/
Author: Кейн Г.
Tags: физика ядерная, атомная и молекулярная физика теория поля элементарные частицы
ISBN: 5-03-001591-4
Year: 1990
Text
Г Кейн
Современная
физика
элементарных
частиц
— 4—*—
ЖШ—— ЖШШЬ
Издательство <Мир>
Современная физика элементарных частиц
Modern Elementary
Particle Physics
Gordon Kane
Harrison M. Randall Laboratory of Physics
University of Michigan, Ann Arbor
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1987
Г Кейн
Современная
физика
элементарных
частиц
Перевод с английского
д-ра физ.-мат. наук
В. В. Толмачева и
канд. физ.-мат. наук
Н. И. Юрасова
Москва «Мир» 1990
ББК 22.314+22.382
кзз
УДК 530.145+539.12
Кейн Г.
КЗЗ Современная физика элементарных частиц: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1990. — 360 с., ил.
ISBN 5-03-001591-4
В книге американского физика дано оригинальное изложение сов-
ременной теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий.
Книга отличается удачным подбором материала, логической последо-
вательностью изложения, ориентированностью на будущие эксперимен-
ты по физике высоких энергий, наличием оригинальных задач и реко-
мендаций по более глубокому изучению материала. Может служить
учебным пособием.
Для студентов и аспирантов, а также специалистов, работающих
в области фазики элементарных частиц и квантовой теории поля.
1604030000-211
К 041(01)—90
ББК 22.314+2 2.382
Редакция литературы, по физике и астрономии
ISBN 5-03-001591-4 (русск.)
ISBN 0-201-11749-5 (англ.)
© Addison-Wesley Publishing Company,
--.1987
©’перевод на русский язык, Толмачев В. В.
и Юрасов Н. И., 1990
Предисловие переводчика
Предлагаемая вниманию советского читателя книга профессора
Гордона Кейна основана на лекционных записях курса, который
автор читал на протяжении нескольких лет в Мичиганском уни-
верситете (США). Автор поставил своей целью создать простой
учебник современной физики элементарных частиц, доступный
для студентов младших курсов американских университетов.
Необходимость такой книги остро ощущается и у нас в
СССР, так как ознакомление студентов вузов с революционны-
ми достижениями современной физики элементарных частиц —
открытием кварков и глюонов, W±- и Х°-частиц, объединенной
электрослабой теорией Вайнберга — Салама, квантовой хромо-
динамикой и т. д. — стало теперь совершенно обязательным,
ибо речь здесь идет об элементах общей культуры современ-
ного образованного человека. Хотя, к сожалению, преподавание
этих разделов современной физики не стало еще реальностью
в наших вузах, но несомненно в ближайшие годы изложение
всех этих интересных фундаментальных вопросов будет вклю-
чено в многочисленные курсы физики, читаемые в вузах и уни-
верситетах СССР.
Конечно, изложение в этих курсах в сколько-нибудь полном
виде математического формализма современной релятивистской
квантовой теории поля, в частности теории калибровочных по-
лей, вряд ли будет когда-либо возможно; следует заметить в
связи с этим, что до сих пор никому не удалось изложить на
простом языке даже теорию уравнения Дирака, хотя она су-
ществует уже 60 лет. Однако теперь ясно, что преподавателям
физики все же придется научиться излагать все эти вопросы
доступно. Действительно, все, что имеет истинное физическое
содержание (а здесь речь идет об основах фундаментальной
физики), несомненно может быть изложено просто (ведь речь
идет о понимании природы). И методические находки автора
данной книги сослужат хорошую службу всем, кто работает в
настоящее время над улучшением содержания современного
курса физики.
Чтение книги Г. Кейна не требует серьезных знаний теоре-
тической физики. Как отмечает автор, для понимания основного
ее текста достаточно основных сведений из вводного курса
квантовой механики, теории электричества и магнетизма и клас-
сической механики. В'месте с тем чтение предлагаемой книги
не является простым делом, так как автор действительно вклю-
6 Предисловие переводчика
чил в нее изложение всех основных нелегких для понимания
результатов современной физики элементарных частиц, а также
всех основных направлений ведущихся в настоящее время ис-
следований в поисках более глубокой физической теории, чем
уже созданная «стандартная модель».
В книге содержатся интересные задачи, которые будут по-
лезны читателю при проработке ее материала. В конце глав
помещены рекомендации для интересующихся читателей по
имеющейся литературе.
Переводчик надеется, что этот перевод интересного учебника
проф. Кейна окажет пользу широкому кругу лиц, прежде всего
студентам младших курсов университетов и вузов, а также аспи-
рантам, преподавателям и научным работникам. Перевод гл. 1
выполнен Н. И. Юрасовым.
В. В. Толмачев
Экспериментаторам и теоретикам, от-
крывшим Стандартную модель, а также
всем тем, кто создает ускорители и де-
текторы элементарных частиц, которые
помогают нам понять Природу.
Предисловие
Жизнь — это борьба во тьме.... Страх и
темноту разума нельзя рассеять солнеч-
ными лучами, этими светящимися стрела-
ми дня, а только пониманием внешней
формы и внутренних механизмов приро-
ды. А теперь к делу. Я объясню...
Лукреций, О природе вещей
Несколько лет назад автору этих строк предложили прочесть
курс физики элементарных частиц студентам первых курсов
Мичиганского университета. Согласившись, я вскоре обнаружил,
что не существует книг по этому предмету, написанных на до-
ступном для студентов младших курсов уровне, которые изла-
гали бы физику элементарных частиц как теорию кварков, леп-
тонов и их взаимодействий, какой она стала теперь. Пятнадцать
лет назад не было теории ни слабых, ни сильных взаимодейст-
вий, не была еще выделена система фундаментальных частиц
материи, не было способов расчета и теоретического объяснения
получаемых экспериментальных результатов. Теперь у нас есть
теория сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий,
причем последние два взаимодействия объединены друг с дру-
гом. За последние годы сделан ряд удивительных эксперимен-
тальных отрытий, причем в настоящее время не известно ни
одного экспериментального результата, который бы выходил за
рамки этой теории. Так называемая стандартная модель в со-
временной физике элементарных частиц является такой тео-
рией; она теперь подтверждена различными способами и ни-
когда не будет отвергнута. Конечно, отклонения от стандартной
модели будут когда-нибудь обнаружены, и они послужат той
основой, на которой будет достигнуто более глубокое понимание
физики и создание новой физики. Вместе с тем стандартная
модель будет продолжать удовлетворительно описывать фи-
зику элементарных частиц в масштабах, на которых су-
щественны сильные, слабые и электромагнитные взаимодей-
ствия.
С учетом современного развития теории автору представ-
лялось важным построить такое изложение стандартной модели,
которое можно было бы включить в курсы общей физики, чи-
таемые для студентов. Кроме того, автору представлялось также
важным написать такую книгу, которую мог бы прочесть
8
Предисловие
любой научный работник, имеющий достаточную подготовку, и
ознакомиться с достижениями современной физики элементар-
ных частиц. Ознакомление с достижениями физики элементар-
ных частиц должно теперь стать частью образования каждого
человека, интересующегося тем, что человечество узнало об
основных частицах материи и фундаментальных силах природы.
После того как я прочитал свой курс первый раз, я убедился,
что вводный курс квантовой механики и обычные курсы по
механике и электродинамике, читаемые студентам младших
курсов, являются тем минимумом знаний, который необходим
слушателям. На основе этих курсов студент может получить
хорошее, на количественном уровне, понимание современной
физики элементарных * частиц. Книги по физике, посвященные
электродинамике, обычно начинаются с уравнений Максвелла
и посвящены выводу их следствий, т. е. эти книги не сле-
дуют истории развития этой дисциплины. Автор считает, что
стандартную модель надо изучать подобным образом — сразу
выписать основные формулы и затем получать из них след-
ствия.
По мере работы над своим курсом автор очень скоро понял,
что большое количество материала, который сыграл важную
роль в истории физики элементарных частиц, не существенно
при описании ее современного состояния. Многие вопросы, та-
кие как несохранение четности, спектр адронов, ароматовая
St/(3)-симметрия, упругое рассеяние и полные сечения и др.,
в настоящее время интересны только специалистам, работаю-
щим в области физики элементарных частиц, но не тем, кто хо-
чет понять только основы современной теории. Поэтому, при-
нося свои извинения всем тем, работы и результаты которых
не упомянуты в книге, <я выбрал всюду, где это возможно, де-
дуктивный, а не исторический способ изложения теории и дал
лишь ссылки на источники, по которым можно ознакомиться с
историей вопроса. Я опустил большое количество материала,
имеющегося в других книгах. В большинстве случаев я даю
ссылки на литературу, с изучения которой может начать чита-
тель, желающий углубить свои знания в какой-то области. По-
скольку изложения истории открытий последних двух десятиле-
тий уже появились в литературе и будут еще появляться, я
вообще не касался истории и приоритета тех или иных лиц, так
как не хотел делать это поверхностно.
Вторая важная цель выявилась уже после того, как автор
прочел курс во второй раз. Хотя развитие физики элементарных
частиц в настоящее время вышло на некоторое плато, и мно-
гие цели уже достигнуты, никто не может поручиться, что ее
развитие закончилось. Осталось очень много открытых вопр'о-
Предисловие
9
сов, например: почему теория имеет именно тот вид, который
она приняла в настоящее время, почему одни элементарные ча-
стицы существуют, а другие не существуют, в чем физическая
сущность масс частиц и т. д. Когда читатель поймет основную
структуру современной физики элементарных частиц, ему нужно
сообщить совсем немногое, чтобы он понял, почему некоторым
направлениям исследований на переднем фронте современной
науки придают наибольшее значение и в каких направлениях,
по-видимому, может быть достигнут прогресс. Конечно, нет ни-
каких гарантий, что теперь, когда мы имеем фундаментальную
теорию, можно правильно оценить новые идеи в тех областях,
которых прежде не существовало. Например, одна из наиболее
критичных проблем стандартной модели состоит в отыскании
хиггсовых бозонов или в установлении пределов, накладывае-
мых на значения их масс. Поскольку у нас теперь имеется со-
гласующаяся с экспериментом стандартная модель, можно ука-
зать все элементарные процессы, в которых могут рождаться
хиггсовы бозоны, и что именно потребуется детектировать, если
они будут появляться, и т. д.
Далее, так как ускорители и детекторы элементарных частиц
стали очень дорогими, мы теперь заранее знаем, какие экспери-
ментальные устройства будут созданы в ближайшие годы. По
существу примерно до 1994 г. ничего не будет построено такого,
что уже сейчас не запланировано. Таким образом, источники, из
которых будут получены экспериментальные данные в ближай-
шие десять лет, уже хорошо известны. Автор этой книги по-
пытался сообщить читателю всю необходимую информацию для
понимания того, чем будет заниматься в течение следующего
десятилетия большинство физиков, работающих в области фи-
зики элементарных частиц, и насколько их деятельность будет
связана с экспериментальным и теоретическим расширением
стандартной модели. Конечно, будут также предприняты уси-
лия в теоретических направлениях, которые мы не рассматри-
вали в этой книге, так как они выходят за ее рамки, например
в квантовой теории гравитации, в теории суперструн, в теории
самих ускорителей и детекторов и т. д.
Автору заранее пришлось решить, какую часть книги посвя-
тить проведению детальных вычислений. Прежде всего ясно, что
читатель должен научиться понимать, хотя бы на качественном
уровне, структуру стандартной модели. С другой стороны, толь-
ко физикам, активно работающим в физике элементарных ча-
стиц, нужно уметь проводить строгие численные расчеты; кроме
того, в настоящее время появилось много хороших книг, напи-
санных на строгом уровне. Автор выбрал промежуточный путь.
В книге используются строгие обозначения квантовой теории
10
Предисловие
поля, которые компактны и легко усваиваются, но строгие вы-
числения не проводятся. Вместо этого развит простой «оце-
ночный» приближенный способ, который позволяет вычислить-
почти все скорости распадов и сечения с точностью до множи-
теля 2 или меньше и особенно позволяет проследить за зависи-
мостью их от важных физических величин. Таким образом, чи-
татель научится оценивать количественно скорости основных
процессов, необходимых для понимания теоретических положе-
ний стандартной модели и вопросов ее экспериментального под-
тверждения.
Книга состоит из трех частей: описания стандартной модели,,
изложения некоторых сложных вопросов, рассматриваемых в
стандартной модели, и обзора нескольких тем, выходящих за
рамки стандартной модели. Часть книги, посвященная стандарт-
ной модели, разбита на семь разделов. Гл. 1 и 2 составляют
первый раздел. В них дается обзор, подготавливающий читателя
к систематическому изложению предмета, которое начинается
в гл. 3. В гл. 1 изложены основные современные представления
о частицах и взаимодействиях. Этот материал может оказаться
незнакомым многим читателям, и он в значительной степени
разъясняется лишь в последующих главах, но автор считает,
что предварительный обзор всего материала будет полезным
для многих студентов. В гл. 2 приводятся многие сведения, не-
обходимые для понимания текста книги; эта глава, очевидно,
будет полезна некоторым читателям, хотя, возможно, и разоча-
рует других в зависимости от объема предварительной подго-
товки и от того, насколько они готовы воспринять приведенные
там эвристические рассуждения. Может быть, некоторым чита-
телям следует начать чтение книги с гл. 1 и 2, а затем возвра-
щаться к ним по мере дальнейшего чтения книги. Другие чи-
татели могут полностью опустить гл. 1 и 2.
Объяснение стандартной модели начинается с гл. 3. Сначала
до гл. 7 излагается теория в случае безмассовых фермионов и
бозонов, включая необходимые основы теории уравнения Ди-
рака в гл. 5. Хиггсов механизм появления масс частиц пред-
ставлен в гл. 8. Формальное изложение основ стандартной мо-
дели завершает гл. 9, в которой дается вывод формул для
ширин распадов U7- и Z-частиц.
Вторая часть книги состоит из глав 10—19, в которых
излагаются вопросы, касающиеся экспериментального под-
тверждения предсказаний стандартной модели и ее свойств.
Автор обнаружил, что часть книги до гл. 19 составляет
основу односеместрового курса лекции для студентов, при-
чем остается время для двух-трех тем из остальной части
книги.
Предисловие
11
Главы 20—25 содержат краткое изложение нескольких важ-
ных, но более сложных вопросов, касающихся стандартной мо-
дели. Автор включал частично материал из гл. 20 и 21 в свой
односеместровый курс.
Третья часть книги посвящена обсуждению некоторых воз-
можностей, касающихся того, что может происходить за преде-
лами стандартной модели. Автор ограничился при этом вопро-
сами, которые естественным образом примыкают к калибро-
вочной теории, составляющей основу стандартной модели, и
изложил их, используя в основном математический формализм
стандартной модели. Вычисление параметра sin20^ в гл. 27
и вывод выражения для сечения взаимодействия фотино
с веществом через структурную функцию F2 являются хоро-
шими упражнениями по применению стандартной модели,
хотя они используются в контексте гипотетической новой
теории.
Наконец, книга снабжена несколькими приложениями, де-
лающими ее более замкнутой. В книгу включено около шести-
десяти задач; их более чем достаточно для односеместрового
курса. Большинство глав (в частности, гл. 1) завершаются ре-
комендациями литературы, посвященной изложению дополни-
тельной исторической, педагогической или математической ин-
формации, предназначенной для читателей, которые хотели бы
продолжить изучение предмета.
Основной принцип, которому следовал автор, решая, что
включить в книгу, насколько подробно изложить тот или иной
вопрос, какие формулы выводить и т. д., состоял в том, чтобы
научить заинтересованного читателя понимать структуру совре-
менной физики элементарных частиц, а не в том, чтобы подгото-
вить читателя для работы в области физики элементарных ча-
стиц. Таким образом, основная цель книги — дать читателю
(обладающему определенными знаниями) все, что необходимо
для понимания необычайного прогресса физики элементарных
частиц, достигнутого за последние два десятилетия, чтобы он
мог оценить красоту стандартной модели и получил основные
сведения, с помощью которых он мог бы оценивать будущие
открытия.
* * *
Автор благодарен многим лицам за поддержку и энтузиазм, ко-
торые помогли ему решиться написать эту книгу. Замечания и
вопросы студентов-физиков и их желание понять современную
физику элементарных частиц сыграли большую роль. Автор
благодарен за замечания о содержании книги и помощь Джоелу
12 Предисловие
Примаку, Френку Пейджу, Руди Туну, Деннису Хеджи, Джею
Чэпмену, Грегу Сноу, Бобу Кану, Бобу Тширхарту, Тиму Джон-
су и в особенности Джин-Мари Фрер, Марку Россу и Чьен-Пенг
Юану, которые высказали много ценных предложений. Рисунки
выполнил Лес Терстон. Энтузиазм и помощь моего издателя
Аллана Уайлда были неоценимыми для меня. Вклад Марка
Шутце, который прослушал курс и составил тщательные записи
лекций, был очень существен. Наконец, автор благодарен за
ценную поддержку и предложения в отношении улучшения
рукописи своей жене Лоис.
Глава 1
Обзор
1.1. Введение
Физика элементарных частиц сегодня совершенно не похожа на
ту, какой она была пятнадцать лет назад. То, над чем большин-
ство физиков, занимающихся элементарными частицами, ду-
мают сегодня, сильно отличается от того, что они изучали в
университете. Теперь считают, что истинно фундаментальными
объектами являются кварки и лептоны; они взаимодействуют
посредством обменов калибровочными бозонами. Силы, с кото-
рыми эти частицы взаимодействуют, являются либо силами
объединенного «электрослабого» взаимодействия, калибровоч-
ными бозонами которого являются фотон и IF±- и 2°-бозоны,
либо силами «сильного» взаимодействия. Теория сильного взаи-
модействия называется квантовой хромодинамикой (КХД), и
калибровочными бозонами является восьмерка глюонов. (Все
новые термины в этой книге будут определяться по мере того,
как будут разъясняться те или иные положения новой физики.)
Вместе с тем развитие фундаментальной физики шло непре-
рывным образом. Современная теория элементарных частиц
включает в себя специальную теорию относительности. Совре-
менное содержание теории является результатом более чем пя-
тидесятилетнего развития релятивистской квантовой теории
поля. Теоретики теперь вплотную подошли к решению проблем
массы частиц и перенормировки. Все время наблюдался посто-
янный устойчивый прогресс в физике элементарных частиц как
в отношении более глубокого понимания квантовой теории поля,
так и в отношении осознания того, как надо строить ее фунда-
ментальный лагранжиан; при этом никаких революций не про-
исходило. Теория, которая описывает элементарные частицы и
их взаимодействия, определенно является калибровочной тео-
рией, т. е. принадлежит к очень специальному классу квантовых
теорий поля, в котором действуют принципы инвариантности,
требующие, чтобы взаимодействия переносились с помощью осо-
бых калибровочных бозонов. В калибровочной теории в отличие
от стандартной теории поля лагранжиан взаимодействия не по-
стулируется, а выводится.
Хотя математический формализм релятивистской квантовой
калибровочной теории поля может быть очень сложным, форму-
лировка и понимание основных положений теории доступны
14
Глава 1
каждому, имеющему лишь предварительные знания классиче-
ской механики и классической электродинамики в объеме пер-
вых курсов университета, а также прослушавшему вводный
курс квантовой механики, включающий теорию углового мо-
мента и спина. Несмотря на то, что полная современная теория
элементарных частиц формулируется исключительно реляти-
вистски, читателю для понимания этой книги достаточно озна-
комиться только с основными обозначениями и основными пра-
вилами оперирования с ними, чтобы быть в состоянии прово-
дить простые выкладки и оценки. (Автор надеется, что читатель
найдет изложение физики элементарных частиц в этой книге
привлекательным и ясным и почувствует необходимость узнать
больше о современной квантовой теории и изучить теорию эле-
ментарных частиц на более высоком уровне.) В этой книге
автор преследует следующие основные цели: а) объяснить чи-
тателю, как формулируются основные положения теории квар-
ков и лептонов и их взаимодействий (называемой «стандартной
моделью»); б) научить его делать простые выкладки и произ-
водить приближенные количественные оценки основных величин,
предсказываемых теорией; при этом преследуется двоякая
цель — показать, как теория работает, и научить читателя вла-
дению элементами математического формализма теории, чтобы
стало понятно, почему рассматриваемая теория действительно
описывает природу; в) нарисовать читателю общую картину,
в рамках которой он сможет понять основные результаты буду-
щих исследовательских усилий в физике элементарных частиц.
Чтобы избежать недоразумений, следует подчеркнуть, что хотя
стандартную модель мы здесь и называем «моделью», но речь
идет фактически о полностью разработанной математической
теории, которой нет прецедентов в истории науки.
В1 большей части книги изучается устоявшаяся стандартная
модель. Часть этой модели, связанная с физикой механизма
Хиггса и хиггсовыми бозонами, пока еще плохо понята (хотя
чисто математически полностью удовлетворительна); обо всем
этом мы еще будем более подробно говорить. Хотя с помощью
стандартной модели можно описать все известные эксперименты
с элементарными частицами и их взаимодействиями, она не
отвечает на многие вопросы, касающиеся, в частности, значений
параметров, входящих в теоретические формулы, или конкрет-
ной формы, которую принимает модель. Большинство исследо-
вателей надеется, что будущее развитие теории ответит на эти
вопросы; в конце книги мы обсудим некоторые из них и пока-
жем, как их можно включить в стандартную модель.
Далее в этой главе мы кратко охарактеризуем основные
положения теории и введем в рассмотрение кварки и лептоны,
Обзор
15
калибровочные бозоны и силы взаимодействия этих частиц.
Цель такого введения — дать читателю общее представление о
предмете, чтобы ему было понятно, к чему мы стремимся, в
частности в чем смысл того, что мы делаем, когда погружаемся
в длинную цепь рассуждений и вычислений. Материал этой
главы излагается затем со всеми подробностями в первых двух
третях данной книги.
1.2. Основные представления
Напомним, как силы вводятся с помощью законов механики
Ньютона. Закон F = ma используется, чтобы определить дви-
жение объекта, если задана любая сила F, действующая на
объект. Как известно, были открыты многие специальные типы
таких сил, например гравитационные силы F = GvmM/r2, куло-
новские силы F = KqQ/r2 и т. д. В другом формализме класси-
ческой механики используются уравнения Гамильтона и Ла-
гранжа, которые эквивалентны закону F = та.
В квантовой теории ситуация аналогична. Уравнение Шре-
дингера HW = idW/dt является основным уравнением, подоб-
ным уравнению F = ma. Оно справедливо для любого гамиль-
тониана. Различные механические силы приводят к разным га-
мильтонианам.
В физике элементарных частиц полезно проследить разли-
чие классической и квантовой точек зрения. В гл. 2 и 9 мы
приводим краткое изложение формализма, аналогичного закону
F = ma или уравнению Шредингера, который позволяет начи-
нать рассмотрение с любого лагранжиана и определять «дви-
жение», т. е. вычислять эффективные сечения и скорости реак-
ций распада. На практике это сводится к составлению правил
Фейнмана для так называемых «фейнмановских диаграмм»,
позволяющих записывать выражения для матричных элементов,
которые входят в формулы для вероятностей переходов. Эта
процедура является стандартной в релятивистской квантовой
теории поля. Хотя за последние два десятилетия в этой области
появилось много новых представлений, большинство из них
являются техническими по своему характеру, и мы на них не
можем останавливаться в этой книге, но некоторые будут из-
ложены.
Конкретные лангранжианы для электрослабого и сильного
взаимодействий являются тем существенно новым, что состав-
ляет основное содержание стандартной модели. Сегодня извест-
ны не только электромагнитное, но также слабое и сильное
взаимодействия. К тому же теперь электромагнитное и слабое
взаимодействия объединены в одно взаимодействие довольно
16
Глава 1
изящным способом, который может оказаться очень перспектив-
ным для будущего прогресса всей физики элементарных частиц.
Эти лагранжианы более сложны, чем выражение GNmM/r\ и
значительная часть книги посвящена тому, чтобы просто выпи-
сать их и научиться пользоваться ими для простых вычислений.
Иначе говоря, в последние годы были найдены формы га-
мильтонианов, которые описывают все известные взаимодейст-
вия между элементарными частицами, и главная цель этой
книги состоит в том, чтобы описать их. Большой прогресс до-
стигнут также в понимании содержания квантовой теории поля,
которая служит эквивалентом уравнения Шредингера; связан-
ные с этим вопросы мало освещены в книге, как из-за ограничен-
ного объема, так и главным образом из-за того, что изложение
этих вопросов требует более серьезного владения математиче-
ским формализмом.
Объединение квантовой теории с теорией относительности
естественным образом приводит к понятию квантового поля и
связанных с ним частиц. Чтобы на чисто интуитивном уровне
увидеть, почему так происходит, рассмотрим несколько частиц,
взаимодействующих друг с другом, и сообщим одной из них
небольшой импульс. Силы, с которыми эта частица будет дейст-
вовать на соседние частицы, не могут вызвать мгновенных из-
менений в их движении, так как ни один сигнал не может рас-
пространяться быстрее, чем со скоростью света. Можно утверж-
дать, так же как в теории электромагнетизма или-гравитации,
что возмущенная частица является источником некоего поля,
которое переносит через окружающее пространство энергию
и, возможно, другие квантовые характеристики; в конечном
счете это поле оказывает действие на другие частицы.
Согласно квантовой теории, энергия (а также и другие кван-
товые числа) переносится дискретными порциями — квантами,
которые следует идентифицировать с частицами, передающими
силы. Таким образом, в квантовой теории поля взаимодействия
элементарных частиц связываются с обменами (некоторыми)
частицами.
Так называемые калибровочные теории представляют собой
специальный класс квантовых теорий поля, в которых исполь-
зуется то обстоятельство, что принцип инвариантности с необ-
ходимостью требует существования определенного взаимодейст-
вия между частицами. Когда мы будем говорить ниже о «кали-
бровочных силах», мы будем иметь в виду взаимодействия,
соответствующие калибровочной симметрии, которые принято ха-
рактеризовать тем, что их величина прямо пропорциональна
«заряду» некоторого типа. Это имеет место в электродинамике,
в которой постоянная тонкой структуры а характеризует ве-
Обзор
17
личину электромагнитных сил. Как и в электродинамике, заряд
одновременно характеризует и величину взаимодействия (а =
= е1 /Х]ХЪТ}, и величину заряда элементарной частицы
^частицы имеют заряды 0, ±-|е, ± Хе, неэлек-
тромагнитные калибровочные силы характеризуются своими за-
рядами, которые тоже выполняют указанные функции. В физике
элементарных частиц термины «сила» и «взаимодействие» ис-
пользуются в основном как идентичные.
Общая картина взаимодействия двух частиц показана на
рис. 1.1. В квантовой электродинамике одна заряженная части-
ца излучает фотон и получает импульс отдачи; этот фотон по-
Рис. 1.1. Общий вид взаимодействия частиц.
глощается другой заряженной частицей, импульс которой вслед-
ствие этого изменяется. Диаграммы типа изображенной на
рис. 1.1 хорошо иллюстрируют происходящий процесс. Но они
представляют собой нечто большее, чем простую иллюстрацию.
Имеется набор правил («фейнмановских правил»), с помощью
которых можно для каждой диаграммы написать выражение
для соответствующего ей матричного элемента и по нему вы-
числить вероятность соответствующего квантового перехода;
теория поля получает свое наглядное выражение в диаграммах
(если возможны вычисления по теории возмущений). Ниже мы
выведем правила Фейнмана для стандартной модели. В случае
квантовой электродинамики матричный элемент, соответствую-
щий диаграмме на рис. 1.1, в нерелятивистском приближении
дает закон Кулона.
1.3. Силы
За последние два десятилетия были достигнуты значительные
успехи как в теоретической, так и в экспериментальной физике
элементарных частиц. Таблица 1.1 иллюстрирует, как развива-
2 Г. Кейн
18
Глава 1
Таблица 1.1. Известные силы
Силы Существует ли теория ?
1970 г. Сейчас Скоро
Гравитация есть, но клас- сическая теория не изменилась
Электромагнетизм Слабое взаимодействие Сильное взаимодействие есть (КЭД) У нет — J нет объединены в одну теорию (электро- слабую) есть (КХД) единая теория «великого объе- динения» •
лась теория. В первом столбце показана ситуация примерно на
1970 г. Общая теория относительности как теория гравитации
была вполне удовлетворительной, но никак не была связана с
остальными теориями. Квантовая теория гравитации не была
разработана. Такое положение сохранилось неизменным до се-
годняшнего дня, хотя многочисленные попытки построения кван-
товой теории гравитации и объединенной теории гравитации
вместе с другими взаимодействиями элементарных частиц пред-
принимаются активно, и многие проявляют значительный опти-
мизм в отношении того, что прогресс будет скоро достигнут.
Ставя в табл. 1.1 вопрос о существовании теории, мы имеем в
виду «лагранжеву квантовую теорию поля, в которой все физи-
ческие наблюдаемые даются конечными величинами». В самом
деле, хотя теория кварков и лептонов и их взаимодействий и
называется «стандартной моделью» по чисто историческим при-
чинам, следует подчеркнуть, что речь идет не о модели в обыч-
ном смысле этого слова, в котором оно употребляется в физике;
фактически мы имеем дело с окончательно сформулированной
квантовой теорией поля.
В 1970 г. еще не было теории слабых взаимодействий. «Сла-
быми» являются взаимодействия, которые экспериментально
наблюдаются и не сводятся к гравитационным и электромаг-
нитным взаимодействиям. Примером слабого взаимодействия
является (3-распад нейтрона (n->pev). Слабые взаимодействия
играют решающую роль в процессах выделения энергии внутри
Солнца и при синтезе тяжелых элементов внутри звезд. Жизнь
на Земле не могла бы существовать, если бы отсутствовали сла-
бые взаимодействия (впрочем также, если бы отсутствовали
любые другие из известных взаимодействий). Слабые взаимо-
действия называются «слабыми» потому, что масштаб времени,
в котором они происходят (порядка 10-13 с, когда он соответ-
Обзор
19
ствующим образом определен), много больше, чем масштаб
времени электромагнитных процессов (порядка 10-19 с, когда
он определен аналогичным образом). В1 настоящее время имеет-
ся теория слабых взаимодействий; более того, слабые и элек-
тромагнитные взаимодействия объединены в единое электросла-
бое взаимодействие.
Аналогично в 1970 г. не было еще теории сильных взаимо-
действий. Факт существования особых «ядерных» сил был уста-
новлен еще в 30-х годах, так как ядро, содержащее несколько
протонов, удерживает их вместе вопреки электростатическому
•отталкиванию. Следовательно, должны существовать другие
(имеющие характер притяжения) силы, более сильные, чем
электромагнитные силы. Так как эти силы оказались сильными,
естественно было ожидать, что вычисления по теории возмуще-
ний для них не будут применимы к наблюдаемым явлениям.
Тем более удивительным является возникшее в настоящее время
убеждение, что строгая количественная теория сильных взаимо-
действий существует и ее можно будет проверить эксперимен-
тально многими способами. Теперь мы знаем, что существуют
кварки, которые испытывают сильные взаимодействия. Адроны
(протоны, нейтроны, пионы и т. д.) образованы из кварков.
Силы взаимодействия между кварками называют «цветными»;
ниже мы расскажем, как математически описывать эти силы.
(Этот «цвет» не имеет никакого отношения к цветам, которые
мы видим.) Кварки имеют цветные заряды и комбинируются в
•адронах так, что получаются нейтральные по цвету, или «бес-
цветные» адроны, точно так же как при комбинировании элек-
трически заряженных электронов и ядер получаются электри-
чески нейтральные атомы. Аналогично «остаточному» электри-
ческому полю, имеющемуся вне нейтральных атомов, которое
заставляет атомы объединяться в молекулы, «остаточное цвет-
ное поле», имеющееся вне протонов и нейтронов, проявляется
в виде ядерных сил, которые связывают ядра. Все адроны, а не
только протоны и нейтроны, могли бы тоже образовывать ядра,
'если бы они жили достаточно долго. Большинство адронов не-
стабильны и распадаются в результате сильного или слабого
взаимодействий. Теория цветных сил называется квантовой хро-
модинамикой (КХД).
Успех проведенных в фундаментальной физике объединений
(электричества и магнетизма в электромагнетизм, электромаг-
нитных и слабых взаимодействий в электрослабую теорию)
поощрил многих исследователей пытаться объединить электро-
слабую теорию и КХД в единую теорию «великого объедине-
ния». В этом направлении достигнут некоторый теоретический
прогресс и сформулировано несколько теорий — кандидатов
2*
20
Глава 1
на роль теории великого объединения. Великое объединение мы
рассмотрим кратко в гл. 27, в которой мы применим часть
изученного ранее материала и укажем на некоторые вопросы
физики элементарных частиц, настоятельно требующие ответа,
а также объясним, какими эти ответы могли бы быть.
1.4. Частицы
При объяснении строения окружающей нас Вселенной возни-
кают по крайней мере три проблемы. Во-первых, нужно научить-
ся классифицировать элементарные частицы, из которых состав-
лена материя, во-вторых, надо знать силы, действующие на
частицы, и, в-третьих, надо уметь вычислять движения частиц
под действием известных сил. (Кроме того, некоторые свойства
частиц должны быть определены по случайным начальным или
граничным условиям.) Мы уже говорили в разд. 1.3 о силах
и о том, как находить их. Элементарные частицы можно разбить
на два типа — на частицы вещества и на калибровочные бозоны
(с помощью некоторых новых идей, о которых мы упомянем в
гл. 28, предпринимается попытка связать оба эти типа частиц).
Элементарными частицами вещества являются кварки и
лептоны.
Кварки можно определить как фермионы, которые несут
цветные заряды, согласно КХД, в то время как лептоны опре-
деляются как фермионы, не имеющие цветных зарядов. Фер-
мионы обоих типов имеют спин 1/2. Пока известно, что сущест-
вуют шесть типов кварков (различаемых шестью кварковыми
«ароматами») и шесть сортов лептонов (соответствующих шести
лептонным «ароматам»). Не ясно, почему существует именно
шесть ароматов, и неизвестно, будут ли открыты новые ароматы
на более мощных ускорителях, которые будут построены. Квар-
ки называют по случайной исторической традиции: «верхний»,
«нижний», «странный», «очарованный», «донный» и «вершин-
ный». Их обозначают с помощью первых букв соответствующих
английских слов. Как мы увидим ниже, кварки естественным
образом группируются в дублеты (называемые «семействами»
или «поколениями»):
// с \ / t \
UK s Д
Кварки из верхнего ряда имеют электрический заряд q = <1lzer
а кварки из нижнего ряда имеют заряд q — —!/3е, где е—абсо-
лютная величина электрического заряда электрона. Кварк каж-
дого данного аромата встречается в трех цветах. Все кварки
Обзор
21’
также являются носителями другой квантовой характеристики,,
которая называется барионным числом В. Барионные числа
кварков равны В — у3, протоны и нейтроны имеют В=\.
В экспериментах всегда наблюдается, что суммарное барионное
число в реакциях сохраняется с высокой точностью. Но нам не-
известны причины, по которой оно должно сохраняться абсо-
лютно точно.
Пять кварков уже изучены довольно полно в экспериментах.
Шестой /-кварк должен существовать, как это следует из тре-
бований электрослабой теории и из измеренных характеристик
6-кварка (в гл. 25 мы рассмотрим этот вопрос в качестве при-
мера, иллюстрирующего работу теории). Масса /-кварка еще
не измерена.
Как предполагается в настоящее время (но пока строго не
доказано), всякая цветная частица является следствием КХД
и обязательно должна быть связана внутри какого-нибудь бес-
цветного адрона. Это вовсе не означает, что кварки не сущест-
вуют в том же смысле, в каком существуют электроны. Но ука-
занное обстоятельство делает сложным количественное опреде-
ление масс кварков, так как массы кварков много меньше, чем
типичные значения адронных масс порядка 1 ГэВ/c2. В резуль-
тате говорят о двух типах масс кварков, которые мы будем
называть массами «свободных кварков» и массами «связанных
кварков» (табл. 1.2). Приближенные значения в таблице отра-
Таблица 1.2. Массы кварков
Свободный кварк Связанный кварк
d ~ 15 МэВ/с2 - 330 МэВ/е2
и - 7 МэВ/с2 - 330 МэВ/с2
S ~ 200 МэВ/с2 ~ 500 ААэВ/с2
с ~ 1,3 ГэВ/с2 - 1,5 ГэВ/е2
b ~ 4,8 ГэВ/с2 - 5 ГэВ/с2
t ? ? ? ?
жают неточности в определении масс, а также неточности, свя-
занные с процессом их измерения. Почему массы связанных
кварков больше, чем массы свободных кварков, в противопо-
ложность результатам экспериментов с планетами или атомами,
а также некоторые другие аспекты проблемы масс кварков об-
суждаются в гл. 23. Значения масс кварков, приведенные в
табл. 1.2, не вычислены теоретически, а просто эксперименталь-
но измерены. Согласно исторической традиции, величины, кото-
рые мы назвали массами свободных кварков, называют «масса-
ми алгебры токов».
22
Глава 1
Ароматы лептонов тоже объединяют в три семейства дуб-
летов:
Электрон е, мюон ц и тау-лептон т имеют одинаковый элек-
трический заряд —е\ каждый из них имеет свое нейтрино; все
они обладают нулевыми электрическими зарядами. Насколько
известно в настоящее время, лептоны разных типов не испыты-
вают взаимных превращений. Свое лептонное число имеет каж-
дое семейство; экспериментально наблюдается, что эти числа
строго сохраняются, хотя мы не знаем причин, почему так про-
исходит. Массы нейтрино еще не измерены, пока их считают
нулевыми, но в большинстве предложенных теорий не предпо-
лагается, что они являются нулевыми. Современные экспери-
ментальные ограничения для масс нейтрино приведены в
табл. 1.3.
Таблица 1.3. Массы лептонов
ve < 46 эВ/с2
Vp, < 0,25 МэВ/с2
vx < 70 МэВ/с2
е =0,51 МэВ/с2
ц = Ю5,6 МэВ/с2
т = 1784,2 ± 3,2 МэВ/с2
Как и в случае кварков, значения масс лептонов пока тео-
ретически необъяснены. Тау-нейтрино vT еще в эксперименте
не наблюдалось (так же, как /-кварк, см. гл. 25), но в соответ-
ствии с требованиями электрослабой теории т-нейтрино должно
существовать. Косвенные космологические аргументы приводят
к заключению, что сумма масс всех трех нейтрино меньше
100 эВ/с2.
Кварки и лептоны являются фундаментальными частицами
вещества. Кроме них существуют частицы, которые переносят
силы взаимодействия, — бозоны (с целым спином). В табл. 1.4
приведены сведения о силах, которыми частицы действуют друг
на друга, а также о бозонах, которые эти силы взаимодействия
переносят. Так как современная квантовая теория поля, которая
правильно описывает поведение известных элементарных час-
тиц, является калибровочной теорией, бозоны, перечисленные
в табл. 1.4, называются «калибровочными бозонами». Как мы
будем еще подробно рассматривать ниже, долгое время счи-
Обзор
23
Таблица 1.4. Силы и калибровочные бозоны
Силы На что действуют Посредством чего передаются.
Гравитация Электромагнетизм Слабое взаимодействие Сильное взаимодействие все массивные частицы все электрически заряжен- ные частицы кварки, лептоны, электросла- бые промежуточные бозоны все цветные частицы (квар- ки и глюоны) гравитон (безмассовый,. спин 2) фотон у (безмассовый, спин 1) W±, (массивные, спин 1) восемь глюонов g (без- массовые, спин 1)
талось, что калибровочные бозоны должны быть безмас-
совыми частицами (большинство из них являются такими), но-
бозоны W± и Z0 оказались массивными, и этот факт задер-
жал развитие теории. Ниже мы детально обсудим проблему
масс.
Гравитоны переносят слишком слабые взаимодействия, что-
бы их можно было обнаружить экспериментально; их существо-
вание и свойства выводятся чисто теоретическим путем — гра-
витоны вводят в теорию с помощью рассуждений, полностью1
аналогичных тем, с помощью которых в квантовой электроди-
намике вводятся фотоны. Все остальные калибровочные бозоны
теперь открыты. Фотон хорошо известен. Существование глюо-
нов было сначала предсказано теоретически, а в 1979 г. глюоны
с ожидаемыми свойствами действительно наблюдались на элек-
трон-позитронном коллайдере в Гамбурге. Бозоны W± и Z0 тоже
были предсказаны теорией и наблюдались на протон-антипро-
тонном коллайдере в ЦЕРНе в 1983 г. и тоже с ожидаемыми
свойствами (Aluz 82 ГэВ и Mz ~ 94 ГэВ). Предсказание и
открытие глюонов и W±- и Z°-6o3OHob заняло почетное место-
среди интеллектуальных достижений человечества.
Интересно отметить, что окружающая нас Вселенная со-
стоит из и-, d-кварков, электронов, электронных нейтрино ve-
и калибровочных бозонов. Остальные кварки и лептоны получе-
ны искусственно на ускорителях (иногда эти частицы появля-
ются также при столкновениях энергичных космических лучей
с атомами и молекулами земной атмосферы). Такие кварки и
лептоны существовали на ранних стадиях развития Вселенной;
все они являются очень короткоживущими частицами и совре-
менная их роль во Вселенной неизвестна.
Оказалось, что кроме кварков, лептонов и калибровочных
бозонов нужен еще один класс особых частиц, чтобы иметь
24
Глава 1
последовательную теорию масс элементарных частиц и их взаи-
модействий. Течь идет о бесспиновых, или скалярных бозонах,
называемых «хиггсовыми бозонами». Современная электросла-
бая теория требует существования по крайней мере одного элек-
трически нейтрального хиггсова бозона, но их может быть и
больше. Ниже мы подробно рассмотрим хиггсовы бозоны. Их
экспериментальное обнаружение, а также объяснение их роли
представляют собой главную проблему электрослабой теории;
она является центральной проблемой современной физики эле-
ментарных частиц.
Как кратко упоминалось выше, адроны (протоны, нейтроны,
пионы и т. д.) построены из кварков, связанных друг с другом
глюонами. В КХД взаимодействие между кварками, обладаю-
щими цветными зарядами, связывает их в адроны; получаются
нейтральные по цвету адроны, а остающиеся цветные силы ока-
зываются ядерными силами, которые связывают стабильные
адроны в атомных ядрах. Электрически заряженные ядра и ста-
бильные электрически заряженные лептоны (только электроны)
связываются в атомы с помощью электромагнитных сил,
переносимых фотонами. Остаточные электрические силы вне
электрически нейтральных атомов связывают их в молеку-
лы. Так построено многообразие иерархических структур в при-
роде.
Наконец, для каждой элементарной частицы имеется соот-
ветствующая ей античастица. Античастицы имеют противополож-
ные по сравнению с частицами значения электрического заряда,
цветного заряда, аромата, но ту же массу и спин. Античастицы
мы будем иногда обозначать только с помощью зарядовых ин-
дексов: е~ и е+ обозначают электрон и позитрон, и — по-
ложительный и отрицательный пионы, W+ и W~ — электросла-
быс калибровочные бозоны, которые являются античастицами
друг для друга, р+ и р~—протон и антипротон и т. д. Иногда
мы будем использовать черту над буквой для обозначения анти-
частицы, так р обозначает антипротон, ё — позитрон, f— анти-
фермион (фермион может быть любым кварком или лептоном).
Некоторые элементарные частицы такие, как фотон или л'0, яв-
ляются сами своими античастицами.
1.5. Естественные единицы
Часто удобно использовать так называемые естественные едини-
цы, в которых многие величины можно считать равными единице.
При этом существенно упрощаются многие формулы. Обычно
исключают из формул только /г и с (1г — с = 1).
Обзор
25
Тогда энергия тс2, импульс тс и масса т все имеют размер-
ность массы и измеряются в единицах ГэВ (в обычной системе
единиц мы имели бы ГэВ, ГэВ/c, ГэВ/c2 соответственно). Учет
выражений для й и с обеспечивают переводные формулы:
/г = 6,6- 10-25 ГэВ-с, (1.1)
так что 1 ГэВ = (1/6,6- 10-25) с-1; (1-2)
с = 3 • 1010 см/с, (1.3)
так что 1 с = 3 • 1010 см. (1.4)
Комбинируя эти формулы, получаем
10 13 см = 1 ферми ~ 5 ГэВ !, (1.5)
1 мб= 10-27 см2 ~ 2,56 ГэВ-2, (1.6)
1 ГэВ-2 = 0,39 • 10-28 см2.
Ниже мы часто будем использовать формулы (1.2) и (1.6),
чтобы из ширин уровней получить времена жизни и выразить
сечения в см2.
В естественных единицах мы можем написать, например:
те = тес ~ у МэВ,
— тес2 ~ 4" МэВ,
е 2
1 1 1П11 -1
= ~ —-10 см ,
hlinec 4
=_____!__«_L. ю21 с'1
hlmec2 1,3
(1.7)
(1.8)
(1-9)
(1.Ю)
Задачи
1.1. Почему вы уверены, что существуют атомы? Ядра?
Электроны? Могли бы вы убедить в этом кого-нибудь, кто жил
двести лет назад? Студента высшей школы сегодня? Философа?
1.2. Сколько фундаментальных сил природы рассматривали:
а) до Ньютона, б) после 1750 г., в) около 1880 г., г) около
1950 г.?
1.3. Какой вид имеет гамильтониан для атома водорода?
Откуда он получен?
26
Глава 1
1.4. Распределение масс кварков и лептонов имеет опреде-
ленную регулярность, так номер семейства является функцией
массы. Угадайте массу /-кварка. Если существует четвертое се-
мейство кварков, какие массы вы можете предсказать для его
членов?
1.5. Какие ядра имеют приблизительно такие же массы, как
фундаментальные частицы W± и Z0?
1.6. Если сечение определяется формулой су=10~3/Л1^, то
какой вид имеет формула для сечения в обычных единицах
(см2)? Если время жизни т= 1 ГэВ-1, то чему оно равно в се-
кундах?
1.7. Какое значение имеет постоянная Ньютона Gu в есте-
ственных единицах?
Рекомендации для дальнейшей работы
Читатели, возможно, захотят получить дальнейшую информа-
цию по затронутым вопросам. В конце большинства глав этой
книги даются рекомендации относительно дополнительных ис-
точников информации. Они не претендуют на полноту и лишь
дают указания читателю, где он может начать поиски интере-
сующего его материала.
Некоторые читатели захотят получить более строгое мате-
матическое рассмотрение, чем то, которое мы предлагаем. Кни-
ги, близкие по духу нашей книге, но предназначенные для сту-
дентов-выпускников или лиц, которые собираются активно ра-
ботать в области физики элементарных частиц, — это книги
Хелзена и Мартина [27] и Квигга [54]. Книга Квигга [54]
содержит также обширные аннотированные ссылки на первоис-
точники и дает рекомендации для дальнейшего изучения. Книга
Перкинса [48] скорее обзорная, чем учебная, и также ориенти-
рована на студентов-выпускников. Двухтомная книга Готтфри-
да и Вайскопфа [26] совершенно отлична от упомянутых
книг; она содержит изложение принципов квантовой теории,
теорию стандартной модели и более сложные вопросы,
но сопровождается лишь небольшим числом формул и вы-
кладок.
В настоящее время наиболее полным учебником по физике
элементарных частиц и теории поля является книга Ченга и
Ли [6]. Недавно появились вводные книги по'теории поля Ман-
дела и Шоу [40] и Райдера [61]. Суть калибровочных теорий
поля хорошо изложена Айтчисоном и Хеем [1]. Книга де Вита
и Смита [13] содержит очень полезные сведения по теории поля
и физике элементарных частиц.
Обзор
27
Измерение масс кварков является довольно тонким и техни-
чески сложным делом. Мы кратко обсудим этот вопрос в гл. 23.
Интересующийся читатель может обратиться к статьям Дж. Гас-
сера и X. Лейтвайлера [21] (из которой взяты нами численные
значения) или Вайнберга [78].
Как отмечено в предисловии, мы предполагаем, что читатель-
стремится понять только основные положения стандартной мо-
дели, а с историей открытий он может познакомиться в других
книгах. Начинающих студентов больше интересуют основные
представления теории, а большинство ученых считают, что они
достаточно знакомы с историей (некоторые были свидетелями
многих открытий), но имели меньше доступа к основным идеям
и к проверке результатов теории. Такие настроения большинства
читателей заставляют предпочесть неисторический подход, ко-
торый и был выбран автором. Почти все ученые, которые де-
лали открытия или участвовали в создании идей, оформленных
теперь в стандартную модель, в настоящее время активно ра-
ботают и заслуживают огромного уважения. Автор настоятель-
но рекомендует читателям изучить недавнюю историю физики
элементарных частиц. В этом им могут помочь три замечатель-
ные книги, которые содержат изложение истории исследований
с трех различных точек зрения. В книге Пикеринга [52] дается
«социологическая история физики элементарных частиц». Книга
очень профессиональна, хорошо документирована и в ней хо-
рошо изложена физика элементарных частиц. Однако автор
настоящей книги с некоторым недоверием относится к социоло-
гическим и психологическим аспектам этой книги. Вторая книга,
написанная Кризом и Манном [10], является забавным анекдо-
тическим и в то же время надежным описанием истории разви-
тия стандартной модели. Третья книга Кана и Голдхабера [5]
может служить дополнением к настоящей книге. Ее авторы при-
няли педагогически удачный исторический подход к изложению
открытий, которые составляют основу и суть стандартной мо-
дели. К указанным трем книгам можно добавить книгу Пайса
[46] объемом 75 страниц, в которой изложен интересный лич-
ный взгляд автора на историю развития стандартной модели.
Один из участников эксперимента группы UA1 П. Уоткинс
написал «Рассказ о W и Z» [76], описывающий проведенный экс-
перимент по открытию и Z°-6o3ohob. Недавно появился еще
один любопытный исторический обзор Неймана и Кирша [43].
Наконец, имеется мастерски написанный Окунем [45] обзор со-
временной физики элементарных частиц, предназначенный для
неспециалистов.
Можно рекомендовать также две книги, которые были напи-
саны до того, как была полностью сформулирована стандарт-
'28 Глава 1
ная модель. Из них можно узнать, многое о тех важнейших
вопросах, которые волновали физиков в течение двух десятиле-
тий до 1970 г. Это книги Перла [49] и Хыоза [31].
Нобелевские лекции С. Глэшоу [24], А. Салама [66] и
С. Вайнберга [77] напечатаны в Reviews of Modern Physics.
В журнале Сайентифик Америкен опубликован ряд статей по
стандартной модели. Наиболее полной является статья Г. Хофта
[71]; на другие статьи мы сошлемся в соответствующих главах.
Если не оговорено противное, все данные, приведенные
в книге, взяты из таблиц (см. [47]), издаваемых Группой дан-
ных по элементарным частицам (ТДЧ). Этот ценный источник
информации обновляется каждые два года и публикуется в виде
отдельного выпуска журнала Physics Letters. Копии можно по-
лучить от этой группы.
Глава 2
Релятивистские обозначения,
лагранжианы, токи и взаимодействия
В этой главе мы сообщим читателю предварительные теорети-
ческие сведения, необходимые для развития полной теории эле-
ментарных частиц. Различные вопросы и способы рассуждений
мы постарались здесь объединить в единое целое. В основном
излагаемый ниже материал взят из известных курсов современ-
ной физики, но он излагается несколько с других позиций. Мы
постоянно будем пользоваться релятивистскими обозначениями,
которые существенно упрощают вид уравнений и позволяют
многие выкладки проводить почти автоматически. Мы приведем
и несколько примеров более сложных выкладок с использова-
нием релятивистских обозначений, требующих от читателя бо-
лее серьезного знания теории относительности.
Главная цель данной книги — объяснить новые физические
идеи, лежащие в основе так называемой «стандартной модели».
Для этого необходимо использовать различные физические
представления, которые были развиты за последние 60 лет. Для
полноты изложения здесь, а также в последующих главах и
приложениях приводятся все необходимые предварительные све-
дения из других разделов физики. Возможно, некоторых читате-
лей эта глава немного разочарует, так как мы даем только
обзор избранных вопросов и, как правило, не приводим их пол-
ного изложения. Свои заключения мы основываем главным об-
разом на чисто эвристических соображениях или на аналогиях.
Вместе с тем мы стараемся четко изложить точки зрения, ко-
торые широко используются в современной физике элементар-
ных частиц. Вопросы теории, изложенные здесь бегло, подробно
-освещены в существующей литературе, и мы призываем чита-
теля заняться их серьезным изучением. Чтобы понять текст дан-
ной книги, читатель должен внимательно (но не обязательно на
профессиональном уровне) изучить материал этой главы и
гл. 5.
2.1. Релятивистские обозначения
Пусть аУ— 4-вектор с компонентами
а^ = (а°; а\ а2, а3).
(2.1)
30
Глава 2
Наиболее важным 4-вектором является вектор х^1=(7; х, у, z) =
= (х°; х1, х2, х3). Верхние и нижние индексы следует различать,,
так как
«и = («о; «ь «2, Яз) = (я°; ~а\ —а2, —а3). (2.2)
Отсюда ясно определение «метрического тензора»
имеющего нулевые недиагональные компоненты. Очевидно,
= g]ivaV‘ Всегда подразумевается суммирование по повторяю-
щимся верхнему и нижнему индексам. Разумеется, х^ = (/; х)
и рн = (£; р).
Скалярное произведение двух 4-векторов определяется фор-
мулой
= aQbQ — а1^1 — а2Ь2 — а3Ь3. (2.4)
В приложении В приведены примеры использования релятивист-
ской кинематики.
При написании лагранжианов часто используют символы
частных производных. Они определяются следующим образом:
d --L _ А _V) (2.5)
дХр, \ dt дх ' ду ' dz ) v ' 7
^ = ^ = (^0; ;v). (2.6)
дх^
Помня, что символы составлены из производных по (с
верхними индексами), согласно (2.4), получаем
(2.7)
Элементы трехмерного и четырехмерного объемов записываются
в виде d3x = dxdydz = dxxdx2dx3 и d4x = d3xdt = d3xdxQ. Обра-
тите внимание на знаки минус, появившиеся в выражении (2.2);
из-за них появляются минусы в правой части (2.4), так как
aiibv = aQb3 — ab. При проведении сложных выкладок всегда
следует внимательно следить за знаками. Но, поскольку мы не
собираемся проводить таких выкладок, следует лишь запомнить,
что (5ца^ = dcP/dt + Va и а^Ь» = а°Ь° — а-b. Так как у вре-
менных компонент знаки не меняются, можно не различать р°
и pQ при обозначении энергии.
dt + V • а.
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи 31
Наконец, иногда мы будем пользоваться оператором
а an = J?_____д1___________=
dt2 дх2 ду2 дг2
= <Э20-72 = <Э%л. (2.8)
2.2. Лагранжианы
В классической механике материальную точку или сплошную
среду можно охарактеризовать лагранжианом. Лагранжиан по
определению равен разности кинетической и потенциальной
энергии 3? = Т — V. Действие в классической механике опреде-
ляется интегралом S= \ SB dt\ для истинного движения оно ми-
** /1
нимально. При минимизации действия получают уравнения Эй-
лера— Лагранжа, которые следуют также из законов Ньютона.
Силы появляются как производные потенциальной энергии по
координатам.
Аналогично в классической электродинамике систему тоже
можно описать с помощью лагранжиана. Остановимся на этом
подробнее, так как, с одной стороны, это довольно хорошо из-
вестно, а с другой стороны, аналогичный способ рассуждений
используется в физике элементарных частиц. Векторы класси-
ческих электрического и магнитного полей обозначим Е и В,
векторный и скалярный потенциалы этих классических полей,
которые также можно рассматривать как классические поля,
обозначим А и V, плотности электрического тока и электриче-
ского заряда обозначим J и р. Используя обозначения разд. 2.1
и учитывая, что dj = д/дх^ векторы полей можно выразить че-
рез потенциалы следующим образом:
= -уу - = ~5< Л° - (2.9)
B = VXA. (2.10)
Можно рассмотреть 4-вектор для потенциалов
= А) = (А°; А), (2.11)
а также 4-вектор тока
/* = (р; J).
Удобно рассмотреть антисимметричный тензор
F hv = — dvA'i (2.12)
32
Глава 2
с компонентами
Fa‘ = d°A‘ -д’А° = -Е’, (2.13)
F11 = д’А1 — д’А1 = —ё’кВк. (2.14)
Заметим, что величины F^v явным образом инвариантны при
преобразовании, когда к Av добавляется dv%, где % — любая
функция, так как F^v изменяется на величину d^dv% — dvd^ = 0
(об этой инвариантности более подробно пойдет речь в следую-
щей главе).
Общепринятый лагранжиан (точнее плотность лагранжиа-
на) для классического электромагнитного поля имеет вид
27=у(£2-В2)-р7 + J-А. (2.15)
Если его записать с использованием тензора F^v, то получим
(2.16)
Последние два слагаемых в правой части (2.15) записаны как
одно (последнее) слагаемое в (2.16). Читатель может легко
убедиться, что первые слагаемые в (2.15) и (2.16) одинаковы.
Уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана (2.15) оказы-
ваются уравнениями Максвелла. Интересующийся читатель мо-
жет обратиться к приложению Е, а также к задачам в конце
главы. Мы здесь не проводим соответствующие выкладки, так
как они отвлекли бы наше внимание на несущественные детали.
Отметим лишь, что физику электромагнитного поля можно сфор-
мулировать с помощью лагранжиана, который выражается че-
рез поля и потенциалы (которые являются классическими по-
лями). Первое слагаемое в выражении (2.16) обозначает член
кинетической энергии, а второе — лагранжиан взаимодействия.
2.3. Лагранжианы в физике элементарных частиц
Стало общепринятым формулировать физику элементарных час-
тиц с помощью лагранжианов. Из лагранжиана, используя пра-
вила квантовой теории поля, в принципе можно вычислить все
необходимые величины.
Вид лагранжиана определяет тип теории. В физике элемен-
тарных частиц лагранжиан выражают через величины, харак-
теризующие элементарные частицы, описываемые теорией. Каж-
дая составная частица должна появляться в теории в виде
связанного состояния, получаемого в результате решения основ-
ных уравнений. В квантовой электродинамике фотон является
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
33
квантом электромагнитного поля и описывается полем вектор-
ного потенциала Л^, а электрон представляется фермионным по-
лем ф. Лагранжиан описывает фундаментальные взаимодей-
ствия, учитываемые в теории. В квантовой электродинамике та-
ким лагранжианом является общепринятый гамильтониан взаи-
модействия вида J-A, который в релятивистских обозначениях,
записывается как /цЛ^1.
Точнее форму теории задает член потенциальной энергии
в лагранжиане. Член кинетической энергии — общий для всех
теорий и учитывает только спины элементарных частиц. Член
потенциальной энергии характеризует силы взаимодействия
между частицами; поэтому мы будем часто называть его «лаг-
ранжианом взаимодействия».
Одна из главных причин того, что в физике элементарных
частиц предпочитают лагранжеву формулировку, состоит в том,
что лагранжиан 2 является единственной функцией, которая
задает динамику частиц, а также в том, что она должна быть
скаляром в любом рассматриваемом пространстве, инвариант-
ным относительно его преобразований, так как инвариантным
является действие S. Требование инвариантности лагранжиа-
на 2 относительно лоренцевых преобразований гарантирует ло-
ренцеву инвариантность всех предсказаний теории.
Поэтому мы будем формулировать теорию элементарных
частиц с помощью лагранжианов. В полной теории поля лагран-
жианы используются постоянно. Для нас же они являются ско-
рее только символами для представления основных взаимодей-
ствий, из которых мы будем получать правила составления со-
ответствующих фейнмановских диаграмм.
2.4. Вещественное скалярное поле
В разд. 2.2 мы указали вид лагранжиана для электромагнит-
ного поля. В приложении Е показано, как из этого лагранжиана
можно получить уравнения Максвелла. В большей части книги
мы будем рассматривать теорию с более простым лагранжиа-
ном, а именно с лагранжианом для скалярного (бесспинового)
поля ф(х). Поле Ф(х) можно считать порожденным «источником»
в том же смысле, как электромагнитное поле порождается за-
ряженными частицами; в электродинамике же поля можно рас-
сматривать самостоятельно без обращения к источникам. Если
попытаться написать лагранжиан для вещественного скалярного
поля ф(х), полностью аналогичный лагранжиану для электро-
магнитного поля, то получим
=^[д^дЦ-т^]. (2.17)
3 г. Кейн
34
Глава 2
Множитель 1/2 пишут по традиции. В приложении Е показано,
что из лагранжиана (2.17) следует, что поле ф удовлетворяет
волновому уравнению
+ т2Ф = 0. (2.18)
Этого и следовало ожидать, так как справедливо соотношение
£2 = р2 + т2 (2.19)
и так как Е = id^ р = — /V, так что £2 — р2 = — d2 + V2 = —5^.
Таким образом, поле любой частицы массы пг должно удовлет-
ворять уравнению —д^ф — т2ф. Первое слагаемое в выраже-
нии (2.17) называют «членом кинетической энергии», так как
оно получается из р2. Второе слагаемое в (2.17) называют «мас-
совым членом», так как оно пропорционально т2. Идентифици-
рование массового члена в лагранжиане важно для физической
интерпретации результатов теории. В выражении (2.17) нет
члена потенциальной энергии, или члена с лагранжианом взаи-
модействия; оно написано для свободного невзаимодействую-
щего поля.
Заметим, что то, что мы называли выше лагранжианом, на
самом деле является плотностью лагранжиана; лагранжиан же
дается интегралом d*x2? (х, /). Так как из контекста всегда
ясно, идет ли речь о лагранжиане или о его плотности, обычно
говорят всегда просто о «лагранжиане».
Чтобы несколько освоиться с формулами и пояснить ряд
моментов, построим поле для одного кванта определенной энер-
гии со и импульса к. Легко проверить, что функция
Ф = A cos (к • г — со/) (2.20)
является решением волнового уравнения (2.19), если со2=£24-т2;
причем А — неопределенная нормировочная константа. Гамиль-
тониан, соответствующий лагранжиану (2.17), имеет вид
Н = ф дЗ?/дф — 3?, а полная энергия поля равна Е = Н d3x.
Поскольку д2>/дф = 'ф [см. (2.17)], имеем
# = y[^2 + (V4>)2 + т2^], (2.21)
так что
Е= \±d^[i2 + W)2 + m2<l>2]. (2.22)
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи 35
Подставляя сюда выражение (2.20) для ф, получаем
Е = у А2 [(со2 + k2) sin2 (к • г — со/) + т2 cos2 (к • г — со/)] d?x =
Л2 = 4(“2+^) + |т2] = уЛ2со2, (2.23)
где интегралы от sin2(k-r— со/) и cos2(k-r — со/) заменены их
средним значением 1/2 и использовано соотношение со2=£2-\-т2.
Так как мы хотим рассмотреть один квант с энергией Е — со, то
из выражения (2.23) следует, что надо положить А = д/2/со (мы
везде полагаем h = 1). Таким образом,
V 2со
В квантовой теории поля надо говорить о рождении и унич-
тожении частиц, поэтому мы записали ф в форме (2.24). Пусть
\rtk) — состояние поля в момент времени t с п частицами, обла-
дающими одним и тем же импульсом к и одной и той же энер-
гией со. Очевидно, оно должно зависеть от времени следующим
образом:
\nk}^eirl^. (2.25)
Для состояния поля с числом частиц на единицу меньше имеем
\nk- (2.26)
так что оператор уничтожения а должен представлять собой
коэффициент при первом слагаемом в выражении (2.24). Таким
образом, при переходе от поля к операторному полю получим
ф=-^[аеЦкт-ш" + aV1"’10'1], (2.27)
V 2со
где — оператор рождения, а а — оператор уничтожения
кванта поля в состоянии, описываемом волновой функцией (2.24).
Мы не будем проводить вычислений с этими операторами.
Но необходимо помнить, что каждое квантовое поле может
рождать или уничтожать частицы. Когда это происходит, сле-
дует учитывать соответствующий множитель, являющийся вол-
новой функцией частицы. При изложении полной математиче-
ской теории мы должны были бы разъяснить процедуру кванто-
вания скалярного поля, аналогичную процедуре квантования
электромагнитного поля, которая приводит к интерпретации фо-
тона как кванта электромагнитного поля. Мы здесь рассуждаем
эвристически и полагаем, что функция ф должна иметь опреде-
ленный вид и ее можно интерпретировать с помощью операто-
з*
36
Глава 2
ров рождения и уничтожения бесспиновых частиц, выступаю-
щих в качестве множителей при соответствующих волновых
функциях.
2.5. Источники и токи в нерелятивистской квантовой теории
Вспомним теперь понятия «источник» и «ток» из обычной кван-
товой теории. Уравнение Шредингера имеет вид
2mi + V24' = 0. (2.28)
Умножим это уравнение на Ж* и сложим результат с комплекс-
но-сопряженным уравнением Шредингера, умноженным на —ЛР.
Тогда, если ввести обозначения
р = рГ |2, (2.29а)
J = - 2^- (4'W - wn> (2.296)
то получаемое уравнение можно записать в виде
4£+VJ = 0. (2.29)
Для свободной частицы так что
Р = |С|2, (2.30)
J=P^; (2.31)
поэтому р следует интерпретировать как плотность вероятности,
a J — как плотность тока вероятности. В нерелятивистской кван-
товой теории величины р и J не особенно полезны, но в реляти-
вистской квантовой теории поля эти величины исключительно
удобны для проведения различных выкладок.
2.6. Комплексные скалярные поля,
сохраняющиеся токи и теорема Нетер
Если рассмотреть систему из двух вещественных скалярных по-
лей и </>2, имеющих одну и ту же массу т, то мы придем
к интересному физическому обобщению. Тогда, согласно (2.17),
для этой системы можно взять лагранжиан
Z = У — rn<)>2] [dn<h^<h — т2ф1]. (2.32)
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
37
Оба поля ф[ и ф2 можно объединить в одно комплексное ска-
лярное поле
^ = -^(^ + iV2), (2.33)
для которого
(2.34)
Тогда лагранжиан (2.32) можно записать в виде
£ = д^*д^_тЦ*ф. (2.35)
Важно помнить, что поля ф, ф[ и ф2 имеют одну и ту же массу
т, так что все они должны описывать одну и ту же физическую
ситуацию. Знаменатель д/2 в выражениях для фиф* обеспечи-
вает их нормировку на единицу, если на единицу нормиро-
ваны ф1 и ф2.
Теперь можно сделать одно важное наблюдение, которое
имеет фундаментальное значение для большей части излагае-
мого в этой книге материала. Ничто не фиксирует конкретные
«направления» полей ф{ и ф2. С тем же успехом можно исходить
из двух других полей ф'{ и ф'2, «повернутых» в определенном
смысле на угол а относительно полей ф[ и ф2 (ос — веществен-
ная константа):
</>' — cos а + Ф2 sin а,
(2.36)
ф2 = — ф{ sin а + ф2 cos а.
(2.37)
Из новых двух вещественных полей </>' и ф2 можно построить
комплексное поле ф' = 1/д/2 (ф\ + ^2) и комплексное поле ф'*,
причем
ф' = (^ cos а + ф2 sin а — 1ф{ sin а + 1ф2 cos а) =
V2
1 / -ia 1 । • -ia, \ — iu±
= "£1 + ге "^27 =е
(2.38)
= eiaf.
(2.39)
Очевидно, вид лагранжиана S? не изменится при переходе
от ф к ф\ так как в него входит только произведение Ф*Ф, по-
этому физическая ситуация инвариантна относительно рассмат-
риваемого преобразования.
Ниже мы увидим, что из этого простого примера можно из-
влечь много поучительного и полезного. Всякий раз, когда фи-
38
Глава 2
зическая система инвариантна относительно какого-то преобра-
зования, можно получить интересные результаты. В частности,
рассмотрим случай, когда «угол» а бесконечно мал. При этом
алгебраические выкладки упрощаются (достаточно рассмотреть
только бесконечно малые преобразования, чтобы вывести общие
результаты, так как любое непрерывное преобразование можно
всегда составить из бесконечно малых). Тогда мы можем на-
писать
</>' — (! — /а) ф = ф — 1аф = ф + 6ф, (2.40)
так что изменение, или вариация дф равна
Ъф = -1аф. (2.41)
Аналогично получаем
Ъф* = 1аф*. (2.42)
Рассмотрим теперь, как изменяется лагранжиан в резуль-
тате указанного преобразования. Мы знаем, что он не изме-
няется, но это нулевое изменение можно представить в очень
поучительном виде. Приведенные ниже выкладки довольно гро-
моздки, но элементарны. Мы используем только зависимость
лагранжиана S? от ф и д^ф. Вообще при любых вариациях 8ф
и дф* имеем
= + Гб ч +
г дф ' L \ дхи 3( дф \
+ слагаемые с заменой ф на ф*. (2.43)
Второе слагаемое в выражении (2.43) можно представить в
виде
[б (дЧ)] =-- —= д» Дф Л - дф , (2.44)
1 v г д (д*ф) “ I д (Л) J I д (дЧ))
где второе слагаемое в правой части в точности сокращается с
частью первого слагаемого, получаемой при действии на про-
изводную лагранжиана. Таким образом, второе слагаемое в
выражении (2.44) можно объединить с первым в выражении
(2.43) для 6<2\ после чего получим
б= б</> I — - 1 +
( дФ д (диф)J
+ слагаемое с заменой </> на </>* +
+ д" 7W)}' (2Л5>
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
39
В нашем случае вариации по </> и </>* или по д^ф и д^ф* полно-
стью независимы, поэтому
Г-п-т1=’<Ш‘.
L д (аМ J
\ = — ,п2Ф* ~ — О,
дФ д (Зцф) Т м
причем последнее равенство получается из (2.18). Таким обра-
зом, первое слагаемое в формуле (2.45) и соответствующее сла-
гаемое с ф* равны нулю. (Это общий результат, так как первое
слагаемое в скобках обращается в нуль в силу уравнений Эйле-
ра— Лагранжа, но мы не требуем от читателя знания этих
уравнений.) Окончательно приходим к результату
I г д(д^ф)
+ слагаемое с заменой ф на </>*j . (2.46)
Отметим, что здесь мы получили общий результат, не связан-
ный с конкретным видом рассматриваемого преобразования.
Вариацию лагранжиана 3? можно записать в виде производной
некоторой величины. Так как мы знаем, что 6S7 = 0, отсюда
следует, что величина в фигурных скобках в выражении (2.46)
ведет себя как сохраняющийся ток, т. е. ее 4-дивергенция равна
нулю.
Прежде чем выписать конкретное выражение для тока, удоб-
но использовать имеющиеся выражения для вариаций Ьф и
8ф* и отбросить в них параметр (параметры) преобразования
а, от которого ток не зависит. Используя (2.41), (2.42) и (2.35),
получаем
6^ = а<3^и, (2.47)
где
Sg = /(W‘-W). (2.48)
причехМ из требования
63 = О
имеем
<3^ = 0. (2.49)
Приведенные ниже замечания помогут читателю понять
важность полученного результата.
40
Глава 2
1. Если поменять местами ф нф*, то величины изменят
знаки. В релятивистской теории поля приходится иметь дело с
парами частиц одинаковой массы и с противоположными элек-
трическими зарядами, т. е. с античастицами, а именно их мы
сейчас и рассматриваем. Если поле ф характеризует частицу с
электрическим зарядом е, то поле ф* характеризует частицу с
электрическим зарядом —е\ тогда величина должна интер-
претироваться как 4-плотность заряда-тока. Уравнение (2.49)
утверждает, что изменение плотности электрического заряда
So(x) в некотором объеме равно плотности тока S(x), вытекаю-
щего из этого объема. Таким образом, электрический заряд ло-
кально сохраняется, и его значения можно использовать для
характеристики элементарных частиц.
2. В приведенном выводе ничто не требует интерпретации,
использующей именно электрический заряд. Как мы увидим
ниже, элементарные частицы обладают несколькими «заряда-
ми», и по крайней мере некоторые из них связаны со своими
сохраняющимися токами.
3. Преобразование, описываемое формулами (2.38) и (2.39),
называется «калибровочным преобразованием первого рода»,
или «глобальным калибровочным преобразованием». Когда па-
раметр а, характеризующий преобразование, является функцией
от х и /, мы получаем «калибровочное преобразование второго
рода», или «локальное калибровочное преобразование». Если бы
мы не были связаны с исторически возникшей терминологией,
то могли бы сказать, что теория инвариантна относительно «гло-
бальных и локальных фазовых преобразований».
4. Обратите внимание на то, что выражение (2.46) очень
общее. Оно представляет собой пример фундаментального
свойства квантовой теории поля, которое состоит в следующем.
Если система инвариантна относительно некоторого преобразо-
вания (преобразований), то для нее существует определенная
сохраняющаяся величина (величины). В случае непрерывных
преобразований это свойство теории поля можно сформулиро-
вать в форме теоремы Нётер: для системы, описываемой лагран-
жианом, любая непрерывная симметрия, оставляющая 'инва-
риантным действие dt, приводит к существованию сохра-
няющегося тока Зц, удовлетворяющего уравнению = 0.
При этом всегда можно определить заряд
Q (/) = d3xS0 (х),
который сохраняется в том смысле, что dQJdt = 0. Заряды, а
которых шла речь выше в первом и втором из перечисленных
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
41
замечаний, являются такими сохраняющимися величинами, ха-
рактеризующими отдельные частицы.
Тот факт, что инвариантность относительно преобразований
приводит к соответствующим законам сохранения, хорошо из-
вестен в классической и квантовой механике; при этом имеем
следующие соотношения:
инвариантность
относительно поворотов
трансляционная
инвариантность
временная трансляционная
инвариантность
сохранение
углового момента,
сохранение
импульса,
сохранение
энергии.
Более подробное обсуждение затронутых вопросов читатель
найдет в приложении Е.
5. Читатели, знакомые с нейтральными каонами, могут пред-
ставить их как физическую реализацию рассмотренной выше
системы двух полей ф[ и ^2. Каоны Ki и К2 описываются поля-
ми $1 и ф2, а каоны Л? и Л° — полями ф и ф*. Зарядом является
«странность», т. е. число странных кварков в каоне. Так как для
каонов сохранение «заряда» нарушается в двойных_слабых рас-
падах, при которых происходит конверсия К К, то имеется
малое расщепление энергетических уровней, т. е. разность масс
каонов К\ и К2.
6. Проведенное здесь рассмотрение является классическим.
Аналогичное рассмотрение можно провести в рамках квантовой
теории и прийти практически к тем же результатам. Учет выс-
ших радиационных квантовых поправок может привести лишь
к тому, что правая часть уравнения (2.49) станет не равной
нулю, хотя классический результат дает нуль. Такие ненулевые
члены называются «аномалиями». Требование, чтобы уравне-
ние сохранения тока не содержало аномалий, может служить
важным соображением при построении конкретной теории поля,
так как аномалии обращаются в нуль, если теория обладает
определенной симметрией; именно так обстоит дело в стандарт-
ной модели. Аномалии являются в настоящее время областью
активных исследований с целью расширить и обобщить стан-
дартную модель, но эти сложные вопросы выходят за рамки
данной книги.
2.7. Взаимодействия
До сих пор мы рассматривали свободные поля и не интересова-
лись их источниками, а также взаимодействиями. Чтобы объ-
яснить читателю, как следует представлять себе поля и частицы.
42
Глава 2
полезно вспомнить некоторые понятия, которые фактически яв-
ляются точкой зрения, впервые сформулированной Юкавой.
Если к лагранжиану (2.17) добавить член, описывающий
взаимодействие, вида
^Int = -</>p(x, /), (2.50)
то в уравнении (2.18) появится дополнительный член:
д^ф + т2ф = р. (2.51)
(Это непосредственно следует из уравнений Эйлера — Лагран-
жа.) По аналогии с классической электродинамикой будем счи-
тать р источником поля ф. Чтобы исследовать поведение систе-
мы, рассмотрим простой случай источника
• P = gb (х),
который помещен в начало координат, не меняется со временем
и имеет силу g. Тогда уравнение (2.51) можно «решить» с по-
мощью преобразования Фурье.
Так как р не зависит от времени, то Ф тоже не зависит от
времени, и из (2.51) получаем уравнение
(-V2 + m2)^> = g6(x). (2.52)
Представим ф(х) в виде интеграла Фурье
^(х) = ^(Л“^(к), (2.53)
(2л) J
причем обратное преобразование Фурье имеет вид
ф (к) =—Лр ( d3xe~ik xi> (х). (2.54)
(2л) J
Подставляя (2.53) в (2.52) (так как V2-*—к2), получим урав-
нение
(2.55)
Разделив правую и левую части на к2 + т2, получим выраже-
ние для ф, которое можно подставить в (2.53). Так получаем
М = '(2л)5' S k2 + m2 ' (2’56)
(Заметим, что если бы источник зависел от времени, то зна-
менатель в (2.56) имел бы вид — k2 + к2 + пг = т — /г2, где
k2 = k^. Ниже мы увидим, что этот знаменатель выступает
как «пропагатор» для процессов, описывающих взаимодействие
путем обмена частицами.)
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
43
Возьмем интеграл. Полагая k x = krcos 0, получаем
г k2dk
J k2 + т2
о
2л 1
J di> J d (cos 0) eikr C05 9 =
0 - 1
2л C dk2
r J k2 + m2
о
sin kr
oo
л C dk2 / t/r ______________-ikr'
Zr J k2 + tn2 '
о
__л j f dk2 ikr
ir j k2 + m2 e
Lo
C pikr
J k2 + m2
о
oo
л C dk2 ikr
ir J k2 + m2
— oo
(2.57)
Этот интеграл можно преобразовать в комплексный контур-
ный интеграл. Замыкая контур в верхней полуплоскости, где
чтобы интеграл по бесконечно большой полуокруж-
ности можно было отбросить, и вычисляя вычет в точке k = tin,
окончательно получаем
R е~тг
4л г
(2.58)
Юкава отождествил поле ф с мезонным полем, для которого
нуклоны являются источниками в точности так же, как электри-
чески заряженные частицы являются источниками электромаг-
нитного поля. И подобно тому как действие электромагнитного
поля передается фотонами, действие мезонного поля должно
передаваться некоторыми частицами («мезонами»). Если части-
ца поля имеет массу т, то согласно формуле (2.58), поле су-
щественно по величине только в области около источника по-
рядка радиуса действия сил г ~ 1/т (в естественных едини-
цах).
Обобщим теперь приведенное рассуждение и посмотрим,
как один нуклон взаимодействует с другим нуклоном, «ощущая»
его мезонное поле. Если второй нуклон описывается функцией
р2(х), гамильтониан взаимодействия двух нуклонов имеет вид
/7 = — (х) р2 (х). (2.59)
Чтобы представить результат в симметричном виде, выразим
Ф(х) через pi(x). Тогда получим соотношение
Ях) = ^Ур,(х') (2.60)
44
Глава 2
из которого получим снова выражение (2.58), если учтем, что
pi (xz) = gd (х'). Таким образом,
1 с ~-т\х-х' I
Hi2 = — j d3xd3x'p} (х) р2 (х7) । х _ xq • (2.61)
Отсюда видно, что потенциал взаимодействия нуклонов имеет
вид
1 р~тг
<2-62>
(Заметим, что сюда входит масса мезона, и мы имеем полную
аналогию с электростатикой, если положим т = 0.) Этот ре-
зультат приводит к общепринятому в современной квантовой
теории поля представлению, согласно которому все взаимодей-
ствия элементарных частиц обусловлены обменом квантами не-
которого поля. Формула (2.61) описывает взаимодействие в
трехмерном пространстве. Обычно используют матричные эле-
менты в импульсном пространстве. Тогда, используя выражение
(2.56) и приведенные после него замечания, можно заключить,
что в общем случае величина в импульсном пространстве, опи-
сывающая обмен частицей массы т, равна
Эта величина называется «пропагатором»; она используется
всегда при вычислении матричных элементов. Полный пропа-
гатор можно разбить на фазовый множитель и числитель,,
зависящий от спина обмениваемой частицы. В большинстве вы-
кладок в данной книге этот числитель можно считать несуще-
ственным, не влияющим существенно на получаемые резуль-
таты.
2.8. Основные лагранжианы
Здесь мы приводим сводку выражений для важнейших лагран-
жианов свободных частиц, которыми мы будем постоянно поль-
зоваться в дальнейшем в этой книге, чтобы удобно было во
всех случаях проверить знаки, множители 1/2 и т. п. Некоторые
приведенные здесь выражения и члены будут объяснены в по-
следующих главах. В основном мы должны обращать внимание
на массовые члены и члены взаимодействия в лагранжианах.
а. Вещественное поле спина 0 и массы т {скалярное или
псевдоскалярное). Лагранжиан имеет вид
% = 4 КМ) (М) - М2]; (2.64)
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи 45
поле ф удовлетворяет уравнению
(д^ + пг2)ф = 0. (2.65)
б. Комплексное скалярное (или псевдоскалярное) поле мас-
сы т (или два вещественных скалярных поля одинаковой мас-
сы). Лагранжиан имеет вид
•^ = у [(^1) G^Vi) — т2<^\ + У [(<W2) (д4) — т2<р2] =
= (W(d^)-m2-/>V, (2.66)
где
<£(*) + 1ф2(х)), (2.67)
причем поле ф(х) удовлетворяет уравнениям
(<?Ч + т2) ф = 04 + т2) </>* = 0. (2.68)
в. Фермионное поле спина 1/2 и массы т. В конце гл. 5 мы
получим лагранжиан
S£ = ф (гуцдц — nri) ф, (2.69)
для которого поле ф удовлетворяет уравнению Дирака
(гуцдц — пг) ф = 0. (2.70)
г. Массивное абелево векторное поле. Если бы существовало
абелево поле подобное электромагнитному полю, но с кван-
тами ненулевой массы, то все формулы разд. 2.3 были бы для
него справедливы; кроме того, в лагранжиан нужно было бы
добавить массовый член
|т2В4. (2.71)
Когда в лагранжиане появляется член в виде В^В^ коэффи-
циент при нем идентифицируют как квадрат массы.
д. Неабелево векторное поле. Для полноты изложения, хотя
соответствующие поля мы не будем явно использовать в этой
книге, следует пояснить, что происходит, когда калибровочное
поле неабелево, как в случае глюонов или И7-частиц. Читатель,
который не встречался ранее с соответствующим математиче-
ским формализмом, поймет использованные здесь и ниже обо-
значения после прочтения гл. 3, 4 и 6. Векторный потенциал Д^
электромагнитного поля можно обобщить и рассмотреть неабе-
лево поле, которое характеризуется некоторым «внутренним
индексом», скажем а. Неабелев 4-векторный потенциал записы-
вается в виде В случае SU (2) -группы а = 1, 2, 3, а в слу-
46
Глава 2
чае 3[/(3)-группы а == 1, 2, 8. Рассмотрим теперь следую-
щие тензоры (построенные для каждого Ц/д):
К" = ~ + SfabcKK< (2-72)
где fabc — структурные константы соответствующей группы (см.
приложение Б); в случае ЗЩ2)-группы fabc = &аьс- Дополни-
тельное слагаемое в выражении (2.72) введено для того, чтобы
получить правильный вид векторных преобразований (во «внут-
реннем» пространстве) при вращениях (см. (4.15)). Так как мы не
будем пользоваться этими результатами, мы не приводим здесь
вывод соответствующих формул с дополнительным слагаемым.
Заметим лишь, что величины W$a калибровочно-инвариантны.
Соответствующий лагранжиан для пеабелева поля имеет
вид, аналогичный виду электромагнитного лагранжиана:
^ = - 1 4- 4 (2.73)
Как всегда подразумевается суммирование по повторяющимся
верхнему и нижнему индексам. Заметим, что так как в выра-
жение (2.72) входит слагаемое, квадратичное по W, лагран-
жиан (2.73) содержит члены с произведениями трех и четырех
W. Такие члены должны появляться в калибровочно-инвариант-
ной и лоренц-инвариантной теории. В этой книге мы не рас-
сматриваем эти слагаемые, но они всегда присутствуют в пол-
ной теории и играют важную роль при строгом рассмотрении.
2.9. Фейнмановские правила
На практике объяснение основных положений стандартной мо-
дели и доказательство того, что она правильно описывает при-
роду, производится с помощью фейнмановских правил состав-
ления вкладов от фейнмановских диаграмм для этой модели.
На уровне изложения, принятом в данной книге, особенно важ-
ны правила Фейнмана для фермион-бозонных взаимодействий.
Теперь мы сделаем выводы из тех основных сведений, кото-
рые были приведены в предыдущих разделах данной главы.
Лагранжиан электромагнитных взаимодействий (см. (2.16))
имеет вид
^int = -/X = Q^Ma) (2.74)
где мы использовали выражение для тока Л1 = ффу'Лр. Здесь
Q — электрический заряд частицы, ф и -ф — конечное и началь-
ное состояния электрона, — множители, делающие величины
Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
47
компонентами 4-вектора. Формула (2.74) со всеми необ-
ходимыми пояснениями будет получена в гл. 5. Предположим
теперь, что мы хотим описать взаимодействие, состоящее в том,
что электрон с импульсом р испускает фотон с импульсом k
и приобретает импульс р'. Заряд электрона Q = — е. Вол-
новые функции начального и конечного состояний электро-
на имеют вид ф = и (р) e~ip'x и гр = й (//) e+ip/'x', а волновая
функция фотона имеет вид = z^eik'x, где — вектор поля-
ризации фотона.
Множитель, который связан с вершиной ееу, дается выра-
жением, совпадающим с выражением для лагранжиана S^nt,
из которого удалены обе внешние волновые функции, т. е. в
рассматриваемом случае равен — еуЛ Правило составления вы-
ражения для матричного элемента квантового перехода для
любого процесса состоит в следующем: 1) написать соответ-
ствующий множитель для любой вершины; 2) написать мно-
житель 1/[Q2— m2] для пропагатора любой внутренней линии
с 4-импульсом Q и массой т\ 3) для внешних волновых функ-
ций ввести следующие множители: и для каждого конечного
фермиона, и для каждого начального фермиона, й для каждого
начального антифермиона, и для каждого конечного антифер-
миона (античастицы подробнее рассматриваются в гл. 5; детали
нам сейчас не важны), множитель 1 для каждого скалярного
бозона и множитель для каждого векторного бозона.
Фейнмановские правила для вкладов в матричный элемент
произвольного процесса более сложны, чем только что приве-
денные; они учитывают появление фазовых множителей (±1,
±i), спиновых множителей для пропагаторов, правило знаков
для фермионных петель и т. д. Тем не менее достаточно удов-
летворительное полуколичественное объяснение полной теории
стандартной модели можно дать с помощью сформулированных
здесь основных фейнмановских правил, которыми мы будем
пользоваться в этой книге. С их помощью можно вычислять
матричные элементы для квантовых переходов с точностью до
фазовых множителей в борцовском приближении, широко ис-
пользуемом в квантовой теории поля, т. е. можно рассчитывать
величины М & <f|V|Z>, в которых потенциал V играет роль га-
мильтониана взаимодействия.
В гл. 9 мы покажем, как по известным матричным элементам
вычислять значения таких непосредственно наблюдаемых вели-
чин, как энергетическая ширина распада или сечение процесса
рассеяния. В следующей главе мы приступим к систематическо-
му изложению основных физических положений стандартной
модели.
48
Глава 2
Задача
2.1. Даны шредингеровский ток Jca = l/2r/n (u*Vua — uaV^)
и плотность вероятности перехода Pca = w*ua, где ис и ^ — за-
данные волновые функции, а) Напишите выражение для 4-векто-
ра тока J». б) Убедитесь, что d^Jц = 0. Состояния иа и ис могут
быть различными.
Рекомендации для дальнейшей работы
В обзорной статье [30] дано стандартное изложение теории
пространственно-временной инвариантности лагранжианов. Кни-
га Вентцеля [80], посвященная квантовой теории поля, хотя она
одна из самых старых, начинается на не очень трудном уровне
и дает довольно ясное и доступное изложение большей части
теории лагранжианов, затронутой в этой главе. Книга Де Вита
и Смита [13] дает исчерпывающее современное изложение этих
вопросов. Содержание гл. IC в книге Готтфрида и Вайскопфа
[26] соответствует теме данной главы.
Глава 3
Калибровочная инвариантность
Откуда берутся различные лагранжианы и гамильтонианы? От-
куда мы знаем, что взаимодействие определенного вида дей-
ствительно описывает реальную физическую систему? Почему
электромагнитное взаимодействие связано с безмассовой части-
цей спина 1 (фотоном), которой обмениваются друг с другом
электрически заряженные частицы? В рамках калибровочной
теории на все эти вопросы мы получаем определенные ответы.
Если известно, что существуют определенные формы вещества,
которые должны взаимодействовать друг с другом способом,
предписанным квантовой теорией поля, то этого вполне доста-
точно, чтобы вывести конкретный вид взаимодействия частиц,
т. е. построить соответствующие лагранжиан и гамильтониан
взаимодействия. Здесь мы существенно отходим от историче-
ской традиции, долгое время господствовавшей в квантовой тео-
рии поля, когда заранее давалась форма взаимодействия, ко-
торая была угадана некими умными физиками. Теории, в кото-
рых форма взаимодействия не постулируется, а выводится (как
результат инвариантности относительно группы определенных
локальных преобразований), называются «калибровочными».
Мы рассмотрим сначала калибровочные преобразования в
классической физике. Затем обсудим такие преобразования в
квантовой теории, существенные черты которой мы уже оха-
рактеризовали выше. Затем мы рассмотрим абелевы квантовые
теории поля. Наконец, в заключение этой главы мы расскажем
читателю о тех теориях поля, которые правильно объясняют
окружающий нас реальный мир,— о неабелевых калибровочных
теориях поля.
