Радиоэлектроника
-за РУБЕЖОМ-,
У. Р. Б Е Н Н Е Т
ОСНОВНЫЕ
понятия
И МЕТОДЫ
ТЕОРИИ
ШУМОВ
в
РАДИОТЕХНИКЕ
МОСКВА
1957
«СОВЕТСКОЕ РАДИО-

Издательство
„СОВЕТСКОЕ
РАДИО"
W. R. BENNETT
METHODS OF SOLVING
NOISE PROBLEMS
Proceedings of the Institute of Radio
Engineers, vol. 44, No 5, p. 609 — 638
1956 May
У. Р. БЕННЕТ
ОСНОВНЫЕ понятия
И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ШУМОВ
В РАДИОТЕХНИКЕ
Перевод с английского
О. А. Рокина
Под редакцией канд. техн, наук Б. Д. Сергиевского
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СОВЕТСКОЕ РАДИО"
МОСКВА — 1957
Краткое содержание
В работе Беннета «Основные понятия и методы теории
шумов в радиотехнике», выпускаемой в русском переводе от-
дельной брошюрой, дается обзор различных аналитических
методов, применяющихся при расчетах реакций электрических
цепей на воздействие шумов. Рассматриваются основные по-
нятия теории вероятностей, применяемые в этих методах, ко-
торые иллюстрируются практическими примерами. К числу
таких понятий относятся плотность вероятности, моменты,
стационарные и эргодические процессы, характеристические
функции, семиинварианты, центральная предельная теорема,
нормальные (гауссовы) процессы, корреляционные функции и
спектр мощности. Показано применение теории при различных
преобразованиях сигнала и шума: при фильтрации, периоди-
ческой выборке, при детектировании огибающей, а также при
фазовом и частотном детектировании.
Книга рассчитана на студентов, инженеров и научных ра-
ботников, специализирующихся в области радиотехники и же-
лающих познакомиться с методами анализа шумовых процес-
сов, но недостаточно знакомых с теорией вероятностей.
1. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Процессы, подобные шуму, обладают общим свойст-
вом: мы не можем в точности предсказать, какие именно
значения будут наблюдаться в различные моменты вре-
мени. Причины, по которым это невозможно сделать, раз-
нообразны. Например, мы можем не знать процесса в до-
статочной степени, или же считаем систему настолько
сложной, что полное использование всех возможных
данных о ней практически неосуществимо, или, наконец,
вообще можем решить, что все, что мы хотим знать,
оказывается возможным получить из упрощенной кар-
тины реального процесса. Какова бы ни была истинная
причина, но отказываясь от точного рассмотрения, мы
обращаемся к статистическому описанию процесса и
должны использовать соответствующий математический
аппарат.
Первое понятие, которое мы введем,—функция плот-
ности вероятности.
Хотя измеряемое значение шума может значительно
изменяться при многократном повторении одного и того
же опыта, можно оценить относительную вероятность
появления различных значений.
Положим, что измеряется одна из характеристик шу-
ма, например, мгновенное значение напряжения или то-
ка. Пусть х—значение измеряемой величины. Вообразим,
что каждое значение х определяет точку на некотором
расстоянии от фиксированной точки отсчета (начала
координат) на прямой линии. Если поделить эту линию
на небольшие равные отрезки длиной Ах и сосчитать
число точек в каждом отрезке, то можно приближенно
определить и функцию плотности распределения х, кото-
рую будем обозначать р(х). Полагаем, что существует
функция, определяемая выражением:
5
/ v _ Um (число значений в отрезке Ах на расстоянии, л)/Дл
дх-*о	общее число значений = N	’
(1)
р(х)—носит название функции плотности вероятности*.
Вероятность того, что некоторая измеряемая величина
лежит в интервале бесконечно малой длины dx, с центром
на расстоянии х, получается умножением р(х) на dx.
Если требуется определить вероятность того, что изме-
ряемая величина находится в интервале от Xi до хг, необ-
ходимо проинтегрировать р(х) в этом интервале:
Вероятность (х, < х < х2) = Jp (х) dx.	'(^)
Xi
Другая важная функция—функция распределения
F(x) —есть вероятность того, что случайная величина
окажется меньше некоторого определенного значения х.
F(x) определяется выражением
F (х) = J р (х) dx.	(3)
Отсюда следует, что для тех значений х, для которых
F (х) имеет производную,
P(x) = -^-F (х)>'Д' (х).	(4)
ах
Заметим, что не всякую функцию можно использовать
для представления функции плотности вероятности и
функции распределения. Так, в частности, функция р(х)
не может быть отрицательной или мнимой. Если извест-
но, что каждое измерение должно дать некоторую дейст-
вительную величину, то
оо
^p(x)tZx = l.	(5)
Это означает, что любая величина х обязательно распо-
ложена где-то между —оо и оо.
* Сокращение английского слова probability. Функцию плотно-
сти вероятности обозначают еще iIF(x) (от немецкого Wahrschein-
lichkeit) или просто f(x) (ред.).
6
Поскольку функция р(х) всегда имеет положительное
значение, величина F(x) не может уменьшаться с увели-
чением. х, т. е. F(x) есть функция неубывающая. Кроме
того, из (5) следует
F (— со) = 0 и Л(оо)=1.	(6)
Характерно применение функции плотности вероят-
ности при подсчете средних значений. Пусть необходимо
знать, каково среднее значение некоторой функции от х
при большом числе измерений. Эта функция может быть
степенной функцией, экспонентой, тригонометрической
функцией и т. д. Пусть имеются данные многих измере-
ний и f(x)—функция от х, которая должна быть усред-
нена. Положим, что среднее значение f(x) подсчитывает-
ся обычным путем—делением суммы значений f(x) на
общее число наблюдений. Рассматривая небольшие от-
резки dx на оси х, заметим, что при большом числе опы-
тов часть р(х) dx всех наблюдений относится к интервалу
dx, содержащему данную величину х, а следовательно,
и данное значение f(x). Поэтому в пределе, когда число
опытов становится очень большим, среднее значение
функции f(x) равно
7W=	(7)
— «•
Положительные целые степени х—функции, среднее зна-
чение которых представляют особый интерес. Они обра-
зуют так называемые моменты первого, второго и более
высоких порядков. Порядок момента определяется пока-
зателем степени. Среднее значение хп, или момент п-го
порядка,
00
mn = хп = J хпр (х) dx.	(8)
— оо
Очевидно, что mo = 1.
* Черта сверху — наиболее часто применяемое обозначение для
статистического усреднения. Встречаются и Другие обозначения опе-
рации усреднения: усредняемая функция заключается в скобки
< >, перед функцией ставится символ av или aver (англ, average)
и т. д. В теории вероятностей перед усредняемой функцией часто
ставится символ М, Е или ЛЮ, а среднее значение функции слу-
чайной величины называется математическим ожиданием (ред.).
7
Часто встречающиеся моменты mi и /иг представляют
собой соответственно обычное арифметическое среднее
значение и среднее значение от квадрата величины.
В электротехнике, где величина х характеризует напря-
жение или ток, /И] дает постоянную составляющую про-
цесса, а m2, умноженный соответственно на проводимость
или сопротивление, дает среднюю мощность.
Когда внимание сосредоточивается на переменной со-
ставляющей процесса, то рассматривают разность слу-
чайной величины и ее среднего значения. В этом случае
средние значения называются центральными моментами
и определяются следующим образом:
P„-(x-ml)«= (х — тх)пр{х)Фх.
(9)
Очевидно, чтоР1=0. Наиболее важным центральным
моментом является р2> носящий название дисперсии рас-
пределения. Согласно определению (9)
р2 = I (х3 — 2тх х + /ttj2)р (х) dx
х2р (х) dx — 2тг j х р (х) dx + т^ J р (х) dx =
= т2— 2/nj2 + zn1a = /n2—/nta = х2 — (х)2.	(10)
Квадратный корень из дисперсии называется стан-
дартным отклонением и обозначается обычно а. Таким
образом,
а = (р-гУЧ Я О2 + тг2 = т2
(И)
В электротехнике стандартное отклонение эквивалентно
среднеквадратичному или эффективному значению пере-
менной составляющей.
Дисперсия есть средний квадрат, т. е. квадрат эффек-
тивного значения. Будучи умноженной на проводимость
или сопротивление (соответственно напряжению или то-
ку), она даст среднюю мощность переменной составляю-
щей. В теории шумов обычно принято выражать резуль-
8
таты непосредственно через дисперсию, а не полными
формулами с проводимостью или сопротивлением. Дис-
персию иногда рассматривают как мощность переменной
составляющей в цепи сопротивлением в 1 ом *.
До сих пор мы говорили о постоянной и переменной
составляющей процессов, не касаясь способов измере-
ний статистических величин, которые мы рассматриваем.
Существуют два основных физических способа изме-
рений: один базируется на последовательности из-
мерений в одной системе в течение очень большого вре-
мени, другой требует одновременных измерений во мно-
гих подобных друг другу системах.
В первом методе измерения, который можно назвать
измерением, протяженным во времени, или просто времен-
ным методом, плотность вероятности и функция распре-
деления оцениваются наблюдениями за значительный пе-
риод времени. Для этого можно установить на выходе
системы комплект приборов—регистраторов уровня—и
замечать ту часть времени, в течение которой значения
измеряемой величины находятся в пределах достаточно
малых интервалов всего диапазона ее изменения. Для
измерения средних значений используются интегрирую-
щие измерители, представляющие собой вольтметры,
амперметры или ваттметры с большими постоянными
времени, соответственно измеряющие средние значения
напряжения, тока или мощности.
Время усреднения считается достаточным, если даль-
нейшее увеличение времени измерения не изменяет
результата. Так как эксперимент не может продолжать-
ся бесконечно долго (ибо полученные данные должны
использоваться), то возникает вопрос: будем ли мы по-
лучать те же статистические результаты, повторяя экспе-
римент через час, день или, скажем, неделю? Процессы,
которые дают одну .и ту же функцию плотности вероят-
ности и, соответственно, все другие статистические пара-
метры, независимо от выбранного интервала времени
наблюдения, называются стационарными.
Строго говоря, стационарный процесс для любого
будущего и прошедшего времени трудно себе предста-
вить. Однако для времени, в течение которого сохраняет-
* В литературе по шумам дисперсию иногда называют интен-
сивностью (ред.).
9
ся интерес к аппаратуре, понятие стационарности обычно
применимо.
Второй метод измерения, который можно назвать
протяженным в пространстве или, как его более часто
называют, метод ансамбля, более удобен, с точки зрения
математического анализа, чем первый. Здесь полагают,
что имеется большое число систем, которые отличаются
друг от друга лишь такими характеристиками, с влия
нием которых можно не считаться. К каждой системе
подключаются одинаковые измерительные приборы и на
всех приборах в одно и то же время регистрируется сово-
купность мгновенных значений измеряемых величин. Из
полученных данных все статистические зависимости и
параметры определяются арифметическим подсчетом.
Вопрос о том, какова должна быть необходимая длитель-
ность процесса наблюдений, возникающий при первом
методе, заменяется здесь вопросом, сколько систем под-
лежит измерению в одну секунду. Считается достаточным
иметь столько систем, чтобы дальнейшее увеличение их
числа заметно не изменяло результата.
С точки зрения метода ансамбля, стационарные про-
цессы определяются как процессы, при которых статисти-
ческие параметры, измеренные в любые два различные
момента времени, одни и те же. Этот метод исключает
недостаток временного метода, когда времени достаточно,
чтобы закончить измерения, но не остается для повторе-
ния эксперимента. С другой стороны, представляет неко
торую трудность выполнить определенное число измерений
па различных системах в одно и то же время. С теоре-
тической точки зрения, в некоторых случаях существуют
ограничения в методе ансамбля, тогда как при примене-
нии усреднений за большое время этих ограничений мо-
жет не быть.
Нельзя в общем случае утверждать, что оба описан-
ных метода получения статистических данных о шумо-
вых процессах дадут одни и те же результаты, даже если
процессы станционарны, в соответствии с указанными
определениями. Этот вопрос представляет значительный
теоретический интерес. В связи с этим введем понятие
эргодического процесса—процесса, при котором статисти-
ческие параметры, усредненные за большой интервал
времени для любой одной системы, эквивалентны стати-
стическим параметрам, усредненным по ансамблю систем
10
в любое одно мгновение времени. Эргодический процесс
всегда стационарен, но стационарный процесс не всегда
является эргодическим. Примеры последнего несколько
искусственны.
Для иллюстрации предположим, что определенный
тип усилителя находится в массовом производстве.
Лампы для усилителя получены из двух различных про-
изводственных выпусков, причем лампы одного выпуска
шумят больше. Оба выпуска ламп полностью перемеша-
ны. Тогда средняя мощность шумов любого одного уси-
лителя будет или высокой или низкой, в зависимости от
того, какими лампами укомплектован усилитель: шумя-
щими или малошумящими. Мощность же, усредненная
по ансамблю усилителей, будет где-то в промежутке меж-
ду двумя крайними значениями.
2. ПРИМЕРЫ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
в
Равномерное или прямоугольное распределение
На рис. 1а плотность вероятности постоянна
вале ог а до а + р и равна нулю вне его, т. е.
/ х (0, %<а и ,х>а+Р,
= J У	.
I k, а < хл< а + р.
Постоянная k определи ется из уравнения
a+Jb
интер-
(12)
1,
(13)
а
и, следовательно, k = 1/f).
Среднее значение по определению
а+₽
С xdx	1
т. — 1 ------ - —
J Р	2р
•2
= а + Р/2.
(14)
Средний квадрат равен
а + р
(* x2dx	1
т -> = I ----= —
" J ?	зр
х3
а + р
= а2 + ар + Р/'З.
а
(15)
Дисперсия, определяемая из (10),
р.2 = т2 — т12 = р3/12.
Стандартное отклонение
а = —т= .
2/ 3
(16)
(17)
12
Функция распределения, показанная на рис. 16,
F(x) =
О, х •< а
(х — а)/р, а < х < а + Р
.1, X > а + р.
(18)
Полученные результаты могут быть непосредственно
применены для количественной оценки «шума квантова-
ния», получающегося при превращении непрерывного
сигнала в сигнал, представляемый последовательностью
дискретных значений. Положим, что диапазон возмож-
а)
Рис. 1. а) и б) функция плотности вероятности и функ-
ция распределения при равномерном рас ре слении.
ных амплитуд сигнала разделен на равные интервалы
шириной Д. Все амплитуды, попадающие в пределы ин-
тервала, приравниваются к амплитуде, соответствующей
его середине. Если эти интервалы сделать малыми, то
амплитуды, попадающие в пределы любого из интерва-
лов, окажутся внутри этого интервала равномерно распре-
деленными. Ошибки, представляющие собой разности
между действительной амплитудой и ее средним для дан-
ного интервала значением, распределяются равномерно
в пределах от—Д/2 до Д/2. Следовательно, ошибки
имеют равномерное распределение с параметрами а =
= — Д/2 и р = Д. На основании этого можно сделать
вывод, что постоянная составляющая ошибки равна ну-
лю, а среднеквадратичная ошибка составляет Д/2 ]/3.
Эти соотношения имеют большое значение для оценки
точности квантования, в котором квантирующие ступень-
ки имеют одинаковую величину. Они также непосредст-
13
венно применяются для выяснения ошибки, получающей-
ся в обычных арифметических подсчетах при округлении
десятичных знаков.
Часто считают, что фаза синусоидальной волны отно-
сительно начального момента времени или относительно
фазы какой-то другой синусоидальной волны имеет пря-
моугольное распределение. Мы подразумеваем под этим,
что у нас нет никаких оснований допускать преимуще-
ство существования какой-либо фазы перед любой дру-
гой. Как часто бывает на практике, углы, отличающиеся
на целое число 2д, можно принимать за один и тот же
угол. Поэтому ширину интервала возможных значений
углов удобно принять равной 2к. Для рис. \а это озна-
чает, что Р = 2д при произвольном а. Представляет ин-
терес подсчет статистических параметров некоторой функ-
ции от угла.
Обычно, если задана функция плотности вероятности
q (6) независимой переменной б и необходимо опреде-
лить функцию плотности вероятности р(х) для Х=?(б),
то удобно рассматривать обратную функцию 0 =/(х).
Непосредственная подстановка дает
^(0)rf6 = ^[/(x)]/'(x)</x,	(19)
где f' (х) = df (x)ldx. Если функция f(x) однозначная, то
p(x) = q[f(x)]f'(x).	(20)
Если f(x)—многозначная функция, то правая часть
(20) представляет собой результат суммирования по всем
ее значениям. Полученные соотношения будут применены
в следующем примере.
Синусоидальное распределение
Возьмем
x = Hsin6,	(21)
где 6 имеет равномерное распределение в интервале от
—тг/2 до Зп/2.
В этом случае значения х распределяются как орди-
наты синусоиды с амплитудой А. Для нахождения функ-
14
ции плотности вероятности величины х замечаем, что
а = — тг/2, Р = 2гс и
?((,)=Р,9<-к/2иО>3«/2
I 1/2я, -«/2<в<Зк/2.
Выразим из (21) 0 как функцию от х
6=/(x)=ar: sin,	(23)
/'(х) = (А2 — л2)-Ч	(24)
Так как каждое значение х в интервале от—А до А
соответствует двум значениям 6, то правую часть в вы-
ражении (20) необходимо удвоить. Тогда
На рис. 2а показан график этой функции.
Среднее значение х по ансамблю
(26)
А
xdx _ q
гс(Аа —л3)‘а> “
—А
Аналогично среднее значение квадрата
0 x2dx
J к (А2 — x2)l/i
А2
2
(27)
Так как mi — 0, то m2 является одновременно диспер-
сией. Функция распределения, графически показанная на
рис. 26, определяется соотношением
dx
к(А2 — х2)Ч’
—	+ arc sin —. (28)
гс \ 2	А /
Этот пример показывает, что функция плотности ве-
роятности может принимать бесконечное значение, тогда
как интеграл от нее в конечном интервале, включающем
в себя точку разрыва, существует.
