Author: Яковлев И.А.
Tags: физика математическая физика сборник задач по физике главная редакция физико-математической литературы
Year: 1977
Text
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
МАГНЕТИЗМ
И
Сборник задач
по общему курсу
ФИЗИКИ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией
И. А. ЯКОВЛЕВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей
высших учебных заведений
т
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
т.. . ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
530
С 23
УДК 530
авторы;
С. П. СТРЕЛКОВ, Д. В. СИВУХИН, С. Э. ХАЙКИН,
И. А. ЭЛЬЦИН, И. А. ЯКОВЛЕВ
Сергей Павлович Стрелков, Дмитрий Васильевич Сивухин,
Семен Эммануилович Хайкин, Иосиф Абрамович Эльцин,
Иван Алексеевич Яковлев
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Мм 1977 г.г 272 стр. с илл.
Редакторы JI. И. Гладнева, Н. А. Михалина
Техн. редактор И. Щ% Аксельрод Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 10/VI 1977 г. Подписано к печати 25/Х 1977 г. Бумага
84Х108Ув2- Физ. печ. л. 8,5. Условн. печ. л. 14,28. Уч-изд. л. 14,72.
Тираж 80 000 экз. Цена книги 45 коп. Заказ № 1656
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71,Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союэполиграфпрома при Госу-
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая» 28.
20401 —159 © Главная редакция
С "Лео /по\ 7? ' 87-77 физико-математической литературы
053 @2)-77 издательства «Наука», 1977 г., с изменениями
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к четвертому изданию ..¦,.. • 4
Задачи Ответы
и решения
§ 1. Электростатика t 5 152
§ 2. Законы постоянного тока 34 179
§ 3. Постоянные магниты 60 188
§ 4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник в маг-
магнитном поле 55 191
§ 5. Электромагнитная индукция 72 202
§ 6. Переменный ток. Свободные и вынужденные
колебания 91 216
§ 7» Электрический ток в жидкостях 124 230
§ 8* Термоэлектричество ' 127 232
§ 9. Электроника 128 232
§ 10. Электромагнитные волны ......... 138 239
§11. Релятивистская электродинамика . . , . ¦ 147 254
Приложения . . . 266
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собой значительно дополненное
издание задач по электричеству и магнетизму, публиковав-
публиковавшихся ранее в составе первой части «Сборника задач по об-
общему курсу физики», выходившего в свет в 1949, 1960 и
!964 гг. под редакцией С. Э. Хайкина.
Основу этой части Сборника составляют задачи, сложив-
сложившиеся у авторов на физическом факультете МГУ им. М. В. Ло-
Ломоносова в период времени, когда общий курс физики
читал С. Э. Хайкин, написавший для задачника § 10 «Эле-
«Электромагнитные волны». Теперь, к большому сожалению
авторского коллектива, в расширении и модернизации этой
книги С. Э. Хайкин A901—1968) и С. П. Стрелков
A905—1974) уже не смогли принять участия.
Сборник дополнен задачами Д. В. Сивухина, которые в
течение ряда лет предлагались для решения студентам Мос-
Московского физйкс-технического института. Некоторое число
новых задач представлено В. Л. Гинзбургом, а также со-
сотрудниками С. П. Стрелкова, В. И. Шмальгаузеном и
А. А. Харламовым. Новый § 11 «Релятивистская электроди-
электродинамика» написан безвременно скончавшимся В. А. Угаро-
Угаровым A920—1977) на основе опыта многолетней и плодо-
плодотворной его работы на физическом факультете МШИ
им.В. И. Ленина. Содержание этого нового параграфа было
любезно просмотрено Н. П. Клепиковым.
Рукопись Сборника рецензировалась на физическом фа-
факультете Киргизского государственного университета
A. М. Жердевым, рецензия которого обсуждалась кафедра-
кафедрами общей физики и физики твердого тела КГУ (зав. кафед-
кафедрами Д. И. Ибраимов и Л. В. Тузов). Ряд весьма полезных
замечаний сделал доцент физического факультета МГУ
B. К. Петерсон. Авторский коллектив задачника и его ре-
редактор выражают искреннюю признательность названным
рецензентам за ценные замечания, содействовавшие улуч-
улучшению задачника.
И. А. Яковлев
ЗАДАЧИ
§ 1. Электростатика
1. Чтобы представить себе величину электрического за-
заряда 1 Кл, подсчитайте, с какой силой F отталкивались бы
два одноименных заряда величиной каждый 1 Кл, находясь
на расстоянии 1 км друг от друга.
2. С какой силой F притягивается электрон водородного
атома к ядру, если диаметр атома водорода порядка 2х
х10~8см? Заряд ядра 4,8-10-'° СГСЭ.
3. Два одинаковых шарика радиуса г=\ см и массы
т=9,81 г подвешены в одной точке на шелковинках длины
/=19 см. Шарикам сообщены одинаковые по величине и
знаку заряды. Как велик заряд q каждого шарика, если
они разошлись так, что шелковинки образуют угол 2а=90°?
4. Будет ли устойчивым положение равновесия точечно-
точечного заряда, находящегося посередине между двумя другими
одинаковыми точечными зарядами, знак которых тот же
или противоположен знаку первого заряда?
5. Один из опытов Кулона, с помощью которого он убе-
убедился, что сила притяжения между двумя разноименными
точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними, состоял в следующем. В окрест-
окрестности маленького заряженного шарика подвешивалась на
нити небольшая горизонтальная шеллаковая стрелка, на
одном конце которой был прикреплен небольшой электриче-
электрически заряженный кружок из золотой фольги. Измерялся пе-
период малых колебаний стрелки Т в зависимости от ее рас-
расстояния d до заряженного шарика. Предполагая справедли-
справедливым закон Кулона, найти зависимость периода колебаний
стрелки от указанного расстояния и от других параметров
системы. Длина стрелки / очень мала по сравнению с рас-
расстоянием d.
6. Вычислить отношение силы электрического отталки-
отталкивания Fe двух протонов к силе их гравитационного притя-
притяжения Fg. Сделать тот же расчет для электронов.
7. Шарик радиуса r=l см заряжен до потенциала ф=
=3000 В. Сколько электронов п надо отнять от шарика
для такой электризации? Насколько при этом уменьшится
масса шарика М?
8. Две одинаковые и одинаково заряженные капли не-
несжимаемой проводящей жидкости находятся на большом
(бесконечном) расстоянии друг от друга. Заряд, радиус и
масса каждой капли равны соответственно q, r и т. Какую
минимальную скорость v вдоль прямой, соединяющей их
центры, надо сообщить каждой капле, чтобы они стали дви-
двигаться навстречу друг другу и при столкновении соедини-
соединились в одну каплю? Поверхностное натяжение не учи-
учитывать.
9. В вершинах квадрата со стороной а находятся оди-
одинаковые одноименные заряды, равные q. Какой заряд Q
противоположного знака необходимо поместить в центре
квадрата, чтобы результирующая сила, действующая на
каждый заряд, была равна нулю?
Ш. Три одинаковых одноименных заряда q расположе-
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд
Q противоположного знака нужно поместить в центре этого
треугольника, чтобы результирующая сила, действующая
А на каждый заряд, была равна нулю?
—-—^v IK Доказать, что заряды каждого
' ^ знака, индуцированные на проводни-
проводнике А поднесенным к нему зарядом
-\-q (рис. 1), всегда меньше q.
Рис. 1. 12, Проводник заряжается от элек-
электрофора путем повторяющихся подне-
поднесений к пластинке, которая после каждого поднесения
снова заряжается от того же электрофора до заряда Q.
Пусть qx — заряд на проводнике после первой операции.
Определить заряд q на проводнике после очень большого
числа операций.
13. Определить напряженность поля Е внутри и вне
безграничного плоского слоя толщины d, в котором равно-
равномерно распределен положительный заряд с объемной плот-
плотностью р.
Указание. Воспользоваться симметрией системы
зарядов и применить теорему Гаусса.
14. На вертикальной пластине достаточно больших раз-
размеров равномерно распределен электрический заряд с по-
поверхностной плотностью а=10СГСЭ. На прикрепленной
к пластине нити подвешен маленький шарик массы т=1 г,
6
несущий заряд того же знака, что и пластина. Найти его
заряд q, если нить образует с вертикалью угол а=30°.
15. Определить силу притяжения между точечным заря-
зарядом q и металлическим шаром (рис. 2). Рассмотреть два слу-
случая: 1) шар заземлен; 2) шар изолирован, а полный заряд
его равен нулю.
16. В условиях предыдущей задачи найти работу Л, ко-
которую надо затратить, чтобы точечный заряд q удалить в бес-
бесконечность.
Рис. 2. Рис. 3.
17. Внутри сферической незаряженной проводящей обо-
лочки в точке Л, на расстоянии OA=d от ее центра, помещен
точечный заряд q (рис. 3). Радиус внутренней поверхности
оболочки г, а внешней R. Найти: 1) поверхностную плот-
плотность индуцированных электрических зарядов на внешней
поверхности оболочки; 2) потенциал оболочки, принимая за
нуль потенциал бесконечно удаленной точки; 3) поверхности
ную плотность индуцированных зарядов в точках В и Q
внутренней поверхности оболочки.
18. Два длинных тонких провода, расположенных па-
параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заря-
заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью +х
и —и. Определить напряженность поля Е в точке, лежащей
в плоскости симметрии на расстоянии h от плоскости, в ко-
которой лежат провода.
Указание. Пользуясь теоремой Гаусса, найти на-
напряженность поля, создаваемого каждым из проводов, а
затем геометрическую сумму этих полей.
19. Диск радиуса R заряжен равномерно с поверхност-
поверхностной плотностью а. Определить напряженность поля Е в
точке, находящейся на перпендикуляре к диску, проходя-
проходящем через его центр, на расстоянии d от диска.
20. Доказать, что сила взаимодействия между зарядом
+q и проводящей бесконечной плоскостью, отстоящей от
заряда на расстоянии d, такая же, как между данным
зарядом и зарядом —</, расположенным симметрично отно-
относительно плоскости.
21. Найти силу, действующую на точечный заряд q, по-
помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между
двумя проводящими плоскостями (рис. 4).
Расстояние между зарядом q и вершиной
двугранного угла О равно d.
22. Точечный заряд q находится меж-
между двумя металлическими плоскостями,
образующими между собой двугранный
угол 60° (рис. 5). Найти предел, к кото-
которому стремится напряженность электри-
электрического поля ?, когда точка наблюде-
наблюдения приближается к ребру О, все время
металлическими плоскостями. Как изме-
если заряд будет неточечным?
У//////////////////////,
Рис. 4.
оставаясь между
нится результат,
i" w///7/m
/V
Рис. 5.
Рис. 6.
23. На бесконечной плоской поверхности проводника
имеется сферический бугор САШ, центр которого лежит в
той же плоскости (рис. 6). На перпендикуляре вне провод-
проводника расположен точечный заряд q. Найти электрическое
поле во всем пространстве.
24. Найти силу притяжения F между точечным электри-
электрическим диполем и бесконечной металлической пластинкой,
если дипольный момент р перпендикулярен к плоскостям
пластинки, а расстояние диполя до ближайшей поверхности
пластинки равно d. Определить также работу Л12, которую
надо затратить, чтобы удалить диполь от пластинки с рас-
расстояния di до d2.
8
25. На расстоянии h от проводящей бесконечной плос-
плоскости находится точечный заряд +q. Определить напряжен,
ность поля Е в точке А (рис. 7), отстоящей от плоскости и от
заряда на расстоянии к.
26. Бесконечная плоскость равнЪмерно заряжена поло-
положительным зарядом с поверхностной плотностью а. Найти
разность потенциалов V _!_„,.
между точкой Л, находя- ~1~"
щейся на расстоянии d
от плоскости, и точкой
В, находящейся на плос- _^^
КОСТИ. >^^^Жч^^
27. Во внешнее однород- Рис. 7.
ное электрическое поле Е
(рис. 8) внесен металлический шарик. Как в результате это-
этого изменится напряженность электрического поля вблизи
поверхности шарика в точках Л и В, А а
С и D? ' | |
28. Начертить схему силовых линий
и эквипотенциальных поверхностей для #
системы двух точечных зарядов +q и
+4^, находящихся на расстоянии d друг
от друга.
Указание. Найти точку, в кото-
которой напряженность поля равна нулю.
Найти точки на прямой, соединяющей %
заряды, в которых потенциал имеет то
же значение, что и в точке, в которой f t t
напряженность поля равна нулю. I I I
29. Два разноименных точечных за- рис. 8.
ряда, отношение величин которых равно
п, расположены на расстоянии d друг от друга. Доказать,
что поверхность нулевого потенциала есть сферическая по-
поверхность. Определить радиус R этой сферы и расстояние
h центра ее от меньшего
заряда. ( Рг_
30. Найти силу взаимо-
взаимодействия F между точеч-
точечным зарядом q и точечным
диполем, если расстояние Рис- 9*
между ними равно d и ди-
польный моментр направлен вдоль соединяющей их прямой.
31. Найти силу взаимодействия F двух точечных дипо-
диполей, если их дипольные моменты pt и р2 направлены вдоль
соединяющей их прямой, а расстояние между диполями
равно d (рис. 9).
32. Найти уравнение силовых линий электрического по-
поля точечного диполя в полярной системе координат.
33. Возможны ли круговые движения с постоянной ско-
скоростью точечного электрического заряда вокруг неподвиж-
неподвижного точечного электрического диполя?
34. Металлический шар радиуса R имеет заряд Q. То-
Точечный заряд q помещен на расстоянии d от центра шара
(рис. 10). Найти потенциал шара <р.
Рис. 10.
Рис. И.
35. Полый шар радиуса R имеет заряд Q; в шаре имеет-
имеется малое отверстие (рис. 11). Как будет меняться потенциал
шара, если точечный заряд q перемещать из бесконечности
через отверстие внутрь шара?
36. Показать, что для параллельных проводов, расстоя-
расстояние между которыми велико по сравнению с их радиусами:
1) эквипотенциальные поверхности суть круговые цилинд-
цилиндры, оси которых параллельны проводам и лежат с ними в
одной плоскости; 2) силовые линии расположены в плоско-
плоскости, перпендикулярной к проводам, и представляют собой
окружности, центры которых лежат на перпендикуляре,
проходящем через середину соединяющего следы проводов
отрезка.
37. Начертить схему силовых линий и эквипотенциаль-
эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов +q
и —4q.
Указание. Найти точку, в которой напряженность
поля равна нулю. Найти сферу нулевого потенциала, а так-
также точку на прямой, соединяющей заряды, в которой по-
потенциал тот же, что и в точке, где напряженность поля рав-
равна нулю.
38. Металлический шар радиуса R соединен очень тон-
тонкой проволокой с землей. На расстоянии d=2R от центра
этого шара находится электрический заряд -\-q. Чему равен
отрицательный заряд Q шара? Поверхность земли и все ос-
10
тальные предметы можно считать достаточно удаленными,
а влиянием соединяющей проволоки можно пренебречь.
39. Точечный заряд q находится на расстоянии d от
центра заряженного проводящего шара Q (рис. 12). Каков
заряд шара, если известно, что си-
сила взаимодействия между зарядами
равна нулю?
46. Точечный заряд q находит-
находится на расстоянии d от центра за-
заземленного проводящего шаре Q. С
какой силой F притягивается заряд Рис. 12.
к шару?
41. Точечный заряд q находится на расстоянии d от цент-
центра незаряженного проводящего шара радиуса R. Какой
заряд протечет по проводнику, если заземлить шар?
42. Заземленный шар находится вблизи точечного заря-
заряда (рис. 13). Определить максимальную и минимальную по«
верхностные плотности наведен-
наведенного на шаре заряда.
43. В равномерно заряжен-
заряженной сфере вырезано малое от-
отверстие. Какова напряженность
поля в центре отверстия?
44. Найти потенциал по-
поля, созданного зарядами, рав- Рис. 13.
номерно распределенными вдоль
бесконечной прямой с линейной плотностью и.
45. Прямой длинный цилиндрический проводник радиу-
радиуса R несет положительный заряд с равномерной поверх-
поверхностной плотностью а. Какова разность потенциалов V
между поверхностью цилиндра и точкой Л, находящейся на
расстоянии d>R от оси цилиндра?
46. Электрическое поле в электростатике всегда перпен-
перпендикулярно к поверхности проводника. Пользуясь этим, до*
казать, что вблизи искривленной поверхности заряженного
проводника электрическое поле удовлетворяет соотношению
где производная берется по направлению внешней нормали
к поверхности проводника, a Rt и R2 — главные радиусы
кривизны этой поверхности (они считаются положительны-
положительными для выпуклых и отрицательными для вогнутых сечений
поверхности).
11
Указание. Взять две бесконечно близкие эквипо-
эквипотенциальные поверхности и произвести нормальное сечение
их четырьмя плоскостями, вырезающими на этих эквипотен-
эквипотенциальных поверхностях два бесконечно малых прямоуголь-
прямоугольника. К полученному бесконечно малому объему применить
теорему Гаусса.
47. Потенциал электростатического поля в некоторой
области зависит только от координаты х:
Какова будет напряженность поля? При каком распределе-
ниизарядов получится такое поле?
4$. Пользуясь теоремой Гаусса в дифференциальной
форме, вычислить напряженность электрического поля рав-
равномерно заряженных шара радиуса R и бесконечной пла-
пластинки толщины 21г. Объемная плотность электричества
равна р.
49. В шаре, равномерно заряженном электричеством с
объемной плотностью р, сделана сферическая полость, центр
которой О' смещен относительно центра шара О на расстоя-
расстояние г. Определить электрическое поле внутри полости.
Указание. Заполнить мысленно полость электри-
чествами противоположных знаков с плотностями +р и —р.
Тогда поле в полости можно рассматривать как суперпози-
суперпозицию полей двух равномерно и противоположно заряженных
шаров.
50. Сферический слой, ограниченный двумя концентри-
концентрическими сферами, заряжен электричеством с постоянной
объемной плотностью. Пользуясь законом Кулона, пока-
показать, что электрическое поле в полости, ограниченной таким
слоем, равно нулю.
51. Сферический слой в предыдущей задаче равномерно
сжимают вдоль трех взаимно перпендикулярных диаметров,
и притом так, что во время сжатия электрические заряды
внутри слоя неподвижно закреплены. В результате он пере-
переходит в слой эллипсоидальный. Показать, что при таком
сжатии электрическое поле внутри полости остается равным
нулю.
52. Найти распределение электричества по поверхности
трехосного проводящего эллипсоида
V2 .,2 ?2
Л \У_ !__?_ — 1
а2 ~Т Ьг -Т С2 — А •
12
Указание. Воспользоваться результатом решения
предыдущей задачи.
53. Найти поверхностную плотность электричества на
бесконечно тонкой проводящей эллиптической пластинке,
получающейся равномерным сжатием трехосного эллипсо-
эллипсоида в направлении оси Z.
Указание. См. предыдущую задачу.
54. Заряженный проводящий эллипсоид мысленно раз-
разделен на части равноотстоящими плоскостями, перпендику-
перпендикулярными к одной из его главных осей. Показать, что, ка-
каково бы ни было число таких частей, величины их зарядов
будут всегда одинаковы. В частности, если эллипсоид яв-
является вытянутым и бесконечно тонким, то электричество
распределится по его длине равномерно.
Указание. См. задачу 51.
55. Принимая Землю за шар радиуса /?=6400 км, опре-
определить заряд Q Земли, если напряженность электрического
поля у поверхности Земли составляет ?==130 В/м. Опреде-
Определит^, потенциал ф поверхности Земли, принимая 9^=0.
56. Земля непрерывно облучается космическими луча-
лучами высокой энергии, приходящими из пространства вне Сол-
Солнечной системы. Космические лучи в основном состоят из
протонов, средняя энергия <§ которых составляет несколько
миллиардов электронвольт. Интенсивность 3 потока про-
протонов, достигающих земной атмосферы, равна примерно од-
одному протону на квадратный сантиметр в секунду. Оценить
время, необходимое для того, чтобы протоны космических
лучей повысили потенциал Земли настолько, чтобы они уже
не могли попадать на поверхность Земли из-за электриче-
электрического отталкивания. Объяснить, почему и по истечении это-
этого времени протоны космических лучей продолжают дости-
достигать земной поверхности.
57. Очень маленький шарик, имеющий заряд -\-q, под-
поднесен к большому металлическому листу на малое расстоя-
расстояние d. Чему равна напряженность поля Е: 1) у основания
перпендикуляра, опущенного из шарика на плоскость листа;
2) на расстоянии 2d от плоскости на том же перпендику-
перпендикуляре?
58. Найти приближенное выражение для силы Fy дейст-
действующей в неоднородном поле Е в вакууме на маленький
металлический шарик радиуса R, если на протяжении диа-
диаметра шарика поле Е меняется незначительно.
Указание. Во внешнем однородном поле Е шарик
приобретает дипольный момент p=R3E.
13
59. Как меняется с расстоянием d сила взаимодействия
F между двумя маленькими металлическими шариками, из
которых один заряжен, а другой не заряжен?
60. Два одинаковых положительных заряда q находятся
на одинаковом расстоянии d от безграничной проводящей
плоскости по одну сторону от нее. Расстояние между заря-
зарядами равно 2d. Найти величину и направление вектора на-
напряженности поля на середине расстояния между заря-
зарядами.
61. Заряженный проводник находится внутри замкну-
замкнутой металлической оболочки. 1) Изменится ли электриче-
электрическое поле внутри оболочки, если извне поднести к ней заря-
заряженный проводник? 2) Будет ли изменяться поле внутри и
вне оболочки, если внутренний проводник перемещать вну-
внутри оболочки?
62. Какова была бы напряженность поля Е в центре
сферической поверхности радиуса /?, если бы одна половина
этой поверхности была покрыта зарядами с постоянной по-
поверхностной плотностью а, а другая половина также равно-
равномерно покрыта зарядами, но с вдвое большей плотностью?
63. Металлический шар несет некоторый заряд. Как из-
изменится напряженность поля вне и внутри оболочки, если
шар заключить в концентрическую сферическую оболочку
из однородного диэлектрика с диэлектрической проницае-
проницаемостью е?
64. Как ответить на вопрос предыдущей задачи, если
внешняя поверхность оболочки будет иметь не сфериче-
сферическую, а произвольную форму?
65. Между двумя параллельными проводящими пластин-
пластинками, заряженными равными
разноименными зарядами, по- А
мещают
диэлектрическую
Рис. 14.
М
пластинку, как указано на рис. 14. Изменится ли напря-
напряженность поля в точке А после внесения пластинки?
14
66. Два однородных диэлектрика с диэлектрическими
проницаемостями ех и е2 граничат друг с другом вдоль плос-
плоскости MN (рис. 15). В точке А первого диэлектрика поме-
помещен точечный заряд q. Найти электрическое поле в каж-
каждом из диэлектриков.
67. Какая сила действует на точечный заряд q вблизи
плоской границы раздела двух диэлектриков?
68. Какой наибольший заряд Q можно поместить на ме-
металлическом шаре радиуса R = 15 см, если диэлектрическую
прочность воздуха Е принять равной 30 000 В/см?
69. По сфере радиуса R равномерно распределен заряд
Q. Определить давление изнутри на поверхность сферы,
обусловленное взаимодействием зарядов.
70. Как известно, давление, вызываемое поверхностным
натяжением сферической жидкой пленки, обратно пропор-
пропорционально ее радиусу. Будет ли устойчивым мыльный пу-
пузырь, если сообщить ему некоторый заряд?
71. Поверхностное натяжение сферического мыльного
пузыря а=50 дин/см, радиус /?=1 см, наружное атмосфер-
атмосферное давление Р=Ю* дин/сма. Какой заряд Q надо сообщить
пузырю, чтобы его радиус увеличился вдвое? При каких
размерах пузыря поверхностное натяжение практически
не влияет на результат и при какихявляется определяющим?
72. По сферической поверхности радиуса R равномерно
распределены заряды с поверхностной плотностью а. Найти
потенциал <р и напряженность поля Е зарядов в зависимо-
зависимости от расстояния d до центра сферы. Построить графики
зависимости этих величин от координат.
73. На поверхность тонкой сферы радиуса R наносится
равномерно заряд. Когда полный заряд сферы достигает
величины Q, сфера под действием электрических сил оттал-
отталкивания разрывается на одинаковые части, летящие в раз-
разные стороны. Каждая из частей имеет массу т и заряд qi
Какой максимальной скорости может достигнуть осколок?
74. Металлический шар радиуса Ru несущий заряд Q,
окружен расположенным концентрически полым металли-
металлическим шаром с внутренним радиусом R2 и внешним /?3.
Заряд внешнего шара равен нулю. Построить график зави-
зависимости напряженности поля Е от расстояния г до центра
шаров. Найти потенциалы шаров, если в бесконечности по-
потенциал равен нулю. Изменятся ли потенциалы шаров, если
внешний шар заземлить?
75. Вычертить графики зависимости напряженности по-
поля Е и потенциала <р от расстояния г до центра шара для
15
следующего случая: металлический шар с радиусом 10 см
имеет заряд 20 СГСЭ и окружен диэлектриком с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью 8=2, причем диэлектрик прости-
простирается до сферы радиуса 20 см.
76. Два проводника имеют заряды —q и -\-2q соответст-
соответственно. Эти проводники вносят внутрь замкнутой металли-
металлической оболочки, потенциал которой равен ф. Показать, что
потенциал проводника, несущего заряд +2q, будет боль-
больше ф.
77. Мыльный пузырь радиуса R находится в равнове-
равновесии. Если ему сообщить некоторый заряд, он будет увеличи-
увеличиваться вследствие появления сил отталкивания между
зарядами, стремясь перейти к новому устойчивому состоя-
состоянию с радиусом /?i>/? (см. задачу 70). Какой заряд нужно
поместить в центре пузыря, чтобы уравновесить действие
этих сил при его прежнем радиусе?
78. Проводящая сфера радиуса R составлена из двух
полусфер. Определить силу F, с которой отталкиваются эти
полусферы, если ^полный заряд сферы равен Q.
79. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если в
центре сферы поместить дополнительно точечный заряд q?
Сферу считать полой и бесконечно тонкой.
80. Длинный проводящий цилиндр радиуса R составлен
из двух половин. Определить силу отталкивания F, дейст-
действующую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на
единицу длины цилиндра приходится заряд и.
81. Как изменится ответ в предыдущей задаче, если
вдоль оси цилиндра поместить дополнительно тонкую за-
заряженную нить, на единицу длины которой приходится за^
ряд и0? Цилиндр считать полым, а его стенки — бесконечно
тонкими.
82. Какое поле создавали бы две безграничные взаимно
перпендикулярные плоскости, если бы на них были равно-
равномерно нанесены электрические заряды одного знака с по-
поверхностной плотностью заряда на одной а, а на другой
2а?
83. Определить эквипотенциальные поверхности по ус-
условиям предыдущей задачи и закон изменения потенциала
на плоскостях, несущих заряды.
84. Заряды распределены равномерно по поверхности
двух концентрических сфер с радиусами 10 и 20 см, причем
поверхностные плотности зарядов на обеих сферах одина-
одинаковы. Найти плотность заряда а, если потенциал в центре
сфер равен 300 В, а на бесконечности равен нулю.
16
85. Из трех концентрических бесконечно тонких метал-
металлических сфер с радиусами /?i</?2</?3, находящихся в ва-
вакууме, крайние заземлены, а средней сообщен электриче-
электрический заряд Q. Найти напряженность электрического поля
во всем пространстве.
86. Две концентрические проводящие сферы с радиуса-
радиусами R и 2R заряжены: внутренняя — одним микрокулоном,
внешняя — двумя микрокулонами электричества одного и
того же знака. На расстоянии 3R от центра сфер потенциал
Ф=30СГСЭ. Найти R.
87. Какова была бы напряженность поля в произволь-
произвольной точке пространства между плоскостями задачи 82, если
бы в дополнение к зарядам на плоскостях были равномерно
нанесены заряды с поверхностной плотностью — За по по-
поверхности цилиндра радиуса R, ось которого совпадает с
прямой пересечения заряженных плоскостей?
88. Какова была бы напряженность поля в произволь-
произвольной точке пространства, если бы заряды были равномерно
распределены с поверхностной плотностью а на бесконеч-
бесконечной плоскости и на поверхности сферы радиуса R с центром
на данной плоскости?
89. Подсчитать среднюю объемную плотность р электри-
электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряжен-
напряженность электрического поля на поверхности Земли равна
100 В/м, а на высоте А=1,5 км эта напряженность падает
до 25 В/м.
90. Две бесконечные плоскопараллельные металличе-
металлические пластинки помещены в вакууме параллельно друг
другу (рис. 16). Полный за-
ряд на единицу площади (т. е.
сумма зарядов на обеих
поверхностях пластинки) ра-
равен <7i Для первой пластинки
и ?2 — для второй. Опреде-
Определить поверхностные плот-
плотности электрических зарядов
на пластинках, а также на-
напряженность электрического
поля между ними и во внеш-
внешнем пространстве.
91. Три хорошо изолированные параллельные металли-
металлические пластинки расположены на равном расстоянии друг
от друга, как показано на рис. 17. Пластинка 1 соеди-
17
ft
Рис. 16.
нена с землей, а пластинки 2 и 3 присоединены к зажимам
батареи в 80 В. Батарею отключают и после этого плас-
пластинку 1 отключают от земли, а пластинку 2 присоединяют
к земле. 1) Чему будет равна разность
потенциалов между пластинками 1 и 2,
2 и 5? 2) Какова будет разность потен-
потенциалов между пластинками, если снача-
сначала, после отключения батареи, соединить
с землей пластинку 2, а затем уже отклю-
отключить от земли пластинку 1 и, наконец,
пластинку 2?
92. Батарею в 80 В присоединяют
к пластинкам 1 и 2 (см. предыдущую за-
задачу) при соединенных накоротко пла-
пластинках 2 и 3. Какова будет разность потенциалов между
пластинками, если сначала отключить батарею, затем разъ-
разъединить пластинки 2 и 3 и, наконец, соединить третью пла-
пластинку с первой (пластинка 2 все время соединена с зем-
землей)?
93. Из трех параллельных металлических пластинок Л,
В и С (рис. 18) крайние А и В неподвижны и соединены с
гальванической батареей,
Рис.
L
и
TJL
d-x
t LjL
Рис. 18.
р
поддерживающей разность
потенциалов V между ними
постоянной. Средняя плас-
пластинка С сначала находит-
находится в контакте с верхней
пластинкой Л. Затем с по-
помощью изолирующей руч-
ручки она перемещается по
направлению к нижней
пластинке. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напря-
напряженности полей Ei и Е2 в зазорах между пластинками в
зависимости от переменного расстояния х между пластин-
пластинками Л и С, если сумма зазоров между пластинками
равна d.
94. Даны потенциалы срь ф2, ф3 и ф4 в четырех смеж-
смежных вершинах малого кубика. Как можно приближенно
определить напряженность поля в области этих точек?
95. Три одинаковые пластинки расположены параллель-
параллельно друг другу на расстоянии 1 мм одна от другой (очень ма-
малом по сравнению с линейными размерами пластинки). Ка-
Каковы разности потенциалов между пластинками, если на
первой находится равномерно распределенный заряд с по-
13
верхностной плотностью +0,2 СГСЭ, на второй +0,4 СГСЭ
и на третьей —0,6 СГСЭ?
96. Как изменится разность потенциалов между пла-
пластинками предыдущей задачи, если пространство между
пластинками заполнено диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью 8=2?
97. Три одинаковых изолированных металлических ша-
шара расположены в вершинах равностороннего треугольника.
Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному
проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддержи-
поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров.
Заряды на первых двух шарах оказались после этого рав-
равными <7i и q2. Найти заряд q3 на третьем шаре.
98. Четыре одинаковых изолированных металлических
шара расположены в вершинах правильного тетраэдра. Про-
Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному про-
проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается
постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заря-
Заряды на первых двух шарах оказались после этого равными
<7i и q2. Найти заряды на двух остальных шарах.
99. Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с
радиусами R^IO мм и /?2= 10,5 мм заряжены одноименны-
одноименными зарядами, причем поверхностная плотность зарядов на
внешнем цилиндре 2 СГСЭ, а на внутреннем 1 СГСЭ. Найти
разность потенциалов V между цилиндрами.
100. Определить величину напряженности Е электри-
электрического поля вне цилиндров при условиях предыдущей
задачи.
101. Показать, что эквипотенциальными поверхностя-
поверхностями двух параллельных бесконечно длинных прямых, равно-
равномерно заряженных электричеством противоположного зна-
знака, являются круговые цилиндры, оси которых параллель-
параллельны рассматриваемым линиям и лежат с ними в одной пло-
плоскости.
102. В электрическом поле точечного заряда q на рас-
расстоянии d находится свободно поворачивающийся электри-
электрический диполь с дипольным моментом /?. Какую работу А
надо совершить, чтобы удалить диполь в бесконечность?
Считать, что длина диполя очень мала по сравнению
с d.
103> Может ли существовать в вакууме электростатиче-
электростатическое поле, вектор напряженности которого Е во всем объе-
объеме поля одинаково направлен, но по величине изменяет-
изменяется, например, по линейному закону, если переходить
19
от точки к точке по нормальному к полю направлению
(рис. 19)?
104. Имеется заряженный до некоторого положитель-
положительного потенциала изолированный проводник. Что произой-
произойдет с потенциалом этого проводника, если приблизить к
— *- нему на конечное расстояние проводящую
плоскость, соединенную с землей?
' *" 105. Как изменится разность потенциа-
-.. ^ лов между двумя изолированными заря-
заряженными проводниками, если между ними
*" ввести металлическую пластину, толщиной
. ^ которой нельзя пренебречь по сравнению
с расстоянием между проводниками?
*~ 106. Две удаленные от остальных тел
Рис. 19. одинаковые металлические пластины пло-
площадью S, находящиеся друг от друга на
очень малом по сравнению с их линейными размерами рас-
расстоянии d, заряжены: одна зарядом +q, а другая +2q.
Какова разность потенциалов V между ними?
107. Каков будет характер электрического поля в про-
пространстве между пластинами и вне пластин в условиях пре-
предыдущей задачи? Какова напряженность поля с внешней
стороны пластин, вблизи их середины?
108. Две проводящие концентрические сферы имеют ра-
радиусы Rx= 10 см и #2=20 см. На каждой из них равномерно
распределен заряд </=+50СГСЭ. Чему равна разность по-
потенциалов V между ними и какова напряженность поля
внутри сфер и снаружи?
109. Металлическому шару диаметром 20 м сообщен за-
заряд 1 Кл. 1) Каков будет потенциал шара относительно бес-
бесконечно удаленной, концентрической с ним сферы? 2) Удер-
Удержится ли заряд на шаре, если
он будет окружен воздухом, ди-
диэлектрическая прочность которого
?=3 кВ/мм?
110. Два одинаковых круглых
диска радиуса R> заряженные раз-
разноименными зарядами, распреде-
распределенными равномерно с поверхност-
рис 20. н°й плотностью а, находятся на не-
небольшом расстоянии йдруг от дру-
друга. Найти напряженность поля в точке Л, расположенной на
общей оси дисков на расстоянии h от ближайшего диска
(рис. 20).
20
111. Обкладки плоского конденсатора сделаны из пря-
прямоугольных полосок фольги размером 5x10 см2, наклеен-
наклеенных на парафинированную бумагу (к=2) толщиной 0,1 мм.
К конденсатору приложена разность потенциалов 100 В.
Какой заряд (в единицах СГСЭ) находится на каждой из
обкладок?
112. Как изменится напряженность поля между обклад-
обкладками уединенного плоского конденсатора, если на одной из
обкладок заряд будет увеличен в два раза?
113. Плоский конденсатор имеет емкость 600 пФ. На-
Насколько она изменится, если ввести между обкладками па-
параллельно им медный лист, толщина которого равна 1/4
расстояния между обкладками? Будет ли влиять на резуль-
результат положение листа?
114. Металлический шар радиуса 5 см окружен шаровым
слоем диэлектрика (е=7) толщиной 1 см и помещен концент-
рично в металлической сфере с внутренним радиусом 7 см.
Чему равна емкость С такого конденсатора?
115. В неограниченной диэлектрической однородной
жидкости с диэлектрической проницаемостью е помещен
однородный шар с той же диэлектрической проницаемостью,
равномерно заряженный электричеством с объемной плот-
плотностью р. В шаре сделана сферическая полость, куда поме-
помещен меньший шар радиуса R из того же материала, также
равномерно заряженный с объемной плотностью р электри-
электричеством того же знака. Зазор между поверхностью малого
шара и стенками полости пренебрежимо мал. Определить
силу F, действующую на меньший шар, зная
расстояние между центрами обоих шаров.
116. Определить приближенно емкость
между двумя одинаковыми шарами радиуса
R, находящимися на очень большом (по срав-
сравнению с R) расстоянии. Все остальные тела
также далеки от шаров.
117. Электроды катодной лампы — анод,
сетка и катод — обладают определенной емкос-
емкостью относительно друг друга. При расчетах
удобно рассматривать их как конденсаторы
малых емкостей, соединенные так, как пока- Рис- 21#
зано на рис. 21. Определить общую емкость
между точками А и В, если Са.с — емкость анод-сетка,
Сс-к — емкость сетка-катод, Са.к— емкость анод-катод.
U8. Для измерения емкостей между электродами трех-
электродной лампы поступают так: соединяют накоротко
21
J
-II*
¦и-
1
Ah
г
з
AY
4
AY
Рис. 22.
сетку и анод и намеряют емкость d между катодом и осталь-
остальными электродами; затем соединяют накоротко катод и анод
и измеряют емкость С2 между сеткой и остальными электро-
электродами; наконец, соединяют накоротко сетку и катод и изме-
измеряют емкость С8 между анодом и остальными электродами.
Как, измерив Сь С2 и С3, определить межэлектродные ем-
КбСТИ Са.к, Са-с, Сс-к (рИС 21)?
119. Батарея из четырех одинаковых конденсаторов
включена один раз по схеме а), а другой раз по схеме б)
(рис. 22). 1) В каком случае ем-
емкость батареи будет больше?
2) Если емкости конденсаторов
различны, то какому соотноше-
соотношению они должны удовлетворять,
чтобы при переключении со схе-
схемы а) на схему б) емкость бата-
батареи не менялась?
120. Показать, что формулы
для емкости цилиндрического и
сферического конденсаторов пе-
переходят в формулу для емкости
плоского конденсатора при ма-
малых разностях между радиуса-
радиусами внутренней и внешней обкладок.
121. В трансформаторах высокого напряжения для про-
проведения провода через крышку употребляются так называе-
называемые конденсаторные клеммы. Они пред-
представляют собой тонкие коаксиальные
цилиндрические изолирующие трубки,
отделяющиеся друг от друга тонкими
листами станиоля, образуя комбинацию
последовательно соединенных цилиндри-
цилиндрических конденсаторов (рис. 23). Как
должна меняться длина изолирующих
трубок, чтобы все эти конденсаторы име-
имели одинаковую емкость? В чем смысл
применения таких конденсаторных
клемм?
122. Плоский конденсатор состоит из
двух пластин, находящихся друг от
друга на расстоянии 0,5 мм. Как изме-
изменится емкость конденсатора, если его поместить в изолиро-
изолированную металлическую коробку («экранировать»), стенки
которой будут находиться на расстоянии 0,25 мм от пластин
22
-Провод
Рис. 23.
(рис. 24). Искажением поля у краев конденсаторов прене-
пренебречь.
123. Как изменится емкость помещенного в коробку
конденсатора (см. предыдущую задачу), если коробку соеди-
соединить с одной из пластин?
124. Два конденсатора, =^ь , , ¦?
емкости которых Сх и С2, сое-
соединены последовательно и Рис- 24-
присоединены к источнику
э. д. с. <?. Определить падение напряжения на каждом из
конденсаторов.
125. Четыре одинаковых конденсатора соединены, как
показано на рис. 25, и присоединены к батарее ?. Ключ К*
сначала разомкнут, а ключ Kt
замкнут. Затем размыкают ключ
Ki и замыкают ключ Кг- Какова
будет разность потенциалов на
каждом конденсаторе, если з. д. с.
батареи $=9 В? <
126. Решить предыдущую задачу '
при условии, что ключ Кг замыка- Рис. 25.
ют и размыкают при замкнутом
ключе /С2.
127. Два конденсатора Сх и С2, показанные на рис. 26,
заряжаются следующим образом. Сначала замыкают и раз-
размыкают ключ Ки затем замыкают ключ /С2. Определить
разность потенциалов Vx и V2
на конденсаторах, если э. д. с.
батарей <?i и <?2.
128. Три конденсатора с с
емкостями Ci=2 мкФ, С2= г
=2 мкФ, Сз=4 мкФ и допус-
допустимыми напряжениями Ki= 0r
= 1000В, 1/2=450 В, К3=250В
соединены в батарею. При
р р
каком соединении конденсато- Рис. 26.
ров можно получить наиболь-
наибольшее напряжение? Чему равно это напряжение и соответст-
соответствующая емкость батареи?
129. Как известно, угол расхождения листочков элект-
электроскопа, соединенного с заряженным проводником, зависит
от потенциала этого проводника. Какому условию должна
удовлетворять электроемкость этого электроскопа, чтобы
возможно точнее измерять потенциал проводника?
23
130. Две параллельные пластины ничтожно малой тол-
толщины заряжены одноименно, причем поверхностная плот-
плотность заряда на одной пластине ст1=-|-1 СГСЭ, а на другой
в2=+2 СГСЭ. Расстояние между пластинами А=1 см мало
по сравнению с линейными размерами пластин. Между пла-
пластинами вставлена парафино-
^ 1^1 т вая плоскопараллельная пла-
d '////////////////////////////777, ]b стинка толщиной d=5 мм
' TJZ (рис. 27). Диэлектрическая
проницаемость парафина 8=2.
' Определить разность потен-
потенциалов V (в вольтах) между пластинами.
131. В условиях предыдущей задачи определить: 1) на-
напряженность поля Et между пластинами вне диэлектрика;
2) напряженность поля Е2 внутри диэлектрика; 3) силу F,
действующую на 1 см2 пластины.
132. Для измерения заряда наэлектризованного про-
проводника можно воспользоваться электрометром, который
показывает разность потенциалов. Для этого прежде всего
измеряют разность потенциалов V1 между проводником и
землей. Затем к проводнику присоединяют известную элект-
электроемкость Со, вторая обкладка которой соединена с землей,
и измеряют новую разность потенциалов V2. Как из подоб-
подобных измерений определить величину заряда? От чего зави-
зависит точность определения заряда?
133. Воздушный цилиндрический конденсатор состоит
из проволоки диаметром 5 мм и коаксиального цилиндра
диаметром 5 см. До какой разности потенциалов V можно
зарядить этот конденсатор, если диэлектрическую проч-
прочность воздуха при заданных условиях можно считать
равной ?=30 кВ/см?
134. Расстояние между обкладками плоского конденса-
конденсатора равно d и заполнено двумя слоями диэлектриков. Тол-
Толщина слоя первого диэлектрика с диэлектрической прони-
проницаемостью ех равна hx. Диэлектрическая проницаемость вто-
второго диэлектрика равна е2. Площадь каждой обкладки рав-
равна S. Найти емкость С конденсатора.
135. Внутри плоского воздушного конденсатора, об-
обкладки которого соединены между собой, помещена поля-
поляризованная пластинка из электрета толщины h. Поляризо-
ванность пластинки $ь перпендикулярна к ее боковым
граням. Пренебрегая зависимостью поляризованности элек-
электрета^ от электрического поля, определить напряженность
и индукцию электрического поля внутри и вне пластинки,
24
если расстояние между обкладками конденсатора рав-
равно d.
136. Пространство между пластинами плоского конден-
конденсатора, расстояние между которыми равно d, заполнено ди-
диэлектриком. Найти емкость С конденсатора в двух случаях:
1) диэлектрик состоит из двух пластин одинаковой толщи-
толщины, но с различными диэлектрическими проницаемостями
ех и е2, причем пластины расположены параллельно пласти-
пластинам конденсатора; 2) половина конденсатора заполнена
одним диэлектриком, а вторая половина — другим, так что
граница раздела между диэлектриками расположена пер-
перпендикулярно к пластинам конденсатора. Искажением поля
у границы раздела пренебречь. Площадь пластины равна S.
Показать, что в первом случае емкость конденсатора всегда
меньше, чем во втором случае.
137. Между пластинами плоского конденсатора, пло-
площадь которых S, помещен слоистый диэлектрик, состоящий
из п слоев вещества с диэлектрической проницаемостью гг
и из п слоев вещества с диэлектрической проницаемостью
е2. Слои чередуются и каждый имеет толщину d. Найти ем-
емкость конденсатора С.
138. Пространство между пластинами плоского конден-
конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая прони-
проницаемость которого линейно меняется от значения ег у одной
пластины до значения 62<8! у другой. Расстояние между
пластинами d, площадь каждой из них равна S. Найти
емкость С конденсатора.
139. К плоскому конденсатору, расстояние между пла-
пластинами которого df присоединена батарея, поддерживаю-
поддерживающая постоянной разности потенциалов V. В конденсатор
вводят диэлектрик, заполняющий все пространство между
пластинами. Диэлектрическая проницаемость этого диэлек-
диэлектрика 6. Насколько изменится плотность электрического за-
заряда на пластинах конденсатора?
140. Какова напряженность поля Е в воздушном зазоре
плоского конденсатора, если разность потенциалов между
пластинами 1/=200 В? Расстояние между пластинами d=
=0,2 см, и между ними находится лист стекла (е=7) толщи-
толщиной /г=0,1 см.
141. Сферический конденсатор наполовину заполнен
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью &=7. Ра-
Радиусы поверхностей: внутренней Rx=5 см, внешней R2=
=6 см (рис. 28). Определить емкость С конденсатора, пре-
пренебрегая искривлением линий поля на границе диэлектрика.
25
142. Найти напряженность электрического поля между
обкладками сферического конденсатора, пространство меж-
между которыми заполнено однородными диэлектриками с ди-
диэлектрическими проницаемостями ех и е2 (рис. 29), Диэлект-
Диэлектрики граничат между собой вдоль поверхности конуса с
вершиной в центре О. Телесный угол конуса, заполненного
Рис. 28.
Рис. 29.
первым диэлектриком, равен Qu а заполненного вторым ди-
диэлектриком — Q2 (Й1+Й2:==:4я). Заряд на внутренней об-
обкладке равен Q. Найти также емкость конденсатора, если
радиусы шаровых обкладок равны #х и R2 (#i<C/?2)-
143. Найти напряженность электрического поля между
обкладками длинного цилиндрического конденсатора, про-
пространство между которыми заполнено одно-
однородными диэлектриками с диэлектрически*
ми проницаемостями гх и е2 (рис. 30),
Диэлектрики граничат между собой вдоль
плоскостей, пересекающихся на оси ци*
линдров О. Двугранные углы, образуемые
ими в диэлектриках, равны соответственно
<Pi и ф2 (ф!+ф2=2я). Длина конденсатора
равна /, а заряд на внутренней обкладке
Q. Найти также емкость С конденсатора,
если радиусы цилиндрических обкладок
равны Rx и R2 (¦/?!<#*).
144. Найти поле между обкладками сферического кон-
конденсатора, если радиус внутреннего шара #х=5 см, а
внешнего 7?2=7 см; пространство между шарами заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 6=5; на
внутреннем шаре находится заряд Q=5000 СГСЭ.
145. В диэлектрической среде с диэлектрической прони-
проницаемостью е имеется однородное поле напряженностью Ef
Внутри среды находится сферическая полость. Найти на-
напряженность поля Е' в центре сферы, созданного зарядами,
индуцированными на поверхности сферы, считая, что
26
Рис. 30.
поляризованность $> всюду (за исключением полости) имеет
постоянное значение.
Указание. Поверхностная плотность индуцирован-
индуцированных зарядов а на границе диэлектрика равна величине по-
ляризованности <^, умноженной на cos 0, где 0 — угол меж-
между нормалью N- к поверхности и вектором^ (рис. 31). Най-
Найти напряженность поля в центре сферы,
создаваемую индуцированным зарядом
на элементе поверхности сферы, и про-
проинтегрировать ее затем по всей сфере.
146. Показать, что взаимная емкость
двух концентрических сферических по- Рис. 31.
верхностей, достаточно удаленных от
поверхности земли и других проводников, при заземленной
внутренней сфере может быть выражена формулой С=
¦*/?!/(# 2—Ri)y где R2uRi— соответственно радиусы внеш-
внешней и внутренней сфер.
147. Цилиндрический конденсатор, радиус одной об-
обкладки которого вдвое больше радиуса другой, заряжен до
разности потенциалов V. Найти напряженность электриче-
электрического поля Е в точке, находящейся на расстоянии d от оси
цилиндра.
148. Конденсатор присоединен к источнику постоянного
напряжения (батарее). Изменится ли напряженность элект-
электрического поля в конденсаторе, если его заполнить диэлект-
диэлектриком?
149. В пространстве между пластинами плоского конден-
конденсатора имеется однородный поток электронов, который
создает равномерный объемный заряд. Расстояние между
пластинами равно d. Потенциал одной из пластин равен ф0.
При каком значении объемной плотности заряда р потенциал
к напряженность поля у другой пластины равны нулю?
150. Внутренняя обкладка цилиндрического конденса-
конденсатора радиуса R2 имеет потенциал q>0. Внешняя обкладка ра-
радиуса Rx заземлена. Между обкладками конденсатора имеет-
имеется заряд с постоянной объемной плотностью р. Найти рас-
распределение потенциала ф между обкладками конденсатора.
151. В пространство между обкладками заряженного
плоского конденсатора вдвигают параллельно обкладкам
пластину из диэлектрика. Какие силы действуют на ту часть
диэлектрической пластины, вблизи которой можно считать
поле однородным?
152. Бесконечно тонкая диэлектрическая палочка рав-
равномерно заряжена электричеством с постоянной линейной
27
плотностью. Показать, что эквипотенциальными поверхно-
поверхностями поля такой палочки являются софокусные эллипсо-
эллипсоиды, фокусы которых находятся на ее концах.
153. Между пластинами плоского воздушного конденса-
конденсатора введена плоскопараллельная пластина из твердого ди-
диэлектрика, так что между ней и пластинами конденсатора
остались воздушные зазоры. Как изменится при этом сила
притяжения между пластинами конденсатора?
154. Между пластинами плоского воздушного конденса-
конденсатора введена диэлектрическая пластина толщины /2 с ди-
диэлектрической проницаемостью е2 (рис. 32). Конденсатор
частично погружен в жидкость с диэлектрической прони-
проницаемостью 8i и плотностью т. Найти высоту поднятия жид-
жидкости в конденсаторе /г, пренебрегая капиллярными яв-
явлениями, если между его обкладками поддерживается
разность потенциалов V. Суммарная толщина столбов
жидкости в конденсаторе равна /1#
ш
ш
Рис. 32.
Рис. 33.
155. Диэлектрическая пластина толщины /2 с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е введена между обкладками пло-
плоского воздушного конденсатора (рис. 33). Между поверх-
поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воз-
воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна /ь
Определить силу притяжения F между обкладками, если
разность потенциалов между ними равна Vy а площадь пла-
пластин 5. Во что переходит выражение для F в предельном
случае /х—>-0?
156. Капиллярный вольтметр состоит из капиллярной
стеклянной трубочки с металлизированной полупрозрачной
внутренней поверхностью, служащей одной из обкладок
цилиндрического конденсатора. Второй обкладкой является
тонкая металлическая проволока, коаксиальная с внутрен-
внутренней цилиндрической поверхностью трубочки. Определить
28
поднятие мениска воды h в вольтметре при наложении на
обкладки напряжения К=100В, если внутренний диаметр
капилляра Di=Q,5 мм, диаметр проволоки D2=0,05 мм,
плотность воды т=1 г/см3.
157. На обкладках плоского конденсатора находятся за-
заряды +q и —q. Площадь обкладок S. Какую работу А смо-
смогут совершить обкладки, сблизившись с расстояния d0 до
расстояния d? За счет какой энергии совершается эта работа?
158. Вычислить электростатическую энергию заряда
на шаре радиуса R в вакууме, если заряд шара q равномер-
равномерно распределен по его поверхности.
159. Сделать тот же расчет для шара, заряд которого
равномерно распределен по его объему.
160. Конденсатор переменной емкости состоит из двух
неподвижных металлических пластин, расположенных на
расстоянии d друг от друга, и подвижной диэлектрической
пластины, которая может поворачивать-
поворачиваться и входить в зазор между металличес-
металлическими пластинами (рис. 34). Все пластины
имеют форму полукруга радиуса R,
причем зазоры между диэлектрической
пластиной и пластинами конденсатора
пренебрежимо малы по сравнению с d.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти
момент сил Mf действующих на диэлект-
диэлектрическую пластину, когда она выведена
из положения равновесия. Конденсатор заряжен до раз-
разности потенциалов V> диэлектрическая проницаемость под-
подвижной пластины равна 8.
161. В предыдущей задаче величина момента сил М не
зависит от угла поворота Ь диэлектрической пластины. Но в
положении равновесия, когда д=0,
момент М должен обращаться в нуль.
Объяснить это расхождение.
162. С какой объемной плотностью
р следует распределить электрический
заряд в шаре, чтобы поле Е внутри
него было направлено вдоль радиуса
и всюду имело одинаковую величину?
163. С какой поверхностной плот-
плотностью а{&) следует распределить за-
заряд по поверхности сферы радиуса
R (рис. 35), чтобы поле внутри нее было однородным и равным
?0? Каково при этом будет электрическое поле вне сферы?
29
Рис. 34.
л
Рис. 35.
164. К полюсам батареи присоединены обкладки пло-
плоского конденсатора. Для раздвижения пластин конденсато-
конденсатора необходимо совершить работу. Как меняется с расстоя-
расстоянием потребляемая мощность, если разводить пластины рав-
равномерно? На что затрачивается работа, совершаемая при
раздвижении пластин конденсатора? Что происходит с на-
начальной электростатической энергией конденсатора?
165. Плоский воздушный конденсатор заряжен до раз-
разности потенциалов V и отсоединен от источника э. д. с. Пло-
Площадь пластин S, расстояние между ними d. Пластины кон-
конденсатора расположены вертикально. Снизу подводят сосуд
с жидким диэлектриком, имеющим диэлектрическую прони-
проницаемость е, так что диэлектрик заполняет половину конден-
конденсатора. 1) Чему равна емкость конденсатора С? 2) Чему рав-
равна напряженность поля Е в воздушной части промежутка
между пластинами и в части, заполненной диэлектриком?
3) Как распределена поверхностная плотность а электриче-
электричества в пластине? 4) Определить уменьшение энергии кон-
конденсатора AW и на что она была израсходована. Считать,
что граница жидкость — воздух плоская и все параметры
конденсатора изменяются скачком.
166. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин
200 см2 и расстоянием между ними 0,1 см находится пла-
пластина из стекла (е=5), целиком заполняющая пространство
между пластинами конденсатора. Как изменится энергия
конденсатора, если удалить стеклянную пластину? Решить
задачу при двух условиях: 1) конденсатор все время при-
присоединен к батарее с э. д. с, равной 300 В; 2) конденсатор
был первоначально присоединен к той же батарее, а затем
отключен, и только после этого пластина была удалена.
Найти механическую работу, которая затрачивается на уда-
удаление пластины в том и другом случае.
167. Подвижные пластины конденсатора переменной ем-
емкости стоят в некотором среднем положении. Какой момент
сил М действует (вследствие взаимодействия зарядов) на
систему подвижных пластин конденсатора при разности
потенциалов У=300 В, если число «рабочих» промежутков
между пластинами конденсатора я=20 *), каждая пластина
имеет форму полукруга радиуса R—8 см и расстояние меж-
между пластинами d=0,5 мм?
168. Пластинка кварца растягивается силой/гн=0,1 кгс.
На боковых поверхностях, перпендикулярных к электриче-
*) Неподвижных пластин 11 подвижных — 10,
30
ской оси кристалла, имеются металлические обкладки А и
В шириной а=3 см (рис. 36), толщина пластинки d<Ca. Об-
Обкладки соединены с электрометром, емкость которого мала
по сравнению с емкостью плоского конденсатора, образо-
образованного обкладками А и В. Электрометр показывает, что
под влиянием нагрузки FH на обкладках А и В возникает
разность потенциалов У=1,8 В. Диэлектрическая проница-
проницаемость кварца е = 4,5. Определить пьезоэлектрическую
постоянную а кварца.
169. Капля жидкости заряжена электричеством. Найти
зависимость упругости насыщенного пара над поверхностью
+
9
I
Рис. 36.
¦i*
С,
О
Рис. 37.
капли от ее заряда q. Используя полученный результат,
объяснить принцип действия камеры Вильсона.
170. Параллельные длинные однородные пластины АВ
и CD (рис. 37) сделаны из материала, плохо проводящего
электричество (например, из дерева). Боковые края их А
и С накоротко соединены хорошим проводником (например,
металлом), а между краями В и D поддерживается постоян-
постоянное напряжение V. Найти напряженность электрического
поля и форму электрических силовых линий между пласти-
пластинами, пренебрегая краевыми эффектами. Расстояние между
пластинами равно d, а ширина каждой из них AB=CD=h.
171. Пространство между пластинами слоистого плоско-
плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, об-
обладающим слабой электропроводностью. Диэлектрическая
проницаемость и удельная проводимость изменяются от
?i=4, Ях^Ю-9 См/см на одной поверхности диэлектрика до
е2=3, Я2=10~2 См/см на другой его поверхности. Конден-
31
сатор включен в цепь батареи постоянной э. д. с. Опреде-
Определить-величину и знак суммарного свободного заряда qy ко-
который возникает в диэлектрике, когда в цепи установится
постоянный электрический ток /=10-7 А, текущий через
диэлектрик в направлении от стороны 1 к стороне 2.
172. Пространство между пластинами плоского конден-
конденсатора заполнено двумя однородными слабо проводящими
слоями диэлектрика с толщинами &х и d2. Диэлектрическая
проницаемость и удельная проводимость первого диэлектри-
диэлектрика равны соответственное! иЯь второго е2 и Л2. Найти плот-
плотность поверхностных свободных зарядов а на границе между
диэлектриками, которая установится при наложении на
конденсатор постоянного напряжения V.
173. Свободная энергия W, термодинамический потенциал
Ф и энтальпия / изотропного диэлектрика определяются
выражениями
"? = U— TS, Ф = ?—^
где U — внутренняя энергия, a S — энтропия диэлектри-
диэлектрика. (В дальнейшем предполагается, что объем диэлектрика V
постоянен и равен единице.) Показать, что для всякого
бесконечно малого квазистатического процесса выполняют-
выполняются соотношения
d?= — SdT+^E dD,
4я
dI = TdS—-!-DdE.
4л
174», Найти выражение для плотности свободной энер-
энергий диэлектрика.
175. Найти выражение для плотности внутренней энер-
энергии диэлектрика.
176. Показать, что для диэлектриков с «квазиупругими»
молекулами внутренняя энергия совпадает со свободной
энергией.
177. Вычислить плотность внутренней и свободной энер-
энергии для полярных газообразных диэлектриков с «твердыми»
диполями.
32
178. Найти разность между теплоемкостями единицы
объема диэлектрика при постоянной индукции CD и посто-
постоянной напряженности электрического поля СЕ. Как осу-
осуществить нагревание при постоянном D и при постоян-
постоянном Е?
179. Найти изменение температуры диэлектрика при его
квазистатической адиабатической поляризации (электро-
(электрокалорический эффект). Объем диэлектрика во время поля-
поляризации поддерживается постоянным.
180. Определить изменение температуры газообразного
полярного диэлектрика с «твердыми» диполями при квази-
квазистатическом адиабатическом выключении электрического
поля, если объем газа во время процесса поддерживается
постоянным. Дипольный момент молекулы газа р=
= 10-18 СГСЭ, постоянная адиабаты газа у=1,4, начальная
температура Т= 100 К, начальная напряженность элект-
электрического поля Е= 100 СГСЭ=3- 10е В/м.
