Е. Сенета
ПРАВИЛЬНО
МЕНЯЮЩИЕСЯ
Ф УН ЩИ И
Перевод с английского
ИХ. ШИГАНОВА
Под редакцией
ВМ ЗОЛОТАРЕВА
С дополнениями
ВМ ЗОЛОТАРЕВА, ИС ШИГАНОВА
га
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКаМА ТЕМА ТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ
1985

22.171
C.31
УДК 519.21
Lecture Notes in Mathematics
Edited by A. Dold and B.Eckmann 508
Eugene Seneta
' ^#Regularly Varying I unctions
!*Springer-Verlag
^Berlin - Heidelberg - New York
31976
Сенега Е. Правильно меняющиеся функции. Пер. с
англ. / Под ред. В.М.Золотарева. - М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы. - 1985,
144 с.
Книга написана австралийским математиком и посвящена систе-
систематическому изложению свойств вещественных функций с так на-
называемым правильным изменением на бесконечности. Она является
первым наиболее полным собранием фактов, относящихся к функ-
функциям этого класса, играющего существенную роль в теории функ-
функций и теории вероятностей.
Для научных работников. Может быть использована также сту-
студентами старших курсов университетов.
Библиогр. 174 назв.
1702060000-088
053@2)-85
© by Springer-Verlag Berlin
Heidelberg 1976
© Издательство "Наука'*.
Главная редакция
физи ко-математической
литературы, 1985.
Перевод на русский язык; допол-
31-85 нения переводчика и титульного
редактора, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Предисловие 7
Глава 1. Правильно меняющиеся функции 9
1.1. Введение 9
1.2. Основные теоремы 10
1.3. Обобщение .определения понятия правильного измене-
изменения. Характеризация правильного изменения 15
1.4. Структура медленно меняющихся функций и другие
варианты доказательств основных теорем 20
1.5. Дальнейшие свойства правильно меняющихся функций . 23
1.6. Сопряженные и дополнительные правильно меняющиеся
функции 30
1.7. Определение слабо правильно меняющейся функции ... 34
1.8. Монотонное правильное изменение 41
1.9. Библиографические замечания и обсуждение 46
Упражнения к главе 1 50
Глава 2. Специальные свойства правильно меняющихся функций ... 54
2.1. Интегральный критерий правильного изменения 54
2.2. Тауберовы теоремы для правильно меняющихся
функций 59
2.3. Интегралы, содержащие правильно меняющиеся функ-
функции 62
2.4. Один класс функций, связанных с правильно меняющи-
меняющимися функциями 68
2.5. Библиографические замечания и обсуждение 81
Упражнения к главе 2 82
Приложение. Обобщения понятия правильного изменения 86
П.1. ДО-меняющиеся функции 86
П.2. Порядок изменения 91

П.З. Монотонность. Мажорируемое изменение 94
П.4. Библиографические замечания и обсуждение 98
Дополнения (В.М. Золотарев, И.С. Шиганов) 100
A. Медленно меняющиеся функции с остаточным членом .. 100
АЛ. Определение и основные свойства 100
А.2. Теоремы абелева и тауберова типа 108
А.З. Асимптотика тригонометрических рядов 116
B. <£-медленно меняющиеся функции 120
C. Функции нескольких переменных 125
С.1. Определения, некоторые факты 126
С.2. Структура правильно меняющихся функций несколь-
нескольких переменных 127
С.З. Многомерные теоремы абелева и тауберова типа 128
Список литературы 132
Список литературы к дополнениям 136
Предметный указатель 140

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Все, кто имел дело с методами высшей математики, в част-
частности с методами математического анализа, хорошо знают о той
исключительной роли, которую играют там степенные функции.
Желание выделить класс функций одной переменной, родственных
степенным по проявлению ряда их свойств, привело ныне хорошо
известного югославского математика И.Карамату к созданию в
1930 г. понятия правильно меняющейся функции [28]. Функции
класса Караматы называют иногда регулярно меняющимися, а
также автомодельными функциями. Последний термин, связывае-
связываемый как с функциями одной, так и многих переменных, вошел в
обиход специалистов по вопросам квантовой теории поля после
появления работ B.C. Владимирова и Б.И. Завьялова (по этому
поводу см. [18*]*).
Во многих разделах современной математики (таких, как тео-
теория чисел, теория дифференциальных уравнений, математическая
физика, теория вероятностей и т.д.) правильно меняющиеся функ-
функции находят себе разнообразные и многочисленные применения,
главным образом за счет той роли, которую они играют в теоремах
абелева и тауберова типа. И здесь одно из первых мест среди потре-
потребителей, несомненно, занимает теория вероятностей. Она дает ог-
огромное число примеров успешного использования правильно ме-
меняющихся функций одной переменной. К этому можно прибавить,
что в последние годы, в теории вероятностей обнаружилась по ряду
вопросов естественная необходимость привлекать в качестве ма-
математического аппарата правильно меняющиеся функции многих
переменных (об этом несколько подробнее будет сказано в начале
дополнения С).
Предлагаемая вниманию читателей небольшая монография из-
известного австралийского математика Е.Сенеты содержит системати-
систематическое изложение теории правильно меняющихся функций одной
*) Звездочка означает, что ссылка относится к дополнительной части биб-
библиографии.
5

переменной. Это вторая книга в мировой математической литера4
туре, специально посвящаемая функциям Караматы*). Первой быц
ла книга Л. де Хаан [72], которая, однако, не получила широкой из-
известности и на русский язык не переводилась. Таким образом, пе-
перевод книги Е. Сенеты является первым и пока единственным
достаточно полным и вместе с тем легко доступным для наших
читателей источником сведений о свойствах правильно меняющих-
меняющихся функций.
Конечно, то обстоятельство, что Е. Сенета — специалисте облас-
области теории вероятностей, активно работающий в этой науке, оста-
оставило свой след на подборе материала и стиле его изложения. Одна-
Однако это детали, носящие второстепенный характер. Книга предназна-
предназначена для широкого круга читателей и написана вполне доступно
для понимания каждого, кто располагает стандартными познания-
познаниями в области математического анализа.
Желая, с одной стороны, несколько расширил» кругозор чита-
читателей книги и, с другой - предохранить ее перевод от преждевре-
преждевременного морального старения, мы решили к тому пополнению
материала, которое нам любезно предоставил сам автор, прибавить
свои дополнения. Два из них (дополнения А и В) связаны с уточне-
уточнением тех сведений, которые вошли в состав оригинального текста,
а третье (дополнение С) имеет целью дал» начальное знакомство и
ориентировку в интенсивно развивающейся в наше время теории
правильно меняющихся функций нескольких переменных.
В итоге книга Е. Сенеты сможет играть роль как учебного посо-
пособия для изучения теории правильно меняющихся функций, так и
хорошего справочника.
Я пользуюсь здесь случаем поблагодарить автора книги Е. Се-
нету за проявленное им внимание к нашим пожеланиям, а также
B.C. Владимирова, Ю.Н. Дрожжи нов а, Б.И. Завьялова и А.Л. Якы-
мива за их помощь в подборе дополнительной литературы и состав-
составлении дополнения С.
В. Золотарев
♦) Недавно стало известно о предстоящем издании в 1985 - 1986 годах
книги N.R Bingham, CM. Goldie, J.L. Teugels, Regular Variation, содержащей
как систематическое и обстоятельное изложение теории правильно меняю-
меняющихся функций одной переменной, так и разнообразные приложения этой
теории.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Главной целью автора была попытка изложить в четко ого-
оговоренных предположениях и замкнутой форме основы теории
правильно меняющихся функций вещественной переменной. Для
читателя, желающего ознакомиться с общим изложением этого
ценного аналитического аппарата, настоящая книга может слу-
служить источником сведений вне зависимости от его математичес-
математической специализации. Автор старался максимально упростить все
приводимые доказательства. Предлагаемые упражнения имеют
целью продемонстрировать потенциальные возможности теории
и дать некоторые навыки в ее использовании.
Личный интерес автора к данной тематике стимулировался
приложениями вероятностного характера. Фундаментальная роль,
которую играют в теории вероятностей правильно меняющиеся
в смысле Караматы функции, были отмечены уже в книге
Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова. Особенно полно значение
правильно меняющихся функций вероятностники осознали пос-
после выхода в свет в 1966 второго тома книги В. Феллера "Введение
в теорию вероятностей и ее приложения", в которой содержались
элементы теории Караматы. На изложении материала этой книги,
к сожалению, сильно отразились вкусы автора, что можно ви-
видеть и в последнем ее издании. К тому же иногда предположения
и условия были выражены недостаточно четко, что создавало
трудности для неподготовленного читателя. С другой стороны,
работы, в которых уточнялась и развивалась созданная И. Кара-
матой в начале 30-х годов теория, настолько мало известны ве-
роятностникам, что вообще могло сложиться впечатление об от-
отсутствии таких работ.
Скромным желанием автора настоящей моногорафии было
устранить упомянутые недостатки, следуя несколько иным
путем, чем это делала де Хаан [72]. Читатель встретится также
с попыткой автора включить в книгу, помимо основных резуль-
результатов теории, подборку фактов менее известных (см., например,
раздел 2.4 и приложение).
7

Следует отметить, что приведенный список литературы отно-
относится только к вошедшему в книгу материалу и ни в коем слу-
случае Н£ может рассматриваться как полный.
В основу книги легли тексты лекций, подготовленных авто-
автором в начале 1973 г. и прочитанных в течение академического
года на факультете статистики Принстонского университета
(автор пользуется возможностью поблагодарить профессоров
Ватсона и Макнейла за радушное гостеприимство). Побуждаю-
Побуждающим началом для создания этой книги было намерение автора
написать совместно с Бингхемом и Тойгельсом книгу, в кото-
которой излагаемый здесь материал должен был составить две первые
главы.
Автор хочет выразить свою признательность профессору Ран-
ко Бояничу за предоставленные им материалы и полезную пере-
переписку, а вместе с ним и известной своими сильными работами
школе югославских математиков, основанной Караматой.
Наконец, автор признателен мисс Хельми Патрикка за ее вни-
внимательное перепечатывание рукописи.
Канберра, 1975 г. Б. Сенета

Глава 1
ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ
1.1. Введение
Правильное изменение функции -это одностороннее локаль-
локальное асимптотическое свойство заданной функции, выделение кото-
которого проистекает из желания логично и полезно расширить класс
функций со степенным асимптотическим поведением в окрест-
окрестности некоторой точки до класса функций с асимптотикой
типа степенной функции, умноженной на коэффициент, который
изменяется "более медленно", чем степенная функция.
Правильное изменение, являясь локальным свойством, долж-
должно быть определено относительно некоторой точки. Мы примем
следующее
Определение 1.1. Положительная функция R называется
правильно меняющейся на бесконечности, если она измерима
на полуоси [А, «>), А > О, и существует такое число р € ( - °°, °°),
что для произвольного X > О
При этом р называется порядком функции R (илипоказателем).
Функция R(x) называется правильно меняющейся в нуле, ес-
если R(l/x) правильно меняется на бесконечности. Понятие правиль-
правильного изменения может быть теперь определено в произвольной
конечной точке путем сдвига начала координат в эту точку. Таким
образом, достаточно ограничиться построением теории функций,
правильно меняющихся на бесконечности, что мы и будем делать
в дальнейшем, часто опуская при этом слова "на бесконечности".
Несколько упражнений по перенесению результатов, связанных
с правильным изменением на бесконечности, на случай правиль-
правильного изменения в нуле, будут приведены ниже.
Запишем правильно меняющуюся функцию порядка р в виде
xPL(x). Тогда L(x) - положительная измеримая на [А, °°) функ-
функция, и из A.1) следует, что для произвольного X > О
ton (L(Xx)/L(x)) = l. A-2)
X -+ оо
Значит, L(x) - правильно меняющаяся функция порядка р = 0.
9

Определение 1.2. Правильно меняющаяся функция L(х)
порядка р = 0 называется медленно меняющейся функцией.
Обозначение L (х) , обычно используемое для таких функций,
определяется первой буквой французского слова lentement (мед- \
леннд) и связно с тем, что фундаментальные работы по теории
медленно меняющихся функций были написаны Караматой*);
на французском языке.
Итак, функция R(x) - правильно меняющаяся тогда и только
тогда, когда она может быть записана в виде
где L (х) — медленно меняющаяся функция, р Е (-00,00). Послед-
Последним представлением мы будем постоянно пользоваться в этом
разделе.
Каждая почти всюду положительная измеримая функция, имею-
имеющая положительный предел при jc -*°°, очевидно, является медлен-
медленно меняющейся. Простейшим нетривиальным примером медленно
меняющейся функции служит функция log*, причем взятие ло-
логарифма любой кратности (например, loglogjc) также приводит
к медленно меняющейся функции.
С другой стороны, экспоненты ех и е~\ а также незатухаю-
незатухающие осциллирующие функции, такие, как 2 + sin* не являются
правильно меняющимися. Эти примеры (еще несколько не столь
очевидных примеров можно найти в упражнениях) должны пока-
показать на интуитивном уровне, что входит в понятия правильно и
медленно меняющихся функций.
Ясно, что для изучения правильного изменения функций в
большинстве случаев вполне достаточно изучить свойства мед-
медленно меняющихся функций.
1.2. Основные теоремы
В излагаемой теории имеются две базисные теоремы, связан-
связанные со свойствами медленно меняющихся функций. Их можно
назвать фундаментальными в том смысле, что каждая легко полу-
получается из другой, а большинство остальных свойств медленно
меняющихся функций также вытекает из этих теорем.
Теорема 1.1 (теорема о равномерной сходимости). Если
L - медленно меняющаяся функция, то для любого фиксирован-
фиксированного интервала [а, Ь], 0 < а < Ъ < °°, соотношение A.2) выпол-
выполнено равномерно относительно X £ [а, Ь].
Теорема 1.2 (теорема о представлении). Если функция L,
определенная на полуоси [А, °°), А > 0, - медленно меняющая-
*)См. библиографические замечания и обсуждение.
10

ся, то найдется число В> А такое, что при всехх > В
A.3)
т?(х)+ / dt\,
I в t )
где г? - ограниченная измеримая функция на [В, °°], такая что
п(х) -*с(|с| < °°), м е(;с) - непрерывная функция на [В, °°),
такая, что е(х) -+Оприх -►«>.
Докажем сначала теорему 1.1, а затем теорему 1.2, предва-
предварительно доказав несколько лемм. Обратный ход рассуждений -
от теоремы 1.2 к теореме 1.1- оставляется читателю в качестве
упражнения •>.
В следующих леммах нам удобнее будет работать не с функ-
функцией L (х) , а с функцией f(x) = log L (ex).
Итак, мы имеем дело с вещественной функцией /, измеримой
на полуоси [?, °°) и для произвольного фиксированного д удов-
удовлетворяющей условию
/(дг+л)-/(дг)->о, х^°°- С1-4)
Лемма 1.1 Соотношение A.4) выполнено равномерно по
всем /i , принадлежащим произвольному фиксированному конеч-
конечному замкнутому интервалу.
Доказательство. Сначала докажем лемму 1.1 для ц из
конкретного интервала [0, 1 ]. Пусть в этом интервале лемма
неверна. Тогда найдутся е > 0 и последовательности { хп},хп-+<*>,
11 ( ^п ) t М„ € [0, 1 ], такие, что при всех п
1/(*я+/*»)-/(*,,) 1>е- A-5)
Определим множества UfV Vn соотношениями
£/„= {/i:ji€[0,2], l/(*w+0)-/(*w)l<-€ Vm>#i}.
j A6a)
К„= {X: Х€[0,2], l/(xw+Mm+X)-/(xm+^w)|<ye
A.6b)
Очевидно, что t/n и Кп измеримы, а каждая из последовательнос-
последовательностей {Un} и { Fn} есть монотонно возрастающая последова-
последовательность множеств, причем в силу A.4) Un, Vn t [0, 2].
Следовательно, если т() обозначает меру множества, то
m (^v) > 3/2, m (VN) > 3/2 для любого достаточно большого N.
Пусть Fj^ = KN + цNf тогда w (V'N) = w (KN) > 3/2. Заметим, что
*)См. упражнение 1.3
11

Значит, Utf, П V'N Ф ф(ф - пустое множество), т.е. найдется /i G
G UNf для которого n-nNe VN, поэтому из A,6a) следует
A.7а)
а из A.6Ь)
\f(XN + Mtf +M -Mtv)
или, что эквивалентно,
Воспользовавшись соотношениями A.7а) и A.7 Ь) и неравенст-
неравенством треугольника, получаем, что
но это противоречит A.5)
В случае произвольного отрезка [a, b], b > а, введем функ-
цию/ по формуле/ (jc) =/((Ь - a)jc). Тогда
где д' = (х - аI (Ь - а), v = (д- а)/ (Ь - а). Значит,
д,-*оо «е^д^оо; це[а, Ь] +**1>е[0,1]. ■
Лемма 1.2 Для функции f найдется такое число, X, X > у,
что f ограничена на каждом отрезке [X, X* ], X' > X.
Доказательство. Согласно лемме 1.1 найдется число
X, для которого
Полагая jc = X, X + /z -у, имеем для любого у G [Z, Z + 1]
I/00KI/MI + 1.
Повторяя это рассуждение для любого jc G [X + 1, X + 2J, прихо-
приходим к оценке
Поэтому для любого натурального к неравенство
справедливо на отрезке [Х+к-1,Х + к],а значит, и на отрез-
отрезке [XtX + k]. ■ ^
Следствие. Функция f интегрируема на отрезке [X, X1 ]
при любом X* > X (как ограниченная измеримая на этом отрез-
отрезке функция).
12

Лемма 1.3. Если X удовлетворяет условию леммы 1.2, то
при х > X
/(Х) = С(Х)+ / €(t)dt,
X
где с и € - измеримые и ограниченные на произвольном отрезке
[X, X' ], X' > X, функции, причем с(х) -*с (| с \ < «>) и е (х) -*
-+0 при х-*<*>.
Доказательство. Используя лемму 1.2, для х> X имеем
№ = * /' {fix) -f(t))dt + / {f{t + 1) -/(г))* + ^/ l f{t)dt.
x x x
Записывая стоящую справа сумму трех интегралов соответст-
соответственно как
х
в силу A.4) получаем, что
е@=/('+!)-Я')-* 0, г^оо,
а в силу леммы 1.1
JC+1 1
х 0
Доказательство будет завершено, если положим с(х) = Ь(х) + с. ■
Лемма 1.4. Найдется X, Х> X* такое, что для всех х > X*
fe*(t)dt, A.8)
х*
где функции с* и е* обладают всеми свойствами функций сие
из леммы 1.3 и, кроме того, функция е*непрерывна.
Доказательство. Обозначим
/*(*)= / €(/)*= / (f(f + 1)-/@)А
тогда
c(jc) = /(jc)-/*(Jc)^c, х-*™. A.9)
Зафиксировав д > 0, имеем
W
13
О

Теперь при .у € [0, fi]
f(y + * + 1) -/О' +*)=/(* +У + 1) -/(*)- (/(JC +у) -/О))
и по лемме 1.1 это выражение стремится к нулю равномерно по
е [О, ц\9 откуда
Последнее соотношение верно для любого ц > О, его справедли-
справедливость аналогичным образом может быть доказана для ц < 0 и
легко проверяется для ц = 0. Следовательно, оно верно для всех
вещественных ц.
Мы видим, что леммы 1.1 — 1.3 можно применить к функции
/* с заменой X на некоторое число Х*у Х*> X, т.е.
/*(*)= 6*(jc)+ f €*(t)dt+c\
х*
где функция e*(t) = /*(/ + 1) — f*(t) непрерывна в силу непрерыв-
непрерывности /*. Тогда из A.9) имеем
*) = с(х) +6*(*)+/ e*(t)dt + c*4
у*
что и обеспечивает нам получение требуемого результата. ■
Замечание. Повторяя процедуру, описанную в доказа-
доказательстве этой леммы, нужное число раз, мы сможем получить
представление A.8), в котором функция e*(t) обладает произ-
производной любого фиксированного порядка при достаточно боль-
больших значениях t. Все "нежелательные черты" функции/(jc) будут
накапливаться в функции с*(х)> о которой мы можем сказать
лишь то, что она имеет конечный предел при jc ->oo.
Обратим преобразование f(x) = logL^*). Тогда L(x) =
= exp { /(logjc)) для любого jc > 0. Теоремы 1.1 и 1.2 теперь
вытекают соответственно из лемм 1.1 и 1.4 Значит, в теореме
о представлении можно взять t?(jc) = c*(log#), e(jc) = e*(logjc),
так как
log* x e*(log.y)
/ e'U)dt* I * dy9
x* * У
где В = exp X*.
Следствие теоремы 1.2. Произвольная функция, пред-
представляемая в виде A.3) с г? и е из теоремы 1.2, является
медленно меняющейся функцией.
Доказательство следствия просто, и мы оставляем его чита-
читателю.
Отметим, как заслуживающее упоминания, одно следствие пред-
представления A.3), состоящее в том, что для достаточно больших jc
14

можно записать медленно меняющуюся функцию в виде L (х) =,
= M(x)L0 (х), где функция М(х) положительна, измерима и огра-
ограничена на достаточно далеко отстоящих от начала координат интер-
интервалах и стремится к положительному пределу М при х -*«>, тогда
как функция L 0 (х) является особенно "хорошей" медленно ме-
меняющейся функцией. Итак,L {х) ~ ML0 (х) при х-►«>, где
/ X 6 @ \
>-Ч -г *>
а функция e(t) непрерывна и стремится к нулю при t -*■<*>. В дейст-
действительности нами получено представление и для самой функции
е(г):
e(t) = tL'0(t)IL0(t), A10)
где штрихом обозначена производная.
Для последнего соотношения можно сформулировать элементар-
элементарное, но важное обратное утверждение: произвольная функция
g (x), которая положительна, имеет непрерывную производную при
х > В, В > 0, и удовлетворяет условию
Xg'(x)lg(X)^0, JC-oo, A.11)
является медленно меняющейся. Чтобы убедиться в этом, обозна-
обозначим функцию, стоящую в левой части A.11), через е (х), интегри-
интегрированием найдем выражение g (х) через е (х) и воспользуемся
сформулированным выше следствием. Если справа в A.11) стоит
число р,р€ (-°°, °°), то, как нетрудно видеть, # (х) будет правиль-
правильно меняющейся функцией порядка р.
1.3. Обобщение определения понятия правильного изменения.
Характеризация правильного изменения
Условия A.1) и A.2), определяющие понятия правильного
и медленного изменения, могут быть существенно ослаблены без
ущерба для развиваемой теории. Подобное "рафинирование" иног-
иногда бывает полезным для приложений, однако мы проделаем его в
основном лишь для демонстрации того, что условие A.1) не столь
ограничительно, как кажется.
В дальнейшем нам понадобится следующий вспомогательный ре-
результат.
Лемма 1.5. Пусть функция R положительна, измерима на
полуоси [А, °°), А > 0, и удовлетворяет условию
Я рис)
ton -^7T= *(Х). 0.12)
дс-оо R(X)
15

при X Е [a, b], 0 < а < Ь < °°, где отрезок [а, Ь] фиксирован, а
функция ф(\) на нем положительна и конечна. Тогда найдется
положительная ограниченная функция у (X), для которой соотно-
соотношение A.12) справедливо при всех X > О.
Доказательство. Возьмем некоторое 7>0, удовлетво-
удовлетворяющее неравенствам а<\)у<Ь\ тогда для любого фиксирован-
фиксированного X Е [о,Ь] из представления
R(Kx) = R(y(Kx/y)) R(Kx/y)
R(x) Л(Хх/7) R(x)
получаем, что существует предел (обозначим его через <р (у))
R(yx) R(y(\x/y))
jim = lun
Этот предел существует при y<\/a<b/any>\lb> а/b, т.е. при
ye [a/b,b/a]
R(yx)
Повторяя рассуждения еще к - \ раз, имеем
при 7е [(о/Ь)к, (Ь/а)*]. Поскольку а\Ь< \,Ь/а>\, то выбором к
написанное выше соотношение можно сделать верным для любого
7>0."
Лемма 1.6. Пусть выполнены условия леммы 1.5, за исключе-
исключением того, что A.12) справедливо при X > О, X Е 5, где S - фикси-
фиксированное множество положительной меры, на котором функция
<^(Х) положительна и конечна. Тогда утверждение леммы 1.5 сох-
сохраняет силу.
Доказательство. Введем функции
\ogR(ex), jc>0,
= log<p(er), ?es,\ 5*= {r: eTeS).
Тогда при jc -* °°, г Е S *
Г(х + т)-№-»ф(т). A.13)
Далее, при v € S *
f(x+r+v) -
поэтому A.13) имеет место шйУвЛг^^^7+ 1;>Т, ^ ^S *}.
16

Так как S* — множество положительной меры, то по хорошо
известной теореме *) определенное таким образом множество D
содержит некоторый замкнутый интервал /, Значит, для любого
а ФОд определяется (если это необходимо) как i//(^) + i//(r), где
р = у + т,у,тЕ5*. Взяв обратные к/яфпреобразования, мы по-
попадаем в условия леммы 1.5. ■
Основной теоремой данного раздела является приводимая ниже
теорема, показывающая, что функция </? (X) имеет вид Хр, т.е. функ-
ijmhR - правильно меняющаяся в первоначальном смысле.
Теорема 1.3. (теорема о характеризации). В условиях лем-
1 -б- функция </> (X) есть Хр, где р Е (-<», °° ).
ijmh
у Т
\д Доказательство. Согласно лемме 1.6 при любом X > О
' lim
Q х^оо R(X)
Тогда для любого у > О
^ R(kyx) R(yx) = R(kyx)
R(yx) R(x) R(x)
поэтому, устремляя jc к °°, получаем
*(ХМ7) = </>(ХТ) VX,7>0.« A.14)
Последнее соотношение является уравнением Гамеля в положи-
положительных числах для функции ^ > 0, которая, будучи поточечным
пределом измеримых функций, сама измерима. Как известно **)
в этих условиях решение A.14) может иметь лишь вид Хр,р€
€ (-оо.оо)..
Поучительно, однако, дать простое прямое доказательство пос-
последнего факта, поскольку это нечасто делается в элементарных
учебниках. Приводимое доказательство явится также иллюстрацией
применения к данной задаче теоремы Лузина. Эта теорема наряду
с теоремами Егорова ***)иШтейнхаусаслужит,как отмечалось ря-
рядом авторов, естественным инструментом теории меры, исполь-
используемым в излагаемой нами теории. (Хотя различные варианты рас-
рассматриваемого утверждения находят многие вероятностные при-
применения, соответствующие доказательства в вероятностных текс-
текстах никогда не даются.)
*) Первоисточник - теорема VII работы Штейнхауса [83].
**) См., например. Хани Розенталь [73, с. 11б-гЙ8|.
)См.
17

Теорема 1.4. Если положительная измеримая ограниченная
функция if (X), X > 0, удовлевторяет условию A.14), ю она имеет
вид X* где р G (_eof oo) a
Доказательство. После преобразования ф(х)=log</>(eх)
A.14) переходит в функциональное уравнение Коши .
Ф(х) + ф(у)=ф(х+у) Vx,y, A.15)
где ф конечна и измерима. Обычно пользуются именно таким
представлением.
Уравнение A.15) легко решить, если условие измеримости ф
заменить на требование ее непрерывности, что мы сначала и сдела-
сделаем. Несколько позже мы покажем, что из измеримости фн того,|
что она удовлетворяет уравнению A.15), следует ее непрерыв-
непрерывность. \
Во-первых, из A.15) вытекает соотношение i
Ф(ХХ +...+*n)=^(Xi) + ... + ^(X,I), |
1
положив в котором х* = * * = 1,..., л, получаем
ф(пх) = пф(х). A.16I
Положив х = (m/ri)y, имеем ф(тпу) = Ф(пх). Отсюда вследствие]
A.16) для всех натуральных w, л находим, что j
пф(х) = тф(у).
Таким образом, ^(jc) = ф((т/п) у) = (т/п) ф(у). Полагая у=19
приходим к равенству
ф(г) = гф(\) A.17)
для всех положительных рациональных г. Из A.15) при х = у = О
получаем, что ^@) = 0, поэтому A.17) верно и при г = 0. Посколь-
Поскольку ф(х) - непрерывная функция, то из A.17) для любого неотри-
неотрицательного х верно соотношение ф(х) =хф(\), которое оказывает-
оказывается верным и для отрицательных jc, так как если в A.15) взять
У = -*, то ф(х) = - ф(-х). Далее, легко видеть, что функция ^(jc) =
= const -x удовлетворяет A.15). Значит, любое непрерывное ре-
решение A.15) имеет этот вид, a <p(x) = jcp.
Докажем теперь теорему 1.4 для измеримой функции ф, удов-
удовлетворяющей условию A.15). Так как функция ^измерима, то
она измерима на произвольном отрезке / длины / > 0. По теореме
Лузина для любого числа е >0 найдется замкнутое множество
F С/ такое, что сужение ф на F является непрерывной функцией
и мера m(I-F)<e. Тогда существует1 последовательность замкну-
замкнутых множеств FnCIt для которых m(Fn) >/ -л, а сужение ф
на Fn непрерывно и, более того, в силу компактности Fn равномер-
равномерно непрерывно. Значит, найдется число т?п>0, обеспечивающее
18

выполнение неравенства
I ф(ы + Ь) -Ф(ь>)\<п1
при со, со + б GFn и I 6 I <г\п. Зафиксируем число 6„, удовлетво-
удовлетворяющее неравенствам 0< 6„< £„ = min(г?п,п). Очевидно, что
множество точек {co:coeFn,co+6£ Fn) измеримо и мера не пре-
превосходит п + Ьп < 2п. Тогда
1*(со + 6„)- ■*(«)!<if1
для со G £„, £Г„ CFm если по построению т (Еп) > I - Зп~2. Обозна-
оо оо
чим через G= U П Et множество точек со, принадлежащих
всем, кроме конечного числа Et. Если ввести множества/^ =/-£*/,
оо оо
Я =/ -G, то #= пи/:, будет множеством точек из /, при-
надлежащих бесконечно многим К{\ Значит,.
оо оо
т(Н)<т{ U Kt)< 2 З/
/-/ *■/
для всех / = 1,2,... ,поэтому т(Я) = 0, a w(G) = /. Следователь-
Следовательно, для произвольной последовательности {6П}, удовлетворяю-
удовлетворяющей ограничениям 0 < 6„ < £„,
lim ^(co + 6n)=tf/(co) A.18)
для почти всех со G /.
Пусть теперь / - это отрезок [coi, со2], а числа со0, со подчине-
подчинены неравенствам cot < со< со0 < со2. Тогда, взяв х= со0 -со,
у = со+бт из A.15) получаем
если же точка берется из множества G, то, согласно A.18),
lim ^/(соо+бп)= (со0-со)+ lim i/>(co + 6n) =
т.е.
lim tf/(co0+5,,)=tf/(coo), 0-19)
для всех со0 G (coi,co2). Последовательность положительных чи-
-ел {дп} здесь не совсем произвольна, поскольку зависит от интер-
интерзала / и 6„ Е @, £„). Пусть {в п} — любая последовательность по-
положительных чисел, сходящихся к нулю. Предположим, что
lim sup ^(coo +#„)> liminf tf/(co0 +0„). A-20)
П -* оо П-+**>
19

Тогда из {$„}можно выбрать подпоследовательность {0Л/} чи-j
сел 0Л/ Е (О, Ц), для которой в силу A.19) имеем
ton 0(соо +0п)= li
Аналогичные рассуждения приводят нас к равенству
toninf
что противоречит A.20). Значит, верхний и нижний пределы сов-
совпадают, и каждый из них равен ф(со0). Так как от сходящейся к
нулю последовательности {$„} требуется лишь положительность,
то функция ф(ол) непрерывна справа в произвольной точке со,
поскольку отрезок / может быть выбран произвольно^
Для доказательства непрерывности слева положим ф(х) = ф(—х);
тогда из A.15) следует равенство Ф(х) + ф(у)=$(х +j/)e Далее,
аналогично тому, как это делалось выше, доказывается непрерыв-
непрерывность ф справа в произвольной точке х0. Отсюда вытекает непре-
непрерывность ф слева в произвольной точке со = -х0 • ■
1.4. Структура медленно меняющихся функций
и другие варианты доказательств основных теорем
Как мы уже видели в разделе 1.2, из определения медленно
меняющихся функций вытекает ряд весьма сильных их свойств.
Более глубокое изучение этого вопроса является одной из целей
настоящего раздела, кроме того, в нем будет приведено несколько
альтернативных вариантов доказательств.
Начнем с обсуждения представления A.3). Иногда желательно
иметь выражение функции 6 (Г) в терминах самой функции L.
Одной из функций 6 (Г), которую можно выбрать в соответствии
с леммой 1.4, является непрерывная функция, удовлетворяющая
требованиям теоремы о представлении. Ясно, однако, что если мы
не будем настаивать на непрерывности e(f), то сможем получить,
опираясь на лемму 1.3, более простое выражение для е (Г), которая
при этом останется < ограниченной и измеримой. Действительно,
обобщим доказательство леммы 1.3. Для произвольного со>0 и
х>Х
х
/ fit)dt).
л X
Как и ранее, мы можем взять е (г) = {/ (со + t) - / (г)} /со. По-
20

скольку f{t) «log L(e*)9 то
f fX(ewxI
CJTMog .
Значит, для любого фиксированного числа \0 = ew > 1 мы имеем
представление A.3) с не обязательно непрерывной, но измеримой
и ограниченной функцией е(х), определяемой по формуле
1
1
logXo I L(x)
которая проще той, что вытекает из леммы 1.4, и понадобится нам
в дальнейшем. Как легко видеть, из-за произвольности Хо подоб-
подобного рода представления не единственны, более того, и в случае
непрерывной е(х) представление A.3) остается существенно не
единственным, и это станет очевидным из дальнейшего.
В конце раздела 1.2 мы уже отмечали, что можно просто выра-
выразить непрерывную функцию е (х), если соответствующая медленно
меняющаяся функция дифференцируема и удовлетворяет соотно-
соотношению A.11). Приведем простую процедуру построения непрерыв-
непрерывной € (х). Положим f(t) = logL (et) при t > у= \ogA, где И.°°).
как и ранее, - область определения!, и определим функцию fx (t)
по формуле
Т ii(l -u)du A.22)
о
при t € [л, л+ 1] и п> По, где /to - наименьшее из целых чисел,
больших или равных у. Поскольку при t € [л, п + 1 ] и п > п0
fi(t)~6(f(n + 1) -/(*))(' - "H-С - л)), A.23)
a f\(n) = 0, то /У(г) непрерьюна и
l/i'(')l< 1,5 \f(n + 1)-/(л) I, re [п, п + 1].
Далее,
l/i (О-/(ОК 1/00-/@1 +
+ 1)-/(я)) (г-н) *<1-*I,
где ге[л,п + 1], И№«)€[0,1],значит,
При л->°° правые части выписанных неравенств стремятся к нулю
в силу леммы 1.1. Но t € [л, п + 1] и также стремится к беско-
бесконечности, откуда получаем, что
Л @-/@-* 0, /,'@^0, Г^оо. A.24)
21

