УДК 519 Л
ББК 22.176
К60
Ко л чин В. Ф. Случайные графы. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ,
2004. — 256 с. — (Теория вероятностей и математическая статистика.) —
ISBN 5-9221-0486-1.
Книга посвящена случайным графам, случайным подстановкам, систе-
системам случайных линейных уравнений в конечных полях и уравнениям,
содержащим неизвестную подстановку. Изложение отличается система-
тическим использованием обобщенной схемы размещения, при котором
многие комбинаторные задачи сводятся к задачам о суммах независимых
случайнвхх величин.
Первое издание — 2000 г.
Для специалистов в области вероятностной комбинаторики и ее приме-
применений, инженеров и студентов старших курсов вузов.
Библ. 167 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2004
ISBN 5-9221-0486-1	© В.Ф. Колчин, 2000, 2004

Оглавление
Предисловие	5
Глава 1. Обобщенная схема размещения и компоненты
случайных графов
1.1.	Вероятностный подход к перечислительным задачам
комбинаторики		9
1.2.	Обобщенная схема размещения		24
1.3.	Связность графов и обобщенная схема размещения . .	33
1.4.	Леса из некорневых деревьев		42
1.5.	Размеры деревьев в случайном лесе 		54
1.6.	Максимальный размер деревьев в случайном лесе ...	62
1.7.	Графы с одноцикловыми компонентами		73
1.8.	Графы с компонентами двух типов		85
1.9.	Замечания и литературные ссылки		103
Глава 2. Эволюция случайных графов
2.1.	Докритические графы		109
2.2.	Критические графы		115
2.3.	Случайные графы с независимыми ребрами		120
2.4.	Неравновероятные графы		130
2.5.	Замечания и литературные ссылки		141
Глава 3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
3.1.	Ранг матрицы и критические наборы		144
3.2.	Матрицы с независимыми элементами		149
3.3.	Ранг матрицы с малым числом единиц		157
3.4.	Циклы и совместность систем случайных уравнений . .	167
3.5.	Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений	179
3.6.	Замечания и литературные ссылки		188
Глава 4. Случайные подстановки
4.1.	Случайные подстановки и обобщенная схема размещения	196
4.2.	Число циклов 		198
4.3.	Подстановки с ограничениями на длины циклов ....	208

Оглавление
4.4. Замечания и литературные ссылки		212
Глава 5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
5.1.	Уравнения второй степени		221
5.2.	Уравнения простой степени		228
5.3.	Уравнения составной степени		238
5.4.	Замечания и литературные ссылки		243
Список литературы	245
Предметный указатель	254

Предисловие
Комбинаторика сыграла важную роль в начале развития теории ве-
вероятностей, и эти два раздела математики продолжают развиваться
в тесном взаимодействии. В настоящее время теория вероятностей,
предлагая новые подходы к решению задач дискретной математики,
как бы отдает долги комбинаторике. Среди этих новых подходов от-
отметим хорошо развитые в теории вероятностей методы асимптотичес-
асимптотического анализа, которые успешно используются при решении сложных
комбинаторных задач.
Если равномерное распределение вероятностей задано на множест-
множестве рассматриваемых комбинаторных структур, то числовые характе-
характеристики этих структур можно рассматривать как случайные величи-
величины и анализировать их вероятностными методами. При таком веро-
вероятностном подходе мы автоматически ограничиваемся рассмотрением
типичных структур, которые составляют основную массу рассматри-
рассматриваемого множества, и исключаем из рассмотрения небольшую долю
структур с нестандартными свойствами.
Вероятностный подход, получивший в настоящее время широкое
распространение в комбинаторике, впервые был использован в поч-
почти современном виде В. Л. Гончаровым, применившим его к изуче-
изучению множества Sn всех подстановок степени п и серий в случай-
случайных @, ^-последовательностях. Среди тех, трудами которых развива-
развивалась вероятностная комбинаторика в России, были С. Н. Бернштейн,
Н. В. Смирнов, В. Е. Степанов, ее успехи тесно связаны с блестящей
Российской вероятностной школой, школой А. А. Маркова, П. Л. Че-
бышёва, А. М. Ляпунова, А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова.
Автор надеется, что эта книга также лежит в русле Российской
вероятностной школы. В книге представлены результаты о случай-
случайных графах, системах случайных линейных уравнений в GFB), слу-
случайных подстановках и некоторых простых уравнениях, содержащих
подстановки.
Было непросто отобрать материал для включения в книгу. Ясно,
что эта книга не содержит исчерпывающего изложения упомянутой
выше тематики, некоторые результаты (и их доказательства) кажутся
автору не готовыми для включения в книгу, другие вообще могли не
попасть в поле зрения автора.

Предисловие
Имеется огромное число работ по теории графов и нет никакой
возможности дать здесь их обзор. При анализе случайных структур
использовались разнообразные вероятностные методы, в том числе
метод моментов, пуассоновская и гауссовская аппроксимации, произ-
производящие функции и их анализ методом перевала, теоремы тауберова
типа, теория мартингалов. В последние три десятилетия в вероятност-
вероятностной комбинаторике широкое распространение получил подход, осно-
основанный на применении так называемой обобщенной схемы размеще-
размещения, который сводит ряд комбинаторных задач к задачам о суммах
независимых случайных величин, классическому объекту изучения
в теории вероятностей. Свое название эта схема получила в связи с
тем, что она является обобщением задачи о случайном размещении
п частиц в N ячеек. Пусть r/i,... , tjn — неотрицательные случайные
величины, рассматриваемые, например, как объемы N упорядочен-
упорядоченных компонент случайного графа с п вершинами. Если существуют
независимые случайные величины ?1,... ,?/v такие, что совместное
распределение r/i,... , tjn может быть записано в виде
где fci,... , /сдг — произвольные целые числа, то говорят, что щ,... , tjn
образуют обобщенную схему размещения с параметрами п и N и не-
независимыми случайными величинами ?i,... , ?/v-
Эволюция графа — это случайный процесс последовательного при-
присоединения к графу новых ребер. Для многих классов случайных гра-
графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами параметр в = 2Т/п
играет в эволюции графа роль времени, при этом многие свойства слу-
случайного графа изменяются скачкообразно в точке 0 = 1. Эволюция
графа — один из интереснейших разделов теории случайных графов.
Оказалось, что этот процесс можно исследовать с помощью обобщен-
обобщенной схемы размещения. В книге показано, что применение обобщенной
схемы позволяет анализировать случайные графы на разных этапах
их эволюции и получать предельные распределения в тех случаях,
когда ранее были получены лишь утверждения, типа закона больших
чисел, справедливые с вероятностью, стремящейся к единице.
В теории случайных уравнений в конечных полях переплетают-
переплетаются вероятность, комбинаторика, алгебра. В книге рассматриваются
системы линейных уравнений в GFB) со случайными коэффициен-
коэффициентами. Матрице такой системы соответствует случайный граф или ги-
гиперграф. Поэтому результаты о случайных графах помогают изуче-
изучению таких систем. Несомненно, что только одного этого применения
случайных графов было бы достаточно для оправдания интереса к
теории случайных графов.
Теория случайных подстановок является хорошо развитым разде-
разделом вероятностной комбинаторики. Хотя В. Л. Гончаров уже в сороко-
сороковых годах достаточно полно исследовал цикловую структуру случай-
случайных подстановок, интерес к этой области исследований не пропал. В

Предисловие
книге дается полное описание асимптотического поведения распреде-
распределения общего числа vn циклов в случайной подстановке степени п, то
есть вероятностей Р{ип = /с}, при всех соотношениях между парамет-
параметрами п и к = к(п) при п —> оо. Приводятся также асимптотические
результаты для числа решений уравнения Xd = е, где неизвестная
подстановка X принадлежит Sn, d — фиксированное целое положи-
положительное число и е — единица симметрической группы Sn.
Мы не видим возможности применения обобщенной схемы разме-
размещения в исследованиях неравновероятных графов, в книге приводятся
некоторые результаты для таких графов, полученные с использовани-
использованием метода моментов. Статистические приложения случайных графов,
отклоняющихся от равновероятных, вызывают необходимость разви-
развития регулярных методов исследования таких случайных структур.
Книга состоит из пяти глав. В главе 1 описана обобщенная схема
размещения и приведены ее применения к случайному лесу из не-
некорневых деревьев, к случайному графу, состоящему из компонент,
содержащих ровно один цикл, и к случайному графу, представляю-
представляющему собой смесь деревьев и компонент с одним циклом. В главе 2
эти результаты применяются при изучении эволюции случайного гра-
графа. Глава 3 посвящена случайным системам линейных уравнений в
GFB). Случайные подстановки рассматриваются в главе 4, а глава 5
содержит некоторые сведения об уравнениях вида Xd = е, где X и
е — неизвестная и тождественная подстановки, d — целое неотрица-
неотрицательное число.
Большую часть представленных в книге результатов составляют
результаты, полученные в последние два десятилетия. Ссылки при-
приводятся в последнем параграфе каждой главы. Ясно, что невозмож-
невозможно дать исчерпывающий список статей по каждому из затронутых в
книге разделов. В дополнение к статьям, результаты которых исполь-
используются в тексте, в заключительном параграфе каждой главы даются
ссылки на статьи по близкой тематике особенно в тех случаях, когда
аналогичные результаты получены другими методами.
Предполагается, что читатель знаком с основами комбинаторики
и стандартными курсами математического анализа и теории вероят-
вероятностей. Раздел 1.1 включает формулировки ряда результатов теории
вероятностей, используемых в книге.
В книге используется следующая нумерация утверждений и фор-
формул: а.Ь.с. обозначает главу а, параграф Ь и номер с объекта в этом
параграфе.
Книга продолжает традиции книги «Случайные отображения»
[55] и отличается от других исследований случайных графов систе-
систематическим использованием обобщенной схемы размещений, при ко-
котором многие комбинаторные задачи сводятся к задачам о суммах
независимых случайных величин. Автор надеется, что глава, посвя-
посвященная системам случайных линейных уравнений в GFB), заинтере-
заинтересует широкий круг читателей.
Это первая книга на русском языке, целиком посвященная теории

Предисловие
случайных графов. Она представляет собой переработку моей книги,
опубликованной на английском языке в издательстве Кембриджско-
Кембриджского университета в 1999 году. На английском языке имеется несколько
хороших монографий по теории случайных графов, я хочу выразить
мою искреннюю признательность Ж.-К. Рота за предложение опубли-
опубликовать книгу по этой тематике в редактируемой им известной серии
«Энциклопедия математики и ее приложений».
Я благодарен Российскому фонду фундаментальных исследова-
исследований, поддержка которого позволила издать книгу на русском языке.
Я также высоко ценю поддержку моих коллег по Математическому
институту им. В. А. Стеклова, оказанную мне во время написания
книги.

Глава 1
Обобщенная схема размещения и
компоненты случайных графов
1.1. Вероятностный подход к перечислительным
задачам комбинаторики
Перечислительные задачи комбинаторики состоят в нахождении точ-
точного или приближенного выражения для числа комбинаторных объ-
объектов, обладающих требуемым свойством. В этой книге применяется
вероятностный подход к перечислительным задачам.
Основным понятием теории вероятностей является вероятностное
пространство (Q,si, Р), где Q — множество произвольных элементов,
si — некоторое множество подмножеств ?1, образующих а-алгебру со-
событий с операциями объединения и пересечения множеств, и Р — не-
неотрицательная счетно аддитивная функция, определенная для каж-
каждого события A Е si, такая, что P(Cl) = 1. Множество ?1 называется
пространством элементарных событий и Р вероятностью. Случайной
величиной называется действительная измеримая функция ? = ?(cj),
определенная для всех ио Е Q.
Предположим, что Q содержит конечное число элементов. Тогда
вероятность Р определена на всех подмножествах множества ?1, если
она определена для каждого элементарного события ио Е ?1. В этом
случае любая действительная функция ? = ?(а;), определенная на
таком пространстве элементарных событий, есть случайная величина.
Вместо действительной функции можно рассматривать функцию
/(cj), принимающую значения из некоторого множества Y произволь-
произвольных элементов. Такую функцию f(uo) можно рассматривать как обоб-
обобщение случайной величины и называть случайным элементом мно-
множества Y.
При изучении комбинаторных объектов обычно рассматривается
вероятностное пространство, имеющее естественную комбинаторную
интерпретацию: в качестве пространства элементарных событий tl вы-
выбирается множество изучаемых комбинаторных объектов и каждому

10	1. Обобщенная схема размещения
объекту приписывается одинаковая вероятность. В этом случае чис-
числовые характеристики комбинаторных объектов из Q становятся слу-
случайными величинами. Термин случайный элемент множества Q обыч-
обычно используется для тождественной функции f(oo) = со, ио Е ?1, ото-
отображающей каждый элемент множества комбинаторных объектов в
себя. Так как на Q задано равномерное распределение, вероятность
того, что тождественная функция / принимает любое фиксированное
значение ио одинакова для всех ио Е ?1. Поэтому понятие случайного
комбинаторного объекта из множества О, введенное с помощью тож-
тождественной функции f(oo) = со, согласуется с обычным определением
случайного объекта из множества ?1 как элемента, выбранного из это-
этого множества с равными вероятностями.
Заметим, что случайный комбинаторный объект с тем же самым
распределением можно определить и на более широком вероятност-
вероятностном пространстве. Однако для целей комбинаторики приведенного
здесь естественного построения достаточно в большинстве случаев.
Исключение составляют те немногие случаи, когда рассматривается
несколько независимых случайных комбинаторных объектов, в таких
случаях приходится использовать более богатое вероятностное прост-
пространство, например, прямое произведение естественных вероятностных
пространств.
В случае вероятностного пространства с равномерным распреде-
распределением, рассматриваемые задачи, несмотря на вероятностную терми-
терминологию, по существу представляют собой перечислительные задачи
комбинаторного анализа. Вероятностный подход в этих случаях обес-
обеспечивает удобную форму представления и помогает привлекать мето-
методы асимптотического анализа, хорошо развитые в теории вероятнос-
вероятностей.
Итак, при вероятностном подходе, числовые характеристики слу-
случайного комбинаторного объекта суть случайные величины. Основной
характеристикой случайной величины ? является ее функция распре-
распределения F(x), определяемая для любого действительного числа х как
вероятность события {? ^ ж}, то есть
F(x) = Р{? < х}.
Функция распределения F(x) определяет на действительной прямой
распределение вероятностей, которое называется распределением слу-
случайной величины ?. Относительно этого распределения для заданной
функции д(х) можно определить интеграл Лебега-Стилтьеса
g(x)dF(x).
)
Вероятностный подход удобен при асимптотическом анализе комби-
комбинаторных задач. Обычно имеется последовательность случайных ве-
величин ?п, п = 1, 2,... , описывающих некоторую характеристику рас-
рассматриваемых комбинаторных объектов с растущим параметром п,

1.1. Вероятностный подход	11
и нас интересует асимптотическое поведение функций распределения
Fn(x) = Р{Сп < х} при п —> оо.
Последовательность распределений с функциями распределения
Fn(x) слабо сходится к распределению с функцией распределения
F(x), если для любой непрерывной ограниченной функции д(х) при
п ^ оо
/ g{x)dFn{x)^ g{x)dF{x).
J— оо	J — оо
/—оо	J — оо
Слабая сходимость распределений прямо связана с поточечной схо-
сходимостью функций распределения.
Теорема 1.1.1. Последовательность функций распределения Fn(x)
сходится к функции распределения F(x) во всех точках ее непрерыв-
непрерывности тогда и только тогда, когда соответствующая последова-
последовательность распределений слабо сходится к распределению с функци-
функцией распределения F{x).
Распределение, или функция распределения F(x), в некотором
смысле полностью характеризует случайную величину ?. Более прос-
простыми характеристиками случайной величины ? являются ее моменты.
Если интеграл
/»ОО
/ |х| dF(x)
J — оо
существует, то
/»ОО
xdF(x)
называется математическим ожиданием или средним значением слу-
случайной величины ?. Величина
ЛОО
= / xrdF(x)
J — ОО
называется r-м моментом или моментом r-го порядка (если этот ин-
интеграл от модуля \х\Т существует).
В вероятностной комбинаторике обычно рассматриваются неотри-
неотрицательные целочисленные случайные величины. Для таких случай-
случайных величин естественной характеристикой служат факториальные
моменты. Величина
m(r) =
- г
называется r-м факториальным моментом случайной величины ? (ес-
(если это математическое ожидание существует).
Если функция распределения F(x) может быть представлена в ви-
виде
F(x) = [
J — о
р(и) du,

12	1. Обобщенная схема размещения
где р(и) ^ 0, то говорят, что распределение имеет плотность р(и).
Вместо функции распределения, распределение целочисленной слу-
случайной величины ? удобно представлять вероятностями ее отдельных
значений. Для целочисленной неотрицательной случайной величины
? будут использоваться обозначения
к}, /с = 0,1,... ,
а для целочисленный неотрицательных случайных величин ?п
Р{кП) = Р{Сп = к}, к = 0,1,...
Ясно, что
оо
п=0
если этот ряд сходится.
Нетрудно видеть, что верно следующее утверждение.
Теорема 1.1.2. Последовательность распределений {Pk }>
п = 1,2,... , слабо сходится к распределению {pk} тогда и только
тогда, когда при п —> сю для каждого фиксированного к = 1,2,...
(п)
Для оценки вероятности Р{<^ > 0} неотрицательной целочисленной
случайной величины ? может оказаться полезным простое неравенст-
неравенство
0} = $>{? = *Х Z>* = Е?-	(l.i.i)
/с=1	к=1
В частности, если для последовательности <^п, п = 1, 2,... , таких слу-
случайных величин Е<^п —> 0 при п -^ сю, то
Pfe > 0} -> 0.
Поскольку обычно нахождение моментов случайной величины осу-
осуществляется проще, чем нахождение ее распределения, полезно иметь
критерий, по которому можно было бы судить о сходимости распреде-
распределений по поведению соответствующих моментов. В этой связи следует
сразу заметить, что даже если случайная величина ? имеет моменты
всех порядков, ее распределение не всегда может быть восстановле-
восстановлено по последовательности моментов, так как существуют различные

1.1. Вероятностный подход	13
распределения вероятностей, которым соответствуют одинаковые по-
последовательности моментов. Например, нетрудно убедиться в том, что
при любом п = 1, 2,...
/>О
/
Jo
и поэтому при — 1 ^ а ^ 1 функция
есть плотность распределения вероятностей на [0, сю) и ее моменты не
зависят от а.
Таким образом, функции распределения, имеющие все моменты,
разбиваются на два класса, класс функций, которые однозначно опре-
определяются своими моментами, и класс функций, которые не могут быть
однозначно восстановлены по своим моментам. Известно несколько
достаточных условий того, что проблема моментов (проблема восста-
восстановления функции распределения по ее моментам) имеет единствен-
единственное решение. Пусть
Мп= / \x\ndF(x).
J — оо
Функция распределения F(x) однозначно восстанавливается по после-
последовательности своих моментов mr, г = 1, 2,... , если существует такое
Л, что
-М^п < Л.	A.1.2)
п
Следующая теорема описывает так называемый метод моментов, эф-
эффективно применимый только к функциям распределения из первого
класса, то есть к функциям распределения, которые однозначно оп-
определяются своими моментами.
Теорема 1.1.3. Если функции распределения Fn(x), n = 1,2,... ,
имеют моменты всех порядков и для любого фиксированного г =
1, 2,... при п —> сю
/>ОО
xr dFn(x) —> rar, \mr\ < сю,
то существует такая функция распределения F{x), что для любого
фиксированного г = 1, 2,...
ЛОО
,г= / xrdF(x),
J — ОО

14	1. Обобщенная схема размещения
и из последовательности Fn(x), п = 1, 2,... , можно выделить под-
подпоследовательность Fnk(x), к = 1,2,... , сходящуюся к F(x) при
п —> оо в каждой точке непрерывности F(x).
Если последовательность тг, г = 1,2,... , однозначно определя-
определяет функцию распределения F(x), то Fn(x) —> F(x) при п —> оо в
каждой точке непрерывности F(x).
Заметим, что нормальное распределение и распределения Пуассо-
Пуассона однозначно определяются своими моментами.
Один из полезных приемов вычисления моментов целочисленных
случайных величин состоит в представлении этих величин в виде сумм
индикаторов, случайных величин, принимающих только значения 0 и
1. Тогда для вычисления факториальных моментов можно использо-
использовать следующее утверждение.
Теорема 1.1.4. Если
Sn = ?i + • • • + ?п
и случайные величины ?i,... , ?п принимают только значения 0 и 1,
то для любого т = 1,2,... , п
Sn(Sn - 1)... (Sn - т + 1) = J2 &i ''' &«»
где суммирование проводится по всем различным упорядоченным но-
борам различных индексов {ii,... , im} (число которых равно (^)т!).
Производящие функции также являются эффективным средством
решения многих задач, связанных с целочисленными неотрицатель-
неотрицательными случайными величинами. Функция комплексного переменного
^-~- -	(i-1-З)
к=0
называется производящей функцией распределения случайной вели-
величины ?. Она определена по крайней мере при \z\ ^ 1. Например, для
распределения Пуассона с параметром Л, определяемого вероятностя-
вероятностями
производящая функция равна ех^~г\
Соотношение A.1.3) определяет взаимно однозначное соответствие
между производящими функциями и распределениями неотрицатель-
неотрицательных целочисленных случайных величин, так как распределение может
быть восстановлено по производящей функции с помощью формулы
^	к = 0,1,...	A.1.4)

1.1. Вероятностный подход	15
Производящие функции особенно полезны при изучении сумм неза-
независимых случайных величин. Если ?i,... , ?п — независимые неотри-
неотрицательные целочисленные случайные величины и Sn = ?1 + ... + ?n,
то
Соотношение между производящими функциями и распределениями
непрерывно в следующем смысле.
Теорема 1.1.5. Пусть {р? }, п = 1,2,... , — последовательность
распределений. Если при п —> сю для любого фиксированного к =
0,1,...
(п)
Рк ->pfc,
то последовательность соответствующих производящих функций
фп{%), п — 1,2,... , сходится к производящей функции последова-
последовательности {pk} равномерно в любом круге \z\ < г < 1.
В частности, если {рк} — распределение вероятностей, то
последовательность соответствующих производящих функций схо-
сходится к производящей функции ф(г) распределения {рк} равномерно
в любом круге \z\ ^ г < 1.
Теорема 1.1.6. Если последовательность производящих функций
фп(г), п = 1>2,..., распределений {р^ } сходится к производящей
функции ф(г) некоторого распределения {рк} на множестве М, ко-
которое имеет предельную точку внутри круга \z\ ^ 1, то распреде-
распределения {рд. } слабо сходятся к распределению {рк}-
Так как производящая функция ф(г) = Y^k=oVkZk аналитична, ее
коэффициенты можно вычислять по формуле Коши
где интеграл берется по контуру С, лежащему внутри области анали-
аналитичности функции ф(г) и содержащему точку z = 0.
Таким образом, чтобы изучать поведение рп при п —> сю, доста-
достаточно уметь оценивать контурные интегралы вида
где g(z) и f(z) аналитичны в окрестности контура интегрирования С
и Л — действительный параметр, стремящийся к бесконечности.
Для оценки таких интегралов используется метод перевала. Кон-
Контур интегрирования С может быть выбран различными способами. В
методе перевала требуется выбирать контур С так, чтобы он прохо-
проходил через точку zq, которая является корнем уравнения f'{z) = 0. Эта

16	1. Обобщенная схема размещения
точка называется точкой перевала, или седловой точкой, поскольку
функция 5R/(z) в окрестности zo имеет график, похожий на седло или
горный перевал. В методе перевала требуется, чтобы контур интег-
интегрирования выбирался так, чтобы он проходил через точку перевала
zo в направлении наискорейшего подъема и спуска функции 5ft/(z).
Однако нахождение такого контура и его использование часто ока-
оказывается трудной задачей, поэтому обычно выбирают более простой
(но не наилучший) контур, несколько отклоняющийся от направле-
направления наискорейшего подъема и спуска, что может привести к потере
точности остаточного члена в оценке интеграла.
Параметрическое представление контура интегрирования перево-
переводит контурный интеграл в интеграл с действительной переменной ин-
интегрирования. Поэтому следующая теорема об оценке интегралов с
растущим параметром, идейно восходящая к Лапласу, иногда может
помочь при оценивании исходных контурных интегралов.
Теорема 1.1.7. Если интеграл
рОО
G(A) = / g(t)eXf{t) dt
J — oo
абсолютно сходится при некотором А = Ао, то есть
\g(t)\ex°nt) dt < М,
если функция f(t) достигает максимума в точке to и в окрест-
окрестности этой точки
f(t) = /(t0) + a2(t - toJ + a3(t - toK + ... ,
где п2 < 0,
если для любого сколь угодно малого S > 0 существует такое
h = h(S) > 0; что
f(to) -
при \t — to\ > 5,
и если при t —> to
где с — некоторая ненулевая постоянная и т — неотрицательное
целое число, то при А —> сю
G(\) =
где Т(х) — гамма-функция и
1
01" 7^ " v-f"(*о)/2'

1.1. Вероятностный подход	17
В частности, если т = 0, то с = g(to) и при Л —> сю
G(A) = eA/(fo) g(*o) =v/^7A(l + OA/VA)).	A.1.5)
Чтобы показать, что эта довольно сложно формулируемая теорема
может быть реально использована, оценим с ее помощью интеграл
ЛОО
Г(А + 1)= / xxe~xdx
Jo
при Л —> оо и получим формулу Стирлинга. Замена переменных х = Xt
приводит интеграл к виду
/»ОО
Г(А + 1) = Ал+1е-А / e-A(t-i-int)
Jo
В этом случае
(?(*) = 1, /(*) = -(* - 1 - lnt), /A)=0, /'(!) = О,
Условия теоремы выполняются, поэтому в силу A.1.5)
eA/(t) dt =
G(A) = / eA/(t) dt = v/2tt/aA
Jo
и для гамма-функции при п -^- оо мы получаем представление
Г(А + 1) = АА+1/2е-Ал/2^A + OA/VA)),
совпадающее с формулой Стирлинга с точностью до остаточного чле-
члена, который в действительности есть ОA/А).
Производящие функции могут использоваться только для неотри-
неотрицательных целочисленных случайных величин. Более универсальные
методы доказательства теорем о сходимости распределений последо-
последовательностей случайных величин основаны на использовании характе-
характеристических функций. Характеристической функцией случайной ве-
величины ? или характеристической функцией ее распределения назы-
называется функция
(pit) = (p^t) = Еей« = /
J —
eitxdF(x)	A.1.6)
где — оо < t < оо и F(x) — функция распределения случайной вели-
величины ?.
2 В. Ф. Колчин

18	1. Обобщенная схема размещения
Если существует r-й момент mr, то характеристическая функция
(p(t) дифференцируема г раз и
= г тг
Характеристические функции можно использовать при изучении
сумм независимых случайных величин, так как если Sn = ?1 + .. .+ ^П5
где ?i,... , Сп — независимые случайные величины, то
Характеристическая функция нормального распределения с парамет-
параметрами (т,сг2) и плотностью
Vbra
равна егш1~(Т l I2.
Равенство A.1.6) определяет взаимно однозначное соответствие
между характеристическими функциями и распределениями. Сущест-
Существуют различные функции обращения, предоставляющие формальную
возможность восстановить распределение по его характеристической
функции, но они имеют ограниченное применение на практике. При-
Приведем простейшую версию формулы обращения.
Теорема 1.1.8. Если характеристическая функция cp(t) абсолют-
абсолютно интегрируема, то соответствующее распределение имеет огра-
ограниченную плотность
e-ltxip(t) dt.
)
Соотношение, задаваемое равенством A.1.6), непрерывно в следу-
следующем смысле.
Теорема 1.1.9. Последовательность распределений слабо сходит-
сходится к предельному распределению тогда и только тогда, когда со-
соответствующая последовательность характеристических функций
ipn(t) сходится к непрерывной функции cp(t) при п —> сю в каждой
фиксированной точке t, —сю < t < сю. В этом случае (p(t) — ха-
характеристическая функция предельного распределения и сходимость
<?n(?) —> (fit) равномерна в любом конечном интервале.
Для последовательности ?п характеристик случайных комбинатор-
комбинаторных объектов применение теоремы 1.1.9 дает возможность получить
предельную функцию распределения. Однако для целочисленных ха-
характеристик более точное описание предельного поведения ее распре-
распределения давало бы указание локального поведения этого распределе-
распределения, то есть поведения вероятностей отдельных значений этой харак-
характеристики. Поэтому для целочисленных случайных величин особое
значение имеют так называемые локальные предельные теоремы.

1.1. Вероятностный подход	19
Пусть ? — целочисленная случайная величина ирп = Р{<^ = п}.
Ясно, что P{<f G Г]_} = 1, где Fi — решетка всех целых чисел. Если
существует решетка Г^ с шагом d такая, что P{<f G Г^} = 1 и нет
решетки Г с шагом, большим d, такой, что P{<f G Г}, тогда d назы-
называется максимальным шагом распределения ?. Характеристическая
функция (p(t) случайной величины ? периодична с периодом 2ir/d и
\ip(t)\ < 1 при 0 < t < 2ir/d.
Для целочисленных случайных величин формула обращения име-
имеет вид
Рассмотрим сумму Sn = ?i + • • • + Cn независимых одинаково рас-
распределенных целочисленных случайных величин ?i,... , ?/v- В случае,
когда распределения слагаемых одинаковы и не зависят от TV, задача
оценки вероятностей P{SV = ть} при N -^ оо полностью решена. Ес-
Если существует такая последовательность центрирующих и нормиру-
нормирующих постоянных An и Ду, что распределения случайных величин
(Sn — An)/Bn слабо сходятся к некоторому невырожденному рас-
распределению, то предельное распределение имеет плотность. Более то-
того, на решетке с шагом, равным максимальному шагу распределения
слагаемого, справедлива локальная предельная теорема. Если макси-
максимальный шаг распределения слагаемого равен единице, то локальная
теорема справедлива на решетке целых чисел.
Теорема 1.1.10. Пусть ?i,?2>... — последовательность независи-
независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин и
существуют такие An и Bn, что при N —> сю для любого фиксиро-
фиксированного х
d(Sn~An^ \ Г ( \j
Р <^	< х \ ^ / р(и) du.
Тогда, если максимальный шаг распределения ?i равен единице, то
BNP{SN = п}- р((п - AN)/BN) -> 0
равномерно по п.
Локальные предельные теоремы играют важную роль в последу-
последующем изложении. Поэтому мы приведем доказательство локальной
предельной теоремы о сходимости к нормальному распределению с
тем, чтобы это доказательство служило моделью для аналогичных
доказательств, проводимых далее в более сложных случаях.

20	1. Обобщенная схема размещения
Теорема 1.1.11. Пусть независимые одинаково распределенные це-
целочисленные случайные величины ?ь?2> • • • имеют математическое
ожидание а и положительную дисперсию а2. Тогда если максималь-
максимальный шаг распределения ?i равен единице, то при N —> сю
\2 •
1 ->о
равномерно по п.
Доказательство. Пусть
п- aN
Если (p(t) — характеристическая функция случайной величины ?]_, то
характеристическая функция суммы Sn = <fi + • • • + ?zv равна tpN (t) и
По формуле обращения
1 г*
Пусть <p*(t) обозначает характеристическую функцию центрирован-
центрированной случайной величины ?i — а, равную <p(t) exp{—ita}. Поскольку
п = aN -\- агл/N\ из A.1.7) следует, что
1 Рп
27Г J-7T
После подстановки х = tay/N, это равенство принимает вид
<ry/NPN(n) = — I	e~lxz ((p*(x/(ay/lV)))N dx.	A.1.8)
По формуле обращения

1.1. Вероятностный подход	21
Из A.1.8) и A.1.9) следует, что разность
RN = 2тг aVNPN(n) - ~1=e~z /2	A.1.10)
может быть записана в виде суммы четырех интегралов
-А
h=
где постоянные А и е будут выбраны ниже.
Для того чтобы доказать, что Rn —> 0 при N —> сю, возьмем про-
произвольное 5 > 0 и покажем, что Rn может быть сделано меньше 5
при достаточно большом N.
Для /2 справедлива оценка
f
Ja
А^\х\
и величина |/2| может быть сделана сколь угодно малой выбором до-
достаточно большого А.
Так как E?i = а и D<fi = сг2, для характеристической функции
<p*(t) при t -^ 0 справедливо соотношение
y?*(t) = 1 - ^— + о(?2).	A.1.11)
Пусть (fN(t) обозначает характеристическую функцию случайной ве-
величины (Sn—o>N)/(&VN), равную (cp:?(x/(ayrN)))N. Для любого фик-
фиксированного ж и TV -^ сю из A.1.11) следует соотношение
lnipN(x) =Nln(p*(x/(avrN))

22	1. Обобщенная схема размещения
из которого в свою очередь следует, что для любого фиксированного
х при N —> сю
<pN(x) -* е-*2'2.	A.1.12)
Кроме того, как следует из A.1.11), существует е > 0 такое, что при
||
Используя при оценке /з это неравенство, находим, что
и выбором достаточно большого А величина |/з| может быть сделана
сколь угодно малой.
Пусть г выбрано так, что выполняется A.1.13) и А таково, что
1^21 ^ S/A и |/з| ^ 5/4. Оценим теперь интегралы 1\ и /4 при фиксиро-
фиксированных г и А. Из A.1.12) следует, что распределение случайной вели-
величины (Sjv — aN)/(a\/N) слабо сходится при N —> сю к нормальному
распределению с параметрами @,1). Сходимость характеристических
функций (Pn{%) k характеристической функции нормального закона
равномерна в любом конечном интервале, и следовательно, интеграл
1\ стремится к нулю при N —> сю.
Интеграл /4 равен
[	\tp(t)\N dt.
Поскольку максимальный шаг распределения <fi равен единице, спра-
справедлива оценка
max \ip(t)\ =q<l.
Отсюда следует, что
\h\
и /4 —> 0 при N —> сю.
Оценки интегралов 1\ и /4 показывают, что существует такое No,
что |/i| < 6/4 и |/4| < 6/4 при JV > iV0.
Таким образом, Rn стремится к нулю при N -^ сю равномерно
относительно целых п.
В большинстве применений локальных теорем, возникающих в на-
настоящей книге, распределение слагаемых суммы Sn = ?1 + • • • + ?/v

1.1. Вероятностный подход	23
зависит от числа слагаемых N. В таких случаях нет полного ответа на
вопрос, когда для Sn справедлива локальная предельная теорема. Да-
Даже в случае сходимости к нормальному закону известные достаточные
условия справедливости локальной предельной теоремы нельзя счи-
считать вполне удовлетворительными. Поэтому для каждого конкретно-
конкретного распределения, параметры которого зависят от числа слагаемых,
приходится проводить отдельное доказательство локальной теоремы
по схеме, описанной выше. В надежде, что будут найдены простые до-
достаточные условия справедливости локальной теоремы для независи-
независимых целочисленных слагаемых, аналогичные условиям теорем 1.1.10
и 1.1.11, мы иногда будем опускать сложные выкладки, возникающие
в оценках характеристических функций в доказательствах локальных
теорем.
Если ?i,... , ?,n — независимые одинаково распределенные случай-
случайные величины такие, что
то Sn = ?i + • • • + Cn имеет биномиальное распределение с парамет-
параметрами (iV,p), то есть для любого к = 0,1,... , N
kN-k
Если Npq —>¦ оо, то биномиальное распределение аппроксимируется
нормальным распределением. Следующая теорема, известная как тео-
теорема Муавра-Лапласа, может быть доказана прямым анализом явной
формулы.
Теорема 1.1.12. Если N —> оо и A + и6)/(Npq) —> 0, где
k-Np
и =
Из теоремы 1.1.12 вытекает известная интегральная теорема Му-
Муавра-Лапласа.
Теорема 1.1.13. Если N -> оо и A + и6)/(Npq) -> 0, где
k-Np
и =
то
P{SN ^к} = —L / е~х2/2 dx(l

24	1. Обобщенная схема размещения
Если р —>¦ 0, то биномиальное распределение аппроксимируется
распределением Пуассона. Хорошо известно, что если N —>¦ оо и iVp —>¦
Л, 0 < Л < оо, то
kN-k v ^ -А
для любого фиксированного /с = 0,1,... Пуассоновское приближе-
приближение справедливо и в случае, когда Np стремится к бесконечности не
слишком быстро.
Теорема 1.1.14. Если N —> оо; Np —> оо; A + и2)р —> 0, где
к — Np
и =
Распределение Пуассона сходится к нормальному распределению,
когда его параметр стремится к бесконечности.
Теорема 1.1.15. Если A + и6)/Х -> 0, где и = (к - \)/у/\, то
, ^3^ ,
6л/А	V л
Ниже нам потребуются оценки хвостов биномиального распреде-
распределения в виде неравенств с явной постоянной.
Теорема 1.1.16. Для любого х > О
P{SN - ESN > Nx} < e~2Nx\
1.2. Обобщенная схема размещения
В прошедшие два десятилетия для решения ряда вероятностных за-
задач комбинаторики использовалась так называемая обобщенная схема
размещения частиц. Многие результаты, приводимые в книге, полу-
получены путем сведения комбинаторных задач к соответствующей обоб-
обобщенной схеме размещения.
Рассмотрим последовательность п независимых испытаний с N
равновероятными исходами 1,2,... , N. Пусть щ — число появлений
исхода г в этой последовательности, г = 1,2,... , TV. Случайные вели-
величины rji )...•> rj n имеют полиномиальное распределение: если

1.2. Обобщенная схема размещения	25
fci,... , /сдг — неотрицательные целые числа такие, что fci + .. .+fcjv = п?
то
п!
A.2.1)
Полиномиальное распределение появляется в равновероятной схе-
схеме размещения частиц. Если п частиц последовательно независимо
одна от другой размещаются с равными вероятностями в N ячеек,
занумерованных числами 1,2,... , N, то заполнения ячеек 771,... ,rjN
имеют полиномиальное распределение A.2.1).
В схеме размещения частиц, приводящей к полиномиальному рас-
распределению, заполнения ячеек получаются путем независимых после-
последовательных размещений частиц. Если отказаться от требования, что-
чтобы заполнения получались путем некоторого последовательного раз-
размещения частиц, управляемого каким-либо простым вероятностным
правилом, то любой набор неотрицательных целочисленных случай-
случайных величин r/i,... , tjn таких, что щ + ... + tjn = 71, можно рассмат-
рассматривать как размещение п частиц в N ячейках и интерпретировать щ
как число частиц а ячейке с номером г, г = 1,2,... , iV.
Некоторые задачи комбинаторики можно изучать, используя обоб-
обобщенные схемы размещения, в которых совместное распределение за-
заполнений ячеек 7/1,... , tjn может быть представлено в виде
= fei,... , 6v = kN I a + • • • + 6v = n}, A.2.2)
где ?1,... , ?/v — независимые одинаково распределенные целочислен-
целочисленные случайные величины.
Итак, обобщенная схема размещения частиц по ячейкам задается
параметрами п и N и распределением независимых случайных ве-
величин ?i,... ,?/Vj которое в силу соотношения A.2.2) определяет со-
совместное распределение заполнений ячеек щ,... , tjn . Положим
Рк = Р{& = к}, к = 0,1,...	A.2.3)
Для случайных величин щ,... , г/дг с полиномиальным распреде-
распределением A.2.1), соотношение A.2.2) выполняется, если ?i имеют рас-
распределение Пуассона с произвольным параметром Л:
Рк = Р{& = к} = ^-||-, Л = 0,1,...	A.2.4)
Поэтому на распределение случайных величин 7/1,... ,7/аг, удовлет-
удовлетворяющее соотношению A.2.2) при некотором распределении A.2.3),
можно смотреть как на обобщение полиномиального распределения.

26	1. Обобщенная схема размещения
За равновероятной схемой размещения частиц, приводящей к по-
полиномиальному распределению A.2.1), утвердилось название класси-
классическая схема размещения. Терминология классической схемы разме-
размещения оказалась удобной для описания многих задач, в которых по-
появляется полиномиальное распределение. Многие результаты в клас-
классической схеме размещения могут быть получены с использованием
соотношения A.2.2), связывающего полиномиальное распределение с
распределением Пуассона A.2.4). Введение обобщенной схемы разме-
размещения частиц не только расширяет область использования удобно-
удобного языка для описания комбинаторных структур, но также дает воз-
возможность применять те методы, которые опираются на соотношение
A.2.2) и были развиты при анализе классической схемы.
Обозначим nr(n,N) число ячеек, содержащих ровно г частиц в
обобщенной схеме размещения п частиц в N ячеек с распределениями
A.2.2) и A.2.3). Покажем, что соотношение A.2.2) можно использо-
использовать при изучении этой случайной величины.
Пусть ?^ ,... , ?J^ — независимые одинаково распределенные слу-
случайные величины, распределение которых следующим образом связа-
связано с распределением случайных величин ?i,... ,Cn-
= к | 6 ф г}, к = 0,1,...
Введем обозначения
с t \	i t	c(r) е(г) I	I Лг)
Следующая лемма выражает распределение [ir(n, N) через вероятнос-
вероятности сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.
Лемма 1.2.1. Для любого к = 0,1,... , N
Доказательство. Обозначим А^ событие, состоящее в том, что
ровно к случайных величин ?i,... , q,n принимают значение г. В силу
соотношения A.2.2)
= к} =
дт —
Утверждение леммы получается путем простых преобразований чис-
числителя. Событие А^ может осуществиться при (fc) различных выбо-

1.2. Обобщенная схема размещения	27
рах случайных величин, которые принимают значение г, поэтому
_ N-k
к У'
X P{Sjv = П | ?l Ф Г, . . . , ?,N-k Ф Г, <
В обобщенной схеме размещения частиц существует довольно прос-
простой подход к изучению вариационного ряда rj^ ^ гуB) ^ • • • ^ V(n)j
полученного расположением случайных величин щ,... , t]n в неубы-
рд
Пусть ?} ,... , ?Jy — независимые одинаково распределенные слу-
слувающем порядке
Пусть ?} ,... Jy
чайные величины с распределением
йА) =к} = Р{6 = к\?1?А}, к = 0,1,... ,
где А — подмножество множества натуральных чисел такое, что
{ ф А} > 0. В частности, если А состоит из одной точки г, то
{ ф }
?i = ?i ' гДе ^1 ~~ случайная величина, определенная перед лем-
леммой 1.2.1. Положим
„(А) _ АА)	JA)
°N — si ~l~ • • • "Г C,N •
Следующая лемма сводит изучение распределений членов вариа-
вариационного ряда к изучению вероятностей, связанных с последователь-
последовательностями независимых случайных величин.
Лемма 1.2.2. Для любого т, т = 1,... , N,
ГП1 /N
/\T
P/r,	< \ X^
P{TKN-m+l) ^ПХ[
^	Pr)Pr	P{SN=n}	'
A.2.6)
rn~1	()	()
[1)г(^ Pr)	P{SN=n}
A.2.7)
где Аг — множество неотрицательных целых чисел, не превосхо-
превосходящих г, Аг — его дополнение в множестве всех неотрицательных
целых чисел и Pr = P{<fi > г}.

28	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Мы докажем A.2.7) для т = 1. Для максималь-
максимального члена вариационного ряда ?7(дг) = max(?7i,... , гцу) в силу A.2.2) и
независимости случайных величин ?i,... , ?n справедливы равенства
г} = Р{щ < г,... , f]N < г}
Используя случайные величины <fj ,... ,?Jy- , окончательно полу-
получаем, что
Для произвольного 7П соотношения A.2.6) и A.2.7) доказываются
аналогично.
Для совместного распределения случайных величин
/iri (n, iV),... , /irs (n, iV) следующее утверждение может быть доказано
аналогично тому, как это сделано при доказательстве леммы 1.2.1.
Лемма 1.2.3. Для любых различных целых неотрицательных чи-
чисел fcb... ,/cs,rb... ,rs
Леммы 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3 выражают распределения случайных
величин /xr(n, iV) и членов вариационного ряда ^(l)?7?^)? • • • ? ^(iv) B
обобщенной схеме размещения частиц через вероятности, связанные
с суммами независимых случайных величин. Таким образом, полу-
получение предельных распределений для случайных величин /xr(n, iV) и
77(i)?77BO • • • ,V(N) сводится к применению локальных предельных те-
теорем для сумм независимых одинаково распределенных целочислен-
целочисленных случайных величин.
Приведем теперь несколько примеров комбинаторных задач, изу-
изучение которых сводится к изучению обобщенной схемы размещения
частиц.

1.2. Обобщенная схема размещения	29
Пример 1.2.1. Рассмотрим однозначные отображения конечного
множества Хп = {1,2,... ,п}в себя. Однозначное отображение s мно-
множества Хп в себя можно представить в виде таблицы
1 2 ... п
S ~ \s s2 ... sn
где Sk есть образ к, к = 1, 2,... , п, при отображении s. С отображе-
отображением s естественным образом связан ориентированный граф Гп =
Г(ХП,И/П) с множеством вершин Хп и дугами Wn = {(fc,Sfc),fc =
1,2,... , п}, где дуга (/с, Sk) направлена из к в S&, /с = 1, 2,... , п. Чис-
Число дуг, входящих в вершину к в графе Гп , равное числу прообразов
элемента к в отображении s, называется кратностью вершины к.
Пусть Еп — множество всех однозначных отображений множества
Хп в себя и Гп — множество всех графов этих отображений. Число
элементов множества Еп очевидно равно пп. Зададим на множест-
множестве Еп равномерное распределение, тогда мы получим вероятностное
пространство с множеством элементарных событий Q = Еп, вероят-
вероятность любого множества из Еп равна числу его элементов, деленному
на пп. Случайное отображение а равно любому из пп различных ото-
отображений с вероятностью Р{а = s} = n~n, s G En. Если
2 ... n
G2 • • • Cn
где <7i — случайный образ элемента г, г = 1,2,...,п, то для любого 5
Р{сг = s} = P{cTi = 5Ь ... , ап = sn} = п~п.
Таким образом, случайные величины <ji, ... , оп независимы и прини-
принимают значения 1,2,... , п с равными вероятностями.
Обозначим г]г кратность вершины г в случайном отображении а,
г = 1,... , п. Величина г]г равна числу случайных величин cri,... , <тп,
принимающих значение г. Таким образом, для неотрицательных
целых чисел fci,... , fcn таких, что /ci + ... + кп = п,
вероятность P{?7i = fci,... , ?7n — ^п} равна сумме вероятностей
P{(Ji = 5i,... ,crn = 5n} = n~n по всем si,... ,5n, среди которых
ровно fcr величин равны г, г = 1,2,... , п. Число слагаемых в этой
сумме, очевидно, равно n!/(fci!... fcn!), поэтому
п\
Таким образом, совместным распределением кратностей вершин
?7ъ ... , т/п в случайном отображении является полиномиальное рас-
распределение. Рассматривая вершины как ячейки, а дуги входящие в

30	1. Обобщенная схема размещения
эти вершины как частицы, мы получаем классическую схему разме-
размещения и частиц в и ячеек с полиномиальным распределением запол-
заполнений ячеек 7/1,... , г)п. Для этих случайных величин справедливо со-
соотношение A.2.2)
Р{т = fci,... ,rjn = kn} = Р{?х = fci,... ,?та = fcn | ?i + ... + ?та = п},
где ?i,... , ?п — независимые одинаково распределенные случайные
величины, распределенные по закону Пуассона с произвольным пара-
параметром.
Число вершин цг{п) кратности г в случайном отображении соот-
соответствует числу ячеек, содержащих ровно г частиц в классической
схеме размещения и частиц в п ячейках. Для изучение этих случай-
случайных величин, так же как и других статистик, зависящих от кратностей
вершин, можно использовать леммы 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3.
Пример 1.2.2. Рассмотрим все различные разбиения целого поло-
положительного числа п на N упорядоченных слагаемых, не превосхо-
превосходящих г > 0. Число таких разбиений равно (п~^^~1). Зададим
равномерное распределение на множестве этих разбиений, приписав
вероятность (п д^^д) каждому разбиению п = п\ + ... + пдг,
ni,... , пдг ^ т. Тогда п можно записать в виде
где слагаемые ni,... , пдг являются случайными величинами. Если
П1, . . . , Пдг ^ГИП = П1 + ...+ Пдг, ТО
Обобщенная схема размещения, соответствующая этой комбинатор-
комбинаторной задаче, получается, если взять случайные величины ?i,... ,<^дг,
распределенные по геометрическому закону
Р{?х = к} = рк~гA - р), к = г, г + 1,... , 0 < р < 1.
Действительно, как нетрудно проверить,
^	/n-(r-l)iV-r-1
= ПЬ... ,<^дг = Пдг | ?х + ...+<^дг =П| = '
поскольку для геометрически распределенных независимых слагае-
слагаемых
Tl-(r-l)N -1\ п_дгг/1	.дг

1.2. Обобщенная схема размещения	31
Пример 1.2.3. Заметим, что в обобщенной схеме размещения слу-
случайные величины ?, ... , ?n не обязательно должны быть одинаково
распределенными. Рассмотрим следующий пример. Из урны, содер-
содержащей rrii шаров г-то цвета, г = 1,... , N, с помощью случайной вы-
выборки без возвращения извлекается п шаров. Обозначим щ число из-
извлеченных шаров i-ro цвета, г = 1,... , N. Легко видеть, что для не-
неотрицательных целых чисел ni,... , пдг таких, что п\ -\-... + пдг = п,
= nN} =
где m = mi + ...
Если в обобщенной схеме размещения случайные величины
?ъ • • • >?/v распределены по биномиальным законам, то есть
где 0 < р < 1, к = 1, 2,... , пц, г = 1,... , N, то
fmi\ (mN
m
n
и распределение случайных величин щ,... , г/дг совпадает с условным
распределением независимых случайных величин ?i,... , ?дг при усло-
условии, что ?i + ... + ?/v = п- Таким образом, r/i,... , г/tv можно рас-
рассматривать как заполнения ячеек в обобщенной схеме размещения, в
которой независимые случайные величины ?i,... , Cn имеют, вообще
говоря, различные биномиальные распределения.
Пример 1.2.4. В определенном смысле граф Гп случайного ото-
отображения состоит из деревьев. Действительно, граф Гп естественным
образом разбивается на связные компоненты, причем каждая компо-
компонента содержит ровно один цикл. Вершины, образующие цикл, назы-
называются циклическими. Если убрать все дуги, соединяющие цикличес-
циклические вершины, то граф обращается в лес, то есть в граф, состоящий
из корневых деревьев.
Напомним, что корневое дерево сп + 1 вершинами — это связный
неориентированный граф, не содержащий циклов, с одной выделен-
выделенной вершиной, называемой корнем, и с п некорневыми вершинами.
Корневое дерево сп + 1 вершинами имеет п ребер. В дальнейшем все
ребра дерева считаются направленными от корня и кратность верши-
вершины равна числу выходящих из нее ребер.