15
Синусоидальное распределение пригодно для рассмо-
трения шумов, создаваемых непрерывными синусоидаль-
ными колебаниями с постоянной амплитудой и случайной
фазой. Выведенные соотношения представляют собой
иллюстрацию применения метода ансамбля, полагающего
бесконечное число возможных источников вида
A sin (о>^+0) с фиксированным Лис фазой 0, равно-
мерно распределенной в интервале от а до а-Ь2к. Мы
производили усреднение по ансамблю с фиксированным
/. Заметим, что добавление К 6 постоянной не меняет
распределения, кроме сдвига а.
а/
Рис. 2. а) и б) плотность вероятности и функция рас-
пределения при синусоидальном^распределении.
Проведем усреднение по времени для одной из функ-
ций ансамбля. Пусть г
£*(£) = Д sin (а>£ Д- 6)	(29)
с постоянными Д, и 0 .
Среднее значение квадрата этой функции за достаточ-
но большое время определится выражением *
Л+г
£2 = lim -L С £2(0Л =
г* оо 7* J
1	(* А2
= lim —	— [1—cos 2 (ю£4-6)]
г-оо Т J 2
л
А2 Т Д2
2Т 2
(30)
* В отличие от среднего по ансамблю среднее по времени обо-
значается волнистой чертой сверху (пер.).
16
Ввиду стационарности процесса результат не зависит
от 6. Получение того же самого результата, что и в слу-
чае усреднения по ансамблю, говорит о том, что процесс
эргодический.
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Большое значение в теории шумов имеет распределе-
ние, при котором плотность вероятности пропорциональ-
на экспоненте от отрицательной квадратичной функции
независимой переменной.
Выражение для нормальной плотности вероятности
при одной независимой переменной имеет вид
Р(-0 =
1	- (ДГ-х0)’/2а’
-----------е
а
(31)
Параметры, входящие в (31), должны быть такими,
чтобы удовлетворялось соотношение
р (х) dx =
1.
(32)
Следовательно,
тг = I хр (х) dx = х0,
(33)
оо
т2 = J х1 р (х) dx — х* + аа,	(34)
— оо
Р-2 = т2 — mf = а2,
(35)
где хо—среднее значение, а2 —дисперсия и а —стандарт-
ное отклонение. Распределение, удовлетворяющее соот-
ношению (31), носит название нормального распределе-
ния или распределения Гаусса. Важная теорема в тео-
рии вероятностей—так называемая центральная предель-
ная теорема—доказывает что распределение суммы не-
ограниченно большого числа независимо распределенных
величин близко к нормальному закону, вне зависимости
от характера распределения каждого слагаемого в от-
2
17
дельности. Ниже без доказательства предельной теоремы
будет показано ее практическое применение. Так называе-
мый тепловой шум, связанный с тепловым перемещением
электронов в проводниках, порождает напряжения и то-
ки, распределенные по нормальному закону. Эти токи п
напряжения можно рассматривать как сумму очень боль-
шого числа практически независимых импульсов.
В случае линейного приемника, когда условия про-
хождения положительных и отрицательных импульсов
одинаковы, среднее значение шума хо, представляющее
собой постоянную составляющую, равно нулю, а а пред-
ставляет собой эффективное значение.
На рис. 3 (а и б) показаны графические изображения
нормальных функций р(х) и F(x). Последняя может
быть выражена уравнением
Рис. 3. а) и б) плотность вероятности и функция распреде-
ления при нормальном распределении.
Изложенных элементов теории достаточно, чтобы ре-
шить ряд важных задач, связанных с шумами. Положим,
что требуется подсчитать постоянную составляющую на
* Функция ошибок (error function) erf х .называется также
функцией Крампа; иногда ее называют интегралом вероятности и
обозначают обычно Ф(х) (рад.).
18
выходе линейного детектора, когда на входе действует
тепловой шум, создаваемый, например, сопротивлением.
Функция плотности вероятности выходного напряжения
с отсеченной отрицательной частью определяется равен-
ством
/>(*)=
где 8 (х) определяется условиями:
8 (х) = 0, когда х ф О,
о+«
J 8(x)dx =1, е > 0.
0-s
(38)
(39)
Функция 8 введена как удобный символ, означаю-
щий, что вероятность всех отрицательных значений х
теперь приписана определенному значению х = 0.
Если ai—прямая проводимость детектора, то постоян-
ная составляющая на выходе
«1 х = 01
оо
—Х2/2<з’	1 Г*
е d х + at — I х 8 (х) dx =
2 л
— оо
a 2к
о -Л’
—а2 е
(40)
Подобным же путем можно рассматривать детекти-
рование и при других характеристиках детектора.
Любопытным свойством нормального распределения
является то, что как бы ни было велико данное значение
переменной х, оно всегда с определенной вероятностью
может быть превышено при наблюдении. Однако кривая
плотности вероятности при очень больших значениях х
спадает настолько быстро, что вероятность очень боль-
ших значений х практически можно считать равной нулю.
2*
19
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕ-
СКАЯ ФУНКЦИЯ
На практике часто возникает задача: найти связь ста-
тистических параметров суммы ряда составляющих, если
известны статистические параметры каждой из них. Уже
упоминался случай, в котором тепловой шум рассматри-
вался как сумма большого числа практически независи-
мых импульсов. Другим примером является атомное из-
лучение, представляющее собой сумму большого числа
независимых синусоидальных колебаний ограниченной
продолжительности. В этой статье много внимания будет
уделено рассмотрению свойств суммы полезного сигнала
и нежелательной шумовой составляющей — случаю,
имеющему большое практическое значение. Если даны
плотности вероятности pi (х) и р2 (у) двух независимых
переменных хириг — х + р, то имеет место следующее
соотношение:
оо
р (г) = J ру (х) р2 (г — х) dx.
— оо
(41)
Таким образом, для получения данного значения z
при данном х нужно иметь у в интервале (z—х) dx. Вы-
ражение (41) характеризует сложное событие, когда при
независимых отдельных событиях вероятность их совпа-
дения находится переумножением вероятностей каждого
из них в отдельности. Полная же вероятность находится
интегрированием по всем значениям х.
Интеграл (41) есть не что иное, как свертка функций
pi и р2. Радиоинженеры знакомы со свойствами свертки
из теории интеграла Фурье.
20
В качестве примера допустим, что gi (X)—величина
напряжения в момент X, а (/—>)—реакция линейной
цепи в момент t—к после того, как цепь была возбуж-
дена единичным импульсом. Тогда реакция цепи на gt (t)
в виде функции времени определяется уравнением
g (О = J gi (') g2 — '•) d t-.	(42)
— оо
Известная из теории интеграла Фурье теорема утверж-
дает, что если gi (/) и g2 (/) имеют спектральные функ-
ции Gi ( «>) и G2 ( а)), т. е., если
Gx(«)= J gi (0 е ‘mtdt	(43)
— 00
и
оо
О-Ат)= J g2(0e_'“^,	(44)
то спектральная функция g(t) равна G\ (ю) G2 (<*>).
Таким образом,
ОО
Gj (<о) G2 (о>) = j g (0 е lmtdt.	(45)
Обратное преобразование Фурье дает
оо
£(0=~ f G^GA^d*. (46)
— 00
Таким образом, можно' рассчитать £(/), найдя ее спек-
тральную функцию перемножением спектральных функций
(/) и £2(0 (заметим, что знак при I может быть обрат-
ным во всех выражениях без изменения результата).
Можно применить эти результаты к выражению (41).
Тогда придем к выводу, что функция плотности вероят-
ности суммы двух независимых переменных является об-
ратным преобразованием Фурье от произведения преобра-
21
зований Фурье функций плотности вероятности каждого
из слагаемых. Функция, являющаяся преобразованием
Фурье плотности вероятности, имеет в теории вероятно-
стей большое значение и носит название характеристиче-
ской функции (х. ф.). Она представляет собой, в сущно-
сти, среднее значение функции е'Ех, где £—вещественная
переменная. Согласно определению, характеристическая
функция случайной переменной х
ОО
tPxG) = e‘U= J e‘ixp(x)dx*.	(47)
— оо
Если <fy (5) —характеристическая функция у и <р2 (6) —
характеристическая функция
z = x + у,
то, согласно предыдущему,
?г('О	(48)
и, следовательно, функция плотности вероятности суммы
а = х + у равна
ОО
Р (z) = f (5) ?у (0 е-/5г di. (49)
— оо
Распространяя этот результат на сумму п переменных
zn = Xi + хг + . . . + хп, будем иметь
%G) = ?x1(0?x;(c)...<Px„(0,	(50)
п, следовательно,
оо
p(zn) = -l— [тх, G)...?x„G)e-'£z^.	(51)
J 1	п
— оо
Найдем характеристические функции для разобранных
выше примеров плотностей вероятности и покажем, как
можно рассчитать законы распределения соответствующих
сумм.
* В литературе можно встретить обозначения характеристиче-
ской функции символами 6 (?]), Ф (iq) и др. (пер.).
22
Первый пример соответствует равномерному рас-
пределению с а =— р/2 (рис. 4а). Тогда
Л
<?,(?) = f е'х = 2-sin^/2
J р рs
-W,
(52)
График этой характеристической функции показан на
рис. 46. Функция плотности вероятности суммы п перемен-
ных, равномерно распределенных в том же самом интер-
вале, согласно (51) определяется выражением
1 Г sin” PS/2
“ 2к J (р $/2)"
— оо
еljA di.
(53)
Заметим, что при очень большом п подынтегральная
функция очень быстро спадает с увеличением 5, и инте-
грал определяется лишь значениями подынтегральной
функции в окрестности £=0. При с = 0 подынтеграль-
ная функция равна единице, а в окрестности 5=0 мо-
жет быть представлена рядом
'М	(РВ)8 ,
2	48
(PW
1_в
24
1--^-(Р <)2+-
е~«.	(54)
(р^)2 Л
------ix\ , имеющей те же
24
Для дальнейшего упрощения функцию (54) аппроксими-
Г"	/П и \ о	п
руем экспонентой ехр
начальные члены ряда и быстро спадающей к нулю.
Тогда при больших п
Рп (•*) — Г е-л?аУ'24 cos ф
2к J
(55)
23
чь(5)
Рис. 4 а) симметричная функция
плотности вероятности равномерного
распределения, б) характеристиче-
ская функция равномерного распреде-
ления, в) характеристическая* функ-
ция синусоидального распределения.
24
или
Рп W = — 1/	е~ w = ~^=	(56)
к V п Р2	а„ / 2к
где
°п
(57)
В результате мы пришли к нормальному распределению
со стандартным отклонением и дисперсией соответствен-
но в V пивп раз большими, чем у каждого из слагае-
мых. Следовательно, средние значения мощностей неза-
висимых источников шума с равномерным распределе-
нием амплитуд непосредственно складываются, и при до-
статочном числе таких источников распределение ампли-
туд суммы приближается к нормальному. Так как каж-
дая компонента представляет независимое событие, этот
предельный случай можно было бы вывести также из
ранее упоминавшейся центральной предельной теоремы.
Проделанный вывод является проверкой для данного ча-
стного случая. Поскольку каждая компонента может из-
меняться в пределах от—р/2 до р/2, то изменение суммы
ограничивается пределами от —п §/2 до п₽/2.
Аппроксимация нормальным законом, для которого не
существует нулевых значений плотности вероятности,
может быть применена только для значений, находящих-
ся внутри интервала изменения суммы и удаленных от
его границ. По мере увеличения п это ограничение теряет
практический смысл.
Разобранный случай может применяться на практике
при количественной оценке шума квантования, когда с
сигналом производится ряд последовательных превраще-
ний от непрерывного к дискретному и обратно, а также,
например, при рассмотрении шума, вызванного наложе-
нием независимых треугольных импульсов одинаковой
высоты р/2, но со случайным знаком, время появления
которых случайно и взаимно независимо.
В качестве второго примера рассмотрим
сумму ряда независимых синусоидальных распределе-
ний—эффект, который может быть получен соединением
выходов несинхронизированных генераторов. Согласно
25
(25), компонента с амплитудой А имеет характеристиче-
скую функцию
А
1 Р eli*dx
?,«) = — 777	^-	A MS). (58)
к J (Д2 — х2)'
где /о—функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
График <р.г(£) для этого случая показан на рис. 4в.
Следовательно, функция плотности вероятности суммы п
независимых синусоидальных источников с амплитудами
At, Аг, . . . ., А„ равна
РЯ(*) = ^[Л(ЛША2 ..	(59)
2л J
— оо
Рассмотрим, как и при равномерном распределении, пре-
дельный случай при большом п. Заменим при малых х
бесселеву функцию двумя членами ее степенного ряда
4(^1-*	(60)
4
Поэтому для малых
Jo(А.5)Л(Д25)... Jo(А„5) = 1 - А2 + Д22+-+Ла 52<
(61)
Заменяя (61) экспонентой ехр [—(А2, + Д2 + . . . +
+Д2л)$а/4], которая имеет т< же два первые члена сте-
пенного ряда, для больших п получим
ОО
рп (х)	_1_ С е-'^ 4< л +...+Ая’) У =
2к J
— оо
=------U- е -*3'2’’,	(62)
□ у 2к
где
o’=4-w+^+...+aa	(63)
26
Это второй частный случай центральной предельной тео-
ремы. Снова результирующее распределение стремится
к нормальному со стандартным отклонением, равным
квадратному корню из суммы квадратов средних значе-
ний каждого распределения. Беря Ak разными, мы пока-
зываем, что нормальное распределение получается и при
неодинаковых параметрах распределения составляющих.
Для нормального распределения харак-
теристическая функция
оо
(5) = —f е- (*--г.)»/2«ч-/же dx =
a 2к J
оо
=-----i—— С e-““/2+rt <sdu =
о 2п J
=	3/ .	(64)
Такой результат является примером свойства взаим-
ной обратимости нормальной функции при преобразова-
нии Фурье. Так как произведение функций нормального
распределения является также нормальной функцией, то
и суммарное распределение должно оставаться нормаль-
ным. Это, очевидно, вытекает также и из центральной
предельной теоремы.
Рассчитаем функцию плотности вероятности суммы п
переменных с нормальным распределением, имеющих
средние значения а\, а2, . . ., ап и стандартные отклоне-
ния о2,..., ол:

e-№(ai’+<Ja3+...+an3)	(а,+«,+.. +ал)	=
- г—------е- 3/2°,	(65)
о |/2к
где
х0 = а14-а2 + • • • + ап	(66)
и
а* = 013 + а22 4- . . . + ол2.	(67)
27
Таким образом, как средние значения, так и дисперсии
просто складываются. Это справедливо для любого числа
составляющих.
Во многих практических примерах конечной целью
является нахождение моментов, в частности первого и
второго, дающих постоянную составляющую напряжения
или тока и мощность переменной составляющей. Функ-
ция плотности вероятности дает возможность их найти.
Требуется только обратить внимание на отыскание более
простых методов нахождения моментов. Для этого можно
использовать характеристическую функцию. Заметим,
что характеристическую функцию можно представить в
виде
? /;)=^ = у= =У(68)
г!	г !	г !
г=0	г-0	г»0
Отсюда вытекает, что r-ый момент mr, представляю-
щий собой среднее значение r-ой степени случайной вели-
чины, определится выражением:
/пг = ^-Д,	(69)
1Г
где Л — коэффициент при в разложении ?х(£) по
степеням L
Таким образом, все моменты можно рассчитать непо-
средственно из характеристической функции. Например,
чтобы получить моменты суммы п переменных, следует
вычислить характеристические функции каждого пере-
менного, затем перемножить их и разложить произведе-
ние в ряд по степеням В. Тогда моменты определятся со-
гласно (69)^ При этом не надо находить обратное пре-
образование Фурье и производить последующее интегри-
рование.
Учитывая (68) и (48) и обозначая моменты х, у и х
соответственно через тхп myr njn2r, имеем
S(^)r т _ v V	т т	/7Лх
г ! тгг У / । г । s । mxr mys'	СО)
г=0	г=0 №=0
28
Если приравнять в обеих частях равенства коэффи-
циенты при В в первой степени, а также при 5 во второй
степени, то легко убедиться, что
/"я = тхХ + myi,	(71)
отг2 — т2л -	— т2х1 + ту2 — /и2у1.	(72)
Выражение (71) устанавливает, что среднее значение
суммы равно сумме средних значений. Это простое соот-
ношение справедливо как для зависимых, так и для неза-
висимых процессов. С электротехнической точки зрения
это значит, что постоянные составляющие могут склады-
ваться алгебраически.
Выражение (72) показывает, что дисперсия суммы
независимых составляющих равна сумме дисперсий со-
ставляющих (вывод справедлив только при независимо-
сти суммируемых процессов). В электротехнике, согласно
(72), общую мощность находят суммированием отдель-
ных мощностей. Это утверждение несправедливо для
случая двух синусоидальных волн с одной и той же ча-
стотой и фиксированными фазами, когда при равенстве
амплитуд суммарная мощность может изменяться от
нуля (фазы колебаний противоположны) до учетверенной
мощности одной из составляющих (фазы колебаний
совпадают).
При подсчете распределений сумм независимых вели-
чин часто бывает удобно использовать другие парамет-
ры, которые также находятся суммированием, как сред-
ние значения и дисперсии. К таким параметрам относят
так называемые семиинварианты *; r-ый семиинвариант
sr представляет собой коэффициент при члене (Z $)г /г! в
разложении по степеням $ функции In ср^(с). Тогда, за-
мечая из (47), что ^(0) = 1 и, следовательно, lncpv(0) =
= 0, можем записать
со
(73)
г !