3.1. Калибровочная инвариантность
в классической электродинамике
В классической электродинамике электрическое и магнитное
поля выражаются через векторный А и скалярный V потенциа-
лы следующим образом:
B = VXA, E = -VV-^-. (3.1)
4 Г. Кейн
50
Глава 3
Если теперь совершить преобразования
A->A' = A + Vx, (3.2>
V -> V' = V - , (3.3)
где % — дифференцируемая должным образом, но в остальном
произвольная функция, то формулы (3.1) не изменят своего
вида. Потенциалы А и И удобно объединить в 4-вектор
= А); (3.4)
тогда формулы преобразования (3.2) и (3.3) примут следующий
простой вид:
Д^_>Ди' = Ди-(/х. (3.5)
Единое обозначение /1^ не только удобно, но и показывает, что
рассматриваемые преобразования потенциалов проводятся одно-
временно. Преобразования (3.2), (3.3) или (3.5) называются
калибровочными преобразованиями. Хотя существование ка-
либровочной инвариантности в классической электродинамике
известно давно, она вплоть до 60-х годов воспринималась по-
жалуй лишь как любопытный курьез. Классическую электроди-
намику редко рассматривали как калибровочную теорию.
3.2. Калибровочная инвариантность в квантовой теории
Калибровочная инвариантность в квантовой теории проявляет-
ся совершенно иначе, чем в классической электродинамике; она
привела к установлению весьма плодотворной современной точ-
ки зрения. Поскольку все наблюдаемые в квантовой теории опре-
деляются не волновой функцией Т, а квадратом ее модуля
|ХТ|2, мы можем потребовать, чтобы математический форма-
лизм теории был инвариантен относительно следующего пре-
образования:
= (3.6)
где а — некоторое постоянное число. Преобразование (3.6) на-
зывают глобальным калибровочным преобразованием, так как
функция W (х, t) преобразуется одинаково во всех точках х и t.
Другими словами, (3.6) означает, что фазу волновой функции Т
всегда можно выбрать произвольно. Возможно также произ-
вольно и по-разному выбирать фазы функции W в разных точ-
ках х, t пространства-времени, не вызывая нарушений в теории.
Всегда можно фиксировать условия выбора фаз здесь на Земле
независимо от того, как мы их выбрали, скажем, на Луне. Та-
Калибровочная инвариантность 51
ким образом, квантовая теория должна быть инвариантной от-
носительно более широкого класса преобразований
(х, /) -> ¥' (х, /) = е~^ (х, /), (3.7)
которые называются локальными калибровочными преобразо-
ваниями. Если бы термин «калибровочное преобразование» не
установился исторически, эти преобразования правильнее было
бы называть фазовыми.
Имеется одно важное исключение, когда мы рассматриваем
квантовые интерференционные эффекты; тогда интенсивность
интерференции оказывается чувствительной к разности фаз
двух интерферирующих состояний. Квантовые интерференцион-
ные эффекты недавно прекрасно описал Сакураи [65].
С неожиданной ситуацией мы сталкиваемся, когда хотим
показать, что уравнение Шредингера («теория») инвариантно
относительно преобразований (3.7). Оно оказывается неинва-
риантным! Рассмотрим, например, материальную частицу, опи-
сываемую волновой функцией гР, удовлетворяющей уравнению
Шредингера
- J- v24' (х, 0 = i <х’ ° . (3.8)
Если функция удовлетворяет уравнению (3.8), то функция
4/z, найденная по формуле (3.7), ему не удовлетворяет, если
функция %(х, /) произвольна, так как производные этой функ-
ции вообще говоря не равны нулю.
Для электрически заряженных частиц мы знаем разгадку
этого парадокса. В присутствии электромагнитного поля мы
должны записать уравнение Шредингера в следующем виде:
A.(->-V + eA)’4' = (/^-+el')¥, (3.9)
где е — абсолютная величина электрического заряда электрона.
Тогда легко убедиться, что при следующем одновременном пре-
образовании волновой функции и потенциалов электромагнит-
ного поля:
Ч'(х, /)->Ч/,(х, O = e-W(x, /),
д_>Д' = Л + ±ух, (3.10)
вид уравнения (3.9) не меняется, если делается замена
(Т, А, У)-^(ЧГ, А', V'). (Это ясно даже без подробного распи-
сывания формул. В скобках в правой части (3.9) производная
4*
52
Глава 3
id/dt приводит к дополнительному слагаемому —i2d^/dt, на
слагаемое eV тоже дает дополнительное слагаемое —dyjdir
причем множители е и знаки таковы, что оба указанные слагае-
мые взаимно сокращаются. То же происходит с выражением в.
левой части уравнения (3.9).) Заметим, что в релятивистских
обозначениях
А^' = А^ — — д\.
е *
Только что полученный результат можно интерпретировать со-
вершенно по-новому, сказав, что локальная фазовая инвариант-
ность теории требует, чтобы существовало поле Л^ = (1/;А).
Так как поле, согласно формулам, подобным (2.27), имеет вид
суммы операторов рождения и уничтожения частиц, должна су-
ществовать связанная с этим полем некоторая элементарная
частица. Поскольку поле описывается 4-вектором, эта частица
должна быть векторной, т. е. обладать спином 1. Так как пол-
ностью аналогичные рассуждения можно повторить для любой
заряженной частицы, взаимодействие частицы поля (которую
мы отождествляем с фотоном) одинаково для любой заряжен-
ной частицы, т. е. мы получаем объяснение универсальности
электромагнитного взаимодействия. Фазовая инвариантность
теории поля электрически заряженных частиц требует существо-
вания фотона и электромагнитного взаимодействия в точности
экспериментально наблюдаемого вида. Заметим, однако, что
численное значение заряда е остается в теории неопреде-
ленным.
Как видим, в определенном смысле мы теоретически вывели
как факт существования, так и вид электромагнитного взаимо-
действия. Если частицы имеют электрические заряды и теория
неясно, это конкретный вид калибровочных преобразований,
которые принято называть калибровочными, то должны сущест-
вовать соответствующие поля (называемые калибровочными по-
лями) и соответствующие им частицы со спином 1 (называемые
калибровочными бозонами). Как более подробно разъясняется
ниже, указанные соображения позволяют легко написать соот-
ветствующий лагранжиан взаимодействия. Единственно, что еще
неясно, это конкретный вид калибровочных преобразований,
относительно которых теория должна быть инвариантной. Ниже
мы покажем, что имеются три известных типа калибровочных
преобразований, относительно которых современная теория эле-
ментарных частиц инвариантна, и что существуют три типа со-
ответствующих им частиц, причем неизвестно, почему именно
эти три, а не другие, и не существуют ли еще какие-нибудь не-
открытые типы калибровочных преобразований.
Калибровочная инвариантность 53
Все это можно выразить иначе: мы не имеем возможности
отличить друг от друга эффекты локальных изменений каким-то
образом заранее выбранных фаз и эффекты нового векторного
поля. Возможно это и не удивительно, учитывая наше знание
теории электромагнетизма, в которой локальное временное из-
менение скалярного потенциала V (т. е. d%/dt) можно компен-
сировать соответствующим локальным изменением векторного
потенциала А. Под словом «компенсировать» мы подразумеваем,
что уравнения Максвелла не изменят своего вида. Такого рода
эффект с необходимостью требует, чтобы магнитное и электри-
ческое поля были объединены в единое электромагнитное поле.
3.3. Ковариантные производные
Все приведенные выше формулы можно записать в более удоб-
ном виде, в котором проявляются все их особенности и их легко
обобщить с целью построения калибровочно-инвариантной тео-
рии, которой мы в конечном счете интересуемся.
Рассмотрим операторные величины
3) = — V — /еА, (3.11)
Z>° = -~ieV. (3.12}
С их помощью уравнение Шредингера можно записать в виде
= (3.13)
Осуществим теперь локальное калибровочное преобразование,
т. е. используем формулы (3.10). При этом величина пре-
образуется следующим образом:
— = — i (— V — ZeA — ZVx) =
= _ е-п (- v - ZeA) ¥ = e~^ (- (3.14)
Аналогично
- ig)'^' = ieV + e-‘*4 =
= e-‘x(-/0°T). (3.15)
Упростим обозначения и объединим 3) и ЗУ в 4-вектор:
^ = (^°; $), (3.16)
называемый «ковариантной производной». Формулы (3.14) и
(3.15) показывают, что величины 3)^ преобразуются так же,
54
Глава 3
как сама волновая функция Т, и любое уравнение, записанное
с помощью ковариантных производных, автоматически будет
калибровочно-инвариантным. Поскольку величины 2)^4? ведут
себя как волновые функции, величины ^>ц(®^47) тоже ведут
себя как волновые функции при калибровочных преобразова-
ниях, так что при повторном применении операторов к лю-
бому уравнению оно остается калибровочно-инвариантным.
В рассмотренном выше примере электрически заряженных
частиц и фотонов нам было известно, как изменяются потен-
циалы Л*1, в силу важной исторической роли, которую сыграло
электромагнитное взаимодействие. Но все наши рассуждения
были бы точно такими же, если бы мы рассматривали частицы,
переносящие не электрические заряды, а другие неэлектриче-
ские «заряды». Поэтому мы немного изменим математический
формализм, чтобы сделать его более общим. Предположим, что
мы хотим построить теорию, инвариантную относительно группы
преобразований, при которых состояния элементарных частиц
изменяются следующим образом:
= (3.17)
где U — некоторый оператор. Тогда нам потребуется опреде-
лить ковариантные производные
& = d^-igA^, (3.18)
где —поле сил взаимодействия, которое надо дополнительно
включить в теорию, чтобы она была калибровочно-инвариант-
ной. Но теперь нам не известно, как преобразуются величины
А». Мы потребуем также, чтобы имело место соотношение
= и (р^цг), (3.19)
которое в подробном виде имеет вид
(д’* - igAiL') UW = U (дц - IgA1) Чг.
Последнее соотношение можно разрешить относительно :
- - igA^UW = - (t/4f) + У/д^Ч' - igUA^V =
= — (W) Ч' — igUA^V.
Так как последнее равенство справедливо для произвольной
функции Т, можно отбросить Я7 и умножить справа на оператор
U~x. Тогда получим
#'=- + иА^и~\ (3.20)
Калибровочная инвариантность
55
Мы видим, как должно преобразовываться поле А» при произ-
вольном операторе J7. Читатель может проверить, что, положив
g =—е и U = e~^ в (3.20), мы получим формулу (3.5). Фор-
мула (3.20) очень общая и остается справедливой и в том слу-
чае, когда U—матрица, действующая во внутреннем простран-
стве частицы. Поле /V1 тоже является матрицей, и множители
в последнем слагаемом в правой части (3.20) переставлять
нельзя. Поэтому последний член в (3.20) мы оставили в выпи-
санном виде, хотя UA^U~l = когда не являются матри-
цами во внутреннем пространстве.
Задачи
3.1. Если Лц преобразуются, согласно (3.20), убедитесь, что
при U — е~\ где % — функция от х и /, получается ожидаемый
результат для Аи.
3.2. Рассмотрите калибровочное преобразование ф' =
Л'=ЛЦ — (1/g)^/. Считая, что / удовлетворяет уравнению
3)^3)^ + т2ф = 0, где 3)^ = д^ — igA^, получите уравнение,
которому удовлетворяет ф'.
3.3. Пусть ф' = е*(кт-соОф. а) Удовлетворяет ли ф' уравне-
нию Шредингера для свободной частицы? б) При условии, что
ф удовлетворяет уравнению Шредингера с данными потенциа-
лами А и У, найдите вид потенциалов для функции ф', удовле-
творяющей уравнению Шредингера для заряженной частицы в
присутствии электрического поля, в) Интерпретируйте получен-
ные потенциалы.
3.4. Чтобы учесть электромагнитные взаимодействия скаляр-
ной частицы, производные следует заменить ковариантными
производными <2)v = dv— igA^ в лагранжиане (2.35). Пока-
жите, что если ф является решением получающегося уравне-
ния движения с потенциалами Л^ = (Л°; 0), то ф* будет ре-
шением этого уравнения, в котором произведена замена Л°->-
— Л °.
3.5. Калибровка, в которой Л° = 0 и V-A = 0, называется
кулоновской. Пусть сначала взяли произвольную калибровку,
которая не является кулоновской, а) Покажите, что если
Р t
%(х, t)= \ Л°(х, t')dt', то в новой калибровке Л/о = 0 и ве-
J — оо
личина V-A' является некоторой функцией F(х, /), которая в
общем случае не равна нулю, б) Воспользуйтесь затем преобра-
зованием A"v = (Л"°, А"') и покажите, что потенциалы А"^
удовлетворяют условиям кулоновской калибровки, если новая
56
Глава 3
калибровочная функция имеет вид
(Заметим, что
7 = Г , F(x', t)
Х J 4л | х — х' | '
V2(-|r^|-) = -4n6(x-x'). )
Рекомендации для дальнейшей работы
В книгах Айтчисона и Хея [1] и Мориазу [41] даны вводные
сведения о калибровочной инвариантности. Сакураи [65] дает
краткое, но очень ясное изложение вопросов калибровочной ин-
вариантности в классической электродинамике и в квантовой
механике.
Глава 4
Неабелевы калибровочные теории
4.1. Сильный изоспин и внутреннее пространство
Рассмотрим сильную изоспиновую симметрию. Это симметрия
нуклонов, пионов и других адронов, играющая важную роль в
понимании физики атомных ядер и адронов. Она оказала фун-
даментальное концептуальное влияние на развитие идей, при-
ведших к современным калибровочным теориям, и именно этот
ее аспект представляет для нас наибольший интерес.
Ниже в остальных главах мы покажем, что слабая изоспи-
новая симметрия, которую мы еще подробно обсудим, более
фундаментальна, чем сильная. Везде в остальных главах этой
книги слово «изоспин» означает именно слабый изоспин.
Рассмотрим нейтрон п и протон р. Их массы соответственно
равны
тп = 939,57 МэВ, тр = 938,28 МэВ (4.1)
и различаются примерно на 0,1 %. Никакие другие частицы не
имеют столь близких масс. Из этих частиц состоят все атомные
ядра, и обе эти частицы взаимодействуют с другими частицами
сходным образом. Почему же мы эти две частицы считаем раз-
личными? Конечно, протон имеет электрический заряд, а ней-
трон его не имеет. Но сильные взаимодействия не зависят от
электрического заряда. Эти взаимодействия много сильнее элек-
тромагнитных, так что электрические заряды для них практи-
чески не важны.
Приведенные соображения неизбежно приводят к идее, что
мы должны представлять себе частицы пир как два состояния
одной частицы, называемой нуклоном и обозначаемой N. Тогда
электрический заряд становится просто индексом, необходимым
для того, чтобы различать эти два состояния. При этом полезно
представлять себе внутреннее пространство частицы, называе-
мое «пространством сильного изоспина», в котором нуклонные
состояния имеют разные направления, как показано на рис. 4.1.
Если Af направлено вверх, то это протон. Если N направлено
вниз, то это нейтрон. Что касается других направлений в про-
странстве сильного изоспина, то для них не существует спе-
циальных названий.
Сделаем теперь следующий важный шаг. Предположим, что
теория межнуклонных взаимодействий инвариантна относи-
58
Глава 4
тельно вращений в пространстве сильного изоспина, т. е. будем
считать, что сильное взаимодействие не изменяется при враще-
ниях в этом пространстве. Это правильно в идеализированной
ситуации, но в природе такая инвариантность может быть толь-
ко приближенно правильной, так как электромагнитные силы
нарушают данную симметрию. Но электромагнитное взаимо-
действие составляет примерно 1 % сильного взаимодействия,
Рис.4.1. Пространство сильного пзоспипа.
так что рассматриваемая инвариантность выполняется в хоро-
шем приближении.
Постараемся теперь представить все эти соображения в коли-
чественной форме. Так как нуклон имеет только два состояния,
аналогичные состояниям со спином вверх и со спином вниз, есте-
ственно попытаться представить эти протонное и нейтронное
состояния как состояния некоторого изоспинового дублета, или
SU (2)-дублета:
/ р \
А^= . (4.2)
\ п /
Спросим теперь, нельзя ли и другие состояния адронов клас-
сифицировать как состояния SU(2)-мультиплетов? Оказывается
можно! Пион, например, имеет состояния л112 и л° с массами
т± = 139,57 МэВ и т0 = 134,96 МэВ, и их можно представить
как состояния проекций изоспина 1:
Л1
Л2
л3
(4.3)
причем зарядовые состояния выражаются через состояния (4.3)
следующим образом:
1
72
л° = л3.
(4.4)
Нсабслевы калибровочные теории
59
Связь зарядовых состояний и л° с «декартовыми» состоя-
ниями ль яг, лз аналогична связи сферических гармоник Yim с
декартовыми координатами х, у, г. Как в случае нуклона, раз-
личные состояния пиона практически одинаково взаимодейст-
вуют с другими адронами; небольшое различие масс и сильных
взаимодействий заряженных и нейтральных пионов имеет поря-
док величины, объясняемый учетом электромагнитных взаимо-
действий. Ниже мы рассмотрим IF-бозоны, которые тоже состав-
ляют триплет, но для слабого изоспина.
Если представления о сильном изоспипе и изоспиновых
мультиплетах действительно правильны, они должны помочь и
при описании сильных взаимодействий. Построим лагранжиан
пион-нуклонных взаимодействий самого общего вида. Хотя мат-
ричные элементы в первом неисчезающем порядке теории воз-
мущений для лагранжиана могут оказаться недостаточными
для полного описания экспериментально наблюдаемого ^-взаи-
модействия, тем не менее мы их рассмотрим, так как соответ-
ствующие математические выкладки будут полезны ниже при
рассмотрении взаимодействий U^-бозонов. Обозначим через р*
оператор рождения протона или уничтожения антипротона, че-
рез л+— оператор уничтожения пиона л+ или рождения пиона
л~, через п — оператор уничтожения нейтрона или рождения
антинейтрона и т. д. Тогда получим следующий трехчастичный
сохраняющий суммарное число нуклонов лагранжиан взаимо-
действия самого общего вида:
^int = gpnp*nn+ + gnpn'pn,- + gppP'^pnP + gnnti^nnP. (4.5)
Вообще говоря, он не инвариантен относительно вращений
в изоспиновом пространстве, если только величины g произ-
вольны. Например, для инвариантности лагранжиана (4.5) от-
носительно вращения р *-> п необходимо выполнение соотноше-
ния gpp = ±gnn. Как же построить инвариантный лагранжиан?
Так как л является вектором в изоспиновом пространстве, что-
бы построить из л скаляр (инвариантный при любых враще-
ниях), мы должны иметь другой вектор, построенный из волно-
вых функций нуклона. Из теории обычного спина мы знаем, что
надо образовать вектор N*rNf где — спиновые матрицы
Паули (см. приложение А). Тогда лагранжиан
«Sant = g • л, (4.6)
очевидно, инвариантен относительно вращений в пространстве
сильного изоспина, так как он дается скалярным произведе-
нием двух векторов. Чтобы представить лагранжиан (4.6) в
60
Глава 4
виде (4.5), воспользуемся соотношением
Т • Л — TjJtj Т2ЗТ2 “|“ Т3ЗТ3 —
Лз
тс 1 i ТС2
ТС । IТС 2
л°
д/2 л“
— д/2 л+
— л°
(4.7)
(4.8)
причем при написании последнего равенства использованы со-
отношения (4.4). Таким образом,
= (р+п+)
л°р — д/2 n+n
— д/2 тс~р — тс°п
= р+рл° — д/ 2 р^птс+ — д/ 2 п^ртс — п^птс0. (4.9)
Мы видим, что константы связи^^рп, gnp, gpp, gnn должны со-
ставлять пропорцию 1:1: — 1/д/2 ’ 1/д/2, чтобы взаимодействие
(4.5) действительно было инвариантно относительно вращений
в пространстве сильного изоспина.
Рассуждения, аналогичные приведенным, позволившим по-
строить лагранжиан взаимодействия, инвариантный относи-
тельно вращений во внутреннем пространстве сильного изо-
спина, постоянно используются ниже в этой книге. Для слабых
взаимодействий роль пионов играют UZ-бозоны, которые тоже
имеют изоспин 1.
Мы не будем здесь рассказывать, как концепция сильного
изоспина была подтверждена экспериментами; этот материал
излагается во многих книгах. Основное внимание мы уделим
фундаментальным физическим концепциям, на которых бази-
руется представление о сильном изоспине, так как в физике
элементарных частиц, пожалуй, это наиболее известный пример
внутренней симметрии частиц. Ниже мы увидим, что, как это ни
удивительно, сильный изоспин как пример хорошей симметрии
представляет собой довольно случайное свойство, не связанное
-с фундаментальными свойствами природы.
Неабелевы калибровочные теории 61
4.2. Неабелевы калибровочные теории
Попытаемся теперь соединить идею внутреннего пространства
частицы с идеей фазовой инвариантности. Продолжим рассмот-
рение примера с нуклонами. Протон и нейтрон являются раз-
ными состояниями во внутреннем St/(2)-пространстве нуклона,
т. е. в пространстве сильного изоспина. Очевидно, имеются сле-
дующие фазовые преобразования, описываемые операторами,
действующими в изоспиновом пространстве:
( р' \ , ( Р\
f = elz т/2 , (4.10)
\ п ) \п) 7
где Xi—матрицы Паули, a 8t— тройка произвольных веществен-
ных параметров, которые задают вращение, переводящее р и п
в р' и п'. Напомним, что матричная функция в квантовой меха-
нике определяется своим разложением в степенной ряд и, так
как т?=1, произвольная степень любой матрицы Паули равна
.либо самой этой матрице, либо единичной матрице. Таким
образом, экспоненциальный оператор в (4.10) просто равен не-
которой линейной комбинации матриц Паули (см. приложе-
ние А). Заметим, что здесь необходимо учитывать новое обстоя-
тельство: порядок матричных множителей в произведении играет
существенную роль, так как отдельные вращения не коммути-
руют друг с другом. Формально это выражают коммутационные
соотношения (rt-, т/) = 2i&ijkXk. В случаях, когда важен порядок
выполнения отдельных операций, говорят о неабелевых преоб-
разованиях.
Рассмотрим теперь классификацию частиц с помощью пред-
ставлений некоторой воображаемой группы. Потребуем инва-
риантность относительно преобразований этой группы. Если
частицы <21, (22, (2з характеризуются квантовыми числами, соот-
ветствующими Si/(3)-пространству, то можно рассмотреть сле-
дующие фазовые преобразования:
((2i\ /яД
(22 | = efuX/2| а2 I, (4.11)
а'3/ \а3/
тд$ а = (а1, а2, ..., а8)— восемь параметров, задающих вра-
щения в пространстве SU(3), а (i — 1, 2, . . . , 8)—восемь
основных SU(3)-матриц, аналогичных матрицам Паули для про-
странства SU(2) (см. приложение Б). Ниже мы увидим, что
внутреннее пространство кварков является St/(3)-пространст-
вом; соответствующая внутренняя характеристика кварков
62
Глава 4
называется их «цветом»; такое название выбрано потому, что не-
которые его свойства аналогичны свойствам реальных цветов.
В действительности речь идет о совершенно новом физическом
свойстве, которым обладают элементарные частицы и которое
не имеет аналогов в классической физике.
В настоящее время неизвестно никаких теоретических со-
ображений, которые позволили бы сделать заключение о струк-
туре внутреннего пространства элементарной частицы. Мы
покажем ниже, что любое внутреннее пространство, соответ-
ствующее нетривиальным квантовым числам частицы, приводит
к определенному типу взаимодействия этой элементарной ча-
стицы с другими частицами, передаваемому своим набором ка-
либровочных бозонов. Насколько теперь известно, единственный
набор пространств, позволяющий описать все известные в на-
стоящее время эксперименты в физике элементарных частиц,
это цветное 5(7(3)-пространство и электрослабые 5(7(2)- и
(7(1)-пространства. Все три указанные пространства были от-
крыты чисто эмпирически. Ниже мы укажем следствия, выте-
кающие из требований инвариантности относительно преобразо-
ваний в этих трех пространствах. Но пока не известно, почему
именно эти три пространства надо рассматривать в физике эле-
ментарных частиц. Теперь, когда мы ввели основные представ-
ления для хорошо известного примера протонов и нейтронов,
приступим к рассмотрению кварков и лептонов и слабого изо-
спина.
4.3. Неабелевы калибровочные теории для кварков и лептонов
Кварки и лептоны можно классифицировать с помощью пред-
ставлений ф («слабого») изоспипового пространства. Будем
считать, что теория инвариантна относительно преобразова-
ний вида (4.10). Рассуждая так же, как в предыдущей главе
в случае (7(1)-преобразований, потребуем инвариантности от-
носительно локальных преобразований, т. е будем считать, что
параметры е/ и ах- являются функциями пространственно-вре-
менных координат точки 8г(х, Z) и а/(х, t). Это означает, что
можно по-разному определять фазы кварковых и лептонных со-
стояний в каждой точке пространства-времени, никак не связы-
вая фиксирование фаз в разных пространственных точках и в-
различные моменты времени. Теория с неабелевой фазовой ин-
вариантностью называется калибровочной теорией Янга —
Миллса.
Аналогично тому что отмечалось выше, теория одних сво-
бодных кварков и лептонов не может быть инвариантной отно-
сительно неабелевых калибровочных преобразований, так как
Неабелевы калибровочные теории
63
•производные по пространственно-временным переменным в урав-
нении Шредингера (или в соответствующем релятивистском
уравнении Дирака) должны затрагивать параметры вДх, /).
Поэтому здесь также надо ввести ковариантные производные,
при этом можно повторить все рассуждения, приведенные в
разд. 3.2 и 3.3. Но вместо функции %(х, t) в показателе экспо-
ненты в (3.7) имеем выражение е-т, которое нетривиально пре-
образуется при преобразованиях группы St/(2), или выра-
жение е-Х, которое нетривиально преобразуется относительно
группы SU(3). Поля ф описывают состояния лептонов и
кварков.
Чтобы формально определить соответствующие ковариант-
ные производные необходимо в случае группы SU(2) взять
совокупность трех полей, каждое из которых ведет себя как
4-вектор при лоренцевых преобразованиях, чтобы можно было
действительно построить слагаемые, преобразующиеся как про-
изводные д^. Ранее нам требовалось одно поле Лм-; теперь надо
иметь три поля соответствующие трем матрицам тк Таким
образом, рассмотрим следующие ковариантные производные:
= • \¥и, (4.12)
которые непосредственно обобщают производные (3.18), опре-
деленные для абелева случая, на неабелеву группу преобразо-
ваний. Когда надо учитывать оба типа преобразований, к &
(4.12) следует добавить соответствующие слагаемые из (3.18).
Константа связи g2 выступает здесь как произвольный множи-
тель, определяющий величину взаимодействия. Чтобы сделать
теорию инвариантной относительно слабых изоспиновых преоб-
разований, необходимо ввести дополнительные поля W*}. Так
как три данных поля описывают частицы, преобразующиеся как
векторы относительно обычных пространственных преобразова-
ний, они должны характеризовать три частицы со спином 1,
аналогичные фотону. Поскольку в (4.12) входят матрицы т/,
формула (4.12) является матричным равенством для матриц
типа 2X2.
Теперь нужно найти, как поля W*i изменяются при калибро-
вочных преобразованиях, поскольку простых формул, аналогич-
ных (3.5), для этого случая нет. Для этого проведем выкладки,
аналогичные тем, которые ведут от (3.17) к (3.20). Исходное
физическое требование состоит в том, чтобы выполнялось соот-
ношение
(4.13)
64
Глава 4
поскольку само ф преобразуется именно таким образом. Пред-
положим, что поля преобразуются согласно формулам
W?=W4 + 6Wl (4.14)
в которых надо определить величины 6IF/. Как обычно, рас-
сматриваем только инфинитезимальные преобразования, поэто-
му члены, содержащие одновременно 8 и 6W, например 86UZ,
будем отбрасывать, что существенно упрощает выкладки. Тогда
левая часть соотношения (4.13) принимает вид
_ г-£2тХ72) (1 + /8Л//2) =
= 72) (1 + re.T./2) г|г =
= сА|> - ^F^/2 - ig2xfiW^/2 + ix.d* (е/ф)/2 +
+ £2^ХеЛ/Ф/4 =
= (<ЭИ - ig2x.W72 - ig2xfiW72 + ix. (<3%)/2 +
+ g2riW^e,jxj/4') г|> + гт;.с. (<Ap)/2,
где опущены члены более высокого порядка вида &6W. Правая
часть соотношения (4.13) принимает вид
(1 + ixfii/2) (<5Ц - zg2T;.U772) ip =
= (д'1 — ig.^^/2 + g2TzeiT/.W’74) + г’тА (^"Ф)/2-
Сравнивая оба последних выражения, видим, что первый, вто-
рой и четвертый члены в правой части сокращаются с соответ-
ствующими членами в левой части, так что окончательно по-
- ig2xfiW^/2 + ixt (д\)/2 + g^W^/4 =
где мы опустили ф, поскольку на ф умножается каждый член.
Последнее соотношение можно разрешить относительно bW1}:
V»»7? = 77 (Л.) + i «Л" [’Л, - V<1-
Заменяя коммутатор на 2/8//т, получаем
т {dW» _ J_ Л. + г г I = о,
Неабелевы калибровочные теории
65
так что окончательно находим
(415)
В дальнейшем в этой книге нам не потребуется результат
(4.15), хотя в полной теории элементарных частиц он и исполь-
зуется. При выводе выражения (4.15) мы преследовали двоя-
кую цель. Во-первых, мы хотели дать читателю представление
о том математическом формализме, который используем в тео-
рии. Во-вторых, мы хотели подчеркнуть, что вовсе не тривиален
тот факт что окончательное выражение для 6W7, вообще суще-
ствует; причем это столь фундаментальный вопрос, что читателю
полезно самому провести все необходимые подробные вычисле-
ния, показывающие, что неабелева теория строго калибровочно-
инвариантна, т. е. что действительно существуют такие преобра-
зования полей ф и 6IF/', при которых величины <2>^фпреобразуют-
ся так же, как сами величины ф.
[Выражение (4.15) легко понять, и для интересующегося
читателя мы дадим необходимые пояснения. Появление первого
слагаемого можно ожидать из вида формул (3.10). Второе сла-
гаемое обычно для классической механики; оно описывает пре-
образования вектора при вращениях. Чтобы немного еще по-
практиковаться с математическим формализмом, посмотрим,
как поле W преобразуется при изоспиновых вращениях. Оче-
видно,
W' = ^-tw, (4.16)
где Т — соответствующий набор матриц вращений для спина 1,
т. е.
(Гг)/^ = -»Чь (4.17)
причем пространственно-временной индекс ц здесь подразуме-
вается. При инфинитезимальном преобразовании
так что
т. е. имеем в точности второе слагаемое выражения (4.15).]
В выражении (4.12) ковариантные производные выписаны
в предположении, что они действуют только в дублетном пред-
ставлении группы SU(2). Они нам как раз и нужны, так как
мы объединяем левые фермионы (определяемые в гл. 5) в такие
дублеты; собственно говоря, это обстоятельство уже подразуме-
5 Г. Кейн
66
Глава 4
вается в обозначении константы связи g2. Однако надо подроб-
нее остановиться на следующих двух возможных обобщениях.
Первое обобщение состоит в том, что мы рассматриваем
внутреннее пространство слабого спина SU(2), поэтому кова-
риантные производные должны действовать на поля гр, взя-
тые в разных представлениях. Так как гр обозначают состояния
слабого изоспина I с 2t + 1 компонентами, Т будет матричным
операторным представлением типа (2Z + 1)Х (2Z + 1) генерато-
ров группы SU(2) в указанном базисе. Таким образом,
= W,. (4.18)
Для спина 1/2 имеем Т = т/2. Обозначение TW используется
в этом случае для суммы TiWt, где i пробегает значения от 1
до 3.
Второе обобщение состоит в том, что мы можем рассматри-
вать другое внутреннее пространство, взаимодействия для ко-
торого инвариантны относительно другой группы преобразова-
ний. В случае SU(n)-инвариантности надо рассмотреть генера-
торы F группы, преобразующие компоненты (/г2—1)-мерного
вектора (при п = 2 имеем 3-вектор, при п = 3 имеем 8-вектор),
удовлетворяющие коммутационным соотношениям [Л, Fj] =
— iCijkFk. Соответствующие ковариантные производные, дейст-
вующие в /г-мерном пространстве состояний гр, имеют вид
^ = d'i-ignF G'1, (4.19)
где — поля п2—1 калибровочных бозонов, которые надо
вводить, чтобы сделать рассматриваемую теорию калибровочно-
инвариантной. Обозначение FG использовано для суммы FaGa,
в которой а пробегает, например, значения от 1 до 8 для группы
SU(3).
Представляется, что в природе существует внутреннее
SU(3) -пространство, которое называется «цветным» (о нем мы
уже упоминали выше), наряду с внутренним изоспиновым
SU(2) -пространством. Генераторами Ft группы SU(3) являются
матрицы X/ (см. приложение Б). Матрицы X/ представляют со-
бой просто обобщения обычных матриц Паули. В обоих случаях
проявления группы SU(n) имеем по п2—1 различных матриц.
Добавляя различные слагаемые к мы получаем кова-
риантные производные 3)^, которые позволяют построить соот-
ветствующие лагранжианы (а из последних получить уравнения
движения), инвариантные одновременно или по отдельности от-
носительно калибровочных преобразований во всех соответ-
ствующих внутренних пространствах частицы. Самое полное
выражение для ковариантных производных, которое известно в
Неабелевы калибровочные теории
67
настоящее время, имеет следующий вид:
Ут 1
& = - ig2 ig^ G*. (4.20)
Скалярные произведения в этом выражении в случае группы
SU(2) являются суммами по Z=l, 2, 3, а в случае группы
SU(3)—суммами по а = 1, 2, 8. Константы связи g\, g2,
g3 — произвольные вещественные числа. Для абелевой £7(1)-
симметрии мы ввели в (4.20) поле, обозначаемое а не элек-
тромагнитное поле так как мы не можем быть заранее уве-
рены, что существующая в природе SU( 1)-инвариантность дей-
ствительно соответствует электромагнетизму. В гл. 7 мы при-
бегнем к специальным физическим рассуждениям, позволяющим
идентифицировать поле с электромагнитным полем Лм-. Сла-
гаемое в выражении (4.20), отвечающее группе (1), выписано
с «генератором» У, чтобы сделать его полностью аналогичным
другим слагаемым; но для £17(1) генератор У есть просто неко-
торое число, которое может быть функцией состояний, на кото-
рые действуют операторы В'еличина У называется гипер-
зарядом.
Здесь полезно заметить, что, поскольку константы gi имеют
определенные фиксированные значения, одинаковые для различ-
ных представлений соответствующих трех групп, их можно
экспериментально определить для всех этих представлений. Ска-
жем, измеряя константу g2 из мюонного распада, получаем ее
значение для взаимодействия кварков. Если константа связи g
для взаимодействия W с одним каким-нибудь фермионом экспе-
риментально измерена, то она будет иметь то же значение для
взаимодействия со всеми другими фермионами и со всеми дру-
гими калибровочными бозонами.
Производные д*1 составляют лоренцев 4-вектор; ими явля-
ются все остальные слагаемые в выражении (4.20). Первые два
слагаемых в (4.20) являются синглетами (кратными единичной
матрице) для пространств S£7(2) и S£7(3). Третье слагаемое в
(4.20) является матрицей типа 2X2 в пространстве SU(2) и
синглетом в двух других пространствах; четвертое слагаемое в
(4.20) является матрицей типа 3X3 в пространстве SU(3) и
синглетом в двух других пространствах. Не возникает никаких
противоречий из-за того, что в разные слагаемые в выражении
(4.20) входят матрицы различной размерности, так как эти
матрицы действуют в разных пространствах.
Выражения (4.20) для ковариантных производных являются
в каком-то смысле самыми фундаментальными в стандартной
модели. Используя эти выражения для построения лагранжиана,
5*
68
Глава 4
приходим к формулировке полной теории стандартной модели.
Последняя явилась кульминацией работы ряда физиков на про-
тяжении нескольких последних десятилетий, которая привела
к пониманию того факта, что фазовая инвариантность квантовой
теории поля должна иметь место также и для преобразований
во внутренних пространствах частицы новых типов и что поля
кварков и лептонов характеризуются индексами, которые свя-
заны с инвариантностями всех трех типов внутренних про-
странств. Фазовая, или калибровочная инвариантность фунда-
ментального лагранжиана обеспечивается уже самим видом про-
изводных как мы убедились в разд. 3.3. Но пока мы еще не
понимаем, почему именно такие пространства характеризуют ча-
стицы, а не какие-либо другие, или почему не существует еще
каких-нибудь других дополнительных внутренних пространств,
кроме указанных трех. Во всяком случае, по аналогии с кали-
бровочной инвариантностью обычной электромагнитной теории
(см. (3.10)) следует заключить, что существуют калибровочные
бозонные поля со спином 1, а именно поля Вц, и Ga (с од-
ной, тремя и восемью компонентами соответственно). Как мы
увидим ниже, все эти поля теперь наблюдались эксперимен-
тально.
Задачи
4.1. а) Считая, что Vм- — вектор с компонентами и?, у? и ^з,
выведите явные выражения для ковариантных производных
= + Vй
в матричной форме, б) Считая, что G£ — восьмимерпый вектор
с компонентами Gj1, G2, ..., Ge, запишите явно в матричном
виде производные & = + A,aGa.
4.2. Предположим, что имеется нейтральная частица 8, ко-
торую считают сильным изоспиновым синглетом. Чтобы это про-
верить, измеряют отношение констант взаимодействий &рр и
гпп. Каково ожидаемое значение этого отношения?
Рекомендации для дальнейшей работы
Айтчисон и Хей [1] и Мориазу [41] дают изложение неабелевых
калибровочных теорий на элементарном уровне. Райдер [61] и
Ченг и Ли [6] проводят более полное изложение.
Неабелева калибровочная инвариантность играет еще одну
важную роль, которой мы не касаемся в этой книге. Она делает
Неабслсвы калибровочные теории 69
стандартную модель перенормируемой теорией, несмотря на то,
что калибровочные бозоны имеют ненулевые массы. Хотя об
этом немного сказано в гл. 7 и 8, данный вопрос слишком мате-
матически сложный и не может обсуждаться на уровне, приня-
том в этой книге. Однако читатель должен нам поверить, что
неабелева калибровочная инвариантность играет решающую
роль как на чисто теоретическом уровне, так и при установлении
феноменологической структуры теории. История исследований
в этой области и важность перенормируемости теории изложены
в обзорах, на которые мы сослались в гл. 1.
Глава 5
Дираковские обозначения теории спина
Основной формой вещества, согласно стандартной модели, яв-
ляются кварки и лептоны, которые представляют собой частицы
со спином 1/2. Чтобы описать взаимодействия этих частиц, не-
обходимо обобщить уравнение Шредингера и его решения, вклю-
чив в рассмотрение спин частиц. Кроме того, желательно по-
строить теорию, которая была бы инвариантна относительно
преобразований Лоренца. Чтобы полностью учесть требования,
накладываемые релятивистской теорией, следует использовать
решения уравнения Дирака. Спин играет фундаментальную роль
при формулировке стандартной модели; в ней по-разному рас-
сматриваются фермионы со спином, параллельным и антипарал-
лельным импульсу фермиона.
В этой главе мы познакомим читателя с простыми и удоб-
ными обозначениями, используемыми для записи решений урав-
нения Дирака. Мы не собираемся проводить каких-либо слож-
ных вычислений с использованием дираковского спинорного фор-
мализма. Хотя фейнмановские правила теории поля формули-
руются с использованием дираковского спинорного формализ-
ма, но, имея готовые фейнмановские правила и выражения для
матричных элементов, можно оценить скорости квантовых пере-
ходов, нс используя спинового формализма. В действительности
мы хотим научить читателя только основным правилам исполь-
зования спиновых обозначений, которые существенно упрощают
выписывание окончательных формул теории и позволяют извле-
кать из них полезные следствия. Ниже мы дадим формальное
обоснование всего того, что нам будет нужно, и проведем все
соответствующие выкладки, не предполагая, что читатель имеет
какие-либо предварительные сведения о предмете. Но мы счи-
таем, что читатель знаком с двухкомпонентной нерелятивист-
ской теорией спина и знает матрицы Паули; краткий обзор тео-
рии этих матриц дан в приложении А.
5.1. Уравнение Дирака
Дирак поставил своей целью составить релятивистское уравне-
ние, описывающее электрон со спином и удовлетворяющее опре-
деленным ограничениям. Чтобы гарантировать сохранение ве-
Дираковские обозначения теории спина 71
роятности, нужно было получить уравнение, линейное относи-
тельно производной по времени, как уравнение Шредингера.
Из требования релятивистской инвариантности следовало, что
уравнение должно быть линейным и по производным по про-
странственным координатам. Поэтому Дирак написал наиболее
общее уравнение искомого вида
z4r==[~/(a‘^r+a2^+“3^) + H11’’ (5Л)
где коэффициенты а, и р следует определять из дополнитель-
ных физических соображений.
Вводя в соотношение Е2 = р2 + т2 квантовомеханические
операторы для Е и р, получаем уравнение
-^-(-V2 + /n2)ip, (5.2)
которому должно удовлетворять каждое состояние ф. Квадри-
руя уравнение (5.1), получаем уравнение такого же вида, как
(5.2); так приходим к условиям, налагаемым на коэффициенты
а/ и р. Напомним, что матрицы Паули сь, описывающие спин,
не коммутируют друг с другом, так что вполне может быть, что
п величины а/ и р тоже не коммутируют, поэтому порядок сле-
дования этих величин важен. Уравнение (5.1) для операторов
имеет вид
/ (cq cLv L а2 дх2 + «з <?*з) + Р/п, (5.3)
где для краткости мы положили dxi = д/дх1. Применяя опера-
тор (5.3) к правой и левой частям уравнения (5.1), получаем
(везде подразумевается суммирование по повторяющимся ин-
дексам)
4г == Г («I дХ1 + а2 дх2 + а3 дх3) — Pm] X
X [—i («1 дх{ -J- а2 дх2 + а3 дх3) + Pm] ip =
— azMb + X (“A + a,az) —dt +
1 dxt2 1 f dx dx^
i > i
+ zm(a;p + Ра;)4т — P2m2i|). (5.4)
dx
Сравнивая уравнения (5.2) и (5.4) и требуя их совпадения,
приходим к условиям сс? = р2 = 1 и
a.a, + = 0 (г #= /), (5.5)
«iP + Р«г — 0. (5.6)
72
Глава 5
Последние соотношения имеют вид антикоммутационных соот-
ношений для матриц Паули; поэтому следует ожидать, что они
могут быть удовлетворены с помощью матриц.
5.2. Безмассовые фермионы
Если теперь рассмотреть безмассовые фермионы, представляю-
щие интерес при формулировке калибровочных теорий, получим
очень простое решение соотношений (5.5) и (5.6). В этом случае
член с р в (5.1) отсутствует, и получаем для матриц а/ условия
+ cc/czz = 26г/. Последние имеют в точности вид антикомму-
тационных соотношений для матриц Паули для частицы со спи-
ном 1/2, так что мы можем положить
аг = — (5.7)
(знак минус вводим по традиции). Таким образом, уравнение
Дирака имеет следующий вид:
z 4F=° р^> (5-8>
и состояние ф должно интерпретироваться как двухкомпонент-
ный спинор.
5.3. Фермионы с ненулевой массой
Можно было бы подумать, что простой выбор матрицы р, на-
пример Р=1, будет приемлем и достаточно добавить член р/и
к безмассовому уравнению (5.8). Но так рассуждать нельзя,
так как, например, соотношение (5.6) показывает, что мат-
рица р не может быть единичной, так что выбор матриц Паули
типа 2X2 для матрицы а/ и единичной матрицы р не дает ре-
шения соотношений (5.5) и (5.6); их вообще нельзя разрешить
с помощью матриц типа 2X2. Методом проб и ошибок можно
показать, что наименьшим типом матриц, с которыми можно
разрешить указанные соотношения, являются матрицы 4X4.
Покажем характерный пример одного такого решения. Положим
/ 0 crz \ / 1 0 \
“ = U, 0/’ Но -1)' <59>
где ст,, 1 и 0 обозначают матрицы типа 2X2, так что, например,
(5.10)
Дираковские обозначения теории спина
73
Такие сокращенные обозначения для матриц типа 4X4 очень
полезны; они позволяют работать фактически только с матри-
цами типа 2X2. Эти обозначения имеют прозрачный физиче-
ский смысл, так как позволяют видеть, как полное релятивист-
ское описание частицы со спином 1/2 достигается с использо-
ванием нерелятивистских матриц Паули. В частности, получаем
/ О
«гР + а
( °
/ ОГ;ОГ; 0 \ / О'.ОТ; 0 \
+ ) + ( п ) = 2б0. (5.12)
X V OTjOTy / \ U CTyOTj- / 1
5.4. у-Матрицы
Приведенный выбор матриц типа 4X4 для решения соотноше-
ний (5.5) и (5.6) не является единственным. Так как мы рас-
сматриваем матрицы 4X4 с 16 элементами каждая, всего име-
ется 16 линейно-независимых матриц и нам подходит любой
набор четырех матриц, удовлетворяющих соотношениям (5.5)
и (5.6). Оказывается, что очень удобный набор дают так назы-
ваемые у-матрицы, определяемые следующим образом:
У1 = Ра(->
Y° = P.
(5.13)
(5.14)
Эти матрицы можно представлять как компоненты матричного
4-вектора
уМ- = (уО; уг). (5.15)
Основное свойство этих матриц состоит в том, что они удовле-
творяют очень простым антикоммутационным соотношениям
yM-yV _|_ yVyH = (5.16)
которые при i = j дают (у‘)2 =—1- Всегда подразумевается, что
латинские индексы i, j пробегают значения от 1 до 3, а грече-
ские индексы ц, v — значения от 0 до 3.
Уравнение Дирака имеет вид
z-^r = (—za-v + P/n)i|>. (5.17)
74
Глава 5
Умножим его слева на |3 и используем соотношения (5.13) и
(5.14); тогда получим
= • V + m)i|), (5.18)
или
= 0* (5.19)
Последнее уравнение можно записать в сокращенном виде
— m) гр = О, (5.20)
где использованы обозначения из гл. 2. Последняя ковариант-
ная запись уравнения Дирака проста и очень удобна.
Поскольку матрицы уи являются матрицами типа 4X4,
можно составить спиновый скаляр, образуя величину гр+у^гр,
имеющую вид
= число. (5.21)
• J
Удобнее рассматривать величины
7 I t 0
ф = ip у
(5.22)
для любого оператора гр и образовать скаляры в спиновом про-
странстве вида гргр, гру^гр и т. д.
Еще одна очень полезная у-матрица имеет вид
у5 = zWyV- (5.23)
Хотя мы и не хотим останавливаться на деталях, но отметим,
что в том же смысле, в каком величины у^ мы называем 4-век-
тором, четверку скаляров в спиновом пространстве гру^гр мы
тоже называем 4-вектором, так как они преобразуются как
обычные 4-векторы, например или в этом легко убедить-
ся, записав уравнение Дирака в двух различных лоренцевых си-
стемах отсчета. Как преобразуются при этом производные
д/дхн, нам известно; отсюда легко заключить, как преобразуют-
ся величины у»-1. Так как по предположению вид уравнения
(5.20) одинаков в обеих системах отсчета, соответствующая
четверка спиновых скаляров образует лоренцев 4-вектор. _
Подобным образом легко убедиться, что величина гргр яв-
ляется лоренцевым скаляром. Немного сложнее показать, что
величина гру5гр тоже является лоренцевым скаляром, хотя она
Дираковские обозначения теории спина 75
изменяет знак при инверсии пространственной системы коорди-
нат (при преобразовании четности); поэтому указанная величи-
на называется не скаляром, а псевдоскаляром. Величина
гру5уигр преобразуется как 4-вектор,_но для нее появляется знак
минус по сравнению с величиной гру^лр при инверсии системы
координат, так что эта величина называется аксиальным векто-
ром. Ниже мы не раз воспользуемся всеми этими замечаниями.
5.5. Токи
Чтобы получить выражение для дираковского тока, будем рас-
суждать в точности так же, как в гл. 2 в отношении уравнения
Шредингера. Уравнение Дирака имеет вид
iV^ + iYfe-#-^ = 0, (5.24)
dt dxK
где й=1, 2, 3 и подразумевается суммирование по повторяю-
щимся индексам k. Эрмитово-сопряженное уравнение Дирака
непосредственно получается из (5.24):
— i у0 — i yfe + — = 0. (5.25)
dt dxR
Исходя из (5.9), (5.13) и (5.14) в результате очевидных, преоб-
разований с использованием эрмитовости матриц Паули, прихо-
дим к соотношениям
yO-t — у0,
yfef = (|3afe)+ = = afe|3 — — |3afe = — yfe, 26)
(y0)2 = y°y° = 1 ?
yV = p(?p(? = — 1.
В последнем соотношении суммирование по k не проводится.
Умножим теперь уравнение (5.25) справа на у0, воспользуемся
тем, что гр = гр у , и затем с помощью антикоммутационного
соотношения (5.16) переставим между собой матрицы yk и у0.
Тогда из уравнения (5.25) получим уравнение
г‘^ГУ° + гТ7^ + ^ = 0> (5.27)
dt dx
ИЛИ
Z (дугр) у^ + тгр = 0. (5.28)
Умножим теперь уравнение (5.24) на гр слева, чтобы полу-
чить скаляр в спиновом пространстве, умножим уравнение
76
Глава 5
(5.28) на ф_справа и сложим оба полученных уравнения. При
этом член тфф сократится, и мы придем к уравнению
+ (<М) Уц'Ф = 0, (5.29)
которое можно представить в следующем простом виде:
ди(фу^ф) = О. (5.30)
Таким образом, как мы и хотели, получаем определение тока
/И = фуНф) (5.31)
который сохраняется, т. е. удовлетворяет уравнению
д^ = 0. (5.32)
Для электрически заряженных фермионов из токов jv- можно
построить электрические токи, умножая jv на заряд отдельного
фермиона; например, для электронов имеем
(5.33)
Вместе с тем для любых заряженных элементарных частиц мы
будем рассматривать токи вида фуНр. Как отмечалось в гл. 2,
множители при вершинах фейнмановских диаграмм, согласно
правилам Фейнмана, фактически являются токами, из которых
удалены внешние волновые функции.
Чтобы получше освоиться с токами и попрактиковаться в
использовании дираковских обозначений, проведем небольшие
выкладки. Рассмотрим свободную частицу с импульсом р^.
Тогда при действии производных на решение уравнения Ди-
рака, взятое в виде плоской волны с импульсом рц, перед ней
появляется множитель —грц, так что уравнение Дирака в слу-
чае плоской волны принимает следующий вид:
(у • р — т) ф = 0, (5.34)
а эрмитово-сопряженное уравнение Дирака (5.28) имеет вид
ф (у • р — т) = 0. (5.35)
Умножая уравнение (5.34) слева па фу*\ а уравнение (5.35)
справа на у^ф и складывая, получаем
фу^у • рф -|- фу • ру^ф = 2тфум'ф. (5.36)
Представляя у-p в виде укр^ и вынося множитель рх, получаем
ф (ум-уА- уА-уп) фрх — 2zmpyK|). (5.37)
Дираковские обозначения теории спина
77
Используя антикоммутационное соотношение (5.16), приходим
окончательно к соотношению
= (5.38)
Из этого соотношения видно, что если величину г|л[э интерпрети-
ровать как плотность вероятности, то величину для сво-
бодной частицы действительно следует считать плотностью тока.
5.6. Решения для свободных частиц
Как мы только что видели, очень многое можно извлечь из
уравнения Дирака, н не отыскивая его решений. Тем не менее
теперь надо немного остановиться на обозначениях и на интер-
претации основных решений уравнения Дирака.
Эти решения выглядят особенно просто, если воспользовать-
ся еще одним представлением у-матриц. Мы переопределим
у-матрицы и положим
следовательно,
(5.39)
(5.40)
Так как у-матрицы мы записываем с
2X2, следует положить
I рр
* = (ч>ь>
помощью матриц типа
(5.41)
где г|)£ и фя — два двухкомпонентных спинора; индексы L и R
мы просто считаем индексами двух спиноров; ниже мы познако-
мимся с их более глубокой интерпретацией.
Учитывая (5.39) — (5.41), уравнение Дирака
(УиРц — т) ф = 0 (5.42)
можно представить в следующем виде:
( ~т + (5.43)
\ рй — <т р — т J\^LJ
Верхняя и нижняя строки (5.43) дают уравнения
— m^R + (ро + о р) = 0,
(р0 — о • р) — m^L = 0.
78
Глава 5
получен-
(5.45)
Сделаем несколько важных замечаний относительно
ных уравнений.
а. Уравнения (5.44) можно представить в виде
б. Решения уравнений (5.45) существуют как для положи-
тельных, так и для отрицательных значений р0, и эти решения
переходят друг в друга при замене гр£ <-> — грЛ.
в. Если пг = 0, то система (5.45) распадается на два неза-
висимых уравнения. Так как величина <у-р, очевидно, пропор-
циональна компоненте спина электрона вдоль направления дви-
жения, гр/? есть большое решение при пр >0 и положительном
Ро; при а-p < 0 и р0 < 0 большим решением является грь Ве-
личина а-р 9 называется «спиральность»; для безмассовых, или
ультрарелятивистских частиц а-р/ро ~ а-p. Теперь мы мо-
жем объяснить смысл обозначений L и R. Индекс L относится
к левому положительному решению, а индекс R — к правому.
Если частица безмассовая или релятивистская, то для левого
решения р0 > 0, гр/? гр£.
г. Если т =# 0, оба уравнения системы (5.45) зависимы. От-
сюда, в частности, следует, что массовый член в лагранжиане
можно интерпретировать как лагранжиан взаимодействия по-
лей грд и гр/?.
Обычно выделяют зависимость от пространственно-времен-
ных переменных особыми множителями, и решения уравнения
Дирака для свободных частиц записывают в виде
гр = ие* (р’х~ро/). (5.46)
При этом спинор и удовлетворяет тем же уравнениям (5.45) в
импульсном пространстве, которые мы только что рассмотрели,
так как мы неявно предположили, что работаем с энергетиче-
скими собственными состояниями. Вообще мы будем обозначать
через гр полное решение, а через и — решение с отделенным про-
странственно-временным множителем. Ниже мы будем рассмат-
ривать только свободные частицы со строго локальными точеч-
ными взаимодействиями, так что зависимость от пространствен-
но-временных координат частицы всегда будет иметь вид пло-
ских волн, которые можно не выписывать.
*) Здесь р обозначает единичный вектор в направлении вектора р. — Прим,
перев.
Дираковские обозначения теории спина 79
Наконец, нормируем рассматриваемые решения. Обычно
принимают
йи = 2т. (5.47)
Здесь особенно важно отметить, что величина йи имеет размер-
ность массы или энергии (в используемых нами естественных
единицах, в которых с= 1). При оценке величины множителей
вида йи или йу^и необходимо использовать значения масс и
энергий соответствующих частиц.
5.7. Частицы и античастицы
Наш способ рассмотрения частиц и античастиц состоит в том,
что мы считаем античастицы обычными частицами. Элементар-
ные частицы встречаются в природе парами: для каждой части-
цы существует своя античастица (которая может совпадать
с частицей), имеющая противоположные заряды (электрический
заряд и др.). Фермионы описываются решениями уравнения Ди-
рака. Поэтому фермионные решения всегда обозначают с по-
мощью ф и и, так что вершины фейнмановских диаграмм со-
провождаются множителями вида фу^ф или йу^и независимо
от того, представляют ли волновые функции фермионы или
антифермионы. Чтобы всегда иметь дело с действительными
числами для матричных элементов квантовых переходов, мы
будем обозначать через и начальные фермионы и конечные
антифермионы, а через й— конечные фермионы и начальные
антифермионы.
Излагая таким образом теорию, мы существенно упрощаем
рассуждения, хотя и несколько теряем в красоте выражений и
не можем иллюстрировать необходимость использования в тео-
рии и частиц, и античастиц. Конечно, в полной теории элемен-
тарных частиц необходимо пользоваться полной вторично кван-
тованной релятивистской теорией поля. Способ изложения фи-
зики элементарных частиц, близкий по духу нашему, но отра-
жающий большое число математических деталей, читатель
найдет в соответствующей главе книги Хелзена. и Мартина
[27]. В частности, в полной теории элементарных частиц реше-
ния с отрицательными энергиями уравнений для свободных час-
тиц успешно интерпретируются как описывающие античастицы
с положительными энергиями. В любой фейнмановской диаг-
рамме для вершины входящую (выходящую) частицу можно
считать выходящей (входящей) античастицей; надо только по-
менять знак перед ее 4-импульсом и всеми ее зарядами (элек-
трическим, цветным, ароматным и т. д.) на противоположный;
это соответствует принятым соглашениям в отношении спино-
ров и и й.
80
Глава 5
5.8. Левые и правые фермионы
Даже для фермионов с ненулевой массой полезно отдельно рас-
сматривать верхние и нижние части их 4-спинорных волновых
функций. Возможность так поступать и способ, каким это осу-
ществляется, играют важную роль в формулировке стандартной
модели. Теперь, как правило, используют приведенное выше спе-
циальное представление у-матриц, в котором матрица у5 имеет
вид (см. (5.40))
с ( 1
№ = (о -1 )• (5-48)
Такое представление матрицы у5 мы будем использовать ниже
в этой книге; представления для других у-матриц нам не потре-
буются.
Рассмотрим два оператора:
1 _ v5 / 0 0 \ J* (5-49) 1 1 5 /1 0 \ = = о)- <5-50>
Они образуют полную систему проекционных операторов, так
как
Pl = Pl, Pr = Pr,
Pl + Pr=1, PlPr = 0-
(5.51)
Для любого фермиона с ненулевой массой, описываемого реше-
нием и уравнения Дирака, можно рассмотреть левую проекцию
его состояния и:
uL = PLu, (5.52)
или в явном виде
<0 0\ Г uR\ / 0 \
tlL V 0 1 J L U-L / \ «L /
(5.53)
Поэтому Ul можно определить как нижнюю компоненту 4-спи-
нора и. Аналогично имеем
и r == Р у (5.54)
или
1 0\ ( Ud\ ( и
Ur =
(5.55)
Дираковские обозначения теории спина 81
Спиральность фермиона с ненулевой массой, очевидно, мо-
жет меняться на обратную при преобразованиях Лоренца. Дей-
ствительно, всегда можно перейти в собственную систему от-
счета фермиона (в которой фермион покоится) и произвести
затем дополнительно соответствующее пространственное враще-
ние. Так что спиральность фермионов с ненулевой массой не
может служить квантовым числом, характеризующим состояния
частицы. Тем не менее в стандартной модели (и в природе)
имеются левые и правые фермионы, причем связь левого и пра-
вого с массой довольно сложная. Чтобы пояснить подробнее, о
чем здесь идет речь, рассмотрим преобразование четности. При
преобразовании четности х->---х, t^-t. Следовательно, очевид-
но, р —>—р. Поскольку угловой момент преобразуется как век-
торное произведение [гХр], разумно положить, что Та-
ким образом, при преобразовании четности в верхнем и нижнем
уравнениях системы (5.44) меняются знаки и решения ф^ и фг
переходят друг в друга. Таким образом, приходим к заключе-
нию, что если бы природа была инвариантна относительно пре-
образования четности, то в ней должны были бы существовать
оба указанные решения. Но природа не инвариантна относитель-
но него; в ней имеются левые нейтрино, но правые нейтрино ни-
когда экспериментально не наблюдались.
Для электронов существуют оба решения, т. е. имеются как
левые, так и правые электроны, но они по-разному взаимодей-
ствуют с нейтрино: левый электрон еь может взаимодействовать
с нейтрино, а правый электрон eR не может. Как видим, природа
выбрала очень хитрый способ, чтобы нарушить инвариантность
относительно преобразования четности. Процедура разбиения
любого фермиона f на левый и правый fR (см. (5.52) и
(5.55))—один из наиболее важных моментов математического
формализма стандартной модели.
5.9. Полезные соотношения
В этом разделе мы приведем ряд соотношений, которые нам по-
надобятся в дальнейшем. Как показано выше, током является
величина фу«иф. Этот ток можно представить в следующем виде:
= ф (PL -I- PR) (PL + PR) ф =
= фР^у^Р^ф + фРдУ^Рдф + фР^уцРдФ + фРrN^P/?Ф- (5.56)
Используя антикоммутационные соотношения для у-матриц,
легко убедиться, что Рьу^ = y^PR и PRyv- = у^Рь. Отсюда за-
ключаем, что первое и четвертое слагаемые в (5.56) обращаются
6 Г. Кейн
82
Глава 5
в нуль. Замечая также, что
"Фй = (^Ф)+Y° = ^+^Y° = (5.57)
(5.58)
из (5.56) получаем важное соотношение
Й^Ф = •ф£уИф£ _|_ (5.59)
из которого непосредственно следует, что спиральность части-
цы сохраняется при любом взаимодействии, характеризуемом
вершиной фу^ф.
В гл. 2 уже отмечалось, что массовый член в лагранжиане
должен иметь вид /пфф. Выражая величину фф через левые и
правые состояния спинора ф, получаем
'Ф'Ф = (Pl + Pr) 1|> = ^PlPl^ + ^PrPr$ = "фйфд + ’Фь'Фл- (5.60)
Таким образом, массовый член переворачивает спиральность
(превращает правые состояния в левые и наоборот).
Сохраняющее четность электромагнитное взаимодействие,
согласно (5.59), имеет составляющие LL и RR, которые высту-
пают на совершенно равных основаниях. Если бы по какой-то
причине во взаимодействии присутствовала бы, например, толь-
ко левая из этих составляющих фьу^фл, то мы имели бы взаимо-
действие
^¥^ = 4^^ + V5)Y^(l — Y5H = 4^и(1 ~ Y5)1!’, <5-61)
которое распадается на две части: одну, преобразующуюся как
нормальный 4-вектор, и другую, преобразующуюся как аксиаль-
ный 4-вектор. Мы имеем так называемое V — Л-взаимодействие,
или левое взаимодействие (левый ток). Если бы взаимодей-
ствие осуществлялось только правой составляющей ф/?уифя, то
наблюдался бы только правый ток !/2фув(1 + У5)'1!9- В силу
(5.57) и соотношений PLyv = y^PR и Рку^ = y^PL взаимодей-
ствие может испытывать только нижняя компонента ф' тока
ф'у^фь Даже если верхняя компонента спинора ф' описывает
физическое состояние, она не может взаимодействовать с состоя-
нием, представленным спинором фд.
5.10. Дираковский лагранжиан
Лагранжиан для фермионов со спином 1/2 важен для нас, так
как он описывает также кварки и лептоны. Как и для других
свободных частиц, надо рассматривать лагранжиан, так как он
Дираковские обозначения теории спина
83
дает уравнения движения. Соответствующий лагранжиан для
фермионов со спином 1/2 имеет вид
S! = ф (Zy^ — tri) ф. (5.62)
Постараемся объяснить, почему берут именно такой вид лаг-
ранжиана. Во-первых, читатели, знакомые с математическим
выводом уравнений Эйлера — Лагранжа, или те, которые по-
знакомились с этим выводом в приложении Е, легко убедятся,
что из (5.62) непосредственно следует уравнение Дирака, так
как лагранжиан S? не зависит от производных д-11ф, а потому
<3<27дф = 0. Во-вторых, может быть, сложнее математически, но
фактически просто найти нерелятивистский предел лагранжиа-
на (5.62). Используя результаты разд. 5.6, легко убедиться, что
доминирующей компонентой тока фу^ф является фу°ф ~ р°, по-
этому лагранжиан 2? в нерелятивистском пределе превращает-
ся просто в кинетическую энергию частицы, как и должно быть
для свободной частицы. В-третьих, оба слагаемых вида фф и
фу^дцф являются единственными инвариантными в отношении
четности лоренцевыми скалярами, которые можно составить;
коэффициенты при них фиксируются требованием правильного
перехода к нерелятивистскому пределу.
Во всяком случае, именно в лагранжиане (5.62) мы сделаем
замену чтобы вывести лагранжиан взаимодействия,
с необходимостью следующий из соображений калибровочной
инвариантности.
Задачи
5.1. Вычислите явно операторы Pl, Pr, PlPr, Pl + Pr-
5.2. Покажите, что для общего решения уравнения Дирака
справедливы соотношения
uLV*uR = tiRyHiL = 0,
если только
йьу^иь 0-
5.3. В качестве практики работы с у-матрицами убедитесь с
помощью непосредственных вычислений в справедливости анти-
коммутационных соотношений
ytxyv _|_ yVytX —
при v = 1 и ,и = 2 и при ц = 2, v = 1.
/ Фя \
5.4. Для общего решения ф = 1 I уравнения Дирака
\ Фл /
6*
84
Глава 5
вычислите величины фф и фу5ф, используя двухкомпонентные спи-
норы и матрицы типа 2X2. Запишите ф/? через ipr (см. (5.45)).
Определите, как ведут себя величины хртр и тру5гр при преобразо-
вании четности (см. обсуждения в конце разд. 5.8 и 5.4).
5.5. В стандартной модели, как будет показано в гл. 7, левые
и правые электроны взаимодействуют с нейтрино по-разному.
Нетрудно представить себе, что они имеют разные массы, так
как, вообще говоря, взаимодействия связаны с массами. Поче-
му мы уверены, что в теории обязательно должно выполняться
равенство масс meL = meRi которое наблюдается в эксперимен-
тах?
Рекомендации для дальнейшей работы
Во многих книгах по теории поля и теории элементарных частиц
обсуждаются основные физические положения теории уравнения
Дирака. Изложение, близкое по духу нашему, читатель найдет
в гл. 5 книги Хелзена и Мартина [27]. Вероятно, самое полное
изложение дает Сакураи [64]. Обычно приступающему к изуче-
нию математического формализма теории уравнения Дирака
трудно следить за знаками, фазовыми множителями и множите-
лями 2. Но для нас все это не составляет проблемы, так как в
нашем методе оценок лишь по порядку величины все такие труд-
ности, естественно, обходятся. Таким образом, хотя мы привет-
ствуем намерение читателя более подробно изучить теорию
уравнения Дирака, ио достаточно хорошее полуколичественное
представление о стандартной модели можно составить, поль-
зуясь сведениями, приведенными в этой главе.
Глава 6
Лагранжиан стандартной модели
Теперь, когда мы знаем 1) обозначения, связанные с уравне-
нием Дирака и позволяющие производить учет спина частицы,
2) требования калибровочной инвариантности, заставляющие
начинать рассмотрение с лагранжиана свободных частиц и под-
ставлять в него соответствующие выражения для ковариант-
ных производных, и 3) концепцию внутренней симметрии, мы,
наконец, готовы к тому, чтобы составить выражение для пол-
ного лагранжиана теории элементарных частиц. Для описания
всех известных в настоящее время элементарных частиц и их
взаимодействий необходимо принять во внимание три внутрен-
ние симметрии. Пока мы не знаем, почему их именно три, а не
больше или меньше, и почему именно эти три симметрии важ-
ны, ио огромным достижением явился уже сам факт их откры-
тия. Все проведенные до настоящего времени эксперименты в
физике элементарных частиц не противоречат тому, что именно
эти три симметрии необходимы и достаточны для описания взаи-
модействий всех известных элементарных частиц. Следствия
проявления этих трех симметрий лучше всего выражать на язы-
ке математической теории групп, поэтому читатель, желающий
получить представление об этом способе описания инвариантно-
стей, должен обратиться к приложению Б, прежде чем продол-
жить чтение.
Представляется, что все известные элементарные частицы
обладают (/(1)-инвариантностью. Она аналогична (7(1)-инва-
риантности, или фазовой инвариантности, описанной в разд. 2.3,
3.2 и 3.3. Это инвариантность, ответственная за электромагнит-
ное взаимодействие. Тем не менее, поскольку эта инвариант-
ность является внутренним свойством частиц, у нас пока нет
оснований отождествлять ее именно с электромагнетизмом. Мы
будем сначала рассматривать просто некоторую (7(1)-инва-
риантность, или фазовую инвариантность, а связь ее с электро-
магнетизмом установим позднее, используя физические сообра-
жения. Поле калибровочных бозонов, существования которых
требует теория (7(1)-инвариантности, обозначим Е№. Индекс ц
появляется потому, что компоненты поля должны пре-
образовываться при вращениях пространства-времени так же,
как производные это гарантирует, что рассматриваемые-
36
Глава 6
бозоны имеют спин 1. Обозначение оставим для поля фото-
нов. Связь А^ с обсуждается в разд. 7.3.
Представляется, что все элементарные частицы в природе
обладают второй независимой инвариантностью — относитель-
но преобразований группы 5(7(2), называемой электромагнит-
ной 5(7(2)-инвариантностью. Эти преобразования приводят к
неабелевой калибровочной (фазовой) инвариантности, анало-
гичной сильной изоспииовой инвариантности, рассмотренной в
разд. 4.1. Поля соответствующих (калибровочных) бозонов, су-
ществование которых необходимо для обеспечения рассматри-
ваемой инвариантности теории, обозначим W". Индекс ц снова
необходим, так как поля при вращениях пространства-вре-
мени должны преобразовываться как производные ди, так что
бозоны W имеют спин 1. Для каждого из трех генераторов пре-
образований группы 5(7(2) существует по одному бозону, по-
этому *=1, 2, 3. Аналогично разд. 4.1 последние называются
преобразованиями «слабого изоспина». Когда мы используем
индексы (, /, k и /, мы их относим к слабым изоспиновым пре-
образованиям, причем каждый из них пробегает значения 1, 2,
3. Так же как пионы, рассмотренные в гл. 4, физические lF-час-
тицы имеют определенные электрические заряды, причем
W+ = 7=г (- г1 + IW2),
д/2
W~ -iW2l
л/2
WQ = W3.
(6.1)
(Заметим, что сейчас мы различаем (7(1)-заряд, 5£/(2)-заряд,
электрический заряд и 5(7(3)-заряд, который мы вскоре введем.
Природа наделила каждую элементарную частицу набором «за-
рядовых» индексов, который полностью характеризует ее «внут-
ренние» (не связанные с пространством-временем) свойства.)
Все элементарные частицы, по-видимому, обладают также
третьей внутренней инвариантностью — относительно преобра-
зований, образующих группу 5(7(3), ведущих к еще одной до-
полнительной независимой неабелевой инвариантности. Поля
соответствующих калибровочных бозонов обозначают Ga, где
индекс а пробегает значения 1, 2, . .., 8, так как для каждого
из восьми генераторов группы 5(7(3) имеется один бозон со
спином 1. Эти бозоны называют глюонами, а теорию взаимо-
действий элементарных частиц посредством обменов глюонами
называют квантовой хромодинамикой (КХД). Внутренний за-
ряд, который несет каждая частица, показывающий, как эта
Лагранжиан стандартной модели 87’
частица взаимодействует с глюонами, называется цветным за-
рядом, или зарядом КХД. Соответствующие силы взаимодей-
ствия называют цветными. Конечно, эти заряды и силы не имеют
никакого отношения к обычному цвету, но приведенные терми-
ны теперь широко используются, так как некоторые свойства'
цветных взаимодействий действительно аналогичны свойствам
обычного цвета. Так, все обычные частицы, подобные протону
или нейтрону, построены из троек частиц (кварков), каждая из
которых имеет свой цветной заряд, но эти заряды в обычных
частицах объединяются таким образом, что, например, протон
или нейтрон в целом не имеет цветного заряда. Все это напо-
минает свойства обычного белого цвета, составленного из трех
первичных цветов.
Ниже мы еще встретимся с другими примерами, в которых
понятия и представления, заимствованные из нашей повседнев-
ной жизни (такие как цвет), используются в совсем другом (но
абсолютно точном) смысле в физике элементарных частиц. По-
мере того как изучаемая нами часть природы все более удаляет-:
ся от сферы нашего повседневного опыта, мы сталкиваемся со
все большим числом физических явлений, не имеющих обычных
аналогов. Всем этим явлениям надо давать названия, чтобы
можно было о них говорить. Чтобы сделать эти отдаленные от-
пас явления более близкими нам, часто им дают самые обыч-
ные имена, напоминающие нам о том или ином свойстве (цвет,,
очарование, аромат, асимптотическая свобода и т. д.).
6.1. Обозначения кварковых и лептонных состояний
Полный лагранжиан теории стандартной модели в нашем под-
ходе получается из лагранжиана свободных частиц, если за-
менить в нем обычные частные производные соответствую-
щими ковариантными производными В полный лагранжиан
теории надо также включить слагаемое ^калибр, описывающее
кинетическую энергию калибровочных полей. Новые взаимо-
действия элементарных частиц обусловлены членами лагран-
жиана, порождаемыми ковариантными производными, вводи-
мыми в члены кинетических энергий для кварков и лептонов;
эти фермионные члены лагранжиана-обозначим «£%epM.
Чтобы этот лагранжиан записать в компактной, легко читае-
мой форме, надо ввести подходящие обозначения. Эти обозна-
чения должны содержать информацию о том, как поля частиц
преобразуются при преобразованиях трех описанных выше
внутренних симметрий, а также о пространственно-временных
свойствах элементарных частиц. Такие полные обозначения
очень громоздки.
88
Глава 6
Способ, каким элементарные частицы преобразуются при
слабых изоспиновых SU(2) -преобразованиях, понятен, так как
он аналогичен способу, которым преобразуется обычный спин
при преобразованиях (другой) SU(2)-группы. Частицы с нуле-
вым спином являются синглетами, частицы со спином 1/2 —дуб-
летами типа частицы со спином I—триплетами с J? =
= 1, 0, —1. Для электрослабой изоспиновой группы SU(2) мы
рассмотрели уже один триплет — частицы W'. Состояния
с электрическими зарядами 1, 0, —1 соответствуют спиновым
состояниям с Jz = 1, 0, —1. Иногда полезно объединять тройку
частиц U7 в вектор W в «электрослабом» пространстве. Выше
мы рассмотрели два примера сильных изоспиновых внутренних
пространств 5/7(2)—дублет протона и нейтрона и триплет
пионов.
Вопрос о том, как экспериментально наблюдаемые состояния
частиц преобразуются в электрослабом 5/7(2)-пространстве, до
сих пор решался чисто эмпирически. Возможно, в будущем по-
явится теория, которая сможет решить этот вопрос теоретиче-
ски, но в настоящее время такой теории пет и приходится при-
бегать к результатам экспериментальных исследований. Извест-
ные в настоящее время кварки и лептоны наблюдались либо в
виде SU(2) -электрослабых синглетов, либо в виде компонент
5(7 (2)-электрослабых дублетов. Ниже мы расскажем, как раз-
личать обе указанные возможности экспериментально.
Вопрос об объединении частиц в электрослабые 5/7(2)-со-
стояния не тривиален. Рассмотрим электрон; он описывается
полем Разобьем это поле на левую и правую компоненты,
как мы уже это делали выше, согласно формулам
eR = е1 = (6-2)
где Pr и Pl — операторы проецирования, которые определены
в гл. 5. Подобное разбиение на левое и правое состояния следует
производить для каждого фермионного поля. При этом электри-
ческий заряд указывается в виде верхнего индекса при символе
частицы (поля).
Удивительным образом левые и правые состояния преобра-
зуются по-разиому относительно преобразований слабой изо-
спиновой 5(7(2)-группы. Правые электроны являются электро-
слабыми синглетами, а левые — компонентами электрослабых
дублетов, другими компонентами которых оказываются левые
нейтрино (правых нейтрино не существует). Таким образом,
е~ — слабый 5(7 (2)-синглет; (6.3)
Лагранжиан стандартной модели
89
кроме того, имеем поле
M'L (6.4)
являющееся слабым 5/7(2)-дублетом. Когда частица L нахо-
дится в состоянии с направлением изоспина «вверх» в электро-
слабом 5/7(2)-пространстве, она является нейтрино v6l; когда
эта частица L находится в состоянии с направлением изоспина
«вниз» в этом электрослабом 5/7(2)-пространстве, она пред-
ставляет собой левый электрон е^. При вращениях в электро-
слабом изоспиновом 5/7(2 ^пространстве совершаются превра-
щения аналогично вращения в обычном спиновом
пространстве превращают состояния со спином «вверх» в со-
стояния со спином «вниз». Таким же образом вращения в силь-
ном изоспиновом пространстве «перепутывают» нейтрон и
протон. В спиновом пространстве рассматриваются особые повы-
шающий и понижающий операторы углового момента, преобра-
зующиеся как комбинации компонент вектора; эти операторы
переводят друг в друга состояния со спинами «вверх» и «вниз».
Аналогично в сильном изоспиновом пространстве пионы связы-
вают нейтроны и протоны, а в электрослабом пространстве, как
мы увидим, Ц7-бозопы связывают друг с другом компоненты
электрослабых дублетов veL и е~. Поскольку поле является
синглетом, оно не переходит ни в какие другие поля при элек-
трослабых преобразованиях аналогично тому, что спин 0 соот-
ветствует только одному спиновому состоянию. Мы пользуемся
здесь традиционными обозначениями, но они могут повести к
путанице. Нижний индекс L у поля означает «левый», a L в ле-
вой части в (6.4) означает «лептон» (дублет).
Когда нужен индекс для обозначения компонент поля L, мы
пользуемся обозначениями р, q и г, причем каждый из этих
индексов принимает значения 1 или 2; так что Lp обозначает
Ll = VeL И L2 = eL-
Верхний и нижний кварки ведут себя аналогично. Рассмот-
рим поле
( иа V
Ql« = L Г (6.5)
\ аа / L
Из левых кварков мы составляем электрослабые 5/7(2)-дубле-
ты. Правые кварки надо считать синглетами
^7?а> (6*6)
Дополнительный индекс сс нужен для того, чтобы указать, как
кварки преобразуются в цветном 5/7(3)-пространстве. Подобно-
’90
Глсва 6
тому как фундаментальное представление SU(2)-группы яв-
ляется дублетом с двумя компонентами, фундаментальное пред-
ставление St/(3)-группы является триплетом, имеющим три
компоненты. Для обозначения цветных компонент используют
индексы а, р и у, принимающие значения 1, 2, 3. Иногда ради
простоты мы будем обозначать цветные индексы а, р, у симво-
лами г, gy b. Если обозначить стрелкой f кварк определенного
цвета, имеющий спин, направленный «вверх» в слабом изоспи-
новохМ St/(2)-пространстве, то комбинация состояний типа
(соответствующим образом симметризованная) будет бесцвет-
ной (если она будет спиновым синглетом). Поэтому говорят
о цвете (например г) и антицвете (например /") и о бесцветном
синглете (rr + gg + bb). Все лептоны являются бесцветными
синглетами, поэтому поля лептонов мы не снабжаем цветными
индексами. Все кварки являются цветными триплетами.
Глюоны представляют собой объекты, которые индуцируют
превращения кварков одного цвета в кварки других цветов.
Пространственно-временные свойства глюонов такие же, как у
фотонов, но в отличие от фотонов глюоны несут цветные заряды,
которые могут изменяться. Электрически заряженные частицы
могут изменять свой импульс при поглощении или испускании
фотона, но они не могут изменять в таком процессе свой элек-
трический заряд. Цветная частица (кварк или глюон) может
изменять как импульс, так и цветной заряд при поглощении или
испускании глюона.
Так как глюоны могут связывать любой цветной заряд г, g
или b с любым другим цветным зарядом, по-видимому, должно
существовать 3X3 = 9 глюонов. Но комбинация rf + gg + bb
инвариантна относительно вращений в цветном пространстве
(является бесцветной); поэтому существует не 9, а 8 независи-
мых различных цветных зарядовых состояний глюона; обычно
говорят, что имеется восемь глюонов.
В заключение этого раздела сделаем несколько замечаний.
Мы совсем не говорили о правых нейтрино, когда рассматри-
вали лептоны; но мы говорили о правых кварках uR и cIr. В на-
стоящее время эксперименты в физике элементарных частиц
подтверждают такое различие лептонов и кварков. Как мы
увидим ниже, это различие кварков и лептонов может быть свя-
зано с тем обстоятельством, что нейтрино имеют либо нулевую
массу, либо массу, которую можно считать равной нулю, а дру-
гие фермионы, в частности кварки, очевидно, массивны. Если
правые нейтрино все же существуют в природе, они либо очень
тяжелые, либо столь слабо взаимодействуют с остальными части-
цами, что их нельзя пока создать в реакциях на ускорителях или
детектировать в космических лучах.
Лагранжиан стандартной модели
91
Заметим далее, что левые и правые фермионы выступают
как компоненты различных SU(2)-мультиплетов (дублетов и
синглетов). Разумеется, это ведет к нарушению сохранения чет-
ности, так как теория оказывается не инвариантной относитель-
но обращения направления проекции спина на направление
движения частицы. Как мы увидим ниже, экспериментально
наблюдаемое нарушение четности при слабых взаимодействиях
объясняется именно указанным обстоятельством. Таким образом,
стандартная модель прекрасно описывает несохранение четно-
сти, наблюдаемое в природе, но не объясняет ее какими-либо
фундаментальными причинами. Успехи стандартной модели зна-
чительны, так как электрослабая теория естественным образом,
включает в себя несохранение четности, но, разумеется, жела-
тельно достичь в будущем более глубокого уровня пони-
мания.
Заметим, наконец, что мы рассмотрели пока только одно
семейство фермионов (ve, е, и, d). Удивительно, но, как пред-
ставляется, природа просто повторяет себя в двух других семей-
ствах (Vjx, р, с, s) и (vT, т, /, Ь). Все рассмотрения, проведенные
в следующем разделе и относящиеся к первому семейству эле-
ментарных частиц, по-видимому, справедливы и для двух
остальных семейств. Единственное изменение теории для вто-
рого и третьего семейств связано с учетом изменений значений
масс частиц, входящих в кинематические соотношения и мно-
жители фазового пространства в выражениях для сечений эле-
ментарных процессов. Удивительно также,, что окружающая нас
Вселенная, насколько нам известно, построена исключительно
из элементарных частиц первого семейства. Все более тяжелые
элементарные частицы остальных двух семейств рождаются в
ускорителях или наблюдаются в космических лучах, но все эти
частицы короткоживущие (время жизни Ю-6 с) и сразу рас-
падаются на элементарные частицы первого семейства. (Ней-
трино и vT, возможно, безмассовые и стабильные и поэтому
не могут распадаться. Они участвуют в очень слабых взаимо-
действиях и их очень трудно детектировать; возможно, они при-
водят к заметным эффектам только в космологии.) Пока нам
не известны причины того, что в природе имеется именно три
семейства элементарных частиц, квантовые числа которых (за
исключением массы) и взаимодействия идентичны. Мы изло-
жим теорию стандартной модели только в применении к элемен-
тарным частицам первого семейства; но затем немного остано-
вимся на результатах экспериментальной проверки теории
и в отношении элементарных частиц второго и третьего се-
мейств.
92
Глава 6
6.2. Кварковый и лептонный лагранжианы
Математический формализм, развитый в предыдущих разделах,
позволяет использовать все сведения, изложенные в разд. 6.1,
при построении выражения для основного лагранжиана теории.
Для фермионов, очевидно, следует воспользоваться обычным
дираковским лагранжианом кинетической энергии, в котором
следует только произвести замену производных на ковариант-
ные производные
фуидиф —> фу^^ф, (6.7)
причем такой лагранжиан нужно взять для каждого фермиона.
При этом надо произвести суммирование по всем различным
фермионам, описанным в разд. 6.1; для этих фермионов введем
единое обозначение поля:
f = L, eR, Ql, ur, dR. (6.8)
Естественно предположить, что ковариантная производная в
фермионном лагранжиане имеет слагаемые, соответствующие
каждой локальной калибровочной симметрии теории, так что
у- _Л . уа
“ 5,. - ‘S: <v <6-э)
Второе слагаемое соответствует С/(1)-симметрии. Поле
имеет спин 1, и его надо вводить, чтобы обеспечить калибровоч-
ную инвариантность полной теории, см. разд. 3.2 и 3.3. Величина
Y обозначает генератор Щ 1) -преобразований, т. е. в данном
случае просто некоторую константу, имеющую, вообще говоря,
разные значения для разных фермионов. Ниже мы расскажем, как
определить значения этой константы. Форма слагаемых, исполь-
зуемых в выражении для 3)^ определяется требованиями кали-
бровочной инвариантности; но величина каждого из них, харак-
теризуемая своей «константой связи» gi, в стандартной модели
не фиксируется. Значения этих констант измеряют эксперимен-
тально, как об этом будет рассказано ниже.
Аналогичные замечания следует сделать в отношении осталь-
ных двух слагаемых в (6.9), относящихся к симметриям SU(2)
и St/(3). Для каждой из них тоже необходимо ввести свое поле
со спином 1, необходимое для обеспечения соответствующей
калибровочной инвариантности. Это три поля W\y, для группы
St/(2) и восемь полей Gp для группы SU(3) — по одному полю
на каждый генератор группы преобразований. Указанные поля
входят в лагранжиан посредством величин и kaGa. Каждое
слагаемое в основном лагранжиане пропорционально своей кон-
Лагранжиан стандартной модели
93
стайте связи g2 или g3, значения которых следует определить
экспериментально. Как обычно, проводится суммирование по
повторяющимся индексам, например = тЧГц + +
+ r3IF^; индекс а пробегает значения от 1 до 8.
Чтобы составить компактное выражение для полного ла-
гранжиана, следует сделать одно замечание: всякий раз, когда
оператор <2)^ действует на фермионное состояние не своего
матричного типа, результат этого действия по определению ра-
вен нулю. Например, величина VW1 есть матрица типа 2X2 в
SU(2) -пространстве, и при действии на состояния eR, ur, cIr она
дает нуль. Аналогично величина kaGa есть матрица типа 3X3
в цветном пространстве, так что при действии на состояния леп-
тонов (A, eR) эта величина дает нуль, но при действии на квар-
ки получается ненулевой результат. Таким образом, учитывая
выражения (6.8) и (6.9), для полного лагранжиана фермионов
можно составить следующее выражение:
^ферМ= Е (6.10)
f = L, eR,
Ql> uR> dR
Используя этот лагранжиан, математическую структуру кото-
рого мы детально пояснили в предшествующих главах, мы по-
кажем ниже, как вычислять с его помощью величины и харак-
теристики кварковых и лептонных взаимодействий. Все извест-
ные в настоящее время экспериментальные результаты в физике
элементарных частиц, касающиеся кварковых и лептонных
взаимодействий, полностью согласуются с теоретическими пред-
сказаниями, основанными на лагранжиане (6.10).
6.3. Калибровка глобальных симметрий
Полезно посмотреть на St/(2)- и f/( 1)-симметрии немного с
другой точки зрения, причем эта точка зрения ближе соответ-
ствует действительной истории становления основных идей ка-
либровочных теорий. Рассмотрим дираковский лагранжиан ки-
нетической энергии для первого семейства элементарных частиц,
когда v = ve:
S = ieR^dveR + ieL^d^eL + ivL^d^vL. (6.11)
Какие внутренние симметрии описывает этот лагранжиан? Так
как преобразования внутренних пространств должны коммути-
ровать с преобразованиями пространства-времени, eL и vL мож-
но объединить в дублет А, как в выражении (6.4). Правый элек-
трон e'R надо рассматривать отдельно, так как он является
синглетом для рассматриваемой внутренней симметрии. Таким
94
Глава 6
образом, лагранжиан 2 (6.11) инвариантен относительно гло-
бальных преобразований
.Л->е1Ч0/2Л, eR—>eR, (6.12)
являющихся слабыми St/(2)-преобразованиями. Но существует
и другая симметрия лагранжиана (6.11). Все поля можно умно-
жить на постоянные фазовые множители; при этом лагранжиан
2 останется неизменным:
L-^e^L, eR—> e^'eR. (6.13)
Но поля eL и v нельзя преобразовывать по-разному, если мы не
хотим нарушить SU (2) -симметрии. Это проявление глобальной
U (1)-симметрии.
Наконец, мы можем «калибровать» теорию (6.11). Иначе
говоря, сделать ее инвариантной относительно преобразований
локальных внутренних симметрий, включив в рассмотрение по-
тенциалы IFi для группы SU(2) и потенциалы для группы
t/(l) и заменив операторы ковариантными производными
Таким образом мы придем снова к формулам (6.9) и (6.10)„
но более конструктивным путем. В настоящее время предпри-
няты попытки обобщения стандартной модели с использованием
аналогичных соображений путем добавления новых калибровоч-
ных частиц и внутренних симметрий или путем приписывания
частицам определенной симметрии и последующей «калибров-
ки» этой симметрии.
Задача
6.1. Считая, что ковариантная производная действует на
правые лептоны, покажите, что она должна иметь вид
Какой вид имеет эта производная, когда она действует на левые
лептоны?
Глава 7
Электрослабая теория
и квантовая хромодинамика
Лагранжиан (6.10) содержит огромный объем информации.
Желая сопоставить ее с реальным экспериментом, будем изучать
этот лагранжиан по частям. В любой лагранжиан, получаемый
из лагранжиана (6.10), обязательно должны входить сами про-
изводные но чтобы упростить формулы, мы не будем ниже
выписывать соответствующие члены. Иллюстрируя SU(2) -сим-
метрию, можно рассмотреть только лептоны. Поскольку цветные
индексы кварков никак не связаны с /7(1)- и SU(2)-простран-
ствами, кварки при U (1) - и SU(2) -взаимодействиях ведут себя
в точности так же, как лептоны. В заключительной части этой
главы мы тем не менее выпишем явно кварковые члены лагран-
жиана.
7.1. Члены лагранжиана для t/(l )-симметрии
Рассмотрим сначала только члены полного лагранжиана (6.10),
соответствующие [/(1)-симметрии и первому семейству лептонов:
— ^epM(^(l). лептоны) =
= ZiV (igi ^-B^L + (igi Ви) eR. (7.1)
Так как величина Y может принимать различные значения для
разных фермионов, в (7.1) введены две величины У£, Yr.
В Sf/(2)-пространстве L — дублет, а величина giYB^ оказы-
вается просто числом; таким образом,
L^L = vl\^vl +eLy^eL. (7.2)
Тогда
£ферМ(^(1), лептоны) =-у- [KL + eL^eL) +
(7.3)
Прежде чем интерпретировать отдельные члены этого лагран-
жиана, надо предварительно выписать часть лагранжиана
(6.10), соответствующую симметрии St7(2), так как в нее тоже
входят рассматриваемые лептоны первого семейства.