181. Показать, что вблизи абсолютного нуля температу-
температуры выполняется соотношение
lim -|?- = 0.
182. Прямой пьезоэлектрический эффект состоит в том,
что при механических деформациях пьезоэлектрический кри-
кристалл (например, кварц) электризуется (приобретает элект-
электрический момент). Обратный пьезо-
пьезоэлектрический эффект, напротив,
заключается в том, что при нало-
наложении электрического поля кри- . .
сталл деформируется. Исходя из ,t
законов термодинамики, показать, I /
что из существования прямого / L,
(обратного) эффекта следует и су- 1?
ществование обратного (прямого)
эффекта. Доказательство провести Рис. 38.
на примере пластинки кварца с
длиной /, шириной Ь и толщиной h (рис. 38). Пластин-
Пластинка вырезана таким образом, что при ее сжатии или растя-
растяжении вдоль оси X появляются электрические заряды на
гранях, перпендикулярных к той же оси (продольный
эффект). Заряды на тех же гранях возникают также при
сжатиц^или растяжении пластинки вдоль оси Y (попереч-
(поперечный эффект). При сжатии или растяжении вдоль оси Z
пьезоэффект не наблюдается.
2 Под ред. И. А, Яковлева 33
§ 2. Законы постоянного тока
183. Каково сопротивление R отрезка медного провода
диаметром 2 мм, если масса всего отрезка 0,893 кг? Удель-
Удельное сопротивление меди р=0,017-10~4 Ом-см и плотность
т=8,93 г/см3.
184. В созданных А. Н. Лодыгиным первых электриче-
электрических лампах накаливания A872 г.) накаливался угольный
стерженек. Подсчитать мощность, потребляемую шести-
вольтовой лампочкой Лодыгина, если угольный стерженек
имел длину 6 см и диаметр 2 мм. Удельное сопротивление
угля при температуре 0°С р==7-10~3 Ом-см и температур-
температурный коэффициент сопротивления а=—2-Ю-4 ""С. Нор-
Нормальная температура накала стерженька 1600 °С.
185. На цоколе лампочки накаливания с вольфрамовой
нитью накала написано: 120 В, 60 Вт. При измерении со-
сопротивления этой лампочки в холодном состоянии на мос-
мостике Уитстона оказалось, что оно равно всего 20 Ом. Ка-
Какова нормальная температура накала нити, если темпера-
температурный коэффициент сопротивления вольфрама а=5х
xlO-'t-1?
186. Сопротивление электролампочки 120 В, 100 Вт в
накаленном состоянии больше, чем в холодном, в 10 раз.
Найти ее сопротивление R в холодном состоянии и темпера-
температурный коэффициент сопротивления а, если температура
накала нити 2000 °С.
187. Какой следует взять диаметр D медного провода,
чтобы падение напряжения на нем на расстоянии 1,4 км
равнялось 1 В при токе в 1 А?
188. Ленц для своих опытов, в которых он впервые точ-
точно установил закон, выражающий количество тепла, выде-
выделенное током (закон Джоуля — Ленца), пользовался сосу-
сосудом, наполненным спиртом, в который погружена платино-
платиновая спираль. Пропуская ток через спираль и измеряя время,
за которое температура спирта поднимается на градус,
Ленц установил количество тепла, выделенное током. Найти
скорость повышения температуры в приборе Ленца, если
провод платиновой спирали имел длину /=40 см, диаметр
D = l мм; к спирали было подведено напряжение V =1,1 В,
а масса спирта в сосуде т=1 кг. Удельное сопротивление
платины при рабочей температуре р=0,12-10-4 Ом-см,
удельная теплоемкость спирта с=0,6 кал/(г-°С). Т«лоем-
костью сосуда и потерями тепла пренебречь. Почему Ленц
пользовался спиртом, а не водой?
34
189. Электрическая цепь составлена из трех кусков про-
провода одинаковой длины и сделанных из одинакового мате-
материала, соединенных последовательно. Сечение всех трех
кусков различно: 1, 2, 3 мм2. Разность потенциалов на кон-
концах цепи равна 12 В. Определить падение напряжения V
на каждом проводнике.
190. Цепь составлена из девяти проводников, образую-
образующих шестиугольник с диагоналями, исходящими из одной
и той же вершины (рис. 39). Сопротивление каждого из про-
проводов равно л'Определить сопротивление R всей цепи меж-
между точками А и В.
Рис. 40.
191. Составлена цепь, показанная на рис. 40, где Rx —
переменное сопротивление. Начертить график зависимости
силы тока от сопротивления Rx. Величины $ и R известны.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
192. Батарея гальванических элементов с э. д. с. <? и
внутренним сопротивлением г замкнута на внешнее сопро-
сопротивление R. Построить график изменения напряжения V
во внешней цепи в зависимости от R.
193. Батарея включена на сопротивление ^«ЮОм и
дает ток силой /i=3 А. Если ту же батарею включить на СО-
противление /?2=20 Ом, то сила тока будет /2=1,6 А. Нйй-
ти э. д. с. <§ и внутреннее сопротивление батареи г.
194. Шкала вольтметра, схема которого приведена на
рис. 41, имеет 150 делений. Вольтметр имеет четыре клеммы,
рассчитанные на измерения напряжения до 3, 15, 150 В,
Стрелка прибора отклоняется на 50 делений при прохожде-
прохождении через него тока силой в 1 А. Каково внутреннее сопро-
сопротивление прибора при включении, его на различные диапа-
диапазоны измерений?
195» Для определения величины некоторого переменного
сопротивления Rx была собрана цепь, состоящая из батареи
2* 35
с э. д. с. $ и внутренним сопротивлением ги переменного
сопротивления Rx и амперметра с внутренним сопротивле-
сопротивлением г2 (Рис. 42). Оценить точность измерения сопротивле-
сопротивления Rxt т. е. установить связь между ошибкой измерения
тока А/ и ошибкой определения сопротивления Д/?х, если
деления шкалы прибора пропорциональны току /.
Рамка
при вора
Рис. 41.
Рис. 42.
196. Схема омметра, предназначенного для приблизи-
приблизительных измерений сопротивления, показана на рис. 43.
Измерительный прибор А имеет сопротивление г=2,5 кОм,
шкалу на 100 делений с ценой 0,5 мкА. Указанные на схеме
сопротивления имеют следующие значения: Rx=l Ом, R2=
=24 Ом, Я0=20кОм, #з=7 кОм, #4=15к0м. Внутреннее
сопротивление батареи ничтожно мало.
¦*? -
Рис. 43.
1) Определить сопротивление шунта прибора при на-
напряжении батареи <?=1,5 В, которое подбирается из усло-
условия: при замкнутых накоротко клеммах омметра стрелка
прибора отклоняется на 100 делений.
2) При уменьшении напряжения батареи (<?<1,5 В)
можно изменением шунта «установить нуль» омметра, т. е.
добиться того, чтобы при Rx=0 стрелка прибора все равно
показывала 100 делений. Определить, до какой величины
может понизиться напряжение батареи,
36
3) Указать величину сопротивления Rx, соответствую-
соответствующего п делениям шкалы. Установить связь между шкалами
измерительного прибора и омметра.
4) Найти ошибку при определении сопротивления, если
надежный отсчет можно сделать только с точностью до по-
половины деления шкалы.
5) Каким образом следует изменить величины сопротив-
сопротивлений /?х и /?2, чтобы расширить диапазон измеряемых со-
сопротивлений Rx в 10 раз, т. е. чтобы значение сопротивле-
сопротивления по шкале омметра было в 10 раз меньше значения Rx?
197. Каково будет отношение плеч U и /2 при равновесии
в мостике Уитстона, изображенном схематически на рис. 44,
если в другие плечи его вклю-
включены показанные на рисунке
электрические лампы? При ка-
каких условиях можно ответить
на этот вопрос, имея в своем
распоряжении только дан-
данные, указанные на цоколях
лампы?
198. К мостику Уитстона
приложено напряжение V.
Гальванометр имеет сопротив-
сопротивление г и показывает ток /,
когда в плечи мостика вклю-
включены сопротивления Rx, Ru ^2, ^?з- Найти неизвестное соп-
сопротивление Rx.
199. Найти сопротивление R между точками А и В для
цепи, показанной на рис. 45. Сопротивления отдельных вет-
ветвей указаны на рисунке.
Рис. 45.
Рис. 46.
200. Точность измерения сопротивлений мостиком Уит-
Уитстона наибольшая, когда сопротивления соседних плеч
равны, т. е. когда Ri=R2 (рис. 46). Доказать это для случая,
когда сопротивление гальванометра очень велико и поэтому
током через гальванометр можно пренебречь,
37
Рис 47.
Указание. Найти связь между относительным изме-
изменением Rx и изменением напряжения на гальванометре А V.
201. Нарушится ли равновесие мостика Уитстона, если
поменять местами источник тока и гальванометр? Изменится
ли при этом чувствительность измерительной схемы?
202. В мостике Уитстона (см. рис. 44) положение на
шкале ползунка Л, соединенного со струной (реохордом),
позволяет сразу определить искомое сопротивление в омах,
если в правую ветвь мостика включено постоянное сопро-
сопротивление 1 Ом. Каким сопротивлениям Rx отвечают поло-
положения ползунка на расстоянии: 1/3, 2/3, 5/6 длины L стру-
струны от левого края, а также где помещается ползунок, если
искомое сопротивление Rx равно 1 и 10 Ом? Построить со-
соответствующий график. Найти абсолютную и относитель-
относительную погрешность определения сопротивления, если пола-
гать, что имеется постоянная
погрешность определения по-
положения ползунка Л, которая
составляет 0,1% длины рео-
реохорда.
203. Составлена цепь, по-
казанная на рис. 47, где Rx—
переменное сопротивление.
Начертить график зависимости силы тока, текущего через
Rlf от сопротивления Rx. Величины <?, Ri и R2 известны.
204. Какой шунт гш нужно присоединить к стрелочному
гальванометру со шкалой в 100 делений, ценой деления
10-в А и внутренним сопротивлени-
сопротивлением гальванометра 150 Ом, чтобы им
можно было пользоваться для из-
измерения сил токов до 1 мА?
205. Сопротивления R1 и R2
(рис. 48) подобраны так, что ток
через гальванометр G не идет. Счи-
mTg "Т* ^я известными э. д. с. Si и <?2,
I f I г найти э. д. с. (§. Внутренними соп-
сопротивлениями батарей пренебречь
по сравнению с Ri и R2.
206.,Сопротивления Ru R2, R3
(рис. 49) подобраны так, что ток
через гальванометр G не идет. Э. д. с. батарей
<?i и <?3 известны. Считая известными сопротивления Ru
R2i R3 и пренебрегая внутренними сопротивлениями ба-
батарей, найти а. д. с. ?* и ток 1и текущий через батарею gt.
38
Рис. 48.
-•ь
207. Через вольтметр ссГшкалой на 100 В протекает ток
0,1 мА, и стрелка отклоняется на 1 В шкалы. Если к нему
присоединить добавочное сопротивление 90 кОм, то ка-
какую наибольшую разность по-
потенциалов V можно будет из-
измерять этим прибором?
208. Батарея аккумулято-
аккумуляторов с э. д. с. ^=6 В замкнута
на два последовательно соеди-
соединенных реостата, каждый со-
сопротивлением г=5000Ом. Что
покажет вольтметр, присое-
присоединенный к клеммам одного
реостата, если сопротивление
вольтметра: 1)/?=100 000 Ом;
2) #=10 000 Ом (внутреннее
сопротивление батареи мало)?
20& В й
-±-* h
Рис. 49.
р )
В плоский конденсатор заданных размеров вдви-
вдвигается с постоянной скоростью v пластина диэлектрика
(рис. 50). Определить ток в
цепи батареи, подключенной
к конденсатору.
210. Две плоские прямо- J
угольные пластины образуют
конденсатор. Между пласти-
пластинами без трения может дви-
двигаться пластина твердого ди-
диэлектрика (рис. 51). Какую мощность затрачивает батарея,
включенная в цепь конденсатора, и как распределяется эта
мощность между электрической и механической энергиями
при втягивании диэлектрика?
Рис. 50.
1
Рис. 51.
211. Вольтметр при включении между зажимами цепи,
присоединенной к источнику постоянного тока, показывает
разность потенциалов 50 В; другой вольтметр между теми
же точками показывает 51 В, а электростатический вольт-
вольтметр показывает 52 В. Электростатический вольтметр, вклю-
39
ченный при разомкнутой цепи, показывал 65 В. Определить
сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника и
сопротивление второго вольтметра, "если первый имеет со-
сопротивление 6500 Ом.
212. N одинаковых элементов с э. д. с. $ и внутренним
сопротивлением г разделены на т групп по п элементов в
группе. Элементы в каждой группе соединены параллельно
одноименными полюсами, а сами группы соединены между
собой последовательно. При каком условии ток в цепи (при
заданном внешнем сопротивлении R) будет максималь-
максимальным?
213. Три гальванических элемента с э. д. с. ?и $2, $3
и внутренними сопротивлениями гь г2, г3 соединены по
схеме, указанной на рис. 52. Сопротивления соединяющих
проводов пренебрежимо малы. 1) Какое напряжение V
будет показывать вольтметр, включенный так, как указано
на этом рисунке? 2) Чему будет равно показание вольтмет-
вольтметра, если величины ?( и г{ связаны соотношением $i/ri=
/tf/?
Рис. 52.
Рис. 53.
214. По ошибке в цепь были включены параллельно два
гальванических элемента с разными э. д. с. <^>1=1,9 В и
^2=1,1 Вис внутренними сопротивлениями /4=0,1 Ом и
г2=0,8 Ом. Элементы замкнуты на внешнее сопротивление
R=IO Ом (рис. 53). Чему равны токи 1г и /2 через элементы,
как они направлены и как велико напряжение V на сопро-
сопротивлении R внешней цепи?
215. Электромагнитный прибор с ценой деления /0 (в
амперах) и внутренним сопротивлением г употребляется как
вольтметр с добавочным сопротивлением R. Какова бу-
будет цена его деления в вольтах?
216. Имеется прибор с ценой деления 10 мкА. Шкала
прибора имеет 100 делений, внутреннее сопротивление
40
100 Ом. Как из этого прибора сделать вольтметр для изме-
измерения напряжений до 100 В или амперметр для измерения
тока до 1 А?
217. Батарея с э. д. с. $ и внутренним сопротивлением г
замкнута на два сопротивления Rx и R2, включенные парал-
параллельно друг другу.. Найти: 1) ток / через батарею; 2) ток
/i через сопротивление R±; 3) во сколько раз изменится ток
/i, если разорвать сопротивление R2 (рассмотреть частный
случай, когда r<7?i).
218. От сети с постоянным напряжением 120 В нужно пи-
питать прибор, рассчитанный на напряжение 20 В, и при этом
требуется, чтобы при изменении сопротивления прибора от
100 до 90 Ом разность потенциалов на нем менялась не более
чем на 1 %. Можно ли это сделать с помощью потенциометра?
Рис. 54.
Рис. 55.
219. В схему включены два одинаковых гальванических
элемента с э. д. с. 1,5 В и внутренним сопротивлением 2 Ом
так, как показано на рис. 54. Какой ток проходит через эле-
элементы? Что покажет вольтметр? Сопротивлением соедини-
соединительных проводов пренебречь.
220. Что покажет вольтметр в предыдущей задаче, если
внутреннее сопротивление одного гальванического элемен-
элемента равно 3 Ом, а другого 1 Ом?
221. Что покажет вольтметр, если его включить вместе с
тремя одинаковыми гальваническими элементами так, как
показано на рис. 55? Сопротивлением соединительных про-
проводов пренебречь.
222. Найти условие, при котором ток, даваемый двумя
соединенными последовательно разными гальваническими
элементами, обладающими соответственно э. д. с. Si и <§%
и внутренними сопротивлениями гг и г2, будет меньше тока,
даваемого первым из них, если они будут включены на одно
и то же внешнее сопротивление R.
41
223. При каких соотношениях между сопротивлениями
г, Rx и R в схеме, изображенной на рис. 56, прибор будет
показывать практически очень малое изменение силы тока
при значительных изменениях сопротивления Rx? Вну-
Внутреннего сопротивления источника не учитывать.
Рис. 56.
Я,
$,=гв
Яг20м\
224. В цепи, изображенной на рис. 57, батареи включены
навстречу, их э. д. с. <?i=l,5 В и <?2=1 В. Сопротивления
#=100 Ом, #х=50Ом и #2=80 Ом. Найти силу тока,
идущего через сопротивление R.
225. Каково должно быть соотношение между сопротив-
сопротивлениями и э. д. с. в цепи, указанной на рис. 57, при котором
через вторую батарею не будет течь ток?
226. Сопротивления цепи, данные которой приведены на
рис. 58, подобраны так, что ток через батарею с э. д. с. <§г
не идет. Чему равны напряже-
напряжение V2 на зажимах сопротивле-
сопротивления R2 и сила тока /3 через соп*
ротивление /?3? Внутренними
сопротивлениями батарей пре-
пренебречь.
227. В условиях предыдущей
задачи чему равны сопротив-
сопротивления /?2, Ri и /?4?
228. Батарея с э. д. с. $ замкнута на снабженный пол-
ползунком реохорд, имеющий длину / и сопротивление R. К кон-
концу реохорда и к ползунку подключен вольтметр с внутрен-
внутренним сопротивлением г. Как зависят показания вольтметра
от положения ползунка на реохорде?
229. За неимением одинаковых гальванических элемен-
элементов пришлось включить параллельно два гальванических
элемента с э. д. с.^и^ис внутренними сопротивлениями
гг и г2. Они дают ток во внешнюю цепь, сопротивление кото-
которой R. Найти э. д. с. $ и внутреннее сопротивление г такого
Рис. 58.
гальванического элемента, который дает во внешнюю цепь
такой же ток при любом сопротивлении /?, и показать, что
<§ всегда меньше наибольшей из э. д. с. $г и ?2.
230. В цепи, схема которой изображена на рис. 59, из-
известны сопротивления Ru R2) R3 и ток /3 через сопротивле-
сопротивление R3. Определить токи 1г и
/2 через сопротивления Ri и R2
и э. д. с. <# батареи.
Рис. 59.
Рис. 60.
231. В цепи, схема которой приведена на рис.60, извест-
известны все сопротивления и сила тока /4 через сопротивле-
сопротивление /?4. Найти э. д. с. ? батареи. Внутренним сопротивле-
сопротивлением батареи пренебречь.
232. В цепи постоянного тока (рис. 61)<?=10В, Rt=
=5 Ом, R2=R3=l Ом, jR4=/?5=3 Ом. Найти силы токов
в каждой ветви. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь.
233. Чему равна э. д. с. g батареи (в схеме рис. 61 и при
величинах сопротивлений, указанных в предыдущей задаче),
если известно, что ток через
батарею равен 3,24 А?
Рис. 61.
Рис. 62.
^234. В боковые стороны и диагонали схемы мостика Уит-
ствда включены источники тока с произвольными э. д. с.
(рис. 62). Сопротивления этих сторон и диагоналей, включая
43
внутренние сопротивления источников тока, равны соответ-
соответственно /?i, /?2, •••, Re- При каком условии замыкание и
размыкание ключа в диагонали 6 не влияет на показание
гальванометра, включенного в диагональ 5?
235. В предыдущей схеме (рис. 62) гальванометр из диа-
диагонали 5 перенесен в боковую сторону У, а ключ К — в про-
противоположную боковую сторону 4. При каком условии за-
замыкание и размыкание ключа не будет влиять на показания
гальванометра?
236. В электрической цепи, схема которой приведена на
рис. 63, известны сопротивления Ru R2 и R3> сила тока /
через батарею и разность потенциалов V2i между точками
2 и 1. Найти величину сопротивления /?4-
С
Рис. 63.
Рис. 64.
Л
237. Для определения внутреннего сопротивления г
гальванического элемента можно воспользоваться схемой
рис. 64, в которой гальванометр G
с известным сопротивлением /?х
дает одинаковые отклонения стрел-
стрелки, будет ли подвижный контакт
находиться в В или в С, причем
сопротивление А В для этой цели
специально подбирается. Пусть соп-
сопротивление АВ известно и равно
R2. Чему равно внутреннее сопро-
сопротивление г гальванического эле-
элемента?
238. Рамка гальванометра маг-
магнитоэлектрической системы обла-
обладает двумя идентичными обмотками,
так что при пропускании одного и того же тока по этим об-
обмоткам в разных направлениях гальванометр остается на нуле
44
Рис. 65.
(рис. 65). Каждая из обмоток вместе с добавочным сопро-
сопротивлением к ней имеет сопротивление У?1=150 000 Ом.
Обмотка /включена параллельно сопротивлению/?2, состав-
составляющему часть реостата с сопротивлением ^ = 10 000 Ом
и присоединенному к гальваническому элементу, внутренним
сопротивлением которого можно пренебречь. С помощью
вращающегося коммутатора К заряжают от того же элемен-
элемента я=40 раз в секунду конденсатор С и разряжают послед-
последний с той же частотой через обмотку // гальванометра в на-
правлении, противоположном току, идущему через обмотку /.
Сопротивление R2 регулируют так, чтобы гальванометр
оставался на нуле; при этом #2=3000 Ом. Чему равна
емкость конденсатора С?
239. На телеграфной однопроводной линии имеется по^
вреждание с определенным сопротивлением заземления г
(рис. 66). Показать, что ток / на принимающем конце линии
'////////////////////////////////////////////////////////////////////А
Рис. 66.
будет наименьшим в том случае, когда повреждение про-
произошло в середине линии. Сопротивление приемного аппара-
аппарата мало по сравнению с сопротивлениями всей линии.
240. Как устроить освещение одной лампочкой кори-
коридора, чтобы человек, входящий с любого конца коридора,
мог включить или выключить лампочку, висящую посере-
посередине коридора, независимо от того, в каком положении нахо-
находится переключатель на другом конце коридора?
241. Тело из плохого проводника имеет форму цилинд-
цилиндрической трубки. Длина трубки /, внутренний и внешний
радиусы поверхностей гх и г2, удельное сопротивление ве-
вещества трубки р. Цилиндрические поверхности трубки пог
крыты обкладками из идеального проводника, и между
обкладками создана некоторая разность потенциалов,
вследствие чего через стенку трубки идет ток. Найти
сопротивление тела R.
242. Шаровой слой, образованный концентрическими
сферами из идеального проводника, заполнен веществом с
удельным сопротивлением р. Чему равно сопротивление R
45
этого шарового слоя, если его внешний радиус ги а внутрен-
внутренний г2?
243. Показать, что сопротивление однородной проводя-
проводящей среды, заполняющей все пространство между двумя
идеально проводящими оболочками произвольной формы,
равно р/DлС), где р — удельное сопротивление среды, а
С — взаимная емкость этой системы электродов-оболо-
электродов-оболочек в вакууме.
244. Два металлических шара одинакового радиуса г по-
погружены в однородную среду с удельным сопротивлением
р. Чему равно сопротивление R среды между шарами? Счи-
Считать, что расстояние между шарами очень велико по срав-
сравнению с их радиусами.
245. Два электрода А± и А2 произвольной формы глу-
глубоко зарыты в землю и соединены между собой воздушным
проводом (телеграфная линия). Электроды находятся далеко
друг от друга. Емкости электродов (в вакууме) равны соот-
соответственно Сх и С2. Почву в окрестности каждого электрода
можно считать однородной. Найти сопротивление земли R
между электродами, если удельные сопротивления почвы в
окрестности электродов равны соответственно рх и р2.
246. Сравнить напряжения V на клеммах, а также мощ-
мощности N, развиваемые во внешней цепи следующими двумя
генераторами тока: 1) батареей из п=50 элементов, соеди-
соединенных последовательно и имеющих каждый э. д. с. ^>1=
=2 В, причем внешняя цепь имеет сопротивление /?i=
=200 Ом, а внутреннее сопротивление элемента /4=0,2 Ом;
2) электрофорной машиной с несколькими дисками, создаю-
создающей на шаровых кондукторах разность потенциалов <?2=
= 100000 В и обладающей внутренним'сопротивлением г2=
= 108 Ом, когда ее приключают к внешней цепи с сопротив-
сопротивлением /?2=10б Ом. Как изменятся силы токов и мощности
во внешней цепи, если сопротивления внешних цепей уд-
удвоятся?
247. Сравнить напряжения V и мощности N во внешней
цепи, создаваемые: 1) динамо-машиной постоянного тока с
весьма малым внутренним сопротивлением, дающей во
внешнюю цепь с сопротивлением 20 Ом ток силой 5,5 А;
2) батареей элементов предыдущей задачи, замкнутой на
такое же сопротивление 20 Ом. Как изменятся результаты
этого сравнения, если внешнее сопротивление упадет в два
раза?
248. Батарея с э. д. с. S=40 В и внутренним сопротив-
сопротивлением г=5 Ом замыкается на внешнее сопротивление /?,
46
изменяющееся от нуля до 35 Ом. Построить на одном черте-
чертеже следующие графики зависимости от внешнего сопротив-
сопротивления R: 1) мощности, развиваемой во внешней цепи;
2) мощности, рассеивающейся внутри источника; 3) всей
мощности.
249. Электрическая лампочка рассчитана на напряже-
напряжение V и потребляет мощность N. Нить этой лампочки можно
рассматривать как цилиндр длины / с радиусом г. Какой
длины /' и какого радиуса г' нужно взять нить из того же
материала, чтобы лампочка при напряжении V' потребляла
мощность ЛГ? В обоих случаях считать температуру нити
при калении одинаковой, а охлаждение нити пропорцио-
пропорциональным ее поверхности.
250. Вследствие испарения нити при высокой температу-
температуре накала диаметр нити с течением времени уменьшается.
Насколько надо изменить (повысить или уменьшить?) при-
приложенное к нити накала напряжение при уменьшении диа-
диаметра нити на р%, чтобы температура нити осталась преж-
прежней? Охлаждение нити происходит пропорционально вели-
величине ее поверхности.
251. По сети длиной 5 км необходимо передать энергию
от источника с напряжением НОВ, имеющего мощность
5 кВт. Какого минимального диаметра D должен быть мед-
медный провод, чтобы потери энергии в сети не превышали 10%
от мощности источника? Удельное сопротивление меди р==
=0,017-Ю-4 Ом-см.
252. От источника с напряжением <?= 100 000 В требует-
требуется передать на расстояние 1=5 км мощность W=5000 кВт.
Допустимая потеря напряжения в проводах /1=1%. Рас-
Рассчитать минимальное сечение S медного провода, пригод-
пригодного для этой цели. Удельное сопротивление меди р=
=0,017.10~4 Ом-см. Сравнить с результатом предыдущей
задачи.
253. Во сколько раз следует повысить напряжение ис-
источника, чтобы снизить потери мощности в линии в 100 раз
при передаче той же самой мощности при условии, что в
первом случае падение напряжения в линии AV=nV, где
V — напряжение на нагрузке?
254. М. О. Доливо-Добровольский предложил трехпро-
водную систему постоянного тока, изображенную на
рис. 67, а. Преимущество этой системы заключается в умень-
уменьшении массы меди, необходимой для проводов, соединяющих
источник с нагрузкой. Для выяснения этого преимущества
47
сравним две системы а) и б) на рис. 67, передающие одина-
одинаковую мощность 1).
1) Определить относительное уменьшение массы прово-
проводов в системе Доливо-Добровольского при следующих ус-
условиях: нагрузки в системе а) симметричны, т. е. Ri=R2\
V 6)
Рис 67.
передаваемые мощности и потери мощности в сети для обеих
систем одинаковы; в каждой системе все провода имеют оди-
одинаковое сечение; длины и материал проводов везде одина-
одинаковы.
2) Подсчитать соотношение потерь мощности в сети для
обеих систем при несимметричных нагрузках в системе а)у
считая, что сопротивление проводов выбрано исходя из ус-
условий, сформулированных в п. 1), и мощность генераторов
обеих систем одинакова. Определить отношение потерь мощ-
мощности как функцию величины а=11/12.
255. Имеются три электрические лампочки, рассчитан-
рассчитанные на напряжение ПО В и имеющие мощности 50, 50 и
100 Вт. По какой схеме можно включить эти лампочки в сеть
с напряжением 220 В так, чтобы все они горели полным
накалом?
256. В коридор квартиры подведено напряжение К=
= 120 В. В середине коридора и в противоположном от вво-
ввода конце горят 100-ваттные лампочки. От ввода до второй
лампочки в конце коридора расстояние /=20 м. На-
Насколько изменится потребляемая лампочками мощность,
если на равном расстоянии между ними включить электро-
электроплитку, потребляющую ток /=5 А? Сечение провода S=
=2 мм2. Изменения сопротивлений лампочек можно не
учитывать.
д) Для осуществления этой системы Доливо-Добровольский спе-
специально сконструировал машину постоянного тока с делителем на-
напряжения, так что вместо двух машин, указанных на рис. 67, а, приме-
применялась одна машина,
48
257. Дана электрическая цепь, в которой находится,
помимо других сопротивлений, некоторое сопротивление
Ro, потребляющее мощность N. Когда к клеммам этого со-
сопротивления подключают параллельно еще одно такое же
сопротивление, то в них обоих также расходуется мощ-
мощность N. Дать простейшую схему и расчет такой цепи.
258. Найти закон повышения температуры Т мангани-
манганиновой проволоки, по которой идет постоянный ток. Принять
закон охлаждения Ньютона, т. е. считать, что количество
тепла, отдаваемое единицей поверхности проволоки за еди-
единицу времени, Q=k(T—Го), где То — температура окру-
окружающей среды, k — коэффициент в законе Ньютона. В на-
начальный момент температура проволоки равна температуре
окружающей среды Го. Сопротивление проволоки /?, длина
/, радиус сечения ее г, плотность т, удельная теплоемкость
с. Сила тока, идущего по проволоке, постоянна и равна /.
Сопротивление манганина не зависит от температуры.
259. К электродам электролитической ванны приложена
разность потенциалов V, которая поддерживается постоян-
постоянной. Сопротивление электролита в результате увеличения
подвижности ионов и их концентрации меняется с темпе-
температурой по закону
Принимая, что охлаждение электролита подчинено закону
Ньютона (см. предыдущую задачу), найти установившуюся
температуру электролита. Поверхность электролита S и
температура окружающей среды То. Массу электролита.m
и его удельную теплоемкость с считать неизменными.
260. Как зависит от времени мощность N, выделяемая
током в угольном стержне, включенном на постоянное на-
напряжение У, если сопротивление R угля зависит от тем-
температуры по закону
и если проводник охлаждается по закону Ньютона (см. за-
задачу 258)? Масса угля т, удельная теплоемкость с, по-
поверхность S, начальная температура угля и окружающей
среды То.
261. Имеется п идеально проводящих тел в вакууме с за-
зарядами qu q2t ..., qn и потенциалами <рь ф2, ..., <рп. Какое
количество тепла будет выделяться ежесекундно, если про-
пространство между этими телами заполнить однородной
49
жидкостью с удельной проводимостью X и диэлектрической
проницаемостью е, а потенциалы тел поддерживать при
прежних значениях?
262. К заряженному до напряжения Vo конденсатору с
емкостью d подключается незаряженный конденсатор с ем-
емкостью С2 (рис. 68). Найти зависимость тока в цепи от вре-
времени, если сопротивление проводов,
соединяющих обкладки конденсато-
конденсаторов, равно R. Какое количество тепла
выделится в проводах в результате
прохождения тока?
263. Пластины воздушного конден-
~* сатора с емкостью С= 10" 10Ф соедине-
Рис. 68. ны с сопротивлением R через батарею
с э. .д. с. ?. Пластины быстро сбли-
сближаются в течение времени Л^=10-2 с, расстояние между
ними при этом уменьшается вдвое. При каком условии за
это время заряд конденсатора практически не изменится?
Найти джоулево тепло фдж, которое выделится в сопротив-
сопротивлении R к моменту окончания перезарядки.
§ 3. Постоянные магниты
264. Три совершенно одинаковые магнитные стрелки
расположены в вершинах равностороннего треугольника.
Стрелки могут вращаться вокруг осей, перпендикулярных к
плоскости треугольника. Всеми остальными влияниями и
магнитным полем Земли можно пренебречь. Длина стрелки
много меньше длины стороны треугольника. Каково поло-
положение равновесия стрелок?
265. Магнитная стрелка обладает магнитным моментом
Ш (направление магнитного момента совпадает с направле-
направлением оси стрелки от южного полюса к северному). Найти
потенциал V и напряженность Н магнитного поля в точке Ау
находящейся на расстоянии d от центра стрелки в направле-
направлении ф относительно оси стрелки. Какой угол 0 образует на-
напряженность поля в точке А с радиусом-вектором d? Маг-
Магнитная проницаемость среды ц. Расстояние d много больше
длины / стрелки.
266. Магнитная стрелка с моментом Ш расположена в
однородном магнитном поле, напряженность которого Я,
и образует с направлением поля угол 0. Чему в этом случае
равна потенциальная энергия ?пот стрелки в магнитном
поле?
60
267. Два одинаковых достаточно тонких магнита нахо-
дятся на расстоянии, которое в п раз больше длины каждого
из них. С какой силой F притягивают они друг друга, если
магнитный момент каждого из них 8ft, а длина / и они рас-
расположены на одной прямой разноименными полюсами друг
к другу? Магнитная проницаемость среды \i=l и гО\.
268. Определить период колебаний Т магнитов предыду-
предыдущей задачи, если их сблизить так, чтобы расстояние между
яими было в л=20 раз меньше длины каждого из них, и от-
отклонить их в одну сторону на небольшой угол ф, как указа-
указано на рис. 69, а затем отпустить. Магниты укреплены на
осях без трения, и момент инерции каждого магнита вокруг
оси равен J.
269. Уменьшится или увеличится период колебаний,
если-в начальный момент магниты (см. условия предыдущей
Рис. 70.
задачи) разведены на одинаковые малые углы в разные
бтороны примерно так, как указано на рис. 70, а затем от-
отпущены?
270. В однородном вертикальном магнитном поле висит
подвешенный за один конец тонкий намагниченный стер-
стержень. Магнитный момент стержня Ш =49 СГСМ, масса
его т=6 г, длина /=100 мм. Найти величину и направление
напряженности поля Я, если период колебаний Т этого маг-
магнита в два раза больше периода его колебаний Т в отсутст-
отсутствие магнитного поля. Получить общее выражение для Т.
271. Магнитный момент стрелки компаса Ш, ее масса /л,
длина /. Горизонтальная слагающая земного магнитного
поля Я. Рассматривая магнитную стрелку как тонкий стер-
стержень, определить период Т ее колебаний в магнитном поле
Земли.
272. Магнит с магнитным моментом 3№ в виде цилинд-
цилиндрического стержня массы m и радиуса R подвешен за свою
5!
середину на нити следующим образом. В середине стержня
перпендикулярно к оси просверлено очень малое отверстие,
в котором закреплена нить. Как расположится стержень в
магнитном поле Земли, горизонтальная и вертикальная со-
составляющие которого соответственно равны #г и #в?
273. В узком зазоре магнита напряженность поля
#=400 Э (рис. 71). Какова напряженность поля #0 в ма-
материале магнита вблизи зазо-
зазора, если магнитная проницае-
проницаемость материала |и=500?
274. Намагниченность f-
прямоугольного бруска одина-
одинакова во всех точках бруска
и направлена вдоль его оси
Рис. 71.
Рис. 72.
(рис. 72). Найти поверхност-
поверхностную плотность а магнитных зарядов на концах бруска и
соотношение между В и # внутри бруска.
275. Магнитная стрелка представляет собой прямую
тонкую стальную спицу длины /=6 см и массы т~\ г.
Стрелка может свободно вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через ее центр масс. После отклонения от
положения равновесия она совершает колебания в магнит-
магнитном поле Земли. Показать, что эти колебания гармониче-
гармонические (при малых углах отклонения). Определить магнит-
магнитный момент Щ стрелки, зная, что период колебаний Г=5 с
и горизонтальная слагающая земного поля #=0,2 Э.
276. Постоянный магнит в форме подковы с круглым
сечением, диаметр которого D=2 см, способен удержать
якорь с грузом, которые вместе имеют массу т=10 кг.
Чему равны напряженность # магнитного поля вблизи по-
полюсов магнита и поверхностная плотность а магнитных за-
зарядов на полюсе?
277. Ряд одинаковых магнитных стрелок насажен на
острия, находящиеся на одной прямой, на равных расстоя-
расстояниях друг от друга. Каковы возможные положения равно-
равновесия и какие из них устойчивы?
278. Горизонтальную слагающую земного поля # мож-
можно определить следующим образом. Взять сильный корот-
короткий магнит в виде прямоугольного бруска, насаженного в
центре на вертикальное острие, и найти период Т малых
колебаний его около положения равновесия. Затем распо-
расположить его перпендикулярно к земному полю в горизон-
горизонтальной плоскости и поместить короткую магнитную стрел-
стрелку на продолжении оси бруска на расстоянии d, много боль-
52
шем длины бруска, и определить угол а, который образо-
образовала стрелка с направлением бруска. Как, зная 7\ d и а,
вычислить Я? Момент инерции бруска относительно вер-
вертикальной оси, проходящей через его центр, считать извест-
известным и равным У.
279. Как из данных предыдущей задачи определить
магнитный момент Ш бруска?
2801). Свободная энергия ?, термодинамический потен-
потенциал Ф и энтальпия / изотропного магнетика определя-
определяются выражениями
V = U-TS9 <D = V-±HB, I = U
где U — внутренняя энергия, a S — энтропия магнетика.
(Во всем дальнейшем предполагается, что объем магнетика
V постоянен и равен единице.) Показать, что для всякого
бесконечно малого квазистатического процесса выполня-
выполняются соотношения
281. Найти выражения для плотности свободной и внут-
внутренней энергии пара- и диамагнетика.
282. Показать, что для диамагнетиков внутренняя энер-
энергия совпадает со свободной.
283. Вычислить плотность внутренней и свободной
энергий для парамагнитных газов.
284. Найти разность между теплоемкостями единицы
объема пара- и диамагнетика при постоянной индукции
Св и постоянной напряженности магнитного поля Сн.
Как осуществить нагревание при постоянном Я?
285. Найти изменение температуры парамагнетика при
квазистатическом адиабатическом намагничивании (маг-
нитокалорический эффект). Объем парамагнетика во время
намагничивания поддерживается постоянным.
а) Задачи 280—292 предполагают знакомство с явлением электро-
электромагнитной индукции, а также вопросами, связанными с энергией
магнитного поля и процессами намагничивания,
63
286. Решить предыдущую задачу в предположении, что
магнитная восприимчивость парамагнетика подчиняется
закону Кюри х~1/7\ Пренебрегая зависимостью Сн от
магнитного поля и от температуры, вычислить изменение
температуры при адиабатическом размагничивании, когда
поле меняется от Н до нуля.
287. Найти изменение температуры парамагнитного газа,
к которому применима классическая теория теплоемкостей,
при адиабатическом размагничивании. Получить числен-
численный результат для кислорода при нормальных условиях
(Т=293 К, P=IOQ дин/см2). Магнитная восприимчивость
кислорода х=0,16-10~6, начальное значение магнитного
поля #=3-104 Э.
288. Почему магнитокалорический эффект, дающий при
нормальных условиях ничтожные понижения температуры,
является эффективным методом получения сверхнизких тем-
температур?
289. Показать, что вблизи абсолютного нуля темпера-
температуры для пара- и диамагнетиков выполняются соотношения
нт^=нт J* о.
Г + 0 дТ Г->0 дТ
290. Щелочные металлы, как показывает опыт, облада-
обладают парамагнетизмом, не зависящим от температуры. Паули
объяснил это обстоятельство тем, что парамагнетизм таких
металлов обусловлен не магнитными моментами атомов, а
спинами электронов проводимости в металлах. Показвть,
что температурная независимость парамагнетизма «элек-
«электронного газа» в металлах является следствием термодина-
термодинамики.
291. Показать, что вблизи абсолютного нуля темпера-
температуры выполняется соотношение
lim
292. В классической теории парамагнетизма газов Лан-
жевена намагниченность f- определяется выражением
где Ш — магнитный момент атома, п — число атомов в
единице объема, ах — безразмерная величина, равная
ШН/AгТ). Какой вид принимает это выражение вблизи
абсолютного нуля температуры? Выполняется ли при этом
54
теорема Нернста? Рассмотреть те же вопросы для
простейшей квантовой теории парамагнетизма, в которой
предполагается* что магнитный момент атома обусловлен
спинами электронов и равен одному магнетону Бора. В этой
теории
Рис. 73.
§ 4. Магнитное поле тока.
Сверхпроводник в магнитном поле
293. Из куска изолированной проволоки сделан круг-
круглый виток радиуса R и подключен к источнику тока с по-
постоянной э. д. с. <§. Как изменится напряженность магнит-
магнитного поля в центре круга, если из того же куска проволоки
сделать два прилегающих друг к другу
витка радиуса R/2?
294. Дан плоский замкнутый контур
произвольной формы, по которому идет
ток (рис. 73). Определить направление
напряженности магнитного поля в точке
Л, лежащей внутри контура, и в точке
J5, лежащей вне контура.
295. Вдоль стенки цилиндрической трубы идет постоян-
постоянный ток силы /. Какова напряженность магнитного поля Н
внутри и вне трубы?
296. По однородному прямолинейному цилиндрическому
проводнику радиуса R идет ток /. Найти напряженность
магнитного поля Н внутри и вне про-
проводника на расстоянии г от оси.
297. Бесконечно длинный цилинд-
цилиндрический провод (рис. 74) состоит из
двух коаксиальных цилиндров: цен-
центрального сплошного цилиндра радиу-
радиуса Rlf сделанного из материала с
удельным сопротивлением рь и окру-
окружающего его полого цилиндра с внеш-
внешним радиусом /?2, изготовленного из
материала с удельным сопротивлением
р2. Внешняя поверхность сплошного
и внутренняя поверхность полого цилиндров находятся в
электрическом контакте. По проводу параллельно его оси
течет постоянный ток /. Найти выражения для напряжен-
напряженности магнитного поля Я внутри и вне проводов.
55
Рис. 74.
298. Вдоль тонкостенной цилиндрической трубки ра-
радиуса #=25мм течет постоянный ток /=20 А. В стенке труб-
трубки имеется тонкая щель ширины d=l мм, параллельная
оси трубки. Определить напряженность магнитного поля Н
внутри трубки на расстоянии г от середины щели, большом
по сравнению с d.
299. По двум бесконечно длинным прямолинейным про-
проводникам, сделанным из немагнитного материала и изоли-
изолированным друг от друга, текут
в противоположных направ-
направлениях токи с одной и той
же плотностью/=1000 А/см2.
Проводники ограничены ци-
цилиндрическими поверхностя-
поверхностями. (На рис. 75 поперечные
сечения проводников заштри-
заштрихованы.) Найти величину и
направление напряженности
Рис. 75. магнитного поля в полости П.
Ток в левом проводнике на-
направлен к читателю, а в правом — от читателя. Расстояние
между осями цилиндров AB=d=5 см.
300. Определить напряженность магнитного поля внутри
бесконечной цилиндрической полости, сделанной в беско-
бесконечном цилиндрическом проводе, вдоль которого течет
постоянный ток плотности /, равномерно распределенный
по сечению провода. Расстояние между осями провода и
полости равно d.
301. В высокий цилиндрический сосуд радиуса R налит
электролит. Внутри сосуда параллельно его оси располо-
расположен цилиндрический металлический стержень, поверхность
которого покрыта изолирующей краской. Расстояние между
осями стержня и сосуда равно d. В электролите параллельно
оси течет ток силы /, возвращающийся обратно по стержню.
Считая плотность тока в электролите постоянной, найти
силу, с которой магнитное поле, созданное рассматривае-
рассматриваемыми токами, действует на единицу длины стержня. Куда
эта сила направлена? Радиус стержня равен г.
302. На рис. 76 показана схема симметричного развет-
разветвления токов. Все проводники прямолинейны, бесконечны
и лежат в одной плоскости. Определить напряженность
магнитного поля на линии, перпендикулярной к плоскости
токов и проходящей через точку Л, если сила тока в каждой
ветви равна /.
56
303. Решить задачу 302 с таким изменением условия,
какое можно видеть на рис. 77.
Рис. 76.
Рис. 77.
304. Определить напряженность магнитного поля в пло-
плоскости симметрии проводника, изогнутого под прямым уг-
углом (рис. 78), на линии ОАО', лежащей в плоскости тока, и
на линии, перпендикулярной к этой
плоскости и проходящей через точ- \о'
ку А. Начертить приближенно ход \
линий магнитного поля в плоское- \
ти симметрии. \
305. Источник э. д. с. присое- \
динен к двум противоположным ч\
вершинам проволочного плоского ¦< -
контура, имеющего форму квадра- \
та. Какова величина напряжен- \0
ности магнитного поля Я, созда- Рис. 78.
ваемого токами, текущими по сто-
сторонам контура, в центре квадрата? Поле подводящих
проводов не учитывать.
306. Найти напряженность магнитного поля Я в центре
плоского прямоугольного контура со сторонами а и Ь, об-
обтекаемого током /.
307. Определить напряженность магнитного поля Я
в центре равностороннего треугольника со стороной а,
обтекаемого током /.
308. Какова напряженность магнитного поля Я в центре
равностороннего треугольника из однородной проволоки,
если источник э. д. с. подключен к двум вершинам треуголь-
треугольника? Поле подводящих проводов не учитывать.
309. К противоположным концам диаметра А В прово-
проволочного контура в виде окружности радиуса R (рис. 79)
присоединен источник э. д. с. Какова напряженность маг-
магнитного поля Я в произвольной точке С диаметра? Поле
подводящих проводов не учитывать,
57
310. Деревянный шар радиуса R обмотан тонкой про-
проволокой так, что витки ложатся по большим кругам, пере-
пересекаясь в концах одного и того же диаметра АВ (рис. 80).
Число витков шесть, и плоскости каждой пары соседних
витков образуют угол 30°. По проволоке течет ток силы /.
А
Рис. 79.
Найти величину и направление напряженности поля Н
в центре шара.
311. На деревянный цилиндрический барабан намотаны
четыре витка проволоки под углом 45° один к другому;
каждый виток представляет собой прямоугольную рамку
со сторонами h (высота барабана) и D=AB (диаметр осно-
основания). Обмотка начинается и кончается в центре С одного
из оснований барабана (рис. 81). По проволоке течет ток
силы /. Найти величину и направление напряженности маг-
магнитного поля Н в середине оси цилиндра.
А
А
312. Внутри однородной проводящей сферы от точки А
к точке В (рис. 82) по диаметру большого круга проходит
58
проводник. Ток силы / идет от В к Л, а затем по сфере —
к точке В. Определить напряженность магнитного поля
внутри и вне сферы, создаваемого токами, текущими по
проводнику и по сфере.
313. Деревянный шар радиуса R обмотан тонкой прово-
проволокой так, что все витки параллельны между собой. Витки
плотно уложены и покрывают половину поверхности шара
в один слой (рис. 83). По проволоке идет ток силы /. Найти
напряженность магнитного поля Н в центре шара С. Общее
число витков N. Витки можно считать кольцами, находя-
находящимися на равном расстоянии друг от друга по дуге боль-
большого круга, плоскость кото-
которого перпендикулярна к пло-
плоскости колец.
В
Я/
/
Рис. 84.
314. Из одинаковых кусков проволоки спаян куб (рис. 84).
К противоположным концам А и В его диагонали приложе-
приложена э. д. с. Какова напряженность Н маг-
магнитного поля в центре куба? Поле подво-
подводящих проводов не учитывать.
315. Найти напряженность магнитно-
магнитного поля Н в центре плоского замкнутого
контура, изображенного на рис. 85, по
которому течет ток силы /. Контур сос-
состоит из двух дуг радиуса R и двух пря-
прямых, отстоящих друг от друга на рас-
расстоянии 2а.
316. Найти напряженность магнитно-
магнитного поля Н в центре плоской спирали, по р с 85
которой течет ток силы /. Спираль за- ис*
ключена между окружностями радиуса Rt и R2 (рис. 86).
Общее число витков спирали N. Поле подводящих прово-
проводов не учитывать.
317. Найти напряженность магнитного поля Н на оси
соленоида в точке Л, из которой диаметры концов видны
под углами 2а и 2|3 (рис. 87). Соленоид состоит из N вит-
витков, равномерно намотанных на
длине /, и по нему идет ток силы/.
318. Для предыдущей задачи
построить график зависимости
напряженности магнитного поля
Рис. 86.
Рис. 87.
Рис. 88.
Н на оси соленоида от расстояния х точки А от середины
соленоида, приняв следующие числовые данные: 1=1 А;
D=2 см; 1=1 м; JV=1OOO; x=0; 25; 40; 45; 50; 60 см.
319. Найти напряженность магнитного поля Н в фо-
фокусе плоского эллиптического проводника, по которому
течет постоянный ток силы /.
Эксцентриситет эллипса г=с/а
и параметр р=Ь21ау где а и b—
полуоси эллипса, с — расстоя-
-*~Х ние между его фокусами.
320. Два круговых тока оди-
одинакового радиуса R отстоят друг
от друга на расстоянии их диа-
диаметра. Токи одинаково направ-
направлены и одинаковой силы. Пост-
Построить график зависимости напряженности поля Н вдоль
прямой, проходящей через их центры (рис. 88).
321. Заряженный шарик радиуса R равномерно вра-
вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью о).
Общий заряд шарика равен q. Найти магнитное поле шари-
шарика на расстояниях г, больших по сравнению с /?, если за-
заряд равномерно распределен: 1) по поверхности шарика;
2) по объему шарика.
322. Определить удлинение спиральной пружины х,
по которой течет постоянный ток / и к нижнему концу кото-
которой подвешен груз массы т (рис. 89). Длина недеформиро-
ванной пружины равна /, диаметр витка D, число витков N.
60
Предполагается, что деформации малы (*</) и подчиняются
закону Гука (коэффициент упругости пружины равен k).
323. Длинный сплошной металлический цилиндр ради-
радиуса R заряжен электричеством и вращается с постоянной
УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ СО ВОКруГ СВОеЙ ПрОДОЛЬ- 2/22
ной оси. Заряд, приходящийся на единицу а 1
длины цилиндра, равен Q. Найти напряжен- /
ность магнитного поля Н внутри цилиндра,
а также разность потенциалов V между осью
и поверхностью цилиндра, возникающие из-за
его вращения. Действием центробежной силы *—
пренебречь. (Когда это можно делать?) т ^
324. Длинный сплошной цилиндр из ди- Рис. 89.
электрика статически поляризован, причем
поляризованность во всех точках цилиндра направлена
радиально, а величина ее пропорциональна расстоянию
от продольной оси цилиндра, т. е. ^=kr (&=const, г —
радиус-вектор, проведенный от оси перпендикулярно к ней).
Цилиндр вращается с угловой скоростью со вокруг своей
оси. Найти напряженность магнитного поля внутри цилинд-
цилиндра вдали от его концов, если радиус цилиндра равен R.
325. Тонкий сердечник тороидальной катушки длины /
сделан из ферромагнитного материала. Минимальная на-
напряженность магнитного поля, при которой намагничен-
намагниченность материала достигает насыщения (^=^наС), равна
#=#наС. Определить минимальный ток /0, который должен
течь по обмотке, чтобы намагниченность сердечника достиг-
достигла насыщения. Какой толщины d должен
быть сделан воздушный зазор в сердечни- /f\
ке, чтобы не возникало насыщения намаг-
намагниченности, если по обмотке течет ток .
/>/0? Число витков обмотки равно N.
326. Достаточно тонкий диамагнитный
стерженек массы т—0,1 г, обладающий маг-
магнитной восприимчивостью х=—14,5-10-6, Рис. 90.
свободно подвешен за центр масс на оси
кругового тока на расстоянии d (значительно превышаю-
превышающем длину стерженька) от плоскости витка (рис. 90). Ра-
Радиус витка R=d=lO см; сила тока /=100 А. Как ориен-
ориентируется стерженек и какая результирующая сила F на не-
него действует? Плотность вещества стерженька т=9,8 г/см3.
327. Конденсатор емкостью С=1 мкФ механическим пе-
переключателем присоединяется Лг= 100 раз в секунду к по-
полюсам динамо-машины, дающей К=120 В, и столько же
61
раз в секунду разряжается через тангенс-буссоль, состоя-
состоящую из /2=100 витков радиуса R=15,7 см. Горизонтальная
слагающая земного поля #=0,2 Э. Найти угол отклонения
магнитной стрелки.
328. Как влияет на отклонение стрелки тангенс-буссоли
в предыдущей задаче сопротивление в цепи конденсатор —
тангенс-буссоль?
329. Ток от батареи аккумуляторов с незначительным
внутренним сопротивлением проходит последовательно че-
через реостат с сопротивлением R=IQ Ом и через тангенс-
буссоль. Наблюдается отклонение стрелки а1=60°. В цепь
вводят дополнительное сопротивление /*=10 Ом, и откло-
отклонение стрелки уменьшается до а2=45°. Определить сопро-
сопротивление R' тангенс-буссоли.
330. Тангенс-буссоль сначала не была точно установлена
в плоскости магнитного меридиана, поэтому при пропуска-
пропускании тока в одном направлении стрелка отклонилась на
угол 8, а при пропускании тока в другом направлении стрел-
стрелка отклонилась в противоположном направлении на угол
&'фв. Определить силу тока /, если постоянная прибора k
(k равна току, при котором стрелка отклоняется на 45°).
331. Плоская прямоугольная проволочная рамка может
поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей че-
через центр рамки. Угол
поворота можно опреде-
определять по лимбу с помощью
указателя, жестко свя-
связанного с рамкой (рис.
91). В центре рамки на
вертикальном острие по-
помещена магнитная стрел-
стрелка; первоначально рамка
и стрелка находятся в
одной плоскости. При
пропускании тока 1 А
стрелка отклонилась, и
для того, чтобы она снова оказалась в плоскости рамки,
последнюю пришлось повернуть на угол Ф=30°. Какой
силы ток можно измерить таким образом этим прибором?
332. Два взаимно перпендикулярных витка в виде ок-
окружностей радиусов R и R' имеют общий центр и располо-
расположены в вертикальных плоскостях, причем плоскость пер-
первого из витков совпадает с плоскостью магнитного меридиа-
меридиана. В общем центре этих витков на острие находится корот-
62
Рис. 91.
кая магнитная стрелка, которая может свободно повора-
поворачиваться в горизонтальной плоскости. Сила тока в витке,
расположенном в -плоскости магнитного меридиана, равна
/, в другом витке /'. При этом наблюдается отклонение
магнитной стрелки на угол 0. Если переменить направление
тока /', то угол отклонения стрелки будет 0'. 1) Чему равна
сила тока /'? 2) Чему равна горизонтальная слагающая зем-
земного магнитного поля Я?
333. Два взаимно перпендикулярных круговых тока и
магнитная стрелка расположены так же, как и в предыду-
предыдущей задаче. Силы токов равны. Наблюдается отклонение
стрелки на угол 0. Найти силу тока /, зная горизонтальную
слагающую земного магнитного поля Я.
334. Прямоугольная проволочная рамка (площадь пря-
прямоугольника S), состоящая из п витков, подвешена на би-
филяре и ориентирована в плоскос-
плоскости магнитного меридиана. По рамке
пропускают постоянный ток, и она
поворачивается на угол 0. Опре-
Определить силу тока, если момент
сил, закручивающих бифиляр на
угол в 1 радиан, равен М. _ Рис 92
335. Достаточно длинный соле-
соленоид может сжиматься и растягиваться, как пружина,
имеющая жесткость k (рис. 92). По соленоиду проходит ток /,
и длина его при этом равна /. Определить первоначальную
длину соленоида /0.
336. Д. А. Гольдгаммер установил, что удельное со-
сопротивление висмута под действием магнитного поля из-
изменяется по закону
где Я — напряженность поля в эрстедах. Этим свойст-
свойством висмута пользуются для измерения напряженности
магнитного поля. Отвлекаясь от ошибок, с которыми был
установлен численный коэффициент 3-Ю""9, найти точ-
точность, с которой может быть измерено магнитное поле на-
напряженности 4000 Э, если сопротивление висмутовой спи-
спирали порядка 10 Ом и измерение ее сопротивления про-
производится на равноплечем мосте, в одну из диагоналей
которого включена э. д. с. 1 В, а в другую — гальвано-
гальванометр с чувствительностью ЫО"*6 А на деление и сопро-
сопротивлением 200 Ом. Считать, что равновесие моста может
быть установлено с точностью до 1 деления прибора,
63
Рис. 93.
337. Проволочный контур A BCD в форме квадрата
(рис. 93) находится в магнитном поле длинного тонкого
стержня с магнитным моментом единицы объема Шо и се-
сечением S, причем северный полюс N магнита находится в
\ центре квадрата, а сам магнит перпен-
/I д дикулярен к плоскости проволочного
" контура. К противоположным концам
диагонали АС подключают источник
э. д. с, вследствие чего по сторонам конту-
контура идет ток силы /. Найти момент пары
сил М, вращающих контур, и его на-
направление.
338. В магнитном поле магнита пре-
предыдущей задачи помещен круговой про-
проводник радиуса R, обтекаемый током
/ по часовой стрелке,, если смотреть со стороны северного
полюса магнита. Магнит расположен по оси кругового тока,
и его северный полюс отстоит на расстоянии d от центра
проводника. Определить силы, действующие на проводник
со стороны магнита.
339. В постоянном однородном магнитном поле напря-
напряженности Я находится вращающаяся вокруг оси рамка
площадью S. Ось расположена перпендикулярно к направ-
направлению поля (рис. 94). На
рамку намотано п витков
проволоки, по которой
через коллектор идет
ток /. Коллектор пере-
переключает направление то-
тока в тот момент, когда
плоскость рамки перпен-
перпендикулярна к направле-
Рис. 94. нию магнитного поля.
Определить максималь-
максимальную работу Л, которую может совершить рамка за один
оборот, если известно, что ток / между переключениями
можно считать постоянным.
340. Магнит в виде круглого длинного стального ци-
цилиндра установлен вертикально. Для расчета принимаем,
что на его полюсе N сосредоточена магнитная масса т. На
полюс опирается проволочная скоба ABOCD со стержнем
ON (рис. 95), имеющая форму буквы «Т»; концы скобы А и
D погружены в ртуть, налитую в горизонтальное кольце-
кольцевое корыто. Точка О является серединой ВС=21. Части
64
AB=CD малы по сравнению с /. К магниту и ртути в корыте
подводится постоянное напряжение, вследствие чего по
стержню ON идет ток 2/ и проволочный контур вращается
вокруг ON. Расстояние ON проволоки ВС от полюса N
равно /. Определить: 1) момент пары сил УИ, вращающих
контур; 2)точку приложения силы, действующей на плечо ОС.
Рис. 95.
Ч#1'—'
Рис. 96.
341. Принцип действия электродвигателя можно понять
с помощью модели, показанной на рис. 96. Неподвижный
круговой проводник расположен горизонтально в вертикаль-
вертикальном однородном магнитном поле напряженности Н. В центре
круга С к вертикальной оси прикреплен металлический
стержень СВ массы т и длины /, касающийся другим кон-
концом кругового проводника. К стержню у центра С и к точ-
точке А кругового проводника через сопротивление R подведен
ток от батареи с э. д. с. $. Найти закон возрастания угло-
угловой скЬрости со вращения стержня после включения э. д. с,
если при вращении на стержень действуют силы трения,
момент которых равен а/2со, где а — постоянный коэффи-
коэффициент пропорциональности. Электрическим сопротивлением
стержня, кругового проводника, контактов и внутренним
сопротивлением батареи можно пренебречь по сравнению
с сопротивлением R.