Г=1
* Иногда семиинварианты называют куммулянтами (ред.).
29
Беря экспоненту от обеих частей равенства и учитывая
(68), получим
V W .« ~
=	'"У®".-	(74)
г !
г=0
Соотношение (74) может быть использовано для вы-
ражения семиинвариантов через моменты или наоборот.
В результате получаются следующие уравнения:
и
7»1 = Si ,
т2 = s2 + s,3,
т2 = 5з + 3 $! s2 4- и т. д.
(76)
Ранее отмечалось, что характеристическая функция
распределения суммы xi + хг + . . . + хп равна
У) = <ММ>- • -?жя(0.	(77)
Следовательно,
ln<p„(e) = 1п<рХ1+1п?Х2(е)+ • • . +1п?Хя(5), (78
Если r-ый семиинвариант 6-го распределения обозна-
чить srV% а через s пг обозначить r-ый семиинвариант
суммы, то подстановкой (73) в (78) получим
Г—1	Г=	Г = 1
оо
= У № + sr<2) 4- . . . + s/")).	(79)
Г—1
30
Следовательно,
snr = s/П + r . . . + s™.	(80)
Таким образом r-ый семиинвариант суммы любого
числа независимых переменных равен сумме r-ых семи-
инвариантов отдельных распределений. Первый и второй
семиинварианты эквиваленты, соответственно, среднему
значению и дисперсии.
Для определения моментов суммы, таким образом, не-
обходимо:
1)	рассчитать моменты слагаемых,
2)	рассчитать семиинварианты слагаемых по их мо-
ментам согласно (75),
3)	сложить семиинварианты, чтобы получить семи-
инварианты суммы,
4)	определить моменты суммы по (76).
Интересный пример использования семиинвариантов
для определения моментов суммы п величин, чьи лога-
рифмы имеют нормальные распределения, дан в статье
Хольбрука и Диксона [2].
4. ДВУМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
До сих пор предметом рассмотрения были функции
плотности вероятности одной переменной. Они давали
возможность получить статистические сведения относи-
тельно частоты появления различных амплитуд. Однако,
зная одну только одномерную функцию плотности вероят-
ности, ничего нельзя сказать о характере данного про-
цесса во времени.
В радиотехнике имеют дело с частотно-избиратель-
ными цепями, которые чувствительны к скорости измене-
ния процесса. Радиоинженеры понимают под этим обыч-
но способность цепи реагировать только на те возмуще-
ния, которые находятся в пределах ее полосы пропуска-
ния. Одномерная теория, имеющая дело с величинами,
не связанными друг с другом во времени, могла решить
только одну проблему частотной избирательности—разде-
лить постоянную и переменную составляющие процесса.
Так, имея шумовой процесс и беря средние значения за
большое время, можно получить постоянную составляю-
щую, т. е. составляющую с частотой, равной нулю, и пе-
ременную составляющую с нулевым средним значением,
т. е. с частотами, отличными от нуля. Очевидно, что та-
кие сведения могут оказаться достаточными только в
простейших случаях.
Следующим шагом в теории случайных процессов яв-
ляется изучение пары величин, скажем, напряжений или
токов, разделенных определенными промежутками вре-
мени. Обратимся к вероятностным соотношениям, касаю-
щимся переменных х и у. Случайные переменные хи у
могут быть зависимы. В этом случае определение значе-
ния одной из них влияет на статистические параметры
другой. Такие распределения называются двумерными.
Удобно рассматривать сначала переменные х и у в об-
32
щем виде. Позднее мы их заменим соответствующими
значениями напряжения или тока в два различных мо-
мента времени.
Необходимые выражения легко получить на основе
того, что было проделано раньше. Определим функцию
плотности вероятности двух переменных р (х, у) как
функцию, при умножении которой на бесконечно малую
площадь dx dy мы получаем вероятность того, что вели-
чина первой переменной находится в интервале от х до
х + dx, а величина второй одновременно находится в ин-
тервале от у до у + dy. Как и прежде, вероятность того,
что значение первой переменной находится где-то внутри
конечного промежутка от xi до %2, а второй—от yi до уъ
спределится следующим выражением:
Л-2 >2
вероятность {x1<X<X2i Ji<J/<y2) = J J Р (X, у) dx dy,
Xi У1
(81)
Как и раньше, вероятность того, что величины х и у
меньше некоторых определенных значений, можно выра-
зить через функцию плотности вероятности. Двумерная
функция распределения равна
X у
F(x, у) = J J р (х, у) dx dy.
(82)
Существуют частные функции распределения, кото-
рые определяют вероятности х безотносительно к значе-
нию у и наоборот:
X	оо	х
Fy (х) = J dx J р (х, y)dy = у ру (х) dx (83)
----------- ОО	-ОО	— 'Л
ГХ(У) =
(84)
3
33
В этих формулах
оо
/>/•*) = ^P(x,y)dy,
и
ОО
РХ(У) = ^p{x,y)dx
--------- оо
(85)
(86)
— частные функции плотности вероятности. Очевидно, что это справедливо, когда производные: .	.	&F(x,y} р(х,у) =	'	, дхду		существуют (87)
Ру (X) =	dFy(x) dx	(88)
м РМ =	dFx(y) dy	(89)
Как и прежде, справедливы соотношения:		
F(oo,oo)= J Jp(x,y)dxdy = 1,	(90)
-- 09	-ОО
ОО
/7у(°°)= ^Py(x)dx=\,	(91)
— оо
оо
Fx (°°) = рх (.У) dy = 1.	(92)
— оо
Для нахождения тем же путем средних значений не-
обходимо брать двойные интегралы
ОО оо
f(x, у) = J J/(x, У)р(х, y)dxdy. (93)
34
Средние значения функций одной переменной:
оо
f{x) = J f (х) Ру (х) dx	(94)
— оо
и
/(у)= ^f(y)Px(y)dy.
— оо
(95)
В частном случае, когда величины х и z/ взаимно не-
зависимы, р(х,у) можно записать в виде произведения
Ру(х)'Рх(У)—произведения функции от х на функцию
от //.
Выражение для моментов при двумерном распределе-
нии имеет вид
оо оо
tnik = xi yk = f	f xi yk P (x> У) dx dy .	(96)
Очевидно, что moo = 1,
m10 — xQ = x
x
(97)
и
mQ1 = yQ=y =
co
J у p(x, y) dx dy —
= ^ypAtfdy,
— oo
(98)
где тю и moi—средние значения x и у в отдельности.
Центральные моменты определяются согласно выра-
жению
Hft = I (х - х0)1 (у - Уо? ] =
(99)
3*
35
Наиболее важными центральными моментами явля-
ются моменты второго порядка р2о, Ри и Рог* Моменты
оо
Н20 = (х—х0)2 = Г (х — *о)2 ру (х) dx = х?— (х)’ (100)
и
Гог = (У—Уо)2 = J (у— Уо)2Рх(у)Лу = У2 - (У)2 (101)
— оо
представляют собой дисперсии х и у. Момент
Ни = [(-*-*о)(У — Уо)] =
ОО оо
= J j*(xy — xQy — уох + х0у0)р(х, j)dxrfy =
— оо — оо
= (ху)-х0у0 — уохо + хоуо = (х у) — ху (102)
называется смешанным центральным моментом второго
порядка или взаимной дисперсией.
Двумерная теория дает возможность определения
спектра мощности, т. е. плотности средней мощности по
оси частот для случайных процессов. Этого нельзя сде-
лать, пользуясь одномерными распределениями. Заметим,
что при независимых величинах их взаимная дисперсия
обращается в нуль, а среднее значение от произведения
становится равным произведению средних значений.
Обратное утверждение обычно не бывает справедливым,
но справедливо для совместных нормальных процессов,
которые будут обсуждаться в дальнейшем.
В двумерном совместном нормальном распределении
функция плотности вероятности пропорциональна экспо-
ненте от отрицательной квадратичной функции х и у.
Если взять функцию такого вида, обозначить постоянные
через %о, #о,р2о, |л02, и нормировать ее, приравняв ин-
теграл единице, то функция плотности вероятности при-
мет вид:
р(х у) =	1 е ”[|Хоа ^х~Хо? +	(у-Уо)1
(ЮЗ)
где
Д2 = |л20 р.О2 р2п-	(Ю4)
36
На рис. 5 показана поверхность, определяемая вы-
ражением (103). Она симметрична относительно оси,
сдвинутой относительно центра и повернутой относитель-
но координатных осей.
Рис. 5. Двумерная функция плотнос-
ти вероятности нормального распре-
деления.
Согласно центральной предельной теореме двумерная
функция плотности вероятности нормального распределе-
ния есть предельная форма функции плотности вероятно-
сти для х и у, представляющих собой соответст-
венно сумму независимых величин xh х2 . . ., хп и сумму
независимых величин у\, у2, . . ., уп при плотности вероят-
ности xk и yk pk(xk>yk) и ПРИ большом числе слагае-
мых п.
Характеристическая функция двумерного распределе-
ния представляет собой двойное преобразование Фурье
(?1, У = ez j j ez	У) р (х, у) dxdy. (105)
— оо — оо
Двумерное распределение суммы переменных может
быть рассчитано при помощи характеристических функ-
ций, как и в случае одной переменной.
Так, если
X = Хг + х2,
К =	(106)
и известны характеристические функции от (xi, yi) и
(Х2, l/i), то	1
И	оо оо
/’(Xn = wf f ^'x^Y^xY^2)d\d^. (108)
37
Моменты двух переменных могут быть получены раз-
ложением характеристической функции в степенной ряд,
так же, как и при одномерном распределении. Согласно
(105), получаем
Т,, (У У =	е~П7, _ у у^*У^УУ 
J\k\
; = 0 Л-0
/-0 ft-0
^+*Е/Е*
(1оэ>
J ]! k\
/-0 Л=0
Следовательно, mjk является произведением j\k\Hj+k
на коэффициент при 5/ с2* в степенном разложении
T.vy (^i> У*
Как и в одномерном распределении, характеристиче-
ская функция двумерного нормального распределения
является двумерной нормальной функцией переменных
q и ?2. Для упрощения результатов положим хо = //о =
•= 0, что может всегда быть выполнено заменой перемен-
ной. В этом случае нормальная характеристическая
функция имеет вид:
со оо
У = 2 1 Д J J e/e,.r + Z;Jy-(!x(^+^-2|i,l.ry)/24"(/j(.(/y=,
— оо — оо
= £—(р-эд ^12+Ио2 5а24-2р.п51 Нз)/2 *	Ю)
Полученную экспоненту разложим в ряд по степеням
Bi и ?2 -
/с J: \	1	^20 <Ч3 + Н02 ’22 + 2 Hi ^2	]
Тху (Ч, *2/ = 1-----------------------------------F
I (1*20 ^12 ~Ь Ног 522 + 2 Pg! Со)2 I	(111)
2!22	’	7
Заметим, что коэффициент при 5j2 равен— р-2о/2*
Вспомнив правило, вытекающее из (109), умножим этот
коэффициент на 2!0!//2+0 =—2 и получим р20. Подоб-
ным же образом можно установить, что |х02 и рп также
соответствуют моментам, определяемым (109).
38
Характеристическая функция многомерного нормаль-
ного распределения п независимых величин является
естественным обобщением (ПО). При равенстве нулю
средних значений каждой переменной она может быть
записана как
_ ш.х1+ел+...+Е„х„) =
‘ Х} .V2 . . . Хп
п п
=ехр |~у2 X 	(112)
/=1 л-1
Здесь —взаимная дисперсия Xj их*. Обобщенные
центральные моменты для многомерного случая опреде-
ляются выражением
г i J \	• - • / J v
fn —0*1 1	• • • Xn П)	jj\+Ji+ — +Jn	X
Х(коэффициент при	• • • ^nn в разложении <p	\
x 1 X* . . . Xn)‘
(113)
Многомерная функция плотности вероятности нормаль-
ного распределения выражается через моменты второго
порядка довольно сложным образом, поскольку в преоб-
разование Фурье выражения (112) входит квадратичная
форма, обратная квадратичной форме с коэффициентами
Она имеет вид
п п
^ik
Р (*1, Х2,
> хп)
(2к)Я/2 А1/2
, (И4)
где X— определитель /г-го порядка с элементами ХуЛ;АуЛ—
алгебраическое дополнение элемент^ Ху* в определителе
X. Следует учесть, что Хм = KkJ и AJk •-= AkJ.
Центральная предельная теорема для многомерного
распределения устанавливает при весьма общих усло-
виях, что если Xi, Х2, . . ., хп сами представляют суммы
большого числа независимых величин с произвольными
распределениями, то функция плотности вероятности
р (xi, Х2, . . хп) приближается к n-мерному нормаль-
ному распределению.
5. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Двумерная статистическая теория может быть приме-
нена непосредственно в случае, когда измеряются два
значения шума от одного и того же источника в два раз-
личных момента времени. В случае временного метода
представления процесса рассматривается шумовой про-
цесс у(/). При этом л* —а у=^(Л + ^).
Если процесс стационарен, то статистические пара-
метры случайных величин х и у зависят только от интер-
вала времени т и не зависят от Л. В случае представле-
ния процесса по методу ансамбля производятся наблю-
дения в моменты времени ti и ti + т над большим чис-
лом подобных друг другу источников шумов. В этом
случае получают ансамбль парных величин, который
условно можно записать так
(П5)
Если ансамбль [ц(0] стационарен, то статистические
параметры ансамбля [х, у] зависят только от временно-
го сдвига т и не зависят от ti. Если, к тому же, процесс
является эргодическим, статистические параметры по
ансамблю и по времени совпадают.
Для стационарных процессов во временном методе
среднее значение произведения v(t) на ц(/ + т) назы-
вают обычно функцией корреляции. Обозначим ее <|>v (т).
Тогда
г
-к (т) = Иш —- С v (t) v (t + т) dt.
Т'-*• 03	/ J
о
(116)
40
Если процесс эргодический, функция корреляции может
быть также подсчитана усреднением по ансамблю, т. с.
со оо
фр (*) = (*У) = J J кур (х, jz) dxdy.	(117)
-ОО -00
Напомним, что смешанный центральный момент вто-
рого порядка, или взаимная дисперсия, совместно рас-
пределенных величин х и у был определен согласно
(102) как [(х—х) (у—у)]. Корреляционный центральный
момент второго порядка (корреляционная дисперсия)
v(t) может быть соответствующим образом определен
как взаимная дисперсия х и у, где х = v(t) и у = v(/+ т).
Он равен функции корреляции эргодических шумо-
вых источников с нулевым средним значением шума.
Для эргодических источников в общем случае справед-
ливо, что корреляционная дисперсия равна разности
функции корреляции и квадрата среднего значения.
Корреляционная дисперсия суммы двух независимых
процессов представляет собой сумму корреляционных
дисперсий .каждого из процессов, что можно показать,
написав выражения для требуемых средних значений и
приравняв нулю взаимные дисперсии обоих процессов.
Можно бы было продолжить обобщение, введя функ-
цию плотности вероятности от трех переменных р(х, yf z),
где x = u(t),	z = v(t + Tj т2), и функ-
цию корреляции третьего порядка
Фг, (Ti. тг) = Ту*?	(118)
Такие обобщения могут быть распространены до
любого порядка. Однако статистических параметров вто-
рого порядка для большинства технических проблем
вполне достаточно, и в важном частном случае нормаль-
ного (гауссового) процесса статистические параметры
высших порядков полностью определяются, если известны
параметры второго порядка.
6. СПЕКТР МОЩНОСТИ
Разложение колебаний на синусоидальные составляю-
щие различных частот имеет большое значение в радио-
технике. Основное применение разложения может быть
кратко сформулировано так: если колебание v(t) (для
определенности будем рассматривать напряжение) может
быть представлено в виде
d <о
77
(119)

и если линейная система имеет в установившемся режиме
функцию передачи Y (<*> ) (для определенности будем
считать, что на выходе напряжение С7о ezW создает ток
/о е/(о/, причем /о = Y (ю) С/о), то ток, вызванный £>(/),
/(0= Г(о))Л(ф)е^
d оо
77
(120)
При заданном у(/), F (ш) формально определяется по
известному правилу
F (ш) = I v (£) e~/a>z dt.
(121)
F(to)d&j2n интерпретируется физически как амплитуда
(в комплексной форме) бесконечно малой составляющей
колебания ^(/), содержащей частоты в интервале
около
Эти широко известные соотношения теории интеграла
Фурье справедливы только для линейных систем и в том
42
случае, когда наблюдаемый процесс задается численны-
ми значениями. Однако при шумовом процессе последнее
условие не выполняется, так как интеграл (121) для
шума v (t) не сходится. Можно найти выход из положения,
если вместо рассмотрения значений напряжения в беско-
нечно малых частотных интервалах перейти к рассмотре-
нию среднеквадратичных значений напряжения в этих
же частотных интервалах.
Рассмотрим конечный промежуток времени от
/ — 0 до / = Т. Если v(t) вне этого интервала положить
равной нулю, то
т
Л (to) =	(122}
о
Этот интеграл может быть вычислен и для шума, так
как интервал интегрирования конечен.
Тогда для 0 < t < Т
••
v(t) = f F(<D)e'^-^ .	(123)
J	2тг
Полная энергия, соответствующая у(/) в интервале
от 0 до Т, пропорциональна
т	т
С v2 (t) dt = Г v (t) dt f F (o>) e‘w =
J J J 2*
0	0	-OO
T
f v (t) &imt dt =
2rc J
о
C F(w)F(—<0)-^-= [	(124)
J	2 к J 2 к
-- OO	-OO
Средняя мощность St получается делением этой энергии
на Т (считаем мощность для единичного сопротивления).
