерной системы; каждому контуру (независи-
мому циклу) двухмерной системы соответствуют два свободных стер-
жня (ребра) одномерной системы.
Для доказательства последнего предложения подставим соотно-
шение (II.6) в (II.9) для одномерной системы
Д1 = Со -f- Уз — у1
и, воспользовавшись соотношениями (II.7)— (11.10), получим вы-
ражение
Д2 = 2 • Ц2 + с1 — с2.
* Одномерная система должна быть односвязной. В последующих предло-
жениях это требование остается в силе.
56
Сравнивая последние выражения, легко установить соответствие
4 = Уз', с2 = у1', 2Ц2 = со. Учитывая предложение 3, предложение
5 можно считать доказанным.
Предложение 6. Трехмерная система топологически неизменяема,
если существует топологически неизменяемая двухмерная система,
в которой каждому стержню (ребру) трехмерной системы соответ-
ствует узел (вершина) двухмерной системы; каждому закреплен-
ному стержню (ребру) трехмерной системы соответствует закреплен-
ный узел (вершина) двухмерной системы; каждому контуру (неза-
висимому циклу) трехмерной системы соответствуют три свободных
стержня (ребра) двухмерной системы.
Для доказательства этого предложения по аналогии с принятой
схемой доказательств предложения 5 получим выражения:
Н2 = с2 + 2у1-,2у2; № = ЗЦз + 24 —2с3.
Сравнивая их, устанавливаем соответствие:
с2 = у2; с1 = уЪ ЗЦ3=4.
Можно воспользоваться также нижеследующими предложениями,
которые для краткости приведем без доказательств.
Предложение 7. Двухмерная система топологически неизменяе-
ма, если существует неизменяемая одномерная система, где каждому
контуру (независимому циклу) двухмерной системы соответствуют
узлы одномерной системы числом, равным числу стержней (ребер)
контура, уменьшенному на два; каждому стержню (ребру) общему
(смежному) для каждой пары контуров (независимых циклов) двух-
мерной системы соответствует свободный стержень одномерной си-
стемы; каждому закрепленному стержню в контуре (независимому
циклу) двухмерной системы соответствует закрепленный узел (вер-
шина) одномерной системы.
Предложение 8. Трехмерная система топологически неизменяе-
ма, если существует неизменяемая двухмерная система, в которой
каждому контуру (независимому циклу) трехмерной системы соот-
ветствуют узлы двухмерной системы числом, равным числу стерж-
ней (ребер) контура, уменьшенному на единицу; каждому стержню
(ребру) общему (смежному) для каждой пары контуров (независимых
циклов) трехмерной системы соответствует свободный стержень
двухмерной системы; каждому закрепленному стержню в контуре
(независимому циклу) трехмерной системы соответствует закреп-
ленный узел (вершина) двухмерной системы.
Мгновенно-жесткие системы являются, очевидно, топологически
изменяемы. Для них справедливо следующее предложение.
Предложение 9. Для топологически изменяемой системы найдет-
ся хотя бы одна конфигурация узлов, в которой она будет обладать
свойствами мгновенной жесткости, если каждый свободный узел
(вершина) системы принадлежит связанному контуру, Контур —
связный, если в нем есть закрепленный стержень.
57
Ж'
г
Рис. П.5. К топологическому анализу трехмерных (а, б, в) и
двухмерных (е) систем.
Таким образом, рассмотренные предложения 3—9 дают возмож-
ность построить алгоритм для ЭВМ, в котором по формальным пра-
вилам могут быть исследованы вопросы топологической неизменяе-
мости (изменяемости) системы.
Приведем результаты топологического анализа некоторых ванто-
вых систем.
Система, показанная на рис. 11.5, а, при переходе к двухмерной
имеет три несвязные вершины. Двухмерная система топологически
неизменяема и имеет шесть степеней свободы: 3x2 = 6.
Другая система (рис. II.5, б) при переходе к одномерной имеет од-
ну несвязную вершину и число степеней свободы, равное единице.
Система, показанная на рис. II.5, е, при переходе к двухмерной и
одномерной также имеет по одной несвязной вершине. При этом
число степеней свободы равно трем: 1 X 2 + 1 = 3.
Две несвязные вершины имеет система (рис. II.5, г) при переходе
к одномерной. Число степенен свободы здесь равно двум.
§ 3. Пологие гибкие нити
В качестве расчетной схемы гибкой нити будем принимать не-
прерывную шарнирную цепь или шарнирно-стержневую систему.
В последнем случае нить моделируется в виде плоской ломаной ли-
нии, образованной стержнями. При этом внешняя нагрузка при-
нимается в виде сосредоточенных сил,
приложенных к узловым шарнирам.
Рассмотрим равновесие гибкой одно-
родной нити под воздействием произ-
вольной нагрузки, находящейся вместе
с нитью в одной плоскости (рис. II.6).
Выберем на этой плоскости систему пря-
моугольных координат XOZ и запишем
уравнение равновесия элемента нити MN
длиной ds. Произвольная внешняя сила
раскладывается по координатным осям.
Точка элемента М в деформированном
состоянии имеет координаты XZ, а точ-
ка N — соответственно X + dx, Z -Т
+ dz. Взамен действия отброшенных
выделенного элемента действуют силы
Рис. II.6. Равновесие элемен-
та нити.
ные по касательным к нити в точках М и N.
частей нити по концам
натяжения, направлен-
2Х = 0; _r^ + (7 + dn^L(x + dx) + ^/S = 0;
2Z = 0; -Т -g- + (T + dT)-±-(z + dz)+q2ds = O.
Произведя необходимые преобразования, сокращение членов, а
также отбросив величины высшего порядка малости, получаем
59
следующие уравнения равновесия гибкой нити:
+ = +дг = 0. (11.12)
cis \ ds / 1 ’ ds \ ds ] 1 '2 ' ’
ти, представленной в виде шар-
нирно-стержневой системы.
В настоящей работе рассматривается в основном наиболее рас-
пространенный вид нитей в вантовых покрытиях— пологие гибкие.
Пологой принято считать такую нить, у которой до и после деформа-
ции углы наклона касательных в любой точке ее к оси координат,
проходящей через две крайние точки нити или параллельной такой
соединительной линии, представляют собой достаточно малые вели-
чины, что дает возможность считать
sin а « tg а, a cos а » 1.
Исходя из допустимой погрешнос-
ти вычислений можно принять опре-
деленные соотношения стрелы прове-
са нити к ее пролету, при которых
последняя может считаться пологой.
В вантовых покрытиях гибкие нити с
отношением стрелы провеса к пролету
f - 1
~ могут считаться практически
пологими. При таких соотношениях
погрешность приближенных формул
незначительна и находится в пределах
точности наших представлений о ве-
личинах реальных нагрузок, действу-
ющих на конструкции. Кроме того, гипотеза о пологости значи-
тельно упрощает расчетные формулы.
Усилие в нити Т можно выразить через его горизонтальную про-
екцию: Т = Вследствие пологости^ « 1 и ds dx. Таким
образом Т <= Н.
Величина Н — горизонтальная проекция усилия в нити — на-
зывается распором и для пологих нитей с достаточной степенью
точности для расчета может отождествляться с усилием в нити.
Следовательно, уравнения равновесия при непрерывной нагрузке
для пологой нити, представляющей собой непрерывную шарнирную
цепь, примут следующий вид:
_£-// +^ = 0; + <72 = 0.
dx ' ,х dx \ dx /
Рассмотрим равновесие узла нити, представленной в виде шарнир-
но-стержневой системы, под воздействием произвольной узловой
нагрузки, находящейся вместе с нитью в одной плоскости. Силы,
действующие на узел, показаны на рис. II.7.
Уравнения равновесия запишем в следующем виде:
2Х = 0;
-НТ,г.п+1 — +РЛ = 0;
ьп, п-\-\
60
2 Z = 0; - Л_!,п —7-гп~1 + Tn,n+l -±±‘......................г - + Рг = 0;
п--1,П Уг,П-|-1
ИЛИ
п.лгН
ЛхН,п+1
sn,n+l
. Az„ , „ Дг„ „ । .
— Л_1.,г + 7\п+, —n’n+1 + Рг = о.
Чг—1,П 6п,п-Н
Примем следующее обозначение:
f Дх I
— 1 н-1,н —-----------Н 1 п.п+[ —----------= V —— ;
ЬП—Л,П йП,ГС-Н п । 6 J
, Д^я—гр Д^/г>п_р1 I „ Дг ]
п-1 л — -------------Н 1 п,п+\ —---------------- = V ——
Sn— l.fz П I 5 »
Для пологих нитей Дх =»s и Т.
Учитывая это, уравнения равновесия
для пологих нитей примут вид:
VH+Px = 0; V | Н~\ + Рг = 0.
п Г Х п [ ] г
Рассмотрим деформации элемента
нити под действием произвольной на-
грузки (рис. II.8).
Точка М, имеющая начальные ко-
ординаты х0, z0, получит вертикаль-
ное w и горизонтальное и перемеще-
ния. Точка с начальными коорди-
натами х0 + dx0, z0 + dz0 получит
перемещения соответственно w + dw
и и + du.
Таким образом, деформированное состояние элемента нити опре-
деляется следующими координатами: для точки М — (х0 + и, zQ
+ w) и для точки N .— (х0 + dx0 + и + du, z0 + dz0 + w ф-
+ dw). При этом х = х0 ф- и и z = z0 4- w.
Начальную длину элемента нити выразим через
c/Sq — dXQ 4- dZQ.
Аналогично запишем и конечную деформированную длину эле-
мента
ds = ]/(dx0 4- du)2 4- (dz0 4- dw)2.
Произведем некоторые преобразования выражения конечной дли-
ны элемента нити
ds = ]/' dx% 4- 2dx0du 4- du2 4- dz% 4- %dzCldw 4- dw2
61
= ]/dxo + d?o X
/ /" । . dw2 2 dxodu___________dz,,dw dw2 \
\ |/ dxg+ d2p dx2 + dzQ dx^ + dz^ dXg-j-dZg J’
или с учетом выражения начальной длины элемента
j j 1 / 1 , ( du 2\ , о dxn du , о dz„ dw , / dw \2
ds = ds„ 1/ 1 + —j— + 2 --------p- 2 -т-2- • —-- —j— 1 .
v J/ \ ds0 / ' ds0 dsp 1 ds0 ds0 1 \ ds0 /
Подкоренное выражение раскладываем в степенной ряд и удер-
живаем только два первых члена
Jc — ш li 1 ( du }2 i dx>> du I dzo dw । 1 ( dt^Vi
as - as011 -t- 2 dsj + + ।.
Учитывая, что в пологих нитях dsos= dx0, выражение конечной
длины элемента нити представим в новом виде
, , I , , 1 I du \2 , du , dzn dw , 1 I dw \2j
ds = ax0 1 + ~5-H— +-3--------------------h-к- -j— .
0 [ 2 \ dx0 / dxu 1 dx0 dxt, 2 \ dx„ / J
Введем гипотезу о малости горизонтальных перемещений точек
нити, т. е. будем считать, что в горизонтальном направлении нить
деформируется, подчиняясь всем законам линейно-деформируемых
г, tdu )2 •< du
систем. В силу этого примем, что величина Ь-I и еюмож-
но пренебречь.
Таким образом, окончательное выражение длины элемента нити
после деформации примет вид:
л _ Лу li , j dzy dw 1 (dw yi
-f- dx° -i- dx° dx° -t- 2 \dxj j.
Определим относительное удлинение нити
ds — dxn
e =----------------------------3--—
(1Xq
или, учитывая выражение для ds,
du , dzn dw . 1 I dw \2 ... .
e = —;----F —r1--1-----F-s-h— • (11.13)
>• dxe dx0 dXy 2 \ dx0 / '
Как видим, удлинение элемента нити определяется относительно
горизонтальной проекции, а не его длины. Определение удлинения
нитей [23] исходя из их пролета может привести в крайнем случае
к возможной ошибке до 5,3% (для нитей с соотношением -у- < у^-).
Физический процесс деформации нити, следуя закону Гука, мож-
но описать следующими формулами:
Н = Fa; g = (11.14)
где F — площадь поперечного сечения нити;
Е — модуль упругости материала нити;
о — нормальные растягивающие напряжения в нити.
62
Имея выражение величины относительного удлинения элемента
нити,-напишем уравнение, связывающее распор с перемещениями
,. г? t? Г du 1 dZr. dw 1 / dtu \ 1
H = EF -J-------P -j-2----5-----Ь-75- Н;— . (П.15)
L dxfl dx0 dx0 1 2 \ dxv / J ' '
Рассмотрим аналогичные деформации нити, представленной в виде
шарнирно-стержневой системы. Для этого рассмотрим перемещения
концов произвольного стержня n, п + 1 такой системы (рис. II.9).
После выкладок, аналогичных вышеприведенным, уравнение,
связывающее распор с деформациями нити, представленной в виде
шарнирно-стержневой системы, будет
иметь вид
Ды Дг„
Дх„ ДХ(|
Дш
Ах,,
(11.16)
Сравним величины 2^7 и где с ~-
= Aw, Az0, Az, Ас». Так как Ах = Ах() -ф
ф- Aw, можем записать = —г—5— .
1 ’ Дх Дх0 -г Au
Раскладывая в степенной ряд, получим
—----F (——) • • • 1
Ах,, \ Дх, / Г
II.9. Деформация эле-
Рис.
мента нити, представленной в
виде шарнирно-стержневой
системы.
с с
кх Дх0
Нетрудно заметить, что все члены ряда,
начиная со второго, пренебрежимо малы
по сравнению с первым. Следовательно, можно записать, что
с____с
Ах Дх0 '
Аналогично этому для дифференциальной формы уравнений
примем, что ~ (с = du, dz0, dw).
С учетом этого, уравнения связи распора с перемещениями в нити
можно несколько изменить. Измененные уравнения приведены ниже.
Для расчета плоской пологой нити, представленной в виде не-
прерывной шарнирной цепи, уравнения в дифференциальной форме
примут вид:
равновесия
-А. Н ф- qx = 0;
dx
'z = 0;
(П.17)
геометрическое (II. 13) и физическое (11.14).
Последние обычно объединяют в одно под названием уравнение
деформации (11.15).
Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы,
имеем уравнения:
63
равновесия
V/7 4- Рх = 0; V [Я -^-1 + Рг = 0; (11.18)
п п [ J
деформации (физико-геометрическое) (11.16).
Не производя промежуточных выкладок, приведем формулы для
расчета пространственной нити под действием произвольной на-
грузки. При этом будем пользоваться пространственной системой
прямоугольных координат OXYZ. Перемещения точек нити вдоль
координатной оси Y обозначим через V. Относительно оси X нить, по-
прежнему, принимается пологой.
Для расчета пространственной пологой нити, представленной в
виде непрерывной шарнирной цепи, имеем уравнения:
равновесия
-^-H + qx = Q; ^-(н-^-} + ди = 0;
dx ™ dx \ dx / ' ™
d („ dz \ 1 • )
— IР ty? — 0,
dx \ dx / ' 4
деформации
(11.20)
Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы,
запишем уравнения:
равновесия
V/7 + P. = 0; V \Н 4М + PV~ 0; + (П.21)
п п L Д% I П 1 Д¥,1
деформации
(П.22)
Нить под действием произвольной только вертикальной нагрузки.
В этом случае qx — 0 и qz 0 и уравнения равновесия (11.17)
примут следующий вид:
Из первого уравнения следует, что Н = const, и тогда второе
преобразуется к следующему виду:
+ (П.23)
Обе части уравнения деформации (11.15) проинтегрируем подли-
не пролета нити /
г, С , r-r-l Г du , , (* dz„ dw , , I / dw \2 , I
H i dx — EF \ —r— dx 4- I —r2- • -r- dx + -3- —5—) dx
1 ) dx 1 J dx dx 1 2 \ dx I J
I l i
64
Ш = EF [ (и — иа) + [ • 4^ dx + 4- ((dx] i (П.24)
I' к н/ 1 J dx dx 1 2 \ \ dx I I’ ' '
l I
rT EF .* EF (* dz0 dw ,
H —Г" Д « + —j~ \ “7^-----dx 4-
I 1 I J dx dx 1
I
где A *w — полная величина деформации нити в горизонтальном
направлении и выражается интегралом Jt/w.
t
После интегрирования по всей
длине нити I деформации в го-
ризонтальном направлении,есте-
ственно, выражаются через пере-
мещения конечной и начальной
точек нити
J du ик — ин.
i
Представляет интерес сравне-
ние фигур равновесия нити под
воздействием вертикальной на-
грузки, если рассматривать ее
как пологую и не вводить гипо-
тезу о пологости.
Проинтегрировав уравнение
равновесия (11.23) два раза, най-
дем фигуру равновесия нити,
равномерно загруженной по про-
лету распределенной нагрузкой
qz. Произвольные постоянные
при интегрировании определим
/Ъ
ЙН1И1НИИП11ШЙНИПШ|
Рис. 11.10. Нить под действием равно-
мерной нагрузки, распределенной по
длине:
а — пролета; б — нити.
исходя из положения нити от-
носительно системы координат по
рис. 11.10, а. Полагая, что при
х = 0 z — а, а также приняв, что
„ н ,
а = —, получим уравнение фигуры равновесия
9г
X2
2а
z = а ф-
т. е. уравнение квадратной параболы, смещенной по оси z от начала
координат на величину а.
Если при расчете не вводят гипотезу о пологости нити, равномер-
но распределенная нагрузка на единицу пролета подлине изменяется,
т. е. нагрузка принимается равномерно распределенной не по дли-
не пролета, а по длине нити (рис. 11.10, б). Тогда уравнение формы
равновесия будет иметь вид
Z1 X G I CL , й, |
= а-сп — —(е -4-е ,
а 2 \ 1 / ’
з 3—2825
65
Рис. 11.11. Нить с опорами на разных
уровнях.
где а — смещение вершины кривой относительно начала координат
„ _ н
вдоль оси Z. При этом, как и прежде, а = —.
Таким образом, форма равновесия представляет собой цепную
линию. Разложив показательные функции уравнения цепной линии
в степенные ряды и выполнив необходимые преобразования, полу-
чим уравнение цепной линии в виде следующего ряда:
7 11 . 1 1 X4 . \
Нетрудно заметить, что пер-
вые два члена ряда представ-
ляют собой уравнение парабо-
лы второй степени, выведен-
ное выше при рассмотрении
фигуры равновесия нити при
нагрузке, равномерно распре-
деленной по ее горизонталь-
ному пролету.
По аналогии с (II. 17) урав-
нение равновесия для каждо-
го узла нити, представленной
в виде шарнирно-стержневой
системы, будет иметь вид:
«У[4] + Р< = 0- (П.25)
По аналогии с (11.24) выражение деформации можно записать так:
г т п i о -I
Н = ^[д.„ + ^^.^Дх + Л^(^)л4 (П.26)
Нить с несмещаемыми опорами в горизонтальном направлении
под действием вертикальной нагрузки. В этом случае горизонталь-
ные смещения начальной и конечной точек равны нулю и, следова-
тельно, А *и — 0. Отсюда для нити, представленной в виде непре-
рывной шарнирной цепи, уравнения равновесия примут вид (11.23),
а деформации
н -ч- [ f • 4гdx+4- f (4г)2 *01 • (1L27)
l I
Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы,
уравнения равновесия примут вид (11.25), а деформации
Г т т
« = <П.28)
Нить с опорами на разных уровнях. Если перепад высот опорных
точек нити небольшой, то расчет производится как для обычных
66
нитей. При этом погрешность находится в пределах введенной гипо-
тезы о пологости.
В случае значительного перепада высот опорных точек нити по-
следнюю можно рассчитать как пологую относительно линии, со-
единяющей опорные точки (рис. 11.11). Для этого систему коорди-
нат следует повернуть таким образом, чтобы ось была параллель-
на линии, соединяющей опорные точки. Используя приведенные
формулы, соответствующие каждому конкретному случаю, опре-
деляют усилия и перемещения, величины которых затем преобра-
зуют относительно первоначальной системы координат.
Нить с начальной длиной, равной пролету под действием произ-
вольной горизонтальной нагрузки. В этом случае qx 0; qz = 0 и
уравнения равновесия запишем формулами:
£/77 । г, £/ / и dx ।
-----h Qx 0; -л— п ~ 0.
dx чх dx \ dz ]
Так как рассматриваются пологие нити относительно принятой
dx
системы координат, то ^- = 0 и, следовательно, второе уравнение
всегда удовлетворяется тождественно. Учитывая подобие форм ни-
ти до и после деформации, можно записать, что и = 0.
Таким образом, напряженно-деформированное состояние пологой
нити под действием произвольной горизонтальной нагрузки описы-
вают уравнениями:
равновесия Н ф- qx = 0;
деформации Н — EF . (11.29)
По аналогии для нити, представленной в виде шарнирно-стержне-
вой системы, запишем уравнения:
равновесия V Н ф- Рх = 0;
п
деформации Н EF . (II.30)
Нетрудно заметить, что уравнения (11.29) и (11.30) характеризуют
состояние элемента, нагруженного осевыми силами, каким в дей-
ствительности и является пологая нить под действием горизонталь-
ной нагрузки.
Учитывая, что величина усилия в нити не является постоянной,
а изменяется по длине нити в зависимости от горизонтальной нагруз-
ки, уравнения (11.29) и (11.30) записаны для деформации дифферен-
циально малого элемента нити (стержня) и не проинтегрированы
(просуммированы) для всей нити, как было выполнено ранее для
других частных случаев.
Нить с предварительным натяжением под действием произволь-
ной нагрузки. Предварительное натяжение можно рассматривать
з*
67
как начальное усилие в нити. Окончательное усилие в нити будет
слагаться из начального предварительного натяжения и прираще-
ния усилия от деформации.
Таким образом, уравнения, описывающие напряженно-дефор-
мированное состояние предварительно напряженной нити под
действием произвольной нагрузки будет иметь вид (11.17), а дефор-
мации
и . EF&*u
+-------------Т~
dz0 dw. , EF
dx dx 2Z
Для нити, представленной в виде шарнирно-стержневой системы
уравнения: равновесия (11.18) и деформации
EF y Д2о Асу д ,

кх.
(11.32)
Нить при отсутствии нагрузки в пределах рассматриваемой дли-
ны. Рассмотрение такого частного случая представляет интерес
с точки зрения сравнения расчетных схем нитей в виде непрерывной
шарнирной цепи и в виде шарнирно-стержневой системы. В этом
случае qx = 0; qz — 0 и уравнение (11.23) примет вид
Н
Если Н = 0, то величина являющаяся для пологих нитей
кривизной, при отсутствии нагрузок может принимать значения,
отличные от нуля, что свидетельствует о принятии нитью в прост-
ранстве (плоскости) любой формы. Впрочем, это очевидно из чисто
физического смысла состояния ненагруженной нити. Не рассмат-
ривая такой тривиальный случай, перейдем к следующему воз-
можному состоянию. Примем, что Н =£= 0, тогда = 0. Равенство
нулю выражения кривизны нити свидетельствует, что фигура рав-
новесия нити, естественно, представляет собой прямую линию.
Поэтому можем записать, что
dz ,
—— = const = -----х----------
dx Л.Х
» d2z d2zn , d^w n
С другой стороны, — о,
d2zn <Fw
откуда = — . .
J M dx2 dx2
Это свидетельствует, что формы нити до и после деформации подоб-
ны и
гп+1 ~ гп Дг
Дх
dw , K’n+1 ' wn
-j— =; Const = -------------- == -г— .
dx Дх Дх
68
Обе части уравнения деформации (11.15) проинтегрируем по дли-
не некоторого участка нити п, п + 1, имеющего длину Дх.
И \dx^EF[ ^dx+ +
J [ J dx 1 J dx dx 1 2 J \ dx ) J ’
Дх Дх Дх Дх
//Дх — EF f («п+i —• и„) + - Дщ -|- -4- (-4—’У •
L' 1 п' \х 1 2 \ Дх / J
Разделив обе части на Дх и приняв, что n,l+l — ип = Ди, полу-
чим уравнение деформации для нити, представленной в виде не-
прерывной шарнирной цепи при отсутствии нагрузки в пределах
участка нити длиной Дх.
| Ди , Д?о Дш I I Да? \21
I Дх дх Дх ' 2 \ Дх / J ‘
Как видим, это уравнение полностью совпадает с уравнением де-
формации (11.16), выведенным для- нити, представленной в виде
шарнирно-стержневой системы с узловыми нагрузками. Такое совпа-
дение уравнений свидетельствует о том, что принятие расчетной схе-
мы нити в виде шарнирно-стержневой системы соответствует точному
решению при отсутствии внеузловой нагрузки и рассмотрению
нити как непрерывной шарнирной цепи.
§ 4. Радиальные системы
Сеть вантового покрытия радиальной системы обладает той осо-
бенностью, что все нити ее имеют общий центральный узел. В том
случае, когда этот узел каким-либо способом закреплен от горизон-
тальных смещений, расчет покрытия радиальной системы сводится
к расчету отдельных нитей. Получающаяся в этом случае неуравно-
вешенность всего покрытия в горизонтальной плоскости компенси-
руется изгибной жесткостью бортового элемента.
Другой характер напряженно-деформированного состояния по-
крытия будет в том случае, когда общий узел имеет возможность
смещаться.
Рассмотрим зависимости напряженно-деформированного состоя-
ния однослойного вантового покрытия радиальной системы под
действием произвольной вертикальной нагрузки. При этом каждую
нить будем рассматривать как непрерывную шарнирную цепь,
а всю систему в целом как шарнирно-стержневую.
Начало пространственной прямоугольной системы координат
OXYZ поместим в центр рассматриваемого радиального покрытия
(рис. 11.12, а). Уравнения равновесия и деформации будем выражать
при помощи новой подвижной системы координат ОХгУг/.
Горизонтальное смещение элемента i-той нити относительно си-
стемы координат OXYZ можно выразить соотношением
ицх) = uz cos 0 -f- vt sin 0,
69
где ut — горизонтальное смещение точки нити вдоль оси X,-;
vi — то же, вдоль оси Yz;
0 — угол наклона оси Х(-(У() к оси X (У).
Воспользуемся уравнением деформации отдельной нити под
действием произвольной вертикальной нагрузки (11.24) и, учитывая
а
Рис. 11.12. Радиальная система вант.
вышеуказанное соотношение, запишем уравнение деформации для
любой i-той нити радиального покрытия
Z/z == ГAw.-cosG ф- Anzsin0 + (dxi + 4- С dx,].
1 It I J dxt dxi 11 2 ) ( dX[ j ‘J
k 4
(11.33)
Уравнение равновесия для t-той нити, аналогично (11.23), будет
иметь вид:
Спроектировав все распоры, действующие на узел, на три коор-
динатные оси X, Y, Z, получим следующие уравнения равновесия
центрального узла радиального покрытия:
V [Н cos 0]z = 0;
V [/7sin©]z = 0; (П.34)
V Itf-J-I =0,
I dx k ’
70
где A [ 1 — так называемый разностный оператор для узла, озна-
чающий разность величин, зависящую от направлений Xt, примы-
кающих к рассматриваемому узлу стержней, т. е. величины, отно-
сящиеся к стержням, направленным от узла, минус величины, от-
носящиеся к стержням, направленным к узлу.
Например, для узла рассматриваемого покрытия (рис. 11.12, б)
разностный оператор будет раскрываться следующим образом:
VI | = [ li + l к + ‘ ‘ • + I к — I к —’ I к — ' ‘ ’ I 112-
При этом принимается, что угол наклона Xt отсчитывается против
часовой стрелки в пределах 0—180°.
При помощи разностных операторов запись уравнений несколько
упрощается [91.
Для расчета радиальных вантовых сетей в виде непрерывных
шарнирных цепей пользуемся уравнениями равновесия для каждой
нити (11.27), для общего узла (11.34) и деформации для каждой
нити (II.33).
Не приводя промежуточных выкладок, по аналогии запишем
уравнения для нитей, представленных в виде шарнирно-стержневых
систем. Уравнение равновесия:
для каждой нити
#v[-g-]f+P2 = 0; (П.35)
для общего узла
V [Н cos ©к = 0;
V [Я sin ©к = 0; (11.36)
v =0.
L Дх к
Уравнение деформации для каждой нити
т
Aucos© + At>sin© + S^g--4^A* +
(11.37)
Уравнение (11.27) или (П.35) составляется для каждой нити сети;
уравнение (11.34) или (П.36) — для одного центрального узла;
количество уравнений (11.33) или (11.37) находится также в соответ-
ствии с количеством нитей в сети.
§ 5. Перекрестные сети из двух семейств нитей
Рассмотрим напряженное состояние некоторой непрерывной
поверхности, образованной двумя семействами пересекающихся
нитей, под воздействием произвольной нагрузки. Направление
71
координатных осей X и У обычно принимают параллельным соответ-
ствующим направлениям нитей. Поверхность покрытия и, следовате-
льно, рассматриваемый элемент принимается, как и прежде, пологим
относительно горизонтальной плоскости XOY.
Рассмотрим равновесие элемента поверхности сети с размерами в
плане dx и dy относительно пространственной прямоугольной си-
стемы координат OXYZ. Материал элемента таков, что не сопротив-
ляется сдвигающим усилиям в своей поверхности, а лишь усилиям,
действующим вдоль направления нитей.
Рис. 11.13. Равновесие элемента перекрестной сети вант.
Все обозначения и действующие усилия показаны на рис. 11.13,
положение элемента соответствует деформированному состоянию.
Уравнения равновесия:
2* —0; — Нх • dy +(яж+ —^dx^dy + q* • dx dy = 0;
2У - 0; Ну • dx + [Ну + dy]dx + qy • dx • dy = 0;
2^0; -Hx-dy-^- + (Hx + ^-d^]^r[z + -^d^]dg
-Hy.dx^- + [Hy + ^-dy]^-(z + -^dy]dx +
4- q2 • dx • dy =. 0.
Производя необходимые преобразования, сокращение членов,
а также отбросив величины высшего порядка малости, получаем
72
уравнения равновесия для перекрестных сетей:
-%- (нх 4-) + -4- (ну —} + ?г = о. (П.39)
дх \ х дх ] 1 ду \ у ду / 1 ’
При действии только вертикальной нагрузки уравнения (11.38) —
(11.39) упрощаются. При отсутствии нагрузки qx и из уравнений
Рис. 11.14. Равновесие узла перекрестной сети вант.
(11.38) следует, что Нхи Ну ~ const, а уравнение (11.39) преобра-
зуется к виду:
+ + (11.40)
д2г д2г
Величины являются кривизнами соответствующих на-
правлений нитей, в связи с чем уравнение (II.40) характеризует форму
поверхности вантового покрытия. С другой стороны, оно показыва-
ет, что усилия в нитях в геометрическом аспекте не зависят от вели-
чин пролетов последних и определяются их кривизной, т. е. формой.
Если же поверхность, описываемая уравнением (11.40), является
предварительно напряженной, то при отсутствии внешней нагрузки
усилия Нх и Ну (в данном случае усилия предварительного напря-
жения) будут положительны только при различных знаках кривизн
Впрочем, это очевидно из чисто механических соображе-
ний явления предварительного напряжения в вантовых сетях.
Рассмотрим теперь равновесие некоторого узла а регулярной
вантовой сети (рис. 11.14) под действием узловой вертикальной на-
грузки Рг. Аппликаты точек узла на рисунке соответствуют де-
формированному состоянию вантовой сети.
73
Спроектируем все силы, действующие на узел, на вертикальную ось
— Ну tgab-Hutgal + Hx- tgac. + Hx- tgaa + Рг== О,
где tgafc — ZaIy—> = 1
tg ас - tg ad = -г\-гд •
fc с Ах ’ Ь а дх
Подставив эти значения в уравнение равновесия и приведя к об-
щему знаменателю, получим
н _£b-^a+ze н _Zd-Z^a + zc + р 0.
у Ау 1 х Ах г
Примем следующие обозначения:
Д2г _ zd — 2го + zc . №z zb — 2Zq + ?е
X Az ’ г/ Д'/ ’
Тогда уравнение равновесия можно записать более компактно
+ = (П.41)
При одинаковых усилиях в нитях (Нх = Ну — И) и одинаковых
расстояниях между нитями (Дх — Ау = /.) уравнение равновесия
для узла в развернутом виде будет иметь вид
уу / Zg za z( za za za • яд ) p q
\ X 2v У Л / г
или .
// 4ga + Zfc -p zc -p Ч~ ze j p __ q
Рассмотрим деформации элемента поверхности сети под действи-
ем произвольной вертикальной нагрузки (рис. II. 15). В результате
деформации точки элемента получат перемещения и, v, w и их
приращение вдоль координатных осей соответственно X, Y, Z.
Не приводя промежуточных выкладок, последовательность которых
легко проследить на выводе уравнений деформации для одной нити
по аналогии с (11.24), запишем уравнения деформации для нитей
двух направлений:
, По аналогии с (11.26) запишем уравнение деформации для двух
направлений нитей шарнирно-стержневой вантовой сети:
(11.43)
[т т f \9 '
Л*» + 2>--^Д8' + -т£(>) (И«>
74
Для расчета перекрестных вантовых сетей' с непрерывным рас-
пределением материала пользуемся уравнениями равновесия (11.40)
и деформации (11.42); для расчета вантовых сетей в виде шарнирно-
стержневых систем — уравнениями равновесия (11.41) и деформации
(11.43) и (11.44).
Рис. 11.15. Деформации элемента перекрестной сети вант.
В случае предварительно напряженной сети в виде шарнирно-
стержневых систем уравнения (11.44) деформации принимают вид:
m m
И,= Н„+-^ + + Дх ;
т m
(11.45)
где Нох — усилие предварительного напряжения нитей, направлен-
ных параллельно оси X;
НОу — то же, параллельно оси К.
В случае, когда точки закрепления нитей любого из двух направ-
лений несмещаемы, первый член уравнений (11.45) становится
равным нулю.
75
§ 6. Вантовые сети произвольной структуры
Многообразие структур вантовых сетей, отличающихся иногда
большой нерегулярностью, предопределяет необходимость более
общего подхода при выводе уравнений напряженно-деформированно-
го состояния их.
В качестве основного элемента при рассмотрении напряженно-
деформированного состояния произвольной пологой сети примем
нить с границами от узла до узла. Под действием произвольной на-
грузки такая нить, вполне естественно, должна быть рассмотрена в
Рис. 11.16. К расчету вантовых сетей
произвольной структуры.
пространстве.
Относительно системы коорди-
нат OXiYiZi, расположенной та-
ким образом, что ось Хг прохо-
дит через проекции конечных то-
чек нити на горизонтальную пло-
скость, для некоторой нити i запи-
шем уравнения равновесия (11.19):
-А-Д + ^0; (11.46)
<п-47>
«и-4»»
в соответствии с (11.20) урав-
нение деформации
п ,_ Т? Г? [ ^0 |
n~cri dx + dx dx +
2 dy" . dv [
‘ dx dx '
i \21
И
1
2
(11.49)
Теперь остается рассмотреть равновесие узлов произвольной
вантовой сети, образованной нитями. Количество нитей, сходящихся
в узле, а также их ориентация относительно некоторой постоянной
системы прямоугольных пространственных координат OXYZ мо-
гут быть произвольными. В системе координат OXYZ направление
оси Z принимается таким же, как в подвижной системе координат
OXiYiZi, зависящей от положения произвольного направления
i-той нити.
Проекция произвольной i-той нити /(, К + 1 на плоскость XOY по-
казана на рис. II. 16. Длину горизонтальной проекции данной
нити обозначим через lt, а угол наклона оси X, к оси X в плоскости
X0Y — через 0и. Угол наклона проекции усилия в нити на пло-
скость XOY к оси X обозначим через 0,. Предположим, что точка К,
76
наряду с другими аналогичными точками произвольных нитей,
принадлежит некоторому узлу сети.
Условие равновесия в плоскости XOY выразится следующими
уравнениями:
2х = 0; V [Нcos0]z + Рх “ 0;
УУ —0; V [Яsin©]/4-Л/-0,
где v — разностный оператор для узла;
k
Рх, Ру — внешняя узловая нагрузка на сеть.
Исходя из обозначения на рис. 11.16, можем записать, что 0(- =
= ©1/ + ©2i-
Кроме того, запишем
„ А.-х . „ А,-и
cos ©1/ == -у— и sin 0/ s=s —ц— .
Учитывая, что i-тая нить полога относительно своей оси Х{, имеем:
cos©2/^1 и sin02/ = tg©2/; tg ©21 (4k~)z •
Функции суммы двух углов можно представить следующим об-
разом:
cos (©и + ©2/) — cos ©i/ cos ©2/ — sin ©i/ sin ©2/ i
sin (©1,- 4- ©2/) ==; sin ©и cos ©2/ 4- cos ©K sin ©2/,
или, учитывая вышеприведенные соотношения для г-той нити,
М ( dy \
COS 0,- ь=5 —.------I -Г- I ,
* k li \ dx
. ~ , д/х / dy \
sm ©/ - 4- ( dx )t -
Таким образом, уравнения равновесия в плоскости XOY можно
записать так:
V \Н
Ах Аг/
•х == 0;
'^0.
(11.50)
V \Н
k L
равновесие этого же узла относительно оси Z (см.
Рассмотрим
рис. 11.16).
Уравнение равновесия имеет вид
V [Н sin PJ 4- Рг 0,
k
где рг — угол наклона проекции усилия в нити к оси
Рг — внешняя узловая нагрузка.
Учитывая, что нить полога относительно оси Х(, можем записать
следующие выражения:
sinpi«tg₽z и
7?
и, таким образом, уравнение равновесия в вертикальной плоскости
примет вид
V [//А1+Рг==°. (11.51)
Таким образом, уравнения (11.46) — (11.51) описывают напря-
женно-деформированное состояние любой вантовой сети и охваты-
вают все частные случаи, рассмотренные в предыдущих параграфах.
Рассмотрим частный случай, когда распределенная нагрузка от-
сутствует, т. е.
= Qyt = = °-
Из уравнения (11.46) следует, что Н — const.
= О'
Так как усилие нити не может быть равно нулю, остается принять
— 0, откуда следует, что — const 0.
Уравнение (11.48) принимает вид (здесь и ниже в уравнениях от-
носительно системы координат ОХ,Уг2, индекс i опущен):
= о.
dx2
d2z „ dz .Az
откуда -^ = 0; = const - — .
Из приведенных выкладок следует, что нить в плане и вертикаль-
ной плоскости в данном случае представляет собой прямую линию.
Однако это очевидно и из чисто физического смысла существования
нити с усилием без наличия поперечной распределенной нагрузки.
Проинтегрируем обе части уравнения (11.49) по длине нити I
Рассмотрим каждый интеграл в отдельности и определим его зна-
чения: §dx = Z;
I
с du , Aw , du , Аи
\ —г— ах — -г-1, так как -у— = const = —-j-;
J dx I ’ dx I
i
fdzn dw Az0 Ate;
~dx~ "~dxX~ ~l T~1’
78
f аУо л... n так как — О'
I —j ~з их — и, так как —з— — и,
) ах ах ’ ах
W44)\
Найденные значения интегралов подставим в уравнение дефор-
мации, разделив правую часть на I
Нелинейностью в работе вантовой сети от горизонтальных сме-
щений пренебрегаем, поэтому последний член этого уравнения исклю-
чается. Тогда
Это уравнение деформации записано относительно системы ко-
ординат 0ХгУ,2;. Для получения аналогичного уравнения относи-
тельно системы координат OXYZ воспользуемся известными форму-
лами преобразования одной системы координат в другую:
Ui — и cos 0, + v sin ©z; vt = v cos 0,- — и sin 0,-
или
Др: Ар Д#о
гг,= п—---пц—v. = v~-----------и —— .
Подставим эти значения в уравнение деформации нити
гг __ рр Г Ди Дл- , &v &у0 hz,, kw , 1 / Дш \г]
п —t — I I + I - I -Г 2 I I / Jz •
Учитывая, что = 0, уравнения равновесия для узлов сети
несколько изменяются. Запишем уравнения, описывающие напря-
женно-деформированное состояние произвольной вантовой сети
под действием произвольной внешней узловой нагрузки:
уравнения равновесия для узлов сети
v[/7-^-l+P=0; (П.53)
k 1 1 ф
4-Р=0; (11.54)
к L 1 Ф
уравнение деформации для нитей
Н — [ ДыДх Ц- Дс'Д.% + Д20ДйУ + -i- (Д&у)2] . (11.55)
4 L 2 Ф
79
В случае действия предварительного натяжения, уравнение (11.55)
несколько изменяется:
И = Но + -^рДг/Дх + Д <уДг/() + Дг0Дю + (Дье/)2j , (11.56)
где Но — величина усилия предварительного натяжения.
Если сеть представляет собой существенно нерегулярную струк-
туру, в узлах которой пересекается более двух нитей, уравнение
деформации (11.55) или (11.56) является окончательным. При этом
под нитью подразумевается по сути один стержень от узла до узла.
Если в узле пересекаются не более двух нитей, уравнение (IL56)
можно записать для всей нити, представляющей собой плоскую лома-
ную линию, образованную стержнями.
Принимая во внимание постоянство распора по длине каждой
нити, просуммируем распоры всех стержней последней
т т т т
Но £ Ц + EFt £ + EFt 2 lt +
1 1 1 1
т т f \9
IV J \ I /
т
Учитывая, что lt = Lit
i
а также, то, что нить в плане является плоской, можем записать
&Уп _ -А*Уо Ах Д*х
Lt l{ Li ’
где Li — длина всей i-той нити;,
Д*х, Е*у0 — разность между координатами конечной и началь-
ной точек нити;
т—количество стержней в нити.
Кроме того, сумма деформации всех участков нити в горизон-
тальном направлении вдоль осей X и Y выражается через переме-
щения конечной и начальной точек нити
/71 ГП
2 Д« “ «к — ин — А*1Г, 2 &V VK — VH — h*V.
1 1
С учетом изложенного выше уравнение деформации примет вид:
w и 1 EFi f А*х • А*и Н^Нъ + Ц L т +4S т А*^о А*и , у Az0 • Лю . , h L 1 Li р 1 f (4Ф] . (П.57)
80
Если, к тому же, концы нитей закреплены на несмещаемом опор-
ном контуре, уравнения примут вид: равновесия (11.54), деформации
г т т \ а "
+ i . (Ц.58)
i-i I 2 1 ' 1 ! Jz
Количество уравнений (11.54) должно соответствовать количеству
узлов в вантовой сети; уравнений (11.58) — количеству нитей.
§ 7. Вантовые фермы
Различие типов вантовых ферм предопределяет и различные ме-
тоды их статического расчета.
Расчет вантовых ферм с треугольной решеткой по сути ничем не
отличается от расчета обычных жестких ферм аналогичной схемы.
При этом растягивающие усилия
назначаются такими, чтобы от дей-
ствия внешней расчетной нагрузки
в элементах ферм не могли появи-
ться сжимающие усилия.
Заметим, что при расчете ванто-
вых ферм с треугольной решеткой
необходимо учитывать статическую
предварительного напряжения
Рис. 11.18. К расчету безраскосных
вантовых ферм.
Рис. П.17. Статически неопределимая
и геометрически неизменяемая ванто-
вая ферма с треугольной решеткой.
неопределенность в работе, обусловленную лишними связями в
опорных закреплениях поясов. Так, вантовая ферма, представлен-
ная на рис. 11.17, относительно опорных реакций является три
раза статически неопределимой.
Таким образом, с точки зрения статического расчета сложность
представляют вантовые предварительно напряженные фермы, по-
яса которых соединены между собой сжатыми распорками или рас-
тянутыми подвесками.
При рассмотрении напряженно-деформированного состояния ван-
товых ферм примем некоторые допущения. Нити-пояса фермы по-
прежнему будем считать пологими относительно горизонтальной
оси. Кроме того, примем, что распорки или подвески являются аб-
солютно жесткими и, таким образом, исключают взаимное смеще-
ние соответствующих точек нитей-поясов в вертикальной пло-
скости. В деформированном состоянии распорки или подвески ос-
таются вертикальными.
81
Рассмотрим условия равновесия элемента предварительно напря-
женной фермы под действием произвольной вертикальной нагрузки
(рис. П.18). Для правомочности пользования дифференциальной
формой записи уравнений будем считать, что связи между поясами
фермы расположены настолько густо, что это позволяет принять их
непрерывными.
Положение элемента на рис. 11.18 соответствует деформирован-
ному состоянию фермы. Расстояние между поясами фермы h = f (х)
определяет геометрию последней. При этом некоторая ось z = f (х),
проходящая между двумя поясами и имеющая аппликаты г, явля-
ется геометрическим местом нулевых точек статических моментов
в сечениях фермы и, таким образом, удовлетворяет выражение
Fi/ii —F2/i2^0,
где Fj и F2 — площади поперечных сечений соответственно ниж-
него и верхнего поясов;
/гх и h2 — расстояния от нейтральной оси до осей соответству-
ющих поясов.
Исходя из положения нейтральной оси, запишем выражения ап-
пликат соответствующих поясов фермы:
гг = z + h^, z2 = z — h2.-
Учитывая выкладки предыдущих параграфов, нетрудно показать,
что уравнение равновесия элемента фермы под действием произволь-
ной вертикальной нагрузки будет иметь вид
Н^ + Н^ + ^^°
или, учитывая выражения аппликат соответствующих поясов фермы,
/Д 4^- + Hi 4^- + Я2 --------Н2 + qz =. 0.
1 dx- 1 1 dx- 1 2 . dx- z dx2 /г
Приведем последнее уравнение к следующей форме:
(Hi + Н2) + Н™± — Н2 + qz = 0.
' 1 ы dx1 1 1 dx- 2 dx2
Для более компактных записей уравнений примем обозначения:
/Д + Н2 = N; HJi — H2h.2 = М,
где N — суммарное усилие в поясах фермы, действующее по ней-
тральной оси;
М — изгибающий момент в ферме от действия усилий в поясах.
С другой стороны можем записать, что
т, /г, М .г /г, 7И
Н1~ N + -Г-; Н2 — N ---------------—.
1 h 1 h ’ 2 h h
С учетом изложенного выше уравнение равновесия примет вид
кт । кт ( 11г . d-h-i____hr . d2/i2 ) . М f d2ht d2/z2 t _
dx2 \ h dx2 h dx2 I' h \ dx2 ' dx2 / 9z
82
Произведем некоторые преобразования:
/ d2h2 \
д, сРг . д, I 2 dx2 1 dx2 I , М d2h . n
TV —+ N I--------------7--------/ + -7----3-5- + q, — 0.
dx2 \ h / 1 h dx2 г
Учитывая подобие очертания фермы соответствующим кривизнам
поясов, можем записать следующую пропорцию
d2hr
dx2 ______________________________ /tj
d2h2 ~ hz ’
dx2
исходя из которой второй член уравнения равновесия равен нулю.
Отсюда имеем:
д, d-z . /И d2h . /г-г r~f\\
"тг^ + тг-лг + «* = °- <п-59>
Аналогично (11.24) уравнения деформации для поясов фермы
запишутся следующим образом (с учетом несмещаемости опорных
точек фермы):
или, учитывая выражения аппликат соответствующих поясов фермы,
где Hot и Ног — усилия предварительного напряжения соответ-
ственно в нижнем и верхнем поясах;
Ег и F2 — площади поперечного сечения поясов фермы;
г0, Zoi, ?02 — первоначальные аппликаты (при этом z = z0 + ®)-
Используя уравнения деформации для отдельных поясов, запи-
шем выражение суммарного усилия в поясах фермы
H1 + H^N = No + ^^
i
, Е f Ip dhx dw p dh2 dw \ ,
"i- I J 1 dx dx 2 dx dx j %’
I
где Hot + Hw == No — суммарное усилие в поясах фермы от пред-
варительного напряжения;
Fj + F2 = F — суммарная площадь поперечных сечений
поясов.
83
Рассмотрим третий член уравнения
Е С / р dhx dw р dh2 dw \ ,
I J ( 1 dx dx 2 * * S dx dx j X'
I
Учитывая, что площади поперечных сечений поясов Fr и Т2 не
изменяются по длине, внесем их под знак дифференциала
JL. С d (1,р h Р] dw dr
I J dx (hl dx ax-
!
Выражение в скобках равно нулю. Поэтому третий член уравне-
ния также равен нулю.
Окончательно уравнение принимает вид
N^N0 + ~\[-^--^-dx + 4- Ш.60)
b ' I IJ dx dx 1 2 j \ dx ] J v '
i i
Остается привести выражение суммарного изгибающего момента
в ферме от действия полных усилий
м == ад - ад + -4 [ J dx +
I
I
Учитывая, что РгНг — F2h2 == 0, выражение упростится
м = Н,^ - НЛ,Н, + -S- (F.h, J • -g- dx +
I
Примем следующие обозначения: //о1йх — H02h2 — М0‘, F^ =
= F2h2 = S,
где Мо — изгибающий момент от действия усилий предваритель-
ного напряжения;
S — статический момент сечения одного из поясов относитель-
но нейтральной оси.
С учетом этих обозначений выражение изгибающего момента при-
мет вид
М =,М + Г -J- • ~ dx. (11.61)
0 1 I J dx dx v
I
Таким образом, напряженно-деформированное состояние ванто-
вой фермы под действием произвольной вертикальной нагрузки опи-
сывается уравнениями (11.59) — (11.61).
84
§ 8. Непологие вантовые системы произвольного вида
Стержень произвольной шарнирно-стержневой вантовой системы
в положении устойчивого равновесия задан вектором ₽а = /ар в
декартовой системе координат*
la.fi — laffii-
В деформированном состоянии стержень представлен вектором
la.fi ~ laffii-
Обозначим далее:
Ха и хр — радиусы-векторы;
иа и tip — векторы смещений узлов конца и начала стержня;
Гар и lap — конечная и начальная длины стержня.
Из геометрических соотношений следует, что
lafi “ j/\lafi)Z " ^ijla.pla.fii 1а& — Ха.— Л-р!
la.fi — (W2 ^iilafilaf>', lafi = Ua.— Up,
где бг-у — единичный тензор.
Обозначим
А-Х^р — Ха ‘ ’ Хр И АП(7_р — Ua tiff.
Деформация стержня равна
, laP ~
~; •
lafi
После подстановки и преобразования получим
"| / 1 -г ; AxttpAz/^p А^сфAz/o^p 1.
J/ *aPzaP 'a.faa.p
Вектор разности смещений узлов стержня Awap представим в виде
суммы двух взаимно ортогональных векторов Атар и Апар:
Az/aP АтаВ ”Ь АПсср > Атар == Тс* Тр; АИо;р =: tl 'a tip,
где
fl I1 . _ -
Дт4р ь=; бь/Аиар ,кР • • — (Атар и /ар — коллинеарные векторы);
После подстановки получим
г<7.р =5 1 f 1 + — 6,7гАхар (Аисср Д Атар) — &ik X
I/ zapzaB 4аРгаР
X (Аиар -р Атар) (Апар -р Атар) —-1.
