/
Text
17. Т н х о н о в В, И. Дисперсия числа выбросов в реализациях нор-
мального * шума конечной длительности. «Радиотехника и электроника»
1964, № 1. ’
18. Т и х о н о в В. И., Г о р я и н ов В. Т. н др. Исследование
выбросов случайных процессов. Отчет № 9161. ВВИА им. проф. Н. Е. Жу-
ковского, 1961.
19. Кузнецов П. И., Страт о нов ич Р. Л., Тихо-
нов В. И. О длительности выбросов случайной функции. ЖТФ, 1954, № 1.
20. Cartwright D. Е., Longuet- Higgins М. S. The
statistical distribution of the maxima of random function. Proc. Roy, Soc., A,
1956, № 1209.
21. T и x о и о в В. И. Флуктуационные процессы. ВВИА им.
проф. Н. Е. Жуковского, 1961.
22. Т и х о н о в В. И. Распределение максимумов огибающей квази-
гармонического шума. «Известия вузов», Радиотехника, 1963, № 5.
23. Т и х о н о в В. И. О распределении наибольших значений в реа-
лизациях флуктуаций конечной длительности. «Известия вузов», Радиотех-
ника, 1961, № 5.
24. Тихонов В. И., Куликов Е, И. Распределение выбро-
сов и максимумов флуктуаций. «Радиотехника», 1962, № 2.
Раздел III
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
РАДИОПРИЕМА
Глава 19
1
АПОСТЕРИОРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
*
А
§ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
В радиосвязи, радиолокации и других системах передачи инфор-
мации сигнал, предназначенный для передачи сообщений, в процессе
передачи маскируется помехами и подвергается искажениям. Поэто-
му даже п ри самом тщательном конструктивном выполнении радио-
технических устройств с целью свести к минимуму влияние помех,
на выходе радиоприемного устройства не удается точно воспроиз-
вести переданное сообщение.
Предположим, что в отсутствие помех и искажений сигнала на
выходе приемника точно воспроизводится переданное сообщение.
Тогда при наличии помех и искажений сигнала сообщение на
выходе того же приемника будет воспроизводиться неточно, а
с искажениями. Приемник, обеспечивающий минимальные искаже-
ния сообщения, называется оптимальным или идеальным (наилуч-
шим). В зависимости от назначения приемника критерии или
количественные характеристики искажений могут быть разными
(см. ниже). При выбранном критерии и заданных условиях приема
оптимальный приемник определяет минимальные искажения сооб-
щения. Этот минимальный уровень искажений часто называют по-
тенциальной помехоустойчивостью.
При заданных условиях радиоприема потенциальная помехоус-
тойчивость не может быть превзойдена реальным радиоприемником
и можно лишь стремиться к ее достижению. Сравнивая помехоустой-
чивость реальных приемников с потенциальной помехоустойчи-
востью, можно выяснить степень технического совершенства реаль-
ных приемников и возможные резервы повышения их помехоустой-
чивости.
Теория оптимального радиоприема позволяет также определить
иаилучшне виды передаваемых сигналов. Для этого следует срав-
нить значения потенциальной помехоустойчивости при различных
393
видах сигналов. Сигнал, для которого при заданных условиях
радиоприема получается наибольшая потенциальная помехоустой-
чивость, является наилучшим.
Следует заметить, что теория оптимальных методов радиоприема,
давая руководящие принципы при конструировании радиоаппара-
туры и количественные характеристики оптимальных устройств,
не исключает творческую инициативу конструктора. Достаточно
указать, что иногда оптимальные устройства оказываются прак-
тически трудно реализуемыми. Конструктор также должен стремить-
ся свести к минимуму аппаратурные ошибки и учесть ряд факторов,
не принимавшихся во внимание при теоретическом рассмот-
рении.
Решение основных задач теории оптимального радиоприема
базируется на хорошо разработанных методах математической ста-
тистики. Непосредственное применение математической статистики
к решению прикладных задач радиотехники и автоматики было на-
чато А. Н. Колмогоровым, В. А. Котельниковым, Н. Винером и др.
в 50-х годах. В последующие годы и, особенно, в последнее десяти-
летие как у нас, так и за границей было выполнено много важных
исследований в этой области. Научно-прикладное содержание этих
исследований состоит в решении новых сложных задач, направлен-
ных на совершенствование радиотехнической аппаратуры.
В зависимости от целевого назначения разные системы передачи
информации работают в различных условиях и к ним предъявляются
разные требования. Исходя из этих требований, а также из методи-
ческих соображений, для типовых систем условно можно сформу-
лировать пять частных задач, рассматриваемых в теории. Ниже
приведен простой пример, позволяющий составить представление
о характере этих задач и, тем самым, о содержании настоящего раз-
дела. Конкретные условия, при которых в дальнейшем рассматри-
ваются аналогичные задачи, указаны в § 2.
Пусть на конечном временном интервале Т принимается колеба-
ние представляющее собой сумму полезного сигнала s(f) и
шума п(/):
g (/) = $ (0 + п (0, 0<7<Т. (10.1.1)
Будем, например, считать, что сигналом является прямоугольный
радиоимпульс длительностью ти, который полностью укладывается
на интервале Т:
A cos (со*+ <р), т</<т-|-ти<Т, i
0 /<т, />Т,
где т — момент появления импульса.
В данном случае сигнал зависит от пяти параметров: ампли-
туды А, частоты со, начальной фазы ср, момента появления т и дли-
тельности ти. В значениях этих параметров может содержаться по-
394
s(0 =
лезная информация, которая должна быть извлечена из принятого
колебания ь результате приема.
Заметим, что если бы мы не располагали никакими предваритель-
ными сведениями о сигнале (т. е. о его параметрах), то его нельзя
было бы принять, так как было бы невозможно отличить сигнал от
любой помеги. Наоборот, прием сигнала с заранее известными пара-
метрами не дает никакой информации. Действительно, если заранее
известны все параметры сигнала, то его можно точно воспроизвести
на приемной стороне. Поэтому носителями полезной информации
могут являться только неизвестные параметры сигнала.
В дальнейшем интересующий нас параметр сигнала предпола-
гается всегда неизвестным, а остальные параметры, все или частич-
но — известными. При решении конкретных задач наибольшие труд-
ности возникают тогда, когда имеется мало предварительных (апри-
орных) сведений о принятом сигнале.
После этих общих замечаний сформулируем основные задачи
теории помехоустойчивости для принимаемого колебания
g (/) = A cos (at Ц- ф) + п (/), (10.1.3)
1. Обнаружение сигнала. Различение двух сигналов. Предпо-
ложим пока, что все параметры сигнала (10.1.2) не зависят от вре-
мени, причем частота, фаза и длительность импульса известны,
а амплитуда может принимать два значения: А = 0 (сигнал отсутст-
вует) с вероятностью рг и А = Ао 0 (сигнал присутствует)
с вероятностью р2 = 1—Pi- Требуется по принятой конкретной реа-
лизации £(1) на интервале Т оптимальным образом определить,
отсутствует или присутствует сигнал. (Основные критерии опти-
мальности указаны в § 1 гл. 11). Это — типичная формулировка
задачи обнаружения сигнала на фоне шума, которая весьма характер-
на для радиолокации.
Задача обнаружения сигнала является частным случаем задачи
различения двух сигналов. Пусть в колебании (10.1.3) амплитуда
сигнала А может принимать два значения: А = Ах с вероятностью
PikA = Аз с вероятностью рз =1—Рх- Нужно по принятой реали-
зации колебания £(^) установить оптимальным образом, присутствует
ли сигнал с амплитудой Ai или с амплитудой Аз. При Аг = 0 задача
различения двух сигналов переходит в задачу обнаружения сигнала.
Задачу различения двух сигналов можно сформулировать не
только относительно амплитуды, но и для любого другого пара-
метра сигнала, принимающего два значения (например, частоты,
(разы и т. д.). Эта задача характерна для различных систем передачи
бинарных символов и, в частности, для телеграфии.
2. Различение нескольких сигналов. Пусть амплитуда сигнала
<10.1.2) может принимать только одно из п возможных значений Аъ
Аз. .. Ап, п>2, разделенных, например, интервалами квантова-
395
ния ДЛа = Лл+i — Ak, причем известны априорные вероятности от-
дельных значений plt ръ, ..., рп- Требуется по принятой реализа-
ции решить оптимальным образом (т.е. с минимальной вероят-
ностью ошибки), какое именно из п возможных значений имеет ам-
плитуда. Результаты решения этой задачи могут быть использова-
ны, например, для целесообразного выбора интервалов квантова-
ния ДЛ*. Аналогично формулируется данная задача для других
параметров сигнала, принимающих несколько дискретных значе-
ний.
Задача различения нескольких сигналов является более общей
и сложной, чем задача обнаружения и различения двух сигналов.
С подобными задачами приходится сталкиваться в радиосвязи и те-
леуправлении.
3. Оценка параметров сигнала. Пусть амплитуда Л является
случайной величиной с плотностью вероятности W(A). По принятой
реализации £(/) необходимо с минимальной погрешностью опреде-
лить значение амплитуды. Это простейшая, но типичная задача одно-
го из важных разделов теории помехоустойчивости — теории оцен-
ки параметров.
Если полезный сигнал зависит от нескольких случайных пара-
метров, то может быть поставлена задача о совместной оценке двух
и большего числа параметров. Например, применительно к сигналу
(10.1.2) можно говорить о совместной оценке времени появления
сигнала т и частоты ®.
Задача оценки параметров характерна для измерительной
техники, радиолокации и радионавигации. Результаты решения
этой задачи характеризуют предельную точность измерения пара-
метров сигнала и позволяют составить структурные схемы соот-
ветствующих оптимальных измерительных устройств.
4. Фильтрация сигналов. Пусть «амплитуда» А зависит от вре-
мени и представляет собой случайный процесс А(/) с известными ста-
тистическими характеристиками. Зная характер шума n(t), нужно
по конкретной реализации содержащей случайный процесс А (/),
решить оптимальным образом, какая именно реализация случайного
процесса A(t) присутствует в принятом колебании |(/). Задачи по-
добного типа рассматриваются в общей теории фильтрации.
Задача фильтрации переходит в задачу оценки параметра сигна-
ла, если оцениваемый параметр за время наблюдения Т не успевает
существенно измениться. Задача фильтрации является более общей
и сложной, чем задача оценки параметров.
Задачи фильтрации возникают в радиосвязи (выделение речевого
сообщения из шума), в телевидении (выделение телевизионного
сообщения из шума), в радиолокации (непрерывное определение
дальности и допплеровского смещения частоты) и т. д.
5. Разрешение сигналов. Пусть принятое колебание |(/) пред-
ставляет сумму шума л(0 и двух сигналов s^t, Х2, Х3) и
s2( t, А1,Х2Лз), зависящих от трех параметров Х2, Х3:
396
£(/) ~ S1 ^1» ^2> ^з) + s2 (Л ^1, ^2, ^з) 4“ П (0,
to t tg -|- Т.
(10.1.4)
Априорные вероятности появления каждого из сигналов считаются
известными. Предположим, что параметр Хх является случайным и
статистические характеристики остальных параметров Хг, Хз из-
вестны.
Задачу разрешения двух сигналов можно с
рмулировать сле-
дующим образом. При возможности одновременного наличия двух
сигналов необходимо по принятой реализации разрешить опти-
мальным образом два сигнала по параметру Хх. В понятие «разре-
шить» можно вкладывать различный смысл. Можно, например,
иметь в виду только раздельное обнаружение сигналов или же как
раздельное обнаружение, так и определение значений парамет-
ров Хх в двух сигналах.
Задача разрешения может быть обобщена на случай нескольких
параметров и многих, а не двух сигналов. Необходимая разрешаю-
щая способность, как правило, обеспечивается подбором наилучших
видов сигналов и оптимальной обработкой принятого колебания.
Выше условно указаны пять основных задач, тесно связанных
между собой. В дальнейшем не все эти задачи будут рассмотрены
одинаково подробно. Однако будут приведены соображения, касаю-
щиеся всех перечисленных задач.
§ 2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Пусть скгнал, излучаемый передающей антенной, является ква-
зигармоническим:
sa (t) = f (Qcos [со/ + ф (t)]. (10.2.1)
Это означает, что функции f(t) и ф(/), отображающие законы ампли-
тудной и частотной модуляции, медленно изменяются по сравнению
с колебанием несущей частоты cos®/. Поэтому сигнал зи(/) будет уз-
кополосный: ширина А® его спектра много меньше несущей часто-
ты со, т. е. | А со | со.
При выбранной форме передаваемого сигнала (10.2.1) вид полез-
ного сигнала в месте приема существенно зависит от параметров ли-
нии, по которой он передается. Например, при одном и том же пере-
даваемом сигнале sH (/) принимаемый сигнал в радиолокации и в раз-
личных системах радиосвязи (наземной, ионосферной, тропосферной,
метеорной, космической и др.) будет несколько разным.
Не касаясь детального рассмотрения различных линий связи [1],
укажем, что при распространении электромагнитных колебаний
через турбулентную среду и вследствие изрезанности диаграмм на-
правленности антенн, полезный сигнал в месте приема s(t) во мно-
397
гих случаях можно представить в виде суммы двух составляю-
щих: детерминированной и случайной, т. е.
s (/) = af (t — т) cos [со/ +ф (/ — т)—6] 4
+Р (/) cos [со/4-ф (/ — т) — е (/)].
(10.2.2)
Здесь а и 6 представляют собой амплитудный коэффициент и фазо-
вый сдвиг детерминированной составляющей сигнала (а и 6 — пос-
тоянные величины), а Р и 8 — амплитудный множитель и фазовый
Рис. 10.1. Соотношение между
а, 0» а, Ми е.
сдвиг случайной составляющей. Ве-
личина т характеризует время за-
паздывания принимаемого сигнала.
Сигнал (10.2.2) можно записать
иначе в виде квазигармонического
колебания:
s (/) = а (/) f (t — т) cos [со/
4-ф(/-т)-0(/)], (10.2.3)
где
a cos 0 — a, cos 6 4- Р cos 8,
a sin 0 = а sin 6 4- ₽ sine.
Соотношение между а, 0,а, 6, р и 8 показано на рис. 10.1. Множитель
a(t) характеризует замирания (фединги) радиосигнала и © — фазо-
вый сдвиг по несущей частоте.
Будем считать, что 0 и е представляют собой независимые слу-
чайные величины, причем Р распределена по закону Релея, а
8 — равномерно на интервале (—л, л):
^2 (Р, 8)
р > о, — л < е л,
при других р, 8.
(10.2.4)
В § 4 гл. 7 было показано, что при сделанных предположе-
ниях совместная плотность вероятности случайных величин а и
6 определяется формулой вида (7.4.7):
W2(a, 0) = 2™»
а24^а2—2аа cos (0—Ь)
. — 2-а
(10.2.5)
0
при других а, 0.
Интегрируя (10.2.5) по 0 и а, получим одномерные плотно-
сти вероятности для случайных величин а и 0:
398
IV7 / \ a ( a2 - a2") r / (2я\ л
1^(«) = ^-ехр--------------/0 — , а>0,
(10.2.6)
Г(6)=^е 2 7‘+ ^СО5<9 _9.ф [у cos (О
у 2к
... —ST I2sin!(°—®)
6)] е 2 - ,
(10.2.7)
Так как формулы (10.2.6) и (10.2.7) совпадают соответствен но с фор-
мулами (7.5.1) и (7.6.1), то для 117(a) и U7(0) будут справедливы гра-
фики, приведенные на рис. 7.9 и 7.11.
Оказывается, выбранная модель принимаемого сигнала (10.2.5)
удовлетворительно описывает флуктуации отраженного сигнала
в радиолокации и фединги во многих системах радиосвязи. В радио-
локации часто полагают а = 0 и ограничиваются рассмотрением
случая, когда амплитуда отраженного сигнала флуктуирует по реле-
евскому закону. Результаты экспериментальных исследований мед-
ленных запираний сигналов в радиолиниях, использующих ионо-
сферное ши тропосферное рассеяние, показывают, что фединги
is таких системах описываются также законом Релея и имеют квази-
стационарный характер на временных интервалах порядка несколь-
ких минут, Для систем радиосвязи, использующих отражение от
ионосферы, в (10.2.5) величины а и а должны определяться экспе-
риментально и, как правило, имеют конечные значения, так как
в таких системах принимаемый сигнал содержит как регулярную
(зеркальную), так и случайную (рассеянную) составляющие.
В выбранной модели принимаемого сигнала (10.2.3) некоторые
параметры могут быть заранее (до приема) известными или неизвест-
ными. Предварительно известные статистические характеристики
части параметров сигнала составляют априорные сведения отно-
сительно сигнала. Априорные сведения о сигнале могут быть пол-
ными (полностью известна статистика сигнала), неполными (изве-
стна статистика лишь части параметров сигнала) или отсутство-
вать совсем (полностью неизвестна статистика сигнала). Чем боль-
шими априорными сведениями мы располагаем, тем проще и точ-
нее решаются задачи. Поэтому всегда следует стремиться к тому,
чтобы разумно и в полной мере использовать всю априорную ин-
формацию о сигнале и шуме.
Априорное знание статистики сигнала может быть получено на
основе предварительного статистического анализа как самих сооб-
щений, так и радиосигналов, если, конечно, в прошлом существовал
ансамбль ситуаций, аналогичных условиям данного приема.
В радиосвязи, телевидении и телеуправлении, как правило, апри-
орная статастика сигнала известна в большей мере, чем в радиолока-
ции, радионавигации и измерительной технике.
В радиосвязи сообщения передаются при помощи русского
текста (радиотелефония) или заранее известного кода (радиотеле-
399
графия). На основании анализа русского текста можно подсчитать
вероятность появления отдельных букв или соответствующих сим-
волов кода, а также вероятности появления различных двубуквен-
ных, трехбуквенных и т. д. сочетаний. В настоящее время такие
данные уже известны (см. § 6 гл. 15).
Аналогичное положение имеет место в телеуправлении, где В ка-
честве сообщений обычно используется набор конечного числа типо-
вых символов, а также при передаче изображений в телевидении
(например, при помощи квантованных сигналов).
В радиолокации, радионавигации и измерительной технике мы
часто располагаем меньшими априорными сведениями как о вероят-
ности появления сигналов, так и о статистике отдельных параметров
сигнала. Так, например, применительно к измерению задержки т
(дальности до цели) в отраженном радиолокационном сигнале за-
труднительно заранее указать соответствующую плотность вероят-
ности.
С учетом априорных сведений о сигнале в дальнейшем при реше-
нии отдельных задач теории оптимального радиоприема будут рас-
смотрены следующие частные виды радиосигналов.
1. Сигнал с полностью известными параметрами*
s(0 =f(t — T0)cos[a>0/+<p(f — т0) — 0О], /о<*<А)+*и. (Ю.2.8)
В данном случае все параметры сигнала считаются известными.
В задаче обнаружения остается неизвестным лишь факт наличия
сигнала.
2. Сигнал со случайной начальной фазой
з(0=/(/ — T0)cos[®0f+(p(/ — т0) — 0], t0 < t < /0+ти- (10.2.9)
Все параметры сигнала предполагаются известными, за исключением
начальной фазы 0, которая считается случайной величиной, равно-
мерно^распределенной на интервале (—л, л).
3. Сигнал со случайными амплитудой и начальной фазой
т) cos [<»/-(-ф(^— т) — 0], /о-С -С А)+Ти, (10.2.10)
Будем предполагать, что а и 0 являются независимыми случайными
величинами, причем а распределена по закону Релея, а 0 — равно-
мерно'на интервале (—л, л).
4. Если сигнал s(t) представляет ’ собой последовательность
(пачку ) из нескольких радиоимпульсов, то следует различать коге-
рентную и некогерентную пачки импульсов.'Пачка, в которой на-
чальная фаза первого импульса случайная, а изменение фазы от им-
пульса к импульсу является закономерным (детерминированным),
называется когерентной. Если же фазы отдельных импульсов слу-
чайны и независимы, то пачка называется некогерентной. Амплиту-
* В дальнейшем известные параметры сигнала, как правило, отмечены
нулевым индексом.
400
ды импульсов в пачке могут изменяться по детерминированному или
случайному законам.
Определив основные виды сигналов, укажем некоторые характе-
ристики рассматриваемых помех. В различных радиотехнических
устройствах приходится сталкиваться с различными видами помех.
Однако во всех случаях является общим и характерным наличие
нормального флуктуационного шума, обусловленного естественны-
ми причинами, которые не могут быть устранены (тепловые и другие
шумы окружающего пространства и собственные шумы радиоприем-
ных устройств). Тепловые шумы пространства, окружающего при-
емную антенну, принимаются антенной вместе с полезным сигна-
лом и складываются с собственным шумом радиоприемного
устройства.
Напомним, что без учета потерь между антенной и приемником
величина мощности шумов на входе радиоприемного устройства Рп
выражается через коэффициент шума kn формулой [2]:
Pn=kTobfa(kn + tA-\), (10.2.11)
где k = 1,38-10~23 дж/град — постоянная Больцмана;
То = 290° К — стандартная (комнатная) температура в граду-
сах Кельвина (kT^ = 4 10-21 вт/гц);
АД — энергетическая полоса пропускания линейной
части приемника до детектора (см. табл. 3.14.1).
tA — 7\/Т0 — относительная шумовая температура приемной
антенны, имеющей абсолютную шумовую тем-
пературу излучения ТА.
Собственный шум радиоприемника и тепловые шумы окружаю-
щего пространства складываются линейно с полезным сигналом на
входе приемника. Помехи, которые складываются (суммируются)
с сигналом линейно, называются аддитивными помехами.
Так как часто только аддитивный нормальный шум является
случайной помехой, то значительное внимание было уделено реше-
нию задач теории помехоустойчивости для случая, когда приня-
тым колебанием является сумма (аддитивная смесь) полезного сиг-
нала и нормального шума. Наличие других случайных помех, от-
личных от нормального шума, существенно усложняет задачу.
К настоящему времени многие конкретные задачи получили за-
конченное решение для случая приема сигналов на фоне нормаль-
ного шума. В дальнейшем будут рассмотрены некоторые из этих
'.адач, причем для простоты будем считать нормальный шум белым.
)то предположение упрощает математические вычисления.
Итак, в дальнейшем будем предполагать, Что полезный сигнал
s(f) принимается на фоне аддитивного нормального белого шума
n(t) с нулевым средним значением, т. е. колебание 1(f), принятое на
конечном интервале времени Т, представляет собой случайный
11 роцесс
&(f) = s(f) + n(O. (10.2.12)
1 I Зак. 245 401
Здесь белый шум n(t) имеет следующие основные характеристики:
<«(/)>= 0, й(^1,/2) = <п(/1)/г(^)>^40б(/а-^), (10.2.13)
где No — физически измеряемая спектральная плотность шума;
6 (г) — дельта-функция.
§ 3. АПОСТЕРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
При решении задач теории помехоустойчивости ответ должен
быть получен на основе предварительных (априорных) сведений и
анализа принятых данных.
По сравнению лишь с некоторыми априорными сведениями
о принятом колебании, знания наблюдателя об исследуемой ситуа-
ции в результате анализа принятого колебания увеличиваются.
Вновь сформированное знание называется апостериорным.
Анализ и обработка принятого колебания £(/) с целью принятия
определенного решения могут осуществляться двумя методами;
дискретным и непрерывным.
Если наблюдение производится в отдельные моменты времени
(дискретное наблюдение), то информация о принятых данных будет
заключена в случайных величинах gj = ^(/х), ..., пред-
ставляющих выборочные значения принятого колебания £(/) в Мо-
менты времени tlt .... tm из интервала наблюдения Т: 4-
+ Т, i = 1, 2, ..., m. Чаще всего дискретные значения берутся
через равноотстоящие моменты времени, т. е. ti — tt_\ = А = const.
Выборочные значения принятого колебания £(/) описываются сов-
местной плотностью вероятности 1Гт(^!, ..., £,„), а соответствую-
щие выборочные значения шума n(t) —плотностью вероятности
Предположим, что производится дискретное наблюдение, и
сигнал
s(t) = s(/, X) (10.3.1)
зависит от одного неизвестного параметра X, имеющего априорную
плотность вероятности Wpr (X).
Все то, что можно узнать о параметре X после приема колеба-
ния £(/) заключено в условной вероятности
№рДХ) = 1Г(Х | .
(10.3.2)
называемой апостериорной вероятностью.
Согласно известной теореме об умножении вероятностей (1.5.1)
имеем
Г(Х; „., gj = ..., U =
= ГК(Х)Г(^, .... £т,Х). (10.3.3)
402
Отбрасывая левую часть равенства и учитывая, что ...,£m)
не зависит от интересующего нас параметра А, на основании фор-
мул (10.3.2) и (10.3.3) можем написать
^(Х)=^(А)1Г(Ь,...,т, (10.3.4)
где коэффициент k определяется из условия нормировки.
Рассматриваемая как функция от А, условная вероятность
ITdi, ..., gm|A) называется функцией правдоподобия. (Иногда функ-
цию правдоподобия определяют как In IT). При фиксированных зна-
чениях gj, ..., Ejm она показывает, насколько одно возможное значе-
ние параметра Л «более правдоподобно», чем другое. Обозначим
функцию правдоподобия через £(А):
1(А)=1Г(^,..., ЫА).
(10.3.5)
Тогда формулу (10.3.4) можно записать в окончательном виде
Wps (X) = Шрг (A) L (X), (10.3.6)
где
k = [Jir/,r(X)L(X)rfX
(10.3.7)
Формула (10.3.6), по существу, аналогична формуле (1.7.1)
и представляет математическую запись теоремы Байеса. Напомним,
что теореьса Байеса показывает, каким образом из априорных данных
н результатов анализа принятого колебания формируется апосте-
риорное знание.
Формула (10.3.6) может быть обобщена. Если параметр Л может
принимать только одно из нескольких дискретных значений Лъ
?.2... А,, то можем написать
ГрДА/)'=^рг(Х;)Л(Х/), £ = 1,2....v, (10.3.8)
। -де
Wpr (Х;) L (А,)
(10.3.9)
Если сигнал зависит от р параметров Хх, Х2, ..., Хр, т. е.
s(Z) = s(/, Хъ Х2, ..., Х1Х), (10.3.10)
то формула принимает вид:
Wя# (^ь ^и) ~ ••> Ар.) L (Xj.Ар.),
1 де
(10.3.11)
(10.3.12)
Из формул (10.3.6), (10.3.8) и (10.3.11) видно, что при известных
.шриорных плотностях вероятностей нахождение апостериорных
вероятностей сводится к вычислению функций правдоподобия.
41
403
В том случае, когда принятое колебание представляет аддитивную
смесь сигнала и шума, т. е.
£(t)=s(t) + n(t), (10.3.13)
и многомерные плотности вероятности шума wm(nr, .... ram) известны,
функции правдоподобия вычисляются сравнительно просто. В дру-
гих же случаях их вычисление представляет весьма сложную зада-
чу.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением того важного, но
частного случая, когда принятое колебание представляет собой
аддитивную смесь (10.2.12) полезного сигнала s(t) и нормального
белого шума n(t). При этом значение спектральной плотности шума
No будем предполагать известным.
Рассмотрим простейший метод дискретного наблюдения, когда
отсчеты берутся через равноотстоящие моменты времени. Разобьем
интервал времени (f0, io + Т) равноотстоящими точками tx, tm,
где ti — ti-i = Л = const, i = 1, 2, .... tn. Обозначим средние за
элементарный интервал времени значения колебания |(£), сигнала
s(Z, X) и шума n(t) соответственно через
= 4- f М*) = 4- i s(t,K)dt,
/;-Д /j-Д
(10.3.14) ‘
‘r*
Очевидно, что
и, = £.-5/(Х). (10.3.15)
Будем считать, что в выражении для функции правдоподобия
(10.3.5) фигурируют указанные средние значения ^-. При этом имеет-
ся ввиду, что в дальнейшем нас будет интересовать предельный слу-
чай Д -> 0.
Вычислим сначала совместную плотность вероятности для слу-
чайных величин щ, i = 1, 2, ..., tn. Случайные величины п, яв-
ляются нормально распределенными и согласно (10.2.13) имеют
следующие характеристики:
<^>=0, а? = <га?> = ^, <n.tt/->=0 при i=/=/.
Поэтому совместная плотность вероятности имеет вид
^т(«1........= ••• Я
£=1
(10.3.16)
404
Подставляя значения П/ из (10.3.15) в формулу (10.3.5) и учи-
тывая, что якобиан преобразования от переменных щ к переменным
равен единице, получаем формулу для функции правдоподобия
параметра X:
Ц*) = №(1ь •••> Ub) =^(gi~Si(X), gm-sm(X)). (10.3.17)
Таким образом, при дискретном наблюдении формула (10.3.6)
принимает следующий окончательный вид:
ГРЛХ) = ^(Х)МХ),
(10.3.18)
Если параметр X может принимать несколько значений Xi, Ха, ...,
то в формулу (10.3.8) нужно подставлять функцию правдоподо-
бия при соответствующем значении параметра X.
Путем аналогичных рассуждений нетрудно убедиться, что для
сигнала (10.3.10), зависящего от нескольких параметров, функция
правдоподобия, входящая в формулу (10.3.11), имеет вид:
(10.3.20)
Рассмотрим теперь случай непрерывного наблюдения. Чтобы пе-
рейти к случаю непрерывного наблюдения, нужно в формулах
(10.3.16), (10.3.19) и (10.3.20) перейти к пределу при Д -> 0. При этом
информация о случайном процессе £(/) будет заключена в форме реа-
лизации, т. е. в том, какой конкретный вид имеет функция £(/)
на интервале (/0, Т). Разумеется, что при непрерывном наблю-
дении получаются более точные результаты, чем при дискретном,
так как в случае непрерывного наблюдения используется информа-
ция, содержащаяся во всей реализации £(^), а не только в отдельных
выборочных значениях ..., %т. При Л - > 0 плотности вероятности
li/m и wm перейдут в соответствующие функционалы вероятности,
а функция правдоподобия — в функционал правдоподобия [3].
Введем для них следующие обозначения:
W [п (01 = lim wn (иь ..., nm), (10.3.21)
Д->0
m->oo
F (X) = lim L (X),
Д
(10.3.22)
405
где множитель kit зависящий только от А, подбирается так, чтобы
предел имел смысл.
Осуществляя предельный переход при соответствующем подбо-
ре k±, получим
IF [п (/)] = ехр
'I
га2 (0 dt ,
f *°tT 1
F(X) = exp -А Г O)-s(/, K)]*dt
I *'
' ^0 J
(10.3.23)
(10.3.24)
Таким образом, при непрерывном наблюдении формула (10.3.6)
принимает следующий окончательный вид:
Wps(k)-=kWpr(K)F(k),
(10.3.25)
где А(Х)— функционал правдоподобия (10.3.24).
В аналогичном виде можно записать формулу (10.3.11)
^(^1, М = kWpr(b................X,)F(X1; ..., X.), (10.3.26)
где
s(t, Хь ..., K^dt . (10.3.27)
При решении некоторых задач приходится оперировать не с са-
мими функционалами, а с их отношением, в частности, с отношением
правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой от-
ношение функционалов (функций) правдоподобия при наличии ’и
отсутствии сигнала и определяется формулой вида
I (X) =
W [5(01
(10.3.28)
Если в формулы (10.3.25) и (10.3.26) вместо функций правдопо-
добия подставить отношение правдоподобия, то получим
Wps (X) = k0 Wpr (X) I (X),
n^pj(Xi, •••> pr(^i» •••> МИМ, ••
K,),
(10.3.29)
(10.3..30)
где k0 — некоторый постоянный коэффициент.
406
Имея в виду, что в дальнейшем окончательное решение задач
i летея на основании отношения правдоподобия, для сокращения
математических записей мы будем пользоваться на промежуточных
папах функционалами. Конечно, можно поступить иначе: сначала
оперировать с многомерными плотностями вероятностей и функция-
ми правдоподобия, а затем в конечных результатах (где входит их
отношение) переходить к пределу при Л-> 0.
Продуктивность использования функционалов в теории опти-
мального радиоприема была убедительно показана в монографии
II. Н. Амиантова [3], являющейся одной из первых. *•
§ 4. СТРУКТУРА АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В ЧАСТНОМ
СЛУЧАЕ
Рассмотрим на простейшем примере использование апостериорной
вероятности и методику формирования ее, а также выясним качест-
iumhio влияние на апостериорную вероятность отдельных фак-
lopOB.
Пусть осуществляется радиолокационное измерение расстояния
юодной неподвижной цели по запаздыванию отраженного импульс-
ного сигнала. Обозначим излученный радиоимпульс через sH(£)»
л отраженный от цели сигнал, принимаемый приемником, — через
.(/ — т). Длительность сигнала s(Z—т) равна ти<Т, где Т —
интервал наблюдения. В случае импульсной радиолокации под Т
можно понимать интервал времени между соседними излученными
импульсами периодической последовательности. Будем считать,
о।<> все параметры сигнала, за исключением временного запаздыва-
ния т, известны. Возможные значения параметра т заключены внутри
ннгсрвала (О, Т) с известной априорной плотностью вероятности
'О, (т).
В данном случае назначение приемника-измерителя состоит
и том, чтобы на основе анализа принятого колебания
g(/)-s(/ —т) + п(0, О<ГСТ,
определить с минимальной погрешностью величину т.
Согласно § 3 вся доступная информация о параметре т дается
к оремой Байеса (10.3.25), которая применительно к рассматривае-
н му случаю принимает вид:
т
Wps(i} = kWpr Ст) exp J - ± J [В (0s (/ - T)Y-dt
I о
(10.4.1)
407
Упростим это выражение. Для этого распишем показатель
экспоненты:
т т
О о
т
+ 2_Jg(/)s(^-T)^--|-, (10.4.2)
о
где через Е обозначена энергия (интеграл от квадрата) принятого
сигнала
т
Е = \ s\t — r)dt. (10.4.3)
о
Если сигнал представляет напряжение, то величина Е равна энергии,
выделяемой на сопротивлении потерь 1 ом в течение времени Т.
В правой части равенства (10.4.2) первое слагаемое, равное отно-
шению энергии принятого колебания к спектральной плотности
шума, не содержит информации об интересующем нас параметре
т, так как оно не зависит от т. Поэтому в формуле (10.4.1) множитель
т
ехр |----I £г(£)Л) можно включить в постоянную k. Таким об-
\ ) }
о
разом, можем написать
WpS fr) = kWpr (т) exp -Д) exp [q (r)], (10.4.4)
где
т
<7(t) = — f £(/)s(£ —(10.4.5)
0
Во многих случаях множитель exp (—E/No) можно также вклю-
чить в постоянную k. В данном случае это оправдано тем, что энер-
гия сигнала предполагается независящей от его запаздывания т;
в других случаях обычно ограничиваются рассмотрением (сравне-
нием характеристик) сигналов, обладающих одинаковой энергией.
Следовательно, формулу (10.4.4) можно записать так:
№Р5(т) = (т) ехр [<? (т)]. (10.4.6)
Экспоненциальная функция изменяется монотонно в зависимости
от значений своего показателя. Поэтому функция q(x) с определен-
ной деформацией воспроизводит характер изменения апостериорной
вероятности. Отсюда следует, что при известной априорной ве-
408
роятности определение апостериорной вероятности эквивалентно
вычислению функции q(t).
Таким образом, первый и главный этап при обработке принятого
колебания с целью получения апостериорной вероятности параметра
। состоит в вычислении функции д(т) согласно формуле (10.4.5).
)та функция определяет ту существенную операцию, которую нужно
выполнить над принятым колебанием, чтобы извлечь всю доступ-
ную информацию о параметре т, содержащуюся в реализации
Как следует из формулы (10.4.5), для получения <?(т) необходимо
располагать копией сигнала s(t) на приемной стороне. На рис. 10.2
приведена функциональная схема устройства, позволяющего полу-
чить функцию д(т).
Пере-
множитель
- - < —
Интегратор
Рис. 10.2. Упрощенная схема кор-*
реляционного приемника.
Правая часть формулы (10.4.5) с точностьк) до постоянного мно-
гкителя напоминает выражение для функции взаимной корреляции
между £(£) и s(t — т). Поэтому можно сказать, что функция </(т)
характеризует меру «взаимной корреляции» между принятым коле-
банием |(^ и полезным сигналом s(t — т). Соответственно этому
устройство, изображенное на рис. 10.2, можно условно назвать
корреляционным приемником.
Функцию взаимной корреляции ^(т) можно получить не только
при помощи корреляционного приемника, но также и при помощи
соответствующим образом подобранных фильтров, которые назы-
ваются сотласованными (см. § 6).
Пусть истинное значение параметра т в принятой реализации
t(/) равно т0, т. е.
g(f) =s(t — т0) + и(Г). (10.4.7)
11одставивэто выражение £(/) в (10.4.5), функцию <у(т) можно пред-
ставить в виде суммы двух слагаемых:
(10.4.8)
(10.4.9)
qs (т) =
о
о
(10.4.10)
о
МВ. Зак. 21 5
409
Функция (?s(t), получаемая на выходе корреляционного прием-
ника, представляет собой «автокорреляционную функцию» входного
полезного сигнала, и ее можно назвать сигнальной функцией. Функ-
ция <7„(т), воспроизводимая на выходе приемника и обусловленная
шумом, есть «функция взаимной корреляции» между шумом и вход-
ным полезным сигналом; ее можно назвать шумовой функцией.
Существенное различие между сигнальной и шумовой функциями
состоит в том, что первая при каждом фиксированном значении т
является детерминированной, а вторая — случайной. Говоря
о случайном характере шумовой’ функции qn (т), имеют ввиду,
что даже при детерминированном сигнале. s(t — тв) конкретный вид
этой функции из-за шума n(t) будет различным для разных реали-
заций (10.4.7).
Рассмотрим характер сигнальной и шумовой функций. Покажем,
что сигнальная функция имеет максимум при т = т0, равный
9 s пах (то)
2Е
JV0
(10.4.11)
Действительно, из очевидного неравенства [s (I — т0) — s (t — т)]2>О
имеем s2 (t — т0) -f- s2 (t — т) > 2s (t — т0) s (t — т).
Правая .часть этого ^соотношения при любых т и т0 не может превы-
шать значение левой части. Однако при т = т0 имеет место знак
равенства. Следовательно, произведение 2s(t — — т) мак-
симально при т = т0 и равно 2s2(f — тв). Полагая в формуле
(10.4.9) т — т0, получим (10.4.11)
В качестве примера вычислим сигнальную функцию для прямо-
угольного видеоимпульса длительностью ти:
при
при
< ти/2,
> ти/2.
Под т0 понимается момент времени, соответствующий средине им-
пульса. Рассматривая раздельно случай т<т0 (рис. 10.3, а) и слу-
чай т>т0 (рис. 10.3, б), интегрируя в обоих случаях по заштрихо-
ванным участкам, где подынтегральное выражение в (10.4.9) отлич-
но от нуля, получим
---------Т--10' ) при |т — т0|<ти. (10.4.12)
0 \----и /
Сигнальная функция изображена на рис. 10.3, в. Она представляет
собой равнобедренный треугольник с основанием 2ти и высотой
<7smox(To) = 2£Ж- где Е = Д2ти.
Выясним теперь структуру шумовой функции qn (т). Формула
(10.4.10) показывает, что функция (?л(т) получается из нормального
410
hi‘„юго шума путем линейного преобразования. Поэтому шумовая
Функция при каждом фиксированном значении т имеет нормальную
н мтность вероятности. Согласно (10.2.13) среднее значение шумовой
Функции равно нулю
т
ф ^П(О>8(^-Т)^ = О,
о
(10.4.13)
। для дисперсии получим формулу
'У <<7nW> = -^2 [ [ <n(^)«(^)> s(fx — — %}dtidt2 = .
0 о о
(10.4.14)
Рис. 10.3. Сигнальная функция для прямоуголь-
ного импульса.
Обращает на себя внимание тот факт, что как максимальное зна-
чение сигнальной функции, так и дисперсия шумовой функции рав-
ны одной и той же величине
2/7
Q = (Ю.4.15)
Назовем величину Q, равную отношению удвоенной энергии
< н гнала к спектральной плотности шума, отношением сигнал/шум
но мощности на входе приемника. В дальнейшем мы убедимся, что
величина Q входит во многие соотношения и играет фундаменталь-
ную роль.
I III*
411
Если учитывать мощность шумов радиоприемника по формуле
(10.2.11) и вместо энергии Е ввести импульсную мощность сигнала j
на входе приемника Ps = E/t^, то для Q получим следующую фор- ]
мулу: J
2РS 'и
(10.4.16) ;
Это отношение сигнал/шум практически получается на выходе согла- ;
сованного УПЧ (см. § 6).
Для выяснения характера изменения шумовой функции в зави-
симости от т найдем «функцию корреляции» для qn(t). Воспользо- I
вавшись формулами (10.4.10) и (10.2.13), получим 1
° о о
(10.4.17) 1
о
Сравнивая подынтегральные выражения в формулах (10.4.9)
и (10.4.17), замечаем, что они по характеру одинаковы. Следова-
тельно, корреляционная функция для qn(y) по форме подобна сиг- j
нальной функции qsfr), т. е. автокорреляционной функции сигнала J
на входе. Но функция корреляции случайного процесса дает неко- i
торое представление о характере изменения его во времени. Поэтому 1
можно сказать, что операция образования функции взаимной корре- |
ляции (10.4.5) сопровождается «выравниванием» временных струк- 1
тур сигнальной и шумовой функций. 1
В то время как в принятом колебании £(/) сигнал s(/) и белый ]
шум n(t) существенно различаются по характеру изменения во |
времени, «сигнал» qs и «шум» qn на выходе корреляционного прием- 1
ника или согласованного фильтра становятся подобными друг I
другу. Иначе говоря, корреляционный приемник или согласован- |
ный фильтр устраняют существенное различие во временном пове- I
дении сигнала и шума. |
Не следует думать, что «выравнивание» временных структур 1
сигнальной и шумовой функций затрудняет определение истинного 1
значения интересующего нас параметра т. Наоборот, операция обра- |
зования функции взаимной корреляции (10.4.5) обеспечивает наилуч- |
шую фильтрацию сигнала из шума, давая по сравнению с другими I
возможными операциями максимальное отношение сигнал/шум. 1
Таким образом, «выравнивание» временных структур сопровож- I
дается улучшением амплитудных различий сигнала и шума или, 1
иначе, существенным понижением шумового фона qn, на котором 1
наблюдается сигнал qs. В этом и состоит сущность образования j
функции взаимной корреляции (10.4.5). 1
412
приведем интерпретацию полученных результатов, считая ап-
риорную плотность вероятности параметра т на интервале наблю-
дения равномерной:
(1/Т при 0 < т Т,
I 0 при. т<0, т^>Т.
(10.4.18)
На рис, 10.4, а изображена реализация нормального шума n(t),
ii.-i рис. 10,4, б — частный вид сигнала s(Z— т) и на рис. 10.4, в —
реализация принятого колебания £(/). Располагая реализацией
Рис. 10.4- Формирование функции взаимной кор-
реляции и апостериорной вероятности (а — нор-
мальный шум; б—полезный сигнал; в—приня-
тое колебание; г — функция взаимной корреля-
ции; д —апостериорная вероятность),
,(/) и зная форму сигнала s(t), наблюдатель должен определить не-
известное ему положение т0 сигнала в шуме. Как указывалось выше,
(.ял этого нужно построить функцию (?(т) путем интегрирования ре-
цльтата перемножения £(/) с сигналом s(f — т) при различных зна-
чениях т из интервала (0, Т). На рис. 10.4, г показана функция
7(т), а на рис. 10.4, д — апостериорная вероятность. Из последних
iiiyx рисунков видно, что функции <?(т) и IV'ps (т) имеют наибольшие
шачения в окрестности т0, где сигнальная функция qs (т) имеет
413
максимум. Поэтому в качестве оценки истинного значения т0 пара-
метра т можно принять то значение т = т*, при котором апостериор-
ная вероятность имеет максимум максиморум. Погрешность измере-
ния можно характеризовать шириной (на определенном уровне) апо-
стериорной вероятности в окрестности максимума максиморума.
Подробное рассмотрение вопросов, связанных с выбором критериев
оценки параметров, будет приведено в § 1 гл. 12.
го
Рис. 10.5, Изменение вида апостериорной ве-
роятности от отношения сигнал/шум.
Оценка т*, как правило, не совпадает с истинным значением
параметра т0(т;* =# т0). Это объясняется тем, что при наличии шума
шумовая функция qn, складываясь с сигнальной qs, вызывает сме-
щение максимума максиморума апостериорной вероятности от т0
и изменяет его «ширину». Чем меньше отношение сигнал/шум Q
(чем больше шум), тем возможно большее смещение и расширение
апостериорного распределения. При этом увеличивается погреш-
ность результата измерения.
Кроме этого, увеличение шума связано с появлением ложных
максимумов, сравнимых по величине с полезным максимумом, обус-
ловленным сигналом. Это наглядно иллюстрируется рис. 10.5, на
котором показан характер изменения апостериорной вероятности
в зависимости от отношения сигнал/шум Q на входе приемника [4].
414
Из формул (10.4,11) и (10,4.14) видно, что отношение максималь-
ного значения сигнальной функции к среднеквадратичному значе-
нию шумовой функции равно
= j/q = . (10.4.19)
I < ли No очень велико, то это отношение мало, и сигнал полностью
маскируется шумом. При этом сами функции qs и qn будут также
•чепь малыми. Полагая в формуле (10.4.6) ехр[<7(т)] 1, получим
Wps(t)^kWpr(x). (10.4.20)
Убеждаемся, что при очень малом отношении сигнал/шум апо-
। ' риорная вероятность совпадает с априорной, которая была при-
нята равномерной (10.4.18). Соответствующий график приведен
h i рис. 10.5, а. В данном случае прием колебания £(/) не дает до-
полнительной информации о параметре т.
При увеличении отношения сигнал/шум растет дисперсия шумо-
Г.П11 функции о„ и в апостериорной вероятности появляются нерав-
номерности (рис. 10.5,6), которые затем начинают переходить
г явно выраженные пики, разделенные участками малой вероятно-
hi (рис. 10.5, в).
Когда Q>1, отношение (10.4.19) будет также больше единицы,
и становится заметной вероятность появления одного из пиков
ir|ls(r) в окрестности истинного значения т0. При дальнейшем
\ч сличении Q растет степень достоверности того, что пик q(t), обус-
н пленный сигналом, будет выше шумовых пиков. При этом экспо-
||| пциальный множитель в формуле (10.4.6) начинает существенно
миливать неравномерность д(т) и апостериорное распределение
прошится» на отдельные ясно выраженные пики, разделенные
\ настками почти нулевой вероятности (рис. 10.5, г, д). Преобладаю-
щим становится пик в окрестности т0 и уменьшается число «конку-
рирующих» по величине шумовых пиков. При No -> 0 остается один
\чкий пик, расположенный в точке т = т0 (рис. 10.5, е).