342. Зеркальный гальванометр имеет проволочную
прямоугольную рамку 40x30 мм2 из 100 витков тонкой
проволоки, подвешенную на нити, коэффициент кручения
которой 0,001 гс-см/(угл. град). Рамка находится в зазоре
между полюсами магнита, создающего поле напряженности
//=1000 Э, которое можно считать направленным jpa-
диально к оси вращения при всех возможных положениях
рамки. 1) На какой угол а отклонится рамка, если по ее
3 Под ред. И. А. Яковлева 65
обмотке пустить ток 0,1 мА? 2) Если миллиметровую шкалу
поместить от зеркала гальванометра на расстоянии 1 м, то
какому току / будет соответствовать отклонение зайчика
на 1 мм?
343. Прямоугольная рамка может вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через середины противо-
противоположных сторон рамки. Рамку помещают в однородное
горизонтальное магнитное поле напряженности Н и про-
пропускают по ней ток. Определить положения равновесия
рамки и исследовать их устойчивость.
344. Рамка из п витков тонкой проволоки имеет форму
квадрата со стороной а. Она может вращаться вокруг вер-
вертикальной оси, проходящей через середины противополож-
противоположных сторон рамки. По рамке идет постоянный ток /. Рам-
Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном
поле напряженности Н. 1) Указать направление тока в рам-
рамке при ее устойчивом равновесии. 2) Определить период Т
малых колебаний рамки около этого положения, если мо-
момент инерции рамки У.
345. На железный сердечник, имеющий форму тора квад-
квадратного сечения (сторона я=4 см) с диаметром ?>=40 см,
намотана равномерно в один слой проволока. Число
витков N=500. По проволоке пускают ток /==1 А. Маг-
Магнитная проницаемость железа ц=400. Найти поток индук-
индукции через сечение сердечника.
346. Если железный тор предыдущей задачи разрезать
в одном месте так, чтобы образовался воздушный зазор
толщиной d=\ мм, то чему будет равен поток индукции
Ф, если пренебречь рассеянием силовых линий?
347. Железный сердечник имеет размеры, указанные
в предыдущих двух задачах. Если воздушный зазор равен
dx—\ мм, то при некоторой силе тока
поток индукции сердечника Фх==3000
Мкс. Когда воздушный зазор увели-
увеличился до^2=2 мм, то при той же силе
тока значение потока индукции ока-
залосьФ2=2500 Мкс. Предполагая, что
4 в обоих случаях можно пренебречь рас-
рассеянием линий индукции, определить
магнитную проницаемость \л железа.
348. Аккумулятор питает катуш-
катушки электромагнита, показанного на
рис. 97. При каком соединении катушек (параллельном или
последовательном) подъемная сила электромагнита будет
66
рис
больше и во сколько раз? Указать, какие концы надо
соединять при том и другом включении катушек. Обе ка-
катушки совершенно одинаковы.
349. Электромагнит из железного бруса в форме под-
подковы имеет размеры, указанные на рис. 98 в сантимет-
сантиметрах. Число витков обмотки N=200.
Сила тока 1=2 А. Как велика подъ-
подъемная сила F электромагнита, если
[1=200?
350. Якорь электромагнита преды-
предыдущей задачи несет нагрузку в 20 кгс
и отстоит от сердечника на расстоя-
расстоянии 1 мм. Какой ток / нужно пустить
в обмотку электромагнита, чтобы он
притянул якорь?
351. Внутри длинной катушки
(рис. 99), на каждый сантиметр длины
которой-приходится п витков, находит-
находится короткая катушка сечения S, состоящая из N витков; ось
этой катушки перпендикулярна к оси длинной катушки и
направлена вертикально. Внутренняя катушка укреплена
на одном конце коромысла весов, которое в отсутствие тока
Рис. 99.
находится в равновесии. Когда через обе катушки пропу-
пропускают один и тот же ток /, то для уравновешивания весов
на длинное плечо коромысла нужно поместить груз мас-
массы т. Длина плеча коромысла, несущего груз, равна /.
Определить силу тока /.
352. Как скажется значительное укорочение длинной
катушки, описанной в предыдущей задаче, на
показаниях прибора, если число п остается неизменным?
353. При каком условии можно с помощью прибора,
описанного в задаче 351, измерять силу переменного тока?
Какую силу тока будет показывать прибор?
354. Может ли прибор, описанный в задаче 351, служить
ваттметром?
3* 67
355. По длинному соленоиду, имеющему п витков на
1 см, идет ток /. Найти давление Р, действующее на
боковую поверхность соленоида.
356. Почему два параллельных проводника, по которым
идут токи в одном направлении, притягиваются, а два па-
параллельных катодных пучка отталкиваются?
357. От полюсов источника э. д. с. <В ток идет по двум
параллельным длинным проводам, включенным на нагрузку
Рис. 100.
R (рис. 100). Построить силовые линии электрического и
магнитного полей в плоскости, перпендикулярной к
плоскости параллельных токов.
358. От одного полюса источника э. д. с. ? идут два па-
параллельных прямых провода, которые затем через сопро-
сопротивление R и обратный провод, достаточно удаленный от
первых двух, присоединяются
ко второму полюсу источника
(рис. 101). Каковы электри-
ческое и магнитное поля в
плоскости, перпендикулярной
к плоскости параллельных
токов?
Рис- 10L 359. По достаточно длин-
длинной шине, укрепленной гори-
горизонтально, идет ток /=1 А. На каком расстоянии d
от шины параллельно ей в той же вертикальной плоскости
должен быть расположен голый, достаточно длинный мед-
медный провод, чтобы силы магнитного взаимодействия урав-
уравновесили вес провода, если по нему в ту же сторону идет
ток i? Масса провода т,
I | \ длина его /.
? ^ j: 360. Под длинной горизон-
-J» 1 ^ . тальной шиной на двух оди-
^Г -* L ^^л^ наковых пружинах (коэффи-
(коэффициент жесткости каждой пру-
Рис; 102< жины равен k дин/см) подве-
подвешен прямой провод длины /
(рис. 102). Когда по шине и проводнику токи не идут, рас-
расстояние между ними равно /г. Найти расстояние х меж-
между ними, если по шине течет ток /, а по проводу —
68
ток i. Рассмотреть два случая: 1) токи совпадают по направ-
направлению и 2) токи противоположны по направлению. Провод
может двигаться только в вертикальной плоскости.
361. Между полюсами сильного магнита находится
плоская кювета, от узких стенок которой отходят две па-
параллельные вертикальные трубки. Сверху и снизу в кювету
входят платиновые электроды А (+) и К(—), присоединен-
присоединенные через ключ к источнику э. д. с. <?. Кювета и трубки
Рис. 103.
залиты проводящей жидкостью так, что уровни жидкости
в вертикальных трубках стоят на одной высоте (рис. 103).
Что произойдет после того, как ключ будет замкнут?
362. Прибор, описанный в предыдущей задаче, можно
использовать для измерения силы тока. Определить силу
тока /, идущего через жидкость кюветы, если индукция
магнитного поля равна В, толщина кюветы d, установив-
установившаяся разность уровней жидкости в вертикальных трубках/г,
плотность жидкости т. От чего зависит чувствительность
прибора?
363. Оценить порядок величины «выталкивающей» си-
силы, действующей на непроводящее тело объема V, поме-
помещенное в проводящую немагнитную жидкость, в которой
течет ток плотности J поперек магнитного поля с индукцией
В. Какие эффекты могут привести к отличию реальной вы-
выталкивающей силы от силы, полученной согласно такой
оценке?
364. Между полюсами сильного электромагнита поме-
помещают U-образную трубку так, что одно колено (капилляр-
(капиллярное) находится в магнитном поле, а другое (широкое) —
вне поля. В трубку наливают жидкость, магнитная вос-
69
Рис. 104.
приимчивость которой х, а плотность т. Насколько изме-
изменится уровень жидкости в капилляре при включении поля
напряженности Ю Магнитную восприимчивость пара и
воздуха над жидкостью принять за 1.
365. В прямоугольную кювету (рис. 104), передняя и
задняя стенки которой металлические, а прочие стенки ди-
диэлектрические, налит электролит с удельной проводи-
проводимостью Я=0,2 См/см. К металли-
металлическим стенкам приложено напря-
напряжение У=30 В, и вся кювета поме-
помещена в однородное магнитное поле
с индукцией ?=100 Гс, направлен-
направленной вертикально. Размеры кюветы:
/=20 см, а=2 см, плотность элект-
электролита т=1 г/см3. Определить раз-
разность уровней жидкости Ah около
правой и левой стенок кюветы.
366. Для осуществления тепло-
съема с ядерных реакторов в ка-
качестве теплоносителя применяют
расплавленные металлы. Перекачка металлов по трубам
производится с помощью электромагнитных насосов: учас-
участок трубы с расплавленным металлом помещается в попе-
поперечное магнитное поле, т. е. поле, перпендикулярное к оси
трубы; через тот же участок трубы перпендикулярно к ее
оси и к магнитному полю пропускается поперечный элект-
электрический ток. При этом возникает сила, приводящая жид-
жидкость в движение. Оценить ток, необходимый для перекач-
перекачки ртути по трубе с диамет-
диаметром D=20 мм и длиной /= 10 м
со скоростью v=l л/с. Вяз-
Вязкость ртути т] = 1,5-10"
дин-с/см2, индукция магнит-
магнитного поля 5=1000 Гс.
367. В замкнутой сверх-
сверхпроводящей обмотке электро-
электромагнита возбужден постоян-
постоянный ток / (рис. 105). В магни-
топроводе из мягкого железа с магнитной проницаемостью \х
имеется небольшой зазор толщины /, так что рассеянием
магнитного поля в зазоре можно пренебречь. Длина маг-
нитопровода (вместе с зазором) равна L. Чему будет равен
ток /0 в обмотке электромагнита, если в зазор вставить пла-
пластину толщины / из того же железа?
70
Рис. 105.
368. Длинный сверхпроводящий цилиндр (из сверхпро-
сверхпроводника I рода) внесен в постоянное однородное магнитное
поле с индукцией 5, направленное йараллельно оси ци-
цилиндра. Определить силу /, действующую на единицу пло-
площади боковой поверхности цилиндра.
369. Кольцо из тонкой проволоки помещено в одно-
однородное магнитное поле с индукцией ?=10 Гс, перпенди-
перпендикулярное к плоскости кольца, и охлаждением переведено
в сверхпроводящее состояние. Найти силу тока в кольце
после выключения магнитного поля, если радиус кольца
/?=5 см, а радиус проволоки г=1 мм.
Указание. Индуктивность тонкого проволочного
кольца (если ток течет по его поверхности) в гауссовой сис-
системе дается выражением L=4nR Un(8R/r)—2).
370. Над плоской поверхностью сверхпроводника I ро-
рода параллельно этой поверхности подвешен тонкий пря-
прямолинейный провод на расстоянии h от плоскости, по кото-
которому течет постоянный ток /. Найти линейную плотность
сверхпроводящего тока /, текущего по поверхности сверх-
сверхпроводника.
Указание. Применить метод зеркальных изобра-
изображений.
371. Над плоской поверхностью сверхпроводника I рода
на изолирующем слое толщины /i=5 мм лежит тонкое сверх-
сверхпроводящее кольцо радиуса R=10 см, по которому течет
постоянный ток /. При каком токе / кольцо начнет парить
над сверхпроводником, если масса кольца т=1 г?
372. На какой высоте h постоянный магнитик с магнит-
магнитным моментом ЗК=103 Гс-см3 и массой т=10 г будет па-
парить в горизонтальном положении над пюской горизон-
горизонтальной поверхностью сверхпроводника I рода? Магнитик
считать точечным диполем.
Указание. Применить метод зеркальных изобра-
изображений. Воспользоваться выражением для взаимной потен-
потенциальной энергии двух точечных диполей.
373. Шар радиуса R из сверхпроводника I рода внесен
в постоянное однородное магнитное поле с индукцией Во
Определить магнитное поле В вне шара, если поле Во еще
не разрушает сверхпроводимость в шаре. Найти также по-
поверхностную плотность сверхпроводящего тока i.
374. Бесконечно длинный цилиндр радиуса R из сверх-
сверхпроводника I рода внесен в постоянное однородное магнит-
магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к оси цилиндра.
Определить магнитное поле В вне цилиндра, если поле Во
71
еще не разрушает сверхпроводимость в цилиндре. Найти
также поверхностную плотность тока сверхпроводимости i.
375. Сверхпроводящий шарик летит по направлению к
соленоиду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленоида
?=1000 Гс. Какова должна быть начальная скорость v
шарика, чтобы он смог пролететь через соленоид насквозь?
Диаметр соленоида много больше диаметра шарика. Плот-
Плотность материала шарика т=8 г/см3.
376. Для получения сверхсильных магнитных полей в
катушках применяются обмотки из сверхпроводников II ро-
рода. Концы обмоток (пока проволока находится в нормальном
состоянии) присоединяются к источнику тока. Затем катуш-
катушки охлаждаются до гелиевых температур и переходят в
сверхпроводящее (или смешанное) состояние. После этого
катушки отключаются от источника тока и замыкаются
накоротко.
Сверхпроводящий короткозамкнутый многослойный со-
соленоид с внутренним радиусом /?t=2 см, наружным R2=4 см
и и длиной /=20 см создает внутри поле
с индукцией Бо=100 кГс. Оценить ко-
количество жидкого гелия, которое испа-
испарится при переходе соленоида из сверх-
сверхпроводящего (или смешанного) в нор-
нормальное состояние. Удельная теплота
испарения гелия q=0J кал/см3.
377. В конденсаторе, состоящем из
двух пластин, действует однородное маг-
магнитное поле напряженности Я, парал-
параллельное его пластинам (рис. 106). Плас-
Пластины конденсатора заряжают зарядами
-\-q и —qy а затем их соединяют проводником, обладаю-
обладающим значительным сопротивлением. На проводник действу-
действует сила Лоренца, сообщая ему некоторый импульс. Объ-
Объяснить происхождение этого импульса и вычислить соот-
соответствующую плотность импульса поля. Поле тяготения
не учитывать.
§ 5. Электромагнитная индукция
378. Два параллельных, замкнутых на одном конце
провода расположены в однородном магнитном поле с ин-
индукцией В так, что плоскость проводов перпендикулярна
к полю (рис. 107, а). На провода положен металлический
мостик, который может (без трения) скользить по проводам.
72
"¦«—
-d-
—*•-
I
I
Рис. 106.
Если привести мостик в движение с постоянной скоростью и,
то в контуре, который он образует вместе с проводами, воз-
возникает э. д. с. индукции <§ и электрический ток /. Поэтому
для поддержания скорости v приходится приложить к мо-
мостику некоторую силу F. Исходя из принципа Ленца и
пользуясь законом взаимодействия между токами и магнит-
магнитным полем, вывести закон индукции.
Рис. 107.
Указание. Принцип, установленный Ленцем, поз-
позволяет утверждать следующее. Если мы закрепим мостик
неподвижно и включим в контур батарею (рис. 107, б),
которая создает ток /ь равный току /, возникающему в слу-
случае движения мостика, то сила Flt действующая на мостик,
будет равна по величине и противоположна по направле-
направлению той силе, которую надо приложить в первом случае,
чтобы поддерживать движение мостика.
379. Представим себе, что рельсы железнодорожной
колеи шириной 1,2 м, идущие по магнитному меридиану,
изолированы друг от друга и от Земли. По этим рельсам
идет поезд со скоростью 60 км/ч. Вертикальная слагающая
магнитного поля Земли Яв =0,5 Э. Что покажет вольтметр,
включенный в каком-нибудь месте между рельсами: 1) ког-
когда поезд приближается к прибору; 2) когда поезд проходит
над прибором, т. е. прибор находится между двумя ската-
скатами какого-нибудь вагона, и 3) когда поезд удаляется от
прибора?
380. Будет ли в условиях предыдущей задачи влиять на
показания милливольтметра горизонтальная слагающая
магнитного поля Земли, если путь непрямолинеен?
381. Маленький прямолинейный магнит расположен
в центре круглого кольца радиуса а, состоящего из N вит-
витков проволоки, концы которой соединены с баллистическим
гальванометром. Ось магнита перпендикулярна к плоскости
кольца. При удалении магнита из кольца баллистический
гальванометр дает отброс. Как по величине этого отброса
определить магнитный момент Ш магнита?
73
382. Прямоугольная рамка со сторонами аи b движется
равномерно со скоростью v в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к бесконечно длинному прямому проводнику, лежащему
в плоскости рамки параллельно стороне Ъ. По проводнику
идет ток /. Найти э. д. с. <?, индуцируемую в рамке, и
указать направление индуцированного тока.
383. Прямоугольная рамка предыдущей задачи враща-
вращается с постоянной угловой скоростью вокруг стороны Ь9
отстоящей на расстоянии с>а от проводника, по которому
идет ток. Будет ли э. д. с, индуцируемая в рамке, синусо-
синусоидальна?
384. Прямоугольная рамка (aXb) равномерно враща-
вращается с угловой скоростью со вокруг стороны а в однородном
переменном магнитном поле, изменяющемся синусоидально
с угловой скоростью со' и перпендикулярном к оси враще-
вращения рамки. Определить величину индуцированной э. д. с.<?.
Рассмотреть при со=со' частные случаи: 1) в начальный мо-
момент #=Яо, а плоскость рамки перпендикуляра Н\ 2) в
начальный момент #=#0, а плоскость рамки параллельна //.
385« Прямоугольная рамка (аХ Ь) вращается вокруг од-
одной из своих сторон в однородном магнитном поле напря-
напряженности //, перпендикулярном к оси вращения, с пере-
переменной угловой скоростью со=оHA—e~kt). Определить
величину индуцированной э. д. с. <?, если в начальный мо-
момент рамка перпендикулярна к полю.
386. Длинная незаряженная пластина из немагнитного
материала движется равномерно в однородном- магнитном
поле с индукцией Б=1800 Гс со скоростью и=6,28-107 см/с.
Векторы v и В взаимно перпендикулярны и параллельны
плоскостям пластины. Определить поверхностную плот-
плотность электрических зарядов на пластине, возникающих
вследствие ее движения.
387. Длинный незаряженный цилиндр из немагнитного
материала радиуса г== 12,56 см равномерно вращается в
однородном магнитном поле с индукцией Б=300 Гс, па-
параллельном оси цилиндра, с угловой скоростью со=60 рад/с.
Определить поверхностную плотность зарядов а, возникаю-
возникающих вследствие вращения на боковой поверхности цилинд-
цилиндра. Указать знак поверхностных зарядов, если векторы со
и В направлены в одну сторону. Магнитным полем возника-
возникающих зарядов и инерционными эффектами электронов пре-
пренебречь.
388. Металлический шар радиуса а из немагнитного ма-
материала движется равномерно в постоянном и однородном
74
магнитном поле с индукцией В со скоростью V, направлен-
направленной под углом к магнитному полю. Найти напряженность
электрического поля внутри и вне шара в «неподвижной»
системе отсчета, относительно которой шар движется рр
скоростью V, Найти также объемную и поверхностную ПЛОТ-
ность индуцированных зарядов. Магнитным полем движу-
движущихся индуцированных зарядов пренебречь.
389. На клеммах генератора поддерживается постоянное
напряжение У=120 В. К клеммам присоединены последо-
последовательно соединенные реостат и электромотор, общее со-
сопротивление которых г=5 Ом. В этих условиях через об-
обмотку электромотора идет ток /=«10 А. Электромотор от-
отключают, замыкают на сопротивление R=100 Ом (включая
собственное сопротивление электромотора) и используют
в качестве динамо-машины. Определить силу тока i, воз-
возбуждаемую в цепи электромотора, если его вращать с преж-
прежней угловой скоростью.
390. И. И. Боргман определял магнитную восприимчи-
восприимчивость слабомагнитных жидкостей, погружая в эту жидкость
две катушки, жестко
связанные между собой.
Сравнивая э. д. с. ин-
индукции, которая возни-
возникает в одной из катушек
при изменении силы то-
тока в другой, один раз в
жидкости, а другой раз
в воздухе, можно опре-
определить магнитную вос-
восприимчивость жидкости.
В одном из опытов ока-
оказалось, чтоэ. д. с. индук-
индукции для катушек, погру-
погруженных в раствор хлор*
ного железа, равна <?i=
=24,04 В, а для кату-
катушек в воздухе э. д. с.
индукции равна ^2==
= 24,00 В. Найти магнитную восприимчивость % раствора.
391. Якорь мотора имеет барабанную обмотку, состоя-
состоящую из последовательно соединенных 20 секций, каждая из
которых состоит из 30 витков прямоугольной формы B5 X
Х20 см2) тонкой проволоки. (Схема обмотки для 12 секций
представлена на рис. 108). Якорь находится в однородном
75
Рис. 108.
магнитном поле с индукцией 3980 Гс. Якорь включен через
коллектор в сеть с постоянным напряжением 120 В, и мо-
мотор делает 600 оборотов в минуту. 1) Какова сила тока в
якоре (сопротивление якоря 0,5 Ом)? 2) Что произошло бы
при внезапной остановке якоря?
392. Медный диск радиуса а=10 см вращается в одно-
однородном магнитном поле, делая N=100 оборотов в секунду.
Магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости
диска и имеет напряженность #=104 Э. Две щетки, одна
на оси диска, другая на окружности, соединяют диск с внеш-
внешней цепью, в которую включены реостат с сопротивлением
R=IO Ом и амперметр, сопротивлением которого можно
пренебречь. Что показывает амперметр?
393. Что будет показывать амперметр в условиях пре-
предыдущей задачи, если диск заменить колесом того же ра-
радиуса, что и диск, с двумя спицами, как показано на
рис. 109? Электрическим сопротивлением материала колеса
пренебречь.
Рис. 109.
Рис. ПО.
394. На железный цилиндрический сердечник, через кото-
который ПрОХОДИТ ОДНОРОДНЫЙ МаГНИТНЫЙ ПОТОК Ф=Ф0СО5С0/,
надет тор из диэлектрика с диэлектрической прони-
проницаемостью е (рис. ПО). В торе имеется бесконечно узкий
воздушный зазор, образованный двумя бесконечно близ-
близкими разрезами вдоль глеридиональных плоскостей. Найти
напряженность электрического поля Е в зазоре в зависи-
зависимости от расстояния г до оси цилиндра.
395. Полый диэлектрический цилиндр с внутренним ра-
радиусом гх и наружным радиусом г2 равномерно вращается в
однородном магнитном поле с угловой скоростью со вокруг
своей продольной геометрической оси. Вектор индукции
магнитного поля В параллелен оси цилиндра, диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость материала цилиндра равна е. Найти:
76
1) объемную плотность рсвяз связанных зарядов, появив-
появившихся в диэлектрике вследствие вращения в магнитном
поле; 2) полный объемный заряд q, приходящийся на еди-
единицу длины цилиндра; 3) плотность поверхностных зарядов
на обеих поверхностях цилиндра; 4) полный заряд цилиндра.
396. Для измерения сопротивления в абсолютных еди-
единицах был предложен следующий способ. Длинная катуш-
катушка (п витков на единицу длины) включена в цепь с э. д. с. ?
и сопротивлением R (рис. 111). Внутри катушки вращается
с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпенди-
Рис 111.
кулярной к оси длинной катушки, маленькая катушка с
числом витков ./V и сечением S. В моменты, когда индуци-
индуцированная в малой катушке э. д. с. максимальна, концы
катушки замыкаются через гальванометр G на то же со-
сопротивление R. Последнее подбирается так, что тока че-
через гальванометр нет. Определить /?.
397. Как с помощью флюксметра можно измерить маг-
магнитное поле внутри длинного соленоида, закрытого с обо-
обоих торцов крышками из немагнитного материала, не вводя
флюксметр внутрь соленоида? Обмотка соленоида доходит
до самых концов цилиндра, на который она намотана.
398. В однородном магнитном поле с индукцией В=
«^8400 Гс с небольшой скоростью вращается квадратная
рамка со стороной а—5 см, состоящая из небольшого числа
витков медной проволоки сечением 5=0,5 мм2. Концы
рамки соединены накоротко. Максимальное значение силы
тока, индуцируемого в рамке при вращении, равно /==
^=1,9 А. 1) Определить число оборотов рамки в секунду.
2) Как нужно изменить скорость вращения рамки, чтобы
при замене медной проволоки железной сила тока в цепи
осталась неизменной?
399. Внутри достаточно длинного круглого железного
стержня магнитный поток равномерно возрастает со вре-
77
Рис. 112.
менем. Вне этого стержня магнитного поля нет. Опреде-
Определить характер электрического поля вне железного стержня.
400. В условиях предыдущей задачи стержень окружен
виткам проволоки, замкнутым на амперметр. Сопротивле-
Сопротивление витка и амперметра R. 1) Что показыва-
показывает амперметр? 2) Как направлен ток в витке?
401. На некотором расстоянии от желез-
железного стержня (см. задачу 399) находится
электрон. Начальная скорость его равна
нулю. Как он будет двигаться?
402. Однослойная достаточно длинная ка-
катушка с железным сердечником разделена
на две секции (рис. 112). Измерения индук-
тивностей секций дали следующие результаты:
в первой секции Li=0,04 Г, во второй сек-
секции L2=0,09 Г. 1) Чему равна индуктивность
L всей катушки? 2) Сколько витков N в ка-
катушке, если в первой секции 100 витков?
403. Как определить индуктивность достаточно длин-
длинной катушки, пропуская через нее постоянный ток?
404. Определить индуктивность L проводника, показан-
показанного на рис. 113. Ток идет по проволоке диаметром 1 мм,
расположенной по оси достаточно тонкой
металлической трубки, переходит на дно
трубки, к центру которого припаяна проволо-
проволока, и возвращается обратно по поверхности
трубки. Размеры трубки даны на рисунке.
405. Один и тот же ток идет по двум длин-
длинным параллельным проводам в противополож-
противоположные стороны. Провода имеют круглые сечения
радиуса г==2 мм, а расстояние между ними
d=2 см. Найти индуктивность L единицы
длины этой системы, учитывая магнитное по-
поле только вне проводов.
406. На один сердечник намотаны две ка-
катушки. Индуктивности катушек в отдель-
отдельности соответственно равны L!=0,5 Г и
L2=0,7 Г. Чему равна взаимная индуктив-
индуктивность М? Рассеяния магнитного поля нет.
407. На длинный цилиндр намотаны
вплотную две обмотки 1—/' и 2—2' так, как
показано на рис. 114. Индуктивность каждой обмотки
равна 0,05 Г. Чему будет равна индуктивность L всей
цепи, если: 1) концы Г и 2' соединить, а в цепь включить
78
20мм
i
Сечение А-В
о
Рис. 113.
концы 1 и 2\ 2) концы 1 и 2' соединить, а в цепь включить
концы V и 2; 3) концы У и 2' и У и 2 соединить и обе пары
концов включить в цепь?
408, На тор, изготовленный
из парамагнетика и имеющий ре-
регулируемый воздушный зазор d,
намотана катушка (рис. 115).
ВмрМийиНЙЯЙЯиЯИ
Рис.
Ш
^^<? л -
Ряс.
1
115.
\\
При d=0 индуктивность катушки L=L0, при d=di=l мм
она вдвое меньше (L=L1=L0/2). При каком зазоре d индук-
индуктивность L будет равна Lo/4?
409. Вычислить индуктивность L тороидальной обмот-
обмотки, намотанной на цилиндр высоты Ь с внутренним радиусом
г и наружным r+а (рис. 116). Чис-
Число витков катушки равно N, маг-
магнитная проницаемость [Л=1.
410. В предыдущей задаче по
оси катушки протянут бесконечно
длинный прямолинейный провод (не
показанный на рис. 116). Вычис-
Вычислить взаимную индуктивность М
между катушкой и этим проводом.
411. Внутрь тонкого воздуш-
воздушного соленоида вставлена малень- Рис 116.
кая плоская катушечка с числом
витков л=40 и площадью витка 5=10 см2, по обмотке
которой течет ток 1=1 А. Длина соленоида /=50 см,
число витков N=10 000. Определить магнитный поток,
который посылает поле катушечки через обмотку соленоида.
Указание. Использовать теорему о равенстве вза-
взаимных индуктивностей.
412. На поверхность кругового тора прямоугольного
поперечного сечения с размерами а=17,2 см и &=5 см на-
навита обмотка тонкой проволоки, содержащая N=1000 вит-
витков. (На рис. 117 изображена половина тора. Обмотка не
показана.) На тор надета кольцевая катушка К с числом
79
витков п=100, по обмотке которой течет ток силой / =
= 1 А. Внутренний радиус тора равен г=10 см. Определить
магнитный поток, который госылает магнитное поле ка-
катушки через обмотку тора.
413. Чему равна энергия
W магнитного поля соленои-
соленоида, состоящего из N витков
проволоки, намотанной в один
слой, по которой идет ток си-
силой /? Длина соленоида /,
сечение его S (диаметр сече-
рис ну. ния соленоида мал по срав-
сравнению с его длиной).
414. Два параллельных достаточно длинных провода
находятся на расстоянии 20 см друг от друга. В них под-
поддерживаются токи каждый силой 20 А, направленные в про-
противоположные стороны. 1) Какую работу на единицу дли-
длины проводов совершает магнитное поле при удалении про-
проводов до расстояния 40 см? 2) Как изменится при этом маг-
магнитная энергия единицы длины системы двух проводов?
415. В предыдущей задаче магнитное поле совершало
положительную работу при удалении проводов друг от
друга, а между тем магнитная энергия токов увеличилась.
За счет каких источников энергии совершается работа и
увеличивается магнитная энергия?
416. Как будет изменяться во времени сила /0 элек-
электрического тока в цепи, параметры которой показаны на
рис. 118, после того как ключ К будет замкнут? Омическим
сопротивлением всей цепи при рассмотрении начальной
стадии процесса установления тока можно пренебречь.
Рис. 118.
Рис. 119.
417. При отключении цепей постоянного тока, обладаю-
обладающих большой индуктивностью (например, обмоток воз-
80
буждения генераторов постоянного тока), эти цепи предва-
предварительно замыкают на параллельно включенное сопротив-
сопротивление г для ограничения перенапряжений (рис. 119). Опре-
Определить, во сколько раз в этом случае максимальное напря-
напряжение на зажимах цепи FMaKC будет превышать приложен-
приложенное постоянное напряжение VV
418. Конденсатор емкостью С присоединен к верхним
концам двух параллельных медных шин, расположенных
вертикально на расстоянии / друг от друга. Однородное
магнитное поле напряженности Я горизонтально и пер-
перпендикулярно к плоскости шин. Вдоль шин в магнитном
поле падает без начальной скорости медный проводник мас-
массы т так, что всегда имеется контакт между проводником
и шинами. Сопротивлением и индуктивностью проводни-
проводников, а также трением проводника о шины пренебречь. Най-
Найти: 1) ускорение проводника; 2) силу тока, заряжающего
конденсатор.
419. В условиях предыдущей задачи вместо конденса-
конденсатора шины замкнуты вверху на соленоид, индуктивность
которого равна L, а сопротивление ничтожно мало.
Найти закон движения проводника, скользящего вдоль
шин.
420. Две длинные параллельные медные шины, распо-
расположенные вертикально на расстоянии / друг от друга, зам-
замкнуты вверху на сопротивление R и помещены
в однородное магнитное поле напряженности
Я, перпендикулярное к плоскости шин. Вдоль
шин падает медный проводник веса Р. Трение
отсутствует. Чему равно установившееся зна-
значение скорости падения?
421. По двум вертикальным идеальным
проводам (см. задачу 420) в поле силы тяжес-
тяжести может скользить без трения идеальная
проводящая перемычка массы т и длины /
(рис. 120). Проводники сверху замкнуты
индуктивностью L, а снизу — сопротивлением
R. Перемычка сначала удерживается в некото-
некотором положении, а затем отпускается без толч-
ка. Найти новое положение равновесия пере- гис* 1ZU*
мычки и характер переходного процесса.
422. Найти установившуюся скорость перемычки в
условиях предыдущей задачи, если проводники замкнуты
сверху последовательно включенными сопротивлением R
и индуктивностью L (рис. 121).
81
с
423. Маятник длины / и массы т, который можно рас-
рассматривать как математический, представляет собой мас-
массивный металлический шарик с острием на конце, подве-
подвешенный на тонкой проволоке. Острие погружено в чашку с
ртутью (рис. 122). Проволока в точке подвеса маятника А
и ртуть в чашке включены в цепь,
обладающую сопротивлением R.
Маятник совершает малые колеба-
колебания в однородном магнитном поле
напряженности Я, перпендику-
перпендикулярном к плоскости колебаний
\R
Рис. 121.
Рис. 122.
маятника. Определить увеличение логарифмического дек-
декремента затухания маятника, вызванное сопротивлением R.
Сопротивление среды пропорционально угловой скорости
маятника, а коэффициент пропорциональности равен k.
424. В условиях предыдущей задачи в цепь вместо со-
сопротивления R включена индуктивность L. Как изменятся
логарифмический декремент и период колебаний?
425. В условиях предыдущей задачи в цепь вместо ин-
индуктивности включена емкость С. Вопросы те же.
426. На нити висит тонкое медное кольцо радиуса г,
массы т и сопротивления R. 1) Найти увеличение лога-
логарифмического декремента затухания малых крутильных
колебаний кольца, если кольцо помещено в однородное
горизонтальное магнитное поле напряженности //, причем
вектор Н совпадает с плоскостью кольца в положении рав-
равновесия. 2) Изменится ли ответ, если кольцо будет помеще-
помещено в однородное вертикальное магнитное поле? Индуктив-
Индуктивностью кольца пренебречь.
427. Медное кольцо в предыдущей задаче совершает
малые крутильные колебания с периодом Т. Индуктивность
кольца L, Сопротивлением кольца можно пренебречь. Как
изменится период этих колебаний, если кольцо поместить
в однородное горизонтальное магнитное поле, направление
82
которого перпендикулярно к плоскости кольца в положении
равновесия?
428. Как изменится логарифмический декремент зату-
затухания кольца в условиях предыдущей задачи?
429. Прямоугольная рамка (aXb) лежит в одной плос-
плоскости с прямым проводником, по которому течет ток /
и который расположен параллельно стороне Ь на расстоянии
d>a от ближайшей стороны. Какое количество электричест-
электричества Q пройдет через любое сечение провода рамки, если она
повернется вокруг ближайшей к проводнику стороны b на
180° и останется в этом положении? Сечение проволоки рам-
рамки 5, удельное сопротивление р. Индуктивность рамки не
учитывать.
430. В предыдущей задаче предполагалось, что индук-
индуктивностью рамки можно пренебречь. Изменится ли ответ
задачи, если пренебречь индуктивностью нельзя?
431. В задаче 429 рамка вращается с постоянной ско-
скоростью. Будет ли зависеть количество электричества, про-
протекшего через рамку за время
полуоборота, от скорости вра-
вращения рамки, если сопротивле-
сопротивлением рамки пренебречь, а ее
индуктивность учесть?
432. Баллистический гальва-
гальванометр включен в цепь катуш-
катушки, надетой на замкнутый намаг-
намагниченный сердечник. Железную
пластинку А, замыкающую сер-
сердечник (рис. 123), быстро удаляют, и гальванометр пока-
показывает отклонение в 20 делений. Сопротивление катуш-
катушки и гальванометра 100 Ом. Чувствительность гальвано-
гальванометра равна 10""8 Кл на деление шкалы. Как велико
изменение потока индукции ДФ вследствие удаления плас-
пластинки А?
433. Как быстро нужно удалить пластинку А из намаг-
намагниченного сердечника в предыдущей задаче, чтобы откло-
отклонения гальванометра были пропорциональны изменению
потока?
434. Какие условия следует наложить на величины ин-
индуктивности и сопротивления электрической цепи в задаче
432, чтобы отброс гальванометра был пропорционален из-
изменению потока индукции?
435. Для определения взаимной индуктивности М обмоток
трансформатора производится следующий опыт. Первичная
83
А
•—
г
-Фи
•
Рис. 123.
к
S
А
обмотка через сопротивление Rt известной величины под-
подключается к источнику постоянного напряжения ?. Во
вторичную цепь включается баллистический гальванометр
G, измеряющий полный заряд Q, протекающий во вторич-
вторичном контуре. Сопротивление R2 вторичного контура извест-
известно. Найти М.
436. Катушка с индуктивностью L, обладающая неко-
некоторым сопротивлением г, включена в цепь симметричного
моста (рис. 124). В диагональ
моста включен баллистический
гальванометр. Найти заряд,
который протечет через галь-
гальванометр после замыкания
ключа, если сопротивление
гальванометра пренебрежимо
мало.
рис 124 437. Рамка, охватывающая
площадь S=1400 см2, состоит
из N==100 витков проволоки и
имеет сопротивление /?=4,6 Ом. Рамка расположена в
вертикальной плоскости, перпендикулярной к плоскости
магнитного меридиана, и соединена с баллистическим галь-
гальванометром чувствительностью q=2-lO-Q Кл на деление
шкалы. Рамку быстро поворачивают вокруг горизонтальной
оси, проходящей через ее центр, на угол а=60°, так что
плоскость рамки становится параллельной направлению
магнитного поля Земли. Каково будет отклонение у галь-
гальванометра? Сопротивление гальванометра r~9,4 Ом. Нап-
Напряженность магнитного поля Земли //=0,2 Э.
438. В постоянном однородном магнитном поле, индук-
индукция которого 5, находится круглое, недеформируемое, до-
достаточно малого сечения кольцо радиуса г из материала,
сопротивление которого исчезающе мало. В начальный
момент плоскость кольца параллельна направлению маг-
магнитного поля и ток в кольце равен нулю. Определить
силу тока / в кольце сразу после того, как оно было по-
повернуто так, что плоскость кольца стала перпендикуляр-
перпендикулярна к линиям магнитного поля.
439. В условиях предыдущей задачи 1) найти полный
магнитный поток через кольцо после того, как оно было
повернуто, 2) вычислить напряженность магнит-
магнитного поля в центре кольца, 3) качественно изобразить гра-
графически распределение напряженности магнитного поля
по линии, совпадающей с диаметром кольца.
84
440. Какова напряженность магнитного поля Н и сила
тока / в условиях задачи 438 в кольце, если после того, как
его повернули перпендикулярно к магнитному полю, внеш-
внешнее магнитное поле было выключено?
441. Определить работу Л, которую необходимо было за-
затратить на поворот кольца в задаче 438.
442. Сверхсильные магнитные поля можно получать
взрывным сжатием отрезка проводящей цилиндрической
трубы, внутри которой создано начальное магнитное поле
с индукцией Во. Определить индукцию поля В в трубе в
момент максимального сжатия, если Во~5-№* Гс, началь-
начальный внутренний радиус трубы R=5 см, радиус в момент
максимального сжатия г=0,5 см. Оболочку, окружающую
магнитное поле, считать идеально проводящей. Опреде-
Определить также давление Р, необходимое для получения такого
сжатия.
443. Для измерения взаимной индуктивности двух ка-
катушек собирают схему, приведенную на рис. 125. Сопротив-
Сопротивления Ri и R2 и емкость
С конденсатора подбирают
так, чтобы гальванометр G
оставался на нуле при за-
замыкании и размыкании
ключа К батареи ?. Чему
равна в таком случае вза-
взаимная индуктивность М
катушек?
444. В предыдущей за-
задаче емкость конденсатора
можно изменять скачками
величиной с каждый. При
этом оказалось, что при Рис- *25-
значении емкости конден-
конденсатора С гальванометр дал отклонение Э в одну сторону, а
при значении емкости конденсатора С+с гальванометр дал
отклонение 0' в другую сторону, т. е. не удалось добиться
нулевого положения стрелки гальванометра. Как из этих
измерений определить взаимную индуктивность М кату-
катушек? Сопротивление гальванометра r^>R2.
445. Для удаления газов из металлических частей ва-
вакуумных приборов их накаливают токами Фуко в поле ка-
катушки высокой частоты (рис. 126). Анод катодной лампы,
представляющий собой никелевый цилиндр диаметром
D=8 мм, высотой h=2 см, со стенкой толщиной а=0,1 мм,
85
М
располагается коаксиально с катушкой из N = 15 витков
толстой проволоки, по которой идет ток высокой час^рты
(/=105 Гц) силой /=50 А. Какое количество тепла Q вы-
выделяется ежесекундно в цилиндре? Высота катушки высо-
высокой частоты #=10 см. Магнитным полем
токов Фуко пренебречь. Удельное сопро-
сопротивление никеля р=7-10"в Ом-см.
446. Катушкой высокой частоты пре-
предыдущей задачи воспользовались для на-
накаливания токами Фуко платинового дис-
диска диаметром D=2 см и толщиной d=0,5 мм.
Диск расположен перпендикулярно к оси
катушки, и центр диска находится на оси.
Магнитным полем токов Фуко пренебречь.
Подсчитать количество тепла Q, выделяю-
выделяющегося ежесекундно в диске. Удельное
сопротивление платины р=10,7-10-6 Ом-см.
447. Для уменьшения потерь в железном сердечнике
трансформатора сердечник делают из тонких пластинок,
изолированных электрически друг от друга. Найти, какое
количество тепла Q выделяется в такой пластинке ежесе-
ежесекундно при следующих данных: размеры пластинки lab=
=20x4x0,01 см3; обмотка трансформатора имеет п==4 вит-
витка на каждый сантиметр длины, и по ней идет 50-периодный
ток силой /=5 А; магнитная проницаемость железа ц,=«
= 1000; удельное сопротивление железа р=9-10~в Ом-см.
Магнитным полем токов Фуко пренебречь.
Изоляция
Рис. 126.
Изоляция
Рис. 127.
448. Сравнить потери Wx на тепло в металлической ко-
коробке, размеры которой приведены на рис. 127, с потерями
86
W2 в пластинках, из которых сделана эта коробка, когда
пластинки изолированы друг от друга. В обоих случаях
коробка помещена внутрь катушки, по которой проходит
ток высокой частоты, как в задаче 445, причем ось катушки
совпадает с осью коробки и параллельна стороне с. Толщина
пластинок d много меньше размеров коробки а и Ь.
449. Катушка, обладающая омическим сопротивлением
R—1 Ом и индуктивностью L, с площадью сечения S= 100 см2
и числом витков N=100, вращает-
вращается равномерно с угловой скорос-
скоростью со в магнитном поле Земли
вокруг вертикальной оси, прохо-
проходящей через одно из оснований
катушки перпендикулярно к ее оси
(рис. 128). При вращении концы
катушки остаются все время при-
присоединенными к обкладкам пло-
плоского конденсатора емкостью. С.
1) Найти значения / и V для ус-
установившегося состояния. 2) Найти
условие, при котором в катушке
выделяется наибольшее количество
тепла в единицу времени. 3) Подсчитать количество тепла Q,
выделяющееся в этом случае в единицу времени. Горизон-
Горизонтальная слагающая земного поля #=0,2 Э.
45Q. В. условиях предыдущей задачи катушка внезапно
останавливается в момент максимального заряда на об-
обкладках конденсатора. 1) Как дальше будет изменяться V,
если, кроме второго условия предыдущей задачи, будет
еще выполнено условие L/C=R2/4? 2) Чему будет равно
количество тепла Q, которое выделится с момента остановки
до исчезновения тока в цепи?
451. В плоскости расположены два концентрических
проводящих кольца. По внутреннему протекает переменный
ток частоты со. Найти ток во внешнем кольце, если сопро-
сопротивление его единицы длины р и радиус малого кольца г
много меньше, чем радиус большого R.
452. Магнитная стрелка, насаженная на вертикальное
острие, момент инерции которой У, а магнитный момент 501,
совершает гармонические колебания в горизонтальной пло-
плоскости (рис. 129). Под стрелку подводят расположенный
горизонтально круглый диск из меди, ось которого совпа-
совпадает с осью, вокруг которой колеблется стрелка, и укрепля-
укрепляют на таком расстоянии, что движение стрелки становится
87
" Магнитная стрелка
Медный диен
Рис. 129.
В
апериодическим. Тогда стрелку останавливают в ее поло-
положении равновесия и вращают диск вокруг оси стрелки рав-
равномерно с угловой скоростью со. 1) Какой момент силы М
нужно приложить к стрелке, чтобы удержать ее в положении
равновесия? 2) Какая мощность N будет при этом выделять-
выделяться в диске? 3) С каким угловым
ускорением со начнет двигаться
стрелка, если ее освободить?
4) Что произойдет дальше со
стрелкой, если момент, действу-
действующий на стрелку со стороны
магнитного поля Земли, будет сравним по порядку ве-
величины с моментом, с которым действует на нее вращаю-
вращающийся диск?
453. К катушке с сердечником приложено синусоидаль-
синусоидальное напряжение S=So cos со/. Определить графическим спо-
способом форму тока, идущего через
обмотку, если задана кривая на-
намагничивания материала сер-
сердечника, обладающего гистере-
зисом (рис. 130). Омическим
сопРотивлением обмотки можно
пренебречь.
454. Почему в катушке Рум-
корфа, работающей с прерыва-
прерывателем, при большом расстоянии
между разрядными электрода-
электродами, соединенными с концами вторичной обмотки, искра
проскакивает только в одном направлении даже при одина-
одинаковой форме электродов?
455. Конденсатор емкостью С заряжен до разности по-
потенциалов V и разряжается через сопротивление R. Найти,
как меняется со временем энергия конденсатора W. Выра-
Выразить эту зависимость аналитически и графически.
456. Конденсатор емкостью С=1 мкФ разряжается через
сопротивление 7?=1000 Ом. Через какое время t от начала
разрядки напряжение на пластинах конденсатора умень-
уменьшится вдвое?
457. Конденсатор емкостью С заряжается от батареи с
э. д. с.<? через сопротивление R. Определить, как меняется
со временем мощность N, подводимая к конденсатору. По-
Построить график зависимости N от времени t.
458. Конденсатор емкостью С заряжается через сопро-
сопротивление R до разности потенциалов, равной э. д. с. заря-
88
Рис. 130.
жающей батареи <§. 1) Определить энергию Q, переходя-
переходящую в тепло при зарядке. 2) Определить к. п. д. ц установки,
заряжающей конденсатор (полезная энергия — энергия,
накопленная в конденсаторе).
459. В предыдущей задаче предполагалось, что началь-
начальный ток, т. е. ток в момент включения, h^S/R. Между тем
до замыкания цепи ток был равен нулю. Следовательно,
после замыкания цепи должен был бы мгновенно устано-
установиться ток /о. Возможен ли такой скачок в реальных усло-
условиях?
460. Конденсатор заряжается от источника с постоянной
э. д. с. ? через сопротивление R и индуктивность L, причем
R2=4 L/C. 1) Как изменяется сила зарядного тока / со вре-
временем (построить график)? 2) Через какое время / от начала
зарядки сила тока достигает максимума? 3) Чему равна мак-
максимальная сила /макс зарядного тока? 4) Чему равно на-
напряжение V на конденсаторе в этот момент? 5) Чему равен
к. п. д. г] установки?
461. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов
Vo, разряжается на цепь, состоящую из сопротивления R
и индуктивности L, соединенных параллельно. Найти пол-
полный заряд Q, протекающий через каждый из элементов цепи.
462. Две катушки, обладающие сопротивлениями Rx и
R2 и индуктивностями Lx и L2, соединены параллельно. Как
распределится между ними заряд Q, протекающий при раз-
разряде конденсатора?
463. Конденсатор емкостью С заряжается от батареи с
э. д. с. <В через сопротивление R. Параллельно конденсатору
R
тттяя $
Рис. 131.
присоединена неоновая лампа Л (рис. 131), идеализирован-
идеализированная характеристика которой приведена на рис. 132. Процесс
зарядки продолжается до тех пор, пока напряжение на
89
пластинах конденсатора не достигнет значения V3, при ко-
котором вспыхивает неоновая лампа. Затем идет процесс раз-
разрядки конденсатора до тех пор, пока напряжение на пла-
пластинах конденсатора не упадет до значения Vrt при котором
неоновая лампа гаснет. Затем снова начинается процесс
зарядки конденсатора и т. д. Построить график напряжения
на пластинах конденсатора в зависимости от времени. Найти
продолжительность зарядки tx и разрядки t2 конденсатора,
а также период Т всего процесса зарядки и разрядки.
464. В разрыв проводящего подвижного диаметра CD
(рис. 133) включена неоновая лампа, потенциалы зажигания
и гашения которой равны соответственно Ка>УР. Окруж-
Окружность ACBD, сопротивление которой мало по сравнению
с сопротивлением неоновой лампы (когда она горит), сде-
сделана из однородной проволоки постоянного поперечного се-
сечения. Между точками А и В поддерживается постоянное
напряжение V, 1) При каких положениях диаметра CD
лампа вспыхивает и гаснет? 2) Чему равно минимальное
значение напряжения, при котором лампа еще может
вспыхнуть?
_=. &-24B
Рис. 133.
465. Рассмотреть явления, происходящие в схеме, по-
показанной на рис. 134, при замыкании и размыкании ключа /С.
Найти напряжение V между точками А и В. Активное со-
сопротивление катушки не учитывать.
466. Известно, что конденсатор, присоединенный па-
параллельно ключу, разрывающему цепь, препятствует об-
образованию вольтовой дуги. Для выяснения роли конденса-
конденсатора подсчитать напряжение V между точками А и В после
размыкания ключа К в схеме, показанной на рис. 135.
90
467. В импульсном электростатическом ускорителе ван-
де-Граафа заряженные частицы ускоряются в разрядной
^К В
Рис. 135,
трубке, проходя разность потенциалов У=5 MB между
заряженным шаром радиуса #=160 см и землей. Какой
средний ток ускоренных частиц можно получить в течение
импульса длительностью т=200 мкс, если допустимая отно-
относительная немоноэнергетичность пучка на выходе не долж-
должна превышать ?=0,5%? (Ток подзарядки, переносимый
движущейся лентой, пренебрежимо мал по сравнению с то-
током / ускоренных частиц.)
§ 6. Переменный ток. Свободные и вынужденные колебания
468. Для зарядки аккумулятора постоянным током силы
/ требуется 8 часов. За отсутствием источника постоянного
0/?
0,2
0,1
. /
—-?г
^- 1 1 1 1
W 20
Рис. 136.
30 40
тока зарядка ведется от сети переменного тока через двух-
полупериодный выпрямитель. При этом имеющийся в цепи
аккумулятора электродинамический амперметр показывает
91
ту же силу тока /. Как долго придется заряжать в этих
условиях аккумулятор?
469. Характеристика выпрямителя изображена на
рис. 136. Выпрямитель работает по двухтактной схеме на
чисто омическую нагрузку 100 Ом. Определить величину
среднего тока /ср, идущего через цепь выпрямитель — на-
нагрузка, если амплитуда э. д. с. равна 40 В.
470. Для нагрева электропечи до нужной температуры
требуется при питании постоянным током 5 А. Если через
обмотку печи пропускать переменный ток после однополу-
периодного выпрямителя, то какие показания должны да-
давать включенные в цепь: 1) амперметр постоянного тока;
2) амперметр переменного тока, чтобы печь имела нужную
температуру?
471. Вольтметр магнитоэлектрической системы, присое-
присоединенной к выпрямителю, показывает 100 В. Каково мак-
максимальное значение нап-
напряжения, даваемого вып-
выпрямителем, если выпрям-
выпрямление: 1) однополупериод-
ное; 2)двухполупериодное?
472. В выпрямительном
устройстве, собранном по
так называемой схеме Ла-
тура (рис. 137), к точкам
Рис. 137. С и D подводится перемен-
переменное напряжение, а с нагру-
нагрузочного сопротивления R снимается пульсирующее напря-
напряжение (через это сопротивление идет ток в одном направ-
направлении). Как связано напряжение между А и В с подводимым
кС и D напряжением, если сопротивление нагрузки много
больше, чем сопротивление конденсатора на данной частоте?
473. Подогревная спираль питается током силы 10 А.
Каким значением силы тока надо пользоваться при вычисле-
вычислении максимальной напряженности магнитного поля, соз-
создаваемого этим током?
474. В цепь 50-периодного тока включены реостат с со-
сопротивлением R=\03 Ом и катушка индуктивности, состоя-
состоящая из железного цилиндрического сердечника с обмоткой
из N=400 витков медного провода. Катушка имеет длину
/=40 см и диаметр D—A см. В цепи наблюдается сдвиг фа-
фазы ф=30° между э. д. с. и силой тока. Определить среднюю
магнитную проницаемость \х железа сердечника. Сопротивле-
Сопротивлением обмотки пренебречь.
92
475. Имеются два одинаковых трансформатора с 220 В
на 12 В. Можно ли соединить их так, чтобы получить 6 В?
476. В цепи 50-периодного тока имеются: реостат с со-
сопротивлением R = \00 Ом, катушка с индуктивностью
L=\ Г и конденсатор с емкостью С=1 мкФ. Чему равен
сдвиг фазы ф между током и напряжением на концах всей
цепи, в какую сторону сдвинута фаза?
477. В цепи 50-периодного тока находятся реостат и
катушка с индуктивностью L=0,1 Г. Между напряжением
и силой тока наблюдается сдвиг фазы ф=30°. Чему равно
сопротивление реостата R и какую емкость С нужно вклю-
включить последовательно в цепь, чтобы устранить сдвиг
фазы?
478. Если конденсатор залит диэлектрической жид-
жидкостью, обладающей некоторой проводимостью, то такой
конденсатор эквивалентен некоторой емкости С, зашунти-
рованной некоторым сопротивлением R. Какой сдвиг фазы
между силой тока и напряжением вызывает включение та-
такого конденсатора в цепь переменного тока частоты со?
479. Замкнутый проволочный виток с индуктивностью L
и сопротивлением R равномерно вращается с угловой ско-
скоростью со вокруг оси, лежащей в его плоскости, в однород-
однородном магнитном поле, перпендикуляр-
перпендикулярном к оси вращения. При каком угле а
между направлением поля и плос-
плоскостью витка сила тока в витке будет
достигать максимума?
480. Квадратная рамка вращается
равномерно с угловой скоростью со
в однородном магнитном поле, пер-
перпендикулярном к оси вращения (рис.
138). Концы рамки все время остают-
остаются присоединенными к индуктивнос-
индуктивности L. Омическим сопротивлением цепи
можно пренебречь. В каком положе-
положении рамки сила тока в ней будет
максимальной?
481. В каком положении рамки предыдущей задачи сила
тока будет максимальной, если, кроме индуктивности L,
в цепь включены последовательно конденсатор С и омиче-
омическое сопротивление R?
482. Последовательно с конденсатором задачи 478 в цепь
переменного тока включена катушка с индуктивностью L.
Вследствие этого в цепи исчез сдвиг фазы между силой тока
93
Рис. 138.
и напряжением. Чему равно сопротивление диэлектрика
конденсатора?
483. Катушка, имеющая индуктивность L=0,3 Г и со-
сопротивление /?=100 Ом, включается в цепь 50-периодного
тока с эффективным напряжением У=120 В. Определить
амплитуду тока /, сдвиг фазы <р между током и напря-
напряжением в цепи и выделяемую в цепи мощность N.
484. Для определения мощности, выделяемой перемен-
переменным током в катушке (индуктивность L, сопротивление г),
применяют иногда метод трех вольтметров, заключающийся
в следующем. Последовательно с катушкой включают из-
известное сопротивление R и присоединяют к цепи три вольт-
вольтметра так, как показано на рис. 139. Измеряют с помощью
этих вольтметров эффективные напряжения: Vt— на ка-
катушке, V2— на сопротивлении и V — между концами цепи.
Определить искомую мощность N.
Рис. 139.
Рис. 140.
485. Для определения мощности, выделяемой перемен-
переменным током в катушке (индуктивность L, сопротивление г),
применяют иногда метод трех амперметров, состоящий в
следующем (рис. 140). Параллельно катушке включают
известное сопротивление R. Измеряют эффективные зна-
значения тока: Л—через катушку, /2— через сопротивле-
сопротивление R и полный ток /. Зная показания приборов,
определить искомую мощность N.
486. Катушка диаметром 40 см, ось которой находится в
горизонтальной плоскости, состоит из /г= 1000 витков тон-
тонкой медной проволоки сечением 5=0,1 мм2. Катушка вра-
вращается в магнитном поле Земли вокруг вертикальной оси,
проходящей через середину катушки, делая /г=103 оборотов
94
в минуту, Концы катушки присоединены к внешней цепи,
обладающей омическим сопротивлением 7?=154 Ом. Найти
мощность N, выделяемую во внешней цепи. Горизонтальная
слагающая земного магнитного поля #=0,2 Э. Индуктив-
Индуктивность катушки не учитывать.
487. Железный сердечник несет на себе две обмотки.
Одна обмотка, из большого числа п витков, присоединена
к источнику синусоидальной э. д. с. <В. Другая обмотка
состоит из одного кольца, сопротивление которого R. Точки
Рис. 141.
Л, В и С этого кольца (рис. 141) отстоят друг от друга на рав-
равных расстояниях. 1) Если к двум из этих точек присоеди-
присоединить достаточно чувствительный амперметр переменного
тока с сопротивлением г, то что он покажет? 2) Как изме-
изменится его показание, если перебросить его в положение,
указанное пунктиром на рисунке? Железный сердечник не
имеет магнитного рассеяния. Индуктивностью кольца и
соединительных проводов можно пренебречь.
488. Чем определяется сила тока в кольце в предыдущей
задаче, если омическим сопротивлением кольца можно пре-
пренебречь?
489. Чему равно полное сопротивление (для перемен-
переменного тока частоты со) участка цепи, состоящего из парал-
параллельно включенных конденсатора емкостью С и омического
сопротивления R?
490. Имеются две самостоятельные цепи. Первая состо-
состоит из включенных последовательно источника э. д. с. не-
некоторой частоты, катушки с индуктивностью L и сопротив-
сопротивления R. Вторая — из источника э. д. с. той же частоты и
95
параллельно включенных конденсатора емкостью С и со-
сопротивления R. При каком соотношении между L, С и R
сдвиг фазы между током и напряжением в цепи в обоих слу-
случаях будет одинаков по абсолютной величине?
491. Найти э. д. с. и внутреннее сопротивление источника,
эквивалентного цепи, показанной на рис. 142. Считать, что
генератор <?0 настроен в резонанс с цепью и что R^(>L
Рис. 142.
Рис. 143.
492. Дана схема, приведенная на рис. 143. Будет ли
меняться сдвиг фазы между токами в ветвях с изменением:
1) сопротивления R2\ 2) сопротивления RJ
-S
Рис. 144.
R
493. В схеме, приведенной на рис. 144, даны L, С, R
и /2=/0 cos cot. Найти <?, /i и сдвиг фазы ср между ? и напря-
напряжением- V на конденса-
конденсаторе.
494, Определить полное
** сопротивление г цепи, по-
показанной на рис. 145. Кру-
Круговая частота переменного
тока в цепи равна со. Оп-
ОпРис. 145.
ределить условие, при ко-
котором сопротивление цепи будет максимальным, если R<g.L(x>y
и найти это максимальное сопротивление гмакс.
96
495. Почему короткое замыкание конденсатора рав-
равносильно тому, что его емкость становится бесконечно
большой?
t т т
1
Увых
i
Рис. 146.
496. Задано напряжение на входе фильтра (рис. 146)г)
FBX = A20 sin 300/ +120 sin 600/) В.
Определить зависимость напряжения Увых на выходе
от времени.
497. Дана схема, представленная на рис. 147. Сила тока
в катушке Ьг колебательного контура /=0,5 cos 600/.
Найти э. д. с. ?.
Рис. 147.
498. Показать, что трансформатор без рассеяния
(рис. 148, а), работающий на чисто омическое сопротивле-
сопротивление, представляет собой для внешней цепи такую же на-
нагрузку, как эквивалентная схема, представленная на
*) В этой и многих последующих задачах в аргументе sin или cos
встречается произведение какого-либо числа на /. Число, на которое
умножается t> имеет размерность, обратную времени (т. е. размерность
частоты), и выражается в обратных секундах. Поэтому произведение
этого числа на t есть величина безразмерная. Чтобы не загромождать
формул, ни единицы, в которых измеряются эти числа, ни единицы вре-
времени не указываются.