* Здесь и в дальнейшем малыми греческими буквами пронумерованы узлы,
малыми латинскими — компоненты векторов [45].
85
Разложим выражение еар в ряд Тейлора, удерживая только пер-
вые члены. Величиной (Атар)2 можно пренебречь по сравнению с
(/ар, Атар), если учесть, что условия прочности реальных стержней
допускают лишь малые удлинения вдоль оси
х д*аР . 1 « Д/2а“>ДлаР
еа(3 О,k —7------7 — -Г -9- Oik —-—,
'ар 'ар 2 ‘аР'аВ
ИЛИ '
Дхар Д"аР । 1 х Д"арДыаР / <- ДхаРДыар \
ЕаД — 81Л. —------------(- — 0№ -—----------I С£к —-—-----
'ар 'ар 2 'ар'ар \ 'ар1аР /
Деформация стержня в первом приближении зависит линейно от
удлинения вдоль оси и нелинейно от перекоса оси стержня.
Введем еще ряд обозначений:
Тар — площадь поперечного сечения стержня;
Sap — усилие в стержне;
о
бар — начальное напряжение;
Оар — дополнительное напряжение, вызванное деформацией
стержня.
Вектор усилия в стержне определится через
Тар = Тар (ОаР 4* О'ар)
'ар
или в компонентах
Тар = Т ар (бар 4“ °ар) ' . ₽ •
'ар
Считая, что материал стержней подчиняется закону Гука оар =
= £еар, вычислим работу упругих сил. Удельная работа равна
4VаР — барвар 4-----jj" бар8ар;
полная работа
Vap — Тир/аР (бкр 4-g“ °с-ру Sap
или, формально обозначив = еар, имеем: ’
Гар — EFар/аР ^Sap 4 g“ Sapj 8аР-
Рассмотрим переход от декартовой системы координат к криволи-
нейным координатам. Криволинейные координаты будут введены,
если задать дифференцируемую однозначно определенную вектор-
ную функцию от аффинных координат % = % (х1, х2, х3), для кото-
рой существует обратная однозначная векторная функция х =
= х (X1, х2, х3)- В таком случае переменные х1, Х2> %3—кри-
волинейные координаты. Векторы локального репера обозначим
через X/.
86
Переход от аффинного репера к локальному и обратно осуществля-
ется по формулам:
х/ = х^-; ei = %ixi>
где
К- = Vi7/ и х} = \iXl.
Из условия обратимости следует, что хд? = б* (6* — символ Кро-
некера).
Обозначим через ga/ и соответственно ковариантные и контр-
вариантные составляющие вектора смещения узла а в криволиней-
ных координатах.
Выразим векторы Д«ар и Ахар через криволинейные координаты:
Ai/ap = На ^р Xaj^a ХрДрi
AxLp = ха— Хр = Ха (х1, /2, X3) — Хр (х1, X2. X3)-
Фактически криволинейные координаты можно задать различными
способами:
векторной функцией от трех параметров
* = х1 (х1. х2. х3);
двухвалентным тензором как аналитической функцией точки М
(х1, х2, х3) в декартовой системе координат х/ (Л!);
локальным репером дискретно в каждом узле системы
ХаЬ Ха2, Хаз).
Если обозначить
Аа'р/ — бХхау — б^Хрр,
тогда
AtiaP = Xaj^a — Xp/fep = (б^у — б^Хру) . Д^ру^,.
Деформация стержня в криволинейных координатах будет иметь вид
__ С ДхаРДар/
Кар — OpQ .
гаРгаР
1 Л1'!'7
Г/ , 1 х u«PiuaPi pipi
У1 + ~л~ Vpq -----j—т--------- &У&П —
2 ‘аР'аР
_____1 с s ДларДларДар/еДар/
~ ~ Р” rS
Потенциальная энергия упругих сил шарнирно-стержневой си-
стемы
Пу — + 2 Кцз — + 2 EFар (е°реар + -х- ЁареарI /ар.
Здесь и в дальнейшем а, р = 1, 2, т (т — число узлов в системе).
Потенциальная энергия внешних сил
П = — ^ijPatJa = — 5 FaifP<&,
а а
где gaij = ЬрдХм х^1 — метрический тензор;
Р1а — внешняя сила в узле.
87
Полная потенциальная энергия системы
После подстановки значения в«р и некоторых преобразований мож-
но получить следующее выражение для потенциальной энергии:
П — (—• b] + dti) 4- -gj- 4—57- 4~
4- -Jj- O-ijkl &v&n&£n,
где

A*£,
. Ax^pAx'^p
'РГ VS W«P
‘ ДМ/ -
gaiffW; at — -А- 2 EFafisoa P6W -у—- АД,-;
Z <7.р
“а- 2 EFаР 8ир
2 ар \
, с с л4.рд4р
*T °Pz°<7s i i
‘aP'aP
ap “P
4^=42^а₽(би-6лД5
2 aP \
xL-6Ag А%УР-,-
\ ZaPZaP / ZaPZaPZaP
Для перехода в пространство конфигураций произведем перену-
мерацию, поставив каждой паре индексов в выражении для потен-
циальной энергии в соответствие один индекс:
Т«Л?»С, W. !*«Е;
I / k I
П — —- bj^ 4- aj^ 4- aja^c 4- -gj- 4-
' +-^-aJGKL^Gft.
Наличие в этом выражении отличного от нуля члена противо-
речит условию равновесия системы в ненагруженном состоянии. Для
удовлетворения этого требования необходимо, чтобы величины на-
чальных напряжений и координаты узлов удовлетворяли уравнение
aj = 0 или
^>pq ^Pr^qs
ZaP
АлирАхар \ AaPiASp/Aapt ,
ZaPZap / ZaPZaP
AxapAaP \
i / I X
ap'af) /
ДссР,ДаР,Дар/?Дар/
а₽
ZaP
6Р(?хА£р — 0.
88
Так как рассматриваются именно такие системы, то выражение
для потенциальной энергии окончательно примет вид
П = - Ь.£ + 4- aj^G 4- -A- + 4-
Поскольку решение задачи статики эквивалентно определению ко-
ординат стационарной точки для потенциальной энергии в про-
странстве конфигураций, уравнения статики примут вид:
bj a.j(^ 4- ujgkZ. £ 4- - gj- cljgk.1%, £ £ .
Рассмотрим имеющий большое распространение частный случай
шарнирно-стержневой системы, когда узлы расположены на коор-
динатной поверхности.
Векторы Ацяр, Атар, Апар выразим в координатах локального
репера:
AUaP = (fcftXai • gpXpi) ву,
Атар = (taXai — TpXpf) gj’,
Аиар {tT-aXai ' HpXpf) бу.
Найдем скалярный квадрат вектора Агая(1:
(Аияр)2 = (Па^са ПрХр/) ’ {f^aXaij ftfjXfiij).
Предположим, что п'а -> О, па -> 0, тя -> 0. Это значит, что век-
тор Апа мало отличается от нормали к плоскости векторов и х.2, а
вектор та почти лежит в этой плоскости. Произведя преобразования
и пренебрегая пха и по сравнению с получим:
(Апар)2“ (ПаХа^~ ИрХрз) • («аХаЗ/— НрХрзу).
ИЛИ
(Амар)2 == [(£к — Та) ХаЗ — (£р Тр) Хрз] • [(£с< — Та) Хаз/ (£р 1 Тр) Хрзу].
Пренебрегая Та при условии Та -> 0, найдем
(А/?ар)2 = (Йх4з—’ВрХрз) • (£аХаЗ/—’ВрХрз/).
Таким образом, если п'а -> 0, Па -> 0, т^ -> 0, то
Пар « Ц ^2 • |[^аР (Хауёс — ХрДр)] 4-
+ ~ [(4зй — ХЙ1) (ХаЗ£Й - Хрз/Й)]}.
Деформация зависит нелинейно только от компонент смещений,
нормальных к поверхности, на которой расположены узлы. Даль-
нейшие выкладки аналогичны вышеприведенным.
Рассмотрим мгновенно-жесткие системы первого ранга изменяе-
мости и один раз статически неопределимые. Число независимых
89
связей меньше числа переменных (т <; п); ранг якобиевой матрицы
г = т— 1. К таким системам относятся, например, прямые нити,
двухпоясные безраскосные фермы, неплоские вантовые сети, со-
стоящие из двух семейств нитей. Потенциальная энергия таких сис-
тем может быть представлена как
П=4(Г(е° +еа)2_р.«\
где С““ — жесткость стержня на растяжение — сжатие;
— деформация преднапряжения;
Pt — внешние силы.
Упругая деформация стержня
Вех == Ba,4 .
Введем обобщенные стержни с помощью преобразования
£ = Урва; —Уре£>
Здесь Ур — тензор в пространстве с метрикой G““ (VaGa“, У« =
= 6РР) такой, что
Етл — VmSai = (О, . . . , 0).
В результате получим:
п-4-6°“(£“ + £“)2;
Eal — Еац11 4-ЕаИ]И*и J
Ет — -g- Emijti’u ;
(«1 = 1,2, ... , tn — 1).
Введем новые переменные ql — VljU', где V) — матрица такая,
что после необходимой перенумерации переменных удовлетворяется
соотношение
Еа !/И1 — 6аШ, ba\jV't2 = 0.
После преобразования получим:
Eal биШ#”1 4~ Eali2i2QIZQl2't
{и = 1, 2, ... , т — 1; i2, /2 = m, т + 1_____ п).
Следует обратить внимание на то, что в квадратичных формах чле-
ны, содержащие переменные qil, приравнены к нулю. Это допущение
90
не является достаточно строгим и должно рассматриваться как пер-
вое приближение, хотя для его обоснования можно сослаться на ре-
зультаты кинематического анализа.
Таким образом, переменные разделены и выражение для потен-
циальной энергии имеет следующий вид:
п = 4-б“‘“2 + 6а1п9п + 4-^1<2/2А/2) + <W* +
4--(е’гп 4--Е------------Qin(/‘2t
где Qi = V'iPj.
Одновременно с разделением переменных произошло и разделение
внешних сил. Физический смысл такого преобразования заключает-
ся в разделении внешней нагрузки на равновесную и неравновес-
ную.
Равновесная нагрузка может быть воспринята без существенно-
го изменения начальной конфигурации узлов системы. Восприятие
неравновесной нагрузки сопряжено с сущетвенными изменениями
начальной конфигурации.
При решении задачи статики в первом приближении примем, что
вторые члены в выражениях для Eai равны нулю. Тогда потенциаль-
ная энергия
П = 4-6<ZlaI + F^F-Qi^' +
+ 4- + 4 F^Vj - Q^.
Глава III
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ
§ 1. Общие положения
Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состоя-
ние вантовых систем покрытий, являются нелинейными относитель-
но искомых перемещений и, v, w, поскольку последние входят в урав-
нения не только в первой, но и второй и третьей степенях.
Следует отметить, что решение нелинейных задач строительной
механики вообще является сравнительно трудоемким процессом,
требующим индивидуального анализа уравнений для выбора более
или менее рационального метода.
Применяющиеся для решения методы являются, как правило,
определенной модификацией общих математических методов, при-
годных для более широкого круга инженерных задач.
Применительно к уравнениям, описывающим работу вантовых
систем, все методы решения можно разделить на следующие: ана-
литические, применяющиеся главным образом к системам с одним
или, в крайнем случае, с двумя нелинейными параметрами; числен-
ные, применяющиеся к системам со многими нелинейными парамет-
рами.
. Аналитические методы часто дают решения в замкнутой форме пу-
тем непосредственного интегрирования дифференциальных уравне-
ний. Однако, как будет показано ниже, они применимы для неко-
торых видов вантовых систем: отдельных нитей, вантовых ферм и се-
тей определенной структуры. Численными методами обычно решаю-
тся задачи расчета вантовых сетей произвольных структур.
Все численные методы решения нелинейных уравнений, описы-
вающих работу вантовых систем и получивших большое развитие за
последние годы, можно с определенной степенью условности раз-
делить на три вида: итерационные; шаговые и специальные.
Среди итерационных методов, применяющихся к расчету ванто-
вых систем и основанных на последовательном приближении к ис-
комому решению, распространен метод Ньютона и различные его
модификации. Идея метода Ньютона состоит в замене графика не-
которой нелинейной функции г = f (х) касательной, проведенной в
точке х — х0, и последовательном повторении этого процесса. При
этом, естественно, предыдущий результат решения используется для
каждого следующего приближения до достижения любой желаемой
точности. Иногда пользуются одной из модификаций метода Ньютона,
92
геометрический смысл которой заключается в том, что касательная в
некоторой точке графика функции заменяется прямой, проходящей
через эту точку и некоторую другую, принадлежащую кривой (метод
хорд).
Среди численных методов при расчете вантовых систем находят
применение также различного рода релаксационные методы, явля-
ющиеся также итерационными. Суть релаксационных методов со-
стоит в последовательном улучшении решения путем приведения в
соответствие максимальных невязок и соответствующих значений
неизвестных на каждом этапе счета. Физический смысл этих методов
заключается в том, что невязки решения можно трактовать как ве-
личины внешних сил, обеспечивающие равновесие системы при де-
формациях. Поскольку невязки с каждым этапом счета уменьшаю-
тся, происходит ослабление действия этих сил, т. е. силы или связи,
что одно и то же, релаксируют.
Тесно связан с релаксационными методами метод Зейделя, от-
личающийся . от предыдущих в основном порядком решения. Этот
метод применяется для решения линейных систем уравнений. Если
в релаксационных методах порядок решения уравнений определяе-
тся, как правило, наибольшими значениями невязок и «поправки»
решения начинают с соответствующих уравнений, то в методе Зей-
деля порядок решения является циклическим и предопределен
сразу.
Особый интерес для решения нелинейных уравнений представ-
ляют шаговые методы, геометрический смысл которых заключается в
замене графика нелинейной функции некоторой ломаной линией
с достаточно малым шагом расположения общих точек, принадлежа-
щих кривой и ломаной. Простейшим является метод Эйлера и его
модификации. Суть метода Эйлера состоит в прямой замене нелиней-
ной функции некоторой ломаной («ломаной Эйлера»), звенья кото-
рой в каждой вершине имеют направление касательной в этой же
точке кривой. Решение по методу Эйлера имеет достаточно высокую
точность только при малых значениях шага, так как представляет
собой по сути на каждом шаге ряд Тейлора с удержанием только пер-
вых двух членов. Для получения более точного решения пользуют-
ся различного рода модификациями метода Эйлера, применяя на-
правление касательных в средних точках каждого шага, итерацион-
ную обработку решения на каждом шаге и другие приемы.
Значительной точностью обладает метод Рунге-Кутта, заключа-
ющийся в том, что на каждом отрезке (шаге) решение представляется
большим количеством членов ряда Тейлора. Вполне понятно, что
метод Рунге-Кутта обеспечивает большую точность решения, одна-
ко является более трудоемким, чем метод Эйлера.
Существуют специальные методы решения, основанные на исполь-
зовании свойств вантовых систем. Учитывая, что в вантовых
покрытиях существует тесная связь между внешней нагрузкой
и формой системы, специальные методы решения в основном исполь-
зуют именно ее. С этой точки зрения представляет интерес метод
93
расчета вантовых систем на специальные виды нагрузок по линейной
теории, позволяющей определить только усилия.
Другой специальный метод решения задач вантовых покрытий
заключается в формальных преобразованиях, дающих возможность
привести произвольную нагрузку на вантовую сеть к равновесной
и тем самым значительно облегчить решение.
Плодотворными оказываются численно-аналитические методы,
в частности, метод разложения дифференциального уравнения в сте-
пенные ряды с конечным числом членов. Такой подход дает возмож-
ность получить решение для прогибов в виде аналитической зависи-
мости от некоторого параметра нагрузки, характеризующего ее ко-
личество. Последнее обстоятельство приобретает особую важность
при исследовании вопросов определения наихудших сочетаний на-
грузок для вантовых систем. Следует заметить, что метод разложе-
ния решения в степенные ряды в реализации имеет определенные
трудности, для преодоления которых применяют ряд приемов,
например представление решения в виде обратно-степенного ряда.
Для правильного применения численных методов решения боль-
шое значение приобретает анализ схемы счета или, пользуясь
терминологией математиков, анализ «устойчивости вычислительной
схемы», не допускающей накопления погрешностей в процессе сче-
та и позволяющей получить результат, достаточно достоверный
в пределах точности исходных данных задачи. Однако, учитывая
направленность данной работы, авторы сочли возможным не затра-
гивать некоторых чисто математических вопросов, связанных с реше-
нием нелинейных задач: корректность постановки, сходимость при-
ближенных методов, исследование решения, счета и т. д. При даль-
нейшем изложении математическая строгость и полнота в некоторых
вопросах и выкладках будет опущена.
§ 2. Вахтовые системы с одним нелинейным параметром
Вантовые системы с одним нелинейным параметром — это системы,
решение которых сводится к нелинейному уравнению с одним неиз-
вестным. К ним относят отдельные нити (системы из отдельных не-
связанных в совместной работе нитей) и сети определенных структур.
В качестве нелинейного параметра обычно принимается величина
усилия в нитях.
Пологие гибкие нити. Для покрытий одной из основных нагрузок
является вертикальная. Напряженно-деформированное состояние
гибкой нити при действии этой нагрузки описывается уравнениями
равновесия
и деформации (при жестких опорах)
94
(Ш.1)
Последовательно интегрируя уравнение равновесия с учетом усло-
вий на опорах нити, получим следующие выражения:
dz __ Qe .
dx ~ И ’
(Ш.2)
где Q — поперечная сила для условной прямолинейной балки,
шарнирно опертой в точках подвеса;
М — изгибающий момент для этой балки («балочный» момент);
г — ордината нити, соответствующая «балочному» моменту.
С учетом того, что w = z — z0, а также выражения (III. 1), уравне-
ние деформации после преобразований нетрудно привести к виду
И 2 j
z
последнее выражение
\ dx =
I I
Приняв обозначения: h~EF; D~ J Q^dx;
i
= s0 — l (где s0 — начальная длина нити),
после несложных преобразований приводится к общему уравнению
третьей степени относительно усилия в нити, загруженной произ-
вольной вертикальной нагрузкой:
II3 + № • ---0. (Ш.З)
Величина жесткости нити на растяжение может изменяться от
0 до оо. Отбросив тривиальное решение нити с нулевой жесткостью,
рассмотрим нить, имеющую EF — оо. Нить с такой жесткостной
характеристикой называется нерастяжимой и в определенном смыс-
ле является абстракцией. Изменение формы нерастяжимой нити
происходит только за счет кинематических перемещений. Вполне
понятно, что усилия в нитях, определенные без учета деформаций,
дают преувеличенные значения и тем большие, чем меньше стрелки.
Однако в ряде случаев расчет нити в предположении ее нерастяжи-
мости полезен для ориентировочных расчетов и первого приближе-
ния в определении площадей поперечных сечений.
Разделив (Ш.З) на Л = оо, для расчета нерастяжимой нити по-
лучим г"
(Ш.4)
Если при этом s0 = l, знаменатель последнего уравнения равен нулю
и усилие в нити, таким образом, даже от незначительной вертикаль-
ной нагрузки равно бесконечности.
Выведем уравнение, связывающее начальную длину нити, ее
пролет и стрелу провисания.
Уравнение фигуры равновесия такой нити запишем в виде квад-
ратной параболы с началом координат в вершине ее
z = х2
z 2Н Л ’
95
откуда
dz дх
dx И
I
С другой стороны, при х ~ имеем вполне определенную ордина-
ту-стрелу f. Подставляя эти значения в уравнение фигуры равно-
весия, находим
Н =
8f '
Тогда
dz Sfx
dx I2 ’
а длина нити получит следующее выражение:
4
dx.
о
Выполнив интегрирование в указанных пределах и удвоив вто-
рую часть выражения, для определения длины нити получим
S0 “ 1 + 3Z •
Если s0 < I, то нить находится под воздействием усилия предва-
рительного напряжения Но. Тогда с учетом того, что
, Н01
уравнение (III.3) можно привести к такому виду:
= 0.
Если s0 = I, нить является горизонтальной (прямолинейной),
не испытывает начальных напряжений и воспринимает внешнюю
нагрузку только за счет своих деформаций. В этом случае р = 0
и общее уравнение для расчета нити (II 1.3) преобразуется в следу-
ющее:
(Ш.5)
« = • <ш-6)
Интегралы типа / Q2dx можно вычислять, перемножая балочные
i
эпюры поперечных сил по методу Верещагина или Симпсона.
Одними из первых авторов, исследовавших гибкую нить под дей-
ствием произвольной нагрузки, являются Р. Н. Мацелинский
[35, 36] и В. К. Качурин [23].
В том случае, когда нить имеет опорные точки на разных уровнях,
расчет ее можно производить, как указывалось в главе II, относи-
тельно вспомогательной системы координат (см. рис. 11.11). Это
необходимо производить лишь в том случае, когда перепад высот
достаточно велик. Вертикальная нагрузка раскладывается соот-
96
ветственно на действующую нагрузку вдоль нити и нормальную
относительно соединительной линии опорных точек. В связи с тем,
что нагрузка, действующая вдоль нити, обусловливает изменение
усилия в нити по длине, такая нить не может быть решена как си-
стема с одним нелинейным параметром Н и должна решаться бо-
лее общими методами, изложенными ниже. Вопросы расчета гибкой
нити с опорами на разных уровнях развиты в работе А. Я. Дривин-
га [16].
Пример 1. Определить усилие и форму нити под действием нагрузки, распре
деленной вдоль пролета по закону треугольника q = 0,5 т!м.. Пролет нити 40 м
начальная длина 41 м.. Нить принимается нерастяжимой (рис. Ш.1).
Определяем характеристику на-
грузки
п <?2/3 0,52 • 403
45 ~ 55 ~
= 355,6 т2лг
и разницу между начальной длиной
и пролетом нити
р = 41 — 40 = 1 м.
Усилие в нити
Рис. Ш.1. К примеру 1 и 2.
= 13,33 т.
Вычисление ординат, определяющих форму нити под нагрузкой, производим
в соответствии с (Ш.2) в отдельных точках через 5 м по длине пролета. Результат
приведен в табл. Ш.1.
Таблица III. 1
Величины Единица измерения Точки нити
1 2 3 4 5 6 7 8 9
«Балочные» изгиба- ющие моменты тм 0 16,440 31,317 43,069 50,133 50,948 43,95 27,577 0
Ординаты деформи- рованной нити м 0 1,233 2,349 3,231 3,761 3,822 3,297 2,069 с
Пример 2. Определить усилие и форму нити, заданной условиями примера »
(см. рис. Ш.1) с учетом продольных деформаций. Материал нити — арматурная
сталь периодического профиля 0 25 мм (F е= 4,91 см2); модуль упругости Е
>=2-10 кг!см2.
Жесткостная характеристика нити на растяжение
А = EF = 2 • 10’ • 0,000491 = 9820 т.
Характеристику нагрузки и разницу между начальной длиной и пролетом нити
определяем по аналогии с примером 1. Известные и найденные значения подстав.-
ляем в уравнение (III.3):
. 1 • 9820 „„ 355,6 • 9820 .
‘ 40 2-40
4 3—2835
97
или
Я3 + 245,5Я2 — 43649,9 = 0.
Корень данного уравнения, являющийся величиной усилия в нити, Н =.
12,98 г.
Т а б л и ц а III. 2
Точки нита 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ординаты деформиро- / М\ ванной нити1 г - — | \ Н J 0 1,267 2,413 3,318 3,862 3,925 3,386 2,125 0
Используя значения «балочных» изгибающих моментов, определенных в при-
мере 1, найдем ординаты нити, сдеформированной в результате кинематических
перемещений и упругих удлинений. Результат приведен в табл. III.2.
Вантовые сети. Вантовые сети приводятся к решению нелинейного
уравнения с одним неизвестным лишь в том случае, когда соотно-
шения между усилиями во всех нитях сети в общем случае остаются
величиной постоянной. К таким сетям относятся сети шестиугольной
структуры (рис. 1.19).
Рассмотрим задачу нахождения усилий и перемещений в таких
системах.
Будем считать, что концы нитей вантовой сети закреплены на не-
смещаемом опорном контуре в вертикальной и в горизонтальной
плоскостях. Под действием вертикальной нагрузки, произвольной
для- каждого узла, напряженно-деформированное состояние сети
будет описываться уравнениями (11.54) и (11.58).
Для данной структуры уравнение равновесия (11.54) для каждого
узла будет иметь вид:
— 32„ + Zln + Z2„ + Z3„
П ----------%--------------'"?(«)> (111.7)
где zn — аппликата рассматриваемого узла в деформи-
рованном состоянии;
гы, 22л, 2зп — аппликаты узлов, примыкающих к рассматри-
ваемому;
к — расстояние между узлами сети.
Перемещения узлов закрепления на опорном контуре равны нулю
и, таким образом, исключаются из рассмотрения. Неизвестными
являются аппликаты всех внутренних узлов в деформированном
состоянии и величина усилия в нитях.
Учитывая, что усилие во всех элементах сети является величиной
постоянной, ее можно перенести в правую часть уравнений, и ап-
пликаты определять в функции от усилия, т. е. аппликаты после
решения системы линейных уравнений равновесия будут представ-
лены в виде
k
Zn~ Н
где k — числовой коэффициент.
98
Напомним, что аппликаты деформированной''поверхности равны
начальным аппликатам сети плюс перемещения, т. е.
z = z0 + w.
По аналогии с этим
Дс2) = Д2 —, Д2()1
где
Перепишем уравнение деформации (11.58), заменив выражение
А® и выполняя суммирование по всем стержням сети т,
н = н.+
1
Выполним некоторые преобразования и приведем его к виду г, г, EF Ez20 EF Л Дх2 Н ~Н° т -2_ 7. 1 т 2. Z • 1 2^К 1 1 1
Обозначим Яо = Яо- EF т 2j> 1 т к?2 2j 1
и уравнение деформации перепишем в FF 2^> 1 следующем т » V № 2j * 1 виде:
Подставим в него решения аппликат, выраженные в функции
от Н
и- , ef Дй2
н = н0 + —--------—•
2 У, 1
После некоторых преобразований уравнение принимает вид
Н3 Н0Н2------V == 0. (III .8)
Xj fa
2^ i
1
Определив величину усилия в элементах сети, нетрудно найти
истинные аппликаты деформированной поверхности и затем пере-
мещения.
4:
99
Pug. 111.2. К примеру 3.
Пример 3. Определить перемещения узлов и уси-
лие в элементах сети, представленной на рис. III.2,
под действием вертикальных сосредоточенных сил Рз =
= 2m; Р5 = 1,5т; Рв = 3m, приложенных к узлам
3, 5, 6. Расстояние между узлами X = 2 м. Материал
сети — арматурная сталь периодического профиля
0 25 мм (Р = 4,91 см2); модуль упругости £ = 2 X
Х106 кг/с/А Исходная геометрия определяется аппли-
катами:
7о _о ° о о О _ п.
Z1 — z2 — z4 — z9 — Z11 — z12 — u>
,0 ___ ,0_ 0__ 0___ 0___.0 _ n к M
z3 — z5 — z6 “ z7 — z8 — z10 — u,t> M-
Усилие предварительного напряжения Но = 0.
Составляем уравнения равновесия для шести внутренних узлов сети:
— 3z3 + z5 + гв
гз — 3z5 + г, ---—-
н
6
г3 — 3z6 + гв —
гь — 3z7 -|~ гю = 0
ге — Зг8 + г10 = 0
г,+ %— Зг1о = 0.
Применяя метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса),
находим значения последних:
3,375 2,499 3,625
z3-----н ; гБ - н , гв - н ,
1,125 , _ 1,499 _ 0,875
27 — н ; г8 — н ; г10 — н
Некоторые вычисления приводим в табл. Ш.З.
Т аб лица Ш.З
Стержни Л Дг0 о AZq, At2 Дго ~ ’ м Ыг Afe2 Afe2 к
м
3—1 2,0 0,5 0,25 0,125 3,375 11,39 5,695
5—3 2,0 0 0 0 —0,876 0,767 0,3835
6—3 2,0 0 0 0 0,250 0,0625 0,03125
5—2 2,0 0,5 0,25 0,125 2,499 6,245 3,1225
7—5 2,0 0 0 0 — 1,374 1,888 0,944
8—6 2,0 0 0 0 —2,126 4,5198 2,2599
6—4 2,0 0,5 0,25 0,125 3,625 13,12 6,56
9—7 2,0 —0,5 0,25 0,125 —1,125 1,2656 0,6328
10—7 2,0 0 0 0 —0,250 0,0625 0,03125
10—8 2,0 0 0 0 —0,624 0,3894 0,1947
11—8 2,0 —0,5 0,25 0,125 —1,499 2,247 1,1235
12—10 2,0 —0,5 0,25 0,125 —0,875 0,7656 0,3828
т 2 1 24,0 0,750 21,3612
100
Вычисляем коэффициент при неизвестном во второй степени в соответствии с
уравнением (Ш.8)
Но------ —-1Q72'.2400^---°’75 = - 153>335’
1
1
Вычисляем свободный член уравнения (Ш.8)
2 .10^ 0 000491 21)3612
m Zj X 2-24
2^Х 1
1
Таким образом, получаем неполное кубическое уравнение Н3 + 153,335/У2 —
—4370,138 = 0, положительный корень которого равен И = 5,249m.
Определяем аппликаты деформированной поверхности вантовой сети:
3,375 = 0,643 M-, 2,499 _ — Л 47A o-
Z3 5,249 3,625 5,249 1,125 • = 0,214
- = 0,691 m;
m;
z6 5,249 1,499 z? — ‘ 5,249 0,875
П 9Я6 M‘ - = 0,167
At
Z8 — ' 5,249 z10 ==> 5,249
и перемещения узлов по формуле wn ~ zn — z®:
w3 = 0,643 — 0,5 = 0,143 м-, w5 = 0,476 — 0,5 = — 0,024 м;
шв = 0,691 — 0,5 = 0,191 м; w1 = 0,214 — 0,5 = — 0,286 м;
ш8 = 0,286 — 0,5 = — 0,214 лг; ш10 = 0,167 — 0,5 = — 0,333 м
(отрицательный знак соответствует перемещению вверх).
§ 3. Вантовые системы с двумя нелинейными параметрами
К таким системам в основном относятся вантовые фермы, на-
пряженно-деформированное состояние которых рассмотрено в §7
главы II.
Все члены уравнения (11.59) разделим на N и представим в сле-
дующем виде: <Рг dx1 Яг M 1 N (Ph dx3 * (III.9)
N h
Отсюда dz' Q M 1 dh (III. 10)
dx N h N dx
и ,. мб z~ N M N ’ (III. 11)
где Мб — «балочный» изгибающий момент;
Q — поперечная сила, соответствующая «балочному» моменту.
Напомним, что вертикальные перемещения можно выразить через
конечные и начальные ординаты точек поясов w — z — z0.
101
С учетом этого уравнение (11.60) после некоторых преобразова-
ний примет вид
N = No - •<- f Mj-'f dx + f dx.
X-T J l Сл-Л j J \ IxA J
I I
Учитывая, что начальные параметры No и z0 обычно являются
исходными данными, примем обозначение
I
и выражение суммарного усилия в поясах фермы
Л'-Л'» + тгП^)1‘,х- <Ш12)
I
В выражении изгибающего момента (11.61) вертикальные пере-
мещения также заменим разностью между конечными и начальными
ординатами >
М=М J^dx-4- t —__________—dx
т~то— i J dx dx ax+ I J dx dx ax‘
i i
Аналогично вышеприведенному выражению для суммарного уси-
лия дадим обозначение
< = Д,— -----p-dx
° I \ ах ах
I
и примем выражение изгибающего момента от действия усилий в по-
ясах
= + • ~dx. (III.13)
и 1 I J dx dx ' ’
I
С учетом (III.10) выражения (III.12) и (III.13) преобразуются:
Л7 . EF 1 Гг19.1 , EF 1 / М \2 (* I dh \2 , ,
N — Wo + 21 ’ № j Q + 21 ’ № ( h ) J ( dx ) dx +
/ I
. EF 1 M f dh
j----— . . — i — uax',
1 l N2 h J dx
i
лл ал' ES 1 f dh' ES 1 M C ( dh V
M = Mo-----r— • ту- I -~r-Qdx----— • -jj- • -r— 1 -t— dx.
u l N \ dx I N h J ( dx )
i i
Следует отметить, что величина — = const и выносится за знак
интеграла. Обозначим величины:
D = J Q2dx;
102
С ={-%- Qdx.
j dx
i
С учетом обозначений перепишем последние выражения:
N = No + EF______l-D+-EF________C-
0 ' 21 № 21 N2 [ h ) I N2 h ’
(III. 14)
M=.M0-------—. — .c--— lr. (III.15)
S 1 М R
h N h '
Все члены (III. 15) разделим на h
M = Mo E S 1 r E
h h I ‘ h ‘ N ' G I
S ______x
ft vu‘"u
преобразования последнего выражения,
Заметим, что величина -г- = const.
’ h
Выполнив некоторые
получим
M'
M
h
ESI
h I ' h ' N
, , E s Г~~
’ + — —' ~TF B
(III.16)
Все члены (III. 14) умножим на № и затем подставим значение~
, EF Мо е S 1 Д/, , Е S 1 D\
+ __С^_--- _ СД1 + —. — • -^В].
После некоторых преобразований получаем следующее уравне-
ние пятой степени относительно суммарного усилия в поясах фермы:
№ 4-42V4 + Л2№ — — —А = 0, (III.17)
где 41 = 2«1В —. No;
А2 = (^В — 2No);
= г2 (В 4* 2г3С) 4* В (г2гз 4- iiBNо);
4 = 2г/2(ВО —С2);
4 = i2i2B (BD — C2);
— ES — EF —
11 ~ lh ’ tfs~ 21 ’ is~ h ’ '
103
Анализ знаков коэффициентов Лх — Л8 показывает, что данный
полином имеет одно положительное значение корня.
При помощи выражения (III. 16) определяем изгибающий момент
М от действия усилий в поясах фермы. Зная соотношения
,, /и , М tj 1г, М
/7, = (V -т^ + -т— и Н„ = N -J------г- ,
1 h 1 h 2 h h ’
вычисляем действительные усилия в поясах ферм Нг и Н2.
Пример 4. Определить вертикальные перемещения узлов и усилия в поясах
вантовой фермы под действием вертикальной сосредоточенной силы Ръ = 4 т
(рис. Ш.З). Пролет фермы — 40 м. Площади поперечных сечений поясов: Fi (ниж-
ний пояс) = 6 см2; г2 (верхний пояс) = 4 см2. Модуль упругости материала поя-
сов Е = 2 - 10е кг/см2. Усилия предварительного натяжения Hoi => Но2 = 10 т.
Рис. Ш.З. К примеру 4.
Таблица 1П.4
Узел Лх Л2 S, м8 Мо, т-м
м
2 1,05 1,575 0,00063 —0,0525
3 1,8 2,7 0,00108 —0,09
4 2,25 3,375 0,00135 —0,1125
5 2,4 3,6 0,00144 —0,12
и далее симметрично
Узлы поясов фермы в исходном состоянии располагаются по кривым, представля-
ющим собой две одинаковые квадратные параболы, равноотстоящие от линии опор-
ных точек. Длины распорок: /г2 = 2,625 м; ha = 4,50 м; = 5,625 м; h5 — 6,0 м
и далее симметрично. При вычислениях размерность сил принимаем в т (10“2).
1. Результаты вычисления расстояний от нейтральной оси к осям поясов,
статических моментов инерции сечений фермы и начальных изгибающих моментов
приводим в табл. III.4.
2. Некоторые дальнейшие вычисления производим в табл. II 1.5.
3. Используя результаты вычислений, приведенных в табл. Ш.4 и III.5,
определяем условные изгибающие моменты от действия усилий предварительного
натяжения:
Mow ^ощ) —
1
= _ 0 0525 200 000^0,00063 0 4725 = _ 1>54087 т .
4(4) =-0-1125
200 000 • 0,00108
40
0,4725 = 2,64150 т м;
200 000 • 0,00135
40
0,4725 = — 3,30187 т м;
-^о (3) ~ 0’09
М'о (5) = — 0,12--200 000^0,00144 0,4725 = — 3,52200 т м
и далее симметрично.
4. Определяем суммарное усилие в ферме от предварительного натяжения
Но = Hoi + Н02 = 0,1 + 0,1 = 0,2 т.
104
Таблица Ш.5
ч CJ У частки фермы h 2С АЛ Дг0 ДЛ2 Д/гДг0 X 9 X X Q <ЭДй
>> м № ж Т г /м
1 1—2 0 0 2,625 0,2625 0,0689 6,89 0,689 0,1378 0,0138 1,378 —0,02 —0,0525
2 2—3 2,625 0,262 1,875 0,1875 0,0351 3,515 0,3515 0,0703 0,007 0,703 —0,02 —0,0375
3 3—4 4,5 0,45 1,125 0,1125 0,0126 1,265 0,1265 0,0253 0,0025 0,253 —0,02 —0,0225
4 4—5 5,625 0,562 0,375 0,0375 0,0014 0,14 0,0141 0,0028 0,00028 0,028 —0,02 —0,0075
5 5—6 6,00 0,6 —0,375 —0,0375 0,0014 0,14 0,0141 0,0028 0,00028 0,028 0,02 —0,0075
6 6—7 5,625 0,5625 -1,125 —0,1125 0,0126 1,265 0,1265 0,0253 0,0025 0,253 0,02 —0,0225
7 7—8 4,5 0,45 —1,875 —0,1875 0,0351 3,515 0,3515 0,0703 0,007 0,703 0,02 —0,0375
8 8—9 2,625 0,262 —2,625 —0,2625 0,0689 6,89 0,689 0,1378 0,0138 1,378 0,02 —0,0525
9 т 2 0 0
I 0,4725 0,04725 4,725 —0,24
S Примечание. Длина всех участков фермы X = 5 яг, для узлов 1 — 8Q2X = 0,002 ?2 м.
5. Вычисляем условное суммарное усилие в ферме от предварительного натя-
жения
EF v1
21 £j X

n0=о>2 0104725 = ода
6. Используя вычисления, произведенные в табл. III.4 и III.5, запишем вели-
чины D, В, С, а также ii, i2 и is:
D = Q2X = 0,016
2^ = 4.725.;
m pc
С = у Д/iQ = — 0,24 т м\ i, = —= -
EF 200 000 • 0,001
'2 ~ 21 ~ ' 2-40
м'о — 1,54087
‘3 h 2,625
7. Производим вычисление коэффициентов уравнения (Ш.17) при степенях
неизвестного:
четвертой
2В1г — ДГ' = 2 • 4,724 • 1,2 — 0,082 = 11,258;
третьей
B2if — 2Bi\^ = 4,7242 • 1,22 — 2 • 4,724 • 1,2 • 0,082 = 31,22;
второй
Di2 + Bi2if + 2Ci2is + ВЧ*Е'о = 0,016 • 2,5 + 4,724 • 2,5 X
X 0.5872 — 2 • 0,24 • 2,5 0,587 + 4,7242 - 1,22 • 0,082 = 7,4468;
первой
2ВОг^2 — 2СЧг12 = 2 • 4,724 • 0,016 • 1,2 • 2,5 — 2 0,242 • 1,2 • 2,5 = 0,1078.
Свободный член уравнения
B2Di[i2 — B(?i\i2 = 4,7242 • 0,016 1,22 • 2,5 — 4,724 • 0,242 • 1,22 • 2,5 = 0,3062.
Таким образом, получаем уравнение пятой степени относительно суммарного
усилия в ферме
№+11,258№ + 31,22№ — 7,4468№ — 0.1078W — 0,3062 = 0.
Действительный корень этого уравнения
N= 0,3132m (10~2) или 31,32 т.
8. При помощи выражения (III. 16) определяем величину изгибающего момента
от действия суммарного усилия N
— 1,54087 , 200 000 - 0,00063 - 0,24
2,625 + 40 • 2,625 • 0,3132
200000 - 0,00063 - 4,725
+ 40 2,625 • 0,3132
00 000 0,00063
16 2Д25~= 1,2 т'М’
= 2,5 т м;
2,625
М2= ------
— 0,04569 т • jh,
106
Аналогично определяем величины изгибающих моментов для узлов 3, 4, 5:
Л4з = 0,0783 Т-м; = 0,09792 т-м; М5= 0,10444 Г>л и далее симметрично.
9. Определяем усилия в поясах’фермы:
/г2 (п) м2 П Q1QO 1,575 0,04569
h 1 h — • - 2,625 1 2,625
0,20532 т (10~2) или 20,532 т,
hl (п) Л4г — 0 3139 . . 1,05 0,04569
h • h 2,625 2,625
= 0,10787 „ г (10 2) или 10,787 т.
Таким образом, усилия в поясах фермы увеличились. Увеличение растяжения
в верхнем поясе фермы объясняется характером внешней нагрузки и, как след-
ствие, уменьшением кривизны верхнего пояса.
10. При помощи выражения (III.11) определяем перемещения узлов фермы.
Предварительно определяем изгибающие «балочные» моменты в соответствую-
щих узлах фермы:
Л4® = 0,2 • 5 = 0,1 m-м; = 0,2 • 10 = 0,2 т м,
Л4® == 0,2 15 = 0,3 т • м; Л4® = 0,2’• 20 = 0,4 т м
и далее симметрично.
г2 = 0,1 0,04569 - = 0,173 м;
0,3132 . 0,3132
*3 = 0,2 0,0783 = 0,388 м;
0,3132 0,3132
0,3 0,09792 — 0,645 м;
г4 0,3132 0,3132
0,4 0,10444 - = 0,943 м
2б 0,3132 0,3132
и далее симметрично.
Перемещения определяются как разница между конечными г и на-
чальными г0 аппликатами (см. табл. III.5):
w2 = 0,173 0,2625 = — 0,0895 м;
ш3 = 0,388 — 0,45 = — 0,0620 м;
wt = 0,645 — 0,5625 = 0,0825 м;
. шБ = 0,943 — 0,6 = 0,3430 м
и далее симметрично.
Проверив равновесие узлов фермы, легко убедиться, что расчет произведен
правильно.
§ 4. Вантовые системы со многими нелинейными параметрами
Вантовые системы произвольных структур в общем случае ха-
рактеризуются многими нелинейными параметрами, так как усилия
в нитях могут быть различными. Такие системы в общем случае
не дают возможности получить решение в замкнутом виде и реша-
ются различными численными методами.
107
Среди численных методов решения вантовых систем рассмотрим
метод многоступенчатого нагружения и специальный, основанный
на свойствах вантовых систем,— метод приведения нагрузки к рав-
новесной.
Метод многоступенчатого нагружения. Будем исходить из урав-
нений (11.52) — (Н.54), (11.57), описывающих статическую работу
вантовой сети произвольной структуры.
Пусть для некоторой нагрузки Рх, Ру, Рг известно решение, т. е.
найдены перемещения (и — щ;, v = 14; w = zj, соответствующие
этой нагрузке.
Если принять, что при изменении нагрузки Рх, Ру, Pz на беско-
нечно малые величины dPx, dPy, dPz перемещения также изменя-
тся на бесконечно малую величину du, dv, dw, а величины допол-
нительных усилий изменятся соответственно на dH, то уравнения
(11.52) — (11.54), (11.57) примут вид:
V [ (Н + = Р'Х- dPx, Vfcf (Н + dH) = -Py-~dPy,
k i 1 jz L 1 jz
у Г p A (?o 4~ zi 4~ dw) А (г0 + 4- dw) 1 _____p ____.
k L 1 1 Jz
Н + dH = Но + А*(Ы1 + du) + Д*(ц 4- dv) +
I V А <zi + dw) I 1 V <г1 + da,)l2 1
+ + 2 2j i
1 1 j
При пренебрежении квадратами и кубами приращений переме-
щений и усилий как величинами высших порядков малости урав-
нения примут вид:
V [(77 + dH) -^1 = -Рх^dPx,
v[(77 + d77)^l =-Py-dPy-
k I ' Jz
V Г p A + dw) A(z0 + zt) 1 _ _
77 + dH = 77O +
[4*izz -{- Д*г/н +
+ Д*г/о A*y । у Дг1Дго । у A (zq + ?i) ^dw 4. J_ у Аг1Дг1 |
ii i
В результате сокращения в правых и левых частях равных выра-
жений система будет выглядеть следующим образом:
V\dH 4^1 =—dPx, (III.18)
fe I ' Jz
V'd77-^] =~dPy; (III.19)
k I 1 Jz
108
ytHMw+dH Д(2о + гг) 1 ==_dpz, (III.20)
k I 1 1 Ji
dH=-^7-\L*du-^--p^dv-^- 4-V A (z0 + zj) 1 (III2i)
bt* |_ L !_> I Ji
В случае, когда вантовая сеть образована нитями, неподвижно
закрепленными на контуре, уравнения имеют другой вид:
+ dH. A.!(*° + Z1) j* = —dPz; (111,22)
dH = ~ [ A^o + zJ^ | . (1П.23)
172
H = Ho + £ [-^1- + 4------. (III.24)
За исходное положение может быть принято любое, в том числе
и ненагруженное состояние вантовой сети, когда нагрузка Рх =
— Ps = Рг ~ 0, а следовательно, гх = 0 и Н = Но.
Решение системы нелинейных уравнений может быть получено
с точностью до величин высших порядков малости, если приклады-
вать нагрузку бесконечно малыми порциями, считая каждое преды-
дущее состояние за исходное и решая каждый раз систему линей-
ных уравнений.
Однако для практических расчетов вантовое покрытие можно
загружать не бесконечно малой, а достаточно малой нагрузкой
конечной величины, как это делается в известном способе конечных
разностей, когда бесконечно малые величины в дифференциальных
уравнениях заменяются малыми конечными величинами.
Таким образом, решение системы нелинейных уравнений сводит-
ся к решению рекуррентных систем линейных уравнений, т. е. к по-
вторному решению системы линейных уравнений с меняющимися
коэффициентами.
При решении систем нелинейных уравнений методом многосту-
пенчатого нагружения очень важным этапом является выбор коли-
чества шагов или ступеней приложения внешней нагрузки. Дать
конкретные рекомендации по выбору, количества шагов расчета
в общем случае затруднительно, так как они зависят от особенностей
каждой системы: степени нелинейности, характера внешней нагруз-
ки и т. д.
При обычной часто встречающейся нелинейности системы внеш-
нюю нагрузку достаточно разбить на несколько частей, чтобы полу-
чить достоверный результат решения.
С другой стороны, метод многоступенчатого нагружения, ввиду
огромного количества вычислений, объем которых увеличивается
с увеличением количества ступеней приложения нагрузки, целесо-
образен только при применении современных вычислительных
109
машин. В этой связи количество ступеней нагружения может быть
принято достаточно большим (в разумных пределах) и, таким обра-
зом, проблема выбора шага в определенной степени отпадает.
Вместе с тем заметим, что наиболее правильно шаг вычислений
принимать переменным в процессе счета и размер его регулировать,
исходя из условия заданной погрешности на каждом шаге. По сути
такой процесс приведет к тому, что размер шага на первом этапе
расчета будет значительно меньшим, чем на последующих. Прини-
мая одинаковый размер шага для всего процесса счета, тем самым
предопределяют погрешность решения, различную для всех шагов
и наибольшую по величине на первых шагах.
Практика применения метода многоступенчатого нагружения
для расчета вантовых покрытий показывает, что наиболее употре-
бительный диапазон ступеней от 10 до 100, причем дальнейшее
увеличение количества ступеней существенных поправок к резуль-
тату не дает.
Пример 5. Определить перемещения узлов и усилия в нитях вантовой системы
под воздействием вертикальной сосредоточенной силы Р5 => 1 т (рис. Ш.4).
Начальная геометрия задана следующими аппликатами узлов:
Рис. III.4. К примеру 5.
Расстояние между узлами равно 5 м. Площади поперечных сечений всех нитей
F = 2,0 см2. Модуль упругости материала нитей Е = 2 • 106 кг!см2. Усилия пред-
варительного натяжения всех нитей Ht> = 2 Т.
Данный пример будем решать методом многоступенчатого нагружения, для
чего внешнюю нагрузку Р6 = 1 Т разобьем на пять равных частей, т. е. будем рас-
сматривать пять ступеней загружения вантовой системы. Количество ступеней
выбрано произвольным и, преследуя учебные цели примера, небольшим. Внешняя
нагрузка на каждой ступени = 0,2 Т.
1. В соответствии с выражением (II 1.22) составляем для узлов 4, 5, 8 и 9
уравнения равновесия на первой ступени нагружения:
для узла 4 (с учетом значений начальных аппликат узлов, расположенных на
недеформируемом контуре)
^1-н
— 2ш4 + we
5
[ — 2ш4 + Wg
+ Яз-б(------5-----
. 1>5 ь
+ -5— -
-^-6 = 0;
ПО
для узлов 5, 8, 9 по аналогии
щЗ^Определявм приращения усилий в нитях в соответствии с уравнением
,, _ EF Л Г A^Zo + zJei 1 .
Li I J,’
, 20 000 000 • 0,0002 Г zi — 2z° + Zs z“—2гв + г11
Й1-Ц ----------jg----------------Б+ ---------------5------Ws =
(15 15 \
----g— w4--g— ws j = — 80ш4 — 80re)g;
^2—12 = — 80ш5 — 80ffi>„; /г3_6 = 80w4 + 80ш6; Л7_10= 80ш8-f-80tw9.
3. Значения усилий в нитях и приращения их, вычисленные выше, подставля-
ем в уравнения равновесия и после некоторых преобразований получаем следую-
щую систему линейных уравнений:
49,6ю4 4- 23,6да5 4- 23,6ш8 = 0; 23,6ьу4 -f- 49,6иу5 + 23,6гоэ = 0,2;
23,6да4 + 49,6ш8 4~ 23,6шй = 0; 23,6шй 4~ 23,6te»8 + 49,6w9 = 0.
Находим корни данной системы уравнений:
ш4 = — 0,0203 ж; w5 = 0,02336 м; wB => 0,0193 м; ws = — 0,0203 м.
Таким образом, в результате приложения первой ступени нагрузки узлы 5 и 8
переместились вниз, а узлы 4 и 9 — вверх.
4. Определяем усилия в нитях после первой ступени загружения:
н-н‘++4- • -ф]
1 JZ
где zi — перемещения узлов на первой ступени;
г 1 ц 1 R
• 0,0203------0,0193 +
5 5 1
о , 20 000 000 • 0,0002
"1_и=2 +----------jg--------
1 2 ‘.Off03 4- 0,0193 0 0203 1 .Off 03 + 2'
2 5 1 2 5
= 2 + 266,666 [0,00609 — 0,00579 + 0,000121597 + 0,000113677] = 2,142 т.