32	1. Обобщенная схема размещения
Обозначим Тп множество всех корневых деревьев с п + 1 верши-
вершиной, корню которого приписан нуль, а и некорневых вершины зану-
занумерованы числами 1,2,... , и. Число элементов множества Тп равно
Лес с N корнями и и некорневыми вершинами — это граф, все
компоненты которого являются деревьями. Корни деревьев и сами
эти деревья занумерованы числами 1,... , TV, а некорневым вершинам
приписаны номера 1,... , и. Обозначим Тп^ множество всех таких
лесов. Число элементов в множестве ТП)дг равно N(n + iV)™. Число
лесов, в которых дерево с номером к содержит п& некорневых вершин,
к = 1, 2,... , п, равно
т!...пдгР L ' '
где множитель n\j{n\\.. .пдг!) есть число разбиений п вершин на N
упорядоченных групп, a (n& + l)nfc-1 есть число деревьев, которые
можно построить из к-й группы вершин этого разбиения, к = 1,... , N.
Поэтому
га! У У-^-^	•••I'W-r Ч	= iV(n + iV)"-1, A.2.9)
' J	Tl\! . . . 77/дг!
где суммирование проводится по неотрицательным целым числам
ni,... , пдг таким, что п\ + ... + пдг = п.
Зададим равномерное распределение на ТП)дг. Пусть щ обозначает
число некорневых вершин в к-м дереве случайного леса из Тп^, к =
1,... , N. Совместное распределение случайных величин щ,... , пдг за-
задается равенствами
77 (Т11 I 1 )^^
Р{Ш = ПЬ. . . ,Пдг = Пдг} = —		л 		,
iV(n + iV)n~1(ni + 1)!... (пдг + 1)!
A.2.10)
где ni,... , пдг — неотрицательные целые числа такие, что п\ + ... +
Пдг = П.
Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины ? 1,... , ? дг, для которых
= *} = ^7^Т^"вA). Л = 0,1,...,	A.2.11)
где параметр ж лежит в интервале 0 < х ^ е 1, а функция 0(ж) опре-
определена рядом
0(х) = V^ —^хк.
к=1

1.3. Связность графов и обобщенная схема размещения	33
Используя A.2.9), легко находим, что
_ 1 \пм
П\
-х"е
откуда следует, что для любого ж, 0 < х ^ е 1, и любых неотрица-
неотрицательных целых ni,... , пдг таких, что п\ + ... + пдг = п,
п\ (п\ + 1)П1 . . . (Пдг + 1)Пдг
iV(n + ЛГг-Чш + 1)!... (пдг + 1)!'
A.2.12)
Правые части равенств A.2.10) и A.2.12) одинаковы, так что совмест-
совместное распределение случайных величин щ,... , tjn совпадает с услов-
условным распределением ?i,... , ?/v ПРИ условии, что <fi + ... + <^дг = п.
Таким образом, для случайных величин 771,... , т/дг и ?i,... ,<^лг вы-
выполняется соотношение A.2.2) и для изучения размеров деревьев в
случайном лесе можно использовать обобщенную схему размещения, в
которой случайные величины ?i,... , ?/v имеют распределение A.2.11).
1.3. Связность графов и обобщенная схема
размещения
Не претендуя на исчерпывающее решение задач, возникающих при
изучении связности случайных графов, в этом параграфе мы изло-
изложим достаточно общую модель случайного графа, в которой естест-
естественным образом возникает обобщенная схема размещения. Рассмот-
Рассмотрим множество всех графов Tn(R) с п занумерованными вершинами,
обладающих некоторым свойством R. Будем предполагать, что поня-
понятие связности определено для графов этого множества и что каждый
граф представляет собой набор связных компонент. В дальнейшем
полезно представлять, как приводимое далее формальное изложение
реализуется, например, для графов случайных отображений или под-
подстановок. Первые из этих графов состоят из компонент, представляю-
представляющих собой ориентированные графы с одним циклом, а вторые состоят
только из ориентированных циклов.
Пусть ап — число графов в множестве Tn(R), а Ъп — число связных
графов в Yn{R). Обозначим Tn^{R) подмножество графов из Yn{R)
ровно с N связными компонентами. Заметим, что компоненты графа,
принадлежащего Tn^(R), не упорядочены, поэтому мы будем рас-
рассматривать только такие характеристики графа, которые не зависят
от порядка компонент. Для того чтобы обойти эту трудность в при-
применении обобщенной схемы размещения, вместо исходного множества
3 В. Ф. Колчин

34	1. Обобщенная схема размещения
мы будем рассматривать множество Tn^(R) комбинаторных объек-
объектов, которые получаются, если упорядочить всеми возможными спо-
способами компоненты каждого исходного графа из Yn^{R). Элементы
этого множества представляют собой упорядоченный набор N компо-
компонент, а общее число вершин во всех компонентах равно п. Вершины
графа из Tn^(R) занумерованы и, следовательно, все компоненты
графа различны, поэтому число элементов в Тп^(Я) равно ЛПаП)дг,
где аП)дг — число элементов в множестве ГП)дг(Д), состоящем из неу-
неупорядоченного набора N компонент.
Наложим ограничение на свойство R. Пусть граф обладает свойст-
свойством R тогда и только тогда, когда это свойство выполняется для каж-
каждой его связной компоненты. В таком случае свойство R будем назы-
называть разложимым.
Положим ао = 1, bo = 0 и введем производящие функции
bnxn
п! '
п=0	п=0
Лемма 1.3.1. Если свойство R разложимо, то
п лг - П* V4 bni... bnN
(in,N — -Г77 / J —j	г,	Ц.о.1;
N\ *-^ n\\.. .пдг!
m+...+nN=n
где суммирование проводится по неотрицательным целым числам
ni,... , пдг таким, что п\ + ... + пдг = п.
Доказательство. Для ni,... , пдг ^ 1 таких, что п\ + ... + пдг = п
пусть an(ni,... ,пдг) обозначает число графов из Гп^(Я), компонен-
компоненты которых имеют размеры ni,... , пдг. Построим все an(ni,... , пдг)
таких графов. Разобьем п занумерованных вершин на N групп так,
что группа с номером i содержит щ вершин, i = 1,... , N. Это мож-
можно сделать n!/(ni!... пдг!) способами. Из щ вершин построим связ-
связный граф, обладающий свойством R. Это можно сделать bni способа-
способами. Таким образом, число упорядоченных наборов связных компонент
размеров ni,... , пдг равно
_ ,	ч п\ЪП1... bnN
ап(пь... ,пдг) =	—.
ni!... пдг!
Так как N компонент можно упорядочить N\ способами, число
an(ni,... , пдг) неупорядоченных наборов, или число графов из
ГП)дг(Д), имеющих ровно N компонент размеров ni,... , пдг, равно
ап(пъ ... , пдг) = —-ап(пъ ... , пдг) = —	-.	A.3.2)
TV!	N\ п\\... Пдг!
Остается просуммировать эти числа по всем целым положительным
Hi, . . . , Пдг таКИМ, ЧТО П\ ~\- . . . + Пдг = П.

1.3. Связность графов и обобщенная схема размещения	35
Лемма 1.3.2. Если свойство R разложимо, то
А(х)=ев(х\
Доказательство. Как следует из A.3.1), число ап графов в Yn(R)
равно
а« = Е^т Е , ,-	A-з-з)
Деля обе части этого равенства на п!, умножая на хп и суммируя по
п, получаем цепочку равенств
А(х) -1 =
что и доказывает лемму.
Зададим равномерное распределение на множестве Tn(R) и рас-
рассмотрим случайные величины ат, равные числам компонент размера
т в случайном графе из Tn(R). Общее число компонент ип в случай-
случайном графе из Tn(R) равно vn = а\ + .. .-\-ап. Расположим компоненты
в порядке неубывания их размеров и обозначим /Зш размер m-й ком-
компоненты в этом ряду, причем если тп > z/n, то положим /Зш = 0.
Будем рассматривать также случайные величины, определенные
на множестве ГП)дг(Д) упорядоченных наборов TV компонент с рав-
равномерным распределением. Упорядоченные компоненты с номерами
от 1 до N будут играть роль ячеек в обобщенной схеме размещения
частиц. Обозначим щ,.^. ,tjn размеры упорядоченных компонент в
случайном элементе из ГП)дг(Д). Ясно, что
±у .^nvni,... ,пдг) an(ni,... ,пдг)
Р{Ш =пи... ,rjN = nN\ =	-^j-	 =	.
A.3.4)
Теорема 1.3.1. Если ряд
n=0

36
1. Обобщенная схема размещения
имеет ненулевой радиус сходимости, то случайные величины
Щ-, • • • ? Vn могут рассматриваться как заполнения ячеек в обобщен-
обобщенной схеме размещения, в которой распределение независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин ?i,... , ?/v задается форму-
формулами
где положительное значение х из области сходимости ряда A.3.5)
может быть выбрано произвольно.
Доказательство. Найдем условное распределение независимых
случайных величин ?i,... , ?/v c распределением A.3.6) при условии,
что ?i + ... + ?w = п. Для таких случайных величин
и в силу A.3.1)
xnN\
щ!... nN\
bni .. .bnNnl
nil.. .пдг!ЛГ!аП)дг'
и в силу A.3.2)
= nN
A-3.8)
Отсюда следует, что если ni,... , пдг ^ 1 и п\ + ... + пдг = ^, то
= пь ... , <^7v = nN
h	h
= п} = а" П1' • • • '
A.3.9)
Из A.3.4) и A.3.9) следует соотношение A.2.2) между распределени-
распределениями случайных величин щ,... , tjn и ?i ,... , ?/v B обобщенной схеме
размещения частиц по ячейкам.
В обобщенной схеме размещения обычно изучаются случайные ве-
величины ^(n^N), равные числу ячеек, содержащих ровно г частиц,
а также элементы вариационного ряда rj(i), ?7B)? • • • ? V(n)i получаемые

1.3. Связность графов и обобщенная схема размещения	37
расположением заполнений ячеек в неубывающем порядке. В рассмат-
рассматриваемом случае /xr(n, iV) есть число компонент размера г, а
V(i)i 77B)? • • • > V(N) — размеры компонент в случайном элементе из
f n,iv(-R)j расположенные в неубывающем порядке. Эти случайные ве-
величины играют важную роль в изучении случайных величин
cei,... , an и связанных с ними величин, определенных на множест-
множестве Тп(Я) всех графов, обладающих свойством R.
Лемма 1.3.3. Для любого положительного х из области сходи-
сходимости ряда A.3.5) и N = 1,... , п
п\ (B(x))
N
Доказательство. Равенство A.3.10) следует из A.3.8), так как по
определению P{isn = N} = аП)дг/ап.
Число ап также можно выразить через вероятности, связанные с
случайными величинами ?i,... , ?/v- Из A.3.3) следует, что
N=1 ^'Х
Лемма 1.3.4. Для любых неотрицательных целых чисел TV,
mb... ,mn
P{«i = шь ... , ап = тп | vn = N}
= P{/ii(n,iV) =mb... ,/in(n,iV) =mn}.
Доказательство. Условное распределение на Fn(i?) при условии,
что i/n = iV, сосредоточено на множестве Гп^(Я) графов, имеющих
ровно N компонент, и равномерно на этом множестве. Отсюда следует,
что
\ лтл CAr(mb... ,mn)	,	,
= mi,... , ап = mn \ vn = N} = —^	'-, A.3.12)
ttn,N
где аП)дг — число элементов в Гп^(Я) и сдг(ттг1,... , шп) — число
графов в ГП)дг(Д), в которых число компонент размера г равно mr,
г = 1,2,... ,п.
Рассмотрим множество Гп^(Я), состоящее из упорядоченных на-
наборов N компонент. Пусть сдг(ттг1,... ,mn) обозначает число элемен-
элементов в ГП)дг(Д), в которых число компонент размера г равно mr, r =
1, 2,... , п. Ясно, что
P{Ml(n, N) = тоь ... , Mn, iV) = шп} = ^(т1_'---'ТОи), A.3.13)

38	1. Обобщенная схема размещения
где аП)дг — число элементов в Tn^(R). Утверждение леммы следует
теперь из A.3.12) и A.3.13) так как аП)дг = N\ аП)дг и сдг(ттг1,... , тп) =
Таким образом, если ряд A.3.5) имеет ненулевой радиус сходимос-
сходимости, то случайные величины, являющиеся функциями от cei,... , ап,
можно изучать с использованием обобщенной схемы размещения, в
которой случайные величины ?i,... , ?/v имеют распределение A.3.6).
Другими словами, при условии, что число vn связных компонент гра-
графа Tn(R) равно N, размеры этих компонент (при случайном упоря-
упорядочении) имеют то же совместное распределение, что и случайные
величины rji,... , tjn в обобщенной схеме размещения частиц, опреде-
определяемой независимыми случайными величинами ?i,... , ?n с распреде-
распределением A.3.6).
Таким образом, при vn = N случайные величины /?i,... , Ду выра-
выражаются через случайные величины ai,... , ап таким же образом, как
и члены вариационного ряда 77A) ? • - • jV^n) b обобщенной схеме раз-
размещения выражаются через /ii(n, TV),... ,nn(n,N). Поэтому из лем-
леммы 1.3.4 вытекает следующее утверждение.
Лемма 1.3.5. Для любых неотрицательных целых чисел TV,
= kN}.
A.3.14)
Рассмотрим теперь совместное распределение случайных величин
(n,iV),... ,/in(n,iV).
Лемма 1.3.6. Дл«я неотрицательных целых чисел mi,... , mn ma-
... + 7ПП = N и mi + 2ш2 + ... + n?nn = п,
=ть... ,nn(n,N) = тп}
п\ Ъ™1 ...
mi!... mn! (l!)mi ... (п\)т^ап Р{ип = N}
. A.3.15)
Доказательство. Для получения A.3.15) достаточно найти выра-
выражение для C7v(mi,... ,mn) в A.3.13). Ясно, что
Сдг(тП1, . . . , ТПп) =
где суммирование проводится по всем наборам (ni,... , пдг), в которые
элемент г входит ровно mr раз, г = 1,... , п. Число таких наборов
равно 7V!/(rai!... mn!), и для каждого из них согласно A.3.2)

1.3. Связность графов и обобщенная схема размещения	39
Отсюда,
N\ n\ Ъ™1 ^т-
ъ... ,mn) =
.. Ь
Чтобы получить формулу A.3.15), остается заметить, что
ап N\ an
Леммы 1.3.4 и 1.3.6 дают возможность найти формулу для со-
совместного распределения случайных величин ai,... , ап в случайном
графе из Yn{R).
Лемма 1.3.7. Для неотрицательных целых чисел mi,... , тп
= ть... ,ап = тп}
0	в остальных случаях.
Доказательство. По формуле полной вероятности
P{ai =шь... ,ап = тп}
N
= ^ P{^n = k}P{ai = mi,... , ап = mn | z/n = k}
k=l
= P{un = ЩР{аг = mb ... , an = mn \ vn = N},
где N = 7Пi + ... + mn. Используя лемму 1.3.4, находим, что
P{ai =mb... ,an = mn}
= P{un = JV}P{/xi(n, iV) = mi,... , fin(n, N) = mn}. A.3.16)
Остается заметить, что P{/ii(n, N) = mi,... , /xn(^? ^) — '^n} = О, ес-
если 7Tii+27Ti2+- • .-\-nmn t^ п. Если же mi + .. .+тпп = iV и mi+2m2+-. .+
n?nn = n, то для вероятности P{/ii(n, iV) = mi,... ,nn(n,N) = ?nn}
справедливо равенство A.3.15) из леммы 1.3.6. Подставляя A.3.15) в
A.3.16), получаем утверждение леммы 1.3.7.
Рассмотрим теперь несколько примеров.
Пример 1.3.1. Множеству Sn подстановок степени п, или взаимно
однозначных отображений множества из п элементов в себя, соответ-
соответствует множество Tn(R) графов с п вершинами, обладающих следую-
следующим свойством R: графы ориентированы, и ровно одна дуга выходит

40	1. Обобщенная схема размещения
из каждой вершины и ровно одна дуга входит в каждую вершину
графа. Это свойство очевидно является разложимым. Связные ком-
компоненты такого графа — это (ориентированные) циклы. В этом случае
ап = п!, Ъп = (п — 1)! и производящие функции
А(х) = г^, В(х) = -\пA-х)
удовлетворяют равенству
А(х) = ев{х)	A.3.17)
леммы 1.3.2.
Для изучения длин циклов случайной подстановки и связанных с
ними величин можно использовать обобщенную схему размещения, в
которой случайные величины ?i,... , ?/v имеют распределение
Пример 1.3.2. Множеству Еп всех однозначных отображений мно-
множества из п элементов в себя соответствует множество Tn(R) графов
с п вершинами, обладающих следующим свойством R: графы ориен-
ориентированы, и ровно одна дуга выходит из каждой вершины графа. Это
свойство очевидно является разложимым. Поскольку число элементов
в Еп равно пп, из соотношения A.3.17) для производящих функций
находим, что
В{х) = ЫА(х) = In Y^ ^p,
п=0 П'
откуда,
к=0
Радиус сходимости рядов А(х) и В(х) равен е, и в точке х = е
ряды расходятся.
Для изучения характеристик случайного отображения можно ис-
использовать обобщенную схему размещения, в которой определяющие
ее случайные величины ?i,... , ?/v имеют распределение
*>	Л 12	0<х<е-\

1.3. Связность графов и обобщенная схема размещения	41
Пример 1.3.3. Рассмотрим множество всех неупорядоченных раз-
разбиений множества Хп = {1,2,... , п} на непересекающиеся подмно-
подмножества, объединение которых равно Хп. Разбиению Хп на неупоря-
неупорядоченные подмножества Y\,... , Удг соответствует гиперграф с п вер-
вершинами и N непересекающимися гиперребрами Yi,... , Удг. Обозна-
Обозначим Tn^(R) множество всех таких гиперграфов. Так как все N\ упо-
упорядочиваний гиперребер Yi,... , Yn различны, каждый гиперграф из
Гп,аК^) порождает TV! различных объектов множества Гщм(В,), ко-
которые представляют собой гиперграфы с п вершинами и N упорядо-
упорядоченными непересекающимися гиперребрами А\,... , Д/v, причем эти
гиперребра являются перестановками гиперребер Yi,... , Y)v. Свойст-
Свойство R, выделяющее этот класс графов, состоит в том, что графы яв-
являются гиперграфами, гиперребра которых не имеют общих вершин.
Каждая связная компонента такого графа является гиперребром. Яс-
Ясно, что число связных графов с п вершинами, обладающих свойством
R равно 1, то есть Ъп = 1, так что
п=1
Свойство R разложимо, поэтому
А(х) =ееХ-\
Из этого равенства или из A.3.3) следует, что
П\	1
nX\...nNV
где второе суммирование ведется по положительным целым числам
П1, . . . , Пдг ТаКИМ, ЧТО П\ + . . . + Пдг = П-
Таким образом, для изучения случайных разбиений можно исполь-
использовать обобщенную схему размещения, в которой определяющие ее
случайные величины ?i,... , ?/v имеют урезанное распределение Пу-
Пуассона
Пример 1.3.4. Дерево — это связный граф, не имеющий циклов.
В качестве множества Tn^(R) возьмем множество ^n,N всех лесов,
состоящих из N деревьев, с общим числом занумерованных вершин,
равным п. Деревья леса неупорядочены. Свойство R, выделяющее
этот класс графов, состоит в том, что граф неориентирован и не со-
содержит циклов. Свойство R разложимо. Число Ъп связных графов с

42	1. Обобщенная схема размещения
п вершинами, обладающих свойством R, равно числу некорневых де-
деревьев с п вершинами и Ъп = пп~2, так что производящая функция
В (х) имеет вид
Y
п=1
Таким образом, для изучения случайных лесов из множества ^П)дг
можно использовать обобщенную схему размещения, в которой опре-
определяющие ее случайные величины ?i,... , ?n имеют распределение
1.4. Леса из некорневых деревьев
Графы, состоящие из некорневых деревьев и компонент ровно с одним
циклом, играют такую же роль в исследовании случайных графов как
и леса из корневых деревьев в исследовании графов случайных ото-
отображений. Поэтому в последующих разделах внимание сосредоточено
на таких графах, причем для их изучения используется обобщенная
схема размещения частиц.
Как в примере 1.3.4, пусть ^П)дг — множество всех лесов из N
некорневых деревьев с п вершинами. Известно, что число лесов из
N упорядоченных корневых деревьев с общим числом п некорневых
вершин равно N(N + n)n~1. Для числа Fn^ = |^n,iv| лесов из не-
некорневых деревьев простой формулы не существует. Поэтому первым
шагом является изучение асимптотического поведения чисел Fn,7V-
Обозначим Т число ребер в лесе из ^n,N- Легко видеть, что
Т = п — N. Следуя общему подходу, используемому при применении
обобщенной схемы размещения, рассмотрим множество &n,Ni состо-
состоящее из наборов N упорядоченных деревьев, и зададим на нем рав-
равномерное распределение. Обозначим щ^ .. ,t]n размеры упорядочен-
упорядоченных деревьев в случайном элементе из ^n,N • По формуле Келли для
числа деревьев число Ъп некорневых деревьев с п гзершинами равно
пп~2. Обозначим an(ni,... , пдг) число элементов в ^П)дг, для которых
{f]i = ni,... ,t]n = tin}- Легко видеть, что для положительных целых
чисел ni,... , пдг таких, что п\ + ... + пдг = п,
п\
(	)	ЪП1 . ..bnjv,	A-4.1)
ата(пь... ,пдг)	;
и число элементов в множестве ^П)дг равно
sr^ п\ЪП1 ... bn
ь... ,пдг) =
П1+...+Пдг=П

1.4- Леса из некорневых деревьев	43
Таким образом, для числа лесов Fn^ справедлива формула
m	ni\...nN\ '	AА2)
П1-\-...-\-Пм=П
где суммирование проводится по всем положительным целым числам
П1, . . . , Пдг ТаКИМ, ЧТО П\ + . . . + Пдг = ^-
Введем независимые одинаково распределенные случайные вели-
величины ?i,... , ?/v ? Для которых
* 12	<1431
где
ад = Е^ = Е^' 0<Ж<е-1.	A.4.4)
fc=l '	k=l
В соответствии с результатами предыдущего параграфа и приме-
примером 1.3.4 при таком выборе случайных величин ?i,... , ?/v Для изуче-
изучения случайных лесов из некорневых деревьев можно применить обоб-
обобщенную схему размещения частиц, то есть справедливо соотношение
A.2.2). Именно, для целых ni,... , пдг
=ПЬ... ,777V = nN} = P{?i = ПЬ... ,<^7V =Пдг
Для числа лесов Fn^ верна общая формула A.3.8), которая, конечно,
следует прямо из A.4.2) и A.4.3):
nUB(x))N
^Т p{fr + ¦ ¦ ¦ + ^ = п],	A.4.5)
где функция В(х) задается формулой A.4.4), а значение параметра х
в распределении A.4.3) случайных величин ?i,... , ?/v можно выбрать
произвольно из области сходимости ряда В(х).
Таким образом, чтобы найти асимптотику Fn^, достаточно выб-
выбрать подходящее значение параметра х, 0 < х ^ е и найти асимп-
асимптотику вероятности P{?i + ... + ?/v — ^} для суммы случайных вели-
величин ?i,... , ?/v с выбранным значением параметра х в распределением
A.4.3).
Первые два момента случайной величины ?i имеют следующий
вид:
Lk—lj,k
В{х) ?[ к\

44	1. Обобщенная схема размещения
Поэтому наряду с функцией В (х) мы рассмотрим функции
ОО -I U U	ОО 7 h	1 h
М	к1
к=1	к=1
Функция в{х) является решением уравнения
ве~в = х,	A.4.6)
которое не превосходит единицы.
Функции а(х) и В(х) можно выразить через функцию 0(х). Диф-
Дифференцируя A.4.6), находим, что
9\х)е-в{х) - 9(х)9'(х)е~в{х) = 1,
откуда
9{Х1	A.4.7)
в(х) = П1 ...
Х{1 — 6(х))
С другой стороны,
к=1
Таким образом,
Ф) - ^щ-	A-4.8)
Несколько более сложные выкладки требуются для получения фор-
формулы
Б(х) = ^A-A-^)J).	A.4.9)
Рассмотрим функцию
h(x) = (
Используя A.4.7), находим, что
ti(x) - 2A
в(х))в'(х) -
1-0(х)J.
9 \
X /С!
к=1

Леса из некорневых деревьев	45
Интегрируя обе части этого равенства, получаем, что
рх	_°°_ ь.к—1
= -2В(х).
k=l
Отсюда следует равенство A.4.9).
Соотношения A.4.8) и A.4.9) позволяют найти выражения для ма-
математического ожидания E?i и дисперсии D<fi. Для 0 < О < 1 положим
х = 6е~в.
При таком выборе параметра х
0{х) = 0, а[х) = -
поэтому
2-6»'
2	20
-' В(х) \В(х).
Если параметр 0 фиксирован, то для суммы
(n = ?1 + • • • + Cn
применима локальная теорема 1.1.11. В действительности для распре-
распределения этой суммы теорема о локальной сходимости к нормальному
закону справедлива в более широких условиях.
Теорема 1.4.1. Если N —> сю и 0 = 6(N) изменяется так, что
ON -> сю и A - 0KN -^ сю; то
равномерно относительно целых к, для которых и = (k—Nm)/(ay/N)
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Доказательство. Прежде всего докажем, что в условиях теоремы
распределение случайной величины ((jv — mN)/(ал/N) слабо сходит-
сходится к нормальному распределению с параметрами @,1). Согласно те-
теореме 1.1.9 достаточно показать, что соответствующая характеристи-
характеристическая функция (fN(t) сходится к характеристической функции стан-
-t2 /2
дартного нормального распределения е ' .

46	1. Обобщенная схема размещения
Характеристическая функция случайной величины ?i равна
^ к~2хке1к _ B{xelt)
В силу A.4.7), A.4.8) и A.4.9)
2
хБ'(х) = 0(ж),
х2Б//(х)=^2(х)A-^(х))-1,
х3В'"(х) = в3(х)A - 2<9(ж))A - 6>(ж))~3.
Поэтому
, _ г0(жей)
^ W = В{х) '
^(*) = -
В(х){1-0{хеи)K'
При х = 9е~в
0(х) = в, В{х) = fcfl.
Обозначим ijj(t) характеристическую функцию центрированной
случайной величины <fi — 6{х)/В(х). Легко видеть, что
2/9
вJ.	A.4.11)
Полож:им
Нетрудно проверить, что
- в(хеи) - 2)
Поэтому при х = 9е~° существует такая постоянная с, что

Леса из некорневых деревьев	47
A-4.12)
Для характеристической функции (/?tv@ случайной величины
(Cn — mN)/(ay^N) справедливо равенство (fN(t) = фм(t/(ay^N)). По-
Поэтому для любого фиксированного t при N —> сю
A.4.13)
В условиях теоремы N0 -^ сю, NA — ОK -^ сю, поэтому, если t фикси-
фиксировано и N —> сю, то
2
и распределение (^дг — mN)/(ay/~N) слабо сходится к стандартному
нормальному распределению.
Для доказательства локального сближения этих распределений
нам потребуются дополнительные оценки характеристической функ-
функции (p(t). Естественно предположить, что локальная теорема справед-
справедлива в той же области изменения параметров, что и интегральная
теорема, но поскольку получение соответствующих оценок характе-
характеристической функции достаточно громоздко, мы ограничимся их по-
получением в случае, когда в ^ во < 1 и ON —> сю.
Из A.4.12) следует, что существуют такие положительные посто-
постоянные СИ?, ЧТО ДЛЯ |?|^?И#^#о<1
\^(t)\ ^е-саН\	A.4.14)
Докажем теперь, что для произвольного ?, 0 < е < тг, существует
такая положительная постоянная с, что для е^ \t\ ^ тг и 0 < 0 ^ 1
^-?в.	A.4.15)
Если в —> 0, то
В(хеи) хеи+х2еш/2
В(х) ~	0A - 0/2)
= ег* + (е2г*-е
Ясно, что при # —> О
О{92),

48	1. Обобщенная схема размещения
так что
\4>(t)\ = l-0sin2(?/2) + O@2),
равномерно по ?, и для е ^ \t\ ^ тг существуют такие 5 > 0 и ci > О,
что
Ь(*)| < е"С1в	A.4.16)
при 0 < 5.
При любом 0, 0 < 0 ^ 1, распределение ?i имеет максимальный
шаг, равный единице, и (/?(?) непрерывна по t и 0 в области
Б = {(?, 0): е < |?| < тг, 0 < E < 0 < 1}.
Поэтому
и существует такая положительная постоянная С2, что для (t, 6) <Е В
e-^.	A.4.17)
Из этой оценки и оценки A.4.16) следует A.4.15)
При доказательстве локальной теоремы мы следуем доказательст-
доказательству теоремы 1.1.11. Положим
к — mN	/7 ч nr M
и =	=-, PN(k) = P{Cn = к}
cryN
и представим разность
RN = 2тг (aVNPN(k) - -J=e"
в виде суммы четырех интегралов
-А
и =
в которых постоянные А и е будут выбраны позднее.

Леса из некорневых деревьев	49
Для того чтобы доказать, что Rn —> 0 при N —>¦ оо, покажем, что
можно сделать сколь угодно малым выбором ?, А и N.
Ясно, что
и |/21 можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно боль-
большого А.
Выберем е > 0 так, чтобы выполнялась оценка A.4.14). Тогда для
ввЩ
откуда,
e~ct2dx
и |/з| можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно боль-
большого А.
Для фиксированного А интеграл 1\ стремится к нулю, так как
cp(t) —> е~1 I2 равномерно по t в любом конечном интервале.
Наконец, используя оценку A.4.17), получаем, что
dt
где правая часть стремится к нулю при N —>¦ оо.
Обозначим р(щ а, C) плотность устойчивого закона с параметрами
а и C в параметризации Золотарева (см. [39]). Если а ^ 1, то характе-
характеристическая функция f(t) этого распределения может быть записана
в виде
= ехр |-|*Г ехр |-уК(а)/З
где К (а) = 1 — |1 — а\. По формуле обращения
р(ща,/3) = —
27Г -/-оо
A.4.18)
Если N ^ оо и 6 = 1, то распределение случайной величины
(Сдг — 2iV)/FiV3/2), где 6 = 2B/3J/3, аппроксимируется устойчивым
законом с параметрами а = 3/2, /3 = — 1.
4 В. Ф. Колчин

50
1. Обобщенная схема размещения
Теорема 1.4.2. Если JV -юо, 0 = 1, Ь = 2B/3J/3; то
= n}= р(щ 3/2, -1
равномерно относительно целых п, для которых и = (n—2N)/(bN2^3)
лежит в любом конченом фиксированном интервале.
Доказательство. Сумма (n = ?i + • • • + ?zv образована незави-
независимыми одинаково распределенными случайными величинами, при
0 = 1
OiL/c-2 -1

к = 1, 2,... ,
A.4.19)
и E?i = 2, так как 0(е~1) = 1 и 5(е-1) = 1/2. Максимальный шаг рас-
распределения слагаемого равен единице, поэтому в силу теоремы 1.1.10
достаточно показать, что распределение случайной величины
(On — 2N)/(bN2/3) слабо сходится к устойчивому закону, указанно-
указанному в теореме 1.4.2.
В дополнение к ранее введенным функциям 0(х), а(х) и В(х), рас-
рассмотрим функцию
/v— 1
Она также выражается через функцию 6(z). Положим
g(z) = A - 9{z)f.
Используя равенства
находим, что
zg\z) = -3<9(z) + 3<92(z) =
Интегрирование приводит к равенству
g'(u)du = g(z) - 1
- 6B(z).

1.4- Леса из некорневых деревьев	51
Выражая B(z) через 9(z), находим, что при \z\
Поскольку 0(е~1) = 1, получаем, что С(е~г) = 5/12.
Положим
Мы нашли, что
Обращая это выражение, получаем два формальных решения
	 4
UyZ) — I Zj% л/ и I Z ) ~~\~ u[Z) ~~\~ ^y[\u[Z)\ ).
3
Поскольку и(х) > 0 и v(x) < 0 при 0 < х ^ е, мы выбираем решение
u(z\ — —2гл/^(^) Н	^(^) + O(\v(z)\3/2).	A.4.20)
Таким образом,
A - 9{z)f = u\z) = -Av(z) - —(v(z)f/2 + O(\v(z)\2). A.4.21)
Первые две производные C(z) равны
C'(z) =
(X)
C"(z) =
Поэтому для действительного t
C(e~1+lt) - С(е~1) = it/2 + O(t2).	A.4.22)
Найдем теперь выражение для характеристической функции cp(t) слу-
случайной величины ?i с распределением A.4.19). Ясно, что
= B(e-1+it)/B(e-1).

52	1. Обобщенная схема размещения
Из A.4.20), A.4.21) и A.4.22), находим, что при z = eil~x
16?
4ф) + — (v(z)f/2 + O(\v(z)\2)
f it \3/2
где b = 2B/3J/3. В силу равенства
/й\3/2	ГгтгП
гУ =-ехрш/'
последнее соотношение мож:но записать в виде
Поскольку при t —> 0
находим, что
Характеристическая функция случайной величины (Ctv — 2N)/(bN2/3)
равна
и при любом фиксированном t сходится к
характеристической функции устойчивого закона р(щ а, C) с парамет-
параметрами а = 3/2, C = — 1. Поэтому согласно теореме 1.1.10 при N -^ сю
равномерно относительно к
WV2/3P{Civ = п} - р(и; 3/2, -1) -+ 0,

Леса из некорневых деревьев	53
где и = (к — 2N)/(bN2/3). Функция р(х;3/2, —1) положительна при
всех ж, поэтому из предыдущего соотношение следует, что
WV2/3P{0v = k}= р(и; 3/2, -1)A + оA))
равномерно относительно целых /с, для которых и = (к — 2N)/(bN2/3)
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Теорема доказана.
Обратимся теперь к оценке числа лесов Fn^ с п вершинами, N
деревьями и Т = п — N ребрами. Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 позволяют нам
получить эту оценку.
Теорема 1.4.3. Если п —> сю и 0 = 2Т/п меняется так, что
ON -> оо и NA - вK -> оо; то
Доказательство. Положим
<9 = 2Т/п, ж = ве
Согласно A.4.5)
где в силу выбора параметров
Поскольку 7П = E?i =2/B — 0) = n/iV, по теореме 1.4.1
A.4.
.23)
A.4.24)
A.4.
A.4.
A.4.
.25)
.26)
.27)
где
9 r^>	2<9	nT
2 D^
#J (l-O)N2'
Подставляя A.4.24), A.4.25) и A.4.27) в A.4.25), находим, что в усло-
условиях теоремы
AА28)

54	1. Обобщенная схема размещения
Теорема 1.4.4. Если п —> сю и 2Т/п —> 1 так, что
A - 2T/n)N1/s -> b2/3v/2, -oo < v < оо,
mo
4^(-"; 3/2> -
Доказательство. При выполнении условий теоремы
поэтому в силу теоремы 1.4.2, непрерывности и положительности пло-
плотности р(щ 3/2, —1)
= n} = p(-v; 3/2, -1)A + оA)).	A.4.30)
В теореме 1.4.2 мы положили 0 = 1, поэтому х = е~г и В(х) =
5(e-1) = 1/2. Подставляя эти значения, а также A.4.30) в A.4.25),
находим, что в условиях теоремы 1.4.4
N\2NN1/6B/3J/3^ ' ' '
Теорема доказана.
Хотя плотность р(х;3/2, —1) не выражается с помощью простых
функций, для ее подсчета можно использовать соотношение
р(х; а, C) = р(—х; а, —C) и справедливое при ж>0и1<се<2 разло-
разложение в ряд
,,, 1 ^, .„Т((п+ 1)/а) „ тгп Л . Л . 1\2-а
жсо8
an!	2
1.5. Размеры деревьев в случайном лесе
Пусть /ir = /xr(n, iV) — число деревьев с г вершинами в случайном
лесе с п занумерованными вершинами и N некорневыми деревьями,
г = 1, 2 .... Напомним, что число ребер в таком лесе равно Т = п — N.
В этом параграфе мы рассмотрим асимптотическое поведение слу-
случайных величин ^(n^N). Так же, как и в предыдущем параграфе,

1.5. Размеры деревьев в случайном лесе	55
мы используем обобщенную схему размещения п частиц в N ячейках,
задаваемую независимыми одинаково распределенными случайными
величинами ?i,... , ?,n •> для которых
fc-l -кв
, ? = 1,2,...,
Как было подсчитано ранее,
Si~2-#'
и для 0 < в < 1
О	/ ^\ ^ j.	2с/
Далее будут также использоваться обозначения
si = s2r(9)=pr (l -pr - ^^Pr) , r = 1,2...
Случайные величины /хг похож:и на соответствующие случайные ве-
величины для лесов из корневых деревьев. Мы приведем лишь неко-
некоторые результаты для случайных величин /ir, отсылая читателей к
статье [18], где дано полное описание асимптотического поведения
распределений этих величин. Как и ранее, пусть в = 2Т/п. Для г =
1,2,... положим
0 < в < 1,
¦{;
Введенные обозначения тгг@) и а^г(в) с урезанными в точке 61 = 1 зна-
значениями позволяют в следующих двух теоремах единообразно описать
довольно сложное поведение случайных величин /ir, г ^ 3.
Теорема 1.5.1. Если n, TV -^ сю и г = г{п) ^ 3 и в = 2Т/п меня-
меняются так, что Nnr(Q) -^ оо; то
= k}=
равномерно относительно целых к, для которых
_ k-Nirr(e)
Ur ~ arr@)N1/2
лежит в любом конечном фиксированном интервале.

56
1. Обобщенная схема размещения
Теорема 1.5.2. Если п, N —> сю и г = г(п) ^ 3 и 0 = 2Т/п меня-
меняются так, что NnrF) —> А при некотором X, 0 < Л < оо; то д
любого фиксированного /с = 0,1,...
Поведение случайных величин \х\ и /i2, так же, как их аналогов
для лесов из корневых деревьев, обладает некоторыми особенностями.
Здесь мы не будем рассматривать эти случайные величины.
Теоремы 1.5.1 и 1.5.2 показывают, что в процессе последователь-
последовательного увеличения числа ребер случайного леса асимптотическое по-
поведение /ir перестает зависеть от в при в ^ 1. Если JVpr(l) —> сю,
то предельным распределением fir является стандартное нормальное
распределение при всех #, 1 ^ в < 2, и одной и той же центрировке и
нормировке.
Аналогичная ситуация наблюдается в случае в ^ 1 и при
iVpr(l) —> Л для некоторого Л, 0 < Л < сю, когда предельным рас-
распределением для /ir при всех #, 1 ^ в < 2, является распределение
Пуассона с параметром Л. Таким образом, точку в = 1 можно интер-
интерпретировать как критическую точку в эволюции случайного леса при
росте параметра в.
Докажем теоремы 1.5.1 и 1.5.2.
Доказательство теорем 1.5.1 и 1.5.2. Согласно примеру 1.3.4 и
лемме 1.2.1
(,5л.
где Сдг = ?i + • • • + 6v,
= ?
каждой из последовательностей
и одинаково распределены,
+ ... +
h.k-2rk
, случайные величины в
Q ,... , «f^7 независимы
fe=i
A.5.2)
и положительный параметр х распределения случайных величин
?ъ • • • > ?zv может быть выбран произвольно из области сходимости ря-
ряда В (х).

1.5. Размеры деревьев в случайном лесе	57
Для доказательства локальных теорем удобно выбрать х = 0е~°,
полагая в = 2Т/п при 0 < 2Т/п < 1 и в = 1 при 1 < 2Т/п < 2. При
таком выборе из A.5.1) следует, что
(^)	^=ПП} ^' (L5-3)
где
P{?i = fc}=7rfe@), /с = 1,2,... ,
а распределение случайной величины <^| определяется равенствами
A.5.2).
Рассуждая от противного, нетрудно показать, что теоремы 1.5.1
и 1.5.2 достаточно доказать в следующих трех случаях поведения па-
параметра в: когда N0 —> сю и A — 0KN ^ сю, когда величина A — 0KN
ограничена произвольной постоянной, и наконец, когда A — 0KN —>¦
—сю. Отрицание любой из теорем означает существование подпосле-
подпоследовательностей последовательностей параметров пи N таких, что по-
поведение параметра 0 относится к одному из трех указанных выше слу-
случаев, при этом остальные условия теоремы остаются справедливыми,
а утверждения теорем не выполняются. Поэтому мы будем предпола-
предполагать, что п, N —>¦ сю так, что в лежит в одной из указанных областей и
докажем утверждения теорем 1.5.1 и 1.5.2 в каждом из трех случаев.
Рассмотрим теорему 1.5.1 в первой области изменения параметра
в. По теореме Муавра-Лапласа биномиальное распределение аппрок-
аппроксимируется нормальным распределением и распределением Пуассона.
Более точно, если N7rr(9) —> сю, то
(тггF»))*A - *r(9))N-k = , 1 + °A)	е-2/2 A.5.4)
{	у/2ттт(в)A (в))
равномерно по целым /с, для которых
(fc-iV7rr@))
z =
2
2ЛГтгг(<9)A-7гг(<9))
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Вероятность P{Ctv = n}, стоящая в знаменателе в A.5.3) была
оценена в предыдущем параграфе. Применяя теорему 1.4.1, получаем,
что в первой области изменения в
P{(n =n} =
где

58	1. Обобщенная схема размещения
Чтобы найти асимптотику числителя в A.5.3), начнем с вычисления
первого и второго моментов слагаемых. Нетрудно видеть, что
ar =
где (j = Е& = 2/B - в).
Проводя доказательство, аналогичное доказательству теоре-
теоремы 1.4.1, убеждаемся, что для суммы С,^ = ?J; + ... + ?Jy справед-
справедлива локальная теорема о сходимости к нормальному распределению.
Более точно, если п, N —> сю так, что ON -^ оо и A - 9KN —> сю, то
d) =s} =	^=e-(s-Nm^2/^N\l + o(l))	A.5.6)
v2iV
равномерно относительно целых г ^ 3 и 5, для которых величина
(s — Nmr)/(cryfN) лежит в любом конечном фиксированном интерва-
интервале.
Теперь для получения асимптотики P{C]v-/c = п — кг} можно ис-
использовать A.5.6), где s = п — кг и число слагаемых равно N — к.
Поскольку
k = Nirr + urarr,
где
a2rr = a2rr@) = pr(l - pr - (/x - rJpr/^2),
находим, что
N-k = N(l-Pr)- urarrVN = NA - pr) (l - -^^—Л .
A.5.7)
Легко видеть, что величина arrj(\— pr) ограничена и при иг, лежащем
в любом фиксированном конечном интервале
N-k = N(l- pr)(l + O(JV/2)).	A.5.8)
Показатель экспоненты в A.5.6) можно теперь записать в виде
2 (п — кг — NmrJ
U = 2a?(N-k) '
Принимая во внимание соотношения A.5.7), A.5.8) и равенства
pr(fl-r)	II -Г
п = N а. тг — и =	, тпг — г = 	,
1-рг	1-Рг

1.5. Размеры деревьев в случайном лесе	59
справедливые в первой области изменения #, получаем, что
1 /9
к(тг — г) — N(mr — ц) рг (ц — г) (к — Npr)
=
U=
ar{N -кI/2	= aarr(N - кI/2
Рг/2(М ~ г)
Применяя A.5.7), находим, что
lfe = п-кг}=	)
( +
- рг)
A.5.9)
Подставляя A.5.4), A.5.5) и A.5.9) в A.5.3), находим, что при вы-
выполнении условий 1.5.1 и при в, изменяющемся в первой области, это
выражение преобразуется в произведение экспоненты с некоторым по-
показателем и коэффициента перед экспонентой. Коэффициент перед
экспонентой равен
- pr)
1
Собирая вместе показатели экспонент в A.5.4) и A.5.9), находим, что
результирующий показатель равен
(к - Nprf Pr(fi - гJ(к - Npr) + = (к - Nprf +
2Npr(l-pr) 2a2(l-pr)GrrN	w	cjrrN
Таким образом, теорема 1.5.1 доказана, когда 0 меняется в первой
области.
В условиях теоремы 1.5.2 параметр к фиксирован, и применяя со-
соотношения A.5.5) и A.5.6) с соответствующими параметрами, нахо-
находим, что в первой области изменения параметра в
1.
Поэтому утверждение теоремы 1.5.2 вытекает из справедливости пу-
ассоновской аппроксимации для биномиального множителя в A.5.3).

60	1. Обобщенная схема размещения
Во второй области изменения параметра в выберем параметр рас-
распределения ?i,... , ?/v равным единице. Если Npr(l) —> сю, то
v/2?riVpr(l)(l -
A.5.10)
равномерно относительно /с, для которых
к - NPr(l)
y/NPr(l)(l-pr(l))
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Применяя теорему 1.4.2, находим, что
bN2/3P{(N = n}= р(и; 3/2, -1)A + оA))	A.5.11)
равномерно относительно целых п, для которых и = (n — 2N)/(bN2/3)
леж:ит в любом конечном фиксированном интервале.
Запрещение случайным величинам ^^ ,... , <^/ принимать значе-
значение г не изменяет их максимального шага и сохраняет сходимость
распределения их суммы с соответствующей центрировкой и норми-
нормировкой к устойчивому закону с плотностью р(щ 3/2, —1). Единствен-
Единственное существенное отличие состоит в том, что теперь среднее значение
слагаемого этой суммы равно Et;i = mr(l) = 2/A — ргA)). Поэтому
при j —> сю
bj
,•2/3
_
6J2/3	&j2/3
равномерно относительно целых Z, для которых
V =
^2/3
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Подставляя N — к вместо j и п — кг вместо I и вспоминая, что
к = NPr(l) + zy/NPr(l)(l-Pr(l)),

1.5. Размеры деревьев в случайном лесе	61
где z ограничено, получаем, что
_k =n-kr}= р(щ 3/2, -1)A + оA)) A.5.12)
равномерно относительно г ^ 3, где, как и в A.5.11), величина и =
(п - 2N)/(bN2/3), поскольку
/ n-2N i
V~	6J2/3	- 6ДГ2/3 +0^-
Таким образом, асимптотические значения P{Ctv = n} и
Р{Сп-/с — п ~ кг} совпадают и их отношение в A.5.3) стремится к
единице. Поэтому асимптотика вероятности P{/ir = к} определяет-
определяется первым множителем и совпадает с асимптотикой соответствующей
биномиальной вероятности. Таким образом, теоремы 1.5.1 и 1.5.2 до-
доказаны в случае, когда в меняется во второй области.
Остается доказать эти теоремы в третьей области, где
A — 2T/nKN —> —сю. Положим в = 1 в распределении случайных
величин ?i,... ,?/v и докажем, что в A.5.3)
Р.к = n- кг}/Р{См =п}^1	A.5.13)
равномерно относительно г и к = JVpr(l) + z^/Npr(l)(l — ргA)), где
z лежит в любом конечном фиксированном интервале.
В этом случае A — 2Т/п) N —> — сю, поэтому значения п для сумм
(n и значения п — кг для сумм CJv-fc лежат в так называемой облас-
области больших уклонений. Поэтому нам потребуется соответствующая
теорема о больших уклонениях. Мы не будем приводить ее доказа-
доказательства, но его основная идея довольно прозрачна. Если распреде-
распределение суммы независимых одинаково распределенных целочисленных
случайных величин с нулевым математическим ожиданием сходится
к устойчивому закону с параметром се, 1 < а < 2, то основной вклад
в большое уклонение суммы происходит за счет только одного слага-
слагаемого (см. [100]). Применение этой теоремы к сумме (n приводит к
следующему результату в случае, когда в меняется в третьей области.
Если п, N —> сю так, что 7VA — 2Т/пK —> —сю, то
?{(n = n} = P{(n -2N = п-2Щ
-2 = n-2iV}(l + o(l))
//2	N
Теорему, приведенную в [100], нельзя прямо применить к сумме
CJy* , так как ее слагаемые перестают быть целочисленными после цент-
центрирования математическими ожиданиями mr. Бритиков в [18], ис-
используя метод доказательства из [100] вместе с некоторыми идеями

62	1. Обобщенная схема размещения
из [140] и [78], доказал, что вероятности Р{С]у_& = п ~ ^ri имеют ТУ
же асимптотику, что и P{Ctv = п}. Более точно, если п, N —> оо так,
что JVA - 2Т/пK -> -оо, то
&_* = п - кг} = Р{(Р_к -{N- k)mr = n-kr-(N- k)mr}
r) -mr = n-kr-(N - k)mr}
= n - 2N
1/2	N
равномерно относительно целых г ^ 1 и к таких, что
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Поэтому отношение в A.5.3) стремится к единице и асимптотика
вероятности P{/ir = к} определяется первым множителем и совпада-
совпадает с асимптотикой соответствующей биномиальной вероятности. Это
доказывает теоремы 1.5.1 и 1.5.2 в третьей области изменения пара-
параметра в.
Таким образом, доказательство теорем 1.5.1 и 1.5.2 завершено.
1.6. Максимальный размер деревьев в
случайном лесе
Результаты предыдущего параграфа содержат некоторую информа-
информацию о поведении максимального размера ?7(дг) деревьев в случайном
лесе из ^п,дг с Т = п — N ребрами. Действительно, если в = 2Т/п —> О
и существует такое г = r(n,N), что Npr(9) —> сю и Npr+i(9) —> Л,
О < Л < сю, то распределение числа /хг деревьев размера г сближа-
сближается с нормальным распределением, а распределение /xr+i сходится к
распределению Пуассона с параметром Л. Отсюда следует, что пре-
предельное распределение случайной величины г]^ концентрируется в
точках гиг + 1.
Если 0 = 2Т/п —> 75 7 > 0> т0 имеется бесконечно много г = r(n, TV)
таких, что распределение \хт стремится к распределению Пуассона, и
распределение Щщ все более и более расплывается с ростом j. Ec-
ли 0 < 7 < 1? то предельное распределение сосредоточено на счетном
множестве целых чисел, в то время как при 7^1 случайная величина
?7(дг) имеет предельное распределение при некоторой нормировке, при-
причем нормирующие величины стремятся к бесконечности с различной
скоростью в зависимости от области изменения параметра в.