Следовательно,
Sr = ~ j*^(0^ = J |Л2(^2 d*o. (125)
О	Х>
4Э
Введем функцию
Г) = -^("*Р 	(126)
zit /
Тогда выражение (125) можно записать в виде
ОО
Sr = J 1ГД<о, Г)с/<о.	(127)
Путем усреднения по конечному, но достаточно боль-
шому интервалу времени Т мы получили выражение для
средней мощности в форме интеграла от спектральной
плотности. Это выражение можно понимать так, что
каждый бесконечно малый частотный интервал d&> около
частоты (о дает составляющую U^(oo, T)d<& полной
средней мощности. Заманчиво предположить теперь, что
Т стремится к бесконечности, и определить соответствую-
щий предел Wv (оо, Т) как спектральную плотность v(t).
Этот прием часто встречается в литературе и для боль-
шинства задач дает правильные результаты. Такая про-
цедура, однако, не лишена риска, и читателя следует
предостеречь, что в частных случаях попытка непосред-
ственного нахождения предела для выражения (126)
почти всегда не дает результата.
Существуют два пути преодоления получившегося
математического затруднения.
Первый путь применим для случая, когда мы пред-
ставляем шумовой процесс как функцию времени. Рас-
смотрим конечный участок частотного интервала и вве-
дем функцию
а)4-Дсо/2
2(о>, 7) Д<о) = j T)du. (128)
со—Дсо/2
Если сохранять А со фиксированным, а Т устремить к
бесконечности, то предел действительно существует и
определяет функцию
2 (оо, Доо) == lim 2 (со, Т, Доо).	(129)
Т со
Теперь можно взять предел отношения (129) к Д<о,
и устремив А со к О, получить спектральную плотность
ГДсо)== lim С(<й’ А<и) .	(130)
До-*о А оо
44
Индекс v указывает на то, что спектр мощности отно-
сится к процессу v(t).
Второй путь применяется при методе, когда шум рас-
сматривается как шумовой ансамбль. Сначала усредняют
Т) по ансамблю возможных функций шумов, а за-
тем берут предел, устремляя Т в бесконечность.
Таким образом, спектральную плотность можно пред-
ставить следующим выражением:
1ГДо)) = Нт
Г-*оо
' |^(<»)Г
2кГ
(131)
Подобный способ нахождения предела позволяет пре-
одолеть затруднения, кроме случая, когда ансамбль со-
держит периодические составляющие. Этот случай будет
рассматриваться ниже.
При эргодическом процессе полученное соотношение
для спектральной плотности удовлетворяется также для
любой из функций ансамбля в отдельности. Заметим,
что мы определили спектральную плотность на единицу
частоты о), выраженную в радианах в секунду. Спек-
тральная плотность для частоты, выраженной в герцах,
равна 1Гг(/) = 2кГД<о).
Представлению шумов по методу ансамбля в совре-
менных аналитических работах отдается предпочтение^
С другой стороны, практическая работа по спектрально-
му анализу в соответствии с давними традициями, со-
хранившимися с ранних работ в области оптики, бази-
руется почти полностью на временном представлении.
Полоса пропускания Ао> определяется полосой раз-
решающего фильтра и практически всегда конечна. Ин-
тервал Т, в котором производится усреднение, не беско-
нечен, но достаточно велик, чтобы дальнейшее увеличе-
ние Т не меняло заметно результата. Вообще, чем мень-
ше А со , тем больше должен быть интервал Т. Практи-
чески в условиях эксперимента иногда возникают неко-
торые трудности подбора Aw и Г.
На рис. 4 показана схема аппаратуры, удобная для
экспериментального определения спектральной плотности
на основе выражения (130). Напомним, что для
удобства математических выкладок функция спектраль-
ной плотности определена как для положительных, так
и для отрицательных значений частоты. Из (126) очевид-
но, что функция, определенная таким образом, должна
45
быть четной функцией частоты, так как F (®) и F (——
сопряженные величины. В физической аппаратуре доли
средней мощности, приходящиеся на интервалы d<o на
частотах—<» и ®, складываются и в сумме дают среднюю
мощность на частоте®. Следовательно, результаты изме-
рений рис. 6 соответствуют 2Wо(®) Д®.
Полосовые
фильтры
(jf
измерители
Термо постоянного
пары топа
I ^/7
V(t)


Рис. 6. Блок-схема устройства для измерения
спектра мощности.
Если v(t) содержит одну или несколько синусоидаль-
ных составляющих, то спектральная плотность на соот-
ветствующих частотах стремится к неограниченно боль-
шим значениям. Аналитических затруднений при взятии
интеграла от спектральной плотности практически нет,
пока верхний предел не включает частоту синусоиды ю.
Однако значение интеграла может скачком измениться
при прохождении частоты синусоидальной составляющей.
Спектральную плотность синусоидальной составляющей,
имеющей среднюю мощность Ро и частоту fo, удобно
представить в виде Ро 8 (f—f0). При расчетах применяют-
ся правила действия с 8-функцией.
Введение понятия спектра мощности дает широкую
возможность использовать теорию цепей в установившем-
ся режиме для оценки прохождения шумов через линей-
ные системы. Так, возвращаясь к (119) и (120), заме-
чаем, что если v(t) имеет спектр мощности	то
спектр мощности I(t)
^(/) = imruw)- (132)
Аналитические упрощения, полученные таким обра-
зом, очевидны.
46
Спектр мощности был получен при помощи возве-
дения в квадрат и усреднения временной функции. По-
этому он является статистическим параметром второго
порядка и может быть связан с другим статистическим
параметром второго порядка—с корреляционной функ-
цией. Эта связь будет рассмотрена в следующем разделе.
7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ
И СПЕКТРОМ МОЩНОСТИ
Пусть фДт, Т)—приближенное значение функции
корреляции, полученное усреднением за конечный интер-
вал времени Т
т
Фг, (*, Т) = -у- J V (t) V (t + т) dt.
О
(133>
Подставляя сюда значение + из (123), получим
7	ОО
<К, (х> Т) = —-— [ v (t) dt f F (®) ez“ <z+x’d <o =
2 7Г T J J
0	---OO
oo	T
—-— f F (<°) е/шх d ® C v (t) elmt dt.
2к T J	J
---OO	0
(134>
Внутренний интеграл можно заменить спектральной
плотностью в соответствии с (122), и в результате полу-
чим
00
Т)=—^— СF(<o)e‘mTF(-<!>)tZ<D =
2z Т J
— оо
(135>
48
Очевидно, что это является обобщением выражения
(127). Трудности, связанные с бесконечными пределами,
подобны тем, что возникали ранее при расчете спектраль-
ной плотности, и не требуют повторного обсуждения.
С теми же оговорками переходим к пределу при Т->со
и в результате можем записать

(136)
Заметим, что
(0) = f Wd w — lim St. (137)
*/	T -* оо
— оо
Таким образом, функция корреляции для нулевого вре-
менного сдвига равна усредненной мощности за все вре-
мя. Это наибольшее из всех возможных значений функ-
ции ^(т), так как всегда положительна, а мно-
житель е /ш с единичным модулем не может сделать
подынтегральное выражение (136) больше подынтеграль-
ного выражения (137) при любых «>.
Такпхп образом, функция корреляции является преоб-
разованием Фурье спектра мощности.
На основании теоремы обратного преобразования
Фурье
оо
Wv^) = -^~ f	(138)
2 л J
Это дает возможность вычислять спектр мощности по
корреляционной функции, а при эргодическом источнике
шума—по корреляционной дисперсии ансамбля. С мате-
матической точки зрения удобно определять переменную
составляющую спектра мощности ансамбля стационар-
ных функций как преобразование Фурье корреляционной
дисперсии. С точки зрения удобства расчета желательно
постоянную составляющую отделить.
Спектр мощности, подобно самой функции корреля-
ции, с которой он связан линейным преобразованием, об-
ладает свойством аддитивности, справедливым для неза-
висимых источников шумов. Это согласуется с хорошо
4	49
известным способом сложения средних мощностей неко-
герентных источников при определении средней мощности
их суммы.
Разберем несколько примеров. Рассмотрим эргодиче-
ский источник нормального шума v(t) со средним значе-
нием, равным нулю. Функция плотности вероятности
р(х, /у), где х = v(t'), а у = v(t + т), получается подста-
новкой в выражение (103) х0 = Уъ — 0
2 77	?-220	!L"11
X ехр
_ И20 (х2 +_У2) — 2<хпху
2(^22о —Гп2)
(139)
Здесь |л20 = p.O2 = а2 представляет собой дисперсию
или, в данном случае, среднее значение квадрата у (Л,
а |хп есть корреляционная дисперсия или функция кор-
реляции фг,^). Спектр мощности определяется выраже-
нием (138). Подобным же образом, если задан спектр
мощности источника нормального шума Ж?,(ю)> не имею-
щего постоянной составляющей, то функцию плотности
вероятности р(х, у) можно получить подстановкой в
(139) выражений
(140)
И
Р2О = Ых=о = Ф(О) --О’.	(141)
Закончим ранее начатое рассмотрение задачи линей-
ного детектирования нормального шума заданной полосы.
Если прежде мы могли только подсчитать среднюю мощ-
ность переменной составляющей на выходе детектора, то
сейчас появилась возможность вычислить полностью
спектр мощности.
Обозначим напряжение на выходе детектора u(t) и
положим
«(0	1
т) = и(^-| -т) J
Переменная с равна х, когда х больше нуля, и равна
нулю, когда х отрицателен. Аналогично = у, когда у
50
положителен, а для отрицательных у т] принимает нуле -
вое значение. Функция плотности вероятности q (£, 7])
связана с р(х,у) таким образом:
q (?, у;) = р (5, т]), когда ; > 0 и >
q (^, т<) — 0, когда S < 0 или т; < О
01
J
(143)
Эти выражения не включают нулевые значения с и rh
в котором концентрируются все вероятности, вызванные
отрицательными выбросами х и у. Поскольку нулевые
значения i и tj при нахождении среднего значения не
играют никакой роли, то функцию корреляции на выходе
линейного детектора можно записать в виде
оо оо	оо оо
X ехр
Н-20 G2 + т;2) — 2	5 7,
2(р3ао Р2и)
dldt\ —
(р-22о
— Н2и)1/2 + Ни arc cos-------------—
Р'20
1 ( г	"I Va	-- ф
= X к2 (0) - Ф/ (х). + ф. (т) arc cos , (144)
2тг с L	J	ФДО) J
Таково выражение функции корреляции на выходе ли-
вейного детектора через функцию корреляции нормаль-
ного шума на входе. Спектр мощности на выходе детек
тора Wu(a>) находится непосредственно из соотношения
(138), где индекс v должен быть заменен индексом и.
При вычислении Wu (<о) встречается некоторое затруд-
нение, связанное с тем, что подстановка функции фи(т),
определяемой выражением (144), в выражение (138)
лает расходящийся интеграл.
Действительно, при стремлении / т | к бесконечности
Ф; (т) стремится к нулю, но (т) при этом стремится к
постоянному значению	что при подстановке в
(138) дает расходящийся интеграл. Для преодоления
этой трудности заметим, что функция корреляции по-
4*
51
стоянного напряжения Е, согласно определению (116),
равна
т
ф£(т) = lira — f E2dt = Е».	(145)
Г-*ОО 7* I
о
Наличие постоянной ф0 в составе функции корреляции
на выходе детектора означает, что в колебании имеется
постоянная составляющая Ео
£о = Фо,/а,	(146)
имеющая среднюю мощность Ео2 = ф01	~ ’’С1
Для получения переменной составляющей из общей
мощности на выходе необходимо вычесть постоянную со-
ставляющую. Тогда функция корреляции переменной со-
ставляющей u(t) будет определяться выражением
=	[(147)
2 тс
Так как постоянная составляющая нормального шума
для случая линейного детектирования была подсчитана
раньше довольно простым способом, можно воспользо-
ваться в данном случае ранее полученными результатами.
Если в выражении (40) принять постоянную детектора
ai равной единице, то ранее полученный результат был
равен а/|/2тс. Теперь же мы получили
	= = (148) 2 тс	2тс
или	<149)
т. е. пришли к тому же результату.
Продолжим расчет спектра на выходе детектора.
Результат будет, безусловно, зависеть от спектра на
входе. Некоторые интересные выводы, касающиеся спект-
ра, можно сделать сразу из степенного разложения вы-
ражения (144)
52
w=-^+^
2~	4
Hll2 । Р-Ц4
4”H20
M^203 [ 2
32	/Hl V	3*-52	/|X Y 	33-5*-72
5-2-3! \p2(J + 5-7-22-4! \ho '	5-7-9-28-5!
x / Hi Y i_1= Ф«Д°) । <MT) । V (T) ।
\Ho/	J	2w	4	4^(0)
, Vfr)	[J_	,	32	[W
24^(0)	I 2	5-2-3!	[ФД0)
2+- -J. (150)
Первый член ряда после постоянной составляющей
равен функции корреляции входного колебания v(t) с
коэффициентом Vj. Соответственно преобразование Фурье
этого члена равно одной четверти спектральной плотно-
сти мощности колебаний на входе детектора. Последнее
подтверждает известный факт, что при действии на входе
линейного детектора напряжения, состоящего из многих
частот, на выходе среди других составляющих получают-
ся составляющие тех же частот с амплитудами, равными
половине амплитуд напряжения на входе. Следующий
член пропорционален квадрату (т) и соответствует
такой амплитудной характеристике, когда выходное на-
пряжение пропорционально квадрату напряжения на
входе. Хорошо известно, что в подобных случаях выход
можно представить в виде составляющих с частотами,
равными сумме и разности частот, присутствующих во
входном сигнале. Преобразование Фурье этого члена дает
поэтому суммарный и разностный спектр. Аналогично
члены высших степеней соответствуют доле от высших
порядков модуляции.
Линейный детектор был взят в качестве типичного
примера. Следует учесть, что указанный метод анализа
применим для определения реакции широкого класса не-
линейных устройств. Применение этого метода освещено
в работе Райса [3] *.
Ранее уравнением (62) было показано, что нормаль-
ный процесс можно рассматривать как предел суммы
* См. также книгу В. И. Бунимовича «Флюктуационные процес-
сы в радиоприемных устройствах», изд. «Советское радио», 1951
(ред.).
53
большого числа синусоидальных распределений. Это на-
водит на мысль создания нормальных ансамблей с за-
данными функциями спектральной плотности. Разделим
сперва частотный диапазон на небольшие интервалы ши-
риной Аю. Представим себе затем синусоидальные состав-
ляющие с частотами, равными среднему значению часто-
ты в интервале, со случайной фазой и с амплитудами,
пропорциональными квадратному корню из функции
спектральной плотности.
Ансамбль сумм подобным образом подобранных ком-
понент приближается к требуемому нормальному ансамб-
лю по мере того, как точки деления бесконечно близко
сближаются. В частности, ансамбль
N
пДсо) Асо cos [(<*> +-п Лео) t + 0л], (151)
П = 1
где 2V = (о>2 — со1)/До> и 6л независимы и равномерно
распределены, приближается к нормальному ансамблю
со спектральной плотностью Wv (<о) в диапазоне
< ^2- Среднее квадратичное значение типичной
составляющей, представляющее собой половину квадра-
та амплитуды и равное 2 Wv + п Д<о) Aw, состоит из
двух частей.. Одна часть, + пД<о)До>, расположена
около частоты + п Дсо, вторая, равная ей по величине,
около частоты (о^ — лДсо).
Полученную модель можно использовать для решения
большого круга вопросов, связанных с шумами, и прежде
всего, при определении реакции заданной системы на ко-
лебание вида (151). При этом вначале следует брать
конечное Л/, а затем находить предел при 2V, стремящем-
ся к бесконечности. Решение, полученное таким образом,
будет справедливо для источника нормального шума.
Замена источника шума суммой синусоидальных ко-
лебаний сравнительно с современными методами вероят-
ностного анализа является грубым приближением. Тем
не менее она в ряде случаев позволяет получить требуе-
мые результаты путем соответствующих алгебраических
преобразований. Подобным способом решаются вопросы
взаимодействия между полезными сигналами и нормаль-
ным шумом в многоканальных системах с частотным
разделением. Аппроксимация бесконечным синусоидаль-
ным рядом образует промежуточное звено между ко-
54
лебаниями, передаваемыми в многоканальной системе
с разделением по частотам, н нормально распределенными
шумами. Если число каналов в многоканальной системе
велико, то для имитации условий средней нагрузки
[4, 18] экспериментально' и для теоретического анализа
удобно использовать шумы.
Недостатком представления шума в виде суммы си-
нусоид является трудность расчетов в достаточно слож-
ных случаях. В качестве примера средней сложности
можно привести статью автора [5] о линейном детектиро-
вании синусоидального сигнала в шумах. Пример более
сложных расчетов дает статья Левина [6], где предметом
обсуждения является вопрос когерентности различных
составляющих, полученных в процессе расчета. Думает-
ся, что в таких расчетах трудно обеспечить аналитиче-
скую строгость. Позже мы вернемся к использованию
суммы синусоид, как к очень ценному способу выяснения
свойств узкополосных шумов.
Рассмотрим в качестве примеров две функции спек-
тральной плотности и связанные с ними функции корре-
ляции.
Белый шум с прямоугольным спектром
В этом случае входной спектр распределен равномер-
но в определенном диапазоне частот и обращается в нуль
вне его. Теоретически это соответствует пропусканию
белого шума через идеальный фильтр. Практически ни
белого шума, ни идеального фильтра не существует и
выбранные условия представляют лишь известное при-
ближение реального процесса. Будем для простоты рас-
четов считать, что спектральная плотность существует
как для положительных, так и для отрицательных частот.
Тогда можно записать
<>52’
10, I о) I < и I <d I > шз-
Такой спектр показан на рис. 7а. Средняя мощность, за-
ключенная в спектре, равна площади двух прямоуголь-
ников, т. е.