4 Под ред. И. А. Яковлева
97
рис. 148, б (п — коэффициент трансформации). Омическим
сопротивлением обмоток трансформатора можно пренебречь.
Рис. 148.
499. Цепь переменного тока показана на рис. 149. Опре-
Определить: 1) сдвиг фазы между напряжением на конденсаторе
и током через сопротивление R; 2) сдвиг фазы между током
через конденсатор и током через сопротивление R; 3) сдвиг
фазы между напряжением на сопротивлении R и э. д. с. <§
всей.цепи.
L г
я\
Рис. 149.
500. Переменное напряжение имеет форму, изображен-
изображенную на рис. 150. Найти эффективное значение такого на-
напряжения <?эфф.
501. Ток, идущий через катушку индуктивности, имеет
форму, аналогичную указанной на рис. 150. Наибольшее
значение силы тока рав-
равно /о. Какова будет ве-
величина падения напря-
напряжения на индуктивнос-
индуктивности? Представить графи-
#K ' ^*^ 1 ^—^ чески изменение этой
величины за период.
Рис. 150. 502. Конденсатор ем-
емкостью С=0,025 мкФ за-
заряжен до разности потенциалов К=20 В и разряжается че-
через проводник с индуктивностью L—A мкГ. Сопротивление
цепи г=1 Ом. Определить угловую частоту колебаний со,
98
— т —
1 X.
f
логарифмический декремент затухания 6 и максимальное
значение силы тока /0.
503. Электрическая цегА, состоящая из катушки (L=
=0,2 Г> R = 10 Ом) и соединенного последовательно с ней
конденсатора С, подключена к сети переменного тока (/=
=50 Гц, амплитуда напряжения S0=l00 В). Подобрать
емкость так, чтобы напряжение V на зажимах катушки было
максимальным, и определить величину этого напряжения.
504. Какова должна быт|? величина емкости С в преды-
предыдущей задаче, чтобы амплитуда силы тока в цепи была рав-
равна 1 А?
505. Какова величина емкости С в цепи, описанной в
задаче 503, если известно, что амплитуда напряжения на
сопротивлении равна 0,1 В?
506. Дана схема, изобра-
изображенная на рис. 151. Опреде-
Определить: 1) при какой частоте
э. д. с. $ в цепи А будет идти
ток, а в цепи В он постоянно
будет равен нулю; 2) при какой
частоте э. д. с. g в цепи В
будет идти ток, а в цепи А
он будет постоянно равен
нулю. Взаимная индуктив-
индуктивность обеих цепей МфЬ.
507. В схеме предыдущей задачи L=L'=2M=0,01 Г,
С—\ мкФ и i^ = 100 Ом. Определить амплитуды /0 и /^ сил
токов в цепях Л и В в случаях 1) и 2) предыдущей задачи,
если максимальное значение э. д. с.<? равно 100 В; подсчи-
подсчитать в тех же случаях мощность
N, расходуемую источником э. д. с.
508. Емкость конденсатора в
цепи, показанной на рис. 152, мо-
может плавно изменяться в широких
пределах. Э. д. с. источника равна
?=<§о cos at. 1) Определить мощ- Рис. 152.
ность, отдаваемую источником, в
зависимости от величины емкости. 2) При каком значении
емкости эта мощность будет максимальной и чему она равна?
509. Генератор посылает энергию по линии в нагрузку.
Эффективное напряжение генератора равно <§. Сопротивле-
Сопротивление и индуктивность линии и генератора вместе соответ-
соответственно равны Ro и Lo. Сопротивление и индуктивность на-
нагрузки равны R и L. Определить: мощность N, отдаваемую
4* 99
Рис. 151.
источником; полезную мощность N' и к. п. д. ц всей уста-
установки.
510. Определить: мощность N, отдаваемую источником;
полезную мощность N' и к. п. д. т) для цепи, показан-
показанной на рис. 153; э. д. с. источника равна «?=<?о cos (ot.
511. Схема электрической
цепи показана на рис. 154, а.
Т
60°
Рис. 153.
б)
Рис. 154.
Значения амплитуд напряжения, силы тока и сдвига фазы
между напряжением и током в цепи нагрузки показаны на
рис. 154, б. Определить амплитуду э. д. с. источника <?0
и к. п. д. г) установки. Каково было бы значение к. п. д.
г)', если бы при тех же значениях амплитуд напряжения
и силы тока нагрузка обладала только омическим сопро-
сопротивлением?
512. В цепи нагрузки ваттная и безваттная составляю-
составляющие силы тока равны. Амплитуда напряжения на входных
зажимах цепи нагрузки равна К=100 В, а амплитуда
силы тока /=10 А. Определить амплитуду э. д. с. источника,
если сопротивление линии и источника /?0=5 Ом.
513. Как с помощью амперметра и вольтметра перемен-
переменного тока можно измерить емкость конденсатора С? Дать
схему и расчетную формулу.
514. В сеть 50-периодного переменного тока напряже-
напряжением в 120 В включили последовательно конденсатор и из-
измерительный прибор, который показал силу тока 240 мА.
Чему равна емкость конденсатора С? Сопротивлением при-
прибора и подводящих проводов можно пренебречь.
515. При каком условии можно пользоваться описан-
описанным в предыдущей задаче приближенным методом для
измерения емкости конденсатора?
516. Как можно просто определить емкость конденса-
конденсатора, обладающего утечкой, по методу, указанному в за-
задаче 514.
100
517. Для измерения емкости конденсатора применяют
иногда метод моста, показанного на рис. 155. АВ — рео-
реохорд, 5 — звуковой генератор (источник переменного то-
тока), Т — телефон, Сх—измеряемая емкость, Ct — эталон-
эталонный конденсатор. Вывести условия баланса моста (т. е.
условия, при которых в телефоне нет звука). Можно ли в
схеме моста поменять местами звуковой генератор S и
телефон 7?
В
Рис. 155.
Рис. 156.
518. Схема моста дана на рис. 156. Можно ли при ка-
каких-либо соотношениях величин L и С получить отсутствие
тока через прибор переменного тока G?
519, К точкам А и В схемы, изображенной на рис. 157,
подводится напряжение Vx= l/to sin со/, а с точек М и N
снимается напряжение V2=V2Q sin (со/—ср). 1) Показать,
что при RtCi^RC имеем Кю=У20, и найти сдвиг фазы <р.
2) Чему будет равно ср, если jR=l/o>C? (Рассматриваемая
схема является одной из простейших схем фазовращателей.)
А
Рис. 157.
Рис. 158.
520. В схеме, параметры которой указаны на рис. 158,
^=150 cos 300/ В. Подобрать величину емкости С так,
чтобы сила тока через амперметр А была равна 5 мА.
101
521. Подобрать индуктивность дросселя L так, чтобы
амплитуда напряжения V2 на выходе фильтра, показанного
на рис. 159, при частоте 100 Гц была в 10 раз меньше, чем
амплитуда Vx на входе.
: /ОмкФ
ЮмкФ \
Рис. 159.
Ннопкй
Рис. 160.
ШОВ
522. Для питания электрического звонка пользуются
понижающим трансформатором. Обычно первичная обмот-
обмотка трансформатора остается постоянно подключенной к се-
сети (рис. 160). За что же платит абонент: за все время присо-
присоединения первичной обмотки к сети или за те короткие мо-
моменты, когда нажата кнопка звонка? Почему предпочитают
включать кнопку во вторичную обмотку трансформатора?
523. Ток холостого хода в первичной обмотке трансфор-
трансформатора (т. е. при разомкнутой вторичной обмотке), питае-
питаемый от сети 50-периодного перемен-
переменного тока с напряжением 220 В,
равен 0,1 А. Омическое сопротив-
сопротивление первичной обмотки равно
200 Ом. Определить индуктивность
первичной обмотки трансформато-
трансформатора.
524. Трансформатор, повышаю-
повышающий напряжение с 100 В до 3300 В,
имеет замкнутый сердечник в
виде кольца. Через кольцо пропу-
пропущен провод, концы которого присоединены к вольтметру
(рис. 161). Вольтметр показывает 0,5 В. Сколько витков
имеют обмотки трансформатора?
525. Сердечник трансформатора представляет собой тор
квадратного сечения со стороной а=10 см. Ось тора отсто-
отстоит от середины поперечного сечения на d=25 см. Первич-
Первичная и вторичная обмотки имеют соответственно /гх=500 и
102
Рис. 161.
п2=Ю 000 витков проволоки. Вторичная обмотка разомкну-
разомкнута. Концы первичной обмотки присоединяют к генератору,
и по цепи идет синусоидальный ток круговой частоты со =
=314 с и эффективной силы /=1,4 А. Подсчитать: 1) ин-
индуктивность L первичной обмотки; 2) амплитуду напряже-
напряжения Vy создаваемого между концами вторичной обмотки.
Сопротивление первичной обмотки г=0,5 Ом; магнитная
восприимчивость материала сердечника х = 12.
526. Разделительный трансформатор имеет две одина-
одинаковые обмотки, у каждой из которых индуктивное сопро-
сопротивление на рабочей частоте в я=5 раз больше омического.
Каково отношение мощностей, потребляемых в первичной
цепи при замкнутой и разомкнутой вторичной цепи?
527. В трансформаторе омическое сопротивление пер-
первичной цепи в ni, а вторичной в п2 раз меньше индуктивного
(на рабочей частоте). Найти сдвиг фазы б между током и
напряжением в первичной цепи. Рассеянием магнитного
потока в сердечнике трансформатора пренебречь. Полу-
Получить численный ответ при п1=п2=10.
528. В цепь батареи постоянного тока включен плоский
конденсатор. Расстояние между пластинами конденсатора
меняется по гармоническому закону d==do(l+a cos со/),
где a<Cl. Какой силы ток / будет течь в цепи, если э. д. с.
батареи равна <§, а площадь пластины конденсатора 5?
Омическим сопротивлением цепи можно пренебречь, так
как оно гораздо меньше 1/Ссо.
529. Через баллистический гальванометр с баллистиче-
баллистической постоянной В пропускается кратковременный импульс
тока, в течение которого через него проходит количество
электричества q. Спустя половину периода, когда рамка
гальванометра вернется в исходное положение, через галь-
гальванометр пропускается такой же импульс тока, но в проти-
противоположном направлении; через следующую половину
периода пропускается снова такой же импульс, но в перво-
первоначальном направлении и т. д. Таким образом, всякий раз,
когда рамка гальванометра проходит через положение рав-
равновесия, она испытывает одинаковые толчки в направлении
своего движения. Найти максимальный угол отклонения
рамки при установившихся колебаниях. Период (затуха-
(затухающих) колебаний гальванометра 71, логарифмический дек-
декремент б.
530. К клеммам А и В (рис. 162) подводится произволь-
произвольное переменное напряжение 1/вх (/), которое возбуждает
между клеммами М и N напряжение 1/вых (/). Параметры
103
R9 L, С подобраны таким образом, что напряжение на вы-
выходе в каждый момент времени мало по сравнению с напря-
напряжением на входе в тот же момент. Показать, что при выпол-
выполнении этого условия выходное напряжение на схемах / и 2
приблизительно пропорционально интегралу, а на схемах 3
и 4 — производной от входного напряжения по времени.
А о-
В о-
X
I
о N
Рис. 162.
-о//
-о N
531. С помощью схемы, показанной на рис. 163, требу-
требуется получить фазовый сдвиг на угол 90° между напряжени-
напряжением на входе VBX и напряжением на выходе Увых. Какому
условию должны удовлетворять параметры схемы R и L,
если круговая частота входного напряжения равна со?
Чему при этом будет равно отношение амплитуд входного
и выходного напряжений?
Ксетке
следующей
латы
Рис. 163.
Рис. 164.
532. Колебания напряжения на аноде усилительной лам-
лампы подаются в цепь сетки следующей лампы через «разде-
«разделительный конденсатор» С (рис. 164), который защищает
цепь сетки следующей лампы от попадания на нее постоян-
постоянного анодного напряжения. Для того чтобы электроны, по-
попадающие на сетку следующей лампы, могли возвращаться
к катоду, между сеткой и катодом включается сопротивле-.
ние /? («утечка сетки»). Подсчитать минимальную емкость С
разделительного конденсатора, если /?=1 МОм, усилитель
104
предназначен для частот от 5-106 до 16-105 Гц и потеря на-
напряжения на конденсаторе во всем этом диапазоне частот
не должна превышать 0,1%.
533. Для передачи только переменной составляющей на-
напряжения Vt в цепь включен конденсатор С. Напряжение
V% снимается с сопротивления R (рис. 165). Определить наи-
наименьшую величину емкости конденсатора из условия, что
потери напряжения должны быть не более 5% в диапазоне
частот от 50 до 10000 Гц. Сопротивление /?=0,5 МОм.
Рис. 165
Рис. 166.
534. Напряжение с частотой 50 Гц подводится к откло-
отклоняющим электродам катодного осциллографа через цепь,
показанную на рис. 166. Емкость конденсатора С равна
0,5 мкФ. Найти величину сопротивления /?, при которой
на экране осциллографа будет: 1) круг; 2) эллипс, у которо-
которого одна ось вдвое больше другой.
535. Определить отношение большой полуоси эллипса
в предыдущей задаче к радиусу круга.
— 0
Рис. 167.
536. Измерение величины сдвига фазы между токами
можно произвести с помощью катодного осциллографа по
схеме рис. 167. 1) Как осуществить это измерение? 2) Можно
ли этим способом определить знак сдвига фазы?
537. В ответе предыдущей задачи указан способ опреде-
определения сдвига фазы между двумя токами. Этот способ недо-
недостаточно точен. Более точно можно определить сдвиг фазы
по положению главных осей эллипса. Найти выражение
угла сдвига фазы через длину и наклон полуосей эллипса.
106
538. С помощью схемы с катодным осциллографом, изоб-
изображенной на рис. 168, принципиально можно измерить
мощность, потребляемую в цепи (R, L, г). Как осуществить
это измерение? Какие
данные необходимы для
такого измерения?
539. В электрической
цепи, показанной на
рис. 169, а (соединение
треугольником), даны
напряжения между точ-
точками 1,2,3 и сопротив-
сопротивления г12, г23, г13. Найти
сопротивления Rly R2t
jR3 в плечах «эквивалентной» цепи, показанной на рис. 169, б
(соединение звездой). (Условие «эквивалентности» состоит в
том, что при том же падении напряжения между каждой
парой точек 7, 2, 3 в обеих схемах через эти точки протека-
протекают одинаковые токи.)
2
Рис. 168.
540. Прямой однослойный соленоид с индуктивностью L
совершает вынужденные крутильные гармонические коле-
колебания вокруг своей оси ep=ep0 cos со/. Соленоид гибкими
проводами подсоединен к конденсатору емкости С (опыт
Мандельштама и Папалекси). Найти напряжение на кон-
конденсаторе при резонансе, когда частота со равна собственной
частоте колебательного контура со0=К1/ (LC). Радиус со-
соленоида а, длина проволоки, из которой он изготовлен, /,
сопротивление соленоида /?.
541. Упрощенная схема электродинамометра изображе-
изображена на рис. 170. Прибор состоит из неподвижной катушки
(выводы а, Ь), расположенной вертикально; коаксиально с
этой катушкой подвешена на пружине вторая катушка
(выводы а', Ь') с прикрепленной к ней тарелочкой с разно-
106
весами. Если концы катушек Ь и Ь' соединяют и пропускают
постоянный ток / от а к а', то на чашку весов нужно доба-
добавить 20 г, чтобы положение катушки а'Ь' не изменилось,
т. е. чтобы указатель А не сместился из нулевого положения.
Определить, какую массу т нужно добавить на чашку,
чтобы положение катушки а'Ь' не изменилось, если через
катушку аЬ проходит переменный
50-периодный ток силы 2 А, а
через катушку а'Ь' — той же час-
частоты переменный ток силы 0,5 А,
но сдвинутый по фазе относи-
относительно первого на 30°.
542. Прибор состоит из двух
взаимно перпендикулярных
V///////A
Рис. 170.
Рис. 171.
катушек, одна из которых (внешняя) укреплена непод-
неподвижно, а вторая подвешена на нити внутри первой (рис. 171).
Конец обмотки первой катушки b соединяют с а' и через
обе катушки пропускают 50-периодный переменный ток
силой /ь вследствие чего внутренняя катушка поворачи-
поворачивается. Поворотом головки А на aL делений влево воз-
возвращают катушку в начальное (перпендикулярное к не-
неподвижной катушке) положение. Затем пропускают ток
той же частоты, но силой /2 и поворотом головки на а2
делений влево снова возвращают катушку в начальное
положение. Наконец, ток 1г пропускают через первую
катушку от а к 6, а ток /2 — через вторую от а' к &', и
тогда головку нужно повернуть на а3 делений вправо,
107
чтобы катушка осталась на месте. Считая угол закручи-
закручивания нити пропорциональным моменту сил, определить
сдвиг фазы между токами /х и /2, если а1=14°5/; a2=10°;
543. Как изменятся углы закручивания нити в преды-
предыдущей задаче во всех опытах, если: 1) концы обеих катушек
поменять местами; 2) переменить концы только у одной из
катушек? 3) Возможно ли с помощью данного прибора опре-
определить, в какую сторону сдвинута фаза /2 относительно /i?
544. Как будет изменяться со временем ток / в цепи,
представленной на рис. 172, я, после замыкания ключа Ю
545. Определить закон изменения силы тока / через ба-
батарею $ после замыкания ключа К в схеме, показанной
на рис. 172, б. Вычертить кривую
изменения силы тока при замыка-
замыкании ключа.
546. Электрическая цепь со-
состоит из батареи, конденсатора и
катушки индуктивности (рис. 173).
Определить силу тока / в цепи как
функцию времени, считая, что за-
замыкание ключа /С произошло в
момент /=0. Величины параметров цепи указаны на ри-
рисунке. Омическим сопротивлением батареи и остальной
цепи пренебречь.
108
Рис. 173
547. Определить закон изменения напряжения V на
конденсаторе С после замыкания ключа К в основной цепи
схемы, представленной на рис. 174.
Рис. 174.
548. Последовательно соединенные дроссель L и оми-
омическое сопротивление присоединены к источнику постоян-
постоянного тока с э. д. с. &. Полное омическое сопротивление
цепи равно R. Индуктивность дросселя, когда в него встав-
вставлен железный сердечник, равна Lx. Индуктивность того же
дросселя без железного сердечника L2. Вначале сердечник
был вставлен. В момент времени /=0, когда ток в цепи
уже установился, очень быстро вынимают железный сер-
сердечник (в течение времени, пренебрежимо малого по срав-
сравнению с временем установления тока). Определить силу
тока / в цепи в зависимости от времени / для />0.
Rf* 5000м
Рис. 175.
о
Рис. 176.
549. Схема электрической цепи показана на рис. 175.
Определить напряжение V на конденсаторе С как функцию
времени после того, как в момент /=0 замкнут ключ /С.
109
550. Для схемы, представленной на рио. 176, опреде-
определить заряд q на конденсаторе С как функцию времени после
включения ключа К.
551. Для схемы, представленной на рис. 177, опреде-
определить, как изменяется сила тока / через катушку индук-
индуктивности после замыка-
замыкания ключа К- Парамет-
Параметры цепи обозначены на
рисунке.
552, Вместо батареи
в электрическую цепь
задачи 545 включен ис-
Рис. 177. точник синусоидальной
э. д. с. с частотой 10
периодов в секунду. Ключ К замыкается в тот момент,
когда э. д. с. достигла максимального значения. Амплитуда
э. д. с. равна 10 В. Определить напряжение на конденса-
конденсаторе V как функцию времени.
553. Источник синусоидальной э. д. с. (?=100 sinlOOn^ В
подключают в момент t=0 к катушке, обладающей индук-
индуктивностью L=l Г (рис. 178). Определить силу тока / в
цепи. Внутренним сопротивлением источника э. д. с. и
активным сопротивлением катушки и соединительных про-
проводов пренебречь.
Рис. 178.
Рис. 179.
554. К контуру L, С, R (рис. 179) с малым затуханием
в момент /=0 подключают источник постоянной э. д. с. ?
с ничтожно малым внутренним сопротивлением. Определить
напряжение V на конденсаторе С в зависимости от времени /.
На какое минимальное напряжение должен быть рассчитан
конденсатор?
555. Катушка с индуктивностью L, конденсатор с ем-
емкостью С и батарея с э. д. с. ? и внутренним сопротивле-
сопротивлением г соединены параллельно (рис. 180). Найти силу тока
ПО
/(/) в катушке после включения батареи. Параметры L,
С, г удовлетворяют условию L<4O2.
¦И
к
№4*
Рис. 180.
т
-I-
i
О)
Рис. 181.
R
556. По длинному прямому проводу течет синусоидаль-
синусоидальный ток / высокой частоты v=108ru;. К проводу подно-
подносится квадратный проволочный контур со стороной а~
= 17,2 см, в который включена лампочка (рис. 181, а).
Когда контур поднесен на расстояние 6=10 см, лампочка
горит нормальным накалом. 1) Определить эффективное
значение силы тока в проводе /эфф, если для нормального
накала лампочки требуется постоянное напряжение V—6 В.
2) Уменьшится или увеличится напряжение на лампочке
и во сколько раз, если квадрат
заменить двойным квадратом, изоб-
изображенным на рис. 181, б? Сопро-
Сопротивлением контуров пренебречь.
557. Цепь, состоящая из после-
последовательно соединенных сопротив-
сопротивления R и большой индуктивности
L, присоединена к источнику пос-
постоянного тока, поддерживающего
на зажимах постоянное напряже-
напряжение Vq. Для ограничения перенапряжений во время от-
отключения источника параллельно с цепью включен кон-
конденсатор емкости С (рис. 182). Определить напряжение на
конденсаторе V(t) после отключения источника постоян-
постоянного напряжения. Параметры контура удовлетворяют ус-
условию 4L>CR2.
558. В колебательном контуре с индуктивностью L
и емкостью С совершаются незатухающие колебания силы
тока / = /0cos(o/, где co2=l/LC. Катушкой индуктив-
индуктивности служит прямая длинная проволочная спираль.
111
Рис. 182.
Как изменятся частота, амплитуда и энергия колебаний,
если в момент времени f=0 очень быстро (т. е. в те-
течение времени, малого по сравнению с периодом колеба-
колебаний Т=2я/(о) растянуть спираль до удвоенной длины?
Объяснить, почему при этом меняется энергия колебаний.
559. К источнику синусоидального напряжения ^=»
^^ocos (о)/+б) в момент времени /=0 подключаются
последовательно соединенные сопротивление R и индук-
индуктивность L. Найти силу тока / в
цепи в зависимости от времени.
При каком условии после замыка-
замыкания цепи в ней сразу установятся
0 \х/7 / г1 синусоидальные колебания?
Т х^ г ^* ^а вход схемы> изобра-
\ ^х> женной на рис. 183, подается си-
синусоидальное напряжение частоты
со. Исследовать зависимость ампли-
амплитуды и фазы выходного напряжения
от величины сопротивления R.
561. Колебательный контур со-
содержит конденсатор с утечкой.
Это значит, что небольшая часть тока, поступающего
на одну из обкладок конденсатора, проходит через
диэлектрик на другую обкладку. Емкость конденсатора
равна С, его сопротивление R. Пренебрегая сопротивлением
катушки индуктивности и прочих проводов и
предполагая, что выполнено условие квазиста-
ционарности, вывести уравнение собственных
колебаний колебательного контура. Найти соб-
собственную частоту (оо и коэффициент затухания у.
562. Два одинаковых проволочных кольца
радиуса г каждое расположены так, как ука-
указано на рис. 184. Расстояние / между центрами
колец велико по сравнению с г. В кольце 1 под-
поддерживается переменный ток /=/0coso)/. Найти
среднее значение и направление силы F взаи-
взаимодействия между кольцами. Индуктивность
Рис. 184. одного кольца равна L, омическое сопротивле-
сопротивление R. Исследовать два предельных случая:
1) <dL»#; 2) o)L</?.
563. Схема цепи показана на рис. 185. В момент времени
/=0 замыкают ключ /С. Определить силу тока, идущего
через сопротивление, и напряжение на конденсаторе. Ам-
Амплитуда э. д. с. ^0=100 В, частота <о=200яс-1, осталь-
112
ные данные приведены на рисунке. Внутренним сопротив-
сопротивлением источника э. д. е. пренебречь.
-% cos л/2
Рис. 185.
564. В схеме, приведенной на рис. 186, в момент /=0
включают ключ К. Определить зависимость от времени
падения напряжения V на сопро-
сопротивлении. Дано: <?о=Ю0 В, со= ^н
= 100я с; параметры цепи ука-
указаны на рисунке. Внутренним
сопротивлением источника э. д. с.
пренебречь.
565. В цепь переменного тока
с напряжением <?=440 В и час- Рис. 186.
тотой v=50 Гц включены после-
последовательно нормально горящая лампочка накаливания и
катушка индуктивности. Лампочка рассчитана на НОВ и
1 А. При замене лампоч-
лампочки другой, рассчитан- AilA
ной на 220 В и 0,8 А,
оказалось, что новая
лампочка горит также
нормальным накалом."
Найти индуктивность L с*
и сопротивление R ка-
катушки.
566. Найти комп-
комплексный импеданс Z бес-
бесконечной цепочки, изоб-
изображенной на рис. 187.
567. Решить предыду-
предыдущую задачу в предполо-
предположении, что все импедансы, из которых составлена цепь,—
чисто мнимые (состоят из катушек индуктивности и кон-
конденсаторов).
568. Найти импеданс бесконечной цепочки, изображен-
изображенной на рис. 188.
Ш
569. Обкладки плоского конденсатора имеют форму
дисков радиуса R. Пространство между обкладками за-
заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической и
магнитной проницаемостями е и [х. Конденсатор включен
в цепь переменного тока /=/0 cos со/. Пренебрегая краевыми
эффектами, вычислить электрическую и магнитную энер-
энергии, локализованные в конденсаторе. Найти отношение
максимальной магнитной к максимальной электрической
энергии. Расстояние между обкладками конденсатора d.
Провести численный расчет для /?=10см, частоты v =
= 100 Гц и e=fx = l.
570. Пространство внутри длинного соленоида, состоя-
состоящего из N витков проволоки, заполнено однородным ве-
веществом с диэлектрической проницаемостью е и магнитной
проницаемостью \х. Длина соленоида равна /, радиус R.
По обмотке соленоида течет переменный ток /=/0cosco/.
Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить магнитную
и электрическую энергии, локализованные внутри соле-
соленоида, и найти отношение максимальных значений этих
энергий. Провести численный расчет для /?=5 см, е=^=1
и частоты v= 100 Гц.
571. Два плоских воздушных конденсатора с одинако-
одинаковыми обкладками заряжены одинаковыми количествами
электричества. Расстояние между обкладками у первого
конденсатора вдвое больше, чем у второго. Как изменится
электрическая энергия системы, если второй конденсатор
вставить между обкладками первого? Считать, что толщина
самих обкладок пренебрежимо мала. Рассмотреть два
случая: 1) когда конденсаторы одноименными зарядами
ориентированы в одну сторону; 2) когда они ориентированы
противоположно.
572. К плоскому воздушному конденсатору, обкладки
которого имеют форму дисков с зазором d—\ см между
ними, приложено синусоидальное напряжение V=V0cos со/
с амплитудой У0=300 В и круговой частотой со=3-106 c~J.
Найти амплитуды полей Яо и Во на расстоянии /"=1 см
от оси конденсатора, если это расстояние меньше радиуса
обкладок конденсатора. Как изменятся эти амплитуды,
если зазор между обкладками заполнить однородным ди-
диэлектриком с е=-10 и (л== 100?
573. В длинном воздушном соленоиде с радиусом на-
намотки го==1 см, содержащем п= 10 витков/см, течет ток,
нарастающий с постоянной скоростью /=100 А/с. Какова
114
будет форма силовых линий соответствующего ему вих-
вихревого электрического поля Е? Найти величину Е на
расстоянии /*=2/"о от оси соленоида. Как изменится поле Е
и индукция D, если соленоид погрузить в однородный
немагнитный диэлектрик с диэлектрической проницаемо-
проницаемостью 8 = 2?
574* Электрическая цепь представлена на рис. 189.
Определить силу тока / через сопротивление Rt после того,
как в момент /=0 замыкают ключ /С. Амплитуда э. д. с.
равна 100 В, частота 250ЯС-1. Параметры цепи указаны
на рисунке. Внутренним сопротивлением источника э.д.с.
пренебречь.
Рис. 189.
575. Цепь состоит из соединенных последовательно
двух одинаковых конденсаторов, каждый емкостью С,
и катушки с индуктивностью L (рис. 190). При разомкну-
разомкнутом ключе К один из конденсаторов заряжают до разности
потенциалов V. Затем источник отключают. Определить
закон изменения во времени зарядов на конденсаторах
после замыкания ключа К.
576. Какой должна быть взята величина индуктивности
L катушки, которую надо включить параллельно конден-
конденсатору емкости С^ЮмкФ, чтобы получившийся контур
был настроен в резонанс на 50-периодный ток?
577. Колебательный контур состоит из катушки длины
/=40 см, диаметра D=4 см, на которую намотана виток к
витку проволока толщиной а==1 мм, и батареи из 10 пло-
плоских конденсаторов, соединенных параллельно, пластины
которых имеют размеры /лх /2=20x15 см2 и отделены
друг от друга слоем диэлектрика с диэлектрической про-
проницаемостью 8=5 и толщиной d=0,l мм. Найти прибли-
приближенно собственный период колебаний контура Т.
578. Чему равна длина электромагнитной волны Я, со-
соответствующая собственной частоте колебаний контура,
1J5
состоящего из катушки с индуктивностью L=0,4 Г и кон-
конденсатора емкостью О=104 см?
579. Какова должна быть емкость конденсатора С,
чтобы с катушкой, имеющей индуктивность L«25 мкГ,
обеспечить настройку в резонанс на длину волны Я*=
-100 м?
580. Найти связь между амплитудами тока /0 и напря-
напряжения VQ при свободных колебаниях в контуре, состоящем
из катушки с индуктивностью L и конденсатора емкос-
емкости С.
581. На колебательный контур, состоящий из последо-
последовательно включенных конденсатора емкости С=0,1 мкФ,
катушки с индуктивностью 1=0,01 Г и сопротивления
R~\Q Ом, действует внешняя э. д. с. с амплитудой 10 В.
Чему равна частота / э. д. с, включенной последовательно
в контур, если известно, что амплитуда силы тока, проте-
протекающего в контуре, равна 1 А?
582. На колебательный контур с собственной частотой
соо и логарифмическим декрементом затухания 6=0,02
действует внешняя периодическая сила с постоянной ам-
амплитудой. Частота со внешней силы, вначале равная ча-
частоте собственных колебаний, изменяется настолько, что
мощность, расходуемая в контуре, падает вдвое. Опреде-
Определить изменение частоты в процентах к собственной (или
резонансной) частоте соо.
583. В колебательном контуре имеется катушка с ин-
индуктивностью L и сопротивлением R. Эту катушку желают
заменить двумя катушками с индуктивностями Lx и Lt
и сопротивлениями Rx и R2. Каким условиям должны удов-
удовлетворять эти параметры катушек, чтобы период и затуха-
затухание собственных колебаний в контуре не изменились?
Рассмотреть случаи последовательного и параллельного
включений катушек (взаимную индуктивность катушек
считать равной нулю).
584. Если в качестве антенны пользуются городской
осветительной сетью, то между сетью и приемником не-
необходимо включить разделительный конденсатор. Зачем
это делается и чему должна быть равна емкость такого
разделительного конденсатора?
585. Колебательный контур состоит из конденсатора и
катушки с индуктивностью L«=l Г. Чему равно омическое
сопротивление контура, если известно, что амплитуда
собственных колебаний в нем за 0,05 с уменьшается в е=
«=2,7 раза?
116
6 к
ГУ
586. Через сколько периодов колебаний амплитуда их
уменьшается в е=2,7 раза в колебательном контуре, у ко-
которого L=l Г, С=0,5 мкФ и #=30 Ом?
587. Что характеризует собой коэффициент затухания
контура 6*=#/BL)? Что характеризует собой логарифми-
логарифмический декремент контура 6 = nRYClLi
588. В колебательном контуре с малым затуханием одно-
одновременно увеличивают емкость конденсатора и индуктив-
индуктивность катушки в одно и то же число раз, равное п. Уве-
Увеличение производится в произвольный момент за время,
малое по сравнению с периодом собственных колебаний
контура. Найти соотношение между амплитудами токов
/0 и Iq до и после изменения параметров контура.
589. Найти ток / (в установившемся режиме) в цепи,
изображенной на рис. 191. При какой частоте со амплитуда
установившихся колебаний будет мак-
симальна и при какой минимальна? j *¦ []_
Чему равны максимум и минимум "f"
тока? ч.
590. Генератор с синусоидальной
э. д. с. замкнут на активное сопро-
сопротивление R и реактивное X, сое-
соединенные параллельно. Убрав R и
X, тот же генератор замыкают на Рис 191.
активное сопротивление г и реактив-
реактивное х, соединенные последовательно. При каком условии
амплитуда и фаза тока останутся неизменными? X и х—
величины вещественные.
591. Катушка колебательного контура с параметрами L,
С, R=0 помещена в постоянное магнитное поле, создающее
в ней постоянный магнитный поток Фо. В момент времени
/=0 магнитное поле выключается. Время выключения т
пренебрежимо мало по сравнению с периодом собственных
колебаний контура. Найти ток / в контуре в зависимости
от времени после выключения поля.
592. В колебательном контуре с индуктивностью L=l Г,
настроенном в резонанс, под действием внешнего синусои-
синусоидального напряжения с амплитудой Уо=200 В установился
переменный ток с амплитудой /0=20 А. Найти сопротив-
сопротивление контура R и время затухания т (уменьшения ам-
амплитуды колебаний в е раз) в режиме свободных затухаю-
щих колебаний.
593. При изменении частоты v вынуждающей силы, дей-
действующей на линейную колебательную систему, меняется
т
в
фаза б установившихся колебаний этой системы и запасен-
запасенная в ней энергия W. Пусть при малом сдвиге частоты от
резонансной Av=l Гц фаза колебаний б изменилась на л/4.
Как изменится при этом энергия W? Каково время за-
затухания т системы в режиме свободных колебаний?
594. Вблизи катушки колебательного контура с пара-
параметрами Lu С, R расположена вторая катушка с индук-
индуктивностью L2. Взаимная индуктивность между катушками
равна М. Какой будет резонансная частота контура, если
выводы второй катушки замкнуты накоротко? Считать,
что индуктивное сопротивление второй катушки на рас-
рассматриваемой частоте значитель-
значительно больше ее активного сопро-
сопротивления. При каком условии
резонанс недостижим?
595. Сверхпроводящие ка-
катушки с индуктивностями Ьг и
L2 соединены параллельно и
включены в цепь гальваничес-
гальванической батареи с э. д. с. ? и внут-
внутренним сопротивлением г (рис.
192). Найти установившиеся то-
токи в катушках /х и /2 и ток
в общей цепи /, если взаимной
индуктивностью катушек можно пренебречь.
596. Колебательный контур имеет следующие пара-
параметры: L=40 мкГ, С=270 пФ и R=8 Ом. Определить время,
за которое амплитуда собст-
собственных колебаний уменьшит-
уменьшится в е2 раз.
597. В радиотехнике при-
применяют вариометры, индук-
индуктивность которых можно
изменять в известных пре-
пределах. Одна из схем варио-
вариометра приведена на рис. 193.
Внутри неподвижной катушки А находится катушка В, кото-
которая может поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной к
осям обеих катушек. Индуктивность катушки А равна
1000 мкГ, а катушки В равна 400 мкГ. Максимальная
взаимная индуктивность между катушками равна 500 мкГ.
Определить максимальную и минимальную индуктивности
вариометра, когда его катушки соединены последовательно,
т. е. индуктивность цепи между а и Ъ'.
118
Рис. 192.
Рис. 193.
598. Даны две катушки индуктивности, расположенные
неизменно одна относительно другой, и мостик для изме-
измерения индуктивности. Как можно, пользуясь этим при-
прибором, определить взаимную индуктивность М между
катушками?
599. В колебательный контур включен последовательно
источник синусоидальной э. д. с. постоянной амплитуды.
Оценить приближенно напряжение на катушке индук-
индуктивности и напряжение на емкости при очень малых и
очень больших частотах (по сравнению с собственной ча-
частотой контура), пренебрегая
внутренним сопротивлением ис-
источника.
600. Внешняя э. д. с. <§
действует на колебательный кон-
контур (рис. 194). Определить силу
тока / и сдвиг фазы ф между /
и $ при резонансе.
601. В цепь, состоящую из
последовательно включенных
сопротивления Ry индуктивности
L и емкости С, включен после-
последовательно источник синусои-
дальной э. д. с. постоянной ам-
плитуды и переменной частоты.
Изменяя частоту источника, настраивают ее в резо-
резонанс с частотой цепи, затем уменьшают емкость конту-
контура в два раза и снова добиваются резонанса. Изменится
ли сила тока при резонансе? Каково отношение резо-
резонансных частот, соответствующих первому и второму
случаям?
602. Как изменится мощность, расходуемая при резо-
резонансе источником э. д. с. в задаче 600, если индуктив-
индуктивность контура будет увеличена вдвое, а емкость уменьшена
вдвое, причем Lcd>JR? Частота и амплитуда э. д. с. все
время остаются постоянными.
603. Показать, что в контуре задачи 601 амплитуда
силы тока / при отклонении частоты внешней э. д. с.
на небольшую величину А/ х) от резонансной частоты /0
будет связана с амплитудой силы тока при резонансе /0
Рис. 194.
г) А/ называется «расстройкой», а А///о — «относительной рас-
расстройкой» частоты.
119
следующим соотношением:
где Q^-5-1/ -тг — добротность контура.
604. В колебательном контуре, состоящем из варио-
вариометра и конденсатора, увеличили емкость в два раза и,
изменив индуктивность вариометра, настроили снова кон-
контур на прежнюю частоту. Как изменяются при этом: лога-
логарифмический декремент контура, коэффициент затухания,
сила тока при резонансе и-напряжение на конденсаторе
при резонансе, если в обоих случаях на контур действует
последовательно включенная э. д. с. одинаковой ампли-
амплитуды, а активное сопротивление вариометра остается не-
неизменным?
605. Определить добротность Q контура по следующим
данным: резонансная частота /рез^бОО кГц, емкость С=
=350 пФ, омическое сопротивление для частот, близких
к резонансной, jR=15 Ом.
606. В колебательный контур включен источник э. д. с.
с амплитудой ^?0=5 В. Амплитуда напряжения на конден-
конденсаторе при резонансе равна К0=150В. Определить доб-
добротность Q контура.
607. Металлическое проволочное кольцо площади S
с омическим сопротивлением R и индуктивностью L под-
подвешено в горизонтальном однородном магнитном поле
//'=#0cosG)/ и удерживается в нем таким
образом, что угол между вектором Но и нор-
нормалью п к плоскости кольца равен ф (рис.
195). Определить средний момент сил М,
действующих на кольцо со стороны магнитно-
магнитного поля. Найти положения равновесия кольца
и исследовать их устойчивость. Рассмотреть
два предельных случая: 1) wL^$>R; 2) coL<cR.
В каком случае при одинаковых L вращаю-
вращающий момент больше?
608. Один из ранних методов определе-
определения отношения заряда к массе elm для электрона со-
состоял в следующем. Электроны, вырванные из алюминие-
алюминиевого диска Л, ускорялись разностью потенциалов V, при-
приложенной между А и щелью S (рис. 196). Пройдя через
щель S,электронный пучок попадал в однородное магнит-
120
*I
Рис. 196.
ное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. Вся
система помещалась в вакууме. Изменяя напряженность
магнитного поля, добивались того, чтобы ток на коллек-
коллектор С, регистрируемый гальванометром G, был максима-
максимален. Измерив магнитное поле В в этот момент, можно вы-
вычислить е/т. Провести этот рас-
расчет (в системе СГСМ), если рас-
расстояние между щелью S и кол-
коллектором С равно d=10 см, угол f
между прямой, проведенной от v
S к С, и начальным направле-
направлением электронного пучка а=30°,
У-1000 В, 5=10,6 Гс.
609. В определенном пункте
напряженность электрического
поля, создаваемого радиостан-
радиостанцией Л, в пять раз больше,
чем напряженность электрического поля радиостанции В.
Определить добротность контура, с помощью которого
можно принимать в данном пункте станцию В без по-
помех со стороны станции Л, если для этого необходимо,,
чтобы амплитуда сигналов станции В в контуре была бы
по крайней мере в 10 раз больше амплитуды сигналов
станции Л. Частота станции Л равна 210 кГц, частота
станции В равна 200 кГц (см. задачу 603).
610. Волномер состоит из контура, настраивающегося
в резонанс с внешней э. д. с. Резонанс устанавливается
по максимуму тока в контуре с помощью прибора, точность
которого 2%. Данные контура такие же, как в задаче 605.
Подсчитать точность определения волномером частоты
колебаний в процентах.
611. Имеется двухпроводная линия из идеального про-
проводника (без тепловых потерь). Одна пара концов линии
присоединена к генератору постоянного тока, другая —
к некоторому сопротивлению (нагрузке). Показать, что
если падения напряжения в проводах не учитывать, то
вектор потока энергии (вектор Умова — Пойнтинга) S
в пространстве между проводами направлен вдоль прово-
проводов от генератора к нагрузке. Как изменится картина, если
учесть сопротивление проводов?
612. Двухпроводная линия предыдущей задачи при-
присоединена с одного конца к генератору синусоидального
тока. Напряжение и сила тока в линии находятся в одной
и той же фазе. Показать, что вектор Умова — Пойнтинга S
121
в пространстве между проводами всегда направлен от гене:
ратора к нагрузке.
613. В линии предыдущей задачи ток отстает по фазе от
напряжения на 90°. Показать, что вектор Умова — Пойн-
тинга S через каждую четверть периода меняет свое на-
направление на обратное и, следовательно, поток энергии
за период равен нулю (стоячая волна).
614. По прямому проводу, обладающему сопротивле-
сопротивлением, идет постоянный ток. 1) Указать для произвольной
точки боковой поверхности провода направление состав-
составляющей вектора Умова — Пойнтинга 5, обусловленной
тангенциальной составляющей Е. 2) Показать, что произ-
произведение модуля вектора Умова — Пойнтинга на величину
боковой поверхности провода равно мощности, выделяемой
током в проводе.
615. Найти плотность тока смещения /см в плоском кон-
конденсаторе, пластины которого раздвигаются со скоростью и,
оставаясь параллельными друг другу, если: 1) заряды на
пластинах конденсатора остаются постоянными; 2) разность
потенциалов V между пластинами остается постоянной.
Расстояние d между пластинами конденсатора остается все
время малым по сравнению с линейными размерами плас-
пластин. 3) Что изменится, если пластины конденсатора будут
сближаться, а не раздвигаться?
616. По длинному идеально проводящему соленоиду
длины /0, отключенному от источника напряжения, течет
постоянный ток /о. Как будет меняться ток / в соленоиде
при его растяжениях и сжатиях?
617. Пространство между обкладками длинного цилинд-
цилиндрического конденсатора заполнено однородным диэлект-
диэлектриком со слабой проводимостью. Когда конденсатор за-
заряжен, в диэлектрике от одной обкладки к другой течет
электрический ток. Пренебрегая краевыми эффектами,
найти напряженность магнитного поля между обкладками.
618. Заряженный и отключенный от источника элект-
электричества плоский конденсатор медленно разряжается объ-
объемными токами проводимости, возникающими в диэлект-
диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой прово-
проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить
напряженность магнитного поля внутри конденсатора.
619. Заряженный и отключенный от источника элект-
электричества плоский конденсатор, состоящий из двух одина-
одинаковых дисков радиуса /?, пробивается электрической иск-
искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и
122
пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгновенное
значение напряженности магнитного поля внутри конден-
конденсатора (в зависимости от расстояния г до его оси), если
сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент
времени равна /.
620. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых
металлических дисков, пространство между которыми за-
заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической про-
проницаемостью е. Расстояние между внутренними поверх-
поверхностями дисков равно d. Между обкладками конденсатора
поддерживается переменное напряжение V=V0sm(ot. Пре-
Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле в
пространстве между обкладками конденсатора.
621. Плоский воздушный конденсатор, обкладками
которого являются два одинаковых диска, заряжен до
высокой разности потенциалов и затем отключен от источ-
источника напряжения. В центре конденсатора происходит про-
пробой (проскакивает электрическая искра), в результате чего
конденсатор разряжается. Считая разряд квазистационар-
квазистационарным и пренебрегая неоднородностью поля на краях кон-
конденсатора, определить полный поток электромагнитной
энергии, вытекающий из пространства между обкладками.
Обсудить явление с точки зрения сохранения и превращения
энергии.
622. Плоскому конденсатору емкости С, обкладками
которого являются два одинаковых диска, сообщен заряд Q.
Затем конденсатор был отключен от источника электриче-
электричества. После этого пластины были соединены длинным
цилиндрическим проводом, проходящим вне конденсатора,
и конденсатор разрядился. Пренебрегая неоднородностью
поля на краях конденсатора, показать непосредственным
расчетом, что полный поток электромагнитной энергии из
конденсатора равен полному потоку электромагнитной
энергии, втекающему внутрь провода. Проанализировать
явление с точки зрения представления о движении, пре-
превращении и сохранении энергии.
623. Плоский воздушный конденсатор, состоящий из
двух одинаковых дисков, заряжен электричеством и по-
помещен внутри соленоида, создающего однородное постоян-
постоянное магнитное поле с индукцией В=1000 Гс. Магнитное
поле создается батареей, посылающей постоянный ток в
обмотку электромагнита. Напряженность электрического
поля между пластинами конденсатора равна ?=10000 В/см.
Объем воздушного пространства между пластинами кон-
123
денсатора равен У=100см3. Конденсатор пробивается
электрической искрой вдоль его оси и в результате этого
разряжается. Как изменится механический импульс си-
системы после пробоя? Обсудить результат с точки зрения
закона сохранения импульса.
624. В предыдущей задаче конденсатор не пробивается,
а разрывается цепь батареи, питающей соленоид. Как в
результате изменится механический импульс системы?
§ 7. Электрический ток в жидкостях
625, Над северным полюсом сильного электромагнита
помещена цилиндрическая электролитическая ванна, со-
содержащая раствор медного купороса между медными
электродами в форме цилиндров
(рис. 197), присоединенных к по-
полюсам батареи. Как будет дви-
двигаться электролит в этих
условиях?
626. Ток силы 1 А проходит
через электролит. Предполагая
для простоты, что подвижность
ионов одинакова, можно счи-
считать, что ежесекундно положи-
положительные ионы переносят в одну
сторону положительный заряд
0,5 Кл, а отрицательные ионы—
отрицательный заряд 0,5 Кл
в другую сторону. Чему в таком случае соответствует
количество отложившегося вещества на электродах: 0,5 Кл
на аноде и 0,5 Кл на катоде или 1 Кл на аноде и 1 Кл на
катоде?
627. Сколько нужно израсходовать ампер-часов, чтобы
отложить на электроде гальванического элемента грамм-
эквивалент какого-нибудь вещества?
628. На основании законов электролиза определить
отношение заряда к массе водородного иона е/пгц- Число
Фарадея F-2,8926 СГСЭ.
629. Пользуясь законами электролиза и числом Аво-
гадро, определить массу водородного иона тн и заряд
электрона е. Число Авогадро равно «6,02-1023 моль-1.
630. Батарея гальванических элементов (э. д. с. <§=
=0,9 В, внутреннее сопротивление г=0,6 Ом) состоит
из 30 элементов, соединенных в три одинаковые параллель-
124
Рис. 197.
ные группы. Какое количество меди Q выделится на катоде
за 5 мин работы батареи, включенной на нагрузку, сопро-
сопротивление которой равно 205 Ом? Относительная атомная
масса меди равна 63,57.
631. При прохождении тока через вольтаметр с подкис-
подкисленной водой в течение 3 мин образовалось 150 см3 грему-
гремучего газа, и уровень воды в вольтамметре понизился на 12 см.
Атмосферное давление во время опыта было равно 750 мм
рт. ст., а плотность подкисленной воды была 1,13 г/см3.
Найти силу тока /.
632. Батарею аккумуляторов замыкают на банку с
подкисленной водой. При разрядке батареи получается
такое количество гремучего газа, что при его сгорании
получают 35% энергии, затраченной на зарядку аккуму-
аккумуляторной батареи. Если вместо одной банки с подкисленной
водой включить последовательно несколько банок, то,
конечно, потребуется больше времени, чтобы протекло то
же количество электричества, как и в случае одной банки.
Но количество отложившегося вещества зависит, по закону
Фарадея, только от количества электричества, протекшего
через электролит. Поэтому хоть и через большой проме-
промежуток времени, но в каждой банке выделится такое же
количество гремучего газа, как и в случае включения
только одной банки с подкисленной водой. Тогда при
сгорании всего количества гремучего газа, выделившегося
во всех банках, энергии получится гораздо больше, чем
было затрачено на зарядку аккумуляторной батареи. Иначе
говоря, будет нарушен закон сохранения энергии. Разъ-
Разъяснить недоразумение.
633. Найти э. д. с. <8 элемента Даниэля, если известно,
что при соединении одного грамм-эквивалента цинка с
серной кислотой освобождается 124 000 кал тепла, а для
выделения одного грамм-эквивалента меди из CuSO4 тре-
требуется приблизительно 99 700 кал.
634. Подвижности ионов электролита равны и (для ка-
катиона) и v (для аниона). Какие количества заряда перене-
перенесены ионами каждого типа через электролит, если всего
прошло Q единиц количества электричества?
635. Электролитическая ванна, содержащая раствор
CuSO4, соединена последовательно с серебряным вольт-
вольтаметром, в котором при прохождении тока выделился 1 г
серебра. За то же время раствор CuSO4, окружающий
катод, потерял в результате электролиза 0,21 г меди. Во
сколько раз анион SO4 движется быстрее катиона Си?
125
636. При электролизе раствора серной кислоты катион
Н движется в 5,4 раза быстрее аниона SO4. Найти числа
переноса,
637. В электролитической ванне находится четырех-
четырехпроцентный раствор азотно-серебряной соли (AgNO3) при
18,4 °С. При прохождении тока через электролит на катоде
выделилось 0,3208 г серебра, а у катода, как выяснилось
путем измерения концентрации серебра в растворе после
электролиза, из раствора исчезло только 0,1691 г серебра.
Чему равно число переноса k серебра?
638. Через электролитическую ванну, в которой нахо-
находится слабый раствор хлористого калия (КС1), в течение
10 мин пропускался ток силой 0,43 А, после чего из из-
измерений концентраций оказаЛось, что из раствора у анода
ушло 0,09964 г КС1. Найти число переноса k калия. От-
Относительная молекулярная масса КС1 равна 74,6.
639. Для концентрированного раствора Cdl2 в воде
были получены следующие числа переноса: для аниона
/г=1,258, а для катиона 1—я=—0,258, т. е. из катодной
части электролита исчезло больше кадмия, чем выделилось
на катоде. Чем это можно объяснить?
640. Концентрации катионов у электродов равны сг
и с2. Какая работа А совершается при изменении кон-
концентрации катионов вследствие перехода их от анода к ка-
катоду при постоянной температуре Т электролита, если
подвижности аниона и катиона и и v и через электролит
прошло Q единиц количества электричества?
641. Разность потенциалов на полюсах концентрацион-
концентрационного элемента выражается формулой Гельмгольца
V V -VJZ± RT in?L
где R — газовая постоянная, v, и — подвижности ионов,
п — валентность, F — число Фарадея. Получить эту фор-
формулу, исходя из закона сохранения энергии.
642i Найти соотношение между коэффициентом диф-
диффузии k и подвижностью и соответствующего иона.
643. Известно, что при зарядке кислотного аккумуля-
аккумулятора плотность электролита увеличивается. (Обычно за-
зарядку прекращают, когда плотность электролита дости-
достигает 1,3 г/см3 вместо первоначальной 1,1 г/см3.) В чем
причина возрастания плотности электролита при за-
заряде?
126
644. Зная число Фарадея F=96 500 Кл/г-экв, вычис-
вычислить электрохимический эквивалент К серебра, т. е. коли-
количество серебра, выделяемое при электролизе одним кулоном
электричества. Относительная атомная масса серебра А =
= 108.
645. Зная электрохимический эквивалент серебра, вы-
вычислить электрохимический эквивалент меди. Относитель-
Относительная атомная масса меди Л=63,5.
646. Подвижности ионов Na+ иСЬ в водном растворе
равны соответственно Ь+=4,5»10-2 см2/(с-В) и 6~=6,77«
• 10-2 см2/ (с- В). Пользуясь этими данными, вычислить
эквивалентную проводимость Л^ бесконечно разбавленного
раствора поваренной соли NaCl при 18 °С.
647. Удельное сопротивление десятипроцентного раст-
раствора поваренной соли NaCl (m=0,l г соли на 1 см3 раст-
раствора) при комнатной температуре равно р=8,35 Ом-см.
Вычислить эквивалентную концентрацию г\, эквивалент-
эквивалентную проводимость Л и степень диссоциации а этого раст-
раствора. Относительные атомные массы натрия и хлора равны
соответственно ^Na =23, АС\ =35,5.
648. Самая чистая вода при температуре 18 °С имеет
удельную проводимость А,=3,8- Ю-2 См/см. Считая, что
проводимость воды связана с диссоциацией молекулы
Н2О на ионы Н+ и (ОН)-, найти степень диссоциации
воды при этой температуре. Подвижности ионов Н+ и
(ОН)- равны соответственно 6+=3,26-10~3 см2/(с-В) и
&- = 1,80.10-3см2/(с-В).
§ 8. Термоэлектричество
649. Термопара висмут — железо с постоянной С=
=92-10-6В/°С и сопротивлением /'=5 Ом присоединена
к гальванометру с внутренним сопротивлением R=ПО Ом.
Какой ток покажет гальванометр, если один спай термо-
термопары погрузить в пар кипящей под нормальным давлением
воды, а другой — в тающий лед?
650. Какова постоянная С термопары висмут — теллур,
если при подключении ее к гальванометру с внутренним
сопротивлением 7?=100 Ом и чувствительностью на одно
деление 10-б А минимальная разность температур, которую
можно измерить, А7=2-10~3 °С? Сопротивлением термопары
пренебречь.
651. Для определения температуры печи в нее
вставлена термопара никель — нихром с постоянной
127
С=0,5-10-6 В/°С, присоединенная к гальванометру с внут-
внутренним сопротивлением #=2000 Ом и с чувствительностью
на одно деление 10-5 А. При температуре второго спая
7\=+15°С гальванометр дает отклонение Ь=25 делений.
Чему равна температура 7\ печи?
652. 1) Два различных металла находятся в соприкос-
соприкосновении. Давление электронного газа в первом металле
Рг и работа выхода электрона из этого металла Аг\ дав-
давление электронного газа во втором металле Р2 и работа
выхода электрона из него Л2. Найти контактную разность
потенциалов, если температура обоих металлов Т. 2) Из
указанных металлов составлена термопара с двумя спа-
спаями, находящимися при температурах 7\ и Т2. Найти
термоэлектродвижущую силу.
Указание. Давление Р электронного газа в ме-
металле связано с концентрацией п электронов и температурой
Т металла соотношением P=nkT, где k — постоянная
Больцмана.
§ 9. Электроника
653. Какой скоростью v обладает электрон, прошедший
разность потенциалов У=100В?
654. Найти среднюю скорость v упорядоченного движе-
движения электронов вдоль медного проводника, по которому
течет постоянный ток
плотностью 1 А/см2,
если считать, что на
каждый атом меди в
металле приходится
один электрон прово-
проводимости.
655. В однородное
магнитное поле, ин-
индукция которого В,
помещена тонкая ме-
металлическая лента
шириной d (рис. 198)
В
7
т
в
Рис. 198.
и толщиной а так, что плоскость ленты перпендикулярна
к индукции В. По ленте пропускают ток силой /. Найти
разность потенциалов V, возникающую между краями
ленты (т. е. на расстоянии d), если концентрация свободных
электронов в металле ленты п (частный случай явления
Холла).
128
656. Для определения работы выхода электрона из
металла можно поступить так. Испытуемый металл в виде
нити натягивают по оси цилиндра и все устройство поме-
помещают в вакуум. Когда по нити идет ток силой /н, нить
калится до температуры Т и при этом имеет сопротивление
R. Затем накладывают на цилиндр достаточно большой
положительный потенциал, чтобы получить ток насыщения
/. При этом температура нити падает. Для того чтобы вос-
восстановить прежнюю температуру нити, увеличивают силу
тока накала на А/н. Вычислить работу выхода фвых в
вольтах, полагая известными /н, Т, /?, Д/н. Влиянием
температуры цилиндра на температуру Т нити накала можно
пренебречь.
657. Вольфрамовая нить кенотрона накаливается током
/=10 А до температуры То. Приложенное к ней напряже-
напряжение накала FH=8 В, а анодное напряжение равно нулю.
В момент включения анодного напряжения температура
нити изменяется, что можно заметить по изменению ее
свечения. Какое требуется напряжение накала, чтобы в
установившемся режиме при анодном напряжении Уа==
—5000 В температура нити снова стала равной 7V При
этом известно, что мощность, рассеиваемая на аноде при
температуре нити То и напряжении ]/а=5000 В, состав-
составляет N=1,2 кВт. Работа выхода элект-
электрона фвых для вольфрама равна
4,5 В.
658. На рис. 199 изображена элект-
электронная лампа непосредственного на-
накала со всеми поданными на нее нап-
напряжениями. С какой скоростью (вы-
(выраженной в вольтах) электроны будут
достигать анода лампы?
659. Будет ли скорость электронов,
достигающих анода лампы, иной, если
сетка лампы будет соединена не
с нитью накала, как показано на
рис. 199, а с анодом лампы?
660. С каким ускорением дви-
движется электрон, находящийся в по-
полости внутри однородного металла, покоящегося в поле
тяжести? Полость имеет форму узкого, очень длинного
цилиндра, направленного вертикально, а электрон по-
помещается на оси этого цилиндра. Как изменится уско-
ускорение, если электрон заменить позитроном? Возникает
5 Под ред. И. А. Яковлева 12$
Рис. 199.
ли в полости (при отсутствии в ней электрона или позит-*
рона) электрическое поле? Если да, то найти его величину.
Искажение решетки под действием силы тяжести не учи-
учитывать. Возникнут ли в металле объемные заряды?
661. Внутри однородного металла, движущегося с ус-
ускорением а=10м/с2, в отсутствие поля тяготения имеется
узкая, очень длинная цилиндрическая полость, направление
оси которой совпадает с направлением ускорения а. С каким
ускорением будет двигаться в такой полости электрон,
помещенный на ее оси? Как изменится ускорение, если
электрон заменить позитроном? Возникает ли в полости
(при отсутствии в ней электрона или позитрона) электри-
электрическое поле? Если да, то найти его величину. Искаже-
Искажение решетки, вызванное ускоренным движением метал-
ла^ не учитывать. Возникнут ли в металле объемные
заряды?
662. Электрон, вышедший из накаленного катода К с
достаточно малой скоростью, приобретает скорость в поле
К
анода Л, находящегося под потенциалом V, и, пройдя
между пластинами конденсатора длины /, попадает на флуо-
флуоресцирующий экран В (рис. 200), помещенный на рас-
расстоянии L от конденсатора. Когда в конденсаторе появ-
появляется электрическое поле, пятно на экране смещается на
расстояние d. Чему равна напряженность поля Е в кон-
конденсаторе?
663. Показать, что, какой бы скоростью v ни обладал
электрон, влетающий в однородное магнитное поле напря-
напряженности //, и какой бы угол а^=0 ни образовывало на-
направление v с направлением //, электрон опишет виток
винтовой линии за одно и то же время Т.