96
Глава 7
7.2. Члены лагранжиана для 5С/(2)-симметрии
Поскольку величина rzlFz является матрицей типа 2X2, един-
ственными ненулевыми членами лагранжиана, содержащими
рассматриваемые лептоны, являются члены
— ^ферм (SU (2). лептоны) = Ыу'1 [г£2-^- L =
= --у-(^ё£)ун
К - iWl
-wl
-л/2
— Д eL
( K-L
k-V2F;vL
- V2 W^eL
~wleL
V2r;
= ~t- V2 WJ - V2 .
(7.4)
Если поля 1Гц представить с помощью зарядовых состояний
то можно использовать те же формулы для сим-
метрии группы SU(2) из гл. 4, что и для пионов. Представление
величины rzlFz в виде матрицы типа 2X2 полностью анало-
гично описанному в разд. 4.1. Семь членов в обеих формулах
(7.3) и (7.4) представляют собой все лептонные слагаемые фер-
мионного лагранжиана. Насколько известно в настоящее время,
сумма лагранжианов (7.3) и (7.4) удовлетворительно описы-
вает все исследованные взаимодействия лептонов (мы не учи-
тываем здесь хиггсовы бозоны, рассматриваемые в гл. 8 и 21).
7.3. Экспериментальное подтверждение теории;
нейтральный ток
Мы построили выражение для полного лагранжиана взаимо-
действия электронов и нейтрино; теперь посмотрим, насколько
конкретный вид лагранжианов (7.3) и (7.4) подтверждается
экспериментом. В гл. 5 уже отмечалось, что электромагнитные
взаимодействия частиц с электрическим зарядом Q описываются
следующим лагранжианом:
^эл.-магн = Q л и [eL^eL + eR y^J. (7.5)
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика 97
В лагранжианы (7.3) и (7.4) входят члены вида (7.5), но надо
установить, правильно ли скомбинированы эти члены в этом
лагранжиане. Но прежде всего нужно посмотреть, нет ли ана-
логичных (7.5) членов типа vlVl для нейтрино, и решить, имеют
ли эти (нейтральные) нейтрино какое-либо отношение к элек-
тромагнитным взаимодействиям. Соответствующие члены в ла-
гранжианах (7.3), (7.4) действительно имеются и имеют сле-
дующий вид:
(- YlB^ - uz°) v£y\L. (7.6)
Поэтому, отбросив случай gi = g2 = 0, который означал бы
просто, что рассматриваемый теоретический подход неприменим,
мы.должны заключить, что электромагнитное поле Аи является
некоторой комбинацией полей и W^> которая должна быть
линейной и ортогональной линейной комбинации (7.6). Поэтому
попробуем положить
(7-7>
Считая, что поля и Wортогональны и нормированы, и
обозначая коэффициент при в (7.6) через Zu:
<7'»)
видим, что поля Лц и Zu тоже ортогональны, а следовательно,
нейтрино не участвует в электромагнитных взаимодействиях.
Поля Лц и Z^ можно нормировать:
и 7^2+
(7.9)
. g№ + g2< .
и Vgi + girI
(7.10)
если поля Wp и нормированы на единицу, то поля (7.9)
и Zp, (7.10) также будут нормированы на единицу.
Убедившись, что члены с нейтрино в основном лагранжиане
(7.3), (7.4) можно представить соответствующим образом,
обратимся к рассмотрению электронных членов
[- -Г J • (7.П)
7 Г. Кейн
98
Глава 7
Разрешая систему уравнений (7.9) и (7.10) относительно и
ТГц, получаем
(7.12)
(7.13)
в __ g2^n + giyLZM.
VZ+Td '
lrzo _ ~ g\YLA\x. + g2Zn
д/вг + йМ
Подставив эти выражения в (7.11), выразим электронные взаи-
модействия через электромагнитное поле Лц (и, следовательно,
также через новое поле Zu).
Выражение (7.11) теперь принимает вид
- { eLy*eL -j-У 2 -L + eRy»eR-----v R= } -
l Vg2 + girL + )
( g^Y2/—go gjYnYr )
- Z„ J eL^eL L 82- + eR^eR —°' R ,h-.= I. (7.14)
Если полученное выражение действительно верно, то слагае-
мое, пропорциональное Лц, должно быть обычным электромаг-
нитным током, как в выражении (7.5). Слагаемое, пропорцио-
нальное Zu, должно интерпретироваться как описывающее не-
которое новое взаимодействие, которое должно наблюдаться в
эксперименте. Сравнивая члены с в выражениях (7.5) и
(7.14), приходим к соотношениям (Q = —е, где е положительно)
Sjg2YL
(7.15)
(7.16)
Таким образом, получаем
(7.17)
— е
ГЛ = 2Уь,
^ + g^L '
gfoYR
^£ + ^1
соотношения
у __ gVgj + girl
L glg2
Заметим, что gx и Yl, входят в теорию только в комбинации
giYi, так что для удобства можно положить Yl = —1, поскольку
всегда можно соответствующим образом переопределить кон-
станту связи gi и включить в нее любое изменение Yl. Полагая
Yl = —1, получаем
е = №,
д/+ £1
(7.18)
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика
99
Мы видим, что рассматриваемую теорию можно интерпретиро-
вать как теорию, учитывающую обычное электромагнитное взаи-
модействие (7.5) для электронов и отсутствие такого взаимо-
действия для нейтрино, а также некоторое дополнительное взаи-
модействие посредством так называемого «нейтрального тока»
7|л, в котором могут участвовать как электроны, так и нейтрино.
Прежде чем начать обсуждение взаимодействия посредством
нейтрального тока мы в связи с формулой (7.18) определим
следующие синус и косинус:
sin 0ю = f1 — , cos 0Ю =......, р' . (7.19)
д/ S2 + S1 уё + si
Из (7.18), (7.19) получим тогда
^=7й7ё-> <7-20)
olll Мэд; CUo мэд;
Как видим, мы выразили константы связи g\ и g<z через из-
вестную константу е (е2/4л » 1/137 в используемых здесь есте-
ственных единицах) и угол 0Ш, называемый «углом электросла-
бого смешивания», который надо измерить экспериментально
или каким-то образом вычислить. Полученные выше результа-
ты, конечно, справедливы для любого значения угла 0W. Ниже
мы рассмотрим способы измерения угла 0Ш; его значение при-
ближенно определяется соотношением sin2 0W « 0,23 и известно
в настоящее время с точностью 5%.
Рассмотрим теперь детальнее новое взаимодействие, полу-
ченное теоретически, в котором могут участвовать как электро-
ны, так и нейтрино и которое переносится полем Z^. Из полного
лагранжиана теории (7.3), (7.4) с использованием выражения
(7.10) и соотношения YR = 2YL для нейтринного члена получаем
выражение
(721)
где в последнем равенстве использовано соотношение (7.19).
Обратим внимание на полезное соотношение
=Г е2 - + е2 -Г2=г____________-_____Г2=—.
v&2 ' [_ cos2 0Ш * sin2 0W J L cos2 0Ш sin2 0Ш J cos 0^ sin 0^
(7.22)
Таким образом, вершине vl—Z следует сопоставить константу
связи £2/2 cos 0W. Ее можно назвать электрослабым «зарядом»,
которым обладают левые нейтрино (так как правых нейтрино в
природе не существует, прилагательное «левый» можно опу-
стить).
7*
100
Глава 7
Рассмотрим теперь взаимодействие электронов с полем Z.
Нет никаких оснований ожидать, что электроны еь и eR будут
взаимодействовать одинаковым образом, так как они по-раз-
ному входят в основные формулы теории. Согласно выражению
(7.14), имеем члены взаимодействия
— z ц < ^ьУ^ь
+ eR^eR
Для выражения в первых квадратных скобках с использова-
нием определений (7.19) получаем
gi/ 1 1\ _
2 V^2 + S1 2 V^2 + Si ' C°s2 Si"2 '
=---0- ; n (— 4 4- sin2 9ц,'I; (7.23)
cos 0OJ sin 0OJ \ 2 v '
(7.25)
для выражения во вторых квадратных скобках имеем
-----------------”e-S'ne“ --(-sin“0J. (7.24)
д/gf + g? cos e-cos 0^ sin 0^
Последние две формулы представлены в таком виде, что обе они
могут быть объединены в одну:
sine'cos-e' (^-QfsinX).
Olli vVo Vjgf
В выражении (7.25) Тз — собственное значение матрицы Тз
(диагональный St)(2)-генератор, аналогичный /г) для любого
фермиона. Формально = т//2 для левого дублета; мы рас-
сматриваем теперь Г, чтобы четче понять значения индексов у
полей, характеризующих частицы. Если фермион f является
синглетом (eR, uR, dR и т. д.), то7’з = 0. Если фермион f является
верхней компонентой дублета (vL, uL и т. д.), то 71= 1/2. Если
фермион f является нижней компонентой дублета (вь, cIl и
т. д.), то Тз = —1/2. Величина Qf обозначает электрический заряд
фермиона (Qe = —1, Qv = 0, Qu = 2/3, Qd = —1/3) в единицах
заряда электрона е. Таким образом, выражение (7.25) харак-
теризует «электрослабый заряд» любого фермиона, т. е. его кон-
станту связи с частицей Z. С помощью формул (7.20) и (7.21)
легко проверить, что выражение (7.25) применимо также и к
нейтрино. Хотя мы явно не рассматривали здесь кварков, но
формулы этого раздела полностью справедливы и для них: надо
только заменить на uL. eL на dL и eR на dR. Учитывая допол-
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика
101
нительно кварк uR (не имеющий аналога в виде нейтрино V/?),
необходимо добавить в лагранжиан (7.3), (7.4) еще одно сла-
гаемое, имеющее в точности вид слагаемого для кварка dR. По-
этому рассматривать специально электрослабое взаимодействие
кварков нет необходимости; для них мы получим снова фор-
мулу (7.25).
Подведем некоторые итоги. Мы показали, что электрослабую
теорию можно интерпретировать таким образом, чтобы в нее
было включено обычное электромагнитное взаимодействие.
Кроме того, мы получили дополнительную фотоноподобную ча-
стицу Z (называемую Z-бозоном), которая взаимодействует с
любым фермионом, имеющим электрический заряд (слагаемое
с Qf в (7.25)) или слабый изоспин (слагаемое сГзв (7.25)) не
равные нулю. Константа связи (7.25) не мала. Величина
1/sin 9^ cos 0W больше единицы, поэтому взаимодействие посред-
ством Z-частицы даже сильнее обычного фотонного взаимодей-
ствия! Если развиваемая электрослабая теория правильна, то
почему частица Z и связанное с ней взаимодействие не были
открыты раньше?
Новое взаимодействие называют «нейтральным токовым»,
так как оно аналогично «заряженному токовому» слабому взаи-
модействию (мы обсудим его в следующем разделе). Действи-
тельно, если все, о чем мы говорим, правильно, то должен су-
ществовать новый бозон Z, подобный фотону. Если бы он не
имел массы, как фотон, то он, конечно, был бы давно открыт;
поэтому единственная возможность избежать противоречия —
сделать предположение, что частица Z массивная. Из-за боль-
шой массы бозон Z трудно получить непосредственно в ускори-
теле (для этого нужны очень большие энергии). Так как масса
Z-частицы входит в знаменатель, какие бы обмены частицей Z
мы ни рассматривали при нейтральных токовых взаимодейст-
виях (см. разд. 2.7), величина ожидаемых эффектов нейтраль-
ного тока крайне мала и она тем меньше, чем больше масса
Z-частицы.
Вопрос о массах элементарных частиц в теории подробно
обсуждается в гл. 8. Мы покажем, что Z-частицу можно снаб-
дить большой массой непротиворечивым способом, однако этот
способ оказался настолько сложным, что трудности его откры-
тия задержали развитие электрослабой теории на несколько лет.
Масса Z-бозона была теоретически предсказана, и Z-бозон точно
с этой массой был открыт в 1983 г. Эффекты, связанные с су-
ществованием нейтрального тока, во взаимодействиях нейтрино,
электронов, кварков и мюонов были обнаружены в начале
1970-х гг. Они дали одно из ранних непосредственных экспери-
ментальных подтверждений электрослабой теории.
102
Глава 7
7.4. Экспериментальное подтверждение теории;
заряженный ток
Полный лептонный лагранжиан (7.3), (7.4) содержит еще чле-
ны, которые нужно интерпретировать. Часть лагранжиана, свя-
занная с преобразованиями £7(1), имеет только члены, диаго-
нальные по фермионам (т. е. описывающие процессы типа
еь^ец которые мы связали с нейтральными
токовыми квантовыми переходами. Мы уже рассмотрели такие
и все подобные диагональные по фермионам члены в части на-
шего лагранжиана «^ферм, связанной с преобразованиями группы
S£7(2). Рассматривая теперь целиком SU(2)-часть лагранжиана
(см. (7.4)), мы видим, что она содержит также и недиагональ-
ные члены, описывающие процессы типа vL<->eL. Эти члены
имеют вид
^Ф». = <7.26)
Оба слагаемые в (7.26) эрмитово-сопряжены друг другу, так
что весь лагранжиан (7.26) эрмитов, как этого и следовало
ожидать.
Обратим внимание, что в лагранжиан (7.26) входит только
левый электрон еь. Он может превратиться в (левое) нейтрино,
и наоборот, поглощая Ц7+-бозон или испуская Ц7--бозон. Пра-
вые электроны eR не взаимодействуют с заряженными ^-части-
цами. Конечно, здесь речь идет о традиционных нарушающих
четность взаимодействиях. Чтобы формально в этом убедиться,,
напомним формулу из гл. 5
= у (1 — Ys) е. (7.27)
Из этой формулы непосредственно видим, что указанное взаи-
модействие является когерентной суммой векторного (у*1) и
аксиально-векторного (y^Ys) токов. Взаимодействие, характери-
зуемое током (7.27), обычно называют «заряженным токовым
V — Л-взаимодействием».
Рассмотрим теперь несколько заряженных токовых кванто-
вых переходов; наиболее известный из них «бета-распад». На
адронном уровне мы имеем ток такого же вида (7.27), на
описывающий процесс (с учетом небольших поправок на
структуру данных адронов). Этот переход показан на рис. 7.1,а..
Но такие переходы теперь рассматривают не на адронном, а на
кварковом уровне, учитывая кварковую структуру адронов, так
что бета-распад теперь представляют как процесс, в котором
участвуют только кварки и лептоны. На рис. 7.1,6 показан та-
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика
103
кой процесс, при котором d-кварк, находящийся в нейтроне,
превращается в u-кварк с испусканием электрон-нейтринной
пары e~v. Нейтрон преимущественно обладает кварковой струк-
турой udd\ в результате процесса рис. 7.1,6 он становится про-
тоном (со структурой uud), так как один из d-кварков нейтрона
превращается в и-кварк.
Рис. 7.1. Переносимые ^-бозоном взаимодействия адронов, лептонов и квар-
ков.
Соображения, высказанные в предыдущем разделе об экспе-
риментальном обнаружении 7°-частицы и связанных с ней ней-
тральных токовых переходов, можно повторить и в отношении
^-частиц и связанных с ними заряженных токовых переходов.
Осуществляемые заряженными бозонами переходы уже давно
были известны (обычные слабые взаимодействия), но им при-
писывали константу связи много меньшую, чем можно ожидать
на основе лагранжиана (7.26), а именно константу
WV^")2 _ (е2/4л) _ 2
4л 2 sin2 0а, 137
Вместо того чтобы превышать в два раза константу связи элек-
тромагнитных взаимодействий, константа связи для традицион-
ных «слабых» взаимодействий считалась на несколько порядков
величины меньшей. К тому же ^-бозоны не были открыты
экспериментально. Как и в случае 7°-частицы, разрешение этого
противоречия основано на том факте, что масса ^-бозона очень
велика; вследствие этого значительно уменьшаются скорости
переходов, так как масса входит в знаменатель. Из-за этой
большой массы бозоны W± не могли рождаться на имевшихся
ускорителях. Открытие их в 1983 г. подтвердило правильность
излагаемой точки зрения.
За исключением вопроса, связанного с массами частиц, мы
теперь полностью уяснили себе физическое содержание лептон-
ной части основного лагранжиана. Пока массовые члены (из
104
Глава 7
лагранжианов, рассмотренных в разд. 2.8) типа гафф для фер-
мионов или m2V^V^ для калибровочных бозонов спина 1 мы не
учитываем. Поэтому пока всё фермионы и калибровочные бо-
зоны безмассовые, что находится в резком противоречии с экспе-
риментом. После обсуждения кварковой части основного ла-
гранжиана мы вернемся еще к обсуждению проблемы масс
элементарных частиц в гл. 8.
7.5. Кварковые члены лагранжиана
Теперь мы рассмотрим остальные «электрослабые» члены в пол-
ном лагранжиане (6.9) и (6.10). Пусть q обозначает некоторое
кварковое поле (т. е. поле QaL, uaR или daR. Согласно кванто-
вой теории, кварковая волновая функция может быть представ-
лена в виде произведения нескольких множителей:
/ пространственный \ / спиновый \
\ множитель / X множитель у X
(цветной \
множитель J *
(7.28)
Каждый множитель характеризуется своими индексами, в част-
ности пространственно-временными координатами. Все множи-
тели по отдельности удовлетворяют условиям ортонормировки.
При рассмотрении члена в лагранжиане 2?, имеющего вид
и содержащего спиновую и SU (2) -части, условие орто-
нормировки волновых функций автоматически приводит к мно-
жителям. равным единице, для всех остальных частей, в част-
ности в рассматриваемом примере для пространственной и
цветной частей волновой функции. Только спиновая часть и
часть St/(2) волновой функции дают нетривиальный результат,
который в рассматриваемом примере одинаков для лептонов и
для кварков, так как SU(2)-n спиновые структуры кварков и
лептонов идентичны. Следовательно, для кварков справедливы
все выводы предыдущих разделов без каких-либо изменений.
В' частности, кварки связываются теми же калибровочными бо-
зонами, что и лептоны, т. е. бозонами W±, ZQ и у. Электромаг-
нитное взаимодействие переносится тоже фотоном 7, заряжен-
ное токовое взаимодействие — бозонами W±i вызывающими пре-
вращения uL •<-> dL (но заряженного токового взаимодействия
для uR и dR не существует). Нейтральное токовое взаимодейст-
вие характеризуется константой связи е (Гз — Qf sin2 0oy)/sin б^Х
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика 105
Хсоэбпудля любого левого или правого кварка: f = ul, di, Ur, dR
с зарядами Q = 2/3 для uL, uR и Q = —1/3 для dL, dR и Г3 = 1/2
для Ul, T3 = —1/2 для db, Гз = 0 для uR и dR.
7.6. Кварковый лагранжиан КХД
Так как лептоны не имеют цвета, члены с №Ga в фермионном
лагранжиане (6.10), которые являются матрицами типа 3X3
в цветном пространстве (так как X являются такими матрицами),
не действуют на лептонные волновые функции. Но на кварко-
вые волновые функции они действуют. Считая, что цветные ин-
дексы аир пробегают значения 1, 2, 3, видим, что соответствую-
щие члены лагранжиана для кварка q имеют вид
<7'29)
В случае электрослабых взаимодействий мы рассматривали
аналогичные члены, содержащие величины причем поля
W1 связывали состояния с разными электрическими зарядами,
так как учитывалось взаимодействие с фотонами (электромаг-
нитным полем). В случае цветного взаимодействия поля Ga
описывают восемь глюонов, которые электрически нейтральны.
Другими словами, глюоны не взаимодействуют с электромаг-
нитным полем. Глюоны взаимодействуют с кварками способом,
похожим на взаимодействия электрически заряженных частиц
при обмене их фотонами, но отличающимся в одном важном
отношении: так как генераторы № не диагональны, взаимодей-
ствие с глюоном изменяет цветной заряд кварка. Поскольку мы
не можем непосредственно наблюдать цветные заряды, так как
кварки и глюоны находятся внутри бесцветных адронов, мы не
будем рассматривать детально структуру лагранжиана (7.29),
как мы это делали в случае электрослаЬого лагранжиана. На
некоторые возможности наблюдения эффектов цвета мы укажем
в следующих главах.
Основное, что надо уяснить себе в связи с членами (7.29)
в лагранжиане, — что они описывают переход из одного кварко-
вого цветного состояния в другое такое состояние с испусканием
или поглощением глюонов g. Поскольку каждое кварковое со-
стояние обладает определенным импульсом, глюон сообщает
или уносит некоторый импульс. Так как частицы всегда можно
превратить в античастицы, изменяя направление движения на
обратное в пространстве-времени (а также знаки зарядов), ока-
зывается, что все кварковые кварк-глюонные переходы
q + g-+g', q-+q' + g, g-+qq,
q^q' + g, q + g^-q' (7-3°)
106
Глава 7
описывает одна вершина, причем все эти процессы характери-
зуются одной константой связи £з/2. Ниже мы расскажем, как
измеряют константу связи g^
7.7. Второе и третье семейства
До сих пор, обсуждая стандартную модель, мы ничего не гово-
рили о мюонах, тау-лептонах, странных кварках и т. д. Удиви-
тельным образом природа как бы воспроизводит свою копию
в трех известных семействах частиц. Насколько известно в на-
стоящее время, все эксперименты с известными элементарными
частицами имеют соответствующие аналоги при заменах частиц
разных семейств:
(7.31)
Не известно, правда, существуют ли еще какие-либо другие се-
мейства элементарных частиц или какие-либо кварки и лептоны
других типов, не укладывающиеся в первое, второе и третье
семейства. Частицы vT и t третьего семейства пока непосред-
ственно не наблюдались, но их существование с необходимостью
выводится из теории. Этот вывод мы обсудим подробнее в гл. 25,
где описаны приложения математического формализма стан-
дартной модели. Одни и те же калибровочные бозоны взаимо-
действуют с фермионами всех трех семейств, т. е. имеется один
набор бозонов: у, W±, Z°, g. Тот факт, что частицы е, р и т
участвуют в идентичных взаимодействиях, называют «лептон-
ной универсальностью». Имеется также аналогичная универ-
сальность для взаимодействий кварков типов и и d, s и с, t и Ь.
7.8. Калибровочный фермион-бозонный лагранжиан
Для удобства последующих ссылок выпишем здесь в одном
месте все члены лагранжиана, описывающие взаимодействия
кварков и лептонов с фотонами, W±- и /°-частицами и глюона-
ми. Все взаимодействия и свойства кварков и лептонов непо-
средственно выводятся из вида членов приводимого ниже ла-
гранжиана, если заданы значениями масс и зарядов, о чем
говорилось выше. Соответствующая часть лагранжиана с инва-
риантностью S(7(3)X 5t7(2)X [7(1) для частиц первого семей-
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика
107
ства имеет следующий вид:
2 = Y
f=ve, е, и, d
4--^- Е [fVnCT’f- Qf sin^^H-
LUo Uyy ( J
f=ve> e> U> d
+ f rV^R ( Qf sin29a,)] +
+ ~r [(«Z,Y^£ + VeLY^i) + Эрмит. СОПр.] +
+ > Z ХХечЛ- (7.32)
q = u, d
Для второго и третьего семейств надо в (7.32) провести соот-
ветственно замены (ve, е, и, d)~4v|x, р, с, s) и (vT, т, /, Ь). При-
ведем численные значения некоторых констант:
GF & (7.33)
8^’
§2 = е sin 0^ ’ (7.34)
81 = е cos 0а, ’ - (7.35)
а = е2 _ _J_ 4л ~ 137 ’ (7.36)
А~_1_ •4л ~ 100 ’ (7.37)
а2 = gl 4л ~ 30 ’ (7.38)
а3 = «0,3-0,1. 4л ’ ’ (7.39)
Конкретные значения констант связи а, аь аг, а3 зависят
от величин передачи импульса при взаимодействиях (см. гл. 20);
приведенные здесь значения a, czi и аг относятся к взаимодей-
ствиям с передачами импульса порядка нескольких ГэВ или
меньше; они слабо зависят от передачи импульса, и эту за-
висимость следует учитывать лишь в прецизионных измерениях.
Для константы связи аз сильного взаимодействия приведенный
интервал значений соответствует передачам импульса от 1 до
100 ГэВ; константа медленно уменьшается выше этой области.
108
Глава 7
7.9. Проблема масс частиц
Выше отмечалось, что в выписанных лагранжианах массовых
членов мы не включали. Хотя все положительное, сказанное в
отношении стандартной модели и ее согласия с экспериментом,
правильно, но в рамках стандартной модели имеется одна серь-
езная проблема: все фермионы и калибровочные бозоны имеют
в ней нулевые массы в разительном противоречии с эксперимен-
том.
Почему нельзя просто включить в лагранжиан члены с мас-
сами частиц? Этого нельзя сделать, так как их включение сразу
нарушило бы 5(7(2)- и калибровочную инвариантность теории.
Для фермионов массовый член должен иметь вид тфф, причем
(см. гл. 5)
= тф (PL + PR)ty —
= mtyPLPLty + tn^PRPRty = т (7-4°)
Но все левые фермионы в стандартной модели включены в
SU (2)-дублеты, а правые — в SU (2)-синглеты; члены же
и фгфя не являются 5(7(2)-синглетами и очевидным обра-
зом нарушают SU(2)-инвариантность.
Аналогично массовые члены для калибровочных бозонов
имеют вид
|т2вВ%. (7.41)
Эти члены не инвариантны относительно калибровочных преоб-
разований ВУ'-^В? — — d\lg. Единственный способ сохра-
нить калибровочную инвариантность и 5(7(2)-симметрию пол-
ного лагранжиана состоит в том, чтобы положить т = 0 для
всех кварков, лептонов и калибровочных бозонов. Если просто
ввести массы частиц, то получающаяся квантовая полевая тео-
рия будет содержать бесконечности для ряда физических ве-
личин.
В настоящее время имеется способ решить указанную проб-
лему масс; это так называемый механизм Хиггса. Получаемый
при этом лагранжиан также нарушает 5(7(2)- и калибровочную
инвариантности, но таким образом, что важные преимущества,
даваемые этими двумя инвариантностями, сохраняются. В сле-
дующей главе мы подробно опишем механизм Хиггса. Мы уви-
дим, что с помощью этого механизма решается проблема масс
частиц на чисто математическом уровне, хотя физическое пони-
мание механизма Хиггса и связанных с ним проблем пока
остается неудовлетворительным. Задачу улучшения сложившей-
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика
109
ся в настоящее время ситуации следует считать центральной
проблемой современной физики элементарных частиц не только
в связи с необходимостью завершения теории стандартной мо-
дели, но также потому, что развитие физики элементарных час-
тиц за рамки стандартной модели тоже связано с проблемой
масс и их происхождения, а следовательно, с механизмом
Хиггса.
Задачи
7.1. Заполните приведенную ниже таблицу.
Частицы
Спин Цвет (синглет,
(0, L, R, 1) Масса триплет, октет)
Слабый
изоспин
(0, 1/2, 1)
Электричес-
кий заряд
VeL
eL
8Я
UL
dL
UR
dR
•IF*
Z°
Y
g
S°
7.2. Выпишите лагранжиан с 5(7(3) X 5(7(2) X (/(^-симмет-
рией для семейства фермионов р.^, v , eL, eR, sL, sR. Выпи-
шите явно цветные индексы для кварковых полей. Выразите
константы связи через е, 0W и g^. Нарисуйте вершины фейнма-
новских диаграмм для различных взаимодействий фермионов с
калибровочными бозонами.
7.3. Какие множители надо приписать вершинам для взаимо-
действий dL + W+ —>uL, dL + Z -» dL, uL-\- Z->uL,-uL-\-у-+uL,
uLr + Sfb ~^uLb (r и — индексы цвета) ?
7.4. Покажите, что
у erfef (Тз — Qf sin2 0Ш) == — -^ ёуи (а + by5) е.
L.R
110 Глава 7
Как выражаются константы а и b через sin20w? Сравните ре-
зультат с соответствующим результатом для заряженного тока.
7.5. Объясните, почему факт детектирования процесса
У|л Ч- —►Vjx + автоматически доказывает существование
нейтрального тока, а детектирование процесса -f-e-*->ve +
ничего не дает.
Рекомендации для дальнейшей работы
В книгах Квигга [53, 54] и Хелзена и Мартина [27] излагается
тот же материал, что в этой книге, но на более высоком уровне.
Комминс и Баксбаум [9] подробно описывают приложения элек-
трослабой теории к исследованию большого количества различ-
ных процессов с элементарными частицами.
Глава 8
Массы частиц и механизм Хиггса
В этой главе мы рассматриваем «механизм», разработанный
для построения последовательной калибровочной теории эле-
ментарных частиц, в которой частицы могут иметь ненулевые
массы. С математической точки зрения ситуация здесь вполне
удовлетворительная. Не только создана непротиворечивая тео-
рия, но и вычислены с ее помощью массы W± и 7°-бозонов (с ис-
пользованием экспериментально измеренных значений), причем
эти бозоны действительно были открыты и в точности с пред-
сказанными значениями масс. Это огромный успех теории, в осо-
бенности если учесть, что речь идет о фундаментальных «точеч-
ных» элементарных частицах, имеющих массы порядка массы
ядра стронция. Детали математической процедуры, позволяю-
щей приписать частицам W± и Z0 массы, понять не трудно, так
как соответствующие алгебраические выкладки элементарны.
Массы фермионов можно включить в теорию с помощью сооб-
ражений, основанных на обобщении того же механизма.
Вместе с тем читатель должен помнить, что для действи-
тельно правильной оценки фундаментальной важности указан-
ного механизма необходимо понимание появляющихся в теории
бесконечностей и процедуры их исключения, т. е. процедуры пе-
ренормировки. К сожалению, достижение такого уровня пони-
мания далеко выходит за рамки данной книги. Наконец, сле-
дует подчеркнуть, что вся ситуация с массами элементарных
частиц в определенном смысле все же не удовлетворительна, так
как современная физика элементарных частиц не достигла глу-
бокого физического понимания того, почему в описываемом ме-
ханизме получаются ненулевые массы.
Фактически мы делаем предположение, что Вселенная запол-
нена некоторым полем со спином 0, называемым хиггсовым по-
лем, которое является дублетом в SU(2) -пространстве и пере-
носит ненулевой С7(1)-гиперзаряд, а также является синглетом
в цветном пространстве. Это предположение аналогично пред-
положению, что Вселенная заполнена электромагнитным полем,
источниками которого являются электрически заряженные час-
тицы. Но в случае хиггсова поля мы не задаем вопроса на дан-
ном уровне рассмотрения об его источниках. Калибровочные
бозоны и фермионы могут взаимодействовать с хиггсовым полем
112
Глава 8
и вследствие этого в его присутствии они оказываются час-
тицами с ненулевыми массами. При этом очень важно, что со-
стояния Вселенной с одним или несколькими хиггсовыми поля-
ми не ортогональны основному состоянию без них (т. е. ва-
кууму), несмотря на то, что эти состояния имеют ненулевые
SU(2)- и /7(1)-квантовые числа. Это означает, что SU(2)- и
£7(1)-квантовые числа вакуума не равны нулю, а следователь-
но, SU(2)- и 77(1)-симметрии существенно нарушены. Когда
симметрия нарушена указанным способом, т. е. когда ей обла-
дает лагранжиан системы, но не ее основное состояние, говорят
о спонтанно нарушенной симметрии.
Ниже мы рассмотрим несколько все более усложняющихся
примеров спонтанно нарушенных симметрий, пока не перей-
дем к рассмотрению реального случая нарушения симметрии в
рамках стандартной модели. Ниже мы будем ссылаться на дру-
гие области физики, позволяющие пояснить излагаемые основ-
ные идеи. Эти ссылки могут быть полезны читателям, которые
знакомы с явлениями спонтанного нарушения симметрии в дру-
гих областях физики.
8.1. Спонтанное нарушение симметрии
Прежде всего рассмотрим очень простой пример, иллюстрирую-
щий основные физические идеи. Возьмем лагранжиан
2 = т - V = 4 - (4 ц2</-2 + I . (8.1)
в котором параметры ц и А сначала следует считать просто не-
которыми параметрами, характеризующими вид потенциала.
Потребуем, чтобы выполнялось неравенство Х^>0; тогда
спектр потенциала будет ограничен снизу при ф -> оо, согласно
основным положениям квантово?! механики. Отметим наличие
симметрии описываемой теории, состоящей в том, что она инва-
риантна относительно замены ф ->—ф. Чтобы установить ха-
рактер спектра возбуждений, надо начать с того, что найти ми-
нимум потенциала, который дает классическое основное состоя-
ние системы. Затем следует разложить поле около значения,
обеспечивающего минимум потенциала, и найти искомые воз-
бужденные состояния. В этом заключается обычная процедура
рассмотрения возмущений, с которой читатель должен быть
знаком по квантовой механике. В теории поля условились ос-
новное состояние называть «вакуумом», а возбуждения — «час-
тицами». Массы частиц определяются формой лагранжиана в
окрестности классического минимума (или минимумов); соответ-
ствующий лагранжиан рассмотрен в гл. 2. Член с </>4 в лагран-
Массы частиц и механизм Хиггса
113
жиане (8.1) описывает конкретное самодействие поля интен-
сивности X. Это лагранжиан специального вида, но он имеет
более общий характер, чем можно предположить. Подробное
исследование показывает, что члены с более высокими степеня-
ми ф в потенциале приводят к появлению бесконечностей в фи-
зических величинах теории, а потому такие члены надо исклю-
чить из рассмотрения.
Предположим теперь, что ц,2^>0 (т. е. ц действительное).
Тогда, очевидно, вакууму соответствует поле ф = 0') оно мини-
мизирует потенциал. В этом случае величину р,2 можно интер-
претировать как квадрат массы по аналогии с гл. 2; тем самым
мы получаем полную физическую интерпретацию теории.
Однако нет никаких физических причин считать, что ц2 > 0.
Если ц2 <Z 0 (т. е. ц чисто мнимое), то можно отыскать миниму-
мы потенциала, исходя из условия
(8.2)
оф ' 7
которое дает уравнение
Ф№ + Ц>2) = 0-
(8.3)
Система имеет минимальную энергию, когда ее кинетическая
и потенциальная энергии по отдельности принимают минималь-
ные значения. В этом случае кинетическая энергия минимальна
при Ф(х)— const. Выбор ф = 0 не дает минимума системы, так
как при ц2 < 0 можно достичь меньшего значения потенциала.
На рис. 8.1 приведена зависимость потенциальной энергии от ф.
Рис. 8.1. Зависимость потенциальной энергии V от поля Ф.
Положим теперь, что минимумы потенциальной энергии со-
ответствуют значениям
(8.4)
Так как ф принимает значение v основного состояния, то v
называется вакуумным средним поля ф. Поле Ф называется
хиггсовым полем.
8 Г. Кейн
114
Глава 8
Чтобы найти энергии частиц, надо обследовать ситуацию в
окрестности каждого минимума; для этого положим
Ф (х) = v + Т] (х) (8.5)
и разложим все величины в ряд по малому rj около ц = 0. За-
метим, что мы могли бы положить ф =—u + но все вы-
воды не зависят от выбора (8.5) минимума V, так как теория
симметрична относительно замены ф -> —ф. Подставляя выра-
жение (8.5) в лагранжиан 2?, получаем
& = у (дцТ]д%) — { у Н2 [у2 + 2r]V + я2] +
+ у Л [и4 + 4v3T] + 6u2rf + 4ит]3 + т]4] | =
= у — { -у- (и2 + у Ли2) + тр (н2 + Лу2) +
+ 4" (Н2 + 3W) + Лит]3 + у Лт]4 } . (8.6)
В силу условия (8.4) линейные по ц члены в лагранжиане (8.6)
сокращаются (разложение производится около минимума), и
мы получаем следующий простой лагранжиан:
3? = у — (лЛ]2 + Лит]3 + у Л.Т]4) + const. (8.7)
Мы видим, что член с т]2 в (8.7) имеет правильный знак, по-
этому его можно интерпретировать как массовый член. Таким
образом, лагранжиан (8.7) описывает частицу массы
т2 =2^2 =-2ц2 (8.8)
со следующими двумя взаимодействиями: кубическим с интен-
сивностью Kv и взаимодействием четвертой степени с интенсив-
ностью Х/4. Заметим, что обе «константы связи» зависят от
параметра Л, который, насколько нам известно, принимает про-
извольные значения, поэтому оба взаимодействия имеют неиз-
вестную интенсивность. Постоянный член в лагранжиане (8.7)
можно отбросить, так как нулевой уровень отсчета потенциала
можно переопределить.
Оба варианта теории, выраженные через ф или через гц
должны быть эквивалентны, если задача решается точно. Если
используется теория возмущений, то важно отыскивать малые
возмущения относительно минимума. Скалярная частица, появ-
ляющаяся в теории при ц2 < 0, является действительно ска-
лярной с отличной от нуля массой, получаемой в результате
ее самодействия; при этом важно, что минимум потенциальной
Массы частиц и механизм Хиггса
115
энергии наблюдается при необращающемся в нуль вакуумном
среднем v.
Какие-либо следы зеркальной симметрии ф -> —ф в лагран-
жиане (8.7) теперь отсутствуют. Слабое напоминание о ней со-
храняется только в членах кубического взаимодействия т)3, но
и оно неявное. Так как симметрия теперь нарушена вследствие
конкретного выбора вакуума (ф = v или ф = —у), вакуум не
обладает симметрией исходного лагранжиана, хотя и является
его точным решением.
Имеется много примеров сходной ситуации, наблюдаемой
для других физических систем. Мы не будем на этом останав-
ливаться, а перейдем к обобщению рассмотренного примера на
случай более сложных симметрий вплоть до St/(2)X ^(1) -сим-
метрии лагранжиана-стандартной модели, получаемого комби-
нированием лагранжианов калибровочных бозонов, фермионов
и хиггсовых полей. При этом при каждом следующем обобще-
нии появляются новые важные особенности.
8.2. Комплексное скалярное поле.
Глобальная симметрия
Предположим теперь, что поле ф является комплексным скаля-
ром, т. е. ф = 1/V2 (<£1 + 1ф2\ и его лагранжиан имеет вид
(<Э^) - - * (Ш. (8.9)
Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных калиб-
ровочных преобразований
ф —> ф' = (8.10)
так что симметрией лагранжиана S теперь является глобаль-
ная U( 1) -симметрия, а не просто симметрия отражения, как в
разд. 8.1. Выраженный через (вещественные) компоненты поля
лагранжиан (8.9) имеет следующий вид:
г=I <.w+1 (.w - -Ь1 w+« - 4 («+<8'1»
На плоскости <^2 (рис. 8.2) потенциальная энергия, очевидно,
принимает минимальные значения в начале координат, если
ц2 > 0, или вдоль окружности с центром в начале и с квадра-
том радиуса
м2
^ + ^ = -^- = y2, (8.12)
если ц2 < 0.
8*
116
Глава 8
Как в предыдущем разделе, чтобы исследовать случай
р,2 <Z 0, прибегнем к разложению полей около различных точек
окружности </>i + </>2 = v2. Разумеется, можно взять любую точ-
ку окружности, но, чтобы реально провести выкладки, надо
взять некоторую определенную точку; при этом мы нарушим
общую симметрию всего множества решений. Произвольно
фиксируем точку, положив ф1 = v, ф2 = 0, и примем
<£ = -^(у + -п(х) + Ф« (8.13)
где q пр — вещественные функции.
Рис. 8.2. Зависимость потенциальной энергии V от Ф\ и ф2.
Подставляя выражение (8.13) в (8.11), получаем лагран-
жиан, который можно интерпретировать с помощью представ-
ления о частицах и их взаимодействиях:
% = У (дцР)2 + У (^нП)2 + Ц2П2 —
— Ли (т»р2 + т]3) — у т]2р2 — 4 n4 — |р4 +const. (8.14)
Первые члены в выражении (8.14) представляют собой обыч-
ные члены кинетической энергии. Член ц2г)2 показывает, что
поле т] соответствует частице с квадратом массы = 21 р,21.
Удивительно, но член с р2 в (8.14) отсутствует; это свидетель-
ствует о том, что частица, соответствующая полю р, имеет нуле-
вую массу! Эта частица называется «голдстоуновским бозо-
ном». Известна общая теорема, которая утверждает, что в
теории поля со спонтанно нарушенной глобальной симметрией
(здесь U( 1) -симметрия относительно преобразований ф-+ф' =
= е^ф) спектр возбужденных состояний содержит ветвь, соот-
ветствующую безмассовому бозону со спином 0. Как и следова-
ло ожидать,» инвариантность теперь не проявляется явно в лаг-
Массы частиц и механизм Хиггса
117
ранжиане (8.14), так как мы фиксировали определенное направ-
ление на плоскости фь ф2.
Математически понятно, как появился безмассовый бозон.
Потенциальная энергия имеет минимум не в точке, а на окруж-
ности. Возбуждению в радиальном направлении препятствует
повышение потенциала при отходе от минимума, вследствие че-
го появляется масса частицы, связанная с кривизной потен-
циальной поверхности. Поэтому такие возбуждения должны
описываться безмассовой частицей. Это так называемое «явле-
ние Голдстоуна» широко распространено в физике, как об этом
свидетельствует следующий простой пример. £7(1)-симметрия у
нас нарушена, потому что мы выбрали определенную точку на
окружности минимальных значений потенциала и произвели
разложение около этой точки. Наличие членов взаимодействия
в (8.14) и их вид напоминает о начальной симметрии, но вос-
становить эту симметрию очень трудно.
8.3. Абелев механизм Хиггса
Совершим еще одно обобщение. В разд. 8.2 удивительным было'
появление безмассового бозона. В этом разделе мы рассмот-
рим еще более ’ удивительный эффект. Только после этого в
разд. 8.4 мы обсудим реальную ситуацию стандартной модели
и покажем, как появляются массы у калибровочных бозонов
W± и Z0. Наконец, в разд. 8.5 мы рассмотрим вопрос о ненуле-
вых массах фермионов, которые также могут быть обусловле-
ны взаимодействиями фермионов с хиггсовыми полями, но в
результате действия другого механизма.
В разд. 8.2 мы рассмотрели глобальную калибровочную
инвариантность. Теперь мы обратимся к локальной калибровоч-
ной инвариантности, т. е. построим лагранжиан, инвариантный
относительно локальных калибровочных преобразований. Выше
мы уже показали, что инвариантность относительно локаль-
ных калибровочных преобразований требует введения без-
массового векторного поля Лц; при этом в лагранжиане 2? надо
одновременно произвести замену обычных производных по про-
странственно-временным координатам на ковариантные произ-
водные:
<5|Х-*^|Х = <5|Х —(8.15)
Калибровочное поле преобразуется по формуле
118
Глава 8
а поле ф — согласно формуле
ф(х)^-ф'(х) = е^мф(х). (8.17)
Таким образом, лагранжиан принимает следующий вид:
2 = W)~ X2<R - К V)2 - 4 (8.18)
В случае ц2 О лагранжиан (8.18) описывает взаимодей-
ствие заряженной скалярной частицы (при g = е) массы ц,
скажем, с электромагнитным полем Лц. Заметим, что в выра-
жении (8.18) нет «массового члена» для поля А^. Мы записа-
ли член «кинетической энергии F^F^ для векторного поля
и будем его учитывать в дальнейшем, хотя он фактически
не нужен для нашего рассмотрения. Ниже мы исследуем слу-
чай ц2 < 0, как в предыдущем разделе. Рассматривая лагран-
жиан (8.18), мы видим, что он содержит 4 независимых поля,
т. е. имеет 4 степени свободы; это два вещественных скалярных
поля ф] и ф2 и два поля различной поперечной поляризации для
безмассового векторного бозона (последнего следует ожидать,
когда поле Лц описывает фотон). Дальше мы могли бы посту-
пить с лагранжианом (8.18) в точности так же, как в предыду-
щем разделе. Но алгебраические выкладки оказались бы здесь
намного сложнее. Поэтому полезно воспользоваться тем, что мы
уже знаем, и максимально упростить дальнейший анализ. Фор-
мула (8.17) показывает, относительно какого калибровочного
преобразования поля ф(х) инвариантна рассматриваемая тео-
рия. В общем случае поле Ф(х) можно представить в виде
ф(х) = т](х)е-^\ (8.19)
где ц, р — вещественные функции; поэтому поле ф(х) можно
записать в виде
^(x) = -l=r(u+ /г« (8.20)
где h — вещественная функция. Для этого надо совершить пре-
образование ф -> е1^х}ф и отыскать соответствующую функцию
%(х). Заметим, что в разд. 8.2 мы не могли использовать подоб-
ное преобразование, так как рассмотренный в этом разделе
лагранжиан не был инвариантен относительно локальных ка-
либровочных преобразований, а был инвариантен только отно-
сительно глобальных преобразований. Подставим теперь вы-
ражение (8.20) в лагранжиан (8.18). Так как начальный выбор
поля Лц не был фиксирован физическими соображениями, мы
не будем вводить здесь для поля Лц, полученного с помощью
Массы частиц и механизм Хиггса
119>
формулы (8.16), нового обозначения. Таким образом, получаем
= 4 + IgA") (V + Л)] [(5, - igAJ (V + h)] -
- 4 (v + Л)2 - 4 (v + А)4 - 4 F^ =
= у (дцЛ) + у g^A^A* — Kv2h2 — Kvh3 —
- 4 h4 + g2vhA^ + 1 - 4 F^\ (8.21).
Интерпретируем каждый член лагранжиана (8.21). Удивитель-
но, что теперь появился «массовый член» для калибровочного
бозона! Но поскольку мы исходили из калибровочно-инвариант-
ной теории и совершили в ней только чисто алгебраические пре-
образования, то следует сделать заключение, что и новая форма
теории будет тоже калибровочно-инвариантной. Масса калиб-
ровочного бозона равна квадратному корню из коэффициента
при ЛцЛ^/2:
MA = gv; (8.22}.
она отлична от нуля только при условии, что калибровочная
симметрия спонтанно нарушена хиггсовым полем, вследствие
появления ненулевого вакуумного среднего v. Таким образом,
теория теперь калибровочно-инвариантна только в указанном
ограниченном смысле. Лагранжиан калибровочно-инвариантен,
но его вакуум не обладает таким свойством, так как мы выбра-
ли определенное направление в плоскости filf ф2 при фиксиро-
вании точки минимума потенциала.
Спектр возбуждений содержит теперь ветвь для веществен-
ного хиггсова бозона ft, имеющего массу 2Ха2, ветви различных
самодействий и ветви от кубических членов и членов четверто-
го порядка взаимодействия с калибровочным полем Дц, а также
ветвь для массивного векторного бозона Дц. Поскольку массив-
ный бозон имеет три спиновые состояния (соответствующие
Jz= 1, 0, —1 в системе покоя частицы), число независимых по-
лей оказывается по-прежнему равным четырем, так что все в
порядке.
Мы видим, что «голдстоуновский» бозон из разд. 8.2 теперь
является состоянием с продольной поляризацией для калибро-
вочного векторного бозона. (В этом просто убедиться, если про-
вести выкладки, описанные в этом разделе, но без упрощающего
допущения (8.20), с использованием формулы (8.13). Тогда у
калибровочного векторного бозона появится масса и в лагран-
жиане возникнет член который позволит полю Дц не-
посредственно превращаться в поле р при распространении..
120
Глава 8
Когда возникают такие перекрестные члены, нужно совершать
процедуру диагонализации, чтобы получить собственные состоя-
ния. Процедура диагонализации в рассматриваемом случае яв-
ляется калибровочным преобразованием, которое позволяет ис-
ключить поле р из лагранжиана. Об описанном явлении иногда
говорят словами: «калибровочный бозон съел голдстоуновский
бозон».)
Механизм появления ненулевых масс у частиц, который мы
здесь описали, называется механизмом Хиггса. Математически
он ясен, но физический его смысл все еще не понятен в совре-
менной физике элементарных частиц. Мы видим, что продоль-
ное поляризационное состояние векторного калибровочного бо-
зона, который должен существовать (если он массивный) в ло-
ренц-инвариантной теории, в которой можно перейти в систему
покоя частиц, является голдстоуновским бозоном (который су-
ществовал бы, если бы теория не была калибровочно-инвариант-
ной). Остаются нейтральный бозон со спином 0, который дол-
жен существовать в виде физической частицы; его называют
«хиггсовым бозоном». Заметим, что масса калибровочного бо-
зона фиксирована, если известны g2 и v, но масса хиггсова
бозона 1г зависит от значения неизвестного параметра X. В сле-
дующем разделе мы добавим последний штрих, который по-
зволит включить механизм Хиггса в рамки стандартной мо-
дели.
8.4. Механизм Хиггса для стандартной модели
В стандартной модели нужно учесть еще одно небольшое услож-
нение. Хиггсово поле, которое в разд. 8.3 не переносило никаких
квантовых чисел, кроме энергии и импульса, теперь надо счи-
тать SU(2)-дублетом. Положим теперь
(8.23)
(8.24)
(8.25)
где каждое из полей в правой части комплексное:
^ = -Ь(&+^4).
-V2
В SU(2)-пространстве оба рассматриваемых хиггсовых поля
переходят друг в друга при определенном вращении, подобно
тому как переходят друг в друга состояния со спином «вверх»
Массы частиц и механизм Хиггса
121.
и «вниз» или левое нейтрино ve и левый электрон. Лагранжиан
теперь имеет тот же вид:
&Ф = (<^) - ^ф - % (8.26)
но теперь ф является вектором-столбцом, а — вектором-стро-
кой, так что
^==(ГУ‘)
<£0 )
= ф+,ф+ 4- ф°*ф°,
(8.27)
или с использованием вещественных компонент полей
^==т(^ + ^ + ^ + ^)- (8-28)
Как и в разд. 8.2, рассмотрим потенциал специального вида
V (ф) = р,2ф*ф + Л (ф^ф)2; (8.29)
он не изменяется при локальных калибровочных преобразова-
ниях:
Ф U) -> (*) = е^х^2ф (х), (8.30)
где Xi — матрицы Паули, а а/ — некоторые параметры. Рассуж-
дая аналогично тому, как в разд. 8.2, убеждаемся, что при
ц2<0 потенциал У(ф) имеет минимум при
^=-1г=4- (8-з1>
Из формулы (8.28) заключаем, что имеется бесконечное мно-
жество решений уравнения (8.31).
Снова, как в разд. 8.2, надо выбрать направление, но на
этот раз в SU(2) -пространстве, и представить специальным об-
разом поле в окрестности выбранного минимума. Соответствую-
щий «направленный» вакуум возьмем в виде
^o = -7-f°Y (8.32)
V2 \ v J
т. е. положим фз = v, ф1 — ф2 = Фа = 0.
Как и в разд. 8.3, можно рассмотреть спектр возбуждений
около выбранного вакуума, положив
0
» + Я(х)
(8.33)
Можно найти уравнение, которому удовлетворяет поле Н(х),
Можно гарантировать, что такой простой выбор разложения
122
Глава 8
(8.33) всегда можно осуществить, так как для произвольного
поля ф(х) всегда можно произвести калибровочное преобразо-
вание ф-^ф' = ехр (гг-0(х)/^)0, которое преобразует поле ф(х)
к виду (8.32). При этом мы как бы «откалибровываем» три
поля, что полностью согласуется с теоремой Голдстоуна: исход-
ная симметрия (группа 0(4)) оставляет инвариантной величину
(см. (8.28))
ГЛ^ + Ф^Ф^ (8.34)
Выбрав направление, мы нарушаем три глобальные симметрии,
так что при такой калибровке исчезают три безмассовых бо-
зона и три соответствующих поля. Ниже мы покажем, что эти
три частицы как раз и нужны, чтобы описать продольные ком-
поненты векторных полей для частиц W± и Z0.
Прежде чем ввести ковариантные производные и закончить
рассмотрение, разъясним еще раз, что в действительности про-
изошло. Электрический заряд, т. е. собственное значение слабого
изоспинового оператора Т3, и 7/(1)-гиперзаряд Yh (для хиггсова
поля) связаны простым соотношением
Q = T3 + ±YH. (8.35)
Приписывание хиггсовым полям электрических зарядов, соглас-
но (8.23), требует, чтобы Yh = 1. Очень важен выбор, согласно
которому только электрически нейтральная компонента фо имеет
отличное от нуля вакуумное среднее, так как независимо от того,
какие квантовые числа переносит поле Ф, оно должно обра-
щаться в нуль для вакуумного состояния. Если бы поле ф+
имело ненулевое вакуумное среднее, то электрический заряд не
сохранялся бы в противоречии с экспериментом.
Если вакуум фо инвариантен относительно некоторой под-
группы исходной SU(2)X 7/(1)-группы преобразований, то ка-
либровочные бозоны, соответствующие этой подгруппе, будут
безмассовыми. Так как хиггсово поле ф (х) является дублетом,
только одна компонента которого имеет отличное от нуля ва-
куумное среднее, очевидно, что £7/(2)-симметрия для вакуум-
ного состояния нарушена. Поскольку гиперзаряд ///=#= О, оче-
видно, нарушена (7(1)-симметрия. Но если подействовать на
состояние фо оператором электрического заряда Q, то получим
<2^ = (?’з + 5л/2)^о = О. (8-36)
так что состояние фо (т. е. вакуум) инвариантно при преобра-
зованиях
^0->^>0 = e>a(JC)Q^0 = ^0- (8-37)
Массы частиц и механизм Хиггса
123
Это тоже (/(^-преобразование; таким образом, вакуум инва-
риантен относительно особой группы (/'(1), генераторами кото-
рой являются специальные линейные комбинации генераторов
исходных групп S(/(2) и (17(1). Разумеется, эта группа U' (1)
есть электромагнитная группа (/(1), а калибровочным бозоном,
который остается безмассовым, является фотон. Существование
безмассового калибровочного бозона оказывается необходимым
следствием закона сохранения электрического заряда, что за-
ставляет нас рассматривать только электрически нейтральное
вакуумное состояние.
Наконец, приступим к простым алгебраическим выкладкам,
позволяющим показать, как работает механизм Хиггса. Чтобы
сделать полный лагранжиан 3? инвариантным относительно пре-
образований (8.30), как мы знаем, надо производные заме-
нить ковариантными производными причем
~ дц ig\ -g- В» ig2 (8.38)
при этом поля и преобразуются по формулам, приве-
денным в гл. 7. В случае когда поле \ф имеет ненулевое вакуум-
ное среднее, рассуждая, как в разд. 8.2 и 8.3, убеждаемся, что
преобразованный лагранжиан содержит дополнительные члены
вида
Г (tei т + te2y • (tel т + ^21 • W5) <f>. (8.39)
Положив Y = 1 и выписывая появившиеся здесь матрицы типа
2X2 в явной форме, как в гл. 7, и положив, кроме того,
/ /-f0\
ф= 1/д/2 I I, преобразуем рассматриваемые1 дополнительные
члены лагранжиана к виду
8
г,(«'I-/У’)\ /о \
г.в.-гЛ Л»/
=4 «V, (Ю! + + -te (г А - <8Л0>
Первый член в выражении (8.40) можно представить в виде
(8.41)
при этом надо проследить за множителями 1/д/2 при преобра-
зовании (6.1). Как и следовало ожидать, для заряженного бо-
зона в лагранжиане появился член вида m2W+W~, так что
можно сделать заключение, что заряженный бозон W в самом*
деле имеет ненулевую массу Mw = vg2/2!
124
Глава 8
Второй член в выражении (8.40) не диагоналей; поэтому
нужно найти новые собственные значения, чтобы перейти к ча-
стицам с определенными массами (В и W3 являются электри-
чески нейтральными состояниями с диагональным изоспином и
участвуют в слабом взаимодействии). В1 действительности окон-
чательный результат нам уже известен, так как комбинация
полей В и W3, появившаяся в (8.40), в точности совпадает с ли-
нейной комбинацией, которую мы назвали частицей (см.
(7.10) и замечание о выборе значения YL = —1 после формулы
(7.17)). Следует ожидать появления массовых членов для ча-
стицы Zp, и для фотона Учитывая, что нейтральное поле
составляет 1/2 заряженного, приходим к следующим массовым
членам: Исходя из выражения (8.40) и
учитывая нормировку поля Z в (7.10), можно заключить, что
Mz = у v ^g\ + g} , Му = °> (8.42)
так что члены вида АЦА^ не появляются. Согласно приведенным
рассуждениям, фотон следует считать безмассовым. Используя
тождества гл. 7, можно теперь заключить, что
M^/Mz = cos 9W. (8.43)
Так как поля В и IF3 смешиваются, электрически нейтральное
состояние не вырождено по массе с заряженным, за исключе-
нием случая, когда 0^->О. Если угол 0W измерен, то из (8.43)
можно получить предсказываемое теорией отношение масс бо-
зонов W и Z; это теоретически предсказанное отношение было
подтверждено экспериментальными наблюдениями.
Полезно рассмотреть величину р = Mw/Mz cos 0^. Согласно
(8.43), стандартная модель предсказывает значение р = 1. Мож-
но показать, что, даже если дополнительный дублет хиггсовых
полей действительно существует, обязательно должно быть
р = 1. Любое отклонение от значения р=1 было бы важным
сигналом, указывающим на необходимость развивать новую
теорию масс элементарных частиц.
8.5. Массы фермионов
Теперь после объединения хиггсовых полей в 5(7(2)-дублет
можно построить 5(7(2)-инвариантное взаимодействие фермио-
нов с хиггсовыми полями. В лагранжиан нужно включить теперь
следующий член взаимодействия лептонов и хиггсовых бозонов:
Массы частиц и механизм Хиггса
125
f \ f Т \ -
Так как L = |^ J и Ф = выражение L<f> = veL<l> +
4- инвариантно относительно St7(2) -преобразований.
Умножение этого выражения на синглете^ не нарушает этой
SU(2)-инвариантности. Второе слагаемое в лагранжиане (8.44)
является эрмитовым сопряжением первого. Константа связи ge
может принимать любые значения; как сам факт присутствия
в лагранжиане членов (8.44), так и величина константы связи
ge не определяются принципом калибровки.
Согласно соображениям, приведенным в разд. 8.2 и 8.3,
экспериментальные следствия добавления в лагранжиан членов
вида (8.44) можно вывести, если в (8.44) провести замену
о
у + Н
V2
(8.45)
где v — хиггсово вакуумное среднее, Н — поле электрически
нейтральной физической хиггсовой частицы. Подставляя (8.45)
в (8.44), получаем
^int = (eLeR "Ь еяеь) Н- (8-46)
Первый член в выражении (8.46) имеет в точности тот вид, ко-
торого следовало ожидать для массового члена фермиона (см.
гл. 5); так что для массы электрона получаем значение
me = gev/л/Ъ. (8.47)
Таким образом, обсуждаемая теория может объяснить факт
наблюдения ненулевой массы электрона. Так как значение кон-
станты связи ge неизвестно, вычислить значение массы электро-
на по формуле (8.47) нельзя. Вместо этого следует обратить фор-
мулу (8.47), представив ее в виде
ge = V2^, (8.48)
и определить из нее значение константы связи ge. Второй член
в лагранжиане (8.46) свидетельствует о том, что в теории име-
ются вершины типа электрон — хиггсов бозон, с которыми ассо-
циируется константа связи gj^2 = melv, как это показано
на рис. 8.3. Последняя определяет вероятность, с которой элек-
трон (или позитрон) испускает хиггсов бозон или с которой
хиггсов бозон распадается на пару е+е~. В гл. 21 мы произведем
расчеты с использованием рассматриваемых вершин и других
126
Глава 8
подобных вершин для других фермионов, когда будем обсуж-
дать вопрос о рождении на ускорителях и детектировании хигг-
совых бозонов. Исключая из лагранжиана «g’jnt константу ge,
получаем (учитывая, что е~е^ + е~^е~ = ее)
<2?int = теёе + ёеН. (8.49)-
Возможно, читатель уже заметил, что в излагаемой теории
«массового члена» для нейтрино не появляется, так что его
Рис. 8.3. Вершина для взаимодействия электрона с хиггсовым бозоном.
масса остается равной нулю (mv = 0). Формально это связано-
с тем, что в теории предполагается отсутствие состояния пра-
вого нейтрино vy?, так что член, подобный (8.44), который мог
бы повести к «массовому члену» vrVr, построить нельзя. Заме-
тим, что по этой причине нейтрино не взаимодействуют с хигг-
совым бозоном Н, Если бы нейтрино vR существовало, то его
было бы трудно экспериментально наблюдать, поскольку для
него Т3 = 0 и Q = 0; поэтому оно не взаимодействовало бы с
бозонами W±, Z° и у. В гл. 29 мы рассмотрим вопрос о массах
нейтрино и расскажем, как экспериментально проверяется, дей-
ствительно ли они равны нулю.
В случае кварков имеем еще одну особенность (которая от-
носилась бы также к правому нейтрино v^, если бы оно сущест-
вовало). Как хорошо известно из обычной теории спина (т. е.
/ а \
из теории группы S(7(2)), состояние ф = 1 I является 5(7(2)-
дублетом, поэтому им оказывается также состояние
i|)c = — а. ). (8.50)
Таким образом, можно построить члены в лагранжиане «S?int>
учитывая, что
Массы частиц и механизм, Хиггса
127
причем поле </>с в хиггсовом механизме надо представить в виде
/ V + H X
фс=\ 2 )• (8.51)
\ 0 /
Поскольку поле ф имеет гиперзаряд У=1, для поля фс гипер-
заряд У =—1, причем для обоих состояний справедлива про-
стая формула Q = T3 + Y/2. Следовательно, для кварков имеем
int = gdQL<!>dR + guQ^cuR + эрмит. сопр. . (8.52)
Подставляя сюда выражения (8.45) и (8.50) для полей ф и фс
и выражение для поля QLf после простых алгебраических преоб-
разований получаем
= mddd + тийи^ ddH + йиН, (8.53)
где константы связи gd и gu выражены через массы, как мы их
уже выражали, когда переходили от (8.47) к (8.48). Снова
убеждаемся, что массы кварков появляются в теоретическом
рассмотрении, но, поскольку константы связи gd и gu высту-
пают в (8.52) как произвольные параметры, не связанные друг
с другом или с константой связи ge, массы кварков по выведен-
ным формулам рассчитать нельзя; они должны быть измерены
экспериментально. Последние два слагаемых в лагранжиане
(8.53) описывают взаимодействия кварков и и d с хиггсовой ча-
стицей Я0.
В'се сказанное выше можно повторить для элементарных
частиц второго и третьего семейств; также можно ввести ана-
логичные дополнительные члены в лагранжиан S^int, которые
получаются из (8.49) заменой т и из (8.52) заменой
и-*-с, t и d-*-s, b. Так как хиггсова частица Я0 имеет константу
связи с фермионами, пропорциональную массе фермиона пу,
эта частица наиболее сильно связана с тяжелыми фермионами.
На этом мы закончим описание основных положений стан-
дартной модели. Остальная часть книги посвящена выводам из
нее следствий и обсуждению способов экспериментальной про-
верки предположений теории и ее предсказаний.
8.6. Замечание об энергии вакуума
Механизм Хиггса позволяет обсудить еще одну важную проб-
лему, появившуюся в космологических исследованиях. Выше мы
рассмотрели ненулевое вакуумное среднее v — ц2/Л. Теперь
можно рассчитать значение хиггсова потенциала (8.29) для
128
Глава 8
минимума, полагая $ = v. Получим V($ = v)=Vq =—W/2.
Так как v = 2Mw/g2 ~ 246 ГэВ, то Vo ~ 2- 109Х ГэВ4. Это вклад
в плотность энергии вакуума Вселенной, обусловленный спон-
танным нарушением симметрии.
В астрофизике установлено, что средняя плотность светя-
щегося вещества во Вселенной примерно равна 1 протону
на 1 м3, а средняя плотность массы немного менее чем в
100 раз превосходит это значение. Таким образом, значение
плотности полной энергии во Вселенной меньше примерно
10-4 ГэВ/см3.
Сравнивая это значение со значением Vo, следует задаться
определенным значением параметра X, которое надо подставить
в формулу для Vo (т. е. задать произвольную величину само-
действия хиггсового поля в выражении для потенциала Хиггса),
поскольку значение параметра X неизвестно и его, насколько мы
знаем, нельзя определить с помощью принципа калибровки; не-
обходимо также перейти к другой системе единиц. В частности,
положим 1 ГэВ3 = 1,3-1041 см-3. Хотя параметр X неизвестен,
но в конечном счете он должен быть определен из некоторых
фундаментальных соображений, таких как принцип калибровки.
Предположим, что Х^1/10; как мы увидим ниже, оконча-
тельный результат не слишком чувствителен к такой оценке
X. Используя это значение X, получим Vo = 2-lO49 ГэВ/см3, т. е.
значение, которое в 1054 раз больше, чем значение, которого
можно было ожидать на основе астрофизических экспери-
ментов.
Мы здесь не имеем явного противоречия, так как к потен-
циалу всегда можно добавить константу, не учитываемую в
теории, и добиться согласия для величины Vo. Но, чтобы это
сделать, надо подогнать значение обсуждаемой константы с
точностью до 10-54, что, очевидно, бессмысленно. По существу
в этом и состоит проблема космологической константы. Если
включить в теорию гравитацию, то члены, подобные рассмотрен-
ным выше в этой главе, дадут вклады в тензор энергии-им-
пульса и в силу уравнений Эйнштейна окажут сильное влияние
на геометрию пространства-времени. Это еще одно доказатель-
ство того, что, несмотря на замечательные успехи стандартной
модели на строгом фундаментальном уровне, она представляет
собой незаконченную теорию.
Задачи
8.1. Рассмотрите £[/(2)-инвариантную теорию. Возьмите
поле Хиггса в виде триплета, составленного из трех веществен-
ных скалярных полей, скажем из полей IVi, IV2 и IV3 (подоб-
Массы частиц и механизм Хиггса
129
ного триплету трех полей для пиона). Такой выбор, по-види-
мому, представляет собой хороший способ приписывания масс
калибровочным бозонам, поскольку мы имеем три частицы W
и три хиггсовых бозона.
а) Выпишите члены лагранжиана, соответствующие хиггсо-
вым частицам.
б) Примите р2 < 0 и X > 0 и покажите, что этот лагран-
жиан описывает массивный скаляр с массой V—2р2 и два
безмассовых бозона.
в) Введите в хиггсов лагранжиан ковариантные производ-
ные = Рассмотрите члены, которые ответ-
ственны за массы частиц W. Учтите, что для триплетного пред-
ставления матрицы Tk можно взять в виде —i&ijk- Покажите,
что при использовании такой процедуры ненулевые массы при-
обретают только частицы Wi и W2.
г) Прокомментируйте связь последних двух результатов
(пп. б и в). Проследите аналогию с выбором в качестве хиггсо-
ва поля дублета комплексных полей, как в разд. 8.4, где все
бозоны W приобретают ненулевые массы.
8.2. Излагая механизм Хиггса для стандартной модели, мы
использовали ковариантные производные (8.38) и формулу
(8.33) для разложения хиггсовых полей около вакуумного сред-
него для хиггсового потенциала (8.26). Полагая Я(х) = 0, мы
получили массовые члены для частиц W и Z исходя из
(8.39). Повторите эти рассуждения, положив И (х)=^= 0, и уста-
новите вид взаимодействия частицы Н° с калибровочными
бозонами W±t Z° и у. (Так как массовые члены уже найдены,
члены второго порядка по полям не следует рассматри-
вать.)
8.3. Каково отношение констант связи для u-кварка с ча-
стицей Z0 и с бозоном Я°, т. е. чему равно guuz^ Поста-
райтесь правильно определить это отношение.
8.4. Что бы изменилось, если бы мы выбрали ф\ Ф 0 вместо
^3=#=0, как в разд. 8.4?
8.5. В разд. 2.6 мы рассмотрели свободное комплексное ска-
лярное поле. Его лагранжиан обладал глобальной [/(1)-сим-
метрией. Следствия из этой симметрии можно было интерпрети-
ровать с помощью введения двух заряженных античастиц с ну-
левым спином. В разд. 8.2 мы также рассмотрели комплексное
скалярное поле, и полученные результаты интерпретировали с
привлечением двух нейтральных частиц различной массы с ну-
левым спином. Обсудите связь между этими двумя интерпрета-
циями.
9 г. Кейн
130 Глава 8
Рекомендации для дальнейшей работы
Последние книги по физике элементарных частиц содержат об-
суждение спонтанного нарушения симметрии. Айтчисон и Хей
[1] дают педагогически удачное изложение этих вопросов, в ко-
тором подчеркивается связь обсуждаемых идей с физикой
сверхпроводимости, ферромагнетизмом и калибровочной инвари-
антностью. Для читателей, знакомых с этими специальными раз-
делами физики, изложение в книге [1] будет полезным дополне-
нием к рассмотрению, проведенному в данной книге. Райдер
[61] посвящает специальную главу обсуждению спонтанного
нарушения симметрии и приводит интересные примеры из раз-
делов физики, не связанных с физикой элементарных частиц; он
приводит доказательство теоремы Голдстоуна и обширный спи-
сок литературы, относящейся как к физике элементарных ча-
стиц, так и к другим разделам физики.
Глава 9
Сечения, ширины распадов
и времена жизни.
Распады 1¥~ и Z-частиц
Закончив в гл. 8 изложение основных фундаментальных идей
стандартной модели, теперь мы опишем ее теоретические пред-
сказания и рассмотрим экспериментальную проверку послед-
них. Вообще мы хотим проиллюстрировать, как проводятся кон-
кретные вычисления в рамках стандартной модели.
В любой лагранжевой квантовой теории поля формулиру-
ются основные наборы правил составления выражений для
матричных элементов квантовых переходов, в которых исполь-
зуются фейнмановские диаграммы с вершинами и пропагато-
рами, как об этом упоминалось в гл. 2. Наблюдаемые, такие
как сечения, ширины распадов и времена жизни частиц, можно
рассчитать исходя из квадратов абсолютных значений соответ-
ствующих матричных элементов. Ориентируясь, согласно при-
нятому в этой книге подходу, главным образом на новую фи-
зику, мы здесь подытожим все результаты, которые будут нуж-
ны в дальнейшем; при этом будем широко использовать чисто
эвристические приемы. Ссылки на литературу, излагающую бо-
лее полную теорию, мы приведем в конце данной главы.
Рассмотрим матричный элемент S-матрицы между конечным
и начальным состояниями системы с импульсами Pf и Р,
Sfi = 6fi + (2л)4 б4 (Pf - Pi) (- iMfi) Д (9.1)
в него входит матричный элемент Мц с соответствующими мно-
жителями. Для вероятности квантового перехода имеем
_____-т-г 1 -п- Vd3Pf
dr = V (2л)4 64 (Pf - Р^ | Mfi |2 П Ц . (9.2)
> f. i fi ‘ f
где V — объем в обычном пространстве. В общем случае модуль
матричного элемента Мц нужно возвести в квадрат и просум-
мировать и усреднить по различным степеням свободы, не
наблюдаемым непосредственно на эксперименте, таким как
проекции спина или цветные проекции. В обозначение |MfX|2
включены соответствующие суммирования и усреднения, необ-
ходимые при расчете. Рассмотрим теперь формулу для сечения
9*
132
Глава 9
двухчастичной реакции Л + В->С + Е>, которое определяют как
вероятность перехода, деленную на поток:
= (9.3)
ПОТОК ' '
В' собственной системе отсчета частицы В поток равен Va/V,
где va — скорость частицы А. Можно показать, что vA =
“ViA.-'V)2 — т2Ат2в1ЕАтв. Используя тот факт, что мы про-
водим рассмотрение в собственной системе отсчета частицы В,
в которой эта частица покоится, получаем
<2я).У(Рс + Р„_Р^Рв) ________________
2£O(2«)’ ' Г ’
Множители, содержащие объем V, сократились, как и следо-
вало ожидать; окончательный результат имеет лоренц-инва-
рпантный вид.
(Чтобы убедиться в этом непосредственно, заметим, что мно-
житель d3P'/2Е лоренц-инвариантен при положительном Е, мно-
житель 6(Е2 — Р2 — m2)d*P тоже, очевидно, лоренц-инвариантен,
так как его можно представить в виде
S (Е2 - Р2 - m2) d*P =
= d ([Е - д/Р2 + т2] [Е + д/Р2 + m2]) d3P dE =
- d3P dE6 (Е - д/Р2 + т2) v (Е)/[Е + д/Р2 + от2] =-§-•)
Рассмотрим теперь процесс распада Д-^B-f-C, для которого
вероятность перехода (9.2) имеет вид
1 1 d3Pr ----
= + (9.5)
Так как 8' (Р« + Рс — Ра) = 6,(Ра + Рс - Ра )6(Е« + Ес - £,),
интеграл по d3PB в выражении (9.5) можно вычислить, исполь-
зуя дельта-функцию. Энергетический интеграл вычислить не-
много сложнее, так как надо учесть, что Ев зависит от Ес.
Учтем также, что 6(f(x)) = 6(x — *o)/|f(xo) |, если f(xo) = O, и
ЕВ = [(Р -Р )2 + т2в]1/2. Вычислим интеграл в собственной
системе отсчета частицы А, в которой она покоится. Тогда ар-
гумент дельта-функции можно представить в виде/= ЕС+[Е^+
+ rri^ — m^]1/2 — Еа, поэтому df/dEc = Ел/Ев. Окончательно
имеем
Сечения, ширины распадов и времена жизни 133
Остающееся интегрирование по углам частицы С провести
нельзя, так как зависимость матричного элемента М от углов
неизвестна. Заметим, что те соображения, которые мы исполь-
зовали, чтобы перейти от выражения (9.5) к выражению (9.6),
можно применить к сечению (9.4) для сечения реакции А-]- В-+-
->C + D; тогда получим
IPr| dO------ |Pr|dQr -------
d<y= _ ___—e_|M|2=j_d—с_|Л1|2_
Vs V(РА PBf - m2Aml 64Л- 64n2s | PA |
'Формулы (9.6) и (9.7) мы будем неоднократно использовать
ниже. В формулу (9.7) входит полезная лоренцева скалярная
переменная s = (Ра + Рв)2 (см. приложение В). Окончательный
вид формулы (9.7) для сечения получен в системе отсчета
центра масс частиц А и В. Если в экспериментах с элементар-
ными частицами наблюдают различные степени свободы, такие
как спин, цвет и т. д., то М обозначает матричный элемент для
квантового перехода с рождением частиц с указанными степе-
нями свободы. По другим степеням свободы надо суммировать
и соответствующим образом усреднять (см. ниже). Пример ис-
пользования формулы (9.6) описан подробно в разд. 9.3. Ши-
рина процесса имеет размерность массы, а сечение — раз-
мерность (масса)-2 (в естественных единицах). Перейти от
естественных единиц к обычным можно с помощью таблицы,
приведенной в конце гл. 1.
9.1. Связь времени жизни и ширины резонанса
с вероятностью распада
Рассмотрим нестабильную частицу. Волновая функция такой
частицы имеет вид ф (/) = ф (О)ехр (—iEt/h). Если Е— вещест-
венная величина, то |ф(/) |2 = |ф(0) |2 и квантовых переходов не
происходит, что явно неудовлетворительно. Следует ожидать,
что
|ip(/)|2 = |4>(0)|2e-//t, (9.8)
где т — время жизни нестабильной частицы, описываемой функ-
цией состояния ф. Тогда по истечении времени, равного времени
жизни, т. е. при t = x, вероятность того, что частица не распа-
лась, согласно (9.8), будет равна 1/е. Если положить Е = Eq —
—-zT/2, где теперь Г/2 — просто ImE, то мы получим результат
в виде (9.8).
134
Глава 9
Чтобы проиллюстрировать, что означает появление мнимой
части ImE, перейдем от функции ф(/) к ее фурье-образу:
оо
— оо
оо
= 1|) (0) die' <Е~Ы t^-rtnh =
^2п J
= lMi> _________!______ (9 9)
(Е - Ео) + 1Г/2 ’
где интеграл берется от 0 до оо, так как мы считаем, что ф = 0
до начального момента времени t = 0. Поскольку квадрат мо-
дуля фурье-образа волновой функции |ф(Е) |2 дает вероятность
получить состояние ф с энергией Е, имеем
I Л ( Р\ I2_ I Ф (0) I2___}______ /п 1 п\
1Ф(Е)| 2л (Л - £0)2 + Г2/4 *
В случае распадающегося состояния имеем не одно значение
энергии, а некоторую область энергий около центрального зна-
чения Е = Ео.
Сравнивая с (9.8), мы видим, что время жизни состояния
дается формулой
т-4. о-ю
причем в естественных единицах, конечно, h = 1.
9.2. Рассеяние на резонансном состоянии
Часто новые физические идеи возникают в результате изучения
рожденных на ускорителях новых элементарных частиц, кото-
рые по прошествии короткого времени распадаются на уже
известные частицы. Эта ситуация подобна резонансному рас-
сеянию в квантовой теории, обобщенному с учетом различных
частиц в начальном и в конечном состояниях. В этом разделе
мы рассмотрим процесс
A + B-*R->C + D. (9.12)
Например, частицами А и В могут быть позитрон и электрон
(е+ и е~) или пара кварков, а частицей Е может быть W±- или
2°-частица.
Сначала рассмотрим обычное рассеяние бесспиновых частиц
в квантовой механике. Затем обобщим результат и примем во
внимание полные наборы квантовых чисел, характеризующих
Сечения, ширины распадов и времена жизни 135
элементарные частицы. Обычное квантовомеханическое разло-
жение по парциальным волнам для амплитуды рассеяния бес-
спиновой частицы имеет вид
f(0) = -2^X (2/+ I) (е2,б/— 1) Р/(cos0), (9.13)
где х— волновое число (абсолютная величина трехмерного им-
пульса в системе центра масс) и 6/ — сдвиг фазы /-й парциаль-
ной волны. Возводя абсолютную величину амплитуды (9.13) в
квадрат и интегрируя по углам, получаем формулу для полного
сечения упругого рассеяния
<Тупр = 4£ (2/+ 1)Р5'- 1Г- = #£(2/+ 1) sin26Z. (9.14)
к I х I
Если б/ = л/2 для какой-нибудь парциальной волны, то сечение
для нее, согласно (9.14), оказывается большим, и мы говорим
в таком случае о резонансе, наблюдаемом для этой парциаль-
ной волны, или о резонансе для частицы со спином /. Чтобы
непосредственно проиллюстрировать резонансное поведение се-
чения рассеяния, запишем
eMi - 1 = 2/е‘б/ sin 6Z =-^ind'—Л- = —г. (9.15)
i COS О/ — I Sin О/ ctg Oi — I ' '
Обозначим через Е полную энергию рассеянной частицы, и
пусть Е = Е% при б/ = л/2. Тогда можно разложить ctg б/ в ряд
Тейлора вблизи резонанса:
ctg6/ ~ ctg6/ (ER) + (Е — ER)(d.cigbildE) (9.16)
При резонансе ctg6; = 0, причем при проходе через резонанс
ctg6; уменьшается. Введем сокращенное обозначение
9
(dctg6z/dE)|£=£^-T. (9.17)
Отсюда получаем окончательные формулы для амплитуды рас-
сеян ия
Е (9.18)
тс R *1 / ~
и для сечения рассеяния
аупр + 0 _/7^)2 + Г2/4 • (9.19)
Сравнивая с анализом в разд. 9.1, видим, почему принято
обозначение (9.17). Величина Г является мерой скорости изме-
нения сдвига фазы б/ вблизи резонанса. Другая интерпретация
величины Г следует из формулы (9.19), из которой видно, что
136
Глава 9
упругое сечение уменьшается в два раза при значениях энергии
Е— ER = ±Г/2. Функция вида (9.19) называется резонансной
функцией Брейта — Вигнера. На рис. 9.1 показана эта функ-
ция, причем видно, что Г является полной шириной кривой на
уровне половины максимума. Заметим, что амплитуду брейт-
вигнеровского резонансного рассеяния можно выразить через
Рис. 9.1. Брейт-вигнеровская резонансная кривая.
лоренцевы скалярные величины, для чего числитель и знаме-
натель в (9.19) надо умножить на ER-\-E. Так как s = E2, sR =
= E2R = m2R и ER + Е « 2 aJsR = 2tnRi если резонансное прибли-
жение справедливо, то получаем
Г/2
Е — Е — iV/2 (s q — s\ — ItTijS
К \ f К
(9.20)
Теперь мы можем обобщить приведенные рассуждения на
реальную ситуацию, когда частицы могут нести цвет и распад
может происходить в несколько разных конечных состояний.
Основным при этом будет замечание о причине появления мно-
жителя 21 + 1 в формуле (9.19) для резонансного рассеяния
частицы со спином I. Суть этого замечания состоит в том, что
после интегрирования по углам все 21 + 1 состояния, соответ-
ствующие различным проекциям lz, дают одинаковые вклады.
Аналогично если конечные частицы обладают спинами, то
при рассеянии может появиться любое из 2s -f- 1 состояний
каждой частицы (для фотонов и глюонов, которые имеют
только поперечные поляризации, число 2s + 1 заменяется
на 2).
Что касается состояний начальных частиц, то ситуация не-
много сложнее. Предположим, что две частицы со спином 1/2
образуют при рассеянии друг на друге резонанс со спином
нуль. Состояния начальных частиц могут объединяться в три-
плетное или синглетное состояние, причем три из четырех воз-
Сечения, ширины распадов времена жизни 137
можных комбинаций входят в триплет. Только синглетное со-
стояние может давать резонанс с нулевым спином. Легко по-
нять, что правильным будет усреднение по проекциям началь-
ных спинов, т. е. суммирование по всем проекциям спинов с по-
следующим делением на число спиновых состояний (2sx + l)X
X(2sb+1).
Аналогичные рассуждения можно провести и для цветных
состояний. Цветная кратность вырождения состояний для квар-
ка равна 3, а для глюона 8. В случае цветного синглетного со-
стояния она равна 1. Резонансы могут обладать любой из ука-
занных кратностей.
Предположим теперь, что частицы А и В имеют спины sA и
sB и цветные кратности сА и св и рассеиваются с образованием
промежуточного резонансного состояния R со спином $д и с
цветной кратностью cR. Для сечения такого процесса рассеяния
имеем формулу
o(X + B^/?->C+D + E+...)^
л Г (2Sj?+l)C/? 1 Г*в1?
х2 UWtMOvJ (£я-£)2 + Г*/4' ’
Здесь —- полная ширина, а ГАв — парциальная ширина для
процесса которая служит мерой вероятности реакции
AB-+R\ — парциальная ширина для конечного состояния,
причем разрешен любой конечный процесс вида + +
+ Е + ... . Если нас интересует полное сечение рождения ча-
стицы, то надо просуммировать (9.21) по всем модам распада
состояния /?, что ведет к замене т. е. к замене пар-
циальной ширины на полную ширину.
Когда ширины Глв и Г* заранее определены, следует про-
вести суммирование по спинам, как описано выше.
Часто при использовании формулы (9.21) в нее вносят одно
кинематическое изменение. Мы определяем лоренцеву скаляр-
ную величину 5 как $= (рА+рв)2. Так как в системе отсчета
центра масс полная энергия системы равна £=£А+£в, то
s — E2. Аналогично sR== E2R = m2R (масса единственного состоя-
ния, рождаемого в состоянии покоя, и энергия этого состояния
равны). В релятивистских обозначениях x2=[s—(шА+/Пв)2]Х
X[s — (mA— mB)2]/4s. Так как при E^=ER сечение мало, энер-
гию Е можно заменить на резонансную энергию ER и наобо-
рот везде, кроме знаменателей формулы Брейта — Вигнера.
Тогда, умножая (9.21) на (ERA~Eyi (ERArEy^4s!(ER-[-E)2.
138
Глава 9
получаем формулу 3
a(A + B->R->C + D + E+ ..~
~ 4jls Г (2sR + О CR 1___________/д 91
~ X2 1(41 + l)(2sB+ 1)САСВ J (5_т2)2 + т2Г2 • '
Часто используют именно формулу (9.21z), а не формулу
(9.21), так как s— лоренцева скалярная величина, что обычно
удобно. Небольшое численное расхождение между формулами
(9.21) и (9.2Г) обусловлено погрешностями резонансного при-
ближения. Заметим, что из формул (9.21) и (9.21') видно, что
сечение резонансного рассеяния не может быть произвольно
большим. При больших s получаем неравенство
а < (16лГ^в)/Гд/п^, если пренебречь статистическими множите-
лями. Таким образом, масса резонанса, его ширина и вероят-
ности мод распада ограничивают величину сечения о.
9.3. Ширина IF-частиц
В гл. 10 мы еще воспользуемся формулой (9.21') для вычисле-
ния сечений процессов рождения W±- и 2°-частиц. При этом в
качестве частиц А и В будем рассматривать кварки, являю-
щиеся составными частями протонов, и будем учитывать, что
частицы W± и Z° могут распадаться во все конечные состояния,
разрешенные в стандартной модели.
Чтобы рассчитать ширину ^-частиц Г, нужно, согласно
(9.6), вычислить квадрат модуля матричного элемента, просум-
мированный и усредненный по спинам, и вычислить соответ-
ствующий интеграл по углам. Существует своя ширина для
каждого канала, или моды распада ^-частицы. Поскольку нам
нужна лишь приближенная оценка, вычисления провести не-
сложно. На ряде примеров в разных главах мы убедимся, что
оценочные расчеты ширин распадов или сечений не требуют
никаких дополнительных сведений, кроме приведенных выше.
Рассмотрение всегда следует начинать с лагранжиана (7.32);
при этом надо убедиться, что интересующий нас квантовый пе-
реход возможен. Так, для ^-частицы возможны процессы рас-
пада (с учетом только частиц первого семейства)
W+->e+ve, ud. (9.22)
Кроме того, имеются соответствующие каналы распада ^-ча-
стицы на частицы двух других семейств, получаемые из (9.22)
Сечения, ширины распадов и времена жизни 139
заменой е на р, т; ve на Vp,, vT; и на с, /; d на s, b. Таким обра-
зом, помимо (9.22) имеем следующие процессы:
U7+->H+vr, r+vT, cs, tb. (9.23)
Так как образующиеся при распадах (9.22), (9.23) частицы яв-
ляются фермионами со спином 1/2 и из вида лагранжиана мож-
но заключить, что все соответствующие этим процессам вер-
шины сопровождаются множителем gJ'yj'Z, достаточно рассмот-
реть только один из приведенных распадов. Для остальных
получим тот же результат.
Матричный элемент процесса дается выражением
M = -^z^PLv, (9.24)
где — поляризационная волновая функция частицы 117, а ё п
v — спинорные волновые функции позитрона и нейтрино.
Теперь надо из (9.24) составить квадрат модуля, просумми-
ровать | М |2 по проекциям конечных спинов и усреднить по про-
екциям начальных спинов. Можно было бы, конечно, провести
соответствующие преобразования, но наша цель состоит нс в
том, чтобы сообщать читателю сведения, необходимые для ра-
боты в физике элементарных частиц. Мы хотим достигнуть пони-
мания на полуколичественном уровне основных проблем и дости-
жений современной физики элементарных частиц. Поэтому здесь
и далее мы будем проводить очень приближенные вычисления.
Поскольку в формулу (9.24) входит оператор проецирова-
ния PL, который позволяет взаимодействовать с ^-частицей
только левому нейтрино ve и левому позитрону е+, мы должны
учесть только по одному спиновому состоянию для и ve. Ча-
стица имеет три состояния поляризации, но по ним мы проводим
усреднение, поскольку 117—начальная частица. Поэтому опера-
ции суммирования и усреднения по спиновым состояниям дают
просто множитель 1. Как следует из (5.47), произведение полей
€v имеет размерность массы, так что квадрат модуля матрич-
ного элемента должен иметь размерность (масса) . Пренебре-
гая массами позитрона и нейтрино, видим, что единственная вели-
чина, которая имеет размерность массы, Му. Пользуясь только
соображениями размерности, нельзя установить, чему равна
масса Mw, Mw/2, и т. д., но наша цель состоит лишь в том,
чтобы дать приближенную оценку ширины Гц/. При этом мы
производим какой-то выбор значения коэффициента у массы и
просто заменяем спиновый множитель йи соответствующей мас-
сой или энергией. Таким образом, мы положим г^ёу^РгУ =
140
Глава 9
С учетом того, что спиновые множители имеют порядок 1, как
отмечалось выше, получаем
« g2M2w/2. (9.25>
Правильный результат равен так что мы ошиблись в
своих оценочных расчетах только на множитель 3/2. Ниже в,
заключение всех наших оценочных расчетов мы всегда будем
приводить также правильные значения величин, чтобы иметь,
формулы для последующих выкладок и ссылок. Конечно, для
читателя, не собирающегося работать в области физики эле-
ментарных частиц, вряд ли нужны такие точные результаты.
Ему вполне достаточно знать основные величины с точностью-
до множителя 2 или 3. При этом читатель может проводить
выкладки самостоятельно и не сомневаться в своей способности
выводить и понимать формулы теории элементарных частиц для
скоростей квантовых переходов.
Итак, согласно формуле (9.6), в собственной системе отсчета-
частицы W получаем
(9.26)
JV1 oZTl
Так как усредненный квадрат модуля | М |2 для неполяризован-
ной 117-частицы не зависит от углов для конечных частиц, инте-
грирование dQ можно заменить просто на 4л. Пренебрегая
массами позитрона и нейтрино, получаем, что энергия электро-
на равна Л4^/2, так что Ре ~ Рое ~ А4^/2. Таким образом, окон-
чательно имеем
1 w _ —t (9.27)
где введено обозначение а2 = £2/4л. Очевидно, что не проводя
каких-либо вычислений, можно было положить
где д — числовой коэффициент. Обычно надо считать 6 ~ 1
когда рассматривают полную ширину распада частицы, просум-
мированную по всем каналам (см. (9.28)).