P=2IF0(o>2 —«>,)•	(153)
55
Рис. 7. а) спектр мощности белого шу-
ма, пропущенного через полосовой
фильтр; б) спектр мощности белого
шума, пропущенного через фильтр
нижних частот; в) спектр мощности
белого шума, пропущенного через уз-
кополосный фильтр; г) колокол fa-
ный (гауссов) спектр мощности низ-
кочастотных шумов; д) колоколь-
ный спектр шумов, не имеющий низ-
кочастотных составляющих.
56
Найдем функцию корреляции ф(х)
—(0а	а>!
UZ0 e/Q>t d О) =
4 Wq . (о>2 — <°1)	(W2 +
	— sin	Т cos -----
т--------------2	2
(154)
Подстановка полученного результата в выражение (144)
ведет к довольно запутанному интегрированию, однако
расчет все же сводится к точным вычислительным опера-
циям. Остается применить искусство интегрирования или
использовать вычислительную машинную технику.
Особенно большое значение имеют два частных слу-
чая: шумы, пропущенные через фильтр нижних частот,
и шумы, прошедшие через узкополосный фильтр.
Низкочастотные шумы:
л п г? . / \	2I^0sin2кГт /1СС.
— 0, о)2 — Г, 9 (т) = —"---------.	(155)
Кривая спектральной плотности таких шумов показана
на рис. 76.
При узкой полосе пропускания [см. рис. 7в], когда
0>1
удобно ввести обозначения
+ Ш2	п о
—-------- = 0)с, О>2 — (01 “ Г.
Тогда
ф (т) ==	0 sin тг Вtcos о)с т.	(156)
Для многих задач форма спектра, ограниченного уз-
кой полосой, не играет существенной роли. В одном из
последующих разделов мы будем рассматривать узко-
полосные шумы с произвольной формой спектра.
57
Колокольный спектр
Колокольный низкочастотный спектр, показанный на
рис. 7г, имеет спектральную плотность
^И = -Д=е-	,	(157)
О)0 у 2
где —средняя мощность шумов. На частоте мощ-
ность на единицу полосы снижается на одну четверть не-
пера (2,17 децибел) относительно плотности при нуле-
вой частоте. Колокольный спектр, соответствующий по
форме кривой нормального распределения, имеет боль-
шое значение, поскольку он дает плавный спад спек-
тральной плотности и в большей степени отражает харак-
теристики реальных физических систем, чем идеальный
фильтр с резким обрывом частотной характеристики.
В частности, частотную характеристику, близкую к нор-
мальной кривой, имеет многокаскадный усилитель на RC.
Преобразование Фурье такого «нормального» спектра
(его функция корреляции) также подчиняется нормаль
ному закону, что дает большие преимущества при вы-
числении. Так как нормальная функция, возведенная в
степень, также остается нормальной, то это дает возмож-
ность производить преобразование Фурье разложения в
ряд по степеням функции корреляции почленно и полу-
чить таким образом соответствующий ряд «нору .льных»
спектральных плотностей. Выражение для фун ции кор-
реляции колокольного спектра низких частот имеет вид
оо
Ф (т) = —f е-^'2^ еd 0)=^ е -	1. (158)
(о0 у 2 к J
Второй важный случай такого спектра—это высоко-
частотный колокольный спектр рис. 7д. Спектральная
функция его и функция корреляции соответственно равны
Г(«)) =
£ -(a)-wf)2/2a)02	-(a) + cof)a/2o)0*
(159)
2 о)02 тс
ф (т) ~ N() е -(шус)2/2 cos о)с т.	(160)
Представляет интерес наиболее распространенный
случай узкополосных шумов, когда Спектры отри-
58
дательных и положительных частот при этом совсем раз-
делены, и мы получаем достаточно точное представление
шумов на выходе настроенного узкополосного многокас-
кадного усилителя, на входе которого действует белый
шум. Этот случай является как бы аналогом в теории
цепей центральной предельной теоремы о функциях плот-
ности вероятности. Этот случай колокольного спектра
будет рассмотрен позже наряду с другими узкополосны-
ми спектральными распределениями.
В общем случае спектр мощности, как и сама функ-
ция корреляции, определяет статистические параметры
второго порядка и, следовательно, не дает полного стати-
стического описания процесса. Важным исключением в
этом отношении является нормальный процесс, при кото-
ром параметры любого порядка определяются через пара-
метры второго порядка. Мы полагаем здесь и будем
считать в дальнейшем, что среднее значение по ансамблю
исключено, и когда говорим о нормальном шуме, то
имеем в виду только переменную составляющую. В этом
случае функция корреляции ф(т) в полной мере опреде-
ляет статистические параметры любых порядков. Так как
функция корреляции и спектральная плотность IF(o>)
взаимно однозначно связаны друг с другом, то парамет-
ры любых порядков определяются спектральной плотно-
стью.
8.	СИГНАЛ И ШУМ
Изучение шумов самих по себе является интересным
и важным. Однако еще большее значение имеет анализ
комбинаций шума и сигнала. Под «сигналом» мы пони-
маем ту часть колебаний, которая содержит в себе полез-
ную информацию и которую поэтому желательно выде-
лить. Нежелательный остаток мы относим к шуму. Зада-
чи разделения сигнала и шума могут быть весьма разно-
образны по своему характеру и иметь разную степень
сложности, начиная, например, от повышения качества
воспроизведения музыки путем освобождения ее от шу-
мового фона и кончая получением ответа на вопрос: есть
или нет сигнал в принятом колебании? По мере того как,
проходя последовательно различные по сложности града-
ции, мы приближаемся к последней проблеме, аппарат
теории вероятностей все в большей степени заменяет
точное описание процесса.
Сигнал может иметь самую разнообразную форму,
но, какова бы она ни была, мы всегда обращаемся к
анализу Фурье, чтобы разложить сигнал на синусоидаль-
ные составляющие. Поэтому для упрощения задачи нач-
нем анализ с рассмотрения одного синусоидального
колебания и шума. Таким образом, ансамбль, подлежа-
щий изучению, представляет собой сумму синусоидаль-
ного колебания и нормального шума. Этот ансамбль
можно записать в символическом виде
[у (0 ] = k (0+4’cos(M + 6)].	(161)
Здесь [х(/)]—ансамбль источников нормального шума,
[A cos (М+ &)] = 1^(0]
— независимый ансамбль синусоидальных колебаний с по-
стоянными А и <о0 и с фазой 6, равномерно распределен-
60
пой в интервале от 0 до 2-. Функцию плотности вероят-
ности [//(/)] можно получить с помощью характеристиче-
ских функций. Характеристическая функция [%(/)] опре-
деляется выражением (64). Полагая, что среднее значе-
ние по ансамблю равно нулю, можем записать
<px(Q = e-^2.	(162)
Характеристическая функция ансамбля синусоидаль-
ных колебаний согласно (58) равна
=	(163)
Тогда характеристическая фу щия [у(0]
?у(0 = ?.г(0?5 (« =	0 (Л $) е.	(164)
Теперь определим функцию плотности вероятности
['/«)]
оо
2 к J
J Jo (Л 5) е ~^2 cos у Е dt.	(165)
о
В данном случае мы вынуждены оставить функцию в ин-
тегральной форме. Иногда бывает удобно заменить
/с (Л $) ее интегральным эквивалентом
«/2
/0(Л5)= — J е- de
—ic/2
(166)
и проинтегрировать полученное выражение по 5. Тогда
выражение для плотности вероятности примет вид
Р(У)
х/2
=-------1------- | е -(У-Ла1п9)’/2о« d 0
К	J
-х/2
(167)
Полученный результат позволяет рассчитать постоян-
ную составляющую на выходе линейного детектора, ког-
61
да на входе его действует синусоидальный сигнал и шум.
При линейном детектировании с прямой проводимостью а
постоянная составляющая уо равна
_p0 = aj yp(y)dy.	(168)
о
Последний интеграл может быть взят в конечном виде
ОС о .ч
Л = же х
X | Л, (Л=/4 «=) + Д- (/„ (Д«/4 о=) + Д (Д'/4 <.=)] 1. (169)
I	2 a2	j
Можно рассчитать спектр на выходе детектора, пред-
варительно найдя функцию корреляции y(t). Последняя
может быть рассчитана из двумерной функции плотности
вероятности переменных у(Q и y(t + т). В свою очередь
плотность вероятности может быть найдена при помощи
характеристических функций компонент ансамбля. Дву-
мерная характеристическая функция нормальнрго ан-
самбля была определена ранее выражением (НО). Харак-
теристическая функция двумерного синусоидального ан-
самбля может быть представлена выражением
Ф	_ £ i^s(0 q (f+т) _ g/Mcos(<V+0) + /£a Лсо8[о)0(Г |-т) И] =
1А{ Hicos(a>(/+0) +Sacos[w(,(/4-T)+0]} d О =
IA /(Si+^со8о)()т)2+^2 sina<o0T cos(<oc/+0 + p) d g
(170)
где а произвольно, a
tgp= ?2SinM“T .	(171)
$1 + ;2 COS O)0 T
Делая замену переменной Ф = в Д Р Д- <*>01, получаем
«2)==(Л^ К$12 •+ ?22 + 2 Д COS а>0 -с) •
62
Запишем двумерную характеристическую функцию
нормального ансамбля согласно (НО) в виде
Фх (У У = е -Me+WW'2.	(173)
Тогда двумерная характеристическая функция ансамбля
y(t) согласно соотношению (107) определится как
=	у. (174)
Если yt=y(t), а уг = y(t + ъ), то двумерная функция
плотности вероятности
ОО оо
?(У1>У2)=^ | У?у(У У	(175)
--00 — оо
Функцию корреляции на выходе линейного детектора
при синусоидальном сигнале и шуме на входе можно рас-
считать тем же методом, который использовался при
выводе соотношения (144). Спектральная плотность по
лучается как преобразование Фурье функции корреляции.
Результаты таких вычислений достаточно сложны, но и
сама задача далеко не простая, и важно отметить, что
решение все-таки можно получить. Возможны изменения
в методике расчетов, допускающие сокращение опера-
ций и уменьшение их сложности. Так, если характери-
стика детектора может быть выражена интегралом
Фурье, то функция корреляции тока на выходе детектора
выражается непосредственно через характеристическую
функцию напряжения на входе. Представление характе-
ристики детектора в виде интеграла Фурье может ока-
заться невозможным при интегрировании по действитель-
ной оси. Однако путем выбора соответствующего пути
интегрирования в комплексной плоскости эта задача ре-
шается. Полезно заметить, что для расчета дискретных
компонент выходного спектра следует взять предел от
функции корреляции при т, стремящемся к бесконечно-
сти. Это исключает непрерывную часть спектра. Более
полное рассмотрение такого рода проблем можно найти
в статьях Райса [3] и Миддлтона [7].
63
9.	ДИСКРЕТНЫЙ ВЫБОР ОТ ИСТОЧНИКА ШУМА.
ПОНЯТИЕ О ВРЕМЕННОМ РЯДЕ
Во многих случаях измеренные данные о шуме полу-
чаются из наблюдений, сделанных в дискретные мгнове-
ния времени. Такое положение часто встречается в ста-
тистике. Моменты наблюдения обычно берутся через раз-
ные промежутки времени. Такой набор измеренных в
определенные моменты времени величин обычно именуют
временным рядом. До сих пор мы полагали, что функции
времени, подлежавшие изучению, можно наблюдать не-
прерывно.
Возникает вопрос, можно ли применить полученные
результаты к случаям, когда в нашем распоряжении
имеются только регулярно расположенные выборки на-
блюдаемого процесса? Так называемая теорема выбора *
дает возможность решить эту задачу в случаях, когда
спектр мощности источника шума обращается в нуль за
пределами определенной полосы частот. Это условие
строго никогда не выполняется, однако практически та-
кая аппроксимация обычно достаточно хорошо отражает
действительный спектр и позволяет использовать эту
математическую идеализацию. Теорема утверждает, что
если шум не содержит частот, превышающих частоту F
или равных ей по абсолютной величине, то он может быть
полностью восстановлен по его дискретным значениям —
выборкам, взятым через интервалы времени 1/2 F [8].
* Эта теорема носит название теоремы Котельникова и имеет
фундаментальное значение в теории связи (Ред.).
64
В частности, когда x(t) представляет собой шум,
можно записать тождество
оо
/г = — ©о
sin те (2 Ft — п)
те (2 Л t— п)
(176)
Правая часть тождества представляет собой реакцию
идеального фильтра нижних частот с отсечкой на
f = ± F на импульсы с амплитудами, пропорциональ-
ными значениям выборок. Дискретные выборки и непре-
рывная функция x(t) дают, таким образом, полностью
эквивалентные данные, поскольку путем эксперимента
пли расчетом можно всегда полностью восстановить
.г (7), пропустив выборки через идеальный фильтр ниж-
них частот.
Посмотрим, что произойдет, если спектральная плот-
ность на частотах, превышающих F, не равна нулю.
Положим
оо
П = — оо
sin тс (2	— п)
тс (2 F / — п)
(177)
где y(t)—функция со спектром неограниченной полосы.
Выражение (177) представляет ансамбль функций, по-
лученных в результате прохождения выборок у через
идеальный фильтр с отсечкой на частоте F. Функция
x(t), конечно, имеет ограниченный спектр, так как она
представляет сумму реакций идеального фильтра. Если
положить t = n/2F, то получим
/ п \	( п \
--- = * ---- •
\2F )	\2F )
(178)
Таким образом, значения у (n/2F) являются одновре-
менно как выборками функции x(t) с ограниченным
спектром, так и выборками функции y(t) с неограничен-
ным спектром. Разница заключается в том, что x(tj
может быть восстановлена по этим выборкам, a y(t) —
в общем случае нет. Здесь уместен вопрос/какие соотно-
шения существуют между статистическими свойствами
%(/) и у(1)?
5	65
Можно подсчитать функцию корреляции ансамбля
[%(/)] усреднением x(l)x(t + т ) по ансамблю \у\ при
фиксированном /:

sin л (2 F t — m)
n(2Ft—m)
m — — n= — ro
X
x sin it [2 F[(t + t) — n]
it [2 F (t + t) — n]
Можно записать
(179)
= ’?y(T).
(180)
где фу(^) — функция корреляции ансамбля [«/], или, при
эргодическом процессе, функция корреляции у (/). На пер-
вый взгляд кажется, что суммирование в равенстве
(179) зависит от величины /, но на самом деле это не
так. Независимость суммирования от t может быть под-
тверждена следующим тождеством:
sin — т) sin тс (х — п 4 а) _
тс2 (х — т)(х — п + а)
sin(/—а) тс
(/ - «)*
(181)
Вывод этой формулы, приведенный ниже, принадле-
жит Д. Слепяну. Пусть g(x)—функция от х со спектром,
ограниченным полосой—1/2</<1/2. Тогда
g(*) =
S. ч sin it (х — т)
g№—г—\
п(х — т)
Примером такой функции является функция
sin к (х —у) _ sin к (у —х)
si	ч >
к(х —у) "(у-х)
(182)
(183)
66
где у есть постоянная. Преобразование Фурье g’i(x)
равно е_/у/ в интервале—1/2 < f < 1/2 и обращается в
руль вне этого интервала. Подстановка (183) в (182)
дает тождество
sin тс (х— у) _ у, sin тс (у— т) sin тс (х — m) (184)
тс(х —у)	к(у — т) - тс(х — т)
т = — оо
Положим
у = х — J + а,
где / равно нулю или целому числу, отрицательному или
1юложительному, и а—постоянная.
Тогда
sin тс (/ — а)   уч sin тс (х — j У а — т)
тс (/ — а)	тс(х—j + а — т)
т = — оа
, sin тс (х — т)
тс (х — т)
(185)
Умножим обе части равенства на (/) и просуммируем
но всем значениям /
ОО
- S
/=-оо
sin к (/ — а)
тс (/ - а)
sin тс (х—J	а — т)
тс (х — j + а — т)
т = — <»
У ил
sin тс (х— т)
тс(х — т)
Подстановка j п — т в правую часть дает выражение
(181).
Применяя тождество (181) к (179) и учитывая (189),
получаем
оо
у / /
д=з — оо
sin тс (n 4- 2F т)
тс (и 4- 2FT)
(186)
Частота в данном разделе выражается в герцах вместо
употреблявшихся в предыдущих разделах радианах в
5*	67
секунду. Спектральную плотность как функцию от ча-
стоты f в герцах мы обозначали ранее w(f) = 2яй7 (<о).
Спектр мощности wx(f) ограниченного по полосе ан-
самбля согласно (138)
ОО
wx (/) = J (т) dx=
— оо
Г о, |/|>F
1 П 1 / Л \ inirflF I XI С (187)
Tf S Цуг) • 1/1 < 
П= — <х>
Заменим фу через спектр мощности у и подставим в
(187) для случая, когда |/| < F
«М/) = -^- S е'я"//Л
Л== — оо
(К) е/лтсХ//7 dK.
(188)
Дальнейшее упрощение требует перемены порядка сум-
мирования и интегрирования, но при этом получается
расходящийся ряд. Эту трудность можно было бы пре-
одолеть с помощью 8-функций, но, к счастью, в анализе
существует строгая теорема, дающая возможность полу-
чить результат непосредственно. Это так называемая
формула суммирования Пуассона [9]
ср (z) einz dz = 2к V ср (2 от). (189)
В нашем случае следует положить ^ (/+<)/F = г.
Тогда
/ z F \
2*<р(г)=а>Л--------П .	(190)
Поэтому для |/| < г
оо
^(/)= J ®\(/Н 2«F).	(191)
7 л = —ао
68
Интерпретация полученного результата очевидна.
Спектральная плотность на частоте f внутри полосы про-
пускания фильтра представляет собой сумму спектраль-
ных плотностей, находящихся на f гц выше и ниже каж-
дой гармоники частоты выбора 2Fe. На рис. 8 всесплош-
g J Частота
f—
Рис. 8. Спектр мощности, полученный при
низкой скорости выбора.