664. Электрон, обладающий скоростью vy попадает в
однородное магнитное поле, напряженность которого Н
направлена перпендикулярно к v. Окружность какого
радиуса будет описывать электрон?
130
665. Электрон движется в постоянном однородном маг-
магнитном поле напряженности //. Чему равна работа силы*
действующей на электрон?
666. Электрон влетает в постоянное однородное магнит-
магнитное поле напряженности Н (рис. 201) и в этот момент на-
находится в точке Л, обладая скоростью vt образующей с нап-
направлением поля угол а.
Описав один виток винто-
винтовой линии,' он окажется в
точке В. Чему равно А В?
667. Для моделирова-
моделирования траектории атомной
частицы с зарядом е и им-
импульсом /?, движущейся в Рие- 201-
постоянном магнитном по-
поле, часто пользуются тем обстоятельством, что очень
легкий (невесомый) гибкий проводящий шнур с током
/, находящийся под постоянным механическим натяже-
натяжением Т, занимает в том же магнитном поле положение,
совпадающее с траекторией частицы. (Предполагается,
что вне магнитного поля участки шнура прямолинейны и
расположены вдоль соответствующих прямолинейных же
участков траектории.) Обосновать этот метод. Найти связь
между /, е, /?, Т. Величина индукции магнитного поля В
может меняться в пространстве, но ее направление должно
оставаться неизменным. Частица движется перпендикулярно
к магнитному полю.
668. Труба, свернутая в кольцо, заполнена жидкостью
и находится в поле тяжести Земли. При повороте кольца
вокруг его диаметра жидкость приходит в движение вдоль
оси трубы. Это движение аналогично индукционному
току, возникающему при движении проводника в магнит-
магнитном поле. Роль силы Лоренца играет сила инерции Корио-
лиса, вызванная вращением Земли вокруг своей оси. Опыт
может служить для доказательства вращения Земли и
измерения угловой скорости этого вращения. На основе
аналогии описанного явления с электромагнитной индук-
индукцией дать количественную теорию его, предполагая, что
жидкость несжимаемая и не обладает вязкостью, а площадь
поперечного сечения трубы всюду одинакова.
669. Шарик массы /п=1 г с зарядом q==l СГСЭ помещен
внутри соленоида на гладкой горизонтальной плоскости,
по которой он может скользить без трения. Ось соленоида
вертикальна. Сначала тока в обмотке соленоида не было.
5* 131
Затем был включен ток, и в соленоиде установилось постоян»
ное однородное магнитное поле с индукцией 5=100 Гс.
Во время нарастания магнитного поля возникает электри-
электрическое поле, приводящее шарик в движение. Нарастание
тока происходило настолько быстро, что за время установ-
установления поля шарик не успел сместиться на заметное рас-
расстояние. Определить радиус г круговой траектории, по
которой будет двигаться шарик после установления маг-
магнитного поля, а также период обращения Т его по этой
траектории, если в начальный момент шарик находился
на расстоянии R от оси соленоида. Проанализировав чис-
численные результаты, ответьте на вопрос, можно ли практи-
практически наблюдать эффект с макроскопическими шариками.
В чем трудности постановки опыта с заряженными макро-
макрочастицами?
670. Каким магнитным моментом Ш обладает частица
с зарядом е и массой т, движущаяся с произвольной ско-
скоростью v<Cc в однородном и постоянном магнитном поле Я?
Скорость v перпендикулярна полю Н.
671. Нить накала магнетрона имеет диаметр d, а цилиндр
анода D. Между нитью накала и анодом приложена раз-
разность потенциалов V. На колбу магнетрона навита про-
проволока, которая образует соленоид так, что его ось совпа-
совпадает с нитью накала. Число витков на единицу длины соле-
соленоида п. Какой наименьшей силы ток нужно пустить по
соленоиду, чтобы ни один электрон, вышедший из нити
без начальной скорости, не долетел до анода?
672. Найти отношение силы кулоновского отталкивания
к силе амперова притяжения двух параллельных пучков,
состоящих из электронов, прошедших ускоряющий потен-
потенциал 1/=10 кВ.
673. Серпуховской ускоритель протонов ускоряет эти
частицы до энергии <?=76 ГэВ=7,6-1010 эВ. Если отвлечь-
отвлечься ог наличия ускоряющих промежутков, то можно счи-
считать, что ускоренные протоны движутся по окружности
радиуса /?=236 м и удерживаются на ней магнитным полем,
перпендикулярным к плоскости орбиты. Найти необхо-
необходимое для этого магнитное поле.
674. Легкий шарик массы т=0,5 г и радиуса г=\ см
подвешен на длинной нити и вращается по горизонтальной
окружности, радиус которой очень мал по сравнению с
длиной нити (конический маятник). Найти изменение
угловой скорости вращения шарика Дсо=со—со0 после
того, как он был заряжен до потенциала К=3000 В и по-
132
мещен в вертикальное магнитное поле #=3000 Э. В каком
случае угловая скорость увеличится и в каком умень-
уменьшится?
Примечание. Окончательную формулу для изме-
изменения угловой скорости упростить, использовав соотно-
соотношение —— <^ 1/ &-, где е — заряд шарика, / — длина
нити, g — ускорение свободного падения.
675. Масс-селектор, т. е. прибор, предназначенный для
разделения атомных частиц разных масс, состоит из ци-
цилиндрического конденсатора с внут-
внутренним радиусом гг=2,4 см и внеш-
внешним г2=3 см (рис. 202). Ионные
лучи попадают в селектор через
узкую щель S, расположенную
посередине между обкладками. Па-
Параллельно оси конденсатора (т. е.
перпендикулярно к плоскости чер-
чертежа) приложено однородное маг-
магнитное поле с индукцией в=2000 Гс.
Какую по величине и знаку раз-
ность потенциалов надо приложить гис* ^uz*
к пластинам конденсатора, чтобы
однократно заряженный положительный ион Li7 прошел
по средней линии конденсатора, т. е. по окружности радиу-
радиуса г=2,7 см? Найти напряженность электрического поля на
этой окружности. Энергия иона <?=1000эВ. Масса атома
водорода 1,67-10~24 г. Насколько надо изменить эту раз-
разность потенциалов, чтобы по той же линии через селек-
селектор могли пройти ионы Li6?
676. Между двумя параллельными пластинами, из кото-
которых одна является катодом, а другая анодом, создано пер-
перпендикулярное к пластинам однородное электрическое поле
напряженности Е и однородное магнитное поле, параллель-
параллельное пластинам, напряженности Н. 1) Найти траекторию
движения электрона, покидающего поверхность катода
без начальной скорости. 2) При каком условии электрон
вернется обратно на катод и в каком месте тогда он
упадет?
677. Как должна быть направлена начальная скорость
электрона в предыдущей задаче и какова должна быть ее
величина, чтобы электрон описывал окружность? Чему
равен радиус г этой окружности? Чему равен период Т
обращения электрона по окружности?
133
678. Две щели Si и S2 шириной d=0,1 см каждая (рис.
203), установленные в эвакуированном сосуде, выделяют
плоский пучок электронов с энергией <?=400 эВ. На
каком расстоянии х от щели S2 ширина электронного пучка
удвоится из-за кулоновского расталкивания электронов,
если электронный ток, приходящийся на единицу длины
Рис. 203.
щели (за щелью S2), равен /=10-4А/см? При расчетах
щели считать бесконечно длинными.
679. В установке для разделения изотопов U235 и U238
пучок однократно ионизованных ускоренных ионов урана
с энергией $—5 кэВ попадает от
источника через щель S (рис. 203а)
в однородное магнитное поле, пер-
перпендикулярное к плоскости рисун-
рисунка. В магнитном поле ионы разных
масс движутся по различным ок-
Рис. 203а. ружностям и, совершив полуобо-
полуоборот, попадают в приемники. Конст-
Конструкция последних должна быть такова, чтобы расстояние
между пучками U235 и U238 на выходе было не меньше
6=5 мм. Каково должно быть магнитное поле В, удовлет-
удовлетворяющее этому условию? Найти также время t, необхо-
необходимое для полного разделения М = 1 кг природного урана,
если ионный ток, создаваемый источником, /=5 мА. Мас-
Массы протона и нейтрона считать одинаковыми и равными
1,67-Ю-24 г.
680. Электрон, обладающий скоростью V, движется в
однородном и постоянном магнитном поле напряженности //,
перпендикулярном к его скорости. Найти величину
магнитного момента 3R эквивалентного тока.
681. Электрон, обладающий скоростью v, движется в
однородном и постоянном магнитном поле, перпендикуляр-
перпендикулярном к его скорости. Найти величину момента количества
движения М электрона.
134
682. Если полагать, что масса медленно движущегося
электрона, рассматриваемого как шар радиуса г с зарядом е,
распределенным по поверхности, то она будет равна
"тт—2". Экспериментально найдено, что для электрона
e/m=l,77' 107 СГСМ. Определить радиус г электрона.
683. Электрон, обладающий скоростью vf попадает в
однородные и постоянные взаимно перпендикулярные элек-
электрическое и магнитное поля, напряженности которых рав-
равны соответственно ? и Я. Скорость v перпендикулярна
к обоим полям. Найти траекторию движения электрона.
684. При каком условии электрон предыдущей задачи
будет двигаться прямолинейно и равномерно?
A Dj Uz
685. В вакуумной трубке электроны, эмиттированные
катодом К (рис. 204), ускоряются электрическим полем
анода Л, находящегося при потенциале V относительно
катода. Пройдя через отверстие в аноде, электроны проле-
пролетают через конденсатор Сь через отверстие в диафрагме Du
через второй конденсатор С2 и попадают на экран D2.
К конденсаторам С1 и С2 приложено одно и то же переменное
напряжение угловой частоты со. Эту частоту подбирают
так, чтобы пятно, создаваемое на экране электронным
пучком, не размывалось. Определить
elm для электрона, если расстояние i ?
между конденсаторами d и С2 рав!но /. +е t К
686. Модель атома водорода можно (^ ; "~^>s
представить в виде ядра с зарядом +?, ^~— —
вокруг которого по круговой орбите
радиуса а движется равномерно элект-
электрон —е. Если такой атом поместить в Рис 205.
электрическое поле напряженности ?*,
то орбита электрона сместится (рис. 205) и атом приобретет
электрический дипольный момент. Найти величину сред-
среднего электрического момента /?, пренебрегая изменением
расстояния между зарядами.
135
687. Определить частоту колебаний электрического поля'
9 циклотроне, предназначенном для разгона дейтонов, если
индукция магнитного поля в зазоре магнитов циклотрона
равна 14 000 Гс.
688. Найти закон, по которому происходит увеличение
радиуса кругов, описываемых дейтонами в циклотроне,
если известно, что дейтоны проходят зазор между дуантами
циклотрона при максимальном напряжении на них.
689. В газоразрядной трубке между плоскими элект-
электродами (S=10cm2), отстоящими друг от друга на рас-
расстоянии d=10cM, ток насыщения /НаС=10-6А. Ионы в
трубке возникают под действием постороннего ионизатора
(несамостоятельный разряд). Какое количество q элемен-
элементарных зарядов того и другого знака создается ежесекундно
в 1 см3?
690. Между двумя пластинами площадью S каждая,
находящимися на расстоянии d и образующими плоский
конденсатор в вакууме, приложена разность потенциалов
V, При освещении катода ультрафиолетовыми лучами меж-
между пластинами идет ток силы /, который достигает своего
значения насыщения /н при V=V0. Найти подвижность
электронов и.
691. Некоторый ионизатор (например, рентгеновы лучи)
создает в единице объема газа в единицу времени q пар
однозарядных ионов разных знаков. Коэффициент реком-
рекомбинации ионов равен а. Определить концентрацию п пар
ионов в момент времени /, если ионизатор был включен
в момент /=0, а концентрация ионов в этот момент была
равна нулю.
692. В момент времени t=0 начинает действовать иони-
ионизатор, создающий в единице объема газа в единицу времени
q пар положительных и отрицательных ионов. Предпо-
Предполагая, что <7=const, найти выражение для концентрации
пар ионов во все последующие моментьГвремени.
693. В начальный момент в газе была создана ионизация
с начальной концентрацией п0 пар ионов в единице объема.
Как будет меняться во времени / концентрация п тех же
пар, если коэффициент рекомбинации равен а.
694. Между плоскими электродами площадью S=100 см2
каждый, находящимися на расстоянии 1=5 см друг от друга,
создана ионизация воздуха рентгеновыми лучами и на-
наблюдается ток насыщения /нас = 10-7А. Определить число
пар ионов q9 создаваемых ионизатором в 1 см3 в течение
одной секунды, а также концентрацию этих пар п в устано-
136
вившемся состоянии. Коэффициент рекомбинации для воз-
воздуха а=1,67-10-в см3/с.
695. В атмосферном воздухе у поверхности Земли из-за
радиоактивности почвы и ионизации космическими лучами
в среднем образуется q=5 ионов в 1 см3 в одну секунду.
Определить ток насыщения, текущий благодаря этой ес-
естественной ионизации в плоском воздушном конденсаторе
с площадью каждой обкладки S=100cm2 и расстоянием
между обкладками /=5 см.
696. Определить время разрядки конденсатора в усло-
условиях предыдущей задачи, если первоначально он был за-
заряжен до разности потенциалов К=300 В.
697. Через какое время т после выключения ионизатора
число ионов в камере, наполненной воздухом, уменьшится:
1) в 2 раза; 2) в 4 раза? Начальная концентрация пар ионов
по=107см~3. Коэффициент рекомбинации для воздуха
а=1,67.10-всм3/с.
698. Определить эффективное сечение а рекомбинации
положительного молекулярного иона воздуха с отрицатель-
отрицательным при комнатной темпе-
температуре, если коэффициент
рекомбинации для воздуха
а=1,67-Ю-6см3/с.
699. Решить ту же за-
задачу для рекомбинации
положительного иона с
электроном.
700. В стеклянном со-
сосуде, содержащем газ, по-
помещен плоский конденса-
конденсатор С, пластины которого
А и В находятся на рас-
расстоянии d друг от друга. В центре пластины А (рис. 206)
расположена пластинка из платины, подогреваемая то-
током и вызывающая образование ионов газа. В середине
другой пластины В имеется вырез, закрытый алюминие-
алюминиевой пластинкой, одно ребро которой закреплено на на-
натянутой тонкой вертикальной проволоке. К пластинам
конденсатора приложена разность потенциалов, создающая
между пластинами ток силой /. Вследствие наличия сопро-
сопротивления среды ионы газа движутся равномерно. Алюминие-
Алюминиевая пластинка, укрепленная на проволоке, отклоняется на
малый угол 0. Коэффициент упругости проволоки при кру-
кручении с, ширина пластинки /. Найти подвижность и ионов.
137
ш
ц
1
Рис. 206.
7°1. В трубку с газом введены два плоских, параллель-
параллельных друг другу электрода, к которым приложена постоян-
постоянная разность потенциалов. Катод освещают мощным источ-
источником света, вследствие чего ежесекундно на поверхности
катода выделяется п0 электронов. Электроны, двигаясь
в электрическом поле, ионизуют молекулы газа, причем
каждый электрон на пути 1 см создает а новых электронов
и ионов. Пренебрегая ионизацией молекул газа образую-
образующимися ионами, вычислить плотность тока /. Расстояние
между электродами d.
702. Газ между плоскими и расположенными параллель-
параллельно на расстоянии d друг от друга электродами ионизуется
рентгеновыми лучами, причем ежесекундно в единице объ-
объема создается п0 электронов. Электроны, двигаясь в элект-
электрическом поле между электродами, ионизуют молекулы
газа, причем коэффициент ионизации равен а. Чему равна
плотность тока /? Ионизацией ионами пренебречь.
703. Потенциал ионизации атома ртути равен ср=10,4 В.
"Какой наименьшей скоростью v должен обладать электрон,
чтобы ионизовать атом ртути при ударе?
704. В газоразрядной трубке наблюдается тлеющий раз-
разряд между плоскими электродами. Как будет изменяться
картина разряда, если
сближать анод с катодом?
705. Чем объясняется
форма эквипотенциальных
поверхностей в положи-
положите- 207- тельном столбе газоразряд-
газоразрядной трубки (рис. 207)?
706. Почему катодные лучи представляют собой прямо-
прямолинейный пучок независимо от того, лежит ли анод на
пути пучка или смещен в сторону?
707. Два однозарядных иона противоположных знаков
вращаются вокруг их общего центра масс. Размеры ионов
очень малы по сравнению с расстоянием между ними. Эта
пара ионов находится в термическом равновесии с одноатом-
одноатомным газом, температура которого 7=3000 К. Чему равен
средний электрический момент этой пары ионов?
§ 10. Электромагнитные волны
708. Найти закон распределения амплитуд токов 1К и
напряжений Vx для собственных колебаний в двухпро-
двухпроводной линии длиной /, концы которой разбмкнуты. Найти
138
К U-Ш-Ш— А
частоты v этих колебаний. Потерями в линии можно пре-
пренебречь.
709. Найти закон распределения амплитуд токов 1Х и
напряжений Vx для собственных колебаний в двухпро-
двухпроводной линии длиной /, концы которой замкнуты нако-
накоротко. Найти частоты v этих колебаний. Потерями в
линии можно пренебречь.
710. Найти закон распределения амплитуд токов 1Х и
напряжений Vx для собственных колебаний в двухпровод-
двухпроводной линии длиной /, один конец которой разомкнут, а другой
замкнут накоротко. Найти частоты v этих колебаний.
Потерями в линии можно пренебречь.
711. Найти волновое сопротивление р двухпроводной
линии без потерь, провода которой имеют диаметр 2г=4 мм
и расположены на расстоянии d=10 см друг от друга.
Указание. Волновым сопротивлением двухпро-
двухпроводной линии называется отношение амплитуды напряже-
напряжения между проводами к амплитуде тока в одном из них,
когда волна в линии является бегущей.
712. Найти волновое сопротивление р воздушной кон-
концентрической линии без потерь, внешний цилиндр которой
имеет внутренний диаметр 2R=40 мм, а внутренняя
жила — диаметр 2г=8 мм.
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
, 713. Найти скорость v распространения электромаг-
электромагнитных волн в концентрическом кабеле, в котором про-
пространство между внешним и внутренним проводами запол-
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е=4,5. Потерями в кабеле можно пренебречь.
714. Найти периоды собственных колебаний Th двух-
двухпроводной линии длиной /ь разомкнутой на обоих концах
и погруженной в воду. Потерями в линии пренебречь.
715. Найти наименьшую частоту vlf при которой на-
наступит резонанс в концентрическом кабеле длиной /=12 км,
описанном в задаче 713, если к одному концу кабеля при-
присоединен источник переменной э. д. с, внутренним сопро-
сопротивлением которого можно пренебречь, а другой конец
кабеля разомкнут.
716. Найти волновое сопротивление р концентрического
кабеля, внешняя жила которого имеет внутренний диаметр
2/?=12 мм, а внутренняя жила — диаметр 2г=2 мм. Все
пространство между внешней и внутренней жилами запол-
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
8=2^4. Потерями в кабеле можно пренебречь.
139
717. Найти входное сопротивление двухпроводной линии
'без потерь на частоте v=5»107 Гц, если линия образована
проводами с диаметром 2R=2 мм, расположенными на
расстоянии d=12 мм друг от друга, и конец линии разомк-
разомкнут, а длина линии равна: 1) /х=2 м; 2) /2=3 м; 3) /3=3,5 м;
4) /4=7,5 м. Определить, каков характер входного сопро-
сопротивления — емкостный или индуктивный.
Указание. Входным сопротивлением линии для
данной частоты ^называется отношение между амплитудами
напряжения и силы тока, устанавливающимися на входе
линии, питаемой переменной э. д. с. данной частоты.
718. На провода линии, описанной в предыдущей задаче,
положен металлический мостик, замыкающий линию на-
накоротко. Мостик может передвигаться вдоль линии. Найти
входное сопротивление линии ZBX как функцию расстояния
х от начала линии до мостика. Определить, как изменя-
изменяется характер сопротивления при изменении положения
мостика.
719. Отрезок двухпроводной линии без потерь длиной
/=5 м замкнут на конце на конденсатор емкостью С=
=20 пФ. Расстояние между проводами линии d=A см
и диаметр проводов 2г=4 мм. Найти входное сопротивление
линии ZBX на частоте v=75-106 Гц.
Указание. В случае, когда к концу линии при-
присоединена реактивная нагрузка (емкость или индуктив-
индуктивность), для расчетов можно заменить эту нагрузку отрез-
отрезком линии с теми же параметрами, как и у линии, и длиной,
выбранной таким образом, чтобы входное сопротивление
этого отрезка линии было равго реактивному сопротив-
сопротивлению нагрузки и имело тот же характер (соответственно
емкостный или индуктивный), т. е. задачу можно свести
к эквивалентной линии без нагрузки на конце, но имеющей
другую длину.
720. Отрезок концентрического кабеля длиной 20 м с
внутренним диаметром внешней жилы 8 мм и диаметром
внутренней жилы 2 мм, заполненный диэлектриком с ди-
диэлектрической проницаемостью 8=3,2, замкнут на катушку
с индуктивностью /,= 10мкГ. Найти входное сопротивле-
сопротивление этого отрезка кабеля на частоте v= 15- 10е Гц.
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
721. Двухпроводная линия длиной 1=5 м образована
проводами диаметром 2г=3 мм, расположенными на рас-
расстоянии d=6 см друг от друга. Найти входное сопротив-
сопротивление этой линии для частоты v=75-106 Гц, если оба'про-
Й0
вода линии вместе для этой частоты имеют погонное оми-
омическое сопротивление /?г=0,2 Ом/м и второй конец линии:
1) замкнут накоротко; 2) разомкнут.
Указание. В случае, когда на длине линии уклады-
укладывается целое число четвертей волны, линия ведет себя
подобно последовательному или параллельному резонанс-
резонансному контуру (в зависимости от того, пучность или узел
тока лежит у входа линии). Этой аналогией и можно вос-
воспользоваться для определения входного сопротивления
линии. При этом нужно учитывать, что сила тока в разных
точках линии различна. Поскольку омическое сопротив-
сопротивление линии мало, распределение тока в ней можно считать
синусоидальным.
722. Двухпроводная линия длиной /=18 м замкнута на
активное сопротивление г=80 Ом. Волновое сопротивление
линии р=400 Ом. Потерями в линии можно пренебречь.
Найти входное сопротивление этой линии для волн:
1) Я=8 м и 2) Я=9 м.
Указание. Воспользоваться указанием к предыду-
предыдущей задаче о том, что при целом числе четвертей волны,
укладывающихся в линии, она ведет себя как последова-
последовательный или параллельный резонансный контур.
723. Найти входное сопротивление линии, описанной в
предыдущей задаче, если она включена на активное со-
сопротивление г=400 Ом.
724. Пользуясь теоремой Умова — Пойнтинга. подсчи-
подсчитать электромагнитную энергию, которую несет с собой
бегущая электромагнитная волна, распространяющаяся
вдоль воздушного концентрического кабеля без потерь.
Показать, что энергия, протекающая за единицу времени
через сечение кабеля, равна мощности, которую отдает
источник, питающий кабель.
Указание. Электрическое и магнитное поля между
внешней и внутренней жилами кабеля нужно выразить
через напряжение и силу тока в нем.
725. Найти распределение амплитуд токов /Л, частоты
vh и длины волн Xh собственных колебаний тонкого про-
провода длиной 1=6 м, если этот провод: 1) расположен да-
далеко от земли; 2) расположен вертикально над землей и
нижний конец заземлен.
Указание. Для тонкого провода можно считать,
что собственные колебания дают такое же распределение
токов, как и в двухпроводной линии при тех же усло-
условиях.
141
726. Для получения очень коротких электромагнитных
волн П. Н. Лебедев пользовался вибратором (рис. 208),
состоящим из двух тонких платиновых проволочек П%
и Л2 длиной 1,3 мм каждая, впаян-
впаянных в стеклянные трубки Т± и Т%
и разделенных малым искровым
промежутком в 0,4 мм. Заряжался
вибратор от индукционной катуш-
катушки через большие искровые про-
промежутки между соединительными
проводами и проводами вибратора.
Таким образом П. Н. Лебедев в
1895 г. получил наиболее короткие
электромагнитные волны. Какую
длину волны X давал вибратор
П. Н. Лебедева?
727. Напряженности электри-
электрического и магнитного полей вэлект-
Рис. 208. ромагнитной волне, создаваемой
малым по сравнению с длиной
волны элементом тока, меняющегося по синусоидальному
закону («вибратор Герца»), на расстояниях от вибратора,
намного превышающих длину волны, даются выражениями
?¦== 30 — sincpsinco [t —
где Е — напряженность электрического поля в В/м, Н —
напряженность магнитного поля в А/м, со — угловая
частота тока в вибраторе, / — амплитуда тока в амперах,
/ — длина вибратора, г — расстояние от вибратора до рас-
рассматриваемой точки в метрах, <р — угол между осью виб-
вибратора и направлением на рассматриваемую точку. На-
Направления ? и Я в каждой точке перпендикулярны друг
к другу и к радиусу-вектору г. Найти полную мощность N,
излучаемую вибратором Герца.
Указание. Нужно найти среднее значение век-
вектора Умова — Пойнтинга за период колебаний и проин-
проинтегрировать это значение по какой-либо сферической по-
поверхности, центр которой совпадает с вибратором (радиус
сферы может быть любым, но должен значительно превы-
превышать длину волны, чтобы были справедливы приведенные
выражения для Е и Н).
142
728. Найти сопротивление излучения #и симметричного
полуволнового вибратора.
Указание. Сопротивлением излучения вибратора
называется отношение полной мощности, излучаемой виб-
вибратором, к квадрату эффективного значения силы тока в
пучности вибратора. Для подсчета полной мощности, из-
излучаемой вибратором, нужно воспользоваться тем же
методом, что и в предыдущей задаче, учитывая, однако,
что сила тока в разных участках вибратора различна.
Поэтому нужно разбить вибратор на отдельные малые
элементы и подсчитать напряженности ? и Я, суммируя
поля от отдельных элементов тока. Приближенно можно
считать, что поля, создаваемые отдельными элементами
тока, приходят в данную точку пространства в одинаковой
фазе.
729. При тех же упрощающих предположениях, что и в
предыдущей задаче, найти сопротивление излучения /?и
четвертьволнового заземленного вибратора.
730. В двух одинаковых полуволновых вибраторах,
расположенных параллельно друг другу на расстоянии,
малом по сравнению с длиной волны, возбуждаются токи
одной и той же амплитуды и фазы. Каково сопротивление
излучения каждого из вибраторов RP Сопротивление из-
излучения уединенного полуволнового вибратора /?и=72 Ом.
731. Сопротивление излучения волнового вибратора (т. е.
вибратора, на длине которого укладывается одна волна)
составляет «200 Ом. Объяснить, почему сопротивление
излучения такого вибратора больше, чем сумма сопротив-
сопротивлений излучения двух уединенных полуволновых вибра-
вибраторов, и меньше, чем сумма сопротивлений излучения
двух расположенных рядом полуволновых вибраторов,
описанных в предыдущей задаче.
732. Найти эффективную напряженность электрического
поля ?эфф, создаваемого полуволновым вибратором в
точке, расположенной в экваториальной плоскости вибра-
вибратора на расстоянии г= 1.0 км от него, если известно, что
полная мощность, излучаемая вибратором, N=10 Вт.
Указание. Воспользоваться указаниями и резуль-
результатами задач 727 и 728.
733. Найти мощность излучения Л/', падающую на пара-
параболический рефлектор диаметром ?)=2 м, если рефлектор
направлен на полуволновой вибратор, мощность излучения
которого N=1 кВт, и расположен в экваториальной пло-
плоскости этого вибратора на расстоянии г=2 км от него.
143
Указание. Воспользоваться указаниями, и резуль-
результатами задач 727 и 728.
734. Какую наибольшую мощность NMaKC может отдать
приемнику присоединенный к нему полуволновый вибратор
длиной 1=3 м, если этот вибратор расположен параллельно
направлению электрического вектора приходящей элект-
электромагнитной волны и эффективное значение напряженно-
напряженности электрического поля этой волны ?1эфф=2 мкВ/м.
Указание. Нужно найти мощность, развиваемую
электрическим полем приходящей волны в каждом эле-
элементе вибратора, подсчитать мощность, развиваемую во
всем вибраторе, и найти ту часть этой мощности, которая
при оптимальных условиях передачи мощности может быть
передана приемнику.
735. Построить полярную диаграмму направленности
вибратора Герца (см. задачу 727) в плоскости, проходящей
через ось вибратора, и в плоскости, перпендикулярной к
этой оси.
Указание. Полярной диаграммой направленности
(по напряженности поля или по мощности) называется
кривая, отсекающая на радиусе-векторе, проведенном от
вибратора в некотором направлении, отрезок, изобража-
изображающий в определенном масштабе напряженность ноля (или
плотность потока энергии соответственно), создаваемого
вибратором в этом направлении на фиксированном (оди-
(одинаковом для всех направлений) расстоянии от вибратора.
736. Указать качественно, как будет изменяться харак-
характеристика направленности вибратора по мере увеличения
его длины при переходе от вибратора Герца к полуволно-
вому вибратору.
737. Определить качественно вид полярной диаграммы
направленности в экваториальной плоскости для антенны,
состоящей из двух полуволновых вибраторов, расположен-
расположенных параллельно друг другу на расстоянии половины длины
волны и питаемых токами одинаковой амплитуды и частоты,
причем токи в обоих вибраторах: 1) совпадают по фазе;
2) противоположны по фазе.
738. Определить качественно вид полярной диаграммы
направленности в экваториальной плоскости для антенны,
состоящей из двух полуволновых вибраторов, расположен-
расположенных параллельно друг другу на расстоянии длины волны
и питаемых токами одинаковой амплитуды и частоты,
причем токи в обоих вибраторах противоположны по
фазе.
144-
739. Определить качественно -вид полярной диаграммы
направленности в экваториальной плоскости для антенны,
состоящей из двух полуволновых вибраторов, расположен-
расположенных параллельно друг другу на расстоянии 1/4 длины
волны и питаемых токами одинаковой амплитуды и ча-
частоты, сдвинутых по фазе на я/2.
740. Определить качественно вид полярной диаграммы
направленности в экваториальной плоскости для антенны,
состоящей из восьми параллельных друг другу полувол-
полуволновых вибраторов, расположенных на одной прямой на
расстоянии 1/2 длины волны друг от друга и питаемых
токами одинаковой амплитуды, частоты и фазы. Найти
угловой раствор главного лепестка диаграммы (т. е. ле-
лепестка, в котором напряженность поля достигает наиболь-
наибольшей величины) и оценить отношение напряженностей поля
в главном и первом побочном максимуме.
741. Определить качественно вид полярной диаграммы
направленности расположенного над землей горизонталь-
горизонтального полуволнового вибратора в экваториальной (т. е.
вертикальной) плоскости, если землю можно считать иде-
идеально проводящей и высота h вибратора над землей равна:
1) четверти длины волны; 2) половине длины волны. Найти
в экваториальной плоскости направления максимумов фмакс
и минимумов (нулей) фмин излучения этого вибратора в
общем случае, когда высота его над землей h=nky где X —
длина волны.
Указание. Поскольку земля считается идеально
проводящей, можно так же, как и в задачах электроста-
электростатики, применить метод зеркального изображения.
742. Определить качественно вид полярной диаграммы
направленности в вертикальной плоскости вертикального
четвертьволнового вибратора, нижний конец которого за-
заземлен. Землю считать идеально проводящей.
743. Найти в вертикальной плоскости направления мак-
максимумов и минимумов излучения для вертикального полу-
полуволнового вибратора в случае, когда высота вибратора над
землей (считая от середины вибратора) h=nXy где X — длина
волны.
Указание. См. указание к задаче 741.
744. Плоская квадратная рамка со стороной d=50 см
обмотана по периметру проводом, причем число витков
провода л=10. По обмотке рамки протекает переменный
ток, эффективная сила которого /эфф—5 А и угловая ча-
стотз @=5- 10е с. Найти эффективную напряженность
145
?эфф электрического поля, создаваемого этим током в на-
направлении, перпендикулярном к стороне рамки и лежащем
в плоскости рамки на расстоянии г=\ км от нее, и сравнить
ее с напряженностью поля в экваториальной плоскости
вибратора Герца, имеющего размер стороны рамки и пи-
питаемого таким же током.
Указание. Поскольку длина провода рамки мала
по сравнению с длиной волны, можно считать, что сила
тока во всех сечениях рамки одинакова, и для расчета
напряженности поля пользоваться выражением поля для
вибратора Герца (см. задачу 727).
745. Для плоской прямоугольной рамки, размеры ко-
которой малы по сравнению с длиной волны, построить диа-
диаграмму направленности в плоскости, перпендикулярной
к плоскости рамки.
746. Плоская квадратная рамка, размеры которой при-
приведены в задаче 744, находится в поле электромагнитной
волны, причем направление распространения волны лежит
в плоскости рамки, а электрическое поле волны параллель-
параллельно одной из сторон рамки. Напряженность электрического
поля приходящей волны ?=50 мкВ/м и угловая частота
со—=5-10ес. Найти э. д. с, создаваемую приходящей вол-
волной в рамке, и сравнить с той э. д. с, которую создает эта
волна в отрезке провода, служащем одной из сторон витка
рамки.
747. Определить скорость v распространения гармони-
гармонической электромагнитной волны в однородном слое ионо-
ионосферы, если угловая частота волны со^-Ю'с и кон-
концентрация свободных электронов в этом слое N= 1 • 106 см~3.
Указание. Влияние свободных электронов на ско-
скорость распространения волны можно определить, рас-
рассматривая смещения электронов под действием электри-
электрического поля приходящей волны как «поляризацию» ионо-
ионосферы, вследствие чего электрическая индукция в ионосфере
оказывается отличной от напряженности электрического
поля. Отношение этих величин представляет собой диэлек-
диэлектрическую проницаемость ионосферы для полей высокой
частоты.
748. Преломление радиоволн в ионосфере (в результате
чего они снова возвращаются к Земле) упрощенно можно
рассматривать как полное внутреннее отражение от резкой
границы ионосферы. Исходя из этого упрощенного пред-
представления, определить наиболее короткую волну Хмин,
которая еще возвратится к Земле, если угол ее падения на
146
границу ионосферы (угол с нормалью к границе) ф=40р,
а концентрация электронов в ионосфере М=Ь10в см~я.
Указание. Воспользоваться результатами реше-
решения предыдущей задачи.
§11. Релятивистская электродинамика1)
749. В релятивистской электродинамике плотность за-
заряда р и плотность тока / образуют 4-вектор плотности
тока s(jx, / , /' icp). Правила преобразования величин,
образующих 4-вектор s, при переходе от одной инерциаль-
ной системы отсчета к другой — это правила преобразо-
преобразования компонент любого 4-вектора (см. формулы A3),
A4)). Применить, эти правила для решения следующих
задач:
1) В системе К' распределен с плотностью р' неподвиж-
неподвижный электрический заряд. Найти плотность заряда р и
плотность тока J в любой другой системе отсчета /С. По-
Показать, что величина заряда в заданном объеме является
инвариантом.
2) В системе К' плотность тока, идущего по проводнику,
равна /', объемная плотность заряда в проводнике р' равна
нулю. Найти плотность тока j и плотность заряда р в любой
другой системе отсчета К-
750. Воспользовавшись результатом п. 1) задачи 749
для преобразования плотности заряда, записать 4-вектор
плотности тока через 4-скорость A8) и плотность заряда р
в собственной системе заряда.
751. В релятивистской электродинамике трехмерные
электромагнитные потенциалы — скалярный ср и вектор-
векторный А — объединяются в 4-вектор потенциала Ф (А, ~ ф) •
Используя определения 4-радиуса-вектора R (см. G)) и
4-потенциала Ф (см. B8)), показать, что две трехмерные
формулы, определяющие электромагнитное поле через трех-
трехмерные потенциалы Л, ср:
B=roVA, ?= —grad ф—А,
2) В этом параграфе всюду использована система СИ. В качестве
систем отсчета используются исключительно инерциальные системы
отсчета. Как в условиях, так и в решениях задач данного парагра-
параграфа приводятся ссылки на формулы приложения III.
147
сливаются в одну четырехмерную формулу:
сл*-1. г, з.
Обратите внимание на то, что Fik=—Fki.
752. Расположить величины Fikt полученные в задаче
751 и выраженные через векторы поля, в виде квадратной
таблицы, считая у Fik первый индекс номером строки, а
второй — номером столбца. Полученная таблица опреде-
определяет компоненты тензора электромагнитного поля в данной
системе отсчета.
753. Тензорный (и векторный) характер величин оп-
определяется правилом преобразования этих величин при
преобразованиях координат. В СТО такими преобразова-
преобразованиями являются преобразования Лоренца. Найти правила
преобразования величин Fiki исходя из преобразований
Лоренца и определения Fik как разности производных
компонент 4-вектора Ф по координатам. Полученные пре-
преобразования определяют правила преобразования компо-
компонент тензора C3), C4).
754. Воспользовавшись правилом преобразования ком-
компонент тензора, полученным в предыдущей задаче, найти
правила преобразования компонент Ех, EyJ Ez, BXi Byt Bz
векторов поля, имея в виду, что Ex—iFxJc, Bz=F12/c и т. д.
755. Разбив векторы поля ? и В на составляющие
вдоль направления относительного движения систем от-
отсчета и перпендикулярно ему, выписать формулы преобра-
преобразования векторов Е и В в векторной форме. Выписать
формулы обратного перехода, т. е. от системы отсчета К
к *'.
756. Записать формулы преобразования векторов поля
Е и В при переходе от системы К к системе К\ движущейся
с произвольно направленной скоростью V.
757. Используя результат, полученный в задаче 755,
выписать формулы преобразования для векторов Е и В
для случая, когда относительная скорость систем отсчета
нерелятивистская, т. е. V7c<l.
758. Найти взаимное расположение векторов Е и В в
произвольной инерциальной системе отсчета, если известно,
что в системе К' либо ?'=0, либо /Г=0.
759. С помощью формул, полученных в задаче 754,
показать, что выражения с2В2—?l2=/i и ЕВ=12 представ-
ляют собой инварианты преобразований Лоренца.
148
760. Используя инварианты электромагнитного пбля,
найти условия, когда выбором системы отсчета можно
получить либо чисто электрическое, либо чисто магнитное
поле, если исходные электрическое и магнитное поля од-
однородны.
761. Если в некоторой системе отсчета К' поля Е' и
В' взаимно перпендикулярны (см. задачу 760), то можно
подобрать систему отсчета /С, в которой одно из полей
исчезает. Найти скорость системы отсчета /С, в которой
одно из полей Е и В исчезает (в системе К' выполняется
условие Е'В'=0).
762. В системе К' электрическое и магнитное поля Е'
и В' однородны, но произвольно направлены. Найти ско-
скорость системы отсчета /С, в которой поля Е и В окажутся
параллельными.
763. 1) Проверить, что компоненты плотности силы Ло-
->
ренца / есть три первые компоненты плотности 4-силы f,
которые определяются тензорным соотношением
Fs (суммирование по k),
где Fik — компоненты тензора электромагнитного поля
C2), a sk — компоненты 4-плотности тока B7). Найти чет-
-»
вертую компоненту плотности 4-силы f.
2) Проверить, что тензорное соотношение
где uk — компоненты 4-скорости тела (среды), является
релятивистской инвариантной записью дифференциального
закона Ома j=oE. Записать четвертую компоненту этого
уравнения и выяснить ее физический смысл.
764. Найти электрическое и магнитное поля равномерно
и прямолинейно движущегося заряда е, производя преоб-
преобразование полей от системы отсчета К\ в которой заряд
покоится. Убедиться в том, что силовые линии магнитного
поля, создаваемого движущимся зарядом,— окружности
с центром на траектории заряда, плоскость которых нор-
нормальна к этой траектории.
765. Найти электромагнитные потенциалы ф, А точеч-
точечной? заряда е, движущегося равномерно и прямолинейно со
скоростью V, совершив преобразования Лоренца для по-
потенциалов от системы отсчета /С', где заряд покоится.
149
766. Найти индукцию магнитного поля В равномерно
движущегося точечного заряда е, если скорость заряда
нерелятивистская, т. е. V7c<l.
767. Два заряда ех и ?2 движутся параллельно друг
другу с одинаковыми скоростями V. Определить силу вза-
взаимодействия между ними в системе /С, относительно которой
они движутся.
Указание. Пусть заряды находятся в системе К',
причем заряд ег находится в начале отсчета О', а - заряд
е2 — на оси Y, так что расстояние между зарядами равно у.
Найдите проекции силы взаимодействия на оси X и У в
этом случае из общей формулы.
768. Электрический диполь с моментом р0 (в собственной
системе) движется равномерно и прямолинейно со скоростью
V. Найти создаваемое им электромагнитное поле Е, В,
вычислив электромагнитные потенциалы ф, А.
Указание. Исходить из потенциалов в собственной
системе отсчета, применить преобразования Лоренца к
этим потенциалам.
769. Дать качественное объяснение опыту Вильсона.
Полый цилиндр из диэлектрика находится в магнитном
поле, направленном вдоль оси цилиндра. Цилиндр вра-
вращается вокруг своей оси. При этом обнаруживается поля-
поляризация цилиндра в радиальном направлении. Что изме-
изменится, если цилиндр обладает проводимостью? Можно
ли воспользоваться таким цилиндром как источником тока?
770. Дать качественное объяснение опыту Рентгена —
Эйхенвальда. Круглый эбонитовый диск вращается вокруг
Рис. 208а.
своей оси, сверху и снизу к диску плотно прижаты ме-
металлические кольца с разрезом (рис. 208а). Кольца соеди-
соединены с полюсами источника э. д. с, так что этот «конден-
«конденсатор» заряжен до некоторой разности потенциалов. Диск
150
вместе с кольцами приводят во вращение. При этом
вблизи вращающегося диска с помощью магнитной стрелки
можно обнаружить магнитное поле.
7
Рис. 2086.
Рис. 208в.
771. Дать качественное объяснение явлению унипо-
униполярной индукции. Цилиндрическое проводящее тело, на-
намагниченное вдоль оси цилиндра, вращается около своей
оси (рис. 2086). Если расположить скользящие контакты
на оси и поверхности цилиндра и замкнуть цепь, возникает
электрический ток.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 1. Электростатика
1. F » 918 кгс.
2. F» 23- Ю-4 дин.
3. ? = 2786 СГСЭ.
4. Равновесие будет неустойчивым.
Решение. Рассмотрим случай, когда заряд, находящийся
посередине, противоположен по знаку двум другим зарядам Если
этот заряд немного отклонился от положения равновесия в направ-
направлении линии, на которой лежат все заряды, сила притяжения, дей-
действующая со стороны более близкого заряда, увеличится, а со сто-
стороны более далекого —уменьшится, вследствие чего заряд будет
дальше уходить от положения равновесия. Значит, положение равно-
равновесия неустойчиво.
Если заряд, находящийся посередине, того же знака, что и два
других, то при отклонении его вдоль линии, соединяющей все заряды,
возникнут силы, которые будут возвращать средний заряд в положение
равновесия. Однако если средний заряд отклонится в направлении,
перпендикулярном к линии, соединяющей заряды, то равнодейст-
равнодействующая сил отталкивания уже не будет равна нулю и будет направ-
направлена в ту же сторону, куда сместился заряд. Вследствие этого заряд
будет еще дальше уходить от положения равновесия. Значит, равно-
равновесие неустойчиво.
Вывод, полученный нами для простейшего случая, справедлив
всегда. Если в системе свободных электрических зарядов действуют
только кулоновы силы взаимодействия, то равновесие всегда ока-
оказывается неустойчивым (теорема Ирншоу).
5. T — 2nd\/ - где q± и q2 — заряды шарика и кружка,
а / — момент инерции стрелки.
Fe е* / 1,24- 10зв для протонов,
Fg Gtne ( 4,17-1042 для электронов,
где G —гравитационная постоянная.
152
7. I) ля=фг/е« 2-Ю10 электронов; 2) AM=*me/i « 2-iO-17 r.
8. t> =
5 тг
q n 2/2"-Н
я. (^ = (
10. Q = t
11. Так как сумма зарядов во всей системе не равна нулю и
проводник А не охватывает со всех сторон заряд qy то часть сило-
силовых линий заряда q уйдет в бесконечность (или окончится на других
проводниках) и только часть силовых линий, исходящих из заряда q,
оканчивается на индуцированном заряде. Значит, индуцированный
заряд меньше q.
12. Решение. При поднесении проводника к пластинке общий
заряд в определенном отношении распределяется между этими телами.
При первом поднесении проводник получает заряд qlt на пластинке
остается Q — q±. Если операция зарядки повторена многократно, то
при последующих прикосновениях проводника к пластинке его заряд
практически уже меняться не
будет. Заряд пластинки также
не будет меняться и будет равен
Q, поскольку пластинка заря%
жается от электрофора. Иско-
Искомый заряд q определится из
пропорции
13. Поле перпендикулярно
к поверхности слоя и направ-
направлено, как указано на рис. 209, а.
Вне слоя ?=±2яр</, внутри
слоя ? = 4лрх. Ось X перпен-
перпендикулярна к поверхности слоя, х = 0 в середине слоя. Изменение
напряженности поля Е в зависимости от х изображено на рис. 209, б.
14. <7=
Рис- 209-
16. 1) А =
х) Рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в за-
задаче 4, легко убедиться, что положение равновесия и в этом случае
будет неустойчивым.
153
l_±
4n(r + d)*\ r
19. E = 2no(\ WnQ, где й —телесный угол, под
\ Vd* + Ry
которым виден диск из данной точки.
20. Решение. Плоскость симметрии между двумя точечными
зарядами +q и —q есть плоскость нулевого потенциала. Поэтому,
если в эту плоскость поместить бесконечную проводящую плоскость,
то картина поля не изменится. Следовательно, поле, созданное заря-
зарядом -\-q и зарядами, индуцированными на плоскости, будет тож-
тождественно с упомянутым полем двух точечных зарядов +q и —q
(рассматриваемым, конечно, по одну сторону от плоскости симмет-
симметрии). Поэтому силы, действующие на заряд +</, в обоих случаях
должны быть одинаковыми.
21. F = -?j2 ( /2—— ] . Сила F направлена к вершине дву-
двугранного угла О.
22. Решение. Нетрудно убедиться, что электрическим изобра-
изображением заряда q относительно поверхности ЛОВ будет совокупность
пяти зарядов. qlt q2, <73> Q*> Яъ- Поле этих зарядов и заряда q
в точке О равно нулю. Результат не изменится, если -заряд q будет
неточечным.
23. Решение. Введем электрические изображения в сфере и
плоскости, как указано на рис. 6. Сгруппируем заряды попарно:
1) q с —q, 2) q' с —q'. Каждая пара в плоскости ACDB создает
нулевой потенциал. Сгруппируем теперь те же заряды по-другому:
1) q с q\ 2) —q с —q\ При такой группировке каждая пара будет
создавать нулевой потенциал на сфере CMDN'. Ясно поэтому, что
потенциал четырех зарядов q, — q, q't. — q' обращается в нуль на
поверхности ACMDB. Следовательно, поле этих зарядов в верхнем
полупространстве будет тождественно с полем, которое требуется
рассчитать
24. F = -?r?> Л12 = "^- ( —5 з") • Обратим внимание, что
\ di d2 /
перемещение диполя сопровождается смещением индуцированных им
зарядов. Однако это смещение происходит перпендикулярно к сило-
силовым линиям и поэтому не сопровождается дополнительной работой.
25- ?=5^1Л>6-2 V5.
154
Указание. Поле, создаваемое зарядами, индуцированными
на проводящей поверхности, можно рассматривать как поле точеч-
точечного заряда —q, находящегося на расстоянии h за плоскостью
симметрично основному заряду
-\-q (см. решение задачи 20).
26. V = 2nod.
27. В точках А и В напря-
напряженность поля возрастет в три
раза, в точках С и D обратится
в нуль.
23. См. рис. 210. Рисунок
представляет собой распределе-
распределение линий поля в плоскости,
проходящей через данные заря-
заряды. Сплошные линии — силовые
линии, пунктирные линии —эк-
—эквипотенциальные линии. Жир-
Жирная линия, проходящая через рис 210.
точку Л, отделяет силовые ли-
линии заряда ~\-q от силовых линий
дится на расстоянии 2/zd от заряда
поля равен потенциалу поля в точке А: ф^ = ^-~-
заряда +4с/. Точка А нахо-
4q. В точках В и С потенциал
Ап Я §Я тл
^=3-1. Рас-
Расстояние di от заряда 4q до точки С можно определить из равенства
4<7 . Я ; 2 /10-2 , л
™ т_ I —?__.--ф или д—' ^ Аналогично найдется
t/"j3 2
расстояние d2 от заряда q до точки В: d2 = ~—к d. На очень
большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные линии должны
быть близки к кругам.
29 R—42-- A- d
Указание. Взять за начало координат точку, в которой
находится меньший заряд, направить ось X в сторону большего
заряда и написать потенциал в точке (х, у) плоскости, проходящей
через линию соединения зарядов, а затем приравнять его нулю.
30. F — 2qp/d3. Диполь будет притягиваться к заряду, если он
обращен к нему противоположно заряженным концом, а отталки-
отталкиваться в противном случае.
31. F — SptPz/d*. Диполи притягиваются, если они обращены
друг к другу противоположно заряженными концами, и отталкива-
отталкиваются в противном случае.
155
32. Решение. Разложим вектор р (рис. 211) на составляю-
составляющую />ц вдоль радиуса г и составляющую р±, к нему перпенди-
перпендикулярную. Соответствующие им поля в точке наблюдения А будут
Угол Р между радиусом г и электрической силовой линией опреде-
определится формулой
Проекция бесконечно малого участка силовой линии на направле-
направление вектора р^ может быть, с одной стороны, представлена как
dr tg p = (dr/2) tg Ф; с другой стороны,— как г tg Ь. Поэтому
(dr/2) tg ft = rdft. Интегрируя это
уравнение, получаем искомое урав-
уравнение электрической силовой ли-
линии: r = rosin2u. Постоянная г0
имеет смысл длины радиуса-век-
радиуса-вектора г в экваториальной плоскос-
ти, т. е. при Ф = я/2.
33. Да, возможны, и притом
на любом расстоянии заряда от
диполя. Плоскость круговой орби-
ты заряда перпендикулярна к оси
диполя. Угол а между направле-
Рис 211. нием дипольного момента и радиу-
радиусом-вектором, проведенным от ди-
диполя к движущемуся заряду, определяется выражением cosa =
= :р YT/3, где минус относится к положительному заряду, а плюс —
к отрицательному.
«• •-*+*•
Решение. Потенциал точки О равен
T d ' jLuRi d ' P '
Потенциал шара будет иметь то же значение.
(~--}~~г » если d > R,
"Ъ"+"Н"» если d*^*R*
Решение. Если заряд находится вне шара, то ф = -^—)—~
(см. решение предыдущей задачи). Если заряд находится внутри
шара, то поле снаружи будет сферически симметричным и ф= "L .
156
36. Рассмотрим картину поля в плоскости, перпендикулярной
к проводам (рис. 212). Для произвольной точки плоскости М потен-
потенциал поля сложится из потенциалов поля каждого провода. Потен-
Потенциал поля левого провода, если г —
расстояние точки от провода, равен
'2а . п
Потенциал поля правого провода, ана-
аналогично, есть
— C~dr = --
Сило бая линия
^Здбипотенииальная линия
Рис. 212.
Потенциал поля обоих проводов будет
1 C6.1)
Так как при удалении в бесконечность V—> () и In (гх/г2)—> (), то
из C6.1) следует V = 2o\n(r1/r2). Если г1/г2 = А; —величина постоян-
постоянная, то и V постоянно.
Возьмем след левого провода на плоскости за начало координат,
прямую, проходящую через следы обоих проводов,— за ось X. Тогда
эквипотенциальные линии определятся из соотношения (рис. 212)
откуда
Это —уравнение окружности радиуса R = -
О, абсцисса которой равна а — —-г^—р.
kd
2Г
с ЦентРом в точке
Так как в данном случае
то ОМ можно рассматривать как длину отрезка касательной к окруж-
окружности, проходящей через точки Л, М, В. Центр ее лежит на пря-
прямой, проходящей через середину АВ перпендикулярно к АВ. Таким
образом, обе окружности в точках их пересечения взаимно ортого-
ортогональны. Через любую точку М окружности АМВ можно провести
единственную эквипотенциальную линию, поэтому окружность АМВ
будет силовой линией.
37. См. рис. 213. Рисунок показывает картину поля в произ-
произвольной плоскости, проходящей через данные заряды. Все силовые
линии, расположенные в области, ограниченной жирной линией,
157
проходящей через точку Л, в которой напряженность поля равна
нулю, идут от заряда -\-д к заряду -—4д, а остальные приходят из
бесконечности. Расстояние от точки А до заряда -\-д равно d.
Потенциал в точке В равен нулю, поэтому через нее проходит
Рис. 213.
сферическая эквипотенциальная поверхность, радиус которой равен
*/lbd, а центр лежит на расстоянии 1/lbd от заряда +д (см. задачу 28).
38. Q = g/2.
Решение. Поверхность металлического шара имеет потен-
потенциал, равный нулю (так как шар заземлен). Такую же поверхность
нулевого потенциала и такое же поле вне ее мы получим, если
вместо шара (удалив его) поместим заряд Q — g/2 в точке, находя-
находящейся на прямой, соединяющей заряд с центром шара, на расстоя-
расстоянии R/2 от центра шара (см. задачу 29).
1 — A — ее2J
39. Q =
где a —r(d.
Решение. Поляризованный шар в условиях этой задачи может
быть заменен парой зарядов: д' =—grid на расстоянии b = r2/d от
центра и Q' = Q — д' в центре (Q — полный заряд шара). Сила взаимо-
взаимодействия будет
яя' , ?Q'_ „2 dr
— ж
_
Из условия F — 0 имеем
г
d
(d2-r2)d
I —A —а2J
A-а2J
где
158
4°- F = ~ S (Г=^5р ' ГДе а = Г^
Решение. Поле наведенного на шаре заряда по методу отра-
отражений можно заменить полем точечного заряда <?', помещенного на
расстояни и b от центра (см. рис. 12). Величину q' и отрезок b сле-
следует выбрать так, чтобы поверхность шара совпала с поверхностью
нулевого потенциала зарядов q и q' (см. задачу 29). Из этого усло-
условия получим q' =—qr/d, b = r2/d. Сила взаимодействия заряда
с шаром равна силе притяжения зарядов q и qf:
d2 (d-r2/dJ~~ d2 A-a2J'
где <x=r/d. Знак «—» означает притяжение зарядов.
41. q' =— qr/d.
Решение. Шар нулевого потенциала должен обладать заря-
зарядом q' = —qr/d (см. предыдущую задачу); следовательно, именно
такой заряд протечет при заземлении шара.
Решение. Поле снаружи шара совпадает с полем пары заря-
зарядов q и qf (см. задачу 2). С другой стороны, поверхностная плот-
плотность заряда на шаре связана с полем вблизи его поверхности: а =
= -j—Е. В окрестности точки М2 имеем
?2 = (d+i?J+(Fp?p. где q'=~qT' Ь=~Т'
отсюда
Аналогично, в окрестности точки
43. Е = 2по.
Решение. Пусть а —поверхностная плотность заряда на
сфере Тогда поле вблизи наружной ее поверхности будет Е — Ако\
внутри сферы Е = 0. То же самое поле может быть представлено
как сумма поля малого диска с поверхностной плотностью а, выре-
вырезанного из сферы, и поля остальной части поверхности. Поле вблизи
центра диска будет, как известно, равно Е—±2ло (знак зависит
от стороны диска). Следовательно, поле остальной части сферы со-
составляет 2яо\
44. Распределение потенциала во всех плоскостях, перпендику-
перпендикулярных к заряженной линии, одинаково. Эквипотенциальные поверх-
159
кссти — коаксиальные цилиндры, ось которых —заряженная линия.
Разность потенциалов между цилиндрами радиусов г и R (R > г)
равна 2х In (R/r). Но в бесконечности потенциал не имеет
конечного значения, так как работа сил поля по удалению
положительного единичного заряда из данной точки (г) в бесконеч-
бесконечность не имеет конечного значения. Конечное значение имеет только
разность потенциалов между двумя точками поля. Результат этот
обусловлен тем, что мы считаем проводник бесконечным, и, значит,
нельзя говорить о точках, бесконечно удаленных от проводника,
так как «бесконечно удаленная точка» физически означает точку,
удаленную на расстояние, большое по сравнению с размерами про-
проводника.
При рассмотрении реальных полей таких затруднений не возни-
возникает, так как размеры проводников конечны. Всякий заряженный
проводник на достаточно большом расстоянии от него можно рас-
рассматривать как точку. Следовательно, пользуясь условным пред-
представлением реальных проводников в виде бесконечных, можно рас-
рассчитывать поле только вблизи конечного проводника (на расстояниях,
малых по сравнению с длиной проводника).
45. V = 4naRln(d/R).
Указание. Напряженность поля в точке, находящейся от оси
цилиндра на расстоянии х> большем г, равна Е = 4пго/х.
47. Поле параллельно оси X и напряженность его? = ах. Такое
поле будет существовать внутри слоя, ограниченного бесконечными
плоскостями, перпендикулярными к оси А', и заряженного равно-
равномерно с объемной плотностью р — а/4п (см. задачу 13).
48. Решение. Вычислим поле внутри шара. Ввиду шаровой
симметрии
или, в координатной форме,
х _, _, ч у _, z
х= {Г) у , у— (О у, г— (Г) у
Дифференцируя Ех и учитывая, что дг/дх = х/г (последнее получается
дифференцированием равенства /-2 = x2-f-J/2 + z2), находим
дЕх dE х2 Е о , Е
дх dr r2 г3
г
Написав аналогичные соотношения для производных дЕу/ду, dEz/dz
и сложив, получим
160
Внутри шара
откуда
п 4л , С
Постоянная С должна равняться нулю, так как напряженность поля Е
в центре шара конечна, как это ясно из физических соображений.
Вне шара на расстоянии г от центра
4л №р
*—Т г2 '
Аналогично вычисляется поле внутри пластинк,
49. ?= —рг, где г = 00'. Поле однородно.
52. Поверхностная плотность электричества на эллипсоиде
гМ-У.
(X* у*
где #— общий заряд эллипсоида.
б3* О^1Ш\[~Т^ 1)
55. <? = 5,92.105Кл; Ф = 2
56. /==4 ^ 2 ^ 106с« Юсут (^ — радиус Земли, е — заряд
протона; численный ответ получен при $/е~~>\09 В). В действитель-
действительности потенциал Земли не может достигать такого значения, так
как, наряду с приходом протонов, существует обратный процесс,
в котором земная атмосфера теряет положительные заряды в виде
протонов и положительных ионов, уходящих в космическое прост-
пространство под действием возникшего электрического поля.
57. 1) E = 2q/d2\ 2) E = 8q/9d*.
Указание. См. задачу 20.
г3 дЕ2
58. /7=-у -у ; сила F направлена в сторону возрастания
поля Е*
59. F—1/d5.
60. ?=—^=г~; поле Е перпендикулярно к плоскости и на-
направлено к ней.
61. 1) Нет. 2) Внутри будет, снаружи нет.
62. Е = ло.
Решение. Напряженность поля, создаваемая в центре сферы
радиуса R зарядами, находящимися на кольце шириной R dft, вы-
6 Иод ред> И. А. Яковлева 161
резанном из полусферы, несущей заряд плотности а, будет вследствие
симметрии перпендикулярна к плоскости этого кольца (рис. 214).
Поэтому при расчете напряженности поля зарядов каждого элемента
кольца мы будем учитывать только нормальную составляющую к пло-
плоскости кольца. Эта составляющая, очевидно, равна — ^ф.