1.6. Максимальный размер деревьев в случайном лесе	63
Таким образом, можно было бы доказать предельные теоремы для
?7(дг) при Т/п —> 0, используя результаты о предельном поведении
/ir, полученные в предыдущем параграфе. Однако если 2Т/п —> 7?
где 7 > 0 5 этот подход, по-видимому, неприменим и даже если бы он
привел к результату, доказательства не были бы простыми.
Поэтому мы будем использовать подход, основанный на обобщен-
обобщенной схеме размещения. Пусть ?i,... ,?/v ~~ независимые одинаково
распределенные случайные величины с распределением
огг-2лг-1р-г6>
Pr@) = P{?i = k}= г]{2_в) , 0 < в < 2,	A.6.1)
где /с = 1, 2,... Положим в = 2Т/п. Тогда в силу леммы 1.2.2,
i-щлг - п)
где
Ov = ?i + • • • + ^лг, Ctv = ^1Г + • • • + ?jv ?
<^| ,... , t,N — независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины, для которых
= fc|?i^r}, /c = l,...,r,	A.6.3)
рг = рг(б) = р{а < г} = j>fe@).	A.6.4)
Сформулируем теперь теоремы, полностью описывающие асимпто-
асимптотическое поведение 77(л^M откладывая на некоторое время их доказа-
доказательства. Дальнейшее изложение следует статье [16].
Теорема 1.6.1. Если п, N —> сю; 0 = 2Т/п —^ 0 гл целые числа г =
r(n,N) > 1 меняются так, что Npr@) —> сю и Npr+iF) —> А, где
О ^ А < оо, то
Заметим, что если в условиях теоремы А ф 0, то Npr(Q) -^ оо без
каких-либо дополнительных условий. В частности, условия теоремы
выполняются, если
T/n(r-1)/r -> р, 0 < р < оо.

64	1. Обобщенная схема размещения
При этом условии теорема 1.6.1 была доказана Эрдешем и Реньи в
известной статье [127], которая, по-видимому, является единственной
статьей, содержащей результаты о предельном поведении ?7(аг), опуб-
опубликованной до статьи В. Е. Бритикова [16].
Теорема 1.6.2. Если п, N —> оо; в = 2Т/п —> j, 0 < j < I, mo
любого фиксированного целого к
*} = ехр {-|^5^е^М)(—И)}
где
In п — | In In n
п= 0-1-1п0 '
i/ [а], {а} обозначают, соответственно, целую и дробную части а.
Теорема 1.6.3. Если n,N -> оо; 6> = 2Т/п -^ 1 гл iV(l - б1K -> оо;
то для любого фиксированного z
- и ^ z} ^ e~
где C = — \п{ве1~в) и и — корень уравнения
-)
ТГ/
Теорема 1.6.4. Если n, iV —> оо так, ^шо iV1/3(l — 2Т/п) -^ v,
оо < г; < оо; то для любого фиксированного положительного z
V.
где Ь = 2B/3J/3,
>(у-Х1-...-х8; 3/2,-1)
^ = {(жь... ,х3): Xj ^w, j = 1,... ,5}
гл р(г/; 3/2, —1) — плотность устойчивого закона с параметрами а =
3/2, /3 = -1.
Теорема 1.6.5. Если n,N —> оо; 7VA — 2Т/пK -^ —сю; то для л/о-
о'ого фиксированного z

1.6. Максимальный размер деревьев в случайном лесе	65
где р(г/; 3/2, — 1) — плотность устойчивого закона с параметрами
а = 3/2, 13=-1.
Мы будем доказывать теоремы 1.6.1-1.6.5 с помощью соотношения
A.6.2). При выполнении условий теорем 1.6.1-1.6.3
РDГ) = «}/P{Ov =п}^1	A.6.5)
и предельное распределение ?7(дг) совпадает с предельным распределе-
распределением максимума независимых случайных величин ?i,... , ?/v- Поэтому
прежде всего мы получим несколько вспомогательных результатов о
поведении величины
рг = рг{в) =
k=r+l
Лемма 1.6.1. Если п, N —> оо; в = 2Т/п —> 0 г* целые числа
г = r(n,N) > 1 меняются так, что Npr{0) —> oo; Npr+iF) -^ А,
О ^ А < оо, то
iVPr_;L -^ оо, iVPr -^ A, iVPr+i -^ 0.
Доказательство. В условиях леммы х = б^е* —> 0. Из A.6.3) сле-
следует, что
ОО
g+,F1) =
A.6.7)
Принимая во внимание известные оценки для факториала
находим, что из A.6.1) следует оценка
Pr+siP) <c(xc)s-l
Vr+i{0) ^Cl^xe)
где с\ — некоторая постоянная. Отсюда,
при в —> 0. Теперь с учетом A.6.6) и A.6.7) получаем, что
r = Npr+i(e)=X + o(l),
NprF) -> оо, ЛГРг+1 -> 0.
5 В. Ф. Колчин

66	1. Обобщенная схема размещения
Как уже отмечалось, если Л ф 0, то NprF) —> сю без каких-либо
дополнительных условий, так что это требование можно исключить
из условий леммы, если А ф 0. Действительно,
Npr@) = Npr+1@) Ly
Так как х^Ои
рЛО) _( г Y~2i = A_JL чг
х
существует такая постоянная С2, что NprF) > C2NprjriF)/x и
iVpr@) -> oo.
Лемма 1.6.2. ^слг^ n,N ^ оо, в = 2Т/п -^j,0<j<1, иг =
r(n, N) —> оо, то
1
где с = je1 7.
Доказательство. Ясно, что
ОО	/дч
Кроме того, существуют постоянные сз > 0 и q < 1 такие, что
Поэтому ряд Xl^iPr+s(^)/Pr(^) сходится равномерно и можно перей-
перейти к пределу под знаком суммы, так что
Лемма 1.6.3. Если п, N —> сю; 6> = 2T/n ->lw iV(l - 6>K ^ сю; то
любого фиксированного z
NPr -> e~z,
г^е г — такое целое число, что /Зг = и + z + оA), /3 = — 1пF)е1~6/); гл
IX — корень уравнения

1.6. Максимальный размер деревьев в случайном лесе	67
Доказательство. Ясно, что в условиях леммы /3 = — 1пF)е1~6/) —> О
и и —> сю, так как N/33/2 -^оов силу условия 7VA — б1K —> сю. Приме-
Применяя формулу Стирлинга, получаем, что
Сумма J2k>r(@k) Ъ^е ^кР представляет собой интегральную сумму
функции /(г/) = у~ъ12е~у с шагом /3 и приближается соответствую-
соответствующим интегралом:
k>r
Поэтому
1/2
A.6.8)
По определению rf3 = и + z + o(l) и
1/2
Подставляя эти выражения в A.6.8), получаем, что
NPr = e"*(l+
Теперь мы готовы доказать теоремы, сформулированные в начале
этого параграфа.
Доказательство теорем 1.6.1-1.6.3. Применяя лемму 1.6.1, нахо-
находим, что при выполнении условий теоремы 1.6.1 при N —> сю
Эти соотношения вместе с соотношением A.6.5), доказательство ко-
которого будет дано ниже, доказывают теорему 1.6.1.
Пусть
In п — | In In п
п= 0-1-1п0 '

68	1. Обобщенная схема размещения
выберем г = [а] + /с, где к — фиксированное целое число. В условиях
теоремы 1.6.2 г = [а] -\- к ^ оо и в силу леммы 1.6.2
NPr = Npr@)c(l - c)-\l +
где с = /уе1~1. Легко видеть, что
Таким образом,
= G-1-1п7Д/^с (fc_w)G_1_ln7)
7A-)^F
и следовательно,
A - Pr)N = ехр |- Ь-_\ _
При выполнении условий теоремы 1.6.3 из леммы 1.6.3 следует, что
NPr -> e"z и
Таким образом, для завершения доказательства теорем 1.6.1-1.6.3
остается проверить выполнение соотношения A.6.5) при каждом из
трех наборов условий.
Поскольку ON -^оои NA — ОK —> оо, согласно теореме 1.4.1 сумма
(n асимптотически нормальна и
= п} =
где
Выясняя асимптотическое поведение A — Pr)N в леммах 1.6.1-1.6.3,
мы рассматривали различные случаи поведения г. Теперь мы дока-
докажем центральную предельную теорему для суммы (др при этих вы-
выборах параметра г. Положим BN =

1.6. Максимальный размер деревьев в случайном лесе	69
Характеристическая функция случайной величины ^^ —т(в), где
т(9) = E?i, равна
o-itmF) J_	.	e-itmF)
1 Pr k=l	* -'¦ \	br	/
где ip(t) — характеристическая функция ?]_. Отсюда для характерис-
характеристической функции (pr(t,6) случайной величины
получаем выражение
e-itNmF)/BN { t \ (
ifJt, в) = —	Tk^4>N 		1 -
A -Pr)N	\BNJ\
В силу теоремы 1.4.1 распределение ((N—Nm(9))/BN сходится к стан-
стандартному нормальному распределению, следовательно,
e-itNmWB»ipN(t/BN) -+ в"*2/2.	A.6.9)
Ясно, что
k>r	k>r
Нетрудно показать, что в каждом из трех рассматриваемых случаев
A.6.10)
Из оценок A.6.9) и A.6.10) следует, что для любого фиксированного t
и распределение случайной величины (Qj/ — NmF))/'Bn сходится к
стандартному нормальному распределению. Локальная сходимость
требуемая для доказательства A.6.5), может быть доказана стандарт-
стандартным путем.
Таким образом, отношение в A.6.5) стремится к единице, что вмес-
вместе с оценками множителя A — Pr)N завершает доказательство тео-
теорем 1.6.1-1.6.3.

70	1. Обобщенная схема размещения
Для доказательства теоремы 1.6.4 нам потребуется следующая лем-
лемма.
Лемма 1.6.4. Если N —> оо; параметр в распределения A.6.1) ра-
равен единице, iV1/3(l —2Т/п) —> v иг = zN2/3, где z — положительная
постоянная, то
где
} (
/(*,*) =ехр {^) [р(у; 3/2,-1)
ii функции Is(z,y) определены в теореме 1.6.4.
Доказательство. При N ^ оо
Ohr-2 -k / <?\1/2
e	(^
Рк =Рк{Ч =
равномерно по к >
Ясно, что
^ л 1 1 Ъьгь
k>r ^
к\ -
Г.
\ 1
3 | А3/2^у
A.6.11)
/с \/2
к>г х~' 7	к- -/ - )
Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции
y-b/2e%ty с шаг0М l/FiV2/3), ПОЭТОМУ
к>г
Положим
Г
Нетрудно видеть, что
-3/2
•У = ^^	A-6.13)

1.6. Максимальный размер деревьев в случайном лесе	71
Принимая во внимание, что Ъ = 2B/3J/3, из A.6.12) и A.6.13) полу-
получаем, что
Г itk 1 /2\1/2^ 1	Г itk
A.6.14)
N
В частности,
NPr = Я@, z)(l + o(l)).	A.6.15)
Характеристическую функцию (/?r(t, 1) случайной величины
(C/v ~~ 2iV)/FiV2/3) можно записать в виде
N
где (/?(t, 1) — характеристическая функция ?i — E^i. Заметим, что в
этом случае E?i = 2. Из A.6.13), A.6.14) и теоремы 1.4.2 следует, что
(\ N
l-^pfcexpj^)) A-PP)-"
k>r
+0(
N \N
где -0(t) — характеристическая функция устойчивого закона с плот-
плотностью р(у; 3/2, — 1). Таким образом, для любого фиксированного t
при N —> сю
Vr(t, 1) ^ 5(*, -г) = exp{-^(t) - Я(*, z) + Я@, z)}.
Функция g(t, z) непрерывна, поэтому по теореме 1.1.9 это характерис-
характеристическая функция. Так как \g(t,z)\ интегрируема, ей соответствует
плотность
1 С°°
f(z,y) = — е
27Г J-oo
~(г)
Максимальный шаг распределения ^ равен единице, поэтому по те-
теореме 1.1.10 имеет место локальная сходимость.

72	1. Обобщенная схема размещения
Таким образом, остается показать, что f(z,y) имеет вид, указан-
указанный в теореме 1.6.4. Разлагая е~н((Ь^ в ряд Тейлора, получаем, что
s=0
где
Легко видеть, что 2^/irz3/2H(t, z) — характеристическая функция рас-
распределения с плотностью
pz(y) = -z3/2y~5/2, y^z.	A.6.17)
Поэтому
— характеристическая функция суммы C + C\ + ... + f3s независимых
случайных величин, где C имеет устойчивый закон распределения с
плотностью р(г/; 3/2, —1), a /?i,... ,/3S — независимые одинаково рас-
распределенные случайные величины с плотностью распределения pz(y)-
Плотность распределения суммы C + C\ + ... + /3S равна
где функция Is(t,y) определена в теореме 1.6.4. Таким образом,
Подставляя это выражение в A.6.16), находим, что
J.(*.»)-	A-6-18)
s=0
Используя A.6.15), теорему 1.4.2 и A.6.18), из A.6.2) получаем
утверждение теоремы 1.6.4.
Чтобы доказать теорему 1.6.5 с помощью соотношения A.6.2), тре-
требуется знать асимптотическое поведение вероятности P{C/v = nl B
области больших уклонений. Ниже приводится соответствующий ре-
результат без доказательства (доказательство см. в [16]).

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами	73
Лемма 1.6.5. Если п, N —> оо; параметр 0 в распределении A.6.1)
равен единице, NA — 2Т/пK —> —оо и г = п — 2N — bzN2/3, где z —
некоторая постоянная, то
J	^ (; 3/2, -
- J (п	) ^
A.6.19)
Утверждение теоремы 1.6.5 следует из A.6.19), теоремы 1.4.2 и того,
что NPr —> 0 при выполнении условий теоремы 1.6.5.
1.7. Графы с одноцикловыми компонентами
Связный граф, содержащий ровно один цикл, назовем одноцикловым.
Число ребер одноциклового графа совпадает с числом его вершин.
Обозначим °\1п множество всех графов с п вершинами, каждая связ-
связная компонента которых одноцикловая. Каждый граф из °К,П имеет
п ребер. В этом параграфе изучается структура случайного графа из
°К,П, при этом используется общий подход к изучению графов, описан-
описанный в параграфе 1.2.
Обозначим ип число графов в °К,П и изучим поведение ип при
п —> оо. Пусть Ъп — число одноцикловых графов с п вершинами, а Ьп
— число одноцикловых графов с п вершинами, цикл которых содер-
содержит г вершин. Цикл одноциклового графа неориентирован, во всем
остальном этот граф аналогичен связному графу отображения конеч-
конечного множества в себя. Пусть dn — число связных графов отображе-
отображения конечного множества из п занумерованных элементов в себя и
dn — число таких графов с циклом размера г. Нетрудно видеть, что
пп-г = пп-х _ пп-2;
п — ап 5 °п — ап 1 °п
Введем производящие функции
п=1 '	п=1 '	п=1
Эти функции выражаются через функцию
м = Е
ОО	п Л п
t n! '
П=1

74	1. Обобщенная схема размещения
являющуюся корнем уравнения ве~ = х в интервале [0,1]. Эта функ-
функция встречалась в параграфе 1.4. Используя введенные здесь обозна-
обозначения и результаты параграфа 1.4, находим, что
d(x) = - ln(l - 6{х)), с(х) = 1A - A - в(х)J).
Поскольку Ъп = Ъп -\-... + Ьп •> справедливы равенства
оо ,B)
n=l	n=l	n=l	n=l
0(x)) + (9(a:) - 1A - A - #(x)J).	A.7.1)
В соответствии с общей моделью, описанной в параграфе 1.4, введем
независимые одинаково распределенные случайные величины
?ь ... , 6v, Для которых
= Л> = *гщ' fc = 1'2'- (L7-2)
Число uUyN графов в °\1п с N компонентами можно представить в виде
n! ^ bni...bnN	N
_/v !	77/^. . . . 77/дг.	-/V ! X
ni-\-...-\-riN=n
A.7.3)
Далее мы полагаем
х = A -
Теорема 1.7.1. Tlpii n -^ сю
Un =
Г(р)= /
Jo
— гамма-функция.
Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько вспомо-
вспомогательных утверждений.

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами
75
Лемма 1.7.1. При х = A —
A - O(xelt)f = --2it + e^t) + e2(t, n),
n
h €i(t)/t —> 0 при t —> 0 равномерно по п и \e(t, n)\ ^ 2\t\/^/n.
Доказательство. В параграфе 1.4 показано, что
00 ь,к—2 к
u{w) = A - #НJ = 1 - 2 V —г^-
е
Запишем
в виде
1
п
A.7.4)
Ясно, что в(х) = 1 — 1/у/пи в(е г) = 1, поэтому и(е 1) — и(х) = —1/п.
Учитывая это равенство и замечая, что х < е, получаем оценки
= 2
lt) - 1/п\
(X)
v—>
/c!
fc=l
ifel
A.7.5)
Функция u(e 1+г*) имеет первую производную, равную — 2г в точке
t = 0, поэтому при ? —> О
() = -2й + o(t).	A.7.6)
Теперь утверждение леммы следует из A.7.4), A.7.5) и A.7.6).
Лемма 1.7.2. Если п —> оо; iV = се Inn + o(lnn), г^е а — положи-
положительная постоянная, то
1
Oi—l—Z
"" LS1	SiV J 2аГ(а)
равномерно относительно целых к, для которых z = k/n лежит в
любом фиксированном интервале вида 0<zo^z^zi<oo.

76	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Характеристическая	функция	суммы
(?]. + ••• + <6v)/n равна (fN(t) = <pN(t/n)j гДе (fit) — характеристи-
характеристическая функция ?]_. Ясно, что
ip{t) = В(хеа)/В(х).
Из леммы 1.7.1 и равенства A.7.1) следует, что
Поэтому
4В(жей/п) = - In Х—^ + 3 + оA).
п
t\ _ B(xeilln) _ Inn - ln(l - 2it) + 3
B(x)
1
Inn
Если N = alnn + o(l), то для любого фиксированного t
и распределение (?1 + ... + <^дг)/п слабо сходится к распределению с
плотностью
1	™_1 —-у/О
то есть к распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы, ко-
которое соответствует характеристической функции A — 2й)~а.
Локальную сходимость можно доказать обычным путем с исполь-
использованием лемм 1.12.3-1.12.7 из [55].
Рассмотрим теперь число uUin графов из °К,П с N компонентами.
Пусть
, 1,	N-\n
An = -lnn, и =—у=^.
Лемма 1.7.3. Если п —> сю; то
3/4	\ JV^-A^
1/4^A +
1
""-" = 21/4ГA/4) П ^^A +
равномерно относительно N таких, что \и\ ^ (InnI/4.

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами	77
Доказательство. Ясно, что
bni ... bnN
ni\...nN\
m+...+nN=n
-
Полагая се = 1/4 в лемме 1.7.2, получаем, что
пР{& + ... + 6v = п} = 21/41!A/4) е^ + оA))	A.7.8)
равномерно по N таким, что \и\ ^ (InnI/4.
Утверждение леммы следует из A.7.7) и A.7.8), так как
1	3
В{х) = -1пп + - +оA),
Утверждение теоремы 1.7.1 мы получим, суммируя uUin по всем
N. В лемме 1.7.3 получены оценки ип^ для N, близких Лп. В следу-
следующих леммах ип^ оценивается для других значений N.
Лемма 1.7.4. Для любых фиксированных а0, а\, 0 < а0 < а\ < оо;
существует постоянная с\ такая, что для ао Inn ^ N ^ а\ Inn
\N p-\n
un,N < "-1/4^
Доказательство. Из леммы 1.7.2 следует, что существует посто-
постоянная А такая, что
пР{а + ... + 6v = n} < A	A.7.10)
для ао Inn ^ iV ^ ot\ Inn. Действительно, если бы неравенство A.7.10)
не выполнялось, то существовала бы последовательность параметров
п —> оо, iV = се In n + o(lnn), для которой утверждение леммы 1.7.2
было бы неверно. Поэтому утверждение леммы 1.7.4 следует из A.7.7),
A.7.9) и A.7.10).
Лемма 1.7.5. Если N ^ 1пп; то существует постоянная С2 та-
такая, что
+ ... + ?n = ^} ^ с2 In n.

78	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Известно, что
fc=o
Действительно, число лесов с п некорневыми вершинами и N корне-
корневыми деревьями, занумерованными числами 1,...,7V равно
N(n + TVO1, число dJ™ связных графов отображений множества из
т элементов в себя с циклом размера г можно представить в виде
d« =
т
j)v '	{m-r)\ ¦
Здесь (^) — число возможных выборов г вершин, образующих цикл,
(г — 1)! — число циклов, которые можно построить из этих г вершин,
и гтт-г-1 — число лесов с г циклическими вершинами в качестве
корней. Отсюда следует, что
	г	1
1
т—1
^ = Е4 = Е (TO_r)i
При т -^ сю
^m = ^(m-l)!em
и существует постоянная сз такая, что
Кроме того, В{х) = 1ппA + оA))/4 и жт < е~т для всех т > 0.
Существует постоянная с^ такая, что
^	A.7.11)
ттп
Ясно, что
п
Ui + ... + ^ = ^} = U U {& = *;, 6 + ... + &v = rc-fc}.
i=lfc<[n/iV]
Поскольку P{^i = к} убывает с ростом /с, справедливы оценки
= [n/N]}.
Утверждение леммы следует теперь из A.7.11).

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами	79
Лемма 1.7.6. При N ^ Inn
Un,N
где С4 — некоторая постоянная.
Это утверждение следует из A.7.7), A.7.9) и леммы 1.7.5.
Доказательство теоремы 1.7.1. Грубо говоря, величина uUin —
с\^ е~^п/ЛП, где с — некоторая постоянная, и для получения ип нуж-
нужно просуммировать вероятности распределения Пуассона, сумма ко-
которых равна единице. Чтобы строго провести это суммирование, ра-
разобьем сумму
оо
Un = 2_^ un,N
N=1
на четыре части. Напомним, что и = (TV — \п)/\f\i- Положим
А\	А2	Аз	А4
где
A2 =
> (lnnI/4, ceolnn
A3 = {N: N < ce0 Inn},
A4 = {N: N > c
При n ^ oo
поэтому, как следует из леммы 1.7.3,
Остается показать, что суммы S2j Ss и S^ есть о(п1-1/4). Из лем-
леммы 1.7.4 следует, что
N1

80	1. Обобщенная схема размещения
и в силу A.7.12) S2 = OK1)
Чтобы получить оценку S3, используем неравенство
те-Х
Хте
справедливое при т < А. Выберем ао < 1/4 так, что
ао — ао In ао — ао In 4 < 1/8.
Тогда при т = ао In n
т
m!
где С5 — некоторая постоянная. Используя оценку из леммы 1.7.6,
находим, что S3 ^ С4С5П™~1/4~1/31пп.
Для получения оценки 54, используем неравенство
A.7ЛЗ,
где cq — некоторая постоянная. Это неравенство следует из A.7.7),
если P{?i + ... + <0v = п} оценить единицей. При т > А
^ Ат
Выберем а\ > 1/4 так, что
а\ — а\ \nai — а\ In 4 < —2.
Тогда при т = ai Inn и An = |lnn получаем оценку AJ^/m! ^ n~2.
Теперь из A.7.13) следует, что S± < c6nn~5/4.
Утверждение теоремы следует из полученных оценок для Si, S2,
S3 и S4.
Обозначим кп число компонент в случайном графе из °К,П. Сле-
Следующая теорема является прямым следствием леммы 1.7.3 и теоре-
теоремы 1.7.1.
Теорема 1.7.2. При п —> сю
Р{кп =N} =

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами	81
равномерно относительно целых N, для которых
и =
1\\пп
лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Действительно, из леммы 1.7.3 и теоремы 1.7.1 следует, что
равномерно по \и\ ^ (InnI/4, где Лп = j Inn.
Рассмотрим теперь максимальный размер (Зп компонент в случай-
случайном графе %п.
Теорема 1.7.3. Если п —> оо; то для любого фиксированного j,
О < 7< 1,
где Wo (ж, у) = 1, а для 5 = 1,2,...
dxi... dxs
._	< i Xi . . . Xs(z — Xi — . . . — XsK/4 '
Доказательство. При изучении f3n мы используем общий подход,
описанный в параграфе 1.2. Пусть 771,... ,Vn — случайные величины
с распределением
=ПЬ... ,Паг =
= P{?i = пь ... , ^v = nN I ?i + ... + ?,N = n}, A.7.14)
где случайные величины ?i,... ,<^дг имеют распределение A.7.2). Из
A.7.7) следует, что эти случайные величины можно интерпретировать
как размеры упорядоченных компонент случайного графа из °пп (см.
параграф 1.2), в котором общее число компонент кп равно N. Поэтому
оо
Р{/Зп < jn} = Y, р{*п = N} Р{щю < 7п},	A.7.15)
JV=1
где 0 < 7 < 1 и ?7(jv) = maxi^^iv Vi- В силу леммы 1.2.2
6 В. Ф. Колчин

82	1. Обобщенная схема размещения
где ?1,... , <^дг — независимые одинаково распределенные случайные
величины, для которых
Р{& = к} = Р{6 = к | & < 7п},
а случайные величины ?i,... ,<^дг имеют распределение A.7.2).
Оценим
при ж = A — l/v/n)e~1+1/^'. Поскольку bk = dk + оA) при /с —> сю,
для любого фиксированного 7? О < 7 < 1? ПРИ п -^ °°
Докажем, что
где
1 Г00
H(rr,t) = -
4
Нетрудно видеть, что
^	1 ь,т„ — к i
га=О
равномерно по к ^ 7П- Используя теперь явную формулу для dk,
находим, что при п —> сю
т: A —т= ) ехР ^ -= + —
к	/	1/^
кте-к
777 '
E
Эта сумма является интегральной суммой функции
шагом 1/п. Поэтому
^2 du + оA) = ЯG,

1.7. Графы с одноцикловыми компонентами	83
В частности, для хвоста распределения A.7.2) получена асимптоти-
асимптотическая оценка
bkxk
k\
= 4Я7»@) + оA) = 4ЯG,0)+оA)	A ? 1?)
In n	In п
при п —> сю.
Найдем теперь предельное распределение суммы (fi + ... + <t/v)/n.
Характеристическая функция случайной величины <fi/n равна
ф/t) = У(У") - Hin(t)/B{x)
Используя оценки
() =1пп
из A.7.16) и A.7.17) получаем, что при п -^ сю,
1пA-2г«)-4ЯG,*) + о(
= Л _
Л 4ЯG,0)
\	In п
Inn	у \	Inn
и для любого фиксированного t и N = A/4) Inn + o(lnn)
Разлагая е~н(к1^ в ряд Тейлора, так же, как в доказательстве лем-
леммы 1.6.4, находим, что характеристическая функция ip(t) соответст-
соответствует распределению с плотностью
Таким образом, при любом 7? О < 7 < 1> распределение случай-
случайной величины (?i + ... + <t/v)/n слабо сходится к распределению с
плотностью /7(z) при п -^ сю и N = |lnn + o(lnn). Можно пока-
показать, что справедлива и локальная сходимость, то есть если п ^ оо,
N = | In п + оAп п) и 0 < 7 < 15 то
nP{fi + ... ?лг = k} = f7(z) + o(l)	A.7.18)
равномерно относительно /с, для которых z = к/п лежит в любом
фиксированном интервале вида 0 < zq ^ z ^ z\ < сю.

1. Обобщенная схема размещения
Используя A.7.17), находим, что при п —> сю и N = | Inn + o(lnn)
= е-яG'0) +оA). A.7.19)
Подставляя оценки A.7.19), A.7.18) и A.7.8) в A.7.16), получаем, что
Чтобы получить распределение /Зп, нужно усреднить распределение
?7(дг) по распределению числа компонент1 кп (см. 1.7.15). В силу теоре-
теоремы 1.7.2 число компонент кп асимптотически нормально с параметра-
параметрами (| In n, j In п), а для N = | In n + оAпп) вероятность Р{?7(аг) ^ 7П}
асимптотически постоянна. Поэтому утверждение теоремы следует из
A.7.15).
Обозначим °\1Пу2 и °1Хп,з множества всех графов с п занумерованны-
занумерованными вершинами, состоящих из одноцикловых компонент, длина цикла
которых не меньше двойки и не меньше тройки соответственно. Не-
Нетрудно видеть, что тот подход, который был применен к изучению
множества °К,П (которое в соответствии с введенными выше обозна-
обозначениями следовало бы обозначить °Ипд), может быть применен и к
множествам °Un^, i = 2,3. Роль В(х) для °Un^, i = 2,3, играют произ-
производящие функции
п=1
где bUyi — число одноцикловых графов с п вершинами и циклом дли-
длины, не меньшей г.
Ясно, что
2
и при ж = A —
г=2	г=3
= -\с[х) + d(x) = -1A - A - 9(х)J) - 1
2	4	2
= -inn-7
4	4

1.8. Графы с компонентами двух типов	85
Аналогично получаем, что
ОО
П'3
_| ОО
М - - V ^/(г)
г=3	г=3
в{х)) - 0{х) - 1-{1 - A - 0{x)f)	A.7.21)
и при х = A -
= 1пп-3
Поэтому, если п —> оо, то для числа и„ графов в °llnij и для числа
uj, N таких графов с N компонентами справедливы соотношения
равномерно относительно целых N, для которых \N — Хп\/л/\г лежит
в любом конечном фиксированном интервале, где
Л1-
21/4ГA/4)> А2
Для случайных величин кп и /Зп в °ИПJ и °^п,2 справедливы теоре-
теоремы 1.7.2 и 1.7.3.
1.8. Графы с компонентами двух типов
Обобщенная схема размещения может быть использована и при изу-
изучении случайных графов неоднородной структуры. Рассмотрим мно-
множество s?n,T всех графов с п вершинами и Т ребрами, каждая компо-
компонента которых содержит не более одного цикла. Как обычно, припи-
припишем одинаковые вероятности элементам этого множества и рассмот-
рассмотрим случайный граф со значениями из $&щт- Каждый граф из ^П)т
состоит из деревьев и компонент с одним циклом, поэтому для изу-
изучения характеристик случайного графа из ^П)т можно использовать
результаты, полученные в предыдущих параграфах.
Рассмотрим сначала число элементов множества &щт. Как и в пре-
предыдущих параграфах, мы будем использовать символ а в обозначении

1. Обобщенная схема размещения
числа рассматриваемых графов и Ъ в обозначении числа рассматри-
рассматриваемых связных графов. Вместо <s4n,T мы будем использовать, при
необходимости, обозначение s&nT, если в графах допускаются циклы
B)
длины единица и два, обозначение s?n T, если циклы единичной дли-
ны не допускаются, и обозначение <s4^ TJ если запрещены циклы длины
один и два. Число графов в множестве si^T будем обозначать а^т и
сохраним обозначение аП)т? если соответствующее утверждение отно-
относится к любому из этих множеств. В соответствии с предыдущими
параграфами число лесов с п вершинами, Т ребрами и N = п — Т де-
деревьями обозначается Fn^. Мы будем использовать обозначение Un
для числа тех графов с п вершинами и одноцикловыми компонента-
компонентами, которые входят в щ^т^ г = 1,2,3, и сохраним обозначение ип для
числа таких графов, если ограничения на длины циклов их компонент
несущественны.
Ясно, что
п / \
\ )U™Fn-m,N-	A.8.1)
m=0 Xm^
Теорема 1.8.1. Если n, T —> сю так, что Т/п -^ 0, то
2Т
а„,т = Fn>JV(l +
Доказательство. Из теоремы 1.7.1 следует, что существует такая
постоянная ci, что
ит < стг™-1'4.	A.8.2)
Из теоремы 1.4.3 следует, что при выполнении условий теоремы 1.8.1
^	A.8.3)
Из условия Т/п —> 0 следует, что (Т — т)/(п — га) —> 0 равномерно по
7П, 0 ^ 7П ^ Т. Поэтому в условиях теоремы 1.8.1 существует такая
ПОСТОЯННаЯ С2, ЧТО
при всех ттг, 0 ^ ттг ^ Т.

1.8. Графы с компонентами двух типов	87
Из A.8.1), A.8.2), A.8.3) и A.8.4) получаем, что
т ,-
ап,т = FnN + S^ (
т=1 х
Отсюда следует утверждение теоремы, поскольку 2Тп/ (п — ТJ —>¦ 0.
Обозначим о;П)т число вершин, содержащихся в одноцикловых ком-
компонентах случайного графа из з1п,т- Легко видеть, что в силу теоре-
теоремы 1.8.1, если п, Т —> сю и Т/n -^ 0, то
РК,т = 0} -> 1,
и предельные распределения числа деревьев фиксированного размера
в случайном графе из $?п,т совпадают с соответствующими предель-
предельными распределениями в случайном лесе, представленными в теоре-
теоремах 1.5.1 и 1.5.2 (заметим, что таким способом только интегральный
вариант теоремы 1.5.1 прямо переносится на случайный граф ^п,т)-
Предельное распределение максимального размера дерева в случай-
случайном графе из s?nyT совпадает с предельным распределением, приве-
приведенным в теореме 1.6.1.
Пусть теперь п, Т —> сю так, что в = 2Т/п —> А, 0 < А < 1. При
этих условиях в соответствии с теоремой 1.4.3
Если п,Т —> сю, 2Т/п -^ А, 0 < А < 1, и ш = о(п), то в силу теоре-
теоремы 1.4.3
Из условия 6> = 2Т/п -^ А, 0 < А < 1, следует, что 2(T-m)/{n-m)
поэтому существует постоянная с такая, что
с(п _ mJ(T-m)
В следующей лемме приведена громоздкая оценка технического ха-
характера, которая используется в последующих доказательствах.

1. Обобщенная схема размещения
Лемма 1.8.1. Пусть п, Т —> сю и существуют такие постоянные
Ао и Ль что 0 < Ло < в = 2Т/п < Ai < 1. Тогда
s то ^ т ^ Т и то достаточно велико.
Доказательство. Запишем логарифм сП1т(т) в виде
сугр	ГП-1	,	. х
In сщТ(гп) = —— +5ZlnA~"~) +2(^-m)ln
г=1 ^	^
m—1
kkTkh
E2m /m\k s~^ I
-Ы -Е—
fc=l	к=1
Используя неравенство
получаем оценку
,fe+i
(m _
fc=i/c(/c-, .,_ fe=i
/ mfe+1 / „ ч 2Т/с
1-1) -
m/ Tk \ m

1.8. Графы с компонентами двух типов
Чтобы доказать утверждение леммы, заметим, что для достаточно
больших т
ск = 2(к + 1) - вк - A - —^ %г - A - —^ < О
\	771 у	0Л \	771 у
для всех к. Действительно, поскольку O<Ao^a^Ai<l, для
достаточно больших m
1
771
и поэтому
ск^2(к + 1)-2\
откуда следует, что ск ^ 0 для всех к ^ 3 и достаточно больших т.
Кроме того,
т J д \ mj	д От т
1 \3 4 / 1 \3 . ,4 4
т) Vz \ т)	Vz Vzm m
и с\ < О, С2 < 0 для достаточно больших т, поскольку при 0 < Ао ^
в ^ Ai < 1 справедливы оценки
3-#-^<0, 5-20-^ <0.
Обозначим ЬП)г число связных одноцикловых графов с п вершина-
вершинами, принадлеж:ащих «s^ j>, i = 1, 2, 3. В тех случаях, когда ограничения
на длины циклов несущественны, для числа связных одноцикловых
графов будет использоваться обозначение Ъп. Пусть ап^т(к) — число
графов в <s4n>T ровно с к циклами. Ясно, что
antT(k) = -y2(m)Fn_m,N V W' 71'" m.k ¦ A.8.10)
Как и в параграфе 1.7, положим
ОО 7	,г,
_ п! '
^ .	A-8-П)
n=l

90	1. Обобщенная схема размещения
и пусть
х = ве~в.
Для таких х согласно A.7.1) и A.7.2)
в)е + \в\
В3(х) = -|ln(l - в) - в + 1A - A -
Теорема 1.8.2. ^слг^ п, Т -ч- оо так, что 6> = 2Т/п -^ А, 0 < А < 1,
то при г = 1, 2, 3 для любого фиксированного /с = 0,1,...
п*
^
а^т(к) — число графов в щ^т ровно с к циклами и
Доказательство. Разобьем первую сумму в A.8.10) на две части,
S\ и #2. Выберем М = Т1/4 и включим в ^i слагаемые с т < М. Для
любого х из области сходимости ряда A.8.11) справедлива оценка
Еh гп	z	m	h m
т т1\...тк\ ^^"" ^ ш!
A.8.12)
Как и в параграфе 1.7, dn — число связных графов однозначных ото-
отображений множества из п элементов в себя и
^-—v UmX
d(x) = } 	—.

1.8. Графы с компонентами двух типов	91
Поскольку
т—1 и
Ьт < dm = (т - 1)! J2 -тт < (т - 1)! ет
fe=o fe'
(см. доказательство леммы 1.7.5), справедлива оценка
^ т!	^-^ v }
m^M/k	m^M/k
Напомним, что х = 9е~°. В теореме предполагается, что
О = 2Т/п —> А, 0 < Л < 1,и следовательно, существует такое g < 1,
что еж = #е1~6/^д<1, начиная с некоторого п. Поэтому
V	A8ЛЗ)
Принимая во внимание A.8.8), A.8.9) и лемму 1.8.1, находим, что
ЛгаЛ	т\ bmi ... ЬШк
fc! ^	^ (n-m)!2T-m(T-m)!mi!...mfe!
m^M ml + ...+mk=m v	'	v	' L	K
cn2T
1 \ Л
m-l\bmi...bmk
)
СП	M--r	^	/a
^ fc!2TT! ^	^ l
mi!...mfe!
2Г
т^М/к	V	4J
где ci, C2 — некоторые постоянные. Таким образом, при выполнении
условий теоремы
52=о(п2Г/BгТ!)).

92
1. Обобщенная схема размещения
Оценим теперь сумму Si. Согласно A.8.8)
Т! Fn_m,7v = ¦ п~гп-
2T-m(T_m)f
равномерно по m < М =
Поэтому для любого фиксированного к = 1,2,...
&-ЁЕ
ш!
7П
M
Е Е
оШ1 ... оГПк
г
mi!... m&!
i l ^mfc
/c!2TT! ^	^	mi!...^
77Z, = /c ?7ll+...+?7lfc=?7l
i!
Принимая во внимание оценку, полученную для S2, находим, что
m /i	V / °°
)ТТ\	/-^	/-^
¦
к\ 2ТТ\
2TT!fc!
I,. ::^
Объединяя оценки для /Si и #2, получаем, что при выполнении усло-
условий теоремы
,2Т
Поскольку х =
то
к\2тТ\
Ае~Л, справедливы также соотношения
B\{x) -^ Ль В2{х) -^ Л2, Вз(х) -^ Лз.
Теорема 1.8.3. Е'слгА п, Т -^ сю так, ^шо б1 = 2Т/п -^ А, 0 < А < 1,
г,л n2T\/l ~
2ТТ!
-еЛ%
г^е kiy г = 1,2,3, такие, как и в теореме 1.8.2.
Доказательство. Для получения асимптотики аП)т? нужно оце-
оценить сумму
A.8.14)
к=0

1.8. Графы с компонентами двух типов	93
Умножая на нормирующий множитель, получаем, что
2Т \ ~1	°° / 2Т \ ~1
k=0
где для любого фиксированного /с = 0,1,...
anAk)^ы
при п,Т —> оо, 2Т/п —> Л, 0 < Л < 1. Перейти к пределу под знаком
суммы в A.8.15) можно, если ряд сходится равномерно по отношению
к параметрам п, Т. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти оценку
\Wt\)
Ак	(L8<16)
такую, что ряд Х1^=о ^к сходится. Используя A.8.8), A.8.9) и рассуж-
рассуждая так же, как при выводе оценки $2, находим, что
1 П	/ \	h	h
,= lm1 + ...+mfc=m	v«v	^1!"^
cn2T ^л y^ xmbmi...brrik cn2T\B (k))k
^ /c!2TT!^mi+ Z^mk=m mi\...mk\	2TT\k\ '
Таким образом, требуемая оценка A.8.16) получена и, переходя к пре-
пределу под знаком суммы в A.8.15), находим, что
ап,т = П пТ~ ехр{Д(Ле-Л)}A +
Теперь, заменяя В(х) в зависимости от множества графов на Bi(x),
В2(х) или Вз(х), получаем утверждение теоремы 1.8.3.
Случайный граф из siUiT имеет ровно N = п — Т деревьев и слу-
чайное число одноцикловых компонент. Обозначим 1?пТ число одно-
цикловых компонент в случайном графе из si^T^ г = 1, 2, 3.
Теорема 1.8.4. Если п, Т -^ сю так, что О = 2Т/п —> А, 0 < А < 1,
то при г = 1, 2, 3 для любого фиксированного /с = 0,1,...
где Ai такие же, как в теореме 1.8.2.

94	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Утверждение теоремы следует из теорем 1.8.2 и
1.8.3, так как
Рассмотрим теперь случай, когда в = 2Т/п —>¦ 1. Обозначим uj^t
число вершин в одноцикловых компонентах случайного графа из si^fT,
г = 1,2,3. Ясно, что если известно распределение какой-то характе-
характеристики случайного графа при условии, что {с^г т = га}, то ее рас-
распределение в случайном графе можно получить усреднением по рас-
(г)
пределению случайной величины ип т.
Теорема 1.8.5. Если п, Т —> сю так, что ? = 1 — 2Т/п —> 0 и
?3п -^ оо, то при г = 1, 2, 3
|Р{^Г = т}= ^
равномерно относительно целых т, для которых у = г2т/2 лежит
в любом фиксированном интервале вида 0 < уо ^ у ^ yi < oo, и
существует такал постоянная А, что при всех т
число графов в ^
Доказательство. Пусть а^Т — число графов в ^ т, а а^т —
число графов, для которых оо^т = га. Ясно, что
(X)
«да	A-8-17)
m=0
^Fn-^N.	A.8.18)
Разобьем суммы в A.8.17) на две части. Пусть 0 < у0 < у\ < оо,
у = s2m/2 и
оо
5i= E <Wn, ^
m=0
В силу теоремы 1.7.1 и неравенств A.7.21)
A.8.19)

1.8. Графы с компонентами двух типов
95
равномерно по целым т в области уо ^ у ^ yi, где А^ г = 1, 2, 3, оп-
определены равенствами A.7.22). Существует постоянная с\ такая, что
для всех т
и$ < Clrnm-^\	A.8.20)
Чтобы оценить Fn_m>7v, удобно воспользоваться формулой A.4.25).
Из A.4.26) и равенства
0B - в) = 1 - е
следует, что
где согласно теореме 1.4.1
= n - m},
A-8.21)
равномерно по целым /с, для которых и = (k — Nji)/{a\fN) лежит в
любом конечном фиксированном интервале,
2 _ п	2 _ 2A-е)
Если е —> 0, е3п -^ оо и т^/е/п —> 0, то при к = п — т
гл/iV
Следовательно,
P{Gv = n - т} =
Из A.8.21) и A.8.22) следует, что
Существует такая постоянная с, что
(L8.22)
A.8.23)
= к} < с,

96	1. Обобщенная схема размещения
поэтому
г(п _ т\] (Л _ F2\Npn(l-e
F
при всех то, 0 ^ то ^ Т. Заметим, что при ? —> О
равномерно по то, для которых уо ^ у ^ yi, и для всех то
(l-efe™^-».
Ясно, что соотношение A.8.23) выполняется равномерно относительно
7П, для которых у = ?2т/2 лежит в интервале [г/о? 2/i]- Поэтому, если
п -^ оо, г = 1 — 2Т/п -^Ои ?3п -^ оо, то
Fn-m,7V = /n(n - m)! e-m^(l + o(l))	A.8.25)
равномерно по ттг, для которых г/о ^ 2/ ^ 2/1? ГДе
_
и существует такая постоянная Ло, что для всех то
Fn_m>JV < А0/„(п - то)! е~т-У.	A.8.26)
Поэтому, в силу A.8.18), A.8.19) и A.8.25), справедливо соотношение
,.ч	^т-1/4 р-т-у
A-8.27)
которое выполняется равномерно относительно ш, для которых гуо
гу < г/i, а вне этой области, в силу A.8.18), A.8.20) и A.8.26),
(г)	< An\fn	3/4 -у?	/-, о 2
где А — некоторая постоянная.
Сумма
У	2

1.8. Графы с компонентами двух типов	97
представляет собой интегральную сумму функции
с шагом г /2. Поэтому выбором достаточно малого у о и достаточно
больших у\ и п эта сумма может быть сделана сколь угодно близкой
к единице, а сумма по остальным значениям т сколь угодно малой.
Таким образом,
а« n'Af 21/4ГA/4) A1.A))
Теперь из A.8.27) и A.8.28) следует, что
"W~	g2 .,-3/4 -,
равномерно по т, для которых уо ^ у ^ г/i, и что вне этой области
P{cjW = mi < ^^i/~3/4e~2/.
i п,т j -- 2 у
Этим завершается доказательство теоремы.
Подставляя явные выражения для Ai и /п в асимптотическое вы-
выражение для ап т, получаем, что для г = 1, 2, 3
п! A — р2)ЛГепA-?)
а;1)Г = Q—'-г	7^A + оA)),	A.8.29)
где С\ = е3/4, С2 = е :/4, С3 = е 3/4. Легко проверить, что если
г = 1 - 2Т/п -> 0, то
_?2\Nen(l-e)
Таким образом, в условиях теоремы 1.8.5 верны асимптотические фор-
формулы
гч 2Т
Л1) — %п (л i лл\\ г = 1 2 3
Рассмотрим теперь число кп,т одноцикловых компонент в случай-
случайном графе из s?nyT и число CПут вершин в максимальной одноцикловой
компоненте.
Теорема 1.8.6. Если п, Т —> сю так, что е = 1 — 2Т/п —> 0 и
е3п -^ оо, то для любого фиксированного х

98
1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Для любого фиксированного х
m=0
где кш — число компонент в случайном графе из °Um, рассматривав-
рассматривавшемся в параграфе 1.7. Согласно теореме 1.7.2, случайная величина
1
<т--Ыт\ /у-mm
асимптотически нормальна с параметрами @,1).
Пусть у = е2т/2 и 0 < г/о ^ у ^ у\ < сю. Тогда mm = 1пBгу) — 2 In г.
Далее, поскольку е —> О,
+ - Ыг < жл/ -- lne } ^ ФЫ
равномерно по т, для которых г/ G [2/o? 2/i] ? и? следовательно, асимп-
асимптотически не зависит от т. В силу теоремы 1.8.5 выбором достаточно
малого уо и достаточно больших у\ и п сумму
т: yE[yo,yi]
мож:но сделать произвольно близкой к единице. Поэтому для любого
фиксированного х
Ф(ж).
Рассмотрим теперь максимальный размер одноцикловой компо-
компоненты. Напомним, что в параграфе 1.7 мы ввели функции Ws(z^),
полагая Wo(z^) = 1 и
где
Xs(z, 7) =
X1...XS(Z-X1- ...-
7^ г = 1,... , s, xi + ... + xs < г}, 5 = 1,2.

1.8. Графы с компонентами двух типов	99
Теорема 1.8.7. Если п, Т —> сю так, что е = 1 — 2Т/п —> 0 г/
—> оо, то дл«я любого фиксированного 7 > О
s=o
Доказательство. Для любого фиксированного 7 > О
оо
Р{?2/Зп,т < 7} = Е РК.г = те}р{?2/5- < 7},
где /Зш — максимальный размер компоненты в случайном графе из
°Um, рассматривавшемся в параграфе 1.7. Если г/ = е2т/2 и г/ G
[2/о, 2/i], то
P{^2/3m < 7} = Р Ьт < Y
По теореме 1.7.3
Ясно, что это соотношение выполняется равномерно по т, для кото-
которых у G [2/о? 2/i] • Выбирая достаточно малое г/о и достаточно большое
г/i и усредняя по распределению о;П)т? приходим к утверждению тео-
теоремы 1.8.7.
Число деревьев в каждом графе из ^П)т равно N = п — Т. Пусть
Vn,T обозначает максимальный размер дерева в случайном графе из
Теорема 1.8.8. Если п, Т —> оо так, что е = 1 — 2Т/п -^ 0 и
?3п -^ оо; то
где C = — lnF)e~6/); 61 = 2Т/п и и — корень уравнения
1/2
iV/33/2=ix5/V.	A.8.30)

100	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство. Ясно, что
оо
Р{р7]П:Т - и < z) = ^2 р{^п,т = гп}Р{13г]п-Ш:т-гп ~ и < z).
га=0
A.8.31)
Положим v = e3n. Легко видеть, что при выполнении условий теоре-
теоремы 1.8.8, корень уравнения A.8.30) можно представить в виде
u = lnv	Inlni;-ln4v/7r + o(l).	A.8.32)
Пусть у = s2m/2 лежит в конечном интервале 0 < уо ^ у ^ у\ < сю.
Положим
2(Т-т)	Л 2(Т-т)
п — т	п — т
Vm = ?3п, C(т) = - Ы(втевт).
Поскольку ет = еA + оA)), из A.8.32) следует, что корень уравнения
удовлетворяет соотношению
5	г- , ч
ит = 1пг;ш - -1п1пг;ш - ln4V7r + оA) = и + оA)
А
равномерно по у в произвольном фиксированном интервале [г/о? 2/1 ]•
Поэтому, применяя теорему 1.6.3, получаем, что
равномерно по у G [2/о? 2/i] •
В главной части суммы в A.8.31) эта вероятность асимптотически
не зависит от га. Поэтому, усредняя A.8.33) по распределению о;П)т?
приходим к утверждению теоремы 1.8.8.
Из сравнения теорем 1.8.7 и 1.8.8 видно, что в случайном графе
из з1п^т максимальный размер деревьев больше, чем максимальный
размер одноцикловых компонент, так как C = ?2/2A + оA)) и и —> сю.
Обозначим ап^т максимальный размер компонент в случайном графе
из s?n,T, то есть
Из сравнения теорем 1.8.7 и 1.8.8 вытекает следующее утверждение.