Так как при t > и<>
/i(O=/i("o)+/ fl(u)du,
"о
то, обозначив log L х (е*) =/i (r), имеем
pfC
L1(x) = exp{/1(logjr)} = const exp( / fl(u)du) =
n
x //(log Г)
I x //(log Г) \
= const expl / — dtV
\k t J
Положим С(х) = L(x)/Li(x), тогда С(х) измерима при х>К и из
A.24) С(х)-►!,*-►«>; значит, С{х) ограничена при х, не мень-
меньших некоторого В. Отсюда
где фс) и ф) отвечают условиям теоремы о представлении, сог-
согласно A.24) б(г)->0, г-^оо, и e(t) имеет вид
€(r)=/;(logr), r>^. A.25)
Из приведенного выше рассуждения вытекает ряд важных след-
следствии. Во-первых, мы показали, что различные функции Л (О
можно строить аналогичным образом, просто заменяя в A.22)
х
интеграл 6 fu(\ -u)du на интеграл от какой-либо другой подхо-
о
дящей (делающей функцию f\(t) непрерывной) плотности веро-
вероятностной меры, сосредоточенной на [0, 1]. Во-вторых, справед-
справедлива
Лемма 1.7. Если L(x) - неубывающая (невозрастающая) на
бесконечности медленно меняющаяся функция, то соответству-
соответствующая непрерывная функция e(t) из ее представления при доста-
достаточно больших х неотрицательна (неположительна).
Доказательство.Если функция L возрастает (убывает)
на бесконечности, то такова же и функция /. Значит, функция
/ь определяемая соотношением A.23), неотрицательна (непо-
(неположительна), тогда, согласно A.25), этим свойством обладает
и б(г). ■
Ясно, что изложенная выше конструкция позволяет получить
теорему о представлении, используя только лемму 1.1 (равно-
(равносильную теореме о равномерной сходимости), без привлечения
промежуточной леммы 1.2, согласно которой медленно меняюща-
меняющаяся функция L ограничена на любом конечном достаточно уда-
удаленном отрезке. Последнее, как мы показали, непосредственно
22

вытекает из свойства равномерной сходимости или же из дока-
доказательства теоремы о представлении, если его проводить методом,
изложенным в настоящем разделе.
То, что ограниченность на конечных отрезках является следст-
следствием данного нами общего определения медленно меняющейся
функции, по-видимому, некоторое время не осознавалось. Это
существенно тормозило развитие всей теории и вынуждало вво-
вводить различные дополнительные ограничения •) на L для того,
чтобы получить теорему о представлении, не опираясь на изложен-
изложенную схему рассуждений.
Как уже упоминалось в разделе 1.2, можно получить представ-
представление A.3) с дифференцируемой любое нужное число раз функ-
функцией 6.
Справедливы следующие утверждения **).
Для произвольной медленно меняющейся функции L, задан-
заданной на полуоси [А,00), найдется бесконечно дифференцируемая
медленно меняющаяся функция Lit обладающая свойствами:
1°Li(x)^L(x) при *-►«>;
2° Li(n)=L(n) при всех достаточно больших натуральных п\
3° если на бесконечности L монотонна, то такова же и Lx\
4° если на бесконечности L выпукла, то такова же и Lx.
Подобного рода предложения доказываются с использованием
конструкции, изложенной выше (другой пример ее применения
см. в упражнении 1.6). Бесконечная дифференцируемость и ут-
утверждения пунктов 1° и 3° сразу же вытекают из A.22), если
вместо интеграла
/иA -u)du
о
подставить интеграл
/ ехр{-(мA -u)Jl)du/}ехр {-(«A - и)р\du
о о
(при этом равенство из п. 2° заменится на равенство L(en)=Li(en)).
1.5. Дальнейшие свойства правильно меняющихся функций
Основные свойства правильно меняющихся функций описы-
описываются теоремами о представлении и равномерной сходимости.
Ниже приводится несколько вытекающих из них свойств, кото-
которые, вообще говоря, проще всего получить из теоремы о представ-
представлении. Часть из этих свойств обсуждается в настоящем разделе.
*) Такие, как непрерывность!, влекущая, конечно, ограниченность на
отрезках. См. библиографические замечания и обсуждение.
••) Адамовичи). 23

Сначала напомним, что одно из наиболее важных свойств, а
именно, что медленно меняющаяся (следовательно, и правильно
меняющаяся) функция ограничена на всех достаточно удаленных
от нуля отрезках, было уже нами получено в разделе 1.2. Отме-
Отметим также, что во многих приложениях интересуются лишь асимп-
асимптотическим поведением интегралов, содержащих правильно меняю-
меняющиеся функции. Эта тематика достаточно важна и обширна, чтобы
сделать ее предметом отдельного обсуждения. Оно будет прове-
проведено в следующей главе.
Везде в дальнейшем символами L,Li,L2 мы обозначаем мед-
медленно меняющиеся функции.
1°.Для любого 7>0 при
Доказательство. Рассмотрим функцию xyL(x) (второй
случай рассматривается аналогично). Из представления L (х) при
х-»<*> имеем
xyL(x) - const • exp I ylogx + / dt \
[ в t )
~~ const • exp {ylogjc + / ■ dt
{ x t
где X выбирается настолько большим, чтобы \e(t)\ < 7/2 при
t>X (это возможно, так как б(г)-»0, г-►«>). Тогда
х e(t) х dt
f dt > 7logjc - G/2) / — =
X t X t
= const + G/2)logJt -► ооэ jc -► <»э
что и требовалось доказать. ■
2°.При х-юо
logZ,(jc)/logjc->0.
Доказательство. Из представления L(x) при достаточно
больших х
1 х €(г)
в t
Далее, для любого сколь угодно малого 5>0 и г > X = ЛГE) име-
имеем |€(г)|<«. Значит, при х>ЛГ
24
х _v_,
/ Л < вlogjc + const,
X t

откуда |logL(jc)/logJc| < const/log* + 5, так как фс) ограничена при
больших х Из произвольности 5 вытекает доказываемое утвер-
утверждение. ■
Ъ°.Функции Li(x)L2(x),Li(x)+L2(x) и при любых aG(-oo9 оо)
функции La(x) являются медленно меняющимися. Если L2(x)->
-►«> при *-►«>, то функция Li(L2(x)) также будет медленно ме-
меняющейся.
Доказательство. Нам достаточно доказать лишь два не-
нетривиальных утверждения, связанных с суммой и суперпозицией
медленно меняющихся функций, при этом свойства положитель-
положительности и измеримости легко проверяются непосредственно.
Итак,
I Lx(x)
\
L(x) + L2(x) Lx(x) \Lx(x)+L2(x)
Li(x)
L2(\x) f L2(x) \ I
+ { } - A + Ci(jC, X))< ■
lli(je) + la(*)
Liix)
где €/(jc, X) -► 0 при x -► °°, 1 = 1, 2, для любого фиксированного
\>0. Правая часть последнего равенства может быть записана в
виде
и, так как 0<L/(jc)/(Li(jc)+L2W)< 1э то для любого фикси-
фиксированного Х>0 она стремится к 1 при jc-*°°. Далее,
+e2(x\)))lL1(Li(x)).
Применяя к L\ теорему о равномерной сходимости и учитывая
то, что Ь2(х)-к>°, 1 +с2(дсХ)-^1 при х-*■<*>, получаем, что для
любого фиксированного X > 0 последнее из написанных равенств
асимптотически эквивалентно выражению
4°. Пусть медленно меняющаяся функция L при достаточно
больших В имеет представление (\3)_, для произвольного фик-
фиксированного 7>0 и х>В функции L и L определяются соот-
25

ношениями
хЧ(х) = sup (t4(t)), хЧ(х) = inf
B<t<x ~~ x<f<
тогда L(x)~ L(x), L(x) - L(x), *-► ~
Отсюда как следствие получаем, что лри фиксированном у>
>0 функция xyL(x) асимптотически эквивалентна некоторой не-
неубывающей правильно меняющейся функции того же порядка,
строящейся по приведенным выше формулам. Действительно, мо-
монотонные, конечнозначные функции xyL(x) и xyL(x) измеримы
всякий раз, когда измеримы L(x) и Цх).
Доказательство. При х>В
KL(x)/L(x)= sup {tyL(t))/x4(x).
B<t<x
Если существует последовательность положительных чисел {хг} ,
хг-*°°, для которой
1<Нт(Г(хг)/Цхг)), A.27)
Г-+ ее
то найдется положительное 6 >0 такое, что при г > г0 = го(8)
l+2S<L(jcr)/L(jcr). A.28)
Для всех этих г существуют числа yr G [В, хг], обеспечиваю-
обеспечивающие выполнение неравенства
071<Уг)/*7«*г)>+в> sup {t4(t))lxiL(xr). A.29)
B<t<xr
Как легко видеть, последовательность {уг } можно взять моно-
монотонно неубывающей. Из A.28) и A.29) имеем
\^b<yyL{yr)lxyL{xr\ r>r0. A.30)
Так как, согласно 1°, Г71(г)-к*> при Г-^°°, то из A.30) и стрем-
стремления {уг } в бесконечность получаем, что jvt°°, поскольку L
ограничена на конечных отрезках. Привлекая теорему о представ-
представлении, перепишем A.30) в виде
Уг Г )
- фсг) - ylog(xr/yr)+ (y/2)log(xr/yr)}
для r>rx, rx>r0 таких, что \e(t)\<yl2 при r>yrr Тогда при
r>rx
Последнее неравенство противоречиво.
26

Значит, не существует последовательности положительных чи-
чисел {хг), хг-»°°, для которой имеет место A.27). Тогда
что и требовалось доказать.
Доказательство асимптотической эквивалентности L(x) и Цх)
мы оставляем читателю в качестве упражнения *). Отметим, что
для функции x~yL(x)y 7>0, верно утверждение, аналогичное
4°, и могут быть проведены построения, связанные с монотонны-
монотонными невозрастающими правильно меняющимися функциями того
же порядка, причем эти функции оказываются асимптотически
эквивалентными х " yL(x) * *). ■
5°.По произвольной правильно меняющейся функции Ri(x)=
= xyL(x) строится также правильно меняющаяся функция R2(x) *
= xllyL2(x) такая, что при х-*°°
Ri(R2(x))-x, A.31a)
R2(Rl(x))~x. A.31b)
Более того, R2(x) определяется асимптотически однозначно, т.е.
если произвольная правильно меняющаяся функция R$(x)y бу-
будучи подставлена вмесю R2(x)> удовлетворяет хотя бы одному
из условий A.31а) или A.31Ь) и Rs(x)-k*> при *-►<» то
Доказательство. При х>С\ справедливо представление
х 7 + €i(r) )
сх t \
( х
Ri(x) = ехр{т?!(дс) + const + /
\ сх
где С\ выбрано настолько большим, чтобы для t>Cx выполня-
выполнялось неравенство y + €i(t)>0. Тогда
{х y + €i(t) )
I —dt\ ,
Сх t J
где Кх(х) + К\ nj» jc-^«>. Рассмотрим функцию
которая при х>С\ непрерывна и строго монотонно возрастает
♦)См. упражнение 1.7.
**) См. упражнение 1.8.

до бесконечности; она имеет обратную функцию г2(х)9 облада-
обладающую теми же свойствами при х > гх(Сх). Следовательно,
Г1(г2(х))~г2(г1(х))-х9 и каждая из функции М*), г2(х) имеет
непрерывную положительную производную, причем
Л(г2{х)У2 (*) = 1 = r'a('i(*))'i(*), A.33)
где из A.32)
J^€l(X) . A.34)
X
Из A.33) с учетом A.34) имеем
(У
хгх(х)
Подставляя х = г2(г), получаем
= y-1 +€2(г),
где функция €2@ непрерывна и стремится к нулю при t -► °°.
Следовательно, при х>С2 = ^i(Ci) функция г2(*) представима
в виде
х У +€2(Г) w х €2(Г)
г2(х) = ехр / Л = дс1/7ехр / dt,
сг t сг t
а это означает, что она будет правильно меняющейся порядка 1/?.
Если теперь определить функцию R2 соотношением
Л2(х) = *2г20г), где К2=КТ1/\
то асимптотические отношения эквивалентности A.31а) и A.31Ь)
вытекают из равенств r1(r2(jc)) = r2(r1(jc)) = jc и вторичного приме-
применения теоремы о равномерной сходимости.
Нам осталось доказать асимптотическую единственность. Если
гдее(х)-►О при х-► ооэ
и, привлекая A.31Ь) а также тот факт, что R3(x)-+°°n теорему
о равномерной сходимости, имеем
Процедура доказательства для другого случая аналогична. ■
В завершение данного раздела обсудим взаимосвязь между
утверждениями 4° и 5°.
Как видно из доказательства утверждения 5°, свойство асимпто-
асимптотической эквивалентности при х-**> функции R(x) =xyL (x),7 > 0,
28

некоторой строго монотонно возрастающей непрерывной правиль-
правильно меняющейся функции г(х)того же порядка у, по существу,
является тривиальным. В чем же тогда смысл утверждений типа 4°,
обеспечивающего лишь наличие нестрого монотонной и не обяза-
обязательно непрерывной правильно меняющейся функции ху1(х)
порядка у, доказать которое было не так уж просто? Дело в том,
что функции xyL (х)и х yL(x) получаются из R(x) = xyL(x) конст-
конструктивно, тогда как при доказательстве утверждения 5° мы могли
говорить лишь о существовании какой-то строго монотонной
непрерывной правильно меняющейся функции г(х).
В связи с утверждением 5° возникает следующий вопрос. Можно
ли аналогично предыдущему конструктивно построить функцию
R2(x)y асимптотически обратную к R\(x) -xyL\{xI Этот вопрос
имеет не только, как может показаться на первый взгляд, чисто тео-
теоретическое значение. В вероятностных приложениях иногда удоб-
удобнее и интереснее иметь явное представление асимптотически единст-
единственной функции R2(x), чем ссылаться на утверждение о ее сущест-
существовании. Оказывается, построение функции R2 no Rt возможно,
если воспользоваться утверждениями 4° и 5°. Предварительно
докажем следующую лемму.
Л е м м а 1.8. Пусть положитетельная медленно меняющаяся
функция L определена на полуоси [А, °°), А > 0, и при некотором
фиксированном у> Офункция R(x) = xyL(x) не убывает на
[А, °°).Рассмотрим при x>R(A) функцию
R\x)=int{y: R(y)>x, yE [A,«>)}.
Тогда R*(x) = xllyL*(x), где L* - медленно меняющаяся функция.
Функция R* является асимптотически единственной обратной к R
в смысле утверждения 5°.
Доказательство. Заметим сначала, что в силу монотон-
монотонности R при x>R(A) верны оценки
R(Rm(x)-0)<x<R(R*(x) + 0). A.35)
Здесь мы использовали стандартные обозначения для лево- и
правостороннего пределов. По теореме о равномерной сходимости
получаем, что для любого фиксированного е > 0 справедливы
соотношения
R(x + 0)
-ФУ)
Так как /?(x) -► «> при х -► °°, то R*(x) по построению тоже стремит-
29

ся к бесконечности. Значит, из A.35) получаем
R(R*(x) - 0) -х ~~R(R*(x) + 0), jc -op,
т.е.
R(R*(x))~~x, x ->«, (ь36)
причем последнее вытекает из части утверждения 5°, говорящей об
асимптотической единственности R2(x). ■
Пусть теперь функция R (х) = xyL (х), у > 0 (L (х) — медленно
меняющаяся функция) положительна на полуоси [А, °°) и не обяза-
обязательно не убывает. Тогда при х > В положим R(x) = xyL(x), где в
качестве Е(х) может быть взята любая из функций L (х) или L (х),
определенных в утверждали 4°. Видно, что Я(х)не убывает и
Щх) ~ R(x)9 х -► <». Рассмотрим теперь функцию R*(x) = x1 /7Z*(x),
связанную с ^так же, как в лемме 1.8. Функция R* строится noR
непосредственно. *
Отметим, что
R(R*(x))~R(R*(x))9 jc-oo,
поскольку R *(х) — » и R ~~ R, более того, из определения R следу-
следует, что правая часть написанного соотношения асимптотически
эквивалентна х. Применяя часть утверждения 5°, касающуюся
единственности, получаем, что функция R*(x) может быть взята
в качестве асимптотически обратной к R(x)b смысле утвержде-
утверждения 5°.
1.6. Сопряженные и дополнительные
правильно меняющиеся функции
Утверждение 5° раздела 1.5 естественным образом приводит нас
к тематике, связанной с парами сопряженных медленно меняющих-
меняющихся функций, а также к дополнительным правильно меняющимся
функциям. Мы обсудим эти вопросы именно в таком порядке.
Теорема1.5. Пусть L - медленно меняющаяся функция.
Тогда существует функция L* такая, что
(i) L* - медленно меняющаяся;
(u) L(x)L*(xL(x))-> 1 при х-
(ш) L*(x)L(xL*(x))-+l при х
(iv) L* - асимптотически единственна ;
(v) L**(x)~~L(x) при х-+<*>.
Доказательство. Свойства (i) - (iv) непосредственно
вытекают из утверждения 5° раздела 1.5, если положить 7s 1 и

Ri(pc) = xL(x)9 L2(x) = L*(x). Свойство (v) получается из того факта,
что, согласно (ii),
L*(x)L**(xL*(pc))-+lt
откуда, сопоставляя это соотношение с (ш) и применяя (iv), имеем
L** ^L, что и требовалось доказать. ■
Общий характер этих свойств делает разумным введение сле-
следующего определения.
Определение 1.3. Медленно меняющиеся функции L и Z,*,
рассмотренные в теореме 1.5, называются сопряженными медленно
меняющимися функциями.
Отметим несколько очевидных свойств сопряженных функций.
Следствие. Если L(x) и L*(x) - сопряженные медленно
меняющиеся функции, то таковыми же будут
(i) L{ax\L*{bx) для любых а,Ъ>0;
(ii) aL(x),d~lL*(x) для любых а>0\
(ш) L7(jc1/7), (^V7)O Для любых 7>0.
Замечания, сделанные в разделе 1.5 при доказательстве утверж-
утверждения 5° и леммы 1.8, дают нам два конструктивных способа
построения функции L*(x) no L(x)9 причем первый из них обладает
меньшей общностью. Действительно, как видно из A.32), он при-
применим в основном при работе с "нормализованными" правильно
меняющимися функциями, медленно меняющаяся компонента
которых задается соотношениями A.9) - A.10).
Понятно, что хотелось бы иметь критерии, при выполнении
которых функция L* асимптотически выражается в терминах
самой L. Одним из таких условий является требование
,. Х. ()
Цх)
Применяя теорему 1.5 с заменой L на 17х, получаем, что
A.38)
Более глубокий результат дает*)
Л е м м а 1.9. Если для всех вещественных а существует конеч-
конечный положительный предел
lim
X -+ во
то г(а) = ехр(<*7) при некотором конечном у. Более того, соотноше-
соотношение A.38) справедливо тогда и только тогда, когда 7 = 0.
*)См. также упражнение 1.9.
31

Доказательство. Легко получить, что для любых а,/3>0
Логарифмируя это равенство, находим log г как измеримое конеч-
конечное решение функционального уравнения Коши A.15), так что
первая часть утверждения леммы вытекает из теоремы 1.4.
Пусть теперь у = 0, тогда, полагая а = - 1, получаем соотношение
A.37), откуда следует A.38). Если же, наоборот, выполнено
A.38), то, полагая а = - 1 по теореме 1.5 имеем
г(-1) = lim (ЦхГ1 (х))Г1 (*)) = ton (L(xL*(x))L*(x)) = 1,
JC -* ее x -* oo
т.е. ехр(~7)=1, значит, 7 = 0.
Следующий результат, который также полезен для понимания
дальнейшего изложения, позволяет нам переформулировать дока-
доказанное утверждение относительно функции R\(x) = xyLt(jc), 7 > 0,
и асимптотически ей обратной функции в терминах медленно
меняющейся и ей сопряженной функций.
Лемма 1.10. Пусть у и /? - произвольные фиксированные
положительные числа, а функции Rt(x) = xyLi(x) и R2(x) =
=xllyL 2 (х) являются взаимно асимптотически обратными в смысле
утверждения 5" раздела 1.5. Тогда если для медленно меняющейся
функции L выполнено соотношение Ьг(х) - L^(xy^)9 то
Этот результат остается справедливым, если предположить лишь, что
Rl(x)^xUl(x)9 R2(x)~x1l42(x).
Доказательство. Так как при х -► °°
1, т.е.
при этом Ly2IP(yfi) - медленно меняющаяся функция. Иэ асимпто-
асимптотической единственности сопряженной к L функции (теорема 1.5)
L*(x) -I7V).«
Т е о р е м а 1.6. Пусть функция R{x) положительна на полуоси
[А, °°), А > 0, а функция R°(x) при х > 0 связана с ней по формуле
R°(x)= sup {xy-R(y)) .
32

Тогда из справедливости при произвольном фиксированном а > 1
соотношения
R(x)^-xaLia)la(xa)9 х-юо, A.39)
а
вытекает справедливость соотношения
R°(x)*—х*1*М-1Щх*), х-юо, A.40)
где Р> 1,0т1 +/Г1 = 1,£ - некоторая медленно меняющаяся функ-
функция, L* - ее сопряжение •).
Доказательство. Воспользуемся тем, что aR(x)/x~- р(х),
х -* °°, где р (х) - определенная на [сг, «>), сг > А, положительная
строго возрастающая до бесконечности непрерывная правильно
меняющаяся функция порядка а. Продолжим р (х) на [0, сг) с
сохранением всех этих свойств на @, сг), положим р@+) = 0 и
обозначим
^(и) - /Р@*- ^°(w)" sup (ми - ф)).
о м > о
В действительности из свойств \р следует, что указанный супре-
супремум достигается, причем в единственной точке и (определяемой
дифференцированием) такой, что v = p(u) для любого фиксирован-
фиксированного и , т.е. и « p~l(v), где р'1 - функция, обратная к р. Значит,
t)= }fl(t)dt.
о о
Если теперь записать р (х) как
то по лемме 1.10
т.е., полагая /Г1 +0Г1 ■ 1, имеем
*) Названные в заголовке настоящего параграфа и в его начале дополни-
дополнительные правильно меняющиеся функции автором нигде не определяются,
хотя понятно, что под такими функциями он понимает функции вида R ° (*)
(Примеч. ред.).
2. Е.Сенета 33

Воспользовавшись интегрированием по частям и ранее установ-
установленными свойствами правильно меняющихся функций, получаем,
что
= tP(Odt — jc* {L(x«)}<«-
о <*
о /3
откуда, в частности, Л (jc) ~~ <р(х). Следовательно, для произвольного
€>0 и
Значит,при и>ио(е)>А
UV - A - €)<p(tt)>UV-R(U)> UV - A +
Обозначая ^°(и,a)- sup (ми- ф(ц))9находим,что
и > а
sup (uv -A
и > мо(в)
SUp (MU - R(U)) + A - €)
Л < u < uo(e)
< UU0(€) + A - €)*°(VIA - €)), M0(€) •
Как легко видеть из первой части доказательства, <р°(и) ~~ <р°(и, а)
при любом фиксированном а > А. Устремив и в бесконечность,
имеем
* °/*°(и))<
откуда R°(v) ~~ <p°(u), что и завершает доказательство. ■
1.7. Определение слабо правильно меняющейся функции
Ранее, особенно в разделе 1.3,отмечалось, что можно было бы
определить правильно меняющуюся функцию R (х) как функцию,
которая положительна, измерима на полуоси [А, °°), А > 0, и
удовлетворяет соотношению
lim

где функция <р(Х) положительна и ограничена на некотором отрез-
отрезке [а, Ь], 0 < а < Ъ < °°. Мы также видели (лемма 1.2), что мед-
медленно меняющаяся функция L может быть записана в виде L (х) =
= exp(/(logjc)) и на любом достаточно далеко отстоящем от нуля
конечном интервале отделена как от нуля, так и от бесконечности,
поскольку функция / ограничена на любом достаточно удаленном
конечном интервале. Значит, каждая правильно меняющаяся функ-
функция R (х) ■ хfiL (x)9 pG (- «»э оо)f также отделена от нуля и беско-
бесконечности на произвольном конечном удаленном от нуля ин-
интервале.
Поэтому представляет определенный интерес замена предполо-
предположения об измеримости R на более слабое предположение, связанное
с подобной ограниченностью, после чего интересно посмотреть, на-
насколько нам удастся продвинуться в развитии теории таких
функций.
О п ре д е л е н и е 1.4. Функция R (х), положительная на полу-
полуоси [А, °°), А > О, называется слабо правильно меняющейся на бес-
бесконечности, если как R (х), так и 1/R (х) ограничены на произволь-
произвольном конечном подынтервале из [А, °°) и
Urn (R(kx)IR(x)) = <p(k), A.41)
х -* «•
где функция i(X) положительна и конечна на некотором отрезке
[]
Лемма 1.11. Соотношение A.41) верно для некоторой огра-
ограниченной функции \р(\) > 0 при всех X > 0.
Доказательство. Проходит доказательство леммы 1.5
без привлечения предположения об измеримости /?, которое может
быть опущено вместе с также не применявшимся требованием об
ограниченности на конечных отрезках. ■
Покажем теперь, что i(X) должна сохранять вид Хр, р€
G (- оо, оо). Это позволит нам в дальнейшем дать естественное оп-
определение слабо медленно меняющейся функции. Нам понадобится
следующий вспомогательный результат.
Лемма 1.12. Пусть вещественная функция h (x) определена на
полуоси [Д °°), D>0. Тогда для выполнения импликации
h(x + 1) - h(x)->с ~h(x)/x -»с, х *+ « A.42)
где с G (- °°, °°), необходимо и достаточно, чтобы функция h{x)
была ограничена на всех конечных достаточно удаленных от нуля
отрезках.
Доказательство. Необходимость. Для произволь-
произвольной функции h такой, что h(х + 1) - h{х) -+с, \с \ < <*, для лю-
любых е > 0 их > хо(е) справедливы неравенства (с - е) х <h(x) <
< (с + б) х, значит, h ограничена на конечных отрезках, отстоящих
от нуля не меньше, чем на хо(е).
2* 35

Достаточность. Утверждение A.42) можно рассматри-
рассматривать как аналог известной теоремы Коши, соответствующий слу-
случаю непрерывной переменной. Согласно этой теореме предел по Че-
заро последовательности чисел совпадает с ее пределом в обычном
смысле, если последний предел существует и конечен.
Без потери общности можно считать, что £>= 0 и h(x) ограничена
на всех конечных подынтервалах полуоси [0, °°). Пусть х достаточ-
достаточно велико, х = п (х) + Ь(х), где 0 < Ъ(х) < 1, а п(х) = [х] - целая
часть*. Тогда
-1+6 (х)) +
Для произвольного фиксированного € > 0 выберем натуральное
число v = v(e) > 2 такое, что при всех х > v
Следовательно, для х, удовлетворяющих неравенству п(х) > v,
имеем
п(х)
h(x)-cn(x)= 2 (Л )
+ "i {h(r + b(x))-h(r-
Используя неравенство треугольника, получаем, что
I (h(x) - сп(х))/п(х) | < ((п(х) - v + \Iп(х))е +
+ (Цп(х)) " 21 | h(r + Ъ (jc)) - Л(г - 1 + Ъ{х)) - с | +
1
Устремляя х к бесконечности, учитывая произвольность б и ограни-
ограниченность функции h(x) на отрезках [г, г + 1], г = 0, 1, 2,..., нахо-
находим, что
(h(x) - <7i(jt))/w(jt) -* 0. A.43)
Тогда
h(x)lx - с = (h(x) - c«(jc) + cb(x))l(n(x)
при х -► «>, что и требовалось доказать. ■
Теорема 1.7 (теорема о слабой характеризации). Пусть <р(Х),
X > 0, - функция, участвующая в определении 1.4. Если <р(Х) ко-
конечна и положительна на полуоси X > 0, то она имеет вид Хр, где
р€(-«о,оо).
Доказательство. Пусть R - слабо правильно меняю-
меняющаяся функция. Положим р(х) = log /?(ex). Поскольку для
36

любого X > О
R(Kx)lR(x)-*np(k)>09 х
ТО ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО (Л €(—«»,«>)
p(jc+ /u)-p(x)->log(p(eM), дг-+°°, A-44)
где, по определению слабо правильно меняющейся функции, р огра-
ограничена на достаточно удаленных от нуля конечных отрезках.
Рассмотрим 3 случая.
Случай 1. Пусть м = 0, тогда,очевидно, <рA)=1.
Случай 2. Пусть /и > 0, тогда, полагая t =х//и,из A.44) по-
получаем
pQx(t + l^-pC'O^log^te'1)» Г-*00,
откуда по лемме 1.12 p{pt)lt -►log<p(eM), т.е.
р(х)/х -► /и"! log <р(ем), х -► °°.
Следовательно, при /и>0
/Г1 log <p(eM) s const = р,
значит, <р(Х)=Хр для Х>1.
Случай 3. Пусть (л < 0. Положим .у = х + /и, тогда
PO)-P(v- M)-*log<p(eM), >*-►«>,
т.е.
p(v + I M I) - piy) "♦ - log <p(eM), j> -юо.
Теперь можно воспользоваться результатами случая м > О,
Легко видеть, что предел левой части последнего соотношения ра-
равен р | /и |, откуда - р/и = - log <р(ем), т.е. <р(Х) = Хр, где 0< X< 1.
Определение 1.5. Слабо правильно меняющаяся функция
(которая, как показано выше, характеризуется значением своего
порядка р), называется слабо медленно меняющейся функцией,
если р = 0.
Читатель мог заметить, что метод доказательства теоремы 1.7
существенно проще, чем методы теории функциональных уравне-
уравнений (см. теорему 1.4), дающие полное доказательство аналогичной
теоремы (теорема 1.3) в предположениях измеримости функции R.
Однако читатель должен также заметать, что импликация A.42) не
обязательно имеет место, если функция h(x) лишь измерима, а
не ограничена на конечных интервалах. Это показывает следующий
пример.
Пусть
( I cosec яде |, хФт, т- целое,
*(*)= _
\ 1 в противном случае.

Тогда h(x + 1) - h(x) = О при всех х но, выбрав последователь-
последователь= п + л, имеем
„ = Icosec тгп'1 |/(л + w"!) = {| sin ял | (/i + п'1 )}'1 -я;1
ность хп = п + л, имеем
Значит, это простое доказательство теоремы о характеризации
не может быть применено в случае обычной правильно меняющейся
функции R, если предварительно не установить ее отдаленности как
от нуля, так и от бесконечности на всех достаточно удаленных ко-
конечных интервалах.
Что касается некоторых более очевидных свойств слабо медлен-
медленно меняющихся функций, то отметим, что свойства 1°, 2° и боль-
большая часть свойства 3° из раздела 1.5 сохраняют силу, но требуют
других доказательств во всех тех местах, где привлекались теоре-
теоремы о равномерной сходимости или о представлении.
Мы из соображений удобства повторим здесь соответствующие
формулировки, причем функции L, L i, L2 будут теперь уже слабо
медленно меняющимися функциями.
1°. Для любого 7>0 при х-+°°
xyL(x)-+oot x-yL(x)-»0.
2°.logL(jt)/logjt->0, х->°о.
Доказательство. Полагая р (х) = log L (ех), с учетом то-
того, что для любого X>0 L(Xx)/L(х)-► 1 при х-*00, имеем
где ц € (-00, °°). Действуя, как при доказательстве теоремы 1.7,
из ограниченности р на конечных интервалах и леммы 1.12 полу-
получаем, что
а это эквивалентно утверждению 2°: log L(x)/\ogx -► 0, х
Из утверждения 2° для любого у > 0 нетрудно получить, что
[logl(x) 1
1 + ~ ± у log X, X -► ее.
±7logJ
3? Функции L i(jc)L2(*), LiM + L2(x) и функции La(x) при
а Е (— °°, °°) являются слабо медленно меняющимися.
Доказательство из раздела 1.5 здесь проходит полностью. ■
Для завершения обсуждения определения правильного измене-
изменения покажем, сделав несколько предварительных замечаний, что
38

существуют функции R(x) положительные на полуоси [А, °°),
А > 0, такие, что для любого X > О
R(x\)
где 0 < <р(Х) < °°, но <р(Х) ¥= Хр ни для одного конечного р. Та-
Таким образом, R не будет измерима на [А, °°) и не будет ограничена
на всех достаточно удаленных от нуля конечных интервалах, хотя
для построенной функции R сходимость в A.45) будет равномер-
равномерной для всех X > 0.
Можно построить функции L(x), положительные на [А, °°),
удовлетворяющие при всех X > 0 соотношению
причем сходимость не будет равномерной для X из произвольного
отрезка [а, Ь], 0 < а < b < °°, но подобная конструкция более
сложна *).
Дальнейшее обсуждение будет опираться на свойства ограничен-
ограниченных решений функционального уравнения Коши
Чх,у. A.46)
Это уравнение встречалось при доказательстве теоремы 1.4, где
мы сначала без каких-либо предположений о правильном измене-
изменении ф получили, что для произвольных вещественных чисел хи
Х2 Хп
+ х2 + ... +*„)= ф(Х1) + ф(х2) + . I. + ф(хп), A.47)
а для произвольного вещественного х и неотрицательного рацио-
рационального г
гф(х)=ф(гх) A.48)
и, кроме того, ф(х) = — ф(-х). Тогда непосредственно видно, что
A.48) верно для всех неположительных рациональных г, а значит,
и для всех рациональных г.
Лемма 1.13. Пусть функция ф ограничена в некотором интер-
интервале (а, Ь) и является решением уравнения A.46). Тогда ф{х) =
= хфA), т.е. ф(х) непрерывна, измерима и ограничена в произ-
произвольном конечном интервале.
Доказательство. Функция g(x) = ф{х) - хф{\) удов-
удовлетворяет A.46) и также ограничена на (а, Ь). Полагая в A.48)
х « 1, для любого рационального г имеем гф{\) = ф(г), откуда
*) Заинтересовавшемуся читателю следует обратиться к заметке Корева-
ара, ван Аарденне-Эренфеста и де Брюина [38].
39

g(r) - О для любого рационального г, поэтому g(x + г) =
- g(x) + #(г ) =#(*). Возьмем произвольное вещественное чис
ло у, тогда найдутся вещественное число х € (а, Ь) и рациональ-
рациональное г такие, что х + г = у9 т.е.
значит, функция g(y) ограничена на всей прямой.
Наконец, пусть существует точка jc0, для которой g(x0) Ф 0.
Тогда из A.46) g(nx0) - ng(x0), что при достаточно больших п
превосходит любую фиксированную константу. Следовательно,
g(x) = 0 при всех х. ш
Теперь нам понадобится понятие базиса Гамеля Н для вещест-
вещественных чисел (несчетное множество вещественных чисел Н, с
помощью которого произвольное вещественное число х может j
быть однозначно представлено как конечная линейная комбинация
вида
A.49) i
где коэффициенты г и г2, ..., г „рациональны, причем как значения
коэффициентов, так и выбор базисных элементов и их количество
зависят от х).
Лемма 1.14. Пусть определенная на всей вещественной пря-
прямой функция ф(х) удовлетворяет условиям:
1) Ф(Ь) конечна при bGH и ф(Ь) Ф const -b\
2) ф(х) при всех значениях х определяется с учетом A.49):
...+гпф(Ьп).
Тогда ф(х) будет решением A.46), но не будет ни измерима, ни
ограничена в произвольном конечном интервале.
Доказ ательство. Легко проверить, используя A.47) -
A.49), что ф удовлетворяет A.46). Но по теореме 1.3 любое изме-
измеримое решение A.46) имеет вид ф(х) = const *jc, причем последнее
верно (лемма 1.13) в предположениях лишь ограниченности ф
в некотором конечном интервале. Значит, в обоих случаях, в част-
частности, ф(Ь) = const -b для всех Ъ € Я, что противоречит условием
леммы. ■
Рассмотрим функцию Ф(х)9 отвечающую условиям леммы 1.14.
Из A.46) для произвольных вещественных ц,х имеем ф(х+ ц) -
- Ф(х) = ф(ц). Если при jc > А > 0 определить функцию/? (jc) по
формуле R (jc) = ехр ф( log jc) , то для произвольного X > 0
причем 0 < R (X) < оо, но R (X) не может быть представлена в фор-
форме Хр ни при одном фиксированном конечном р.
40

1.8. Монотонное правильное изменение
Первые достижения теории правильно меняющихся функций
часто опирались на предположение о монотонности рассматривае-
рассматриваемых функций*) . В этом предположении многие разделы теории пра-
правильно меняющихся функций исследуются проще и более завер-
шенно, последнее особенно относится к задачам характеризации.
Ниже будет дано несколько примеров такого рода * *).
Лемма 1.15. Пусть функция L (*) положительна и монотонна
на [/4, оо). Если при некотором фиксированном Хо: Хо > О,
то L - медленно меняющаяся функция.
Доказательство. Поскольку из монотонности вытекает
измеримость, то достаточно, опираясь на метод доказательства лем-
леммы 1.5, показать, что для всех X из некоторого отрезка [а,Ь],
0<а <Ь<оо,
Пусть L возрастает, тогда, если Хо > 1, то при достаточно боль-
больших JC
1 <L(\x)lL(x)<L(\ox)IL(x)
для всех X € [1, Хо], если же Хо < 1 то аналогично
1 >Ц\х)Щх)>Ц\ох)Щх)
для всех X € [Хо, 1]. Устремляя х к бесконечности, получаем тре-
требуемый результат, поскольку по условию правая часть каждого из
выписанных соотношений стремится к единице.
Доказательство для случая убывающей L аналогично. ■
Теорема 1.8. Пусть функция R (х) определена, положитель-
положительна и монотонна на [А, оо.). Если для некоторых фиксированных чи-
чисел X,: 0 < X/ Ф 1, / = 1, 2, таких, что отношение logX!/logX2
иррационально,
R(\iX)IR(x)->v(\i)f *-»oo, /=1,2, A.50)
где 0 < \р (X/) < оо, то R - правильно меняющаяся функция.
Доказательство. Положив, как и ранее, р(х) =logR(ex)9
имеем
P(t + М/) - p{t) -»log <р(е"*),
*) См. библиографические замечания и обсуждение к этой главе.
•*) Читателю следует также обратиться к упражнению 1.10.