Из приведенных графиков видно, что даже при Q — 4 имеется два
почти одинаковых пика, один из которых (шумовой) расположен
и окрестности Tq. При этом неясно, какой из пиков является лож-
ным, и за истинное значение параметра можно принять как т0,
>.|к и Tq. В данном случае имеется неоднозначность в определении
।Эта неоднозначность устраняется при дальнейшем увеличении
( |ф
Неоднозначность определения параметра зависит также от апри-
орной вероятности. Если бы в рассмотренном примере’возможными
п.ччениями задержки т являлся подынтервал (0, Т'), а^не весь ин-
н-рвал (О, Т), где Т'<^Т, то в конкретной ситуации рисЛ 10.5, г
ш'однозначностьне имела бы места. Иначе говоря, сужение априор-
ного интервала значений т уменьшает вероятность появления на
415
этом интервале больших шумовых выбросов. Тем самым обеспечи-
вается возможность более надежного определения параметра при
меньших значениях Q.
На частном примере оценки задержки сигнала мы рассмотрели
операции, позволяющие получить апостериорную вероятность, и
выяснили влияние на апостериорную вероятность отдельных факто-
ров (в частности, отношения сигнал/шум и априорной вероятности).
§ 5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ПРИЕМ
В §4 указывалось, что наиболее существенная операция, которую
необходимо выполнить над принятым колебанием £(/) для получе-
ния апостериорной вероятности, состоит в вычислении функции
взаимной корреляции (10.4.5)
<7(т) = А | (10.5.1)
о
По функции взаимной корреляции можно однозначно найти апосте-
риорные вероятности без дополнительного обращения к принятому
колебанию. Но апостериорные вероятности содержат все сведения,
которые можно извлечь из принятой реализации сигнала. В этом
смысле можно сказать, что взаимокорреляционный приемник явля-
ется оптимальным.
Заметим, что если бы в формуле (10.5.1) перед интегралом стоял
множитель 1/Т, то она была бы подобна формуле (3.9.3), и функция
q(r) представляла бы выражение кратковременной функции взаим-
ной корреляции (т. е. функции взаимной корреляции, когда время
усреднения конечно). Однако наличие постоянного множителя
1/Т сказывается лишь на характере работы интеграторов. Отвле-
каясь от этих подробностей, можно говорить, что q(r) есть функция
взаимной корреляции между принятым колебанием и полезным сиг-
налом, а устройство рис. 10.2, осуществляющее операции (10.5.1),
можно назвать взаимокорреляционным приемником.
Рассмотрим подробнее работу взаимокорреляционного приемни-
ка. Практически функцию взаимной корреляции </(т) для нескольких
фиксированных значений т можно получить при помощи устрой-
ства, функциональная схема которого изображена на рис. 10.6.
Линия задержки имеет общую задержку, равную априорному ин-
тервалу Т ожидаемых значений т. От линии задержки сделаны равно-
мерно отводы; разность в задержках между соседними отводами рав-
на постоянной величине А. При этом схема рис. 10.6 позволяет
получить на выходе интеграторов, следующих за перемножителями,
значения функции взаимной корреляции, соответствующие задерж-
кам т,- = lA, i = 0, 1, 2, ..., v; vA = T,
4U
Если дополнить корреляционный приемник схемой сравнения,
।сгорая выдавала бы на выходе номер т того подынтервала А,
и котором функция <у(тт) имеет наибольший максимум, то все
устройство можно использовать для определения неизвестного мо-
мента появления т0 импульсного сигнала. При этом точность изме-
рения будет характеризоваться величиной А. Для импульсных ра-
диолокационных станций величину А берут приближенно равной
длительности импульса.
Применительно к конкретному случаю измерения времени за-
паздывания сигнала схема сравнения может состоять из обычного
Рис. 10.6. Функциональная схема взаимокорреляционного приемника
для определения временного положения импульсного сигнала.
осциллографа с линейной разверткой вдоль оси г и устройства, фик-
сирующего номер/и задержки, при которой появляется наибольший
ныброс.
Корреляционные методы приема оказались особенно полезными
при приеме повторяющихся (радиолокационных) сигналов на фоне
шума 15]. Пусть полезный сигнал s(f—т) представляет пачку из п
।кротких прямоугольных видеоимпульсов с амплитудой А, длитель-
нютью тн и известным периодом следования То (рис. 10.7, а).
В каждом периоде время запаздывания т0 одинаково и может при-
। нмать значения в интервале То, т. е. в г'-м периоде время запазды-
1.111ИЯ равно гт0, причем (t— 1)7’0< £'т0<7Т0, где i = 1, 2, ..., п.
Нетрудно показать, что сигнальная функция
(т) = — J s (t — То) s (t — T)dt
° о
(10.5.2)
417
имеет вид равнобедренных треугольников (рис. 10.7, б), отстоящих
друг от друга на расстоянии То с основанием 2ти и высотой
ЯЛхр-)—(п — то i рТ'о, р. ='0, 1, 2,..., п.
Здесь Е — энергия одного импульса.
Наибольший пик при т = т0 имеет высоту
Qs тах(Уо) ~ М . (10.5.3)
Рис. 10.7. Пачка прямоугольных импульсов и ее функция ав-
токорреляции.
Высота пиков, расположенных симметрично относительно эторо
главного пика, постепенно уменьшается, причем разность высот двух
соседних пиков одинакова и равна kq = 2E/NQ.
Шумовая функция
пТ9
= f n(Z)s(* —ТМТ (10.5.4)
О
имеет нулевое среднее значение. Дисперсия ее равна
= (<7л(т)> = ^- f \ <n(t1)n(t2))s(t1~T)s(t3 — r)dt1di2 =
N0 о о
(10.5.5)
418
п-тг. (10.5.6)
/V Л
Из формул (10.5.3) и (10.5.5) получаем отношение максималь-
ного пика сигнальной функции к среднеквадратичному значению
шумовой функции
тах(х°)
°п
Таким образом, если отношение сигнал/шум по напряжению на
походе взаимокорреляционного приемника для одного импульса
р; вно Y2E/N0, то при приеме п таких же периодически следующих
импульсов это отношение увеличивается в У п раз. Поэтому в слу-
i.-ie пачки импульсов полезный пик в окрестности т0 как у функции
</(т), так и у апостериорной вероятности будет более отчетливо выде-
ляться на фоне шумовых выбросов, чем для одного импульса.
4 За счет увеличения числа’импульсов можно добиться требуемого
отношения сигнал/шум (10.5.6) на выходе взаимокорреляционного
приемника. Можно сказать, что увеличение времени наблюдения
(интегрирования) в п раз сопровождается улучшением отношения
сигнал/шум в]/праз. Этот результат можно практически использо-
вать как для обнаружения периодических импульсных сигналов на
<|»не сильных помех, так и при оценке неизвестных параметров. При
том в отличие от одиночного импульса здесь решение принимается
г запаздыванием во времени в п раз болыйим.
Именно в подобных случаях, когда требуется большое время
и пегрирования, практически применяются взаимокорреляционные
приемники, а несогласованные фильтры. Как правило, оптимальные
фильтры имеют весьма ограниченное время интегрирования (на-
копления).
Укажем, что результат (10.5.6) справедлив не только для видео-
импульсов, но и для пачки из п когерентных радиоимпульсов. Если
•re пачка составлена из некогерентных радиоимпульсов, то отноше-
ние сигнал/шум будет меньше 16]. При этом радиоимпульсы, после
фильтрации соответствующим оптимальным фильтром, должны
предварительно детектироваться и лишь затем суммироваться.
Когда отношение сигнал/шум в каждом импульсе мало (энергия
импульса того же порядка или меньше, чем спектральная плот-
ность шума), то оптимальная характеристика детектора близка
к квадратичной. При больших отношениях сигнал/шум оптимальная
характеристика детектора близка к линейной. В случае флуктуи-
рующих импульсов оптимальной всегда является квадратичная
характеристика детектора.
Как следует из формулы (10.5.1), для получения функции взаим-
ной корреляции необходимо на приемной стороне знать форму
полезного сигнала s(/). Однако это не всегда просто достигается, что
ограничивает возможность практического применения взаимокор-
[еляционного приема.
419
В том случае, когда приемное и передающее устройства располо-
жены в одном месте (радиолокация), в качестве местного (опорного)
сигнала s(t) на приемной стороне можно взять колебания местного
гетеродина или импульсы передатчика, задержанные соответствую-
щей линией задержки (рис. 10.8). Интенсивность колебаний гете-
родина или импульсов передатчика настолько велика, что мешаю-
щими напряжениями на входе приемника, сопровождающими эти
импульсы, всегда можно пренебречь. Без учета искажений прини-
маемого сигнала опорное напряжение будет совпадать по форме
с принимаемым сигналом. В данном случае является важным требо-
Линия
задержки
Интегра
тор
Рис. 10.8. Взаимокорреляционный прием.
(Г)
вание высокой стабильности частоты колебаний гетеродина (за вре-
мя обработки интересующей нас пачки импульсов фаза колебаний
гетеродина не должна существенно изменяться).
Сложнее обстоит дело с формированием опорного сигнала s(t)
в радиосвязи, когда передающее и приемное устройства простран-
ственно разнесены. Считая фазовые флуктуации радиосигнала из-за
распространения радиоволн через} турбулентную атмосферу или
ионосферу медленными, здесь для формирования опорного сиг-
нала обычно применяют несколько видов устройств.
Если колебания передатчика имеют высокую стабильность по
частоте, то на приемной стороне можно использовать высокостабиЛь-
ный гетеродин, работа которого предварительно и периодически
синхронизируется колебаниями передатчика. Иногда применяют ав-
токорреляционный прием. При автокорреляционном приеме опор-
ным напряжением служит принятое колебание. Работа автокорреля-
ционного приемника описывается формулой
/о+Т
?(*) = #- ( (10.5.7)
' ’ о V
Автокорреляционный прием является менее помехоустойчивым,
чем взаимокорреляционный прием, так как при одинаковых услови-
ях приема отношение сигнал/шум на выходе автокорреляционного
приемника будет меньше, чем на выходе взаимокорреляционного
приемника. Это объясняется тем, что при взаимокорреляционном
420
||>неме опорное напряжение по форме точно совпадает с полезным
шкалом, а при автокорреляционном приеме опорное напряжение,
। роме полезного сигнала, содержит также шум.
В тех случаях, когда фаза колебаний передатчика сравнительно
ицленно и не очень сильно изменяется за время наблюдения сиг-
h.ыа Т, опорное напряжение можно формировать из принятого ко-
к бания при помощи специальных устройств синхронизации
(рис. 10.9), предложенных А. А. Пистолькорсом, В. И. Сифоровым,
•К П. Костасом и др. [7, 8]. Назовем условно такой метод приема
.шхроники или квазикогерентным. Из-за наличия шума в канале
Передатчик
Рис. 10.9. Синхронный (квазикогерентный) прием.
i пнхронизации параметры опорного сигнала s0(£) будут случайны-
ми, что обусловливает меньшую помехоустойчивость такого метода
приема по сравнению с взаимокорреляционным. Степень пониже-
(II я помехоустойчивости определяется отношением сигнал/шум
и канале синхронизации (см. § 5 гл. 11).
Если не предъявлять особых требований к стабильности частоты
передатчика, то для получения опорного сигнала следует применять
самостоятельный канал синхронизации с использованием различных
вариантов фазовой автоподстройки частоты (см. § 4 гл. 13).
§ 6. СОГЛАСОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ
В § 4 отмечалось, что функцию взаимной корреляции д(т) между
колебанием |(/), принятым на интервале (0, Г), и полезным сигна-
лом s(Z) можно получить на выходе согласованного фильтра. Рас-
смотрим этот вопрос подробнее с привлечением спектрального ана-
лиза. Приведем сначала определение согласованного фильтра, а
затем рассмотрим свойства этих фильтров и некоторые практи-
ческие рекомендации по их реализации.
Если s(/) есть некоторое физическое колебание, принимаемое
на фоне белого шума, то согласованным фильтром для этого колеба-
ния является фильтр, имеющий импульсную характеристику:
G(t)=ks(ta — 0, (10.6.1)
421
где k — постоянная, равная максимальному усилению фильтра;
to — фиксированное время, при котором наблюдается выходной
сигнал (см. ниже).
Чтобы представить себе функцию G(t), обратимся к рис. 10.10.
На рисунке изображен импульсный сигнал s(t). Очевидно, что функ-
ция s(t0 4- t), изображенная пунктиром, появляется на время t0
раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t0 — t) является зеркаль-
ным отображением функции s(t0 + i) относительно оси ординат.
Умножив функцию s(t0 — t) на коэффициент k, получаем импульс-
ную характеристику согласованного фильтра (10.6.1).
Рис. 10.10. Сигнал s(0 и импульсная характеристика G(t) согла-
сованного фильтра (#==1).
Передаточная функция согласованного фильтра по формуле
(6.1.3) равна
00 00
К а а») = j G (t) е~ dt = ke~ J s(t') eM' dt'.
—co — co
Учитывая выражение для спектра сигнала
S(/®) = J dt,
— 00
получим
К (/'<*>) = S(— jai) ~ kS* (/co) (10.6.2)
где S* (/co)— функция, комплексно-сопряженная спектру сигна-
ла S (/со).
Таким образом, если прием сигнала осуществляется на фоне бе-
лого шума, то с точностью до амплитудного множителя и постоянной
задержки (определяемых множителем Ае~^’) передаточная функ-
ция согласованного фильтра представляет собой функцию, комплекс-
но-сопряженную со спектром полезного сигнала. Следовательно,
частотная характеристика согласованного фильтра целиком опре-
деляется спектром сигнала, а импульсная характеристика фильтра—
формой сигнала («согласована» с сигналом).
422
Согласованные фильтры обладают следующими свойствами:
1. Среди всех линейных фильтров согласованный фильтр дает
пл выходе максимальное отношение пикового значения сигнала
г. среднеквадратичному значению шума, равное y^FZ/Vo. Этозамеча-
кльное свойство часто принимается за определение согласованных
фпяьтров.
2. Сигнал на выходе согласованного фильтра по форме совпадает
< «функцией автокорреляции» входного полезного сигнала, и функ-
ции корреляции выходного шума имеет вид функции автокорреляции
входного полезного сигнала.
Докажем эти свойства, начав со второго. Обозначим полезный
• и гнал на выходе согласованного фильтра через sB(i) и шум на вы-
воде через пв (f). Используя формулу интеграла Дюамеля, можем на-
писать
со оо
sB(t)= J G(x)s(t— x)dx = k У s(t0 — x)s(t — x)dx, (10.6.3)
—OO oo
oo oo
nB(/)=J G(x)n(t— x)dx = k§s(t0— x)n(t — x)dx. (10.6.4)
—co —00
Из формулы (10.6.3) видно, что сигнал на выходе согласованного
фильтра с точностью до постоянного множителя представляет собой
Функцию автокорреляции входного полезного сигнала, причем мак-
< ।шальное значение выходного сигнала имеет место при t = tQ и
р.ЧВНО
Sb max
(10.6.5)
где Е —энергия входного сигнала.
Функция корреляции выходного шума легко вычисляется:
оо
— оо
оо
= £2^- ( S(t)S(t + t2)dt.
—оо
(10.6.6)
. >та формула подтверждает, что функция корреляции выходного
шума имеет вид автокорреляционной функции входного сигнала.
Полагая в формуле (10.6.6) ti = tz, получаем дисперсию выходного
111 ума
41
(10.6.7)
423
Из формул (10.6.5) и (10.6.7) находим отношение максимального
значения выходного полезного сигнала к среднеквадратичному зна- |
чению выходного шума:
max
2£
No'
(10.6.8)
что, как и следовало ожидать, совпадает с результатом (10.4.19). j
Характерно, что отношение сигнал/шум на выходе согласован- |
кого фильтра определяется только отношением энергии сигнала 1
к спектральной плотности шума и не зависит от формы сигнала. 1
Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра можно I
пересчитать к его входу. Пусть А/э — энергетическая (шумовая) 1
полоса сигнала или согласованного фильтра (3.10.4). Тогда мощность J
шумов на входе в энергетической полосе согласованного фильтра j
равна Рп = N0Af3, а мощность сигнала на входе фильтра равна j
Ps — Е/та, где ти — эффективная длительность сигнала. Подста- *1
вив отдельные величины в формулу (10.6.8), получим ।
в тах'^®'
ав
(10.6.9)
Произведение А/Эти часто называют базой сигнала. При заданной 1
энергии сигнала Е и равномерной спектральной плотности шума 1
No увеличение ти или А/э порознь не оказывает непосредственного 1
влияния на отношение сигнал/шум на выходе согласованного ]
фильтра; это отношение можно увеличить за счет увеличения |
базы сигнала. ]
Убедимся теперь в выполнимости первого свойства. Пусть 1
К(/(о) есть передаточная функция некоторого линейного фильтра. I
При воздействии на такой фильтр сигнала s(t) спектр сигнала на ।
выходе будет определяться произведением S(/(o)K(/со), а сам выход- 1
ной сигнал — равенством 1
оо
2~
(10.6.10) J
При воздействии белого шума со спектральной плотностью Л/0/2 1
(имеется ввиду двусторонняя спектральная плотность), дисперсия •
шума на выходе фильтра равна
И ___ JV О
В "— п
ОО
га
j I/((/со) )2dco.
— оо
424
Из (10.5.10) и'(10.6.11) получаем формулу для отношения мгно-
венного значения сигнала на выходе фильтра в! некоторый момент
|||гмени к среднеквадратичному значению выходного шума
| s8 (*о) I
J S (/») К (» ем«
ОО
J (/С (/<о) I2
—со
(10.6.12)
Найдем такую передаточную функцию Kfja), при которой отно-
шение (10.6.12) в момент времени t0 достигает максимума. Для этого
воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского. Неравенст-
во Шварца — Буняковского гласит, что если имеются две комплекс-
ные функции F(x) и Г(х), то выполняется соотношение
р*(х)Г(х)йл:|< ( $\F(x)\2 dx J|r(x)|2dx)2, (10.6.13)
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае,
когда
Г (х) — kF (х)
(10.6.14)
। де k — постоянная.
Положив Г (со) — У (/со), F* (со) = S (/со) e'"z» и применив неравен-
ство (10.6.13) к числителю выражения (10.6.12), получим
SB (*о)
(J|S (/«>) I2 da> J | Д’(>) |* do>)
(12.6.15)
J IА (У) | 2 d
i.Tic как энергия входного полезного сигнала равна
Е= \ s2(t)dt
л '
S (/со) |2 d(o.
(10.6.16)
— оо
— оо
Таким образом, отношение максимального значения сигнала на
выходе любого линейного фильтра к среднеквадратичному значению
выходного шума не может превышать величину ]/ 2EfN0. Это мак-
симально возможное значение, как показывает равенство (10.6.14),
достигается при выполнении условия
/С (/со) = kS* (/со) е~
(10.6.17)
11о фильтр, имеющий такую передаточную функцию, является согла-
сованным фильтром. Следовательно, согласованный фильтр яв-
ляется единственным линейным фильтром, дающим максимально
425
возможное отношение сигнал/шум на выходе. Никакой другой
фильтр не может дать отношение сигнал/шум больше, чем согла-
сованный.
Запишем спектр входного сигнала и передаточную функцию
фильтра в виде
5 (/©) = | S (/со) | ei?s ('"), К (» = | К (»| (10.6.18)
Для согласованного фильтра из (10.6.17) получим
К(/®)| =£|S(/©)|, ф(ю) = — [фД®)+ ю/0]. (10.6.19)
Видно, что амплитудно-частотная характеристика согласован-
ного фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру ожи-
даемого сигнала, а фазовая характеристика равна сумме фазового
спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и задержки (—со/0).
Совпадение формы амплитудно-частотной характеристики филь-
тра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее вы-
деление наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Слабые
участки спектра сигнала фильтр ослабляет; в противном случае,
наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма
сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет зна-
чения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном
воспроизведении входного сигнала, а в наилучшем выделении пика
сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет
фазовая характеристика фильтра <р(со).
is Подставив в (10.6.10) функцию передачи (10.6.17), получаем вы-
ражение сигнала на выходе согласованного фильтра
ОО
$в (0 Л I I s (/(D) )2 da
& I у
— оо
со
= J | S (/со) )2 cos о> (/ — tQ)dto.
т* ОО
(10.6.20)
Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется толь-
ко амплитудно-частотным спектром входного сигнала и не зависит
от его фазового спектра. Последнее объясняемся тем, что взаимные
фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала
<ps((o) компенсируются фазо-частотной характеристикой фильтра.
Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают
амплитудных значений в момент времени t = ta, и, складываясь,
дают пик выходного сигнала:
max
оо
( | S (/оэ) 12d(0 kE.
-JT J
-- оо
426
и бы фазо-частотная характеристика фильтра не компенсировала
|кшых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала,
максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по
(„ Мени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика вы-
• иного сигнала.
I [ри практическом конструировании согласованных фильтров,
> |ii>ve основных формул (10.6.1) и (10.6.2), следует также иметь
>> виду условия физической осуществимости линейных фильтров
OQ
G(/) = 0 при /<0, j — j ' dmоо (10.6.21)
— оо
i w ювия практической реализуемости фильтров. Условия физиче-
। < »i'i осуществимости определяют принципиальные возможности
" гроения фильтров, а условия практической реализуемости —
।'. 11 тические возможности создания
| И 11>тров.
Когда импульсная характеристика
। ю 6.1) или функция передачи (10.6.2)
нрсделяют физически осуществимый
।инейный фильтр, задачу отыскания
I /всованного фильтра в принципе
I1 ы<![0 считать решенной.
Гели сигнал, с которым должен
10.11. Сигнал s(Z) конеч-
длителычости и импульс-
характеристика согласо-
ванного фильтра.
' и гь согласован фильтр, начинается Рис
и момент времени t = 0 и полностью Ной
прекращается при £>ти (рис. 10.11), ная
...ервое из условий (10.6.21) выпол-
М.Н'ТСЯ при f0>TH. Только при этом
.iobии будет использована вся энергия
входного сигнала для
Формирования сигнального пика на выходе фильтра в момент /0.
।сличение сверх ти, не влияя на величину пика, сдвигает его
к сторону большего запаздывания, что нежелательно. Поэтому
। сдует брать /0 = ти.
Иногда для аппроксимации реальных импульсных сигналов ис-
пользуют бесконечно длинные импульсы (гауссов, экспоненциальный
н др.). В подобных случаях приходится искусственно брать конечное
паление длительности аппроксимирующего импульса, содержащей
к повную делю энергии сигнала.
Если даже согласованный фильтр является физически осущест-
вимым, то эго не означает, что данный фильтр можно реализовать
практически. Может оказаться, что для построения такого фильтра
|ребуется слишком много элементов, или же эти элементы должны
обладать практически трудновыполнимыми характеристиками и
Д
В тех случаях, когда для сигнала получаются практически не-
реализуемые фильтры, можно предложить два пути.
427
Для многих применений целесообразно заранее подбирать такие
сигналы, для которых получаются сравнительно легко реализуемые
фильтры. Иначе говоря, чтобы обеспечить наилучший общий
результат, нужно одновременно заниматься как построением согла-
сованных фильтров, так и подбором желательных форм сигналов [9] .
Если желательная форма сигнала выбрана и для него согласо-
ванный фильтр все же не реализуем, то следует использовать тот из
практически осуществимых фильтров, который обеспечивает мак-
симальное отношение сигнал/шум на выходе. (Во избежание недора-
а)
s,(t)
।-------1
Рис. 10.12. Согласованный фильтр для прямоугольного видео-
импульса (а) и напряжения на выходе отдельных каскадов
согласованного фильтра (б).
зумений отметим, что здесь имеются в виду импульсные сигнал]
без внутриимпульсной модуляции. При использовании сигнале
с внутриимпульсной модуляцией часто специально применяю
несогласованные фильтры для подавления боковых «лепестков:
допуская некоторое уменьшение отношения сигнал/шум.)
Оказывается, отклонение характеристик фильтров от форму
(10.6.1) и (10.6.2) во многих случаях не сопровождается значител]
ным уменьшением отношения сигнал/шум. Поэтому без существе^
ного ухудшения характеристик систем можно применять вмесч
строго согласованных фильтров практически легко реализуем®
фильтры, дающие примерно те же результаты (см. § 7).
В качестве примера рассмотрим согласованный фильтр для пря^
моугольного видеоимпульса [10]. Пусть импульс появляется в мой
имеет амплитуду А и длительность ти
мент времени t = 0,
(рис. 10.12, б), т. е.
А при 0 < t < ти,
0 при /<0, / > ти.
428
/
<n ip такого сигнала равен
о
|.:гая /0=1ц, по формуле (10.6.2) находим передаточную фулк-
ь> согласованного фильтра
'S'
15 соответствии с формулой (10.6.1) импульсная характеристика
'• ысованвогс фильтра равна
G(t)~
kA при 0 t < ти,
О при t > tu.
г i iiiHOM частном случае импульсная характеристика фильтра по
1 рме совпадает с сигналом.
< >два из возможных функциональных схем этого согласованного
in п.тра представлена на рис. 10.12, а. Он состоит из идеального
i п оуеилителя с коэффициентом усиления kA, интегратора, ли-
ни задержки на ти и вычитающего устройства. Напряжение
пыхода интегратора подается на вычитающее устройство по двум
|1млам: непосредственно и через линию задержки. Характер
। налов на выходе отдельных элементов схемы показан ка
10.12, б. На выходе вычитающего устройства получается треу-
п.пый импульс с высотой kE — kA2xK и длительностью 2ти:
kA21 при 0 < / -< ти,
sB (г1) = kA2 (2ти — t) при ти < г < 2ти,
О
при
2т
7. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
'ПИЛЬТТЫ
Характерным свойством согласованных фильтров является то,
и и их характеристики (10.6.1) и (10.6.2) полностью определяются
• •1ько полезным сигналом. Этот результат является следствием:
рипятого ранее предположения, что шум n(t) является нормаль-
ним белым шумом.
Рассмотрим 5олее общий случай нормального стационарного
"•чма n(f). Назовем оптимальным фильтром линейный фильтр,
нищий на выходе максимальное отношение сигнал/помеха, когда
меха n(f) является произвольной. В том частном случае, когда
429
помехой n(t) является нормальный стационарный, но не белый
шум, передаточная функция оптимального фильтра определяется
формулой
(10.7.1)
о
К (/®)
где S*(/co) — функция, комплексно-сопряженная спектру сиг-
нала S (/©); й
N(a) — спектральная плотность шума n(t).
В справедливости этой формулы можно убедиться путем еле-'
дующих формальных рассуждений [11 ]. Пусть принятое колебание
представляет сумму полезного сигнала s(t) и нормального стацио-
нарного шума n(t) со спектральной плотностью
Рис. 10.13. Оптимальный линейный фильтр для приема
на фоне нормального коррелированного шума.
Представим оптимальный линейный фильтр в виде двух после-
довательно соединенных линейных четырехполюсников, как по-
казано на рис. 10.13. Предположим, что первый четырехполюсник
имеет передаточную функцию Ki(j(a) — V No/N(a>), где No — по»
стоянный коэффициент?
Спектральная плотность нормального шума n^f) на выходе
первого четырехполюсника будет равна 7V(co)7V0 /N(a>) = No, т. е,
шум на выходе становится белым.
Сигнал на выходе первого четырехполюсника искажается и бу-
дет иметь спектр ।
Si (/со) = S (/со) |/ •
Согласованный фильтр (второй четырехполюсник) для приема такоп
сигнала на фоне нормального белого шума n^t) согласно формул
(10.6.2) должен иметь передаточную функцию
х'о
о
К2 (/’®) =
Следовательно, передаточная функция оптимального фильтра
состоящего из двух четырехполюсников, равна
К (in) = К. (/ой К, (/ш) = k е-
о,
что совпадает с приведенной формулой (10.7.1).
430
Отношение пика сигнала на
среднеквадратичному значению
выходе оптимального фильтра
выходного шума равно:
$втах
d(£).
(10.7.2)
• и формула является обобщением формулы (10.6.8) на случай
произвольного нормального стационарного шума.
Заметим, что для белого шума п(?) со спектральной плотностью
' (<•>) = Л/о/2 = const формула (10.7.1) дает передаточную функцию
• ч.тасованного фильтра (10.6.2). Когда же амплитудно-частотный
исктр сигнала совпадает по форме со спектральной интенсивностью
'ц\ма, т. е. S*(/®) = JV((o)e~^sO'9, то из формулы (10.7.1) лолу-
•I им, что амплитудно-частотная характеристика оптимального
-и.штра должна быть равномерной: |К(/®)| — k — const.
Из этихдвух частных случаев следует, что максимизация отно-
rin-пия сигнал/шум на выходе оптимального и согласованного фильт-
1>о| достигается только за счет спектральных различий сигнала и
ц|\ма. 7ак»й результат можно было ожидать заранее. Все стати-
. гпческне характеристики шума (который предполагается нормаль-
ным, стационарным с нулевым средним значением) определяются
Функцией юрреляции или спектральной плотностью. Поэтому при
и । постном спектре сигнала вся информация, которую можжо ис-
но.1ьзовать для выделения сигнала на фоне шума, сосредоточена
в спектрах сигнала и шума. Для ненормального входного шума
нельзя утверждать, что операция образования функции взаимной
корреляции (10.4.5) является оптимальной. Здесь можно итполь-
|оиать раз.1ичия в других характеристиках сигнала и шума. Как
нр шило, в этом случае должны применяться более сложные нели-
нейные устройства.
В ряде случаев оптимальные и согласованные фильтры оказы-
п.потея практически трудно реализуемыми. Убедимся на конкрет-
ных примерах, что вместо оптимальных (согласованных) фильтров
нжно пркменять другие надлежащим образом подобранные
•и п>тры, на выходе которых получается незначительное уменыпе-
и нс отношения сигнал/шум по сравнению с оптимальными (согла-
"иаиньми) фильтрами. Назовем такие фильтры квазиоптжмаль-
|||.ми [12].
Обозначим через р отношение максимального значения сиг-
।п/шум по напряжению на выходе произвольного линейного
чпьтра к отношению сигнал/шум на выходе согласованного фильт-
i>.i. Воспользовавшись формулами (10.6.8) и (10.6.12) и учитывая
"огношенне (10,6.16), получим
431
(10.7.3)
Здесь под tQ понимается момент времени, когда сигнал на выходе
фильтра с передаточной функцией К(/о>) достигает наибольшего зна-
чения.
Пользуясь формулой (10.7.3), можно вычислить, насколько
ухудшается отношение сигнал/шум, если для прямоугольного ра-
диоимпульса
5(0
ylg/iu» t
при
при
вместо согласованного фильтра используются более простые и прак-
тически легко реализуемые фильтры. Рассмотрим три таких
фильтра: идеальный прямоугольный фильтр, колебательный контур
и гауссов фильтр.
1) Идеальный прямоугольный фильтр. Передаточная функция
такого фильтра имеет вид прямоугольника:
Ко при
К =
О при других (I).
В данном случае
(10.7.6)
где
Z
Si (z) = J -i- dx — интегральный синус,
о
Результаты вычислений по формуле (10.7.6) представлены на
рис. 10.14 (кривая /). Величина р имеет максимум
?тах = 0,91, PLx = 0,82 при = Ж (10.7.7)
ти
Следовательно, если идеальный фильтр имеет полосу пропускания
Д/ = 1^, (10.7.8)
432
го ухудшеие отношения сигнал/шум по сравнению с согласован-
ным фильтюм по напряжению равно примерно 10%, а по мощности—
нршерно 17%. В окрестности максимума кривая изменяется очень
медленно. Гак, например, при изменении А/тн/2 от 0,4 до 1,0 ве-
.ипина р вменяется от 0,82 до 0,84.
Условится в дальнейшем называть реальный фильтр с полосой
пропусками! А/ (на уровне 0,5 по мощности), при которой величи-
на р имеетааксимум, фильтром, согласованным с сигналом по по-
лосе. Приенительно к рассмотренному примеру можно сказать,
что идеальный фильтр с полосой пропускания (10.7.8) согласован
с трямоупльным радиоимпульсом по полосе.
Рис. 10.14. Уменьшение отношения сигнал/шум на
выходе квазиоптимальных фильтров.
Такая терминология оправдана тем, что, если согласованный
<|>1'Эльтр «сгласуется» со всем спектром сигнала, то в фильтре, со-
гласованном по полосе, подбирается только оптимальная ширина
полосы пр>пускания, при которой получается максимальное отно-
шение синал/шум. Рассмотрением таких фильтров занимались
Д.О. Нор, В. И. Сифоров и др. [10, 13, 14, 15].
2) Одиючный резонансный колебательный контур
К (/сю) = Ко
2а (о
(10.7.9)
Вкчислен1Я по формуле (10.7.3) дают следующий результат:
лА/.
(10.7.10)
Результате расчетов по этой (формуле приведены на рис. 10.14
(кривая 2} При Д/ти = 0,4 величина р имеет максимум ртах = 0,9,
причем максимум является пологим.
3) Фил»тр с гауссовой резонансной кривой
К (/со) = Дг9 ехр
/
— /со/о
(10.7.11)
1 г’ 245
433
В данном случае на основании формулы (10.7.3) получим
(10.7.12)
Результаты вычислений по формуле (10.7.12) показаны на рис. 10.14
(кривая 5). При Д^ти = 0,72 величина р имеет максимальное зна-
чение ртах = 0,94.
Фильтр с гауссовой передаточной функцией (10.7.11) является
согласованным для радиоимпульса гауссовой формы
Величина р равна
s (t) = Л exp
2тсД/ти
(10.7.13)
5/3,92]/
3,92
(10.7.14)
Характер изменения р в зависимости от Д^т,, показан на рис. 10.14
(кривая 4). Максимальное значение ртах = 1 при Д/ти = 0,63.
Из рассмотренных частных примеров, относящихся к прямо-
угольному радиоимпульсу, вытекает следующий общий вывод.
Вместо согласованных фильтров можно применять квазиопти-
мальные фильтры. При этом получается несущественное уменьше-
ние отношения сигнал/шум, если фильтры будут согласованы с сиг-
налом по полосе, хотя само такое согласование оказывается не
очень критичным.
В табл. 10.7.1 для нескольких пар радиоимпульс—фильтр ука-
заны значения ртахи приведены оптимальные значения Д/ти, при
которых достигается рота*.
Таблица 10.7.1
Основные характеристики квазиоптимальных фильтров
Радиоимпульс
Фильтр
?tnax
Прямоугольный
Прямоугольный
Гауссов
Гауссов
Прямоугольный
Прямоугольный
Прямоугольный
Идеально прямоугольный ........
Гауссов .......................
Идеально прямоугольный ........
Гауссов............ ............
Одиночный резонансный контур . .
Двухкаскадный резонансный усили-
тель . , .............. . . . .
Пятикаскадный резонансный усили-
тель ..........................
1,37
0,72
0,72
0,63
0,40
0,61
0,67
0,91
0,94
0,94
ПО
0,90
0,93
0,94
В радиоприемных устройствах супергетеродинного типа переда-
точная функция,усилителя промежуточной частоты в принципе долж-
на совпадать с передаточной функцией соответствующего опуималь-
434
ii< го или къазиоптимального фильтра. Однако на практике полосу
н|опускания усилителя промежуточной частоты выбирают в 1,5—
’ раза больше оптимальной. Главная причина этого — нестабиль-
на ггь частоты гетеродина.
Принципиальную целесообразность расширения полосы про-
никания фильтра (практически УПЧ) при наличии расстройки
/о—?р между частотой радиоимпульса /о и центральной час-
|(>гой фильтра /р можно уяснить на следующем частном примере.
О 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Afr„
he. 10Л5. Уменьшение отношения сигнал/шум в зави-
симости от постоянной расстройки.
Пусть прямоугольный радиоимпульс (10.7.4) воздействует на со-
। л юованньй фильтр, расстроенный относительно частоты радио-
импульса па величину Ар В данном случае отношение (10.7.3) равно
sin тсД/ ти
(10.7.15)
11. рис. 1015 приведена зависимость величины р от AzrH (кривая 7).
Можно показать, что при воздействии прямоугольного радио-
импульса на расстроенный колебательный контур справедлива
формула
а = лА/. (10.7.16)
Н стсутствве расстройки (А^ = 0) эта формула переходит в (10.7.10).
I Г
OS
Результаты расчетов по формуле (10.7.16) для двух полос про-
пускания контура: Af = А/опт = 0,4/ти (кривая 2) и А/ = 2А/0ПТ
(кривая 5), представлены на рис. 10.15.
Из графиков видно, что при значениях ДуТи^0,6 отношение
сигнал/шум на выходе фильтра с полосой пропускания А/ — 2А/Опг
больше, чем в двух других случаях, имеющих оптимальные полосы
пропускания.
О 2 4 6 3 Ю
Рис. 10.16. Уменьшение отношения
сигнал/шум при случайных нор-
мальных вариациях расстройки А/.
«
Если расстройка Ау медленно и случайным образом изменяется
во времени по нормальному закону
(10.7.17)
то естественно интересоваться средним значением или (р2),
которые находятся на основании (10.7.15)—(10.7.17) по формулам
<Р>
ОО
<р2> — J р2 ©(Ay) dAy. (10.7.18)
— 00
Результаты численных расчетов величины ф2) для колебатель-
рого контура при hcqko/WHX значениях приведена НИ
4ЭФ
pre. 10.16и 10.17*. Из графиков рис. 10.17 видно, что приэадан-
ц ii величие <ьти существует свое оптимальное значение Д/т ц, при
Рис. 10.17. Влияние полосы пропускания на отношение
сигнал/шум при случайной расстройке.
которой ф2) имеет максимум. С увеличением ОуТ„ оптимальное
и ачение 2/ти медленно возрастает, а максимальное значение < р2 >
|изко уменьшается.
§ 8. АПОСТЕРИОРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПАРАМЕТРОВ
РАДИОИМПУЛЬСА
Вычислим апостериорные вероятности некоторых параметров
р.диоимпульсов, указанных в § 2. Для этого применим формулу
111.3.26), жапример, к сигналу вида (10.2.10). Если вид функций
/I i) и <р(/) известен,'то сигнал (10.2.10) зависит от четырех парамет-
ры! а, г, о, 9. Будем считать эти параметры постоянными (неиз-
мшяющимися за время наблюдения Т) и независимыми, имеощими
и честные априорные плотности вероятности. Тогда
Wpr(a, т, м, 9) = Wpr(a)Wpr(t) (®) (0). (10.8.1)
* Графики рис. 10.15—10.17 рассчитаны В. Т. Горяйновым.
437
На основании формулы (10.3.26) для апостериорной вероят-
ности можем написать
Wps (а, т, со, 6) = kWpr (a) Wpr (т) Wpr (со) Wpr (0) х
( ta+T
X exp — “ [| (0 — af (/ — т) cos(arf+<p (/ — т)—0) |2dZ >. (10.8.2)
Л/ о J
Среди параметров а, т, со, 0 некоторые могут быть заранее из-
вестными, а остальные неизвестными (информационными). Рассмот-
рим здесь три случая:
I) все параметры, кроме одного, заранее точно известны;
2) фаза 0 является случайной величиной, равномерно распре-
деленной на интервале (—л, л), а все остальные параметры, кроме
одного, точно известны;
3) величины а и Q являются случайными и независимыми, при-
чем величина а распределена по закону Релея, а 0 — равномерно
на интервале (—л, л).
В дальнейшем будем предполагать выполняющимися два усло-
вия:
Т>ти, соТ> 1. (10.8.3)
Если интервал наблюдения много больше длительности импуль-
са ти, то можно считать, что практически все принимаемые сигналы,
независимо от конкретных значений отдельных параметров, пол-
ностью расположены в пределах интервала наблюдения. При этом
интеграл I ^(f)dt не зависит от интересующих нас параметров
/ I С \
и в формуле (10.8.2) множитель ехр(—~ I %2(t)dt\ всегда можно
\ J /
включить в постоянную k. При выполнении обоих условий (10.8шЗ)
и медленно изменяющихся функциях f(t) и <p(Z) справедливо прибли-
женное равенство
§ s2(t)dt ~ J a2f2(t — t)cos2 (<о/-р<р (t — т) — 0)d/ =
/о /о
/о+Г
= 4 I f4t — T)dt = ^, (10.8.4)
£ I м
^0
где
сс~ J /2(/ — т)Л. (10.8.5)
to
438
I. Пусть неизвестным является лишь амплитудный множитель а,
। IVа'остальные параметры точно известны: т — т0, со = а>0, 0 = 0О.
И Jan ном случае нужно положить
и м(т) ^5(т-т0), ^pr(G))^6(G)-(o0), U7/?r(0)=6(e —е0). (10.8.6)
Вели подставить выражения (10.8.6) в (10.8.2) и проингегри-
i <!t;iTb правую часть по известным параметрам, для чего следует
н<ипользоваться соотношением (П.4), то получим окончательную
<|чнмулу для апостериорной вероятности параметра а:
(а) = kWpr (а) ехр •
af (t — Ъ) х
аа2
2А/0
2а
го
Аналогичным путем находятся апостериорные вероятности для
in Гюго другого параметра при известных остальных. Например,
Wpi ^)=kWpr (т)ехр-
ч
f IS ю
X cos((o0/ + ф(^
W?;r(T) х
5 £ (0 / T) cos (ю0t +'
° Z
Wps (w) = kWpr ((D)
О
' 0
kWp. (to) exp
A 0 V
to
2. Предположим, что фаза 0 является случайной и нас интере-
\’i‘T апостериорная вероятность какого-либо другого неизвестного
параметра (например, т). В данном случае имеется два неизвестных
параметра т и 0, причем интерес представляет лишь информация,
439
содержащаяся в т, безотносительно к истинному значению 0. Чтобы
подчеркнуть это различие, параметр т можно назвать существен-
ным (информационным), а параметр 0 — несущественным. При на-
хождении апостериорной вероятности существенных параметров
несущественные параметры исключаются путем статистического
усреднения апостериорной вероятности по несущественным пара-
метрам.
Подставим в формулу (10.8.2) априорную плотность вероят-
ности для фазы
Wpr(d) = ^, (10.8.10)
и проинтегрируем правую часть по всем возможным значениям
фазы:
Wps (а, т, <в) = k\Ypr (a) Wpr (т) Wpr (св) X
2п J
--7L
Л'о J
io
— О)]2С#сйГО.
В силу условий (10.8,3) это выражение приводится к виду:
Wps (а, т, св) =const Wpr (a) Wpf (т) Wpr (cd) exp ( —
2а
-7L
Обозначим
£ (Of — T) cos (°^ + Ф — T) — 6) dt \ dfi.
0 J
io '
to+T
X (t, co) = J g (t) f (t — t) cos (св/ + Ф (t—t)) dt,
io
i0+T
Y (t, co) = t) sin (св/ф-ф(/— r))dt,
io
Z(r, св) =]/Х2 + У2>0.
(10.8.14)
(10.8.12)
Нетрудно показать, что
7Г f
i С J2a
2? J eXPfe
— К \ Tq
J i (0 f (^ ~'T) cos (“^ + Ф (^ — T) — ®) dt dd =
2a
No
2a
° No
(10.8.13)
— Ti:
где Io (z) — функция Бесселя от мнимого аргумента.
440
I li этому можем окончательно написать
II Л1 (а, т, cd) = const Wpr (a) Wpr (т) Wpr (со) exp
аа
(10.8.14)
Из этой общей формулы можно получить разные частные ре-
\ .1ьтаты. Например, если параметр а точно известен, т. е. а—а0,
и /г (а) = 6(а — а0), то
Wp, (т, со) = const №рг(т) Wpr (со) 10
2£°z
(10.8.15)
I <1И также известно запаздывание сигнала т = то, то из (10.8.15)
получим апостериорную вероятность для частоты
Wpr^)^ const Wpr (со) /0
~Z(t0,co)
(10.8.16)
3. Пусть в апостериорной вероятности (10.8.2) величина 9 рас-
пределена равномерно (10.8.10), а величина а имеет релеевскую
плотность вероятности со средним квадратом (аI 2) = 2а2:
(10.8.17)
Подставив (10.8.17) в (10.8.14) и интегрируя по всем значениям
ч. можем написать
ОО
U7 (т, co)=const Wpr(r) Wpr(e>) f Fpr(a)exp X
0 \ °'
Z(t, cd) da.
I ’и г пользовавшись известным интегралом
оо
Jxe-P*2/O(px)dx= J-expffi, p>0, (10.8.18)
О ' '
1|<>.'|учим
Wps (b ®) = const Wpr (t) Wpr (co) exp
2a2 Z2 (?,<») '
(10.8.19)
7V0 (*a3 + A^o)
> /1'
/q-TT
Z2(t, И) = Х2 + У2= j j* g(f)g(f)f(^-T) X
^0 to
X f (f— T)cos [со/ -I- ф (t — т) — co/' — ф (Г — T)] dtdt'. (10.8.20)
1 ,t; Зак. 245 441
При известном параметре т—10 из (10.8.19) нйхоДим апосте-
риорную вероятность для частоты
Г 2a2z2(t0.
(10.8.21)
(®) = const Wpr (со) exp (азг+ j •
Когда отношение сигнал/шум велико (ао2 No), формула (10.8.21) '
несколько упрощается:
W (со) = const Wpr (со) exp
! (т0' °*) ~1
aW0 J •
а
Предположим, что сигналом s (t) является отрезок
ионического шума вида (7.1.4):
s (t) — A (t) cos [at— <р (/)],
с функцией корреляции
ks (т) - <s (/) s (t + т)> = су2 е-т 1’ 1 cos сот.
Можно показать [16], что в данном случае при Т
стериорная вероятность для частоты определяется формулой
(10.8.22) j
квазигар-
(10.8.23)
(10.8.24)
Wps (и) = const Wpr (co) exp
(10.8.25) ;
2
0
где
r 1 cosco (t
0 0
(Ю.8.26) ;
< ч , 2а2
Т'-Ч’ + ж)
Полученные выше формулы будут использованы в
определения предельной точности измерения параметров радио- <
импульса, принимаемого на фоне белого шума.
гл. 12 Для i
ЛИТЕРАТУРА
1. Вопросы дальней связи на ультракоротких волнах. Сборник пере-
водов под ред. В. И. Сифорова. Изд-во «Советское радио», 1957.
2. С и ф о р о в В. И. Радиоприемные устройства. Воениздат, 1951.
3. А м и а н т о в И. Н. Применение теории решений к задачам обнару-
жения сигналов и выделения сигналов из шумов. ВВИА им. проф. Н. Е. Жу-
ковского, 1958.
4. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации
с применениями в радиолокации. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио»,
1955.
5. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов
на фоне случайных помех. Изд-во «Советское радио», 1960.
442
fi. Marcum j. I. A statistical theory of target detection by pulsed
*-Iir. Trans. IRE, 1960, IT-6, № 2.
7. Петр о в и ч Н. Т. Передача дискретной информации в каналах
1>1з:)вой манипуляцией. Изд-во «Советское радио», 1965.
8. Т и х о н о в В. И. Основные статистические характеристики кана-
» ।-ннхрэнизании. «Электросвязь», 1966, № 4.
9. Турин Г. Л. Согласованные фильтры. Пер. с англ. «Зарубежная
। 'тиоэлектроника», 1961, № 3.
10. Л е з и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных
налов. Изд-во «Советское радио», 1963.
11. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне
I• ! уктуационных помех. Изд-во «Советское радио», 1961.
12. Тихонов В. И., Левиков А. А. О квазиоптимальных ли-
п нях фильтрах для импульсных сигналов. «Радиотехника», 1965, № 1.