При рассмотрении кварковых каналов распада необходимо
учитывать одну тонкость. Частица W может распадаться на
кварки любого цвета а, например W+~+urdr, W+-+Ubdb и т. д.,
так что каждый кварковый канал дает вклад в 3 раза больший,,
чем вклад канала распада U7+ -> e+vc- (В строгих расчетах мно-
житель 3 возникает потому, что IV — цветной синглет, так что*
если цветные индексы кварков обозначим а, р, то зависимость
Сечения, ширины распадов и времена жизни
141
матричного элемента от цветных индексов будет характеризо-
ваться дельта-символом бар, а квадрат модуля матричного эле-
мента перехода, просуммированный по конечным цветным индек-
сам, будет равен М2 = Ха, р = Ха^аа = 3.) Таким обра-
зом, полное число каналов для каждой из возможных мод
распада частицы W+ равно
IF+->e+ve 1
ud 3
1
cs 3
T + Vx 1
tb 3
12~
Поэтому полная ширина распада 117-частицы, полученная в ре-
зультате суммирования по всем каналам, равна
Г™лн == а2Л4^. (9.28)
Ширина (9.28) рассчитана в предположении, что массами всех
конечных фермионов можно пренебречь по сравнению с Му. Та-
кое предположение верно для всех фермионов, за исключением
/-кварка. Хотя масса /-кварка в настоящее время неизвестна, но
она не может быть меньше 23 ГэВ, так как в противном случае
его удалось бы детектировать в экспериментах с е+е--столкно-
вениями. Таким образом, необходимо вводить кинематическую
поправку для 1/4 всех каналов распада; если масса mt слишком
велика, то канал tb кинематически исключен. Поскольку мы
здесь интересуемся приближенными результатами, эти детали
не должны нас беспокоить. Таким образом, окончательно пол-
ная ширина 117-частицы дается формулой (9.28), парциальная
ширина для канала Z+v/— формулой (9.27), а парциальная ши-
рина для канала ud — формулой (9.27), умноженной на 3. При-
бегая к нашим оценочным расчетам, мы можем «вычислить»
также ширину распада и получить результат а2Л4^/8
в хорошем согласии с формулой (9.27); можно также просто
«угадать» результат (9.28), который правилен. Заметим, что по-
явление множителя 3 для цветных индексов — первое предсказа-
ние теории цветных сил, подлежащее экспериментальной про-
верке. Из стандартной модели следует, что распады частиц
W- на кварки должны происходить в 3 раза чаще, чем на
лептоны. Отсюда следует наличие свойства, различного для
кварков и лептонов, и численное значение цветных состояний
142
Глава 9
кварка. Данное предсказание не противоречит имеющимся
экспериментальным данным, но требует более тщательной
экспериментальной проверки.
Численные значения равны сс2 ~1/30 и Mw ~ 82 ГэВ (в
гл. 10 и 11 описаны способы измерения этих величин), так что
Г5?лп ~ 2,7 ГэВ, (9.29)
Гк « 0,23 ГэВ, (9.30)
~ 0,68 ГэВ (9.31)
с точностью до двух значащих цифр. Заметим, что резонанс Не-
довольно узкий; для него Г/М = а2~ 1/30. Ширины распадов
1Р--частицы на частицы rvT и cs того же_порядка величины,
что и (9.30) и (9.31) для распадов на ev и ud. Ширина распада
tb намного меньше, так как массы конечных частиц больше, а
потому фактор фазового пространства немного меньше.
Тот факт, что кварки удерживаются в адронах и наблюдают-
ся в экспериментах только в виде адронных струй (гл. 15), не
влияет на обсуждаемые результаты, поскольку мы учитываем
все способы, которыми кварк образуют адроны. Вместе с тем
при расчетах парциальных ширин для конкретных адронных
конечных состояний необходимо знание волновых функций свя-
занных состояний кварков в адроне; обсуждение этих вопросов
выходит за рамки данной книги.
9.4. Ширина 2°-частицы
Исходя из основного лагранжиана, можно также рассчитать
ширину И°-частицы. которая характеризуется только диагональ-
ными по ароматам взаимодействиями:
-+d(l,
где приведены только частицы первого семейства. Разумеется,
аналогичные распады происходят и на частицы второго и
третьего семейств. Снова массами конечных частиц с самого на-
чала можно пренебречь, за исключением распада на tt, и сле-
дует учесть, что кварковые каналы имеют парциальные шири-
ны в 3 раза большие, так как они объединяют по 3 цветных
канала.
Сечения, ширины распадов и времена жизни
143
Рассмотрим канал распада е+е~. Согласно (7.32), матричный
элемент этого распада дается формулой
Мс+е~ = ~ Т + Sin2 6 J + (° + Sin2 0w)] ’
(9.33)
которая аналогична формуле (9.24), но имеет немного более
сложную спиновую структуру. Множители в круглых скобках
являются значениями величины Т3— Qsin29w, как следует из
(7.25). Напомним, что в гл. 5 мы уже убедились, что
el^eL=eL^^LeL^ поэтому каждый член в (9.33) имеет та-
кой же вид, как в случае распада 117-частицы. Далее, посколь-
ку левые фермионы не могут превращаться в правые (т. е. пе-
реворот спина не происходит), так как эти фермионы безмассо-
вые, оба члена в формуле (9.33) не могут интерферировать
друг с другом в рассматриваемом приближении, когда массами
конечных частиц пренебрегается. (Следует учитывать поправки
порядка rnjIMw для всех фермионов /.)
Таким образом, можно рассчитать ширину распада Г^+е ,
повторяя рассуждения, ведущие от (9.24) к (9.28), или просто
делая в формуле для замену
ге~'- (>Р !(~4++(»+
<э-34>
и очевидную замену Для' других фермионов надо ис-
пользовать замены
Tsi"!e" + Tsi"‘0"]’ <М6>
CUo Uyy i_ Hr О J
2
+ (о + Т М!] = Tsfcli ~ Т si"20- + 4 si"‘0 J (9'37>
Кроме того, нужно заменить а2 на a2/2cos20^ в формуле для
распада veve и т. д., чтобы получить окончательные выражения,
Глава 9
144
а также сделать другие аналогичные замены. Тогда получим
формулы
r^-TsraX<1-4sl"I(’- + 8sl"'e").
а2^ Z
~ 24 cos2 0^ ’ (9.38)
тлйи_ ^a2^Z ( 1 8. 2а I 32 . 4q \
~ 24 cos2 0ц, v 3 Sin 0ц; + 9 sin 0^j,
Tidd_ ^a2^Z (л 4 . 2a I 3 . 4q \
~ 24 cos2 еш V ’3"slrl e®+ 9 sln 9aJ-
Здесь для кварков включены дополнительные множители 3, о
которых говорилось выше.
В гл. 11 подробно рассматриваются методы измерения
sin2 0^. Наилучшее в настоящее время экспериментальное зна-
чение этой величины равно sin2 0W = 0,23; оно известно с точ-
ностью 5%. Используя это значение в формулах (9.38), полу-
чаем
rez+e~ =0,08 ГэВ, ^ = 0,16 ГэВ, (9 39)
Г“" = 0,28 ГэВ, rd’d = 0,36 ГэВ.
Для распада на частицы первого семейства получаем, таким об-
разом, полную ширину распада 0,88 ГэВ, а для распадов на
частицы всех трех семейств имеем полную ширину
Г™лн = 2,64 ГэВ; (9.40)
почти точно такое же значение (случайно) получается для пол-
о -рПОЛН
нои ширины 1 w .
Одно из интереснейших свойств полного сечения Г™лн со-
стоит в том, что любая новая частица х, имеющая ненулевой сла-
бый спин, а потому взаимодействующая с частицей Z0, согласно
(7.25), обязательно появляется при распадах /°-частиц. Напри-
мер, если кроме трех семейств элементарных частиц существует
еще другие семейства и их нейтрино имеют массы меньше Mz/2,
то должны происходить распады Z->vxVx, которые увеличивают
ширину Г™*™. Поскольку каждая нейтринная пара вносит в
rrz0J1H вклад 160 МэВ, чтобы детектировать такой вклад, необ-
ходимо провести измерение Гг°лн с точностью лучше 100 МэВ.
Ожидается, что такие эксперименты впервые удастся провести
на электронном коллайдере SLC в конце 1987 г. или в начале
1988 г. В настоящее время наилучшее значение ширины
Сечения, ширины распадов и времена жизни 145
Г/ОЛИ^<5,6 ГэВ с достоверностью 90%; оно получено группой
UA2 в ЦЕРНе.
Согласно (9.11), время жизни частиц Z0 и W- равно
т\г= 1/Гцг = 1/2,64 (ГэВ)-1. Согласно (1.1) или (1.2),
1 (ГэВ)-1 = 6,6-10-25 с, так что тц? = 2,5-10-25 с. Расстояние,
проходимое частицей W за это время, равно усх. Поскольку
коэффициент у = Ew/Mw имеет значение меньше 10 для совре-
менных ускорителей и ускорителей, которые могут быть по-
строены в ближайшие десятилетия, и с — 3-1010 см/с, расстоя-
ние, которое частица W может пройти до своего распада, по-
рядка 10-14 см. Возможно, детекторы элементарных частиц в
будущем позволят наблюдать расстояния между точками обра-
зования частицы и ее распада порядка 10-2 см, но ненамного
меньше этого значения. Таким образом, частица W всегда бу-
дет распадаться прежде, чем ее удастся детектировать, поэтому
о существовании этой частицы мы будем судить только по на-
блюдению продуктов ее распада.
9.5. Вероятности мод распада
Отношения Г^/Г^?лн и Гг/Гг°лн называются вероятностями мод
распада; они определяют скорости рождения и моды распада,
которые позволяют детектировать частицы W'± и Z0. Используя
парциальные ширины, вычисленные в разд. 9.3 и 9.4, получаем
следующие значения для вероятностей мод распада BR частиц
IF- и Z0:
BR(r±^e±v) = BR(117±->H±v) ~ 1/12,
BR(U/±^//d) = BR(lV'± — cs) ~ 1/4,
BR (Z°-><?+e-) = BR (Z°—> ц+ц“) 0,030,
BR (Z° -+ uu) = В R (Z° -> cc) « 0,106,
BR(Z°—>d(?) = BR(Z°->ss) « 0,136,
BR (Z° -+ veve) = BR (Z° -+ vuvg) = BR (Z° -> vTvT) « 0,061.
Значения вероятностей мод распада W±- и Z°-4acTHn на tv, bb
и lb читатель может рассчитать самостоятельно. Заметим, что
при вычислении значений вероятностей мод распада учитывают-
ся множители 3 для кварков; поэтому экспериментальное под-
тверждение вычисленных значений вероятностей мод распада
может служить доказательством того, что кварки имеют три
цвета и их взаимодействие описывается 5(7(2) X 0 -симмет-
рией.
ю г. Кейн
146
Глава 9
Задачи
9.1. Предположим, что существует четвертое семейство эле-
ментарных частиц с полным набором частиц, включая четвер-
тое нейтрино v4 с массой, подобной массам остальных нейтрино,
и что калибровочные взаимодействия частиц четвертого семей-
ства такие же, как для частиц трех известных семейств. Чему
будет равна вероятность моды распада Z->v4v4? Чему будет
равна вероятность моды распада IF±->Lj:v4, где Л4 — заряжен-
ный лептон четвертого семейства.
9.2. Предположим, что мы хотим измерить сечение столкно-
вения нейтрино с правым электроном чтобы найти зна-
чение sin2 9^. 1) Как это сечение зависит от 9tw? 2) Оцените ве-
личину сечения, принимая tn2z s т%. Затем: а) нарисуйте
фейнмановские диаграммы, характеризующие рассеяние, исполь-
зуя правила гл. 7; б) составьте выражения для вершинных мно-
жителей и пропагаторов; в) воспользуйтесь приближениями, опи-
санными в разд. 9.3, и получите выражение для матричного эле-
мента; г) перейдите от формулы для матричного элемента к
формуле для сечения, используя формулы, приведенные в на-
чале этой главы.
9.3. Основываясь на формулах разд. 9.2, убедитесь, что сече-
ние физического процесса а + b -> с + d ограничено сверху не-
равенством о 16л/(2$д + 1 ) (2sB 4- 1), если величина Vs
больше значений масс сталкивающихся частиц и рассеяние про-
исходит через образование резонансного состояния.
Рекомендации для дальнейшей работы
Выводы формул, выражающих вероятность перехода и сечение
через амплитуду рассеяния, в том или ином виде приводятся во
всех стандартных учебниках квантовой механики. Один из наи-
более полных таких выводов с обсуждением всех тонкостей дан
в книге Готтфрида [25]; но и в этом выводе не учтено расплы-
вание волновых пакетов. Обсуждение на самом фундаменталь-
ном уровне читатель найдет в книге Де Вита и Смита [13].
Вместе с тем в физике элементарных частиц, где по существу
все взаимодействия точечные, достаточно самого простого вы-
вода таких формул.
Глава 10
Рождение на ускорителях W±-
и Z0-4acTHij
После теоретического предсказания значений масс W-- и И°-час-
тиц и подтверждения многочисленными косвенными способами
теории, на основе которой было сделано это предсказание, очень
важно было непосредственно экспериментально обнаружить
электрослабые калибровочные бозоны. Но их предсказываемые
массы очень велики — порядка 80—100 ГэВ. (Поскольку зна-
чения масс этих бозонов определяются значением sin2 0^, как в
(8.41) и (8.43), точные значения этих масс зависят от точности
определения sin2 0W, которая в то время составляла только при-
мерно 30 %. Кроме того, тщательный учет поправок к простей-
шему варианту теории приводил к увеличению предсказываемых
значений масс почти на 3 %, а столь большие значения поряд-
ка 3 ГэВ не могли игнорироваться при проектировании экспери-
ментов.) Таким образом, необходимо было научиться получать
на ускорителях частицы с массами порядка 100 ГэВ, что требо-
вало значений Vs Ю0 ГэВ, причем рождения частиц долж-
ны происходить с достаточной интенсивностью, чтобы можно
было детектировать достаточное число событий.
Можно было ожидать получения частиц Z0 на ускорителях,
в которых сталкиваются пучки е+ и е~ (рис. 10.1). Но все дей-
Рис. 10.1. Столкновение eve~, рождающее частицу Z0, которая распадается
на пару Ц+Н“.
ствующие в то время или планируемые ускорители такого типа
имели Vs <^40 ГэВ. Так как электроны легко излучают энер-
гию, будучи очень легкими частицами, ускорить их до необхо-
димых высоких энергий очень трудно. Такие электронные уско-
рители создаются только в настоящее время. Один из них —
10*
148
Глава 10
коллайдер SLC, при конструировании которого использованы
некоторые новые идеи создания линейных ускорителей; ожида-
ется, что на нем будут получены частицы Z0. Другой ускори-
тель LEP строится в ЦЕРНе; ожидается, что на нем начнут
получать частицы Z0 в 1989 г. Как отмечено в приложении В,
посвященном релятивистской кинематике, достичь больших
энергий намного легче при столкновении встречных пучков,
чем в ускорителях с неподвижной мишенью. На ускорителях с
неподвижной мишенью, чтобы наблюдать ZMacrnnbi, потребо-
вались бы энергии пучка, примерно в 100 раз превосходящие
значения, достигнутые в настоящее время.
Таким образом, оставался только один способ получения ка-
либровочных электрослабых бозонов — использование столкно-
вений друг с другом кварков, заключенных в протонах. Этот
способ имеет дополнительное преимущество, состоящее в том,
что с его помощью можно получать одновременно и заряжен-
ные 1^+-бозоны, и нейтральные Z°-6o3OHbi, как это показано на
рис. 10.2, где представлено по одному соответствующему про-
8
Рис. 10.2. Процессы рождения W+- и 7°-частиц на адронном коллайдере.
цессу. (На электронном коллайдере можно рождать только
Z0-частицы, если Vs = чтобы получать на нем детектируе-
мые ^-частицы, необходимы значения V5 > 2MW.) Но кварки
заключены в адронах, так что нужно ускорять адроны и затем
заставлять их сталкиваться. В гл. 18 мы более систематически
рассматриваем кварковую и глюонную структуру адронов;
здесь же ограничимся очень простым рассмотрением и сообщим
лишь то, что нужно для оценки скоростей рождения и детекти-
рования W±- и Z°-4acTHH. В ЦЕРНе было принято решение по-
строить протон-антипротонный коллайдер, так как протоны и
антипротоны можно ускорять при их движении в противополож-
ных направлениях в одном и том же кольце из магнитов, а не
в двух кольцах, которые нужны, чтобы заставить сталкиваться
протоны с протонами.
Рождение на ускорителях W±- и 2°-частиц
149
10.1. Способ заставить кварки сталкиваться
Протон построен из кварков и глюонов; приближенно его со-
став можно представить в виде
р = uud -|- ий dd Н- S’ Н” S’ • • • •
валентные кварки вакуумные кварки глюоны
(10.1)
Первый член uud имеет такие же значения спина, электриче-
ского заряда и цвета (цветной синглет), как и протон. Покоя-
щийся протон в основном состоит из этих трех кварков, если
рассматривать его электрослабые свойства. Но в релятивистской
теории всегда следует учитывать рождение пар частица — анти-
частица, так что протон должен содержать определенное коли-
чество пар кварк — антикварк ий, dd и т. д., каждую с некото-
рой определенной вероятностью. Глюоны — это бозоны, которы-
ми постоянно обмениваются кварки, что обеспечивает силы,,
удерживающие кварки в адроне.
Как можно было ожидать, импульс протона примерно по-
ровну поделен между его кварками и глюонами. Поскольку в
протоне имется три валентных кварка, каждый из них обла-
дает в среднем 1/6 частью импульса протона (0,15 импульса).
Рассмотрим количественную формулу. Пусть Р — 4-импульс
протона, a pi — 4-импульс рассматриваемого кварка. Тогда мож-
но написать pi = XiP, где Xi — число, характеризующее долю,
вносимую в импульс протона i-м кварком. Для любого данного-
кварка наиболее вероятны малые значения Xi, так как пары
кварк — антикварк часто появляются, но столь же часто и исче-
зают (кварки указанных пар называют вакуумными). Когда
доля Xi данного кварка увеличивается, вероятность найти соот-
ветствующий кварк с долей импульса Xi уменьшается. При
Xi « 0,15 мы имеем заметную вероятность; при больших значе-
ниях Xi вероятность быстро спадает.
Когда происходит столкновение, в котором участвуют час-
тицы с массами и передачами импульса, много большими, чем
значения, характеризующие частицы внутри протона, можно
рассматривать «структурную функцию» Fq/P(x), характеризую-
щую вероятность обнаружения в протоне кварка q, имеющего
долю импульса от х до x-\-dx. Аналогичные структурные функ-
ции существуют для глюонов. Подобные структурные функции
имеются и для антикварков и т. д. в антипротоне. Структурные
функции удается измерять в различных экспериментах, которые*
мы опишем в гл. 18. Таким образом, сечение процесса ud-> W+
рождения И7+-частицы при протон-антипротонном столкновении
150
Глава 10
дается формулой
ст = S $ dxidxiFuiP (*1)Fdip 6 (ud v/+) - (Ю-2)
где a — так называемое «конституентное сечение» процесса
и + d -> UZ+, причем сечение а является функцией импульсов
кварков и и 3, а также их долей Xi и х2. Полное сечение полу-
чаем интегрированием по Xi и х2. Рассмотрим теперь консти-
туентное сечение рассеяния д в стандартной модели (в
разд. 10.2), а затем проинтегрируем его с весовыми экспери-
ментально измеренными структурными функциями, чтобы по-
лучить полное сечение протон-антипротонного столкновения.
10.2. Конституентное сечение
Это сечение можно рассчитать, исходя из формулы (9.21х),
вводя сокращенное обозначение s для квадрата энергии в си-
стеме центра масс ud:
<j(u + d-^W+ f (10.3)
x2 2-2-3-3 (s - M^)‘+ Л12ГГ-^
Пренебрегая массами кварков и и d по сравнению с массой
получаем x2 = s/4, так что коэффициент в формуле (10.3) ока-
зывается равным 4л/3. Так как мы производим лишь прибли-
женный расчет, то примем, что справедливо приближение ма-
лой энергетической ширины (которое выполняется при
TuVAluz <С 1). Используя очевидное приближенное соотношение
6 (х — z) « — (2 _ ^2 + хГ2 - (10-4)
получаем
2 -1F
(10.5)
3
Как и следовало ожидать, в формуле (10.5) появилась 6-функ-
ция, обеспечивающая выполнение закона сохранения энергии-
импульса.
10.3. Сечение рождения П^-частиц
Чтобы установить характер зависимости о от х2, надо не-
много заняться кинематикой столкновения. Пусть р и р —
4-импульсы протона и антипротона, а ри и ра 4-импульсы квар-
Рождение на ускорителях UZ-- и 2°-частпц
151
ков. Тогда, согласно приложению В, учитывая что
ра = х2р, имеем
ри = Х1р>
s = (p + р)2,
s = (ри + PdY,
(10.6)
(Ю.7)
s = (%]р + х.2р)2 = (х2 + 4) т2 + 2л-гг2р • р,
s = 2т2 + 2р- р,
где мы воспользовались тем, что р2 = р2 = т2. Так как $
« m2w т2р и s > $, члены с т2 можно опустить. Тогда получим
s ~ XjXoS. (10.8)
Используя это выражение в аргументе 6-функции, получим
1 ( М1 \
6 (S - М2^ = 6 (w - MV)=- 6 Vv2 —гЛ <1 °-9)
Наконец, внося (10.9) и (10.5) в (10.2), приходим к оконча-
тельной формуле
4я2 гполн
ottZ = -3-^-BR(r±->ud)BR(f)X
дер
X $ dx{dx2u (Xj) d (х2) 6 (Х]Х2 — М2^"), (10.10)
где w(xi) обозначает функцию Fzz/P(xi), d(x2)—функцию
Fj/-(x2), а окончательный результат мы выразили с использо-
ванием вероятностей мод для начального и конечного про-
цессов. Согласно (9.41), начальная вероятность моды распада
BR(U/+->ud) = 1/4. Ниже мы приведем значение конечной ве-
роятности BR(f), когда будем обсуждать способы детектирова-
ния частицы W. Заметим, что сечение оу/ пропорционально от-
ношению Г5?лн/Л1г.
Если бы мы вместо процесса ud-^W+ рассматривали про-
цесс ий -> Z0, то надо было бы внести некоторые очевидные из-
менения. По существу формула (10.10) дает сечение рожде-
ния из кварков любой частицы со спином 1, являющейся цвет-
ным синглетом; нужно только очевидным образом изменить
значения входящих в формулу вероятностей мод распада, обо-
значения структурных функций и индексы. Отметим, что окон-
чательная формула (10.10) для полного сечения о состоит из
следующих четырех множителей: 1) численного коэффициента,,
который зависит от значений спинов и цветов (для частиц или
152
Глава 10
пучков с различными спинами и цветами этот коэффициент
имеет разные значения), 2) множителя Г^?лн/Л4^, который всегда
присутствует, 3) множителя, являющегося произведением ве-
роятностей мод для начальных и конечных процессов, и 4) мно-
жителя, характеризующего вероятность наличия частицы пучка
в протоне, который определяется только частицей, рождение ко-
торой мы рассматриваем.
Чтобы получить качественное представление о величине
интеграла в формуле (10.10), поступим следующим образом.
Разумеется, при строгом рассмотрении мы должны были бы
просто взять соответствующие структурные функции (см. гл. 18)
и вычислить для них указанный интеграл. Но, чтобы получить
лишь качественное представление о результате, воспользуемся
.простыми приближениями. Так, разумно предположить, что
и(х) ~ —^(1 -х)3; (10.11)
16 Д/X
коэффициент в этой формуле определяется условием норми-
ровки ^и(х) dx = 2 (мы учитываем, что в протоне имеется два
w-кварка). Очень грубо структурную функцию d(x) для d-квар-
ка примем равной 1/2и(х), учитывая, что в протоне имеется один
d-кварк. Формула (10.11) показывает, что вероятность того, что
кварк имеет большую долю импульса протона, уменьшается как
(1—х)3 и обращается в бесконечность (интегрируемую) как
1 д//х ПРИ малых х. Такая форма структурных функций квар-
ков довольно хорошо аппроксимирует более сложную функцию,
измеренную экспериментально.
Интеграл в формуле (10.10) (если ввести обозначение
x = Mw/s) принимает вид
I = dx{dx2u (Xj) d (х2) 6 (XjX2 — M2w/s) =
i
= $M(x)d(X)^_ (10.12)
T
Подставляя в (10.12) выражение (10.11) для кварковых струк-
турных функций, получаем интеграл, _берущийся аналитически.
По данным ЦЕРНа /4^ = 82 ГэВ, д/s =630 ГэВ (т = 0,017);
следовательно,
z_f35\2 1 { (1 -х)3(х-т)3
116/ 2 д/F х4
т
Рождение на ускорителях W±- и 2°-частиц
15а
Из-за появления малого знаменателя х4 в подынтегральном вы-
ражении для интеграла I получим намного большее значение,
чем можно получить, если раздельно вычислить интегралы по
и и d\ получаемое значение равно /=16,4. При использовании
измеренных структурных функций кварков получаем меньшее
значение.
Перемножая все множители, находим
а ГэВ) J_ Г) TD / А 1 А 4 1 ~
~ 3 (82 ГэВ) 4 ’ 1Ь’4 (630)2 ~
«2- 10~33BR(f) см2, (10.13}
где использована таблица из разд. 1.5 для перехода от ГэВ~2
к см2.
10.4. Распад IF-частицы
и полная скорость появления событий
В заключение следует обсудить, какие конечные состояния рас-
пада IF-частицы можно детектировать. Когда ^-частицы рож-
даются и распадаются в процессе W±-^e±vi частицу W можно
считать покоящейся. При этом электрон часто вылетает под
большим углом к направлению первоначального пучка, а в про-
тивоположном направлении вылетает нейтрино (которое в экспе-
риментах не детектируется, так как очень слабо взаимодейст-
вует с веществом); при этом возникает событие с отчетливым
наблюдением большого электронного (позитронного) недостаю-
щего импульса. Подобные события наблюдаются и при про-
цессе В случае процесса лептон т очень
быстро распадается (его время жизни мы рассчитываем в
гл. 19) и его трудно наблюдать. Когда происходит процесс
W±->-qq, образующиеся при распаде WZ-частицы кварки наблю-
даются в виде струй, которые легко детектируются (см. гл. 15),.
но в этом случае трудно идентифицировать ароматы отдельных
кварков (u, d, с, $, ...). Поэтому любой процесс рассеяния qq,
qq, qg, gg, qg, который 'приводит к тому же конечному состоя-
нию с двумя кварковыми или глюонными струями, будет маски-
ровать процесс рождения пары qq из частицы Поскольку
все указанные процессы рассеяния возникают вследствие обме-
нов кварком или глюоном и характеризуются константой связи
цветного взаимодействия КХД, они имеют большие сечения, по-
этому процессы W±->qq трудно детектировать.
Вследствие указанных причин можно заключить, что: 1) по-
скольку в реальном процессе искусственно рохдаются как
117+-частицы, так и 1Г“-частицы, полное сечение процесса в два
154
Глава 10
раза больше значения, даваемого формулой (10.13), и 2) можно
детектировать моды распада W--+e-ve и W'-— ц-v^, которые
дают значение конечной вероятности моды распада, равное 1/6.
Таким образом
(Тц, «0,6-10~33 см2. (10.14)
В гл. 12 мы рассмотрим основные характеристики ускорителей
элементарных частиц; здесь мы лишь заметим, что число эле-
ментарных событий, наблюдаемых в экспериментах на ускори-
теле, дается формулой
N = оЫ\ (10.15)
где L—светимость, которая является характеристикой ускори-
теля, Т — время пролета частицы, о — сечение процесса. При
Т = 107 с (1 год = л-107 с) и для сечения а у/, рассчитанного по
формуле (10.14), ускоритель для искусственного рождения
W-частиц должен проектироваться со светимостью L
10/0,6-10-26 см-2 с-1 = 1,6-1027 см-2 с-1, чтобы давать 10 со-
бытий в секунду при разумной эффективности детектора. При
эффективности детектора меньше 1 светимость должна быть со-
ответственно увеличена. Коллайдер рр в ЦЕРНе был успешно
спроектирован так, чтобы давать такую скорость появления со-
бытий; на нем действительно оказалось возможным искусственно
рождать и детектировать W±- и 2°-частицы. После нескольких
лет работы этого ускорителя при повышенной светимости было
зарегистрировано несколько сотен рождений W—частиц и не-
сколько десятков рождений 7°-частиц.
10.5. Измерение масс Z0- и W-частиц
После рождения и распада калибровочного бозона остаются
продукты распада, которые можно изучать, чтобы измерить
массу и ширину этого бозона. Рассмотрим, например, распад
Z0и пусть р± обозначают 4-импульсы частиц е-. Тогда
Pz = р+ + Р-, так ЧТО
P2Z = M2z = 2m2e-\-2р+• р_
« 2Е+Е_ — 21 р+1) р_ | cos 0± ~
~ 2E+E_(l — cos 0±), (10.16)
где р± = (Е±, р±), а 0± — угол между импульсами р+ и р_. Если
пренебречь массой электрона те, то будем иметь |р±| = £±.
Измеряя £*+, Е- и 0±, можно вычислить массу Mz частицы Z°
для каждого события. Будучи нанесенными на один график, все
экспериментальные точки хорошо ложатся на брейт-вигнеров-
Рождение на ускорителях W-- и 7°-частиц 15S
скую кривую с шириной IV и центральной энергией Mz\ неболь-
шое расплывание кривой связано с экспериментальными ошиб-
ками.
Для й7±-частиц ситуация немного сложнее. При столкнове-
нии адронов кварки и и d, образующие lF^-частицу, испытывают
«жесткое» столкновение. Остающиеся в протоне и антипротоне
кварки и глюоны в основном продолжают движение по направ-
лению начального пучка и не детектируются; они уносят с со-
бой часть энергии. Когда ^/--частица распадается на e±v, на-
правление образующегося электрона и его энергия могут быть
легко измерены. Для нейтрино эти величины можно вычислить
исходя из закона сохранения энергии-импульса. Так как вели-
чина и направление импульса, уносимого «мягкими» составляю-
щими адрона, которые движутся в направлении пучка, не из-
вестны с достаточной точностью, возникает неопределенность в
значении импульса нейтрино v, особенно в продольном направ-
лении. Чтобы преодолеть эту трудность, используют одну из
следующих двух методик.
В первой «методике пика якобиана» делают предположение,
что частица W рождается в покое. Соответствующий процесс
показан на рис. 10.2, а. Он наблюдается, когда протон сталки-
вается с антипротоном и рождается покоящаяся 117-частица,
которая затем распадается на и невидимое нейтрино v. Элек-
трон имеет поперечный импульс рет. Очевидно, рет = (Mw/2^ sin 9,
где 0 — угол между направлением вылетающего электрона и
направлением пучка. Важно заметить, что импульс рег является
мерой массы Mw, так что надо построить график daldper Вы-
ражая эту величину через дифференциальное сечение рождения,
получаем
da __ da d cos 6 , <
dpeT d cos 0 dpeT
Последний множитель в этой формуле можно преобразовать к
следующему виду:
d cos 0 _ 1 __ 2 sin 0
dpeT dp^/d cos$ cos ®
причем
(10.18)
(10.19)
(10.20)
d cos 0 %Рт 1
156
Глава 10
Вследствие наличия последнего множителя в формуле (10.20),
возникающего от якобиана (для соответствующей замены пере-
менных), сечение daldpeT имеет резкий пик при p^-Mwl?* и
быстро спадает после этого пика, как показано на рис. 10.3.
Наличие ненулевого импульса у рождающейся 117-частицы и ее
конечная ширина несколько размывают пик, но эти эффекты
.можно оценить и учесть.
Рис. 10.3. Зависимость de!dpeT qi рет, имеющая пик якобиана.
Похожая, но немного лучшая методика основывается на
определении зависимости «поперечной массы» ^-частицы, ко-
торая определяется формулой
Мт = (Ет + ЕтУ — (рт + рг )2, (10.21)
выражающей ее через наблюдаемые поперечные величины; так
как для любой частицы Efi = р^т] и член пг\ можно опу-
стить для имеем
Mr ~ 2ртрг(1 - cos0w). (10.22)
Распределение, подобное показанному на рис. 10.3, получается,
-если построить кривую зависимости сечения d^/dMT от Мт. Оно
имеет пик при МТ = М^. Влияние конечной ширины IV можно
рассчитать, причем уширение кривой dQ/dMr обусловлено глав-
ным образом продольным импульсом нейтрино v. Если UZ-части-
ца рождается не в состоянии покоя, а с некоторым импульсом
х, то импульс р^ надо заменить на р^ + х, а импульс р£ заме-
нить на Р?-*. так что соответствующая поправка будет по-
рядка к2//?*. Для большинства экспериментов на коллайдере в
ЦЕРНе она очень мала. Поперечная масса является перемен-
ной, обладающей очень простой интуитивной интерпретацией, и
она несомненно будет широко использоваться в будущем при
анализе экспериментальных данных.
Рождение на ускорителях W±- и 7°-частиц
157
10.6. Спин 117-частицы и асимметрия ее распадов
Как значение спина 117-частицы, который мы ожидаем равным 1,
так и SU(2) -симметрия теории (^-частицы взаимодействуют
только с левыми кварками и лептонами и правыми антиквар-
ками и антилептонами) были подтверждены удивительным об-
разом поведением рождающихся 117-частиц.
На протон-антипротонном рр-коллайдере в ЦЕРНе некото-
рые 117-частицы рождаются левым кварком и, имеющимся в
протоне р, и правым кварком d, имеющимся в антипротоне р.
При этом получаются определенным образом поляризованные
^-частицы, как показано на рис. 10.4. На этом рисунке оди-
Рис. 10.4. Поляризованная W+ -частица, рожденная на рр-коллайдере.
парными стрелками изображены импульсы кварков, а двой-
ными— спины всех трех частиц. После своего рождения ^-ча-
стица распадается на е+ и ve. Электрон и нейтрино вылетают
при этом в разных направлениях. Рассмотрим распады, когда
частицы и v летят по направлению, примерно совпадающему
с направлением пучка. Тогда позитрон е+, который является
античастицей, будет правым, а нейтрино ve — левым. Таким об-
разом, чтобы проекции спинов позитрона и нейтрино в сумме
давали проекцию спина М7+-частицы, мы должны иметь конфи-
гурацию, изображенную на рис. 10.5. В противоположном на-
правлении позитрон е+ вылетать не может!
Рис. 10.5. Конфигурация спинов частиц при распаде №+-частицы.
Следовательно, следует ожидать, что позитрон будет
вылетать предпочтительно в направлении, противоположном
направлению начального движения протона. Это предсказание
теории не только удивительно, но и противоречит нашей интуи-
ции: ток электрического заряда при столкновении меняет на-
правление на обратное. Если рассмотреть рождение Ц7--частицы
в столкновении ud, то можно сделать аналогичные заключения.
Делая количественное предсказание в отношении угла 0, кото-
рый вылетающий позитрон или электрон образует с направле-
нием исходного пучка, убеждаемся, что позитроны или электроны
158
Глава 10
должны распределяться по закону (l-|-cos0)2 по отноше-
нию к начальному направлению движения антипротонов р. Ре-
зультаты экспериментов очень хорошо согласуются с этим пред-
сказанием, как свидетельствует рис. 10.6. Как форма V — А-
взаимодействия, так и значе-
ние спина 1 для ^-частицы
подтверждаются приведенны-
ми данными, хотя для доказа-
тельства последнего утвержде-
ния требуется дополнительное
рассмотрение.
Задачи
Рис. 10.6. Экспериментальные данные
по асимметрии при распадах ^-ча-
стиц.
10.1. Предположим, что
после соударения две противо-
положно заряженные частицы
попадают в детектор с 4-им-
пульсами, которые равны р\
(43; 0, 0, 43), р2= (48; 0, 0,
—48) в единицах ГэВ. Как
интерпретировать данное со-
бытие?
10.2. Убедитесь, что рас-
суждения из разд. 10.6 приме-
нимы к 117"-частице, рождае-
мой при столкновении tid и рас-
падающейся на частице е~Ус-
10.3. Оцените число 7°-частиц, получаемых и детектируемых
па коллайдере в ЦЕРНе. Вместо того чтобы повторять расчеты
для IF—частиц, проведенные в разд. 10.1 —10.4, внесите просто
соответствующие изменения для 7°-частиц на каждом этапе рас-
суждений. Для конституентного сечения хорошим приближением
будет использование значений вероятностей мод распада, при-
веденных в гл. 9. Надо также оценить эффект большей массы
Mz при расчете di/dx.
10.4. Оцените число нейтральных хиггсовых бозонов, полу-
чаемых на коллайдере в ЦЕРНе, сделав предположение, что
Мн ~ Mz. Вместо того чтобы проводить новый расчет, оцените
просто отношение скорости рождения частицы Я0 к скорости
рождения частицы Z0, рассуждая в точности так же, как в за-
даче 10.3. Можете ли вы предложить другие механизмы рожде-
ния, которые дают сравнимое или большее число рождений
//°-бозонов?
10.5. Нарисуйте соответствующие фейнмановские диаграммы
Рождение на ускорителях W±- и 7°-частнц 159
и покажите, что как одиночные 7°-частицы, так и одиночные
^-частицы могут рождаться на е+е~-коллайдере, но скорость
рождения одиночных 2°-частиц должна быть существенно боль-
ше. Покажите, что скорость рождения пары W+W~ должна быть
больше, чем скорость рождения одиночных ^-частиц, по край-
ней мере, если величина V5 не слишком велика по сравнению
с Му.
Рекомендации для дальнейшей работы
История открытия Wz±- и 7°-частиц изложена в ряде книг. Уот-
кинс, входящий в группу UA1, написал книгу [76], содержащую
множество экспериментальных подробностей, в которой расска-
зывается подробная история открытия с очень интересной пози-
ции. Книга Таубса [73] содержит изложение истории открытия
в необычной перспективе. Процессы рождения W'-- и 2°-частиц
и соответствующие эксперименты нигде не обсуждаются более
полно, чем это сделано в этой главе. Коллинс и Мартин [8]
обсуждают некоторые дополнительные детали и трудности.
Глава 11
Измерение основных параметров
электрослабой теории и КХД.
Время жизни мюона
В гл. 9 и 10 мы познакомились с самыми удивительными пред-
сказаниями стандартной модели, касающимися существования
фундаментальных точечных тяжелых IF— и 7°-частиц. Эти ча-
стицы столь же фундаментальные и точечные, как фотон, хотя
их массы почти в 100 раз больше массы протона и равны по
порядку величины массе ядра стронция. Как экспериментальное
открытие W±- и 2°-частиц, так и полное подтверждение теоре-
тических предсказаний стандартной модели явились выдающи-
мися достижениями.
Чтобы завершить изложение стандартной модели, рассматри-
ваемой в гл. 6 и 7, и убедиться в правильности ее предсказаний,
необходимо определить ее основные параметры. Многие пред-
сказания модели можно проверить исходя из измеренных зна-
чений масс калибровочных бозонов и фермионов, а также из
значений постоянной тонкой структуры а, квадрата синуса
sin2 0^ и константы связи КХД.
В этой главе мы опишем способы экспериментального изме-
рения констант связи электрослабой теории и КХД. В гл. 23
мы рассмотрим подробнее значения масс фермионов и вопрос
экспериментального определения масс кварков.
Электрослабые константы связи можно определить, если из-
мерить, например, массу lF-частицы, постоянную тонкой струк-
туры и sin2 0W или измерить скорость распада мюона, sin2 0;у
и массу IF-частицы М^. Мы не будем здесь обсуждать и до-
казывать, какая из этих процедур лучше. Мы просто рас-
скажем о способах, которыми могут быть определены основные
параметры стандартной модели, преследуя при этом двоякую
цель: дать полную информацию по этому очень интересному
вопросу и иллюстрировать экспериментальные методы, исполь-
зуемые в стандартной модели. Что касается измерения постоян-
ной тонкой структуры а = е2/4л, то соответствующие методы не
относятся к физике элементарных частиц, и мы не будем их
здесь обсуждать, а отсылаем читателя к ТДЧ [47] и к имеющим-
ся там ссылкам на литературу. В заключение этой главы мы
очень кратко обсудим вопрос об определении константы связи
КХД.
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 161
11.1. Измерение и особая роль sin20w
Угол 0о> можно рассматривать с разных точек зрения. Он вве-
ден в гл. 7 просто как параметр, который однозначно опреде-
ляет отношение £7(1)- и SU(2)-констант связи. Угол 0^ входит
также в формулы для сечений любых процессов, в которых вир-
туально или реально рождаются 7°-частицы, так как взаимодей-
ствие 7°-частицы с фермионами имеет вид fy^f (Гз — Qf sin20^)
(f — левый или правый фермион), так что угол 0^ входит в
формулы для сечений элементарных процессов у^р
vee~-+- vee“,e+e“->-е+е“—>
-+bb, e~d-+e~X и многих других. Кроме того, как мы видели
в гл. 7, My/Mz = cos 0зу.
Такая ситуация дает возможность провести глобальную про-
верку стандартной модели, так как, согласно этой модели, се-
чения всех этих процессов определяются одним и тем же значе-
нием угла 0И,. Если бы угол 0W принимал произвольные и раз-
ные значения в этих процессах, то нельзя было бы унифициро-
вать слабые и электромагнитные процессы. При этом, разумеет-
ся, имеется очевидное ограничение 0 sin2 0W1. Попытка
проведения единой параметризации электрослабых взаимодей-
ствий оказалась бы неудачной, если бы квадрат синуса sin2
принимал разные значения. На рис. 11.1 представлены извест-
ные в настоящее время экспериментальные данные для ква-
драта синуса sin2 0^, полученные для различных элементарных
процессов; они с убедительностью свидетельствуют, что все
значения хорошо согласуются друг с другом. Наилучшее зна-
чение квадрата синуса в настоящее время равно
sin2 0^ = 0,229 ± 0,004, (11.1)
по данным В. Марчиано. Даже если использовать просто усред-
ненные данные и учитывать суммарную ошибку, то и в этом
случае следует заключить, что параметр sin2 0^ известен с точ-
ностью 3 % или лучше. Можно надеяться, что прецизионные
эксперименты на ^“-коллайдерах позволят в течение несколь-
ких ближайших лет снизить ошибку в определении sin20w до
±0,001.
11.2. Распад мюона
В этом разделе мы приведем приближенный («оценочный») рас-
чет процесса распада
(Н.2)
интересного по следующим двум причинам. Во-первых, этот
процесс дает способ точного измерения параметра g2/Mw. Bo-
ll Г. Кейн
162
Глава 11
I—। e*e'-+ee,}i}JL,vt
H УИ/СЧ
H MW(1U5)
H v^N-^j.cX
w V^p
ы y+y
I—। Асимметрия рассеяния поляризованных
электронов на дейтронах
Атомное нарушение четности для
_________!~* _________I________L——______
О 0,2 Ор 0,6 0,8 1ft
sinX
Рис. 11.1. Свидетельство замечательного согласия результатов независимых
измерений величины sin2 0W. Если бы слабые и электромагнитные взаимодей-
ствия не объединялись в единое электрослабое, то попытки описать их с по-
мощью единственного параметра sin2 0W приводили бы к произвольным зна-
чениям sin2 0а, < 0. Большая часть приведенных данных собрана В. Мар-
чиано и представлена им в докладе на Международной конференции по
физике высоких энергий в Беркли в июле 1986 г. В приведенных значениях
sin2 би, учтены радиационные поправки. Значения sin2 0ц, для процесса е+е~
взяты из обзора Б. Нароски; одни лишь данные по рассеянию е+е~ не по-
зволяют определить значение sin2 0ц,, поэтому было использовано значение
массы Mz.
вторых, это типичный процесс распада фермиона, служащий
прототипом для любого распада вида где f, f, hf, h —
кварки или лептоны. Применяемый приближенный расчет по-
учителен и полученные результаты используются в последую-
щих главах книги. Полный расчет времени жизни мюона очень
сложен и требует знания свойств решений уравнения Дирака
и т. п., так что ниже мы снова воспользуемся нашим прибли-
женным методом расчета. Мы хотим разумно оценить значение
скорости распада (Н.2), не прибегая к сложным вычислениям.
Единственная имеющаяся фейнмановская диаграмма для
распада мюона представлена на рис. 11.2, где в скобках ука-
заны обозначения соответствующих 4-импульсов. Обеим вер-
шинам диаграммы соответствуют множители
Пропагатор lF-бозона имеет вид l/[Q2 —MvH (пренебрегая спи-
новыми осложнениями). Перемножая все множители, для
амплитуды процесса распада получаем выражение
2
м=4(мЧн) -м2-(gv^ve). (П.З)
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 163
Импульсы не могут быть больше массы мюона тц, так как она
обеспечивает всю энергию распада, поэтому можно считать, что
Q2 много меньше, чем Mw, Q2 можно отбросить в очень хоро-
шем приближении. Используя, кроме того, явные выражения
для проекционных операторов Pl, из (11.3) получаем
2
М — Vs) и) (ёУл, (1 — Vs)ve). (11.4)
Мы получили основную формулу для р-распада, которую пред-
сказывает стандартная модель. В формуле (11.4) v, р, ё, у обо-
Рис. 11.2. Распад мюона.
значают внешние волновые функции соответствующих фермио-
нов. Здесь следует заметить, что еще за несколько лет до того,
как была окончательно сформулирована стандартная модель,
уже было известно, что формула (11.4) очень хорошо описывает
мюонный распад, поэтому именно эта формула послужила важ-
ной исходной точкой при формулировке стандартной модели.
Заметим, что матричные элементы в обеих формулах (11.3) и
(11.4) имеют вид произведения двух токов, причем, оба тока
характеризуются величинами — уху5, где первый член преоб-
разуется при преобразованиях Лоренца как обычный простран-
ственно-временной вектор, а второй — как аксиальный вектор.
Поэтому такое взаимодействие стали называть V — Л-взаимо-
действием. Обычно V — Л-взаимодействие учитывают с помо-
щью множителей укРь при вершинах.
Коэффициент в формуле (11.4) выражают через фермиев-
скую константу связи Gf'.
GFH2=gl/8M2w. (11.5)
Появление множителя 1/д/2 связано с исторической традицией.
Заметим, что константа Gf имеет размерность 1/(масса)2. Из-
меряя время жизни и массу мюона, можно определить значение
константы Gf-
11*
164
Глава 11
Теперь нужно найти величину |Л4|2, т. е. квадрат абсолют-
ного значения матричного элемента (11.4), усредненный и про-
суммированный по спинам. Так как величина М безразмерна,
результат должен иметь следующий вид:
IMf = CG2Fm^
(Н.6)
где С—коэффициент порядка 1. Формула (11.6) получена с
учетом того, что массы всех других фермионов пренебрежимо
малы по сравнению с массой мюона тц. Формально формула
(11.6) получается потому, что М есть сумма членов вида
p-kq-k' с учетом всех возможных перестановок, причем каждый
импульс пропорционален массе мюона mu. Рассуждая по-иному,
мы можем каждый множитель u^PlU заменить на /иц, что
дает правильную размерность и учитывает только единственную
массу, так как остальные массы пренебрежимо малы. Следуя
нашему общему методу учета спиновых состояний при расчете
числовых коэффициентов, примем во внимание по два спиновых
состояния для каждой частицы ц и е и одно состояние для ней-
трино v. Кроме того, учтем множитель 1/2, возникающий при
усреднении, так что получим С — (2 X 2 X 1 X 1 )/2 = 2. (Как
везде в этой книге, мы получаем приближенно верный резуль-
тат. Так как наша цель — получить разумную оценку, нет необ-
ходимости заниматься строгими расчетами. Как обычно, после
того как читатель проследит за нашими оценочными вычисле-
ниями, мы сообщаем ему точный результат и используем его в
дальнейшем; таким образом, читатель получает полную инфор-
мацию о результатах точной теории.)
Используя (11.6) и общую формулу (9.2) для ширины рас-
пада, для ширины мюонного распада получаем формулу
1 2G2Pm\
(2л)5 2ОТ|х
64 (р — q — k — k')
d3q d3k d3k'
2qn 2kn
(Н.7)
Чтобы получить отсюда формулу для полной ширины, необхо-
димо формулу (11.7) проинтегрировать по фазовому простран-
ству. Интеграл от 64d3fed3fe7^o^o в точности такой же, как ин-
теграл, который мы рассматривали при обсуждении общей фор-
мулы для сечения в гл. 9; он равен 2л. В гл. 9 мы вычислили
этот интеграл в системе общего центра масс, но здесь мы поль-
зуемся другой системой отсчета. Но так как величина
&d3kd?k'/kok'Q лоренц-инвариантна (как показано в гл. 9), инте-
ресующий нас интеграл можно оценить в системе покоя для
импульса к + к', а затем преобразовать результат к системе
покоя мюона. Таким образом, можно положить d3q = q2dqdQq
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 165
и учесть, что qdq = q^dq^. Тогда получим
1
= (2Я)4 § q dq^dQq. (Н-8)
Поскольку ширина (11.8) не зависит от углов импульса q, для
нее dQ7 = 4n. Максимальное значение q$ (энергии электрона)
равно тц/2; тогда оба нейтрино вылетают в направлении, про-
тивоположном движению электрона е~, с энергиями mu/2.
В приближении те <С тц имеем
г12 1 / \2
5 <1L9)
о
так что
r.“^S7 (11.10)
ИЛИ
3 G2Ftn$
Ги-4-i^- (Н.П)
По соображениям размерности результат должен иметь вид
(11.11), и даже появление множителя л3 в знаменателе легко
понять, если обратиться к исходной формуле для dV.
Как читатель, наверное, уже догадался, точная формула
имеет вид
/-*2
(j
г» = т4р- <И-12)
Этот результат очень общий и полезный, так как природа
упорядочила массы фермионов в такой иерархии, что каждый
следующий фермион может распадаться на три предшествую-
щих более легких фермиона, причем это правило выполняется
с очень большой точностью. Таким образом, формула (11.12)
дает ширину распада в расчете на один конечный канал для
любого из известных фермионов: ц, т, с, b, t (если в (11.12)
подставить соответствующую массу вместо тц). Отметим, что
ширина Гц возрастает как пятая степень массы и такое возра-
стание должно наблюдаться вплоть до массы mr- = Му. Для
фермионов с массами mf>Mw доминирующей модой распада
будет распад на lF-частицы, и формула для ширины распада
перестанет быть верной. Если желают достичь большей точ-
ности, то, конечно, проводят строгие расчеты с учетом масс
всех частиц и малых поправок на фазовый объем. Для большин-
ства практических целей формула (11.12) дает достаточную
точность, и мы еще не раз ею воспользуемся ниже.
166
Глава 11
Обращаясь к таблицам ТДЧ [47], для экспериментального
значения времени жизни мюона находим значение
ти = -уг- = (2,19703 ± 0,00004) 1СГ6 с; (11.13)
оно дает (при учете необходимых поправок)
Gf = (1,16637 ± 0,00002) • 10"5 ГэВ"2. (11.14)
Вообще в этой книге мы не интересуемся ошибками и не стре-
мимся получать очень точные значения. Они здесь приведены
для того, чтобы читатель получил представление о том, на-
сколько точно известны приведенные значения. Учитывая, что
g-2 = e/sinOa; и е2/4л= 1/137, согласно (11.5), получаем
^ = 51ГГэВ- <11Л5>
МП vjy
Эта формула сыграла большую историческую роль, так как
именно с ее помощью была предсказана масса lF-частицы. По-
лагая в (11.15) sin2 = 0,23, получаем Л4^ = 78 ГэВ. (Когда
была развита более полная теория с учетом вкладов диаграмм
более высоких порядков, позволяющая получить более точные
соотношения между теоретическими и экспериментальными зна-
чениями и связь их друг с другом, оказалось, что значение
массы Mw больше на 3 ГэВ, так что ожидаемое значение массы
равно 81 ГэВ' с погрешностью 2 ГэВ, обусловленной как несо-
вершенством теории, так и ошибками эксперимента.)
До сих пор мы обсуждали вопрос об экспериментальном из-
мерении параметров электрослабой теории а, Л4ц? и 0-^. Имеется
эквивалентный набор параметров: Gf, gi и gz (см. формулу
(7.20) и текст до нее). Наконец, мы рассмотрим константу
связи аз. В гл. 20 мы обсудим очень важное и фундаментальное
следствие, вытекающее из стандартной модели: константы связи
не постоянны, а являются плавными функциями передачи им-
пульса данного взаимодействия. Это следствие относится ко
всем константам gi, а также к константе связи —
в КХД, хотя в атомной физике оно обычно не проявляется.
Здесь мы приближенно учитываем изменение констант связи,
указывая энергетический масштаб для измерения той или иной
константы. Впрочем в гл. 20 будет проведено более полное
рассмотрение этого вопроса, хотя строгое изложение выходит
за рамки данной книги.
11.3. Измерение константы связи аз
Чтобы измерить константу связи £з, необходимо найти и ото-
брать процессы, которые содержат кварк-кварк-глюонные и
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 167
Ч
----*---
Ч-------9
Ч
9 Ч
----
6
?
00.00000_0.00_r-»—
Рис. 11.3. Вершины кварк-глюонных взаимодействий.
Рис. 11.4. Испускание третьей струи при адронном столкновении.
глюон-глюон-глюонные вершины. В гл. 15 мы более подробно
обсудим вопрос об экспериментальном наблюдении кварков и
глюонов. Из-за особенностей взаимодействий в КХД эти ча-
стицы вначале связаны в адронах и только затем проявляются
в виде «адронных струй», состоящих главным образом из пио-
нов. Как отдельные электрически заряженные или нейтральные
объекты кварки и глюоны не наблюдаются. С таким характером
поведения кварков и глюонов связаны некоторые трудности
определения значения константы связи £3. Кроме того, посколь-
ку ссз является константой связи сильных взаимодействий, не-
обходимо учитывать большое число поправок, чтобы надежно
определить численное значение а3 по экспериментальным дан-
ным. Тем не менее основные аспекты метода эксперименталь-
ного определения константы £3 не отличаются существенно от
процедур определения других констант связи.
168
Глава И
Чтобы измерить значение константы g3, необходимо рас-
смотреть ряд различных элементарных процессов. Простейшие
из них —процессы рассеяния, например процесс q + q-+q + q,
показанный на рис. 11.3, а. Начальные кварки и глюоны заклю-
чены в адронах, т. е. в сталкивающихся протонах, так что все
диаграммы на рис. 11.3 и другие подобные диаграммы дают
существенные вклады. Конечные кварки и глюоны наблюдаются
в детекторах в виде струй. Все соответствующие диаграммы
сопровождаются множителями g3, характеризующими их вер-
шины, так что амплитуда каждого процесса пропорциональна
константе связи а3 ,а соответствующее сечение пропорциональ-
но (*2. Значение а3 получают с использованием теоретически рас-
считанных сечений, найденных в области передач импульсов,
в которой доминируют вклады, изображенные на рис. 11.3, пу-
тем сравнения теоретически рассчитанных сечений с экспери-
ментальными данными.
Другое важное обстоятельство, которое надо учитывать,—
возможность того, что кварк или глюон испустит глюон. На
рис. 11.4 показан один такой процесс, и читатель может себе
представить другие подобные процессы, в которых к любому
концу кварковой q или глюонной g линий, показанных на
рис. 11.3, присоединяется глюонная линия.
8
Рис. 11.5. Испускание третьей струи при е+е~-столкновении.
Вклад диаграмм типа рис. 11.4 меньше на множитель а3
(и множитель фазового пространства, который можно вычис-
лить) вклада диаграмм, представленных на рис. 11.3. Процессы
типа рис. 11.4 в отличие от процессов, приведенных на рис. 11.3,
проявляются в детекторах в виде трех струй. Таким образом,
отношение скорости процесса с тремя струями к скорости про-
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 169
цесса с двумя струями служит мерой величины константы
связи а3.
При ^--столкновениях может рождаться пара qq, как по-
казано на рис. 11.5, а, со скоростью, пропорциональной аг. При
этом кварки могут обменяться глюоном, как показано на
рис. 11.5,5, что приводит к вкладу в амплитуду, пропорциональ-
ному а3. Так как константа связи а3 не мала, речь идет о реаль-
ной наблюдаемой поправке (~5°/о), позволяющей измерить
значение а3. Кварк может испускать глюон, как показано на
рис. 11.5,в, в результате чего появится трехструйное конечное
состояние со скоростью, дополнительно пропорциональной а3
по сравнению со скоростью соответствующего процесса с обра-
зованием двухструйных конечных состояний.
Все обсуждаемые эффекты экспериментально наблюдались,
и все они дали примерно одинаковое значение константы связи
а3~0,15. (11.16)
Эта константа известна в настоящее время с точностью 20—
25 % и относится к области 3—40 ГэВ. Для значений переда-
ваемого импульса вне этой области а3 имеет другие значения.
В гл. 20 мы еще вернемся к этим вопросам.
11.4. Замечания о параметрах стандартной модели
Для полноты изложения мы здесь сделаем несколько замечаний
об общей ситуации в связи с параметрами стандартной модели.
Некоторые из этих замечаний будут полностью понятны чита-
телю только после того, как он прочтет последующие главы
этой книги.
Чтобы использовать стандартную модель для расчетов ре-
зультатов экспериментов, необходимо ввести в нее значения
ряда параметров. В основном это касается значений масс. Все
фермионные массы должны быть заранее известны. Вероятно,
их нельзя представлять себе как множество не связанных друг
с другом отдельных параметров, поскольку, когда мы достигнем
понимания происхождения масс частиц (если мы когда-нибудь
этого достигнем), большинство масс можно будет рассчитать.
Кроме масс существует еще четыре параметра, которые мы об-
судим в гл. 22, — в основном это углы, которые описывают по-
ворот от кварков в базисе слабых собственных состояний к квар-
кам в базисе собственных состояний массы. Полагают, что по-
нимание происхождения фермионных масс позволит также рас-
считать и указанные четыре параметра. Наконец, надо рас-
смотреть константы связи ai, a2 и a3, которые должны быть
измерены экспериментально, как мы об этом упоминали выше.
170
Глава 11
Возможно в конечном счете константы он, а2 и аз тоже будут
выражены через одну константу, если удастся стандартную
модель обобщить до более широкой теории. Массу хиггсова бо-
зона нельзя рассчитать в рамках стандартной модели, так как
физический источник члена кф4 в хиггсовом потенциале пока
неизвестен.
Несмотря на все это, ситуация во многом аналогична той,,
с которой не раз уже приходилось встречаться в истории фи-
зики. В квантовой механике или в квантовой электродинамике
масса электрона и постоянная тонкой структуры тоже должны
были быть заранее экспериментально измерены и искусственно
введены в теорию; только после этого можно производить тео-
ретические расчеты. По существу так же обстоит дело в стан-
дартной модели. Достигнутый в этой модели прогресс состоит
в том, что все взаимодействия — слабое, электромагнитное и
сильное — теперь охвачены рамками одной теории. Кроме того,
хотя хиггсов механизм происхождения масс частиц еще не по-
нят до конца, но по крайней мере этот механизм происхождения
масс частиц теперь входит в теорию, а не находится за ее
рамками. Возможно, это обстоятельство указывает на то, что
мы уже близко подошли к пониманию истинной природы
массы.
Наконец, для полноты изложения упомянем здесь еще один
параметр (называемый 0-параметром), который, в стандартной
модели принимается равным нулю или очень малому значению,
чтобы эта модель согласовывалась с экспериментом, но значе-
ние которого, по-видимому, не ограничивается структурой тео-
рии. Это коэффициент при одном члене, который может входить
в лагранжиан КХД. Если такой член в лагранжиане действи-
тельно имеется, то при сильных взаимодействиях будет нару-
шаться инвариантность относительно обращения времени (или
CP-инвариантность, см. гл. 24). Аналогичная ситуация возникла
бы в классической электродинамике, если бы в ее лагранжиан
входил член, пропорциональный (Е-В) (см. (2.15)). Поскольку
величина (ЕВ) меняет знак при преобразовании четности и при
CP-преобразовании, она не может характеризовать классиче-
ские системы или квантовомеханические собственные состоя-
ния. Вместо того чтобы пытаться сделать этот член лагран-
жиана очень малым, делая малым коэффициент при нем, же-
лательно найти какой-нибудь теоретический аргумент, который
позволил бы объяснить, почему такой член не может появиться.
До сих пор никто такого аргумента не выдвинул, хотя, по-види-
мому, это можно сделать. Это важная область исследований,
которая, однако, выходит за рамки данной книги. Непонимание
Измерение основных параметров электрослабой теории и КХД 171
причин, по которым 0-параметр мал, служит еще одним указа-
нием на то, что в физике еще будут сделаны открытия, которые
существенно прояснят концептуальные основы стандартной
модели.
Рекомендации для дальнейшей работы
Многие свойства W±- и 7°-частиц, описанные в гл. 9 и 10, а так-
же вопрос о параметрах стандартной модели, очень полно осве-
щены в лекциях Л. Майани, прочитанных в 1984 г. на школе
TASI.
Глава 12
Ускорители, их настоящее и будущее
Прежде чем продолжить обсуждение вопросов эксперименталь-
ной проверки теоретических предсказаний стандартной модели
полезно рассмотреть экспериментальное оборудование, т. е.
ускорители и детекторы, с помощью которых производится та-
кая проверка. Некоторое представление о работе ускорителей и
детекторов необходимо для понимания того, как проводят
эксперименты, почему те или иные эксперименты проводят, а
другие нет.
Подробно работу ускорителей мы описывать не будем. Оста-
новимся только на следующих трех вопросах: 1) расскажем,
как получают пучки кварков и глюонов, а также электронов с
высокими энергиями, 2) приведем краткий перечень существую-
щих ускорителей, используемых для исследований по физике
элементарных частиц, 3) расскажем о планах создания новых
ускорителей в ближайшее десятилетие и о связанных с ними
надеждах. Последнее сделать совсем несложно, так как вслед-
ствие длительного времени проектирования и сооружения и вы-
сокой стоимости новых установок существующие в настоящее
время намерения почти полностью определяют все, что может
произойти примерно до 1994 г., а обсуждаемые теперь планы
достаточно точно рисуют нам то, что произойдет в физике эле-
ментарных частиц и за более длительный период.
На ускорителях получают пучки элементарных частиц и осу-
ществляют их столкновения. При этом возникает необходимость
регистрировать продукты взаимодействия и интерпретировать
происходящие процессы. Это производится с помощью детекто-
ров, описанию которых посвящена гл. 13.
12.1. Характеристики ускорителей
С точки зрения физики элементарных частиц наиболее важны
следующие четыре основные характеристики ускорителей. Во-
первых, тип ускоряемых частиц. Поскольку элементарные ча-
стицы ускоряются электромагнитным полем, для ускорения
пригодны только долгоживущие электрически заряженные ча-
стицы. В физике элементарных частиц в основном ускоряют
электроны е~, позитроны протоны р и антипротоны р. Прав-
Ускорители, их настоящее и будущее 173
да, можно, бомбардируя мишени протонным пучком, получать
пучки других частиц. При этом рождаются многочисленные но-
вые частицы; частицы желаемого типа выделяют путем откло-
нения и торможения других частиц. Таким способом осущест-
вляют эксперименты с нейтрино, пионами, каонами, фотонами,
лямбда-частицами, мюонами и другими частицами.
Второй важной характеристикой ускорителя является конеч-
ная энергия ускоряемых частиц. Протоны или электроны полу-
чают с помощью генераторов ионов (или пушек); первоначаль-
но они имеют энергии порядка электронвольт или килоэлектрон-
вольт. Затем, проходя области, в которых созданы сильные
электрические поля, эти частицы ускоряются. Траекториями ча-
стиц можно управлять с помощью магнитных полей. Частицы
можно заставить двигаться по окружности, и они будут уско-
ряться на протяжении достаточно длинного пути и благодаря
этому приобретут большие энергии. Как уже отмечалось при
обсуждении процессов рождения W- и Z-частиц, на современ-
ных ускорителях можно достичь энергии в сотни гигаэлектрон-
вольт. Таким образом, процесс ускорения позволяет увеличи-
вать энергию частицы в 109 раз.
К сожалению, имеется предел энергий, которые позволяют
достичь циклические (кольцевые) ускорители. В ЦЕРНе (Же-
нева, Швейцария) на ускорителе LEP1) можно будет получать
пучки электронов и позитронов с энергиями до 100 ГэВ после
завершения монтажа всех ускоряющих устройств. Но любая
электрически заряженная частица, движущаяся по окружности,
излучает фотоны и теряет энергию, причем сложность дальней-
шего увеличения энергии возрастает столь быстро, что LEP,
по-видимому, будет последним кольцевым электрон-позитронным
коллайдером.
Потери энергии за один оборот по орбите для частиц с энер-
гией £, массой т и зарядом е определяются формулой
ЬЕ 4ле2ру ИОН
2л/? "" 3/? ’ U ’ 7
где R — радиус орбиты, р = v/c «1 и у = Е/т. Протоны и
антипротоны теряют меньше энергии за один оборот, чем элек-
троны и позитроны, на множитель (me/mp)4 « 10-18. Поэтому
протоны намного легче ускорить до высоких энергий. Но в про-
тонах полная энергия распределена между их составными частя-
ми. По ряду причин доля энергии каждой составной части мед-
ленно уменьшается с увеличением энергии столкновения, и энер-
*) LEP (Large Electron Positron Ring)—большое электронно-позитронное
кольцо. — Прим. ред.
174
Глава 12
гия отдельного кварка или глюона, как правило, не превы-
шает 5—10 % энергии протона. Тем не менее выигрыш, свя-
занный с множителем 10-13, оказывается решающим, и в США
планируют построить кольцевой ускоритель для столкновений
двух протонных пучков с энергией 20 000 ГэВ каждый (коллай-
дер SSC 9). .
Третьей важной характеристикой ускорителя является све-
тимость L. В1 кольцевом коллайдере частицы в каждом из двух
встречных пучков группируются в сгустки (банчи). Пусть каж-
дый сгусток содержит k частиц и в кольце находится п сгуст-
ков. Обозначим через А поперечное сечение пучка и f — частоту
обращения частиц по орбите. Тогда светимость дается формулой
L = fnk2/A в единицах см-2 с-1. Число событий определенного
типа, происходящих за время Г, дается формулой
N = oLT, (12.2)
где о — сечение события данного типа.
Энергия и светимость ускорителя известны уже на стадии
его проектирования. Вообще говоря, эти характеристики уско-
рителя независимы друг от друга. Сечение о зависит от при-
роды процесса. Приведенное определение светимости L есте-
ственно для коллайдеров со встречными пучками. Для ускори-
телей с неподвижной или фиксированной мишенью, а также при
исследовании на вторичных пучках (эти исследования играли
более важную роль в период формулировки стандартной
модели, но теперь их роль не столь велика и вряд ли будет
большой в будущем) существенны свойства мишени. Одна-
ко и в этих исследованиях понятие светимости остается по-
лезным.
До 1980-х гг. светимость редко выступала в качестве ограни-
чивающего фактора, но теперь она играет главную роль. При-
чина состоит в том, что сечения процессов имеют размерность
1/(масса)2 и квадратично спадают с увеличением масштаба
масс, для исследования которого проектируется ускоритель.
Таким образом, стремление исследовать явления на переднем
рубеже науки и продвижение ко все более высоким энергиям
сопровождаются падением сечения изучаемых процессов. Для
сохранения на приемлемом уровне числа регистрируемых со-
бытий, с тем, чтобы наблюдать новые явления, необходимо уве-
личивать светимость ускорителя. Таким образом, возможности
проведения дальнейших исследований ограничиваются как энер-
гией частиц, так и значением светимости.
l) SSC (Superconducting Super Collider) — сверхпроводящий суперколлай-
дер.— Прим. ред.
Ускорители, их настоящее и будущее 175
Четвертую характеристику ускорителя мы рассмотрим в
разд. 12.2. Речь идет о полезной энергии, т. е. о той доле энер-
гии, которая реализуется в новом явлении.
12.2. Полезная энергия
Основная причина, заставляющая продвигаться ко все более
высоким энергиям — возможность изучать явления в большем
диапазоне масс, или в силу соотношения неопределенностей
возможность исследовать взаимодействия на все меньших рас-
стояниях. Но в различных ускорителях энергия ускоренных ча-
стиц используется по-разному;
Рассмотрим несколько характерных ситуаций. В каждом
случае основной величиной является энергия в системе центра
ма_сс, необходимая для рождения новой частицы, т. е. величина
s. При этом мы в основном интересуемся столь высокими
энергиями, что массами частиц можно пренебречь. Обозначим
через ра и рь 4-импульсы двух сталкивающихся частиц. Тогда
S=(pa + Ph)2.
а. Неподвижная {фиксированная) мишень. Импульс частицы
пучка равен ра = {Еа, ра), и импульс частицы-мишени рь =
= (ть, 0), так что
s ~ 2ра • рь = 2Еать. (12.3)
Таким образом, величина Vs возрастает лишь как ^\/Еь и по-
лезная энергия возрастает очень медленно. Взаимодействия с
неподвижными мишенями необходимы при исследованиях
столкновений с частицами, которые нельзя ускорять в коллай-
дерах, или для получения относительно интенсивных пучков та-
ких частиц, как каоны, чтобы изучать редкие распады этих час-
тиц. Но использование неподвижных мишеней не столь эффек-
тивно, когда требуются более высокие энергии.
б. рр-коллайдер. Рассмотрим лобовое столкновение двух эле-
ментарных частиц; в этом случае ра=(Е, р) и рь=(Е, —р).
Тогда
s = 4£2, (12.4)
и величина V5 возрастает, как Е, а не как ^Е. Вместе
с тем, как видно из (10.8) или из гл. 18, составные части адро-
нов имеют лишь небольшую энергию
Vs V*i> *2 Vs • (12.5)
По мере увеличения Xi вероятность столкновений с таким xt
уменьшается. _При xt_^ 0,1 вероятность столкновения достаточ-
но велика, Vs « Vs/10 и возрастает приближенно, как Е. Но
176
Глава 12
мо_жно использовать и небольшую долю взаимодействий с
Vs > Vs/10, особенно в случае ускорителей с большой све-
тимостью.
в. е+е~-коллайдер. В этом__случае также справедливо соот-
ношение (12.4) и величина V5 растет пропорционально Е, при-
чем полезной оказывается вся энергия. К сожалению, как от-
мечалось выше, вследствие больших потерь энергии на синхро-
тронное излучение в настоящее время столкновения составных
частей протонов при самых высоких энергиях удается получить
лишь на рр-коллайдерах. Чтобы обойти трудность, связанную с
синхротронным излучением, в настоящее время предпринимают-
ся значительные усилия для разработки линейных электронных
коллайдеров на более высокие энергии и с большими светимо-
стями. В 1987 г. сооружена первая такая машина, названная
SLC1), с энергией пучков по 50 ГэВ. В этом ускорителе гра-
диент энергии достигает примерно 25 МэВ/м, так что для по-
лучения пучка с энергией 1000 ГэВ ( = 1 ТэВ) требуется уско-
ритель длиной 40 км, что не реально. В кольцевых коллайдерах
пучки частиц могут сталкиваться повторно по многу раз; в ли-
нейных коллайдерах возможно только одно столкновение. Для
практического использования коллайдер с пучками с энергией
1000 ГэВ должен иметь светимость более чем в 100 раз боль-
ше светимости SLC. Как достичь такой светимости, пока не ясно.
Таким образом, пока не ясно, можно ли вообще создать е+е~-
коллайдер на очень высокие энергии.
Так как импульс составных частей протона составляет при-
мерно 10 % его импульса, в случае е+е“-столкновений необходи-
ма энергия, составляющая около 10 % энергии рр-коллайдера.
На практике вследствие ограниченной светимости рр-коллайдера
с помощью е+е_-коллайдера с энергией, составляющей менее
10 % энергии рр-коллайдера, можно обеспечить решение тех же
задач.
12.3. Действующие и сооружаемые ускорители
В этом разделе мы приведем краткий перечень имеющихся в
настоящее время ускорителей для физических исследований, а
также перечень сооружаемых в настоящее время ускорителей
с отдельными замечаниями о характере проводимых физических
исследований, представляющих наибольший интерес с точки
зрения темы данной книги. Хотя содержание этого раздела,
*) SLC (Stanford Linear Collider)—станфордский линейный коллайдер.—
Прим. ред.
Ускорители, их настоящее и будущее 177
вероятно, частично устареет к моменту выхода книги в свет, не-
смотря на значительное время, требуемое на постройку ускори-
телей и их высокую стоимость, автор надеется, что этот пере-
чень даст читателю полное представление обо всем оборудова-
нии, которое будет служить источником экспериментальной ин-
формации примерно вплоть до 1994 г. Перечень ускорителей
включает только основные ускорители на высокие энергии и по
необходимости не является полным.
ЦЕРН имеет протонный ускоритель SPS, с энергией пучка
400 ГэВ для исследований с неподвижными мишенями и распо-
лагает также рр-коллайдером, на котором были открыты 1Г+
и 2°-частицы. На этом коллайдере достигнута энергия
д/s = 630 ГэВ и светимость L « 3-1029 см~2с~1. Светимость
повысится после введения специального накопителя антипрото-
нов ACOL и достигнет к 1988 г. значения 1030 см-2с-1.
Кольцевой е+е~-коллайдер LEP, сооружаемый в ЦЕРНе, дол-
жен вступить в строй в 1989 г. Этот коллайдер рассчитан на то,
чтобы его полная энергия е+е~ была равна массе Mz, так что
машина будет работать в 7°-резонансе и вследствие этого обес-
печит большое количество нужных событий. Это позволит изу-
чать любые конечные состояния, в которые распадаются 7°-ча-
€тицы, и проверить многочисленные теоретические предсказания
стандартной модели.
Ускорительный комплекс DESY1) в Гамбурге (ФРГ) рас-
полагает двумя е+е_-коллайдерами, созданными ранее. Один из
них PETRA работает при энергии Vs ^46 ГэВ со светимостью
L « 1031 см-2с-1. На другом коллайдере DORIS в основном
изучают область более низких энергий, в которой идет процесс
и связанные с ним реакции. В настоящее время со-
оружается ер-коллайдер на высокие энергии HERA. В этом
ускорителе пучок электронов с энергией 30 ГэВ будет сталки-
ваться с пучком протонов с энергией 800 ГэВ, а ожидаемая све-
тимость будет порядка 1032 см-2с-1.
В Национальной лаборатории физики элементарных частиц
(КЕК) в Цукуба близ Токио (Япония) основным является
€+е~-коллайдер TRISTAN. На этом коллайдере достигнута
энергия Vs =60 ГэВ, а светимость превышает 1031 см-2 с-1.
В Пекине строится е+е"-коллайдер BEFC. Он рассчитан на
энергию V5 До 5,6 ГэВ, высокую светимость и предназначен
Для изучения очарованных кварков, ф//-частиц, а также тау-
лептонов. Пучки планируется получить в 1989 г.
f) DESY (Deutsche Electronen Synchrotron)—немецкий электронный син-
хротрон. — Прим. ред.
12 Г. Кейн
178
Глава 12
В СССР строится ускоритель протонов на 3 ТэВ. Он будет
использован для экспериментов с неподвижными мишенями, ко-
торые предполагается начать в 1992 г. Планируется также осу-
ществить столкновения с пучком антипротонов р с энергией
частиц 500 ГэВ. Этот ускорительно-накопительный комплекс
(УНК) расположен в Серпухове. В Новосибирске действует
е+е_-коллайдер с встречными электрон-позитронными пучками
ВЭПП-4. Его максимальная энергия 11,6 ГэВ, но он работает
часто в области энергий примерно 5 ГэВ. Проводятся экспери-
менты с частично поляризованными пучками. Планируется так-
же создание в Новосибирске е+е~-коллайдера на более высокие
энергии.
Брукхейвенская национальная лаборатория (Лонг-Айленд,.
США) имеет ускоритель AGS *) на энергию 32 ГэВ с неподвиж-
ной мишенью. В настоящее время на этом ускорителе прово-
дятся эксперименты, связанные с поиском эффектов массы нейт-
рино и редких или запрещенных распадов каонов.
В Корнеллском университете в Итаке, шт. Нью-Йорк (США),,
действует е+е_-коллайдер CESR с максимальной энергией
13 ГэВ, на котором в оптимальных условиях изучается рожде-
ние b-кварков и связанные с этим проблемы физики элементар-
ных частиц. Недавно удалось поднять светимость этого коллай-
дера до L ~ 5-1031 см-2с-1.
Национальная ускорительная лаборатория им. Ферми вбли-
зи Чикаго (США) обладает пучком с наивысшей энергией из
используемых в настоящее время в экспериментах с неподвиж-
ными мишенями, составляющей 1000 ГэВ (1 ТэВ). Кроме того,,
в лаборатории получен пучок антипротонов р, которые можно
ускорять до 1 ТэВ; таким образом, будет реализован самый
крупный рр-коллайдер, на котором можно достичь энергии
Vs =2 ТэВ. Ожидается, что светимость будет равна
1030 см“* 2с-1, и планируется поднять его светимость до*
5-Ю31 см~2с-1 к 1992 г.
В лаборатории SLAC2) в Пало-Альто (США) имеется не-
сколько электронных ускорителей. Построенный первоначально
двухкилометровый линейный ускоритель позволяет теперь уско-
рять электроны и позитроны до энергий 50 ГэВ и является
частью новой системы SLC. После того, как электроны и пози-
троны достигают в линейном ускорителе максимальной энергии,
их направляют в противоположных направлениях по двум полу-
окружностям, в результате чего происходят столкновения. Кол-
AGS (Alternating Gradient Synchrotron)—синхротрон с чередующимся
градиентом (с жесткой фокусировкой). — Прим. ред.
2) SLAC (Stanford Linear Accelerator Centre) — стэнфордский центр линей-
ных ускорителей. — Прим. ред.
Ускорители, их настоящее и будущее
179
лайдер SLC рассчитан на осуществление столкновений при
•энергии, равной массе 7°-частицы (аналогично коллайдеру
LEP). Планируемая светимость SLC равна 6-Ю30 см~2 с-1. По-
скольку это первая попытка использовать линейный е+е~-кол-
лайдер, возможно, пройдет некоторое время, прежде чем будет
достигнута эта светимость. В SLAC работает также кольцевой
е+е“-коллайдер РЕР на энергию Vs до 30 ГэВ. На
>е+е~-коллайдере SPEAR уже сделано несколько важных от-
крытий, в частности открыты с-кварки и т-лептоны, и по-преж-
нему ведется детальное изучение очарованных частиц и частиц
'ф/А
12.4. Будущее ускорителей
‘Существует, конечно, большая неопределенность в отношении
лого, что будет построено в будущем. Специалисты по физике
элементарных частиц в США намерены создать рр-коллайдер
-SSC (сверхпроводящий суперколлайдер), рассчитанный на энер-
гию 40 000 ГэВ (40 ТэВ). Предполагаемая стоимость машины
-около 3 млрд, долларов. Строительство займет 6—7 лет при
•наличии финансирования. Таким образом, с учетом времени на
получение средств и выбор места постройки SSC может всту-
пить в строй не раньше 1995 г.
В Европе планируется дальнейшее развитие LEP и создание
LEP II с энергией пучков по 100 ГэВ, а также обсуждается
проект создания рр-коллайдера на энергию несколько тера-
электронвольт в туннеле LEP.
В ряде лабораторий США, Европы и Японии существуют
исследовательские программы по созданию линейных рр-кол-
.лайдеров с приращением энергии свыше 100 МэВ/м и достаточ-
но высокой светимостью для изучения электрослабых явлений
в новой области энергий. Ниже мы увидим, что сечение процес-
са ц+р~ равно о ~ a2/s, что ясно и из соображений раз-
мерности. Так как сечение падает как 1/s и многие (хотя и не
все) сечения процессов с точечными частицами ведут себя по-
добным образом, чтобы наблюдать соответствующие события,
необходима большая светимость. Например, светимость
е+е~-коллайдера с энергией 1 ТэВ должна более чем в 100 раз
превышать светимость SLC или LEP, а получение такой свети-
мости представляет собой трудную задачу. Пока не ясно, не
окажутся ли трудности создания и стоимость таких машин чрез-
мерно большими.
Начиная с 50-х гг. и до последнего времени физика элемен-
тарных частиц опиралась на традиционную ускорительную тех-
12*
180
Глава 12
нику. Даже сверхмощный коллайдер SSC будет в основном тра-
диционным устройством. Чтобы продолжать исследования взаи-
модействия фундаментальных частиц в следующем столетии,
потребуются, очевидно, принципиально новые методы, которые
обеспечат большие приращения энергии, т. е. большие ускоряю-
щие градиенты. При этом серьезной проблемой будет получе-
ние более высоких светимостей. К счастью, с начала 80-х гг.
наблюдается оживление в области физики ускорителей, что обе-
щает появление в ближайшем будущем новых идей.
Задачи
12.1. Предположим, что построен ускоритель, который
создает протонный пучок с энергией протонов 1 ТэВ. Необхо-
димо решить, как использовать этот ускоритель. Имеются сле-
дующие четыре возможности:
а) пучок падает на неподвижную мишень;
б) пучок сталкивается с электронным пучком с энергией
50 ГэВ, и изучают ер-столкновения;
в) пучок сталкивается с другим протонным пучком, тоже
ускоренным до энергии 1 ТэВ;
г) пучок сталкивается с пучком антипротонов, полученных
от некоторого источника (конечно, получать антипротоны труд-
нее, чем протоны).
Какова максимальная энергия, расходуемая на рождение но-
вых частиц в каждой из перечисленных ситуаций? Какие еще
соображения важны для принятия правильного решения?
12.2. Сечение процесса падает как 1/s с увели-
чением энергии. Планируется создание е+е~-коллайдеров с пе-
редачей энергии Vs = 500 ГэВ и л/s = 4000 ГэВ; сечение про-
цесса равно 0,9 нбарн при Vs =10 ГэВ, и надо набирать 104
событий в год. Какое требуется увеличение светимости коллай-
дера, чтобы можно было измерить сечение с точностью пример-
но 10 %?
Рекомендации для дальнейшей работы
Книга Фраунфельда и Хенли [19] дает элементарное введение
в физику ускорителей. Перкинс [48] и Юз [31] излагают во-
просы ускорительной техники и обсуждают функции ускорите-
лей более подробно, чем в этой книге.
Глава 13
Проведение экспериментов и детекторы
В этой главе дается краткое описание способов получения
информации об элементарных частицах, возникающих в про-
цессах, сопровождающих столкновения. Чтобы понять до конца,
как проверяют теорию и ее предсказания, необходимо иметь не-
которое представление о том, как проводятся эксперименты.
Наша цель также состоит в том, чтобы описать основные
типы детекторов, с помощью которых удастся получать резуль-
таты вплоть до середины 90-х гг. После столкновений пучков
частиц в коллайдерах продукты реакций взаимодействия могут
вылетать в любых направлениях, так что детекторы в коллай-
дерах должны охватывать по существу полный телесный угол
4л; такие детекторы называют 4л-детекторами. Стоимость де-
тектора, который может идентифицировать адроны, фотоны,
электроны и мюоны и определять, как каждая из этих частиц
возникла, столь высока, что на каждой машине можно иметь
лишь несколько детекторов; к тому же нужно найти достаточ-
ное число людей для создания, эксплуатации этих детекторов
и анализа получаемых результатов. Как правило, детекторы
используются довольно долго и для увеличения их отдачи один
или два раза реконструируются по мере усовершенствования
ускорителей. Поэтому детекторы как бы «живут» своей жизнью,
и о получаемых с их помощью результатах часто заявляют сле-
дующим образом: «с CDF сообщают...» или «на MARKU обна-
ружено...». Ниже приводится перечень основных действующих в
настоящее время детекторов, а также детекторов, которые бу-
дут основными источниками новых результатов на протяжении
следующего десятилетия. Размеры и исключительная сложность
конструкции детекторов определяют их высокую стоимость
(средняя стоимость каждого из создаваемых детекторов около
50 млн. долларов), причем для строительства и отладки такого
детектора требуется несколько лет, так что можно уже теперь
уверенно назвать большинство или может быть даже все де-
текторы, которые будут строить для получения новых резуль-
татов в ближайшее десятилетие.
:182
Глава 13
13.1. Продукты взаимодействий, происходящих в коллайдере
Пучки, обеспечивающие столкновения кварков, лептонов и ка-
либровочных бозонов, представляют собой пучки электронов и
позитронов е±, а также адронов, которые служат носителями
кварков q и глюонов g. Если ускоряются протоны или анти-
протоны p±i то в основном речь идет о и- и d-кварках. Кроме
того, ускоренные кварки и электроны испускают фотоны и W±-
и 7°-частицы, причем интенсивность излучения достаточна для
создания при подходящих условиях пучков фотонов и W- и Z-ча-
стиц. Ниже мы не будем здесь делать различия между кварками
и антикварками. В результате столкновений в коллайдере обра-
зуется множество различных частиц. Регистрируя эти частицы,
измеряя их импульсы, углы вылета и частоту появления, можно
осуществить проверку современного понимания физики элемен-
тарных частиц и их взаимодействий, а также пытаться обна-
ружить новые эффекты.
Любая элементарная частица, которая живет дольше, чем
примерно 10-11 с, достигает детектора. Это следующие частицы:
е±) рЛ, у, v и адроны (/г, р, л^, А0, Л, .. .). Ниже мы будем
говорить просто об адронах, не различая их типов. Адроны от-
личаются от других долгоживущих частиц тем, что довольно
сильно взаимодействуют с веществом. Кварки и глюоны про-
являются в виде адронных струй; об этом мы будем говорить
подробно в гл. 15.
Поведение каждой элементарной частицы имеет характерные
особенности, что позволяет их идентифицировать. Адроны взаи-
модействуют с атомными ядрами и теряют энергию при столк-
новениях, сопровождаемых рождением новых адронов. Фотоны
и электроны быстро теряют энергию в неупругих столкновениях,
сопровождаемых возникновением новых электронов и фотонов.
Различие в поведении электронов и фотонов заключается в том,
что электрически заряженные электроны оставляют в чувстви-
тельном детекторе следы, и их траектории искривляются в маг-
нитном поле. Мюоны гораздо тяжелее электронов, поэтому они
теряют энергию медленнее, чем электроны, и проходят сквозь
большие слои вещества без существенного замедления. Нейтри-
но непосредственно не регистрируются детекторами. Но они
уносят с собой импульс, и его недостачу можно обнаружить,
применяя законы сохранения импульса и энергии к другим за-
регистрированным в детекторе частицам. Чтобы измерить не-
достающий импульс, надо не только определить направление
вылета, но также точно измерить энергии всех частиц.
Регистрируя конечные частицы, можно установить, какие
стабильные частицы родились в начальной стадии процесса.
Проведение экспериментов и детекторы
1835
Проще всего выяснить, не возникла ли какая-либо из пар час-
тиц в результате распада какой-либо известной нестабильной
частицы. Если 4-импульс нестабильной частицы равен Р, а мас-
са Л4, то Р2 = Л42. При распаде ее на две частицы имеем
р = рх + р2, где рх и ро — импульсы регистрируемых частиц..
Таким образом,
М2 = (Pl + Р2У = + m2 + 2?1 ’ Р2 =
= rri‘ + m- + 2Е{Е2 — 2pj • р2. (13.1)-
Если измерить величины pi, р2, £i, £2, то по формуле (13.1)
можно рассчитать массу Л4, и если М соответствует одной из
известных частиц, которая может распадаться на наблюдаемую,
пару частиц, то тем самым мы убедимся, что в результате столк-
новения действительно возникла частица с массой М. Продол-
жая такой анализ зарегистрированных детектором частиц, мож-
но полностью реконструировать первоначальное событие и сде-
лать вывод о том, принадлежат ли наблюдаемые события к уже
известным или же наблюдалось нечто новое.
Существует еще одно обстоятельство, важное для понимания
условий работы детекторов на адронных коллайдерах. Полное
сечение столкновения двух адронов по существу совпадает с
геометрическим, определяемым их линейными размерами по-
рядка 10-13 см, т. е. Ополн 10~26 см2. Большую часть столкно-
вений называют «мягкими». В них сталкивающиеся адроны мо-
гут сохраняться, просто упруго рассеявшись друг на друге; впро-
чем они могут и испытать некоторое превращение, в результате
которого образовавшиеся вновь частицы оказываются сгруппи-
рованными и движутся в направлении, близком к направлению
исходных адронов. Но иногда в адронном коллайдере происхо-
дят столкновения между кварками и (или) глюонами. При этом
может произойти рассеяние на большие углы, и некоторые про-
дукты столкновения будут иметь большие поперечные импуль-
сы относительно направления пучка. Такие столкновения на-
зывают «жесткими». Продукты мягких столкновений имеют по-
перечные импульсы, не превышающие примерно 0,5 ГэВ. При
жестких столкновениях наблюдаются поперечные импульсы до
Граница между мягкими и жесткими столкновениями ле-
жит при значении поперечного импульса примерно 10 ГэВ, хотя
это значение весьма условно. В типичном мягком столкновении,
происходящем на коллайдере в ЦЕРНе (при д/^=630 ГэВ),
все мягкие частицы (в количестве ~ 100) в совокупности перено-
сят поперечную энергию до 25 ГэВ, хотя ни одна из частиц не
имеет поперечной энергии больше 72 ГэВ. Детекторы должны
иметь возможность поглощать продукты таких мягких процес-
184
Глава 13
сов, не теряя при этом способности регистрировать продукты
столкновений. Большинство происходящих в коллайдере столк-
новений мягкие и не связаны с взаимодействием кварковых и
глюонных составляющих адронов. Изучение мягких столкнове-
ний, дающих основной вклад в полное сечение сгПолн, требует
использования не поддающихся методам теории возмущений
аспектов КХД и учета дальнодействующих межадронных взаи-
модействий; но обсуждение этих сложных вопросов выходит за
рамки данной книги. Конечно, в случае электронных е+е~-кол-
лайдеров все столкновения происходят между «точечными» объ-
ектами, поэтому они являются жесткими.