Аналогично определяем усилия для других нитей. Приведем окончательный
результат:
77g__12~ 1’332 т\ Н3____2,320 Ну__________ю = 1,984 т-
Таким образом, первый шаг расчета закончен. Второй и все последующие шаги
выполняются аналогично первому.
При этом следует помнить, что исходная геометрия для каждого последующего
шага определяется на основании решения предыдущего шага. Результат решения
на каждом шаге приведен в табл. Ш.6.
111
Т аблица Ш.6
Номер шага (сту- пени) Перемещения, м Усилия, tn
Ws tt’e "1-11 H2—12 w3-6 и7—10
1 —0,0203 0,02336 0,0193 —0,0203 2,142 1,832 2,320 1,984
. 2 —0,0183 0,02136 0,0173 —0,0183 2,383 1,792 2,765 2,071
3 —0,0145 0,01755 0,0136 —0,0145 2,659 1,808 3,260 2,198
4 —0,0115 0,01448 0,0106 —0,0115 2,935 1,840 3,765 2,329
5 —0,00945 0,01237 0,00859 —0,00945 3,199 1,874 4,266 2,454
2 —0,074 0,0891 0,0694 —0,074
Таким образом, окончательный результат расчета:
перемещения узлов
w4g = — 7,4 см (вверх); = 8,91 см; — 6,94 см;
усилия в нитях
7/j_у = 3,199 7^2_12 = 1,874 т; ____g— 4,266 т; Н?___10 = 2,454 щ.
Путем проверки равновесия любого узла в деформированном состоянии легко
убедиться, что усилия и перемещения определены с достаточной степенью точно-
сти. Для сравнения приведем окончательный результат расчета этой же сети на
ЭВМ, принимая 100 циклов загружения:
w4 = — 7,04 см; а>5 = 8,53 см; w& — 6,58 см; шв — — 7,04 см;
Н}__и=3,111 т\ _______j2=l,782 т; ______6 = 4,164 т; = 2,375 tn.
Метод приведения нагрузки к равновесной является приближен-
ным методом решения, позволяющим сравнительно быстро и точно
определить перемещения и усилия. Он основан на том, что под равно-
весную нагрузку расчет вантовых систем можно производить, пре-
небрегая нелинейными членами уравнений, причем точность ре-
шения будет такой же, как при расчете обычных строительных кон-
струкции.
Покажем, что если нагрузка по своему характеру не является
равновесной, то расчет вантовой сети можно свести к расчету неко-
торой другой вантовой сети на равновесную нагрузку, выпол-
нив сравнительно несложные формальные преобразования. Метод
приведения нагрузки к равновесной проиллюстрируем на примере
континуальных перекрестных сетей, состоящих из двух семейств
нитей.
Предположим, что начальное состояние вантовой сети определяется
аппликатами z0 и соответствующими усилиями предварительного
натяжения в нитях Нх и Ну. Некоторое промежуточное деформиро-
ванное состояние этой же сети будет определяться уже другими
аппликатами zx = z0 + и соответствующими усилиями НцХ) =
= Нх + йцх) и Нцу-, = Н°у +
По аналогии окончательное деформированное состояние сети
определяется аппликатами z2 = zi + w2 и усилиями в нитях
Нг(Х) = Нi(jci + hi(K) и НцУ) = Н\{у) + h^y).
112
Таким образом, окончательные аппликаты и усилия в! вантовой
сети можно представить в следующем виде:
z2 = zo + + ®2>’ (III.25)
Н2 (х) = Нх + hi (х) + hz (X)! (III.26)
^2 ад = H°y + hi (у) + h2 {y). (111,27)
Подставим эти выражения в уравнение равновесия (II.30)
И ! Н — п
(*) gx2 + “2 (у) ду2 ' (Jz
ИЛИ
гто д2 . . . . . , й2 , . . , й2
Нх ~д^~ + wz) + hi w -№-(z0 + Wi + + h2 м X
x (?o + + wz) + ~gy2~ (zo + wi + wz) + hl (У) (z0 4-^ +
+ w2) + h2iy)^r(z0 + w1 + w^ = — qz. (111,28)
Будем считать, что промежуточное состояние вантовой сети,
определяемое аппликатами = z0 + wlf вызвано действием рас-
четной нагрузки при условии, что усилия в нитях до и после нагру-
жения остаются равными величинам предварительного натяжения,
т. е. промежуточное уравнение равновесия будет иметь вид
Нх-^г <го + ®1) + (Zo + ®1) = ^<7г- (Ш.29)
Вместе с тем,. учитывая начальное состояние предварительно
напряженной вантовой сети
Н°х + Н°у -Й- = °. (in .30)
дх2 ‘ у ду2 v 7
можем записать следующее выражение:
Н°х -^5- + Н°у qz. (III.31)
Подставим выражение (III.31) в уравнение (III.28), одновременно
учитывая (III.30). После некоторых преобразований получаем
(7/° 4- hi w) е 22- + h2 (х) (zx 4- щ2) + (tfy + hi (у)) —qi&- 4-
+-h2 (y} (21 + ^2) = - hi M -^--hiiy)^1-. (Ш.32)
Таким образом, получили уравнение равновесия вантовой сети,
определяемой исходными аппликатами zlt под действием нагрузок-
невязок, значение которых определяется правой частью уравнения
(III.32). При помощи его легко найти значение перемещения щ2.
При этом легко заметить, что для этой системы невязки явля-
ются равновесной нагрузкой, а величины и в данном
113
случае являются коэффициентами пропорциональности. Следователь-
но, нелинейными членами в уравнениях можно было бы пренебречь.
Однако величины прогибов определяли при рассмотрении ван-
товой сети, усилия в нитях которой не изменяются по мере загруже-
ния ее полной нагрузкой qz. Степень податливости такой системы
может быть достаточно большой, перемещения w± — значительные
и невязки, определяемые правой частью уравнения (II 1.32), будут
намного превышать величины заданных действительных нагрузок.
Иначе говоря, величины перемещений, определяемые на первом
и втором этапах, необходимо свести к одному масштабу.
Если вспомогательную вантовую сеть, условие равновесия кото-
рой описывается уравнением (III.26), загрузить нагрузкой qz,
измененной в р раз (pq^, то определяемые перемещения будут
иметь также соответствующее выражение wtp.
Тогда окончательные аппликаты будут z2 = z0 + wrp + w2,
а уравнение равновесия (III.28) несколько изменится
Нх ~~дх2 + h' w ~0x*~ ^z° + W±P + w x
X (z0 + wlP + w2) + (z0 + Wrp + w2) + Ы (z0+ w# +
+ w2) + /г2 (yi ~r (z0 + тгр + w2) = — qz.
Произведем некоторые преобразования, одновременно учитывая,
что Wi определяется из уравнения (II 1.29),
(р -1) ^5- + +
. ! f / f I \ г у уО / 1 \ . г тО ^^0 I
+ сл2) +hz (XI (го + wiP + ®г) + hl у (р — 1) --F Ну ------Е
, т го д2да, , , д2 , , . , , о2 , ,
+ -Цу2------~dtf~ + W1P + Wz) (г/) "Л/2” W1P
+ Щ2) = 0. - (Ш.ЗЗ)
К левой части последнего выражения добавляем
— Н°х — — Н°ц — = 0.
р ох2 и р ду2
Одновременно некоторые члены (Ш.ЗЗ) умножим и разделим
на параметр р
Hi (\ р _ /уо J_ + н° -Й- -L р + н* +
р ] дх2 Хрдх2 дх2 рк дх2 1
+ hi (х) ~^х2 (z0 + WxP w2) + hi (XI -dx2 (z0 + WjP + w2) -f-
+ p~H°y-L^- + H°y -L p + Hi^- +
1 у p j oy2 r y p oy2 J dy2 pr y oy2
+ hi (V) (z0 4- Wip + Щ2) + h<z (y) -^2- (z0 + w,/) + щ2) = 0,
114
преобразуем к виду
ггй I р — I \. д2 . , , , гго д2ш., , , д2 . . . ,
Н х —р~~] дх2 ^1Р Z°} Н* -"дх2--^1(*> дх2 (г° + "t"
, d2w2 , . d2 , . . , , d2w2 .
+ ^1(Х) —-----F ^2(X) ' g~2 (Z0 + W1P) + fe(x) —^2 F
+ Нйу [P p j -QyT (wiP + zo) + Hy dyv + (zo + W1P) "F
+ dy2 + ^2(j/) ~Q^~ (Z0 ~F ^1P) + h2M dy2 ~ 0
или
(//* + ^l(X)) —^2----F к?(Х) ~fa2~ (Z1 + W2> + (Hy + hl(y)) —Q^.—F
+ ^2(J/) -^2~ (?1 + w2) = — Hx [P p1} ~d^-------
-1 (-^=±-) + /ш] - (П1.34)
Правая часть уравнения является невязкой нагрузки и обозна-
чается через qzi.
Как и прежде, нагрузка в виде невязок является равновесной
для вантовой сети, находящейся в положении z±. Члены в квадрат-
ных скобках определяются после первого этапа расчета и являются
своеобразными коэффициентами пропорциональности.
Пренебрегая нелинейными членами, разрешающее уравнение
равновесия (III.34) примет вид
г, d2w„ , , O2z, , tr d2w2 , d2Zi
-Q^~ + «2(x) -gyT- + «2(г/) -g^2--
d2Zi
dx2
Полные усилия в нитях, согласно (11.32), выражаются следую-
щим образом:
W _!_ EFx f Яг । EFx f
К К
-1(X)
(П1.35)
|2 dxi
Согласно принятым обозначениям w — w^p + w2. С учетом
этого:
«ш, - н°. + j -£г («V + dx +
FP С f д 12
2Zfj|-ar(^ +^)| dx'
К
115
Да w — -J—j-j- J ду —-у- (w-ip + ^2) dy 4-
ly
ly
Выполнив преобразования, получаем:
A , _ EFX n f dz0 cto, , EF
Пцх}~ Lx P\ дх -ёГах+-2Г
t, EF,
П2 (л) — —Ц
Oa)2 ,1
~^~dx 4-
dx 1
. EEy
fe W) = —r~
4/
C dzB dWl
J ду dy
'y
h - EFy
fe (y) — -7-
Причем
dx;
EFy
2Ly
EF
2L,
EFy
2Ey
X
dw« ,
ду у '
H^ix) — H^x + hi (x) + few и H^y) = H°y + hi (yi + hi (у).
В выражениях усилий нелинейными членами относительно ис-
комых перемещений w2 пренебрегаем. Тогда усилия few, few
определяются следующим образом:
h2 w = (г° + W1P) dxi
^х
h2iy^-^-^~(z0 + w1P} -^-dy. (III.37)
ly
Параметр р может быть найден из условия равенства нулю сум-
марной работы невязок на соответствующих перемещениях
J qziWidG = О,
о
где G — область вантовой сети.
Для рассматриваемых сетей это условие можно записать иначе
У У qziw-ydxdy — 0. (Ш.38)
1х 1у
Получаемое таким образом уравнение является нелинейным отно-
сительно параметра р и решение его трудностей не вызывает.
Метод приведения нагрузки к равновесной является приближен-
ным. Для получения более точного результата процесс решения
необходимо повторять до тех пор, пока действительные невязки
116
не будут отвечать заданной точности. Во многих случаях метод
приведения нагрузки к равновесной является одним из этапов ите-
рационного быстросходящегося процесса.
Обратно-степенной метод. Продолжим некоторые преобразова-
ния уравнения
bj = aJclG + -gj- ajGK^^1 Ч—jp
полученного в § 8 гл. И.
Если система в ненагруженном состоянии находилась в положении
устойчивого равновесия, то при bj -> 0 координаты -> 0.
'Предположим, что bj—линейная функция от нескольких пара-
метров
bj — bjit1 + bj^t2 + • • •
Применяя степенной метод, получим
t/ It1 t2 1 X1 I д£С /г, ... I _J_______. .
S V , ‘ — dti « + gt2 1 + + 2! dfldt’ 1 1 +
I 1 U 6 /1/2 I 1 . U S /2/2 I ...
+ 2! ' dMt2 f 21 dt2dt2 T
dlG d£c d2£c
где величины -^j- , и т. д. определяются из ре-
куррентной последовательности уравнений:
bjl — ajc ; Oj2 = O.JG -Qti~ , .v
O-JGK ' а/1 д^к dt2 + CtjG д2^ dt'-dt2 = 0, . • » *
о “ • - д21к dfldt2 + O-JGKL dlG . dt1 djK dt1 dt2
+ GjG dt'-dt'dt2 "“°’ • •
Этот степенной ряд расходится, и полученное решение использо-
вать непосредственно нельзя.
Произведем дальнейшие преобразования. Пусть известны соотно-
шения /х = Pt; t2 — k2t,... тогда
Построим обратный степенной ряд
t = CgI (t) + C2g (OF + C3G (OF + • • •
Полученный ряд сходится, доказательством чего служит следую-
щее: систему алгебраических уравнений можно свести к одному,
117
порядок которого равен произведению порядков всех уравнений
исходной системы. Таким образом, если удержать требуемое коли-
чество членов ряда в последнем выражении, то его решение должно
удовлетворять исходную систему уравнений.
Для практического решения необходимо предварительно вычис-
лить выражение
Л =
и затем строить обратный ряд
t = СарЛ^аР + Сар (А^ар)2 + <?a|3 ^‘7р)3 + • • •
Здесь можно ограничиться первыми несколькими членами.
Проиллюстрируем обратно-степенной метод на расчете вантовых
ферм. Исходя из выкладок § 7 гл. II, для фермы справедливы та-
кие уравнения:
равновесия
+ + N ^ + qz(t) = Q,
1 dx2 ’ z dx2 dx2 1 ' >
деформации
H2 = H02 + -ф- С • dx + -Ф- f dx.
i "2 1 l \ dx dx 1 2/ J ( dx j
I
Продифференцировав эти выражения по параметру t (дифференци-
рование ограничено до пятых производных), можем получить сис-
темы линейных уравнений с неизвестными Н\ и Н2, Hi и Н2, Hi и
Hi, Н™ и Н™, Hi и Н^. При этом системы уравнений на каждом
этапе дифференцирования отличаются лишь правыми частями, ко-
торые являются рекуррентными. Коэффициенты уравнений помеще-
ны в табл. III. 7.
Последовательно интегрируя зависимости, полученные путем пре-
образования уравнения равновесия, можно записать такие выраже-
ния:
, М& ^2
„ н\ Н2 2N' ,
w = --^г01-
H'i н2 3N” , W „ /ттг оп.
(III.39)
TV H\V H2V 4N'“ , 6N” „ W
W No /Vo "oa No No No ’
‘01 No ‘02 zVo -
ЮМ- 5N' IV
М) W No W
118
Таблица III. 7
^201 , ^202 fly dx ’ dx
И, ~N~ 1 No ’ dx dx dx Hz~it,
" kl ( dzn I dx |2 dx + 1 H2 No f ^201 J dx dx dx
dZpi dx dx dx " /?5> H2 W7 J(^ |2 dx + 1
tn H1 a dx V dx + 1 rn H2 kl N„ f dx dx dx
Кг f w„ J dzm . dx ^-dx dx tn н.э /г» N. J(^ \2 | d* + l
h!v 4r f dz+ 1 "lv dz°' ^-dx
1 N« \dx 2 Wo т dx dx
^2 J dz„t dx dx dx HIV n2 >o \2 d*+ 1
"У N„ н v —— I 2 No J d^SL. . ^.dx dx dx
^01 dz02 dx dx mv A- H2 N„
119
N*
N, r J • w*
2ktN' W„ Г ^01 dw' dx *! aw' dw' dx dx
J dx dx dx
2k2N' Ne p ^°2 J dx dw' dx dx *2' dw' dx dw‘ dx dx
3ktNn | ч J t^Zoi dW , —; dx dx SkiN' dzoi dx dw" , — dx dx “J dw" dw' dx dx
dx No J dx
3/?2/V" ^02 dw' dx 3fc2W' p dzoz dw" Г dw". dw' dx
Wo dx dx W„ J dx dx dx dx
4/е1№" p *01 dw - 6k,N" p dzOi dw" dw 4krN' Г *oi dw'"
Wo J dx dx N„ | dx dx No dx dx
4/г2ЛГ" dZQ^ dw' . 6kzN" P dzQZ dw" . 4kzN' ’ *00 dw’"
Wo dx dx No dx dx No dx dx
6k,| No . dz pi dx dw' dx Wk,N"’ dz oi л —• dx dx lOk,N" dzpi 1 dx dw'" dx
dx No dx ^0 dx
dzoz dw' \Ok,N"’ | dZoz dw" , 10fc2W" f dz0Z dw"1 dx
No . dx dx No J dx dx No J dx dx
120
Продолжение табл. III. 7
Обозначения:
. EFi
kt----г-3
461J dw'" dx dw' dx dx 3/et । dw" dw" dx dx
dx
4fe2 ' dW" | dx dw' dx dx 3/?2 dw" dx dw" dx dx
5ktN' dz„, dw" dx dx bkt ' div™ dw' dx \0h, dud” dx dw" dx dx
N„ 1 dx dx dx
bk2N' No Г d?Q2 J dx aw" dx dx 5k2 * dw^ dx dw' dx dx IOfe2 dw1" dx dw" dx dx
121
Прогиб i-того узла фермы можно представить в виде степенного
ряда относительно параметра t.
,, И)" w'" ,3 K)IV ,4 w1 .
W = W t + -gj- + -3]- t3 + + -gj- tb
или в виде обратного ряда
t = c4w + c2w3 + csw3 + c4te4 4- cbw3, (III. 40)
где clt c2, cs, c4, съ — коэффициенты, полученные по формулам
обращения степенного ряда:
__ 1 _ ю" _ ЗоР 2 — w'w"'
Са Cs~ feps ;
lOty'ra'W" — *WV — 15kP 3
Ct ~ '
15teP 2ki"e)IV + 10p ’ 2P 2 4- 1 O5k4 >4 — иР — 105ю'Р 2a/"
ct> ~ 120иР9 ’’
Пример 6. Рассчитать вантовую ферму обратно-степенным методом, используя
условия примера 4.
1. Вычисляем погонные жесткости поясов фермы:
, 200 000 • 0,0006
=----------40-------
3,0 mlM",
, 200 000 - 0,0004 „ Л ,
k2 =---------эд--------= 2,0 т/м.
Для удобства вычислений все силовые характеристики приняты вис множителем
ю-2.
2. Вычисление (* / rfzoi V Г dzoi Г 2 величин \ 1 ——1 dx, 1 Qgdx и j Q6dx производим 1 I I
в табл. II1.8.
Таблица III.8
Участки фермы Длина участка <26 А 2 Azoi к <22. X
1—2 5 1,3125 —0,02 0,34454 —0,02625 0,0004 0,002
2—3 5 0,9375 —0,02 0,17578 —0,01875 0,0004 0,002
3—4 5 0,5625 —0,02 0,06328 —0,01125 0,0004 0,002
4—5 5 0,1875 —0,02 0,00704 —0,00375 0,0004 0,002
5—6 5 —0,1875 0,02 0,00704 —0,00375 0,0004 0,002
6—7 5 —0,5625 0,02 0,06328 —0,01125 0,0004 0,002
7—8 5 —0,9375 0,02 0,17578 —0,01875 0,0004 0,002
8-9 5 —1,3125 0,02 0,34454 —0,02625 0,0004 0,002
1,18128 —0,12
0,016
122
3. Составляем систему уравнений в соответствии с табл. III.7 на первом этапе
дифференцирования:
18,71867/'] — 17,7186/4= 1,8;
— 11,81247/j + 12,8124/4 = — 1,2,
решив которую, получаем:
Н\ = 0,05875; Н2 = — 0,0395; N' = Н\ + Н'2 = 0,01925.
Опуская промежуточные вычисления, приведем значения правых частей урав-
нений в соответствие с табл. III.7 (этапы 2—5):
= 0,2753; 1 = — 0,5589; 1 = — 7,329; 1 =36,425; 1
= 0,1987;] = 0,1488;] = — 5,4675;] =1,4161; ]
и соответствующие решения:
//'1 = 0,2308; H"i = — 0,1481; //]v = — 6,248; = 16,1036;
Н2 = 0,2283; Н2 = — 0,1249; 7/J>v = — 6,187; 7/^= 14,957;
N" = 0,4591; №' = —0,273; 7VIV = — 12,435; Nv = 31,0606.
4. Согласно (III.39) вычисляем значения для узла 5:
ш' = 0,5263; о!" = — 0,141; w’" = — 3,236;
ww = 1,813; wv = 215,264,
которые по формулам обращения преобразуем в коэффициенты ci — с5: a = 1,9;
с2 = 0,483; сз = 7,277; с4 = 1,813; с5 = —7,859.
5. В соответствии с (111.40) записываем ряд:
t = 1,9 w + 0,483к>2 + 7,277w3 + 1,813ш’ — 7,859ш5.
При t =1, что соответствует полной расчетной нагрузке, находим перемещение
узла 5: = 0,3471 м. Как видим, результаты расчета по данному методу хорошо
согласуются с результатами, полученными в примере 4.
6. Используя коэффициенты ряда, можно легко определить перемещение этого
же узла при:
t = 2 (Р5 = 8 т) w5 = 0,5146 jw;
t = 1,5 (Р. = 6 m) к>5 = 0,437 ж,
/ = 0,5 (Р5 = 2 т) ю5 = 0,2128 ж;
t = 0,25 (Р6 = 1 т) w.„ = 0,1206 м.
Аналогично вычисляются перемещения всех узлов вантовой фер-
мы. Усилия в поясах определяются по уравнениям деформации,
приведенным в начале изложения обратно-степенного метода приме-
нительно к расчету вантовых ферм.
Метод разделения переменных. Потенциальная энергия произ-
вольной непологой вантовой системы может быть представлена
следующими выражениями (см. § 8 гл. II);
+8K)*-1W;
a f
8а = 2 8аХ + “<Г Z е“-г>/Ы'и/-
123
гдеа=1, 2,...,т—количество вант;
i = 1, 2,..., п — количество перемещений всех узлов системы;
Ga — жесткостная характеристика;
е°—величина деформации от предварительного на-
тяжения;
еа — то же от полной нагрузки;
Pi — компоненты внешних сил;
и' — компоненты перемещений узлов системы;
Еа,/ и ea.i.i— коэффициенты соответственно линейной и квад-
ратичной форм.
При этом следует помнить, что соблюдается соотношение
= О,
а \ i ]
отражающее условия равновесия преднапряженной вантовой систе-
мы без внешней нагрузки.
Произведем преобразование.
= 2 VKe«; El = 2 VlGa&;
а а
(Р = 1, 2....т),
где Vp — коэффициенты матрицы такой, что
Em.i = 2 KnGKea/ = 0.
а
Это всегда возможно для мгновенно-жестких систем первого ранга
изменяемости и один раз статически неопределимых (см. § 2 гл. II).
В результате преобразований можно получить:
п = 4-2(£°₽ + £₽)2;
Ev Eyjuf -f- —- 2 j
Em = 2EtnjjUfWi (?== 1, 2, ... , tn — 1).
i.i
Произведем преобразование переменных
^ = 2^
i
где V} — коэффициенты матрицы такой, что после необходимой
перенумерации переменных
Ev,i2 = 2 Ey,jV’i2 = 0; [12 = т, т + 1, ... , п).
i
После дальнейших преобразований, аналогичных приведенным в
главе II, получим:
Еу = Ey,nqlli (tl = 1, 2, ... , tn — 1);
124
Е,п-----о- Ein,'i2 j2qi2qi2i
z 12,/2
п = 4- 2 I2 ^wY - 2 Quq“ +
+ 4- (E°m + 4- 2 2 Q^i2-
Z \ 12,/2 / 12
T аблица III.9
Вертикальные перемещения узлов фермы, см
Вектор перемещений 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Составляющая век- тора перемещений, соответствующая равновесной нагруз- ке 0 2,96 3,07 3,14 3,17 3,14 3,07 2,96 0
То же, неравновес- ной 0 —10,86 —9,51 4,58 31,59 4,58 —9,51 —10,86 0
Суммарный 0 —7,9 —6,44 7,72 34,76 7.72 —6,44 —7,9 0
Известное решение (см. пример 4) 0 —8,95 —6,2 8,25 34,3 8,25 —6,2 —8,95 0
В результате дифференцирования по переменным получим две
группы независимых уравнений:
Линейные, определяющие обобщенные перемещения ср1 от дей-
ствия обобщенных сил Qn, соответствующих равновесной части на-
грузки
2(2£W'Kn = <2/15
v \ и у
нелинейные, определяющие обобщенные перемещения ф2 от дей-
ствия обобщенных сил Q/2, соответствующих неравновесной части
нагрузки
Ё 2 ^m,l2,j2qlZ ~ Q.&
12
Ё = Ет + 4“ 2 Em^jtfftqV.
z 12,/2
Важным свойством этих уравнений является наличие в них одно-
го нелинейного параметра Е.
125
Таким образом, переменные разделены и расчет произвольной
вантовой непологой системы сводится к решению системы линейных
уравнений и одного нелинейного уравнения.
В заключение приведем результаты расчета вантовой фермы по
методу разделения переменных. Исходные данные взяты из приме-
ра 4. В табл. Ш.9 помещены значения перемещений узлов.
§ 5. Расчет бортового элемента и учет его податливости
Расчет бортового элемента производится в предположении, что
усилия в вантах как в стадии предварительного напряжения, так
и в стадии монтажа и эксплуатации, являются внешней нагрузкой.
При этом назначение расчетной схемы бортового элемента в виде
балки, фермы, арки, рамы, кольца и ход расчета производится по
правилам строительной механики линейных стержневых систем
и трудностей не вызывает.
Однако бортовой элемент при нагружении деформируется и,
таким образом, влияет на распределение усилий в вантах, перво-
начально определенных в предположении несмещаемости их опор-
ных точек. В случае значительной податливости бортового элемента
расчет вантовой сети рекомендуется повторить заново, считая дефор-
мированное состояние контура за исходное для геометрии последней.
Повторный же расчет бортового’элемента на воздействие уточненных
усилий в вантах дает возможность еще более приблизиться к дейст-
вительному напряженно-деформированному состоянию вантового
покрытия в целом. В принципе такой расчет можно продолжать
до тех пор, пока деформации бортового элемента на последующем
этапе не будут отличаться от деформаций, определенных на преды-
дущем.
Расчет бортового элемента по методу последовательных прибли-
жений к действительному деформированному состоянию в такой
постановке связан с огромным количеством вычислений и может быть
рекомендован для вантовых покрытий, элементами сети которых
являются в основном отдельные нити, не связанные совместной ра-
ботой.
В связи с тем, что напряженное состояние самого бортового эле-
мента и усилия в вантах тесно связаны с деформацией последнего
и вызваны одним и тем же внешним воздействием, будет более пра-
вильно расчет вантового покрытия производить как единой кон-
струкции, состоящей из сети и жесткого контура. Покажем принци-
пиальную возможность такого расчета для вантовых сетей произ-
вольной структуры (см. § 6 гл. II).
Предположим, что концы вант примыкают к бортовому элементу
произвольного очертания, податливому лишь в горизонтальной
плоскости. При этом бортовой элемент представлен (в пределах
от узла до узла примыкания) прямыми стержнями. Нагрузку,
действующую на вантовую сеть, примем в виде узловых вертикаль-
ных сил.
126
Все внутренние узлы вантовой сети находятся в равновесии под
действием внешних сил и возникающих усилий в вантах:
2z = o; +р = °;
2Х = 0; v[/7-^]=0;
2У = 0; =0.
При этом усилие в нити *
и и । FF Г Д*х • Л*и . Д*иД*а
Яг = Я0 + —------------L-+-f-
(III.41)
(III.42)
От действия усилий в вантах в бортовом элементе возникают
нормальные силы Нб, изгибающие моменты М и поперечные силы Q.
Нетрудно видеть, что условия равновесия начальных и конечных
узлов вант в местах примыкания к бортовому элементу выразятся
следующим образом:
2Z = 0; Vp/*-y-]=0;
Sx = o; v|h*-^—Q-v-1 =°; (Ш.43)
2У=0; +Q=0,
где H* — усилия в вантах или нормальное усилие в бортовом эле-
менте.
Нормальное усилие в бортовом элементе определяется из зави-
симости
И ^б^б
(ДхДи , Д{/Дй \
~~Тб 1 ~)
(III.44)
Для определения поперечной силы воспользуемся выражением [9 ]
Q = _ 2 . -g.) 1, (Ш.45)
L \ *б / j
где Еб — модуль упругости материала бортового элемента;
/б — момент инерции сечения бортового элемента;
yk, "fk—i — углы поворота в сечениях начала и конца рассматривае-
мого стержня бортового элемента;
/б — длина участка бортового элемента.
* Принятые обозначения см. § 6 гл. II.
127
Зависимость углов поворота изгибаемого стержня от перемеще-
ний его концов [9]
Напряженно-деформированное состояние вантовой сети с подат-
ливым бортовым элементом описывается уравнениями равновесия
(III.41), (III.43), уравнениями деформаций для нити (III.42) и для
бортового элемента (III.44). Для того, чтобы свести число не-
известных к и, v, w, пользуются уравнениями (III.45) и (III.46).
§ 6. Расчет вантовых систем по заданным напряжениям
Аналогично расчету любой статически неопределимой системы
расчет вантовых систем обычно начинается с назначения жесткост-
ных характеристик — сечений вант и усилий предварительного
напряжения, являющихся также своеобразной характеристикой
жесткости покрытия. Сразу правильно задаться жесткостями не
удается и поэтому ванты в итоге либо перенапряжены, либо недо-
напряжены. Однако сечения вант желательно принимать такими,
чтобы возникающие в них напряжения были равны расчетному со-
противлению материала или в общем случае заданному напряжению.
Известно, что для растянутых элементов площадь поперечного
сечения определяется так:
р=%-, (Ш.47)
где Н — усилие в ванте;
R — заданное напряжение.
Многие расчетные уравнения, рассмотренные в предыдущих па-
раграфах, составлены относительно усилий в вантах. Поэтому для
расчета по заданным напряжениям не представляет труда в них
учесть уравнение (II 1.47) и, таким образом, исключить величину А.
Рассмотрим применение такого подхода к расчету некоторых си-
стем.
Пологая провисшая гибкая нить. Будем исходить из уравнения
(III.3). С учетом уравнения (III.47) после некоторых преобразова-
ний оно принимает необходимый нам вид:
<ШЛ8>
Уравнение для расчета гибкой нити по заданным напряжениям мож-
но получить в другом виде [24 ].
Предварительно-напряженная струна. Исходное уравнение (II 1.5)
с учетом уравнения (III.47) после преобразования можно привести
128
к следующему виду:
н^нн0--^- = о.
(III. 49)
При Но = 0 это уравнение упрощается.
Сеть шестиугольной структуры. Наряду с конструктивной осо-
бенностью сети шестиугольной структуры — равнопрочностью эле-
ментов расчет по заданным напряжениям для таких сетей дает воз-
можность получить оптимальные площади поперечных сечений вант.
Пользуясь тем же приемом, что и при выводе уравнений для от-
дельных нитей, уравнение (III.8) можно привести к виду:
+ Яо. = (III.50)
'ii' il
Все обозначения оговорены в § 2 настоящей главы.
Таким образом, составив и решив систему уравнений равновесия
(III.7) и затем квадратное уравнение (III.50), определяем усилие в
вантах и перемещения узлов сети.
Вантовые фермы *. За исходные примем уравнения:
равновесия
Н.^-+ H2-^-+qz (х) = 0; (III.51)
деформации
= + -^rdx+ 4-
(III.52)
(III.53)
Обозначения см. § 7 гл. II.
В уравнении (Ш.51) учтем, что
*01 = г02 + h\ Zi = z2 + h. (III.54)
Тогда
N • + Н. • -g- + q2 (х) = 0, (III.55)
где N = -г Н2 — суммарное усилие в поясах фермы.
Разделим все члены уравнения (III.55) на N и представим в виде
dx2 Л1_ (Ph dx2 <7z (x) N ’
откуда ^2 _ _ dx N dh dx Qe . N ’ (III.56)
«2 = Hr N h + - M6 N ’ (III.57)
* Методы расчета разработаны совместно с аспирантом Н. М. Г р а б о м.
5 3—2835
129
С учетом (III.54) перепишем уравнение (III.52):
-/Ли+ 4^ + $-^
I
? Jh____d®, ,
If t VvzV I
dx dx ‘
(III.58)
В зависимости от количества и качества внешней нагрузки, дей-
ствующей на вантовую ферму, сечения поясов будут определяться
либо усилиями предварительного напряжения Но1, Н02, либо окон-
чательными усилиями Нъ Н2. Поэтому рассмотрим два случая на-
пряженно-деформированного состояния вантовых ферм.
Случай 1. > /У01 и Н2 > //02, т. е. окончательные усилия
в поясах фермы в результате действия нагрузки стали больше со-
ответствующих усилий предварительного напряжения.
Примем, что
^=4"’ ^=4^’ (Ш-59)
где — заданное напряжение в поясах.
Соотношения (III.59), а также выражения
w = г2 — г02; dw ~ dz2 — cfe02
учтем в уравнениях (Ш.58) и (III.53). Тогда
Н — Н ! ‘
П2 — П02 т Rl
(III.6I)
Подставив в уравнения (III.60), (III.61) правую часть выражения
(III.56), после некоторых преобразований получаем:
ЕН, ЕН К ЕН^В , ElHC
Н — Н । _££1_ Л*// _ । 1 4- 1 4-
1 п01± Rl 2Rl -г Т RlN2 -Г
ЕНгР EHiC EHJ .
2RIN2 RIN RIN Rl ’
r i EH* л*» J_ BHJKC , EHJ) EHzK
02 "г Rl 2RIN1 “г RIN* T iRlN* 2RI '
(III.63)
130
Преобразуем уравнения (III.62), (III.63) и одновременно учтем,
что Д2 = N—Нг. Тогда
№ (/ДЛ3 ~ #01) + N (rf2A4 + ЯХЛ6) - Н]Л, - Н\АЪ - }
-/7хЛб = 0;
-д?л4-^яМ6-дхЛ = о,
где Д1=-^—; А2 = I — 2ЛХ Д*« + Ау/\; Aa=A2 + 2AyJ;
Случай 2. //х > Яох, но /72 < ДС2, т- е- окончательное уси-
лие в одном из поясов фермы (напрягающем) в результате действия
нагрузки меньше соответствующего усилия предварительного на-
пряжения.
Очевидно, что
р _____________________ . р ____ ^ог
1 R ' 2~~ R •
Опуская выкладки, аналогичные первому случаю, приведем окон-
чательные два уравнения, нелинейные относительно усилия в несу-
щем поясе Нх и суммарного усилия N-.
№ (НуА3 - Яо1) + N (rf2A, + НуА&) - -
— Н1А-Э — НуА6 = 0;
№ _ N2 (Hi _ дй _ Лм = 0
(III.65)
где Ay — Н02 (А2 2); As — Н02А4, Ад — Н02А5; А10 — Н02 • Ай.
Таким образом, напряженно-деформированное состояние ванто-
вых ферм с заданными напряжениями в поясах для двух рассматри-
ваемых случаев описывается соответственно системами уравнений
(III.64) и (III.65).
Решения для Нг будем искать в виде полиномов. Для удобства
организации вычислений в процессе преобразования и совместного
решения систем (III.64) и (III.65) раздельно для каждого случая вво-
дим дополнительную систему рекуррентных обозначений.
Случай 1
А7 = А22Ау Ад = А2Ад',
А = ^гА>' = А2Ае;
5*
131
— (А А) А; Аа = А^21>‘
Аг ~ (А — А) Ан» Ав — 2Л21Л22Л2;
Аз — А NQ', Ав = (2А1 Аз + ^22) А>
А« = АЛ Л27 = (AsAl А ^22Аз) 2 А?
Ав= АА» ^23 ~ (2АзАг + ^2з)А2;
Ae= AAi> As = 2Л13Л23/12;
А?= АА> Аю ~ AsA>
А«= АнА; Ai ~ Ai (А -^г);
As = А — Аь Аг ~ -^22 (А ^г) А1>
Ао = А + Аг + Аз! ^зз = Аз (А А) Аг^о>
Ai = А + Ав! А« ~ ^1з (А ^г) ' -^гз^О’
Аг ~ А ' 16 > Ав= As^o-
Аз = Ао “ -^17>
Разрешающий полином имеет вид
Же + МЛ37 + H\A3S + + H\Ai0 + HYAU + Л30 = 0. (III.66)
Т аблица III. 10
Азв Л24 Ао Ai А
А3^ Д25 АеАз AoAi 2 А Ао Ао
^38 As АоАз Ао Аг —2А^1лАо Ал А1 л л6а19 ^4^20
А? АоА* Ао Аз 2 А А4 Ао —Ал Аг —2 А А»Ао
Ао Ао f> ^10 Ai5 Ао А« —Ал Аз Л Д^1 Лв/120 А14
Ai Ав Ао^зб —Ал Ал
Коэффициенты полинома (III.66) являются результатом сумми-
рования членов соответствующих строк табл. III.10. Суммарное
усилие определяется из выражения, полученного при совместном
решении системы уравнений (III.64):
ц А + А + А А + Ав
(III.67)
+ АА — А
Случай 2
•Ai =; Л3Я02—• Л7; Л13 — Ав + 2Л8/701 > Л3Л9;
Л12 — -^5 ~ 2Л3Л3; А14 — Л8/7О1;
132
Ди — 2Д4 Д3; Д17 — Д3/7О1/7О2 + Лп/701;
Д16 = Д3Д11 ’ ^01 "Т ^б! Д18 =-^01-^02-
Разрешающий полином имеет вид
МДм + H\AW + /7?Д21 + Н\А22 + МДгз + ^Д24 + #М25 +
+ ^1^26 + ^27 ~ О- (III.68)
Коэффициенты полинома являются результатом суммирования
членов соответствующих строк табл. Ш.П. Суммарное усилие оп-
ределяется однозначно из следующего выражения, полученного при
совместном решении системы (III.65):
Н\А. + H%Al2 + я|Л13 + fftA14
+ ^Л|6 + //,Л17 + Л18
(III.69)
Аппликаты узлов вантовой фермы в деформированном состоянии
в обоих случаях определяются в соответствии с выражением (III.57).
Таким образом, расчет вантовой фермы по заданным напряжени-
ям в поясах сводится к вычислению рекуррентной последователь-
ности коэффициентов и решению полинома (III.66) или (III.68),
в зависимости от случая напряженно-деформированного состояния.
Особый интерес представляет вопрос исследования количества
положительных решений рассматриваемых полиномов. Ограничим-
ся здесь лишь замечанием, что даже при получении нескольких
положительных корней во внимание принимается тот, который
удовлетворяет условию N — Нх > 0, т. е. невыключению из
работы напрягающего пояса фермы.
Основываясь на приведенных уравнениях, изложим метод расче-
та вантовых ферм по заданным напряжениям и перемещениям.
В случае, когда Нг > Н01 и Н2 < Н02, примем, что
Тогда из уравнений (II 1.62) и (II 1.63) получим
H3iA2-H2i(2NA2-A3) + H1(N^AB-NA2 + At) .
------------------N* (Гй-На) 1 (1IL7U)
В]А14 HiA^ НгА1в + Л17 = 0. (III.71)
где А, = ; А2 = А.В; А3 = 2ДС; А4 = A.D;
Д5 = 2Д1(а*«-7----Дв-^; Д7 = АВЯ02:
А8 = 2А£Н02, Ae = AeDH02; Д10 = (1 - 2АвД*м - А6К) Н02;
Дц = —" ; Д12 — ~ » Дхз = Дп + 1J Ди 2Д19Л13;
Z2 Z2
133
Таблица III,И
19
^20 2А4^12^15 2Л3 Л4Л12
^21 2^4^13^16 2^4Z112-^16 ^5^12-^15 2ЛдЛ4Л13? 2A4ff0JAi2 —2Л6Л16Л1е
Аг 2Л4Л14Л15 2Л4Л13Л16 2А4А1гА17 ^5^13^16 ЛбЛ12^16 ^А3А4А14 -2А4 НQi А 1з —2Лб t4j 6Л17 —2ДЛ15Л1с
^23 2A4A14Ai6 2Лд. Л13 Л17 2/44X12zljg /4Б2414Л15 A$Ai3Aie ^5^12/417 2Л4//01Л14 2Л6Л15Л18 —2АеА15А17
-^24 2Л4Л14Л17 2/^4^?is^418 А&АцА1ъ '^s^l s^l? Л5Л12Л1В 2AcAt5Als
А. 2А4А 14Л, g /4а-<414/417 ?15Л13Л1я
^2С 1 Л$А1ЛА18
^27 1
Прдолжение табл. 111.11
2А~Ак ~A‘AVi
^20 2Л4А15241е Wi> 2Л^„ —^01^4 -ЛИ15
^21 2Л4Л16Л17 Л4Л5Л„ 2Д“А, —Лл;6 —ЛИ|5
^22 2А4Л1(5Л17 2AAs^13 —2Л4/415Л1Б ЛИИ1- ^^4^18 ^ot'^ 12 —А^"|6
•^23 —2Д5Л1оЛ17 2/4a/lZ2^i4 —2/701Д12Д1з —2AAAiC>Ai8 ^^5^18 ЛЛ13 —л4л-)7 —/1«л16
^24 2ДБД16Д18 -~-2ЛвД1в2417 2i4e^4137414 2/701Д1йЛ14 2A4Al7AiS —^oi^j3 -^5-^17
^25 ’2^5 ^17-^18 ~2AqA16A1s —2/70р413Л14 А А~ —л«^18 —^6^ 17
^26 —2AeAt7Ai8 ^oi^4 -А А2
^27 “Л“Л18
Л16 = ЛХ1Л12 (ЗЛ12 + 2) — Л10Л?2 — А7;
Л16 — 2Л10Л11Л1а — Ац (3Л12 +1) — Л8;
Л17 = Ац (Лu • - Л10) Л9;
Zi — окончательная аппликата узла, вертикальное перемещение
которого ограничивается;
Мб, h' — соответственно балочный момент и высота распорки
(подвески) в месте этого узла.
' К аналогичному результату придем и в случае напряженно-де-
формированного состояния, при котором > Н01 и Н2>Н02.
Н\А22 + Hl Л23 + ЯИм + Л25 = О, (III .72)
где Л22 == Л13 (Л19 — Л12Л13); Л23 = А1±А12А18 (ЗЛ12 + 2) -|-
Т Л13Л20 — AjjAjc, Л12В02, Л24 = Л13Л21 -|- ЛпЛ12 (2/7О2 •
ЗЛиЛ18) Лц (ЛиЛ18 Л20); Л25 = Лц (ЛЦЛ18 Н02) ЛПЛ21;
Л18 — 1 + Лв/С —• 2Л6Д*п; Л19 = Л6В; Л20 = 2ЛвС; Ла1 = Лв D.
Таким образом, расчет вантовых ферм по заданным перемещениям
сводится к вычислению коэффициентов и решению полиномов
третьей степени, определению напряжения в несущем поясе (7?х) и
суммарного усилия в поясах фермы по формуле N = Лп —А12Нг.
Окончательные аппликаты узлов определяются в соответствии с
уравнением (III.57) *.
* Вопросы исследования корней полиномов, назначения границ параметров
исследованы аспирантом Н. М. Г р а б о м.
Глава IV
ВОПРОСЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ВАНТОВЫХ
СИСТЕМ
§ 1. Постановка задач оптимизации
• Рассмотренные в предыдущих главах методы расчета вантовых
систем основаны на анализе расчетной схемы, т. е. позволяют опре-
делить напряженно-деформированное состояние по схеме, заданной
рядом геометрических и физических параметров. Как правило, в
этом случае расчет превращается в ряд последовательных попыток,
в результате которых достигаются желаемые напряжения и деформа-
ции. Однако такой путь не гарантирует получения наилучшего ре-
шения.
В некоторых случаях, используя методы математического програм-
мирования, можно ставить и решать задачи, в которых наилучшее
(оптимальное) заранее оговоренное решение можно получить сразу,
не прибегая к малоуправляемому поиску и затрачивая меньшие уси-
лия. Преимущества такого подхода очевидны.
Оптимальной вантовой системой будем называть систему, удовле-
творяющую заданным непротиворечивым требованиям к конфигура-
ции, прочности, деформативности и оптимизирующую при этом ка-
чество решения по какому-либо выбранному критерию (вес, стои-
мость и др.). Очевидно, что критерий — это функционал (целевая
функция) от параметров, подлежащих выбору для получения оп-
тимальной системы.
’ Задачи оптимизации вантовых систем в терминах математическо-
го программирования в общем случае формулируются следующим
образом.
Определить вектор X = (хъ х2,..., хп), который является реше-
нием такой задачи:
минимизировать целевую функцию f (х) при ограничениях
/г,- (х) > 0; i = 1, 2, ... , т;
6(х) = 0; /= 1, 2, ... , k.
Переменные вектора X обычно в большей или меньшей степени
характеризуют вантовую систему (усилия преднапряжения, жест-
костные характеристики вант и бортового элемента, геометрические
параметры и т. д.), оптимальную по критерию, выраженному в це-
левой функции f (х). Чем большее количество качественно отличаю-
щихся переменных вектора, тем в более общей постановке решается
137
задача и результаты решения в большей степени соответствуют
реальным условиям существования вантовой системы.
Ограничения связывают переменные задачи в виде уравнений, не-
равенств и выражают условия деформации, равновесия, совмест-
ности работы, математически интерпретируют физический смысл
задачи или отражают требования условий проектирования и строи-
тельства (конструктивные соображения, данные СНиП и др.).
Задачи, сформулированные подобным образом и решенные при
помощи методов математического программирования, носят назва-
ние задач оптимального прямого проектирования вантовых систем
и имеют большое прикладное значение для проектной практики.
Однако по этому поводу необходимо сделать ряд замечаний.
Так как критерии оптимальности систем, как правило, носят эко-
номический характер (минимум объема, веса, стоимости и т. п.),
а компоненты вектора X являются не только понятиями теории со-
оружений, но и характеризуют вантовую систему как строительный
объект в целом, задачи оптимального прямого проектирования имеют
более широкую постановку, подчас выходящую за рамки «чистой»
строительной механики — отрасли науки, занимающейся изуче-
нием напряженно-деформированного состояния твердых тел при
различных воздействиях и часто абстрагирующейся от реальных ус-
ловий изготовления, монтажа и эксплуатации сооружения. С дру-
гой стороны, практическое разрешение даже многих таких задач
почти не углубляет наших знаний о работе систем — объектов
строительной механики и не вносит существенного вклада в разви-
тие ее теории, так как по сути известные в строительной механике
зависимости напряженно-деформированного состояния объекта (с
добавлением ряда конструктивных требований) переформулируются
в термины известной теории математического программирования и
задача формально сводится к общематематической *.
По этому вопросу авторы разделяют взгляд А. А. Чираса [61 ] о
том, что для строительной механики более плодотворным направ-
лением является построение и развитие общей теории оптимизации
твердых деформируемых тел при различных состояниях материала
и условиях расчета, основанной на экстремальных энергетических
принципах механики и теории математического программирова-
ния.
Существенным вопросом в решении задач этого направления яв-
ляется возможность широкого использования теории двойственнос-
ти в математическом программировании, что позволяет выяснить
физический смысл не только переменных основной задачи, но и
двойственной ей. В задачах прямого оптимального проектирования
это не всегда удается сделать, так как ряд параметров, например
конструктивных, при формулировании двойственных задач не имеют
физического смысла или пока он не определен.
* Конечно, здесь не затрагивается проблема доведения задачи до числа, яв-
ляющаяся для данного направления наиболее важной.
138
Построение общей теории оптимизации твердых деформируемых
тел требует не столько решения частных задач, сколько системати-
ческой разработки математических моделей, основанных на указан-
ных принципах.
Таким образом, кроме задач оптимального прямого проектиро-
вания вантовых конструкций, имеют место задачи оптимизации
механики вантовых систем. Нами, как правило, рассматриваются за-
дачи первого направления. Практическое решение некоторых из них
стало возможным только в связи с появлением ЭВМ и значитель-
ным развитием теории математического программирования [56, 72 ].
Решение задачи прямого оптимального проектирования сводится
к разработке модели объекта и выбору рационального метода реше-
ния, соответствующего принятой модели. Эти задачи по своему масш-
табу в части учета реальных факторов не имеют обозримых границ.
Усложнение модели учетом многих факторов — путь в общем пра-
вильный, но не всегда реализуемый в существующих условиях,
во-первых, из-за отсутствия объективных данных о состоянии кон-
струкции, выражений ее стоимости с учетом реальных расходов и,
во-вторых, из-за трудностей решения многопараметрической зада-
чи математического программирования. Поэтому большинство прак-
тически решенных задач носят частный характер как по количеству
и качеству учитываемых факторов, так и по формулировке целей
оптимизации. Кроме того, всегда стремятся сократить количество
независимых факторов или выразить их через зависимые. Большую
роль в назначении границ независимых параметров имеет опыт про-
ектирования идентичных конструкций.
Как видим, математические модели задач оптимального проекти-
рования не адекватно описывают реальное сооружение и его состоя-
ние в различных условиях. Учет вероятностного характера многих
физических явлений напряженно-деформированного состояния со-
оружения во многом приближает нас к действительной картине,
однако существуют трудности практической его реализации.
В задачу оптимального проектирования еще не входит поиск типа
конструктивной схемы, выбор материала, очень редко определяет-
ся топология. Чаще отыскивается оптимальная конструкция в за-
данном множестве ей подобных. Еще далеко до создания теории
синтеза конструкций.
В зависимости от характера целевой функции, переменных и их
связей задачи оптимального проектирования относятся к линейным
или нелинейным (выпуклым и невыпуклым). Существует еще ряд
практических ограничений, определяющих тип задачи, например,
целочисленность функции или переменных. Целевая функция очень
редко представлена в явном виде (это характерно для сложных ван-
товых систем). Чаще всего это — целый алгоритм. В таких случаях
очень затруднительно исследование области допустимых значений
с целью выяснения количества и качества экстремальных точек
(локальных или глобального минимумов). Нередко ограничива-
ются определением минимума без анализа его характера. Иногда
139
используется принцип распада, позволяющий оптимизировать одни
группы переменных независимо от других.
Развитию методов оптимального проектирования конструкций
способствовали многие работы и в первую очередь те, в которых ре-
шались так называемые обратные задачи строительной механики.
Не имея возможности дать обзор работ в этой области, укажем лишь
отечественных авторов, внесших большой вклад в теорию и практи-
ку оптимального проектирования. Рабинович И. М., Чирас А. А.,
Ржаницын А. Р., Радциг Ю. А., Комаров А. А., Виноградов. А. И.,
Рейтман М. И.— далеко не полный список исследователей в этой
области [72]. Основываясь на их работах, развивается оптимальное
проектирование вантовых систем [65].