13. Норс Д. О. Анализ факторов, определяющих обнаружение сиг-
’•>’п на фоне шумов в системах с импульсной модуляцией несущей. Пер.
> гл. «Труды института инженеров по электронике и радиотехнике», 1963,
: - 7.
14. С и ф о р о в В. И. О влиянии помех на прием импульсных радио-
"1 иплов. «Радиотехника», 1946, Ks 1.
15. Белоусов А. П. О наивысшей реальной чувствительности
‘ Паника, «Радиотехника», 1946, № 5.
15. Стратоиович Р. Л. Оптимальный прием узкополосного сиг-
н । п с неизвестной частотой на фоне шумов. «Радиотехника и электроника»,
’'н» . № 7.
15В*
Глава 11
ОПТИМАЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ И РАЗЛИЧЕНИЯ ДВУХ СИГНАЛОВ
§ 1. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ
Пусть принятое колебание £(£) представляет сумму
£ (/) = Xs (/) + п (/), (11.1.1)
где п(1) — белый нормальный шум, s(/) — полезный сигнал из-
вестной формы (детерминированный сигнал), полностью располо-
женный на интервале наблюдения (О, Т). Параметр К является не-
известным и может принимать только одно из двух значений: X = 1
(в принятом колебании присутствует сигнал) и X = 0 (в принятом
колебании сигнал отсутствует).
Что касается априорных сведений о параметре X, то возможны
два случая: 1) априорные вероятности Wpr (1) и 1^рг(0) наличия и от-
сутствия сигнала известны; 2) эти априорные вероятности неиз-
вестны. Первый случай характерен для радиосвязи, второй — для
радиолокации, (см. стр. 399).
По принятой конкретной реализации £(£) необходимо решать
оптимальным (в некотором смысле наилучшим) образом, какое
именно значение имеет параметр X, т. е. присутствует или отсут-
ствует сигнал. Иначе говоря, нужно найти такой метод обработки
принятого колебания £(/), который бы позволял наилучшим обра-
зом обнаруживать наличие сигнала на фоне шума.
Практическая необходимость строгого решения подобных задач
возникла в последнее десятилетие в связи с широким применением
в радиотехнических системах электронных вычислительных машин,
обладающих большим быстродействием и высокой надежностью.
Раньше решение предоставлялось оператору. Например, наблюдая
визуально картину на экране индикатора радиолокационной стан-
ции, оператор на основе своего опыта и интуиции принимал реше-
ние о наличии или отсутствии цели. Замена оператора автомати-
ческими вычислительными устройствами позволяет исключить эле-
444
н иг субъективности и составить оптимальный алгоритм (правило),
кдуя которому вычислительное устройство принимает в опре-
к нном смысле наилучшее решение о наличии или отсутствии
11 < . 1И.
Ниже будут кратко рассмотрены три метода (критерия) обна-
। \ женил сигнала на фоне шума: критерий идеального наблюдателя
и ритерий Котельникова — Зигерта), критерий Неймана — Пир-
. ч i;i и критерий последовательного анализа. Каждый из этих кри-
п-рпев имеет дело с оптимальностью в своем смысле (см. ниже).
I ||'.1есообра5ность применения того или иного критерия опреде-
лится характером задачи, а также зависит от того, известны или
н.звестныаприорныевероятности Wpr (1) и Wpr (0) = 1 — Wpr (1).
I. Идеальный наблюдатель [1,2]. Критерий идеального наблю-
। юля применяется в системах радиосвязи, когда априорные ве-
1"1мтности Wpr (1) и WPr (0) известны.
Гак как апостериорные вероятности содержат всю доступную
информацию о принятом колебании, то можно прийти к заключе-
нию, что решение о наличии или отсутствии сигнала в принятой
I" .1.1изации должно приниматься на основе апостериорных вероят-
। к к гей.
При непрерывной обработке принятой реализации апостериор-
вероятность наличия детерминированного сигнала (% = 1)
|.ится формулой (10.3.25);
f т \
^(l) = ^r(l)exp J. (11Л 2)
\ о J
\изстериорная вероятность отсутствия сигнала (%=0), очевидно,
।1.। ла
т
Wps (0) = kWpf (0) exp - A J £2 (Z) J, (11. 1.3)
0
up !чем
Ггг(0) + ^г(1) = 1. (11.1.4)
Хотя апостериорные вероятности содержат максимум сведений
и госителыто наличия или отсутствия сигнала, однако практически
г приемника-обнаружителя требуется просто один из двух ответов:
и> сигнал или нет. Естественно считать, что решение о наличии
н i t отсутствии сигнала должно приниматься путем сравнения апо-
криорных вероятностей по определенному правилу.
Для выяснения этого правила обратимся к рис. 11.1. На рисунке
и Р (ведены четыре реализации случайного колебания: первые две
н Сражают шум на выходе согласованного фильтра qn> а две др у-
। — сумму сигнала и шума q = ^(1). Пусть установлен неко-
|<>|1ый порог Н. Для конкретных реализаций, приведенных на ри-
I
445
сунке, замечаем, что шум в первой реализации не превышает по-
рога. Во второй реализации хотя сигнала и нет, однако выброс
шума превышает порог. В третьей реализации сумма сигнала и шума
превышает^ порог, а четвертая реализация, несмотря на наличие
сигнала, не достигает порога Л Из рассмотренных четырех случаев
* в двух случаях (первом и третьем)
будет принято правильное реше-
ние, а в двух (втором и четвер-
том) — неправильное. Если взять
qn I.
6) н <-
Рис. 11.1. Четыре возможных слу-
чая при обнаружении сигнала на
фоне шума.
другой порог /7, то описанная си-
туация- может измениться.
Из такого качественного рас-
смотрения приходим к выводу, что
при конечном значении энергии
сигнала и наличии случайного
шума принятие решения о нали-
чии или отсутствии сигнала всегда
сопровождается ошибками двух
видов:
1) несмотря на отсутствие сиг-
нала, шум превосходит порог и
принимается неправильное реше-
ние о наличии сигнала (ошибка
первого рода),
2) хотя сигнал присутствует,
но пороговый уровень не превы-
шен и принимается ошибочное
решение об отсутствии сигнала
(ошибка второго рода).
Обозначим вероятность ошибки первого рода через Ро = Р(110)
и вероятность ошибки второго рода через Pi = Р(0|1). Для этих
вероятностей можем написать формулы:
оо
= f wPMtydqn,
н
Wpsmdq.
(11.1.5)
Средняя вероятность общей (суммарной) ошибки равна
оо Н
Ре = Р0 + Р.= f Wps(qn\0)dqn + f^^l)^, (11.1.6)
н b
а вероятность правильного обнаружения сигнала равна:
D = l — PL. (11.1.7)
Согласно критерию идеального наблюдателя пороговый уро-
вень Н устанавливается таким, чтобы вероятность общей ошибки Ре
была минимальной и, соответственно, вероятность правильного
446
решения максимальной. Таким образом, оптимальный характер
и деального наблюдателя состоит в том, что он минимизирует вероят-
ность суммарной ошибки или, иначе, максимизирует общую ^ве-
роятность правильного решения.
Чтобы правая часть равенства (11.1.6) имела минимум, нужно
приравнять производную по Н нулю. В результате получим, что
<чли для принятой реализации окажется
^(/7|1)/^рД//|0)>1, (11.1.8)
то следует констатировать факт наличия сигнала, и наоборот.
_ $ (t)+n(t)
n(t)
sit)
пороговое
устройство
Рис. If.2. Оптимальная схема для обнаружения детерминированного
сигнала на фоне шума.
Подставив в (11.1.8) выражения апостериорных вероятностей
m (11.1.2) и (11.1.3), получим, что решение о наличии сигнала
принимается при выполнении неравенства
Wpr (0) / Е \
^рг(1) ^^0 /
Учитывая монотонный характер логарифмической функции и лога-
рифмируя обе части этого неравенства, содержащего положитель-
ные величины, получим
Т
9 С - F. ^пг(О) . .
? = Д'? J > ^-4- In (11.1.9)
о
Из этой формулы видно, что для вынесения решения о наличии
или отсутствии детерминированного сигнала, принимаемого на
||юне белого шума, нужно принятую реализацию £(() перемножить
< сигналом s((), проинтегрировать произведение в течение интер-
нала времени Т, где известна реализация, и результат интегриро-
нания сравнить с порогом h, определяемым правой частью формулы
(11.1:9). Если этот пороговый уровень превышен, то принимается
решение о наличии сигнала. Если же порог не превышен, то кон-
статируется отсутствие сигнала. Функциональная схема приемного
устройства, осуществляющего указанные операции, приведена
на рис. 11.2.
447
Область применимости критерия идеального наблюдателя огра- j
ничивается следующими физическими и формальными соображе- I
ниями.
В этом критерии не делается существенных различий между
вероятностями ошибок Ро и Plt Такое положение является оправ- 1
данным для радиосвязи, где пропуск какого-либо символа из-за 1
помех или ошибочная регистрация помехи в качестве переданного 1
символа примерно равнозначны. Наоборот, в радиолокации ве- 1
роятности ошибок PQ и Рх существенно не равнозначны и ведут |
к разным последствиям. Так, например, при ложном обнаружении |
цели, характеризуемом вероятностью Р^ должен проводиться це- 1
лый ряд мероприятий системы обороны, в то время как пропуск цели 1
(вероятность PJ не является сигналом к какому-либо действию.
Кроме этого, в § 2 гл. 10 указывалось, что иногда невозможно I
достаточно обоснованно задать априорные вероятности, и задача I
обнаружения должна решаться без использования их. |
2. Наблюдатель Неймана — Пирсона [3,4]. Этот критерий |
применяется в радиолокации, когда априорные вероятности U7pr(l) I
и IFpr(0) неизвестны. 1
Если априорные вероятности неизвестны, то задача обнаружения |
сигнала решается на основе отношения правдоподобия. Для рас- j
сматриваемого случая детерминированного сигнала отношение ’
правдоподобия (10.3.28) можно записать так:
ехр | jv? j
о
ехр < J
I о ;
Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем j
сравнения отношения правдоподобия с некоторым порогом Ло.
Если отношение правдоподобия превышает порог hQ, т. е. * I
г к1/ 'Чь V1 1 -1 1
то принимается решение о наличии сигнала в обратном случае при- 1
нимается решение об отсутствии сигнала. I
Вероятность Ро того, что хотя сигнала 'нет, но выполняется |
неравенство (11.1.11), и принимается решение о наличии сигнала, ]
в радиолокации называется вероятностью ложной тревоги и обозна- |
чается через F. Такое название вполне оправдано, так как величина j
F характеризует вероятность такого события, когда сигнала (цели)
нет, однако принимается ложное решение (делается ложная тре- ]
вога) о наличии сигнала (цели).
Вероятность правильного обнаружения по-прежнему опреде- !
ляется формулой (11.1.7), причем теперь величину Pi можно наз- i
вать вероятностью пропуска цеди.
449
( югласно критерию Неймана — Пирсона пороговый уровень Ло
< юрмуле (11.1.11) определяется из условия, чтобы при заданной
роятносги ложной тревоги F вероятность правильного обнару-
। । пня D была максимальной. Следовательно, оптимальный харак-
- г критерия Неймана — Пирсона состоит в том, что он максими-
н руст вероятность правильного обнаружения при фиксированной
|н)ятности ложной тревоги.
()тметим, что если в формулу (11.1.11) подставить выражение
• I 11.10) при к = 1 и положить порог Ло — Wpr(0)/Wpr(1), то при-
. ?i к соотношению вида (11.1.9). Поэтому можно сказать, что как
Р ।терий Неймана — Пирсона, так и критерий идеального наблю-
। к-ля базируется на отношении правдоподобия и отличается толь-
। правилом выбора порога Л.
3. Последовательный наблюдатель [5, 6]. В двух рассмотренных
пне критериях предполагалось, что решение принимается за
фиксированный интервал времени Т. Однако может оказаться, что
I’ HieiiHe можно принять за интервал времени, меньший 71. Этот
Iн-хт учитывает последовательный наблюдатель.
При последовательном наблюдении производится непрерывный
in i. iиз отношения правдоподобия и сравнение его с двумя порогами
, (1 —О)/(1 — F) и h2 = D/F. Если отношение правдоподобия
" ныне то принимается решение о наличии только шума. Если
। । отношение правдоподобия больше й2, то принимается решение
наличии сигнала. В том случае, когда отношение правдоподобия
। гходится между нижним уровнем h± и верхним h2, имеющихся
। распоряжении данных недостаточно для принятия решения и
.... продолжается.* Такая процедура повторяется до тех
in >р, пока не будет принято определенное решение. Последователь-
|||.Г! анализ был разработан А. Вальдом [5].
Преимущество последовательного наблюдателя состоит в том,
‘и । можно независимо задавать вероятности F и D, и он дает опре-
н- 1с([ную экономию в энергии сигнала или во времени за счетсравни-
I. .илю быстрого принятия решения об отсутствии цели. Поэтому
> ледовательный наблюдатель или его модификации применяются
и радиолокации, особенно когда предполагается наличие малого
I гл а целен и радиолокатор имеет небольшое число каналов по даль-
н- гти. Последовательные испытания часто применяются так же при
- следовании надежности и при отбраковке деталей.
Однако применение последовательного анализа предполагает
сложную работу аппаратуры (например, переменную ско-
г>гть обзора пространства в радиолокации) и его труднее осуще-
।нить практически.
:|: При-использовании последовательных испытаний можно продуктивно
.и)льзовать тот факт, что для детерминированных сигналов ?(т), рассмат-
1..'Н‘мая как функция интервала наблюдения Т, является марковским про-
- -том [16, 17
449
В следующих параграфах будут рассмотрены конкретные при-
менения наблюдателя Неймана — Пирсона и идеального наблюда-
теля. Ввиду того, что ряд расчетов требует громоздких выкладок,
для иллюстрации методики анализа подробно рассматриваются
лишь простейшие случаи, а для более сложных случаев приводятся
окончательные результаты.
Отметим также, что хотя мы рассматриваем обнаружение сиг-
нала и оценку его параметров раздельно, на практике эти две задачи
часто решаются совместно.
§ 2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА ПО КРИТЕРИЮ
НЕЙМАНА — ПИРСОНА
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне шума по кри-
терию Неймана — Пирсона раздельно для трех видов сигналов:
детерминированных, со случайной начальной фазой и со случай-
ными амплитудой и фазой (см. § 2 гл. 10).
1. Обнаружение детерминированного сигнала. Как следует из
формул (11.1.10) и (11.1.11), решение о наличии или отсутствии сиг-
нала должно приниматься на основании сравнения с порогом отно-
шения правдоподобия:
Учитывая монотонный характер показательной функции и лога-
рифмируя обе части, получим, что решение о наличии или отсут-
ствии сигнала можно принимать на основании сравнения с некото-
рым порогом h величины
т
0 о
(И.2.1)
Структурные схемы оптимального обнаружителя с использо-
ванием согласованного фильтра и корреляционного приемника при-
ведены на рис. 11.3.
Пусть присутствует детерминированный сигнал, т. е. |(/) =
= s(£) + n(t). Тогда замечаем, что случайная величина
т
° о
450
получается в результате линейного преобразования белого нормаль-
ного шума. Поэтому она будет иметь нормальную плотность вероят-
ности wt(q) со средним значением и дисперсией, равными:
/П1 = <^>
2Е
Л'о ’
Рис. 11.3. Схемы оптимальных обнаружителей детермини-
рованного сигнала с использованием корреляционного
приемника (а) и согласованного фильтра (б).
В отсутствие сигнала и случайная величина
q = Яг
^>lk
Рис. 11.4. Нормальные плотности вероятности Wi(q) и
w2(q) при наличии и отсутствии сигнала (F — вероят-
ность ложной тревоги; D — вероятность правильного
обнаружения).
имеет также нормальную плотность вероятности w2(q), причем
/ ч г. 2 у 2Ч 2Е
= <?2> = о, о2 — <<72> = ТГ-
iV о
Плотности вероятности ts>i(q) и w^q) изображены на рис. 11.4.
451
Согласно критерию Неймана — Пирсона должна задаваться
вероятность ложной тревоги F, т. е. вероятность превышения шумом
порогового уровня h:
со
= (Ц.2.2)
У V VEINа )
t t
где Ф(г) — интеграл вероятности (см. приложение IV). .
При этом вероятность правильного обнаружения будет равна:
ОО
D _ f (?)Л, 1 - Ф (1 ,.2.3)
На рис. 11.4 площади, соответствующие вероятностям F и Р, за-
штрихованы.
Формулы (11.2.2) и (11.2.3) показывают, что вероятность лож-
ной тревоги F, как и вероятность правильного обнаружения Р,
Рис. 11.5. Кривые обнаружения де-
терминированного сигнала.
однозначно определяются отно-
шением порогового уровня h к
величине сигнал/шум. Поэтому
по заданной вероятности лож-
ной тревоги F однозначно опре-
деляется уровень h, а зная его,
находим вероятность правиль-
ного обнаружения D.
Таким образом можно рас-
считать кривые обнаружения
сигнала (рис. 11.5). Кривые
обнаружения представляют за-
висимость вероятности правиль-
ного обнаружения D от отно-
шения сигнал/шум при фикси-
рованной вероятности ложной
тревоги F.
Пользуясь кривыми обнаружения, можно определить пороговый I
сигнал. Пороговым называется сигнал, который при заданной ве- |
роятности ложной тревоги F можно обнаружить с требуемой ве- ;
роятностью правильного обнаружения £>. Пороговый сигнал ха-
рактеризуется его энергией (или мощностью). <
На основании полученных результатов можно сделать следую- ]
щий фундаментальный вывод. Возможность обнаружения сигнала ]
при оптимальном приеме с заданными вероятностями D и F не за- '
висит от формы сигнала и определяется только отношением энер- ‘
гии сигнала к спектральной плотности шума, т. е. отношением сиг-
нал/шум на выходе согласованного УПЧ.
В формулах (11.2.2) и (11.2.3) вероятности F и D выражены че-
рез безразмерные величины. На практике порог устанавливают по
452
тсперсий шума на выходе приемника. Чтобы ввести дисперсию
шума (10.5.7) на выходе рассматриваемого приемника, запишем
фнрмулу (11.2.2) иначе:
(11.2.4)
. д/// = Ж /1/2.
Пользуясь таблицами интеграла вероятности, по заданной ве-
роятности ложной тревоги F находим значение аргумента Н/съ и,
। сдовательно, при известной дисперсии ol определяем порог Н.
2. Обнаружение радиосигнала со случайной начальной фазой.
I ||)вторив рассуждения, которые привели к формуле (10.8.14), мож-
но показать, что отношение правдоподобия для радиосигнала
110.2.10) имеет вид
f аа2 \ т /2aZ
еХР ~2А^
где положительная величина Z определена формулой (10.8.12) и
физически представляет огибающую принятого колебания. При
обнаружении нефедингующего сигнала, содержащего лишь неиз-
вестную начальную фазу, безразмерный коэффициент а считается
11 остоянным.
Как видно из (10.8.4)/ величина а/2 равна энергии сигнала
нэи а = 1, т. е. — а/2. Полная энергия сигнала равна
Е = а2£х.
(11.2.6)
Мри a-const отношение правдоподобия (11.2.5) можно записать
гик:
, , ч / Е \ т / 2&Z \ . т /2aZ \ о
/ (а) = exp 77// Io j — const Io J. (11.2.7)
Так как функция Бесселя /0(z) является монотонной, то реше-
ние о наличии или отсутствии сигнала можно принимать на основа-
нии сравнения с некоторым порогом любой монотонной функции
от огибающей Z. Если сравнивать с порогом h саму огибающую Z
(линейный: детектор огибающей), то получим следующее правило.
Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается в зависи-
мости от выполнения неравенств
Z^h. 111.2.8)
Структурная схема оптимального приемника приведена на
рис. 11.6. Она состоит из согласованного фильтра, линейного детек-
тора огибающей и порогового устройства.
Предположим, что в принятой реализации |(/) присутствует
сигнал (10.2.10), т. е.
£ (/) = п (/) -ф af (t — т) cos (и/ + <р (/ — т) — 6). (11.2.9)
453
Будем считать пока фазу & постоянной. Ниже мы убедимся, НТО
в окончательные формулы она не входит. Подставив выражение
(11.2.9) для Ц1) в формулы (10.8.11), получим, что при выполнении
условий (10.8.3) случайные величины X и Y являются нормально
распределенными с одинаковыми дисперсиями
а® = = а2 = | Л/в (11.2.10)
№
а условные средние значения их соответственно равны
тх = <Х|6> = аЕг cos 6, ту = <V|6> = аЕг sin 6.
Рис. 11.6. Оптимальная схема для обнаружения радиосигнала
со случайной начальной фазой.
Заметим, что величины X и Y можно считать практически неза-
висимыми, так как функция корреляции между ними приближенно
равна нулю:
k^X, Y) = — т)ып2[Ы — <f(t — т)]^«0.
Поэтому плотность вероятности ^(21^) случайной величины
2 = УХ2+ Y2 при а = const согласно формуле (5.2.21) опреде-
ляется законом Райса:
Z2 + a2£i\ Т /2aZ\
V. г, )
(11.2.11)
Рассмотрим теперь случай, когда сигнал отсутствует, т. е.
£(?) = п(^). Подставив в формулы (10.8.11) n(t) вместо £(0, полу-
чим, что независимые нормальные случайные величины X и Y имеют
нулевое среднее значение и одинаковую дисперсию (11.2.10). На
основании формулы (5.2.26) плотность вероятности 1Г2(2). случай-
ной величины 2 в данном случае будет релеевской:
(-ад)’ (И.2.12)
Заметим, что для сигнала со случайной начальной фазой без-
размерный коэффициент а = const можно считать включенным
в функцию f(t). Это соответствует тому, что в формулах (11.2.11)
454
ii (11.2.12) нужно положить а = 1, Е = Ё^ Тогда моэкем окойЧй-
к'льно напасать
Wi(Z) = л/у£ ехР ~
^2(Z)
N0E
?2 + Е \ г /2Z\
Л/0Е J
Z2 \
n~qe Г
В соответствии с критерием Неймана — Пирсона
вероятности ложной тревоги
по заданной
h
оо оо j 12
/' = ?W2(Z)dZ= J ve~г v2dv = e"h°
h
определяется пороговый уровень ho, а затем вычисляется вероят-
ность правильного обнаружения
2Е \
т
/ 1 о
dv.
h
вероятность D является частным значением табулированной функ-
ции [7,8]
ОО
Q (у, и) = Г гехр
и
(11.2.17)
Результаты расчетов по формулам (11.2.15) и (11.2.16) представ-
лены на рис. 11.7.
3. Обнаружение федингующего радиосигнала. Пусть в радио-
сигнале (10.2.10) является случайной не только фаза 0,но и ампли-
гудный множитель а, причем плотность вероятности для безразмер-
ной случайной величины а является релеевской:
(11.2.18)
Отношение правдоподобия для рассматриваемого сигнала можно
получить путем усреднения выражения (11.2.5) по а. Воспользо-
вавшись интегралом (10.8.18), получим
<1 (а)> = Г I (a) Wpr (a) da
о
(11.2.19)
455
Как следует из (11.2.6) и (10.8.17), величина аод равна сред-
ней энергии сигнала:
оо
£ = <£> = <аз> £1 = Е1 J azWpr(a)da^2oaE1. (11.2.20)
о
Поскольку показательная функция является монотонной, то
Рис. 11.7. Кривые обнаружения
линии), сигнала со случайной
случайными амплитудой
для детерминированного сигнала (сплошные
начальной фазой (пунктир) и сигнала со
и начальной фазой (штрих-пунктир).
Усреднив выражение (11.2.11) по флуктуирующему амплитуд-
ному множителю а с плотностью вероятности (11.2.18), получим
релеевскую плотность вероятности огибающей Z при наличии сиг-
нала:
117,(2)
22 /Z2
(11.2.21)
Плотность вероятности огибающей Z при наличии одного шума по-
прежнему дается формулой (11.2.12).
Кривые обнаружения по критерию Неймана — Пирсона строят-
ся так. По заданной вероятности ложной тревоги
h
(11.2.22)
456
иределяется пороговый уровень h0 и затем вычисляется вероят-
||‘ * гь правильного обнаружения
Если нужно сравнивать характеристики обнаружения федин-
। \ |)щих и нефедингующих радиосигналов, то естественно произ-
поднть такое сравнение для случая, когда средняя энергия федин-
। тощего сигнала равна энергии нефедингующего сигнала. Для
и <>го, как видно из формулы (11.2.20), нужно положить
Од = 1/2. (11.2.24)
|'п да формулу (11.2.23) можно записать в таком виде:
На рис. 11.7 приведены рассчитанные по формулам (11.2.3),
11 1.2.16) и (11.2.25) кривые обнаружения для трех видов сигналов:
|) детерминированного (сплошные линии); 2) сигнала со случайной
н а чальной фазой (пунктир) и 3) сигнала со случайными амплитудой
и начальной фазой (штрих-пунктир) [9].
Видно, что при увеличении отношения сигнал/шум все кривые
начала растут медленно, а затем быстрее. При больших вероятно-
। гях правильного обнаружения кривые для сигнала со случайной
па чальной фазой и особенно для сигнала со случайными амплитудой
и фазой смещены в сторону больших отношений сигнал/шум. На-
। «борот, при малых вероятностях правильного обнаружения
0,2) кривые обнаружения для федингующего сигнала идут
мыте соответствующих кривых для других двух сигналов. Это объ-
н ияется тем, что при равенстве энергий (11.2.24) амплитуда федин-
। у ющего сигнала с вероятностью .
1 1
j Wpr (a) da — J 2а е~а‘ da « 0,74
о о
"удет превышать амплитуду нефедингующих сигналов.
§ 3. РАЗЛИЧЕНИЕ ДВУХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Задача обнаружения сигнала на фоне шума является частным
|-лучаем задачи различения двух сигналов. Рассмотрим здесь задачу
различения двух детерминированных сигналов.
Пусть принятое колебание представляет сумму
ЦО =XS1(/) + (1 — X)s2(/)+ n(t), О-С^Т, (11.3.1)
457
где n(t) — белый шум, sx(/) и s2(0 — полностью детерминированйыё
сигналы. Неизвестный параметр А может принимать одно из двух
значений: А — 1 (присутствует только сигнал s,) и А = 0 (присут-
ствует сигнал s2). Априорные вероятности ’^pr(s1) присутствия сиг-
нала Si и Wpr(s2) присутствия сигнала s2 предполагаются извест-
ными.
По принятой реализации £(0 нужно решить, какое именно зна-
чение имеет параметр А, т. е. какой из сигналов s^t) или s2(t) при-
сутствует в реализации.
Для апостериорных вероятностей наличия сигналов s^t) и
s2(f) нетрудно получить следующие выражения:
где
(11.3.2)
WpS (sx) = kWpr (sj exp
идеального наблюдателя будем
1), если выполняется соот-
В соответствии с критерием
считать, что присутствует сигнал Sj(l
ношение
Wps (St) Wpr (sj
/Vo
s2 (01 dt
2
/V о J
о
Отсюда получим
т
Q = £ (0 [si (0 — s2 (01Л > in Wpr (S1) н Ъд 2 = h- 1,3‘
0
Назовем систему передачи двоичных сигналов симметричной,
если для нее выполняются равенства:
W pr ($i) = W (5g) ~ У’ Е1 = Е2~Е. (11.3.7)
Для симметричной системы формула (11.3.6) упрощается:
Я
о
458
Таким образом, на основании сравнения апостериорных ве-
роятностей получаем следующее правило различения двух детер-
минированных сигналов. Принимается решение о наличии сигнала
.,(/), если </> 0; при g <С 0 принимается решение о наличии сиг-
нала s2(t).
На рис. L1.8 приведены две схемы оптимального приемника для
различения двух детерминированных сигналов: с использованием
коррелометра и согласованных фильтров. Второй из них состоит
s,d)
St(t)
Пороговое
устройство
Рис. 11.8. Оптимальные схемы для различения двух детерминированных
сигналов с использованием корреляционного приема (а) и согласован-
ных фильтров (б).
из двух линейных фильтров, согласованных с сигналами s3(0 и
.(/) соответственно, вычитающего устройства и порогового устрой-
» |*на (например, типа электронного реле). В первом принятое коле-
ь.шие В(0 раздельно перемножается с известными сигналами sr(i)
и <?.(£), интегрируется и разностное напряжение подается на поро-
j иное устройство.
'Предположим, что выполняются условия (11.3.7). Вычислим
р.сроятность общей ошибки. Пусть присутствует сигнал $i(i), т. е.
в (0 = S1 (0 + П (0.
1<>гда случайная величина
т
Q = <7i = J [«1 (0 + п (/)] [*1 (0 - «2 (0J dt
о • '
(11.3.9)
459
будет иметь нормальную плотность вероятности Wi(q) со сле-
дующими характеристиками:
= о? = <9Ь-/п? = ^(1-ЯЛ (И.3.10)
Здесь
= 4 JS1 (/)Sa W(И.З.Н)
О
— коэффициент взаимной корреляции между сигналами $1(0
и s2(Z).
Рис. 11А Нормальные плотности вероятности при
наличии одного из двух сигналов и вероятности
ошибок.
Если присутствует сигнал s2(/), т. е.
£ (0 = S2 (/) + П (0,
то случайная величина
т
= <?2= f + П М 1S1 (Z) ~ S2 (01 dt
0
(11.3.12)
имеет нормальную плотность вероятности w2(q) с характеристи-
ками
m2 = <д2> = -^-(1 — ЯЛ <72 = «?2>-т2 = ^-(1 -ЯЛ
(11.3.13)
Плотности вероятности w^q) и и»2(<7) изображены на рис. 11.9;
Обозначим через P(s1|s2) условную вероятность принять реше-
ние о наличии сигнала s1; когда в действительности присутствует
сигнал s2, и через P(s21 sj — условную вероятность принять реше-
ние о наличии сигнала s2, когда в действительности присутствует
сигнал 8л. Очевидно, что вероятность общей ошибки равна
Ре = Р (S1|8S) + Wpr (S1) Р (Sa|S1),
(11.3.14)
460
оо
Р(Sl|s2) = J Wz(q)dq,
fl
P (s2jsi
h
J &i(q)dq.
— 00
(11.3.15)
Подставив в (11.3.14) значения априорных вероятностей из
н 1.3.7), находим вероятность суммарной ошибки
(11.3.16)
| Слагая, как это следует из (11.3.8), h = 0 и выполнив вычисления,
II. Iлучим
Следовательно, при известном отношении сигнал/шум 2E/N0,
вычисление вероятности суммарной ошибки для детерминированных
иг налов сводится к определению коэффициента взаимной корре-
кции между сигналами. Так как интеграл вероятности Ф(г) яв-
|',1сгся монотонно возрастающей функцией аргумента, то при одина-
ковом отношении сигнал/шум наибольшей помехоустойчивостью
(меньшей вероятностью ошибки Ре) обладают сигналы, для которых
коэффициент взаимной корреляции минимален.
Если сигналы обладают одинаковой энергией, то коэффициент
н <аимной корреляции Rs может изменяться от — 1 (при зх(/) =
— s2(0) до + 1 (когда st(t) =s2(f)). В том случае, когда Rs — О,
творят, что сигналы ортогональны. Очевидно, что одинаковые
сигналы (R, = 1) невозможно различить и поэтому Ре =
I -Ф (0) = 6,5. Наоборот, если сигналы одинаковы по форме и про-
тивоположны по знаку (Rs = — 1), то их различить легче, чем лю-
иые другие два сигнала (например, ортогональные). Сказанное ил-
иострируется рис. 11.10, на котором представлены результаты рас-
четов по формуле (11.3.17) [10].
Кривые, характеризующие зависимость вероятности суммарной
ошибки Ре от отношения сигнал/шум при оптимальных методах
приема, в радиосвязи часто называют кривыми потенциальной по-
мсхоустойчжвости. Получим такие кривые для некоторых видов
манипулированных сигналов, применяемых в радиотелеграфии.
Амплитудная манипуляция (AM). При амплитудной манипу-
ляции
(/)=Amcos(о)/ 4- ф), s2(/) = 0, 0</<Т. (11.3.18)
11 данном случае на основе критерия идеального наблюдателя нуж-
но решить задачу обнаружения сигнала s^t) на фоне шума.
Положив в выражениях (11.3.9) и (11.3.12) s2(t) = 0, получим,
что плотности вероятности w^q) и w$(q) величин qt и являются
461
нормальными со следующими средними значениями и диспер-
сиями:
^=0’ а| = ^’ Е=^^пТ.
Рис. 11.11. Зависимость вероятно-
сти ошибки от отношения сиг-
нал/шум для детерминированных
сигналов при AM, ЧМ и ФМ;
Рис. 11.10. Зависимость вероятности
общей ошибки Ре от коэффициента
взаимной корреляции Rs между де-
терминированными сигналами.
Пусть априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала
$1(0 одинаковы и равны 0,5. По формуле (11.3.16) записываем
выражение для вероятности суммарной ошибки:
оо
Значение оптимального порога h находим по формуле (11.3.6):
1г = E/No = (m, — m2)/2. Отсюда следует, что порог определяется
нцдиссой точки пересечения плотностей вероятностей и
.((/). При таком пороге вероятность ошибки минимальна и равна
х г о /
*
| р.фик этой функции представлен на рис. 11.11.
Частотная манипуляция (ЧМ). При ЧМ используются два гар-
| >||ических сигнала одинаковой амплитуды и длительности, имею-
..- различные несущие частоты:
Si (/) = Ат cos («! t — qh),
S2 (0 = Am cos (co21 — qp2),
0 < t < T.
(11.3.20)
Согласно (11.3.11) в данном случае имеем
I l.i практике обычно выполняется неравенство ((о2 — coJTCl.
11' '/тому можно положить Rs = 0, и для вероятности ошибки из
|'црмулы (11.3.17) получим
(11.3.21)
Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум
и «бражена на рис. 11.11.
Фазовая манипуляция (ФМ). При фазовой манипуляции ис-
н >.1|>зуются сигналы
Sj (t) = Ат cos at,
s2 (0 = — An cos
0</<7\ (11.3.22)
I in таких сигналов Rs
11.3.17) равна
— 1 и вероятность ошибки согласно
(11.3.23)
। р.фик этой функции представлен на рис. 11.11.
Сравнивая графики рис. 11.11 для ДМ, ЧМ и ФМ, видим, что
при одной и той же энергии из трех рассмотренных видов манипу-
। । пни наибольшей помехоустойчивостью обладает фазовая мани-
и 1яция и наименьшей—амплитудная.
Зыше был рассмотрен один из простейших примеров теории
। । лпчения двух сигналов на фоне помех. Конечно, практические
|\'ши оказываются более сложными. Так, например, в радиосвязи
н радиолокации не приходится оперировать с полностью известны-
||| (детерминированными) сигналами. Обычно бывают заранее не-
46?
известными начальная фаза (время прихода) сигнала, его амплиту*
да и другие параметры. j
Сигналы с полностью известными параметрами можно исполЬ^
зовать в качестве своеобразных теоретических «эталонов», позво*
ляющих получить максимальную информацию. Результаты опти<
мальной обработки сигналов с различными неизвестными пара,
метрами целесообразно сравнивать с соответствующими результат
тами, получающимися для аналогичных сигналов с известным^
параметрами. I
*
§ 4. РАЗЛИЧЕНИЕ ДВУХ РАДИОСИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Пусть в выражении (11.3.1) сигналы $х(/) и $2(0 имеют bhj
s/(0 = fi(t~x)cos(a)it + ф»(0— 6()> ‘ = 1, 2, (11.4.1
где со,- — несущие частоты, fi(t — т) и q>,(Z) — функции, отобра-
жающие законы амплитудной и фазовой (частотной) модуляции,
О/ — начальные фазы, представляющие собой независимые слу-
чайные величины, распределенные равномерно на интер-
вале (— л, л). Предполагается, что ширина спектров сигналов
s-iit) и s2(Z) много меньше их несущих частот и, кроме этого,
<02 <011 <<< <0;. I
По критерию идеального наблюдателя нужно решить задач
различения двух таких радиосигналов со случайными начальным
фазами [11].
Апостериорные вероятности наличия сигналов si(t) и $г(?) с
случайными начальными фазами получаются путем усреднёни1|
правых частей выражений (11.3.2) и (11.3.3) по начальным фаза
как несущественным параметрам, т. е. можно написать
Wps(S1) = kWpr(Sl)e-^X
т) cos (<Oj/4-qpi(0— ®i)
Wps (s2)
сФх,
feW'or(s2)e~£’^A?» X
*
T
J — T)cos (W+VzCO
° о
02) dt
4И
Коли ввести обозначения
о
(11.4.4)
о
(11.4.5)
> из (11.4.2) и (11.4.3) для апостериорных вероятностей полу-
им следующие выражения:
Wps(S1)^kWpr(S1)e-^N>i0
(11.4.6)
Wps(S2) = kWpr(st)e-^>I0(^
(11.4.7)
1 ^о(г)—функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу-
к 1 гга.
Согласно критерию идеального наблюдателя решение о нали-
। in сигнала s^t) или сигнала s2(f) принимается в зависимости от
। и полпенни неравенств
Wps(si) __ Wprfsy) . 2wy1. /0 (2Zi/W0) .
lFps(s2) “ Wpr (s2) e * ~/0 (2Z2//V0) -=
In /о (2Zx/^o) - In /о (2Z2/JVo) + In ДДД h. (11.4.8)
Положительная величина Z-lt определенная равенством (11.4.5),
г тиа корню квадратному из суммы квадратов двух нормально
। определенных случайных переменных Xi vtYt. Физически вели-
чина Z{ представляет собой огибающую суммы сигнала Si(t) и
шума n(t) на выходе согласованного фильтра, имеющего импуль-
и ую характеристику
Gt(l) = — ПРИ (11.4.9)
( 0 при t 0, t>T.
I ' и1чину ln/0(2Zt/JV0) можно получить в явном виде на выходе
к'ктора огибающей с законом 1п/0(г). Н
(Структурная схема оптимального приемника для различения
vx радиосигналов с неизвестной начальной фазой представлена
। рис. 11.12. Принятое колебание £(/) = st(t) + n(t) воздействует
। । два согласованных фильтра с импульсными характеристиками
' I 1.4.9). На выходе каждого из фильтров стоят детекторы огибаю-
ш Л.1К. 245
465
щей, напряжения детекторов вычитаются, и эта разность возденет
вует на пороговое устройство с порогом h. Если напряжение пре
вышает порог h> то принимается решение о наличии сигнала
если же порог не превышен, то констатируется наличие сигнала
s2(0-
Отметим, что при выполнении условий (11.3.7), когда система
является симметричной, пороговый уровень h ~ 0, и решение о на-
личии сигналов sx(f) и s3(Z) принимается в зависимости от выполнен
ния неравенств !
1п /о (2ZT/A/0) In /0 (2Z2/A/0). (11 -4.10}
Рис. 11.12. Оптимальная схема для различения двух радиосигналов со слу-
чайными начальными фазами.
Функция Бесселя /0(г) является монотонной функцией аргумента
Поэтому закон детектирования не имеет существенного значение
при различении двух сигналов. Важно лишь, чтобы выходное на*
пряжение детектора было монотонной функцией огибающей Z/.
Если, например, в оптимальном приемнике (рис. 11.12) примените
линейный детектор огибающей, то различение двух сигналов нужне
производить путем сравнения значений самих огибающих Zx и Z2<
При Zi>Z2 принимается решение о наличии сигнала s^Z), и на
оборот.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением симметричных ка<
налов и примем, что различение сигналов производится путем срав«
нения огибающих и Z2. Для симметричных каналов условные
вероятности ошибок равны друг другу:
Р ($1 ^2) ~ Р ($2 $1)»
Для вычисления этих вероятностей нужно предварительно найтй
совместную плотность вероятности огибающих 1F2(Z^ Z3), роль*
зуясь выражениями (11.4.4) и (11.4.5), Тогда
Р (^i £2) ~ J rfZj J W% (Zj, Zg) ?
0 Zi '
466
для вероятности общей ошибки согласно (11.3.14) получим фор-
оо со
Ре = J dZi J W2 (Zlt Z2) dZ2. (11.4.11)
0 Zi
Весьма громоздкие
। < i иному результату:
расчеты приводят к следующему оконча-
т .
bi 2 J fl (О Ь (0 cos [(ш2—(Oj) t+<р2 (0 —ф! (01 dt,
о
т
b2=^fi (0 Ь (0 sin I(coa— tei) /+ ф2(0— фх(0] dt.
о
(11.4.13)
Цесь Q (?, и) табулированная функция (11.2.17).
На рис. 11.13 приведены вычисленные по формуле (11.4.12)
I. р 11вые, характеризующие зависимость вероятности ошибки от
коэффициента взаимной кор-
реляции сигналов р$ при не-
скольких значениях отноше-
ния сигнал/шум. Из кривых
видно, что при заданном от-
ношении сигнал/шум вероят-
। н >сть ош ибки минимальна
ия ортогональных сигналов
ip, = 0). Наоборот, для двух
• иг налов, совпадающи х по
|орме с точностью до началь-
ной фазы (ps = 1), вероят-
ность ошибки всегда макси-
л.чьна и равна Ре = 0,5.
। к . 11.1). Зависимость вероятно-
и общей ошибки Ре от коэф-
Гициента взаимной корреляции
между сигналами со случай-
ными начальными фазами,
1 ')*
По формулам (11.3.17) и (11.4.12) были выполнены расчеты кри-
вых потенциальной помехоустойчивости для различных сигналов,
применяемых в радиотелеграфии. Ниже кратко указаны основные
результаты вычислений.
Амплитудная манипуляция (AM). Если в (11.3.18) начальная
фаза ср случайна и равномерно распределена, то вероятность
ошибки равна
Pe = ^[l+exp(-l^)-Q(/^, /г)], (Н.4.14)
где оптимальный порог h находится из уравнения
=“р (Ш <п415>
Частотная манипуляция (ЧМ). Считая в
<р2 случайными, получим
(11.3.20) фазы фх и
ж 0 при тг (®2 — ®1) Т > 1.
В данном случае формула (11.4.12) упрощается:
п 1/1 2Е \ 1 ( 1 2Е\
— Q (О, У 2 Л/о ) 2- ехР 4 JVC /
Учитывая, что Q (0, и)— ехр(—у и2 ), окончательно получим
(11.4.16)
Тональная манипуляция АМ-АМ. В данном случае имеем
Si (t) = Am (1 + cos Qt) cos (at
s2 (t) = Am (1 + tn2 cos Ш) cos (at
Можно показать, что для таких сигналов формула (11.3.17) при-
нимает вид
Ре = 1-ф/|/1?^- Е1 = уА2тт(1 + у/п?).
\1/4Л'о2-рт^/ 2 \ 2 /
(11.4.18)
При фиксированном значении 2El/N0 эта вероятность будет ми-
нимальной, когда т1 = 1 и т2=0. При этом
(11.4.19)
468
Тональная манипуляция ЧМ-АМ. При тональной манипуля-
п.ии ЧМ-АМ используются сигналы
июргии которых равны
т?
В случае детерминированных сигналов полагаем 0,-0 и поль-
зуемся формулой (11.3.11):
и
2
= ЁГ J (1 + m cos 0 (1 + w cos 0 cos2 (£>tdt.
и
На практике обычно выполняются соотношения Т ~
*" где ki —большие целые положительные числа (£г<^>1). С уче-
ны этих условий после несложных преобразований получим
Подстановка этого значения /?5 в формулу (11.3.17) дает
1 2£
\ г JV Q //с /
При т — 1 сигналы ЧМ-АМ различаются с минимальной ве-
роятностью ошибки:
е
6 No /’ '
Для сигналов (11.4.20) со случайными начальными фазами 0/
вычисления по формулам (11.4.13) приводят к прежнему резуль-
г.ггу:
вероятность ошибки при т=1 согласно (11.4.12) равна
п гм \ 1 / 1 ЧЕ \ г ( 1 2£ \
Ре Q (^ы) 2 еХр ( 4 Д/о ) ° ( 6 Л'о )’
V = I / -Г ТГ
\/ 4 N о
U =
о
469
Тональная манипуляция ФМ-АМ. Ё данном случае исполк*
зуются сигналы:
(i) = Ат (1 + т cos Q/) cos (со/ — 6t)
М0 = Лп(1-- tn cos ft/) cos (tat — 02)
0</<T. (11.4.24)
Энергии сигналов равны
Коэффициенты взаимной корреляции Rs и ps,
формулам (11.3.11) и (11.4.13), одинаковы:
/ = р5 = (2 - т2)/'(2 + «/
вычисленные по
Обычно берут т = 1. При этом Rs = ps = 1/3.
Подставляя 7?s=l/s в формулу (11.3.17), получаем выражение
для Ре при приеме детерминированных сигналов ФМ-АМ:
Вероятность ошибки Ре при приеме сигналов ФМ-АМ (т =
с неизвестной начальной фазой вычисляется по формуле
п п / \ 1 I 1 2Е\ , /1 2Е\ . „с,
Ре — Q (и> и)~~2 еХР Т jvj ° (12 wj ’ ( .4.26)
Л * ' г /
где
/ 1 2Е 3 — 2/2 , / 1 2Е 3 + 2/2
” = У 4 «. —-3— ' “ = У 7 ТГ, — з -
которая получается из (11.4.12) путем подстановки р5 = 1/3.
Тональная манипуляция АМ-ЧМ. При тональной манипуляции
АМ-ЧМ используются следующие сигналы:
Si (/) = Ат cos (со/ + Pi cos Qt — 6j),
s2 (t) = Am cos (co/ + pa cos ft/ — 62),
Энергии сигналов одинаковы:
пр
пользоваться известным разложением:
ОО
cos (х cos Ф) -- Jo (х)+2 s (—1)" J2n (х)cos 2«ф
п = 1
470
,честь обычно выполняющиеся соотношения: Т = 2л&/£2, со
, /, —большое целое положительное число (&^>1). Получим сле-
ыщие результаты:
— Jо (Рз------ Pl)> Ps — I Д (Рй Pl) |>
и Jо(z) — функция Бесселя нулевого порядка.
11ри достаточно большой разности индексов
|1,—₽11>1) можно приближенно принять
модуляции
приема сиг-
формулами,
11 рп этом вероятности ошибок Ре для разных случаев
,i । iob АМ-ЧМ будут определяться соответствующими
н пученными ранее для сигналов ЧМ.
Тональная телеграфия ЧМ-ЧМ. При тональной минипуляции
। нда ЧМ-ЧМ используются сигналы
Si (/) = Am cos (со/ + р cos t — Gj),
s2 (f) = Am cos (<ot + p cos Q31 — 62),
(11.4.28)
пергии которых равны
2
Воспользовавшись разложениями
ОО
cos (х cos <р) = Jo (х) + 2 5 (—I)" Ja„(x)cos2ncp,
П — 1
оо
sin (хcos <р) = 2 Т (—1)л Ли + 1 (*) cos (2п + 1) <р,
п = О
П1ЖН0 получить следующие выражения для коэффициентов Ps и р5:
/?5 = Р,= Л(Р).
Для достаточно больших значений р (практически Р>3) можно
||сложить jRs = Ps = 0. При этом вероятности ошибок Ре будут
определяться соответствующими формулами, полученными выше
ня сигналов ЧМ.