Интегрируя по ф от 0 до 2я, получаем напряженность, создаваемую
зарядами, находящимися на кольце: 2nas\n ф cos ФсКК Интегрируя
по углу Ф от 0 до я/2, получаем, что напряженность поля, созда-
создаваемая зарядами первой половины сферы, равна Е = ла.
Вид кольца ло
направлению Е
Кольца сбоку
Рис. 214.
Поле, создаваемое зарядами второй половины сферы, будет
иметь противоположное направление и величину 2эт.о\ Следовательно,
результирующая напряженность поля в центре сферы равна па и
направление ее противоположно направлению Е, указанному на
рис. 214.
63. Вне оболочки не изменится, внутри уменьшится в е раз.
64. Поле, вообще говоря, изменится не только внутри, но и вне
оболочки, особенно заметно вблизи «неровной» границы диэлектрика.
«Неровность» границы следует оценивать по отношению к сфериче-
сферической границе диэлектрика.
65. Увеличится, так как поверхностная плотность заряда на
металлической пластинке против диэлектрика возрастет.
66. Решение. В окрестности точки Л поле должно стремиться
к бесконечности, как кулоново поле точечного заряда q. Поэтому
поле в первом диэлектрике должно содержать слагаемое ^/(е^3).
К нему надо добавить поле поляризационных зарядов, возникших
на границе раздела диэлектриков. Введем предположение, оправды-
оправдываемое последующими вычислениями, что поле поляризационных
зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то точеч-
точечного заряда д\ помещенного в точке А'\ зеркально симметричной
162
с Л относительно границы раздела. Тогда для поля в первом
диэлектрике можно написать
где г и г' —радиусы-векторы, проведенные из зарядов q и q'
в рассматриваемую точку. Введем второе предположение, также
оправдываемое последующими вычислениями, что поле во втором
диэлектрике представляется выражением
причем второй (фиктивный) заряд q" совмещен пространственно
с зарядом q (на рис. 15 он не изображен).
Теперь необходимо выражения для Е± и ?2 «сшить», чтобы на
границе раздела диэлектриков удовлетворялись граничные условия:
непрерывность касательных компонент вектора Е и нормальных ком-
компонент вектора D. Первое условие имеет вид
— sin ф-1—— sin(p=-^— sincp,
8Х Ч Н
а второе
q cos ф — qf cos ф = q" cos ф.
Существенно, что угол ф выпадает из обоих уравнений. Поэтому,
если qr и q" определить из этих уравнений, граничные условия
будут удовлетворены во всех точках границы раздела. Таким путем
находим
F — q г -I Е2 —81 Я г' F — 2 Я г
er3 & 8 + ег 3 8 + 8''
67. /7=-j 4т > гДе d —расстояние заряда от границы
4е 8 + 8 d2
раздела. Заряд притягивается к плоскости, если г2 > еь и отталки-
отталкивается, если е2 <
68. Q = ?#2 =
69- Я-^-
Указание. Пусть а — поверхностная плотность зарядов на
сфере. Напряженность поля снаружи у поверхности сферы равна
4яа, а внутри равна нулю. Выделим мысленно элемент поверхности dS.
Поле у поверхности можно рассматривать как результат наложения
двух полей: 1) поля зарядов, находящихся на элементе dS и создаю-
создающих напряженность 2па снаружи и внутри, и 2) поля всех осталь-
остальных зарядов; следовательно, поле остальных зарядов равно 2яа и
направлено наружу. Отсюда сила, действующая изнутри на элемент
dS, равна 2noodS. Поэтому давление будет 2яоЛ
6* 168
70. На единицу поверхности незаряженного мыльного пузыря
действуют: 1) сила давления, обратно пропорциональная объему
пузыря, т. е. пропорциональная 1/R3, и направленная наружу, и 2)
сила поверхностного натяжения, пропорциональная \/R и направлен-
направленная внутрь пузыря. При определенном радиусе R эти силы уравно-
уравновешивают друг друга:
_; о
R3 R *
где постоянные а и с зависят от конкретных условий опыта. Сооб-
Сообщив мыльному пузырю заряд, мы добавим к силе, действующей
наружу, еще силу электростатического отталкивания зарядов
(см. задачу 69), пропорциональную I//?4. Для равновесия необходимо,
чтобы
JL+— ?.=0.
Отсюда можно получить связь между изменением сил, действующих
на единицу поверхности пузыря, и изменением Л/?! радиуса
Величина, стоящая в скобках, положительна, поэтому равновесие
будет устойчивым. Увеличение Rt вызовет большее уменьшение сил,
действующих наружу, а потому результирующая сила будет умень-
уменьшать радиус, т. е. возвращать его к равновесному значению Rlt На-
Наоборот, уменьшение радиуса вызовет большее увеличение тех же сил
и равнодействующая сила будет увеличивать радиус.
71. <22=16ш-3A2ст + 7Рг). Еслиг>а/Р=5- 10~5см, как это имеет
место в условии задачи, то Q=4r2 yfnF=\,87.104СГСЭ=:6,2.10~6 К л.
В этом случае заряд Q практически не зависит от поверхностного
натяжения. В противоположном случае, когда
= 5• 10~бсм,
Рис. 215.
72. Поле внутри сферы равно нулю, а поэтому потенциал <р
имеет постоянное значение и равен значению потенциала самой
сферы, т. е. ф = 4я/?а, а вне сферы потенциал равен ф = 4лR2o/d
164
(тонкая линия на рис. 215). Е внутри сферы равно нулю, а вне
сферы E = 4nR2o/d2 (жирная линия на рис. 215).
/ qQ V/.
c~~\4nmR *
73. vv
74. Поле будет иметь вид, показанный на рис. 216. Потенциал
внешнего шара Q/R3, а потенциал внутреннего Q f r=j ~Рг~^"ж) *
Если внешний шар заземлить, то его потенциал будет равен нулю,
а потенциал внутреннего шара Q (/?2
Рис. 217.
75. См. рис. 217, а и б. ?0 = 0,1СГСЭ, фо= 1,5СГСЭ = 450В.
165
76. Часть силовых линий, идущих от заряда + 2#, будет окан:
чиваться на внутренней стороне замкнутой оболочки, значит, потен-
потенциал ее будет ниже потенциала проводника, имеющего заряд -\-2q-
77. Заряд противоположного знака, равный половине заряда
нузыря (см. задачу 69).
78. Р е ш е н и е. На единицу поверхности сферы действует вы-
выталкивающая сила f = Q2n/(8nR2) Отсюда интегрированием легко
получить F=Q2/(8R2).
79. F =
80. F = K2/(nR).
81. /г = х(х + 2к
82. Е = 2 УЪпо (рис. 218).
83. Эквипотенциальные поверхности по-
поля—плоскости, наклоненные^ заряженной
плоскости с поверхностной плотностью за-
заряда а под углом а, определяемым соотно-
соотношением tga = 2. Потенциал ф линейно из-
изменяется с расстоянием от линии пересече-
пересечения поверхностей. Для поверхности с плотностью заряда 2а: ф =
«=— 2пох-\-с Для поверхности с плотностью заряда а: ф = — Ап<зг-\-с.
84. а = 0,00265 СГСЭ,
А(х,у,г)
2тсо
20
Рис. 218.
85. Электрическое поле радиально и определяется выражениями
О, если г < R± или Rs < г < оо,
i-fli) Q
О,- если г > 7?з»
где г —расстояние от центра сфер.
86. R = 1 м.
166
87. Внутри цилиндра поле такое же, как и в задаче 82. Вне
цилиндра, если ось его направить по оси Y, первую заряженную
плоскость совместить с координатной плоскостью YOZ, а вторую •*-
с координатной плоскостью XOY (рис. 219), компоненты напряжен-
напряженности поля в произвольной точке А (х, у, г) будут
Г. 6Rx 1
1 J~o~, 57- ПО ОСИ X,
|_ [X -р Z~) J
О по оси Y,
по оси Z.
2ка
88. Если начало координат взять в цешре сферы и ось Z на-
направить перпендикулярно к плоскости (рис. 220), то компоненты
Рис. 220.
напряженности поля в точке А (ху у, z), лежащей вне сферы, будут
— по оси X,
L
4nR2oy
2*',
по оси Y,
' )
jt- ПО ОСИ Z*
В точке, лежащей внутри сферы, поле направлено вдоль оси Z
и равно 2яо\
89. р=1,3-10-3СГСЭ.
90. at = —aa = y(<7i — ga)f a{ = а-2 = у (
91. 1) По 40 В. 2) Нуль между пластинками i и 2 и 40 В между
пластинками 2 и 3.
92. 40 В.
93. Ex=*Vxl&\ E2 = V(x+d)/d2.
94. Напряженность поля в направлении из точки / в течку 2
равна ?<12 = (ф1 — ф2)Л*> гДе л—длина ребра кубика. Аналогично, f].,3
= (ф1 —Фз)/а и ?и = (ф1 —ф4)/а- Векторная сумма Ei2, El3, Ей
определит приближенно напряженность поля в окрестности точек /,
2, 3, 4.
95. V,2 « 0,25 СГСЭ; V23 « 0,75 СГСЭ.
96. Уменьшится в два раза.
97. Решение. Потенциалы проводников являются линейными
однородными функциями их зарядов: Ф/ = 2^'*^л* Всилусиммет-
k
рии все коэффициенты A-lk с одинаковыми индексами равны между
собой. Точно так же равны все коэффициенты с разными индексами.
Обозначая эти коэффициенты через А и В соответственно, можем
написать (pt = Aq1 -\-В (<72 + <?з) и аналогично для остальных провод-
проводников. При зарядке первого шара он получает потенциал q>i — Aql.
При зарядке остальных двух шаров потенциал первого шара ме-
меняется, но его значения для решения не нужны. При зарядке вто-
второго шара его потенциал становится равным также ф1 = Л^2 + ^^1-
Аналогично, для третьего шара ^i — Aq3 + B(q1-\-q2). Таким образом,
Aq1 = Aqt-+Bq1 = Aq8 + B(q1 + qt). Отсюда q3 = ql/qv
98. qi = ql/qi, q^ = qllqb
99. V w 189B.
100. На расстоянии d (в сантиметрах) от общей оси цилиндров
Е « 39/d СГСЭ.
102. A = pq/d2.
103. Нет. так как такое поле не будет потенциальным. Действи-
Действительно, работа при передвижении заряда по прямоугольному замкну-
замкнутому контуру, две стороны которого параллельны полю, а две
перпендикулярны к нему (рис. 221), будет отлична от нуля.
Рис. 221.
Рис 222.
104. Потенциал проводника уменьшится.
105. Уменьшится.
106. V=*2nqd/S.
107. См. рис. 222. E = 6nq/S.
168
108. V = Q(/?2 — /?i)/(/?1/?2) = 750 В. Напряженность поля внутри
первой сферы равна нулю, между сферами Q/r2, вне второй сферы
2Q/r2, где г — расстояние рассматриваемой точки от центра сфер.
109. 1) ф = 9-108 В. 2) Заряд не удержится, так как напряжен-
напряженность поля у поверхности шара будет ? = 90кВ/мм.
UP. F=,9n<i( hArd —* \ см. задачу 19.
Если d <? h, то Е «
111. Q * 265СГСЭ.
112. Увеличится в полтора раза.
113. Увеличится на 200 пФ Положение листа на результат не
влияет в том случае, когда он остается параллельным обкладкам.
114. С = 35 см.
115. Решение. Поле большого шара в его полости однородно
и равно 4ярг/Cе), где г = ОС—вектор, проведенный от центра боль-
большого шара О к центру малого шара С. Умножив это поле на заряд
малого шара, найдем F = DnpJ Rsr/(9e).
116. С=/?/2.
Указание. Если R<^d, где d— расстояние между шарами,
то емкость одного шара относительно плоскости симметрии прибли-
приближенно равна R. Поэтому емкость между шарами можно рассматривать
как емкость двух конденсаторов, включенных последовательно.
П7. С= а'с *'*+с а"!^'К+ в"К а'К '
l-t-C2—ь3
119. 1) Емкость батареи, включенной по схеме а), больше.
С С
2) С4 = ^ 1. \ , С3 может быть любой.
120. Для цилиндрического конденсатора С = ^г-— . Если
l in {1K/R1)
то \n(R2/R1) = \n(\+bR/Ri)&MZ/R1. Тогда
==Я—Го» где 5 —боковая поверхность цилиндра.
Для сферического конденсатора доказательство аналогичное.
121. lr = const, где / — длина трубки, г —ее радиус. Конденса-
Конденсаторные клеммы применяются для более равномерного падения потен-
потенциала в изоляции, а следовательно, и уменьшения максимального
значения напряженности поля в изоляторе. Если изолирующая трубка
будет иметь толщину порядка радиуса провода, то напряженность
у провода будет примерно в два раза больше, чем у поверхности
169
трубки, а в конденсаторной клемме с очень тонкими слоями напря-
напряженность будет всюду почти одинаковой.
122. Увеличится примерно вдвое.
123. Увеличится примерно в три раза по сравнению с емкостью
конденсатора без коробки.
124.
где У\ — напряжение на кон-
денсаторе Сх и 1/2 —на конденсаторе С2
125. Vi = 3 В; 1/2 = 1,5В; V8 = 3 В; V4«1,5B.
126. ^ = 3,6 В; V2=1,8B; 1/3 = 3,6 В; V4=1,8B.
Указание. Заряды на обкладках конденсаторов связаны ра-
равенством Qi — Q2 = Ci^i, как это следует из закона сохранения
заряда.
128. При последовательном. V = 1126 В; С = 0,8 мкФ.
129. Его электроемкость должна быть значительно меньше электро-
электроемкости проводника, чтобы при присоединении электроскопа потен-
потенциал проводника не менялся.
Тело ) Ш- ^=1413 В.
• I) JOii — U,ZO LiJ L.J, L) ?^2 — О,1*г
СГСЭ; 3) сила отталкивания /7= 12,6 дин.
132. Пользуясь значениями Уъ V2 и
VV \ Со, определяем электроемкость относитель-
относительно земли заряженного тела и электрометра
(рис. 223). Эта электроемкость выражается
так: Cx =
. Заряд равен Q =
Точность определения заряда зависит от
точности определения величин Vx и У2 и,
кроме того, от разности \\ — У2> Чем боль-
больше Ух — V2, тем точнее определение заряда.
Рис. 223.
133. У =17,25 кВ.
134. C = j^jt-
135. В воздушном зазоре E — D = 4nh^/d. Внутри пластинки
136. 1) С
как (е! + 82J всегда больше
137. С = :
138. С =
; 2) С2 =
Snd
-. С2 > Сь так
— e2)
170
Указание. Так как диэлектрическая проницаемость между
F —- F
—^
обкладками меняется по закону 8 =
-*, где *—расстояние
от первой пластины, то разность потенциалов между обкладками
можно записать так:
d d
dx
о о
где Е — напряженность поля, D = 4no—электрическая индукция.
139. Увеличится на V (е— l)/Djtd).
142. ?=-
—2", где г—расстояние от центра шара.
4я
143. Е--
г"
где г —расстояние от оси конденсатора.
4л;
144. В точке на расстоянии г от центра шара (Rt < г < /?2) напря-
напряженность ?= 1000/г2 СГСЭ.
Рис. 224.
145. ?' = (е—1) ?/3. Если поляризованность диэлектрической
среды 5\ то (е—1) ? = 4я,У>. Напряженность поля в центре сфери-
сферической полости ?' = 4tt5V3. В самом деле (рис. 224),
л 2л л
'= W0 V
_
cos 9 =
sin0cos20d6=-^p5*.
о
об
146. Образующуюся при заземлении внутренней сферы систему
можно рассматривать как параллельно соединенные сферический
171
конденсатор и внешнюю сферу, имеющую емкость R2 относительно
бесконечно удаленной сферы.
147. ? = V/(dln2).
148. Не изменится.
149. р = -фо/Bш*2).
Решение. Если х— расстояние от пластины с потенциалом ф0,
то напряженность поля по теореме Гаусса определяется уравнением
дЕ/дх = 4пр. Так как потенциал ср связан с напряженностью поля Е
равенством E~~d^ldx, то d2y/dx2 = — 4лр. Общее решение послед-
последнего уравнения
ф = — 2лрх2-\-Cx + Cv
Учитывая условия задачи, находим константы С и Сх и ответ.
150. В точке на расстоянии г от оси цилиндров потенциал
Решение. По теореме Гаусса для кольцевого слоя радиуса г
толщины dr
1 р 1
где Е — напряженность поля. Отсюда-^—| ? = 4яр, или для по-
потенциала
d2q> 1 с(ф
dr2*~7 dr P"
Частное решение этого уравнения ц>г = — лрг2. Решение соответст-
d2w , 1 dw
вующего однородного уравнения -гтН—7Г~ ~ имеет ВИД Фа =
= С In r -\- С\. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения
2==С In г + Сг — прг2.
Подставляя сюда заданные в условии задачи значения потенциала,
находим С и Ci и получаем ответ.
151. Только растягивающие, нормальные к пластинке.
153. Сила притяжения не изменится.
,54 h в,—1 / 1/вг
Smg
156. Д= 1 /(8Г"!) « 5 мм.
157. i4=-^~-(d0 —d). За счет энергии электрического поля кон-
денсатора.
172
158. W = q*/BR).
159. W = 3qVER).
160. Af = (e — 1) R2V2/(\6nd). Момент сил М стремится втянуть
диэлектрическую пластину внутрь конденсатора.
162. р = ?/Bяг).
3?
163. а= . ° cos Ф. Вне сферы — поле точечного диполя с диполь-
ным моментом p
164. Потребляемая мощность меняется обратно пропорционально
dW SV2 dx
квадрату расстояния: —=-—ъ~тг , где S — площадь пластин кон-
конденсатора, х — расстояние между ними, V—разность потенциалов и
t — время.
При раздвижении пластин затрачивается механическая работа и
уменьшается электрическая энергия конденсатора, так как она равна
С1/2/2, а С уменьшается. Но при этом заряды стекают с пластин
конденсатора, т. е. движутся против э.д.с. батареи. На продвижение
этих- зарядов и идет механическая работа и освободившаяся энергия
конденсатора. Таким образом, в этом влучае как механическая, так
и электростатическая энергии или переходят в химическую энереию
батареи, или расходуются на нагревание ее.
A 4- е) S 21/
165. 1) С= д .—. 2) ? =—-; напряженность поля оди-
накова в воздухе и в жидкости. 3) В воздухе а= ¦ —г; в жид-
Zliu у 1 -j- 8^
&у 51/ 8 1
кости а' == , 11 ,—г. 4) AU^ = o--3 —— . За счет энергии \W co-
2nd (\ +e) ' %nd 8+1
вершена работа при подъеме жидкости между пластинами конденса-
конденсатора. Уровень жидкости между пластинами будет выше, чем в сосуде.
A-е) СУ»
166. Изменение энергии конденсатора: 1) AU?i = -
2
«—318 эрг; 2) &W2 = ±—mJ* « +1590 эрг. Работа, совершаемая
при удалении стеклянной пластины: Л1 = + 318эрг; Л2 =
Решение. В обоих случаях не только изменяется энергия
конденсатора, но и затрачивается работа на удаление пластины. Эта
работа во втором случае больше, так как по мере выдвигания пластины
напряженность поля в конденсаторе увеличивается, в то время как
в первом случае она остается неизменной. В первом случае при уда-
удалении пластины из конденсатора не только совершается механическая
работа, но уменьшается энергия конденсатора и увеличивается энер-
энергия батареи (см. задачу 164). Работа, совершенная против э.д.с. ба-
батареи, Л = AQ • I/, где AQ —изменение заряда конденсатора после уда-
удаления пластины. Так как AQ = (e— 1) СК, то Л = (е—-1)СУ2 и при
173
удалении гластины совершается механическая работа Лх = A -f Д№1==
= (е— 1)СУ2/2 = + 318 эрг. Во втором случае при удалении пластины
совершается механическая работа, равная увеличению энергии кон-
конденсатора: Л2 = А№2 = + 1590 эрг.
nRV
167. М = -?-7- «510 дин-см.
1шга
Решение. При поворота подвижных пластин конденсатора на
угол Ад заряд на них увеличится на AQ. Источник э.д.с. совершит
работу V AQ. Эта работа пойдет на увеличение электростатической
энергии конденсатора A QV/2 и на работу сил притяжения МАО.
Поэтому V&Q^M Aft + AQl//2, или
ММ = Щ?-. A67.1)
Увеличение заряда AQ = ACV, а изменение емкости AC = nR2A$/(8Kd).
Подставляя эти выражения в {167.1) и сокращая на Аф, получаем
ответ,
168. а«6,5-10-8СГСЭ.
169. Решение. Искомая зависимость находится в точности
так же, как и зависимость упругости насыщенного пара от кривизны
поверхности жидкости (формула Томсона). Надо только учесть влия-
влияние электрического поля на высоту поднятия жидкости в капилляре.
Электрическое поле должно быть перпендикулярно к поверхности
мениска жидкости в капилляре. Влияние такого поля эквивалентно
уменьшению поверхностного натяжения жидкости а. Из капиллярного
давления 2о/г надо вычесть максвелловское натяжение
8л V е ) 8кг4 \ г
где D — электрическая индукция, е— диэлектрическая проницаемость
капли, а г — ее радиус. Для проводящей капли в этой формуле сле-
следует положить 8=оо. То же можно делать для воды ввиду большого
значения диэлектрической проницаемости последней (е = 81). В ре-
результате вместо формулы Томсона получится
При г = 0 и г =оо эта формула дает соответственно Р — 0 и Р = Р0.
В промежутке между этими значениями упругость насыщенного пара Р
достигает максимума. Дифференцируя A69.1) по г и полагая dP/dr = 0,
находим, что это происходит при
A69.2)
Применим полученные результаты для капли воды, полагая q
равным элементарному заряду е, находящемуся в центре капли. При
174
20 °С для воды о = 73 дин/см. По формуле A69.2) находим го=6,3х
Х10~8 см. При таких малых размерах капель макроскопические
формулы, как точные количественные соотношения, становятся сомни-
сомнительными. Тем не менее мы воспользуемся ими, рассчитывая, что
грубо качественно результаты получатся правильными. Мы не будем
также смущаться тем обстоя-
обстоятельством, что в реальных ус-
условиях осаждающиеся ионы не
попадают в центр капли, а мо-
могут находиться в ней в любом
месте. Зависимость упругости
насыщенного пара над заряжен-
заряженной каплей от ее радиуса пред-
представлена на рис. 225. Та же
зависимость для незаряженной
капли представляется пунктир-
пунктирной кривой. Заряд капли умень-
уменьшает упругость насыщенного
пара, причем при г < г0 упру-
упругость пара растет с увеличением радиуса капли. Этим и объясняется
конденсация пара на ионах.
170. Решение. Введем прямоугольную систему координат, как
указано на рис. 37 (ось Z перпендикулярна к плоскости рисунка и
параллельна длинным сторонам пластин). Искомое поле потенциально
и удовлетворяет уравнению Лапласа
о
5 r/r0
дх*~^ ду2
На проводнике АС (т. е. при у — О) потенциал должен обращаться
в постоянную, которую мы примем равной нулю. Искомое решение
будет ф = ош/ + рг/, где а и E —постоянные. В силу симметрии по-
потенциал ф не должен меняться при замене у на —у, а потому Р = 0.
Для напряженности поля получаем
дф
дф
ах.
Постоянная а найдется по разности потенциалов между точками А и В
(или между точками С и D). Потенциалы точек В и С равны соот-
соответственно (рв = -\- V/2, фс = —V/2. Напряженность поля Еу на по-
поверхности пластины А В (т. е. при х — — d/2) будет Еу=* — VlBh)--
= ad/2, откуда a = —V/(hd). Окончательно
175
Уравнение силовой линии dxlEx = dyjEy имеет вид
dx dy
откуда у2 — х2 = С, т.е. силовыми линиями являются равносторонние
гиперболы. При С > 0 оси гипербол совпадают с осью Y, при С < О —
с осью X. Для выяснения смысла постоянной С обозначим чедез а
расстояние от вершины гиперболы до начала координат. При С > О
координатами вершины гиперболы
будут @, а). Они должны удовлет-
удовлетворять уравнению а2 — 02 = С, от-
откуда С = а2. Аналогично, для вто-
второго случая (С < 0) С = —а*. Та-
Таким образом, получаются два се-
семейства гипербол:
V2 — j
И X* — U*~l
Рис. 226.
асимптотами которых являются
биссектрисы соответствующих ко-
"*" ординатных углов (рис. 226). Ги-
Гиперболические силовые линии пер-
первого семейства легко воспроизво-
воспроизводятся экспериментально обычным
демонстрационным методом. Силовые линии второго семейства экспе-
экспериментально получить трудно из-за малости составляющей поля Ех.
171. q = -L (ii-i!-W8CrC9 = 2f6.10-e Кл.
172. о =
4л
V
4я
173. Решение. Работа, которую надо совершить над диэлек-
диэлектриком, чтобы квазистатически увеличить его индукцию на dD, опре-
определяется выражением &А — -^— EdD. Подставляя это выражение
в термодинамическое соотношение dil —TdS + бЛ, получим
4л
Отсюда легко получаются все остальные соотношения.
174. Р е ш е н и е. При Т = const d^^ — EdD, или, в силу со-
отношения
= e?, dx? = -r-E dE. Отсюда
4л
176
где *F зависит только от температуры и плотности диэлектрика, не
не зависит от напряженности электрического поля.
175. Решение.
D* д (\ \ Е2 ( дг
{) + и(г+т
Производная де/дТ должна вычисляться при постоянной плотности
диэлектрика. Величина Uo зависит только от температуры и плотно-
плотности диэлектрика.
176. Результат следует из независимости е от температуры для
таких диэлектриков.
177. Решение. Для таких диэлектриков е— 1 ~ 1/7\ Отсюда
следует
'И ик?'
гревать диэлектрик в плоском конденсаторе. Если конденсатор от-
отсоединен от источника напряжения, то D = const. Если же он при-
присоединен к источнику, поддерживающему разность потенциалов между
обкладками неизменной, то Е = const.
179. Решение. При квазистатическом адиабатическом процессе
энтропия диэлектрика «S остается постоянной. Рассматривая ее как
функцию Е и Т (плотность диэлектрика поддерживается постоянной),
можно написать для бесконечно малого процесса
Подставив сюда
(dS\ __C^ fdS_\ _J_ / dD_\ __ Е де
\дТ)Е~ Т' [дЕ)т~4л \дТ )Е~~ 4л ~дТу
где Ср—теплоемкость единицы объема диэлектрика при постоянной
напряженности электрического поля ?, получим
ТЕ дг
dTdE
Изменение Г для конечных квазистатических адиабатических процес-
процессов можно найти отсюда интегрированием по Е.
Аналогично, рассматривая S как функцию D иГ, можно получить
„т_ ТЕ ** dD
дТ
177
180. Решение. Для газов с полярными молекулами при постоян-
постоянной плотности (е — 1) Г = const. Отсюда a«/dr == — (е — 1 >/Г, и, сле-
следовательно,
Пренебрегая зависимостью СЕ и 8 от температуры и интегрируя от ?
до 0, получим
р 1
7- Т — ~ - F2
Пренебрежем зависимостью^от напряженности электрического поля.
Тогда Сд будет теплоемкостью единицы объема газа при постоянном
значении этого объема. Выразим ее через молярную теплоемшгсть Суол
по формуле
смолр
где P = nkT — давление газа. Используя известные формулы
«:/?/(Y--l). (е~1)/4я = пр2/C?Г), найдем
Таким образом, при адиабатическом выключении электрического поля
диэлектрик охлаждается.
1
181. Решение. Из формулы с(Ф = — S dT—^—D dE полу-
получаем
1 / dD \ ( OS y
'^n['W)Es=z[l
Правая часть этого равенства при Г = 0 обращается в нуль в силу
теоремы Нернста. Кроме того,
Индекс Е у производной дг/дТ опущен, так как е от Е не зависит.
Отсюда и получается требуемый результат.
182. Решение. Пусть внешнее электрическое поле направлено
вдоль оси X и в направлении осей X и У действуют механические
напряжения тх и ту. Если V = Ibh — объем пластинки, то элементар-
элементарная работа, которую надо затратить на ее поляризацию при квазиста-
квазистатическом процессе, будет VEdP=VExdPx. Элементарная работа сил
натяжения равна bhxdh-\-hb%ydl. Из термодинамического соотноше-
соотношения dU~T dS-\-6A после деления на объем V получим
Jn , dh , dl
178
где и и s — удельные значения внутренней энергии и энтропии,
Перепишем это соотношение так:
du^T ds + ExdPx-\-Xxd\nh-\-Tyd\nl,
л введем функцию g= и — Ts — EXPX—тх In h — ту1п/. Тогда
Так как rfg—полный дифференциал, то
(дРЛ _
№) .
\д%у/т
(
~\дЕх
dl
дЕх]Г
Если есть прямой эффект, то производные слева отличны от нуля.
Значит, (дН1дЕх)тф0, (д1/дЕх)тф0, откуда и следует существова-
существование обратного эффекта. Второе утверждение доказывается так же.
Доказательство проведено для изотермических процессов. Но его
легко распространить и на адиабатические процессы.
§ 2. Законы постоянного тока
183. Я = 0,17 Ом.
184. N « 39,5 Вт.
185. Г = 2200оС.
186. R « 14,4 Ом;
187. D « 5,6 мм.
.»_ dT Л п.
а = 4,5.10-3°С-1.
1/2
-==0,0079 °С/с.
189. 1/i = 72/iiB; 1/2-36/цВ; У3 = 24/цВ.
190. R = 5/ur.
191. См. рис. 227. / = <
VH
Рис. 227. Рис. 228.
192. См. рис. 228. V=$R/(R-\- г); tga = ^/r.
193. <^^34,3 В; г & 1,43 Ом.
194. гзв = Ю00Ом; г15в =5000 Ом; г1бов =50000 Ом.
17»
195. —? — — -l * — , т. е. точность измерения тем
меньше, чем больше Rx Эта формула определяет точность измере-
измерения сопротивления обычными омметрами.
196. 1) Сопротивление шунта гш«8,1 кОм вычисляется по фор-
муле —=—f-~—Ь) , где 1/ = 0,125 В —падение напряже-
напряжения на измерительном приборе, 6= 1 + /?i//?2, fl = 6/?o + /?i.
2) $ « 1,28 В; эту величину можно определить по формуле,
указанной в п. 1), при гш = 22 кОм.
3) Rx « 25
lj
Ом. Более общее соотношение: Rx~
1 1 111
и _ = -.+_. Срав-
Сравнение шкал измерительного прибора и омметра дано на рис. 229.
О 25 50 75 100 п
Шпала прибора
3Z5 75 35 Z5 fZf 6 3,5 0 Ом
Шкала омметра
Рис. 229.
4) А#х « I250//72 Ом —ошибка в определении сопротивления RXt
соответствующая ошибке в полделения шкалы измерительного при-
прибора в том случае, когда стрелка прибора показывает п делений.
Минимальная ошибка: при п= 100 ARX « 0,125 Ом, при я = 5 ARX «
« 50 Ом.
5) Rt= 10 Ом; Я = 240 Ом (см. п. 3)); R% w 325 Ом.
197. /i//2 = 4 (если струны сделаны из одного материала и тем-
температуры струн в рабочих условиях одинаковы).
RR)
Rx ~
199.
180
200. Относительная погрешность
R*
V
где V—напряжение на мостике и AV—разность потенциалов на
зажимах гальванометра при изменении Rx на /?АГ + Д^х- В состоя-
состоянии равновесия Rx/R3 = Ri/R2 = b> поэтому множитель при AV/V
будет равен (l+bJ/b; он имеет минимум при 6=1.
201. Необходимое для равновесия мостика соотношение плеч
в одном случае обеспечивает равновесие и в другом случае. Но
чувствительность схемы мостика зависит от соотношений между со-
сопротивлением плеч и внутренним сопротивлением гальванометра и
источника тока. Поэтому чувствительность мостика может измениться
(см., например, ответ предыдущей задачи).
К)""**
202. См. рис. 230. Абсолютная погрешность А/?Л.= х2^м»
где u — x/L, х — расстояние ползунка А от левого края. Относитель-
51 10L L
тт
Рис. 230.
ная погрешность -=~ = -
10-3
Rx и A-й)
равный 4-10~3. Абсолютная погрешность растет до оо при и
т. е. при увеличении измеряемого сопротивления.
; при «=1/2 она имеет минимум,
1,
Рис. 231.
203. См. рис. 231. / =
181
204. гш=16,7Ом.
9Пе о R2S 1 + ^1
(
207. V= 10Q0 В.
208. 1) 1/«2,93В; 2) V = 2,4 В.
209. / = (е—Г)ео-^-»6, где 6 —ширина пластины.
Решен ней Заряд, приходящий на пластины за время
где
— поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлек-
диэлектрике. Отсюда
4 ^
210. N==(?/ = (8—1)80—^--, где и—мгновенная скорость ди-
диэлектрика, Ь — ширина пластин. Работа батареи расходуется на уве-
увеличение электрической энергии конденсатора и кинетической энергии
диэлектрика поровну.
Решение.
?d dW + 6A С С + ( 1) е0 — х,
N dt = 2dW = 2^dC = S2 (e- 1) 4^vdt.
211. Сопротивление цепи 1300 Ом, внутреннее сопротивление
источника 325 Ом, сопротивление второго вольтметра 13 260 Ом.
212. Ток максимален, если R = mr/n, т. е. когда внешнее сопро-
сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению батареи. Для
соблюдения этого условия необходимо, чтобы Nr^r. Сила макси-
максимального тока /макс =
213. 1) у = Г1&1 + ?* + (^. 2) К =
214. /х « 1,05 А (по направлению э. д. с); /2 » 0,87 А (против
направления э. д. с); V « 1, 8 В.
215. /0 (/• + /?) в вольтах.
216. Для вольтметра необходимо дополнительное сопротивление
105 Ом. Для амперметра необходимо включить шунт сопротивле-
сопротивлением « 0,1 Ом.
182
217.
>
3) jL,
/l
U если
!, то /1//х = я
где « = /¦/#,.
l
218. Можно. Для этого нужно собрать схему,
показанную на рис. 232, и взять сопротивления
R2 » 12,2 Ом и /?! дад , QA:12^ Ом, где *< 1.
219. / = 0,75 А. Вольтметр покажет нуль, так
как падение напряжения внутри каждого элемента
равно э. д. с. элемента.
220. 0,75 В (при условии, что сопротивление
вольтметра достаточно велико).
221. Нуль (см ответ задачи 219).
222. &L
Рис- 232'
223. Либо при r<^R и r<^.Rx, либо при Rx^> R (внутреннее
сопротивление источника играет, очевидно, ту же роль, что и г).
224. / = 10 мА.
225. ?2(R + Ri) = ?iR.
226. F2 = 3 В; /3 = 1 А.
227. #2 = 3 Ом; R± и #4 —любые.
j? х
l — x)x R Т' ГДе х~Расстояние ползунка от
конца реохорда, к которому подключен вольтметр.
228. V=
> ^ > ^2 ПРИ
230. А=
_
231. Э.д.с. ^ = 5^-
0 И Г2 ^ 0.
г . Г
/„ /! =
Если
то
232. /i = 1,64 А; /а = 2,36 А; У, = 1,82 А; /4 = 2,54 А;
/5 = 0,18 А.
233. ^ = 7,75 В.
^34.. Р е ш е н и е. Допустим, что вначале ключ К был замкнут.
Тогда
183
Если разомкнуть ключ /С, то /в обратится в нуль, что приведет
к изменению остальных токов. Однако ток /б по условию должен
остаться неизменным. Обозначая новые значения токов штрихами,
придем к прежней системе уравнений, в которой все штрихованные
токи заменены нештрихованными, причем /^ = /5. Сравнивая эти две
системы уравнений, получаем
=/;/?!+/;/?«.
Переписав эту систему уравнений в виде
почленным делением первых двух уравнений находим искомое
условие:
235. R2/Re — Rs/Rs- Для получения ответа не требуется новых
вычислений, если заметить, что обе схемы топологически эквива-
эквивалентны, т. е. одна может быть получена
из другой непрерывной деформацией. В
этом проще всего убедиться, если перейти
к пространственной схеме мостика Уитсто-
на, в которой провода изображаются реб-
ребрами правильного тетраэдра (рис. 233).
оол о ^2i (R1R2 + ^1^з + R2R3)
237. r = R1-R2.
238. С=——
« 0,0165 мкФ.
239. Обозначая через / длину первого участка от источника
э. д. с. до места заземления, L—длину всей линии, р — сопротивление
единицы длины линии, г —сопротивление заземления, 1г — ток через
первый участок линии, /2 —ток через приемный прибор, /г — ток
8аземления, <§ — э. д. с. в начале линии, по законам Кирхгофа со-
составляем уравнения
Отсюда
1S4
Чтобы /г было минимально, нужно, чтобы I (L — /) было макси-
максимально, а это будет, когда / = L —/, т е. / = L/2
240. См. рис. 234, где Л—лампа, Л —один конец коридора,
? —другой конец коридора.
Рис. 234.
241. R = J—} In — .
Решен и е. Напряженность поля Е и плотность тока j связаны
условием E—pJ. Если на единице длины цилиндра находится заряда,
то напряженность поля около цилиндра ? = 2а/г. Отсюда ревность
потенциалов между стенками цилиндра 1/ = 2а In (r2/ri). По опреде-
определению сопротивление R — V/I, где / — ток, идущий от стенки к стенке
цилиндра Ток / можно записать следующим образом: / = 2яг1//1;
подставляя сюда /1 = 2а/рг1, находим / = 4л/а/р и, вычисляя отно-
отношение V/I, получаем ответ.
242. ц (
4л \г2
243. Представим себе электростатическое поле между проводни-
проводниками А и В, находящимися под определенной разностью потенциа-
потенциалов К, причем пространство между ними ничем не заполнено. Сравним
это поле с полем электрических сил, когда пространство между
этими проводниками заполнено однородной проводящей средой
(удельное сопротивление р) и к ним приложена та же разность по-
потенциалов V. Так как среда однородна и поверхности проводников
являются эквипотенциальными поверхностями, то напряженность
поля Б в обоих случаях одинакова. В случае электростатического
поля CV — Q— \ odS, где а —поверхностная плотность заряда на
элементе dS поверхности и интеграл берется по поверхности одного
из проводников. Так как ? = 4яа, то
iJ <243Л>
В случае постоянного тока
где / —плотность тока и интеграл берется по поверхности того же
проводника. Для всех точек пространства закон Ома дает ? = /р.
185
Следовательно,
EdS.
B43.2)
Сравнивая B43.1) и B43.2), получаем /?*=р/DяС).
244. Д = р/Bпг).
Указание. Для решения нужно применить результаты пре-
предыдущей задачи и задачи 116.
246. Vt « 95 В, V2 « 100 В; JVj « 45 Вт, N2 « 0,1 Вт. При уве-
увеличении внешнего сопротивления вдвое в случае 1) / и N упадут
почти вдвое; в случае 2) / почти не изменится, а N возрастет вдвое.
247. 1^=110 В, К2«67В; /V1==605 Вт, " Л'2 « 222 Вт. При
уменьшении внешнего сопротивления в два раза Уг не изменится,
V2 упадет до 50 В, N± возрастет в два раза, N2 увеличится до 250 Вт.
248. См. рис. 235.
1В га зо
Рис. 235.
Я,0м
2Ф9 /л _ /
" V2N ' ' У N2V'2'
25f). Повысить напряжение на р/2%.
251. D = 3,3 см.
252. 5 л 2р/А7(<?2я) = 8,5 мм2; D « 0,33 см.
253. В т^+^т раз.
254. 1) т/то = 3/8, где т—масса проводов системы а), т0 — масса
проводов эквивалентной системы б).
Указание. Условие одинаковой мощности дает ^/0 = 2^/,
или /0 = 2/, где / = /1 = /2. Из условия одинаковости потребляемой
мощности получаем R = 2H^, где /? = /?1 = ^2. Равенство потерь
с учетом предыдущего условия дает г = 4/-0, где г—сопротивление
одного провода в системе а), г0 — то же для системы б). Учитывая,
что в системе а) три провода, а в системе б)—два, приходим к ответу.
2) "дГ~4A 4-ос2 — ос)' ГД6 ^о — потери мощности в обычной
сети б), а Л/ —потери в системе Доливо-Добровольского. При а=1
отношение потерь имеет минимум, поэтому небольшое рассогласова-
рассогласование практически не вызывает увеличения потерь в эквивалентной
системе б).
Указание. Условие одинаковости мощности генераторов
(§I0 = S (h + h) и соотношение сопротивлений проводов, полученное
в п. 1), дают все необходимое для ответа.
255. См. рис. 236.
ЮОВт
ггов
50В/п® & 50В/п
Рис. 236. Рис. 237.
256. Мощность, потребляемая первой лампочкой, уменьшится
на 1,4 Вт, а второй —на 2,1 Вт.
257. См. рис. 237. Д = /?о/}/1?.
/Р/2
око Т Т
""" ~ kSRo-Vta •
260. N = Xi
где T1 = V2/(kSR0) и 6—коэффициент в законе охлаждения Ньютона.
261. Решение. При заполнении пространства проводящей
жидкостью электрическое поле между телами не изменится. Коли-
Количество же ежесекундно выделяющегося тепла определится выраже-
выражением Q = ^j//j<P?- Ток, текущий с поверхности Aj-го проводника,
где Af — наружная нормаль к этой поверхности. Заряд на поверхности
&-го проводника
187
В результате находим
263. R > Д//С « 108 Ом; <?дж = V^tf2-
§ 3. Постоянные магниты
264. Стрелки располагаются параллельно противоположным сто-
сторонам треугольника (рис. 238, а) — это положение устойчивого рав-
И
Рис. 238.
новесия. Равновесие имеет место и в том случае, когда стрелки
располагаются перпендикулярно к противоположным сторонам
(рис. 238,6), однако это положение
равновесия неустойчиво.
ОЛсовф
265. V = -
§ /7 = -^
X
/l+3
cosaq>;
= arctgA/8tgq>).
Решен и е. Пусть ЯЛ = ml, где
/ — расстояние между двумя магнит-
магнитными массами т. Тогда потенциал в
точке Л (рис. 239) будет
Рис. 239.
m/ cos ф
Ibid2
9Л
J9 COS ф
\id2
при условии
188
. Угола»/в1пф^,поэтому нормальная к радиусу-
вектору составляющая напряженности поля будет
и т Ш
с точностью до величины порядка l/d. Составляющая вдоль радиуса-
вектора с той же точностью определится из выражения
т Г 1 1 1 Ш_
И\\ ~ \i [(d~1/2l coscpJ (d + y2l cosyJ] ~ цс1* C0S ф*
Н и угол 9 найдутся по формулам Н—у #j_-f #J и
Поле
t* e
266.
28 '
m2 m2
(л—) ( + )
где т = Ш1//— магнитная масса.
268. Г «
2т2 т2 Fп2—1) _в_ /^Ш1
Ч*~12 * "^4V/2
269. Так как момент возвращающей силы вследствие увеличения
плеча этой силы возрастет, то период колебаний уменьшится.
Ц' /
270. Н = Ц' * 450 Э; Т = 2я/
ние // противоположно ^Щ.
271. Г = я
272. Стержень образует с плоскостью магнитного меридиана
угол а, определяемый соотношением С (а — ао) = 9ЛЯ sin а, где
«о —Уг°л, при котором нить не закручена (отсчитывается от пло-
плоскости магнитного меридиана), а С—коэффициент упругости нити
при скручивании. С вертикалью стержень образует угол Р, опреде-
определяемый соотношением tg$ = {mg 11-\-НтШ)/&\Нв),
273. #0 = 0,8 Э.
274. Поле Н создается поверхностными магнитными зарядами,
плотностью 0' = ^ (рис. 240, а). Поле В представлено на рис. 240,6.
Внешние поля В и Н совпадают. Внутреннее поле В — —Н-\-4я^ и
направлено по J?.
275. Ш = ~щ^2А СГСМ.
276. Н = 6260 Э; а = 550 СГСМ.
Указание. Сила F=2tlo2S, а поле в зазоре # = 4ло\
277. Возможны два положения равновесия.
1) 11 11 — неустойчивое; 2) ->--*- ->->- —устойчивое.
278. H = jj у -
189
279. ШЪ
n± 1/2Jd
' Т V tea"
tga
281. v-^hb^
где Ч^о и ?/0 зависят только от температуры и плотности магнетика.
ПолеН
Рис. 240,
282. Результат Следует из независимости \л от температуры для
диамагБетиков,
28а. ^ = -^-Л2; а = ^-Я2.
284.
Надо нагревать магнетик в соленоиде и поддерживать постоянной
силу тока в обмотке последнего. Труднее осуществить нагревание
при 5 = const. Это было бы легко сделать, если бы магнетик был
идеально проводящим. Тогда при любых изменениях тока в соленоиде
магнитный поток Ф, а с ним и индукция В в магнетике оставались
бы неизменными.
285 dTdH dB
где к = (\1— 1)/4я — магнитная восприимчивость, С//—теплоемкость
парамагнетика при постоянном Н, а Сд — при постоянном В,
% кН2
286. dT — -?r H dH\ АТ = —ърг- - При обратимом адиабатиче-
ском размагничивании парамагнетик охлаждается.
190
хН2
287. AT — ТБ'Т « — 0,007 К, где / — число степеней свободы
молекулы по классической теории теплоемкости. Для двухатомной
молекулы, какой является молекула кислорода, / = 5.
288. Вблизи абсолютного нуля теплоемкости всех тел стремятся
к нулю.
290. Решение. Электронный газ в металлах находится в со-
состоянии вырождения. Это значит, что для него обычные температуры,
при которых металлы существуют в твердом состоянии, являются
близкими к абсолютному нулю. К такому газу можно применить
теорему Нернста и воспользоваться результатами задачи 289.
291. Решение. Поступая, как при решении задачи 181, найдем
lim (дВ/дТ)и = 0
Отсюда получится требуемый результат, если принять во внимание,
что B = H + 4nf.
292. Решение. В классической теории вблизи абсолютного
нуля (где х —> оо)
Теорема Нернста не выполняется, так как
дГ/н-дх [&Г)„- Н 5е0-
Невыполнимость теоремы Нернста видна уже из того, что в класси-
классической теории Ланжевеыа допускаются всевозможные ориентации
магнитных моментов. В таком случае на каждую вращательную сте-
степень свободы молекулы приходится средняя кинетическая энергия
kT/2 и теплоемкость k/2. В квантовой теории допускаются только
две ориентации магнитного момента: по полю и против поля Н.
Поэтому вращательные степени не возбуждены, теплоемкость вблизи
абсолютного нуля стремится к нулю, а намагниченность J? — к по-
постоянному значению ff — пШ. Таким образом, (d^/dT)H=^O в согла-
согласии с теоремой Нернста.
§ 4. Магнитное поле тока. Сверхпроводник
в магнитном поле1)
293. Увеличится в четыре раза.
294. Перпендикулярно к плоскости контура: в точке Л —к чи-
читателю, а в точке В — от читателя.
*) Если в формулах этого и всех последующих параграфов
стоит множитель с или 1/с, то имеется в виду гауссова, система
единиц. Если же этого множителя нет, то система СГСМ.
191
295. Внутри трубы Я = 0, вне трубы Я —2//г, где г —расстоя-
—расстояние от оси.
296. Внутри проводника Я = 2/г//?2, вне проводника Я = 2//г.
297.
/ 21р2г/(сА), если r^Rlt
i2]/(^r), если *!</<«„
если г^>Я2,
где Л =Pi(#2 -#i2) + р./??.
298. Магнитные силовые линии в трубке имеют форму коакси-
коаксиальных дуг окружностей, центры которых расположены на оси щели.
H = Id/(ncRr). На оси трубки (при r = R) Я = ld/(ncR2) « 0,1 Э.
299. // = 2ji/d = 3140 Э. Поле В перпендикулярно к линии АВ
и направлено вверх.
300. Я = —jlsd], где «—единичный вектор, направленный
вдоль тока, а вектор d проведен от оси провода к оси цилиндри-
цилиндрической полости.
2/2
301. F— я р2 gr-d. Сила направлена от оси цилиндра к оси
с {1 т )
2 gr-
т )
стержня.
2/
302. Н — —
cosa), где г—расстояние отточки А\ направ-
направление Н перпендикулярно к проводнику с током 2/.
303. Я = — ^б + 4 (cos a + cos P) + 2 cos (a + P), где г —рас-
—расстояние от точки А. Вектор Я образует угол cp = arctg
Рис. 241.
sin a —sin p
2 + cos a -f- cos P
с плоскостью, перпендикуляр-
перпендикулярной к проводнику с током 21.
304. Вектор магнитного по-
поля лежит в плоскости симмет-
симметрии. Поле по линии АО пер-
перпендикулярно к этой линии и
равно Я = 2(Уп2—1)//г; по
линии АО' оно равно Я =
=2 ( Y~^+ 1I/П по линии,
перпендикулярной к плоскости
токов и проходящей через точку Л, Я= ^2///", где г —расстояние от
точки А. Линии магнитного поля будут наиболее сгущены левее
точки А и наиболее разрежены правее этой точки. Примерный ход
линий показан на рис. 241.
305. Я = 0.
192
306. я=~
ао
307. Я«18//а.
308. Я = 0.
309. Я = 0.
310. Напряженность
направлена за плоскость чертежа и образует с плоскостью первого
витка угол а =15° (отсчет углов производится по часовой стрелке,
если смотреть сверху).
311. Напряженность
образует с плоскостью витка АВ угол 22°30Л (отсчет углов произво-
производится против часовой стрелки).
312. Внутри сферы поле соответствует полю прямого бесконечно
длинного проводника с током /, а вне сферы поле равно нулю.
Указание. Ввиду осевой симметрии и замкнутости силовых
линий силовые линии могут быть только кругами, лежащими в пло-
плоскости, перпендикулярной к АВ. Учитывая это и применяя закон
-^=l (N + 1),
2nIN\n(R1/R2)
Указание. Поле йЯ, создаваемое элементом тока / dt, равно
где г —расстояние элемента тока от центра спирали: г =
317. Я = ^у^(со8Р — cos а).
318. Я« 12,56; 12,56; 12,56; 12,44; 6,28; 0,259. См. рис. 242,
319. Я = -^_, где р = аA — е2).
7 Под ред. И. А. Яковлева 193
320. п =хлщ- ^щш-\-{к-г*г1
расстояние от центра симметрии. См.
Ь
а «
И
! i
60
50
Конец
соленоида
рис. 243, где
2,2я/
R '
30
20
Рис. 242.
Н
Рис. 243.
Указание. При определении а = /? —е выражение для про*
изводной следует разлагать в ряд по малой величине z/R.
О)}
H-4R2\3{w)r а>1
(Вектор г проведен из центра шарика.)
Решение. Рассмотрим, например, слу-
случай 1). Возьмем на поверхности шарика
бесконечно узкий поясок, заключенный
между углам» ф и d + dft (рис. 243а).
Вращаясь с угловой скоростью в>, такой
поясок эквивалентен круговому току dl =
= со<7 sin $ dd/Drt) с магнитным моментом
dm = 5 dl/c = aR2q® sirr3 #/Dлс).
Интегрируя по д, находим магнитный мо-
момент всего шарика: 9Л = qR2a>/Cc). Отсюда и получается резуль-
результат, приведенный в ответе.
194
Рис. 243а.
409 у-"И
k 2kc2l* '
323. Я« 2Q<ufc. Магнитное поле направлено параллельно оси
цилиндра. V=»(w#/cJQ. Центробежной силой можно пренебречь при
условии mc2<^2eQ> где е — заряд, т—масса электрона.
324. Решение. Объемная плотность связанных зарядов
т. е. постоянна во всем объеме цилиндра. Вращаясь с угловой ско-
скоростью ю, связанные заряды создают токи с объемной плотностью
Магнитное поле в точке г создают только внешние кольцевые токи,
т. е. такие токи, которые текут на расстояниях, больших г. Сила
таких токов, приходящаяся на единицу длины цилиндра,
R R
Г / dr = —2Ы \гйг = Ы (г2— #2).
г г
На поверхности поляризованного цилиндра возникают поверхностные
связанные заряды с поверхностной плотностью асвяз = 55 = ^Я- Коль-
Кольцевой ток, создаваемый на единице длины цилиндра этими поверх-
поверхностными зарядами, равен kaR2. Сложив его с кольцевым током
объемных зарядов, найдем полный внешний кольцевой ток, приходя-
приходящийся на единицу длины цилиндра: I = km2. Такой ток создает
внутри цилиндра магнитное поле
„ 4я/ 4л
направленное параллельно оси цилиндра.
326. Перпендикулярно к оси тока. Сила
F ^ — тН-r-^ nq « 1,1-Ю-7 дин,
т dx 4т/?3
где Я—напряженность магнитного поля, а * —расстояние от центра
круга.
к
Указание. Магнитный момент стерженька ЯЛ = тН\ сила,
действующая на намагниченное тело в неоднородном поле, F =
195
328. Сопротивление в цепи конденсатор — тангенс-буссоль, пока
оно невелико, на отклонение стрелки не влияет, так как количество
электричества, которое протекает ежесекундно, не зависит от вели-
величины сопротивления. Однако если сопротивление будет велико, то
конденсатор может не успевать разряжаться полностью, и отклоне-
отклонения будут меньше.
"-*" 'N tga2 —t
K4+(tge-tge'J
Указание. Силы, действующие в обоих случаях на конец
стрелки, показаны отрезками ОБ и О А на рис. 244, где 00' — пло-
плоскость тока; поле Земли направлено по
ОС. АС = СВ и OCI = CB>k.
331. Меньше двух ампер, так как
1 = 2 sin d ампер.
332. I) /'=^L.(Ctge-ctge').
334. /=
335. /«.«/-г—Т.
Решение. Закон сохранения энергии в данном случае следует
записать так:
HSn cos 6
dWM — изменение энергии магнитного поля катушки, ЬА — элементар-
элементарная работа, &Q = RI2dt — энергия, рассеянная в форме тепла. Пере-
Переписывая закон сохранения энергии в виде (<§ — RI)dq — dWM-]-dA и
учитывая, что $ — RI = dO/dt, получим
Левую часть можно преобразовать следующим образом:
///2\ /2
Отсюда элементарная механическая работа в цепи с индуктивностью
6Л = — dL = 6/№M. Полагая индуктивность равной L=^-~—S,
196
определяем силу, сопряженную с координатой /:
Знак «—» указывает на то, что осевая сила стягивает катушку.
Приравнивая F9 силе упругости Fynv = k (/0 — /), получаем приведен-
приведенный ответ.
336. Точность около 1%.
337. Момент пары сил M = 4$f\0SI и направлен по диагонали Ad
338. 1) Проводник притягивается к магниту с силой F =»
2) проводник растягивается по радиусам с силой
;==—*ь/1°^'и; на каждую единицу длины.
339. Л = 4.10-8Я5/л Дж.
340. 1) М=т/B— VI); 2) x = l ( V — l).
342. 1) a« 12°15'. 2) / = 4,7.10-7A.
343. Положение равновесия — плоскость рамки перпендикулярна
к направлению внешнего поля. Когда направление магнитного поля,
создаваемого током, совпадает с направлением внешнего поля —рав-
—равновесие устойчиво; когда эти направления противоположны — неустой-
неустойчиво.
344. 1) По часовой стрелке, если смотреть в направлении поля.
2) Г =
а2п1Н '
345. Ф = 0,4Wa*pI/D = 32 000 Мкс.
348. При параллельном соединении катушек (соединить концы
1 — 3 и 2—4) подъемная сила в четыре раза больше.
349. F « 5 кгс.
350. / « 6,5 А.
351. i=Y-«SL-.
352. Значительное укорочение длинной катушки приведет к умень-
уменьшению груза т, так как напряженность магнитного поля катушки
при сокращении ее длины будет уменьшаться*
197
353. Силу переменного тока можно измерять при условии, что
период тока много меньше периода колебаний весов. Прибор будет
показывать эффективную силу тока.
354. Прибор будет измерять мощность, если длинную катушку
с большим числом витков включить параллельно нагрузке, а корот-
короткую катушку с малым числом витков—последовательно с нагрузкой.
Момент сил, действующих на коромысло, будет пропорционален про-
произведению сил токов, текущих в катушках, т. е. пропорционален
мощности, подводимой к нагрузке.
355. Р = 2я/2яа.
Решение. Сила, действующая на элемент тока / dlt находя-
находящийся в магнитном поле, равна / dl H, где Я —«действующее» маг-
магнитное поле. Под действующим полем понимают в данном случае
магнитное поле, создаваемое в данной точке всеми элементами обте-
обтекаемого током соленоида, кроме самого рассматриваемого эле-
элемента. Действующее поле может быть найдено из следующих
соображений. Внутри длинного соленоида поле вблизи элемента
тока I dl складывается из поля Я, создаваемого всеми элементами
тока соленоида, кроме данного элемента тока, и поля //', создавае-
создаваемого данным элементом тока. Сумма этих двух полей одинакового
направления равна 4лл/, т. е. # + #' = 4дя/. Вне длинного соле-
соленоида сумма этих полей вблизи рассматриваемого элемента тока, как
известно, равна нулю вследствие того, что поле Н' меняет свое на-
направление на обратное, т. е. Я—#* = 0. Из написанных двух урав-
уравнений находим Н = 2пп1, откуда сила, действующая на элемент
тока, равна 2nl2ndl, а искомое давление Р = 2к12п2.
356. В проводниках, обтекаемых током, объемный электрический
заряд равен нулю, так как число электронов и число положитель-
положительных ионов одинаково. Электрические заряды могут быть только на
поверхности проводников, но при не очень больших разностях их
потенциалов они невелики и силы взаимодействия между ними ни-
ничтожны. Поэтому преобладают магнитные силы, т. е. силы взаимо-
взаимодействия между движущимися зарядами, и при одинаковом направ-
направлении токов они создают притяжение. В катодных пучках объемный
электрический заряд не равен нулю (так как присутствуют только
электроны), и из сил взаимодействия преобладают силы отталкивания
между одноименными зарядами; магнитные же поля катодных пучков
слабы.
357. См. рис. 245. Электрические силовые линии —пунктирные
линии. Магнитные силовые линии —сплошные линии. По левому про-
проводу ток идет от наблюдателя за чертеж. По правому проводу —от
чертежа к наблюдателю. Для построения графика учесть ответ за-
задачи 36.
198
358. Электрическое поле отсутствует, так как между проводами
в соответствующих точках нет разности потенциалов. Магнитное поле
Рис. 245.
изображено на рис. 246, В точке А магнитное поле равно нулю,
а вдали от точки А поле имеет цилиндрическую симметрию и соот-
соответствует полю прямого то-
тока удвоенной силы.
359. Положение равно-
равновесия будет на расстоянии
d = 0,021 il/tng, но оно не-
неустойчиво, и провод либо
упадет, либо притянется к
шине.
360. 1) Сила взаимного
притяжения между шиной и
проводом при расстоянии х
n 0,02/t , п р„~ 94А
равна F = — /. Равно- рис. ^40.
действующая силы тяжести и сил упругости пружин направлена вниз
и равна f — 2k{h—x). В положении равновесия /7 = /. Поэтому
(устойчивое равновесие).
h . ,/Л1 0,01 Ш
*ils="+ у -т т—
h -./'Л5 0,01/G ,
Х2=~2 — I/ -j- -<— (неустойчивое равновесие).
Если h2/i<^0y0\Iil/k или k < 0,04/*7/Л2, провод притянется к шине*
2) Провод отталкивается и будет находиться на расстоянии
h , -.//i2 , 0,01///
*-7+ У Т+—1Г
в устойчивом равновесии.
361. Установится разность уровней жидкости в вертикальных
трубках; в правой трубке (если смотреть со стороны северного по-
полюса) жидкость будет стоять выше.
362. I — hdxglB. Чувствительность пропорциональна В и обрат-
обратно пропорциональна d и т.