13.2. Отбор регистрируемых событий (триггеры)
На адронных коллайдерах высоких энергий полное сечение
столкновений всех типов оПолн ~ 100 мбарн (с точностью до
множителя 2, в зависимости от энергии), в то время как сечение
типичного «интересного» события, обусловленного электросла-
бым взаимодействием, равно oEW ~ 1 нбарн. Таким
образом, Qew/ополн << Ю-8. Основная цель проводимых в настоя-
щее время экспериментов на высокоэнергичных адронных кол-
лайдерах— обнаружить редкие события, которые позволяют
проверить предсказания теории электрослабых взаимодействий
и КХД, полученные методами теории возмущений для столкно-
вений на малых расстояниях, а возможно и обнаружить в ко-
нечном итоге еще более редкие события, которые указали бы
путь дальнейшего развития стандартной модели. Таким обра-
зом, проблема состоит в том, чтобы выделить очень редкие со
бытия на уровне 1 : 108.
Это — чрезвычайно сложная проблема, и мы здесь лишь схе
матично укажем, как ее можно решить. Существенным являет-
ся использование некоторых материалов с очень малыми вре-
менами отклика, а также применение быстродействующей элект-
роники. Рассмотрим систему детекторов, схематически изобра-
женную на рис. 13.1.
Устройства Л, В и С могут представлять собой сцинтилля-
ционные счетчики, которые позволяют получать очень короткие
сигналы порядка 100 нс или меньше. Они испускают вспышки
света при прохождении через них частиц, так как при этом воз-
буждаются атомы их вещества, которые затем переходят в
основное состояние с излучением фотонов. Фотоны можно ре-
гистрировать фотоумножителями. Центральная камера D
снабжена пластинами (изображенными вертикальными отрез-
ками), к которым может быть приложено высокое напряжение.
Проведение экспериментов и детекторы 185
При пролете заряженной частицы через камеру, она ионизирует
молекулы газа, заполняющего камеру. Электроны движутся к
пластинам и позволяют зарегистрировать след пролетевшей
частицы. При мягком столкновении практически все родившие-
ся частицы продолжают двигаться вдоль направления пучка,
который входит в прибор слева на рис. 13.1. При мягких столк-
новениях практически только один из детекторов (В или С) ре-
гистрирует пролетающие через него частицы. Но при жестких
столкновениях частицы разлетаются под большими углами. Та-
ким образом, сцинтилляционные счетчики регистрируют все
Рис. 13.1. Пространственное расположение счетчиков при исследовании жест-
ких столкновений.
столкновения, но лишь в том случае, когда все детекторы Л,
В и С одновременно регистрируют пролеты частиц, на пластины
центральной камеры D подается высокое напряжение, и такое
событие отбирается для дальнейшего анализирования. Посколь-
ку ионы сохраняются в камере D обычно на протяжении не-
скольких микросекунд после столкновения, имеется достаточно
времени, чтобы на основе показаний сцинтилляционных счетчи-
ков решить, следует ли запустить камеру и зерегистрировать
это событие. С помощью довольно сложной установки можно
отбирать взаимодействия, среди которых интересующие нас со-
бытия составляют значительную долю, и эффективность отбора
интересующих нас событий будет высокой.
При использовании триггера, т. е. отборе определенных со-
бытий, возникает сложность, связанная с тем, что могут про-
исходить иные события неожиданного характера, на регистра-
цию которых триггер не рассчитан. В нашем примере частица,
пролетающая через детектор В или С, может представлять со-
бой частицу нового типа, которая, однако, столь слабо взаимо-
действует с веществом, что не вызовет сцинтилляцию. Триггер
не должен быть слишком «жестким», т. е. должен обеспечивать
определенный допуск. Если этот допуск недостаточен, то можно
пропустить важное событие и не сделать открытия. На буду-
щих ускорителях будет все более трудно обнаружить нечто не-
ожиданное; чтобы выявить новизну, потребуются способности и
интуиция.
486
Глава 13
13.3. Элементы больших детекторов
Большой детектор является совокупностью большого числа от-
дельных систем, каждая из которых предназначена для решения
определенной задачи. Опишем кратко наиболее часто исполь-
зуемые в детекторах системы. В конкретных детекторах наи-
более эффективны те или иные из этих систем или добавлены
какие-то новые системы.
а. Магнит. Большинство детекторов частично или полностью
размещены внутри больших магнитов, чтобы регистрируемые
ими треки заряженных частиц были искривлены и можно было
измерять импульсы этих частиц.
б. Треки. Большинство детекторов имеют специальные каме-
ры вблизи области, где происходит взаимодействие частиц, пред-
назначенные для детектирования треков вылетающих заряжен-
ных частиц.
в. Калориметрия. Калориметры поглощают энергию, выделяе-
мую при торможении частиц, и измеряют ее. Поскольку все ча-
стицы пролетающие сквозь вещество, теряют энергию, помещая
на их пути необходимое количество вещества соответствующего
типа, можно точно определить, сколько энергии передано этим
частицам при столкновении. Некоторые материалы очень чув-
ствительны к электромагнитному излучению (и хорошо регистри-
руют электроны е± и фотоны у), а другие более чувствительны
к адронной энергии. Калориметры являются удобными детекто-
рами адронных струй, т. е. позволяют регистрировать появляю-
щиеся кварки и глюоны, а также электроны е± и фотоны у,
так что они будут играть важную роль в детекторах, рассчи-
танных на высокие энергии. Такие калориметры позволяют так-
.же решить вопрос, не уносится ли энергия каким-либо новым
типом частиц.
г. Вершинные детекторы. Частицы Ь, с и т имеют времена
жизни в интервале (2 — 10) • 10-13 с. За это время они успевают
пройти путь d = уст, где лоренцев множитель у = Е/m (Е —
энергия, с которой частица рождается). Таким образом,
d 75у мкм. В настоящее время на коллайдерах имеются де-
текторы с разрешением 50 мкм; часто они могут регистрировать
появление вторичной вершины около первичной, т. е. вторичного
столкновения в непосредственной близости от первого. Это по-
зволяет решить две важные проблемы. Во-первых, можно
узнать, в какой момент частицы &, с или т были рождены в
первичной вершине, а также когда родились частицы е, ц, у,
-легкие кварки q, глюоны g. Во-вторых, возникают ситуации, в
Проведение экспериментов и детекторы 187'
которых частицы с, b и т могут непосредственно изучаться. Та-
кие ситуации могут быть очень важными для непосредственного
исследования частиц второго и третьего семейств.
д. Мюонные камеры. Мюоны не слишком легко отдают свою*
энергию, поэтому они способны пройти через толстый слой же-
леза до своей остановки. Чтобы измерить точно импульс мюона,,
надо иметь детектор с камерами большого размера, которые
могут располагаться на периферии камер детектора, описанных
выше.
е. Кроме всего прочего, для детектирования частиц требует-
ся широкое использование быстросрабатывающей электроники,
и компьютеров.
13.4. Основные детекторы
Поскольку большая часть фундаментальных физических сведе-
ний в эру коллайдеров поступает от детекторных групп, полез-
но привести здесь перечень основных успешно работающих
детекторов и детекторов, создание которых планируется на бли-
жайшие годы. Так как стоимость детекторов велика, а построй-
ка нового детектора занимает длительное время, приведенный
ниже перечень останется в основном неизменным вплоть до
1995 г. независимо от того, какие решения в отношении создания
новых детекторов будут приняты за этот период.
а. ЦЕРН. рр-Коллайдер (SppS).
Имеются два главных детектора, которые регистрируют со-
бытия на коллайдере ЦЕРНа, называемые UA1 и UA2. Обе
группы открыли IF* и 2°-события в 1983 г. и обе осуществляют
усовершенствования своих детекторов для перехода в 1988 г.
на работу с коллайдерами большей светимости.
LEP.
Четыре главных детектора строятся для коллайдера LEP
(называемые ALEPH, DELPHI, OPAL и L3). Это 4л-детекторы;
все они, кроме L3, будут помещены в сильное магнитное поле и
регистрировать треки частиц в центральной части. Детектор
L3 будет иметь мюонные камеры очень высокого разреше-
ния, размещенные внутри слабого магнита больших разме-
ров и очень хорошие е±- и у-калориметры. Все группы будут
располагать вершинными детекторами высокого разре-
шения.
б. DESY. DORIS.
Исследования рождения пар bb и энергетической об-
ласти частицы Y, как ожидается, будут проводится в течение
188
Глава 13
ближайших нескольких лет с использованием детектора
ARGUS.
HERA.
Строятся два основных детектора, которые первоначально
будут работать с ускорителем HERA. Они называются ZEUS
и НЕ
в. Лаборатория им. Ферми. Теватронный коллайдер.
Один 4л-детектор, называемый CDF, установлен на теватро-
не, на котором проводятся физические исследования. Детектор
CDF имеет большой соленоидальный магнит для регистрации
треков, электромагнитный и адронный калориметры и мюонный
детектор. Второй детектор DO не имеет центрального магнит-
ного поля. Он спроектирован таким образом, чтобы использо-
вать преимущества хорошего калориметра, измеряющего элект-
ронные и адронные энергии, а также предназначен для точного
детектирования мюонов и для обнаружения любых потерь
энергий.
г. SLAC. SPEAR.
Детектор MARKIH будет продолжать изучение частиц с, т
и физики чармония. Он останется единственным детектором, на-
капливающим данные в этой важной области исследований до
начала работы е+е_-коллайдера в Пекине.
РЕР.
Ускоритель РЕР будет продолжать работать с детектором
ТРС, после того как повысят его светимость. Детектор ТРС
будет снабжен вершинным детектором и сможет различать от-
дельные адроны (л, К и р), а также е± и р~.
SLC.
Детектор MARKU, с помощью ранних вариантов которого
были сделаны многие открытия на ускорителях SPEAR и РЕР,
усовершенствован и будет набирать начальные данные при уско-
рителе SLC, в котором используется только одна энергетическая
область взаимодействий. Новый 4л-детектор SLD заменит
MARK II в 1989 г. Он имеет очень хорошее 4л-покрытие для всех
частиц и снабжен вершинным детектором высокого разрешения.
д. Корнелл. CESR.
На ускорителе CESR имеется два основных детектора —
CUSB и CLEO. Оба детектора усовершенствуются, чтобы ис-
пользовать все преимущества, связанные с увеличением свети-
мости ускорителя CESR.
е. КЕК. TRISTAN.
На ускорителе TRISTAN будет действовать три детектора.
Два из них TOPAZ и VENUS — 4л-детекторы общего типа. Тре-
тий детектор AMY меньше и предназначен для прецизионного
детектирования лептонов и фотонов.
Проведение экспериментов и детекторы
13.5. Как функционирует система
189
Полезно сказать несколько слов о том, как функционирует вся
система. В США имеется около 1500 физиков с ученой степенью
доктора наук, занимающихся исследованием элементарных ча-
стиц; немного большее их число работает в Европе. Всего в
мире более 4000 таких научных сотрудников. Около 2/3 из них —
экспериментаторы. Эти ученые могут направлять предложения о
том, как использовать их ускорители и другое научное оборудо-
вание для проведения новых экспериментов. Такие предложения
тщательно рассматриваются и могут быть приняты или отклоне-
ны научными советами, которые, как правило, состоят на 2/3 из
тех, кто не работает в данной лаборатории. При обсуждении
исходят в основном из научных соображений, но учитывают так-
же и такие вопросы, как наличие достаточного количества со-
трудников для выполнения задуманных экспериментов и являют-
ся ли приемлемыми затраты с точки зрения потенциальной ин-
формации, которую могут дать эксперименты. Такие научные
советы являются совещательными органами при директорах ла-
бораторий, но обычно их рекомендации принимаются. Аналогич-
ная процедура обсуждений используется в тех случаях, когда
большая группа сотрудников предлагает проект большого детек-
тора для нового ускорителя, особенно если имеются конкурирую-
щие предложения.
В США финансирование лабораторий осуществляет ми-
нистерство энергетики, за исключением финансирования уско-
рителя CESR в Корнелле, которое осуществляет Национальный
научный фонд. Исследования по физике элементарных частиц
в университетах США финансируют совместно обе эти органи-
зации. Бюджет ЦЕРНа интернациональный; имеется 13 стран-
участниц, каждая из которых вносит больший или меньший
вклад в зависимости от ее валового национального продукта.
И тем не менее, лаборатории имеют ограниченные фонды для
проведения исследовательской работы. Когда эксперимент уже
одобрен, экспериментаторы должны составить детальную смету
расходов с обоснованием затрат по конструированию и созда-
нию детекторов и анализированию данных, полученных на них.
13.6. Современные исследования и будущее их развитие
Из-за необходимости работать с высокими светимостями, из-за
проблемы отбора регистрируемых событий, описанной в
разд. 13.2, а также из-за проблемы собирания и анализирова-
ния большого количества экспериментальных данных в настоя-
щее время ощущается острая необходимость существенного
190
Глава 13
развития детекторной технологии, чтобы можно было проводить
исследования по физике элементарных частиц при помощи уско-
рителей. Важные интересующие нас события могут быть крайне
редкими по отношению ко всему числу событий, которые опи-
сываются стандартной моделью, и иметь сечения, малые по
сравнению с соответствующими сечениями стандартной модели.
Для правильного использования создаваемых ускорителей важ-
но постоянно делать упор на исследования в области новой де-
текторной технологии.
Задачи
13.1. Предположим, что на теватронном коллайдере в Нацио-
нальной лаборатории им. Ферми получена частица нового типа
N (называемая «нейтрино Майораны»). Уникальная характери-
стика, позволяющая ее детектировать, состоит_в том, что она
является сопряженной по заряду самой себе (ДГ = М). Таким
образом, если рождены частицы N (или N), то половину вре-
мени они будут распадаться как Af, а другую половину — как N.
Взаимодействия этой частицы полностью описываются верши-
нами, показанными на_рис. 13.2. Считая, что рождается частица
N или пара частиц М/V, покажите, что указанием на новое со-
бытие служит появление дилептонных событий «одинакового
знака», т. е. событий с рождением е+е+ + струи (или отсут-
ствующая энергия, или добавочные лептоны). Укажите процессы
стандартной модели, которые при этом происходят, и иссле-
дуйте, могут ли некоторые из них давать дилептоны одинако-
вого знака. Какое свойство детектора необходимо для обнару-
жения таких событий?
Рис. 13.2.
13.2. Предположим, что 7°-частицы рождаются в процессе
q + q-^ZQ + g. Какая доля 7°-частиц не будет зарегистриро-
вана детектором? Как такие события можно регистрировать
другими методами?
Рекомендации для дальнейшей работы
Используйте книги, на которые даны ссылки в гл. 12.
Глава 14
Эксперименты при низких энергиях
и эксперименты
без использования ускорителей
В последних двух главах рассмотрены современные коллайдеры
высокой энергии и соответствующие детекторы. Чтобы у чита-
теля не создалось ложного впечатления, что эксперименты на
ускорителях высоких энергий — единственные в физике элемен-
тарных частиц, мы здесь кратко упомянем другие направления
исследований, которые тоже могут привести к открытиям. Ко-
нечно, объект нашего основного внимания — стандартная модель
и ее экспериментальное подтверждение — естественно относится
к области применения ускорителей высоких энергий и светимо-
стей. Действительно, естественные масштабы масс и энергий
стандартной модели соответствуют массам порядка или
т. е. порядка 100 ГэВ. Экспериментальная проверка предсказа-
ний стандартной модели при высоких энергиях требует иссле-
дования кварковых, лептонных и глюонных столкновений с энер-
гиями порядка тераэлектронвольт.
Вместе с тем цель этой книги состоит также и в том, чтобы
подготовить читателя к пониманию будущего развития физики
элементарных частиц и обратить его внимание на то, что стан-
дартная модель является лишь тем фундаментом, на котором
будет стоять нечто новое. Кроме того, мы хотим указать чита-
телю на область явлений, где стандартная модель концептуаль-
но не полна. В1 настоящее время осуществляется или планиру-
ется ряд экспериментов, которые, возможно, расширят область
применения стандартной модели в новых направлениях. В од-
них таких экспериментах предполагают использовать вторич-
ные пучки, получаемые от ускорителей, а в других — вообще
отказываются от использования ускорителей. Речь идет о сле-
дующих важных экспериментах: 1) поиски эффектов, обуслов-
ленных ненулевыми нейтринными массами, в форме нейтрин-
ных осцилляций, детектирования солнечных нейтрино или ней-
трино, испускаемых при (3-распадах атомных ядер (см. гл. 29);
2) поиски безнейтринного двойного (3-распада, который должен
быть чувствительным к массам нейтрино, правым токам, а так-
же к новым легким частицам, которые, возможно, связаны с
нейтрино; 3) поиски редких или запрещенных распадов каонов
и мюонов; 4) поиски темной материи (см. гл. 28); 5) поиски
следов распадов нуклонов (см. гл. 27); 6) поиски монополей.
В этот список можно включить и другие эксперименты.
192
Глава 14
Редкие распады кварков и лептонов теперь стали той об-
ластью исследований, в которой производится важная проверка
стандартной модели. Все кварки и лептоны, за исключением
самых легких, могут распадаться согласно вершинам, приведен-
ным в гл. 7, с учетом преобразования поворота между слабыми
и массовыми собственными состояниями кварков (см. гл. 22).
Но многие такие распады запрещены. В стандартной модели,
например, раздельно сохраняются электронное, мюонное и тау-
лептонное числа (т. е., например, полное число T“ + vt — т+ — vT
не изменяется в любом процессе, в котором частицы учитыва-
ются со знаком плюс, а античастицы — со знаком минус). Та-
ким образом, многие распады в стандартной модели запрещены.
Например, не может быть следующих распадов:
т-/>цу,
Л’°-74*тц,
и других подобных им. Стандартная модель предсказывает, что
эти распады не могут происходить; пока такие распады не об-
наружены экспериментально. Отношения мод таких распадов
лежат в интервале от 10-4 до 10~и. Но многие теоретические
идеи, касающиеся природы массы и связанных с этим вопросов,
приводят к теориям, в которых некоторые из указанных распа-
дов могут, хотя и редко, происходить. Обнаружение этих распа-
дов или доказательство их отсутствия — одно из главных на-
правлений поиска фундаментальной физики, лежащей за грани-
цами стандартной модели.
Детекторы, предназначенные для экспериментов, проводи-
мых без использования ускорителей, часто должны решать проб-
лемы нового типа и безироваться на создании принципиально
новых устройств и методов. Прогресс во всей этой области, воз-
можно, определяется разработкой новых детекторов.
Глава 15
Кварки, конфайнмент, легкие мезоны,
барионы, струи и глюболы
Электроны и протоны обладают электрическими зарядами. Про-
тивоположные электрические заряды притягиваются и связы-
ваются друг с другом электромагнитными силами, например в
атоме водорода. Атом водорода может находиться в основном
состоянии или в бесконечном множестве возбуждаемых воз-
бужденных состояний, которые соответствуют различным пол-
ным угловым моментам и различным орбитальным угловым
моментам. На положение энергетических уровней атома водо-
рода оказывают также влияние так называемые (Ь-8)-силы,
которые являются зависящими от спинов электромагнитными
силами. Используя терминологию теории элементарных частиц,
следует сказать, что потенциал, обеспечивающий образование
связанных состояний, обусловлен учетом бесконечного числа
диаграмм с различными фотонными обменами. Никакое конеч-
ное множество таких диаграмм, имеющихся в теории возмуще-
ний, не может объяснить появление связанного состояния, по-
этому расчет эффектов связанных состояний представляет собой
математически очень сложную задачу. Так, полная релятивист-
ская проблема двухчастичного связанного состояния до сих пор
не решена даже в рамках квантовой электродинамики.
Поскольку кварки тоже обладают электрическими зарядами,
они тоже могут образовывать «атомы». Но на кварки действуют
и другие силы — цветные силы или силы КХД, обусловленные
обменом глюонами. Поскольку эти глюонные силы существенно
сильнее электромагнитных, именно они определяют связанные
состояния кварков и возникающую спектроскопическую кар-
тину. С точки зрения пространственно-временных свойств оди-
ночный глюон во всем подобен одиночному фотону, но вслед-
ствие эффектов самодействия глюонов учет бесконечного числа
кварк-глюонных диаграмм с обменами многими глюонами мо-
жет повести к появлению совершенно новых свойств связанных
состояний, как это на самом деле и происходит.
В отношении спектроскопических свойств атомных систем
электромагнитные силы имеют очень простой характер. Атомы
могут быть построены только из противоположно заряженных
частиц. По-другому проявляются силы в КХД, так как электро-
магнитные силы характеризуются (7( 1)-симметрией, а взаимо-
13 Г. Кейн
194
Глава 15
действие КХД — более богатой S(7(3)-симметрией. Именно это
различие объясняет факт существования барионов.
Поскольку силы КХД очень сложные, а теоретические пред-
сказания, основанные на учете небольшого числа диаграмм тео-
рии возмущений, не могут объяснить эффекты образования
связанных состояний, мы ограничимся здесь формулировкой не-
скольких простых правил и покажем, что наблюдаемые свя-
занные состояния кварков действительно описываются этими
правилами. Мы изложим также мотивировку этих правил на
основе КХД. В настоящее время проводится интенсивная ра-
бота по отысканию методов решений основных уравнений КХД
с помощью новых математических методов, выходящих за рамки
теории возмущений, в частности с помощью проведения числен-
ных решеточных расчетов. Полученные таким образом резуль-
таты полностью согласуются с качественной картиной, пред-
ставленной здесь.
15.1. Конфайнмент цвета и цветные синглетные адроны
Следует сразу отметить, что в настоящее время полагают, что
потенциальная энергия двух цветных частиц в КХД возрастает
(линейно) с увеличением расстояния между ними.
Рис. 15.1. Силовые линии электрического диполя (а) и силовые линии для
взаимодействия двух кварков с цветными силами (б).
На рис. 15.1, а показаны силовые линии электрического поля
обычного электрического диполя, связывающие два противопо-
ложных равных электрических заряда. На рис. 15.1,6 показано
гипотетическое расположение силовых линий для глюонного
поля между кварком и антикварком, находящимся на расстоя-
нии г друг от друга. Площадь поперечного сечения А на
рис. 15.1,6 должна оставаться постоянной при увеличении г
вследствие эффекта глюонного самодействия. Число силовых
линий определяется значением полного (цветного) заряда
кварка, поэтому оно тоже не изменяется. Поэтому энергия
глюонного поля должна возрастать пропорционально объему
трубки тока, т. е. пропорционально расстоянию г.
Кварки, конфайнмепт, легкие мезоны, барионы, струи и глюболы 195
Из сказанного можно вывести два важных следствия. 1) По-
скольку, для того чтобы разделить кварки q и q, потребовалась
бы бесконечная энергия, кварки навечно удерживаются в адро-
нах. 2) Энергия, сообщаемая при столкновении двух кварков,
затрачивается на рождение адронов.
Описанное явление «удержания», или конфайнмента объяс-
няет, почему цветные частицы (кварки и глюоны) наблюдаются
в экспериментах только в виде струй адронов. Чтобы объяснить
появление струй, следует предположить, что при столкновении
кварку в адроне передается огромная энергия. После этого он
стремится удалиться от другого кварка (кварков), с которым
он был первоначально связан в адроне. Но по мере увеличения
расстояния, например между q и q, энергия цветного поля воз-
растает, пока не появится достаточно энергии для рождения
пары физически наблюдаемых мезонов. Оказывается, энергети-
чески более предпочтительно адрону распадаться не на кварко-
Рс. 15.2. Рождение мезонной струи.
вые, а на адронные фрагменты, как показано на рис. 15.2. Опи-
санный процесс повторяется до тех пор, пока вся начальная
энергия, сообщенная кварку при столкновении, не растратится
на рождение большого числа адронов, образующих струю.
Эксперименты показывают, что кварк с энергией порядка
10 ГэВ распадается примерно на семь адронов, а кварк с энер-
гией 100 ГэВ — примерно на 15 адронов. Так как пионы яв-
ляются самыми легкими адронами, они оказываются основными
компонентами адронной струи.
Поскольку появление струи служит свидетельством появле-
ния высокоэнергетического кварка или глюона, каждый из ко-
торых имеет цветной заряд, но в детектор попадают только
цветные синглетные мягкие адроны, следует говорить о «кон-
файнменте» цвета в адронах. Здесь мы сталкиваемся с пробле-
мой, выходящей за рамки теории возмущений, и эта проблема
в настоящее время слишком сложна для строгого теоретиче-
ского рассмотрения. Но одно проверяемое на эксперименте за-
ключение можно сделать в отношении струй. Струя определен-
ного типа должна вести себя по существу одинаково во всех
экспериментах независимо от способа ее получения. Проверка
этого предсказания требует очень хорошей экспериментальной
техники, которая повзолила бы различать кварковые и глюон-
13*
196
Глава 15
ные струи; пока проблема создания такой техники полностью
не разрешена. Вместе с тем все имеющиеся экспериментальные
данные вполне удовлетворительно согласуются с предположе-
нием, что фрагменты струи по существу не зависят от способа
ее получения.
Приведенные соображения, объясняющие конфайнмент цве-
та и образование струй, были развиты с использованием разных
подходов: анализа попыток решать основные уравнения КХД
с помощью решеточных расчетов и аналогии глюонного поля с
электромагнитным полем. Интересующийся читатель может
обратиться к литературе, ссылки на которую даны в конце гла-
вы. Строгих доказательств правильности представленной кар-
тины пока не известно, но это и неудивительно, так как обсуж-
даемая математическая проблема в высшей степени нелинейна
и не может быть решена методами теории возмущений. Под-
черкнем, что удерживается, т. е. испытывает конфайнмент,
именно цвет, а не электрический заряд. В1 настоящее время не
выдвинуто ни одного соображения, которое позволило бы объ-
яснить, почему не могут встречаться в природе элементарные
частицы с дробными электрическими зарядами, хотя теперь
считают, что КХД действительно может объяснить, почему
экспериментально наблюдаемые частицы являются цветными
синглетами. Только являющиеся цветными синглетами комби-
нации кварков и глюонов (а также других цветных объектов,
которые, возможно, будут открыты) можно удалить друг от
друга на расстояние, большее одного ферми, и только такие
комбинации могут регистрировать детекторы.
Хотя доказательства конфайнмента цвета не слишком стро-
гие, в настоящее время большинство физиков считают, что ме-
ханизмы, действующие в природе, можно понять. На самом
фундаментальном уровне элементарные частицы одинакового
цвета отталкиваются друг от друга, подобно тому как отталки-
ваются друг от друга частицы одноименного электрического за-
ряда. С притяжением дело обстоит сложнее. Частицы разных
цветов притягивают друг друга, находясь в квантовом состоя-
нии, антисимметричном относительно перестановки цветных ин-
дексов, но эти частицы отталкиваются, находясь в симметрич-
ном состоянии. Эта ситуация хорошо знакома тем, кто зани-
мается сильным изоспином в ядерной физике. Протон и нейтрон
(аналогичные двум частицам в разных цветных состояниях)
притягиваются, находясь в антисимметричном состоянии и обра-
зуют дейтрон в соответствующем спиновом и орбитальном со-
стоянии, в то время как в симметричном состоянии они отталки-
ваются (могли бы проявляться в виде динейтрона или дипро-
тона) .
Кварки, конфайнмснт, легкие мезоны, барионы, струи и глюболы 197
Когда цвет комбинирует с антицветом, возникающие силы
оказываются силами притяжения, и в результате образуются
бесцветные мезоны. При комбинировании цветов можно начать
о рассмотрения их различных пар. Существуют три пары трех
цветов, обозначаемых г, g и b: rg, rb и gb. Третий кварк оттал-
кивается от любой такой пары цветных частиц, если он не
является третьим цветом, так как только полный триплет трех
цветов в антисимметричной комбинации может быть связанным.
Это как раз та ситуация, которая наблюдается в барионах.
Если к цветному триплету, образующему барион, добавить
четвертый кварк, то он будет отталкиваться одним кварком
триплета, но притягиваться остальными двумя. Однако притя-
жение будет слабее, чем в барионном состоянии. Чтобы устано-
вить, как сбалансированы силы и какие состояния могут су-
ществовать, необходимо провести детальные расчеты, относя-
щиеся к «кварковой химии». Но и мезоны и барионы, вообще
говоря, не имеют цвета, так что цветные силы насыщаются
локально, как в нейтральных атомах. Между атомами сущест-
вуют «остаточные» электромагнитные силы, действующие на
больших расстояниях, но они много меньше тех сил, которые
ответственны за образование самих атомов. Аналогично не-
большие «остаточные» силы (ядерные силы) действуют между
пространственно разделенными адронами, но основная часть
цветных сил ответственна за образование адронов.
Силы, действующие между элементарными частицами, мож-
но описать следующим образом. В электростатике мы представ-
ляем себе силы с помощью силовых линий, которые начинаются
на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах.
Число силовых линий определяет напряженность электриче-
ского поля; полное число силовых линий пропорционально ве-
личине электрического заряда, и их плотность убывает как 1/г2
при удалении на расстояние г от заряда. Сила, действующая
между двумя зарядами, определяется компонентой поля в на-
правлении, соединяющем заряды. В КХД мы тоже можем пред-
ставлять себе глюонное поле с помощью цветных силовых ли-
ний. Полное число силовых линий определяется величиной цвет-
ного заряда. Поскольку глюоны тоже имеют цветные заряды,
силы, действующие между цветными зарядами, не уменьшаются
с расстоянием, поэтому плотность силовых линий в данном
месте остается постоянной при увеличении расстояния между
цветными зарядами. Так как цветные силы не зависят от рас-
стояния, работа, затрачиваемая на разделение цветных зарядов,
увеличивается с увеличением расстояния между ними. Когда
системе сообщено достаточно энергии для рождения кварк-
антикварковой пары qq (например, в виде пиона), энергети-
198
Глава 15
чески более предпочтительно, чтобы это произошло, поэтому
кварки надежно удерживаются в адронах.
Хотя мы не можем точно рассчитать цветные силы, но мы
можем приближенно оценить их величину. Если считать, что
потенциал содержит член вида /(г, который приближенно описы-
вает силы на больших расстояниях, то должна быть соответ-
ствующая силовая константа К. Чтобы образовать адроны, раз-
меры которых порядка 1 ферми, а массы порядка 1 ГэВ, кон-
станта К должна быть порядка 1 ГэВ/ферми, т. е. 1015 ГэВ/м.
Переходя от естественных к обычным единицам, заметим, что
1 ньютон равен примерно 2,2-10-6 ГэВ2 в естественных единицах.
Таким образом, цветные силы имеют порядок величины
1015 ГэВ/м « 0,2 ГэВ2 105 Н 10 т.
Кулоновская сила притяжения, действующая между прото-
ном и электроном, равна —е2/г2. Цветная сила, обусловленная
обменом глюонами, действующая между двумя кварками, как
мы только что видели, не зависит от расстояния. Рассуждая
примитивно, можно принять, что цветная сила пропорциональна
as/r2, так как обмен глюонами аналогичен обмену фотонами.
Силовую постоянную нельзя, конечно, рассчитать с помощью
теории возмущений; она должна определяться сильно нелиней-
ными вкладами, обусловленными обменами многими глюонами.
В настоящее время используется несколько подходов при иссле-
довании не поддающихся теории возмущений эффектов КХД.
Наиболее перспективным из этих подходов оказался подход,
называемый «решеточной калибровочной теорией», цель кото-
рой состоит в отыскании решений с помощью рассмотрения
задачи не в пространстве-времени, а на решетке с некоторым
малым масштабом расстояний, так что импульсы в такой теории
обрезаны. В решеточной калибровочной теории используются
многие математические методики, в частности методы стати-
стической механики для анализа сложных систем. Но все эти
вопросы выходят за рамки данной книги.
15.2. Синглетные по цвету адроны
Чтобы изучить ожидаемый спектр частиц в рамках КХД, не-
обходимо научиться составлять цветные синглетные состояния
из кварков и глюонов. Кварки являются цветными 5/7(3)-три-
плетными состояниями, а глюоны — цветными 5/7(3)-октетными
состояниями.
Для простоты рассмотрим сначала ситуацию с обычной
SU(2)-симметрией, т. е. ситуацию в теории углового момента.
Пусть имеется несколько частиц со спином 1/2 (аналогичных
кваркам) и несколько частиц со спином 1 (аналогичных глюо-
Кварки, конфайнмент, легкие мезоны, барионы, струи и глюболы
199
нам). Как построить из этих частиц спиновые синглеты? Спи-
новое синглетное состояние — это состояние, инвариантное отно-
сительно вращений в спиновом пространстве; соответственно
цветное синглетное состояние — это состояние, инвариантное
относительно вращений в цветном пространстве. Если мы имеем
две частицы со спином 1/2, то из них можно построить три
состояния со спином 1 и проекцией спина S? = 1, 0, —1 и одно
состояние со спином 0. Состояние со спином 0 является анти-
симметричной комбинацией [|||>—|фф>]/д/2, а состояние со
спином 1 и проекцией спина Sz = 0 — симметричной ком-
бинацией; она объединяется с симметричными состояниями
|ff> и |||>, соответствующими S2=±l. Здесь .мы поль-
зуемся обозначениями, в которых стрелка на первом ме-
сте обозначает частицу 1, а стрелка на втором месте — ча-
стицу 2.
Вернемся теперь к цвету. Для группы S/7(3) можно повто-
рить все приведенное рассуждение. Здесь основное состояние
имеет не две, а три компоненты, которые мы представляем себе,
как три цветных состояния кварка, обозначаемые г, g и Ь. При
этом возникает новое существенное обстоятельство, так как
имеется два способа образования синглетов из цветных состоя-
ний двух кварков (в отличие от единственного способа, который
имеется для частиц со спином 1/2). Один способ полностью
эквивалентен способу для S/7(2)-синглета: можно рассмотреть
комбинацию (rr + gg + bb) д/З, где каждый кварк обозначен
своим цветным символом. Эта кварковая комбинация, очевидно,
ивариантна относительно вращений в цветном пространстве,
т. е. относительно преобразований вида г b <-> g. Рассматри-
ваемая комбинация полностью аналогична рассмотренной выше
синглетной спиновой комбинации. При образовании цветного
синглета необходимо образовывать кварк-антикварковые состоя-
ния, используя тот факт, что антикварк имеет цветной заряд,
противоположный цветному заряду кварка. Разумеется, речь
идет о мезонных состояниях, которые мы подробнее рассмотрим
ниже.
Из кварков можно образовать и второй цветной синглет. Это
состояние ^ijkqiqjq^ Используя снова введенные выше обозна-
чения, на первом месте поставим первый кварк и т. д. Теперь
каждый индекс г, /• и k может принимать значения г, g и Ь, так
что имеем в результате антисимметричную комбинацию, состав-
ленную из трех цветов, аналогичную смешанному произведению
трех векторов. (Эта комбинация не является тождественной,
так как кварковый триплет не характеризуется представле-
нием, соответствующим SU(2) -вектору, но это сейчас для нас
200
Глава 15
несущественно.) Такие цветные синглетные состояния обра-
зованы из трех кварков и не содержат антикварков, это ба-
рионы.
Подведем итоги. Следствием конфайнмента цвета является
тот замечательный результат, что должно существовать два
типа цветных синглетов, т. е. два типа адронных состояний, со-
стоящих из кварков. Это мезоны, образованные комбинациями
кварков вида qtcji, и барионы, образованные комбинациями
кварков вида qiqjqk. Они наблюдаются в действительности. Ко-
нечно, можно образовать более сложные цветные синглетные
состояния вида qqqq или qqqqq, но в настоящее время принято
считать, что они имеют более высокую энергию и нестабильны
относительно сильных взаимодействий. Такие состояния пред-
ставляют интерес для «кварковой химии» в КХД; здесь мы их
рассматривать не будем.
До сих пор мы не рассматривали глюоны. Поскольку они то-
же имеют цвет, синглетные состояния можно образовывать из
пар глюонов, суммируя симметричным образом по всем цветам.
(Для читателя, знакомого с теорией групп, скажем, что это
синглет, содержащийся в произведении 8X8 двух октетных
представлений цветных глюонов.) Такие состояния тоже являют-
ся мезонами, так что полный спектр частиц, предсказываемых
КХД, должен содержать мезоны типа qq и соответствующие
глюонные мезоны. Глюонные состояния называют «глюболами».
Глюонные состояния смешиваются с мезоннными состояниями
qq, ибо, как правило, имеют одинаковые с ними квантовые
числа. Каждое конкретное наблюдаемое мезонное состоя-
ние может быть частично мезонным и частично глюбольным,
т. е. смешанным. Существует много способов проверки теорети-
ческих предсказаний КХД, а также способов отличать глюболы
от мезонов qq. Самый простой из них — посмотреть, является ли
правильным полное число состояний. В частности, должно су-
ществовать большее число мезонов, чем число чистых мезон-
ных состояний qq.
Еще в одном способе проверки используется тот факт, что
нестабильные мезоны распадаются на более легкие мезоны.
Мезоны, составленные из кварков qq, имеют моды распада, со-
ответствующие кваркам всех ароматов (мы рассмотрим это
ниже), в то время как глюонные связанные состояния не зави-
сят от ароматов. Таким образом, эти два типа мезонов имеют
разные моды распада. Так как кварки различных ароматов
обладают различными массами, возникают некоторые трудности
при проверке предсказаний теории на эксперименте, но и с уче-
том этих трудностей теория предсказывает вполне измеримые
эффекты.
Кварки, конфайнмент, легкие мезоны, барионы, струи и глюболы 201
На этом мы закончим рассмотрение глюбольных мезонных
состояний. Глюболы, конечно, столь же фундаментальны, как
мезонные состояния вида qq или барионные состояния. Поэтому
очень важно экспериментально открыть глюбольные состояния
и подтвердить детальные предсказания теории в отношении их
свойств и спектра.
15.3. Квантовые числа мезонов и барионов
Каждый адрон характеризуется своим набором квантовых чи-
сел: массой, электрическим зарядом, барионным числом и спи-
ном. Кроме того, адрон может быть в собственном состоянии
четности, зарядового сопряжения и т. д. Масса адрона состоит
из масс его составляющих. Кварки в адронах имеют свои соб-
ственные массы, которые входят составными частями в массу
адрона. Кроме того, имеется вклад в массу, обязанный энергии
взаимодействия цветных частиц друг с другом внутри адрона.
Проблема расчета масс адронов, как и связанная с ней проб-
лема расчета масс кварков и глюонов в адронах, очень сложная
и не поддается решению методами обычной теории возмущений.
Проблема масс элементарных частиц интенсивно исследуется
в настоящее время. При отсутствии строгой теории можно, ко-
нечно, развить феноменологическую теорию масс частиц на
основе представлений КХД, но непосредственно не выводимую
из нее. Эта феноменологическая теория дает удовлетворительное
описание экспериментальной ситуации. В гл. 23 мы вернемся к
рассмотрению проблемы масс кварков и адронов и, в частности,
обсудим вопрос о том, что называть «массой» кварка, который
не существует в виде свободной частицы, а всегда наблюдается
как сильно связанная частица.
Остальные квантовые числа рассмотреть много проще. Ис-
пользуется способ, аналогичный применяемому в атомной и
ядерной физике. Мезоны qq аналогичны позитронию. Спины
обоих кварков в мезоне qq в сумме дают спин, равный 1 или 0.
Орбитальный угловой момент может быть равен 0, 1, 2, ... .
Угловые моменты L и S складываются в полный спиновый мо-
мент мезона. Как правило, ниже по энергии лежат состояния
с£ = 0и5 = 0 или 1; поэтому можно ожидать, что они чаще
всего встречаются у мезонов. Состояния с L 1 и с нулями
радиальной волновой функции лежат выше. Мы рассмотрим их
в гл. 16.
Когда оба кварка q и q имеют одинаковый аромат, ситуация
сказывается полностью аналогичной позитронию. Поскольку
фермион и антифермион имеют противоположные внутренние
четности, а инверсия системы координат, сопровождаемая вра-
202
Глава 15
щением, не изменяет начального состояния, мезон должен быть
собственным состоянием четности с собственным значением
P = (-1)L+’. (15.1)
Множитель (—1)L появляется вследствие преобразования угло-
вой волновой функции при вращении, так как сферическая функ-
ция У7м(9, Ф) при 0->л — 9 и переходит сама в себя,
но с появлением дополнительного множителя (—1)L. Аналогич-
но можно рассмотреть зарядовое сопряжение, при котором
q Систему можно вернуть в исходное состояние, если пе-
ревернуть спины, что дает (—1)S+I, так как состояние со спи-
ном 0 антисимметрично, а состояние со спином 1 симметрично,
как мы видели выше. В результате ферми-статистики при пере-
становке фермионов появляется еще один знак минус. Таким
образом, собственное значение оператора зарядового сопряже-
ния С равно
с = (-1) (- 1)L (-l)s+1 = (- 1)L+S. (15.2)
Мезонные состояния характеризуются значениями полного угло-
вого момента 7, четности Р и зарядовой четности С, а также
ароматами своих кварков (имеются мезоны типов ий, ss, su
и т. п.).
Волновая функция бариона составляется из волновых функ-
ций трех кварков. Необходимо учитывать принцип Паули и
строить антисимметричную волновую функцию при заменах лю-
бых двух тождественных фермионов. Полный спектр можно
описать, если произвести сложение орбитального углового мо-
мента и трех спиновых моментов кварков в барионе. Для самых
простых состояний L = 0, а спины складываются в полный спин
S = 1/2 или S = 3/2. По-видимому, при этом получаются самые
низкие состояния. Поскольку самые легкие барионы (протон,
нейтрон, лямбда-частица и т. д.) имеют спин 1/2, а следующие
за ними барионные резонансы спин 3/2 (Д, S*, ...), это пред-
положение оправдывается для барионов.
Здесь следует сделать одно очень важное замечание. Рас-
смотрим барионное состояние Д++ со спином 3/2, составленное
из трех кварков и, которые имеют спины, направленные вверх,
причем все эти кварки находятся в одном и том же орбитальном
s-состоянии. Ароматовые, спиновые и орбитальные волновые
функции симметричны при перестановках. Если бы цветная вол-
новая функция не была антисимметричной, кварковая интерпре-
тация резонансного состояния Д++ противоречила бы принципу
Паули. В точности такие рассуждения применимы к протонному
или нейтронному состояниям, но они более наглядны в случае
Кварки, конфайнмент, легкие мезоны, барионы, струи и глюболы 203
в высшей степени симметричного A-состояния. Концепция цвета
была введена впервые в физику именно на основе рассмотрен-
ного примера.
15.4. Замечания и перспективы дальнейшего развития
В этой главе мы сообщили, что основные идеи КХД позволяют
объяснить, почему цветные частицы удерживаются в бесцвет-
ных адронах, т. е. испытывают конфайнмент цвета, вследствие
чего:
1) цветная частица в адроне, которая получает большой
импульс при столкновении адронов, может проявиться в виде
адронной «струи»;
2) мезонные и барионные состояния являются цветными
синглетами.
Пусть произошло столкновение двух адронов. Сильное взаи-
модействие адронов разыгрывается на коротком временном
интервале порядка 10~22 с или меньше, так что адронизация квар-
ка или глюона, который получил большую энергию при столк-
новении, происходит за очень короткое время. Связывание обра-
зующихся кварков в мезоны происходит за такое же короткое
время. Отдельные мезоны после образования могут распадаться
в результате сильного взаимодействия, причем их время жизни
часто очень мало. Ниже мы увидим, что некоторые из кварков
распадаются в результате не сильных, а слабых взаимодействий.
И эти распады происходят со значительно большим временным
масштабом порядка 10~12 с, т. е. много медленнее, чем распа-
даются кварки, которые связаны в мезоне. В конечном итоге в
результате столкновения вылетают только долгоживущие и ста-
бильные частицы; присутствие остальных частиц можно лишь
предполагать.
Из рассмотрений этой главы следует ожидать на основании
КХД наличия в природе определенных наборов мезонов и ба-
рионов, хотя строгая теория как мезонов, так и барионов очень
сложна. Учитывая, что вопрос о глюболах еще требует дальней-
шего как теоретического, так и экспериментального изучения,
мы можем сделать следующие заключения.
1. Все предсказанные низколежащие состояния типов qq и
qqq наблюдались (эксперименты уже проведены).
2. Не наблюдались состояния, не предсказанные теорией.
(Наблюдались многие состояния с квантовыми числами, ожи-
даемыми для глюболов, но экспериментальная ситуация очень
сложна, и, по-видимому, в ней не удастся разобраться до полу-
чения дополнительных данных.)
3. Свойства всех мезонов и барионов согласуются качествен-
204
Глава 15
но (а иногда и количественно) с предсказаниями, основанными
на картине кварковой структуры, которую мы кратко описали.
Все эти результаты, основанные на данных, полученных для
нескольких десятков адронов в течение последних 30 лет, пред-
ставляют собой замечательное достижение физики элементар-
ных частиц. Огромное количество данных охвачено теперь еди-
ной теорией и, по-видимому, нашло окончательное объяснение
на основе рассмотрения адронов как частиц, составленных из
кварков, взаимодействующих друг с другом посредством сил
КХД.
Задача
15.1. Мы видели, что квантовые числа L и S можно считать
хорошими квантовыми числами адронов. Так как существует
много адронных состояний, вполне может случиться, что два
состояния с одним и тем же J, но разными L и S будут смеши-
ваться, что приведет к спектру частиц, которому нельзя дать
простой интерпретации с помощью квантовых чисел мезонов qq.
Покажите, что из инвариантности состояний относительно пре-
образования четности следует, что состояния с четными и не-
четными L не могут смешиваться. Покажите также, что из инва-
риантности состояний относительно преобразования зарядовой
четности следует, что существует только одно S для каждого L
(это показать проще, чем найти собственные значения опера-
торов Р или С). Таким образом, число состояний, которые мо-
гут смешиваться, очень мало, и можно пользоваться простейшей
картиной, не учитывающей смешивания.
Рекомендации для дальнейшей работы
В ряде статей журнала Сайентифик Америкен дано очень по-
дробное рассмотрение материала, обсуждаемого в данной главе.
Прежде всего это статьи К. Джонсона [35] о модели мешка и
кварковом конфайнменте, И. Намбу [42] о конфайнменте квар-
ков и К. Ишикавы [32] о глюболах; очень полезна также статья
т’Хофта [71]. Книга Клоза [7] и лекции в Лезушс [53], издан-
ные Квиггом, содержат более полное изложение вопросов, за-
тронутых в этой главе. В' книге Т. Д. Ли [38] очень подробно
обсуждаются вопросы конфайнмента кварков и глюонов. Статья
Ребби [55] в журнале Сайентифик Америкен о решеточной тео-
рии и конфайнменте кварков является замечательным обзором
достижений как решеточного подхода, так и теории конфайн-
мента. Обсуждение вопросов, излагаемых в гл. 15—17, на при-
нятом в данной книге уровне доступности читатель найдет и в
т. 1 книги Готтфрида и Вайскопфа [26].
Глава 16
Легкие мезоны, барионы
и сильный изоспин
До сих пор мы не рассматривали такое важное квантовое чис-
ло, как аромат. Имеется по меньшей мере шесть ароматов
кварков. Мезоны и барионы можно образовывать из кварков
произ_вольных ароматов, комбинируя их по-разному, например
ий, ud, ис, ub, sb, sd, uud, usd и т. д.
Как описано в гл. 3 и как упоминается в гл. 1, кварки обла-
дают собственными массами, которые называют массами «сво-
бодных» кварков, т. е. массами, которыми обладали бы кварки,
если бы они могли быть не связаны друг с другом. Эти соб-
ственные массы складывают с энергией взаимодействия квар-
ков в адроне. Мезоны, содержащие очарованные кварки, при-
мерно на 1,3 ГэВ тяжелее мезонов, составленных только из
легких кварков и, d и s. Исторически, конечно, первыми были
открыты самые легкие адроны, начиная с открытия протона и
нейтрона. Потребовалось осуществить на ускорителях столкно-
вения элементарных частиц высоких энергий, чтобы открыть
тяжелые адроны. Открытие легких мезонов и барионов сыграло
очень большую роль в разработке тех основных идей, которые
вошли теперь составной частью в современную стандартную
модель. Ниже в этой главе мы не излагаем сколько-нибудь полно
физику адронов, во-первых, потому, что адроны не играют те-
перь существенной роли в стандартной модели, и, во-вторых,
потому, что они описаны в других книгах. Тем не менее здесь
полезно дать беглый обзор адронных состояний и сделать не-
сколько важных замечаний.
Кварки и и d самые легкие; собственные массы этих кварков
порядка 10 МэВ. «Конституентиые» массы кварков и и d по-
рядка 350 МэВ, поскольку три таких кварка образуют нуклон
с массой около 940 МэВ, а кварк и антикварк образуют р-мезон
с массой 760 МэВ. Конституентными массами называются мас-
сы кварков, которые появляются даже у безмассовых кварков
при связывании их в цветные синглетные состояния. Необходи-
мость учета зависящих от спина эффектов и разностей энергий
связи для двух- и трехчастичных состояний объясняет, почему
нельзя получить слишком точные значения таких масс кварков.
Странный кварк обладает массой около 200 МэВ, так как
странные адроны, как правило, тяжелее соответствующих не-
странных частиц примерно на эту величину.
206
Глава 16
16.1. Мезонные состояния с L = О
В табл. 16.1 и табл. 16.2 приведен перечень самых легких мезон- ных состояний с L = 0 и S = 0, а также мезонных состояний с L = 0 и $ = 1. Кварковый состав для обоих типов состояний
Таблица 16.1. Мезонные состояния с L = 0 и S = 0 Таблица 16.2. Мезонные состояния с L = 0 и S = 1
Частица Кварковый состав Масса, МэВ Частица Кварковый состав Масса, МэВ
л+ ud 140 р+ ud 770
ud 140 Р“ ud 770
л° (ий + dd)/д/2 135 р° (ий + dd)/д/2 770
и (ий — dd)/'sj'b 550 <0° (ий — dd)/V2 780
К + us 494 Г + us 890
К~ us 494 к*~ ds 890
ds 498 к'° ds 890
Л° ds 498 к'0 ds 890
п' ss 958 ф ss 1020
со спином 1 = 0 и спином J= 1 один и тот же. Например, со-
стояние ud с J = 0 есть л+, а состояние с J = 1 есть р+. Состоя-
ния с L = S = 0 называют псевдоскалярными мезонами, так как
все эти частицы имеют нечетное собственное значение четности
(см. (15.1)) и спин 0. Мезоны с L = 0 и S = 1 имеют / = 1 и
также нечетное собственное значение четности (которое опреде-
ляется только значением L); эти частицы преобразуются при
вращениях как векторы и называются векторными мезонами.
Нейтральные мезоны р°, со0 и ф обладают квантовыми числами,
совпадающими с квантовыми числами фотона, и могут смеши-
ваться с фотоном. Нейтральные псевдоскалярные мезоны чет-
ные относительно зарядного сопряжения, а нейтральные вектор-
ные мезоны нечетные. (Выбор знаков у кварковых волновых
функций для мезонов л°(р0) и т] (со) следует пояснить. Наличие
знака минус для мезона т] показывает, что его волновая функ-
ция антисимметрична при замене и -<-> d. Однако если восполь-
зоваться значениями коэффициентов Клебша — Гордана и усло-
вием Кондона — Шортли выбора фаз, то нужно было бы учесть
дополнительный общий знак минус и поменять знаки у волновых
функций. Но эти знаки нам не нужны. Мы все же делаем это
Легкие мезоны, барионы и сильный изоспин
207
замечание, чтобы желающий воспользоваться нашими формула-
ми читатель не сделал ошибки. Следует также заметить, что
приписывание волновой функции ий — dd мезонам т] и со и вол-
новой функции ss мезонам г/ и ф грубо приближенно; оно по-
лезно для обозначения состояний, но его нельзя использовать
при конкретных расчетах.)
За исключением масс пионов, которые являются самыми
легкими мезонами, значения масс остальных частиц, приведен-
ные в табл. 16.1, можно легко объяснить исходя из значений
свободных масс кварков и соответствующих энергий связи, а
также небольших поправок, обусловленных зависимостью от
спина. Малость массы /тд легко понять, если, согласно КХД,
учесть, что массы ти и та малы по сравнению с масштабом
энергий КХД. Полное обсуждение этого вопроса требует де-
тальных динамических рассмотрений и выходит за рамки дан-
ной книги.
16.2. Барионные состояния с L = 0
Основные кварковые комбинации, определяющие вид волно-
вых функций этих барионных состояний, приведены в табл. 16.3
и табл. 16.4. Полные волновые функции этих барионов довольно
сложны, так как следует производить соответствующие симмет-
ризации по аромату, спину и цвету.
Таблица 16.3. Барионные состояния с Д = Ь2 = 0 и S = !/2 Таблица 16.4. Барионные состояния с Д = L2 = 0 и S = 3/2
Частица Кварковый состав Масса, МэВ Частица Кварковый состав Масса, МэВ
Р uud 939 Д+ + UUU 1232
п add 940 д+ uud 1232
А uds 1115 Д° udd 1232
2+ uus 1193 д~ ddd 1232
2" dds 1197 у* + SUU 1382
уо uds 1189 у+ 0 sud 1382
Е° nds 1315 у*- sdd 1387
77 ~ dss 1321 >q>*0 ssu 1315
м’1' — ssd 1321
sss 1672
208
Глава 16
16.3. Распады и кварковые переходы
Все мезоны и барионы, за исключением протона, нестабильны.
Большинство из них распадаются в результате сильных взаимо-
действий и имеют времена жизни порядка 10-23 с. Например,
наблюдаются сильные распады
Д++ -> ртс+, р+ -> л+л°,
К*+->К+Л, К* + ^К°л+.
Эти распады нельзя описать с помощью теории возмущений,
так как их ширины порядка 100 МэВ (за исключением, возмож-
но, случаев, когда множитель фазового объема очень мал).
Обычно отношение Г/Л1 порядка 10—20 % в отличие от значе-
ний порядка 1 % и менее для состояний, распадающихся в ре-
зультате слабых взаимодействий. Как видим, ширины рассмат-
риваемых распадов нельзя рассчитывать по теории возмущений.
Другие, не связанные с теорией возмущений, методы расчета
пока, к сожалению, не известны.
Некоторые распады мезонов и барионов электромагнитные,
например распады
л°->уу, S°->Ay,
A+->pY, p+->n+Y.
Наблюдаются также слабые распады, например
Q“->A№, n->pe~ve.
Все слабые и электромагнитные распады мезонов и барионов
можно интерпретировать, основываясь на предположении, что
переходы в них происходят на кварковом уровне.
Например, оба распада Л+—> ру и р+-^я+у можно связать
с кварковым переходом, обязанным переворачиванию спина
кварка; доминирующим при этом является переход и\ и\ + у
(так как электрический заряд «-кварка больше, чем d-кварка).
При этом получается правильное угловое распределение про-
дуктов распада и правильное значение отношения абсолютных
скоростей распадов. Все слабые распады можно количественно
описать с помощью электрослабой теории, изложенной в гл. 7
(на практике дополненной учетом эффектов смешивания квар-
ков, рассмотренного в гл. 22).
Наблюдаемые барионные магнитные моменты также можно
систематизировать, рассматривая магнитные моменты состав-
ляющих их кварков и сделав при этом ряд допущений.
Легкие мезоны, барионы и сильный изоспин 209
Вообще сотни характеристик десятков легких мезонов и ба-
рионов можно объяснить качественно, а часто и количественно
в рамках обсуждаемой картины кваркового строения адронов,
причем не возникает никаких загадок или затруднений. Удиви-
тельно, что, несмотря на трудности проведения количественных
расчетов, уже достигнуто удовлетворительное качественное со-
гласие теории с экспериментом, которое можно подытожить
следующими тремя утверждениями: 1) не наблюдается ника-
ких состояний, которые не предсказывались бы теорией; 2) все
предсказываемые теорией состояния наблюдаются; 3) все ха-
рактеристики наблюдаемых состояний именно такие, какие
предсказаны теорией. В настоящее время проводится интенсив-
ная работа по отысканию новых подходов, выходящих за рам-
ки теории возмущений и развиваемых для решения основных
уравнений КХД, описывающих поведение и свойства адронов.
16.4. Причина существования
сильной изоспиновой инвариантности
Современное понимание физики сильной изоспиновой инва-
риантности совершенно отлично от той ее интерпретации, кото-
рая господствовала исторически в течение очень длительного
времени. Происшедшее в настоящее время изменение всей кон-
цепции сильного изоспина и удивительно, и поучительно.
Начиная с момента ее введения более 50 лет назад и вплоть
до окончательной формулировки стандартной модели сильная
изоспиновая инвариантность сильных взаимодействий не только
помогала разобраться с множеством разнородных эксперимен-
тальных данных и позволяла связывать друг с другом различ-
ные процессы с участием сильно взаимодействующих элементар-
ных частиц с отклонениями не более 1 %, но также сыграла ре-
шающую роль в становлении основополагающей теперь идеи
внутренней симметрии и породила многие стимулы, побуж-
давшие к широкому использованию в физике элементарных час-
тиц идей симметрии и теории групп. Изоспиновая инвариант-
ность оказалась исключительно ценной для развития всей сов-
ременной физической идеологии.
Но теперь, имея теорию сильных взаимодействий в рамках
КХД, как можно- интерпретировать экспериментально наблю-
даемую сильную изоспиновую инвариантность? Если бы эта
инвариантность не была уже замечена, аргумент в пользу ее су-
ществования был бы примерно следующим. Сильное взаимо-
действие, действующее между кварками, происходит путем об-
мена глюонами, причем такое создаваемое глюонами взаимо-
действие не зависит от ароматов кварков. Глюон не может
14 Г. Кейн
210
Глава 16
отличить, например, w-кварк от d-кварка; эти два кварка раз-
личаются электрическими зарядами, и именно электромагнитные
взаимодействия позволяют различать эти кварки. Кварки и
и d различаются также своими массами, но различие (порядка
10 МэВ) так мало по сравнению с масштабом энергий взаимо-
действий в КХД (порядка 350 МэВ), что нельзя ожидать, что-
мы сможем когда-либо наблюдать эффекты различия масс в
сильных взаимодействиях. Наоборот, можно ожидать, что ре-
зультаты всех экспериментов в очень хорошем приближении
будут одинаковыми, если мы произведем замену и -«-> d, при ко-
торой происходит замена р <-> п, с которой связаны сильные
изоспиновые преобразования.
Здесь полезно подчеркнуть, что сильная изоспиновая инва-
риантность, по-видимому, является случайной, а именно след-
ствием малости масс ти и md по сравнению с массами адронов.
Точнее важна не малость самих этих масс, а малость разности
масс та — ти. Массы шести открытых кварков удовлетворяют
условию: mt'^> ть тс ms ти или md. Если бы имело
место сильное неравенство масс ти и md, например если бы было
mUi так что отношение т^/350 МэВ не было бы малым, то
не было бы в природе сильной изоспиновой инвариантности
Так как нам до сих пор непонятно происхождение масс элемен-
тарных частиц, мы должны быть благодарны случаю, в резуль-
тате которого возникли новые идеи в физике элементарных час-
тиц, способствующие ее развитию. Наконец, мы вообще можем
на все посмотреть совсем иначе. Экспериментально наблюдае-
мая сильная изоспиновая инвариантность служит прекрасным
доказательством того, что взаимодействия, обусловленные об-
менами глюонами, не зависят от ароматов кварков.
Рекомендации для дальнейшей работы
Книга Клоза [7] почти вся посвящена интерпретации адронных
взаимодействий на кварк-глюонном уровне. В ней затронуты не
только вопросы спектроскопии адронов с ее многочисленными
тонкостями, но также обсуждаются взаимодействия адронов и
их рассеяние. Обширное, сделанное на современном уровне из-
ложение спектроскопии кварков и глюонов приведено в лек-
циях Квигга [53], прочитанных им в Лезуше в 1981 г.
Глава 17
Тяжелые кварки с, b
К 1974 г. наиболее проницательные физики были убеждены на
основе полученных теоретических и экспериментальных резуль-
татов, что кварки и глюоны являются реальными объектами при-
роды. К этому времени уже существовала в современной фор-
ме стандартная модель. В ноябре 1974 г. было сделано выдаю-
щееся открытие, которое привело к тому, что практически все
остальные физики приняли ту точку зрения, которая изложена
в данной книге.
В лаборатории SLAC и в Брукхейвенской лаборатории
одновременно был открыт резонанс с массой 3,1 ГэВ, обладаю-
щий исключительно малой шириной Г 10 кэВ. Брукхейвенской
группой резонанс был назван 7; группой в SLAC он был назван
ф. Теперь общепринято называть этот резонанс частицей 7/ф.
Чтобы оценить огромное влияние, которое оказало на физику
элементарных частиц открытие резонанса J/ф, надо немного
рассказать историю вопроса. В предшествующие открытию два
десятилетия было открыто огромное количество различных ад-
ронных резонансов. Как правило, их ширины составляли 10—
20 % значений их масс, что и ожидалось, так как распады этих
резонансов происходили в результате проявления сильного взаи-
модействия. На ускорителе в SLAC резонанс J/ф наблюдался
в процессе еге~ 7/ф —> адроны. В этом процессе ранее уже
наблюдались резонансы р°, со и ф. Резонанс р наблюдался также
в процессе е+е~ с помощью методики измерения импуль-
сов пионов и построения графика зависимости числа событий
от квадрата передачи импульса М2 — (р+ + р_)2 (см. гл. 13).
Согласно (9.21), при этом наблюдался резкий пик. Резонансы
р°, (о и ф были обычными адронными резонансами, которые об-
ладали квантовыми числами, совпадающими с квантовыми чис-
лами фотона, и их можно было интерпретировать как проявле-
ние процесса, приведенного на рис. 17.1, и аналогичных процес-
сов для резонансов w и ф.
Ширины этих резонансов были «большие», например шири-
на резонанса р составляла 20 % его массы; ширины резонансов
и ф были немного меньше (5— 10 МэВ) вследствие случай-
ного обстоятельства — их доминирующие моды распадов сопро-
вождались малыми множителями фазового объема. (Резонанс
14*
212
Глава 17
Ф предпочтительно распадается на пару /(7(, но его масса лишь
немного выше порога образования /(А. Резонанс w мог бы рас-
падаться на пару рл, но его масса лежит ниже порога, так
что р оказывается виртуальной частицей. Когда ширины распа-
дов всех трех резонансов р, со и ф были вычислены с использо-
ванием значений констант связи, то оказалось, что значения
констант связи примерно одинаковы для всех трех распадов /.)
Если бы резонанс //ф имел «нормальную» ширину, она была бы
в 103 раз больше экспериментально наблюденной ширины.
Рис. 17.1. Адронные резонансы.
Некоторые теоретики за год-два до этого открытия утверж-
дали, что должен существовать тяжелый кварк. Хотя этого
мнения не придерживалось большинство исследователей, но
оно было известно и, конечно, сильно помогло быстрому при-
знанию принятой теперь картины. Упомянутые теоретики, за-
нимающиеся этими вопросами, быстро сообщили группе в
SLAC, что если резонанс //ф интерпретировать как мезон qq в
орбитальном s-состоянии и в спиновом триплетном состоянии,
то первое радиальное возбужденное состояние должно иметь
энергию на 600 МэВ выше энергии основного состояния. (Это
состояние имеет те же квантовые числа, что и основное состоя-
ние, а потому и может рождаться в тех же процессах.) Пред-
сказанное состояние ф' было сразу же экспериментально найде-
но, и интерпретация резонанса //ф с помощью четвертого квар-
ка стала общепринятой. Теоретики, изучавшие частицу //ф до ее
открытия, показали, что этот резонанс должен быть очень узким.
Измеренная экспериментальная ширина резонанса оказалась
даже еще более узкой, чем ожидалось. Аромат нового кварка
был назван «очарованием»; он уже был так назван ранее тео-
ретиками, которые предвидели его существование.
Если наблюдаемый резонанс действительно подобен позит-
ронию, т. е. атомной структуре, составленной из тяжелых кварка
и антикварка, то, очевидно, кварки надо воспринимать совер-
шенно серьезно как основные частицы, из которых построены
все остальные частицы. И если речь идет о действительно фун-
даментальной частице, т. е. о «точечном» кварке, то он должен
иметь массу примерно в 1,5 раза больше массы (составленного
из кварков) протона; все это требовало существенного пере-
смотра господствовавших в то время взглядов.
Тяжелые кварки с, Ъ
213:
17.1. Некоторые сведения о чармонии
Частицы J/ф можно интерпретировать как энергетические уров-
ни связанной системы, составленной из очарованного кварка с
и его антикварка с. Так как свободная масса с-кварка много
больше его констнтуептной массы, спектр связанных состоя-
ний сс значительно легче исследовать, чем спектры аналогичных
связанных состояний, составленных из легких кварков. Поучи-
тельно здесь рассказать о том, как характеристики этого свя-
занного состояния выводятся из экспериментальных данных.
Аналогичные рассуждения можно применить к системе ЪБ, а
также к топонию tt, если последний удастся обнаружить при
энергиях, доступных на ^“-коллайдерах. Система сс называет-
ся чармонием. В случае любого тяжелого кварка Q система
QQ называется «кварконием».
Можно было бы рассмотреть множество процессов. Мы рас-
смотрим здесь только процессы е+е~ -> и
—> адроны, причем все эти процессы будем рассматривать
только в окрестности резонанса //ф, т. е. при V5 ~/71ф- Тогда,
согласно (9.21), для сечения рассеяния с образованием ре-
зонанса J = 1 имеем следующую формулу:
Зл
а = ——=--------' . (17.1>
s (Vs - тф)2 + Г^/4
Для узкого резонанса с очень высоким пиком непосредственное
изучение формы резонансной кривой и определение ширины
Гф оказывается невозможным, так как ширина меньше экспери-
ментального разрешения. Чтобы получить все же информацию,
рассматривают проинтегрированную величину
(17.2)
Используя приближение малой ширины (см. (10.4)), получаем
г ^Л2 Г2^ 6л ГевГ|1ц,
ГФ
6л2 Г Г
т _____ DH ее1адр
' а др Т7 р
/?Гф 1 ф
(17.3)
Экспериментально значения / пропорциональны полному числу
событий, регистрируемых для соответствующих процессов. При
известной массе /гц, которая измеряется энергией пучка и рав-
на 3,1 ГэВ, при известных трех величинах lee, /щд и /адР в (17.3)
имеем четыре неизвестных. Но следует учесть, что Г^ = Гее +
+ Г^ц + ГадР, если детектор регистрирует все моды распада,
так что имеем три уравнения для определения трех величин Гсе,
Гцц и ГаДр. В результате получаем: Гее = Гцц = 5 ± 1 кэВ и
214
Глава 17
Гадр = 70 ± 10 кэВ. Найденные ширины Г, конечно, меньше, чем
экспериментальное разрешение и не могут непосредственно де-
тектироваться. Отношение Г^/m^, которое составляет 10—20 %
для адронов, здесь равно 2,5-10-5!
Разумеется, можно ожидать появления других состояний рас-
сматриваемой связанной системы, например состояния Л = 0,
3 = 0, называемого т]с-мезоном. При этом должен наблюдаться
процесс с переворачиванием спина (подобный процессам
р у л и Д+ -> у + р)
У/хр-^у + Лс (17.4)
с переходом из состояния 3 = 1 в состояние 3 = 0. В настоящее
время экспериментально наблюдались полный спектр частиц
J/xp и многие переходы, причем выяснилось, что поведение чар-
мония в точности следует всем теоретическим предсказаниям.
Рис. 17.2. Диаграмма процесса е+е~ -> вдали от резонанса 7/хр.
Существует очень хороший способ убедиться в том, что
резонанс J/хр в самом деле имеет квантовые числа фотона. Рас-
смотрим, например, процесс Вдали от резонанса
7/хр основной вклад в амплитуду рассеяния происходит от фо-
тонной диаграммы, показанной на рис. 17.2. Амплитуда, соот-
ветствующая этой диаграмме, согласно правилам гл. 7, дается
выражением
MY = -у- йу^ийу^и (17.5)
и оказывается действительным числом. Амплитуда для вклада
7/хр равна
--------------2------.----
s -
(17.6)
согласно (9.20); она имеет ненулевые действительную и мнимую
части:
~ (s - /п2 )2 + /и2Г2 + 1 (s - /п2 )2 + ш2 Г2 *
(17.7)
Тяжелые кварки с, b
215
Действительная часть изменяет свой знак при V5 — пц ’и интер-
ферирует с (действительной) амплитудой Л4У, так что, если ре-
зонанс //ф имеет квантовые числа фотона, то должен наблю-
даться асимметричный интерференционный эффект. И он дей-
ствительно наблюдается.
17.2. Энергетический спектр чармония
Связанное состояние сс подобно атомной системе, а именно ато-
му позитрония Как отмечалось в гл. 15 и 16, вследствие
отличия цветных сил от электростатических кулоновских спект-
ры обеих систем будут немного отличаться. На очень малых
расстояниях будет доминировать кулоновский вклад в потенциал
взаимодействия кварков с и с, а при больших расстояниях по-
тенциал будет сильно возрастать, что приводит к конфайнменту.
Точный вид межкваркового потенциала получить нельзя вслед-
ствие нелинейной природы вкладов различных глюонных процес-
сов. Но можно использовать простую главную интерполяцию
между областями малых и больших значений г, которая позво-
ляет получить вполне удовлетворительное описание общего вида
потенциала.
Некоторые экспериментально наблюдавшиеся уровни чар-
мония сс представлены на рис. 17.3. Выше порога распада чар-
мония на очарованные мезоны ширины уровней чармония ста-
новятся довольно большими и наблюдаются моды сильного рас-
пада. Масса мезона D+ равна 1869,3 МэВ, а масса мезона
0° —- 1864,6 МэВ, так что выше массы примерно 3730 МэВ для
любого сс-мезона фп разрешен сильный распад вида tyn-+DD.
Такой распад в основном характеризуется диаграммой, при-
веденной на рис. 17.4; истинный процесс распада вклю-
чает в себя многие дополнительные глюонные вклады, обес-
печивающие эффект связывания друг с другом кварков.
Ширины состояний чармония сс увеличиваются примерно в
100—1000 раз для уровней, расположенных выше порога
Т)£)-распада. Ниже этого порога распады чармония происходят
в результате аннигиляции кварка с с антикварком с с рожде-
нием глюонов или фотонов. Такая аннигиляция может происхо-
дить только на малых расстояниях между кварками (порядка
1/Л4с), поэтому скорость аннигиляции мала; она мала также
вследствие эффекта, который мы обсудим в гл. 20, а именно
убывания константы сильного связывания в рассматриваемой
энергетической области. При рассмотрении аннигиляции чармо-
ния необходимо использовать константу связи для масштаба
3 ГэВ, когда она равна а3^0,15—0,2, хотя для процесса,.
216
Глава 17
4200~
4000 -
3800-
3600-
3400-
3200-
3000-
2981±2
2800 -------
3770 ±2.4
3686^0,1
3096,9 ± 0,1
3414,9
t1,1
3570’7 ±04
-0,5 '
4030 ± 3
Рис. 17.3. Экспериментальные уровни чармония.
подобного изображенному на рис. 17.4, существенны только
большие расстояния, а потому с&з >; 1. В формулу для скорости
распада входят по крайней мере множитель и более высокие
Рис. 17.4. Сильный распад чармония на кварковом уровне.
степени аз, так как следует учитывать процессы с участием
многих глюонов.
17.3. Очарованные мезоны
Кроме системы состояний чармония, очевидно, должны суще-
ствовать системы уровней для мезонов ей, cd и cs. Такие мезо-
ны должны рождаться в процессах парами, так как основной
процесс
е+е~-^сс (17.8)
сопровождается разделением очарованных кварков с последую-
щим рождением кварковых пар ий и dd (легких кварков) по ме-
ре диссипации энергии столкновения. Большая часть легких
кварков объединяется друг с другом в пары, но некоторые из
них присоединяются к очарованным кваркам с и ё с образова-
нием соответствующих очарованных мезонов. Для мезонов с
Тяжелые кварки с, b
217
L = 0 и S = 0 используют следующие обозначения:
сй = £)°; cd = D+, cu = D\ cd = D~, (17.9}
а для мезонов со странным кварком — обозначения
cs = F+, cs = F~. (17.10}
Массы очарованных мезонов составляют
т (г>+) = т (D~) = 1869,3 ± 0,6 МэВ,
т (D°) = т (5°) = 1864,6 ± 0,6 МэВ,
т (/?+) = т (/’-) = 1970,5 ± 2,5 МэВ.
Как видим, m(£>+)+ m(D~) > /и (гр), так что частица гр стабиль-
на относительно распада на очарованные частицы; очарованные
кварки могут только аннигилировать в процессе распада, что
объясняет относительно большое время жизни частицы гр. Обо-
значения для очарованных мезонов при 3 = 1 такие же, как
для мезонов при 3 = 0, но снабжаются звездочками (*), в част-
ности используют обозначения D*°, D*0 и Д* ±. Мезоны D* ана-
логичны мезонам р или К*, а мезоны D и F аналогичны мезонам
л и К. Правда, теперь обозначения немного систематизировали
и используют символы D* вместо F±.
Очарованные мезоны D должны были бы быть стабильными^
но это не так, ибо очарованный кварк может распадаться в
результате действия электрослабых взаимодействий. Из вер-
шин, которые мы рассмотрели в гл. 7, можно составить диа-
грамму, изображенную на рис. 17.5, где и f — любые фермио-
ны, взаимодействующие с частицей W и разрешенные законами
сохранения. Возможны три электрослабых процесса распада:
с—>seve, c—>s^v^ c—>sud. (17.11)
Из-за учета цвета канал ud оказывается в три раза более ве-
роятным, чем остальные два канала. Время жизни с-кварка
можно теоретически рассчитать в точности так же, как в гл. 11
рассчитано время жизни ц-мезона; при этом получим следую-
щую окончательную формулу: Гс = 5Gr^c/192n3, поскольку надо-
учесть пять каналов распада. Таким образом, тс=1/Гс^
« 5-10~13 с (с учетом соответствующих поправок КХД). Распад
с-кварка происходит очень быстро от точки рождения резонанса
J/гр, так что только продукты распада можно непосредственно
наблюдать. Но длина пути f-кварка достаточно велика, чтобы
с помощью хороших детекторов можно было наблюдать раз-
дельно обе вершины для рождения и распада с-кварка, и такие
наблюдения действительно проведены.
218
Глава 17
Очарованный кварк с удерживается в мезоне, поэтому ре-
ально в конечном итоге образуются адроны, так что требуется
кропотливый анализ, чтобы разобраться с такими распадами.
Можно, конечно, рисовать соответствующие диаграммы, но важ-
но все время помнить, что это не фейнмановские диаграммы, так
как надо учитывать многочисленные эффекты, не описываемые
теорией возмущений, поэтому не существует точных правил со-
Рис. 17.5. Электрослабый распад очарованного кварка с в кварк s.
ставления вкладов, соответствующих этим диаграммам. Такая
диаграмма для процесса D°->- /(-ц+уц-Изображена на рис. 17.6.
Диаграмма для другого процесса £)°->Л°л0 показана на рис. 17.7.
Отметим, что мезон 7)° (и D+) всегда распадается в мезон К-
Рис. 17.7. Распад 2)° -> /(оло.
или К0, а мезон D0 (и 7)~) распадается в мезон К+ или KQ. По-
скольку речь идет о слабых распадах, их ширины чрезвычайно
малы и всегда меньше экспериментального разрешения:
^5
ro~5^i-~5- 1СГ13 ГэВ = 5 • 10“4 кэВ. (17.12)
17.4. Остальные лептоны и кварки
После открытия очарованного с-кварка оказалось возможным
разбить кварки на два семейства, и появилась некоторая сим-
метрия между лептонами (уе, е, уц, ц) и кварками (u, d, с, s).
При этом ничто не предвещало, что могут быть открыты еще
Тяжелые кварки с, b
219
какие-то новые фундаментальные фермионы. Но почти сразу
после открытия с-кварка ситуация в корне изменилась. Группа
MARKI на детекторе SPEAR открыла новый лептон, названный
т (см. гл. 19). Вскоре в Национальной лаборатории им. Ферми
был открыт также и пятый кварк. Партнеры этих двух фунда-
ментальных частиц до сих пор непосредственно не обнаружены,
но имеются многие косвенные доказательства, что они сущест-
вуют, если только стандартная модель правильно описывает
взаимодействия частиц т и &, в чем, как представляется, нет
никаких сомнений. Этот вопрос подробно рассмотрен в гл. 25.
Кварк /, возможно, будет обнаружен либо на ускорителе SLC
в ЦЕРНе, либо на ускорителе TRISTAN, либо на ускорителе в
Национальной лаборатории им. Ферми. Это зависит от значения
его массы (она пока не известна, как были не известны и массы
остальных фундаментальных фермионов до момента их откры-
тия), а также от возможностей ускорителей и детекторов. Ней-
трино vT, может быть, будет детектировано в экспериментах с
фиксированной мишенью в ЦЕРНе или в Национальной лабо-
ратории им. Ферми.
17.5. Кварк b
После открытия &-кварка был детально исследован его спектр
на детекторах CESR и DORIS. Энергетические уровни системы
bb тоже были изучены, причем было установлено, что они такие,
как и ожидалось. Были открыты и детектированы так называе-
мые В-мезоны типов bit, bd, bs. В гл. 18 мы увидим, что чем
тяжелее система, тем более ее поведение соответствует описы-
ваемому теорией возмущений, развиваемой в рамках КХД. Все
наши ожидания согласуются с экспериментально наблюдаемым
поведением &Ь-системы.
Задачи
17.1. Предположим, что масса /-кварка лежит в интервале
25—80 ГэВ. Покажите, что для ширины /-кварка справедлива
формула Ц ~ 90/^4/192л3. Рассмотрите связанное состояние
/Г3^ системы //, обозначаемое 0 и называемое топонием. Если
частица 0 аннигилирует на более легкие частицы, то она может
совершать это только в процессе с участием трех глюонов
(инвариантность зарядового сопряжения запрещает процесс
распада на два глюона; закон сохранения энергии-импульса за-
прещает процесс распада с одним глюоном), так что его скорость
*220
Глава 17
пропорциональна фактору аз, умноженному на соответствую-
щий множитель фазового объема. При этом можно ожидать, что
аз
Ге ~ 32^
Распады частиц ф и Y происходят через аннигиляцию. Какова
должна быть наблюдаемая масса кварка /, чтобы были разре-
шены как аннигиляции, так и слабый распад и можно было
измерить слабое время жизни, несмотря на то, что /-кварк в про-
цессе рассеяния проходит слишком малый для непосредствен-
ного наблюдения путь? Каким должен быть процесс 0-распада,
если распад слабый (т. е. /-кварк распадается до аннигиляции
кварка / с кварком /)? Каким должен быть этот процесс, если
происходит аннигиляция до того, как /-кварк распадется в про-
цессе слабого распада? Что будет происходить, если слабое и
аннигиляционное времена жизни примерно одинаковы?
17.2. Объясните, почему распад DQ -> К~п+ разрешен, а рас-
пад запрещен. Первый наблюдается, а второй нет,
причем экспериментальные данные свидетельствуют о наличии
примерно множителя 25 для подавления запрещенной моды на
имеющемся в настоящее время наборе статистики.
Рекомендации для дальнейшей работы
Статьи в журнале Сайентифик Америкен Швиттерса [69], посвя-
щенная очарованному кварку, и Лидермана [37], посвященная
6-кварку, содержат подробности описания открытий этих квар-
ков. См. также статью «Кварконий» Блума и Фелдмана [4] и
«личные отчеты» Рихтера [57] и Тинга [74].
Глава 18
Глубоко неупругое рассеяние
и структурные функции
Если бы протоны были точечными частицами, это можно было
бы установить в экспериментах резерфордовского типа путем
бомбардировки протонов частицами высоких энергий, чтобы за-
регистрировать рассеяние на большие углы. Такие эксперимен-
ты действительно были проведены, причем в качестве частиц-
снарядов использовали электроны. Первые результаты таких
экспериментов были сообщены в 1958 г. С тех пор было прове-
дено большое число подобных экспериментов, причем в качестве
рассеиваемых частиц брали и электроны, и мюоны, и нейтрино.
Результаты таких экспериментов, к удивлению многих, пока-
зали, что протон не является точечным, а состоит из объектов,
которые являются теми кварками, которые мы рассматривали
в гл. 15—17, когда обсуждали спектроскопию адронов. Кроме
того, оказалось, что почти половина импульса протона перено-
сится объектами, не подверженными электрослабым взаимодей-
ствиям. Так было получено первое экспериментальное свиде-
тельство существования глюонов. Еще более удивительным было
то, что кварки внутри протона вели себя так, как будто они яв-
ляются свободными частицами, а не сильно связанными объек-
тами, которые невозможно выделить.
18.1. Глубоко неупругое рассеяние
Традиционный способ зондирования структуры частицы-мишени
В состоит в бомбардировке ее частицей-снарядом А и исследова-
нии последствий столкновения. Если при этом частицы остаются
теми же, то столкновение А + + В называют упругим. Но
обычно мишень разрушается и тогда столкновение называют не-
упругим. В качестве частиц-снарядов возьмем электроны; экспе-
рименты по рассеянию проводят также с пучками нейтрино и
мюонов. При изучении их собственного рассеяния друг на друге
(е+е~-+е+е-, и vvие) все эти лептоны ведут
себя как точечные объекты, не обладающие внутренней структу-
рой. Поэтому любой эффект структуры, наблюдаемый, когда эти
лептоны рассеиваются на протонах или нейтронах, следует при-
писать именно нуклонам.
Обозначим k и k' 4-импульсы начального и конечного элек-
тронов с энергиями Е и Е'. Для передаваемого 4-импульса, или
222
Глава 18
«передачи импульса», введем обозначение q = k — k'. В атомной
физике используют рассеяние электронов на атомах, чтобы ис-
следовать распределение в них электрического заряда. Формула
атомной и ядерной физики для дифференциального сечения рас-
сеяния имеет вид
Q2g2£2
______________I Р (а2) 12
dil ~ 4-1 k |2 Sin4 (0/2) 1 ™ 71 ’
(18.1)
где Qe — электрический заряд частицы-мишени, 9 — угол, на ко-
торый рассеивается электрон, функция F(q2)— так называемый
«формфактор», который описывает распределение электриче-
ского заряда в частице-мишени. В формуле (18.1) пренебрегает-
ся спиновыми эффектами, т. е. эта формула справедлива только.
Рис. 18.1. Взаимодействие между Рис. 18.2. Столкновение фотона с
зондовой частицей и частицей-ми- массой q2 с частицей-мишенью с им-
шенью, при котором мишень разру- пульсом р.
шается.
для бесспиновых частиц-снарядов или только в нерелятивист-
ском пределе. Согласно принципу неопределенности, чем больше
значение q2, тем лучше разрешение при зондировании частицы-
мишени. Как видно из рис. 18.1, для электрона или мюона в ка-
честве частиц-снарядов можно использовать фотоны и Z°-4a-
стицы. Когда мишень разрушается, как на рис. 18.1, нужно вво-
дить новую переменную, чтобы описать полную массу продуктов.
При упругом рассеянии при фиксированной энергии пучка имеет-
ся только одна независимая переменная, в качестве которой
обычно берут угол рассеяния 9 или передачу импульса от ча-
стицы-снаряда к частице-мишени. При неупругом рассеянии ну-
жны хотя бы две переменные, например М и q2. Вообще в этом
случае формулу (18.1) надо изменить и вместо структурной
функции F(q2) подставить некоторую новую функцию G(Af, q2),
зависящую от двух переменных.
Полезно рассмотреть, чего следует ожидать, когда столкно-
вение происходит с точечной составной частью протона. На
рис. 18.2 показан процесс столкновения фотона, обладающего
4-импульсом q и массой q2, с частицей-мишенью, обладающей
импульсом р, после чего импульс частицы-мишени становится
Глубоко неупругое рассеяние и структурные функции
223
равным р', а ее масса — равной М. Согласно релятивистской ки-
нематике, имеем
р'2 = М2 = (р + q)2 = p2 + q2 + 2p-q. (18.2)
Мы видим, что в качестве переменных можно использовать q2 и
(p-q). Поскольку р2 есть квадрат массы протона или квадрат
массы легкого кварка, для интересующей нас области больших
значений q этой величиной можно пренебречь. С подобной си-
туацией мы уже сталкивались в гл. 10 при рассмотрении не-
много другого кинематического соотношения, когда обсуждали
процесс рождения UZ-бозона. Тогда мы могли выписать оконча-
тельный результат, который имел вид произведения нескольких
множителей, на которые следует умножить конституентное сече-
ние о, причем для точечной частицы величина д пропорциональ-
на дельта-функции. Поскольку в (18.2) можно пренебречь мас-
сой конечной частицы р2, теперь соответствующая дельта-функ-
ция зависит от s = р'2, т. е. имеет вид
6(s) = 6(p24-2p- q).
Таким образом, величины q2 и p-q при рассеянии на точечной
частице не независимы; если рассеяние на протоне действитель-
но представляет собой сумму рассеяний на его точечных состав-
ных частях, то результат будет зависеть не от двух, а только от
одной независимой переменной. .
Именно так и получается в эксперименте. Если при построе-
нии графиков зависимости формфактора от q2 величину 2р-р/р2
принять постоянной, вид этого графика не зависит от значения
^p-q/q2. При больших q2 протон представляется нам собранием
кварков, и рассеяние на протоне сводится к сумме электрон-
кварковых рассеяний. Это явление, состоящее в том, что рассея-
ние оказывается функцией только одной независимой перемен-
ной х = —q21'lq-p, называется «скейлингом Бьеркена».
Когда это явление было открыто, оно казалось поразитель-
ным. Оно заставило более серьезно взглянуть на гипотезу квар-
кового состава нуклонов.
18.2. Обсуждение партонной модели
Поскольку протон состоит не только из трех кварков, которые
мы рассмотрели, обсуждая спектроскопию адронов в гл. 15 и
16, но также из глюонов и дту-пар, которые всегда могут присут-
ствовать в реальном протоне, необходимо было найти общее на-
звание для любой составляющей протона. Было принято назва-
ние «партон», поэтому говорят, что протон состоит из партонов,
или же о «партонной модели» протона. Кварки, определяющие
224
Глава 18
спектроскопические свойства адронов, называют «валентными»
по аналогии с ситуацией в химии, а кварки, которые связаны в
дту-пары, называют «вакуумными», как уже отмечалось в пред-
шествующих главах. Поскольку кварк все же является кварком,
не всегда бывает возможно различать валентные и вакуумные
кварки. Но кинематические свойства валентных и вакуумных
кварков достаточно сильно различаются, поэтому эти кварки
следует различать. Валентные кварки обозначают uv и dv.
Такому подходу можно придать количественную форму, если
предположить, что взаимодействие фотона с протоном есть сум-
ма взаимодействий фотона с отдельными партонами, причем
каждый партон обладает долей х полного импульса протона с
вероятностью fi(x) для /-го партона. Тогда сечение рассеяния
будет линейной комбинацией сечений рассеяния на всех отдель-
ных партонах, взятых с весовыми множителями Q?, где Qi —
электрический заряд f-го партона.
Поскольку фотон взаимодействует только с кварками и не
взаимодействует с электрически нейтральными глюонами, сече-
ние рассеяния для всех партонов одинаково и его можно выне-
сти за скобки. Тогда рассеяние на протоне пропорционально ли-
нейной комбинации распределений вероятностей F2(x):
FAx)='ZQ2ixfi(x), (18.3)
которая часто встречается в данном контексте. Функция F2(x)
равна сумме структурных функций для кварков с весовыми мно-
жителями, пропорциональными квадратам электрических заря-
дов кварков, так как фотон взаимодействует с кварками и не
взаимодействует с глюонами. Чтобы убедиться, что наша иден-
тификация х = —q2/2q-p правильна, следует обратиться к кине-
матическому соотношению (18.2), которое для партона превра-
щается в соотношение (q + хр)2 0, так как мы считаем, что
кварк переносит долю х импульса протона. Пренебрегая массой
кварка, т. е. пренебрегая членом х2р2 = х2т2, получаем, что х =
= —q2l2q-p. Знак минус здесь возник потому, что q является
пространственноподобным 4-вектором и для него q2 <С 0.
Функции распределений вероятностей /,(х) называются
структурными функциями. Их можно измерить в различных экс-
периментах. Если они измерены, их можно использовать, как
мы использовали их в гл. 10 и будем использовать в дальней-
шем. Такая функция имеется для u-кварка в протоне, другая —
для d-кварка в протоне, еще одна — для глюонов и т. п. В сле-
дующем разделе мы подробнее рассмотрим структурные функ-
ции. Иногда бывает необходимо также указывать адрон, к ко-
торому относится структурная функция, так, например, fu/P(x) —
Глубоко неупругое рассеяние и структурные функции
225
функция распределения вероятности найти в протоне ц-кварк
с долей импульса х.
Приведенные здесь рассуждения, конечно, эвристические. Все
необходимые формулы можно вывести строго, если разрешение,
с которым зондируется протон, достаточно высокое, т. е. если
интервал изменения величины q2 достаточно большой. Тогда ча-
стица-снаряд при каждом рассеянии будет «видеть» какой-то
один партон, и квантовомеханическими интерференционными эф-
фектами можно пренебречь. Оказывается, что эффектами связы-
вания партонов в адроне, которых следовало ожидать, тоже мо-
жно пренебречь при достаточно больших q2, несмотря на тот
факт, что кварки настолько сильно связаны в протоне, что опи
подвержены конфайнменту. Это свойство партонов также можно
вывести на основе КХД. Оно называется «асимптотической сво-
бодой» и объясняет противоречивое на первый взгляд поведе-
ние кварков. Будучи открытым, это свойство послужило допол-
нительным аргументом в пользу как признания реальности
кварков, так и принятия КХД в качестве теории сильных взаи-
модействий. Причины появления асимптотической свободы мы
рассмотрим в гл. 20.