471
Тональная телеграфия ФМ-ЧМ. При тональной телеграфии,
ФМ-ЧМ применяют радиосигналы
Sj (/) = Ат cos (at 4- 0 cos Q/ — 0J
s2 (0 = Ат cos (®/ — р cos Q/ — 02)
Энергии сигналов равны
2
Коэффициенты Rs и ps вычисляются по формулам (11.3.11) и (11.4.13)
аналогично тому, как это делалось в двух предыдущих случаях;
они равны
^ = JO(2P), p, = ]J0(2₽)|.
Для достаточно больших ₽, когда Rs = ps = 0, вероятности
ошибок при приеме сигналов ФМ-ЧМ определяются формулами
для соответствующих сигналов ЧМ.
По формулам (11.3.19), (11.3.21), (11.3.23), (11.4.14), (11.4.16),
(11.4.19), (11.4.22), (11.4.23), (11.4.25) и (11.4.26) были выполнены
расчеты кривых потенциальной помехоустойчивости для указанных
выше сигналов, применяемых в радиотелеграфии. Результаты этих
расчетов представлены на рис. 11.14, причем сплошные кривые
относятся к детерминированным сигналам, а пунктирные — к со-
ответствующим сигналам со случайной начальной фазой, г;.;
Эти кривые позволяют количественно сравнить различные сис-
темы радиотелеграфии по помехоустойчивости, указать значения
отношения сигнал/шум, при которых получается заданная вероят-
ность ошибки, а также оценить проигрыш в помехоустойчивости,
получающийся из-за незнания начальной фазы.
Из графиков рис. 11.14 видно, что наименее помехоустойчивой
является система с тональной манипуляцией вида АМ-АМ. При
приеме детерминированных сигналов наибольшей помехоустой-
чивостью обладает фазовая манипуляция. Несмотря на это, на
практике часто применяются также системы с частотной манипуля-
цией ввиду более простой их технической реализации.
Если задаться моделью принимаемого сигнала в виде (10.2.3),
то для всех перечисленных примеров можно определить оптималь-
ные схемы приемников и вычислить кривые помехоустойчивости
с учетом не только случайных начальных фаз, но и амплитудных
замираний (федингов) [10]. При рассмотрении амплитудных федин-
гов следует различать два предельных случая: быстрые и медлен-
ные замирания.
Под быстрыми замираниями понимаются такие, когда амплитуда
сигнала в течение длительности элементарной посылки испытывает
472
Рис. 11.14. Вероятность общей ошибки для различных систем радио-
телеграфии при приеме на фоне шума детерминированных Сигна-
лов (сплошные линии) и сигналов со случайной начальной фазой
(пунктир).
!'В Зак. 245
473
«mpwimini 111 im > .I । ! mmiii 111,414111^1^11 хх.ити*.., , । ц । и 1 —4. -_-, inir... < к -и .*41±.. 4. E 4 4 xi±t ±1.1 = ^.4 -.in , r i_uus 11 < и j * f t! it 11, -. -> 1 •
. ИП -4- 4*f4441U4U, 1 11 ЬьМкЬлМ», -31 - M . шм•^ --
заметные флуктуации. Медленные замирания характеризуются тем,
что амплитуды двух соседних посылок практически постоянны, но
эти амплитуды изменяются случайным образом от одной пары посы-
лок к другой.
Учет быстрых замираний требует специального математического
рассмотрения. Это объясняется тем, что при случайной начальной
а фазе и быстро федингующей
амплитуде сами сигналы
представляют собой отрезки
квазигармонического шума.
О to го 20 2E/N0
Рис. 11.15. Зависимость вероятности
ошибки от отношения сигнал/шум для
радиоимпульса с полностью известными
параметрами (сплошная линия), с неиз-
вестной начальной фазой (пунктир) и со
случайными амплитудой и фазой (штрих-
пунктир).
В данном случае оценка по-
мехоустойчивости сводится к
решению специфической за-
дачи различения двух реали-
заций квазигармонического
шума конечной длительности
на фоне белого шума [12,
13, 14].
Для иллюстрации влия-
ния медленных флуктуаций
амплитуды сигнала на ве-
роятность общей ошибки на
рис. 11.15 приведены кривые,
дающие зависимость вероят-
ности ошибки от отношения
сигнал/шум при приеме пря-
моугольного радиоимпульса
(11.3.18) на фоне шума для
трех случаев: 1) все пара-
метры сигнала известны
(сплошная линия); 2) началь-
ная фаза случайная'(пунктир)
и 3) при случайной началь-
ной фазе амплитуда сигнала
изменяется по закону Релея
(11.2.18) при (Та
= 1/2 (штрих-пунктир). Из рисунка видно, что
при наличии амплитудного фединга помехоустойчивость сущест-
венно понижается.
§ 5. О КВАЗИКОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ
ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В §3для помехоустойчивости оптимального приема детерминиро-
ванных сигналов фазовой манипуляции была получена формула
(11.3.23). Как следует из соотношения (11.3.8), такая помехоустой-
чивость может быть реализована лишь при условии, если опорные
474
иг палы si(t) и sz(t*) изйестны на приемной стороне с точностью до
и шальных фаз. На практике опорные сигналы часто формируют из
принятого колебания %(t) и поэтому они могут отличаться от истин-
ных сигналов si(f) и зг(£). Такое отличие приводит к понижению
н мехоустойчивости приема сигналов фазовой манипуляции. Вы-
I нслим степень этого понижения для двух конкретных методов
нрпсма, которые можно назвать квазикогерентными иликвазисинх-
р иными 115].
Рис. 11.16. Схема оптимального приемника для различения двух фазо-
манипулированных сигналов.
На основании (11.3.22) замечаем, что при фазовой манипуляции
,(/) = — sz(t). Поэтому формула (11.3.8) несколько упрощается:
т
О
(11.5.1)
Следовательно, оптимальное приемное устройство для разли-
'н ния двух фазоманипулированных сигналов должно формировать
личину
г
и = J £ (/) Si (0 dt
о
(11.5.2)
и сравнивать ее с нулевым порогом h.= О (рис. 11.16). При и>0
принимается решение о наличии сигнала sx(f); при и<^0 принимает-
> । решение о наличии сигнала s2(0-
Предположим, что на один вход перемножителя приемника
фис. 11.16) воздействует принятое колебание (11.3.1), а на второй —
• •норный сигнал
s0 (/) = kAm cos (со/ + 6),
(11.5.3)
।тчающийся от сигнала si(/) постоянным амплитудным множи-
илсм k и начальной фазой 0.
11 <|р
475
Тогда для напряжения на выходе перемножителя можем напи-
сать
и = kAm J £ (f) cos (tot + tydt =
о
т
= kAm J COS [со/ + (i + 1) Л] cos (<jtf + 0) dt +
0
т
+ kAm У n (f) cos (tot + 0) dt.
о
Здесь i = I при наличии в принятой реализации £(/) сигнала sr(t)
и i = 2 при наличии в %(t) сигнала s2(/).
После несложных преобразований получим
т
и = (—l)z + 1 kE cos 0 + kAm J n(t) cos(tot + b)dt.
о
(11.5.4)
Величина и нормально распределена со средним значением
= (—l)i + 1 kE cos 6 и дисперсией о-„ = &2ЕА/0/2. Следовательно,
плотность вероятности случайной величины и при условии нали-
чия в колебании £(/) полезного сигнала st(t), i = 1, 2, равна
, . 1 ( [н + (—1)‘ kE cosO]2 ) i г
~АТкЖеХР1 k*EN° Г L5,
Условные вероятности Р (st | s2) и Р (s21 sx), входящие в (11.3.14),
в данном случае определяются равенствами
оо
—оо
В результате несложных вычислений получим формулу
При s0 (t) = Si (f), т. e. 0 = 0, эта формула переходит в (11.3.23).
Предположим, что фаза 0 случайно и медленно изменяется с из-
вестной плотностью вероятности IF(6) на интервале (— л, л).,
В данном случае помехоустойчивость системы можно характери-
зовать средним значением вероятности общей ошибки
тс я: __
<ре (е)> = Гре(0) w (0) do = 1 - f ф cos 0) w(0) de. (ii .5.8)1
""ТС ГС
476
>1>лменим эту формулу к двум случаям, представляющим практи-
кип интерес.
I. Пусть опорное напряжение s0(t) формируется из принятой
i и £(/) последовательности фазоманипулированных радиоим-
. п.сов и белого шума схемой, состоящей из устройства снятия
। ивой манипуляции и высокодобротного колебательного контура
.иг. 11.17), который осуществляет фильтрацию немодулирован-
"|о гармонического колебания частоты о.
ис. 11.17. Схема
формирования опорного сигнала при помощи
колебательного контура.
В данной случае опорное напряжение sG(f) представляет собой
|-..1311гармокический случайный процесс, плотность вероятности
^чайной фазы которого определяется формулой (7.6.1):
1 —Las
W(0)-^e 2 х
4 7 2е
г__ __ д2 0
I Ч- У 2ла cos 0Ф(а cos 6) е2
л<9<л. (11.5.9)
в гь а = ki]/r2E/No —отношение сигнал/шум на выходе контура;
ki — коэффициент, зависящий от фильтрующих свойств
контура.
Подставив выражение (11.5.9) в формулу (11.5.8), получим
<Ре (Ю> = 1
—
de.
1 + И 2л a cos 0Ф (a cos 0) е 2
(11.5.10)
Интеграл, входящий в (11.5.10), элементарно вычисляется
и ib при а. — \/r2E/N0. В этом случае найдем
<Ре(0)>=1ехр(-Д). (11.5.11)
;ультаты численного интегрирования (11.5.10) для нескольких
I’leiinft коэффициента фильтрации ki приведены на рис. 11.18.
увеличением коэффициента фильтрации ki помехоустойчивость
гышается, однако при этом увеличивается длительность процесса
г нювления.
477
2. Предположим, что опорный сигнал формируется фазовой
автоподстройкой частоты. В данном случае
«о (0 = Um cos (оо/ + 6),
где 0 — случайная разность фаз.
2£
<Ре(М>
Рис. 11.18. Зависимость вероятности ошибки от отноше-
ния сигнал/шум при формировании опорного сигнала
колебательным контуром.
В § 3 гл. 8 показано, что в отсутствие начальной расстройки
плотность вероятности для 0 имеет вид
(0) = 9777757 е° C0S°> (П.5.12)
где D — параметр, зависящий от отношения сигнал/шум на входе
фазовой автоподстройки частоты.
478
Подставке (11.5.12) в формулу (11.5.8), получим
(11.5.13)
тс
2£
<Р.(9)>
Рис. 11.19. Зависимость вероятности ошибки от от-
ношения сигнал/шум при формировании опорного
сигнала фазовой автоподстройкой частоты.
Результаты численного интегрирования (11.5.13) представлены
h i рис. 11.19. При расчетах принималось
Wo
(11.5.14)
479
где kz — коэффициент, характеризующий фильтрующие свойства
фазовой автоподстройки.
Как и в предыдущем случае, помехоустойчивость повышается
с увеличением коэффициента фильтрации kz.
ЛИТЕРАТУРА
1. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчи-
вости. Госэнергоиздат, 1956.
2. Пороговые сигналы. Пер. с англ, под ред. А. П. Сиверса, Изд-во
«Советское радио», 1952.
3. Крамер Г. Математические методы'статистики. Изд-во иностран-
ной литературы, 1948.
4. Питерсон В., Бердсал Т., Фокс В. Теория обнаруже-
ния сигналов. Пер. с англ. Теория информации и ее приложения. Сборник
переводов под ред. А. А. Харкевича. Физматгиз, 1959,
5. В а л ь д А. Последовательный анализ. Пер, с англ. Физматгиз,
1960.
6. Башарннов А. Е., Ф л ейшман Б. С. Методы статисти-
ческого последовательного анализа и их приложения. Изд-во «Советское
радио», 1962.
7. Marcum J. I. A statistical theory of target detection by pulsed
radar. Trans. IRE, I960, IT-6, № 2.
8. Б a p к Л. С., Большев JI. H., Кузнецов П. И., Че-
ренков А. П. Таблицы распределения Релея — Райса. ВЦ АН СССР,
1964.
9. Ш и р м а н Я- Д., Голиков В. Н. Основы теории обнаружения
радиолокационных сигналов и измерения их параметров. Изд-во «Советское
радио», 1963.
10. Т u г i п G. L. Error probabilities for binary symmetric ideal recep-
tion through nonselective slow fading and noise. Proc. IRE, 1958, № 9.
11. Helstrom C. W. The resolution of signals in white gaussian
noise. Proc. IRE, 1955, № 9.
12. X e л ст p о м К. Статистическая теория обнаружения сигналов.
Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, 1963.
13. Миддлтон Д, Введение в статистическую теорию радиосвязи.
Пер. с англ., т. 2. Изд-во «Советское радио», 1962.
14. Bello Р. Some results on the problem of discriminating between
two gaussian processes. Trans. IRE, 1961, IT-7, № 4. *
15. Г о p я и н о в В. Т. Помехоустойчивость систем фазовой радио-
телеграфии с учетом флуктуаций фазы опорного колебания. Сборник докла-
дов XXII всесоюзной научной сессии НТОРиЭ им. А. С. Попова, 1966.
16. S е 1 i n I. The sequential estimation and detection of signals in nor-
mal noise. Information and control, 1964, №4; 1965, № 1.
17. V i t e r b i A. J. The effect of sequential decision feedback on com-
fnunication over gaussian channel. Information and control, 1965, № 1.
Глава 12
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
РАДИОСИГНАЛА
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНКИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ
ПАРАМЕТРА
В простейшем случае, когда оценивается один параметр сиг-
нала заданной формы, задача ставится следующим образом. Пусть
принятое на интервале (О, Т) колебание 1(f) представляет сумму
сигнала s(t,k), зависящего от одного неизвестного параметра к,
и белого шума n(t):
1(f) = $(fA) + «(O>
(12.1.1)
11редпслагается, что параметр А является постоянным на интервале
наблюдения (О, Т), т. е. не изменяется во времени, и известна априор-
ная плотность вероятности этого параметра 1ГРГ(Х). По принятому
। олебанию £(f) нужно решить наилучшим образом, какое именно
шачение из интервала возможных значений имеет параметр X.
Из-за наличия шума n(f) и случайного характера параметра 1
реализация £(/) представляет собой случайный процесс. Поэтому
нельзя получить точное значение параметра А, а можно лишь ука-
। ггь приближенную оценку.
Указать оценку — это значит каждой возможной реализации
। /) на входе приемного устройства — измерителя поставить в со-
ч ветствие некоторое значение 1* из интервала возможных значений
т. е. сформировать некоторый функционал А* = /[£(f)], назы-
е.е'МЫЙ оценкой.
Пусть в принятой реализации 1-(t) параметр к имеет значение ко.
11 за случайного характера оценку характеризуют условной плот-
" > гью вероятности Р(1*|Хо). Вид плотности вероятности Р(к* |А,о),
ипсящий от функции f[£(/)], определяет качество построенной
in пки. Естественно стремиться подобрать такую функцию f,
и >бы плотность вероятности Р(1*|Хо) была как можно теснее сгруп-
481
пировала около значения Хо. Если плотность вероятности имеет
достаточно «хороший» вид, а именно, имеет одну вершину и почти
симметрична, то в качестве количественных характеристик оценки
целесообразно использовать величины
т (Х*|Х0) = J (Хо — X*) Р (Х*|Х0) dl*,
—оо
аа (Х*|Х0) = j (Хо—X*)2 Р (X*|Х0) d'K*.
(12.1.2)
(12.1.3)
Величина т(Х*|Хо) характеризует разность между оценкой X*
и истинным значением параметра Хо, и поэтому ее можно назвать
смещением. Величина <т3(Х*|Хо) определяет степень разброса (рас-
сеяния) значений оценки X* относительно Хо. Конечно, всегда жела-
тельно построить оценку с нулевым смещением и минимальным
рассеянием.
Величины т(Х*|Хо) и а2(Х*|Хо) не могут быть использованы как
полные характеристики качества оценки. При определении таких
характеристик нужно учесть, что в соответствии с априорным рас-
пределением Wpr(K) одни значения параметра X встречаются чаще,
чем другие; для редко встречающихся значений можно допустить
большие смещения и рассеяния, чем для часто встречающихся
значений.
В связи с этим можно ввести средние (по априорной вероятности)
смещение и рассеяние:
ОО
<Х*> = j т (Х*|Х0)№pr(X0) dX0,
—ОО
(12.1.4)
ОО
о2 = J a2(x*|x0)U7pr(X0)dX0. (12. L5)
—оо
Среднее смещение < X* > характеризует величину систематической
погрешности результата измерения параметра, а среднеквадратич-
ное значение — величину случайной погрешности.
Приведем теперь несколько определений. Оценка называется
несмещенной, если среднее смещение равно нулю «Х*> = 0), и
смещенной — в противоположном случае. Оценка называется эф-
фективной, если дисперсия of для данной оценки меньше, чем для
любой другой возможной оценки.
Один из методов нахождения оценки, т. е. выбора функции
ДВ(/)] = X*, состоит в том, что в качестве критерия оптимальности
оценки используется требование получения эффективной оценки.
При этом функция f[|(01 подбирается из условия минимума выра-
жения (12.1.5).
В § 4 гл. 10 отмечалось, что вся информация об интересующем
и к параметре содержится в апостериорной плотности вероятности
и (А). На основании анализа аспостериорного распределения при-
нимается то или иное решение об оцениваемом параметре. В мате-
1.1 гической статистике известно несколько правил (критериев), на
и нове которых делается оценка параметра. Укажем здесь сущность
1><х методов оценки параметра [1,2]:
1) оценка по минимуму среднеквадратичной погрешности;
2) оценка по максимуму аспостериорной вероятности;
3) оценка по максимуму функции (функционала) правдоподобия.
1. В соответствии с критерием минимума среднеквадратичной
чнпбки минимизируется по X* выражение
J (X — X*)3lTps(X)d2. = min. (12.1.6)
Л
Zda?
11|п1равнивая производную дисперсии оценки по Л* нулю дг* = О
/о2
нрп ^>0^ получаем, что в качестве оценки необходимо взять
• рсднее значение (центр тяжести) апостериорного распределения
х* = j KWPS (X) dk. (12.1.7)
2. В дальнейшем нас в основном будет интересовать случай
'н>|ьших отношений сигнал/шум. Напомним (см. § 4 гл. 10), что
при больших отношениях сигнал/шум апостериорная плотность
in роятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного
шачения параметра с вероятностью, близкой к единице. Это об-
। иштельство указывает, что в качестве оценки целесообразно взять
н> значение к* = кт, которое обращает в максимум апостериорное
lie пределение It? (X). Такой метод построения оценки называется
- и годом максимальной апостериорной вероятности.
Важный достоинством метода максимальной апостериорной ве-
роятности (так же, как и рассматриваемого дальше метода макси-
чума функций правдоподобия) является то, что точка максимума не
и меняется при произвольном взаимно однозначном преобразовании
। постер иор ног о распределения. Поэтому в качестве оценки часто
цобно брать тот корень уравнения
In Wps (Л) = 0, (12.1.8)
।игорый явным образом зависит от £(/).
3. Во многих практических случаях априорная плотность вероят-
ности 1F ,(Х) оказывается неизвестной и ее полагают достаточно
р.ниюмерно распределенной на некотором интервале (c,d). При
• гом координата кт максимума апостериорной вероятности будет
483
itfct * . йи. й b |_йк>^ fcrkfck i = t X4J-|-V^ J--.----£i t £, x-a , i £ *£J Lt I U JJJ J tl 1 b iJ Jr-J IL+i bj J b Ы- -^—1+1—' t Ц.Л < J < 1 >- -J Illi IIIHHII HHIIIIII IH
совпадать с соответствующей координатой функции (функционала)
правдоподобия. В этом случае метод максимума апостериорной ве-
роятности переходит в метод максимального правдоподобия. Здесь
в качестве оценки берется тот корень уравнения
>F(M = 0, (12.1.9)
который явно зависит от £(0.
Можно показать, что оценка любого параметра сигнала, прини-
маемого на фоне нормального шума, по методу максимального прав-
доподобия асимптотически эффективна, т. е. при большом отноше-
нии сигнал/шум оценка имеет минимально возможную дисперсию.
Кроме этого, при большом отношении сигнал/шум все три метода
оценки асимптотически эквивалентны 13].
Укажем, что параметры сигнала можно разделить на энергети-
ческие (например, амплитуда) и неэнергетические (время запазды-
вания, частота, фаза). Энергетическими называются те параметры
сигнала Л, от которых зависит энергия сигнала Е = £(Л,). В даль-
нейшем раздельно рассмотрим оценку амплитуды радиоимпульса,
как наиболее интересного для практических приложений энергети-
ческого параметра, и оценку неэнергетических параметров.
§ 2. ОЦЕНКА АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА
Пусть на вход приемного устройства поступает сумма полезного
сигнала s(t,a) с неизвестной амплитудой а, которая подлежит
оценке, и белого шума n(t)
1(0 = s(t,a) 4-га(0. (12.2.1)
В общем случае полезный сигнал s(t,a) может представлять собой
радиоимпульс вида
asx (t) = s (t, а) = af (t) cos [w/ -f-ф (/) — 0], 0 < t < T, (12.2.8)
где f(f) и ф(/)—законы амплитудной и фазовой модуляции;
св — несущая частота;
0 —- начальная фаза.
Рассмотрим оценку амплитуды X = а сигнала по максимуму
функции правдоподобия раздельно для известного сигнала и для
сигнала со случайной начальной фазой, равномерно распределен-
ной на интервале ( — л, л).
1. Оценка амплитуды детерминированного сигнала. Согласно
(10.3.24) функционал правдоподобия параметра а в данном случае
равен
[£(/) — as^t^dt,. (12.2.3)
484
Поэтому уравнение Правдоподобия (12.1.9) принимает вид
т
& In F (а) = J [£ (/) - as, (OJ S1 (/) dt = 0.
О
(12.2.4)
Это уравнение имеет решение
т т
а* = j | (/) Si(0 dt I f s? (/) dt,
о ' о
(12.2.5)
..1висящее от g(O, которое и является оценкой по максимуму функ-
ции правдоподобия.
Формула (12.2.5) вскрывает структуру оптимального приемного
и решающего устройств дл§ оценки неизвестной амплитуды. Ос-
новной операцией является линейная операция интегрирования
меси сигнала и шума (12.2.1) с весом Si(Z). Эту операцию можно
выполнить при помощи соответствующего линейного фильтра или
коррелометра.
Найдем смещение оценки амплитуды, считая, что истинное зна-
чение амплитуды равно ао. Имеем
<а*>
[а0 Si (/) + <п (/)>]$! (О dt
о_____________________________
f 4 (0 dt
t 1
о
(12.2.6)
। с. оценка несмещенная.
Дисперсия оценки определяется выражением
Ста = <(ж* — а0)2> =
f J <n («i) п (/2)> Si (/i) Si (G) dt, dtt
б 0
sf (/) dt
2
(12.2.7)
Надставив сюда функцию корреляции белого шума из (10.2.13),
нилучим
2 /Vo _ /Vo
” Т “ а ’
2 J s j (/) dt
о
(12.2.8)
1с согласно (10.8.4)
т
$ S? (О dt.
о
(12.2.9)
485
Таким образом, дисперсия оценки амплитуды полностью изРё- ,<
стного сигнала прямо пропорциональна мощности шума на единицу
полосы частот и обратно пропорциональна удвоенной энергии сиг- ]
нала
вают
при единичной амплитуде. j
качестве характеристики оценки амплитуды часто рассматри- j
относительную дисперсию оценки амплитуды
°а 1
^2 = 2E0/Af0 ’
(12.2.10) 1
где
0 I
*1
— энергия принятого сигнала. |
Из (12.2.10) видно, что относительная дисперсия оценки ампли- ]
туды детерминированного сигнала обратно пропорциональна уд- I
военному отношению энергии сигнала к спектральной плотности j
шума. ]
2. Оценка амплитуды радиосигнала со случайной начальной
фазой. В соответствии с (10.8.14) функционал правдоподобия ампли- |
туды при приеме сигнала со случайной начальной фазой имеет 1
ВИД - I
F (fl) = const е~<"в*/2Л\
Подставив это выражение в формулу (12.1.9), для оценки а* по- j
лучим уравнение
аа*
«о1 No
nri
е — 0,
(12.2.13) j
так как /0 (х) = Л (*)• Отсюда находим
* __ 2Z Л(2а*2/ЛГ0)
й ~ a I0(2a*Z/N0) ‘
Множитель Ii(x)/I0(x) нелинейно зависит от аргумента и измё- j
няется от 0 до 1 при изменении х от 0 до оо, причем при х)§>1 j
71(х)//0(^)~ 1- Поэтому для больших отношений сигнал/шум]
(2aZ/N0'^>l) справедливо равенство |
(12.2.14)]
а*
(12.2.15)
Следовательно, при больших отношениях сигнал/шум оценка]
амплитуды радиоимпульса со случайной начальной фазой линейно I
зависит от огибающей. Эта зависимость нарушается при малых 1
отношениях сигнал/шум.
486
Вели воспользоваться асимптотическим представлением (7.5.5),
к> для больших отношений сигнал/шум апостериорную вероятность
<прп равномерном априорном распределении амплитуды в интервале
-и люк) можно представить в виде
, . _ 1 (аа* 2aZ \ — (а~ар*
\VPS(а) = const(^) 2е И- "‘U-l-e 2а“ , (12.2.16)
\ N 0 / v 2геаа
। де а а — дисперсия оценки, равная
о2а = — . (12.2.17)
Из сравнения формулы (12.2.17) с формулой (12.2.8) можно
к лать вывод, что дисперсии оценок амплитуды полностью извест-
ною радиоимпульса и радиоимпульса со случайной начальной
| .иой при большом отношении сигнал/шум (2£7#о^1) одинаковы.
Для прямоугольного радиоимпульса длительностью ти, когда
И,
пл основании формулы (12.2.17)
2
получим
Л'о
(12.2.18)
(12.2.19)
Дисперсия оценки амплитуды прямоугольного радиоимпульса
прямо пропорциональна спектральной плотности шума и обратно
нрипорциоиальна длительности импульса.
Если радиоимпульс имеет гауссову форму, т. е.
f (0 = ехр
(12.2.20)
। 1,е ти — длительность импульса на уровне 0,5 от максимального
иычения, то из формулы (12.2.17) получим
= (12.2.21)
Ljj Г U । О
I, 1. ОЦЕНКА НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
РАДИОИМПУЛЬСА
Рассмотрим более подробно методику оценки одного неэнерге-
п веского параметра сигнала s(t,ty по методу максимума функции
правдоподобия. Сначала исследуем оценку параметра полностью
и местного сигнала за исключением оцениваемого параметра А, а за-
" я полученные результаты обобщим на оценку параметра радио-
• ш пала со случайной начальной фазой.
487
1. Оценка параметра известного сигнала. Воспользовавшись
формулой (10.3.24) и повторив рассуждения, приведшие к формуле
(10.4.4), для функционала правдоподобия параметра Л можем
написать выражение
£
F (X) = const exp
= const exp [q (X)],
(12.3.1)
+ <7 W
где
q W = J s (/,X) dt (12.3.2)
0
— логарифм функционала правдоподобия, зависящий от оценки.
На основании формулы (12.3.2) нетрудно получить общую струк-
турную схему оптимального измерителя одного параметра сигнала
по методу максимума функционала (функции) правдоподобия.
s(t,y sft.Ai)
Рис, 12.1. Общая структурная схема оптимального из-
мерителя одного параметра сигнала известной формы.
Структурная схема устройства, позволяющего получить функцию
q(h) для нескольких фиксированных значений параметра i =
= 1, 2, 3, /г, приведена на рис. 12.1. i
Поступающая на вход измерителя аддитивная смесь сигнала
шума |(0 перемножается с сигналом $(/Д) при всевозможны^
значениях оцениваемого параметра из априорного интервала (с, dj
и затем интегрируется в течение времени Т. Результаты интегрирси
вания в отдельных каналах подаются на решающее устройство|
которое сравнивает значения дД,) в отдельных каналах и выдае!
на выходе номер канала, в котором значение максимальней
Число каналов п зависит от требуемой точности измерения парН
метра. Применительно к конкретным частным случаям общая схем!
рис. 12.1 может быть уточнена (см. § 7). J
Введем параметр 1
2Е ’
(12.3.3|
о
488
•орагно пропорциональный корню квадратному из отношения
игпал/шум.
Тогда функцию q (X) можно представить в следующем виде:
<7(*) = |[S(*-*o) 4- еАГ(Х)],
(12.3.4)
। Де
/ Т 1 т
S (L — Хо) = ( J s2 (t, к) dt] j s (/, Хо) s (t, %) dt,
\o /о
/ T v -1 /2 T
2V(X)-[^° J s2{t,K)dt] J n(t)s(t,V)dt, (12.3.5)
x 0 J 0
Введенные функции S(X— Хо) и 2V(X) являются^преобразован-
ными «сигналом» и «шумом» на выходе оптимального корреляцион-
ного приемника. Эти функции обладают важными свойствами.
l.S(X)=S(X— Хо) — нормированная автокорреляционная
Функция входного полезного сигнала s(/,X) по оцениваемому пара-
мгтру X; она симметрична относительно X — X© и зависит только от
Фсолютногозначения разности j X — Хо|, причем S(X—Хо) — 1 при
7 т Хо.
2. 7V(X) — нормированный случайный процесс, зависящий от
параметра X. Поскольку <дг(/)> = 0, то
<N(X)> -
(12.3.6)
Функция корреляции случайного процесса N (X) равна
г т
J [ <П (h)n (/2)> s(^, Xi)s(G» l2')di1dt2
= д °j>-----------г-— -----------------=
( s2 (/, X) dt
о
/ т ч —1 т
= f s(AMs(/,X3)^ =S(Xi —Хг). (12.3.7)
Vo /о
Таким образом, шум на выходе оптимального приемника имеет
и'-рмальное распределение с нулевым средним значением и функ-
цией корреляции, совпадающей по форме с нормированной авто-
। ^реляционной функцией полезного сигнала. Этот шум М(Х)
। ационарен, гак как его функция корреляции зависит лишь от
н чолютного значения разности Xi — Аа.
489
Определим ошибки оценки параметра к по максимуму <?(Х)
При этом ограничимся рассмотрением случая, когда отношение сиг
нал/шум велико:
» 1. (12.3.8)
В данном случае максимум функции q(k) или функционала правдо-
подобия (а при равномерном априорном распределении и апостериор-
ной вероятности) будет расположен вблизи истинного значения
параметра X.
Из свойств логарифма функции правдоподобия </(Х) следует,
что при s-> О (отсутствие шума) положение максимума функции
q(ty совпадает с положением максимума функции S(X—Хо), т. е.
с истинным значением оцениваемого параметра % = Хо. Это озна^
чает, что в отсутствие шума оценка по максимуму функции правдо-
подобия всегда совпадает с истинным значением параметра Хо.
В реальных задачах е=/=0. Однако при малых значениях е<1
(е — малый параметр) оценку Хт можно представить в виде ряда
по степеням малого параметра е:
Xm — Zo + еХю + e2X20 + б3^зо + •••> (12.3.9)
где в качестве нулевого приближения выбирается Ло, а поправки
к следующим приближениям (%10, X20s ^зо и т* А*) необходимо опре-
делить. Ради простоты ограничимся первым приближением, *т. е
положим j
4
Xm = Хо + еХ10. (12.3.10
Для нахождения Х1о разложим правую часть уравнения (12.3.4
в ряд Тейлора в окрестности X = Хо и учтем, что в точке максимума
X — Х/д должно выполняться равенство
rf2/V(k)
\dq (Ml
dk
£ [ dS (k)
£2
dk
dk2
= 0. (12.3.11
Так как е=/=0, то, ограничиваясь двумя первыми членами ра
ложения, имеем
dN (к)
ь dk
Г d2 S(>.)
dk
J
Приравнивая члены сев
d2N(k)~
dk2
а10-о. (12.3.1$
о
1
с
первой степени, получим
dk2
A'lo
d, * w
л о
d2
dk2
Статистические характеристики величины Х1о определяют оши
ки оценки
АХ — Х_, Хо — гХщ.
490
। п< как согласно (12.3.6) <Af(Х)> = б, тб
1 <Л'
<(ДХ)—е—
d2 S (>)
dX2
= 0.
(12.3.15)
Следовательно, оценка параметра % по максимуму функции
правдоподобия при больших отношениях сигнал/шум несме-
' <!' । тая.
Дисперсия оценки параметра X определяется выражением
лГйГ <Л'(г1)ЛЦАг)>
-------------------- . (12.3.16)
d/2
штывая соотношение (12.3.7), формула (12.3.16) преобразуется
1 '--иду
A 2EjN0
S<X1—Аг)
S"2(A)
(2£/.V0) S"(X0) • (12.3.17)
Гаким образом, дисперсия оценки параметра обратно пропор-
"i! «иальна отношению сигнал/шум и кривизне нормированной авто-
р реляционной функции полезного сигнала по оцениваемому пара-
। ру в ее максимуме.
Из первого равенства (12.3.5) и формулы (12.3.2) следует, что
S (X) = qs (X) = Д | s (/, Хо) s (/, 1) dt.
о
H i ному формулу (12.3.17) можно записать иначе
“ ‘1/<7s(Xq).
(12.3.18)
(12.3.19)
Следовательно, дисперсия оценки параметра X обратно пропор-
ншльна кривизне функции автокорреляции сигнала на выходе
। исмпика к ее максимуме.
I» качестве примера определим дисперсию оценки фазы радио-
...ульса (12.2.2). По формуле (12.3.18) функция qs(&) равна
</,. W = дД" j cos "1“ cos (0 —
(12.3.20)
491
Отсюда находим <?S(0O) = —2E/Nq. Поэтому
of = М0/2Е.
(12.3.21)
Дисперсия оценки фазы обратно пропорциональна отношению
сигнал/шум и не зависит от вида амплитудной и фазовой моду»
ляции.
2. Оценка параметра радиосигнала со случайной начально^
фазой. При приеме на фоне белого шума n{t) радиосигнала s(/,X)
со случайной начальной фазой, равномерно распределенной на
интервале (— л, л), функционал правдоподобия
согласно (10.8.14) может быть представлен в виде
F (X) = const [q (У)]
параметра X
(12.3.
где
Л'о
о
— огибающая (модуль) напряжения на выходе
линейного фильтра.
Уравнение правдоподобия в соответствии с (12.1.9) определяете
выр ажением
согласованной
г
d\
же не равны нулю,
и принимает вид
J _ f Л 14(Х)1 dq (X))
х (/о 14(Ml ' d'K Д
J т т.
функции Бесселя /0 [q (/.„,)] и [q (Ут)] так
то уравнение правдоподобия упрощаете!
(12.3.24
dq (X)’
Л
= 0.
(12.3.25
Из последнего выражения видно, что для оценки параметра сигнал!
со случайной начальной фазой оптимальной операцией являете!
образование функции </(У) согласно (12.3.23) или любой монотош
ной от нее функции. 1
Итак, при приеме радиосигнала со случайной начальной фазощ
равномерно распределенной на интервале (— л, л), в дополнена!
к структурной схеме для оценки параметра полностью известно!!
сигнала (рис. 12.1), в каждом из параллельных каналов долже!
стоять амплитудный детектор огибающей с произвольной монотои
ной характеристикой. i
Так же, как и при оценке параметра полностью известного сиг на,
ла, для больших отношений сигнал/шум, оценку можно искать в вцд|
соответствующих приближений по малому параметру. Можно пОН
казать [4], что и в данном случае оценка параметра несмещенная^
492
' дисперсия оценки по-прежнему определяется формулой (12.3.19),
и- теперь фуккция qs (X) должна вычисляться по формуле
(х) = й
т
J s (t, Хо) s (t, X) dt
о
(12.3.26)
Укажем, что если интересоваться вторым приближением оценки,
дисперсия оценки параметра сигнала оказывается равной [4].
(12.3.27)
г. второе приближение имеет поправку по отношению к первому
приближению, зависящую от отношения четвертой производной
квадрату второй производной автокорреляционной функции по-
лного сигнала в точке ее максимума.
Если вместо функции qs(k) рассматривать нормированную функ-
цию S(X), то поправка к первому приближению обратно пропорцио-
| ।льна отношению сигнал/шум и зависит также от четвертой и
..рой производных нормированных автокорреляционных функций
ц " 1езяого сигнала в точке ее максимума.
Изложенный выше метод нахождения оценок при помощи малого
и 1р.1метра можно обобщить на случай совместных оценок двух пара-
ц гров радиосигнала [5].
<> 4. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ
1’АДИОИМПУЛЬСА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Обычно применяемые на практике радиосигналы (12.2.2) яв-
। потея узкополосными, т. е. их несущая частота со0 значительно
и|ц посходит ширину спектра. Для таких сигналов удобно исполь-
ui.iTb условное комплексное представление
s(t, А) = aU(t, Х)е/'“«^+Ч
(12.4.1)
। ц' £/(/,%)—комплексная функция, медленно изменяющаяся по
сравнению с высокочастотным гармоническим колеба-
нием частоты (в0;
Ф—результирующая начальная фаза.
1’> этом случае модуль автокорреляционной функции сигнала на
..<ще фильтра можно записать в виде
2
А^о
т
J s (/, Хо) s (/, A) dt
о
।))
= J U*(t, Хо) и (f, К) dt. (12.4.2)
2
493
До сих пор оцениваемый
чением оценки фазы) был лишен
неэнергетический параметр л (за
исклю
конкретного
физического
смысла
Между тем, конкретизация физического смысла параметра А пс
зволяет значительно упростить выражение (12.3.19) для диспер
сии о?.
Cos[cu(t-r )-&]
Гы
-
о
41
/
¥
/
к
Рис. 12.2. Радиоимпульс.
когда оцениваемым параметром являете
о
Рассмотрим случай,
временное положение т радиоимпульса
, О
Под т будем понимать момент времени, соответствующий средин
радиоимпульса, и под 9 — начальную фазу в этот момент времен
(рис. 12.2).
Комплексной огибающей сигнала (12.4.3)
соответствует комплексный спектр
оо
Согласно (12.4.2) автокорреляционная функция сигнала qs{
определяется выражением
т0) U (t —-x)dt,
(12.4.
О
а вторая производная ее в точке т = т0 равна
ft
а2
/Vo J
О
дт3
(12.4.
494
Выразим q"s (т0) через параметры комплексного спектра огибаю
Пюи. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье, обратным
। 12.4.5),
со
U(t — т) = Т С dt (12.4.8)
— 00
11 учтем, что
оо
U*(t — То)=^- I F*(/Q)e-'2 dt. (12.4.9)
—ОО
I пфференцируя дважды равенство (12.4.8) по т, получим
ОО
-1 [ <o2F (/и) еМ*-’) (12.4.10)
Г 1
м
—ОО
1 учетом равенств (12.4.9) и (12.4.10) выражение (12.4.7) преоб-
| .1зуется к виду
оо оо Т
'1 • (т<>) = — тйт; j f0)2/7 /7*0’Q) е~‘<w-$!),<’ d(d dQ jе/ 1 dl•
—оо —оо о
(12.4.11)
Так как по предположению радиоимпульс полностью располо-
жи ‘П на интервале (О, Т), то значение внутреннего интеграла опре-
к-ляется формулой (П. 9). В результате интегрирования с дельта-
функцией получим
ОО
J ®2И(И'2^-
— оо
(12.4.12)
1 'пределим ширину спектра огибающей радиоимпульса формулой
ОО
J to3 | F (/м)]2 des
Р2=~-----------------. (12.4.13)
J I F (/to) I2 dto
— ОО
H i основании равенства Релея — Парсеваля имеем
со г
1Д IF (jo) I2 d(d = J s2 (0 dt = Е, (12.4.14)
— со О
• 1< Е— энергия сигнала.
495
С учетом последних двух соотношении можем написать
= (12.4.15) J
Подставив это выражение в (12.3.19), получаем окончательную ’
формулу для дисперсии оценки временного положения радио- j
импульса I
(2£-/№0) •
(12.4.16) j
Вычислим о? для радиоимпульсов прямоугольной и гауссовой j
форм без внутренней частотной модуляции (ф(0 = 0). Напомним, i
справедлива в тех случаях, когда ;
что основная формула (12.3.19)
j
Рис. 12.3. Спектр прямоугольного радиоимпульса, ограниченного полосой
Ди (а), и огибающая соответствующего радиоимпульса (б).
сигнальная функция <?5(т) является аналитической в окрестности
то. Однако для прямоугольного радиоимпульса функция <75(т) 1
ПрИ т = то имеет излом (см. рис. 10.3). Поэтому к ней неприменимо \
разложение (12.3.12) и нельзя пользоваться формулой (12.3.19). ;
На практике импульсы не являются идеально прямоугольными, ;
так как нулевое время нарастания и спада импульса требует бес- j
конечно широкой полосы пропускания. Чтобы вычислить ошибку
в определении времени запаздывания, которая получается для ре- j
ального «прямоугольного» импульса, можно рассуждать таи 16]. *
Будем считать спектр прямоугольного видеоимпульса
Г? / ’ \ • f
(12.4.17)1
отличным от нуля только внутри полосы шириной А®. Это эквива-j
лентно тому, что прямоугольный импульс пропускается через иде--
альный фильтр с прямоугольной амплитудно-частотной характерна
стикой шириной А®. Если Аютн>1, то на выходе фильтра появится^
«сглаженный» импульс длительностью приблизительно равной ти,-
но с конечным наклоном переднего и заднего фронтов, и спектром,;
ограниченным полосой частот А®. Такой прямоугольный импульс!
с ограниченным спектром показан на рис. 12.3. Для этого сглажен-'
ного импульса функция <?s(t) оказывается непрерывной и можно;
496
I
пользоваться формулой (12.3.19), только интегрирование в (12.4.13)
нужно выполнять в пределах от — Д<в/2 до Дсо/2.
Подставив (12.4.17) в (12.4.13) и выполнив интегрирование,
получим
_1__________(Дм1Ги/2)—51п(Дыт:и/2)________
г2 Si (Дити/2)+[С05 (Дсоги/2)- 1] / (Аа>т„/2) ’
где Si(z)—интегральный синус; Si (г-* оо)=л/2.
При Дй)Тц>1 из формулы (12.4.18) получаем
Р2 ж Д®/лги = 2Д//ти.
(12.4.18)
(12.4.19)
Расчеты, выполненные по формуле (12.4.18), показывают, что равен-
ство (12.4.19) является достаточно хорошим приближением при
шачениях Д<вти, встречающихся в практических задачах.
Следовательно, дисперсия оценки времени запаздывания для
прямоугольного импульса длительностью ти, ограниченного по
• центру полосой Д/, приближенно равна
°т = 2Д7(2£7^ • (12.4.20)
1 овладение этой формулы с результатом (9.2.10) показывает, что
предельная точность измерения времени запаздывания радиоим-
пульса практически может быть реализована способом, рассмотрен-
ным в § 2 гл. 9.
Формально величину а; для идеально прямоугольного радио-
импульса можно вычислить другим способом [7]. В пренебрежении
шумовой функцией дл(т) апостериорная плотность вероятности па-
раметра т на основании формул (10.4.6) и (10.4.12) равна
= const ехр 1<75(т)] ~ const ехр
— k ехр
2Е
No
2Е
No
(12.4.21)
i ДС k — E j N ц.
При выполнении условия (12.3.8) можно положить
• •р(—2E/No)^O. Тогда получим
J (т — т0)2 Wps(r)dx = 2ти /(2E/2V0)2.
Т0—"и
(12.4.22)
s " <
Вычисления по формуле (12.4.13) для радиоимпульса гауссо-
ii'iii формы (12.2.20) дают следующий результат:
Р2=2,8/т2 = (лД/)2/1,4,
(12.4.23)
।к. 2 4 5
497
(12.4.24)
где А/ — ширина энергетического спектра импульса на уровне
0,5. Поэтому
2 - - Ь4
°' 2,8(2£//V0) - №f)*(2E/Nn)
Видно, что при фиксированной энергии точность измерения вре- j
мени запаздывания радиоимпульса повышается с
длительности импульса.
уменьшением
§ 5. ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ СМЕЩЕНИЯ ЧАСТОТЫ
РАДИОИМПУЛЬСА
i f
Принимаемый полезный сигнал запишем в виде
s(t> Q)=af (t) cos [((o0 — fi) /+Ф (0 — 9], —
где оцениваемый параметр Q обычно представляет собой смещений
несущей частоты из-за эффекта Допплера. j
Комплексная огибающая радиосигнала (12.5.1) равна
U(t, (12.5.2)j
Подставляя выражение (12.5.2) в формулу (12.4.2), имеем
Т/2
f
0 —Т/2
Отсюда находим вторую производную
Т/2
eo-s>' dt.
rr
-Т/2
(12.5.1)1
,ч
(12.5.4)1
Подставив в это выражение
значение а2 из соотношения
Т/2
Е=-^а2 С f2(f)dt,
— Т/2
по формуле (12.3.19) получаем дисперсию оценки частоты f=Q/2
_2 1 „2 1
°t ~ °- ~ я2 (2£/W0) •
Здесь параметр а равен
Т/2
J t2p(t)dt
ос2=(2л)2.-г/2 ________
' ' Т/2
-ТЦ
(12.5.5
(12.5.
498
I’.ели применить формулу (12.5.6) к прямоугольному радио-
- (пульсу длительностью ти, то получим
I ти/2
а1 2 = (2л)2 j t2dt J ^=л2т^/3.
/ ~~ти/2
I 1о л ому
f = (7ttH)2 (2£/А/0) (12.5.7)
Для радиоимпульса гауссовой формы (12.2.20), практически
• I. I,шестью расположенного внутри интервала ( — 7/2, Т/2), по-
учим
(12.5.8)
♦
1 ц-довательно, дисперсия оценки частоты гауссова радиоимпуль-
л равна
2 = 2,8 = Д/2
°f (rtTH)2(2£/W0) 1,4(2£//VO) ’
(12.5.9)
1 V' последнее равенство написано на основании (12.4.23).
Формула (12.5.5) получена при условии, что полезный сигнал
। IV.5.1) не флуктуирует по амплитуде и фазе. Однако на практике
м счет фединга полезный сигнал на входе приемника подвержен
пплитудным и фазовым флуктуациям. При этом, естественно,
н изшие фединга будет сказываться и на измерении смещения час-
"’ Ы сигнала, причем это влияние будет тем больше, чем больше
происходит расширение спектра федингующего сигнала по сравне-
нию со спектром нефедингующего сигнала.
Рассмотрим измерение допплеровского смещения частоты федин-
। \ ющего по амплитуде a(t) и фазе 6(f) узкополосного радиосигнала
s(/,Q)=a(/)cos[(®o+«)^ —0(0], —(12.5.10)
i-Y ieM считать, что сигнал (12.5.10) является отрезком стационар-
.... нормального узкополосного шума с функцией корреляции
пи ца
< s(0 s (/+т)> =k (т) = оо р (т) cos(a>0-|-Q)r.
। ||' <>о—средняя мощность полезного сигнала.