§ 2. Синтез гибкой нити
Поставленная задача формулируется следующим образом: по
заданному вцешнему воздействию, расстоянию между опорами (про-
лету) и физическим характеристикам материала нити определить
оптимальные физические и геометрические параметры ее так, чтобы
нить обладала достаточной прочностью и жесткостью при минималь-
ной затрате материала. Примем, что минимальной затрате материала
соответствует наименьшая теоретическая площадь поперечного се-
чения нити. Цель достигается при удовлетворении заданных огра-
ничений по начальным стрелкам провеса, прогибам, напряжениям
и начальным усилиям.
Провисшая нить. Предполагая, что нить под действием собствен-
ного веса принимает форму квадратной параболы со стрелкой f,
начальные ординаты узлов выражаются так:
zoi = -^2~ xi У — xi)> 1 = 1 > 2, .., , п; (IV. 1)
И = , (IV.2)
где Х( — абсцисса i-того узла нити.
С учетом (III.2), (IV. 1), (IV.2) из уравнения (III.48) после преоб-
разований получим следующие зависимости:
n DE Г 4/ . I2 8/2 г. Л7Т
E==^rl~^Xi[l~~Xi) + Wi\—(VL3)
9 Г 8/х> (1 — х.) 1 , - f2' + - f2 x\{l-x^- li + - Обозначения см. в гл. III. 16/2хЦ/— хг)2 16/2Л47 2RMjl Р 3 £> -1 D • Е J — °’ (IV.4) м21р ' , f Г l2Xl (1 — X,) Wj 1 . 3 • D 1 ' [ 2 j + у?/4 RM?P 16 8D.£] = °- <IV-5>
140
Уравнение (IV.3) в невырожденной форме описывает семейство
гипербол (рис. IV. 1, а), так как квадратичная форма его является
неопределенной. Собственные значения характеристической матри-
цы имеют различные знаки.
Условия-ограничения, накладываемые на геометрическую схему
и вертикальные перемещения узлов нити, примем в виде /•<[/],
W[ С [w ]. Это всегда возможно, если исходить из желаемого очер-
тания нити и требований жесткости.
Рис. IV. 1. Графики зависимостей f, w, R, Но для гибкой нити.
Таким образом, в терминах математического программирования
поставленная задача формулируется так: найти
min F = — --------у- . А- ; (i = 1, 2, ,,. , п) (IV.6)
—L xt (I — xt) + Wi
L i2 J
при ограничениях:
f- (IV.7)
Wi —. [w] <C 0; (IV.8)
[4 4-£=* <IVS))
Я —P?J<0; (IV.10)
7?>0; (IV.11)
f>0. (IV.12)
Целевая функция (IV.6) описывает нецентральную вырожденную
поверхность второго порядка — гиперболический цилиндр. Причем
каждому значению напряжения 7? соответствует определенный уро-
вень (слой) целевой функции. Образующие, перпендикулярные к
линии наибольшего ската,— прямые линии, направленные под уг-
лом 45° к оси w (/). Геометрическая интерпретация задачи без учета
(IV. 11) для положительных значений гидана на рис. IV.2.
Для выбора метода поиска оптимальных параметров представля-
ет интерес анализ возможных решений.
141
1. Если значение 7?, найденное по (IV.3) при f = [/] и wt = [w],
удовлетворяет условию (IV. 11), то ограничение (IV. 10) не сущест-
венно и оптимальные параметры будут: [/], [w], R (рис. IV.3, а).
2. Если значение wit вычисленное по (IV.4) при f = [/] и 7? =
= [7?], удовлетворяет условию (IV.8), то решение будет: [/], [7?],
w (рис. IV.3, б). В частном случае возможны такие параметры: [/],
[7?], [w] (рис. IV.3, в).
3. Допустим, что решение находится на границе w и, таким об-
разом, варьируется только f и 7?. Приняв во внимание характер за-
висимости f от 7? при фиксированном значении w (см. рис. IV. 1, б) и
д продифференцировав (IV.6) по f,
Рис. IV.2. К задаче синтеза провисшей
нити.
получим уравнение для опреде-
ления /:
ЗРх; (/ — Xj)2 j
Л^Р 3
Рш, 1 ЗР/ш-
2xz (/ — Xf) J ' 16Л1?
(IV. 13)
Далее при f и [rd по (IV.3) можно определить 7?. Возможны такие
решения: f, 7?, [да] (рис. IV.3, г); f, [7?], [да] (рис. IV.3, д, ё).
Струна. Геометрия схемы, естественно, не варьируется, и задачу
о струне лишь условно можно отнести к задаче синтеза.
Учитывая, что Н = из (III.49) можно получить такие вы-
ражения:
да?ДЕ + wt2MtRHol —2M[Rl 0; (IV. 14)
DEwJ
2Mil(Mt-WlH0) •
Задача формулируется так: найти
minF = -%; (7=1,2,
при ограничениях
да; — [да] < 0;
7? — [7?]<0;
Mt DEwj _ „ .
wt 2MtRl °’
(IV. 16)
(IV. 17)
(IV. 18)
(IV. 19)
(IV.20)
142
143
Но- 1Н0]<01 (IV.21)
/?>0; (IV.22)
Но>0. (IV.23)
Целевая функция (IV. 17) представляет собой вогнутую гипербо-
лическую поверхность. Учитывая характер зависимости R от w
(см. рис, IV. 1, в), решение всегда находим на границе рассматривае-
мой области (рис. IV.4). Возможны такие решения: Но, [да], [7?] (см.
рис. IV.3,ж); Но, w, [7? ] (см. рис. IV.3,s); [7701, [rd, 7? (см. рис. IV.3,w).
Рис. 1V.4. К задаче «синтеза» струны.
Рис. IV.5. Общий случай области
допустимых решений.
Задача
(IV.20),
(IV.24)
Прямолинейная нить без предварительного напряжения,
отличается от предыдущей лишь тем, что ограничения
(IV.21), (IV.23) должны быть заменены одним
Mt DEwi = р
wt 2MtRl
Очевидно, что решения могут быть такими: [ш], 7?; w, [7?]; [ю],
[7?] (см. рис. IV.3, к, л).
Для провисшей нити область допустимых значений независимых
параметров располагается в первой и второй координатных четвер-
тях (рис. IV.5), причем 135° у < 0°, если исходить из следующе-
го уравнения, эквивалентного (IV.3) *:
= Ф + arctg , (IV.25)
° Г Cj (sin <p — C2 COS <p)“ — Cs COS'4 <p ' '
V
где у — угол наклона асимптоты к оси w;
1 t 2с»
Ф = -о- arctg---------2—-— ; q = -
z i 2 с3
1 — С9 —----
С1
_ 4xz(Z — xf) . _ 8Е
~ Р ’ — з/з •
* Развитие задачи синтеза гибкой нити и ее исследование выполнено совместно
с аспирантом Л. Д. Малачевским.
144
В общем случае к изложенным задачам применимы многие методы.
Наиболее эффективным является метод конфигураций [56]. Уста-
новлено, что базовую точку в начале поиска следует принимать на
пересечении ограничений (IV.7) и (IV. 11). Решение отыскивается с
точностью е — малой положительной величины, равной шагу по-
иска.
§ 3. Задача расчета оптимальной вантовой сети
шестиугольной структуры
Уравнение для определения усилия в сети при расчете по задан-
ным напряжениям примем в виде (II 1.50). По-прежнему Л/г — раз-
ность значений неизвестных kt системы Ak = Р.(Л — матрица усло-
вий равновесия узлов; k = k2,..., kn); P — (Plt P2,..., Pn) —
вектор-столбец внешних сил; n — количество внутренних узлов
сети).
С другой стороны, статическая особенность сети шестиугольной
структуры может быть выражена как
Н==----------,
zoz + u>i
(IV.26)
где wt — перемещения узлов сети, i = 1, 2......п.
Уравнение (II 1.50) с учетом (IV.26) после преобразований может
быть представлено в таком виде:
г т а *2 т
Л2° ! I V2 V Д^2 1
Е р Zj ~-----(г°' + Wi) 2j Tj
R =-------!-----------------; (IV.27)
1
m т т
% [2R £ I + Е £ -2-) - (% + wz)2 Е £ -±-
н0 =---------!------!-----------™--------!-----; (IV.28)
2М (гог + Wi) 21
1
т л у> / т л Ь2 т \
W2E^^ + Wi,2 (Ezo. £ k(HoR у- А +
1 ' 1 1 7
. ГП т т
+ Ё (4 s Т- -S ~г~ + 2k< я ^Zoi -s1 = °- <IV-29)
' i i ' i
Начальная поверхность сети, определяемая вектором г0 = (z0\,
2o2> г03,..., zOn), инвариантна относительно величины усилия предва-
т-, Дг?
рительного напряжения. Поэтому коэффициент \ — является ин-
1
тегральной характеристикой начальной геометрии поверхности.
145
Рис. IV.6. К определению опти-
мальных параметров сети шес-
тиугольной структуры.
Значения коэффициентов kt зависят
от количества и качества внешней на-
грузки, и, таким образом, величина
Л ЛА-2
\—— может трактоваться как ин-
1
тегральная характеристика внешней
нагрузки. С другой стороны, учиты-
вая (IV.26) и используя аналогию с
гибкой нитью, может рассматри-
ваться как величина, соответствую-
щая значению изгибающего момента в
узлах некоторой пространственной си-
стемы. Размерность величин kt — в
т • м.
Таким образом, данная задача фор-
мулируется так: по заданной началь-
ной геометрии поверхности сети,
внешнему воздействию и физическим характеристикам материала
вант определить параметры сети так, чтобы она удовлетворяла ус-
ловиям прочности и жесткости при минимальной площади попереч-
ного сечения вант/7. Иначе: найти
min Г —4--------------; (i = 1, 2, ... , п) (IV.30)
Az + wt R ’ ' ’ ’ ’ ’ v >
при ограничениях:
Ak — P-, (IV.31)
/п т л,2 т
------—---------‘----------------------—------= (IV.32)
2kiR (20Z + «’ll 2 1
1
/70-[/70]<0; (VI.33)
<0; (IV.34)
wt — [пу] <С 0; (IV .35)
но>о; GV.36)
₽>0, (IV.37)
где EZ7g], [7?], [да] — предельные значения соответственно усилия
предварительного напряжения, расчетного сопротивления материала
вант, перемещений, заданные условиями задачи.
Как видим, (IV.30)—(IV.37) описывают задачу нелинейного про-
граммирования с нелинейной функцией цели и смешанными ограни-
чениями. Анализ функции цели (IV.30) показывает, что она являет-
ся выпуклой, и, таким образом, решение сводится к поиску услов-
ного минимума F при выполнении ограничений (IV.31)—(IV.37).
146
Геометрическая интерпретация задачи при положительном значении
w дана на рис. IV.6.
Решение в виде (77О, 7?, wj), соответствующее минимуму целевой
функции при заданных ограничениях, всегда находится на границе
области, «высекаемой» из поверхности (IV.30) плоскостями (IV.33)—
(IV.35). Как и при расчете оптимальных гибких нитей для поиска
решения данной задачи могут применяться многие методы матема-
тического программирования, в частности, метод конфигураций [56].
§ 4. Определение оптимальных параметров вантовых ферм
В общем случае вантовая ферма характеризуется геометрическими
параметрами (очертание поясов, соотношение стрелок и т. д.) и фи-
зическими (расчетное сопротивление материала, величина усилия
преднапряжения) при ограничениях на перемещения узлов. При
формулировке данной задачи ограничимся учетом лишь парамет-
ров w, R и No, т. е. геометрическая схема фермы считается задан-
ной.
Будем исходить из уравнений, характеризующих первый случай
напряженно-деформированного состояния вантовых ферм (см. § 5
гл. III).
Итак, рассматриваемая задача формулируется следующим обра-
зом. Найти
(7-1,2..........п) (IV.38)
min К =
(202/ + wi) R
при таких ограничениях:
Wt — [да] С 0; (IV .39) R—(VI.40) (Мб[- — H^ij) (2RI + ER) HtEI Нf (г021- + 6У() BE 4RI (гС2(- + wt) Rl 2RI (M6i — ED (zml + w;) - (IV'41> Wo-[7Vo]<O; (IV .42) 7Vo>0; (IV.43) 7? > 0; (IV.44) м — и hi 6j , > 0. (IV.45) 202Z + w{ 1 v '
Из уравнения (IV.41) следует, что Нг = f (w, R, No). Поэтому
целевую функцию (IV.38) можно привести к другому, но более слож-
ному виду. Однако это также усложняет алгоритм поиска оптималь-
ных параметров.
147
WtwrZfcM wna^40cM wne).
Рис. IV.7. К примеру 7.
Ограничение (IV.45) фор-
мулирует требование о не-
выключении из работы на-
прягающего пояса фермы.
Не помещая результатов
исследования данной зада-
чи, ограничимся рассмотре-
нием численного примера *.
Пример 7. Используя данные
примера 4 в части геометриче-
ских параметров фермы и внеш-
ней нагрузки, требуется опреде-
лить оптимальные параметры
фермы при следующих ограниче-
ниях: 0 < [jV0] < 30m; 0 <
<[/?]< 5000 кг/см2-, | шгаах | = —Ау- = 40 см.
Опуская процесс решения, который выполнен на ЭВМ по программе, реализую-
щей метод конфигураций, приведем окончательные результаты:
F = 3,79 + 1,93 = 5,72 см2;
No = 9,6 + 9,6 = 19,2 т < [30]; R = 5000 кг/сл2;
Нх = 18,98 т, Н2 = 9,64 т',
перемещения w2 = —8,89 см; Ws = —5,18 см; «=> 11,11 см; Wb — 40 см и да-
лее симметрично. Геометрическая трактовка решения данного примера показана
на рис. IV.7.
Определение оптимальных параметров фермы при втором случае
напряженно-деформированного состояния принципиальных труд-
ностей не представляет, однако математическая модель несколько
усложняется.
§ 5. Экстремальные принципы определения
параметров вантовых сетей
Рассмотрим вантовую сеть, представленную мгновенно-жесткой
шарнирно-стержневой системой.
Топология системы задана матрицей инценденций стержней и
узлов Да;, где а — 1, 2,..., т — число стержней; i ~ 1, 2. п —
число узлов. Имеют место необходимые топологические признаки
мгновенно-жесткой системы. Задана также конфигурация закреп-
ленных узлов.
Определению подлежат:
х1, У1, zl — координаты узлов, определяющие конфигурацию сис-
темы;
Va — объемы стержней такие, при которых удовлетворяются ус-
ловия прочности для линейно упругого материала.
* Исследования и пример выполнены аспирантом И. М. Грабом.
148
Решение оптимально, если суммарный объем материала системы
минимален.
Сформулируем и затем рассмотрим экстремальные принципы, ко-
торые могут быть положены в основу решения поставленных задач.
При формулировании этих принципов были использованы идеи,
изложенные в известных работах А. А. Чираса и относящиеся преж-
де всего к двойственному характеру экстремальных принципов в
строительной механике [61].
I. Сумма взятых с весовыми коэффициентами длин стержней
мгновенно-жесткой системы минимальна, если эта сумма представле-
на как функционал координат узлов, определяющих конфигурацию
шарнирно-стержневой системы с недостающим числом связей.
II. Потенциальная энергия оптимальной шарнирно-стержневой
системы, представленная как функционал распределения в стерж-
нях (заданного условиями прочности) объема линейно упругого
материала и как функционал кинематически допустимых смещений
узлов, имеет максимальное из всех минимальных значений, соответ-
ствующих действительным для каждого распределения объема сме-
щениям узлов.
Рассмотрим первый принцип.
Сумма длин стержней /а, взятых с весовыми коэффициентами
ka, может быть представлена как
А = 2
а
причем
1а = /(SAcc/x')2 + W2 + (2Да/г')2.
Сформулированный принцип утверждает, что для мгновенно-
жесткой системы имеет место
min L = 2 ^аТЛЗЛса-Х1')2 + ^aiylY + (SAcaZ')2
, j/, Z1) а
или соответствующая система уравнений:
dL _ yi д _____________ka^aix____________ __ g.
У(^а/)2 + (2ДЙ1#)2 + (2W)2 ~
Л J kr, X Д : у1
= У а ai ------------ 0;
ду‘ У (ХД^У)2 + (ХДагУ)2 + (2Да/)2
dL __ у, д ___________^а^Дсч'г__________ __ р
Ш У(М’ + (2ДшУ)2 + (2Д^)2 ~
Проанализируем полученные выражения.
По определению мгновенно-жесткая система это — система, не
допускающая смещений узлов при недостаточном числе абсолют-
но жестких связей — стержней. Если функция L имеет строгий ми-
нимум, а это значит, что система уравнений имеет единственное
149
решение, то, следовательно, полученные в результате этого решения
координаты узлов системы с недостающими связями определят
единственно возможную конфигурацию мгновенно-жесткой системы.
Система уравнений представляет собой уравнения равновесия
узлов вантовой сети с заданными с точностью до постоянного мно-
жителя усилиями предварительного натяжения. Эти усилия, точ-
нее, соотношения между ними, представлены коэффициентами ka.
Следовательно, для определения конфигурации мгновенно-жест-
кой системы достаточно, чтобы были известны усилия преднапря-
жения ее стержней Sa = cka.
Следуя Э. Н. Кузнецову, можно рассматривать функцию L как
статический потенциал мгновенно-жесткой системы. Отсюда , если
известны усилия в стержнях системы при действии внешних сил
Pxt, Pyi, PZi, можно определить конфигурацию узлов системы
в положении равновесия. Для этого достаточно функцию L сложить
с потенциалом внешних сил П = — У (РУлХ‘ + Pviy‘ + PziZ1) и
i
потребовать, чтобы
min L = У Sa V (2Аа;Д)2 + (SAat#)2 + (SA^'p —
(xl, yl, z') a
— S (PxlX‘ + Puiyl + PziZ').
Для пологой вантовой сети имеют место соотношения:
1Л(2АШД)2 + (2Ашу)2; Д = const; у1 = const.
Тогда
У/гаУ/2+(2АагД)2.
а
После разложения в ряд Тейлора для определения конфигура-
ции пологой мгновенно-жесткой системы достаточно потребовать
1 k
minL = 4-V-^(2Aai2')2
(Zz) а “
или решить систему уравнений
Следует отметить, что коэффициенты ka, соответствующие вели-
чинам преднапряжений стержней вантовой сети, должны назна-
чаться такими, чтобы квадратичная форма, минимум которой со-
ответствует конфигурации пологой мгновенно-жесткой системы,
была бы положительно определенной. Нетрудно видеть, что для это-
го достаточно, чтобы все коэффициенты /га были бы положительны-
ми. Требование положительной определенности квадратичной фор-
мы прибретает особый смысл, когда имеет место общий случай
стремления части стержней увеличить либо сохранить свою длину.
150
В этом случае конфигурация мгновенно-жесткой системы может быть
определена на основании принципа
min L = У, kaMa
а
при ограничениях:
/я = const; Д/а = (2 Дсй-^ j + ^2 ЧаУ‘ j 4“ ^2 Aca'Zlj —‘ 1а-
Величины должны назначаться исходя из следующих соотноше-
ний. Если
Д/«<0, а—1, 2, ml;
Д/р >0, Р — т\ + 1, ... , m2;
Д/v = 0, у = m2 1, .... т,
то
/<«>0; /гр<0; Ч = 0.
После подстановки значений ka и отбрасывания постоянной ча-
сти получим
min L = V ka V4- (2Да,:!/)2 + (2Даг-г!)2
сс=1
при условиях
К(2ДТ(х')2 + (2Ду/^)2 + (W^)2 = /v;
а = 1, 2, ... , m2; у = m2 4-1, ... , т.
После введения множителей Лагранжа получим окончательно
min L = у ka V(S Дагхг)2 4- (S Да(г/‘)й 4- (2 Дшг')2 4~
<х=1
+ 2 ХГ- <zp - v(2W)2 + (2Де<#)2 + (Wm
(3=m2-|-t
или систему уравнений:
2Дщ.х1
V&ьа1х1)2 4- (2ДаУ)2 4- (2Даг-г‘')2
SAr.-x1'
- S Чг- - °-
р р
_____________2W___________________
1/*(ХДа/)3 4- 4- (ХДа/гг)2
Vai ^ДргУ „
— ХАрДр ~Г“ = 0’
3 Р
151
KlV)* + (2ДШ#)2 + (2Да/)2
/р = K(W*;)2 + (W#)2 + (2М*.
Величины Zp соответствуют значениям усилий преднапряжения
в стержнях, длина которых стается постоянной.
Рассмотрим второй принцип.
Потенциальная энергия для шарнирно-стержневой системы мо-
жет быть записана так:
р
п = Т" 2 ~ 2 + p«iV +
a i
Еа = —-т>— [(^Ает-Х; -|- ЕДКД//)2 + Ч- ^Д^д/)2 4“
+ (2Да(г'+2Да/К/)2-^],
где Pxl> РУ1, Pzl — внешние силы;
и1, vl, w1 — перемещения узлов;
Еа — деформация стержней.
Имеют место соотношения:
2VB = V; Ув>0.
а
Сформулированный принцип утверждает, что для оптимальной
системы достигается
max min п= ~ъ~ 2 У«е2 — 2 ^Рх‘и* + Рv‘v' + Pz‘w‘)
(ya) (и1, У, w1') 2 « 1
при ограничении ^Va — V.
а
Причем величина У такова, что выполняется условие max |sB| <
< | епр где епр — предельная допустимая деформация для стерж-
ней системы.
После введения множителя Лагранжа получим:
max min П = П ф- Z fv — У, У<Л ; Va 0.
^zcx) (ийУ, ' к ‘
Если варьировать величиной V, то соответственно будет меняться
величина Z. Покажем, что для соблюдения условий прочности доста-
Е 2
ТОЧНО, чтобы Z = — Епр.
152
После подстановки значения % рассматриваемый принцип может
быть представлен так:
max min П = -|- у, Va (е?. — е2р) — у (РД1«г + Pvivl +
(«X, v*t w*) a i
Va>0.
В предположении выпуклости функции П после дифференциро-
вания по переменным получим две группы соотношений:
a) max Пх =; У, (Pxiu‘ + PvtVl + РциР);
i
E2a (ul, v1, w1) < e2p;
6) min П2 —e2 2 Va;
x a
^?g
E V VaBa —= Pxi;
Z-J du
a
„ de_.
E V* Va&cc t- = Pyh
Z-J dv
a
dp
EVVaea-^ = Pzr,
ди/
a
Va>0.
Таким образом, все параметры могут быть определены в резуль-
тате последовательного решения двух задач:
а) определить перемещения узлов, соответствующие максимуму
работы внешних сил, при ограничениях на величины максимальных
по модулю деформаций стержней, что при постоянном модуле упру-
гости соответствует условиям прочности;
б) определить объемы стержней, соответствующие минимуму
суммарного объема материала системы, при выполнении условий
равновесия узлов системы с заданными величинами деформаций
стержней, найденными при решении первой задачи.
Проанализируем полученные результаты.
В соответствии с рассматриваемым принципом искомое решение
является седловой точкой функционала перемещений узлов и неотри-
цательных объемов стержней, которым представлена потенциальная
энергия системы.
Очевидно, что каждому распределению заданного объема мате-
риала между стержнями системы, находящейся в положении равно-
весия, соответствует минимум потенциальной энергии. Среди до-
пустимых распределений найдется такое, при котором максималь-
ные деформации стержней будут минимальны, и поскольку полная
153
энергия системы, находящаяся в положении равновесия, всегда от-
рицательна, этому распределению будет соответствовать максимум
этой энергии. Понятно, что соответствующим подбором величины
% можно получить такое значение V, при котором максимальные де-
формации стержней будут равны предельно допустимым значениям.
Таким образом, оптимальной системе соответствует максимум по-
тенциальной энергий среди всех минимальных значений, соответ-
ствующих действительным (для каждого распределения объема)
перемещениям узлов.
С другой стороны, функция Лагранжа, образованная из соот-.
ношений первой группы, совпадает с исходной функцией П, в ко-
торой переменные Va играют роль множителей Лагранжа. Следо-
вательно, решение первой задачи, где требуется удовлетворить
условия прочности, не противоречит соотношениям второй группы,
где минимизируется, суммарный'объем материала в стержнях си-
стемы при дополнительных условиях равновесия узлов системы.
Для линейно деформируемой системы отыскание оптимального
решения сводится к задачам линейного программирования, кото-
рые с точностью до обозначений совпадают с известными формули-
ровками подобных задач [37].
Рассмотрим эту задачу применительно к расчету вантовой фермы.
Требуется найти
Я—1
шах А = 2 Piwi
1
при ограничении
— е° < е; < е+ — е°,
где А — работа внешних сил (i ~ 1, 2, ..., п — 1) на перемеще-
ниях соответствующих узлов;
— вертикальные перемещения t-того узла;
о • «
е,- — относительное удлинение /-той нити от усилия предва-
рительного напряжения;
Е/ — окончательное относительное удлинение /-той нити
(7=1, 2);
ЕпР = 1Д1/Д — допускаемое относительное удлинение ни-
тей.
Выражение для определения относительной деформации нити име-
ет вид (элементы высших порядков малости опущены):
Е‘= т~ S\^Г{Wi~ вд-° + {Wt ~ вд-1)2] ’
где L — пролет нити;
Ахг — величина проекции i-того участка на вертикальную ось
до приложения внешней нагрузки;
/г — длина i-того участка.
Это выражение — некоторая квадратичная форма. Исследова-
ние нелинейной части выполним на примере отдельной провисшей
154
нити (е° = 0), моделируемой тремя стержнями. При этом = /, =
— ls = /; Azt = Azs = Az; Az2 = 0.
Ограничение по деформациям приобретает вид
0 <С е е+
где относительная деформация нити
е = (wf— W]W2 4- &у| + Azw1 4- AztaJ.
Границы области допустимых ре-
шений, описываемые выражениями
’ к’1к’г 4- + ДгШ1 4- Дги.'2 — 0
и
-^-(w^ — w1w2 + w^ +
4- 4- Д?ш2)---= 0,
представляют собой эллипсы
(рис. IV.8). Очевидно, что увеличе-
ние числа узлов, изменение геомет-
Рис. IV.8. Область допустимых ре-
шений для нити.
рических параметров и величин
преднапряжения не влияет на характер допустимой области ре-
шений.
Для вантовых ферм при различных значениях величины пред-
напряжения область, образуемая пересечением областей для каж-
дой из нитей, может оказаться как выпуклой, так и невыпуклой.
Рис. IV.9. Области допустимых решений для ферм.
Величина преднапряжения является свободным членом в выражении
ограничения по деформациям и влияет на длину осей кривой. Сле-
довательно, изменение предварительного напряжения меняет также
вид допустимой области решений. На рис. IV.9 показано две об-
ласти, когда ограничения на деформации принимают соответствен-
но предельные значения (е = 0, е = еПр). Для фермы с поясами
155
одинаковой кривизны допустимая область решений всегда невыпукла
при е° < -уе+р и всегда выпукла при е° > -уе^р.
Анализ возможных допустимых решений для ферм позволяет
сформулировать аналитический признак того или иного вида об-
ласти. Приведем его без доказательства.
Если решение системы двух уравнений, описывающих деформа-
ции поясов фермы (одно из них приравниваем е°, а другое е^р —
— е°), дает два действительных корня, исследуемая область невы-
пуклая. В других случаях область выпуклая.
Для ферм с поясами различной кривизны допускаемая область
несимметрична относительно оси 1—1 (см. рис. IV.9). При этом мо-
жет оказаться, что одна часть области — выпуклая, а другая —
невыпуклая.
Рассмотрим часто встречающийся в практике проектирования слу-
чай, когда параметры оптимальной системы определяются при
дополнительных ограничениях на величины смещений узлов или
на соотношения между ними. Не вдаваясь в детали, укажем, что в
конечном счете задача сводится к определению объемов стержней
системы при заданных величинах перемещений. Очевидно, что та-
кая задача не всегда имеет решение. Сформулируем достаточные
условия существования решения.
Решение имеет место, если найдутся такие 0 < ka •< 1, при ко-
торых перемещения, найденные в результате решения задачи
max (2 (Pxiti! 4- P^v1 + Pziw‘): kaEznp e|,j,
совпадают с заданными перемещениями.
Для понимания сути этого предложения обратимся к рассматри-
ваемому принципу, изменив дополнительное ограничение на вели-
чину суммарного объема материала. Будем считать, что сумма объ-
емов стержней, взятых с весовыми коэффициентами, постоянная.
Тогда
— 2 - 2 (Ы 4» + Р*&): V = У kaVa .
<х i а
После введения множителя Лагранжа получим:
max min l-|- 2 К. (t£ —kaE2np) — J] (Pxlti1' + Pyivl + Pziw!)} .
<Va) (и1, if, w1) ' a i
Поскольку коэффициенты ka положительны, они определяют
необходимое увеличение объемов материала в стержнях системы
для удовлетворения дополнительных ограничений на смещения
узлов. В этом легко убедиться, если продифференцировать выра-
жение для потенциальной энергии системы по всем переменным и
сравнить с ранее полученными аналогичными соотношениями.
Покажем еще один способ получения функции Лагранжа в рас-
сматриваемом принципе. Для этого будем искать минимум суммар-
156
ного объема материала (или сумму взятых с весовыми коэффициен-
тами объемов стержней) при условии, что задана величина потен-
циальной энергии системы. Причем эта величина такова, что соблю-
даются условия прочности и равновесия системы.
min V = 2 V«-: П = 4 2 - 2 Va > °‘
a a i
После перехода к функции Лагранжа
max min V = V Va (1 — р, ef) + V (Pxlu‘' + P^V + Pziw‘')
(и*, vl\ wh a i
нетрудно установить, что имеет место соответствие
— V = П; — = А.
ц
Разумеется, все вышеприведенные соображения не могут служить
строгими доказательствами справедливости рассматриваемого прин-
ципа и являются лишь иллюстрациями к нему.
Перейдем теперь к отысканию параметров вантовой сети мини:
мального объема. В начальном состоянии известны величины уси-
лий предварительного напряжения S„ >• 0. В соответствии с сфор-
мулированным принципом имеет место
max min {п =Va[2e«e<z + )]-
1 2 а а пр
— 2 (Pxitf + PtjiV1 + PziUPp
i
S°l
6° EVa ’ 0’ Ea епр> e« "Ь e« «С enp j .
Величины Sa должны быть назначены такими, чтобы во всех стерж-
нях окончательные усилия были бы положительными и, следова-
тельно, деформации е° + еа > 0.
S°l
Обозначив Va = , прийдем к следующей формулировке
£8пр
задачи: найти
max min [п = А 2 [21''>Рек 4- У а - е^)] -
- 2 (Pxiul + PylV + PziW<) ; Va > У°, Уа (ещ, - 8а) > V°aепр1 .
' J
Ограничения Уа >- 0 отброшены как несущественные вследствие
соотношений Va V°a.
157
Далее введем A Va = Va — и получим окончательно
max min |п = У [Va (sa 2епреа) -f* А1Д (еа—г епр)] —
(Д^а) {1/, tZ, w^) а
—’ У (Рxili1 4~ РyiP' + Рг№‘) : АVа^- О, AVа (епр — еа) V«ЁсА
Дифференцирование функции П по переменным вообще недопу-
стимо из-за дополнительных ограничений AVa (епр — еа) V%ea,
связывающих переменные АУа и и1, v‘, w{. Исследуем эти ограни-
AV
чения. Обозначив ka = —g—-—, получим ограничения в виде
4" А^а
ек •< kaEnp. Вследствие того что 0 •< ka 1, решение задачи на-
хождения
max |п( = у (Рxttfi -f- Рyflf РzfliA) —• У, Ик (еа 4* 2епреа):
(и1, V1, I а
Ьпр> Д/Упр
не противоречит решению, найденному из
min
<Эе„
<ЭУ
AVa>0, АИа>—-^~-
епр - е<
Таким образом, для определения параметров предварительно нап-
ряженной вантовой сети можно предложить следующий способ.
Из соотношений первой группы определяются знаки деформа-
ций стержней (большее невозможно из-за неопределенности вели-
чин Да). Для всех Еа > 0 назначаются AVa =------и для всех
епр e<z
ер С 0 назначаются АУр = 0; а = 1, 2,ml; |3 = ml 4- 1,.... m.
После преобразования соотношений второй группы окончатель-
но получим систему уравнений
Е 2 У° L 4- епр 4---4- £ Ж (ер + епр) = Рхг,
Е 2 (е« _г епр 4—-—~~m—У ^2 (ез 4- епр) ; = Pyi',
а \ епр ~ еа / dV р av
Еа + епр 4" ~—) “7“7—F Е 2 Ир (ер + епр) = Ра;
епр ~ еа / duf р dw
АИа- р \ ; АУр = О,
епр — ьа
еа = еа (Ul, V‘, W1); ер = ер (Д', V‘, R,
158
в результате решения которых определяются параметры вантовой
сети.
Укажем теперь рекомендуемую последовательность определения
параметров оптимальной вантовой сети один раз статически неопре-
делимой.
I. Определяется конфигурация вантовой сети при заданных
усилиях преднапряжения и при действии внешних сил на основа-
нии принципа
min L = S V (2Ла1х‘)2 + (SAat#)2 + (2Д»О2 —
--2 (PxiX1 + Pyil)1 + PziZ).
i
II. Определяются перемещения узлов системы при переходе из
нагруженного в ненагруженное состояние, а также объемы мате-
риала стержней вантовой сети на основании принципа
ma_x min |П = -f- 2 IV° tea + 2еПрев.) + Д Va (е« — ВпР)]:
(rzft tZ, к?)
Д1Д > О, ДУВ (епр — еа) > .
Эта рекомендация основана на следующих соображениях. Как
правило, опорный контур находится в наиболее неблагоприятных
условиях при действии расчетной нагрузки, поскольку усилия в
вантах при этом достигают максимальных значений и неравномерно
распределяются в системе. Предварительное назначение усилий в
вантах нагруженной вантовой сети позволяет решить задачу проч-
ности контура независимо от задачи прочности вантовой сети. Да-
лее, если в нагруженном состоянии все стержни растянуты, то при
переходе в ненагруженное состояние в стержнях не возникает сжи-
мающих усилий и, следовательно, нет нужды в специальных прие-
мах для учета односторонней работы стержней вантовой сети.
Такая последовательность расчета соблюдается многими авторами
и впервые, по-видимому, была предложена Л. Г. Мухадзе [40],
§ 6. Определение оптимальной последовательности
натяжения вант сети с контуром малой изгибной жесткости
Монтаж вантового покрытия обычно начинается с подвески от-
дельных вант и образования сети. Вначале усилия в вантах, обус-
ловленные действием собственного веса, пренебрежимо малы, пред-
напряжение отсутствует, однако геометрия сети (координаты узлов)
в этом состоянии — назовем его состоянием I — совпадает с гео-
метрией сети в состоянии II, характеризующемся заданными уси-
лиями предварительного напряжения.
159
Необходимо осуществить «переход» сети из состояния I в состоя-
ние II путем последовательного натяжения каждой ванты за мини-
мальное количество этапов (ступеней), а также определить величи-
ну усилия на каждом этапе. При этом основным ограничением яв-
ляется условие прочности опорного контура.
Очевидно, что для вантовой сети с контуром малой изгибной жест-
кости наиболее неблагоприятное состояние будет в случае натяже-
ния одной или нескольких вант, т. е. при неравномерности натяже-
ния. Поэтому решение задачи «перехода» сети из состояния I в со-
стояние II сводится к определению величин необходимых удлине-
ний каждой ванты и затем к осуществлению натяжения, соответ-
ствующего этим удлинениям.
Удлинение определяется так:
где Р — номер ванты;
а — номер участка вант;
Fa — площадь поперечного сечения ванты;
Л10, No — изгибающий момент и нормальное усилие в контуре
при действии усилий предварительного напряжения
во всех вантах;
/Ир, Ар — то же, при действии в ванте усилия натяжения, рав-
ного единице;
Elk, EFk — жесткостные характеристики контура.
Интегрирование выполняется по длине контура s.
Напряженно-деформированное состояние II ввиду упругости си-
стемы не зависит от последовательности натяжения вант на раз-
личные удлинения Д/р (/ = 1, 2, .... пр — количество этапов натя-
жения каждой ванты). Достаточно, чтобы на каждом этапе соблю-
далось условие
Д/р — 2 д/₽ > 0.
(IV.46)
В оптимальной последовательности достигается
min п =2ПР
при условии
Д/р — 2 Д/р = 0.
Алгоритм решения задачи состоит в следующем.
Используя методы, изложенные в гл. III, решаются задачи
определения равновесия сети при заданном удлинении каждой ванты
в отдельности на величину Д/р С Д/р. Величины максимально допу-
стимых удлинений max Д/р определяем исходя из условий прочнос-
ти контура. Далее определяется ванта, для которой соблюдается
160
условие min (—max А/p). Полученное усилие в этой ванте являет-
Р
ся усилием преднапряжения на данном этапе. Можно также вычис-
лить величину удлинения, на которое необходимо натянуть рас-
сматриваемую ванту (Д/р — max Д^р). Это состояние принимается
за исходное и аналогично рассматриваются другие ванты. Вычис-
ления продолжают до тех пор, пока для всех вант не будет соблю-
дено условие (IV.46).
Естественно, что рассмотренная задача в случае покрытия с до-
статочно жестким контуром сложности в решении не представляет,
так как сводится к вычислению усилий преднапряжения на каждом
этапе, количество которых равно числу вант.
Аналогичная задача, сформулированная несколько иначе, реше-
на В. Г. Корниловым [27].
§ 7. Компоновка конструкции из ограниченного числа
различных сборных элементов
Такая задача в проектной практике встречается довольно часто.
Применительно к вантовым покрытиям она решается, например,
в таких ситуациях.
На вантовую сеть требуется уложить сборные, например метал-
лические, панели. Если каждой ячейке сети будет соответствовать
некоторая панель, количество последних будет равно числу ячеек
с различной геометрией, и при этом зазоры (швы) между ними от-
сутствуют. В случае применения одного типоразмера панелей за-
зоры будут иметь различную величину. На практике противоречие
между этими двумя крайними случаями разрешается путем назна-
чения (на основании опыта и интуиции) такого количества типораз-
меров панелей, чтобы зазоры в общем были минимальными.
Подобная задача возникает и при выборе типа вант, отличающих-
ся длиной, решением узла примыкания к контуру и т. д. и удовлет-
воряющих условиям прочности. Естественно, что при этом также
накладываются ограничения на количество типов, так как случай
равенства количества типов и количества вант является тривиаль-
ным. Аналогичная задача возможна при компоновке опорного кон-
тура из сборных железобетонных элементов.
Рассмотрим формальный путь решения указанной задачи.
Пусть дано множество заранее запроектированных элементов
и известно соответствие их местам возможных установок, т. е. пра-
вило взаимозаменяемости, которое можно выразить матрицей сов-
местимости
I о
а‘' I 1,
где I = 1, 2, .... п — различные элементы;
j — 1, 2,.., т — места установки;
ац ~ 1, если элемент / совместим с местом в противном слу-
чае ац = 0.
6 3-2835 1 61
Известны издержки cijt связанные с установкой элемента i на мес-
то / (например, объем зазоров между панелями, расход материалов,
стоимость и т. п.). Известно также допустимое число различных
элементов в конструкции.
Необходимо определить неизвестные xtf = 1, если элемент i
устанавливается на место и б£ = 1, если элемент i используется
в конструкции (в противном случае соответственно xt! = 0 и 6г = 0)
при минимальных суммарных издержках С. Иначе: найти
min С = ^сцХц
(WA1)
при ограничениях:
dijXij — 1,
( 0
*0 = 1 1-
2 (щД — Xtj) 0;
/
<[/];
i
(IV.48)
(IV.49)
(IV.50)
Выражение (IV.48) определяет, что на каждое место может быть
установлен один элемент. Условие (IV.49) трактуется так: если на
место / устанавливается элемент I, т. е. xtj — 1, то бг = 1 и в усло-
вии (IV.50), ограничивающем число типоразмеров, появятся соот-
ветствующие отличные от нуля слагаемые.
Как видим, (IV.47)—(IV.50) является задачей линейного програм-
мирования с булевыми переменными.
Глава V
ДИНАМИКА ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ
§ 1. Особенности динамического расчета вантовых
покрытий *
Деформативность, большой удельный вес временных нагрузок
являются причинами повышенной чувствительности вантовых по-
крытий к динамическим воздействиям.
Динамический расчет, сложный для обычных конструкций, еще
больше усложняется для вантовых покрытий. При рассмотрении
колебаний вантовых систем обычно исходят из нелинейных уравне-
ний статики, присоединяя к ним выражения влияния сил инерции
в соответствии с принципом Даламбера. Массы системы сосредото-
чиваются в узлах сети и, таким образом, рассматривается нелинейная
система с конечным числом степеней свободы. При этом, как правило,
рассматриваются только вертикальные колебания.
Одним из основных свойств нелинейных колебаний вантовых по-
крытий является отсутствие изохронности. Частота нелинейных
колебаний зависит от амплитуды. В вантовых покрытиях это свой-
ство вызывается изменением жесткостных характеристик системы в
процессе колебаний.
Вынужденные колебания происходят с периодами возмущающей
гармонической силы или с кратными периодами. Поэтому опас-
ность возникновения резонансных явлений в вантовых покрытиях
большая, чем при колебаниях обычных конструкций. Возможно
существование нескольких резонансных режимов. Вполне понятно,
что принцип независимости колебательных движений неприменим.
Не продолжая перечень существенных отличий нелинейных ко-
лебаний вантовых покрытий, можно сделать заключение о значи-
тельной сложности задачи динамического расчета, связанной с не-
линейной деформативностью.
Однако поскольку при достаточно малых амплитудах колебаний
вантовые покрытия ведут себя как линейно-деформируемая система,
не следует категорически отвергать возможность рассмотрения ко-
лебаний вантовых покрытий как гармонических. При увеличенных
амплитудах колебания вантовых покрытий можно рассматривать
как квазигармонические.
При динамическом расчете вантовых покрытий должны учиты-
ваться не только первые, низшие формы и частоты колебаний, но
* Методы динамического расчета вантовых покрытий разработаны канд, техн,
наук Л. Г. Дмитриевым.
6* 163
и весь спектр частот. Последнее обстоятельство повышает трудоем-
кость вычислений. Известные приближенные методы определения
форм и частот колебаний (итерационный, спектральной функции
и др.) оказываются практически неприменимыми.
Основоположниками нелинейной теории колебаний являются
Ляпунов и Пуанкаре. Математический фундамент решения задач
основывается на классических работах Крылова, Боголюбова,
Минорского, Ван дер Поля, Розенберга, Колмогорова, Митрополь-
ского и других видных ученых. Особое развитие нелинейная теория
колебаний получила в различных направлениях физики, радио-
электронике, системах связи и др., где необходима полнота и стро-
гость не только количественной, но и качественной картины исследуе-
мых явлений. Получила она свое развитие и приложение в инже-
нерной, в частности, строительной механике. »
В связи с большим количеством типов нелинейных дифференци-
альных уравнений, описывающих рассматриваемые явления, не
существует единого подхода к их решению. Каждый раз приходит-
ся решать их по-новому, прибегая иногда к упрощению условий,
используя частные, характерные для конкретной задачи особенности.
Вопросы исследования динамики вантовых покрытий отдельных
конструктивных схем рассматривались в работах [31, 42, 48, 53,
62]. Достаточно точный динамический расчет вантовых покрытий
можно выполнить с помощью ЭВМ. Некоторые результаты таких
исследований содержатся в [26].
С известной условностью, но в рамках принятой классификации,
задачи динамики вантовых покрытий можно разделить на группы.
1. Задача о свободных колебаниях системы, имеющая место при
учете начального удара, например, при укладке сборных железо-
бетонных плит на вантовую сеть. Такое воздействие может рассмат-
риваться как движение системы с присоединившейся массой, имею-
щей начальную скорость.
2. Задача о вынужденных колебаниях, возникающих, например,
при укладке бетона в швы между плитами, перемещении груза по
поверхности покрытия, вибрировании бетона и т. п. Здесь речь идет
об установившихся вынужденных колебаниях. К этой задаче от-
носится также учет сейсмических воздействий.
3. Задача о параметрическом резонансе, возникающем в резуль-
тате влияния на движение системы периодически меняющегося од-
ного из параметров, например, величины усилия преднапряжения в
вантах. Изменение усилий является следствием колебаний системы
по так называемым равновесным формам. Резонанс может вызвать
колебания по неравновесным формам.
4. Задача о флаттере, т. е. учет динамической потери устойчи-
вости покрытий при действии ламинарного ветрового потока.
Конечно, перечисленные задачи классифицируются здесь укруп-
ненно и не исчерпывают обширного круга частных, но важных воп-
росов динамики вантового покрытия. Многие задачи не только не
решены, но еще не сформулированы.
164
В настоящей главе изложены возможные теоретические и практи-
ческие пути динамического расчета вантовых покрытий. В ней не
рассматриваются вопросы, связанные с единственностью решения,
сходимостью и корректностью приближенных методов и др. Некото-
рые результаты приводятся без доказательства.
§ 2. Колебания линейно-деформируемых вантовых
систем
Динамические свойства шарнирно-стержневой линейно-деформи-
руемой системы с п степенями свободы могут быть описаны следую-
щей системой уравнений:
—Л + 2^/ = 0, (V.1)
/=1
где т1 — масса, сосредоточенная в «-том узле системы;
<ог(/) — перемещение /-того узла;
Pt — нагрузка на i-тый узел;
Гц — коэффициенты линейной системы уравнений;
со® — вторая производная по времени t от перемещения в i-том
узле.
Эту систему уравнений в дальнейшем будем называть исходной
(ИС).
Рассмотрим колебания системы при начальных условиях (Рг = 0;
при t = 0 wt = Wi (0), аур* = 0). Решение может быть представле-
но в виде ряда Маклорена
.м л
= X (0) ДГ •
k=0
Необходимые значения коэффициентов ряда Маклорена (КМ),
представляющих собой значения производных при t = 0, вычисля-
ются по рекуррентным формулам, полученным последовательным
дифференцированием ИС (V.1):
щр(°) =--^-2 г^/(0);
(0) = — -2- 2 r4wr (°);
1 /=1
1 п
(0) = _ 2 M2fe) (°)’
1 1
При рассматриваемых начальных условиях все нечетные произ-
водные равны нулю. Обозначим: да,-2** (0) = bik. Тогда формулы
для вычисления КМ примут вид:
^+1=—(V.2)
165
i = 1, 2......n;
k = 0, 1, 2, ....
Решение, найденное в виде бесконечного степенного ряда, прак-
тической ценности не имеет. Однако им можно воспользоваться для
нахождения решения в традиционной форме тригонометрического
ряда с конечным количеством членов, равным числу степеней сво-
боды ИС.
= у ац cos со;/,
/=1
где (Oj — частота /-той формы колебаний ИС;
atj — амплитуда /-той формы колебаний ИС в Z-том узле.
Последовательно дифференцируя этот ряд по t, при t = 0 полу-
чим:
№<°)(0)= уц17;
/=1
— <)(0)=
/=1
иД4) (0) = У а1;со4’
/=1
(-l)M2fe)(0) = £ а^-,
/=1
Подставив вычисленные по формулам (V.2) значения КМ и обозна-
чив ©у* = а*, получим уравнения:
bik = у ац^, (V.3)
/=1
fc = 0, 1, 2,
При числе степеней свободы ИС, равном п, 2п таких уравнений
позволяют определить все элементы (ait и со,) тригонометрического
ряда. Для решения системы уравнений (V.3) произведем необхо-
димые преобразования. Последовательно исключим ац, ац, ац,...
При исключении ац умножим £-тое уравнение на аг и вычтем из не-
го (k + 1)-тое:
arbik — biJ1+} = у ац (<7.| — ос,) а*.
1=2
Соответственно для ац умножим ранее преобразованное k-тое урав-
нение на а2 и вычтем из него преобразованное (k -ф 1)-тое:
— («1 + сс2) bttk+i + bl>k+2 = У ац (ах —- а,) (а2 — а;) а*.
/=з
166
Проделав то же для аа, имеем
а^афск — (а^-2 + ata3 4- а.,а3) 6,-,*+1 4- (ах + а2 + «з) ^.*4-2 —
— fe.fe+з = 2 ati («1 — «/) (а2 «/) (аз — “/) “*•
/=4
Продолжая процесс, получим преобразованные уравнения:
2 А„_Дл+/ = 0; (V.4)
1=0
где Ао = 1; — At = ах 4- а2 4- • • + ап — у, а{;
'=1
А2 = ага2 4- 4- • • • 4- an^.tan = у а(а,-:
i.i=i
п
— А3~ а^Од 4- aia2a4 4- • • 4- an_2an_ja„ = у а(а;аА;
i.j,k=i
(—1)'1Л„ = а1а.2а3 ... а„.
Alf А2, А3,..., Ап представляют собой коэффициенты полинома
(КП), корни которого соответствуют значениям квадратов частот
(ab а2,...) колебаний ИС.
ап 4- Ахап~' 4- А2ап~2 4- • • 4- Ап == 0.
Таким образом, п уравнений (V.4) представляют собой линейную
систему уравнений относительно неизвестных КП. В дальнейшем
эту систему будем называть полной системой уравнений для опре-
деления коэффициентов полинома (ПС).
Итак, для определения КП необходимо выполнить вычисления в
следующей последовательности:
Необходимо отметить, что отсчет значений k в уравнениях (V.4)
при составлении ПС может начинаться с любого значения, которое
позволяет воспользоваться изложенным методом и при других на-
чальных условиях, например, для случая внезапного возникнове-
ния в узлах ИС сил Pt, т. е. Р, =А= 0 при t — 0; wt (0) — 0; w\l} (0) =
= 0.
167
Из начальных условий и формул (V.2) найдем КМ. Ряд Маклоре-
на в этом случае будет иметь вид
0 + ba -2р + bi2 + • • •
Чтобы формально свести задачу к предыдущему случаю началь-
ных условий, перепишем ряд
/2 /4 \
— b/о + [bio 4- Ьц -gj—|- bi2 ~4j~ + ' ‘' I •
Тогда соответствующий ему тригонометрический ряд будет иметь
вид
п
w{ — — bid + У, ctij cos со,/.
В отличие от первого случая начальных условий нам неизвестно
значение Ь^. Следовательно, при составлении ПС преобразования
необходимо начинать с уравнения (V.4) при k = 1 и до k = п.
В остальном последовательность вычислений остается прежней.
Значение Ью вычисляется после определения КП, Из первого урав-
нения ПС (при k = 0)
Ко =4- (V.5)
Величина Ь^ соответствует значению статического прогиба (®1СТ)
i-того узла ИС.