где м/ = log \j, i = 1, 2, а отношение Ц\1иг иррационально. Тогда
для м € S, где
5 = {д: m = <7Mi +т\Ьг>Ч*г-Целые},
существует предел
lim (p(r + M)-p@) = log^M),
где 0<^(ем) <оо.По теореме Кронекера *) множество 5 всю-
всюду плотно в (-оо, оо), значит, соотношение A.50) имеет место и на
всюду плотном в интервале @, оо ) множестве S *.
Возьмем теперь произвольное д Е 5. Поскольку R монотонна и
ограничена на всех достаточно удаленных конечных интервалах, то,
как и при доказательстве теоремы 1.7, применяя лемму 1.12, полу-
получаем, что ^(Х) = Хр для всех X G S* и некоторого конечного р.
Пусть R не убывает, тогда р > 0. Для произвольного фиксиро-
фиксированного X € @, оо) можно найти сходящиеся к нулю последова-
последовательности положительных чисел {^ } и (с, } такие, что при
всех / X—б|!\х + б^2*€5*. Тогда из монотонности R вытекают
оценки
€
Устремляя jc к бесконечности, для произвольного / имеем
)
R(x)
устремляя теперь i к бесконечности, для произвольного Х€ @,оо)
получаем, что lim (R (X jc) /R (jc) ) = Xp.
X-^ee
Если R не возрастает, то р<0 и изменения в доказательстве сво-
сводятся к очевидным изменениям знаков соответствующих нера-
неравенств.
Наконец, поскольку R, будучи монотонной, измерима, то Л -
правильно меняющаяся функция. ■
Теорема 1.9. Пусть {вп} - стремящаяся к бесконечности
последовательность положительных чисел, числа X/, / .= 1,2, тако-
таковы, что 0< Х; Ф\иотношение logXJlogX2 иррационально. Если
*) См., например, Харди и Райт G4, гл. XXIII, теорема 4381.

для некоторой конечной, монотонной и положительной на полуоси
[А, оа), А > 0, функции R при п -»°° выполнены соотношения
0.51)
где О < \р (\j) < ©о, / = 1,2, го Л - правильно меняющаяся функ-
функция.
Доказательство. Пусть{0^} —подпоследовательность
последовательных максимумов {0„}, тогда в^) t «>. Для произ-
произвольного jc > 0 найдется номер г = г (х) такой, что 0(Г) <jc<
< 0 (Г +1). Тогда, если А монотонно убывает, то для произвольного
X > 0 имеем
R(r(x).\) ^R(x\) Я((г(х)+1)Х)
R(r(x)+\) R(x) R(r(x)) ;
если же R монотонно возрастает, то знаки этих неравенств заменят-
заменятся на противоположные. Учитывая A.51), для каждого Л;-,/ =
==1,2, получаем, что при х-*оо (х пробегает все вещественные зна-
значения, начиная с некоторого)
ЛОсЛу )/*(*)-МЛ,), /=1,2.
Утверждение теоремы вытекает теперь из теоремы 1.8. ■
Из доказательств теорем 1.8 и 1.9 видно, что условия A.50) и
второе из A.51) понадобились нам лишь для выделения такого
подмножества чисел X > 0, что соответствующее множество лога-
логарифмов этих чисел плотно в (-«>, «>).
Теорема 1.10. Пусть {вп }- положительная последователь-
последовательность, причем lim sup0w = оо, 0„+1/0„ < К, где KG A, ее). Если
монотонная, конечная и положительная на полуоси [А, ©о), А > 0,
функция R удовлетворяет при всех X > 0 и некотором конечном р
соотношению
lim ДОяХ)/ад)) = Хр, A.52)
П -* оо
то R - правильно меняющаяся функция порядка р.
Доказательство. Пусть {0 (/)} - подпоследовательность
последовательных максимумов { в„). Тогда из условий на{0„}
имеем
Зафиксируем произвольное число jc > 0 и выберем номер
г = г(дг) такой, что 0(Г) <х<0(, + ,) <К0(г), при этом послед-
последнее неравенство вытекает из свойств {0(о}. Определим величину
5 = 6(х) из соотношения х = в(г} 6, откуда 1 <б(лг) <АГ и, значит,
\<Ь(х)\<К\.
43

Рассмотрим при X > 0 монотонную последовательность функций
R Fn\)/R (вп), п = 1,2 поточечно сходящуюся к непрерывной
функции Хр. Применяя известное утверждение теории веществен-
вещественных функций*^, получаем, что сходимость равномерна по X на
каждом конечном отрезке [а, Ь], 0 < а < Ъ < «>. Следовательно,
для любого е > 0 и достаточно больших х
R(\8(xN(r(x)))
(Х8(х))' - е< ;/ И"));<(Х6(;с)У>+е.
Д@(г(х)))
Значит, учитывая ограничения на Хб(дг), имеем
R(M(x)O{r{x)))IR(e{r{x)))~
Полагая X = 1, получаем, что
Поделив почленно первое из выписанных асимптотических пред-
представлений на второе, приходим к справедливому для любого X > О
соотношению
Urn (R(\x)IR(x)) = \*,
X -+ ее
которое и требовалось доказать, так как функция R, будучи моно-
монотонной, измерима. ■
Если в правой части A.52) написать вместо Хр просто функцию
\р (X), даже удовлетворяющую ограничениям 0 < \р (X) < оо и, бо-
более того, непрерывную и строго монотонную, то соответствующее
утверждение будет неверно**).
Раздел, посвященный монотонным правильно меняющимся
функциям, мы завершим обсуждением некоторых следствий при-
приводимого непосредственно ниже результата, а также его связи с ут-
утверждением 5° из раздела 1.5.
Теорема 1.11. Пусть L - неубывающая неограниченная по-
положительная функция на полуоси, [А, оо ), а функция 1 (х) опреде-
определяется при х > L (Л) по формуле **** •
L(x)-int(y: ye[A9»)\L(y)>x).
*'При этом существенны именно оговоренные нами заранее непрерыв
ность и измеримость, а не собственно монотонность.
* *' См. упражнение 1.11.
***)Если L строго возрастает и непрерывна, то 1 - обратная к ней
функция.

Тогда, если L - медленно меняющаяся функция, то
1(хц) [0, если Aie(O.l),
i 1 если м= 1 \1»ээ)
I «>, если цЕ(\,оо).
И наоборот, если соотношения A.53) имеют место для всех
д£ @,1) или для всех м^ A, °°), о функция L непрерывна и стро-
строго возрастает, то L - медленно меняющаяся функция.
Доказательство. Пусть L - медленно меняющаяся функ-
функция. Тогда, как и при доказательстве леммы 1.8, применяя теорему
о равномерной сходимости, имеем
L(L(x)) -jc, jc-oo. A.54)
Как легко далее видеть, функция L не убывает в области своего оп-
определения. Рассмотрим сначала случай д G A, оо). Ясно, что
1<Z(jcm)/£(jc).
Предположим, что для некоторого фиксированного м существует
стремящаяся к бесконечности последовательность {хп } такая, что
ton (L(xnn)ll(xn))=gt
я-* ее
Тогда по теореме о равномерной сходимости
"I £(хп) 1<<Х
т.е. L (L (iixn))l L(L(xn)) -> 1. Но, согласно A. 54),
L(LQixn))IL(L(xn)) -»д,д€ A, оо). Полученное противоречие
доказывает соотношение A.53) в случае д€ A, оо); случай
дЕ @,1) рассматривается аналогично.
Пусть теперь A.53) имеет место для некоторого фиксированно-
фиксированного м из интервала @,1). По скольку L строго возрастает, то
L(L(x)) = xt L(L(x)) = x. A.55)
Зафиксируем произвольное X > 1 и в зависимости от и определим
числа v и мм по формулам L (и) =и,ЦХм) = дми. Тогда из A.55)
поэтому мм > 1. Далее, необходимо, чтобы мм ~> 1» и ~+°°» иначе мы
получим противоречие с A.53). Итак, для произвольного X > 1

Оставшуюся часть доказательства мы оставляем провести чита-
читателю. ■
Отметим, что в случае медленно меняющейся неубывающей
*>*
до бесконечности функции L существует функция L такая, что
и это соответствует "предельному случаю'9 представления A.31а),
когда 7=0. Формально по аналогии с утверждением 5° из раздела
1.5 можно говорить о функции L (х) как о "правильно меняющей-
меняющейся функции бесконечного порядка9'. Действительно, выражение
A.53) для произвольного м > 0 можно переписать в виде
lim U(nx)IL(x)) = »~.
X -+ оо
Целесообразно поэтому ввести следующее.
Определение 1.6. Функция U, положительная и измеримая
на полуоси [Агоо)уА > 0, называется быстро меняющейся на бес-
бесконечности, если для произвольного X > 0
lim (£/(Х*)Д/(*)) = Хр,
X -*• оо
где р = оо или р = — оо. (Мы можем также сказать, что U- пра-
правильно меняющаяся функция порядка соответственно оо или -оо,
но это может вызвать непонимание.)
1.9. Библиографические замечания и обсуждение
Фундаментальные теоремы теории правильно меняющихся
функций, а именно, теорема о равномерной сходимости (теорема
1.1), теорема о представлении (теорема 1.2), а также теорема о ха-
рактеризации (теорема 1.3) были впервые получены Караматой
в работах [29, 32]. В первой из этих работ при определении пра-
правильно меняющейся функции от нее требовалась непрерывность,
а в последней части второй работы предполагалась локальная инте-
интегрируемость.
Теорема о равномерной сходимости для измеримых медленно
меняющихся функций была доказана Коревааром, ван Аарденне-
Эренфестом и де Брюином [38] (ими также был получен более
ограничительный вариант теоремы о представлении) и, кроме того,
Деланжем [23]. Обсуждение некоторых трудностей, связанных с
применением теории меры, в частности с использованием теоремы
Егорова как естественного средства при проведении доказательств,
можно найти в работах Агнью [2], Матушевской [50], Чиссара и
Эрдеша [81], а также Деланжа [24]. В результате можно обнару-
обнаружить, что некоторые известные доказательства теоремы о равно-
46

мерной сходимости, например доказательство Бесиковича, приве-
приведенное у Харди и Рогозинского [76] и Матушевской [49], верны
не в общем случае, а лишь для непрерывных медленно меняющихся
функций.
Теорема о представлении в приведенном выше виде (теорема
1.2) была доказана де Брюином [19] с применением описанной
в разделе 1.4 конструкции, не затрагивающей вопроса об ограни-
ограниченности соответствующей функции на удаленных от нуля конеч-
конечных интервалах. Исторический интерес в этом плане представляет
заметка Кореваара и ван дер Ближа [39].
Содержание раздела 1.2 настоящей работы базируется на мате-
материале § 4 работы Боянича и Сенеты [18, § 4], которая в свою оче-
очередь опирается на результаты статьи Кореваара, ван Аарденне-Эрен-
феста и де Брюина [38].
В разделе 1.3 при доказательстве теоремы 1.4 мы сначала ис-
использовали классическую технику нахождения решений функцио-
функционального уравнения Коши (см., например, Асцел [8, § 2.1] ), даль-
дальнейшее же обсуждение, связанное с применением аппарата теории
меры, является одним из вариантов методики Дуба [26], развив-,
шего один результат Ауэрбаха [9]. Эти технические приемы пред-
представляют интересе точки зрения теории вероятностей в том Смысле,
что Дуб использовал их при исследовании марковских процессов
с непрерывным временем.
В разделе 1.4 представление A.21) принадлежит Бояничу и Се-
нете [18], а все дальнейшее построение, как уже упоминалось, —
де Брюину [19]. Лемма 1.7 доказана Парамесвараном [52], а при-
приводимое далее прямое доказательство леммы 1.2 принадлежит
Летаку [46].
В разделе 1.5 свойства 1°-4° описаны фактически в двух ран-
ранних работах Караматы. Свойство 5° в основном доказано
де Брюином. Лемма 1.8 в работе де Хаан [72, с. 22-25] приписы-
приписывается Верваату, причем им применялся совершенно другой под-
подход, а полученные результаты носили несколько менее завершен-
завершенный характер.
В разделе 1.6 теорема 1.6 доказана Бингхемом и Тойгельсом
[13], которые ослабили предположения, сделанные в § 3 работы
Матушевской [49]. Мы при доказательстве следовали идеям Мату-
Матушевской (§ 3.2).
На содержание раздела 1.7 сильное влияние оказали первая
часть работы Караматы [32]. Лемма 1.12 и теорема 1.7, как и ба-
базисное понятие слабого правильного изменения, содержатся в более
общих результатах Матушевской [49] (см. также Сенета [59]).
Лемма 1.13 стандартна и широко известна, это же относится к
доказательству леммы 1.14, использующему базис Гамеля.
47

Что касается раздела 1.8, то лемма 1.15 восходит к работам Лан-
Ландау [43] и Пойа и Сеге [57, упр. 150] (первое издание этой книги
вышло в 1925 г.). Теорема 1.8 снова принадлежит Карамата [32].
Теоремы 1.9 и 1.10 дают критерии правильного изменения, сфор-
сформулированные на языке последовательностей, подобные результа-
результаты иногда называют "крофтовскими теоремами". Теорема 1.9 свя-
связана с одним результатом Феллера [69, 67] и обобщает результаты
Рейтера и Слека [62] *К где было принято 0„ = я, а сходимость
второго соотношения в A.51) предполагалась для всех целых по-
положительных значений X. Эта теорема обобщает также и результаты
де Хаан [71, 72], рассматривавшей случай вп = п, \р (X/) = X?,
/ = 1, 2. Теорема 1.10 взята из работы Сенеты [61], в которой
встречается еще одна теорема крофтовского типа и приводятся
ссылки на более ранние источники. В той же работе рассмотрены
случаи, когда требование монотонности налагается не всегда (по
этому поводу см. также Урбаник [65] ).
Сделаем в заключение несколько замечаний исторического ха-
характера. Побудительным началом для введения Караматой понятия
правильного изменения частично послужили работы Шмидта [82] и
Шура [84], связанные со свойствами числовых последовательно-
последовательностей. С другой стороны, на Карамата оказали влияние работы Лан-
Ландау [43], Пойа [56], Пойа и Сеге [57], а также последующие труды
Ландау [44] и Пойа [55], связанные с монотонными правильно ме-
меняющимися функциями (они назывались Пойа langsam wachsende и
langsam abnehmende ). Перечислим некоторые свойства этих функ-
функций, доказанные в упомянутых выше источниках:
1) если L (х) - монотонная медленно меняющаяся функция, то
для любого 7 > 0 при jc -►«> справедливы соотношения
jc~71(jc)-»0, logz,(jc)/logjc-»0
а также
7{ £(*)/*'} Л < со;
А
2) функция (log*)ai(log2*)a' ... (log**)**, где log^x =
= log*_i (logjc), является монотонной медленно меняющейся
функцией.
Мало известно, что первые попытки доказательства теоремы о
характеризации восходят к работам Петрини [53] и Фабера [66],
который ввел положительные функции ;(•)> обладающие тем
свойством, что для произвольных (}' > 1 и € > 0найдется н>' > 1
' Согласно личному сообщению Рейтера; см. Слек [62, лемма 3].
48

такое,что при w> w' ивсех0€ A,0')
A - еГ1 < rO-4v)/r(w)< 1 + е,
и получил отсюда, в частности, что для произвольного фиксирован-
фиксированного
lim wTIf(w) = oo,
w -* ее
lim w-"r(w) = 0.
W -*> ее
Таким образом, определение Фабера является, по сути, определе-
определением медленно меняющейся функции, в которое включено требо-
требование равномерной сходимости.
Понятие правильно меняющейся последовательности было пред-
предложено Караматой [28] и Шуром [84], как об этом уже говорилось
ранее. Пусть с (л), п > 0, - последовательность положительных чи-
чисел. Тогда последовательность с (л) можно назвать правильно ме-
меняющейся, если, например, по аналогии с A.1) и A.12) для произ-
произвольного X > О
lim (c([X/i])/c(/i)) = *(X),
Я -» ее
где 0 < у (X) < оо, [. ] - целая часть числа (отсюда следует, что
у (X) = Хр при некотором р€ (—оо, оо) ). Другое возможное опре-
определение, на этот раз данное целиком на языке последовательностей,
принадлежит Галамбошу и Сенете [21] и требует, чтобы существо-
существовала еще одна положительная последовательность { а (л) } такая,
что
с(п) ~а(л),
/i(l - {а(п - 1)/а(л)}) -» р, п -» оо,
где р конечно. Последнее определение является аналогом свойства
A.9) (см. также A.10), A.11) и раздел 1.8) правильно меняющих-
меняющихся функций. Эквивалентность данных определений, которая, вооб-
вообще говоря, не столь тривиальна, установлена Бояничем и Сенетой
[17]. Общетеоретические результаты, связанные с правильно ме-
меняющимися последовательностями, часто могут быть получены из
соответствующих результатов для правильно меняющихся функ-
функций, если воспользоваться следующим доказанным Галамбошом и
Сенетой свойством: если последовательность {с(п)} является пра-
правильно меняющейся порядка р, то такова же и функция с(х) =
-с( [*]),*> 0 (см. [21]).
49

Упражнения к главе 1.
1.1. Определить, какая из данных функций является медленно: меня-
меняющейся на бесконечности; в качестве области определения берется [А, °°),
где Л > О и достаточно велико:
(I) 2 + sinx;
(И) A *x-a)l0gx;
(Ш) ехр((к*х)?),О<0<1;
(TV) Gog x)*1 Goga x)a*... Gog^x)**, где числа otP..., ак вещественны и
конечны и, по определению, logrx = logr_j (log x) - г-кратная функциональ-
функциональная итерация logx;
(V) 1+е*;
(VI) 1+<?-*•
В тех случаях, когда соответствующая функция окажется медленно ме-
меняющейся (кроме IV), используя метод, приведший к соотношению A.11),
получить представление L (х) в форме A.3).
U.Показать, что функция (-log х) медленно меняется при х 4 0; log x
правильно меняется при х I 1; (- logx) правильно меняется при х t 1;
(- log(l - х)) медленно меняется в точке х • 1,
1.3. Предполагая, что верна теорема 1.2, получить в качестве следствия
теорему 1.1.
1.4. В связи с теоремой 1.2 (используя данное в ней представление)
показать, что функция п(х) из соотношения A.3) отражает "худшие свойст-
свойства" L (х). Так, если L (х) непрерывна, то такой же может быть взята г)(х),
если L (х) имеет непрерывную производную, то такова же и п(х), но если
£(х) предполагается лишь измеримой, то и о г)(х) можно сказать лишь,
что она измерима. (Отметим, однако, что функция е(О из A.3) всегда
может быть взята сколь угодно гладкой).
13. Пусть для всех хну имеет место функциональное уравнение
где Л (х) предполагается измеримой на интервале (-«>,«>). Показать, что
тогда функция / непрерывна на (-«*,<•).
Указание. Применить рассуждения из второй части доказательства
теоремы 1.4 (Дуб [26]).
1.6. Используя метод раздела 1.4, показать, что если слегка ослабить
требование непрерывности функции в (Г) из теоремы 1.2, то в качестве
€ (Г) можно взять при t > В функцию
где f{t) = log£(e')> и при п, не меньших некоторого достаточно большо-
го л0, и f е [ л, л + 1 ] будет справедливо равенство
Л « -Я» + <f(n + 1) -
причем /,'@ - f{n + 1) -/(л), re (л, п + 1), a f'xin) можно положить
равной 0.
Указание. Заменить в A.22) интеграл
6 / u(\-u)du
0
на xs / ldx, xe[0,l].
о
50

1.7. В связи со свойством 4° раздела 1.5 показать, что L(x) ~ I (х) при
х-*~.
1.8. Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утвержению
4° раздела 1.5 для функции х уЦх),у>0.
1.9. Пусть L (х) - медленно меняющаяся функция. Положим
n
доказать, что если при некотором п и х -* «>
n медленно меняющаяся, после чего
то
где I * - сопряженная к £ функция. (Бекеши [ 12 J.)
Получить асимптотическое представление для L*(x)> если Цх) имеет
вид (IV) из упражнения 1.1, затем сделать то же самое, если L имеет вид
(III). (Парамесваран[52].)
1.10 Положительная функция Ь(х), определенная при х > х0 называет-
называется медленно меняющейся в смысле Зигмунда, если для произвольного фик-
фиксированного 6 > 0 и достаточно больших х функция Ь(х)хР является воз-
возрастающей, а функция Ъ(х)х~ь - убывающей. Пусть фиксировано произ-
произвольное число г} из интервала @,1).
Показать, что для всех \ е [ 1,17"l ] ii достаточно больших х
и аналогично Ь(Кх) > r?b(x). Тем самым доказать, что для произвольного
фиксированного \ е [ 1, rf! ]
Ь(Ьх)~Ь(х), х-*«.
Доказать затем, что эта асимптотическая эквивалентность равномерна по
\ е [ 1, г}'1]. Отсюда вывести, что медленно меняющиеся в смысле Зигмунда
функции являются подклассом класса обычных медленно меняющихся
функций (см. также свойство 4° из раздела 1.5). (Зигмунд [27].)
1.11. Положим Вп * ent Кх (дс) = хь { 1 + a sinBirlog х)} , где а достаточно
мало. Показать, что функция Кх положительна и непрерывна при х > 0,
а при 6 Ф 0 - строго монотонна. С другой стороны, показать, что
К11в^)/К11в^ = /Г2(Х) для любого \ > 0, т.е. /С,(\), не имея вида Л/\
не может быть правильно меняющейся. Этот пример особенно уместен
в сочетании с теоремой 1.10. (Пример сообщен автору в 1970 г.
Рейтером.)
1.12. Показать, что в противоположность функции Кх из предыдущего
упражнения функция К2 (х) = хь { 1 ♦ jsinBw v/logx )} будет правильно
меняющейся, каковы бы ни были 6 € (- «, «) и достаточно малое по аб-
абсолютной величине число а. (Таким образом, бесконечно осциллирующая
функция также может быть правильно меняющейся.)
1.13. Пусть logkjc - ^-кратная функциональная итерация logx. Дока-
Доказать ложность утверждения: « для произвольной медленно меняющей-
51

ся функции Цх), L (х) ->~ при х -♦ ~, можно найти такой номер Дг, что
L{x)/\ogkx -*-».
Указание. Построить функцию L(х) по последовательности log^x,
к ■ 1,2, . . . , которая, очевидно, стремится к бесконечности медленнее лю-
любой фиксированной функции loggX
1.14 Пусть R(t) = гр£ (г) - неубывающая правильно меняющаяся функ-
функция такая, что Л(х) t «•• при х -* ~. (Значит, р > 0.) Используя теорему
о равномерной сходимости, показать,что для любого фиксированного t0 > 0
равномерно по г > t0
0, х - <».
(ЧенгиТойгельс[80].)
1.15. Показать, что для произвольной медленно меняющейся функции
I, определенной на полуоси [А, «), для любого фиксированного е >0
и всех х > у
хЦх)/уКу) >1-е,
где .у достаточно велико. (Парамесваран [ 52 J,)
1.16* Пусть Z(x) - положительная невозрастающая на @, «) функция,
х
а функция Zo (х) = /Z (у) d>, х > 0, - медленно меняющаяся. Показать, что
о
Urn xZ(x)/Z0(x)»0.
Указание. Для фиксированных х > 1, X > 0
Zo(\х) - Zo(\) ■ / Z(y)dy > \(х - l)Z(\x).
1.17.ПустьЛ/(х) s / { I (у)/у } dy, где функция I (х) - медленно ме-
меняющаяся и определенная на [А, °°). Доказать, что М(х) - также медленно
меняющаяся функция и
М(хIЦх)-+~, х--.
(Парамесваран [52].)
1.18. Если L - медленно меняющаяся функция, то, по определению,
для любого е > 0 и всех х > х0 (е)
Исходя из этого неравенства, показать сначала, что
затем, что
log £(x)/log x -* 0, х -»•«»,
откуда для произвольного фиксированного у > 0 получить соотношения
Возникает вопрос, надо ли для обоснованности приведенных соображений
предполагать в отношении L (х) что-нибудь еще, кроме того, что она опре-
определена и положительна на [А, ••) и что L (Kx)/L (х) -»1 при х -► ~ для каж-
каждого X > 0? (Эта проблема включена в качестве упражнения потому, что в

литературе4) встречаются некоторые "общие" соображения на данную
тему, хотя с учетом результатов раздела 1.7 получить правильный ответ
нетрудно.)
1.19. Пусть fit) - функция, интегрируемая по Риману в произвольном
интервале вида (а, 0), 0 < а < 0 < ~. Показать, что для любых 0 < хх < ха <
< * и 0 < а, Ъ<-
х* fiat) -fibt) **• № bx> fit)
f A- / A- i A,
xx t axx t ax% t
так что для любых постоянных*?, Ъ несобственный римановский интеграл (так
ч ~ fiat) -fibt)
называемый интеграл Фруллани) J А существует тогда и
+0 t
только тогда, когда как при х -► +0, так и при х -* °° сходится интеграл
Г
ах t
Показать, что несобственный римановский интеграл существует при
всех a, Ь, 0 < a, b < °°, тогда и только тогда, когда функция р(х), опре-
определяемая из соотношения
* fit)
logp(x)= f—~dt
1 х
правильно меняется как в нуле, так и на бесконечности. При этом, если р -
порядок правильного изменения на бесконечности, а г - в нуле, то
~ fiat)-fibt)
f А - (т - p)(tog b - log*).
♦0 t
iRix) правильно меняется в нуле с порядком г тогда и только тогда, когда
/?A/х) правильно меняется на бесконечности с порядком - г.) (Альянчич
иКарамата [7].)
1.20. Для медленно меняющейся функции L свойство 4° из раздела 1.5
означает, что xyL (дс) - * Ах) для произвольного у > 0 и х"! (х) - ф^х),
х -* °° , где spy - монотонно возрастающая, а 1 - монотонно убывающая
функция.
(I) Воспользоваться теоремой о представлении, чтобы доказать это не-
непосредственно.
(II) Показать, что, наоборот, если L - конечная, положительная и из-
измеримая на полуоси [А, «) функция и для произвольного фиксированного
7>0
хуЦх) - *7(х), дГ71(х) ~*7(х), х - -,
где ipy - возрастающая, а й7 - убывающая функция, то £ - медленно
меняющаяся функция. (Ср. с упражнением 1.10.)
*) См. ссылки в работе Сенеты [59].