(12.5.11)
499
При произвольном соотношении времени наблюдения Т и вре-
мени корреляции полезного сигнала тк аналитически затрудни-
тельно получить выражение для дисперсии оценки частоты. Задача
существенно облегчается, если время корреляции сигнала s(t)
много меньше времени наблюдения Т(Т>тк). Так как этот случай
20 40 60 60 W0
2E/nq
Рис. 12.4. Зависимость нормированной средне-
квадратичной ошибки измерения смещения
частоты узкополосного шума от отношения
сигнал/шум (Тк — время корреляции, Г — ин-
тервал наблюдения).
представляет практический интерес, то приведем относящиеся
к нему результаты. При этом ограничимся рассмотрением достаточ
но больших отношений сигнал/шум •
(12.5.1
Можно показать [8], что при приеме федингующего полезное
сигнала с функцией корреляции вида
#(т)= aoe~T,''lcos((o0+Q)r) тк=-у> (12.5.13
дисперсия оценки смещения частоты Q определяется формулой
(12.5.1
500
II1
Yi=Y |/ l+(25/M))^-. (12.5.15)
1 la рис. 12.4 приведена зависимость нормированной среднеквад-
। личной ошибки измерения смещения частоты <г.тк от отношения
hi нал/шум (12.5.12) для четырех отношений времени корреляции
шумового сигнала к интервалу наблюдения (тк/Т). Из кривых
ринк), что при фиксированных 2ЕIN0 и Т с уменьшением времени
। '^реляции тк среднеквадратичная ошибка увеличивается.
11з формул (12.4.20) и (12.4.24) видно, что при заданном отно-
и<пии сигнал/шум погрешность измерения временного положения
.юпьшается при расширении спектра сигнала. Погрешность из-
11 рения смещения частоты Q, как следует из формул (12.5.7) и
11 ?.5.9), всегда уменьшается при увеличении длительности радио-
ишульса.
Если интересоваться совместной или раздельной оценкой пара-
н гров т и й, то возникает вопрос о выборе такой формы сигнала,
। иорый обеспечивал бы высокую точность определения как т,
>.»к и Q. Предельные возможности подобных измерений и некото-
рое соображения о выборе рациональных видов сигналов приво-
। и ся в следующем параграфе.
6. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ВЫБОР ФОРМЫ
< ИГНАЛА
Для простоты рассмотрим случай, когда оценка временного
ш ложения и смещения частоты радиоимпульса производится не
। пместно, а раздельно и независимо, причем радиоимпульс не
имеет внутренней частотной модуляции (ф(/) == 0), т. е.
(l,r,Q) = af(t—t)cos [(«0 —П)/— 6],-----(12.6.1)
। ie — т) — действительная функция аргумента.
Огибающая (12.4.4) такого импульса является также действи-
п.тьной функцией времени U(t — т) = f{t—т). Поэтому фор-
|' лу (12.4.7) в данном случае можно записать так:
2 772
<Мто) = -хг f (12.6.2)
—Т/2
.к* штрихом обозначена производная по т при т = то.
Покажем, что при независимых измерениях среднеквадратичные
• и 1ибки измерения временного положения т и смещения частоты Q
»। нала s(f,r,Q) удовлетворяют следующему неравенству:
°7 п(2Е/.У0) • 2.6.3)
501
Действительно, из формул (12.4.16) и (12.5.5) следует, что
= ар(2£/Л/0)’ • (12.6.4)
Но произведение величин а и Р, определенных соответственно фор-
мулами (12.5.6) и (12.4.13), удовлетворяет неравенству
ар>л, (12.6.5)
известному под названием «соотношения неопределенности».
Таким образом, для доказательства неравенства (12.6.3) необ-
ходимо лишь убедиться в справедливости соотношения неопределен-
ности (12.6.5). Из (12.4.13) и (12.5.6) Имеем
оо Т/2
J ®а|Г(/<1>)|Ми J t2f2(i)di
(«Р)2=(2л)2 ---------. (12.6.6)
f |F(/«>)|2d“ J f2(t)dt
—-сю —T]2
Приравнивая правые части выражений (12.4.12) и (12.6.2),
находим
оо 772 Т/2
f со21F (/со) I2 d(n = — 2л f f"(t — r0)f (t — To)dt = 2л f f'\f)dt.
—00 —T/2 ~T/2
(12.6.7)
Последнее равенство получено путем интегрирования по частям,
при этом предполагается, что функция f(t — То) исчезает на концах
интервала наблюдения.
Запишем также известное равенство Релея — Парсеваля
7/2 со
У f\t)dt=± У
—Т/2 —со
F (/со) |2 d<£>.
(12.6.8)
Подставив (12.6.7) и (12.6.8) в (12.6.6), получим
Т/2 Т/2
У V2{t)dt j t2f2(t)dt
(аР)2 = (2л)2 -r/2 г,2 -Г/-Ц.---------
(12.6.9)
J P(f)df
-7/2
Применим к числителю выражения (12.6.9) неравенство Швар-
ца—Буняковского (10.6.13), положив F(/)=/'(/), =
Г/2 т/2 С Т/2 12
У f'*(t)dt У t^(t)dt>\ У
—Т/2 —Т/2 1-7/2 J
.*
(12.6.10)
502
знак равенства имеет место только в том случае, когда
и) constr(/), т. е. когда
f(/)=const-1 f (t). (12.6.11)
11 уставив (12.6.10) в (12.6.9), убеждаемся в справедливости соот-
*шеция неопределенности.
Неравенство (12.6.3) показывает, что время запаздывания и
и гота в принципе могут быть измерены с заведомо гарантирован-
... погрешностью лишь за счет увеличения отношения сигнал/шум.
"тако при фиксированном отношении сигнал/шум погрешность
" кно уменьшить за счет выбора формы сигнала.
11олная энергия импульсного сигнала Е при разработке системы
। и! обычно определяется из уравнения дальности системы. Тем
гмым для известных условий приема величина 2EING будет фикси-
i иаиной. Поэтому для достижения высокой точности измерения
мриметров сигнала нужно применять такие виды сигналов, для
• ••юрых величина оф имеет большое значение. Так кака растет
\ всличенкем длительности сигнала, а Р — с увеличением ширины
iK'icrpa сигнала, то для получения высокой точности определения
-ремони запаздывания и частоты необходимо использовать длин-
И1.И* сигналы, обладающие широким спектром (узкой функцией
н ^корреляции).
Нетрудно убедиться, что для гауссова радиоимпульса (12.2.20)
। ।.шолняется равенство (12.6.11) и ар = л. Следовательно, точность
и • •юрения т и f в гауссовом радиоимпульсе ниже, чем в любом
ч> v гом радиоимпульсе.
Приведенные соображения о выборе формы сигнала важны не
। > |(>ко сточки зрения получения высокой точности измерения, но
иже и с точки зрения устранения неоднозначности определения
ц.||»аметров и требования высокого разрешения сигналов. Под раз-
।'<-тением понимается свойство системы различать два или несколь-
।«> сигналов.
Как следует из пояснений, приведенных в § 4 гл. 10, для устра-
нения неоднозначности (ненадежности) желательно использовать
* шпалы, для которых сигнальная функция имеет лишь один узкий
инк в окрестности истинного значения оцениваемого параметра,
’г» требование согласуется с требованием получения высокой точ-
|р > ги оценки параметра.
11роблема разрешения является весьма сложной. Мы ограничим-
। здесь лишь элементарными пояснениями. Необходимость разре-
шения в радиолокации возникает при наличии нескольких целей,
। и радиосвязи — при многолучевом распространении радиоволн.
г-.1жность хорошего разрешения целей в радиолокации очевидна;
нчсиим важность разрешения в радиосвязи. Обычно многолучевое
। и нространение радиоволн приводит к замираниям сигнала в месте
приема вследствие интерференции радиосигналов, приходящих
503
по различным лучам. Это считается вредным явлением. Однако
если сигналы, распространяющиеся по разным путям, можно раз-
решить (принять раздельно), то затем их можно сложить, и тем
самым использовать многолучевое распространение с выгодой для
повышения отношения сигнал/шум.
Пусть требуется разрешить два сигнала: st(/) = s(t,Ti) й s2(t) =,
= s (/,тг), отличающихся только временами запаздывания. На
рис. 12. 5 изображены сигнальные функции сигналов и их апосте-
риорные вероятности. По-видимому, возможность различения двух
Рис. 12.5. Сигнальные функции и апостериор-
ные вероятности для двух сигналов.
целей при малых значениях разности т = т2 — тх будет опреде-
ляться тем, насколько узки главные максимумы апостериорных
вероятностей и как сильно они выделяются среди побочных боко-
вых лепестков; чем выше и уже максимумы и чем меньше боковые
лепестки, тем при меньших значениях т можно раздельно зафиксиро-
вать два сигнала. Но вид апостериорной вероятности при больших
отношениях сигнал/шум определяется сигнальной функцией. Сле-
довательно, для получения хорошего разрешения нужно применял
такие сигналы, автокорреляционные функции которых имеют ni
возможности один высокий и узкий пик (широкий спектр). Добитьа
этого за счет уменьшения лишь длительности импульса (например
прямоугольного) практически не удается.
Для обеспечения большой дальности действия обычно требуютс
высокие значения энергии, а следовательно, при малой длитель
ности и большие мощности Е /ти. Во многих случаях радиотехни
ческие устройства не могут нормально работать при очень болыпи:
мощностях (пробой волноводов и т. д.). Чтобы, несмотря на наличи
этих «пиковых ограничений», можно было независимо выбирал
дальность и разрешающую способность, применяют импульсны
504
। налы специальной формы — сигналы с внутриимпульсной моду-
И111ГЙ (частотной, фазовой и др.).
(о сих пор речь шла о точности и разрешающей способности по
। пени запаздывания. Итог приведенных рассуждений состоит
। ом, что для получения высокой точности и разрешающей способ-
hi нужно применять сигналы с узкими автокорреляционными
икциями (широким спектром) без боковых лепестков. Если инте-
...ваться точностью и разрешающей способностью одновременно
- времени запаздывания и частоте, то можно показать [9, 101,
ь> вид сигнала должен определяться на основе анализа модуля
i\мерной функции корреляции
/?(т, й)| = -^
т) U* (I) d2t dt
(12.6.12)
I". нкция |R (т, Q) | называется функцией неопределенности.
Попроси, указанные в данном параграфе, более подробно рас-
|.ириваются в гл. 14.
•, г. ОПТИМАЛЬНАЯ СХЕМА ЧАСТОТНОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ
11окажем на частном примере, что общую структурную схему
и шмального измерителя (рис. 12.1) можно конкретизировать и
простить.
Пусть в принятом колебании (12.1.1) полезным сигналом s(/)
и. яется отрезок квазигармонического шума (10.8.23) с функцией
I реляции (10.8.24). Частота полезного сигнала со считается по-
• и »11нной на интервале наблюдения (0, Т), но заранее точно неиз-
< гной. Предполагается известным априорное распределение час-
1'4 1.1; будем: считать его равномерным на некотором интервале
I'-,, м2), т. е. положим
Wpr (со) =
1/(со2 —
0
При (Oi G) (о2>
при со <а)1? (о^>со2.
(12.7.1)
Нужно найти оптимальную схему измерителя, определяющего
н« I ввестную частоту сигнала. В качестве критерия оптимальности
н-пользуем критерий максимального правдоподобия, согласно ко-
। рому оптимальный приемник-измеритель частоты должен следить
। наиболее правдоподобным значением частоты.
После приема колебания £(/) на интервале(0,Т) нужно указать
nt ночное значение частоты, соответствующее виду колебания
о). Обозначим это оценочное значение, зависящее от Т, через
С течением времени Т оценочное значение частоты со0 уточ-
п к гея, поскольку увеличивается объем апостериорных сведений.
11тобы получить уравнения оптимальной схемы в дифференциаль-
>•> >и форме, исследуем изменение апостериорного распределения
Зак. 24Б
505
(10.8.25) при увеличении времени наблюдения Т. С этой целью
прологарифмируем обе части равенства (10.8.25):
(12.7.2)
lnWps(<o)=-~Z|(®)+lnC, 01 = -^
Здесь C=const — нормировочная постоянная.
Беря производную по Т и обозначив ее точкой сверху, получим ’
^ps=[F(T,<o) —X]^ps, (12.7.3):
где
(12:7.4)
С7 7Т 2°1 д^(ш)
Через коэффициент X здесь обозначена величина Х = — In С.
Коэффициент X всегда можно определить, пользуясь тем, что по
условию нормировки
J Wps((d)d<o
J rps(co)c/co=0.
Поэтому в результате интегрирования (12.7.3) по со получим
J F(T, a)Wps((i))d<t)= (F(T,<d)).
(12.7Г5)
В дальнейшем будем предполагать, что отношение сигнал/шух
велико. Естественно ожидать, что при больших отношениях сиг
нал/шум оценка будет достаточно точной, т. е. апостериорная плот
ность вероятности частоты, будет тесно сконцентрирована в неболь
шой окрестности около оценки. При этом функцию F (Т, со) можн<
разложить в ряд Тейлора в окрестности ю0 и ограничиться .учетов
лишь первых трех членов разложения:
Р /Т1 z-П Р (Т 'l I F(T, <*>о) j ' \
F (Т, <о) =г (/, <о0) Ч---
дш2
(12.7.6
Следствием принятого упрощения (12.7.6), справедливого npi
большом отношении сигнал/шум, как следует из уравнения (12.7.3)
является тот результат, что апостериорная плотность вероятное?!
считается при
ее в обычном
этом нормальной (гауссово приближение), Запишем
виде:
IFps (w) = —==- exp
V
ю
J
(12.7.7
506
। г оценка ®0 и ее дисперсия ст,2 зависят от Т, т. е. <т>0 ю0 (Т),
- ст2(Т). Из (12.7.7) имеем
(12.7.8)
Подставив (12.7.8) в левую часть и (12.7.6) в правую часть
равнения (12.7.3), получим равенство
' 2
_ 1 ст'“ I (ш — (|,о) ' I (w — (|>о)2 „2 _ р ,т х
о 2 ""Г 2 ^О-! Л л Г (/ , СОо)
£ а<„ 2аф
, ryzp . dF (Т, w0) z ч 1 d2F (Т, <1>0) .
— (F(T, £0й)> Ч-----(<В — <Оо) + “2-----------—- (<° — ®в)“.
(12.7.9)
' нем соотношение
<F(T, (о0)> - F(T, ®0)= 4 g^2fgI/0)» (12.7.10)
। чторое получается в результате подстановки (12.7.6) и (12.7.7)
। (12.7.3).
Приравнивая члены при одинаковых степенях (<о— ®0) в ле-
ii и правой частях равенства (12.7.9), получаем
__ g d2Zj.(w0) Ощ 2а| d3Zj(o>0)
<°°~ Af д^дТ ’ = д^дТ •
11юледнее соотношение можно записать иначе
2 2af d2Z|(®0)
Таким образом, окончательные уравнения, определяющие
">,,(Т) и оДТ), имеют вид:
2<j2 2<3«Z^(<d0)
0)0 = °№ д дТ ’
(12.7.11)
1 о тема, моделирующая эти уравнения, дает на выходе оптималь-
и\ю оценку интересующей нас частоты сигнала.
i.i*
507
Преобразуем первое Из уравнений (12.7.11), для чего восполь-
зуемся известной формулой дифференцирования интеграла по пара-
метру. Если
₽(у)
2 У у)
а(у)
ТО
Р(У)
J'(y)^ J f’Ax> у) dx-]-$'($) f ф (у), у) — a'(y)f(a(y), у). (12.7.12)
а(У)
Из выражения (10.8.26) с учетом (12.7.12) получим
т
= 2l(T) e -т> <r-t) i (/) cos <o0(T - A) dt = 2g (T) Xo (T).
(7 2 fj
(12.7.13)
Применяя формулу (12.7.12) к выражению
т
Х0(Т) = f e-u(T-t) I cos («о (Т — t) dt, (12.7.14)
о
нетрудно убедиться, что XQ(T) удовлетворяет дифференциально-
му уравнению
А'о+2уХ+(соо - у?) Хо=g (Г)+yxg (Г).
Считая, что w0» V и учитывая выполняющееся при этом нера-
венство g (Г) Yi £ (71), имеем
АоЧ-2у1Х0-гйо Хо—g (Г).
(12.7.15)
Таким уравнением определяется напряжение на колебательном
контуре с резонансной частотой соо и затуханием когда на кон-
тур воздействует случайный ток g(T’). Следовательно, Хй(Т) пред-
ставляет собой напряжение на колебательном контуре при воздей-
ствии на него принятого колебания g(£).
С учетом соотношения (12.7.13) первое уравнение (12.7.11)
можно записать
или, иначе,
«о = Йт ™
(12.7.16)
508
। vh А\(Г) соответствует частоте co^coo-j—|-А, Х2(Т)— частоте
(’>о —А и Л — небольшая разность резонансных частот
и гуров (А < -Yi).
< >птимальный приемник-измеритель частоты можно моделиро-
'II, при помощи блок-схемы, представленной на рис. 12.6. На вход
h'vx параллельных резонансных контуров с одинаковыми затуха-
"п |ми Yj, ио расстроенных друг относительно друга на малую
"личину А, воздействует принятое колебание £(t). Выходные
и । пряжения контуров перемножаются порознь с принятым колеба-
Рис. 12.6. Функциональная схема оптимальной частотной авто-
подстройки частоты.
11и<!м и зачем вычитаются. Полученная разность усиливается и
подается на интегратор. Напряжение на выходе интегратора, даю-
iiire оценочное значение частоты w0 (Т), посредством обратной связи
и дампы реактивного сопротивления регулирует резонансную час-
I < )ту контуров.
Из формулы (12.7.16) видно, что коэффициент усиления уси-
•иг?еля
(12.7.17)
в оптимальной схеме должен быть переменным вследствие того, что
шсперсия апостериорного распределения cd в общем случае за-
tn кит от времени.
Общеизвестная система частотной автоподстройки [11] отличается
о схемы рис. 12.6 тем, что вместо «автокорреляционных детекто-
роь-перемножителей» в ней применяются обычные детекторы оги-
ь.иощей, вместо идеального интегратора — интегрирующие цепочки
к'С и, наконец, вместо перестройки контуров дискриминатора ис-
пользуется изменение собственной частоты гетеродина. Существен-
но?
ное отличие состоит в том, что параметры оптимальной схемы, как
следует из формулы (12.7.17), должны изменяться в зависимости от
значения отношения сигнал/шум на входе (см. ниже).
Точно вычислить о™ из второго уравнения (12.7.11) весьма слож-
но. Поэтому ограничимся рассмотрением стационарного состояния,
когда выполняется условие
(Y+Yi) Т = Y т fl -f- 1 +
(12.7.18)
Противоположный случай (уТ<^1) является более простым: сигнал
s(t) можно рассматривать как отрезок -не квазигармонического,
а чисто гармонического колебания.
При выполнении условия (12.7.18) и при больших отношениях
сигнал/шум флуктуации дисперсии Ощ будут малыми и с некоторым
приближением во втором уравнении (12.7.11) можно заменить слу-
чайную величину
т т
г2т(ы)= JJe-ni'-''' cos о (t — f) £(/) %t')dt df (12.7.19)
О о
ее средним значением <Zt(<o)>.
Пусть истинное неизвестное значение частоты сигнала в при-
нятом колебании равно со*. Учитывая, что случайные процессы
Ду (/)—Л (£) sin ср (£), ЛС(/')=Л (/') cos <р (£') и взаимно незави-
симы, причем
получим
<£ (/) £ (/')> = а2 । cos ю* (/ — /') + AW — О- (12.7.20)
На основании выражений (12.7.19) и (12.7.20) можем написать
<Z£ (со)> =
2
о о
X [cos (со* — со) (t — Г)+ cos (to* -|-to) (t •— tl)] dt dtf.
Разность частот со* — со имеет порядок ош и при указанных выше
условиях будет малой величиной. При этом интеграл от второго
слагаемого, содержащего cos (со* + со) (t — t') » cos2co* (t — V)
будет значительно меньше интеграла от первого слагаемого.
Воспользовавшись формулой
(“e-tT-HroI'-'Icos(co*—й)(f—V')dt df =
0 0
= 2 J (T— т)е~(^+ьН cos (со* — to) т dr
0
510
j Ijполнив вычисления, получим
<1т (со)) = 4- M)T+(J2 [(Y+Yi)2 - (со* -- ®)2Г2 X
< {е~4-и хИ [((y+Yi)2— (<*>* — w)2)cos (<°* — <о) Т — 2 (y+Yi)X
Х(о* — со) sin (<о* —со) Т]— [(y+Yi)2 — (<°* —с0)2]}-
Ири выполнении условия (12.7.18) это выражение упрощается:
<Zr(<»)) = 4-N0T — о2,(/14а X• (12.7.21)
4 1 v yz 2 и [(7 + 7i)d + ('°* + j
' ’i пода наводим
fo2 0 2p — p2) (1— 2p ---- p2) p_ tn*--ft.
“(7 + 71)1 (1+p8)4 ’ 7 + 7i
(12.7.22)
l < 'in в этом выражении положить со=юо и затем подставить во
। трое уравнение (12.7.11), то получим
_2 12а2а2 (1-|-2р0—р2) (1 — 2р0—Pq) _w* —ш0
°" “»W C++ ’
(12.7.23)
По физическому смыслу дисперсия о.„ не может быть отрица-
Н .1ЫЮЙ величиной. Поэтому следует предположить, что оптималь-
ны схема (рис. 12.6) может нормально работать лишь при одно-
пргменном выполнении двух неравенств
1+2р0 —ро>О, 1—2р0—ро>О.
I Чшая совместно эти два неравенства, находим
Ро |< 1/(1 + V 2) = 0,41.
(12.7.24)
Подставив в (12.7.24) выражение р0 из (12.7.23), определяем
и» максимальное значение разности <ow — w0, при которой система
1жтотной а.втоподстройки работает еще нормально. Эту максималь-
ную расстройку в автоматике принято называть полосой схваты-
нания:
А(Осх — е)0
(12.7.25)
Если задан равномерный априорный интервал возможных час-
iHi\((oi, соз), то начальная частота сигнала (о* может находиться
п любой точке этого интервала. Целесообразно принять начальное
511
оценочное значение частоты соо равным центральной частоте априор-;
ного интервала, т. е. положить 1
(12.7.26)
Тогда оптимальная схема будет выполнять свое назначение лишь
при выполнении неравенства
сх-
2
(12.7.27)
При этом колебательные контуры схемы рис. 12.6 в начальный мо-;
мент времени должны быть настроены соответственно на частоты*
(01 И (02. |
В тех случаях, когда неравенство (12.7.27) не выполняется, нуж-^
но априорный интервал возможных частот разбить на iri^ ।
(со2—w1)/2A(ocx примыкающих подынтервалов, и в каждом из них j
осуществлять точное определение частоты при помощи самостоя- ’
тельной схемы указанного вида.
Возвращаясь к условию (12.7.18), заметим, что оно гарантирует s
получение достаточно точной оценки, соответствующей | ро | <^1.
Пренебрегая р0 по сравнению с единицей, из формулы (12.7.23) *
получим следующее значение дисперсии оценки частоты:
2
(О
771
(12.7.28)
ТЛ'о
Подставив это выражение для а? в (12,7.17), находим
значение коэффициента усиления
оптимальное
*
(7 + 71)4 ___ 74
бег2 6а2
(12.7.29)
Заметим, что ширина энергетического спектра стохастического
сигнала s(t), имеющего функцию корреляции (10.8.24), равн4
Л/э = у/2. Поэтому y/Vo/2 = есть энергия белого шума
в полосе сигнала и, следовательно,величину 2а2/уУ0 условно мож-
но назвать отношением сигнал/шум на входе.
Формула (12.7.29) показывает, что коэффициент усиления в оп-
тимальной схеме зависит от дисперсии а2 и времени корреляции
тк^1/у сигнала, а также от отношения сигнал/шум на входе. Be-/
личина апостериорной дисперсии оценки частоты определяется;
только отношением сигнал/шум на входе и временем корреляции
сигнала.
$12
и ИТ ЕР АТУ PA
I. Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностран-
ном литераторы, 1948.
2. S 1 е р i a n D. Estimation of signals parameters in the presence of noi-
r- Trans. IRE, 1954, IT-3, March.
3. Фалькович С. E. Прием радиолокационных сигналов на фоне
фл/ктуационных помех. Изд-во «Советское радио», 1961.
4. Куликов Е. И. Предельная точность оценки параметра сигнала
нр1 приеме в нормальном шуме. «Радиотехника», 1962, №7.
5. К у л и к о в Е. И. Предельная точность совместной оценки двух
на раметров сигнала при приеме в нормальном шуме. «Радиотехника»,
1463, № L
6. S к о! n i к М. I. Introduction to radar systems. McGraw-Hill, 1962.
7. Шир ма н Я. Д., Голиков В. Н. Основы теории обнаруже-
на я радиолокационных сигналов и измерения их параметров. Изд-во «Совет-
ское радио», 1963.
8. Куликов Е. И. Предельная точность измерения центральной
частоты узкополосного нормального случайного процесса на фоне белого
шума. «Радиотехника и электроника», 1964, № 10.
9. 3 и б е р т В. Общие закономерности обнаружения целей при по-
мощи радиолокации. «Вопросы радиолокационной техники», 1957, № 4 (41).
10. Вакман Д. Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности
г. радиолокации. Изд-во «Советское радио». 1965. _
11. Крив и ц к и й Б. X. Автоматические системы^ радиотехниче-
ских устройств. Госэнергоиздат, 1962.
Глава 13
ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ИЗ ШУМОВ
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
Рассмотрим общую постановку задачи фильтрации сигнала из
шумов и затем конкретизируем ее применительно к двум частным
случаям, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем.
Пусть колебание |(/), принятое на некотором интервале вре-
мени, является функцией от сигнала s(t,k(ty) и шума
^(t) = F(s(t,k(f)), (13.1.1)
Сигнал s(tЛ(0) в общем случае может зависеть не от одного, а от
нескольких «параметров» причем сам сигнал s(t, Х(£)) или инте-
ресующий нас параметр K(t) — случайный процесс. Шум т](/)
может быть произвольным; сигнал и шум не обязательно представ-
ляют аддитивную смесь.
Предполагаются априорно известными вид функции F (т. е.
способ комбинирования сигнала и шума) и некоторые статисти-
ческие характеристики случайного сигнала и шума. Располагая
этими априорными данными, нужно решить оптимальным образом,
какая реализация самого сигнала или его «параметра»
содержится в принятом колебании £(Z).
Из-за наличия шума и вследствие случайного характера сигнала
оценка реализации сигнала или его параметра, вообще говоря,
не будет совпадать с истинной реализацией, что приводит к ошиб-
кам фильтрации. Для количественной характеристики качества
фильтрации можно использовать несколько критериев. Укажем два
таких критерия: критерий минимума среднеквадратичной погреш-
ности и критерий максимума апостериорной вероятности.
1. Обозначим оценку истинной реализации сигнала s(Z,X(£))
в принятом колебании f(^) через s*(^,X (/)). В некоторых задачах
качество фильтрации целесообразно характеризовать величиной
средней квадратичной погрешности е2 = <[s* (t, К (/)) — s(t, Ц/))12},
усреднение производится по всем априорным сведениям. При
। ильзовавии критерия минимума среднеквадратичной погреш-
in структура оптимального фильтрующего устройства опреде-
гея из условия получения минимума величины в2 (см. § 2).
В ряде задач фильтрации более просто находится решение
критерию максимума апостериорной вероятности. В данном
|\чае оптимальное фильтрующее устройство должно следить за
* it симу мом апостериорной вероятности; точность этого слежения
- кно характеризовать дисперсией апостериорной вероятности
1 1 § 3).
В дальнейшем ограничимся в основном рассмотрением того прак-
ii’icckh важного, но частного случая, когда сигнал и шум являются
’ щионарными случайными процессами и взаимодействуют ад-
• II циню, т. е. просто складываются:
g(f) = s(i, ВД + Ш. (13.1.2)
В зависимости от дополнительных предположений о характере
шпала и шума ниже раздельно рассмотрены два вида фильтрации:
инейная и нелинейная.
ч 2 ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Предположим, что сигнал s(t) и шум iq(Z) в (13.1.2) являются
• •г .ависимыми стационарными нормальными случайными процес-
ir.ui с известными корреляционными функциями #5(т) и ^(т)
н равными нулю средними значениями. Требуется определить сис-
m 'aiv, которая с минимальной средней квадратичной погрешностью
। цсляет из шума не информационное сообщение, а сам полезный
шпал, т. е. минимизирует величину
82 = <[s* (/) — s(t + А)12>, (13.2.1)
и вычислить значение еХ(П.
Здесь для общности введен временной сдвиг на А. При Ар>0
iH’iiKa s*(fj должна предсказывать значение входного сигнала
на А вперед; если А<Д то оценка информирует нас о том, какое
'имение входного сигнала было до момента времени t — А. На-
пец, при А = 0 задача сводится только к выделению сигнала
11 шума.
Строгое математическое решение сформулированной задачи было
inn A. IL Колмогоровым [1] и Н. Винером [2]. Оптимальное
И |.иьтрующее устройство является линейным и для полубесконеч-
| ' () интервала наблюдения (— оо, Т) может быть рассчитано по
"рии Колмогорова — Винера. В ряде последующих работ эта
" <ч>ия была обобщена для конечного интервала наблюдения (О, Т)
и нестационарных процессов [3, 4, 5].
515
Не приводя здесь всех математических доказательств, ограни-
чимся простыми физическими рассуждениями.
Если сигнал и шум являются независимыми нормальными ста-
ционарными случайными процессами с нулевыми средними зна-j
чениями, то они могут отличаться только корреляционными функ-i
циями или, иначе, спектральными плотностями. Этот факт исполь-
зуется при осуществлении фильтрации. По-видимому, нужно стре-
миться к тому, чтобы по ВОЗМОЖ-5
ности с наименьшими искажениям^
воспроизвести спектр сигнала И-
как можно сильнее подавить спект-'
ральные' компоненты мешающего?
шума. Как известно, задача частот-^
ной селекции успешно решается:
Надлежащим образом подобран-
ными линейными фильтрами.
Итак, будем искать оптимальное фильтрующее устройство среди
линейных фильтров. В качестве оценки входного сигнала берется
выходной сигнал фильтра (рис. 13.1), т. е. если G(t) — импульсная
характеристика искомого фильтра, то
Рис. 13.1. К определению опти-
мального линейного фильтра.
s*(0 = G (т) | (/ — т) dr.
о
(•13.2.2)
При этом выражение для средней квадратичной погрешности]
(13.2.1) принимает вид
2
О
О
О
(13.2Д
Для того чтобы определить импульсную характеристику G0(ty
оптимального фильтра, обеспечивающего минимум средней квад»
ратичной погрешности, воспользуемся известным приемом вариа^
ционного исчисления. Пусть G(t) — G0(f) + pg(/), где ц — пара^
метр, не зависящий от t, a g(t) — произвольная функция.
Условие минимума средней квадратичной погрешности теперь
можно записать в виде (
de.2
d\y.
= 0.
р.=0
(13.2.41
516
>ro условие приводит к соотношению
« ( *
j* g Ьг) dr2 j (т2 — Т1) + kr, (т2 — Tj)] х
О ( О
х Go (тх) — ks (Т2+Д)| - 0. (13.2.5)
11искольку это соотношение должно выполняться при произвольной
Функции g(0, то отсюда следует, что импульсная характеристика
итимального фильтра Go(/) должна удовлетворять интегральному
равнению Фредгольма первого рода
г
j [&Дт— х) + ^(т—х)] G0(x)dx — &Дт+А). (13.2.6)
о
Это интегральное уравнение является основным уравнением
нории линейной фильтрации и называется уравнением линейной
регрессии или уравнением Винера — Хопфа [6]. Найдя из него
и подставив ее вместо G(t) в (13.2.3), получим значение
Следует заметить, что оптимальные линейные фильтры, опреде*
оечые уравнением (13.2.6), отличны от согласованных и оптималь-
ных фильтров, рассмотренных в § 6, 7 гл. 10; их функции и назначе-
ние различно. Если основное назначение рассматриваемых здесь
Фильтров состоит в наилучшем воспроизведении формы полезного
* и г нала из аддитивной смеси его с шумом, то задача согласованных
Фильтров заключается не в воспроизведении формы сигнала,
। в формировании максимально возможного пика сигнала на шу-
к ном фоне.
Теория оптимальной линейной фильтрации (по критерию мини-
чума средней квадратичной погрешности) имеет ряд недостатков:
I) она охватывает мало практически интересных случаев;
2) интегральное уравнение регрессии не всегда решается;
3) даже в тех случаях, когда удается решить это уравнение, опти-
ильные фильтры оказываются практически трудно реализуемыми.
Первый недостаток очевиден из исходных предпосылок, на кото-
базируется теория линейной фильтрации. Линейные фильтры
и. 1яются оптимальными лишь для выделения не сообщения, а са-
•них) сигнала в виде нормального случайного процесса. Однако
н радиотехнике обычно используются модулированные радиосигналы
•’печной длительности, не являющиеся нормальными процессами,
и ставится задача оптимальной фильтрации какого-либо параметра
in нала*. Поэтому значительно больший практический интерес
представляет рассмотрение теории нелинейной фильтрации, когда
нр< ^положение о нормальном характере сигнала не требуется.
* Примеры применения линейной фильтрации к когерентному приему
hi .'штудно-модулированных сигналов рассмотрены в [22].
517
Для иллюстрации двух остальных недостатков, наиболее суще-
ственным из которых является третий, приведем один простой
конкретный пример. Пусть требуется с минимальной средней квад-
ратичной погрешностью отфильтровать сигнал в виде нормального
стационарного шума с нулевым средним значением и экспоненциаль-
ной функцией корреляции
&Дт) = of е~й 111 (13.2.7)
от аддитивного белого шума т](/) = n(t) с характеристиками
(10.2.13).
Учтем, что согласно выражению (13:2.5) переменная т в урав-
нении (13.2.6) является положительной (0<т</). Полагая далее
А — 0, после подстановки выражений для корреляционных функ-
ций в (13.2.6) получим
t
of f е-“ Iх -*1 G0(x)dx = of е-“х — N0G0(x). (13.2.8)
о
It-
Разобьем интервал интегрирования (0, t) на два интервала
(0, т) и (т, t), в каждом из которых показательную функцию можно
записать без модуля:
т t
е~ох J e“*G0 (х) dx + еот J е~кл: Go (х) dx — е-с"—Go (т). (13.2.9)
л S
Умножим левую и правую части на е7Т и затем дважды продиф-
ференцируем по т, В результате придем к следующему дифферен-
циальному уравнению второго порядка:
G’o (т) - у2 Go (т) - 0, у2 - а2 ( 1 + . (13.2, 10)
\ о /
* t
Общее решение этого уравнения имеет вид:
Go (т) = Qe-v + с2 ег,
(13.2.11)
где произвольные постоянные сг и с2 определяются путем подста-
новки решения (13.2.11) в уравнение (13.2.9) и приравнивания
коэффициентов при е~“х и
Выполнив вычисления, найдем уравнения для определения коэф-
фициентов сх и с2:
Отсюда получим
(13.2.12)
518
11екоторые простые решения интегрального уравнения линейной
«пльтрации (13.2,6) для других случаев приведены в приложении
Для рассмотренного простейшего примера (экспоненциальной
|'\нкции корреляции полезного сигнала и дельтокоррелированного
। цитивного шума) уравнение решается сравнительно просто.
' циако импульсную характеристику оптимального фильтра из-за
и. линия в ней функций и е2^ реализовать нелегко.
3. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Хотя общая теория нелинейной фильтрации охватывает разно-
* |<«разные и весьма сложные задачи, для разъяснения применяемых
методов рассмотрим простейший частный случай, для которого
• । |к фмулируем исходные предпосылки,
Пусть принимаемое колебание £(£) представляет собой сумму
« in нала $(/, А-(О), зависящего от одного «параметра» Х(/), и ста-
ционарного белого шума n(t):
U0 ^ *(^ МО) + п(О, 0<Д<7\
(13.3.1)
I 1редполагается, что характеристики шума n(t) известны и опреде-
ляются формулой (10.2.13), а закон изменения параметра Х(/) на
интервале (0, Т) задан известным стохастическим дифференциаль-
н мм уравнением, например, вида
77 + — п1
(13.3.2)
>десь пг(1) — другой белый шум с известными характеристиками
и ос — заданный коэффициент,
Располагая этими априорными данными, нужно найти устрой-
ство, которое бы с наилучшей точностью воспроизводило изменяю-
щийся во времени случайный параметр Х(£). Иначе говоря, опти-
мальное устройство должно с наименьшей ошибкой следить за
случай ныи про цессом Х( t).
Тот факт, что полезный сигнал s(£,X(0), как правило, зависит
1 >г интересующего нас параметра Х(/) нелинейно, определяет не-
линейный характер устройства оптимальной фильтрации.
В качестве критерия оптимальности будем применять критерий
максимума апостериорной вероятности. Тогда, естественно, nep-
г. ли этап в решении данного примера состоит в вычислении апосте-
риорной вероятности параметра Х(0. С принципиальной точки зре-
ния эту апостериорную вероятность можно найти в двух случаях:
11 когда параметр Х(£) представляет собой марковский процесс и
когда параметр 1(f) является нормальным случайным процессом.
519
По этим двум направлениям и развивалась теория нелинейной
фильтрации. .
Второе направление, развитое в работе [8], основано на ис»|
пользовании того, что случайный процесс является нормальным.'
При этом ответ дается интегральным уравнением, результат реше-
ния которого часто моделируется фильтрами с переменными пара*
метрами. Ряд решенных практических примеров приведен в [9]. (
Первое направление было разработано Р. Л. Стратоновичем|
[10, 111. Ввиду того, что соответствующие результаты будут исм
пользованы в дальнейшем, остановимся на этом направлении под-5!
робнее, изложив его применительно к .сформулированному част-
ному случаю [12].
Итак, предположим, что параметр А(/) на интервале (0, Т);
является марковским процессом. Обозначим значения параметра?
А(/) в два близкоотстоящих момента времени: t и t + т, т>0,
соответственно через А, и Ах, а вероятность перехода — через
рх(К, А) = р(Ах,т,А).
Будем интересоваться изменением вероятности перехода в зави-,
симости от т, считая t фиксированным. Возьмем очевидное началь-;
ное условие
lim pz (Ат, А) = б(Ах — А),
т -> 0
(13.3.3)
где 6(г) — дельта-функция.
Как указывалось на стр. 125, вероятность перехода определяется
уравнением Фоккера—Планка (3.19.7):
- (13.3.4)
Коэффициенты К1(АТ) и K2(kz) находятся из дифференциального
уравнения, описывающего поведение параметра А(^), ло известным
формулам (3.19.5):
Я1(М
т-И)
>
/(X —— ХЛ2\
(Ах) = lim . (13.3.5)
т-»0
Для малых временных интервалов т справедливо равенство
dpjdx = kpzlx, где Арт — приращение вероятности перехода
за малое время т. Поэтому соотношение (13.3.4) можно записать
иначе:
АРх = - т [Кх (Ах) 6 (Ах- А)] + 1 т [К2 (Ах) 6 (Ах - А)] + т2...
520
Очевидно, что при малом т вероятность перехода для момента
времени t + т равна начальной вероятности б(Хх— X) в момент
времени t плюс ее приращение Др, за время т:
(Х„ к) = б (X, — Л) — т [/<! (X,) б (X, — X)] +
+ | т[Х2(X,) б (X, -X)] 4- т®...
(13.3.6)
1гэ соотношение будет использовано несколько позже.
Перейдем теперь к вычислению апостериорной вероятности па-
раметра X(f). Разобьем весь интервал наблюдения Т на m элемен-
। а эных интервалов одинаковой длительности Д = Tim, причем
hi.берем Д настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
Д«тАл, (13.3.7)
1 де т*х — время корреляции случайного процесса Х(£).
При выполнении условия (13.3.7) параметр X на каждом из эле-
ментарных интервалов можно считать практически постоянным и
равным, например, его значению в конце рассматриваемого эле-
ментарного интервала.
При таком рассмотрении вся априорная информация о пара-
метре X дается совместной плотностью вероятности Х2,..., Хт),
। де X/ — значение параметра X в конце i-ro элементарного интер-
вала, т. е. X/ = Х(/,), i = 1, 2.m. Согласно формуле (3.18.6)
априорная вероятность Wm(Ki, Хг, ..., Хт) выражается через на-
вальную вероятность \F(Xi) и вероятность перехода:
(Xi, Х2, Хт) — рд (Хш, Хи—i) X
X Рд (Хт— 1, Хт_2) •• Рд (Ха, Xi) W (Xi).
(13.3.8)
Запишем выражения совместных апостериорных плотностей
гароятностей последовательно для значений параметра в конце
I го интервала, в конце 1-го и 2-го интервалов, в конце 1-го, 2-го
и 3-го интервалов и т. д. Обозначим эти апостериорные вероятности
ответственно через Wpsfki), Wps(Ki, Х2), U7ps(Xi, Х2, Хз) и т. д.
Очевидно, что апостериорная вероятность значения парамет-
]>;. X в конце 1-го элементарного интервала определяется формулой
<13.3.25) и равна:
(Xj) -= W (ХО exp
I [?(O-S(/, Xi)]MZ ,
0 I
1 r — несущественная произвольная постоянная, не зависящая
11 X.
521
При записи совместной апостериорной вероятности для Ai и
Аг нужно учесть два обстоятельства. Во-первых, апостериорные
сведения, полученные на первом элементарном интервале, целесо-
образно использовать в качестве априорных для второго интервала.
Во-вторых, необходимо также учесть априорно известный факт,
что параметр А изменяется с значения Ai до Аг, причем из условия
(13.3.7) видно, что Ах и Аг коррелированы. Дополнительные априор-
ные сведения о параметрах Ах ТГАг* даются условной вероятностью
1Г(Аг|А1), которая согласно (3.18.2) совпадает с вероятностью
перехода и7(Аг|А1) = рд(Аг,А1).
С учетом сказанного можем написать
Wps (А1( А2) — k2Wps (Ai) Рд (А2, Ai) х
А1)Г(Ах)х
[£ (/) - s (t, А3)р dt
Аналогично поступаем при вычислении апостериорной вероят-
ности Wps (Ai, Аг, Аз). Следует лишь иметь в виду, что для простого
марковского процесса условное распределение А/+1 зависит только
от А(- и не зависит от A/_i, А(-_г, ... Поэтому все дополнительные
априорные сведения, которые необходимо учесть, будут опреде-
ляться вероятностью перехода рд(Аз, Аг). Таким образом, можем на-
писать
*з) — ^(А^ Аа) Рд (А3, Аа) х
Здесь при написании последнего равенства была использована фор-
мула (13.3.8).
Если продолжить эти рассуждения, то для апостериорной ве-
роятности первых (v + 1)<Ст значений А, получим формулу
Wps (^i> •••> ~ ^рХ^, ..., А,_1, А.,) рд(А,+1, А.) X
(13.3.9)
522
Вудем интересоваться лишь финальной апостериорной вероят-
ностью, т. е. апостериорной вероятностью только последнего зна-
к'иля Av-i-i. Обозначим ее через W\-|.I (X^i) = ^(ХЖ). Финаль-
ная апостериорная вероятность (Х^) характеризует инфор-
ыцию о последнем значении параметра после обработки
реализации £(£) на всех (v -f- 1) первых интервалах.
Для этого нужно проинтегрировать (усреднить) апостериорную
плотность вероятности (13.3.9) по всем v первым значениям Xi,
•, ..., Х„ рассматривая их как несущественные. На основании
\< ловия согласованности (3.2.5) имеем
ОО
., Ху, Ху
-|-1 )d'Ki d'K,.
—сю
Подставив сюда выражение (13.3.9), получим последовательную
попочку преобразований одномерных апостериорных вероятностей:
(X,+i) = ехр
F (t, Xv_|_ i) dt
(13.3.11)
। U'
F (t, X) = - [g (0 - s (/, X)]3. (13.3.12)
Заметим, что, как и при оценке параметров (см. стр. 484),
- кяует различать энергетические и неэнергетические параметры.
I » ли параметр X(f) является неэнергетическим и сигнал s(f, X)
• ।; ционарея, то в формуле (13.3.11) множитель
(Н-1)Д )
ехр f [£2(/) + з2(/, Х)]Л
I V Л J
Юкио включить в постоянную ^4.1 и соответственно функцию
I С, X) определить равенством
F(t, X)
X).
(13.3.13)
523
Если в формуле (13.3.6) положить Хт= X,+j, X — Xv, t = A, тд
для малых А -> 0 можем написать
А чт---------(X,+i) S (Ху-4-i — ХУ)] +
V“l“ 1
+ 4 а [К2 (Х,+1) 6 (Xv+J - xv)l + А2...
2 dXv+1
(13.3.14
Подставив выражение вероятности перехода из (13.3.14J
в (13.3.11) и выполнив интегрирование-с дельта-функцией, полу-
чим
X [Ki (Х.,+1)№,(Л,+1)] +4 А
К2 (Х,+!) W(X.,+i) +А2...
^+1
(13.3.15
Кроме этого, при А -> 0 экспоненциальный множитель в пра
вой части (13.3.15) близок к единице и, следовательно,
lim k„+i = lim$\+1 (X,+ i)/№,(X,+i) = l.
д>о д->о
Поэтому при достаточно малых А можно положить
Л.,+1 = 1 — уД,
ехр
= exp [F (/, Х,+1) А] = 1 + F (t, Х,+1) А. . (13.3.1
Во избежание недоразумений отметим, что при написании после
него соотношения использована симметризованная форма запи
стохастических интегралов, предложенная Р. Л. Стратоновиш
[131.
Подстановка соотношений (13.3.16) в (13.3.15) дает
(Х,+,) = [ 1 + (F - у) А + ?FA2] W4 (Х,+,) - А
I ° ’+1
32
ах2 ,
v-|- *
К2(Х,+1)Ж,(Хз+1)] +А2...
524
пли иначе
д)2
JKz (Xv-i-i) Wy (^4-1)
- А [Ki (Uh) (Av+i)] + A (F - T) W, (Л,+1)+ да- (13.3.17)
Разделив обе части этого равенства на А и переходя к пределу
при Л-> 0, получим, что одномерная апостериорная вероятность
должна удовлетворять уравнению
-'Ч'/= i да Ч - s (Ч V] + If ((, Ч - TJ
(13.3.18)
Чтобы определить не зависящую от А постоянную у, нужно
проинтегрировать выражение (13.3.18) по всем значениям Л и
учесть, что lim W (t, А)=0, и по условию нормировки
к.->-±00
f dw(t, X)
J *
CO
f W(t, K)dk = O.
—CO
Тогда получим
ОО
у = <F (t, A)> = J F (t, A) W (t, A) dk.
—DO
(13.3.19)
Следовательно, финальная апостериорная вероятность опреде-
ляется следующим дифференциальным уравнением в частных
производных:
= 4 да W *4 - [Л‘т +
+ [F (Л X) - <F (t, А)>] W. (13.3.20)
Таким образом, если принятая реализация представляет собой
ииитнвную смесь сигнала и белого шума (13.3.1), причем интере-
< ующий нас случайный параметр сигнала А(/) является простым
марковским стационарным процессом, то оптимальное фильтрующее
устройство определяется уравнением (13.3.20). Это уравнение
|.олжно формировать апостериорную вероятность W(t, А) и опреде-
лять значение Am(Z), соответствующее, например, максимуму апо-
• криорной вероятности. Это значение km(t) принимается за истин-
ное мгновенное значение параметра А(/), а дисперсия апостериор-
ного распределения будет характеризовать погрешность сле-
-1ЛНИЯ за параметром А(/).