Значения aZ/- — амплитуд колебаний t-того узла ИС вычисля-
ются по формулам, полученным из преобразованных уравнений
(V.3), когда исключены все а.ц, кроме вычисляемого
n-\-k—I
S Bi. П—l+kbi,l—1
aii = ш—+=*+*+в , в Rn-i)ccfe ; О/-6)
(о, n-i~r + ) a-j
A ! R
Bj, n_ (fc+n - . (V.7)
В развернутой форме записи ПС имеют вид:
ЬйАп + 1 + Ь2Ап—2 4- • • • + Ьп = 0;
btAn + ЬгАп—1 + ' КА + К14-1 0;
Ь2Ап 4- •. • 4- Ь„А2 4~ Ьп^А1 4- — 0;
bn—iAn 4~ 1 4- bn+iAn__2 4- • • • b2n~i — 0.
Коэффициенты на каждой диагонали, включая свободные члены,
одинаковы. ПС содержит всего 2п различных элементов (при поряд-
ке системы п) вместо п2 4- п элементов для общего случая неодно-
родной системы линейных уравнений.
168
Для определения КП необходимо предварительно преобразовать
ПС, обратив в нули коэффициенты на диагоналях, расположенных
по одну сторону от главной диагонали матрицы. Если восполь-
зоваться для этого алгоритмом Гаусса, то в преобразованной к тре-
угольному виду ПС отсутствует равенство элементов на каждой диа-
rt2 4- п , г,
гонали и содержится —— + п различных элементов. Для приве-
дения ПС к треугольному виду с сохранением равенства элементов
на каждой! диагонали (в дальнейшем будем называть ее треуголь-
ной системой для вычисления коэффициентов полинома — ТС) при-
меним специальней способ.
2п — числа КМ, составляющие элементы ПС, полностью ха-
рактеризуют свойства i-того узла системы при заданных начальных
условиях. С их помощью можно определить частоты сщ, ю2, со3,...
и амплитуды соответствующих форм колебаний (ац, ai2, ai3, ...).
В случае Pi 0 можно определить величину статического прогиба
&zo этого узла. 2/г чисел содержат полную информацию о рассматри-
ваемом узле системы. Они были вычислены по формуле (V.3), полу-
ченной последовательным дифференцированием исходной системы
уравнений. Можно предположить, что эти числа могли быть полу-
чены и при рассмотрении какого-либо узла другой системы (с чис-
лом степеней свободы п), которую назовем эквивалентной системой
(ЭС). Простейшей ЭС является тп^”-
м. позволяют определить все стоа; “ ™’
। рехдиагональная ЭС обладает важным свойствбй’.’ если в свобод-
ных членах содержится только одно значение в первом узле, отлич-
ное от нуля, то в последнем узле (п — 1) значение производных рав-
но нулю. Воспользовавшись значениями КМ, вычисленными для по-
следнего узла ЭС, можно составить треугольную систему уравнений
для определения КП. Матрица эквивалентной системы имеет вид:
У1 i
%2 У 2
'3
Уз 1
t/4 1
b.
Вычисление элементов ЭС производится по следующим рекур-
рентным формулам:
_ bt ___________________
“г bl,i—1 1,т—2
Ъц =; &Z-1./+1 — &Z—1, /У 1—1— bi—2,jXi—2l
(V.8)
. , n — i.
2.....ц;
Количество чисел, необходимых для вычислений, равно 4п.
В конечном итоге схема вычислений сводится к следующей по-
следовательности:
169
Пример 1. Найти выражения, описывающие движение каждого узла плоской
вантовой сети, загруженной сосредоточенной силой, внезапно приложенной к
узлу 1 (рис. V.1). Усилия в нитях Но •= 1 т, массы т = 1 т/сег? • л; расстояния
между узлами X = 1 м; Pi => 1 т\ Р2 «= Ра = Р4 •=• 0. В начальный период вре-
мени t = 0 перемещения wi (0) =
= w2 (0) «= wa (0) = (0) = 0 и пер-
вые производные перемещений по
времени (начальные скорости)
(0) = 4” (0) = Ц1’ (О)=ал<1,<0) -
= 0.
Сеть рассматриваем как линей-
но-деформируемую систему. Урав-
нения имеют вид:
Г Дю
V Я -у—
I л
Рис. V.l. К примеру 1.
+ (Р — = 0;
Н=Н0.
170
Или в развернутой форме с учетом исходных данных:
4цу, — ш2 — ws + 1,0 = —
— wr + 4щ2— wt = — w^;
— + 4w3 — w4 * = — k|2);
— w2 — w3 + 4k>4 = — w*2*.
В соответствии с изложенным способом вычисляем значения КМ при t == 0:
Ьц= 1 +4^(0)- ила(О) — ьо3(О) = 1,0;
b.,i = — wt (0) + 4ю2 (0) — w4 (0) = 0;
6.-й = — Wi (0) + 4ю3 (0) — w4 (0) = 0;
bn = —w2 (0) — w3 (0) + 4w4 (0) = 0.
Продифференцировав два раза, получаем:
1>12 = 4Ьц — b21 Ь31 = 4,0;
622 = — Ьц 4621 + 4641 = — 1,0;
632 = Ьц -ф 4631 — Ь41 — — 1,0;
642 = b2i b3i 4" 4641 = 0.
Продолжая этот процесс, найдем:
613 = 18,0; Ьц= 88,0; 615 = 456,0; 6I(i = 2464,0;
623 = ~ 8,0; bM = — 52,0; 62Б = — 320,0; b№ = — 1936,0;
ьзз = — 8,0; 634 = —52,0; 635 = — 320,0; bse = — 1936,0;
643 = 2,0; 644 = 24,0; 645 = 200,0; b№ = 1440,0.
В соответствии c (V.4) составим уравнения для определения коэффициентов
полинома. Учитывая, что система вследствие симметрии обладает тремя степенями
свободы, для каждого узла составляем по три уравнения:
узел 1
Л3+ 4Л2 + 18Лх + 88 = 0;
4Л3 + 18Л2 + 88 Ai + 456 = 0;
18Л3 + 88Л2 + 456ЛХ + 2464 = 0;
узел 2, 3
Л2 + 8Аг + 52 = 0;
Л.,+ 8Л2 + 52Л]+ 320 = 0;
8Л3 + 52Л2 + 320Лх + 1936 = 0;
узел 4
2ЛХ + 24 = 0;
2Л2 + 24Лх+ 200 = 0;
2Л3 + 24Л2 + 200Ai + 1440 = 0.
Из приведенных систем уравнений для решения выбираем то, которое содер-
жит максимальное число нулевых коэффициентов, а именно систему, составленную
для узла 4. Решение этой системы дает значение для КП: Аз = — 48; Л2 = 44;
Л1 = — 12.
Следует заметить, что решаемая система содержит две нулевые диагонали и,
таким образом, является ТС, т. е. в данном случае нет необходимости преобразо-
вывать ПС, составленную из КМ (для узла 1) в ТС. Вместе с тем, проиллюстрируем
преобразование ПС в ТС с помощью ЭС.
Элементы ПС, представляющие собой КМ, вычисленные для узла 1, равны:
6ю = 1; би = 4; 612 = 18; bis = 88; 614 = 456; 615 = 2464.
171
Вычисляем элементы ЭС:
У1 — — 4; bw = bu — bt<Jyy = 4 — 1 4 = 0;
52i — ^12 ЬцУ\ == 18 — 4 -4 = 2;
b22 = 88 — 18 • 4 = 16;
b2S = 456 — 88 • 4 = 104;
fc24 = 2464 — 456 • 4 = 640;
„ _ ^21 2 9. ___ ^22 ^11
x2 — h j— — А Уг — ~r -f—
°10 1 °21 t'lO
21
632 •— b23 — b22y2 ^12X2 — Ю4 — 16*4 — 18 • 2 — 4;
— b22y2 — bi3x2 = 640 — 104 • 4 — 88 • 2 = 48;
r ____ ^3g ____ 4 ____9. _____ 533 b22____48 16 ____
3 b2J 2 ’ Уз b32 b2i 4 2
Таким образом, ЭС имеет вид:
4ш, + w2 = — O)j2>;
2bU] + 4ш2 + w3 — — .
2w2 + 4ю3 = — .
Если сад (0) о 1, w2 (0) «= 0, wb (0) = 0, то для третьего узла KM будут равны:
5зо = 0; 531 = 0; fc32 = 4; 633 = 48; fc34 = 400; b35 = 2880 и будут представлять
собой элементы ТС.
Вычислим по формуле (V.5) значения статических прогибов каждого узла (ну-
мерация КМ сдвигается в этом случае на единицу):
ftio — ~д А±Ь12 4* 5i3) — 4g (44 • 1 12 • 4 4- 18) = 0,29166 л<;
520 = -4г (44 • 0 -ф 12 • 1 — 8) = 0,08333 л;
4о
Ь«о = -4г (44 • 0 — 13 • 0 + 2) = 0,04166 м.
Полином имеет вид: —48 + 44а — 12аг + а3 = 0. Определяем корни поли-
нома: at = 2; <*2 = 4; а3 = 6.
В соответствии с (V.6), (V.7) вычисляем значения амплитуд колебаний каждо-
го узла:
3 _ Аз _ _ 48 _____ _ А2 4- Дю _ 44 — 24
12 «1 2 >м 2 ~
A4-Bu 10-12 48
-------------------= _!, Вг2 =------- =-12;
Ю;
44—12
4
1; в32=-ё^- = -8; в22 =
6—12
6
172
Тогда для узла 7:
___ ^rz^ii + Bub12 + By>bi3 — 24 1 + 10-4 — 1 18 _ -
“ (B^+S^ + S^a, (-24+10-2-1- 22) 2
— 12 • 1+8 4—1 • 18 ^-8- 1+6-4—1-18
Я12“ (12 + 8 • 4 — 1 42) 4 U,12b; °13 (— 8+6-6— 1 • 62) 6
= 0,04166.
Таким же образом вычислим а и для других узлов:
a2J — 0,125; а22 = 0; а23 = — 0,04166;
я41 = 0,125; а42 = —0,125; о43 = 0,04166.
Следовательно, решение имеет вид:
для узла 1
к>! = 0,125 (1 — cos КЙ) + 0,125 (1 — cos /4?) + 0,04166 (1 — cos /б7);
в положении равновесия oi = bio = 0,2916 м;
для узлов 2 и 3
ш2 = 0,125 (1 — cos V2i) — 0,04166 (1 — cos К«);
в положении равновесия ш2 = Ьм =» 0,0833 лг,
для узла 4
wt = 0,125 (1 — cos /2/) — 0,125 (1 — cos V~4t + 0,04166 (1 — cos /б/);
в положении равновесия ш4 = Ь№ = 0,04166 м.
Для проверки решения подставляем значения Ь(-о в уравнения равновесия:
4 • 0,29166 — 0,08333 — 0,08333 — 1 =0;
— 0,29166 + 4 • 0,08333 — 0,04166 = 0;
— 0,29116 + 4 0,08333 — 0,04166 = 0;
— 0,08333 — 0,08333 + 4 0,04166 = 0,
т. е. все уравнения удовлетворяются тождественно.
§ 3. Колебания нелинейно-деформируемых вантовых систем
Способ, изложенный в предыдущем параграфе, может быть ис-
пользован при решении задач динамики' нелинейно-деформируемых
вантовых систем. Для вантовых систем с одной степенью свободы сво-
бодные колебания описываются уравнениями:
fwH + (ma(2' — Р) = 0;
Н = Но + 2Aw + Aw2, (V.9)
где f, А — некоторые коэффициенты, характеризующие жесткость
и геометрию системы.
Рассмотрим случай начальных условий, когда Р = 0 при t —
= 0, а?(0) = с, ю(1)(0) = 0.
Решение будем искать в виде степенного ряда
w = w (0) + щ(2) (0) 4- + ш(4> (0) . (V.10)
173
Значения а/2)(0), ю(4)(0),... определятся по рекуррентным фор-
мулам:
j Н (0) = Но + A [2w (0) -}- а»2 (0)];
( — mw® (0) = fH (0) w (0);
j (0) = A {2w(2) (0) + [ш (0) w (0)]{2)};
j — mww (0) = f[H (0) w (0)]<2>;
//<4) (0) = A (2o/4) (0) + [w (0) w (0)](4)};
— mw(<s> (0) = f[H (0) w (0)]<4> и т. д.
В эти формулы входят члены, представляющие собой производные
n-го порядка от произведения двух функций, вычисляемых по фор-
муле Лейбница (аналогичной биному Ньютона). Например:
[Н (0) w (0)](4) = (0) w (0) + 4Я(3) (0) а?(1) (0) +
+ 6Я(2) (0) а/2) (0) + 4Я(1) (0) w® (0) + Н (0) а/4) (0).
Будем полагать, что существует периодическое решение рассмат-
риваемой задачи, которое можно искать в виде бесконечного три-
гонометрического ряда
w = аг cos со/ -(- а2 cos Зсо/ 4- cos 5со/
где неизвестными являются величины щ, а2, ... и со. Чтобы воспользо-
ваться способом, примененным для решения линейных систем, бу-
дем считать, что со = coj, Зсо — со2, 5со'= со3 и так далее.
Таким образом, тригонометрический ряд примет вид:
w = аг cos 04/ 4- а2 cos со2/ 4- as cos со3/ 4- ...
Для определения коэффициентов полинома, как и для линейной
системы со многими степенями свободы, можно составить уравне-
ния ПС, если ограничимся конечным числом членов тригонометри-
ческого ряда. Таким образом, дальнейшие вычисления можно про-
изводить в последовательности, указанной в предыдущем параграфе.
Рассмотрим другой случай, когда Р =f= 0 при / = 0, w (0) = 0,
со(1> (0) = 0. При таких начальных условиях можно:
построить степенной ряд по / и искать решение в виде
Wi = — bi0 -f- aij COSCO/,
/•=1
аналогично тому, как было выполнено для линейных систем;
найти положение равновесия, т. е. величину статического проги-
ба к)ст от силы Р, преобразуя исходное уравнение подстановкой
а4 = w 4- а?Ст, затем искать решение при начальных условиях
Р = 0 при / = 0, w (0) = —и)ст, а/1’ (0) = 0.
174
Для вантовых систем со многими степенями свободы, свободные
колебания которых описываются уравнениями:
V [ Н -44 + (Р — mw\ = 0;
k I ‘Ji
применим тот же способ.
Значения КМ определяются по рекуррентным формулам:
Н{{0)1=+ [х-^-+4Х
(mw (0)2)ft = Р + V [Я (0) + V [Я (0)
н (О)р = EF {£ АгоАи) (°)(2) + 1 £ [Ак>(0)Аю(0)](2) |.
— (mw (0)w)ft = V ГЯ (0)<2) -4М + V ГЯ (0) -Аш (-°-)--1(2) и т. д.
k L z Ji * L 1 v
Решение для каждого узла ищем в за-
висимости от ' начальных условий, во
всем следуя принятому алгоритму.
Пример 2. Найти выражение, описывающее
движение узла нити, масса которой сосредото- р v 9 к nnHMPnv о
чена в середине пролета (рис. V.2). Начальное • Р РУ
усилие в нити Но = 1 т, жесткость EF= 100 т,
масса m = 0,2 f jcee? • м, расстояние между узлами X = 10 м.
Уравнения имеют вид:
^2) = н _ ..и-N.] = _ " 2ач; = _ Hwi;
I Л Л I Л
U U , EF Г (^2 — ^l)2 , (^1 — ^о)2 1 W ,
н = Но + — ----4--------------J - Но +
Таким образом, задача сводится к решению уравнений:
( — — Hw
1 Н = 1 4- ш2,
или
ю® 4 te> [у3 = 0.
В качестве начальных условий примем: при t = 0 w (0) = 0,5; w (о/!) = 0.
Определим значения КМ, ограничиваясь первыми шестью членами разложения.
Н (0) = HQ + w (0) w (0) = 1 + 0,5 • 0,5 = 1,25;
br = w (0)<2) = Н (0) w (0) = 1,25 • 0,5 = 0,625.
Продолжая таким образом, найдем:
Ьг = 1,09375; Ь3 = 5,4297; Ьл = 62,2363; Ь6 = 1057,9159.
175
и 0,?5 0.50 0,75 с
Рис. V.3. Зависимость основных
частот от амплитуд для системы
с одной степенью свободы.
при начальных условиях w (0) = с,
Система уравнений для определения коэффициентов полинома НС имеет вид;
0,5 • As + 0,625 • Л2 + 1,093 Аг + 5,4297 = 0;
0,625 • А3 + 1,093 • А2 + 5,4297 • At + 62,2363 = 0;
1,093 А3 + 5,4297 • Д2 + 62,2363 • Л] + 1057,9159 = 0.
Решив эту систему, найдем
— Л3 = 439,4913; Л2 = 423,8475;
— Л] = 46,2525.
Составляем полином третьей степени
439,4913 — 423,8475а + 46,2525а2 — а3 = 0,
корни которого равны:
а, => 1,19; а2 = 10,8; а3 = 34,25.
Вычислим амплитуды
а, = 0,4967; а.2 = 0,0032; а3 = 0,0000.
Следовательно, решение имеет вид:
w = 0,4967 cos wti + 0,0032 cos w2t',
w? — 1,19 и 10,8.
Представляет интерес сравнение результа-
тов расчета данного примера с решением, по-
лученным по методу А. Н. Крылова и приве-
денным в работе [1, стр. 585].
В указанной работе решение уравнения
типа
ю® w w8 = 0
w (0)01 = 0 имеет вид:
w = с • cos at 4- - (cos3 at — cos w/);
32co2
co2 = 1 + 0,75c2.
Подставив в это решение условия рассмотренного примера, получим:
со2 = 1 + 0,75 • 0,52 = 1,19; (Зсо)2 ₽= 10,71;
w — 0,4967 cos at + 0,0033 cos (Зсо) t.
Графики зависимости основных частот для различных значений параметров
и начальных условий приведены на рис. V.3.
Проверим равновесие узла системы в положении максимального прогиба:
“’max = °-4967 + 0,0032 = °.4999 м<
“’max = — О,4967со? — 0,0032 со? = — 0,593 — 0,036 = — 0,629 лс/сек2;
Н = 1 + ^пах = 1,25 т.
Невязка ДР = со®ах—/Уа>тах=0,629—0,625=0,004 т, что составляет менее 1%
от ти&,. = 0,629 т.
ГПал
Как показали результаты решения различных задач динамики
вантовых систем, при большом количестве степеней свободы трудно
обеспечить устойчивость счета. Для этого необходимо, применять
специальные приемы, которые, не затрагивая существа способа,
приводят к некоторым изменениям в алгоритме.
176
Во многих случаях решения задач динамики нелинейно-деформи-
руемых вантовых систем целесообразно применять метод неопре-
деленных коэффициентов.
Алгоритм выбора аппроксимирующей функции проиллюстриру-
ем на двух задачах.
1. Для вантовой системы с одной степенью свободы рассмотрим
задачу свободных колебаний, описываемых уравнением
Hnw ф- р&у3 + &у<2> = О
с начальными условиями при t = 0 w (0) = 2А, ауП)(О) = 0.
Аналогичная задача была решена в примере 2 при Но — 1 т и
р — 1 т/м2.
Считаем А малой величиной (А -> 0). В первом приближении ищем
решение с точностью до о (А2). Полагаем, что существует периоди-
ческое решение в виде
w — сое“ -ф сое“,
где с0 и с0 — неизвестные комплексно-сопряженные коэффициенты;
а и а — неизвестные комплексно-сопряженные функции от t.
Подставим это решение в исходное уравнение и приравняем нулю
члены, содержащие соеа и с$а:
р7о + аИ+а^ = О;
^о + а(2, + а(1)2 = 0.
Принимая условие при < = 0 а = 0, а = 0, получаем решение
а = i а — — t У" Hot.
Из начальных условий w (0) = 2А и ш(1) (0) = 0 получаем уравне-
ния:
Со 4* Cq = 2А;
соа + соа = 0,
откуда с0 = с0 = А.
Таким образом, решение исходного уравнения с точностью до
о (А)2 имеет вид
w = А (е“ 4- е“).
Невязка равна
А = рад3 = рА3 (е3к + Зе“ + Зе“ 4- е3“).
Во втором приближении повысим точность до о (А4). Ищем реше-
ние в виде
w = р (еа 4- 4- А8 (сгеа 4- с2е3“ 4- с2е3“),
где с1г с2, съ с2 — неизвестные комплексно-сопряженные коэф-
фициенты;
а и а — неизвестные комплексно-сопряженные функции
от t.
177
Подставим это решение в исходное уравнение и приравняем нулю
сумму членов, содержащих Хе“, Хе“, Х3е3“, Х3е3“:
| Но + ЗрХ2 + а(2> 4- а(1)2 = 0; .
I И + ЗрХ2 + а<2) + а(1>2 = 0;
I р 4- с2 (Но 4- За<2) 4* 9а(1)2) = 0;
[ р 4- с2 (Но 4- За(2) 4- 9а(1)2) = 0.
Принимая условие при / = 0 а = 0, а = 0, получим решение:
с2 —с2- .
Для удовлетворения начальных условий составим уравнения:
(Ci 4- с1 4- с2 4* с2 = 0;
j а^сг 4- 4- Зс2а(1) 4~ Зс2а<п — 0,
« — и
откуда найдем =-----.
Невязка равна
Д = 3^в (е5“ 4- е5« 4- е3" 4- е3“ — 2еа-^2еа).
Точность до о (X4) обеспечена.
В третьем приближении повысим точность до о (Xе). Ищем решение
в виде
w = X, (еа 4- е5-) 4- (е30' 4- ез«_ еи__ е«) +
О/70
4- X6 (с^ 4- сге^ 4- с2е3“ 4- с2е3“ 4- с3е5“ 4- с3е5«).
Приравнивая нулю сумму членов, содержащих Хе“, получим
Яо 4- ЗрХ2 А Н2^4 4- «(2) 4- «<1)2 = 0,
откуда (при t = 0 а = 0)
a==ily7T + ----3
\ 01 2/Я0 16
Вычислив значения коэффициентов сь с2, с3 и съ с2, с3, получим ре-
шение с точностью до о (Xе).
16/Д
Пример 3. Продолжим решение примера 1, повысив точность до о(Х4). В ка-
честве начальных условий в этом случае примем: при t = 0 Pi = Р2 = Ps = Р4 =
= 0, wi (0) = 2Х, w2 (0) = w3 (0)=ш4 (0) =0, Ц1' (0)=к>(21) (0)= (0) =w (4п(0)=.
= 0. Жесткость всех нитей равна EF = 3 т .
178
С учетом симметрии (ш2 = ю3) колебания системы описываются уравнениями:
4XAK1J — 2Я1ш2 + Kij2) == 0;
. — + (2ДХ + 2Д2) w.2 — HiWi + = 0;
— 2H2w2 + 4Д2ю4 + = 0,
где /7] = 1 4- Wj — w^., + ю|;
Н2 = 1 + — ю2ш4 + ш4.
Решение в первом приближении, найденное в примере 1 с погрешностью до
о (Xs), в комплексной форме записи имеет вид:
Ю1 = А. (е‘а‘‘ + 2е,Мг/ + ela>t 4- e~ibllt + 2е ',Ю2< 4- e-z“s<);
w2 = А- (е1^* - 4- e-(’“‘z Н--);
ш4 = A- (eZB‘z - 2e‘Bl/ 4- eZ“3<
где со2 = 2, со2 = 4. СО3 = 6.
Определим невязки. В первом уравнении невязка равна:
Д 32
—id) it
33 giaJ 30g<w2Z 105 g!-B3i _1_ 4g3Zm2/ 9 e3>ow
A. el (2“i—а2) t । ggi (гач—ао t । 3 j (2Вз_В1) t 3 g< (2B1_Вз)/
4. ggi (2b2—Ы,) t
el (2o)3-b2) t _3_ gi I2at-s>2) t ggi (2o)2+o)2) t । 3 et (2о),+ы,)/ _
3 gi (2(|)14-Ы3) t ge< (2ва+в3) t 15 (2<03—ы2) t gg<(—С01+(|)2+<03) I
j 3gz" —wa4-0)3) t | (0)24-0)2—0)a) f | 2^ (О)24&)24о)з) t | g—itdit _|_
Аналогичный вид имеют невязки во втором и третьем уравнениях.
Для второго приближения (погрешность о (X4)) решение ищем в виде:
k»i = A- (е/в,/ + 2е'“2' + е‘’“8< 4- е~1^ + • • •) 4- X8 + Ьге1а^ +
г I . . . V
w2 = A. (eZB1Z - e/BaZ + e~“IB1Z - е-^* + • • •) X8 + b2e1^ +
+ c/“8<+
% = А- (e‘B1* — 2е‘“2/ + е'Вз* 4 е~ib’lt + • • •) + X8 (о4е1В1< + fc4etB,i 4-
„ 4oW । ...\
179
Подставив эти значения в исходные уравнения и приравняв нулю сумму членов,
X - ,
содержащих — получим:
2 + "8” + 8Х2й1 “ 8>;2°г = “1;
2 + -А. X2 — 4X4 + 8X4 — 4Х2о4 = со?;
2 + X2 + 8Х2о4 - 8X4 = 4
„ „ 21
Исключив аъ а2, о4, получим coj = 2 + X2.
Аналогичным образом определяются остальные величины.
2. Для вантовой системы с одной степенью свободы рассмотрим
задачу затухающих колебаний, описываемых уравнением
How + 2/etw(1) + pay3 + а/2) = 0.
Начальные условия: при t = 0 w (0) = 2Х, и/1» (0) = 0.
Как и в первой задаче, будем считать X малой величиной (X 0),
В уравнении имеется малый параметр (/г -> 0).
В первом приближении будем искать решение с погрешностью
до о (X2), о (Л2) в виде
w = X (соеа + сое“),
где с и с0 — неизвестные комплексно-сопряженные коэффициенты;
а и а — функции от t.
Подставим это решение в исходное уравнение и приравняем ну-
лю сумму членов, содержащих ксоеа и Хсое“:
(f/o + 2^(1’ + a(2> + a(I)2 = O;
Яо + 2ХЙ(1) + а(1) + а(1)2 = 0.
Принимая условие t — 0, а = 0, а — 0, получим решение
а = (—• k 4- i j/a = (— k —. i VHo) t.
Из начальных условий w (0) = 2X, to(1) (0) = 0 получаем уравне-
ния:
(X (c0 + c0) = 2X;
| a(1)c0 + a(I)c0 == 0,
откуда находим c0 = 1 + ~~^=r, c0 = 1-----^==r .
V Но V n0
Таким образом, решение исходного уравнения с погрешностью
до о (X)2, о (/г2) имеет вид:
w == X171 —. i e(-k+iVH<x + (1 + i —-L_\ e(-k-iV.HM "\
IA VHO 4 Vhq ) \
180
Невязка равна
А = (сре3а + Сое3к) + рЛ3е~2А* (Зс0еа + Зсоеа).
Во втором приближении повысим точность до о (№). Ищем реше-
ние в виде:
w = X (соеа + сое“) + Z3 (сге" + с^) +
+ №e~2kt (с2еа + с2е“) + № (с/* + с3е3«).
Подставим это решение в исходное уравнение и приравняем нулю
сумму членов, содержащих Кеа, Хеа, Z3e3a, Z3e3ci:
На + а(2) + а(1)2 + a(l) (%г-ik^2kt^ \ + 3^-2** = 0;
\ с<> /
Но + а'2) + а(1)2 + а(1) (%г-+ 3^—™ = 0;
с3 (HQ + За(2) + 9а(1)2 + 6W1’) + р,ёо = 0;
с3 (Но + За<2) + 9а<1)2 + 6Ла(1>) + рсо = 0.
Принимая с2 = 0, с2 = 0 и при t = 0а=0, а = 0, получим решение:
а = [-* + 4 (1 ~гГ--)]1 +1’ +
ЗрАХ2 / 1—е~2/й \1.
+ 2/Я0 \ Jp
Г . , 3 ufeX2 / 1— e~2kt \]. .[,<75- ,
а--[— k+ 2 и* ( 2k( Jj/ VH0 +
Зр&Х2 / 1 — е 2fe \ ,
Н 2/77; \ 2Й У]г
Сз ~ ( 8/4 + 1
9fey//0
16//02
с3 = р,
1
8/7,
Для удовлетворения начальных условий находим неизвестные
из системы уравнений:
। „(1)
Я-------г “
1
к(1) (0) Ci + За(1) (0) с3 + За(1) (0) с3 = 0;
t 71fe/H0
8/4
7U /ТТр
16//2
Окончательное решение с погрешностью о (X4) имеет вид:
С1 = и
8/7,
16//2
q = р
W = hTyt Г/1 - i М eiat + (1 + i -£=
L\ /н0 / \ /н0
181
у = k 11
3 (А2
2 Но
l-e~zkt
2kt
где
. В
щей
емых вантовых систем.
Если известно решение
— aV' - акЧ
w = аге 1 + а2е 2
1 —е-Ж
2kt
заключение сформулируем алгоритм выбора аппроксимирую-
функции для решения задач динамики нелинейно-деформиру-
и невязка
А = kk+m + Ь2еМа^-а^
с погрешностью до о (Z?+l), то для повышения точности до о (V+m+1)
аппроксимирующую функцию следует принять в виде
w = + а2еа* + • • • + 7?+"! (С1еа* + с./А + • • • +
+ С„+1ер‘<“'-^ + сп+^-^ +...),
где alt а2,... — комплексно-сопряженные коэффициенты, содержа-
щие К в степенях от 0 до А;
Ьг, Ь2, ... — комплексно-сопряженные коэффициенты;
с1э с.2, ... — неизвестные коэффициенты;
alt а2, ... — неизвестные функции по t;
Pi, р2, ... —линейные комбинации функций аъ а2, ...
Таким образом, искомое решение раскладывается в ряд по сте-
пеням величины К.
Для улучшения сходимости ряд по степеням К необходимо пре-
образовать в ряд по степеням коэффициента при члене, содержащем
низшую частоту (amin). Это преобразование обязательно при реше-
нии задач, описываемых неоднородными уравнениями.
§ 4. Динамика вантовых непологих систем произвольного
вида
Составим выражение для кинетической энергии шарнирно-стерж-
невой системы с массами, сосредоточенными в узлах *,
dula
Т — На —
* Обозначения величин см. § 8 гл. II.
182
или в криволинейных координатах
Т — -х- gcu/ — ^klXaiXai-
z a
Переходя в пространство конфигураций, получим
Т — bjG — 2S f^aga/j^abp-
z a
Введем новые переменные
tz 1
Bv — , >----gv
Vmv
Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии при-
мут вид:
Т = 4- b'J0qJ qG- bJ0 = Ь\Г = --7d^.- bl?-
* у пгуШ^
П = —. bjq + -gj— cijaq q + -gj— ajGKq q q H—jj— ctjGKLq q q q ;
, 1 t, 1
bj =----— bj\ ajQ = - r —— djc, ...
у mymn
Произведем еще одно преобразование qJ = TJi ql.
Тензор преобразования Т} определим в результате решения ха-
рактеристического уравнения
a'JcqG ’—Kbjoq0 = О,
где X/ — собственные числа; Т{ = qG\ qG—собственный вектор,
соответствующий собственному числу Xz.
После подстановки получим:
Т=~Ьид1д<- b^TtT^bjG-,
П =—dtq + 4- Kbijqq1 + -^-dijkqq'q + d^iq^q^q1-,
dt = Tjb'j- = TiTGbJG-, dilk = TfT^bjGK,
t rpJrj^GrpKrpLi'
dijkl 1 il j 1 k t I UJGKL>
Если система находится в ненагруженном состоянии (di — 0)
в положении устойчивого равновесия, то, как известно, Xz > 0.
Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид:
L == ~ bt]q q1----4“ ^fiuq1q' — *4" A4kqlq'qk--d,ijkiqq,qkq‘.
Функция Гамильтона //определится после преобразования Лежан-
дра:
п - dL н '//
Pi - = qd Н = Piq !L\
н = 4" Ьцр'р + 4т Kbijqq'' + A4^q4 + 4“ dljkiqq'qkq.
183
Докажем следующее предложение: рассматриваемые шарнирно-
стержневые системы в достаточно малой окрестности точки, со-
ответствующей положению устойчивого равновесия, имеют перио-
дические решения, разлагающиеся в ряды по степеням начальных
значений q = А1, и обладают периодом, разлагающимся в ряд по
степеням А1 и обращающимся в для А = 0.
Как видим, это предложение является пересказом утверждающей
части известной теоремы Ляпунова о существовании и форме пери-
одических решений так называемых систем. Ляпунова. Следова-
тельно, для доказательства достаточно показать, что рассматривае-
мые системы относятся к системам Ляпунова.
После преобразования к собственному времени т = ]A^it получим
функцию Гамильтона (первый интеграл системы)
г 11 / -1 \
д=4 [(Pi)2+(02i+4- £ (р^+-g- ) +
1 п 1 п
Ч of Ч и, —
iik=\ ч' ijkl
очевидно, обладающую всеми свойствами первого интеграла сис-
тем Ляпунова, и канонические уравнения
= — ?! Ч- 2 dukqiqk + Z dlikiqiqhqi,
= О
dX — Pl> ••• ’
которые также удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым
к системам Ляпунова, что и требовалось доказать•
Рассмотрим теперь некоторые частные задачи. ’
Задача определения свободных колебаний сводится к решению
системы уравнений Лагранжа второго рода
d / dL \ dL g
\ Sqi / dq,
ИЛИ
?( + Ч- -of- 2 (dtit QjQk + S dijkiqjqhqi — 0
ik jki
при начальных условиях: t — 0 q/ — a°; qi = b°.
Для фактического построения решения используем алгоритм,
изложенный в § 3 настоящей главы.
1. Решение с точностью до 0(Л<А,):
qt — А[ cos a>it
184
где
А,- cos а,- ~ сь cos a.t 4—— sin аЛ\
, , , л Л f + (6Ь2
“z = ait 4- w, tg<p==--------—; AI-=|/ -------------------§------•
azflf r a;
После подстановки результатов решения в исходные уравнения,
отбрасывания членов, содержащих произведение двух и более А/,
и приравнивания нулю коэффициентов при cos получим
Ki — a~i = 0.
Погрешность равна
А,- = -gj— S Aj-Afedj,7i ~ cos (“j + “ft) +
+ 4- S AjAhdljk -±- cos — wfe) 4- • • •
2 ik 2
2. Решение с точностью до 0(AtA;-Afc):
<7z = A, cos 4- ~ 2 AjAbdi/k cos co£. 4- -d— 2 AjAkdijk cos (co7 4-
2! jk 21 jk
+ “ft) + 4- 2 AjAkdiik cos (CO; coft);
2! ik
£jk cos co,- = a°ijk cos a(t 4—— b^k sin аг/;
t^k у/+ (fc°/fe)8
Для удовлетворения начальных условий необходимо определить
a£jk и bijk из уравнении:
(t = 0);
aw 4- d}ik cos (ср,- + (pfe) 4- dl-k cos (cp7 — cpft) = 0;
b°ik 4- diik (cc} 4- «ft) sin (<p7- 4- cpft) 4- d^ (a3 — ah) sin (<p> — cpk) = 0.
После подстановки результатов в исходные уравнения, отбрасы-
вания членов, содержащих произведения трех и более At, и прирав-
нивания НУЛЮ Коэффициентов При COS СО/, COS (ft); 4- (Oft), COS ((О/ —
— со*) образуются уравнения:
' аг = 0;
dlak — (aj + «ft)2l + 4- dijk = 0;
dljk ftz — («j — afe)2] 4- 4" diik = 0.
185
Погрешность равна
Az = -gj— 2 А]АкАг -x- 2 dijpdpki cos (co; 4- cop) 4- y- 2 AjAkAt x
d! jki 2 p jki
X ~~q~ 2 dijpdpki cos (co;
z p
+ ~4~ dijkij cos (co; 4- 4- Wp 4- -
4—4- dijki^ cos (— co; 4- ink 4- (Op) 4^
4“ -f dijki^ cos (co; — coft 4- Wp) 4- -gj— 2 AjAhA[ 2 dijpdpki 4-
4-^dl7w)c°s(co;4-coft —cop) 4- • • •
®p) + -3?
-gp- 2 AjAkAj f— 2 dijpdpki +
jki \ 2 p
1
31
После введения множителей имеем
Лл/ = «Х-6Ж/ + 6{Х;
AA‘ikl =. W}Ah — 6$6'zAftА + 6j6UzAz;
Л,- = -2- 2 AjAhAi 2 dijpdpki cos (&j 4- cop) 4- -xj— 2 AjAkAt x
jki 2 p 01
X “к" 2 dijpdpki cos (co; (Op) -j—5 2 AjAhAj [_2 2 di/pd^i 4-
2 p 61 jki \ 2 p
+ -j- dtjki\cos (co; 4- wfe + mz) + “от- AjAkAt [-2-2di/pdpki 4-
4- — dtjkij cos (— a>j 4- coft 4- tty) (1 — ^k/i) + -gf- 2 AjAaA{ x
[4- 2 dijpdpki 4- -2- dtjki} cos (co, — coft 4- coz) (1 — Aft/Z) 4-
\ 2 p 4 /
+ у 2 AjAkAt
d (kt
X (1 —> Aikj) 4-
x
(-j- 2 dijpdpki 4- 4~ dtikl)cos + “a — “О x
-gj— 2 ^“2“ 2 dijp (dpkiAAjki 4- dpkiAAkji 4-
4- dpki&Alikj) 4- “I- dijkiAAjkiJ At cos Az 4- • * •
3. Решение с точностью до „(AiAjAkAj):
1
qt A( cos coz 4- 2 AjAhdiik cos coz 4- -2- A;AfeAzdyZftz cos coz 4-
21 jk 01 jki
4- ~^r~ 2 AiAkdijk cos (co; 4- cofe) 4- -gr- 2 AjAhAi 2 dtjpki X
21 fk ° iki p
X cos (co; 4- (Op) 4- -2- 2 AjAj/ijk cos (CO; — (%) 4- -2- 2 AjAhAi x
21 jk jki
186
X 2 dypki cos (c£>j — (dp) + -^- S AjA^difk/ cos (co, + <ofc + coz) +
p /и
H—о;- S AjAkAidijki cos (—'(Oj + ®ft + (dz) -(•
iki
X cos (coj — coft + (OZ) + ^- 2 AtAhA$lki cos (co, + coft — ®z)>
01 iM
где
qi 2 ^X^fe^z^z/fcz' X
d! jki
(fljki cos <i>j a°jki cos a,/ + ~±— b°ijki sin cz;/;
,o -i f ^ki? +
.diiM= V —ц—
Из начальных условий имеем:
t = 0;
a°ijki + 2 d\jvki cos (<p, + <pp) + 2 dlipkt cos (<p7- — <pp) +
p p
+ difk/ cos (zpj + <pft + <Pi) + dtjki cos (— qij + <pft + <p,) +
+ d3ijki cos (tpj — <pk + (рг) + di/ki cos (qj + <ph — <pz) — 0;
btjki + 2 dijpki (tp}- + tpp) sin (tpj + <pP) + 2i difpki (<pj — tpp) sin (<pz —
p p
— Фр) + di/ki (<pz + Фй + 4>i) sin (ф? + Фй + Фг) + dijki (— tyj + ф/г +
+ <p[) sin (— tpj + Фй + фг) + dlki (tpj — фй + фг) sin (tpj — Ф* + q>z) +
+ dl-ы (tpj + фь — Фг) sin (tpj + фь — <pz) = 0.
После подстановки их в исходные уравнения получим:
^г •— се? + -Jf— 2 [dijki^Aiiki 2 dijp (dphiAA^i +
А iki\_ 4 z р
+ dpkiAAkji -j- dpk/AAi/ij)J = 0;
d\jPki [^z —1 (к; + afe)2] H—2~ di/pdpki = 0;
dijpki [A>z (o-y ‘ ' cc^)2] H g- dijpdpkt “ Oj
dlfki [^z'— (cc> + ah + az)2] + 2 dtjpdpki -|—dz/fez — 0;
dijki + (— ctz + ak "f~ az)2l + ^~2~ S dijpdpki + —i- dijkij >
X (1 — A/fcz) = 0;
187
dtjki [A + (czr- — ak 4- ct/)2] + 2 dtjpdpki -j—dijki'j X
X (1 — Afe/z) = 0;
dtjki + (ai + ak — az)2] 4~ ^“2" dtjpdpki 4—j- dtjkij X
X (1 — Aj*7) = 0.
Дальнейшее уточнение решения нецелесообразно из-за громозд-
кости, тем более, что при выводе уравнений принятая точность со-
ответствовала „(AtAjAkAj).
Задача определения установившихся вынужденных колебаний под
действием периодической силы сводится к решению системы урав-
нений
Qi + KQi 4- -4,- 2 dijkq'qk 4- 2 dlfktq’qkql 4- pin cos nat = 0.
Z! jk d! jkl n=0
Решение ищем в виде
оо
Qi = S An COSnat.
n~0
После подстановки, приравняв нулю члены, содержащие cos nat,
получим систему уравнений для вычисления коэффициентов Aitl:
(“А-----йг- j Ain 4-9|„~ 2 dijk А«1 Аш2 (6nl4-n2 4- 6п1 —п2) 4-
" > ik nl,n2=0
Ч O|,;-z • IZdijkl 2 Anl Ап2^4/пз—(6"nl+n2+/i3) + 36”nl—П24-П3>) = 0.
'зт jkl п1,п2,пЗ=0 4
При рассмотрении этих уравнений видно, что при достаточно боль-
шом п Ащ^ 0. Это обстоятельство позволяет, задавшись точностью
('«г'У 0ГРаничиться конечным числом уравнений.
§ 5. Динамика вантовых систем
один раз статически неопределимых
В главах II и III было показано, что для мгновенно-жестких сис-
тем первого ранга изменяемости и один раз статически неопредели-
мых возможны линейные преобразования, в результате которых в
в первом приближении происходит разделение переменных. Одна
группа переменных как бы образовывает подсистему, деформация
элементов которой определяется линейной формой обобщенных
перемещений, соответствующих деформации от так называемого
равновесного воздействия. Они образуют формы колебаний, ко-
торые будем называть равновесными. Вторая группа перемен-
ных относится к подсистеме, деформация элементов которой
определяется квадратичной формой обобщенных перемещений,
188
соответствующих деформации от так называемого неравновесного
воздействия. Образованные формы колебаний в дальнейшем будем
называть неравновесными.
Выражение потенциальной энергии после приведения к нормаль-
ным координатам будет иметь вид:
П = у 2 ’Kjq; + (<7б + у S ;
z i=n ' z i=l /
(i = 1, 2, ... , n\ j *= n + 1, n + ?, ... , /il);
где nl — количество обобщенных перемещений;
n — количество перемещений, образующих неравновесные фор-
мы.
Выражение кинетической энергии после приведения к нормальным
координатам в предположении, что массы сосредоточены в узлах
системы, будет иметь вид
Как видим, переменные разделяются на две группы. Образуем
соответственно две функции Лагранжа:
п , / п \2
nl—n nl— п
/.. = 4-2 й-ф 2
Уравнение Лагранжа, соответствующее второй функции L„, мож-
но привести к виду обычных линейных дифференциальных уравне-
ний:
Ъ + - [0, Pt (OL
где Pj (t) — обобщенные внешние силы.
Решение последних уравнений нетрудно получить методами, из-
вестными в динамике линейных систем.
Рассмотрим решения некоторых задач динамики подсистем, пред-
ставленных первой функцией Лагранжа £н.
Свободные колебания системы. Произведем преобразование Ле-
жандра Pi = и рассмотрим функцию Гамильтона:
dqt
Движение системы описывается уравнениями:
qt = Pi; = —Х?(<7о + Ф)9/-;
Из анализа этих выражений следуют очевидные выводы о свой-
ствах рассматриваемых систем:
189
I. He только равновесные, но и неравновесные формы свобод-
ных колебаний не зависят от амплитуд и во время движения явля-
ются постоянными.
2. Если некоторые обобщенные координаты и соответствующие
им импульсы в начальный момент времени равны нулю, то они оста-
ются равными нулю и во время движения системы.
Отмеченные свойства во многих случаях позволяют ограничить-
ся одной или несколькими формами колебаний, т. е. для полу-
чения приближенного решения можно воспользоваться уравне-
ниями:
при t = 0 qt = 0; q, = 0; ql = q; q = q; j = 2, 3, ..., n
4i ~ Pi, Pi + (90 + -j- ^191) 9i = 0.
После подстановки и соответствующих преобразований можно
получить (с точностью до обозначений) известное уравнение Дуф-
финга
9i + (^-19о) 91 + ^1) 9? “ 0,
решение которого выражается через эллиптические функции Яко-
би:
q — сСп (со/, /г);
9 — со2 [q (1 —, 2/г2) Сп (со/, k) 4- q2£2Cn® (со/, £)].
После подстановки в уравнение Дуффинга получим такие соот-
ношения:
Для получения более точного решения необходимо одновременно
рассматривать большее количество форм. Для этого произведем
некоторые несложные канонические преобразования. В качестве
производящей выберем такую ^функцию:
$ = 9o = Q0;
i=l
р. — ds = р 1
1 dQt ‘ у 2Qj
Pl^-PiVWi.
Преобразования приводят к следующим уравнениям:
Н — 2 PtQi + (<20 +2 ;
Q^ZP&e,
. Л + Д1 + ^(<?о + Ф)2 = 0;
190
Первая группа уравнений имеет решение:
Qi — Ci exp (2 У Pidt].
Вторая группа представляет собой уравнения Рикатти, прибли-
женным решением которого является выражение
Pi = ±К Г-((?о + Ф)---г[InУ-(Qu + ф)| + В.
При величине Qo 4- Ф, значительно отличной от нуля, что име-
ет место также в рассматриваемой задаче, решение дает вполне
удовлетворительное приближение.
После подстановки значения Pi в выражение для Q;- имеем
Qi ехР (± У ^й + Ф dt + В/)
или, переходя к тригонометрическим функциям,
Q, “ 7СТТcos ; ' + в')
Учитывая, что Ф = получим одно нелинейное уравнение
/
относительно
ф " тетгА,А'dl+В()
Если обозначить х (/) = ]/ Qo + Ф> можно записать:
х3 (/) — Qox (/) + 2 A, A* cos [х (/) + В/].
/=1
Таким образом, произошло разделение переменных, и решение
задачи свелось к интегрированию одного нелинейного дифференци-
ального уравнения первого порядка. Для решения с успехом мо-
гут применяться различные численные методы.
В качестве примера рассмотрим струну, на которой на равных
расстояниях по длине расположены сосредоточенные массы. Все
исходные, характеристики системы приняты равными единице.
Потенциальную энергию системы можно выразить так:
п “4" + + +
+ 4“ + ^2 + i/з — У1Уг — УгУз)Г-
После преобразования к нормальным координатам имеем
У — Aq,
191
где
1 У 2
2 2
о
1 У~2
2 2
Тогда
П=4- • -TL[(2-K2)^ + 2Qi + (2 + ]/2)93] +
+ ЧТ • AF ) Ях + 2<?1 + (2 + К2 ) ql\*.
Система дифференциальных уравнений движения в нормальных
координатах имеет вид:
91+(2_уТ)ф(/)91^0;
у2 4- 2Ф (() q2 = 0;
д8 + (2 + Я)ФЙ9з-0>
где Ф(/) = 1 + (2 — 91 + 2^ +(2+ К2)?з:
Численное решение получено по методу Эйлера при следующих
начальных условиях:
Ч1 (0) = 1,137; 4i(0) = 0;
<72 (0) = 0,471; <72(0) — 0;
?8(0) = 0,195; 9з (0)^=0.
На графике (рис. V.4), отражающем результаты расчета *, можно
проследить амплитудную и частотную модуляцию свободных коле-
баний рассмотренной системы.
Параметрический резонанс. Эта задача возникает при уточнении
первого приближения, которое сводится к следующему. Вначале
решается задача о колебаниях по равновесным формам. Величина
начальных напряжений qt при колебаниях по неравновесным фор-
мам вычисляется с учетом усилий, возникающих от колебаний по
равновесным формам, т. е.
qo = qo 4- № (0-
Второе приближение и состоит в учете величины ц2. Функция Га-
мильтона в этом случае может быть представлена так:
Н — 2 Л + [.0 + ЪЯ ~ 2 №qt j •
* Программа для ЭВМ и пример выполнены Д. В. Е г у н о в ы м.
192
Разделение переменных можно выполнить по методу, изложенно-
му при рассмотрении задачи о свободных колебаниях. В первом при-
ближении нелинейными членами пренебрегают. Тогда
2 Л + 4Ю] 2
Движение по каждой неравновесной форме разделяется и описыва-
ется уравнением Хилла
<h + [>-2<?o + Ц2?-2<7 (01 — °'
Рис. V.4. Свободные колебания системы с тремя степенями свободы.
Флаттер. Это явление связано с динамической неустойчивостью
неравновесных форм деформации вантовых систем, находящихся в
ламинарном потоке ветра.
Известно, что величина ветровых нагрузок зависит от геометрии
покрытия. При существенном изменении начальной геометрии при
деформациях по неравновесным формам величины ветровых нагру-
зок зависят от перемещений узлов системы, т. е. wt = wt (qlt q2,,.,
..., qn). При этом достаточно учесть линейную зависимость
О . VI \
Wi + Д Wuqjj^-,
где v — скорость ветра; Wj — постоянные коэффициенты.
Следовательно, задача сводится к решению системы дифференци-
альных уравнений
qt + $ (<?о + 4- 2 tfql] qi - ? Wikqkt
Если принять, что qt — периодическая функция от времени с
частотой о, то задача сводится к определению критических значе-
ний двух параметров: со — частоты колебаний и v — критической
скорости ветра, при которых возможны неустойчивые формы рав-
новесия (со = 0) или движения (<в =у= 0).
7 3—2835
193
В первом приближении линеаризованную систему можно принять
такой:
9, = хге±м
и определять критические значения и и v для системы
2 П
^iQoxi + s wikxk.
Эту задачу сравнительно несложно решить на ЭВМ, поскольку
требуется найти собственные значения (со2 при фиксированном зна-
чении -jg- или наоборот! матрицы
det | wik — (co26tZ + Л?) | = 0.
Вынужденные колебания. Для определения движения системы
при установившемся режиме вынужденных колебаний необходимо
найти частное решение системы уравнений
qt (со, t) + (Qo + Ф)2 qt (со, /) = Pt (со, t).
Пре; этом предполагается, что функции Р{ (со, f) и обобщенные ко-
ординаты qt (со, /) являются периодическими с частотой со.
Определим характер внешних сил Pi (со, f), при котором возмож-
ны гармонические колебания системы qt = At cos со/.
Подставим это решение в систему исходных уравнений
<7г + Ш + Ф)<7. = Л-; Ф =
В результате получим соотношения:
Pi = Р° (cos СО/ 4- k' COS Зсо/);
p? i
А,- = —----------•
Ф = 2«
I i
из которых можно определить Ai и Ф. Тогда
' , Ф 1
Как видим, характер внешних сил незначительно отличается от
гармонического. Для практических расчетов, когда характер внеш-
них сил определяется весьма приближенно, эти соотношения с до-
статочной полнотой описывают вынужденные колебания вантовых
систем.