Глава 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ
2Л. Интегральный критерий правильного изменения
Очевидно, что после внесения естественных корректив как
теорема о равномерной сходимости, так и теоремы о представлении
и о характеризации могут быть сформулированы в виде необхо-
необходимых и достаточных условий правильного изменения некоторой
функции U(x). Например, из развитой ранее теории легко полу-
получается следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть U(x) - определенная на полуоси [А, °°),
А > О, положительная конечная функция. Тогда Цх) - правиль-
правильно меняющаяся функция в том и только том случае, когда най-
найдется такое В>А, что U(x) представима при х > В в виде
Jf — dt\.
в t )
Здесь т)(х) и е(х) - ограниченные измеримые на [В, °°) функции
такие, что т?(х) -»с, \с\ < °°, е(х) -*0 при х -+°°, ар- некоторое
конечное число (порядок правильно меняющейся функции).
Известно еще много других критериев правильного измене-
изменения функции £/, которые, вообще говоря, поддаются более лег-
легкой проверке, но при этом функция U выступает как часть по-
подынтегрального выражения в берущемся по конечному отрезку
интеграле, так что необходимы априорные предположения того
или иного вида об интегрируемости Цх).
Поскольку, в соответствии с определением, правильно меняю-
меняющаяся функция измерима и, как было показано, ограничена на
всех достаточно удаленных конечных интервалах, то ее интегри-
интегрируемость на этих интервалах является следствием отмеченных
свойств.
Теорема 2.1. Пусть функция U конечна, положительна и
измерима на полуоси [А, °°) и, кроме того, интегрируема по
Лебегу на каждом конечном подынтервале из [А, °°). Тогда
U(x) будет правильно меняющейся функцией тогда и только тогда,
когда найдется число к, при котором существует, конечен и по-
54

ложителен предел*)
lim (х*+1 U(x)l f tU^df) = a. + 1, BЛ)
- - a
*- - a
причем порядок p функции U равен ak - k.
Доказательство. Пусть U(x) - правильно меняющаяся
функция порядка р, тогда U(x) представима в виде U(x) = xpL(x),
где L(x) — медленно меняющаяся функция. Возьмем число В > А
такое, что
xL(x)l J L(t)dt - xL(x)l / L(t)dtt x -> oo, B 2)
а функция L(x) ограничена на отрезках [В, х] при всех фикси-
фиксированных х > В. Заметим, что для любого фиксированного у,
/ L<J)dt= J rr7L(O^r< sup ltyL(t) } /
В В В < t< х В
/ L (t) dt = / (O {())
a s a<r<x \ 1+7
B.3b)
Но, как мы знаем (утверждение 4° раздела 1.5 и, кроме того,
упражнение 1.8), при х-»00 правые части B.3а) и B.3Ь) асимпто-
асимптотически эквивалентны соответственно xL (х) / A - 7) и xL (х) / A +7).
Тогда
< lim inf (/ L(t)dtl(xL{x)))
1+7 *-~ в
х 1
<lim sup(/ L(t)dtl(xL(x))< ,
*->~ в 1-7
откуда с учетом произвольности выбора 7,0 < 7 < 1, получаем, что
lim xL(pc)lf L(t)dt=\,
х-*« А
т.е. соотношение B.1) выполнено с к = - р.
*) Другой пример утверждения того же рода можно найти в упражне-
упражнении 2.3.
S5

Пусть теперь для некоторого ак> - \
Jim (xk+lU(x)/f tkU(t)dt) = ak + l. B.4)
х-+» А
X
Покажем сначала, что интеграл ftkU(t)dt является правильно
меняющейся функцией порядка ак + 1. Обозначим
X
u(x) = xkU(x\ e(x)=xu(x)/f u(t)dt - (ак + 1).
А
х € (х) а к + 1
Тогда u(x)/f u(t)dt= + . Интегрируя это равенст-
Л XX
во от А до х, имеем
* х € (Г)
log {/ u(t)dt) = / dt + (ак + l)logx + const,
A At
X
т.е. функция / u(t)dt удовлетворяет условиям леммы 2.1.
С другой стороны, для любого X > 0 из B.4) вытекает, что
(x\)k+lU(x\) I xk+lU(x)
/ tkU(t)dt / / tkU{t)dt
A I A
откуда
что и завершает доказательство, поскольку С/ положительна и из-
измерима. ■
Отметим также, что в том случае, когда U{x) является правиль-
правильно меняющейся функцией порядка р в смысле этой теоремы, то
предел B.1) существует, положителен и конечен для всех к > -р -
- 1 *). Тогда ак = к + р, так что величина р = ак - к в действитель-
действительности не зависит от к. Однако для доказательства правильного из-
изменения U достаточно выполнения B.1) при каком-либо одном к.
Приведем поэтому несколько иной вариант теоремы 2.1.
Следствие. Пусть функция U отвечает условиям теоремы
2.1. Тогда критерий B.1) может быть заменен на требование су-
*) См. упражнение 2.1.
56

ществования числа к такого, что
1
/ ykU(yx)/U(x)dy+(p + k + I) >0, *-►«>, B.5)
А/х
причем р будет порядком правильного изменения функции U.
Для доказательства следствия достаточно перейти к новой
переменной .у = tjx в интеграле B.1). ■
Если число А из определения правильно меняющейся функции
U порядка р может быть взято равным 0, то B.5) при к > -р - 1
будет иметь место с А = 0, и необходимое и достаточное условие
B.5) можно заменить на условие существования числа к такого,
что
/ ykU(yx)/U(x)dy-+(p + k +1) >0, jc-*°°, B.6)
о
где левая часть определена для достаточно больших х. Далее,
верна
Теорема 2.2. Если в каждом из следующих условий со-
соответствующий интеграл, стоящий слева, априори предполагается
определенным (и конечным) для достаточно больших х, то
каждое из них будет необходимым и достаточным для того,
чтобы функция U, взятая из теоремы 2.1 с А = 0, была правильно
меняющейся порядка р:
1° существует число к такое, что имеет место соотношение B.6);
1
2° / log { U(x)/U(tx) } dt-+p, x
о
где р - некоторое конечное число;
jogU
1 t1
где р - некоторое конечное число.
Доказательство. Пункт 1° уже доказан. Для доказа-
доказательства достаточности условия 2° вновь обратимся к лемме 2.1
(т.е. к одной из форм теоремы о представлении). Имеем
-/ log U(tx)dt-+p,
о
т.е. f
log U(x) - f log U{tx)dt = p + e(x),
о
где е(х) •* 0 при х -»•<», значит,
logt/(x) 1 * p e(x)
JL! - — /log U(y)dy --£- + _!!, B.7)
X о XX
/g y)y
X X о XX

откуда интегрированием получаем, что
, х * €(t)
х'1 f log U(t)dt = р log x + / dt + const.
о в t
Тогда по лемме 2.1 функция
exp{x'lf log U(t)dt}
о
будет правильно меняющейся порядка р. С другой стороны, умно-
умножив обе части B.7) на х и пропотенцировав полученное выражение,
имеем
U(x) = *xp{logU(x)) = exp{x-1 f logU(y)dy}exp{p + e(x)} ,
х °
откуда U(x) ~~ef>exp{x~l f log U(y)dy), *-►<», следовательно, £/-
о
правильно меняющаяся функция порядка р.
Обратно, если £/ - правильно меняющаяся функция порядка р,
то с помощью ее представления, даваемого леммой 2.1, в котором
функция 6 (х) взята непрерывной, получаем для всех 0 < t < 1
и всех достаточно больших х, что
{* е(у)
n(x)~V(xt) + f —
хг у
поэтому х
(^)/t/(rjc)}=~plogr + r7W-r7(^0+/ — rfy.
Но / log t dt = -1, кроме того, поскольку т? (дг) -►с, I с I < °°, при
о
дг->°°,то
/ { п(х) - т?(хг) } (fr = uCr)-*-1 / v(y)dy - О,
0 о
и, наконец,
1 * е(у) 11 e(wx)
/ / -^-dydt = S f ——- dwdt =
о xt у о t w
1 X
= / e(wor)^w «jf1 / e(v)rfy -► 0, x -► »э
о о
так как е(у) ->0 при у -* °°. Необходимость доказана.
Доказательство 3° аналогично, и мы оставляем его в качестве
упражнения *). ■
*) Упражнение 2.6. Это упражнение связано с пунктом 2° теоремы 2.2
так же, как упражнение 2.3 с теоремой 2.1.
58

22. Тауберовы теоремы для правильно меняющихся
функций
В общих чертах можно сказать, что тауберовы теоремы свя-
связаны с нахождением асимптотических свойств (обычно монотон-
монотонных) функций по асимптотическому поведению некоторых их пре-
преобразований (например, преобразования Лапласа-Стилтьеса) .Од-
.Одной из наиболее известных и широко используемых в работах
по теории вероятностей является следующая знаменитая теорема
Караматы:
Теорема 2.3 (тауберова теорема Караматы). Пусть U(x) -
монотонно неубывающая на [О, °°) функция такая, что при всех
х>0 конечен интеграл
и>(*)= / e-xudU(u).
-о
Зафиксируем некоторое число р> 0 и правильно меняющуюся
на бесконечности функцию L. Тогда
(I) еслиw(x)
1/(*)~*р1(*)
(II) если w{x) = дГр1 (х), х -►«», то
Доказательство. Докажем лишь случай (I), так как
(II) доказывается совершенно аналогично.
Для любого X > 0 имеем
w(Xx)/w(*)-*X-p=/ e-uXdG(u), *-* + o,
-о
где G(u) * мр/Г(р + 1). С другой стороны, выражение
w(Xx)M*) = ( / e-x*WC))M*) = (/ e-KudU(u/x))lw(x)
-О -в
само является преобразованием Лапласа-Стилтьеса монотонной
по и функции U£(u), зависящей от дг,
Тогда по обобщенной теореме непрерывности для преобразований
Лапласа-Стилтьеса *) для любого фиксированного и > 0 из не-
непрерывности G (и) на [0,°°) вытекает, что
♦) См., например, Феллер [67].
S9

т.е. U(u/x) ~и<Цх)/Г(Р+ 1), *-»•+ 0, откуда
U(v) ~ v"L (и/и)/Г(р +1) ~ ир1(и)/Г(р + 1), V- «»■
Приводимое ниже обобщение теоремы 2.3 на случай наличия
"плотностей" очень часто дается вместе с этой теоремой, и мы не
будем нарушать сложившейся традиции. Отметим лишь, что (как
читатель может убедиться из анализа доказательства теоремы 2.4)
тем же методом может быть получен существенно более общий
результат *).
Теорема 2.4. Пусть положительная функция U(x) опреде-
определена на полуоси И,°°), где А достаточно велико, и представит
в виде
U(x) = fu(y)dy,
А
где функция и(у) монотонна. Тогда для любого р> 0 из соотноше-
соотношения U(x) = x?L (x) следует, что
Доказательство. Предположим сначала, что и (х) на бес-
бесконечности не убывает. Тогда для некоторого а0 и всех 0 > а > а0
U(t&)-U(ta) _ у и (у)
U(t) i
поэтому
U(t&)-U{ta) t(fi-aMta)
U(t)
U(t) U{t) U(t)
Устремляя t в бесконечность, для правой части B.8) имеем
> hm sup .
0-а r-~ U(t)
Так как правая часть написанного неравенства не зависит от
то, устремляя /3 к а, приходим к оценке
l> iimsup (tu(ta)IU(t)).
Аналогично, для левой части B.8) верна оценка
iim inf (tu (tP)/U(t)) >p0p-\
Из произвольности а и 0 вытекает, что для любого с > О
iim (tu(tc)lU(t)) = pcp-1,
*) См. упражнение 2.7.
60

поэтому, положив x-tc и воспользовавшись представлением
U(t) - tpL (t), приходим к требуемому результату. Случай невоз-
растающей плотности доказывается аналогично. ■
Завершим краткий обзор тауберовых теорем для правильно
меняющихся функций, доказав еще одну теорему, которая опи-
опирается как на обе части теоремы 2.3 (тауберовой теоремы Карама-
ты), так и на методологический подход теоремы 2.4.
Теорема 2.5. Для произвольной неубывающей на [0,°°)
функции Л и всех р>а>0изсоотношения
- dA(t)
А
~*
следует, что
Г(р)
xp~a
Г(р)
А(х) — xp~aL(x),
W Г(а)Г(р-а + 1)
Доказательство. Поскольку при р > О
то
где g{r) =r^-1 ( / e~tTdA(t))ir(p). Отсюда, используя часть
-о
(II) тауберовой теоремы Караматы, имеем
о
Подставляя сюда явное выражение функции g (r), получаем, что
где /(r) = / e~trdA{t). Обозначим U(x) = ff(r)d(Tfi). Тогда
-о о
1), jc-^ + 0, B.9)
причем функция /(г), будучи преобразованием Лапласа - Стилтье-
са от А (О, является монотонно невозрастающей.
Для произвольных 0 > а > 0 верны соотношения
U(x{i)-U(xa) у f{r)drp ^/(jcft)JcV^ftP)
U(x) ~L U(x) U(x)

Устремляя х к нулю справа, с учетом B.9) имеем
*'-«"> limsup
Поделив обе части этого неравенства на ff3- a° и положив
получаем, что для любого a > О
>hmsup
Аналогично, для любого 0 > О
ойа~р f
< lim inf •
Значит, для любого с>0
lim
р jc- +о
Если обозначить г = дгс, то
Р
откуда с учетом B.9)
Тогда из части @ тауберовой теоремы Карамата вытекает,
что
Ж*) ч Г fl x
Г(а)Г(р-а + 1)
что и требовалось доказать.*
2.5. Интегралы, содержащие правильно меняющиеся функции
В этом разделе мы сначала исследуем при х-»°° асимпто-
асимптотическое поведение интеграла Лебега (он предполагается существу-
существующим) вида
f/(r)L(xr)d/, B.10)
a
где L - медленно меняющаяся (на бесконечности) функция и

O<a<0<°o. Как легко видеть, если О<а<0<«>, а функция
f(t) интегрируема по Лебегу на [а, 0], то, рассмотрев интеграл
а
по теореме о равномерной сходимости получаем, что
а а
Покажем теперь, что B.11) остается справедливым при доста-
достаточно слабых ограничениях на / и в случае 0 = °°, 0 < а < «>. По-
Подобная постановка вопроса весьма естественна, поскольку L (х)
медленно меняется именно на бесконечности. Менее естественно,
но все же важно изучить случай а = 0, О<0<°°, что и будет
сделано позднее. Затем возможно объединение обоих этих случаев
и исследование варианта а = 0, 0 = °°, которое предоставляется чи-
читателю.
Отметим, что анализ выражения B.10) подразумевает *) изу-
изучение интеграла более общего вида, содержащего вместо медлен-
медленно меняющейся функции L(t) правильно меняющуюся функцию
R(t) = tpL(t)9 поскольку множитель гр может быть включен в
функцию f(t). Стоит, пожалуй, отметить также, что рассмотрение
интегралов вида B.10) эквивалентно анализу асимптотического
действия функционала
F(x)=)k(x,t)f(t)dt
а
с ядром k(x,t) = L(xt)9 примененного к некоторому классу функ-
функций/.
Этот раздел мы завершим обсуждением вопроса о полной вари-
вариации правильно меняющихся функций, поскольку излагаемые ме-
методы частично применимы и к этой проблеме.
Теорема 2.6. Пусть L - медленно меняющаяся на [А, °°),
Л>0, функция и для фиксированных числа т?>0 и функции
f определен интеграл (Лебега)
/ГПЛО*. a€@,~). B.12)
а
оо
Тогда интеграл ff(t)L(xt)dt определен: 1) всегда, если т? > 0;
а
2) для невозрастающих на бесконечности функций L(x)9 если
*) Упражнение 2.10.
63

г? = 0 *). В обоих случаях
ff(t)L {xt)dt ~ L(x) ff(t)dt, x - о»,
a a
причем интеграл, стоящий справа, существует.
Доказательство. Показать существование интегралов не-
нетрудно. Например, заметим, что при т? > О
f(t)L(xt) = t Y(r)r 4(xt) = ^(r V(r) ((xr) -11 L (*/)),
и, поскольку L(x) измерима при х>Л,а функция х~т?1(х)рав-
номерно ограничена при всех достаточно больших ху то ин-
интегрируемость вытекает из мажорируемою» интегралом B.12)
оо
( / гп I f(f)\dt < °°, так как мы используем интеграл Лебега).
a
Пусть теперь i?>0. Тогда для достаточно больших конечных .у
^7*
L(x)
L(xt)
Исследуем асимптотическое поведение каждого из этих интегралов.
Имеем
| ff(t)L(xt)dt\< f\f(t)L(xt)dt =
У У
)dt<
sup
y<t<~>
sup
yx<w<oo
~~y-*Hyx) /r^COIdr, jc-oo, B.13)
по аналогу свойства 4°, рассмотренному в упражнении 1.8. Зна-
*) Возможны и другое посылки, приводящие к тем же окончателышм ре
зультатам (см. упражнение 2.9).
64

чит, в случае т?>0 из B.13) получаем, что так как у >а>0,
то для достаточно больших х найдется конечное число М, не зави-
зависящее от у, для которого
I ff(t)L(xt)dt\<My-4(yx) 7'п1Л01Л B.14)
У У
Далее, из B.11) при т?>0
( Uxt) I
\ L(x) I
JC -►•о.
Поскольку L(yx)/L(x) -► 1 при
г? > 0 находим, что
, то с учетом B.14) при
limsup
7т2&
- 7/(г)Л
а
Тогда из неравенства треугольника
/ЛО
Д*)
I(JC)
- f№dt
- ff(t)dt\.
Следовательно, значение верхнего предела при *-►«> левой час-
части написанного соотношения оценивается величиной
Значит,
limsup
/ДО
L(x)
dt-
что доказывает требуемое утверждение в случае т?>0.
Если т? = 0, то, дополнительно предположив невозрастание L
на бесконечности, непосредственно из B.13) заключаем, что
\]f(t)L(xt)dt\< J\f(t)Uxt)dt<L(yx)];\№\ dt.
У У У
Последняя оценка совпадает с B.14) при т? = 0, и оставшаяся
часть доказательства проводится дословным повторением преды-
предыдущих рассуждений. ■
Теорема 2.7. Пусть заданы неотрицательное число i? и функ-
функция /(г), определенная на полуоси @, °°) такие, что интеграл
•ЛЗ. Е.Сенета
65

сходится при некотором О<0<°°. Пусть L - медленно меня-
ющаяся на бесконечности функция, ограниченная на каждом ко-
конечном интервале из (О,°°). Тогда в случае т?>0 справедливо
соотношение
ff(t)L(xt)dt ~L(x) U(t)dt9 х-«.
о о
В случае tj = O для справедливости этого соотношения достаточ-
достаточно неубывания на полуоси @,°°) функции L.
Доказательство. Из измеримости L на [0,°°) и ее ог-
ограниченности на всех конечных подынтервалах из @,°°) легко
получить существование участвующих в асимптотическом пред-
представлении интегралов.
Зафиксируем теперь произвольное сколь угодно малое (мень-
(меньшее 1) число у>0. Тогда для любого т?>0
| yff(t)L(xt)dt\< yf \f(t)\L(xt)dt<
о о
sup { w^Liw) )yft~r) 1/@1* <
0<w<xy 0
? sup {wT1L(w))n~
0<w<x 0
причем последнее выражение при достаточно больших х оценива-
оценивается сверху величиной
ML(x)yf Гп\№\Я.
о
где число М конечно и не зависит от у. Следовательно,
I у _.JL(xt)dl
У' ~" 1/@1 dt B.15)
о
Оставшаяся часть доказательства проводится по использовав-
использовавшейся выше схеме: сначала осуществляется декомпозиция вида
Их)
lL(xt) \
77Т -ldr
/Л0 77Т ldr+ //(ГOГГ
у \L(x) ) о L(x)
66

затем применяется неравенство треугольника, после чего х устрем-
устремляется в бесконечность, и, наконец, у^ + 0.
Если tj = O, то с учетом неубывания L
I jf f(t)L(xt)dt\< jf \f(t)\L(xt)dt<L(yx) У1 \f(t)\dt,
0 0 0
откуда
У
limsup
L(x)
т.е. мы пришли к соотношению B.15) с т? = 0. Дальнейший ход
рассуждений очевиден. ■
Читатель, ознакомившийся с этим и предыдущим разделами
настоящей главы, по-видимому, заметил, что многие проблемы,
связанные с асимптотическим поведением интегралов, содержащих
правильно меняющиеся функции, разрешаются сравнительно прос-
просто, если воспользоваться следующим весьма ценным свойством
правильно меняющихся функций: для любого ? >0
ху sup {r4(t))~L(x)9 jc-^oo
(см. утверждение 4° раздела 1.5, а также упражнение 1.8). Это
свойство в некоторых случаях позволяет оценить полную вариацию
правильно меняющейся функции на интервале ее определения. До-
Докажем теорему *):
Теорема 2.8. Пусть L - неубывающая медленно меняю-
меняющаяся на полуоси [А, °°) функция, где А достаточно велико. Тогда
для любого фиксированного rj > 0 и всех достаточно больших у
найдется не зависящая от у конечная константа М такая, что
f\d(rr>L(t))\<My-riL(y).
у
Доказательство.
ОО ОО ОО
f\d(rr*L(t))\<ri / r
У У
Для любого € € @,т?)
Л<т? sup {
y<t<-
= т? sup { rn+€L(t) } У'€1 е - w>-* i (у)/ €s у
у < t < «
*) Обобщение этого утверждения можно найти в упражнении 2.11.
* 67

поэтому найдется такая константаЛ/о, что Тх < Мtf nL{y) для
всех у >уо(г1о >€,]%)). Далее,
/a" ] t~4L{t)= / rr*L2(t)L~2(t)dL(t)<
У У
< sup { rV(r) } / L'2(t)dL(t) =
^ < f < сю у
= sup {r42(t) ) [-L"\t)] Г
у < r < - r« у - о
поэтому существует константа Мх такая, что I2<Mxy~r]L(y) для
всех достаточно больших .у.
Объединяя оценки для 1\ и /2, получаем требуемое утверж-
утверждение. ■
2.4. Один класс функций,
связанных с правильно меняющимися функциями
В настоящем разделе мы кратко опишем один класс функций,
введенный Бояничем и Караматой (см. библиографические заме-
замечания и обсуждение к данной главе), различные свойства которого
изучались в последнее время как с общетеоретических позиций,
так и в связи с их применением в отдельных областях теории вероят-
вероятностей, в частности в асимптотической теории экстремальных
значений выборок. Обсуждение начнем на неформальном уровне.
Пусть i - измеримая вещественная положительная функ-
функция на полуоси [А, °°), А > О, а функция/ вещественна и определена
на полуоси [В, °°), где В достаточно велико, причем для всех \х Е S х
Ej — некоторое подмножество @, °°) положительной меры)
существует и конечен предел
lim — -^- =Я(Х). B.16)
Пусть, далее, найдутся подмножество S 2 CSX положительной меры
и число Xi€Si,jvui которых из (#(Xi)=£(), у SS2) следует,
что (\\tisSi9H{\i д) — Н (д) =£()}. Отметим, что эти два требо-
требования сходны с условиями теоремы о характеризации правильно
меняющихся функций.
Лемма 2.2. В сформулированных выше предположениях
кр{х) = Л (х), где R (х) - правильно меняющаяся функция.
68

Доказательство. Для /i € S2
f(nx)-f(x)
<p(*)
Устремив jc в бесконечность, имеем
Я(Х,м) =Я(Х.) Urn
где предел
lim toducyvM-Wfaiiy-HQWlBfri) B.17)
существует для всех д G 52 и положителен (он неотрицателен и не
может быть нулем). Следовательно, воспользовавшись результа-
результатами раздела 1.3, получаем, что <р — правильно меняющаяся функ-
функция, т.е. \р (х) - x°L (х), где число а конечно, L (х) - медленно ме-
меняющаяся функция. (Значит, для любого ц € @,°°) предел,
стоящий в B.17), равен ц°.) ■
Теорема 2.9. Если SbS2,Xb ° - те же> что определены
выше, то функция Н(\) в B.16) конечна для всех X £ @,°°).
Если аФ09тоН (X) = КХ (Ха - 1), где констант КХ Ф 0. Если а= 0,
а функция /, кроме того, измерима на [В, <*>), го
гдг константа К2 Ф 0.
Доказательство. Поскольку 52 - множество положи-
положительной меры, то, использовав известный результат Штейнхауса *),
так же как мы это делали в разделе 1.3, можно найти число О 0,
для которого при всех ХЕ [1,С] найдутся Х2,Х3 €5i такие, что
Х-Х3/Х2. Тогда для любого де [1,С] существует Х2 такое, что
[
/(Хх)-/(*)_ /(XX2(jc/X2))-/(X2(jc/X2))
^W " X?(x/X2)aL(X2(x/X2))
Если обозначить ^ = дг/Х2, то правая часть написанного равенства
есть
и при .у ^°° стремится к конечному для всех X Е [1, С] выражению
\-°{Н(\\2) -#(Х2)} ,таккак!(Х2^) -1(у),ХХ2 е5ь
Теперь осталось распространить полученный результат на слу-
случай произвольного X Е @, °°), для чего применим схему доказа-
*) См. Штейнхаус [83, теорема VIII].
69

тельства леммы 1.5 из раздела 1.3. Пусть фиксированы произволь-
ное-у>0иХ€ [1,С\.Тогда
/(?*)-/(*) _ f(\(yx/\))-f(yxf\)
' (yx/\)a(\/y)°L((k/y)yx/\)
(yx/\f(\/y)aL(O</y)yxl\)
При у = ух/\ правая часть этого соотношения равна
f№-f(y)ЯШу)-№
и при 1 <Х/т <С, у -*<*> стремится к
(Х/гГМЯ(Х)-Я(Х/г)>.
Следовательно, при .Х/С < у <Х, т.е. для всех у из отрезка,
[С, С] существует и конечен предел
lim (<f{yx)-№)b{x))=H(y). B.18)
Jf-ЮО
Повторив это рассуждение к - 1 раз, получим, что B.18) верно
для у е [С""*, Ск\, и поскольку О1,то очевидно, что произволь-
произвольное положительное у может быть накрыто этом интервалом при
достаточно большом к.
Если оФО, то, действуя, как при доказательстве леммы 2.2,
заменив лишь Xj на произвольное X и зафиксировав также произ-
произвольное /i, получим, что Н(\ц) = ц°Н (X) + # 00 • Поменяв местами
X и /i, имеем Н(\ц) = Х°Я (jlc) + Я (X), откуда
Xa#(/i) + Я(Х) = ji°#(X) + #0i),
т.е.Я(Х) A-^а) = Я(А«) A ~Ха). Тогда прим,
#(Х)/A -Ха) = Я0/)/A -/i^^^i = const,
значит,
причем данная формула верна и при Xs 1, а Кх Ф 0, так как#(\,) ^0.
Если оФО, а/ измерима на [В, <»), то Я (X) изверима на @, ») и
(Х)Я(Х)Я0) X0
H) /
Тогда функция ^(Х)=ехрЯ(Х) будет при Х>0 ограниченным,
измеримым, положительным решением функционального урав-
уравнения Гамеля A.14) и по теореме 1.4 имеет вид ехр Я(Х) =ХР,
где р Е (-оо, оо). Отсюда вытекает утверждение теоремы. ■
Громоздкость рассуждений, связанных с 52 и X,, обусловли-
обусловливается использованием леммы 2.2 и необходимостью доказывать
70

правильное изменение функции <р(х). Однако если это свойство
I (х) принять в качестве исходного, то вместо теоремы 2.9 тем же
путем получается следующая
Теорема 2.10. Пусть вещественная функция f определена
на полуоси [£,«>), где В достаточно велико, а <р(х) = x°L (х) -
правильно меняющаяся на И,°°) функция такая, что для всех
X из некоторого множества положительной меры S С @, °°) суще-
существует и конечен предел
Вт о '
*-~ x°L(x)
Тогда предел B.19) существует и конечен для всех XG @,°°).
Если оФ0,то найдется такая константа К t, что
Если а- 0 и функция f, кроме того, измерима на [Я,°°), то для
некоторой константы К2
Теорема 2.11.Пусть выполнены условия случая аФОтеоре-
аФОтеоремы 2.10 *). Тогда, если а< 0, то
где С= lim /(*); если а >0 и, кроме того, f ограничена на всех
конечных достаточно удаленных от нуля интервалах, то
Желание детализировать в отдельных частях приводимое ниже
доказательство естественно привело к его удлинению. Доказатель-
Доказательство опирается на утверждение 4° раздела 1.5 и аналогичное утверж-
утверждение упражнения 1.8 и в силу того, что условие измеримости /
не используется, напоминает рассуждения из раздела 1.7.
Сначала для случая Х = е и аФО воспользуемся соотношением
B.19) в виде
lim т(х + 1) = /Г1(е°-1), КхФО, B.20)
Случай о> 0. Без потери общности можно считать К i > 0
(в противном случае заменим h (x) на —й (x)). Как уже доказано,
•) Соответствующие результаты в случае а«0 можно найти в упражне-
упражнении 2.13.
71

для любых фиксированных у > 0 и достаточно большого D
придг-»°°
sup {tU(r))~xU(x), inf {rU(t)) ~x-">L(x).
B.21)
Выберем D таким, чтобы h (х) была ограничена на всех конечных
интервалах, удаленных от нуля больше чем на D. Тогда
I*]
А(х) = h(D + х - {xj) + 2 Л(г + х- [х] )-Л(г-1 +х- [х]).
Для удобства положим п(х)= [х], 5 (х) = х - [х], 0<5 (х) < 1, при
этом
B.22)
Далее, выберем достаточно малое € > 0 и достаточно большое Д
чтобы при x>Dвыполнялись неравенства
0<A:1(ea-l)-€<r(x)<A:1(ea-l) + €, B.23)
и сосредоточим внимание на поведении при х -+00 функции
r=D+l
которая для всех у € @, а) оценивается сверху выражением
п(х)
e<a-^><r+6<Jf>-1>{ sup
поскольку при wE[Q х-1]
e^wL(ew)<{ sup
Итак, для любого у G @, а)
sup yyL(y)}
<xl
r=D+l

inf у~П(у))
)
B.24)
где последнее неравенство написано по аналогии с предыдущим
и верно для произвольного р > 0.
Заметим, что при т? > 0
п(х) п(х)
2 т1(г+6(хIх + 1) Ti(rw(x))
-l> . B.25)
Устремляя в B.24) хв бесконечность, с учетом B.21) и B.25)
имеем
limsup Т°
x-*oe r=D+l
inf Ъ
—. oo r = D+ 1
-1},
где у и р - произвольные положительные числа, причем у G @, о).
Устремляя 7,рк нулю, получаем, что соответствующий предел при
х-»оо существует и равен ea/(ea-l). Воспользовавшись теперь
соотношениями B.22), B.23) и ограниченностью Л (х) на доста-
достаточно удаленных конечных интервалах, приходим при х -»°° к пред-
представлениям
которые, по существу, и дают требуемый результат в случае а>0.
Случайа<0. Как и ранее, сначала предположим, что #ч (е° -
- 1) >0. На этот раз нам понадобятся имеющие место прих-*°°
для любого 7 >0 асимптотические представления
inf {t4(f)} -x4(xl sup {rU(t))-x-U(x). B.26)
Если существует lim h (x) = С, то из верного для любого целого
положительного т равенства
т - \
2 {Л(х+г+1)-Л(х+г)К B.27)
г=0 73

устремив т к бесконечности, получаем, что
С-Л(х)= £ {h(x+r+l)-h(x+r)} . B.28)
Начнем с того, что, как и при разборе случая а > 0, уясним
структуру слагаемых ряда B.28), а затем докажем существование
предела функции h (х) при х -+°°.
Заметим, что
£ {Л(х+г+1)-Л(х+г)}= £ т(
поэтому, учитывая асимптотические свойства г(х), достаточно вы-
выяснить асимптотическое поведение прих-+°° функции
г=0
Как и ранее, для любых р>0и0>-у>о
sup {у-^Цу)} £ e<a+^>^+r> £
a
inf \у"Цу)) 2
>
откуда при х
{)(
Ке*), id>Of B.29а)
£ {Л(х+г+1)-Л(х + г)) = о(еа^(ех)), ^ -0. B.29b)
Для доказательства существования предела при х-+°° функции
h (x) воспользуемся тем, что из соотношения
-Лчх)= Z {Л(х+г+1)(
вытекает существование предела
оо
lim (Л(х+т)-Л(х))= 2
и тем, что правая часть последнего ряда представима в виде
74

xL (ех) + о (e°xL (е*)). Аналогично, для любого д > О имеем
m-l
r=0
Положим х = д>/и, Л(у)=Л(му) и воспользуемся условием
B.19) для случая а<0, Х>1. Если в вытекающем из B.19)
соотношении B.20) заменить условие X = е на X = ем, то
Далее имеем
lim
B.30)
Обозначим С(х, ц) = lim Л(х + w/li). Тогда
C(x,/i)-C(w,/Li)= lim
m-»eo
s lim {h(x - w + (w
m-»oo
= lim {/(ex-wew+""')-/(ew+m'')} =0
Ш —»
согласно B.19). Следовательно, С(х%ц) есть функция только от
М,С(х,/!)»СО!),иизB.30)
Устремив х к бесконечности, получаем, что С(ц) = С, т.е. то самое
С, которое присутствует в B.28). ■
Следствие. Если ослабить предположения теоремы 2.11,
заменив условие B.19) на B.20), то ее утверждение в случае
а>0 сохраняет силу, а в случае а<0 заменяется утверждением,
что
2 {/(х/+1)-Л^)} «-*|*в£(*) + *(*в1С*)).
В развитой выше теории, за исключением случая а= 0 теоремы
2.10, никаких ограничений на /, связанных с ее измеримостью на
интервале [£,°°), не делалось. Если же ввести эти ограничения,
то мы получим серию результатов из обычной теории (см. раз-
раздел 1.2) правильно меняющихся функций. Следующая теорема,
будучи аналогом теоремы 1.1, обеспечивает для измеримой функ-
функции / равномерную на конечных интервалах сходимость в B.19).
75

Теорема 2.12 (теорема о равномерной сходимости). Пусть
вещественная функция f измерима на полуоси [В, °°), где В до-
достаточно велико, у (х) = x°L (x) - правильно меняющаяся на
[А, °°) функция*) такая, что для любого X G @, °°)
/(Хх)-/(х) = 0(*(дг)), х-. B.31)
Тогда это представление имеет место равномерно ло X € [а, Ь],
где a, b - произвольные фиксированные числа, удовлетворяющие
неравенствам 0<а<Ь<<*>.
Теорема остается справедливой при замене в B.31) О на о.
Доказательство. Применим тот же метод, что и при до-
доказательстве леммы 1.1. Обозначим h(x) = /(е*), тогда для любо-
любого »е (-оо, оо)
И(ц+х)-И(х) = О(ф(х)), х + оо, B.32)
где ф(х) = ^(е*). Мы докажем равномерную сходимость для
/1 Е [0, 1]**>. Предположим противное, тогда найдутся последо-
последовательности {х„ } , хп -+ °°, и {n,t } G [ 0,1 ] такие, что
| h(xn + цп) - h(xn) | /ф(хп) -* оо. B.33)
Определим множества UM N,VM N соотношениями
-И(хп)\/ф(хп)<М Vn>N) B.34a)
Vn>N). B.34b)
Очевидно, что UM N и VM N измеримы и каждое из них обра-
образует монотонно возрастающую последовательность множеств при
росте М или N, более того, UM v, VM^ N t [0, 2J, если М t «> и
N t °°. Выберем М к N настолько большими, чтобы для мер мно-
множеств UM N, VM N выполнялись неравенства m (UM N) > 3/2,
m( VMt N) > 3/2, и заметим, что
где V'M N = VM N + nN (значит, пг(У^ N) > 3/2. Следовательно,
UMt N П V'M^ N Ф ф и существует /i G UM% N такое, что ji G VM% N +
*) Более общие результаты можно найти в упражнении 2.14.
**) Обобщение этого результата на случай де [а, 0| с (-<», <») содержит-
содержится в упражнении 2.15.
76

nN, т.е. ix - fxN e VM N. Для этого ц из B.34а) и B.34Ь) имеем
\h(xN + ц) -h(xN) I/ Ф(х„)<М, B.35а)
\ B.35Ь)
Зафиксировав М для К равного ранее выбранному значению
или же большему его (так как UM N, VMt N монотонно возрастают
по iV, то м остается прежним), получаем, что
откуда по неравенству треугольника
т.е.
\h(xy +/ijv) -h(xN) 11ф(х^)<М(\ + ( ф(Хм + nN) /ф(хп) } ),
и поскольку ф(х) = ур(ех), где ^ - правильно меняющаяся функ-
функция, то теорема о равномерной сходимости правильно меняющих-
меняющихся функций дает нам (с учетом того, что мЛ, Е [0, 1 ]) оценки
•е°), а>0,
а<0,
которые противоречат B.33).
Доказательство теоремы в случае, когда в B.31) символ О
заменен на о, проводится аналогично*). ■
Следующий результат аналогичен лемме 1.2 как по форму-
формулировке, так и по доказательству, и смыкается с теоремами 2.11
и 2.12, показывая, что свойство измеримости влечет за собой
свойство локальной ограниченности.
Лемма 2.3. В условиях теоремы 2.12 найдется число X, X >
> В, такое, что функция f ограничена на всех отрезках вида
[*,*'], Х'>Х.
Доказательст в о. См. упражнение 2.17. ■
В заключение мы получим результат, аналогичный теореме 2.1,
который связывает функции / и L в случае а = 0. Сначала при-
приведем одну вспомогательную лемму, а потом докажем соот-
соответствующую теорему.
Лемма 2.4. Пусть при х > А, где А достаточно велико, опре-
определена функция
/ h(t)L(t)dt, B.36)
xL(x) A
*) См. упражнение 2.16. _

где функция h взята, например, измеримой на [А, °°) и ограни-
ограниченной на всех достаточно далеких от нуля конечных интервалах.
Тогда справедливо соотношение
L(x)h(x)=L(x)T(x)+ /Т(О—Л.
А *
Доказательств о. Из B.36) получаем
L(x)H(x) = L(x)t(x) + x-1 f h(t)L(t)dt. B.37)
А
Беря по частям последний интеграл в равенстве
/ \h(t)L(t)-~ }
A I t A
х dt xt dt
= / h(t)L(t)— - // h<y)L(y)(fy> -3- f
преобразуем его к виду
/ h(t)L(t)— - [ - Г1 / h{y)L(y)dy] Г* -
A t A t*A
- / rlh(t)L(t)dt = x-1 f h{y)L(y)dy.
A A
Подставляя найденный результат в B.37), имеем
поэтому из B.36)
L(x)h(x) = Цх)г(х) + / r@ dt. B.38)
Отметим при этом, что
jT1 / h(y)L(y)dy = / r(r) — dt. ■ B-39)
л a t
Теорема 2.13. В предположениях теоремы 2.10 в случае
о = 0для достаточно большого Аих> А верно соотношение
Lit)
где предел lim 5 (х) существует и равен Я(Х) /1пХ = /С2
78