ные прямоугольные полоски представляют составляющие
спектра на частоте /; пунк.ирные полоски дают анало-
гичную долю на частоте —/.С радиотехнической точки
зрения процесс выбора эквивалентен модуляции высоты
периодических коротких импульсов шумами. Процесс
выбора можно также рассматривать как амплитудную
модуляцию всех гармоник (включая нулевую) частоты
выбора, так как очень короткие импульсы имеют гармо-
ники почти одинаковой амплитуды. В результате каждая
гармоника трансформирует в полосу пропускания фильт-
ра нижних частот все шумы в полосе на f гц выше и
ниже ее. При этом невозможно сказать, какая часть ис-
ходного спектра y(t) дает соответствующие составляю-
щие в спектр x(t). В телефонии это явление носит на-
звание «перекрытия боковых полос». Заметим, что ре-
зультат (191) легче было бы получить, представляя шу-
мы в виде суммы синусоид (151). Однако, как указы-
валось прежде, синусоидальная модель эквивалентна
нормальному шуму и, следовательно, дает трактовку для
менее общего случая.
В радиотехнике можно ограничить полосу частот на
входе перед выбором предварительным фильтрованием
и устранить тем самым нежелательное влияние тех ча-
стей спектра, которые лежат вне исследуемой полосы
частот. Для таких случайных процессов, как состояние
цен, получение урожаев, предсказание погоды и т. д.,
69
предварительное фильтрование выполнить нельзя, и
спектр, полученный в результате дискретного выбора, от
первоначального спектра трудно отделить.
Мощность шума ограниченной полосы равна
= S	=	(192)
\ Л i /
—оо
Следовательно, средняя мощность ограниченных и не-
ограниченных по полосе ансамблей одна и та же. Если
выборки ансамбля [#(/)] взаимно независимы, то
и
когда п^О
sin 2 тгFi
2л F т
Фх« = t(0)
(193)
О, |/| >
a/z2F, |/|<F,
Это дает постоянную спектральную плотность в полосе от
— F до F и нулевую спектральную плотность вне этой
полосы. Это ранее рассмотренный случай белого шума
с ограниченной полосой (152).
В случае, когда ансамбль [//(/)] является нормальным,
значения y(nl2F) являются нормальными случайными
переменными. Если рассматривать значения х(/) в дру
ine моменты дискретного выбора, то мы получим значе-
ния, связанные с этими нормальными случайными пере-
менными линейной трансформацией. Следовательно, зна-
чения x(t) для любого /, или ряда значений /, являются
также нормально распределенными переменными и их
статистические параметры полностью определяются или
корреляционной дисперсией или спектром мощности ан-
самбля [%(/)] в соответствии с выражениями (186) и
(191). Это свойство может быть обобщено: шум, по-
лученный в результате фильтрования выборок нор-
мального шума, также является нормальным. Соот-
70
ветствующее утверждение нельзя сделать о большин-
стве других видов шумов. Например, реакция фильтра
нижних частот на выборки, имеющие равномерное или
синусоидальное распределение, не имеет соответственно
равномерного или синусоидального распределения, если
на выходе фильтра рассматривать все колебание в целом.
10.	ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
И ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР МОЩНОСТИ
Рассмотрим статистические параметры двух или более
зависимых источников шумов. В частности, сюда может
быть отнесен случай, когда рассматриваются шум на
входе и шум на выходе некоторой цепи. В качестве дру-
гого примера можно взять изменения амплитуды и фазы
узкополосного источника шума.
Как и при одном источнике шума, в большинстве
случаев, встречающихся на практике, статистические па
раметры второго порядка здесь также достаточно полно
определяют процесс. Аналогично корреляционной функ-
ции (т) ансамбля одиночных функций [я(/)] опреде-
лим взаимные корреляционные функции (т) и <рух(т)
для ансамбля парных функций [%(/), //(0] выражениями
<М’) = [-*(0-У Н-01 = \хху2р{хгу2}йхгйу,,
(194)
где	xr = x(t), y2-=y(tyx)
И
^.v W =FWH = -u ( -	(195)
Аналогично спектру мощности IFV(«O определим и
взаимные спектры мощности
Z7C I
Um	,
г-^оо 2tv7’
(196)
72
£ I
— ОО
= lim F^~	= uz* (ю).	(197)
г- оо , 2тс Т
В этих выражениях
т
rx(<o) = Jx(0e-'	(198)
О
т
Fy^)^^y(t)e-^dt.	(199)
О
Звездочка при знаке спектральной плотности означает
сопряженность.
Мы не будем снова входить в обсуждение тонкостей
предельных процессов в (196) и (197), так как все ска-
занное ранее при рассмотрении спектральной плотности
одного источника остается в силе и здесь. Измерению
взаимного спектра посвящены работы Барнеса и Крен-
дела [11] и [12].
Взаимные спектры мощности представляют собой со-
пряженные комплексные величины; действительные части
их—четные функции частоты и мнимые—нечетные функ-
ции частоты. Взаимные корреляционные функции можно
рассчитать по заданному взаимному спектру мощности
при помощи обратных преобразований Фурье
©о
ФхУ(Ч =	(200)
— оо
оо
Фу.г(т)= J 1Гух(®)е/х“</«>.	(201)
— оо
Если представить Wxy (ю) в виде
Wxy (<•>) = иху (<о) 4- i Vxy («),	(202)
где Uxy и Vxy —действительные величины, то
иху (-- <о) = иху (ш) = иух(ш),	(203)
vху (-«>) = - Vxy (<») = vyx («)	(204)
73
и
tyxy (т)	2	Uху (со) COS (ОТ rf(O —
о
- 2 j Kvy ((о) sin (ОТ 6/(0.	(205)
о
Если даны два ансамбля шумов [%(/)] и [#(/)] со спек-
трами ^(^) и 1Гу((о) и взаимным спектром (<*>) —
= Uxy ((о) + iVXy(&), то можно разложить один из ан-
самблей на сумму трех компонент, имеющих соответст-
венно реальный, мнимый и нулевой взаимные спектры
относительно другого ансамбля. Так, если ансамбль
[%(/)] принять опорным, то можно написать
[у(/)]=[а(/)] + [?(/)] + [!(/)],	(206)
причем
Wx« = Uxyy Wx? = iVxy, Wx. = 0.	(2 )7)
Заметим, что если W х =0, то U^a = М^з = W\ = 0. Если
же Wx не равно нулю, то можно показать, что
U7a = и\у/ Wx,	1^аз = iUxy Vxy/Wxt
= V\y)Wxi	0,	(208)
w, = wy~-\wxy\^wx> irh = o.
В соответствии с этим разложением можно выделить
некоторые частные случаи пар источников шумов, обла-
дающих интересными свойствами. Так, некогерентные
ансамбли шумов [х(/)] и [#(/)] обладают тем свойством,
что их взаимный спектр на всех частотах, обращается в
нуль, т. е. FryH =0. Обратное утверждение не всегда
бывает справедливым, так как, вообще говоря, могут
существовать взаимные спектры высших порядков и со-
ответствующие им взаимные корреляционные функции
высших порядков, отличные от нуля. Однако в важном
случае совместных пар нормального шума обращение
в нуль WХу достаточно, чтобы обеспечить равенство нулю
взаимных спектров любых порядков, и, следовательно,
71
для некогерентности необходимо и достаточно соблюде-
ние условия	Для других источников условие
Wxy = 0 говорит о существовании «некогерентности вто-
рого порядка». Понятие «некогерентность» эквивалентно
здесь понятию «независимость» в обычной терминологии
теории вероятностей и заимствовано из оптики, где оно
широко применяется.
Если W ху отлично от нуля на некоторой частоте «>,
ю источники называют частично когерентными. Если
\Wxy\2=WxWyi то источники полностью когерентны,
причем' для источников ненормального шума когерент-
ность соблюдается до второго порядка в указанном выше
смысле, а для нормальных источников—без каких-либо
ограничений. Если при соблюдении указанных условий
wxy равно реальной величине Uxy на всех частотах, то
источники называют коллинеарными. Здесь следует раз-
личать два условия. При положительном Uху(р) фазы
складываются, при отрицательном—вычитаются. Нулевой
спектр на любой частоте можно получить из суммы двух
коллинеарных источников шумов относительной регули-
ровкой амплитуды и выбором знака.
Уравнение (205) показывает, что взаимная корреля-
ционная функция коллинеарных ансамблей шумов пред-
ставляет собой четную функцию т.
Если, в случае полной когерентности, величина WXy (ш)
имеет чисто мнимое значение iUXv на всех частотах, то
считают, что источники находятся в квадратуре. Это
означает, что между компонентами шумов на одной и
той же частоте существует сдвиг фазы на тс/2. Положи-
тельное значение Uxy означает отставание на 90° х-ком-
поненты от соответствующей //-компоненты, а отрица-
тельное значение—опережение на 90° //-компоненты. Из
соотношения (205) видно, что взаимная корреляционная
функция источников шумов, находящихся в квадратуре,
является нечетной функцией от т и обращается в нуль
при т = 0. Одновременные выборки пары нормальных
шумов, находящихся в квадратуре, являются поэтому
независимыми.
Применение взаимного спектра дает метод расчета
линейных операций над шумами. Очевидно, по опреде-
лению, что при прохождении колебания x(t) по цепи с
переходной проводимостью Yj (<о) и колебания //(/) по
75
цепи с проводимостью У2 (<*>) получаются два результи-
рующих колебания $ (/) и vi(t) со смешанными спектрами
. (209)
«>) Гух(<о;| ’
Взаимные корреляционные функции ; и смогут быть вы-
числены путем преобразования Фурье взаимных спект-
ров.
Если с (t) представляет входное колебание, a ^(f) —
колебание на выходе цепи с переходной проводимостью
У (<d), то когда на входе действует один источник x(t),
У1(“) = 1,	Wxy(») = Wx(<»)
и
W^=Y^)WX^).	(210)
В случае, когда [*(/)] представляет собой источник бело-
го шума с постоянной спектральной плотностью Wx (<о )
взаимный спектр фактически оказывается пропорцио-
нальным комплексной переходной проводимости цепи.
Взаимный спектр производных и интегралов от шумо-
вых колебаний легко получается из основного взаимного
спектра, поскольку дифференцирование и интегрирование
представляют собой линейные операции, описываемые
через функции проводимости. Так, обозначив дифферен-
цирование по времени в виде точки над соответствующим
символом, мы можем записать
Wx^) = -i*WXyW,	(211)
Wxy{v) = i<»Wx^).	(212)
Подставив полученные значения в выражение (200), по-
лучим взаимные корреляционные функции для соответ-
ствующих производных одного из источников шумов
оо
Ъу(т)= J Wiy(<»)el™d<» =
---------00
оо
= J i ® Wxy (<о) е d <о = —	(т),	(213)
— оо
Фху (Т) = ф'ху (т) = — Ъу W «	(214)
76
где штрих означает дифференцирование по т. Взаимные
корреляционные функции от производных высших поряд-
ков могут быть найдены таким же путем:
=	(215)
d т
и т. д.
Заметим, что
WX^) = UWX^)
и	„
|^. | = ^ w. . (2]6)
Очевидно, что колебание x(t) и его производная явля-
ются парой источников шумов, находящихся в квадра-
туре, так как 1Гг(<о)—действительная величина. Для
единичного источника справедливо также соотношение
Ъ1(т) = ^(т)-	(217)
Нетрудно видеть, что источник шума и его вторая произ-
водная являются коллинеарными, так как
(218)
и
W^xX = WxWx.	(219)
Соотношения между источником шума и его интегра-
лом получаются таким же путем. Вместо умножения на
как при дифференцировании, при интегрировании не-
обходимо производить деление на №. Если интеграл бе-
рется за определенное время, скажем от —Т до 0, то мно-
житель перехода становится равным
1	- р —lTi4
Y (ш) = ---.	(220)
i а)
Если интеграл берется в бесконечных пределах, то член
е~хТш обращается в нуль.
Полезно распространить модель, базирующуюся на
синусоидальных колебаниях со случайными фазами
(151), на случай взаимно коррелированных нормальных
ансамблей. Если задан совместно нормальный ансамбль
77
[-*(/), «/(/)], обладающий спектрами мощности №Л(ш) и
U^(<o) и взаимным спектром мощности (®) —
= Uху(а>) +	(<*>), то можно аппроксимировать x(t) в
виде
n _____________
xN(t) = 2 2 /^(®л)д<“СО8(<о„г + е„).	(221)
Л-1
Здесь как и в выражении (151), когда N становится
большим, Дш мало, но не равно нулю, л= + пДсо, а
0Л—случайная величина. В этом случае //(/) можно ап-
проксимировать выражением
N	_____________
yN (0 = 2 2 [ иху («>„) v Wx-' («)„) Д О, COS (ш„ t + 6Л) -
Л-1
— VXy (<*>„) ]/ Wx~' (а>„) Д w sin (<ол t ч 9„) +
+ /I К) - I (®я) I '\wx («>„)] Д ш cos (ШЛ t + фл) ] ,
(222)
где углы принимают случайные значения относитель-
но друг друга, а также относительно углов бл.
11. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА
РАСЧЕТ ШУМОВ В СИСТЕМАХ С АМПЛИТУДНОЙ.
ФАЗОВОЙ И ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЯМИ
В этом разделе будет рассматриваться важный для
теории связи случай, когда ширина частотного интервала,
занимаемого шумами, мала по сравнению со средней
частотой этого интервала. • Таким свойством 'обладают,
как правило, схемы, работающие на высоких и промежу-
точных частотах. Амплитуда и частота колебаний в этих
схемах может изменяться во времени только со скоро-
стями, определяемыми шириной полосы пропускания.
Если v(t) представляет собой шумы с узкой полосой
и со спектром, расположенным вокруг центральной ча-
стоты , то удобно применить разложение
v (t) — х (t) cos t —у (/) sin <Df t,	(223)
где x(t) и y(t)—функции времени, медленно меняющие-
ся по сравнению с колебаниями на частоте о>г. Для на-
хождения x(t) и y(t) достаточно умножить (223) соот-
ветственно на 2 cos<or/ или на—2sinwr/. В результате
умножения получаем
2 v (t) cos <&ct = х (0 + х (0 cos 2 t — у (f) sin 2 <»с
—v(t) sin шс t — у (t) — у (t) cos 2 <»c t — x(t) sin 2 <oc t jI
В x(/) и y(t} содержатся только низкочастотные состав-
ляющие, и их можно отделить от высокочастотных филь-
тром нижних частот. Такой метод осуществляется при
гомодинном детектировании радиочастотных колебаний с
помощью местных колебаний несущей частоты. Следует
заметить, что выражение (224) может быть использова-
но для уточнения требования к относительной величине
79
полосы частот. Выразим произведения синусоидальных
и косинусоидальных членов через синусы и косинусы
сумм и разностей. Тогда, если спектральная плотность
x(t) и y(t) на частотах, равных и больших а>с, обращает-
ся в нуль, то самая высокая частота в x(t) и у(1) будет
меньше самой низкой частоты в оставшихся членах. Раз-
ложение, таким образом, физически возможно, когда
полоса шума v(t) меньше 2шс.
Из высказанных соображений можно сделать вывод,
что частота <ос в значительной степени может быть вы-
брана произвольно; необходимо лишь для сохранения
физического смысла, чтобы спектральная плотность бы-
ла достаточно мала на частотах, превышающих 2
В случае, имеющем большое практическое значение,
когда в узкой полосе шумов присутствует сигнал, удоб-
но использовать сигнал как опорное колебание. В част-
ности, когда сигнал представляет синусоидальное коле-
бание
s (f) = A cos t,	(225)
изучают ансамбль
и (t) = v (t) -f- s (t) = [x (t) + Л] COS O>c t — у (t) sin о>с t. (226)
Удобно представить это выражение в эквивалентной
форме
H(0 = p(0cosKf+T(0],	(227)
где
рЧ/) = [х(0 + Д]24 2 (0	(228)
и
<229)
Функцию р(/), имеющую всегда положительное значе-
ние, обычно называют огибающей радиочастотных коле-
баний; ее выделяют фильтром нижних частот на выходе
амплитудного детектора. Функция <?(/), определяемая
выражением (229) и повторяющая свои значения через
каждые 2w радиан, называется фазой колебаний и(/),
и представляет собой низкочастотный выход фазового
детектора. Имеет большое значение также функция ско-
рости изменения фазы во времени
аГ~~—[X(0-Mp+y(f)—’ (230)
80
которая представляет собой смещение мгновенной ча-
стоты от значения ®г. Производная <f(t) однозначно опре-
деляется выражением (230) и может быть выделена как
переменная составляющая выходного колебания частот-
ного детектора.
Удобное для математического анализа представление
нормального ансамбля узкополосных шумов соответст-
вует выражению (151), в котором v(t) аппроксимируется
в виде
w_____________________
^(0 = 22	+ лД®)Д®соэ |(®1 + лД ®К + 0я].
л-1
(231)
При этом положим, что полоса занимает частоты от ®i
до + S, где 2 = МД®, а 0я распределены равномерно
и независимы. Взяв за основу представление шумов в
виде (231), ограничимся в этом разделе рассмотрением
узкополосных нормальных источников шумов. Положим
= mi + 2/2
(232)
и заменим в аргументе косинуса ®1+лД® на (ю^лД®-!-
+ ®с)- ®с.
Тогда v N (t) можно записать в виде:
vN (0 = xN (t) cos &ct — yN (t) sin ®c t,	(233)
где при большом N
N____________________
xN(t) =2 2	+ лД») Д® X
л-0
X cos [ (®j — ®с + п Д®) t + 6Я ],
N
улг(0 = 22	(®i + п д®) д® х
л-0
X Sin [ (®1 - ®с + п Ь ®) 14- 0Я ],
(234)
6
81
Подстановка п — т + N/2 приводит к равенствам:
N/2______________________
XN (0 = 2 2	Wv (»! + п Д ®) Д<0 X
=—ЛГ/2
X cos (т Д <01 + 0m+W2),
NI2 '__________________________
yN(t) = 2 2 /^(«1 + пД<о)Да>х
X sin (иг Д a) t + 6 + /2).