1.8. Графы с компонентами двух типов	101
Теорема 1.8.9. Если п, Т —> сю так, что е = 1 — 2Т/п —> 0 -м
—> оо, то дл«я любого фиксированного z
где /3 = — 1п@е е), в = 2Т/п и и — корень уравнения
1/2
В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда
п, Т —> оо так, что е3п стремится к некоторой постоянной.
Теорема 1.8.10. Если п, Т -^ оо так, что en1/3 -^ 2 • 3~2/Зг>; г^е
г = 1 — 2Т/п и v — некоторая постоянная, то для г = 1, 2, 3
_\	//•"V I 1 / -|	/ J \ '	/-"V	/ /-"V I 1 / -|	/ J \ '
2л/2ГA/4)'	2л/2ГA/4)'	2л/2ГA/4)'
Р(^) = / 2Г3/4р(-^-2/;3/2,-1)^A + оA)),
Jo
i/ p(u; 3/2, — 1) — плотность устойчивого закона, определенная в
A.4.18).
Доказательство. Снова используем равенство
ап,Т = Yl ( )UmFn-m,N.	A.8.34)
m=0 Vm/
Согласно теореме 1.7.1 при m —> оо
гхш = Amm/4A + o(l)),	A.8.35)
где значение коэффициента А зависит от типа одноцикловых компо-
компонент в ^П)т5 и Для множ:еств 5i^ T, ^^ j,, ^^ лр соответственно
1 " 2V4r(l/4)' 2~ 2V4r(l/4)' 3"

102	1. Обобщенная схема размещения
Для оценки Fn_m>7v воспользуемся формулой A.4.25) при 0 = 1. Тогда
G1 — 777/) !
Fn-m,N = 2NNle-nlmPU» =n-m},	A.8.36)
где (n = ?i + - • -+?/v — сумма независимых одинаково распределенных
случайных величин с распределением A.4.19):
По теореме 1.4.2
bN2/3P{(N = к}= р(щ 3/2, -
равномерно по /с, для которых и = (к — 2N)/(bN2/3) лежит в любом
конечном фиксированном интервале.
При выполнении условий теоремы
(п - 2N)/(bN2/s) -^ -v.
Пусть у = m/(bN2/3) и 0 < г/о ^ у ^ у\ <сю. Тогда при выполнении
условий теоремы
(п-т- 2N)
Поэтому из A.8.36) получаем, что
(n-m)\p(-v-y; 3/2,-1)
равномерно по т, для которых у е [yo,Vi]- Поскольку Ъ = 2B/3J/3,
из A.8.35) и A.8.37) следует, что
_ (п
ап,Т,т — I
mj
Ап\тт-11±р(-у- у- 3/2,-1)
га! 2
2/3 У У "

1.9. Замечания и литературные ссылки	103
равномерно по га, для которых у Е [2/о? 2/i] • Чтобы получить аП)т?
нужно провести суммирование в A.8.35). Выбирая достаточно малое
уо и достаточно большое г/i, подставляя полученное асимптотическое
выражение для аПут,т в A.8.34), замечая, что полученная сумма пред-
представляет собой интегральную сумму функции z~3/4p(—v — г/; 3/2, —1)
с шагом Ъ~1п~'2'3 и опуская необходимую оценку хвостов этой суммы,
получаем, что
I ~3/M-v ~ V, 3/2, -1) dy(l
где
с =
Напомним, что в соответствии с нашим соглашением, в случае, когда
в качестве множества ^П)т рассматривается множество si^T^ посто-
постоянная А заменяется постоянной А^ г = 1, 2, 3.
Из доказательства теоремы 1.8.10 видно, что число оиПут вершин,
входящих в одноцикловые компоненты случайного графа из <s4n,T5
имеет следующее предельное распределение. Если п, Т —> сю так, что
е = 1 - 2Т/п -^ОиА^у, то
hN2/3P{un T = m} = -^y~3/4p(-v - у; 3/2, -1)A + оA))
p(v)
равномерно по га, для которых у = m/(bN2/3) лежит в любом фик-
фиксированном интервале вида 0<yo^y^yi<oon функция p(v)
определена в теореме 1.8.10.
1.9. Замечания и литературные ссылки
В книге используется вероятностный подход к задачам комбинатори-
комбинаторики. В параграфе 1.1 приводятся основные факты из теории вероятнос-
вероятностей, используемые в книге при рассмотрении комбинаторных задач.
Все результаты, вошедшие в параграф 1.1, можно найти в стандарт-
стандартных руководствах по теории вероятностей, мы придерживаемся книги
[53], где эти результаты изложены с полными доказательствами (см.
также [104]).
Детальное обсуждение метода перевала можно найти в [101]. Тео-
Теорема 1.1.7 представляет собой упрощенный вариант соответствующей
теоремы, в которой приводится полное асимптотическое разложение
функции G(X).

104	1. Обобщенная схема размещения
Доказательство локальной предельной теоремы (теорема 1.1.11)
было предложено Б. В. Гнеденко и содержится в книге [33], кото-
которая до сих пор остается одним из лучших учебников по предельным
теоремам теории вероятностей (см. также [102, 88, 39]). Исследование
приближения биномиального распределения нормальным распределе-
распределением и распределением Пуассона было проведено Ю. В. Прохоровым
[90] (см. также [63]). Неравенство для вероятностей сумм ограничен-
ограниченных случайных величин, приведенное в теореме 1.1.16, принадлежит
Хефдингу [141] (см. также [88]).
Параграф 1.2 посвящен описанию обобщенной схемы размещения
частиц, которую можно рассматривать как обобщение полиномиаль-
полиномиальных испытаний. Обобщенная схема размещения была введена в [46]
и заняла заметное место в исследованиях по вероятностной комби-
комбинаторике (см. [55]). Успешные применения обобщенной схемы огра-
ограничиваются в основном равновероятными случаями, известно лишь
несколько случаев, где неравновероятная схема имеет естественную
комбинаторную интерпретацию. В дополнение к случаю неравноверо-
неравновероятного полиномиального распределения, еще один случай, где возни-
возникает неравновероятная обобщенная схема дает пример 1.2.3.
Пример 1.2.4 относится к случайным лесам из корневых деревьев
и связан с ветвящимися процессами. Действительно, распределение
A.2.11) — это распределение общего числа частиц, существовавших
в начинающемся с одной частицы ветвящемся процессе Гальтона—
Ватсона /х(?, G) до его вырождения, в котором число прямых потомков
одной частицы имеет распределение Пуассона. Поэтому случайный
лес с N деревьями и п некорневыми вершинами можно представить
таким процессом, начинающимся с N частиц при условии, что общее
число потомков в этом процессе до его вырождения равно п + N.
Опишем более подробно связь между случайными деревьями и ветвя-
ветвящимся процессом /i(t, G), для которого число потомков одной частицы
имеет распределение Пуассона с параметром Л.
Пусть fir(t,G) — число частиц в момент t в ветвящемся процес-
процесса, имеющих ровно г прямых потомков, и пусть v(G) — общее число
частиц, существовавших в процессе за все время его эволюции.
Рассмотрим множество Тп всех корневых деревьев, некорневые
вершины которых занумерованы числами 1,2,... , п, а корню припи-
приписано число 0. Зададим равномерное распределение на множестве Тп,
приписав каждому его элементу вероятность (п + l)~n+1.
Каждая вершина дерева соединяется с корнем единственным пу-
путем, число ребер в котором называется высотой этой вершины. Мы
будем предполагать, что все ребра дерева ориентированы в направле-
направлении от корня, и назовем степенью вершины число выходящих из нее
ребер.
Пусть /ir(t, Tn), r, t = 0,1,... , п, — число вершин высоты ?, име-
имеющих степень г. Рассмотрим матрицы ||/хг(?, Тп)|| и ||/xr(?, G)||, ?, г =
0,1,... , п, и матрицу М = ||гаг(?)|| такого же размера с неотрицатель-

1.9. Замечания и литературные ссылки	105
ными целыми элементами. В [50] было показано, что
*,Т„)|| =М} = Р{|М*,G)\\ = М | u(G) = п + 1}.
Это соотношение означает, что распределение любой характеристики
случайного дерева, выражающейся через случайные величины
/ir(t, Tn), r, t = 0,1,... , п, совпадает с условным распределением соот-
соответствующей характеристики ветвящегося процесса при условии, что
u(G) =п + 1.
Эта схема широко использовалась для получения полного описа-
описания свойств случайных деревьев и лесов [50, 51, 52, 76, 77, 78, 79, 81].
Позднее Ю. Л. Павлов [83, 84] нашел, что ветвящиеся процессы, в
которых число потомков одной частицы имеют геометрическое рас-
распределение, соответствуют, в том же смысле, что и выше, случайным
плоским деревьям с висячим корнем и случайным лесам, состоящим
из таких деревьев. Эта связь ветвящегося процесса с плоскими де-
деревьями с висячим корнем отмечается также в [109, 162, 163]. Заме-
Заметим, что известны лишь эти два ветвящихся процесса, процессы, в
которых число потомков одной частицы имеет распределение Пуассо-
Пуассона и геометрическое распределение, которые порождают равномерное
распределение на соответствующих множествах деревьев. Результаты
для более общих классов случайных лесов с неравномерным распреде-
распределением, описываемых с помощью ветвящихся процессов, содержатся
в [85, 86].
Соответствие между случайными плоскими деревьями с висячим
корнем и ветвящимся процессом с геометрическим распределением
числа потомков одной частицы оказалось более глубоким, можно ука-
указать взаимно однозначное соответствие между множеством таких де-
деревьев с п вершинами и реализациями соответствующего ветвящегося
процесса, общее число частиц в котором до его вырождения равно п.
Эта связь в строгой форме была впервые указана В. А. Ватутиным
[163].
В параграфе 1.3 излагается общий подход к изучению связности
и размеров компонент случайных графов различных типов. Впервые
этот общий подход был описан в [55], но частные случаи его приме-
применения использовались и ранее при изучении случайных подстановок,
случайных отображений и случайных лесов из корневых деревьев с
занумерованными вершинами [48, 49, 50, 51, 52].
В параграфах 1.4-1.6 изучаются случайные леса из некорневых
деревьев. В параграфе 1.4 рассматривается число таких лесов. Число
лесов с N занумерованными корневыми деревьями и п занумерован-
занумерованными некорневыми вершинами равно N(N + n)n~1. Однако для числа
-Fn,iv из N некорневых деревьев с п занумерованными вершинами нет
простой формулы. Полный анализ случайных лесов из некорневых
деревьев был проведен В. Е. Бритиковым, использовавшим в своих
исследованиях обобщенную схему размещения. Возможность такого
подхода к изучению лесов из некорневых деревьев была отмечена в
[55, 54]. К началу изучения В. Е. Бритиковым числа таких лесов Fn^

106	1. Обобщенная схема размещения
было известно лишь, что при фиксированном N и п —>¦ оо
Полное описание асимптотического поведения Fn^ было получено
в [17]. В частности, формула A.9.1) оказалась верной и при N —> сю,
было показано, что если п —> сю и A — 2Т/пKп —> —сю, то
-5/2
Случаи, когда A — 2Т/пKп стремится к постоянной и
A — 2Т/пKп —> сю описаны соответственно в теоремах 1.4.4 и 1.4.3.
В параграфе 1.5 рассматриваются числа \±г деревьев размера г,
г = 3,4,..., в случайном лесе. Полное описание предельных распре-
распределений этих случайных величин получено В. Е. Бритиковым [18].
Теоремы 1.5.1 и 1.5.2 суммируют результаты, полученные в [18], где,
кроме того, изучено предельное поведение \±\ и /Х2-
Общий подход к изучению членов вариационного ряда в обобщен-
обобщенной схеме был предложен в [47], он описан также в лемме 1.2.2 из
[55]. В параграфе 1.6 этот подход применяется к изучению макси-
максимального размера дерева в случайном лесе из некорневых деревьев.
Результаты этого параграфа получены В. Е. Бритиковым в [16]. Те-
Теоремы 1.6.1-1.6.5 полностью описывают поведение этого максимума
при всех возможных случаях регулярного изменения параметров п
и TV, за исключением случая фиксированного N. Ясно, что для лю-
любого фиксированного к размер fc-ro по величине дерева в случайном
лесе может быть также изучен с помощью использованного подхо-
подхода. Эта возможность была реализована Лучаком и Питтелем в [156],
результаты этой статьи интерпретируются как эволюция случайного
леса, при этом отмечается возникновение так называемой гигантской
компоненты-дерева в конце процесса эволюции. Для широкого клас-
класса случайных лесов из корневых деревьев возникновение гигантской
компоненты обнаружено И. А. Чеплюковой [103].
Здесь уместно упомянуть результаты, касающиеся вариационно-
вариационного ряда, составленного из размеров компонент, для широкого круга
случайных графов [126, 109, 111, 113, 114, 125, 131, 138]. Есть два
пути упорядочения компонент. Один из них — естественное распо-
расположение компонент в порядке убывания их размеров, другой связан
с использованием специальной нумерации компонент, лишь косвенно
связанной с их размерами. Для первого способа упорядочения, пусть,
М\ ^ М<2 ^ ... — последовательность размеров компонент случайно-
случайного графа с п вершинами, расположенных в невозрастающем порядке.
Пусть С\ — размер компоненты, которая содержит вершину с номе-
номером 1, С^ — размер компоненты, содержащей вершину с наименьшим

1.9. Замечания и литературные ссылки	107
номером среди вершин, не вошедших в первую компоненту, и так да-
далее.
Ясно, что совместное распределение случайных величин
Ci/n, С2/П,... представляет собой распределение единичной массы
на множестве А бесконечных последовательностей неотрицательных
чисел таком, что
А = {(xljx2j...)Jx1 + х2 + ... = 1},
а совместное распределение случайных величин Mi/n, М2/П,... сос-
сосредоточено на множестве последовательностей
Для ряда классов случайных графов предельные распределения
последовательностей Ci, C2j... и Mi, M2,... удается найти. Опишем
один класс этих предельных распределений.
Пусть Z\, Z2,... — независимые одинаково распределенные слу-
случайные величины с плотностью распределения
6(l-z)e-\ 0<z<l, 0>О.
Пусть
и УA), УB)?... — вариационный ряд, построенный по случайным ве-
величинам Y\, У2,... Распределение случайных величин У1, У2,... на
множестве А получило название СЕМ-распределения с параметром
#, а распределение случайных величин УA), УB), • • • на V называется
распределением Пуассона-Дирихле с параметром в.
Известно, что распределение случайных величин Mi/n, М2/п,...
для длин циклов случайной подстановки степени п сходится при
п —> оо к распределению Пуассона-Дирихле с параметром в = 1, а
случайная величина С\ равномерно распределена на множестве
{1,... , п} (см., например, [55]). Для случайных отображений конеч-
конечного множества из п элементов распределения случайных величин
Ci/n, С2/п,... и Mi/n, М2/п,... сходятся, соответственно, к GEM-
распределению и к распределению Пуассона-Дирихле с параметрами
<9 = 1/2 (см. [108]).
Пусть, как обычно, аг обозначает число компонент размера г в
случайном графе с п вершинами. Совместное распределение величин
ai,... , otn вида
or	1 fO + n-1
Pjai = ai,... , an = an\ = I

108	1. Обобщенная схема размещения
где ai,... , ап — неотрицательные целые числа такие, что а\ + 2а2 +
... + пап = п, аналогично совместному распределению случайных ве-
величин ai,... , сеп в случайной подстановке (см. лемму 1.3.7). Это рас-
распределение появляется в задачах популяционной генетики и известно
как распределение Эванса [130, 147].
Если случайные величины С\, С2,... и М\, М^,... соответствуют
случайному графу, для которого величины ai,... , сеп имеют распре-
распределение Эванса с параметром 0, то при п —>¦ оо их совместные рас-
распределения сходятся соответственно к СЁЖ-распределению и распре-
распределению Пуассона-Дирихле с тем же параметром в [147], см. также
[22, 23, 24].
Параграф 1.7 содержит результаты об одноцикловых графах, по-
полученные в [54]. Анализ случайных графов с компонентами двух ти-
типов, представленный в параграфе 1.8, также содержится в [54]. Идея
рассматривать граф как комбинацию связных компонент различных
типов была высказана и реализована Ш. М. Агаджаняном в [1, 2].
Результаты параграфа 1.8 содержатся в [54].

Глава 2
Эволюция случайных графов
2.1. Докритические графы
В этой главе рассматривается несколько моделей случайных графов
с п занумерованными вершинами и Т ребрами при п, Т —> сю. Решаю-
Решающую роль в поведении случайных графов играет параметр в = 2Т/п и
его мы будем интерпретировать как время в эволюции графов. Оказы-
Оказывается, что многие характеристики случайного графа резко меняют
свое поведение вблизи точки 0 = 1. Удобно различать три области
изменения параметра в. Мы будем называть случайный граф докри-
тическим если п, Т —> сю так, что A — 9Kп —> сю. Другими словами,
в докритическом случае, в если и стремится к единице, то не слиш-
слишком быстро. Критический граф характеризуется тем, что п,Т —>¦ сю и
A — вKп стремится к некоторой постоянной. Наконец, граф является
надкритическим, если п, Т —> сю и A — #Kп —> —сю. Подчеркнем, что
в этой терминологии речь идет об областях изменения параметра в и,
следовательно, не о самих графах, а о их последовательностях.
В этом параграфе рассматриваются три множества графов. Обо-
Обозначим ^ 'т множество всех графов с п занумерованными вершинами
и Т ребрами, возможно содержащих петли и кратные ребра, таких,
что каждая вершина такого графа может иметь не более одной пет-
петли, а каждая пара вершин может быть связана не более чем двумя
B)
ребрами. Пусть ^ т — множество всех графов с п занумерованными
вершинами и Т ребрами, не содержащих петель, таких, что каждая
пара может быть связана не более чем двумя ребрами. Наконец, обо-
значим ^ }т множество всех графов с п занумерованными вершинами
и Т ребрами, которые не содержат петель и кратных ребер.
Обозначим д^т число графов в Wn т, г = 1,2,3. Зададим на Wn T,
г = 1, 2, 3, равномерное распределение, приписав графам соответству-
соответствующего множества одинаковые вероятности, и обозначим G^T случай-

110	2. Эволюция случайных графов
ный граф, для которого
для любого G е ^т, г = 1,2, 3.
Напомним, что в параграфе 1.8 рассматривались множества ^ т>
г = 1, 2, 3, всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами
с компонентами двух типов, деревьями и одноцикловыми компонента-
C)
ми. В s?Kn JT одноцикловые компоненты не содержат петель и кратных
ребер, в s&n T одноцикловые компоненты не содержат петель, но мо-
могут содержать цикл длины два, а в sin T одноцикловые компоненты
могут содержать петли и циклы длины два. Таким образом,
Результаты параграфа 1.8 дают возможность описать предельные рас-
распределения различных характеристик докритических случайных гра-
графов G<JT, % = 1, 2, 3.
Теорема 2.1.1. Если п, Т —> сю так, что A — 2Т/пKп -^ сю; то
i = 1,2,3
Доказательство. Ясно, что
й ^ ^@ х „() /л()
Найдем асимптотику чисел д!^т, i = 1, 2, 3, и в условиях теоремы 2.1.1
сравним ее с асимптотикой чисел ап т, полученной в параграфе 1.8.
Напомним, что если в = 2Т/п —> Л, 0 ^ Л ^ 1, то согласно теоре-
теоремам 1.8.1, 1.8.2 и соотношению A.8.29) для i = 1,2,3
* ^^	B-1.1)
где
С1(А) = е^/г+л2^^ С2(л) = е-л/2+л-/4) Сз(л) =

2.1. Докритические графы	111
Если n, T -> оо и Т3/п4 -> 0, то
п(п - 1)
rp
_ 2 \ / _ 4 \ Л _
ф1)Д A)у"Д
(
2ТТ! V ф-1)Д п(п-1)
2Т
2Т -Т/п-Т2/п2
B.1.2)
и теорема 2.1.1 доказана при г = 3.
Ясно, что каждый граф из ^ т можно получить выбором Т ребер,
эквивалентным размещению Т частиц по B) ячейкам, при условии,
что каждая ячейка содержит не более двух частиц. Поэтому
B)	V- fS\fS-t]
t1+2t2=T^l/V *2
где S = BM^1 ячеек содержат ровно одну частицу и t^ ячеек содержат
две частицы. Отсюда,
B)	V^	S-
Уп'т = У^
1	t\S\
T\ ^ t\(T - 2t)\(S - T + t)\'
O^t^T/2 V	' V	'
Для любого фиксированного t
Поэтому в условиях теоремы 2.1.1
t=0 ч у
ОТ —Т/п—Т2/'п2
nZl e I/n I /n 2т2/п2
2^Т! 6
2ТТ!

112	2. Эволюция случайных графов
Аналогично, каждый граф из ^ т можно получить выбором Т ре-
ребер, эквивалентным размещению Т частиц в n+Q) ячеек при условии,
что не более двух частиц размещается в каждой из Q) ячеек и только
одна частица может быть размещена в каждой из остальных п ячеек.
Поэтому, полагая S = Q), получаем, что
A) _ v- fn\fS\fS-t2
Уп,Т —
Проводя оценки так же, как и выше, находим, что в условиях теоре-
теоремы 2.1.1
2Т
B-1.4)
Сравнивая теперь B.1.1) с B.1.2), B.1.3) и B.1.4), приходим к утверж-
утверждению теоремы.
Согласно теореме 2.1.1 каждый из докритических графов G^T,
г = 1,2,3, состоит из деревьев, одноцикловых компонент и с вероят-
вероятностью, стремящейся к единице, не содержит более сложных компо-
компонент.
Для случайного графа G пусть /xr(G) — число деревьев размера г,
rj(G) — максимальный размер дерева, uj(G) — общее число вершин в
одноцикловых компонентах, k[G) — число одноцикловых компонент,
C(G) — максимальный размер одноцикловой компоненты и a(G) —
максимальный размер компоненты.
Пусть j(G^T) — некоторая характеристика случайного графа G^T
и JnT — соответствующая характеристика случайного графа из щ^т.
По формуле полной вероятности для любого х
По теореме 2.1.1
если G^T — докритический граф. Поэтому для любой характеристики
^T) докритического графа
оA),	B.1.5)

2.1. Докритические графы	113
и если Р{7п т ^ х} имеет предел, то вероятность P{j(G^T) ^ х}
имеет тот же предел. Таким образом, многие результаты парагра-
параграфа 1.8 переносятся на соответствующие характеристики случайных
G^T, г = 1,2,3. Если j(G^T) — целочисленная характеристика, то
для любого целого к
<)	Й	о(!)'	B-1-6)
и если Р{7п т = ^} имеет положительный предел, то из этого соотно-
соотношения следует, что такой же предел имеет и вероятность
О = к}.
Теорема 2.1.2. Если п, Т —> сю так, что Т/п —> 0; то при г = 1,2,3
Р{ш(С^Т) = 0} - 1.
п,Т -^ сю так, что г = 1 — 2Т/п —^ 0 гл ?3п -^ сю; то для любого
фиксированного х>0глг = 1,2,3
Доказательство. Утверждения теоремы следуют из B.1.5), B.1.6)
и теорем 1.8.1 и 1.8.5.
Теорема 2.1.3. Пусть G^T — докритический граф, г = 1,2,3. Ес-
Если г = г(п,Т) ^ 3 и 9 = 2Т/п меняются так, что Npr(9) —> оо; то
^ любого фиксированного х
iV = n - T,
ик-2пк-1ю-кв
»W= Щ2-в) ' * = 1'2'-
Grr(^) = ^v^v- -Pr
2в
8 В. Ф. Колчин

114	2. Эволюция случайных графов
Если г = г(п,Т) ^ 3 и 0 = 2Т/п меняются так, что NprF) —> А;
О < А < оо; то для любого фиксированного /с = 0,1,...
C(i) ) ,.i Л'е"ЛA ,
Доказательство. В силу B.1.5) и B.1.6) утверждения теоремы
следуют из теорем 1.5.1 и 1.5.2, так как в силу теоремы 2.1.2, число
u{G^T) вершин в одноцикловых компонентах в докритическом графе
мало по сравнению с общим числом вершин, более точно,
Теорема 2.1.4. Если п, Т —> оо так, что Т/п —> 0; г = г{п,Т) > 1
w Npr@) —> оо; Npr(O) -^ X, 0 ^ X < оо, mo для г = 1,2,3
P{«(GST) = г + 1} = P{ry(G«T) = г + 1} = 1 - е~х + оA).
Доказательство. В силу B.1.5) и B.1.6) утверждения теоремы
следуют из теоремы 1.6.1.
Теорема 2.1.5. Пусть г = 1,2,3 и п,Т —> оо так, что
О = 2Т/п —> А, 0 < А < 1. Тогда для любого фиксированного к =
0,1,...
где
любого фиксированного /с = 0, ±1,...
(А ~ 1~
= ехр |-
In п — | In In п
а = —^	:	:—7—,
[а] и {а} — соответственно, целая и дробная части числа а.

2.2. Критические графы	115
Доказательство. Утверждения теоремы следуют из B.1.5), B.1.6)
и теорем 1.8.4 и 1.6.2.
Теорема 2.1.6. Пусть г = 1,2,3 и п,Т —> сю так, что ? =
1 — 2Т/п —^ 0 гл е3п —> сю. Тогда для любого фиксированного х
л/2^ J-oo
и для любого фиксированного х > О
где Zs(x) определены в теореме 1.8.7; наконец, для любого фиксиро-
фиксированного z
- и < z}(l
= е~^ A+0A)),
/3 = — lnF)e~6/); 61 = 2Т/п и и — корень уравнения
1/2
Доказательство. Результаты теоремы следуют из B.1.5), B.1.6)
и теорем 1.8.6, 1.8.7, 1.8.8 и 1.8.9.
2.2. Критические графы
Напомним, что граф с п вершинами и Т ребрами называется крити-
критическим, если п,Т —> сю так, что ? = 1 — 2Т/п —> 0 и е3п стремится
к некоторой постоянной. Мы уже видели, что многие характеристи-
характеристики случайных графов G^T, г = 1,2,3, меняют свое поведение, когда
значения параметра в = 2Т/п приближаются к единице. Например,
число циклов, или число одноцикловых компонент k(G^t\ стремит-
стремится к нулю по вероятности, если 0 —> 0, имеет в пределе распределение
Пуассона с параметром Л^, г = 1,2,3, соответственно, если 0 —> Л,

116	2. Эволюция случайных графов
О < Л < 1, где
и асимптотически нормально с параметрами (—j In г, — j In г) если
е —> 0, e3n —> оо. Таким образом, 9 = 1 — особая точка, и мож-
можно полагать, что представляющее интерес поведение графов вблизи
этой точки сложно и трудно поддается исследованию. Действитель-
Действительно, не очень много известно о свойствах критических графов. Здесь
приводится только одно утверждение о предельном поведении таких
графов.
Напомним, что si^T — множество графов с п занумерованными
вершинами и Т ребрами, состоящих из деревьев и одноцикловых ком-
компонент, причем одноцикловые компоненты графов из si^fT при г = 3
не содержат ни петель, ни кратных ребер, при г = 2 не содержат пе-
петель, а при г = 1 одноцикловые компоненты могут содержать циклы
длины единица и два.
Теорема 2.2.1. Если п, Т —> оо так, что еп1^3 —> 2 • 3~2/3v, где v
— постоянная, то для случайного графа G^T, г = 1,2,3,
/о
и р{у] 3/2, —1) — приведенная в теореме 1.4.2 плотность устойчиво-
устойчивого закона с характеристической функцией
/(t)=exp{-|*|3/2e"*/Dl*l)}.
Доказательство. Ясно, что
n,T G ^n,T/ = an,T/9n,Ti
где а^ т — число графов в щ^Т^ и дг^т — число графов в Wnl'T г =
1,2,3. В соответствии с теоремой 1.8.10

2.2. Критические графы	117
где N = П — Т,
2л/2ГA/4)'	2л/2ГA/4)'	2л/2ГA/4)'
В предыдущем параграфе доказано, что
где С1A) = е3/4, с2A) = е~1/\ с3A) = е/4.
Так как Т = пA — е)/2 и е3п -^ 8^3/9, легко находим, что
и, следовательно,
/Зтг 4);з/27
1/4)
Функция p(v) может быть представлена в виде сходящегося ряда.
Функцию
д{у) = p(-v) = / y-3/4p(v - у; 3/2, -1) dy
Jo
можно рассматривать как свертку функции
y~3/4, у > о,
и функции д2(у) = р(у, 3/2, —1), так что
9i(y)92(v-y)dy.
Поэтому преобразование Фурье g(t) функции g(v) равно произведе-
произведению преобразований Фурье функций gi(y) и д2(у)- Преобразование
Фурье gi{t) функции дх{у) равно
hit) =

118	2. Эволюция случайных графов
а преобразование Фурье g2(t) функции д2(у) = р(у, 3/2, —1) представ-
представляет собой характеристическую функцию этой плотности, то есть
Таким образом,
По формуле обращения
1 Р°°
g(v) = — / e~itvg(t)dt
^1/4^/(81*1){3/2^/D1*1)) dt,
и поэтому в условиях теоремы 2.2.1
где
Поскольку ГA/4)ГC/4) = л/2тг, отсюда получаем, что
B-2-1)
Функция /г(^) может быть представлена в виде сходящегося ряда.
Теорема 2.2.2. Если п, Т —> сю так, что en1/3 -^ 2 • 3~2/Зг>; г^е
— постоянная, то для случайного графа G^T, г = 1,2,3,
где
к—О

2.2. Критические графы	119
Доказательство. Представим h(v) в виде сходящегося ряда по v.
Так как левая часть соотношения B.2.1) действительна,
J — oo
Рассмотрим сначала интеграл
/»OO
hi(v) = / ег vt~ ' еш' exp
Jo
Разлагая в ряд e^tv, находим, что
k=o ^' ^°
После замены переменных ^3/2ег7Г/4 — z получаем, что
к=о ' I J V
Поэтому
Аналогично для
/*0
-/ е1п11
</— оо
-1 i	i
о
находим, что
Утверждение теоремы следует из B.2.1), B.2.2) и B.2.3).
Теорема 2.2.2 позволяет находить предельные значения вероятнос-
вероятностей P{G^T G s&n Т}. Например, Р@) = д/2/3. Некоторые значения
P(v) приведены в таблице 2.2.1.

120	2. Эволюция случайных графов
Таблица 2.2.1.
V
-3.0
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2.0
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
Р(у)
0.0053
0.0118
0.0239
0.0443
0.0755
0.1196
0.1768
0.2461
0.3244
0.4078
Значения P(v)
V
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
P(v)
0.4919
0.5727
0.6470
0.7128
0.7693
0.8551
0.8860
0.9105
0.9297
0.9447
V
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
P(v)
0.9563
0.9653
0.9722
0.9776
0.9819
0.9852
0.9878
0.9899
0.9915
0.9929
2.3. Случайные графы с независимыми ребрами
При нахождении чисел графов в классах ^т, г = 1,2,3, в парагра-
параграфе 2.1, мы ставили в соответствие каждому из классов некоторую рав-
равновероятную схему размещения частиц по ячейкам. Из этих соответ-
соответствий нетрудно видеть, что реализации каждого из случайных графов
G^T, i = 1,2,3, могут быть получены с помощью последовательно-
последовательного размещения частиц, но эти размещения оказываются зависимыми.
Например, если в случайном графе из Gn T некоторая пара вершин
оказалась связанной ребром после размещения некоторого числа ре-
ребер, то ребра, размещаемые при всех последующих размещениях, не
могут оказаться на месте ребра, связывающего эти две вершины.
По-видимому, случайные графы, в которых ребра независимы, бо-
более удобны для применений вероятностных методов анализа. Наибо-
Наиболее известным случайным графом с таким свойством является граф
GUiP с п вершинами, в котором каждое из (™) возможных ребер вхо-
входит в множество ребер графа GUyP с вероятностью р независимо от
поведения остальных ребер. Этот граф имеет случайное число ребер,
распределенное по биномиальному закону с п испытаниями и вероят-
вероятностью успеха р.
В этом параграфе рассматривается случайный граф Gn^r с п вер-
вершинами, занумерованными числами 1,... , п и Т ребрами, которые
получают с помощью Т независимых испытаний, в каждом из ко-
которых петля в вершине г, г = 1,... , п, появляется с вероятностью
п~2, а ребро, соединяющее вершины г и j, г ф j, i,j = 1,... , n,
появляется с вероятностью 2п~2. Другими словами, если множест-
множество ребер графа Gn^T состоит из Т ребер ((гA), j(l)),... , (г(Т), j(T)),
то гA), j(l),... ,i(T),j(T) — независимые одинаково распределенные
случайные величины, принимающие значения 1,2,... ,п с равными
вероятностями. Ясно, что реализации случайного графа GUit не яв-

2.3. Случайные графы с независимыми ребрами	121
ляются равновероятными. Например, при п = 2 и Т = 1 каждый из
двух графов, состоящих из петли и изолированной вершины, появля-
появляется с вероятностью 1/4, а связный граф имеет вероятность 1/2. С
другой стороны, эта модель имеет ряд преимуществ при использова-
использовании методов теории вероятностей.
Поскольку гA), j(l),... , i(T), j(T) суть независимые одинаково
распределенные случайные величины, случайному графу GUit мож-
можно сопоставить классическую схему размещения частиц по ячейкам,
в которой 2Т частиц размещаются в п ячеек так, что каждая частица
независимо от остальных попадает в любую из п ячеек с вероятностью
1/п. Используя эту связь, можно, например, легко найти распределе-
распределение числа петель в графе GUyT- Действительно, имеется Т испытаний,
соответствующих Т ребрам, и в любом из этих испытаний петля по-
появляется с вероятностью 1/п. Таким образом, число петель а\ в Gn^T
имеет биномиальное распределение с параметрами (Т, 1/п). Среднее
число петель равно Еа\ = Т/п. Если 2Т/п —> Л, 0 < Л < сю, то пре-
предельным распределением для а\ является распределение Пуассона с
параметром А/2.
При условии, что ai =7П, размещение остальных ребер можно
рассматривать как результат Т — m независимых размещений ребер
в (™) ячейках, соответствующих (™) возможным местам ребер в пол-
полном графе с п вершинами. Поэтому, если а\ = т, то число а^ циклов
длины два в случайном графе GUit имеет то же распределение, что
и число ячеек, содержащих ровно две частицы в классической (рав-
(равновероятной) схеме размещения Т — m частиц в (™) ячеек. Эта схема
размещения хорошо изучена. В частности, если п, Т —> сю так, что
2Т/п —> А, 0 < А < сю, то распределение числа ячеек, содержащих
ровно две частицы, сходится к распределению Пуассона с парамет-
параметром А2/4. Так как предельное распределение не зависит от m для
m = o(n), усредняя по распределению ai, видим, что а\ и «2 асимпто-
асимптотически независимы и их распределения сходятся к соответствующим
распределениям Пуассона.
Теорема 2.3.1. Если п,Т —> сю так, что 2Т/п —> А; 0 < А < сю; то
для любых фиксированных неотрицательных целых чисел к\ и /с2
Р{а1 = kl,a2 = к2} = Q)fel (?
В силу независимости ребер случайного графа GUit для изучения
его строения можно использовать прямые вероятностные методы.
Теорема 2.3.2. Если п,Т —> сю так, что Т/п —> 0; то в случайном
графе GUyT с вероятностью, стремящейся к единице, нет циклов и
все компоненты являются деревьями.
Доказательство. Обозначим аг число циклов длины г с г раз-
различными вершинами и пусть ^((^п,т) = ol\ + ... + ап — общее число

122	2. Эволюция случайных графов
циклов, рассматриваемых как порожденные подграфы графа GUit-
Представим аг как сумму индикаторов. Ребра графа GUit появля-
появляются последовательно в Т испытаниях. Припишем номера 1, 2,... , Т
этим испытаниям и занумеруем каким-либо способом все (^) возмож-
возможных подмножеств г номеров испытаний. Определим теперь случайную
величину ?г, полагая ее равной единице, если подмножество ребер с
номерами из г-vo подмножества номеров образует цикл в Gn^-> и пусть
?i = 0, если это не так. Ясно, что
В свою очередь, каждую случайную величину ?i,... , С(т) можно пред-
представить в виде суммы индикаторов. Цикл из г различных ребер i-ro
подмножества номеров будем строить из г различных вершин графа.
Эти вершины можно выбрать (™) различными способами из п вер-
вершин графа и (г — 1)!/2 способами из них можно построить цикл при
г ^ 3. Каждая такая конструкция состоит из г фиксированных ребер
и может реализоваться на г фиксированных местах г-vo набора номе-
номеров. Имеется г! возможных размещений этих г ребер на эти г мест.
Таким образом, событие {^ = 1} может быть реализовано одним из
(™)(г-1)!г!/2 способов.
При г ^ 3 каждый из этих вариантов реализуется с вероятностью
B/п2)г. Поэтому
(r-l)\r\ B
\
Нетрудно проверить, что эта формула верна и при г = 1 и г = 2.
Из B.3.1) следует, что
г! г! 2	\п2 J V п ) 2г'
Поэтому для математического ожидания
Г=1
справедлива оценка сверху
При условиях теоремы Ег/(СП)т) стремится к нулю и число циклов в
случайном графе GUit стремится по вероятности к нулю.

2.3. Случайные графы с независимыми ребрами	123
Обозначим ^П)т множество графов с п занумерованными верши-
вершинами и Т ребрами, компонентами которых являются деревья и одно-
цикловые графы. Заметим, что петли и циклы длины два допускают-
допускаются. Как и ранее, пусть в = 2Т/п, е = 1 — 2Т/п.
Теорема 2.3.3. Если n, T —> сю так, что е3п —> оо; то
Доказательство. Докажем, что при выполнении условий теоремы
вероятность того, что граф GUyT содержит компоненту с более, чем
одним, циклом, не превосходит 4/(е3п). Если в Gn^r имеется такая
компонента, то, как нетрудно видеть, граф GUyT содержит порожден-
порожденный подграф, состоящий из двух циклов, связанных цепочкой (пенс-
(пенсне), или из цикла, две вершины которого, связаны цепочкой (цикл с
перемычкой). Пусть ?^,i — число подграфов графа Gn^-> состоящих
из циклов длин г и 5, связанных цепочкой из t ребер, и Q- — число
подграфов графа Gn^-> состоящих из цикла длины г, две вершины
которого связаны цепочкой из t ребер. Для доказательства утвержде-
утверждения теоремы достаточно показать, что среднее число таких подграфов
не превосходит 4/(е3п). Ясно, что
P{Gn,
Рассуждая так же, как при доказательстве формулы B.3.1), полу-
получаем оценки
TV ^2 V+* 2r BT\r+t
r + tj	\n2)	n \ n
-r\s\(t-l)\
T \,	,./2\^ 2
x
n \ n

124	2. Эволюция случайных графов
Таким образом, для математического ожидания общего числа под-
подграфов-пенсне и циклов с перемычкой справедливы неравенства
оо
Е
r,t=O
<2
^ п
оо
+ Е
r,s,t=0
Тг(
r,t=0 ^
п )
-t o (*)
+ й
П r,S,t=0
- 2T/nK'
что и доказывает теорему.
Теорема 2.3.4. Если п, Т —> сю так, что б1 = 2Т/п -^ А, 0 < А < 1,
то распределение числа циклов и(Сщт) в случайном графе GUit схо-
сходится к распределению Пуассона с параметром
Доказательство. В силу теорем 2.3.1 и 2.3.3 доказательство сво-
сводится к применению теоремы 2.1.5, относящейся к случайному графу
Gn T без петель и кратных ребер. Действительно, по формуле полной
вероятности
<г) = k} = Yl
x P{z/(Gn)T) = к
x P{z/(Gn>T) = к | ai = fci, a2 = fc2, Сп,т ^
По теореме 2.3.3, Р{^п,т ф ^п,т} ^ 0, и нетрудно видеть, что
г = ки а2 = к2} = ^l
nyT) = к | ol\ = fci, а2 = fc2, GnyT G ^п,
Таким образом,
P{i/(Gn>r) = fc} =
кг
x P{x(G^_fci_fc2) = k-h- k2}(l + o(l)) + o(l). B.3.2)

2.3. Случайные графы с независимыми ребрами	125
В силу теоремы 2.1.5 при выполнении условий теоремы 2.3.4 для
любых фиксированных fci, /с2 = 0,1,..., к ^ к\ + /с2,
\к-кг-к2 -А3
PMGg^) fcfcfc}3
где
Теперь из B.3.2) и теоремы 2.3.1 следует, что
2_L I ^_ \ e-A2/4
e^_ y^ 	fc!_
A2
где
Таким ж:е путем мож:но использовать теоремы, доказанные для
графа Gn T, при анализе докритических и критических графов гра-
графов GUit- В качестве примера приведем аналог теоремы 2.1.6 о числе
одноцикловых компонент х(СП)т) и ° максимальных размерах
v(Gti,t)i P{GUit) и се(^П)т) соответственного деревьев, одноцикловых
компонент и всех компонент в случайном графе Gn^-
Теорема 2.3.5. Если п, Т —> сю так, что ? = 1 — 2Т/п —^ 0 гл ?3п —>
оо; то для любого фиксированного х
для любого фиксированного х > О
P{e2l3(Gn,T) ^x}
s=0

126	2. Эволюция случайных графов
где Zs(x) определены в теореме 1.8.7, и
P{f3a(GnyT)-u ^х} = P{f37](GnyT)-u < ж}
где C = - ]п(9е~в), 0 = 2Т/п, аи - корень
\ 1/2
\
- (п - Т)/33/2 =
7Г/
5/2
Аналогичным образом теорема 2.2.2 переносится на критические
графы GUyT-
Теорема 2.3.6. Если п, Т —> сю так, что en1/3 —> 2 • 3~2/Зг>; г^е v
— постоянная, то
P{Gn,T е Жп,т} = \1 — e4v /iT > ттГ — + - cos — A -
fc=0 *• \6 */	6
Для надкритического случая, когда п,Т —> сю так, что ?3п -^ —сю,
приведем лишь простейшие результаты. В заключительном парагра-
параграфе этой главы дан краткий обзор того, что известно для надкрити-
надкритических графов.
Известно, что если в = 2Т/п —> А, А > 1, то в случайном графе
Gn T имеется гигантская компонента и с вероятностью, стремящейся
к единице, граф Gn T состоит из деревьев, одноцикловых компонент и
этой гигантской компоненты, образованной всеми вершинами, не во-
вошедшими в деревья и одноцикловые компоненты. С ростом 2Т/п раз-
размер гигантской компоненты возрастает, а число одноцикловых компо-
компонент убывает.
Если в = 2Т/п -^А,1<А<сю, то число одноцикловых компонент
имеет распределение Пуассона. При 0 —> сю справедливо следующее
утверждение.
Теорема 2.3.7. Если п,Т —> сю так, что в = 2Т/п —> оо, то с
вероятностью, стремящейся к единице, граф GUyT ne содержит од-
одноцикловых компонент.
Доказательство. Число одноцикловых компонент с г вершинами
не превосходит crr~1l2\ где с — некоторая постоянная (см., например,
[115]). Обозначим Kr(Gn^) число одноцикловых компонент размера г
в случайном графе Gn,T- Рассуждая так же, как при доказательстве
равенства B.3.1), находим, что
' B.3.3)

2.3. Случайные графы с независимыми ребрами	127
где последний множитель есть вероятность того, что Т — r ребер, кото-
которые не были использованы для построения одноцикловых компонент,
не связывают вершины компоненты с вершинами вне ее и не связы-
связывают никакую пару вершин компоненты.
Достаточно доказать, что
Используя оценку B.3.3), находим, что
Для достаточно больших пиЦг^п
-2r(n-(r+l)/2)(T-r)/n2 < р-гв/4
и q = ве1'6^ < 1. Поэтому
l^r^n	r=l	q
Так как q = б^е1*/4 -^ 0 при 9 —> оо, отсюда заключаем, что с ве-
вероятностью, стремящейся к единице, в графе GUit нет одноцикловых
компонент.
Наконец, рассмотрим поведение случайного графа GUit вблизи то-
того момента эволюции, когда граф становится связным. Обозначим
яп^т число компонент в случайном графе Gn^-
Теорема 2.3.8. Если п —> сю и 2Т = nlnn + хп + о(п), где х — по-
постоянная, то с вероятностью, стремящейся к единице, случайный
граф GUyT состоит из гигантской компоненты и изолированных вер-
вершин, причем для любого фиксированного /с = 0,1,...
-1 = к}
е-кх
Доказательство. Докажем, что с вероятностью, стремящейся к
единице, случайный граф Gn^r состоит из гигантской компоненты и
изолированных вершин и распределение числа изолированных вер-
вершин стремится к распределению Пуассона с параметром е~х.
Ребра графа GUyT образуются в результате Т независимых испы-
испытаний, и эти Т испытаний можно рассматривать как размещение 2Т
частиц в п ячеек, причем каждая частица размещается независимо от

128	2. Эволюция случайных графов
остальных и с равными вероятностями попадает в любую из п ячеек.
Поэтому число изолированных вершин в Gn^T имеет то же распреде-
распределение, что и число /ioBT, n) пустых ячеек в хорошо изученной класси-
классической схеме размещения частиц. В условиях теоремы распределение
/ioBT, n) сходится к распределению Пуассона с параметром е~х.
Для завершения доказательства остается показать, что с вероят-
вероятностью, стремящейся к единице, остальные вершины образуют одну
компоненту. Начнем с того, что покажем, что в случайном графе Gn^T
с вероятностью, стремящейся к единице, нет изолированных петель.
Представим число изолированных петель <fi в виде сумм п индикато-
индикаторов. Ясно, что <fi = ?\ -\- ... + ?J; , где <^ = 1, если в вершине с
номером г в графе GUit есть изолированная петля и ?^ = 0 в против-
противном случае. Нетрудно видеть, что
р /	2Т+2
Отсюда следует, что
ЕА < 1е-^-2)/п^
п
В условиях теоремы правая часть этого неравенства стремится к ну-
нулю, поэтому в графе GUyT с вероятностью, стремящейся к единице,
нет изолированных петель.
Теперь, если бы в дополнение к изолированным вершинам в графе
существовали две другие компоненты, то в графе нашлось бы дерево
размера г, 2 ^ г ^ п/2, такое, что его вершины не связны ни с одной
вершиной, не принадлежащей этому дереву. Таким деревом было бы
остовное дерево одной из компонент.
Пусть ?г — число деревьев размера г, которые являются остов-
ными деревьями компонент графа GUit- Покажем, что в условиях
теоремы
и, следовательно, с вероятностью, стремящейся к единице, таких де-
деревьев размеров г, 2 ^ г ^ п/2, в графе Gn^r нет. Представляя ?г в
виде суммы индикаторов, находим, что
. B.3.4)
Эта формула аналогична формуле B.3.1): мы выбираем г вершин и
г —1 ребер, которые формируют дерево, а последний множитель равен
вероятности того, что ни одно из оставшихся Т — г + 1 ребер не свя-
связывает вершины из множества г вершин, выбранных для построения
дерева, с вершиной из остальных п — г вершин.