Доказательство. Мы дважды воспользуемся представ-
представлениями B.36) -B.38). Сначала рассмотрим функцию h(x) =
= f(x) /L (jc) , которая измерима на [А, °°), где А достаточно ве-
велико, и так как \jL - медленно меняющаяся функция, то по лем-
лемме 2.3. Л ограничена на всех конечных подынтервалах из [А, °°).
Обозначим для нее через у(х) функцию t(jc) из B.36). Тогда
* L(t)
f(x) =L(x)y(x) + / 7@ dt. B.40)
A t
Применим снова B.36) и B.38), положив И (х) = 7(*) и счи-
считая, что выполнено требование ограниченности 7(*) на достаточ-
достаточно удаленных от нуля конечных интервалах. Тогда, обозначив
через e(jc) функцию т(х) из B.36),имеем
* L(t)
Д*O(*) = Д*)е(х)+ / 6@ du B.41)
A t
Объединение B.40) и B.41) дает формулу
* ДО
/(*)= / 6@ dt
А *
где Ь(х) = 7(^) + е(*)- Теперь достаточно показать, что 7(*) "*
-► Я(Х)/1пЛ при х -► °°, так как из этого будет вытекать и огра-
ограниченность 7 и, по определению е (jc) , то, что е (jc) -* 0, посколь-
поскольку по теореме 2.1
/ L(t)dtl(xL (х)) ^ 1, х-»во. B.42)
Найдем теперь величину предела lim 7(x) - Из определе-
определения у(х)
L(x)
f{\x)-f(x)
' х
Щ)
после замены переменной в интеграле это соотношение преобра-
преобразуется к виду
f(\x)-f(x) 1 * х
{ / AX/)rff - / Л0А )
L(x) хЦх) A/\ a L(x)
1 * } '
xL(x) A

Далее, (f(Xx) -f(x))/L(x) -+#(X), *-►«>, следовательно, учитывая
B.42), имеем
7 ( ЛХг) -Л')}
Наконец, так как xL (x)-+<*> при дг-*°°, то для любого фиксирован-
фиксированного X > О
(у{\х)Ц\х) -y(x)L(x))/L(x)-+0, *-*«>. B.43)
Из B.39) jf' / f(y)dy = f y(t) dt, поэтому для лю-
а л t
бого X > 0, как и ранее,
1 ь* L(t) 1 ^-v х
I У(П dt = —— { Xх f fiy)dy - f f{y)dy ) =
L(x) ; t xl(x) a a
/ (f(kt) - №)dt + o{\y x
значит,
1 ъ* L(t)
—— f 7@ rff
A(JC) x t
Обозначивy = t/x, имеем
L{x) i xy
откуда
L(x)
Наконец, заметим, что с учетом B.43) и второй части теоремы
2.12, равномерно по у G [ 1, X]
(y(xy)L(xy)-y(x)L(x))/L(x)-+O9
следовательно,
у(х) - Я(Х)/1п X, х -► оо. B.44)
Отметим, что так как мы нигде не использовали явного пред-
представления для Я(Х), а 7 не зависит от X, то соотношение B.44)
еще раз подтверждает справедливость вторых частей утверждений
теорем 2.9 и 2.10.
80

2.5. Библиографические замечания и обсуждение
Теорема 2.1 принадлежит Карамате [32, теорема IV]. В более
современной и несколько более широкой постановке ее можно
найти у де Хаан [72, § 1.2], но доказательство этой теоремы,
приведенное в настоящей работе, существенно отличается от до-
доказательств Караматы и де Хаан. Теорема 2.2 взята из работы
Альянчича и Караматы [7]. Теорема 2.3 (теорема Караматы*))
впервые встречается в работах Караматы [30, 31], но данное
нами ее простое доказательство принадлежит Феллеру [67]. Тео-
Теорема 2.4 в случае р > 0 является, очевидно, осуществленным Фел-
лером [67] обобщением одной теоремы Ландау [45, с. 44-47],
а в случае р = 0 была, по сути, доказана Альянчичем, Бояничем
и Томичем [6]. Теорема 2.5, включая ее ранние версии, снова
принадлежит Карамате [31], но приводимые здесь доказательст-
доказательства ее и предыдущей теоремы, как полагает автор, являются новы-
новыми. Материалы раздела 2.3 опираются в основном на результаты
работы Альянчича, Боянича и Томича [6], хотя теоремы 2.7 и 2.8
снабжены несколько отличными доказательствами. Обобщение
идей, изложенных в этом разделе, можно найти в работе
Вюллемьера [20] и в докладе Боянича и Караматы [16].
В разделе 2.4 мы следовали, внеся некоторые изменения, сооб-
сообщению Боянича и Караматы [15]. Доказательство теоремы 2.12
[15, лемма 1, с. 8], данное в первоисточнике, неверно (на это ука-
указали сами авторы), корректные же варианты доказательства (пуб-
(публикуемое в настоящей книге доказательство опирается на под-
подход Кореваара, ван Аарденне-Эренфеста и де Брюина [38]) были
лично сообщены Е. Сенете Бояничем и Рейтером. В более позд-
поздней работе Эш, Эрдеш и Рубель [85] изучали так называемые
'V-медпенно меняющиеся функции" И (х) такие, что для любого ц
lim ( (h(x + /i) - И(х)Iф)) = 0,
где функция i положительна и убывает. Это в значительной мере
напоминает материалы Боянича и Карамата в случае Кх = 0, а<0
и К2 = 0, поэтому нет ничего удивительного в существенном пе-
перекрывании окончательных результатов.
Наконец, опять в связи с разделом 2.4 отметим, что первые
попытки применения в вероятностной постановке изложенной
в нем теории для случая о= 0 можно найти у Мейзлера [51]. Бо-
Более современная вероятностная постановка тех же проблем дает-
дается у де Хаан [70, 72].
*) Эта теорема является получившим широкое признание обобщением
нескольких теорем Харди и Литтлвуда (см., например, [75]), которые, как
и Ландау [45 ], рассматривали лишь случай, когда L (x) ~const > 0.
4. Е.Сенета 81

Упражнения к главе 2
2.1. Показать, <лго если U(x) - правильно меняющаяся функция по-
порядка а удовлетворяющая условиям теоремы 2.1, то для любого к > -р- 1
lim (xk+lU(x)/ f tkU(t)dt) = p+k + l.
х-+<*> А
(Карамата [32].)
Доказать, что это утверждение остается справедливым и при к = - р - 1
(см.упражнение 1.16), (Парамесваран [52].)
22. Из первой части упражнения 2.1 вытекает, что если U(x) - пра-
правильно меняющаяся функция порядка а > 0, то такова же и функция
(Кохльбеккер [40].)
Доказать, что свойство правильного изменения остается и при а - 0, т.е.
если L (х) - медленно меняющаяся функция, то такова же и функция
/ rlL(t)dt.
А (Парамесваран [52].)
Указание. Воспользуйтесь тем, что t'lL(t) ~t~lLQ(t)t /-*«•, где
функция Г1 L0(t) монотонно убывает (см., например, упражнение 1.20,
а потом вторую часть упраженения 2.1).
Почему очевидно утверждение о том, что для любого б > 0 функция
f t~^l*6^Ht)dt будет медленно меняющейся?
А
2.5. Пусть U - правильно меняющаяся функция порядка р. Доказать,
что при к < - 1 - р и достаточно больших jc существует и конечен интеграл
/ tkU(t)dt.
х
Показать также, что при к < - 1 - р
lim (xk+lU(x)/ftkU(t)dt) = -k-p-l,
х-+ °° х
если в случае к = - 1 - р дополнительно предположить, что при некотором
А>0
Отметим, что если данный интеграл расходится при всех больших Л, то в
этом случае последнее утверждение тривиально.
Наоборот, если для некоторой ограниченной положительной и измери-
измеримой на [А, «>) функции U
xk+xmx)lJtkU{t)dt-+ -**-!, jc- оо,
X
где число - bit - I положительно и конечно, то U - правильно меняюща-
меняющаяся функция порядка р = Д* - к. (де X а а н [72].)
82

2.4. Пусть при некотором фиксированном В > О функция fix) интегри-
интегрируема на всех конечных интервалах вида (а, 0), В < а < /3 < «», и сущест-
существует конечный предел
ton дг" / /(r)cfr = p.
В
Определим функцию pix) соотношением
х fit)
logpOt) = / dt, x>B.
В t
Воспользовавшись п. 2° теоремы 2.2, показать, что pix) - правильно
меняющаяся функция порядка р. (Альянчич и Карамата [7].)
Указание. Задача станет аналитически проще, если доопределить
fix) и pix) на интервале [О, В], положив fix) = 0, pix) = 1, jce [0, В).
Тогда соответствующие интегралы можно будет брать по интервалу [0, jc),
х > В.
2.5. Ясно, что правильно меняющаяся функция pix) из упражнения 2.4
может быть записана при х> В в виде
( х yit) \
р(л)= expjplogjt + / dt + const V,
где функция yit) = fit) -p непрерывна и
Сопоставьте этот результат с выражением для функции pix), доставля-
доставляемым теоремой о представлении. Постройте функцию 7* удовлетворя-
удовлетворяющую приведенному выше асимптотическому условию, но не стремящую-
стремящуюся к нулю при jc->«>.
2.6. Докажите п. 3° теоремы 2.2.
2.7. Обобщите утверждение теоремы 2.4 сначала на случай, когда Щх) =
х х
= / и(г) 4га,а>0>апотом на случай U{x) =/ uiv)dBiv)frn,cBix) =.\сХ(л) -
А Л
монотонно неубывающая правильно меняющаяся функция порядка а, при
этом будет иметь место равенство Uix) = xpLix), p>0.
2.8. Пусть дана последовательность qn, п = 0, 1, 2 а ряд Qis) =
= £ q^sk сходится при 0<s< 1. Тогда, если I - медленно меняющаяся
*=о
функция и при некотором ре[0,<»)
C(s) = (l -s)-pL(l/(l -s)), s\ 1,
то, воспользовавшись тауберовой теоремой Караматы, покажите, что
як1р ),
*=О
если же, кроме того, последовательность { qn } монотонна, то, применив
теорему 2.4, покажите, что
83

т.е., в частности,
Я„ ~ прКп)/Г(р) при р > 0.
Указание. Пусть V - неубывающая функция, определяемая по фор-
х
муле U{x) = / u{t)dt, x> 0, где и(х) =qn, п < jc < п + 1, п > 0. Тоща 6/(л)=
О
я-1
= 2 <7*, п > 1 и
*=0
w(jc) ■ Je-xtdU(t)={(\ -e-*)lx } Z° яке~кх,
о *=о
а последняя сумма есть Q(e~x). (Этот метод доказательства предложен
Феллером [67j.)
2.9. Покажите, что утверждение теоремы 2.6 сохраняет силу и в слу-
случае п » 0, если условие невозрастания функции L заменить на требование,
чтобы L(x) была равномерно отделена как от нуля, так и от бесконечнос-
бесконечности в интервале [С, «О, где С достаточно велико.
2.10. Воспользуйтесь теоремой 2.6 для исследования асимптотического
поведения интеграла
/ f{t)R{xt)dt, jc-oo,
а
где R(x) - xfiL(x) - правильно меняющаяся функция порядка р.
2.11. Докажите, что утверждение теоремы 2.8 останется верным, если L
не предполагается непрерывной неубывающей функцией, но представима
в виде произведения двух непрерывных монотонных функций . (Альянчич,
Боянич и Томич [6].)
2.12. Показать, что для любых фиксированных \ > 1, а < 0 из равен-
равенства
lim ((/(Хдг) -/(*))КхаЦх))) = К,(\° - 1)
следует, что
2° { Я*\г+|) - f(x\r) } =KtxaLW + о(Л(х)), jc - оо.
r=0
2.13. Доказательство теоремы 2.11, связанное со случаем а#0, можно
приспособить для получения ряда результатов, соответствующих случаю
а = 0. Пусть Кг Ф 0, функция / ограничена на достаточно удаленных ко-
конечных интервалах, а функция L обладает некоторыми дополнительными
свойствами (такими, как монотонность).
а) Предположим, что Ш) > const > 0 для достаточно больших х. Тоща
где знаки + и - берутся, если соответственно Кг > 0 и Кг < 0.
Ь) Пусть L(x) не возрастает для достаточно больших х Используя лем-
лемму 1.7 и интегральный признак сходимости Коши, показать, что для дос-
достаточно больших фиксированных Е из сходимости при некотором X > 1
оо оо
ряда £ L{x\) следует сходимость интеграла / {L{y)ly }dy, а из того, что
r=0 E
f {Uy)ly ) dy < -
84

следует, что £ L(x\r) < » для всех X > 1.
г=0
с) Опираясь на последний результат, показать, что если Их) не воз-
возрастает на бесконечности,
l{Hy)ly)dy<-
Е
и существует конечный предел lim f(x) = С *), то {С -fix) }/L(x) -+ ± «> ,
где знаки + и - берутся, если соответственно Кг > О и Кг < 0.
2.14. Обобщите теорему 2.12, потребовав, чтобы изначально B.31) вы-
выполнялось лишь для Хб5,гае S - некоторое множество положительной
меры.
2.15. В доказательстве теоремы 2.12 распространите результат, связан-
связанный с равномерной сходимостью по м ^ [0,1 ] (соотношение B.32)), на
М е [а, /3), - ~ < а < /3 < ~.
2.16. Докажите теорему 2.12, заменив символ О на о.
2.17. Докажите лемму 2.3.
2.18. Пусть выполнены предположения упражнения 2.13 и, кроме того,
функция / на бесконечности измерима. Воспользовавшись теоремой 2.13,
докажите в этих условиях утверждения упражнения 2.13.
Указание. Примените результаты упражнения 2.3.
2.19. Пусть / - такая измеримая на бесконечности функция, что для лю-
любого \>0 конечен предел lim sup ((/U*) -/0с))/(хаМх))).
X-»oo
Докажите, что / ограничена на всех достаточно удаленных от нуля ко-
конечных интервалах. (См. также Д е л а н ж [23].)
*) Если дополнительно предположить непрерывность функции / на бес-
бесконечности, то этот предел существует по теореме Крофта (см. К р о ф т
[42], Кингмен [37]).

Приложеные
ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРАВИЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ
П. 1. RO-меняющиеся функции
Предлагаемое ниже обобщение связано с заменой в A.1) ус-
условия существования предела отношения функций условием дву-
двусторонней ограниченности этого отношения. Число X при этом из-
изменяется лишь в пределах некоторого отрезка, что обеспечивает
равномерность данного свойства.
Определение П. 1. Вещественная, положительная и изме-
измеримая на полуоси [А,°°), А>0, функция К(х) называется RO-
меняющейся на бесконечности, если для любого Хе [\>а] вы-
выполнены неравенства
т<К(\х)/К(х)<М, (П.1)
где константы а,т,М удовлетворяют условиям 0<т<1, 1 <
<Л/<оо, \<а<оо.
Очевидно, что все правильно меняющиеся функции отвечают
требованиям определения П.1, так как в силу теоремы о равно-
равномерной сходимости выбором достаточно большого А можно до-
добиться выполнения соотношения (П.1) для всех допустимых по-
постоянных а, т, М. Более того, произвольная вещественная поло-
положительная, измеримая на [А, °°) функция, которая отделена от
нуля и бесконечности на [А,°°), будет подходить под это опре-
определение даже в случае любого X > 1. Отметим также, что раз-
различные простые осциллирующие функции, которые, как пока-
показано ранее, не являются правильно меняющимися (например,
2 +sin* и х6 {1 + ocsinBtflogjt) }, где а мало), будут RO-меня-
RO-меняющимися функциями (но е* не будет и /^-меняющейся фун-
функцией). Если в определении опустить требование измеримости,
то даже неизмеримые положительные функции, отделенные от ну-
нуля и бесконечности на [А,°°)9 удовлетворят всем оставшимся
условиям приведенного выше определения. Понятно также, что
замена условия измеримости функции К включающим его усло-
условием монотонности К приводит к тому, что одно из двух огра-
ограничений в (П.1), связанных с постоянными ши Д выполняет-
выполняется автоматически. Из дальнейшего будет видно, что можно по-
86

строить даже более общую в некотором смысле теорию, чем из-
излагаемая в настоящей книге, если потребовать выполнения в (П.1)
одного лишь правого неравенства.
jRO-изменение в нуле функции К(х) определяется как jRO-из-
менение функции КЩх) на бесконечности.
Лемма П.1. RO-меняющаяся функция К отделена как от ну-
нуля, так и от бесконечности на любом конечном подынтервале
из [А,<*>).
Доказательство. Из (П.1) вытекает, что при X €
Е [в?, ар] и все* х>А
тр<К(ЬхIК(х)<Мр.
Обозначив f(x) = \о%Це*), получаем, что при ц = log Хе [0, рtoga]
и х>\о%А
plogm < f{x + ц) - f(x) < plogM.
Положив jc0=logi4, имеем для любого /iG [0, р log a]
f(xQ)+p\ogm<f(x0
Следствие. Функция К(х) интегрируема на всех конечных
подынтервалах из [i4.ee) (поскольку она измерима, положитель-
положительна и ограничена сверху, что верно, даже если опустить левое нера-
неравенство в (П. 1)).
Теорема П. 1 (теорема о представлении). Для произволь-
произвольной RO-меняющейся функции К(х) при всех х>А верно пред-
представление
х e(r) \
f—dt\t (П.2)
в t I
где функции т) и е измеримы и ограничены на [А,°°).
Наоборот, если К(х) в некотором интервале [А, °°),А > О, име-
имеет вид (П. 2), то К(х) - есть RO-меняющаяся функция.
Доказательство. Пусть АГ(дсг) — /^-меняющаяся фун-
функция. Тогда на основании леммы П. 1 при х>А функция
6(х)=-— j/lo K{tx))dt
logfl i \ K(x) ) t
измерима и ограничена на И,°°). Значит,
1 a d^
logtf i t '
Поскольку
a dt ax dt ax dt x dt
f\ogK(tx)— = / logK(r)— = / log*(r)— - /log#:(r)— =
1 t x t A t A t
87

aA dt ax dt x dt
= / logA'(r)— + / log#@— - / logA:(r)— =
A t aA t A t
aA dt xt K(at)\dt
A t A \ K(t) ) t '
TO
A t logtf A\ Kit) It '
и представление (П. 2) получается, если обозначить
1 ал dt
logtf(r)—
1
Действительно, -Л<е(г)<Я, где
Л = - logw/logtf, Н = log^f/logj. (П.З)
В обратную сторону утверждение теоремы доказывается три-
тривиальной проверкой выполнения соотношений (П. 1)."
Теорема П.2. Для произвольной RO-меняющейся функции К:
(а) найдутся положительные числа аи & такие, что при у >
>х>Л
у-*К(у) <Мх -"*(*), (П.4а)
тх?К{х)<у&К(у) (П.4Ь)
(можно взять а = #, /J = Л, где Я и Л определяются формулами
(П.3)'>);
(Ь) <)лл всех А:>Л - 1 функция
xkJhlK(x)/J ykK(y)dy (П.5)
отделена как от нуля, так и от бесконечности на полуоси [В, <»)
для любого В>А.
*) Как будет видно из доказательства, это утверждение остается спра-
справедливым, даже если в определении П.1 отказаться от требования измери-
измеримости К, более того, неравенство (П.4а) верно, если в (П.1) оставить лишь
верхнее ограничение на К{\хIК{х). [Соотношения (П.4) показывают, <т>
функция х К(х) "почти убывает*', а функция х&К(х) "почти возраста-
возрастает" на И,*»).] Утверждение (Ъ) было доказано в одну сторону Мал ле ром
88

Обратно, если положительная, ограниченная и измеримая на
полуоси И,°°), А>ОУ функция К(х) интегрируема по Лебегу
на всех конечных подынтервалах из [А,°°\ то выполнение не-
неравенств (П. 4) при некоторых m G @,1), МG A, °°), или же
отделимость функции (П.5) при некоторых к и В>А как от
нуля, так и от бесконечности, означают, что функции К(х) и
/ ykK(y)dy будут RO-меняющимися функциями,
А
Доказательство, (а).Возьмем произвольные у>х >А
и выберем целое число р такое, что хар <у<хар*г. Тогда
m<K(ax?)lK(xav-1)<M, *>=1,...,р,
и тп<К(уIК(хар)<М, откуда, перемножив этир+ 1 неравенство,
имеем
mp+l<K(y)lK(x)<Mp+l9
где р < log(y/x)/logtf. Значит,
следовательно,
m(ylxyogm/\oga <K(y)/K(x
(b). Из неравенства (П. 4а) при а=Н получаем оценку
у~Ихк+нК(у)< МхкК(х)9
проинтегрировав которую по дс£ [А> v], приходим к выводу, что
vk+H+l _Ak+H+l
[v
поэтому при у > В >А
ук+хК(у)
<
У й
fxkK(x)dx
л
л
Аналогично, из (П. 4 Ь) при & = h получаем оценку
mxkK(x)<xk~hyhK(y)f
откуда
у .,*-Л + 1 _ лк-h + l
mfxkK(x)dx<vhK(y)+ <
А " it/? + l
f
А
89

Для доказательства обратных утверждении теоремы сначала
предположим, что функция (П. 5) при некоторых к и В отделена
как от нуля, так и от бесконечности при х> В >А. Обозначая
и(х) = хкК(х) и полагая
е(х)=хи(хI fu(t)dt,
А
после интегрирования функции е (г)/г получаем равенство
х х е(г)
log/ u(t)dt = f —— dt.
A A* t
Х *@
Следовательно, функция / dt имеет вид (П. 2), поскольку
a t
функция е (х) ограничена на [В, °°). С другой стороны, для любого
фиксированного а > 1 и всех ЛЕ [1,в] функция
х\и (хЛ) / хи(х)
при х > В отделена как от нуля, так и от бесконечности, поэтому
такова же и функция и(хХ) /и(х). Значит, К(х) есть /?0-меняющая-
ся функция на [В, <*>).
Далее, если исходить из условий (П. 4), то из доказательства
случая (\?) видно, что функция (П. 5) при любом фиксированном
к > & - 1 и всех х > В > А отделена и от нуля, и от бесконечности,
откуда, как было только что отмечено, получаем, что К(х) и
оо
/ xkK(x) dxdyjxyrRвменяющимися функциями. ■
А
Сравнив теоремы П. 2 и 2.1, нетрудно прийти к выводу, что
многие свойства R вменяющихся функций аналогичны свойствам
правильно меняющихся функций, причем соответствующие дока-
доказательства также аналогичны. Не будем перечислять все сходные
результаты для этих двух классов функций, а приведем лишь ана-
аналог утверждения из упражнения 2.3.
Теорема П.З. Для произвольной RО-меняющейся функции
оо
К(х) при всех к < —Я- \>xG [A,°°) сходится интеграл fykK(y) dy,
а функция х
оо
xk + lK(x)l fy*K(y)dy (П. 6)
X
отделена как от нуля, так и от бесконечности.
90

Обратно, если ограниченная, положительная и измеримая на
[А, °°),А >0, функция К(х) такова, что для нее на [А, °°) опре-
определена отделенная и от нуля, и от бесконечности функция (П.6),
оо
тоК(х) и f yk К (у) dy есть R Отменяющиеся функции. ■
X
Уместно отметить, что поскольку функция (П.5) заведомо
положительна, то при доказательстве утверждения, обратного к
части (Ь) теоремы П.2, для обоснования ЯО-изменения функции
X
f yk К (у) dy достаточно потребовать ограниченности функции
А
(П.5). Это замечание в равной степени относится к функции (П.6)
из теоремы П.З.
П.2. Порядок изменения
Очевидным недостатком изложенного метода является не-
невозможность выделить понятие, аналогичное понятию порядка
правильно меняющейся функции. Этот недостаток можно частично
компенсировать, если воспользоваться аппаратом теории слабо
правильно меняющихся функций (см. раздел 1.7).
Определение П*.2. Положительная определенная на [А,«>)
функция Н называется А-функцией, если для всех X > 1
0<#Х)= Ит sup(И(КхI И<*))<оо (П.7)
и называется А-функцией, если для всех X > 1
0<^(Х)= lim inf(#(Xjc)/#(jt))<oo.
"~ х-+<*>
Лемма П.2. Если А-функция (А-функция) Н отделена от
нуля и бесконечности на всех достаточно удаленных конечных
интервалах, то у (X) > Хр (*£ (X) < Хр) при всех X > 1 и некотором,
быть может, бесконечном р.
Доказательство. Согласно лемме 1.12 из ограниченности
функции h (x) на каждом достаточно удаленном отрезке и выполне-
выполнения условия
lim sup (h(x + \)-h(x))= s
X — оо
вытекает, что, каково бы ни было конечное s,
lim sup (Л (*)/*)< s.
X -»• оо
Точно так же ограниченность снизу функции И (х) на каждом
достаточно удаленном отрезке и выполнение условия
liminf (Л(* + 1)-Л(*))= t
91

влекут за собой утверждение
ton inf (Л (*)/*)>/.
Jf-*oo:
Положим h (х) = logH(e x). Тогда условие отделенности функции Н
от нуля и бесконечности равносильно ограниченности h (x) снизу и
сверху. Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, которые исполь-
использовались при доказательстве теоремы 1.7. Завершаются они дока-
зательством для функции А соотношения
р = tonsup(log#(jt)/ log*)< logip(X)/logX, X > 1,
X -+ oo
и аналогичного соотношения для функции А* ■
Определение П.З. Положительная определенная на [А,<*>)
функция И называется V-функцией, если для всех Х< 1
О < ф(\) = ton sup (Н(Кх)/Н(х)) < oo,
и называется V-функцией, если для всех Х< 1
О < j£(X) = ton inf (H(kx)IH(x)) < oo.
Лемма П.З. £слм V-функция (^-функция) Н отделена от
нуля и бесконечности на всех достаточно удаленных конечных ин-
интервалах, то ф (X) >\° (^ (X) < Xе*) привсех Х< 1 и некотором о.
Доказательство. Если Н — это V-функция (V-функция),
то, возведя отношение Н(Хх) /Н(х) в степень - 1, получим Д-функ-
цию (А-функцию) с заменой Хна 1Д, и требуемый результат будет
вытекать из леммы П.2 с о = р.
Следствие. Пусть положительная определенная на [А, о°)
функция И ограничена на всех достаточно удаленных конечных ин-
интервалах. Если И- это А-функция и ^-функция, то
ton sup (H(Kx)IH(x)) > Хр, X > 1,
X "*■ oo
ton inf (H(kx)IH(x)) < Xp, X < 1,
X -* oo
лрм некотором р. Аналогичный результат верен для функции Н,
являющейся А-функцией и V'-функцией.
Более конкретные результаты могут быть получены при наложе-
наложении дополнительных ограничений на функцию Я, например огра-
ограничений на функцию i. Ограничения, присутствующие в формули-
формулируемом ниже результате, достаточно разумны, по крайней мере
в случае монотонной функции Я, когда i также монотонна. Более
подробно обобщенные монотонные правильно меняющиеся функ-
функции будут обсуждены в следующем разделе.
92

Лемма П.4. Если функция у (X), соответствующая А-функ-
ции Н, измерима на [1, °°) или отделена от нуля и бесконечности
на всех достаточно удаленных конечных интервалах, то для некото-
некоторого конечного р"
ton log у (X) = р,
так что при всех е > О, X > Хо (б),
Х-С<Х^^(Х)<Х€. (П.8)
Доказательство. Из (П.7) имеем при X, д > 1
Сделав традиционную замену (см. лемму П.1)
iK*)=tog
находим, что
*(а + 0)<*(а) + *@), a,0>O, (П.9)
где функция ф конечна и, по предположениям леммы, либо изме-
измерима на [1, °°), либо ограничена на всех конечных достаточно
удаленных интервалах, кроме того, в силу (П.9) она полуаддитив-
полуаддитивна. В силу общих свойств функций такого рода (см., например,
[79]) существует конечный предел lim (tf/(f)/f).
t -♦ оо
Очевидно, что аналогично может быть доказано существование
конечного предела lim log (jp (X) /logX) =jd для функции ^р(Х).
Случай, когда р = 0 = р, может рассматриваться как естественное
обобщение понятия медленно меняющейся функции в силу спра-
справедливости неравенств (П.8). Весьма близким к этому случаю
оказывается еще один вариант обобщения понятия медленно
меняющейся функции. Определенная на полуоси [А, <*>) измеримая
положительная функция К(х) называется SO-меняющейся на беско-
бесконечности, если существуют такие положительные постоянные с. С,
что для всех X > 1 выполняются неравенства
О < с < lim inf (К (Хх)/ К (х)) <
X -*> оо
< lim sup (К (\х)/К (х)) < С < «.
X -* оо
ДО-меняющаяся функция, подчиненная условиям (П.1), данно-
данному определению также удовлетворяет.
93

П. 3. Монотонность. Мажорируемое изменение
Изучением монотонных /^-меняющихся функций в теории
вероятностей занялись недавно, причем без ссылок на теорию RO-
меняющихся функций (как, впрочем, и на другие обобщения пра-
правильного изменения, что привело к значительному дублированию
известных общих результатов в частном случае монотонных функ-
функций), назвав эту тематику исследованием мажорируемого изменения.
Определение П.4. Положительная монотонная на [А, °°)
функция называется мажорируемо меняющейся на этом интервале,
если для некоторого фиксированного числа Хо > 1
lim sup (K(\ox)/K(x)) < <*>, если К не убывает, (П. 10а)
X -► оо
lim sup (К(х/ Хо У/К(х)) < <*>, если К не возрастает. (П. 10Ь)
X -♦ оо
ЛеммаП.5. Определенная в интервале [А,°°) функция к
будет мажорируемо меняющейся тогда и только тогда, когда она
является ЯО-меняющейся на бесконечности в некотором интервале
\В,<*>\В>А.
Доказательство. Если мажорируемо меняющаяся функ-
функция не убывает, то для достаточно больших В и произвольных
[]
0<ш< 1 <К(Хх)/К(х)<
где М = lim sup(K(Хо х)/К(х)) + 5, 6 > 0, — произвольное фиксиро-
х -* °°
ванное число.
В случае невозрастающей мажорируемо меняющейся функции К
limmf(K(\0x)/K(x))>0,
и далее работает та же схема доказательства.
Обратное утверждение леммы является тривиальным следст-
следствием определения /?0-меняющейся функции. ■
Заметим, что для монотонной функции К функция е(/) из
теоремы П.1 может быть взята знакопостоянной.
При наличии монотонности теоремы П.2 и П.З приобретают
следующую более изящую форму.
Теорема П.5. Пусть функция К положительна и монотонна на
И, оо).
(А) Если К не возрастает, то
(а) необходимым и достаточным условием ее мажорируемого
изменения является существование чисел ш €@, 1),0 >0, В > А
таких, что для всех у>х>В

(можно взять 0 = h = - log w/log Xo);
x
(b)функция f у' K(y)dy при k+ 1 >0является мажорируемо
л
меняющейся на полуоси [В, °°),где В>А\
(с) необходимым и достаточным условием мажорируемого
изменения функции К является выполнение при некотором к > - 1
неравенства
О < i = lim inf (хк + ! K(x)l J ykK(y)dy). (П. 12)
*-*°° А
(В) Если К не убывает, то
(a) необходимым и достаточным условием ее мажорируемого
изменения является существование чисел М G A, «>), а > О, В> А
таких, что для всех у>х>В
у'аК(у)<Мх'аК(х)
(можно взять а = Н - log M/log Xo).
оо
(b) если интеграл fykK(y)dy сходится, то он при к > - 1 является
X
мажорируемо меняющейся функцией;
(c) необходимым и достаточным условием мажорируемого
изменения функции К является выполнение при некотором к > - 1
неравенства
0< м= lim inf (х* + 7
стоящий в знаменателе интеграл сходится.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждение (А), в
котором новым по сравнению с изложенными выше результатами,
по существу, будет только (Ь). При х > В > А имеем
О <хк + lK(x)lf ykK(y)dy <
А
< хк + lK(x)l {K(x)f ykdy} = (к + 1I {\ -(А/ В)}к + 1.
А
Действуя далее, как при доказательстве обратного утверждения
X
теоремы П.2, получаем, что функция / ук + lK(y)dy является RO-,
А
а значит, и мажорируемо меняющейся на [В, °°).
Достаточность условия (с) как следствия свойства (Ь) устанав-
устанавливается почти дословным повторением соответствующей части
95

доказательства теоремы П.2. Тогда по теореме П.2 мажорируе-
мажорируемое изменение К(х) влечет соотношение (П. 11), которое в
свою очередь приводит к (П. 12), что и завершает цикл имплика-
импликаций. ■
Теми же методами доказывается
Теорема П.6. (А) Пусть выполнены условия части (В) теоре-
теоремы П.5. Тогда для мажорируемого изменения функции К необхо-
необходимо и достаточно, чтобы при некотором к > - 1 выполнялось
соотношение
т = lim sup (xk + lK(x)l f ykK(y)dy) < «.
х -+ « А
(В) Пусть выполнены условия части (А) теоремы U.S. Тогда для
мажорируемого изменения функции К необходимо и достаточно,
чтобы при некотором к > - 1 выполнялось соотношение
оо>Ц =lim sup (xk + 1K(x)/jrykK(y)dy),
х-*°° х
если стоящий в знаменателе интеграл сходится.
Условия теоремы П.6, очевидно, являются достаточными для
X оо
мажорируемого изменения функций f ykK(y)dy и / ykK(y)dy
л х
соответственно.
Таким образом, теория мажорируемо меняющихся функций
усиливает лишь немногие результаты теории ДО-меняющихся
функций, причем подобную картину естественно ожидать и в
самом общем случае. Тем не менее вероятностные приложения,
связанные с мажорируемо меняющимися функциями, предостави-
предоставили всей теории еще одно направление для дальнейшего разви-
развития. Коротко говоря, в этом аспекте особое внимание уделяется
связи неубывающей на [А9 °°) функции К(х) с поведением функ-
функций
o
Up(x)= f y-pK(dy), Vp(x)=f yPK{dy), P>0,
x-0 Л+0
первая из которых предполагается конечной. Выше уже рассматри-
рассматривались интегралы вида
SP(x)- }у-р~lK(y)dy, Tp(xLyp
х А
связь которых с функциями Up, Vp легко устанавливается интегри-
интегрированием по частям:
PSp(x) = Up(x) + х'РК(х - 0), (П.Йа)
рТр(х) = - Vp(x) + хрК(х + 0) + const. (П.14Ь)
96

Используя эти соотношения, нетрудно убедиться в том, что для
выяснения интересующих нас зависимостей можно воспользоваться
ранее полученными результатами, предварительно отметив одно
важное свойство функции К - то, что в данном случае
ton у'рК(у + 0)= ton у"рК(у -0) = 0.
у-+оо д,-юо
Теорема П.7. (А) Для того чтобы положительная неубываю-
неубывающая и непрерывная слева на [А, °°) функция К (дг) была мажорируе-
мажорируемо меняющейся, необходимо и достаточно выполнения при некото-
некотором р > О неравенства
Z = ton inf (x'pK(x)/Up(x)) > О (П.15а)
(знаменатель предполагается конечным). Для мажорируемого
изменения функции Up(x} необходимо и достаточно выполнения
неравенства
7 = ton sup (x'pK(x)/Up(x)) < оо. (П.15b)
X -*■ »
(В) Для того чтобы положительная неубывающая и непрерывная
справа на [А, °°)функция К(х) была мажорируемо меняющейся,
необходимо и достаточно выполнения при некотором р > 0 нера-
неравенства
v^tim \nf(xpK(x)IVp(x))> 1. (П.16)
X -* op
Доказательство. В случае (А) из (П. 14а)
PSp(x)l(xpK(x)) = Up(x)HxpK{x)) + 1. (П.17)
Найдя верхний предел при х-»<*>обеих частей равенства (П.17),
можно убедиться в том, что по теореме П.5 (В), (с) крите-
критерием мажорируемого изменения функции К будет условие
(П. 15а).
При изучении функции Up (x) удобно доопределить ее, положив
К (дг) « К (А) при хе[ОуА]. Интегрируя по частям, имеем
Pfyp-lUp(y)dy=xpUp(x}*K(x)9
о
откуда
t/p<jc) '
97

поэтому
limsup ■ < ©о «=> limsup
значит, условие 7 < °° является по теореме П.5 (А), (с) критерием
мажорируемого изменения невозрастающей функции Up(x)-
В случае (В), помня о неубывании К(х), из (П.14Ь) получа-
ем, что
. г РТр(х) Vp(x)
lim inf = 1 — Inn sup —--- .
*-~ хрК(х) *-~ хрК(х)
Следовательно, по теореме П.6 (А) критерием мажорируемого
изменения функции Up(x) будет условие (П.16) .■
ПА. Библиографические замечания и обсуждение
Понятие КО-меняющейся функции принадлежит Авакумо-
вичу [1]. Теоремы П.1 и П2, развивающие идеи Авакумовича,
были доказаны Караматой [33, 34], хотя они формулировались
им не в приведенной здесь общей форме. Лемме П.1 и теореме П.1
соответствуют леммы 2 и 3 из работы Боянича и Сенеты [18].
Большая часть раздела П.2 написана под влиянием, к сожалению,
забытой, но глубокой и важной работы Матушевской [49] (осо-
(особенно § § 1.6, 2.5), которую мы уже широко использовали ранее
в этой книге. Английское издание настоящей книги содержало
ошибочное доказательство леммы П.2, связанное с необоснован-
необоснованностью измеримости некоторых множеств, при этом использо-
использовались результаты Летака [46]. Тематика теоремы П.7 (А) и мажо-
мажорируемого изменения монотонной функции К развивалась Фел-
лером [68, 69] в связи с вероятностными приложениями. Само
понятие мажорируемого изменения возникло ранее, например
уже в работе Красносельского и Рутицкого [41] (особенно гл. 1,
§ 4 и далее) можно найти в другом контексте некоторые не при-
приведенные нами свойства мажорируемо меняющихся функций.
Работа Бари и Стечкина [10] также содержит ряд материалов об
/?0-меняющихся функциях.
Из общих соображений небезынтересно отметить, что Кара-
мата родился в Загребе, Югославия, 1 февраля 1902 г., он начал
свои плодотворные занятия математикой в 1922 г. в Белграде,
в то время как Феллер родился 7 июля 1906 г. в Загребе, в
1923—25 гг. обучался в Загребском университете, после чего
покинул Югославию. Феллер [67—69] целиком признавал заслу-
98

ги Караматы в создании теории правильно меняющихся функций,
но, видимо, не связывал его имени с идеей мажорируемо меняю-
меняющихся функций (т.е. в основном с понятием RO-меняющихся
функций), делая ссылки лишь на Авакумовича, хотя приведенные
выше данные указывают на то, что Феллер мог бы быть знаком
с работами Караматы [33,34] *). По иронии судьбы статья Феллера
[68] "Односторонние аналоги понятия правильного изменения в
смысле Караматы" помещена в томе L'Enseignement Mathematique,
посвященном памяти Караматы причем в публикуемом там же
некрологе Томич приносит извинения за то, что Бари и Стечкин
не были знакомы с работами Караматы по /?0-меняющимся функ-
функциям. Смерть Феллера последовала вскоре за смертью Караматы.
*) В связи с теоремой П.2 и последующими библиографическими заме-
замечаниями автора мы считаем полезным отметить тот факт, что функции,
удовлетворяющие условиям (П.4а), (П.4Ь) рассматривались Келдышем
[37*] при решении ряда задач спектральной теории операторов. В последо-
последовавших за работой Келдыша исследованиях советских математиков стало
принятым называть функции со свойствами (П.4а), (П.4Ь) или аналогичны-
аналогичными им функциями типа функций Келдыша (Примеч. ред.).