Полученное решение может быть также использовано для прибли-
женного решения задачи о свободных колебаниях. Выражение для
194
квадратов частот имеет вид
^ = ^(^ + 4-2^?).
Замкнутого решения (с использованием элементарных функций)
задачи о вынужденных колебаниях нет. Решение обычно отыски-
вают в виде бесконечных рядов. Попытки представить решение в ви-
де тригонометрического ряда (см., например, § 3 настоящей главы)
приводят к необходимости решения бесконечной системы нелиней-
ных уравнений. Вычисление значений тригонометрических функ-
ций связано с громоздкими выкладками и не всегда рационально.
Наиболее удобным является применение степенных рядов.
Периодические функции внешних воздействий представим в
виде знакопеременных степенных рядов и для простоты ограничимся
2зг
рассмотрением четных функций с периодом Т — Систему при-
t
ведем к собственному времени т = — и получим уравнения:
о Г-
®2<?< + к (<7о + Ф) Qi = pot — P2t Ti---P,ii~вГ + ’ ’ ’
Решение будем отыскивать в виде
г2 I4 /с
Qi Qoi ’ Q%i ~2j F Q&i ~4F" ‘ ’ Q§i ~51 F * • *
Тогда
/2 /4 /6
.Ф^Ф0-Ф2_ +Ф4_---------------Фв-gp-H- • • •,
где Фо==^?(4?«);
Ф2 = (Qoi?2i);
i
Ф4 ' (ЯосЯм 212! ' 2 ’
Фе ’ hi 4* 2141
И T. Д.
Приравнивая члены при одинаковых степенях, получим беско-
нечную систему уравнений (см. табл. V.I). Матрица этой системы
имеет квазидиагональную структуру.
Для определения неизвестных воспользуемся дополнительными
соотношениями:
Qoi = Л; Qzt Ям = Aib.ii Qm = Aixa • • •
Величина k выбирается так, чтобы выполнялось требование q —
= 4| = 0, соответствующее условию, при котором частоты коле-
7*
195
баний системы и изменения внешних сил совпадают. Во многих
случаях, например при Pi = POt cos t, Ры = P2i — Ри = PGi...,
величина k имеет такие границы
1,2 > б > 1.
Таблица V.1
7oi <?й Qti Яы •
Pof/M = <7о + Фо
Ф2 <7о + Фо
P^t = фа 4! — Ф, 2! 21 ?о + Фо -со2Д? •..
PerA? = Фе 6! Фа 21 41 4 6! Ф2 2! 4! 2 % + Фо ...
• •. ... ... ... ...
Таблица V.2
Л/ ЛрХ^' А&бь
₽ozA? = % + Фо—
Ф'2 + & (<7о + Фо) ...
PafA? = 4! Ф4 k Ф, 212! 2 9о + Фо
PeiA? = , 6! Фс "Т- k Фд 2! 4! 4 6! Ф« 214! 2 % + Фо
....
___________ 011 I_____________.
<7о + фо ~
Ф0 = -^2Х?А2
Используя дополнительные соотношения, можно получить сис-
тему с треугольной матрицей коэффициентов (см. табл. V.2). Из нее
следует рекуррентная последовательность систем уравнений
[& (% + фо) + Фа] — РvilAi
хы - ;
Ф2 - IX И?Х2()
I
и т. д.
Таким образом, решение задачи в итоге сводится к решению од-
ного кубического уравнения относительно Фо и затем к решению
линейных уравнений для определения Ф2, Ф4 и т. д.
Глава VI
ПРОГРАММИРОВАНИЕ РАСЧЕТА ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ
§ 1. Использование ЭВМ при проектировании вантовых
покрытий
Примеры расчета, приведенные в гл. III, дают представление о том
значительном объеме вычислительной работы, с которой приходит-
ся сталкиваться инженеру-проектировщику, решая подобные за-
дачи. Если учесть, что задачи реального проектирования вантовых
систем обычно представлены большим количеством параметров, ва-
риантов загружения и т. д., практическое разрешение их при помо-
щи обычной логарифмической линейки становится невозможным.
Поэтому большинство предлагаемых методов ориентировано на ав-
томатизированное выполнение с помощью ЭВМ, которые в настоя-
щее время стали привычными инструментами многих проектиров-
щиков.
Возникло и успешно развивается новое направление — решение
задач строительной механики вообще и расчета вантовых систем, в
частности на ЭВМ. Основной задачей этого направления является
построение эффективных алгоритмов, реализующих определенные
методы, разработка локальных программ и систем автоматизиро-
ванного проектирования.
Уместно указать на принципиальные отличия между понятиями
метод, алгоритм и программа применительно к задачам строительной
механики.
Метод является результатом развития теории расчета, основан-
ной на фундаментальных принципах механики и математики, пре-
дусматривает возможные пути выполнения отдельных этапов и в не-
обходимом объеме доказывает истину и правомочность получения
конечных результатов. Поэтому главным моментом в изложении лю-
бого метода является ответ на вопрос не только «как делать», но и
«почему».
Алгоритм — вычислительный процесс в виде системы после-
довательных правил, однозначно реализующих один из путей мето-
да, положенного в его основу. Основное назначение алгоритма —
ответ на вопрос «как делать». По-видимому, термин «алгоритм» по
смыслу в некоторых чертах соответствует термину «методика»,
употребляемому еще и сейчас при «ручных» способах выполнения
197
расчетов. Однако последний допускает некоторую неформальность
в описываемых действиях.
Программа является изложением алгоритма уже на языке ЭВМ
и предназначена для непосредственного использования при решении
всех задач определенного класса, предусмотренного алгоритмом.
Алгоритм в общем случае включает в себя не только формулы
и их последовательность применения, но и логические схемы про-
цесса, учитывающие различные пути и варианты решения, характер
и свойства математических понятий задачи, заданных условиями или
возникающих в процессе счета. Для полного, кратного, наглядного
и однозначного описаний такого алгоритма применяют алгоритми-
ческие языки.
В связи с широким применением ЭВМ и разработкой программ
без связи с определенным типом машины, а также обменом такими
программами, одинаково понятными специалистам разных областей
науки и техники, алгоритмические языки приобретают особое зна-
чение. При помощи специально разработанных программирующих
программ алгоритм, описанный на алгоритмическом языке, перево-
дится, или, иначе, транслируется на язык конкретных ЭВМ, кото-
рый представляет собой системы команд (кодов), определяющих
величины, действия над ними и положение их в процессе счета в
памяти машины. Получаемая таким образом программа называется
рабочей и используется для решения задач на конкретной ЭВМ.
Наиболее распространенными языками программирования задач
строительной механики стали алгоритмические языки АЛГОЛ-60,
ФОРТРАН и различные их версии. Для большинства отечественных
ЭВМ, используемых при строительном проектировании (М-20,
БЭСМ-ЗМ, БЭСМ-4, М-222, Минск, БЭСМ-6), имеются трансляторы
для перевода программ с АЛГОЛа или ФОРТРАНа в команды ма-
шин по формальным правилам.
Формальный путь автоматизированного программирования при-
водит к некоторым издержкам (увеличение объема программ и вре-
мени счета по ним по сравнению с «ручными» программами), однако
они не велики, особенно если речь идет об использовании современ-
ных ЭВМ с большой памятью и значительным быстродействием.
В связи с этим «ручное» кодирование программ, до последних лет
остававшееся вынужденным этапом в программировании,сейчас почти
полностью ликвидировано.
С точки зрения использования ЭВМ расчет вантовых систем
представляет собой сложную задачу не только по объему вычисле-
ний, обусловленному нелинейностью разрешаемых уравнений, но
и по логической схеме алгоритма. Поэтому разработка программ
таких расчетов почти всегда производится «квазивертикальным»
методом организации работ (по терминологии А. Р. Резникова
[49]), суть которого заключается в том, что все этапы программиро-
вания выполняются математиками, программистами, операторами
и т. д. под непосредственным руководством и контролем лиц (в дан-
ном случае авторов), знающих суть задачи и путь ее решения. Как
198
правило, программы являются специализированными, т. е. пред-
назначены для расчета систем определенного типа. Попытки со-
здания универсальных программ с целью охвата различных сис-
тем и условий их работы почти всегда приводят к неоправданному
усложнению программ в части подготовки исходных данных, к уве-
личению времени счета на ЭВМ.
В настоящее время вся информация о геометрических и физиче-
ских параметрах системы задается в цифровом виде, что требует от
инженеров, подготавливающих такую информацию, определенных
навыков и предварительного обучения приемам использования про-
грамм. Часто задается информация, которая в «скрытом» виде уже
содержится, например, в топологической схеме. Поэтому сейчас в
некоторых работах уже решаются проблемы использования не только
цифровой, но и текстовой и графической информаций, которые вме-
сте в полной мере характеризуют инженерный язык специалистов,
методы их общения и т. п. Чертежно-алфавитно-цифровая форма
задания информации незаменима при разработке автоматизирован-
ных систем программирования строительных объектов, в частно-
сти, вантовых покрытий. Такие системы охватывают не только рас-
четный анализ напряженно-деформированного состояния объекта,
но и вопросы компоновки, унификации элементов, конструирование,
получение чертежей на специальных автоматах, определение смет-
ной стоимости.
При разработке систем широко используется прошлый опыт про-
ектирования аналогичных конструкций: создаются информационно-
поисковые системы типовых решений, разрабатываются прототипы
индивидуальных конструкций с широким диапазоном варьируемых
параметров и др. Параллельно разрабатываются специальные языки
программирования, ориентированные для описания графической
информации (чертежи, схемы), и соответствующие трансляторы.
Сейчас разрабатываются лишь отдельные фрагменты автоматизи-
рованной системы, распространяющиеся на проектирование опреде-
ленных классов (схем) покрытий. Естественно, что в дальнейшем
будут предприняты попытки объединения фрагментов в единую
систему.
Рассматриваемые в последующих параграфах программы относят-
ся к разделу расчета вантовых покрытий и являются наиболее упо-
требительными в процессе проектирования *. Другие специальные
программы находятся в фонде алгоритмов и программ вычислитель-
ного центра КиевЗНИИЭП. Учитывая опыт освоения программ и
стремление пользователей получать программы от разработчиков на
машинных носителях (перфолента, магнитная лента), авторы не поме-
щали формальных алгоритмов, а ограничились описанием их воз-
можностей (исходные данные, результаты, ограничения и т. п.).
* В разработке программ принимали участие также канд. техн, наук Гли-
кин И. Д., инженеры Граб Н. М., Б у ч м а Т. Я., С и т н и к В. Н. [13].
199
§ 2. Программы расчета вантовых ферм
РАСЧЕТ ВАНТОВЫХ ФЕРМ БЕЗ КОНТРОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Программа дает возможность рассчитывать на ЭВМ плоские пред-
варительно-напряженные вантовые фермы, состоящие из гибких
поясов произвольного очертания, связь между которыми осущест-
вляется сжатыми распорками или растянутыми подвесками. Внеш-
няя нагрузка принимается в виде вертикальных сил, приложенных
к узлам фермы. В основу программы положен метод расчета, суть
которого сводится к решению полинома пятой степени относитель-
но суммарного усилия в поясах (см. § 3 главы III).
Подготовка исходных данных для расчета по данной программе
выполняется следующим образом.
На расчетной схеме фермы в виде шарнирно-стержневой систе-
мы нумеруются узлы. Номера узлов соответствуют номерам распо-
рок (подвесок) и относятся как к верхнему, так и к нижнему поясу.
Номер левого опорного узла — 1, правого — целое число п, пред-
определяющее размеры массивов исходных данных и массивов,
формируемых в процессе счета.
Кроме количества узлов п, информация о ферме задается следую-
щими действительными числами и массивами, указанными в по-
рядке ввода:
пролет фермы, м\
площадь поперечного сечения соответственно несущего и на-
прягающего поясов, лг2;
усилие предварительного напряжения соответственно в несущем
и напрягающем поясах (для обеспечения устойчивости счета на
ЭВМ размерность силовых параметров фермы следует задавать в т
с множителем 10~2);
модуль упругости материала поясов, т • 10“2//<2;
суммарное горизонтальное смещение опорных узлов, м (при
расчете фермы с несмещаемыми опорами эта величина задается рав-
ной нулю);
= признак-число, назначаемый в диапазоне 0—10 (в восьмерич-
ной системе счисления) в зависимости от характеристики процесса
счета и вариантов задания исходных данных. Это значит, что рас-
чет можно производить без восстановления программы при одном и
нескольких вариантах нагрузок, различных значениях площадей се-
чений поясов, различных усилиях предварительного напряжения и
при различных кривизнах поясов. Вариантный метод задания ис-
ходной информации, кроме экономии времени работы ЭВМ, делает
программу также эффективным средством численного исследования
напряженно-деформированного состояния вантовых ферм.
Далее следуют такие массивы:
значение внешних узловых сил. Первое число массива соответ-
ствует силе, приложенной ко второму узлу фермы. При отсутствии
силы в массиве соответственно записывают нуль;
200
значение высот распорок (подвесок), начиная с левого опор-
ного узла. Если в каком-либо пролетном узле пояса пересекаются,
то соответствующая ячейка массива должна содержать достаточно
малую величину, например 0,000001, а не нуль;
Рис. VI. 1.
начальные ординаты несущего пояса, отсчитываемые от оси аб-
сцисс, начиная с левого опорного узла;
расстояние между распорками (подвесками) в последователь-
ности слева направо.
Макроблок-схема программы приводится ниже и характеризует
алгоритм расчета (рис. VI. 1). Программа написана на языке АЛГОЛ
и странслирована для ЭВМ «Минск-22».
201
Программа предусматривает печать результатов расчета в такой
последовательности:
номер задачи (одно число);
левая и правая вертикальные опорные реакции (два числа);
усилия в поясах. Здесь имеем два числа: первое — усилие в
несущем поясе, второе — в напрягающем;
перемещение всех пролетных узлов фермы в последовательности
слева направо. Первое число массива соответствует перемещению
первого пролетного узла фермы.
По данной программе можно рассчитать ферму с количеством
узлов около 700. При этом используется лишь оперативная память
ЭВМ. Время подготовки данных задачи со средним количеством
узлов (до 100) составляет не более 1 ч, время работы ЭВМ, включая
ввод перфоленты и печать результатов, 1—1,5 мин.
РАСЧЕТ ВАНТОВЫХ ФЕРМ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯМ
Класс решаемых задач, а также подготовка исходных данных для
расчета по этой программе аналогичны классу и подготовке, опи-
санных выше. Поэтому в описании программы ограничимся лишь
отличительными характеристиками программы без дополнительных
комментариев сходных ситуаций.
В основу программы положен метод расчета ферм по заданным
перемещениям и напряжениям (в одном из поясов), суть которого
сводится к вычислению рекуррентной последовательности коэф-
фициентов и решению кубического уравнения относительного уси-
лия в несущем поясе фермы. При этом рассматриваются два случая
напряженно-деформированного состояния фермы: > Н01 и Нъ >
> 77о2; > Н<л и Н2 < Z/02 (см. § 5 гл. III).
Информацию о ферме задаем следующими величинами и масси-
вами:
целые числа: количество узлов фермы (в восьмеричном исчисле-
нии); номер узла, в котором задается ордината напрягающего пояса;
действительные числа: пролет фермы, м\ расчетное сопротивле-
ние материала или допускаемое напряжение в напрягающем поясе,
т • 10“7л/2; отношение длины пролета к величине допускаемого
вертикального перемещения; усилие предварительного напряжения
в несущем поясе, т 10“2; ордината одного из узлов напрягающего
пояса, м; модуль упругости материала поясов, т • 10“2/л/2; вели-
чина суммарного горизонтального смещения опорных узлов фермы,
м; признак-число, назначаемый в пределах от 0 до 7 в зависимости
от варианта задания исходных данных;
массивы значений внешних узловых сил, высот распорок (под-
весок) и расстояний между распорками (подвесками).
Макроблок-схема алгоритма представлена на рис. VI.2. Програм-
ма разработана для ЭВМ «Минск-22».
Результаты расчета печатаются в такой последовательности:
левая и правая вертикальные опорные реакции (два числа);
202
Рис. VI.2.
203
усилие в несущем поясе, суммарное усилие в поясах, усилие в
напрягающем поясе и величина напряжения в несущем поясе (че-
тыре числа);
перемещение всех пролетных узлов фермы в последовательности
слева направо, начиная с первого пролетного узла;
усилие предварительного напряжения в несущем поясе (одно
число).
Проиллюстрируем работу программы на числовом примере.
Требуется рассчитать вантовую ферму пролетом 50 м под действием
сосредоточенной силы Р = 5 т, приложенной посередине проле-
та, если задано напряжение в напрягающем поясе — 3400 кг!см2',
относительный допускаемый прогиб — V124 пролета; усилия пред-
варительного напряжения в обоих поясах по 20 т. Пояса относитель-
но продольной оси фермы очерчены симметрично, распорки располо-
жены равномерно с шагом 5 м и имеют длины: = 0; /г2 — 3,08;
h3 = 4,48; Л4 = 5,88; h5 = 6,72; 1гв — 7,0 м и далее симметрично.
Опорные узлы фермы несмещаемы.
Исходные данные примера в порядке ввода имеют следующий
вид: 13 (количество узлов фермы); 6 (номер узла с заданной орди-
натой напрягающего пояса); 50,0 (пролет фермы); 340,0 (напряжение
в верхнем поясе); 124,0 (коэффициент жесткости); 0,2 (усилие пред-
варительного напряжения в напрягающем поясе); —3,5 (ордината
узла № 6 напрягающего пояса); 200000,0 (модуль упругости мате-
риала); 0,0 (суммарное горизонтальное смещение опорных узлов);
0 (признак ввода обозначающий, что расчет ведется при одном ва-
рианте исходных данных); 0 0 0 0 0,05 0 0 0 0 (массив узловых
сил); 0 3,08 4,48 5,88 6,72 7,0 6,72 5,88 4,48 3,08 0 (массив высот
распорок); 5555555555 (массив расстояний между распор-
ками).
Результат расчета (печать на ленте ЭВМ «Минск-22») получаем
в таком виде:
+ — 02500000
4- — 02500000
— левая и правая опорные реакции;
4--- 32310084 — усилие в несущем поясе;
4--- 52851961 — суммарное усилие в поясах;
4--- 20541878 — усилие в напрягающем поясе;
4--- 34154764 — напряжение в несущем поясе;
----- 10639225'
----- 02574709
4- — 05489807
4---- 19788903
4- — 40322581
4- — 19788903
4---- 05489807
----- 02574709
— массив вертикальных узловых
перемещений;
----- 10639225
4---20000001 — усилие преднапряжения в несущем поясе.
204
Машинная печать читается так: усилие в нижнем поясе —
— 32,31 т, в верхнем Н2 = 20,54 т; напряжение в нижнем поясе
/?, = 3415,4 кг!см'1. Вертикальные перемещения узлов равны:
w2 = —0,1064 м; w3 — —0,0257; wi — 0,0549; &у5 =0,19789; w6 =
= 0,40322 м и далее симметрично.
§ 3. Программы расчета пологих вантовых сетей и систем
Расчет вантовых сетей. По программе выполняется статический
расчет вантовых плоских и пространственных сетей произвольной
структуры под действием нагрузки, направленной нормально к
Рис. VI.3.
205
плоскости, относительно которой система принимается пологой.
Внешняя нагрузка принимается в виде сосредоточенных узловых
сил.
Элементы рассматриваемых сетей — гибкие нити — имеют не-
прерывную длину между точками закрепления на опорном контуре и
пересекаются с другими нитями в некоторых узлах. Узлы пересе-
чения располагаются таким образом, что расстояния между ними
вдоль одной любой нити одинаковы. Исключение составляют уча-
стки, примыкающие к опорному контуру, которые по величине мо-
гут отличаться друг от друга и от средних участков. Предполагает-
ся также, что точки закрепления нитей несмещаемы, т. е. опорный
контур принимается недеформируемым.
Программа реализует метод многоступенчатого нагружения,
суть которого изложена в § 4 гл. III. Макроблок-схема алгорит-
ма представлена на рис. VI.3.
Расчетная схема вантовой сети принимается в виде шарнирно-
стержневой системы. В качестве основного элемента сети прини-
мается отдельная нить-ванта. Информация о сети задается сле-
дующими исходными данными:
1) количество узлов сети, включая узлы на опорном контуре;
2) количество внутренних узлов сети (порядок системы урав-
нений);
3) количество нитей;
4) ширина ленты линейной системы уравнений, представляющая
собой число клеток матрицы, расположенных справа от главной
диагонали, включая главный элемент. При определении шиГрины
ленты необходимо рассмотреть все нити сети. Максимальная раз-
ность номеров узлов одной нити плюс единица будет представлять
собой ширину ленты системы уравнений;
5) модуль упругости материала вант;
6) количество ступеней приложения внешней нагрузки;
7) массивы характеристик каждой нити сети. Каждая ячейка
массива состоит из семи значений, характеризующих одну нить,
и представлена в следующем виде:
Количе- Предвари- Площади П пплрт Участок Участок Участок
ство узлов натяжение сечения первый средний последний
Указываются только типы величин
Предельное количество цифр и величина чисел, записанных в
каждую часть ячейки, не должны превышать следующих значений
(в порядке следования частей ячейки слева направо):
778; 78; 78: 778; 778; 778; 778;
8) нумерация узлов для каждой нити. Предварительно на схе-
ме узлычнумеруются так: сначала внутренние в порядке слева на-
206
право и снизу вверх, а затем в любом порядке узлы на опорном
контуре;
9) различные значения величин предварительного натяжения
нитей;
10) то же, площадей поперечных сечений вант;
11) то же, пролетов и участков-пролетов вант;
12) начальные аппликаты узлов сети и контура в порядке ну-
мерации узлов;
13) внешние узловые нагрузки для внутренних узлов в порядке
их нумерации.
На печать выдаются такие результаты расчета: номер задачи
(одно число); массив вертикальных узловых перемещений в поряд-
ке нумерации, принятой на расчетной схеме; массив окончательных
усилий в вантах сети в порядке их нумерации на схеме.
Настоящая программа, подобно предыдущим, предусматривает
также вариантный расчет вантовой сети при автоматическом непре-
рывном вводе меняющихся исходных параметров, как-то: усилие
предварительного напряжения, площади поперечных сечений и кри-
визна нитей.
Расчет вантовых систем. Программа позволяет выполнять рас-
четы предварительно напряженных вантовых систем — однослой-
ных или двухслойных — с учетом деформации опорного контура.
Структура системы и очертание опорного контура могут быть про-
извольными.
Расчетные предпосылки, кроме оговоренных ранее, приняты
следующие: узлы вантовой системы имеют четыре перемещения:
линейные и, v, w, совпадающие с направлением осей X, Y, Z, и
у — угол поворота вокруг оси Z; конструкция опирания опорного
контура такова, что вертикальные перемещения последнего отсут-
ствуют; жесткость опорного контура на кручение не учитывается;
жесткость контура в пределах от узла до узла (узел — место крепле-
ния вант к контуру) принимается постоянной.
Отметим, что данная программа является достаточно универ-
сальной. Кроме расчета различных вантовых систем, по программе
на основе дискретных расчетных схем могут быть рассчитаны поло-
гие гладкие и ребристые оболочки, балки-стенки, плоские рамные
каркасы и т. п. Макроблок-схема алгоритма представлена на рис.
VI.4.
Подготовка расчетной схемы в виде стержневой системы начина-
ется с нумерации узлов. Рекомендуется нумерацию производить в
последовательности слева направо и снизу вверх. Затем для каж-
дого узла записываются номера неизвестных (в порядке w, -u, v, у),
заполняются соответствующие массивы. Далее исходные данные
представляются следующими числами и массивами: количество
стержней; количество неизвестных; количество стержней, примы-
кающих к контуру (при расчете вантовых систем с плоским опор-
ным контуром эта величина принимается равной нулю); количество
узлов; количество неизвестных, по направлению которых действу-
207
ет нагрузка; количество ступеней нагружения; признак-число, за-
даваемое равным 0 или 1 соответственно в зависимости от того, оп-
ределяются ли по программе или заданы исходной информацией
начальные аппликаты узлов системы; признак-число, задаваемое
равным 2 или 1 соответственно в зависимости от того, реализу-
Рис. VI.4.
ется ли расчет по известным величинам предварительного натяже-
ния вант или решается обратная задача: исходной информацией яв-
ляются окончательные усилия в вантах и определяются величины
предварительного натяжения; признак-число, задаваемое равным
1, когда расчет производится по недеформируемой схеме, или 0 во
208
всех остальных случаях; количество типов геометрических' харак-
теристик стержней; количество типов жесткостных характеристик;
количество типов узловых нагрузок; количество типов аппликат
узлов примыкания вант к опорному контуру.
Исходные целые массивы: стержни (в массиве указываются но-
мера начала и конца каждого стержня, а также номера типов жест-
костных и геометрических характеристик); узлы (в массиве указы-
ваются номера неизвестных перемещений для каждого узла); не-
известные и соответствующие им номера типов нагрузок.
Исходные действительные массивы: геометрические характеристи-
ки (величины Алт, Еу, Аг); жесткостные характеристики (для каж-
дого типа указывается EF и EJ)\ значения типов нагрузок; величины
предварительного натяжения вант.
В результате расчета получаем значения окончательных усилий
во всех элементах системы и перемещения узлов по направле-
нию трех координатных осей.
Возможности программы определяются формулой (при исполь-
зовании ЭВМ «Минск-22»):
nh----h{h~.X). <77778,
где h — ширина ленты линейной системы уравнений, определяемая
как максимальная разность номеров неизвестных для од-
ного стержня при рассмотрении всех стержней системы;
п — количество неизвестных.
§ 4. Программа расчета геометрически нелинейных
шарнирно-стержневых систем
с большим количеством неизвестных
Рассматриваемая программа предназначена для расчета прост-
ранственных шарнирно-стержневых систем произвольной конфигу-
рации в криволинейных координатах. Алгоритм ориентирован для
конструкций, особенностью которых является наличие большого
количества элементов и высокая степень статической неопреде-
лимости.
Для составления расчетной схемы конструкции, состоящей из
множества узлов, соединенных прямолинейными стержнями, необ-
ходимо разбить всю систему на отдельные подсистемы, каждая из
которых должна быть описана в своей криволинейной системе ко-
ординат. Разбиение на подсистемы производится произвольно, в
частном случае подсистема может быть единственной.
Криволинейные системы координат задаются относительно аф-
финной (декартовой) системы, общей для всей конструкции. Двум
системам координат соответствуют в каждом узле подсистемы два
репера: декартовый, по направлению которого задаются переме-
щения узлов, и локальный, по направлениям которого получают
перемещения в результате расчета. Введение единого декартового
209
репера в узлах позволяет соседние подсистемы описывать в раз-
личных системах координат, не добиваясь совпадения локальных
реперов в общих узлах.
В каждом узле системы — три перемещения. Перемещения могут
быть общими и заданными (находиться в заданном линейном соот-
ношении с общими перемещениями). Общими перемещениями (не-
Рис. VI.5.
известными) являются неизвестные перемещения стыковых узлов
подсистем. В их число могут входить также неизвестные переме-
щения внутренних узлов подсистем.
В основу алгоритма положен метод, в котором задача стати-
ки сведена к задаче об определении координат стационарной точ-
ки для потенциальной энергии системы в пространстве конфигура-
ций (см. § 4 гл. III). Для получения матрицы системы уравнений
с общими неизвестными используется метод жордановых исклю-
чений и, таким образом, исключаются все неизвестные, не являю-
щиеся общими. Решение полученной матрицы осуществляется по
методу Гаусса. При решении системы уравнений предусматривается
минимальное количество обращений к МЛ.
210
Подготовка схемы к расчету состоит в следующем. Вначале
нумеруются узлы в подсистемах, причем общие узлы в разных под-
системах могут быть пронумерованы по-разному. Далее нумеру-
ются общие неизвестные от 1 до п0.
Количество общих неизвестных п0 и ширина ленты h0 матрицы
системы уравнений с общими неизвестными ограничены соотноше-
нием
пД — < 128 000.
Для каждой подсистемы задается исходная информация о геомет-
рии, перемещениях, стержнях, нагрузках и криволинейной сис-
теме координат.
Для каждого узла задаются приращения его трех криволиней-
ных координат относительно координат предыдущего по номеру
узла.
Каждое перемещение может быть общим, исключаемым, задан-
ным и находиться в заданном соотношении с общим неизвестным.
Что касается стержней, то здесь речь идет о жесткости, вели-
чинах деформации при предварительном напряжении стержней.
Нагрузка приводится к узловой и задается по направлениям
декартового либо локального репера в узле. Выбор репера для на-
грузки распространяется на одну подсистему.
Криволинейная система координат задается с помощью двенад-
цати аналитических функций. Переход от декартовых координат к
криволинейным осуществляется при помощи первых трех функций:
х1 == К (х1. х2, х3);
х2 = ft (х1. х2» х3);
-^“^(х1- X2» х3)-
С помощью остальных функций задается локальный репер в узле:
f _ dA(X>,X\xs) • f = dfi . f _ . f _ .
/4— • 15 dyi > ’ /7 ay1 ’
j- . f df2 f dfs _ dfs . f dfx
ls~ ax2 ’ ,9~ ax3 • ho— syi • in — ax2 > /12— dxs .
где x1, x2, x3 — декартовые координаты;
X1, X2, X3 — криволинейные координаты.
В случае принятия декартовой и цилиндрической систем ко-
ординат эти функции можно не задавать.
Программа составлена в кодах ЭВМ «Минск-22» вручную и со-
стоит из шести частей, которые записаны на МЛ. Вызов частей в
МОЗУ осуществляется программно. Макроблок-схема программы
представлена на рис. VI.5.
211
Глава VII
ВОПРОСЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ
§ 1. Материалы, применяемые для вантовых покрытий
Для вантовых покрытий с точки зрения использования различ-
ных материалов представляют интерес гибкие ванты, так как жест-
кий опорный контур не имеет существенных отличий по сравнению
с обычными конструкциями, работающими на сжатие, изгиб, кру-
чение или на различные комбинации этих воздействий.
Основным материалом для вант на ближайшие 10—15 лет, по-
видимому, следует считать сталь. Тем более это очевидно в свя-
зи с тенденцией существенного повышения прочностных характери-
стик сталей, разрабатываемых на основе улучшения их структур-
ного строения.
Для вант применяют стальные изделия: канаты, арматурные
пучки из высокопрочной проволоки и арматурные стержни. Сечения
других видов стальных изделий (полосовая и профильная прокатная
сталь) обладают чрезмерной жесткостью в плоскости или из плос-
кости покрытия и в вантовых сетях применяются в исключительных
случаях. Неметаллические материалы (органические, синтетиче-
ские и др.) применяются редко и не могут быть рекомендованы для
стационарных сооружений.
Стальные канаты изготовляют на заводах из канатной проволо-
ки по ГОСТ 7372—66. Расчетный предел прочности проволоки при
растяжении колеблется в пределах 120—260 кг/мм2 и определяется
сортом катанки, диаметром проволок и типом покрытия (светлая
или оцинкованная).
Покрытия оцинкованных проволок в канатах в зависимости от
условий эксплуатации последних определяются легкими условия-
ми работы (ЛС), средними (СС), жесткими (ЖС). При температур-
но-влажностных условиях, влияющих на интенсивную коррозию
металлов (испарения химически активных веществ, наличие пыли и
влаги), следует принимать канаты с цинковым покрытием по груп-
пе же.
Наиболее употребительная проволока с расчетным пределом
прочности 120—200 кг/мм2. Проволока, а следовательно, и канаты
выпускаются нашей промышленностью трех марок: высшей, пер-
вой и второй. Канаты марки В (высшей) отличаются от канатов ма-
рок I (первой) и II (второй) минимально допустимым разбегом пре-
дела прочности проволоки, из которой они выполнены. В ответ-
ственных вантовых покрытиях необходимо принимать канаты из
проволок марки В.
212
В зависимости от методов изготовления различают канаты оди-
нарной свивки в пряди — (спиральные); двойной свивки — тросо-
вые, т. е. когда проволоки скручиваются в пряди, а пряди в канаты,
и многократной свивки (кабельтовые).
Для вантовых покрытий наибольший интерес представляют сталь-
ные канаты одинарной и двойной свивки. В зависимости от типа
свивки или, иначе, от касания проволок между слоями в прядях,
канаты разделяют на канаты точечного касания — ТК, линейного —
ЛК и точечно-линейного качания — ТЛК. При этом проволоки
Таблица VII. 1
гост Свивка каната Количество проволок в канате, шт. Формула размещения проволок в прядях Диаметр каната, мм
3062—69 Одинарная:
с линейным каса-
нием проволок в
пряди (ЛК — О) 1X7 = 7 1 + 6 0,65—11,5
3063—66 с точечным каса-
нием отдельных
проволок между
слоями пряди (ТК) 1 X 19 = 19 1+64-12 1,1—19,0
3064—66 то же 1 X 37 = 37 1 + 6+12+18 1,6—27,0
3065—66 » » 1 X 61 =61 1+6+12+18 + 24 2,0—34,5
Двойная:
3066—66 с линейным каса-
нием проволок в
пряди (ЛК —О) 7 х 7 = 49 1+6 1,9-27,5
3067—66 с точечным каса-
нием отдельных
проволок между
слоями (ТК) 7X19= 133 1+6+12 3,1—57,5
3068—66 то же 7X37 = 259 1 + 64-12+18 4,7—76,0
в слоях могут быть одинакового или разных диаметров, например
ЛК-О или ЛК-Р.
Канаты точечного касания проволок в прядях получают путем
свивки проволок в прядь, сохраняя одинаковые углы наклона сви-
вок по слоям. Отсюда шаг свивки по слоям разный, проволоки пере-
крещиваются и касаются друг друга в отдельных точках. При свив-
ке, обеспечивающей линейное касание проволок в прядях, шаг ее
во всех слоях пряди сохраняется одинаковым. Канаты ЛК являются
более гибкими по сравнению с канатами типа ТК.
По направлению свивки канаты могут быть правой или левой
свивки, а по сочетанию направлений свивки элементов каната раз-
личают крестовую и одностороннюю свивки. В последней конструк-
ции направление свивки проволок в пряди и прядей в канаты оди-
наковое. Кроме того, по способам свивки канаты классифицируют
на раскручивающиеся и нераскручивающиеся.
213
Канаты для вантовых покрытий желательно употреблять нерас-
кручивающиеся крестовой или односторонней свивки. Канаты од-
носторонней свивки более гибки, чем крестовой.
В вантовых покрытиях рекомендуется применять канаты с ме-
таллическим сердечником, изготовленные из проволок диаметром
не менее 1 мм. Краткая характеристика некоторых типов стальных
канатов с металлическим сердечником приведена в табл. VII. 1.
Сопротивление каната характеризуется двумя величинами: Рс —
суммарным разрывным усилием проволок каната и Ра — действи-
тельным разрывным усилием каната, разница между ними в процен-
тах характеризует потери от свивки. В зависимости от конструкции
каната эти потери составляют 10—20%. В качестве расчетных раз-
рывных усилий для канатов из светлой и оцинкованной проволоки
принимают соответственно Рр = 0,65Рс и Рр = 0,60Аа.
Последние исследования напряженно-деформированного состо-
яния канатов показывают, что обрыв стальных проволок происходит
прежде всего за счет хрупкого разрушения проволок, подвергну-
тых коррозии, и затем от разрыва оставшихся проволок при плас-
тическом течении материала, сопровождающемся образованием «ше-
ек». При этом оказывается, что проволока канатов подвергается
коррозии не только по наружному слою, но и со стороны внутрен-
них межпрядевых пустот в теле каната, образовавшихся при свив-
ке последнего.
В отличие от электрохимической коррозии, которая в обычных
условиях ведет к простому ослаблению сечения, наблюдается также
явление межкристаллитной коррозии, которое приводит к появлению
межкристаллитных трещин, обусловливающих в дальнейшем хруп-
кое разрушение проволок. Склонность проволок каната к корро-
зионному растрескиванию, связанная с составом стали и технологи-
ей изготовления каната, предопределяет необходимость учета осо-
бой характеристики — предела коррозионного растрескивания, ве-
личину которого определяют по следующей зависимости: о 0,48<тс,
где оа — агрегатное разрывное сопротивление каната*.
Недостатком канатов как элементов строительных конструкций
является их сравнительно невысокий первоначальный модуль уп-
ругости, обусловленный витой структурой. Если модуль упругости
проволоки, из которой изготавливается канат, равен 2 000 ООО кг/см2,
т. е. близок к своему теоретическому пределу, то для канатов
одинарной свивки он меньше на 15—35, а для канатов двойной
свивки — на 50—65%.
Большее снижение модуля упругости для каната двойной свив-
ки объясняется большим числом повторных скручиваний проволок
и большими углами скручивания по сравнению с канатами одинар-
ной свивки. Известные формулы академика А. Н. Динника устанав-
* Характеристика предела коррозионного растрескивания канатов существую-
щими СНиП не предусмотрена и рекомендуется для применения по результатам
исследования Ленинградского института инженеров железнодорожного транспор-
та [57].
214
ливают количественные соотношения между модулем упругости про-
волок и геометрическими параметрами каната:
для канатов одинарной свивки Е = Епр cos4q>;
то же двойной Е — Епр cos4<p • cos4<p', где <р и <р' — соответствен-
но угол наклона оси пряди к оси каната и средний угол наклона
проволоки к оси пряди. Очевидно, что увеличенный шаг свивки
проволок и прядей уменьшает утлы наклона и соответственно повы-
шает первоначальный модуль упругости.
Для повышения первоначального модуля упругости и устране-
ния неупругих деформаций канаты подлежат обязательной предва-
рительной вытяжке усилием 65—75% разрывного усилия каната
Таблица VII.2
гост Тип каната Количество провол ок в канате, шт. Е, кг/см2
без предвари- тельного вытяги- вания с предварительным вытягиванием
3062—69 Спиральный 1 X 7 1 480 000 1 750 000—2 100 000
3063—66 1 X 19 1 450 000 1 700 000—1 800 000
3064—66 1 X 37 1 250 000 I 530 000—1 610 000
3065—66 1 X 61 1 150 000 1 500 000
3066—66 Трос 7X7 1 250 000 1 400 000
3067—66 7 X 19 1 100 000 1 250 000
3068—66 7 X 37 980 000 1 150 000
в течение 0,5—2 ч. Модули упругости для некоторых типов канатов,
без предварительного вытягивания и с предварительным вытягива-
нием, приведены в табл. VII.2.
Средний модуль упругости для канатов одинарной свивки мо-
жет быть принят 1 650 000—1 700 000 кг!см2.
Необходимо обратить внимание, что по данным натурных и ла-
бораторных исследований в действительности модуль упругости ка-
натов обычно на 15—25% ниже величин, указанных в СНиП П-В.
3—62*. Это объясняется тем, что на результаты определения моду-
ля упругости оказывают влияние дополнительные факторы: длина
образцов и базы измерения, диаметр каната, неравномерность и
шаг свивки. Так, при увеличении длины каната (примерно до 145 л)
модуль упругости уменьшается. Определение модуля упругости
должно производиться на более длинных образцах, чем это преду-
сматривается ГОСТ 3241—66. В [63] длину образца рекомендуется
принимать не менее 65d (d — диаметр каната), база измерения
должна быть равна примерно 25d, а границы ее должны отстоять
от торцов анкеров, чтобы исключить влияние обжатия каната анке-
ром, не менее, чем на 20d.
Очевидно, что при строительстве крупных сооружений с при-
менением канатов, последние должны быть обязательно испытаны
для определения действительного модуля- упругости и несущей
способности анкерных креплений. В других случаях модуль
215
упругости канатов может приниматься по СНиПу с введением по-
правочного коэффициента 0,8—0,85.
Для ответственных сооружений при соответствующих технико-
экономических обоснованиях могут применяться канаты закрытого
типа по ГОСТ 3090—55, ГОСТ 7645—69, ГОСТ 7676—55. Наружные
слои таких канатов состоят из профилированной проволоки и облада-
ют повышенной коррозиеустойчивостью.
Пучки или пряди для вант изготавливают из высокопрочной
проволоки на специально оборудованных стендах, иногда непосред-
Табл ина VII.3
Диаметр проволоки, мм 3 4 5 6 7 8
Площадь поперечного сече- ния, см2 0,0706 0,1256 0,1963 0,2826 0,3847 0,5024
Временное сопротивление разрыву, кг/см\ для прово- локи по ГОСТ 7348—63 19 000 18000 17 000 16 000 15 000 14 000
То же, по ГОСТ 8480—63 18 000 17 000 16 000 15 000 14 000 13-000
Расчетное сопротивление раз- рыву, кг/см2, для проволоки по ГОСТ 7348—63 10 600 10 100 9500 9000 8300 7800
То же, по ГОСТ 8480—63 10 000 9500 9000 8300 7800 7200
Относительное удлинение, проц. 4 4 4 5 6 6
ственно на строительной площадке. Для пучков применяют прово-
локу круглую углеродистую по ГОСТ 7348—63 и холоднотянутую
периодического профиля по ГОСТ 8480—63.
Основные характеристики этих проволок приведены в табл. VII. 3.
Расчетные сопротивления высокопрочной арматурной проволоки
зависят от ее диаметра и уменьшаются с его увеличением. Прием-
лемые расчетные характеристики и сравнительно хорошая корро-
зиеустойчивость делают проволоку диаметром 4—6 мм наиболее
употребительной.
В зависимости от расчетного усилия в вантах, типа анкерного
крепления и конструкции домкрата формируют пучок по форме и
количеству проволок в нем. Конструкции некоторых анкеров требу-
ют изготовления пучков одновременно с их монтажом.
Через 70—100 см по длине пучков проволоки их связывают мяг-
кой вязальной проволокой диаметром 1—1,5 мм. Иногда для
придания пучку трубчатого сечения между проволоками уста-
навливают спиральные вставки. В целях повышения коррозие-
устойчивости пучок покрывают битумом или свинцовым суриком.
216
Это делается в том случае, когда ванты не подлежат ©бетонированию
вместе с ограждающими плитами.
Модуль упругости пучков из высокопрочной проволоки принима-
ется равным 1 800 000—1 900 000 кг/см2. Для выравнивания про-
волок и создания равномерного распределения усилий между ними
пучки рекомендуется вытягивать усилием, превышающим расчетное
разрывное примерно на 10%. Этим одновременно достигается повы-
шение модуля упругости до 2 000 000 кг/см2.
Предварительное вытягивание канатов и пучков необходимо вы-
полнять вместе с присоединенными концевыми креплениями
(см. § 2 гл. VII).
Арматурная сталь, круглая или периодического профиля, име-
ющая прочностные характеристики ниже, чем у канатов, но более
коррозиеустойчива, позволяет применять сварку и более простые
соединения.
Рекомендуется применять арматурные стержни периодического
профиля класса А—III (7?а = 3400 кг/см2) и А—IV (7?а = 5100 кг/
см2), изготовленные из стали марок Ст.5, 35ГС, 25Г2С, 15Г2С,
30ХГ2С и др.
Арматурная сталь может применяться в вантовых покрытиях
значительных пролетов. Максимальный диаметр одиночных арма-
турных стержней для вант по условиям жесткости обычно не превы-
шает 40 мм. При больших площадях сечения применяют спаренные
ванты с расположением стержней в поверхности сети в один ряд.
Термическая обработка или холодная вытяжка (наклеп) повы-
шают прочность арматурных стержней. Термически обработанные
круглые стержни можно применять в вантах без сварных соедине-
ний, так как при сварке прочность таких сталей несколько падает.
При холодной вытяжке увеличивается область упругой работы ма-
териала. При применении холодноупроченных стержней следует
особое внимание обращать на конструирование узлов вант, не до-
пуская концентрации напряжений, так как вместе с повышением
предела упругости (для арматуры класса А—III /?а увеличивается
до 4500 кг/см2) пластичность падает и возрастает опасность хрупкого
разрушения. В дальнейшем предполагается полностью заменить
упрочненную вытяжкой арматуру и в предварительно напряженных
конструкциях в основном применять свариваемую арматуру класса
А-V с пределом текучести не менее 8000 кг!см2.
Соединять арматурные стержни необходимо контактной электро-
сваркой в стык ванным или электрошлаковым способом. Типы свар-
ных стыковых соединений могут быть приняты в соответствии с
табл. 35 СНиП II-B.1—62 «Бетонные и железобетонные конструк-
ции». Хорошо отвечает условиям работы вант ванная сварка на уд-
линенных стальных подкладках.
Технология сварки принимается по действующим нормативным
документам. При применении термически упрочненных стержней
соединение вант желательно выполнить на муфтах с резьбой. Ванная
сварка таких холодноупрочненных стержней не рекомендуется,
217
так как приводит к снижению предела текучести и тем больше, чем
больше диаметр стыкуемых стержней.
При выборе марок стали для вант в виде арматурных стержней
можно руководствоваться положениями 2.7—2.19 и табл. 32 СНиП
II-B.1—62 «Бетонные и железобетонные конструкции».
Ванты, не подлежащие в дальнейшем обетонированию, защища-
ют от коррозии различными составами, например, покрывают ла-
ками на основе эпоксидной смолы, содержащей сурик и др.
§ 2. Концевые крепления вант
Усилия в нитях вантового покрытия не зависят от величины
пролета последних и определяются их кривизной, т. е. формой.
Это положение свойственно любым напряженным криволинейным
поверхностям, однако в вантовых покрытиях, ввиду дискретной
Рис. VII.1. Концевые крепления вант из стальных канатов:
/ — подвижной клин; 2 — клин; 3 — гильза.
структуры их, оно является более наглядным. Основываясь на этом
положении, укажем возможные причины разрушения сети вантово-
го покрытия.
Предположим, что по каким-либо причинам нагрузка на ванто-
вое покрытие по сравнению с расчетной увеличилась, и за счет де-
218
формации первоначальные стрелки вант изменились. Увеличение
стрелок вант приведет к уменьшению усилий в них и в определенный
момент времени покрытие «зависает». Если учесть, что стальные ван-
ты могут разрушиться только при значительном развитии пласти-
ческих деформаций (физическая нелинейность работы), которые,
в свою очередь, также ведут к увеличению стрелок вант, конструк-
ции вантовых покрытий представляются наиболее безопасными.
Особое внимание необходимо уделять конструированию узлов
вантовых покрытий, так как концентрация напряжений в узлах и
другие факторы могут привести к хрупкому разрушению, сопрово-
ждающемуся малыми деформациями и происходящему внезапно.
Таблица VII.4
Диаметр каната, мм Количество зажимов, шт. Расстояние между зажи- мами, мм Основное размеры зажима, мм
Диаметр стержня дужки Толщина планки
20 5 но 16 16
22 5 130 16 16
25 5 150 20 20
28 6 175 20 22
32 6 200 22 24
35 6 225 22 24
38 6 250 24 24
40 7 250 24 26
45 7 275 25 28
48 8 300 25 28
50 8 300 28 30
55 9 350 28 30
60 9 375 30 30
Выбор концевого крепления вант зависит от материалов приме-
няемых вант и бортового элемента, конструктивного решения его,
степени капитальности сооружения, методов предварительного на-
тяжения сети, наличия соответствующих механизмов и оборудования
для натяжения вант и других факторов.
Наиболее простым концевым креплением вант из канатов может
служить петля с коушем на зажимах или с вплетенным коушем
(рис. VI 1.1, а, б). Зажимы для закрепления концов каната могут быть
в виде двух гнутых стрежней с проушинами или в виде дужки с план-
кой (одинарные). Роль планки в одинарном зажиме иногда выполня-
ет специально отлитая стальная накладка с углублением для каната
и отверстием для дужки («коренной зуб»). Зажимы устанавливаются
таким образом, чтобы затягивающие гайки их размещались со сто-
роны рабочей ветви каната и с шагом, равным не менее 6 диаметрам
каната. Многолетней практикой эксплуатации и испытаний конце-
вых креплений канатов на зажимах установлено, что разрыв-
ное усилие каната с таким соединением должно быть уменьшено по
сравнению с расчетным на 20—25%.
219
Применяются также так называемые плашечные зажимы, состоя-
щие из двух пластин толщиной 8—16 мм и двух или четырех болтов,
при помощи которых зажимают канат.
В табл. VII.4 приведены рекомендованные расстояния между оди-
нарными зажимами, необходимое их количество на соединение и ос-
новные размеры зажима в зависимости от диаметра каната.
При применении петли с вплетенным коушем канат огибает его
по дуге, равной 4—6 диаметрам каната, и вплетается в основную
ветвь каната на длину, равную примерно 25 диаметрам каната.
Место вплетения плотно обматывается мягкой вязальной проволокой
(бензель) диаметром 1—1,5 мм. Прочность зачаленного каната
Таблица VII.5
Диаметр каната, мм Длина перевязки, мм Использование прочности каната с вплетенным коушем, проц.
20 390 90—95
25 450 85
28 600 80—85
30 850 80—85
35 925 80
40 1000 75
используется не полностью и зависит от диаметра каната (см. табл.
VII.5).
Петля с коушем с запрессовкой конца каната при помощи алю-
миниевых или стальных трубок овального сечения (рис. VII. 1, в)
широко применяется в качестве концевого крепления. Плотное об-
жатие трубок на прессе с усилием 5—10 т обеспечивает примерно
такое же использование прочности основного каната, как и при пет-
ле с вплетенным коушем. Такое крепление следует применять преи-
мущественно для канатов диаметром до 20 мм. Повышается надеж-
ность анкера при размещении между ветвями каната в пределах
трубки стального вкладыша.
В зависимости от диаметра каната и конструктивного решения
узла в концевых креплениях канатов с петлями применяют кованые
или штампованные оцинкованные коуши легкого (ГОСТ 2224—72)
или тяжелого типов (литые).
Самозаклинивающийся зажим (рис. VII. 1, г) благодаря боковым
поверхностям корпуса и внутреннему клину обеспечивает закреп-
ление каната под действием усилия в канате. Основной корпус са-
мозаклинивающегося зажима может быть литым или составленным
из отдельных деталей, сваренных или склепанных в одно целое.
Основная ветвь каната должна располагаться на прямой части кли-
на. Самозаклинивающийся зажим ускоряет монтаж, компенсирует
ошибки в определении первоначальных длин вант, но не обладает
достаточной надежностью и вместе с предыдущими типами крепле-
ний может применяться в нестационарных сооружениях или в ка-
честве временного закрепления вант в процессе строительства.
220
При применении канатов небольших диаметров может быть при-
менено концевое крепление, основанное на запрессовке каната на
гидравлической протяжной установке. Длина участка запрессован-
ного каната зависит от диаметра. Обжатие каната и втулки, закан-
чивающейся резьбой, происходит по периметру (рис. VII.1, д).