525
Однако практическое осуществление этих операций оказывается
весьма сложным. Поэтому ограничимся
совом приближении. Оно базируется на
решением задачи в
гаус-
пр ед по л ожении,
что апо
стериорная плотность вероятности является нормальной:
X) =
1 eXD f РФ)-МОГ]
/2Я02(0 Pj 2o2(/) j’
(13.3.21)
Рассмотрение задачи в гауссовом приближении существенно
упрощается, так как апостериорная плотность вероятности (13.3.21)
определяется всего двумя параметрами: средним значением Хо(/),
максимизирующим апостериорную вероятность, и дисперсией
о 7(0, характеризующей ширину апостериорного распределения.
Поэтому вместо формирования и анализа апостериорной вероятно-
сти оптимальное фильтрующее устройство может определять только
эти два параметра.
Как следует из рассуждений, приведенных в § 2 гл. 12, предпо-
ложение о том, что апостериорная плотность вероятности является
нормальной, в известной мере оказывается оправданным при боль-
ших отношениях сигнал/шум и нормальном шуме. Вследствие нор-
мальности шума в рассматриваемом случае должно выполняться
подобное условие. В общем виде гауссово приближение справед-
ливо при условии ffx "С где АХ ж — некоторый
масштаб по X.
В пределах малой «ширины» апостериорной вероятности о>(/)
коэффициенты Ki(X), К2(Х) и F(t, X) будут мало изменяться и их
можно представить первыми членами разложения в ряд Тейлора
в окрестности точки Хо:
Здесь и ниже штрихами обозначены производные по параметру X.
Число учтенных членов ряда здесь выбрано исходя из того,
что используемые разложения (13.3.22) должны находиться в сог*
ласии с нормальной плотностью вероятности (13.3.21), а не проти-
воречить ей.
Отметим, кстати, что приведенные выражения для Kj(X) и К2(Ч
означают, что априорно сам параметр X в окрестности Хо изменяет-
ся по нормальному закону [см. выражение (3.19.19) ].
Получим дифференциальные уравнения, определяющие X0(f)
и о^). Если подставить выражения (13.3.21) и (13.3.22) в исходное
уравнение (13.3.20), то после несложных преобразований получим
526
Заметам» что первое слагаемое в квадратных скобках в правой
(мсти равенства (13.3.23) можно несколько упростить, если учесть
тношение
<F (f, Х)> - F (t, Хо) = 1 a? F" (Z, Хо),
। второе получается в результате подстановки выражений (13.3.21)
и (13.3.22) в формулу (13.3.19).
Приравняв члены при одинаковых степенях (X — Хо) в левой и
правой частях выражения (13.3.23), получим окончательные диф-
ференциальные уравнения, определяющие Хо(/) и п^):
^0
dt
Л1(Х0) + <y2x(t)F'(t, Хо),
(13.3.24)
Л
dt
Если Хо(/) принимается за оптимальную оценку параметра, то
|.|дача оптимальной нелинейной фильтрации состоит в совместном
решении уравнений (13.3.24). Система, моделирующая эти уравне-
ния, будет воспроизводить на выходе интересующий нас параметр
/(/), отфильтрованный от помех оптимальным образом.
Основные уравнения нелинейной фильтрации (13.3.20) и (13.3.24)
можно обобщить на случай другого шума и когда параметр X(Z) яв-
гиется многомерным марковским процессом, т. е. сигнал зависит
иг нескольких параметров: Xi((), Х2((),... [11].
Пусть, например, сигнал s(t, Xi, Х2) зависит от двух параметров:
' i(Z) и Х2((). В данном случае уравнение (13.3.4) имеет вид:
dr
[Лу(Х1-, Х2т)рт].
д2
(13.3.25)
«7
Теперь вместо (13.3.21) нужно использовать двумерную нормаль*
ную апостериорную плотность вероятности
2 2
ат
ехр
Г - Хю)2
а?'
2 2
а1 а2
Л20/
°!
где k (/) — функция взаимной корреляции между параметрами
Введем обозначение:
(13.3.26)
f
Тогда можно получить уравнения оптимальной нелинейной
трации следующего вида:
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением частного случая*
когда параметр !(/) представляет собой нормальный марковский
процесс, т. е. описывается уравнением (13.3.2), в котором nx(0 —
нормальный шум с нулевым средним значением и функцией кор*
реляции
<П1(0л1(^ + 'г)> =
(13.3.28)
$28
Кик следует из (3.19.24), в данном случае /<1(Х) =—аХ, /<г(Х) =
,Vi/2. Поэтому уравнения (13.3.24) принимают вид:
= - аХ0 + of (О F' (t, Хо),
(Л> V
^г = — 2аох + + ох F" (t, Хо).
Ur &
i
(13.3.29)
Ниже эти уравнения будут применены к частным примерам.
11рл этом основная цель состоит не в решении сложных практи-
I. ских задач, а в том, чтобы проиллюстрировать применение теории
нелинейной фильтрации на простейших примерах. Будет показано,
не в этих примерах теория позволяет получить устройства, кото-
1'i.ir известны и широко используются на практике. Несмотря на
• к 1; рассмотрение примеров оказывается полезным в трех отно-
шениях: 1) оно в некоторой мере демонстрирует принципиальные
। (| |можности теории и трудности строгого решения задач; 2) по-
। азывает, насколько те или иные устройства приближаются к оп-
(ииальным; 3) позволяет установить оптимальные характеристики
геройств н их отдельных элементов.
§ 4. ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФАЗЫ УЗКОПОЛОСНОГО
СИГНАЛА И ФАЗОВАЯ АВТОПОДСТРОЙКА ЧАСТОТЫ
Применим уравнения оптимальной нелинейной фильтрации
(13.3.20) и (13.3.24) к следующему практически важному случаю.
Пусть параметром Х(/) является блуждающая фаза фД узкополос-
ного радиосигнала
s (/, q>) = Ао cos [соо / + ф (/)].
Амплитуда радиосигнала Ао и его частота соо считаются известны-
ми, а фаза. ф(/) — случайной (блуждающей):
(13.4.2)
где — белый шум с функцией корреляции
(^i) — "2 в (^2 Л)-
(13.4.3)
Если не учитывать амплитудные флуктуации, то радиосигнал
(13.4.1) отписывает автоколебания генератора томсоновского типа,
причем под /гг(0 нужно понимать собственные флуктуации генера-
тора.
IS 2ак. 245
529
л
Нетрудно убедиться, что применительно к данному случаю»
отдельные коэффициенты, входящие в уравнение (13.3.20), согласи®
(13.3.5), (13.3.13) и (13.3.19) равны:
^г(ф) = 0, =
F(t, ф)) = Ат J s(Z, ф)Г(/г Т)^
—к
2..........
о
г
« j
*
— sin (tp — ср0) sin (и01 + ф0)].
Поэтому уравнение (13.3.20) принимает вид:
т) = у) +<₽) - <Р)>]
dt 4
Покажем, что оптимальным устройством для выделения блуж<
дающей фазы радиосигнала, принимаемого на фоне аддитивного!
белого шума, является фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ)..;;
При этом не будем заранее пользоваться гауссовым приближе-5
нием, а, базируясь на предварительном знании статистической динаг!
мики ФАПЧ [14], решим данную задачу при несколько более об*:
щих исходных предпосылках. Они физически адекватны характеру!
рассматриваемой задачи и в принципе охватывают нестационарный,
режим работы; в стационарном режиме получаются результаты,
работы [15]. Рассматривая переход от нестационарного режима!
к стационарному, можно высказать определенные соображения'
о пределах применимости гауссового приближения в теории нели-
нейной фильтрации.
Приведем некоторые предварительные сведения о работе ФАПЧ
при наличии флуктуационных помех. Поскольку частота соо при-
нимаемого сигнала s(/,(p) предполагается заранее известной, то
частоту колебаний синхронизируемого генератора можно предва-
рительно установить равной со0. Поэтому в дальнейшем будем,
считать, что начальная расстройка по частоте равна нулю. Обозна-
чим фазу колебаний синхронизируемого генератора через q>0 ~
= фо(О- ’
Пусть в момент времени t = 0 на схему ФАПЧ начинает действо-
вать принятое колебание Если бы шум n{t) отсутствовал и;
фаза сигнала была бы постоянной ф(/) = qp(O) = const, то после !
включения синхронизирующего сигнала фаза ф0 стремилась бы;?
к стационарному синхронному значению ф(0). Так как начальнаяi
фаза сигнала ф(0) хотя и постоянна, но заранее неизвестна, то
в ходе установления плотность вероятности разности фаз Аф0 —
— ф(0) — ф0 изменяется от равномерной 1Г(Аф0, 0) = 1 /2л при
530
i 0 до дельтообразной №(Дф0,со) — 6(Аф0) в пределе при / ср.
11аличие флуктуационного шума п(/) приводит к тому, что стацио-
нарная плотность вероятности из дельтообразной превращается
и. другую, а именно [16]:
W (Ф - <Ро. оо) = гя/оевГ e°cos (г ~’
- л < Ф — ф0 < л, (13.4.6)
। де I0(z)— функция Бесселя, а коэффициент D определяется от-
ношением сигнал/шум на входе и параметрами схемы ФАПЧ.
Рис. 13.2. Характер изменения плотности вероятности разно-
сти фаз во времени.
Таким образом, в процессе установления распределение раз-
ности фаз 117(<р — ф0, /) проходит все этапы эволюции от начального
равномерного до конечного стационарного (13.4.6). Характер из-
менения плотности вероятности разности фаз во времени иллюстри-
руется на рис. 13.2, на котором приведен вид плотностей вероятно-
стей для пяти моментов времени: — 0.
Примем, что плотность вероятности вида (13.4.6) с изменяющим-
ся коэффициентом D описывает финальную апостериорную вероят-
ность на всех этапах слежения за фазой ф(/) принимаемого сигнала,
начиная с момента включения до установления стационарного
режима, причем оценочное значение фазы ф0 и параметр D изме-
няются во времени, т. е. ф0 — ф0(/) и D = D(t). Следовательно,
полагаем, что применительно к рассматриваемому конкретному
1н* 531
случаю финальная апостериорная вероятность, входящая в основ-
ное уравнение (13.4.5), имеет вид:
№(Ф, 0 = Г(<р-Фо, /) =
= 24 Р) eD-C0S (’р~?<|), -л<ф-ф0<л. (13.4.7)
Основанием для такого предположения является то, что фор-
мула (13.4.7) находится в согласии с кривыми рис. 13.2. Действи-
тельно, если при />0 параметр D очень мал (£)<^1), то, используя
приближенные равенства ехр[Осоз(ф — ф0)] 1, /0(£>) ж 1 при
D<£1, из (13.4.7) получим равномерное распределение разности
фаз. В тех случаях, когда при достаточно больших t параметр Е}
оказывается большим (£>>1) и обеспечивается хорошее слежение
за фазой (ф — фоС1), на основании известных соотношений
cos (ф - ф0)« 1 - 1 (ф - ф0)8, ;о(Р) = у=е°,
из (13.4.7) получим нормальную плотность вероятности
w (ф, о
—-7=^- ехР
% /2т:
(? — ?о)а
2а2
(13.4.8)
Финальная апостериорная вероятность (13.4.7) определяется
двумя параметрами ф0 и D. Получим дифференциальные уравнения
для определения этих параметров.
Рассмотрим вспомогательную функцию
z (/, ф) = In W (Z, ф) = D cos (ф — ф0) — In [2л/0 (D)]. (13.4.9)
Нетрудно убедиться, что основное уравнение (13.4.5) для функ-
ции z(t, ф) имеет вид:
*
—д(-- = jMi[£>2sin2(ф—фо)—£>соз(ф—ф0)]+£(/, ф) —<£(/, ф)>.
(13.4.10)
Функция z зависит от t через параметры ф0 = ф0 (/) и D —
= D(t). Поэтому из (13.4.9) получим
£)соз(ф — ф0) — ф0 £> sin (ф — фо) — , (13.4.11)
так как для модифицированных функций Бесселя нулевого и пер-
вого порядков выполняется равенство l'0{x) = Л(х). В правой
части (13.4.11) точкой сверху обозначены производные по времени.
532
Воспользовавшись плотностью вероятности (13.4.7) и двумя
последними выражениями (13.4.4), получим
— 2re/0(D) \ sin4>e
<F(/,q>)> = £(0 cos (“о t + Фо). (13.4.12)
jлк как
(cos (ф — фо)> = j cos (ф — фо) U7 (/, ф)dq =
— тс
тс
= ~2Ч7ЛЖ J =
— л
тг
(ып(ф — фо)> = J sin(ф — ф0)^(/, ф)dff =
—я
7Г
Ocos<p — 0.
Приравнивая правые части соотношений (13.4.10) и (13.4.11)
и подставив выражения для F(t, ф) и (F(t, ф)> из (13.4.4) и
(13.4.12), получим
D cos (ф — фо) — Фо D si п (ф — Фо) — b уд^у =
= — Ni D [D — D cos 2(ф — фо) — 2cos (ф — ф0)] +
~ g (t) [cos (ф — фо) cos (tt>01 + ф0) — З1'п(ф— фо) sin (ю01 + фо)1 —
Л 0
- у1+фр)- (13.4.13)
/V 0 Jq (U)
Производная от оценки ф0 (0 входит в это равенство лишь
г качестве множителя при эт(ф— ф0). Приравнивая коэффици-
енты при эт(ф — фо) в обеих частях равенства (13.4.13), полу-
чим дифференциальное уравнение для определения фо(О:
Фо + ’ (0 sin (“о + Фо) = °- (13.4.14)
Так как равенство (13.4.13) должно выполняться при всех воз-
можных значениях оценки ф0, то оно, в частности, должно выпол-
533
няться и при ф — ф0. Полагая ф = <р0> из (13.4.13) получим сле-
дующее дифференциальное уравнение для параметра D:
Ь+ 1 Nx Df(D) =^В(/)со5(®0/ + ф0), (13.4.15)
где
/(D) =
Л Р)
(13.4.16)
/„ (D) - lt (D) *
Типовая с/ем а У АПЧ
Рис. 13.3. Оптимальная схема ФАПЧ.
Введем в рассмотрение мгновенную ошибку слежения за фа-
зой сигнала
(/) = фо (О — ф (0- (13.4.17)
Тогда уравнение (13.4.14) с учетом (13.4.2) принимает вид
ег + ^^sin (“° = “ П1
Это уравнение можно записать в форме, характерной для обыч-
ной фазовой автоподстройки частоты [17]:
1 94
8? + Ai psk Q I(0 sin (®01 + q>0) = — fii (Q, k = -7- .
Z1 j 7V q
(13.4.18)
Если бы в уравнении (13.4,18) параметр D был постоянным,
то оно моделировалось бы типовой схемой ФАПЧ, представленной
в верхней части рис. 13.3. Она состоит из умножителя с коэффициен-
том пересчета ц, усилителя с коэффициентом усиления k, фильтра
низкой частоты (ФНЧ), лампы реактивного сопротивления с кру-
534
юн преобразования $ И гетеродина, вырабатывающего гармони-
< >v колебание Л^п ((o0t + ф0).
>лпако s общем случае параметр D, зависящий от отношения
in л/шум, изменяется во времени. Поэтому для полного модели-
Н.1ПИЯ уравнений (13.4.14) и (13.4.15) типовую схему ФАПЧ
мн? дополнить усилителем с переменным коэффициентом усиле-
N , /е~ I/O. В соответствии с урав-
'пием (13.4.15) коэффициент усиления
кио регулировать схемой АРУ, при-
. п иной в нижней части рис. 13.3.
'и., состоит из фазовращателя на 90°,
... । ^множителя, усилителя и нелиней-
ifio филыра (НФ), характеристика
। iioporo определяется выражением
и .4.16) и представлена на рис. 13.4
Нч|.
I la осноьании асимптотических пред-
|.|нлений функций Бесселя (7.5.4) и
। 5.5) имеем 1 при D<gl, f(D)x.2D
при D^>1. Поэтому для малых и боль-
ших D уравнение (13.4.15) можно не-
только упростить. В частности, для
".’1ьших D оно примет вид:
/) -|- | У^2 = | (/) COS (б>0 t + Фо),
О>1. (13.4.19)
f(D)
О 2 4 6 8 10
D
Рис. 13.4. Характеристика
нелинейного фильтра.
Если в уравнениях (13.4.14) и (13.4.19) перейти от параметра D
' .апостериорной дисперсии о^(/) = 1 /Z>(f), то получим следующие
равнения нелинейной фильтрации:
ф о + (О В (0 sin (®о t + фо) = 0,
<4 В (4) coS;((o0 ft+ ф0) = 4 Nlt
D^l. (13.4.20)
Путем подстановки значений коэффициентов /<1(ф) и Уг(ф) из
114.4.4) в (13.3.24) нетрудно проверить, что уравнения (13.4.20)
|ччно совпадают с уравнениями нелинейной фильтрации в гаус-
ипом приближении.
В стационарном режиме работы при больших отношениях сиг-
iij.i/шум типовую схему ФАПЧ (рис. 13.5) можно рассматривать
гак квазиоптимальное приближение к наилучшему устройству,
।едящему за случайной фазой радиосигнала.
Действительно, в стационарном состоянии при слабом шуме пара-
и-гр D(t) будет флуктуировать около некоторого постоянного сред-
535
него значения Do = const. Если принять D(/) = Do, то отпадает
необходимость в дополнительном усилителе (k~) и схеме АРУ.
При этом коэффициент усиления в типовой схеме следует взять
равным
kQ = 2А0/А3 Ао Do sp. (13.4.21)
Некоторая погрешность, связанная с заменой D на Do, окупается
упрощением оптимальной схемы.
Для определения величины Do нужно обратиться ко второму
уравнению (13.4.20), которое является нелинейным стохастическим
дифференциальным уравнением. Хотя при малом шуме можно пред-
Рис. 13.5. Квазиоптимальная схема ФАПЧ (£>3>1).
дожить стройную процедуру последовательных приближений с ис-
пользованием малого параметра [15], оценим Do = 1/oq путем
следующих нестрогих упрощений. Так как в стационарном состоя-
нии дисперсия не должна зависеть от времени, то о,, = о0 = 0.
Учитывая малость шума n(t), положим cos(tp — <р0) 1 и отбросим
вибрационный член с двойной частотой 2®0. Последнее оправды-
вается тем, что в цепи обратной связи ФАПЧ в качестве фильтра
применяют низкочастотные фильтры, не пропускающие колебания
с частотой 2(1)0. После этих упрощений из второго уравнения (13.4.20)
получим
„2
Оо =
(13.4.22)
Подставив это значение Z)o в (13.4.21), определяем коэффициент
усиления
Ki \т
о
(13.4.23
Формула (13.4.23) показывает, что оптимальное значение коэф*
фициента усиления k0 при других фиксированных параметрах прямс
пропорционально корню квадратному из отношения интенсивности
блуждания фазы сигнала к интенсивности аддитивного шума и н(
зависит от амплитуды сигнала.
536
Заметим, что основные уравнения нелинейной фильтрации
। 1.14) и (13.4.15) выше были получены в предположении, что на-
। льная расстройка между частотой полезного сигнала и колеба-
ниями гетеродина равна нулю. Реализовать практически этот слу-
III можно лишь тогда, когда частота сигнала o0 постоянна и ап-
I'нирно известна, что, как правило, не имеет места в реальных ус-
j. »|И1ях. Наличие случайной начальной расстройки учитывается
§ 5.
। 5. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЧАСТОТЫ УЗКОПОЛОСНЫХ
СИГНАЛОВ
Рассмотрим задачу оптимального приема узкополосных сигналов
incTOTHoa модуляцией. Предположим, что радиосигнал
s = (t, <р) = 40cos [о)о t + ф (01 (13.5.1)
имеет постоянные амплитуду До и частоту о)0, а фаза q>(Z) пред-
• । являет собой компоненту двумерного марковского процесса:
ф = Q, Q = —ccQ Л2Х (Z). (13.5.2)
;десь пг(0— нормальный белый шум с дельта-функцией корреля-
ции (13.4.3). Полезным сообщением является процесс изменения
• истоты Q(£), причем согласно второму уравнению (13.5.2) Q есть
нормальный марковский процесс. В данном случае Q(f) не входит
непосредственно в выражение для сигнала (13.5.1).
Решим задачу оптимального выделения сообщения £J(Z) при
приеме сигнала s(/,qp) на фоне аддитивного нормального белого
111 ума n(t\
По практическому содержанию указанная задача наиболее
IMIH3KO подходит к проблеме измерения допплеровского смещения
частоты узкополосных сигналов. При этом а есть ширина спектра
кжплеровских флуктуаций, a (AT/4a)V2 —среднее квадратичное
- «склонение частоты. Точно так же ставится задача приема частот-
।к смодулированных радиосигналов при .условии, что сообщение
представляет собой экспоненциально-коррелированный случайный
процесс. В этом случае а есть ширина спектра сообщения, а
| /Vi/4a/a— индекс модуляции.
Ограничимся решением задачи в гауссовом приближении. При
• гим структура оптимального приемника будет определяться пер-
|'.ими двумя уравнениями (13.3.27), а его параметры — тремя по-
следними. Тот факт, что решения этих трех уравнений в общем
случае зависят от времени, означает, что оптимальный приемник
клжен иметь переменные параметры. Для упрощения результатов
и реализации оптимального приемника произведем усреднение
I-НВ. Зак. 245 537
коэффициентов в уравнениях для оь о2> k [15], и будем интересе*
ваться только их стационарными значениями.
Применительно к рассматриваемой задаче имеем
£ (0 = S (t ф) + «(0. F (Лф) = Д В (*) Л cos (o01 + ф),
= X2 = -afi, /^ = 7^ = 0, K22=4/Vi,
(13.5.3)
После усреднения последние три уравнения системы
можно записать в таком виде:
(13.3.27)
2k — <ъК = 0,
—2С4СГ2 — = о,
(13.5.4)
О2 —&k — k(j\ К = 0.
Эти уравнения имеют следующее решение
o? = JL(/T+2Q_i),
d=£(l + Q-/T+2Q) KF+2Q, .
k = ^(1 +Q-/T+2Q).
(13.5.5)
Здесь величина Q характеризует отношение сигнал/шум и равна
(13.5.6)
Перейдем к выяснению структуры оптимального
С учетом соотношений (13.5.3) запишем первые два
(13.3.27):
приемника,
уравнения
= Qo — of g (i) sin (o01 + ф0),
= — aQ0 — fc g (0 sin (w01 + фо)-
(13.5.7)
Учитывая, что перемножение принятого колебания £(/) с сигна*
лом Ло sin(o)0£ + фо) может быть выполнено при помощи фазового
детектора, уравнения (13.5.7) можно трактовать как уравнения
системы фазовой автоподстройки частоты.
538
< отвётствующая схема привёдена на рис. 13.6. В ее состав
1яг: местный генератор (Г), вырабатывающий напряжение
hi (соо/ + <р0), перемножитель (фазовый детектор) с коэффициен-
। । юредачи р, два усилителя с коэффициентами усиления kj и
инерционное звено и сумматор, образующие параллельный
• 1 п,-гр (на рисунке он обведен пунктиром) и, наконец, управитель
Рис. 13.6. Оптимальная схема ФАПЧ.
। ), который изменяет частоту местного генератора пропорциональ-
на напряжению на выходе фильтра. Согласно (13.5.7) оценочное
ц,1чение сообщения Q0(f)
riiia (интегрирующей це-
..пси RC).
I lap аллельный фильтр
и' гемы может быть заме-
ни । последовательным.
Ina варианта такого
фи льтра, называемого Про-
H. рциона льно-4и нтегри-
। кипим, показаны на
।ни*. 13.7. Последователь-
H. * с ним должен быть
г, /почен усилитель с коэф-
1-Н1 тентом передачи
'и , |- WpisAf0. Отношение
реализуется на выходе инерционного
а)
б)
Рис. 13.7. Две схемы пропорционально-ин-
тегрирующего фильтра.
"Противлений R1/(R-]-R1) в схеме рис. 13.7,а или отношение емко-
2 2
H'ii ^/(C+Cj) в схеме рис. 13.7, б должно равнятьсяао,1/(я+а°'1)-
Можно показать, что в гауссовом приближении рассматриваемая
.гиа остается оптимальной и в том случае, когда амплитуда сиг-
и i.iia До не постоянна, а изменяется во времени. Однако теперь
ему нужно дополнить автоматической регулировкой уровня
шпала, поступающего на фазовый детектор [19,20]. Параметры
1’\1]Ч и величины и о-| сохраняются прежними, а величи-
Г\ в формулах (13.5.4) и (13.5.5) следует определять иначе:
I' <A20)IN0.
I .1',*
539
§ 6. СИНХРОННЫЙ ПРИЕМ АМП ЛИТУДНО-МО ДУ ЛИРОВ АННОЦ
РАДИОСИГНАЛА 'i
Выясним схему оптимального приемника для фильтрации 1
белого шума сообщения т(/), когда принимаемый радиосигн!
имеет вид: 1
s {t, tn) ~ A (t) cos (coo t + ф0) = [Ло + m (01 cos ((Do t + Фо)* (13.6J
Здесь До, €o0 и (р0 предполагаются известными постоянными вел
чинами, а сообщение т(1) представляет собой случайный марка
ский процесс, описываемый уравнением вида (13.3.2): ]
т + am (/), {пг (/) (t ф- т)) = S (т). (13.6J
В данном случае параметр m(t) является энергетическим j,
функция F(t,m) определяется формулой (13.3.12):
X
F(t, т)]* =
Wo‘’V/ v-u > v-„.. , WJ >
Если в функции F(t,m) отбросить вибрационный член с двойш
частотой (что практически легко реализуется при помощи лине
ного фильтра), то I
Wo
£
(13.68
4 I
Подставив в (13.3.29) значения производных функции F(t,{
при т = т0, получим уравнения оптимальной фильтрации: 'jj
g(/) cos(co0/+q)0)—Т/Io
N0°m )т° ~ Wo
। t -2 1
Решая второе уравнение (13.6.4), получим следующее выраа|
ние для апостериорной дисперсии [211: J
a
(13.6Я
Полагая yf»l, из (13.6.5) находим стационарное значение дц
Персии
ст» = (v — a) = aN0
Wi
2a2W0
540
|ж следует из (13.6.5), в первом уравнении (13.6.4) диспер-
(/) в общем случае зависит от времени. Однако если за-
|Ц|) Ощ(/) на Оо = const, то первое уравнение (13.6.4) прини-
- । вид:
2
-F
Оо В (О COS (ю01 + ф0) — v Ао
(13.6.7)
Сравнение (13.6.7) моделируется синхронным приемником
и н. . 13.8). Он содержит умножитель, на который воздействует
пнятое колебание |(/) и гармоническое колебание X0cos (ciV+фо)
। синхронного гетеродина (СГ). Напряжение с выхода
Рис. 13.8. Синхронный радиоприемник.
тожителя, смещенное на постоянную величину О,5Ло подается на
- и.литель и интегрирующую цепочку RC с постоянной времени
1/7?С. Усилитель имеет коэффициент усиления
£ = 2 (То/уЛГ0. (13.6.8)
и; исимость коэффициента усиления k от постоянной у объясняет-
•| гем, что б правую часть дифференциального уравнения, опреде-
i нощего напряжение на емкости цепочки RC, входит не просто
। > действующее напряжение ц(7), а величина ут](О 1см., например,
1Ь 11)1.
Напряжение на выходе цепочки RC дает оценку величины m(t).
Рассмотренные примеры дают представление о круге задач,
• •’горые позволяет решать теория нелинейной фильтрации, и
• практической ценности получаемых результатов. Можно ска-
ич, что теория нелинейной фильтрации позволяет составить
1 |иктурные схемы оптимальных систем передачи непрерывной
11ш|х)рмации для многих практически интересных систем радио-
низи и оценить минимально достижимые погрешности.
1ИГЕРАТУРА
i. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование
। л !ионарных случайных последовательностей. «Известия АН СССР», сер.
нематическая, 1941. № 5.
It Т
541
2. W iener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stat Io j
nary time series. John Wiley, 1949. j
3. Я г л о м А. М. Введение в теорию стационарных случайных фунМ
ций. УМН, 1952, вып. 5 (51). J
4. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее применен1М
к задачам автоматического управления. Физматгиз, 1960. Я
5. Лэнинг Дж. X., Бэттин Р. Г. Случайные процессы в зЯ
дачах автоматического управления. Пер. с англ. Изд-во иностранной лЯ
тературы, 1958. я
6. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейны!
систем автоматического управления. Физматгиз, 1960. 71
7. Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обИщ
ружения сигналов и выделения сигналов из шумов. ВВИА им. проф. Н. Я
Жуковского, 1958. * 71
8. Большаков И. А., Репин В. Г. Вопросы нелинейной!
фильтрации. «Автоматика и телемеханика», 1961, № 4. 1
9. Б а к у т П. А., Большаков И. А., Герасимов Б. Мл
Курикша А. А., Репин В. Г., Тартаковский Г. Г!*]
Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации, т. IH
Изд-во «Советское радио», 1964. 1
10. Стратонович Р, Л. К теории оптимальной нелинейной филы
трации случайных функций. «Теория вероятностей и ее применения», 195Ш
11. Стратонович Р. Л. Применение теории процессов Марков!
для оптимальной фильтрации сигналов. «Радиотехника и электроника^
1960, № 11. ]
12. Т и х о н о в В. И. Нелинейная фильтрация и квазиоптимальны!
характер фазовой автоподстройки частоты. «Техническая кибернетикам
1965, № 2, 1
13. Стр а т о н о в и ч Р. Л. Новая форма стохастических интегр!
лов и уравнений. «Вестник Московского университета», сер. математ., механо
1964, № 1.
14. Тихонов В.
устройств синхронизации.
15. К У л ь м а н Н.
* >
И. Влияние флуктуаций на точность работ,
УФН, 1964, в. 4. *
Фазовая авта
подстройка частоты и оптимальное измерение параметров узкополоснол
сигнала с непостоянной частотой в шуме. «Радиотехника и электроника!
1964, № 1. 1
16. Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при
личии шумов. «Автоматика и телемеханика», I960, № 3. i
17. Т и хонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой авт||
подстройки частоты. «Автоматика и телемеханика», 1959, № 9. |
18. Т и х о н о в В. И. Основные статистические характеристики км
нала синхронизации. «Электросвязь», 1966, №4. 1
19. V a n Trees Н, L. Analog communication over randomly—time«J
varying channels «Wescon—64», pt.4. 1
20. Бакаев Ю. H., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналя
частотной модуляции в условиях эффекта Допплера. «Радиотехника и элей
троника», 1965, № 1. |
21. К у л ь м а н Н. К. Оптимальное выделение амплитудно-модулй
рованного сигнала из шумов при помощи синхронного детектирования. «Ря
диотехника и электроника», 1964, № 5. 1
22. Lindsey W. С. Optimal coherent linear demodulation. Trans. IEEEi
1965, COM—13, № 2. I
4
Глава 14
ФОРМИРОВАНИЕ И ПРИЕМ СИГНАЛОВ
С ВНУТРИИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗОНДИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ
Конкрегизируем некоторые общие положения, изложенные
и предыдущих главах, применительно к радиолокации. В частно-
сти, рассмотрим подробнее теорию зондирующих сигналов.
Наиболее важными являются следующие характеристики зон-
дирующего сигнала.
1. Ширина спектра Д/, определяющая разрешающую способ-
ность по дальности. При правильно выбранной форме спектра зон-
дирующего сигнала временная длительность сигнала на выходе
радиотракта приближенно равна UAf, причем максимальное отно-
шение сигнал/шум в пике равно 2£Л¥0.
2. Длительность сигнала Г, которая определяет разрешающую
способность по скорости. При правильно выбранной форме огибаю-
щей «протяженность» сигнала в зависимости от допплеровского
сдвига частоты равна 1/7.
3. Энергия сигнала £, определяющая максимально достижимое
о тношение сигнал/шум на выходе радиотракта РЛС, равное 2E/N0.
Напомним основные результаты теории, относящиеся к зонди-
Р ующим радиолокационным сигналам [11.
Теория оптимального приема устанавливает, что при оценке
неизвестных параметров сигнала, отраженного от цели, таких,
как временная задержка т и сдвиг Q несущей круговой частоты а>о,
приемное устройство должно произвести операцию взвешивания
принимаемых данных с весом s(/, т, Q), где s(f) —зондирующий
радиосигнал. У казанная операция может быть выполнена с помощью
согласованных фильтров или многоканальных корреляторов, либо
щтройствсмешанного типа. Сигнал на выходе оптимального устрой-
ства, нормированный так, чтобы его максимальное значение равня-
лось единице, имеет вид:
$43
Z?(r, Q)
2E
r) dt
"— GO
и называется функцией неопределенности зондирующего сигнала.
При оптимальном приеме отношение сигнал/шум в максимуме
выходного сигнала равно 2Е/Лф; отношение сигнала к шуму при
любом другом способе приема меньше чем 2E/NQ.
Зондирующий сигнал s (<) можно представить в виде
s(i) = А (£)е^«
где A(t) — комплексная огибающая зондирующего сигнала;
(о0 — его несущая частота.
С учетом этого, (14.1.1) можно записать в следующей форме:
(14.1.2)
Если положить здесь Q = 0, то получим
(14.1.3)
В соответствии с этим сечение функции неопределенности (14.1.1)
плоскостью Q = 0 иногда называют модулем корреляционной
функции огибающей A(t) сигнала s(f).
Функция неопределенности позволяет узнать все характеристи-
ки сигнала, определяющие его выбор. Совместная разрешающая
способность по задержке т и сдвигу Q несущей со0 определяется
формой поверхности (т, Q)|, конкретнее, формой главного
максимума (в окрестности точки т •= О, Q = 0), величиной и рас-
положением побочных максимумов (так называемых боковых лепе-
стков). Неоднозначность измерений определяется количеством и
расположением побочных максимумов, сравнимых с главным.
Обнаруживаемость сигнала зависит главным образом от величины
отношения сигнал/шум и в меньшей степени от вида функции неоп-
ределенности. Точность измерений зависит от скорости спадания
главного лепестка функции неопределенности и отношения
сигнал/шум.
В настоящей главе содержится краткий качественный обзор
функций неопределенности некоторых зондирующих сигналов, ис-
пользуемых в радиолокации. Более подробно рассмотрены два
вида сигналов: импульсы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ
импульсы) и импульсы с фазовой манипуляцией (ФМ импульсы).
Перечисленные выше характеристики зондирующих сигналов
не определены количественно; используется только интуитивное
i наставление, базирующееся в основном на следующих поло-
жи иях:
1) разрешающая способность увеличивается, если протяжен-
н-ть функции неопределенности по соответствующей координате
лоньшается;
2) разрешающая способность увеличивается, если боковые ле-
н-тки функции неопределенности по соответствующей координате
оеныпаются;
3) точность измерения координаты возрастает, если протяжен-
ность основного лепестка функции неопределенности уменьшается;
4) неоднозначность измерений уменьшается, если растет расстоя-
ние по соответствующей координате между конкурирующими выбро-
аии функции неопределенности;
5) ширина главного максимума функции неопределенности вдоль
'•ин задержек имеет порядок l/Af;
6) ширина главного максимума функции неопределенности вдоль
• о! частотных сдвигов имеет порядок 1/Т.
Функция неопределенности, как это видно из приведенных выше
соображений, играет в радиолокации фундаментальную роль. Сле-
(\ет, однако, заметить, что область применений функции неопре-
деленности ограничена. Среди ограничений особо важными являют-
ся следующие.
1. Время Т когерентного накопления сигнала должно быть зна-
чительно меньше, чем время корреляции фединга цели. В противном
* .чучае части сигнала, расположенные друг от друга на временных
интервалах, превышающих это время корреляции, будут суммиро-
ваться в произвольной фазе и выходной сигнал оптимального
\<тройства существенно исказится.
2. Спектр сигнала значительно меньше его несущей центральной
частоты, вследствие чего можно считать, что все составляющие спект-
ра имеют одинаковый сдвиг частот за счет эффекта Допплера. Дру-
। ими словами, ширина главного лепестка функции неопределен-
ности по оси задержек должна быть такой, чтобы за время накоп-
ления Т задержка принимаемого сигнала за счет движения цели
шала бы значительно меньше, чем временная протяженность вы-
ходного сигнала.
3. Движение цели за время Т является равномерным и не учиты-
вается радиальное ускорение цели.
Необходимо различать функции неопределенности, построенные
в следующих двух случаях. Функции неопределенности импульсных
<*игналов, называемые в дальнейшем «импульсными» функциями
неопределенности, получаются в том случае, когда огибающая
1(0 радиосигнала s(t) занимает во времени конечный отрезок; это
может быть, например, одиночный импульс или серия импульсов,
следующих с определенным периодом (так называемая «пачка»
импульсов), или серия «случайно» расположенных импульсов раз-
личной формы. При этом бесконечные пределы интегрирования
545
в (14.1.1) имеют символическое значение; фактически интегриро-
вание распространяется только на области, где произведение .
A(t) A*(t — т) отлично от нуля. Соответственно приемное устрой- t
ство имеет «память», равную длительности Т огибающей A(Z). I
Другой частный случай имеет место, если используется периоди- ]
ческий сигнал с периодом То и выбрано время усреднения, равное I
периоду То. Функция неопределенности, построенная в этих уело- j
виях, называется далее «непрерывной» функцией неопределенности.И
Конкретные примеры импульсных и непрерывных функций неоп- !
ределенности приведены ниже. ;
Общее ограничение, накладываемое на функцию неопределен-
ности зондирующего сигнала, известно под названием «принцип |
неопределенности»: объем под квадратом функции неопределен- |
ности равен единице. Таким образом, при любом преобразовании j
зондирующего сигнала «тело неопределенности» деформируется ;
так, что
J С | Я (т, Q) I2 dr dQ = const.
(14.1.4)
£
§ 2. ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ИМПУЛЬСОВ
i
Рассмотрим функции неопределенности некоторых видов конеч-
ных импульсных последовательностей, т. е. имеющих начало и конец
последовательностей одинаковых импульсов, расположенных друг
относительно друга различным образом [2].
Равномерная импульсная последовательность. Предположим,
что высокочастотное заполнение импульсов получается «вырубкой»
из одного колебания и импульсы расположены на одинаковых
расстояниях друг от друга (рис. 14.1, а). При условии, что длитель-
ность ти отдельного импульса меньше половины периода повторе-
ния TQt функция неопределенности в сечении по оси т при v =
Q А
= = 0 состоит из неперекрывающихся треугольников, высота
которых линейно уменьшается по закону 1 м__________
где N — число импульсов, | т | — целое число периодов повторе-
ния импульсов, укладывающихся на величине запаздывания т.
За единицу принята высота центрального пика при т = 0. Высоты
остальных пиков уменьшаются вследствие того, что при увеличе-
нии т все меньшее число импульсов входит в произведение 4(0
tn I
Рассмотрим теперь сечение поверхности неопределенности плос-
костью т = 0. Очевидно, что функция | Z?(0, v)| представляет собой
546
• нейтральное преобразование произведения A(t)A*(t), являюще-
юся последовательностью прямоугольных видеоимпульсов.
Спектр последовательности N прямоугольных видеоимпульсов
«при условии, что суммарная площадь N импульсов равна единице)
|меет вид
Я (0, v)
sin п\ти
тти
sin Tt'/NTo
sin тТо
(14.2.1)
где ти — длительность одного импульса;
То —период повторения импульсов.
Вид функции | 7?(0, v) | представлен на рис. 14.2.
а)
Л
1
О
в
Рис. 14-1. Равномерная последовательность импульсов (а) и сечение
ее функции неопределенности плоскостью Q —0 (б).
В сечении поверхности неопределенности плоскостью т — тТ0
получается кривая, определяемая выражением
\R(tnT0, v)
sin яуги sin (N — | tn |) Тй /, __________ | m |
7Г'/т:и ' sinrc'/T’o \ N
(14.2.2)
Размеры пунктирной кривой (или «огибающей») по оси ординат
с ростом пг сокращаются и по оси абсцисс остаются неизменными,
ширина же внутренних пиков увеличивается и становится равной
[(Л/-— /л|)Т0]-1. Это происходит из-за того, что произведение
Л(^) A*{t— т) представляется не N прямоугольными импульсами,
как при т = 0, a N — | пг | импульсами, т. е. длительность последо-
вательности прямоугольных импульсов A(t) Л*(( — тТ0) сокра-
щается на | ш | импульсов.
Теперь рассмотрим сечение поверхности неопределенности плос-
костью т = тТ0 -|- Л, где | Д | < ти. В этом случае произведение
A(t) Д*(Т — т) представляет собой последовательность N — | пг |
547
прямоугольных импульсов, каждый из которых имеет длительность
ти — А. В данном случае «огибающая» как бы расплывается по
оси абсцисс. Ширина первого лепестка «огибающей» становится
равной 1 /ти — А, а амплитуда «огибающей» уменьшается вследствие
уменьшения площадки каждого импульса произведения. При
<|Д|< произведение Л(/)Д*(/—т) —0 и его спектр ра-
вен нулю.
Таким образом, функция неопределенности равномерной после-
довательности импульсов, заполненных одной несущей частотой,
имеет несколько выбросов, величина которых конкурирует с глав-
1
Рис. 14.2. Сечение функции неопределенности равномерной последова-
тельности импульсов плоскостью т = 0.
ным максимумом (т = 0, v — 0), причем эти выбросы расположены
в точках с координатами т = р То и v = qlT^ где р, q — целые
числа. Происхождение этих побочных максимумов легко понять,
если рассмотреть поведение такой последовательности в приемном
устройстве (рис. 14.3).
Описываемое приемное устройство состоит из набора линий
задержек с отводами, сделанными через период последовательности
TQ, На каждом отводе расположен фазовращатель, поворачиваю-
щий фазу несущей на некоторый угол. Каждый канал устройства
настроен на прием последовательности, несущая которой сдвинута
на определенную величину Q. При большой скважности допплеров-
ское смещение частоты проявляется как сдвиг начальной фазы вы-
сокочастотного заполнения у первого импульса на величину = 0,
у второго импульса на ф2 = У третьего импульса на (р3 =
= 2QT0, у четвертого импульса на (р4 = ЗЯГ0, у пятого импуль-
са на величину ср5 = 4QT0.
Если вся последовательность вошла в линию задержки первого
канала, настроенную на данный сдвиг частоты Q, то все дополни-
548
гельные сдвиги фаз компенсируются и пять импульсов суммируются
в фазе. При этом на выходе канала появляется главный максимум
функции неопределенности. Если последовательность с допплеров-
ским сдвигом попадает в канал, настроенный на другой допплеров-
ский сдвиг, то фазовращатели не компенсируют фазовых сдвигов
полностью, импульсы складываются не в фазе и максимума не
получается. Этот случай соответствует одному из небольших лепе-
стков (pic. 14.2), расположенных между большими боковыми лепе-
A(t) j
Линия задержки
Рис. 14.3. Устройство для приема последовательности когерентных
импульсов.
стками. При некоторых допплеровских сдвигах может оказаться,
что приращения фаз несущих за период находятся в соотношении
2 л Vi 71 q— 2 л v2 0 = 01 Т 0 £2 2 ~~Vi , k 1,2, ...
1 0
При этом условии на выходе каналов приемника, настроенных на
сдвиги Qi и Q2, буду7 почти одинаковые максимумы сигнала в мо-
мент, когда последовательность с фактическим сдвигом, например
Q1} полностью войдет в линии задержки. Это будут главный мак-
симум к большой ложный максимум. Величина сигнала на выходе
канала в момент полного входа сигнала в линию, изображенная
как функция допплеровского сдвига (или номера канала), пред-
ставляет сечение функции неопределенности при т = 0.
Формирование сечения функции неопределенности при Q = 0
можно проследить таким же образом. Большие боковые лепестки
соответствуют случаям, когда в линию задержки вошла только
часть последовательности, состоящая из одного, двух, трех и че-
тырех импульсов соответственно.
Наличие конкурирующих максимумов приводит к потере разре-
шающей способности в соответствующих точках (т, Q), и к неод-
нозначности измерения координат. В ряде случаев, однако, рабо-
549
Чии диапазон сдвигов т/7ШГ < TQ и vmai. < поэтому равномерную
'О’
последовательность импульсов можно использовать без всяких
ограничений характеристик радиолокатора.
Последовательность с линейно нарастающими расстояниями
между импульсами (рис. 14.4). При правильно выбранных парамет-
рах такой последовательности можно обеспечить следующее важное
свойство; при любом временном сдвиге сигнала s(Z) по времени
произойдет не более, чем одно совпадение импульсов основной и
Рис. 14.4. Последовательность с линейно нарастающими
расстояниями между импульсами (fl) и сечение ее
функции неопределенности плоскостью Q = 0 (б),
сдвинутой последовательности. Это свойство обеспечивает получе-
ние небольших боковых лепестков при сечении функции неопре-
деленности плоскостью Q = 0. На рис. 14.4 представлена также
корреляционная функция рассматриваемой последовательности.
Отношение главного максимума к максимальному боковому лепе-
стку здесь равно 1 IN, где N — число импульсов последователь-
ности. Аналогичным образом, в сечении т = 0 будут отсутствовать
ярко выраженные максимумы, характерные для периодической по-
следовательности импульсов. Действительно, функция |J?(0, Q) |
пропорциональна спектру Г(/й) последовательности Л(£), причем
ЛГ-1 п
= FO(J£1) 2 exp {jQtn}, tn 2 m Го + (tn — 1)
n~0 m~ 1
(14.2.3)
где Fo(/Q) — спектр одиночного прямоугольного импульса дли-
тельностью ти, ДТ0 — приращение периода по сравнению с преды-
дущим периодом.
Графическая интерпретация этого соотношения приведена на
рис. 14.5. Здесь угол а = 2nvT0 — поворот вектора за счет периода
повторения импульсов, угол |3 = 2лтДТ0 — поворот за счет при-
550
|ценйй к пёрйоду повторения. Таким образом, углы а й завися?
। величины допплеровского смещения. Модуль каждого вектора
• и [ределяехя величиной спектральной составляющей отдельного
импульса Fo(/Q) ПРИ данном Q. Спектральная составляющая всей
последовательности импульсов определяется как сумма всех век-
к ров.
Действительная ось
Рис. 14.5. Графическая интерпретация спектра F(/Q) по-
[ледовательности с линейно нарастающим расстоянием
между импульсами.
Нетрудно убедиться, что там, где для периодической последова-
тельности были максимумы (ДТ0 = О, QT0 = 2n&, k — целое
число), теперь за счет дополнительных приращений фаз не проис-
ходит синфазного сложения импульсов. Сечение функции неопре-
деленноста плоскостью т = 0, полученное непосредственным расче-
том для последовательности рис. 14.4, представлено на рис. 14.6.