2.3. Случайные графы с независимыми ребрами	129
Используя формулу B.3.4), проверим, например, что с вероят-
вероятностью, стремящейся к единице, в графе Gn^T нет изолированных
ребер. Действительно, при г = 2
Е& < 2Т (l - 4{П22)) < 2Те-А{п-^т-^п\	B.3.5)
и правая часть неравенства B.3.5) стремится к нулю при п —>¦ оо и
2Т = n In п + жп + о(п).
Из B.3.4) следует, что
rrr-2r\r>r
Т T\Z	2r(n-r)(T-r+l)/n2
e
^- (r_l)!rln2(r-l)
и для достаточно больших п
2TY-1 р Г 2гТ 1 8
р
-j „eexp|
2TV
= п —	е ехр
п /
Г_2Т 4г1
I n ' 9 Г
Поэтому, полагая в = 2Т/п, находим, что
2ОО

/ j	ST \ ОТ1 ' -*
3<r<n/2	r=3
Если п -^ сю и 2Т = n In n + жп + о(п), то
и для достаточно больших п
пЛ-46/9 < сЫп
П4/9 '
где с — некоторая постоянная.
Таким образом, в условиях теоремы
Принимая во внимание, что E?i -^ 0 и Е<^2 -^ 0, заключаем, что с
вероятностью, стремящейся к единице, случайный граф СП)т? кроме
изолированных вершин, содержит лишь одну компоненту.
9 В. Ф. Колчин

130	2. Эволюция случайных графов
2.4. Неравновероятные графы
Модель случайного графа СП)т? рассмотренная в предыдущем пара-
параграфе, легко переносится на неравновероятный случай. Однако под-
подход, основанный на применении обобщенной схемы размещения, при
котором некоторые задачи для равновероятных графов сводятся к
задачам о суммах независимых одинаково распределенных величин,
неприменим к неравновероятным графам. Для таких графов известно
не много результатов, поскольку пока нет эффективных методов их
исследования.
В этом параграфе изучается обобщение модели случайного графа
СП)т, рассмотренного в предыдущем параграфе. Мы сохраним обо-
обозначение GUit для неравновероятного графа с п вершинами, зануме-
занумерованными числами 1,2,... , п, и Т ребрами, которые получаются с
помощью следующей процедуры. Рассмотрим Т независимых испы-
испытаний, в каждом из которых выбирается одно ребро графа. Это ребро
может связать две различные вершины или образовать петлю. Вер-
Вершины с номерами i и j связываются с вероятностью 2p^Pj, а петля в
вершине г образуется с вероятностью р2, г, j = 1,... , n, pi,... ,рп ^ 0,
Pi + .. --\-Рп — 1- Таким образом, после Т независимых испытаний полу-
получается реализация случайного графа Gn^-> которая может содержать
петли и кратные ребра.
Основной результат этого параграфа составляет следующее
утверждение.
Теорема 2.4.1. Пусть pi = ai/n, где ец = ец(п), 0 < е ^ ец ^
Е < оо, г = 1,... , п, е и Е — некоторые постоянные, и пусть су-
существует предел
п
2т1 \~^ 2
а = lim — > па .
Тогда, если п, Т —> оо так, что 2Т/п —> Л; 0 < Ла2 < 1, то распре-
распределение числа циклов ^((^п,т) в графе GUit сходится к распределению
Пуассона с параметром Л = — ^ 1пA — Ла2) .
При доказательстве этой теоремы будут получены предельные рас-
распределения случайных величин аг, равных числу циклов длины г в
графе GUyT, более того, будет получено предельное совместное рас-
распределение случайных величин аГ1,... , аГз.
Теорема 2.4.2. Если выполнены условия теоремы 2.4.1, за исклю-
исключением, быть может, требования Ха2 < 1, то распределение слу-
случайной величины аг при любом фиксированном г сходится к распре-
распределению Пуассона с параметром Хг = Лга2г/Bг).
Теорема 2.4.3. Если выполнены условия теоремы 2А.1, за исклю-
исключением, быть может, требования Ха2 < 1, то совместное распре-
распределение случайных величин аГ1,... , аГз для любых фиксированных

2.4- Неравновероятные графы	131
1 ^ri < ... < rs сходится к распределению s независимых слу-
случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами
АГ1,... , Ars соответственно.
Доказательства проводятся методом моментов.
Цикл длины г не имеет самопересечений, если он состоит из г
вершин и г ребер графа GUit- Пусть аг — число циклов без самопе-
самопересечений длины г, г ^ 3, в случайном графе Gn^- Для г различных
вершин ii,... , гг положим <^i,...,v = 1? если в Gn^r имеется цикл, со-
состоящий из этих г вершин и содержащий ровно г ребер графа GUyT,
в противном случае полагаем <^i,...,v = 0. Тогда
где суммирование ведется по всем (^) различным неупорядоченным
наборам г различных вершин. В полном графе с вершинамив п,... , гг
существует (г — 1)!/2 различных циклов с ровно г ребрами. Зануме-
Занумеруем эти циклы в произвольном порядке числами j = 1,... , (г — 1)!/2
и представим случайную величину <^i,...,v B виде суммы
2 4
где <f^ ^ = 1, если в графе СП)т имеется j-й цикл, и Q^ v =0 в
противном случае.
Рассмотрим случайную величину
где случайные величины сег определены соотношением B.4.1) при
г ^ 3, ai — число петель и «2 - число пар параллельных ребер в
графе GUyT-
Каждый цикл в графе GUyT можно рассматривать как набор ребер,
которые образуют этот цикл. Поэтому для оценки таких вероятнос-
вероятностей, как Р{^ ir = 1}, нам потребуется следующее утверждение.
Пусть Vr = {(н,л),... , (v?jV)} ~~ множество г различных пар вер-
вершин графа GUyT таких, что %k ^ jk, k = 1,... ,г. Обозначим P(Vr)
вероятность события, состоящего в том, что все ребра из Vr появятся
в случайном графе Gn^-
Лемма 2.4.1. Если п, Т -> оо; 2Т/п ^A;0<A<oo;0<?<a^<
Е < оо, г = 1,... , п, то для произвольных фиксированных е, Е и г
P{Vr) = ^аг1ап . ..агга3г (l + O (±X\	B.4.3)

132	2. Эволюция случайных графов
равномерно относительно ai,... , ап и всех множеств Vr .
Кроме того, для любого S > 0 найдется такая постоянная с, что
всех run
P(Vr) < с^ ^ S^аг1а1г ... аг а* .	B.4.4)
Доказательство. Полож:им q^ = 2pikpjk, k = 1,... ,г. Тогда
<ji[m\ + ...+mr]
= TWq1...qr((l-q1-...-qr)T-r
^	roi!...ror!
X A-д1-...-дг)Г-
?1'
Здесь ж^ = x (x — 1)... (x — m-\-1), суммирование в ^ проводится по
всем наборам {mi,... , тг}, в которых mi,... , mr ^ 1 и существует
такое г, 1 ^ г ^ г, что т^ > 1. Ясно, что
и для произвольного фиксированного г
A - 41 - ... - qrf-r = 1 + ОA/п).	B.4.6)
Кроме того,
< 2_^qi(T -r)Si, B.4.7)
i=l
где
5,. V 3^1
i! ... 7пг!
mr-l
r	(l _ gi _ ..

2.4- Неравновероятные графы	133
Положим li = rrii — 2, lj = rrij — l,j^i (напомним, что rrii > 1). Тогда
1 "
xqt11...cfc(l-qi-...-qr)T-r-1-h—-lr = 1. B.4.8)
Теперь утверждение B.4.3) следует из B.4.5)-B.4.8), а утверждение
B.4.4) из B.4.5), B.4.7) и B.4.8), так как
BТ)Т
T[r]qx ...qr^ ——ailajl ... airajr.
Следствие 2.4.1. Если п,Т -> оо; 2Т/п ^Л;0<Л<оо;0<?<
cti ^ Е < оо, г = 1,... , п, то ^л«я произвольных фиксированных е, Е,
X и г
равномерно относительно j, I ^ j ^ (г — 1)!/2, всех наборов
{н,... ,гг} гл аь... ,ап.
Кроме того, для любого 5 > 0 найдется такая постоянная с, что
для всех run
Доказательство. Равенство ^ ^ = 1 выполняется тогда и толь-
только тогда, когда в GUyT существует г фиксированных ребер
{(/cbji),... ,(/cr,jr)}, fcj, ^ iv, v = 1,... ,г, которые образуют j-й
цикл, состоящий из вершин ii,... , гг. Для этих ребер множества
{/ci,... , kr} и {ji,... , jr} совпадают с множеством {ii,... , гг}. По-
Поэтому следствие вытекает из леммы 2.4.1.
Будем использовать обозначение {ii,... , ir} для наборов неупоря-
неупорядоченных различных индексов п,... , гг, число таких наборов равно
(^). Для наборов упорядоченных различных индексов п,... , гг будет

134	2. Эволюция случайных графов
использоваться обозначение (ii,... , ir)? число таких наборов равно
п^. Символы
V
будут обозначать суммирование по всем наборам г различных неу-
неупорядоченных и упорядоченных индексов соответственно. Ясно, что
суммирование по всем неупорядоченным наборам {ii,... , гг} подхо-
подходит для слагаемых /г1...гг, значения которых инвариантны относитель-
относительно перестановок индексов. Для таких слагаемых
/ii-i.	B-4-9)
и, кроме того,
Е ^...^...^-^= Е
если суммирование в левой части проводится по всем различным упо-
упорядоченным наборам к различных r-мерных индексов.
Лемма 2.4.2. Если 0<?^cii^E< оо; г = 1,... , п, то
любого фиксированного г при п -^ сю
Доказательство. Справедливо представление
Е2	2
а?- ... а?-
Е*
где в правой части этого равенства суммирование в первой сумме
проводится по всем различным наборам различных упорядоченных
индексов, а в сумме со звездочкой по всем различным наборам упо-
упорядоченных индексов, в каждом из которых имеется по крайней мере
два одинаковых индекса. Число слагаемых в первой сумме равно т\г\
а во второй сумме число слагаемых равно пг — п^ и не превосходит
сгпг~х, где постоянная сг зависит только от г. Поэтому
и доказательство завершено.

2.4- Неравновероятные графы	135
Следствие 2.4.2. При выполнении условий теоремы 2.4.2 для лю-
любого фиксированного г > 3
Хга2г
Еаг -> ——.
2г
Кроме того, для любого 5 > 0 найдется такая постоянная с, что
Ear ^ с-
Доказательство. Используя представления B.4.1) и B.4.2), с уче-
учетом B.4.9), следствия 2.4.1 и леммы 2.4.2 получаем, что
(Г-1)!ЛГ v-^ 2 о /	(\
Еаг =	- — 2^ а? ...а-( 1 + О ( -
=	^— > а;f ... а; 1 + О —
Второе утверж:дение следует непосредственно из неравенства следст-
следствия 2.4.1.
Оценим теперь факториальные моменты случайной величины аг.
Если Sn = ^i + ... + ^п, где ?i,... , <fn принимают только значения 0 и
1, то согласно теореме 1.1.4
Sn(Sn - 1)... EП - т + 1) = ^ &!•••&-,	B-4-12)
где суммирование проводится по всем различным упорядоченным мно-
множествам т различных индексов.
В рассматриваемом случае индексы являются составными, так как
е е
Для факториальной степени случайной величины аг справедливо ана-
аналогичное B.4.12) представление
аг(аг - 1)... К - т + 1) = ?^^.u, ¦ ¦ ¦ ф^м , B-4.13)

136	2. Эволюция случайных графов
где суммирование проводится по всем различным упорядоченным на-
наборам
различных индексов вида ({ii,... , v},^), набор {ii,... , гг} в индексе
рассматривается как неупорядоченное множество различных индек-
индексов, a j указывает номер цикла, образованного вершинами ii,... , ir.
Покажем, что в условиях теоремы 2.4.2 для любого фиксирован-
фиксированного г и любого фиксированного т ^ 1
B.4.14)
Для т = 1 это утверждение вытекает из следствия 2.4.2.
Чтобы привыкнуть к сложным обозначениям, рассмотрим сначала
случай т = 2. В силу B.4.13)
2
(il) -eih) -Л
Разобьем сумму из правой части этого равенства на две суммы.
Пусть первая сумма Ei состоит из слагаемых с непересекающимися
множествами {ц ,... , ir } и {ц ,... , ^ }. Замечая, что для выпол-
выполнения равенств ?^у A) = ^(J2y B) = 1, необходимо 2г ребер, и ис-
пользуя лемму 2.4.1, находим, что
J Лог)	_ Ah)	_
S S.(l) -(I) — S.B) -B) —
^ гх ...гг	гг ...гг
2г
Поэтому
(^-1)Л2	V-	2	2 2	2
>.	а.A) ...а.A)а.B) ...а.B)

2.4- Неравновероятные графы	137
В силу B.4.9) и B.4.10)
?
2	2 2	2
а.A) • • • &.A)а.B) ... а (
Поэтому согласно лемме 2.4.2
(r^l)lV A2r
2
\гаъ
2r
B.4.15)
Покажем, что оставшаяся сумма Е2 стремится к нулю. Суммиро-
Суммирование в ^2 проводится по парам составных индексов, в которых мно-
множества {i[ ,... , ir } и {i[ ,... , ir } имеют по крайней мере один
общий элемент.
Каждый составной индекс ({н,... ,ir},j) соответствует циклу в
полном графе с г вершинами, этот цикл состоит из г ребер и вершин
ii,... , гг. Два цикла, соответствующих индексам ({г^ ,... , ir }, ji) и
({г^ ,... , гг }, ]2) в сумме Е2 могут иметь М < 2г различных вершин
и L различных ребер. Разобьем сумму Е2 на суммы Т<м,ь, содержа-
содержащие слагаемые с параметрами М и L. Число таких сумм не превос-
превосходит BгJ, поэтому достаточно доказать, что каждая из сумм Т>м,ь
стремится к нулю. Легко видеть, что в случае М < 2г справедливо не-
неравенство L ^ М + 1. Число слагаемых в сумме Т^м,ь не превосходит
пм, а вероятность появления L фиксированных ребер в случайном
графе GUyT в силу B.4.4) не превосходит cn~L. Отсюда следует, что
Zm,l < -^1 < "•	B-4-16)
пь-м п
Поэтому при п —> оо
Е2 -^ 0.	B.4.17)
Утверждение B.4.14) при т = 2 следует из B.4.15) и B.4.17).
Рассмотрим теперь факториальный момент произвольного поряд-
порядка т. Согласно B.4.13)

138	2. Эволюция случайных графов
где сумма Ei состоит из тех слагаемых, для которых среди наборов
г.A)	.(lh	r-(m)	•(mI	r	г
\г\ ,... , гг },..., {г\ ,... , %г } нет двух наборов с хотя бы одним
общим элементом. В таком случае, в графе GUyT должны существо-
существовать гт фиксированных ребер для того, чтобы соответствующие слу-
случайные величины приняли значение единица. Отсюда и из леммы 2.4.1
следует, что
1
Jl)		 1	АЗт)		 1 I
A) ,-(l) — -1-? • • • ?S.(m) .(m) — -1 f
1 •••V	*! ..-V	J
P^(
Л
n
и в силу B.4.9) и леммы 2.4.2
'Ara2r
Остается доказать, что сумма Ег, взятая по всем остальным на-
наборам индексов, стремится к нулю. Суммирование в Е2 проводится
по т наборам составных индексов, которые имеют по крайней мере
один общий элемент хотя бы в одной из пар множеств {4 , • • • ? V }?
Г •(</)	-(р) Л	I тт	«
\*i , • • • ,^г }, р ф Q- Напомним, что каждый составной индекс соот-
соответствует циклу в полном графе с г вершинами. Циклы соответст-
соответствующие т индексам в слагаемом суммы Е2 содержит М различных
вершин и L различных ребер. Разобьем сумму Е2 на суммы Т^м^ь,
содержащие слагаемые с параметрами М и L. Число таких сумм не
превосходит (гтJ. Поэтому достаточно доказать, что каждая из сумм
Em,l стремится к нулю. Ясно, что М < гт и в этом случае L ^ М-\-1.
Число слагаемых в сумме Т^м,ь не превосходит пм и в силу B.4.3) ве-
вероятность появления L фиксированных ребер в Gn^r не превосходит
cn~L, поэтому
Следовательно, при п -^ сю
Е2 -^ 0.	B.4.19)
Утверждение B.4.14) следует из B.4.18) и B.4.19).
Итак, в силу B.4.14) распределение случайной величины аг при
г ^ 3 сходится к распределению Пуассона с параметром Лг =
Ara2r/Br). Легко видеть, что в случайном графе GUit в условиях тео-
теоремы распределения числа петель а\ и числа пар параллельных ребер

2.4- Неравновероятные графы	139
«2 сходятся к распределениям Пуассона с параметрам Ai = Ла2/2 и
Л2 = Л2а4/4 соответственно.
Таким образом, доказательство теоремы 2.4.2 завершено.
Более общее утверждение теоремы 2.4.3 может быть доказано ана-
аналогичным образом. Достаточно показать, что в условиях теоремы
Еа>1] • • • 4?s] -> К1,1 • • • К;
для произвольных фиксированных целых положительных mi,... , ms,
где
. _ Xra2r
В силу B.4.13)
4j
/(/(*) Лк), A(к) (к) Л г	тк
где
i/ ~~ 1 г1 i • • • ilrk M	6 — 1, . . . , 771/j, AC — 1, . . . , 5,
суть неупорядоченные наборы г& вершин, а ^ , I = 1,... ,771^, /с
1,... ,5, суть номера циклов длин г к при выбранной их нумерации.
Поэтому
где
Разобьем сумму в правой части этого представления на две части. В
первую сумму Ei включим все слагаемые с различными элементами
во всех наборах /^ , I = 1,... , т^, к = 1,... , 5, а во вторую сумму Е2
все оставшиеся слагаемые. Для слагаемого первой суммы соответству-
соответствующие случайные величины равны единице, если граф Gn^r содержит
.. . + 7nsrs фиксированных ребер. Поэтому согласно лемме 2.4.1
miri+...+m3r3
П

140	2. Эволюция случайных графов
и в силу B.4.9), B.4.10) и леммы 2.4.2
Остается показать, что сумма Е2 стремится к нулю. Суммирование
в Т>2 берется по наборам составных индексов, в которых по меньшей
мере один из элементов 1,2,... , п появляется хотя бы дважды. Каж-
Каждому из составных индексов соответствует цикл. Существование об-
общего элемента в этом цикле означает, что число М различных вер-
вершин и число различных ребер L в цикле удовлетворяют неравенству
L ^ М + 1. Разобьем сумму Е2 на конечное число сумм Т^м^ь, содер-
содержащих слагаемые с параметрами М и L. Согласно B.4.3) для каждой
из этих сумм справедлива оценка
так как число слагаемых не превосходит пм, а вероятность существо-
существования L фиксированных ребер в случайном графе GUit не превосходит
cn~L.
Таким образом, теорема 2.4.3 доказана.
Для доказательства теоремы 2.4.1 потребуется следующее утверж-
утверждение.
Лемма 2.4.3. Пусть ^[п ,... , ?^ — неотрицательные целочислен-
целочисленные случайные величины такие, что для любого фиксированного це-
целого положительного s и любых целых неотрицательных fci,... , ks
при п —> сю
5 '"SJ hl.-.kj
где ai,a2,... — набор фиксированных неотрицательных чисел. Кро-
Кроме того, пусть при s —> сю
+\ + --- + ^п)) ->0	B.4.20)
равномерно по п и
ОО
У^а/е = А < сю.
Тогда при п -^ сю распределение случайной величины
(п = ?i + ... + <fn сходится к распределению Пуассона с пара-
параметром А.

2.5. Замечания и литературные ссылки
141
Доказательство. Покажем, что для любого е > 0 и любого фик-
фиксированного т
те-А
т\
для достаточно большого п. Для фиксированных г и т существует
такое 5, что
,—А3 Ате~А
ml
ml
где As = a\ + ... + as.
Нетрудно видеть, что
Поэтому в силу B.4.20)
^> 0}.
для достаточно больших s. Наконец, в силу условий леммы распреде-
распределение случайной величины Q = ?1 + ... + ?s ПРИ фиксированном
s сходится к распределению Пуассона с параметром As = а\ +... -\-as.
Поэтому
С(») = то} _ А™е As -е
ml
для достаточно больших s.
Теорема 2.4.1 следует из 2.4.3 и леммы 2.4.3, условия которых вы-
выполняются при Ха2 < 1.
2.5. Замечания и литературные ссылки
Исследования эволюции случайных графов начались с известной
статьи Эрдеша и Реньи [127], опубликованной в I960 году. Наряду
с основными свойствами случайного графа Gn T в этой статье был от-
отмечен эффект, который естественно трактовать как фазовый переход.
Примерно в это же время В. Е. Степанов провел исследования слу-
случайного графа GUyP, результаты которых были опубликованы позднее
в статьях [97, 98, 99]. До последнего времени за рубежом эти резуль-
результаты В. Е. Степанова не получили достаточной известности. В част-
частности, В. Е. Степанов доказал, что если р = с/п, где с — постоянная,
большая единицы, то размер гигантской компоненты асимптотически
нормален со средним па{с) и дисперсией п/3(с), где
а(с) = 1 - ±,
№ =
7A - 7/с)
сA-7J '

142	2. Эволюция случайных графов
и 7, 7 < 1? ~~ корень уравнения
(з)
Аналогичные результаты для графа Gn T были получены Питтелем
[160] почти через двадцать лет после публикаций В. Е. Степанова.
Питтель доказал, что при n, T —> сю и 2Т/п —> с > 1 размер гигант-
гигантской компоненты графа Gn T распределен асимптотически нормально
с параметрами па(с) и n/3(c)(l — 2j + 2j2/c).
Остается много открытых вопросов, касающихся эволюции слу-
случайных графов. Основная цель этой главы состояла в том, чтобы по-
показать возможности подхода, использующего обобщенную схему раз-
размещения при изучении эволюции случайных графов. Результаты па-
параграфа 2.1 показывают, что тонкие свойства докритических графов
можно изучать простым и естественным путем, в том числе, и неко-
некоторые свойства таких графов вблизи критической точки. Переходные
явления для графа Gn T были впервые рассмотрены Боллобашем в
119]. Результаты, представленные в параграфе 2.1 опубликованы в
54]. Подход, основанный на использовании обобщенной схемы раз-
размещения, позволил доказать асимптотическую нормальность числа
одноцикловых компонент и найти предельное распределение макси-
максимального размера деревьев и одноцикловых компонент.
Параграф 2.2 посвящен критическим графам. Поведение случай-
случайного графа вблизи критической точки и особенно в области, где фор-
формируется гигантская компонента, сложно и его изучение вызывает
большие трудности. Исследования этого поведения далеки от завер-
завершения, но даже изложение их современного состояния могло бы со-
составить отдельную монографию. Много результатов о случайных гра-
графах можно найти в фундаментальном исследовании Боллобаша [120]
и в монографии [159], целиком посвященной эволюции случайных гра-
графов. Детальный анализ процесса формирования гигантской компо-
компоненты содержится в статье [144]. Надкритические графы рассматри-
рассматривались Лучаком в статье [154], где, в частности, доказано, что пра-
правая граница критической области определяется условиями п, Т —> сю,
A - 2Т/пKп -> -сю.
Следуя подходу, использованному в первых двух главах, случай-
случайные графы в надкритической области можно было бы изучать, ис-
используя представление почти всех из них как комбинацию компо-
компонент трех типов: одной гигантской компоненты, деревьев и одноцикло-
одноцикловых компонент. Однако реализации такого подхода мешает отсутствие
простых формул для числа связных графов с п вершинами и Т реб-
ребрами, для которых к = Т — п > 0. Заметим, что к = Т — п равно числу
независимых циклов в таком графе и называется цикломатическим
числом графа. Обозначим с(п, к) число связных графов с п занумеро-
занумерованными вершинами, имеющих цикломатическое число к. Ясно, что
с(п, —1) — число деревьев и по формуле Келли с(п, —1) = nn~2, a

2.5. Замечания и литературные ссылки	143
с(п, 0) — число ип одноцикловых графов, рассмотренных в парагра-
параграфе 1.7. Числа c(n,k) изучались В. Е. Степановым (см. [7, 25, 26]) и
Райтом [165, 166] и получили название чисел Степанова-Райта (см.
[26]). При п^оои к3/п -> 0
, к) = сг(ЗтгI/2 {^
где, как доказано Меертенсом, d = 1/Bтг) (см. [115]).
Можно надеяться, что результаты статьи [116], где получена асимп-
асимптотика чисел с(п, к) при всех регулярных изменениях параметров п
и /с, могут помочь реализовать отмеченный выше подход, использую-
использующий обобщенную схему, для изучения надкритических графов и до-
довести уровень их изучения до уровня, достигнутого для докритичес-
ких графов. Заметим, что если бы было известно предельное совмест-
совместное распределение размера гигантской компоненты и числа ее ребер,
то получение предельных распределений для характеристик надкри-
надкритического графа сводилось бы к простому усреднению по этому рас-
распределению предельных распределений этих характеристик, получен-
полученных при фиксированных параметрах гигантской компоненты.
Параметр в = 2Т/п играет роль времени в эволюции случайных
графов. Поэтому числовые характеристики случайного графа мож-
можно рассматривать не только как случайные величины, но и как слу-
случайные процессы с временным параметром в. Особый интерес пред-
представляет изучение сходимости таких процессов (см. [124, 143, 161]).
Заметим, что в задачах комбинаторики изучение сходимости таких
процессов было начато в работах Б. А. Севастьянова [96] и Ю. В. Бо-
Болотникова [11, 12, 13].
Случайный граф СП)т? рассматриваемый в параграфе 2.3, изучен
в [56, 58]. Этот граф представляет собой модель графов, возникающих
при изучении систем случайных сравнений по модулю 2, рассматрива-
рассматриваемых в следующем параграфе. Аналог теоремы 2.3.8 для двудольных
графов доказан в [95].
Неравновероятный вариант графа GUit рассматривается в пара-
параграфе 2.4, где приведены результаты статей [64, 146, 145]. При этом
используется метод моментов. Отсутствие других методов анализа не-
неравновероятных случайных графов не позволяет довести их исследо-
исследования до желаемой полноты. Нам кажется, что разработка методов
анализа неравновероятных графов является одной из важных задач
теории графов.

Глава 3
Системы случайных линейных
уравнений в GF{2)
3.1. Ранг матрицы и критические наборы
В этом разделе рассматриваются системы линейных уравнений в
GFB), в поле из двух элементов, 0 и 1. Приведем два примера, описы-
описывающих ситуации, в которых появляются такие системы уравнений.
Вначале рассмотрим простую задачу классификации. Предполо-
Предположим, что имеется множество п предметов двух сортов, например,
предметов, имеющих веса, принимающие два разных значения. Мы
можем последовательно с помощью некоторого случайного механизма
выбирать пары предметов этого множества и определять, совпадают
веса этих предметов или они различны. Задача состоит в том, чтобы
разделить все предметы на два множества, в каждом из которых пред-
предметы имеют одинаковый вес, точнее, оценить вероятность того, что
такое решение будет найдено. Для формального описания ситуации
предположим, что предметы занумерованы числами 1,2,... , п и Xj
обозначает неизвестный сорт предмета с номером j, j = 1,... , п. Бу-
Будем считать, что xi,... , хп принимают значения 0 и 1 в зависимости
от того, к какому из двух множеств принадлежат предметы. Прове-
Проведем Т испытаний, в каждом из которых для сравнения выбирается
пара предметов, пусть в испытании с номером t выбраны предметы с
номерами i(t) и j(t), t = 1,... , Т, и пусть bt — результат их сравнения,
то есть bt = 0, если сорта (веса) предметов оказались одинаковыми, и
bt = 1, если они различны. Таким образом, результаты этих испыта-
испытаний можно записать в виде следующей системы уравнений в GFB):
*i(t)+X№ =b^ t = l,... ,T.	C.1.1)
Эту систему можно переписать в матричном виде
АХ = Б,

3.1. Ранг матрицы и критические наборы	145
где X = (xi,... , хп) и В = (Ь]_,... , 6т) — векторы-столбцы, а элемен-
элементы ац матрицы А = ||tt?j||, t = 1,... ,Т, j = 1,... , n, — случайные
величины, распределение которых зависит от случайного механизма
выбора пар предметов. Удобно связать с этой системой, точнее с мат-
матрицей А, случайный граф Gn^r с п вершинами, соответствующими пе-
переменным xi,... , хп. Граф содержит Т ребер (г(?), j(t)), t = 1,... , Т.
Вообще говоря, такой граф может иметь петли и параллельные ребра,
что зависит от механизма выбора пар предметов для сравнения.
В этой главе рассматриваются те характеристики случайного гра-
графа GUyT, которые как-то связаны со свойствами системы C.1.1). Ясно,
что одной из таких характеристик является связность графа. Дейст-
Действительно, в случае, когда граф связен, определяются все значения
величин xi,... , хп, если одной из этих величин приписать одно из
возможных значений, 0 или 1. В обоих случаях разбиение множест-
множества номеров предметов оказывается одним и тем же, так что система
имеет два различных решения. В случае, когда граф GUyT несвязен,
система имеет более двух решений и полная классификация невоз-
невозможна.
Пусть вектор В состоит из независимых случайных величин, при-
принимающих значения 0 и 1. Если прибор, осуществляющий сравнения
предметов (весы) неисправен, сравнение иногда может приводить к
ложному результату, так что величины bi,... ,6т могут отличаться
от истинных значений. В этом случае мы получаем систему с иска-
искаженными правыми частями, которая может не иметь решения. Если
прибор для сравнения вовсе не дает информации о соотношении меж-
между сортами сравниваемых предметов, то естественно предположить,
что случайные величины Ъ\... , Ът не зависят от левой части системы
и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями. В описанной
ситуации возникают естественные вопросы: зависят или не зависят
правые части системы 6i,... ,6т от левой части, и если зависят, то
можно ли восстановить истинные значения величин xi,... , хп с по-
помощью системы с искаженными правыми частями?
Обратимся ко второму примеру. Пусть (ci,... , сп) — вектор с эле-
элементами из GFB). По начальному вектору xi,... , хп можно постро-
построить рекуррентную последовательность xn+t5 t = 1,2,... , используя
рекуррентное соотношение
Xn+t = cixt + ... + СпЖп+t-i, t = 1, 2,...	C.1.2)
Это рекуррентное соотношение можно реализовать с помощью
устройства, называемого регистром сдвига, схема которого представ-
представлена на рисунке 3.1.1. Регистр сдвига состоит из п последовательно
расположенных ячеек, занумерованных числами 1,2,... , п. Состояни-
Состоянием регистра называется п-мерный @,1)-вектор заполнений этих яче-
ячеек. В начальный момент состоянием регистра является вектор
(xi,... ,xn). Вектор (ci,... ,cn) описывает конструкцию регистра и
означает, что в регистре выбираются ячейки с номерами, которым
соответствуют единицы последовательности ci,... ,сп, и формирует-
10 В.Ф. Колчин

146	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
xt
Xt+1
Xt+n-1
Рис. 3.1.1. Регистр сдвига
ся сумма жп+1 = с\Х\ + ... + спхп по модулю 2. В следующий мо-
момент содержимое ячеек регистра сдвигается на единицу влево, так
что хп переходит в ячейку с номером п — 1, хп-\ переходит в ячейку
с номером п — 2 и так далее, х\ покидает регистр сдвига, а сумма
хп+\ = с\Х\ + ... + спхп занимает освободившуюся ячейку с номе-
номером п. Таким образом, регистр из состояния (xi,... , хп) переходит в
состояние (#2, • • • >#n+i)- Далее процесс повторяется. Таким образом,
если заданы ci,... , сп, то для любого начального состояния xi,... , хп
рекуррентная последовательность C.1.2) в GFB) удовлетворяет соот-
соотношениям
Хп+1 =
+ . . . + CnXn+i,
СпХп+Т-1-
Сделав замену bt = xn+t5 t = 1,2,... , Т, и положив оц =
aln = сп, находим, что первое соотношение принимает вид
= Ь\.
Ясно, что вместо хп+\ во втором равенстве мож:но подставить с\Х\ -\-
... + спжп и получить соотношение
Преобразуя аналогичным образом остальные соотношения, получаем
равенства
C.1.3)
Если начальное состояние (xi,... , хп) неизвестно и в нашем распо-
распоряжении имеется последовательность bi,...,^? T0 соотношения

3.1. Ранг матрицы и критические наборы	147
C.1.3) можно рассматривать как систему линейных уравнений отно-
относительно неизвестных #]_,... , хп, решение которой приводит к нахож-
нахождению начального заполнения регистра сдвига и к восстановлению
всей последовательности btj t = T + 1,...
Несколько другая ситуация возникает, когда неизвестен вектор
ci,... , сп, определяющий обратную связь в регистре сдвига. Пред-
Предположим, что наблюдается последовательность bi,... , Ът- Например,
если известно, что число единиц в векторе (ci,... , сп) равно /с, то име-
имеется (J^j различных возможных вариантов этого вектора. Если исполь-
использовать полный перебор для нахождения истинного вектора, который
соответствует последовательности bi,... , Ьт, то возникает следующая
ситуация. Если проверяемый вектор истинный, то система C.1.3) со-
совместна при любом числе уравнений Т, но если проверяемый вектор
(ci,... , сп) не является истинным, то система может стать несовмест-
несовместной при некотором Т. Поэтому совместность системы C.1.3) может
служить критерием при нахождении истинного вектора (ci,... , сп).
Для изучения систем линейных уравнений в GFB) введем вспомо-
вспомогательные понятия критического набора и гиперцикла. Заметим, что
такие понятия линейной алгебры, как линейная независимость векто-
векторов, ранг матрицы, правило Крамера для нахождения решений ли-
линейных систем уравнений и другие, очевидным образом переносятся
на n-мерное векторное пространство над GFB). Например, если ранг
Т х п матрицы А = \\dtj\\ в GFB) равен г, то однородная система
уравнений
АХ = 0,
где X = (xi,... , хп) — вектор-столбец неизвестных, имеет ровно п — г
линейно независимых решений.
Обозначим
строки матрицы А. Если покоординатная сумма
atl + • • • + atm = 0,
то множество С = {?]_,... ,?ш} номеров строк называется критичес-
критическим набором.
Если Ci и С*2 — различные критические наборы, то
d Л С2 = (Ci U C2) \ (Ci П С2)
— также критический набор.
Пусть ?]_,... , ?s принимают значения 0 и 1. Критические наборы
Ci,... , Cs называются независимыми, если
e1C1Ae2C2A...AesCs = 0
тогда и только тогда, когда е\ = ... = es = 0.
Обозначим 5 (А) максимальное число независимых критических
наборов и г (А) ранг матрицы А.
ю*

148	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Теорема 3.1.1. Для любой Т х п матрицы А в GFB)
s{A) + r(A) = Т.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему уравнений
A'Y = 0	C.1.4)
в GFB), где А! — матрица, транспонированная к А. Существует вза-
взаимно однозначное соответствие между решениями системы C.1.4) и
критическими наборами матрицы А. Решение ltlv..,tm — B/1? • • • ?2/т)?
компоненты ytl,... , ytm которого равны единице, а остальные равны
нулю, соответствует критическому набору С = {?]_,... ,tm}. Линейно
независимые решения соответствуют независимым критическим на-
наборам. Поэтому максимальное число критических наборов s (А) равно
максимальному числу линейно независимых решений системы C.1.4),
которое равно Т — г (А).
Наряду с критическими наборами Т х п матрицы А = ||atj|| рас-
рассмотрим гиперграф Ga, определяемый матрицей А следующим обра-
образом. Множеством вершин гиперграфа Ga служит множество
{1,... , п} номеров столбцов, а множеством занумерованных гипер-
гиперребер является множество {ei,... , ет}, где
et = {j: atj = l}, t = l,... ,T.
Таким образом, строке at = (a^i,... , atn) соответствует гиперребро
et, t = 1,... ,Т. Заметим, что строке, состоящей из нулей, соответст-
соответствует пустое множество.
Кратностью вершины j в множестве С = {etl,... , etm} гиперребер
назовем число гиперребер в С, содержащих эту вершину.
Множество гиперребер С = {etl,... , е^т} назовем гиперциклом,
если каждая вершина гиперграфа Ga имеет четную кратность в С,
другими словами, если покоординатная сумма строк atl + ... + atm в
GFB) равна нулевому вектору.
Если каждая строка матрицы А содержит ровно две единицы, то
гиперграф Ga представляет собой обычный граф, возможно с крат-
кратными ребрами, и гиперцикл — это обычный цикл или объединение
нескольких циклов.
Множество номеров гиперребер, входящих в гиперцикл, образует
критический набор матрицы А. Пусть ?i,... , ?s принимают значения
О и 1. Гиперциклы Ci,... , Cs называются независимыми, если
eiCi As2C2A...A esCs = 0,
тогда и только тогда, когда е\ = ... = es = 0. Поэтому максималь-
максимальное число s (А) независимых критических наборов в матрице А равно
максимальному числу независимых гиперциклов в гиперграфе Ga-

3.2. Матрицы с независимыми элементами	149
3.2. Матрицы с независимыми элементами
В этом разделе рассматриваются случайные матрицы с независимы-
независимыми элементами. Пусть А = \\atj\\ — матрица размера Т х п, элементы
которой независимы и принимают значения 0 и 1 с равными веро-
вероятностями, и пусть Рп(Т) — ранг матрицы А в GFB). Следующая
теорема составляет главный результат этого раздела.
Теорема 3.2.1. Пусть s ^ 0 и т — фиксированные целые числа,
т + s ^ 0. Если п —> оо иТ = п + т, то
х m+s
-^) П
где последнее произведение полагается равным единице при m+s = 0.
Доказательство. Докажем теорему, используя явную формулу
для вероятности Р{рп(Т) = n — s}. Обозначим pn(t) ранг подматрицы
А, состоящей из первых t строк матрицы А. Будем интерпретировать
параметр t как время и рассмотрим процесс последовательного роста
числа строк. Положим ?t = 1, если ранг pn(t — 1) возрастает после
добавления ?-й строки, и ^ = 0, если ранг сохраняет при этом свое
значение. Ясно, что
Pn(*)=?i+ ... + &•
Нетрудно описать вероятностные свойства случайных величин
?ъ • • • >?т- Событие {?t = 1} означает, что t-я строка линейно неза-
независима от множества строк с номерами 1,... , t — 1, а событие {^ = 0}
означает, что строка с номером t есть некоторая линейная комбинация
предшествующих строк. Если среди t — 1 предшествующих строк име-
имеется ровно к линейно независимых n-мерных векторов, то pn(t—1) = к.
Линейная оболочка этих к векторов содержит 2к векторов (все ли-
линейные комбинации этих к векторов). Матрица А устроена так, что
каждая строка получается с помощью простого случайного выбора
с возвращением из ящика, содержащего все 2П различных двоичных
n-мерных векторов. Другими словами, каждая строка матрицы А не
зависит от всех остальных строк и равна любому n-мерному двоично-
двоичному вектору с вероятностью 2~п. Поэтому
Таким образом, процесс pn(t) — это цепь Маркова со стационарны-
стационарными вероятностями перехода, задаваемыми равенствами C.2.1). Чтобы
найти Р{рп(Т) = n — s}, достаточно просуммировать вероятности всех

150	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
П — S
t = n + т
Рис. 3.2.1. График траектории с ?tl = ... = ^tm+s = 0
траекторий этой цепи Маркова, ведущих из начала координат в точ-
точку (п + 7П, п — s), то есть, таких траекторий, для которых рп@) = 0,
рп(п + т) = n — s. Если представить траекторию как ломаную линию с
интервалами роста и горизонтальными интервалами между соседни-
соседними временными точками, то нетрудно видеть, что каждая такая лома-
ломаная содержит ровно п-\-т — (п — s) = m-\- s горизонтальных участков,
соответствующих т + s нулевым значениям среди случайных величин
?ь ... , Сп+т- График траектории, для которой ?tl = 0,... , Ctm+S = 05
приведен на рисунке 3.2.1.
Используя C.2.1) и рисунок 3.2.1, нетрудно найти явную формулу
для вероятности отдельной траектории и для суммарной вероятнос-
вероятности. Особенно просто это делается в случае, когда т + s = 0. Дейст-
Действительно, в этом случае только для одной траектории рп@) = 0 и
Рп(п-\-т) = п + ш, эта траектория не имеет горизонтальных участков
и на каждом шаге ломаная возрастает. Поэтому в случае т + s = 0
-m)=n-s}= [1- —
ОП
1 -
-1
= П
и при п
оо
i=s+l
что совпадает с утверждением теоремы, поскольку в этом случае по-
последнее произведение в формуле, приведенной в теореме, полагается
равным единице.

3.2. Матрицы с независимыми элементами	151
В общем случае, при т + s > О,
^ + ГП) = П — в}
2*1-1
У
Вынося из под знака суммы множитель 2(n~s)(m+s), получаем, что
\ Л
Как можно усмотреть из последующих оценок, моменты времени
ti,... ,tm+s, в которых заканчиваются горизонтальные участки ло-
ломаной, расположены в заключительной части траектории. Поэтому в
сумме, входящей в формулу, удобно перейти к новым переменным
к = —{U — / + 5 — n), I = 1,... , т + s.
Из неравенств 1 < t\ < ... < tm+s < п + т следует, что
О ^ ti — 1 ^ ^2 — 2 ^ ... ^ tm+s — т — s ^ п — s.
Вычитая п — s из каждого члена этого соотношения, находим, что
—п -\- s ^ti — 1 — п -\- s ^ ... ^ tm+s — т — s — п + 5^0.
Меняя знак, видим, что область суммирования 1 ^ t\ < ... < tm+s
п + т в новых переменных принимает вид
О < im+s < ... < н < п - s.

152	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Таким образом,
Р{Рп(^ ~\- ТП) = П — в}
= 2-s(m+s) Y[ l-_	?	2-^--Г C.2.2)
i=s+l ^	7 0<im+s<...<ii<n-s
Нетрудно видеть, что при п -^- оо
П fi-4)- П
i=s+l
C.2.4)
Для завершения доказательства остается преобразовать правую
часть C.2.4). Нетрудно видеть, что
= A - -)	У 2-1г—.-гз у 2~2г2
2
-1
П
г=1
Переходя в C.2.2) к пределу и учитывая C.2.3), C.2.4) и C.2.5),
получаем утверждение теоремы.
Как и ранее, предположим, что элементы Тхп матрицы А = \\atj||
независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями.
Рассмотрим систему уравнений
АХ = 0	C.2.6)
относительно неизвестных X = (xi,... , хп) в GFB). Обозначим z/n,T
число линейно независимых решений этой системы уравнений. Если
ранг рп{Т) матрицы А равен г, то z/n,T = п — г. Поэтому из теоре-
теоремы 3.2.1 получаем следующее утверждение.

3.2. Матрицы с независимыми элементами	153
Теорема 3.2.2. Пусть s ^ 0 и т — фиксированные целые числа,
т + s ^ 0. Если п —> оо, то
1 ч m+
-1) п
1) Ь
i=s+l V	У г=1 V
m+s /	i
где последнее произведение полагается равным единице при m-\-s = 0.
В частности, при т = s = О
/ 1 \
Р{^п,п = 0} ^ П ( 1 - - J = 0.28878816...
Важность результатов, содержащихся в теоремах 3.2.1 и 3.2.2, воз-
возрастает в связи с тем, что они устойчивы по отношению к отклонениям
распределений элементов матрицы от равномерного.
Теорема 3.2.3. Пусть элементы Т х п матрицы А = \\oitj\\ неза-
независимы, и пусть существует такая положительная постоянная 5,
что для вероятностей р^ = P{oitj = 1} справедливы неравенства
Пусть s ^ 0 и т — фиксированные целые числа и т + s ^ 0.
Тогда при п —> оо
оо
П
m+s ,	х -1
г=1
где последнее произведение полагается равным единице при m+s = 0.
Поскольку этот результат лежит в стороне от комбинаторной на-
направленности этой книги, здесь не приводится довольно сложное до-
доказательство этой теоремы (см., например, [44]). Мы ограничимся тем,
что покажем, что при выполнении условий теоремы 3.2.3, среднее зна-
значение числа нетривиальных решений C.2.6) инвариантно относитель-
относительно отклонений распределений элементов матрицы А от равномерного.
Пусть цп^т — число нетривиальных (то есть ненулевых) решений
системы C.2.6). С каждым вектором X свяжем индикатор, равный
единице, если X удовлетворяет системе уравнений, и равный нулю в
противном случае. Тогда
При оценке Е/Лп,т будет использоваться следующая лемма о сум-
суммировании независимых случайных величин в GFB).

154	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Лемма 3.2.1. Пусть ?i,... , ?п — независимые случайные величи-
величины, принимающие значения 0 и 1 с вероятностями
Тогда в GF{2)
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать утверждение
леммы при п = 2. В этом случае
= о, б = 1}
Ax)(l-A2)
4
- AiA2
Если элементы матрицы А независимы и принимают значения 0 и
1 с равными вероятностями, то согласно лемме 3.2.1 для любого Х^О
Р{АХ = 0} = (Р{ацЖ1 + ... + а1пхп = 0})т = 2~Т.
Поэтому Е/1щт = BП —1J~т и при Т = п + ш, где m — фиксированное
целое число,
при n —> оо
При некоторых условиях на неравновероятные распределения эле-
элементов матрицы А последний результат остается в силе. Пусть
р[? = P{atj = 1},
и, как и ранее, пусть /хП)т — число нетривиальных решений системы
C.2.6).
Теорема 3.2.4. В условиях теоремы 3.2.3
E/in,T -> 2~т.

3.2. Матрицы с независимыми элементами
155
Доказательство. Используя индикаторы, точно так же, как при
вычислении среднего числа решений в равновероятном случае, нахо-
находим, что
ЕМ„,Т = Y, PiAX = °} =
C-2.7)
k=l
где для любого фиксированного множества {ji,... ,^} из области
суммирования слагаемое Pjly... jk = P{AX = 0} соответствует вектору
X = (xi,... , хп), в котором элементы с индексами ji,... ,jk равны
единице, а остальные элементы равны нулю.
Представим вероятности р^ в виде
(п)
По условиям теоремы существует такое А < 1, что |Atj
всех t и j. Строки матрицы А независимы, поэтому
А для
где
Согласно лемме 3.2.1
P{atjl
¦
,3k
{t)
г=1
¦ atj,. = 0} =
и для всех t и 1 ^ ji < ... < jk ^ п
... Atjk
Д*
Отсюда, для Pjlv..)Jfc справедливы оценки
2 j ^Пи...,з^ { 2
Используя эти неравенства и C.2.7), находим, что

156	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Пусть теперь Т = п + т, где m — фиксированное целое число.
Левая и правая части неравенства C.2.8) оцениваются аналогично.
Оценим, например, правую часть. Положим
и сравним S(A) с
Было показано, что S@) —>¦ 2~ш при п —>¦ оо. Докажем, что для любого
фиксированного А, 0 < А < 1, разность S(A) — S@) стремится к нулю.
Разобьем S(A) на две части
п-\-т
где ?, 0 < е < 1/2, будет выбрано позднее. Ради простоты, предпо-
предположим, что г таково, что еп — целое число, тогда для любого е и А,
0<Д<1, 0<?< 1/2,
2 ; --'V 2 ;
п+т		?п
где была использована оценка п\ ^ пп^/пе~п. Полученная оценка для
Si (А) может быть записана в виде
Выбором достаточно малого е сделаем величину A+А)/Bгее е) мень-
меньшей единицы. Для такого е эта оценка при п —> сю стремится к ну-
нулю. Таким образом, существует фиксированное е, 0 < е < 1/2, та-
такое, что Si (А), а следовательно, и Si@), стремятся к нулю. Отсюда,
5(AM@H

3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц	157
Оценим теперь разность ^2(Л) — 52@). Ясно, что
О < 52(А) - 52@) =
Е 0^г
= (A + А?п)п+т-1) V (n\
sn<k^n V 7
<—((l + Aen)n+m-l).
Так как A + Деп)п+т —> \ При п —> сю, из полученной оценки следует,
что 52(А) -52@) -^0.
Итак, показано, что 5(А) - 5@) -^ 0 и 5@) -> 2"т, поэтому
5(А) -^ 2~т и теорема 3.2.4 доказана.
В действительности предположения теоремы 3.2.4 могут быть ос-
ослаблены. Результат остается справедливым, если для всех t = 1,... , Т,
j = 1,... , п
1ПП + ЖП	(t)	1ПП + ЖП
^ Pti ^ -1	?
п	3	п
где жп стремится к бесконечности как угодно медленно (см. [44]). Эти
границы точны в том смысле, что, как будет показано в следующем
разделе, ранг матрицы А имеет другое предельное распределение, ес-
если в приведенном выше условии величина хп постоянна.
3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц
В разделе 3.1 введено понятие критического набора матрицы. Напом-
Напомним, что множество {?]_,... , ?ш} номеров строк матрицы в GFB) на-
называется критическим набором, если покоординатная сумма строк с
номерами ti,... , tm равна нулевому вектору. Было также введено по-
понятие независимости критических наборов и максимальное число не-
независимых критических наборов матрицы А было обозначено s(A).
Согласно теореме 3.1.1 ранг г (А) матрицы А связан с s (А) соотноше-
соотношением s(A) +r(A) = Т. Поэтому вместо ранга матрицы можно изучать
максимальное число независимых критических наборов s(A).
В этом разделе критические наборы используются для изучения
ранга матриц с небольшим числом единиц. Предполагается, что эле-
элементы Т х п матрицы А = ||cetj|| независимы и принимают значения
0 и 1 с вероятностями
г . In п + х , Л In п + х	, ч
P{ati = 1} =	, P{atj = 0} = 1	,	C.3.1)

158	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
где х — постоянная, t = 1,... , Т, j = 1,... , п. Найдем предельное
распределение s (А) для таких матриц.
Теорема 3.3.1. Если п,Т —> сю гаа/€, что Т/п -^ а, 0 < а < 1, и
выполняется условие C.3.1), то распределение максимального числа
независимых критических наборов s(A) сходится к распределению
Пуассона с параметром А = ае~х.
Вначале покажем, что распределение числа критических наборов,
соответствующих нулевым строкам матрицы, сходится к распределе-
распределению Пуассона. Обозначим ^п^т число нулевых строк матрицы А.
Лемма 3.3.1. Если п,Т —> сю так, что Т/п —> а, 0 < а < сю, и
выполнено условие C.3.1), то для любого фиксированного /с = 0,1,...
\ к ~ — А
где X = ае~х.
Доказательство. Вероятность рп того, что фиксированная строка
состоит сплошь из нулей, равна
In п + х
1	"
и в условиях леммы
Случайная величина ?щт имеет биномиальное распределение с па-
параметрами (Т,рп), где Т — число испытаний и рп — вероятность успе-
успеха. В условиях леммы среднее число успехов Трп стремится к ае~х,
поэтому биномиальное распределение числа нулевых строк сходится
к распределению Пуассона с параметром ае~х.
Докажем теперь, что если а < 1, то с вероятностью, стремящей-
стремящейся к единице, все критические наборы исчерпываются критическими
наборами, соответствующими нулевым строкам.
Лемма 3.3.2. Если п,Т —> сю так, что Т/п —> а, а < 1, и выпол-
выполняется условие C.3.1), то с вероятностью, стремящейся к единице,
критические наборы матрицы А состоят только из критических
наборов, соответствующих нулевым строкам.
Доказательство. Рассмотрим общее число критических наборов,
каждый из которых содержит хотя бы одну ненулевую строку и до-
докажем, что математическое ожидание этого числа стремится к нулю

3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц	159
в условиях леммы. Хотя доказательство этого факта достаточно пря-
прямолинейно, оно содержит ряд громоздких оценок сумм, содержащих
биномиальные коэффициенты.
Заметим, что вероятность того, что число успехов в к независимых
испытаниях с вероятностью успеха р четно, равна A + (q — p)k)/2.
Найдем вероятность того, что к фиксированных строк соответст-
соответствуют критическому набору, содержащему ненулевую строку. Индексы
этих строк образуют критический набор, если каждый столбец под-
подматрицы, составленной из этих строк, содержит четное число единиц.
В соответствии с приведенным выше замечанием, для каждого столб-
столбца эта вероятность равна
Поэтому вероятность того, что эти к строк образуют критический
набор, равна
Заметим, что вероятность того, что в этих к строках нет ни одной
единицы, равна
In п + х \
Используя представление общего числа нетривиальных критичес-
критических наборов и числа критических наборов, соответствующих нулевым
строкам, в виде суммы индикаторов, получаем, что математическое
ожидание числа критических наборов, каждый из которых содержит
хотя бы одну единицу, равно
\nn-\-x\
п
где
п
Слагаемые с индексом к = 0, дополнительно включенные в эти
суммы, уничтожают друг друга. Прежде всего заметим, что

160	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
и в условиях леммы
Рассмотрим теперь сумму
Положим
а = 1 - 2Aпп + ж)/п, гк =
Тогда
-A+«г -
т(т)т (n\ik
k=0 x 7	/=0
Введем обозначение
и разобьем сумму
на пять частей так, что
где
к1 = ?п, к2 = ПA _ е), ^ = » _ lni/2

3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц
161
fci k2 ks	n/2
Рис. З.З.1. Графики функций (?J~п и ri
и величина г будет выбрана позднее.
Для удобства на рисунке 3.3.1 приведены графики (^J~п иг[ =
A + A — 2Aпп + х)/п)к)Т как функций от к.
Основной вклад в S(n,T) дает сумма S^- Ясно, что
_
2(\пп
равномерно относительно целых к = n/2 + ixv/n/2, для которых
п1/ю дти значения к образуют область суммирования суммы 64, рав-
равную {к: \и\ ^ п1/10}. Поэтому
-
п
равномерно относительно к из области суммирования S4. Таким об-
образом,
/с:
/с:
A+0A)),
11 В.Ф. Колчин

162	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
так как по теореме Муавра-Лапласа
к: Iw^nVio V /
Остается показать, что остальные четыре суммы стремятся к ну-
нулю. Начнем с суммы
35 = Е
Так как г^ монотонно убывает, находим, что
ч < т V^
5 ^ гк4 2-^
и в условиях леммы S$ —> 0, поскольку, как было доказано,
еае х, и согласно теореме Муавра-Лапласа
Е
к:
Оценим
Используя монотонность г^, находим, что для достаточно малого е
такого, что еп — целое число,
Е
A+?п)п?2т <
Ясно, что 2T/nBe?e~?)~1 ^ q < 1 для достаточно малого ?, поэтому
/Si -^ 0 при n ^ оо.
Осталось рассмотреть 52 и S3. Начнем с суммы

3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц	163
Покажем вначале, что а& — монотонно возрастающая функция к в
области еп ^ к ^ пA — е)/2. Действительно,
n-n(l -
A -2(lnn + x)/ri)k - A -2(lnn
1+e
1 - ? + 2/n
n)fe -A -2(lnn-
/ A - 2(lnn +
V	1
Поскольку 1 + A — 2(Inn + x)/n)k > 1, получаем, что
ak+1 > 1+g / _ / 2(lnn + x)\ /
2/n I V	n ) V	n
e /^ 2(lnn + x) / 2(lnn
~ 1 - e + 2/n I	n	V	n
Для достаточно больших п
Кроме того, для к из отрезка еп ^ /с ^ пA — е/2)
где с — постоянная, равная е 2ех
Таким образом, для достаточно больших п
Теперь при оценке #2, воспользовавшись монотонностью а&, получаем
неравенство
11*

164	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Оценим
'га\ 1 (
Здесь достаточно грубой оценки
k2j ~	к^к3 V'/ -	к:и^-г.
1/10
~ у/2п ]-оо
где в последнем равенстве использована известная асимптотика:
J —
— Z
при z —> оо.
Таким образом, существует постоянная а такая, что
Оценим теперь второй множитель в а^. Ясно, что
где Ъ — некоторая положительная постоянная.
Объединяя оценки двух множителей а^2 •> приходим к неравенствам
откуда следует, что #2 -^ 0, если е < 1/5.
Остается оценить

3.3. Ранг матрицы с малым числом единиц	165
Ясно, что
/ / 2Aпп + .т)\ьЛТ у, /»\ 1
и S3 ^ О, если ? < 1/5.
Доказательство теоремы 3.3.1. Утверждение теоремы 3.3.1 сле-
следует из лемм 3.3.1 и 3.3.2, так как согласно лемме 3.3.2 в условиях
теоремы
P{s(A) = Сп,т} - 1.
Следующая теорема является прямым следствием теоремы 3.3.1.
Предположим, что
^^,	C.3.2)
где х — постоянная, t = 1,... , Т, j = 1,... , п.
Теорема 3.3.2. Если п, Т —> сю так, что Т/п —> а, 1 < а < оо; и
выполняется условие C.3.2), то распределение s(A) сходится к рас-
распределению Пуассона с параметром Л = е~х/а.
Доказательство. Так как ранг матрицы равен максимальному чи-
числу линейно независимых строк или столбцов, применяя теорему 3.3.1
к транспонированной матрице, получаем утверждение теоремы 3.3.2.
Зная предельное распределение ранга матрицы А, можно рассмот-
рассмотреть поведение числа решений систем линейных уравнений с матри-
матрицей А
АХ = Б,	C.3.3)
где элементы Т хп матрицы А = \\cttj II независимы и для t = 1,... , Т,
j = 1,... ,п
In п + х
p{at3 = 1} = ___,
где х — постоянная, вектор-столбец В = (Ь]_,... , 6т) не зависит от А
и случайные величины bi,... , 6т независимы и принимают значения
О и 1 с равными вероятностями.
Обозначим цпТ число решений системы C.3.3). Примеры, приве-
приведенные в разделе 3.1, показывают, что совместность систем играет
важную роль в некоторых задачах, связанных с такими системами

166	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
уравнений. Вероятность совместности РП:т системы C.3.3) — это ве-
вероятность того, что система имеет хотя бы одно решение, то есть
Рп,Т = Р{/4^ > 0}.
Используя теорему 3.3.1, получаем следующее утверждение.
Теорема 3.3.3. Если п, Т —> сю так, что Т/п -^ а, 0 < а < 1, и
выполняется условие C.3.1), то
Доказательство. Если ранг г (А) матрицы А равен г, то
Р{/?,г > 0 I г(А) =г} = 2~т+г.	C.3.4)
Действительно, пусть линейно независимыми являются строки с но-
номерами 1,2,... , г. Тогда каждая из строк с номерами г +1,... , Т есть
линейная комбинация первых г строк, и для того чтобы система была
совместна, правые части br+i,... , Ът должны удовлетворять соотно-
соотношениям вида
eithi + ... + srtbr = bu t = г + 1,... , T,	C.3.5)
где ?]_?,... ,ert — некоторые постоянные, принимающие значения 0 и
1. Вероятность справедливости одного из соотношений C.3.5) равна
1/2, так что соотношение C.3.4) справедливо.
Поскольку {г(А) = г} = {s(A) = Т — г}, по формуле полной веро-
вероятности
т	т
Рп,т = ]Г Р{г(А) = г}фгг = ]Г P{s(A) = S}1.	C.3.6)
r=0	s=0
Последний ряд в C.3.6) мажорируется сходящимся рядом
J^^02~s, так что сходимость равномерна и можно перейти к пре-
пределу в C.3.6) под знаком суммы. Используя теорему 3.3.1, получаем,
что
2ss\
s=0
где Л = ае х.