Наиболее надежны заливные концевые крепления канатов. Ос-
новная деталь концевого заливного крепления — стакан может
иметь различную конструкцию: точеную, литую, сварную с после-
дующим креплением к опорному контуру при помощи гайки, шар-
нира, упора и т. д. (рис. VII, 1, е, ж, з).
Подготавливают канат к изготовлению заливного концевого
крепления следующим образом, Ниже предполагаемого конца за-
Таблица VII.6
Марка или на- именование сплава Химический состав сплава, проц. Температура заливки, град С
Медь Цинк Олово Свинец Алю- миний Сурьма Дру- гие при- меси
ЦАМ 10-5 4—5,5 Оста- ток — — 10—12 — 0,35 370—395
ЦАМ 0-1,5 1—2 То же •—. .— 9—11 —• 0,35 450—480
Б89 2,6-3,5 — Оста- ток — — 7,25-8,25 0,55 Не более 500
Б83 5,5—6,5 — То же — — 10—12 0,55 » » »
Б16 1,5-2,0 — 15—17 Оста- ток — 15—17 0,6 » » »
Цннк Ц1 — 100 —_ .—. —- — — 450
Свинцрв о- оло- вянный — — 6 76 — 18 — 250
дивного стакана на расстоянии, равном примерно 5—6 диаметрам
каната, его оплетают мягкой вязальной проволокой диаметром 1—
1,5 мм, после чего проволоку каната распускают, сохраняя естест-
венную витую форму. Промывают проволоку бензином, керосином
или газолином. После первоначальной очистки проволоку травят
в течение 1—2 мин в 50%-ном растворе соляной кислоты, промыва-
ют в кипящей воде с добавлением кальцинированной соды. Иногда
обезжиривают проволоку в других щелочных растворах. Заливной
стакан очищают аналогичным образом и перед заливкой вместе с
продетым канатом нагревают примерно до 250—300° С.
Заливной стакан зажимают вертикально в специальных колод-
ках таким образом, чтобы прямолинейная часть свисающего каната
по длине была не менее 25—30 диаметров его. Стакан при заливке
должен встряхиваться для удаления пузырьков воздуха.
При применении канатов из светлой проволоки перед заливкой
в пределах втулки проволоку желательно пролудить или погрузить
в расплавленный цинк. В некоторых случаях перед заливкой кон-
цы проволок дополнительно отгибают (длина отгиба 10—15 мм).
Для заливки стаканов применяют чистый цинк Ц1, Ц2, (ГОСТ
3640—65), сплавы алюминия, цинка, свинца, олова и сурьмы.
Сплавы на основе цинка (ГОСТ 7117—62: ЦАМ 9—1,5, ЦАМ 10—5)
221
дешевле баббитов (ГОСТ 1320—55: Б16, Б89, БТ, Б6, БК, БН, БС),
содержащих олово, и позволяют уменьшить размеры втулок.
Чистый цинк обладает большим коэффициентом термического рас-
ширения и при заливке дает большую усадку. Составы некоторых
сплавов приведены в табл. VII.6.
При заливке необходимо вести тщательный контроль за темпера-
турой сплава, так как повышенная температура приводит к пере-
жогу отдельных проволок и снижению его несущей способности.
Размеры стаканов назначают в зависимости от диаметра кана-
та по следующим соотношениям:
Высота ..........................4,5—5 диаметров каната
Наружный диаметр.................*3 »
Конусность внутренней полости .... (1:8) — (1 : 10)
Большой опыт работы с заливными концевыми креплениями на-
коплен в ЦНИИ Проектстальконструкция, Укрпроектсталькон-
струкция, Промстальконструкция, ГСПИ Министерства связи СССР
и в других организациях. ЦНИИ Проектстальконструкция разра-
ботал нормали заливных втулок различных конструкций для кана-
тов с расчетным усилием от 4 до 77 т, которыми рекомендуется
пользоваться.
В последние годы в СССР при возведении вантовых покрытий
широко применяется гильзо-клиновой анкер системы ВНИИМон-
тажспецстроя (рис. VII.1, и) *. Этому во многом способствовал вы-
пуск специальной инструкции, в которой обобщены результаты тео-
ретических и натурных исследований опытных образцов анкеров **.
Анкер состоит из гильзы, изготавливаемой из мягкой стали
марки Ст.З (ГОСТ 380—71), и клина, изготавливаемого из тер-
мообработанной углеродистой стали марок Ст.45, Ст.50
(ГОСТ 1050—60 **). Фасонный клин, имеющий волнистую фор-
му, приблизительно совпадающую с формой расплетенных прядей
каната, обеспечивает обжатие внутренних проволок каната, а гиль-
за, имеющая в начальном состоянии внутреннюю коническо-ци-
линдрическую полость, при протяжке на гидравлическом прессе
через волок претерпевает пластические деформации и плотно об-
жимает наружные слои проволок. Поскольку клин выполнен в виде
комбинации соединенных конусов, образующие которых имеют
последовательно возрастающие углы наклона, усилие заанкерива-
ния равномерно распределяется по всей длине анкера.
По сравнению с- другими видами анкеров, в частности, с залив-
ными, гильзо-клиновые анкеры имеют много преимуществ: исключа-
ют горячие процессы, экономят сплавы цветных металлов, упрощают
технологию изготовления, обеспечивают максимальную механиза-
цию работ.
* В. Я. Телегин. Авторское свидетельство на изобретение № 219954.
** «Указания на заделку концов стальных канатов в гильзо-клиновом сое-
I МСН 99-65 \ „
динении» I pjviqq СССР )’ Москва, 1966.
222
Крепление анкера на опорном контуре может производиться при
помощи гаек, навинчиваемых на гильзы, или вилочных шайб.
В первом случае необходимо иметь резьбу на гильзе, а это значитель-
но усложняет процесс изготовления анкера, так как накатка резьбы
должна производиться после опрессовки на станке с приспособле-
Рис. VII.2. Концевые анкерные крепления вант из пучков высокопрочной прово-
локи:
1 — контур гильзы до обжатия; 2 — стержень; 3 — спираль; 4 — резьба; 5 — втулка;
6— вкладыш; 7 — высадка головок; 8 — нарезка; 9 — колодка; 10 — пробка; 11 — разъ-
емный захват; 12 — труба; 13 — бетон; 14 — диафрагма-звездочка; 15 — песок; 16 —
поршень-
нием, обеспечивающим вращение длинного канатного элемента.
Во втором случае гильза не имеет резьбы, а тяговая гайка (для за-
хвата домкратом) изготавливается отдельно и располагается на кана-
те за гильзой. При применении гильз без резьбы трудоемкость и
стоимость изготовления вант снижается примерно на 30—40% [63].
Концевые крепления для вант из пучков высокопрочной прово-
локи более разнообразны, чем для вант из канатов, и закрепление
проволок во всех типах осуществляется за счет сил трения, пере-
гиба или заклинивания.
223
Гильзо-стержневой анкер системы НИИ-200 основан на запрес-
совке концов пучка между гильзой из мягкой стали и закаленным
стержнем, изготовляемым из качественной углеродистой стали мар-
ки Ст.45 (ГОСТ 1050—60 *). Опыт применения анкеров системы НИИ-
200 (рис. VI 1.2, а) показывает, что высокая твердость стержня после
термообработки (твердость по Бринелю равна 240) плохо отражается
на его прочности, увеличивает чувствительность к монтажным пере-
косам и хрупкость. Несущая способность пучка может снизиться до
60—70% расчетного разрывного усилия. Частично это можно ком-
пенсировать применением для стержня качественной рессорно-пру-
жинной кремнистой стали марки Ст.55С2 с аналогичной твер-
достью по Бринелю и сферических шайб, исключающих перекос.
При двухслойном расположении проволок в анкере может быть
применена видоизмененная конструкция анкера НИИ-200 — ан-
кер типа ПИ-1 (рис. VI 1.2, б).
Модернизацию анкера НИИ-200 предложил М. К. Бородич *
(рис. VII.2, в). Вместо термически упрочненного стержня применя-
ется спираль из высокопрочной проволоки, одетая на стержень из
обычной малоуглеродистой стали. Гильза, как и в анкере системы
НИИ-200, изготавливается из мягкой стали. При опрессовке на
гидравлической установке проволока пучка между витками спирали
изгибается, а более твердая спираль при этом вдавливается в более
мягкий стальной стержень. Стержень обычно заканчивается резь-
бой и анкерится при помощи гаек.
Существует несколько типов анкеров, в которых стержни отсутст-
вуют, а проволока защемляется непосредственно в стальной гильзе.
В анкере конструкции Н. Е. Носенко (рис. VII.2, г) резьба выпол-
няется после запрессовки пряди.
Модификацией анкера Н. Е. Носенко является анкер, разработан-
ный бывшим Ленинградским филиалом АС и А СССР (рис. VI 1.2, д).
Если в анкере конструкции Н. Е. Носенко резьба выполняется пос-
ле запрессовки пряди, то в последнем анкере эту операцию возможно
выполнить заранее.
Оригинальны, хотя, на наш взгляд, многодельны и трудоемки
в изготовлении, анкеры, предложенные И. М. Портновым и Е. Ф. Лы-
сенко **, Б. А. Котениным и В. Я. Телегиным ***.
Анкер, предложенный И. М. Портновым и Е. Ф. Лысенко (рис. VII.
2, е), представляет собой гильзу с наружной и внутренней резьбой,
в которую вставляется втулка с набранным вокруг нее пучком.
На наружной резьбе гильзы располагается гайка. Анкерение про-
волок осуществляется при помощи развальцованной втулки. Диа-
метр втулки увеличивается, заполняя все пустоты, а внутренняя
резьба гильзы впивается в проволоки.
* М. К. Бородич. Авторское свидетельство на изобретение № 147312.
** И. М. П о р т н о в и Е. Ф. Лысенко. Авторское свидетельство на
изобретение № 124615.
*** Б. А. К о т е н и и и В. Я. Телегин. Авторское свидетельство на
изобретение № 134414.
224
Цилиндрический гильзовый обжимной анкер Б. А. Котенина и
В. Я. Телегина (рис. VII.2, ж) использует для анкеровки силы тре-
ния, перегиба и заклинивания. Гильза имеет по диаметру двух-
ступенчатое отверстие, и на участке большего диаметра между про-
волоками пучка располагают специально изготовленные конические
вкладыши.- При запрессовке конические вкладыши заклинивают и
перегибают проволоки.
Компактна швейцарская конструкция анкера Брандестини, Бир-
кенмайера, Роса, Фогта (рис. VII.2, з). Анкеровка производится
путем высадки концов проволок. Внутренняя и наружная резьба
гильзы используется соответственно для предварительного натяже-
ния пучка и анкеровки на бортовом элементе. Для высадки головок
и зачистки концов проволок в анкере системы ББРФ применяются
специальные прессы, что в определенной степени ограничивает его
широкое применение.
При небольших вантах целесообразно применять концевое ан-
керное крепление системы Поленски-Цельнер (рис. VII.2, и), яв-
ляющееся модификацией крепления «колодка с пробкой» с той лишь
разницей, что пробка (стержень) имеет резьбовой конец с анкеря-
щей гайкой. Проволоки пучка закрепляются за счет трения между
поверхностями гильзы и стержня, имеющих одинаковую конус-
ность. Силы сцепления можно увеличить, выполнив нарезку так-
же на конической части стержня.
Анкеры без запрессовки, но с плотной забивкой клиньев между
проволоками пучка, для применения в вантовых покрытиях не ре-
комендуются, так как размеры их велики, трудоемкость работ по
изготовлению их большая, а надежность недостаточна.
Концевые конусные анкерные крепления типа «колодки с проб-
кой» системы Фрейссине (Франция) широко применяются при из-
готовлении типовых предварительно напряженных ферм и железо-
бетонных оболочек (рис. VI 1.2, к). Конусность колодки и пробки
принимается в пределах 1 : 10 ~ 1 : 15. Наружная поверхность
пробок закаливается до твердости 45—50 по Бринелю. После этого
производят калибровочную проверку нарезки, так как во время за-
калки может произойти поджег зубьев.
На основе анкера системы Фрейссине разработано большое ко-
личество модификаций, конечной целью которых является увеличе-
ние сил сцепления за счет трения и перегиба. Сюда следует отнести
анкер с изменяющейся конусностью пробки и анкер, предложенный
И. Б. Ройзманом и А. Т. Шамраем * (рис. VII.2, л). Выступы и вы-
емки на внутренней поверхности колодки и наружной поверхности
пробки (клина) обеспечивают при запрессовке многократный пере-
гиб проволок пучка, увеличивая силы сцепления.
При применении мощных арматурных пучков для вант целесооб-
разнее применять анкеры системы А. П. Коровкина (рис. VI 1.2, м)
* И. Б. Р о й з м а н, А. Т. Ill а м р а й. Авторское свидетельство на изоб-
ретение № 142008.
8 3—2835
225
или анкер системы ЦНИИС Гострансстроя. Из обрезка бесшовной
трубы изготавливают стакан с приваренным днищем. Через отвер-
стие в днище пропускают пучок, обжимают стальным кольцом с ко-
ническим вкладышем, а проволоку отгибают внутрь стакана. Анкер
заливают бетоном М500 или М600 с крупностью зерен заполнителя
не более 10 мм и тщательно вибрируют. Предварительное натяжение
производят при помощи кольцевого захвата с резьбой, который на-
саживается на стакан снизу.
Отдельные мощные ванты из пучков высокопрочной проволоки
в исключительных случаях могут иметь анкеры так называемого
мостового типа (рис. VI 1.2, н).
Хотя неметаллические материалы для вант распространены не
широко, некоторые из них, например материалы на основе стекло-
волокна, обладают большой прочностью на растяжение (10 000—
20 000 кг!см2) и для вантовых покрытий являются наиболее прием-
лемыми.
Существующие анкеры для закрепления канатов, пучков и арма-
турных стержней не пригодны для арматуры из стекловолокна, ха-
рактерными особенностями которого являются хрупкость, плохая
сопротивляемость изгибу и различным контактным напряжениям,
в частности, действию сосредоточенных сил.
Оригинальным способом закрепления арматуры из стекловолок-
на является предложение В. С. Когана * (рис. VII.2, о), основанное
на использовании бокового давления в грунтовом массиве. Под-
вергнутый сжатию поршнем в сосуде мелкозернистый песок оказы-
вает на его стенки и поверхность стержней из стекловолокна, по-
мещенных в сосуд, равномерное давление.
При применении стержневой арматурной стали по ГОСТ 5781—
61 *, ГОСТ 6727—53 * конструкции концевых креплений намного
упрощаются, так как в большинстве случаев позволяют применить
сварку элементов.
Для покрытий небольших пролетов закрепление вант из круг-
лой стали возможно выполнить в виде простой петли или крюка
диаметром не менее 2,5 диаметра стержня. Ванты с такими крепле-
ниями желательно выполнять из арматурной стали класса А-I диа-
метром не более 14—16 мм (рис. VII.3, а).
Чаще всего анкеровка из арматурной стали производится при
помощи гаек, навинчиваемых на нарезные концы. Нарезка ослаб-
ляет сечение вант и для компенсации этого ослабления необходи-
мо увеличивать сечение вант либо приваривать утолщенные участ-
ки в месте нарезки (рис. VII.3, б, в).
Для вант с небольшими усилиями и, следовательно, с небольши-
ми поперечными сечениями (примерно до 18 мм) можно рекомендо-
вать увеличение сечения вант. При применении хвостовиков со-
единение должно быть тщательно сварено без смещения осей стерж-
ней в стыке, особенно для вант из высокопрочной стали (Да =
* В. С. Коган. Авторское свидетельство на изобретение № 126247.
226
= 3400—5100 кг/см2). Преимущество следует отдавать контактной
электросварке или ванной сварке на удлиненных подкладках с соб-
людением требований соответствующих инструкций. Резьба на
концах вант должна быть ровной и чистой, полного профиля, и вы-
полняться на токарном или резьбонарезном станке. Для обеспече-
ния высококачественной накатки резьбы для хвостовиков приме-
Рис. VI 1.3. Концевые крепления вант из арматурных стержней.
няют хромистую (например марки 45Х) или марганцовистую (напри-
мер марки 27 СГ) стали. Анкерные гайки изготавливаются в соот-
ветствии с ГОСТ 5931—70*.
Длина нарезки вант зависит от конструктивного решения узла
примыкания вант к борту и методов предварительного натяжения
(место под ключ, тип домкрата и т. д.). Расстояние от конца на-
резки до упорной гайки (запас резьбы) равно примерно 50—100 мм
и определяется в соответствии с длиной ванты.
Чтобы исключить влияние температуры сварки на качество резь-
бы, сварной стык между хвостовиком и основным стержнем необ-
ходимо располагать не ближе 150—200 мм от начала резьбы.
8*
227
Удачное решение концевого крепления показано на рис. VI 1.3, г.
Резьба накатывается на стальную муфту (отрезок трубы и т. п.),
плотно насаженную на конец ванты и соединенную с ней сварными
швами.
Крепление вант из арматурных стержней в монолитном бортовом
элементе может производиться аналогично креплению обычных
анкерных болтов. Упорная шайба значительно уменьшает длину
заделки (рис. VI 1.3, д).
При концевом креплении вант в виде сварного башмака с пере-
дачей усилий через стяжные высокопрочные болты (рис. VI 1.3, е)
облегчается последующее натяжение вант, упрощается изготовление
крепления и возможно применение стандартных стяжных болтов.
При шарнирном примыкании вант к бортовому элементу простым
концевым креплением может служить фасонка с отверстием, при-
вариваемая к стержню. При небольших сечениях вант (до 16 мм)
сварку стержня к фасонке можно производить внахлестку (рис. VII.
3, ж). При больших усилиях и сечениях вант необходимо обеспе-
чить центральную передачу усилий, для чего стержень соединяется
с фасонкой по прорези или при помощи двух спаренных фасонок
(рис. VII.3, з).
Несмотря на разнообразие рассмотренных концевых креплений
вант в практике строительства покрытий наиболее распространены
заливные и гильзо-клиновые анкеры для вант из тросов и нарезные
хвостовики для вант из арматурной стали.
Выбор типа концевых креплений элементов для вантовых покры-
тий является ответственным этапом в проектировании. Тщательный
анализ условий работы анкера в процессе монтажа или эксплуата-
ции покрытия поможет проектировщику выбрать правильное кон-
цевое крепление. Прочность почти всех концевых креплений в той
или иной степени меньше прочности основного сечения вант. Тем-
пература заливки сплавов при изготовлении заливных креплений,
всевозможные механические повреждения, концентраторы напря-
жений (подрезы, перегибы, эксцентричность, явления контактного
трения, наличие дефектов в теле анкера и т. д.) влияют на прочность
вант в месте крепления.
Учитывая то, что вантовые покрытия большей частью применяют-
ся в общественных зданиях больших пролетов, концевые крепле-
ния вант, не имеющие аналогов в практике, перед началом строитель-
ства подлежат обязательному испытанию по заранее разработанно-
му технологическому проекту. На основании результатов испытаний
вносятся коррективы в рабочий проект в части величины снижения
прочности ванта в месте крепления.
§ 3. Узлы примыкания вант к бортовым элементам
Качество строительства вантовых покрытий в значительной
степени зависит от технических решений и правильного осуществле-
ния в натуре узлов соединения и анкеровки вант.
228
Узлы вантовых покрытий рассматриваемого класса можно раз-
делить на узлы примыкания вант к бортовым элементам и пересече-
ния вант в пролете.
Конструктивные решения узлов примыкания вант к бортовому
элементу определяются концевыми креплениями вант (следователь-
но, и материалом); материалом бортового элемента и его конструк-
тивным решением; методами предварительного натяжения сети.
Не останавливаясь на концевых креплениях вант, подробно рас-
смотренных в § 2 гл. VII, приведем некоторые общие положения
о влиянии двух других факторов на конструктивное решение уз-
лов примыкания.
В настоящее время для конструкций бортовых элементов при-
меняют железобетон, металл, реже — дерево.
Статическая работа опорного контура вантовых покрытий пред-
определяет рациональное применение железобетона в его кон-
струкциях. Однако обеспечение надежности соединений металли-
ческих конструкций вант с железобетонным бортовым элементом
вызывает затруднения.
Стыки сборных элементов выполняют, как правило, монолит-
ными, предварительно сварив выпуски арматуры. Надо отметить,
что бортовые конструкции большинства осуществленных в СССР и
за рубежом покрытий (см. гл. VIII) выполнены в монолитном же-
лезобетоне. Однако это обстоятельство не противоречит общим
требованиям индустриальности строительства, так как вантовые
покрытия имеют ярко выраженный индивидуальный характер про-
ектных решений.
Металлические бортовые элементы имеют преимущества по
сравнению с железобетонными элементами (небольшой собственный
вес, упрощение примыкания вант, индустриальное решение стыков
монтажных марок и др.), однако в целях экономии материала
чисто металлические бортовые элементы применяют редко.
Деревянные бортовые элементы сплошного сечения или в виде
сплоченного пакета бревен и досок применяют в покрытиях времен-
ного назначения сравнительно небольших пролетов.
Сечение бортового элемента должно быть прочным, жестким и
способным воспринимать все комбинации силовых воздействий,
которые могут возникнуть в период эксплуатации и монтажа. Проч-
ность и жесткость сечений бортового элемента из железобетона,
металла и дерева проверяются по СНиП.
Примеры армирования железобетонных бортовых элементов осу-
ществленных вантовых покрытий приведены на рис. VI 1.4.
Приняв принцип создания предварительного напряжения (см.
гл. I) и выбрав соответствующее оборудование, обеспечивающее
эффективное предварительное напряжение, проверяют соответствие
первоначально принятых конструктивных решений узлов техно-
логии предварительного натяжения. Так, при передаче усилий на
ограждающие конструкции покрытия и создании этих усилий путем
временного пригруза при одновременном замоноличивании швов
229
Рис. VI1.4. Примеры армирования сечений бортовых элементов покрытий:
а — кино-концертного зала в Харькове; б — стадиона в Монтевидео; в, 8 — кры-
того рынка в Черкассах н Киеве.
между плитами узлы крепления вант к бортовому элементу могут
выполняться «глухими», т. е. без устройств, обеспечивающих по-
вант в процессе монтажа и экс-
следующее натяжение или отпуск
Рис. VI 1.5. К определению крутящих
моментов в криволинейных бортовых
элементах: '
/ — опора; 2 ** линия опорных точек.
плуатации.
При создании предваритель-
ного натяжения последователь-
ным натяжением каждой ванты
сети в отдельности один из узлов
примыкания вант должен иметь
устройство для последующей ре-
гулировки усилий и изменения
первоначальных длин (резьбовой
конец ванта или винтовая стяжка).
Решение узла примыкания
ванта должно быть согласовано
с габаритами применяемого обо-
рудования (домкрат, ключ и
т. д.). В большей степени это
касается назначения размеров
поперечного сечения бортового
элемента.
Примыкание вант к бортовому
элементу должно обеспечивать
передачу распора, исключая возможность появления дополнитель-
ных усилий в контуре и вантах. Это достигается правильной цен-
трацией силовых потоков в узле (пересечение направлений усилий
в вантах с центром опор).
230
Если опора под борт является сплошной стеной, то вертикальная
составляющая усилий в вантах полностью передается на нее. При
отдельно стоящих опорах, расставленных с достаточно большим
шагом, необходимо учитывать дополнительные крутящие моменты
в криволинейном бортовом элементе за счет эксцентричного прило-
жения вертикальных составляющих усилий в вантах относительно
линии опорных точек бортового элемента (рис. VI 1.5).
При круговом очертании опорного контура и радиальных вантах
плоскость кольца обычно расположена горизонтально и не совпада-
Рис. VI 1.6. Узлы примыкания вант к бортовому элементу:
1 — овальное отверстие; 2 — шарнир; 3 — косая шайба.
ет с направлением усилий в вантах (рис. VII.6, а). В железобетон-
ный бортовой элемент для пропуска вант необходимо заклады-
вать наклонные трубки, фиксирующие проектное положение вант.
Диаметр трубок обычно принимается равным 1,4—1,6 диаметра
концевика вант. При этом учитывается также, чтобы в месте воз-
можного контакта ванта с кромкой трубки при деформации не воз-
никал местный изгиб вант.
Установка подобных закладных деталей затруднительна, кроме
того, крепление вант производится за различные уступы, прили-
вы, что также усложняет изготовление бортового элемента, особен-
но сборного железобетонного. При применении опорного кольца,
наклонного к горизонту, этот недостаток может быть устранен.
Ось бортового элемента наклоняется таким образом, что од-
231
новременно является касательной к геометрической линии вант в
точке примыкания к опорному контуру (рис. VI 1.6, б). Иногда вмес-
то трубки для пропуска вант предусматривают отверстие, уширяю-
щееся к внутренней кромке (в вертикальной плоскости) борта для
обеспечения большей свободы деформации вант при нагружении
(рис. VII.6, в).
Участки вант в пределах закладных трубок подлежат защите
от коррозии обмазкой битумом или другими антикоррозионными
Рис. VII.7. Примыкание вант к железобетонному бортовому элементу при помощи:
а — переходного кольца; б — спаренных выпусков; в — стяжных болтов; 1 — коробча-
тый кольцевой элемент; 2 — бортовой элемент; 3 — ванты; 4 — спаренные выпуски с на-
резкой; 5 — заливная втулка конструкции ПСК; 6 — высокопрочные болты; 7 — шарнир.
составами. Полость между внутренними стенками и вантами часто
инъекцируют цементным раствором или заполняют битумной мас-
тикой.
При сложном очертании опорного контура закладные фиксирую-
щие трубки имеют для каждого ванта различные, меняющиеся по
длине бортового элемента, привязочные размеры (рис. VI 1.6, г).
Чтобы сохранить постоянное расположение закладных деталей по
длине бортового элемента, ванты иногда крепят шарнирно на неко-
тором расстоянии от борта (рис. VII.6, д). При меняющемся наклоне
вант это приводит к появлению дополнительных усилий от эксцен-
тричного приложения вертикальной составляющей усилий.
232
Упрощенное решение примыкания вант к бортовому элементу
переходным кольцом представлено на рис. VII.7, а. В бортовой эле-
мент, наклонный к горизонту, забетонированы радиально располо-
женные круглые арматурные стержни, к которым сваркой крепится
стальное коробчатое кольцо из прокатных профилей или цельно-
гнутое. Основные несущие ванты крепятся через это кольцо. Се-
чение переходного кольца может быть замкнутым и открытым, со-
стоящим из двух швеллеров, соединенных стенками на прокладках.
Дополнительный расход стали на устройство переходного кольца
окупается простотой изготовления бортового элемента и упрощенным
монтажом вант. Подобное решение узлов нашло применение в по-
крытии промышленного здания в г. Мехико.
о б
Рис. VI 1.8. Крепление вант к сборно-монолитным бортовым эле-
ментам:
а — коробчатого сечения; б — неполного прямоугольного сечения.
Простым в изготовлении является решение узла примыкания
при помощи двух выпусков, забетонированных в бортовом элементе
(рис. VII.7, б). В узлах примыкания можно применять высоко-
прочные болты (рис. VII.7, в).
При помощи стяжного приспособления с высокопрочными болта-
ми на конце ванта легко производить выверку положения сети в
плане и предварительное натяжение сети. Равномерное подтягива-
ние башмака путем навинчивания гаек исключает закручивание вант,
а шарнирное примыкание к бортовому элементу обеспечивает сво-
боду поворота их в вертикальной плоскости при нагружении.
В качестве вант используют стальные канаты и арматурные
стержни с концевым креплением соответственно заливным и в виде
сварного башмака. Применяют также спаренные выпуски в виде
одной петли. При таком решении концевого крепления вант соеди-
нение можно производить по типу «стыка Передерия».
Железобетонный контур покрытий до монтажа вантовой сети,
как правило, представляет собой элемент, имеющий проектное
поперечное сечение. Иногда целесообразно до монтажа вант иметь
контур с частичной готовностью. Разумеется, что прочность и ус-
тойчивость неполного сечения борта при монтажных воздействиях
при этом обеспечивается. Анкеры вант закрепляются в полости
лоткообразного неполного сечения или по границе полусечения бор-
та (рис. VII.8). После выверки положения вант контур домоноли-
чивается до проектных габаритов и анкер оказывается скрытым в те-
ле бетона. Подобная конструкция крепления вант нашла применение
в покрытиях гаража в Киеве и детского театра в Баку.
К металлическим бортовым элементам ванты из канатов с за-
ливными концевыми креплениями удобно крепить наглухо
233
(рис. VII. 9, а) или на шарнирах (рис. VII.9, б). Последнее решение
характерно для антенно-мачтовых сооружений (верхнее крепление
оттяжки мачты), проверено практикой и является достаточно на-
дежным.
Шарнирность узлов примыкания может быть обеспечена не толь-
ко постановкой в проушинах цилиндрических пальцев, но и специ-
альным выполнением опорной части анкера, например, применением
сферических шайб и соответствующих упоров. На рис. VI 1.9, в
Рис. VI1.9. Примыкание вант к металлическому бортовому элементу:
а — глухое; б, в — шарнирное; 1 — заливная втулка; 2 — накладка-траверса; 3 —-
сферическая шайба.
показан вариант узла со сферической шайбой, примененного в по-
крытии дворца спорта «Юбилейный» в Ленинграде (см. гл. VIII).
При «глухом» креплении заливная втулка или другой анкер
располагается в прорези стальной фасонки и передает усилия на
нее при помощи стальных накладок, прикрепленных заклепками или
болтами. Таким образом, спаренные накладки служат своеобразной
траверсой.
С точки зрения производства работ ванты удобно крепить ме-
таллическими тягами, забетонированными в бортовой элемент. Шар-
нирность соединения компенсирует ошибки, которые могут возник-
нуть из-за неправильного положения тяг. Это решение узлов было
применено при строительстве покрытия кино-концертного зала в
Харькове (рис. VII. 10, а).
Заливные втулки или гильзо-клиновые анкера вант после про-
пуска через закладные трубки бортового элемента могут закреп-
ляться также на гайках. После оттяжки вант (при помощи домкра-
234
тов или других средств) положение анкера и, следовательно, длина
вант фиксируется этими гайками. Иногда крепление осуществля-
ется при помощи вилкообразных шайб, заполняющих пространство
между упорами анкера и бортового элемента в тот момент, когда
давление в домкрате еще не сброшено и анкер оттянут. Обычно при-
меняют несколько шайб, имеющих различную толщину. Хотя такое
крепление простое и удобное, применение вилкообразных шайб мо-
Рис. VII. 10. Узлы примыкания вант к бортовому элементу покрытия:
а — кино-концертного зала в Харькове; б — цирка в Донецке; 1 — гильзо-стержиевой
анкер; 2 — ан кер-захват; 3 — канат 0 9 мм; 4 — бортовой элемент; 5 — гнльзо-клино-
вой анкер; 6 — гайка.
жет привести к потере предварительного напряжения за счет об-
мятая, перекосов и др. Иллюстрацией решения узлов с креплением
на вилкообразных шайбах могут служить узлы покрытий спортивно-
го зала в Братиславе (ЧССР) и цирков в Донецке, Куйбышеве и
других городах (рис. VII. 10, б).
Наличие внутреннего опорного контура характерно для покры-
тий, имеющих составную поверхность и сложную структуру сети
или радиальную систему вант. Как правило, внутренний контур
радиальных систем выполняется из стали, сечение его зависит от
усилий растяжения, изгиба и в некоторых случаях от методов
предварительного натяжения и может быть принято в виде сталь-
ного листа, спаренных швеллеров, прокатных или сварных двутав-
ров, стальных бесшовных труб, гнутых фасонных профилей и др.
(рис. VII. 11).
Однако имеются положительные примеры использования для внут-
реннего кольца и железобетона (рис. VII.12, а).
235
Внутренний контур двухпоясных радиальных систем проекти-
руется в виде жесткого решетчатого барабана, состоящего из поя-
сов — замкнутых колец и решетки в виде стоек и раскосов, или
двух круговых колец, распертых стойками с шарнирным примыка-
нием, обеспечивающим независимые горизонтальные перемещения
Рис. VII.11. Примыкание вант к внутреннему опорному контуру радиальных се-
тей (варианты).
колец при деформации покрытия. Чаще всего концевые крепления,
допускающие изменение длины вант, предусматриваются только со
стороны внутреннего барабана. При тщательной разметке и заго-
товке несущих вант такое крепление необходимо лишь для напряга-
ющих поясов (рис. VII. 12, б).
При промежуточной опоре в центре покрытия узел примыкания
вант к ней может решаться путем непосредственного примыкания
236
Рис. VII. 12. Примыкание вант к внутреннему контуру покрытий:
а — крытого рынка в Киеве; б —"Дворца спорта «Юбилейный» в Ленинграде; 1 — залив-
ная втулка; 2— сферическая шайба; 3 — несущий ваит; 4 — напрягающий вант.
вант к опоре либо путем примыкания вант через промежуточное
опорное кольцо.
Для первого случая характерно решение узла примыкания к
железобетонной опоре вант сети с треугольной структурой. Фикса-
ция положения непрерывных
вант на центральной опоре
обеспечивается упорными эле-
ментами в виде выпуска стерж-
ня с приваренной ограничи-
тельной шайбой. Для второго
случая характерно примыка-
ние вант сети с шестиуголь-
ной структурой. Переходное
кольцо, в данном случае свар-
ного сечения с закрепленны-
ми на нем вантами, притяги-
Рис. VII. 13. Примыкание вант сети
шестиугольной структуры к цент-
ральной опоре:
/ — ванты; 2 — внутреннее кольцо;
3 — опора; 4 — болт для притяжки
сети.
вается к центральной опоре при помощи домкрата или путем
навинчивания гаек на стягивающие болты (рис. VII. 13). Ход на-
тяжки регулирует предварительное натяжение и геометрию по-
верхности. После выверки положения сети внутреннее кольцо
соединяют с центральной опорой на сварке.
237
§ 4. Узлы пересечения вант в пролете
В зависимости от структуры сети ванты представляют собой
непрерывные нити с точками закрепления на контуре или состоят
из отдельных элементов с концевыми креплениями вне контура.
Для обеспечения совместной работы всех пересекающихся се-
мейств гибких нитей, образующих сеть, узлы пересечения вант
должны конструироваться таким образом, чтобы устранять воз-
можность взаимного смещения в направлении действия нагрузки или
в направлении нормали поверхности, что является тождественным
при рассмотрении пологих вантовых сеток.
Точки пересечения обычно фиксируют при помощи одиноч-
ных или двойных стяжных хомутов из круглой арматурной стали
(рис. VII. 14, а).
Рис. VII. 14. Узлы пересечения вант в пролете:
а — на хомутах; б — на хомутах с «седлом»; в, г — штампованной накладкой соответст-
венно одиночной и двойной; д — на болтах с накладками; е, ж — на болтах для сети шести-
угольной структуры соответственно с вантами в виде стержней и замкнутых шестиуголь-
ников из полосовой стали; / — упоры; 2 — накладка; 3 — стяжной болт.
238
В случае пересечения двух семейств нитей конструкция узлов
может допускать взаимное проскальзывание вант или исключать
его. Для смонтированной и напряженной вантовой сети допустимы
оба решения, так как на распределении усилий в вантах это прак-
тически не отражается.
Однако во время сборки вантовой сети и выполнения предва-
рительного натяжения необходимо обеспечивать взаимное проскаль-
зывание вант в поверхности сети в связи с возможным появлением
значительных горизонтальных смещений. Желательно, чтобы ра-
диус перегиба каната в узлах был не более 15 диаметров его.
Окончательное затягивание гаек хомутов обычно производится
после предварительного натяжения сети, что увеличивает трудоем-
кость работ. Можно затягивать гайки и до натяжения (рис. VII. 14, б).
В этом случае напрягающие ванты свободно укладываются на
стальную пластинку толщиной 4—6 мм с «седлом» из трубы, ко-
торое служит фиксатором положения вант и обеспечивает их про-
скальзывание. Возможно решение узла и без «седла», а фиксаторами
могут служить две гайки хомутов.
При пересечении трех и более семейств нитей расчетная схема
вантовой сети существенно зависит от способа крепления вант в уз-
лах пересечений.
При решении узлов, исключающих какое-либо проскальзывание,
усилия по длине вант могут существенно изменяться. Однако при
выполнении предварительного напряжения таких сетей проскаль-
зывание должно быть обеспечено.
При применении вант из стальных канатов участки последних,
в пределах узла, предохраняют от повреждений кожухами из оцин-
кованной стали, износоустойчивого капрона и др.
В других случаях, особенно при применении вант из арматур-
ной стали, в качестве узлового крепления может служить простая
скрутка из мягкой проволоки диаметром 2,5—4 мм или кольцо из
арматуры.
Иногда узлы пересечения вант ортогональной структуры фик-
сируют при помощи специальных штампованных стальных элементов
(рис. VII. 14, в). Штампованные элементы могут быть также одиночны-
ми (с одним желобом) и крепиться к узлу пересечения вант сверху
и снизу на болтах (рис. VII. 14, г).
Участки этих элементов в углах ячейки используют как монтаж-
ные столики для ограждающих плит покрытия. Углы сборных плит
иногда анкерят, т. е. притягивают к узлам при помощи вязальной
проволоки или соединяют на сварке.
При вантах из спаренных арматурных стержней могут применять-
ся гнутые элементы из полосовой стали, стягиваемые болтами
(рис. VII.14, д).
Конструктивное решение узлов пересечения вант в сети шести-
угольной структуры представлено на рис. VI 1.14, е. Вантовая сеть
собирается при помощи болтовых соединений. Решение узла несколь-
ко сложное, хотя и полностью отвечает расчетным предпосылкам
239
схемы сети. В случае, когда шестиугольная сеть собирается из
замкнутых шестиугольников, сечение вант удобно принимать из
полосовой стали. Узел соединения шестиугольников собирается из
трех пальцев-упоров и двух пластин, стянутых центральным бол-
том (рис. VII. 14, ж).
В сетях, имеющих поверхность сочлененных гиперболических
параболоидов без переломов по линиям их сопряжения, ванты, схо-
Рис. VII. 15. Узел пересечения вант сети, имеющей составную по-
верхность из гиперболических параболоидов;
/ — выпуски арматуры для крепления плит; 2 — сборная плита; 3 —
стяжные болты.
дящиеся в узлах, по линиям имеют излом в горизонтальной плоско-
сти. Применение стяжных приспособлений в каждом узле и на кон-
цах вант, примыкающих к бортовому элементу, дает возможность
эффективно производить предварительное натяжение сети, исклю-
чая закручивание вант в процессе натяжения (рис. VII. 15). Недо-
статком приведенного решения является значительная его жесткость
в вертикальной плоскости и, как следствие, вероятные дополнитель-
ные изгибные напряжения в узле. Другим недостатком решения
узла является концентрация напряжений, вызываемая сближенными
фланговыми швами при стыковании башмаков с центральной соеди-
нительной фасонкой (наличие сварных швов в прорезях, когда сты-
240
куемые элементы располагаются перпендикулярно друг к другу).
Механическая обработка поверхности швов и концов стыкуемых
деталей может несколько уменьшить концентрацию напряжений.
Применение так называемых тросов жесткости (специальных
мощных вант), воспринимающих вертикальные и горизонтальные
а б
Рис. VII. 16. Узлы примыкания вант:
а — к тросу жесткости 1; б — к тросу-подбору 2-
составляющие усилий примыкающих вант, улучшает поверх-
ность вантового покрытия (§ 2, гл. I). Они служат также основными
несущими элементами, например вантами-подборами.
а б
Рис. VII. 17. Фиксация положения вант:
/ — фиксатор; 2 напрягающий вант.
Узлы примыкания вант к тросам жесткости должны обеспечивать
передачу усилий и не допускать взаимного проскальзывания вант.
Тросы жесткости могут конструироваться и из прокатных сечений:
швеллеров, двутавров и др. При этом профили необходимо распола-
гать так, чтобы обеспечить минимальные моменты сопротивления
9 3—2835
241
сечения из поверхности сети. В противном случае необходим их
расчет с соблюдением всех предпосылок работы вант как жестких
нитей. Некоторые решения узлов примыкания вант к тросу жестко-
сти приведены на рис. VII. 16.
В некоторых положениях напрягающие ванты ортогональных се-
ток лежат в плоскостях, наклонных к горизонту. При создании пред-
варительного натяжения такие ванты стремятся «сползти» и занять
более устойчивое положение. Для фиксации их проектного поло-
жения можно применить спе-
циальные крючья, привариваемые
к напрягаемым вантам из арма-
ис. VII. 19. Шарнирное крепление
гоек-распорок к поясам фермы:
— стойка; 2— столик для опирания плит.
Рис. VII.18. Крепление распорок в I
двухслойных покрытиях для вант: с
а — одиночных; б — спаренных. /
турной стали (рис. VII. 17, а). К вантам из канатов или пучков вы-
сокопрочной проволоки возможно крепление упоров-уголков на
стяжных болтах (рис. VII.17, б).
Крепление распорок к несущим и напрягающим вантам двух-
слойных радиальных сетей или вантовых ферм может быть выпол-
нено по рис. VII. 18, а. Сжатая распорка должна обладать равно-
устойчивостью в двух вертикальных плоскостях и поэтому кон-
струируется из труб, элементов крестового сечения, тонкостенных
штампованных замкнутых профилей.
Посередине распорки иногда располагают винтовую стяжку,
при помощи которой производят предварительное напряжение поя-
сов.
В радиальных системах в зоне центрального кольца, когда
ванты располагаются достаточно часто, применяют одну распорку
на две пары вант (рис. VII. 18, б).
При больших пролетах покрытия крепление стоек к поясам-
вантам ферм целесообразно выполнять в варианте, обеспечивающем
242
полную шарнирность соединения (рис. VII. 19). Узел не препятству-
ет свободе независимых горизонтальных смещений поясов и хорошо
согласуется с общепринятой расчетной предпосылкой о сохранении
вертикальности распорок до и после деформации фермы. Сжимы со-
стоят из двух частей и крепятся к поясам-вантам на болтах. Для
обеспечения плотного прилегания сжимов к тросам могут быть ис-
пользованы прокладки из листового свинца. К стойкам ферм на
Рис. VI 1.20. Общий вид ферм покрытия Дворца спорта «Юбилейный» в Ленингра-
де во время монтажа.
шарнирах крепятся столики для опирания плит, подвески для
крепления потолка или технологического оборудования. К стойкам
могут примыкать связи, обеспечивающие пространственную жест-
кость покрытия, прогоны кровли, элементы светоаэрационных фо-
нарей и прочее. Недостатком решения узла является наличие боль-
шого числа литых и механических деталей.
Общий вид узлов вантовых ферм покрытия дворца спорта «Юби-
лейный» в Ленинграде показан на рис. VII.20.
Узлы пересечения поясов вантовых ферм в вертикальной плос-
кости аналогичны узлам пересечения вантовых однослойных сетей.
Пояса вантовых ферм больших пролетов иногда целесообразно
конструировать из нескольких тросов, располагаемых в один или
несколько горизонтальных рядов. Такое решение узла характерно
для висячих мостов, воздушных трубопроводов над оврагами, ре-
ками и т. д., однако может применяться в покрытиях. Серьги-про-
ушины, болты или цилиндрические вкладыши должны обеспечивать
передачу действующих усилий и проверяться на срез и смятие.
9*
243
В вантовой ферме с треугольной решеткой все элементы гиб-
кие. Решение примыкания раскосов к верхнему несущему поясу
(решение ГПИ Проектстальконструкция) показано на рис. VII.21.
Каждый элемент решетки должен иметь винтовую стяжку либо на-
Рис. VII.21. Узел раскосной вантовой фермы.
резной конец с гайкой. В небольших по пролету фермах возможно
создание решетки в виде непрерывного каната. Узлы примыкания
его к поясам должны обеспечивать создание предварительного на-
тяжения при минимуме потерь усилия на трение.
§ 5. Плиты покрытий
Плиты покрытий выполняют несущие, ограждающие или несуще-
ограждающие функции и могут изготавливаться из различных ма-
териалов: железобетона, армоцемента, асбестоцемента, стали, алю-
миния, стеклопластика, дерева, пленки или ткани. Ограждающие
плиты отличаются от остальных тем, что не участвуют в совместной
работе всей конструкции покрытия, т. е. не имеют в статическом от-
ношении связи с вантовой сеткой и деформируются совместно с не-
сущими элементами покрытия без разрушения или расстройства со-
единений.
По признаку индустриальностн плиты разделяют на сборные,
процесс монтажа которых сводится к укладке их на основную не-
сущую конструкцию — вантовую сеть, и на устраиваемые по месту
путем укладки на сетку монолитного железобетона, торкрет-шту-
катурки, деревянного настила и др. Как правило, устройство по-
крытий производится без применения каких-либо лесов и подмостей.
Наибольшее распространение получили сборные железобетонные
или армоцементные плиты с последующим омоноличиванием швов
и обеспечением совместной работы их с вантами в составе железобе-
тонной висячей оболочки.
244
Форма сборных плит обычно предопределена структурой вантовой
сети. Чаще всего плиты размещаются в пределах одной ячейки сети
и представляют собой плоскостные элементы (рис. VII.22, а). Учи-
тывая то, что только три точки в общем случае могут лежать в одной
плоскости, иногда при ортогональных сетках в пределах одной ячей-
ки располагают две плиты треугольной формы (рис. VI 1.22, б).
Такой же эффект достигается при прямоугольной форме плит на
сети с квадратными ячейками (рис. VII.22, в). В этом случае плиты
располагаются выше сети и опираются на три пролетные точки, а
швы между плитами не совпадают с направлениями вант.
Более жесткая при монтаже конструкция покрытия достигается
при укладке одной плиты на два ванта таким образом, что стыки
Рис. VII.22. Схема укладки плит покрытий (варианты).
между' плитами в одном из направлений выносятся в смежные ячей-
ки с последующей стыковкой консольных участков (рис. VI 1.22, г),
Для удобства монтажа плиты подобной конструкции подвешиваются
к вантовой сети снизу.
Большое значение для точного определения геометрии плит
покрытия имеет учет внутренней геометрии поверхности и сети. При-
меняемый авторами термин «ортогональные сети» не во всех случаях
является строгим, так как при отсутствии тангенциальных закрепле-
ний в узлах предварительно напряженные перекрестные нити распо-
лагаются вдоль геодезических линий поверхности, а образованные
ячейки представляют собой в общем случае параллелограммы.
Разница в углах четырехугольника мало влияет на конструктивные
решения, но может иметь существенное значение при назначении
ширины швов, допусков на изготовление и монтаж.
При параллельных вантах сборные железобетонные плиты
укладываются таким образом, что поперечные и продольные швы
образуют непрерывную перекрестную систему. По свидетельству
Людковского И. Г. и других исследователей такая разрезка плит
неблагоприятно отражается на работе покрытия на стадии цилин-
дрической оболочки после замоноличивания швов. Значительно по-
вышается трещиностойкость поперечных швов и общая жесткость
245
покрытия (примерно на 20%) при раскладке плит со сбивкой их
относительно друг друга на половину длины (рис. VII.22, д).
При радиальной системе вант наиболее простой является схема
членения на сборные элементы, показанная на рис. VII.22, е. Коли-
чество типов трапециевидных плит в пределах одного сектора опре-
Рис. VI 1.23. Плиты покрытий:
а, б — соответственно плоская и ребристая железобетонная; в — армоцемеитная реб-
ристая; г — армоцемеитная плоская двухконсольная; д — металлическая.
Этот недостаток частично можно избежать, применяя в пределах
одного сектора плиты, составленные из двух-трех одинаковых для
данного покрытия элементов (рис. VI 1.22, ж). При радиальных си-
стемах вант применяется также схема членения сектора на элементы
треугольной формы. Количество типоразмеров остается большим,
однако при этом обеспечивается более гладкое «вписывание» плит в
криволинейную поверхность покрытия и опирание их на три точки
(рис. VII.22, з).
Для сооружений, рассчитанных на временный период эксплуата-
ции, в качестве ограждающих конструкций применяют различного
рода ткани на органической или синтетической основе. Так, выста-
вочный павильон СССР на Международной выставке в Марокко
(г. Касабланка, 1959 г.), несущая конструкция которого представ-
ляла собой вантовую сеть с поверхностью гиперболического парабо-
лоида на прямоугольном плане, был покрыт цветным брезентом.
Иногда спаренные пленочные или тканевые полотнища крепятся
к вантам так, что между слоями образуется полость, в которой под-
держивается избыточное давление воздуха равное 15—20 мм вод.
ст. Подобное ограждение было применено в павильоне на Между-
народной выставке в Москве в парке «Сокольники» в 1970 г. Железо-
бетонные или армоцементные плиты проектируются плоскими или
ребристыми и по контуру обычно имеют выпуски арматуры, исполь-
зуемые в дальнейшем для армирования швов при Их обетонировании
(рис. VII.23, а, б, в, г).
Толщина полок железобетонных плит принимается не менее 25 мм
и должна удовлетворять следующим условиям:
, . Sp , S-
П ---------- и ———
0,25/?и ’ 11 /?пр ’
246
где Sp, Sc — соответственно главные растягивающие и сжимающие
усилия, приходящиеся на единицу длины;
Ди — прочность бетона на сжатие при изгибе;
/?пр — призменная прочность бетона.
Армирование полок производится при помощи сварных сеток.
Высота ребер плит в основном определяется по условиям прочности
при изготовлении и монтаже, а также размещении вант в швах. Тол-
Ж
Рис. VII.24. Детали опирания плит:
1 — ванты; 2 крюк; 3 — выпуски арматуры; 4 — пластина с клямером; 5 — сет-
ка; 6Л— накладка; 7 — опорный столик; 8 упор.
щина ребра принимается минимальной исходя из нормированных
требований размещения арматуры сварных каркасов и технологии
бетонирования. Плиты в стадии монтажа рассчитываются на изгиб
от действия собственного веса и местных нагрузок: пригруза, мон-
тажного оборудования и пр. В эксплуатационной стадии сечения
плит проверяются по усилиям, полученным при рассмотрении
покрытия в виде гладкой или ребристой оболочки по безмоментной
или моментной теории. Условия прочности приведены выше.
Металлическим плитам в конструктивном отношении присуще
большее разнообразие. Одно из решений металлической плиты, при-
мененной в покрытии Дворца спорта «Юбилейный» в Ленинграде,
показано на рис. VII.23, д.
Опирание железобетонных плит на вантовую сеть производится
при помощи специальных крючьев, выпущенных из плит. Чаще все-
го крючья представляют собой выпуски арматуры каркаса ребра
(рис. VII.24, а, б).
247
При применении двухконсольных плит и подвеске их к вантам
при помощи прижимных планок продольные желоба вместе с ван-
тами бетонируются после монтажа (рис. VII.24, е). В некоторых слу-
чаях для предупреждения сползания плит и обеспечения плотного
прилегания их к проектируемым опорным точкам крючья выполня-
ются из полосовой стали и снабжаются прижимными клямерами
(рис. VI 1.24, а).