Последовательность импульсов с минимальным числом совпа-
дений. Последовательность с линейно нарастающим расстоянием
между импульсами является частным случаем последовательности
с минимальным числом совпадений. Другой частный случай полу-
чается, еспи потребовать сохранения свойства «не более чем одного
совпадения» и ограничиться последовательностями с минимально
возможно» длиной (при заданном числе импульсов 2V). Такие по-
следоватемьности, рассмотренные Шерманом [3], подробно об-
суждаются в дальнейшем. Здесь отметим лишь некоторые харак-
терные свойства их функций неопределенности. Требование не более
551
30т„ 15г„ ;оти 15ти ’ Бтм
Рис. 14.6. Сечение функции неопределенности последователь-
ности с линейно нарастающим расстоянием между импульса-
ми плоскостью т = 0.
Рис. 14.7. Последовательность Шермана (fl) и се-
чение ее функции неопределенности плоскостью
2=0 (6).
552
। r r.i одного совпадения импульсов при сдвиге на любое т означает,
но все боювые лепестки автокорреляционной функции не превы-
н и нот уровня UN. На рис. 14.7, а представлена последовательность
1 Нормана для УУ = 4, а на рис. 14.7, б — ее автокорреляционная
Функция. Б этом примере боковые лепестки образуют «однородный
фон боковых лепестков», в общем случае имеющий вид ломаной
пиши. Указанная особенность позволяет достаточно просто рас-
* читать сечение функции неопределенности при т — 0. Результаты
и кого расчета для указанного примера приведены на рис. 14.8.
Ркс. 14.8. Сечение функции неопределенности последо-
вательности Шермана плоскостью т = О,
«Псевдсхаотическая» расстановка импульсов позволяет значи-
тельно уменьшить боковые лепестки в сечении т = 0 по сравнению
<регулярным случаем.
В сечении т = тти, где т — целое число, функция неопределен-
ности представляет собой спектр прямоугольного импульса (свой-
ство одного совпадения!) длительностью ти и высотой 1/Л7ти (с уче-
том нормировки центрального пика к единице). Поэтому высота
боковых лепестков в этих сечениях меньше 1/7V. Это тем более
справедливо для сдвигов, не кратных ти, но больших, чем ти.
Следовательно, во всех точках плоскости (т, Q), за исключением
узкой полосы — ти т < ти, — оо <ф Q оо, функция неопре-
дсленностЕ меньше, чем 1/N. Внутри указанной полосы боковые
лепестки ине области — l/T^v^l/T, где Т = /Ити — общая дли-
тельность последовательности, также достаточно малы.
§ з. оптимальный прием сигналов с внутриимпульсной ;
МОДУЛЯЦИЕЙ
Среди сигналов, имеющих функции неопределенности подходя* ?
щего вида, наибольшее распространение на практике получили i
сигналы с линейным изменением частоты внутри импульса (Л ЧМ 1
импульсы) и сигналы с фазовой манипуляцией внутри импульса|
(ФМ импульсы). В последнем случае производится специальноеj
внутриимпульсное кодирование (изменение фазы колебаний в за*1
висимости от времени по определенному закону), причем закон|
подбирается так, чтобы получить желаемый вид функции неопре-ч
деленности.
Am
Первая
позиция
Вторая
пози-
ция
Третья
позиция
Пятая
позиция
Рис. 14.9.
Четвертая
позиция
Векторная диаграмма фазо-манипу-
лированного зондирующего сигнала. Длитель-
ность каждой позиции А,
В большинстве случаев длительность импульса такова, что за
время импульса изменение фазы несущей вследствие движения (
цели (эффект Допплера) незначительно. При этом вид функции j
неопределенности на всей плоскости (т, Q) уже несуществен, -?
важен лишь вид корреляционной функции (14.1.3) сигнала. J
Корреляционная функция сигнала обычно имеет протяженность
порядка 1/А/, где А/ — полоса сигнала. Таким образом, исход- j
ный сигнал длительностью Т преобразуется в приемном устройстве i
в сигнал, имеющий длительность 1/Af. При А/Т>1 выходной сиг- *
|J£
нал значительно короче входного. *
Основная цель внутриимпульсного кодирования состоит в том,
чтобы получить на выходе радиотракта РЛС сигнал, длительность
которого меньше длительности огибающей Л(/) исходного импульса
s(0- Желательно, чтобы при таком «укорочении» не происходило
уменьшения отношения сигнал/шум в пике выходного сигнала по
сравнению со случаем использования немодулированного по фазе
зондирующего импульса. Рассмотрим кратко физику укорочения.
Предположим, что зондирующий импульс длительностью Т
разделен на пять одинаковых частей (позиций), причем фаза коле-
баний, посылаемых на каждой позиции, может иметь два значения:
О или л (рис. 14.9). В качестве приемника используем устройство
(рис. 14.10), состоящее из широкополосной линии задержки с от-
554
тли, фазовращателя на втбром отводе линии, сумматора колеба-
1 н филыра, согласованного с элементарным прямоугольным
пюимпульсом длительностью А — Т75. Все устройство реали-
1 <я на внсокой или промежуточной частоте.
1 Годной шум, задерживаясь в линии, складывается в сумматоре,
। приводит к увеличению мощности на единицу полосы частот
н пь раз. Вводной сигнал, проходя через устройство, претерпе-
> и г более существенные изменения. Сначала колебание первой по-
мни по первому отводу линии передается на вход сумматора. Вы-
и ioe колебание при этом имеет амплитуду Лт и длится А сек. Да-
Рис 14.10. Устройство для приема фазо-манипулиро-
ванного зондирующего импульса.
и г в сумматоре складываются колебания двух позиций (первой и
।юрой), причем первое колебание, будучи повернуто по фазе на л,
। "м пенсируег второе и в течение следующих А сек выход сумматора
ранен нулю. В дальнейшем в сумматоре будут складываться три
। хлебания (цва в фазе и одно в противофазе, так что выход имеет
। милитуду Ат) и четыре колебания (два синфазных и два проти-
HI'фазных, тчк что выход равен нулю). Наконец, когда колебание
,к рвой позиции достигнет последнего отвода, на выходе будут
кладываться пять колебаний, при этом все пять составляющих
•называются синфазными, поскольку единственное противофазное
। 11«бание в зондирующем импульсе как раз проходит через фазо-
ра цатель и восстанавливает фазу 0. По мере «выхода» сигнала из
шиш задеркки описанный процесс повторяется в обратном поряд-
Таким образом, огибающая U(t) сигнала u(t) на выходе сумма-
п>1>а имеет вид, показанный на рис. 14.11, а.
Фильтр, стоящий после сумматора, должен быть согласован
• прямоугольным импульсом длительностью А. Все прямоугольные
импульсы в этом случае растягиваются по длительности в два раза,
1.1 к что огибающая V(f) сигнала v(f) на выходе фильтра имеет вид,
и «пораженный на рис. 14.11, б.
Характерные особенности выходного сигнала а(/) состоят в сле-
i у ищем.
1. Максимальное значение отношения сигнал/шум по мощности
равно 2Е/Vo.
555
2. Главный максимум сигнала по амплитуде в пять раз превы- |
шает максимальный боковой лепесток. i
3. Боковые лепестки занимают вместе с главным максимумом i
время, равное удвоенной длительности Т зондирующего импульса.
Описанный способ приема фазо-манипулированного зондирую» j
щего импульса не является единственным. Рассмотрим работу уст^
ройства, изображенного на рис. 14.12.
rd
Am
14.11. Огибающие сигналов на выходе сумматора
выходе фильтра (б) приемника фазо-манипулиро-
ванного импульса.
Рис.
(а) и
If
Принимаемый сигнал поступает на вход пяти каналов. Каждый
канал состоит из смесителя (См), фильтра на промежуточной час*]
тоте (Ф), детектора (Д) и селектора (С). Опорные напряжения, п(Я
даваемые на смесители в каналах, отличаются сдвигом по времени
на одну позицию и по форме повторяют зондирующий сигнал, от^
личаясь только несущей частотой. Символически опорные сигналу
можно записать в следующем виде:
«2 = 1;
w3 =
—
Здесь через «1» обозначен
а через « — 1» — с фазой
элементарный радиоимпульс с фазой О,,
ЗТ. j
Предположим, что принимаемый сигнал совпадает, например, j
с опорным напряжением u5(f). Фаза колебаний на выходе пятого !
смесителя на всех позициях остается постоянной, поскольку фазы *
входного и опорного сигналов меняются все время одинаково. На j
556
|\оде пятою смесителя получается, таким образом, немодули-
i 1С11НЫЙ he фазе прямоугольный радиоимпульс длительностью
5Д. Преходя через согласованный фильтр, этот импульс рас-
« и пвается пс длительности в два раза, причем амплитуда импульса
•’<тнгает максимума в момент окончания входного сигнала. В этот
•мент и должна осуществляться выборка напряжения с выхода
гекгора.
Принимая коэффициент передачи фильтра равным единице,
in лучим, что и в этом случае отношение сигнал/шум по мощности
। максимуме равно 2E/N$.
Рис. 14.12. Многоканальный коррелятор для приема фазо-манипу-
лированного импульса.
Следует о5ратить внимание, что сущность получения одного и
к и о же отнопения сигнал/шум в рассмотренных устройствах раз-
шчна. В перюм приемном устройстве (рис. 14.10) полоса пропуска-
ния согласованного фильтра в пять раз больше, чем полоса пропу-
|.;|ния согласованного фильтра во втором приемнике (рис. 14.12)
и кроме этою, с отводом линии задержки складываются пять не-
* пикимых шумов. Поэтому дисперсия шума на выходе фильтра
к первом случае в двадцать пять раз больше, чем дисперсия шума
।втором случае. Однако в первом приемнике имеет место когерент-
н ir суммирование колебаний элементарных радиоимпульсов дли-
ншостью Д» в результате чего пиковое значение сигнала в пять
р.н превышает пиковое значение сигнала во втором случае.
Сигнал, совпадающий с опорным напряжением w5(Z), проходя
>i । входы друшх каналов, дает на их выходах мешающие колебания.
I гко видеть, что на выходе фильтра четвертого канала склады-
и.потея два синфазных и два противофазных колебания; в результате
। моиент стробирования (которое производится в конце импуль-
I’>ю сигнала w4(/)), на выходе четвертого канала сигнал отсутствует,
н целом, амплитуды выходных сигналов каналов (расположенные
557
в порядке от 5-го к 1-му каналу) находятся в соотношениях 5; 0; I
0; 1, что соответствует импульсной автокорреляционной функцй1
зондирующего сигнала. |
Описанное выше устройство является примером корреляция
кого приемника (§ 5 гл. 10). Исследуемый интервал дальносЯ
разбивается здесь на несколько отрезков, причем каждый каМ
коррелятора обеспечивает наилучший прием сигнала, отражения
от цели, находящейся в середине определенного отрезка рабочв
интервала дальности. Задержка между серединами соседних j
резков в данном примере равна длительности позиции А. Кажя
канал коррелятора оптимален, если импульсный отклик его филья
согласован с огибающей зондирующего импульса (в рассматрив!
мом примере импульсный отклик каждого канала должен быть ПИ
моугольным с длительностью Г). В этом случае, если дискретД
выходы каналов линейно интерполировать, приняв задержку меня
дискретами равной задержке между опорными сигналами, выхД
ной сигнал коррелятора при дискретном зондирующем сигнал
совпадает с импульсной автокорреляционной функцией сигнал
Если задержка принимаемого сигнала находится между задержкам
на которые настроены соседние каналы коррелятора, то амплиту
сигнала на выходе соответствующего канала уменьшается в соотв
ствии с главным лепестком корреляционной функции.
Для того чтобы перекрыть дискретными каналами интервал ;
держек, равный длительности импульса, необходимо иметь чи(
каналов, равное числу позиций в импульсе. Задержки, лежак
вне этого интервала, можно перекрыть теми же физическими кац
лами. С этой целью опорные сигналы коррелятора делаются neplj
дическими с сохранением сдвига между ними. Стробирующие 1|
пульсы также повторяются периодически с сохранением задерм
между ними. Импульсные отклики в каждом канале являюй
прямоугольными. |
Такая система позволяет измерять задержки в единицах дл
тельности импульса по номеру периода селектирующего строба (гД
бая шкала), а в единицах позиций — по номеру канала (точш
шкала). * j
Для подсчета корреляционной функции ФМ сигнала, т. е. с|
нала на выходе оптимального приемника, можно воспользоваты
представлением зондирующего сигнала в виде М-мерного вектя
S = (S1) Sj, ..., sN), (14.3.
где si ALexp{/tpj, A-t и — амплитуда и фаза колебания й
Лй позиции. 1
В рассмотренном примере при At ~ 1
*1
sx ехр {/-О} = 1; $2 — ехр {/-О} I; $3 = ехр {/-О} = 1;
s4 = exp{/-n) = — 1; ss = exp{/-0} = 1.
558
11мпулыный отклик оптимального приемника также удобно
!•<дставить в виде ^V-компонентного вектора
Н \sдр sw-i
• •• > $1).
(14.3.2)
1'.।.piисляя теперь корреляцию векторов s и Н при различных сдви-
। \ между 1ими? можно найти значения г, выходного сигнала в точ-
i Ji т = 0, т = ± А, т ~ ± 2Д, ..., используя следующие
- н гношения:
5i SN
(W—1)A) -7?((W—1) A), 1
W—2) A) =/?((№—2) A),
S1 S/V—1 г s2 5д/
(14.3.3)
SA — j $дг - Я (
A) = Я (A),
7? (0).
и учения сигнала в промежуточных точках получаются линейной
шггерполяцией.
Типовая схема РЛС, использующей импульсы с внутриимпуль-
ней модуляцией, приведена на рис. 14.13. В её состав входят
«.одирующеь устройство (КУ), формирующее код для внутриимпуль-
пей модуляции; устройство, формирующее радиочастотный сиг-
нал на низюм уровне мощ-
11 < )сти (У t>); усил ител ь
мощности (/М), усиливаю-
щий входной модулирован-
ный импульс низкого
V ровня до нужной пиковой
мощности; переключатель
прием — передача (П); уси-
штель выюкой частоты
Пр
чпч
Рис. 14.13. Типовая схема РЛС, использую-
щей зондирующие сигналы с внутриим-
пульсной модуляцией.
। УВЧ); преобразователь
чнеготы и усилитель про-
межуточной частоты
11 Ip-УПЧ); декодирующее
устройство (ДУ).
Декодирующее устройство может быть выполнено в виде согла-
• < чинного фильтра. В этом случае на его выходе от каждой цели
появляется отраженный укороченный импульс длительностью по-
рядка 1/А/. Если декодирующее устройство выполнено в виде кор-
рслятора, то оно имеет много выходов, причем на любом из них
к иут появиться отраженные сигналы, имеющие длительности
иорядка Т. Каждый канал «настроен» на определенную дальность
и расстояние между каналами по задержке равно 1/АД
559
В кодирующем устройстве для формирования ЛЧМ импульсов .
можно использовать линейное видеонапряжение, а для формирОв!
вания ФМ импульсов — набор видеоимпульсов, соответствующим!
используемому коду. Формирование ЛЧМ импульсов может бьгЙи
выполнено так называемым «пассивным» или «активным» способомЛ
В первом варианте для формирования ЛЧМ импульсов исполни
зуется основное свойство согласованного фильтра: импульсныМ
отклик согласованного фильтра является зеркальным отражение»
формы сигнала, с которым этот фильтр согласован. Поэтому прЛ
подаче на вход согласованного с ЛЧМ импульсом фильтра достато»
но короткого импульса на выходе фильтра получается ЛЧМ И|М
пульс с законом изменения частоты от начала к концу импульс»
противоположным нужному. Для формирования нужного законе
с помощью преобразователя частоты вычитают частоту выходе
согласованного фильтра из постоянной частоты гетеродина. 3
При «активном» способе формирования ЛЧМ импульсов испольЗ
зуется задающий генератор, частота которого зависит от величине
управляющего напряжения на одном из электродов. ПодбороД
формы управляющего напряжения можно добиться изменения часЯ
тоты задающего генератора с нужной крутизной. Для обеспечении
требуемой точности формирования импульсов в «активном» способ!]
иногда используется автоподстройка частоты.
Формирование ФМ импульсов имеет специфические особенности
и часто основано на использовании специальных генераторов после)
довательностей символов, подробнее описываемых далее. |
§ 4. ИМПУЛЬСЫ С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
1
Импульсные сигналы с линейным изменением частоты внутри
импульса используются в радиолокации чаще всего. Это объясняем
ся тем, что функция неопределенности ЛЧМ импульсов имеет ДО0
таточно хорошие свойства и прием ЛЧМ импульсов может произвс!
диться с помощью компактных согласованных фильтров. J
Зондирующий импульс с ЛЧМ имеет постоянную амплитуду
(рис. 14.14), а его мгновенная частота меняется по линейному aq
кону с наклоном /с [Мгц/мксек]\ j
(14.4
где fQ— центральная частота. Соответственно круговая частот.
io — (оо == 2л kt
а фаза внутри импульса изменяется по параболическому закон/.
•л
Ф = nkt2 + ш01 + ф0. (14.4.21*
560
и.симальная девиация частоты от начала до конца импульса
, it на:
F — kT.
Приращение фазы за время длительности импульса обычно зна-
инсльно превышает число л. Так, например, если F — 10 Мгц,
: 10 мксек, то «квадратичная часть» приращения фазы за время
1 шульса составляет 100 л.
Рис. 14.14. Параметры зондирующего импульса с линейной частотной
модуляцией.
Возможности импульсных ЛЧМ сигналов достаточно хорошо
и л люстрируются их функцией неопределенности, аналитическое
выражение которой имеет вид
R(r,
0 при других т.
(14.4.3)
1 Учение этой функции неопределенности плоскостью задержка —
1.1СТОТНЫЙ сдвиг (т, v) на уровне 3 дб от максимального значения
приведено на рис. 14.15.
Особенность функции неопределенности ЛЧМ импульса со-
гонт в том, что в направлении v — кх функция неопределенности
натянута, а в перпендикулярном к нему направлении сжата.
В тех частных случаях, когда значение центральной частоты
принимаемого сигнала отличается от частоты гетеродина приемника
к»чно на промежуточную частоту (v = 0), или когда стробирование
п,подов приемников производится в момент, соответствующий
приходу отраженного сигнала (т = 0), на выходе приемного устрой-
। на получаются сечения функции неопределенности, представлен-
ные на рис. 14.16. Как следует из (14.4.3), сечение функции неопре-
и Зак. 246 561
деленности ЛЧМ импульса плоскостью т = 0 представляет собой
спектр прямоугольного видеоимпульса (рис. 14.16, а):
п /Г\ \ sin
W V)|=
(14.4.4)
а сечение ее плоскостью v = 0 имеет вид:
sin лАт {1 —
' nkvT • 4.....
А'
Таким образом, длительность корреляционной функции вдоль ос!
задержек, совпадающая с временной протяженностью выходноп
сигнала, имеет порядок 1/F и, например, при F = 10 Мгц составляв1
Рис. 14.15. Топографическая проекция функции неопреде-
ленности ЛЧМ импульса.
0,1 мксек. Эта величина не зависит от длительности огибающей
импульса Т и определяется только максимальной девиацией час
тоты F. Форма сигнала на выходе оптимального приемника дл|_
случая FT^>1 определяется выражением (рис. 14.16, б) j
ГА / AM ГА У ч sin TtFx
(14.4.Ш|
Таким образом, входной сигнал длительностью Т, в оптимально!
приемнике укорачивается; выходной сигнал, имеет длительносА
порядка \/F. Коэффициент FT называется иногда коэффициенте!
укорочения.
Вытянутость функции неопределенности вдоль оси v = kl
приводит к тому, что разрешающая способность, например, дл*
двух целей, координаты которых (допплеровский сдвиг и задержи!,
по времени) неизвестны, значительно ухудшается. Если, однакОг
т — 0 или v — 0, то, как показано выше, разрешающая способ» i
кость по другой координате достаточно высока.
В случай одиночной цели, движущейся с неизвестной радиаль-
'i'l скоростью, возникает неизвестный сдвиг максимума выходного
игнала во времени относительно истинного положения. Если ско-
1"кть цели известна, то указанный сдвиг можно учесть в дальней-
шем. Этот эффект является в некоторых случаях неприятной осо-
нностью ЛЧМ импульсов. Однако вытянутость функции неопре-
н ценности может играть и положительную роль. Например, на
i l l ходе согласованного фильтра (подробнее согласованные фильтры
i ni ЛЧМ импульсов описаны ниже), настроенного на v = 0, при
появлении допплеровского сдвига в пределах — l/T^vC 1/Т вид
б)
Рис. 14.16. Сечения функции неопределенности ЛЧМ импульса плоскостя-
ми т=0 (а) и v = 0 (б).
» игнала на выходе фильтра меняется мало и отношение сигнал/шум
н пике почти не уменьшается. Это обстоятельство выгодно для
работы систем обнаружения. Сдвиг v можно рассматривать и как
результат различных частотных нестабильностей, поэтому РЛС,
использующие ЛЧМ импульсы, оказываются малочувствительными
г. нестабильностям частоты, если они не превышают указанных
ныше пределов.
В ряде технических приложений самостоятельное значение
имеет амплитудно-фазовый спектр S(/gj) ЛЧМ импульса. Точное
выражение для такого спектра достаточно сложно [4]. Однако при
/ Т^>1 его амплитудный спектр |5(/со) | приближается к прямоуголь-
ному (рис. L4.17, а) с протяженностью по оси частот от /о — PH
io fa + /72, где /о — несущая частота. Фазовый спектр Ф(со)
имеет параболический характер и определяется соотношением
। рис. 14.17, б)
Ф (®) = Фо + (14.4.7)
11игересно отметить, что амплитудно-фазовый спектр ЛЧМ импульса
по форме повторяет зависимости амплитуды и фазы от времени,
причем переход от временных соотношений к частотным совершает-
я умножением времени на коэффициент к наклона «ЧМ пилы».
>го обстоятельство часто используется в теории устройств, работаю-
щих с ЛЧМ импульсами.
I •)*
$63
Рассмотрим некоторые схемы приема ЛЧМ импульсов.
Применительно к импульсным ЛЧМ сигналам корреляционный!
приемник может иметь специфические особенности. Рассмотрим^
в частности, приемник, позволяющий обрабатывать сигналы, прий
ФГ/Л
а)
6)
Рис. 14.17. Амплитудный и фазовый спектры ЛЧМ импульса.
ходящие лишь с некоторого участка дальности (рис. 14.18). Такого^
рода устройства используются в радиолокационных станция*
сопровождения целей [5 ].
Отраженные от целей сигналы после усиления широкополосньи|
усилителем высокой частоты (УВЧ) поступают на вход смесителя
Стробирующие
импульсы
Выход 1
Вход
ИмпуЛЬС'
ный ее-
гл ер один |
Рис. 14.18. Многоканальный коррелятор для приема ЛЧМ
импульса.
(См.). Сигнал гетеродина является также ЛЧМ импульсом, причем
крутизна изменения его частоты во времени совпадает с крутизно*
зондирующего импульса, а длительность 0 превышает длительности
Т зондирующего импульса на величину интервала возможны*}
задержек т отраженных импульсов.
564
Па рис, 14.19 представлены Временные зависимости частоты и
। пбающей для зондирующего импульса и импульса гетеродина,
редина импульса гетеродина соответствует моменту to, являю-
щемуся серединой интервала возможных задержек отраженных
пеналов относительно зондирующего. Очевидно, что полный ин-
। рвал возможных задержек равен 0 — Т и лежит в области
о
(14.4.8)
Если отраженный сигнал находится в середине этого интервала,
in на выходе смесителя имеет место импульсный сигнал длитель-
ностью Т, заполненный номинальной промежуточной частотой
Зондирующий
ин пуль с
Рис. 14.19. Зондирующий и отраженные от цели сигналы и им-
пульс гетеродина при гетеродинном способе приема ЛЧМ
импульсов.
/пг = А* —Л- Отраженным импульсам, имеющим минимальную
и максимальную т ах задержки, на выходе смесителя соответст-
0__________________________________________у1 0 71
вуют импульсы с частотами заполнения /пр —~—« и/пР Н к—•
Промежуточная частота произвольно расположенного импульса,
имеющего задержку т, будет равна Д1р(т) = /пр 4- (т — to) k.
Таким образом, ЧМ гетеродин превращает различия в задерж-
ках т отраженных сигналов в различия в промежуточных частотах
Частота, заполнения /пР(т) импульсов на выходе смесителя опре-
деляется с помощью гребенки согласованных с ними фильтров (Ф),
настроенных на различные центральные частоты и перекрывающих
весь диапазон (0 — Т) к возможных изменений Д|р(т).
565
Поскольку определенная частота соответствует Определенной j
задержке, лродетектированные детекторами (Д) выходы фильтре!
должны стробироваться в селекторах (С) в различные моменты вре» г
мени, принадлежащие области (14.4.6), сдвинутой на Т/2. Так, к при» j
меру, фильтр, настроенный на частоту fi = ^р(т1), стробируется «
в момент t — Ti + Отметим, что работа устройства слабо зави» |
сит от ширины стробирующих импульсов. ]
Таким образом, каждый выход устройства (рис. 14.18) соответ»
ствует определенной дальности. В этом смысле устройство подобной
многоканальному коррелятору. Отличие состоит в том, что различая
ные опорные сигналы объединены здесь в один сигнал импульсногоI
ЧМ гетеродина, вследствие чего каждый канал по необходимости
настроен на свою промежуточную частоту. Так же, как в много» I
канальном корреляторе отношение сигнал/шум, равное 2E/Ntt I
достигается здесь за счет фильтрации шума в фильтре, согласован» Л
ном с импульсом на выходе смесителя. 1
Частотный масштаб на выходе рассматриваемого приемника легко I
пересчитывается в задержку или дальность. Два фильтра, отстоя» I
щие по центральным частотам на Д/пр, анализируют точки, отстоя» 1
щие по оси задержек на Ат= &fav/k. Так, например, для ЛЧМ им» I
пульса с параметрами Т = 10 мксек, F = 10 Мгц величине Afnpe 1
= 100 кгц соответствует интервал Ат = 0,1 мксек, равный поло» !
вине ширины (по нулям) центрального пика автокорреляционной
функции. Если фильтры расставлены на 1/Т Мгц, то это означает, 9
что временные отсчеты берутся через 1/F мксек и корреляционная»
функция передается этими дискретными отсчетами. Расстановка»
фильтров определяется многими обстоятельствами. 9
Рассматриваемая схема может быть легко получена при радио»»
технических интерпретациях оптимальных операций над вхолнымиМ
данными, которые предписываются выражением логарифма функ^Я
ции правдоподобия задержки, измеряемой в белом шуме с помощью»
зондирующего ЛЧМ импульса. Г
На примере многоканального коррелятора легко понять роль»
неизвестного частотного сдвига в формировании выходного сигнала Я
приемника.
В том случае, если принимаемый сигнал сдвинут по несущейЯ
частоте на v из-за движения цели в радиальном направлении и если Д
этот сдвиг заранее нескомпенсирован в гетеродинном напряжении,\<Я
промежуточная частота отличается от своего значения на величину^
ДЛ,р — v и, следовательно, максимум сигнала будет зарегистриро» ’
ван в фильтре, соответствующем другой задержке; ошибка в опре» j
делении задержки составит v/k. I
Как отмечалось ранее (§ 6 гл. 10), согласованным фильтром ’
называется линейное устройство, импульсный отклик G(f) которого ।
является зеркальным отражением (относительно произвольного I
момента времени) сигнала s(t), с которым фильтр согласован. При ’
Г
566
чом начальная фаза высокочастотного заполнения импульснбРб
। клика произвольна. Для ЛЧМ импульсов примерный вид сигна-
i и отклкка фильтра представлен на рис. 14.20.
Зеркальное отображение импульсного отклика согласованного
•рильтра по сравнению с формой зондирующего сигнала означает,
’• <{> амплитудно-частотная характеристика фильтра совпадает с ам-
плитудным спектром сигнала, а его фазо-частотная характеристика
кратна по знаку фазовому спектру сигнала; таким образом, согла*
* i манный с ЛЧМ импульсом фильтр имеет прямоугольную в полосе
/ амплитудно-частотную характеристику и параболическую фазо-
|лстотную характеристику.
fwc. 14.20. ЛЧМ импульс (а) и импульсный отклик (б)
согласованного с ним фильтра.
Можно предложить много различных способов построения
фильтров, согласованных с ЛЧМ импульсами. Некоторые из них
могут быть реализованы.
Изготовление согласованных фильтров для ЧМ сигнала является
грудной задачей, поскольку необходимо обеспечить своеобразный
импульсный отклик (или частотную характеристику). Как правило,
для синтеза требуемого импульсного отклика ЧМ импульса с за-
коном модуляции, обратным исходному сигналу, используются
схемы, содержащие линии задержки (ЛЗ). Поскольку реальный
фильтр всегда отличается от идеально согласованного, более пра-
вильно такие схемы называть укорачивающими устройствами
(или фильтрами).
Рассмотрим несколько типовых схем построения укорачиваю-
щих устройств и покажем формирование требуемого импульсного
отклика или частотной характеристики.
ЛЗ с дискретными отводами (рис. 14.21). Сигналы с отводов ЛЗ
после прохождения делителей с заданным коэффициентом ослабле-
ния складываются. При подаче на вход 6-функции на выходе поя-
вится набор сдвинутых во времени 6-функций с амплитудами, опре-
567
.'ь
деляемыми ослаблением в соответствующих отводах. Правильным^
подбором коэффициентов ослабления можно добиться, чтобы orf
бающая этих 6-функций давала требуемый отклик. Дискретное
устраняется фильтром с полосой 1/А, где А—задержка меж,
соседними отводами.
Выло 9
- ———I
v(t)
Фильтр
-------
Рис. 14.21. Реализация согласованного с ЛЧМ импульсом
фильтра в виде линии задержки с отводами.
лз с непрерывным съемом (рис. 14.22). Принцип работъГана*
логичен предыдущему случаю, но вместо дискретных отводов при»
меняется непрерывный съем, например, в виде куска фольги, на*
ложенной на линию. Связь осуществляется через емкость «ЛЗ —«
Рис. 14.22. Реализация согласованного с ЛЧМ им-
пульсом фильтра в виде линии задержки с непре-
рывным съемом.
съем», фигурная форма последнего обеспечивает изменение этой"
связи в зависимости от времени задержки и соответственно требуе-
мую форму отклика.
Диспергирующая ЛЗ. Этот вид укорачивающих устройств ис-
пользует элементы, имеющие равномерную амплитудно-частотную
характеристику и существенно нелинейную фазо-частотную харак-
теристику, аналогичную приведенной на рис. 14.23. Конструктивно
ЛЗ такого типа состоит из последовательно соединенных мостико-
вых фильтров, количество и параметры которых подбираются так,
568
Рис. 14.23. Фазо-частотная характеристика
диспергирующей линии задержки.
. ii,i получить максимальное приближение к требуемой параболй-
.он фазовой характеристике в заданной полосе частот.
11оследнее время большое распространение получили ультразву-
। ыс дисперсионные ЛЗ, использующие в качестве звукопровода
мллическую ленту. Для
। ничего участка выби-
, и.ггся области частот, в
। норых наиболее сильно
n.i ражена нелинейность фа-
уной характеристики (1-я
н :--я зоны на рис. 14.23).
। ’.кючую полосу такого
« гройства можно значи-
. । ' ьно расширить, делая
вукопровод с переменной
рМЩИНОЙ.
При приеме очень ши-
рокополосных ЛЧМ им-
пульсов с большим произведением /^^применяются комбинированные
методы приема. В этих случаях оптимальная обработка (полная
. вертка) сигнала с помощью согласованного фильтра становится
Вход
Рис. 14.24. Схема комбинированной обработки ЛЧМ импульса.
затруднительной из-за отсутствия линий задержки с соответствую-
щими свойствами. С другой стороны, для перекрытия заданного
интервала дальности пришлось бы использовать коррелятор с очень
большим числом каналов. Одна из схем комбинированной обра-
ботки, описанная Тором [6], приведена на рис. 14.24. Схема со-
стоит из У идентичных каналов, образованных входными смесите-
лями (Cmi) и гетеродинами (Г1) фильтрами (Ф), линиями задержки
19В. Зак. 245 569
***** !<>>< ** *•
(ЛЗ), диспергирующими линиями задержки (ДЛЗ) и выходнЫМИ
смесителями (См?) и гетеродинами (Га). Выходы всех каналов J
подключены к сумматору. 1
С помощью входных преобразователей и фильтров спектр ВХОД»!
ного широкополосного ЛЧМ импульса разбивается на N примыкаЮед
щих друг к другу подспектров. На выходе каждого фильтра имецЦ
место ЧМ колебание, соответствующее выделенному фильтром ПОМД
спектру. Поскольку для входного ЛЧМимпульса каждому подспе1Й|
тру соответствует определенный временной интервал, ЧМ колебала
ния на выходе фильтров оказываются сдвинутыми во времени. ЭТМ
временные сдвиги выравниваются канальными линиями запержкиД
Следующие за ними диспергирующие ЛЗ осуществляют свертку ЧМЯ
колебаний с данным подспектром, а выходные преобразователи сдан» I
гают несущие частоты и фазируют колебания укороченных ЧМ кола»|
баний. При сложении этих колебаний в сумматоре происходит окоМч|
чательное укорочение входного ЛЧМ импульса до величины 1/Л*1
Таким образом, основная идея рассматриваемой схемы обработки !
широкополосных ЛЧМ импульсов состоит в том, что здесь дисперч !
гирующие ЛЗ каналов обеспечивают свертку лишь в части частотй!
ного диапазона, в N раз более узкой, чем спектр входного сигнала» I
Недостатком такой схемы является необходимость жесткой фазм*й
ровки колебаний входных и выходных гетеродинов.
Как отмечалось выше, фильтр, согласованный с ЛЧМ
при РТ^\ дает на выходе сигнал
импульсом, I
fl
sin tiFt
л Ft
i
м
боковые лепестки которого весьма велики (максимальное значением
первого и бокового лепестков составляет 21%, а второго — 13% отп
максимального значения главного лепестка). Уже упоминалось о том, 11
что боковые лепестки сигнала по дальности оказывают вредное 1
влияние, снижая возможности РЛС. В частности, ухудшается раз- |
решающая способность по дальности в режимах^обнаружения Я 1
сопровождения целей в многоцелевых РЛС. Желательно поэтому '
по возможности уменьшить уровень боковых лепестков.
Форма выходного сигнала, в частности ширина главного лепестка >
и уровень боковых лепестков, чувствительна к изменению частот- j
ной характеристики укорачивающего фильтра. Согласованный |
с ЛЧМ импульсом фильтр имеет параболическую фазо-частотную I
и прямоугольную амплитудную характеристики. Если, 'однако, J
сгладить амплитудно-частотную характеристику | К(/<о) | фильтра, (
допустив спадание к краям спектра сигнала, то боковые лепестки :
существенно уменьшаются; главный лепесток при этом расширяет»
ся. Одновременно несколько уменьшается отношение сигнал/шум
на выходе фильтра. Можно показать, что существует оптимальная,
но физически нереализуемая амплитудно-частотная характеристика
570
Тейлора,
которой
(олифа—Чебышева, обеспечивающая минимальные боковые лё-
ш-стки при заданном расширении главного лепестка. Реализуемой
аппроксимацией характеристики Дольфа
ip актер истина
примерный вид
представлен на рис. 14.25.
Хорошие результаты
получаются также в слу-
чае, когда амплитудно-ча-
готная характеристика
фильтра аппроксимируется
Функцией
Ч ебышев а является
Рис. 14.25, Амплитудно-частотная характе-
ристика Тейлора.
К (/со) I =рН-(1 —р) cos
q со
р<1, (14.4.9) •
где р и q имеют различ-
ные значения.
Приведем табл. 14.4.1, содержащую данные по подавлению боко-
вых лепестков с помощью различных фильтров, имеющих амплитуд-
но-частотные характеристики вида (14.4.9).
Подавление боковых лепестков
р <7 Уровень максималь- ного бокового лепест- ка относительно главного, дб Расширение глав- ного лепестка Потери в отноше- нии сигнал/шум, дб
0,08 2 —42,8 1.47 — 1,34
С 2 —32,2 1,62 — 1,76
0 3 —39,1 1,87 —2,38
0,04 1 —23,0 1,31 —0,82
0,16 2 —34,0 1,41 —1,01
0,02 3 —40,8 1,79 —2,23
Вид сигнала на выходе фильтра для случая р = 0,08, q = 2
(фильтр с характеристикой Хэмминга) представлен на рис.
14.26 [7].
Таким образом, с помощью подходящей амплитудно-частотной
характеристики приемного устройства можно значительно умень-
шить боковые лепестки выходного сигнала по сравнению с уровнем
на выходе согласованных фильтров. Подавление боковых лепестков
сопровождается расширением главного лепестка и уменьшением
отношения сигнал/шум в максимуме.
Другие способы уменьшения боковых лепестков состоят в спе-
циальном подборе отклонений от линейного закона изменения
частоты или формы огибающей импульса с тем, чтобы автокорре-
19В*
571
ляционная функция получающегося сигнала имела бы ЖеЛаеМЫЙ
вид. Так, например, нереализуемая идеальная гауссова форма ИМ^
пульса при линейной частотной модуляции приводит к гауссовому
укороченному импульсу. Вообще при достаточно большом коэффИ*
Рис. 14.26. Сигнал на выходе фильтра Хэмминга.
i
циенте укорочения справедливо следующее приближение для корре«1
ляциоыных функций ЛЧМ импульсов различной формы:
] Л2(х)ехр {j2nkxx} dx
(14.4.10
и, следовательно, подбором формы импульса Л(/) всегда можно Син*
тезировать нужный сигнал 7?(т). Этот путь, однако, трудно осущм
ствить на практике. 1
§ 5, ИСКАЖЕНИЯ ЛЧМ ИМПУЛЬСОВ В РАДИОТРАКТЕ РЛС |
Применение описанных выше принципов формирования и прием#
ЛЧМ импульсов ограничивается искажениями сигнала, которые
возникают в различных элементах радиотракта РЛС. Существует
много источников искажений. Основные из них следующие.
Даже при идеальном модулирующем импульсе частотные харак*
теристики усилителя мощности не являются идеальными. АмплИ*
572
но-частотная характеристика в пределах рабочей полосы имеет
1сбания> и «скосы» и может выглядеть так, как это представлено
। рис. 14.27. Соответственно и реальная фазо-частотная характе-
ч гика отличается от линейной.
Модулирующий импульс, подаваемый на усилитель мощности,
н являетм идеальным и имеет фронты, скос и осцилляции на вер-
<н| не. Этим амплитудно-временным искажениям из-за электронного
। щения фазы в приборе соответствуют также фазо-временные
и. <ажения.
Искажения ЛЧМ импульсов сильно зависят и от дисперсионных
i.DiiCTB волноводного тракта. Фазо-частотная характеристика волно-
г' »да нелинейна и может быть разложена в окрестности центральной
Рис. 14.27, Амплитудно-частотная характеристика
усилителя мощности.
частоты fo в ряд Тейлора, коэффициенты которого зависят от отно-
шения несущей к критической частоте. Линейный член обусловли-
нает постоянную задержку выходного сигнала, квадратичный —
изменение наклона ЧМ в импульсе, а кубический — несимметрич-
ное искажение формы укороченного импульса и увеличение боко-
вых лепестков. (Если изменение наклона не будет компенсировано,
го это приведет к увеличению боковых лепестков.)
Несогласованные неоднородности в волноводном тракте за счет
двойного отражения сигнала (сначала в направлении, противопо-
ложном основному, а затем при отражении обратной волны от дру-
гой неоднородности в прямом направлении) также приводят к уве-
личению боковых лепестков.
Специфические искажения типа отклонения от линейности изме-
нения частоты в зависимости от времени возникают при формирова-
нии «частотной пилы». В реальных устройствах на идеальную «пилу»
накладываются гармонические и полиномиальные составляющие
различной скорости.
Наконец, частотные характеристики приемного устройства,
включая укорачивающий фильтр, также отличаются от идеальных,
что приводит к появлению дополнительных лепестков.
573
Перечисленные выше основные искажения могут иногда в зад»
чительной степени изменить укороченный импульс, расширяя erOj
главный лепесток и увеличивая боковые лепестки. 1
Рассмотрим кратко некоторые типичные искажения и их влиЯ*|
ние на форму выходного сигнала. Как уже упоминалось, амплитуд.!
ный и фазовый спектры ЛЧМ импульса по форме повторяют завися
симость амплитуды и фазы от времени. Поэтому одинаковые п4|
Рис. 14.28. Периодические
искажения ЛЧМ импульса.
форме и величине искажения частотной характеристики радиотрак»J
та и временные отклонения самого сигнала будут приводить к оди-1
наковым результатам. Этот
времени часто используется
ности, на рис. 14.28—14.30
принцип эквивалентности частоты и ’
теории искажений. Поэтому в част» J
14.32 ось абсцисс, соответствующая 1
В
И
Рис. 14.29. Искажения типа «скос».
импульс
if , 1
-М
4
. выходной. |
сигнал .
Исхоженный
укороченный
импульс
оси времени для временных искажений, для частотных искажениям
соответствует оси частот. Вследствие этого на этих рисунках точка 7*1
на временной оси совпадает с точкой F на частотной оси.
Рассмотрим влияние наиболее типичных искажений на форму!
укороченного импульса.
Периодические искажения амплитуды величиной а и фазы велЯЧ
чиной Аф вызывают появление пары ложных импульсов для каждой®
«гармоники» с амплитудами, равными соответственно а/2 и Дф/2^
Эти ложные импульсы симметрично сдвинуты относительно основ* 1
ного лепестка на величину, зависящую от числа периодов искаже- I
ний, укладывающихся на длительности импульса (или на ширин® J
574 *
иектра). Указанный сдвиг равен m/F для временных и tn!T для
|.1стотных искажений, где т — число периодов, укладывающихся
if.i длительности Т или на ширине спектра F соответственно.
На рис. 14.28 изображена идеальная форма огибающей импульса
или амплитудный спектр ЛЧМ импульса, возможные периодиче-
кие^искажения амплитуды и фазы и форма выходного сигнала.
Рис. 14.30. Параболические искажения фазы ЛЧМ импульса.
Если принять высоту неискаженного импульса равной единице,
то скос зондирующего сигнала величиной ас приводит к уменьше-
нию амплитуды на величину ас/2 и симметричному расширению
укороченного импульса на уровне 0,7 на величину яс. 0,02 сгс
(рис 14.29). Уменьшение амплитуды символизирует уменьшение сиг-
пал/шум в пике сигнала.
Выходной.
сигнал м
Укороченный
импульс
*
Искаженный*
укороченный
импульс
Рис, 14.31с Частотный сдвиг закона модуляции ЛЧМ импульса.
Параболические искажения фазовой характеристики (допол-
нительной приращение Аф фазы на краю спектра сигнала относи-
тельно определяемого соотношением (14,4.7) значения) также приво-
дят к уменьшению амплитуды укороченного импульса на величину
0,02(Аф)2 что ухудшает отношение сигнал/шум, и обусловливает
расширение импульса на 0,05 (Аф)2. (рис. 14.30).
Вследствие допплеровского сдвига и неточности привязки зако-
на модуляции частоты может возникнуть частотный сдвиг на вели-
чину АД это приводит к сдвигу укороченного импульса во времени
на М - А//А (рис. 14.31).
575
Во многих случаях точный вид искажений неизвестен. Тогда
удобно считать их случайной функцией с нулевым средним значе*
нием, дисперсией ст2 и временем корреляции тк. Такие искажения
Случайные
А искажения
Выходной д
сигнал Т
Рис. 14.32. Случайные искажения ЛЧМ импульса.
приводят к появлению случайных боковых лепестков со средне-
квадратичным значением расположенных во временном ин-
тервале 1/Атк около основного импульса (рис. 14.32).
Теория искажений развита в нескольких работах, в том числе
в [8,9].
§
ИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Наряду с ЛЧМ импульсами в современной радиолокации ши-
роко используются дискретные сигналы, которые строятся сле-
дующим образом. Отрезок времени Т (длительность импульса)
разбивается на N временных позиций длительностью А = Т/N каж-
дая. На Z-й позиции формируется колебание Л£ exp где At
и — заранее выбранные амплитуда и фаза колебаний высокой
частоты. Наборы Alf ..., ЛдгИф1, ..., ф^ образуют коды, которые
выбираются так, чтобы , обеспечить функцию неопределенности
с нужными свойствами.
В зависимости от ограничений, наложенных на Ai и ф,-, полу-
чаются разные классы сигналов. Например, если все At = const,
а ф£ могут принимать лишь два значения (обычно 0 и л), то полу-
чается класс сигналов, называемый обычно классом ФМ импульсов.
Сравнительная простота реализации фазового кодирования и выго-
ды, связанные с постоянством амплитуды при усилении по мощ-
ности, обеспечили ФМ импульсам широкое применение.
Функция неопределенности дискретных сигналов при достаточно
большом числе позиций N имеет почти идеальнй вид, представлен-
ный на рис. 14.33. На этом рисунке около нуля расположен гда$-
57ф
1ЫЙ максимум функции неопределенности, сосредоточенный в об-
мети
—А < т < Д, — 1/Г < v < 1/7.
(14.6.1)
Пне этой области расположены боковые лепестки, умеющие значи-
юльно меньший уровень. За исключением сечения т = О уровень
соковых лепестков зависит от
числа позиций N и обычно со-
ставляет 1/у/N. Примерный вид
• ечений функции неопределен-
ности ФМ импульсов при v = О
н т= 0 представлен на рис. 14.34.
< )тметим, что уровень боковых
лепестков зависит от вида ис-
пользуемого кода. Приведенные
рисунки относятся к случаю
гак называемых «псевдослучай-
ных» кодов.
Спектр ФМ импульса также
зависит от вида используемого
кода. Некоторую общую ориен-
тировку дает рис. 14.35, где
представлены амплитудный |S(j(o)
ция функции неопределенности.
и фазовый Ф((0) спектры три-
надцатипозиционного сигнала Баркера,
Используя введенную ранее символическую запись (+1 —
колебание с единичной амплитудой и фазой 0 и —1—колебание с еди-
-д о д г
а)
б)
Рис. 14.34. Сечение функции неопределенности ФМ импульса плоскостя-
ми v=0 (а) и т = 0 (б).
ипчной амплитудой и фазой л), тринадцатипозиционный сигнал
Паркера можно представить в виде следующей последовательности
символов:
1, 1, 1, 1, 1,-1, —Г, 1, 1, —I, I, —1, I.
ь <
577
Рис. 14.35, Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры три-
надцатипозиционного сигнала Баркера.
Рис. 14.36. Тринадцатипозиционный сигнал Баркера (а)
и его корреляционная функция (б).
579
Корреляционная функция /?(т) сигнала Баркера имеет специфиче-
ский регулярный характер (рис. 14,36), причем уровень ее боковых
।шестков не превышает величины 1/N. Характерная особенность
амплитудного спектра рассматриваемого сигнала Баркера со-
стоит в появлении на определенных частотах выбросов. Для других
сигналов Баркера появляются провалы, иногда доходящие почти
хо нуля. Фазовый спектр сигнала имеет регулярный характер.