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений	167
3.4. Циклы и совместность систем случайных
уравнений
В этом разделе рассматривается система Т уравнений в GFB)
x«t)+xm =&, ?=1,... ,Т,	C.4.1)
где i(t), j(t), t = 1,... , T, — независимые случайные величины, прини-
принимающие значения 1,... , п с равными вероятностями, случайные вели-
величины /3i,... , /Зт принимают значения 0 и 1. Обозначим АПут матрицу
этой системы. Как в разделе 3.1, свяжем с матрицей АПут граф GUit с
п занумерованными вершинами, которые соответствуют переменным
xi,... ,хп. Граф имеет Т ребер (i(t),j(t)), t = 1,... , Т. Ребра графа
Gn^T можно рассматривать как результат Т независимых испытаний,
в каждом из которых ребро соединяет вершины г и j с вероятностью
2п~2 и образует петлю в вершине г с вероятностью п~2, г, j = 1,... , Т.
Таким образом, граф GUyT — это граф, рассматривавшийся в разде-
разделе 2.3.
Обозначим цП1т число решений системы C.4.1) и рассмотрим ве-
вероятность совместности
Наша ближайшая цель — выразить РПут в терминах характеристик
графа GUyT- Обозначим кПут число компонент графа GUit-
Теорема 3.4.1. Если C\... , (Зт — независимые случайные величи-
величины, принимающие значения 0 и 1 с равными вероятностями и не
зависящие от Ап^т, тпо
к=1
Доказательство. Предположим вначале, что граф GUyT связен.
Тогда выберем дерево, являющееся остовом этого графа. Это дерево
содержит п — 1 ребер, которые соответствуют некоторой подсистеме из
п — 1 уравнений исходной системы. Если одному из неизвестных при-
придать некоторое значение, то с помощью уравнений этой подсистемы
каждое из остальных переменных получает определенное значение.
Для того чтобы исходная система была совместной, правые части всех
Т — п + 1 уравнений, не вошедших в выбранную подсистему, должны
принимать фиксированные значения. Так как /?]_,... ,Cт независимы
и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями, вероятность
совместности при условии, что GUyT связен, равна (l/2)T~n+1.
Предположим теперь, что граф Gn^r состоит из к компонент с
ni,... ,rik вершинами и 7\,... , Т& ребрами соответственно. Исходная
система совместна тогда и только тогда, когда совместна каждая из

168	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
подсистем, соответствующих к компонентам. При условии, что чис-
число компонент кп^р = /с, система распадается на к подсистем с непе-
непересекающимися наборами неизвестных и, следовательно, вероятность
совместности равна
11	11
Применяя формулу полной вероятности, приходим к утверждению
теоремы.
В соответствии с теоремой 3.4.1 при изучении системы C.4.1) мож-
можно использовать число компонент случайного графа Gn^- Можно ис-
использовать также и максимальное число независимых критических
наборов з(Ащт), введенное в разделе 3.1. В соответствии с теоре-
теоремой 3.1.1 максимальное число независимых критических наборов
§{Ащт) и ранг г(Ащт) матрицы AUit связаны равенством
Нетрудно доказать, что
хщт = п-Т + s(AniT)
и ранг г(Ащт) — п — яп^т- Таким образом, утверждение теоремы 3.4.1
эквивалентно соотношению C.3.6).
В разделе 3.1 было отмечено, что критический набор матрицы
Ап,т соответствует циклу или объединению циклов в графе GUit и
максимальное число независимых критических наборов s(An^) рав-
равно максимальному числу независимых циклов.
Граф GUyT рассматривался в разделе 2.3. Было показано, что если
п,Т —> оо так, что 2Т/п —> А, 0 < А < 1, то с вероятностью, стремя-
стремящейся к единице, в графе нет компонент, содержащих более одного
цикла. Поэтому при этих условиях все циклы в графе Gn^T находятся
в разных компонентах и, следовательно, независимы. Как и в разде-
разделе 3.1, обозначим jy(Gn^T) число циклов в GUit-
Было доказано (см. теоремы 2.3.3 и 2.3.4), что если 2Т/п —> А,
О < А < 1, то
РМад = вD,т)}^1,	C.4.2)
и для любого фиксированного к = 0,1...
РМОп,т) =к}^ ^Д	C.4.3)
где
A
Эти результаты позволяют получить асимптотику вероятности со-
совместности PUit системы уравнений C.4.1).

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений	169
Теорема 3.4.2. Если п, Т —> сю так, что 2Т/п —> А, 0 < А < 1,
и правые части /?i... ,/?т системы C.4.1) независимы, принимают
значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 и не зависят от Ащт, то
Рп,Т -> A - АI/4.
Доказательство. Используя теорему 3.4.1 или, что эквивалентно,
формулу C.3.6), находим, что
к=1
r=0
s=0
Принимая во внимание C.4.2) и C.4.3) и переходя к пределу под
знаком суммы, получаем, что
s=0 S'Z
Аналогичный подход можно использовать и в неравновероятном
случае, когда индексы (i(t),j(t)), t = 1,... ,Т, неизвестных в систе-
системе C.4.1) — независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины, принимающие значение г с вероятностью pi, г = 1,... , п,
р\ -\- ... + рп = 1. Как и ранее, будем предполагать, что /?i,... ,/?т
в правой части системы независимы, принимают значения 0 и 1 с
равными вероятностями и не зависят от Ап^т- Для вероятности со-
совместности такой системы сохраняется обозначение Рп,т-
Теорема 3.4.3. Пусть pi = ai/n, где ец = di(n), 0 < ?о ^ а^ ^
?i < оо, г = 1,... , п, So и Е\ — постоянные, и пусть существует
предел
1 п
а2 = lim - У^а?
n^oo n *~^
г=1
Если п, Т —> оо так, что 2Т/п —> Л ?/ а2 А < 1, то

170	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Доказательство. Неравновероятный граф Сгп,т? соответствую-
соответствующий описанной выше матрице Ап^т, был рассмотрен в разделе 2.4.
Этот граф содержит п занумерованных вершин и Т ребер, которые
могут быть получены с помощью Т независимых испытаний следую-
следующего вида. На каждом испытании проводится одно ребро. Ребро сое-
соединяет две различные вершины г и j с вероятностью 2piPj и образует
петлю в вершине г с вероятностью pf, i,j = 1,... , n, p\ + ... -\-рп = 1.
В силу теоремы 2.4.1 при выполнении условий теоремы 3.4.3 для
любого фиксированного /с = 0,1,...
где is(Gn^T) — число циклов в графе Gn^r и
Л= --2
Рассуждая далее так же, как при доказательстве теоремы 3.4.2,
получаем утверждение теоремы 3.4.3.
Доказательства теорем 3.4.2 и 3.4.3 использовали C.3.4)
P{/VT > 0 | г(АщТ) =г} = 2-т+г.	C.4.4)
Доказательство этого утверждения в разделе 3.3 основано на том, что
если г строк линейно независимы и г(АПут) = г, то каждая из осталь-
остальных строк есть линейная комбинация этих г строк и система совмест-
совместна только, если соответствующие правые части удовлетворяют неко-
некоторым линейным соотношениям. Если правые части /?i,... ,/?т неза-
независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, то каждое
такое соотношение выполняется с вероятностью 1/2 и события, соот-
соответствующие различным соотношениям, независимы. Другими слова-
словами, каждый цикл в Gn^T накладывает ограничение на правые части
Pif • • • 1$т-> эти ограничения независимы, и каждое из них удовлетво-
удовлетворяется с вероятностью 1/2.
Если правые части E\,... , (Зт принимают значения 0 и 1 с не-
неравными вероятностями, то равенство C.4.4) не выполняется и со-
соответствующая формула для вероятности РПут совместности системы
уравнений становится более сложной. В этом разделе будут доказаны
следующие утверждения.
Пусть
Рп,т(к) = P{/in,T > 0, z/(Gn,T) = fe}, Рщт = P{/VT > °}-
Теорема 3.4.4. Пусть правые части /?i,... ,/Зт системы C.4.1) —
независимые одинаково распределенные случайные величины, прини-
принимающие значения 0 и 1 с вероятностями 1 — р и р соответственно,
0 < р< 1, А = 1 -2р.

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений	171
Если п,Т —> оо так, что 2Т/п —> А, 0 < А < 1, то для любого
фиксированного /с = 0,1,...
Теорема 3.4.5. Пусть правые части /?i,... ,/?т системы C.4.1)
принимают значения 0 и 1, и пусть т = га(Т) — число единиц среди
n, T ^ оо так, что 2Т/п —> Л, 0 < Л < 1, г* ттг/Т —> р,
О ^ р ^ 1, то ^л«я любого фиксированного /с = 0,1,...
1/4
где А = 1 - 2р.
Прежде чем приступить к доказательству этих теорем, приведем
несколько вспомогательных результатов. Пусть /?i,... ,/?т ~~ незави-
независимые одинаково распределенные случайные величины, принимаю-
принимающие значения 0 и 1 с вероятностями 1 — р и р соответственно, пусть
А = 1 — 2риЕ — множество четных чисел. Пусть го = 0 и ri,... , г к
— положительные целые числа. Рассмотрим случайные величины
Щ = /^Го + ...+Г;_1+1 + • • • +/^Го + ...+Г;,	2 = 1,. . . ,fc.
Лемма 3.4.1. Справедливо равенство
ц еЕ, г = 1,...,к} = ^A + Аг^)...A + Аг-).
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что
случайные величины 771,... , Щ независимы и вероятность того, что
сумма /?i + ... + /Зг четна, равна A + Аг)/2.
Когда /?i,... ,/?т не случайны, потребуется аналогичное утверж-
утверждение в следующей схеме размещения т частиц в Т ячейках. Ячейки
разбиты на к +1 группу с т\,... , г&, Т — т\ —... — г к ячейками в группе
соответственно. Предполагается, что каждая ячейка может содержать
не более одной частицы, m ^ T и (^) возможных размещений час-
частиц равновероятны. Введем случайные величины ?i,... , ?т? полагая
?г — 0? если ячейка с номером г пуста, и ^ = 1, если она занята,

172	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
г = 1,... , Т. По аналогии со случайными величинами 771,... , щ поло-
положим
Ci = <fro + ...+ri_i+l + • • • + ?ro + ...+ri,	I = 1, . . . , к.
Нетрудно проверить, что справедливы следующие утверждения.
Лемма 3.4.2. Если ri,... , г& фиксированы, Т ^ оо и т/Т —> 0; то
Лемма 3.4.3. Есл-м ri,... , г& фиксированы, Т —> сю и т/Т —> 1, то
i,... , rk четны; и
хотя бы одна из величин ri,... , г^ нечетна.
Лемма 3.4.4. Есл-м ri,... , г& фиксированы, Т —> сю гл тп/Т -^ р, 0 <
< 1, то
где Д = 1 - 2р.
Рассмотрим теперь граф СП)т и пометим циклы графа следую-
следующим образом. Напомним, что siUiT — это множество всех графов с
п занумерованными вершинами и Т ребрами, компонентами которых
являются деревья и компоненты с одним циклом, причем допускаются
циклы длины единица и два. Если реализация графа GUyT принадле-
принадлежит множеству ^П)т5 т0 каждый цикл длины г получает метку с ве-
вероятностью рг независимо от остальных циклов. Если граф содержит
компоненту с более, чем одним, циклом, то ни один из циклов графа
не получает метки. Обозначим рп,т(к) вероятность того, что число
циклов jy(Gn^T) в графе Gn^T равно к и все циклы помечены. Ясно,
что вероятность рП)т того, что все циклы получили метки, равна
Рп,т = ^2рп,т(к).
к=0
Как и в разделе 1.7, обозначим dm число отображений множества
{1,... , 7П} в себя, граф которых связен, и dm число отображений
множества {1,... , т} в себя, граф которых связен и содержит цикл
длины г. Пусть FUin — число лесов с п занумерованными вершинами
и N деревьями, Т = п — N.

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений	173
Известны явные выражения для dm и dm . Используя формулу для
числа корневых деревьев, находим, что
т " (т-г)\
откуда,
r=l	fc=0
Лемма 3.4.5. Дл«я любого целого k, I ^ k ^ min (n,T),
п2/ ^-^ \mj	*-^	mi ...mi.
/ m=l ч 7	mi + ...+mfc=m	v	K
где
и при к = О
Рп,г@) = FnjJVT! ( —
, 77/
деле 1.7, обозначим Ьп число связных графов с п занумерованными
Доказательство. При к = 0 утверждение очевидно. Как в раз-
ле 1.7, обозначим Ьп число связных графов с
вершинами и одним циклом длины г. Ясно, что
Обозначим СПут событие, состоящее в том, что граф GUyT не содержит
непомеченных циклов. Представим событие
\y\Gn,T) — ^, Gn^T €= &п,Т) Gn^Tj
как объединение следующих непересекающихся событий: в определен-
определенном порядке Т испытаний дают Т фиксированных ребер, которые об-
образуют граф, состоящий из деревьев и к одноцикловых компонент,
содержащих помеченные циклы. Из этого представления следует, что
Рп,т(к) = P{v(Gn:T) = к, Gn,T e Dn,T, СП)Т}
п
m=k ^ 7 mi+...+mfc=m
ггы	гпк	/ 9 \Т 1
х У 6(ri)pn ... У" birk)prhFn_m т-тТ\ I At
A^ ггы i	^ mk к	,	l n2

174	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
ГДе 5i = 5i(ri, . . . ,Г/с) — ЧИСЛО еДИНИЦ И 52 = 52 (ri, . . . ,Г/с) — ЧИСЛО
двоек среди чисел ri,... , Г&. Множитель 2~Sl появляется, потому что
в 5i случаях вероятность 2п~2 заменяется на п~2. Множитель 2~S2
отражает тот факт, что встречающаяся 52 раз перестановка пар испы-
испытаний, в которых появляются одинаковые ребра, приводит к одному
и тому же графу. Лемма следует теперь из соотношений C.4.5).
Теорема 3.4.6. Если п, Т —> сю так, что 2Т/п —> А, 0 < А < 1, то
для любого фиксированного /с = 0,1,...
J-yjYlX		\
	:—, а = Хе .
га=1
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству те-
теоремы 1.8.2. Разобьем сумму в лемме 3.4.5 на две части. Выберем
М = Т1/4.
Ясно, что для любого х из области сходимости ряда
од = Е ^н-
т=1
справедлива оценка
гГ'т\	Г) ^>mfc		 Г) _?п
i	i	^^ \~^ \ ))	/	i
7T7/1 ! ТПь.	^ Tin.
C.4.6)
Наряду с функцией .D(x) рассмотрим производящую функцию числа
связных графов
00 А ггГП
7/ \	\ ^ Мул^Ь
^ 77?'
m=l
Для положительных х справедливо неравенство
D(x) < d(x),	C.4.7)
так как
т	т
г=1	г=1

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений	175
Кроме того,
ra-l k
dm = {га - 1)! Y^ -7Т- ^ (m ~ X)! еШ'
fc=0
откуда следует, что
Пусть
Е ^г^ Е (-г-	C-4-8)
т^М/k	'	т^М/к
У^ —;—^ а(х) = У^ —г
п=1	п=0
Как показано в примере 1.3.2 и A.4.8),
Положим а = 2Т/п и х = ае~а при а < 1. Тогда
9(х) = a, d(x) = — In A — а).
Согласно условиям теоремы а = 2Т/п —> А, 0 < А < 1, и для х = ае~а
существует q < 1 такое, что еж = ае1~а^д<1 для достаточно
больших п. Поэтому
C.4.9)
*-^ ml	I - q
m^M/k
Используя оценки A.8.8), A.8.9), из C.4.б)-C.4.9) получаем, что
т	п\	m\Dmi...Dmk
mj	' ttii! ... ra&l
' m ^m _m (n - m)\ 2т~т(Т - ra)! rai!... mk\
j j
Esr^	( -
s	Tl ( CLG
У	mi!...mfe!
mi + ...+mfc=m
m^M/k m'	У
где ci, C2 — постоянные. Таким образом, в условиях теоремы #2 ^ 0.

176
3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Если п, Т ->• оо, 2Т/п -> А, 0 < А < 1, то в силу A.8.7)
2T-m{T_m)[
равномерно по га ^ М = Т1/4. Поэтому для любого фиксированного
...
Т! /2\т^	^	,(n\v	Dmi...Dmk
= 1,2,...
mi!...mfe!
Используя оценку для 52, находим, что
m=k
Объединяя оценки сумм Si и S2, получаем, что при выполнении усло-
условий теоремы
Рп,т(к) = PMGu,t) = к, Gn,T е ?>„>г, Сп>г}
Отсюда следует утверждение теоремы 3.4.6 для к ^ 1, так как
х = ае~а = BТ/п) = е~2Т/п -+ Хе~х = а
и D(x) -^ D(a).
Используя A.8.6) и представление, приведенное в лемме 3.4.5, на-
находим, что
Теорема доказана.
Следствие 3.4.1. Если п, Т —> сю так, что 2Т/п -^ Л, 0 < А < 1,
то для вероятности рп^т того, что граф GUit не содержит непоме-
непомеченных циклов, справедливо соотношение

3.4- Циклы и совместность систем случайных уравнений
177
Доказательство. Обозначим р^п Т(к) вероятность того, что все ци-
циклы помечены и граф имеет к одноцикловых компонент, в случае,
когда все вероятности рг равны единице, г = 1,2,... В этом случае
D(a) = d(a) = 2Л = — In (I — Л) и согласно теореме 3.4.6
Аке~
к\
к = 0,1,...
Для доказательства следствия достаточно показать, что в сумме
<г(^	C.4.11)
к=0
можно перейти к пределу под знаком суммы. Покажем, что для лю-
любого г > 0 существует такое К, что
Выберем К так, что
к=К+1
у, Afce"A
к=К+1
k\
и для фиксированного К выберем по так, что для п ^ по
к	к kh _
Тогда для п ^ по
ею
Е i
k=0
ею
Е
f
k=0
k\
-л
^-^ /с!
К
k=0
k\
и поэтому
(X)
E *&(*)
C.4.12)
Поскольку рп,т{к) ^ рпТ(к), оценка C.4.12), а значит, и возмож-
возможность перейти к пределу под знаком суммы доказаны.
12 В.Ф. Колчин

178	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Доказательство теорем ЗЛА и 3.4.5. Наличие цикла приводит к
несовместности системы C.4.1), если сумма правых частей подсисте-
подсистемы, соответствующей этому циклу, нечетна. Пусть рг — вероятность
того, что эта сумма для цикла длины г четна. Тогда Рп,т(к) = рп,т(к)
для любого /с = 0,1,... Поэтому теоремы 3.4.4 и 3.4.5 являются пря-
прямыми следствиями теоремы 3.4.6 и того факта, что можно перейти к
пределу под знаком суммы C.4.11). Для доказательства теоремы 3.4.4
заметим, что в этом случае согласно лемме 3.4.1
Рг = A + Аг)/2,
где Д = 1 — 2р. Поэтому
од = у ^Щ- = V V m [ + ~ )х	C.4.13)
w ^ т! ^ ^	2т!	у	'
т=1	?гг=1 г=1
d тт 1
2
где
771=1 Г=1
При ж = ае~а, 0 < а < 1,
d(x) = — In A — а),
и
-аА).
Действительно,
1	т!	f ^
771=1 Г=1	Г=1 771=1
m!
(то-г)! Z^AxZ^
r=l m=r v	y	r=l	t=0
Используя известное равенство
t\	г
t=o
(см. [89], глава 2, задача 210, и [91]), получаем, что
Г=1	Г=1

3.5. Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 179
Для завершения доказательства заметим, что при а = 2Т/п —>¦ А,
0< А< 1,
d(x) -> - In A - A), d(x, Д) = - In A - аА) -> In A - АД).
Перейдем к доказательству теоремы 3.4.5. Если т/Т —>¦ 0, то для
любого фиксированного к все циклы получают метки с вероятностью,
стремящейся к единице. Поэтому
-0A)) = ^-1—A +
В случае, когда т/Т —>¦ 1, в силу 3.4.3 вероятность рг —>¦ 0 при нечет-
нечетном г и рг —> 1 при четном г, так что в этом случае
D _^ DB) _ V^ jBr)
m!
771=1	771=1
Нетрудно видеть, что
1 2г
Г=1
В случае, когда т/Т —> р, 0 < р < 1, в силу леммы 3.4.4
рг -> A + Аг)/2
и, так же, как в C.4.13),
D(x) -> L>(ce) = (d(a) + d(a, Д))/2 = ~ In A - A)(l - ДА).
3.5. Гиперциклы и совместность систем
случайных уравнений
В разделе 3.2 изучался ранг случайных матриц и, в частности, было
установлено, что если элементы случайной Т х п матрицы А = \\ottj\\
независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностя-
вероятностями, то ранг г (А) матрицы А обладает пороговым свойством: если
Т/п —> а и а < 1, то Р{г(А) = Т} —> 1, а если Т/п -4 а и а > 1, то
Р{г(А) = п} —> 1. Другими словами, в первом случае максимальное
12*

180	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
число независимых критических наборов s (А) стремится по вероят-
вероятности к нулю, а во втором случае это число стремится к бесконеч-
бесконечности. Аналогичное свойство по-видимому справедливо и для матриц
с малым числом единиц, рассмотренных в разделе 3.3. Мы доказали
лишь, что если а < 1, то s(A) имеет в пределе распределение Пуассона
и Es(A) —> оо при а > 1.
В разделе 3.4 рассматривались системы, в каждом уравнении ко-
которых не более двух неизвестных. Было показано, что если Т/п —>¦ се,
0 < се < 1/2, то распределение максимального числа независимых
критических наборов s(А), или независимых циклов в соответствую-
соответствующем графе, сходится к распределению Пуассона с параметром А =
— ^1пA — 2а), а если се > 1/2, то s(A) стремится по вероятности к
бесконечности.
С случай матриц с независимыми одинаково распределенными эле-
элементами, принимающими значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, и слу-
случай матриц с не более чем двумя единицами в каждой строке, изу-
изучавшихся в разделе 3.4, можно рассматривать как крайние случаи
в поведении ранга и максимального числа независимых критических
наборов. В этих случаях пороговый эффект появляется соответствен-
соответственно в точках Т/п = 1 и Т/п = 1/2.
В этом разделе рассматриваются промежуточные случаи, в кото-
которых удается доказать существование ослабленной версии порогового
свойства. Рассмотрим систему случайных уравнений в GFB)
xil(t) + ...+a;ir(t) =Ъи ? = 1,... ,Т,	C.5.1)
где ii (t),... , ir(t), t = 1,... , T, — независимые одинаково распределе-
распределение случайные величины, принимающие значения 1,... , п с равными
вероятностями, а независимые случайные величины bi,... , Ът не за-
зависят от левой части системы и принимают значения 0 и 1 с равными
вероятностями. При г = 2 получается система, рассмотренная в раз-
разделе 3.4.
В разделе 3.1 введено понятие критических наборов в матрице и
гиперциклов в гиперграфе, соответствующем этой матрице. Обозна-
Обозначим АГуПут матрицу системы C.5.1) и пусть GryUyT — граф с п за-
занумерованными вершинами и Т гиперребрами ei,... , ет, соответст-
соответствующий этой матрице. Таким образом, рассматривается случайный
регулярный гиперграф Gr^n^T-> матрица которого А = Аг^п^т = ||^tj||
имеет следующее строение. Элементы матрицы ац, t = 1,... ,Т, j =
1,... , п, — случайные величины и строки матрицы независимы. С
каждой строкой связаны г единиц: каждая единица, независимо от
остальных, располагается в любой из п возможных позиций с вероят-
вероятностью 1/п, а случайная величина atj равна единице, если в позиции
j в строке с номером t располагается нечетное число единиц. Таким
образом, в каждой строке содержится не более г единиц.
Такой регулярный гиперграф обладает следующим пороговым
свойством: если n, T —> сю так, что Т/п —> се, то резкий скачок в пове-
поведении ранга матрицы Аг^п^т происходит, когда параметр а проходит

3.5. Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 181
некоторое критическое значение аг. Это свойство можно выразить в
терминах общего числа гиперциклов в GrnT. Пусть s^Ar^n^) — мак-
максимальное число независимых критических наборов в матрице Аг^п^т
или независимых гиперциклов в гиперграфе СГ)П)т- Тогда
есть общее число критических наборов или гиперциклов.
В этом разделе доказывается, что для 5(АГ)П)т) справедливо сле-
следующее пороговое свойство.
Теорема 3.5.1. Пусть г ^ 3 фиксировано, Т, п —> сю так, что
Т/п —> а. Тогда существует постоянная аг такая, что
Е8(Ауут) —> 0 при а < аг и Е8(АГуПут) —> сю при а > аг.
Постоянная аг равна первой компоненте вектора, являющегося
единственным решением системы уравнений
/	\а
e~xcoshA ( 	 ) = 1,
\аг — х J
Л tanh Л = х
относительно неизвестных а, х, Л.
Численное решение этой системы дает следующие значения кри-
критических постоянных:
а3 = 0.8894 ... , се4 = 0.9671... , аъ = 0.9891... ,
а6 = 0.9969 ... , а7 = 0.9986 ... , а8 = 0.9995 ...
Как заметил Г. В. Балакин, разлагая решение системы по степеням
е~г, можно получить приближенную формулу
e-r e-2r /r2	r
которая дает близкие к точным значения уже при г ^ 4.
Приведем несколько вспомогательных результатов, которые потре-
потребуются при доказательстве теоремы 3.5.1.
Общее число гиперциклов 8(АГуПут) в гиперграфе GryUyT, соответ-
соответствующем матрице АГуПут, можно представить в виде суммы инди-
индикаторов. Положим ?ti,...,tm = 1, если гиперцикл С = {е^,... , е^т}
содержится в гиперграфе Gr^n^T-> и ?tlv..,tm = 0 в противном случае.
Ясно, что P{?ti,...,tm = 1} не зависит от индексов tj.,... ,tm. Дейст-
Действительно, из определения случайного гиперграфа GriUiT следует, что

182	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
?*!,...,tm — 1 тогда и только тогда, когда в каждом столбце подмат-
подматрицы, состоящей из строк с номерами ?i,... ,tm, содержится четное
число единиц. Числа единиц в п столбцах любых т строк, до приве-
приведения этих чисел по модулю 2, имеют полиномиальное распределение
с гт испытаниями и п равновероятными исходами.
Обозначим 771E, n),... ,?7nE,n) заполнения ячеек в равновероят-
равновероятной схеме размещения 5 частиц в п ячейках. В этих обозначениях
числа единиц в столбцах любых т строк, до приведения этих чисел
по модулю 2, имеют распределение, совпадающее с распределением
случайных величин 771 (rm, п),... , rjn(rm, n). Поэтому
г ISti,... ,?m — J-J — г |//1^Г7П, П; t .С/, . . . , Т]п\Гт^ П) t ?//,
где ^ — множество четных чисел, и среднее число гиперциклов в
Gr,n,T можно записать в виде
C.5.3)
где
РЕ(гт, п) = P{rji(rm, п) е Е,... , r]n(rm, n) e E}.
Таким образом, чтобы оценить ES(Ar^n^т1), нуж:но знать асимптотику
вероятности Ре(ггп,п).
Рассмотрим более общий случай и найдем асимптотику вероятнос-
вероятностей
PR(s, n) = P{r/i(s, n) e R,... , rjn(s, n) e R},
где R — подмножество множества неотрицательных целых чисел.
Совместное распределение случайных величин 771E, п),... , ?7ПE, п)
можно следующим образом представить как условное распределение
независимых случайных величин ?i,... , ?п, распределенных по зако-
закону Пуассона с произвольным параметром Л (см. раздел 1.2). Для не-
неотрицательных целых чисел 5i,... , 5П таких, что 5i + ... + 5П = 5,
P{?7lE, п) = 5Ь . . . , rjn(s, П) = Sn}
= 5Ь... ,?та = 5П
Поэтому
PR(s, n) = P{r/i(s, n) e R,... , r]n(s, n) e R}
eR})n

3.5. Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 183
Введем независимые одинаково распределенные случайные вели-
чины t;l ,... , ?п с распределением
^д) =к} = Р{& = k\beR}, к = о, 1,...
Нетрудно видеть, что
Р{6 + ... + & = s | & е Д, ...,?„ е Д} = P{&R) + --- +
поэтому
Положим ж = s/n и выберем параметр Л распределения Пуассона так,
что
Пусть Гд — решетка с максимальным шагом d, которая содержит
множ:ество R.
Теорема 3.5.2. Если 5, п —> сю так, что п G Гд; то
ж Л
равномерно относительно х = s/n в любом интервале вида 0 < хо ^
ж ^ xi < оо, г^е жо; х\ — положительные постоянные, параметр Л
распределения Пуассона случайной величины ?i есть корень уравне-
уравнения x = E?[R\ aa2 = D?[R).
Доказательство. Для суммы ?\ +... +?п справедлива локаль-
локальная предельная теорема о сходимости к нормальному закону, а имен-
именно, следуя классическому доказательству локальных теорем, предло-
предложенному Б. В. Гнеденко [33], можно показать, что если 5, п —> оо так,
что п G Гд, то
равномерно по ж = s/n в любом конечном интервале вида 0 < хо ^
ж ^ xi < оо, где а2 = D^[ ' и d — шаг решетки Гд.
Подставляя это выражение в C.5.4) и учитывая, что сумма
?i + ... + ?п распределена по закону Пуассона с параметром An, полу-
получаем утверждение теоремы.

184	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Заметим, что из C.5.4) следует оценка
(An)s'
где Pr(s, n) не зависит от А, так что в правой части этому параметру
можно придать любое положительное значение.
Пусть R = Е = {0, 2,... }. В этом случае
P{?i G Е} = e~AcoshA,
а указанная оценка принимает вид
Pe(sj n) ^ (cosh A)n s' s,	C.5.5)
где А > 0 можно выбрать произвольно.
Оценим теперь сумму
ES(Ar,n,T) = J2 (
\ ТП
m=l ч
Лемма 3.5.1. Если г ^ 3 фиксировано и Т,п —> сю так, что
Т/п -^ а, то для любого ? > 0 найдется S > 0 такое, что
}РЕ(гт,п)
Доказательство. Заметим, что
Е^} =AtanhA.
Положим х = rm/п и выберем параметр А распределения Пуассона
так, что
х = Atanh A.
Из C.5.5) следует, что
(гш)!
Ре(ггп,п) ^ (coshA)r
\rmnrm '
Величина х мала при малом 5, поэтому можно считать, что в области
суммирования А ^ 1. Для таких А
А2/4<ж = Atanh A < А2,

3.5. Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 185
поэтому
Перейдем теперь к оценке суммы. Нетрудно видеть, что
v—л (А. \	v—л -L
Л/-^^„\т) Е	^ ^ т!
1<т
ж	,	(rrn\rm~m
V^ rpm ±хп У 1П)
/ -j	Xrm^rm
Л П
_ ] Тг/2-1 е4г?Г/2-1
Так как Т/n стремится к постоянной, последняя сумма может быть
сделана сколь угодно малой выбором достаточно малого 5.
Лемма доказана.
Лемма 3.5.2. Если г фиксировано и Т, п —> сю так, что Т/п —> се;
О < а < 1, то ^л«я любого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что
m
Доказательство. Положим А = гтп/п, и пусть целое то выбрано
так, что то/Т ^ S. При таком выборе А в силу C.5.5)
fTVcoGhA)" (rw)!
т=Т-т0 х"	т=Т-т0 ^ 7	^ ^
В области суммирования А больше некоторой положительной посто-
постоянной, поэтому найдется такое q < 1, что
Используя неравенство
(rm)\

186	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
где с — постоянная, получаем, что
Т	Т
V ()PE(rm,n)^c(rTI/2 V [ )(e-AcoshA)n
*-^ \mj	*-^ \mj
m=T-m0 ч 7	m=T-m0 Ч 7
Т-гп
атA — аI710
n-T
Поскольку g, ce < 1, величина m^/(n — T) может быть сделана про-
произвольно малой выбором достаточно малого 5, поэтому
q/(l — g)m°/(n~T) можно сделать меньше некоторого Q < 1. Таким
образом, в условиях леммы для достаточно малого 5 правая часть
полученной оценки стремится к нулю.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.5.1. Оценим теперь среднюю часть
суммы. Когда Т/п —>¦ а и S ^ т/Т ^1 — 5, величина ж = rm/п лежит
в интервале вида 0 < хо ^ х ^ х\ < сю. Применяя теорему 3.5.2,
получаем, что для четных гт
РЕ(гт, п) = (Р{6 е Е})п (y
равномерно по ж, жо ^ ж ^ xi, где
ж = Е^} = AtanhA, a2 = D^} = А2 +ж -ж2.
Поскольку P{?i G ^} = e~AcoshA, окончательно получаем, что
при Т,п -^ сю, Т/п —> се
,n) = (coshA)n (*\hll(i +0(i))	C.5.6)
V Ле/ сг
равномерно относительно целых т, для которых E ^ т/Т ^1 — 5.
Полагая р = т/Т, q = 1 — р и используя нормальное приближение
для биномиального распределения, находим, что при Т —>¦ оо
равномерно относительно целых т, для которых E ^ т/Т

3.5. Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 187
Положим а = Т/п и выразим р = т/Т в терминах х = rm/п и а.
Тогда
т х	т аг — х
1
1 аг	1	аг
и оценка биномиального коэффициента принимает следующий вид.
При Т -> оо
V W; V ;
ч/2тгх(аг - х)ап
равномерно относительно целых т таких, что S ^ т/Т ^1 — 5. Соби-
Собирая оценки C.5.6) и C.5.7), получаем, что
PE{rm, n) = (/(a, x))n	v ==A + o(l)),
cry 2тпг(аг — x)an
где
/ ж у (ar ~x\x/r ( ar \a
f(a,x) = cosh \ — 			 ,
\XeJ \ x J \ar — x)
x = Atanh A.
Функция /(а, ж) возрастает с ростом а, при ж —> О
fx(a, х) = /(а, ж) In - 		-> -оо,
Л V х J )
и производная /?(а,ж) имеет не более двух нулей. Поэтому система
уравнений
&(а,х) = О,	C.5.8)
A tanh A = х
имеет единственное решение (сег,жг,Аг). В этой точке функция
/(аг,ж) как функция от ж достигает максимума, равного единице.
Поэтому при всех ж, 0 < х < аг,
f(ar,x) < f(ar,xr) = 1.
Кроме того,
/(а, ж) < f(ar,x) < 1, а < аг,
/(а,жг) > f(arjxr) = 1, а > сег.

188	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Отсюда следует, что средняя часть суммы стремится к нулю при
а < аг и стремится к бесконечности при а > аг.
Учитывая оценки хвостов суммы, содержащиеся в леммах 3.5.1 и
3.5.2, получаем утверждение теоремы 3.5.1, так как система уравне-
уравнений C.5.8) легко преобразуется к виду приведенному в формулировке
теоремы.
Было бы интересно найти предельное распределение числа гипер-
гиперциклов. До сих пор неизвестно даже, стремится ли S{Ar^n^r) по веро-
вероятности к бесконечности, когда Т, п —> сю, Т/п —> а > аг.
3.6. Замечания и литературные ссылки
Теория систем случайных уравнений в конечных полях развивалась в
работах В. Е. Степанова, Г. В. Балакина, И. Н. Коваленко, А. А. Ле-
витской и других. Связь между системами уравнений в GFB) и гра-
графов впервые была отмечена В. Е. Степановым. Понятие критического
набора было введено в [56] (см. также [10] и [150]).
С теорией рекуррентных последовательностей и регистров сдвига,
которые упоминаются в разделе 3.1, можно ознакомиться в [137] и
[167].
Теоремы 3.2.1 и 3.2.2 доказаны И. Н. Коваленко в [43]. Эти замеча-
замечательные результаты инициировали целый ряд исследований, выпол-
выполненных И. Н. Коваленко и его учениками. Эти исследования разви-
развивались в двух направлениях. Первое направление относится к обоб-
обобщениям теорем 3.2.1 и 3.2.2 на матрицы над более общими алгебра-
алгебраическими структурами. Нетрудно видеть, что в связи с марковским
характером процесса pn(t) можно вывести рекуррентные соотношения
для рПут(к) = Р{рп(Т) = к}, которые можно использовать для дока-
доказательства теоремы 3.2.1. На этом пути легко получается обобщение
результата о предельном распределении ранга на конечные поля [44].
Пусть элементы Т х п матрицы А = ||at,j|| B GF(q), где q — простое
число, принимают значения 0,1,... , # — 1 с равными вероятностями,
тогда рп,т(к) для к = 0,1,... удовлетворяют соотношениям
Рп,т(к) = znpn,T-i(k) + A - znK_i,T-i(fc),	C.6.1)
где z = 1/q. Действительно, если первая строка матрицы А — нулевой
вектор, то рп(Т) = рп(Т— 1), а если эта строка содержит хотя бы один
ненулевой элемент, то рп(Т) = pn-i(T — 1) + 1. Из C.6.1) следует, что
если s ^ 0 и m — фиксированные целые числа, m + s^0, п^оои
Т = П + 771, ТО
" j) П A - -г) C-6-2)
г=5+1 х	Ч J г=1 V	Ч J

3.6. Замечания и литературные ссылки	189
Исследования второго направления относились к выяснению гра-
границ инвариантности результатов теорем 3.2.1 и 3.2.2 по отношению
к отклонениям распределений элементов матрицы А от равновероят-
равновероятного распределения. Обсуждение проблемы инвариантности и дока-
доказательство теоремы 3.2.3 содержатся в [42, 43]. Более простое доказа-
доказательство теоремы 3.2.3 приведено в [44].
Теорема 3.2.4 может быть легко перенесена на моменты любого
фиксированного порядка, однако до последнего времени этого не бы-
было достаточно для доказательства свойства инвариантности, так как
предельное распределение C.6.2) не удовлетворяет стандартным до-
достаточным условиям однозначности проблемы моментов и метод мо-
моментов (теорема 1.1.3) не мог быть использован. В работах А. Н. Алек-
сейчука [3, 4] рассмотрен класс распределений, включающий распре-
распределение C.6.2), и показано что распределения этого класса однознач-
однозначно восстанавливаются по своим моментам, так что стало возможным
использовать метод моментов для доказательства свойства инвари-
инвариантности в ряде задач, связанных с системами случайных линейных
уравнений, что должно значительно упростить известные сложные
доказательства.
В статьях А. А. Левитской [66, 67] содержатся результаты о чис-
числе решений систем случайных линейных уравнений в произвольных
кольцах и доказано свойство инвариантности моментов и предельных
распределений. Эти результаты суммированы в [44], где, в частности,
указаны точные границы инвариантности предельного распределения
числа решений системы случайных линейных уравнений в конечных
кольцах. Для системы, рассмотренной в теореме 3.2.3, эти точные гра-
границы для p\j имеют вид
- 6п,
где 8п = (\п п -\- хп)/п и хп —> сю произвольно медленно при п —> сю.
Матрицы, удовлетворяющие условию C.3.1), рассматривались
Г. В. Балакиным [9], им, в частности, доказаны теоремы 3.3.1 и 3.3.2.
Более аккуратное проведение оценок, использованных в приведенном
в книге доказательстве теорем 3.3.1 и 3.3.2, позволяет доказать сле-
следующие утверждения.
Теорема 3.6.1. Если п —> сю;
Т = п + /Зп Inn,
(Зп —> —сю, (Зп = о(п/\пп), и выполняется условие C.3.1), то рас-
распределение s(A) сходится к распределению Пуассона с параметром
Теорема 3.6.2. Если п —> сю;
Т = n + /31nn + o(lnn),

190	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
C — постоянная и выполняется условие C.3.1), то распределение
s(A) сходится к распределению Пуассона с параметром е~х, если
C < 0, и с параметром е~х~@, если C > 0.
Теоремы 3.3.1, 3.3.2, 3.6.1 и 3.6.2 дают полное описание предельно-
предельного поведения ранга рассматриваемых матриц, за исключением случая
C = 0, в котором поведение ранга остается неизвестным. Заметим, что
в [9] доказаны аналоги теорем 3.3.1, 3.6.1 и 3.6.2 для систем в GF(q),
q ^ 2 (см. также [151]), а также рассмотрены связи ранга матрицы в
GF(q) с другими характеристиками такими, как перманентный ранг
и ранг линий. Первые результаты о ранге случайных матриц пред-
представлены в [128] и [8].
Изучение систем случайных линейных уравнений вида C.4.1) с ис-
использованием их связи с случайными графами было начато В. Е. Сте-
Степановым. В частности, им доказаны теоремы 3.4.1 и 3.4.2. В настоя-
настоящее время теория графов обеспечивает базу для получения резуль-
результатов о системах случайных линейных уравнений с коэффициентами,
принимающими свои значения с равными вероятностями. Если коэф-
коэффициенты системы существенно неравновероятны, то для изучения
их свойств нет общих методов, и для таких систем получено мало ре-
результатов. В частности, теория графов пока не может в полной мере
обслуживать неравновероятный случай. Для решения задач о систе-
системах случайных уравнений в неравновероятном случае привлекается
метод моментов (теорема 1.1.3) и так называемые прямые методы.
Теорема 3.4.3 есть следствие теоремы 2.4.1, доказанной в [64] методом
моментов.
Теоремы 3.4.4 и 3.4.5 доказаны в [58]. Асимптотика вероятности
совместности систем случайных линейных уравнений в GFB) (и в
более общих алгебраических структурах) с независимыми коэффи-
коэффициентами, принимающими значения 0 и 1 с равными вероятностями,
получена А. А. Левитской [68] (см. также [44]). Предельная вероят-
вероятность принимает только два значения и оказывается одинаковой для
всех векторов правых частей системы, не равных нулевому вектору.
Как следует из теорем 3.4.4 и 3.4.5, вероятность совместности системы
C.4.1) зависит от числа единиц в векторе правых частей (см. также
[58]).
Результаты раздела 3.5 о предельном поведении вероятности со-
совместности системы C.5.1) содержатся в [10] (см. также [150]). Тео-
Теорема 3.5.1 доказана автором, критические значения аг были впервые
получены Г. В. Балакиным при несколько других условиях на матри-
матрицу АГуПут- Эти результаты перенесены на случай GF(q) в [65]. Дока-
Доказательство теоремы 3.5.2 приведено в [60].
Вероятность совместности случайной системы можно рассматри-
рассматривать с точки зрения математической статистики. Рассмотрим, напри-
например, систему C.4.1) и предположим, что справедливы две следующие
гипотезы о распределении ее правых частей. Пусть гипотеза Hq состо-
состоит в том, что существует вектор X* = (х|,... , х^), интерпретируемый

3.6. Замечания и литературные ссылки	191
как истинное решение, и bt = x*,t\ + я^)? t = 1,... , Т. При спра-
справедливости гипотезы Но система C.4.1) всегда совместна. При аль-
альтернативной гипотезе Hi правые части bi,... ,6т суть независимые
случайные величины, не зависящие от левой части системы и прини-
принимающие значения 0 и 1 с равными вероятностями. Для различения
гипотез Но и Hi в качестве критерия можно использовать совмест-
совместность системы и в случае совместности системы принимать гипотезу
Но и принимать Hi в случае несовместности. Поэтому гипотеза Но
никогда не отвергается, если она верна, то есть вероятность ошибки
первого рода, вероятность отвергнуть Но, если она верна, равна ну-
нулю. Ошибка второго рода, то есть вероятность принять Но, если она
неверна, равна вероятности совместности системы C.4.1). Таким об-
образом, вероятность совместности является основной характеристикой
статистической задачи различения гипотез Но и Hi.
Другая статистическая задача, задача восстановления истинного
решения системы двучленных линейных уравнений, рассматривается
в [59]. Пусть в GFB) имеется система уравнений
xi{t)+x№ =bu t = l,... ,Т,	C.6.3)
где пары индексов (i(t),j(t)), t = 1,... ,Т, независимы, одинаково
распределены и принимают значения (i,j), г < j, i,j = 1,... , п, с
равными вероятностями (™)
В разделе 3.1 аналогичная система C.6.3) интерпретировалась как
результат Т испытаний, проводимых с целью классифицировать п
предметов путем случайных парных сравнений, и мы полагали bt = О,
если сравнение л^(?) и xj{t) показывало, что предметы принадлежат
одному классу, и bt = 1 в противном случае, t = 1,... , Т. Если сравне-
сравнения не вполне точны, то результаты могут отклоняться от истинных.
Обозначим X* = (х\,... , х^) вектор истинных значений неизвестных,
и пусть вектор-столбец Б* = (Ь|,... , 6Т) есть результат подстановки
X* в левую часть системы C.6.3), то есть
АХ*=Б*,	C.6.4)
где А — матрица системы C.6.3).
Если измерения неточны, то естественно предположить, что
bt = K +?t, t = 1,... ,Т,
где ?i,... ,?т ~~ независимые одинаково распределенные случайные
величины, которые не зависят от А и принимают значения 0 и 1. Эти
случайные величины интерпретируются как ошибки. Пусть
р=^А = Р{?1 = 1}, q = 1±* = Р{?1 = 0},	C.6.5)