Между собой железобетонные плиты соединяются путем перевяз-
ки в месте прохождения ванта выпусков
арматуры или их сварки
(рис. VII.24, д). Если
контурные выпуски не
предусмотрены, плиты
дополнительно могут со-
единяться на сварке на-
кладками из полосовой
стали. По боковым гра-
ням плит могут устраи-
ваться пазы для образо-
вания в швах бетонных
шпонок. При значитель-
ной высоте ребер или ши-
рине швов в последних
Рис. VI 1.25. Узел опирания
плит треугольной формы (ре-
шение покрытия кинотеатра
«Океан» во Владивостоке):
I — плита; 2 — фиксатор из де-
рева; 3 — закладная деталь; 4 —
полоса; 5 — вант; 6 — упор;
7 — скрутка из проволоки;
8 — обрезок трубы.
между плитами параллельно основным вантам предусматривают
дополнительные арматурные стержни или каркасы.
Металлические плиты стыкуются на сварке контурными полоса-
ми, образовывая сплошное ограждение.'В этом случае ограждение
и несущая конструкция работак>т раздельно и для обеспечения сво-
боды деформации в горизонтальной плоскости опирание покрытия
выполняется шарнирным (рис. VII.24, е). Опирание плит на три про-
летные точки предопределяет конструктивные особенности узла
(рис. VII.24, ж). Ванты, находящиеся ниже плиты, удобны в экс-
плуатации, так как позволяют производить периодический осмотр
и окраску. Швы между плитами заполняются специальными на-
щельниками с упругими прокладками (рис. VII.24, з).
По технологическим соображениям железобетонные плиты иног-
да изготавливаются без каких-либо выпусков, а опорные детали
крепятся на сварке к закладным элементам плиты (рис. VII.25).
248
Естественно, что при таком решении существенно повышается тру-
доемкость работ на монтаже.
Порядок укладки плит определяется расчетом и должен соответ-
ствовать благоприятным условиям работы покрытия на монтажной
стадии, т. е. обеспечивать возникновение усилий и перемещений,
не превышающих соответствующих значений в эксплуатационной
стадии работы. Обычно используют одну из схем: укладку плит про-
изводят равномерно по направлению от центра к опорному^ контуру
либо наоборот.
Глава VIII
ПРИМЕРЫ ВАНТОВЫХ ПОКРЫТИЙ ИЗ ПРАКТИКИ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ И СТРОИТЕЛЬСТВА
§ 1. Покрытия прямолинейного очертания в плане
Большинство из осуществленных таких покрытий имеет изгиб-
ный контур и схемы их, как правило, отличаются способом передачи
распорных усилий на фундаменты или другие конструкции.
Покрытие, возведенное над гаражом в Красноярске [32], имеет
простую статическую схему, наиболее отвечающую понятию ван-
товой конструкции.
Пролет здания, равный 78 м, перекрыт при помощи 58 параллель-
ных вант, выполненных из арматурной стали класса А-ШВ (25Г2С),
упрочненной вытяжкой с контролем деформаций и напряжений.
Ванты с шагом 1,5 м подвешены к бортовым элементам — наклон-
ным железобетонным балкам двутаврового сечения высотой 2,2 м,
опирающимся через 12 м по длине здания на треугольные рамы
(сжатые стойки сечением 0,7 X 0,7 м и наклонные предварительно
напряженные железобетонные оттяжки двутаврового сечения 1,0 X
X 0,7 м). Треугольные рамы служат также для крепления импо-
стов наклонного остекления продольных стен.
Для удобства отвода атмосферных осадков с кровли здания об-
щей длиной 84 м ванты подвешены с различным провесом: в середи-
не здания — 6,8 м с постепенным увеличением до 9,85 м у торцов.
Ванты закрепляли в бортовом элементе при помощи нарезных кон-
цевых креплений.
Для этого в опорных балках на всю высоту сечения предусмотре-
ны сквозные каналы диаметром 70 мм. Для предохранения вант от
коррозии последние в пределах высоты сечения бортовой балки перед
пропуском в отверстия обматывались лентой, пропитанной битумом.
Ячейки между вантами заполняли железобетонными плитами
размером 1,5 X 1,5 м с ребрами вдоль вант. Учитывая кинемати-
ческую податливость системы, швы между панелями замоноличива-
ли одновременно с поддержанием растягивающих напряжений в
вантах при помощи пригруза (контейнеров с кирпичом), величина
которого эквивалентна весу кровли и снега. Приведенная толщина
бетона на покрытие с учетом опор составила 25,3 см/м2, расход ста-
ли — 38,6 кг!м2.
Следует отметить, что гараж в Красноярске является первым
сооружением в СССР с покрытием такого типа. В настоящее время
по проекту КиевЗНИИЭП * ведется строительство крытого рынка
на 1350 торговых мест в Киеве, схема которого отличается от схе-
мы гаража лишь способом передачи распора (рис. VIII. 1).
* Авторы: Г. К. Ратушинский, В. Г. Штолько, Б. А. Бед-
на р с к и й, В. А. К у з я к и в.
250
По короткой стороне здания 52 X 102 м с шагом 2 м располага-
ется система параллельных спаренных вант (2040 A-III). За счет
разности провесов вант в средней части здания (fc — 4 м) и у тор-
цов (fK ~ 5 м) отвод воды с кровли организован аналогично покры-
тию гаража.
Изгибный бортовой сборно-монолитный железобетонный элемент
корытообразного сечения с габаритами 0,4 х 3 м опирается через
Рис. VII 1.1. Поперечный разрез крытого рынка на 1350
торговых мест в Киеве.
6 м на наклонные железобетонные пилоны, находящиеся внутри
здания. Пилоны дополнительно анкерятся вертикальными тягами,
запроектированными в виде стальных полос сечением 4 X 40 мм.
При помощи выпусков арматуры на ванты навешиваются сборные
железобетонные ребристые плиты одного типоразмера длиной 3 м
Рис. VIII.2. Покрытие крытого рынка на 486 торговых мест в Киеве.
и швы между ними бетонируются под пригрузом. Приведенная тол-
щина бетона на покрытие — 7,5 см!мг, расход стали — 27,6 кг!м2.
Иллюстрацией больших возможностей формообразования объема
здания при применении вантовых покрытий может служить крытый
рынок на 486 торговых мест в Киеве (рис. VIII.2) *.
* Авторы: Г. К. Рату шивский, К. С. Фел ьдиа в, Б. А. Б ед -
царский, Л.Г. Дмитриев.
251
Поверхность покрытия размером в плане 42 X 42 м состоит
из четырех «искаженных» гиперболических параболоидов на квад-
ратном плане. Пониженные точки опорного контура располагаются
по серединам сторон квадрата, повышенные — по углам квадрата.
Вантовая ортогональная сеть с ячейкой 1,1 х 1,1 м, имеющая
направления соответственно параллельные диагоналям квадрата,
подвергнута предварительному натяжению с передачей усилий на
пространственный прямолинейный замкнутый симметричный кон-
тур, работающий на сжатие с изгибом.
Бортовой элемент представляет собой ребристую панель пере-
менного сечения, увеличивающегося к углам здания в соответствии
с эпюрой изгибающих моментов. Жесткое соединение колонн с бор-
товым элементом обеспечивает совместную их работу на изгиб.
Ванты запроектированы из стержневой арматуры класса А—III
(0 16 4- 40) и А—I (0 16). Последние приняты для напрягаю-
щих вант. Концы всех вант имеют нарезные хвостовики и закрепля-
ются на бортовом элементе гайками.
Усилия преднапряжения (до 6 т) создавались при помощи гид-
родомкратов, после чего навешивались сборные железобетонные
плиты размером 1 х 1 м, толщиной полки 3 и высотой ребра 15 см.
Сварные сетки плит образуют выпуски длиной 150 мм, которые
при укладке отгибаются вокруг вант и служат армированием сты-
ков. Подъем и укладку плит производили при помощи специальной
мачты с полноповоротной консолью, установленной в центре здания.
Кровля выполнена в виде оцинкованных кровельных листов по дере-
вянной обрешетке.
Приведенная толщина бетона составляет 5,6 см/м2, расход ста-
ли — 15 кг/м2.
Одним из недостатков покрытия является наличие некоторой
сплощенной зоны поверхности в центральной части ее. Однако неко-
торыми конструктивными мероприятиями, например введением по
252
линиям сопряжения гиперболических параболоидов вант, восприни-
мающих как вертикальные, так и горизонтальные составляющие
от усилий примыкающих вант, можно существенно уменьшить спло-
щенность и улучшить работу покрытия.
Более сложное вантовое покрытие с прямолинейным очертани-
ем в плане представлено на рис/VIII.3 и запроектировано Киев-
ЗНИИЭП над рестораном на 200 мест в Киеве.
Контур его, шестиугольный в плане, изломан в пространстве
и имеет три приподнятые и три опущенные узловые точки. В
верхних точках бортовые сборные железобетонные элементы сое-
диняются шарнирно, что обеспечивает удобство при монтаже. В трех
опущенных точках соединения элементов (в местах примыкания к
распорным железобетонным опорам) образуется жесткий узел. Ме-
таллические трубчатые опоры по контуру здания поддерживают бор-
товой элемент, работающий на сжатие с изгибом, и одновременно
служат импостами остекления.
Между бортовыми элементами натягивается вантовая сеть из
арматурных стержней диаметром 16—20 мм. Сначала натягивают
три главные диагональные ванты диаметром 32 мм. Затем устанав-
ливают остальные ванты, которые одним концом прикрепляют к
главным вантам (тросу жесткости), а другим — к бортовому эле-
менту.
Усилия предварительного напряжения тросов жесткости, равные
30 т, предполагается создавать при помощи гидравлических дом-
кратов. Усилия предварительного напряжения остальных вант,
равные 5 т, можно создать при помощи тарированных гаечных клю-
чей.
Плиты ограждения ромбовидной и треугольной формы имеют тол-
щину полки 30 мм, высоту ребер 80 мм и армируются плоскими сет-
ками из проволоки диаметром 4 мм с шагом 100 X 100 мм.
§ 2. Покрытия криволинейного очертания в плане
Из таких покрытий в первую очередь заслуживают рассмотрения
круглые в плане с радиальной системой вант. В статическом и кон-
структивном отношениях эти покрытия хорошо изучены в ЦНИИСК
им. В. А. Кучеренко, НИИЖБ, ИСМиС АН ГрузССР и имеют уже
многолетнюю историю проектирования и строительства. Одно из
таких покрытий над крытым рынком в Киеве возведено по проекту
КиевЗНИИЭП (рис. VIII.4) *.
Покрытие типа «обратного купола» имеет диаметр 52,46 м и
представляет собой радиальную систему 78 вант, выполненных из
арматурной стали 040 мм класса А-Ш. Стыки стержней, образую-
щих ванты, выполнены с применением ванной сварки на удлиненных
стальных подкладках.
* Авторы: А. М. Анищенко, Б. А. Б е д н а р с к и й, В. А. Ф е -
Д о р к о.
253
Наружный опорный монолитный железобетонный контур сечением
0,57 X 1,35 м опирается на круглую стену, состоящую из сборных
железобетонных элементов треугольной формы, образующих про-
странственную конструкцию с поверхностью гиперболоида. Наклон-
ное примыкание стеновых элементов к опорному контуру пред-
определило некоторые особенности формы последнего. Внутренний
контур расположен ниже наружного на 3,3 м и принят в виде моно-
литного железобетонного кольца 0 8 м и сечением 0,3 X 0,5 м,
армированного при помощи 12стержней 040 класса А-Ш. Ванты к
опорным контурам крепятся при помощи приваренных нарезных
хвостовиков 064 мм (ВСт.5), пропущенных в закладные детали-труб-
Рис. VIII.4. Поперечный разрез
крытого рынка на 310 торговых мест
в Киеве.
ки 0 114 X 4 мм (см. рис. VII.12).
Каждый сектор, ограниченный
двумя смежными вантами, запол-
няется сборными железобетонными
ребристыми плитами трапециевид-
ной формы семи типоразмеров. Кон-
турные ребра плит, имеющие высо-
ту в меридиональном и кольцевом
направлениях соответственно 150
и 100 мм, армируются сварными каркасами. Полка плиты имеет
толщину 30 мм и армируется сварной сеткой 150 х 150 мм, образо-
ванной стержнями 0 6 мм класса А-I и 0 4 мм класса В-I (в мери-
диональном направлении). Сетка плиты образует соответствующие
выпуски по контуру для армирования швов. Аналогичные выпуски
предусмотрены из внутреннего и наружного опорного контуров.
Опирание плит производится на четыре выпуска 0 12 мм, являю-
щихся продолжением нижней арматуры каркасов поперечных
ребер.
Как и в других покрытиях аналогичного типа, швы между пли-
тами шириной 80 мм замоноличиваются бетоном под временным при-
грузом, эквивалентным весу кровли и снега. Расчетное усилие в
ванте при этом равно 32,9 т. В швах плит в кольцевом направле-
нии дополнительно предусмотрена арматура в виде замкнутых ко-
лец 014 мм класса А-I. Пригруз прикладывается восемью ступеня-
ми, причем на каждой ступени соблюдается осесимметричность в
порядке укладки в направлении от центра к наружному контуру.
После омоноличивания швов полости между концевиками-вант и
трубками опорного контура инъецировались цементным раствором
марки 300. Приведенная толщина бетона покрытия — 10,2 см/м2,
расход арматуры — 10 кг!м2.
По предварительно напряженной оболочке в средней части по-
крытия устроена вентилируемая кровля, состоящая из деревянных
строек, стропил и рабочего настила из досок. Ограждение выпол-
нено из волнистых асбестоцементных листов, оклеенных по асфаль-
товой стяжке водоизоляционным ковром — руберойдом.
В отношении величины перекрываемого пролета вантовые покры-
тия по сравнению с другими конструктивными формами находятся
254
вне конкуренции и при этом сохраняют высокие экономические по-
казатели расхода материалов. В этом плане характерно покрытие
гаража на 400 автобусов в Киеве, опыт проектирования и строитель-
ства которого для инженеров представляет большой интерес [39] *.
Гараж имеет круглый план диаметром 160 м (рис. VIII.5) и пе-
рекрыт радиальной системой из 84 вант, выполненных из тросов
закрытого типа 0 65 мм по ГОСТ 7676—55. Расчетное усилие в ван-
те 180, разрывное—350 т.
В центре покрытия ванты на высоте 18 м через стальное свар-
ное кольцо крепятся к железобетонной башне диаметром 8 м, внут-
ренний объем которой используется для устройства вентиляционной
шахты и других технологических целей. С другой стороны ванты
Рис. VIII.5. Поперечный разрез гаража в Киеве.
закреплены на наружном кольцевом контуре, выполненном из сбор-
ных железобетонных корытообразных элементов с габаритами 0,8 х
X 3 м с монолитными стыками через 6 м. Опорный контур опирает-
ся на сборные железобетонные колонны высотой 8,5 м, расположен-
ные по периметру здания с шагом 6 м.
Для передачи вертикальных составляющих усилий в вантах на
наружные колонны геометрия покрытия принята такой, что ванты
примыкают к опорному контуру под углом 10° к горизонту. Опор-
ный контур наклонен внутрь здания соответственно.
Анкеры вант выполнены в виде стальных стаканов, коническая
полость которых вместе с проволоками троса залита сплавом ЦАМ
9—1,5 по ГОСТ 7117—62 (температура сплава — 450° С). После
закрепления вант наружный контур необходимо добетонировать
до проектных размеров.
На радиальную сеть при помощи кабель-крана уложено 17 ти-
поразмеров трапециевидных сборных железобетонных ребристых
плит с утеплителем. Вдоль кольцевых швов между плитами преду-
смотрена дополнительная арматура.
Учитывая значительный пролет и вытекающие отсюда проблемы
проектирования, конструкция покрытия детально была исследована
на модели, выполненной в масштабе 1 : 10 натуральной величины.
Распределение ветровой нагрузки по поверхности покрытия изуча-
лось в аэродинамической трубе, статические и динамические рас-
четы проводились с использованием ЭВМ. Все это обеспечило
* Проект выполнен киевским институтом «Промстройпроект» при участии
НИИСК Госстроя СССР и КИСИ.
255
принятие рациональных проектных решений и предопределило хоро-
шие технико-экономические показатели, главные из которых:
приведенная толщина бетона—14,1 см/м?, расход стали — 24 кг/м2.
Преимуществами в статическом и конструктивном отношениях
обладают вантовые покрытия шестиугольной структуры (см. гл. I).
В КиевЗНИИЭП на основании предложенной авторами структуры
сети запроектировано и построено покрытие крытого рынка в Черкас-
сах * (рис. VIII.6). Здание крытого рынка имеет круглый план диа-
метром 50,8 м, с наружным
опорным контуром, распола-
гаемым на отметке 9,65 м от
уровня пола. В центре соору-
жения находится опора с внут-
ренним кольцом на отметке
4,57 м. В конструктивном от-
ношении центральная опора
представляет собой решетча-
тую пространственную конст-
рукцию из стальных труб,
стойки которой используют
для внутреннего водоотвода.
Между внутренними и на-
ружными контурами, распо-
ложенными на разных уров-
нях, натягивается сеть шести-
угольной структуры.
Наружный контур собирае-
тся из сборных железобетон-
ных криволинейных элементов
сечением 800 X 350 мм и опи-
рается на сплошную стену из
бетонных блоков.
Вантовая сеть имеет шести- '
угольную ячейку с размеромодной стороны примерно 1,5 л/. Ван-
ты сечением 0 32 мм приняты из арматурных стержней класса
А-Ш и собираются в сеть при помощи болтовых соединений (см.
рис. VII. 14, е). Примыкание вант к наружному контуру решено
при помощи нарезных хвостовиков с гайками.
Ограждающие плиты толщиной 30 мм с высотой контурных ребер
200 мм армируются сварными сетками и каркасами.
Схема вантового покрытия с шестиугольной структурой сети
применена также в покрытии бювета минеральных вод пансионата
«Трускавец», геометрические параметры которого идентичны пара-
метрам покрытия крытого рынка. Отличие состоит в том, что со-
бранную провисшую вантовую сеть предварительно напрягают путем
* Авторы проекта: Н. Б. Ч м у т и н а, А. М. Анищенко,
Л. Г. Дмитриев, Г. Б. Г и л ь м а н.
256
притягивания последней к центральной опоре. После предваритель-
ного напряжения сети поверхность принимает отрицательную кри-
визну, а образующая поверхности вращения имеет форму кривой
типа экспоненты.
Положительным является тот факт, что предварительным натя-
жением можно существенно изменять в количественном отношении
Рис. VIII.7. Покрытие Дворца спорта «Юбилейный» в Ленинграде,
геометрию поверхности, так как нетрудно найти вполне определен-
ные отношения между величиной силы предварительного натяжения
в виде сосредоточенной нагрузки, прикладываемой в центре сети, и
заданной величиной нагрузки в виде сосредоточенных узловых сил
по всей сети.
По-иному в покрытии бювета решена конструкция сети и узлов.
В частности, сеть собирается из замкнутых шестиугольников со сто-
роной 850 мм и сечением в виде полосы 16 X 40 мм таким образом,
что смежные стороны их образуют спаренный вантовый элемент.
Покрытия, основой которых являются двухпоясные безраскос-
ные вантовые фермы, отличаются четкой схемой статической рабо-
257
ты, просты в изготовлении и монтаже и позволяют эффективно про-
изводить предварительное напряжение. К этому классу принадле-
жит покрытие Дворца спорта «Юбилейный» в Ленинграде, построен-
ного в 1967 (рис. VIII.7) *.
Основной зал Дворца имеет круглый план диаметром 93 м и
перекрыт системой из 48 радиально расположенных вантовых ферм,
пояса которых связаны через 3 м сжатыми вертикальными распорка-
ми. Вследствие того, что пояса ферм вблизи опор пересекаются и
закреплены на внешнем контуре в разных уровнях, значительно
уменьшена строительная высота покрытия (до 5,5 м в центре),
уменьшен вес конструкции за счет уменьшения длин распорок.
Благодаря сохранению кривизн поясов несущая способность и де-
формативность покрытия сохраняется такой же, как и в схеме с кре-
плением поясов на контуре в одном уровне.
Внутренний контур диаметром 12 м выполнен в виде двух стальных
колец сварного сечения. Нижний (несущий) пояс ферм принят из
троса закрытого типа 0 63\чл, верхний (напрягающий) — из троса
042,5 мм. Предварительно тросы подвергнуты вытяжке усилием,
превышающим максимальное рабочее на 20%.
Пояса крепятся к колоннам, расположенным по периметру зда-
ния с шагом, соответствующим шагу ферм, и передают распор на
внешний опорный контур, выполненный в виде сборномонолитного
железобетонного кольца сечением 2,8 X 0,62 м. Кольцо расположе-
но ниже уровня крепления напрягающего пояса (см. рис. VI 1.9).
Пространственная жесткость покрытия обеспечивается поста-
новкой в кольцевом направлении вертикальных лент связей, распо-
ложенных в соответствующих плоскостях рядов распорок.
Концевые крепления вант приняты стаканного типа с залив-
кой сплавом ЦАМ-9-1,5. Для обеспечения свободы деформации ферм,
выражающейся в изменении угла наклона тросов в местах примыка-
ния к контуру, в зависимости от количества и качества внешней
нагрузки, анкерные узлы выполнены шарнирного типа путем поста-
новки цилиндрических горизонтальных осей или сферических шайб.
Концевое крепление напрягающего троса, примыкающего к внутрен-
нему кольцу, решено с дополнительной тягой из круглой стали с
упорной гайкой. Распорки выполнены из труб и крепятся шарнирно
к вантам при помощи литых сжимов. Прокладки между сжимами и
вантами приняты из листового свинца.
В качестве ограждающей конструкции применены панели, выпол-
ненные из стального листа 4 мм с ребрами (гнутый профиль),
причем панели компоновались из 4 однотипных элементов
(см. рис. VII.23, д). Панели опираются на стальные столики, которые
* За исследование двухпоясной вантовой системы и внедрение ее в строитель-
ство группе участников, в том числе Ю. А. Елисееву, А. В. Караги-
ну, А. П. Морозову, Г. П. Морозову, И. П. С у с л и к о в у,
О. А. Курбатову и Г. Э. Райнусу в 1971 г. присуждена Государствен-
ная премия СССР.
258
шарнирно связаны с распорками ферм. Поверх панелей уложена
многослойная кровля.
Вантовые полуфермы полностью собирались на нулевой отмет-
ке и затем при помощи специальной крановой траверсы устанавли-
вались в проектное положение. К этому времени наружный опорный
контур был смонтирован, а внутреннее кольцо поддерживалось мон-
Рис. VIII.8. Покрытие цирка в Новосибирске.
тажной башней. Процесс преднапряжения свелся к поэтапному на-
тяжению при помощи гидродомкратов напрягающих поясов у верх-
него кольца центрального барабана.
Приведенная толщина бетона на покрытие — 7,1 см/м2, расход
стали — 99,3 кг!м2 (включая тросы, детали и стальные панели).
Инженерное решение покрытия Дворца с некоторыми модификаци-
ями нашло применение на других объектах, в частности, в город-
ском зале Зуле (ГДР), строительство которого осуществлено при
техническом содействии СССР.
Удачное решение вантового покрытия разработано институтом
Гипротеатр * и применено в цирках, построенных в течение 1965—
* Авторы: С. М. Гельфер, Г. В. Напреенко, В. Г. Корнилов
при участии Е. Я. Гринченко и Ю. Л. Коднира.
259
1968 гг. в городах Донецке, Кривом Роге, Уфе, Куйбышеве и Ново-
сибирске (рис. VIII.8).
Поверхность покрытия — гиперболический параболоид, описы-
вающийся уравнением z = (1/200) х2— (1/800) z/2 на круглом плане
диаметром 48 м. Серповидный в плане замкнутый железобетонный
опорный контур образован неконцентрическими кольцевыми эле-
ментами сечением 0,8 X 1,5 м, объединенными монолитной плитой
толщиной 0,2 м, и опирается на кирпичную стену, расположенную
выше верхнего яруса железобетонных рам трибун. По продольной
оси здания предусмотрен перепад высотных отметок бортового эле-
мента примерно на 11 м, что вызвано особенностью технологии цир-
ковых зданий и размещением главной арены.
Вантовая ортогональная сеть с ячейкой 2,4 X 2,4 м выполнена
из спаренных тросов 0 52,5, раскручивающихся с шагом свивки
проволок в пряди равным 10 -г- 12 диаметрам пряди и модулем
упругости после вытяжки 1,65- 10е кг! см2. Ванты сети анкерятся в
опорном контуре, имеющем отверстия (трубы 0 121 мм), при помо-
щи обжимных гильзо-клиновых анкеров 0 101 мм конструкции
ВНИИМонтажспецстроя (см. рис. VII. 10, б). Плиты покрытия при-
няты плоскими железобетонными размером 2,1 х 2,1 X 0,063 м с вы-
пусками арматуры по периметру для армирования монолитных швов.
Проектом предусмотрено, что усилия в несущих и напрягающих
вантах примерно одинаковы по величине. Такое состояние обеспечи-
валось притяжкой узлов вантовой сети вертикальными тягами (<7ЭКв=
= 425 кг/м2) и соответствующей регулировкой усилий и вантах.
Демонтаж оттяжек производился после укладки плит в замоноличи-
вания швов, в результате чего оболочка в двух главных направлени-
ях получила обжатие, сохраняющееся и при действии эксплуа-
тационных нагрузок. Приведенная толщина бетона покрытия —
9,5 см!мй, расход стали — 20 кг!м2.
Для контроля геометрии покрытия, обеспечения проектного по-
ложения закладных трубок в опорном контуре были использованы
вначале прототипы вант из тросов 8—12 мм. Только после выверки
сети-прототипа производилось бетонирование опорного контура
и заготавливались основные ванты.
Предварительное напряжение сети осуществлялось при помощи
гидравлических домкратов ДГ-100. Впервые при проектировании
покрытий цирков была решена и при монтаже реализована задача о
назначении оптимальной последовательности натяжения вант, при
которой обеспечивались наименьшие изгибающие моменты в опор-
ном контуре [27].
Схема вантового покрытия в виде ортогональной сети на опорном
контуре в виде двух наклонных к горизонту арок с теми или иными
отличиями повторена во многих сооружениях. Такая схема легла в
основу покрытия кино-концертного зала, построенного в Харькове*.
* Авторы: В. С. Васильев, Ю. А. П л а к с и е в, В. А. Р е у с о в,
Л. Б. Ф р и д г а н.
260
Поверхность оболочки представляет собой часть гиперболическо-
го параболоида, ограниченного двумя параболическими арками,
наклоненными к горизонту под углами соответственно 12 и 45°.
Габаритные размеры плана — 45 X 48 м (рис. VIII.9).
Опорные монолитные железобетонные арки сечением 0,5 X 2 м
к фундаментам-устоям примыкают шарнирно и по периметру здания
Рис. VIII.9. Схема покрытия кино-концертного зала в
Харькове.
опираются шарнирно на сборные железобетонные колонны. Учиты-
вая большой угол наклона одной из арок, для восприятия растягива-
ющих вертикальных составляющих усилий предусмотрены якорные
тросы, расположенные между железобетонными колоннами и исполь-
зуемые одновременно для крепления импостов остекления стен.
Перпендикулярно к основанию арок подвешиваются несущие ван-
ты, выполненные из пучков параллельных проволок (10 0 5). На-
прягающие ванты приняты из спаренных тросов диаметром 9 мм и с
несущими вантами образуют ортогональную сеть с размерами
261
ячеек примерно 1 х 1 м. Узлы крепления вант к бортовому элементу
решены по шарнирной схеме (см. рис. VII. 10). Для покрытия приня-
ты сборные армоцементные панели одного типоразмера 1 х 2 м и
толщиной 30 мм. Каждая панель опирается на два троса и имеет
консольные участки. Швы между панелями бетонировались вместе
с тканными сетками. Предварительное напряжение производилось
домкратами до и после укладки плит. Монтаж плит покрытия про-
изводился продольными полосами при помощи кабель-крана.
Заслуживают внимания результаты натурных и теоретических
исследований динамических свойств покрытия, проведенных в пе-
риод проектирования и строительства кино-концертного зала. Вол-
новой эффект, вызванный порывами ветра, перемещением груза или
человека по покрытию, может привести к появлению трещин в свеже-
уложенном бетоне стыков, повреждению изоляционного ковра и дру-
гим последствиям. В работе [3] в качестве критерия возможности
замоноличивания без появления трещин в швах между плитами по-
крытий, аналогичных кино-концертному залу, приводится величина,
характеризующая- отношение статического прогиба в центре покры-
тия от приложения сосредоточенной статической нагрузки в той же
точке к минимальному размеру приведенного прямоугольного плана
покрытия. Эта характеристика аналогична понятию зыбкости, ис-
пользуемому при расчетах железобетонных конструкций по суще-
ствующим СНиПам.
§ 3. Покрытия комбинированного очертания в плане
Комбинированное очертание плана предопределяет совершенно
новые архитектурно-планировочные и конструктивные решения,
характерные исключительно для вантовых покрытий.
К Олимпийским играм 1964 г. в Токио построено два спортив-
ных сооружения с вантовыми покрытиями. Этот спортивный ком-
плекс, известный под названием Иойоги, состоит из отдельно
стоящих большого и малого залов [60].
Большой зал (рис. VIII. 10, а) в плане имеет форму овала с раз-
мерами по осям 126 и 114 м. Улиткообразные входы (длина 44 м)
располагаются с противоположных сторон большой оси. На пересе-
чении большой оси с наружным опорным контуром в виде криволи-
нейной железобетонной балки располагаются два прямоугольных
в плане пилона высотой 39,6 м. Наружный бортовой элемент одним
концом упирается в пилон, а другим пониженным концом — в ан-
керный блок. Крайние анкерные блоки связаны двумя железобетон-
ными балками, находящимися ниже отметки пола.
Между пилонами и анкерными блоками подвешены два главных
ванта, состоящие из 31 высокопрочного стального каната, диаметром
52 мм и воспринимающие усилия по 1350 т. Провес главных вант
составляет 9,65 м.
Между пилонами ванты вместе со связями, состоящими из шес-
ти стальных канатов диаметром 34,5 мм, создают горизонтальную
262
.1
2
Рис. VIII. 10. Схемы покрытий залов Олимпийского комплекса в Токио:
с — большого; б — малого; 1 — пилоны; 2 — главные ванты; 3 — анкерные фундаменты;
4 — контурные балки; 5 — вантовые фермы; 6 — связи; 7 — распорные балки.
Рис. VIII. 11. Покрытие над хоккейной площад-
кой в Нью-Хэвене (США).
безраскосную ферму высотой в средине пролета 16,8 м, используе-
мую для организации светового фонаря и подвески сантехнических
устройств.
Перпендикулярно к главной оси здания с шагом 4,5 м распола-
гаются поперечные вантовые элементы, выполненные из стальных
сварных двутавров высотой 500—1000 мм, толщиной стенки 12 мм
и сечением поясов 190 X 22 мм. Один конец элементов закрепляется
на главных вантах, другой — на железобетонном наружном конту-
ре, являющемся одно-
временно конструкцией
трибун.
Вдоль здания по дву-
тавровым элементам с
шагом 1,5—3 м, соблю-
дая направления геоде-
зических линий поверх-
ности, расположены тро-
сы диаметром 44 мм,
подвергнутые предвари-
тельному напряжению.
Возникающий распор от
двутавровых элементов
воспринимается верхней
фермой и конструкцией
трибун. Ограждающими
конструкциями служат
стальные листы толщи-
ной 4,5 мм, соединенные
на сварке. Листы опи-
раются на прогоны, расположенные с шагом 1,5 м. В качестве
утеплителя применена минеральная вата с подшивкой снизу алюми-
ниевыми листами.
Кроме конструктивных мероприятий, обеспечивающих жесткость
покрытия, приняты специальные меры по обеспечению устойчивос-
ти формы покрытия при порывах ветра. В частности, на вертикальных
пилонах установлены масляные демпферы, соединенные стальными
тяжами с некоторыми узлами главных вант и, таким образом, га-
сящие динамические явления.
Малый зал в плане имеет форму круга диаметром 67 м с одним
улиткообразным выходом. Наружный опорный конутр, являющий-
ся конструкцией трибун, представляет собой железобетонную балку,
имеющую в плане форму незамкнутого кольца, один конец которой
плавно опускается к анкерному блоку. Внутренний опорный контур
выполнен в виде ванта, представляющего собой стальную трубу диа-
метром 406 мм и толщиной стенок 21—30 мм, спускающегося от
вершины пилона к анкерному блоку. Максимальное растягивающее
усилие в главном ванте — 340 т. Пилон и главный вант по спирали
соединены фермой жесткости.
264
Анкерный блок и пилон ниже уровня пола связаны железобе-
тонной балкой, воспринимающей все горизонтальные усилия.
Вантовые фермы из уголков (высота ферм 60 см) между бор-
товой балкой и главным вантом располагаются по радиально рас-
ходящимся линиям, обеспечивая хороший водоотвод с покрытия.
По фермам в кольцевом направлении предусмотрены двутавровые
Рис. VIII.12. Покрытие над бассейном (фото с макета).
прогоны, а в направлении радиальных ферм — обрешотка из
швеллеров. Ограждающая конструкция принята в виде стального
листа толщиной 3,2 мм. Поверхность покрытия малого зала в об-
щем близка к поверхности отрицательной гауссовой кривизны,
однако имеет большие участки сплощенных зон.
Роль пилонов и основных коньковых вант, примененных в боль-
шом Олимпийском зале Токио, может выполнять одна средняя ар-
ка, располагаемая так, как это предусмотрено в покрытии хоккей-
ной площадки в Нью-Хэвене (США).
Покрытие (рис. VIII. 11) имеет сложное комбинированное очерта-
ние в плане с габаритными размерами по продольной оси — 97 и
поперечной — 56 м.
Опорный контур, выполненный в виде железобетонных горизон-
тальных арок, одновременно является конструкцией трибун.
По продольной оси здания располагается средняя защемленная в фун-
даментах арка пролетом 73 м, имеющая консоли по 12 ж в каждую
сторону. Стрела подъема средней арки — 18 м.
2G5
Перпендикулярно к продольной оси здания с шагом 1,8 м подве-
шиваются несущие ванты из тросов диаметром 25 мм. Напрягающие
ванты располагаются параллельно продольной оси. Ограждение
выполнено в виде алюминиевых листов по деревянному настилу.
Средняя арка дополнительно раскреплена тремя наружными двух-
сторонними оттяжками, заанкеренными в опорном контуре. Такая
развязка обеспечивает поперечную устойчивость арки даже в том
случае, если в местах примыкания оттяжек арка имеет шарниры.
Другой принцип решения с тремя арками положен в основу по-
крытия бассейна, запроектированного в КиевЗНИИЭП. При этом
использованы общие методы образования ортогональных вантовых
сетей, изложенные в § 3 гл. I.
Поверхность покрытия пролетом 67, 99 м имеет плавное очерта-
ние в плане и состоит из шести гиперболических параболоидов с
ортогональной сеткой вант в пределах каждого из них (рис. VIII. 12).
Опорный контур (железобетонные элементы лоткообразного сече-
ния) состоит из участков с кривизной в одной из плоскостей — вер-
тикальной или горизонтальной.
Бортовые элементы опираются на сборные железобетонные ко-
лонны, расположенные по периметру здания с шагом 4 м, уменьша-
ющимся до 3 л в пониженных участках покрытия.
По трем осям симметрии у пят аркообразных элементов распо-
лагаются монолитные железобетонные фундаменты-контрфорсы,
воспринимающие часть горизонтальных и вертикальных составля-
ющих усилий в бортах.
В качестве несущих и напрягающих вант предполагается ис-
пользовать арматурную сталь класса А-Ш. Учитывая относитель-
но большой пролет, перекрываемый предлагаемой системой вант,
большинство последних выполнено из сдвоенных стержней. Это
обстоятельство во многом предопределило конструктивные решения
узлов.
Заполнение ячеек между вантами предусмотрено сборными же-
лезобетонными панелями: ромбовидной и прямоугольной форм.
Прибортовые зоны замоноличиваются бетоном одновременно с бе-
тонированием швов между панелями.
Приведенная толщина бетона равна 7,4 см, расход стали —
20,3 кг/м2.
ЛИТЕРАТУРА
/1. Бабаков И. М. Теория колебаний. М., Гостехтеориздат, 1958.
2. Беленя Е. И. Предварительно напряженные металлические несущие кон-
струкции. М., Госстройиздат, 1963.
3. Васильев В. С., ПлаксиевЮ. А., Реусов В. А., ФридганЛ. Б. Висячее сед-
лообразное покрытие. К-, «Буд1вельник», 1965.
4. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М., «Наука», 1966.
5. Гликин И. Д. Расчет пологих предварительно напряженных вантовых ферм
по предельному состоянию. «Строительная механика и расчет сооружений», 1965,
№ 5.
6. Гордеев В. Н. Расчет висячих покрытий на некоторые виды нагрузок. «Тео-
рия пластин и оболочек». Труды II Всесоюзной конференции. К-, Изд-во АН УССР,
1962.
7. Гордеев В. М. Р1вняння для розрахунку тканинних оболонок. «Прикладка
мехашка». Вип. 6. Т. VIII, 1962.
. 8. Граб И. М., Касилов А. В. Расчет пологих предварительно напряженных
вантовых ферм по заданным перемещениям. «Строительная механика и расчет
сооружений», 1970, № 2.
9. Дмитриев Л. Г. и Сосис П. М. Программирование расчета пространствен-
ных конструкций. К-, Госстройиздат УССР, 1963.
10. Дмитр1ев Л. Г. До розрахунку вантових покритпв. «В1сник АБ 1 А УРСР»,
1961, № 2.
11. Дмитриев Л. Г. Расчет висячих покрытий. «Строительство и архитектура»,
1963, № 2.
12. Дмитриев Л. Г. Элементы статики и динамики вантовых систем. Сб. «ЭВМ
в исследованиях и проектировании объектов строительства». К., «Буд1вельник»,
1970.
13. Дмитриев Л. Г., Касилов А. В., Гликин Н. Д., Граб И. М., Ситник В. Н.
Расчет вантовых покрытий. Издание ЦНТИ по гражданскому строительству и
архитектуре. М., 1970.
14. Дмитриев Л. Г. Элементы кинематического анализа мгновенно-жестких
систем. Сб. «ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства».
К., «Буд1вельник», 1972.
15. Дмитриев Л. Г. Решение на ЭВМ задач кинематического анализа геометри-
чески нелинейных систем. Краткие тезисы докладов к конференции по примене-
нию ЭЦВМ в строительной механике. ДОП НТО «Стройиндустрия», Л., 1972.
16. Дривинг А. Д. Устойчивость мачт на оттяжках. М., Стройиздат, 1964.
17. Каган В. Ф. Основы теории поверхностен. М., ОГИС, 1947.
18. Касилов А. В. О поверхности и структуре вантовых сетей покрытий.
«Промышленное строительство и инженерные сооружения», 1965, Ns 4.
19. Касилов А. В. К расчету равнопрочных оптимальных вантовых покрытий
на основе сетей шестиугольной структуры. «Промышленное строительство и ин-
женерные сооружения», 1968, № 4.
20. Касилов А. В., Граб Н. М. Расчет вантовых ферм по заданным напряжени-
ям в поясах. Сб. «ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строитель-
ства». К-, «Буд1вельник», 1970.
21. Касилов А. В. Синтез схемы гибкой нити. Сб. «ЭВМ в исследованиях и
проектировании объектов строительства». К., «Буд1вельник», 1972.
267
22. Караджи К- М. Расчет тросовых сетчатых покрытий по предельному со-
стоянию. «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, Ns 4.
23. Качурин В. К. Теория висячих систем. Л.— М., Госстройиздат, 1962.
24. Качурин В. К. О подборе сечений гибкой нити. «Строительная механика и
расчет сооружений», 1965, Ns 2.
25. Кирсанов Н. М. Висячие конструкции. М., Стройиздат, 1968.
26. Кислоокий В. Н., Синявский А. Л. Нелинейные колебания пологих орто-
гональных вантовых сетей. Сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений».
Вып. 1. К-, «Буд1вельник», 1965.
27. Корнилов В. Г. Расчет последовательности натяжения вант на деформиру-
емый опорный контур. «Строительная механика и расчет сооружений», 1971, Ns 1.
28. Кузнецов Э. Н. Радиальные вантовые системы. М., Госстройиздат, 1963.
29. Кузнецов Э. Н. Введение в теорию вантовых систем. М., Стройиздат,
1969.
30. Кульбах В. Р. Вопросы статического расчета висячих систем. Таллии,
Изд-во ТПИ, 1970.
31. ЛилеевЛ. Ф., Селезнева Е. Н. Методы расчета пространственных вантовых
систем, М., Госстройиздат, 1965.
32. Липницкий М. А. О применении висячих конструкций в промышленном
строительстве. «Промышленное строительство», 1962, № 5.
33. Людковский И. Г. Характеристика вантовых систем и висячих оболочек
и некоторые рекомендации по их проектированию. Труды НИИЖБ. Вып. 2. М.,
Госстройиздат, 1962.
34. Маркус Г. Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит и безба-
лочных покрытий (переводе немецкого). ДНТВУ, 1936.
35. Мацелинский Р. Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. М.,
Госстройиздат, 1950.
36. Мацелинский Р. Н. Статический расчет упругой нити. «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1959, № 4.
37. Мацюлявичюс Д. А. Принцип двойственности в линейных задачах синтеза
оптимальных упругих шарнирно-стержневых систем. Литовский механический
сборник, № 1, Вильнюс, «Минтис», 1967.
38. Москалев Н. С. Расчет двухпоясных вантовых ферм. Сб. ЦН1414СК «Сталь-
ные предварительно напряженные и тросовые конструкции». М., Стройиздат, 1964.
39. Михайлов В. А. Эксперимент большого значения. «Строительство и архи-
тектура», 1969, № 4.
40. Мухадзе Л. Г. Расчет пространственных систем с односторонними связя-
ми. Сообщения Академии Наук Грузинской СССР. XL IX, № 1, 1968.
41. Перельмутер А. В. Основы расчета вантово-стержневых систем. М., Строй-
издат, 1969.
42. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Динамический расчет висячих конструк-
ций. М., Стройиздат, 1966.
43. Пшеничное Г. И. К расчету висячих покрытий, круглых в плане. «Инже-
нерный журнал». Вып. 3. Т. 2, 1963.
44. Рабинович И. М. Мгновенно-жесткие системы, их свойства и основы расче-
та. Сб. «Висячие покрытия», М., Госстройиздат, 1962.
45. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., «Наука»,
1967.
46. Райнус Г. Э. Принципы расчета висячих покрытий с несущей конструк-
цией из гибких нитей. Сб. «Висячие покрытия», М., Госстройиздат, 1962.
47. Райнус Г. Э. Расчет многопролетных тросов и многопролетных ферм из
тросов. М.— Л., Стройиздат, 1968.
48. Ржашщын А. Р. Статика и динамика пологой упругой нити. Сб. «Висячие
покрытия», М., Госстройиздат, 1962.
49. Резников Р. А. Решение задач строительной механики на ЦВМ. М., Строй-
издат, 1971.
50. Самойлов Б. Н., Битюцкий А. И. Расчет висячих и вантовых покрытий.
Учебное пособие. Куйбышевский инж.-стр. институт, 1963.
51. Сидорович Е. М. Статический расчет многопролетных мгновенно-жестких
вантовых ферм. «Строительная механика и расчет сооружений», 1967, № 2.
268
52. Синицын А. П. Расчет сеток. «Вестник ВИА», 1936.
53. Синицын А. П. Динамика гибких покрытий с большими прогибами. Сб.
«Висячие покрытия». М., Госстройиздат, 1962.
54. Скуратовский М. Н. Некоторые вопросы статического расчета висячих
покрытий. «Строительная механика и расчет сооружений», № 6, 1965.
55. Соботка 3. Висячие покрытия (перевод с чешского). М., Стройиздат, 1964.
56. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967.
57. Филин А. П„ Махновский И. Ф. К применению стальных канатов в мосто-
строении. «Бетон и железобетон», 1969, № 10.
58. Фрей О., Шлейер К. Тентовые и вантовые строительные конструкции (пере-
вод с немецкого). М., Стройиздат, 1970.
59. Харитонова Е. П. Экспериментальные исследования висячих предвари-
тельно напряженных оболочек кругового очертания в плане. Сб. «Висячие покры-
тия», М., Госстройиздат, 1962.
60. Цубои И. Большепролетные оболочки покрытий в Японии. Материалы
симпозиума «/ASS», Л., Госстройиздат, 1966.
61. Чирас А. А. Теория оптимизации в предельном анализе твердого деформи-
руемого тела. Вильнюс, «Минтис», 1971.
62. Шимановский Б. НСмирнов Ю. В., Харченко Р. Б. Расчет висячих кон-
струкций. К., «Буд1вельник», 1973.
63. Шифрин М. А., Корнилов В. Г., Коднир Ю. А., Мерзляков Ю. А. Изго-
товление и монтаж вантового покрытия. «Монтажные и специальные работы в
строительстве», 1969, № 9.
64. Щедрое В. С. Основы механики гибкой нити. М., Машгиз, 1961.
65. Jendo S. Optimum Desing Method for Suspended Structures. Optimum De-
sing of Surface Axi-symmetric Suspended Structures. Application of the Minimum
Weight Criterion. «Bulletin de’Academie Polonaise des sciences», Serie des sciences
techniques. Volume XVII, 1969, № 2, 3. ’
66. Bandel H. K- Das ortogonale Seilnetzj Hyperbolischprabilischer Form...
«Bauingenieur», 1959, N 10.
67. Cornellius IP. Die statische Berechnungeines seilverspannten Dachen... «Der
Stahlbau», 1958, N 4.
68. Kivlin R. S. Plane strain of a net formed by inextensible cords. «Journal
of rational mechanics and analisis», 1955, N 6.
69. Shleir F. K- Die Berechnung von Seilwerken, 1962.
70. Eras und Elize. Berechnungsverfahren ffir vorgespannte, doppelt, gekrummte
Seilnetzwerke, «Bauplanung. Bautechnik», 1961, N 7.
71. D. Jawerth. Ginige Bauten mit vorgespannten Hangekonstruktion aus
gegensinning gekruemmten Seilen, 1962.
72. Hupfer P. Optimierung von Baukonstruktionen, N 3 (16), VEB Verlag
ftir Bauwesen, Berlin, 1970.
73. «Deutsche Architectur», 1962, N 7.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................... 3
Г л а в а 1. Общие сведения о вантовых покрытиях
§ 1. Основные понятия и определения............................. 5
§ 2. Типы вантовых покрытий. Их свойства и особенности......... 11
§ 3. Принцип формообразования вантовых покрытий с ортогональ-
ной структурой сети на гиперболическом параболоиде............ 29
§ 4. Равнопрочные структуры сетей вантовых покрытий............ 35
§ 5. Обеспечение предварительного натяжения вантовых покрытий 40
Глава II. Основные зависимости напряженно-деформированного состояния
вантовых покрытий
§ 1. Понятия о нелинейно-деформируемых и мгновенно-жестких
системах .................................................. . 47
§ 2. Кинематический анализ геометрически нелинейных систем ... 51
§ 3. Пологие гибкие нити...................................... 59
§ 4. Радиальные системы.................................. . 69
§ Б. Перекрестные сети из двух семейств нитей.............. . 71
§ 6. Вантовые сети произвольной структуры...................... 76
§ 7. Вантовые фермы .......................................... 81
§ 8. Непологие вантовые системы произвольного вида......... . 85
Глава III. Статический расчет вантовых покрытий
§ 1. Общие положения......................................... 92
§ 2. Вантовые системы с одним нелинейным параметром ...... 94
§ 3. Вантовые системы с двумя нелинейными параметрами ..... 101
§ 4. Вантовые системы со многими нелинейными параметрами .... 107
§ 5. Расчет бортового элемента и учет его податливости ...... 126
§ 6. Расчет вантовых систем по заданным напряжениям.......128
Глава IV. Вопросы проектирования оптимальных вантовых систем
§ 1. Постановка задач оптимизации............................ 137
§ 2. Синтез гибкой нити........................................140
§ 3. Задача расчета оптимальной вантовой сети шестиугольной струк-
туры ...................................................... 145
§ 4. Определение оптимальных параметров вантовых ферм ..... 147
§ 5. Экстремальные принципы определения параметров вантовых се-
тей ..........................................................148
§ 6. Определение оптимальной последовательности натяжения вант
сети с контуром малой изгибной жесткости......................159
§ 7. Компоновка конструкции из ограниченного числа различных
сборных элементов ............................................161
Глава V. Динамика вантовых покрытий
§ 1. Особенности динамического расчета вантовых покрытий ... 163
§ 2. Колебания линейно-деформируемых вантовых систем...........165
270
§ 3. Колебания нелинейно-деформируемых вантовых систем .... 173
§ 4. Динамика вантовых непологих систем произвольного вида ... 182
§ 5. Динамика вантовых систем один раз статически неопределимых 188
Глава VI. Программирование расчета вантовых покрытий
§ 1. Использование ЭВМ при проектировании вантовых покрытий 197
§ 2. Программы расчета вантовых ферм..........................200
§ 3. Программы расчета пологих вантовых сетей и систем .......205
§ 4. Программа расчета геометрически нелинейных шарнирно-стерж-
невых систем с большим количеством неизвестных................209
Глава VII. Вопросы конструирования вантовых покрытий
§ 1. Материалы, применяемые для вантовых покрытий.............212
§ 2. Концевые крепления вант..................................218
§ 3. Узлы примыкания вант к бортовым элементам................228
§ 4. Узлы пересечения вант в пролете..........................238
§ 5. Плиты покрытий ....................-.....................244
Глава VIII. Примеры вантовых покрытий из практики проектирования
и строительства
§ 1. Покрытия прямолинейного очертания в плане...............250
§ 2. Покрытия криволинейного очертания в плане...............253
§ 3. Покрытия комбинированного очертания в плане.............262
Литератора .........................................................267
Дмитриев Леонид Георгиевич,
Косилов Александр Васильевич
ВАНТОВЫЕ ПОКРЫТИЯ
Редактор А. И. Соловьева
Художественный редактор Н. С. Величко
Технический редактор 3. П. Золотарева
Корректор В. Б. Полищук
Бф 02838. Сдано в набор 13.Х1. 1973 г. Подписано к пе-
чати 8.11. 1974 г. Бумага типографская № 2 60X90’/и.
8,5 бум., J7 физ., 17 усл.» 17,61 уч.-изд. лист. Заказ №3-2835.
Тираж 10 600. Цена 1 руб. 2 коп.
Издательство «Буд!вельник», Киев, Владимирская. 24.
Головное предприятие республиканского производствен-
ного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР,
г. Киев, Довженко, 3.