ДОПОЛНЕНИЯ
(В.М. Золотарев, И.С Шиганов)*)
В монографию Е. Сенеты вошел обширный, но далеко не весь мате-
материал, относящийся к свойствам правильно меняющихся функций и их обоб-
обобщений. Впрочем, автор и не ставил перед собой такой задачи. В процессе
подготовки перевода у нас возникло желание несколько расширить круг
вопросов, затронутых в книге. В результате было подготовлено (с любез-
любезного согласия автора) настоящее дополнение. Оно естественным образом
делится на две части. В первую - разделы А и В - вошли сведения, касаю-
касающиеся функций одной переменной, а во вторую - раздел С - некоторые
начальные сведения о правильно меняющихся функциях нескольких пе-
переменных.
Источником приводимых в разделе А фактов, относящихся к правильно
меняющимся функциям с остаточным членом (теоремы А.1.1-А.2.5 и
А.3.1-А.З.З), послужила работа Альянчича, Боянича и Томича [5]. Материал
раздела В почерпнут из работы Эша, Эрдеша и Рубеля [85]. Раздел С напи-
написан на основе результатов работ Якымива [87*, 89*]. Носящая иллюстратив-
иллюстративный характер теорема А.2.6 добавлена нами.
А. МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ
С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ
АЛ. Определение и основные свойства
Определение. Рассмотрим заданную на полуоси [0, °°) положи-
положительную возрастающую функцию <i (x), обладающую следующими свой-
свойствами :
1) <*>(*) -*«>,если х-*00.
2) Для некоторого положительного числа в и некоторого, положитель-
положительного числа X (зависящих, вообще говоря, от <р) функция х~в*р(х) явля-
является невозрастающей на полуоси [ЛГ, °°).
Положительная измеримая функция L (х), определенная на [0, °°), на-
называется медленно меняющейся с остаточным членом <р, если для каждого
X > 0 имеет место асимптотическое представление
1(\х)Ц(х) = l + 0(l/*(x)), jc-oo. (А.1.1)
Класс медленно меняющихся функций с остаточным членом <i, где функ-
функция <р подчинена условиям 1) и 2), мы будем в дальнейшем обозначать К (у).
♦) Части А и В дополнений написаны И.С. Шигановым, часть С - В.М. Зо-
Золотаревым.
too

Соотношению (АЛЛ), как нетрудно убедиться, можно придать следую-
следующую эквивалентную ему форму:
] = 0Ц). *-~.
Аналогия между этим свойством и свойством, определяющим класс функ-
функций Боянича - Караматы (см. раздел 2.4) очевидна. Одновременно срав-
сравнение этих соотношений показывает, что соответствующие им классы функ-
функций лишь пересекаются, не включая полностью один другого.
Поскольку рассуждения при доказательстве некоторых дальнейших ут-
утверждений оказываются очень близкими к тем, которые проводились в
основном, тексте книги, то мы сочли возможным их не воспроизводить,
ограничившись соответствующим пояснением.
На протяжении дополнения А для лучшей обозримости формул будем
пользоваться обозначениями
г (X, jc) =L(\x)/L (*), q(x) = log/, (х) £/(x, x) = log/- (X, x).
Теорема АЛЛ (теорема о равномерной сходимости). Если функция
L е К{$) ,то соотношение (АЛЛ) справедливо равномерно по Хна каждом
отрезке прямой, т.е.
sup{|r (X, jc) - 1|: X G [at b] } = 0(l/*(*)), *-•••
где 0< a< b < ~.
Читатель без труда докажет теорему АЛЛ, опираясь на схему доказатель-
доказательства теоремы 2.12. В качестве комментария отметим, что предположение
об измеримости функции- L необходимо для справедливости теоремы АЛЛ,
в то время как невозрастание функции х~в*р(х) нигде не используется..
Теорема АЛ.2 (теорема о представлении). Определенная на [О, «)
положительная измеримая функция L принадлежит классу К (у) тогда и
только тогда, когда найдется такое число В > 0, что для всех х> В
х
q(x) =i7(jc) + Se{t)t'4t, (АЛ.2)
где функции г\ и е ограничены, измеримы на [В, ~) и при х-+<*>
п(х}
Доказательство. Покажем сначала, что если функция L G К(*р).
то найдется такое число В > 0, что функция q (x) ограничена и, следова-
следовательно, интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь]. Заметим, что
I U(t, х)\ < 2|г (f,jc) - II, так как I log A +u)l<2|u|. и > -1/2. Тогда
по теореме АЛЛ существуют такие числа М > 0 и В > 0, что при х > В
sup{\U(t, x)\: r e[l,2]}< Af. (A.I.4)
Зафиксируем произвольный отрезок [а, Ь] и выберем итак, чтобы \<Ь/а<:
< 2п. Нетрудно убедиться в справедливости оценок
sup(l9(')l: re [a, b]}< sup{\q(at)\: re 11,2"]} <
л-1
< £ sup{|<7@')l: /€ [2*. 2*+1]}<
л-l «-1
< 2 sup{|t/(r, 2*)|:re[ 1, 2] >+ 2 \qB*a)\ <
k=0 k=0
\qBka)\
101

Продемонстрируем теперь справедливость представления (А. 1.2) для про-
произвольной функции L G К{$). Зафиксируем число \0 > 0- Из интегриру-
интегрируемости q(x) на [В, <») вытекает, что в том же интервале можно рассмотреть
функцию
К
6(х) = log-!\0/ UU, x)txdt.
1
Тогда q(x) = 6 (х) + log ! \0 / q Цх) t'ldt. Так как
1
f q(tx)txdt = f q(t)t-xdt - f q(t)t'xdt =
I В в
^QB x
= f q(t)t-xdt + / t/(\0, t)tx dt,
В В
то
\0B х
q(x) ={log-!\0 / q(t)t-xdt + б (jc) } + log-!\0/ U(\o, t)t'xdt =
В в
= r\{x) + e(jc). (A.1.5)
Представление (А.1.2) получается теперь из (А.1.5) и теоремы А. 1.1. ■
Отметим, что второе предположение о функции i из ее определения
используется лишь при доказательстве обратного утверждения теоремы
А. 1.2, которое несколько уточняется в следующей лемме.
Лемма А.1.1. Пусть функция /, удовлетворяет условиям теоремы
АЛ.2, Тогда:
1) Если зафиксировать произвольное число а > 0, то найдутся такие
не зависящие от \и х числа Ма и Ва > В, что для всех х > Ва и \ е 11, «*
|r(xf х) - II <Маа
2) Если зафиксировать произвольное число 0 > 0, то найдутся такие не
зависящие от \и х числа Мр и Вр > В, что для всех х > Вр и \S [Вр/х, 1]
I г (X, х) - 11 < Mfi \~0fo (х).
Доказательство. По предположению, для любых х > В, \ > О
\х
U(\, х) =тК\х) - т](х) + / e(t)t-xdt, (A.1.6)
х
и найдется такое число К, что при х > В
\ п (х) - с \ < Kfo (х), I е (х) | < Kh (х). (А.1.7)
1) Пусть X > 1, х > В, В силу возрастания у
\х
U(\, х) < Iti(Xx) -c\ + |с- т](х)| + / \e(t)\t'xdt <
х
\х
< Kfo (х х) + Kit (x) + К J t -x * "! (t)dt < К{2 + log X) /*> (х).
д:
102

Так как I ех - 1| < |х| е1 *'. то из (А.1.6) и (АЛЛ) следует, что
< 2* A
Поскольку sp (х) — oo, x — oo, то найдется такое Ba > В, что £/<? (х) < а/2 при
х > Ва. Значит, при х > Ваи\ > I
2) Пустьх > ВиВ/х< \< 1.Из (А.1.6) и (АЛЛ) следует,что
I U(\tx)\ < КB - Iog\)/^(\x). (АЛ.8)
Так как (\х)~в*(\х) >х~в*(х), то \/*(\х) < Х/^(х). Следовательно,
I U(К х)\ < КК^Ц - log\)/^(jc). (АЛ.9)
Так как К/#(Вр) < (/3-0)/2 при достаточно больших В$ > В, то при
х > Врн Вр/х < \ < 1
\U(x,\)\< @-O)B-\og\)/2.
Используя последнюю оценку вместе с (АЛ.9), получаем неравенства
|г(\,х)-1| < \U(Kx)\ exp(| U(Kx)\)<
что и требовалось доказать. ■
Теорема А. 1.3. Определенная на [0, °°) положительная измеримая
функция L принадлежит классу К{$) тогда и только тогда, когда найдутся
такое число В > Ои положительная дифференцируемая на {В, <») функция Л,
удовлетворяющая условию
что
Доказательство. Если L е К (^), то по теореме АЛ .2 при х > В
L (х) = Л (х) exp (tj (х) - с),
гае
e{t)rldt} .
х
В
Очевидно, что данная функция Л удовлетворяет всем требованиям теоре-
теоремы А.1.3. Обратно, если Л удовлетворяет условиям теоремы А.1.3, то, опре-
определив при х > В функции
т, (.Y) = Ioga (X)/ Л (X)) + logA (В) ,
нетрудно проверить, что
х
S
В
а функции tj и е отвечают требованиям теоремы А.1.3, следовательно,

Теорема АЛ.4. Пусть положительная измеримая на [0, °°) функция L
такова, что для некоторого 0 > О
оо
f L(t)t-P-ldt< ~.
1
Тогда
оо
f r(t.x)t~P~ldt= l/0 + 0(l/*(x)), х-оо, (АЛЛО)
1
в гам и только том случае, когда L е
Доказательство. Из (АЛЛО)
Обозначим Fp(x) «//.(/) r&"xdt, g(x) = Iog(x^7^ (*)). Тогда, как не-
трудно проверить,
^ х-оо, (АЛ.11)
Если \ > 1, то из возрастания функции <i, согласно (АЛЛ 1), имеем
Ах
1/\(*I < Kf Г1*1 (t)dt< К*1 (x)logX.
х
Тогда из (ДЛ Л 2) и неравенства
|е"- 1|< \u\e{ul (A.
получаем оценку
Еслихе @t 1),то
х
\J\(x)\<Kf t"spl {t)dt< AV1 (\x)log(l/\)
Ax
и из невозрастания функции х~в$ (х) вытекает, что
\J\(x)\ < КХ~в*
т.е. асимптотическое соотношение (А.1.14) верно и при \е @, 1). С учетом
(АЛ.11) и (А.1.14) получаем, что при х-> «для любого X >0
следовательно, L eiT(^). Пусть теперь L еИГЫ- Зафиксируем числа 0 <
104

< a < 0 и применим лемму АЛЛ. Тогда
00 оо
\fr(t,x)t~l~0dt- 1/0|< f\r(t.x)- \\t~&~xdt<
1 1
откуда и следует (АЛЛО). ■
Аналогичный результат для отрезка [0, 1 ] выглядит следующим образом.
Теорема АЛ.5. Пусть L - такая положительная измеримая на [О, оо)
функция, что для всех х > О и некоторого a e @, «>)
х
fL(r)ra-ldr< оо.
о
Тогда, для того чтобы L е К (у), 0 < в < а, необходимо и достаточно вы-
выполнения соотношения
1
fr(t,x)ta~ldt= 1/а + 0AМ*)), *-^~. (АЛ.15)
О
Доказательство. Из (А.1.15)
О
Если, как и ранее, обозначить
х
Fa(x) = JL(r) ta~l dt, g(x) =
О
то
Xx
= / (L(r)ra/Fa(r)-a)rl dt
x
Если\ > 1,тоиз (АЛЛ6)
|/х(х)|< AV1 (x)logX, (А.1Л7)
откуда
Еслихе @, 1),то
и доказательство достаточности утверждения теоремы АЛ .5 завершается по
аналогии с теоремой А. 1.4. Для доказательства необходимости воспользуем-
воспользуемся второй частью леммы АЛЛ. Выберем такие числа 0 < в < 0 < аи Я я, что
105

при х > Вр и Вр/х < г < 1
Тогда при х > N
\Jr(r,x)ta~ldr- l
p
jf |/-(r,jc)- \\ta~x dt+MQspl (x) f ta~P~l dt
О О
В*
а/ *1
О
l {x) i
О
и мы приходим к соотношению (А. 1.15), так как х°^в L (х) -* « прИ х —«
для любой медленно меняющейся функции £, что и требовалось доказать. ■
Следующие два результата могут быть легко получены из теорем А. 1.4 и
А. 1.5, поэтому мы ограничимся лишь их формулировкой.
Теорема А.1.6. Пусть f - положительная измеримая на [0, «) функ-
функция и при некотором 0 > О
Для того чтобы f{x) была представима в виде
необходимо и достаточно выполнения асимптотического соотношения
Hitx) f'l(x) t~&~ydt = ЦМв + O(llo(x)), х - «о.
1
Теорема АЛ.7. Пусть f - положительная измеримая на [0, °°) функ-
функция и при некотором а > 0 и всех х > О
О
Для того чтобы f была представима в виде
fix) = хм*-а L (x), L €= Kb), 0 < Ma < ~,
необходимо и достаточно выполнения асимптотического соотношения
S fitx)f'1 (х)г* ldt
106

Теорема АЛЯ.Положительная измеримая на [О, °°) функция L при-
принадлежит классу К(ур) тогда и только тогда, когда при дс — «> для некото-
некоторого М>0
: t>x) -(l+0(l/rfx)))£(x) (АЛ.19)
(АЛ.20)
где
х
Ф(х) = / u-l^l{u)du, x>B. (АЛ.21)
В
Доказательство. Пусть 1<=К(у)н\ с(х) | < М/<р(х), х >В. Для всех
у > х > В по теореме АЛ .2 получаем оценку
У У
= схр {r\iy) -tj(x)+ f e(u)u~ldu -M f u~l
X X
Значит,
): t>x) «
откуда и следует (А. 1.19). Доказательство соотношения (АЛ.20) прово-
проводится аналогично.
Докажем обратное утверждение теоремы. Согласно (АЛ Л9) при \ > 1
\х
т.е. г(\, х) < 1 +Л/1М*))ехр{ М f м^'1 (u)du }. В силу справедливости
оценки х
Хх
S u'l<p-l(u)du<v-l(x)\og\
х
легко убедиться, что
lim sup ((г(\, х) - 1)^(х)) < «. (АЛ.22)
Далее, воспользовавшись (АЛ.20), найдем, что при \ > 1
еМф^ЦХх) > ( 1 -MlMx))Hx)eM*<*\
т.е.
Хх
r(\,x)>(\ -Af1/^(x))exp(-Af / к'V1 («)</«).
107

Мы можем взять такое число Хх, что 1 - MJ#(х) > О при всех х > Хх .Тогда
lim inf ((r(X, x) -
т.е. для всех X > 1
r(X,JC)=l+O(l
Если \G @,1],то
= 1/A + О(Ш(х))) =
так как # (Хх) > \в <p(x) для достаточно больших х по свойству 2) функ-
функции ур. Следовательно L&K (ч?).«
А2. Теоремы абелева и тауберова типа
Сначала мы рассмотрим асимптотику интегралов вида
I оо —оо
/ k{t)L{xt)dt, f k{f)L{xt)dt% f k(t)L(xt)dt.
0 t t
где к - измеримая функция, L е К (^), а последний из интегралов определяет-
Т
сякак lim / k{t)L{xt)dt.
Теорема А.2.1.Пусть вещественная функция к измерима на [1, °°)
и для некоторого р > 0
оо
/ t<>\k{t)\dt<<*>. (A.2.1)
1
Если L € K(sp),TOдля достаточно больших х
оо
f\k(t)\L(xt)dr<oot (A.2.2)
1
/ k(t)r(r, x)dt = / k{t)dt + O(\lsf{x))y x -+ «. (A.2.3)
1 1
Доказательство. Представив интеграл (А.2.2) в виде
7 \k{t) \L{xt)dt =x? |*(Г) | (jcr) -fiL{xt)dt,
1
нетрудно заметить, что он оценивается сверху величиной
оо
A-^sup {u~pL{u): u>x) f f \k{t) \dt,
1
которая в свою очередь ограничена в силу условий (А.2.1) и того, что
xpL{x) — 0, а*-* «>, для любого р > 0. Справедливость асимптотического
представления (А.2.3) непосредственно вытекает из первой части леммы
АЛЛ. ■
За счет сужения множества рассматриваемых функций L е К{*р) можно
несколько ослабить ограничение (А.2Л). Именно, справедлива
108

Теорема А.2.2. Пусть вещественная функция к измерима на [ 1, °°) и
/|Ar(r)|log(r+l)</r<oo. (A.2.4)
1
Если функция L €:К{#) и невозрастает при х > х0, то
оо
/ \k{t)\L{tx)dt<~, x>xQf (A.2.5)
/ k{t)r{t, x)dt = J k{t)dt + 0{1/Лх)), х-*-. (А.2.6)
1 1
Доказательство. Сходимость интеграла (А.2.5) очевидна. Для
доказательства справедливости представления (А.2.6) заметим, что най-
найдутся такие константы М и В{х0) > В, не зависящие от г и jc, что при
х> В(Хь) и re |1,~)
0< i -r{t,x)<M*~l{x)\og{t + 1). (А.2.7)
Действительно, по теореме АЛ .2
х
- U{r, jc) = tj(x) - n{tx)+ f u'1e{u)du > 0, jre|jro,jrf|, r>l,
в силу невозрастания функции L . Тогда при х > max E. xQ)
х
0< 1 -г(г,л)<т](л) -Т1(Г*)+ / fi'■((!/)di < |т?и)-г| + |с-т?(^) | +
rx
tx
+ /i/-1 \e{u) \dtt </CB + logr)Mjf),
jf
что и доказывает справедливость (А.2.7). Значит, при достаточно боль-
больших л*
оо оо оо
| / kit)r{t,x)dt- fk(t)dt\< f ]/c(t)\r{r. ж) - 1 \dt <
1 1 l
что и требовалось доказать. ■
Для предельных интегралов соответствующий результат может быть
сформулирован следующим образом.
Теорема А.2.3. Пусть вещественная функция к измерима на [1, °°)
и при некотором р > 0
—* оо
/ tpk{t)dt < ~. (А.2.8)
t
Если функция L € К (у) и монотонна при х > xQ, то при х > xQ
>оо
/ k{t)Hrx)dt < «о, / k{t)dt < «», (А.2.9)
1 1
* оо ->оо
/ k(t) r {t, x)dt = / k{t)dt + Oai*ix)), x - ~. (А.2.10)
109

Доказательство. Заметим, что
*(*)= / tpk{t)dt<M, x>\.
I
Сходимость второго интеграла из (А.2.9) вытекает из оценок
Т Т
| /*(/)* 1= \Т~РК{ТЛ - T-pKiJ) + f> /t"p~xK{t)dt |<
т т
Т1
<М{Т~Р+Т~Р +р / t~p-{dt)-+O, Т.Т^оо,
т
Для обоснования сходимости первого интеграла из (А,2.9) нам пона-
понадобится приводимый здесь без доказательства несколько усиленный ва-
вариант теоремы 2.8 (см. [67]).
Лемма А.2.1. Если медленно меняющаяся функция L монотонна при
х > jc0 , то для всех р > О
оо
/ \d(t~/>L{tx))\<MT"/>L(Tx)t
Т
где константа М не зависит от х и Г.
С учетом этого результата получаем, что
- / K(t)d{rpL{tx))\<M (T^
Г
тх
+ / \d(t"pL(tx))\} ^0, T,Tl-ooi
T
т.е. первый интеграл (А.2.9) сходится.
Для доказательства асимптотического соотношения (А.2.10) заметим, что
в силу леммы А.1.1 первое слагаемое в правой части соотношения
Т Т
f k{t) (r(f.x)-l} dt =K{T)T~p(r{T,x)-l)-fK(t)d {t-p(r{t,x)-l)
стремится к нулю при Г-к» и достаточно больших jc, откуда
I ~*fk{t)irit, х) - \)dt | < / | K{t) 11 d{rp[r(t, x) - 1)) | <
1 1
<Mf> ] Гр"х |г(/.*)-11Л+ 7
1 1
Воспользовавшись первой частью леммы АЛЛ, нетрудно убедиться в
том, что
При оценивании J2(x) без ограничения общности можно взять функ-
функцию L возрастающей. Тогда величина r{tyx) - 1 будет также возрастать с
110

ростом t, следовательно,
оо
= р / t~p~~\r{t,x) - \)dt
I
Доказательство теоремы А.2.3 завершено. ■
При доказательстве следующего результата нам впервые в этом разделе
понадобится второе из предположений о свойствах функции ^.
Теорема А.2.4. Пусть вещественная функция к измерима на [О, 1],
а функция L бА(^). Пусть функция x°L{x) при некотором о> в ограничена
на каждом конечном отрезке [ О, Л ] и
f t'° \k{t)\dt <~. (A.2.11)
о ^
Тогда для всех х > О
l
/ \k(t)\L{tx)dt <oo. (A.2.12)
о
I 1
/ k{t)r{t.x)dt = / k(t)dt +0AМ*)), Jf- «. (A.2.13)
о о
До к а зат ел ьст в о. Существование интеграла (А.2.12) проверя-
проверяется так же, как это делалось раньше. Для получения требуемой асимптоти-
асимптотики в (А.2.13) прежде всего заметим, что в силу второй части леммы А. 1.1
найдутся такие константы Ма и Со ,что
Ц1Ах)<ха~в, *>Со, (А.2.14)
\r{t.x)-l \<МоГа1*{х), Coxl <r<l. (A.2.15)
Положим
1 Са/х
f k(t){rit.x) -\)dt= f k{t)r(t,x)dt-
о о
Col*
- / k{t)dt+ f k{t)(r(t,x) - \)dt =J1U)+/2U)+^iU).
0 col*
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что
\Jj{x) |< const l>pix), x-+<*>, / = 1,2,3.
Так как л*"в < С~в^(СаI*>(х), х > Са, то
t'°\kit)\(tx)°L{tx)dt)xiJ''e<
х / t~° \kit) \dt
0
111

Аналогично,
Наконец,
Co/x
0
Q r
I
0
\ku)\dt
0
i
Ca/x
<
—a
IA
\k(t) \dt
что и требовалось доказать. ■
Приведем теперь один результат, связанный с тауберовыми теоремами
для медленно меняющихся функций с остаточным членом. При этом мы рас-
рассмотрим несколько более широкий класс медленно меняющихся функций
с остаточным членом, обозначаемый К*(#)% в определении которого от
остаточного члена * требуется, чтобы, помимо положительности и строгого
возрастания на правой полуоси,
1) *>(*) -►«, *->«,
2) для некоторого с > О и всех Л € @, 1)
(A.2.16)
Отметим, что при Л > 1 неравенство (А.2.16) выполнено автоматически
в ел ед ствие монотонности ^.
Теорема А.2.5. Пусть функция F неотрицательна и измерима на
[О, «>, функция L€K\<p) и для любых* s>0 сходится интеграл
оо
f{s) = / ехр ( - st) F(t)dt, (A.2.17)
О
причем
fW^s^Ld/sHA +0A///A/5)>), 5- +О, (А.2.18)
где a > О, А > 0, а функция h удовлетворяет тем же условиям, что и
функция sp. Тогда при х-*<*>
f F{t)dt = Г"! (а + 1)ха1 (л)И + 0(l/log С/ (л))),
О
где
По своей сути метод доказательства теоремы А.2.5 совпадает с методом
Фрейда [64* ]. Нам понадобится следующий аналог леммы А. 1.1.
Лемма А.2.2. Если функция L е. К* (^), то для каждого 6 > 0 найдут-
найдутся такие не зависящие от хи \ константы 0 < М^ < °°, 0<В^ < °°, что
х>Вь, В6/х<\<1.
Доказательство леммы А.2.2. Нетрудно видеть, что приВ/х < А < 1
| U{\,x) | < КB - log \)/<р{\х) < К ехр(с/Л)B - logX)/^<A). (A.2.19)
Выберем Вь> В так, чтобы #{В$)/К <5/2. Тогда из (А.2.17) с учетом то-
112

го, что 0 < Л < 1, получаем оценки
|г(Х,*) - 1 | < | U{\tx) | ехр( | U{\,x)
< К ехр(с/Х + б)B - 6/2
что и требовалось доказать. ■
Доказательство теоремы А.2.5. Согласно (А.2.18) при т -1,2,...
и S-++0
m
о
= {msraL{ll{ms))lL{lls){A
Взяв в лемме А.2.2 jc = 1/s, \ = 1/w, получаем, что для любого б > 0 найдутся
такие не зависящие от т и s константы 0 < Af6 < «, 0 < Вь< °°, что
\r(m-\s-l)-l l<Af6w6ecm/^(l/s), 0<s< l/(B6w).
Поскольку функция /t удовлетворяет (А.2.16), то
/m(s> - (ws) '"{А + 0(т6 естМ№) + О(ес* m//i(l/s)>>, s - + О,
откуда
/w(*)-^r-I(e)*"'ot Je"^^I11^1**
О
+ O{mbecms'a hills)) + O{ec^ms'alh{lls)). (A.2.20)
Следовательно, если р(х) - произвольный полином степени N - \ с вещест-
вещественными коэффициентами, не превосходящими по модулю К, то из (А.2,20)
оо оо
f e-stp{e-ST)F{t)dt=AV-1{<x)s~a f e""rp(e"r)ra dt +
0 0
(A.2.21)
Положим
[О, O<jc<l/e,
Тогда найдутся (см. [64*]) такие полиномы
2я-2 2и-2
^(.v)= I ftfcjf*f Фп{х)= 2 ^дг*.
Л«0 Аг=О
ЧТО
*„<*><*(*)<<*„(*). 0<а< 1,
2п-2
О
5. Е. Сенега

Значит,
1/5
L'l{lls) f Fit) dt>L'1 {Us) f e4**'* (e~st) F{t)dt>
о оя
Окончательно,
l/s
L-l{lls) f
0
+ O{ec*ns~a/t{lls)h s-+0. (A.2.22)
Сверху левая часть (A.2.22) оценивается аналогично. Утверждение теоре-
теоремы А.2.5 получается, если взять
s=1/jc, n = lBc4rliog*] +1;
при этом второй и третий члены в правой части (А.2.22) оценятся как
О(ха/log *{х)) и О(дса^~ 1/2(лг» соответственно.
Приведем один пример аналитического характера, иллюстрирующий
возможность использования приведенных выше уточнений теорем абелева
и тауберова типа.
Мы рассмотрим класс так называемых безгранично делимых функций
распределения Фо = {G) , носитель меры которых совпадает с полуосью
[О,«). Хорошо известно, что преобразования Лапласа - Стилтьеса таких
функций С
оо
g(s) = / ехр( -sx)dG(x), s > 0, (А.2.23)
0
представимы в виде
g(s) = exp {-s fe-sxq(x)dx ) , (А.2.24)
0
где q(x) - невозрастающая на полуоси jc> 0 функция, равная нулю на
бесконечности (отсюда следует неотрицательность q) и интегрируемая в
окрестности нуля. Известно ), что в том случае, когда q(x) представляет
собой правильно меняющуюся функцию на бесконечности,
1 - б'(лг) ^ й(х), при х -> «. (А.2.25)
Вопрос о выделении следующего члена асимптотического представления
(А. 2.25) или хотя бы о его оценке (разумеется, с привлечением дополни-
дополнительной исходной информации о поведении функции q) в общем случае
не рассматривался. Хотя в отношении отдельных распределений или
даже классов распределений (устойчивые законы) известно много
больше.
*)В.М. Золотарев. Об асимптотическом поведении одного класса без-
безгранично делимых законов распределения. - Теория вероятн. и ее прим.,
1961, 6,3, с. 330-334.