192	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
где величина А называется преобладанием распределения C.6.5).
Задача состоит в оценке или восстановлении вектора X* =
(х^,... , х^) по матрице А и правым частям В = (bi,... , Ът) систе-
системы C.6.3).
В аналогичной ситуации в поле действительных чисел оценка ис-
истинного решения системы линейных уравнений с искаженными пра-
правыми частями может быть найдена, например, с помощью метода на-
наименьших квадратов. При некоторых условиях на матрицу и на ошиб-
ошибки в правых частях системы метод наименьших квадратов приводит
к оценкам, сходящимся к истинному решению с ростом числа урав-
уравнений. В отличие от ситуации в поле действительных чисел в GFB)
можно ожидать, что хорошая оценка X = (хi,... , хп) совпадает с ис-
истинным решением X* = (х^,... , Х^) с вероятностью, стремящейся к
единице при Т —>¦ оо.
Как обычно, с левой частью системы C.6.3) свяжем граф ТпТ.
Граф ТпТ имеет п занумерованных вершин, соответствующих неиз-
неизвестным xi,... ,xn, и Т ребер et = (i(t),j(t)), t = 1,... ,Т. Ребра
ei,... , ет независимы и принимают п(п — 1)/2 возможных значений
с равными вероятностями. Поэтому граф ТпТ может иметь кратные
ребра.
Ясно, что наряду с вектором X* вектор X* = (х|,... , х^) с элемен-
элементами х\ = х\ +1, t = 1,... , п, удовлетворяет системе C.6.4). Пара X*,
X* однозначно определяется по системе C.6.4), если граф ГП)т свя-
связен, другими словами, если система C.6.4) содержит все неизвестные
и не разлагается на подсистемы с непересекающимися множествами
неизвестных.
Обозначим рПут вероятность того, что граф ГПут связен. Согласно
теореме 2.3.8, если п, Т —> сю так, что 2Т = nlnn + an + о(п), где а —
постоянная, то
Рп,т -> е~е
Таким образом, если п,Т ^ оо и пара X*, X* однозначно определя-
определяется по системе C.6.4) с вероятностью, стремящейся к единице, то
п In п	In п'
где wn -^ сю.
В [59] предложены три алгоритма для восстановления истинного
решения системы C.6.3) с искаженной правой частью. Опишем вна-
вначале метод восстановления, который можно назвать методом голо-
голосования. Алгоритм состоит в исправлении правых частей bi,... ,6т
системы C.6.3) по правилу большинства. Предположим, что система

3.6. Замечания и литературные ссылки	193
C.6.3) содержит подсистему с m^-, i < j, уравнениями
C.6.6)
Xi + Xj = a{j J ,
причем в подсистему включены все уравнения, содержащие пару не-
неизвестных Xi, Xj. Истинные значения правых частей а\э; ,... , (ц™%3
равны a*j = х\ + ж*.
Положим a^j = 1, если
и a^j = 0 в противном случае.
При некоторых условиях система C.6.3) неразложима и а^ = а*^
для всех г, j = 1,... , п, так что истинное решение восстанавливается.
Обозначим P(n, T) вероятность восстановления истинного реше-
решения системы C.6.3) методом голосования, то есть
P(n,T) = P{ai:i =4, ij = l,... ,n}.
В [59] доказана следующая теорема.
Теорема 3.6.3. Если n, T ^ oo i/A^O так, что
п2 Inn
00,
mo P(n,T) -> 1.
Второй алгоритм восстановления истинного решения системы
C.6.3), предложенный в [59], можно назвать методом проверки ко-
координат.
Случайно с равными вероятностями выберем из множества всех 71-
мерных векторов над GFB) вектор Х^0) = (х\ ,... , Хп ). Обозначим
В^ = (р\ ,... , Ь^ ) вектор-столбец, полученный подстановкой Х^0^
вместо X в левую часть системы C.6.3). Пусть /3(Х(°)) — число коор-
координат В^\ совпадающих с соответствующими координатами вектора
В = (bi,... ,6т) в правой части системы C.6.3). Построим вектор
Х^1) = {х\ ,... jXn ) с помощью вектора Х^0) и системы C.6.3) и
покажем, что с вероятностью, стремящейся к единице, вектор Х^)
совпадает с истинным решением X*.
13 В.Ф. Колчин

194	3. Системы случайных линейных уравнений в GFB)
Рассмотрим векторы
)	х{0) 0
@)	г@) 1 г@)
и вычислим значения /З(Х^о) и /3(X^i), определяемые для векторов
Х^о и Хгд так же, как величина (З(Х^) была определена для
Для г = 1,... , п положим
A) _ /0, /3(Xii0)
Х- —
/О, /3(Xi>0
11, №,о
Справедливо следующее утверждение об алгоритме сравнения ко-
координат [59].
Теорема 3.6.4. Если n, T ^ оо -мД^О так, что
А2Т
n2 Inn
mo
00,
С помощью предварительного опробования n-мерных векторов
можно найти начальный вектор Х^0) с большим числом г](Х^) ко-
координат, совпадающих с соответствующими координатами истинного
решения X*. Если алгоритм проверки координат начать с такого ве-
киора, то потребуется значительно меньшее число уравнений для вос-
восстановления истинного решения. Это число сравнимо с числом ребер,
необходимых для того, чтобы граф ГП)т был связен. В [59] доказано
следующее утверждение.
Теорема 3.6.5. Если п, Т ^ оо и А —> 0 так, что
А2Т
nlnn
00,
то существует алгоритм восстановления с вероятностью, стре-
стремящейся к единице, истинного решения системы C.6.3).
Алгоритм, приводящий к восстановлению истинного решения в
условиях теоремы, начинается с предварительного выбора начального
вектора Х^0) с большим числом совпадений с истинным вектором X*,
который осуществляется путем опробования всех n-мерных векторов.
Таким образом, если можно использовать полный перебор п-мер-
ных двоичных векторов, то истинное решение восстанавливается при
условии, что A2T/(nlnn) —> сю. Если число уравнений Т таково, что

3.6. Замечания и литературные ссылки	195
A2T/(n2 Inn) —>¦ оо, то восстановление истинного решения можно реа-
реализовать алгоритмом голосования, более экономным по числу требуе-
требуемы операций. Ясно, что было бы интересно найти алгоритмы, которые
приводят к восстановлению истинного решения с вероятностью, стре-
стремящейся к единице, при промежуточных требованиях к числу урав-
уравнений и не требуют полного перебора всех 2П двоичных векторов.
Опишем один такой алгоритм, который в [59] назван алгоритмом
Аъ. Рассмотрим все B) уравнений, получаемых попарным объеди-
объединением уравнений исходной системы C.6.3). Среди уравнений, полу-
полученных в результате этой операции, имеются уравнения, содержащие
четыре, два или ни одного неизвестного. Обозначим S^ подсистему,
которая включает в себя все уравнения с двумя неизвестными в каж-
каждом из них. Алгоритм Аъ заканчивается применением алгоритма го-
голосования к подсистеме S^- В следующей теореме указаны условия,
при которых алгоритм А^ восстанавливает истинное решение. В [59]
доказано следующее утверждение.
Теорема 3.6.6. Если п, Т ^ оо и А —> 0 так, что
Д4Т2
п3 Inn
оо,
то алгоритм А^ восстанавливает истинное решение с вероятнос-
вероятностью, стремящейся к единице.
13*

Глава 4
Случайные подстановки
4.1. Случайные подстановки и обобщенная схема
размещения
Обозначим Sn множество всех взаимно однозначных отображений
множества Хп = {1,2,... , п} на себя. Это множество состоит из п\
элементов. Рассмотрим случайную подстановку о¦, совпадающую с лю-
любой подстановкой из Sn с вероятностью (п!).
Подстановку s G Sn можно записать в виде таблицы
1 2 ... п
S ~ \si s2 ... sn
где Sk — образ к при отображении 5, /с = 1,... , п. Отображение s мож-
можно также представить графом Тп = Г(ХП, Wn), вершинами которого
являются элементы множества Хп, а ребрами — элементы множества
Wn, состоящего из дуг (fc, 5^), направленных из /с в S&, /с = 1,... , п.
Поскольку ровно одна дуга входит в каждую вершину и ровно одна
дуга выходит из каждой вершины, граф Г^ состоит из компонент,
являющихся циклами и называемых также циклами подстановки s.
Обозначим Гп случайный граф, соответствующий случайной под-
подстановке а', принимающей значения s с равными вероятностями. Ясно,
что
В разделе 1.3 было показано, что обобщенная схема размещения,
введенная в разделе 1.2, может быть использована при изучении ши-
широкого круга задач, связанных с компонентами случайных графов. В
примере 1.3.1 было показано, что обобщенная схема размещения при-
применима и при изучении случайных подстановок. Напомним, что для
применения обобщенной схемы выделяется подмножество графов ров-
ровно с N компонентами, эти компоненты упорядочиваются одним из N1

4-1. Случайные подстановки и обобщенная схема размещения	197
возможных способов и размеры этих упорядоченных компонент обо-
обозначаются щ,... , tjn . Если существуют независимые одинаково рас-
распределенные неотрицательные случайные величины ?i,... , ?/v такие,
что для любых целых чисел к\,... , /сдг
i,... , 6г = fcjv I ?i + ... + &v = "}, D.1.1)
то говорят, что случайному графу соответствует обобщенная схема
размещения, задаваемая случайными величинами ?i,... , ?/v-
Как было показано в примере 1.3.1, случайному графу Гп случай-
случайной подстановки из Sn соответствует обобщенная схема, задаваемая
независимыми одинаково распределенными случайными величинами
?ъ • • • > ?/v c распределением
^)' * = 1'2-' 0<ж<1' DЛ-2)
так как число элементов в Sn равно ап = п! и число связных реализа-
реализаций случайного графа Гп равно Ъп = (п — 1)!.
Для случайных подстановок соответствующие производящие
функции имеют вид
n=0
00 bnxn
B(x) = У^ n t = — ln(l—x).
n=0 П*
Итак, при изучении различных характеристик случайных подста-
подстановок можно использовать обобщенную схему размещения. Эта воз-
возможность была широко использована в [55].
Напомним некоторые комбинаторные тождества, которые следуют
из общих результатов раздела 1.3.
Пусть vn — число циклов в случайной подстановке из Sn. Согласно
лемме 1.3.3
Обозначим аг число циклов длины г в случайной подстановке из Sn,
г = 1,... , п. Согласно лемме 1.3.7 для любых неотрицательных целых
чисел mi,... , тп
п	1
= шь ... , ап = тп} = Ц ——f,	D.1.4)
г=1 Т mr-

198	4- Случайные подстановки
если mi + 2ш2 +.. .-\-птп = п, и эта вероятность равна нулю в осталь-
остальных случаях.
Введем производящую функцию
оо
mi.-" ,an=mn}t?1 ...С"
m1\...mn\ \ 1
где суммирование проводится по множеству целых чисел
Мп = {rrii ^ 0, г = 1,... , n, mi + 2ш2 + ... + птп = п}.
Положим сро = 0. Нетрудно видеть, что ipn(ti,... , tn) есть коэффици-
коэффициент при ixn в выражении expjixti + u2t2/1 + ...}, то есть
Уп(*ь ... , ^n)^n = exp
n=0
Производящая функция D.1.5) была получена В. Л. Гончаровым и
послужила основным аппаратом в его исследованиях случайных под-
подстановок [36]. В [55] при изучении случайных подстановок была ис-
использована обобщенная схема размещения. В следующем разделе бу-
будет приведено несколько примеров применения обобщенной схемы и
для случайных подстановок будут получены результаты, дополняю-
дополняющие исследования, представленные в [55].
4.2. Число циклов
Хорошо известно, что при п —> сю число циклов vn в случайной под-
подстановке из Sn асимптотически нормально с параметрами (Inn, Inn).
Более точно, при п -^ сю
D.2.1)
равномерно относительно целых TV, для которых и = (iV — 1пп)/л/1пп
лежит в любом фиксированном конечном интервале.
Подход, основанный на обобщенной схеме размещения, дает воз-
возможность получить асимптотику вероятности P{isn = N} при п —>¦ сю
для всех значений iV = N(n). Согласно D.1.3) для любого целого по-
положительного N
D.2.2)

4-2. Число циклов	199
где параметр х может быть выбран произвольно из интервала @,1)
и ?i,... , ?,n — независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины с распределением D.1.2).
Таким образом, для изучения асимптотического поведения распре-
распределения случайной величины vn достаточно получить соответствую-
соответствующие локальные теоремы для суммы
(n = ?i + • • • + 6v,
где параметр х в распределении слагаемых может выбираться так,
чтобы доказательство локальных теоремы оказалось наиболее прос-
простым.
Начнем с выбора х = 1 — 1/п и докажем несколько локальных тео-
теорем, которые позволят описать асимптотику вероятности
P{^n = N} при значениях TV, не слишком далеко отстоящих от Inn.
Теорема 4.2.1. Если п —> оо; N = 7lnn + o(lnn); где j — постоян-
постоянная, 0 < 7 < оо; то
равномерно относительно целых к, для которых z = k/n лежит в
любом фиксированном интервале вида 0 < zo ^ z ^ z\, где z§ и z\ —
постоянные.
Прежде, чем доказывать эту теорему, приведем несколько вспомо-
вспомогательных утверждений. Напомним, что мы выбрали х = 1 — 1/п. При
таком х
D-2.3)
и характеристическая функция случайной величины ?i равна
1 /	1
фп(ч = ~]	In 1 - ег + -е
Inn \	п
Представим (pn(t) в виде
Inn V \п )	Х	/ '
где
~\ \ '+ it	it л
-L | 6 6 с-	i /. \	^	J-
-it

200
Случайные подстановки
Для i/ji(t) и fait) справедливы оценки
i / и\\ / \eU -1-^1
2'
е —
I.
n
D.2.5)
D.2.6)
Используя явное выражение для (pn(t), представление D.2.4) и
оценки D.2.5), D.2.6), получаем следующие оценки для (fn(t).
Лемма 4.2.1. Если п —> оо; N = j\nn -\- o(lnn), где 7 — постоян-
постоянная, 0 < 7 < оо; то дл«я любого фиксированного t
Лемма 4.2.2. Е'слгА п —> сю; iV = 7Inn + o(lnn), г^е 7 — постоян-
постоянная, 0 < 7 < оо; то существуют положительные постоянные г и с
такие, что при \t/n\ ^ г
Лемма 4.2.3. Есл-м п —> сю; то ^л«я 0 < е ^ |t| ^ тг; г^е г — поло-
положительная постоянная, существует постоянная с такая, что для
достаточно больших п
\ipn(t)\
Лемма 4.2.4. Если п
стоянная е такая, что при \t/n
' t
сю; то существует положительная по-
по\/\ e
Как следует из леммы 4.2.1, при п —> сю и N = jinn + o(lnn), где
7 — постоянная, 0 < 7 < °°5 распределение нормированной суммы
(tv/п сходится к гамма распределению с характеристической функци-
функцией A — it)~^ и плотностью z7~1e~z/FG), z > 0. В действительности,
как указано в теореме 4.2.1, эти распределения сближаются и локаль-
локально.
Доказательство теоремы 4.2.1. По формуле обращения вероят-
вероятность
P{Gv = k} = P{(N/n = z}
можно представить в виде
= 4=^— / e-^^(t/n)dt,

4-2. Число циклов
201
кроме того,
-оо A " it
¦dt.
Отсюда,
где
2irnP{(N/n = z) - 27re~z = h + I2 + /3
pA
J-A
f	- TV
J A<\t\<en
h =
[
A<\t\
и постоянные е и А будут выбраны позднее.
Согласно лемме 4.2.1, ср^(t/n) —> A — it)~7 для любого фиксиро-
фиксированного t. В силу теоремы 1.1.9 эта сходимость равномерна в любом
конечном интервале. Поэтому 1\ —> 0 при п —> сю для любого фикси-
фиксированного А.
Согласно лемме 4.2.3 для достаточно больших п
|/3| < 2irn(c/\nn)N < 2ime~2Nh,
и при N = j\nn-\-o(lnп) правая часть стремится к нулю при п —> сю.
Чтобы оценить интегралы 1^ и /4, проведем интегрирование по
частям. Для /4 получаем, что
-itz
Ul
dt.
Поэтому
dt
27
^
c4
где С4 — постоянная, и /4 может быть сделан сколь угодно малым
выбором достаточно большого А.

202
Случайные подстановки
Аналогично,
e~itz
" r"---»^U^i*
Используя оценки лемм 4.2.2, 4.2.3 и 4.2.4, получаем, что
9 /V
ZiV
zn
?7+1'
где с, С2 и сз — постоянные.
Выбором достаточно больших Аип интеграл |/2| мож:ет быть сде-
сделан сколь угодно малым.
Теперь можно доказать следующую теорему об асимптотическом
поведении вероятности P{z/n = N}.
Теорема 4.2.2. Если п —> сю iuiV = 7ln^ + o(lnn), г^е 7 — посто-
постоянная, 0 < 7 < оо; то
Доказательство. При ж = 1 — 1/п представление D.2.2) принима-
принимает вид
D.2.7)
где Сдг = ?i + • • • + Cn есть сумма независимых одинаково распреде-
распределенных случайных величин с распределением D.2.3). По теореме 4.2.1
Подставляя это выражение в D.2.7), получаем утверждение теоре-
теоремы 4.2.2.
Случай, когда j = N/ Inn —> 0, рассматривается в следующей тео-
теореме.

4-2. Число циклов	203
Теорема 4.2.3. Если п —> сю и j = N/ Inn —> 0; то
Доказательство. Принимая во внимание, что 7 < 1/2, начиная
с некоторого п, выберем уровень пA — 7) и представим вероятность
P{Ctv = п} в виде
Р{Слг = n} = P{Ctv = п, ^ < пA - 7), г = 1,... , п}
+ iVP{Civ = n, 6v > пA - 7)}. D.2.8)
Поскольку
(
равномерно относительно ттг, п ^ ттг ^ пA — 7), получаем, что
ПA - 7)} = J
?п>пA—7)
^)- D-2-9)
Докажем теперь, что
1.	D.2.10)
Покажем, что случайная величина Саг/Gп) стРемится по вероятности
к нулю. В силу представления D.2.4) и оценок D.2.5) и D.2.6)
Inn
= х _ lnG-it)-ln7 + Q (
I	\
Inn	\7nlnny
и если 7 = N/ In n —> 0, то
О
Inn
Таким образом, характеристическая функция случайной величины
Са^/(тп) стремится к характеристической функции вырожденной слу-
случайной величины, принимающей значение нуль с вероятностью еди-
единица, откуда следует D.2.10).

204	4- Случайные подстановки
Можно показать также, что в условиях теоремы
Утверждение теоремы следует теперь из этого соотношения и соотно-
соотношений D.2.8), D.2.9) и D.2.10).
Теорема 4.2.4. Если п —> сю и 7 = TV/ Inn —> 0, mo
Доказательство. Утверждение этой теоремы прямо следует из те-
теоремы 4.2.3 и представления D.2.7), если учесть, что при 7^0 гамма-
функция ГG) = 1/7A + ())
Рассмотрим теперь случай, когда N/\nn —> сю. Выделим четыре
под случая: а = n/N —>-оо;а—>-с>1;а—>-1, когда т = п — N —>¦ сю;
а —> 1, когда тп фиксировано.
Пусть се -^ сю. Выберем параметр ж так, чтобы E(jv было близко
к п. Поскольку для ?i с распределением D.1.2)
параметр ж, 0 < ж < 1, следовало бы выбрать так, что
где се = n/N. Это уравнение приближ:енно удовлетворяется, если по-
положить
*1
се шее
Если N/\nn -^ сю, то ж = 1 — l/(alna) отстоит от особой точки
х = 1 дальше, чем ж = 1 — 1/п, поэтому для распределения суммы (дг
справедливо нормальное приближение.
Теорема 4.2.5. Если п, N -^ сю так, что N/\nn -^ оо, а =
n/iV -^ сю гл параметр х = 1 — 1/(а1па) г^ cr^ ^ ce\/ln~ce; то
равномерно относительно целых к, для которых z = (k — п)/(cryN)
лежит в любом фиксированном конечном интервале.

4-2. Число циклов	205
Доказательство. Характеристическая функция случайной вели-
величины ?i равна
1пA-д;е**)
— х)
Легко видеть, что для любого фиксированного t при N/\nn —>¦ оо и
а = n/N —> оо
Обозначим фп(Ь) характеристическую функцию случайной вели-
величины (^ = ((jv ~ w)/(daviV)- При выполнении условий теоремы для
любого фиксированного t
и распределение случайной величины (^ слабо сходится к нормаль-
нормальному распределению с параметрами @,1).
Локальную сходимость можно доказать стандартными методами
и мы опускаем эту техническую часть доказательства теоремы 4.2.5.
Из теоремы 4.2.5 и представления D.2.2) получаем следующее
утверждение.
Теорема 4.2.6. Если п, N —> сю так, что N/\nn —> оо; се =
n/N —> оо, mo
где х = 1 — l/(alna) и аа = а
Следующая теорема, относящаяся к случаю, когда а стремится
к постоянной, большей единицы, может быть доказана так же, как
теорема 4.2.5.
Теорема 4.2.7. Если п, N —> оо и существуют постоянные ао и
а\ такие, что 1 < ао ^ а ^ а\, параметр х = ха, где ха — единст-
единственный корень уравнения D.2.11) из интервала @,1) и
- г ) 4- г2
(l-xaJln2(l-xa)'
mo

206	4- Случайные подстановки
равномерно относительно целых чисел к, для которых z =
(k — n)/(<jxV2irN) лежит в любом фиксированном конечном интер-
интервале.
Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично
доказательству теоремы 4.2.5, и мы опускаем его детали. Заметим
только, что а = E?i и сг2 = D<fi при х = ха.
Используя теорему 4.2.7 и представление D.2.2), получаем следу-
следующее утверждение о предельном распределении vn.
Теорема 4.2.8. Если п, N —> сю и существуют постоянные ао и
а\ такие, что 1 < ао ^ а ^ а\, то
где ха — единственный корень уравнения D.2.11) из интервала @,1)
и
2	ХаЫA - Ха) + xl
а =
Асимптотическая нормальность (дг сохраняется, если а = n/iV -^ 1
не слишком быстро, как это указано в следующей теореме.
Теорема 4.2.9. Если п, N —> сю так, что се = n/N -^ 1 и т =
п — N —> сю; i/ параметр х = ха, где ха — единственное решение
уравнения D.2.11) из интервала @,1), то
равномерно относительно целых к, для которых z = (к — п)/у/т
лежит в любом фиксированном конечном интервале.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.2.5, и мы
его опускаем.
Из теоремы 4.2.9 и представления D.2.2) получаем следующее
утверждение об асимптотическом поведении вероятности P{isn = N}.
Теорема 4.2.10. Если п, N —> сю так, что а = n/N —> 1 и т =
п — N —> сю; то
— единственный корень уравнения D.2.11).

4-2. Число циклов	207
Нетрудно видеть, что если т?/N —>¦ 0, то
9т
xa = —(l+O(
и, следовательно,
- xa))N = (а?A + ха/2 + O(xl))N = х%етA + O(m2/N)),
+ O{m2/N)).
х
а	]\[т
Поэтому из теоремы 4.2.9 следует, что если п, N —> оо, а = n/N -^ 1,
т —> сю и т2/N -^ 0, то
Наконец, рассмотрим случай, когда m фиксировано.
Теорема 4.2.11. Если N ^ оо и параметр х = 1/N, то для любого
фиксированного /с = 0,1,...
Доказательство. Разлагая характеристическую функцию <p(t)
случайной величины <fi, имеющей распределение D.1.2) с параметром
х = 1/N, получаем, что для любого фиксированного t
Если х = 1/N и N -^ оо, то характеристическая функция случайной
величины (дг - N равна A + (еи - l)/BN) + (^(iV))^ и стремится
к e(e' -1)/2. Это значит, что распределение Cn — N сходится к распре-
распределению Пуассона с параметром 1/2.
Из этой теоремы и представления D.2.2) получаем следующее
утверждение, завершающее полное описание предельного поведения
распределения случайной величины vn.
Теорема 4.2.12. Если п —> оо; n/N —> 1 и т = п — N фиксировано,
то
Нетрудно видеть, что теоремы 4.2.2, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.8, 4.2.10 и 4.2.12
содержат полное описание предельного поведения распределения чис-
числа циклов vn случайной подстановки степени п при п —> оо.

208	4- Случайные подстановки
4.3. Подстановки с ограничениями на длины
циклов
В этом разделе приводятся результаты о подстановках с ограничения-
ограничениями на длины их циклов. Пусть R — подмножество натуральных чисел.
Мы будем рассматривать множество SUir всех подстановок степени п,
длины циклов которых принимают значения из множества R. Одной
из первых задач, возникающих в этой ситуации, является задача об
асимптотическом поведении числа аП)д элементов в множестве Sn^R.
Эта задача далека от своего полного решения. В этом разделе будут
приведены некоторые результаты, полученные с помощью привлече-
привлечения обобщенной схемы размещения.
Как обычно, предполагается, что на множестве Sn^R задано равно-
равномерное распределение. Пусть z/n,i? — общее число циклов в случайной
подстановке из этого множества. Положим bUiR = (п — 1)!, если п Е R,
и bn^R = 0 для остальных значений п. Легко видеть, что
ПГ„	_ ЛП _	П'	V^	bniiR...bnNiR	ГЛО1\
ni\...nN\
Введем независимые одинаково распределенные случайные вели-
J)	J)
преде
д
JR)	JR)
чины t;l ,... , ^ с распределением
где
b	х
k=l	'	kER
Используя эти случайные величины, перепишем равенство D.3.1)
в виде
"<"•>•*=N}=n
i
Отсюда, суммируя по TV, получаем, что
.	оо / уз / \\N
п ^ — П' pbr(x) V У R{x)) r-BR(x)prc(R) i	i AR) _ i
an,R — ~^e	/ j	T7|	e	r LSI "Г • • • "Г <^дг — 'If-
°°	N=1
D.3.4)
Ясно, что выше мы повторили для множества SUyR подход, опи-
описанный в общем случае в разделе 1.3, и равенства D.3.1), D.3.3) и

4-3. Подстановки с ограничениями на длины циклов	209
D.3.4) — это реализация общих равенств A.3.1), A.3.10) и A.3.11) в
рассматриваемом случае.
Для нахождения асимптотики чисел аП)д, нужно выбрать подходя-
подходящее значение параметра ж, подставить его в выражение для распреде-
распределения D.3.2) и доказать локальную теоремы для суммы независимых
слагаемых с этим распределением.
Получить результаты об асимптотическом поведении аП)д удается
только в тех случаях, когда структура множества R обладает доста-
достаточной регулярностью. В общем случае асимптотика аП)д неизвестна.
Подход, основанный на привлечении обобщенной схемы размеще-
размещения, опишем вначале в простом случае, когда R — множество Е чет-
четных чисел.
Теорема 4.3.1. Если п —> оо; то
ащЕ = 2^~У"A + оA))	D.3.5)
при четных п и ап^Е — О при нечетных п.
Доказательство. Для доказательства теоремы используем пред-
представление D.3.4). Рассмотрим случайные величины Q , ••• >?jv c
распределением D.3.2), где R = Е = {2, 4,... } и
BR(x) = ВЕ(х) = 5Z ~Г = —1п^ ~ х<2}'
кея
Случайные величины ^ = Q /2, г = 1,... , TV, независимы, оди-
одинаково распределены и
Если выбрать ж = д/l — 1/п, то это распределение совпадает с рас-
распределением D.2.3) из предыдущего раздела, и согласно теореме 4.2.1,
если п —> сю и TV = ^Ып + o(lnn), где 7 — постоянная, 0 < 7 < оо, то
+ ... + <¦„ = к} = L
равномерно относительно целых /с, для которых z = fc/n лежит в
любом фиксированном интервале вида 0 < zo ^ z ^ zi, где го и zi —
постоянные.
Поскольку
14 В. Ф. Колчин

210	4- Случайные подстановки
получаем, что если п —> сю, N = (lnn)/2 + o(lnn) и п четно, то
) = п} = Pfe + ¦ • ¦ + iN = п/2} = -^е-V2A + o(i)). D.3.7)
Для нечетных п эта вероятность равна нулю.
Чтобы получить аПуЕ с использованием D.3.4), нужно просумми-
( W\
ровать вероятности Р{Сдг nl c пуассоновскими коэффициентами.
Для этого нужно оценить эти вероятности при всех N. Покажем, что
при всех N
D-3-
Эта оценка получается как следствие следующей цепочки оценок. Из
D.3.2) следует, что
п\ ( ( )O
где
K(n, N) = {fci,... ,kN: fci + ... + /cat = n, fci,... , /cat G Д}.
Отсюда,
i • • • fejv-i + ' " + k2 ... kN
N	^ xhl xkN-x
N-l
N	I v^ xk \	N
Оценка D.3.8) доказана, так как В = Ве(х) = Aпп)/2.
Разобьем сумму

4-3. Подстановки с ограничениями на длины циклов	211
на четыре слагаемых, разбив область суммирования на части
А2 = {N: В- Б3/4 < N < Б + Б3/4},
А3 = {N: В + Б3/4 < JV < Б + Б2},
А4 = {N: В + Б2 < JV < п/2}.
Нетрудно видеть, что соотношение D.3.7) выполняется равномер-
равномерно относительно N <Е А2. Поэтому
NEA2
п
так как В = (In n)/2 и при ЛГ —> со
Оставшаяся часть суммы есть оA/п). Действительно, применяя
оценку D.3.8), находим, что
2Б ^ BNe~B I >-^ BNe~B
^ nlnn ,^-f N\	n ,^-f iV!
и /Si = o(l/n), так как
при n —> oo.
Из D.3.8) следует, что
Inn
Используя нормальную аппроксимацию для распределения Пуассона,
получаем, что
14*

212	4- Случайные подстановки
где с\ и С2 — постоянные. Отсюда следует, что S3 = оA/п).
Аналогично, используя D.3.8), находим, что
j_	BNe~B J_ ^ (Be\N _B
— У (-
Inn ^ \В
Inn ^ \В)
N^B2
Отсюда, S4 = оA/п), так как е/Б < е при достаточно больших п.
Собирая оценки Si, S2, S3 и S4, получаем, что
Подставляя это выражение в D.3.4) и разлагая п! по формуле
Стирлинга, получаем утверждение теоремы.
Аналогичный результат справедлив для числа подстановок, когда
R — множество нечетных чисел.
4.4. Замечания и литературные ссылки
Вероятностный подход, который сейчас широко используется в ком-
комбинаторике, впервые был строго сформулирован и применен при изу-
изучении симметрической группы Sn В. Л. Гончаровым в [34, 35, 36]. Им
были найдены совместное распределение D.1.4) случайных величин
ai,... , ап и производящая функция D.1.5). В. Л. Гончаров доказал,
что для общего числа циклов ип = а\ + ... + ап при п —> сю
Ez/n = Inn + 7 + °A)>
y/Dun = Vhvn - (тг2/2 - 7/2)/лЛпп + о(лДпп).
В. Л. Гончаров доказал также, что распределение [уп — \пп)/л/\пп
слабо сходится к стандартному нормальному распределению, а рас-
распределение аг для любого фиксированного г = 1,2,... сходится к
распределению Пуассона с параметром 1/г.
Обозначим CVn длину максимального цикла в случайной подста-
подстановке из Sn. В. Л. Гончаровым в [34, 36] было показано, что
h=0

где
4-4- Замечания и литературные ссылки	213
г,п) = 1, Sh(rn,n) = У j —	—, h
гь\ « « « K<}~i
Положим
Io(x,l-x) = l, Ых,1-Х)=1] 	Т"Т". «<^<1-
В. Л. Гончаровым было доказано, что при п —> сю случайная величина
@vn/n имеет предельное распределение с плотностью
которая, как видно из приведенной выше формулы, задается различ-
различными аналитическими выражениями на последовательных интерва-
интервалах вида [1/A + А), 1/А], где А — целые числа. Например,
ф(х) = -, ?<ж<1;
Хотя В. Л. Гончаров детально исследовал цикловую структуру
случайных подстановок, интерес к этому кругу задач сохраняется. В
[48] для изучения характеристик случайных подстановок был пред-
предложен подход, использующий их связь с обобщенной схемой разме-
размещения. Результаты об асимптотических свойствах случайных подста-
подстановок, полученные с помощь этого подхода, представлены в [55]. За-
Заметим, что асимптотическая логарифмическая нормальность средних
членов вариационного ряда длин циклов случайной подстановки и ло-
локальная предельная теорема о сходимости распределения общего чис-
числа циклов vn к нормальному распределению впервые были доказаны
этим методом (см. [55]). Было ясно, что этот подход позволяет иссле-
исследовать локальное поведение вероятностей P{isn = N} при всех значе-
значениях N = N(n) при п —> оо. Эти исследования были осуществлены в
[80, 82, 73, 29, 31, 30], они представлены в разделе 4.2. Теоремы 4.2.1 и
4.2.2 доказаны Ю. Л. Павловым в [80, 82]. Теоремы 4.2.5, 4.2.6, 4.2.9,
4.2.10 и 4.2.12 доказаны Л. М. Волынец в [29, 31, 30].
В теории вероятностей хорошо развиты методы оценки скорости
сходимости в предельных теоремах для сумм независимых слагаемых.
Поэтому сведение изучения ряда характеристик случайных подстано-
подстановок к задачам о суммах независимых случайных величин открывает

214	4- Случайные подстановки
естественный путь для оценки скорости сходимости распределений
этих характеристик к предельным распределениям. Такие оценки в
условиях теоремы 4.2.1 были получены Ю. Л. Павловым [82] и при
7 = 1 А. И. Павловым [73]. Следующая теорема, доказанная Л. М. Во-
лынец в [29], дает более точную оценку остаточного члена по сравне-
сравнению с данной в [73].
Теорема 4.4.1. Если п —> оо; N = Inn + хуДпп, х/у/\пп —> О, то
(\nn)N
P{z/n = N}=	i - ¦ ~ i г,	 'i / /
N\n V	ЧлЛпп Inn//
Эта теорема доказана в [29] с использованием подхода, опирающе-
опирающегося на обобщенную схему размещения.
Пусть Еп — множество всех однозначных отображений множества
{1,... , п} в себя. В частности, Sn С Еп. Случайное отображения из
Еп впервые начали изучаться Крускалом [152] и Б. Харрисом [139]. В
ряде статей рассматривались подмножества множества Еп, выделяе-
выделяемые определенными ограничениями на отображения. Упомянем лишь
статьи В. Н. Сачкова [92, 93, 94], где рассматриваются отображения,
высота которых ограничена постоянной и циклы имеют длины из за-
заданного множества, статьи А. А. Грушо [37, 38], где рассматривается
множество ЕП)Г отображений из Еп, каждая точка которых имеет не
более г образов, статьи Ю. Л. Павлова [79, 80], где рассматриваются
характеристики случайных отображений, граф которых состоит ров-
ровно из т компонент, случай т = 1 рассматривался Г. Н. Багаевым в
[5, 6], и статью Арни и Бендера [110] об отображениях с ограниче-
ограничениями на кратности вершин. Исследования в этих областях начались
в начале семидесятых и продолжаются до сих пор. По нашему мне-
мнению, одним из наиболее удивительных результатов о случайных ото-
отображениях с ограничениями является результат И. Б. Калугина [40],
краткое изложение которого приводится ниже.
Пусть ЕП)д — подмножество множества отображений Еп, в графе
которых кратности вершин принимают значения из некоторого мно-
множества i?, содержащего нуль и не совпадающего с множеством {0,1}.
Пусть ?(А) — случайная величина с распределением
\кр-Х
*>	1Д
где А — положительная постоянная и
Хке~х
к\ '
Существует сед такое, что Е^(сед) = 1. Обозначим Br дисперсию
случайной величины ?(ад). Для числа циклических вершин А^ и

4-4- Замечания и литературные ссылки	215
высоты TUyR графа случайного отображения из ЕП)д справедливы из-
известные утверждения [40, 55].
Теорема 4.4.2. Если п —> оо; то
равномерно относительно целых к, для которых z = к^/Вц/п ле-
лежит в любом фиксированном интервале вида 0<zo^z^zi<oo.
Теорема 4.4.3. Если п —> оо; то для любого фиксированного х > 0
k= — oo
Неожиданный результат появляется, если рассмотреть множест-
множество Е^ R отображений из Еп, определяемое следующим образом. Если
в графе отображения из Еп убрать ребра, соединяющие цикличес-
циклические вершины, то получается граф, состоящий из деревьев. Множест-
Множество Е^ R содержит отображения из Еп, для которых кратность любой
вершины таких деревьев принимает значение из R. Таким образом,
различие в ограничениях на кратности вершин в^*йи ^n,R кажется
несущественным, поскольку только ограничения на кратности цикли-
циклических вершин отличаются на единицу. Однако строение случайных
графов из множеств ЕП)д и Е^ R существенно различается.
Пусть AR и г* R — соответственно число циклических вершин
и высота случайного графа с равномерным распределением на Е^ R.
Для введенной ранее случайной величины ?(А) положим
aR = Е?A), Ь% = D?(l).
Если R не совпадает с множеством всех неотрицательных целых чи-
чисел, то aR < 1.
Теорема 4.4.4. Если п
равномерно относительно целых к, для которых z =
(к — A — ад)п)/Fду/п) лежит в любом фиксированном конечном ин-
интервале.
Теорема 4.4.5. Если п —> сю и t = t(n) меняется так, что
nalR —> /3, где /3 — постоянная, то для любого фиксированного це-
целого т
где постоянная кр зависит только от C и множества R.

216	4- Случайные подстановки
Так как порядок t = t(n) равен Inn, случайное отображение из
Е^ R имеет много циклических вершин и, как следствие, имеет вы-
высоту порядка Inn, а не у/п, как у случайного отображения из ?П)д.
Удовлетворительное объяснение этого эффекта неизвестно.
В разделе 4.3 рассматривается множество SUyR всех подстановок
степени п, длины циклов которых принадлежат фиксированному мно-
множеству R. Интерес к таким множествам может быть частично объ-
объяснен их связью с системами уравнений, содержащими подстановку,
которые рассматриваются в следующей главе. Другая возможная при-
причина интереса к множествам Sn^R и аналогичным множествам отобра-
отображений с различными ограничениями может быть связана с возмож-
возможностью (см. [110]) приближения более сложных комбинаторных объек-
объектов объектами из этих множеств с более обозримыми ограничениями.
По-видимому, исследования [14, 105, 106, 57, 69, 32] асимптотического
поведения чисел аП)д элементов в 5п,д проводились в последние годы
частично по этим причинам.
Производящая функция f(z) чисел аПуя элементов в SUyR равна
оо	„
n-0
Поэтому естественно для получения асимптотики аП)д применить ме-
метод перевала. Этот подход успешно применялся в [14, 71] в случае,
когда элементы множества R образуют произвольную арифметичес-
арифметическую последовательность (см. также [94]).
В этой ситуации использовался также подход, основанный на дока-
доказательстве и применении теорем тауберова типа [105, 106, 107]. Приве-
Приведем две теоремы, доказанные в этих статьях А. Л. Якымивым. Пусть
R(n) — число элементов множества R, не превосходящих п, и \А\ обо-
обозначает число элементов множества А.
Теорема 4.4.6. Пусть п —> оо;
R(n)/n^p, 0<р<1,	D.4.1)
и при т ^ п, т = О(п)
-\k:k^n, k eR, m-k e R\ ^ р2.	D.4.2)
п
Тогда
an,R = (n- 1)!ехр{/п,д -7р}/Г(р)A +оA)),	D.4.3)
где
ln,R = / , -•>
r<ER,r^n
7 — постоянная Эйлера и Г — гамма-'

4-4- Замечания и литературные ссылки	217
Условия D.4.1) и D.4.2) показывают, что множество R аналогич-
аналогично типичной реализации случайного множества, содержащего каждое
целое число с вероятностью р независимо от остальных чисел.
Примеры множеств R, удовлетворяющих условиям D.4.1) и D.4.2),
можно искать среди множеств вида
R = {k:{g(k)}eA},	(АЛЛ)
где g{t) — действительная функция t ^ 0, {х} — дробная часть чис-
числа х и А — некоторый интервал или объединение конечного числа
интервалов из [0,1] с мерой Лебега р.
В [106, 107] доказано, что множество R вида D.4.4) удовлетворяет
условиям D.4.1) и D.4.2), если
g(t) = tal(t),
где а — неотрицательное целое число, l(t) — медленно меняющаяся
функция и при t —>¦ оо
^-l(t) = o(t-nl(t)), n=l,...,[a}+2.
Пусть ar^R — число циклов длины г в случайной подстановке из
Sn,R и ^n,R = с^1,д + - • - + <^п,д — общее число ее циклов. А. Л. Якымив
в [106, 107] доказал следующее утверждение.
Теорема 4.4.7. Пусть выполнены условия D.4.1) и D.4.2) и п —> сю.
Тогда распределение случайной величины (г/П)д — 1п,вIVplnn слабо
сходится к стандартному нормальному распределению и для любого
фиксированного г Е R распределение ar^R сходится к распределению
Пуассона с параметром 1/г.
Случай нерегулярного поведения аП)д рассмотрен Л. М. Волынец
в [32].
Теорема 4.4.8. Если п —> сю и R = Е U М, где Е — множество
четных положительных чисел и М — множество нечетных чисел
такое, что ряд
/-^ т
тем
сходится, то
для четных п и
для нечетных п.
п

218	4- Случайные подстановки
Эта теорема доказана в [32] с использованием представления D.3.4)
и равенства
s,m
Здесь случайные величины Q ,... , ^ ; имеют параметр ж, равный
д/1 — 1/n, v — число тех случайных величин, которые приняли зна-
чения из М, rj — сумма этих случайных величин и <^ ,... , ?]у- —
независимые одинаково распределенные случайные величины с рас-
распределением
Заметим, что при Ъ —> 0 результат теоремы 4.4.8 непрерывно пере-
переходит в D.3.5).
В статье [149] найдена асимптотика аП)д в случае, когда R удов-
удовлетворяет следующим условиям. Обозначим R(k) — число элементов
множества R, не превосходящих /с, и будем предполагать, что сущест-
существует предел
lim R(k)/k = p, 0 < р < 1,
называемый плотностью множества R в множестве натуральных чи-
чисел.
Кроме того, будем предполагать, что выполнены следующие два
условия, налагаемые на множество R.
A)	Существует положительное целое число г такое, что для любого
неотрицательного целого s множество R П {s + 1,... , s + г} не
может быть вложено ни в какую решетку целых чисел с шагом,
большим единицы.
B)	Производящая функция F(z) множества R имеет конечное чис-
число m полюсов в точках z\ = е27гг//т, I = 0,1,... , m — 1, на еди-
единичной окружности \z\ = 1, другими словами, она имеет вид
F(z) = Y^ zk = P(z)/A - zm),	D.4.5)
keR
где P(z) — некоторый многочлен.
Заметим, что в этом случае коэффициенты ряда F(z), за исключе-
исключением, быть может, нескольких начальных коэффициентов, образуют
периодическую последовательность с периодом m и поэтому множест-
множество R имеет плотность р = l/m, где I — число единиц на периоде.

4-4- Замечания и литературные ссылки	219
Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины ?i,... , ?/v c распределением
хк
= к} = ГБ7^7> к е R,	D-4.6)
где
Для сумм таких величин в [149] доказана следующая теорема.
Теорема 4.4.9. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и
удовлетворяет условиям 1 и 2, п —> оо; N = р\пп + o(lnn) и х =
1 - 1/п. Гй
равномерно относительно целых к, для которых у = к/п лежит в
любом фиксированном интервале вида 0 < уо ^ у ^ yi < оо.
С использованием теоремы 4.4.9 и равенства D.4.5) в [149] доказа-
доказаны следующие два утверждения.
Теорема 4.4.10. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и
удовлетворяет условиям 1 и 2. Тогда при п —> сю
а„я = (п - 1)!ев"й/Г(р)A + оA)),	D.4.7)
где
Поскольку X^i(l "~ l/n)/c/^ = ^nn5 соотношение D.4.7) можно
переписать в виде
где
Теорема 4.4.11. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и
удовлетворяет условиям 1 и 2. Тогда при п —> сю
равномерно относительно целых N, для которых (N — Вп^)/\
лежит в любом фиксированном конечном интервале.

220	4- Случайные подстановки
Можно легко показать, что асимптотики D.4.7) и D.4.3) совпада-
совпадают. Таким образом, различные множества условий приводят к оди-
одинаковым результатам. Это совпадение показывает, что, по-видимому,
существуют более слабые условия, достаточные для справедливости
асимптотики D.4.7). Громоздкое доказательство теоремы 4.4.10 не
включено в основной текст книги, так как есть основания предпо-
предполагать, что условия 1 этой теоремы и существования положительной
плотности множества R достаточно для справедливости D.4.7) и до-
доказательство можно существенно упростить.
Исследования множеств Sn^R подстановок с ограничениями на дли-
длины циклов дают пример плодотворной конкуренции различных ана-
аналитических методов асимптотического анализа таких, как метод пере-
перевала, применение теорем тауберова типа, подход, использующий обоб-
обобщенную схему размещения.
Заметим, что было бы интересно рассмотреть случаи, когда плот-
плотность р = 0.

Глава 5
Уравнения, содержащие
неизвестную подстановку
5.1. Уравнения второй степени
Если д и / — подстановки степени п, то подстановка h = fg степени
п, являющаяся результатом их последовательного применения, назы-
называется произведением подстановок д и /. Множество Sn всех подста-
подстановок степени п с этой операцией образует симметрическую группу
степени п. Поэтому можно рассматривать уравнения вида
Xd=a,	E.1.1)
где d — положительное целое число, а Е Sn и X — неизвестная под-
подстановка из Sn. В предыдущей главе рассматривалось множество 5п,д
всех подстановок степени п, длины циклов которых лежат в задан-
заданном множестве R, и была установлена асимптотика числа элементов
в SUyR для некоторых регулярных множеств R. Интерес к множест-
множествам подстановок SUyR частично объясняется их связью с некоторы-
некоторыми уравнениями, содержащими неизвестную подстановку. Например,
множество решений уравнения
Хр = е	E.1.2)
в симметрической группе Sn, где е — тождественная подстановка и
р — простое число, равно множеству 5п,д с R = {1,р}. Действитель-
Действительно, подстановка X удовлетворяет уравнению E.1.2) тогда и только
тогда, когда ее циклы имеют длины, равные либо единице, либо р.
Обозначим Тп число решений уравнения E.1.2).
Теорема 5.1.1. Если р — простое число, то
1
(п — рк)\ к\рк '

222	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Доказательство. Пусть а — случайная подстановка из Sn. Ясно,
что
Р{ар = е} = Tg
поэтому изучение чисел Тп эквивалентно изучению вероятности
Р{ар = е}. Как уже отмечалось, Тп = аП)д, где R = {1,р}, поэтому
{ар = е} = {аг = О, г ф 1, г ф р} = {cei +pcep = п},
где аг — число циклов длины г в случайной подстановке из Sn. Со-
Согласно D.1.4)
Р{а\ = п — р/с, ар = /с, сег = 0, г ф 1, г ф р} =
(п — р/с)! /c!pfe
Суммируя эти вероятности по всем допустимым значениям /с, полу-
получаем утверждение теоремы.
Положим ао,д = 0 и рассмотрим производящую функцию после-
последовательности aUiR
оо	п
an,Rz
^ п!
Теорема 5.1.2. Справедливо равенство
Доказательство. Согласно D.1.5)
°° Г °° unt 1
(f(u,ti,t2, • • •) — У^ Pnitij • • • jtn)un = exp < У^	 > , E.1.3)
n=0	U=l	J
где
= mi,... ,an = Шп}^1 • • -O%
и аг — число циклов длины г в случайной подстановке из Sn.
Полагая tr = 1 при г G i? и tr = 0 при г ^ R, находим, что
производящая функция (pn(t\,... ,tn) равна
r = 7ПГ, г <Е R, ar = 0, г ^ i?},
Mr

5.1. Уравнения второй степени	223
где
Mr = < mi •> • • • •> win '• У^ f"mr = п > .
I	reR
Легко видеть, что
г = mr, r G Д, аг = 0, г ^ Д} = Р < > rcer = n > .
Мд	irGi?	J
Таким образом, подставляя tr = 1, если г G Д, и tr = 0, если г ^ Д, в
E.1.3), находим, что производящая функция вероятностей
гаг = п > =
равна
оо	п	( 	 г Л
Х> _n1R— = I у^ — I	E.1.4)
n=0	Vr<ER )
Из теоремы 5.1.2 следует, что для нахождения асимптотики чи-
чисел Тп можно применить метод перевала. В следующем разделе для
этого будет использован другой подход, основанный на применении
обобщенной схемы размещения, однако в этом разделе для сравне-
B)
ния приводится вывод асимптотической формулы для Тп методом
перевала.
Теорема 5.1.3. При п —> сю
Доказательство. Поскольку
00 rp{2) n
-1 \ ^ J-n Z
1 + > 	—
п=1
по формуле Коши
^ ~ п\ ~ 2тН / zn+1 Z'

224	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
где интегрирование проводится по контуру, охватывающему точку
z = 0. Перепишем эту формулу в виде
Fin) = —
V ; 2тгг
и выберем контур интегрирования в виде окружности, проходящей
через седловую точку д, в которой производная функции
f(z) = z + — -n\nz
обращается в нуль. Из уравнения
находим, что
д= ^71+ 1/4 -1/2.
Таким образом, полагая z = де^, тг ^ (р ^ тг, находим, что
2тгдп
^(cos^-l) + (cos2^-l)/2+^^sin^+(^2sin2^)/2-^n^ т
— тг
Для краткости положим а = ?shi(/? + (^2 sin2</?)/2 — п(/? и перепишем
интеграл в виде
F(n) = -
62/2
2rf
Поскольку F(n) — действительное число, отсюда следует, что
„Q+Q2/2 fir
F{n) = -	 / cosaeeA-cos^-e2(i-coS2V)/2d
^ ; 2тг^ i
Выберем e = g~3^4 и оценим интеграл вне ^-окрестности нуля,
принимая во внимание, что д = д/п + 1/4 — 1/2 -^- оо при п -^- оо.
Подынтегральная функция четна, поэтому будем оценивать только
интеграл по (/?, 0 ^ (р ^ тг. Для удобства на рисунке 5.1.1 приведены

5.1. Уравнения второй степени
225
Рис. 5.1.1. Графики costp и cos2cp
графики функций cos (р и cos 2(р, входящих в показатели экспонент. С
помощью этих графиков легко видеть, что
лтг/2
ч:
cos ае
,ip
r
Js
так как 1 — cos 2e ^ г2 при достаточно малом е.
Аналогично получаем, что
Г
J 7Г
/2
7Г
<
тг/2
7Г
= —е
Таким образом,
2тгдп
?
где е = д 3/4. Поскольку ^+^2 — п = 0, в окрестности нуля
2
се = ? sin ср -\	sin 2cp — тир
15 В. Ф. Колчин

226
5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
и, следовательно,
cos се = 1 + О(а2) = 1 + О(д4ср6).
Показатель экспоненты подынтегральной функции в области ин-
интегрирования можно представить в виде
- cos
Поэтому при \(р\ ^ е
Таким образом,
= [
Проведя замену переменных по формуле в
что
= л/д + 2^2(/?, получаем,
л/2тг 7_е
поскольку при х —> оо
Собирая полученные оценки, находим, что
,2/2 / ! ,
F(n) =

5.1. Уравнения второй степени	227
Остается подставить в эту формулу д = д/п + 1/4 — 1/2.
Так как F(n) = Т^ /п!, находим, что
2	1
1пТ^2) =1пп! + е+ — -rclnp- -ln(^ + 2e2)-lnv/27T + O(^-1/2).
E.1.5)
Заменим Inn! по формуле Стирлинга
Inn! = nlnn - n+ -lnn + lnv/27r + O(n~1).	E.1.6)
Нетрудно видеть, что
1/2
.	 l	/ 1 У7 1
2
Используя E.1.7), получаем, что
nlno= -пInn + nInn ( 1	= H	hO —
2	\ 2д/п 8n	\n2
E.1.7)
E.1.8)
Наконец,
2?2) = In 2 + 2 In g + In ( 1 + ^f-
E.1.10)
Подставляя оценки E.1.б)-E.1.10) в E.1.5), получаем окончательную
формулу
из которой следует утверждение теоремы.
15*

228	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
5.2. Уравнения простой степени
Согласно D.3.4) число аП)д подстановок в Sn^R можно представить в
виде
JV=1
E.2.1)
где
~ >,	E.2.2)
и si •> • • • 7 s]v независимые одинаково распределенные случайные
величины с распределением
и положительный параметр ж можно выбрать произвольно из области
сходимости ряда E.2.2).
Если р — простое число, то число Тп решений уравнения E.1.2)
равно аП)д, где R = {1,р}. Поэтому
и согласно E.2.1)
*/ f^ t±^Mle-^p/pP{CN = nh E.2.4)
хп	N=i
где (дг = <fi + • • • + ?/v 5 случайные величины ^i,... , ?/v независимы и
одинаково распределены и
р{6 = 1} = РХ > р{6 = Р} = ^ .	E.2.5)
Таким образом, чтобы найти асимптотику Тп , нужно выбрать
подходящее значение х и доказать локальную предельную теорему
для суммы (tv = ?i + • • • + Cn- Суммирование независимых одинако-
одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения,
охватывается теоремой Муавра-Лапласа. Поэтому подход, основан-
основанный на представлении E.2.4), кажется нам более простым по сравне-
сравнению с методом перевала.
Начнем с применения этого подхода к доказательству теоремы 5.1.3.