18.3. Структурные функции
Из самых общих соображений можно вывести ограничения, на-
кладываемые на структурные функции. Если эти соображения
соединить с экспериментальными данными, то можно однознач-
но определить вид структурных функций в большой области из-
менения х. Поскольку структурные функции характеризуют свой-
ства, не поддающиеся расчету методами теории возмущений,
они, очевидно, долго еще не будут вычислены исходя из первых
принципов.
Еще один интересный и важный результат применения КХД
позволяет получить информацию о структурных функциях.
Кварк (или глюон) переносит долю импульса х протона по той
причине, что он либо первоначально обладал собственным им-
пульсом, равным доле х импульса протона, либо он имел боль-
шую долю импульса, но испустил глюон и его импульс умень-
шился до значения х. При больших значениях |^2| доступный
объем фазового пространства для испускания глюонов больше,
поэтому, если |^2| большое, структурные функции имеют боль-
шие значения для малых х и меньшие значения для больших х
(рис. 18.3).
Поскольку вероятность испускания протоном глюона при
больших |^2| можно рассчитать в рамках КХД, оказывается, что
если структурная функция известна при некоторых значениях q2
и х, то ее можно рассчитать при других значениях q2 и х. Заме-
15 Г. Кейн
226
Глава 18
тим, что упрощение, связанное с тем, что мы имеем структурные
функции, зависящие только от одной переменной х, теперь обес-
ценивается, так как структурные функции зависят от |р2|. Но
эта зависимость может быть вычислена, так что трудности сво-
дятся к минимуму. Описанная зависимость от q2 называется «на-
рушением скейлинга».
Рис. 18.3. Зависимость структурной функции F(x, q2) от х и |q|2.
Таким образом, процедура отыскания структурных функций
состоит в измерении их в определенной области х при одном
значении q2 и вычислении затем их при других значениях q2.
Рис. 18.4. Глубоко неупругос рассеяние -> + X с участием виртуаль-
ного №+-бозона.
В настоящее время это осуществлено, так что можно пользо-
ваться окончательными результатами, представленными в виде
графиков или в виде таблиц, и легко найти любое предсказывае-
мое значение для скорости рождения каких-либо частиц при
столкновениях адронов, если известны конституентные сечения
для рассеяния на кварках и глюонах.
Полезно здесь описать, как удается разделять различные
вклады. Перечислим просто основные этапы. Рассмотрим сна-
чала процесс + Х при больших х. Взаимодействие в
нем осуществляется обменом виртуальным 1^+-бозоном, как по-
казано на рис. 18.4. Так что на кварковом уровне процесс, про-
исходящий внутри адрона, имеет вид где кварк d
Глубоко неупругое рассеяние и структурные функции
227
Рис. 18.5. Зависимость некоторых
структурных функций от х при Q2 =
= —q2 = 104 ГэВ2 (для кварков uv,
й и b структурные функции умноже-
ны на 10).
Рис. 18.6. Зависимость доли импуль-
са протона, переносимой различными
партонами, от Q2 = —q2, проинте-
грированная по х.
валентный, обладающий большой долей импульса протона. Бо-
зон W+ не взаимодействует с ^-кварками и с глюонами. Таким
образом, может быть измерена функция Fd/P(x). При меньших
значениях х начнут проявлять себя вакуумные кварки й, участ-
вуя в процессах й + При малых х, конечно, вклады ва-
куумных и валентных кварков различить нельзя; их распределе-
ния вероятностей должны совпадать. Аналогично в процессе
Vgp -> рЛ + X можно измерить структурную функцию ц-кварков
при больших х и 5-кварков при малых х. Процесс q-\- у
чувствителен к распределению глюонов в протоне (при этом
наблюдается очень жесткий! изолированный фотон и струя), та-
ков же процесс gg—^gg (наблюдается две струи). Таким обра-
зом, небольшое число структурных функций включает в себя
информацию о большом количестве экспериментальных данных.
Если структурные функции уже определены, их не имеет смысла
определять снова (разве только в целях уточнения, если стали
доступны лучшие экспериментальные данные). Поскольку при
определении структурных функций исходят из эксперименталь-
15*
228
Глава 18
ных данных, которые содержат экспериментальные ошибки, а
также поскольку для расчетов используются приближенные тео-
ретические формулы, всегда имеются некоторые ошибки в струк-
турных функциях. В настоящее время мы уже убедились, что
сечение рассеяния на адроне, рассчитанное с использованием
структурных функций, правильно с точностью до множителя по-
рядка 2 или немного лучше. Удалось провести, однако, многие
проверки, которые исключили большую часть имевшейся неопре-
деленности.
Графики некоторых структурных функций представлены на
рис. 18.5 и 18.6. Они показывают, как распределен импульс про-
тона. Для партонов, для которых на рисунках не даны кривые,
можно также использовать приведенные кривые. Например,
кривая для кварка /, очевидно, лежит ниже кривой для кварка
Ь, а кривая для кварка с лежит выше кривой для кварка Ь. Да-
лее структурные функции для s, 5, й примерно одинаковы; при-
мерно одинаковы также структурные функции для dv yl_uv. (Фак-
тически кривая для s идет немного ниже кривых для d и й, так
как более тяжелый s-кварк немного труднее рождает пары, и по
довольно тонким причинам кривая dv расположена немного ни-
же кривой Uv-)
Задачи
18.1. При столкновении двух адронов при высоких энергиях
кварки в них могут сталкиваться с рождением лептонной пары
ц+р- или Такой процесс называется процессом Дрелла —
Рис. 18.7. Процесс столкновения двух адронов с рождением пары /+/-.
Яна. Обозначая адроны А и В, рассмотрите, например, диаграм-
му процесса, изображенную на рис. 18.7.
а) Пусть s = (/^ + p_)2 и s = (рл + рву. Покажите, что s^
~ axs, где х и х — доли импульса адрона, которыми обладают
кварки q и q.
б) Объясните, почему сечение процесса, изображенного на
рис. 18.7, приближенно можно вычислить по формуле
(У = 2^ 5S Ду/в(х) o(qq-> р+р-).
q
Глубоко неупругое рассеяние и структурные функции 229
в) Убедитесь, что конституентное сечение приближенно дает-
ся формулой
na2Q2
a ~
S 1
где Qq — электрический заряд кварка q в единицах е.
г) Рассмотрите два следующих способа выбора адронов А
и В: 1) Д=л+-, валентными кварками являются и и d и В— ядро
атома углерода; 2) А — л-, валентными кварками являются й и
d и В — ядро атома углерода. Ядро атома углерода является изо-
скаляром, т. е. оно имеет по одинаковому числу кварков и и d.
Покажите, что отношение
__ О' (л/ углерод —> ц+ц~~ + что__
а (л~’ углерод —> 4" что угодно)
должно иметь значение примерно 1 при малых s/s и стремиться
к 1/4 при s/s-> 1.
д) Чему равно отношение сечений Дрелла — Яна для рожде-
ния пары р+р- и для рождения пары е+е~?
18.2. Дайте интерпретацию приведенных ниже соотношений,
которым удовлетворяют структурные функции:
1
а) х dx У* (х) = 1,
О i — q, g
1
в) Huw-W«)|=2-
О
1
в) \dx[fslp(x)-fg/p(x)]=0.
О
18.3. Предположим, что структурные функции fi(x) для квар-
ков со спином вверх и спином вниз приближенно даются форму-
лой и(х) « d(x) « x“V2(i —х)3 или х 0,05. Найдите функцию
Fztx) в этой области значений х.
18.4. Рассмотрите рассеяние нейтрино на фиксированной
лептонной или кварковой мишени. Как ведет себя сечение при
увеличении энергии нейтрино v: а) при s «С Mz? б) при s « Mz?
Как изменяются ответы, если мишенью являлся кварк в про-
тоне? Эксперименты показывают, что сечение от линейно возра-
стает с увеличением Ех по крайней мере до Ev = 200 ГэВ; этот
результат является еще одним серьезным подтверждением ре-
альности существования точечных кварков в адронах.
230 Глава 18
Рекомендации для дальнейшей работы
Полезно прочитать статью Якоба и Ландсгоффа [34] в журнале
Сайентифик Америкен. В гл. 27—29 и 32 книги Додда [14] из-
лагается практически тот же материал, что и в данной гл. 18.
Значения для построения графиков структурных функций взяты
из статьи [17]; в ней содержатся указания, как составить про-
грамму для компьютера для вычисления структурных функций.
Сравнительно простые приближенные формулы для структур-
ных функций приведены в статье [16].
Глава 19
Коллайдеры ее
и экспериментальное подтверждение
стандартной модели
Самое серьезное подтверждение стандартной модели было по-
лучено на коллайдерах Эксперименты в лабораториях
SLAC и DESY, проведенные в течение десяти лет начиная с
1974 г., дали очень много как для формулировки, так и для при-
знания стандартной модели.
Основной величиной, наиболее полезной для систематизиро-
вания многочисленных экспериментальных данных, явилось се-
чение процесса e+e--^ff, где f — «точечный» фермион, обладаю-
щий спином 1/2. Сравнивая это теоретическое сечение, вычис-
ленное для точечного фермиона, с реальным сечением, можно
установить, является ли действительно точечным исследуемый
фермион. При этом фермионом f может быть одна из следую-
щих частиц: е, ц, т, и, d, s, с, b и t (и даже протон). Если фер-
мион f не является электроном и мы рассматриваем область
энергий s<od, то нужно учитывать только вклад от диа-
граммы, изображенной на рис. 19.1.
Рис. 19.1. Диаграмма процесса e+e~-+ff.
Пусть Qfe — электрический заряд фермиона f. Тогда, исполь-
зуя правила, сформулированные в гл. 7, по диаграмме рис. 19.1
можно составить следующую амплитуду (напомним, что =
= 0):
M = (19.1)
Когда мы рассматриваем область настолько больших энергий,
что можно пренебречь массами всех фермионов (в случае f = р,
и, d, s такие энергии не очень велики, а в случае f = т, с энер-
гии должны быть лишь немного выше), то множители йу^и в
формуле (19.1), имеющие размерность массы, должны быть по
порядку величины равны д/s, так что для этой области энергий
получаем
М ~ Qfe2.
(19.2)
232
Глава 19
Проводя, как обычно, оценочные расчеты, мы заменим сум-
му по спинам множителем 24/2 X 2 = 4, так как всего имеется
2 X 2 X 2 X 2 спиновых проекций, и мы должны произвести ус-
реднение по начальным спинам. Таким образом, получаем
| Л4 |2 ~ 4Q2fe\
(19.3)
откуда имеем следующую формулу для дифференциального се-
чения:
dQ 64ji2s 16ji2s s’ \ • /
Поскольку это дифференциальное сечение не зависит от углов,
интеграл по Q дает 4л; поэтому для полного сечения получаем
а ~ 4nQ2a/s. (19.5)
Правильный результат в три раза меньше приведенного. (Мы
получили завышенный результат по следующим двум причинам.
Во-первых, фотон не имеет продольной поляризации, поэтому
надо учитывать не все проекции спина; это приводит к появле-
нию дополнительного множителя 1/2 в о. Во-вторых, угловое
распределение на самом деле дается множителем 1 + cos2 0, а
мы его аппроксимировали множителем 2. На самом деле инте-
грал по Q дает 2/3.)
Таким образом, имеем следующую окончательную формулу:
4л Q2a2
^точечн ~з
(19.6)
для «точечного» сечения процесса рождения пары фермионов ff
в столкновении е+е~, если Qfe — электрический заряд фермиона.
В случае когда фермионом f является мюон или тау-лептон,
Qf = —1, в случае w-кварка Qf = 2/3, в случае d-кварка Qf =
= -1/3.
Угловое распределение продуктов процесса e+e--+ff также
представляет интерес, как мы убедимся ниже. Так как электрон
е и фермион f имеют спин 1/2, с помощью элементарных рассу-
ждений невозможно получить правильный вид углового распре-
деления, которое дается следующей формулой для дифферен-
циального сечения:
^аточечн Qfa п । 9
---—= *4— (1 + cos20).
au 4s v 1 7
(19.7)
4s
Коллайдеры и подтверждение стандартной модели
233
Рис. 19.2. Событие с двумя струями, зарегистрированное детектором HRS
иа ускорителе РЕР. Ось пучка перпендикулярна плоскости чертежа и на-
правлена от нас. Показана проекция струй на плоскость, перпендикулярную
пучку. Частицы с меньшими энергиями сильнее отклоняются в магнитном
поле.
Вследствие особой важности этой формулы ее вывод дан
в приложении Г. Интегрируя формулу (19.7) по углам Q, при-
ходим к формуле (19.6).
19.1. Являются ли точечными частицами
кварки, лептоны и глюоны?
Обсудим теперь вопрос, насколько надежно установлена точеч-
ная природа кварков, лептонов и глюонов. На ускорителе PET-
RA в результате многочисленных исследований было установле-
но, что процессы е+е~ц+рг" и е+е~->т+т_ в обла-
сти энергий д/s <46 ГэВ с точностью примерно 10 % ведут се-
бя, как предсказывает формула (19.7) в отношении зависимо-
стей ОТ S И 0'.
Такой же результат был получен для процесса e+e--*-qq. Он
особенно впечатляющ, так как регистрируются не сами кварки,
а создаваемые ими струп, как это описано в гл. 15. Струи имеют
234
Глава 19
угловое распределение l'+cos20, предсказываемое формулой
(19.7) для фермионов со спином 1/2. В частности, число струй
в направлениях 0 пли 180° оказывается в два раза больше, чем
число струй в направлении 90°. Значения сечений процессов со
струями тоже получаются правильными, если использовать для
кварков приписываемые им дробные электрические заряды.
Кварки с и b можно идентифицировать по их слабым распадам;
сечения процессов е+е~-^сс и е~^е~-^ЬЬ были изучены до энер-
гии 46 ГэВ, и это изучение показало, что кварки с и b точечные.
Мы не знаем, как разделить события для кварков ц, d и s, и нам
удается изучать только сумму соответствующих сечений. При
этом оказывается, что кварки u, d и $ точечные.
Рис. 19.3. Процессы кварк-глюонпых взаимодействий, приводящие к собы-
тиям с двумя струями.
Исследования на коллайдере в ЦЕРНе, в которых было из-
мерено и угловое распределение сечения двухструйных событий,
тоже показали, что кварки и глюоны точечные вплоть до энер-
гий дА ~ 150 ГэВ. Результаты этих экспериментов описывают-
ся по существу формулой для моттовского сечения, умножен-
ного на некоторые множители, зависящие от спина и цвета, по-
скольку исследуемое рассеяние обусловлено кварк-глюонными
процессами, показанными на рис. 19.3. В этих процессах домини-
руют глюонные обмены, приводящие к такому же угловому рас-
пределению, как фотонные обмены, объясняющие электронное
рассеяние. Хотя многие процессы здесь нельзя непосредственно
разделить, теоретически предсказываемую для сечений с обра-
зованием двух струй формулу можно получить с помощью тех
же рассуждений, какие мы уже использовали выше. Согласие
теории и эксперимента получается с точностью до множителя 2.
Для сравнения отметим, что сечение процесса е+е~-^рр состав-
ляет примерно 10-9 от «точечного» сечения при V5 = 150 ГэВ,
так как протон не является точечной частицей.
Как оценивать все эти результаты? Исторически до сих пор
всегда было так, что структура новой частицы обнаруживалась,
когда имеющиеся «частицы» бомбардировали частицами-снаря-
дами, имеющими энергию много меньше их массы; так было
с молекулами, атомами, атомными ядрами и нуклонами. Теперь
Коллайдеры е+е~ и подтверждение стандартной модели 235
же речь идет об энергии бомбардирующих частиц на два или
больше порядков больше массы; при этом никаких свидетельств
существования структуры мы не наблюдаем. В конечном итоге
всегда, конечно, остается вопрос о недостаточности проведенных
экспериментов, но уже теперь ясно, что кварки и лептоны не
могут обладать структурой в том смысле, в каком ей обладают
атомы, ядра или протоны. То же можно сказать о структуре фо-
тонов, глюонов, W±^ и 70-бозонов, сечения которых тоже «то-
чечные».
19.2. Отношение R = о/оточечн
Очень полезно при интерпретации результатов экспериментов
следующее отношение:
^полн ^)/°точечн* (19.8)
При этом следует учитывать вклады различных процессов в это
отношение. Если известно, что отношение R имеет определенное
значение при каком-то значении л/s, то можно спросить, как от-
ношение R будет увеличиваться, если при увеличении энергии
начнут рождаться какие-то новые частицы. Отношение R обычно
экспериментально определяют не вполне однозначно, так как на
конечные состояния, которые не фиксируются детектором, сле-
дует либо вносить поправки, либо их игнорировать.
а. Если рождается новое нейтрино, оно не может детектиро-
ваться в обычном детекторе коллайдера, так что
A/?Vv = 0. (19.9)
б. Если рождается новый заряженный лептон L, имеющий
«точечное» сечение, то
= 1; (19.10)
при этом предполагается, что все моды распада детектируются
и не нужно учитывать поправки для мод, которые не детекти-
руются.
в. Кварк с зарядом Qf = —1/3 должен отличаться от леп-
тона только в следующих отношениях: Д) константа взаимодей-
ствия для вершины ffy, показанной на рис. 19.1, должна иметь
множитель Qf = —1/3, который в формулу для скорости процес-
са входит в квадрате; 2) имеются кварки трех цветов, так что
скорости распада для них больше в три раза. По сравнению с
лептоном кварк имеет множитель 1/3.
г. Кварк с зарядом Qf = 2/3 также имеет дополнительный
множитель 3, происходящий от учета цвета, но теперь Qf = 4/9,
так что окончательный множитель теперь равен 4/3.
236
Глава 19
<7
О 5 10 15 20 25 50 55 40
Энергия в системе центра масс, ГэВ
Рис. 19.4. Экспериментальные данные для значения отношения /?адр [47].
Средние значения /?адр, отложенные на рисунке, получены с учетом вкладов
от процессов e+e~-+qq для всех кварков, способных участвовать в этом
процессе при данном s .
Что мы будем наблюдать на эксперименте? При низких энер-
гиях будут рождаться только кварки и, d и s. Построим обыч-
ный график для отношения R с учетом только адронных кана-
лов; это значение R обозначим /?адр, из него исключены вклады,
происходящие от каналов с участием е, р, и т. В области энергий
'у/s <<3 ГэВ ниже «очарованного» порога следует ожидать, что
#адр = 1/3 + 4/3 + 1/3 = 2. Когда станет возможным рождение
пары qq, будут появляться соответствующие типы адронных со-
стояний при адронизации рожденных кварков. Так как кварки
испытывают конфайнмент в адронах, отсутствие знаний о том,
как происходит адронизация, не важно, если мы будем рассма-
тривать только величины, просуммированные по всем конечным
состояниям, так как кварки проявляются в виде адронных ка-
налов.
При переходе через сс-порог отношение R должно увеличить-
ся на 4/3, а при переходе через &Ь-порог при Vs ~ Ю ГэВ оно
должно возрасти еще на 1/3. Эффекты локальных резонансов
могут повести к значительным флуктуациям, но эти флуктуации
должны происходить около предсказываемых средних значений.
Дополнительные вклады в отношение R появятся, когда станет
возможным испускание глюона или обмен на него кварков q
и q\ отношение R при таких передачах энергии д/s должно еще
увеличиться по сравнению с вычисленным значением. Но по-
правка не велика, порядка а5/л, т. е. равна 5—10 %; такова ве-
роятность испускания глюона. Указанную поправку можно рас-
считать и учесть; при этом получается хорошее согласие тео-
Коллайдеры е+е~ п подтверждение стандартной модели 237
рии с экспериментом. Вплоть до передач энергий = 46 ГэВ,
достигнутых на ускорителе PETRA, полученные эксперименталь-
ные данные для /?адр хорошо описываются формулой, в которой
учитываются вклады от пяти цветных кварков и, d, с, s и Ь. Вы-
вод, который отсюда следует сделать, состоит в том, что стан-
дартная модель прекрасно подтверждается экспериментом в
данной энергетической области; при этом результат зависит от
числа цветов, сечения испускания кварком глюона, электриче-
ского заряда кварка, а также от образования кварками струй,
каждая из которых ведет себя как объект со спином 1/2. Еще
один важный вывод состоит в том, что в процессе, изображен-
ном на рис. 19.1, в области энергии Vs ^46 ГэВ не могут ро-
ждаться никакие другие электрически заряженные частицы.
19.3. Тау-лептон и тяжелые лептоны
Как отмечалось выше, открытие т-лептона оказалось по суще-
ству единственным важным экспериментальным открытием, сде-
ланным в физике элементарных частиц с середины 60-х гг., ко-
торое не было предсказано теорией. Активный поиск тяжелого
лептона был предпринят с помощью детектора MARK I на уско-
рителе SPEAR, и этот поиск увенчался успехом.
Интересно рассмотреть моды распада т-лептона и обсудить
вопрос о детектировании этого лептона; это интересно само по
себе и, кроме того, понадобится нам для дальнейших обобщений.
Тяжелый т-лептон рождается в процессе
е+е~ —>т+Г, (19.11)
имеющем предсказываемое теорией сечение
aTo4c4H = 4LT-- (19.12)
Чтобы численно оценить это сечение, предположим, что s
(2mt)2 « 16 ГэВ2, так что вблизи порога
Пточечн - • 4 • 10-28 см2 « 5 • 10-33 СМ2. (19.13)
Если бы в эксперименте удалось достичь интегральной свети-
мости порядка 2-1037 см~2, т. е. светимости L = 5-1030 см-2с-1 в
течение времени 4-Ю6 с, то было бы зарегистрировано 105 собы-
тий распада. Что мы бы при этом наблюдали? Распады т-леп-
тона происходят в следующих процессах:
т" —> vTvee~, т“ —> x~-^vxild,
(19.14)
238
Глава 19
диаграмма которых показана на рис. 19.5; аналогичные моды
распада наблюдаются для положительного лептона т+. Так как
для кварковой моды распада на ud следует учитывать вклады
всех трех цветов, то ожидаемые отношения мод распада равны
соответственно 1/5, 1/5 и 3/5 для процессов _(19.14). (Из-за воз-
можного испускания глюонов вклад моды ud следует увеличить
на несколько процентов, а вклады от двух других мод соответ-
ственно уменьшить; при этом отношение /?аДр немного увели-
чится.)
Рис. 19.5. Диаграмма распада тяжелого т-лептона на более легкие фермионы.
События, соответствующие самой частой моде, случаются,
когда один т-лептон дает мюон р,, а другой — электрон е и нере-
гистрируемое нейтрино. Тогда
т+т“+ недостающая энергия, (19.15)
причем адронных струй не возникает. Тау-лептон имеет отноше-
ние указанной моды равное 1/5, так что такие распады происхо-
дят в течение 4 % времени (в действительности 3 % времени,
если учесть поправки и процедуру возведения в квадрат). По-
скольку наблюдаемая скорость распада тау-лептона такова, что
дает ~ 105 событий, уменьшение числа событий в 25 или 30 раз
не представляет серьезной проблемы, и удается зарегистриро-
вать достаточное число событий.
Когда такой сигнал зарегистрирован, делают ряд контроль-
ных проверок. Например, если имеется N событий с сечением,
значение которого порядка сечения процесса (19.15), то следует
отыскать 3N событий, в которых один т-лептон распадается на
мюоны, а другой на адроны (так как пары кварков ud должны
превращаться в адроны); следует также отыскать ЗМ соответ-
ствующих событий с распадом т-лептонов на электроны е и на
адроны и найти 9АГ событий с двумя адронными струями и недо-
стающей энергией. Все события должны иметь правильную за-
висимость от передачи энергии Vs» как для рождения ферми-
она со спином 1/2; все события также должны иметь правиль-
ное угловое распределение 1 + cos2 9.
Коллайдеры е+е~ и подтверждение стандартной модели 239
Необходимо здесь также обсудить вопрос о возможном фоне.
Кварки u, d и s рождают легкие мезоны и барионы, которые
редко распадаются в процессах типа ц + Х, так что такие собы-
тия для них практически не происходят. Рождение пар сс, если
оно происходит, может оказаться мешающим обстоятельством,
так как при этом могут происходить процессы c-^spv и c-+sev.
Рождение пар кварков сс должно происходить чаще, чем рожде-
ние пар лептонов тт, в 4/3 раза (этот множитель получаем воз-
ведением в квадрат электрического заряда кварка и учетом мно-
жителя 3, обусловленного цветом), а отношения мод распадов
т-лептопов на ц и е должны быть примерно одинаковыми. Так
как для многих сс-событий должна наблюдаться струя s-кварков
и может произойти лишь небольшое число событий сц-р, сле-
дует заключить, что сс-фон не будет симулировать тт-сигналы,
если обеспечена высокая эффективность детектирования адрон-
ных струй. Такого рода детальное рассмотрение эксперименталь-
ных результатов было проведено для т-лептонов; подобный ана-
лиз надо проводить всякий раз для каждого гипотетически воз-
можного фонового сигнала.
Распад т-лептона дает независимую и очень ясную проверку
существования цветных степеней свободы и их числа, так как
отношения мод распадов согласуются с учетом дополнительного
множителя 3 для вклада wJ-канала.
19.4. Наблюдение глюонов
Как отмечалось выше в этой главе, кварковые струи отчетливо
наблюдаются в процессах e+ + e~-^q-\-q с теоретически пред-
сказанными значениями сечений. В конце 70-х гг. на ускорителе
PETRA впервые были зарегистрированы события с тремя струя-
ми типа струя + струя + струя. Эти события удалось
количественно описать, исходя из предположения, что они пред-
ставляют собой процессы е+ + е~—> q + q + g с участием глюона,
испущенного одним из кварков. Скорости указанных трехструй-
ных процессов и их угловые распределения правильно оценивают-
ся теоретически в КХД. Пример трехструйного события приведен
на рис. 19.6. Эти события следует рассматривать теперь как экс-
периментальное открытие глюонов, подтверждающее теоретиче-
ские предсказания их спина и взаимодействия с кварками.
Результаты, полученные на е+е~-коллайдерах, не очень чув-
ствительны к глюонному самодействию и не дают надежного
подтверждения его существования. Поведение адронных струй,
полученных на коллайдере в ЦЕРНе, напротив, может подтвер-
дить факт существования такого взаимодействия, так как ро-
240
Глава 19
Рис. 19.6. Событие е+е~-+3 струи, зарегистрированное детектором HRS на
ускорителе РЕР. Оно интерпретируется как испускание глюонной струи од-
ним из рожденных кварков в процессах, иллюстрированных на рис. 11.5.
Показана проекция события на плоскость, перпендикулярную пучку. Ось
пучка перпендикулярна плоскости рисунка.
ждение глюонных струй от глюонов, заключенных в протоне,
сильно зависит от этого обстоятельства, например, в силу про-
цесса, показанного на рис. 11.3, г.
Задачи
19.1. Какова доля событий, в которых происходит рождение
т-лептонов в процессе е+е~ — т+т“, дающих чисто адронные ко-
нечные состояния в детекторе? Какова доля таких событий, даю-
щих адронные состояния плюс заряженный лептон? Как в ука-
занные теоретические предсказания входит число независимых
цветов кварка?
19.2. Насколько увеличилось бы отношение R(e+e~), если бы
существовали перечисленные ниже новые частицы и если бы
они рождались в экспериментах, проводимых при достаточно
больших передачах энергии Vs?
Коллайдеры с+с~ и подтверждение стандартной модели 241
1) Если бы существовал новый лептонный SU (2) -дублет с
электрическими зарядами
2) Если бы существовал цветной триплет целочисленных за-
рядовых состояний, объединенных в SU (2)-дублет
3) Если бы существовал хиггсов дублет, предсказываемый
стандартной моделью.
19.3. Измеренное время жизни т-лептона равно 3,1-10~13 с;
оно известно с точностью 10%. Сопоставьте это время с теоре-
тически предсказанным временем жизни т-лептона в стандарт-
ной модели. Используйте для этого расчет времени жизни Тц.
мюона, проведенный в гл. И, и правильно учтите число кана-
лов.
Рекомендации для дальнейшей работы
Открытие т-лептона описано в статье Перла и Кирка [51] в
журнале Сайентифик Америкен и в статье Перла [50] в жур-
нале Нейчур. Статья Дрелла [15] в журнале Сайентифик Аме-
рикен тоже может оказаться очень полезной. Подробный анализ
трехструйных событий, полученных на ускорителе PETRA, с об-
суждением их связи с глюонами, дан в статье Сединга и Воль-
фа [70].
16 Г. Кейн
Глава 20
Зависимость констант связи
от передаваемого импульса
Обычно мы представляем себе постоянную тонкой структуры
просто как некоторое число, но в действительности эта постоян-
ная вовсе не постоянна. По мере изменения величины передавае-
мого при рассеянии частиц импульса или масштаба расстояний,
на которых производится зондирование частицы при взаимодей-
ствии, постоянная тонкой структуры а изменяется. Аналогично
ведут себя две другие константы связи аг и аз.
Диаграмма процесса рассеяния двух электрически заряжен-
ных частиц друг на друге с обменом одним фотоном показана на
рис. 20.1; она ответственна за сечение резерфордовского рас-
сеяния и за закон Кулона, если расчет сечения производится
с точностью до членов порядка а2. Но в квантовой теории поля
е
Рис. 20.1. Фейнмановская диаграмма Рис. 20.2. Фейнмановская диаграмма
для процесса с обменом фотоном. с одной электронной петлей для
процесса обмена фотоном.
следует учитывать поправки к диаграмме рис. 20.1 от диаграмм
более высокого порядка. Например, следует учитывать вклад от
диаграммы, показанной на рис. 20.2, в которой виртуальная
е+в“-пара частиц сначала рождается, а затем уничтожается. Оче-
видно, следует тоже учитывать диаграммы с произвольным чис-
лом такого рода петель. Полное рассмотрение следствий учета
процессов со всеми такими петлями и других сложных процес-
сов выходит за рамки данной книги; учет подобных вкладов про-
изводится в теории перенормировок. Для вычисления вклада
от диаграммы, представленной на рис. 20.2, надо составить вы-
ражение для интеграла по всем возможным значениям импуль-
са электронов в петле, ибо импульсы виртуальных частиц могут
принимать любые значения. При этом вклад от электронной пет-
ли оказывается просто вкладом от учета соответствующих про-
Зависимость констант связи от передаваемого импульса 243
межуточных состояний в теории возмущений. Правила выписы-
вания множителей от вершин диаграммы вместе с обычными
правилами квантовомеханической теории возмущений, в которой
производится учет промежуточных состояний, позволяют соста-
вить точное выражение для вклада от диаграммы рис. 20.2.
Как мы убедимся ниже, оказывается, что рассматриваемый
вклад дается расходящимся интегралом. Одно из больших до-
стижений теории элементарных частиц за последние десятиле-
тия состоит в том, что мы теперь научились исключать из рас-
смотрения эти бесконечные вклады непротиворечивым образом
в калибровочных теориях поля; соответствующая процедура на-
зывается перенормировкой. Ниже мы покажем, как производить
такую перенормировку. Основная цель, которую мы преследуем
в этой главе, — обсудить наиболее практически важные след-
ствия для физики элементарных частиц, вытекающие из суще-
ствования в теории диаграмм с указанными петлями. Особенно
важно, как мы найдем, что в значения констант связи следует
вводить определенныне поправки с учетом их зависимости от ве-
личины передачи импульса.
20.1. Квантовая электродинамика
Чтобы продолжить наше обсуждение, рассмотрим в КЭД еще
более простой процесс, диаграммы для которого приведены на
рис. 20.3. Обозначения импульсов всех частиц даны на рисунке;
при этом k = kf + q. Используя правила составления вкладов от
Рис. 20.3. Электроп-фотопиая вершина и соответствующая поправочная диа-
грамма с петлей.
диаграмм процессов из предыдущих глав, можно записать сум-
му вкладов от двух диаграмм на рис. 20.3 в следующем виде:
ей {k') (/г) ец — [eu\k') (/г)] X
1 [ей (р) YgM (р — <?)] [ей (р — q) уКи (р)]
(Р2 - М2) [(р - q)2 - М2]
(20.1)
16*
244
Глава 20
где подразумевается суммирование по спинам электронов в
петле; 8Х—вектор поляризации фотона и М— масса электрона.
Интегрирование по р появляется из-за того, что электрон в пет-
ле может иметь любые значения импульса и все такие вклады
надо суммировать. Вынося за скобки общий множитель обоих
членов в (20.1), получаем выражение
„ ,,ЧГ eV г d4p [u(p)y^u(p-q)][u(p-q)yKu(p)]l
eu(k ) у* u(k) [eLl— q2 J (2л)4 (p2 _ M2) [(p _ qy _ M2J J,
(20.2)
которое можно записать в следующем сокращенном виде:
ей (£') у»и (/г) [ец + (20.3)
Чтобы вычислить величину Г, требуется провести довольно гро-
моздкие выкладки. При вычислении Т\^ члены, пропорциональ-
ные qK или 71Л, можно опустить, так как для вектора поляриза-
ции фотона должно выполняться соотношение 8ц7к1=0; электри-
ческий ток р = u(k') y^u(k) тоже удовлетворяет соотношению
7ц/м- — о. В результате получаем формулу
= (20.4)
где
оо 1
' —я- S - 4 S |п (> - <2о-5>
АН 0
Интеграл в выражении (20.2) расходится квадратично, так
как каждое произведение ий пропорционально р, но ведущие
члены этих расходимостей взаимно сокращаются при алгебраи-
ческих выкладках и в (20.5) остается только логарифмическая
расходимость. Это как раз та бесконечность, о которой мы упо-
минали выше; она связана с первым слагаемым в формуле
(20.5). Отметим, однако, одно важное обстоятельство: по-
лученный бесконечный вклад не зависит от q2. Очевидно, что
окончательный результат может быть представлен в виде
(20.4), так как имеет два индекса и может зависеть только
от 11 от 4-вектора q^ а, как мы только что видели, любое
слагаемое, пропорциональное q^ из расчета выпадает. Точная
формула (20.5) получается в результате кропотливых и громозд-
ких выкладок.
Конечный вклад в формуле (20.5) дается интегралом, кото-
рый можно взять аналитически. При изучении столкновений на
малых расстояниях наиболее интересны большие значения | q21,
Зависимость констант связи от передаваемого импульса 245
поэтому полезно воспользоваться приближением —q2/M2^>\.
Тогда можно положить
1п (1 - - In (- , (20.6)
а в этом случае, обрезая расходящийся интеграл на некотором
конечном верхнем пределе Л, получаем
(20.7)
так как — х) = 1/6. Если объединить оба члена в фор-
муле (20.7), то окончательно придем к простой формуле
' ~ -57 (^?> <20-8’
Величина М2 здесь выпала, что естественно, если рассматривать
предел высоких энергий. Подставляя (20.4) и (20.8) в выраже-
Рис. 20.4. Диаграмма для рассеяния электрона па электроне и поправочная
диаграмма с петлей.
ние (20.3), для амплитуды первых двух процессов, приведенных
на рис. 20.3, получаем выражение
ieti (k') у»и (k) е Jl — In • (20-9)
Так как виртуальный фотон в конечном счете должен по-
глотиться, добавим снизу к диаграммам еще одну электронную
линию, как показано на рис. 20.4. Тогда амплитуда двух процес-
сов, изображенных на рис. 20.4, равна
е- Г1 — 37ln z 1 («(^') (Ф) (« (/) YnM (р))- (20.10)
До сих пор мы провели только довольно сложные алгебраиче-
ские выкладки. Рассмотрим теперь физический смысл получен-
ного результата. Сначала учтем один технический момент. Оче-
видно, следует учесть также поправки более высоких порядков
от диаграмм с двумя и большим числом электронных петель.
Так как промежуточный фотон в каждой такой диаграмме об-
ладает одним и тем же импульсом q, учет поправок таких
‘246
Глава 20
диаграмм со многими петлями ведет только к появлению дополни-
тельных множителей во вкладах, которые в сумме дают беско-
нечный ряд 1 — 8 + 82—сумма которого равна 1/(1+8).
Таким образом, множитель при спинорах в выражении (20.10)
должен иметь вид
Теперь мы подготовились к обсуждению важного физическо-
го вопроса. Мы приняли, что е2/4л = &= 1/137. Но то, что мы
Рис. 20.5. Физическая амплитуда равна бесконечной сумме членов, содержа-
щих голую константу связи.
измеряем в качестве постоянной тонкой структуры а, включает
в себя поправки от всех диаграмм вида, приведенного на
рис. 20.4, но не с одной, а с произвольным числом электронных
петель, так что мы получаем значение 1/137 только после вклю-
чения поправок на все такие петли. При этом окончательный ре-
зультат зависит от квадрата передачи импульса q2. На практике
мы измеряем а при некотором одном значении q2. Если это зна-
чение обозначить р2, то следует заключить, что значение а =
— 1/137 справедливо только для q2 ——р2. (Напомним, что q2 —
пространственноподобный вектор, так что q2 < 0, а р2 > 0.)
Обозначим через «голую» константу связи, стоящую множите-
лями при вершинах, показанных на рис. 20.4, и пусть а0 = е^/4л.
Тогда физическая амплитуда рассеяния с учетом одного фотона
дается бесконечной суммой вкладов, изображенных на рис. 20.5,
и в соответствии с выражениями (20.10) и (20.11) при q2 = —р2
для константы связи имеем
а(Н2) =-----а? Л"' (20-12)
1 + In А-
Зя р2
Наконец, мы можем теперь вычислить постоянную тонкой струк-
туры а при различных q\ если воспользуемся выражением
Зависимость констант связи от передаваемого импульса
247
(20.11). Тогда получим
Используем теперь уравнение (20.12), согласно которому
1 + (а0/Зл) In (Л2/р,2) = а0/а (р2), так что из выражения (20.13}
получаем
(20.14)
а (р2) Зя (—q2)
Множители а0 в числителе и знаменателе взаимно сокраща-
ются, и мы получаем следующую окончательную формулу:
Формула (20.15) чрезвычайно интересна и примечательна.
В нее не входят ни параметр обрезания Л, ни голая константа
связи сс0; входят только конечные величины. Константа связи
а(д2) в формуле (20.15) выражена только через физическую ве-
личину а(р2), обозначающую константу связи, измеренную при
некотором значении q2 = —р2, и через саму величину q2. Оказы-
вается, что константа связи сс зависит от передачи импульса q.
Если мы определили, что а= 1/137 при q2 ——р2, то а #= 1/137
при других значениях q2.
Константу а(72) называют «плавающей» константой связи
(часто она называется просто «константой связи»; так как она
не постоянна, эти названия неудачны). Мы учли вклад, происхо-
дящий от учета вкладов электронных петель в фотонную линию.
Если рассмотреть аналогичные поправки от мюонных, т-лептон-
ных и кварковых петель, то получим еще одну формулу. Вычис-
ленные выше поправочные члены следует теперь умножить на ве-
личину
+ 3 пи + 3 (-g-) nd,
(20.16)
где nt — число заряженных лептонов, пи— число кварков с заря-
дом Q = 2/3е, па — число кварков с зарядом —е/3. Множители
3 появляются вследствие учета трех цветов кварков. Вклад каж-
дого фермиона пропорционален квадрату его электрического.
248
Глава 20
заряда, так как фермион взаимодействует с у-квантом с каждой
стороны петли. Если квадрат передачи импульса мал, тяжелые
фермионы дают меньшие вклады, так как массы фермионов вхо-
дят в их пропагаторы, которые будут уменьшать интеграл. Сле-
довательно, полная формула с учетом всех поправок должна
описывать пороговые эффекты, возникающие при возрастании
|д2|. Если кварки и лептоны существуют только в виде семейств,
то М семейств дадут вклад /V [1 + 4/3 + 1/3] = 8N/3. При
\q2\^Mw следует учитывать также поправки от петель с уча-
стием ^-частиц.
Знак плюс в знаменателе формулы (20.15) очень важен, и он
имеет простое физическое объяснение. При больших значениях
|#2| константа а(#2) увеличивается, так как знаменатель в
(20.15) становится меньше. Физически можно говорить об эф-
фекте экранировки. Представим себе один отрицательный заряд,
помещенный в начало координат. Множество пар заряженных
частиц постоянно рождается из вакуума. (На фермионную пет-
лю, изображенную на рис. 20.2, можно смотреть как на процесс
рождения пары частица — античастица из вакуума и обратный
процесс аннигиляции этой пары частиц обратно в вакуум; при
этом наблюдается реальный физический эффект.) Для каждой
пары частица с положительным зарядом притягивается к отри-
цательному заряду, помещенному в начало координат, а частица
с отрицательным зарядом отталкивается от него. Поэтому зонд,
помещенный на некотором расстоянии от начала координат, «ви-
дит» отрицательный заряд в центре, экранированный суммар-
ным положительным зарядом. Если зонд приблизить к началу
координат (взять большие значения |#2|), то он «увидит» менее
экранированный заряд, т. е. больший суммарный отрицательный
заряд, а значит, константа связи а примет большее значение.
Описанным эффектом пренебречь нельзя. Предположим, что
а = 1/137 при ц2 = 4Л11. Следует учесть также коэффициент от
учета множителя (20.16); если мы хотим рассчитать а (Л4^), то
надо положить rti = пи = rid = 3. Таким образом, член
а 1п(—^2/ц2) следует умножить на 8, так что получим
(20.17)
а (4^2)
8
Зя - 137 4М2
Возможно, этот результат немного завышен, если вклад/-кварка
остается подавленным до очень больших значений |#2| вслед-
ствие наличия порогового эффекта и т. д., но он дает представ-
ление о величине эффекта.
Зависимость констант связи от передаваемого импульса 249
Полную поправку, которую мы обсуждаем, можно наблю-
дать также и в других экспериментах. При малых значениях q2
мы можем определять а из экспериментов в атомной физике;,
тогда интеграл (20.5) дает вклад в лэмбовский сдвиг.
20.2. Квантовая хромодинамика
Аналогичный эффект изменения констант взаимодействия имеет-
ся также в КХД, но при этом следует учитывать одну новую-
особенность, ведущую к интересным следствиям. Ниже мы про-
сто укажем на те изменения, которые надо ввести по сравнению
с рассмотренным случаем КЭД, и обсудим упомянутые след-
ствия. Диаграммы КХД, аналогичные изображенным на
Рис. 20.6. Фейнмановские диаграммы КХД для испускания кварком глюона
с поправками первого порядка на кварковую и глюонную петли.
рис. 20.3, представлены на рис. 20.6; линии этих диаграмм те-
перь изображают кварки и глюоны. Новым в этих диаграммах
является появление третьей диаграммы. Она возникает в КХД
потому, что глюоны могут взаимодействовать между собой в от-
личие от фотонов в КЭД. Кварковая петля на второй диаграм-
ме, очевидно, дает одинаковый вклад для кварков любых аро-
матов, так как кварк-глюонное взаимодействие не зависит от
ароматов. Чтобы учесть вклад второй диаграммы в КХД, сле-
дует только изменить по сравнению с КЭД общий множитель:
вместо множителя а(р2)/3л теперь нужно взять множитель
аз(ц2)/6л для кварковой петли каждого аромата.
Вклад третьей диаграммы, изображенной на рис. 20.6, зави-
сит от пространственно-временных переменных, так же как
вклад соответствующей диаграммы с одной электронной петлей
в КЭД, и дает только численный множитель, который, однако,
очень важен. Во-первых, поскольку вклады дают глюоны всех
восьми типов, а цветной заряд глюона больше, чем кварка,
третья диаграмма дает больший вклад, чем вторая. Более важ-
но, что вклад третьей диаграммы на рис. 20.6 имеет проти-
воположный знак. Этого следовало ожидать на основе чисто
250
Глава 20
качественных физических соображений, так как теперь мы учи-
тываем самодействис глюонов. Действительно, рассмотрим тяже-
лый голубой кварк, помещенный в начало координат. Может
произойти распад этого кварка, например в процессе^ -> qr+gbr,
показанном на рис. 20.7. Тогда зонд не «увидит»-голубого
Рис. 20.7. Перемена цвета кварка Ь-^г вследствие спонтанного излучения
Ьг-глюона.
кварка в начале, а увидит «голубой» цветной заряд на глюоне,
вылетевшем из начала координат в глюонное облако около
кварка, вместо того чтобы остаться в начале координат. Таким
образом, возникает антиэкранировочный эффект, обусловленный
тем, что испускаемый глюон уносит с собой цветной заряд. По
мере того как |^2| увеличивается, вероятность испускания глю-
она также увеличивается, поэтому все меньше цветного заряда
концентрируется около начального кварка, и он все больше на-
чинает вести себя как свободная частица!
Такое характерное поведение кварков называется «асимпто-
тической свободой». Читатель, возможно, уже догадался, что
именно это поведение проявляется при зондировании электро-
нами (и нейтрино) кварков в адроне (см. гл. 18). Возможность
объяснения асимптотической свободы в рамках КХД сыграла
важную роль в быстром признании как КХД, так и самой идеи
реальности кварков.
В результате учета обеих рассмотренных поправок мы дол-
жны в выражении (20.15) совершить замену
а (ц2)/3л -> (A nf - 11) , (20.18)
где nf — число кварковых ароматов. Таким образом, приходим
к следующей окончательной формуле:
«з (q2)
«з (М-2)
1 + (33 “2/!f) |п
(20.19)
Мы снова получили перенормировку, но теперь значение аз(ц2)
следует определить из экспериментов, проведенных при q2 ==
— —ц2; и только после этого все остальные значения аз(^2) мо-
жно вычислить по формуле (20.19).
Зависимость констант связи от передаваемого импульса
251
Пока число 33 — 2/if положительно (напомним, что щ — чис-
ло кварковых ароматов, в настоящее время rif = 6), по мере уве-
личения |^2| знаменатель в формуле (20.19) возрастает, а кон-
станта связи аз(^2) уменьшается; приходим к асимптотической
свободе. В пределе очень больших значений |^2| зависимость
а3(?2) от аз(ц2) исчезает.
В противоположном случае малых значений |^2| оба слагае-
мых в знаменателе формулы (20.19) имеют противоположные
знаки, поэтому константа связи аз(^2) увеличивается. При не-
котором значении q1 = — Акхд знаменатель в (20.19) может об-
ращаться в нуль, и силы взаимодействия КХД при этом q2 ста-
новятся бесконечно большими. (На самом деле наш приближен-
ный расчет в этой области не верен, так как когда константа
связи а3(<72) велика, необходимо учитывать большое число дру-
гих диаграмм, но качественный вывод о том, что силы взаимо-
действия КХД становятся в рассматриваемой области боль-
шими, справедлив.) Найдем теперь величину Акхд; очевидно,
1*2/2 12л 1
ШЛкхд/Н =- аз(ц2) 33 — 2/if ’
откуда получаем
Акхд = ц ехр | — (33 _ |. (20.20)
Положим аз = 0,2 при некотором большом р2 (например, при
р = 10 ГэВ, когда rtf = 5). Тогда
Акхд ~ 166 МэВ. (20.21)
Мы полагаем, что цветные силы КХД становятся достаточно
большими, чтобы связывать друг с другом кварки и глюоны в
адронах на масштабах, в несколько раз больше Акхд, как и
наблюдается в экспериментах.
Таким образом, квантовая хромодинамика — замечательная
теория. Она описала удержание цветных частиц в бесцветных
синглетных адронах на энергетическом масштабе <С1 ГэВ и объ-
яснила, почему сильные взаимодействия происходят именно на
этом масштабе. В то же время КХД объяснила слабые взаимо-
действия кварков на очень малых расстояниях: кварк в адроне,
бомбардируемый частицами с большим |^2|, ведет себя как сво-
бодная по существу частица.
Интересные заключения можно сделать, если три константы
связи а, а2 и а3 изобразить на одном графике в зависимости от
|^2|, как это сделано на рис. 20.8. Мы уже видели, что постоян-
ная тонкой структуры а возрастает, а константа связи а3 убы-
вает с увеличением |^2|. Константа связи а2 ведет себя подобно
1252
Глава 20
константе аз, поскольку петли с калибровочными бозонами для
них доминируют, так как электрослабый заряд М'-бозона боль-
ше, чем заряд фермионов. В результате учета вкладов от этих
петель для а2 тоже получаем формулу (20.19), но с заменой
числа 33 немного меньшим числом.
Из самой структуры теории можно заключить, что силы, со-
ответствующие группе с самой большой симметрией, будут са-
мыми большими при малых энергиях, а силы для всех теорий
с неабелевыми группами будут становиться сильнее при малых
энергиях и будет проявляться эффект асимптотической свободы.
Рис. 20.8. Качественная зависимость констант связи at- от |б/2|.
С другой стороны, силы, соответствующие 1/(1)-симметрии, ста-
новятся меньше при низких энергиях и не приводят к конфайн-
менту. Поэтому вовсе не случайно, что слабые дальнодействую-
щие электромагнитные силы исторически были открыты пер-
выми, а силы сильного взаимодействия, обеспечивающие кон-
файнмент и приводящие к адронам, были открыты позднее. По-
ведение сил взаимодействия в области много больших значений
|</2| мы рассмотрим в гл. 27. Поведение констант связи, изобра-
женное на рис. 20.8, показывает, что константы связи менее раз-
личаются при больших |б?2|, чем при малых.
Задачи
20.1. Покажите, что любая константа связи ar (^2) удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению вида
___да1 _____= Ви2
a[in(-<72/n2)]
От чего зависит величина В?
20.2. Если измеренное значение Акхд равно 225 МэВ, то че-
му равна константа связи а3 при —72 = М2р?.
20.3. Если бы легких кварков и лептонов было в два раза
больше, чем наблюдается, то чему приближенно равнялась бы
константа связи?
Глава 21
Рождение и детектирование
хиггсовых бозонов
Хиггсов «сектор» стандартной модели интересен и важен. Как
отмечено в гл. 8 при обсуждении нарушения спонтанной симмет-
рии и введении в стандартную модель масс частиц, истинная
физика хиггсова механизма происхождения масс до сих пор не
понята. Простейший вариант хиггсова механизма в стандартной
модели требует существования новой нейтральной частицы —
хиггсова бозона. Пока хиггсов бозон не открыт. Фактически
не опубликовано результатов ни одного эксперимента, в котором
могли бы регистрироваться хиггсовы бозоны в области энергий,
в которой они предположительно существуют; ни в одном экспе-
рименте не исследовались области энергий, где наиболее вероят-
но существование этого бозона.
Трудности обнаружения хиггсова бозона HQ частично свя-
заны с тем, что константы его связи с фермионами пропорцио-
нальны массам этих частиц, как мы видели в гл. 8, так что эти
константы связи малы для легких фермионов, которые в основ-
ном нам доступны. Другая причина таких трудностей состоит
в том, что масса хиггсова бозона HQ неизвестна. Как следует из
внешнего вида лагранжиана (8.21) и из обсуждения в тексте
ниже формулы (8.21), масса хиггсова бозона Ми определяется
величиной параметра Л, входящего в потенциал самодействия
хиггсовых бозонов. Но так как мы пока не понимаем физических
причин происхождения параметра Л, его численное значение не-
известно. Неизвестна также какая-либо другая измеримая вели-
чина, которая зависела бы от параметра X, так чтобы можно бы-
ло бы найти X.
Поскольку масса хиггсова бозона Ми неизвестна, в настоя-
щее время приходится обсуждать поисковые эксперименты по
обнаружению хиггсова бозона для всей области масс Мн, что,
конечно, намного труднее, чем искать бозон Н с определенным
значением массы. Как мы увидим ниже, в различных областях
значений массы требуются разные экспериментальные методы.
Более того, даже если мы найдем частицу с заданной массой,
все равно необходимо исследовать другие области энергий, что-
бы достичь полного понимания ситуации, так как подходы, выхо-
дящие за рамки минимальной стандартной модели, требуют су-
ществования не одного, а нескольких дополнительных хиггсовых
254
Глава 21
бозонов; спектр скалярных частиц может быть каким угодно^
если только они представляют собой действительно фундамен-
тальные точечные объекты или являются проявлениями ка-
ких-то неизвестных взаимодействий. Тем не менее широкие по-
иски хиггсовых бозонов можно осуществить в настоящее время.
Ниже мы рассмотрим ситуацию для различных областей зна-
чений массы Мн.
Никаких ограничений на величину массы Мн не существует.
Имеющиеся ограничения основываются на тех или иных гипо-
тетических допущениях. Например, часто утверждают, что имеет-
ся нижний предел массы МНу равный примерно 10 ГэВ. Но это
ограничение основано на предположении, что в области массы
Mw не существует других фермионов. Если масса т-лептона Mt
окажется порядка 60 ГэВ или будет открыто четвертое семей-
ство элементарных частиц, то нижний предел массы Мн будет
существовать и его можно вычислить, если известны массы всех
тяжелых фермионов. При этом может оказаться, что этот ниж-
ний предел близок к нулю. По существу пока нижнего предела
для массы Мн нет. Что касается верхнего предела массы Мн, то
часто утверждают, что Мн < 1 ТэВ. Но это тоже только ориен-
тировочная оценка. При этом, если масса хиггсова бозона Мн
больше примерно 1,5 ТэВ, то некоторые процессы, в которые
дают вклады хиггсовы бозоны, должны содержать петли вну-
тренних линий и диаграммы более высоких порядков, которые
столь же важны, как основные вершинные диаграммы, вклады
от которых только и учитываются в настоящее время. Тогда экс-
периментально измеренные значения существенно отличались бы
от предсказываемых теорией возмущений. Речь идет о процессах
следующих двух классов. Один класс — измерение ряда низко-
энергетических величин, которые мы можем определить очень
точно. Но для этих величин численные расчеты показывают, что
ожидаемые эффекты очень малы, если Мн не превышает не-
скольких тераэлектронвольт. Если масса Мн больше этих значе-
ний, то не известно, как вычислить величины ожидаемых откло-
нений. До сих пор никаких определенных результатов из этих
исследований не получено. Если на будущих коллайдерах удаст-
ся провести исключительно точные измерения, результаты мо-
гут оказаться чувствительными к значению массы Ми. Второй
класс экспериментов — изучение процессов рассеяния и Z0-
бозонов, в которые вносит вклады обмен хиггсовыми бозонами
И. Если масса хиггсова бозона Мн 1 ТэВ, то вычисленные по
теории возмущений вклады, например в рассеяние
W+W~, достигнут предела, допускаемого условиями унитар-
ности при V5 ТэВ, а это означает, что рассеяние должно
сильно отличаться от предсказываемого теорией возмущений.
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов 255
Хотя в последнее время научились идентифицировать процессы
рождения IF-nap в соударениях пучков Г^-частиц, проведенные
расчеты показывают, что ожидаемые^ эффекты от обмена хиггсо-
выми бозонами малы вплоть до V5 ^2 ТэВ. События в этом
масштабе энергий будут исследоваться на создаваемом ускори-
теле SSC, но значения светимости и возможности детекторов
должны быть оптимальными, чтобы зарегистрировать достаточ-
ное количество данных. Исследовать UZIF-взаимодействия в об-
ласти масс Afuzuz^<3 ТэВ можно будет на ускорителе с электрон-
ным и протонным пучками, но такого ускорителя не появится
еще в течение нескольких лет.
21.1. Вершины взаимодействий хиггсовых бозонов
В гл. 8 мы видели, что каждая вершина с участием фермионов
и хиггсова бозона (рис. 21.1) сопровождается множителем
Вершина с участием калибровочных бозонов и хиггсова бозона
(рис. 21.2) сопровождается множителем
= (21.2)
где W обозначает W± или Z0. Аналогичных вершин типа ggH
или ууН не существует, хотя они могут встретиться в фермион-
Рис. 21.1. Рис. 21.2.
ных петлях или в петлях с участием l^-частиц. Диаграммы всех
процессов рождения и распада хиггсовых бозонов строят из та-
ких вершин.
21.2. Распады хиггсова бозона
Из вершин (21.1) и (21.2) можно составить диаграмму дл_я про-
цесса распада хиггсова бозона. Рассмотрим распад Н-> ff, мат-
ричный элемент которого имеет вид
M = (21.3)
256
Глава 21
Предположим, что Мн Mf. Тогда произведение спиноров йи
можно заменить на Мн- Прибегая снова к нашему приближен-
ному методу расчета, видим, что имеется четыре конечных и од-
но начальное спиновые состояния, так что
| М I2 ~ 4g2fM2H.
(21.4)
Таким образом, используя общую формулу (9.6), получаем
Г -
а2 М2
|< 1
16лМн — 4л я 4M2w
(21.5)
Точная формула содержит дополнительный множитель 3/2.
Здесь важно отметить, что наивная оценка ширины распада по
формуле Г ~ а2Мн неверна и должна быть исправлена на мно-
житель Таким образом, хиггсов бозон Н распадается
преимущественно на те тяжелые фермионы, распады на которые
разрешены законом сохранения энергии (в области 2Mf ~ Мн
следует учитывать множитель фазового объема, который не-
сколько изменяет полученную приближенную формулу).
Рассмотрим теперь распад H-^WW (напомним, что W обо-
значает W± или Z0). Матричный элемент этого распада имеет
вид
M = gwe-s'i (21.6)
где е и в' — 4-векторы поляризации IF-частиц; 4-импульсы 117-ча-
стиц обозначим &|х = (&о;к) и = к7). Согласно (21.2),
gw = gzMw. В случае массивной частицы со спином 1 наш про-
стой метод приближенного расчета ширины и сечения иногда
может дать неверные результаты. Причина этого связана с фи-
зикой продольных векторных бозонов и переплетается с теорией
голдстоуновских бозонов, так что совсем не случайно, что наш
простой метод расчета оказывается в этом случае неверным.
К счастью, в данном случае нетрудно провести строгий расчет.
Нужно только знать векторы продольной поляризации lF-ча-
стиц, которые легко найти. Для покоящейся IF-частицы попереч-
ные (х, у) и продольное (г) состояния поляризации можно вы-
брать, очевидно, как базисные состояния спина 1:
£(*) = (!, О, 0), е^ = (0, 1, 0), е(*) = (0, 0, 1). (21.7)
Нам нужен вектор продольной поляризации для lF-частицы, дви-
жущейся с 4-импульсом №. Он имеет следующий общий вид:
e<f = (е^; е(2)). (21.8)
Очевидно, если мы можем указать 4-вектор, который сводится
к вектору (0; 0, 0, 1) в системе покоя и удовлетворяет условию
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов
257
= 0, то он и будет единственно правильным ответом. (Усло-
вие = 0 можно считать единственным лоренц-инвариантным
условием, гарантирующим, что число независимых спиновых
проекций равно трем, даже для движущейся частицы. В прин-
ципе существуют четыре независимых 4-вектора, но при наложе-
нии на них одного условия остается только три.) Поскольку мы
располагаем только 4-вектором № для построения вектора 8ц,.
можно сразу написать результат:
= М). (21.9)
Такой же результат можно получить с использованием стандарт-
ных формул лоренцевых преобразований для третьего вектора
в (21.7), так как у = E/Mw и = |k|/Afuz. В системе покоя
вектор (21.9), очевидно, имеет компоненты (21.7), причем вектор
поляризации 8И ортогонален вектору как и должно быть. При
больших значениях энергии ^-частица имеет | k | kQ, поэтому
так что
(21.11)
M2W
Чтобы вычислить произведение k' • k, учтем, что MH=(k-\-kf)2 —
= 2Mw + 2k • k'. Мы используем приближение Мн М&, по-
этому k • k' ~ Afw/2, так что
(21.12)
4М^.
(21.13)
Таким образом, приходим к следующей окончательной формуле:
г _ 1 а2МН
которая дает большую ширину, чем можно было ожидать на ос-
нове наивной оценки а2Л4я, которая отличается от этой оценки
на множитель MhIm2w. Приближенный метод расчета здесь не-
применим по той причине, что в формуле (21.11) имеется мно-
житель X/Mwi а потому такой же множитель должен входить в
ширину Гя. Правильная формула для скорости процесса Н->
-> U7+U7-, включая процесс H-^ZZ, отличается от приведенной
множителем 3/2; в нашем приближении Мн Mw и Л4я » Л4г-
17 Г. Кейн
258
Глава 21
В области Мн « 2Л1ц7 требуется учитывать дополнительно мно-
житель фазового объема.
Важным следствием формулы (21.13) является быстрое уве-
личение ширины распада Гн с увеличением массы хиггсова бо-
зона Мн. Если все энергии выразить в единицах тераэлектрон-
вольт, получим
так что Гн ~ Мн, если Мн 1,4 ТэВ. Следовательно, в этой об-
ласти масса Мн является скорее параметром теории, чем массой
реальной частицы.
21.3. Способы поиска хиггсовых бозонов
Предложено несколько способов поиска частиц HQ.
а. Кваркониевые состояния ф-, Y-частиц и топония (который
обозначим 0) распадаются в процессах ф->у/7°, 0->
->уЯ°. Скорости этих распадов можно оценить следующим об-
разом. Для распада любого резонанса в слабосвязанную пару
конечных частиц имеем диаграмму, показанную на рис. 21.3.
Вершина ссу сопровождается множителем 2/3е, так что в ширине
распада должен появиться коэффициент 4/9а. Вершина Нсс со-
провождается множителем g2Mf/2Mw, поэтому в скорости рас-
пада появляется множитель a2M2/4M2w. Так как теперь массы
частиц ф и HQ не должны слишком сильно различаться, нужно
правильно учитывать множитель фазового объема. Согласно
формуле (9.6), имеем множитель, зависящий от конечного им-
пульса, который равен р'= (Му--Мн)/2М^ Кроме того, дол-
жен быть множитель, соответствующий волновой функции свя-
занного состояния, аналогичный множителю в атомной физике,
учитываемому, в частности, при распаде позитрония. Можно не
рассчитывать все эти множители, если рассматривать только от-
ношение ширины интересующего нас распада к ширине какого-
либо другого соответствующего распада. В качестве последнего
возьмем распад ф->ц+р“, диаграмма для которого показана на
рис. 21.4.
Проводя аналогичные рассуждения, видим, что процесс рас-
пада на мюоны сопровождается множителем 4/9^2, причем мас-
сой мюона можно пренебречь, так что дополнительного фа-
зового множителя не появляется. Множитель для функции свя-
занного состояния будет такой же, как для интересующего нас
распада ф->у//°, так что из отношения ширин этот множитель
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов
259
Рис. 21.3. Диаграмма для распада кваркониевого состояния ф на фотон и
хиггсов бозон.
Рис. 21.4. Диаграмма для
распада кваркониевого состояния ф на мюоны.
выпадает. Таким образом, считая что ж 2МС, получаем
Г(ф->уЯ) _ «2мf j _
Г (ф-> |х+р,~) 8aM2w \ Мф
(21.15)
Конечный импульс рг для распада ф->рр равен Af^/2, так что
множитель в круглых скобках в (21.15) равен отношению р'(ф->
->уЯ)/р/(ф->цр). В формуле (21.15) мы учли дополнительный
множитель 2 для конечных состояний, так как имеется два спо-
соба упорядочить рождаемые частицы у и Н, т. е. не одна, а две
диаграммы типа изображенной на рис. 21.3.
Лучший способ использовать формулу (21.15)—подставить
в нее экспериментальные данные для ширины Г(ф->ц+ц“). Ана-
логичные формулы можно получить для распадов частиц У и 0,
если произвести замены МС->МЬ или Mt. Если разделить чис-
литель и знаменатель формулы (21.15) на Гф, то получим
- (21.16)
где вероятность моды распада ВК(ф->ц+ц“) равна примерно
7%, a BR(У->ц+ц“) «3%. Численные значения множителя в
формуле (21.16) приведены в табл. 21.1. Как видим, в случае
ф-частицы вероятность интересующей нас моды распада на хигг-
сов бозон равна 5-10-5, так что нужно наблюдать свыше 106 рас-
падов ф-частиц, чтобы отыскать рассматриваемый эффект; такой
сложный эксперимент пока не проводился. В случае ипсилон-
частицы У ситуация на порядок благоприятнее и на ускорителе
CESR можно будет зарегистрировать достаточное число собы-
тий с помощью детектора CUSB и установить, происходили ли
распады У->уЯ, если только масса хиггсова бозона удовлетво-
17*
260
Глава 21
Таблица 21.1. Множитель с отношением
масс в формуле (21.16)
т, ГэВ а2т2/2“т^,
1,5 7,6- 10~4
4,5 6,9 • 10—3
45 0,69
ряет ограничению <С5—6 ГэВ. Для топония вероятность ин-
тересующей нас моды распада более 1 % (ожидается, что ве-
роятность моды распада 0->|1+р” равна нескольким процен-
там), так что предположительно топоний явится ценной «фаб-
рикой» хиггсовых бозонов, если этот бозон имеет массу в со-
ответствующей области. Эксперименты с топонием должны со-
стоять в регистрации монохроматических фотонов, вылетающих
Рис. 21.5. Диаграмма процесса в е+е--коллайдере, в котором могут рождаться
хиггсовы бозоны.
в противоположную сторону от пучка распадающихся состояний;
фотон с энергией Е = Му — Мн/2Mv (V = ф, Y или 0) получается
в результате двухчастичного распада. Частицы, летящие в сто-
рону, противоположную фотонам, которые должны быть хиггсо-
выми бозонами, можно изучить и определить, имеют ли они спин
0 и распадаются ли по различным фермионным каналам про-
порционально значениям масс фермионов.
(Следует учесть одно обстоятельство. Диаграммы высших
порядков для процессов распадов ф, Y, 0->//у содержат линии
внутренних и мягких глюонов и, как было показано, уменьшают
теоретически предсказываемые скорости распадов почти в два
раза, так что потребуется регистрировать несколько большее
число событий, чем указано выше.)
_б. В экспериментах на е+е--коллайдере с передачей энергии
V5 процесс, диаграмма для которого показана на
рис. 21.5, может обеспечить детектируемую скорость рожде-
ния хиггсовых бозонов, если светимость коллайдера достаточно
велика. При Vs « Mz сечение этого процесса больше из-за
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов
261
Z-резонанса. При этом конечная пара Z+Z- получается от вир-
туальной Z-частицы, поэтому нужно произвести тщательный рас-
чет, чтобы определить скорость этого процесса. Если такие ус-
корители как SLC или LEP, для которых V5 ~ Afz, достигнут
своей проектной светимости, на них можно будет производить
поиски хиггсовых бозонов в области масс Мн 40 ГэВ, причем
этот предел зависит от того, насколько удовлетворительно мо-
жно исключить фон. При меньших светимостях чувствительность
меньше; большая светимость потребуется для выявления пове-
дения эффекта, если он будет открыт.
Пары Z+Z- детектируются. Хотя они не моноэнергетичны,
масса пары Z+Z- на верхнем конце имеет пик вблизи массы Mz.
Для событий с большой массой пары Z+Z~ можно проверить, не
происходят ли сопровождающие эту пару частицы от хиггсовых
бозонов /7°.
в. Если масса хиггсова бозона Мн 40 ГэВ, ни один из ус-
корителей, ныне строящихся, не сможет его обнаружить. Ко-
гда будет создан ускоритель LEPII, рассчитанный на фиксиро-
ванную передачу энергии Vs’ на нем можно будет искать хигг-
совы бозоны вплоть до масс Мн^д/s — 2Mz, но при Мн^
85 ГэВ возникает проблема фона и чувствительность сни-
жается. Когда будут достигнуты передачи энергий Vs > 2Mz>
скорость распадов e+e~->-ZZ с одной Z-частицей, распадающей-
ся на пару Z+Z-, и другой Z-частицей, распадающейся на адроны,
будет существенно больше скорости распада е+е~ -*• ZH, а моды
распадов обоих типов будут практически одинаковыми. Выше
значений примерно 40 или 85 ГэВ (для LEPII), которых плани-
руется достичь лишь на ускорителе SSC, можно вести экспери-
менты, которые, возможно, дадут экспериментальную информа-
цию о физике хиггсовых частиц. Когда на е+е~-коллайдерах
будут достигнуты более высокие энергии и более высокие свети-
мости, такие эксперименты можно будет проводить на них.
Ускоритель SSC должен открыть широкие возможности изу-
чения физики хиггсовых бозонов с привлечением различных экс-
периментальных методов, если этот ускоритель достигнет плани-
руемой большой светимости.
а. Если масса хиггсова бозона Мн < 2MWt то доминирую-
щими распадами этого бозона будут распады H-^tt и H-+bb.
Эти моды распада очень трудно исследовать, так как много
большее число пар tl и ЬБ рождается от процессов КХД типа
Вместо них придется использовать очень редкие рас-
пады. К счастью, распады типов /7->уу, H-^Zy при Z->Z+Z-
77->0у при 0->Z+Z“, Z7->Yy и /7->фу происходят с участием
фермионной или U^-петли, имеющей достаточно большую вероят-
262
Глава 21
ность моды (от 10~3 до 10“5), чтобы их можно было изучать. Но
этот подход сильно зависит от возможности достижения высо-
кой светимости на ускорителе SSC. В рассматриваемой области
масс Мн за год, т. е. за 107 с, можно получить порядка 106 ча-
стиц /7°, так что удалось бы зарегистрировать моды распада
с чистым отклонением 10~5. Комбинируя сведения о всех воз-
можных модах распада, следует заключить, что хиггсовы бо-
зоны надо искать от минимальных значений масс порядка
30 ГэВ до значений масс порядка 2MW. Все каналы распада
имеют существенный фон, так что требуется достичь очень вы-
соких светимостей, чтобы получить достаточно большие значе-
ния отношения сигнала к шуму.
б. Если масса хиггсова бозона Мн > то при распаде
этого бозона Н доминируют моды Н -+W+W~ и H-+-ZZ, как это
ясно из сравнения формул (21.5) и (21.14). Если Л4я <С500 ГэВ,
то рождается так много /7°-частиц, что можно пытаться искать
моды распадов H-+ZZ, сопровождаемые распадами Z-+e+e~ и
Z ц+р.~; эти распады дают ясный сигнал в детекторе при от-
сутствии фона. Другие моды распадов на W+W~ и ZZ тоже мо-
жно искать. Ширина распада Гя достаточно мала, чтобы части-
ца Н могла наблюдаться как резонанс в каналах IF+IF- и ZZ.
При больших значениях массы хиггсова бозона Мн два сле-
дующих важных качественных момента изменяют направление
поисков. Во-первых, ширина хиггсова бозона Гя становится на-
столько большой, что трудно наблюдать форму резонанса в
спектре масс WW; так, при Мн = 1 ТэВ, согласно формуле
(21.14), получаем Гя ~ 500 ГэВ, и при Мн > 1 ТэВ ширина Гя
очень быстро становится настолько большой, что бессмысленно
говорить о хиггсовой частице.
Во-вторых, при большой массе хиггсова бозона Мн скоро-
сти его распадов станут столь малыми, что необходимо рассма-
тривать канал, в котором одна lF-частица распадается на пару
qq. События от других процессов стандартной модели также
дают похожий на исследуемый сигнал. Интересующий нас сиг-
нал можно наблюдать в виде избыточного числа 1^+1^_-событий.
Общим для всех указанных процессов будет процесс рождения
трех частиц W + q + g из начального состояния q + g. Если мас-
са двухструйного процесса q + g близка к массе W, такой
фон симулирует интересующий нас сигнал. Все скорости соот-
ветствующих процессов можно вычислить, так как все процессы
описываются теорией возмущений в стандартной модели, но фон
оказывается больше сигнала. Поскольку фон не идентичен сиг-
налу, тщательное изучение событий позволит детектировать нуж-
ный сигнал, но лишь при условии, что будут созданы особо чув-
ствительные детекторы, обладающие необходимыми свойствами.
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов
263
21.4. Область больших масс Мн
Если масса хиггсова бозона Мн будет очень большой, то нетруд-
но представить ситуацию, когда скорость распада /f-бозона ста-
нет настолько малой, что сигнал не удастся зарегистрировать и
мы не сможем получить какой-либо информации о физике хигг-
совых бозонов. Но так, по-видимому, не произойдет в силу сле-
дующих важных причин, понять которые можно, оставаясь в
рамках стандартной модели. Если масса Мн больше нескольких
сотен гигаэлектронвольт, то доминирующим процессом рожде-
ния хиггсовых бозонов является процесс, диаграмма которого
Рис. 21.6. Диаграмма для процесса, в котором может происходить рождение
тяжелого хиггсова бозона.
показана на рис. 21.6, где f и — состояния любого фермиона
{qq, qq или е+е~). Этот процесс можно физически интерпрети-
ровать как рождающий два пучка lF-частиц, которые затем рас-
сеиваются друг на друге, т. е. по существу это процесс WIF-pac-
сеяния. Частицы W испускаются начальными фермионами с ве-
роятностью обладания определенной долей полного импульса
фермиона, которую можно рассчитать; при этом ситуация сход-
на с ситуацией со структурными функциями, рассмотренными в
гл. 10 и 18. Но здесь мы имеем дело с точечными фермионами и
IF-частицами, поэтому можно вычислить все соответствующие
структурные функции. Не будем здесь приводить деталей этих
расчетов, а лишь сообщим читателю, что существуют методы,
которые позволяют учитывать в процессах рассеяния реальные
1^-частицы.
Вклад от диаграммы процесса WW-+• Н-+- WW, представлен-
ного на рис. 21.6, по существу мы уже вычислили выше. Рассмо-
трим, однако, процесс W++ W~-+Z + Z. Обозначим через &w
и векторы поляризации 1Г-частиц в начальном состоянии и
ez и ez — векторы поляризации Z-частиц в конечном состоянии.
Тогда вершины HWW и HZZ сопровождаются множителями
так что матричный элемент процесса WW -> Н -> ZZ
264
Глава 21
имеет вид
М(6w*&w) (sz • ez)
(21.17)
В разд. 21.2 мы показали, что в случае наиболее интересной
^-частицы с продольной поляризацией при высоких энергиях
имеем соотношение е • е' « k • k'IM2w^ Обозначим через р и р'
импульсы начальных lF-частиц, а через k и k'— импульсы ко-
нечных Z-частиц. Тогда ew • &'w = р р'/М2? и ez • e'z = k k'/M2?.
Введем также обозначения s = (р + р')2 = (k + k')2, так что
при 5 » Mw имеем р-р' « s/2 = k-k'. Таким образом,
S2
М ~ —--------—г
4М2W Мд — §
Поскольку o(WWWW) = |Af|2/16ns, сечение о растет про-
порционально некоторой степени $, что, очевидно, является бес-
(21.18)
Рис. 21.7. Диаграммы для альтернативных процессов, дающих вклады в про-
цесс рассеяния W+W~ ZZ.
смысленным результатом, так как сечения не могут возрастать
неограниченно по степенному закону. (Формально при этом го-
ворят о нарушении закона сохранения вероятности или о нару-
шении условия унитарности.) Фактически до начала этого рас-
чета мы должны были хорошо уяснить, что в процесс WW ->
WW дают также вклады другие диаграммы. Кроме подпро-
цесса, изображенного на рис. 21.6, следует учитывать также
вклады процессов, диаграммы которых показаны на рис. 21.7.
Вершины таких диаграмм (т. е. вершины W+W~Z и W+W-ZZ)
в неявном виде описаны в разд. 2.8д, но нам сейчас не важны
детали, чтобы сделать основные выводы. Поскольку вклады от
вершин, приведенных на рис. 21.7, не зависят от значения мас-
сы Мн, они оказываются функциями только s и Mw. Таким
образом, полная амплитуда процесса является суммой вкладов
от диаграмм, показанных на рис. 21.6 и 21.7:
g* S2
+ (21Л9)
Q/Vl ууг /VI ft — S
где мы просто использовали некоторую функцию f (§, Mw) для
обозначения суммарного вклада диаграмм с вершинами, пока-
Рождение и детектирование хиггсовых бозонов 265
занными на рис. 21.7. Формула (21.19) позволяет сделать сле-
дующие два очень важных заключения.
а. Разумеется, и это можно подтвердить довольно длинным
явным расчетом функции f Mw)> что, согласно формуле
(21.19) (как и должно быть), при s-> оо const, поэтому пол-
ное сечение не растет как некоторая степень s. В частности, если
предположить, что s » М2н, то функция f (s, Му) должна расти
линейно по s, чтобы скомпенсировать линейный рост по s пер-
вого члена в формуле (21.19).
б. Еще более важно следующее. Рассмотрим, что случится,
если масса хиггсова бозона Мн очень велика, т. е. если поче-
му-то не существует в теории хиггсова бозона с массой по-
рядка области энергий слабых взаимодействий. Тогда при
->оо первое слагаемое в формуле (21.19) будет очень малым
при Л1я^>5,так что в этой области энергий M^f(s, Му). Но
теперь по мере увеличения s функция f возрастает пропорцио-
нально s, поскольку, как мы показали выше, f ~ s и функция f
не зависит от Мн, так что ее поведение не изменяется, когда
масса Мн становится большой. Таким образом, если масса хигг-
сова бозона Мн велика, сечение o(W+W~ -+ ZZ), очевидно, воз-
растает как s2 в противоречии с тем, что может быть. Мы ви-
дим, что даже при Л4я->оо должен появиться эксперименталь-
ный сигнал в IFI^-рассеянии. Здесь мы не приводим явных вы-
ражений для амплитуд и сечений, отметим только, что точный
расчет показывает, что эффект степенного роста сечения с уве-
личением $ в принципе экспериментально можно детектировать
на ускорителе со значениями светимости и энергии, соответст-
вующими ускорителю SSC. Для детектирования требуется не
только рождение на ускорителе 117-пар с достаточной интенсив-
ностью, но также детектирование этих пар с достаточной надеж-
ностью, чтобы можно было установить, что ^-частицы действи-
тельно продольно поляризованы, так как именно с этим связана
физика, которую мы сейчас обсуждаем.
21.5. Заключение
В этой главе мы видели, что, хотя никто не имеет представле-
ния, в чем состоит физика хиггсова сектора, мы знаем, как про-
вести эксперименты, которые позволили бы решить эту загадку,
причем мы располагаем необходимыми экспериментальными
возможностями (хотя стоимость таких экспериментов очень ве-
лика). В частности, как мы показали в последнем разделе, эф-
фекты хиггсовых бозонов нельзя отнести в область произвольно
больших масс. Если Л4//->оо, появятся детектируемые эффекты
в скорости рождения и свойствах рожденных пар ТС7-бозонов.
266
Глава 21
Если хиггсовы поля являются точечными скалярными по-
лями, которые можно включить в фундаментальный лагранжиан
теории, то следует ожидать, что хиггсовы бозоны будут иметь
массу порядка Му (с точностью до множителя в несколько еди-
ниц или десятых долей). Некоторые теоретические соображения
указывают на существование нескольких скалярных полей. Если
же хиггсова физика связана с какой-то динамикой, то должны
существовать очень тяжелые хиггсовы бозоны.
Некоторые подходы, используемые при построении фунда-
ментальной теории, выходящей за рамки стандартной модели,
предсказывают конкретные изменения вида хиггсова сектора.
По серьезным математическим причинам в таких теориях, вклю-
чая и теории суперсимметрии, должно быть не один, а два дуб-
лета хиггсовых полей. При этом три хиггсовы степени свобо-
ды еще дают голдстоуновские бозоны, которые оказываются
продольными состояниями W±‘ и Z-частиц, так что эти калибро-
вочные бозоны могут иметь конечные массы. Поскольку мы те-
перь имеем восемь степеней свободы вместо четырех, должен
быть не один, а пять физических скалярных бозонов. Три из них
нейтральные и два — заряженные хиггсовы бозоны Н±. Одно из
нейтральных состояний очень похоже на одиночный бозон HQ
минимальной стандартной модели. Хотя многие детали рассма-
триваемой фундаментальной теории отличаются от минималь-
ной стандартной модели, сохраняется основной пункт, который
состоит в том, что эта система скалярных бозонов, если она су-
ществует, может быть экспериментально обнаружена и изучена.
При этом имеется много способов, позволяющих отличить этот
сектор хиггсовых бозонов от сектора хиггсовых бозонов мини-
мальной стандартной модели, так как, например, в одном слу-
чае существуют заряженные скаляры, а в другом их нет, раз-
личны константы связи для разных каналов и т. д. Эксперимен-
тальное исследование физики хиггсова сектора может начаться
уже в 1988 г. и, возможно, будет закончено до 2000 г.
Задача
21.1. Вычислите приближенно вероятность моды распада
//°->т+т“, если: а) Мн — 8 ГэВ, б) Мн = 15 ГэВ.
Рекомендации для дальнейшей работы
Одна из точек зрения относительно трудностей, связанных с по-
ниманием хиггсова сектора стандартной модели, изложена в
статье Велтмана [75] в Сайентифик Америкен. Подробное опи-
сание свойств хиггсовых бозонов в минимальной стандартной
модели приведено в гл. 24 книги Окуня [44].
Глава 22
Кварковые (и лептонные)
углы смешивания
Возможно, читатель уже заметил, что в фейнмановских прави-
лах составления вкладов диаграмм, используемых нами до сих
пор, кварки s и b стабильны. Кроме того, они не связаны с лег-
кими кварками. Это обусловлено неявным предположением, что
кварки, образующие левые электрослабые дублеты, имеют опре-
деленные массы. Другими словами, мы предположили, что соб-
ственные состояния электрослабого гамильтониана являются од-
новременно собственными состояниями массового гамильтониа-
на. Поскольку причины появления масс электрослабых частиц
еще не выяснены, мы не имели оснований делать такое предпо-
ложение; на самом деле оно неверно. Для простоты рассмотрим
сначала только два первых семейства кварков. Тогда выраже-
ние для заряженного тока в гл. 7, с которым взаимодействуют
^-частицы, можно записать в виде
и н (d \
fch = (й с) y^PL J = uy*PLd + c^PLsf (22.1)
где использованы вектор-строка и вектор-столбец в простран-
стве аромата; и, с, d и s- массовые собственные состояния, т. е.
энергетические урбвни системы. С помощью u', с', d' и s' мы
будем обозначать слабые собственные состояния; это экспери-
ментальный вопрос, совпадают ли эти состояния с массовыми
состояниями (на самом деле они не совпадают). Поэтому заме-
( d \ ( d'\
ним вектор-столбец I I на I , I- Одну систему собственных
\ S J \ S /
состояний можно разложить по другой системе, так что
d' \ ( d \
S Jl Jl
(22.2)
где матрица У — унитарная матрица типа 2X2. Как показано
в приложении Б, общую унитарную матрицу типа 2X2 можно
записать с помощью трех углов 0, а и у:
cos0eia sin0e*Y
— sin0e_‘Y cos0e-‘«
(22.3)
268
Глава 22
так что
d' = cos 0efad + sin 0eIYs == eia (d cos 0 + s sin 0ef (Y-a)), (22.4)
s' = — sin Be-^d + cos 0e-/as = e~^ (— d sin 0 + s cos 0e~f (a~Y)).
(22.5)
Относительные фазы кварковых состояний можно переопреде-
лить произвольным образом без каких-либо последствий для ос-
тальных наблюдаемых. Например, можно умножить d' на
s' на и s на e~/(Y~a). Если бы в лагранжиане были массовые
члены, такое изменение фаз можно было бы включить в преоб-
разования sR и dR. С такими изменениями получаем следующие
формулы:
d' = d cos 0 + s sin 0, (22.6)
s' = — d sin 0 + $ cos 0, (22.7)
причем теперь
' COS0 sin 0 \
V = ( ч— sin 0 о Г (22.8) cos 0 7
Тогда выражение (22.1) для заряженного тока следует предста-
вить в виде
и 11 (d' \
/^ = (й J= (22.9)
= (й c)^PLVl )= (22.10)
= ily^PLd cos 0 + u\^PLs sin 0 —
— cy^PLd sin 0 + cy^/YscosO. (22.11)
В правой части появляются два новых члена, пропорциональ-
ных sin 0, а старые члены уменьшаются на множитель cos 0.
Угол 0 называют углом Кабиббо; экспериментальное значение
этого угла равно 0 « 13°. Если бы угол 0 оказался равным ну-
лю, то s-кварк был бы стабильным. В действительности он не-
устойчив и может распадаться из-за взаимодействия с и-кварком
посредством второго члена в выражении (22.11). Появляющиеся
теперь электрослабые вершины показаны на рис. 22.1. Заметим,
что, как обычно принято, мы вращали только кварки нижнего
типа, но это не уменьшает общности рассуждений. Если бы мы
fd\
повернули векторы (и с) и I 1, то получили бы ток следую-
(d\
щего вида: (u с) Y^^JpEdown I но произведение двух вра-
Кварковые (и лептонные) углы смешивания
269
Рис. 22.1. Электрослабые вершины.
щений есть снова вращение, так что произведение матриц
^up^down можно заменить одной матрицей вращения V.
Следует проверить теперь, не возникает ли каких-либо изме-
нений нейтрального тока при таком вращении. Частицы Z вза-
имодействуют со следующим током (мы по-прежнему ограничи-
ваемся рассмотрением теории с двумя первыми семействами):
/пей = 2 (^[Гз- + Q Sin20j^).
f=u, с, d, s
(22.12)
Заменим в этом выражении d и s на d' и s'. Тогда члены ней-
трального тока, которые могут измениться, преобразуются сле-
дующим образом:
(dL cos 0 + sL sin 0) у*1 \Ц — Q sin2 0 J (dL cos 0 + sL sin 0) +
+ (— dL sin0 + s4 cos0) уц [T£ — Q sin20 J X
X (— dL sin 0 + sLcos 0) + (L -> 2?) =
= — sin2 0w] d-L (cos2 0 + sin2 0) +
+ [Г3 — Sin20J SL (Sin2 0 + COs2 0) +
+ [T3 — sin20^] sL (cos 0 sin 0 — cos 0 sin 0) +
+ sLy» [Г£ — sin2 0ш] dL (cos 0 sin 0 — cos 0 sin 0) +
+ (L-+R) =
= S - Q sin20J fL + (L -+ R)). (22.13)
270
Глава 22
Таким образом, мы возвращаемся к исходной формуле; ней-
тральный ток диагоналей по массовым собственным состояниям
и слабым собственным состояниям. Это свойство нейтрального
тока называют GIM-механизмом. Этот механизм приводит к
очень серьезным следствиям для распадов, так как в стандарт-
ной модели нет вершин вида sdX, где X — калибровочный или
хиггсов бозон. Экспериментально установлено, что распады као-
нов, связанные с превращением s->d, идут со значительно
меньшими скоростями, чем распады, связанные с превращением
s->u. Следовательно, распады с превращением s-^d (ней-
тральные токи, изменяющие аромат) крайне интересны, и они
могут повести к открытию новых видов взаимодействий.
Наконец, обобщим полученные результаты на все три извест-
ные в настоящее время семейства кварков. Очевидно, следует
поступить так же, как при составлении выражения (22.10). Пол-
ный заряженный ток теперь имеет вид
/
J^ch = (u с t) ^PLV\ s , (22.14)
\b J
где V — унитарная матрица типа 3X3. Как показано в прило-
жении Б, унитарная матрица типа п\п характеризуется п2 не-
зависимыми действительными параметрами; в данном случае де-
вятью параметрами. Фазы пяти кварковых состояний можно
произвольным образом переопределить; фаза шестого состояния
определяется общей фазой для всех состояний, и ее изменение
ничего не даст. Остаются четыре параметра для задания вида
матрицы V. Как показано также в приложении Б, ортогональ-
ные матрицы типа п X п, описывающие вращения, характери-
зуются заданиехМ п(п —- 1)/2 действительных параметров каж-
дая; в данном случае тремя параметрами. Таким образом, один
из параметров матрицы V должен выступать в виде относитель-
ной фазы. Тогда члены гамильтониана, пропорциональные
Г Ль могут быть комплексными. Из квантовой механики нам
известно, что теория с таким,, гамильтонианом не инвариантна
относительно преобразования обращения времени (или эквива-
лентного ему CP-преобразования, см. гл. 24).
Матрица V называется матрицей Кобаяси — Маскавы. Со-
гласно ТДЧ [47], экспериментальные значения элемёнтов этой
матрицы следующие (по абсолютной величине):
/0,9742 — 0,9756 0,219 -0,225 0 -0,008 \
0,219 -0,225 0,973-0,975 0,037 -0,053 • (22.15)
\ 0,002 — 0,018 0,036 — 0,052 0,9986 — 0,9993 J
Кварковые (п лептонные) углы смешивания
Упорядочивая частицы семейств по значениям массы, видим, что
переходы с изменением номера семейства на единицу малы, а
переходы с изменением номера на два очень малы. (Если будут
наблюдены распады 6-> и + что-то, можно будет точно изме-
рить верхний правый элемент матрицы; имеющиеся заявления о
наблюдении таких распадов пока не подтверждены.)
Заметив, что 6-кварк тоже может распадаться. Так, в фор-
муле (22.14) имеется член вида
c^PLVb,
причем коэффициент при нем V23 ~ 0,045. Распад 6-кварка про-
исходит в процессе, диаграмма которого показана на рис. 22.2;
Рис. 22.2. Диаграмма для распада 6-кварка.
частица W может распадаться на руц, eve, tvt, ud и cs. Вершина
bcW сопровождается множителем У23, который следует доба-
вить к константе связи §2/д/2 . Таким образом, ширина распада
6-кварка приближенно равна
где коэффициент 9 происходит от учета 9 открытых каналов (по-
правками на множители фазового пространства для Мс и Мх
пренебрегаем). Таким образом,
(22.17)
поэтому следует ожидать, что 6-кварк имеет время жизни при-
мерно в 2,5 раза больше времени жизни т-лептона, так как этот
кварк может распадаться только путем нетривиального враще-
ния массовых собственных состояний в слабые собственные со-
стояния. (На практике сначала было измерено время жизни
6-кварка хь и лишь затем из него было выведено значение мат-
ричного элемента У23.)
В настоящее время в развиваемой теории элементы матрицы
V выступают просто как параметры, которые надо эксперимен-
тально определять, как и массы фермионов. Следует высказать
надежду, что когда-нибудь матрица вращения от слабых
272
Глава 22
собственных состояний к массовым собственным состояниям бу-
дет теоретически вычислена и элементы матрицы V можно будет
выразить через отношения масс.