Теорема А.2.6. Предположим, что функция q(x) в (А.2.23) удовлет-
удовлетворяет следующим условиям:
1. q(x) = x~^L{x)t 0 < а < 1.
2. Существует 0 < а < 1 - а такое, что
sup{xa+aq(x): О < jc < 1 } < -.
3.L(x)GK(y) со значением в < а.
Тогда при х-*«
х 1 / / 1
/A -G(w))dw = - xq(x)[\ + 01
О 1 -а \ \log^(jc
Доказательство. Обозначим к(х) = ехр( -х)х~а и рассмотрим ин-
интеграл
r(s) = s 7 е ~sxq(x)dx = ] е ~xq(x/s)dx =
О О
= sa Jk(x)L(x/s)dx +sa I k(x)L(x/s)dx=Jl +J2.
О 1
Нетрудно убедиться, что сделанные предположения в отношении функции
q обеспечивают выполнение условий теоремы А.2.4. Следовательно, мы
имеем при s-»0
У, = saL(\ls)l fk(x)dx +o( ) I. (A.2.26)
(О V(l/s)/j
Точно так же убеждаемся в выполнении условий теоремы А.2.1, что дает
нам при S-+0
J2 = saL( I Is) \ Jk(x)dx + o[ \ I . (A.2.27)
ll \V>(l/s)/J
Объединяя асимптотические представления (A.2.26) и (A.2.27), находим,
что при s-*Q
1
(А.2.28)
Интегрируя по частям интеграл g(s), имеем
g(s) = 1 - s 7 е~~**A - G(x))dx. (A.2.29)
О
Сравнение асимптотического поведения при s -0 функций l-g(s) и
exp(-f(s)) с учетом (А.2.28) и (А.2.29) дает асимптотическое равенство
1
/в етA -G(x))dx = —<jff—)[r(l -a)
О s \s/\
Применим к нему теорему А.2.5, положив h = >р и приняв во внимание,
что K(v)cK*(v) (т.е. если L(x) е /:(«^), то тем самым Ш) €**(</»)).
5* 115

В результате получим, что условия теоремы А.2.5 выполнены, функция
)() и, следовательно,
x xl^L(x) i / 1 \|
0 * ГB - a) I Vlog^(jt) / J
что и составляет утверждение теоремы. ■
Замечание. Утверждение доказанной теоремы, к сожалению, нельзя
рассматривать как действительное уточнение соотношения (А.2.25). Для
этого нам надо было бы получить асимптотическое представление с оста-
остаточным членом для 1 -О(х). Однако общих приемов для такого перехо-
перехода не существует (хотя для получения главного 'члена асимптотики такой
прием известен).
А.З. Асимптотика тригонометрических рядов
В этом разделе рассматривается асимптотическое поведение рядов
и интегралов вида
оо
Е k~yL(k)tinky, (A.3.1)
*=1
ft~yL(t)sintydt, (A.3.2)
J ryL{t)vxitydt. (A.3.3)
О
Заметим, что интеграл (А.З.2) абсолютно сходится для любой медленно
меняющейся функции L, если ?€ A,2) и при некотором 6 6@,2-7)
величина хб L(x) ограничена на [0,1 ]. Если расширить диапазон измене-
изменения 7 ДО интервала @, 2), то мы можем гарантировать лишь существова-
существование интеграла (А.3.3).
Теорема А.3.1. Пусть LGK(*)t Q<6 <а-т, 7^ A, 2). Тогда из
ограниченности функции дГ1(дг),6 €(*, 2 -у) на каждом конечном отрез-
отрезке [0, А] вытекает справедливость представления
у-* + 0. (А.3.4)
Доказательство. Заменой переменной интегрирования соотно-
соотношение (А.3.4) преобразуем к виду
оо
fr(t, x) t ~sinf dt =
О
= ГA -7)cos(iT7/2)+0A/*»(*)), ^-оо.
Разделим область интегрирования на две зоны: [0,1] и A, °°). Поскольку
0<6<2-7,7>1, то предположения теорем А.2.4 и А.2.1 выполнены в
этих зонах при а = B-7 + б)/2 и р = G-1)/2 соответственно, откуда и
следует требуемое утверждение. •
116

Теорема А.3.2. Пусть монотонная при достаточно больших х функция
L е/Г(</>), 0 < в < 2 - т, 7 € @,2). Тогда из ограниченности функции
jc5Z,(jc), б €@,2 - 7). не кялгдо.* конечном отрезке [О, А] вытекает спра-
справедливость представления
—*оо
J Mf)f~7sinyrcff =
О
.У- + 0. (А.3.5)
В случае 7 s 1 представление (А.3.5) принимает вид
—»оо
J L(t)t-lsinytdt = (nl2 + O(\l<p(\ly)))L(\ly), у -+0.
О
Доказательство теоремы А.3.2 аналогично доказательству теоремы А.3.1
и оставляется читателю. ■
Перейдем к исследованию ряда (А.3.1). Легко видеть, что при 0<7<
< 1 ряд (А.3.1) сходится для любой монотонной медленно меняющейся
функции. Если 7> 1» то ряд (А.3.1) сходится абсолютно для любой мед-
медленно меняющейся функции.
Лемма А.3.1. Если уе @,2), то при у-+ + 0
О(уу), 0<7< It
О(у), К 7 < 2.
Доказательство. Для всех вещественных 7*1,2,3,... и re
€Е[0,1)
(l-^V-1* Z Anrnein\
где
Приравнивая мнимые части и воспользовавшись теоремой Абеля при г -+ 1,
получаем, что в случае 7 €@,1)
L A ~7 sinw>» =<y7"lcos(ir7/2) + ОО'7), у -* + 0.
Введем последовательность
Так как 7€ @,1) и ап =0(л"~7"~!), то при .у- + 0
оо
I L fl^sinw.yHOO'7).
я=1
Следовательно,
оо оо
7 r"I(l -7) 2 wsinw.y+OCK7), .У-- + 0,
я=1
117

откуда и вытекает утверждение леммы А.3.1 при yG (О,1). Если ys
е A, 2), то оценки проводятся по той же схеме. Отметим, что при этом
оо
Е ап %ум\у = О{у), у -м- 0.
Наконец, при 7=1 утверждение леммы А.3.1 вытекает из соотношения
оо
2 w-1sinw>'=(ir - v)/2,
если считать, что функция ГA -7)cosGT7/2) при у = \ по непрерывности
полагается равной я/2. Лемма А.3.1 доказана. ■
Теорема А.3.3. Пусть моноюнная при достаючно больших х функция
), 0<в < 2 -т, 7^ @, 2). Тогда при у- + 0
{1-у 2 n-ysinny+O(\Wly))) Ш1у)уу~х.
1 я=1 (А.3.6)
7€A>2), то предположение о монотонности функции L излишне.
Доказательство. По лемме А.3.1 при у-* + 0
Так как Г2во(!^A/у)), v-» + 0, то представление (А.3.6) можно пе-
переписать в виде
-y)cos(ityl2)+O(t(y))}yy~lL<\ly),
(А.3.7)
Это соотношение в свою очередь эквивалентно соотношению
оо
2 n~~yL(n)sinny =
Пусть у € @, 2тг), в е @, 2 - 7). Тогда
2 n-yL(n)sinny =
Возьмем в лемме АЛЛ а = 7/2, & = B + 0 - 7)/2. Тогда найдутся такие
константы М-Му, В=ВТ что при всех х>В
ПКх)-\\<М\у12Ь{х)у \€[1,оо), (А.3.8)
И\, х) - \ |< ДА ~B+* ~7)'2/*(*), Л е [Я/х, 11. (А.3.9)
118

Без ограничения общности |l/v] > В. Представим 22 в виде
, -v (Ш И/У] - \
22 = yl-yLl(\fy)\ 2 + 2 + 2 )х
\л = 1 [В]+1
X л~7A(я) -L(\/y))sinny = 221 + 222+223. (A.3.10)
спользовавш
проверить, что
Воспользовавшись неравенствами |sinjc|< lx|, у <В ip(B)fa(\ly)9 легко
Взяв в (А.3.9) х-Цу,\~пу, приходим к оценке
Щу] , ..
2 nl^\r{nyt My) -1|<
]
1
Так как 0 < (в + ?)/2 < 1, то
.У- + 0. (А.3.12)
Обозначим 5мСк) = 2 sinm>'. Нетрудно убедиться в справедливости со-
m = l
отношения м
2 (п + \ГУ(Ш) -L(n + \))sn(y)-
/]
Поскольку UrwCv)l < 2/)f, то
I2231< C7 v~7 2 я"
1|-Г, +7-2+7-,.
Взяв в (А.3.8) jc = Цу, \=пу, легко видеть, что
Пусть, без ограничения общности, функция L возрастает, тогда с учетом
(А.3.8)
оо
Т% = 2у~у 2 ((п - 1)~7-я~7)(«я)/«1/у) - 1) -

Наконец, взяв в (А.3.8) х = Цу, \ = у([1/у ] + 1), получаем, что Тъ
есть 0A/*A/у)), т.е.
.У- + 0. (А.3.13)
Из (А.ЗЛО) - (А.3.13) находим, что
Тем самым теорема А.3.3 для монотонных функций L доказана. Предпо-
Предположение о монотонности L использовалось лишь при оценивании суммы
Г23. Если )б A, 2-0), то это предположение излишне. Действительно,
взяв в первой части леммы АЛЛ х = 1/у, \.= пу, а = (у - 1)/2,приходим
к оценке
Теорема А.3.3 доказана. ■
А ^МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ
Определение. Вещественная функция /, определенная на [0, <»),
называется ^-медленно меняющейся, если для некоторой определенной на
[0, «>) положительной неубывающей функции ^ при любом фиксированном
а > 0 выполнено соотношение
i4(ot,x)*v(x)(f(x+a)-f(x))^Qt х-оо. (ВЛ)
Нетрудно видеть, что после замены переменных h = ехр(-лг), f(x) -
= ^(exp(-jc)), i7(jc) = 1/v? (log A//7)) соотношение (B.I) принимает более
традиционный вид:
(g(ah)-g(h))/n(h)-+Ot Л-^ + 0. (В.2)
Мы будем работать с представлением (ВЛ). Сделав соответствующую за-
замену переменных, можно переформулировать все приводимые ниже резуль-
результаты в терминах представления (В.2).
Теорема ВЛ (теорема о равномерной сходимости). Если функция f
измерима и является ^-медленно меняющейся, то она необходимо будет рав-
равномерно ^-медленно меняющейся, т.е.
lim sup{|if(cr,x)|: ere/} -0 (В.З)
X -юо
для любого конечного интервала J.
Доказательство. Без ограничения общности J = [0,11. Пусть со-
соотношение (В.З) неверно, т.е. найдутся число б > 0 и такие последовательно-
последовательности хп -юо и а„е [0, 1],что \и(<хп,хп)\ > б при всех натуральных п. Опре-
Определим множества
Vk>n),
К 6/2 Vk>n),
Так как Vn С Уп+1 и произвольное число а е [0, 2] принадлежит како-
какому-нибудь из Vn , то лебеговская мера m множеств Уп больше 3/2 для доста-
120

точно больших п. Аналогично, т (и>Л) > 1/2 для достаточно больших л, сле-
следовательно, пересечение W*n n Vn при этих п непусто, что приводит нас к про-
противоречию, так как, взяв произвольное у е И^, получаем, что
> 6 - 6/2 = 6/2,
т.е. т £ Vn. ш
Теорема В.2. Если функция /является ^-медленно меняющейся и
1) Г 1Мл)<~,
Л = 1
то /(*) стремится к конечному пределу при *-юо.
Если же
оо
2) Г 1/^(л) = «,
и=1
ю найдется непрерывная функция f(\p), которая будет ^-медленно меняю-
меняющейся, но не имеет конечного или бесконечного предела при *-►«>.
Доказательство. 1) Так как для любого натурального п
л-1
К 1/AI+ Г |/(*+1)-/(*I <
+ В L AM*)) < «о,
* = 1
то функция / не может иметь бесконечный предел при * -► «>. Без потери
общности можно считать, что если не существует и конечного предела, то
lim sup/(jc) > 1, ton inf/(jc) < -1. <в-4)
X-*oo X-*oo
В силу ^-медленного изменения функции / найдется такое число М% что
|мA, jc) | < 1, * > М. Из сходимости ряда Е 1/^ (п) вытекает существование
такого номера N, что, начиная с него, остаток ряда станет меньше 1/2. Тогда,
согласно (В.4), можно выбрать числа jc и у, х>у, так, чтобы
/(х)>1, * > max(Jlf, ЛО, /О>)<-1, У > max {M, N),
а это приводит к противоречию, так как, с одной стороны, для всех достаточ-
достаточно больших натуральных п
\f(x+n)-f{y+n) | = | и{х -у, у + л) 11<р(у+п) < 1.
а, с другой стороны, для всех натуральных п
п
и аналогично f(y + п)< -1/2, т.е./(* + п) -f{y + л) > 1.
121

2) Построим непрерывную ^-медленно меняющуюся функцию /, для
которой
ton sup/(*) = +~, ton inf/tx)=-oo. (B.5)
JC
Обозначим через А = А (^) множество таких натуральных чисел т, что
sp (т + 1) < 2ip (m). Тогда
так как
откуда, в частности, видно, что множество A ={mxt т^,...} имеет бесконеч-
бесконечное число элементов. Из математического анализа известно, что найдутся
положительные константы af со свойствами
в/. /-1,2,...,
Определим теперь последовательность 6/, полагая bi = ±ait где знаки группи-
группируются так, чтобы ряд £ Ь( имел как + «>, так -«в качестве пределов под-
подпоследовательностей своих частичных сумм. Положим теперь
1,111,1,
Доопределим функцию / так, чтобы она была линейна и непрерывна на каж-
каждом из отрезков [тк, тк+ 1], к > 1. Ясно, что соотношение (В.5) при этом
выполнено. Для проверки ^-медленного изменения функции/ заметим, что
1. (В.6)
поскольку / монотонна на отрезках между последовательными целыми зна-
значениями аргумента, а функция у не убывает. При фиксированном значе-
значении а правая часть (В.6) содержит не более [or]+ 4 слагаемых и каждое из
них стремится к нулю при х-*«>, так как
/О, тфА,
A 1)\<
1), m=k
ак<р(тк + 1)< 2ак<р(тк)-+0, к-+<». ■
Теорема В.З. 1) Если функция f является ^-медленно меняющейся
и для всех х > О
<р(х) Г 1/?(х+/)<*<«, (В.7)
122 / = 0

или, что эквивалентно,
*(x)f<p-l(t)dt < С < ~, (В.7')
х
то
lim sup (\u{ot,x)\: a > О) -О. (В.8)
2) £Vviii же функция \р не удовлетворяет соотношению (В.7), го сущест-
существует функция f(sp), которая является ^-медленно меняющейся, но не равно-
равномерно ^-медленно меняющейся.
Доказательство. Эквивалентность условий (В.7) и (В.7*) следует
из геометрически наглядных оценок
f<p-l(t)dt< Г 1Мх+/)<1/?(х)+ /?-'('№.
х / = О х
1) Поскольку из (В.7) вытекает выполнение условия 1) теоремы В.2, то
существует конечный предел F функции / при *-*«>. Устремляя в (В.8) а к
бесконечности, получаем, что
lim ^WI/W-FI - 0.
Пусть соотношение (В.8) неверно. Тогда найдутся такое число 6 > 0 и
сколь угодно большое х, что при а = а(х) > 0
*1
- Г <|иA,дг + а+/)|-1и<1,ДГ+/I)Мдг+/). (В.9)
Возьмем л: в (В.9) столь большим, чтобы |z/(l, лг) | < б/DВ). Тогда
\u(atx + k)\ >6/2,где (jc+a + it) - (J^+it) = айне зависит от к, что про-
противоречит предположению о ^-медленном характере изменения функции /.
2) Предположим, что соотношение (В.7*) не выполняется. Пусть
\&\) - базис Гамеля для вещественных чисел, т.е. базис, в котором произ-
произвольное вещественное число х имеет единственное представление
где п = п(х), а коэффициенты гк рациональны. Очевидно, что
I п (х + а) - п (х) | <п(а). Легко построить функцию i> | 0, для которой
оо
lim sup(*(x)ft(t)ip'l(t)dt) = *».
123

Возьмем в качестве искомой функцию
При фиксированном а в силу убывания отношения ф/<р и того, что оба пре-
предела интегрирования превосходят х, получаем
Х+ /!(*)-!
Значит, функция / является ^-медленно меняющейся, но не равномерно
^-медленно меняющейся, так как
limsupsup{| w(a,x) |: <*е [0,1] } = «°.
х-*оо
Действительно, возьмем произвольное число М > 0. Тогда найдется число
у0 > М, для которого
*) М.
Уо
Зафиксируем теперь такое близкое ку0 числом, >>^0,что n{yt) = 1и
^(^i) I Ht)*'l(t)dt > М.
Ух
Это можно сделать потому, что элементы плотного на прямой множества
{г$\\ г - рационально } имеют п = 1. Наконец, выберем а € [0,1 ] так, чтобы
величина п(ух + а) была достаточно большой для справедливости оценки
Ух +<* + л(у, +сг)-1
-1 (t)dt = |и(а,уг)\ > М,
откуда и вытекает требуемое утверждение. ■
Несколько изменив доказательство первой части теоремы В.З, можно
получить следующий результат.
Теорема В.З'. Если функция /является ^-медленноменяющейся,
а функция ф положительна и возрастает на [0, «>), причем отношение *р/ф
также возрастает, то функция f будет у \ ф-медленно меняющейся, если для
всех х> 0 и некоторой постоянной В < <*> верна оценка
<р(х) L A/*(х+/)) < Вф(х).
/=1
Следующая теорема показывает, что чем сильнее нарушаются условия
(В.7), тем более далекими становятся свойства ^-медленного и равномерно
^-медленного изменения функций.
Теорема В.4. В предположениях второй части теоремы В.2 сущест-
существует функция f = f(*p), являющаяся ^-медленно меняющейся, но даже
не равномерно i-медленно меняющейся.
124

Доказательство. По аналогии с доказательством теоремы В.З
оо
получаем, что / <p~l (t)dt = «>. Выберем функцию \М 0 так, чтобы
х
оо
f\l>(t)*p-l(t)dt = оо.
X
Тогда, как нетрудно убедиться, в качестве искомой можно взять функцию
О
В заключение приведем одно достаточное условие того, чтобы функция /
была ^-медленно меняющейся.
Теорема В.5. Для того чтобы определенная на [О, «>) вещественная
функция f была ^-медленно меняющейся, достаточно, чтобы
и(\,х) -> О, х -> оо,
для любого \ е Е, где Е - некоторое множество положительной меры.
Доказательство. Возьмем числа Л., д е Е9 Л, > д. Тогда
Применим теорему Штейнхауса (см., например, [83]) о том, что множество
разностей точек из множества положительной меры включает некоторый
открытый интервал, содержащий нуль. Мы получим, что соотношение (В.1)
верно для всех достаточно малых or. Для завершения доказательства доста-
достаточно заметить, что соответствующий интервал может быть расширен после-
последовательным применением неравенства
х)| < \и(а,х + а)\ + \и(а,х)\.
С. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Интерес специалистов в области математической физики и математики
к возможности обобщения понятия правильно меняющихся функций на слу-
случай функций нескольких переменных был стимулирован в семидесятых
годах возникшими потребностями в тауСеровых теоремах для многомерных
преобразований Лапласа. В математической физике (в частности, в кванто-
квантовой теории поля) такими стимуляторами были работы Бьеркена [13*],
Боголюбова, Владимирова и Тавхелидзе [11*1 и Владимирова [16*], а в
теории вероятностей (прежде всего в теории ветвящихся процессов) работы
Ватутина [14*] и Севастьянова [57*].
За упомянутыми работами по математической физике последовали раз-
развернутые исследования Владимирова, Завьялова и Дрожжинова [17*, 28*,
29*, 32*, 33*], в которых правильно меняющиеся (автомодельные) функ-
функции и сопутствующие им та у Серовы теоремы рассматривались под очень
общим углом зрения обобщенных функций.
Мы не будем давать здесь по понятным причинам даже краткого изложе-
изложения этих работ, отослав желающих ознакомиться с их содержанием к об-
обстоятельно написанной обзорной статье Владимирова и Завьялова [18*],
а также к работе тех же авторов [ 17* ].
Планомерное и всестороннее изучение многомерных аналогов правильно
меняющихся функций в математике началось несколько позже, чем в мате-
математической физике (и к тому же в пределах обычного понятия функций)
125

серией работ Штама [81*), де Хаан, Оми, Резника [66*-68*), Штадтмюл-
лера и Тротнера [79*. 80*) и Якымива [87*-89*).
Несмотря на несомненный прогресс в деле построения общей теории пра-
правильно меняющихся функций нескольких переменных, наиболее естествен-
естественное и продуктивное в приложениях обобщение правильно меняющихся
функций одной переменной на случай нескольких переменных еще предстоит
найти. Пока что наиболее удачным вариантом такого обобщения следует
признать то, которое принято в упомянутых работах Якымива. В первой из
них содержится интересный пример использования многомерных тауберовых
теорем для исследования одного класса ветвящихся процессов, а в двух
других - систематическое изложение наиболее общих из числа опубликован-
опубликованных к настоящему времени результатов, касающихся свойств правильно
меняющихся функций нескольких переменных и связанных с ними теорем
абелева и тауберова типов.
Последнее обстоятельство послужило главным мотивом, по которому
отбор материала настоящей части дополнения производился на основе работ
Якымива. Все результаты приводятся далее без доказательств и в несколько
упрощенном виде, что продиктовано самой целью дополнения С - кратко
проинформировать читателя о новом направлении исследований, примыкаю-
примыкающих к тематике книги Е.Сенеты.
С.1. Определения, некоторые факты
Множество Г сRnназывается конусом с вершиной в точке х = 0, если
для любого х е Г и любого X > 0 вектор Ххе Г. В том случае, когда замы-
замыкание Г конуса является выпуклым множеством в Rnt назовем Г выпуклым
конусом. Конус Г называется телесным, если его внутренность
int Г = Г\дГ Фф
(т.е. замыкание Г минус граница замыкания не пусто).
Замкнутый выпуклый конус Г называется острым, если сопряженный
к нему конус Г *={ у: (у, х) > 0; у е Rn, х е Г ) является телесным.
Надо сразу же сказать, во избежание недоразумений, что используемый
в отечественной литературе термин "острый конус'* не соответствует обыч-
обычным представлениям. Действительно, в случае плоскости (л = 2) рассматри-
рассматриваемые конусы представляют собой углы с вершиной в нуле. Привычное
понимание острого угла состоит в том, что он содержится в некотором пря-
прямом угле. Приведенное же выше определение соответствует тому, что угол
составляет часть развернутого угла, при этом совпадение с развернутым
углом не допускается. Можно сказать, что "острым" в определенном выше
смысле выпуклый замкнутый конус Г будет только тогда, когда он состав-
составляет истинную часть некоторого полупространства из Rn, п > 1. В случае
п = 1 под Г понимается полуось t > 0.
Одним из важных свойств острого конуса Г является то, что сопряжен-
сопряженный к нему конус Г * также является острым.
Рассмотрим некоторый замкнутый конус Г в Rn. Исключив из него вер-
вершину х = 0, получим модифицированный конус Г'. Зафиксируем произволь-
произвольный вектор е е Г'. Пусть R(x) - некоторая заданная в Г' измеримая по
Бюрелю положительная функция.
Определение С.1. Функция R (х) называется правильно меняющейся
на бесконечности в Г относительно вектора е, если для каждого хЕ Г' су-
существует конечный положительный предел
R(tx)/R(te)-*<p(x,e), r->~. (С.1.1)
1

Обозначим через П, (Г) множество всех правильно меняющихся в этом
смысле функций на Г'. Особенностью множества Пх (Г) является его неза-
независимость от выбора исходного вектора е.
Определение С.2. Правильно меняющаяся на бесконечности в Г
относительно е функция R(x) называется медленно меняющейся, если
*р(х,е) = 1 при любых х S Г'.
Для медленно меняющихся на бесконечности в Г функций мы будем
использовать далее отдельное обозначение L (х). Множество 1Ш t (Г) всех
функций L (х) также не зависит от исходного вектора е.
Из множества П1 (Г) выделим подмножество П2 (Г),подчинив входящие
в него функции R (х) следующему дополнительному условию: для любого
xS Г' и любой последовательности векторов xt е Г', xt -+x при t -*«>,
справедливо предельное соотношение
R(txt)IR(te)-+*(x,e). (C.1.2)
Заметим, что в рамках действия свойства (С. 1.1) соотношение (С. 1.2)
эквивалентно тому, чтобы
[R(txt) -R{tx))lR{te)->0. (C.1.3)
Свойство (С. 1.2) выделяет из множества ЯЙА (Г) подмножество
ЯМП = »,<Г) ПП2(Г).
Следующим естественным шагом является выяснение структуры пре-
предельных функций ур{х,е).
Условимся называть измеримую по Борелю функцию <р(х) на Г' одно-
однородной, если существует такое число р = ind ^, называемое показателем одно-
однородности функции ¥>> что для любого t > О и любых хЕ Г' имеет место ра-
равенство
Обозначим рез Ux (Г) множество всех однородных положительных функ-
функций на Г' юрез U2(V) его часть, содержащую все непрерывные функции
из^СГ).
Теорема С. 1.1. Измеримая положительная функция f(x) на Г' может
выступать в роли предельной функции <р (х, с) в соотношении (С. 1.1) (или
в соотношении (С. 1.2)) тогда и только тогда, когда f(e) = 1 и f(x) e {/, (Г)
(соответственно f (е) = 1 uf(x) e U2 (Г)).
Теорема С.1.2. Пусть R(x) е П2 (Г), Тогда для любого е е Г' и лю-
любого компакта К с Г' справедливо соотношение
sup
хек
Теорема С.1.3. Множества П, (Г) и П2 (Г) совпадают тогда и только
тогда, когда множество {jr. xG Г', I x I = \)не содержит ни одной своей
предельной точки.
С.2. Структура правильно меняющихся функций
нескольких переменных
Определение правильно меняющихся функций, заданных на /?", в
случае п = 1 преобразуется в привычное нам определение, данное Караматой,
а в случае п > 1 во многом его напоминает. Это позволяет надеяться, что мы
обнаружим в общем случае у функций из класса П, (Г) ряд свойств, анало-
аналогичных свойствам правильно меняющихся функций одной переменной, на-
127

пример аналогию в структуре функций этих двух классов. Подтверждением
тому служат следующие два утверждения.
Теорема С.2.1. Измеримая по Борелю и заданная на г' функция
f(x) enj(r) (или же №)еп,(Г)) тогда и только тогда, когда
f(x) = sp (jc) L (x), где * (x) e Ut (Г), L (x) e SO?, (г) (соответственно sp (jc) e
<EU2(r)tL(x)e 9*,(Г)).
Теорема (С.2.1) позволяет определить показатель правильно меняющейся
на бесконечности функции / € П2 (Г). Именно, мы полагаем по определению
ind / = ind \p.
Пусть L(x) e <Ш2(Г). Из определения функции этого класса следует
существование для выбранной функции L такого числа N>Qt что, каково
бы ни было число N< T< «>,
sup(l(v): N<\y\<T}<oo.
Выберем далее какое-либо число б > О и определим в Г' функции L's(\ x\) t
Ц(\ х I) для значенийjcE Г', I jc) > ЛГравенствами
L's(\x I)» \x l~6sup {\у \6Lty): у € Г', N< \y \<x) ,
Ц{\х 0 = 1дг l6inf{l^ \~6L(y): ;-ег', N< Iv l< Ijc I},
a^ для значений xe Г', 0 < | jc| <^, равенствами L's ( I jc I ) = Ifi(/V),
L%(\x\)= L%(N). Понятно, что определенные таким образом функции
L's ( I х I ) и Щ\ х I ) положительны и конечны при любых значениях jcE
ег'.
Теорема С.2.2. Функция Ц( | jc I), I5 (I jc I) принадлежат множест-
множеству аИ2(Г)ы, кроме того,
L'fi(\x I) ~L%( Ijc I) ^I(jc), Ijc !-►«», jc e Г'.
Нетрудно заметить, что L'b (v) иЦЫ являются медленно меняющими-
меняющимися на бесконечности функциями в смысле Караматы и, следовательно, имеют
структуру, описанную в теореме 1.2 основного текста книги. Отсюда уже без
труда делается следующее заключение.
Теорема С.2.3. Непрерывная и положительная на Г' функция /(jc) e
^ ЯЙ2 (Г) тогда и только тогда, когда при I jc I > 1 она может быть пред-
представлена в виде
be I
/
1
где е (и ) и т» (х) - непрерывные функции, определенные соответственно на
полуоси v > 1 и в области хе Г', I jc I > 1, и вдобавок такие, что е (и ) -►О
при v -►«»; т»(х) -►const при I jc I -►«>.
С.З. Многомерные теоремы абелева и тауберова типа
В этом разделе мы предполагаем конус Г не только замкнутым,
но и острым. Это означает, что сопряженный к нему конус Г * также являет-
является острым. Пусть G(A) обозначает некоторую меру на Г', конечную в любом
компакте К с Г' (далее будем иметь дело лишь с мерами такого типа. Если
мера G абсолютно непрерывна, то соответствующую ей плотность обозначим
через g (х). Рассмотрим преобразование Лапласа - Стилтьеса меры G по
множеству Г':
f
28 Г'

которое в случае абсолютно непрерывной меры превращается в обычное
преобразование Лапласа функции g (x). Вектор s изменяется в (С.3.1) таким
образом, что для некоторого фиксированного вектора а е int Г * векторы s и
s - и также принадлежат внутренней части конуса Г * Такое правило выбора
s для заданной меры С мы условимся символически записывать как* > а. По-
Понятно, что конечност£ G{a) для некоторого a G int Г * автоматически влечет
за собой конечность G (s) для всех s > а.
Теорема С.3.1. Пусть С1эС2,...,- некоторая последовательность
мер на остром конусе г, Предположим, что существует фкой вектор а е
е int Г t что все преобразования Лапласа - Стилтьеса Gv (a) ,G2(a),...
этих мер равномерно ограничены.
Х.Если GD) - некоторая мера на Г', то слабая сходимость мер
Gk<A)~G<A)t *->~, (С.3.2)
т.е, сходимость для всех ограниченных борелевских множеств А из Г' с
G(bA) =0 влечет за собой сходимость при всех s > а соответствующих им
преобразований Лапласа - Стилтьеса
Gk(s)^G(s), it-«. (С.3.3)
2. Обратно, если при всех s %>а имеет место предельное соотношение
(С.3.3), то предельная функция G(s) является преобразованием Лапласа -
Стилтьеса некоторой меры G(A) и при этом выполняется соотношение
(С.3.2).
По аналогии со случаем правильно меняющихся функций одной перемен-
переменной естественно ожидать, что и в случае правильно меняющихся функций
нескольких переменных их поведение на бесконечности будет связано с пове-
поведением в нуле соответствующих им преобразований Лапласа. Это подтверж-
подтверждается следующими утверждениями, первое из которых является теоремой
абелева типа, а два других-теоремами тауберова типа.
Пусть G(A) - такая мера на остром конусе Г, что преобразование G(d)
конечно для a G int Г *, и пусть R(t) - некоторая определенная на полуоси
t > 0 положительная правильно меняющаяся на бесконечности функция с
ind/*>0.
Теорема С.3.2. Рассмотрим последовательность мер Gt(A) =
=С(гЛ)/Л(г), г >0, и предположим, что она слабо сходится к некоторой
мере F (А) на Г, т.е.
GtD)^F(A) при г->« (С.3.4)
для любого ограниченного борелевского множества А из г cF(bA) =0.
Тогда для любого s S int Г *
G(slt)lR(t)^F(sh Г--, (С.3.5)
А
где F(s) - преобразование Лапласа - Стилтьеса меры F(/l), существующее
при всех s G int Г*.
Теорема С.£.3. Пусть соотношение (С.3.5) выполняется для любых
s € int г* Тогда F(s) является преобразованием Лапласа-Стилтъеса неко-
некоторой меры F D) и справедливо предельное соотношение (С.3.4) *).
Отметим одну существенную особенность последних двух теорем. Обе
они имеют содержательный смысл лишь в том случае, когда мера G в Г не-
ограничена, ибо в противоположном случае F должна быть, как это видно.
*) Отметим, что теоремы С.3.2 и С.3.3 в том случае, когда функции G
имеют чисто степенное изменение на бесконечности, были доказаны в рабо-
работе Владимирова [16*].
129

из (С.3.4) и (С.3.5), сосредоточена в точке х ■ 0. Если же G - неограничен-
неограниченная мера в Г, то для выполнения (С.3.4) необходимо, чтобы R (г) -►<» при
Для формулировки следующего утверждения нам понадобится понятие
монотонности функции, заданной в Г'. Функция/(х), определенная в Г',
называется монотонно неубывающей (монотонно невозрастающей), если
для любых х,у е г', у >х (неравенство понимается в определенном выше
смысле) выполняется неравенство/(*) </(у) (соответственно/(х) >/00).
Множество функций, монотонных в Г (т.е. как неубывающих, так и невозрас-
тающих), мы обозначим через Л#(Г ).
Рассмотрим абсолютно непрерывную меру на Г' с плотностью g (x). Пусть
R (г) - правильно меняющаяся (возрастающая) на бесконечности функция
cp = indR >0. Предположим, что g(х) = м(х) w(x), где и(х) е П, (г), w(x) е
еЛ/(Г). Поскольку, по определению, все функции, входящие в Па (ГХ
неотрицательны, то w(x) также неотрицательна н| Г'. Предположим также,
что вектор* е int г*и преобразование Лапласа G(s) плотности g(x) конеч-
конечно. Благодаря дополнительно введенной информации о свойствах меры
G(A) и ее плотности g(x) можно существенно уточнить утверждение теоре-
теоремы С.3.3. Напомним, что п - размерность конуса Г.
Теорема С.3.4. Пусть соотношение (С.3.5) выполняется при всех
s е int Г * Тогда для всех х е int Г существует такая функция <р (х) е U2 (Г)
с показателем ind# =р-п,что для любого хе int Г
g(tx)tnIR(t)-+*(x)t /-оо,
причем сходимость равномерна по х в пределах любого компакта К с
с int Г. Функция <р(х) является плотностью некоторой меры Ф(А) на
int Г, к в том случае, когда Ф (Э Г) = 0, эта мера совпадает с мерой
Приведем утверждение, которое можно было бы назвать теоремой сравне-
сравнения. Рассмотрим два телесных замкнутых конуса Г, иГ3.£слиГ, с intr,,
мы условимся писать Г, < Г3.
Теорема С.3.5. Пусть неотрицательные функции f(x) ug (x) определе-
определены на замкнутом остром конусе Глы обладают следующими свойствами:
1) преобразования Лапласа F(s)t G{s) функций fix) и g(x) сущест-
существуют для всех s e int Г •;
2)/(х)€Е па(Г), ind/>-n;
3)^(jf) = u(x) w(x),гдеи(х)еП,(Г)и w(x)<EM(Г).
Если для некоторого телесного конуса г0* <Г*при всех s e int Го#
6
то для любого конуса г, <Г при хег,
S(x)=/(x)(l+o(l)), Ix I-*.
Отметим еще два свойства функций из класса ДО 2 (Г) для случая, когда
Г является замкнутым конусом.
Теорема С.3.6. Пусть L е ЯЯ3 (Г), Тогда:
1) существует такая постоянная а >0, что для каждого Ь>а
0<inf {/,(*): а<\х\<Ь}<
< sup{l(x): a< \x\<b)<ooy
2) для произвольных чисел 0<а<1<£<<» существуют бесконечно диф-
дифференцируемые функции Ц € ЯЯ, (Г) (/ =1,2) со свойствами:
a) 1/(х)/1 (х) — 1 при I х I -*оо,
b) L L
130

с) для произвольных натуральных m,ritr2t... ,rm,
+ rm*rul<ll<lt<...<lm<n9
«о( \х Гг1,(х)), Ix I--,,
1**% • • •
такие, что для каждого х е Г,' I x I > я ,
inf{l(y): у<ЕКх)
<L2(x)<sup{L(y):
где Кх ={у: уег',а\х\<\у\<р\х\,\у\>а) и число а выбрано в
соответствии со свойством 1).
В заключение сделаем замечание об одной особенности того обобщения
правильно меняющихся функций, которое рассматривалось в разделе С.
Согласно теоремам о представлении С.2.1 и С.2.3 каждая функция R(x)
из класса Па (г) имеет вид
Ul dv \
/ *{v) ),
О v I
где функция <р е U2 (Г) является многомерным аналогом степенной функ-
функции, 0(х) -^ const при I х I -♦«>, а последний множитель представляет собой
(с точностью до множителя /3 (х)) многомерный аналог медленно меняющей-
меняющейся функции. Этот аналог зависит от I х I и поэтому, по сути дела, является
одномерной функцией. Однако уже известны задачи, в которых в силу их
специфических особенностей следует использовать многомерные аналоги
правильно меняющихся функций с существенно многомерной медлен-
медленно меняющейся компонентой. Такой задачей, например, является анализ
асимптотического поведения на бесконечности некоторых классов безгранич-
безгранично делимых распределений в /?". Это указывает на необходимость продолже-
продолжения поиска более естественных многомерных обобщений правильно меняю-
меняющихся функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[ 1 ] Авакумович (Avakumovic V.G.). О jednom O-inverznom stavu. - Rad Jugos-
lovenske Akad. Znatn. Umjetnosti, 1936, 254, с 167 - 186.
[2] Агнью (Agnew RJ*.). Frullani integrals and variants of Egoroff theorem on
essentially uniform convergence. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sri., 1954,
6, с 12-15.
[3] Адамович (Adamovic D.D). Generalisations de quelques theoremes de A. Zyg-
mund, B.Sz.-Nagy and Boas, I. - Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1967, 7,
c. 123-138. ,i%
[4] Адамович (Adamovic D.D.). Sur quelques proprietes des fonctions a croissance
lente de Karamata, I, II. - Matematicki Vesnik, 1966, 3, с 123 - 136,
161 - 172.
[5] Алъянчич, Боянич, Томич (АЦапЬс S., Botanic R., Tomic M.). Slowly
varying functions with remainder term and their applications in analysis. -
Serb. Acad. Sri. ArtsMonogr., sect.Math, 1974,462,41, с 1-51.
[6] Алъянчич, Боянич, Томич (Aljancid S., BoianiiR., Tomti M.). Sur la valeur
asymptotique d'une classe des integrates definies. - Publ. Inst. Math. Acad.
Serbe Sci., 1954, 7, с 81 - 94.
[7] Алъянчич, Карамата (AQancic S., Karamata /.). Fonctions a comportement
regulier et l'integrale de Frullani. - Recueil des Travaux de PAcademie Serbe
des Sciences, 1956, L, 5, с 239 - 248.
[8] Асцел (Aczkl /.). Functional Equations and Their Applications. - N.Y.:
Academic Press, 1966.
[9] Ауэрбах (Auerbach #.). Sur la relation lim f(x + hn)=f(x). -Fund.Mathj
Лл-Ю ]
1928, И, с. 193-197.
[10] Бари Н.К., Стечкин СБ. Наилучшее приближение и дифференциальные
свойства двух сопряженных функций. - Тр. Моск. матем. об-ва, 1956,
5, с. 483-522.
[\\]Бауманы (Baumann #.). Theoremes diversion relatifs au comportement
asymptotique des transformations des suite.- Math. Zeits., 1967, 98,
с 140-178.
[12]Бекеши (Bikessy A.). Eine Verallgemeinerung der Laplaceschen Methode. -
Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sri., 1957, 2, с 105 - 120.
[13] Бингхем, Тойгелъс (Bingham N.H., Teugels /.I.). Duality for regularly vary-
varying functions. - Quart. J. Math., Ser. 2,1975, 26, с 333 - 353.
[14] Soac(Boas R.P.) A primer of real functions. - N.Y.: Math. Assocn of Ameri-
America, 1960.
[15] Боянич, Карамата (Bojanic R., Karamata /.).On a class of functions of regular
asymptotic behaviour.- U.S. Army Math. Res. Centre. Tech. Summary Rep.,
1963,436.
132

[16) Боянич, Карамата {Bojanic R., Kanmata /.). On slowly varying functions
and asymptotic relations. - U.S. Army Math. Res. Centre. Tech. Summary
Rep., 1963,432.
[ 17 J Боянич, Сенета {Bojanic R., Senete E.). A unified theory of regularly varying
sequences. - Math. Zeits., 1973,134, с 91 - 106.
[18J Боянич, Сенета {До/aniS R., Seneta EX Slowly varying functions and asymp-
asymptotic relations. - J. Math. Anal. Appl., 1971,34, с 302 - 315.
[ 19J Брюин {Bruijn N. G. de). Pairs of slowly varying functions occuring in asympto-
asymptotic problems concerning the Laplace transform. - Niew. Arch. Wisk., 1959,7,
с 20 - 26.
[ 20] Вюлпемьер (VuiUeumierM.). Sur le comportement asymptotique des transfor-
transformations lineares des suites. - Math. Zeits., 1967,98, с 126 - 139.
[21] Галамбош, Сенета {Galambos /., Seneta Б.). Regularly varying sequences. -
Proc. Amer. Math. Soc, 1973,41, c. 110 - 116.
[22] Гнеденко Б.В., Колмогоров AM. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. - М. - Л.: Гостехиздат, 1949.
[23] Деланж {Delange Я.). Sur in theoreme de Karamata. - Bull. Sci. Math., 1955,
79, с 9-12. /
[24] Деланж {Delange #.). Sur deux questions posees par M. Karamata. - Publ.
Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1954,7, с 69 - 80.
[25] Дрейзин (Drasin /).). Tauberian theorems and slowly varying functions. -
Trans. Amer. Marh. Soc, 1968,133, с 333 - 356.
[26] Дуб(йооЪ /.I.). Topics in the theory of Markoff chains. - Trans. Amer.
Math. Soc, 1942,52, с 37-64.
[27] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. - M.: Мир, 1965.
[281 Карамата {Karamata J. ). Sur certains "Tauberian theorems** de M.M. Har-
Hardy et Littlewood. - Mathematica (Cluj), 1930,3, с 33-4^.
[29] Карамата {Karamata J.). Sur un mode de croissance reguliere des foncti-
ons. - Mathematica (Cluj), 1930,4, с 38-53.
[30] Карамата {Karamata J.). Neuer Beweis und Verallgemeinerung einiger
Tauberian-Satze. - Math. Zeitsch., 1931, 33, с 294-299.
[31] Карамата {Karamata J.). Neuer Beweis und Verallgemeinerung der Tau-
bcrschen Satze, welche die Laplacesche und Stieltjessche Transformation
betreffen. - J. Reine Angcw. Math., 1931,164,c. 27-39/ § ;
|32j Карамата {Karamata J.). Sur un mode de croissance reguliere. Theoremes
fondamentaux. - Bull. Soc. Math. France, 1933,61, с 55-62.
[33] Карамата {Karamata J.). Bcmerkung uber die vorstehende Arbeit des Herrn
Avakumovic mit naherer Betrachtung einer Klasse von Funktionen, welche
bei den Inversionssatzen vorkommen. - Bull. Int. Acad. Yougoslave, 1935,
29/30, с 117-123.
[34] Карамата {Karamata /.). Primedba na prethodni rad g. V. Avakumovica. -
Rad. Jugosl. Akad. Znatn. Umjetn., 1936, 254, с 187-200.
[35] Карамата {Karamata J.). Uber das asymptotische Verhalten der Folgen die
durch Iteration definiert sind. - Recueil des Travaux Acad. Serbe Sci., 1953,
35,3, с 45-60.
[36] Кендала {Kendall D.G.). Delphic semigroups, infinitely divisible regenera-
regenerative phenomena and the arithmetic of p-f unctions. - Z. Wahrscheinlichkeits-
theor. verw. Geb., 1967,9, с 163-195.
[37] Кингмен {Kingman J.F.C). Ergodic properties of continuous-time Markov
processes and their discrete sceletons. - Proc. London Math. Soc, 1963,
13^ с 593-604.
[38] Кореваар, ван Аарденне-Эренфест, де Брюин {Korevaar H., van Aarden-
ne-Ehrenfest Т., de Bruijn N.G.). A note on slowly oscillating functions. -
Niew. Arch. Wisk., 1949,23, с 77-86.
133

[39] Кореваар, ван дер Ближ {Korevaar H., van der Blij F.). Een notitie over
langzaam toenemende functies. - Rapport Z.W.. 1948-002 Mathematisch
Centrum Amsterdam, 1948, с 1-3.
[40| Кохльбеккер (Kohlbecker E.E.). Weak asymptotic properties of parti-
partitions. - Trans. Amer. Math. Soc, 1958,88, с 346-365.
[411 Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и прост-
пространства Орлича. - М.: Наука, 1958.
[421 Крофт (Croft H.T.). A question of limits. - Eureka, 1957, 20, с. 11-13.
[43] Ландау (Landau £.). Sur les valeurs moyennes de certaines fonctions
arithmetique. - Bull. Acad. Roy. Belgique, 1911, с 443-472.
[441 Ландау (Landau £.). Uber einige neuere Grenzwertsatze. - Circolo Ma-
tematico di Palermo, Renconditi, 1912,34, с 121-131.
[451 Ландау (Landau E.). Darstellung und Begrundung Einiger Neuere г Ег-
gebnisse der Г unktionentheorie. - Berlin: Springer, 1916.
[46| Летах (Letac G.). On slow variation. - Proc. Amer. Math. Soc, 1970,
24, с. 745Г746.
[47] Летак (Letac G.). La theorie de Karamata en brief. - Ann. Fac. Sci. de
rUniv,Clermont. Mathematiques., 1970,43,6, с 169-175.
[48] Маркус, Пинский (Marcus M., Pinsky M.). On the domain of attraction
of e~e . - J. Math. Anal. Appl., 1969, 28, с 440-449.
[49] Матушевска (Matuszewska W.). Regularly increasing functions in connec-
connection with the theory of L** spaces. - Studia Math., 1962, 21, с 317-344.
[50] Матушевска (Matuszewska W.). A remark on my paper:Regularly increasing
functions in connection with the theory of L** spaces. - Studia Math.,
1965,25, с 265-269.
[51 ] Мейлер ЦТ. Об одной теореме Б.В. Гнеденко. - Тр. Ин-та математики
АН УССР, 1949, 12, с. 31-35.
[52] Парамесваран (Parameswaran S.). Partition functions whose logarithms
are slowly oscillating. - Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 100, с 271 —
240.
[53] Петрини (Petrini #.). La density d'une masse logarithmique en equilibre. -
Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 1916,11, с 13.
[54] Питмен (Pitman E.J.G.). On the behaviour of the characteristic function
of a probability distribution in the neighbourhood of origin. - J. Austral.
Math. Soc, 1968,8, с 423-443.
[55] Пойа (Polya G.). Bemerkungen uber unendliche Folgen und ganze Funk-
tionen. - Math. Aim., 1923,88, с 169-183.
E6) Пойа (Polya G.). Uber eine neue Weise bestimmte Integrate in der analy-
tischen Zahlentheorie zu gebrauchen. - В кн: Nachrichten der K. Gesel-
lschaft der Wissenschaft zu Gottingen. - Gottinge, 1917, с 149-159.
[57] Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, 3-е изд. - М.: Наука,
1978.
[58] Рубин, Вере-Джоне (Rubin H., Vere-Jones A). Domains of attraction
for the subcritical Galton - Watson process. - J. Appl. Probab., 1968,
5, с 216-219.
[59] Сенета (Seneta E.). An interpretation of some aspects of Karamata's theo-
theory of regular variation. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1973, 15,
с 111-119.
[60] Сенета (Seneta £".). A Tauberian theorem of E. Landau and W. Feller. -
Ann. Probab., 1973,2, с 1057-1058.
[61] Сенета (Seneta E.). Sequential criteria for regular variation. - Quart. J.
Math. Oxford, 1971,22, с 565-570.
[62 J Слек (Slack R.S.). Further notes on branching processes with mean 1. -
J34 Z. WahrscheinUchkeitstheor. verw. Geb., 1972, 25, с 31-38.

[63] Таккер {Tucker H.G.). Convolutions of distributions attracted to stable
laws. - Ann. Math. Statist., 1968,39, с 1381-1390.
[64] Томич (Tomii M.). Jo van Karamata A902-1967). - L'Enseignement
Math., 1969,15, с 1-20.
[65] Урбаник (Urbanik К.). Generalized convolutions. - Studia Math., 1963,
23, с 217-245. „
[66 ] Фабер (Feber G.). Uber das Verhalten analytischer Funktionen an Verzwei-
gungsteUen. - Вкн: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen
Klasse der K.B. Akademie der Wissenschaften zu Munchen. - Munchen,
1917, с 263-284.
[67] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.:
Мир, 1967.
[68] Феллер {Feller W.). One-sided analogues of Karamata's regular variation. -
L'Enseignement Math., 1969,15, с 107-121.
[69] Феллер {Feller W.). On regular variation and local limit theorems. - В кн.:
Proceedings of the 5th Berkely Symposium on Mathematical Statistics and
Probability, 1965-1966,2, l,c. 373-388,1967.
[70] Хаан, де (Наап L. de). A form of regular variation and its application to
the domain of attraction of the double exponential distribution. - Z. Wahrs-
cheinlichkeitstheor. verw. Geb., 1971,17, с 241-258.
[71] Хаан, не {Наап L. de). Note on a paper by H.G. Tucker. - Ann. Math.
Statist., 1970,41, с 729-732.
[72] Хаан, де {Наап L. de). On Regular Variation and Its Application to the
Weak Convergence of Sample Extremes. - Math. Centre Tracts, 1970, 32.
[73] Хан, Розенталъ {Hahn #., Rosenthal A.). Set Functions. - Albuquerque:
The University of New Mexico Press, 1948.
[74] Харди,Райт {Hardy G.H., Wright E.M.). An Introduction to the Theory
of Numbers, 3rd edn. - Oxford: Clarendon Press, 1954.
[75] Харди,Литтлвуд {Hardy G.H., Lit tie wood J.E.). Notes on the theory
of series (XI): On Tauberian theorems. - Proc. London Math. Soc, 1929,
30, с 23-37.
[76] Харди, Рогозине кий {Hardy G.H., Rogosinski W.W.). Notes on Fourier
series (III): Asymptotic formulae for the sums of certain trigonometrical
series. - Quart. J. Math. Oxford, 1945,16, с 49-58.
[77] Хейберг {Heiberg C.H.). Functions with asymptotically infinite differen-
differences. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci., Nouv. Ser., 1971, 12B6),
с 45-49.
[78] Хейберг (Heiberg C.H.). A proof of a conjecture of Karamata. - Publ.
Inst. Math. Acad. Serbe Sci., Nouv. Ser., 1971,12B6), с 41-44.
[79] Хилле.Филлипс {Hille E.t Phillips R.S.). Functional Analysis and Se-
Semigroups. - Rhode Island: Amer. Math. Soc, 1957.
[80] Ченг, Тойгелъс {Cheong C.K., Teugels J.F.). General solidarity theorems
for semi-Markov processes. - J. Appl. Probab., 1972,9, с 789-802.
[81] Чиссар,Эрдеш (Csiszhr /., Erdos P.). On the function g(t)=limsup(/(jc+
X-*oo
+1) -fix)). - Maguar Tud. Akad., Ser. A, 1964,9, с 603-606.
[82] Шмидт (Schmidt R.). Uber divergente Folgen und Holderschen Mittelbil-
dungen. - Math. Zeits., 1925, 22, с 89-152.
[83 ] Штейнхаус (Steinhaus H.). Sur les distances des points de mesure positive. -
Fund. Math., 1920,1, с 93-104. /
[84 ] Шур (Schur I.). Zur Theorie der Cesaroschen und Holderschen Mittelwerte.-
Mah. Zeits., 1930, с 391-407.
[85] Эш, Эрдеш, Рубель (Ash J.M., Erdos P., Rubel L.A.). Very slowly varying
functions. - Aequationes Math., 1974,10, с 1-9.
135

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОПОЛНЕНИЮ
[1*] Авакумович (Avakumovii V.G.). Sur une extension de la condition de la
convergence des th^oremes inverses de sommabilite. - C.R. Acad. Sci. Pa-
Paris, 1935,200, с 1515-15,17.
[2*J Альянчич {Aljancic S.). Uber den Perronschen Satz in der Theorie der
linearen Differenzengleichungen. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci.,
1959,13, с 47-56. л ,
[3*J Альянчич, Аранделович (Aljancic1 S., Arandelovic /).). O-regularly varying
functions. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1977, 22, с 5-22.
[4*] Альянчич, Боянич, Томич (Aljancic S., Bojanic R., TomicM.). Sur le com-
portement asymptotique au voisinage de zero des series trigonometriques
de sinus a coefficients monotones. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci.,
1956,10, с 101-120.
[5*] Альянчич, Боянич, Томич (Aljancic S., Bojanic R., Tomic M.). Deux
theoremes relatifs au comportement asymptotique des series trigonometri-
trigonometriques. - Zb. Math. Inst. SAN, 1955,4, с 15-26. ,
[6*] Аранделович (Arandelovic /).). Fonctions a comportement regulier et
convergence uniforme. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1975, 19,
с 17-24.
[7*] Байишнский,Карамата (Bajsanski В., Karamata /.). Regularly varying
functions and the principle of equicontinuity. - Publ. Ramanujan Inst.,
1969,1, с 235-246.
[8*] Балкема (Balkema A.A.). Monotone Transformations and Limit Laws. -
Math. Centre Tracts, Amsterdam, 1973.
[9*] Белогрудь В.И Об одной тауберовой теореме. - Матем. заметки,
1974,15,2, с. 187-190.
[10*] Бингхем, Тойгельс (Bingham N.H, Teugels J.L). Tauberian theorems
and regular variation. - Nieuw. Arch. Wisk., 1979, 27, с 153-186.
[11*] Боголюбов НН, Владимиров B.C., Тавхелидзе А.Н. Об автомодельной
асимптотике в квантовой теории поля. I, II. - ТМФ, 1972,12,1, с. 13-
17; 3,с. 305-330.
[12*] Буркилл (Burkill J.C.). The Lebesgue Integral. - Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1958.
[13*] Бьеркен (Bjorken I.D.). Lectures in Varenna School. Course 41. - Va-
renna, 1967.
[14*] Ватутин В А. Дискретные предельные распределения числа частиц в
критических ветвящихся процессах Беллмана - Харриса. - Теория
вероятн. и ее примен., 1977,22,1, с. 150-155.
[15*] Вейсман (Weissman /.). A note on Bojanic - Seneta theory of regularly
varying sequences. - Math. Zeitsch., 1976,151, с 29-30.
[16*] Владимиров B.C. Многомерное обобщение тауберовой теоремы Харди
и Литтлвуда. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1976, 4, с. 1084-1101.
[17*] Владимиров B.C., Завьялов Б.И. Автомодельная асимптотика причин-
причинных функций и их поведение на световом конусе.- ТМФ, 1982, 50,
2, с. 163-194.
[18*] Владимиров B.C., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы в квантовой тео-
теории поля. - В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы
математики, т. 15, М.: ВИНИТИ, 1980, с. 95 -130.
[19*] Галамбош (Galambos /.). The asymptotic theory of extreme order sta-
statistics. -N. Y.: Wiley, 1978. /
[20*] Ганелиус (Ganetius Т.). Un theoreme tauberien pour la transformation
de Laplace. - C.R. Acad. Sci. Paris, 1956,242, с 719-721.
[21*] Ганелиус (GaneUus Г.). Regularly varying functions and Poincare's theo-
theorem on difference equations. - Symp. Theor. Phys. Math. 1970, 10, с 7-17.

[22*] Голди (Goldie СМ.). Subexponential distributions and dominated varia-
variation tails. - J. Appl. Probab., 1978,15, с 440-442.
[23*] Голди, Сенета {Goldie C.M., Seneta £".). On domains of partial attraction. -
J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 1982,32, с 328-331.
[24*] Деблин (Doeblin W.). Sur l'ensemble de puissances d'une loi de proba-
bilite. - Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1947,63, с 317-350.
[25*\ Деблин (Doeblin W.). Sur l'ensemble de puissances d'une loi de proba-
probability - Studia Math., 1940,9, с 71-96.
[26*] Додд (Dodd E.L.). The greatest and least variate under general law of
error. - Trans. Amer. Math. Soc, 1923, 25, с 525-539.
[21*]Дрейзин,Ши (Drasin D., Shea D.F.). Polya peaks and the oscillation of
positive functions. - Proc. Amer. Math. Soc, 1972,34, с 403-411.
[28*] Дрожжинов Ю.Н. Многомерные тауберовы теоремы и гладкие пассив-
пассивные системы/Докторская диссертация. - М.: МИ АН, 1982.
[29*] Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы для обобщенных
функций с носителями в конусах. - Матем. сб., 1979,108,1, с. 78-90.
[30*] Дэвис (Danes L). Tail probabilities for positive random variables with
entire characteristic functions of very regular growth. - Z. Angew. Math.
Mech., 1976,56, с. Т334-Т336.
[31*] Дюбюк (Dubuc S.). La dcnsite de la loi-limite d'un processus en cascade
expansif. - Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb., 1971, 19, с 281-290.
[32*] Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы для причинных коммутаторов/Док-
коммутаторов/Докторская диссертация. - М.: МИ АН, 1982.
[33*] Завьялов Б.И. Бьеркеновская асимптотика форм-факторов глубо-
коне упруго го рассеяния и общие принципы теории поля. - ТМФ,
1977, 33,3, с 310-318.
[34*] Зимеринг (Zimering S.). A new representation theorem for regularly
varying functions. - Comment. Math. (Special Issue), 1979, 2, с 339-342.
[35*] Калленберг (Kalknberg О.). Stability of critical cluster fields. - Math.
Nachr., 1977, 77, с 7-43.
[36*] Карамата (Karamatf /.). Theoremes sur la sommabilite exponentielle et
d'autres sommabilites s'y rattachant. - Mathematica (Guj), 1931, 9, с 164-
178.
[37*] Келдыш M.B. Об одной тауберовой теореме. - Тр. Мат: . ин-та им.
В А. Сгеклова АН СССР, 1951, 38, с. 77-86.
[38*] Кнопп (Кпорр К.). Zwei Abelsche Satze. - Publ. Inst. Math. A cad. Serbe
Sci., 1952,4, с 89-94.
[39*] Койфман (Coifman /?.). Sur l'unicite des solutions de Fequation d'Abel -
Schroeder et l'iteration continue. - J. Austral. Math. Soc, 1965, 5,
с 36-47Х
[40*] Коно (Kono N.). On the modulus of continuity of sample functions of
Gaussian processes. - J. Math. Kyoto Univ., 1970, 10, с 493-536.
[41*] Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значе-
значений. - М.: Наука, 1979.
[42*] Кукзма (Kuczma М.). Regularly varying solutions of a linear functional
equation. - J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 1976, 22, с 135-143.
[43*] Ландерс,Рогге (Landers D.t Rogge /,.). On three problems for sequen-
sequences. - Manuscripta Math., 1975,17, с 221-226.
[44*] Маллер (Mailer R.A.). Some properties of stochastic compactness. -
J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 1981, 30, с 264-277.
[45*] Маллер (Mailer R.A.). A note on domains of partial attraction. - Ann.
Probab., 1980,8, с 576-583.
[46*] Маллер (Mailer R.A.). Relative stability, characteristic functions and
stochastic compactness. - J. Austral. Math. Soc.,A, 1979, 28, с 499- 509.
137

[47*] Маллер {Mailer RA.). On convergence rates and the expectation of sums
of random variables. - Stoch. Proc. Appl.,1978, 8, с 171-179.
[48*1 Маллер {Mailer R.A.). A local limit theorem for independent random va-
variables. - Stoch. Proc. Appl., 1978, 7, с 101-111.
[49*| Маллер {Mailer RA.). Relative stability and the strong law of large num-
numbers. - Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb., 1978, 43, с 141-148.
[50*| Маллер {Mailer R.A.). A note on Karamata's generalized regular variati-
variation. - J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 1977,24, с 417-424.
[51*] Маравич (Maravic M.). Slowly oscillating functions and their application
to the asymptotic evaluation of the Riesz and Gq means of multiple Fouri-
Fourier series. - Publ. Inst. Math. Acad. Serbe Sci., 1963,17, с 93-104.
[52*] Маравич (Maravic M.). On an application of slowly oscillating functions. -
Proc. Amer. Math. Soc, 1966, 17, с 969-976.
[53*] Мацаев В.И., Палат Ю.Л. О распределении спектра полиномиального
операторного пучка. - ДАН АрмССР, 1966,42,5, с. 836-845.
[54*] Пейкс (Pakes A.G.). A characterization of series amenable to ratio tests. -
Publ. Inst. Math. Acad.Serbe Sci., 1978,23, с 155-162.
[55*\ Ригер (Rieger G.J.). Zahlentheoretische Anwendungen eines Tauberschen
Satzes mit Restglied. - Math. Ann., 1969,182, с 243-248.
[56*] Сакс (Sacks J.). Asymptotic distribution of stochastic approximation
procedures. - Ann. Math. Statist., 1958, 29, с 373-405.
[57*] Севастьянов Б А. Ветвящиеся процессы, ограниченные снизу. - ДАН
СССР, 1978, 238,4,с. 119-122.
[58*] Сенега (Seneta £*.). On a functional equation with asymptotically unique
continuous solutions. - Aequationes Math., 1976, 14, с 457-459.
[59*] Сенега (Seneta £".). Regularly varying functions in the theory of simple
branching processes. - Adv. Appl. Probab., 1974,6, с 408-420.
[60*] Сенега (Seneta E.). On invariant measures for simple branching proces-
processes. - J. Appl. Probab., 1971,8, с 43-51.
[61*] Стин (Steen P. van der). Note on a theorem on slowly varying functions. -
Proc. Koninklijke Nederlandse Akad. v. Wetensch., Ser. A, 1972, 75, с 174-
175.
[62*] Султанаев Я.Т. Двустороняя тауберова теорема для отношений. - Из-
Известия вузов, математика, 1974, 1,с. 103 - 112.
[63*] Феллер (Feller W.). On the classical Tauberian theorems. - Arch. Math.,
1963,14, с 317-322.
[64*] Фрейд (Freud G.). Restglied eines Tauberschen Satzes. I. - Act a Math.,
1951,2, с 299-308.
[65*] Хаан, де (Haan L. de). On functions derived from regularly varying functi-
functions. - J. Austral. Math. Soc, Ser. A, 1977, 23, с 431-438.
[66*] Хаан,де,Резник (Haan L. de, Resnick S.I.). Derivatives of regularly va-
varying functions in Rd and domains of attraction of stable distributions. -
Stoch. Pr. Applcns, 1979,8, с 349-355.
[67*] Хаан, де, Оми (Haan L. de, Omey E.). Integrals and derivatives of regularly
varying functions in Rd and domains of attraction of stable distribution.
II/Report 8129/5 - Rotterdam: Erasmus Univ., 1981.
[68*] Хаан, де,Оми,Резник (Haan L de, Omey E., Resnick S.I.). Domains
of attraction and regular variation in IRd. III. - J. Multivar. Anal., 1981.
[69*] Хиггинс (Higgins R.). More in the theory of sequences. - Fibonacci Quart.,
1979,17, с 193-197.
[70*] Хиггинс (Higgins R.). On certain problems in the theory of sequences. -
Canad. Math. Bulletin, 1975,18, с 229-231.
[71*] Хиггинс (Higgins R.). A note on a problem in the theory of sequences. -
138 Flemente d. Math., 1974, с 37-39.

[72*] Хинчин (Khintchine A.). Sur una legge dei grandi numeri generalizzata. -
Giorn. 1st. Ital. Attuari, 1936, Anno VII, 14, с 365-377.
[73*] Xonne (Hoppe FM.). Supercritical multitype branching processes. - Ann.
Probab., 1976,4, с 393-401.
[74*] Xonne (Hoppe F.M.). Stationary measures for multitype branching pro-
processes. - J. Appl. Probab., 1975,12, с 219-227.
[75*] Xonne (Hoppe F.M.). Representations of invariant measures on multitype
Galton - Watson processes. - Ann. Probab., 1977,5, с 291-297.
[76*] Xonne, Сенета (Hoppe FM., Seneta E.). Analytical methods for discrete
branching processes. - В кн: Branching Processes, Advances in Probabi-
Probability and related Topics. - T. 5. - N. Y.: Dekker, 1978, с 219-261.
[77*] Чистяков В.П. Теорема о суммах независимых случайных величин
и ее приложения к ветвящимся случайным процессам. - Теория
вероятн. и ее примен., 1964,9,4, с. 710-718.
[78*] Ши (Shea D.F.). On a complement to Valiron's Tauberian theorem for
the Stieltjes transform. - Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 21, с 1-9.
[79*] Штадтмюллер (Stadtmuller (/.). A refined Tauberian theorem for Laplace
transforms in dimension d > 1. - J. Reine Ang. Math., 1981, 328, с 72-83.
[80*] Штадтмюллер, Тротнер (Stadtmuller {/., Trautner R.). Tauberian theo-
theorems for Laplace transforms in dimension D > 1. - J. Reine Ang. Math.,
1981,323, с 127-138.
[81*] Штам (Stam A.J.). Regular variation in R+ and the Abel - Tauter theo-
theorem. - Technical Report T.W. - 189, - Groningen: Rijksuniversiteit, 1977.
[82*] Штам (Stam A.J.). Regular variation of the tail of a subordinated distri-
distribution. - Adv. Appl. Probab., 1972,5, с 308-327.
I83*| Эмбрехтс, Голди (Embrechts P., Goldie СМ.). On convolution tails. -
Stoch. Proc. Appl, 1982,13, с 263-278.
[84*] Эмбрехтс,Голди (Embrechts P., Goldie СМ.). Comparing the tail of
infinitely divisible distribution with integrals of its Levy measure. - Ann.
Probab., 1981,9, с 468-481.
[85*] Эмбрехтс, Голди, Веравербеке (Embrechts P., Goldie СМ., Veraverbe-
ke N.). Sutexponentiality and infinite divisibility. - Z. Wahrschemlichkeitst-
heor. verw. Geb., 1979,49, с 335-347.
[86*] Якымив А.Л. Предельные теоремы для ветвящихся процессов. - Кан-
Кандидатская диссертация. - М.: МГУ, 1981.
[87*] Якымив АЛ. Многомерные тауберовы теоремы и их применение
к ветвящимся процессам Белл мала - Харриса. - Матем. сб., 1981,
115,3, с. 463-477.
[88*] Якымив АЛ. Аппроксимация медленно меняющихся функций беско-
бесконечно дифференцируемыми. - В кн.: Некоторые вопросы матема-
математики и механики. - М.: МГУ, 1981.
[89*] Якымив АЛ. Многомерные тауберовы теоремы типа Кара мата, Келды-
Келдыша и Литтлвуда. - ДАН СССР, 1983,270, 3, с. 558-561.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотика тригонометрических
рядов с правильно меняющими-
меняющимися коэффициентами 116,118
Асимптотически обратная функция
к правильно меняющейся 27, 32
Асимптотическое поведение интег-
интегралов 62,84
Боянича - Караматы класс функ-
функций 68
Быстро меняющаяся функция 46
Гамеля базис 40,47
- функциональное уравнение 17, 70
Дельта-функция (Д-функция)91
Дифференцируемость (в теореме о
представлении) 14,15, 23
Дополнительная правильно меняю-
меняющаяся функция 30, 33
Достаточное условие ^-медленного
изменения функции 125
Егорова теорема 17,44
Интегральные условия правильного
изменения функции 54
- RO изменения функции 88, 89
Карамата 7, 8,10,46,47,83,98
Коши функциональное уравнение
18,32,39,47
Критерий правильного изменения
последовательности 49
- принадлежности функции к клас-
классу *(*) 103,105,107
140
Кронекера теорема 42
Крофта теоремы 48, 85
Лузина теорема 17,18
Мажорируемо меняющаяся функ-
функция 94,99
Мажорируемого изменения функции
условие 94,95
Маркова процессы 47
Медленно меняющаяся функция 10
в смысле Зигмунда 51
из класса К (^) 100
- монотонная функция 22,48
нескольких переменных 127
с остаточным членом 100
Монотонная медленно меняющаяся
функция 22,48
- правильно меняющаяся функция
26,41,51,59,83
- ДО-меняющаяся функция 94
Набпа-функция (v-функция) 92
Неизмеримые функции, подобные
правильно меняющимся функ-
функциям 39
Нормализованные правильно ме-
меняющиеся функции 31
Ограниченность функций на конеч-
конечных интервалах 22, 35,47,77,78,
87
Основные теоремы для правильно
меняющихся функций 10
Осциллирующие функции 10

Плотность распределения вероят-
вероятностей в теореме представления
22, 23,50
Показатель правильно меняющейся
функции (см. Порядок правиль-
правильно меняющейся функции) 9
Полная вариация правильно меняю-
меняющейся функции на интервале ее
определения 67
Порядок изменения /?0-меняющих-
ся функций 91
- правильно меняющейся функции
9,55
Правильного изменения последова-
последовательности критерий 49
- - функции интегральные условия
54
Правильное изменение 9
Правильно меняющаяся последо-
последовательность 49
- функция 9
нескольких переменных 126
нормализованная 31
сопряженная 30, 31
с остаточным членом 106
- меняющейся функции несколь-
нескольких переменных структура 128
Принадлежность функции к классу
К(#), критерий 103, 105, 107
Произведение медленно меняющих-
меняющихся функций 25, 38
Процессы Маркова 47
Слабо медленно меняющаяся функ-
функция 37
- правильно меняющаяся функция
35,47
Слабое правильное изменение 35
Сопряженная правильно меняющая-
меняющаяся функция 30, 31
Структура правильно меняющейся
функции нескольких перемен-
переменных 128
Сумма медленно меняющихся функ-
функций 25, 38
Суперпозиция медленно меняю-
меняющихся функций 25
Теорема абелева типа для функций
из класса £(*>) 108, 109, 111
Теорема Егорова 17,44
- Кронекера 42
-Крофта48,85
- Лузина 17,18
-о представлении 10, 11, 22, 46
для /? (вменяющихся функций
87
функции из класса К(<р) 101
- о равномерной сходимости 10, 46
обобщенная 76
функций из класса К{*р)
101
^-правильно меняющихся
функций 120
- о характеризащш 17,46
слабой 36
- тауберова типа 59
--Караматы 59, 81,83
для "плотностей" (для про-
производных) 60, 83
- Штейнхауса 17,69
Теоремы абелева и тауберова типа
для правильно меняющихся
функций нескольких перемен-
переменных 129,130
- тауберовы для функций из класса
£() 112,115
Феллер 7,98,99
Фруллани интеграл 53
Функция ассимптотически обратная
к правильно меняющейся 27, 29
Функции типа функций Келдыша 99
Штейнхауса теорема 17,69
Экстремальные значения выборок
68
Югославская школа 8
^О-изменения функции интеграль-
интегральные условна 88, 89
- меняющаяся функция 86, 99
односторонняя 87, 99
, порядок изменения 91
^-медленного изменения достаточ-
достаточное условие 125
\р -медленно меняющаяся функция
81
141

Евгений Сенета
ПРАВИЛЬНО
МЕНЯЮЩИЕСЯ
ФУНКЦИИ
Редактор ММ. Горячая
Технический редактор В.В. Лебедева
Корректоры Т.В. Обод. Е.А. Янышева
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 12118
Сдано в набор 18.01.85
Подписано к печати 2.04.85
Формат 84 X 108 1/32
Бумага офсетная № 2
Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Усл.печ.л. 7,56
Усл.кр.ютт. 7,67. Уч.-издл. 8,41
Тираж 4200 экз. Тип. зак. 388
Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71,
Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77,
ул. Станиславского, 25

ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКОМА ТЕМА ТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ
117071 Москва В- 71 Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ
Владимиров B.C., ДрожжиновЮН.,ЗавьяловБ.И.
Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных
функций.
Книга посвящена современным достижениям
в тауберовой теории - многомерным та у бе ров ым
теоремам для обобщенных функций и их примене-
применениям в анализе, математической физике и теории диф-
дифференциальных уравнений.
Для аспирантов и научных работников --- специа-
специалистов в области математической и теоретической
физики.