5.2. Уравнения простой степени
229
Доказательство теоремы 5.1.3. Если R = {1,2}, то, очевидно,
= 1} =
В(х) 2 + х"
= 2} =
2В(х) 2 + х"
где В(х) = BR(x) = х + ж2/2 и E(tv	^ (	)/()
В главной части суммы в E.2.4) параметр N принимает значения,
близкие к В(х), поэтому выберем х так, что
х + ж = п.
Отсюда
и D<fi = 2п~1/2A + оA)) при п -ч. оо.
Положим
(())
IX =
= \/21пп,
и разобьем сумму в E.2.4) на две части так, что
п\ рВ(х)
где
= E
m-i
E.2.6)
-e-B^P{(N=n}.
В первой сумме
\N-B(x)
/Щх)
Ann
nL
и используя нормальное приближение для распределения Пуассона,
находим, что при п —> сю
N\

230
5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
-А п/2 А
Рис. 5.2.1. Графики <pi(N) и
равномерно по целым N таким, что \и\ ^ А.
Сумма (n — N имеет биномиальное распределение с N испыта-
испытаниями и вероятностью успеха р(х) = х/B -\- х). Если \и\ ^ А, то
N = В(х)A + оA)) и при п -^ оо
Поэтому для биномиального распределения справедливо нормальное
приближение. При
п -
= \/21пп
п(Б(ж) -
Поэтому по теореме Муавра-Лапласа
P{(n =n}= 1
равномерно относительно целых TV, для которых |u| ^ А.
Характер поведения функций (fi(N) = BN(x)e~B^/N\ и cp2(N)
С = ^} представлен на рисунке 5.2.1.

5.2. Уравнения простой степени
231
Сумма Si оценивается следующим образом:
?
N:
= ?
N:
Т: \и\^А V ^'
Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции
2 /9	/	1 /9
e-u /z с шагОм 2E(x)D^i)~ ' , так что при п —> сю
В силу монотонности при \и\ > А
1
P{(n =
и существует постоянная с такая, что
Р{Слг = п}
en
/4
Поэтому
Таким образом,
и подставляя эту оценку в E.2.6), получаем, что
п\
= A + оA)).
Остается подставить в эту формулу
1/4 - i,
1/4-1.

232	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Легко видеть, что
Поэтому
хп = пп'2е
и теорема 5.1.3 с остаточным членом вида A + оA) доказана.
Обратимся теперь к случаю, где р — простое число, р ^ 3, и оценим
число Тп решений уравнения E.1.2).
Теорема 5.2.1. Если п —> сю up — простое число, р ^ 3; то
Доказательство. Доказательство по существу повторяет приве-
приведенное выше доказательство теоремы 5.1.3 и также основано на ис-
использовании соотношения E.2.4). При R = {1,р}
В(х) =BR(x) =x + xp/p,
и независимые одинаково распределенные случайные величины
?ъ • • • ,€n b E.2.4) имеют распределение
^J B{x) рх + хР'
Выберем параметр х так, что
х + хр = п.	E.2.7)
Тогда
I
~ _ „1/р _ 7
JL — IL	I
Р
В(х) = х + хр /р
+
1 рп
рх + хР
= п/В(х), D^i = (р -

5.2. Уравнения простой степени
233
Положим
и =
p(N - В(х))
А = \/21пп,
и разобьем сумму в E.2.4) на две части так, что
| В{х)
где
N:
N: \u\>A
В первой сумме N = В{х)A + о(^/В(х))) и
1
равномерно относительно целых N, для которых \и\ ^
Положим 4* = (^ — 1)/(р — 1), г = 1,... , N. Сумма
имеет биномиальное распределение с N испытаниями и вероятностью
успеха р(х) = хр/(рх + жр), равной при п -^ сю
Ясно, что
P{(n =n} = P{CN = (n - N)/(p - 1)}
и если (п — N)/(p — 1) — не целое число, тоР{(=дт=п} = 0. Поскольку
Е& /Б(), В{х) = п/рA + A))
(п -
- 1) -
n-
- iV)
пи
при п —> оо и |u| ^ А, применяя теорему Муавра-Лапласа, находим,
что при п —> оо
1
P{(n =n} = P{(*N = (n- N)/(p - 1)} =

234
5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
равномерно относительно целых TV, для которых (п — N)/(p — 1) —
целое число и \и\ ^ А.
Поэтому
'-e-B^P{(N = n}
где суммирование проводится по целым TV, для которых (n — N)/(p—l)
— целые числа.
Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функ-
функции е~и I2 с шагом ^(^(xjD^i)/2. Так как суммирование проводится
по тем TV, для которых (п — N)/(p — 1) — целые числа, то есть только
каждое (р — 1)-е слагаемое входит в сумму, получаем, что
р
е~и2/Чи = 1.
Поэтому при п —> оо
= A+0A)).
При
•A
P{(n =
= e
и существует постоянная с такая, что
P{(n = n}^ en
и 52 < сп-1/*2^. Таким образом,
= (l+o(l)).
и подставляя эту оценку в E.2.6), получаем, что
E.2.8

5.2. Уравнения простой степени	235
Легко видеть, что
еВ(х) _ еп/р+(р-1
хп = nn/Pe-"V
Подставляя эти выражения в E.2.8), получаем утверждение теоре-
теоремы 5.2.1.
Небольшое усиление оценок, использованных в доказательстве те-
теоремы 5.2.1, позволяет доказать, что утверждение сохраняется, если
р стремится к бесконечности не слишком быстро, как это уточняется
ниже, где доказывается более общий результат.
Теорема 5.2.2. Если р — простое число и п,р —> сю так, что
р/п —> 0, то
<д \ п{1 — 1/р)
е)
в частности, если р~2п11р —> оо, то
/2еп1/РA + оA)),	E.2.10)
а если р~1п11р —> 0; то
-)П Р р1/2—-A + оA)),	E.2.11)
е/	ml
где т = п — р[п/р] и [с] — целая часть числа с.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству тео-
теоремы 5.2.1, но теперь приходится проележивать зависимость остаточ-
остаточных членов в асимптотических формулах от параметра р и несколько
преобразовать представление E.2.4).
Из уравнения х + хр = п следует, что при условиях теоремы
E.2.12)
пр
^-1>1/Р(П^\	E.2.13)
()
р	р	\ пр
Поэтому нетрудно проверить, что
=р}= хР

236	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Случайная величина ((jv — N)/(p — 1) может быть представлена в
виде
где t]n имеет биномиальное распределение с N испытаниями и веро-
вероятностью успеха
q = q(x) = 1 - р(х) = рп-1+1/рA + О(п-1+1/р)).	E.2.14)
Поэтому нетрудно видеть, что при п = т + р[п/р] вероятность
Р{С = п} не равна нулю, если
N = [п/р] + m + fc(p - 1), 0 < /с < [п/р],
и для таких N
Р{С« =П} = P{VN = I},
где I = m + kp. Таким образом, представление E.2.4) принимает вид
N=1
(л „\N-l
к=0
Отсюда следует, что
п\ [П/Р]
где I = m+pfc, iV = [n/p]+m+fc(p—1), тп = n—p[n/p], и чтобы получить
основное утверждение теоремы, нужно просуммировать произведения
вероятностей двух распределений Пуассона. Положим
= ^ (g)^ -вч	= ( 1
^ ( + fc)!
^о (m
и разобьем сумму s на части
k-\(N-^b-^\<a{m+Pk)-	'
S2= E ^ {Bqr+:>Bq-
*-^	(т + р/с)!

5.2. Уравнения простой степени	237
Заметим, что в условиях теоремы а —>¦ 0 и для второго сомножи-
сомножителя справедливо нормальное приближение, то есть
<5-2лб)
для всех I, N таких, что \(N — I — В)В~1/2\ ^ а. Вне этой области
где с — некоторая постоянная.
Остается показать, что 52 = o(si) и
<'+«'» <5-2Л8)
/с—О
Для краткости введем обозначение Ъ = Bq. Из E.2.13) и E.2.14)
следует, что в условиях теоремы
Ъ = п1/рA + О(рп-1+1/^)).	E.2.19)
Ясно, что
_
так как по крайней мере одно слагаемое с I внутри интервала
([Ь], [Ь] -\-р) входит в сумму 5i.
С другой стороны, суммирование по N ^ В + ауВ — это сумми-
суммирование по Z, Z = 7П + р/с, таким, что Z ^ 6 + а\/5 + о(л/В). Положим
/о = Ь + ал/^ + о(у/В). Тогда
l b f Ъ Ъ2	\ bloe-% cbl°
52 < 77е" и + + + Н	<
поскольку Ь/Iq -^ 0. Поэтому
52
([Ь] - Ь
ci6	c26
" (/о - ^>K " ^ "

238	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
где ci, C2, сз — постоянные. В силу выбора а, последняя граница стре-
стремится к нулю.
Из этой оценки и соотношений E.2.16), E.2.17) и E.2.19) следу-
следует равенство E.2.18). Равенство E.2.9) следует из E.2.15), E.2.16),
E.2.17) и E.2.18).
Если р~2п1/р —> оо, то, используя нормальное приближение, полу-
получаем соотношение
_°°_ (r)l/p\m-\-pk	1
из которого следует утверждение E.2.10).
Утверждение E.2.11) следует из того, что если р~1п1'р —>¦ 0, то
, 1/р\т+рк	т/р
к—О
5.3. Уравнения составной степени
В этом разделе рассматривается число Тп решений уравнения
Xd = e,	E.3.1)
где d — натуральное число, е — тождественная подстановка и X —
неизвестная подстановка из симметрической группы Sn. Случай, где
d — простое число, рассмотрен в предыдущем разделе. Пусть d — со-
составное число и1 = ^о<^1 < ... < dr = d — различные делители
числа d. Подстановка X является решением уравнения E.3.1) тогда и
только тогда, когда длины циклов подстановки X принадлежат мно-
множеству {do,... , dr}. Поэтому Тп равно числу аП)д подстановок из
SUyR, где R = {do,... , dr}. Следующая теорема является обобщением
теорем 5.1.3 и 5.2.1.
Теорема 5.3.1. Если п —> сю и d — фиксированное целое число,
d ^ 2, то
если d нечетно, и

5.3. Уравнения составной степени	239
если d четно.
Заметим, что суммирование в приведенных выше формулах ведет-
ведется по делителям j числа d и если положить d = 2 и d = p, то получим
соответственно теоремы 5.1.3 и 5.2.1.
Доказательство. Пусть 1 = do < d\ < ... < dr = d — делители
числа d, R = {do,... , dr},
ken K
и пусть ?i,... , ?jv — независимые одинаково распределенные случай-
случайные величины с распределением
Р{6 = Щ = J*-y keR,	E.3.2)
где положительный параметр х может быть выбран произвольно. Чис-
Число d составное, поэтому г > 2.
Положим (n = ?i + • • • + ?/v- Ясно, что
E(tv = NECi = (х + xdl + ... + х**-1 + xd)/B{x).
Параметр ж выберем так, что
ж + xdl + ... + ж^-1 + a:d = n,	E.3.3)
и далее будем рассматривать случайные величины ?i,... , ?/v с Рас~
пределением E.3.2), где ж — решение этого уравнения.
С помощью итераций нетрудно найти, что
xd = п - ndr~l/d - ... - n1/d + o(l),	E.3.4)
если d нечетно, и
a:d = n - ndr-l/d - ... - n1/d + 1/2 + оA),	E.3.5)
если d четно.
Поскольку Тп = аП)д, где i? = {1, di,... , dr_i, d}, представление
E.3.1) в рассматриваемом случае принимает вид
		= n}.	E.3.6)
Поэтому для доказательства утверждений теоремы 5.3.1, нужно най-
найти асимптотику вероятности P{(n = п}.

240
5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Нетрудно видеть, что
_,	п
06 =
В(хУ
В(х){х
dl
dxd) - v?
Щх)
Xj
. .	Xdl	Xd v^ Xj
B(x) =x + — + ... + — => —,
где суммирование проводится по целым j, являющимся делителями
d. В силу E.3.4) и E.3.5) при п -^ оо
E.3.7)
3\d
Оценивая второй и третий центральные моменты случайной величи-
величины ?i и используя характеристическую функцию суммы ("дг, можно
доказать, что распределение случайной величины ((n—NE^i)/^ND^i
слабо сходится к нормальному распределению с параметрами @,1)
при ND^i —> сю. Если h — максимальный шаг решетки, содержащей
множество R, то справедлива локальная теорема для (дг на этой ре-
решетке. Мы опускаем доказательство этой локальной теоремы.
Остальная часть доказательства теоремы 5.3.1 повторяет соответ-
соответствующую часть доказательства теоремы 5.1.3 из раздела 5.2. Поло-
Положим
d(N-B(x))
"¦ =
и разобьем сумму в E.3.6) на части так, что
= 2л/21пп,
где
Л^: \и\>А
Легко видеть, что N = В(х)A + оA)) при
А = 2\/21пп,

5.3. Уравнения составной степени
241
и согласно локальной предельной теореме
h
}lf'	—о,г
=
равномерно относительно целых N таких, что \и\ ^ Аи
(п — N)/h — целые числа. Напомним, что h — максимальный шаг
распределения ?]_.
Так же, как в доказательстве теоремы 5.1.3 из раздела 5.2, полу-
получаем, что
1
Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции
е-и /2 с шагом d(B(x)D^>i)~1^2 и суммирование проводится по N та-
таким, что (n — N)/h — целые числа, то есть только каждое h-e слагаемое
включается в сумму. Поскольку hud взаимно просты, получаем, что
Е
л/2тг
N: \и\^А
При оценке #2 в этом случае нельзя воспользоваться монотон-
монотонностью хвостов функции (f2(N) = Р{Сл^ = п}, как это делалось в
доказательстве теоремы 5.1.3 в разделе 5.2 (см. рисунок 5.2.1). В си-
силу E.3.8) в первой сумме
Поэтому во второй сумме
P{Gv =
По интегральной предельной теореме
}
/21nn для достаточно больших п.
P{(N = п}.
и существует постоянная с такая, что во второй сумме
16 В.Ф. Колчин

242	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Таким образом, Si + S2 = Si(l + o(l)) и
E.3.9)
п\еВ{х)
Отсюда следует утверждение теоремы, так как
ев^ = ехр | ^, -
а хп в случае нечетного и четного d мож:ет быть представлен следую-
следующим образом.
Пусть d нечетно, тогда согласно E.3.4)
При 1 < j < d,
и при j = d
Таким образом,
xd = n- ndr-l/d
= ехр
J
Подставляя последнее выражение в E.3.9), получаем первое утверж-
утверждение теоремы.
Если d четно, то, замечая, что 2dr_i = d и используя E.3.5), нахо-
находим, что
При 1 < j < dr_i
^=nJ'/d + o(l),
при j = d
xd = n- ndr-lld - ... - n1/d + 1/2

5.4- Замечания и литературные ссылки	243
и при j = dr-i
xdr-i = ndr-i/d _ dr_xjd + 0(xy
Таким образом,
= exp J J2
Подставляя последнее выражение в E.3.9), получаем второе
утверждение теоремы.
5.4. Замечания и литературные ссылки
Изучение уравнений вида Xd = e в симметрической группе Sn пря-
прямо связано с одной из важных характеристик элементов группы Sn, с
порядком подстановок. Порядком On(s) подстановки s G Sn называ-
называется наименьшее целое положительное число к такое, что sk — тож-
тождественная подстановка. Порядок подстановок в Sn может принимать
значения от 1 до максимального значения G(n) по всем s G Sn. В [153]
показано, что
\глП(гп\
= 1.
Несмотря на такой широкий спектр значений lnOn(s), типичные зна-
значения величины lnOn(s) существенно меньше lnG(n) и концентриру-
концентрируются вблизи 2-11п п. Пусть Оп — порядок случайной подстановки
из Sn с равномерным распределением. Хорошо известно следующее
утверждение.
Теорема 5.4.1. Для любого фиксированного х
lim P{(lnOn - 2 In2 n)/л/3 In3 n} = -^= f e~u2/2du.
Асимптотическая нормальность In On впервые была доказана Эр-
дешем и Тураном [129]. Другие доказательства теоремы 5.4.1 содер-
содержатся в [70, 117, 121]. Все эти доказательства довольно сложны. По
нашему мнению, простейшее доказательство, но все еще не достаточно
простое, предложено в [55], где используется подход с привлечением
обобщенной схемы размещения.
16*

244	5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку
Можно предполагать, что результаты изучения чисел решений ура-
уравнений вида Xd = e могут составить основу для изучения локального
поведения порядка Оп. Действительно, если р — простое число, то
Тп равно числу подстановок sG ^п, порядок которых On(s) = р. По-
Поскольку главный член асимптотики чисел Тп для составного d равен
(n/e)n<yl~1/d\ почти все подстановки, входящие в число Тп , вероятно
имеют порядок d. Было бы интересно найти асимптотику вероятнос-
вероятностей Р{Оп = d}, для которых d лежит вблизи ехр{2~11п п} и прове-
проверить, нельзя ли получить из этих результатов интегральную теоре-
теорему, несмотря на то, что локальное поведение вероятностей Р{Оп = d}
сложно. По причине нерегулярности поведения вероятностей
Р{Оп = d}, эта задача совсем не тривиальна по сравнению с обыч-
обычным получением интегральной теоремы из локальной, поскольку в
этом случае удается получать локальные теоремы для значений d спе-
специального вида и требуется оценить, какие значения d вносят вклад
в интегральную вероятность.
Теоремы 5.1.1 и 5.1.2 для R = {1,2} и теорема 5.1.3 доказаны в
[122]. Теорема 5.1.2 для R = {1,р}, р > 2, доказана в [142], а для
произвольного R в [123].
Теорема 5.1.3 доказана в [157], здесь также была приведена фор-
формулировка теоремы 5.2.1. Утверждение E.2.9) теоремы 5.2.2 методом
перевала доказано в [27].
Теорема 5.3.1 доказана в [28, 72, 164] независимо и почти одновре-
одновременно.
Подход, основанный на применении обобщенной схемы размеще-
размещения, изложенный в главе 5, впервые был предложен в [149], где с по-
помощью этого подхода было проведено доказательство теоремы 5.1.3.
Доказательство теоремы 5.3.1 следует доказательству, приведенному
в статье [45], где утверждение этой теоремы распространено на слу-
случай, когда d —>¦ оо так, что din Inn/ Inn —>¦ 0.
Общие условия существования решения уравнения X = а, где а
— фиксированная и X — неизвестная подстановки из Sn, приведены
в [69].
В [74] рассмотрены системы уравнений вида
-уГПх	-ут2	уГПк	о
Х1 =А2 =... = Хк =е,
где к ^ 2, mi,... , га& — фиксированные натуральные числа,
Х\,... , Xk G Sn, e — тождественная подстановка из Sn, найдена
асимптотика числа решений X = (Xi,... ,X&) таких, что X^Xj =
XjX^ для всех г ф j.

Список литературы
1.	Агадэюанян Ш. М. Об общем методе оценки числа графов из заданных клас-
классов. — Автоматика, 1981, 1, 10-21.
2.	Агадснсанян Ш. М. Асимптотические формулы для числа т-компонентных
графов. — Автоматика, 1986, 4, 27-33.
3.	Алексейчук А. Н. Об однозначности проблемы моментов в классе д-распре-
делений. — Дискретная матем., 1998, 10, №1, 95-110.
4.	Алексейчук А. Н. Условия однозначности проблемы моментов в классе q-
распределений. — Дискретная матем., 1999, 11, №4, 48-57.
5.	Багаев Г. Н. Распределение числа циклических вершин в компоненте нераз-
неразложимого отображения. — Докл. АН БССР, 1977, 21, №12, 1061-1063.
6.	Багаев Г. Н. Предельные распределения метрических характеристик слу-
случайного неразложимого отображения. — Комбинаторный и асимптотичес-
асимптотический анализ, Красноярск: Красноярск, ун-т, 1977, 55-61.
7.	Багаев Г. Н., Дмитриев Е. Ф. Перечисление связных помеченных двудоль-
двудольных графов. - Докл. АН БССР, 1984, 28, №12, 1061-1063, 1984.
8.	Балакин Г. В. О случайных матрицах. — Теория вероятн. и ее примен., 1967,
12, №2, 346-353.
9.	Балакин Г. В. Распределение случайных матриц над конечным полем. —
Теория вероятн. и ее примен., 1968, 13, №4, 631-641.
10.	Балакин Г. В., Хохлов В. И., Колчин В. Ф. Гиперциклы в случайном ги-
гиперграфе. — Дискретная матем., 1992, 3, №3, 563-570.
11.	Болотников Ю. В. Сходимость к гауссовскому и пуассоновскому процессам
величин /лг(п, п) в классической задаче о дробинках. — Теория вероятн. и ее
примен., 1968, 13, №1, 39-50.
12.	Болотников Ю. В. Сходимость к гауссовскому процессу числа пустых ячеек
в классической задаче размещения частиц по ячейкам. — Матем. заметки,
1968, 4, №1, 97-103.
13.	Болотников Ю. В. Предельные процессы в неравновероятной схеме разме-
размещения частиц по ячейкам. — Теория вероятн. и ее примен., 1968, 13, №3,
534-542.

246	Список литературы
14.	Болотников Ю. В., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. О некоторых классах
случайных величин на циклах подстановок. — Матем. сб., 1979, 108, №1,
91-104.
15.	Болотников Ю. В., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Асимптотическая нор-
нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных
подстановок. — Матем. сб., 1976, 99, №1, 121-133.
16.	Бритиков В. Е. Предельные теоремы для максимального объема дерева в
случайном лесе из некорневых деревьев. — Вероятностные задачи дискрет-
дискретной математики, М.: МИЭМ, 1987, 84-91.
17.	Бритиков В. Е. Асимптотика числа лесов из некорневых деревьев. — Матем.
заметки, 1988, 43, №5, 672-684.
18.	Бритиков В. Е. Предельное поведение числа деревьев заданного объема в
случайном лесе из некорневых деревьев. — Вероятностные задачи дискрет-
дискретной матем., М.:, МИЭМ, 1988, 7-12.
19.	Бритиков В. Е. О распределении максимального объема дерева в случайном
графе. — Вероятностные процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1989, 36-
41.
20.	Бритиков В. Е. О структуре случайного графа вблизи критической точки.
—	Дискретная матем., 1989, 1, №3, 121-126.
21.	Ватутин В. А. Ветвящиеся процессы с финальными типами частиц и слу-
случайные деревья. — Теория вероятн. и ее примен., 1994, 39, №4, 699-716.
22.	Вершик А. М., Шмидт А. А. Симметрические группы высокой степени. —
Докл. АН СССР, 1972, 2, №2, 269-272.
23.	Вершик А. М., Шмидт А. А. Предельные меры, возникающие в асимпто-
асимптотической теории симметрических групп. I. — Теория вероятн. и ее примен.,
1977,	22, №1, 72-87.
24.	Вершик А. М., Шмидт А. А. Предельные меры, возникающие в асимпто-
асимптотической теории симметрических групп. П. — Теория вероятн. и ее примен.,
1978,	23, №1, 42-54.
25.	Воблый В. А. Асимптотическое перечисление помеченных связных разре-
разреженных графов с заданным числом висячих вершин. — Дискретный анализ,
1985, 42, 3-14.
26.	Воблый В. А. Числа Райта и Степанова-Райта. — Матем. заметки, 1987, 42,
969-974.
27.	Волынец Л. М. Число решений одного уравнения в симметрической группе.
—	Вероятн. процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1985, 104-109.
28.	Волынец Л. М. О числе решений уравнения xs = e в симметрической группе.
—	Матем. заметки, 1986, 40, 155-160.
29.	Волынец Л. М. Оценка скорости сходимости к предельному распределению
для числа циклов в случайной подстановке. — Вероятн. задачи дискретной
матем., М.: МИЭМ, 1987, 40-46.
30.	Волынец Л. М. Обобщенная схема размещения и распределение числа цик-
циклов в случайной подстановке. — Тезисы докл. II Всесоюзной конференции
"Вероятностные методы в дискретной математике", Петрозаводск: Карель-
Карельский научн. центр АН СССР, 1988, 27-28.

Список литературы	247
31.	Волынец Л. М. Обобщенная схема размещения и распределение числа цик-
циклов в случайной подстановке. — Вероятн. задачи дискретной матем., М.:
МИЭМ, 1988, 131-136.
32.	Волынец Л. М. Пример нестандартной асимптотики числа подстановок с
ограничениями на длины циклов. — Вероятн. процессы и их приложения,
М.: МИЭМ, 1989, 85-90.
33.	Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. М.: Наука, 1949.
34.	Гончаров В. Л. О распределении циклов в перестановках. — Докл. АН СССР,
1942, 35, №9, 299-301.
35.	Гончаров В. Л. О чередовании событий в последовательности испытаний
Бернулли. - Докл. АН СССР, 1943, 36, №9, 295-297.
36.	Гончаров В. Л. Из области комбинаторики. — Изв. АН СССР, сер. матем.,
1944, 8, №1, 3-48.
37.	Грушо А. А. Случайные отображения ограниченной кратности. — Теория
вероятн. и ее примен., 1972, 17, №3, 440-449.
38.	Грушо А. А. Распределение высоты отображений ограниченной кратнос-
кратности. Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа,
Красноярск: Красноярский ун-т, 1976, 7-18.
39.	Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные
величины. М.: Наука, 1965.
40.	Калугин И. Б. Число циклических точек и высота случайного отображе-
отображения с ограничениями на кратности вершин. — Тезисы докладов Всесоюзной
конференции "Вероятностные методы в дискретной матем.", Петрозаводск:
Карельский научн. центр АН СССР, 1983, 35-36.
41.	Керов С. В., Вершик А. М. Асимптотика меры Планшереля на симметри-
симметрической группе и предельные формы таблиц Юнга. — Докл. АН СССР, 1977,
233, №6, 1024-1027.
42.	Коваленко И. Н. Об одной предельной теореме для определителей в классе
булевых функций. — Докл. АН СССР., 1965, 161, №3, 517-519.
43.	Коваленко И. Н. О предельном распределении числа решений системы слу-
случайных линейных уравнений в классе булевых функций. — Теория вероятн.
и ее примен., 1967, 12, №1, 51-61.
44.	Коваленко И. Н., Левитская А. А., Савчук М. Н. Избранные задачи веро-
вероятностной комбинаторики. Киев: Наукова думка, 1986.
45.	Колчин А. В. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку. — Дискрет-
Дискретная матем., 1994, 6, №1, 100-115.
46.	Колчин В. Ф. Один класс предельных теорем для условных распределений.
— Литовск. матем. сб., 1968, 8, №1, 53-63.
47.	Колчин В. Ф. О предельном поведении крайних членов вариационного ряда
в полиномиальной схеме. — Теория вероятн. и ее примен., 1969, 14, №3, 476-
487.
48.	Колчин В. Ф. Одна задача о размещении частиц по ячейкам и циклы слу-
случайной подстановки. — Теория вероятн. и ее примен., 1971, 16, №1, 67-82.

248	Список литературы
49.	Колчин В. Ф. Задача о размещении частиц по ячейкам и случайные отобра-
отображения. — Теория вероятн. и ее примен., 1976, 21, №1, 48-62.
50.	Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы, случайные деревья и обобщенная схема
размещения частиц. — Матем. заметки, 1977, 21, №5, 691-705.
51.	Колчин В. Ф. Момент вырождения ветвящегося процесса и высота случай-
случайного дерева. — Матем. заметки, 1978, 24, №6, 859-870.
52.	Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы и случайные деревья. — Вопросы ки-
кибернетики. Комбинаторный анализ и теория графов, М.: Наука, 1980, 85-97.
53.	Колчин В. Ф. Асимптотические методы теории вероятностей. М.: МИЭМ,
1984.
54.	Колчин В. Ф. О поведении случайного графа вблизи критической точки. —
Теория вероятн. и ее примен., 1986, 31, №3, 503-515.
55.	Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984.
56.	Колчин В. Ф. Системы случайных уравнений. М.: МИЭМ, 1988.
57.	Колчин В. Ф. О числе подстановок с ограничениями на длины циклов. —
Дискретная матем., 1989, 1, №2, 97-109.
58.	Колчин В. Ф. О совместности системы случайных сравнений. — Дискретная
матем., 1992, 4, №3, 75-85.
59.	Колчин В. Ф. Одна задача классификации при наличии ошибок в измере-
измерениях. — Дискретная матем., 1994, 6, №1, 53-66.
60.	Колчин В. Ф., Хохлов В. И. Одна задача о размещении и моменты бино-
биномиального распределения. — Вероятностные задачи дискретной матем., М.:
МИЭМ, 1987, 16-21.
61.	Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы и случайные гипердеревья. — Дискрет-
Дискретная матем., 1999, 11, №1, 8-23.
62.	Колчин В. Ф. Пороговое свойство для систем уравнений в конечных полях.
—	Дискретная матем. 1999, 11, №3, 15- 23.
63.	Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения.
—	М.:, Наука, 1976.
64.	Колчин В. Ф., Хохлов В. И. О числе циклов в случайном неравновероятном
графе. — Дискретная матем., 1990, 2, №3, 137-145.
65.	Колчин В. Ф., Хохлов В. И. Пороговый эффект для систем случайных ура-
вений специального вида. — Дискретная матем., 1995, 7, №4, 29-39.
66.	Левитская А. А. Теоремы инвариантности для предельного поведения чис-
числа решений системы случайных линейных уравнений над конечным коль-
кольцом. — Кибернетика, 1978, №2, 140-141.
67.	Левитская А. А. Теоремы инвариантности для систем случайных линейных
уравнений над произвольным конечным кольцом. — Докл. АН СССР, 1982,
263, №2, 289-291.
68.	Левитская А. А. Вероятность совместности системы случайных линеных
уравнений над конечным кольцом. — Теория вероятн. и ее примен., 1985,
30, №2, 339-350.

Список литературы	249
69.	Минеев М. П., Павлов А. И. О числе подстановок специального вида. —
Матем. сб., 1976, 99, №3, 468-476.
70.	Павлов А. И. О предельном распределении числа циклов и логарифма по-
порядка одного класса подстановок. — Матем. сб., 1981, 114, №4, 611-642.
71.	Павлов А. И. О числе циклов и цикловой структуре подстановок некоторых
классов. — Матем. сб., 1984, 124, 536-556.
72.	Павлов А. И. О подстановках с длинами циклов из заданного множества. —
Теория вероятн. и ее примен., 1986, 31, №3, 618-619.
73.	Павлов А. И. Локальные теоремы для числа компонент в случайных под-
подстановках и отображениях. — Теория вероятн. и ее примен., 1988, 33, №1,
196-200.
74.	Павлов А. И. О числе и цикловой структуре решений одной системы урав-
уравнений в подстановках. — Дискретная матем., 1989, 1, №1, 94-104.
75.	Павлов А. И. О числе подстановок с длинами циклов из заданного множест-
множества. — Дискретная матем., 1991, 3, №3, 109-123.
76.	Павлов Ю. Л. Асимптотическое распределение максимального объема дере-
дерева в случайном лесе. — Теория вероятн. и ее примен., 1977, 22, №3, 523-533.
77.	Павлов Ю. Л. Предельные теоремы для числа деревьев заданного объема в
случайном лесе. — Матем. сб., 1977, 103, №3, 392-403.
78.	Павлов Ю. Л. Один случай предельного распределения максимального объ-
объема дерева в случайном лесе. — Матем. заметки, 1979, 25, №5, 751-760.
79.	Павлов Ю. Л. Предельные распределения некоторых характеристик слу-
случайных отображений с одним циклом. — Матем. вопросы моделирования
сложных объектов, Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1979,
48-55.
80.	Павлов Ю. Л. Предельные распределения одной характеристики случайного
отображения. — Теория вероятн. и ее примен., 1981, 27, №4, 841-846.
81.	Павлов Ю. Л. Предельные распределения высоты случайного леса. — Тео-
Теория вероятн. и ее примен., 1983, 28, №3, 449-457.
82.	Павлов Ю. Л. О случайных отображениях с ограничениями на число цик-
циклов. — Труды Матем. ин-та им В. А. Стеклова, М.: Наука, 1986, 131-142.
83.	Павлов Ю. Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим корнем. —
Тез. докл. Всесоюзной конференции "Дискретная матем. и ее применения
при моделировании сложных систем", Иркутск: Иркутск, ун-т, 1991, 14.
84.	Павлов Ю. Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим корнем. —
Дискретная матем., 1992, 4, №2, 61-65.
85.	Павлов Ю. Л. Предельные распределения максимального объема дерева в
случайном лесе. — Дискретная матем., 1995, 7, №3, 19-32.
86.	Павлов Ю. Л. Предельные распределения числа деревьев заданного объема
в случайном лесе. — Дискретная матем., 1996, 8, №2, 31-47.
87.	Павлов Ю. Л. Случайные леса. — Петрозаводск: Карельский научн. центр,
1996.

250	Список литературы
88.	Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.
89.	Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, т. 1, 2. М.: ИЛ, 1937, 1938.
90.	Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения.
—	Успехи матем. наук, 1953, 8, №3, 135-142.
91.	Риордан Дсис. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.
92.	Сачков В. Н. Отображения конечного множества с ограничениями на кон-
контуры и высоту. — Теория вероятн. и ее примен., 1972, 17, №4, 679-694.
93.	Сачков В. Н. Случайные отображения ограниченной высоты. — Теория ве-
вероятн. и ее примен., 1973, 18, №1, 122-132.
94.	Сачков В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. — М.: Наука,
1978.
95.	Салтыков А. И. Число компонент в случайном двудольном графе. — Дис-
Дискретная матем., 1995, 7, №4, 86-94.
96.	Севастьянов Б. А. Сходимость к гауссовскому и пуассоновскому процессам
числа пустых ящиков в классической задаче о дробинках. — Теория вероятн.
и ее примен., 1967, 12, №1, 144-154.
97.	Степанов В. Е. О вероятности связности случайного графа gm(t). — Теория
вероятн. и ее примен., 1970, 15, №1, 55-67.
98.	Степанов В. Е. Фазовый переход в случайных графах. — Теория вероятн.
и ее примен., 1970, 15, №2, 187-203.
99.	Степанов В. Е. Структура случайных графов gn{x \ К). — Теория вероятн.
и ее примен., 1972, 17, №3, 227-242.
100.	Ткачук С. Г. Локальные предельные теоремы, учитывающие большие укло-
уклонения, в случае предельных устойчивых законов. — Изв. АН Узб. ССР. Сер.
физ.-матем. наук, 1973, 2, 30-33.
101.	Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
102.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. М.: Мир,
1967.
103.	Чеплюкова И. А. Возникновение гигантского дерева в случайном лесе. —
Дискретная матем., 1998, 10, №1, 111-126.
104.	Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
105.	Якымив А. Л. О распределении числа циклов случайной А-подстановки. —
Тезисы II Всесоюзной конф. "Вероятностные методы в дискретной матем.",
Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1988, 111.
106.	Якымив А. Л. О подстановках с длинами циклов из заданного множества.
—	Дискретная матем., 1989, 1, №1, 125-134.
107.	Якымив А. Л. О некоторых классах подстановок с длинами циклов из за-
заданного множества. — Дискретная матем., 1992, 4, №3, 128-134.
108.	Aldous D. J. Exchangability and related topics. — Lecture Notes in Math.,
1985, 1117, 1-198.

Список литературы	251
109.	Aldous D. J. Brownian bridge asymptotics for random mappings. — Adv. Appl.
Probab., 1992, 24, 763-764.
110.	Arney J., Bender E. A. Random mappings with constraints on coalescence. —
Pacific J. Math., 1982, 103, 269-294.
111.	Arratia R, Tavare S. Limit theorems for combinatorial structures via discrete
process approximations. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 321-
345.
112.	Arratia R. A. Independent process approximation for random combinatorial
structures. —Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 764-765.
113.	Barbour A. D. Refined approximations for the Ewens sampling formula. — Adv.
Appl. Probab., 1992, 24, 765.
114.	Barbour A. D. Refined approximations for the Ewens sampling formula. —
Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 267-276.
115.	Bender E. A., Canfield E. R., McKay B. D. The asymptotic number of labeled
connected graphs with a given number of vertices and edges. — Random Struc-
Structures and Algorithms, 1990, 1, 127-170.
116.	Bender E. A., Canfield E. R., McKay B. D. Asymptotic properties of labeled
connected graphs. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 183-202.
117.	Best M. R. The distribution of some variables on a symmetric group. — Nederl.
Akad. Wetensch. Indag. Math. Proc, 1970, 73, 385-402.
118.	Bieberbach L. Analytische Forsetzung. — Berlin: Springer, 1955.
119.	Bollobas B. The evolution of random graphs. — Trans. Amer. Math. Soc, 1984,
286, 257-274.
120.	Bollobas B. Random graphs. — London: Academic Press, 1985.
121.	Bovey J. D. An approximate probability distribution for the order of elements
of the symmetric group. — Bull. London Math. Soc, 1980, 12, 41-46.
122.	Chowla S., Her stein I. N., Moore K. On recursions connected with symmetric
groups. — Canad. J. Math., 1951, 3, 328-334.
123.	Chowla S.j Her stein I. N., Scott W. R. The solution of xd = 1 in symmetric
groups. — Norske Vid. Selsk., 1952, 25, 29-31.
124.	DeLaurentis J. M., Pittel B. G. Random permutations and Brownian motion.
—	Pacific J. Math., 1985, 119, 287-301.
125.	Donnelly P. J. Labellings, size-biased permutations and the GEM distribution.
—	Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 766.
126.	Donnelly P. J., Ewens W. J., Padmadisastra S. Functionals of random map-
mappings: Exact and asymptotic results. —Adv. Appl. Probab., 1991, 23, 437-455.
127.	Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. — Publ. Math. Inst.
Hungarian Acad. Sci., Ser. A, 1960, 5, 17-61.
128.	Erdos P., Renyi A. On random matrices. — Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato
Int. Kozl., 1963, 8, 455-461.

252	Список литературы
129.	Erdos P., Turan P. On some problems of statistical group theory. 3. — Acta
Math. Acad. Hungar., 1967, 18, 309-320.
130.	Ewens W. J. The sampling theory of selectively neutral alleles. — Theoret. Pop.
Biol., 1972, 3, 87-112.
131.	Ewens W. J. Sampling properties of random mappings. — Adv. Appl. Probab.,
1992, 24, 773.
132.	Flajolet P. The average height of binary trees and other simple trees. — J.
Computer and System Sci., 1982, 25, 171-213.
133.	Flajolet P. Random tree models in the analysis of algorithms. Performance'87,
—	Amsterdam: Elsevier Sci. Publ., 1988, 171-187.
134.	Flajolet P., Knuth D. E., Pittel B. The first cycles in an evolving graph. —
Discrete Math., 1989, 75, 167-215.
135.	Flajolet P., Odlyzko A. M. Random mapping statistics. Advances in Cryptology.
—	Berlin: Springer, 1990, 329-354.
136.	Flajolet P., Soria M. Gaussian limiting distributions for the number of compon-
components in combinatorial structures. — J. Combinatorial Theory, Series A, 1990,
53, 165-182, 1990.
137.	Golomb W. Shift register sequences. — Laguna Hills, Cal.: Aegean Park Press,
1982.
138.	Hansen J. C. Order statistics for random combinatorial structures. — Adv.
Appl. Probab., 1992, 24, 774.
139.	Harris B. Probability distributions related to random mappings. — Ann. Math.
Statist., 1960, 31, 1045-1062.
140.	Heyde С. С A contribution to the theory of large deviations for sums of inde-
independent random variables. — Z. Wahrscheinlickeits Theorie und Verw. Gebiete,
1967, 7, 303-308.
141.	Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables. —
J. Amer. Statist. Assoc, 1963, 58, 13-30.
142.	Jacobstal E. Sur le nombre d'elements du group symmetric Sn dont l'ordre est
un nombre premier. — Norske Vid. Selsk., 1949, 21, 49-51.
143.	Janson S. Multicyclic components in a random graph process. — Random Struc-
Structures and Algorithms, 1993, 4, 71-84.
144.	Janson S., Knuth D. E., Luczak Т., Pittel B. The birth of the giant component.
—	Random Structures and Algorithms, 1993, 4, 233-358.
145.	Khokhlov V. I. On the structure of a non-uniformly distributed random graph.
—	Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 775.
146.	Khokhlov V. L, Kolchin V. F. On the structure of a random graph with
nonuniform distribution. — New Trends in Probab. and Statist., Vilnius:
VSP/Mokslas, 1991, 445-456.
147.	Kingman J. F. C. The population structure associated with the Ewens sampling
formula. —Theoret. Pop. Biol., 1977, 11, 274-284.

Список литературы	253
148.	Kolchin V. F. Cycles in random graphs and hypergraphs. — Adv. Appl. Probab.,
1992, 24, 768.
149.	Kolchin V. F. The number of permutations with cycle lengths from a fixed set.
—	Random Graphs'89, New York: Wiley, 1992, 139-149.
150.	Kolchin V. F. Random graphs and systems of linear equations in finite fields.
—	Random Structures and Algorithms, 1994, 5, 135-146.
151.	Kolchin V. F. Systems of random linear equations with small number of non-zero
coefficients in finite fields. — Probabilistic Methods in Discrete Mathematics,
Utrecht: VSP, 1997, 295-304.
152.	Kruskal J. B. The expected number of components under random mapping func-
function. — Amer. Math. Monthly, 1954, 61, 392-397.
153.	Landau E. Handbuch der Lehrer von der Verteilung der Primzahlen, B. 1. —
Berlin: Teubner, 1909.
154.	Luczak T. Component behaviour near the critical point of the random graph
process. — Random Structures and Algorithms, 1990, 1, 287-310.
155.	Luczak T. Cycles in a random graph near the critical point. — Random Struc-
Structures and Algorithms, 1991, 2, 421-439.
156.	Luczak Т., Pittel B. Components of random forests. — Combinatorics, Probab-
Probability and Computing, 1992, 1, 35-52.
157.	Moser L., Wyman M. On the solution of xd = 1 in symmetric groups. — Canad.
J. Math., 1955, 7, 159-168.
158.	Mutafchiev L. R. Local limit theorems for sums of power series distributed ran-
random variables and for the number of components in labelled relational structures.
—	Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 403-426.
159.	Palmer E. Graphical evolution. — New York: Wiley, 1985.
160.	Pittel B. On tree census and the giant component in sparse random graphs. —
Random Structures and Algorithms, 1990, 1, 311-342.
161.	Rucinski A., Wormald N. C. Random graph processes with degree restrictions.
—	Combinatorics, Probability and Computing, 1992, 1,169-180.
162.	Takacs L. On the height and widths of random rooted trees. — Adv. Appl.
Probab., 1992, 24, 771.
163.	Vatutin V. A. Branching processes with final types of particles and random trees.
—	Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 771.
164.	Wilf H. The asymptotics of ep^ and the number of elements of each order in
Sn. — Bull. Amer. Math. Soc, 1986, 15, 228-232.
165.	Wright E. M. The number of connected sparsely edged graphs. 3. — J. Graph
Theory, 1980, 4, 393-407.
166.	Wright E. M. The number of connected sparsely edged graphs. 4. — J. Graph
Theory, 1983, 7, 219-229.
167.	Zierler N. Linear recurring sequences. — J. Soc. Ind. Appl. Math., 1959, 7,
31-48.

Предметный указатель
алгоритм Аг, 195
вариационный ряд, 27
вероятностное пространство, 9
вероятность, 9
вероятность совместности, 167
вероятность восстановления истинно-
истинного решения, 193
восстановление истинного решения,
192
гиперцикл, 148
графы с компонентами двух типов,
85
длина максимального цикла, 212
докритический граф, 109
характеристическая функция, 17
классическая схема размещения, 26
корневое дерево, 31
кратность вершины в множестве ги-
гиперребер, 148
критический граф, 109
критический набор, 147
лес, 32
лес из некорневых деревьев, 42
линейно независимые решения, 147
локальная предельная теорема, 19
максимальный размер дерева в слу-
случайном графе, 99
максимальный размер дерева в слу-
случайном графе из siUjT, 87
максимальный размер дерева в слу-
случайном лесе, 62
максимальный размер компонент, 81
максимальный размер компонент в
случайном графе, 100
максимальный шаг, 19
максимальное число независимых кри-
критических наборов, 147, 158
математическое ожидание, 11
метод голосования, 192
метод перевала, 15, 223
метод проверки координат, 193
множество корневых деревьев, 32
надкритический граф, 109
неравновероятный граф, 130
независимые критические наборы, 147
нормальное распределение, 18
обобщенная схема размещения, 24
обратная связь, 147
общее число циклов, 122, 212
общее число гиперциклов, 181
общее число компонент, 35
общее число критических наборов, 181
одноцикловой граф, 73
однородная система уравнений, 147
однозначное отображение, 29
подстановки с ограничениями на дли-
длины циклов, 208
полиномиальное распределение, 24
полное описание предельного пове-
поведения числа циклов, 207
пороговое свойство, 179
порядок случайной подстановки, 243
предельное распределение числа ги-
гиперциклов, 188
проблема моментов, 13
процесс последовательного роста чис-
числа строк,149
производящая функция, 14
простая задача классификации, 144
ранг матрицы, 147
ранг матрицы с небольшим числом
единиц, 157
распределение Пуассона, 14
распределение вероятностей, 10
разбиение, 30
разложимое свойство, 34
регистр сдвига, 145
рекуррентная последовательность, 145
система линейных уравнений в GFB),
144
слабая сходимость, 11
случайная подстановка, 40, 41
случайная величина, 9
случайные графы с независимыми реб-
ребрами, 120
случайные матрицы с независимыми
элементами, 149
случайные парные сравнения, 191
случайный элемент, 9
случайный граф случайной подста-
подстановки, 197

Предметный указатель
255
случайный граф, соответствующий слу-
случайной подстановке, 196
случайный лес, 32, 42
случайное отображение, 40
среднее число решений в равноверо-
равновероятном случае, 155
среднее значение, 11
статистическая задача различения ги-
гипотез, 191
суммирование независимых случай-
случайных величин в GFB), 153
связная компонента, 33
уравнение простой степени, 228
уравнение составной степени, 238
уравнение, содержащее подстановку,
221
факториальный момент, 11
формула обращения, 19
функция распределения, 10
число циклов длины г в случайной
подстановке, 197
число циклов в случайной подстанов-
подстановке, 197, 198
число деревьев фиксированного раз-
размера в случайном графе из
sinjT, 87
число деревьев с г вершинами, 54
число компонент, 127, 167
число компонент в °ltn, 80
число лесов, 43
число линейно независимых решений,
152
число нетривиальных решений, 153
число одноцикловых графов, 73
число одноцикловых компонент, 97
число одноцикловых компонент в слу-
случайном графе из sin^T, 93
число вершин в максимальной одно-
цикловой компоненте, 97
число вершин в одноцикловых ком-
компонентах, 87, 94

Научное издание
КОЛЧИН Валентин Федорович
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
Серия «Теория вероятностей и математическая статистика»
Оригинал-макет автора
ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 29.01.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0486-1
785922 104869