Аналогичную процедуру вращения состояний можно совер-
шить и для лептонов. Но если какие-то два кварка вырождены
по массе, то мы не можем различать массовые собственные со-
стояния, поэтому мы можем произвести вращение и принять
соответствующий угол или элемент матрицы V равным нулю.
Таким образом, если нейтрино имеют нулевую массу, не нужны
лептонные углы смешивания; слабые собственные состояния и
массовые собственные состояния могут быть одинаковыми.
В гл. 29 мы кратко рассматриваем ситуацию, возникающую в
том случае, если массы нейтрино не равны нулю.
Задача
22.1. Проверьте унитарность матрицы Кобаяси — Маскавы
(22.15). Какие элементы ограничиваются требованием унитар-
ности в приведенных интервалах числовых значений?
Глава 23
Массы кварков и адронов
Цель этой главы — разъяснить немного проблему массы в фи-
зике элементарных частиц. Хотя это очень сложный вопрос и
многое в нем неясно, можно все же сформулировать несколько
основных положений.
Имеются три основных источника массы адронов. Наиболее
понятный — массы кварков и глюонов, так как они являются объ-
ектами, заключенными внутри адронов. Евли частица заключена
в объеме с линейными размерами порядка 1 ферми, то, согласно
соотношению неопределенностей, для нее Др ~ 1 /Ах ~ 200 МэВ.
Переход от этой величины к соответствующей энергетической ве-
личине не является однозначной процедурой, так как мы не
знаем, какую взять массу покоя частицы. Мы знаем только, что
адрон, состоящий из кварков и глюонов, может иметь массу в
несколько раз большую, чем 200 МэВ. Массу адрона, приходя-
щуюся в среднем на один связанный в адроне кварк или глюон,
называют конституснтной массой. Так как конституентная масса
обусловлена наличием связанного состояния и взаимодействия-
ми, не поддающимися расчету по теории возмущений, ее нельзя
вычислить точно.
Согласно хиггсовому механизму, как мы видели, кварки, леп-
тоны и W- и Z-частицы обладают массами в результате действия
некоторой фундаментальной причины, которую мы описываем
введением взаимодействия со скалярным полем. Массы, полу-
чаемые в хиггсовом механизме, должны добавляться к массе
кварка, содержащегося в адроне. Эту вторую составляющую
массы мы называем массой свободных кварков. В силу истори-
ческих причин эту массу называют также массой алгебры токов.
Если на адроне рассеивается частица, имеющая длину вол-
ны порядка размеров адрона, то эта частица «чувствует» полную
массу адрона, составленную из конституентных масс. Если рас-
сеиваемая частица имеет длину волны, малую по сравнению с
размерами адрона, она рассеивается на отдельном кварке или
глюоне в адроне. Такая частица «чувствует» массу свободной
частицы. При этом кварки и глюоны получают отдачу, как если
бы были свободными. Таким образом, в принципе можно изме-
рить массы различных частиц. Таблица значений масс приведена
в гл. 1.
18 г. Кейн
274
Глава 23
Современная ситуация с массами элементарных частиц в
принципе такая же, как с массами других объектов. Все массы
определяют в результате проявлений каких-либо взаимодей-
ствий. Для частиц, которые не являются цветными синглетами
и не слишком массивны, трудно получить частицу-зонд с доста-
точно большой энергией, чтобы ее длина волны была малой по
сравнению с массой исследуемой частицы. Таким образом, по
этой причине трудно измерить непосредственно массы кварков.
Поэтому пришлось использовать косвенные методы измерения,,
чтобы получить значения, приведенные в гл. 1.
Одной из классических проблем массы в физике является
проблема разности масс протона и нейтрона ДА! = Мп — Мр.
В эту разность масс вносят вклад электромагнитные взаимодей-
ствия, так как протон и нейтрон имеют разные составляющие.
Можно непосредственно убедиться, что разность &МЕм отрица-
тельна, так как составляющие протона имеют больший электри-
ческий заряд; в эксперименте получаем ДМ > 0. Теперь эту по-
ложительную разность ДМ > 0 интерпретируют как обусловлен-
ную тем, что Md > Ми. Старая проблема теперь формулируется
по-новому, но она не будет решена до тех пор, пока не будет вы-
числена разность Md — Ми. Некоторым утешением может слу-
жить то, что значения масс, приведенные в гл. 1 для свободных
масс Md и Ми, получены из соображений, не использующих экс-
периментальное значение разности Мп — Мр. Вместе с тем эти
значения Md и Ми согласуются с данным значением разности;
это показывает, что современная точка зрения не противоречива.
Наконец, третий вклад в массу обусловлен взаимодействия-
ми, такими как взаимодействия с у, W и Z, которые можно рас-
считать по теории возмущений. Электромагнитный вклад в раз-
ность масс нейтрона и протона, о котором мы только что гово-
рили, относится к этому типу, так же, как сдвиг на несколько
процентов масс W- и Z-бозонов. Такие вклады называют радиа-
ционными поправками, так как они связаны с излучениями и
поглощениями калибровочных бозонов. Поскольку эти поправки
можно вычислить, они позволяют осуществить еще одну провер-
ку теории. Измеренные значения масс Mz и Mw на ускорителях
SLC и Национальной лаборатории им. Ферми позволили осуще-
ствить первую экспериментальную проверку этих поправок в
конце 80-х гг.
Глава 24
Нарушение СР-инвариантности
Небольшой, но очень интересный эффект был открыт в середине
60-х гг. Его назвали нарушением CP-инвариантности; в этой
главе мы немного расскажем о нем. Как и многие другие явле-
ния, эффект нарушения CP-инвариантности оказалось возмож-
ным включить в стандартную модель, хотя фундаментальные
физические причины появления этого эффекта еще не поняты.
Никто не знает, является ли этот эффект действительно фунда-
ментальным, или же по существу случайным. Если бы мы могли
вычислить полное барионное число Вселенной, эффект, подоб-
ный наблюдаемому нарушению CP-инвариантности, проявлялся
бы во взаимодействиях калибровочных и (или) хиггсовых бозо-
нов с кварками и лептонами на ранней стадии развития Вселен-
ной, но пока не установлена логическая связь между наблюдае-
мым эффектОхМ нарушения CP-инвариантности и тем эффектом,
который должен был быть для ранней Вселенной.
Необходимо сообщить некоторые предварительные сведения,
чтобы было понятно, в чем состоит нарушение СР-инвариантно-
сти. Четность Р является операцией пространственной симмет-
рии. Если система описывается квантовомеханической волновой
функцией ф(х), то преобразованная волновая функция Рф(х)
получается из функции ф(х) путем замены знаков всех коорди-
нат на противоположные. Если система инвариантна относитель-
но преобразования четности, то Рф (х) = (х). Взаимодейст-
вия элементарных частиц можно классифицировать в соответ-
ствии с их свойствами относительно преобразования четности.
Так как частицы могут рождаться и уничтожаться, им следует
приписывать определенные внутренние четности. Полная чет-
ность состояния системы частиц — это произведение четности
волновой функции системы при отражении пространства и вну-
тренних четностей частиц, образующих это состояние.
Член гамильтониана (лагранжиана) стандартной модели,
описывающей взаимодействие, в котором участвует заряженный
ток, имеет вид fy^PbfV^, где — калибровочный бозон. Так как
PL = !/2 (1 — у5), рассматриваемый член гамильтониана являет-
ся суммой двух слагаемых: первого, преобразующегося как век-
тор (ун), и второго, преобразующегося как аксиальный вектор
(у^1у5), который имеет противоположную четность. Если бы в
18*
276
Глава 24
лагранжиан входил только один из указанных членов или если
бы они не могли интерферировать друг с другом, то четность со-
хранялась бы, так как наблюдаемые содержат только квадраты
волновых функций. Но так как оба рассматриваемых члена ла-
гранжиана интерферируют, система кварков или лептонов при
взаимодействиях может изменять свою четность, т. е. четность
не будет сохраняться. Так как рассматриваемые члены имеют
одинаковую величину, то интерференция может быть полной, т. е.
несохранение четности может быть максимальным. Все это мож-
но выразить на языке квантовой механики. Для квантового пе-
рехода из состояния ф в состояние ф7 под действием гамильто-
ниана Н матричный элемент можно представить в виде
<ф' | Н | ф> = <Рф' | РНР~Х | Рф>. Требование инвариантности со-
стоит в том, что РНР~Х = ±Н. Оно не выполняется, если га-
мильтониан И является суммой двух членов, которые при пре-
образовании четности Р преобразуются противоположным об-
разом.
Рассмотрим теперь другую операцию симметрии — операцию
зарядного сопряжения С. Если бы она была хорошей симме-
трией, то система обладала бы следующим свойством: если ча-
стица участвует в некотором взаимодействии, то и античастица
тоже участвует в этом взаимодействии. Более того, заменив ча-
стицы в каком-либо процессе их античастицами, мы получим но-
вый процесс, который должен происходить с’ той же вероят-
ностью, что и исходный процесс. Стандартная модель «макси-
мально нарушает» С-инвариантность, так как, например, имеют-
ся процессы, в которых участвуют левые нейтрино, но нет про-
цессов, в которых участвуют левые антинейтрино.
Рассмотрим, наконец, произведение преобразований СР. При
этом комбинированном преобразовании левые нейтрино перехо-
дят в правые антинейтрино. Действительно, при преобразовании
Р х—>—х и так что р-э—р и а ~ хХр->о. Таким обра-
зом, спиральность о-p изменяет знак, а потому левое становится
правым и наоборот. В электрослабых взаимодействиях стан-
дартной модели участвуют правые антинейтрино и левые ней-
трино, причем это взаимодействие CP-инвариантно в том смы-
сле, что если происходит какой-то процесс, то СР-преобразован-
ный процесс тоже происходит, причем с той же вероятностью.
Преобразование СР переводит частицы, движущиеся в опреде-
ленном направлении, в античастицы, движущиеся в противопо-
ложном направлении с противоположными спиральностями.
Часть стандартной модели, касающаяся заряженного тока,
была сформулирована к середине 50-х гг., и тогда же была вы-
сказана надежда, что в природе осуществляется СР-симметрия,
несмотря на то что Р- и С-инвариантности по отдельности на-
Нарушение CP-инвариантности
277
рушаются. Но к середине 60-х гг. было открыто, что это не сов-
сем так. Хотя как сами процессы, так и CP-сопряженные им
процессы действительно наблюдаются, но их вероятности не оди-
наковы, а немного различаются — примерно на 0,1 %. Именно
это малое различие вероятностей называют нарушением СР-ип-
вариантности.
Чтобы объяснить, как такое нарушение может быть вклю-
чено в стандартную модель, рассмотрим еще одну операцию
симметрии — операцию обращения времени Т. Известно, что
комбинированная операция СРТ является хорошей симметрией
во всех квантовых теориях поля. Таким образом, нарушение СР-
инвариантности должно приводить к нарушению Г-инвариантно-
сти и наоборот. Соответствующее квантовомеханическое преоб-
разование матричного элемента квантового перехода имеет сле-
дующий вид: <i|/| = <Гф| ТНТ~Х | 7\|/>. Если теория Г-инва-
риантна, то величины Н и ТНТ~Х равны. Операцию обращения
времени Т можно представить в виде произведения Т = UK, где
К — операция комплексного сопряжения, a U — некоторая мат-
рица, действующая в том же пространстве, что и гамильтониан
Н. В частности, если гамильтониан Н не является веществен-
ным, то его комплексное сопряжение ТНТ~Х И, т. е. 7-инва-
риантность (и CP-инвариантность) нарушена.
В гл. 22 мы отмечали, что заряженный ток можно предста-
вить в виде
/
(и с /) y^PLV I 5 L
\bj
где V — некоторая матрица типа 3 X 3. Матрица V наиболее об-
щего вида зависит от трех углов смешения кварков и от некото-
рой фазы, т. е. матрица V, вообще говоря, комплексная. Тогда
гамильтониан тоже должен быть комплексным, если фаза не
равна нулю; при этом Т- и CP-инвариантности нарушены. Таким
образом, эффект нарушения CP-инвариантности можно легко
включить в стандартную модель.
Можно надеяться, что матрицу V в конце концов удастся вы-
числить, так как она является матрицей преобразования между
массовыми и слабыми собственными состояниями. До тех пор
мы не будем уверены, является ли причиной нарушения СР-ин-
вариантности ненулевой фазовый угол в матрице V.
Обратим внимание на один интересный момент. Как мы уже
отмечали в гл. 22, если бы существовало только два семейства
кварков, то соответствующую матрицу У, которая была бы мат-
рицей типа 2X2, всегда можно было сделать вещественной.
.278
Глава 24
Таким образом, только в том случае, когда имеются три или
большее число кварковых ароматов, может наблюдаться нару-
шение CP-инвариантности, если его связывать с комплексным
характером матрицы V. Насколько фундаментально это обстоя-
тельство, в настоящее время не известно.
До сих пор нарушение CP-инвариантности наблюдалось
только при распадах каонов. Имеются два нейтральных каона
К° и Л°, являющиеся частицей и античастицей друг для друга.
Так как CP-симметрия практически хорошая, удобно рассмо-
треть CP-собственные состояния этих каонов, которые обозна-
чают Kl = KQ — KQ и Ks = К° + /С°; очевидно, состояние Ks чет-
ное, a Kl — нечетное при CP-преобразовании. (Система ней-
тральных каонов обладает рядом других интересных свойств,
которые мы здесь не обсуждаем.) Одной из важных мод рас-
пада нейтрального каона является мода К->лл; кроме того,
имеется мода К -> ляп. Система двух пионов является четным
собственным состоянием при CP-преобразовании. Таким обра-
зом, на пару пл может распадаться каон Ks и не может каон
Kl- Так как множитель фазового объема для распада ляп суще-
ственно меньше такого множителя для распада ля, ширина ка-
она Kl много меньше, чем каона Ks, а время жизни каона Kl
много больше. Это наблюдается на эксперименте, что доказы-
вает, что CP-инвариантность практически является хорошей
симметрией.
Чтобы получить представление о величине нарушения СР-
инвариантности, сравним распады двух CP-сопряженных мод.
Экспериментальные результаты имеют вид
Г (Кт -> л~е+у ) — Г (Кт -> л+е~уа)
--------- е> у Л------- = 0,00333 ± 0,00014.
r(KL->rt-e+ve) + r(KL->n+e ve)
Хотя рассмотренный эффект, как видим, очень мал, но измерен
он вполне надежно. Для распада Kl-^Щьу получается значение
0,00319 ± 0,00038. Таковы размеры нарушений СР-инвариант-
ности.
Несмотря на многочисленные попытки, измерение других эф-
фектов нарушения CP-инвариантности оказалось трудновыпол-
нимым. В настоящее время проводится дальнейшее тщательное
экспериментальное изучение системы каонов. Исходя из некото-
рых теоретических соображений, ожидается, что в стандартной
модели эффекты CP-нарушений будут больше для мезонов, со-
держащих Ь-кварки, чем для очарованных мезонов. Эти теорети-
ческие предсказания нуждаются в экспериментальной проверке.
Проводимые в настоящее время эксперименты могут обнару-
жить эффекты несохранения CP-инвариантности лишь при рас-
Нарушение CP-инвариантности
279
падах тяжелых кварков на уровне 10 % (или не обнаружить),
что намного больше теоретически предсказываемых значений.
Хотя, как мы знаем теперь, нарушение CP-инвариантности мож-
но включить в стандартную модель, но законность такого спо-
соба включения не проверена, и его следует считать намного ме-
нее обоснованным, чем остальная часть стандартной модели.
Задача
24.1. Убедитесь, что состояние двух л°-мезонов является чет-
ным CP-состоянием. Какой из каонов Kl или Ks может распа-
даться на пару я°л0?
Рекомендации для дальнейшей работы
В гл. ЕН т. I книги Готтфрида и Вайскопфа [26] и в гл. 8 книги
Хьюза [31] читатель может найти полезные сведения об удиви-
тельном поведении системы К0 и KQ и о нарушении СР-симме-
грии, обсуждаемой в этой главе. Нобелевские лекции Кронина
[11] и Фитча [18] тоже весьма поучительны.
Глава 25
Почему должны существовать
/-кварк и т-нейтрино?
.До сих пор /-кварка и т-нейтрино непосредственно не наблюда-
лись, и не потому, что это представляет собой проблему, а по
той (очевидной) причине, что соответствующие эксперименты на
ускорителях и детекторах для наблюдения этих частиц пока не-
доступны. Предполагается, что /-кварк слишком тяжел, чтобы
его можно было открыть на современных ускорителях. На уско-
рителе PETRA /-кварк можно будет наблюдать, если он имеет
массу Mt 23 ГэВ. На ускорителях TRISTAN, SLC и ускори-
теле Национальной лаборатории им. Ферми при разумных све-
тимостях Z-кварк будет наблюдаться, если его масса меньше 30,
48 и 120 ГэВ соответственно.
В этой главе мы расскажем об убедительных косвенных до-
казательствах существования /-кварка, основанных на предпо-
ложении, что стандартная модель дает правильное описание вза-
имодействий &-кварка. Этот вопрос интересен не только сам по
себе, но и потому, что является прекрасной иллюстрацией того,
как работает стандартная модель и как применяется ее форма-
лизм. Это обсуждение останется поучительным и после откры-
тия /-кварка. Сходные соображения можно высказать и в отно-
шении т-нейтрино.
25.1. Асимметрия рассеяния вперед — назад
Рассмотрим процесс рассеяния e+e~-^bb, наблюдаемый при
энергиях, достигаемых на ускорителях РЕР и PETRA, например
'Рис. 25.1. Фейнмановские диаграммы для процессов рождения пары bb при
е+е~-рассеянии.
при энергии V5 ~ 30 ГэВ. В этот процесс дают вклады две
диаграммы для у и для Z0, показанные на рис. 25.1. Каждая из
диаграмм в отдельности дает угловое распределение рожденных
пар, симметричное относительно направления под углом 90°.
Почему должны существовать /-кварк и т-нейтрино? 281'
Когда учитываются обе эти диаграммы, их вклады могут интер-
ферировать и получается асимметричное распределение продук-
тов распада. Обозначим через deldQ дифференциальное сече-
ние; тогда величину асимметрии вперед — назад можно харак-
теризовать следующим отношением:
—
1 о
С do С da
\ 1 jo \ dQ>
J d& J бШ
о -1
(25.1)
о
j d £2
о
где пределы интегралов указаны для cos 0. Даже при д/s =
= 30 ГэВ вкладом диаграммы с Z-частицей пренебрегать нель-
зя. Этот вклад подавлен множителем T'zK'yJs —Mz), обеспечи-
вающим большой пик при д/s = MZ, но взаимодействие с Z-ча-
стицей имеет большую величину, чем взаимодействие с фотоном,
так как g2 = e/sin 0^; в результате при д/s =30 ГэВ наблю-
дается интереференция порядка 10—20'%.
Здесь важно то, что взаимодействие частиц b и Z пропорцио-
нально множителю Tt + 7з sin2 0Ю, как это указано в гл. 7. Этот
множитель равен +0,07 при Гз = 0 (т. е. если предположить,
что Z-кварка не существует), но он равен —0,43 при Тз = —1/2
(т. е. если 6-кварк является компонентой дублета, другой ком-
понентой которого является Z-кварк). Таким образом, величину
Тз можно измерить. Современные эксперименты дают значение
Тз= — 0,49 ± 0,1, так что 6-кварк действительно является ком-
понентой дублета; поэтому должен существовать более тяжелый
кварк, являющийся его партнером. По определению этот тяже-
лый кварк является ^-кварком.
В экспериментах 6-кварки отделяют от всех остальных квар-
ков, рождающихся в процессе e+e~->qqt с помощью разнооб-
разных экспериментальных методов, основанных на использова-
нии кинематических особенностей распадов тяжелого кварка.
Важно рассмотреть распады b -> p/vX, где X—кварковая струя.
В системе покоя 6-кварка мюон может иметь самое большее
энергию Мь/2, как впрочем и для легких кварков. Таким обра-
зом, все мюоны с поперечными импульсами относительно 6-струи,,
лежащими в интервале от Мс/2 ~ 0,9 ГэВ до Мъ/2 « 2,4 ГэВ,
происходят от распадов 6-кварков. Аналогичные заклю-
чения можно сделать в отношении нейтрино, характеризуемых.
:282
Глава 25
недостающими импульсами. Используя все эти соображения,
можно отделить события с 6-кварками от фоновых событий,
обусловленных другими более легкими кварками.
25.2. Распады 6-кварка
Тот же результат можно получить другим более поучительным
способом (который исторически был использован раньше). Из-
вестно, что 6-кварк нестабилен и распадается, причем в стан-
дартной модели этот распад объясняется смешиванием кварков
разных ароматов (гл. 22). Разрешенными являются вершины
b с + W~ и b и + Их вклады пропорциональны элемен-
там Vbc и Vbu матрицы Кобаяси — Маскавы (гл. 22). Это озна-
чает, что 6-кварк должен быть компонентой дублета и должен
существовать /-кварк, масса которого неизвестна.
Рис. 25.2. Диаграмма для процесса
распада 6-кварка, происходящего за
счет смешивания с легкими кварка-
ми. (Этот гипотетический распад не-
возможен для реального 6-кварка, но
он происходил бы, если бы 6-кварк
не был компонентой дублета.)
Рис. 25.3. Гипотетический процесс
6-распада, который происходил бы,
если бы 6-кварк распадался за счет
смешивания с легкими кварками.
Сделаем теперь другое предположение, а именно, что 6-кварк
является синглетом и /-кварка в природе не существует. Смо-
жем ли мы при этом объяснить распады 6-кварка? Так как 6-
кварк теперь не может взаимодействовать с ^-частицами, в
рамках стандартной модели ничто не может распадаться на бо-
лее легкие состояния вследствие взаимодействия с Z-частицами,
наш гипотетический 6-кварк мог бы распадаться только в силу
эффектов смешивания с более легкими s- и d-кварками, кото-
рые являются компонентами дублетов и могут взаимодейство-
вать как обычно. Например, 6-кварк мог бы распадаться в про-
цессе, диаграмма которого показана на рис. 25.2. Но если бы та-
кой процесс был возможен, то был бы возможен и процесс рас-
пада, диаграмма которого приведена на рис. 25.3, который за-
прещен в стандартной модели. Отношение скоростей процессов,
изображенных на рис. 25.3 и 25.2, должно определяться отно-
шением константы связи для Z-частицы, даваемой множителем
£2 (Л — Q sirr^0w)/cos 0W, и константы связи для ^-частицы,
равной £Г2/д/2. Простой расчет позволяет получить ответ, так
Почему должны существовать /-кварк и т-нейтрино?
283
как эти константы связи следует учитывать раздельно для левых
и правых фермионов, а затем результаты просуммировать. Таким
образом, получаем
r(&->/“vzX)
(25.2)
где Z = p или е. Такие необычные распады fe-кварка на пары
/+/- специально искали, но они не были обнаружены при пре-
дельной погрешности в несколько раз ниже минимального зна-
чения, даваемого формулой (25.2). Таким образом, поскольку
распады &-кварка наблюдаются, fe-кварк должен быть компо-
нентой дублета, а следовательно, должен существовать Z-кварк.
25.3. Нейтрино vT
Аналогичные соображения можно развить в отношении ней-
трино vt. Если бы т-лептон не был компонентой дублета, то он
мог бы распадаться только в результате смешивания с двумя
другими нейтрино, но тогда возможны были бы распады вида
которые экспериментально не наблюдаются. Измерен-
ное значение равно —1/2 с погрешностью около 15 %. Та-
ким образом, нейтроно vt должно существовать. Далее, так как
экспериментальное время жизни т-лептона согласуется с теоре-
тически предсказанным стандартной моделью с точностью око-
ло 10 %, должен действовать механизм, обсуждавшийся в гл. 19.
Масса MVx должна быть малой, так как ее нельзя объяснить
как результат подавления множителем фазового объема. Не-
много лучший верхний предел для этой массы можно получить
из рассмотрения кинематики распадов. Например, энергию пио-
на, получаемого при распаде t±->vtk±, можно измерить. Ис-
пользуя кинематические соотношения из приложения В, полу-
чаем Еп = ОТС1°Да имеем следующий верх-
ний предел для массы т-нсйтрино: MVx < 70 МэВ. Из космоло-
гических соображений для массы т-нейтрино получена оценка
ЮО эВ,но мы не будем здесь их обсуждать.
Непосредственное обнаружение нейтрино vT потребует про-
ведения эксперимента с фиксированной мишенью. Основными
источниками нейтрино vT могли бы явиться распады t->vtX и
Df —>tvx т-лептонов и очарованных мезонов D* является
cs-мезоном). Последние распады, как ожидается, имеют вероят-
ность порядка 1 %. Когда образовавшиеся нейтроно vT будут
взаимодействовать с другими частицами (предполагаем, что они
стабильны или долгоживущие), они будут рождать т-лептоны,.
284
Глава 25
которые можно наблюдать. Поскольку другие нейтрино не мо-
гут производить т-лептонов, легко будет установить факт суще-
ствования нейтрино vT.
25.4. Масса /-кварка
Хотя теоретические соображения вместе с некоторыми экспери-
ментальными данными позволяют заключить, что /-кварк и ней-
трино vT существуют, ничто не указывает на значения их масс.
Как мы только что говорили, нейтрино vT должно быть легче
т-лептона, так что некоторые данные о его массе имеются. В от-
ношении массы /-кварка в настоящее время практически вооб-
ще ничего сказать нельзя. Как упоминалось выше, эксперимен-
тальные данные, полученные на ускорителе PETRA, позволяют
сделать заключение, что Mt ^23 ГэВ, и если Mt <С 120 ГэВ, то
/-кварк будет наблюден на коллайдере около 1990 г.
Знание массы Mt важно для проведения ряда проверок стан-
дартной модели, а также для получения другой полезной инфор-
мации. Примером последней (см. задачу 25.1) может служить
следующая. Если масса /-кварка Mt не мала по сравнению с
массой Mz, то //-мода распада Z-частицы не будет давать пол-
ного вклада кварка с зарядом 2/3 и нужно будет вводить по-
правку, чтобы интерпретировать ширину Гг, исходя из ограни-
чений на число нейтринных семейств или других невидимых ча-
стиц, с которыми может взаимодействовать Z-частица. Более
интересная возможность связана с учетом вкладов /-кварка в
петлевые диаграммы, аналогичные рассмотренным в гл. 20, ко-
торые определяют изменения констант связи. Знание значения
массы Mt необходимо для полной проверки стандартной мо-
дели.
Задачи
25.1. Предположим, что светимость ускорителя SLC недоста-
точна для обнаружения /-кварка и доказательства того, что
Mt < Mz/2, но достаточна для измерения ширины Гг с точ-
ностью 60 МэВ. В чем скажется влияние массы /-кварка на ин-
терпретацию ширины Гг, исходя из существования /-кварка и
дополнительного семейства нейтрино? Отношение ширины Z-ча-
стицы для массивного фермиона f к этой ширине при Mf = 0
равно
гг (Mf) _ Р3 + (1 - 4Qf Sin* 0J2 р
Г(0) — 1 +(1 -4Qf sin’ea,)2
где Qf — электрический заряд фермиона и Р = (1 — 4M2f/M2zy12.
Почему должны существовать /-кварк и т-нейтрино? 285
С помощью каких других измерений можно разделить эффекты
распадов Z->vv и Z->/7?
25.2. Пренебрегая массами всех конечных частиц, составьте
выражение для отношения парциальных ширин распадов б -+
-> spi+p- и 6->cp~v, происходящих в процессах, диаграммы ко-
торых приведены на рис. 25.2 и 25.3. Учтите, что все неизвест-
ные величины и множители фазового объема взаимно сокра-
щаются в отношении. Сравните результат с предсказанием стан-
дартной модели. Сколько примерно должно рождаться 6-квар-
ков, чтобы установить, происходит ли указанный распад на ожи-
даемом уровне?
Рекомендации для дальнейшей работы
Данные по асимметрии рассеяния вперед — назад для 6-квар-
ков и т-лептонов и по распадам 6-кварков взяты из обзорной
статьи Сексона [67]; в этом обзоре можно найти ссылки на
оригинальные экспериментальные и теоретические работы.
Глава 26
Открытые вопросы
Мы уже несколько раз отмечали, что, хотя стандартная модель
дает правильное описание имеющихся экспериментов в физике
элементарных частиц, она все же неполна на концептуальном
уровне. Имеется много указаний на то, что нам еще предстоит
открыть более фундаментальную физическую теорию. Стандарт-
ная модель удовлетворительно описывает явления в масштабе
энергий примерно до 100 ГэВ, а может быть и намного большем.
Новая физическая теория должна расширить область примене-
ния стандартной модели и прояснить ее основы. Поскольку стан-
дартная модель уже является релятивистской квантовой теорией
поля, она останется пригодной для описания явлений незави-
симо от того, является ли она фундаментальной теорией или нет.
Открытые вопросы, которые требуют создания новой физиче-
ской теории, можно разбить на следующие три группы.
1. Непонятна физика хиггсова механизма в стандартной
модели. Это главная проблема, с которой столкнулась современ-
ная физика элементарных частиц. Хиггсов механизм входит су-
щественной частью в стандартную модель, но предлагаемое им
решение проблемы масс элементарных частиц, по-видимому, ско-
рее является промежуточным этапом на пути к новой физиче-
ской теории. Если хиггсовы бозоны существуют в виде легких
фундаментальных скаляров (с массой порядка Mz или меньше),
мы придем к одной точке зрения на окружающий нас мир, ко-
торую предлагают теории суперсимметрии и суперструи. Если
же окажется, что физику хиггсова механизма нельзя объяснить
состояниями дискретных частиц (одной или нескольких), то по-
требуется развить совершенно новый не известный в настоящее
время подход. Какова реальная ситуация? На этот вопрос, по-
видимому, может дать ответ только эксперимент. Как указы-
валось в гл. 21, нам известно, как провести эксперименты, что-
бы ответить на этот фундаментальный вопрос, но такие экспери-
менты станут доступны самое раннее во второй половине 90-х гг.
2. Может случиться, что калибровочная теория стандартной
модели получит дальнейшее развитие. В настоящее время ин-
тенсивно исследуется ряд возможностей.
а) Возможно, существуют другие семейства элементарных
частиц, взаимодействующих в соответствии со стандартной мо-
Открытые вопросы
287
делью. Не известно никаких ограничений, которые можно было
бы заранее наложить на числа и массы кварков и лептонов; этот
вопрос может решить только эксперимент. (Иногда, правда, ут-
верждают, что такие (теоретические) ограничения существуют,
но при этом имеют в виду ограничения, получаемые в резуль-
тате использования некоторых допущений, произвольно добав-
ляемых к стандартной модели, например требование отсутствия
суперсимметрии. Если такие ограничения окажутся неверными,
то это будет означать только, что неверны положенные в их ос-
нову допущения, что полезно, конечно, знать, так что экспе-
риментальная проверка предлагаемых ограничений может дать
ценные результаты.) Если действительно существуют неоткры-
тые семейства элементарных частиц и их очень много, то сле-
дует ожидать, что массы частиц семейств можно будет объяс-
нить как энергетические уровни некоторой системы более фун-
даментальных объектов. Если же существует только небольшое
число семейств, то массы частиц можно пытаться объяснить с
помощью представлений группы некоторой обширной симме-
трии.
б) Электрослабые взаимодействия и взаимодействия КХД,
кварки и лептоны, возможно, следует включить в какую-то бо-
лее простую структуру. Эта возможность, на которую указы-
вают некоторые особенности стандартной модели, обсуждается
в гл. 27. Теории, реализующие такие надежды, называются тео-
риями великого объединения.
в) Стандартная модель описывает левые и правые фермионы
по-разному, группируя их в 5(7(2)-дублеты и 5(7(2)-синглеты
по слабому изоспину, как мы видели выше. Возможно, на мас-
штабе более высоких энергий эти фермионы можно рассматри-
вать на одинаковых основаниях, а то, что мы видим в настоя-
щее время, есть только низкоэнергетический предел более фун-
даментальной ситуации. Будущее эксперименты должны прояс-
нить этот вопрос. Подходы, пытающиеся исследовать это свой-
ство, используют так называемые симметричные в отношении
левого — правого теории.
г) Хотя до сих пор не наблюдались переходы между сла-
быми собственными состояниями семейств, например переходы
типа ц—>-е, но, возможно, существуют какие-то неизвестные нам
калибровочные бозоны, которые вызывают указанные переходы,
но имеют очень большие массы. Тогда переносимые этими бо-
зонами взаимодействия будут необычайно слабыми, и такие фи-
зические процессы удастся наблюдать только в виде чрезвы-
чайно редких распадов или при энергиях, сравнимых с массами
этих тяжелых бозонов. Калибровочные симметрии, связывающие
различные семейства, называются горизонтальными.
288
Глава 26
д) Возможно, существует более широкая группа симметрии,
которая содержит некоторые или все группы симметрии стан-
дартной модели и имеет представления, описывающие как из-
вестные, так и другие пока не известные фермионы. Могут су-
ществовать новые типы фермионов, которые, например, подобны
кваркам, но имеют как левые, так и правые состояния, будучи
5(7 (2)-синглетами, или несут одновременно и кварковое, и леп-
тонное квантовые числа. В настоящее время построены модели,
которые включают такие состояния.
е) Предложена симметрия, названная суперсимметрией, ко-
торая связывает фермионы и бозоны. Она обладает рядом при-
влекательных особенностей. В гл. 28 мы говорим о том, как осу-
ществить экспериментальную проверку, существует ли в природе
такая симметрия в заданной области энергий. Материал гл. 28
служит хорошим примером того, как стандартная модель дает
нам средство, позволяющее отвечать на такого рода во-
просы.
3. При обсуждении первой группы вопросов, касающихся
физики хиггсова механизма, мы отмечали, что в состоянии про-
считать все альтернативные варианты, даже не выяснив сути
механизма Хиггса, и что мы можем провести определенные экс-
перименты по выяснению физики этого механизма. При рассмо-
трении второй группы вопросов мы подчеркнули, что может по-
явиться новая физическая теория, развивающая современную
калибровочную теорию, которая уже привела к созданию уди-
вительной стандартной модели. Результат решения вопросов
третьей группы не очень ясен. Возможно, при этом получат объ-
яснение какие-то новые сильные взаимодействия, описывающие
составные кварки, лептоны и калибровочные бозоны в рамках
сложной динамической теории. При этом стандартная модель
останется хорошей теорией в своем масштабе энергий, но она
окажется лишь случайным образом связанной с более фунда-
ментальной теорией. Когда в экспериментах станет доступной
область энергий новых взаимодействий, совсем другой мир от-
кроется перед нашими глазами. Конечно, это только логическая
возможность, так как нет никаких оснований считать, что она
осуществится.
Что бы ни произошло в будущем, разрыв со старым уже про-
изошел. В прошлом не было математически непротиворечивой
теории, и мы не могли делать каких-либо экстраполяций на но-
вые области энергий и интенсивностей. В настоящее время мы
имеем стандартную модель, с помощью которой можно теорети-
чески предсказывать, что произойдет при более высоких энер-
гиях и светимостях ускорителей или в любой другой ситуации,
описываемой теорией возмущений. Кроме того, как это иллю-
Открытые вопросы
289
стрируют последние три главы книги, при любых мыслимых
гипотетических обобщениях стандартной модели мы можем рас-
считать сечения и вероятности мод распада. Разумеется, нам не
известно, какой будет новая физика, если она появится, но мы
точно знаем, что сначала она проявится в виде малых отклоне-
ний от поведения, предсказываемого стандартной моделью. Сле-
дует проверять любую конкретную гипотезу и решать, можно ли
дать ответ на любой частный вопрос с помощью существующего
в настоящее время или создаваемого в ближайшем будущем экс-
периментального оборудования.
19 Г. Кейп
Глава 27
Теория великого объединения
Один из способов обобщить стандартную модель и включить ее
в более фундаментальную теорию, которая позволила бы полу-
чить ответы на открытые в настоящее время вопросы, состоит
в попытке осуществления дальнейшего объединения взаимодей-
ствий. Оказывается, можно построить модели, в рамках кото-
рых кварки и лептоны объединяются друг с другом, а также
объединяются электрослабые и сильные взаимодействия. Одно-
временно можно получить ответы на некоторые фундаменталь-
ные вопросы. Все такие попытки называют теориями великого
объединения (ТВО). До сих пор ни одна из этих теорий не до-
стигла успеха в описании природы, но некоторые из них вполне
удовлетворительно согласуются с экспериментальными данны-
ми. Некоторые основные результаты этих теорий можно понять
в рамках математического формализма стандартной модели.
27.1. Объединение кварков и лептонов
Многие сходные свойства кварков и лептонов наводят на мысль,
что их можно включить в одно представление некоторой груп-
пы более высокой симметрии, и тогда соотношения между ними
будут следствиями такой теории. Оказывается, существует много
способов, позволяющих это сделать. Мы рассмотрим простейший
из них.
Подобно тому как представления группы 3(7(2) строятся
(кроме синглетного представления) на основе фундаменталь-
ного дублетного представления, представления группы 3(7(5)
можно построить с помощью пятикомпонентного фундаменталь-
ного представления. Мультиплету группы 3(7(5) можно сопо-
ставить вектор-столбец
(27.1)
Теория великого объединения
291
Два верхних состояния являются 5(7(2) ^-дублетом, а три ниж-
них состояния — цветным триплетом dL. Рассмотреть надо
именно cIl, так как если имеются только три состояния, задан-
ные тремя цветами, то необходимо взять SU (2) -синглет, но толь-
ко левый фермион может объединиться с левым лептонным
дублетом, так как группа углового момента и рассматриваемая
группа внутренней симметрии должны коммутировать друг с
другом. Выражаясь иначе, следует сказать, что должны сущест-
вовать повышающие и понижающие операторы, которые сдви-
гают вверх и вниз состояния в мультиплете и не должны изме-
нять проекции спина. Напомним, что правые фермионы и левые
антифермионы являются SU(2)-синглетами, так что dL является
синглетом группы 5(7(2), но цветным триплетом. Рассматри-
вая приведенное представление (27.1), можно прийти к интерес-
ным результатам.
Как показано в приложении Б, генераторы группы преобра-
зований SU(n) не имеют следов. Пусть эти генераторы пред-
ставлены некоторыми матрицами. Собственные значения диаго-
нальных генераторов даются их диагональными элементами,
так что их следы просто равны суммам их собственных значе-
ний, которые, следовательно, должны быть равны нулю. Эта
ситуация известна для углового момента, для которого диаго-
нальным является генератор Jz. Сумма собственных значений
генератора Jz равна нулю (имеем 1/2, —1/2, 1, 0, —1 и т. д.).
Из этого математического свойства вытекают важные следствия.
Действительно, мы хотим, чтобы группы 5(7(2) и (7(1) были
объединены в группу 5(7(5). В гл. 7 было показано, что опера-
тор электрического заряда является линейной комбинацией диа-
гональных генераторов групп 5(7(2) и (7(1) и имеет вид Q =
= 7’з + У/2. Таким образом, мы должны потребовать, чтобы
сумма собственных значений оператора электрического заряда
была равна нулю.
Для приведенного выше представления имеем
Q(ve) + Q(H + 3Q(J) = 0, (27.2)
откуда получаем Q (d) = — !/3 (0 — 1) = 1/3! Таким образом,
дробный электрический заряд кварков объясняется числом цве-
тов, и это объяснение оказывается правильным. Объединение
кварков и лептонов в одну простую группу объясняет также,
почему Q(e~)= —Q(p), т. е. почему электрический заряд кван-
туется и почему атомы нейтральны. Исходя только из этого ре-
зультата, читатель может видеть, почему трудно поверить, что
подход ТВО не имеет под собой разумной основы.
19*
292
Глава 27
27.2. Объединение взаимодействий
В гл. 20 мы показали, что константы связи cci, сс2 и аз удовле-
творяют приближенному уравнению
1 1 । bi М2
а. (М2) = а. (ц2) + 7^ ln V” ’ (27’3)
где М— масса (или передаваемый импульс), для которой мы
хотим найти значения а/, р, — та масса, или передаваемый им-
пульс, для которой была измерена константа связи а/, а коэф-
фициенты &i, Ь2 и (?3 вычисляются для (7(1)-, 5(7(2)- и SU(3)-
взаимодействий. В гл. 20 мы подробно рассмотрели значение bi
для электромагнитного взаимодействия, а также привели значе-
ния коэффициентов Ь2 и Ь3:
^3=11----(27.4)
22 4п„
&2 = —(27.5)
Здесь Пр — число семейств с массой MF М, частицы которого
могут входить в петлю, изображенную на рис. 20.2 (7\4F — неко-
торая средняя масса частиц семейства). Необходимо остано-
виться еще на одном вопросе, прежде чем выписать правильное
уравнение для константы он. Физически мы имеем не одну, а
три тесно связанных друг с другом группы (7(1), которые мы
рассматриваем. Одна группа (7(1) связана с электромагнитным
взаимодействием. Вторую группу (7(1) мы обсуждали в гл. 6 и
7 в связи с бозоном Третья группа (7(1) отличается от вто-
рой только нормировкой. Это отличие возникает потому, что ге-
нератор гиперзаряда Y был нормирован в гл. 7 с помощью спе-
циального условия. Эта нормировка не согласуется с принятой
нормировкой генераторов групп 5(7(2) и 5(7(3). Когда мы объ-
единяем все группы в группу 5(7(5), мы должны использовать
правильную нормировку для группы (7(1), согласующуюся с
нормировкой других групп. Для констант связи, которые все из-
меняются с изменением q2, будем использовать следующие обо-
значения. Положим а = е2/4л, а1=^у/4л, где gi — e/cos 0^ —
константа связи из гл. 7. Положим далее а^ = 5/зар где —
константа связи, соответствующим образом нормированная в
группе 5(7(5). Множитель 5/3 будет получен в разд. 27.3. Таким
образом, коэффициент Ь\ равен
= (27.6)
1 о
Теория великого объединения
293
Отрицательные вклады в формулах (27.4) — (27.6) обусловлены
фермионными петлями, а положительные вклады происходят
от петель с калибровочными бозонами (глюонами для группы
SU(3) и IF-бозонами для группы SU(2)).
Если объединение взаимодействий имеет смысл, то их кон-
станты связи должны быть связаны некоторыми соотношениями.
Так как константы связи а/ изменяются по-разному в зависимо-
сти от q2, мы можем спросить, не могут ли величины а< быть
равными для некоторого q2. Пусть действительно при некотором
q2 = MG имеем равенство
«5 = < W) = «2 (О = «3 (О> (27.7)
т. е. при некотором значении массы MG константы связи (если
это возможно) становятся равными друг другу.
Используя два из трех уравнений (27.3), имеет соотношение
1 Ь<> , M3G 1 b. м2
7-2< +-Д1п-4-= Z 24 г- (27.8)
а2 (р2) 4л р2 а3 (р2) 1 4л р3 v 7
Откуда непосредственно получаем
1 1
—Г2Г------Г-2Г = 2 —л—- п — , (27.9)
а2 (р2) аз (р2) 4л И ' 7
причем для разности Ь3 — Ь2 имеем значение
&з-62=П-^- = -У- (27.10)
(заметим, что эта разность не зависит от nF, так что учиты-
ваются только петли, содержащие калибровочные бозоны). Раз-
решая соотношение (27.9) относительно 1п(А4с/р), получаем вы-
ражение
М 6л / 1 1 \
1П —-=ТГ 7~~2\--------/-Гт , (27.11)
Р 11 \ а2 (р2) а3 (р2) /’ v 7
которое определяет массу Mg- Это выражение в принципе не за-
висит от взятого значения р; изменение р компенсируется изме-
нениями а2 и аз, в результате полученное значение Mg не зави-
сит от р. На практике вследствие экспериментальных ошибок
получается значение MG, которое зависит от р, причем довольно
существенно, поскольку р входит в формулу (27.11) под знаком
логарифма. Если взять р = 10 ГэВ, а2 (р2) = 1/30, а3(р2) =
= 0,10, то получим
(М
/
34,25,
In
294
Глава 27
так что
MG « 7,5 • 1015 ГэВ.
(27.12)
Это значение не следует воспринимать слишком серьезно, так
как оно экспоненциально зависит от взятых значений для аг и
аз. Главный вывод состоит в том, что если константы связи ста-
новятся равными, то это происходит при очень больших значе-
ниях массы или при очень малых расстояниях. Только при очень
малых расстояниях (приблизительно 10-29 см) все взаимодей-
ствия в физике элементарных частиц могут оказаться одинако-
выми.
Приравнивание друг к другу констант связи а', а2 и а3 при
фиксированном значении MG дает два уравнения. Мы уже ис-
Рис. 27.1. Зависимость констант связи от масс.
пользовали два экспериментальных значения а2(|л2) и аз(|л2) и
затем вычислили значение MG из одного из двух уравнений. Те-
перь мы можем решить второе уравнение, определить из него
ai(pt2) и проверить, согласуется ли это значение с эксперимен-
тально измеренным значением. На практике численные резуль-
таты настолько чувствительны к неучтенным эффектам (таким
как хиггсовы бозоны и пороговые эффекты при вычислениях
вкладов от диаграмм с петлями, дающими вклады в коэффи-
циенты bi при расчетах точных значений констант связи аг(н2)
и аз(н2)), что получается только приближенное согласие. При
строгих численных расчетах получается значение массы MG, рав-
ное (3,6±3)-1014 ГэВ, причем вычисленное описанным выше
способом значение константы связи ai согласуется с измеренным
значением в пределах ошибок эксперимента.
Ситуация представлена приближенно на графиках, приве-
денных на рис. 27.1, где видно, что величины 1/аг- являются ли-
Теория великого объединения 295
нейными функциями от 1п(/И/ц). Наклоны прямых определяют-
ся значениями коэффициентов &/, т. е. калибровочными бозо-
нами и структурой групп.
27.3. Расчет параметра sin20^
Так как группы SU(2) и £7(1) являются подгруппами более ши-
рокой группы, можно определить отношение констант связи g*i
и g*2, а значит, теоретически рассчитать угол слабого смешива-
ния Qw, о котором говорилось в гл. 7; он больше не является сво-
бодным параметром теории, значение которого находят из экс-
периментов. Так как угол смешивания 0W надежно измерен (как
указано в гл. 11, sin2 0^»^ 0,23), получение из теории его пра-
вильного значения является сильным требованием для любого
варианта теории объединения групп St/(2) и U(1) в более ши-
рокую группу. Расчет параметра sin2 0W в объединенной теории
состоит из двух частей. Прежде всего при таком объединении
можно использовать соображения теории симметрии, которые
позволяют найти значение sin2 0W в области столь больших энер-
гий, в которой объединенная симметрия не нарушена, т. е. на
масштабе масс, характеризуемом некоторой массой Mg. Затем
следует найти значение параметра sin2 0^ для интересующей нас
области масс (~/Wuz); для этого следует выразить параметр
sin2 0W через константы связи и использовать для последних
формулу (27.3).
В области высоких энергий, где существует симметрия объ-
единенной теории, следует взять выражение для оператора элек-
трического заряда через генераторы Та группы SU(5). Оно имеет
вид
Q = T3 + cTh (27.13)
где Т3— диагональный генератор группы SU (2), Л — генератор
группы £7(1), причем оба эти генератора нормированы в рамках
группы St)(5), а с — постоянная, которую следует определить;
она не обязательно равна единице, так как нормировка генера-
тора группы £7(1) относительно генераторов группы St/(n) за-
ранее не фиксирована. С использованием генераторов группы
S£/(5) построим ковариантную производную (аналогичную по-
лученным в предыдущих главах с использованием генераторов
группы St/(2) и S£7(3)); она имеет вид
д'1 - ig5TaVva = д'1 - ig5 (T3W3 + TtB* +•••), (27.14)
где — калибровочные бозоны, соответствующие'группе SU (5).
Заметим, что в формуле (27.14) использована только одна кон-
станта связи g5 для всех взаимодействий.
296
Глава 27
Обращаясь к формулам (7.12), (7.13) и (7.19), получаем
= Л,и cos 0ц, + Z^ sin 0^,
u u u (27.15)
sin еш + cos еш;
тогда выражение (27.14) дает коэффициент при поле Ли в виде
—gJs sin 0^ + g$Ti cosQw = — g3 sin QW(T3 — ctgQwTl) = eQ.
(27.16)
Таким образом, заключаем
e = g-5sin0a;, (27.17)
£ = —- ctg©^. (27.18)
Рассчитаем постоянную с, используя свойства симметрии
группы SU(5). Воспользуемся при этом математической теоре-
мой, утверждающей, что для любого представления R простой
группы справедливо соотношение
(27.19)
для следа произведения любых двух генераторов Та и Ть груп-
пы по любому взятому представлению R. Этот след отличен от
нуля только при а = b и равен числу Nr, которое зависит от
представления R, но не зависит от генераторов а и Ь. (Для
группы обычного углового момента теорема утверждает, что
Tr J2X = Тг/2 = Тг J2, а также Tr JxJy = 0 и т. д. Для спинового
представления 1=1/2 имеем Тг1?= 1/2, для представления
J = 1 имеем Tr J2. = 2 и т. д., так что Nu2 = 1/2, Ni = 2 и т. д.)
Используем теперь сформулированную теорему для вычисления
следа от квадрата оператора электрического заряда Q2:
Tr Q2 = Тг (Т3 + сТ^2 = Tr Т2 + с2 Tr Т2, (27.20)
так как Tr7'37’i = 0. Поскольку, кроме того Тг7^ = Тг7’;(, из
(27.20) непосредственно получаем
1+c2 = 777f- (27i21)
Для рассматриваемого в разд. 27.1 фундаментального пред-
ставления (27.1) размерности 5 группы St/(5), очевидно, спра-
ведливы соотношения
Tr Q2 = 0 + 1 + 3 (1/9) = 4/3, (27.22)
Тг Тз = 1/4 + 1/4 + 0 + 0 + 0 = 1/2; (27.23)
Теория великого объединения
297
•следовательно,
1 +с2 = 8/3.
Используя формулу (27.18), получаем отсюда
(27.24)
(27.25)
sin2 = 3/8.
Таким образом, объединенная SU(5) -теория предсказывает для
параметра sin2 0W значение 3/8.
Это значение нельзя еще сравнивать с экспериментом, так
как теоретическое предсказание относится к масштабу энергий,
для которого наблюдается симметрия SU(5). В интересующем
нас сейчас масштабе малых энергий или масштабе энергий сла-
бых взаимодействий симметрия St7(5) сильно нарушена и кон-
станты связи разных взаимодействий различны.
Фундаментальный лагранжиан, рассмотренный в гл. 7, со-
держит член взаимодействия
(27.26)
который можно представить в виде
w (27.27)
если воспользоваться соотношением Q = Т3 + Y/2. Подставляя
7\=(Q— Тз)1с из выражения (27.13) в выражение для кова-
риантной производной (27.14), получаем в этом выражении член
вида
(27.28)
соответствующий члену (27.27). Сравнивая (27.27) и (27.28), по-
лучаем
=
а5 = с2а1.
(27.29)
Таким образом, в области энергий, в которой проявляется
SU(5)-симметрия, имеем on = as/c2, в то время как on =
различие объясняется исторически принятой и использованной
нами в гл. 7 нормировкой константы связи сп, о чем уже упо-
миналось в разд. 27.1.
Первая формула (7.19) позволила рассчитать параметр
sin2 0W и все константы связи в любой области энергий:
£1+52 сц + сц 1-1-а2/а1
(27.30)
298
Глава 27
Теперь мы можем рассчитать теоретическое значение пара-
метра sin2 0W в области низких энергий порядка масштаба энер-
гий слабого взаимодействия, так как мы выразили этот пара-
метр через константы связи и знаем, как они изменяются. Но
сначала проведем небольшую проверку. В области энергий объ-
единенной SU(5)-теории, подставляя (27.29) в (27.30), получаем
результат sin2 0W = 1/(1+с2), совпадающий с (27.25). Чтобы
рассчитать значения констант связи cci и а2 в области низких
энергий, мы должны выразить их через константу связи и
произвести расчеты с использованием формул (27.3) и (27.4)
для области низких энергий. Так как обратный расчет уже про-
веден, мы знаем ответ (см., например, гл. 7):
а. (/И2 ) «0,010,
а2(М2г)« °,032, (27.31)
так что объединенная SU(5) -теория предсказывает следующее
значение:
sin2 0ц, « _|_ 0,032/0,010 = 0,23- (27.32)
Как видим, значение параметра sin2 0W изменяется от 3/8 в об-
ласти высоких энергий объединенной теории до значения 0,23 в
области энергий масштаба слабого взаимодействия. Отметим,
что это довольно существенное изменение, так как (3/8 —
—0,23)/(3/8) = 0,39. Параметр sin2 0W изменяется также при
переходе от энергий порядка Mw к энергиям порядка нескольких
гигаэлектронвольт, но не очень сильно; наши рассуждения не
столь точны, чтобы учесть это различие.
Выражая полученные результаты другими словами, можно
сказать, что формула (27.30) позволяет вычислить значение па-
раметра sin2 0W для любой области энергий, если для нее из-
вестны значения констант связи ai и схг- При этом следует учи-
тывать разную нормировку констант связи ai и а2, возникаю-
щую вследствие произвольности выбора нормировки [/(1)-части
лагранжиана стандартной модели. В области энергий объеди-
ненной SU(5) -теории имеем соотношения
«2(M2G)
зт20ш(Ма) ’
5«<М2о)
3 cos2 0„, (Мд)
Л»
О
множитель 5/3 появляется из соотношений (27.29) и (27.21).
Чтобы вычислить параметр sin2 0», в любой другой области
Теория великого объединения
299
энергий, надо использовать формулу (27.30) и формулы (27.3)
для cd и «2 с подстановкой в них М2 — М2О. Поскольку теперь мы
знаем, что получаемые значения согласуются со значениями кон-
стант связи сб1 и сс2 для области низких энергий, мы можем про-
сто использовать значения (27.31), не производя дополнитель-
ных арифметических действий. Если аккуратно произвести все
расчеты в рамках простейшей модели объединенной SU(5) -тео-
рии, то получим значение параметра sin2 0^, примерно равное
0,215.
Чтобы лучше понять, почему изменяется параметр sin2 0W,
т. е. почему константы связи изменяются по-разному, необхо-
димо рассмотреть диаграммы, которые определяют зависимости
cd (q2) и а2(д2) (аналогичные приведенной на рис. 20.2 для
а(д2)). В рамках объединенной теории группы St/(5) имеется
52 — 1 = 24 калибровочных бозона, и все они могут участвовать
в петлях таких диаграмм. Поскольку наблюдаются только 12 ча-
стиц: 8 глюонов и частицы W±, Z, у, остальные 12 бозонов тео-
рии суперсимметрии должны быть более тяжелыми, а следова-
тельно, при малых — q2 они не смогут давать существенных пет-
левых вкладов. Так как константы связи имеют различные
значения, эти петлевые вклады, которые становятся все меньше,
различны для констант связи си, а2 и аз. Чтобы понять на коли-
чественном уровне, почему ai уменьшается, а а2 возрастает, не-
обходимо провести более детальные рассуждения, чем те, кото-
рые мы здесь провели.
История определения значения параметра sin2 0W довольно
интересна. К 1974 г., когда впервые появились теории великого
объединения, параметр sin2 0Ш был измерен лишь неточно и для
него указывалось значение 0,35 с очень большим разбросом, так
что теоретическое значение 3/8 рассматривалось в то время как
свидетельство удовлетворительного подтверждения объединен-
ной теории. Но в 1975 г. поняли, что теоретически предсказывае-
мое значение 3/8 следует поправить с учетом изменения кон-
стант связи и правильное теоретическое значение параметра
sin2 0W лежит в интервале 0,20—0,23 в зависимости от исполь-
зуемого значения q2 в области малых энергий. Новое теоретиче-
ское значение параметра sin20w вошло в противоречие с экспе-
риментом. Но по мере улучшения техники экспериментов в
период 1975—1985 гг. экспериментальное значение параметра
sin2 9Ю непрерывно уменьшалось и наконец приблизилось к тео-
ретическому значению. В настоящее время теоретическое и экс-
периментальное значения параметра sin2 0W согласуются в преде-
лах ±0,01. Приведенное теоретическое значение параметра
sin2 0W послужило серьезным испытанием для выбора возмож-
ных вариантов теорий великого объединения; к сожалению, оно
300
Глава 27
не указывает однозначно на тот вариант объединенной St7(5)-
теории, который мы здесь рассматриваем. Такое же значение
sin2 0W можно получить и для других вариантов теории великого
объединения, которые отличаются друг от друга выбором объ-
единенной группы симметрии, и, возможно, в других отноше-
ниях.
27.4. Распад протона
Когда верхний и нижний кварки объединены в SU(2)-дублет,
калибровочные бозоны можно интерпретировать как повы-
шающий и понижающий операторы, вызывающие переходы
и d, а именно W+ d-+ и и W~ и-+ d. Аналогично, когда
в рамках объединенной SU(5)-теории кварки и лептоны объеди-
няются в SU(5)-мультиплеты и SU(5) -теория обобщается в
калибровочную теорию (т. е. инвариантную относительно локаль-
ных фазовых SU(5)-преобразований), появляются соответствую-
щие SU(5) -калибровочные бозоны. Некоторые из них оказы-
ваются обычными частицами. Это у, W±, Z и g; остальные ока-
зываются операторами переходов типа кварк лептон. При
этом, если кварки в нуклоне могут превратиться в лептоны, то
протон должен быть нестабильным и протонное число не дол-
жно сохраняться (вообще говоря, надо говорить о барионном
числе, но фактически рассматривают протонное число, так как
единственным стабильным адроном является протон). Разумеет-
ся, следует ожидать, что кварки превращаются в лептоны та-
ким образом, что цвет сохраняется, поскольку группа SU(3) вы-
ступает теперь как подгруппа полной группы инвариантности
S£7(5), и электрический заряд сохраняется, как он сохраняется
в стандартной модели.
Чтобы найти квантовые числа новых бозонов, можно посту-
пить аналогично тому, как поступали в случае малых групп.
Так, для SU(2)-группы для описания взаимодействий фермио-
нов, объединенных в дублеты, с калибровочными бозонами имеем
следующее разложение произведения представлений: 2 X 2 =
= 1+3; следовательно, ^-частицы должны образовывать три-
плет. Для SU(3) -группы имеем произведение представлений
3X3= 1 + 8, поэтому глюоны образуют октет. В случае SU(5)-
группы имеем произведение представлений 5X5= 1 + 24. Что-
бы найти соответствующие квантовые числа, напомним, что
представление 5 равно сумме (2, 1) + (1, 3), где числа в скоб-
ках обозначают размерности SU(2)- и SU(3) -представлений.
Таким образом, представление 5 есть сумма (2, 1) + (1, 3), по-
этому интересующее нас произведение представлений 5X5
группы SZ7(5) равно следующей сумме: (2X2, 1) + (1, 3X3)+
Теория великого объединения
301
Рис. 27.2. Новые взаимодействия объ- Рис. 27.3. Фейнмановская диаграмма
единенной теории с участием X- и для распада протона.
У-частиц.
+ (2, 3) + (2, 3). После очевидных преобразований получаем
(1, 1) + (3, 1) + (1, 1) + (1, 8) + (2, 3) + (3, 2). Один из двух
появившихся синглетов является синглетом в разложении 1 +24
и соответствует калибровочному бозону, не изменяющему кван-
товых чисел частиц. Члены (3, 1) и (1, 1) в приведенном разло-
жении соответствуют бозонам и а член (1, 8)— глюо-
нам. Остальные члены (2,3) и (3,2) характеризуют частицу,
которая является одновременно 3(7(2)-дублетом и цветным
триплетом, и ее античастицу; это новые бозоны, предсказывае-
мые объединенной теорией. Обычно эти новые частицы обо-
значают символами
/ уа\
(Ja J ; (27.33)
их электрические заряды равны QY = —1/3, и Qx = —4/3.
Новые вершины фейнмановских диаграмм, появляющиеся в
объединенной теории, показаны на рис. 27.2. Обращение направ-
ления на линии, как обычно, соответствует замене частицы на
античастицу. Возможен любой процесс взаимодействия частиц,
который можно построить из изображенных на рис. 27.2 вершин
и вершин, описанных в гл. 7. В частности, возможен квантовый
переход, диаграмма для которого показана на рис. 27.3. Он опи-
сывает распад протона который запрещен в стандарт-
ного модели, так как в ней нет рассматриваемой диаграммы; в
объединенной 3(7(5)-теории такой процесс разрешен.
302
Глава 27
Наш приближенный метод расчета ширины распада здесь не-
применим, так как надо учитывать эффекты внутриадронных
взаимодействий. В настоящее время полагают, что масса Мх ве-
лика, возможно, порядка масштаба области энергий теории ве-
ликого объединения, указанного в разд. 27.2. Поэтому достаточно
получить только грубую оценку. Поступим следующим образом.
Матричный элемент процесса должен содержать множитель
gl/M2G, а ширина процесса — множитель gl/M4G. Ширина должна
иметь размерность массы, а единственная имеющаяся масса —
это масса протона Мр. Таким образом, с точностью до безраз-
мерного коэффициента для искомой ширины распада имеем фор-
мулу
Гр->е+л°
m4g
(27.34)
Безразмерный коэффициент должен быть пропорционален ве-
роятности нахождения двух кварков в протоне в одном и том
же месте, чтобы они могли взаимно аннигилировать: очевидно,
этот коэффициент много меньше единицы. (Аналогичные коэф-
фициенты необходимо учитывать в формулах для распадов ме-
зонов, например для распадов р° -> е+е~ и т. д. Для
мезонов с массами порядка 1 ГэВ объем области, в которой ве-
роятность найти два кварка велика, порядка 10-3 ГэВ3). Таким
образом, время жизни протона т ~ 1/Г должно быть больше,
чем получаемое из (27.34). Проведены тщательные и точные рас-
четы ширины Г +яо, дающие результат в пределах одного по-
рядка величины, которые подтвердили приведенную качествен-
ную оценку.
Так как время жизни протона хр пропорционально Л4^, оно
очень чувствительно к выбору значения массы MG, Если MG
увеличивается в 3 раза, время хр возрастает примерно в 81 раз
(константа связи as тоже немного изменяется, и надо учесть
другие поправки, поэтому точное значение множителя надо рас-
считывать специально). Полагая MG = 3,6-1014 ГэВ, получаем
хр 3,6-1038 с, т. е. время жизни протона около 1031 лет. Для
сравнения отметим, что возраст Вселенной составляет 1010 лет,
так что, хотя протоны, согласно развиваемой теории, не ста-
бильны, они тем не менее стабильны в масштабе времени поряд-
ка времени жизни Вселенной; действительно, мы воспринимаем
их как стабильные частицы.
Чтобы экспериментально обнаружить распады протонов, не-
обходимо собрать вместе огромное их число и вести за ними
тщательное наблюдение. В 1 см3 воды содержится примерно
Теория великого объединения
303
6-Ю23 нуклонов, так что заполненный водой куб со стороной
10 м содержит около 1033 нуклонов. Это около 10 000 тонн воды!
В результате распадов в конечном счете должны
появиться фотоны, так как л°->уу, а позитроны е+ образуют че-
репковские конусы. Таким образом, детектор для обнаружения
распадов протонов должен быть очень чувствительным к неболь-
шим интенсивностям фотонов, а вода должна быть настолько
чистой, чтобы распад, происшедший где-либо внутри куба, мож-
но было зарегистрировать одним из фотоумножителей, распо-
ложенных на стенках. Кроме рассмотренной возможны также
другие моды распада протона; различные варианты теории вели-
кого объединения предсказывают разные моды распада.
К экспериментам по обнаружению распада протонов начали
готовиться примерно с 1982 г., но до сих пор не обнаружено ни-
каких доказательств существования процессов распада протонов.
Когда были проведены тщательные расчеты для простейшего
варианта объединенной SU(5) -теории с минимумом предполо-
жений, они показали, что время жизни протона порядка 1030 лет.
Теперь такое значение времени жизни исключено эксперимен-
тами. Суперсимметричные варианты теории великого объедине-
ния предсказывают большее время жизни протона порядка
Ю32—1033 лет. Такие значения времени жизни пока не проти-
воречат полученным экспериментальным данным.
Эксперименты по обнаружению распада протонов в конце
концов достигнут уровня 1032 лет, причем либо будут зареги-
стрированы сигналы от такого распада, либо будет установлена
нижняя граница времени жизни протона. Ниже этого уровня
присущий эксперименту фон сделает невозможным наблюдение
распада. Этот фон возникает, например, из-за столкновений в
высоких слоях земной атмосферы частиц космических лучей с
атомами, рождающих пионы, которые затем распадаются в ней-
трино, взаимодействующие, хотя и слабо, с веществом и дающие
сигналы с теми же характеристиками, что и сигналы протонов.
Такой фон невозможно исключить при анализе эксперименталь-
ных данных.
27.5. Асимметрия барионов
Существует одно соображение, которое убедило многих, что ба-
рионное число действительно не сохраняется. Очевидно, наша
Вселенная асимметрична в отношении барионов и антибарионов,
так как разность чисел барионов и антибарионов Пв чрезвычай-
но велика. Непосредственное свидетельство этой асимметрии не-
сомненно по крайней мере в пределах скопления галактик, в
котором мы находимся; в противном случае наблюдались бы
304
Глава 27
космические лучи от антиматерии и рентгеновское излучение.,
возникающее при аннигиляции материи с антиматерией. Косвен-
ные аргументы позволяют заключить, что Пв/п^ ~ 1О~10, т. е. на
1010 фотонов во Вселенной приходится только одни барион.
Это число примерно на 8 порядков больше, чем то, которое мож-
но получить в любой теории, не нарушающей закон сохранения
барионного числа.
Результат пв/п^ ~ 10-10 можно получить, исходя из теории
большого взрыва, в которой предполагается, что вначале во Все-
ленной не было барионов и антибарионов. При этом предпола-
гают, что выполнены следующие три условия: 1) в ранней Все-
ленной взаимодействия частиц были обусловлены вершинами ла-
гранжиана, нарушающего закон сохранения барионного числа,
2) основные процессы взаимодействия элементарных частиц на-
рушали CP-вариантность (см. гл. 24), 3) Вселенная не находи-
лась в состоянии термодинамического равновесия, хотя пер-
вое и второе условия удовлетворялись. Мы видели, что пер-
вое условие имеет место в теориях, объединяющих кварки и
лептоны. Необходимость второго условия разъяснена в гл. 24;
отсутствие CP-инвариантности наблюдается при энергиях со-
временной эпохи, поэтому весьма правдоподобно, что его можно
допустить в качестве фундаментального условия теории. Вместе
с тем в настоящее время не установлена однозначная связь ме-
жду взаимодействиями тяжелых калибровочных бозонов и хигг-
совых бозонов, имеющихся в объединенной 5(7 (5)-теории при
высоких температурах ранней Вселенной, и взаимодействием
117-частиц в области энергий слабых взаимодействий. Третье ус-
ловие необходимо по той причине, что если бы система находи-
лась в равновесии, то любой процесс взаимодействия элементар-
ных частиц происходил бы одинаково часто в обоих направле-
ниях, так что процессы с рождением барионов (например, e+d-+-
w + и) компенсировались бы процессами, идущими в проти-
воположном направлении, если бы Вселенная не охладилась на-
столько, что вторые процессы не могли бы происходить, т. е.
стали менее вероятными. Стандартная теория большого взры-
ва расширяющейся Вселенной дает обоснование третьего усло-
вия.
Существует много тонких вопросов, которые надо учесть в
теории, чтобы получить убедительные доказательства того, что
асимметрия барионов возникла из первоначально существовав-
шей в ранней Вселенной симметрии барионов и антибарионов.
Если в физическую теорию действительно удастся включить объ-
яснение происхождения Вселенной, то, вероятно, потребуется
объяснить и наблюдаемую в настоящее время асимметрию ба-
рионов, поэтому очень хорошо, что уже существует реальная тео-
Теория великого объединения
305
ретическая возможность это сделать. Экспериментальное обна-
ружение сигналов от распада протонов очень важно для выяс-
нения этих вопросов.
Рекомендации для дальнейшей работы
В статьях журнала Сайентифик Америкен «Объединенная тео-
рия взаимодействия элементарных частиц» Джорджи [22],
«Распад протона» Вайнберга [78], «Поиски распада протонов»
Ло Секко, Рейнеса и Синклера [39], «Космическая асимметрия
между материей и антиматерией» Вилчека [81] излагается боль-
шая часть материала, затронутого в этой главе. Пример St7(5)-
мультиплета из разд. 27.1 подробно описан в статье Джорджи
и Глэшоу в журнале Физике тудей. Приведенный в разд. 27.2
расчет численного значения параметра sin2 0W подробнее описан
в статье Джорджи, Квина и Вайнберга [23]. Идея о том, что
наблюдаемая асимметрия барионов может быть обусловлена ме-
ханизмом, описанным в разд. 27.5, была впервые высказана в
виде чисто гипотетической возможности Сахаровым [62] задол-
го до создания теории, в которой этот механизм может существо-
вать.
20 г. Кейн
Глава 28
Суперсимметрия
Суперсимметрией называют некоторую гипотетическую симме-
трию природы. Эта симметрия связывает между собой фермио-
ны и бозоны. Аналогично операторам, которые переводят
нейтроны в протоны и обратно или частицы е~ и уе друг в дру-
га, постулируется существование операторов, которые перево-
дят бозоны в фермионы:
(28.1)
сопряженные им операторы производят обратные превращения.
Оператор Q оставляет неизменными все квантовые числа ча-
стицы, за исключением спина. В настоящее время показано, что
можно создать математически непротиворечивые квантовые тео-
рии поля, учитывающие суперсимметрию. Причины, по которым
изучают теории суперсимметрии и высказывают надежды, что
они правильно объясняют природу, весьма веские. Но в настоя-
щее время нет экспериментальных подтверждений того, что в
природе существует суперсимметрия. В этой главе мы рассмо-
трим некоторые аспекты теории суперсимметрии как в силу их
самостоятельного интереса, так и потому, что эта теория пре-
красно иллюстрирует то положение, что в рамках стандартной
модели имеются все средства для количественной проверки пред-
сказаний обобщающей ее более фундаментальной теории. Аргу-
менты здесь очень похожи на те, которые мы приводили, когда
обсуждали гипотетическое калибровочное обобщение стандарт-
ной модели.
Если бы стандартная модель была частью теории суперсим-
метрии с ненарушенной симметрией, все было бы ясно. Все
кварки, лептоны и калибровочные бозоны имели бы своих парт-
неров, связанных с ними с помощью формулы (28.1) и соответ-
ствующих формул для фермионов, которые во всем им тождест-
венны, кроме спина. Некоторые такие частйцы приведены в
табл. 28.1, в которой суперсимметричные партнеры обозначены
тильдой (~). Обычно названия этих партнеров составляют из
названий частиц добавлением для бозонов окончания «ино», а
для фермионов приставки «ко».
Если бы суперсимметрия была не нарушена, можно было бы
наблюдать многие необычные явления. Существовал бы «супер-
307
Суперсимметрия
Таблица 28.1. Суперсимметричные частицы
Частица Партнер по суперсимметрии Спин партнера Название
Y Y 1/2 фотино
eL eL 0 коэлектрон
UR UR 0 верхний кокварк
g g 1/2 глюино
0 мюонное копейтрино
водородный» атом с частицей е, называемой коэлектроном, свя-
занной с протоном. Химия многокоэлектронных атомов, атомные
ядра которых составлены из бозонов (а не фермионов), рази-
тельно отличалась бы от обычной химии. Должен был бы су-
ществовать новый вид слабых взаимодействий, переносимых ча-
стицами и Z. Конечно, ничего подобного в природе не наблю-
дается, и природа не обладает ненарушенной суперсимметрией.
Поскольку, как мы знаем, симметрия электрослабой теории
нарушена, может быть, разумно предположить, что суперсим-
метрия тоже нарушена. Так же как объяснения механизма
появления масс фермионов в стандартной модели, можно по-
строить суперсимметричную теорию, в которой суперпартнеры
обладали бы определенными массами, но никто не может ука-
зать способа расчета значений этих масс. В настоящее время
предпринимаются попытки поиска суперпартнеров во всей обла-
сти значений масс, доступных экспериментальному изучению.
Так же как в стандартной модели, если задаться определенными
значениями масс суперпартнеров, в теории суперсимметрии тоже
можно сделать большое число различных количественных пред-
сказаний; в частности, можно вычислить скорости процессов.
Чтобы проводить расчеты в суперсимметричном варианте
стандартной модели, необходимо иметь правила составления со-
ответствующих фейнмановских диаграмм. Ясно, какими должны
быть эти правила. Надо просто брать фейнмановские диаграм-
мы обычной стандартной модели и заменять в них частицы по-
парно их партнерами, оставляя неизменными константы связи.
Замену надо производить одновременно для пары частиц, так
как в противном случае полное число частиц с полуцелым спи-
ном оказалось бы нечетным, и в процессе, описываемом такой
фейнмановской диаграммой, не сохранялся бы угловой момент.
20*
308
Глава 28
Мы приходим к заключению, что в рассматриваемом суперсим-
метричном варианте стандартной модели следует учитывать вер-
шины, показанные на рис. 28.1.
В дополнение к взаимодействию «кварк-кварк-фотон» появ-
ляется взаимодействие «кварк-кокварк-фотино» и взаимодей-
ствие «кокварк-кокварк-фотон». Константы связи взаимодей-
ствий для всех калибровочных бозонов такие, как уже измерен-
ные в эксперименте, так как измеренные константы связи уже
учитывают существование суперсимметрии, даже если мы в этом
сомневаемся. (Поскольку константы связи изменяются с изме-
нением передаваемого импульса, как говорилось в гл. 20, если
Рис. 28.1. Вершины суперсимметричной стандартной модели.
суперпартнеры частиц окажутся много тяжелее то для них
константы связи будут другими. Их можно рассчитать, как это
описано в гл. 20.) Мы не останавливаемся на пространственно-
временной зависимости вкладов от вершин, изображенных на
рис. 28.1, которая немного изменяется с изменением спина ча-
стиц, так как она нам не нужна для приближенной оценки ско-
ростей процессов. Если бы потребовалось найти пространствен-
но-временную зависимость, то нужно было бы начать с построе-
ния полного лагранжиана теории, из которой и выводилась бы
эта зависимость; обычно так проще всего поступить.
Поскольку в каждую вершину должны входить по два супер-
партнера, можно сделать следующие три важных заключения
для обсуждаемого простого варианта теории суперсимметрии:
1) суперсимметричные партнеры частиц рождаются парами в
процессах, в которых участвуют обычные частицы;
2) в продуктах распада суперсимметричных партнеров появ-
ляется суперсимметричный партнер;
3) самые легкие суперсимметричные партнеры должны быть
стабильными.
Суперсимметрия
309
28.1. Рождение и детектирование
суперсимметричных партнеров
Используя пучки кварков и лептонов, можно получить различ-
ные диаграммы с рождением частиц-суперпартнеров. Диаграммы
некоторых таких процессов показаны на рис. 28.2. Сечения про-
цессов рождения суперпартнеров характеризуются теми же кон-
стантами связи, что и для обычных частиц, так что эти сечения
должны иметь такой же порядок величины, как и для рождения
tt^-частиц, кварков и т. д. Возможно, правда, некоторое их
уменьшение за счет учета множителей фазового объема, если
Рис. 28.2. Возможные процессы с рождением суперпартнеров: а — на е+е~-
коллайдере; б — на адронном коллайдере.
суперпартнеры являются тяжелыми частицами. Следующий во-
прос, на который мы должны ответить: как эти партнеры будут
вести себя после рождения. Для простоты предположим, что
глюино являются более тяжелыми частицами, чем кокварки, так
что распады q~+qg запрещены законом сохранения энергии, а
фотино легче, чем кокварки, зино и вино. Тогда доминирующей
модой распада любого электрически заряженного кофермиона
будет мода f-+f +у, например Ц->ц + у или 3->d + y. Со-
гласно нашим предположениям, типичная ширина распада су-
перпартнера массы М будет порядка Г « аМ. Считая, что мас-
са М порядка десятков гигаэлектронвольт, получаем отсюда, что
Г ~ (0,1 — 1) ГэВ, так что соответствующее времена жизни ча-
стиц должны быть меньше 10-20 с, поэтому детектор может за-
регистрировать только продукты распада.
Завершая обсуждение, следует решить, какими должны быть
самые легкие суперсимметричные частицы (ЛСЧ), на которые
распадаются все остальные суперсимметричные частицы. Здесь
существует несколько возможностей. Мы предположим для про-
стоты, что самой легкой суперсимметричной частицей является
фотино. Если бы какой-нибудь другой суперпартнер оказался
легче фотино, то можно было бы провести аналогичные
310
Глава 28
рассуждения; хотя детали изменились бы, но качественные
выводы остались бы прежними.
Поскольку все рождаемые суперпартнеры должны распа-
даться за очень короткое время, детектор будет регистрировать
только обычные частицы и фотино. Поэтому, чтобы детектиро-
вать физические эффекты теории суперсимметрии, необходимо
уметь детектировать фотино у. Чтобы понять, как это сделать,
необходимо выяснить, как оно взаимодействует.
Фотино может столкнуться с каким-нибудь кварком в детек-
торе, например произойдет процесс, показанный на рис. 28.3,
Протон
Рис. 28.3. Процесс взаимодействия фотино с протоном.
причем родится кокварк q. Кокварк q может быть как реаль-
ным, так и виртуальным в зависимости от величины переданной
ему энергии. Для простоты будем считать, что кокварк q реаль-
ный. Сечение такого процесса описывается тогда формулой,
которую мы уже использовали в гл. 10 и 18. Эта формула имеет
вид
= £ ^dxq(x)a ($), (28.2)
Q
где х — доля импульса протона, переносимая рассматриваемым
кварком, q(x)—кварковая структурная функция, которую мы
рассматривали в гл. 10 и 18, а — конституентное сечение для
процесса x + q-+-q- Суммирование в формуле (28.2) ведется по
всем кваркам протона. Квадрат энергии центра масс фотино у
и кварка q обозначим через s, так что s = M2, где М — масса
кокварка. Имеем также соотношение s = xs, где s — квадрат
энергии центра масс фотино и протона.
Матричный элемент рассматриваемого процесса дается при-
ближенной формулой
М ~ eqeuu, (28.3)
где eq — электрический заряд кварка (2/3 или —1/3). Как мы
неоднократно делали, заменим произведение спиноров йи под-
ходящей массой, т. е. положим йи М Рассуждая так же, как
при рассмотрении процесса рождения U^-частицы в гл. 10, полу-
чаем
д' ~ ле2е2Ь ($ — /Й2).
(28.4)
Суперсимметрия
311
Подставляя s — xs, получаем выражение
д = ne2qe2d (х — М2/s)/s.
Внося теперь это выражение или or в формулу (28.2) и вычисляя
интеграл с использованием 6-функции, получаем
° ~ У- е9Х(^ (28‘5)
Лк 1 4
Q
где s заменено на Й2/х. Множитель является струк-
турной функцией F2(x) (см. гл. 18), так что
(28.6)
Заметим, что, хотя мы и рассматриваем гипотетическую теорию,
мы рассчитали сечение взаимодействия фотино с протоном и
выразили его через обычные~величины, используя только гипо-
тетическую массу кокварка М. Чтобы численно оценить сечение
а(у), необходимо задаться значением этой массы М. Приведен-
ные рассуждения показывают, что сигнал от кокварка можно
будет зарегистрировать, если 70 ГэВ, так что для качест-
венной оценки можно положить М = Mw. Используя график
структурной функции F2, приведенной в ТДЧ [48], находим, что в
области х~0,1, имеем Е2~0, 15. Таким образом, ог(ур)^2,5Х
X Ю“33 см2. Это значение, типичное для сечений нейтрино, и со-
ставляет 10-7 от пионного сечения. Фотино у не регистрируется
детектором и улетает, унося с собой определенный импульс. Та-
ким образом, экспериментальным проявлением суперсимметрии
будут события, в которых импульс представляется несохраняю-
щимся. Подобные события могут также происходить, если
рождаются нейтрино, например при распадах lF-частиц или
тяжелых кварков, но при этом всегда образуется лептон, соот-
ветствующий нейтрино. Если когда-нибудь будут обнаружены
события с очевидно несохраняющимся импульсом, не сопро-
вождаемые появлением заряженных лептонов, они могут слу-
жить сигналом о наблюдении суперсимметрии. Тогда с помощью
детального рассмотрения можно будет установить, происходят
ли эти события от рождения суперпартнеров. Относительные
скорости различных процессов, распределение недостающего
импульса (от больших до малых его значений), некоторые дру-
гие количественные предсказания теории можно было бы ис-
пользовать для проверки того, возможно ли их объяснение на
основе теории суперсимметрии.
Поиски суперпартнеров производились на ускорителях PETRA,
РЕР и на коллайдере в ЦЕРНе, но никаких сигналов обнару-
312
Глава 28
жено не было. Подробное обсуждение результатов этих экспе-
риментов показало, что сигнал был бы зарегистрирован в сле-
дующих случаях: <70 ГэВ, Mg<65 ГэВ, /Ие<65 ГэВ, ЛТИ<
<22 ГэВ, Мх< 22 ГэВ, Л4у<1,5 ГэВ, но в отдельных слу-
чаях имеются еще небольшие неисследованные интервалы масс.
Приведенные значения можно рассматривать как нижние пре-
делы для масс суперпартнеров. В 1987—1988 гг. проводятся но-
вые поиски суперчастиц на ускорителях TRISTAN, SLC и на ус-
корителе Национальной лаборатории им. Ферми.
Отсутствие сигналов не удивительно, даже если предполо-
жить, что природа обладает суперсимметрией, так как все пере-
численные пределы масс лежат ниже массы а из прибли-
женного рассмотрения следует, что массы суперпартнеров могут
лежать именно в этой области. Конечно, было бы невероятной
удачей, если бы детектируемые суперпартнеры оказались доста-
точно легкими, чтобы их можно было обнаружить в предприня-
тых до сих пор поисках. Основной вывод, который можно сделать
из сложившейся ситуации в рамках данной книги, состоит в
следующем. Удивительно уже то, что мы оказались в состоянии
предпринять количественные проверки наличия суперсимметрии,
хотя это пока что чисто гипотетическая теория. Но логика здесь
есть. Новые частицы могут появиться в детектируемых количе-
ствах только в том случае, если они обладают какими-то заря-
дами, которые позволяют им взаимодействовать с частицами
стандартной модели. Это могут быть электрические, цветные или
слабые заряды. Если частицы обладают хотя бы одним из этих
зарядов, мы можем рассчитать скорости процессов с рождением
и распадом таких частиц, используя математический форма-
лизм стандартной модели, и осуществить количественную про-
верку новых идей.
28.2. Легкие суперсимметричные частицы
и темная материя
В конце введения в этой главе мы заметили, что ЛСЧ должны
быть новыми стабильными частицами. Часто получается так, что
различные варианты обобщений стандартной модели приводят
к предсказанию новых стабильных частиц. В этом разделе мы
обсудим некоторые следствия, вытекающие из гипотетического
факта существования новых частиц на примере ЛСЧ, хотя полу-
чаемые заключения имеют довольно общий характер. (Матема-
тически возможно построить такую теорию, в которой ЛСЧ не
абсолютно стабильны, но такая теория выглядит неестественной,
и мы хотим ограничиться обсуждением ситуации, когда новые
Суперсимметрия 313
частицы стабильны, поэтому мы предположим, что ЛСЧ ста-
бильны.)
На ранней стадии развития Вселенной при очень высоких
температурах, когда все частицы были релятивистскими, ЛСЧ
находились в равновесии со всеми остальными частицами, и их
было столько же, сколько кварков и других частиц. По мере ох-
лаждения Вселенной, в особенности если предположить, что мас-
сы ЛСЧ порядка нескольких гигаэлектронвольт, как этого мож-
но ожидать, если общий суперсимметричный масштаб масс по-
рядка массы Afz, многие ЛСЧ сохранились. Некоторые из них
аннигилировали, но определенное их число, возможно порядка
числа барионов, сохранилось. Если массы ЛСЧ в несколько раз
больше барионных масс, то они вносят значительно больший
вклад в полную массу Вселенной, чем барионы. В полной тео-
рии, очевидно, должно существовать некоторое соотношение ме-
жду массой ЛСЧ и массой протона, поэтому величины масс ча-
стиц каждого типа не могут быть произвольными.
ЛСЧ должны были вести себя совершенно отлично от барио-
нов. Поскольку их взаимодействия типично электрослабые с низ-
коэнергетическим сечением порядка 10~38 см2, эти частицы не
должны принимать участия в ядерных реакциях и в образовании
светящихся звезд; они должны образовывать «темную мате-
рию». Эта материя, разумеется, должна испытывать обычные
гравитационные взаимодействия, поэтому она должна концен-
трироваться в галактиках. Но так как такие взаимодействия
очень слабые, ЛСЧ будут с трудом терять свою энергию и,
вероятнее всего, будут сосредоточены в сферических гало га-
лактик.
Учитывая эту цепочку рассуждений, удивительно, что астро-
номы в последние годы, изучая поведение галактик, установили,
что галактики содержат в несколько раз больше материи, чем
та, которая заключена в звездах. Конечно, пока не установлено,
что представляет собой эта темная материя, в частности, что она
состоит из слабо взаимодействующих частиц. Но теория супер-
симметрии дает возможное объяснение этих данных. Кроме то-
го, если предположить, что Вселенная плоская, т. е. что она зам-
кнута, то потребуется признать наличие большой массы, кото-
рая не может существовать в форме барионов.
Если Вселенная действительно содержит огромное число но-
вых частиц, то интересно подумать о том, как их можно наблю-
дать в лаборатории. Во-первых, эти частицы можно наблюдать
в экспериментах на коллайдерах, в которых могут производить-
ся в достаточном количестве колептоны, кокварки и глюино; су-
ществование ЛСЧ можно было бы вывести из изучения харак-
тера регистрируемых событий.
314
Глава 28
Во-вторых, учтем, что частицы темной материи должны быть
распространены более или менее равномерно в нашей галактике
и что мы движемся сквозь них вместе с движением Земли.
Кварк атомного ядра в детекторе может испытать столкновение
с ЛСЧ, и переданная ядру энергия может детектироваться.
Пусть v — скорость движения Земли через галактику, и пусть
ЛСЧ с массой М сталкивается с ядром массы М. Тогда пере-
дача импульса должна удовлетворять неравенству Др 2Mv9
а передача энергии — неравенству АЕ 4M2v2/2M. Наша ско-
рость в галактике v ~ 10-3 с. Чтобы получить представление о
порядке величин, положим 7Й ~ М и потребуем, чтобы выпол-
нялось условие АЕ > 1 кэВ. Тогда получим 7Й > 0,5 ГэВ, что
лежит в доступной области.
Чтобы наблюдать обсуждаемый эффект, необходимо не толь-
ко передавать достаточную энергию при отдельном столкнове-
нии, но также обеспечить такие условия, чтобы события наблю-
дались с разумной скоростью. Скорость актов взаимодействия
равна произведению трех множителей: Е = поток X о* X где
поток равен произведению плотности числа ЛСЧ и относитель-
ной скорости у, сечение о характеризует взаимодействие ЛСЧ с
ядром, а А— число ядер мишени в детекторе (JV порядка числа
Авогадро).
Плотность числа ЛСЧ можно определить на основе астроно-
мических данных. Согласно закону Ньютона, для частицы, дви-
жущейся в галактике, имеем соотношение v2/r = MGn/г2, так
что плотность массы этих частиц р = 7Й/ (4лг3/3) —
= v2/ (4nr2GN/3). Положим, как выше, v ~ 10~3 с и радиус га-
лактики г ~ 10 килопарсек ~3-1022 см. Тогда получим р ==
= 2-10“24 г/см3, т. е. плотность порядка 1 ГэВ/см3. Если бы вся
эта масса была сосредоточена в протонах, то мы имели бы
1 протон/см3. Приближенно положим, что я = р/7Й~1 см-3,
если Я порядка гигаэлектронвольт.
Наконец, рассмотрим сечение взаимодействия о. Просто из
соображений размерности получаем
о - GfM2A2,
где последний множитель появился потому, что взаимодействие
существенно нерелятивистское, так что длина волны порядка
размеров ядра и взаимодействие будет когерентным для А ну-
клонов в ядре. Если перемножить все эти множители, то полу-
чим значение порядка 10-2 с-1 для числа актов взаимодействия;
это значение достаточно велико, чтобы внушать оптимизм. В на-
стоящее время ряд исследователей пытается изготовить детек-
торы для поисков темной материи.
Суперсимметрия
315
Задачи
28.1. Нарисуйте одну или две диаграммы, соответствующие
процессу, в котором могут рождаться глюино на адронном кол-
лайдере. Качественно оцените величину сечения процесса с ро-
ждением глюино. Нарисуйте диаграмму для распада глюино.
Диаграммы следует составлять из вершин стандартной модели,
заменяя в них пару частиц на пару суперсимметричных партне-
ров, как в разд. 28.1. Как будут выглядеть события с рождением
глюино в детекторе?
28.2. Какие процессы стандартной модели дают одинаковые
регистрируемые результаты с процессами теории суперсиммет-
рии? Укажите хотя бы два таких процесса, один с рождением
IF—частиц и распадом т—частиц и другой с рождением 7°-ча-
стиц. Как, несмотря на эти процессы, можно регистрировать сиг-
налы, связанные с суперсимметрией?
28.3. Оцените влияние конейтрино, если они легкие, на ши-
рину Гг, считая, что < 1
Рекомендации для дальнейшей работы
Имеются две статьи в журнале Сайентифик Америкен: статья
Фридмана и Ныовенхицена [20], в которой обсуждаются данные,
приведшие к созданию теории суперсимметрии, и статья Хабера
и Кейна [28], близкая по содержанию к материалу настоящей
главы.
Глава 29
Обладают ли нейтрино массами?
Нейтрино ve, vu и vT обладают малыми массами в отли-
чие от других фермионов. В настоящее время известны лишь
верхние пределы значений этих масс. Современные эксперимен-
ты позволяют только утверждать, что • 10~5, <
< 2,4 • 10“3 и mVx]mx < 4 • 10"2. Не исключена возможность, что
некоторые или все нейтрино имеют массы, равные нулю.