(235)
Полагая Д<*> малым и TV большим при независимых
О, можно на основании центральной предельной теоремы
заключить, что ансамбль [хдг(О, yN(t)] приближается к
совместному нормальному ансамблю [х(0, y(t)]- Более
того, спектры мощности x(t) и y(t) равны друг другу
ИЗД = UW = Wv^c + со) +	- со). (236)
Два члена в правой части уравнения (236) получаются
при объединении частей спектра мощности, соответствую-
щих положительным и отрицательным значениям т в
равенстве (235). Физически они представляют части низ-
кочастотного спектра, получающиеся от верхней и ниж-
ней боковых полос. Заметим, что расчет может быть
выполнен и без каких-либо ограничений, касающихся
ширины полосы частот шума. Однако физический смысл
разложения теряется, если низкочастотный спектр
нельзя отделить.
Сравнивая полученные выражения с (221) и (222),
можно заключить, что в пределе x(t) и у (t) находятся
в квадратуре. При этом
Wxy^) = ivxy^),	(237)
VXy (*) =	(<ос - ш) - Wv К 4- ®).	(238)
Взаимная корреляционная функция находится в соответ-
ствии с (205)
оо
фху СО = — 2 J [Wv (<ОС — О>) — Wv (<«c + 0>) ] sin О> Т d ®. (239)
О
82
Если спектральная плотность v(t) симметрична отно-
сительно в>с,
то Vxy (а>) = 0. В этом случае взаимная корреляционная
функция равна нулю и, следовательно, совместно нор-
мальные источники х(1) и y(t+^) представляют собой
независимые ансамбли. Корреляционные функции х и у
равны друг другу
оо
Фх СО = фу (0 = 2 J [Wv («><, — <о) + W (<йс+ш)] • cos <0 т d W.
о
(240)
Заметим, что даже в случае несимметрии спектра
и(1) относительно <ос взаимная корреляционная функция
равна нулю при х= 0. При совместно нормальных ан-
самблях это означает, что x(f) и y(t) независимы. Дву-
мерная функция плотности вероятности х и у для одного
и того же момента времени будет поэтому равна произ-
ведению одномерных плотностей вероятности х и у, т. е.
Р(х,у) = —Це-^’)^’.	(241)
2 к<г
Здесь .
в2 » фж (0) = фу (0) = ф„ (0)	(242)
является дисперсией x(t), y(f) и v(t).
В отсутствие сигнала соотношения (228) и (229)
можно представить в виде
x(0 = p(*)cos<f>(f) I	(243)
y(O=p(Osin<p(O Г
Таким образом, представление двух компонент шумов,
находящихся в квадратуре, в виде колебаний со случай-
ной огибающей и фазой подобно переходу от прямо-
угольных координат к полярным. Если q (р, <р ) —функ-
ция плотности вероятности огибающей и фазы таких
колебаний, то очевидно, что
р (х, у) dx dy — р [ (р cos <f>), (р sin <р) ] р d р d <р =
= Я (р> f) d р d <р.	(244)
6*
83
Отсюда
(245)
2 ла2
Функцию плотности вероятности огибающей шума мож-
но получить усреднением по всем возможным значениям
фаз
Я. (Р) = [ Я (Р, ?) df = 4- е-Р’/2”.	(246)
J	°2
Это распределение известно под названием распределе-
ния Релея. Распределение огибающей узкополосного
нормального шума нельзя путать с распределением нор-
мального широкополосного шума. Функция плотности
вероятности фазы
оо
М?)в Г'<7(р, <p)rfp = y- •	(247)
о
Таким образом <р(/) имеет прямоугольное распределе-
ние.
Для комбинации синусоидального сигнала и шума
функцию плотности вероятности можно найти подста-
новкой
Ц0 = х(О + А	(248)
в (241), Тогда выражение для функции плотности ве-
роятности i и у примет вид
Р (X, у) = г (5, V) = -Аг е-	.	(249)
2теа2
Перейдем к полярным координатам
$ = р COS <Р,
у = р sin <р,	(250)
где р теперь представляет огибающую, а <р—фазу сум-
марного колебания, состоящего из сигнала и шума.
Подстановка (250) в (249) с учетом (245) дает совме-
84
стную функцию плотности вероятности фазы и огибаю-
щей
д (Р)	е-(р’+А’—2Ар cos <р>/2<Р	(25 j j
Как и прежде, путем усреднения по возможным зна-
чениям фаз находим функцию плотности вероятности
огибающей
2тс
Я. (р) = f Я (р, ?) d =	/0 е- W”*. (252)
J	<Г \ IT /
о
В результате интегрирования <7 (р, *Р) по возможным
значениям р получаем выражение для функции плот-
ности вероятности фазы
/ \ f ( хл е~лч2^ Д cos ср
о
1 + erf
A cos cp
aj/T
g—A’ Sin’ ?/2a’ .
(253)
При Л = 0 уравнения (252) и (253) превращаются
в уравнения (246) и (247).
Практическое применение функции плотности
вероятности огибающей: вероятность ошибки при
приеме телеграфного сигнала в нормально распределен-
ных шумах
Предположим, что посылаются телеграфные сигналы
в виде отрезков синусоиды и они принимаются детекто-
ром огибающей. Пусть на входе приемного устройства
присутствует также нормальный шум. Требуется опре-
делить вероятность ошибки при приеме. Результат
будет зависеть от решений, которые принимаются при
данном выходном сигнале детектора. Рассмотрим
простой случай, когда пороговый индикатор реагирует
на значение в средней точке каждого сигнального ин-
тервала. Если значение огибающей больше некоторого
постоянного порогового уровня р0, то делается заклю
85
чение о наличии посылки; в противном случае регистри-
руется пауза. Заметим, что при выбранных условиях
имеются два вида ансамблей огибающих, между кото-
рыми необходимо сделать выбор: 1) ансамбль посылок,
имеющий функцию плотности вероятности со-
гласно выражению (252) для суммарного колебания
синусоидального сигнала и шума; 2) ансамбль пйуз,
который имеет функцию плотности вероятности <7р (р)>
соответствующую уравнению (246) для огибающей од-
ного шума. Обозначим последнюю функцию qe, (р).
Существует два вида возможных ошибок:
1) послана «пауза», принята «посылка»;
2) послана «посылка», принята «пауза».
Пусть р N представляет собой вероятность того, что
послана пауза, a ps—вероятность передачи посылки.
Тогда вероятность ошибки типа 1) pt равна pN, умно-
женной на вероятность того, что величина огибающей
шума без сигнала превысит р0. Таким образом, можем
записать
Р	С л р—ра/2о2
Pi=PN\ q?d?)dp=pN\	-—dp=pNe~W. (254)
Ро	Ро
Вероятность же ошибки типа 2) р2 равна произве-
дению ps на вероятность того, что шум совместно с
синусоидальным сигналом даст значение огибающей
ниже порогового уровня р0, т. е.
Рг = Ps J qt(Р) dр -ps j	ре-(Р>+Д’)/2а2 dр =
О	о
е- (Л3+Ро’)/2аа	/_Ро_ Г
Л-1
4Иро/’2)-
(255)
Представление интеграла в виде суммы получается пу-
тем последовательного интегрирования по частям с ис-
пользованием неопределенного интеграла
j* гл /п_г (az) dz-= zn In (az)/a.
(256)
68
Ошибки обоих типов в общем случае не равновероят-
ны, но они могут быть сделаны равновероятными для
каждого данного значения отношения сигнал/шум путем
выбора порогового уровня р0. Определение этого поро-
гового уровня требует решения трансцендентного урав-
нения. Если ps= pN и р0 = А/2, то вероятность ошибки
типа 1) меньше вероятности ошибки типа 2). Ошиб-
ки могут быть сделаны одинаково вероятными, если
пороговый уровень выбрать несколько больше по-
ловины амплитуды несущей сигнала. Результаты рас-
четов воспроизведены на рис. 9. На этом же рисунке
Рис. 9. Вероятность ошибки от нор-
мальных шумов при детектировании
случайных импульсов, появляющихся
с 50 %-ой вероятностью.
для сравнения показана кривая для случая передачи
видеоимпульса без высокочастотного заполнения. В этом
87
случае оба типа ошибки равновероятны для порога,
равного половине пика импульса. Общая вероятность
ошибки определяется с помощью уравнения (36) при
хо = 0 и х, равном половине амплитуды импульса. Шка-
ла мощности по оси абсцисс нанесена применительно к
прямоугольному видеоимпульсу. При синусоидальном им-
пульсе кривая оказалась бы сдвинутой на 3 дб влево.
Большие возможности открывает применение четырех-
мерной функции плотности вероятности переменных
х(/), £/(/), x(t + t) и y(t + t), из которой можно полу-
чить спектры огибающей и фазы. Важным свойством,
упрощающим расчеты, является то, что в совместном
нормальном процессе все многомерные распределения,
получаемые при помощи линейных операций над функ-
циями, остаются также совместно нормальными. По-
этому, если ввести обозначения
Xi = х (t),	х2 = х (t т),	।	• ^257)
то в соответствии с выражениями (112) —(114) функцию
плотности вероятности можно полностью определить по
характеристической функции
4	4
х, Xi = ехр | v У У
j-l k-1
(258)
где	—взаимная корреляционная функция или среднее
значение произведения х}хь. В нашем случае
^1=>-22=>-33=А44 = -К(0)=фу(0)=^(0) = а2
*12 = к34 = Фх (Т) = Фу (Х) = Ф'
'"18 = ^24 = Фху (0) — 0
Х14=— Х28=фжу (*)=ф0
(259)
	°2 ф, 0 фр	
А =	Ф/ °2 —Фр 0 о — Ф<? °2 Ф/	= (®4-ф/2 —Фр1)2.	(260)
	фр 0 ф, а2	
Пусть
^-ф/’-ф^А.	(261)
88
Тогда
л = ДД
Лп = Л22 = Л33	Л44= 32Ло,
(262)
Л12 — Л84-------Ф/^0»
^14 =	'^23 = Фр ^0»
Л13 = Л24 = 0.	(263)
Подстановка полученных значений в (114) дает четырех
мерную функцию плотности вероятности
р(хих2,уи у,) =
4к»Л0еХР1 2Л0»
о2(х12 + х22 4-
+ У? + У?2} — 2 <|»,(JCj х, 4- У1у2) — 2ф0 (xtу2-.ад) [ .
(264)
Эта функция плотности вероятности дает возможность
найти функцию корреляции и затем определить спектры
мощности огибающей и фазы ансамбля шумов. Ее также
достаточно для определения спектров мощности огибаю-
щей и фазы суммарного ансамбля синусоидального сигна-
ла и шумов. Определение функции корреляции огибаю-
щей сигнала и шума сведется к нахождению среднего
значения р (/) р (t + т), где р(/) определяется соотноше-
нием (228). Таким образом мы имеем
Фр (Т)= [(X! + Л)2 + у^1' [(х2 + Л)2 + у^1' =
ОО ОО ОО 00
= J J J J [(^ + Л)»4-у12р[(х2 + Л)2 + у22рх
— оо —оо —оо —оо
X Р (*1, Хг, уъ у2) dxx dx2 dy! dy2. (265)
Для интегрирования требуется произвести двойной пере-
ход к полярным координатам.
89
Подобным же образом находится функция корреляции
фазы
%, (т) = ( arc tg —farc tg —\ =
ОО ОО ОО ОО
--ОО   ОО -—ОО  00
arctg—~Х
х, + А
X Р {хи х2, ylt у2) dxx dx2 dyt dy2. (266)
Здесь также требуется введение полярных координат.
Напомним, что при выводе выражения для функции
корреляции фазы было принято, что изменение фазы
ограничивается некоторым интервалом шириной 2«. Это
ограничение не имеет значения для статического режима,
когда результат не меняется при изменении углов на це-
лое число периодов 2«. Однако оно может оказаться су-
щественным для фазы, непрерывно изменяющейся во вре-
мени. В последнем случае, когда значения фазового угла
достигают границы основного интервала 2«, и производ-
ная изменения фазы не меняет знака, непрерывность обя-
зывает перейти границу и оказаться в соседнем интерва-
ле, не допуская резкого скачка на 2к. По этой причине
уравнение (266) можно использовать только при условии,
что отклонения фазы полностью ограничены единствен-
ным интервалом шириной 2^. При низких индексах фазо-
вой или частотной модуляции при отсутствии постоянной
составляющей сигнала или при сигнале, намного превы-
шающем шумы, уравнение (266) может также быть ис-
пользовано для определения спектра мгновенной частоты,
так как
1Г- (<о) = | i ш |2 W,f (®) = ш2 (ш).	(267)
Отношение сигнал/шум при частотной модуляции
с большой несущей
Прежде чем приступить к рассмотрению более слож-
ных случаев частотной модуляции, применим развитую
выше теорию для случая, когда амплитуда синусоидаль-
ного сигнала больше эффективного значения шума. При
этом условии основным членом числителя (230), опреде
ляющим мгновенную частоту, будет Ay(t), а в знамена-
90
теле Аг. Пренебрегая остальными членами, можно пере-
писать (230) в виде
(268)
А
Спектральная плотность мгновенной частоты, следова-
тельно, равна
«г. (<o)=E^L2 uz («)=	+
' Д2 ’	2WC
(269)
где
Wc=~.	(270)
Величина Wc есть средний квадрат колебаний на не-
сущей частоте. Уравнение (269) является известной фор-
мулой спектра среднего квадрата частоты, получающе-
гося при искажении синусоидального сигнала узкополос-
ным шумом, имеющим сравнительно большую среднюю
мощность. Если в данной полосе спектральная плотность
шума не меняется, в результате получается спектр ошиб-
ки, носящий название треугольного, так как среднеква-
дратичное значение в узкой полосе пропорционально о>.
Вообще при узкой полосе До> и при относительно малых
шумах среднеквадратичное значение <р равно
(271)
Отношение сигнал/шум S2/№ на выходе приемника с
частотной модуляцией обычно вырах тется в виде отно-
шения среднего квадрата девиации ча< оты, получающей-
ся при модуляции несущей частоты синусоидальным
сигналом, к среднему квадрату девиа. ии частоты, вы-
званной шумами в отсутствие модуляции несущей часто-
ты сигналом. Знаменатель отношения, следовательно,
равен
№ =
— (Oj	U)g
f + J] U7.(«)rfa>= 2JV- («>)</«>.
—u)a	«о j	ц)1
(272)
91
Здесь <»>! и <о?—нижняя и верхняя граничная частота по-
лосы пропускания фильтра, включенного на выходе ча-
стотного детектора. Обозначим через максимальное
значение девиации частоты при ЧМ сигнале. Тогда чис-
литель отношения сигнал/шум
№ =-^- .	(273)
В частности, если выходной фильтр является фильтром
нижних частот с частотой отсечки а спектр шума
прямоугольный, то
Wv + «>) = Wv К - ш) = Wvt (274)
ша
Г	2Wv*a>
J 2 IF	3U7
о с	с
и
S2 _ 3IFC /_^\2 _ 3 ki Wc
N2	2 ITe ’
(275)
(276)
где k = o>s/<»a представляет собой отношение максималь-
ного значения девиации частоты при модуляции синусои-
дальным сигналом к ширине полосы пропускания выход-
ного фильтра, а IFa= 211^осесть эквивалентная мош-
ность шумов на входе приемника в полосе частот, равной
полосе выходного фильтра. Формула (276) хорошо из-
вестна в теории частотной модуляции, и ее вывод приво-
дится здесь только в качестве предварительного упраж-
нения перед решением сложной задачи о частотной мо-
дуляции при отсутствии ограничения на относительную
величину шума.
Частотная модуляция при шумах, соизмеримых по
величине с сигналом
Мгновенная частота в общем случае однозначно опре-
деляется нелинейной зависимостью (230). Удобнее вы-
числить сначала функцию корреляции, а затем спектр.
Заметим, что помимо x(t) и у (?) в это соотношение вхо-
дят значения производных x(t) и y(t). Для получения
92
функции корреляции требуется взять каждую из полу-
ченных функций в моменты времени t и t 4-т. Таким об-
разом, потребуется восьмимерная функция плотности
вероятности переменных:
%! — х (t), х2 = х (t + т), х3 = х1=. х (О,
Хх = Х2 =x(Jf + t), Л5 = У!=у(0, х6=у2 = у(^+т),
x6 = y2 = y(t+x).	• (277)
Так как все операции, совершаемые над хну, линейны,
то эти восемь переменных имеют совместное нормальное
распределение. Взаимные дисперсии можно найти
на основании полученных выше результатов при линей-
ных операциях над взаимным спектром. Так, например,
л18 = [x(f)y(M] =	(т) = ф'ху (т).	(278)
Подобным образом могут быть найдены все . Так же,
как и раньше, находятся все алгебраические дополнения
A jk и в конечном счете вычисляется восьмимерная функ-
ция плотности вероятности. Если спектр шума симметри-
чен относительно определитель значительно упро-
щается, поскольку значительная часть его членов обра-
щается в нуль, и выражение для функции корреляции
мгновенной частоты запишется в виде
Ф? 00 = МО ?(*+’)) =
= Г Г + Л) ух —ух xj [(х2 + Л) у2 — у2 х2]
J.....J	«А + Л)2 + ji2] [(х2 + Л)2 + у,*)
— оо	— оо
Хр(*!> х2, хХ) х2, у1г у2, уь у2)х
X dxt dx2 dxx d’x2 dyx dy2 dyx dy2. (279)
Тогда спектр мгновенной частоты
00
Wi («) = J- f (т) e-to’ dx. (280)
2it J
Из выражения для мгновенной частоты легко получить
спектр фазы. Для этого заметим, что интегрированию по
33
времени соответствует функция проводимости 1//«. Сле-
довательно,
(а») =	(а>)/®2.	(281)
К счастью, инженерам не часто требуется прибегать
к подобным вычислениям, так как исследователи уже
проделали эту работу для характерных задач и резуль-
таты их расчетов выражены в виде таблиц и графиков.