В дальнейшем рассмотрим некоторые классы кодов для дискрет-
ных сигналов, причем основное внимание уделим получению сигна-
лов с хорошими корреляционными функциями 7?(т). Как уже ука-
зывалось ранее, корреляционная функция /?(т) является определяю-
щей характеристикой зондирующего сигнала в случае, если макси-
мальный сдвиг частоты, независимо от того, какую природу он имеет
(допплеровский сдвиг или нестабильности гетеродинов), удовлет-
воряет условию
Утах « УТ. (14.6.2)
§ 7. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЛИНЕЙНЫМИ
РЕКУРРЕНТНЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Обширный класс дискретных сигналов строится на основе ли-
нейных рекуррентных последовательностей (ЛРП) [10]. Исполь-
зование ЛРП целесообразно по следующим основным причинам.
Импульсные ФМ сигналы, использующие ЛРП, имеют хорошие
корреляционные свойства, а именно, отношение главного макси-
мума к максимальному боковому лепестку автокорреляционной
функции растет приближенно как VN, где N—число позиций
в импульсе длительностью Т. Кроме того, рекуррентный характер
последовательностей и некоторые их свойства позволяют построить
компактные формирователи сигналов и приемники корреляцион-
ного типа. И, наконец, непрерывные ФМ сигналы, построенные на
основе ЛРП, могут иметь идеальные автокорреляционные функции.
Структура сигнала рассматриваемого вида имеет случайный
характер, хотя способ его формирования вполне регулярен. Шумо-
подобный характер сигнала при манипуляции фазы на два положе-
ния (0 или л) проявляется, в частности, в том, что общее число
позиций, содержащих колебания с фазой 0 и с фазой л, почти оди-
наково, общее число пар соседних позиций, содержащих фазы
(О, 0), (0, л), (л, 0) (л, л), также почти одинаково и т. д.
Линейной рекуррентной последовательностью называется перио-
дическая последовательность символов
• • •» ^1, s2, (14.7*1)
каждый из которых может принимать значения из области G (0, 1,
р — 1), удовлетворяющая рекуррентному правилу
aos, — а + ... (14.7.2)
579
причем а, а< (G н операции сложения и умножения производятся
по модулю р*. Предполагается, что модуль р является простым
числом. Соотношение (14.7.2) называется правилом кодирования,
число р — основанием последовательности, число п — памятью
последовательности.
ЛРП удобно строить, задав произвольную «начальную комби-
нацию» из п символов Sj, Si, ..., sn и применяя далее правило коди-
рования (14.7.2).
Пример 1. Пусть р — 5, п — 2, st = s^_i + 3se_2 — пра-
вило кодирования и начальная комбинация (0, 1). Тогда ЛРП имеет
вид: 0, 1, 1, 4, 2, 4, 0, 2, 2, 3, 4, 3, 0, 4, 4, 1, 3, 1, 0, 3, 3, 2, 1,
2, 0, 1, ...
Далее основное внимание уделяется частному случаю а — 0.
При этом рекуррентное соотношение (14.7.2) может быть записано
в следующем матричном виде. Пусть sk = [s^+n-i........sft]+—
вектор-столбец и определена производящая матрица:
Их tXg Од ... dfi—]
1 о о ... о о
0 1 о ... о о
0 О 1 ... о о
(14.7.3)
ООО
1 о
Тогда
1 — Ask — Л «х.
(14.7.4)
Вектор sk характеризует состояние, в котором находится после-
довательность на /г-м шаге.
Ниже перечислены некоторые свойства ЛРП.
ЛРП является периодической последовательностью с периодом
P^N = pn~ 1. (14.7.5)-
Действительно, имеется всего рп различных состояний после-
довательности. Состояние 0 = [0, ОН является особым, так как
ЛА0 = 0. За исключением этого состояния имеется всего рп — 1
возможностей. Если при построении последовательности пробе-
гаются все возможные состояния, то последовательность имеет
* Операция сложения двух чисел а и b по модулю /п определяется пра-
вилом:
, а + b < т,
т, а 4- b > т.
Например, 2 4-3=1 (т — 4).
$80
иксймаЛьный период, В противном случае — период* Меньший
|<1ксимального. В примере 1 максимальный период Ртах равен
.V = 52 — 1 — 24. Последовательности максимального периода
(МЛРП) имеют для радиолокации особое значение.
Период МЛРП содержит по рп— 1 символов вида 1, 2,...,
/>—1 и рп~1 —1 нулей и распадается на р—1 «цугов» длительностью
И = 2V/(p — 1) == (рп — 1)/(р — 1) каждый, причем в матрице
В =
SM+1
SM + 2 •"
S2M
(14.7.6)
SM (р—2)4-1
p — 1 строка, M столбцов и все строки пропорциональны. Коэф-
фициент пропорциональности k является первообразным корнем
единицы модуля р*. Значения первообразных корней для некото-
рых значений модуля р приведены в табл. 14.7.1.
Таблица 14.7.1
Первообразные корни k единицы модуля р
3; 5
2; 6; 7; 8
2; 6; 7; 11
Отыскание МЛРП или, точнее говоря, правил кодирования, фор-
мирующих МЛРП, производится с помощью ограниченного пере-
бора возможностей. В настоящее время составлены таблицы правил
кодирования, формирующих МЛРП. Показано также, что при лю-
бых заданных р и п число Q различных МЛРП равно
<2 = -дФ(Рп— 1)>
/ V
(14.7.7)
где ф(Л) — функция Эйлера в теории чисел**.
В результате исследования МЛРП в различное время было по*
строено несколько специальных классов сигналов.
* Первообразным корнем единицы модуля р называется число k, удов*
летворяющее условию:
М = 1 только для q = р — 1,
1 для любого другого д<р— 1.
** функция Эйлера ср (Я) равна количеству целых чисел, включая еди-
ницу, меньших числа h и взаимно простых с к. Например, если h равно про-
стому числу р, то ф(р) = р — 1» : i
Сигналы Хаффмена till. Ёсли р = 2, то получаются двоичные
последовательности, состоящие из единиц и нулей. Значения числа
различных МЛРП при заданных п приведены в табл. 14.7.2.
Таблица 14.7.2
Количество различных МЛРП при р = 2
В качестве примера ниже приведены правила кодирования
МЛРП для я < 5:
Недостающие МЛРП получаются зеркальным отображением
выписанных правил.
Сигнал Хаффмена строится на основе рассмотренных МЛРП
с р = 2 в соответствии со следующим правилом: нулю последовав
дельности соответствует колебание единичной амплитуды и нулевой
фазы, единице последовательности соответствует колебание еди-
ничной амплитуды и фазы л. Символически это правило можно пред-
ставить следующим образом:
0-> 1 = ехр {/0},
1 -♦ — 1 = ехр {/л}.
Пример 2. Пусть правило кодирования определяется соот-
ношением Si — s»-i -j- Sts, начальная комбинация представляет
собой последовательность (0; 0; 1). При этих условиях МЛРП имеет
вид:
0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1.W = 25 — 1 = 7,
а соответствующий ей сигнал Хаффмена предствляет собой следую-
щую последовательность символов:
1, 1,-1,-1,-1, 1,-1,Л, 1,-1, ...
582
В непрерывной радиолокаций используется бесконечный пе-
риодический сигнал Хаффмена; в импульсной локации может быть
использован любой период МЛРП, т. е. период, начинающийся
с любой фазы, что соответствует заданию произвольной начальной
комбинации при построении МЛРП.
Корреляционные свойства сигналов Хаффмена в настоящее
время достаточно хорошо изучены. Легко показать, что в непрерыв-
ном режиме работы автокорреляционная функция имеет главный
максимум, равный 1, и одинаковые по величине боковые лепестки,
равные — 1 IN. Это фундаментальное свойство сигналов, связанных
с МЛРП. К сожалению, «непрерывные» корреляционные функции
зондирующих сигналов обычно важны лишь в тех случаях, когда
нельзя пренебрегать сдви-
гом Допплера и, следо-
вательно, важен полный
вид функции неопреде-
ленности, а не только ее
сечения вдоль оси задер-
жек при нулевом частот-
ном сдвиге. Однако хоро-
шие свойства «непрерыв-
ной» автокорреляционной
функции отражаются и
на «импульсной» автокор-
реляции. Если обозначить
«импульсную» автокорре-
ляцию как
rN' Г1’
Рис. 14.37. Автокорреляционная функция
сигнала Хаффмена.
где гк — значение главного лепестка, a n, ..., rjv—i—значе-
ния боковых лепестков автокорреляционной функции, то для сиг-
налов Хаффмена справедливо равенство
rq + rN_g = - 1, 9 = 1, 2.............. 2V-L. (14.7.8)
Это соотношение накладывает ограничения на боковые лепестки,
примыкающие к главному. Общий характер боковых лепестков
автокорреляционной функции соответствует рис. 14.37, причем
уровень боковых лепестков не превышает величины 1/фОУ.
Уровень 1/]/У объясняется псевдослучайным характером сиг-
нала. Боковой лепесток корреляционной функции является суммой
произведений компонент сигнала. В силу случайного характера
сигнала в указанной сумме содержится приблизительно одинаковое
число +1 и —1. Таким образом, среднее значение бокового лепестка
равно нулю, а дисперсия равна N. Разделив среднеквадратичное
значение бокового лепестка УN на максимальное значение глав-
ного лепестка, равное N, получим уровень
S83
Как отмечалось выше, при заданных Р и п существует опреде-
ляемое формулой (14.7.7) число Q различных МЛРП. Любой период
каждой из этих МЛРП, отличающийся начальной комбинацией
символов, может быть использован для формирования сигнала.
Соответствующие этим МЛРП сигналы Хаффмена отличаются как
порядком чередования символов 4-1 и —1, так и максимальными
значениями г боковых лепестков. В каждом из возможных при за-
данных р = 2 и п сигналов Хаффмена можно указать боковой ле-
песток, имеющий наибольшее по сравнению с остальными лепест-
ками максимальное значение, равное гтах. Путем перебора возмож-
ных (при сформулированных выше условиях) сигналов Хаффмена
можно отыскать среди них сигнал, у которого наибольшее макси-
мальное значение гтах боковых лепестков будет наименьшим среди
рассматриваемых сигналов. В дальнейшем это «минимаксное» зна-
чение бокового лепестка' обозначается через гт1п тах, а соответ-
ствующий ему сигнал называется минимаксным сигналом Хаф-
фмена. Некоторые характеристики минимаксных сигналов Хаф-
фмена приведены в табл. 14.7.3. Из таблицы, в частности, следует,
что минимаксное значение rmin тах несколько меньше У N, однако
по мере увеличения N оно все больше приближается к этой вели»
чине.
Та б лица 14.7.3
Некоторые характеристики минимаксных сигналов
Хаффмена
ti . - - • N rmin max У N \/Vn
3 7 1 2,6 0,39 Л ,
4 . 15 3 3,9 0.26 ' i
5 31 4 5,6 0,17 '
6 63 6 7,9 0,13
7 127 8 11,3 0,09 < ;
8 255 13 16,0 0,06 " ;
В качестве примера ниже приведен минимаксный сигнал Хаф-
фмена для п = 5:
Модуль его ненормированной автокорреляционной функции име-
ет следующий вид:
2, 3, 2, 1, 0, 31.
S84
Сигналы Цирлера [10]. Эти сигналы получаются из МЛРП при
к бом р и п заменой символов МЛРП на колебания по правилу:
О ехр{/-0-2л/р},
1 -> ехр {/• 1 -2л/р},
Р—1 -> ехр [j(p~ 1)2л/р}. .
(14.7.9)
Корреляционные свойства сигналов Цирлера аналогичны свой-
ствам сигналов Хаффмена как в непрерывном, так и в импульсном
режиме работы.
Следующие классы сигналов связаны с заменой элементов МЛРП
на символы Лежандра.
Сигналы Пэли-Плоткина [12, 13]. Частным случаем МЛРП
является последовательность единичной памяти, имеющая следую-
щее правило кодирования:
= H + (14.7.10)
и представляющая при р.= 1 натуральный ряд чисел
0, 1, 2,..., р-1, 0, 1, 2,...
Предположим, что р =-- 4k — 1, k = 1, 2, 3, .... и сигнал Стро-
ится в соответствии с правилом
(14.7.11)
/ Si \ —
1 де \р j ” символ Лежандра числа по модулю р*, причем
= ±1. Получающаяся при этом последовательность символов
\ г' /
Лежандра обладает хорошими корреляционными свойствами. В част-
ности, в непрерывном режиме боковые лепестки автокорреляцион-
ной функции равны —1, а главный лепесток равен р.
Пример 3. Пусть р = 7, st = 2 + з,_|. Тогда МЛРП имеет
вид: ..., 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, ...,
(S \
Символ Лежандра V ~ [р; числа s равен 4~ L если s является квад-
ратичным вычетом модуля р, и равен — 1, если s является квадратичным
невычетом модуля р. Число является квадратичным вычетом, если оно пред-
ставляет квадрат по модулю р какого-либо целого числа и невычетом— в про-
тивном случае. Например, при р = 5 имеем
12 = 1; 2s = 4; З2 = 4; 42 = 1
и поэтому 1>4— квадратичные вычеты, а 2,3 — квадратичные невычеты моду-
ля 5. Таким образом,
585
а соответствующая ей последовательность, символов Лежандра
равна
Легко установить, что непрерывная автокорреляционная функция
такого сигнала имеет следующий вид:
7, -1, -1, -1, -1, -1, —1, 7, ...
Импульсные автокорреляционные функции сигналов Пэли-
Плоткина аналогичны автокорреляционным функциям псевдослу-
чайных сигналов. Уровень их боковых лепестков приблизительно
равен 1/]/р. Кроме того, боковые лепестки таких сигналов подчи-
няются условию Гq + Гы— 1 — —1.
Последовательности символов Лежандра МЛРП общего вида.
Предположим, что построена последовательность максимального
периода при произвольных р и н в соответствии с правилом
(14.7.12)
причем символ Лежандра нуля считается равным нулю.
В результате такой замены получается периодический сигнал
пР"----------1 „ г,
с периодом 2^^—равным удвоенной длительности цуга. Полу-
периоды сигнала отличаются только знаком.
Р Построенные таким способом сигналы имеют примечательные
корреляционные свойства. Непрерывная функция корреляции имеет :
нулевые боковые лепестки и главный максимум, равный ±Рп~*.
Следует, однако, оговориться, что непрерывная функция коррелят
ции подсчитывается при интегрировании за полпериода последо-
вательности, в соответствии с чем ее главные максимумы следуют
через полпериода. j
I В импульсном режиме могут использоваться полупериоды по* ‘
следовательности символов Лежандра, начинающиеся с любой'
фазы. Эти сигналы содержат нулевые провалы по огибающей и ко*,
дирование по фазе производится на два состояния: Ойл. Сигналы
имеют псевдослучайные свойства и их ненормированные автокорре-
ляционные функции обладают боковыми лепестками с уровнем
/рп—1
Р—Г '
Пример 4. Пусть р = 29, п = 2 и правило кодирования
выбрано в виде .s, = 16s/~i+ lls;_2- Если начальной комбинацией
является (0, 1), то сигнал имеет вид:
О, 1,-1, 1, 1,—1,—1, 1,—1,—1, 1,-1, 1, —1, 1, —1, —1,
1, - 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1.
586
1 г; нал содержит = 30 символов, но так как единственный
нулевой символ стоит первым, фактически имеется 29-позицион-
пый фазо-манипулированный сигнал.
Азтокорреляционная функция такого сигнала имеет вид:
0,1, 0,1, 0, 1, 0, —3, 0, 1, 0, -3, 0, —3, 0, —3, 0, —3, 0, 1, О,
3,0,1,0, 1,0, 1, 0, 29, причем максимальный боковой лепесток ее
равен 3.
Класс сигналов, построенный на основе МЛРП при п — 2,
любопытен тем, что здесь на полупериоде последовательности имеет-
ся только один нуль.
§ 8. ДРУГИЕ КЛАССЫ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Сигналы Баркера [14]. Особое место занимают сигналы, имею-
щие минимально возможный при данном N уровень боковых лепест-
ков, равный 1. Такие сигналы существуют только для определенных
значений N = 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 и называются сигналами Баркера.
Вид таких сигналов при различных N и соответствующие им авто-
корреляционные функции приведены в табл. 14.8.1.
Таблица 14.8.1
Сигналы Баркера
Сигналы Баркера
Автокорреляционная функция
-1, о, 3
—1, 0, 1, 4
1, 0—1, 4
1, 0, 1, 0, 5
—1, 0, —1, 0—1, 0, 7
—1,0,—1,0, —1, 0, —1, 0, —1, 0, 11
1, 0, 1,0, 1,0, 1, 0, 1,0, 1, 0, 13,
Сигналы Баркера являются уникальными сигналами, имеющими
регулярные автокорреляционные функции.
Некоторые усложненные сигналы. Усложнение дискретного
сигнала (например, фазовая манипуляция на несколько уровней,
дополнительная амплитудная манипуляция и др.) приводит к улуч-
шению его корреляционных свойств. Проиллюстрируем это поло-
жение несколькими примерами.
Предположим, что боковые лепестки автокорреляционной функ-
ции должны удовлетворять условию
IГ11 = 1, r2 = rs = ... =ГЛГ_1 =0.
587
Можно показать, что сигналы с корреляционными функциями,
удовлетворяющими этому требованию, могут быть найдены в классе
сигналов, дискреты s, которых являются действительными числами.
Формирование таких сигналов возможно при произвольной ампли-
тудной манипуляции и манипуляции фазы на два положения (О
или л). Легко убедиться, что при 7V = 5 требуемую функцию
корреляции имеет сигнал вида 1; q\ q2!^ —q\ 1. Например, при
q = 2 такой сигнал представляет собой последовательность 1, 2, 2,
—2, 1, а его корреляционная функция имеет вид 1, 0, 0, 0, 14.
В некоторых случаях можно отказаться от требования нулевых^
боковых лепестков. Имеющиеся здесь возможности можно показать ]
на примере следующего сигнала с дополнительной амплитудной!
манипуляцией: |
1; 1; 0,5; —3; —3; —3; +3; —3; —0,5; 1; —1. I
гЛ
. 1
Нетрудно убедиться, что автокорреляционная функция такого сиг- ‘
нала имеет вид:
—1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 0, 50.
Хорошей иллюстрацией возможности дополнительной амплитудной $
манипуляции на два уровня (0 или 1) является сигнал, представ-
ляющий собой последовательность
1, 1,-1,-1, 1, 1, 1,1, 1,-1, 1,-1, 0, 0,-1, |
автокорреляционная функция которого имеет следующий вид:
—1, —1, 1, 0, —1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, 0, 0, 1, 13.
ь •:
Сигналы Шермана [3]. Сигналы Шермана могут принимать на '
позициях два дискретных значения 0 или 1, что соответствует при-
менению только амплитудной манипуляции. Как отмечалось в §2,
сигналы Шермана удовлетворяют требованию не более чем одного^
совпадения при сдвиге на любое т. Вследствие этого импульсные»
корреляционные функции этих сигналов имеют боковые лепестки,
принимающие лишь два значения: 0 или 1. Так, например, сигнал^
Шермана для N = 8 имеет вид 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, а его автокорре- Jj
ляционная функция —1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 4.
С точки зрения обработки желательно иметь наименьшую длину
сигнала, сохраняя при этом заданное число единиц. Такие «опти -
мальные» сигналы найдены для случаев Л4 = 3, 4, ..., 10 (Л4
число единиц в сигнале) и представлены в табл. 14.8.2.
Зависимость log N от М имеет вид прямой линии. Экстраполируя
значения М, можно найти, 'что для М = 30 ожидается W ж 1000.
Таким образом, сигналы Шермана при значительной длительности
Т обеспечивают сравнительно небольшую энергию в импульсе,
S88
Таблица 14,8.2
Сигналы Шермана
Расстояние между единицами
4
7
12
18
26
35
46
62
3
4
5
6
7
8
9
10
Ь 2
1, 3, 2
1, 3, 5,2
1, 3, 6, 2, 5
1, 3, 6, 8, 5, 2
1, 3, 5, б, 7, 10, 2
1, 3, 9, 11, 6, 8, 2, 5
1,6,4, 15, 13, 8, 9, 3, 2
Многофазовые коды Фрэнка [15]. Естественный путь построения
фазо-манипулированного импульсного сигнала с фазовой манипу-
ляцией на несколько уровней состоит в передаче дискретными уров-
нями параболической зависимости фазы от времени, что соответ-
ствует в непрерывном случае ЛЧМ импульсу. Подобного рода коды,
построенные Фрэнком, имеют хорошие непрерывные свойства.
Пусть р и N — целые взаимно простые числа, а единица фа-
зового сдвига равна ф = 2nplN. Значения фаз на позициях, изме-
ренные в единицах ф фазового сдвига, удобно изобразить в виде
матрицы:
”0 0 0 0 0 ~
0 1 2 (N — 2) (N — 1)
„02 4 2(/V —2) 2(М —1)
0 (V — 2) 2(М —2)...(М —2)(М —2) (2V — 2) (V — 1) -
О (V— 1) 2(N — 1)(W — 2) (N — 1)(M — 1)_
(mod TV).
При этом временная кодовая последовательность Фрэнка форми-
руется последовательным выписыванием строки за строкой. Вслед-
ствие того, что матрица С содержит N строк и N столбцов, период
такой последовательности равен №.
Пример 1. Пусть N = 4. Тогда матрица С принимает вид
4 0 0 0“
„ 0 12 3
С 0 2 0 2 '
J) 3 2 1_
что соответствует следующей последовательности Фрэнка:
0, 0,0,0, 0, 1, 1,3, 0, 2, 0,2, 0,3, 2, 1, ...
589
следующие с периодом №.
14.33. Уровень боковых ле-
Рис.
пестков корреляционных функций
сигналов Фрэнка.
Автокорреляционная функция непрерывного сигнала Фрэнка
имеет нулевые боковые лепестки и главные максимумы; равные №,
. В качестве кода для импульсного
сигнала Фрэнка может быть ис-
пользована любая циклическая
перестановка периода. Лучшие
результаты, однако, получаются
при использовании основного пе-
риода.
На рис. 14.38 приведена зави-
симость уровня боковых лепестков
от длины кода, заимствованная из
работы Фрэнка. Здесь через 1 р.
обозначено отношение главного
максимума к уровню максималь-
ного бокового лепестка. Эти ре-
зультаты показывают, что много-
фазное сигналы Фрэнка имеют
существенно лучшие корреляцион-
ные свойства, чем, например,
Кроме того, структура кодов
двухфазные сигналы Хаффмена.
Фрэнка позволяет построить ком-
пактные схемы генераторов кодов.
В заключение отметим, что функция неопределенности сигналов
Фрэнка на плоскости «частота — задержка» имеет много общего
с функцией неопределенности ЛЧМ импульсов.
§ 9. ПОДАВЛЕНИЕ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОМ ПРИЕМЕ
Дискретные сигналы, в особенности при сравнительно неболь-
шом коэффициенте укорочения и достаточно простой форме (на-
пример, прямоугольная огибающая и фазовая манипуляция на два
уровня: 0 и л), имеют автокорреляционные импульсные функции
с большими боковыми лепестками. Для подавления боковых ле-
пестков следует использовать не согласованные фильтры, а фильт-
ры, специально подобранные таким образом, чтобы выходной сиг-
нал имел требуемые боковые лепестки.
Подавление боковых лепестков сопровождается проигрышем
в отношении сигнал/шум в максимуме выходного сигнала по сравне-
нию с оптимальной величиной 2£/А0. В отличие от импульсов с ли-
нейной частотной модуляцией подавление боковых лепестков кор-
реляционных функций ФМ импульсов не сопровождается расши-
рением главного максимума. Вместо этого расширяется область
боковых лепестков выходного сигнала.
$90
Приемное устройство в данном случае удобно представить в виде
идеальной линии задержки (с максимальной задержкой 6 > 7}
с отводами, отстоящими друг от друга на длительность позиции А
(рис. 14.39). На выходе каждого отвода помещен фазовращатель
(ФВ), который может изменить фазу на л, и аттенюатор (А), изме-
няющий амплитуду сигнала в нужное число раз. Выходные сигналы
аттенюаторов суммируются, и результат суммирования фильтрует-
ся в полосе 1/Д. Результат совместного действия фазовращателя
и аттенюатора сводится к умножению сигнала с каждого входа от-
вода на действительный вес hi, где i — номер отвода.
в
Вход
Линия задержки.
Рис. 14.39. Приемное устройство, подавляющее боковые ле-
пестки ФКМ импульсов.
Выходной сигнал фильтра в зависимости от конкретного вида
весов hi имеет различный характер. Для получения желаемого эф-
фекта веса подбирают так, чтобы выходной сигнал имел большой
главный лепесток (шириной по основанию 2А) и маленькие боковые
лепестки.
При теоретическом синтезе устройства удобно пользоваться од-
ним из двух критериев. Пусть величина р равна отношению глав-
ного максимума к максимальному боковому лепестку выходного
сигнала, а величина v — отношению главного максимума к корню
квадратному из суммы квадратов боковых лепестков.
Если веса hi выбраны из условия максимизации величины р при
заданной форме входного сигнала, то соответствующий фильтр
называется далее р-фильтром. Если значения весов максимизируют
параметр v, то фильтр называется v-фильтром. Оба вида фильтров
могут быть использованы в радиолокации.
Для отыскания весов по р-критерию используются модернизи-
рованные алгоритмы линейного программирования. Для отыскания
весов по v-критерию используется обычная методика отыскания
условного экстремума функции многих переменных и различные
специальные приемы решения систем линейных уравнений. Теоре-
тически дело сводится к отысканию экстремума квадратичной формы
591
при некоторых дополнительных ограничениях линейного вида.
Техника решения таких задач разработана сравнительно хорошо.
Поэтому практически пользоваться v-критерием легче, чем р-кри-
терием.
Ниже приведены результаты построения ц- и v-фильтров, по-
давляющих боковые лепестки сигналов Баркера с N — 5, 7, 13.
Рис. 14.40. Подавление боковых лепестков сигна-
ла Баркера с // = 5.
*
На рис. 14.40 — 14.42 представлены зависимости параметров р,
v и р2 (где р2 — отношение сигнал/шум по мощности в максимуме
выходного сигнала, поделенное на 2E/No) от максимальной задержки
линии, измеренной в единицах длительности позиции: k = 0/А + 1,
Для сигналов Баркера с N = 5 и 7.приводятся сравнительные ре-
зультаты по ц- и -v-фильтрам. Для сигналов Баркера с /V => 13
приводятся результаты по v-фильтрам.
Эффективность подавления боковых лепестков увеличивается
с возрастанием параметра k. приблизительно экспоненциально.
5?2
г
Рис. 14.41. Подавление боковых лепестков
сигнала Баркера с N=7.
Рис. 14.42. Подавление боковых лепестков по
v-критерию для сигнала Баркера с #=13.
20 Зак. 245
593
При достаточно большом k может быть достигнут любой наперед
заданный уровень боковых лепестков. При этом проигрыш в отно-
5^ Ъ *39**0
z^-ihizto
Z6*9Z4
<57 1 Z*i99l‘O
/ьЛ ^^6LZOOlO
, ^2~~6<7lZ6'O
\Ь7 sezw'o
t9ZObi
Гд- - isi6Q‘O
ZbO66‘Z
<2?" 69Sbi 9
19996'8
<2?" t‘Z8t>'9
— ' 0Z696 к
98L 06 '6
\^^0Z*96'Z.
СД"11L 8t! '9
- - /ьЧ <^l9Z9h'9
\jy \^-6£9Ы‘9
/ьУ-
- /sY
\5/ <2?8^98'9
ЛьЛ
1 К ?
<^'18160'0
Oh 7
sezw lo
£^~6WZ6‘O
~Zh89l *0
~L 6*924
ChlZLV
ti *99**0
Вход
Среди большого разнообразия
шении сигнал/шум по мощности
по сравнению с оптимальной
фильтрацией незначителен. По-
следнее объясняется тем, что
импульсный отклик р- и V-
фильтров, в основном, имеет
следующую структуру; цен-
тральная часть импульсного
отклика почти согласована с
используемым сигналом; начало
и конец импульсного отклика
хотя и могут быть довольно
длинными, по амплитуде значи-
тельно меньше центральной
части. Таким образом, начало
и конец импульсного отклика,
выполняя корректирующую
роль в смысле подавления бо-
ковых лепестков, мало влияют
на отношение сигнал/шум. Ска-
занное иллюстрируется следую-
щим примером.
Для пятипозиционного сиг-
нала Баркера I, —I, I, I,
I веса отводов линии задерж-
ки, используемые в р-фильтре
при k = 19, равны 1,2, 1, —3,
—8, —8, 1, 21, 37, 23, —37, 21,
—1, —8, 8, —3, —1,2, —1, при-
чем р = 139, v = 49, р2 = 0,88.
Импульсный отклик этого
фильтра, снятый на выходе сум-
матора, будет состоять из серии
6-функций, коэффициенты при
которых равны выписанным
весам.
На рис. 14.43 представлен
р-фильтр с числом отводов
k = 33, построенный для сигна-
ла Баркера с 7V = 13. Характе-
ристики р и р2 такого фильтра
соответственно равны р — 96
и р2 = 0,96.
различных дискретных сигналов
имеются сигналы, хорошо «поддающиеся» неоптимальной обра-
594
пггке, и сигналы, для которых «несогласованный» прием неэффек-
। пвен. В частности, сигналы Баркера с числом позиций 5 и 13 в этом
• мысле более эффективны, чем с числом позиций 7 и 11.
Интересно отметить также, что р- и v-фильтры дают не очень
। сличающиеся результаты. Это, в частности, следует из сравнения
рис. 14.40 и 14.41.
§ 10. ВОПРОСЫ «СВЕРХУКОРОЧЕНИЯ»
При помощи специальных фильтров можно укоротить входной
сигнал таким образом, что длительность сигнала на выходе фильтра
будет значительно меньше величины 1 /А/, где А/ — полоса исход-
ного сигнала. Такое укорочение сопровождается, конечно, значи-
тельными потерями в отношении сигнал/шум. Однако в некоторых
случаях (например, как мера борьбы с пассивными помехами мас-
сового типа) сверхукорочение является целесообразным.
Ниже представлены результаты построения укорачивающих
|i- и v-фильтров для прямоугольного импульса без фазовой внутри-
пмпульсной модуляции. С помощью комбинаций дифференцирую-
щих устройств можно, конечно, добиться разнообразных форм вы-
ходного сигнала. Однако фильтры, построенные по р- и v-крите-
риям, являются в этом отношении оптимальными.
Пусть необходимо укоротить исходный прямоугольный импульс
в L раз. Импульсный отклик р-фильтра имеет следующий харак-
терный вид (приводятся веса отводов);
1, 2, О,..., О, —3, 4, О,..., О, —5, 6, О,..., О,...,
v' >-------------------------------- '--------------v----
L — 2 L — 2 L — 2
нуля нуля нуля
1 aseno 2 звено 3 звено
-(27 — 1), 27, О,..., О, 27, — (27 — 1),
__________________________- S
L — 2
нуля
Импульсный отклик симметричен относительно середины, прохо-
дящей между звеньями, содержащими веса —(27 — 1), 27 и 27,
—(2J— 1). Модули весов отводов образуют натуральный ряд чи-
сел, причем знаки весов чередуются.
Фильтр, состоящий из пяти звеньев и укорачивающий в L = 5
раз, представлен на рис. 14.44. Там же представлены входной и вы-
ходной сигналы фильтра.
Физика работы этого фильтра достаточно проста. Входной им-
пульс всегда действует только на пару соседних отводов, веса ко-
го* 5„
торых противоположны по знаку и отличаются по величине на еди-
ницу. Поэтому на выходе сумматора будет появляться сигнал
-1, 1, 1, 1,-1, 1, 1, 1,-1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, ...
Максимум, равный 12, появляется в случае, когда импульс занял
в линии задержки среднее положение. За счет наращивания звеньев
линии можно получить теоретически любые отношения главного
максимума к боковому лепестку.
12
О Г=5Д ~
-6Д -2Д
Рис. 14.44, Укорачивающий р,-фильтр.
Сигнал на выходе р-фильтра имеет следующие параметры:
Л Т Л 1 Л о 24J . 2 3
— 4J; V — 4 у ; Р ' — (2J + 1) (4J+ 1) ’ Р ~ JL‘
Последнее равенство справедливо при достаточно большом J.
Для того, чтобы получить достаточно большое подавление бо-
ковых лепестков (например, р да 50), необходимо выбрать число
звеньев порядка 10. При этом р2да1/3£, т. е. отношение сигнал/шум
по мощности в пике выходного сигнала примерно в три ]Лз1
меньше отношения сигнал/шум по мощности для РЛС, работающей
с зондирующим импульсом в L раз более коротким, чем исходный»
Определенный ранее v-фильтр, укорачивающий прямоугольный
импульс, имеет структуру, подобную р-фильтру. Ниже приведены
сведения, относящиеся к v-фильтру.
Импульсный отклик такого фильтра имеет вид:
1 звено 2 звено
596
б-|,6+4’
A—2
нуля
L —2
нуля
3 звено
и далее симметрично относительно середины отклика. Параметры
» игнала на выходе такого фильтра равны
и = 2/ + 4; v = У4J + ^ ;
где L = 2е ф-1 -—число раз, в которое укорачивается исходный
импульс.- Последнее равенство справедливо при больших / из.
§ 11. ФОРМИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Формирование дискретных сигналов имеет специфические особен-
ности.
К числу их, в частности, относится наличие правила кодирова-
ния у дискретных сигналов, основанных на ЛРП.
Пусть к/] представляет собой ЛРП с правилом кодирования
Sf Cli Sj _ i -j™ Si—
S;—двоичные числа, и сложение производится по модулю 2.
Последовательность двоичных символов [sj может быть сформи-
рована с помощью устрой-
ства, изображенного на
рис. 14.45.
Устройство состоит из
сдвигающего регистра, имею-
щего п разрядов, причем
каждый разряд может нахо-
диться в одном из двух со-
стояний (0 или 1), умножи-
телей на коэффициент ат
(в двоичном случае это озна-
чает просто наличие или от-
сдвиг
Qn.
Сумматор по модулю Z
W
сутствие связи с суммато-
ром), сумматора по модулю 2
и цепи обратной связи. Уст-
ройство работает от внешних
Рис. 14.45. Генератор двоичной последо
вательности символов.
запускающих импульсов, следующих с периодом, равным дли-
тельности позиции А. В каждом такте в разрядах регистра хра-
нятся двоичные числа: sz-i хранится в первом разряде, sz_n—
в n-м разряде. При этом на выходе сумматора формируется
597
число Si, определяемое правилом кодирования. В случае появления
очередного запускающего импульса происходит сдвиг содержимого .
регистра на один разряд в направлении, указанном на рис. 14.45. I
При этом в первый разряд записывается число хранившееся I
в предыдущем такте на выходе сумматора, во второй разряд записы- |
вается число s;_i, хранившееся в первом разряде предыдущего такта I
и т. д. Начиная с первого такта, в регистре хранится последова- ]
тельность состояний: I
Прямое решение задачи формирования последовательности сим- Я
волов с периодом N = 2" — 1 потребовало бы применения устрой- I
ства, имеющего «память» N, например, линии задержки с макси- Я
мальной задержкой, равной Т = А'А. Сдвигающие регистры, охва- Я
ченные петлей обратной связи, имеют «память» п « log27V, что поз- Я
воляет упростить устройство в целом. Я
В некоторых случаях двоичные сигналы псевдослучайного ха-
рактера не имеют столь простого правила кодирования. Однако I
выбором подходящей памяти и применением нелинейной логики I
можно всегда сформировать генератор, подобный описанному. I
После того, как последовательность видеоимпульсов, соответ- I
ствующая коду, получена, формирование радиочастотного сигнала 1
может быть выполнено при помощи быстродействующего комму- |
татора, пропускающего на вход усилителя мощности один из сигна- I
лов (например, cos <o0Z или —cos (nQt) в зависимости от величины» 1
коммутирующего напряжения. I
Вторая особенность применения дискретных сигналов заклю- I
чается в возможности получения кодовых последовательностей, ।
задержанных относительно исходной, с помощью логических one- *
раций над разрядами сдвигающего регистра. В качестве примера 1
рассмотрим эти операции применительно к сигналам Хаффмена.
Предположим, что, кроме основной цепи обратной связи, над ]
разрядами сдвигающего регистра осуществляется линейная опера- ’
ция вида
—л»
где ст — двоичные числа и сложение производятся по модулю 2,
Можно показать, что каждой комбинации коэффициентов ci,
..., сп (т. е. каждому виду связи разрядов с дополнительным сумма-
тором) соответствует последовательность [szl, задержанная отно-
сительно исходной на некоторое число символов, т. е.
Общее число комбинаций из п символов с
нием нулевой, равно 2"— 1 = N.
•п, за исключе-
598
На рис. 14.46 представлены генератор последовательности и фор-
мирователи сдвинутых последовательностей ЛРП класса р = 2,
v — 3 с периодом N = 7.
В случае использования сигналов Хаффмена логика получения
сдвинутых последовательностей является линейной. В других слу-
чаях можно воспользоваться нелинейной логикой.
О
О
о
О
О
Сдвиг
Сумматор
по модулю 2 —
1
1
1
О
О
1
О
1
1
О
О
О
1
10 0 10
0 0 10 1
0 10 11
10 111
0 1110
1110 0
110 0 1
Рис. 14.46. Генератор опорных сигналов для многоканаль-
ного коррелятора.
Описанный генератор может быть использован и в многоканаль-
ном корреляторе в качестве задающего устройства для формирова-
ния опорных сигналов в каналах коррелятора.
§ 12. ИСКАЖЕНИЯ ФМ ИМПУЛЬСОВ В РАДИОТРАКТЕ РЛС
л
Дискретные сигналы, проходя по тракту РЛС, претерпевают
искажения, ограничивающие практическое использование таких
сигналов. Некоторые искажения ФМ импульсов и ЛЧМ импульсов
имеют общую природу. К их числу следует отнести, в частности,
перечисленные в § 5 искажения, вызываемые неидеальностью ам-
плитудно-частотной характеристики усилителя мощности и укора-
чивающего фильтра; дисперсионными свойствами волноводов антен-
но-фидерного тракта; отличием формы модулирующего импульса,
подаваемого на усилитель мощности, от прямоугольной; наличием
несогласованных неоднородностей в антенно-фидерном тракте
н т. п.
599
Кроме того, имеются искажения, связанные с дискретной струк-
турой зондирующего сигнала и соответственно с дискретностью
формирователя и дискретностью в приемном устройстве. Эти иска*
жения можно разделить на две группы:
1) искажения, связанные с неточностями установки фазы мани-
пуляции сигнала и с неточностями весов отводов линии задержки
по амплитуде и фазе (амплитудно-фазовые неточности);
2) искажения, связанные с неточностями временной структуры
сигнала и фильтра, в частности, с неточностями моментов манипу-
ляции фазы сигнала и неточностями в расположении отводов на лио-
нии задержки (временные неточности).
Рассмотрим влияние некоторых видов искажений на форму вы-
ходного сигнала. Характер этого влияния в определенной степени
зависит от конкретного вида дискретного сигнала. Хорошие оценки
можно получить, если воспользоваться процедурой усреднения по
значениям сигнала, считая, что значения сигнала от позиции к по-
зиции независимы и значения фазы на позиции (например, Ойл
при р — 2) равновероятны. Оценки, полученные таким способом,
очевидно, соответствуют случаю использования псевдослучайного
сигнала с большим числом позиций Л/>1.
Влияние искажений сказывается не только на уровне боковых
лепестков выходного сигнала, но также и на форме главного ле-
пестка и на отношении сигнал/шум в главном лепестке. Проигрыш
в отношении сигнал/шум удобно оценивать параметром р®, который
равен фактическому отношению сигнал/шум по мощности при на-
личии искажений, отнесенному к отношению сигнал/шум на выходе
согласованного фильтра.
Амплитудно-фазовые неточности. Пусть 05 — дисперсия фазо-
вых неточностей сигнала, Оа — дисперсия амплитудных неточно-
стей весов отводов ЛЗ, <4 —• дисперсия фазовых неточностей весов
отводов ЛЗ. Сами неточности предполагаются нормальными слу-
чайными величинами с нулевым средним значением. Тогда диспер-
сия значений выходного сигнала имеет вид рис. 14.47. Здесь А® —
дисперсия дополнительных боковых лепестков, отнесенная к квад-
рату центрального пика, равная при t — О
(14.12.1)
Характерные особенности этих искажений заключаются в том,
что наибольшие дополнительные лепестки возникают в окрестности
главного максимума и линейно уменьшаются к краям корреляцион-
ной функции. Величина дополнительных боковых лепестков обратно
пропорциональна числу позиций N. Таким образом, эти искажения
можно уменьшить, выбрав псевдослучайный код с большим числом
позиций.
600
Отношение сигнал/шум при наличии такого рода искажений
цределяется формулой
J
р2= 1 _ст2_ст2 = 1 _ W. (14.12.2)
Неточности момента манипуляции фазы сигнала. Пусть а, —
щсперсия неточности момента коммутации фазы, причем сама не-
годность распределена по равномерному закону в пределах дли-
Рис. 14.47. Относительная дисперсия боковых лепест-
ков, возникающих из-за амплитудно-фазовых неточ-
ностей.
тельности позиции с нулевым средним значением. Относительная
дисперсия боковых лепестков имеет вид рис. 14.47, причем величина
дисперсии в районе главного максимума равна:
Х2 = 1#(г)2' (14.12.3)
Проигрыи в отношении сигнал/шум по мощности при наличии иска-
жений такого вида определяется формулой
[ v"T тЛ2
р2 = (1~¥^) • <14-12-4>
Таким образом, этот вид искажений также зависит от числа пози-
ций. IV.
Неточности установки отводов ЛЗ по задержке. Пусть о? —
дисперсия неточности установки отводов ЛЗ по задержке. Пред-
полагается, что приращение фазы, возникающей из-за указанной
неточности, выбрано при настройке фазовращателей в отводах ли-
нии. Сама неточность распределена равномерно на интервале Д
с нулевым средним значением. Относительная дисперсия боковых
20В. Зак. 245
601
лепестков имеет вид рис. 14.47, причем в этом случае Справедливы
соотношения
(14.12.5)
(14.12.6)
Данные искажения также могут быть ослаблены выбором большо-
го N.
Помимо появления дополнительных лепестков и уменьшения
отношения сигнал/шум временные неточности приводят также к ис-
кажению формы главного максимума. Средний главный максимум
-Л -V3& 0 VJo A t
Рис. 14.48. Среднее значение главного лепестка при
временных искажениях.
отличается от треугольника и имеет вид, изображенный на рис.
14.48. Здесь о может быть oz или <гт в зависимости от того, какая
неточность рассматривается. Средний главный максимум расши-
ряется и уменьшается по амплитуде. Последнее символизирует про-
игрыш в отношении сигнал/шум по напряжению. •
Рассмотрим теперь сигнальные искажения непрерывного ха-
рактера, такие, как непрерывная модуляция сигнала по фазе и по
амплитуде. Анализ этих искажений приводит к следующим резуль-
татам.
Синусоидальная фазовая или амплитудная модуляция. Этот
тип искажений представлен на рис. 14.49. Количественно искаже-
ния выходного сигнала характеризуются дисперсией, причем усред-
нение производится по ансамблю зондирующих сигналов так же,
как и при анализе дискретных искажений. Относительная диспер-
сия имеет вид рис. 14.47, причем максимальное значение для фазо-
вых искажений равно Аф2 I4N, а для амплитудных искажений —
" 2Л7. При больших >1 и лга» 1 проигрыш в отношении сиг-
нал/шум не зависит от т<9 и та и равен
(14.12.7)
для амплитудных и фазовых искажений соответственно.
Искажения типа «скос». Наличие скоса у огибающей импульса
(рис. 14.29) приводит к появлению несимметричных относительно
пуля дополнительных боковых лепестков. Наибольшее значение
таких лепестков достигается при / = Л и равно а2 /ЗАЛ
1 Фазовые
искажений
Рис. 14.49. Непрерывные
амплитудно-фазовые искажения
ФМ
импульса.
Приведенные результаты по регулярным искажениям ФМ сиг-
налов показывают, что их влияние на выходной сигнал ослабляется
в зависимости от числа позиций N. Формально это является след-
ствием усреднения по сигналу, который считается случайным. По
существу уменьшение искажений объясняется тем, что регулярные
искажения, проходя по отводам ЛЗ согласованного фильтра, при-
обретают случайный характер и затем суммируются уже как слу-
чайные величины.
Важным видом искажений является частотный сдвиг несущей
частоты относительно центральной, на которую настроен согласо-
ванный фильтр. Анализ влияния этого сдвига на боковые лепестки
и форму главного лепестка для случайных сигналов показывает,
что уровень боковых лепестков не зависит от частотного сдвига,
вто время как отношение сигнал/шум по мощности в главном пике
уменьшается в соответствии с квадратом |7?(0, й))2 функции не-
определенности.
Сравнивая результаты влияния однотипных искажений ЧМ
импульсов и ФМ импульсов на форму выходного сигнала, можно
заметить, что псевдослучайные ФМ сигналы проявляют значительно
большую устойчивость к большинству типовых искажений, чем
ЛЧМ импульсы. Относительная дисперсия боковых лепестков ФМ
20В*
603
сигналов в этих случаях обратно пропорциональна числу позиций,
что позволяет эффективно подавлять «технические» боковые ле-
пестки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации
с применениями в радиолокации. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио»,
1955.
2. Рихачек А. В. Разрешающие свойства импульсных последо-
вательностей. Пер. с англ. Труды института инженеров по электротехнике и
радиоэлектронике, 1964, № 2.
3. Sherman Н. Some optimal signals for time measurement. Trana
IRE, 1956, IT-2, № 1.
4. Coo k С. E. Pulse compression key to more efficient radar transmis-
sion. Proc. IRE, 1960, № 3.
5. T и м и с Ц. Л., С а й т p и н А., Л э в и о л а М. А. Блок
сжатия импульсов для РЛС сопровождения. «Зарубежная радиоэлектро-
ника», 1964, №11.
6. Т о р Р. К- Техника сжатия импульса с большим произведением
длительности на ширину спектра. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963,
№ 12.
7. Т е m е s С. L. Sidelobe suppression in a range channel pulse —
compression radar. Trans. IRE, 1962, MiL-6, № 2.
8. К л а у д e p Д. P. и др. Теория и расчет импульсных радиолока-
ционных станций с частотной модуляцией. «Зарубежная радиоэлектроника»,
1961, № 1.
9. Дифраико Ж. В., Рубин В. Л. Анализ искажений при об-
работке радиолокационного сигнала. «Зарубежная радиоэлектроника»,
1963, № 9.
10. Ц и р л е р Н. Линейные рекуррентные последовательности. «Ки-
бернетический сборник», 1963, вып. 6.
11. Хаффмеи Д. Синтез линейных цепей последовательного коди-
рования. Сб. ст.: «Теория передачи сообщений». Изд-во иностранной литера-
туры, 1957.
12. Плоткин М. Двоичные коды с заданным минимальным расстоя-
нием. «Кибернетический сборник», 1963, вып. 7.
13. Д ж о ш и. О верхних границах для кодов с минимальным расстоя-
нием. «Кибернетический сборник», 1960, вып. 1.
14. Burker R. Н. Group synchronizing of binary digital systems.
Communication theory. Academic Press, 1953.
15. Фрэнк P. Многофазовые коды с хорошими непериодическими
корреляционными свойствами. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963, №12.
Раздел IV
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