363. Объемная плотность пондеромоторных сил равна — [JB].
с
Поэтому, по аналогии с законом Архимеда, можно утверждать, что
у
выталкивающая сила равна — [JB]. Однако из-за неоднородности
тока вблизи тела в общем случае возникает течение жидкости, умень-
уменьшающее выталкивающую силу.
364. Опустится на u = #2x/Btg), если х < 0, и поднимается на ht
если х > 0.
365. Дл = = 0,6 см.
acxg
366. Решение. Сила, действующая на столб ртути в трубе,
F « IDB/c. Такая сила эквивалентна разности давлений на концах
трубы: P2 — Pi = 4F/(nD2). Подставляя эту разность в гидродинами-
гидродинамическую формулу Пуазейля, получим
/ « 32r]c//(BD3)= 1,8- 1012СГСЭ = 600А.
/
367. /0 =
368. / = ?2/(8я) (давление, направленное к центру цилиндра).
370. i = Ih/(nr2), где г —расстояние между проводом и точкой
наблюдения. Сверхпроводящий ток параллелен току / и течет в про-
противоположном направлении.
371. / ^ с ymgh/BnR) = 8,4-1010 СГСЭ = 25 А.
372./i==|f^y^2,lcM.
2 V mg )
373. Решение. Введем предположение, оправдываемое после-
последующим расчетом, что вне шара на однородное поле Во наклады-
накладывается поле точечного диполя с магнитным моментом 9Л, помещен-
помещенного в центре шара (рис. 247). Тогда
200
Момент $Щ определится из условия, чтобы нормальная составляю-
составляющая вектора В на поверхности шара обращалась в нуль:
Этому условию при любых значениях углах О удовлетворяет
На экваторе, т. е. при r = R, 0 = 90°, получаем В = 3/2В0. Поверх-
Поверхностный ток сверхпроводимости течет вдоль параллелей О = const,
причем по теореме о циркуляции
i 3c и k'
374. В = Вп — -
(Bor)
Ji
~-тВ0, где г—ра-
диус-вектор, перпендикулярный к оси цилиндра,
проведенный от оси к точке наблюдения. Поле
на поверхности цилиндра максимально при 0 = 90°
= 2В0 (см. рис. 247). Поверхностный
и равно
ток течет
параллельно оси цилиндра, причем
Рис. 247.
375, Решение. Пользуясь результатом решения задачи 373,
легко показать, что потенциальная энергия в центре соленоида рав-
равна 1/2$S\B = 1/iB2R3. Применяя далее уравнение энергии, находим
v^B /3/Dят) « 170см/с.
376. Решение. Пренебрегаем краевыми эффектами. Ток в об-
обмотке аппроксимируем током с постоянной объемной плотностью,
что при оценках допустимо. Применяя теорему о циркуляции, на-
находим магнитное поле В на различных расстояниях г от оси соле-
соленоида:
\ Во (R2-r)/(R2-R1)
При
При
После этого легко находится магнитная энергия W системы:
-Ri)] « 1,17-1011 эрг « 2,8.103 кал.
/Я
^ [Ri (R1 + R2) -
Количество испарившегося гелия: W/q « 4- 103см3 = 4 л.
377. Решение. Сила, действующая на проводник:
с l J с
201
Сообщенный проводнику импульс:
t t
p«f Fdt=— н{ Idt =~Hq.
J с J с
о о
Электрическое поле в конденсаторе:
Подставим значение заряда q в выражение для импульса:
с 4яс 4пс *
где V—объем конденсатора. На основании закона сохранения им-
импульса находим плотность импульса поля:
1
§ 5. Электромагнитная индукция
373. При движении мостика возникает э.д.с. ? и ток /ив
единицу времени совершается работа ^/. Эта работа совершается
внешней силой F, и, следовательно, $l — Fv, где v — скорость движе-
движения мостика. С другой стороны, сила, действующая на мостик
вследствие наличия тока /2 в магнитном поле, индукция которого В,
равна Fi = BI1l, где/—-длина мостика. Если 11 = 1,то, по принципу
Ленца, /71 = —F. Поэтому <?> =—Blv. Так как изменение потока индук-
индукции Ф, пронизывающего контур, при перемещении dx мостика есть
d<$ = Bldxt то Blv = dQ)ldt. Окончательно получаем $ = —dQ>jdtt a
это и есть закон индукции.
379. Во всех случаях 1 мВ.
380. Будет, так как: 1) контур, сквозь который меняется поток
индукции, лежит частью в вертикальной плоскости (колеса и скат);
2) непрямолинейный путь должен быть одновременно и наклонным
к горизонту.
381. Решение. При удалении магнита через цепь проходит
количество электричества ф = ДФ//?, где ДФ — изменение магнитного
потока через кольцо, a R — сопротивление цепи (включая сопротив-
сопротивление гальванометра). Для вычисления АФ предположим сначала,
что кольцо состоит только из одного витка. Магнитное поле вдали
от магнита В = ^Цгъ. Вблизи и внутри магнита это выражение не-
несправедливо. Однако полный магнитный поток через бесконечную
плоскость, в которой расположен виток, равен нулю. Поэтому при
вычислении АФ можно взять бесконечную плоскость вне витка, где
202
указанное выражение применимо. Иначе говоря,
можно произвестив пределах от г = л до г = «о. Э*к> дает АФ =
Для кольца из N витков это выражение надо увеличить в N
т. е. в этом случае ДФ = 2яМЭД!/а. Таким образом,
Измерив Q, отсюда можно найти *Ш.
382. g = 2Iab , где х — расстояние между рамкой и про-
проводом. Если провод вертикален и ток в нем идет снизу вверх, то в
рамке, удаляющейся от провода, возникает ток, идущий по часовой
стрелке.
383. Нет, так как поле вокруг рамки неоднородно.
384. <§ = Hoab[w sin со/ cos (со'/ — ф) + со' cos со/ sin («7 — <р)].
1) $ = Hoab(dsm2(ut при ф = 0;
2) $ = #оа6со cos 2со/ при ф = —
385.
-kt\ \
386. o = vB/Dkc) = 0,3 СГСЭ== 100 Кл/см2. Отрицательное элект-
электричество сместится в направлении вектора [vB\\ положительное —
в противоположном направлении.
387. а = (оВг/Dлс) = 6.10-7СГСЭ = 2.10-:1вКл/см2. Поверхност-
Поверхностные заряды положительны.
388. Решение. Так как в стационарном состоянии ток внутри
шара должен отсутствовать, то электрическое поле ?(/) должно ком-
компенсироваться силой —[vB]. Это дает для электрического поля
с
внутри шара
Объемных зарядов внутри шара не будет, так как div ?('> = 0. Каса-
Касательная составляющая поля Е^\ а следовательно, и внешнего поля
Е(еК на поверхности шара будет ?>^ = ?{/)sin^, где д—угол между
направлением вектора Е^ и радиусом г, проведенным из центра
шара. Внешнее поле Е{е) ищем как поле диполя с дипольным мо-
моментом р, помещенного в центре шара:
Вектор р легко найти по значению касательной составляющей
Таким путем получаем
203
Поверхностная плотность зарядов а определится по скачку нор-
нормальных составляющих электрического поля. Она равна
где я —единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
389. <=-?— /?-=0,7А.
390. х = Щ^&1 ~ 13- Ю-5.
391. 1) / « 1,2 А. 2) Ток возрос бы до 240 А и обмотка якоря
перегорела бы.
392. / = 0,314 А.
393. Сила тока останется прежней: 0,314 А.
394. ? = 2^-Фо sin со/.
395. Решение. 1) На заряд et вращающийся вместе с цилинд-
цилиндром, действует сила Лоренца
Она вызывает такую же поляризацию диэлектрика, как электричес-
электрическое поле с напряженностью —(<о/?)г, т. е.
Отсюда (так как divr = r—[-— =
2)
3) Поверхностная плотность связанных зарядов на внутренней и
внешней поверхностях цилиндра:
О-1СВЯЗ = ~
4) Полный заряд цилиндра остается равным нулю.
396. R = 4nnN(dS.
397. Надо с помощью флюксметра, размеры которого малы по
сравнению с радиусом цилиндра, измерить магнитное поле в центре
одного из оснований цилиндра. Поле внутри соленоида будет в два
раза больше.
204
398. 1) N » 1 об/с. 2) Нужно увеличить ее в рж/рм Р^3» т- е*
в 5,06 раза.
399. Если ось стержня принять за ось Z, то электрические сило-
силовые линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси Z, и пред-
представляют собой концентрические окружности
с центрами на оси Z (рис. 248). Напряжен-
Напряженность поля Е обратно пропорциональна рас-
расстоянию от оси Z.
400. 1) Постоянный ток силой/ = g—,
где Ф —поток индукции в стержне. 2) Если
поток в стержне направлен сверху вниз, то
ток в витке идет против часовой стрелки, если
глядеть сверху.
401. Будет описывать вокруг стержня рас-
раскручивающуюся спираль со все возрастающей
скоростью.
402. 1) L = 0,25I\ 2) N = 250.
403. Нужно измерить силу тока / и на-
напряженность Н магнитного поля внутри ка-
катушки, определить площадь поперечного сече-
сечения S и число витков N. Тогда магнитный
поток через катушку Ф — HSN^LI, откуда
L = HSN/I.
404. L = 0,24-10-6r.
Указание. Напряженность магнитного
поля внутри трубки на расстоянии г от оси
равна # = 2//г (краевыми эффектами пренебрегаем). Вне трубки
магнитного поля нет. Поэтому поток через радиальную перегородку
Ф = 2// 1 у, где /—длина трубки, г0 —радиус провода, г1 —
внутренний радиус трубки. На единицу длины будем иметь
L = 21n(r1/r0).
405. L « 41n (d/r) « 9,2.10~9 Г.
406. М = УТЩ = 0,6 Г.
407. 1) L близка к 0; 2) L = 0,2T; 3) L = 0,05T.
408. d = Л; ° г ! rfi = 3 мм.
Рис. 248.
409. L =
410. M = L =
411. Ф21 = 4я
412. ($2i =
In A
= 106-Мкс= Ю~3 В6.
205
413. W /
414. 1) 8 In 2 эрг. 2) Увеличится на 8 In 2 эрг.
415. Так как провода отталкиваются друг от друга, то, по прин-
принципу Ленца, при удалении проводов в них должны возникать э.д.с.
индукции, направленные навстречу текущим токам. Следовательно,
чтобы поддержать неизменными токи в проводах, в них на время
движения должны быть включены добавочные э.д.с, направленные
в ту же сторону, куда текут токи. Работа этих э. д. с. и идет на
совершение механической работы и увеличение магнитной энергии
системы. Если же не включать добавочных э. д. с, то сила тока
в проводах в течение времени А/, пока происходит их движение,
будет меньше, чем когда провода неподвижны. Соответственно умень-
уменьшается и работа э.д.с. <^/А/, поддерживающих токи в проводах.
Однако еще значительнее уменьшится количество тепла #/2А/, выде-
выделяющееся в проводах. За счет этой «экономии» в джоулевом тепле
и происходит механическая работа и увеличение магнитной энергии
системы.
416. Iq=-4- t, где t — время, прошедшее с момента включения.
Но когда сила тока заметно возрастает, даже малое омическое со-
сопротивление цепи будет играть уже принципиальную роль. Вследст-
Вследствие наличия сопротивления нарастание тока замедлится, а потом
прекратится.
417. VMaKC/V0 — r/R. Чем меньше г, тем меньше VMaKC. Однако
слишком малым г брать не следует во избежание больших нагрузок
на источник тока. Достаточно, чтобы УМакс не превышало Уо, т. е. г
должно быть меньше или порядка R.
418 1)Д т% ¦ 2) /_ mgHlC
419. х= Зю A-—cos со/)» гДе @= г -
п l ymL
420. Скорость будет расти, пока сила взаимодействия между
индуцированным током и магнитным полем не достигнет величины,
равной весу проводника. Это наступит при значении
421. Координата нового положения равновесия
/D]\2 ft/
д __ * > ; о)= . Координата х отсчитывается вниз от исход-
т" у mL
иого положения перемычки.
Решение.
206
После подстановки в уравнение динамики значений токов /^ и
получим
отсюда после интегрирования при нулевых начальных условиях
получаем
dv
Решение. Уравнение динамики: т -rr-^tng+BU. Уравнение
для электрической цепи: L —-\-Rl = — Blv. Исключая из згой си-
системы уравнений ток индукции /, получим для скорости движения
- . R - , (В/)' R
перемычки и+-т-«Ч—*—T~V~~T ?"
Полагая v = v = Ot для установившейся скорости найдем
423. Логарифмический декремент увеличится в
раз.
2Ш
424. Логарифмический декремент и период увеличатся в
2m/1
раэ
я»/» / к \
4mL V 2т/ у
4mL
425. Логарифмический декремент уменьшится в
/
g (х I СНЧ2\ ( к у
4т ) \2rnl)
ГГ5 —Р*3'
а период увеличится в
4w j К I \2tnl
г)'
4т
207
426. 1) Логарифмический декремент увеличится в
(k+H2S2/R)V4JC— k2
k 1/УС— (k + H2S2/RJ P
Здесь k — коэффициент трения, S —площадь кольца, / — момент инер-
инерции кольца, С—коэффициент кручения нити.
2) Затухание будет таким же, как в отсутствие магнитного поля.
AT T2S2H2
427'; Период уменьшится на А71, причем —= 2 , если счи-
считать Д71 малым по сравнению с Т.
428. Декремент затухания кольца уменьшится в
4H2S2J
SIbln(
429 р-ДФ- \d-a
429. Q--g—
(a+b)p
430. Не изменится, так как ток в рамке до и после поворота
равен нулю. В самом деле, по закону Кирхгофа —-RI4-L—~»
at at
t
Отсюда ДФ = Я \ Idt + L(IK — /н), но /к=/н = 0. Следовательно,
о
431. Будет. В самом деле, полный магнитный поток через кон-
контур идеального проводника остается неизменным. Он слагается
из потока внешнего магнитного поля Ф и потока LIt создава-
создаваемого индукционными токами самого проводника, а потому
ф-\-Ы*=*Ф0^ const. Количество электричества, прошедшего за
время dt, будет. dQ — Idt = Ida/a), где da — угол поворота за
то же время, а со—угловая скорость. За полоборота протечет
электричество
а эта величина обратно пропорциональна со, так как интеграл
от скорости вращения не зависит.
432. ДФ = 2000 Мкс.
433. Время, за которое пластинку удаляют, должно быть очень
мало по сравнению с периодом гальванометра.
434. Постоянная времени цепи % = L/R должна быть много
меньше периода гальванометра.
435. M^QRiRz/g.
208
Решение. Уравнение вторичного контура: ^2"-тт'
~M—jj-) здесь /j —ток в первичной обмотке. Проинтегрируем это
уравнение по времени от 0 до оо: L212
что /2@) = /2(оо) = 0 и /j @) = 0,
ь откуда M = RxR2Ql(§.
» Очевидно,
Поэтому
436. Q = ?
Решение. Так как сопротивление гальванометра мало, то
Фл ~Фв! поэтому токи через равные верхние плечи моста будут
также равны. Обозначим каждый из них /0. Тогда
dt •
d/L
из последнего уравнения имеем Ir = IL-\ ~, что дает
}
Выразив отсюда li и подставив в уравнение для Iq% получим
0=Г^Г'
Проинтегрируем это равенство по времени от 0 до оо. Получим
Q = -7firh\™> 'i@) = 0, /л(оо)=-
Поэтому Q=-oTT
.о_ SNH sin 30° ,
437- V- (/? + ,)(? =5делении.
1^
Центр кольца
Рис. 249.
438. I = nr2B/Lt где L—индуктивность кольца.
439. 1) Нуль. 2) H = 2n2rB/L. 3) См. рис. 249,
8 Под ред. И. А. Яковлева
209
440. Я = 0; / = 0.
441. A=n2r*B2/2L.
442. В = Во (R/rJ = 5 • 106 Гс; Р = Д2/(&т) « 10" дин/см2 = 10е атм.
443. AI=C/?1/?a.
Решение. Применяя закон Кирхгофа к контуру, содержащему
гальванометр G, можем написать M/i = #2^2 + ГЛ rAe /i —ток в
цепи источника э. д. с. $ до ее размыкания, /2 — разрядный ток,
проходящий через R2, / — ток через гальванометр (г—сопротивление
гальванометра). Отсюда
НО С /!??/ = /!,
= R2RiIiC и, следовательно, М — R2RiC.
444. Al
445. Q=0,24 ,п-18'п„,/"' /Зфф » 6,85 ккал.
446. Q = 0,24
447. Решение. Рассмотрим внутри пластинки контур, парал-
параллельный боковой поверхности пластинки (рис. 250). Магнитный по-
а ток сквозь этот контур
Ф = BNS = [I • 4тш/0 cos со/. Ьх.
Э. д. с. индукции в этом контуре <? =
== \х • 4лл/0со sin со/. Ьх. Сопротивление этого
2& ,
контура Rx = p—— (пренебрегаем сторона-
сторонами х вследствие их чрезвычайной малости
по сравнению со сторонами Ь). Количество
тепла, выделившееся в этом контуре за время dt,
t-bxY , . ..
—bdxdt.
К p-zo
Отсюда количество тепла, выделяющееся ежесекундно в пластинке,
а/2
0
а
2
Рис. 250.
с/х
X
X
о/х
\
3p
448. -j^=
210
NSHat
где tg«p =
= 0,24 2/? 1016 =4,8.10-lfl ккал-
Указание. Уравнения Кирхгофа для цепи катушки имеют вид
I ?L + # -~-+~ = NSHa2 cos со/,
LC ^+ RC JH?- + V=NSH® sin со/.
at at
Стационарные значения / и V находятся как частные решения этих
уравнений.
450. 1) \/ = ^^ехр|~^|, 2)Q«0,24^8ff «
= 12-Ю-10 ккал.
451. /л = /гю-^-.
Решение. Э. д. с. во внешнем контуре будет <§' = — М —if- \
следовательно,
R^2nRp==z2nRp '
Остается найти М. С этой целью обратим задачу: пусть ток / течет
по внешнему контуру. Тогда вблизи его центра будет
Следовательно,
ал 2л2г2 т т яг2
М==~ТГ> /*=/'со/^'
где р должно быть выражено в единицах СГСМ. Если р выражено
в Ом/см, то в ответе появляется множитель 10"9.
452. Магнитная стрелка совершает гармоническое колебание от-
относительно своего положения равновесия по магнитному меридиану,
Когда снизу подводят диск из меди, расположенный горизонтально,
то в нем возникают токи Фуко, которые тормозят колебания стрелки.
В этих условиях дифференциальное уравнение движения стрелки
будет
/а = — Н№а — т]а,
где Н—горизонтальная слагающая магнитного поля Земли, ат| —
коэффициент пропорциональности тормозящей силы. Уравнение
8* 211
можно переписать так:
Апериодическое движение стрелки будет при т^2 = 4/Я5Ш, или при
\} — 2 V^JHyjl. Поэтому медный диск, вращающийся с угловой ско-
скоростью со, будет действовать на стрелку с моментом М — 2 У^/ШНы.
1) Следовательно, если на стрелку действовать с таким же моментом,
но направленным в противоположную сторону, то она не будет дви-
двигаться. 2) Так как стрелка не будет двигаться, то действие на
нее диска выразится в выделении тепла. Мощность выделения
тепла N = M(d = 2 У^лШ/со2. 3) Если стрелку освободить, то в
начальный момент будет справедливо уравнение /со = М. Отсюда
@ = 2 У ШН/Jcd. 4) Дальше на стрелку будет действовать и момент,
создаваемый магнитным полем Земли. Если этот момент будет соиз-
соизмерим с моментом М> то стрелка будет колебаться вокруг нового
положения равновесия, определяемого соотношением sina =
=2 У7ЩН) о.
я ioi
1=рн
ос и р - постоянные
Величины
Рис. 251.
453. См. рис. 251.
454. Потому что при замыкании первичной цепи ток нарастает
гораздо медленнее, чем спадает при размыкании цепи (см. задачу 452).
212
CV2 i 2t \
455. W = — exp ^ — — l; см. рис. 252, a,
456. / « 7.10-4 с
458.
457. ,V = f (l-exp{-
-^}; см. рис. 252,6.
Рис. 252.
RClnZ 2RCln2
6)
459. Полученный при решении предыдущей задачи результат,
что ток мгновенно возрастает от нуля до /0, объясняется пренебре-
пренебрежением индуктивностью цепи. В каждой реальной цепи есть хотя бы
малая индуктивность, вследствие чего возрастание тока до /0 = <$V# не
будет мгновенным. Если индуктивность достаточно мала, то нараста-
нарастание тока будет протекать так быстро, что во многих случаях его
можно рассматривать как мгновенный скачок.
460. Уравнение цепи (по Кирхгофу) будет
dl o d2Q dQ Q
<R — L--rr=zRl+V или $ — L--nT-\-R~—f-— ,
at ш at С
где Q — заряд на конденсаторе. При R2 — 4L/C характеристическое
уравнение имеет кратный корень, а потому решение надо искать
в форме
где а и b — произвольные постоян-
постоянные, определяющиеся из начальных
условий Qt==0 = 0 и (dQfdt)t^0 = 0.
Поэтому: 1) /=-у- / ехр ^ —-—-
см. рис. 253; 2) /=-^ ; 3) /макс =
О IL
R
Рис. 253.
•; 5) т}= 1/2 (е — основание натуральных ло-
гарифмов).
461. QR = 0, QL =
213
Решение. После замыкания цепи
'" dt '
Интегрируем это равенство по времени от 0 до оо, получим QrR =
= L//, |~ = 0, так как //, @) = Ii (оо) =0. Следовательно, <2д — 0,
Ql = CV0.
QR* л QRi
462. Oi=-
Решение. После замыкания ключа
Интегрируя это равенство от 0 до оо по времени, получим
Так как Ix @) =
2 = Q. Отсюда
Qi
QR*
) = I2 (oo) = 0,
QRi
то
463. Примем за начало отсчета времени 'момент, когда лампа
погасла. Напряжение на конденсаторе в этот начальный момент
У@) = Кг. До зажигания лампы процесс в цепи определяется урав-
уравнением
^V + flC—L, D63.1)
где V — напряжение на конденсаторе в момент времени t. Решение
уравнения D63.1) будет
@ = *— (* —VP) exp | — ^
D63.2)
В момент времени t = tl неоновая лампа зажигается (рис. 254).
Следовательно, V (/) = 1Л,- Тогда
из уравнения D63.2) получим
- D633)
После зажигания лампы ток,
t текущий через лампу (вследст-
(вследствие линейности ее характери-
характеристики) можно записать так:
I1 = (V — V0)/Ri, где Уо —напряжение, при котором продолжение ха-
характеристики пересекает ось У, a R1 = (VT — Vq)/It-—«эквивалентное
214
сопротивление» лампы» Тогда полный ток в цепи будет
Когда лампа горит и через нее идет ток, уравнение цепи будет
^ /, Подставляя сюда значение / из D63.4), получаем
Общим решением этого уравнения будет
Теперь за начало счета времени принимаем момент зажигания
лампы, тогда V@)~V0. Определяем из этого условия постоянную А
и подставляем в D63.6). Наконец, подставляем в полученное реше-
решение V(t2) = VT и находим вторую часть периода:
Весь период 71 = /
464. 1) Вспыхивает при а = -^ (\ ^f V3/V)y гаснет при
а=~-A Т^г/Ю. 2) 1/мин = К3.
465. После замыкания ключа уравнение процесса в цепи будет
где / — общий ток в цепи. В начальный момент IQ = ^/J^f а поэтому
решение уравнения D65.1) запишется в виде
Rr
Напряжение между точками А и В будет
Оно не может быть больше э. д. с. батареи. Подставляя числовые
данные, получаем
После размыкания ключа уравнение процесса в цепи будет
иг
DG5.2)
215
Теперь в начальный момент /0 = 4? (R + r)/(Rr). Решением уравне-
уравнения D65.2) будет
а напряжение между точками А и В
может быть значительно больше э. д. с. батареи, если R^>r. Под-
Подставляя числовые данные, получаем
В начальный момент напряжение будет 2400 В.
Настоящая задача позволяет уяснить процессы, происходящие
при замыкании и размыкании цепи постоянного тока, обладающей
сопротивлением и индуктивностью.
466. Уравнение процесса в цепи после размыкания ключа будет
D66.1)
Но I — CdVjdt. Начальные условия таковы: VQ =
Поэтому решение уравнения D66.1) будет
Подставляя числовые данные, получим для максимального значения
напряжения VwaKC — ( уП^О* 100 + 24) В. Увеличение емкости С ведет
к снижению Умакс.
467. / < RVl/x « 22 мА.
§ 6. Переменный ток.
Свободные и вынужденные колебания
468. Для зарядки аккумулятора существенно среднее значение
силы тока /ср, а электродинамический амперметр показывает ее
2 V^2
эффективное значение /эфф. Так как /ср = /ЭФФ ~ 0»91эфф. то
продолжительность зарядки будет 8/0,9 = 8,8 ч.
469. /ср^ 0,127 А.
470. 1) « 3,2 А; 2) 5 А.
471. 1) 314 В; 2) 157 В.
472. Лампы пропускают ток попеременно через 1/2 периода. При
этом конденсаторы заряжаются так, что разности потенциалов на
них складываются. Если сопротивление нагрузки велико, то почти
216
весь ток за полпериода идет на зарядку конденсатора. Поэтому
^макс ~ 2^о» гДе ^0 —амплитуда напряжения на CD.
473. 14,2 А.
474. \i ж 2900.
475. См. рис. 255.
476. Ток опережает по фазе напряжение на ф = 8«Г*
477. # = 54,4 Ом; С ж 100 мкФ.
478. tg(p = coC#.
479. a = arctg{Lco/#}.
480. Когда плоскость рамки перпендикулярна к полю.
481. Когда плоскость рамки составляет с направлением поля
, coL—A/соС)
угол (p = arctg
R
Г"
482.
У СП—
"A
483. /макс- 1,2 А;фж43°;
ж 76 Вт.
484.
485. ;V = (/2-/2--/2)/?/2. Рис. 255.
486. N ж 40 мкВт
487- 1} Il=n<?r+2R) • 2I*=7фГ+т; токи пр°тивопо-
ложного направления.
488. В этом случае нельзя пренебрегать индуктивностью кольца L
и сила тока определяется из соотношения —Ldl/dt — $. В зависи-
зависимости от размеров и удельного сопротивления материала кольца П
частоты питающей э. д. с. нужно учитывать только омическое ил»!
только индуктивное сопротивление кольца или и то, и другое.
489. r =
490. L =
491. S =
Решение. Найдем э. д. с. ? источника. В отсутствие нагрузки
V -Я 1/(/соС) __ <?0
так как при резонансе /coL+ 1/(/соС) = 0. Поскольку фазу колеба-
колебаний эквивалентного источника определять не требуется, положим
О I Т/ | © 0 ©0 Л / ЯП
где Q — добротность контура.
217
Найдем ток короткого замыкания цепи. Если закоротить выход,
то ток в перемычке будет 1КЗ— у* » ~т^г • Внутреннее со-
Vc i
противление эквивалентного источника будет г = -—"=-57~»
492. Сдвиг фазы между токами (p = arctg ^ , т. е. от #2 не
co/\jC
зависит. С изменением сопротивления R± от нуля до оо сдвиг фазы
изменяется от я/2 до нуля, причем ток через R2 отстает по фазе от
тока через Rx.
493. <§= /0 ^1+cfC2(° sin м + ф);
494. г= ¦ ; максимальное значение
/ 2LC2 22C2
достигается при со=
495. Потому что при любом заряде на пластинах конденсатора
разность потенциалов между ними равна нулю. В соответствии с этим
в случае цепи переменного тока при коротком замыкании конденса-
конденсатора его емкостное сопротивление Хс=1/соС = 0, т. е. С=оо.
496. Квых « [ 10 sin C0(M — 132°) + 3 sin F00/ + 207°)] В.
497. g « 150 cos F00г —78°) В.
498. Уравнения для цепей трансформатора в комплексной форме:
<§ = juLili + /©Л*/а> 0 = /coM/i + /coL2/2 + i?/2. D98.1)
Для трансформатора без рассеяния взаимная индуктивность М =
= Y~L\Li и отношение L2/L1 = n2. Поэтому из уравнений D98.1) по-
получаем <§> = -г-~—I , ? I1 = Zl1. Комплексное же сопротивление
эквивалентной цепи (см. рис. 148,6) есть Z— . *
j
499. 1) Нуль; 2) ток через сопротивление отстает по фазе на 90°;
a(L-\-CrR)
3) сдвиг фазы cp = arctg ^Д ' •, напряжение опережает
з. д. с.
о
601. См. рис. 256.
602. со ^ 3,16-106 с-1; 0 = 0,25; /0 « 1,6 А.
603. С и 50 мкФ; 1/макс « 628 В.
218
504. С « 20 мкФ. Решим задачу в векторной форме. На рис. 257
О А — потеря напряжения иа
омическом сопротивлении A0 В),
ОБ —потеря напряжения на ка-
тушке F2,8 В), ОС—все напряже-
ние (ЮОВ), OD « ОС, ОЕ — поте-
ря напряжения на конденсаторе
A63 В). Отсюда
C*=//(oV «20 мкФ.
505. С » 0,32 мкФ.
506. В комплексной форме уравнения Кирхгофа обеих цепей
будут:
Рис. 256.
где / и Г—токи в ветвях Л и В соответственно. Из последнего
уравнения следует: 1) если (d=l/Y"MCt то /'=0; 2) если о)=1/ уТ5,
то / = 0.
Рис. 257.
Примечание. Такой случай оказался возможным только
потому, что мы пренебрегли сопротивлением в цепи В.
507. 1) /0 «0,8 А; N « 32 Вт. 2) /i=»2A; ЛГ = О.
508.
509.
—A/coC)]2 *
<§2(R+Ro)
2) C=l/oJL;
N'
CD* A+ Lo)*
T|=
Примечание. Как видим, tj не зависит от индуктивности цепи,
но мощность, Kojopyio может дать источник при заданном напряже-
напряжении $, уменьшается с увеличением L и Lo.
\
510.
2
где а =
219
Примечание В отличие от предыдущей задачи, в данном
случае с увеличением а понижается и мощность Nt отдаваемая
источником, и к п.д. установки г\.
511. Амплитуда э.д.с. источника
Ч' =1/2.
512. Амплитуда э.д.с. источника $0 ж 140 В.
(?0=^3-120В; rj = 1/3,
513. Схема приведена на рис. 258.
где / — в амперах, V — в
частота питаю-
питаюРис 258
С =—. Ф,
вольтах, со — угловая
щего тока.
514. С ^6,3 мкФ.
515. Сопротивление утечки кон-
денсатора должно быть значительно
больше, чем его емкостное сопротивление для 50-периодного тока.
516. Вначале определить сопротивление утечки R с помощью изме-
измерения на постоянном токе, а затем общее сопротивление Z на пере-
переменном токе. Z = R/ V~l-\-(d2R2C2. Зная R и Z находим С.
517. CX/C1 = AD/DB. Можно.
518. Можно, если со2 = 1/C1L1= 1/C2L2. В самом деле, если при-
прибор G остается на нуле, то напряжения в точках Л и В соответ-
соответственно равны
V ViaLi V
и, значит,
@CiL2= 2.
(О LxC
Отсюда получается ответ.
519. l
или
520. С « 15 мкФ.
521. 1 = 2,3 Г; первый конденсатор не влияет на отношение ам-
амплитуд на выходе и на входе.
522. Трансформатор потребляет заметную мощность только в то
время, когда нажата кнопка. Когда кнопка не нажата, в первичной
цепи трансформатора течет малый ток «холостого хода»
где (^ — подводимое напряжение, /? — сопротивление первичной об-
обмотки, L—-ее индуктивность и со —круговая частота тока. Но при
220
трансформатор при токе «холостого хода» почти не потреб-
потребляет энергии («безваттный ток»). Кнопку включают во вторичную
цепь, чтобы не подводить к ней высокого напряжения.
523. L = 7 Г
524. Первичная— 200 витков, вторичная —6600 витков.
Указание. Э.д.с, индуцируемая в одном витке, одинакова
во всех обмотках трансформатора.
525. 1) L « 0,3 Г; 2) V « 3760 В.
77-= , , , а -=13,1»
1 + *п
526. -77-=
yv0
где
о — мощность при ра-
зомкнутой, а N — при замкнутой цепи.
527. tgfi=t , n,l , . При /г1 = /г2 = 10 6 = —3°. Ток отстает
по фазе от напряжения.
528. / « -л^п- sin со/.
1
3185 Ом или R « 12 740 0м.
529. фмакс=-
531. (oL = #; |l/BX/l/BbIX| =
532. С = 320 пФ.
533. С = 0,1 мкФ.
534. 1) R « 6370 Ом; 2) Я
535. 4/3 радиуса.
536. 1) Вычерчивают координатные оси на экране трубки
(рис. 259). Для этого вначале включают только /i и отмечают вели-
величину и положение оси а—а\ затем ^
включают только /2 и отмечают вели-
величину и положение оси b—b'. Вычер-
Вычерчивают прямоугольник и, включив
оба тока 1г и /2, наносят эллипс,
описываемый пятном на экране. (Все °{
это можно сфотографировать.) Тогда
Ос/Оа'— cos ф и Od/Obr = sin ф, где ф
(или 180°—ф) —сдвиг фазы.
2) Нельзя.
а___ Ь_
b a
где а —угол наклона большой оси эллипса, а и Ь — большая и ма-
малая полуоси эллипса.
538. Необходимо знать: 1) чувствительность катодного осцил-
осциллографа (отклонение луча в зависимости от напряжения); 2) вели-
величину сопротивления R. Замыкая Къ измеряем подводимое напря-
напряжение. Замыкая только Кг, измеряем падение напряжения на
известном сопротивлении R и находим силу тока. Затем, включая
( '
V ^
d
с
/
У
537.
Ь
Рис. 259.
221
оба ключа, получим эллипс, по параметрам которого легко устано-
установить сдвиг фазы. Зная подводимое напряжение, силу тока в цепи
и сдвиг фазы между ними, находим мощность.
539.
, #2== *J*!j3 Р_- 'l8'23
540. и=
где т—масса, е— заряд электрона.
541. т я 17 г.
542. 120° или 240°.
543. 1) Не изменятся; 2) закручивание происходит в другую
сторону. 3) Нельзя.
544. /==F — Ъе-Ш) А.
545. / = A + 10^2*10/)А; см. рис. 260.
546. / =-V-sin со/ А;
в~4 1о4/
)В.
548. / =. •&-
_ , ,—__
810 t,c
Рис. 260.
0. о=^ [l—
2 [
-./1 7^
i
549.
Xsin 660/ В.
, где 6==r/4L,
Г i
551. /= -i"
Lo
552. V « 20 f cos 20я/ — cos ^ /) мВ.
V 6o /
1
) A.
J
553. / = — A — cos IOOjx/) А. Как видно, ток в цепи будет не
переменный, а пульсирующий. Этот результат объясняется тем,
что мы пренебрегли омическим сопротивлением цепи и специально
выбрали начальную фазу включения э.д.с. Постоянная составляющая
тока, возникающая в начальный момент, не затухает, а будет цир-
циркулировать все время и сложится с переменной составляющей.
В реальной схеме, обладающей сопротивлением, постоянная состав-
составляющая будет отсутствовать и установившийся ток будет пере-
переменным. Для выяснения роли сопротивления полезно разобрать
222
включение данной в условии э.д.с. на катушку с сопротивлением R
и, получив ответ, перейти к пределу /? = 0 (см. задачу 564).
554. V = ? Fl — e~yt f cos со/+~ sintoAl где V
, где V=gj- и ^^
LC—( or J • Минимальное напряжение, на которое должен
быть рассчитан конденсатор, не меньше 2^.
555. /=^L И— e~Y'( cosotf-f--?sintoM . Обозначения такие
же, что и в задаче 554.
55в- !
2) Напряжение на лампочке уменьшится в
& + jJg+ , где со2 = со2,
coJ-l/(LC),
558. Частота увеличится в Y 2 раз. Амплитуда колебаний и
энергия возрастут вдвое.
559. /=/?a^8La[H + )
~e-Rt/L (R cos 6 + coL sin 6)].
560. Амплитуды на входе и выходе одинаковы. Сдвиг фазы вы-
выходного напряжения относительно входного определяется форму-
ЛОЙ tgS= 2/2__'п2- /I
561. Решение. При выполнении уело- ?
вия квазистационарности (рис. 261)
, dl
Исключая Q, / и /', отсюда находим
где co?=l/(LC),
562. /7 = ¦ ь2 i 2Г2 Г* ^ила~"отталкивающая. Если
6я4г8/п 1
то F « —j—^- — . В другом предельном случае coL <^ R и
223
563. / = 0,5cos200n/A, К» 104 (cos V 10-1000/ — cos 200л/) В *
Таким образом, собственные колебания напряжения на конден-
конденсаторе, возникающие после включения, не затухают, несмотря на
наличие сопротивления R, и не влияют никак на силу тока через Rt
так как внутреннее сопротивление источника предположено равным
нулю. Следовательно, источник «замыкает накоротко» сопротивление,
напряжение на котором будет всегда равно э д с. источника. В реаль-
реальной схеме, в которой источник всегда обладает внутренним сопротив-
сопротивлением, собственные колебания затухают и остаются одни вынужден-
вынужденные колебания.
564. V = -±%-c
565- * = |
= 1,16 Г, где #1= ПО Ом и #2 = 275 Ом—сопротивления первой и
второй лампочек соответственно.
566. Решение. Пусть параметры цепочки таковы, что при на-
наложении синусоидального напряжения в ней устанавливается сину-
синусоидальный ток. Тогда можно пользоваться понятием импеданса.
Если удалить первые два звена цепочки Zx и 1^ то останется такая
же бесконечная цепочка. Ее можно заменить одним звеном с импе-
импедансом Z. Тогда получится схема, изображенная на рис. 262. Импе-
дансы Z и Z2 соединены параллельно, их результирующий импеданс
Рис. 262.
ZZ2/(Z-\-Z2) соединен последовательно с импедансом Zx. В результате
должен получиться импеданс Z, т. е.
=Zl+zffc' откуда Z=T+l/ T"
Знак плюс перед квадратным корнем означает, что из двух значений
корня следует брать то, которое имеет положительную вещественную
часть* Действительно, квадратный корень есть не что иное, как
импеданс Z' бесконечной цепочки, изображенной на рис. 263, а во
всякой реальной системе активная часть комплексного сопротивления
должна быть положительной.
224
567. Решение. Полагая в предыдущей задаче Z^ — i
iX2t получим
Если 4XxX2-\-Xl < 0, т. е. подкоренное выражение положительно,
то импеданс Z будет содержать вещественную часть, а потому цепь
будет потреблять или отдавать энергию в зависимости от знака этой
вещественной части. Стационарное состояние в этом случае невоз-
невозможно, а решение, полученное в предыдущей задаче, неприменимо.
Для решения необходимо использовать начальные условия.
Синусоидальный ток в цепочке возможен только при выполнении
условия 4X1X2-\-Xl^z0. Только тогда можно пользоваться понятием
импеданса и решением предыдущей задачи. Вопрос сводится к вы-
выбору знака перед квадратным корнем. Для этого предположим, что
импеданс Zj содержит малое омическое сопротивление /?lf и перейдем
к пределу #i—> (). Полагая Z1 = iX1-+-Ri, Z2 — iX2, из решения пре-
предыдущей задачи получим
Z' = ^ V
где Z'=Z—Zi/2—импеданс бесконечной цепочки, изображенной на
рис. 263. При извлечении квадратного корня пренебрежем квадра-
квадратами Rv В этом приближении
2 I V*x,xt+x\
) 1
Знак надо выбрать так, чтобы вещественная часть этого выражения
была положительна. Так как Rx > 0, то в случае Хг-\-2Х2 > О надо
взять знак плюс, а в случае Хг-\-2Х2 < 0 —минус. Полагая R1 — 0,
окончательно находим
М , если ХХ + 2Х2 > О,
±[x1-V4X1X2 + Xi]y если Хг + 2Х2 < 0.
Например, если цепочка составлена только из катушек индуктивно-
индуктивности, то Хг > 0, Х2 > 0 и перед корнем надо взять знак плюс. В этом
случае ток отстает по фазе от напряжения на я/2. Если же цепочка
состоит только из конденсаторов, то Хх < 0, Х2 < 0, так что годится
только знак минус. В этом случае фаза тока опережает фазу напря-
напряжения на л/2.
568. Z = 1+V\ + 12
225
669. Решение. Электрическая энергия (в гауссовой системе):
e~2C~~ 8co2tf2 *
Магнитное поле внутри конденсатора создается током смещения. На
расстоянии г от оси конденсатора оно найдется из соотношения
Я-2яг = ——/см = -—f — ) /,
с с \ к )
откуда
гг 2г , 2г
Магнитная энергия, локализованная в конденсаторе:
Отношение максимальных энергий:
570.
с2/ ^cos^/, ^g= 4c4/
571. 1) Увеличится в 5/3 раза. 2) Уменьшится в три раза.
572. Яо = j-r . Для воздушного конденсатора //О = 5-1О-5Э.
Для конденсатора, заполненного средой, Я0=еЯ0 вак = 5-10-4 Э.
?0 = цЯ0 = 5.10-2Гс.
573. 1) Концентрические окружности с центрами, расположен-
расположенными на оси соленоида. 2) ? = ^f-1 = ™±— « Ю-8 СГСЭ « 3 X
ГС С С
Х10~4 В/м. 3) Е не изменится, a D возрастает в е = 2 раза.
574. /==
4 }^2 V 4/8
CV
575. Qr = —(l^-eosooO на том конденсаторе, который был за-
QY
ряжен. Q2 —-S- О—-cos®*) на втором; о>= У 2/LC*
576. L « 1 Г.
577. Г «58.10-*с.
226
678. К « 126 км*
579. € « 110 пФ.
580. I0=V0/VT/C\ величина УТ/С" носит название «характе-
«характеристического» или «волнового сопротивления» контура.
581. /«5000 с-1.
582. Ао)/@0 « 1/я%.
1 1,1 11,1
583. — = ——|—77" » т*—Т~ + 7~ ПРИ параллельном включении;
/С А1 А 2 L L\ L^
R = R1-\-R2, L = Li + ^2 при последовательном включении.
584. Конденсатор включается для того, чтобы исключить воз-
возможность возникновения заметного тока от сети через цепи прием-
приемника на землю. Емкость такого конденсатора должна быть прибли-
приблизительно равна нормальной емкости антенны B00—300 см), чтобы
включение этого конденсатора не изменило существенно диапазона
волн, на которые можно настроить радиоприемник.
585. R « 40 Ом.
586. Приблизительно через 12 периодов.
587. Коэффициент затухания* характеризует время, за которое
амплитуда колебаний в контуре уменьшится в е раз. Логарифмиче-
Логарифмический декремент контура характеризует число периодов, за которое
амплитуда колебаний уменьшится в е раз.
588. I0 = nl'Q.
589. I=V^LC^\LQ Sin(°f; /мин==° ПРИ
/макс ==оо при (O2=1/BLC).
X2 R2
^ х
590. r=
591. / = — COS@0/, (Do = —=r •
Li у i-^
592. Я = 1у/0=10Ом; t = 2L/R = 0,2 с,
593. Энергия уменьшится в два раза; т= 1/Bя Av)= 1/2я = 0,16с.
594. (оРез== 1/ V^Lx — M2/L2) С. Резонанс недостижим, если
595. Решение. По закону Ома I — ?l(R-\-r)t До включения
батареи магнитный поток через сверхпроводящий контур был равен
нулю. Он сохранится таковым и после включения тока, т. е. LJ-l —
— L2R2 — 0, откуда Ii/l2:=L2/Li. Присоединив сюда уравнение
/i + /2 = A найдем токи /х и /2 в отдельности.
596. 4L/# = 2.10-5c.
597. 2400 мкГ; 400 мкГ.
698. Соединить катушки последовательно и измерить их индук-
индуктивность Ьъ затем переменить концы у одной катушки и снова изме-
измерить индуктивность L2. Тогда M = (Li — L2)/4.
227
599. При малых частотах напряжение на индуктивности близко
к нулю, на емкости почти равно э. д. с; при больших частотах на-
наоборот.
аор.1- gp
/2 Leo
601. Сила тока останется без изменения. Резонансная частота
возрастает в ^2 раз.
602. При резонансе мощность, расходуемая источником э. д. с.
равна /V= 2 2 I Р2 * ^сли L(u^> R, то с увеличением L вдвое мощ-
мощность упадет в четыре раза.
603. Указание. Преобразовать обычную формулу для ампли-
туды силы тока в контуре / = — ю — , подставив
V/?2-HLco-(l/coC)]2
в нее /Q — (§/Rt (?>0 = 2nf0— I/ YUC и частоту внешней силы со =
). Пренебречь квадратами и более высокими степенями
604. Декремент и коэффициент затухания возрастут в два раза,
сила тока в контуре не изменится, а напряжение на конденсаторе
уменьшится вдвое.
606. Q = 30.
/>л-, »* co2S2Ltfo cos ф . „ , _
607. т= . 2 о.2^ [НцП]. Возможны два положения равно-
равновесия: 1) плоскость кольца перпендикулярна к магнитному полю
(неустойчивое равновесие); 2) плоскость кольца параллельна магнит-
магнитному полю (устойчивое равновесие). При
М = Mi « —xj— sin ф cosф.
При
Во втором случае вращающий момент меньше.
р 81/
608. ~=-^sinaa=l,78-107(XCM.
609. Добротность контура должна быть Q > 100, т. е. логариф-
логарифмический декремент контура менее 3%.
610. «-0,2%.
611. См. рис. 264 (а —линия без потерь; б —линия с конечным
сопротивлением проводов). При наличии сопротивления проводов су-
существует падение напряжения вдоль проводов, а значит, на поверх-
228
лости проводов и в пространстве между проводами существует тан-
тангенциальная составляющая вектора Е, вследствие чего вектор Умова—-
Пойнтинга отклонен в сторону проводов. Часть энергии течег
к нагрузке, а часть втекает в провода и превращается в тепло.
а)
Рис. 264.
612. Так как Е и Н одновременно меняют свое направление, то
Еектор S не изменяет направления.
613. Так как моменты изменения направлений векторов Е и И
на обратные сдвинуты между собой на четверть периода, то вектор S
каждые четверть п риода меняет свое направление на обратное.
Действительно, в этом случае
т т
— dt = \ — ?0 sin со/ • tf0 cos (о/ dt — в.
б о
Энергия колеблется в отдельных участках провода, но не течет
в одном направлении (стоячие волны).
614. 1) См. рис. 265; 2) Г ~ ' * ^" Л ' ! V 2/
615-
у и
и
2) /см = -г-Чг = —4-
1 'см 4л Ж 4л и-
3) Изменится знак тока смеще-
смещения.
616. / = /0///0, где/ —мгно- Рис. 265,
венная длина соленоида.
617. # = 0.
618. Решение. Если а — поверхностная плотность электриче-
электричества на положительной обкладке, то О = 4ла и, следовательно,
/см =-j-Z)«=a. По закону сохранения электрического заряда / = <т.
Следовательно, /Полн = /
равно нулю.
= 0« Магнитное поле в конденсаторе
229
619. Решение. В силу симметрии магнитные силовые линии
будут коаксиальными окружностями с общей осью, совпадающей с
осью конденсатора. Поле Я найдется по формуле
4л /г , f ч
'смЬ
§
с
где ICM = fr2/R2 — ток смещения, пронизывающий круг радиуса г.
В результате получим
„ 2/
620. #=¦—- Vo cos cof, где г —расстояние от оси конденсатора.
Магнитные силовые линии имеют форму коаксиальных окружностей
с общей осью, совпадающей с осью конденсатора.
621. Поток энергии равен нулю (см. задачу 619).
622. Поток электрической энергии вытекает из конденсатора
через его края, втекает внутрь провода и там превращается во
внутреннюю (тепловую) энергию.
623. Решение. Ввиду осевой симметрии полный электромаг-
электромагнитный импульс поля равен нулю. В результате разрядки конден-
конденсатора он измениться не может. Поэтому не может измениться и
полный механический импульс системы. Но в результате разрядки
электромагнитный импульс, локализованный в конденсаторе, умень-
у
шается на j— [EH], а электромагнитный импульс поля вне конден-
конденсатора увеличивается на такую, же величину. В соответствии с этим
у
конденсатор приобретает механический импульс j—[EH], равный
<^>10-4 г «см/с. Соленоид получит такой же, но противоположно на-
направленный импульс. Искру можно рассматривать как ток прово-
проводимости. Если бы все электрическое поле конденсатора было лока-
локализовано только внутри него, то магнитное поле искры вне конден-
конденсатора было бы полностью компенсировано магнитным полем тока
смещения (см. задачу 619). На самом деле часть тока смещения про-
проходит вне конденсатора и создает там магнитное поле. Это магнит-
магнитное поле действует на токи, текущие в соленоиде, и меняет импульс
последнего.
624. Так же, как в предыдущей задаче.
§ 7. Электрический ток в жидкостях
625. Будет двигаться против часовой стрелки, если глядеть
сверху.
626. Количество отложившихся веществ соответствует 1 Кл на
аноде и 1 Кл на катоде, так как за 1 с к катоду не только подхо-
230
дят положительные ионы с зарядом 0,5 Кл, но от него уходят отри-
отрицательные ионы с зарядом 0,5 Кл, и, следовательно, у катода осво-
освобождается еще столько же положительных ионов, заряд которых
равен 0,5 Кл.
627. ^26,8 А.ч.
628. е/тн = 2,870* 1014 СГСЭ.
629. тн = 1,б7.10-24 г; е = 4,80.10-1° СГСЭ.
630. Q « 4 мг.
631. /=4,5 А,
632. В рассуждениях упущено следующее принципиальное
обстоятельство. При выделении вещества на электродах электролити-
электролитической ванны возникает поляризация электродов, в результате ко-
которой появляется обратная э.д.с. (Это явление аналогично явлению
возникновения э.д.с. в аккумуляторах при их зарядке.) При после-
последовательном включении нескольких банок с подкисленной водой
обратная э.д.с, складываясь, достигает в конце концов значения
э.д.с. аккумуляторной батареи раньше, чем от нее будет взято ко-
количество электричества, которое она может отдать, и ток прекра-
прекратится.
633. g я 1,06 В.
634. Анионом перенесено Q , катионом перенесено Q •
единиц количества электричества.
635. Приблизительно в 2,5 раза»
636. 0,844 и 0,156,
637. k и 0,473.
638. к и 0,497.
639. Взаимодействием катиона с электролитом, в результате чего
образуется соединение, содержащее вещество катиона и являющееся
в растворе анионом. В данном случае при электролизе Cdl2 ионами
будут VaCd и 1/2(CdI2+I2).
640. v4 = Q —-р In ~ , где F—число Фарадея, п — валент-
валентность.
641. Путь решения вытекает из предыдущей задачи*
RT
642. /г=-7ги, где Т7—число Фарадея, R—-газовая постоянная,
пг
п — число грамм-эквивалентов иона в единице объема, или валент-
валентность иона.
643. Процессы, происходящие при зарядке и разрядке кислот-
кислотного аккумулятора, могут быть представлены следующей химической
231
формулой:
разрядка
PbO2 + Pb + 2H2SO4 ( 2PbSO4 + 2H2O.
зарядка
Отсюда следует, что плотность электролита возрастает за счет H2SO4*
644. /t = /l/F = l,18.10-8 г/Кл.
04Э. леи — 7—^Ag^Tr-*—AAg —^»^O'i^ г/гул, где
v —валентность.
646. А„ = Р(Ь++Ь-) = \№ см2/(Ом.г-экв).
647. т]=-^—т =1>7Ы0-3 г/(г-экв-см3);
= 70 см2/(Ом-г-экв); а = Л/Л00
648. Решение. Эквивалентная проводимость воды при стопро-
стопроцентной диссоциации Л00 = /7 (Ь+ -[-&-) =488 см2/(Ом-г-экв). Эквива-
Эквивалентная концентрация т|=т/М, где т=1 г—масса кубического
сантиметра воды, М — относительная молекулярная масса воды.
Эквивалентная проводимость реальной воды Л = А,/т| =
= 6,8• 10~7 см2/(Ом-г-экв). Степень диссоциации а = Л/Л00 = 1,4-10~9.
Столь ничтожная степень диссоциации не позволяет осуществить
разложение чистой воды путем электролиза. Для этого воду надо
предварительно сделать проводящей, добавив к ней, например, сер-
серную кислоту.
§ 8. Термоэлектричество
649. 8-Ю-5 А.
650. С = 510-6 В/°С.
651. 7\=1015°С.
652. 1) V = A2~~Al + —In ^-. 2) l/x —K2 =
е ' е Р2
§ 9. Электроника
653. и»59,5-!07 см/с.
654. v да 0,7.10~4 см/с.
655. К = IB/(can), где с—скорость света.
Решение. Если Г —температура накала нити лампы, по срав-
сравнению с которой можно пренебречь температурой провода, по кото-
которому электроны возвращаются к нити, то средняя кинетическая
энергия эмиттированного электрона (по Ричардсону), которая те-
232
ряется нитью, равна 2kT, где k — постоянная Больцмана. Кроме
того, нить теряет энергию, расходуемую на совершение работы вы-
выхода, т. е. оллФвых^» гДе Фвых — работа выхода, выраженная в воль-
оии
тах, а е—заряд электрона. Если / — эмиссионный ток, то за секун-
секунду вылетает 1/е электронов, а потому нить теряет в секунду коли-
количество энергии, равное / ( QB^'х-\ ). Вследствие потери этой
\ oUU 6 J
энергии приходится ток накала /н увеличить на Д/н, чтобы- не сни-
снизилась температура нити. Повышение тока накала нити на Д/„ выделит
дополнительно энергию 2/?/нД/н, где R — сопротивление нити накала.
Эта дополнительная энергия компенсирует все потери энергии нити,
а потому имеем уравнение
,/фвых , ^1\_9р/ д/
V 300 "^ е у z*'h^'h.
Отсюда получается ответ.
658. Со скоростью от 56 до 60 В вследствие неэквипотенциаль-
ности нити лампы, вдоль которой есть падение напряжения 4 В.
Такое распределение скоростей будет иметь место, если анодный ток
мал по сравнению с током накала, что обычно имеет место.
659. Конечная скорость электронов у анода лампы останется
той же, так как электроны в обоих случаях пройдут одну и ту же
разность потенциалов. Однако значения скоростей электронов в про-
промежуточных точках их пути между катодом и анодом будут в обоих
случаях различными, так как переключение сетки вызовет изменение
распределения потенциалов в электрическом поле внутри лампы,
660. Решение. Под действием силы тяжести свободные элект-
электроны в металле будут опускаться вниз. Вследствие этого верхняя
поверхность тела зарядится положительно, а нижняя — отрицательно.
В металле возникнет электрическое поле ?, направленное вниз,
т. е. препятствующее дальнейшему опусканию электронов. Опускание
прекратится, когда mg-\-eE — 0, т. е. когда электрическое поле
уравновесит силу тяжести (т—масса, е—заряд электрона). Так как
поле Е однородно, то объемных зарядов в металле не возникнет,
как это следует из уравнения div ? = 4яр. Если пренебречь дефор-
деформацией решетки под действием силы тяжести, то следует пренебречь
и изменением скачка потенциала вдоль поверхности металла на гра-~
нице с полостью. Тогда тангенциальные составляющие вектора Е на
границе с полостью будут непрерывны и в полости установится та-
такое же равновесное электрическое поле, как и в металле, т. е.
Е— —tng/e. Так как е < 0, то это поле будет направлено вниз и
233
равно ?=1,9.10-16 СГСЭ = 5,7.10-11В/м. В полости поле Е урав-
уравновесит силу тяжести, действующую на электрон, и ускорение по"
следнего будет равно нулю. Если на место электрона в полость
поместить позитрон, то на него будет действовать сила mg—eE = 2mg
и эта частица получит ускорение a = 2gt направленное вниз.
661. Решение. Задача сводится к предыдущей, если перейти
к неинерциальной системе отсчета, движущейся с ускорением а.
В неинерциальной системе отсчета появится сила инерции —-та,
действие которой эквивалентно действию силы тяжести той же
величины и направления. Поэтому, используя решение предыдущей
задачи, найдем, что в полости возникнет электрическое поле Е =
= та/е « 5,7* Ю-13 В/см. Относительное ускорение а0ТН электрона
будет нуль, а позитрона —2а. Абсолютное ускорение найдется по
формуле аабс = я + Яотн- Для электрона аабс = а» Для позитрона
ааEС=—а. Таким образом, абсолютные ускорения электрона и по-
позитрона будут равны по величине, но противоположны по направле-
направлению. Объемных зарядов в металле не возникнет.
663. Т=-2пт1Не% т. е. не зависит ни от i/, ни от а«
664. r — mv/He*
665. Нулю, так как сила, действующая на электрон, все время
перпендикулярна к его перемещению*
667. Решение. Радиус кривизны траектории частицы в маг-
магнитном поле р = ср/(еВ). На единицу длины натянутого шнура дей-
действует нормально упругая сила T/plt которая уравновешивается
амперовой силой /В/с. Это дает для радиуса кривизны шнура
р1 = Гс/(/?). При выполнении условия pi = p, т* е. 1р = Те, форма
траектории будет совпадать с формой Шнура.
668. Решение. Ускорение жидкости относительно системы
отсчета, связанной с вращающейся Землей, определяется выражением
где Q — угловая скорость осевого вращения Земли, v==sv0TH—ско-
v==sv0TH—скорость жидкости относительно Земли, а" — ускорение, вызванное
всеми потенциальными силами. Потенциальный вектор а1 можно
исключить, взяв циркуляцию вектора а по замкнутому контуру.
В качестве такового выберем геометрическую ось кольцевой трубы.
Тогда
ф ads =
S
234
где /к=2 [vQ] — кориолисова сила, действующая на единицу массы
жидкости. Так как жидкость несжимаемая, а площадь поперечного
сечения трубы всюду одна и та же, то осевая составляющая уско-
ускорения а5 будет также всюду одинакова. Вынося ее из-под знака
интеграла, получим as = (§/st где s — длина трубы, а <§ означает
интеграл $= ф fxds. Эта формула аналогична закону Ома. Роль
силы тока, сопротивления и электродвижущей силы играют величины
aSt s и <§\ Аналогом магнитного поля В служит удвоенная угловая
скорость вращения Земли 2Q. Поэтому на основании закона элект-
электромагнитной индукции можно написать ^=—d<t>/dt, где Ф — поток
вектора 2Q, пронизывающий контур s. Таким образом,
as^lr = -Tlf, откуда 1/=-уДФ.
Через V обозначена осевая составляющая скорости жидкости.
Допустим, что кольцо имеет форму круга радиуса R и в на-
начальный момент расположено горизонтально. Пусть S— вектор пло"
щади кольца в этом положении. Повернем кольцо на 180° вокруг
горизонтальной оси. Тогда
Дф в _4 (Q5) = —4Q5 sin §.
Здесь $ — географическая широта места, где производится опыт.
Учитывая, что S = nR2, s^2nRt и предполагая, что в начальный
момент жидкость была неподвижна, получим V=»2Q#sin ф. Пусть в
конечном положении кольцо находится в покое. Тогда жидкость
будет двигаться в нем со скоростью V*=2QR sin О. На полюсе
-0 = 90°, V — 2QR. Этот результат легко получить также, относя все
движения к «неподвижной» системе отсчета. На экваторе К = 0.
669. r = R/2; T = 2nmc/(qB) ^60 лет.
670. Магнитный момент
так как частота обращения частицы в магнитном поле
__ М#тс«д \е\Н Гх 2
и тс (§ тс *
радиус орбиты заряда ги~и/а>^ и V—скорость частицы (выше ^ =
тс2
- — полная энергия часгицы; ее магнитный момент
235
D
rz- I/ -
e
672.