Пока не известно, почему массы нейтрино столь малы. Как
мы видели в гл. 7, масса фотона должна быть точно равна ну-
лю, так как имеется ненарушенная U(1) -симметрия, связанная
с линейной комбинацией генераторов Г3 + У/2. В гл. 8 показа-
но, что нарушение глобальной симметрии должно приводить к
появлению безмассовых голдстоуновских бозонов. Но в случае
нейтрино нет оснований думать, что может действовать один
из этих двух механизмов.
В гл. 7 мы видели, что член в лагранжиане, ответственный
за массу фермиона, можно записывать, используя хиггсов дуб-
лет, если существуют как левый, так и правый фермионы дан-
ного аромата. Этот член имеет вид gfi^R, где Ф— вакуумное
среднее значение. Масса, получаемая в результате такого взаи-
модействия фермионов с хиггсовым дублетом, называется ди-
раковской. Чтобы этот механизм появления массы нейтрино мог
себя проявить, должны существовать правые нейтрино, но в
настоящее время они не обнаружены. Детектирование и рожде-
ние на ускорителях гипотетических правых 5(7(2)-симметричных
нейтрино является, конечно, непростым делом, так как они не
взаимодействуют с ^-частицами (так как последние взаимодей-
ствуют только с компонентами дублетов), а также с Z-части-
цами и фотонами у (поскольку Q и Т3 равны нулю) и с глюо-
нами (поскольку нейтрино не обладают цветом). Если окажется,
что правых нейтрино в природе не существует, мы не сможем
приписать нейтрино дираковскую массу. Мы пока не пони-
маем, почему правые фермионы существуют для всех остальных
фермионов, но не существуют для нейтрино.
Имеется еще один массовый член лагранжиана, который
можно написать для нейтрино, так как они электрически ней-
тральны. Это член mvLvcL, где ус — зарядовосопряженное поле,
удовлетворяет всем условиям для массового члена лагранжиа-
Обладают ли нейтрино массами?
317
на. Зарядовосопряженный фермион, совпадающий с самим фер-
мионом, называется фермионом Майораны. Если нейтрино яв-
ляются частицами Майораны, то они могут иметь нулевые мас-
сы, согласно обсуждаемому механизму. Пока нельзя привести
никаких причин, по которым этого не могло бы быть. Как ука-
зано в гл. 24, правый фермион оказывается зарядовосопряжен-
ным для левого фермиона.
Таким образом, независимо от того, существуют ли правые
нейтрино, удивительно то, что нейтрино не обладают массами
такой же величины, как остальные фермионы. Правда, были
построены многие модели, в которых нейтрино имеют нулевые
массы, но ни одна из них еще не стала теоретически убедитель-
ной, так что мы не будем их здесь рассматривать. Вместо этого
мы рассмотрим, каких эффектов следует ожидать, если нейтри-
но имеют массы. В настоящее время подготавливается или пла-
нируется много экспериментов по обнаружению и измерению
масс нейтрино, если они окажутся не равными нулю, так что
нас ждут интересные открытия в ближайшие годы.
29.1. Следствия ненулевых масс нейтрино.
Нейтринные осцилляции
Пока не предложено ни одного убедительного способа детекти-
рования масс нейтрино. Но один такой способ весьма перспек-
тивен, и его интересно здесь рассмотреть. Предположим, что
некоторые или все нейтрино имеют массы в результате дей-
ствия некоторого механизма. Для простоты рассмотрим в этом
разделе только нейтрино уе и v^. Как и в случае кварков, рас-
смотренных в гл. 22, не существует очевидных оснований, по
которым собственные состояния слабого взаимодействия долж-
ны быть идентичными собственным состояниям массы.
Считая, что слабые и массовые собственные состояния не
одинаковы, обозначим через vi и v2 массовые состояния, а че-
рез уе и — слабые собственные состояния. Исследуем вре-
менную зависимость состояний и рассмотрим для них функции
Пусть в момент t = 0 пучок заряженных пионов рождает
пучок нейтрино в результате происходящих распадов
или лгii'Vjx. В принципе можно детектировать
пучок рЛ и по нему судить о том, что испущен пучок нейтрино
vw.
Слабые собственные состояния нейтрино должны быть ли-
нейными комбинациями массовых собственных состояний; при
t = 0 эти комбинации выражаются в виде
(0) = vi (0) cos а + v2 (0) sin а,
ve (0) = — V! (0) sin а + v2 (0) cos a,
(29.1)
318
Глава 29
где а — угол, параметризующий смешение состояний. Если бы
взаимодействие, вызывающее появление массы у нейтрино, бы-
ло известно, то угол а можно было бы вычислить. Мы пред-
положим, что угол а просто измерен в эксперименте. Если
mvz = 0, то не существует способа отличить слабые собственные
состояния от массовых собственных состояний, так как для та-
ких состояний можно взять любой другой базис и добиться со-
ответствующим вращением, чтобы угол а был равен нулю.
Наличие ненулевого угла а означает, что масса какого-то ней-
трино не равна нулю и массовые собственные состояния не
вырождены. Поскольку угол а характеризует соотношение меж-
ду различными собственными состояниями, он не зависит от
времени.
Массовые собственные состояния изменяются во времени
следующим образом:
vi(t) = e-iE‘tvi(0), (29.2)
поскольку они являются свободными частицами после их рож-
дения и каждая обладает определенной энергией Е,. Таким
образом,
(0 == e~iE,t v1 (0) cos а + e~iE-{ v2 (0) sin a. (29.3)
Состояния vi(0) и V2 (0) можно выразить через состояния
v«(0) и vg(0) с помощью формул (29.1), что дает
Vi (0) — (0) cos а — ve (0) sin a,
v2 (0) = (0) sin a + ve (0) cos a.
Подставляя эти формулы в выражение (29.3), получаем
(0 = e~lE,t (vg (0) cos2 а — ve (0) cos a sin a) 4~
_j_ e-iE2t (o) sin2 a + ve (0) sin a cos a) = (29.4)
_ (e-iEit cos2 a e-iE2t sjn2 a) (Q) _|_
+ sin a cos a (e~iE,t — e~ZE1/) ve (0). (29.5)
Так как £1=д/т2 + р2 и Е2 = д/т2 + р2, где р — импульс со-
стояния, второе слагаемое в (29.5) отлично от нуля, если
mI =0= т2- Таким образом, состояние, которое при ( = 0 было
чистым состоянием vw, с течением времени приобретает при-
месь СОСТОЯНИЯ Ve.
Чтобы вычислить вероятность того, что первоначальный пу-
чок нейтрино V|x в более поздний момент времени содержит опре-
деленную долю нейтрино ve, мы должны возвести в квадрат сла-
гаемое с перекрытием. (При этом можно рассматривать только
Обладают ли нейтрино массами?
319
кет-состояния рц(/)>, |ve(0)> и т. д.). Так как состояние
vu(0) ортогонально состоянию ve(0), имеем
Р (vg —> ve) — | (уе (0) | (/)) |2 = sin2 a cos2 a | e~iElt — e~iE,i |2. (29.6)
Учитывая, что sin 2a = 2 sin a cos a и
। e-tE,t _ e-iElt |2 = 2 (1 - cos (E2 - £j) t), (29.7)
получаем формулу
P (vg -> ve) = 4 sin2 2a [ 1 - cos (E2 - EJ /]. (29.8)
Удивительно то, что вероятность обнаружения примеси нейтри-
но ve в пучке нейтрино является осциллирующей функцией
времени. В принципе этот эффект довольно легко обнаружить
Рис. 29.1. Чистый пучок произ-
водит мюоны.
Рис. 29.2. Пучок ve производит элек-
троны.
экспериментально. Если пучок состоит исключительно из нейт-
рино vu, все столкновения его частиц с веществом будут рож-
дать мюоны в процессе, показанном на рис. 29.1. Если некото-
рую долю пучка составляют нейтрино ve, то при отдельных
столкновениях частиц пучка будут рождаться, электроны в
процессе, показанном на рис. 29.2. Таким образом, появление
электронов при взаимодействии с веществом пучка мюонных
нейтрино vjjl будет служить доказательством наличия осцилля-
ций, описываемых формулой (29.8).
На практике, разумеется, возникают проблемы выбора
уровня чувствительности детекторов. По тем или иным причи-
нам в пучок могут попасть случайные нейтрино ve, и, вероятно,
очень трудно гарантировать, что мы имеем действительно чис-
тый пучок нейтрино без примеси примерно 1 % нейтрино ve.
Мюон, рожденный в процессе, изображенном на рис. 29.1, мо-
жет иногда распадаться в процессе ц-^evv, прежде чем попа-
дает в детектор; он будет детектироваться как электрон. Име-
ются и другие экспериментальные трудности. Поэтому суще-
ствует экспериментальный предел в несколько процентов для
величины эффекта, который может наблюдаться.
320
Глава 29
Если описываемый эффект будет наблюдаться, формула
(29.8) позволит провести проверку. Изменяя либо разность энер-
гий, либо время наблюдения, можно будет тогда изучить из-
менение величины эффекта, и если это действительно истинный
эффект, то он должен изменяться согласно формуле (29.8).
Аргумент cos [(Е2— Ei)t] часто записывают в более простом
виде, чтобы показать, от чего он зависит. За время t пучок про-
ходит расстояние х ct. Поэтому разность энергий можно за-
писать в виде
Е2 — Еу = р д/1 + т2/р2 — pAjl+m2/p2 ~
(29.9)
(29.10)
опре-
Таким образом,
cos [(Е2 - El) d ~ cos (^) ,
гдеj L = 4np/(jnl — ni\) — эффективная длина, которая
деляет расстояние вдоль пучка, на котором можно наблюдать
эффект.
Предположим, например, что разность кт? н= т?2 — т\ равна
10 эВ2. Если мы планируем иметь расстояние L порядка 100 м
при наблюдении эффекта на ускорителе, то, так как 100 м —
= 5 -108 эВ-1, необходимо иметь импульс р порядка 4-108 эВ =
= 400 МэВ. Это типичное значение энергии нейтрино во вто-
ричных пучках ускорителя Брукхейвенской национальной лабо-
ратории, на котором проводятся такие эксперименты. Чтобы
измерять большие или малые значения разности Am2, необходи-
мо соответственно иметь большие или малые импульсы. По этой
причине обнаружить значения разности Ат2, много меньшие
10 эВ2, по-видимому, невозможно на ускорителях, так как тре-
буемые импульсы слишком малы. Реакторы испускают ней-
трино с энергиями в несколько мегаэлектронвольт, так что на
них удается фиксировать немного меньшие значения Ат2. Для
наблюдения эффекта детектор следует переместить от дан-
ного значения х на фиксированное расстояние L (при заданном
импульсе). Тогда скорость процесса по мере перемещения де-
тектора должна изменяться как cos(2nx/L). Если разность Ат2
окажется очень большой, расстояние L станет малым по срав-
нению с размерами детектора даже при самых больших зна-
чениях импульса; так как косинус осциллирует и в среднем
дает нуль, то эффект наблюдать в таких условиях не удается.
Заметим, что планирование эксперимента по детектированию
осцилляций зависит от величины разности т2 — т2, а не от
Обладают ли нейтрино массами? 321
самих масс тх и т2. На практике возникает еще одна трудность,
так как, конечно, смешиваться могут не два, а три нейтрино. Су-
ществующие формулы оказываются более сложными; они со-
держат три угла смешивания и три разности Ат2. По существу
ситуация аналогична рассмотренной для двух нейтрино ve и v^,
и мы не будем здесь останавливаться на деталях. Наконец, за-
метим, что обсуждаемый эффект всегда пропорционален
sin22a, так что, если смешивание очень слабое, никакого эф-
фекта наблюдаться не будет, даже если он существует незави-
симо от величины разности Ат2.
29.2. Солнечные нейтрино
Ядерные реакции, в результате которых Солнце излучает свет
и другие частицы, включают процессы, сопровождаемые испус-
канием нейтрино ve, например
pp^D + e+ + ve (29.11)
или
р + 7Ве —> 8В + Y
I (29.12)
‘—> 8Ве + е+ + ve.
Эти нейтрино покидают Солнце, и некоторая доля их потока
достигает Земли. В известном эксперименте нейтрино ve от ре-
акции (29.12) были зарегистрированы на Земле.
Нейтрино, рождаемые в реакции (29.12), составляют лишь
малую долю порядка 10~4 всех нейтрино, поступающих от Солн-
ца, но они самые энергичные. Такие нейтрино детектируются
с помощью процесса
ve + 37Cl —> 37Аг + е". (29.13)
Детектор помещают на глубине около 1 мили (1,8 км) под по-
верхностью Земли, чтобы уменьшить число фоновых событий,
вызванных космическими мюонами, которые сталкиваются с
протонами и ядрами и тоже производят ядра 37Аг. Согласно
теоретическим предсказаниям, в большом баке (емкостью в
сотни кубометров) жидкого хлора должен рождаться один атом
аргона 37Аг в течение нескольких дней. Чтобы извлечь это ни-
чтожное число атомов из огромного резервуара, примерно раз в
месяц через бак пропускают газообразный 4Не (период полу-
распада 37Аг составляет 35 дней, это и определяет периодич-
ность пропускания гелия). Атомы 37Аг захватываются атомами
4Не. Затем они подсчитываются путем наблюдения процессов
захвата электронов ядрами 37Аг. Весь детектор калибруют с
помощью контрольных экспериментов. Масштабы и точность
описанного эксперимента необычны.
21 г. Кейн
322
Глава 29
Теоретические предсказания величины потока нейтрино от
Солнца имеют небольшой разброс и дают значение (6 ±1,5)
солнечных нейтринных единиц (с. н. е.):
I с. н. е. = 10“36 захватов на частицу мишени в 1 с. (29.14)
Эксперименты дают значение (2,2 ± 0,4) с. н. е. Интерпретиро-
вать этот результат не просто. Тщательное рассмотрение теоре-
тических предсказаний показывает, что он зависит от таких
существенных факторов, как принятая модель Солнца, темпе-
ратура Солнца, количество тяжелых металлов на Солнце, сече-
ния различных ядерных реакций и т. д. Вероятно, необходимы
дополнительные эксперименты, чтобы убедиться, действительно
ли существует расхождение между теоретическим и экспери-
ментальным значениями.
В этой главе солнечные нейтрино интересуют нас только
потому, что они, возможно, свидетельствуют о расхождении тео-
рии с экспериментом и указывают на то, что пучок солнечных
нейтрино ve действительно осциллирует и часть ve превращает-
ся в нейтрино и vT на пути от Солнца к Земле. Нейтрино
и vT не принимают участия в реакции (29.13), для которой
требуются только электронные нейтрино, поэтому они не ре-
гистрируются.
В разд. 29.1 неявно предполагалось, что нейтрино V/ дви-
жутся в вакууме. Если они распространяются в веществе, как
внутри Солнца, то имеется интересный эффект, который может
увеличить вероятность осцилляций, причем большие вероят-
ности могут появиться даже в случае малых углов смешивания
а. Этот эффект может происходить из-за того, что электронные
нейтрино ve могут взаимодействовать с электронами двумя спо-
собами, в то время как мюонные нейтрино vu могут с ними
взаимодействовать только одним способом (см. задачу 5 в
гл. 7). Взаимодействия, как и массы, могут влиять на скорость
осцилляций (но они не могут вызвать осцилляций, если этих
осцилляций нет в вакууме). Оказывается, что для Дт2 порядка
10~5 эВ2 количество вещества на пути солнечных нейтрино та-
ково, что вероятность осцилляций может стать близкой к еди-
нице даже при малых значениях sin2 2а.
Для выяснения этой ситуации проводят эксперименты и тео-
ретические исследования.
29.3. Измерение масс нейтрино при распадах
Еще один способ определения масс нейтрино состоит в использо-
вании кинематических соотношений при изучении распадов эле-
ментарных частиц. Нейтрино испускаются при многих слабых
Обладают ли нейтрино массами? 323
распадах, например при распаде
л+->ц+У|Л (29.15)
или
п->реуе (29.16)
или
T->nvt. (29.17)
Энергии остальных конечных частиц, например частиц рЛ, е~
или л в приведенных распадах, не могут превышать некоторых
максимальных значений, которые определяются массами всех
частиц. Изученные до сих пор процессы дают результаты, со-
гласующиеся с нулевыми значениями масс и vT, с погреш-
ностью, указанной в начале этой главы. В случае электронного
нейтрино ve наиболее чувствительные измерения можно произ-
вести для p-распада трития. Группа в СССР заявила о наблю-
даемом ненулевом нижнем пределе массы mVe, следующем из
исследований такого p-распада, но другие эксперименты пока не
подтвердили этого результата. Ведется подготовка к нескольким
экспериментам такого рода, которые либо обнаружат ненулевое
значение массы mVe порядка 10—30 эВ, либо установят верхний
предел для них порядка 10 эВ.
29.4. Ожидаемые значения масс нейтрино
Нет никаких соображений, которые были бы общепризнанными
в отношении значений масс нейтрино. Делают различные пред-
сказания, включая и нулевую массу. Вместе с тем на основе
космологических соображений предсказывают довольно опре-
деленный интервал масс; полезно рассмотреть эти соображения.
Отношение полного числа барионов во Вселенной к полному
числу фотонов, согласно астрономическим измерениям, равно
Пв1пу « 10“10. Можно ожидать, что по мере охлаждения горя-
чей ранней Вселенной фотоны и нейтрино выделились примерно
при одинаковых температурах (т. е. ниже этих температур они
не в состоянии инициировать реакции, так как потеряли слиш-
ком много энергии в результате расширения Вселенной), по-
этому вначале было nv ~ nY. Но большинство остальных частиц
после аннигилировало в фотоны, что привело к увеличению
пу при неизменном nv, так что в конце концов оказалось, что
nv ~ пу/\0. Доля критической массы Вселенной (т. е. массы
Вселенной, необходимой для того, чтобы сделать Вселенную
замкнутой вследствие гравитационного притяжения), приходя-
щаяся на барионы, с точностью до множителя 2 равна Qb «
« 0,05.
21*
324
Глава 29
Используя эту оценку и считая, что нейтрино имеют ненуле-
вые массы, для доли критической массы Вселенной, приходя-
щейся на нейтрино, получаем значение
q
WKP
nymv
10ткр
109
пвтв
ткР
т
-Г- = lQ9QBmv/mB.
гпв
(29.18)
Если считать, что нейтрино дают как раз столько массы, что-
бы сделать Вселенную замкнутой, то получаем Qv ~ 1, так что
mv~me/109QB<« 2 • 10-8/np « 20 эВ, (29.19)
где тр — масса протона. Приведенные соображения указывают
лишь область* значений массы, представляющую интерес; они
не устанавливают значения масс нейтрино. Можно сделать
лишь заключение, что, к счастью, именно интервал масс mv
1 эВ, который доступен по чувствительности ускорителям и
реакторам, представляет большой интерес с точки зрения кос-
мологии. С другой стороны, если результаты экспериментов с
солнечными нейтрино действительно можно объяснить нейтрин-
ными осцилляциями, то это, возможно, означает, что массы
нейтрино слишком малы, чтобы они могли непосредственно
влиять на космологию.
Рекомендации для дальнейшей работы
Хорошее изложение всех вопросов, затронутых в этой главе,
можно найти в книге Камминза и Бухсбаума [9], в которой об-
суждаются также некоторые другие аспекты вопроса о массах
нейтрино, например следствия, вытекающие из безнейтринного
двойного бета-распада. Резонансный эффект влияния вещества
Солнца на нейтринные осцилляции хорошо изложен в статье
Бете [3], в которой можно найти ссылки на оригинальную ли-
тературу. Красивый эксперимент, в котором детектировались
солнечные нейтрино, подробно описан Дэвисом [12].
Приложение А
Угловой момент, спин и группа SU(2)
Хотя мы предполагаем, что большинство читателей знакомо с
теорией спина в нерелятивистской квантовой механике, в этом
приложении мы даем краткое резюме этой теории. Знакомство
с теорией спина важно по следующим двум причинам. Во-пер-
вых, фундаментальные частицы материи — кварки и лептоны —
обладают спином 1/2, и их спин следует обязательно учитывать
при любых теоретических построениях. Во-вторых, представля-
ется, что природа «знает» теорию групп; гамильтониан (лагран-
жиан) теории инвариантен относительно преобразований, кото-
рые образуют группы. К счастью, чтобы понять групповую
структуру, нужно лишь знать структуру теории преобразований
в спиновом пространстве, которая является примером группы
SU(2). Затем можно воспользоваться аналогиями. В приложе-
нии Б дается краткое изложение основных представлений тео-
рии групп.
Исходя из соотношения L — г X Р, можно показать, что в
квантовой механике операторы проекций углового момента
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Lit Lj] = ieijkLk, (АЛ)
где i, j и k = 1, 2 и 3 или х, у и z. Так как выполняется ра-
венство [Li, L2] = 0, оператор квадрата углового момента L2
и оператор одной из проекций углового момента Д (обычно
L?) могут быть одновременно приведены к диагональному виду.
Собственными функциями операторов L2 и Lz являются орто-
нормированные сферические гармоники У/т(0,<£).
Структуру теории углового момента мы хотим обобщить для
применения к более абстрактным ситуациям. Любому эрмитову
оператору S можно сопоставить эрмитову матрицу
Im = J dQY^(Q, ф) ZYlm (0, </>). (А.2)
Один из удобных способов представить эту матрицу заключает-
ся в том, чтобы фиксировать индексы I и 1/ и рассматривать
матрицу типа (2/+ 1) X (2ZZ + 1) для каждой пары индексов
/, I'.
Допустим, что оператор S является оператором проекции
углового момента, и рассмотрим базис состояний, составленный
из функций Yim. Тогда при I' = I оператор S имеет нулевые
матричные элементы. При I = 0 матрица S есть просто число.
326
Приложение А
При /= 1 имеем т, т' — 1, 0, —1, так что результат имеет
вид матрицы типа 3X3. Для оператора Л2 тогда имеем матрицу
/1 0 0\
Л2 = 21 0 10
4001/
(А.З)
с нулевыми недиагональными элементами (напомним, что ti =
— 1). Действительно, L2Yim = 1(1 + 1) Yi,n, и при 1=1 полу-
чаем 1(1 + 1)— 2. Необходимо, конечно, воспользоваться орто-
гональностью функций Yim. Аналогично для оператора Lz по-
лучаем матрицу
/1 ° 0\
а2= 0 0 0 .
\0 О -1 /
(А.4)
Для операторов Lx и Ly при I — 1 можно воспользоваться пере-
становочными соотношениями, из которых непосредственно сле-
дует
/0104
= 10 1, (А.5)
v \0 1 о/
/0 -1 0\
Ly=^\ 1 0 -1 • (А-6)
v \о 1 о/
Легко убедиться, что эти матрицы удовлетворяют перестановоч-
ным соотношениям (А.1).
Мы построили матричные представления операторов углово-
го момента при I = 1. Если бы мы рассмотрели случай I = 2, то
смогли бы построить матрицы типа 5X5 и т. д. Существует бес-
конечное число возможных матричных представлений операторов.
Интересно отметить, что представления, которые мы нашли,
все образуются матрицами с нечетным числом строк и столб-
цов. С использованием классической формулы L = г X Р нельзя
получить представления операторов матрицами типа 2X2. Но
написав просто эрмитовы матрицы типа 2X2 и применив пе-
рестановочные соотношения (А.1), мы получим правильные
Угловой момент, спин и группа SU(2)
327
матричные представления:
°)
z 2\0 -1/’
3 / 1 0\
т 9_° I I
17’
L =4° Ч
х 2 \ 1 О J ’
, / 0 — i \
Л =_|
v 2кг 07’
(А.7)
(А.8)
(А.9)
(А. 10)
Этот угловой момент, который называется спином, оказывается
внутренним свойством частицы, не связанным с ее орбитальным
моментом, хотя имеется и глубокое сходство этих угловых мо-
ментов, так как оба они квантуются в единицах Й. Проведенное
выше рассмотрение показывает, что внутренний спиновый мо-
мент является необходимым следствием квантовой механики.
Существует ли он в природе? На этот вопрос должен ответить
эксперимент; ответ получается, конечно, положительный. Элек-
троны и все фермионы имеют спин 1/2.
Матрицы Hz, соответствующие спину 1/2 и называемые матри-
цами Паули, определяются формулой
(А.н)
Говоря о спине, обычно называют его компонентами матрицы
oz, а не Li, Когда используют матрицы о, в другом контексте
при обсуждении внутренних симметрий частицы, эти матрицы
обозначают т,. Заметим, что
{^Ь <*/} = <Wi + aj°i = 2bi}, (А. 12)
[ff() ff/] = (А. 13)
где zijk — полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты,
Причем 8123 = 1.
Собственные состояния матриц Паули являются двухкомпо-
нентными спинорами. Например, считая а и b числами, имеем
L а\ /1 0 \ / а \ L а\
-1 )\&7 = Л\&7’ (А,И
откуда получаем уравнения
a = La, —b = Lb,
(А. 15)
328
Приложение А
решениями которых являются спиноры \ о 7 1 k 1 7 соответ-
ственно с собственными значениями ±1. Собственное состояние
( 1 А
I ф I называют состоянием «со спином вверх» и иногда обозна-
/0 \
чают символом | j>; состояние I J называют состоянием «со
спином вниз» и обозначают символом ||>. Произвольное состоя-
ние может быть представлено в виде линейной комбинации
1^> = С1И>Ч-С2|ф>, (А.16)
причем | Ci |2 есть вероятность обнаружения спина, направлен-
ного вверх, в эксперименте, | С212 — вероятность обнаружения
спина, направленного вниз; очевидно, | Ci |2 + |С2|2 — 1.
Для квантовомеханической системы со спином 1/2 можно на-
писать уравнение Шредингера
= (А. 17)
где функция ф имеет представление
/ ^1(х,
“Ш*. t})'
(А. 18)
а (i = 1,2)—нормированные волновые функции. Гамильто-
ниан в уравнении (А.17) может быть оператором в спиновом
пространстве. Но он должен быть инвариантным относительно
вращений в спиновом пространстве, если спиновый угловой мо-
мент системы сохраняется.
Чтобы построить инвариантный гамильтониан, воспользуемся
тем, что а является вектором в обычном пространстве. Рассмот-
рим спинор общего вида, даваемый формулой (А. 16). Комплекс-
ные числа Ci могут быть параметризованы с помощью формул
С{ = е^е-^2 cos (0/2), С2 = ei6e^2 sin (0/2), (А. 19)
где 6, </> и 0 — действительные числа. Тогда, очевидно,
/0 1 \ ( ei6e~1^2 cos (0/2) \
= (е-'W2 cos (е/2) е-«-ее-W2 sin (0/2)) ( j Q ) ( sin (g/2) J =
— е1ф cos (0/2) sin (0/2) + е~‘ф sin (0/2) cos (0/2) = sin 0 cos ф. (A.20)
Угловой момент, спин и группа SU(2) 329
Аналогично получаем
ф+а2Ф = sin 0 sin ф, (А.21)
ф+ог3ф = cos 0. (А.22)
Как видим, получаются декартовы компоненты единичного век-
тора, выраженные через полярный угол 0 и азимутальный угол
ф. Таким образом, объект ф+аф можно интерпретировать как
единичный вектор в спиновом пространстве. Последнее обстоя-
тельство всегда используется при составлении гамильтонианов
и лагранжианов, инвариантных относительно спиновых враще-
ний. Если задан вектор, то возможные скаляры для него можно
построить с привлечением других векторов. Например, если в
задаче появляется вектор импульса р, мы можем включить в
гамильтониан слагаемое вида а-p, причем выражение ар в га-
мильтониане обозначает величину (ф+аф) • р. Если имеются два
вектора pi и р2, то мы можем включить в гамильтониан слагае-
мое вида a pi X р2 и т. д. В основном тексте книги мы неодно-
кратно пользуемся этими соображениями при построении ла-
гранжианов, инвариантных относительно групп преобразований
во внутренних пространствах.
В заключение остановимся на одном важном вопросе. Часто
приходится иметь дело с функциями операторов или матриц.
Расскажем, как определяются такие функции. Предположим,
что мы произвели фазовое преобразование, фаза которого яв-
ляется не числом, а оператором в спиновом пространстве, а
именно
ф/^fQ.e^ (А .23)
Вектор е обозначает набор трех параметров 8Ь е2, ез, которые
определяют данное преобразование, и мы можем написать этот
вектор в виде г = &п (с использованием модуля и единичного
вектора). Можно полагать, что все функции от матриц опреде-
ляются их разложениями в степенные ряды. В случае формулы
(А.23) это разложение имеет особенно простой вид:
е{°Ае = 1 + iG . Ле + + (*^)3 + ... . (А.24)
Заметим, что выполняются равенства
(о • п)2 = (сг,п1 + о2п2 + о3«3)2 =
= «, + п| + я2 + п1п2(ст1а2 + а2ст1)+ ... =1, (А.25)
которые получаются при использовании уравнения (А. 12) и
основного свойства единичного вектора п2 = п% + и| + п2 = 1.
330
Приложение А
Таким образом, имеем равенство
= [1 - е2/2! + е4/4! + . ..] + /а • п [е - е3/3! + . . .] = (А.26)
= cos е + io • п sin 8. (А.27)
Мы можем написать этот результат в более развернутой форме,
вводя матрицы Паули и единичную матрицу:
/ cos 8 + in* sin 8 (ini + n2) sin 8 \
T 3 V IT 2/ (A28)
\ (tn{ — n2) sm e cos 8 — m3sine/
Матрица (A.28) является матрицей поворота, для которого
компоненты вектора п равны П\ = sin 6 cos по = sin 6 sin ф,
n3=cos0, если направление вектора определяется полярным
углом 0 и азимутальным углом ф. Например, если 0 = ф = л/2,
/ii = M3 = 0 и П2= 1, то имеем матрицу поворота в плоскости
xz на угол е:
/ COS 8 Sin 8 \
\ — sin 8 COS 8 7
(А.29)
Согласно теории, изложенной в приложении* Б, матрицы
Паули и единичная матрица образуют генераторы группы
SU (2). С их помощью можно построить преобразования, которые
переводят одно спиновое состояние в другое, и эти преобразо-
вания составляют группу, называемую группой St/(2). Кроме
спина, элементарные частицы обладают также другими харак-
теристиками, причем некоторые из них связаны с аналогичны-
ми преобразованиями, которые соединяют состояния частицы.
Если эти характеристики частиц аналогичны спину и связаны с
преобразованиями, генерируемыми матрицами Паули, то для
них можно применять те же теоретические соображения, что и
для спина. В частности, как и для спина, можно построить га-
мильтониан (лагранжиан взаимодействия), который инвариан-
тен относительно такой группы преобразований. При этом мож-
но полностью использовать формализм данного приложения.
Кроме преобразований группы St/(2), которые тождественны
спиновым преобразованиям, элементарные частицы имеют так-
же группу преобразований SJ7(3); используя аналогию с груп-
пой St7(2), легко получить необходимые формулы для группы
SU (3), как это сделано в приложении Б.
Элементы теории групп
331
Приложение Б
Элементы теории групп
Поскольку теория групп определенно играет важную роль в
описании природы, при обсуждении физики элементарных час-
тиц полезно иметь о ней некоторое представление. Ниже при-
водится небольшой обзор основных положений теории групп,
знание которых необходимо для понимания текста настоящей
книги.
Группой называется множество элементов, для которого
определена операция композиции, которая характеризуется сле-
дующими условиями:
а) композиция двух элементов группы является снова эле-
ментом группы;
б) существует тождественный элемент I группы, такой, что
для любого элемента Е группы справедливы соотношения (точ-
кой обозначена операция композиции)
£./ = /.£=£;
в) каждый элемент Е группы имеет единственный обратный
элемент В-1, т. е. такой элемент, который удовлетворяет соот-
ношениям
Е-Е~'=Е~'-Е = Г,
г) операция композиции ассоциативна, т. е. удовлетворяет
требованию
А • (В • С) -= (Л • В) • С
для любых трех элементов группы Л, В, С.
В качестве примера группы можно рассмотреть множество
всех комплексных фазовых множителей данной волновой
функции, т. с. множество элементов вида U (0) = где 0 —
действительное число; эти элементы образуют (непрерывную)
группу с обычным умножением комплексных чисел в качестве
операции композиции. Проверяя первое условие, получаем
U (0) и (0') ei О+еэ = и (0 + 0')} (БД)
где U(0 + 8')—элемент группы. Тождественным элементом яв-
ляется элемент £7(0). Поскольку £7(0) U (—0)=£7(—0)£7(0) =
= £7(0) = /, для любого элемента £7(0) существует ему обрат-
ный элемент £7-1(0)=£7(—0). Требование ассоциативности то-
же выполняется, так как
[U (00 U (02)] U (03) = = ^(0i+0;+°.) — =
= f7(e1)[t7(02)C7(03)I. (Б.2)
332
Приложение Б
В физике элементарных частиц теорией групп приходится
пользоваться по той причине, что часто мы имеем дело с раз-
личными преобразованиями физических систем, причем физи-
ческие системы оказываются инвариантными относительно опре-
деленных групп преобразований. Ниже мы рассмотрим только
непрерывные группы преобразований, для которых параметры,
описывающие преобразования, являются континуальными пере-
менными и принимают бесконечное непрерывное множество
значений (бесконечные непрерывные группы).
Группа комплексных фазовых множителей волновой функ-
ции, приведенная выше в качестве примера, называется одно-
мерной унитарной группой и обозначается символом £7(1).
Каждый элемент этой группы характеризуется определенным
значением континуального параметра 0, который принимает зна-
чения в интервале 0^0^ 2л; т. е. параметр 0 может прини-
мать бесконечное множество значений. Очевидно, можно опре-
делить дифференциал
dU = U (0 + d0) - U (0) = el <0+d0> - eiQ =
= eiQ (1 + i d0) - eiQ = ieiQ d0 = iU d0, (Б.З)
так что элементы группы можно дифференцировать.
Группой Ли называется группа, элементы Е которой яв-
ляются дифференцируемыми функциями своих параметров, как
в рассматриваемом примере группы £7(1).
Можно доказать, что любой элемент группы Ли можно пред-
ставить в виде
е (оь е9,.... е„)=ехр ( £ zezFЛ, (б.4)
X i = 1 7
причем для ^-параметрической группы существует п величин Ft,
которые называют генераторами группы Ли. Их удобно предста-
влять себе как величины, порождающие преобразования.
Б.1. Группы SO(n)
Вращения в /г-мерном евклидовом пространстве образуют груп-
пу, обозначаемую символом О(п). Элементы группы О(п) мож-
но представить квадратными матрицами типа п, каждая из
которых имеет п(п—1)/2 независимых элементов. Докажем
это. Рассмотрим матрицу R группы О(п) типа составлен-
ную из вещественных чисел; всего она имеет п2 элементов. Вра-
щение представляется ортогональной матрицей, т. е. матрицей,
Элементы теории групп
333
удовлетворяющей условию RTR = 1 . Так как матрица RTR
имеет п отличных от нуля и равных единице диагональных эле-
ментов, для и2 элементов имеем п условий вида d = 1. Недиаго-
нальные элементы матрицы RTR равны нулю; общее их число
равно (п2— п)/2', множитель 1/2 появляется по той причине, что
элементы, расположенные под главной диагональю, не незави-
симы от элементов, расположенных над диагональю. Таким
образом, число независимых элементов ортогональной матрицы
равно
п2 - п - (п2 - п)/2 = п(п- 1)/2. (Б.5)
Если дополнительно потребуем, чтобы детерминант матрицы
R был равен единице, то получим группу, обозначаемую симво-
лом SO (я), где S означает «специальный». Матрица с детерми-
нантом, равным —1, представляет преобразование, которое вклю-
чает в себя, кроме вращения, также инверсию координат.
Группа SO (2) нам хорошо известна; ее элементами являются
вращения плоскости. Координаты х и у преобразуются при вра-
щении плоскости в координаты хг и уг следующим образом:
где
cos0
— sin 0
У Г
sin 0
cos0
(Б.6)
(Б.7)
Элементы этой группы характеризуются значениями единствен-
ного параметра 0. Заметим, что величина х2 + у2 остается инва-
риантной при рассматриваемых вращениях.
Группа SO(3) является трехпараметрической. Она описы-
вает вращения в трехмерном пространстве. Один из способов
параметризации ее преобразований — использовать углы Эйле-
ра, которые позволяют представить произвольное трехмерное
вращение в виде
/?(а, р, y) = /?2'(0, 0, а)/Ш °)^(0, О, Y), (Б.8)
где Rz — вращение вокруг оси z на угол у» Ry— вращение во-
круг оси у на угол (3, RZ'~ вращение вокруг новой оси zr на
угол а. Производя последовательно эти три вращения, можно
осуществить любое вращение в трехмерном пространстве.
334
Приложение Б
Матрицы базовых вращений имеют следующий простой вид:
(cos Р 0 — sin р \
0 1 0 ,
sin р 0 cos р /
(cosy sin у 0
— sin у cosy 0
0 0 1
(Б.9)
(Б.10)
Заметим, что при вращениях группы 50(3) величина х2 + у2 +
4- z2 остается инвариантной.
В приложении А показано, что
eie<j2 = cos 0 + 1<т2 sin 0. (Б.Н)
Используя матрицу
/•О -I \
получаем
/ cos0 sin 0
^10а2 — j
\ — sin 0 cos0
(Б.12)
Согласно выражению (Б.7), мы получили матрицу двумерного
вращения. Формула (Б. 12) совпадает с формулой (Б.4), поэто-
му матрица сг2 является единственным генератором группы
50(2).
Б.2. Группы SU(n)
Элементы группы SU(n) представляются унитарными матрица-
ми типа п X я, т. е. матрицами, удовлетворяющими условию
U^U = 1, причем det U = 1.
Эта группа характеризуется п2 — 1 независимыми парамет-
рами. Докажем это. Матрица типа п X и имеет п2 элементов,
каждый из которых является комплексным числом, т. е. имеем
всего 2п2 вещественных параметров. Условие UrU — 1 наклады-
вает п условий, соответствующих диагональным элементам, и
2[(/г2 — /г)/2] независимых условий, соответствующих недиаго-
нальным комплексным элементам. Это дает 2п2 — п — \п2 —
— лг) =лг2 независимых параметров, число которых надо еще
уменьшить на единицу, чтобы удовлетворить условию, что
det U равен 1.
Элементы теории групп
335
В случае матриц U типа 2X2 их можно параметризовать
следующим образом:
/ а b \
r (Б.13)
\ — b а )
где а и b — произвольные комплексные числа, удовлетворяю-
щие условию |а]2 + |Ь|2 = 1, т. е. можно положить
/ cos0e*a sin 0efY \
\ —sin0e~/Y cos0e~Za/‘ (Б-14)
Если Н — эрмитова матрица, то матрица eiH унитарна, так как
(еш)\еш) = е~^еш = е~^н-н^ = 1. (Б. 15)
Заметим, что второе равенство имеет место только для комму-
тирующих друг с другом матриц, которые в нашем случае дей-
ствительно коммутируют, поскольку матрица Н коммутирует
с матрицей Н\ Таким образом, можно положить
U = eiH. (Б. 16)
Расчет числа независимых параметров матрицы £7, произведен-
ный по формуле (Б. 16), подтверждает эту формулу, так как
эрмитова матрица Н типа n X п характеризуется п2 независи-
мыми вещественными параметрами.
Теперь можно взять любую совокупность п2 независимых
эрмитовых матриц Hj и представить любую унитарную матрицу
типа п X п в виде
/ «2 \
U = (Б. 17)
где 0/ — вещественные параметры, Hj — генераторы группы
£7(п), число которых равно п2. Чтобы получить формулу для
элементов группы S£7(n), требуется сделать только еще один
шаг, позволяющий удовлетворить условию det £7=1.
Чтобы учесть это последнее условие, необходимо воспользо-
ваться алгебраическим тождеством
det еА = еТгЛ,
справедливым для любой симметричной квадратной матрицы А.
(Чтобы доказать это тождество, надо привести матрицу А к ди-
агональному виду, что всегда возможно сделать. Диагональны-
ми элементами матрицы А являются ее собственные значения
336
Приложение Б
Л/. Тогда
ел=! + л + Д2/21+ ...=
1 4” М 4” ^1/2! 4" ... О 0 ...
О 1 4~ Л<2 -|- Л2/21 + ... О ...
= О 0 =
О О ... '
о Л о ...
= * о ’ .
’ : А
так что
det еА = ... А = еМ*2+ • • • +хп = еТг А,
поскольку след матрицы А равен сумме ее диагональных эле-
ментов.)
Таким образом, видим, что условие det U = 1 эквивалентно
условию Тг Н = 0. Последнее условие и надо наложить на мат-
рицы /7, т. е. любая матрица Н должна быть эрмитовой и обла-
дать нулевым следом. Генераторами группы SU(n) может быть
любая совокупность линейно независимых эрмитовых матриц
типа п X п с нулевыми следами.
Б.З. Группа SU(2) в физике
В этой книге мы неоднократно пользуемся тем обстоятельством,
представлять спинорами, пол-
что кварки и лептоны можно
ностью аналогичными спиновым
заны друг с другом кварковые
стояния и спиновые состояния?
состояниям
Но как свя-
или лептонные зарядовые со-
Множество всех унитарных унимодулярных матриц типа
2X2 образует группу St7(2). Каждая такая матрица опреде-
ляется значениями трех континуальных параметров. Этот факт
нашел уже отражение в формулах (Б.13) и (Б.14). Обратим
теперь внимание на то, что группа St7(2) локально идентична
группе вращений в трехмерном пространстве, т. е. группе
SO(3). (Обе эти группы различаются глобально, т. е. для вра-
Элементы теории групп
337
щений, не являющихся бесконечно малыми.) Эти две группы
обладают одной алгеброй Ли, т. е. их генераторы имеют одина-
ковые коммутационные соотношения.
Получается очень интересное упрощение. Множества пре-
образований в обеих группах имеют идентичную математиче-
скую структуру, с которой мы уже хорошо знакомы по кванто-
вомеханической теории спина. Поскольку в настоящее время
мы не понимаем тех глубоких причин, по которым стандартная
модель имеет внутреннюю SU (2)-симметрию, не ясно, является
ли наличие в ней еще одной дополнительной группы St7(3)
случайным или закономерным обстоятельством. Во всяком слу-
чае, такая ситуация весьма удачна, так как мы обладаем на
основе теории спина достаточным опытом и интуицией, чтобы
рассматривать состояния фермионов и внутренние симметрии
этих частиц. Имеющийся опыт в отношении группы St7(2) по-
могает нам при рассмотрении группы St7(3).
Б.4. Группа St/(3)
Матрицы Паули можно использовать для составления генерато-
ров группы St7(3). Группа St7(3) имеет З2—1=8 генерато-
ров. Эти генераторы обозначают где а=1, ..., 8. Комму-
тационные соотношения для них имеют вид
1Ла, abc^ci
где
fl23= К
f 458 = f 678 = V 3/2,
/147 — /516 = f 246 = ^257 — fw — f 637 = 1/2,
причем величины fabc полностью антисимметричны, остальные
величины f равны нулю. Простое представление матриц X
получается путем соответствующих обрамлений матриц Паули:
22 г. Кейн
338
Приложение В
Хотя в основном тексте книги мы редко пользуемся матрицами
группы St7(3), мы все же ссылаемся на них в нескольких мес-
тах; полезно поэтому помнить их свойства и простые выражения
для их генераторов.
Б.5. Абелевы и неабелевы группы
В заключение этого приложения подчеркнем, что важно разли-
чать группы, преобразования которых коммутируют между со-
бой, т. е. (71(72= которые называются «абелевыми», и так
называемые «неабелевы группы», преобразования которых не
коммутируют друг с другом.
Например, пусть мы имеем два преобразования
/?! = eo-fi&x = cos 81 sjn 8ь
/?2 = eia AZ: = cos 82 + za • Л2 sin 82.
С использованием коммутационных соотношений матриц Паули
получаем
RXR2 — ^2^1 = sin 8j sin 82 (a • й2а • — a • • й2) =
= — sin 8! sin &2n\in2i (<*j ~ (Г/O'i) — ~ 2/ Sill 8j Sl’n 82 — k>
т. e. имеем некоторую матрицу вращения. Всегда, когда мы
имеем дело с некоммутирующими операторами, важно учиты-
вать порядок, в котором производятся соответствующие опера-
ции.
Приложение В
Элементы релятивистской кинематики
Часто приходится рассматривать элементарные частицы, кото-
рые движутся с релятивистскими скоростями. Для описания их
движения необходимо использовать формулы релятивистской
кинематики. Это важно учитывать, имея в виду, что в конечном
счете реально мы измеряем импульсы и энергии электрически
заряженных частиц. Все остальное — интерпретация, первым
необходимым этапом которой является кинематический анализ
непосредственно измеренных величин. Заметим, что формулы
релятивистской кинематики существенно проще формул нере-
лятивистской кинематики.
Рассмотрим элементарный процесс а + b -> с + d. Обозна-
чим массы частиц Ма, МЬ) Мс и Md и их 4-импульсы
Ра = (Еа, Ра), (В-0
рь = (Еь; р6) (В.2)
Элементы релятивистской кинематики 339
и т. д. Каждый 4-импульс удовлетворяет условию р] = М?. Со-
хранение 4-импульса в процессе а + b -> с + d дает условие
ра + рь = рс + ра, т. е. четыре скалярных уравнения. Таким
образом, всего имеем восемь условий. Из рассматриваемых че-
тырех 4-импульсов можно образовать десять независимых ска-
ляров (р~, ра • р6, ра 'рс, . ..Следовательно, имеем только
две независимые переменные, которые описывают процесс
а b с d. В нерелятивистской квантовой механике в каче-
стве таких переменных обычно берут энергию и угол рассеяния.
Как это принято в современной физике элементарных частиц,
мы будем использовать вместо этих переменных лоренцевы ска-
ляры. Напомним, что скалярное произведение двух 4-векторов
равно a-b = aQbQ — a-b, и определим величины
S=(Pa + pb)2, (В.З)
t-lPc-Pa)2, (В.4)
U = (pd — pa)2, (В.5)
которые являются лоренцевыми скалярами и из которых только
две независимы. Однако из соображений симметрии удобно
рассматривать все эти три величины на равных основаниях.
Проведя простые алгебраические преобразования, получим
s + t + и = м^ + Ml + Ml = М'2С. (В.6)
Поскольку s, t и и — лоренцевы скаляры, они имеют одинако-
вые значения во всех системах отсчета, и чтобы определить их
значения, достаточно рассмотреть какую-либо удобную систему
отсчета. Как правило, мы работаем в системе центра масс, так
как мы главным образом рассматриваем элементарные процес-
сы, происходящие в коллайдерах. В системе ц. м.
Ра = {Еа, О, О, р), (В.7)
рь = (Еь; О, О, -р), (В.8)
так как по предположению начальные частицы движутся вдоль
оси координат z. Частицы а и b обладают равными и противо-
положными импульсами в системе ц. м. Конечные частицы end
могут рассеиваться на некоторые углы, поэтому
Ес = (Ес-,р'), (В.9)
Ed = (Ed-, -р'), (В. 10)
где без ограничения общности можно принять, что вектор р'
лежит в плоскости xz. Положим
р' = (р' sin 6, 0, р' cos 0). (В. 11)
22*
340
Приложение В
Угол 0 — это угол рассеяния, т. е. cos 0= р-р'. Таким образом,
в системе ц. м.
s = (Ea + Eby=(V<+7+V^ + p2)2; (B-12>
разрешая это соотношение относительно р, получаем
2 = [3 - (Мд + Mb)2] [S - (Мд - Mb)2] (в J3)
Р 4S \ • /
Рассуждая аналогично, получаем
s = (£c + £d)2, (В. 14)
так что
/2 = [s-(Mc + M^)2] [s - (Мс - М^)2] zв 15)
Р 4S • \ )
В результате несложных алгебраических выкладок, отсюда
приходим к следующим простым формулам:
(s + M2 -М?)
Еа = ---- ° ь’, (В. 16)
2 д/s
и к соответствующим формулам для Еь и Ed, которые полу-
чаются с помощью очевидных замен из приведенных формул,
как в этом легко убедиться, используя выражения (В. 12) и
(В.14).
Вводя в рассмотрение угол рассеяния, получаем
t = М2 + М2а - 2рс • ра = Л42 + М2а - 2ЕсЕа - 2р' • р =
= M2 + M2-2EcEa + 2p'pcos8, (В. 18)
а также
u = M2d + M2a-2EdEa-2p'pcose. (В. 19)
Для элементарного процесса а b -> с + d, для которого
массами участвующих частиц можно пренебречь, имеем
Ea = Eb = p = Ec = Ed = p'^-, (В.20)
s = - ±(1 -cos 6), (В.21)
« = --1(1 + COS0). (В.22)
Сечение рассеяния в случае точечных частиц 341
Дифференциальное сечение рассеяния часто обозначают
символом doldQ, где dQ = d</>d(cos 0). Но часто удобно исполь-
зовать немного отличное сечение: d^jdt. При фиксированной
энергии соотношение между обоими сечениями можно получить
с помощью формулы (В. 18); для элементарных процессов, для
которых массами участвующих частиц можно пренебречь, эти
сечения различаются множителем s/2.
Лабораторная система отсчета — это такая система, в кото-
рой частица b мишени покоится. В этой системе отсчета
рь = (Мь;0), так что
s = Ml + Ml + 2EaEb-, (В.23)
мы видим, что величина $ определяется энергией Еа пучка
частиц а. Угол рассеяния в лабораторной системе можно вы-
числить, например, приравнивая выражения для /, вычисленные
в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета ц. м. си-
стемы.
Приложение Г
Сечение рассеяния
в случае точечных частиц
Может быть, самым поразительным доказательством существо-
вания кварков и подтверждением их свойств, предсказываемых
КХД, являются экспериментально найденные значения сечения
рассеяния и зависимость их от угла рассеяния для процесса
e+e~->qq, рассматриваемого как процесс рассеяния точечных
частиц. Как описано в гл. 15, в этом случае детектор регистри-
рует два конуса адронов. Величина сечения и его зависимость
от полярного угла 0 оказываются в точности такими, как ожи-
далось для рассеяния точечных частиц со спином V2.
Из-за наличия спинов у частиц и необходимости учета фор-
мул релятивистской кинематики строгий вывод формулы для
угловой зависимости сечения рассеяния точечных частиц не
прост; необходимо пользоваться строгими решениями уравнения
Дирака, вводить спиральные амплитуды рассеяния и проводить
громоздкие алгебраические выкладки. Но ввиду важности ре-
зультата мы здесь приводим такой вывод.
Рассмотрим процесс и обозначим 4-импульсы
частиц р, q, р', q'. Матричный элемент квантового перехода, со-
ставленный по диаграмме, изображенной на рис. 19.1, имеет
следующий вид:
М = ~(й (р') y»v (д') (v (р) у „и (д)), (Г. 1)
342
Приложение Г
поэтому, пренебрегая всеми массами участвующих частиц и
используя свойства следов матриц, получаем
I М|2 = Тг (у • р'у»у • /Yv) Тг (у • ру^у • <7Vv) =
= [p'vfl'v + рХ - р' • ^hv] [р^ + Р^11 - Р =
= ^-(р' pq'-q + p'-qp-q'l (г.2)
В системе ц. м. имеем следующие 4-импульсы:
Р = ^-(1; о, о, 1),
<7 = ^(1; о, о, -1),
р' = -^у-(1; sin 0, 0, cosO),
q' = Х^-(1; — sin 0, 0, — cos0).
(Г.З)
Считаем, что начальные частицы движутся вдоль оси 2, а ко-
нечные частицы рассеиваются на полярный угол 0 в пло-
скости xz. Тогда
р'• Р = у(1 — COS0), / . ^ = j(l +COS0),
s s (Г-4)
р'• <7 = у(1+COS0), р • / = -4(1 — COS0);
|М|2 = е4(1 _]_Cos20), (Г.5)
поэтому
4з- = ^А-ПЙТ2 = -?-(1+cos20); (Г.6)
aQ 64nzs 1 1 4s х 1 ’ '
это как раз то угловое распределение, которое мы хотели по-
лучить. Интегрируя выражение (Г.6) по углам, для полного се-
чения рассеяния точечных частиц имеем следующую простую
формулу:
4ла2
а=—•
(Г.7)
Поскольку единственное, что мы использовали при выводе, это
спины частиц (и приближение пренебрежимо малых масс), по-
лученные результаты (Г.6) и (Г.7) справедливы для произ-
Когда неприменим используемый приближенный метод
343
вольных элементарных частиц, обладающих спином 72, массы
которых малы по сравнению с д/s и которые рассеиваются по-
средством s-канального векторного тока. Если получаемые ко-
нечные фермионы имеют электрический заряд eQf, то в форму-
лы (Г.6) и (Г.7) следует включить дополнительные множители
Q2f. Если конечные фермионы являются цветными кварками, то,
учитывая, что частицы всех трех цветов рождаются равнове-
роятно, заключаем, что сечения deldQ и о надо умножить на 3.
Приложение Д
Когда неприменим используемый приближенный
метод оценки ширин распадов и времен жизни
В этой книге показано, что расчеты ширин распадов и времен
жизни можно проводить очень просто и получать результаты
с точностью до множителя 2 или меньше с помощью грубого
приближенного метода. Этот метод расчета вполне удовлетвори-
телен для объяснения многих достижений стандартной модели
и результатов ее экспериментальных проверок. Пользуясь этим
методом, читатель оказывается в состоянии понять суть многих
экспериментальных успехов стандартной модели без углубления
в детали ее математического формализма.
Но приближенные методы не всегда оказываются примени-
мыми, и здесь мы укажем границы применимости нашего при-
ближенного оценочного метода.
1. Приближенный «оценочный» метод предназначен толь-
ко для элементарных процессов, в которых участвуют кварки,
лептоны и калибровочные бозоны. Его нельзя (без изменений)
использовать для процессов, в которых участвуют адроны, на-
пример для процессов л°->уу, k±-->|li±v(1, ф->р+|л~ и др. Для
всех таких процессов надо учитывать дополнительные множи-
тели, возникшие от учета адронной волновой функции и воз-
можных интерференционных эффектов.
2. Данный метод, вообще говоря, не дает правильного угло-
вого распределения, поскольку часто появляются дополнитель-
ные зависящие от угла множители в ий или в кинематических
величинах, которые мы просто заменяем их максимальными зна-
чениями.
3. Наш приближенный метод не позволяет правильно оце-
нить разности сечений ширин и времен жизни для процессов, в
которых участвуют частицы и античастицы. Например, разли-
чие между сечениями процессов и не про-
344
Приложение Д
является в данном методе. Полные сечения для обоих этих
процессов приближенным методом даются примерно правильно,
но множитель sin2 0W, которым различаются сечения указанных
процессов, метод не дает.
4. Когда имеется полюс в /-канале, например при обмене
фотоном или нейтрино, метод позволяет учесть эффекты этого
полюса только в том случае, если очень тщательно оценивают-
ся кинематические множители.
5. Когда необходимо учитывать векторы поляризации про-
дольных калибровочных бозонов, они должны рассматриваться
строго, чтобы выявить зависимость 1/Л4ц7. Расчет такого типа
проведен в гл. 21.
6. Процессы, не сопровождаемые ветвлениями, например
Н-+-уу, Н -> Zy и b —>sy, имеют нулевые сечения в нашем ме-
тоде. Поскольку скорости указанных процессов на два-три по-
рядка величины меньше, чем скорости остальных процессов,
получается в общем неплохое приближение, но читателю по-
лезно знать, что некоторые редкие, но интересные процессы не
учитываются нашим методом.
7. Важные процессы, которые этим «оценочным» методом
нельзя правильно рассчитать, это процессы распадов, подавлен-
ных по спиральности. В этих распадах закон сохранения угло-
вого момента и факт участия только левых частиц в слабых
взаимодействиях накладывают противоположные условия на
спиральности продуктов распада, так что такие процессы могут
происходить только с перевертыванием спина. Такое переверты-
вание может происходить только для частиц с ненулевой мас-
сой, так как амплитуда распада пропорциональна массе рас-
сматриваемой частицы. Например, рассмотрим процесс
где I = ц или е. Лептон должен быть левым, а
нейтрино1^/ — правым, так что спины конечных частиц направ-
лены одинаково. Но имеет нулевой спин, поэтому спираль-
ности конечных частиц должны быть противоположными. Ско-
рость рассматриваемого процесса пропорциональна или М&,
поэтому канал распада оказывается доминирующим.
Можно, конечно, усовершенствовать данный приближенный
метод, чтобы включить в него указанные случаи, но тогда метод
потеряет свою простоту. Вероятно, самое правильное использо-
вать этот простой приближенный метод при проведении боль-
шей части расчетов в рамках стандартной модели, как мы это и
делаем. Всякий, кто этим не довольствуется,— должен научить-
ся применять соответствующий строгий математический форма-
лизм
Лагранжиан и симметрии. Уравнения Эйлера — Лагранжа 345
Приложение Е
Лагранжиан и симметрии.
Уравнения Эйлера—Лагранжа
В этом приложении, адресуемом интересующимся читателям,
мы немного поговорим о лагранжиане и симметриях. Прежде
всего мы выведем уравнения Эйлера — Лагранжа, а затем крат-
ко обсудим теорему Нётер. Пример электромагнитного поля,
который мы начали обсуждать в гл. 2, рассматривается в одной
из задач к этому приложению.
Нам не нужны были уравнения Эйлера — Лагранжа в
гл. 2, хотя мы неявно использовали их в одном случае. Они на-
кладывают на лагранжиан определенные условия, гарантирую-
щие, что действие 3 имеет экстремум для истинного движения.
Рассмотрим здесь только случай, когда лагранжиан 2 явно за-
висит от полей и их производных, но не зависит от координат
т. е. положим 2 = 2 ($, д^ф). Рассмотрим вариацию
ф(х)^ф'(х) = >{>(х) + 6ф(х). (Е.1)
Тогда
6S = J л 63" = $ л 6 (<?„«]. (Е.2)
Учитывая, что 6(др^>) = д^Ьф, и интегрируя по частям второе
слагаемое, получаем
6S = ( d4x - дц д 16^>, (Е.З)
J L дФ д (д^Ф) J г ’ v 7
при условии что вклад от пространственно-временной поверх-
ности можно опустить. Таким образом, условие стационарности
действия (63 = 0) дается уравнением
д —= о (Е 4)
дФ_______________________________д(д^Ф) и‘
Это уравнение Эйлера — Лагранжа для функции ф. Аналогич-
ное уравнение справедливо для любого поля, входящего в лаг-
ранжиан 2. Как мы убедились в гл. 2, для вещественного ска-
лярного поля, лагранжиан которого имеет вид 22 = д^фдц,ф —
— т2ф2, уравнением Эйлера — Лагранжа является волновое
уравнение, или уравнение Клейна — Гордона д^ф + т2ф = 0.
Когда лагранжиан или действие инвариантны относительно
группы непрерывных преобразований, в теории появляется без-
дивергентный ток. Этот ток связан с явным образом сохраняю-
щимся зарядом. Рассмотрим ток /К для которого <9|ХЛ1 = 0.
346
Приложение Е
Интегрируя последнее соотношение по d3x, получаем
J dQJQ d3x + J diP d3x = 0.
Второе слагаемое можно преобразовать с помощью теоремы
Гаусса в интеграл по бесконечной пространственной поверхно-
сти, который по предположению равен нулю. Поэтому, сохра-
няя только первое слагаемое, получаем
А ( 7° d3x = 0;
dt J ’
отсюда заключаем, что заряд Q = J3d3x не изменяется с те-
чением времени.
Всякий раз, когда имеется сохраняющийся ток, имеется так-
же и сохраняющийся заряд, и наоборот. Всякий раз, когда тео-
рии инвариантна относительно некоторой группы преобразова-
ний, существует сохраняющийся ток, как показано в гл. 2, ко-
торый можно выразить через соответствующие производные
лагранжиана. Таким образом, когда имеется инвариантность,
имеется и соответствующая сохраняющаяся величина. Такой
величиной является любой «заряд», связанный с соответствую-
щим током. Это положение называется теоремой Нётер.
Суть теоремы Нётер состоит в следующем. Она показывает,
когда существуют сохраняющиеся величины, и указывает спо-
соб их определения. Если существует какая-нибудь сохраняю-
щаяся величина, то обязательно имеется и связанная с ней сим-
метрия. И наоборот, если есть симметрия, то существует со-
храняющаяся величина. И здесь не нужно гадать. Если мы хо-
тим составить правильное выражение для лагранжиана и знаем
симметрии, которые в него надо включить, то использование
теоремы Нётер очень помогает такому включению наблюдае-
мых симметрий и законов сохранения в структуру теории.
Задачи
а) -аг = -р.
б> s(-4!q
Е.1. Покажите, что для лагранжиана электромагнитного по-
ля, рассмотренного в гл. 2, справедливы соотношения
в) dV ~ °’
д~дГ
г) к дт~ V’E>
Лагранжиан и симметрии. Уравнения Эйлера — Лагранжа
347
Используя эти соотношения (и аналогичные соотношения с за-
меной х->г/, z) для преобразования уравнений Эйлера — Ла-
гранжа, покажите, что они эквивалентны уравнениям Максвел-
ла. Покажите, что из соотношения d^F^v=Jv следует уравне-
ние V-E = р.
Е.2. Рассмотрите лагранжиан
з? = у j d3x [i (ф*ф — -ф’ф) — Vf • V'»!’] •
Выведите уравнение, которому удовлетворяет поле ip, и интер-
претируйте это уравнение. Как следует изменить лагранжиан
3?, чтобы в уравнении для гр появилось слагаемое с потенциалом
К(х)?
Е.З. а) Предположим, что теория инвариантна относительно
преобразований t' = t, х' = х — бх, у' = у, z' = z, xr = х, у' = у
и z' = z. Какой закон сохранения связан с ними? б) Какой
закон сохранения связан с преобразованиями t' = t, х' = х +
+ убО, У' — У — *60, г' — z, х' = х + z/69, у' = у — хб9, z' = z?
Литература
1. Aitchison I. J. R., Hey A. J. G. Gauge Theories in Particle Physics.—
Bristol: Hilger, 1982.
2. Arnison G. et al. — Physics Letters, 1986, v. В177, p. 244.
3. Bethe H. A. — Physical Review Letters, 1986, v. 56, p. 1305.
4. Bloom E. D.t Feldman G. J. Quarkonium. — Scientific American, 1982, May,
p. 66.
5. Cahn R., Goldhaber G. Experimental Foundations of Particle Physics. —
Cambridge: University Press.
6. Cheng Т.-P., Li L.-F. Gauge Theory of Elementary Particle Physics. — Ox-
ford: Clarendon Press, 1984. [Имеется перевод: Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Ка-
либровочные теории в физике элементарных частиц. — М.: Мир, 1987.]
7. Close F. Е. An Introduction to Quarks and Partons. — Academic Press,
1979.
8. Collins P. D., Martin A. D. Hadron Interactions. — Bristol: Hilger, 1984.
9. Commins E. D., Bucksbaum P. H. Weak Interactions of Leptons and
Quarks. — Cambridge: University Press, 1983.
10. Crease R. P., Mann С. C. The Second Creation. — Macmillan Publishing
Co., 1986.
11. Cronin J. — Reviews of Modern Physics, 1981, v. 53, p. 367.
12. Davis R. — Science, 1976, v. 191, p. 264.
13. de Wit B., Smith J. Field Theory in Particle Physics, v. 1. — North-Hol-
land, 1986.
14. Dodd J. E. The Ideas of Particle Physics. — Cambridge University Press,
1984.
15. Drell S. D. Electron — Positron Annihilation and the New Particles.—
Scientific American, 1975, June, p. 50.
16. Duke D. IF., Owens J. F.— Physical Review, 1984, v. D30, p. 49.
17. Eichten E., Hinchliffe I., Lane K., Quigg C. — Reviews of Modern Physics,
1984, v. 56, p. 579.
18. Fitch V. — Reviews of Modern Physics, 1981, v. 53, p. 367.
19. Fraunfelder H., Henley E. M. Subatomic Physics. — Prentice-Hall, Inc.,
1974. [Имеется перевод: Фраунфельдер F., Хенли Э. Субатомная физи-
ка.—М.: Мир, 1979.]
20. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen Р. Supergravity and the Unification
of the Laws of Physics. — Scientific American, 1978, February, p. 126.
21. Gasser J., Leutwyler H. — Physics Reports, 1982, v. 87c. p. 77.
22. Georgi H. Unified Theory of Elementary Particles. — Scientific American,
1981, April, p. 48.
23. Georgi H., Quinn H. R., Weinberg S. — Physical Review Letters, 1974,
v. 33, p. 451.
24. Glashow S. — Reviews of Modern Physics, 1980, v. 52, p. 539.
25. Gottfried K. Quantum Mechanics, v. 1. — W. A. Benjamin Inc., 1966.
26. Gottfried K.t Weisskopf V. F. Concepts of Particle Physics, v. 1. — Oxford:
Clarendon Press, 1984. [Имеется перевод: Готтфрид К., Вайскопф В. Кон-
цепция физики элементарных частиц. — М.: Мир, 1988.]
27. Halzen F., Martin A. D. Quarks and Leptons. — John Wiley & Sons, 1984.
[Имеется перевод: Хелзен Ф., Мартин А. Кварки и лептоны. — М.: Мир,
1987.]
28. Haber Н. Е., Kane G. L. Is Nature Supersymmetric. — Scientific American,
1986, June, p. 52.
Литература 349'
29. Harris Е. G. A Pedestrian Approach to Quantum Field Theory. — John
Wiley & Sons, 1972.
30. Hill E. L. — Reviews of Modern Physics, 1951, v. 23, p. 23.
31. Hughes I. S. Elementary Particles. — Cambridge University Press, Second
Edition, 1985.
32. Ishikawa K. Glueballs. — Scientific American, 1982, November, p. 142.
33. Jackson J. D., Tigner M, Wojcicki S. The Superconducting Super Collid-
er.— Scientific American, 1986, March, p. 66.
34. Jacob M., Landshoff P. The Inner Structure of the Proton. — Scientific
American, 1979, March, p. 66.
35. Johnson K. A. The Bag Model of Quark Confinement. — Scientific Ameri-
can, 1979, July, p. 112.
36. Leader E., Predazzi E. An Introduction to Gauge Theories and the New
Physics. — Cambridge University Press, 1982.
37. Lederman L. The Upsilon Particle. — Scientific American, 1978, October,
p. 72.
38. Lee T. D. Particle Physics and Introduction to Field Theory. — Harwood
Academic Publishers, 1984.
39. LoSecco J. M., Reines F., Sinclair D. The Search For Proton Decay. —
Scientific American, 1985, June, p. 54.
40. Mandi F., Shaw G. Quantum Field Theory. — John Wiley & Sons, 1984.
41. Moriyasu K. An Elementary Primer for Cauge Theories. — World Scienti-
fic, 1983.
42. Nambu Y. The Confinement of Quarks. — Scientific American, 1976, Octo-
ber, p. 48.
43. Neeman У, Kirsh Y. The Particle Hunters. — Cambridge: University Press,
1986.
44. Okun L. B. Leptons and Quarks. — North-Holland Publishing Co., 1982.
45. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. — М.: Наука, 1984.
46. Pais A. Inward Bound. — Oxford: Clarendon Press, 1986.
47. Particle Data Tables, Review of Particle Properties. — Physics Letters,
v. 170B, 10 April 1986.
48. Perkins D. H. Introduction to High Energy Physics, 3d ed. — Addison
Wesley Publishing Co., 1986. [Имеется перевод 1-го издания: Перкинс Д.
Введение в физику высоких энергий. — М.: Мир, 1975.]
49. Perl М. L. High Energy Hadron Physics. — John Wiley & Sons, 1974.
50. Perl M. L. The Tau Heavy Lepton. — Nature, 1978, v. 275, p. 273.
51. Perl M. L., Kirk W. J. Heavy Lepton. — Scientific American, 1979, March,
p. 50.
52. Pickering A. Constructing Quarks. — University of Chicago Press, 1984.
53. Quigg C. Gauge Theories in High Energy Physics. 1981 Les Houches Sum-
mer School, Eds. M. K. Gaillard, R. Stora, North-Holland, Amsterdam,
1983.
54. Quigg C. Gauge Theories of the Strong, Weak and Electromagnetic Inter-
actions.— Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., 1983.
55. Rebbi C. The Lattice Theory of Quark Confinement. — Scientific American,
1983, February, p. 54.
56. Renard F. M. Basics of Electron Positron Collisions. — Editions Frontieres,
1981.
57. Richter B. Adventures in Experimental Physics, 1976, v. 5, p. 143.
58. Ross G. G. Grand Unified Theories. — Benjamin/Cummings Publishing Co,.
Inc, 1985.
59. Rubbia C. — Reviews of Modern Physics, 1981, v. 57, p. 699.
60. Rubin V. C. Dark Matter in Spiral Galaxies. — Scientific American, 1983,
June, p. 96.
61. Ryder L. H. Quantum Field Theories. — Cambridge: University Press, 1985.
350
Литература
62. Сахаров А. Д. Нарушение CP-инвариантности, С-асимметрия и барионная
асимметрия Вселенной. — Письма ЖЭТФ, 1967, т. 5, с. 24.
63. Sakurai J. J. Invariance Principles and Elementary Particles. — Princeton:
University Press, 1964.
64. Sakurai J. J. Advanced Quantum Mechanics. — Addison-Weslev Publishing
Co., 1967.
65. Sakurai J. J. Modern Quantum Mechanics. — Benjamin/Cummings Publi-
shing Co., 1985.
66. Salam A. — Reviews of Modern Physics, 1980, v. 52, p. 525.
67. Saxon D. H. Measurement of Electroweak Effects in e+e~ Annihilation.—
Proceedings of the IX Warsaw Symposium on Elementary Particles, Kazi-
mierz, Poland, 1986, May.
68. Scadron M. D. Advanced Quantum Theory. — Springer-Verlag, 1979.
69. Schwitters R. F. Fundamental Particles with Charm. — Scientific American,
1977, October, p. 56.
70. Soding P., Wolf G. Experimental Evidence on QCD. — Annual Reviews
of Nuclear Science, 1981, v. 5, p. 231.
71. t'Hooft G. Gauge Theories of the Forces Between Elementary Particles.—
Scientific American, 1980, June, p. 104.
72. TASI Lectures ... , cm. [82].
73. Taubes G. Nobel Dreams. — Random House, 1986.
‘74. Ting S. С. C. Adventures in Experimental Physics, 1976, v. 5, p. 115.
75. Veltman M. The Higgs Boson. — Scientific American, 1986, November,
p. 76.
76. Watkins P. Story of the W and Z. — Cambridge: University Press, 1986.
77. Weinberg S. — Reviews of Modern Physics, 1980, v. 52, p. 515.
78. Weinberg S. The Decay of the Proton. — Scientific American, 1981, June,
p. 64.
79. Weinberg S. The Problem of Mass In a Festschrift I. I. Rabi, Transactions
of the New York Academy of Sciences, Series II, v. 38, p. 185.
80. Wentzel G. Quantum Theory of Fields. — Interscience Publishers, 1949.
[Имеется перевод: Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых
полей. — М. — Л.: Огиз — Гостехиздат, 1947.]
81. Wilczek F. The Cosmic Asymmetry Between Matter and Antimatter.—
Scientific American, 1980, December, p. 82.
82. Williams D. N. (ed.), TASI Lectures in Elementary Particle Physics, World
Scientific, 1984.
83. Zee .4. Fearful Symmetry. — Macmillan, 1986.
Предметный указатель
Абелево векторное поле 45
Абелевы группы 338
Адронные струи 167, 195
Адроны 24
Аксиальный вектор 75
Амплитуда рассеяния 135
Античастицы 24, 79
Ароматы кварков 205
Асимметрия барионов 303
— рассеяния вперед — назад 280
Асимптотическая свобода 225, 250
Действие 31
Детекторы частиц 181 —188
Дирака уравнение 70—78
Естественные единицы 24, 25
Зарядовое сопряжение 276
Заряженный ток 102
Барионные состояния 207
Безмассовые фермионы 72
Бета-распад 102
Бозоны 22, 23
Брейта—Вигнера резонансная функ-
ция 136
Бьеркена скейлпнг 223
Измерение? константы связи 166—169
— масс нейтрино 322
-----W-- и 7°-частиц 154
Изоспии 57
Инвариантность SU(2) 86
— SU(3) 86
— (/(1) 85
Векторные мезоны 206
Вероятности мод распада 145
Вершинные детекторы 186
Взаимодействие V—А 163
Взаимодействия 17, 41—44
Время жизни протона 302
---- состояния 133, 134
Гиперзаряд 67
Глобальная симметрия 115
Глубоко иеупругое рассеяние 221
Глюболы 200
Глюонные струи 240
Глюоны 90, 149, 200
— наблюдение 239
Голдстоуна теорема 122
— явление 117, 119
Голдстоуновский бозон 116
Группа SU(2) 336
— SU(3) 337
Группы SO(n) 332
- SU(n) 334
Кабиббо угол 268
Калибровочная инвариантность 49—
56
— теория 13, 16
Калориметры 186
Квантовая хромодинамика (КХД) 13,
19, 86, 249
— электродинамика (КЭД) 243, 249
Квантовые числа 201
Кварк b 219
---- распад 282
— I 219, 280
---- масса 284
Кварки 19—23, 193
— ароматы 205
Кварковый лагранжиан 105
Кварконий 213
Клейна—Гордона уравнение 345
Кобаяси—Маскавы матрица 270
Ковариантные производные 53, 65
Коллайдеры е+е^ 176, 231
— рр 175
Копституентная масса 273
Конституентное сечение 150
Конфайнмент цвета 194—196
-352
Предметный указатель
Лагранжа—Эйлера уравнение 345
Лагранжиан кварковый 92, 105
— лептонный 92
— стандартной модели 85
Лагранжианы 31—34, 44—46, 92, 345
Левые фермионы 80, 90, 91
Легкие суперсимметричные частицы
(ЛСЧ) 312—314
Лептонная универсальность 106
Лептоны 20—22
Лоренца преобразования 81
Параметр sin20w 11, 161, 295—300
Параметры стандартной модели 169
Партон 223
Партонная модель 223
Паули матрицы 121, 327
Плотность лагранжиана 34
Позитроний 212
Правые фермионы 80, 90, 91
Пропагатор 44
Протон-антипротонный коллайдер 148,
154
Псевдоскаляр 75
Псевдоскалярные мезоны 206
Масса /-кварка 284
— Z-бозона 101
Массы адронов 273, 274
— кварков 21, 205, 273
— нейтрино 316—324
— частиц 108, 111
Матрица Кобаяси—Маскавы 270
Матрицы у 73, 74
— X 66
— Паули 327
— типа 2 X 2 326
---- 3 X 3 326
----4 X 4 73
Мезонные состояния 206
Методика пика якобиана 155
Метрический тензор 30
Механизм GIM 270
Мюонные камеры 187
Нарушение СР-инвариантности 275—
279
Неабелево векторное поле 45
Неабелевы группы 338
— калибровочные теории 61, 62
Нейтральное токовое взаимодействие
101 — 104
Нейтральный ток 96
Нейтринные осцилляции 317, 319
Нейтрино vT 283
Нётер теорема 36, 40, 346, 347
Обращение времени 277
Объединение взаимодействий 292
— кварков и лептонов 291
Оператор рождения 35
— уничтожения 35
Оценочный метод 343
Очарованные мезоны 216—218
Радиационные поправки 274
Ранняя Вселенная 304, 313
Распад мюона 161—163
— протона 300—303
— 117-частицы 153
Распады кварков и лептонов 192
Рассеяние бесспиновых частиц 134
Релятивистская теория частиц 14
Рождение частиц 35
— W±- и 7°-частиц 147
Семейства фермионов 91
— элементарных частиц 106
Сечение рассеяния точечных частиц
341
Сильная изоспиновая инвариантность
209
Сильные взаимодействия 19
Сильный изоспин 57—60
Скалярное поле 45
— произведение 30
Скейлинг Бьеркена 223
Слабые взаимодействия 18
Слабый изоспин 57
Солнечные нейтрино 321, 322
Спин частицы 157, 327, 328
Спиральность 78
Спонтанное нарушение симметрии 112
СРГ-инвариантность 277
Стандартная модель 14, 15, 18, 29
Столкновения жесткие и мягкие 183
Струи 195
Структурные функции 149, 152, 224—
228
Суперсимметричные частицы 307
Суперсимметрия 288, 306—313
Сцинтилляционные счетчики 184
Предметный указатель
353*
Тау-лептон 237
Теория великого объединения 19, 20,
290
— групп 331
Токи 75—77
Топоний 213
Точечная природа кварков 233
Триггеры 184, 185
Тяжелые кварки 211—219
Хиггса механизм 14, 108, 111, 120,.
286
Хиггсово поле 111 —113, 120, 124
Хиггсовы бозоны 14, 120, 125, 253—
266
-----взаимодействия 255
----- способы поиска 258
Угловой момент 325—327
Углы смешивания кварковые 266
-----лептонные 266
Угол Кабиббо 268
— 0w 161, 295
Уничтожение частиц 35
Уравнение Дирака 70—78
— Клейна—.Гордона 345
Уравнения Лагранжа—Эйлера 345
Ускорители 172—180
— светимость 174
— характеристики 172—175
Цвет 62
Чармоний 213, 215, 216
— энергетический спектр 215
Частицы 79
Ширина процесса 133
— ^-частиц 138—141
— 7°-частицы 142—145
Фейнмана правила 17, 46
Фейнмановские диаграммы 15, 46
Фермионное поле 45
Фермионы 91
— безмассовые 72
— с ненулевой массой 72
Фотино 11
Эйлера—Лагранжа уравнения 31, 39,
345
Электрослабое взаимодействие 13, 19>
Электрослабый заряд 100
23 Г. Кейн
Оглавление
Предисловие переводчика ......................................... 5
Предисловие ..................................................... 7
Глава 1. Обзор....................................................13
1.1. Введение....................................................13
1.2. Основные представления......................................15
1.3. Силы........................................................17
1.4. Частицы.....................................................20
1.5. Естественные единицы........................................24
Задачи . . ......................................................25
Рекомендации для дальнейшей работы................................26
Глава 2. Релятивистские обозначения, лагранжианы, токи
и взаимодействия.................................................29
2.1. Релятивистские обозначения..................................29
2.2. Лагранжианы............................................... 31
.2.3. Лагранжианы в физике элементарных частиц...................32
2.4. Вещественное скалярное поле.................................33
2.5. Источники и токи в перелятивистской квантовой теории........36
2.6. Комплексные скалярные поля, сохраняющиеся токи и теорема Нётер 36
2.7. Взаимодействия............................................. 41
2.8. Основные лагранжианы........................................44
2.9. Фейнмановские правила...................................... 46
Задача...........................................................48
Рекомендации для дальнейшей работы...............................48
Глава 3. Калибровочная инвариантность............................49
3.1. Калибровочная инвариантность в классической электродинамике . . 49
3.2. Калибровочная инвариантность в квантовой теории ........... 50
3.3. Ковариантные производные....................................53
Задачи...........................................................55
Рекомендации для дальнейшей работы...............................56
Глава 4. Неабелевы калибровочные теории..........................57
4.1. Сильный изоспин и внутреннее пространство...................57
4.2. Неабелевы калибровочные теории..............................61
4.3. Неабелевы калибровочные теории для кварков и лептонов .... 62
Задачи . . .....................................................68
Рекомендации для дальнейшей работы...............................68
Глава 5. Дираковские обозначения теории спина....................70
5.1. Уравнение Дирака............................................70
5.2. Безмассовые фермионы........................................72
5.3. Фермионы с ненулевой массой.............................. 72
5.4. у-Матрицы...................................................73
5.5. Токи........................................................75
Оглавление 355-
5.6. Решения для свободных частиц................................77
5.7. Частицы и античастицы.........................................79
5.8. Левые и правые фермионы.......................................80
5.9. Полезные соотношения..........................................81
5.10. Дираковский лагранжиан.......................................82
Задачи.............................................................83
Рекомендации для дальнейшей работы.................................84
Глава 6. Лагранжиан стандартной модели.............................85
6.1. Обозначения кварковых и лептонных состояний...................87
6.2. Кварковый и лептонный лагранжианы.............................92
6.3. Калибровка глобальных симметрий...............................93
Задача.............................................................94
Глава 7. Электрослабая теория и квантовая хромодина-
мика ..............................................................95
7.1. Члены лагранжиана для (7(1)-симметрии.........................95
7.2. Члены лагранжиана для 5(/(2)-симметрии........................96
7.3. Экспериментальное подтверждение теории; нейтральный ток ... 96
7.4. Экспериментальное подтверждение теории; заряженный ток . . . 102
7.5. Кварковые члены лагранжиана . ........................104
7.6. Кварковый лагранжиан КХД.....................................105
7.7. Второе и третье семейства....................................106
7.8. Калибровочный фермион-бозонный лагранжиан....................106
7.9. Проблема масс частиц.........................................108
Задачи.......................................................... 109
Рекомендации для дальнейшей работы.................................ПО
Глава 8. Массы частиц и механизм Хиггса...........................111
8.1. Спонтанное нарушение симметрии...............................112
8.2. Комплексное скалярное поле. Глобальная симметрия.............115
8.3. Абелев механизм Хиггса.......................................117
8.4. Механизм Хиггса для стандартной модели.......................120
8.5. Массы фермионов............................................ 124
8.6. Замечание об энергии вакуума.................................127
Задачи . 128
Рекомендации для дальнейшей работы.............................130
Глава 9. Сечения, ширины распадов и времена жизни.
Распады W- и Z-частиц.............................................131
9.1. Связь времени жизни и ширины резонанса с вероятностью распада 133
9.2. Рассеяние на резонансном состоянии...........................134
9.3. Ширина 117-частиц............................................138
9.4. Ширина Х°-частицы............................................142
9.5. Вероятности мод распада......................................145
Задачи............................................................146
Рекомендации для дальнейшей работы................................146
Глава 10. Рождение на ускорителях W±- и 7°-частиц . . . 147
10.1. Способ заставить кварки сталкиваться...................... 149
10.2. Конституентное сечение......................................ISO
10.3. Сечение рождения 117-частиц.................................1S0
10.4. Распад 117-частицы и полная скорость появления событий .... 153
23*
356
Оглавление
10.5. Измерение масс Z0- и М^-частиц.............................154
10.6. Спин 1Г-частицы и асимметрия ее распадов...................157
Задачи . . ....................................................158
Рекомендации для дальнейшей работы...............................159
Глава 11. Измерение основных параметров электрослабой
теории и КХД. Время жизни мюона..................................160
11.1. Измерение и особая роль sin2 0а,...........................161
11.2. Распад мюона...............................................161
11.3. Измерение константы связи а5...............................166
11.4. Замечания о параметрах стандартной модели..................169
Рекомендации для дальнейшей работы.............................171
Глава 12. Ускорители, их настоящее и будущее...............172
12.1. Характеристики ускорителей.................................172
12.2. Полезная энергия...........................................175
12.3. Действующие и сооружаемые ускорители.......................176
12.4. Будущее ускорителей........................................179
Задачи...........................................................180
Рекомендации для дальнейшей работы.............................180
Глава 13. Проведение экспериментов и детекторы .... 181
13.1. Продукты взаимодействий, происходящих в коллайдере.........182
13.2. Отбор регистрируемых событий (триггеры)....................184
13.3. Элементы больших детекторов................................186
13.4. Основные детекторы.........................................187
13.5. Как функционирует система .................................189
13.6. Современные исследования и будущее их развитие.............189
Задачи...........................................................190
Рекомендации для дальнейшей работы...............................190
Глава 14. Эксперименты при низких энергиях и экспери-
менты без использования ускорителей..........................191
Глава 15. Кварки, конфайнмент, легкие мезоны, барионы,
струи и глюболы..............................................193
15.1. Конфайнмент цвета и цветные синглетные адроны..........194
15.2. Синглетные по цвету адроны............................ 198
15.3. Квантовые числа мезонов и барионов ....................201
15.4. Замечания и перспективы дальнейшего развития...........203
Задача.......................................................204
Рекомендации для дальнейшей работы...........................204
Глава 16. Легкие мезоны, барионы и сильный изоспин . . 205
16.1. Мезонные состояния с£ = 0....................................206
16.2. Барионные состояния с L = 0..................................207
16.3. Распады и кварковые переходы.................................208
16.4. Причина существования сильной изоспиновой инвариантности . . . 209
Рекомендации для дальнейшей работы.................................210
Глава 17. Тяжелые кварки с, Ь.................................211
17.1. Некоторые сведения о чармонии...........................213
17.2. Энергетический спектр чармония..........................215
Оглавление 357
17.3. Очарованные мезоны.......................................216
17.4. Остальные лептоны и кварки ..............................218
17.5. Кварк b..................................................219
Задачи.........................................................219
Рекомендации для дальнейшей работы............................220
Глава 18. Глубоко неупругое рассеяние и структурные
функции........................................................221
18.1. Глубоко неупругое рассеяние..............................221
18.2. Обсуждение партонной модели..............................223
18.3. Структурные функции......................................225
Задачи.........................................................228
Рекомендации для дальнейшей работы.............................230
Глава 19. Коллайдеры е+е~ и экспериментальное подтвер-
ждение стандартной модели .................................... 231
19.1. Являются ли точечными частицами кварки, лептоны и глюоны? . . 233
19.2. Отношение R = а/аТОчечн..................................235
19.3. Тау-лептон и тяжелые лептоны.............................237
19.4. Наблюдение глюонов.......................................239
Задачи.........................................................240
Рекомендации для дальнейшей работы.............................241
Глава 20. Зависимость констант связи от передаваемого
импульса.......................................................242
20.1. Квантовая электродинамика................................243
20.2. Квантовая хромодинамика..................................249
Задачи.........................................................252
Глава 21. Рождение и детектирование хиггсовых бозонов 253
21.1. Вершины взаимодействий хиггсовых бозонов.................255
21.2. Распады хиггсова бозона . ...............................255
21.3. Способы поиска хиггсовых бозонов.........................258
21.4. Область больших масс Мн..................................263
21.5. Заключение.............................................. 265
Задача.........................................................266
Рекомендации для дальнейшей работы.............................266
Глава 22. Кварковые (и лептонные) углы смешивания ... 267
Задача.........................................................272
Глава 23. Массы кварков и адронов..............................273
Глава 24. Нарушение СР-инвариантности..........................275
Задача.........................................................279
Рекомендации для дальнейшей работы.............................279
Глава 25. Почему должны существовать /-кварк и т-ней-
трино? ........................................................280
25.1. Асимметрия рассеяния вперед — назад......................280
25.2. Распады 6-кварка.........................................282
25.3. Нейтрино vT..............................................283
358
Оглавление
25.4. Масса /-кварка........................................284
Задачи......................................................284
Рекомендации для дальнейшей работы..........................285
Глава 26. Открытые вопросы .................................286
Глава 27. Теория великого объединения ..................... 290
27.1. Объединение кварков и лептонов........................290
27.2. Объединение взаимодействий............................292
27.3. Расчет параметра sin2 0^..............................295
27.4. Распад протона........................................300
27.5. Асимметрия барионов . . ..............................303
Рекомендации для дальнейшей работы..........................305
Глава 28. Суперсимметрия....................................306
28.1. Рождение и детектирование суперсимметричных партнеров .... 309
28.2. Легкие суперсимметричные частицы и темная материя.....312
Задачи......................................................315
Рекомендации для дальнейшей работы..........................315
Глава 29. Обладают ли нейтрино массами?.....................316
29.1. Следствия ненулевых масс нейтрино. Нейтринные осцилляции . . 317
29.2. Солнечные нейтрино....................................321
29.3. Измерение масс нейтрино при распадах..................322
29.4. Ожидаемые значения масс нейтрино......................323
Рекомендации для дальнейшей работы..........................324
Приложение А. Угловой момент, спив и группа SU(2) . . 325
Приложение Б. Элементы теории групп.........................331
Б.1. Группы SO(n).........................................332
Б.2. Группы SU(n) . ......................................334
Б.З. Группа SU(2) в физике..................................336
Б.4. Группа SU(3).........................................337
Б.5. Абелевы и неабелевы группы.............................338
Приложение В. Элементы релятивистской кинематики ... 338
Приложение Г. Сечение рассеяния в случае точечных частиц 341
Приложение Д. Когда неприменим используемый прибли-
женный метод оценки ширин распадов и времен жизни 343
Приложение Е. Лагранжиан и симметрии. Уравнение Эйле-
ра-Лагранжа ................................................345
Задачи......................................................346
Литература..................................................348
Предметный указатель........................................351
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании кни-
ги, ее оформлении, качестве перевода и
Другие просим присылать по адресу:
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер.,
д. 2, изд-во «Мир».
Учебное издание
Гордон Кейн
СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Заведующий редакцией профессор А. Н. Матвеев
Зам. зав. редакцией С. М. Жебровский
Ст. научный редактор Н. Л. Телеснин
Мл. научные редакторы Г. Г. Сорокина, Р. X. Зацепина, В. Н. Цлаф
Художник Л. Д. Панова
Художественный редактор К. В. Радченко
Технический редактор О. Г. Лапко
Корректор А. В. Шахов
ИВ № 7285
Сдано в набор 11.07.89. Подписано к печати 28.12.89. Формат 60X90’/i6. Бумага тип. № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 11,25 бум. л. Усл. печ. л. 22,50. Усл.
кр.-отт. 22,50. Уч.-изд. л. 20,07. Изд. № 2/6895. Тираж 5000 экз. Заказ 233. Цена 3 р. 80 к.
Издательство «МИР» В/О «Совэкспорткнига Государственного комитета СССР по печати
129820, Москва, И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соко-
ловой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измай-
ловский проспект, 29. Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Со-
коловой Государственного комитета СССР по печати. 190000, Ленинград, Прачечный пе-
реулок, 6.