Поэтому мы ограничимся указанием источников и кратко
объясним, не входя в детали вычислений, как их исполь-
зовать.
С. О. Райс [13] вычислил спектр мощности <р (рис. 10а,
рис. 106) при различных отношениях мощности синусои-
дального сигнала к мощности шума для случая, когда
частота синусоидального сигнала расположена в центре
узкой полосы частот нормального шума. Спектр такого
шума показан на рис. 7д. Постоянная составляющая
не показана, так как она обычно не представляет инте-
реса. Для обозначения отношения средней мощности
синусоидального сигнала к средней мощности шумов
Райс использует символ р. В нашем обозначении
р = А2/2М>, так как средний квадрат Acosu>c/ равен А2/2,
а No в (159) представляет полную мощность, заключен-
ную в спектре шума. По оси абсцисс у Райса отложена
величина f/а, где а—смещение частоты от центра полосы,
при котором спектральная плотность уменьшается на чет-
верть непера или на 2,17 дб. В наших обозначениях
а=а>0/2я = f0. По оси ординат отложены значения
lF(f)/4n2o, включающие в себя значения спектраль-
ной плотности как для частот f, так и для частот — f.
В наших обозначениях этим значениям ординат соответ-
ствуют W? (f)/2waf0 = 21F,(a)'<o0. В данном разделе при-
ведены опубликованные Райсом кривые и дополнитель-
ная кривая, рассчитанная им после публикации статьи.
Проиллюстрируем применение этих кривых на типич-
ной инженерной задаче. В приемнике частотной модуля-
ции отношение р можно вычислить, зная мощность сиг
пала на входе и так называемый коэффициент шума,
определяемый высокочастотной частью и усилителем про-
межуточной частоты приемника. Коэффициент шума есть
отношение сигнал/шума на входе приемника к сигнал/
шуму на выходе [16]. Если сам приемник не вносит ни-
каких шумов, то коэффициент шума равен едини-
94
Л6
(Рис. Юл. Спектр мощности
[мгновенной частоты для
суммы синусоидального
сигнала и шума.
Рис 106 Спектр мощности мгновенной
частоты для суммы синусоидального
сигнала и шума.
95
це. В случае, когда на входе приемника присутствует
только тепловой шум, мы имеем дело с источни-
ком шума, обладающим плоским спектром с плотностью
мощности на 204 дб ниже одного ватта в полосе один
герц при комнатной температуре. Коэффициент шума F
увеличивает спектральную плотность эквивалентного ис-
точника до 204— 10 IgF децибел ниже-одного ватта на
герц. При средней мощности несущей Wc — Л2/2 отноше-
ние сигнал/шум, необходимое для расчета спектральной
плотности среднего квадрата частоты сигнала и шума,
равно ?= WJNo при постоянной несущей частоте сигна-
ла. Здесь No—средняя мощность той части входного спек-
тра шума, которая пропускается избирательными цепями
высокой и промежуточной частоты в приемнике. Если
частотные характеристики УВЧ и УПЧ приемника имеют
такую форму, как кривые нормального распределения, то
входной спектр имеет вид, показанный н^ рис. 7д. Учи-
тывая обе части спектра, соответствующие отрицательной
и положительной частотам, можем записать
2 (---= Ю-20’4 Рвт!гц, (282)
\ 2А/2к )
что соответствует шумам со средней мощностью Afo ватт,
обладающим спектром шириной 2/0 = 2<о0/2к гц (по спа-
ду 2,17 дб относительно максимума) и с максимальным
значением спектральной плотности в середине, равным
произведению спектральной плотности теплового шума
на коэффициент шума. Таким образом
4 = ;0F 10-20.“ |/2к.
(283)
Если необходимо перенести расчеты в любую другую
точку частотной характеристики, скажем, в точку, отстоя-
щую на f ь гц от середины полосы пропускания, где спек-
тральная плотность уменьшается на k дб, то можно вос-
пользоваться соотношением, вытекающим из нормального
закона -
2,17ffl2/f02 = kd6,	(284)
откуда
2ДТ _ 1.473Д
k
(285)
96
(286)
Отношение сигнал/ш/м при этом, соответствующее опре-
деленной кривой, на рис. 9,
Р =
Ч"
Г k
Ffk V 4,34 к ’
(287)
Обозначим абсциссу данной кривой через xt, а ордина-
ту—через у , тогда
Средний квадрат частотной ошибки на частоте «> = в»0 хг
равен 2U?f (<>) =шоу9. Полная мощность шума на выходе
приемника в соответствии с (272) равна
<оа	ша/ш0
№ = 2 (V; (®) </• = 2	=
<*>1	Ш1/ШО
(289)
В результате, учитывая (273), получим
(290)
Соответствующие результаты для шума с прямоуголь-
ным спектром были получены в работе Стумперса [14]
методом, существенно отличным от этого. Более общая
задача при частотно-модулированном сигнале была рас-
смотрена Миддлтоном [15] путем дальнейшего развития
методов, описанных в этой статье. Обсуждение различных
статей этой задачи проводится также в главе 13 книги
«Пороговые сигналы» [17].
91
7
Если сигнал модулирован по частоте шумом с огра-
ниченным спектром, функция корреляции сигнала стано-
вится двумерной характеристической функцией шума.
Это свойство было использовано в совместной работе
Беннета, Куртиса и Райса при расчете взаимных помех
между каналами во время передачи частотно-модулиро-
ванных несущих групп.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С г a m е г Н. Mathematical methods of statistics, Princeton
University Press, 1951 (рус. пер. Крамер Г., Математические ме-
тоды статистики, М., ИИЛ, 1948).
2.	Holbrook В. D. and Dixon J. T. „Load rating theory
for multi-channel amplifiers", Bell System Technical Journal, vol. 18
(October 1939), p. 624—644.
3.	Rice S. O. „Mathematical analysis of random noise*, Bell
System Technical Journal, vol. 23 (July 1944), p. 282—332; vol. 24
(January 1945), p. 46—156 (рус. пер. С. Райс, „Теория флуктуа-
ционных шумов*, сборник „Теория передачи электрических сигна-
лов при наличии помех*, М., ИИЛ, 1953).
4.	Bennett W. R. .Cross-modulation in miltichannel ampli-
fiers", Bell System Technical Journal, vol. 19 (October 1940), p.
587—610.
5.	Bennett W. R. .Response of a linear rectifier to signal and
noise", Journal of the Acoustical Society of America, vol. 15 (Janu-
ary 1944), p. 164—172.
6.	Lewin L. .Interference in multi-channel circuits", Wireless
Engineer, vol. 27 (December 1950), p. 294—304.
7.	M i d d 1 e t о n D. .Some general results in' the theory of noise
through non-linear devices", Quarterly of Applied Mathematics, vol. 5
(January 1948), p. 445—498.
8.	Whittaker J. M. .Interpolator function theory", No. 33,
Cambridge tracts in mathematics and mathematical physics, Cam-
bridge University Press, *1935.
9.	Co u rant R. and Hilbert D., Methoden der mathema-
tischen Physik, Berlin, Springer, Bd. 1, S. 65, 1924 (pyc. nep.
P. Куран т и Д. Гильберт, Методы математической физики,
т. 1, М.-Л., ГТТИ, 1934).
10.	В е n n е 11 W. R. .Time division multiplex systems", Bell
ystem Technical Journal, vol. 20 (April 1941), p. 119—221.
U. Barnes G. H. „Data reduction equipment for theanalysis
of human tracking", Franklin Institute Laboratories for research and
development, Final report No. F—2333, September 5 1952 — May 15
1953.
12.	К re n del E. S. and Barnes G. H. „Interim report on
human frequency response studies", WADC Technical Report 54—370,
June 1954.
13	Rice S. O. „Propertiesofa sine wave plus random noise".
Bell System Technical Journal, vol. 27 (January 1948), p. 109—157.
89
14.	Stumpers F. L. H. M. .Theory or frequency modulation
noise", Proceedings of the IRE, vol. 36 (September 1948), p. 1081 —
1092.
15.	Middle ton D. „The spectrum of frequency-modulated
waves after reception in random noise —Part Iм, Quarterly of Applied
Mathematics, vol. 7 (July 1949), p. 12J —173; Part II, vol. 8 (April
1950), p. 59—80.
16.	Friis H. T, „Noise figures of ndio receivers’, Proceedings
of the IRE, vol. 32 (July 1944), p. 419-422.
17.	Lawson J. L. and Uhlenbeck G. E. Threshold sig-
nals, New York, McGraw-Hill Book Company, Chapter 13, 1950
(Пороговые сигналы, .Советское радио’, М., 1952).
18.	Bennett W. R., Curtis H. E. and Rice S. О., Лп-
terchannel interference in F. M. and P. M. systems under noise loa-
ding conditions", Bell System Technical Journal, vol. 34 (May 1955),
p. 601-636.
Дополнительный краткий список русской и иностранной
литературы по теории вероятностей и теории шумов
Русская литература
1.	Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, ГИТТЛ, М.—Л.,
1946.
2.	Боев Г. П., Теория вероятностей, ГИТТЛ, М.—Л., 1950.
3.	Бунимович В. И. Флюктуационные процессы в радиопри-
емных устройствах, «Советское радио», М., 1951.
4.	Г л и в е н к о В. И., Курс теории вероятностей, ГОНТИ,
М—Л., 1939.
5.	Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, ГИТТЛ,
М.-Л., 1950.
6.	Г о н о р о в с к и й И. С., Радиосигналы и переходные явле-
ния в радиоцепях, Связьиздат, М., 1954.
7.	Грановский В. Л., Электрические флюктуации, ОНТИ,
М.—Л., 1936.
8.	Котельников В. А., Теория потенциальной помехоустой-
чивости, Госэнергоиздат, М.—Л., 1957.
9.	Л е в и н Б. Р., Теория случайных процессов и ее примене-
ние в радиотехнике, «Советское радио», М., 1957.
10.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее примене-
ние к задачам автоматического управления, ГИТТЛ, М., 1957.
11.	Солодовников В. В. Введение в статистическую ди-
намику систем автоматического управления, ГИТТЛ, М—Л., 1952.
Иностранная литература
1.	Chand f*asekhar S., Stochastic problems in physics and
astronomy, Rev. of Modern Physics vol. 15(1943), p. 1 (January) (pyc.
пер. Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астро-
номии, ГИИЛ, М., 1947).
7*
99
2,	GoldmanS., Frequency analysis, modulation and fiolsfe, N. Y.
1948 (рус. пер. Гольдман С., Гармонический анализ, модуляция и
шумы, ИИЛ, М., 1951).
3.	G о I d m a n S., Information theory, London, 1953 (рус. пер.,
Голдман С., Теория информации, ИИЛ, М.', 1957).
4.	J е f f г е у s H., Theory of probability, Oxford, 1948.
5.	Mises R., Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwen-
dung in der Statistik und theoretischen Physik, Wien, 1931.
6.	Theory of servomechanisms, N. Y.—London, 1947 (pyc. nep.
Теория следящих систем, ИИЛ, М., 1951).
7.	U s р е n s к у J. V., Introduction to mathematical probability,
N. Y.—London, 1937.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автокорреляционная функция (см. функция корреля-
ции)
Алгебраическое дополнение элемента в матрице (co-
factor) 39
Ансамбль систем (ensemble of systems) 10
В
Вероятность (probability) 6
Взаимная дисперсия (covariance) 36
Взаимная корреляционная функция (crosscorrelation fun-
ction) 72
Взаимный спектр мощности (cross-power spectra) 72
Временное представление Случайного процесса 9
Временные ряды (time serie!) 64
Выбор (sampling) 69
Выборка (sample) 64
Г
Тауссово"[распределение (см. нормальное распределе-
ние)
д
Дисперсия (variance)'8 ~
—суммы независимых величин 29
Интенсивность (см. дисперсия)
к
Когерентность 75
Коллинеарные источники 75
Колокольный спектр 58
Корреляционная дисперсия (autocovariance) 41
Корреляционная^Функция (autocorellation function) 40,49
101
Коэффициент шума (noise factor) 94
Куммулянты (см. семиинварианты)
м
Математическое ожидание (mathematical expectation) 7
Моменты распределения (moments of the distribution) 7
— центральные (central moments) 8
H
Некогерентные шумовые ансамбли (incoherent noise
ensembles) 74
Нормальное распределение (normal distribution) 17
---многомерное (multivariate Gaussian distribution) 39
---двумерное (two-demen^ional or bivariate Gaus-
sian distribution) 36
О
Огибающая (envelope) 80
Плотность вероятности (см. функция плотности вероят-
ности).
Преобразование функции плотности вероятности при
замене переменных 14
Пространственное представление случайного процесса 10
Р
Распределение нормальное или гауссово (normal or
Gausian distribution) 17
—прямоугольное (rectangular or uniform distribution)! 2
—Релея (Rayleigh distribution) 84
—синусоидальное (sinusoidal distribution) 14
—двумерное (bivariate distribution) 32
—совместное (joint distribution) 36
—частное (marginal distribution) 33
C
Семиинварианты (semi-invariants) 29
Смещение мгновенной частоты (instantaneous frequency
displacement) 81
Спектр мощности (power spectra) или спектральная
плотность (spectral denstig) 45
Среднее значение (average vafue of mean) 7
Средне-квадратичное значейие (root-mean-square or
rms value) 8
Средний квадрат (mean square) 8
Стандартное отклонение (standard deviation) 8
Стационарный процесс (stationary process) 9
102
т
Теорема выбора (samplind theorem) 64
Ф
Фаза (phase) 80
Функция плотности вероятности (probability density
function) 6
----частная (marginal probability density function) 34
Функция распределения (distribution function) 6
X
Характеристическая функция (characteristic function) 22
----суммы независимых переменных 22
u
Центральная предельная теорема (the central limit the-
orem) 17
Центральный корреляционный момент второго порядка
(см. корреляционная дисперсия).
ш
Шум квантования (quantizing noise) 13
Шумы, представление шумов в виде суммы синусоид 54
Э
Эргодический процесс (ergodic process) 10
СОДЕРЖАНИЕ
1.	Плотность вероятности •........................... 5
2.	Примеры плотности вероятности...............• .	12
Равномерное или прямоугольное распределение ....	12
Синусоидальное распределение ................... 14
Нормальное распределение (распределение Гаусса) . . 17
3.	Распределение суммы. Характеристическая функция . .	20
4.	Двумерное распределение................•	. . . . 32
5.	Функция корреляции............................... 40
6.	Спектр мощности.................................. 42
7.	Связь между функцией	корреляции и спектром мощности 48
Белый шум с прямоугольным	спектром............. 55
Колокольный спектр.............................. 58
8.	Сигнал и шум . . . .............................. 60
9.	Дискретный выбор от источника шума..............
Понятие о временном реде .	................... 64
10.	Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
мощности......................•...................  72
11.	Огибающая, фаза и мгновенная частота. Расчет шумов в
системах с амплитудной, фазовой и частотной модуляцией 79
Практическое применение функции плотности вероят-
ности огибающей: вероятность ошибки при приеме
телеграфного сигнала в нормально распределенных
шумах............................................. 85
Отношение сигнал/шум при частотной модуляции с
большой несущей............................... 90
Частотная модуляция при шумах, соизмеримых по вели-
чине с сигналом................................. 92
Литература.......................•..................... 98
Дополнительный краткий список русской и иностранной
литературы по теории вероятностей и теории шумов . . 99
Предметный указатель .................................101
Редактор Н. Д. Иванушко. Техн, редактор А. А. Свешников
Г-32749. Сдано в набор 30/IX 1957 г. Подп. к печати 28/XI 1957 г.
Печ. л. 5,33. Бум. л. 1,62. Учет;-изд. л. 4,35. Заказ 572.
Цена 3 р, 05 к.Формат 84X108/32
Типография изд-ва .Советское радио-
Страница
Строка
Должно быть
В части тиража имеются следующие опечатки
по вине типографии
23	3	сверху	/П С Их dx	2 sin PS/2 ’'(Е)= J ' ? - ns 	(52)
26	3	сверху	„ m=_ J_ f ^dx _j /де\	(58)
			—А	
26	4	снизу	f e-^-(V+V+...+V)e 2т: J — оо	‘‘4di^
27	12	сверху	= е^о-з’ ^/2	(6+)
29	1	снизу	кумулянтами	
50	4	снизу	6 = И (0	| 1] -= a (t + т) J	(142)
54	14	сверху	• • • Wv -j- п А<о) Дш • - •	
58	3	сверху.	и/ 7.	А -й)8/2<и0*	(157)
			w (<о) =—	е	. <оо-/ 2it	
58	8	снизу	... =М,е-(ш"*,,/2.	(158)
Зак. 572
Страница
Строка
Должно быть
61	I 11 сверху		(164)
61	6 снизу	J e-MEsinedO -Kli	(166)
68	2 снизу	Поэтому для /| < F	
69	5 сверху	2F. (вместо 2FC.) T	
73	4 сверху	Fx (w) e J x (t) еш “lt dt, 0	(198)
82	5 сверху	X sin (m	+ §m+Nl).	
82	1 снизу	• • • sin wt d co. 2it	(239)
85	7 сверху	<7P (?) = J 7(?.	= ••• 0 OO If	
93	3 снизу	^ (<>) =	H О)е-"“тл. -- eo	(280)
Цена 3 р. 05 к.