у
673. В = <?/(/&?) = V/R= 1,07-107 Гс (ускоряющее напряжение,
соответствующее энергии <$\ равно V = 7,6- 1010 В = 2,53-108 СГСЭ)-
Указание. Протоны считать ультрарелятивистскими. Их ско-
скорость настолько близка к скорости света, что энергия покоя протона
пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией. При
таких условиях кинетическую энергию можно вычислить по формуле
? — тс2, где т—релятивистская масса протона.
674. со—со0=±2—= ± -о—~ Ю-6 с—1. Частота со возрастет,
если векторы Н и со направлены противоположно, и умевьшится4
если они направлены в одну сторону.
675. Для Li7 V = Er\n(rilrY) « Е(г2 — гг) « 245В, ? = 408 В/см.
Для Li6 K=229 В, ? = 381 В/см.
676. 1) Если взять начало координат в точке выхода электрона
и направить ось X перпендикулярно к пластинам против направле-
направления электрического поля, а ось К —параллельно пластинам и перпен-
перпендикулярно к магнитному полю, то траектория электрона будет опре-
определяться уравнениями
Етс2 Л Не Л Етс2 ( Не 4 . Не
X = -то 1 — COS / , у = —775— * — Sin
Н2е I тс J * Н2е \тс тс
2) 2Етс2/(Н2е) < d, y = nmc2E/(H2e), где d — расстояние между
пластинами, е— заряд электрона, т—масса электрона, с—скорость
света.
677. Компоненты начальной скорости вдоль пластины катода
(vy0) и перпендикулярно к ней (vx0) должны быть vy0 = — ?///,
vx0 = 0; r = Em/(H2e): T = 2nm/(Hf).
678. Решение. Электрическое поле ? можно найти, пренеб-
пренебрегая расширением пучка. На границе и вне пучка ? = 2яо, где
a = i/e—заряд, приходящийся на единицу площади пучка. Частицы,
находящиеся на границе пучка, в поперечном направлении будут
двигаться равноускоренно и за время t сместятся на
\y = eEt2lBm) =eEx2/Bmv2).
Искомое расстояние х определится из требования At/ = d/2, которое
дает
*= Y mv4lBni), v= V^glrn.
Отсюда х= 13 см.
г Am A9JP Me
679. В<^-=Р V —~ 4000 Гс, /=17т77 ~ 2.5 года, где т —
б V те лтр/
масса атома урана, Am— разность масс атомов U238 и U236, Л = 238 —
относительная атомная масса U238, тр — масса протона.
236
680. Щ} = /
681. M=*m*v*/eH.
682. г да 1,9. Ю-13 см.
•«.,-, (l-co.?,), „-?, + ,.,„?,,
где г-*
X ft;—jr\ , ось X параллельна электрическому полю, ось Y пер-
перпендикулярна к обоим полям.
684. v = []
т' ^=2wS~=~iT2> где я""целое
686. р = ?а3.
687. са = — 5 да 25-1010 с-1.
m
688. rJV:r1~ Yn » где п —число полукругов, сделанных дейто-
ном после вылета.
689. q = !HaC/(eSd) «0,6.1010 см-'.с-1.
690. Между пластинами конденсатора имеется пространственный
заряд, плотность которого на расстоянии х от катода равна р (х).
Поэтому
d2V
_- = -4лр(х). F90.1)
Если подвижность электрона и, то плотность тока
/ = - р (х) иЕ = ~ р (х) и $L F90.2)
Из F90.1) и F90.2) получаем
dVd2V 4л/ d fdV\2 8я/
— з-т = —, или -т- -т- ==—'< F90 3)
dx dx* и dx\dx) и v 7
Когда ток достигает значения насыщения, то при х — 0 и / = /н
будем иметь (dK/d;c)^=o = O. Поэтому, интегрируя F90.3), получаем
Г
Г х
Дальнейшее интегрирование дзет
Ко=ТК « d • откуда "=-9-lit
691. n=Vqjath(t/%), где т
692 «= 1/у"(^
237
693. — -=at>
n n0
694. q = /J(Sle)=\,25.\0» см~з. c-i; n== ^^ = 2,7.10? см-3.
695. /H = ^5fe = 4.10-*e A.
696. / = -±L-« 1,3.10е с» 15сут.
4Я//Н
697. 1) х=1/(«оа)==0,0бс; 2) т = 3/(яоа) = 0,18с.
698. Решение. Среднее число столкновений положительных
ионов с отрицательными в единице объема в единицу времени, сопро-
сопровождающихся рекомбинацией, определяется выражением v= V 2л2оч/,
где у —средняя скорость теплового движения молекулы. В стацио-
стационарном состоянии это число должно равняться числу вновь образую-
образующихся пар ионов q = an2 в том же объеме за то же время, т. е.
jr- , где Я —универсаль-
—универсальная газовая постоянная, а М — относительная молекулярная масса
воздуха (М « 28,8), получим
о- — л/— ~ 2 5,10-л ГМ2
а — -т- I/ -^jT ^ z,o*iu -¦ см *
699. Если пренебречь массой электрона по сравнению с массой
иона, то vei = n2oejVe, где ve — средняя тепловая скорость электрона.
Рассуждая, как в предыдущей задаче, получим
где & —постоянная Больцмана, те — масса электрона, а ^/—коэф-
^/—коэффициент рекомбинации электрона с положительным ионом. Величины
vei и Gei также снабжены двумя индексами, чтобы явно отметить,
что речь идет о столкновениях электронов с ионами.
700. u = ld//2cQ.
701. / = яое(ехр {ad}), где е—заряд электрона.
702. /^ло<?(ехр {ad}-—1)/а, где е — заряд электрона.
703. у= /еф/т=1920 км/с.
704. Положительный столб укорачивается.
705. Кроме продольного градиента потенциала, имеется попереч-
поперечный градиент вследствие диффузии зарядов к стенкам трубки.
706. Вследствие того, что электрическое поле у поверхности
катода перпендикулярно к этой поверхности и значительно сильнее,
чем в остальном пространстве трубки (катодное падение).
707. Решение. Если масса иона ту его расстояние от общего
центра масс гъ а частота обращения (о, то общая кинетическая
энергия вращения ионов равна
m^iOJ m2 (d— rj2 ю2
""IT" 2
где d — расстояние между ионами. Согласно закону равномерного
распределения кинетической энергии по степеням свободы эта энер-
энергия равна кТ. С другой стороны, на каждый ион действует центро-
центростремительная сила, равная силе взаимодействия между ионами.
Следовательно,
г2
9 9 / J \ С
m^r^ = m2co2 (d — гх) = -^-.
Из этих уравнений находим
,г eVi , e*(d-rx) ё*
d* *~ d2 d *
Отсюда d=e2/2kT, и, следовательно, искомый электрический момент
p = de = ^* 1,4.10-" СГСЭ.
§ 10. Электромагнитные волны
708. VX =
cos
/
—, где Vo —амплитуда на-
напряжения в пучности напряжения, /0 — амплитуда тока в пучности
тока, х — расстояние от начала линии, k — номер гармоники
(/5=1, 2, 3, ...). Vk = kc/Bl)y где с—скорость распространения волн
вдоль линии (для воздушной линии с « 300 000 км/с). Распределение
амплитуд для одного из собственных колебаний (третьей гармоники)
приведено на рис. 266.
709. Vx =
~-Kf' Обозначения те
knx
же, что и в ответе предыдущей задачи. Распределение амплитуд
239
для одного из собственных колебаний (четвертой гармоники) приве-
приведено на рис. 267.
t
k
К
Z
XJ
A.
Z
\
A
/1
2Л+1
4
с
Т'
где
(
X-
Рис.
-расстояние
267.
от
4 /
& = 0, 1,2,3, ... B/?-f-1 — номер гармоники). Распределение ампли-
амплитуд для одного из собственных колебаний (пятой гармоники) приве-
приведено на рис. 268.
711. р= 120 In (d/r) « 468 Ом.
Решение. Выделив элемент линии длиной dx (рис. 269),
можем написать два уравнения Кирхгофа для этого элемента:
0V
1 (х + dx)-1 (x) = C1 dx -gj- ,
V(x ^
или -j"=^
или -т-=/
dV
dl
G11.1)
G11.2)
240
где Сх и Lf— емкость и индуктивность на единицу длины линии.
Дифференцируя одно из уравнений по х, а другое по / и исключая
Ifr+dx)
C,dx ~
, г-
1
:= 1
1 _/
ы
г
г v
dx
^-
t
1
1
Рис. 269.
одно из неизвестных, получаем уравнения для тока и напряжения:
д2! д2! d2V d2V
==:^i^i"H7^t ^-2=LiCi Л.2 ¦. G11.3)
Если напряжения и токи в каждой точке линии меняются со
временем по гармоническому закону с угловой частотой со, то реше-
решения уравнений G11.3) имеют вид
/ = /osin<»(/—i), v = ye8in«>(*—i),
где у— \/}rL1C1 — скорость распространения волн вдоль линии.
Подставляя эти решения в уравнение G11.1), получаем отношение
амплитуд напряжения и тока, т. е. волновое сопротивление линии:
причем р получится в омах, если Lx и Сг взяты в практических
единицах. Так как для воздушной линии всегда у«3-101с см/с,
то обычно пользуются формулой р=1/уС!, причем погонная емкость
должна быть взята на сантиметр длины, если скорость выражена
в см/с. Если выражать емкость в единицах СГСЭ (т. е. в сантимет-
30
pax), то р = —--—.—-Ом. Подставляя значение взаимной емкости
Сх (см/см)
двух параллельных проводов, приходящееся на сантиметр их длины,
^ , получаем приведенное в ответе выражение.
712. р = 60 In (#//-)« 97 Ом.
Решение. Так как внутри коаксиальной линии находится
воздух, то для нее пригодно то же выражение для волнового соппо-
9 Под ред. И А Яковлева 241
тивления, которое получено в предыдущей задаче. Подстав-ляяГ в это
выражение емкость, приходящуюся на 1 см концентрической линии,
Ci — *7П—т~п~Г\» получаем выражение, приведенное в ответе.
21п (Н/г)
713. v = c/V~e « 1,43.10^ см/с.
714. Tk—21/kv, где /г—номер гармоники и а=*=с/ Ке =3,3 109 см/с—
скорость распространения электромагнитных волн в воде (диэлектри-
(диэлектрическая проницаемость воды е»80).
715. V! = t//4/ « 3000 Гц.
60 In (Я/г)
716. р = —^- « 68 Ом.
Решение. Волновое сопротивление p=l/(uCi), и так как у
в V^e раз меньше, чем в вакууме, а Сх — в г раз больше, то вол-
волновое сопротивление в У г раз меньше, чем для такого же кабеля
с воздухом в качестве диэлектрика (см. решения задач 711, 712).
2я/
717.
pctg
• Поэтому, если длина волны
X
то:
}) ZBX == | 216 ctg B/3зх) 1 « 130 Ом (индуктивное);
2) ZBX = | 216 ctg я |= oo (параллельный резонанс);
3) ZBX = | 216 ctg (yQn) I « 374 Ом (емкостное);
4) ZBX = | 216 ctg E/2зх) | = 0 (последовательный резонанс).
Решение. Если конец линии разомкнут, то амплитуды напря-
напряжения и тока вдоль линии распределяются по закону
Vx з= Vo cos -г— , /jp = /0 sin
где х— расстояние от разомкнутого конца линии, a VQ и /0 —ампли-
—амплитуды в соответствующих пучностях. Поэтому в начале линии (# = /)
2я/
Так как Vo//o = P> где р —волновое сопротивление, то
Характер входного сопротивления можно определить по тому, как
оно зависит от частоты: если растет с ростом частоты (уменьшением
длины волн), то сопротивление носит индуктивный характер; если
уменьшается с ростом частоты — емкостный. В случае 1) с увеличе-
увеличением аргумента ctg растет (второй квадрант) и сопротивление носит
индуктивный характер. В случае 3) с увеличением аргумента ctg
уменьшается (третий квадрант) и сопротивление носит емкостный
хаоактер. В случае 2) на всей линии укладывается одна полуволна,
242
у входа линии и у ее конца лежит узел тока, т. е. амплитуда тока
у-входа /вх = 0. Это —случай, аналогичный случаю параллельного
резонанса в контуре без потерь. В случае 4) на всей линии уклады-
укладывается bUX и у входа линии лежит пучность тока, следовательно,
при конечном значении амплитуды напряжения у входа Увх оказы-
оказывается /вх = оо. Это — случай, аналогичный последовательному резо-
резонансу в контуре без потерь.
718. ZR
. 2кх о,. , 2лх _
РЧ?—Г~ ~ 216 tg-^—. Входное сопротивление яв-
л о j
ляется индуктивным, пока расстояние до мостика меньше К/4, т. е.
х < 1,5 м. При х = 1,5 м ZBX=oo (параллельный резонанс). При
1,5 м < х < Зм входное сопротивление носит емкостный характер.
При я = 3м ZBX = 0 (последовательный резонанс). При Зм < х < 4,6м
входное сопротивление снова приобретает индуктивный характер, и
так далее.
Решение. Так как конец линии замкнут накоротко, то ампли-
амплитуды напряжения и тока вдоль линии распределяются по закону
2лх
= IO cos -
где Vo и /0 — амплитуды в соответствующих пучностях, х—-расстоя-
х—-расстояние от конца линии (мостика). И так как V0/I0***p, то
. 2пх
PtgT-
Характер нагрузки определяется с помощью соображений, приведен-
приведенных в решении задачи 717.
2я E + 0,82) м
719. ZRX =
360 ctg-
4м
1220 Ом, причем сопротивле-
сопротивление носит индуктивный характер.
Решение. Емкость С, включенную в конце линии, можно за-
заменить отрезком разомкнутой линии, длина которого /экв опреде-
определяется из условия, что емкостное сопротивление Хс-
Так как отрезок линии должен заменить емкостную нагрузку, то его
длина /экв должна быть меньше К/4. Подставляя значения из условий
задачи, находим
U
Хс 4 , 106 _ лл
-^-^arcctgggg» 0,82 м,
Далее задача сводится к отысканию входного сопротивления разомк-
разомкнутой линии длиной /-]-/экв = 5,82 м (см. задачу 615).
2я B0 + 2,44) м
720. ZBX-
47 ctg-
11,2м
противление носит емкостный характер.
9*
183 Ом, причем входное со-
со243
Решение. Аналогично предыдущей задаче, заменяем индук-
индуктивность отрезком разомкнутой линии, длина которого определяется
из условия, что индуктивное сопротивление Л^= pctg—1^4 • Из
I A I
условий задачи находим /ЭКв — 2,44 м. Далее задача сводится к отыска-
отысканию входного сопротивления разомкнутой линии.
721. 1) ZBX=-^« 260 000 0м; 2) ZBX=^=0,5 Ом.
Решение. 1) На длине линии укладывается б/А» и в случае
замкнутой линии у входа линии будет узел тока (так как на замк-
замкнутом конце пучность тока). Поэтому этот случай аналогичен парал-
параллельному резонансу. Но при параллельном резонансе эквивалентное
сопротивление контура ZBKB = XlfjRt где Х1>2 —реактивное сопро-
сопротивление любой из цепей (так как для обеих цепей при резонансе
оно одинаково). Далее, так как X2 = (oLt а со=1/уТС, то Z8KB =
= L/(C/?) = p2/#, где р= VUC — «волновое сопротивление» парал-
параллельного контура. Аналогично этому для параллельного резонанса
в линии ?вх = р2/Яд> где Яд — «действующее» активное сопротивление
в линии, определяемое из условия
i
M
(/„--амплитуда тока в пучности). Иначе говоря, Яд—это такое со-
сопротивление, которое, будучи включено в пучность тока, вызовет те
же потери, что и активное сопротивление, распределенное вдоль
линии (так как распределение тока синусоидально, то «действующее
сопротивление» оказывается равным половине активного). Поэтому
в рассматриваемом случае ZBX = p2/(#i'/2).
2) При разомкнутом конце у входа линии расположится пучность
тока, что соответствует последовательному резонансу. При последо-
последовательном резонансе входное сопротивление линии равно «действую-
«действующему» активному сопротивлению (аналогично случаю последователь-
последовательного резонанса в контуре), т. е. ZBX = J/?1//2.
722. 1) Zbx = pV = 2000Om; 2) Zbx = a = 80Om.
723. Zbx = 400Om.
Решение. Если линия замкнута на активное сопротивление,
равное волновому, то отражения волн на конце линии не происходит.
Следовательно, в линии распространяется только бегущая волна и
отношение между амплитудами напряжения и тока во всех точках
линии, и в частности у входа, одинаково и равно р.
724. Характер электрического и магнитного полей в концентри-
концентрическом кабеле изображен на рис. 270, а. Электрическое поле напря-
244
женности Е направлено по радиусам, магнитов поле напряженности
Я —по касательным к окружностям. При этом E = 2q/r — 2CiV/r и
Н = 21/г, где Сх —емкость на единицу длины кабеля, г —расстояние
от оси кабеля, д-~заряд на единицу длины кабеля, / — ток в кабеле.
Рис. 270.
По теореме Умова—Пойнтинга поток энергии, протекающей за
элемент времени dt через поверхность «S, равен
J
В рассматриваемом случае через поперечное сечение кабеля за эле-
элемент времени dt протекает поток энергии (рис. 270, б)
= 2CJ/1 [ — \<и
L ir J
\nr-±dt.
, то dW — Vldt. Но так же выражается и
И так как C1=?rr-т
I In (ra//i)
работа, совершаемая источником за элемент времени dt. Так как
в случае бегущей волны амплитуды напряжения и тока в любом
сечении кабеля такие же, как у зажимов источника э.д.с, то при
интегрировании за единицу времени энергия, протекающая через
сечение кабеля, окажется равной мощности, отдаваемой источником.
hrtv
= /osin——, где /0 — амплитуда тока в середине про-
про725. I)
вода (в пучности тока) и х-— расстояние от начала провода;
где /г=1, 2, 3, ...;
245
2) /^ = /0cos—5—"» гДе /в —амплитуда тока у заземления
(в пучности тока) и х— расстояние от заземления;
).12,5.10* Гц, ^i^**
где k=\, 2, 3, ...
726. к = 6 мм.
727. Л^= 20 ——^-=80л2т^ /1фф, где /эфф — эффективное зна-
С А
чение тока в диполе.
728. #„ = 80 Ом.
Решение. Поле, создаваемое каждым элементом тока, пропор-
пропорционально силе тока в этом элементе. Если считать, что поля от
всех элементов тока приходят в одинаковой фазе, то амплитуда общей
напряженности поля будет пропорциональна \ I (x) dx, где /—длина
о
вибратора. Так как ток в вибратор распределен по закону 1Х =
, . пх
= /0 sin -у- , то
° I(x)dx= —/0.
При равномерном распределении тока мы получили бы величину fQi
Иначе говоря, полуволновый вибратор длины / создает такую же
напряженность поля, какую создавал бы вибратор с равномерным
распределением тока, равного току в пучности полуволнового вибра-
2
тора, и длиной 1х=—/ AХ называется «действующей длиной» для
«действующей высоты» полуволнового вибратора). Поэтому для под-
подсчета мощности, излучаемой полуволновым диполем, достаточно в от-
2
вет предыдущей задачи вместо / подставить — /. Получим JV =
= 80у2-/1фф=80/1фф (так как 1 = к/2). Следовательно, Яи = 80Ом.
Мы произвели подсчет, полагая, что поля, приходящие от всех
элементов тока, совпадают по фазе. Это, однако, не совсем верно:
расстояния от отдельных элементов вибратора до рассматриваемой
точки несколько различны, и поэтому несколько различны и фазы
полей. Более точный подсчет с учетом этого обстоятельства дает для
сопротивления излучения полуволнового вибратора значение /?и=72 Ом.
729. Яи =
246
Решение. Заземленный четвертьволновый вибратор создает
над Землей такое же поле, какое создавал бы вдвое более длинный
полуволновый вибратор при том же токе в пучности, если бы Земля
отсутствовала, иначе говоря, четвертьволновый вибратор создает
только «верхнюю половину» того поля, какое создавал бы соответ-
соответствующий полуволновый вибратор, и, значит, излучает только поло-
половину мощности. Следовательно, сопротивление излучения заземлен-
заземленного четвертьволнового вибратора вдвое меньше, чем полуволнового,
т. е. Яи = 40Ом.
730. Яи = 140Ом.
Решение. Так как вибраторы расположены близко, то поля
их приходят в каждую точку в одинаковой фазе, и оба вибратора
создают поле вдвое большее, чем каждый в отдельности. Значит; они
излучают вместе вчетверо большую мощность, а каждый излучает
вдвое большую мощность, чем в отсутствие другого. Следовательно,
каждый вибратор обладает вдвое большим сопротивлением излуче-
излучения, чем то, которое он имеет в отсутствие другого вибратора.
731. Волновый вибратор можно рассматривать как два полувол-
полуволновых вибратора, расположенных на одной прямой. Но поля от этих
вибраторов приходят в каждую точку, вообще говоря, с некоторым
сдвигом фазы. Следовательно, излучаемая ими мощность будет меньше,
чем излучаемая двумя вибраторами, расположенными параллельно
и близко друг к другу (рассмотренными в предыдущей задаче). Поэ-
Поэтому и сопротивление излучения волнового вибратора будет меньше,
чем сумма сопротивлений излучения двух вибраторов предыдущей
задачи. С другой стороны, в случае двух уединенных, т. е. находя-
находящихся далеко друг от друга, вибраторов можно считать, что они
вообще излучают независимо, между тем как для волнового вибра-
вибратора поля в большей части пространства совпадают по фазе и, зна-
значит, складываются. Поэтому излучаемая мощность, а следовательно,
и сопротивление излучения волнового вибратора больше, чем сумма
излучаемых мощностей, а значит, и сопротивлений излучения двух
уединенных полуволновых вибраторов.
732. Е « 2,2 мВ/м.
Решение. Эффективная напряженность электрического поля
полуволнового диполя в экваториальной плоскости (см. задачу 727)
2я 2/ Л>фф
где /эфф —эффективная сила тока вибратора в пучности. Так как,
с другой стороны, /эфф= VN/R& где #и — сопротивление излучения,
247
601/" N/R
то ?*эфф= - — . Для полуволнового днполя
733. Nr « g-^ -~—г" ~~7"~ ~ 810~6 Вт» где ^и—-сопротивление из-
излучения вибратора, равное 72 0м.
734. Решение. Электродвижущая сила, создаваемая приходя-
приходящей волной в приемном вибраторе, в каждом элементе вибратора dx
может развивать наибольшую мощность dN = IB$$ (х) E9$$dx, где
^эФФ~~-эффективная сила тока в данном элементе вибратора, а ?Эфф —
эффективная напряженность поля приходящей волны. Во всем полу-
полуволновом вибраторе приходящая волна может развивать наибольшую
мощность
T Г
= \
21
где /0эфф — эффективная сила тока в пучности. Следовательно, при-
приемный вибратор можно рассматривать как источник э.д.с.
21
«= — ?эфф (поэтому 21 In называют «действующей длиной» полувол-
полуволнового приемного вибратора) с некоторым внутренним сопротивле-
сопротивлением г. Это внутреннее сопротивление во всяком случае не может
быть меньше сопротивления излучения вибратора #и (которым он
обладает, помимо омического сопротивления). Наибольшую мощность
вибратор будет отдавать приемнику, если входное сопротивление
приемника RBx = Ryi- Тогда полное сопротивление цепи будет равно 2#и
и полная мощность, выделяемая в цепи, N = ^l^/2Ril. При равен-
равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений половина этой мощности
будет выделяться в приемнике, и, следовательно, наибольшая мощ-
мощность, которую может получить приемник,
735. В плоскости, проходящей через ось вибратора,— рис. 271, а;
в экваториальной плоскости, перпендикулярной к оси,— рис. 271,6.
б)
Рис. 271.
248
736. По мере увеличения длины вибратора будет становиться
заметной разность фаз полей, пришедших в какую-либо точку от
разных элементов вибратора (рис. 272, а). Эта разность фаз будет
тем больше, чем больше угол ф. Поэтому амплитуда поля вибратора
Рис. 272.
при больших углах ф уже не будет равна сумме амплитуд от отдель.
ных элементов вибратора, а будет меньше этой величины. Это при-
приведет к тому, что характеристика направленности в плоскости, про*
ходящей через ось вибратора, будет сплющиваться (рис. 272, б),
В плоскости, перпендикулярной к оси вибратора, характеристика
по-прежнему останется окружностью
737. 1) См. рис. 273, л; 2) см. рис. 273,6.
Рис. 273.
738. См. рис. 274, а.
Решение. Так как между токами в вибраторах сдвиг фазы
равен я, поля обоих вибраторов окажутся в фазе в тех направле-
направлениях, для которых разносгь хода d = k/2. А так как d — Xslny
(рис. 274, б), то этим направлениям соответствует угол ф = 30° с пря-
прямой, перпендикулярной к линии, соединяющей вибраторы. Во веек
249
четырех направлениях, удовлетворяющих этому условию, напряжен-
напряженность поля будет наибольшей. В направлении линии, соединяющей
вибраторы, излучение будет отсутствовать.
б)
Рис. 274,
739. См. рис. 275.
Решение. Второй вибратор, отстоящий на расстоянии Х/А от
первого и питаемый током, запаздывающим по фазе на я/2 относи-
относительно первого, устраняет излучение в направлении линии, прове-
проведенной от второго вибратора к первому (так как в этом направлении
сдвиг фазы между полями обоих ви-
вибраторов равен я). Наоборот, в на-
направлении от первого вибратора ко
второму разность хода компенсирует
сдвиг фазы, оба поля оказываются
в фазе и в этом направлении излу-
излучение оказывается наибольшим. Если
второй вибратор не питают непосред-
непосредственно током, а подбирают его на-
настройку (длину) так, чтобы ток пер-
первого вибратора создавал в нем ток,
сдвинутый по фазе относительно пер-
первого на я/2, то он действует так же,
Такие «пассивные» вибраторы называ-
Рис. 275.
как в рассмотренном случае,
ются рефлекторами.
740. См. рис. 276.
Решение. Максимум главного лепестка (рис. 276, а) соответ-
соответствует направлению, в котором поля всех вибраторов совпадают по
фазе. Если изображать поля всех диполей в виде одинаковых век-
векторов, то направлению главного максимума соответствует располо-
расположение векторов, указанное на рис. 276, б. В направлениях, отличных
250
от главного максимума, существует сдвиг фазы между полями от-
отдельных вибраторов, чему соответствует поворот векторов на неко-
некоторый угол относительно друг друга. Когда векторы образуют замк-
замкнутую фигуру (рис. 276, в), результирующее поле будет равно нулю.
Это произойдет в первый раз, когда векторы повернуты на угол я/4
относительно друг друга и образуют восьмиугольник. Соответственно
разность хода d = k/8 (рис. 276, г), т. е. sin q>=l/4, или <р » 14°30\
Под этим углом в обе стороны от главного максимума будут лежать
оба минимума, т. е. полный угол раствора главного лепестка равен
2ф = 29°. Максимум первого бокового лепестка получится, когда
векторы сделают полтора оборота; тогда их замыкающая, т. е. ре-
результирующее поле, достигнет снова максимума. Для оценки величины
этого максимума заменим ломаную, образуемую векторами, дугой
окружности. Так как полтора оборота этой дуги должны иметь длину,
равную сумме длин всех векторов, то диаметр окружности (рис. 276, д)
должен быть в Зя/2 раз меньше длины прямой (рис. 276, б). Следо-
Следовательно, амплитуда максимума в первом побочном лепестке в
Зя/2«5 раз меньше амплитуды в главном максимуме, а энергия
в 25 раз меньше. При большом числе диполей это отношение не за-
зависит от числа диполей.
741. 1) Верхняя часть рис. 273,6; 2) верхняя часть рис. 274, а.
Направления, в которых на диаграмме лежат максимумы и минн*
мумы, определяются условиями
пsin фмакс = B* + 1)
к
n sin фмин == k -j,
где ф —угол над горизонтом, fe —целое число.
Решение Так как в методе зеркальных изображений должны
быть взяты «зеркальные заряды» противоположного знака, то «зер-
«зеркальный диполь» под поверхностью земли нужно считать колеблю-
колеблющимся в фазе, противоположной фазе
колебаний диполя над землей. Поэто-
Поэтому рассматриваемые случаи соответ-
соответствуют изображенным на рис. 273, б
Рис 277 И 274' а'
РИС* 2/Л 742. См. рис. 277.
743. Направления, для которых на диаграмме лежат максимумы
и минимумы, определяются из условий
k . 2k+\
п sin(pMaKC = у , л sin фмин = ——,
где ф—угол над горизонтом, fe—целое число.
Решение. Для вертикального вибратора при противополож-
противоположных знаках «зеркальных зарядов» направление тока в «зеркальном
вибраторе» совпадает с направлением тока в вибраторе над землей.
Поэтому оба вибратора колеблются в фазе, вследствие чего направ-
направления максимумов и минимумов меняются местами по сравнению со
случаем горизонтального вибратора (см. ответ к задаче 741).
744. Для рамки
^9фф = 30со2А^2/эфф/(с2г) « 1. Ю-4 В/м.
Для вибратора Герца длины dt питаемого током /Эфф,
?эфф = 30сой(/Эфф/(сг) « 1,25. Ю-3 В/м,
т. е. поле отдельного проводника больше, чем всей рамки в целом.
Решение. Каждый отдельный провод рамки создает поле
такое же, как вибратор Герца, но токи в противоположных сторо-
сторонах рамки направлены навстречу, поэтому и создаваемые ими поля
¦^—
-d-*-
Г _
ч >
Рис. 278.
направлены навстречу. Вследствие этого в плоскости рамки (рис. 278)
результирующее поле выразится так:
--—?-& 2 «in со J^-i «n <o ^ —
252
Так как rx — r% = d> (dd<^.ct то 2sin-^~« — -и
Таким образом, рамка создает такое же поле, какое создавал бы
вибратор Герца длиной /д = mnd^jc = 2nnd2/k. Поэтому эта величина
называется «действующей высотой» рамки. Поле рамки оказывается
меньше, чем поле, создаваемое всеми про-
проводниками, образующими одну из сторон
рамки, в отношении 2яй(Д (вследствие того,
что поля противоположных сторон рамки
почти противоположны по фазе).
745. См. рис. 279. рис 279.
746. <? = ?со>и/2/с « 2мкВ.
Решение. Так как электрическое поле приходящей волны
в противоположных сторонах рамки создает э. д. с, направленные
навстречу, то для поля приходящей волны получаются соотношения,
аналогичные соотношениям для поля, излучаемого рамкой, в за-
задаче 744. Поэтому для «действующей высоты» приемной рамки полу-
получается та же величина, как и для «действующей высоты», передаю-
передающей рамки: /д = (олйB/с (для рассматриваемой рамки /д —4 см).
Э. д. с, индуцируемая в рамке, $ = Е1Л. Соотношение для э. д. с.
в вибраторе Герца то же, что и в предыдущей задаче.
747. у= т где с—скорость света в вакууме,
со4 т
е и т—заряд и масса электрона.
Решение. Смещение х свободного электрона под действием
электрического поля ?osinco/ определяется уравнением т~ш~
= Еое sin со*, откуда х = — EQ ^ sin со/. Величина вектора элек-
электрической поляризации
5> —Atex = — Ео 5" sin со/,
а вектора электрической индукции
D = ?osinco/ + 4rt55 = ?o f I ^-J sin со/.
Диэлектрическая проницаемость ионосферы
О 4я№?
~~?q sin cof"~ mo2
253
Так как скорость распространения гармонической волны («фазовая
скорость») v^c/Ув, то, подставляя найденное выражение для 8;
получаем ответ.
748. XMHH = ccos(p Упт/Ne2 « 23 м, где с—скорость света
в вакууме, е и т —заряд и масса электрона.
Решение. Условие возникновения полного внутреннего отра-
отражения волны, распространяющейся в среде с коэффициентом прелом-
преломления Hi при падении под углом ф на границу среды, обладающей
коэффициентом преломления пъ имеет вид sin ф > n2/nlt В случае
волны, распространяющейся от Земли к границе ионосферы, ni« 1,
а коэффициент преломления ионосферы (см. решение предыдущей
задачи)
Для предельного случая, когда еще возможно полное внутрен-
внутреннее отражение от границы ионосферы, sin ф = -¦ / 1 — , от-
/ 4jtAfe2
, 81Пф = ~| / 1 ,
У ^макст
куда и получается приведенное выше выражение для наиболее корот-
короткой волны:
§ 11. Релятивистская электродинамика
749. Из формул A4) преобразования компонент 4-вектора нахо-
находим для плотности тока
где Г==A-В2)-1/2» a B = V/c.
1) В системе К"
рЛ^0, /* = 0, "s*@, 0, 0, кр').
В системе К
Поскольку s4 = /cp, получаем формулу преобразования плотности
заряда:
Изменение плотности заряда имеет простое истолкование. Если
в системе К1' рассматриваемый объем имеет величину df^', то в си-
системе К его величина равна d^ — d^'1 V^l —K2/c2. По определению
р' =deld(fbr, p = de/d<Jfd. Отсюда следует инвариантность выражения
р'
254
Заряд в заданном объеме остается неизменным в любой системе от-
отсчета.
Поскольку Si~]x, имеем
Плотность тока jx— это плотность конвекционного тока, появление
которого связано с тем, что заряды рЛ движутся вместе с систе-
системой К'1 относительно системы К.
2) В системе К"
р' = о, Г {jx, iy,
В системе К (см. формулу A4))
Поскольку Si = jXy $2 — ]у* S3 — Jz* первые три равенства определят
плотность тока в К. Из последней формулы (s4 = /cp) получим плот-
плотность заряда р в проводнике в системе К:
Замкнутый нейтральный проводник, по которому идет ток, оказы-
оказывается неполяризованным только в одной системе отсчета.
750. Пусть имеется заряженная среда, каждой точке которой
в системе К соответствуют трехмерная скорость v и плотность за-
заряда р. Для небольшого элемента среды v — const. В сопутствующей
данному элементу среды системе отсчета /С0 плотность заряда
равна р0, а скорость равна нулю. В системе К
т. е. можно написать
s = pQu.
Здесь мы ввели множитель у = A — t;2/c2I/Га и 4-скорость (элемента)
и (yv, icy).
751. Из B8) и G) имеем
ь Ф2, Ф3,
Х, Ау9 AZi J
qa дАу
Перепишем компоненту Вх = -^-?—-— в виде
255
, Ф4 ^ (у у у у \
i -i-ф J. « \х9 у, zt ict ;•
и аналогично Bv, Bz. Перепишем компоненту ?х=—-S—Ах в виде
дФ
и аналогично Еу, Ez. Мы получим, что все компоненты EXi Ey, E2t
Вх, Ву> Вг могут быть представлены в виде одной формулы, приве-
приведенной в условии задачи.
752.
/>«-
753. Найдем сначала правила преобразования дФ^/дх{, Преобра-
Преобразования Лоренца —это преобразования компонент 4-радиуса-вектора.
Они могут быть записаны в виде (см. A1), A2))
Fll
F22
F3i
Fa
F13
F23
Fsi
Fv,
Fu
fL)
к / °
\J-cBz
1 \ iEx
cBz
0
— cBx
iEv
— с By
cBx
0
— iEx
-iE2
0
где а/л —матрица Лоренца (с постоянными элементами):
Г О О —ШГ\ 1
_ 0 10 0 \ ~~ г^Г=^ '
а^~1 0 0 1 0 ' у
\1ВГ 0 0 Г / В=="У
a no k ведется суммирование от 1 до 4 (по двум одинаковым индек-
индексам в одной части равенства всегда ведется суммирование от 1 до 4).
В точности такие формулы преобразования справедливы и для
4-вектора Ф:
Поскольку xft = akixk (суммирование по /г), д*|/д*л = а?/. Теперь уже
легко найти нужный закон преобразования для д
д дх\ дФ'т
Мы получили правило преобразования производной компоненты 4-век-
—>*
тора Ф по одной из 4-координат. Это правило—-правило преобразо-
преобразования компоненты тензора. Поскольку
дФк d®' Щ
(мы просто поменяли «немые» индексы суммирования т на I и
ч * дФь дФ{
наоборот), io очевидно, что комбинация --=——-^- преобразуется
oxi OXft
256
по закону
дФк 0Ф/ (Щ
^~^^а'а) или Fik = <
Это и есть правило преобразования компонент тензора второго
ранга (по т и /—суммирование).
754.
F12 гэ сВ2 = alm an F'ml = a22 alffl F'm2 = alm F'm% =
Здесь при двойном суммировании по т и / учтено, что ац = Г,
0tj2 = ОС^з == ^» 0t|4==*DI, 0C2i =0С2з = W24 ==:v, 0С22 == 1 ^СМ. [1\))). 113-
ходя аналогично остальные компоненты, получим
ЕХ = Е'Х, Еу = Т (Е'у + VB'z ), ?г = Г (E'z—VB'y),
*,=*;, ву=т(в'д-Ур1
755. Мы пользуемся следующим расположением координатных
осей: оси К, Z параллельны осям К* и Z', оси X и X* совпадают,
а относительная скорость систем отсчета направлена вдоль общей
оси X, Xя. Тогда ?„ = ?*/, EjL = EyJ+Ezk. Вектор скорости И
системы отсчета /С* относительно /( имеет компоненты K(V, 0, 0).
С учетом этого имеем
i j к
\VB']= V 0 0 = V(—JBz+kBy ), [VE'] = V(—JE'Z + kE' ).
в; в; в;
Если иметь еще в виду, что для любого вектора [КА]ц =0, а [К4]^
совпадает просто с векторным произведением, то формулы преобра-
преобразования, полученные в предыдущей задаче, можно записать так:
= г (*•+.!
Формулы обратного перехода получаются заменой штрихованных
величин на нештрихованные (и наоборот) и изменением знака ско-
скорости:
756. В векторной записи необходимо различать преобразование
векторов, параллельных направлению относительной скдрости и пер-
257
пендикулярных к ней. Если даны два вектора а и bt то слагающими
вектора а, параллельными и перпендикулярными вектору Ь, будут
векторы
Поэтому, например, для вектора В запишем
Аналогично для вектора ? получим
75/. с = С. —
758. В любой инерциальной системе отсчета поля Е и В оказы-
оказываются взаимно перпендикулярными. Пусть, например, в К'' поле
/?' = 0. Тогда, согласно формулам, полученным в задаче 755,
В=В» + Д.=-^[К?л]==-^|>, E'] = \\V, TE\]=-L[VE],
поскольку [К, /?[|]=0.
759. Проще всего убедиться в соблюдении равенств
непосредственной подстановкой в правую или левую части соответ-
соответствующих формул преобразования.
760. Пусть ?'=0, тогда
с2В2 — Е* = с*В'2 > 0, ЕВ=0<
Если #'=0, то
Таким образом, в исходной системе поля Е и В должны быть взаимно
перпендикулярны. Какое именно из полей может быть уничтожено
переходом к другой системе отсчета, зависит от знака инварианта
/i^c2^2 — ?2.
761. Пусть с2В'2—?'2 < 0* Тогда можно добиться выполнения
условия В=0. Из результата задачи 756 следует, что VB' = Q. Рас-
Рассмотрим частный случай, потребовав, чтобы также VE' = 0. Условие
/?=0 приводит к уравнению
258
Умножим векторно o(te тает» этаго равенства на Е\ Находим
откуда,
В новой системе отсчета
В любой системе отсчета, движущейся вдоль Е с произвольной ско-
скоростью V < с, магнитного поля тоже не будет. Поэтому общий слу-
случай получается переходом к одной из таких систем отсчета.
В случае с2В'2 — Е'2 > 0 скорость V перпендикулярна Е\ а в
частном случае, когда она также перпендикулярна В'\ аналогично
предыдущему получаем
[Е'В'\ „В^ ____
762. Всегда можно найти такую инерциальную систему отсчета /С,
в которой электрическое и магнитное поля в данной точке станут
параллельными друг другу, если в исходной системе отсчета они
направлены под углом друг к другу* То же относится к однородному
полю в целом. Очевидно, что если известна одна такая система, то
существует бесчисленное множество систем, обладающих этим свой-
свойством. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета /Сл,
движущейся равномерно и прямолинейно относительно К по направ-
направлению, совпадающему с общим направлением Е и В, поля Е' и В'1
останутся параллельными, потому что компоненты полей, направлен-
направленные вдоль движения, не изменяются.
Чтобы найти одну из систем, в которой поля параллельны,
поступим следующим образом. Допустим, что в системе К поля па-
параллельны, т. е. [ЕВ] — О. Направим скорость системы К'1 (в которой
поля Е'1 и В' уже не будут параллельными) перпендикулярно полям
Еп В; направление скорости V примем за ось ХХ'\ Тогда ЕХ = ВХ=О
и равенство нулю векторного произведения эквивалентно равенству
EyBz — EzBy = O. Подставляя в это равенство значения компонент Е
и В, выраженные через компоненты Е' и В* (см. задачу 754), мы
получим уравнение
\ty-\- VDZ) I I Dz-\ 2" **У ) == I г— * У' *¦
Из этого уравнения можно определить по заданным полям Е'1 и В'1
259
скорость системы V. Если принять во внимание, что ЕХ = ВХ = О, мы
можем найти и направление скорости V относительно Е' и В*. Дей-
Действительно, [E'B'] = i[E'yB'z — E'zB'y], a V=W, и поэтому можно запи-
Vlc* \Е'В'\
сать \-\-V2/c2==~~с*В'24-Е'2' самым по векторам Е' и В' в си-
системе /С' можно найти систему Kt в которой Е и В будут параллель-
параллельны. Направление скорости этой системы совпадает с направлением
\Е'В'], а величина скорости является одним из корней полученного
выше уравнения. Из двух корней выбирается тот, для которого V < с.
Случай Е'В* = 0 разобран в задаче 758: перейти к параллельным
полям здесь уже нельзя, зато можно перейти либо к чисто магнит-
магнитному, либо к чисто электрическому полю.
Можно решать эту задачу также, подставив векторные значения
полей, полученные в задаче 755, в условие параллельности полей
в системе /(, т. е. в условие [ЕВ]~0.
763. I) Найдем, например, значение fi:
U f F
В этих равенствах учтено, что
Р = — — s4f pvy = s2t pf* = ss>
#* = — , Ву=* , /<п=0.
Аналогичные выражения получаются для f2 = /y и \b —
Найдем четвертую составляющую:
Величина p(vE) имеет простой смысл, который сразу раскрывается,
если обе части равенства /=р {Е+[vB\] умножить скалярно на v
Принимая во внимание, что ]tf/?]t>=0, получим (fv) — p(vE). Левая
часть последнего „ равенства представляет собой мощность силы Ло-
Лоренца в единице объема (силы, действующие со стороны магнитного
поля, работы не совершают). С учетом этого имеем
Таким образом, мы пришли к 4-вектору плотности силы, компоненты
которого мы запишем вместе:
?(/,. /г /.. •
260
Разделение сил, действующих на заряд со стороны электричес-
электрического и магнитного полей, на части рЕ и p[vB] относительно. Обе
эти силы составляют единое целое и, естественно, сливаются в одно
четырехмерное выражение.
2) Начнем со случая покоящейся среды. Пусть в сопутствующей
системе К* (там, где среда покоится) задана плотность тока, а плот-
плотность заряда равна нулю, т. е. s' (/1, /2, /3, 0). 4-скорость среды
в системе К* есть и' (О, 0, 0, к). Найдем компоненты s/s
s'i = 7 Fiku'k = 7 Fu*4 =7 (- *&) ic-oE'x,
t. e. jx = oE'x. Аналогично j'y = oEyt ]'г = оЕг* Четвертая компонента:
; ± \ 0 (ej = icp' = 0, Fu = 0),
Следовательно, в сопутствующей среде системе отсчега /С* просто
получается дифференциальный закон Ома.
В системе отсчета К, относительно которой среда движется,
имеем
Si = ~ ЛAw^ = ~ (Fiatt. + Fia^a + Fu**d = 7 (~" '^
S2 = ~ F2^W^ = ¦?• (^l^i + /Г24«4) =
«|- (_св„ГУ + (- iEy) кТ) = аГ
в,-оГ{?, + 1
Окончательно:
Плотность тока в среде с проводимостью а обусловлена величиной
электрического поля в этой среде.
Четвертое соотношение определяет плотность заряда, связанную
с током проводимости:
iV—, или р = Г*-~,
в полном согласии с результатами п. 2) задачи 749.
764. Пусть в системе К' имеется точечный заряд, расположен-
расположенный в начале отсчета. Тогда в системе /С*
261
или, в проекциях на оси координат,
Вх = 0, By = Ot Дг = 0,
#?' —JL — р'— е у* #?' е
Л * Ь
8'
где г'= yV2 + */'2+z'2. В системе К (см. задачу 754)
Так как Вх — 0у то магнитное поле в системе К лежит в плоскостях,
перпендикулярных оси X, т. е. в плоскостях, перпендикулярных на-
направлению движения заряда. Уравнения силовых линий магнитного
v du dz dv By
поля в системе К имеют вид -—-=-—, или —=—¦. откуда
, ВУ Bz dz Вг
Bv Ez z' z
__— 7== г== 9 поскольку при преобразовании Лорен-
ах Еу У У
ца г' =г и у'—у. Следовательно, дифференциальное уравнение си-
ловых линии имеет вид -г- = • В качестве первого интеграла мы
имеем уравнение окружности #2 + z2 = const. Следовательно, силовые
линии являются окружностями с центром на оси тока.
Выразим г* через координаты заряда в системе /С. Согласно
преобразованиям Лоренца (8)
*" = Г(х-У0, У''=У. гя = г
и выражение для г'2 запишется в виде
где
Тогда
*"" Г24зхе5К3> ^^ Г24ле913> z
765. В системе /С* скалярный и векторный потенциалы равны
( А\ — q/ J ,
Y 4яе г* t
Если в системе К' 4-потенциал Ф имеет компоненты
то в системе К
4 +
Подставляя значения компонент 4-погенциала Ф' в системе К',
262
получим
Таким образом,
Л —|-ГфЛ=-~
Выразим теперь скалярный ф и векторный А потенциалы через
5R (см. задачу 764):
_г Л__г_1 ?_____!___?__ а-— Х еУ
766. В системе К" индукция магнитного поля /Г' = 0* В систе-
системе К для индукции поля В найдем (см* задачу 758)
Если скорость заряда мала, то приближенно в вакууме
1 eR
e[VR]_ \i0 \eVR]
4яе0с2 /?а
Последнее выражение представляет собой закон Био — Савара,
Рис. 280,
767. Найдем силу Flt действующую на заряд ег. Со стороны
заряда е2 на е± действуют электрическое Е2 и магнитное В2 поля,
поэтому
V(VE2) —
Мы воспользовались результатами предыдущей задачи для В2,
263
Для Е воспользуемся выражением, полученным в задаче 764,
где
9t* = tf2f l-^-sin2^ и R~(x-Vt)t+yj+zk,
(рис. 280) есть радиус-вектор, проведенный от заряда ег к заряду^,
а д—угол между R и V. Тогда
= gig2 A - We*J * , ехе% W cos ft A
( 1—3" ) 4лес2/?2( 1 rsin2
,_?„,,¦ U '-?")т+^
с2
с2
откуда для составляющей по направлению движения имеем
F
а для составляющей, перпендикулярной движению,—
Если два заряда расположены на прямой, параллельной оси е/,
v = n/2, и формулы для Fx и Fy упрощаются*
Эти формулы можно получить преобразованием силы, действующей
между покоящимися зарядами в системе /(', к силе в системе УС со-
согласно формулам
непосредственно следующим из законов преобразования 4-силы (см.
приложение III).
768. 1 р<№ V
(см. решения задач 765—766).
769. В системе отсчета, связанной с вращающимся цилиндром,
существует электрическое поле
(это выражение записано для элемента цилиндра, для которого ско-
скорость V можно считать на всем его протяжении постоянной). Это
264
поле и вызывает радиально направленную поляризацию цилиндра.
Если проводимость цилиндра отлична от нуля, то между внутренней
и внешней поверхностями цилиндра появится разность потенциалов.
Если же эти поверхности с помощью скользящих контактов соеди-
соединить проводником, то в этой цепи пойдет ток.
770. При движении поляризованного диэлектрика (рис. 208а)
возникает такое же магнитное поле, которое было бы в том случае,
если бы диэлектрик обладал намагниченностью
где <^° — поляризованность вещества в собственной системе отсчета.
Поэтому вращающийся электрически поляризованный эбонит оказы-
оказывается с точки зрения лабораторной системы отсчета намагниченным
в радиальном направлении. На внешней поверхности диска будет
северный (магнитный) полюс, на внутренней —южный. Пропуская
ток через неподвижную установку, можно найти эквивалентный
магнитный момент, создаваемый током. Объяснить это явление можно
также, рассматривая конвекционный ток связанных и свободных
зарядов, имеющихся на границах7 эбонит—металл и на металли-
металлических кольцах.
771. Когда элемент намагниченного вещества, обладающего нама-
намагниченностью ^° в собственной системе отсчета, движется относи-
относительно лабораторной системы отсчета со скоростью V, лабораторный
наблюдатель обнаружит поляризованность вещества
Рассмотрим для простоты поступательное движение намагниченной
среды (рис. 208 в). Из рисунка видно, как направлена поляризация
вещества. Если намагниченная среда обладает проводимостью, воз-
возникает разность потенциалов; если замкнуть цепь, пойдет ток.
Поляризация небольшого элемента цилиндра (см. рис. 208 б) подобна
поляризации поступательно движущегося параллелепипеда, изобра-
изображенного на рис. 208в (см. стр. 151).
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Таблица перевода выражений и формул
из гауссовой системы в систему СИ и обратно
Величина
Гауссова
система
Система СИ
Скорость света
Напряженность электриче-
электрического поля, потенциал
Электрическая индукция
Заряд, плотность заряда,
ток, плотность тока, по-
ляризованность
Магнитная индукция, маг-
магнитный поток
Напряженность магнитного
поля
Магнитный момент, намаг-
намагниченность
Электрическая проницае-
проницаемость, магнитная прони-
проницаемость (относительные)
Электрическая поляризуе-
поляризуемость, магнитная воспри-
восприимчивость
Удельная электрическая
проводимость
Сопротивление
Емкость
Индуктивность
Я,
Е) ф
D
P. l,Ul
в, ф
н
ЗП, f
8, (Л
а, к
R
С
L
С/Dяе0)
Dя/|А0) L
266
II. Таблица перевода численных значений физических величин
Наименование
Длина
Масса
Время
Сила
Работа, энергия
Мощность
Давление
Сила электрического
тока
Электрический заряд
Напряженность элек-
электрического поля
Электрический потен-
потенциал
Поляризованность
Электрическая ин-
индукция (электри-
(электрическое смещение)
Электрическая ем-
емкость
Электрическое со-
сопротивление
Удельное электриче-
электрическое сопротивление
Электрическая про-
проводимость
Удельная электри-
электрическая проводи-
проводимость (удельная
электропроводи-
электропроводимость)
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность ма-
магнитного поля
Обозначе-
Обозначение
/
т
t
F
А,?
N
Р
I
Я
Е
Ф
5>
D
С
R
Р
Л=1/Я
К
Ф
В
н
си
метр (м)
килограмм (кг)
секунда (с)
ньютон (Н)
джоуль (Дж)
ватт (Вт)
паскаль (Па)
ампер (А)
кулон (Кл)
вольт на метр
(В/м)
вольт (В)
кулон на квадрат-
квадратный метр (К л/м2)
кулон на квадрат-
квадратный метр (Кл/м2)
фарада (Ф)
ом (Ом)
ом-метр (Ом-м)
симснс (См)
сименс на метр
(См/м)
вебер (Вб)
тесла (Т)
ампер на метр
(А/м)
Гауссова
система
102см
10* г
1 с
10* дин
107 эрг
Ю7 эрг/с
10 дин/см2
ЗЛО9
ЗЛО9
1
1.10-
з и
ЗЛО5
12яЛ05^
9.1011см
9
с-см-1
1 • Ю-9 с
9
9Л011 см.с-1
9Л09с-1
10е Мкс
104Гс
4яЛ0-8Э
267
Продолжение
Наименование
Обозначе-
Обозначение
СИ
Гауссова
система
Намагниченность
Индуктивность
f
L
ампер на
(А/м)
генри (Г)
метр
-^- • 104 Гс
10* см
Примечание. Множители 3 (кроме входящих в показатели
степени) при точных расчетах следует заменить на 2,99792458 в соот-
соответствии с точным значением скорости света. Например, в строке
«электрическая индукция» вместо 12л«105 при точных расчетах следует
брать 2,99792458«4л-10». В тех случаях, когда для гауссовых единиц
существует общепринятое наименование, оно приведено в таблице.
В остальных случаях приведено только число таких единиц.
Для перевода формулы электродинамики из гауссовой системы
в систему СИ следует все величины в этой формуле умножить на
коэффициент, приведенный в последнем столбце таблицы.. Все чисто
механические величины при этом не преобразуются (коэффициенты
равны единице). Исключение составляет скорость света в вакууме с,
которая заменяется на 1/ У'во\ло.
Пример. В гауссовой системе напряженность магнитного
поля бесконечного прямого провода определяется формулой
СГ
Для перевода в систему СИ умножим согласно таблице Я на У~4п\10,
1 на 1/ У^4пе0$ с заменяем на \/У 8ojnOt г оставляем без изменения.
Получаем
2/ ,/- 1
или после сокращения
//=
7
2лг
Для выполнения обратного преобразования из системы СИ
в гауссову надо пользоваться обратными значениями «коэффициентов
перехода».
Пример. В системе СИ
Умножая на соответствующие коэффициенты, получим
)
После сокращения получаем формулу гауссовой системы
268
III. Некоторые сведения
по специальной теории относительности
В специальной теории относительности (СТО) под событием по-
понимают все то, что происходит в данной точке пространства в дан-
данный момент времени В СТО рассматриваются только инерциальные
системы отсчета, которые определяются как системы отсчета, в ко-
которых справедлив закон инерции Ньютона. Инерциальные системы
отсчета отличаются друг от друга тем, что движутся друг относи-
относительно друга равномерно и поступательно (с различными относи-
относительными скоростями). Будем предполагать, что во всех системах
отсчета оси Y\У и Z, Z' соответственно параллельны друг другу,
а относительная скорость любых двух систем отсчета направлена
по общей оси X, X'. Скорость системы К' относительно К обозначим
через Vy а скорость системы К относительно К' через —V. Система
отсчета всегда определена относительно материальных тел и дви-
движется по отношению к ним и другим системам отсчета со скоростью,
меньшей скорости света.
В каждой системе отсчета можно определить координаты любого
события (в «координаты» включается также и время наступления
события). Преобразования Лоренца — это преобразования координат
события при переходе от одной системы к другой. Эти преобразо-
преобразования при переходе от К к К' и от К' к К имеют следующий вид:
(^j B)
где введены обозначения:
Г= * В=—. C)
В C) входит постоянная скорость относительного движения двух
систем отсчета V, поэтому В и Г — постоянные величины. В задачах
и решениях используются также обозначения:
где V—скорость частицы, которая может быть переменной.
Релятивистское уравнение движения частицы имеет вид
•?r(myv) = Ft D)
причем у — v (/) — скорость частицы, a F—сила. Полная энергия
свободной частицы в релятивистской механике определяется соотно-
соотношением
<5)
269
Кинетическая энергия в релятивистской механике Тг опреде-
определяется как разность
7V=<?-<?o=>^2(Y---i), F)
где <§Q — mc* —энергия покоя частицы. В формулах D)—F) через m
обозначена масса покоя частицы.
Очень плодотворной оказалась четырехмерная интерпретация
теории относительности. В ^пространстве-времени («Мир Минков-
ского») в каждой точке с координатами (х, у, z, t) может наступать
событие. Существенное упрощение в выкладках достигается введением
четвертой мнимой координаты1) Ш и симметризацией обозначений:
Xi — x, x2 — y, xz — z> x^ — ict. Таким образом, вводится 4-радиус-
вектор R D-векторы обозначаются стрелочкой над буквой) с компо-
компонентами
. , ( =(r, id). G)
X, t/, Z, id) V ' V '
Преобразования Лоренца —это преобразования компонент 4-ра-
диуса-вектора R:
Y , __ ТП / у ___ | JD у \ у у у у у Т"» / у 1 iT\y \ {Q\
Эти преобразования могут быть записаны с помощью матрицы Ло-
Лоренца
Г 0 0 -ШГч
.010 0 ,
«/*= 0 0 1 0 A0)
0
0
«вг
1
0
0
0
1
0
0
0
г
в виде
4 (И)
A2)
где по двум одинаковым индексам в одной части равенства подра-
подразумевается суммирование от 1 до 4. Нетрудно проверить, что фор-
формулы (8), (9), A1) и A2) совпадают с A) и B).
Компоненты всех 4-векторов преобразуются по правилам пре-
преобразования компонент 4-радиуса-вектора. Если заданы компоненты
-»
4-вектора, Л (Лх, А2, Л9у Л4) в системе /С, то компоненты
этого же вектора в К' найдутся по формулам (мы приводим также
х) Необходимо подчеркнуть, что появление мнимой координаты
связано исключительно с тем, что мы хотим сохранить тот вид ос-
основных геометрических формул, к которому мы привыкли в трех-
трехмерном евклидовом пространстве. Можно избежать введения мнимой
координаты, но тогда появляется необходимость введения метриче-
метрического тензора и разделения ко- и контравариантных компонент;
введение этих понятий едва ли оправдано в курсе общей физики.
270
и формулы обратного перехода)
1 ' ^, A3)
1) A4)
или, в сокращенной форме,
Ai = aikAk, A5)
Л*'=аЛ/ЛЛ. A6)
Квадрат модуля 4-вектора является инвариантом и определяется
по формуле * *
A7)
В механике СТО вводят следующие 4-векторы:
а) 4-скорость
•* dk
где dx = dt/y — собственное время частицы, с компонентами (приво-
(приводим обычные и симметричные обозначения в фигурных скобках,
а также сокращенное обозначение с использованием трехмерных
векторных величин)
б) 4-импульс
$ = ти A9)
с компонентами
4 () B0)
где р — релятивистский импульс частицы
p = myvi B1)
^ — релятивистская энергия частицы E), т — инвариантная масса
покоя частицы;
->
в) 4-сила Минковского g с компонентами
«1. »., 8s, »4
где F—обычная трехмерная сила.
Четырехмерное уравнение движения
можно переписать в компонентах (первые три компоненты сведены
в одно трехмерное векторное уравнение):
J fl B4)
Fvt B5)
271
Из определения релятивистской энергии частицы и релятивист-
релятивистского импульса следует полезное соотношение:
~ ~~ с2 с2
B6)
V/*» /у» /гэ *Ф|
где У —плотность тока (J~pv), p —плотность заряда;
—»
б) 4-потенциал Ф с компонентами
Ф.1 л^.
с
В релятивистской электродинамике вводят следующие 4-векторы:
а) 4-плотность тока s с компонентами
B7)
B8)
где Л — векторный, ф — скалярный потенциалы электромагнитного
поля.
В трехмерной электродинамике поля Е и В связаны с потенциа-
потенциалами А и ф следующими формулами:
B9)
C0)
i
д
дх
лх
1
д
Щ
Av
k
д
di
В релятивистской электродинамике связь полей Е и В с компонен-
компонентами 4-потенциала дается соотношением
Величины
образуют тензор электромагнитного поля:
0 сВг
-cBy -iEx
cBx -iEy
0 —iEz
IE,
IE,,
C1)
C2)
C3)
C4)
где Справа подразумевается двойное суммирование по т и /; ин-
индексы i, k независимо принимают все значения от 1 до 4; коэффи-
коэффициенты сс/ю — элементы матрицы Лоренца A0).
Правила преобразования компонент тензора: