ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
ВВЕДЕНИЕ. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
§ 2. Постоянные и переменные величины
§ 3. Функциональная зависимость
§ 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции
§ 5. График функции
§ 6. Координаты
§ 7. График пропорционального изменения
§ 8. График линейной функции
§ 9. Квадратичная функция и ее график
§ 10. График обратной пропорциональности
§ 11. Графики степенных функций
§ 12. Обозначения функций
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 2. Понятие о методе аналитической геометрии
§ 3. Расстояние между двумя точками
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
§ 5. Уравнение прямой линии
§ 6. Уравнение окружности
§ 7. Примеры применения метода аналитической геометрии
§ 8. Пересечение линий
§ 9. Линия и точка
Глава II. Прямая линия
§ 2. Общее уравнение прямой линии
§ 3. Угол между двумя прямыми
§ 4. Условие параллельности двух прямых
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых
§ 6. Прямая через две точки
§ 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых
§ 8. Уравнение прямой в отрезках
Глава III. Эллипс, гипербола, парабола
§ 2. Эллипс как сечение цилиндра
§ 3. Исследование формы эллипса по его уравнению
§ 4. Эллипс и круг
§ 5. Построение эллипса по точкам
§ 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцентриситет
§ 7. Гипербола
§ 8. Исследование формы гиперболы по её уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы
§ 9. Асимптоты гиперболы
§ 10. Равносторонняя гипербола
§ 11. Парабола
§ 12. Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса
§ 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса
§ 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола»
§ 15. Общее планиметрическое определение конических сечений. Директрисы. Эксцентриситет параболы
§ 16. Конические сечения в природе и технике
Глава IV. Основные приемы исследования уравнений кривых
§ 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные
§ 3. Перенос начала координат
§ 4. Дробно-линейная функция
§ 5. Поворот координатных осей
§ 6. Общие формулы преобразования прямоугольных координат
§ 7. Кривые второго порядка
§ 8. Параметрические уравнения линии
§ 9. Полярные координаты
§ 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах
§ 11. Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной
Часть II. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 2. Задача о касательной
§ 3. Предел
§ 4. Уточнение понятия предела
§ 5. Бесконечно малая величина
§ 6. Бесконечно большая величина
§ 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины
§ 8. Основные теоремы о пределах
§ 9. Пределы вида \
§ 10. Предел sinх/x при x-->0
§ 11. Эквивалентные бесконечно малые величины
§ 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка
Глава VI. Производная функция
§ 2. Выражение углового коэфициента касательной
§ 3. Производная функция
§ 4. Производная степени независимого переменного
§ 5. Производная независимого переменного
§ 6. Производная постоянной величины
§ 7. Вынесение постоянного множителя за знак производной
§ 8. Производная алгебраической суммы
§ 9. Уравнение касательной
§ 10. Скорость
§ 11. Теплоемкость
§ 12. Линейный коэфициент расширения
§ 13. Возрастание и убывание функции
§ 14. Максимум и минимум
Глава VII. Диференциал
§ 2. Малые приращения функции
§ 3. Диференциал
§ 4. Важные частные случаи
§ 5. Обозначение диференциала; предмет диференциального исчисления
§ 6. Геометрическое и механическое истолкование диференциала
§ 7. Выражение производной через диференциалы
§ 8. Параметрические уравнения
§ 9. Диференцирование неявных функций
§ 11. Диференциал произведения
§ 12. Диференциал дроби
§ 13. Производная произведения и дроби
§ 14. Диференциал в приближенных вычислениях
§ 15. Погрешность произведения и дроби
Глава VIII. Диференцирование трансцендентных функций. Производные и диференциалы высших порядков
§ 2 Диференциал синуса
§ 3. Диференциал косинуса
§ 4. Диференциалы тангенса и котангенса
§ 5. Таблица формул; примеры
§ 6. Обратные тригонометрические функции
§ 7. Диференциал арксинуса
§ 8. Диференциал арккосинуса
§ 9. Диференциалы арктангенса и арккотангенса
§ 10. Таблица формул; примеры
§ 11. Диференцирование логарифмической функции
§ 12. Число е
§ 13. Натуральные логарифмы
§ 14. Перевод натуральных логарифмов в десятичные и обратно
§ 15. Диференцирование показательной функции
§ 16. Ускорение
§ 17. Вторая производная
§ 18. Второй диференциал
ЧАСТЬ III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 2. Задача о площади
§ 3. Площадь как предел. Понятие о предмете интегрального исчисления
§ 4. Определение интеграла
§ 5. Сумма приращений
§ 6. Примеры вычисления интеграла общим методом
§ 7. Интеграл Sx^ndx
§ 8. Замечания о пределах интегрирования
§ 9. Интегрирование многочленов
§ 10. Вычисление площадей
§ 11. Объем конуса
§ 12. Принципы применения интегрального исчисления; бесконечно малый элемент
§ 13. Вычисление площадей с помощью бесконечно малых элементов. Диференциальное уравнение
§ 14. Вычисление объемов. Объем тела вращения
§ 15. Работа. Интеграл с бесконечным пределом
§ 16. Интеграл с переменным верхним пределом
§ 17. Давление жидкости
Глава X. Основные приемы интегрирования. Неопределенный интеграл
§ 2. Основная теорема интегрального исчисления
§ 3. Первообразная функция
§ 4. Диференциал интеграла
§ 5. Неопределенный интеграл
§ 6. Основные свойства неопределенных интегралов
§ 7. Таблица неопределенных интегралов
§ 9. Простейшие примеры применения метода подстановки
§ 10. Комбинирование метода подстановки с тождественными преобразованиями подинтегральной функции
§ 11. Интегрирование по частям
§ 12. Об интегрируемости в элементарных функциях
§ 13. Применение изученных приемов интегрирования к решению задач
§ 14. Диференциал дуги; длина дуги
§ 15. Общее и частное решение диференциального уравнения
§ 16. Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными
§ 17. Разыскание частного решения по начальным данным
§ 18. Составление диференциальных уравнений
Text
                    М.Я.ВЫГОДСКИЙ
КРАТКИЙ УЧЕБНИК
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ОГИЗ'ГОСТЕХИЗДАТ'1947


М. Я. ВЫГОДСКИЙ КРАТКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ О Г И 3 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1947 ЛЕНИНГРАД
Редакторы Д. А. Райков и //. Н. Бронштейн Техн. редактор К, Ф. ,Брудно. Подписано к печати 2/VI 1947 г. 30 печ. л., 30,15 уч.-изд. л., 41 ООО тип. зн. в печ. листе. Тираж 100000 экз. А04575р Цена книги 10 р. 50 к. Переплет 1 р. Заказ № 7054. 1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкннга» ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие ко второму изданию 8 Введение. Функции и их графики. § 1. Предварительные замечания 10 § 2. Постоянные и переменные величины ........ 11 § 3. Функциональная зависимость 11 § 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции . . 12 § 5. График функции 17 § 6. Координаты 22 § 7. График пропорционального изменения 25 § 8. График линейной функции 29 § 9. Квадратичная функция и ее график 32 § 10. График обратной пропорциональности 38 § 11. Графики степенных функций 41 § 12. Обозначения функций.. 44 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Глава I. Основные понятия и формулы. § 1. Вводные замечания 48 § 2. Понятие о методе аналитической геометрии .... 49 § 3. Расстояние между двумя точками 51 § 4. Деление отрезка в данном отношении 53 § 5. Уравнение прямой линии 57 § 6. Уравнение окружности 61 § 7. Примеры применения метода аналитической геометрии 64 § 8. Пересечение линий 72 § 9. Линия и точка 76 Глава II. Прямая линия. § 1. Вводные замечания 77 § 2. Общее уравнение прямой линии 77 § 3. Угол между двумя прямыми 80 § 4. Условие параллельности двух прямых 83 § 5. Условие перпендикулярности двух прямых 85 § 6. Прямая через две точки 88 § 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых 91 § 8. Уравнение прямой в отрезках 95 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 111. Эллипс, гипербола, парабола» § 1. Вводные замечания 97 § 2. Эллипс как сечение цилиндра 97 § 3. Исследование формы эллипса по его уравнению... 100 § 4. Эллипс и круг 102 § 5. Построение эллипса по точкам 104 § 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцен- триситет 105 § 7. Гипербола 110 § 8. Исследование формы гиперболы по её уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы 112 § 9. Асимптоты гиперболы 115 § 10. Равносторонняя гипербола 120 § И. Парабола 124 § 12, Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса . 128 § 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса . 129 § 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «ги- пербола», «парабола» 131 § 15. Общее планиметрическое определение конических се- чений. Директрисы. Эксцентриситет параболы . . . 134 § 16. Конические сечения в природе и технике 137 Глава IV. Основные приемы исследования уравнений кри- вых. § 1. Вводные замечания 139 § 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные 140 § 3. Перенос начала координат 141 § 4. Дробно-линейная функция 143 § 5. Поворот координатных осей 148 § 6. Общие формулы преобразования прямоугольных ко- ординат 152 § 7. Кривые второго порядка 153 § 8. Параметрические уравнения линии 157 § 9. Полярные координаты 166 § 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах . . . 171 § 11. Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной 174 часть н. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Глава V. Предварительные сведения. Основы теории пре- делов. § 1. Исторические сведения 178 § 2. Задача о касательной 181 § 3. Предел 184
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 4. Уточнение понятия предела 189 § 5. Бесконечно малая величина 192 § 6. Бесконечно большая величина 196 § 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины . . 201 § 8. Основные теоремы о пределах 202 § 9. Пределы вида Ц 209 § 10. Предел при х—*0 212 § 11. Эквивалентные бесконечно малые величины .... 215 § 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка 217 Глава VI. Производная функция. § 1. Общая постановка задачи о касательной 222 § 2. Выражение углового коэфициента касательной . ... 223 § 3. Производная функция 224 § 4. Производная степени независимого переменного. . . 228 § 5. Производная независимого переменного 231 § 6. Производная постоянной величины 232 § 7. Вынесение постоянного множителя за знак произ- водной 233 § 8. Производная алгебраической суммы 233 § 9. Уравнение касательной 235 § 10. Скорость 236 § 11. Теплоёмкость 237 § 12. Линейный коэфициент расширения 239 § 13. Возрастание и убывание функции 240 § 14. Максимум и минимум 244 Глава VII. Диференциал. § 1. Вводные замечания 256 § 2. Малые приращения функции 256 § 3. Диференциал 257 § 4. Важные частные случаи 261 § 5. Обозначение диференциала; предмет диференциаль- ного исчисления 262 § 6. Геометрическое и механическое истолкование ди- ференциала 266 § 7. Выражение производной через диференциалы . . . 267 § 8. Параметрические уравнения 268 § 9. Диференцирование неявных функций 270 § 10. Диференцирование функций от функции (диферен- цирование через вспомогательную функцию) .... 272 § 11. Диференциал произведения 276 § 12. Диференциал дроби 279 § 13. Производная произведения и дроби 279 § 14. Диференциал в приближенных вычислениях 282 § 15. Погрешность произведения и дроби 283
6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава VIII. Диференцирование трансцендентных функций. Производные и диференциалы высших порядков. § 1. Вводные замечания 287 § 2 Диференциал синуса 287 § 3. Диференциал косинуса 289 § 4. Диференциалы тангенса и котангенса 289 § 5. Таблица формул; примеры 289 § 6. Обратные тригонометрические функции 291 § 7. Диференциал арксинуса 293 § 8. Диференциал арккосинуса 294 § 9. Диференциалы арктангенса и арккотангенса .... 294 § 10. Таблица формул; примеры 295 § 11. Диференцирование логарифмической функции .... 296 § 12. Число е 298 § 13. Натуральные логарифмы 300 § 14. Перевод натуральных логарифмов в десятичные и обратно 303 § 15. Диференцирование показательной функции 305 § 16. Ускорение 307 § 17. Вторая производная 309 § 18. Второй диференциал 312 ЧАСТЬ ш. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Глава IX. Интеграл. § 1. Вводные замечания 317 § 2. Задача о площади 317 § 3. Площадь как предел. Понятие о предмете интеграль- ного исчисления . 318 § 4. Определение интеграла 322 § 5. Сумма приращений . 324 § 6. Примеры вычисления интеграла общим методом . . 326 ь § 7. Интеграл \^xndx ... * 331 а § 8. Замечания о пределах интегрирования 336 § 9. Интегрирование многочленов 340 § 10. Вычисление площадей 343 § 11. Объем конуса 349 § 12. Принципы применения интегрального исчисления; бесконечно малый элемент 353 § 13. Вычисление площадей с помощью бесконечно малых элементов. Диференциальное уравнение 356 § 14. Вычисление объемов. Объем тела вращения 360 § 15. Работа. Интеграл с бесконечным пределом 367 § 16. Интеграл с переменным верхним пределом 376 § 17. Давление жидкости 381
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Глава X. Основные приемы интегрирования. Неопределенный интеграл. § 1. Вводные замечания 385 § 2. Основная теорема интегрального исчисления . . . , 385 § 3. Первообразная функция 388 § 4. Диференциал интеграла 392 § 5. Неопределенный интеграл 396 § 6. Основные свойства неопределенных интегралов . . 401 § 7. Таблица неопределенных интегралов 404 § 8. Интегрирование через вспомогательную функцию (способ подстановки) 408 § 9. Простейшие примеры применения метода подстановки 411 § 10. Комбинирование метода подстановки с тождествен- ными преобразованиями подинтетральной функции. . 418 §11. Интегрирование по частям 433 § 12. Об интегрируемости в элементарных функциях . . . 438 § 13. Применение изученных приемов интегрирования к решению задач 441 § 14. Диференциал дуги; длина дуги 446 § 15. Общее и частное решение диференциального урав- нения 453 § 16. Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными 455 § 17. Разыскание частного решения по начальным данным 462 § 18. Составление диференциальных уравнений 465
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ. Первое издание этой книги, выпущенное в Ленинграде в 1941 г., почти целиком погибло. Настоящее издание не со- держит существенных изменений. После тщательной проверки устранены вкравшиеся в первое издание ошибки. В основу книги положена программа индустриальных тех- никумов, но объем её несколько выходит за рамки этой программы, так что книга могла бы служить как пособием для техникумов, так и учебником в высших учебных заведениях с небольшим курсом математики. Изучать эту книгу может всякий, владеющий алгеброй и геометрией в объеме 8 классов средней школы и имеющий начальные сведения по тригонометрии. Лишь начиная с VIII главы читатель встретится с более сложными тригономе- трическими выкладками и с логарифмами. Если к этому вре- мени он не приобретет необходимых дополнительных сведе- ний, то главы VIII и X он может пропустить. В главе IX при- дется пропустить последнюю часть § 7. В тексте разобраны многочисленные примеры, освещающие значение высшей математики для техники и естествознания. В конце каждого параграфа даны примеры и задачи для самостоятельных упражнений. Последние два примера обычно несколько труднее других. Остальные требуют только четкого усвоения текста. При подборе примеров и задач я использо- вал большое количество русских и иностранных книг. Осо- бенно многим я обязан превосходным руководствам проф. Г. М. Фихтенгольца („Математика для техников" и „Мате- матика для инженеров"). Свои взгляды на принципы начального преподавания выс- шей математики я имел возможность подробно изложить в предисловиях по второму и третьему изданиям моей книги «Основы исчисления бесконечно малых» (ГТТИ 1932, 1933) и потому здесь не буду о них говорить. Должен однако за- метить, что хотя этих взглядов я придерживаюсь и сейчас,
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 я не мог провести их здесь полностью, так как должен был считаться с навыками преподавателей. Так, диференциальное исчисление я должен был изложить раньше интегрального, хотя на мой взгляд обратный порядок был бы предпочтитель- нее. Но и при данном расположении материала мне, насколько я могу судить, удалось сохранить существенные черты упо- мянутых методических взглядов. Так, в диференциальном исчислении ведущую роль играет не производная функция — главная героиня наших учебников, — а диференциал, которому но традиции принадлежит роль молчаливого статиста. Бла- годаря этому, мне кажется, устраняются те трудности, которые всегда испытывают учащиеся при изучении понятия диферен- циала. Вместе с тем, интегральное исчисление в своем, так сказать, утробном состоянии зарождается уже в недрах дифе- ренциального исчисления. С. А. Гальперну, прочитавшему вторую часть этого учеб- ника, и А. И. Маркушевичу, ознакомившемуся с книгой в целом, я выражаю признательность за ряд высказанных ими ценных замечаний. Д. А. Райкову, взявшему на себя труд редактирования первого издания этой книги, я обязан многочисленными сове- тами, касающимися существа и формы изложения. Приношу ему глубокую благодарность. В. А. Гуковской и Е. И. Кологрив выражаю глубокую признательность за проделанную ими работу по проверке для второго издания всех вычислений в тексте и ответов в упраж- нениях. Я буду очень признателен всем тем, кто пожелал бы сообщить мне свои замечания и пожелания; все они будут учтены, если книга эта будет переиздаваться. Письма можно адресовать в Государственное издательство технико-теоре- тической литературы (Москва, Орликов пер., 3) или автору (Москва, 4-й Сыромятнический пер., 3/5, кв. 105, Марку Яковлевичу Выгодскому). Ж. Выгодский» Москва, 20 октября 1946 г.
ВВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ § 1. Предварительные замечания Обширную область математических наук принято делить на две неравные по объему части, именуемые «элементарной» (в буквальном переводе «начальной») и «высшей» математи- кой. Это деление обусловлено и характером изучаемых воп- росов, и в еще большей мере различием применяемых ме- тодов. В этой вводной главе учащийся получит представление о некоторых существенных особенностях методов высшей мате- матики. Необходимо, однако, уже сейчас отметить, что между элементарной и высшей математикой нет непроходимой про- пасти. Понятия, с которыми имеет дело высшая математика, не чужды и математике элементарной, но только в элемен- тарной математике они появляются от случая к случаю, в высшей же математике они играют основную роль. Отсюда ясно, что по существу невозможно провести резкой границы между высшей математикой и элементарной. Такая граница может носить только условный характер. Основными дисциплинами высшей математики, составляю- щими базу для всех других ее областей и для технических наук, являются аналитическая геометрия и исчисление беско- нечно малых. Исчисление бесконечно малых в свою очередь подразделяется на ряд дисциплин; две основные из них носят название диференциального и интегрального исчислений. В этой книге изложены основы упомянутых трех дисцип- лин; аналитической геометрии посвящена первая часть, дифе- ренциальному исчислению — вторая, интегральному — третья. Чем эти дисциплины занимаются, будет выяснено в начале каждой части.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 11 § 2. Постоянные и переменные величины В элементарной математике мы имели дело с различными величинами: числовыми, буквенными, геометрическими (длины, площади, углы и т. п.), физическими (температура, вес и т. п.) и т. д. При решении той или иной задачи значение одних величин задается, а значение других — разыскивается. Сообразно этому в элементарной математике важнейшим раз- делением величин является разделение их на известные и не- известные. Одна и та же величина в одной задаче может быть известной, в другой же — неизвестной. Таким образом, разделение это имеет в виду не отдельно взятые величины, а ту роль, которую те или иные величины играют в изучае- мом вопросе. В высшей математике сохраняется разделение величин на известные и неизвестные, но основным разделением является другое, именно разделение величин на постоянные и пере- менйые. Как указывают самые названия, переменная величина есть та, которая (в условиях данного вопроса) может принимать различные значения; постоянная же величина есть та, которая (в условиях данного вопроса) сохраняет одно и то же зна- чение. Одна и та же величина в одной задаче может быть по- стоянной, а в другой — переменной. Так, например, темпера- тура кипения химически чистой воды есть постоянная величина, если кипячение производится в одном и том же месте, при одних и тех же атмосферных условиях. Но температура ки- пения воды становится величиной переменной, если кипячение производится в различных местах или при всевозможных атмосферных условиях. Принято переменные величины обозначать последними буквами латинского алфавита х, у, z, ty и, wy а постоян- ные— первыми буквами а, Ь, с, d,... Впрочем, по различным причинам от этого соглашения часто отступают. § 3. Функциональная зависимость Важнейшим во всей высшей математике понятием является понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Чтобы лучше уяснить это понятие, продолжим рассмотрение взятого выше примера.
12 функции и их графики (введение Производя наблюдения в различных пунктах Земли, мы устанавливаем, что температура Т кипения воды с изменением места меняется; вместе с тем меняется и ряд других величин, например широта и долгота места наблюдения, температура воздуха, его давление, влажность и т. д. Иными словами, — все эти величины переменны. Но не все они находятся в одинаковом положении по отношению к переменной величине Т. Так, например, величина Т может меняться при переходе из одного места в другое с той же широтой ср и, наоборот, оставаться неизменной при изменении широты ср. Это обстоя- тельство мы отмечаем, говоря, что переменные величины Т и ср не связаны между собой функциональной зависимостью. Если же мы будем рассматривать переменную величину давления воздуха р, то окажется, что всюду, где это давле- ние измерялось 760 мм ртутного столба, температура кипе- ния была одна и та же (100°С); всюду, где это давление измерялось 643 мм, температура кипения имела одну и ту же, но отличную от прежней величину (95°С) и т. д. Словом, каждому значению величины р соответствует вполне определённое значение 7\ Обратно, некоторому значению пе- ременной величины Т соответствует вполне определенное значение переменной величины р; так, температура кипе- ния 95°С может наблюдаться лишь при давлении 634 мм; температура кипения 100° — лишь при давлении 760 мм и т. д. Это важное обстоятельство мы отмечаем, говоря, что две переменные величины Т и р связаны функциональной зависимостью. Вообще мы говорим, что две переменные величины свя- заны функциональной зависимостью, если каждому зна- чению одной из них соответствует определенное значение другой. § 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции Функциональная зависимость между двумя переменными величинами х, у носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Но в том или ином случае одна из переменных величин, напри- мер может выдвинуться на первый план по отношению к другой. Именно, часто случается, что мы задаем значения
аргумент и функция 13 величине х и по ним определяем соответствующие значения величины у, а не наоборот. Тогда переменная величина х называется аргументом или независимой переменной, а ве- личина у—ее функцией или зависимой переменной. Может случиться, что каждому значению одной перемен- ной, например х, может соответствовать не одно, а несколько определенных значений другой (примеры будут приведены ниже). Понятие функциональной зависимости естественно распространить и на этот случай. Мы получаем следующее определение: Переменная величина у называется функцией перемен- ной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует либо одно определен- ное значение, либо несколько определенных значений пере- менной у. В первом случае у называется однозначной функцией от х, во втором — многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.). Пример 1. Так как между температурой Т кипения воды и давлением атмосферы р существует функциональная зависимость (см. предыдущий параграф), то мы можем, не имея барометра, определять значение р по наблюдаемой с помощью термометра температуре Т. Для этого мы можем пользоваться таблицей т°с 70 75 80 85 90 95 100 р мм 234 289 355 434 526 634 760 или более подробной таблицей, раз навсегда составленной по данным наблюдения. Подобные таблицы самим своим устрой- ством приспособлены к тому, чтобы рассматривать Т как аргумент, а р — как функцию: значения Т следуют здесь через равные промежутки, что позволяет легче отыскивать по таблице значения р для приведенных в таблице значений аргумента Т и легче вычислять значения р для промежуточ- ных значений аргумента. «■ч Разумеется, можно считать и р функцией от Г. Таковой оно будет, например, в том случае, когда, измеряя барометром
14 функции И ИХ ГРАФИКИ [ВВЕДЕНИЕ давление, мы хотели бы заранее узнать температуру кипения воды. Приведенная выше таблица хотя и может служить для этой цели, но не так удобна, как таблица следующего типа: р мм 300 350 400 450 500 550 600 650 700 Т°С 75,8 79,6 83,0 85,8 88,5 91,2 93,5 95,7 97,6 Величина р, рассматриваемая как функция аргумента 7, есть однозначная функция; также и Т есть однозначная функция от р. Пример 2. Высота 5 тела, брошенного с земли кверху с начальной скоростью г>0, есть функция времени /, протек- шего с момента бросания, так как для каждого момента t высота ^ имеет вполне определенное значение. Так же, как в предыдущем примере, мы могли бы представить эту функ- цию таблицей. Но для многих целей лучше представить ее формулой 0) s = v0t- 2 & > выведенной теоретически и подтверждаемой наблюдениями 1). В этой формуле v0 и g=9>8 cMjcefc2 (ускорение земного тяготения) — постоянные величины. Переменная 5 есть одно- значная функция аргумента t. Можно рассматривать и t как функцию от аргумента s. Та же формула (1) может представлять и эту функцию, ибо она позволяет для каждого значения, которое может принять s, найти соответствующие значения t. Таких значений будет два, ибо уравнение (1) — квадратное относительно t. Следо- вательно, t есть двузначная функция от аргумента s. Два значения / вычисляются по формуле v0 + V vfl—2gs *=- ~—-, (2) дающей решение квадратного уравнения (1). г) Формула (1) предполагает, что брошенное тело движется в пустоте. При движении тела в воздухе она верна лишь прибли- женно.
аргумент и функция 15 Впрочем и из физических соображений ясно, что t есть двузначная функция от s. Действительно, на каждой высоте s брошенное тело побывает дважды: один раз на подъеме, дру- гой раз — на спуске. Из рассмотренных примеров видно, что функция может быть задана таблицей (как в примере 1) или формулой (как в примере 2). Существуют и другие способы задайия функции; с одним из них мы познакомимся в следующем параграфе. Здесь мы остановимся подробнее на задании функ- ции с помощью формулы. Если считать постоянные величины известными, а переменные — неизвестными, то формула, за- дающая функцию, будет уравнением; внешний вид этого уравнения дает основание различать явные и неявные функции. Будем считать в примере 2 аргументом переменную вели- чину s, а функцией переменную t. Тогда уравнение (1), как и уравнение (2), задает функциональную зависимость t от s. Но уравнение (2) разрешено относительно t, т. е. оно прямо (явно) указывает, какие действия нужно выполнить, чтобы найти значение t по заданному значению $. Уравнение же (1) не разрешено относительно t, т. е. t нельзя вычислить непо- средственно по формуле (1): нужно предварительно решить уравнение (1). Поэтому говорят, что уравнение (2) представ- ляет t как явную, а уравнение (1) —как неявную функцию (от аргумента s). Определение. Функция, заданная формулой (урав- нением), называется явной, если данное уравнение разре- шено относительно функции; функция называется неявной, если задающее ее уравнение не разрешено относительно функции. Ясно, что функция является явной или неявной не сама по себе, а в зависимости от способа ее выражения. Ясно также, что необходимо предварительно установить, какая из пере- менных, связанных уравнением, принята за функцию. Так, если в примере 2 функцией считать s, а не t, то уравнение (1) дает явную, а уравнение (2) — неявную функцию. Наконец, заметим, что уравнение, связывающее две переменные, может иметь и такой вид, что ни одна из переменных не будет явной функцией другой (см. приведенный ниже пример). Пример 3. Формула **у + у=\ (3)
16 функции и их графики [введение Отв.г = -\- t однозначна. 2. Выразить площадь круга 5 в явной функции от длины его окружности I. Отв. s =-г-. 4* 3. Связаны ли функциональной зависимостью переменные вели- чины площади квадрата 5 и его периметра р~> (Тот же вопрос — для прямоугольника). Отв. Да. (Для прямоугольника — нет.) 4. Переменная v есть объем куба, s — боковая поверхность куба. Выразить v в явной функции от s. з Oms. 5. Приняв за независимое переменное х синус некоторого угла, выразить переменный косинус у того же угла в функции х. Одно- значна ли эта функция? Отв. у~± V~l—л:2; двузначна. 6. Переменные у и х связаны функциональной зависимостью дг— j ^ ^. Переменная х принята за аргумент. Однозначна или многозначна функция у> Отв. Двузначна. задает функциональную зависимость между переменными величинами х и у\ при этом у — неявная функция от х ц также х — неявная функция от у. Если принять за аргументе, то явное выражение функции у будет Если принять за аргумент у, то х представится в явной функ- ции от у следующим образом: "^. (5) Переменная у есть однозначная функция аргумента х. Пере- менная х есть двузначная функция аргумента у; одно ее зна- чение получаем, беря в формуле (5) знак плюс, другое — беря знак минус. Упражнения 1. Переменные величины площади круга 5 и его радиуса г свя- заны функциональной зависимостью. Представить г в явной функ- ции переменной величины s. Однозначна или многозначна эта функция?
ГРАФИК ФУНКЦИИ. 17 7. Переменные х и у связаны зависимостью ху,= 1. Составить таблицу, представляющую^ в функции х в промежутке между х —1,4 и х — 2,2; значения х брать через 0,1. 8. Зависимость у от х представлена таблицей: X 3 4 5 6 7 8 9 10 у 7 9 11 13 15 17 19 21 Подобрать простую формулу, дающую у в функции х. 9. Какие значения может принимать аргумент х функции /х 1 ^ х (значения функции должны быть действительными)? Отв. Только значения, заключенные между х — 1 и лг = 2, включая и х = 1. 10. Тот же вопрос для функции y==V^\ — х2. Отв. — 1 1. * § 5. График функции Мы видели, что зависимость функции от аргумента может характеризоваться таблицей и формулой. Каждый из этих способов имеет свои преимущества: первый избавляет нас от вычислений, которых требует формула; второй позволяет найти с нужной точностью значение функции для любого из значений, которые может принимать аргумент, в то время как таблица по необходимости содержит лишь избранные значения аргумента. Однако, оба эти способа страдают тем недостатком, что они не дают общей картины изменения функции. Этот недостаток восполняется графическим изо- бражением функциональной зависимости. С графическим изображением уравнения с двумя неизвест- ными читатель знаком уже из курса алгебры. Но уравнение с двумя неизвестными устанавливает вместе с тем функцио- нальную зависимость между двумя переменными величинами (см. предыдущий параграф), так что график уравнения есть вместе с тем и график функции. Совершенно так же можно получить график функции и в тех случаях, когда функция задана не уравнением, а как-либо иначе (например таблицей). Ограничимся поэтому краткими указаниями. 2 М. Я. Выгодский
18 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение На бумаге чертятся две взаимно перпендикулярные оси (АВ и CD на черт. 1); обычно одна из них горизонтальна, другая вертикальна. На этих осях устанавливается направле- ние отсчета положительных величин; обычно на горизонталь- ной оси положительные величины откладываются вправо от начала отсчета, а на вертикальной оси — вверх (за начало отсчета принимается точка пересечения осей). На горизонталь- ной оси откладывают в некотором заранее устанавливаемом масштабе одно из значений аргумента; так, отрезок ОР на черт. 1 изображает одно из положительных значений аргумента. От точки Р по направлению вертикальной оси откладывается отрезок РМ, изображающий соответствующее Q м 0 с р ~" 0 i р . п Q м Черт. 1. Черт. 1а. значение функции в некотором масштабе. Масштаб может быть тем же, что и на горизонтальной оси, или иным. Если значение функции положительно, то отрезок РМ отклады- вается вверх, как на черт. 1; если оно отрицательно, то отрезок РМ нужно отложить книзу, как на черт. 1а. Вместо того чтобы откладывать значение функции вверх или вниз от точки Р, можно наносить отрезок той же длины на вертикальную ось вверх или вниз от начала отсчета; мы получим (черт. 1 и 1а) точку Q на вертикальной оси. Про- водя прямые QM || АВ и РМ || CD, мы в пересечении их по- лучим ту же точку М. Указанное построение производится для ряда значений аргумента; получаем ряд точек М. Если в этом ряде не обнаруживается резких колебаний или скачков, то через полученные точки легко провести (от руки или с помощью лекала) плавную линию, которая графически изобразит функ- циональную зависимость в промежутке между крайними из построенных точек М, а также и при незначительном продол- жении за края этого промежутка.
график функции 19 При выборе масштабов на осях приходится учитывать ряд обстоятельств: размеры листа бумаги, пределы, в которых берется изменение переменных величин, требуемая степень точности и т. д. В интересах экономии места может ока- заться полезным вынести начало отсчета О за пределы чер- тежа. Тогда для нанесения масштабных пометок удобно бывает использовать вместо одной из осей (или даже вместо обеих) прямую, ей параллельную. Пример 1. На черт. 2 графически представлена за- висимость модуля упругости Е кованого железа от тем- пературы t. Масштабы, в которых изображены значе- ния аргумента и функции, показаны числовыми помет- ками. При избранном мас- штабе значений функции начало отсчета величин Е на графике не помещается; но оно нам и не нужно, так как величина Е не может иметь значения 0 и тем более отри- цательных значений, а все нужные нам значения Е на гра- фике помещаются. Ту же зависимость можно представить таблицей, выдержка из которой здесь приводится: 50 Ш 150 200 250 Черт. 2. t°c —50 0 50 100 150 200 250 Е т[см2 21,6 21,5 21,4 21,2 20,9 20,5 19,9 Таблица могла бы дать и более точные результаты, чем график, но общий ход изменения функции график дает несравненно более выразительно. Поэтому-то графиками так широко и пользуются в науке, технике и повседневной жизни. Пример 2. Построить график функции у = 0,04jc2-f> -|^0,4jc — 2, если аргумент х изменяется в пределах между х = — 10 и л: = 4-10. 2*
20 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [беедение Выбираем отрезок ОМ за единицу масштаба (черт. 3). На горизонтальной оси намечаем точки Л, £, О, D, пред- ставляющие значения лг = — 10, х = — 5, х = 0, л: = 4-5, ^=^+10. По формуле j/= 0,04л:2+0,4л: — 2 (1) составляем следующую таблицу соответствующих значений функции у. Откладываем отрезки АА^ ВВг и OOj длиной в 2, 3 и 2 единицы масштаба вниз, а отрезки СС, и DDX длиной в 1 и 6 единиц вверх. Конечные их точки Av Bv Ov Cv Dx соединяем плавной кривой линией. Линия AxBiOlClDl есть график нашей функции. Он дает ясное представление о ходе изменения функции и позволяет без вычислений найти приближенные значения функции для любого значения аргумента между —10 и -f-10. Пусть, например, х =8. Тогда по графику вид- но, что точка Uv лежащая над точкой U (0£/=8), X —10 —5 0 5 10 У —2 —3 2 1 6 А В 0 а Dp и \д х i i 1 ( i —^ 1 Of Черт. 3. расположена на высоте несколько меньшей, чем 4 единицы масштаба; на-глаз можно положить у=3,& или jf=3,7. Истинное значение у, вычисленное по формуле (1), есть 3,76, Точно так же по графику прочитаем, что значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у — — 1. На самом же деле у — — 1,04. Таким образом, при графическом представлении функции мы получаем довольно грубые и неточные результаты, но
§5] график функции 21 зато быстро, а главное сразу охватываем общую картину функциональной зависимости. П р и м е р 3. На черт. 4 изображен график функции у— sin х. Масштабы на обеих осях одинаковы; угол х выражен в ради- анной мере. Тот же график годен и при градусном измере- нии угла, однако, тогда на горизонтальной и вертикальной V Черт. 4. осях масштабы будут различными. Волнообразный характер графика прекрасно передает ход изменения синуса при изме- нении угла; периодичность этого изменения сразу же бро- сается в глаза. Кривая линия, изображенная на черт. 4, назы- вается синусоидой. Упражнения 1. Давление насыщенного пара р (кг/см2) связано с темпера- турой пара г°С функциональной зависимостью, определяемой таб- лицей. Начертить график этой функциональной за- висимости. Определить давление насыщенного пара при температуре 108,4°. При какой темпе- ратуре давление пара будет 2,10 кг\смГ^ Отв. 1,39 кг'см*: 121° С. У к а з а-н и е. На клетчатой бумаге тетра- ди удобно принять по оси г одно деление за 1°; по оси р— за 0,1 кг\сл&. 2. В приведенной таблице v (м?) есть объем 1 кг насыщенного пара, р {кг\см*)— его давление. Найти объем и при давлении 4,21; 5,43; 6,37 кг(см2. Отв. 0,449; 0,353; 0,302. t 105 ПО 115 120 125 р 1,23 1,46 1,73 2,03 2,37 Р 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 V 0,472 0,422 0,382 0,350 0,322
22 функции и их графики [введение Построить графики следующих функций: 3. у = Здг — 4 в промежутке от х = — 1 до х = -f- 3; значения д: брать через 0,5. 4. > = — ^-х-^2 в промежутке — 5 ^* -j- 5; значения х брать через 1. 5. у = — 0,13* — 0,25 в промежутке —3 s^* ^ + 3; значения х брать через 0,5. Для у взять в 5 раз больший масштаб, чем для х. 6. у = х? в промежутке — 10^*^-|-10, выбрав удобный масштаб. 7. у — х3 2х2 — 4х + 7 в промежутке — 4^*^ + 4, беря зна- чения х через 1; для у взяуь масштаб в 20 раз ббльший.чем для х. 8. Изобразить графически зависимость между длиной окруж- ности и ее радиусом. 9. Изобразить графически зависимость между площадью круга и его радиусом. ^ 10. При давлении /7=10 т/м* 1 кг воздуха (при темпера- туре 0° С) имеет объем р = 0,80 л3. Основываясь на законе Бойля- Мариотта, построить график зависимости между переменными р и v (при постоянной температуре 0°). 11. Построить графики функций cos*, tg*, ctg*. § 6. Координаты х' Построение графика мы начинали с фиксирования отдель- ных его точек. Положение каждой такой точки находилось по двум числовым данным. Так, в примере 2 § 5 точка В1 была построена по числовым данным * = — 5, у = — 3. Итак, выбрав две перпен- дикулярные оси и установив на них масштабы, мы можем за- данную пару чисел изобразить вполне определенной точкой плоскости. Обратно, положение заданной точки плоскости мо- жет быть вполне охарактери- зовано определенной парой чисел. Для этого мы выбираем на плоскости две перпендику- лярные оси Х'Х и Y'Y (черт. 5), устанавливаем на них масштабы (на черт. 5 масштабы на обеих осях взяты одинаковые; за единицу масштаба взята сторона одного из квадратов сетки, нанесенной // м' i р м 0 Я /// - IV г Черт. 5.
§6] координаты 23 на чертеже). Положение любой точки плоскости характеризуется двумя числами, выражающими расстояния этой точки от осей. Эти числа должны быть снабжены знаками -(- или —, смотря по тому, лежит ли точка вправо или влево от вертикальной оси и сверху или снизу от горизонтальной оси (см. § 5). Так, положение точки М на черт. 5 характеризуется числами х = РМ—-\-5 ну = QAf=-f~l,TaK как точка М лежит справа от Y'Y и сверху от Х'Х. Положение точки М' характери- зуется числами х =— 4 и у = -\-2, точки М"—числами х =— 4, у = — 3. Вместо того чтобы брать расстояние точки от вертикаль- ной оси, можно спроектировать точку на горизонтальную ось и взять расстояние проекции от начала отсчета. Так, вместо расстояния х — РМ можно взять расстояние OQ (Q—проек- ция точки М на горизонтальную ось). Ясно, что PM = OQ. Ясно также, что вместо расстояния QM от горизонтальной оси можно взять расстояние ОР. Описанный способ представления точки на плоскости с помо- щью пары чисел, выражающих расстояния ее от взаимно перпен- дикулярных осей, носит название способа прямоугольных координат. Оси Х'Х и К'К называются осями координат, точка их пересечения О — началом координат. Отрезки х = OQ и у = ОР, а также числа, измеряющие их в избран- ном масштабе, называются прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Координаты считаются положительными или отрицательными сообразно тому, какие направления на осях координат приняты за положительные и какие за отрицательные. Одна из прямоугольных координат точки М называется ее абсциссой, другая — ординатой. Какая из координат будет абсциссой, а какая ординатой, — это по существу безразлично; если, как обычно, оси координат имеют горизонтальное и вертикальное направление, то отрезок x = OQ, откладываемый на горизонтальной оси, обычно называется абсциссой, а вертикально откладываемый отрезок QM — ор- динатой г) В буквальном переводе термин абсцисса означает: «отсеченная» (подразумевается «прямая»). Термин «ордината» означает «упорядо- ченная». Происхождение этих терминов таково: прежде рассматри- валась лишь одна ось Х'Х\ на ней «отсекались» абсциссы, а орди- наты откладывались по вертикальному направлению от концов абсцисс; они «проводились по порядку» одна за другой.
24 функции и их графики [введение Сообразно с этим одна из осей (горизонтальная, ось иксов) называется осью абсцисс; другая (вертикальная, ось игреков) —■ осью ординат. Четыре угла, образованных осями, носят на- звание координатных углов: первого, второго, третьего и четвертого; обычно они нумеруются так, как указано на черт. 5. Знаки координат точки М зависят от того, в каком из ко- ординатных углов эта точка лежит. Следующая таблица ука- зывает, каковы эти знаки. Координаты Координатный угол I 11 III IV абсцисса х + — — + ордината у + + — — Если точка М лежит на оси абсцисс, то ее ордината у= 0; если она лежит на оси ординат, то ее абсцисса х = 0. Чтобы коротко выразить, что точка М имеет координаты х = а и у—Ь9 пишут М (a, b)t Например, отмеченные на черт. 3 (на странице 20) точки регистрируются так: Л1 (—1Q, —2), *i < —5, —3), О, (0, —2), Сг (5, 1), £>, (10, 6). Описанная выше система координат получила широкое распространение благодаря знаменитому французскому фило- софу и математику Декарту (1596—1650) и поэтому часто называется также декартовой системой координат; однако это название не совсем правильно]). J) Декарт пользовался только одной осью (осью абсцисс; см. предыдущее примечание); вторая ось не чертилась, и ординаты восставлялись из концов абсцисс под произвольным постоянным углом к оси абсцисс, а не обязательно под прямым. Главное же отличие системы координат Декарта от системы, ныне называемой декартовой, состоит в том, что абсцисса и ордината были у Декарта во всех случаях положительными величинами. Отрицательных чисел Декарт вообще избегал, хотя они в его время уже широко приме- нялись; незадолго до выхода основной математической работы Декарта («Геометрия», 1637 г.) отрицательные числа получили и геометрическое истолкование (в работе Жирара «Новые открытия в алгебре», 1629 г.). Встречающееся во многих учебниках указание,
§ 7] ГРАФИК ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ 25 Упражнения 1. Построить точки А (4, 1), Д( —4, 1), С(—4, —1). 2. Точки А, В, С, заданные в предыдущей задаче, служат тремя вершинами прямоугольника ABCD. Найти вершину D. Ото. £)(4,-1). 3. Какому координатному углу принадлежит точка (—2, —1,8)? Точка (4, —12)? Отв. HI, IV. 4. Где лежат точки, у которых абсциссы равны нулю? Отв. На оси ординат. 5. Где лежат точки, у которых абсциссы равны 2? Отв. На прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (2, 0). 6. Где лежат точки, абсциссы которых равны их ординатам? Отв. На биссектрисе первого и третьего координатных углов. 7. Где лежат точки, абсциссы и ординаты которых равны по абсолютной величине и противоположны по знаку? Отв. На биссектрисе второго и третьего координатных углов. .8. Диагонали квадрата приняты за координатные оси; сторона квадрата принята за единицу масштаба. Найти координаты вершин квадрата и середин его сторон. Отв. Координаты вершин: ( > 0 1 , ( 0, I , ( r>- , 0 1 ""4 ' 4 /' \ 4 ' 4 У' \ 4 ' 4 У* § 7. График пропорционального изменения В § 5 указывалось, что форма графика наглядно передает общую картину функциональной зависимости. В этом и в сле- дующих параграфах мы систематически рассмотрим графиче- ское изображение простейших функций. Масштабы на коорди- натных осях мы будем считать одинаковыми. Самой простой функциональной зависимостью между двумя переменными jc, у является зависимость пропорциональ- ная, известная читателю из арифметики и алгебры. Если переменные х и у (прямо) пропорциональны, то величина у, что различение направлений на осях знаками + и — введено Декартом, ошибочно. Напротив, Декарт отвергал это различие; это было существенным недостатком его работ. Ближайшие после- дователи Декарта заметили этот недостаток и устранили его. Координаты середин сторон:
26 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение рассматриваемая как функция аргумента дг, выражается через х формулой у = ах9 где а есть некоторая постоянная величина, называемая коэфи- циент ом пропорциональности. Пример 1. Поезд движется с постоянной скоростью 0,5 км\ман\ путь s (км), пройденный им за t минут, пред- ставится формулой 5 = 0,51. Здесь s пропорционально t; 0,5 — коэфициент пропорциональ- ности. Пример 2. Если через Т обозначить температуру тела по шкале Цельсия, а через Тл — по шкале Реомюра, то между Т и Тх существует функциональная зависимость Т=1,25 7\. Величина Т пропорциональна Г,; коэфициент пропорциональ- ности равен 1,25. Изобразим графически функцию последнего примера. Мы увидим (черт. 6), что график имеет вид прямой линии> про- Черт. б. Черт. 7. ходящей через начало координат и наклоненной к оси абсцисс под углом а, примерно равным 50°. Построив графики функций у = 2л:, у=\^х, у— —^х по точкам, мы убедимся, что все эти графики имеют форму прямых линий (черт. 7), идущих через начало коорди- нат под различными углами к оси абсцисс.
график пропорционального изменения 27 Докажем, что графином всякой пропорциональной зави- симости у = ах является прямая линия, проходящая через начало коорди- нату и что угол а, который эта прямая образует с поло- жительным направлением оси абсцисс ОХ, имеет тангенсом коэфициент пропорциональности а1): \ga = a. Действительно, пусть А и В (черт. 8) суть какие-нибудь две точки графика. Из формулы : ах или, что то же, X следует, что абсцисса х = ОМ и ордината у = МА точки А удовле- творяют соотношению МА ч А' А / I А ! м ом 0) Черт. 8. и точно так же координаты x — ON и у- удовлетворяют соотношению NB ON' ■ а. : NB точки В (2) Соединим точку А с точкой О прямой АО. Рассматривая прямоугольный треугольник АОМ и принимая во внимание формулу (1), получим МА igZ.A0X-= ОМ' ■■ а. (3) 1) При определении величины угла начальным направлением счи- тается направление ОХ (черт. 8) и отсчитывается этот угол от оси ОХ до прямой в направлении против часовой стрелки (как в тригонометрии). На прямой KL направление можно взять какое угодно, ибо углы ХОВ=а и ХОК= Р имеют равные тангенсы.
28 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение Соединим теперь точки В и О и докажем, что прямая ВО совместится с только что проведенной прямой АО. В самом деле, из треугольника BON находим с помощью формулы (2): tgZBOX=g? = a. (4) Сравнение формул (3) и (4) показывает, что прямые АО и ВО образуют с осью абсцисс одинаковые углы, т. е. совпа- дают друг с другом. Можно взять наряду с А и В сколько угодно других точек графика и повторить то же рассуждение. Окажется, что все точки графика лежат на одной прямой KL, прохо- дящей через начало координат. Тангенс угла а, образуемого этой прямой с направлением ОХ, как показывает любая из формул (3) и (4), равен а. Величина а = tg а (коэфициент пропорциональности) назы- вается также угловым коэфициентом графика или его укло- ном-, угол а называется углом уклона. Пример 3. Функция у = 2х изображается (черт. 7) прямой АВ, проходящей через точку О. Уклон прямой равен tf = tga = 2. Угол уклона а определяется по тригонометри- ческим таблицам: a = ^/ ХОВ = 63°2&. Положительный знак величины уклона tga = fl = 2 свиде- тельствует, что график располагается в I и III четвертях. Пример 4* Функция у = —^х изображается (черт. 7) прямой CD, проходящей через начало координат. Уклон этой прямой a = tga= — ~. Угол уклона а = ^ЛГОС==153°26'. Отрицательный знак величины уклона а = — -^-Указывает на то, что наш график лежит во II и IV координатных углах. Упражнения 1. Начертить график уравнения у = 0,3х. Какой угол обра- зует прямая, изображающая этот график, с положительным направ- лением оси абсцисс? Отв. 16°40'.
§ 8] график линейной фунчции 29 Замечание. Зная заранее, что график будет прямой линией, проходящей через начало координат, мы можем ограничиться построением одной его точки, отличной от начала координат; затем эту точку соединим с началом координат прямой линией. 2. Та же задача для уравнения у = — 0,3 х. Отв. 163° 20'. 3. Через точку М (— 4, —2) и начало координат проведена прямая. Графиком какого уравнения она служит? Отв. у = х. 4. Та же задача для точки М (3, —9). Отв. у=: — Злг. 5. Через начало координат проведена прямая под углом а = 150° к положительному направлению оси абсцисс; написать уравнение, графиком которого служит эта прямая. Л V з Отв. у — ц— х. 6. Та же задача для прямой, проходящей через начало коор- динат под углом а = 45°. Отв. у = х. § 8. График линейной функции Функция у —ах, рассмотренная в предыдущем параграфе, является частным случаем функции вида у = ах-\- Ь, где а и b — постоянные величины. Функция эта называется линейной. Когда Ъ — 0, линейная зависимость обращается в пропорциональную. Пример 1. Со станции Л, находящейся на расстоянии 100 км от станции В, вышел на В поезд, идущий со ско- ростью 0,6 км\мин. Через t мин. по выходе поезд будет отстоять от станции В на расстояние 5=-0,6^+100. Переменная s есть линейная функция аргумента t {а = — 0,6, £=100). Пример 2. Если через Тг обозначить температуру по шкале Цельсия, а через 72 — температуру по шкале Фарен- гейта, то Т2 есть линейная функция Тг: 72=1,8 7, + 32 (а=1,8, £ = 32). Точно так же и Тг есть линейная функция Т2: 5 ~ 160 / 5 . 160 \
30 функции и их графики [введение Построив график какой-либо линейной функции, мы убе- димся, что график этот, так же как и график пропорциональ- ной зависимости, есть прямая линия. Но только в общем случае (если Ь=^=0) эта прямая линия не проходит через на- чало координат. Возьмем для примера функцию у = ±х + 2 (1) и сравним ее график с графиком функции 1 У=Тх. Для построения графиков этих функций составим следующую таблицу: X !-6 1 — 4 — 2 0 2 4 6 1 II — 2 — 1 0 1 2 3 ! 0 1 2 3 4 5 График функции у х изображается, как мы уже знаем, пря- мой, проходящей через начало координат (АВ на черт. 9). Уклон этой прямой равен -i- ^tga = -^ . При построении графика функции у — ~х-\-2 мы все точки линии АВ должны по- высить на две масштабные единицы. Ясно, что новые точки расположатся на прямой, параллельной АВ и отстоящей от нее по вертикали на расстояние АС = 2. Эта прямая (CD на черт. 9) и будет графиком функции у = ^-х-\-2. Точно так же мы убедимся, что графиком функции y = ~2X—3 будет прямая EF, параллельная АВ и пони- женная по отношению к ней на 3 масштабные единицы. Пря- мые CD и EF, будучи параллельны прямой АВ, должны обра- зовывать с осью абсцисс углы той же величины а, что и пря- мая АВ, и, значит, будут иметь тот же уклон tg а = ~.
ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 31 Повторив такое же рассуждение для общего случая, мы придем к выводу, что графиком всякой линейной функции у = ах-\-Ь будет прямая линия, параллельная графику функ- ции у~ах. Она будет иметь тот же угол уклона а и тот же уклон tga = a. Посмотрим теперь, какие отрезки отсекают прямые CD и EF на оси ординат. Эти отрезки суть ОК = 2, OG = — 3, т. е. они численно равны сво- бодным членам (£ = -[-2 и b = — 3) в соответ- ствующих линейных функ- циях. Докажем, что так Черт. 9. же будет обстоять дело и в общем случае. Действительно, когда аргумент х получает значение 0, функция у = ах -j- b получает значение Ь, так что график проходит через точку (О, Ь), лежащую на оси ординат. А это и означает, что на оси ординат гра- фик отсекает отре- зок Ь. Мы приходим к сле- дующему выводу: График линейной функции у = ах-\-Ь есть прямая линия, отсекаю- щая на оси ординат отрезок b и наклонен- ная к оси абсцисс под углом, тангенс которо- го равен а. Замечание. Термин «линейная функция» пред- ставляет собой сокращение названия «прямолинейная функция», происхождение которого из предшествующего ясно. Пример 3. Функция у = — 0,5л: — 4 изображается пря- мой АВ (черт. 10), пересекающей ось ординат в точке Е Черт. 10.
32 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение на 4 единицы ниже начала координат (b=z— 4). Уклон этой прямой tga = — -i» откуда а— 153°26'. Пример 4. График функции у = 2— х изображается прямой CD (черт. 10), отсекающей от оси ординат отрезок OF=-\-2 (расположенный над началом координат); угловой, коэфициент графика равен — 1, т. е. прямая CD образует с осью ОХ угол 135°. Упражнения 1. Начертить график функции д/ = 2 — 0,3л:. Каков угол уклона графика? Какой отрезок отсекает он на оси абсцисс? Отв. 163°20'; 2. Указание. Можно ограничиться построением двух точек гра- фика; одну можно взять на оси ординат. 2. Та же задача для уравнения у = 0,3л:— 2. Отв. 16°40'; —2. 3. Скорый поезд Москва — Ленинград отправляется в полночь со станции Калинин, находящейся от ст. Москва по Октябрьской ж. д. на расстоянии 167 км. Развивая скорость 0,70 км/мин, он движется без остановки до ст. Вышний Волочок (286 км от Москвы). Написать линейную функцию, выражающую расстояние 5 (км) от поезда до Москвы через время суток t (мин.). Начертить график этой функции. Определить графически, когда поезд пройдет мимо ст. Лихославль ($:=209 км). Определить время прибытия поезда на ст. Вышний Волочок. Отв. s= 167 + 0,70*; 1 ч.; 2 ч. 50 м. 4. Через точку А (0, —2) проведена прямая с углом уклона а —45°. Написать уравнение, графиком которого служит прямая АВ. Отв. у==х — 2. 5. Та же задача для прямой, проходящей через точку (0, 3) с углом уклона 60°. Отв. у = 3 + У!*х. 6. Провести прямую через точки Л(1, 1) и В(—1, 5). Графи- чески определить отрезок, отсекаемый АВ на оси ординат. Напи- сать уравнение, графиком которого служит АВ. Отв. 3; у~3 — 2х. § 9. Квадратичная функция и ее график Простейшей функцией после линейной является квадра- тичная функция, выражаемая формулой у — ах2-\-Ьх-\-с, где а, Ь, с — постоянные величины. Начнем с частного слу- чая этой функции у = ах* (Ь = 0, с = 0).
квадратичная функция и ее график 33 График такой функции есть кривая линия, проходящая через начало координат (0, 0). Эта линия называется параболой. Форма параболы зависит от значения коэфициента а. На черт. 11 изображены параболы, являющиеся графиками функ- ции у = ах2 при а = 2, 1, — — 2. При по- 1 ± "2 ' 5 » 5' ложительных а график лежит целиком над осью абсцисс, при отрицательных — цели- ком под ней. Ось ординат служит осью симметрии для каждой параболы, изо- бражающей функцию у=ах2. При небольших абсолютных значениях а парабола поды- мается (или опускается) более полбго, при больших —более круто; абсолютная величина а характеризует, таким об- разом, «раствор» параболы. Теперь мы докажем, что график всякой квадратичной функции у — ах2 -j- Ъх -f- с Черт. 11. по форме совпадает с графиком функции у = ах2 и полу- чается простым переносом последнего. Чтобы доказательство сделать более доступным, рассмотрим сначала некоторые част- ные случаи. Пусть 0) Это — квадратичная функция, ибо ее можно представить в виде Если построить ее график (Al01BlClD1 на черт. 12), то бро- сается в глаза, что он имеет совершенно такую же форму, 3 м. Я. Выгодский
34 функции и их графики [введение 1 х2 (2) (AOBCD на черт. 12) и получается из последнего смещением вправо на 3 единицы масштаба. Докажем, что это действительно так и есть. Сравнив фор- мулы (1) и (2), мы убеждаемся, что если в формуле (2) взять какое угодно значение переменной х а в формуле (1) дать переменной х зна- чение, на 3 единицы большее: jt = a_{-3, то величины у в обеих формулах полу- чают одно и то же значение у = -i- а2. Из этого следует, что, взяв на графике AOBCD какую- нибудь точку М (я>4"а2)» мы на графике A101B1ClD1 всегда найдем точку Мг 3, -j^2)' лежа1ДУю на той же высоте -^а2, что и точка Ж, но расположенную на 3 мас- штабные единицы правее (ММг — Ъ). Так как это верно для любой точки графика AOBCD, то, сдвинув весь этот график целиком на 3 единицы вправо, мы совместим его с графиком A1OlB1C1Dv Таким же образом докажем, что график всякой функции у = а(х — т)2 получается из графика у=ах2 горизонталь- ным смещением на \т\ единиц1); это смещение будет про- исходить вправо, если т положительное число, и влево, если оно отрицательное. Пример 1. График функции .^ = 2(^ + 4)2 получается из графика у=2х2 смещением влево на 4 еди- ницы масштаба. *) Через | а | обозначается абсолютная величина числа а. как график функции У=2
§9] квадратичная функция и ее график 35 Продолжим теперь рассмотрение частных случаев и возь- мем квадратичную функцию у = ±(х — 3)» + 2. (3) Ее график A202B2C2D2 A101B1C1Dl функции (черт. 13) получается из графика (1) смещением кверху на 2 единицы. Чтобы доказать это, достаточно заметить, что при абсциссе х = а гра- фик функции (1) имеет ординату ~(а— З)2, а график функции (3) орди- нату -у (а — З)2 -|- 2. Из этого следует, что, взяв.на графике AlOtB1ClDi любую точку Mv мы всегда найдем на графике А^Оф^С^Рч точку Ж2, расположенную на 2 единицы масштаба выше, чем Мх (М1М2 = 2). Таким же образом докажем, что график всякой функции вида у = а(х — mf-\-n получается из графика у=а(х— т)2 смещением на \п\ масштабных единиц; это смещение будет происходить вверх, если т — положительное число, и вниз, если оно отрицательное. Но выше было доказано, что график у=а(х — /и)2 получается из графика у— ах2 горизонтальным смещением. Значит, график всякой функции вида у = а(х — mf -\~ п получается из графика функции у— ах2 смещением на \ т\ единиц по горизонтали и на \п\ единиц по вертикали. На- правление смещений определяется знаками величин тип (см. выше). Пример 2. График функции ^=-44*-И)2-4 з*
36 функции и их графики [введение представляет собой параболу у = — ~ л;2, смещенную влево на 1 (т — —1) и вниз на 4 (п —— 4). Пример 3. График функции у=\(х-Ь? — \ есть парабола у = — х2, смещенная на 5 единиц вправо и на единицу вниз. Постройте графики. Чтобы доказать, что график любой квадратичной функции у = ах2-\-Ьх-{-с Ц) получается смещением из графика функции у = ах2, (5) достаточно теперь доказать, что всякое уравнение вида (4) можно представить в виде у = и (х — тп)2 —J- п. (6) Чтобы не вводить громоздких выражений, проведем доказа- тельство на числовом примере. Пусть имеем квадратичную функцию у—Зл:2 + 18л;+17. Вынесем за скобки в первых двух членах коэфициент при х21 получим ^=3(x2 + 6jc) + 17. Чтобы в скобках получить полный квадрат, рассматриваем 6jc как 2-х-З и прибавляем 32 = 9. Чтобы выражение в скоб- ках не изменилось, одновременно вычитаем 9; получаем 3,= 3(^ + 6^ + 9 — 9)+17 или 3,= 3(*2 + 6jc + 9) —27+17. Окончательно имеем: j, = 3(a: + 3)2— 10. Это — функция вида у=а(х — m)2 + п>
квадратичная функция и ее график 37 где я=3, т = —3, л = —10. Следовательно, график будет представлять параболу у=3х2, смещенную на 3 единицы влево и на 10 единиц вниз. Совершенна аналогичные преобразования можно произвести и над квадратичной функцией (4) в ее общем виде (с бук- венными коэфициентами); повторив слово в слово предыду- щее рассуждение, мы строго докажем, что квадратичную функ- цию можно всегда преобразовать к виду (6). Тем самым будет доказано, что график всякой квадратичной функции у = ах2 -\- Ъх -|- с есть парабола той же формы, что и парабола у = ах2, но подвергнутая некоторому смещению по горизонтальному и вертикальному направлениям. Упражнения 1. Начертить графики функций: у = 0,3*2; у = 0,8*2; у — — 0,3*2; у = — 0,8*2. 2. Начертить графики функций: у = 0,3 (* — I)2; у = 0,8 (х 4* 2)¾; у = — 0,3 (л: — 4)2; у = — 0,8 (* + I)2 и сравнить их с графиками предыдущей задачи. 3. Показать, что графиком функции у = 0,3*2— 0,6*+ 0,3 слу- жит парабола той же формы, что и график функции v = 0,3*2. 4. Какую форму имеет график функции у = — 0,3 (* — 4)2 -f- 0,5? Ответить на вопрос, исходя из формы уравнения, и проверить по- строением графика. Отв. Парабола у = -0,3*2, смещенная по горизонтали на +4 и по вертикали на +0,5. 5. Какую форму имеют графики функций: .у = 0,3*2—0,6*+ 1; у = — 0.8*2 — 1,6* + 2,3; ^ = 2*2—3* + 1; у = — *2 — 3*? Отв. Параболы у= 0,3*2; у = -0,8*2; у = 2*2; у = —**, смещенные по горизонтали соответственно на +1; — 1; + ; — 1 9 и по вертикали на 0,7; 3,1;—-5-; -г-.
38 функции и их графики [введение § 10. График обратной пропорциональности Если переменные у и х обратно пропорциональны, то за- висимость между ними выражается формулой где а есть некоторая постоянная величина (коэфициент обрат- ной пропорциональности). Пример 1. Расстояние между станциями Ленинград и Москва Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Выраженное в часах время Г, необходимое для покрытия поездом этого расстояния, при средней скорости движения поезда v км\час выражается формулой Т = Щ-. (2) Здесь Т обратно пропорционально v; 651—коэфициент обратной пропорциональности. Обратно, средняя скорость v выражается через продол- жительность пути Т формулой v=~r, которую можно по- лучить из уравнения (2), разрешая его относительно v; v обратно пропорционально Т; коэфициент обратной пропор- циональности а тот же (а = 651). Вообще, уравнение а дающее у как явную функцию от х, одновременно представ- ляет X как неявную функцию от у; в явном виде эта по- следняя функция изображается уравнением а х = —, У показывающим, что обратная пропорциональность двух вели- чин есть их взаимное свойство. Ту же обратную пропорциональность можно представить в виде ху=а, (3) где обе величины х и у являются неявными функциями одна от другой.
ГРАФИК ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 39 Пример 2. Объем одного килограмма воздуха v (м2) при температуре 0° и да- вление р kzjcm2 связаны за- висимостью, с довольно боль- шой точностью представляе- мой формулой рт=7 990 (4) (закон Бойля-Мариотта). Ве- личины р и v обратно про- порциональны; формула (4) представляет р в неявной функции v и обратно. Ко- эфициент обратной пропор- циональности в обоих слу- „ . чаях есть 7 990. Черт' 14' На черт. 14 изображен график функции \ \ в 0 при а=1. Он состоит из двух оторванных друг от друга частей АВ и А 'В', одна из которых соответствует по- ложительным значениям х, другая—отрицательным. По мере неограниченного возра- стания абсолютной величины абсциссы х ордината у не- ограниченно уменьшается по абсолютной величине, и чем дальше мы уходим вправо или влево от начала коорди- нат, тем ближе к оси абсцисс располагаются точки графи- ка. Однако, самой оси аб- сцисс график не достигает. На черт. 15 изображен в том же масштабе график функции при а=г—1. Он отличается от предыдущего графика только
40 функции.н их графики [введение своим расположением: именно, две его части АВ и А*В1 лежат не в первой и третьей четвертях, а во второй и четвертой. Черт. 16. И здесь часть АВ оторвана от части А'В'. Сообразно с этим говорят, что функции у=~- и у — — «разрыв- ны» при л: = 0. Графики всех остальных функций вида а как показывает черт. 16, где изображены случаи я = 4~ > "> 1) 2, 3, , т>-, 1, 2, - 3, имеют форму, сходную с только что разобранными. Каждый график состоит из двух оторванных друг от друга ветвей; при а ^> 0 ветви эти располагаются одна в первой, а другая в третьей четверти; при а<^0 они располагаются во второй и четвертой четвертях. Графики обратной пропорциональности принадлежат к важ- ному классу линий, называемых гиперболами. Эти кривые будут в дальнейшем изучены более подробно. Наши графики
графики степенных функций 41 охватывают только часть всех гипербол, это — так называ- емые равносторонние гиперболы; однако, часто их называют просто гиперболами. § 11. Графики степенных функций Если переменная величина у связана с переменной вели- чиной х зависимостью, выражаемой формулой у=ах", (1) где а н п постоянные величины, то у называется степенной функцией переменной х. Степенные функции имеют очень большое применение в ряде прикладных задач; функции У=ах, • (2) у = ах\ (3) которые были рассмотрены нами в предыдущих параграфах, являются частными видами степенной функции (при я=1, /2 = 2, л = —1). Все степенные функции можно разбить на две группы: к одной принадлежат те функции, для которых показатель п есть положительное число, — таковы функции (2) и (3), к дру- гой те, для которых показатель п — число отрицательное, — такова функция (4). Графики первой группы значительно отли- чаются от графиков второй группы. Рассмотрим сначала графики функций у = ахп при я^>0. При этом мы можем ограничиться только слу- чаем а=1, так как остальные приводятся к нему измене- нием масштаба. Итак, рассмотрим функцию у = ха. При х = 0 имеем ^=0 и при х = 1 имеем у—\, так что графики всех функций у — хп проходят через две точки: (0, 0) и (1, 1). В частности, при п=\ имеем у^х; график
42 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение этой функции есть прямая линия OA (черт. 17). Графики сте- пенных функций, для которых я^>1 (например у = х2), сна- чала (между л; = 0 и л:=1) идут ниже прямой у=х, а затем (при лг^> 1) выше ее; искривленность графиков тем больше, чем больше отличается п от 1. Графики степенных функций, для которых 0<^/г<]1, сначала (между л: = 0 и х=\) идут выше прямой у = х% затем (при х^>\) ниже ее. На черт. 17 изображены графики степенных функций у=:Хп При Л = 0,1, \у 4". Т> *» Т» 2» 3j 4j 10- ПРИ у--хп-,п>0 МУЗ 2 г 3 ' ' 2 составлении этих графиков мы ограничились положи- тельными значениями х, ибо при отрицательных х некото- рые степенные функции с дробными показателями во- обще теряют смысл. Так, функция у = х^ = Угх не имеет действительных значе- ний при отрицательных зна- чениях х, а потому ее гра- фик не имеет точек слева от начала координат. При целых показателях степенные функции имеют смысл и для отрицательных хл но графики их имеют раз- личный характер в зависимости от того, четно л или нечетно. На черт. 18 изображены графики функций у = х2 и у==х*; первый типичен для степенных функций с четными показателями; их графики располагаются в первой и второй четвертях и симметричны относительно оси ординат, т. е. состоят из двух половин, накладывающихся друг на друга при переги- бании чертежа вдоль оси ординат. Второй график типичен для степенных функций с нечетными показателями; их графики располагаются в первой и третьей четвертях и симметричны относительно начала координат, т. е. состоят из двух половин, накладывающихся одна на другую при повороте на 180° около начала координат. По аналогии с графиком функции у— ах* графики сте- пенных функций у=ахп, если показатель п есть число поло- Черт. 17.
ГРАФИКИ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ 43 жительное, называются часто параболами п-й степени (или я-го порядка); так, график функций у=ахъ называют пара- болой третьей степени (или кубической). Во многих приклад- ных вопросах встречается кривая, служащая графиком функции • ах' Она называется полукубической параболой (или параболой Иейля). На черт. 19 показана полукубическая парабола у= \ л8/* (ОА=\) с двумя своими ветвями, расположенными сим- метрично относительно Черт.' 15. Черт. 19. оси абсцисс. Наличие этих двух ветвей объясняется тем, что величина ~ х1ш = у хУ~х при лг^>0 имеет два значения, отличающихся знаком. При дс<^0 величина у х 3 не имеет действительных значений; поэтому вся полукубическая пара- 1 з/ бола у — у х12 располагается по правую сторону от оси ординат. Переходим теперь к рассмотрению графиков другой груп- пы степенных функций у = ахп, а именно той, для которой л<0. Ограничиваясь опять случаем а — 1, мы рассмотрим графики функций yz=xa (п<^0). Так как при х — \ имеем у=19 то графики всех этих функций проходят через точку (1, 1), подобно графикам сте- пенных функций первой группы. Но через начало координат
44 функции и их графики [введение ни один из наших графиков не проходит. На черт. 20 изо- бражены графики степенных функций у = хп при п = 1 , — 1, — 2, — 3, — 10. Они в общем походят на гипер- болу у = х~1. При п <^—1 у\ jj -/ '2-3 Ш у=лЛ п<0 Черт. 20. график степенной функции располагается сначала (при 0 <^ х <^ 1) выше упомяну- той гиперболы, а затем (при д;^>1) — ниже ее. При 0> п^>— 1 имеем обратное соотношение. При сопоста- влении графиков мы ограни- чились положительными зна- чениями х по тем же при- чинам, что и раньше. Все графики неограни- ченно приближаются как к оси абсцисс, так и к оси ординат, не достигая ни той, ни дру- гой. Ввиду сходства этих графиков по виду с гиперболой, все они именуются часто гиперболическими кривыми или просто гиперболами. § 12. Обозначения функций Мы видели (§ 3), что две переменные величины х и у могут быть связаны функциональной зависимостью, но могут и не быть связанными. Чтобы отметить, что переменная у есть функция перемен- ной х, пользуются записью y = f(x). (1) Эта запись устанавливает лишь самый факт функциональной зависимости и оставляет совершенно открытым вопрос, как задана функция: таблицей, графиком, формулой или иными способами; если графиком, то какую форму он имеет; если формулой, — каков вид этой формулы, и т. д. Может даже случиться, что функция не задана вовсе, а лишь разыски- вается. Известно должно быть лишь одно: именно, что у действительно есть некоторая функция от х, а не незави- симая от х переменная величина.
обозначения функций 45 Запись у = / (л:) прочитывается: «у есть функция от х» или короче: равно эф от хъ. Конечно, буква / (начальная буква латинского слова func- tio — функция) в записи (1) не представляет какую-либо величину; она играет ту же роль> что буквы lg, tg и т. д. в записях )gx, tgjc и т. д. Только выражения \gx, tgx и т. д. представляют вполне определенные функции от дс, a f{x) представляет какую угодно функцию от х; это может быть и lgx, и tgjc, и я4 и т. д. Если известно, какую именно функцию изображает запись /(*), то выражение этой функции и выражение/(jc) соединяют знаком равенства. Пример 1. Если, кроме того, что y=fix), т. е. кроме факта функциональной зависимости у от х, стало известно, что у — х\ то пишем: /(*) = **. Разумеется, аргумент не обязательно обозначать через ху а функцию через у. Можно пользоваться любыми другими буквами. Например, запись означает, что z есть функция от t. Если одновременно написаны формулы y=f(*)> 0) * = /(<). (2) то такая совместная запись обозначает, что у есть т а ж е функция от х, что z от U Например, если у — х2> то z = t2; если y = lgAr, то z = \gty и т. д. Если же хотят подчеркнуть, -что зависимость у от х может быть иной, чем зависимость z от t, то эти зависимости обо- значаются различными буквами; например, пишут y=f{*), z = F(t)
46 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение или y = fi (*), z=h(t), и т. д. Пример 2. Если запись у = / (л;) выражает функцио- нальную зависимость у от л;, заданную формулой то запись z — f(t) выражает зависимость 3*2 — м и запись y=f(u) —зависимость Зи2 — 4и При мер 3. Если / (л;) == и F(x) — Зх, то /(й) = 1/1+«2, a F{u) = Зи. Запись /(1), /(J/3), f(a) и т. д. выражает, что берется значение функции f(x) при jc=1, л; = 1/3, л: = а и т, д. Пример 4. Если f(x) = ^{-Vx2-\-\9 то /(1) = + ^2, /(1/3) = 2, f{a) = + V*+l. Над выражениями /(jc), F(a:) и т. д. выполняют всевоз- можные действия так, как если бы это были некоторые алгеб- раические выражения. Например, запись f(x)F(x) обозначает произведение функции f(x) на функцию F(x); запись означает частное от деления f(x) на F(y) и т. д. Пример 5. Если f(x) = х3, aF(x) = x\ то / (х) F (х) =¾ 1 ^(^)""^2' ^(5) ""25 * А- Упражнения 1. Дано f(x) = x* — Злг + 2. Найти /(0); /(1); /(2); /(3). Отв. /(0) = 2; /(1) = 0; /(2) = 0; /(3) = 2. 2. Дано F (л:) = 2лгЗ — 4л: + 5. Показать, что F (— 1) = F (3). Что больше: F(0) или F(\)? Отв. F(0)>F(l).
обозначения функций 47 3. Дано f(s) = /(^3). Отв. Vs's+1 Написать выражение / (у). Вычислить у , Уъ УуГ+л 9 2 4. Дано f(x) = дг2 + 1- Написать выражение /(дг-4-2). О/ив. /(дг4-2) = л:2 + 4л: + 5. 5# Запись y=f(x) изображает зависимость у = j ; какую зависимость изображает запись гг2 = /(«»)? Запись s=f(t — 1)? ЛГ— 1 6. Дано /(■*) = /<*)-/(») !+/(*)/(*)' О/Ив. т—: г. \ + ab 7. Дано /(*): /Ч*)-/(*>' /Ч*)/0) 1 Вычислить и упростить выражение 1; Отв. х] F(x)+f(y) F(xy) ' . х+у Написать выражения (*+l)Cv-l)' ху+\ш 8. Дано/(лг) = лг2+1; F(x) = x* — 2. Вычислить/(1) + 2/41); f(y) . /Ы 3/(0) + /^(-2);^;^^. v*4-1 Ошв. 0:5;^¾; 1.
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ § 1. Вводные замечания С незапамятных времен люди в своей деятельности по- стоянно сталкивались с прямой линией и окружностью. Эти две линии и были раньше всего изучены в геометрии. Та часть геометрии, которая изучает основные свойства фигур, ограниченных этими линиями, и некоторых связанных с этими фигурами тел, называется элементарной геометрией. Элемен- тарная геометрия уже более 2 000 лет тому назад вырабо- тала те методы, которые излагаются в нынешних учебниках. Древнейший дошедший до нас курс элементарной геометрии, написанный древнегреческим математиком Евклидом (III век до н. э.), по полноте и строгости не уступает лучшим нашим учебникам. Уже в эпоху Евклида математики не ограничивались пря- мой линией и окружностью, а изучали многие другие линии. Но здесь методы элементарной геометрии оказывались недо- статочными, и древнегреческие геометры (Архимед, Апол- лоний и др.) положили начало новым методам, имеющим более широкое поле применения. Полное свое развитие эти методы получили, однако, гораздо позднее, около 300 лет тому назад. Два французских математика — Ферма (1601—1655) и Декарт (1596—1650) независимо друг от друга и почти одновременно создали на основе этих методов новый отдел геометрии, получивший впоследствии название аналитической геометриих). Метод аналитической геометрии имеет преиму- 1) Работа Ферма была опубликована после смерти автора; ра- бота Декарта была опубликована на 30 лет раньше (1637 г.) и ока- зала гораздо бдльшее влияние на последующее развитие.
§ 2] ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ А) щество не только в том, что он применим к разнообразным видам линий, но и в том, что даже в применении ко многим задачам элементарной геометрии он дает легкие и, главное, общие приемы их решения. Методы элементарной геометрии «кустарны» в том смысле, что успешное применение их требует немалой изобретатель- ности. Методы аналитической геометрии обладают единооб- разием; тот, кто их усвоил, может почти механически решать многие задачи, представляющие значительные трудности, если их решать методами элементарной геометрии. Не удивительно, что свое полное развитие методы ана- литической геометрии получили именно в 17 веке. В это время во многих отраслях техники кустарные способы стали уступать место механизированным, и математика должна была привести свои методы в соответствие с потребностями прак- тики. Более того, механизированные технические приемы, поражавшие своей продуктивностью, стали для людей 17 века идеальным образцом построения всякой науки. Крупнейший философ 17 века Декарт четко сформулировал этот научный идеал; попыткой его осуществить и явилась созданная Декар- том аналитическая геометрия, § 2. Понитие о методе аналитической геометрии Чтобы к изучению разнообразных линий можно было применить единообразный метод, нужно прежде всего уста- новить единообразный способ задания линий. В аналитической геометрии эта цель достигается введением системы координат. Как расположить эту систему по отношению к изучаемой линии — принципиально безразлично, но удачный выбор си- стемы координат может значительно облегчить применение общего метода. Мы знаем, что в заданной системе координат можно гра- фически представить всякую функциональную зависимость между двумя переменными величинами, в частности всякое уравнение между ними. При этом форма и положение гра- фика полностью характеризуют вид этого уравнения. Идея аналитической геометрии состоит в том, чтобы использовать связь между уравнением и графиком не только в этом направ- лении, но также и в обратном. Именно, в аналитической геометрии форму и положение всякой линии характеризуют 4 М. Я. Выгодский
50 основные понятия и формулы уравнением, связывающим координаты произвольной ее точки; иными словами — тем уравнением, графиком которого эта линия служит. Разъясним это подробнее. Пусть вид (плоской) линии АВ (черт. 21) точно определен каким-либо образом (скажем, заданием свойства линии или способа ее построения). Возьмем на плоскости, содержащей нашу линию, какую-либо систему координат XOY. Представим себе, что точка М движется вдольглинии АВ. Тогда ее координаты х = ОР и у = РМ будут переменными величинами. Каждому значе- нию одной из координат (например х) будет соответствовать одно значение РМ (как на черт. 21) или ряд значений PMV РМг, ... (как на черт. 21а) другой координаты. Иными словами, переменные х и у будут связаны определенной функциональной зависимостью. Эту функциональную зависи- мость стараются изобразить уравнением. Когда такое уравне- ние получено, оно полностью характери- зует нашу линию, так как всегда можно графически изобразить это уравнение в Черт. 21. Черт. 21а. Черт. 22. системе координат XOY, и мы снова придем к линии АВ. Уравнение, связывающее координаты произвольной точки линии АВ, для краткости именуется «.уравнением линии АВ». Координаты произвольной точки М линии АВ называют ее «текущими координатами», так как точку М мы можем представить себе перемещающейся вдоль линии АВ. Пример. Пусть требуется охарактеризовать уравнением форму и положение окружности радиуса R с центром в начале координат О (черт. 22). Согласно основному свойству окруж- ности, какую бы точку М(х, у) мы на ней ни взяли, длина отрезка ОМ имеет постоянную величину R. Выразим вели- чину ОМ через текущие координаты х = ОР и у = РМ точки М. Из черт. 22 имеем ОМ* — х*+у\
§3] РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДЗУМЯ ТОЧКАМИ 51 Следовательно, для каждой точки М(х, у) имеем уравнение между ее координатами x*+y* = RK (1) Это уравнение полностью характеризует нашу окружность. Построив его график, мы снова получим окружность радиуса R с центром в начале координат. Итак, уравнение (1) есть урав- нение такой окружности. Представляя каждую точку ее координатами и каждую линию ее уравнением, аналитическая геометрия сводит реше- ние геометрической задачи к решению задачи чисто алгеб- раической, а для решения алгебраических задач существует, как известно, ряд совершенно общих приемов. Таков — в самых общих чертах — тот метод, которым пользуется аналитическая геометрия. В нижеследующих пара- графах этой главы рассмотрены простейшие задачи, решаемые этим методом. § 3. Расстояние между двумя точками Нахождение расстояния между двумя заданными точками является простейшим геометрическим вопросом. Так как в- аналитической геометрии мы вводим систему координат, то «заданной» точкой нужно считать такую точку, координаты которой известны. Пусть нам заданы точки Ах \xv ух) и А2 (х2У у2) (черт. 23) и требуется найти расстояние d между ними. Проведя через точку Ах прямую AtD, параллельную оси абсцисс, полу- чим прямоугольный треугольник AXDA2; из него по пифагоровой теореме имеем d = АгА2 = V(AtD)* + {DAi)*. Черт. 23 показывает, к&к длины AXD и DA2 выражаются через координаты данных точек. Именно, AxD=OC —OB = x2 — xv DA2 = СА2 —CD =у2 —yv (1) (2) 4*
52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ так что d=V{x2 — xj* + 0¾-^)*. (3) Радикал берем всегда со знаком+, так как длина отрезка есть положительная величина. Пример 1. Найти расстояние между точками Ах (0,5, 3,2) и Л (5,3, 6,2). Имеем й = К(5,3 — 0,5)2 + (6,2 — 3,2)2 _ j/4j82 _|_ 32 _ = /32,04 5,6. При выводе формулы (3) мы взяли на чертеже обе точки Аг и А2 в первом координатном углу. Но формула эта верна при любом расположении точек Ал и А2; только нужно пра- вильно учитывать знаки координат. Пример 2. Найти расстояние между точками Ал (— 3, 2) и А2(2, 5) (черт. 23а). По формуле (3) имеем d = V[2 — (— 3)]*+ (5-2)2 = }/52 + 32 =^/34 ^ 5,83. Из черт. 23а можно видеть, что длина AXD равна теперь не разности, а сумме длин ОС и ВО. Но сумма длин (2+3) есть не сумма абсцисс хл = — 3 hjc2 = 2, а разность этих абс- цисс х2 ■ ■ 2 • 0 I I I I (-3) = 2 + 3. Таким же образом можно убедиться в том, что формула (3) верна при любом другом расположении точек Аг и А2. Пример 3. Найти расстояние от точки A (xv ух) до начала координат. Начало координат имеет обе координаты равными нулю. Фор- мула (3) при х2=у2 — 0 дает Черт. 23а. Пример 4. Найти расстояние между двумя точками, лежащими на оси ординат: А (0, ух) и В(0, у2). Искомое расстояние есть d = У (Л - У\У = VCVi - Уг?-
§ 4] деление отрезка в данном отношении 53 Если y2^>yv то d=y*—yv если же у<^> Уъ, то а = Ух—Уъ- Упражнения 1. Найти расстояние между точками (9, — 7) и (4, 5). Отв. 13. 2. Найти расстояние АВ между точками А (4,2, —8,5) и 5(-1,4, -2,5). Отв. ЛЯ =^8,2. 3. Вершины треугольника суть А (3, 2),£(— 1, — 1),С(11. — 6). Найти длины сторон. Отв. ЛЯ = 5; ЯС=13; СА =^11,3. 4. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки Л (3, 2), В (6, 5), С(1, Ю), прямоугольный. 5. Найти периметр р четырехугольника ABCD, вершинами которого служат точки Л (0, 0), 5(4, 2), С (6, 0), D{0, —2). О/яв. /»¾ 15,6. 6. Найти на оси абсцисс точку, которая отстоит на равных расстояниях от начала координат и от точки (— 5, 3). Отв. (—3,4; 0). 7. На оси ординат найти точку М, отстоящую от точки Л (4, — 6) на расстоянии 5 единиц масштаба. Отв. Задача имеет два решения: Mi (0, — 3) и М2 (0, — 9). 8. На биссектрисе первого координатного угла найти точку М, отстоящую от точки Л (— 2, 0) на 10 единиц масштаба. Отв. М (6, 6). 9. Найти центр О круга, описанного около треугольника ABC, вершинами которого служат точки Л (2,2), В (— 5, -f-1), С (4- 3, — 5). Отв. 0(-1,-2). 10. Вершинами треугольника ABC служат точки Л (2, —3), В(-\-1, -f-3), С (—6, —4). Перегнем чертеж по прямой ВС, Каковы координаты точки Л в новом ее положении? Отв. (—5, +4). § 4. Деление отрезка в данном отношении Даны две точки M(xv уг) и N(x2J у2) (черт. 24). Тре- буется найти такую точку Р на отрезке MNt чтобы длины MP и PN находились в данном отношении т:п, т. е. чтобы MP т . v -pjy — ~ (т и п — данные числа). Обозначим координаты точки Р через х, у. Найти точку Р — значит найти выражение этих координат через данные величины xv yv x2f у2% m, п.
54 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Из черт. 24 имеем: ОС = хл, OD- CM = yv DN=y2i OQ=x, QP=y. Так как DN\\ CM \\ QP, то по известной теореме элементар- Черт. 24. Подставляя эти ной геометрии имеем: CQ МР PN'' т ' п * (1) Но CQ=OQ — OC = x — xv QD=OD — OQ = x2 — x. выражения в формулу (1), имеем уравнение из которого находим неизвестную величину х: (2) Если из точек М, Р, N опустить перпендикуляры на ось ординат, то совершенно таким же образом найдем ту2 + /гу1 (3) Формулы (2) и (3) дают решение поставленной задачи. Замечание 1, На черт, 24 мы взяли обе точки М и N в первом координатном углу. Но формулы (2) и (3) остаются верными при всех возможных других расположениях; только нужно каждый раз учитывать знаки координат, подобно тому, как это мы делали в предыдущем параграфе при рассмотре- нии расстояния между двумя точками. Замечание 2. Данное отношение мы представили в виде -^-.вместо того, чтобы обозначить его одной бук- вой, потому что иначе формулы (2) и (3) были бы менее симмет- ричными и их труднее было бы запомнить. Для лучшего запоминания формул (2) и (3) полезно заметить, что в них
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 55 координаты точки М множатся не на число т, которому пропорционально расстояние точки М от искомой точки, а на число п\ точно так же координаты точки N множатся не на /г, а на т. Иными словами, координаты концов отрезка множатся на числа, обратно пропорциональные их расстоя- нию до искомой точки. Очень важным частным случаем разобранной задачи является задача о делении отрезка пополам. В этом случае можно положить /я=1, п=\; формулы (2) и (3) принимают вид *=udbuf_ (4) У=*&. (5) Пример 1. Найти точку Р(лт, у\ делящую отрезок между точками М (4,2, —6,7) и N(—0,2, 4,0) в отношении 5:2 (MP:PN=5:2). Решение. 5—0,2 + 2-4,2 _ 7,4 _ х — 5^р2 — у — A>UD> 5-4,0+2.-6,7^6,6 У— 6 + 2 7 ^ и'У** Пример 2. Найти середину отрезка, соединяющего точки Л (—6, +4) и В( — 7, —8). Решение. Координаты середины отрезка АВ будут Пример 3. Найти центр тяжести системы, состоящей из двух материальных точек Л1(лг1, уг) и Л2(лг2, у2) с мас- сами тг и т2. Из механики мы знаем, что искомый центр тяжести Р лежит на отрезке АгА2 и что расстояния его от Ах и Ла обратно пропорциональны массам этих точек, т. е, ЛХР щ РА2 тх •
56 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл. I П- х тхХх + ГП2Ху ■ т\ + т2 ' у = пЩщуА (?) nti ~Ь т2 Их можно переписать в виде (тх -\-т2)х = mlx1 + т2х2, (6') («1 + Щ) У = т\Ул + ЩУъ- У7') Величины mxxxi т2х2 суть так называемые моменты точек Av А2л а величина (тх-\-щ)х есть момент центра тяжести Р по горизонтальной оси; величины тгул, т2у%, (тх~\-щ)у суть моменты тех же точек по вертикальной оси. Формулы (6') и (7') выражают, что момент центра тяжести двух мате- риальных точек равен сумме моментов этих точек. Упражнения 1. Найти точку Я, делящую отрезок MN в отношении MP:PN= = 4:3. Концы отрезка MN суть Л* (10, 6). N(—4, 8). Отв. Р (2, 71) . 2. Найти середину отрезка АВ, концы которого суть А (—4, 12) и ВЬЧ —6, -4). О/ив. (—5, 4). 3. Даны вершины треугольника /1(3, —7), В (5, 2), С(—1, 0). Найти середины его сторон. Отв. (4, -2,5), (2, 1), (1, -3,5). 4. Даны середина С (5, 1) отрезка АВ и один конец его А(— 1,—3). Найти другой конец. 0/яв. (11, 5). 5. Отрезок между точками А (3, 2) и В (15, 6) разделен на пять равных частей. Определить координаты точек деления Мх, М2, Л18, М4. Отв. ЛМ5,4, 2,8), Л*2(7Д 3,6), Ж3 (10,2, 4,4), Л14(12,6, 5,2). 6. В точке А (2, 5) сосредоточена масса 2 кг; в точке В (12,0) — масса 3 кг. Найти центр тяжести этих масс. Отв. (8, 2). 7. В точках Ах{хъ ух\ А2{х2у у2), Аз (*8, у3) сосредоточены массы тъ т2, Щ> Найти центр тяжести этих масс Отв mixi + m**2 + m*x* т1У1 + т2У2 + ^зУз miJrm2-{- т3 ' тх-\-т2 + т^ Указание. Найдем сначала центр тяжести двуЛ масс, напри- мер тъ т2; сосредоточив там массу mx^-m2i будем искать центр тяжести масс т\-\-т^ и т$. Формулы (2) и (3), в которых нужно положить т = Щу (6)
§ 5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 57 8. Давы вершины Л(1, 4), В (—5, 0), С (—2, —1) треугольника ЛВС. Определить длины медиан этого треугольника с точностью до 0,1. Отв. 6,4, 4,7, 3,0. 9. В треугольнике предыдущей задачи определить точку пере- сечения медиан. Отв. (—2, 4-1). Указание. Искомая точка должна делить каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. В § 2 было указано, что в аналитической геометрии форма и положение линии характеризуются ее. уравнением, т. е. уравнением, связывающим координаты произвольной ее iy « относительно системы коор- а » динат нужно задать. Это можно сделать различными Черт. 25. способами. Один из них со- стоит в задании: 1) уклона прямой a — tga [где а есть угол, образованный прямою с положительным направлением оси абсцисс; на черт. 25 а = Z.XCB или а — ^ХСА1)], 2) на- чальной ординаты Ь, т. е. отрезка, который прямая отсекает на оси ординат (на черт. 25 b = OD). Как а, так и Ь могут быть и положительными и отрицательными. Возьмем произ- вольную точку М (л:, у) нашей прямой АВ. Уравнение прямой есть не что иное, как уравнение, связывающее ее текущие координаты л:, у. Чтобы получить это уравнение, проведем DN параллельно ОХ; мы получим треугольник MDN, в ко- тором J/mMDN=a, DN— ху NM = PM — OD=y—b. По известной формуле тригонометрии § 5. Уравнение прямой линии В этом параграфе мы выведем уравнение прямой линии. Форма всех прямых линий совершенно одинако- ва; положение же прямой точки. NM = DN iga, J) См. примечание на стр. 27.
58 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ т. е. у— b = xtga, или y — xiga-\-b. (1) Введя уклон прямой a = tgcc, мы можем формулу (1) переписать в виде у = ах-\-Ь. (2) Уравнение (1) или, что то же, уравнение (2) есть иско- мое уравнение прямой. В него кроме текущих координат х, у входят две постоянные величины: угловой коэфициент a = tgа и «началь- ная ордината» Ь. Эти постоянные вели- чины называются параметрами1) урав- нения прямой (2). Самое уравнение (2) называют уравнением прямой с угло- £ выи коэфициентом в отличие от урав- нений, представляющих прямую при иных способах задания ее положения. Каждой паре значений параметров а, Ъ соответствует определенная пря- мая. Например, при a = 2, Ъ = — 4 Черт. 26. мы имеем уравнение у=2х — 4, пред- ставляющее прямую АВ (черт. 26), пе- ресекающую ось ординат на 4 единицы ниже начала; угловой коэфициент ее равен 2; она наклонена к оси абсцисс под углом a=63°26' (tg63°26'%2). При а = — ~, b = -\-\ мы имеем уравнение прямой у= — ~ х -|- 1. Это — прямая CD (черт. 26) с начальной орди- натой Ь — -\-\ и уклоном —~. Угол уклона а = 153°26\ 3) Параметр — математический термин, искусственно создан- ный древнегреческими математиками и не поддающийся точному переводу. Приблизительно его можно передать словом «мерило». Термин этот имеет в математике различные значения. Здесь он означает одну из постоянных величин, входящих в уравнение ли- нии. Давая параметрам те или иные значения, мы выделяем из всех линий, охватываемых этим уравнением, одну определенную линию. С другими значениями термина «параметр» мы встретимся ниже.
§5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 59 Итак, по заданному уравнению у = ах -\- Ь (2) можно сразу же построить представляемую им прямую (см. § 8 Введения, стр. 30). Обратно, определив начальную ординату Ь и угловой ко- эфициент а заданной по положению прямой, мы сразу напишем уравнение этой прямой. Рассмотрим важные частные случаи. 1. Прямая прохо'дит через начало координат. Тогда начальная ордината £ = 0; уравнение прямой имеет вид у — ах. (3) оси абсцисс (оси а = 180°); х). следовательно, >» 1 Черт. 27. признаков парал- 2. Прямая параллельна Тогда угол уклона а=0 (или угловой коэфициент а — tg а = 0. Уравнение прямой имеет вид у=0'Х + Ь, т. е. У = Ь. (4) Уравнение (4) выражает, что все орди- наты прямой (например РМ на черт. 27) равны начальной ординате b = ODt т. е. что расстояние между прямой DM и осью абсцисс постоянно, а это — один из дельности прямой DM с осью х. 2а. Прямая совпадает с осью абсцисс. Будем рассматривать этот случай как частный случай предыдущего. Расстояние b между заданной прямой и осью х теперь равно нулю. Следовательно, уравнение самой оси абсцисс есть У=0. (5) 3. Прямая параллельна оси ординат (оси у). Татя прямая (АВ на черт. 28) не может быть представ- лена уравнением вида (2). При выводе уравнения (2) пред- полагалось, что прямая задана начальной ординатой и угловым коэфициентом; между тем прямая АВ, параллельная оси у, не отсекает от нее никакой начальной ординаты. Искомое уравнение, однако, мы легко получим, если при- мем во внимание, что обе координатные оси совершенно
60 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ равноправны. Уравнение (4) прямой, параллельной л:, выражало постоянство ординаты у. Значит, уравнение прямой, парал- лельной оси у, должно выражать постоянство абсциссы х, т. е. иметь вид х = с, (6) где постоянная величина с есть расстояние между прямой АВ и осью у. Черт. 28 показывает, что для любой точки прямой АВ уравнение (6), действительно, имеет место (например для точки М имеем х = QM = c). М За. Прямая совпадает с осью ординат. Рассуждая, как в £ случае 2а, найдем, что уравнение с а- мой оси ординат есть jc = 0. (7) А Замечание 1. Прямые, парал- Черт. 28. лельные оси уу являются единственными прямыми, которые нельзя представить уравнением вида (2). Действительно, всякая другая прямая имеет вполне определенную начальную ординату и вполне определенный уклон. Замечание 2. Уравнения прямых, параллельных осям, содержат тольку одну координату; именно, уравнения прямых, параллельных оси х, — координату у, а прямых, параллель- ных оси у, — координату х. Такое уравнение, например, уравнение ^у = 3, выражает, что при любом значении переменной х величина у имеет значение 3. Таким образом, теперь ордината у является постоянной величи- ной и не есть переменная величина в буквальном смысле слова. Однако, часто сохраняют за ней название пере- менной величины; таким образом, постоянная величина н е противопоставляется переменной, а рассматривается как особый случай переменной. Такое развитие понятия переменной величины вполне закономерно. Подобное же явле- ние можно наблюдать во всех областях науки. Так, в арифметике понятие дробного числа сначала противопоставляется понятию целого числа; потом последнее включается в понятие дроби как частный случай (например, дробь есть целое число 2). Для подобного развития понятия всегда бывают веские основания.
§ 6] уравнение окружности 61 Есть они и в данном случае: прямая, параллельная коорди- натной оси, сама по себе взятая, ничем не выделяется из числа других прямых; естественно и ординату ее рассматри- вать так же, как ординату любой другой кривой. Далее, резкое противопоставление постоянной величины переменной величине не соответствует тому факту, что прямая, парал- лельная оси, может нечувствительно отличаться от прямой, не параллельной оси. С другими основаниями для включения понятия постоянной величины в понятие переменной мы позна- комимся в дальнейшем. 1. Начертить прямые, заданные уравнениями y = ~jt — 3; > = -Зл:+1;у=:2;у = -6; * = 0; * = —3; у = 0; у = х. 2. Прямая, проходящая через начало координат, лежит в I и III координатных углах. Один из углов, образуемых ею с осью ординат, по абсолютной величине равен 30°. Написать уравнение прямой. Отв. у = УЪх. 3. Написать уравнение прямой, параллельной оси ординат и про- ходящей через точку (2, 4). Отв. х — 2. 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—1,3) и параллельной оси абсцисс. Отв. у = 3. 5. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого приняты за оси координат; длина стороны квадрата равна а. В этом параграфе мы выведем общее уравнение окруж- ности. Форма ее определяется величиной R радиуса, а поло- жение— заданием координат a, b центра С (черт. 29). Уравнение окружности есть не что иное, как уравнение, связывающее ее текущие координаты, т. е. координаты любой точки М (ху у), лежащей на окружности. Чтобы получить это уравнение, используем определение окружности как геомет- рического места точек М, для которых расстояние МС до центра С равно радиусу R: Упражнения 1 § 6. Уравнение окружности MC = R. О)
62 ОСНОВНЫЕ понятия и ФОРМУЛЫ [гл. I Но МС можно (§ 3) выразить через текущие координаты х, у и координаты центра а, Ь\ МС= У(х — а)*-\-{у—Ь)*. (2) Подставив выражение (2) в формулу (1), найдем V(x — а)* + (у —*)* = /?. (3) Это и есть уравнение окружности. Лучше всего представить его в виде (х _ а)2 + (у — bf = R\ (4) Постоянные а, /?, входящие в уравнение (4), суть пара- метры уравнения окружности (ср. § 5). Уравнение окружности с центром в ' ^ ы начале координат ( <ИГ\ х*+у* = & (5) V J получится из уравнения (4) при a = b = 0. X Пример 1. Уравнение окруж- ^ ности радиуса /? = 0,7 с центром в точке С( — 4,2, 2) есть ЧеРт-29- (х + 4,2)2 4- {у — 2)2 = 0,49. Пример 2. Уравнение окружности радиуса R с центром на оси абсцисс имеет вид (x — a)*-\-y* = R*9 (6) так как ордината центра £ = 0. Пример 3. Какую линию представляет уравнение х« —6x + ji» = 16? (7) Если удастся привести это уравнение к виду (4), то, зна- чит, оно представляет окружность. В формулу (4) входит член.(х — а)2 = х2— 2ах-\-а2. В левой части уравнения (7) мы имеем член х2 и член — 2ах = = — 6а: (а=3). Нехватает члена а2 {а2 ==9). Прибавим его к обеим частям уравнения (7), Получим равносильное уравнение т. е. (*_3)2-f у2 = 25.
§ 6} уравнение окружности 63 Это уравнение — сравните его с уравнением (6) — есть урав- нение окружности с центром С(3, 0) и радиусом R = ]/25 = 5. Пример 4. Какую линию представляет уравнение *» + 10у+>» = Н? t (8) Здесь нужно дополнить до квадрата суммы последние два члена левой части; прибавляя к обеим частям уравнения 25, получим д:2+ (^+5)2 = 36. Наша линия есть окружность с центром С(0, —5) и радиу- сом R = К36 = 6. Пример 5. Какую линию представляет уравнение 2х2 — 8x-f2y2 + 4j/ — 8 = 0? (9) Если разделить обе части уравнения на 2, получим х2 — 4л:-hy2 + 2у — 4 = 0. (10) Дополним до квадратов члены х2 — 4л: и члены у2 -\- 2у, прибавив к обеим частям уравнения (10) числа 4 и 1. Полу- чим {х-2)2+^,+ 1)2-4 = 4 + 1 или 2)2 +(.у+1)2 = 9. Наше уравнение представляет окружность радиуса /? = = j/~9 = 3 с центром С( + 2, — 1). Таким же образом убедимся в том, что всякое уравнение вида Ax2-\-Ay2-\-Bx + Cy-\-D = Q (11) представляет сббой окружность. Обращаем внимание на то, что коэфициенты при х2 и при у2 должны быть одинаковы. Упражнения 1. Написать уравнение окружности: а) с центром С (—4, —5) и радиусом /? = 3, Ь) с центром С (2, — 1) и радиусом Я^Кз. От*, a) Cr + 4)3-f-(y-f-5)2=9; b) (дг — 2)2-f-(y-f-1)2 = 3. 2. Написать уравнение окружности с центром на оси ординат. Отв. х*+(у — by* — R}.
64 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл.1 3. Из точки С(3, 0) как из центра проведена окружность, про- ходящая через начало координат. Написать ее уравнение. Отв. х* — 6л:+у2 = 0. Найти центры и радиусы следующих окружностей: 4. лг2-|-у2 — 12*+12у 4-36 = 0. Отв. С(6, —6); /? = 6. 5. х*+у*— 12л:+12у--36 = 0. Оке. С(6, —6); /?¾ 10,4. 6. л:2 4-у2 —39 = 0. Отв. С(0, 0); Я = 6,25. 7. х2 — Юл: — 39 = 0. О/яв. С (5, 0); R = 8. 8. 9лг2 + 9у2+12л--6у — 4 = 0. Owe. С (—у. l");/?=l4 9. 2лг2 + 2у2 —6* —8у — 19 = 0. Отв. С , 2^ ;/?^3,97. 10. 2лг2 + 2у--5лг-}-7у-.15 = 0. О/я*. С ^| , — ; Я ^3,47. § 7. Примеры применения метода аналитической геометрии В § 2 было указано, что, представляя каждую точку ее координатами, а каждую линию ее уравнением, мы сводим геометрическую задачу к задаче алгебраической; благодаря этому аналитическая геометрия обладает той общностью ме- тода, которой недостает геометрии элементарной. В двух предшествующих параграфах мы вывели уравнения тех двух линий, которые только и изучаются в элементарной геомет- рии,— прямой и окружности. Теперь мы имеем возможность решить методом аналитической геометрии некоторые задачи элементарной геометрии. Пример 1. Найти геометрическое место точек, рав- ноотстоящих от данных точек А и В. Решение этой задачи известно заранее: искомое геомет- рическое место есть прямая линия, перпендикулярная к от- резку АВ и проходящая через его середину. Чтобы решить эту задачу методом аналитической геометрии, прежде всего нужно отнести точки А и В к некоторой системе координат. Это можно сделать по-разному, но заранее можно ожидать, что проще всего будет использовать- прямую АВУ приняв ее за одну из координатных осей, например за ось абсцисс. Остается еще выбрать начало координат. Возьмем его, например, в середине О отрезка АВ (черт. 30). Тогда условие задачи можно сформулировать так: даны точки А( — а, 0) и В (а, 0). Найти геометрическое место точек
§ 7] примеры применения метода аналитической ГЕОМЕТРИИ 65 \ \ а Черт. 30. Остается выразить С А и С В через координаты. Согласно § 3 расстояние С А между А( — а, 0) и С{х,у) выразится формулой СА = У(х-{-а)*-\-у\ а расстояние СВ между В (а, 0) и С (jc, у) — формулой CB = V(x — а)2+/. Условие (1) дает У(х-\-а)2-\-у*=У(х — af -fy* • (2) Это и есть уравнение искомого геометрического места. Чтобы определить, чтб это за линия, упростим уравнение (2). Воз- ведя обе части его в квадрат, имеем (х + а?+у* = (х-а)* +у> или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, 4£x = 0. (3) Отсюда следует (так как д^О), что х = 0. (4) В § 5 мы видели, что это уравнение представляет ось орди- нат. Так как в выбранной нами системе координат эта ось перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через его середи- ну, то искомое геометрическое место есть перпендикуляр, проведенный через середину АВ. б М, Я. Выгодский . С(х, у), для которых СЛ = СВ. Величина а есть половина данного расстояния АВ, так что АВ = 2а. Точка Сна черт. 30 нарочно взята произвольно (она этого положения на самом деле не может занимать), Чтобы не вносить в решение предвзятых гипотез. Чтобы найти искомое геометриче- q ское место, составим его уравнение, т. е. уравнение, которому должны / удовлетворять текущие координаты х, у. Условие задачи есть do СА=СВ. (1)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Удачный выбор системы координат помог нам быстро распознать искомое геометрическое место. Но и при всяком ином выборе мы благополучно пришли бы к решению, хотя в иных случаях несколько более длин- ным путем. Для примера положим, что начало х координат выбрано нами не в середине ^ *■ отрезка АВ, а где-либо на его продол- жении. Тогда условие задачи можно сформулировать так: даны две точки Черт. 31. A(xv 0) и В(х2, 0) (черт. 31). Найти геометрическое место точек С, для ко- торых СА = СВ. Здесь хх и х2 произвольные числа (рас- стояния точек А и В от начала координат). Рассуждая, как прежде, получим: CA = V(x—x,)*-\-j*~> Условие С А — СВ дает У(х _ Хг)2 +у2 = Y(X - Х2)*+У\ (2') После упрощений получим — 2ххх -f- х\ = — 2х2 х -f х\, (3f) откуда * = (4') Из § 5 известно, что это уравнение представляет прямую, параллельную оси у% и что начальная абсцисса ее OD = £ixf? в Но из § 4 мы знаем, что "У1"^"х% есть абсцисса середины отрезка АВ, так что искомое геометрическое место есть пря- мая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину D. Замечание. Элементарно-геометрическое решение рас- смотренной задачи, конечно, проще, чем здесь приведенное, и если рассматривать эту задачу изолированно от других, то преимущества метода аналитической геометрии останутся не- раскрытыми. Но они выступят очень ярко, когда мы решим следующую задачу, которую методами элементарной re омет-
примеры применения метода аналитической геометрии 67 рии решить трудно; с помощью же аналитической геометрии она решится легко и, главное, тем же способом, каким реша- лась предыдущая задача. Пример 2. Найти геометрическое место точек, отстоящих от данной точки А на расстояние, вдвое большее, чем от точки В. Как и в предыдущей за- даче, отнесем искомое гео- метрическое место к системе координат XOY (черт. 32) с началом в середине отрез- ка АВ = 2а. Ось абсцисс направим по прямой АВ. Тог- да будем иметь: А (— а, 0), В (а, 0). Пусть М(х,у) есть любая точка искомого геомет- рического места. Согласно условию задачи Черт. 32. МА = 2 MB. Но (5) МА = ]/"(* +я)2-ку2, MB = V(x — af +3/2. Условие (5) принимает вид V{x-\-af-\- у* = 2 V{x — а)а+у> (х -J- а)2 +у> = 4 [(* — а)2 +.у2]. или (6) Это есть уравнение искомого геометрического места. Чтобы распознать, какую линию оно представляет, упростим его. Открыв скобки, перенеся все члены в правую часть и совершив приведение подобных членов, получим За:2 — 1 Оах + Зу2 + За2 = 0. (7) Сравнение с формулой (11) § 6 (стр. 63) показывает, что ис- комое геометрическое место есть окружность. Исследуем, как расположена она по отношению к отрезку АВ. Разделим обе части уравнения (7) на 3. Получим 10 — —ах+у2 -fa2=0. (8) 5*
68 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Дополним первые два члена до квадрата, для чего при- — а) =-д а2. Получим (*_!«)*+^+*=! д2 или (х-Ь.а)2+у1=]-§а*. -■ (9) Значит, радиус нашей окружности равен д2 =-^-а, т. е. 2 составляет -g- длины отрезка = 2а. Центр С лежит в точке 0J, т. е. находится на продолжении отрезка АВ 8 2 в сторону В на расстоянии а и yfl от концов АВ. Проще всего охарактеризовать положение нашей окруж- ности указанием точек Кх и К2, в которых она пересекает ось абсцисс. Эти точки, раз они принадлежат искомому гео- метрическому месту, удовлетворяют условиям КХА = 2КХВ, К2А = 2К2В. Поэтому можно решение задачи сформулировать так: геометрическое место точек, отстоящих от точки А на расстояние, вдвое большее, чем от точки В, есть окружность; диамет- ром ее служит отрезок КХК2, концы которого Кх и К2 делят отрезок АВ внутренним и внешним образом в от- ношении 2:1. Пример 3. Дан равносторонний треугольник ABC (черт. 33). Найти геометрическое место точек М, сум- ма квадратов расстояний которых до вершин А и В вдвое больше квадрата расстояния до вер- шины С. Примем сторону А В за ось абсцисс; начало координат б возьмем в середине АВ. Если длину АВ = ВС = АС поло- жить равной 2а, то имеем точки А (— а, 0), В (а, 0). Вер- /V / к у С \\ \\ \ N А Черт. 33.
§ 7] примеры применения метода аналитической геометрии 69 В шина С, очевидно, лежит на оси ординат; высота СО равно- стороннего треугольника равна a V3, так что мы имеем С (0, а УЗ). Согласно условию мы должны иметь МЛ2 -\- MB2 = 2 МС2. (10) Обозначим через х, у текущие координаты искомого геомет- рического места и выразим МА, MB, МС через координаты; получим МА2 = {х-\-а)2-\-у2, МВ* = (х~а)2-\~У2, _ МС2 = х2 + (у~аУз)2. Подставим эти выражения в формулу (10). Получим (х + а)2 + (х — af± 2у2 = 2 [х2 -f (у — а Уз)2]. Открыв скобки и произведя упрощения, найдем 2д2 = — 4ауУЗ-{-6а\ откуда "У* /114 ^ = -3-. (И) Формула (11) есть уравнение искомого геометрического места. Так как в нее не входит абсциссах, то оно представляет прямую, параллельную оси л:(т. е. стороне АВ) и отстоящую от этой оси аУъ и на расстояние —~— . Как известно, о a —— есть расстояние центра равно- о стороннего треугольника от его сто- роны. Итак, искомое геометрическое место есть прямая MN, прозе- Черт. 34. денная через центр К равносторон- него треугольника параллельно стороне его АВ. Пример 4. Стержень АВ длины 21 (черт. 34) сколь- зит своими концами по сторонам прямого угла. Какую кривую опишет середина С стержня? За оси координат удобнее всего принять стороны данного прямого угла. Подвижные концы стержня будут А(0,^,), В(х2, 0). При движении стержня величины ух=ОА и х2 = ОВ
70 основные понятия и формулы [гл. I Упражнения 1. Найти геометрическое место точек, отстоящих от данной точки А на расстояние, втрое большее, чем от данной точки В. Отв. Окружность, для которой концами одного из диаметров служат точки, делящие отрезок АВ внутренними внешним образом в отношении 3:1. 2. Найти геометрическое место таких точек, для которых сумма квадратов расстояний до данных точек А и В в 25 раз превосхо- дит квадрат расстояния АВ. Отв. Окружность с центром в середине АВ и радиусом 3,5 АВ. переменны. Запишем аналитически условие, что ЛВ = 21. По формуле (3) § 3 имеем 2l = V х\-\-у\% или л|-f 3,2 = 4/2. (12) Это уравнение выражает функциональную зависимость между переменными лс2 и yv Нам же нужно связать функциональной зависимостью координаты х% у точки С. Так как С есть сере- дина АВ, то по формулам (4) и (5) § 4 * = (13) JV = $. 04) Чтобы найти уравнение, связывающее хну, нужно из трех уравнений (12), (13) и (14) исключить переменные x2,yv Уравнения (13) и (14) дают х2 = 2х, уг — 2у. Подставляя эти выражения в (12), имеем 4^2^4^2=4/2 х*+у*=1*. Это — уравнение окружности радиуса / с центром в О. Итак, середина С отрезка АВ опишет дугу окружности с цен- тром в вершине данного прямого угла и с радиусом, рав- ным половине отрезка АВ. Если отрезок движется в пределах одного прямого угла, середина его опишет четверть окружности. Полную окруж- ность точка С опишет в том случае, если точки А и В смо- гут двигаться и по продолжениям сторон прямого угла.
§ 7] примеры применения метода аналитической геометрии 71 геометрическое место 3. Длина отрезка АВ равна 6 м. Найти. точек Mf для которых МА2 — MB2 = 24 м2. Отв. Прямая, перпендикулярная к АВ и пересекающая отрезок АВ на расстоянии 1 м от конца В. 4. Треугольник ABC задан своими вершинами. Показать, что геометрическое место точек, для которых сумма квадратов рас- стояний от вершин Л, В, С равна постоянной величине, есть окружность, центр которой лежит на пересечении медиан тре- угольника. 5. Пусть ABC равносторонний треугольник. Найти геометри-* ческое место точек М, для которых МА2 \- МВ2 = МС2. Отв. Окружность; радиус равзн стороне данного треугольника; центр симметричен точке С относительно прямой АВ. 6. Дан прямой угол АОВ. Прямая PQ, пересекающая стороны прямого угла в точках М и N, движется так, что площадь тре- угольника MON сохраняет постоянную величину. Какая линия слу- жит геометрическим местом середины отрезка МЮ Отв. Гипербола (равносторонняя). 7. Угол АОВ прямой. Какую линию опишет точка М, движу- щаяся внутри угла АОВ так, что расстояние ее до прямой OA вдвое больше расстояния до прямой ОБ. Отв. Луч ОР, образующий с OA угол АОР = 63°26'. 8. Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой АВ и от данной точки F, отсто- ящей от АВ на расстояние FC — 2L Указание. За ось абсцисс еы- годно принять прямую АВ (или парал- лельную ей прямую, проходящую через середину FC). Ось ординат выгодно провести через точку F. Отв. Парабола, имеющая ту же формулу, что график функции у х2 (вершина параболы лежит в середине FC\ ось симметрии направлена по FC). 9. Прямая MN (черт. 35) перпендикулярна к отрезку АВ и про- ходит через его середину О. Два стержня вращаются около точек А и В так, что они пересекают прямую MN в точках С и D, ле- жащих обе сверху или обе снизу от точки О. При этом имеет место соотношение OC-OD = АО2. Найти геометрическое место точек R пересечения стержней. Указание. Принять АВ и MN за оси координат; выразить ОС и OD через текущие кооодинаты, рассмотрев подобные тре- угольники АОС со ASR и BOD <s> BSR. Отв. Окружность, построенная на АВ, как на диаметре. 10. Дана окружность с центром в О и на ней точка К» Найти геомет- рическое место середин хорд окружности, проведенных через точку К. Отв. Окружность, построенная на UK, как на диаметре.
72 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл. I 11. Прибор, изображенный на черт. 36, называется конхоидо- графом. Он состоит из двух неподвижно скрепленных линеек RO и CD. Муфта Q, шар- нирно соединенная с линей- кой RO, может вращаться около точки Т. В муфту Q свободно входит третья ли- нейка АВ, на которой имеется ползун Р. Ползун L может вращаться около точки Р и скользить по линейке CD. В линейке АВ сделан ряд отверстий для острия карандаша. Найти уравнение линии, описан- ной острием карандаша, по- мещенным в отверстие М, если ТО=а, LM = Ъ. Оси координат OX, OY направлены, как показано на черт. 36. Отв. (х > 0). Указание. Из подо- бия треугольников TOL и MKL вытекает пропорциональность их катетов. Выразить пере- менные длины катетов через а, Ь и текущие координаты. 12. Показать, что уравнение Черт. 36. у2 = (£2_ д.2) х2 представляет не только линию задачи 11, но также и линию, которую описывает карандаш, вставленный в отверстие N (LN = LM). Замечание. Различие между обеими линиями заключается в том, что первая соответствует положительным значениям х, а вторая — отрицательным. Обе линии, взятые вместе, называют конхоидой Никомеда. § 8. Пересечение линий Имея уравнение двух линий, мы можем вычислением решить вопрос о том, имеют ли эти линии общие точки (пересече- ния или касания), и если да, то сколько их и каковы их координаты. Пусть, например, мы имеем окружность х*-\-у* = 2Ь (1)
пересечение линий 73 и прямую линию у = 0,75*-f- 6>25- (2) Координаты всякой точки окружности должны удовлетворять уравнению (1), а координаты всякой точки прямой — уравне- нию (2). Если окружность и прямая имеют общие точки, то координаты последних должны удовлетворять и уравнению (1) и уравнению (2), т. е. системе уравнений л;2-[-у* = 25, 3/=0,75*+ 6,25. Решая эту систему, получим ответы на все поставленные выше вопросы. Исключая из обоих уравнений неизвестную величину у, получаем уравнение х* + (0,75* + 6,25)2 = 25, (4) которому должны удовлетворять абсциссы общих точек. Уравнение (4) — квадратное. Если оно имеет два действитель- ных корня, то прямая пересекается с окружностью в двух точках; если один действительный корень, то прямая имеет одну общую точку с окружностью, т. е. касается ее; если же корни мнимые, то прямая не имеет общих точек с окруж- ностью. Решив уравнение (4), найдем, что оно имеет только один корень Следовательно, прямая (2) касается окружности (1). Абсцисса точки касания есть * = — 3; ордината найдется из уравнения (2); она равна у = 0,75 • ( — 3) + 6,25 = 4. Все сказанное здесь об окружности (1) и прямой (2) остается в силе для любых двух линий, и мы приходим к выводу: чтобы решить вопрос, существуют ли у двух ли- ний общие точки и если да, то какие, — нужно взять си- стемуv образуемую уравнениями этих линий, и либо раз- решить ее, либо показать, что она не имеет действитель- ных решений. В первом случае мы найдем общие точки, во втором общих точек не существует.
71 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Пример. В каких точках линия д;2 _ 2х + у — 4у = 3 (5) пересекает оси координат? Ось абсцисс имеет уравнение у = 0. (6) Система уравнений (5) и (6) имеет решения •*i = 3> Уг = ° и *2 = —1, у2 = 0. Линия (5) пересекает ось абсцисс в точках А (3, 0) и В (— 1,0), Ось ординат имеет уравнение * = 0. (7) Решая систему уравнений (5) и (7), получаем уравнение у2 _ 4у _ з _ о. Корни его Л=2+]/7, уг = 2-ут. Линия (5) пересекает ось ординат в точках С(0, 2-{-У7) и D(0, 2 — 1/7). Читателю предлагается построить линию (5) — это окруж- ность (см. § 6) — и проверить решение геометрически. Связь между линией и уравнением можно использовать и в обратном направлении. Пусть требуется решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, например, систему Зная, что первое уравнение представляет окружность ра- диуса 5 с центром в начале координат, а второе — прямую с угловым коэфициентом ~ и начальной ординатой 4, построим эти две линии на графленой бумаге (черт. 37). Если бы по- строенные окружность и прямая не имели общих точек, то система уравнений не имела бы действительных решений. Но в нашем случае имеются две общие точки Мг и М2. Прочи- тываем на-глаз их координаты и получаем два решения си- стемы (8): первое
пересечение линий 75 и второе 2,1, л = 4,5. Разумеется, эти решения, как правило, будут приближен- ными и лишь случайно могут оказаться точными. Так, в на- шем случае первая система решений точна, вторая — прибли- женна (точные 9 *2 — 2 Ту значения 9 \ ^y2 = 4jyj. Тем не менее описанный графический способ решения весьма ценен; особенно важен он тогда, когда система двух уравнений с двумя неиз- вестными сводится к уравнению, с тру- дом решаемому или вовсе не разрешимому в радикалах. В таких случаях графиче- ский способ дает приближенное реше- ние, которое затем можно уточнять уже алгебраическими методами. Но для практики часто уже и грубого решения достаточно. Если по виду уравнения нельзя быстро узнать, какую линию оно представляет, нужно строить график этой линии по точкам. Черт. 37. точки: а) с Упражнения 1. Пересекаются ли следующие пары прямых: а) у — Зд* — 2, у = 2х\ Ь) л: = 3, у = х — 1; с) у = у х-\- 1, у = 2лг? Отв. Да. 1 3 2. Имеет ли парабола у~-ггх2 — л: + — общие прямой х = Ъ\ Ь) с прямой у = 3; с) с прямой у = ~х; d) с пря- мой у = (У'д — 1) л:? Отв. а) Пересекает в одной точке; Ь) пересекает в двух точ- ках; с) не имеет общих точек; d) касается. 3. Сколько общих точек имеет парабола у = х~: а) с окруж- ностью х2-\-(у + 1)2 — 5; Ь) с окружностью лг2 + (У — 2)2 = 2; с) с окружностью х* -f- (у -f- 1 )2 = 1 ? Отв. а) Две; Ь) четыре; с) одну (точка касания). 4. Пересекает ли ось абсцисс линия х*+у* + 4х + 6у— 14 = 0? Отв. Да. 5. На каком расстоянии от начала координат пересекает ось абсцисс прямая у = —2х + 5? Отв. 2,5.
76 основные понятия и формулы [гл«,1 Решить графически системы уравнений: 6. ** + у» = 25, у = 7 — л\ Отв. хх = 4, Ух = 3; лг2 = 3, Уг~4. 7. л:2+у2 = 12, у — л: = 2. О/ив. л:! 1,2, Ух 3,.2; лг2 =¾ — 3,2, у2=^ — 1,2. Указание. Радиус окружности вычислить приближенно. 8. л:2+з/2=16; ху==6 Отв. .^¾3,5, y1 = \J; лг2 1,7, у2=^3,5. 1 1 2 9. Решить графически уравнение -тг л:3 5- х—-— = 0. х 2 о о Указание. Можно искать пересечение кривой у = -~-xz — 12^ —^-л:—-g- с осью абсцисс или рассмотреть систему уравнении, 1 , 1,2 например, у = — хд; у = — х+ у . Отв. х ^ 1,3. 10. Сколько решений имеет уравнение 2* = 2лг? Отв. Два (л: = 1, х = 2). § 9. Линия и точка Зная координаты некоторой точки и уравнение некоторой линии, мы можем определить, лежит ли точка на этой линии или нет, другими словами, проходит ли линия через точку или не проходит. В самом деле, координаты всех точек линии должны удов- летворять ее уравнению, а координаты всякой точки, не ле- жащей на линии, должны не удовлетворять ему; следовательно, если подставим в уравнение вместо текущих координат ко- ординаты данной точки и уравнение обратится в тождество, то точка лежит на линии, если же тождества не получится, то точка на линии не лежит. Пример 1. Лежит ли точка Л (5, 5) на окружности x2-\-y* = 49? Подставляя в уравнение окружности л: = 5, ^ = 5, мы получаем 25 -f- 25 = 49, т. е. противоречивую формулу. Значит, точка А (5, 5) на нашей окружности не лежит. Впрочем, то, что 25 -f-25 = 50 сравнительно мало отличается от 49, показывает, что точка А лежит недалеко от окружности (постройте график). Пример 2. Проходит ли прямая У = \ * ~Ь * через точку А (4, 5)?
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 77 Проходит, ибо подстановка # = 4, у =5 в уравнение у = ~-л;-|-4 дает тождество 5 = -^--4-)-4. Упражнения 1. Лежит ли точка (—1, —3) на прямой дг — у = 2? Отв. Да. 2. Проходит ли через начало координат линия у = * t ; ли- дг —j— i ния у= —— ? Отв. Да; нет. 3. Проходит ли окружность (х — 2)2 -(- (у -f 7)2 = 20 через точку (—2, —5); через точку (5, *—4); через точку (4, —3)? Отв. Да; нет; да. 4. Пересекаются ли в одной точке три прямые: х — у = 2, дг+у = 4, у = 2д: — 5? О/ив. Да. ГЛАВА II ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Вводные замечания . . Материал предыдущей главы позволяет нам составить, об- щее представление об аналитической геометрии и оценить силу ее метода. Для того чтобы с успехом применять этот метод на практике, нужно систематически изучить ряд про- стых вопросов, постоянно встречающихся при решении гео- метрических задач. В этой главе мы рассмотрим простейшие задачи, относящиеся к прямым линиям. § 2. Общее уравнение прямой линии Мы видели (§ 5 гл. 1), что всякая прямая линия, не па- раллельная оси у> мэжет быть представлена уравнением вида y=ax-\-b, (1) прямая же, параллельная оси у, — уравнением х=с. (2) Всегда, следовательно, прямая может быть представлена уравнением первой степени. Докажем теперь, что и обратно:
78 ПРЯМАЯ линия [гл. II всякое уравнение первой степени (относительно текущих координат) представляет прямую линию. Самый общий вид уравнения первой степени относительно х, у есть Ax;-{-#y-J-C = 0, (3) где Л, В, С — постоянные коэфициенты. Если коэфициент В не равен нулю, т. е. член, содержа- щий у у не отсутствует в уравнении (3), то это последнее уравнение можно решить относительно у, что даст <4> Сравнив это уравнение с уравнением (1), мы видим, что урав- нение Ах + Ву-\-С=0 при В =f=0 представляет прямую линию с начальной орди- С А натой b = ^ и Угловым коэфициентом а = —-^-. Пусть теперь В = 0, т. е. уравнение (3) принимает вид Ах-\~С=0. (5) Коэфициент А здесь нужно считать не равным нулю; иначе в равенстве (3) исчезли бы оба члена с текущими координа- тами, и оно не было бы уравнением линии. Разрешим уравнение (5) относительно х\ мы получим С Х = -А- Сравнив это уравнение с уравнением (2), видим, что уравнение Ах + С = 0 представляет прямую, параллельную оси ординат, с начальной С абсциссой с = —- —. Наше предложение доказано. ■о Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Ах-\-Ву + С=0. I. Случай В = 0 только что рассмотрен; прямая параллельна оси ординат.
§ 2] общее уравнение прямой линии 79 всегда представляет прямую, мы можем очень упростить по- строение графика линейного уравнения: достаточно построить II. В случае А = О уравнение (3) имеет вид Ву + С = 0, т. е. Значит (ср. § 5 гл. 1), прямая параллельна оси абсцисс. III. В случае С = О уравнение (3) имеет вид Ах + Ву=0, (6) т. е. А У = -вх- Сравнение с формулой (1) показывает, что отрезок Ь, отсекаемый на оси у, равен нулю, т. е. прямая проходит че- рез начало координат. Это видно и из того, что координаты точки (0, 0) удов- летворяют уравнению (6) (см. § 9 гл. I). Ша. Если одновременно С=0 и В = 0, то уравнение принимает вид Ах = 0} т. е. х = 0\ прямая совпадает с осью ординат. ШЬ. Если одновременно С = 0 и А = 0, то уравнение принимает вид Ву=0 или У = 0; прямая совпадает с осью абсцисс. Пример 1. Прямая 2х — 7^у = 0 проходит через на- чало координат, так как в этом уравнении С=0. Пример 2. Прямая 3jc —{— 8 =0 параллельна оси у, так как в этом уравнении В = 0. Зная, что линейное уравнение, т. е. уравнение первой степени, Ах + Ву+ С=0
80 прямая линия [гл. II две любые точки, принадлежащие искомому графику, и через них провести прямую. Для этого, задав одной из ко- ординат произвольное значение, найдем из данного уравне- ния значение другой координаты; то же проделываем еще раз, задав новое значение, координаты. Часто бывает удобно положить один раз х = 0у другой раз у = 0. Пример 3. Построить график уравнения ' Ux— 15^ = 20. 20 1 Полагая х = 0, находим у = — J5 =— * у. Полагаяд^^О, находим х = ^ = 1 ^. Откладывая на оси абсцисс отрезок -j-l-^-, а на оси ординат отрезок —1у, соединяем прямою их концы и получаем искомый график. Для точности построения желательно, чтобы выбираемые точки были не очень близки друг к другу. Поэтому прием, примененный в примере 3, не всегда можно рекомендовать. § 3. Угол между двумя прямыми Если две прямые заданы своими уравнениями, то вычис- лением можно легко найти угол ср между ними, точнее го- воря, какую-либо тригонометрическую функцию этого угла. Пусть дано урав- нение у = ахх -\- Ьх прямой Л1В1 и уравнение у = а2х-\-Ьг Черт 38 прямой Л2В2. Проведем (черт. 38) че- р ' * рез точку М пересечения прямых AxBt и А2В2 прямую MNy параллельную оси абсцисс. Через ах и а2 обозначим углы, образуемые данными прямыми с прямой MN. Такие же углы данные прямые будут образовывать и с осью абсцисс, ибо MNпараллельна этой оси. Следовательно, igax = av tga2 = a2. Из черт. 38 видно, что <j>=a2 — av
§ 3] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 81 имеем откуда 1 q <*i = ~2 и а2=6> '-Т tgcp = Г=1> 1 + з.т <р = 45°+ 180°. я, (2) •где п любое целое число. Если, как это делается в элемен- тарной геометрии, рассматривать только положительные углы, меньшие 180°, то получаем: <р = 45°. Ничто не мешало бы нам обозначить данные прямые в обратном порядке, т. е. прямую у=улс—обозначить через А2В2, а прямую у — Ъх-\-2~ — через A XBV Тогда мы имели бы ах = 3, а2=-^,и формула (3) дала бы tg<p= 1, 1+8.1 откуда ср = — 45° 4- 180°. п. (3) 6 М. Я. Выгодский Значит^ Пример 1. Найти угол между прямыми 1 5 о I о 1 1 5 Обозначим прямую у = -^х—"3 через Afiv а прямую ^=3^4-2^- — через А2В2\ тогда, подставляя в формулу (1) значения
82 прямая линия [гл. II Если рассматривать лишь положительные углы, меньшие 180°, мы получим ср= 135°. Этот результат нисколько не противоречит предыдущему, ибо две прямые образуют не один, а четыре угла, попарно равные. В нашем случае одна пара углов содержит по 45°, другая — по 135°. Вообще задача о вычислении угла между двумя прямыми остается не вполне определенной, если не поставить каких- либо добавочных условий. Если, например, добавочно указать, что разыскивается (абсолютная) величина острого угла, задача станет вполне определенной. Для решения ее будет служить формула или, что то же, I 1+^1^2 а\ — а2 I 1 -f- аха2 | (5) (прямые черты означают, что берется абсолютное значение содержащегося между ними выражения). Пример 2. Найти величину острого угла между пря- мыми 2х — 3у = 4: и Злг + 5у=1. Разрешив каждое из уравнений относительно у, имеем: 2 4 3,1 У = -гх-Т и У = -тх+-ь- Мы можем положить Формула (4) даст tg? j 3 2_ 5 " 3 19 2,111. Тот же результат даст и формула (5). По таблице находим <р^б4°39'.
§4] УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДЗУХ ПРЯМЫХ 83 4 Замечание 1. Так как в формулы (1), (4) и (5) не входят величины bv ЬгУ то свободные члены в уравнениях данных прямых никакой роли при вычислении угла не играют. Поэтому вместо уравнений 2х— 3^/ = 4 и Зх -f- 5у = 1 мы могли бы взять урав- нения 2х — Зу = О и Зл: + 5у = 0; эти уравнения проще решить относитель- но у; геометрически это означает, что вместо данных прямых можно взять две другие, им параллельные, проходящие через начало координат. Замечание 2. Мы знаем, что уравнение прямой нельзя представить Черт. 39. в виде у — ах-\-Ъ, если прямая параллельна оси у; уравнение прямой имеет тогда вид х = с. Ясно, что формулы (1), (4), (5) в этом случае непригодны. Чтобы определить угол ср между прямой у—ах-\-Ъ и прямой х = су достаточно заметить (черт. 39), что где а — угол уклона первой прямой1). Отсюда ctgcp = ctg (у — a) =tga, т. е. ctg ср = а. (6) Пример 3. Определить угол между прямыми линиями у = ^х — 5 и Зх+2 = 0. По формуле (6) имеем ctgcp = -i, откуда <р = 63°26'. § 4. Условие параллельности двух прямых При выводе формулы (1) предыдущего параграфа мы предполагали, что . прямые Л1В1 и А2В2 пересекаются в не- которой точке М. Однако, эта формула сохраняет силу и *) Если бы и вторая прямая была параллельна оси у, то определение угла между ними (который равен нулю) не требовало бы никаких вычислений. б*
84 ПРЯМАЯ линия {гл. II и, значит, a2 — ai , q 1 -f- ^1^2 Мы видим вместе с тем, что из сопоставления уравнений прямых y = a1x-{-bl (1) и у=а2х-{-Ь2 (2) сразу же можно узнать, параллельны ли эти прямые или нет. Именно, прямые параллельны, если их угловые ко- эфйциенты равны: аг = а2, (3) и не параллельны, если угловые коэфйциенты не равны. Итак, условием параллельности прямых служит равен- ство их угловых коэфициентов. Пример. Узнать, параллельны ли прямые 2л;+ 3^/ = 8 и \х -f6y=l. Разрешаем уравнения относительно у: 2,8 2,1 Равенство угловых коэфициентов свидетельствует о парал- лельности прямых. Свободные члены и здесь не играют роли (см. замечание 2 в предыдущем параграфе). Вообще, если имеем уравнения прямых в форме Л^ + Б^ + С^О и А2х + В2у+С2 = 0, то их угловые коэфйциенты (ср. формулу (4) § 2) будут для случая, когда АгВх\\А2В2ш Действительно, угол между двумя параллельными прямыми нужно считать равным нулю (или 180°), и, значит, tg ср = 0. С другой стороны, две параллельные прямые имеют всегда одинаковые угловые коэфйциенты, т. е. в формуле (1) § 3 мы имеем
условие перпендикулярности двух прямых 85 = — ~ и а2 =— Ф. Условие параллельности (3) примет £х " "2 — В вид: или Вг В2 А1_В1 (4) Итак, условием параллельности двух прямых является пропорциональность коэфициентов при текущих координа- тах. В нашем примере имеем: A— А 4 — 6 " § 5. Условие перпендикулярности двух прямых Чтобы получить условие перпендикулярности двух прямых, подставим в формулу <р = а2 — ах значение <р = 90°. Мы получим *2 = 90° + av (1) Следовательно, tga2 = — ctgax или tga2 = — -Lf (2) или, что то же, т. е. аха2 = — 1. (4) Таким образом, если две прямые взаимно перпендику- лярны, то произведение их угловых коэфициентов равно —1. Обратно, если это произведение равно —1, то прямые вза- имно перпендикулярны. Действительно, из уравнения (3) вы- текает уравнение (2), а отсюда и уравнение (1). Итак, имеем следующее условие перпендикулярности: две прямые АХВХ и А2В2 взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда их угловые коэфйциенты ах и а2 удовлетворяют соотношению 1
86 прямая линия [гл. II т. е. когда ах и а2 обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Замечание. Если бы мы в формуле (1) § 3 ьг 1 + аха2 заменили ср через 90°, а аха2 через — 1, то получили бы tg90° = ^=-^. Из арифметики известно, что деление (а2 — ах) : 0 невоз- можно, т. е. нет такого числа, которое после умножения на 0 дало бы а2 — ах (эта величина не равна нулю). С другой стороны, прямой угол, строго говоря, не имеет тангенса. По- этому формулой (1) § 3, казалось бы, нельзя пользоваться, если прямые взаимно перпендикулярны. Но не всегда можно наперед знать, перпендикулярны ли прямые или нет. Поэтому желательно иметь возможность пользоваться формулой (1) § 3 во всех без исключения слу- чаях. С этой целью вводят запись и говорят, что тангенс угла 90° «равен бесконечности». Смысл этого выражения таков: когда угол ср приближается к 90°, абсолютное значение tgcp неограниченно возрастает; это и отмечается равенством tg90° = oo. С другой стороны, при этом величина а^ приближается к —1, так что знаме- натель 1 -|- аЛа2 приближается к нулю. Вместе с тем дробь "Y^^~^' неограниченно возрастает по абсолютной величине; это и отмечается «равенством» ~ ai = со . Это означает следующее. Представим себе, что 1 -f- аха2 есть величина переменная и что она неограниченно прибли- жается к нулю. Тогда величина tgер = а2—-ах также b г 1+ аха2 переменная величина, и абсолютное ее значение неограни- ченно увеличивается. В этом и состоит точный смысл записи tg ср = оо. Но при неограниченном увеличении | tg ср | величина угла ср неограниченно приближается к ~. Итак,
§ 5J условие перпендикулярности двух прямых 87 А±А2 _ ВХВ2 ' = -1, (5) или, что то же, А1А2 + В1В2 = 0, (6) т. е. условием перпендикулярности двух прямых является обращение в нуль суммы произведений соответственных коэфициентов при текущих координатах. Упражнения Найти величину (острого) угла между прямыми: 1. у = 2лг + 6, у = ~ х — 4. Отв. 45°. 2. 2х_ — Зу = 1, 6у — 4лг = 7. Отв. 0°. 3. Ybx — у == 4, V Ъх — Зу == 1. О/яв. 30° 4. 2.r — 3y+l=0, Злг-f 2у+1 =0. Отв. 90° 5. 7х4-Зу = 4, л:—у= 1. Отв. 62°26'. если 1 аха2 стремится к нулю, то прямые приближаются к перпендикулярному положению. Естественно ожидать, что при \ -\- ага2 = 0 прямые будут перпендикулярными. Мы ви- дели, что так оно и есть. Но тогда естественно от записи tgcp = oo перейти к записи ср = -^-, т. е. условно считать, что прямой угол имеет тангенс, «равный бесконечности». Если иметь в виду это соглашение, то формулой (1) можно пользоваться во всех без исключения случаях. Пример. Перпендикулярны ли прямые 2х-\- 5у = 8 и 5х — 2у=3? Разрешив данные уравнения относительно у, имеем: 2,8 5 3 Q 2 5 ^=--5^ + -5-, У = ~2 х— у- 3Десь ^1 = --5-» а2 = ~2-; условие ала2=—1 ^или а2 = — ^ удовлетворяется, и прямые перпендикулярны. Свободные члены и здесь не играют роли. Вообще, если уравнения двух прямых заданы в виде Агх -(- Вху Cj = 0 и А2х -f В2у -fs С2 = О, то их угловые коэфйциенты будут А\ /4 о Условие перпендикулярности примет вид:
88 прямая линия [гл. II. 6. Найти углы треугольника, стороны которого имеют уравне- ния: х — у — 3 = 0, х — Зу — 4 = 0, 4дг + 2у + 3 = 0. Отв. 26°30', 71°30', 82°. 7. Среди следующих прямых: (I) 2л:-4-Зу = 1: (II) х — 4у = 0; (IH) 4дг+у-7 = 0; (IV) 4*-f-6y—11=0; (V) Зл: - 2у - 3 = 0 найти параллельные и перпендикулярные между собой прямые. Отв. Параллельные (I) и (IV); перпендикулярные (I) и (V), (II) и (III), (IV) и (V). 8. Через начало координат провести прямую, перпендикулярную х х — 2у = 3. Отв. у = — 2л*. 9. Через начало координат провести прямую под углом 45р к прямой у = 2л: + 5. Отв. 1) з/ = -1 л:; 2) 3/ = — Зл:. 10- Составить уравнение прямой, проходящей через точку (0, 3) и параллельной прямой 2л: — 3/ = 1. Отв. у = 2л: + 3. § 6. Прямая через две точки В этом и следующем параграфах мы решим ряд простей- ших задач на составление уравнения прямой линии по неко- торым условиям, задающим ее положение. Рассмотрим прежде всего такую задачу: Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Ml(xv ух) и М2(х2> у2)- Если бы оказалось, что точки Mv М2 имеют одинаковые абсциссы хх = х2У то задача решалась бы особенно просто- Обозначив общую величину хх и лг2 через а и построив чертеж» мы увидим, что абсциссы всех точек прямой МХМ2 одинаковы и равны а. Следовательно, уравнение прямой МХМ2 будет х = ау и прямая МХМ2 параллельна оси ординат. Пример 1. Прямая, проходящая через точки Мг (—3, —8) и М2(—3, -]-8), имеет уравнение х = — 3. Точно так же, если точки Мх и М2 имеют одинаковые ординаты ух =у2= Ь, то уравнение прямой МХМ2 будет у=Ъ и наша прямая будет параллельна оси абсцисс.
прямая через две точки 89 Рассмотрим теперь общий случай, когда хх фх2 и ух -фу2. Как мы знаем, всякая прямая, если она не параллельна оси (случай прямой, параллельной оси у, мы только что рас- смотрели), может быть представлена уравнением у=ах-\-Ъ\ (1) остается только определить значения параметров а и Ь. Искомая прямая должна проходить: 1) через точку Мх (xvyx), 2) через точку М2 (лг2, у2). Значит, параметры а и Ъ нужно выбрать так, чтобы 1) уравнение (1) удовлетворялось значениями x = xv у = ух (ср. § 9 гл. I) и 2) чтобы то же уравнение удовлетворялось значениями х = х2у у = у2% Таким образом, должны одновременно иметь место равен- ства У\ = axi + (2) у2 = ах2 + Ь. (3) В нашей задаче xv x2f yv у2 известные величины, a a, b неизвестные. Равенства (2), (3) нужно поэтому рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными аи Ь. Эту систему легко решить; внеся найденные значения ау Ъ в урав- нение (1), мы получим искомое уравнение прямой МХМ2. Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(\1 5) и М2 (3, 9). Уравнения (2) и (3) примут вид 5 = a+b, (2') 9 = 3a-fft. (3') Из них находим а=2, Ь = 3. Подставляя эти значения в уравнение (1), имеем у=2х-\-3. Если мы повторим вычисление, проделанное в примере 2, для общего случая, то найдем из уравнений (2) и (3) а = Уч — У\ b __ У i*2—.У 2*1 . Хо — Х\ у Х2 — Х\ * подставив эти выражения в (1), найдем искомое уравнение в виде '-5=^+*¾^- «•>
90 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В этом виде, однако, уравнение неудобно для вычисления и трудно для запоминания. Лучше поэтому получить искомое уравнение в более симметричном виде, что достигается, на- пример, таким образом: будем исключать величины а, Ь из уравнений (1), (2), (3); для этого вычтем почленно уравнение (2) сначала из уравнения (1), затем из уравнения (3). Получим: У —Уг = а(х —xj, (5) У%—У\ = а (*2 — (6) Разделив уравнение (5) на уравнение (6) почленно, получим: У —У\ = х — хх /7v Уг — У\ *2 — *Г Нетрудно убедиться, что это уравнение равносильно урав- нению (4), но в силу своей симметричности оно гораздо прак- тичнее. Пример 3. Решим по формуле (7) задачу, рассмотрен- ную в примере 2: составить уравнение прямой, проходящей через точки Мх(\у 5) и М2(3, 9). Здесь ^=1, ^ = 5; х2 = 3, у2 = 9. Получаем у — Ъ_х—\ 9 — 5— 3—1 ' или У — 5 = 2(х — 1), или у = 2х -f- 3. Формулу (7) следует запомнить. Замечание. Так как точки М х и М2 совершенно равно- правны, то уравнение прямой МХМ2 может быть записано также в виде У — У2 = х — х2 У\ — У 2 *i — х2* 1 ' получаемом из (7) перестановкой индексов (указателей) 1 и 2. Можно показать, что уравнение (7') вытекает из (7) и об- ратно. Геометрический смысл уравнения (7) выясняется из черт. 40, на котором OAx = xv AxMx = yv OA2 = x2l А2М2=у2} ОА = ху АМ=у.
§7] ПРЯМАЯ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ. ПУЧОК ПРЯМЫХ 91 Имеем: у —ух— АМ — АХМХ= АМ — АР = РМ% у2 —УА = Л2М2 — Ахмл = Л2М2 — AQ= QM2, x — xl==OA — ОАх = АгА = МгР, х2 — хх — ОА2 — OA г = А гА2 == Л4г(3, и уравнение (7) выражает, что в подобных прямоугольных треугольниках MlQM2 и МгРМ катеты ^ пропорциональны: РМ _ МгР QM2 MXQ * Способ, которым мы решили зада- чу о прямой, проходящей через две точ- ки, часто применяется в высшей матема- Черт. 40. тике при решении разнообразных задач; этот способ носит название метода неопределенных коэфи- циентрв. Суть его состоит в следующем. При решении некоторой за- дачи (в нашем примере задачи составления уравнения прямой М1М2) мы часто можем заранее предвидеть, к какому общему типу будет принадлежать решение (в нашем примере мы знаем заранее, что искомое уравнение будет первой степени); тогда мы пишем соот- ветствующую формулу (в нашем случае y = ax-\-b)t в которую входят «неопределенные коэфициенты», т. е. некоторые постоян- ные, но пока еще неизвестные величины (в нашем примере а и Ь). Эти постоянные и определяются затем с помощью не использованных ранее условий задачи (в нашем примере условия состоят в том, что прямая у—ах~\-Ь должна пройти через точки Mi и М2). Привлечение этих условий дает одно или несколько уравнений [в нашем примере уравнения (2) и (3)], из которых, если это воз- можно, находим значения «неопределенных коэфициёнтов». § 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых Прямая линия может быть задана не двумя, а одной из ее точек, если сверх того установлено еще одно какое- либо условие, например условие, чтобы прямая имела задан- ное направление. Поэтому важно знать, каков общий вид уравнения прямой, проходящей через одну заданную точку M,(xvy1).
92 прямая линия [гл. II Чтобы решить этот вопрос, перепишем уравнение (7) § б в виде и обозначим величину через k. Уравнение (1) примет вид y—yx = k(x—xt). (2) Очевидно, введенная нами величина х2 — XL есть не что иное, как угловой коэфициент прямой, проходя- щей через две точки Мх (хХУ ух) и М2 (х2у у2). Если обе точки Мх и М2 заданы, то и угловой коэфициент k имеет опреде- ленное значение. Если же задается только одна точка Mx(xvyx), то вторую точку можно выбрать произвольно и, значит, угловой коэфициент k может иметь какое угодно значение. Итак, уравнение прямой, проходящей через одну точку Мх (xv ух)у имеет вид y—yx = k{x — xx)y где k есть неопределенный угловой коэфициент, характеризующий направление прямой. Вращая прямую вокруг точки МХУ мы изменяем величину этого коэфициента. Пример 1. Если прямая, проходящая через МХУ парал- лельна оси абсцисс, то ее угловой коэфициент равен нулю, и уравнение (2) принимает вид у—Ух = 0 или у = ух. Пример 2. Если прямая, проходящая через М\у обра- зует с осью абсцисс угол 45°, то ее угловой коэфициент k — \, и мы получаем уравнение у—У\= *—хх или у = х-\-ух—xv Таким же образом из уравнения (2) можно, дополнительно задав направление, получить уравнение любой прямой, проходящей через Mx(xvyx), кроме прямой, па- раллельной оси у. Для прямой, параллельной оси у,
§ 7] прямая через одну точку. пучок прямых 93 :0, и формула (3) дает k х — хх = О, т. е. X = хь а это (§ 2) есть уравнение прямой, параллельной оси у. Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку Mv называется пучком прямых; точка Мг называется вершиной пучка. Уравнение (2) называют поэтому уравнением пучка прямых с вершиной Мг (xv ух). Пример 1. Составить уравнение пучка прямых с вер- шиной в точке Мг(—4, —8). Подставляя в уравнение (2) уг = — 8, х{ = — 4, находим ^+8 = ^(л:+4). Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей че- рез точку Мх (1,4) и перпендикулярной к прямой Зл: — 2у = 12. Искомая прямая принадлежит пучку с вершиной Ml(l9 4), поэтому ее уравнение имеет вид y — 4 = k(x — \). (4) Значение углового коэфициента k найдем из условия перпен- дикулярности данной и искомой прямых. Это условие имеет (§ 5) вид где k' есть угловой коэфициент прямой Злг — 2у=\2, т. е. k! = ; следовательно, из (5) получаем угловой коэфициент равен бесконечности, и потому формула (2) становится непригодной. Впрочем, если предварительно преобразовать уравнение (2) к виду £=^=х-хь (3) то можно получить и уравнение прямой, проходящей через М\ па- раллельно оси у. Для этого заметим, что при любом заданном зна- чении у Ф Ух величина -—неограниченно убывает, когда k не- ограниченно возрастает. Поэтому при &=гоо нужно положить
94 прямая линия [гл. II Подставляя это значение k в уравнение (4), находим 2 2 2 .У — 4=—- у (х — 1) или y = — — XJ^4j. Это есть уравнение искомой прямой. Пример 3. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок ОМх = — 3 и параллельной прямой у=2х. Прямая принадлежит пучку с вершиной Мх (—3, 0); урав- нение ее имеет вид y = k(x-\r3). Угловой коэфициент k определяется из условия параллель- ности искомой прямой у=2х (§ 4); имеем, следовательно, k = 2. Искомая прямая имеет уравнение _у=2(* + 3). Упражнения 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (—1, 2) и (—0,5, —4). Отв. Ах — Зу + 10 = 0. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (0,3) и (2, 5). Отв. у = jc-f-3. 3. Составить уравнения сторон треугольника с вершинами Л (4, 6); 5(-4,0); С (-1,-4). Отв. Зх — 4y-f 12 = 0; 4лг + Зу + 16 = 0; 2лг—у —2 = 0. 4. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами Л (2, 0); В (4, 6); С (6, —2). Отв. 2х— Зу — 4 = 0; х = 4; 5х-f-Зу — 24 = 0. 5. Лежат ли на одной прямой три точки (1, 3), (5, 7), (10, 12)? Отв. Да. 6. Даны вершины четырехугольника ABCD: А (2, 2), В (5, 1), С(3, 6), D (0, 3). Найти точку пересечения его диагоналей. ^ /45 24\ 0тв' (й- ш- 7. Написать уравнение пучка прямых с вершиной А (—2, —5). Отв. у4-5 = £(л;-4-2). 8. Через точку (2, 5) провести прямую, параллельную прямой 2лг-г-3у = 15. Отв. 2лг-г-3у — 19 = 0. 9. Через точку (—4, 1) провести прямую, перпендикулярную к прямой Зу — 7х -f-1 = 0. ' Отв. Злг-|-7у4-5 = 0.
§ 8] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ 95 § 8. Уравнение прямой в отрезках Положение прямой может быть задано отрезками, кото- рые она отсекает на осях координат (отрезки отсчитываются от начала координат и берутся со знаками, соответствующими направлению отсчета). Составим уравнение прямой по данным отрезкам а (на оси абсцисс) и Ъ (на оси ординат). Эта задача есть частный случай задачи § 6: искомая пря- мая должна проходить через точки Мх (а, 0) и М2 (0, Ь). Ее 10. Диагональ АС квадрата ABCD имеет уравнение jr = 7.r + 5. Вершина В имеет координаты (3, 1). Найти уравнения сторон АВ и СВ. Отв. Здг — 4у — 5 = 0, Ах + Ъу — 15 = 0. 11. Стороны треугольника представляются уравнениями х+ 3_у — 2 = 0, 2л--f jy + 5=s0, 3* —4 = 0. Найти уравнения высот этого треугольника. Отв. 5^ — 9 = 0, 9лг — 18j/— 8 = 0, 9х — Зу — 35 = 0. 12. Даны точки Л (—3,1), 5(3,—7). На оси ординат найти точку, из которой отрезок АВ виден под прямым углом. Отв. (0,2) и (0, —8). 13. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х+у — \=Ъ, ЗДГ—Д>+4=:0 и точка пересечения его диагоналей (3, 3). Найти уравнения двух других сторон. Отв. х+у — 11=0, 3* —j/—16 = 0. 14. Даны две противоположные вершины квадрата (2, 1) и (4,5). Найти две другие вершины. Отв. (1,4) и (5, 2). 15. Найти расстояние точки (3, —7) от прямой Зд-+4у + 5 = 0. Отв. -г. о 16. Даны уравнения двух высот треугольника 2х — Зу+1=0, х-\-у = 0 и координаты одной из его вершин (1,2). Найти урав* нения сторон треугольника. Отв. х— д/+ 1 =0, Злг + 23/ — 7 = 0, 2х + 3^/ + 7 = 0. 17. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки (-1, 1), (3,-1), (7, 1). Отв. (х — 3)2 + (у — 4)2 = 25. Указание. Наиболее общий вид уравнения окружности есть хч +^2 + Ах + By + С -е 0. По методу неопределенных коэфициентов (§ 6) определим А, В, С
96 прямая линия [гл. II уравнение можно записать в виде у — 0 х — а Ь — 0~~~ 0 — а1 т. е. у_ х — а b — а или b а * 1' или, наконец, в симметричном виде: Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Пример. Составить уравнение прямой, отсекающей от- резок— 2 на оси ОХ и -\- у на оси OY. Подставляя а = —2, ¢ = +"Г в УРавнение 0)> находим I^-H-f=l или 3* —4у + 6 = 0. Т Упражнения 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях коорди- нат отрезки а = 2, Ь = — 3. Отв. Зх — 2у — 6 = 0. 2. Написать уравнения прямых Зл: — 2у-\-\2 = 0; у = 4лг— 2; jr = — а* 1 в отрезках. г\ х « У л х У 1. х \ У 1 Оте.—л+% = \; Т —Т ' Т+Т = 1- 2 3. Составить уравнения сторон ромба с диагоналями 8 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось абсцисс, меньшую за ось. ординат и взяв за единицу масштаба 0,2 см. Пта £.0. У — Ь £ |У — 1- * У 1 • £. ! 1 u/we*20~M5 ' 20+15"-1' 20 15""1' 20+15~~ lu 4. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2дг + 5у — 20 = 0, если за'единицу мас- штаба принять 0,5 см* Отв. 5 см2.
эллипс как сечение цилиндра 97 ГЛАВА III ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА § 1. Вводные замечания В предшествующих главах мы видели, что метод анали- тической геометрии оказывается полезным уже в таких геометри- ческих задачах, где мы имеем дело с простейшими линиями — прямой и окружностью. Для этих линий во многих случаях до- статочно применять методы элементарной геометрии, и часто это бывает даже предпочтительнее. На практике, однако, часто приходится иметь дело и с кривыми линиями, отлич- ными от окружности. Здесь метод аналитической геометрии особенно ярко обнаруживает свою силу. В этой главе мы покажем применение метода аналитиче- ской геометрии к изучению простейших и вместе с тем важ- нейших для практики кривых линий. § 2. Эллипс как сечение цилиндра поверхность (например параллельной основанию. Если круглую цилиндрическую трубу) пересечь плоскостью /?, не то в сечении получится овальная ли- ния (ABCD на черт. 41). Такую ли-, нию можно видеть, например, на сты- ке двух труб, соединенных коленом. Чтобы исследовать свойства этой линии, отнесем ее к прямоугольной системе координат, выбранной на пло- скости сечения. За начало координат примем точку О, в которой плоскость сечения встречает ось цилиндра Ог02. Через точку О проведем пло- скость St перпендикулярную к оси цилиндра. Она даст на цилиндриче- ской поверхности окружность EBFD с центром в точке О, а с плоскостью R пересечется по диаметру BD этой окружности. Примем прямую BD за ось ординат. Тогда ось абсцисс пойдет по прямой Л С, проведенной в плоскости овала через О перпендикулярно к BD. 7 М. Я. Выгодский
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. 111 Очевидно, что при проектировании на плоскость S любая точка М овала ABCD спроектируется в некоторую точку N окружности EBFD, а ось абсцисс АС спроектируется в диа- метр окружности EF, перпендикулярный к BD. Введем на плоскости S систему координат, в которой осью абсцисс служит прямая EF, а осью ординат — прямая BD. Координаты точки М в плоскости R обозначим через х, у> а координаты точки N в плоскости 5 — через х', у'. Наконец, длины отрезков OA и OB = OF обозначим соот- ветственно через а и Ь. Так как геометрическое место то- чек N есть окружность радиуса ОВ = то х' и у* связаны уравнением х'2+у'2=Ь*. (1) Чтобы получить уравнение нашей овальной линии, являю- щейся геометрическим местом точек Му выразим переменные х\ у' через координаты х, у точки М. Легко показать, что ордината у1 — NQ равна ординате у = МРу так что у'=у. (2) Далее, из подобия треугольников OCF и OPQ имеем х1 _OF Ъ х ~~ОС~~~ а ' откуда т*- (3) а Подставляя выражения (2) и (3) для х\ у1 в формулу (1), мы получим |*2+.У2 = *2. (4) Это есть уравнение нашего овала. Его можно представить в более симметричном виде, если разделить почленно на Ь2. Будем иметь 5+?,='- <*> Уравнение (5) представляет любое овальное сечение любой круглой цилиндрической поверхности; конечно, ве-
§ 2] эллипс как сечение цилиндра 99 в» личины а и ft меняют свое значение в зависимости от выбора цилиндра и сечения на нем. В частности, окружность EBFD есть вид сечения цилиндра; для этого сечения мы имеем а = Ъ, и уравнение (5) принимает знакомый нам вид или x*-\-f = №. Обратно, всякую кривую линию, уравнение которой имеет вид (5), можно получить в результате сечения цилиндра плоскостью. Если а = Ь, то уравнение (5) представляет окружность, и спра- ведливость наиТего утверждения очевидна. Если а и Ь не равны, то мы можем считать, что я > Ь, ибо если в уравнении ^+^ = 1 (5) а < Ь, то, переименовав ось абсцисс в ось ординат, а ось ординат в ось абсцисс, мы ту же линию представим уравнением вида х2 V2 где a' = b, Ь'=а, и, следовательно, я'> Итак, пусть а > Ь. Тогда берем цилиндр радиуса OF—b и рас- сечем его какой-либо плоскостью, образующей с плоскостью ос- нования такой угол а, чтобы Тогда найдем, что Ь cos а = — . а OC=OF- = b:l = a, cos а а и, повторив вышеприведенное рассуждение, покажем, что уравне- ние линии ABCD есть Итак, уравнение (5) является общим уравнением овального сечения цилиндрической поверхности. Представляемая им кри- 7i:
100 эллипс, гипербола, парабола [гл. III вая носит название эллипса. На черт. 42 изображены эл- липсы при различных значениях параметров а, Ь\ рекомендуем читателю провести на одном ппимере построение эллипса по точкам. Черт. 42. § 3. Исследование формы эллипса по его уравнению О форме эллипса можно составить представление из чисто геометрических соображений, но мы хотим показать, какие сведения можно получить о форме эллипса, изучая его уравнение в V «2 ~Г bi 1. 0) Черт. 43. Разрешив это уравнение относи- тельно у, получим Ь_ а У- (2) Если задать абсциссе х значения, превышающие а по аб- солютной величине, то под корнем окажется отрицательная величина и, значит, ордината у не получит никакого дей- ствительного значения. Отсюда ясно, что наша кривая целиком помещается внутри полосы, ограниченной прямыми PQ и SR (черт, 43), параллельными оси ординат и лежащими направо и налево от этой оси на расстоянии а от нее. Точно так же, разрешив уравнение (1) относительно х, получим О)
§ 3] исследование формы эллипса по его уравнению 101 и убедимся, что эллипс лежит внутри полосы, ограниченной прямыми RQ и SP, параллельными оси абсцисс и отстоящими от нее на расстоянии Ь. Сопоставляя эти выводы, приходим к заключению, что эллипс лежит целиком внутри прямоугольника PQRS. Далее, уравнение (2) показывает, что для каждого значе- ния jct абсциссы х, меньшего а по абсолютной величине (\хх\<^а), мы получаем два значения ординаты у, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Это значит, что мы получаем две точки эллипса (Мх и М2 на черт. 43), расположенные симметрично относительно оси абс- цисс. Иными словами, ось абсцисс служит осью симметрии эллипса. При х=ьа и х = —а уравнение (2) дает одно значение ординаты у=0, т. е. обе симметричные половины эллипса смыкаются на оси абсцисс в точках А(ау 0) и А' (—а, 0), от- стоящих от начала координат каждая на расстояние а. Точно так же из уравнения (3) убеждаемся в том, что и ось ординат является осью симметрии эллипса. На черт. 43 точки М\ й Mz расположены симметрично относительно оси ординат. Наконец, уравнение (1) показывает, что если точка Мх (хиух) принадлежит эллипсу, то и точка М4 (—л^, —уг) тоже лежит на эллипсе, ибо равенство х\ у\ — -4--=1 можно переписать также в виде Но точки Мх(хиух) и Ж4 (—хи—уг) расположены симмет- рично относительно начала координат О, т. е. О есть сере- дина отрезка Л^Л^. Таким образом, с каждой точкой Мх эллипса можно связать другую его точку МА так, что пара точек Мъ Мх расположится симметрично относительно точки О. Иными словами, точка О есть центр симметрии эллипса. Сопоставляя все вышесказанное, получаем следующий вы- вод: эллипс есть замкнутая кривая линия; она расположена целиком внутри некоторого прямоугольника PQRS, имеет центр симметрии О и две оси симметрии А'А и В'В.
102 ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. 111 Точка О называется центром эллипса; отрезки А*А = 2а и В'В = 2Ь осям а эллипса. Если а^> Ь, то ось А 'А назы- вается большой осью, а ось В'В малой осью эллипса. Концы осей, т. е. точки Л, А\ Б, В1 называются вершинами эллип- са. В этих вершинах эллипс касается сторон ограничивающего его прямоугольника. § 4. Эллипс и круг Свойства эллипса, отмеченные в предыдущем параграфе, дают хотя и важные, но далеко не достаточные сведения о его форме. Но из уравнения (1) предыдущего параграфа можно извлечь еще очень много важных свойств эллипса. Одно из них состоит в том, что всякий эллипс можно полунить, равномерно сжимая (или растягивая) круг в каком-либо одном направлении. Построим окружность АСА'С (черт. 44) на большой оси 2а эллипса, как на диаметре. Уравнение этой окружности в той же системе координат, к которой мы относим эллипс, будет (1) где через х, у обозначены текущие координаты окружности. Представим это уравнение в виде и сравним его с уравнением эллипса Ъ а (2) (3) Зададим абсциссам х и х какие угодно одинаковые зна- чения: х = х. Тогда, разделив почленно уравнение (3) на уравнение (2)', получим: (4) У а Уравнение (4) выражает, что отношение любой ординаты у эллипса (например РМ на черт. 44) к соответствующей орди-
ЭЛЛИПС И КРУГ 103 нате у окружности (PN на черт. 44) всегда равно отноше- нию малой полуоси эллипса, Ь = ОБ к большой а — OA = ОС. Это значит, что если мы возьмем окружность радиуса а и подвергнем ее равномерному сжатию в каком-либо на- правлении, w. е. сократим все хорды ее, имеющие это направление, в одном и том же отношении k = b:a, то в результате сжатия получится эллипс, большая полуось которого „а" равна радиусу окружности, а малая полуось „Ь* равна ha. Отношение малой оси эллипса к его большой оси А = ? = ^ (4') 2а а х ' называется коэфициентом сжатия эллипса, а величина называется сжатием эллипса (обычно обозна- Ь 1 чается через а). Пример. Земной меридиан, как показали точные изме- рения, лучше считать не окружностью, а эллипсом. Земная ось является малой его осью. Размеры этого эллипса (округленно) таковы: а =6 377 км, b = 6 356 км. Коэфи- циент сжатия Земли А = 0,997; сжатие а = —Ь = 0,003, Совершенно так же можно показать, что эллипс можно получить и в результате равно- мерного растяжения окружности по одному направлению. Только тогда не большая, а малая ось эллипса будет равна диаметру растягиваемой окружности. Возьмем теперь окружность АБА*В\ лежащую в плоскости Р (черт. 45), и спроектируем ее на плоскость р, образующую с плоскостью Р угол а. В проекции получим кривую aba'b\ Докажем, что эта кривая есть эллипс. Черт. 45.
104 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1гл. III Очевидно, что все хорды окружности, параллельные линии MN пересечения плоскостей Р и р, спроектируются отрезками той же длины; в частности, диаметр А'А спроектируется отрезком а'а, равным А'А. Все же хорды, перпендикулярные к А'А, например диаметр В'В, после проектирования сокра- тятся в одном и том же отношении: b'b ш = cos а. На основании только что доказанной теоремы мы заключаем, что проекция окружности ABA'В' на плоскость р есть эллипс, большая ось которого а'а параллельна линии пе- ресечения плоскости круга Р с плоскостью проекций р и равна диаметру круга; коэфициент сжатия эллипса равен косинусу угла, образованного плоскостями Р и рш § 5. Построение эллипса по точкам Рассматривая эллипс как равномерно сжатый (или растяну- тый) круг, мы находим следующий простой способ построения эллипса по точкам. Пусть даны полуоси эллипса а и Ь. Строим две концентрические ок- ружности: АСА'С и DBD'B' с ради- усами ОА=а и OD=b (черт, 46). Через общий центр О проводим произвольный луч OPQ, встречаю- щий наши окружности в точках Р и Q. Из точки Р проводим горизон- тальную прямую РМ; из точки Q — вертикальную прямую QM. Точка М пересечения этих прямых будет при- надлежать искомому эллипсу. Меняя положение луча OPQ, по- лучим сколько угодно точек эллипса. . Доказательство. Рассмотрим отношение ординаты NM точки М к ординате NQ окружности АСА'С. Из подо- бия треугольников OQN и PQM получаем NM _ОР _ Ъ_ NQ ~OQ~ а {ОР и OQ суть радиусы наших концентрических окружно- стей). Черт. 46.
§ 6] другое определение эллипса. фокусы. эксцентриситет 106 Итак, ординаты всех точек построенной нами кривой по- лучены из ординат окружности радиуса а равномерным сжа- тием, величина которого есть — . Значит, наша кривая есть ь и эллипс, полуоси которого суть а и а-— = о. § 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцентриситет Пусть имеем две точки Fx и F2 (черт. 47), отстоящие друг от друга на расстояние FXF2 = 2с. Закрепим в точках F, и F2 концы нити *), длина которой 2а больше расстояния FxF2 = 2c (ay с). Натянув нить концом карандаша, будем передвигать его ост- рие по плоскости чертежа. Мы полу- чим замкнутую кри- вую овальной фор- мы. Докажем, что эта кривая есть эл- липс, и найдем его Черт. 47. полуоси. Для этого составим уравнение нашей кривой; Начало координат естественно выбрать в середине О отрезка FXF2. Ось абсцисс направим по прямой FXF2. Точки Fx и F2 будут тогда иметь координаты Fx(c, 0); F2(—с, 0). Из способа построения кривой ясно, что для любой ее точки М(ху у) сумма расстояний до Fx и F2 есть постоянная величина 2а: MF1 + MF2=2a. (1) !) На чертеже 47 вместо нити F1MF2 = 2a, закрепленной своими концами Fx и /¾, изображено нитяное к о л ь ц о FXMF2FX = = 2a-\-F1F2, наброшенное на гвоздики Fx и F2. Легко сообразить, что это не меняет дела, так как отрезок нити FXF2 остается неиз- менным.
106 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [гл. Ш По формуле расстояния между двумя точками имеем MF, = + V(x — с)« + у\ (2) MF2 = + V(x + cf + у\ (3) Уравнение (1) принимает теперь вид Vyx — cf^f^ V(x^7j^y~== 2а. (4) Это и есть уравнение построенной нами кривой; чтобы иссле- довать его, освободим его от радикалов. Перенесем один из радикалов в правую часть. Получим V(x — cf -\-у* = 2а — V(x -f cf -{-у2. (4') Возведем обе части этого уравнения в квадрат; получим (х — cf -\~у2 = \а2 — 4аУ{х+сГ+у*-+- {х -\-cf -4-у?. Перенесем член, содержащий радикал, в левую часть, а остальные члены — в правую, и упростим правую часть. Тогда получим 4а Y(x^-cf + / = 4а2 -f- 4сх. Разделив \ обе части равенства на 4 и возведя затем их d квадрат, получим Ф (х2 -f- 2сх + с2 -\-у2) = с2х2 -J- 2а2сх -f а4. Собрав члены, содержащие переменные величины, в левую часть и произведя приведение подобных членов, будем иметь (а2 — с2) х2 Фу2 — а2 (а2 — с2) или, деля обе части равенства на свободный член, Теперь мы видим, что наша кривая есть эллипс. Действи- тельно, так как #^>с, то величина а2 — с2 положительна и может быть представлена как квадрат некоторого положитель- ного числа Ь\ а2 — с2= Ь2 (6) (отрезок Ь есть катет прямоугольного треугольника, гипоте- нуза которого а и другой катет с). Тогда уравнение (5)
§ б) ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА* ФОКУСЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ 107 примет вид Значит, наша кривая есть эллипс с полуосями а и Тот факт, что малая ось эллипса должна быть равна У~а2 — с2, очень наглядно выясняется из черт. 47. Когда острие карандаша попадает в точку в (или в') на оси ординат, отрезки f2b и f±b становятся равными, и так как общая их длина 2я, то каждый ра- вен а. Отрезок же ofx равен с. Значит, ов = Vbf\-of\ = Из сказанного ясно, что эллипс можно определить также следующим образом: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек Fv F2 есть постоянная величина (2а). Точки Fv F2 называются фокусами эллипса; расстояние между ними FXF2 = 2с называется фокусным расстоянием. Отрезки MFV MF2, соединяющие любую точку М эллипса с фокусами, называются радиусами-векторами эллипса. Фокусы эллипса расположены на большой его оси, сим- метрично относительно центра; если заданы длины полуосей а, Ь, то расстояние с каждого из фокусов до центра опре- деляется из соотношения (6): c = Va?—b\ (8) Чтобы построить фокусы по данным полуосям, нужно из конца В малой оси, как из центра, сделать радиусом а засеч- ки Fv F2 на большой оси А'А. Выше было указано, что окружность можно рассматривать кач эллипс с равными осями (Ь = а). Естественно спросить, где находятся фокусы окружности? Формула (8) при Ь = а дает с — 0. Значит, фокусы окружности совпадают с ее центром. Чем более отличается эллипс с заданной большой осью от окружности, тем больше расстояние его фокусов от центра. Величина с этого расстоя- ния может поэтому служить мерой вытянутости эллипса. Но сама по себе величина с еще мало характерна для определения формы эллипса, ибо даже при больших ее зна- чениях эллипс с трудом отличим от окружности- если его
108 ЭЛЛИПС, ГИПЕРВОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ш оси очень велики сравнительно с с. Поэтому для характе- ристики растянутости эллипса лучше всего ввести отношение ; оно называется эксцентриситетом эллипса и обозна- чается буквой g; таким образом, t = ± = Yj*f£. (9) а а Эксцентриситет окружности (а = Ь) равен нулю; вообще же эксцентриситет эллипса е<Ц, так как (^<Сща- При пропор- циональном увеличении осей эллипса его эксцентриситет, как показывает формула (9), не меняется. Заметим, что и коэ- фициент сжатия k=± а и сжатие эллипса а — Ь а = - а остаются при этом неизменными. Между эксцентриситетом £ = — эллипса и коэфициен- том сжатия k — существует простая связь. Переписав уравнение (6) в виде разделим обе его части на я2. Получим Пример. Найти коэфициент сжатия эллипса и составить его уравнение, если эксцентриситет эллипса равен -g-, а фо- кусное расстояние 24 см. 4 Имеем е=— с = \2см. о ' *■ Из уравнения (11) находим Далее, из формулы (9) находим с 12-5 1е а = — = -^— = 15 см.
§ 6] ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА. ФОКУСЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ 109 Наконец, из формулы (4) § 4 находим b = ak = \5.~ = 9 см. о Уравнение эллипса будет 225 • 81 *2 , У~ -4--= 1 Упражнения Написать уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат, по следующим данным: 1. Оси эллипса равны 40 м и 30 м. х2 у2 0тв' 400 + 225 = 1' 2. Фокусное расстояние равно 8 м\ большая ось 10 м. х2 у2 0тв- ^5-+-9- = 1- 3* Фокусное расстояние равно 18 см; малая ось 6 см. х2 у2 0тв' 90-+-9- = 1' 4. Сумма длин осей равна 2 м; фокусное расстояние равно 1,6 м. X2 у2 0тв' 0Д724 + 0Д)324 = 1 * 5. Найти длины осей эллипса 16.*:2-f 25у2 = 400, определить ко- ординаты его фокусов, коэфициент сжатия и эксцентриситет. Отв. 2я = 10, 2& = 8, 7^(3, 0), 3, 0), k = 0,8, е = 0,6. 6« Построить по точкам эллипс с полуосями а = 3,8 см и ¢ = 2,4 ем (см. § 5). Построить фокусы этого эллипса. 7. Даны полуоси эллипса а = 70 см, ¢ = 50 см. Не вычерчивая всего эллипса, найти графически (с точностью до 1 см) координаты его точек, для которых л: = 40 см; х — — 25 см; у = —15 см; у = 30 см (ось абсцисс — большая ось эллипса, ось ординат — малая). Указание. Уменьшить масштаб. 8. Сжатие эллипса равно а = 0,18. Найти коэфициент сжатия k и эксцентриситет е. Отв. k = 0,82, 0,57. 9. Найти эксцентриситет земного меридиана (см. пример § 4). Отв. е = 0,077. 10. Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу; Солнце нахо- дится в одном из фокусов этого эллипса. Большая полуось земной орбиты а = 150 миллионам км\ эксцентриситет ее e = g^. На ка- ком расстоянии от Солнца находится центр земной орбиты? На-
по ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill сколько кратчайшее расстояние от Земли до Солнца (оно бывает в декабре) короче длиннейшего (в июне)? Отв. 2,5 миллиона км; на 5 миллионов км. 11. Насколько малая ось земной орбиты короче большой (см. услозие предыдущей задачи)? Отв. Примерно на 40 тысяч км. 12. Расстояние между концами малой и большой оси эллипса втрое больше полуфокусного расстояния. Найти эксцентриситет эллипса (с точностью до 0,1). Отв. 0,45. 13. Через один из фокусов эллипса с полуосями а =10 см, Ь = 6 см проведена хорда перпендикулярно к большой оси. Найти ее длину. Отв. 7,2 см. 14. Найти полуоси а, Ь эллипса, зная, что на нем должны ле- жать две точки All и М2, расстояния которых от оси 2а соответ- ственно равны ^^ = 8 сму М2Р2 = 4 см, а от оси 2b MxQi = = 10 см, M2Q2 ~ 20 см. Отв. а = 22,4 см, 6 = 8,9 см. 15. Два стержня вращаются около точек А и В (см. черт. 35 на стр. 71) так, что они пересекают прямую MN в точках С и D, лежащих по одну сторону от АВ. При этом имеет место соотноше- ние OC-OD = 4 АО2. Найти геометрическое место точек R пересе- чения стержней. См. указание к упражнению 9 на стр. 71. Отв. Эллипс с центром в середине АВ; малая ось — АВ; боль- шая ось вдвое больше. § 7. Гипербола Наряду с эллипсом большое практическое значение имеет другая кривая — гипербола; ее свойства обнаруживают боль- шое родство со свойствами эллипса. Гиперболу, как и эллипс, можно опре- делить различно. Следующее опреде- X ление сразу же сближает гиперболу с эллипсом. ■ Гипербола есть геометрическое Черт. 48. место точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fx, F2 есть величина постоянная, равная 2а. Точки Fu F2 (черт. 48) называются фокусами гиперболы; расстояние между ними FXF2 — 2с называется фокусным расстоянием. Постоянная величина 2а должна быть, конечно, меньше, чем 2с, так что, в отличие от эллипса (где было с<^а), мы имеем здесь с>а. (1)
§ 7] ГИПЕРБОЛА ш ;=1. (5') Теперь можно положить с2 — а2 = Ь2 (6) и уравнение (5') примет вид Систему координат выберем так же, как в предыдущем параграфе. Из определения гиперболы вытекает, что для каждой ее точки должно иметь место равенство MF2—MFl= 2а (2) или MFx—MF2 = 2a. (3) Точки гиперболы, для которых имеет место равенство (2), лежат ближе к /7,, чем к F2; точки, для которых имеет место равенство (3), лежат ближе к F2. Точки первого рода образуют одну ветвь гиперболы, точки второго рода — другую. О расположении и форме этих ветвей мы составим себе представление, исследуя их уравнения. Рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, мы за- пишем условие (2) в виде уравнения V(x + c)*+f — У(х—с)*+у* = 2а. (4) Если перенести первый радикал вправо, получим — V(x — с)2-\-у2 = 2а — V{x-\-cf-\-y\ (4') Это уравнение отличается от уравнения (4') предыдущего параграфа только знаком в левой части. По возведении обеих частей его в квадрат различие исчезнет, так что в резуль- тате мы получим снова уравнение х2 у2 ^2 + ^=72= (5) но теперь а2 — с2 есть величина отрицательная, а ее нельзя представить в виде квадрата какого-либо действитель- ного числа. Поэтому перепишем уравнение (5) в виде
112 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill сходный с уравнением (7) предыдущего параграфа. Проделав такие же выкладки с уравнением (3), мы снова придем к уравнению (7)1). Итак, координаты точек обеих ветвей гиперболы удовле- творяют одному и тому же уравнению (7). Это и слу- жит причиной того, что гипербола с двумя своими ветвями считается за одну, а не за две кривые. Можно было бы показать (мы этого не будем делать), что все точки, коор- динаты которых удовлетворяют уравнению (7), непременно принадлежат одной из двух ветвей гиперболы, т. е. удовле- творяют либо условию (2), либо условию (3). Геометрический смысл величины Ь будет выяснен ниже; пока заметим только, что, как видно из формулы (6), вели- чина Ь2 не превосходит с2, поэтому b (эту величину считают положительной) не превосходит полуфокусного расстояния с. § 8. Исследование формы гиперболы по ее уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы Разрешим уравнение гиперболы х--у-=\ (1) Ф Ь2 1 * ' относительно у; мы получим y = ±%V*—(fi. (2) Если задавать абсциссе х значения, меньшие а по абсо- лютной величине, то под корнем окажется отрицательная величина, и ордината у не получит никакого действительного значения. Значит, гипербола (1) не имеет точек внутри полосы, ограниченной прямыми PQ и RS (черт. 49), парал- лельными оси ординат и лежащими направо и налево от этой оси на расстоянии а от нее. Для каждого значения jc, пре- восходящего а по абсолютной величине (т. е. для х<^— а J) Это можно видеть и не проводя вычислений; действительно, мы найдем уравнение У(х — с)2 -(-У2— У (х-\- с)2 -\-у2 = 2а, кото- рое получилось бы из (4) заменой с на — с. Поэтому вместо урав- х* у2 х2 у2 нения — z 0 = 1 мы получим — — —^ 5=1» но это Ф с2 — Ф Ф (— с)2 — Ф 1 последнее уравнение не отличается от первого, ибо (—с)2-=с\
§ 8] исследовлниЕ ФОРМЫ гиперболы ИЗ и для х ^> о)у ордината у будет иметь два значения, равных по величине и противоположных по знаку. Это значит, что гипербола имеет неограниченное про- тяжение вправо от прямой PQ и влево от прямой RS, причем с обеих сторон она расположена симметрично относительно оси абсцисс (т. е. отно- сительно прямой, проходящей через фокусы). Разрешив уравнение относительно л:, получим х=±^УуЧгр~. (5) Черт. 49. Это уравнение показывает, что ординате у можно задавать любые значения; соответствующая абсцисса всегда будет иметь два действительных значения. Значит, по направлению оси ординат гипербола (1) не стеснена никакими пределами, причем повсюду она расположена симметрично относительно оси ординат. Наконец, совершенно так же, как для случая 1*3, с*5, Ь=4 а Черт. 50. b эллипса, мы покажем, что гипербола (1) симметрична относи- тельно начала координат. Сообразно с этим гипербола выгля- дит так, как показано на черт. 50, а и b1). Две ветви гиперболы разобщены между собой пространством, лежащим между прямыми PQ и RS. В каждой ветви две ее части, расположенные симметрично по отношению к оси абсцисс, 2) На этом чертеже изображены две гиперболы: • r2 V2 ~9 V2 а) у 1 кч *г У 1 8 М. Я. Выгодский
114 ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill смыкаются в точках А (я, 0) и А' (— а, 0). Эти точки назы- ваются вершинами гиперболы. Точка О называется центром гиперболы. Отрезок А'А=2а называется действительной осью гиперболы. Отрезок В'В длиной 2Ь называется мнимой осью. Название это нельзя признать удачным, ибо отрезок В'В столь же действителен, как и отрезок А*А. Роль «мнимой оси» при определении формы гиперболы выяснится в следующем параграфе. Отношение фокусного расстояния гиперболы к действи- тельной ее оси 2с_ 2а а называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой е, как и эксцентриситет эллипса. Только для эллипса величина е заключена между 0 и 1, для гиперболы же е^> 1, ибо су а. Заметим, что величина s = — при соответствующем под- боре величин с, а может быть сделана сколь угодно боль- шой. Так как мы положили b2 = с2 — а\ (4) то для гиперболы t=jLs=V^T» (5) a a v ' [ср. формулу (9) § 6, стр. 108]. Пример. Составить уравнение гиперболы, действительная 5 ось которой равна 24 см, а эксцентриситет равен . Имеем a=12, s = 4". Из формулы (5) находим полуфокусное расстояние с = аг — \2--г= 15. 4 Из формулы (4) находим мнимую полуось: b2 = c2_a2= 152— 122 = 81, Ь = 9. Уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, имеет вид *2 У2 Л
АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 115 § 9. Асимптоты гиперболы Мы видели, что гипербола, подобно эллипсу, имеет центр симметрии. Но, рассматривая пучок прямых с вершиной в центре симметрии, мы обнаруживаем между эллипсом и гиперболой существенное отличие. Именно: любая прямая, проходящая через центр эллипса, пересечет эллипс в двух точках, распо- ложенных симметрично по отношению к центру. Для гипер- болы дело обстоит иначе: не всякая прямая, проходящая через ее центр, встречает гиперболу. Так, ось ординат заведомо не имеет общих точек с гиперболой (§ 7). С другой сто- роны, ось абсцисс заведомо пересекается с гиперболой. Воз- никает вопрос, какие из прямых, проходящих через центр, встречают гиперболу, а какие нет? Пучок прямых, проходящих через центр гиперболы £1-^1 = 1 (1) имеет уравнение y = kx. (2> Нужно узнать, при каких значениях k прямая пучка пере- секает гиперболу (1). Для этого нужно узнать, при каких значениях k система уравнений (1) и (2) имеет решения и при каких не имеет. Подставляя выражения у из уравнения (2) в уравнение (1), получим IP—-*г = 1> откуда и уравнение (2) дает у = 4- r , -. (о) Из формул (4) и (5) видно, что координаты х, у не имеют действительных значений, если подкоренное выражение Ь2 — a2ft2 отрицательно, т. е. если ft2 —а2£2<0, или 8*
116 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. ПГ ИЛИ Итак, если угловой коэфициент прямой, проходящей через центр гиперболы, по абсолютной величине превосходит ~ , т. е. либо & Ъ> —, либо k — , то эта прямая не будет пересекать гиперболы. Напротив, все те прямые нашего пучка, для которых т. е. и ^ а ' пересекут гиперболу, ибо при l&|<C"7f подкоренное выраже- ние в формулах (4) и (5) положительно: и координаты л:, у получают по два действительных значения, рав- ных по величине и противо- положных по знаку. Таким образом, в этом случае будем иметь две точки пересечения, симметрично расположенные отно- сительно центра гиперболы. Границами между прямыми пуч- ка, пересекающими гиперболу и не пересекающими ее, будут служить прямые РР' и QQ' (черт. 51), имеющие угловые Ь „ , Ь Черт. 51. k=— и k = — —. а а коэфйциенты Уравнения этих прямых суть у= — х У = х.
§ 9] АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 117 Все прямые, проходящие через центр гиперболы и лежа- щие внутри той пары вертикальных углов, образованных пря- мыми РР' и QQ\ которая содержит действительную ось гиперболы, — пересекают гиперболу; прямые, проходящие через центр гиперболы и лежащие внутри другой пары вер- тикальных углов, образованных прямыми РР' и QQ', — не пере- секают гиперболы. Если вращать прямую МОМ\ пересекающую гиперболу, около центра О, приближая ее к одной из двух прямых РР' или QQ\ то угловой коэфициент k будет приближаться к величине -^- или —-^-; знаменатель в формулах (4) и (5) будет приближаться к нулю, и, следовательно, координаты х, у точек пересечения будут неограниченно возрастать. Это значит, что точки пересечения будут неограниченно удаляться от центра гиперболы. Ясно, что сами прямые РР1 и QQ' уже не встретят ги- перболы. Прямые РР' и QQ' называются асимптотами1) гиперболы. Сообразно сказанному выше, можно дать такое определение: асимптотами гиперболы называются прямые, служащие границами между теми проходящими через центр гиперболы прямыми, которые пересекают гиперболу, и теми из них, которые гиперболы не пересекают. Уравнения асимптот в принятой нами системе координат имеют вид У = ±Т*- <6> Сами асимптоты, как мы видели, не пересекают гиперболы. Но среди всех остальных прямых, не пересекающих гипер- болы, они занимают особое положение. Именно: всякая прямая (например NON' на черт. 51), не встречающая гиперболы и не являющаяся ее асимптотой, при неограниченном продолже- нии в обе стороны все более и более удаляется от гипер- болы. Асимптота же, напротив, при неограниченном про- должении все более и более сближается с гиперболой. Чтобы доказать это, рассмотрим одну из асимптот, напри- мер асимптоту [) Асимптота — греческое слово; означает «не попадающая».
118 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III и верхнюю половину гиперболы; уравнение последней будет (координаты точек гиперболы, для отличия от координат точек асимптоты, обозначены чертой сверху). Будем задавать одни и те же положительные значения абсциссе гиперболы и абсциссе асимптоты: х = л;>0, т. е. будем рассматривать точки V на верхней половине пра- вой ветви гиперболы и брать лежащие на той же вертикали точки U асимптоты (7) (черт. 51). Длина отрезка VU будет VU^W—LV^y—y, и из уравнений (7) и (8) получим VU=±(x — Ух2 — а2)- (9) Так выражается измеряемое по вертикали расстояние между гиперболой и асимптотой. При неограниченном возрастании х неограниченно увели- чивается также и величина Ух2—а2, и потому по формуле (9) трудно судить о том, как изменяется величина VU. Поэтому подвергнем формулу (9) преобразованию, умножив и разделив правую ее часть на величину х-\-Ух2— а2. Получим VU= Ь {х — Ух* — €^(х-\-Ух*--Ф)_ а х -f Ух2 — а* = А д а1 И0) ах + ухч-ф х + УхГ—а**- * ' Числитель в правой части (10) остается постоянным; знамена- тель состоит из двух неограниченно растущих слагаемых. Оба они положительны; поэтому неограниченно увеличивается и их сумма. Значит, величина VU при этом неограниченно умень- шается, что и требовалось доказать. ' Совершенно так же мы доказали бы, что гипербола в ниж- ней части своей левой ветви неограниченно приближается к той же асимптоте у= — х. В верхней же части левой
§9] АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 119 ветви, а также в нижней части правой ветви гипербола неогра- ниченно приближается к другой асимптоте у = х. Итак, каждая из асимптот гиперболы обладает тем заме- чательным свойством, что гипербэла, хотя и не имеет с ней ни одной общей точки, но неогра- . . ниченно к ней приближается. nn g l/s Это свойство асимптоты гиперболы принимается часто за ее определение. Преимущество такбго определения состоит в том, что его можно обобщить на многие другие кривые линии. Именно, если кривая линия CD неограниченно сближается с некоторой прямой ЛЯ (черт. 52), то последняя называется асимптотой кривой CD. Пример. Найти уравнения асимптот гиперболы В данном случае а = 3, ¢ = 4. Поэтому уравнения асимптот будут В заключение отметим, что рассмотрение асимптот позво- ляет ^приписать вели шне 2¢ («мнимой оси») определенный геометрический смысл. Проведем через одну из вершин ги- перболы, например А (а, 0) (черт. 53), прямую AL, парал- лельную оси ординат; эта прямая пересечет асимптоту OL в точке L. Ордината AL найдется из уравнения после подстановки в него значения х = а. Мы получим Черт. 52. Черт. 53. 9 16 ~~~ у = — х а AL = —-а=Ь. а В силу симметрии имеем L'L=2-AL = 2b.
120 эллипс, гипербола, парабола [гл. Ш Итак, мнимая ось В'В равна ограниченному асимпто- тами отрезку прямой, проходящей через одну из вершин гиперболы перпендикулярно к ее действительной оси. § 10. Равносторонняя гипербола Равносторонней гиперболой называется гипербола, у ко- торой действительная и мнимая оси равны между собой, т. е. У\ Л а = Ь. (1) Уравнение равносто- ронней гиперболы может быть записано в виде £1_ У1_ 1 а2 Д2 — '» е. Х2—у2=:а?. (2) Среди гипербол равносто- ронняя гипербола зани- мает, таким образом, то же положение, что окруж- Черт. 54. ность среди эллипсов. Асимптоты равносто- ронней гиперболы могут быть представлены уравнениями у = х и у = — х. Они образуют с осями гиперболы углы 45° и 135°, так что между собой асимптоты гиперболы взаимно перпендику- лярны. Вид равносторонней гиперболы и ее асимптот показан на черт. 54. Найдем положение фокусов равносторонней гиперболы. Из формулы (6) § 6 имеем с2 = a2 -f £2, так что полуфокусное расстояние OFx = c для равносторон- ней гиперболы (Ь = а) определится из равенства с*=0/* = 2А (3) Если опустить из точки Fx перпендикуляр FXK на одну из асимптот, то треугольник OKFx будет прямоугольным и
РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 121 равнобедренным (ибо J/mFxOK = 4b°). Поэтому OF21 = 20K2=2KF2y (4) Сравнение формул (3) и (4) показывает, что OK = KFx = a. (5) С равносторонней гиперболой мы уже встречались как с графиком обратной пропорциональности [см. Введение, § 10 (стр. 41)]. Конечно, в той системе координат, которой мы до сих пор пользовались, равносто- ронняя гипербола не служит графиком об- ратной пропорциональ- ности. Но если отнести равностороннюю гипер- * болу не к ее осям, а к - асимптотам, то она бу- дет графиком обратной пропорциональности. Докажем это. Для большей наглядности повернем черт. 54 на 45° против часовой стрелки, так чтобы асимптоты приняли го- Черт. 55. ризонтальное и верти- кальное положения. На черт. 55 X X и Y'Y суть асимптоты равносторонней гиперболы, принятые за новые координатные оси. Старые координатные оси занимают положения XX и Y'Y. Фокусы Fx и F2 располагаются на прямой XX. Коор- динаты xv ух фокуса FA в новой системе координат, как яв- ствует из формулы (5), суть хх--=ОК=ау y1 = KFx = a. (6) Координаты другого фокуса F2 отличаются от координат фо- куса Fx только знаками: х2 '= — а, уг — — а. (7)
122 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [[У1. II На основании определения гиперболы (§ 7), для любой точки М(х, у) ее правой ветви имеет место равенство MF2 — MFx = 2a. (8) Это равенство мы прежде выражали в виде уравнения между координатами л:, у, взятыми в системе координат XOY; теперь воспользуемся системой координат XOY. Формула расстояния между двумя точками (§ 3 гл. I) и формула (7) дают: MF2 = }/r (x + a)* + (y + af. (9) Точно так же найдем с помощью формулы (6) MFx = y {х — а? + Су-а)\ (10) и равенство (8) примет вид: ^ (* + я)2 + 0> + я)2 — — а)2 + (у — а)2 = 2а. (11) Перенесем второй радикал в правую часть и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим *2 + 2я* + а2+у2 + 2аЗГ+д2 = 422 + + 4а ]/~ (х—a)2+(j; — а)2 +х2 — 2ах + а2+у2 — 2ау-\- а2. Перенесем все члены, кроме члена, содержащего радикал, в левую часть, выполним приведение подобных членов и раз- делим обе части полученного уравнения на 4а. Получим: х-\-у — а = У (х — а)2-\-(у — а)2. Возведя в квадрат обе части последнего равенства, буде* иметь х2 +у* + а2 + 2ху — 2ах — 2ау = — х2 — 2ах + а2 -\-~у2 — 2ау-\-а\ Отбрасывая в правой и левой частях попарно равные члены, получаем 2ху = а2 или
РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 123 К такому же уравнению мы пришли бы, рассматривая левую ветвь равносторонней гиперболы. Уравнение (12) показывает, что переменные х и у обратно пропорциональны (см. Введе- ние, § 10). Поэтому равносторонняя гипербола, если асимп- тоты ее принять за координатные оси, дает график обратной пропорциональности, что и требовалось доказать. Упражнения Написать уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, по сле- дующим данным: 1. Действительная ось равна 20 см, мнимая 16 см. х2 у2 Отв.—- — 1. 100 Ь4 2. Действительная ось равна 16 см, мнимая 20 см. х2 у2 Отв. ж — Гб0=1- 3. Действительная полуось равна 10 см, эксцентриситет равен 1,4. х2 у2 °тв- ш—"%=1- 4. Фокусное расстояние 12 см, действительная ось 10 см. х2 у2 0тв- Тоо_ТГ=1- 5. Фокусное расстояние 12 см, мнимая ось 10 см. х2 у2 0тв- ТГ-ш^1- 6. Гипербола проходит через точки (4, 2) и (6, 8). Отв. Зх2— у2 = 44. 7. Найти длины осей гиперболы 25х2 — 144у2 = 3 600. Определить координаты фокусов и эксцентриситет. Отв. 2а = 24, 26 = 10, F1(\S, 0), (— 13,0), е = у|. 8. Мнимая ось гиперболы 2Ь = 8 см; эксцентриситет г = 2. Найти длину действительной оси. Отв. 2я=-4,6 см. 9. Даны длины действительной полуоси а и мнимой полуоси Ь ги- перболы. Найти длину хорды, проведенной через один из фокусов перпендикулярно к действительной оси. Отв. ——. а 10. Найти уравнения асимптот гиперболы х2 у2
124 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III Черт. 56. 11. Найти величину угла между асимптотами, внутри которого лежит одна из ветвей гиперболы с эксцентриситетом е = 2. Отв. 120°. 12. Найти эксцентриситет равносто- ронней гиперболы. Ome.z = V2. 13. Прямая АС вращается около точки А (черт. 56); прямая bd вращает- ся около точки В. При этом они пере- секают ось МЫ (проходящую через се- редину О отрезка АВ перпендикулярно к • АВ) по разные стороны от АВ так, что имеет место соотношение OCOD=zAOK Найти геометрическое место точек R пересечения вращающихся прямых. См. указание к упражнению 9 на стр. 71. Отв. Равносторонняя гипербола с вершинами в А и В. 14. Даны две взаимно перпендикулярные прямые АА* и ВВ'. Найти геометрическое место центров кругов, которые отсекают на прямой АА' отрезки длиной 40 см, а на прямой ВВ' отрезки дли- ной 24 см. Отв. Равносторонняя гипербола, оси которой направлены по АЛ' и ВВ' и равны 16 см. § 11. Парабола В § 9 Введения мы познакомились с параболой как с графиком квадратичной функции. Парабола имеет, наряду с эллипсом и гиперболой, много технических приложений, вытекающих из ее разнообраз- ных геометрических свойств. Одно из этих В - свойств, часто принимаемое за определение параболы, таково: парабола есть геомет- рическое место точек М, для которых расстояние MF до данной точки F и рас- стояние MB до данной прямой PQ равны между собой. Точка F (черт. 57) называется фокусом в " параболы; прямая PQ — директрисой парабо- лы; расстояние FC = p фокуса от директрисы Черт. 57. называется параметром параболы. Ниже будет доказано, что определенная таким образом парабола есть та же кривая, которую мы рассматривали раньше как график квадратичной функции. О Л м'
§ 11) парабола 125 Выведем уравнение параболы, исходя из определения в настоящем параграфе. При выборе системы координат заметим, что середина О отрезка FC должна принадлежать параболе, ибо точка О заведомо находится на одинаковых рас- стояниях OF=OC от фокуса F и ди- ректрисы PQ. Кроме того, можно пред- видеть, что парабола окажется симме- тричной относительно прямой С/7, Так как для точки М\ симметричной с Л7, мы имеем M'F = MF и М'В' = МВ. Ввиду этого удобно будет принять точку О за начало координат, а пря- мую CF за одну из координатных осей, например за ось абсцисс (черт. 58). В Черт. 58. этой системе координат фокус F будет иметь координаты F ^4~"f"> расстояние MF между М (х, у) и F (|, О) будет MF= )/)2+j,. 0) Расстояние же ВМ точки М до директрисы PQ есть сумма длин BD =| и DM = лг, так что ВМ = х-\- 2 • (2) Согласно определению параболы имеем MF=MB, т. е. j/(*-f)3+y=*+f (3) Это и есть уравнение параболы; приведем его к простейшему риду. Возводя обе части уравнения (3) в квадрат, имеем
126 эллипс, гипербола, парабола [гл. III По приведении подобных членов получим у2 = 2рх. (4) Таково уравнение параболы в простейшем виде. Разрешив его относительно у, получим y = ±V2px. При отрицательных значениях х переменная у не может иметь действительных значений; следовательно, парабола не имеет точек по ту сторону прямой YY\ где располагается дирек- триса PQ. При всяком л;^>0 переменная у всегда имеет два значения, равных по абсолютной величине и противополож- ных по знаку; следовательно, по ту сторону от прямой YY\ где расположен фокус, парабола имеет неограниченное про- тяжение и симметрична относительно прямой XX'. Эта пря- мая (ось абсцисс в нашей системе координат) называется осью параболы. Так как при х = 0 имеем у=0, то парабола проходит через точку О, в которой смы- каются две симметричные ее половины. Точка О (совпадающая с началом ко- ординат при нашем выборе координат- ной системы) называется вершиной па- раболы. Уравнение у2 = 2рх представляет параболу, отнесенную к системе коор- динат, выбранной указанным выше спо- собом. При ином выборе системы коор- динат мы получили бы и иные уравне- ния. Например, если за положительное направление оси абсцисс принять не направление от директрисы к фокусу, а обратное, то урав- нение параболы будет иметь вид f = — 2px, (5) Предлагаем читателю показать это. При обычном расположении осей парабола (5) располо- жится так, как показано на черт. 59. Если ось параболы CF принять не за ось абсцисс, а за ось ординат, то уравнение параболы будет 2ру = х* (6)
ПАРАБОЛА 127 или — 2ру = х\ (7) смотря по тому, какое направление на оси параболы принять за положительное. Расположение парабол (6) и (7) показано на черт. 60 и 61. Разрешая уравнения (6) и (7) относительно у и обозначая величину или — ~" через я, получаем уравнение параболы в виде у = ах2. Парабола есть график этого уравнения, из чего выте- кает, что определение настоящего параграфа и прежнее оп- Черт. 60. Черт. 61. ределение параболы (Введение, § 9) по существу со- впадают. Упражнения 1. Написать уравнение параболы с параметром /7 = 3 см, при- няв ее вершину за начало координат н направив ось ординат от вершины в сторону, противоположную фокусу. Отв. х2 = — 6у. 2: Составить уравнение той же параболы, приняв ее ось за ось абсцисс, а директрису за ось ординат. Отв. у2 = Ьх — 18 или у2 = — вх — 18. 3. Директриса параболы имеет уравнение у = 4; фокус поме- щается в точке (8, 10). Составить уравнение параболы. Отв. х2 — \6х — 12у -f 148 = 0. 4. Парабола симметрична относительно оси абсцисс; вершина ее лежит в начале координат. Найти уравнение директрисы, если известно, что парабола проходит через точку (—2, 4). Отв. х = 2. 5. Найти параметр параболы у = — -i- х2 — 7х -{-8. Отв. /7=-2.
128 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III 6. Найти координаты вершины и фокуса, а также уравнение директрисы параболы х*-\-4х— 6у4-7 = 0. Отв. (— 2,0,5), (— 2,2); у = — 1. 7. Показать, что хорда параболы, проведенная через фокус перпендикулярно к оси, вдвое длиннее расстояния фокуса от директрисы (двумя способами: из чертежа и из уравнения пара- болы). 8. В параболическом сегменте основание перпендикулярно к оси параболы. Зная основание сегмента а = 6 м и высоту его h — 4 м, найти положение фокуса. Отв. Фокус отстоит на 56,25 см от вершины. 9. Где находится фокус параболического рефлектора диамет- ром 15 см и глубиной 10 см^ Отв. На расстоянии 1,4 см от вершины. 10. Параболическое зеркало рефлектора Симеизской обсерва- тории (в Крыму) имеет в диаметре 1,02 м\ расстояние его фокуса от вершины равно 5 м. Найти глубину параболической выемки, ко- торую пришлось сделать при изготовлении зеркала из плоского стекла. Отв. 13 мм. 11. Горло фонтана расположено на уровне окружающего его бассейна. Струя воды имеет форму параболы с параметром 0,1 м и падает в бассейн на расстоянии 2 м от горла. Определить вы- соту струи. Отв. 5 м. 12. Через фокус параболы с параметром р проведена хорда под углом 45° к оси параболы. Определить расстояние от середи- ны этой хорды_до фокуса. Отв. р V 2. Указание. Для сокращения вычислений полезно восполь- зоваться известным свойством корней квадратного уравнения лг2 -f- тх + п = 0; сумма их равна—т. . 13. Найти геометрическое место середин хорд параболы, про- ходящих через ее фокус. Отв. Парабола с "вдвое меньшим параметром и с вершиной в фокусе данной параболы. Указание. Составить уравнение пучка прямых с вершиной в фокусе и выразить координаты искомого геометрического места через угловой коэфициент пучка; исключив этот коэфициент, най- дем искомое уравнение. См. также указание к задаче 12. § 12. Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса По своему гиду парабола имеет некоторое сходство с гипер- болой (точнее, с одной из ветвей последней): если взять гиперболу с эксцентриситетом, незначительно превышающим единицу, и с очень большими осями, то около одной из своих вершин такая ги- пербола будет мало разниться от параболы и практически может быть и неотличимой от последней. Гипербола с эксцентриситетом, значительно большим 1, заметно отличается от параболы; но даже
сечения конуса 129 и при близких к 1 значениях эксцентриситета гипербола вдали от вершины резко отличается от параболы. Наиболее ярко это ска- зывается в том, что всякая гипербола имеет асимптоты (§ 9), тогда как парабола асимптот не имеет. Если мы поместимся в одной из вершин гиперболы и будем следить за удаляющейся в бесконечность точкой, движущейся по той ветви гиперболы, на которой мы поместились, то лучи зрения будут приближаться к направлениям, параллельным асимптотам. Это можно вывести аналитически, но это очевидно и при беглом взгля- де на черт. 51 (стр. 116). Таким образом, обе симметричные поло- вины данной ветви гиперболы представятся, как это и есть в дей- ствительности, расходящимися, Если мы поступим так же, поместившись в вершине параболы у* = 2рх, то картина будет совершенно иная. Направление луча у зрения определяется его угловым коэфициентом, равным ~ = ±У'2рх УТр _ . — ■- r=r. По мере удаления точки параболы в х Ух бесконечность по любой из ее симметричных половин^ абсцисса х неограниченно возрастает, а угловой коэфициент ""^j? прибли- V х жается к нулю, т. е. парабола будет казаться замкнутой кривой (эллипсом). Таким образом, парабола имеет родство не только с гипербо- лой, но и с эллипсом. Родство это проявляется и в том, что если взять эллипс с экс- центриситетом, незначительно меньшим, чем 1, и с очень больши- ми осями, то вблизи одной из своих вершин он будет очень мало разниться от параболы. Разумеется, вдали от этой вершины эллипс рано или поздно начнет сужаться, тогда как парабола все время будет расширяться. В связи с этим стоит и тот факт, что эллипс (как и гипербола) имеет центр симметрии; парабола же центра не имеет. Далее, эл- липс и гипербола имеют две оси симметрии; парабола же только одну. Указанные черты сходства и различия между параболой и эллипсом и между параболой и гиперболой ставят параболу в по- ложение, промежуточное между эллипсом и гиперболой, и связы- вают все три кривые в единое целое. И, действительно, они обла- дают целым рядом общих свойств и образуют единую семью кривых линий, связанных между собой общностью происхождения. Об одном из способов единообразного порождения этих линий говорится в сле- дующем параграфе. § 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса Эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как линии пересечения круглой конической поверхности с пло- скостью при разных положениях последней. Пусть S есть вер- 9 М, Я. Выгодский
130 эллипс, гипербола, парабола [ГЛ. III шина конической поверхности, a ABCD— окружность, слу- жащая направляющей конической поверхности (черт. 62). Образующие конической поверхности SA, SC и т. д. мы бу- дем неограниченно продолжать в обе стороны от вершины, так что коническая поверхность будет иметь две полости: SABCD и SA'B'CD'. Возьмем на конической поверхности скости Р к положению Я3, в кото- ром она параллельна образующей SE, эллипс будет неограничен- но удлиняться и расширяться, но малая ось будет расти медлен- нее большой, так что коэфициент сжатия ~ будет стре- миться к нулю, а, следовательно, эксцентриситет е — к 1. Пло- скость Р3, параллельная образующей SE9 разрежет кониче- скую поверхность по параболе с вершиной в К. При даль- нейшем вращении плоскость Р пересечет не только полость SABCD, но и полость SA'B'CD'. Одно из таких положе- ний (Р4) изображено на черт. 62. Мы получаем гиперболу, одна ветвь которой BKD располагается на полости SABCD, Черт. 62. какую-либо точку К. Проведем через нее осевое сечение ASE и плоскость Р, перпендикулярную к этому осевому сечению. Пло- скость Р будем вращать около точки К так, чтобы она оставалась перпендикулярной к осевому се- чению. Когда плоскость Р займет положение Pv в котором она па- раллельна плоскости основания, в сечении ее с конической по- верхностью получится окружность. При небольшом повороте секущей плоскости, когда она займет положение Я2, сечение вытянется в овальную кривую, которая есть не что иное, как эллипс с вер- шиной в К. Пока плоскость Р пересекает только одну полость конической поверхности и не па- раллельна образующей SE, в се- чении всегда будет получаться эллипс; по мере приближения пло-
§ 14] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 131 1) Если основание конуса оставлять неизменным, а вершин/ удалять в бесконечность, конус будет приближаться по форме к цилиндру. Тогда все большую часть его сечений будут соста- влять эллипсы; на самом цилиндре, -как мы знаем (§ 2), все сече- ния — эллипсы. 2) Л также на поверхности некруглого конуса, имеющего в качестве направляющей линии окружность. 9* а другая B'K'D' ~~ на полости SA'B'C'D'. Точка /Сбудет одной из вершин гиперболы. Другая вершина К' по мере вращения плоскости Р будет приближаться к вершине конуса S. Экс- центриситет гиперболы при большом удалении К' от К будет незначительно превышать 1; по мере приближения К' и S он будет неограниченно возрастать. Доказательство всех этих утверждений нетрудно, но не- сколько громоздко, и потому мы его не приводим. Для нас важно было только показать, что эллипс, парабола и гипер- бола в описанном простом геометрическом способе их полу- чения являются частными видами единого класса кривых ли- ний1). Заметим еще, что на любой круглой конической поверх- ности2) можно получить любой эллипс, любую параболу, но не всякую гиперболу, а лишь такие, у которых угол между асимптотами не превышает угла при вершине конуса в осе- вом сечении. Наконец, отметим, что эллипс, гипербола и па- рабола впервые . были введены в математику именно как се- чения конуса. Теория их была обстоятельно разработана уже за 2 200 лет до нашего времени древнегреческими матема- тиками (Менехмом, Евклидом, Аполлонием и др.), которые дали этим кривым общее название: конические сечения. Это название сохраняется и поныне. § 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола» Уравнения эллипса и гиперболы, изученные нами выше, схожи друг с другом, но непохожи на уравнение параболы. Это несход- ство вызывается тем, что для эллипса и гиперболы мы прежде брали начало координат в центре, а для параболы в вершине. Если единообразно выбирать для всех трех кривых систему координат, то и уравнения их представятся в единообразном виде. Так как парабола центра не имеет, то для составления общего уравнения всех конических сечений лучше за начало координат принять вер- шину конического сечения"
132 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1.ГЛ. III Черт. 63. Черт. 64. Поместим начало координат в вершине В (черт. 64), ось абсцисс направим по действительной оси от вершины В к фокусу /¾. Рас- стояния фокусов до начала координат будут теперь BF1 = OF1 — OB = c — a = a(z—\)1 F2B = F20 + OB = c+a = a(t + \). Так как фокус F2 лежит слева от начала координат, его абсциссу нужно взять со знаком минус, и мы получим координаты фокусов: ^(«(в-1),0), /^(-й(е + 1),0). Уравнение гиперболы запишется в виде V [х — а(г — \)]*+у* + Vlx + a(* + l)P+y* = 2а. Возьмем эллипс с большой осью 2а и эксцентриситетом s; тогда полуфокусное его расстояние есть с = га. Поместим начало координат в вершине А (черт. 63), а ось абсцисс направим по большой оси АВ от вершины А к фокусам. Тогда фо- кусы эллипса F2t будут отстоять от начала координат на рас- стоянии AF2 = AO — F20 = a — c = a{\ — e), AFl = AO + OFl = a + c = a(\ + s) и будут иметь координаты (а (1 + е), 0), F2(a ( \ s)7Q). Уравне- ние эллипса получим, как и прежде, из условия MF2 + MFx = 2a. При нашем выборе системы координат получим Y[x — a(\ — z)¥+y* + У[х — а(1 + *)Р+}Р = 2а. После преобразований, аналогичных проведенным в §5, получим ура- внение у2 = (\ — е2) 2ах — (1 — е2) х\ (1) Возьмем теперь гиперболу с действительной осью 2а и эксцен- триситетом е; полуфокусное расстояние с опять будет равно еа.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 133 По освобождении от иррациональности оно примет вид: у2 = — (1 — е2) 2ах — (1 — е2) х2. (2) Уравнения (1) и (2) имеют весьма схожий вид. Если мы вспом- ним, что для эллипса е2< 1, а для гиперболы s2 > 1, то увидим, что в обоих уравнениях (1) и (2) коэфйциенты при х существенно по- ложительны. Обозначим в уравнении (1) через р величину (1-е2) *, а в уравнении (2) введем то же обозначение р для величины — (1-е2) а. Тогда оба уравнения примут вид: уъ = 2рх— (1 — е2)*2. ^ (3) Итак, уравнение (3), в котором р имеет любое положительное зна- чение, представляет эллипс, если е < 1, и гиперболу, если е>1. Но при е=1 оно представляет параболу, ибо тогда уравнение (3) принимает вид у2 = 2рх. (3') Таким образом, параболу можно считать за эллипс или гиперболу с эксцентриситетом 11). Уравнение (3), в геометрической формулировке, было положено древнегреческим математиком Аполлонием в основу общей теории конических сечений, и с этим связано происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола». Именно: уравнение (3) геоме- трически означает, что площадь у2 квадрата, построенного на орди- нате конического сечения, получается из площади 2рх прямоуголь- ника, построенного на абсциссе х и отрезке постоянной длины 2р, следующим образом: в случае эллипса величина (1—е2)дг2 поло- жительна, так что площадь квадрата ординаты эллипса получается вычитанием некоторой положительной величины из площади упомянутого прямоугольника и, следовательно, меньше последней площади. В случае гиперболы величина (1 — s2) х2 отрицательна, так что к площади прямоугольника 2рх прибавляется неко- торая положительная величина; следовательно, площадь квадрата ординаты больше площади прямоугольника 2рх. Наконец, в слу- чае параболы площадь квадрата у2 равна площади прямоуголь- ника 2рх. Термин «эллипс» означает в переводе на русский язык «недостаток», «гипербола» — избыток, «парабола» — точное равен- ство. Эти термины введены были Аполлонием в связи с только что упомянутыми соотношениями. *) При этом оси эллипса или гиперболы нужно считать беско- нечно большими, ибо из условия р = ±а(\ — s2) вытекает а = = zt ^ Р с2 и при обращении е в 1 величина а становится беско- нечной.
134 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III §15. Общее планиметрическое определение конических сечений. Директрисы. Эксцентриситет параболы Поставим задачу: найти геометрическое место точек М, для которых расстояние MF до данной точки F (черт. 65) име- ло бы данное отношение е к расстоянию MB до датой пря- мой PQ, т. е. MF " m Для случая е — 1 мы эту задачу уже решили в § 11. В этом слу- чае искомая кривая есть парабола; точка F есть ее фокус; прямая ЯР —директриса. Как мы сейчас увидим, в общем случае искомая кривая будет ко- ническим сечением (эллипсом или гипербо- лой), для которого данная точка F является одним из фокусов, а данное отношение е эксцентриситетом. Прямую PQ по ана- логии со случаем е = 1 назовем директри- сой искомого геометрического места. За ось абсцисс естественно принять прямую FC, перпендикулярную к PQ; из условия задачи заранее видно, что искомая Черт. 65. кривая симметрична относительно оси абс- цисс. За начало координат, как мы делали в случае параболы, примем ту точку А отрезка FC = d> которая принадлежит искомой кривой. В общем случае это будет не сере- AF дина отрезка, а точка, делящая CF в отношении £^[.= £> от" куда легко найдем AF=TT7> СА = ТТГ' (2) Следовательно, координаты точки F суть ^'^^, 0^; по формуле для расстояния между двумя точками имеем I? YJ ft D И \ ... С А Р F MF=Y(х- jto-y+y*, (3) а из черт. 65 видим, что BM = BD + DM = y^j-+x. (4) Подставляя выражения (3) и (4) в соотношение (1), получаем сле- дующее уравнение:
§ 15] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ 1Ь5 По упрощении оно примет вид: У> = 2<*£лг — (1 — е2)*2. (5) Сравнение с формулами (1) и (2) § 14 показывает, что при е<1 уравнение (5) представляет эллипс, а при е > 1 — гиперболу. В обоих случаях е есть эксцентриситет, а точ- ка А — вершина. Нетрудно выразить оси этих конических сечений через данные величины rf, е. Возьмем, например, слу- чай эллипса (е<1). Сравнение форму- лы (5) и формулы (1) § 14 дает: откуда (1-е2) 2a = 2dct di (6) Черт. 66. 1 —б2 • Следовательно, полуфокусное расстояние выражается через е и d следующим образом: малая полуось определится из соотношения cfl&— d2e*_ d№(\ — £2) откуда (1—68)2 (1-е2)2 d*s* 1-е2 V\ — 62 Расстояние 8 от фокуса эллипса до ближайшей его вершины есть т. e. o = AF. А так как начало координат А есть вершина эллипса, то точ- ка F есть не что иное, как ближайший к ней фокус эллипса. Центр эллипса О отстоит от вершины А (черт. 66) на расстояние dt 1 —52 ' а от прямой PQ (директрисы) на расстояние или, если принять во внимание формулу (6), d (10)
136 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1гл. III В случае гиперболы (е > 1) совершенно аналогичные выкладки, которые предоставляем проделать читателю, дадут формулы а ■= dz с = 6* — г £2—1' . dz Ь — . V £2-1 Расстояние I от фокуса гиперболы до вершины есть d& —- dz dz ) ~ с— а = - 1 1+е ' <6'> (7') (8') (9') т. е., так же, как и для эллипса, 8 = OF (черт. 67). Значит, F есть фокус гиперболы. Центр гиперболы О (черт. 67) отстоит от вершины А на расстояние dz м ft с в Р V £2— г а от прямой PQ на расстояние ОС=а-СА-- dt d d или, если принять во мулу (6'), ОС=±. е 62_1 е + 1~ е2—1» внимание фор- (10') Черт. 67. вас к важному выводу Формулы (10) и (10') вместе с ус- ловием решенной нами задачи приводят если выбрать один из фокусов а эллипса или гиперболы F и на расстоянии — от центра эллипса (гиперболы) по ту же сторону от центра, где находится Ft провести прямую PQ (директрису), перпендикулярную к оси а, то отношение расстояния любой точки М эллипса (гипер- болы) до фокуса к расстоянию этой точки до директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гипер- болы). Ясно, что для второго фокуса /¾ (черт. 66 и 67) будет су- ществовать на том же расстоянии от центра О вторая директриса P\Q\* обладающая тем же свойством. Эксцентриситет эллипса и гиперболы мы определяли прежде с как величину отношения —; теперь мы можем определять эксцен-
§ 16] КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ 137 триситет как величину постоянного отношения MF £ MB Это определение, в отличие от первого, пригодно также и для па- раболы. Для эллипса е<1, для гиперболы е>1; для параболы е = 1. В отличие от эллипса и гиперболы парабола имеет лишь один фокус и соответственно лишь одну директрису. § 16. Конические сечения в природе и технике Изучение конических сечений не только представляет боль- шой теоретический интерес, но и имеет огромное практиче- ское значение. Мы покажем это на небольшом числе про- стейших примеров. Если круглый диск освещается пучком лучей, выходящим из одной точки, то тень этого круга на экране будет эллип- сом, гиперболой или параболой. Это ясно из того, что лучи, отделяющие светлое пространство от темного, образуют ко- ническую поверхность, а плоскость экрана сечет эту поверх- ность (ср. § 13), причем секущая плоскость может занимать любое положение по отношению к конической поверхности. Из тех же соображений ясно, что если на стене высокого здания на большом расстоянии от земли изображен круг, то смотрящему вверх наблюдателю он представится в виде эл- липса, большая ось которого горизонтальна, а малая верти- кальна. Архитектор, желающий, чтобы орнамент на фронтоне высокого здания создавал у зрителя впечатление круга, дол- жен поэтому придавать орнаменту форму эллипса, сплющен- ного по горизонтальному направлению. Если в фокусе эллипса поместить светящуюся точку, то все лучи, исходящие из этой точки и лежащие в плоскости эллипса, после отражения от эллипса соберутся снова в одной точке, именно в другом фокусе эллипса. Отсюда, между про- чим, название «фокус»; это латинское слово означает «очаг». Итак, один фокус эллипса является зеркальным изображением другого, если зеркалом служит сам эллипс. Лучи, исходящие из фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы дадут расходящийся пучок, вершина которого лежит в другом фокусе гиперболы («мнимое изображение»). Наконец, лучи, исходящие из фокуса параболы, после отражения от параболы пойдут параллельным пучком по на-
138 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. iii правлению оси параболы. Парабола является единственной лини- ей, в точности обладающей этим свойством. Поэтому зеркалу прожектора придается по возможности точно форма поверх- ности, которая получается вращением параболы около своей оси (параболоид вращения). Обратно, все лучи, параллельные оси параболы и лежа- щие в ее плоскости, после отражения от поверхности пара- болы пройдут через ее фокус. Поэтому отражательные телеско- пы, которыми пользуются астрономы, имеют форму параболи- ческих зеркал. В этих телескопах получается отчетливое изо- бражение небесных светил, которые удалены от нас на такое огромное расстояние, что доходящие до нас лучи, исходящие из какой-либо точки светила, можно считать параллельными. Если цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, при- вести в быстрое вращение около его оси, то жидкость при- нимает форму параболической воронки. Параметр параболы, образующей эту воронку, зависит от скорости вращения и от плотности жидкости. На этом основано устройство ртут- ного зеркального телескопа, который представляет собой вра- щающийся цилиндр, наполненный ртутью. Зеркальная поверх- ность ртути при вращении цилиндра сама собой принимает форму параболоида вращения, так что трудная работа шли- фовки стекла делается ненужной. Тело, брошенное горизонтально или наклонно, если бы не существовало сопротивления воздуха, падало бы на землю по параболе. В тех случаях, когда сопротивление воздуха неве- лико, траекторию (путь) брошенного тела практически можно считать параболической (см. ниже § 8 гл. IV). Планеты и кометы, обращающиеся вокруг Солнца под дей- ствием силы его притяжения, описывали бы конические сече- ния, имеющие фокусы в центре Солнца, если бы взаимодей- ствие их с Солнцем не нарушалось другими причинами..Так как вблизи Солнца действие этих других причин (например, взаимное притяжение планет) ничтожно по сравнению с дей- ствием Солнца, то в основном этот закон и наблюдается в действительности. Все планеты движутся по эллипсам с очень небольшими эксцентриситетами, т. е. эти эллипсы по форме близки к окружностям. Но кометы движутся по очень вытя- нутым эллипсам; более того, некоторые кометы движутся по параболам и гиперболам. Они, следовательно, не возвраща- ются более к Солнцу.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 139 В различных станках находят себе применение эллипти- ческие зубчатые колеса; употребление их позволяет регули- ровать скорость^ движения какой-либо части механизма так, чтобы на холостом ходу эта часть двигалась быстрее, чем на рабочем. Очень часто в технической практике приходится также встречаться с эллипсом как сечением круглого цилиндра; мы уже упоминали, например, в § 2 о коленчатом соединении труб. Гипербола встречается гораздо реже. Все же и она пред- ставляет интерес для различных сооружений и конструкций. Упомянем, например, о высоких башнях, имеющих в верти- кальном разрезе форму гиперболы. Эти башни, имея круглую форму, могут, однако, быть сконструированы из прямолиней- ных балок, что представляет большие выгоды' для строитель- ства. Подобные сооружения часто употребляются для даль- него радиовещания. О значении гиперболы как графика обратной пропорциональности мы уже говорили. Уже из этих немногих примеров ясно, как велико практическое значение изученных нами кривых. ГЛАВА IV ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ § 1. Вводные замечания Вид уравнения, представляющего некоторую линию, зави- сит не только от свойств этой линии, но и от выбора системы координат. Так, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим осям, имеет уравнение л:2—у2 = а2; та же гипербола, отне- сенная к асимптотам, имеет, как мы видели в § 10 предыду- щей главы, уравнение ху — ^% Поэтому для успешного при- менения координатного метода необходимо найти общий прием, дающий возможность по уравнению линии в одной системе координат перейти к уравнению той же линии в любой дру- гой системе. Владея таким приемом, мы сможем судить, оди- наковы или различны между собой две кривые, заданные их уравнениями. Мы сможем также, имея уравнение некоторой линии в одной системе прямоугольных координат, выбрать
140 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV новую систему прямоугольных координат так, чтобы при пе- реходе к новой системе уравнение приняло возможно более простой и удобный для исследования вид. В этих же целях аналитическая геометрия с успехом при- меняет ту же идею в более широком масштабе. Именно, она пользуется не только прямоугольными системами координат, но и другими системами, в которых положение точки на пло- скости определяется не расстояниями от двух перпендикуляр- ных прямых, а иными способами. Наиболее важной и часто употребляемой системой координат является (после прямоуголь- ной) система полярных координат; с ней мы ознакомимся в конце главы. Наконец, как в прямоугольной, так и в полярной системе координат оказывается иногда возможным облегчить исследо- вание линии, если за независимую переменную принять не какую-либо из двух координат, а новую, вспомогательную величину; с этим так называемым «параметрическим» пред- ставлением кривой мы также познакомимся в настоящей главе. § 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные Уравнение линии в новой системе прямоугольных коорди- нат мы сможем найти по уравнению той же линии в перво- начальной системе, если мы будем знать, как связаны между собой координаты произвольной точки М относительно старой системы с коор- динатами той же точки относительно новой системы. Пусть мы имеем на плоскости две системы координат XOY и X'O'Y (черт. 68). Одну из них (XOY) усло- вимся называть «старой», другую (X'O'Y) «новой». Сообразно с этим, координаты х = ОР, у — РМ точ- ки М назовем «старыми» коор- динатами, а х' = 0'Р', у' = Р'М «новыми». Задача наша состоит в установлении связи между старыми и новыми ко- ординатами. Новая система координат всегда может быть получена из старой последовательным выполнением двух движений: 1) пе- Черт. 68.
ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ 141 реноса начала О в точку О' при неизменном направлений осей; при этом система ХО У переходит в систему ХО'У> 2) по- ворота системы координат ХО Y вокруг нового начала О' до совпадения с системой ХО' У. Поэтому для установления связи между старыми и новыми координатами достаточно знать: 1) координаты дг0, у0 нового начала О' относительно старого и 2) угол а поворота, приводящего систему ХО' Y в положе- ние ХО'У. Для лучшего уяснения мы рассмотрим отдельно каждое из указанных преобразований. § 3. Перенос начала координат Пусть точка М имеет в старой системе XOY (черт. 69) координаты х = ОРу у — РМу а в новой системе XO'Y, по- лученной переносом начала в точку О'(х0,у0), координаты x = 0'Qt y=QM. Из черт. 69 имеем: vr x=OR + RP = OR-\-O'Q = x0-\-xi у = PQ+QM = RO'-\-QM=y0+y. Следовательно, У=У+Уо> (2) 4i* Черт. 69. т. е. старая координата равна новой, сложенной с коор- динатой нового начала (в старой системе). Для запоминания этого важного правила лучше не читать слов, поставленных в скобки; хотя они и существенны, но легко подразумеваются. Из формул (1) и (2) можно выразить и новые координаты через старые: л? = лг — х0, (Г) У=У-Уо- (2') Но формулы (1), (2), как мы сейчас увидим, более полезны на практике. Пример 1. Начало координат перенесено в точку О' (2, — 5); найти новые координаты точки М {— 3, -|- 4).
142 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Формулы (Г) и (2') дают jc = — 3 — 2 = — 5, у = 4 + 5 = 9. Пример 2. Начало координат перенесено в точку О' (— 4, — 1). Найти уравнение окружности х2 -\-у2 = 25 в новой системе координат. Здесь нужно воспользоваться основными формулами (1), (2), которые дают х= х— 4, у—у — \. Подставляя эти выражения в данное уравнение, имеем £_4)«+£—1)» = 25 или _ х2 -f у2 — 8* — 2у — 8 = 0. Так как основной задачей нашей является сопоставление уравнений одной и той же линии в двух системах координат, то формулы (1) и (2) важнее, чем (1') и (2'). Пример 3. Сместить систему координат таким образом, чтобы уравнение кривой y=z3x2 — 6x-{-2 (3) приняло простейший вид. После смещения начала координат в точку О1 (х0} у0) урав- нение нашей кривой примет вид У+Уо = 3 (* + х0)2 — 6 (х0) + 2 или у — Зх2-}-(6х0— 6) х -j- Зхо — 6х0 —у0 -\- 2. От выбора значений л:0, у0 зависит численная величина ко- эфициента при л; и свободного члена. Если бы удалось подо- брать х0 и у0 так, чтобы эти величины обратились в нуль, то в правой части остался бы только член Зл:2, и уравнение кривой приняло бы простейший вид у=3х\
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 143 Для этого величины х0> у0 должны удовлетворять системе уравнений 6*0— 6 = 0, Зх20 — 6л;0— ^ 4-2 = 0. Первое дает х0 = 1; из второго находим Уо=Ъх1—6хо + 2 = — 1. Итак, перенеся начало в точку 0'(1, — 1), мы приведем уравнение данной кривой к виду у = Зх2. Так как это есть уравнение параболы с осью ОТ ис вер- шиной в точке О', то кривая, представляемая уравнением (3), есть парабола с вершиной в точке 0'(1, —1) и вертикаль- ной осью. Подобным же образом можно показать, что всякая кривая с уравнением у = тх2 -\-nx-\- р (4) всегда путем смещения начала может быть представлена урав- нением у = тх2, (5) т. е. что график всякой квадратичной функции представляет собой параболу с вертикальной осью (ср. § 9 Введения). Читателкг предлагается показать, что вершина этой пара- болы лежит в точке (— гг- , р — . \ 1т' r Am J § 4. Дробно-линейная функция Функция вида тх + п /1V y = l*+-q <»> называется дробно-линейной. Многие зависимости, с которыми приходится иметь дело в технике, выражаются, если не точно, то с большой степенью приближения, дробно-линейными функ- циями. Поэтому важно заметить, что графиком дробно-линей- ной функции является равносторонняя гипербола, асимп- тоты которой параллельны осям координат.
144 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. IV ХУ = ~2 (6) представляет равностороннюю гиперболу с полуосью а. Центр ее лежит в новом начале координат, асимптоты совпадают с новыми координатными осями. В нашем случае тг = °, так К этому результату мы' придем, если поставим задачу привести уравнение (1) к простейшему виду с помощью пере- носа начала координат. Сначала проделаем это преобразова- ние на частном примере. Пусть требуется привести к простейшему виду уравнение кривой 31— Ъх /о\ Представим его в виде 2Ху — 5у-\-6х — 3\=0 (3) и перенесем начало координат в точку (х0) у0). В новой системе координат уравнение исследуемой кривой будет 2 (* + *о> (У + У о) - 5 (У + У о) + 6 (х + *0) — 31 = О или 2ху + (2у0 + 6) х + (2х0 — 5) J-f- + 2x0yQ + 6х0 — 5у0 — 31 = 0. (4) Величинами jc0, yQ мы теперь можем распорядиться так, чтобы члены, содержащие х и у, исчезли. Для этого нужно удовле- творить условиям 2у0 + 6 = 0 и 2^-5 = 0, т. е. положить Уо= 3, х0 = —. Подставив эти значения в уравнение (4), найдем: 2ху— 16 = 0 или xy=S. (5) Из § 10 гл. III мы знаем, что уравнение
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 145 .-/ 2 (пр — тд) (8) ( q т\ q т с центром в точке — — , - ) и с асимптотами х = — ~, у = — . \ Р' Р / р" р Если пр — mq<Ot то правая часть формулы (7) есть отрица- тельное число, и уравнение (7) представляет собой (см. Введение, § 10) равностороннюю гиперболу, расположенную во второй и чет- вертой четвертях и по форме совпадающую с гиперболой пр — mq *У = ^2-1 (?') (правая часть формулы (7') положительная величина). Сравнение с формулой (6) дает теперь а=-/-'2^~тй. (8-) /\2 (пр—тд) \_V2\np-mg\ 1/ ' Р2 \ \Р~\ ' Формулы (8) и (8') можно объединить, написав -/Is Рассмотрим, наконец, случай np-~mq^=:0, или, что то же, п q m^J' (9) Ю М. Я. Выгодский что а = 4; центр лежит в точке, имеющей в старой системе координаты xQ == тг, у о = — 3. Асимптоты проходят через эту точку и параллельны старым осям, так что их уравнения 5 о суть х — и У = — 3. Проверьте этот результат, построив график уравнения (2) по точкам. Рассуждая совершенно так же по отношению к общему урав- нению (1), мы найдем (промежуточные выкладки предлагается проделать читателю), что после переноса начала координат в точку (—~Р* 1р) УРавнение исслеДУемои кривой примет вид пр — mq *У= р2 • (7) Если пр — /я<7>0, как в рассмотренном числовом примере, то сравнение формул (6) и (7) покажет, что мы имеем гиперболу с полуосью
146 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV В этом случае посл£ переноса начала в точку ~, ^ урав- нение (7) исследуемой кривой примет вид -- О т. е. ху = 0 (10) ^величину р2 можно считать не равной нулю, ибо при р = 0 урав- нение (1) дает не дробно-линейную, а линейную функцию Уравнение (10) допускает два решения: дг = 0 и у—0. Первое представляет новую ось ординат, второе — новую ось абсцисс. Зна- чит, если пр — mq = 0t то уравнение (1) представляет в старой системе пару прямых, параллельных осям координат и проходящих через точку Эту пару прямых можно рассматривать как вырожденную гипер- болу, ибо гипербола ху = ~ при приближении величины а к нулю все теснее примыкает к своим асимптотам. Что уравнение тх + п /1ч в случае - = О) т р w представляет пару прямых, можно видеть и непосредственно. Пере- пишем уравнение (1) в виде "(*+£)=«(*+£)• (11> Выражения, стоящие в скобках, в силу условия (9) тождест- венны между собой. Разделив обе части уравнения (11) налг + —= =zx-j- —, получим РУ = т% или т
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 147 10* Это —одна из упомянутых прямых. Но деля уравнение (11) на x-j- — , мы утеряли решение * + * =0 т или п т' Это — вторая из упомянутых прямых. Упражнения 1. Относительно системы координат XOY точка А имеет коор- динаты (8, —3). Каковы будут координаты точки А после смещения начала координат в одну из точек (2,-5); (6, 11); (—*4, 7); (-2,-2)? Отв. (6, 2); (2, — 14); (12, — 10); (10, — 1). 2. При замене старых осей новыми с тем же направлением неподвижная точка (2, — 3) становится точкой (— 6. — 1). Найти координаты нового начала в старой системе и старого начала в новой. Отв. (8, —2); (—8, 2). 3. Начало координат перенесено в точку О1 (2, 5). Найти урав- нение равносторонней гиперболы х*—у*=10 в новой системе координат. Отв. л-2 — у* 4- 4х — 10у — 31 = 0. 4. Найти уравнение эллипса с полуосями я, Ь и с центром в точке А (лг0, у0). Указание. Принять сначала точку А за начало координат; затем перенести начало координат, приняв данную систему за «новую». 5. Написать уравнение равносторонней гиперболы с полуось» я = 6, асимптоты которой даны уравнениями лг = 3, у = — 2. См. указание к предыдущей задаче. Отв. (лг — 3) 0, + 2) = 18. 6. Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой лежит в точке (xQy y0)» а ось параллельна оси абсцисс. Отв. (у—у0)2~2р(х — х0). 7. Написать уравнение эллипса с осями 2а и 2Ь, приняв за начало координат один из фокусов и направив ось абсцисс к бли- жайшей вершине. 8. Написать уравнение параболы, приняв ее фокус за начало координат и направив ось абсцисс вдоль оси параболы. Отв. у1 = 2р (х -\-р).
148 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV \ 9. Сместить систему координат так, чтобы уравнение кривой 2ху— Ах — 2у-{-3 = 0 приняло более простой вид, и определить форму и положение кривой. Отв. Равносторонняя гипербола с полуосью 1; вершина лежит в точке (+1, 2); асимптоты параллельны осям координат.^ 10. Сместить систему координат так, чтобы в уравнении кри- вой х*-\-4у2-\-4х — 48y-f-144 = 0 исчезли члены, содержащие первые степени координат. Определить вид кривой. Отв. Сместить начало координат в точку (—2, +6). Эллипс с полуосями д=2 и Ь = \. 11. Та же задача для уравнения 2х2 — Зу2 — 8лг+12у — 6=0. Отв. Сместить начало координат в точку (2, 2). Гипербола с полуосями я = 1, Ь = 12. Найти геометрическое место середин хорд, проведенных через конец большой оси эллипса. Отв. Эллипс с тем же эксцентриситетом; большой его осью служит большая полуось данного эллипса. § 5. Поворот координатных осей Пусть точка М имеет в старой системе XOY (черт. 70) координаты х = ОР. у = РМу а в новой системе XOY', полученной поворотом старой на угол а, координаты х'=ОР\ у'=Р'М. Угол а, как обычно, считаем поло- жительным, если поворот совершен против часовой стрелки. Чтобы выразить старые коорди- наты через новые, введем в качестве вспомогательной величины угол ср, образованный лучом ОМ с новой осью абсцисс. Со старой осью абс- цисс луч ОМ образует, очевидно, угол <р-{-а. Из черт. 70 имеем х' = ОМ cos ср, У = ОМ sin ср; х = ОМ cos (ср -J- а), у = ОМ sin (ср -|- а). Формулы (2) можно переписать в виде х = ОМ cos ср cos a — ОМ sin у = ОМ cos ср sin a -j- ОМ sin cpsina, ^ ср cos a. j (1) (2) (3)
§5] ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ 149 1:} В правые части вместо OMcoscp и OAfsincp можем в силу (1) подставить х' и у\ Тогда получаем х = х! cos ot — У sin а, у = х' sin а -j-У cos а. Для запоминания этих важных формул полезно заметить, что в выражении х имеем «полный беспорядок», т. е. сначала cos, потом sin, а между ними минус; в выражении у, напротив, имеем «полный порядок* — сначала sin, затем cos и между ними плюс *). Чтобы получить выражения новых координат через старые, мы могли бы либо решить систему уравнений (4) относительно х', у\ либо повторить предыдущее рассуждение, взяв в качестве вспомо- гательной величины угол, образованный лучом ОМ со старой осью абсцисс. Но проще всего воспользоваться уже готовыми формулами (4), переставив в них координаты лг, у и лг\ у1 одни на место других и заменив а на —а, ибо ничто не мешает нам «старую» систему считать «новой» и наоборот; но только тогда поворот старой системы в новое положение придется совершать в противоположном направ- лении. Таким образом, получим следующие выражения новых коор- динат через старые: *' = *cosa-|-.ysina, \ у' = —X sin a + у cos a. / Пример 1. Найти уравнение гиперболы с полуосями а = 2, b = i в системе прямоугольных координат, получен- ной поворотом осей гиперболы на угол 45°. Уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, есть 4-16-1 (5) или 4*2— у =16. (6) При повороте координатных осей на 45° имеем, согласно формулам (4) х = х "2 У~Г> ,УТ , ,V2 *) Это мнемоническое правило я заимствую из книги А. В. Ко- марницкого «Основания аналитической геометрии в плоскости и в пространстве».
150 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Подставляя эти выражения в формулу (6), находим 3*'»-|-3/2 —10*'/ = 32. Таково уравнение данной гиперболы в новой системе коор- динат. Пример 2. С помощью преобразования координат пока- зать, что кривая jty = -i есть равносторонняя гипербола. Этот факт нам уже известен из § 10 гл. III, но там он был получен из косвенных соображений. Теперь мы получим тот же результат общим методом. Предположим, что нам вовсе неизвестна форма кривой ху — ~, и покажем, как без всяких предвзятых намерений притти к открытию упомянутого факта. Для этого будем пытаться преобразованием системы коор- динат привести уравнение нашей кривой к знакомому виду. Попытка применить перенос начала не достигает цели, ибо, как легко видеть, никаким переносом не удастся изгнать член, содержащий ху. Попытаемся использовать поворот осей. Оставляя пока неопределенным угол поворота а, подста- вим выражения (4) в уравнение ху=~. Мы получим (х' cos а—у sin а) (х' sin а"+У cos а) = ~ (7) или cos а sin а jc'2 -J- (cos2 а — sin2 а) х' у' — cos а sin а у'2 = ]у . (8) Выберем угол поворота а так, чтобы коэфициент при х'у обратился в нуль. Решая уравнение cos2 а — sin2 а = 0, (9) находим tga = ±l. Какое из двух значений tga мы возьмем — безразлично; в обоих случаях член с х'у' исчезнет. Возьмем, например, tga=l, т. е. а = 45°. Тогда
§5] ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ 151 Подставим эти значения в уравнение (8). Оно примет вид Значит, наша кривая есть равносторонняя гипербола с полуосями а = Ь=\. Ее оси совпадают с новыми осями координат, т. е. образуют углы 45° с исходными. Пример 3. Исследовать форму кривой использовав поворот осей. С помощью формул (4) получим новое уравнение 37 (х' cos а—У sin a)2 -j- 79 (х' sin а 4~У cos а)2 — — 42 Уз (х' cos а —у sin а) [х' sin а -|- у cos а) = 400 или (37 cos2 а + 79 sin2 а — 42 УЗ cos a sin а) л:'2 + + (37 sin2 а + 79 cos2 а + 42 Уз cos а sin а)у'*-\- + (84 cos а sin а -f 42 /3 sin2 а — 421^3 cos2 а) *'У = 400.(11) Чтобы избавиться от члена, содержащего х'у\ нужно выбрать угол а так, чтобы 84 cos a sin а + 421^3 sin2 а — 42 УТ* cos2 а = 0Ч Это уравнение можно представить в виде или 37х* 4- 79уа — 42l/3*y = 400, (Ю) tg2a=V/"3. Одно из решений уравнения (12) есть 2а = 60°, (12)
152 исследование уравнений кривых [гл. IV Подставляя теперь в левую часть уравнения (1) значения Уз" . 1 cos a = -2-, sina = —, найдем 16a;'2+ 100/2 = 400 или, деля на 400, •^4-^-1 25 * 4 ~ 1# Наша кривая есть, таким образом, эллипс с полуосями а = 5, Ь=2. § 6« Общие формулы преобразования прямоугольных координат В § 2 мы выяснили, что переход от старой системы коор- динат XOY к любой новой системе координат X'O'Y' может быть выполнен с помощью: 1) переноса начала в точку Ог; таким образом, мы получаем «промежуточную» систему коор- динат XO'Y; 2) поворота промежуточной системы около на- чала О'; в результате получаем «новую» систему X'O'Y'. Обозначим координаты точки М в старой системе через jc, у, в промежуточной — через х, у, в новой — через х\ у\ Тогда на основании формул (1) и (2) § 3 имеем х = х-\-х0) У = У+Уо, а на основании формул (4) § 5 х = х' cos a —у sin a, у — х' sin a -\-y9 cos a. Подставляя выражения (2) в формулы (1), получим х = х' cos а —у sin a -f- xQy у = хг sin a +/ cos a -f- y0. Здесь jc0, y0— координаты нового начала в старой си- стеме, а a — угол поворота системы координат.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153 Упражнения 1. Найти координаты точки (—1, —2) после поворота осей на угол 45°; на угол 135°. / 3^2* V2\ ( V2 3V2\ Отв. ^ 2-, гу —]' 2. Найти координаты точки (1, Yz) после поворота осей на 240°. Отв. (— 2, 0). 3. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы точка (2, 0) получила равные координаты? Отв. На yn^J35° или 315°; в первом случае М (—1^2, —1^2), во втором М (У 2, V%)' х2 у2 4. Какой вид примет уравнение эллипса -—-|~^- = 1 после по- ворота осей координат на 30°? Отв. Их* —2/Злгз/ + 9у2 = 24. 5. Какой вид примет уравнение параболы у2 = 2рх после пово- рота осей координат на 60°? Отв. Sx2-t-2V3xy+y2 = 4p(x—yV3). 6. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы в урав- нении х2 — ху -J-у2 = 1 исчез член с произведением координат? Какую кривую представляет данное уравнение? Отв. 45° или 135°. Эллипс с осями V2 и 7. Поворотом осей привести к простейшему виду уравнение х2 — 2^3 ху—у2 = 2. Какую линию оно представляет? Отв. Равностороннюю гиперболу с полуосью а=\. § 7. Кривые второго порядка Мы имели дело с различными видами уравнений эллипса, гиперболы и параболы, и каждый раз это были уравнения второй степени. Покажем, что упомянутые кривые во всякой прямоугольной системе координат представятся не- пременно уравнениями второй степени. Возьмем, например, эллипс. Отнесенный к своим осям, он будет иметь уравнение £+£=1 (1) Уравнение его во всякой другой системе получится подста- новкой выражений (3) предыдущего параграфа в формулу (1). Ясно, что в новом уравнении не может быть членов выше второй степени, так что новое уравнение эллипса должно
154 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV иметь либо вторую, либо первую степень. А так как всякое уравнение первой степени представляет прямую линию, то уравнение эллипса в новой системе непременно должно иметь вторую степень. Так же обстоит дело и с гиперболой и параболой. Итак, эллипс, гипербола и парабола во всякой системе прямоугольных координат представляются уравнениями второй степени. Теперь возникает вопрос: всякое ли уравнение вто- рой степени относительно координат х, у представляет собой одну из упомянутых кривых? Наиболее общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными х, у есть Axt + Bxy+Cyt + Dx + Ey+F^O, (2) где Л, В, С, Д Е, F любые постоянные величины1). Заме- тим прежде всего, что уравнение вида (2) может вообще не изображать никакой кривой. Так, например, при А — С — — F= 1 и В= D — E= О оно принимает вид л:2+У + 1=0 или Это уравнение напоминает уравнение окружности, но оно не может удовлетворяться ни при каких действительных значе- ниях ху у, ибо ни одна из величин л;2, у2 не может быть отрицательной и, следовательно, сумма их не может быть равна —1. Может также оказаться, что уравнение (2) удовлетворяется только одной парой значений х, у. Таково, например, уравнение х2-\~у2 = 0, которое допускает единственное действительное решение jc = 0, у = 0. В подобных случаях уравнение (2) представляет собой не линию, а только одну точку; в нашем примере — начало координат. 1) При этом хотя бы одна из величии А, В, С должна быть отличной от нуля; иначе уравнение (2) будет линейным.
§ 7] КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 155 Далее, рассмотрим такой частный вид уравнения (2): х2 — у2=0. (3) Если это уравнение записать в виде {х+у)(х—у) = 0, (3') то станет ясно, что оно удовлетворяется: 1) при х — -\-у, 2) при х — — у. Но все точки, для которых х = уу лежат на прямой линии (биссектрисе первого и третьего координат- ных углов), а все точки, для которых х — —у, лежат на другой прямой х = —у (биссектрисе второго и четвертого координатных углов). Таким образом, уравнение (2) может представлять пару прямых линий. Один подобный пример мы уже встречали в § 4 этой главы. Уравнение второй степени (2) может представлять собой также пару параллельных линий. Так, например, уравнение х2 — 2ху-\-у2 -f- х —у = 0 (4) можно представить в виде {х — у)(х — у+\) = 0, (4') и так же, как выше, убедимся, что это уравнение представ- ляет пару прямых у = х и у = х-\-\у параллельных друг другу. Наконец, может случиться, что уравнение (2) представит собой две слившиеся прямые, т. е. фактически одну прямую. Так, уравнение хъ + 2ху-\-у* — 2х— 2у + \ = 0 (5) можно представить в виде 1)* = 0. (5') Здесь оба сомножителя правой части сделались равными: урав- нение (5') равносильно уравнению х+у—\=0, которое представляет прямую линию.
156 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Итак, если уравнение (2) вообще допускает действительное решение, то может случиться, что оно представляет не эллипс, не гиперболу и не параболу, а точку или пару прямых. Од- нако, эти случаи не являются типичными: стоит в по- добном случае хотя бы немного изменить значения коэфици- ентов уравнения или его свободного члена, чтобы картина изменилась. Так, уравнение Х2_у2 = 0 (3) отличается от уравнения Х2 —у2== 0,0001 (6) лишь малым изменением значения свободного члена. Но уравнение (6) представляет гиперболу, тогда как уравнение (3) представляет пару прямых, служащих асимптотами этой гиперболы. Упомянутые исключительные случаи являются как бы вы- рождениями нормальных. Так, равносторонняя гипербола х2 —у2 — а2 ПрИ уменьшении полуоси а все теснее примыкает к своим асимптотам (3). Круг х2-\-у2 = г2 при уменьшении своего радиуса г все теснее смыкается около точки (0, 0), представляемой уравнением х2 -\- у2 = 0. После этих замечаний мы можем следующим образом сформулировать ответ на вопрос о том, какие линии может пред- ставлять уравнение Ax* + Bxy + Cy*+Dx-{-Ey + F=0. (2) Если уравнение (2) допускает действительные решения и если не имеет места ни один из вышеперечисленных исключительных случаев, то кривая линия, представляе- мая уравнением (2), есть непременно либо эллипс, либо гипербола, либо парабола. Этот замечательный результат можно установить, привлекая метод преобразования координат, который мы • неоднократно при- меняли в этой главе. Именно, в уравнение (2) мы подставляем вы- ражения (3) § б старых координат через новые. Затем мы стара- емся выбрать значения xQ, Уо, а так, чтобы уравнение (2) в новой системе координат приняло либо вид х2 у2 —2 — "р" — 1 (эллипс, гипербола), (7) либо вид у2 = 2рх (парабола). (8)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 157 Исследование показывает, что уравнение (2), допускающее действительные рзшения, нельзя привести ни к виду (7), ни с виду (8) в том и только в том случае, если величины Л, В, С, D9 Е, F удовлетворяют соотношению: 4 (ACF+ BDE) — АЕ2 — CD1 — FB2 = 0. В тех исключительных случаях, когда это соотношение удовле- творяется, мы имеем один из вышеперечисленных случаев выро- ждения. Во всех же остальных случаях возможно преобразовать систему координат так, чтобы уравнение (2) приняло либо вид (7), либо вид (8). Иными словами, во всех остальных случаях кривая, изображаемая уравнением (2), есть эллипс, гипербола или па- рабола. Интересно отметить, что случаи вырождения можно получить и из рассмотрения сечений конуса: если секущая плоскость про- ходит через вершину конуса и не пересекает его полостей, сече- ние конуса вырождается в точку; если секущая плоскость, проходя через вершину конуса, пересекает и полости его, мы имеем пару пересекающихся прямых. Если вершина самого конуса уходит в бесконечность и конус обращается в цилиндр, то плоскость, парал- лельная оси цилиндра, даст в сечении пару параллельных прямых. Наконец, если плоскость касается конуса или цилиндра, то сече- ние вырождается в одну прямую — образующую конуса или цилиндра. Поэтому можно сказать, что уравнение (2), если оно имеет дейст- вительные решения, представляет всегда коническое сечение или его вырождение. § 8. Параметрические уравнения линии Изучая движение материальной точки в плоскости, мы интересуемся не только формой линии, описываемой этой точкой, т. е. уравнением, связывающим ее координаты лс, у. Нам нужно также знать, как меняется положение точки с течением времени, т. е. иметь выражение обеих координат в функции времени t. Если мы нашли выражения *=/(*). 0) У=Ч®, (2) то мы найдем и уравнение, связывающее координаты х, у траектории. Для этого достаточно исключить t из двух урав- нений (1) и (2). Таким образом, система уравнений (1) и (2) вполне опре- деляет некоторую линию. Ясно, что переменная t может вы- ражать не время, а какую-либо иную физическую или гео- метрическую величину, входящую в условие вопроса, — система уравнений (1) и (2) все равно представит некоторую линию.
158 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Систему двух уравнений, задающих координаты линии в функции переменной t, называют параметрическими урав- нениями линии, а переменную t параметром1). Часто случается, что условие задачи вовсе не требует, чтобы текущие координаты были выражены через какой-либо параметр, но все же некоторая величина играющая роль вспомогательной переменной, вводится в качестве параметра. Удачный выбор параметра может облегчить составление урав- нения линии или заменить уже полученное громоздкое урав- нение линии парой простых параметрических уравнений. Пример 1. Поднятое на некоторую высоту тело брошено горизонтально с начальной скоростью v0. Найти уравнение траектории тела, пренебрегая сопро- тивлением воздуха. Начало координат выберем в той точке О, из которой брошено тело; ось абсцисс ОХ (черт. 71) направим горизонтально в направлении началь- ной скорости: ось ординат OY на- правим вертикально книзу. Пусть М ерт* положение тела в момент t. Абс- цисса х = ОР есть расстояние, прой- денное телом по инерции в горизонтальном направлении; ор- дината у — РМ есть расстояние, пройденное телом при спуске под влиянием тяготения. Движение по инерции есть равномер- ное движение со скоростью v0. Поэтому x = v0t. (3) Движение по вертикали есть равномерно ускоренное движение с ускорением £-=9,8 см/сек2. Поэтому y = \gt2. (4) Формулы (3) и (4) дают параметрические уравнения траекто- рии. Чтобы получить уравнение между координатами, исклю- чим /; для этого уравнение (3) решим относительно t; получим *) Здесь термин «параметр» употребляется в ином математиче- ском смысле, чем прежде. См. сноску на стр. 58.
параметрические уравнения линии 159 /=--; это выражение подставим в уравнение (4); получим или, что то же, 21/2' х* = 2 -2 у. (5) (5') Следовательно, движение происходит по параболе; ось ее вертикальна, вершина лежит в точке бросания; параметр па- раболы р = — . В этом примере введение параметра t существенно необ- ходимо для установления закона движения и, сверх того, об- легчает вывод уравнения траектории. Пример 2. Концы А и В стержня АВ скользят по двум взаимно перпен- дикулярным прямым XX н Y'Y (черт. 72). Какую линию описывает при этом точка М стержня? Прямые Х'Х и Y'Y примем за оси координат. Длина стержня и положение точки М на нем полностью определя- ются заданием расстояний точки М до концов стержня; обозначим их а = МА и Ъ — NiB. Положение движущегося стержня АВ и, следовательно, положе- ние точки М полностью определяются величиной угла а — ^АВО. Примем а ва параметр и выразим через него координаты х, у точки М. Из треугольника MNA (NM = x, МА = а, / AMN= а) имеем х = a cos а. (6) Из треугольника MBL (LM— у) имеем y=zbsm а. (7) Уравнения (6) и (7) дают параметрическое представление ис- комого геометрического места. Параметр а самостоятельного интереса не имеет, но с его помощью мы легко получили уравнения (6) и (7); из них, если нужно, легко исключим а. Черт. 72.
160 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Именно, представим уравнения (6) и (7) в виде х — = cos а, а У_ ь 4- = sin а. Возведем (6') и (7') в квадрат и сложим. Получим £+£ = 1 (6') (Г) (8) Черт. 73. Следовательно, искомая кривая есть эллипс с цен- тром в О и полуосями а и ^1). Точка М может лежать и на продолжении стержня АВ (черт. 73). Разобранная задача объяснит нам устройство прибора, изображенного на черт. 73 и служа- щего для вычерчивания эллипсов. Линейка АВ имеет шарнирно скрепленные с ней ползуны А и В. Ползуны ходят в прорезах, сделанных в метал- лической доске. Муфта М со вставленным в нее карандашом k может быть поставлена и зажата винтом v в V любом месте линейки. На линейке нанесены деления, позволяющие регулировать оси элли- пса. Описанный прибор называется эллипти- ческим циркулем. Пример 3. Ко- лесо ОАВ катится без скольжения по прямой линии Х'Х (черт. 74). Какую линию описывает некоторая точка О обода колеса? За начало координат выберем одно из тех положений точки О, в которых она ложится на прямую Х'Х. Послед- нюю примем за ось абсцисс. Через некоторый промежуток вре- Черт. 74. *) Если точка М лежит в середине АВ (а — Ъ), то эллипс ста- новится окружностью; ср. пример 4 § 7 гл. I.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 161 мени колесо примет положение EML, и точка О займет по- ложение М. Чтобы найти геометрическое место точек М, нужно прежде всего выразить на геометрическом языке тот факт, что катание колеса совершается без скольжения. Когда колесо скользит по прямой Х'Х, точка О может либо вовсе не поворачиваться вокруг центра колеса (полное скольжение), либо же поворачиваться так, что пройденная им дуга окружности меньше, чем смещение ОЕ точки опоры колеса (частичное скольжение). Отсутствие же скольжения означает, что дуга ЕМ\ вдоль которой колесо касалось прямой Х'Х во время движения, равна отрезку ОЕ, по которому колесо про- тратилось. Теперь составим параметрические уравнения искомой ли- нии. Естественно в качестве параметра выбрать дугу ЕМ или соответствующий ей центральный угол а. Выберем за пара- метр а. Тогда ОЕ = ЕМ = га, где г—радиус колеса (угол а выражен в радиальной мере). Координаты х, у точки М выразятся через параметр следую- щим образом: x=OF—OE — FE = OE — MK=ra — rsln а, V = FM = ЕК= ED — KD = r — rcos а. Итак, параметрические уравнения искомой кривой суть x = r(a — sin a), y — r(l—cos а). (9) Давая а значения от 0 до 2тт, получим из уравнений (9) ряд точек, дающих положение точки М в течение одного оборота колеса: по этим точкам можно построить кривую OPN (черт. 74). Предшествующие и последующие обороты колеса дадут ветви той же формы, что OPN (справа и слева от OPN). Сово- купность всех этих ветвей образует искомую кривую. Она называется циклоидой. Если бы мы пожелали написать уравнение между текущими координатами циклоиды, то нужно было бы исключить пара- метр а из уравнений (9). Второе из них даст cosa= 1 — у ; П м. Я. Выгодский
J62 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV отсюда sin а = V\— cos2a = ^2гУ-У2, (10) и a = arccos —(11) Подставляя выражения (10) и (11) в первое из уравнений (9), получим: x=riaxccos ^\—V^ — Y2ry — y\ (12) Ясно, что это уравнение гораздо менее удобно для изучения, чем параметрические уравнения (9). Циклоида обладает рядом замечательных и важных свойств. Одно из них мы здесь укажем. Если жолоб имеет форму циклоиды, обращенной вершиной книзу, и тяжелое тело совершает колебания, катаясь без трения по этому жолобу, то период колебания остается все Ерсмя неизменным; при всякой же другой форме жолоба, в частности круговой, период будет меняться. Для обыкновенного (кругового) маятника период колебаний приблизительно постоянен лишь при малых колебаниях, при которых груз описывает дугу окружности, мало отличающуюся по форме от дуги циклоиды вблизи ее вершины Р. При колебаниях большего размаха маятник может сохранить постоянный период лишь в том случае, если с помощью особых приспособлений его груз заставить двигаться по циклоиде. С некоторыми другими свойствами циклоиды мы встретимся в дальнейшем. Упражнения 1. Написать параметрические уравнения движения конца минут- ной стрелки длиной я, приняв за параметр t время (в мину- тах), протекшее от прохождения стрелки через 0 (12) ч. Начало ко- ординат взять в центре циферблата; ось абсцисс направить к 0 ч., ось ординат к 9 ч. ч Отв. Если угол измерять градусами, то получаем х = а cos 6*, у— — a sin 6t; если угол измерять радианами, то х— flcos ^ t, y = -r-a sin ~ t. 2. Как нужно напрагить оси координат, чтобы параметрические уравнения предыдущей задачи приняли вид x=acos~t, у = a sin ^ ft Отв. Ось абсцисс направить к 0 ч., ось ординат — к 3 ч.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 163 3. Точка М (черт. 75) движется по окружности радиуса г про- тив часовой стрелки с угловой скоростью 1 (т. е. ОМ в единицу времени поворачивается на единицу угловой меры). Написать пара- метрические уравнения окружности, описываемой точкой М; момент прохождения М через А принять за начальный. Отв. x = ro.ost, y = rsint. Замечание. Этими уравнениями часто задают окружность независимо от закона движения точки М, ибо параметр t можно рассматривать как величину угла АОМ. Черт. 75. Черт. 76. Черт. 77. 4. Рассматривая эллипс ACBD (черт. 76) с полуосями я, Ь как равномерно сжатую окружность АЕВР, написать параметрические уравнения эллипса. За параметр принять угол t (см.. предыдущую задачу). Отв. x = acost, y = bsint. х2 v2 5. Показать, что уравнение эллипса ^--f-p-== 1 получается из параметрических уравнений предыдущей задачи 4 исключением па- раметра t. 6. Написать параметрическое уравнение окружности радиуса г, выбрав систему координат, указанную на черт. 77, и приняв за параметр £MCA~t. Отв. x = r(1 -f-cosf), y=zrs[nt. 7. Исключить параметр t из уравнений предыдущей задачи. Отв. (x — r)2-i-y2 = r\ 8. В условиях задачи 6 написать параметрические уравнения геометрического места середин хорд ОМ (черт. 77), проведенных из начала координат в точки М окружности, и, сопоставив с отве- том задачи 6, определить форму и положение искомого геометри- ческого места. Отв. х = ~- (1 4- cos t), у = y sinf. Окружность, построен- ная на ОС как на диаметре. 9. Написать параметрическое уравнение эллипса задачи 4, при- няв вершину В за начало координат, а касательную ВТ за ось ординат; параметр сохранить прежний. Отв. х — а (1 -j-cosf), y = bsint. 11*
164 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. iv 10. Найти геометрическое место середин хорд эллипса, выхо- дящих из вершины В (черт. 76; см. предыдущую задачу). Отв. Эллипс; большая ось совпадает с полуосью ВО=а дан- ного эллипса. Малая ось равна Ъ. 11. Точка К (черт. 78) равномерно движется по окружности круга радиуса а, а прямая PQ равномерно движется в плоскости круга, оставаясь параллельной сама себе. При этом, когда PQ касается окружно- сти в точках В к А, там находится и точка К- Геометрическое место точек пересечения прямой PQ с подвижным радиусом OR (часть этого геометриче- ского места изображена на черт. 78) называется квадратрисой. Составить параметрическое уравнение квадратрисы, приняв за параметр угол КОС = ^. Вы- чертить кривую. Отв. При расположении координат- ных осей на черт. 78 *) Черт. 78. 2а х — — <р, я ' 2а . <y = —(pctg?. 12. С неподвижной круглой катушки АСВ радиуса а (черт. 79) сматывается туго натянутая нить. Кривая линия AMN, которую описывает конец нити, называется раз- верткой круга. Составить параметри- ческое уравнение развертки круга, при- няв за параметр угол t= /_LOA (OA — неподвижный радиус, проведен- ный к исходному положению конца ни- ти; OL — радиус, проведенный в точку касания нити с катушкой). Оси коорди- нат указаны на чертеже. Отв. х = a (cos*-J-*sin/), у = а (slut — tcost). Указание. Абсцисса точки М развертки получается из абсциссы точки L круга прибавлением отрезка RP=QM\ ордината получается из ординаты точки £ вычи- танием отрезка QL. Эти отрезки выражаются через параметр с по- мощью треугольника LMQy в котором £ MLQ = t. Длина LM дол- жна быть равна длине дуги, с которой она смотана. 13. Колесо радиуса г катится без скольжения по прямой линии. Линия, описываемая точкой, лежащей на спице колеса между обо- дом и центром, называется укороченной циклоидой. Написать па- Черт. 79. *) Здесь и в дальнейшем углы выражены в радиальной мере.
§8] ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 165 раметрические уравнения укороченной циклоиды, описываемой точ- кой, лежащей в расстоянии у от центра. Отв. При том же выборе осей и параметра, что в примере 3 настоящего параграфа, имеем х~г(^а — —-sin а^, у = г[\ Lcosaj. И. Круг BMD радиуса г катится без скольжения по неподвиж- ному кругу ABE того же радиуса (черт. 80). Произвольная точка М круга описывает кривую, изображенную на черт. 80 и называемую кардиоидой (что в переводе означает сердцевидная). Составить параметрические уравнения кардиоиды. Ось абсцисс на- править от центра непо- движного круга к той его точке, в которую ложится точка М. За параметр при- нять t = £XOC (ОС линия центров). Отв. x=r(2cost—cos2f), y=r(2 sin ^—sin 2f). Указание. Так как качение происходит без скольжения, то АВ = ВМ и, следовательно, ВСМ = t. Из чертежа 80 найдем х = 2r cos t -f- г cos и, где ,и = £mRMC= Л.ОКС. Угол и можно выразить через t, рассматри- вая равнобедренный треугольник ОСК- Аналогично найдем пара- метрическое выражение для у. 15. Около точки А (черт. 81) окружности ANE вращается луч АМ\ от второй точки встречи его с окружностью мы откладываем по направлению луча отрезок NM, равный диаметру. Составить параметрическое уравнение геометрического места точек М при указанном на черт. 81 выборе осей и параметра а. Отв. х = г (2 cos а 4- cos 2 а), у = г (2 sin а -f- sin 2 а). Указание. Координаты искомого геометрического места по- лучаются из координат точек окружности прибавлением отрезков NR и RM, определяемых через параметр из треугольника MNR (2. MNR=a). Центральный угол NOQ вдвое больше вписанного NAE. Замечание. После поворота луча AM на 180° в положение АМХ точка М займет положение M1(NM1 = 2r). Поэтому при го>- Че>>т. 80.
166 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Черт. 81. Черт. 82. AM, равный отрезку КТ, заключенному между окружностью и ка- сательной. Точка М описывает кривую, изображенную на черт. 82 и называемую циссоидой Диокла. Составить параметрическое уравнение, этой кривой, взяв за параметр угол t=£TAB. Исклю- чив параметр, найти уравнение между координатами. Постарайтесь получить последнее уравнение, не прибегая к помощи параметри- ческих уравнений. Отв. x = 2r sin°-1, у = 2r sYal* ; *з =у2 (2г — х). * cost 1 . * v ' 18. Точка К (черт. 82) движется по окружности. Из точки Къ симметричной с К относительно диаметра CD, опускается перпен- дикуляр на диаметр АВ; он пересекает вращающуюся прямую в точке М. Показать, что геометрическое место точек М есть цис- соида (см. предыдущую задачу). § 9. Полярные координаты В § 1 этой главы мы упоминали, что после прямоугольной системы координат наиболее употребительной является система полярных координат. Она строится следующим образом. строении можно ограничиться углами а, заключенными между — 90° и4-90°, но откладывать отрезки в обе стороны от точки N. 16. Начертить кривую предыдущей задачи. Сравнив уравнения задач 14 и 15, показать, что кривая задачи 15 есть кардиоида. Отв. Положить a = ic-f-f. Учесть расположение осей в обеих задачах. 17. Около точки А окружности АКВ (черт. 82) вращается пря- мая AT. В диаметрально противоположной точке В проведена не- подвижная касательная ВТ. На прямой AT откладывается отрезок
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 167 На плоскости выбираем (черт. 83) точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОХ (полярная ось). Тогда положение любой точки М плоскости вполне определяется следующими двумя величинами: 1) расстоянием ее ОМ — г до полюса; от- резок ОМ называется ра- диусом-вектором точки М; 2) углом ХОМ = ср между радиусом-вектором и поляр- ной осью; этот угол назы- вается полярным углом точки М. Радиус-вектор г и полярный угол ср называют- ся полярными координата- ми точки М. Для числового задания радиуса-вектора нуж- но выбрать какой - либо масштаб. Если радиус-вектор счи- тать величиной положитель- Черт. 83. ной, а угол ср отсчитывать от радиуса-вектора к полярной оси по часовой стрелке, оставаясь при этом в пределах первого полного оборота (О<;ср<^2тг), то каждой точке М плоскости, за исклю- чением полюса О, будет соответствовать единственная пара значений полярных координат г, ср *). Пример 1. Построить точку Му для которой г =4, <р== ~. Из полюса О (черт. 83) проводим луч ОМ под углом ~ (45°) к полярной оси и на нем откладываем ОМ = 4. Пример 2. Построить точку Ny для которой г =4, <р=1,7тг. Из полюса О проводим луч ON (черт. 83) под углом 1,7тс (288°) и на нем откладываем ОN=4. Можно также описать из центра О дугу AN в 288° ра- диусом OA — 4. Конец этой дуги есть искомая точка N. Пример 3. В масштабе, заданном делениями на черт. 83, определить полярные координаты точки Р0 Радиусом ОР !) Что касается полюса, то радиус-вектор его г имеет един- ственное значение г = 0, но полярному углу у можно приписать любое значение.
168 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. iv описываем дугу РВ по направлению часовой стрелки до пе- ресечения в точке В с полярной осью. Прочитываем длину радиуса-вектора г—ОР= OB = 3 и величину полярного угла <р = 0,75 тг (135°). В полярной системе координат, так же как и в прямо- угольной, всякое уравнение между координатами представляет некоторую линию, и, обратно, всякую линию можно предста- вить уравнением между радиусом-вектором и полярным углом. В следующем параграфе мы покажем на примерах, как со- ставляется уравнение кривой в полярной системе координат. Здесь же рассмотрим пример построения кривой по ее урав- нению в полярных координатах. Пример 4. Построить линию по ее уравнению г = — ш Давая <р ряд значений, например <р = 0,-~, •^-, — ...бу- дем вычислять соответствующие значения г; получим такую таблицу: ? 0 Т тс IF 3 1с 5 Т* 3 7 2я г 0 1 4 1 2 3 4 1 5 4 3 2 7 4 2 Построив по точкам график, получим кривую OABCD, изображенную на черт. 84 сплошной линией. Эту кривую мы должны считать обрывающейся в точке D, если сохраним в силе принятое выше соглашение, согласно которому угол ср должен оставаться меньшим, чем 2тс Между тем, кривая ABCD имеет естественное продолжение DEFGH. %. Это продолжение мы по- лучим и из уравнения г = , если только разрешим углу <р при- нимать значения, ббльшие, чем 2тт. При 2гс^<р<4тг мы полу- чим завиток DEFGH (проверьте вычислением). При дальнейшем изменении <р получим бесконечный ряд завитков, образующих спираль. Отказавшись от принятого прежде соглашения, мы лиша- емся, конечно, некоторого удобства; именно теперь всякой !) Строго говоря, уже точка D не принадлежит тогда нашей кривой, ибо для нее полярный угол нужно считать равным не 2тс, а нулю, а полярному углу ^» = 0 соответствует точка О.
§9] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 169 точке плоскости будет соответствовать уже не одно, а бес- численное множество значений полярного угла. Так, точке М на черт. 83 соответствует не только значение ср^=~, но также ср = 2 -^- тт, 4-j-tt ^ и т. д. Следующий пример покажет, что по намеченно- му пути полезно пойти и дальше, введя в рассмотре- ние и отрицательные значе- I ния ср. Пример 5. Построить кривую линию по ее уравне- нию в полярных координатах r = — —^4-. Поступая, как 1с 1 в предыдущем примере, построим линию ABCDE... (черт. 85); эта линия, как нетрудно показать, получается из одноименной линии черт. 84, если последнюю повернуть около полюса на угол ~ по часовой стрелке. Однако, если не ввести в рас- смотрение отрицательные полярные углы, то куска ОЛ, наме- ченного на черт. 85 пунктиром, мы не получим, ибо этому куску теперь соответствуют значения ср, содержа- щиеся между — «j и 0. С введе- нием отрицательных полярных углов появится и кусок OA. Итак, полярному углу ср мы усло- вимся придавать также и отрицатель- ные значения. Но и для радиуса- вектора целесообразно допустить не только положительные, но и отрица- тельные значения. В противном слу- чае в уравнении г = ~ мы лишены будем возможности зада- вать углу ср отрицательные значения, а, например, в уравнении Черт. 85.
170 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. IV г =1 — ~ не сможем давать углу ср и положительных зна- чений, больших, 'чем тт. Но так как прежде величина г выражала у нас длину отрезка ОМ (черт. 83) и, следовательно, не могла иметь отрицательных значений, то теперь нужно заново условиться, как строить точку с полярными координатами г и ср в том случае, когда г имеет отрицательное значение. По аналогии с тем, как изображаются отрицательные числа на неподвижной оси, мы условимся определять положение точки М с отрицательным радиусом-вектором г и любым полярным углом ср следующим образом: Черт. 86. Черт. 87. 1) проводим луч ОАх (черт. 86 и 87), образующий угол ср с полярной осью\ 2) продолжая его в противоположную сторону, строим лун OA; 3) на луче OA откладываем отрезок ОМу длина которого равна абсолютному значению отрицательной величины г. Точка М есть искомая. На черт. 86 показана точка М с координатами г = — 2, ср=~; на черт. 87 точка М с координатами г = — 2, 1 3 ср=1ттт. Разумеется, те же точки можно было бы определить и иным заданием координат, при котором г было бы положи- тельной величиной. Так, точку М на черт. 86 можно задать координатами: г— 2, cp=l-i- тг; r=2, ср = 3~ it и т.д., 5 5 а также г=2, ср = — -g-тт; г=2, ср = — 2-g-Tr и т. д. ф 1 Пример 6. Уравнение г = ^ при соблюдении при- нятого условия представит уже не одну спираль (ср. пример 5),
УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 171 а две. Вторая спираль будет развертываться по мере того, как <р, начиная от значения <р=~, будет неограниченно уменьшаться, принимая также и отрицательные значения. По- строив эту вторую спираль по точкам, читатель легко заме- тит, что она симметрична со спиралью черт. 85 относительно полярной оси. § 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах Пример 1. Прямая А'А (черт. 88) вращается около точки О с постоянной угловой скоростью (о. Вдоль прямой движется точка М с постоянной линей- ной скоростью v. Составить уравнение траектории точки М в полярных коор- динатах. Естественно выбрать за полюс точ- ку О, около которой совершается вра- щение прямой. За полярную ось можно выбрать любой из лучей, проходящих через О; мы выберем тот луч, в на- правлении которого двигалась точка М, когда проходила через точку О. Обозначим через t время, протекшее с того момента, когда точка М находилась в точке О. Тогда, согласно усло- вию задачи, имеем r = vt, (1) ср = (2) Это — параметрические полярные уравнения искомой ли- нии. Исключая параметр /, имеем v г = — со. о) 4 (3) Обозначив постоянную величину — сать уравнение (3) в виде г — дер. через я, можем перепи-
172 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Линия, уравнение которой мы нашли, называется архиме- довой спиралью. Вид архимедовой спирали нам уже знаком 1 по частному ее случаю, когда а — —, рассмотренному в при- мере 4 § 9. При других значениях а мы получаем ту же кривую в увеличенном или уменьшенном виде. Сам Ар- химед (111 в. до н. э.) рассматривал только одну ветвь своей спирали, считая, что точка начинает движение из точки О. Если же считать, что точка М совершает движение вдоль всей прямой А'А, проходя в момент 2 = 0 через точку О, то получим две ветви спирали (ср. пример 6 § 9). В системе координат, принятой в настоящем примере, вторая ветвь будет симмет- рична с первой относительно прямой (YY* на черт. 88), проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси. Замечание. Можно показать, что уравнение вида r—ay-\-b также представляет архимедову спираль, име- Черт. 89. ющую ту же форму, что спираль г=аъ, но повернутую по отношению к последней на некоторый угол около полюсах). Та- ким образом, общее уравнение первой степени в полярных координатах изображает не прямую, как в прямоугольной системе координат, а архимедову спираль. Пример 2. Составить в полярных координатах уравне- ние прямой А'А (черт. 89), проходящей через полюс О, если один из углов, образуемых этой прямой с полярной осью, равен а. Для всех точек прямой АА' полярный угол ср можно счи- тать равным а; поэтому уравнение прямой А А' есть <р = а. Переменная г в это уравнение вовсе не входит; она мо- жет принимать какие угодно значения, положительные или !) Всякое уравнение r = a$-\-b можно преобразовать к виду г=гя — уд), а последнее выражает, что г пропорционально углу, образованному подвижной прямой с лучом, составляющим угол <р0 с полярной осью.
УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 173 отрицательные. В первом случае получаем всевозможные точки луча ОЛ, во втором случае — точки луча oa'. Пример 3. Какую линию представляет уравнение г=д, где а постоянная величина? Это уравнение выражает, что радиус-вектор ом точки м при всевозможных направлениях луча ом имеет постоянную величину. Следовательно, линия г = а есть окружность ра- диуса а с центром в О. Пример 4. Составить уравнение окружности радиуса R в такой полярной системе координат, в которой за полюс принята некоторая точка О на окружности, а за полярную ось принят диаметр, проходящий через О. Чтобы найти функциональную зависимость между г—ом (черт. 90) и ср = / мох% достаточно рассмотреть треуголь- ник mon, в котором вершина n есть точка окружности, диаметрально противоположная полюсу О. Угол omn прямой (как вписанный, опирающийся на диаметр). Поэтому ом = on cosy. (5) Но om = ry on=2r; подставляя эти выражения в (5), получаем уравнение нашей окружности г =2/? cos?. (6) Черт-90' Если угол ср изменять, давая ему возрастающие значения в пределах от —~(— 90°) до +у (90°), то г будет оста- ваться положительным, а точка м, выйдя из точки О, опишет полную окружность. Если угол ср, возрастая, будет изменяться от у до it, то г будет получать отрицательные значения от О до —2r, а точка м снова опишет нижнюю полуокруж- ность. При дальнейшем изменении ср от тг до у тг переменная г, оставаясь отрицательной, начнет убывать по абсолютной величине, а точка м опишет вторично верхнюю полуокруж- ность и т. д. Читателю предлагается построить график уравнения (6), помня о введенном в конце § 9 условии насчет отрицательных значений г.
174 исследование уравнений кривых [гл. IY г = 2, <р = 6 * Найти ее прямоугольные координаты при указанном выше вза- имном расположении систем координат. Имеем Ar=2cosy=K3, .у = 2sin у = 1. Пример 2. Написать уравнение архимедовой спирали в прямоугольной системе координат. Уравнение архимедовой спирали при надлежащем выборе полярной системы координат (§ 10, пример 1) имеет вид г — Щ, (3) § 11. Формулы перехода от полярной системы коорди- нат к прямоугольной В тех случаях, когда легче составить уравнение линии в полярной системе координат, а желательно получить урав- нение в прямоугольной системе, можно всегда простым вычи- слением перейти от уравнения в по- лярных координатах к уравнению той же линии в прямоугольной системе. Точно так же и обратно, имея уравне- ние линии в прямоугольной системе координат, можно легко найти полярное уравнение той же линии. Черт. 91. Возьмем начало координат в полю- се О и направим ось абсцисс по по- лярной оси. Тогда, как легко видеть из черт. 91, будем иметь AT = rcoscp, у = г sin ср. (1) Эти формулы выражают прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Обратно, как видно из того же чертежа, г = Ух2-\-У2, tgcp=£. (2) Эти формулы (вторую можно записать также в виде ср = arctg ■—^ выражают полярные координаты через прямо- угольные. Пример 1. Полярные координаты точки суть
§ 11] переход от полярной системы к прямоугольной 175 или г или tg<p=tg-£. Подставляя сюда выражения (2), получим (4) Конечно, исходное уравнение (3) удобнее, чем полученное. Из последнего мы не сможем даже получить у в явной функции от х. Пример 3. Окружность радиуса R с центром в точке С(/?, 0) представляется, как известно, уравнением (x — R)2 + y2 = R2. (5) Написать уравнение этой окружности в полярной системе координат, взяв за полюс точку (0, 0) и за полярную ось — положительно направленную ось абсцисс. Преобразовав уравнение (5) к виду х2 — 2RX + у2=0, (6) подставим сюда выражения (1). Получим г2 cos2 ср — 2/?rcos ср -f- г2 sin2 ср = О, или или или*) Ср. пример 4 § 10. г2 (cos2 ср -J- sin2 ср) — 2Rr cos ср = О, r2 = 2/?rcoscp, (7) г = 2/? cos ср. (8) г) Сократив уравнение (7) на г, мы теряем его корень /• = 0 (ф произвольное число). Но все пары значений (0, ф) дают только одну точку — полюс. А эта точка сохраняется и в уравнении (8), которое удовлетворяется значениями г = 0, ф = ~-.
176 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Упражнения Построить точки, полярные координаты которых суть: I. r = 2, <p=Hf- 6. г = ~, <р = -|-я. 2.r = 2, 1=--3-. 7. г = -4, у = + ~. 3. г = 3, ? = я. 8. г = —4, 9=+«. 4.г = 2,4.? = ~«. 9. г = -6,5, ? = - * . к r„o ffl„ 7 10. г = — 6,5, ? = —тт. Построить линии, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: II, г =af. 12. г =_~ (гиперболическая спираль). 13. г = л sia 2? (четырехлепестковая роза). 14. г = a sin 3? (трехлепестковая роза). 15. г = a cos2f. - „ я2 Пример 4. Найти полярные координаты точки (1, —1). Уравнения (2) дают г = 1^2. tgcp = — 1, Углу ср можно дать любое из значений arctg(—1), т. е. можно положить 1 1 1 о 1 9 = --4*, <р = — l-^-TT, (р = —2ттт, ... Но при этом нужно соответственно выбирать знак при ради- кале У2. Если хотим иметь r=-}-K2, то можем взять 1 1 3 3 <р = —ттг, ср = —2ттг, ... или <р=1ттг, З-^-тг,..., ибо наша точка лежит в четвертой четверти. ТЭ 3 0 3 , 1 q 1 Взяв же ср=-^-тг, 2-^-тг, —1 -^-тг, —З-^-тх и т. д., мы получим луч во второй четверти; в четвертой четверти лежит его продолжение, так что теперь нужно взять г =—|/2.
§11] переход от полярной системы к прямоугольной 177 12 М. Я. Выгодский 17. г = 2а sin ф (ср. пример 4 § 10). 18. Составить в полярных координатах уравнение прямой, пер- пендикулярной к полярной оси. Отв. г=—-—. собф 19. Составить в полярных координатах уравнение прямой, па- раллельной полярной оси. Отв. г = —^—. sin ф 20. Исходя из определения параболы, состаеить в полярных координатах ее уравнение, приняв фокус параболы за полюс, а ось параболы за полярную ось. Отв. г = -%— • 1 — cos ф 21. Исходя из общего свойства конических сечений (отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно эксцен- триситету), написать полярное уравнение конического сечения. Систему координат выбрать, как в предыдущей задаче. Отв. г — -л—— , » 1 — £ cos ф где р — расстояние от фокуса до директрисы. 22. Написать полярное уравнение эллипса, приняв за полюс его центр, а за ось большую полуось эллипса. ~ cos29 . sin2? 1 Отв. —~ Н—ттг = -г- • а1 № г2 Указание. Преобразовать к полярным координатам уравне- ние эллипса в прямоугольных координатах. 23. Написать полярное уравнение равносторонней гиперболы, приняв за полюс ее центр, а за полярную ось одну из асимптот. а2 Отв. ^=--^-. sin 2ф 24. Отрезок постоянной длины 2а скользит концами по сторо- нам прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опу- щен перпендикуляр. Найти геометрическое место оснований пер- пендикуляра в полярных координатах (за полюс принять вершину прямого угла, а за полярную ось — одну из его сторон). Отв. Четырехлепестковая роза. 25. Написать уравнение четырехлепестковой розы в прямо- угольных координатах. Отв. (*2 +3/2)3 = 4я2д;2у2. 26. Составить уравнение кардиоиды в полярной системе коор- динат, исходя из определения, данного в задаче 15 § 8, Отв. г = 2а (14- ccs <р).
ЧАСТЬ II ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ГЛАВА • V ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ § 1. Исторические сведения Около трехсот лет тому назад, одновременно с аналити- ческой геометрией и в тесной связи с ней, возникла другая ветвь высшей математики — исчисление бесконечно малых (иначе «анализ бесконечно малых» или коротко: «анализ»). Источником исчисления бесконечно малых послужил ряд задач астрономии, механики, физики и геометрии, а задачи эти стали в центре внимания ученых 17 века в связи с по- требностями мореплавания, архитектуры, военного дела, гид- ротехники, оптики и механических производств. Так, например, еще в 16 веке делались попытки опреде- лить траекторию пушечного снаряда, т. е. форму той линии, по которой летит ядро, выброшенное из наклонно располо- женного орудийного ствола. Точно так же пытались узнать, при каком угле наклона орудия ядро упадет дальше всего от орудия. На второй вопрос знаменитый итальянский ученый Тарталья в середине 16 века дал, опираясь на наблюдения, правильный ответ: наибольшая дальность полета достигается при наклоне 45° к горизонту. Однако, Тарталья не был в состоянии правильно ответить на первый вопрос. Ои считал, что ядро летит сначала по наклонной прямой линии, затем описывает дугу окружности и, наконец, вертикально падает вниз. Наблюдением нельзя было проверить эту фантастическую гипотезу. Теоретический же вывод закона движения ядра нельзя было дать средствами элементарной математики, а другими средствами математики в эпоху Тартальи не владели. И в вышеупомянутой, и во многих других задачах нужно было перевести на математический язык такое «простое» по-
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 179 нятие, как понятие скорости движения. Нужно было научиться по закону изменения скорости тела находить закон движении тела (т. е., выражаясь на современном языке, выразить путь в функции времени). Нужно было научиться решать и обрат- ную задачу: по закону движения находить закон изменения скорости. Первые твердые шаги в этом направлении были сделаны великим Галилеем. Около 1600 г. Галилей дал точ- ное решение задачи о свободном падении тела и, основы- ваясь на этом решении, теоретически определил траекторию снаряда (в пустоте). Оказалось, что это — парабола. Галилей заметил, что решение задачи о нахождении пути по данной скорости сводится к геометрической задаче, уже со времени Архимеда (3 век до н. э.) привлекавшей внима- ние ученых. Это — задача об определении площади, ограни- ченной произвольными (прямыми или кривыми) линиями. Уче- ник Галилея Торричелли выяснил (около 1635 г.), что реше- ние обратной задачи (определить скорость по данному закону движения) теснейшим образом связано с другой геометриче- ской задачей, также привлекавшей внимание ученых со времени Архимеда. Это — задача о проведении касательной к произ- вольным кривым линиям. Вскоре выяснилось, что решение множества других задач (например, нахождение центра тяжести тел произвольной формы, времени истечения жидкости из сосуда, давления жидкости на стенку сосуда, вычисление максимальной вели- чины дальности полета снаряда и т. д.) сводится к двум упомянутым выше геометрическим задачам: к «квадратуре кривых» и «построению касательных», как их тогда называли. Опираясь на работы Архимеда и развивая заложенные в них идеи, западноевропейские ученые в последующее трид- цатилетие (1635—1665) выработали общий метод «квадра- туры кривых» и общий метод «построения касательной». Ученики Галилея Торричелли и Кавальери, французские ма- тематики Ферма и Паскаль, английский математик Валлис, голландский физик и математик Гюйгенс и многие другие, менее известные, ученые разработали эти методы. Наконец, Ньютон (начиная с 1666 г.) и Лейбниц (с 1675 jr.) завер- шили грандиозное открытие*). Они полностью выяснили вза- г) Лейбниц впервые выступил публично со своими открытиями в 1684 г.; Ньютон — значительно позднее (в 1693 г. было опублико- 12*
180 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V имную связь между задачей квадратуры и задачей о каса- тельных; они выразили их t наиболее отвлеченным образом, введя буквенную символику, подобную алгебраической. Бла- годаря этому оба метода приобрели характер исчисления, получившего название исчисления бесконечно малых. Про- исхождение этого названия вскоре (§ 5 этой главы) станет ясным читателю. Задача о касательных легла в основу так называемого диференциального исчисления, задача о квадра- турах— в основу интегрального исчисления. Эти термины введены в литературу Лейбницем. Лейбниц показал, что основное действие диференциаль- ного исчисления (диференцирование) и основное действие интегрального исчисления (интегрирование) являются взаимно обратными действиями, подобно тому, как, например, сложе- ние и вычитание, возведение в степень и извлечение корня являются взаимно обратными действиями. Те же результаты Ньютон получил в несколько иной форме. У Ньютона была другая терминология, другие обо- значения и несколько иной подход к основным понятиям. Лейбниц оказал на последующее развитие исчисления бесконечно малых несравненно большее влияние, чем Ньютон, не только потому, что к моменту опубликования работ Нью- тона работы Лейбница успели уже создать мощное научное течение, но и потому, что сами по себе обозначения Лейб- ница были лучше и шли дальше, чем символика Ньютона. Б настоящее время символика Лейбница общепринята. Что касается представлений Лейбница, Ньютона и предшествую- щих им авторов о сущности основных операций исчисления бесконечно малых (диференцирования и интегрирования), то они оказались во многом недостаточными, но лишь через столетие после смерти Лейбница и Ньютона математики ока- зались в состоянии подняться в этом отношении на более высокую ступень. Это, однако, не помешало грандиозному развитию исчисления бесконечно малых; как Лейбниц и Ньютон, так и математики позднейших поколений в совершенстве развили технику исчисления бесконечно малых и применили это исчисление к решению разнообразных задач науки и вано его письмо к Валлису с кратким сообщением об открытом им методе; обстоятельное изложение появилось только в 1736 г. — после смерти Ньютона).
§2] ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ 181 техники. В настоящее время нельзя изучать ни одной области науки и техники без знакомства с диференциальным и ин- тегральным исчислением. § 2. Задача о касательной Пусть некоторая кривая линия задана своим уравнением относительно прямоугольной системы координат, например, уравнением у = х2 (парабола с вершиной в начале коорди- нат, осью которой служит ось у; черт. 92). •х Черт. 92. Возьмем на ней какую-нибудь точку, например точку А , -i-^ , и поставим себе задачу—составить уравнение пря- мой ММ, касающейся параболы у = х2 в точке -£-) • Чтобы прямая MN была касательной, она должна 1) про- ходить через точку Л и 2) иметь то направление, которое имеет кривая линия в той же точке А. Иными словами, это — та прямая, по которой стала бы двигаться по инерции точка, соскочившая с криволинейного жолоба, по которому она прежде перемещалась. .Уравнение, которому удовлетворяет всякая прямая, про- ходящая через точку (^у, , есть (см. § 7 гл. II) у — т=т (х—т)' (1)
182 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V и все дело сводится к определению углового коэфициента m = tga. Этот угловой коэфициент можно определить следующим образом. Возьмем на кривой линии какую-нибудь точку В, отличную от точки Л, и проведем секущую АВ; она обра- зует с направлением оси абсцисс угол [$ = ^ВАС, не рав- ный углу а (в случае, изображенном на черт. 92,— больший). Будем теперь перемещать точку В по кривой линии так, чтобы она все более и более приближалась к точке А, стре- мясь к ней, но не совпадая. Секущая АВ примет положе- ния ABV АВЪ АВг и т. д. и будет образовывать с направлением оси абсцисс углы $^ = ВгАСу Р2 = £2ЛС, §г = В2АС и т. д. Угловые коэфициенты секущих будут k1=-tg$v ft2 = tg j}2, Из чертежа мы видим, что углы §v (52, [}3,... все менее и менее отличаются от угла а. Практически скоро станет даже невозможным отличить эти углы от угла а. Угловые коэфициенты ftb ft2, ft3,... также все менее будут отличаться от искомого углового коэфициента т. Но все угловые ко- эфициенты ft2, ft3,... очень просто выражаются через ко- ординаты точки А и точек Bv Въ £3,...; их числовые ве- личины легко найти. Остается, следовательно, решить такую задачу: к какому числу неограниченно приближаются числа kv ft2> ft3,...? Если это число мы найдем, оно и будет ис- комым значением т. Такова общая идея метода решения задачи о касательной. Поясним ее числовой выкладкой. Пусть абсциссы точек Bv B2i B2l... будут ^ = 0,51, лг2 = 0,501, #з = 0,5001 и т. д.; при таком их выборе/они, очевидно, неограниченно приближаются к абсциссе # = 0,5 точки А. Угловые коэфициенты kv ft2, ft3,... вычисляются так: ft. ft, =*з + 0,5= 1,0001, ft, '3
§2] ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ 183 Мы видим, что числа kv k2} &3... неограниченно приближа- ются (стремятся) к числу 1. Оно и будет значением т: т=\. Формула (1) после подстановки т=\ дает искомое уравне- ние касательной: 1 1 У-Т=* —2 или I у = х — т. Мы могли бы взять иной ряд точек Bv В21 Z?3,..., лишь бы они стремились к точке А; например, можно взять хг = 0,505, х2 = 0,5005, хг = 0,50005,... Тогда получим (вычисление предоставляем читателю) кг = 1,005, k2 = 1,0005, k3 = 1,00005,... Ряд чисел &2, &3,... снова стремится к 1. Точку В можно было бы приближать к точке А не справа, а слева; напри- мер, абсциссе ее можно дать ряд значений ^ = 0,49, х2 = 0,499, *3 = 0,4999,... Эти значения также приближаются к числу 0,5; угловые ко- эфйциенты соответствующих секущих будут ^ = 0,99, Л?2 = 0,999, £3 = 0,9999,... Числа к19 k2i &3, ... здесь также стремятся к 1. Этому числу и равен угловой коэфициент касательной к кривой у = х2 в точке А , ^ . Описанным способом можно найти уравнение касательной в любой другой точке параболы; тот же прием годится и для всякой иной кривой линии. Но в той форме, в которой мы его только что применили, этот прием был бы в боль- шинстве случаев очень громоздким. Диференциальное исчи- сление позволяет усовершенствовать этот прием до такой степени, что при некотором навыке касательная прямая на- ходится почтя моментально. Но прежде чем приступить к из- ложению диференциального исчисления, мы должны выяснить одно основное понятие, которым пользуются и в диферен- циальном, и в интегральном исчислении, и во всех других областях высшей математики. Это — понятие предела.
№ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V § 3. Предел С понятием предела мы по существу уже имели дело в предыдущем параграфе. Оно встречается и в элементарной математике (например при вычислении площади круга, объема круглых тел, суммы бесконечной геометрической прогрессии). Но в элементарной математике с понятием предела мы встречаемся лишь от случая к случаю; в высшей же мате- матике оно играет роль основного понятия. В примере предыдущего параграфа мы рассматривали две переменные величины: 1) абсциссу л; подвижной точки В; 2) угловой коэфициент k секущей АВ. Первую мы считали независимой переменной — мы изменяли ее, задавая ей различные значения; вторая была зависимой переменной — она при этом принимала ряд значений, вполне опреде- лявшихся выбором значений независимой переменной. Когда переменная х приближалась к числу -^-, перемен- ная k приближалась к числу 1. Число ~ называется пре~ делом переменной х, число 1—пределом переменной k. Вообще постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем изменении неограниченно приближается к постоянной а. Ниже мы несколько уточним это определение, расшифро- вав математическое содержание слов «неограниченно прибли- жается». Здесь же мы обращаем особое внимание читателя на принципиальное различие между пределом независимого переменного и пределом функции. В первом случае нужно задать или указать этот предел; во втором слу- чае нужно убедиться в том, что предел действительно суще- ствует, и найти его. Пример 1. Пусть две переменные величины х и у свя- заны зависимостью Если мы спросим, к какому пределу стремится переменная х или переменная у} то такой вопрос не имеет смысла. Нужно указать, как изменяется одна из величин х или у, и тогда можно спросить, стремится ли другая к какому-нибудь пре- делу и если да, то к какому именно.
§ 3] ПРЕДЕЛ 185 Пусть х есть независимая переменная и пусть указано, что при своем изменении х стремится к пределу 6; это запи- сывается так: х—*6. Такое указание не определяет еще полностью характера из- менения величины х. Она может, например, принимать зна- чения 6,1, 6,01, 6,001, 6,0001 и т. д., (1) или значения 5,9, 5,99, 5,999, 5,9999 и т. д., (2) или значения 6,1, 5,99, 6,001, 5,999, 6,0001 и т. д. (3) Словом, независимая переменная х может изменяться как угодно, лишь бы абсолютная величина разности л: — 6, т. е. величина i*-6|, неограниченно уменьшалась. Так, в последнем случае разность х — 6 становится равной 0,1, -0,01, +0,001, -0,0001 а абсолютная ее величина \х — 61 становится равной 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001,... При указанных способах изменения переменной х пере- менная у также меняется различным образом, но каждый раз она приближается к одному и тому же пределу. Величину этого предела легко найти из таких соображений: когда х приближается к 6, знаменатель х — 2 приближается к 4, числитель же х2 — 4 приближается к б2 — 4 = 32. Дробь х2 4 5», т. е. величина у% должна приближаться к пределу х 32 „ т=8- Подставляя в выражение х___2 любой РЯД чисел (1), (2) или (3) и произведя выкладки, мы убедимся, что величина у во всех случаях действительно стремится к пределу 8. Это
186 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V записывается так: lim у =8 или аг->б х а Буквы lim представляют сокращение французского слова li- mite (читается: лимит) или латинского слова limes (лимес); оба слова в переводе значат «предел». х2 4 Пример 2. Пусть снова у — ~-, но пусть теперь х ■ & х-+2. Стремится ли у к пределу и если да, то к какому? Рассуждение, подобное предыдущему, не дает никакого ответа на этот вопрос! Действительно, как числитель, так и х2 4 знаменатель дроби х__2 приближаются к нулю, когда д-2 4 х —► 2, и если бы мы сказали, что дробь х 2 приближается к пределу -д-, то ничего не выяснили бы, ибо выражение неопределенно. хъ 4 Однако, величина у = тг все же стремится к олреде- х л ленному пределу. Это сразу же почувствуется, если задавать переменной х любой ряд значений, приближающихся к пре- делу 2, например, х^ —-1,9, ^2 — ,99¾ " ^ ,999,. • • Мы имеем тогда 1 Q2 д Ух = jfzr = 3'9> У* = ^99' Л = 3,999,... Очевидно \imy = 4. Чтобы доказать справедливость этого результата, представим у в виде > = (4)
ПРЕДЕЛ 187 т. е • у = х + 2. (5) Теперь очевидно, что если х каким угодно способом стре- мится к пределу 2, то у стремится к одному и тому же числу 4. Заметим, что правые части формул (4) и (5) не вполне тожде- ственны, ибо сократить на х — 2 мы имеем право лишь в том слу- чае, когда х — 2^0, т. е. когда х Ф 2. хч 4 Выражение — — при х = 2 прямого смысла не имеет, но при всех х Ф 2 оно тождественно с выражением х -\- 2; значит, когда х (х — 2){х + 2) к стремится к 2, выражение ^ J_ t> —- приближается к тому же пределу, что и выражение х-\-2. Итак, имеем hm = 4. Пример 3. Пусть у = sinх и х —► 0. Из черт. 93 оче- видно, что когда £МОА — х неограниченно приближается к нулю, то линия синуса MP также стремится к нулю; при этом точка М может переме- щаться по окружности как угод- но, лишь бы она неограни- ченно приближалась в точке А; при- ближаться она может сверху или сни- зу, непрерывно или скачками. Вместе с линией синуса MP приближается к MP нулю и sin л: = ^, так что lim sin* = 0. Черт. 93. Пример 4. Пусть y = s'm~ и лг->0. На черт. 93 угол МО А 1 теперь нужно считать равным ~, величину же х попрежнему не- ограниченно приближать к нулю. По мере уменьшения абсолютной величины х переменная — будет по абсолютной величине неогра- ниченно увеличиваться. Например, когда х мы будем задавать значения 1, 0,1, 0,01, 0,001 и т. д.,
188 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V 1, 0, -1, 0, то — примет значения 1, 10, 100, 1 000 и т. д. Значит, когда х, оставаясь положительным, будет плавно от значе- ния х = 0,1 приближаться к значению 0, точка М будет передви- гаться по окружности против часовой стрелки, описывая все' большее число оборотов. Что станет с величиной sin Очевидно, она будет принимать всевозможные значения (меньшие единицы по абсолютной величине) и ни к какому пределу стре- митьсянебудет. Если стремить х к нулю не плавно, а скачкообразно, то можно подобрать такой ряд его значений, чтобы подвижная точка М приближалась к любой неподвижной точке окружности* Для этого можно давать х ряд, скажем, таких значений: 1 1 1 (2 + 0,1) я' (4 + 0,01) *' (6 + 0,001) *' *' • При этом, очевидно, х приближается к 0; величина же -~ полу- чит тогда значения 2тс + 0,1я, 4it-f-0,01ic, 6те + 0,001те, Наконец, величина sin ~ будет равна sin (2я -f-0,1тс) = sin 0,lic, sin (4тс + 0,01ic) = sin 0,01ic, sin 0,001¾:,..., т. е. будет стремиться к пределу 0. Это, однако, не дает нам права написать lim sin •— = 0, х->о х ибо так же легко подобрать другой ряд значений х, тоже стремя- щийся к нулю, для которого величина sin ~ будет приближаться к другому пределу, например к 1 (постройте такой ряд). Наконец, можно подобрать и такой ряд значений х, для которого sin-^ вообще ни к какому пределу не приближается. Например, давая х значения 2_ .2. 2. -2. я ' 2it9 3ic' 4it' • • • » 1 мы для — получим ряд значении 1с Зя _ у, я, —, 2я, ... Для sin— получаем значения
§4] УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 189 Эта четверка значений будет повторяться бесконечное множество раз. Ни к какому пределу эти значения не стремятся. Таким образом, функция sin — прл х ->0 никакого пре- дела не имеет. * Пример этот мы рассмотрели для того, чтобы лучше уяснить понятие предела и подчеркнуть отличие между пределом аргумента и пределом функции: аргумент мы можем заставить стремиться к пределу, который мы сами назначим; а будет ли функция стре- миться при этом к пределу — это еще подлежит выяснению. Если да, то задача наша состоит в нахождении величины этого предела. Впрочем, в этой книге мы рассматриваем только такие случаи, когда предел функции существует. § 4. Уточнение понятия предела В определении предыдущего параграфа мы не дали точ- ного разъяснения слов «неограниченно приближается». Теперь мы это сделаем. Пусть переменная х имеет пределом число 6 (л:—*6) и принимает, например, такой ряд значений: 6,1, 6,01, 6,001 и т. д. Возьмем теперь число, меньшее 6, например 2. Пере- менная х% пробегая указанные значения, приближается к 2, т. е. величина - |*-2| все время уменьшается. Но мы не называем число 2 преде- лом переменной х% потому, что здесь нет неограничен- ного уменьшения. Действительно, величина | х — 21 в нашем примере никогда не станет меньшей, например, чем число 2,8 или чем число 3,6. Таким образом, точный смысл фразы: «л: неограниченно приближается к а» состоит в следующем: какое бы положи- тельное число е1) ни было задано, всегда наступит момент, после которого | х — a J будет оставаться меньшим е. В этом именно смысле величина \х — 6 J в нашем примере неограниченно уменьшается. Действительно, ее можно сделать меньше любой наперед заданной положительной величины е. Зададим, например, е = 0,01. Тогда в ряду значений 6,1, 6,01, 6,001 и т. д. все значения х, начиная с третьего (6,001), удовлетворяют неравенству \х — 6|<0,01. 1) Греческая буква «эпсилон».
190 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V Возьмем 8 = 0,0015. Тогда все значения х9 начиная с чет- вертого (6,0001), удовлетворяют неравенству \х — 6|<0,0015, и вообще неравенство 1*-6|<8 при любом заранее выбранном е удовлетворится всеми зна- чениями величины х, следующими за некоторым определенным его значением (зависящим от е). Поэтому число 6 мы и на- зываем пределом переменной х. Выяснив точный смысл термина «неограниченно умень- шается», мы можем определение предыдущего параграфа вы- сказать в следующей форме: Определение. Если переменная величина х изме- няется таким образом, что для любого наперед заданного положительного числа е абсолютная величина разности между ней и некоторой постоянной величиной а вслед за некоторым моментом остается меньшей е: I* — «1<е. то величина а называется пределом переменной величины х. Закончим этот параграф выяснением вопроса, который часто затрудняет начинающих: может ли переменная величина х, стремящаяся к пре- Л м2 ми у /ч3 м, делу ау принимать зна- ^ 1 1 J - [- В чения, равные а? Согласно только Черт. 94. что приведенному опре- делению на этот во- прос нужно ответить утвердительно» Пусть, например (черт. 94), мы заставляем точку М плавно двигаться по АВ следующим образом: от положения Мх с абсциссой 1 она движется влево до точки М2 с абсциссой —-i , затем она движется вправо до точки М3 с абсциссой -\- , потом снова влево до точки МА с абсциссой —^ и т. д. В остальном закон движения произволен; например, точка может ускорять или замедлять свое движение как угодно. Перемен- ная абсцисса х имеет, очевидно, предел, равный нулю, ибо
§4] УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 191 величина \х-0\ = \х\ вслед за некоторым моментом станет и будет дальше оста- ваться меньше любого наперед заданного числа е. С другой стороны, переменная х принимает знамение нуль каждый раз, как точка М проходит в том или ином направлении через О. Итак, переменная величина, стремящаяся к пределу а, может принимать значение, равное я, и притом не только один или несколько, но даже бесконечно много раз. Когда подобное явление имеет место с зависимой переменной, мы должны констатировать ч стремление к пределу а (в нашем примере а = 0). Когда же речь идет о независимой переменной, то от нас самих зависит, как приближать ее к пределу; в частности, мы могли бы заставить ее принимать сколько угодно раз свое предельное значение. Но это было бы нецелесообразно, и вот почему. В тех вопросах, где приходится искать предел функ- ции, нам всегда бывает существенно знать, что происходит с функцией в процессе стремления аргумента к его пре- дельному значению, а не в тот момент, когда аргумент до- стигает своего предела. К тому же в этот момент функция может оказаться неопределенной, что и происходит во многих практически важных случаях. Нижеприводимые примеры по- ясняют сказанное. Пример 1. В § 2 мы искали предел, к которому стре- мится угловой коэфициент k секущей, когда абсцисса х точки В стремится к пределу 0,5. Роль аргумента играла здесь переменная х, роль функции — переменная k. Когда х неограниченно приближается к 0,5, не принимая предель- ного значения л; = 0,5, точка В неограниченно приближается к Л, не сливаясь с ней. Секущая А В получает вполне опре- деленные положения; зная, как меняется это положение в про- цессе приближения В к А, мы можем найти предельное по- ложение секущей АВ, т. е. предел ее углового коэфициента k. Эта величина нас и интересовала. Выиграем ли мы что-либо, если разрешим переменной х принять предельное значение л: =0,5? Нет, ибо тогда точка В сольется с точкой А и положение секущей станет неопределенным. Можно, конечно, сказать, что в момент, когда х = 4-, секущая стала каса-
192 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V тельной. Но ведь угловой коэфициент касательной и есть та неизвестная величина, которую мы ищем. Пример 2. В § 3 мы искали *->2 х ~~ z При всех значениях а;^2 мы имеем и ясно, что при неограниченном приближении х к 2 функция стремится к 4. Именно эту величину мы и разыскивали. Раз- решив х принять значение х = 2, мы лишим себя права со- кратить дробь и получим х2 — 4 _0 х— 2 0 » т. е. неопределенность. Таким образом, когда речь идет о пределе независимой переменной, то из значений, которые она может принять, нужно исключать значение ее предела1). Здесь снова сказывается различие между пределом зави- симой и пределом независимой переменной. § 5. Бесконечно малая величина Когда переменная величина х стремится к пределу а, то разность х — а, а также разность а— х стремится к пре- делу нуль. Обратно, если разность х — а (или а — л:) между переменной х и постоянной а стремится к нулю, то постоян- ная а является пределом переменной х. 1) Точнее говоря, символ lim f(x) = b означает, что / (х) не- х->а ограниченно приближается к Ь всякий раз, когда х приближается к а, не принимая этого последнего значения. Что делается с / {х), когда х = я, нас не интересует. Функция может равняться Ь, но может и не равняться, становясь неопределенной, как в рас- смотренных примерах, или даже принимая значение, отличное от Ь. Заметим, что если / {х) определена для х = а и если / (а) = lira / (х), х-+а то функция называется непрерывной при х = а. Если же f(a) не определено совсем, или определено, но f (а) Ф lira f(x), то функция х -+ а называется разрывной при х = а.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 193 Эти положения настолько очевидны, что мы не будем их доказывать. Таким образом, переменная величина, стремящаяся к пределу 0, играет особенно важную роль. Такую величину называют бесконечно малой. В § 1 мы дали читателю общее представление об исчис- лении бесконечно малых; мы указали, что одной из его ос- новных задач является задача о касательной. Рассматривая частный случай этой задачи (§ 2), мы искали предел пере- менной величины х* — 0,52 х — 0,5 ' когда л:—►0,5. В этом выражении и числитель, и знаменатель стремятся к пределу 0, т. е. являются бесконечно малыми. Знаменатель х — 0,5 есть не что иное, как разность абс- цисс точек В и Л, т. е. отрезок DE = AC числитель же — разность ординат тех же точек, т. е. отрезок СВ. Когда точка В приближается к точке Л, оба отрезка АС и СВ неограниченно уменьшаются. Так будет и в общем случае задачи о касательной. В задаче о площади криволинейной фигуры — другой основной задаче исчисления бесконечно малых — при- ходится искать предел выражений иного типа, но и там мы имеем дело с переменными, стремящимися к нулю. Теперь понятно, почему изучаемый нами предмет называется исчисле- нием бесконечно малых. Определение. Бесконечно малой величиной назы- вается переменная величина, стремящаяся к пределу 0. Сопоставив это определение с определением предела (§ 4 этой главы), мы можем определить бесконечно малую вели- чину еще так: Если переменная величина х изменяется таким обра- зом, что для любого наперед заданного положительного числа е абсолютная ее величина вслед за некоторым момен- 13 м. Я. Выгодский
194 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V том остается меньшей е: М<е, то величина х называется бесконечно малой. Все то, что в § 3 было сказано относительно различия между стремлением к пределу независимой и зависимой пере- менной, разумеется, остается в силе и здесь. Пример 1. Переменная величина х2—16 бесконечно мала при х—^4 и при х—— 4. Пример 2. При бесконечно малом х переменная хь бесконечно мала, а переменная 3* не есть бесконечно малая величина, ибо Нпис3 = 0, a lim 3-^=1. х ->0 х О Пример 3. При бесконечно малом х величина 3х — 1 бесконечно мала (см. предыдущий пример). Пример 4. При х—>2 величины х — 2 и х2— 4 бес- х2 — 4 конечно малы, но ?г не есть бесконечно малая величина, ' х — 2 * х2 4 ибо lim = 4 (см. пример 2 § 3). х -*0 х~~ 1 Согласно точному смыслу определения, никакая постоянная величина, отличная от нуля, не есть бесконечно малая вели- чина. Так, постоянная величина, равная 0,000000000001, не есть бесконечно малая величина, так как хотя она мало от- личается от нуля, но неограниченно к нулю не приближается. Однако, в практических вопросах часто называют беско- нечно малой не только величину 0,000000000001, но иной раз и 0,01, 0,1 и т. д., а подчас и очень большие постоян- ные величины. Говорят, например, что радиус Земли беско- нечно мал по сравнению с междузвездными расстояниями. Это словоупотребление, если раз навсегда установить его точный смысл, будет не только позволительным, но и весьма целе- сообразным. Чтобы уяснить, в каком смысле постоянная величина мо- жет быть названа бесконечно малой, рассмотрим вновь задачу о касательной. Если точка в стремится к точке а (черт. 95), то ас и св, как мы только что видели, стремятся к нулю, а их от- св , ношение стремится к угловому коэфициенту к касатель- ной. С некоторого момента (с какого именно — зависит от
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 195 требуемой и достижимой степени точности) разница между постоянным угловым коэфициентом касательной и переменным угловым коэфициентом секущей становится и в дальнейшем остается совершенно незаметной, и практически наступит момент, ев когда дальнейшее изменение величины не нужно или даже невозможно учитывать на практике. И вот, когда АС и СВ св столь малы, что отношение практически равно сво- ему пределу, — величины АС и СВ можно назвать бесконечно малыми, т. е. применять к ним те теоремы, которые, строго говоря, верны лишь в том случае, когда АС и СВ стремятся к пределу нуль. Ясно, что одну и ту же величину в одном практическом вопросе можно, а в другом — нельзя считать бесконечно малой. Пользуясь сравнением, приводимым Энгельсом!), мы мо- жем сказать, что радиус Земли по отношению к звездным расстояниям бесконечно мал, по отношению же к земным расстояниям — нет. В природе все математические зависимости осуществля- ются лишь приблизительно, хотя часто с колоссальной сте- пенью точности; поэтому и математическая теория бесконечно малых величин имеет практическое значение лишь постольку, поскольку она применима к величинам «бесконечно малым» в указанном практическом смысле. Вот почему нежелательно было бы переименовывать, как это предлагают некоторые авторы, бесконечно малые (в мате- матическом смысле) величины в «бесконечно умаляющиеся». Упражнения Являются ли бесконечно малыми величины: аз 1. при бесконечно малом о. Отв. Да. 1 — а 1 — аЗ 2. -А при бесконечно малом о. Отв. Нет, 1 — а 3. Y\ — о при бесконечно малом а. Отв. Нет. при бесконечно малом а. Отв. Да. 5. Vl — а — 1 при а 1. Отв. Нет. 1) Соч. К. Маркса и Ф. Энгельса, т. XIV, стр. 343. 13*
196 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 6. 2*—1 при х-+1. 7. 2* — 1 при х 0. 8. sin х при лг -> 0. 9. cos л: при х 0. 10. 1 — cosat при jc -н 1 — cos х 11. 12. 1 sin* — cos л: sin2* при х при л: - 0. ► 0. Нет. О/ив. Да. Отв. Да. О/ив. Нет. Отв. Да. О/ив. Да. Отв. Нет. § 6. Бесконечно большая величина Определение. Переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает, называется бесконечно большой величиной. Смысл выражения «неограниченно возрастает» будет ниже уточнен; пока рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Пусть в выражении — величина а есть бес- конечно малая величина. По мере того как а стремится к нулю (значение 0 мы ей запретим принимать; см. конец § 4), переменная -~ будет принимать все большие по абсо- лютной величине значения; эти . значения могут быть и по- ложительны, и отрицательны, смотря по тому, положительна или отрицательна величина а. Например, пусть а принимает ряд значений Тогда а —> 0, a ~ принимает значения 1, —2, +3, —4, +5 и т. д., т. е. неограниченно возрастает по абсолютной величине. Со- гласно определению переменная величина -~ будет бесконеч- но большой. Как Мы видим, бесконечно большая величина не имеет предела в том смысле, в каком это понятие было определено в § 4. Тем не менее принято говорить, что бесконечно боль- шая величина «имеет бесконечный предел» или что ее предел
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНА 197 «равен бесконечности». Соответственно с этим пишут: lim i = оо . а->0 а Символ оо (бесконечность) не изображает никакого числа, и приведенная запись носит условный характер; ниже будет видно, почему есть смысл вводить такое условие. 5 Пример 2. Пусть У = -% и *—Тогда у неогра- ниченно возрастает; читатель легко убедится в этом. Со- гласно определению у есть в этом случае бесконечно боль- шая величина, или lim^ = lim= со. В отличие от предыдущего примера, у, возрастая неограни- ченно, остается всегда положительным (ибо л:2 положи- тельно и при jc>0, и при лг<0). Чтобы оттенить это, пишут lim 4 = + со. Аналогичный смысл имеет запись со . В соответствии с этим результат предыдущего примера за- писывается также следующим образом: lim -1 = -ь со . 12 Пример 3. Пусть у = х_2 и х2- Тогда знаме- натель дроби стремится к нулю, а вся дробь по абсолютной величине неограниченно возрастает. Таким образом, в этом случае у есть бесконечно большая величина: 12 lim у= lim —— = 4^ со. х~>2 *-*2 х ^ В предыдущих примерах бесконечно большими величинами были зависимые переменные; независимые переменные мы заставляли стремиться к конечным пределам (в примерах 1 и 2 к нулю; в примере 3 к двум). Но можно заставить
19^ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V X Когда х—►00, слагаемое -^- стремится к нулю, а, значит, сумма 2-J-— ►2. Запись: llm** + I = 2. независимое переменное стремиться «к бесконечному пределу», т. е. задавать независимой переменной неограниченно возра- стающие значения, и искать предел, к которому стремится при этом функция. Пример 4. Пусть мы имеем зависимость 1 if заставляем х пробегать неограниченно возрастающие поло- жительные значения, например, принимать последовательно значения 1, 2, 3, 4, 5,... Тогда функция у принимает значе- ния 1,4 , -т-, х, ..., т. е. имеет пределом нуль. Записывается 2, о 4 это так: lim — = 0. jr ->-f-oo х Точно так же запись lim — = 0 х л: -> —оо л выражает тот факт, что когда х неограниченно возрастает по абсолютной величине, но с некоторого момента остается отрицательным, то и тогда -^- имеет пределом нуль. Ввиду этого пишут также короче: lim — = 0. х Пример 5. Пусть у = —ил: —> со . Тогда и чи- 2хЛ- 1 слитель, и знаменатель -дроби —неограниченно возра- стают, но сама дробь стремится к пределу 2. Проверьте это, давая величине х значения 100, 1 000 и т. д. Это нетрудно и доказать. Действительно, . 2*+1 = 2* , j_ = 2 , j_ X ' X ' х '
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНА 199 Пример 6. Напомним результат, известный из элемен- тарной алгебры. Пусть имеем убывающую геометрическую про- грессию ах = а, а2 = aq, аъ = aq2,... с общим членом an = aqn~x. Формула lim ап — lim aqn~x = О выражает, что при бесконечно большом целом п предел выра- жения aqn~x, где а и q постоянны и |?|<0> равен нулю. Из алгебры известно также, что lim s„ = lim «-+00 П Я-*00 Здесь функцией бесконечно большой величины п является сумма sn первых членов прогрессии (число п предполагалось целым). Пример 7, Здесь мы рассмотрим вопрос, на котором выяснится значение понятия бесконечного предела для прак- тики. При фотографировании для получения четкого изображе- ния нужно изменять расстояние пластинки от объектива в за- висимости от того, на каком расстоянии от объектива нахо- дится фотографируемый предмет. Если обозначить через х расстояние предмета от объектива, а через у расстояние пла- стинки от объектива, то х и у связаны зависимостью ~ + - = - х * у F 9 где величина F постоянна для данного аппарата. Пусть, на- пример, F=0,2m; тогда ± + ± = 5. х 1 у Легко видеть, что по мере удаления предмета (т. е. по мере увеличения л:) пластинка должна придвигаться к объективу; но с неограниченным ростом х расстояние у стремится не к нулю, а к 0,2 м (т. е. к величине F). Действительно, когда х—►30, величина — ►0, поэтому —= 5—— стремится к5,
200 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ: [гл. V а значит, у—>.^- = 0,2. Запись: lim ^ = 0,2. х ->оо Теоретически ни при каком расстоянии предмета ве- личина у не равна 0,2 м (она всегда больше). Но практи- чески величина у скоро становится неотличимой от 0,2 м. Так, при х= 10 м y^z 0,204 м, при х— 50 м 0,201 м7 при л; =100 м y^z 0,2004 м9 т. е. у отличается от своего предела меньше, чем на мил- лиметра. В этом смысле часто говорят: величина у равна 0,2 при х, равном бесконечности, и пишут вместо lim ^ = 0,2. x -»00 В том же смысле нужно понимать распространенное среди оптиков выражение: «наводить фокус на бесконечность». Это выражение и ему подобные оправдываются тем, что в практике достаточно большая (хотя бы и постоянная) величина играет роль бесконечно большой величины. Какая именно величина является достаточно большой, конечно, зависит от условий вопроса. Сопоставьте это с тем, что в кон- це предыдущего параграфа было сказано о бесконечно малой величине. Пример 8. В тригонометрии употребительна запись tg 90° = ±оо. Она равнозначна записи lim tg л; = со , *->90° смысл которой состоит в том, что когда х—>90°, igx по абсолютной величине неограниченно возрастает, а по знаку может принимать и положительные, и отрицательные значения.
§ 7J УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ВЕЛИЧИНЫ 201 каково бы ни было е, т. е. у есть бесконечно малая величина. § 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины В определении предыдущего параграфа мы оставили без точного пояснения слова «неограниченно возрастает». Теперь, когда смысл этого выражения выяснился на примерах, мы мо- жем сформулировать наше определение полнее. Под неограниченным возрастанием переменной величины мы разумеем такое ее изменение, при котором вслед за неко- торым моментом абсолютная ее величина будет оставаться большей, чем любое наперед заданное положительное число Е. Так, например, переменная величина, последовательно принима- ющая значения -1, +4, -9,..., (—1)ял*, ... (п целое положительное число), превзойдет по абсолютной величине любое число Е. Если за- дать, например, £=90, то, начиная от п =10, т. е. от зна- чения 102=100, переменная (—\)пп? станет и будет затем оставаться по абсолютной величине больше 90. Теперь определению § 6 можно придать такой вид: Определение. Переменная величина х называется бес- конечно большой, если она изменяется так, что для любого наперед заданного положительного числа Е абсолютная величина ее вслед за некоторым моментом остается большей Е. Сопоставив это определение с определением бесконечно малой величины (§ 5), мы видим, что величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая. Действительно, пусть у — -^- и х—> со. Тогда при каком угодно положительном Е величина х вслед за некоторым мо- ментом будет удовлетворять неравенству 'И>Е, а, значит, \у\<^"2г* Но ~ произвольное число (так как Е произвольно). Обозначив его через е, видим, что вслед за не- которым моментом
202 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V Точно так же легче показать, что величина, обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая. Эти два предложения дают точный смысл условных ра- венств 1 л 1 о7 = 0 и (Г = °°' которые означают то же, что равенства (также условные) lim —= 0 и lim —= оо. ► оо X v-о У Упражнения Являются ли бесконечно большими величины: 1. ——jг при х -> 4. Отв. Да. л — 4 г 2. 0 ^ . при х 4. Отв. Нет. 3. 1 +.V при лг —»- оо. Отв. Да. 4. —~— при лоо. О/нв. Да. 5. \— при х оо. Отв. пет. л*4 6. —-р— при л* оо. Отв. Нет. 7. 2х при дг оо. Отв. Да. 8. (0,2)* при х оо. Отв. Нет. 9. (0,2)*+ 2* при л-^ оо. Отв. Да. 10. х-» при бесконечно малом х. Отв. Да. 11. —— при бесконечно малом х. Отв. Да. sin х 12. sin ~ при бесконечно малом х. Отв. Нет. § 8. Основные теоремы о пределах В простых примерах, разобранных в предыдущих пара- графах, вычисление предела функции при заданном, пределе ее аргумента не вызывало особых затруднений. Вообще же го- воря, это задача трудная, и общего метода ее решения не существует. Впрочем, для тех вопросов, с которыми мы встре- тимся в этой книге, достаточно пользоваться сравнительно простыми методами, с которыми мы начнем знакомиться со
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 203 следующего параграфа. При изучении их нам будут очень полезны четыре простых правила, излагаемые ниже. Ввиду их очевидности, мы не будем останавливаться на их доказатель- ствах. Во избежание усложнений мы будем предполагать, что пре- делы всех функций, о которых говорится в этих теоремах, конечны. Независимое же переменное может иметь любой пре- дел (даже и бесконечный), лишь бы только при этом не были бесконечными пределы функций. I. Предел суммы. Если у и z суть функции одного и того же переменного х и если при х —* а • у—>Ь и z—>с, то сумма y-\-z при х—>а стремится к пределу Ь-\-с. Символическая запись: lim (y-\-z) = hm y-\-\imz, (1) х->а х-±а х-±а или, короче, lim (у-\-z) = lim у-\- lirn z. В этой последней записи подразумевается подстрочное указание х—*а. Самое правило формулируют короче так: Предел суммы равен сумме пределов. Здесь подразумеваются условия, что оба слагаемых — функции одного и того же аргумента и что этот аргумент стремится к некоторому пределу. Правило I имеет силу и тогда, когда имеем сумму не- скольких слагаемых, например четырех, десяти и т. д. *). Замечание. Чтобы этому правилу придать возможно более общий вид, нужно учесть возможность, что некоторые слагаемые могут быть постоянными величинами. Нужно усло- виться, чтб мы будем считать «пределом» постоянной вели- чины. Пределом постоянной величины а мы назовем самую величину2) а. Тогда только что высказанное предложение 1) Но она может быть несправедливой тогда, когда число сла- гаемых есть бесконечно большая величина. 2) Это будет согласоваться с определением предела (§ 4), ибо разность а — а равна нулю и, следовательно, меньше любого напе- ред заданного положительного числа е. Сообразно с этим, постоян- ную величину 0, предел которой есть также 0, можно считать бес- конечно малой величиной.
204. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V сохранит свою силу и для тех случаев, когда одно или не- сколько слагаемых—постоянные величины. Зл*4- 1 Пример 1. Найти lim ———. х-+0о х Решение, lim ^L+l _ цт (з + —) = = lim3+ lim-i = 3-f 0 = 3. II. Предел разности. Так как разность у— z можно рас- сматривать как сумму у-\-{—z), то случай этот ничего но- вого не представляет, и мы можем сказать: Предел разности равен разности 'между пределом уменьшаемого и пределом вычитаемого, или еще короче: Предел разности равен разности пределов. Конечно, и здесь подразумеваются те же условия, что и в сокращенной формулировке правила I. Запись: lim (у — z) = lim у— limz. x-+a х-+а х-+а III. Предел произведения. Предел произведения двух или нескольких величин равен произведению их пределов. Мы нарочно не говорим «переменных величин», ибо неко- торые из сомножителей могут быть и постоянными величинами (см. замечание к правилу I). Запись (для трех сомножителей): lim (yzu) = lim^; lim z lim u. (2) x-+a x-±a x-+a x-+a Пример 2. lim Зл: = lim 3 limx = 3-5= 15. х-+Ь х-* 5 х-+Ъ Пример 3. lim (4 — x) (2 — Зл:2) = lim (4 — л;) lim (2 — Зл:2) = 4-2 = 8. x-+0 х->0 х-*0 Если сомножители у, г, и,... равны между собой, то из формулы (2) мы получаем (для п сомножителей) формулу lim у4 = (limy)4. х-+а х-*а Формула эта сохраняет силу и тогда, когда п дробное или
§ 8] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 205 отрицательное число. В частности, если я —~г (где m целое положительное число), мы имеем: х-+а х-±а Пример 4. Пример 5. lim V'3x + 3x2 = V Hm (3* + 3*2) = = j/lim 3jc4- limЗх2 =1/9Л.27 = 6 х-+3 jt->3 1 IV. Предел частного. Если у и z суть функции од- ного переменного л: и если \\ту—Ь и lim z = c, причем х-±а х-*а с 0, то lim у \\™ У х-* а lim — = . х^а z lim z х->а Короче можно сказать.так: Предел частного равен частному пределов, если,предел делателя, не равен нулю. .. , . . В первом из следующих примеров выясняется основное содержание правила IV; в остальных — характер содержащейся в ней оговорки. х-\~А Пример 6. Найти lim , дг -> 5 х — А Предел делимого lim(*-f-4) = 9, х ->5 предел делителя lim (дг — 2)=3; дг->5 он не равен нулю. Применяя наше правило, находим: Ит£±А" 9 Q lim -—- = -- = 3. Переходя к рассмотрению примеров, в которых предел де- лителя равен нулю, мы будем различать два случая.
206 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V а) Предел делимого не равен нулю. Пример 7. Найти lim - -- . х->2 х — 1 Предел делителя равен нулю; предел делимого нулю не равен нулю: lim(jc + 4) = 6^0. х-+2 Давая независимой переменной х значения, стремящиеся к 2, х-\- 4 например 2,1, 2,01, 2,001 и т. д., увидим, что частное есть бесконечно большая величина, или, что то же, предел частного равен бесконечности: 1. лг + 4 lim = оо . х-+2*-2 Если бы мы применили теорему о пределе частного, то полу- чили бы ,. х + 4 6 Деление на нуль не дает никакого числа и в этом смысле невозможно; однако мы можем написать 6 "0 понимая это равенство в том смысле, что Jim — = оо x-+0 х (ср. примеры 7 и 8 § 6). Тогда правило IV сохраняет силу, и мы получим: lim (х + 4) jim* + 4 _х-+2 _b_ = OQ х-+2х — 2 Нт (х-2) 0 х-±2 Итак, в случае а) правило IV в расширенном его смысле верно. б) Предел делимого равен нулю. Тогда предел частного может оказаться и бесконечным (как ниже в при- мере 10), и конечным (примеры 8 и 9), в частности, равным нулю (пример 9) *). Если же формально применить правило IV, г) Может даже оказаться, что частное совсем не будет иметь предела.
§ 8] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 207 х*+2х — 3 .. . I q\ lim ' = Inn (л: -j- 3): 1 * -* l X2 2л- 4- 1 ■* 1 * -+1 Пример 9. Найти lim х->1 х—\ Здесь снова Итг = 0 и Нт<у = 0. Произведя преобразо- вание, сходное с преобразованием примера 8, имеем Иш *=**±1 = Пт <*-»>* = lim(*- 1) = 0. х л—1 х-+1 х—1 Пример 10. Найти lim .,^ "Г1, t . И здесь limz = 0 и Нтиу = 0. Между тем, *. л: — 1 t. л' — 1 t. 1 lim ——-—г—г- = lim — г-г- = lim г- = со. Из этих примеров видно, что в случае б) для нахождения предела частного необходимо предварительно подвергнуть это частное некоторым преобразованиям. то оно даст неопределенное выражение -jj-. Поэтому сказать, что правило IV дает неверный результат, нельзя, но оно не дает и верного результата. Правильно будет сказать, что к случаю б) правило IV неприменимо. Пример 8. Найти lim *lL+1x ~~ 3 . Здесь lim z = lim (х—1) = 0, ]\ту = lim {х2-\у2х — 3)=0. АГ->1 „ ^ х* + 2х — 3 Преобразуем —£—j— таким ооразом: x* + 2x-3 = (х-\)(х + 'д) ^х . 3 х — 1 л- — 1 ~т" ■ Сокращение на х— 1 допустимо лишь тогда, когда х—1 =^=0, т. е. когда х=^=\. А так как независимой переменной х мы не позволяем (см. § 4) стать равной своему пределу а =1, то. наше преобразование вполне правомерно. Теперь имеем:
208 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ . ^ [ГЛ. V ►1 u»—г- От. ' X* 4. lim 2л + * Отв. 2. 5. lim (1 — 2 cos2*) sin х. Отв. • х2 4 6. lim Отв. 4. *->2 х — z 7. lim О/не. 3. 8. lim ■ f_~1 • , Ome. 2. x+iy x — l Указание. Представить числитель в виде разности квадратов. л-1 —а-1 Л„ 1 х-+а 9. lim —■. Отв. х — а а2 10. lira Отв. 2. Х-+0 1 —У 1 —X Указание. Изгнать иррациональпость из знаменателя. п. ци УЩ=±. От. 1. Указание. Сравнить с предыдущим примером. V24- - ч 12- Iirn ^7^2 - °°- *-*7 (X— 7)2 i. 14-cos* _ 13. 1ш . Отв. оо. х_+о 1 — cos л .... 2 sin л _ 14. lim . . Отв. оо. j^^o * —cos л Указание. Числитель и знаменатель "выразить в функции половинного угла. Упражнения Найти значения следующих пределов: « .. 2л —24л2 - . . 1. hm \— Owe. —4,4. 6л- — 1 '
00 п C0SX 17. lim S.iTl0X •. Отв. оо. § 9. Пределы вида ~ В предыдущем параграфе предполагалось, что пределы рассматриваемых функций конечны. Часто, однако, приходится встречаться со случаями, когда это условие не выполняется. Особенно важным является разыскание предела частного — , ко- <? гда делимое или делитель или оба сразу имеют бесконечные пределы. Рассмотрим эти три случая. Случай 1. Делимое имеет бесконечный, а делитель ко- нечный предел. Тогда частное имеет бесконечный предел. Пример 1. Найти lim *~^~*2 , х-+00 2 — 1 X Делимое неограниченно возрастает, а делитель стремится к 2. Ясно, что частное неограниченно возрастает. Условная запись: |. 1+аг2 00 х-юо 24--L z х Таким образом, правило IV § 8 в расширенном смысле мо- жет быть применено к случаю 1. Случай 2. Делимое имеет конечный, а делитель — бес- конечный предел. Тогда предел частного равен нулю. 2 + i- Пример 2. Найти lim * Х-+ОО 1 -\-х* Делимое стремится к 2, в то время как делитель неогра- ниченно растет. Очевидно, частное приближается к нулю. Условная запись: 2 + Т 2 л:-»оо а"гл ^ § 91 ПРЕДЕЛЫ ВИДА — 209 00 2 sin2 х 15. lim . Отв. 4. Сравнить с предыдущим примером. дг-*0 1 — cos X 16. lira ^SJL. Отв. 1. 14 М. Я. Выгодский
210 предварительные сведения [ГЛ. V Следовательно, и к этому случаю можно применить пра- вило IV § 8 в расширенном его толковании. Случай 3. Делимое и делитель имеют бесконечные пре- делы. Применение правила IV дало бы -^-. Это выражение неопределенно, подобно выражению ~. Общих способов на- хождения предела и здесь указать нельзя. Однако, если чи- слитель и знаменатель — многочлены относительно независи- мого переменного, то можно указать простой и быстрый способ, ведущий к цели. Способ уяснится на нижеследующих примерах. п q и о |, 8лг*+12*2-4- х + 4 Пример 3. Найти lim „ ,, \ „ —Ц. Чем больше величина х, тем меньшую роль играют в сум- ме 8л:3 -|- 12л:2 -|~ х -(- 4 члены низших степеней по сравнению со старшим членом. Естественно поэтому отбросить их вовсе, когда речь идет о неограниченном возрастании. То же самое сделаем с делимым и получим 8л:3 + 12л:2 + л: +4 8л:3 4 4 lim -л—ч- ггг^—-ц——гг = lim -7-7 = hm — = — . Эта запись носит вполне строгий характер. Но наше рассу- ждение было нестрогим (ведь мы отбрасывали бесконечно большие величины). Для строгого вывода следовало бы по- ступить так: разделим числитель и знаменатель нашей дроби ч 111 на л:3 и заметим, что при х —> со величины ~ , и ^ стре- мятся к нулю. Мы имеем 8л-3-И2л:2 4-л:4-4 8 12 Т + ~х* +"4 Т* lim „ q .0 9—*-=——= lim ----r = л^ооЬл-3+2*2-7^-2 , 2—-7 — -2 — """л* X2 X* lim (^8-4-12— + —0 + 4—Л _*-*ооУ х ~ х?^ хз) =_8 _ lim л: -*оо При переходе от второго выражения к третьему мы при- меняем правило IV § 8, а при переходе от третьего выраже- ния к четвертому — правило 1 § 8,
§ 9] ПРЕДЕЛЫ ВИДА. — 211 оо 6. lim * -» оо 2* — 1 1^*+ lim *-*оо2 Ух — 4* * У2 + дг* л 1 8. lim — . Отв. -тг. *-> ooj/5 + 27*3 J 14* Пример 4. Найти J^.-—^.. Отбрасываем в числителе и знаменателе члены низших степеней, как в предыдущем примере. Имеем х2—12*+1 ,. *2 1 л Строгое доказательство можно провести так же, как в пре- дыдущем примере. *3 4- 1 Пример 5. Найти lim 9 2 \_ 1, Имеем *3+1 *3 .г lim 9*fe = lim 9*2= lim-у = оо. Таким образом, пределы типа ^ могут быть как конечными (в частности равными нулю), так и бесконечными. Упражнения Найти значения следующих пределов: 1. hm —J—-— . Отв. 0. *-»ol+ctg.*: 2. lim ^1 + * . Отв. 0. О/ив. оо.
212 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ПИ, V 9. Hm *2Г}2АХ. Отв. 1. 10. lim (Vx+T—Vx). Отв. 0. У к а з а н и е. Помножить и разделить на сопряженную ирра- циональность Yx-\-1+V х. И. lim (V С*+1)9— Vx~*). Отв. оо. Указание. Применить прием, указанный в предыдущем при- мере, а затем отбросить члены низшего порядка. § 10. Предел при х-+0 В дальнейшем мы встретимся с необходимостью вычислить 0 также и sin*—(см. пример 3 § 3); поэтому правило IV § 8 неприме- lim — . При * х->0 х г* ^ sin ж нимо. Сократить дробь так- же не удается, и потому мы при- бегнем к геометрическим сообра- жениям. Условимся измерять углы в jpa- диальной мере. Из черт. 96 видно, что площадь ч Qfi сектора AOD больше площади черт. уо. д 0AD и меньше пл0щади д OAS. Обозначая радиус круга через г, а центральный угол BOA через*, имеем: так что или пл. Д OAB = ^OA-AB = ~r2tgx, пл. сект. AOD=^OA-AD = ^r2x, пл. Д OAD = ^ OA-DC = ^ г2 sin х, у г2 siii х < ^ г2х < ~ г2 tg * sin*<^*<^tg*. 0) Угол х предполагается положительным и острым. Разделив
§ 10] sin* ~ л ПРЕДЕЛ —— ПРИ X 0 213 неравенства (1) на sin* (это можно сделать, так как sin*]>0), получим !<■?-< — . (2) ^ sin X ^ cos X w Если взять обратные величины, то и знаки неравенств изме- нятся на противоположные; мы гюлучим: , sin* ^ 1>—>COS X. ¥Ж sin* Итак, отношение — остается заключенным между постоян- ным числом 1 и переменной величиной cos*; но при *—*0 имеем cos л:—Отношение , будучи заключено между 1 и стремящейся к 1 переменной величиной cos*, само должно стремиться к 1, так что получается следующая теорема: Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла, выраженной в радиальной мере, равен 1. Замечание. При выводе этой теоремы мы брали выра- жения площадей; поэтому угол * и его синус, стремясь к нулю, оставались положительными. Но так как sin (— *) sin* — * * * то теорема остается в силе и тогда, когда * стремится к нулю, оставаясь отрицательным или колеблясь около нуля то в сторону отрицательных, то в сторону положительных значений. Доказанная теорема позволяет находить пределы многих тригонометрических выражений. Пример 1. Найти lim . л:->0 х r-j sin 3* 0 sin 3* rf * Представим —— в виде 3 -5— . Если * бесконечно малая * о* величина, то и 3* также бесконечно мало. Поэтому согласно нашей теореме siH_5£ стремится к 1. Имеем: о* у . sin 3* 01. sin 3* 0 i 0 lim = 3 Urn --— = 3-1=3. х-+0 х х->0 6х
214 предварительные сведения [гл. V Тот же результат получим еще быстрее, рассуждая так: формула lim s^-^ означает, что при «достаточно малом» х *->о х величина практически равна 1, т. е. s^r=^l. Предста- X X вим это приближенное равенство в виде sin х х или, что то же sin За: ^ 3*. (3) Тогда ,. sin3x ,.3* о lim = lim — = 3. Х-+0 Х х-+0 х Обращаем внимание на то, что вместо приближенного равен- ства (3), относящегося к «достаточно малому» х, мы здесь имеем точное равенство, относящееся к бесконечно малому х. Строгое обоснование правильности этого рас- суждения будет дано в следующем параграфе. Пример 2. Найти lim -!1^^. Применяя только что приведенное рассуждение, имеем «. sin 5л: 5л: i 2 lim-;—= lim 77- =1—. X_+Qsm3x x^03x 3 Зная результат, нетрудно его подтвердить с помощью простого преобразования и последующего применения теорем этого параграфа и § 8. Мы имеем: I. sin 5л: .. lim -—- = lim Пределы величин х ■ и —— находятся, как в преды- дущем примере, Разумеется первый способ проще. Пример 3. Найти lim * ~~cosх. х~>0 х Используя формулу 1 — cosA: = 2sin2y
§ 11] ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 216 1 — cos х sin ~ х — Hm i.lim Sin ±. = 1.0 = 0. х-+0 -у jt-+0 1 §11. Эквивалентные бесконечно малые величины Определение. Две бесконечно малые величины^ отношение которых имеет пределом 1, называются экви- валентными Пример 1. Переменные х и sin* при х—*0 эквива- лентны, ибо (см. § 10) i. sin * - hm = 1. x-+Q х Пример 2. Бесконечно малые величины а2-[-За8 и а2— 4а4 (а—*0) эквивалентны, ибо а2 + 3а3 14-За - hm =hm , 1 . 9— 1. Эквивалентность бесконечно малых величин обозначается тем же символом =^, что и приближенное равенство постоян- ных чисел. Таким образом, sin х xt и точно так же а2 + 3а3^а2 — 4а4. Нетрудно доказать, что формула х у равнозначна с формулой у ^ *, а также что из формул х ^ у и у ^ z !) Латинский термин «эквивалентный» в переводе означает «равноценный». Происхождение этого термина станет ясным из последующего. X X и заменяя sin у под знаком предела через у, имеем ,. 1-cos* .. 2si"4 .. 2'(f)2 у X п hm : = lim = hm— ; = hm — =0. лг-^о л* *-+0 х х-+0 ■* *-►() * Не прибегая к замене, можно было бы вести вычисление так:
216 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V вытекает формула X ^Z. В примерах предыдущего параграфа мы при вычислении пределов частного бесконечно малых величин заменяли их другими, им эквивалентными. Так, в примере 2 мы заме- нили величины sin Зх и sin 5л: соответственно величинами Зл: и 5л:. Законность такого приема вытекает из следующей теоремы: Теорема. При разыскании предела частного двух бес- конечно малых величин можно заменить одну из них или обе величинами, соответственно им эквивалентными. Вели- чина предела при этом не изменяется. Доказательство. Пусть аир бесконечно малые величины, а! и две другие бесконечно малые величины, причем a а* и т. е. lim А = 1 а' и lim 1 = 11). Тогда lim у = lim (у, - -,. |J=limy.limt/.lim| = = lim -77- ы =11т-т-.. Теорема доказана. Упражнения 1. Показать, что бесконечно малая дуга окружности и стяги- вающая ее хорда эквивалентны. 2. Показать, что tgx и бшл^прил:—*0 эквивалентны. !) Величины а, а', (j, р' предполагаются функциями одного и того же аргумента ху стремящегося к некоторому пределу а. Под- строчное обозначение х—±а мы опускаем. В частности, аргументом может быть одна из величин а, а', р, р'. Тогда этот аргумент должен иметь пределом 0.
§12] ПОРЯДОК МАЛОСТИ 217 3. Показать, что л;2 + sin3 л: и sin2*4-3*8 при х—»-0 экви- валентны. 4. Показать, что при неограниченном приближении внешней точ- ки к окружности квадрат касательной эквивалентен произведению диаметра на кратчайшее расстояние точки до окружности. 5. Показать, что квадрат хорды бес- конечно малой дуги окружности эквива- лентен учетверенному произведению диаметра круга на стрелку дуги: A&^AED-CD (черт. 97). Найти значения следующих пределов: 6. Нш sin2 Зл; *->о 12лг 7. lim sin2 Зл: *-*0 12л:2 8. iimfc?- Х->0 X lim Отв. 0. Отв. 1. 4 Отв. 1. 10. lim *—cos* . Отв. 0. tg* Черт. 97. 9. Ito + Отв. 2. *->о х X 11. lim - *-»0 1 Отв. оо. § 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка При разыскании эквивалентных бесконечно малых величин очень полезно применять следующую теорему: Пусть в сумме a-J-fi величины а и р бесконечно малы и пусть lim~=0. Тогда ' а а-Н==а. Доказательство. Имеем lim!±J = lim (i+l) = i+iiml=1> т. е. Пример 1. Пусть имеем сумму 3*— 2sin2*. Предел отношения второго слагаемого к первому равен нулю: — 2 sin2Ar — 2лг2 / о \ hm —тг-— = hm -тг—— hm — T* =0. *-»0 ох лг->0 ох лг->0\ 0 J На основании доказанного заключаем, что Зл: — 2sin2*^3*.
218 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V Это свойство дает основание ввести следующие опреде- ления: Определение 1, Если отношение 1 двух бесконечно малых величин само бесконечно мало ^т. е. lim A — ^j » то fi называется величиной высшего порядка малости по отношению к а; наоборот^ а называется величиной низшего порядка малости по отношению к [J. В примере 1 величина —2 sin2* (или 2 sin2*) есть беско- нечно малая высшего порядка но отношению к Зх. Определение 2. Если отношение 1 двух бесконечно малых величин стремится к конечному и отличному от нуля пределу, то а и $ называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости 1). Пример 2. Величины sin2 5* и 4л:2 (при х —► 0) имеют одинаковый порядок малости, ибо ,. sin2 5л: (5л:)2 25 llm,~4^" =llm 4*2 =Т- Замечание. Эквивалентные бесконечно малые величины, согласно определению 2, имеют одинаковый порядок малости, но, конечно, не всякие бесконечно малые величины одного и того же порядка эквивалентны; так, величины sin2 5л: и 4л:2, рассмотренные в примере 2, имеют одинаковый порядок мало- сти, но не эквивалентны. С помощью введенных терминов мы можем высказать теорему, доказанную в начале этого параграфа, так: Теорема. Если в сумме a-f-fi двух бесконечно малых величин величина р имеет высший порядок малости отно- сительно а, то h Вместо отношения — можно взять и обратное , ибо если a r р lim J- =т, то Jim — = — , и так как т не нуль и не бесконеч- ен р т ность, то не бесконечность и не нуль.
ПОРЯДОК МАЛОСТИ 219 Это предложение можно назвать «принципом отбрасывания бесконечно малых высшего порядка». В подавляющем большинстве практически важных случаев можно внести в классификацию бесконечно малых величин еще большую упорядоченность. Для этого обратим внимание на то, что если а есть бесконечно малая величина, то в ряду а, а\ а3, а4,. ^ + каждая из бесконечно малых имеет низший порядок по отно- шению к любой, следующей за ней. Например, а2 имеет по- рядок ниже, чем а5, ибо lim — = lima3 = 0. Так как более высокой степени соответствует более высокий порядок мало- сти, то естественно измерять порядок малости величин ат по отношению к а величиной т показателя степени. Этот способ измерения можно применить ко всем положительным степеням а1), так что, например, а5 имеет пятый порядок, a з х— 1 у а имеет порядок относительно а. Величины, имеющие тот же порядок малости (см. определение 2), что и ат, естественно именовать бесконечно малыми т~го порядка. Таким образом, мы приходим к следующему определению: Определение 3. Бесконечно малая величина [$ назы- вается бесконечно малой т-го порядка относительно а, если отношение ■^- имеет конечный предел, не равный нулю. Пример 3. Бесконечно малая величина ~ а3 есть бес- конечно малая третьего порядка относительно а, так как 1 ч hm —— = hm — = —. а->0 я^0 4 4 Вообще имеет место следующее правило: Правило 1. Бесконечно малая величина сат, где сесть постоянное число, не равное нулю, имеет /я-й порядок по J) Распространять его на нулевую и отрицательные степени нет смысла, так как нулевая степень бесконечно малой величины есть постоянное число 1, а отрицательные ее степени суть вели- чины бесконечно большие.
220 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V отношению к а. Доказательство проводится так же, как в примере 1. Пример 4. Бесконечно малая величина 1 — cos а имеет второй порядок по отношению к а, ибо 1 — cos а = 2 sin2 ^ ~ (см. замечание к определению 2). Пример 5. Бесконечно малая величина ~а3-}-100а4 есть бесконечно малая третьего порядка относительно а, ибо 4 ='4-юоа* , Um„ —s =т+Ит ю°«=т. а-> 0 а * а-*0 * Вообще имеет место следующее правило: Правило 2. Сумма двух бесконечно малых величин Pi+ (^2» п0ряДки которых тх и /я2 отличны друг от друга, есть бесконечно малая величина, порядок которой равен меньшему из чисел тх и /я2. Доказательство. Пусть тх <^ /и2. На основании тео- ремы этого параграфа (^-ЪРг^Рр Отсюда следует (см. определение 2 и замечание к нему), что Щ-^Рг имеет тот же порядок малости, что и (Jt, т. е. тх. Правило 2 имеет место и для большего числа слагаемых; при этом слагаемые высшего порядка малости могут иметь и одинаковые порядки. Пример 6. При а —► 0 бесконечно малые величины a sin2 а + Ь tg3 a, a sin2 а + Ь ig8a -f- са4, а sin2 а -J- 6 tg3a -}- <я8 имеют второй порядок малости. Относительно же суммы asm2 а-\-btg2 а-\-са? мы этого утверждать не можем, так как два первых слагаемых оба имеют одинаковый низший порядок малости. Этот случай разобран в примере 8. а3 Пример 7. Бесконечно малая величина ^—— (а —* 0) г г 2 cos2 a v ' имеет третий порядок малости относительно а, ибо Вообще имеет место следующее правило: Правило 3. Произведение (или частное от деления) бесконечно малой /я-го порядка на переменную величину,
ПОРЯДОК МАЛОСТИ 221 имеющую конечный и не равный нулю предел, есть беско- нечно малая т-гр порядка, В примере 7 мы имеем произве- дение бесконечно малой третьего порядка (а8) на переменную 2Ср82д» предел которой равен ~. Пример 8. Определить порядок малости величины sin2 а — tg2a-|-a3 относительно а. Первые два слагаемых этой величины дают sin2 a—^tg2a = = sin2a ^1 —£3^) =l5s"2a* ^та величина имеет, согласно правилу 3, четвертый порядок малости. Поэтому, согласно правилу 2, сумма (sin2 a — tg2 a) -f- a3 имеет третий порядок. Вообще величина asin2a + Mg2a-f со? (с ^0) при #=:—Ь имеет третий порядок малости. Предоставляем читателю показать, что при а= Ь эта величина имеет вто- рой порядок малости. Упражнения Определить порядок малости по отношению к бесконечно ма- лой а следующих величин: 1. 12Отв. 5. 1 —cosa. Отв. 2. 2. 3a3 + 7a. Отв. 1. 6. (1 — о)2—(1-f 2a)*. Отв. 1. 3. 0,3 уТ 4-0,8 yf~a. Отв. -j. 7. (1 — cos о) sin2 а. Отв. 4. 4. 5 sin2 a — sin4 a. Отв. 2. 8. (1—cosa)(l4-sin2 a). Отв. 2. 9. Определить порядок малости а3 по отношению к а2. Отв. ~. 10. Определить порядок малости tg а по отношению к sin a. Отв. 1. 11. Определить порядок малости хорды бесконечно малой дуги относительно стрелки той же дуги [ср. упр. 5 § 11 (стр. 217)]. Отв. 12. Определить порядок малости разности площадей правиль- ного вписанного и описанного я-угольника относительно бесконечно малой стороны л-угольника. Отв. 2.
222 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI ГЛАВА VI ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ § 1. Общая постановка задачи о касательной Задача о касательной (см. § 1 гл. V) была одной из основных задач, из которых возникло диференциальное исчис- ление. Рассмотрение ее (см. § 2 гл. V) привело нас к поня- тию предела, которое мы и изучили в главе V. Вооружившись теорией пределов, мы вновь возвратимся к задаче о каса- тельной. Вместо параболы, которую мы рассматривали в § 2 гл. V, возьмем произвольную кривую линию; мы предъявим к ней единственное требование, чтобы Черт. 98. Черт. 99. удовлетворяет, например, кривая черт. 98, которая в точке D имеет излом. Иными словами, наша произвольная кривая (PQ на черт. 99) должна в каждой своей точке иметь един- ственное направление. Прямая MN, проходящая через точку А и имеющая то же направление, что и кривая PQ в той же точке Л, и есть касательная к кривой PQ в точке А. Уравнение всякой прямой, проходящей через точку A (xv ух), имеет вид v— уЛ = т(х — х1). Все дело сводится к нахождению углового коэфициента т касательной. Рассуждая, как в § 2 гл. V, мы придем к за- ключению, что величина т есть предел, к которому стремится переменная величина k углового коэфициента
§ 2] ВЫРАЖЕНИЕ УГЛОВОГО КОЭФИЦИЕНТА КАСАТЕЛЬНОЙ 223 секущей АВ, когда точка В неограниченно приближается к Л с той или другой стороны. В соответствии с этим можно дать следующее определе- ние касательной: Касательной к кривой y = f(x) в точке А (хи уг) назы- вается прямая, проходящая через точку А и имеющая угловой коэфициент т, равный пределу, к которому стре- мится угловой коэфициент k секущей АВ, когда абсцисса х точки В стремится к пределу xv Это определение носит аналитический характер, тогда как определение § 2 гл. V опиралось на наглядные пред- ставления. § 2. Выражение углового коэфициента касательной Угловой коэфициент k секущей АВ представляется фор- мулой в которой xv у! суть постоянные координаты точки А, а х2, у2 — переменные координаты точки В. Согласно вышесказан- ному угловой коэфициент т касательной М N в точке А пред- ставится формулой да = Ит Уг~Ух (1) или, что то же, т = \\ха Я*»)-//*!>■. (2) Xi^Xi Х2 Х1 При вычислении предела величины хи ух (или xv f(xx)) рассматриваются как постоянные, а х2, у2 (или х2, f(x2)) — как переменные; за независимое переменное будем принимать х2. Для фактического вычисления углового коэфициента необ- ходимо знать уравнение кривой PQ, т. е. вид функции f(x). Пример 1. Найти угловой коэфициент касательной к параболе у = х2 в точке А с абсциссой хх ^задачу эту мы решали в § 2 гл. V для частного случая хх = у) .
224 производная ФУВЧСЦЯЯ [гл. VI откуда *a-**i *2 *1* m = lim (x2 -f- л^) = 2xv Таким образом, в точке , ^ угловой коэфициент будет т=1; в точке (1,5, 2,25) т = 3 и т. д. Уравнение касательной в точке A (xv yt) будет y — yl = 2xl(x — xl). Например, уравнение касательной в точке (3, 9) будет у — 9 = 6(* — 3). Пример 2. Найти уравнение касательной к кубической параболе у = хг в точке A(xv ух). По формуле (1) получаем m=hm *2__ *1= lim (x!+*2*i + т. е. m = Зх\. Например, в точке (1, 1) угловой коэфициент есть w = 3. Уравнение касательной в этой точке ^,-1 = 3(* — 1). § 3. Производная функция Нахождение касательной к кривой y = f(x) приводится, как мы видим, к решению аналитической задачи: найти пре- дел выражения /(*2)-/(*i) х% — х1 В формуле (1) нужно заменить yt через х\, а у2 черзз х\% так что w= lim 2 1
§ 3] производная функция 225 !) Таким образом, х,у суть текущие координаты кривой. Раньше мы через х, у обозначали . текущие координаты касательной. Во избежание смешения мы впредь будем последние обозначать одно- именными большими буквами X, Yi 15 м. Я. Выгодский при x%-+xv При нахождении предела ^рассматривается как- постоянная величина (геометрически это означает, что точка А на черт. 99 неподвижна). Но величина предела, как мы видели из примеров, не одинакова для различных хх\ она, следова- тельно, есть функция от xv Геометрически это означает, что наклон касательной при смещении точки касания изменяется. Так как нас интересует величина наклона касательной не для одной какой-нибудь точки кривой, а для. произвольной точки, то не имеет смысла обозначать дальше координаты точки А через xv уг; будем обозначать их просто х, у1). Координаты точки В в соот- ветствии с этим обозначим не х2, уъ а, скажем, х\ у'. В этих новых обозначениях угловой коэфициент касательной пред- ставится формулой ж= lim £Щ=Ш, х'-*х х х При вычислении предела х считается постоянной величиной. После этого вычисления т выражается в функции от х (но не от х\ которое совершенно не войдет в выражение т). f (х'\ f (х) Таким образом, lim ~——=^—' есть функция от х\ вид х этой функции зависит от вида функции f(x). Так, в примере 1 § 2 мы имели f(x) = x2 и получили v f(x') — f(x) п lim ——J—J-1—L = 2х. х'->х х х В примере 2 § 2 было f(x) = x2, и мы нашли х'->х X — X Функция lim ——' у зависящая, как мы видели, от функ- ции f(x), называется производной функцией (или просто ((.производной») от f(x). Так, 2х есть производная от х2; Зх2 есть производная от л:3.
226 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Определение. Производной функцией от данной функции f(x) называется предел, к которому стремится /(*') — /(.*) , ' величина х, при^-^х. При нахождении предела х считается постоянной величиной. Обозначения. Производная функция иногда обозна- чается символом D (начальная буква французского слова derivee — производная). На- пример, Djc2 = 2jc, Dx* = 3*2 или (указывая, что аргумен- том функции является х): Dxx2=2x, Dxx* Зл:2. Черт. 100. Для обозначения производ- ной часто пользуются так- же штрихом: например, (х2У = 2х. Символ f'(x) обозначает производную функцию от f(x); сим- вол у'х означает производную функцию от зависимой перемен- ной у, аргументом которой является х. f (х') f (х) Знаменатель выражения ■ х, _х называют прираще- нием аргумента и обозначают через Д* *), так что Ьх = х'—х. (1) Числитель того же выражения называют приращением функ- ции и обозначают через Д/ (х), так что */(*) = /(*')—/(*). (2) Так как из формулы (1) мы имеем х' = х -f- Дл:, то формулу (2) можно также представить в виде А/(*) = /(* +А*)—/(*)• Когда х' ху переменная Д* стремится к нулю, так что про- !) Греческая буква Л («дельта») не есть множитель, так же как в обозначении sin* символ sin не есть множитель.
§ 3] производная функция 227 изводную функцию можно представить в виде Д/(*)= lim + (*) или А*-* 0 Ддг Ьх-*0 *х Если функцию /(л:) обозначить через у, то Д/(х) запишется в виде Ду, и Dxy= lim На черт. 100 мы имеем: OD = x, ОЕ = х\ DA=y = f(x), EB=y'=f(x'), AC = xr— х = Ьх, СВ = у' —y = &y = bf(x), m = tg NAC— hm -A- = hm \ = hm 7 '—- =: Ajc-j-O^ Ьх-+0 ЛХ Hx-+Q *X =f(x) = Df(x). Чтобы лучше освоиться с новыми обозначениями, выпол- ним вновь с их помощью вычисление производной от х\ Мы имеем / (х) = х\ f(x+ Их) = (* + Ьх)\ А* -* 0 d* При вычислении предела х рассматривается как постоянная величина, Дл: величина бесконечно малая. Вычисление предела можно вести как раньше: (Х + Ьх)*-Х* . (Х + Ьх + х) (х + Ьх-Х) Лу 1 At* = Hm J2£+^f = lim (2* + Дж) = 2*. Ддг->0 ЛА A*-*0 Можно итти иным, при новых обозначениях, более простым путем: hm = hm -Л! = = lim 2*A* + ^2 = Iim (2* + Д*) = 2*. 15*
228 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Предлагается читателю проделать аналогичные вычисления для случая f(x) = xs. Сообразно с введенными обозначениями можно сформу- лировать определение производной функции еще следующим образом: Производной функцией от данной функции f(x) назы- вается предел, к которому стремится выражение Из предшествующего ясно, что задача о нахождении каса- тельной к произвольной кривой была бы полностью решена, если бы мы научились вычислять производную от любой функции. Решение многих других задач геометрии, механики и физики сводится также к нахождению производных. Поэтому разыскание производной от данной функции есть одна из важнейших задач исчисления бесконечно малых. Можно сказать, что она и составляет основной вопрос диференци- ального исчисления1). § 4. Производная степени независимого переменного В предыдущих параграфах мы нашли производные от функций х2 и л:3, именно: Dx2 = 2x, DxB = 3x2. Эти фор- мулы являются частным случаем общей формулы которую мы сейчас докажем. Предварительно установим одно важное алгебраическое тождество. Читателю известны тождества при Дх -> 0. При нахождении предела х считается постоянной величиной. Запись: Dxn = nx*~19 a2 — b2 = (a—b)(a-\-b), a*—b3 = (a— b)(a2 -f ab-f b2). *) Более полное определение предмета диференциального исчи- сления дано ниже (§ 5 гл. VII).
§4] производная степени 229 Подобные же тождества имеют место для разности любых целых степеней. Так, а4 — ft4 = (а— Ь) (а3 -f аЧ + ab% + £3), а& _ Ъъ = (а — Ь) (а4 + аЧ + а2£2 -f + б4). Закон образования этих тождеств очевиден; справедливость их доказывается непосредственным перемножением многочле- нов, входящих в правую часть равенства. Так же докажем справедливость общей формулы + aft*-2_|_ft/l-l)e (1) Здесь « — целое положительное число; второй сомножитель пра- вой части содержит п членов. Теперь вычислим производную от функции хп. Мы имеем согласно определению предыдущего параграфа Dx"=lim Х Х Пусть п — целое положительное число. Тогда, применив выве- денное тождество (при а = х\ Ь = х), получим Dxn= lim (x'n-1-^xtn^x-\-x,n'Bx2-^. ..+ **-*). Применяя теоремы о пределе суммы и произведения (сте- пени), получим Dxn= (lim х'у-* + (lim х')п~2-х-{- (lim лг')*-3-*2-{--... х'-+х х'-+х х*-+х щ _ хч-г = х*1-* + х*1-*• а: + x^-W -{-...~{-х'г-1 = я**-1. Итак, имеем Dxn = nx^i (2) при целом положительном л. Для дробных или отрицательных п теорема доказывается тем же методом.
230 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI _ „ х'т xm ( x'm — Хт \ х*-*х \ Х'тхт) х'-*х X — X Первый сомножитель равен — ; так как т есть положитель- ное число (целое или дробное), по предыдущему, второй сомножи- тель есть тх"1-1. Таким образом, Dxn- -L .тх™-1 = -тх-т-\ х2т -тх т. е. снова Dxn = nxn-1- Пример 1. Dx™ = \2xn. 1 1 Пример 2. DVx = Dx~2=±x 2 — 1 2 2Vx* Пример 3. Z)i =Dx-*=— Зх~*=— j^. Рассмотрим случай, когда п — дробное положительное число п = (р, q — целые положительные числа). Имеем ^ п x'q —xq .. (х'<?)Р — (х<?)р Dxn= hm = hm ^ —• x'-±x x —x x'-+x JL (x'«)q — (xq)q Обозначим xq через z> a x'g через г'. Тогда при х' -»дг также г'-^г. Теперь имеем Dxn= hm — -= hm -——2- ! . z'-*z — гчггн + z'<7-2z +... + z4~l Мы применили к числителю и к знаменателю тождество (1). При- меним правило о пределе частного. Так же, как выше, находим: рг"-1 р р р-^р Dxn = — т = — »-q—£L г q*Lxq qzq-1 Чг ЧХ Я т. е. Dxn=nxn-\ Итак, теорема доказана для дробного положительного п. Если теперь п есть отрицательное число, целое или дробное, т. е. п = — т (т—по- ложительное число), то мы имеем ± J, г ТП „ ТП
ПРОИЗВОДНАЯ НЕЗАВИСИМОГО ПЕРЕМЕННОГО 231 Замечание. Полезно запомнить случаи формулы (2): следующие частные X ДГ2' 1 П— — — —— и хп — хп+1* D]/х = , D"/x = Ух Особо нужно рассмотреть случаи п—\ и п = 0у так как тождество (1), на которое мы опирались, для п— 1 приобретает вид а— Ь — а — Ъ и ничего дать не может, а для я = 0 вообще теряет смысл. Тем не менее формула Dxn = nxn~1 остается и для этих случаев верной. Это доказано в следую- щих двух параграфах. § 5. Производная независимого переменного При п = 1 имеем Dx* = lim *—— = lim 1 = J. x'—x To же дает и формула (2), ибо пхп-1 = \х°=\. Итак, производная независимого переменного равна 1. Геометрический смысл этого предложения таков: линия у — х (черт. 101) является биссектри- сой первого и тгЗЬтьего координатных углов. Так как касательная к линии должна иметь в каждой своей точке то же самое направление, что и эта линия, то касательной к прямой линии в любой ее точке является она сама, и угловой коэфициент ее равен единице. Точно так же мы докажем, что D (ах) = а, т. е. производная величины, пропорциональной независимей переменной, равна коэфициенту пропорциональности. (Истол- куйте это геометрически.) Пример. D (0,6*) = 0,6. Черт. 101.
232 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI § 6. Производная постоянной величины При п = 0 имеем v'o у-0 11 Dx° = lim = Hm A—^ = lim 0=0. х'-*х х х х*-*хх х х'-+х Формула (2) дала бы такой же результат. Так как величина х° есть 1, то она не является перемен- ной величиной в собственном смысле слова. Однако, в целях общности (например, для того, чтобы хч при всяком п было функцией от л:) величину 1 и всякую v вообще постоянную величину считают особым случаем функции. Законность этого обобщения поня- тия функции вытекает из такого рас- j суждения. Вообще говоря, функция при- а нимает различные значения при различ- 1 х ных значениях независимых переменных. °' Но среди этих различных значений Черт. 102. могут быть и равные между собой. И вот, если все значения функции ста- нут равны друг другу, мы будем иметь постоянную величину. Естественно поэтому считать постоянную величину особым случаем зависимой переменной, т. е. функции. В этом смысле мы можем говорить и о производной функции даже тогда, когда х'-*х - х х есть постоянная величина. Как раз такой случай имел место в предыдущем параграфе, когда исходная функция была ах. Выведем теперь формулу _для производной от постоянной величины а. Согласно вышесказанному мы должны считать f(x) = a~f(x') = a, так что Оа= lim = lim 0 = 0. х'-*хх х х'-+х Итак, производная постоянной величины равна нулю. Геометрический смысл этой теоремы таков. Линия у = а (черт. 102) есть прямая, параллельная оси абсцисс. Угловой коэфициент ее касательной (т. е. ее самой) равен нулю. Пример. Dx(6a*) = 0.
§ 8] ПРОИЗВОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ 233 § 7. Вынесение постоянного множителя за знак производной Если мы будем искать производную функции 3jc5, то, применяя тот же метод, которым мы пользовались в § 4, найдем D 3x5=15jc4 и вообще Daxn = anx"~1i т. е. производная функции хп множится на коэфициент а. Это свойство — частный случай следующей общей теоремы: Постоянный множитель можно выносить за знак про- изводной: Daf{x) = aDf(x). Доказательство. ^ xi ч 1- af(x') — af(x) ,. f(x')—f(x) Daf(x)= lim ——J = lim a——, _ = x'^x x x x'-+x x x = a lim /(*'?~{(лс) = аВ/(*). Пример 1. D0,12л:3 = 0,36x2. Пример 2. DS Ухв == SDx 2 == 12 Ух. § 8. Производная алгебраической суммы Пусть разыскивается D (jc3 х3). Напраи1ивается решение: D (л:3 + jt2) = Djc3 + Djc2 = 3jc2 -f 2x. Это решение верное, так как имеет место следующая общая теорема: Производная от алгебраической суммы нескольких функ- ций равна алгебраической сумме производных от этих функций. Доказательство. Мы рассмотрим случай трех сла- гаемых и докажем формулу D [Л (*)'+U (*) - /з (*)] = £>Л (*) + *>/. (*) ~ Dh (х).
234 производная функция [гл. vi 6. -^-=г ^г-. о/ив. — К' * V* " ' *£/* хУX Имеем: я [А (*>+/. (*)—/.(*)] = _ lim f/i (*') + /i (*') -/з (•*')] - Ifi (*)+/» (x) -/з (*)] _ _Ит Ai£) = Df (x) + D/a(д)_Df {x). х'ч>х л л Для иного числа слагаемых доказательство будет в точности таково же. Важным частным случаем является формула D (ах -j- b) = D (ах) + Db = а-\- 0 = я, показывающая, что производная линейной функции равна коэфициенту при независимой переменной. Мы видим, что постоянное слагаемое b не влияет на выражение производ- ной. Последнее свойство имеет силу для любой, а не только для линейной функции, ибо, как мы видели в § 6, производ- ная от постоянного слагаемого равна нулю. Пример 1. D(4*4 — 15) = D(4*4)= 16*3. Пример 2. D(0,3*4 + 2*3 — 31) = D(0,3*4)-f D(2*3) = = 1,2*3 + 6*2. Пример 3. D ^ — 6у * j = — ~ y=. Упражнения Найти производные от следующих функций: 1. 2*2 — З*4. О те Ах — 12л:3. о 1 2 гл 1 . 4 2'-3-*"2- 3- + J3- 3.i/*+|*-*2. 4. З*2 - 16. О/яа. 6* + -^ . 5. 12*2 _ бл: -f 4. Отв. 24* — 6. 3 2 л 1,1
§ 9] УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ 235 7'4lT2-4 + l- °тв' -2P + i' 8. \2х (4х + 5). Отв. 96лг + 60. 9. (х — 5)2. Отв. 2х — 10. 10. а (х 4- а) — ялг. О/яв. 0. 11. а(х-\- а)-\-ах. Отв. 2а. 12. а (х + я)2 — я*2. О/ив. • 2а2. 13. ах*(х + а). Отв. гах* + 2а2х. § 9. Уравнение касательной Обозначив через X и У текущие координаты точки каса- тельной, а через х и у координаты точки касания, мы можем, согласно предыдущему (§ 1—3 этой главы), написать урав- нение касательной в виде Y-y=,Df(x)(X-x) или Y—f(x)=--Df(x)(X—x). В этом уравнении, если точка касания остается неподвиж- ной, величины х, у9 Df(x) постоянные, a X и У переменные. Пример. Уравнение касательной к параболе у = - j jc2 в точке (а:, у) есть Y-y = ±x(X-x) или, что то же, Y—±x* = ±x{X—x). Уравнение касательной в точке (2, 1) есть Y — 1 =Х— 1, т. е. Y = X, а в точке (— 4,4) У-4 = -2(*+4), т. е. Г=—2-Y--4. Мы видим, что касательная к кривой y=f(x) определяется без особого усилия, как только найдена производная функ- ции /(*).
236 производная ФУНКЦИЯ [гл. VI Столь же просто выражаются через производную функ- цию многие другие величины, рассматриваемые в математике и естествознании. Несколько важных примеров мы сейчас рассмотрим; § 10. Скорость Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на ка- ком километре пути он находится в момент t, а затем в момент f. Пусть это будут $ км и $' км. Тогда мы делим «приращение пути» s' — s = ^s на «приращение времени» г* — t = M и находим «среднюю скорость»: As s' — s М — t' — t 9 Если движение поезда было равномерным, то эта средняя скорость вполне характеризует движение поезда. Но если движение поезда неравномерно, то знать среднюю скорость недостаточно. При средней скорости в 40 км\час поезд в отдельные промежутки времени мог развивать скорость 100 км\нас, в другие—вовсе не двигаться. Поэтому, помимо средней скорости за вр емя от t до t\ рассматривается еще так называемая «истинная скорость» в момент/. На практике величина этой «истинной» ско- рости определяется так же, как и величина средней; только конечный момент времени берется настолько близким к на- чальному моменту ty чтобы за время f — t движение поезда было практически равномерным. Насколько малым нужно взять V—зависит от обстоя- тельств движения: иной раз можно взять 30 мин., а иной раз и секунда будет в?лика. Поэтому для теоретического определения скорости мы должны представить себе, что As а а в выражении величина Дг уменьшается неограниченно, и назвать скоростью в данный момент t величину
теплоемкость 237 А это, по определению, есть производная функция от независимой переменной t. Если s=f(t), то v = Df(t), т. е. скорость движения в данный момент t есть производ- ная той функции, которая выражает путь через время. Пример. Путь s, проходимый свободно падающим те- лом в пустоте, выражается через время формулой s = ±gt> (g—ускорение силы тяжести ^9,8 м\сек2). Скорость v дви- жения в момент t будет v = D*(±gp) = gt. Замечание 1. Теоретическое определение скорости в. данный момент (v= lim -^—Ds) не противоречит практи- ческому способу вычисления скорости по формуле v = ^ , так как при достаточной малости Д/ отноЩение ^ прак- тически неотличимо от lim Замечание 2. По аналогии со скоростью движения говорят вообще о скорости изменения функции. Если вели- чина s есть функция величины т. е. 5 = / (/), то производ- ную Df (t) называют скоростью изменения величины $ отно- сительно величины U § 11. Теплоемкость Теплоемкостью вещества (например железа) называется обычно то количество тепла (в больших калориях), которое необходимо для нагревания 1 кг вещества на 1°С. Это определение не совсем точно, потому что при различных н а ч а л ь н ы х температурах для повышения температуры на 1° требуются различные количества тепла. Так, например, 1 кг железа при температуре 0° должен получить 0,1053 большой калории, чтобы достигнуть температуры 1° С. Тот же 1 кг железа при температуре 100° С должен получить уже
238 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI 0,1195 большой калории, чтобы повысить свою температуру до 101° С. Чтобы притти к точному определению теплоем- кости, обозначим через Q то количество тепла (в больших калориях), которое требуется для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от температуры 0°С некоторой температуры /°С« Q есть функция t: Q=/(<)• Вид этой функции, как показывают опыты, различен для различных веществ. Чтобы нагреть 1 кг вещества от t° до t'°9 нужно затратить /(*') —/(<) = AQ больших калорий тепла. Если мы эту величину разделим на разность температур f — t = M, то найдем среднее количество ctit теплоты, повышающее температуру 1 кг вещества на 1°С: „ _ fin-fit) AQ ct,e— t' — t — Ы e Когда приращение температуры At «достаточно мало» (в огром- ном большинстве случаев уже 1° будет достаточно малой величиной), то ^ практически дает теплоемкость при тем- пературе /. Говоря, что изменение температуры «достаточно мало», мы имеем ввиду, что для двух температур tv t'v взя- тых где-либо в промежутке между прежними значениями t значение величины —^- практически неотличимо от прежнего значения. Теоретически мы можем определить теплоемкость (при температуре t) ct как lim или, что то же, hm J-~^— т. е. как производную от той функции, которая выражает зависимость Q от t: ct=D/(i). Пример. Количество тепла Q, необходимое для нагре- вания 1 кг железа от температуры 0° до температуры *°С,
ЛИНЕЙНЫЙ КОЭФИЦИЕНТ РАСШИРЕНИЯ 239 зависит от t следующим образом: Q = 0,10531 + 0,00007 U2 Найти теплоемкости железа при 10° С и 50° С. Находим ct = DtQ = 0,1053 + 0,000142^. При /=10° имеем с10о = 0,10672. При / = 50° имеем С50о = 0,1124. Замечание. Можно сказать (см. замечание 2 § 10), что теплоемкость есть скорость изменения количества Q тепла, потребного для нагревания 1 кг вещества на t°. § 12. Линейный коэфициент расширения Линейный коэфициент расширения в элементарных учебни- ках физики определяется как удлинение, приходящееся на единицу длины тела (1 см) при нагревании последнего на 1°С. Это определение не совсем точно: при разных начальных температурах нагревание на 1° дает для одного и того же тела разные удлинения единицы длины (ср. со сказанным в начале § 11). Обозначим длину тела через /, температуру его через U I есть некоторая функция t: / = /(/). При повышении темпе- ратуры с t до f длина увеличивается на Д/ = /' —/=/(*')-/(<)• В среднем на 1° повышения температуры приходится общее удлинение Ы—>(*0-/(')д и— v—t ' а на 1 см длины приходится удлинение a^tt Так же как из средней скорости (§ 10) и из средней те- плоемкости (§ 11), мы получали скорость в данный момент и теплоемкость при данной температуре, и теперь от величины а/,// мы перейдем к линейному коэфициенту расширения а при !) Эта формула — приближенная, но для значений t, меньших 200° С, она дает практически удовлетворительные результаты.
240 производная функция [гл. VI V /ПК ь /Г 1 0 с d,dd2e f 2 к в Черт. 103. мы будем иметь подъем; в других (например, в D2) спуск. Соответственно с этим говорят, что функция f(x) в одних точках возрастает, в других—убывает (точное определение этих терминов дано ниже). В промежутках между точками подъема и спуска будут точки (как, например, Z)), где подъем переходит в спуск, или наоборот (как, например, £), где спуск переходит в данной температуре t\ а = |/>/. Пример. Ребро платинового куба при температуре 0° имеет длину /0 см, а при температуре t имеет длину /= /0 (1 + 8,806.10 -V + 1,95 • 10-¾2). Найти линейный коэфициент расширения платины при 0°С и при 1 000° С. Находим £>/ = /0 (8,806 • 10"6 4- 3,90 • 10-»/), _Dtl ■ 8,806-10-6 + 3,90-10-¾ а= ~~Г= 1+8,806-10-¾+1,95-10-¾*' Отсюда о/=э = 8,806. Ю-6, a/=1000 = 12,57 -10"6. § 13. Возрастание и убывание функции Взглянем на черт. 103, где изображен график некоторой функции y = f(x). Будем двигаться вдоль графика слева направо. В некоторых точках графика (например, в точке Dt)
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 241 подъем. Точки, подобные D, будут лежать выше всех сосед- них с ними; точки, подобные Е, — ниже всех соседних с ними. Соответственно с этим говорят, что функция f(x) при неко- торых значениях имеет максимум, при некоторых — мини- мум. Чтобы подчеркнуть, что данные значения функции (dD и еЕ) сравниваются лишь с соседними, а не со всеми другими значениями функции, к словам «максимум» и «минимум» до- бавляют слово «относительный», так что в точках Л, D, F на черт. 103 мы имеем относительные максимумы функции (аД, dD, fF)y а в точках Bt Е — относительные минимумы (ЬВУ еЕ). Если же хотят отметить, что при некотором значении аргумента функция имеет значение, большее или меньшее, чем остальные ее значения на всем протяжении задан- ного участка, то говорят, что при этом значении функция имеет абсолютный минимум или максимум. Так, на участке ag нашего графика ордината dD изображает абсолютный максимум, а ордината ЬВ абсолютный минимум. Нелишне заметить, что относительный минимум мо- жет оказаться больше относительного максимума (так, точка Е на черт. 103 лежит выше точки Л), Заметим также, что часто для краткости в наименованиях «относительный ма- ксимум»^ «относительный минимум» слово «относительный» вовсе опускается. В соответствии с вышесказанным мы получаем следующие определения: Определение 1. Функция называется возрастающей при длнном значении аргумента, если достаточно милое увеличение аргумента влечет за собой увеличение функции, а достаточно малое уменьшение аргумента влечет умень- шение функции. Определение 2. Функция называется убывающей при данном значении аргумента, если достаточно малое увеличение аргумента влечет за собой уменьшение функ- ции, а достаточно, малое уменьшение аргумента влечет увеличение функции. Определение 3. Функция имеет (относительный) максимум при данном значении аргумента, если как уве- личение, так и уменьшение аргучента {достаточно малое) влечет за собой уменьшение функции. 16 М, Я, Выгодский
242 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Определение 4. Функция имеет (относительный) минимум при данном значении аргумента, если как уве- личение, так и уменьшение аргумента (достаточно малое) влечет за собой увеличение функции. Определение 5. Функция имеет абсолютный макси- мум (минимум) при данном значении аргумента, если соответствующее значение функции больше (меньше) всех остальных значений функции. Множество практически важных задач (примеры будут даны ниже) сводится к разысканию абсолютного максимума или абсолютного минимума некоторой функции. Для этого бывает важно предварительно найти относительные максимумы или минимумы этой функции, а также исследовать, где эта фун- кция является возрастающей и где убывающей. Все , эти во- просы теснейшим образом связаны с нахождением производной функции. Теорема. Если производная функция Df(x) в данной точке положительна, то функция f(x) в этой точке воз-» растает; если отрицательна, то—убывает. В самом деле, пусть £/(*)> 0; геометрически это значит, что угловой коэфициент касатель- ной в соответствующей точке кривой положителен. Ясно, что в этой точке кривая должна подниматься кверху, если итти слева направо, и книзу, если итти в обратном направлении. Иными словами, функция в такой точке возрастает. Если же £>/(*)< 0, то угловой коэфициент касательной отрицателен, и кривая опускается при движении направо и подымается при движении налево. Иными словами, функция здесь убывает. Итак, имеем следующие признаки возрастания и убывания функции: Для тех значений аргумента, при которых производ- ная функция Df(x) положительна, функция f (х) возрастает; для тех значений аргумента, при которых Df(x) отри- цательна, функция f(x) убывает. Замечание. Если х есть время, а /(л;) функция, выра- жающая путь через время, то Df(x) (см. § 10) есть скорость
I 13] ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 243 1) Не точно в три раза, так как 3 есть лишь lira ^г^-Но при малых Д* отношение ^^ мало отличается от своего предела 3. 16* движения в момент х. При таком истолковании приведенные признаки становятся еще нагляднее; они означают, что рас- стояние тела от начальной точки увеличивается, если скорость положительна, и уменьшается, если скорость отрицательна. Пример 1. Возрастает или убывает функция / (л:) =з х= л:3 — х2 -\- ~ при значении аргумента х — — 1? Находим производную функцию: Df(x) = x2 — 2х. Подставляя х = — 1, находим /)/(-1)= + 3. Функция возрастает, и притом с довольно большой «скоро- стью»: малые приращения функции примерно в 3 раза больше соответствующих приращений аргумента 1). И действительно, если наряду с /(— 1) вычислить, ска- жем, /(— 1,1) и /(— 0,9), то получим /(-1,1)=1(-l,l)«-(l,t)» + l* —1,321, /(-1) = -1, /( — 0,9)^—0,720. Таким образом, при Дл = + 0,1 имеем Д/(*) =/ (- 0,9) —/(— 1) = — 0,720 +1 = + 0,280 и При Дл: = — 0,1 имеем Д/(*) =/(-1,1)-/(-1)^-1,321+ 1=-0,321, и "5г ~ 6>1-
244 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI, Пример 2. Из зенитного орудия вертикально кверху вылетает ядро с начальной скоростью v0 = 196 м/сек. Рас- стояние s ядра от земли выражается тогда формулой s= \9&—±gt* (f—время в-секундах, £=^9,8 м/сек2— ускорение земного тяга* тения). Спрашивается, подымается ли ядро кверху или падает книзу в момент /=12 се/с; /=25 сек. Когда ядро поднимается, 5 есть возрастающая функция t+ когда опускается, — убывающая. Вычисляем Ds{t). Имеем Ds (/)=196—£/. При /= 12 Ds (12)^196 — 9,8.12 = 78,4>0. Значит, через 12 секунд ядро поднимается еще кверху. При / = 25 (25)^196 — 9,8-25 = — 49 <0. Через 25 секунд ядро уже опускается книзу. Величины Ds (12) = + 78,4 и Ds(25) = — 49 представ- ляют значения скорости (в м/сек) ядра; положительные зна- чения скорость принимает при движении вверх (ядро удаляется от земли), отрицательные — при движении вниз. § 14. Максимум и минимум Рассмотрение примера 2 § 13 подсказывает нам решение следующей задачи: каков наивысший подъем ядра, вылетев- шего кверху с начальной скоростью г/0=196 м/сек2? Момент наивысшего подъема, очевидно, служит границей между полетом ядра кверху и спуском книзу. При полете, кверху скорость положительна; постепенно она уменьшается, через некоторое время, когда ядро падает вниз, скорость имеет отрицательное значение. Границей между положитель- ными и отрицательными числами служит нуль. Ясно, что в момент наивысшего подъема скорость, т. е. производная функ- ция Ds(t)y должна обращаться в нуль. Поэтому поступаем следующим образом: 1) Найдем производную от функции 5=196.'-y'9>8'2;
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 245 она равна £>$(*)= 196— 9,8*. 2) Приравняем это выражение нулю: 196-9,8/=0. Полученное уравнение имеет единственное решение /=20 сек. 3) Так как других решений это уравнение не имеет, а при наивысшем подъеме оно непременно должно удовлетво- ряться, то наивысший подъем имеет место через 20 сек.; зна- чит, величина максимального подъема sMaKC = 196 • 20 — 1.9,8 • 202 = 1 960 м. Прием, примененный нами для решения задачи о наиболь- шем подъеме ядра, можно использовать и в других вопросах для решения задачи о наибольшем или наименьшем значений некоторой величины у, заданной в функции какого-нибудь аргумента х: y=f(x) (в нашем примере подъем ядра задавался в функции времени). Идея этого приема состоит в том, чтобы сначала разыскать все относительные максимумы или минимумы функции f{x) (см. § 13). Среди этих значений мы ищем затем то, которое дало бы не только относительный, но и абсолютный максимум (минимум), т. е. то, которое больше (меньше) не только чем соседние с ним значения / (л:), но и чем все остальные значения. Геометрически это означает, что среди всех «вер- шин» кривой линии ABCDEFG (черт. 103) мы выбираем са- мую высокую, а из всех «долин» самую глубокую. Разобранная задача о наивысшем подъеме ядра подсказы- вает нам, что для разыскания всех максимальных (или мини- мальных) значений функции f(x) нужно: 1) найти ее произ- водную Df(x), 2) приравнять выражение производной нулю и 3) найти все решения полученного уравнения. - Рассмотрим вопрос подробнее. Докажем прежде всего следующую теорему: Теорема. При том значении х, для которого функция f(x) имеет максимум или минимум, производная функция Df(x) равна нулю.
246 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Короче всего эта теорема доказывается от противного: если бы производная Df(x) не была равна нулю, она была бы положительным или отрицательным числом; но тогда, согласно теореме § 13, при данном значении х функция была бы возрастающей или убывающей и не могла бы иметь здесь ни максимума, ни минимума. Дадим еще другое, более наглядное рассуждение, идущее тем же путем, каким мы решали задачу о ядре. Черт. 103 показывает, что в «вершинах» графика, например, в точке Dy подъем графика переходит в спуск, т. е. при значениях х, несколько меньших, чем то, которое дает максимум, функция возрастает, а при несколько больших значениях х функция f(x) убывает. По теореме § 13 производная функция Df (х) должна переходить от положительных значений к отрицатель- ным. При плавном изменении это может произойти лишь в том случае, если она пройдет через нулевое значение. Анало- гично докажем, что при том значении х, при котором f(x) имеет минимум, производная, переходя от отрицательных значений к положительным, равна нулю. Геометрически наша теорема означает, что касательные в вершинах кривой (Л, D, F на черт. 103), а также в ее долинах (Ву Е на черт. 103) должны быть горизонтальны. Таким образом, искомые значения х должны быть корнями уравнения Df(x) = 0. Корни этого уравнения называют кри- тическими значениями аргумента х. Но в с е ли критические значения х дают максимумы или минимумы функции f(x)7 Иными словами: все ли точки кри- вой, где касательная горизонтальна, являются вершинами или долинами? Оказывается, что нет. На черт. 103 направление кривой горизонтально не только в точках Л, Dy Fy В, Еу но и в точках С и G, не являю- щихся ни долинами, н'и вершинами. Возьмем, например, точку С. Налево от нее мы имеем подъем, который при приближении к С становится все более пологим и в самой точке С исчезает; но вместо дальнейшего спуска мы имеем вправо снова подъем. Таким образом, при х — Ос имеем Df(x) = 0. Ос есть критическое значение*. Однако, функция f(x) здесь не имеет ни максимума, ни минимума, но возрастает. Так же убедимся в том, что при критическом значении х = Og
§ 14] МАКСИМУМ и минимум 247 функция /(*), представленная графически на черт. 103, убывает. Говорят, что при х ^== Ос и при x = Og кривая y = f (х) имеет перегиб Из сказанного вытекает, что для разыскания относительных максимумов или минимумов некоторой переменной величины следует поступать так: 1) Выразив эту величину в функции независимой перемен- ной сообразно условию задачи, находим производную функ- цию. 2) Приравняв производную функцию нулю, решаем полу- ченное уравнение; получаем критические значения. Кроме кри- тических никакие другие значения аргумента не могут дать ни относительного минимума, ни относительного максимума функции 2). 3) Исследуем критические значения, чтобы определить, какие из них дадут максимум, какие — минимум и какие — перегиб. Существуют различные методы исследования последнего вопроса. Для наших целей достаточно заметить следующее. Часто само условие задачи позволяет сразу распознать, имеем ли мы в данной критической точке максимум, минимум или 1) В точке перегиба касательная перерезает кривую, а не ле- жит по одну ее сторону. 2) Мы предполагаем, что функция f (х) имеет всюду производ- ную и что значения производной всегда конечны; иначе говоря, что кривая y=f (х) везде имеет касательную и что эта касательная не параллельна оси у, иначе возможно, что не только при крити- ческих значениях аргумента функция будет иметь максимумы и ми- нимумы. На черт. 104 изображена кривая, не имеющая в точке А касательной; на черт. 105 —кривая, у которой касательная в точке В вертикальна. В обеих этих точках мы имеем «вершины» кривых, т. е. максимумы соответствующих функций. 8 Черт. 104. Черт. 105.
218 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI перегиб. Если же этого не видно сразу, то обычно следующее простое вычисление решает вопрос: берем два значения /(#), очень близкие к критическому, одно немного меньше, другое немного больше критического *). Вычисляем для нихгзначения производной. Если производная при переходе от меньшего значения х к большему меняет знак с-|-на — , то критическое значение дает максимум (ибо функция из возрастающей ста- новится убывающей); если, наоборот, производная меняет знак — на-(-, то имеем минимум; наконец, если в обоих слу- чаях имеем одинаковые знаки (-["»+ или —» — )> то имеш перегиб. Пример 1. Величины у и х связаны зависимостью Найти относительные максимумы и минимумы величины у (ср# пример Г § 13). 1) Выражение у через х прямо дано в задаче; находим производную: Dy = x2 — 2x. 2) Приравняв ее нулю, решаем уравнение х2 — 2х = 0. Корни этого уравнения О и х = 2 будут„критическими значениями аргумента. 3)-Исследуем.эти критические значения. Начнем с первого, х = 0. Возьмем'два близких к нему значения, скажем х=— 1, 2). Значения производной будут Dy{-1) = (- l)2-2 (-1) = + 3, Цу( + 1) = -1. !) Как велика должна быть степень близости, выяснится на при- мерах, ниже рассматриваемых. 2) «Близким» значением можно считать всякое такое значение, которое лежит между исследуемой критической точкой и другой критической точкой, соседней с первой. Пусть, например, исследуется критическое значение x~d (черт. 103). Если в качестве близкого взять значение х, лежащее где-нибудь. между х — й и соседним критическим значением х = е, то производная сохранит отрицатель- ный знак (кривая имеет спуск), но вправо "от значения * = *произ-
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 249 Так как при переходе от меньшего значения х = — 1 к большему х = -[-1 производная меняет знак с -f- на —, то при х=0 имеем максимум (относительный) функции у. Этот максимум есть Теперь исследуем критическое значение лг = 2. Взяв близкие к нему значения jc = —|— 1 и х = -\~31)у получим Dy(+1) = —1, Dy( + 3)= + 3. Мы видим, что при переходе через критическое значение х=2 от меньшего значения к большему производная меняет знак с — на-j-. Значит, при х = 2 функция у имеет мини- мальное значение; это значение равно Умия == • 2s — 22 —|- -g- = 1. Начертив график функциональной зависимости мы видим, что кривая ABCD (черт. 106) имеет в точке в(о>-\- -g-) вершину, а в точке С(2,— 1) долину. Выше (стр. 245) было сказано, что абсолютный максимум мы ищем среди относительных. Однако, здесь нужно сделать некоторые оговорки. В рассмотренном нами примере мы имели два критических значения аргумента, и из них лишь одно (л; = 0) давало максимум функции у ^макс = -g") • Однако, если аргументу х мы позволим принимать все возможные значения, то функция jf (jc) = -g- *3 — x2 -J~ "g" сможет принять сколь угодно большие значения; если неограниченно удаляться вправо, то кривая водная может стать положительной (может начаться подъем), как это и имеет место на черт. 103. В нашем примере значение х, большее чем 0, следует брать меньшим, чем 2, ибо х = 2 есть соседнее справа критическое зна- чение. Значение же, меньшее, чем 0, можно взять любое, ибо слева нет критических точек. 1) См. предыдущее примечание.
250 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI ABCD будет неограниченно подыматься. Но в задачах с кон- кретными условиями независимая переменная обычно может изменяться лишь в определенных границах, т. е. наивысшая точка разыскивается не для всей кривой, а лишь для данного ее куска, например, для куска между точками А и D на черт. 106. В этом случае нужно особо обратить внимание на то, каковы значения функции на краях куска. Может оказаться, Черт. 106. что один из краев (D на черт. 106) выше всех «вершин» кривой, и тогда на этом краю мы имеем абсолютный макси- мум функции в данных границах; он вовсе не обязан принадлежать к числу относительных максимумов функции f(х), ибо за границей нашего куска функция может продолжать расти. Если же ни на одном из краев функция не имеет абсолют- ного максимума, то наибольший ее относительный максимум является вместе с тем и абсолютным. Так, если взять кусок кривой (черт. 106) между точками Л и С, то вершина В является на соответствующем участке наивысшей точкой. Все сказанное здесь о максимуме функции в данных гра- ницах можно с соответствующими изменениями повторить о минимуме.
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 251 В большинстве практически важных случаев содержание самой задачи позволяет упростить расчеты. Пример 2. Проволоку длиной 80 см требуется согнуть в прямоугольник так, чтобы площадь этого прямоугольника была возможно ббльшей. 1) Обозначим площадь прямоугольника через 5 и за не- зависимую переменную примем длину х одной из его сторон. Соседняя с ней сторона будет иметь длину 40 — х, и 5 вы- разится через х формулой s = x(40 — x) = 40х—х2. Отсюда Ds (х) = 40 — 2х. 2) Приравняв это выражение нулю, решаем уравнение 40 — 2л: = 0 И находим единственное критическое значение х = 20 см. 3) Из условия задачи ясно, что аргумент х изменяется в пределах от х = 0 до л; =40 (две противоположные стороны прямоугольника не могут в сумме дать больше, чем длина проволоки). При обоих этих значениях площадь s равна нулю, так что функция 5 = х (40 — х) на краях нашего участка не может иметь абсолютного максимума. Значит, абсолютный ма- ксимум должен быть вместе с тем и относительным. Но отно- сительный максимум возможен только при критическом зна- чении аргумента, а таковое — единственно. Поэтому оно и дает абсолютный максимум. Если все же желательно провести непосредственную про- верку, то возьмем соседние с критическим значения х =19 и х = 2\. Имеем Ds(\9) = 40 — 2-19 = 2, Ds(2\) = — 2. Так как производная при переходе от меньшего значения jc = 19 к большему л:=21 меняет знак с-{-на—, то имеем относительный максимум величины s; значение его равно Wc = 20 (40 — 20) = 400 см2 (при л: =19 и при х = 2\ мы имели бы 5=399).
252 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Итак, наибольший по площади из прямоугольников, кото- рый можно согнуть из проволоки 80 см длины, есть квадрат со стороной в 20 см. Рассмотрим еще вопрос о прямоугольнике минимальной площади, который можно согнуть из проволоки длиной 80 см. Функция s = х (40 — х) не имеет ни одного относительного ми- нимума, ибо единственное критическое значение аргумента л" = 20 дает максимум. Абсолютный же минимум в границах от .v = 0 до 40 она имеет. Именно, на обеих границах функция s имеет наимень- шее значение s~i) Это означает, что прямоугольник минимальной площади имеет одну сторону, равную 40 см, а другую — равную нулю. Разумеется, это уже не настоящий прямоугольник; смысл нашего результата тот, что площадь нашего проволочного прямоугольника не может быть меньше нуля. Пример 3. Требуется изготовить жестяную банку ци- линдрической формы вместимостью в 2 л, закрытую сверху и снизу. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление потребовалось минимальное количество жести? Обозначим поверхность банки через s, радиус основания через г, высоту через h\ пусть за единицу длины принят 1 см* Разыскивается абсолютный минимум величины s. 1) Величина 5 выражается через г и h формулой $ = 2тг/7г-|-2тг/-2. За независимую переменную можно принять одну из величин г, h; другая выразится^через нее с помощью уравнения w2h = 2 000, означающего, что объем банки должен быть 2 л = 2 000 см*. Проще принять за независимое переменное г; тогда имеем , 2 000 Подставляя это выражение в формулу, дающую s, имеем 4 000 . 0 „ <у= —^—Ь 2тг/-2. Отсюда Ds= ^г+4тгл 2) Решая уравнение 4 000 . А Л
максимум и минимум 253 получаем о 1 ООО г6 = , откуда находим единственное критическое значение 10 3) Из условия задачи ясно, что это значение дает абсо- лютный минимум. Действительно, при очень малой высоте банка, чтобы иметь вместимость 2 л, должна иметь очень большое дно, так что для изготовления ее понадобится очень много жести; если же сделать очень малое дно, то придется придать банке очень большую высоту и очень много жести пойдет на боковую поверхность. Таким образом, радиус ос- нования должен иметь какюе-то наивыгоднейшее значение — не слишком большое и не слишком малое. Единственное же такое 10 ТуГ . . 2 000 значение есть г= Зх_ см. Из формулы п = -^- находим /*= см = 2 г, т. е. высота равна диаметру основания. у % Задачи и упражнения 1. Количество тепла Q (малых калорий), необходимое для на- гревания 1 г алмаза от 0° до *° С, выражается формулой Q = 0,0947* + 0,000497*2 — 0,00000012*3. Найти теплоемкость алмаза ct при * = 100°, 200°, 300° С. Отв. 0,1905; 0,2801; 0,3615. 2. При условиях предыдущей задачи определить: 1) при какой из температур от 2 000° до 3 000° теплоемкость алмаза имеет наи- большую величину; 2) тот же вопрос для промежутка от 0° до 1 000°. Отв. 1) 1 400°. 2) 1 000°. 3. Тело, брошенное вверх с высоты 56,4 я со скоростью 20 м\сек% через * секунд находится на высоте h = 56,4 -f- 20* — 4,9*2 от земли. Какова будет скорость тела по истечении 2 секунд? В каком направлении в этот момент движется тело? Отв. 0,4 м\сек\ вверх. 4. В условиях предыдущей задачи найти: 1) какова наиболь- шая высота, достигаемая телом; 2) с какой скоростью оно упадет на землю.
254 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Указание. Для решения второго вопроса предварительно найти, через сколько времени тело достигнет земли. Отв. 1) 76,81 м, 2) 38,8 м/сек. 5. При каких значениях х функция л:3 — Зл:2-|-7 убывает? Отв. При 0<*<2. 6. Найти наименьшее значение функции л:4— 2х2-\~6. Отв. 5. 7. Найти наибольшее значение функции 12л: -f- 6 — х*. Отв. 22. 8. Прямоугольный лист жести имеет длину 48 см и ширину 30 см. По углам его вырезывается четыре квадрата равной вели- чины, в остающемся куске загибают края и получают открытую сверху прямоугольную коробку (высота ее равна стороне выре- занных квадратов). Какова наибольшая вместимость такой коробки? Отв. 3 888 см*. 9. Требуется изготовить жестяную банку цилиндрической формы вместимостью 2 л, открытую сверху. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на изготовление ее пошло минимальное количество материала? Отв. Высота 101/ — см, диаметр основания 20 1/ — см. 10. Судно В, находящееся на расстоянии 10 км к востоку от судна Л, движется к западу со скоростью 15 км/час; судно А дви- жется к югу со скоростью 10 км/час. Через сколько времени рас- стояние между судами будет наименьшим? Указание. Квадрат функции получает наибольшее значение одновременно с самой функцией. Отв. Через 27,7 минуты. 11. Сумма длины и поперечного обхвата почтовой посылки не должна превышать 1,5 м. Найти размеры наибольшей по объему посылки цилиндрической формы, которую можно послать по почте. Отв. Длина 50 см, обхват 1 м. 12. Расходы на топливо на пароходе пропорциональны кубу его скорости; при скорости 10 узлов (10 миль в час) расходы "эти со-, ставляют 30 руб. в час. Остальные расходы составляют 480 руб. в час. При какой скорости стоимость данного рейса будет наи- меньшей: 1) если пароход в состоянии развивать скорость до 18 узлов, 2) если предельная скорость парохода 25 узлов? Отв. 1) 18 узлов, 2) 20 узлов. 13. Из бумажного круга радиуса г вырезается сектор; из остающейся части делается коническая воронка. Найти наиболь- шую вместимость этой воронки. Указание. За независимое переменное проще всего принять высоту воронки. Отв. 2/3 27 14. Над центром круглого стола, радиус которого /?=1 м, висит электрическая лампа, которую можно опускать и подымать
§ 14] максимум и минимум 255 на блоке. На какой высоте над столом должна быть лампа, чтобы освещенность на краях стола была наибольшей? Освещенность / выражается формулой , Fsln «р / — Г2- ' где F—постоянная для данного источника света величина, г—рас- стояние источника света S до освещаемой точки Л, у— угол, обра- зуемый лучом SA с освещаемой плоскостью. Указание. За независимую переменную лучше взять величину г.Величина/2получает наибольшее значение одновремен- но с /. Отв. Высота лампы над столом составляет 0,7 м. Г? 15. В данный равнобедренный треугольник вписать прямоуголь- ник с наибольшей площадью. Какую часть площади треугольника займет этот прямоугольник? Отв. Половину. 16. В конус, радиус основания которого R и высота //, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти объем этого цилиндра. 4 4 Отв. —kR~H, т. е. -g- объема конуса. 17. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вырезать из усеченного конуса с высотой И =90 см и диамет- рами оснований #1==60 см и /?2 = 30 см. Отв. 60 см. 18. Та же задача при Н = 90 см, #2 = 60 см и ^ = 50 см. Отв. 90 см. 19. Найти уравнение касательной к кривой = 2л:3—Ьх2-^ Зх—3 в точке (2, -— 1). Отв. Y~ IX— 15. Xs 1 20. В каких точках кривая У —-к—^2-t--q" наклонена к оси абсцисс под углами— 45°; 0°; 45°? Отв. 1) ^1,-^; 2) (о,1) и (2,-1); 21. Через точку (л:, у) параболы у = х2 проведена касательт ная. На каком расстоянии от начала координат она пересечет ось у! Отв. На расстоянии, равном ординате точки касания.
256 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII ГЛАВ А VII ДИФЕРЕНЦИАЛ § 1. Вводные замечания Мы указывали (§ 3 гл. VI), что задачу вычисления произ- водной от данной функции можно считать основной задачей диференциального исчисления. Это исчисление называется «диференциальным», а не «исчислением производных», потому что понятие производной теснейшим образом связано с поня- тием диференциалы, которое исторически возникло раньше понятия производной*). Ознакомление с понятием диференциала мы начнем с рас- смотрения простого арифметического примера, типичного для многих физических и технических задач. § 2. Малые приращения функция Пусть мы имеем куб с ребром х =^10,00 см2). Пусть, нагревая его, мы удлиним ребро на величину Дл: 0,01 см. Спрашивается, насколько увеличится при этом объем куба? Обозначим через у объем куба до нагревания, а через Ду искомое его приращение. Очевидно, Ду = (я -|- Дл:)3 — л:3; раскрывая скобки и упрощая, получим Ду = Зл:2 Дл; -j- Зл: Дл;2 + Дл;3. Вычисляя три слагаемых, стоящих в правой части этой фор- мулы, мы видим, что они ^далеко не равноценны; действи- !) Термин «диференциал» введен Лейбницем в 1675 г., но самое понятие систематически применялось уже Ферма, начиная с 1638 г. Ньютон ввел для этого понятия в 1656 г. термин «момент». Поня- тие производной систематически применялось Ньютоном примерно с 1670 г. Ньютон обозначил его термином «флюксия». Термин «производная» введен в магматическую литературу Лагранжем в 1797 г. 2) Запись 10,00 см и т. п. указывает, что измерение произве- дено с точностью до 0,01 см, так что истинная длина ребра может быть равна, например, 10,003 см, или 10,0018 см, или 9,995 м и т. д.
§ 3] ДИФЕРЕНЦИАЛ 257 тельно, Зл:2 Да: Зл;Дл;2 Дл:3 300-0,01 =3, 30-0,0001=0,' = 0,003, = 0,000001. Второе слагаемое в тысячу раз меньше первого, а третье — в три миллиона раз. Важнейшим слагаемым является, конечно, первое. Второе же и третье являются практически бесполез- ными. Даже если бы мы хотели учесть тысячные и миллион- ные доли кубического сантиметра, мы бы не могли положиться на верность соответствующих цифр. В самом деле, пусть более точное измерение величины Дл; дало быДл; = 0,011 см. Тогда мы имели бы Мы видим, что незначительная и на практике совершенно неизбежная ошибка в измерении Дл; изменяет цифру деся- тых долей в первом слагаемом; но тогда незачем учитывать более мелкие доли. Таким образом, среди трех слагаемых, в сумме дающих Ду, величина Зл:2Дл: при малых Дл: является наиболее важной, а при очень малых Да:— единственно важ- ной. Ее называют поэтому главной частью приращения функ- ции л:3. Эта величина За:2Дл: пропорциональна (при постоянном а:) приращению Дл:, и потому она называется линейной частью приращения функции л:8. Итак, слагаемое Зл:2Дл: есть глав- ная линейная часть приращения функции л;3. Развитие и обобщение тех замечаний, которые были сде- ланы относительно приращений функции а:3, приводят нас к понятию диференциала. В приращении Ду функции у = х9, выражаемом формулой Зл;2Дл; Зл; Дл:2 Дл:3 3,3, 0,00363, 0,000001331. § 3. Диференциал Ду = Зл:2 Да: + За: Да:2 -f Дл* мы различали две части: 1) главную линейную часть За:2 Да:, 2) часть Зл:Дл:24-Дл;3. 17 М. Я. Выгодский
258 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII При бесконечно малом Дл; первая часть имеет первый порядок малости (относительно Дл;); вторая часть — более высокий (второй). Коэфициент Зх2 при Дл; в первой части не зависит от Дл:. На основании теоремы § 12 гл. V мы можем, отбросив вторую часть, имеющую высший порядок малости, написать Ду =^= Зх2 Дл;, где ^ знак эквивалентности. На основании теоремы § 11 "гл. V мы можем при отыска- нии предела lime> т. е. производной от функции л;3, заменить Ду эквивалентной ей величиной 3#2Дл\ Тогда имеем: Dx*= lim 3_f!_^f= lim 3*2==3л*. д*->о ах Д*->0 Таким образом, коэфициент Зл;2 при Дл; есть не что иное, как производная от л:3. Поэтому, зная главную линейную часть За:2 Дл:, мы тотчас же находим производную Зх2, и обратно: зная производную Зл:2, мы, умножив ее на Дл:, найдем главную линейную часть. Главная линейная часть прира- щения функции иначе называется диференциалом (от слова differentia — разность). То, что сказано здесь относительно функции л:3, можно распространить на все те функции, которые имеют практи- ческое значение. Приращение функции оказывается возможным расчленить на две части: одну пропорциональную Дл: [в част- ных случаях1) она может оказаться равной нулю] и другую — высшего порядка малости относительно Дл; (большей частью второго порядка). Первая часть называется главной линейной частью приращения или диференциалом функции. Определение. Если приращение Ду функции у рас- членено на два слагаемых Ду = А Длт + а, (1) где А не зависит от Дл:, а а при Дл;—»-0 есть бесконечно !) Когда производная равна нулю
ДИФЕРЕНЦИАЛ 259 малая величина более высокого порядка, чем Дл:, /я. е. Hm £- = 0, (2) то Л Дл: называется главной линейной частью приращения или диференциалом функции у. Из этого определения вытекает следующее важное пред- ложение, частный случай которого мы рассматривали в § 3. Теорема 1. Коэфициент пропорциональности А в ди- ференциале функции равен производной этой функции. Доказательство. По определению производной, д*->о^-* Д*->0 ' Так как А не зависит от Дл:, то lim А = А. Кроме того, д*-+о согласно (2) lim -2- = 0. Поэтому Д*-+0 Ах Dxy = A. Эту теорему можно сформулировать еще так: Диференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента. Пример 1. Найти диференциал функции у — х2. Так как производная от х2 есть 2л:, то диференциал от х2 равен 2л: Дл:. Убедимся, что это выражение удовлетворяет определению диференциала. Мы имеем \у=(х-\-ьх)2—х2=2х ^x-\-^x2. Первое слагаемое 2л: Дл: пропорционально Дл:; второе Дл:2 при Дл:—*0 есть бесконечно малая высшего (второго) по- рядка. Таким образом, 2л: Дл: есть, действительно, диферен- циал функции х2. Обратим внимание на то, что в этом примере величина а [т. е. (Дл:)2] не зависит от х. Это—исключительный случай, имеющий место только для функций вида у = ах2 -\-bx-\-c. Пример 2. Найти диференциал функции у = ^ . Предположим, что мы еще не знаем производной этой функции. Выразим by через Дл:: л 1 \_ Дл: х-\-Ьх х ~ х{х+Ьх)ш { } 17*
260 диференциал [гл. VII х*' а_"х*(х+Ьх)' Выражение А Ах = — ~ есть диференциал функции ~. Из определения диференциала функции вытекает также следующее предложение, играющее важную роль для инте- грального исчисления. Теорема 2« Если производная некоторой функции не равна нулю, то диференциал и приращение ее при При. малом Дл: знаменатель будет мало отличаться от х*. Естественно предположить, что диференциал равен —-^-. Чтобы проверить это предположение, обозначим через а разность между Ду и этой величиной: «=л.у+з£. (*) Если а окажется бесконечно малой высшего порядка, то наше предположение подтвердится, ибо из (4) следует и, значит, приращение Ау окажется расчлененным на два слагаемых, из которых первое пропорционально Дл;, а второе — бесконечно малая величина высшего порядка. Имеем: А \Ьх Дл: , Дл: Приведя дроби правой части к общему знаменателю, полу- чаем _ (Дл:)2 а — х*(х+Ьх)9 и уже видно, что величина а есть бесконечно малая второго порядка; впрочем это и доказывается моментально: ,. а Дл: л Jim -г— = lim —.—г—ч = 0. Итак, мы представили приращение Ду в виде х**х*(х.+ Ьх)' Здесь 1 (Дл:)2
ВАЖНЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 261 Да:—*0 суть эквивалентные бесконечно малые величины, т. е. Ду ^ Л Дл:. (5) Доказательство. Из формулы (1) получаем —у — 1 _1_ 1 а /А\ Л Д лг ' JG' W откуда lim •^- = 1 4- i- lim А или, принимая во внимание формулу (2), Это и доказывает формулу (5) (см. определение § И гл. V). Замечание. Если производная А равна нулю, то и диференциал А Дл: равен нулю. Поэтому уравнение (1) нельзя теперь делить почленно на А Да: и доказательство теряет силу. Теряет силу и сама теорема 2, ибо диференциал А Да: равен теперь нулю, тогда как приращение Ау функции у 1- ЛДлг «. О л может отличаться от нуля, так что hm -^- = lim т^=0 и, следовательно, не равен единице. § 4. Важные частные случаи Как мы видели, диференциал, вообще говоря, не равен приращению функции, но составляет лишь его (главную) часть. Однако, возможны случаи, когда диференциал и при- ращение тождественны. Это будет тогда (и только тогда), когда функция у линейна, т. е. когда у = ах -(- Ьу где а и b — постоянные величины. Действительно, в этом случае by = [а (х + Да:) + b] — [ах -f b] = а Да:; (1) но и диференциал функции ах-\-Ь также равен а Да:, ибо а есть производная этой функции, а диференциал равен произ- ведению производной на Да: (теорема 1 § 3). Итак, мы получаем следующую теорему:
162 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII 1) Это можно доказать и непосредственно. Формулу (1) можно записать в виде Ау = а Длг + 0. Первое слагаемое пропорционально Ах, второе слагаемое а = 0 удовлетворяет условию lim £■ = 0; поэтому а Ах есть диференциал функции ах-\-Ь. Величину 0 можно, как мы видим, считать бесконечно малой высшего (бесконечно большого) порядка. Теорема 3. Диференциал линейной функции равен приращению этой функции1). В частности, если а—\ и £ = 0, то функция ах-\-Ь равна независимому переменному: у = х, и мы получаем следующее важное предложение: Теорема 4. Приращение независимого переменного совпадает с его диференциалом. Теорема 5. Диференциал функции хп равен пхп~хАх. Действительно, Dxn=nxn'1, и по теореме 1 § 3 диференциал функции хп есть Dxn Ах = пх71"1 Ах. Теорема 6. Диференциал постоянной величины равен нулю. Это вытекает из того, что производная постоянной вели- чины равна нулю. § 5. Обозначение диференциала; предмет диференциал ь-> ного исчисления Диференциал переменной величины обозначается буквой d, :тавящейся перед обозначением переменной. Например, dy :сть диференциал величины у, dx — диференциал величины х> df (г) — диференциал функции f(z) и т. д. Теоремы 1 и 2 § 3 в этих обозначениях запишутся так: Теорема 1. df(x) = Df(x) Ах. Теорема 2. df(x)^Af(x) (Df(x) =^=0). Теоремы § 4 примут вид: Теорема 3. d (ах -f- Ь) = Д (ах -\- Ь).
§ 5] ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛА 263 Теорема 4. dx = Ax. Теорема 5. d(хп) = пхп~*Ах. Теорема 6. da — §. К ним можно добавить следующие очевидные предло- жения: Теорема 7. d(u-\-v — w) = du-\~dv— dw} т. е. диференциал алгебраической суммы равен алгебраиче- ской сумме диференциалов. Теорема 8. d[af(x)] = a df(x), т. е. постоянный сомножитель выносится за знак дифе- ренциала. Примеры. 1) d(x2) = 2x Ах. 2) d(x*) = 4x* Ах. 3) d(2x* — Зх+ 12) = (6*2 — 3)Дл\ 4) d 2х = 2 Ах. 5) dV2=0. До сих пор мы предполагали, что х есть независимое переменное. Спрашивается, останутся ли вышенаписамные формулы, например формула dx2 = 2х Ах, (1) верными, если х будет не независимой переменной, а функ- цией, например, если х = Р, (2) где t—независимая переменная. Нетрудно видеть, что нет. Действительно, когда вели- чина х2 выразится через левая часть формулы (1) примет вид dt*. В правой части величина х примет вид t2, а для Ах формула (2) даст Ax = (t-\- Д*)2 _ t2 = 2t At + (At)2. Но ясно, что dt4^2P [2t At-\-{\t)*], ибо правая часть не пропорциональна At Итак, формула dx2 = 2л: Дл: не верна, если х не есть независимая переменная. В противоположность этому формула dx2 = 2л: dx (3)
264 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII верна и тогда, когда х есть независимая переменная, и тогда, когда х какая угодно функция любой незави- симой переменной. В самом деле, если х есть независимая переменная, то формула (3) совпадает с формулой (1), ибо тогда dx = Ax (теорема 4 § 4). Пусть теперь х есть функция аргумента ty например, x = t\ (4) Тогда dx = 2t At. Левая часть формулы (3) принимает вид dt4, а правая — вид 2^*2* At = 4tB At, и формула (3) принимает вид dt* = At*At, что, как известно (теорема 5 § 5), верно. Предлагаем читателю проверить правильность формулы (3) при x = t3, x = t* и т. д., а также проверить правильность формул dx3 = Зх2 dx, dx4 = 4*3 dx для различных случаев, когда х есть зависимая переменная. Все эти примеры подтвердят правильность следующей теоремы: Теорема. Если в выражении диференциала некоторой функции через приращение независимого переменного заме- нить Ах на dxt то полученная формул! станет верной и тогда, когда х будет зависимой переменной. ; Доказательство. Пусть формула df (х) — Л Ах (5) справедлива, когда х есть независимая переменная. Докажем, что формула df (х) = A dx, (6) которая в случае, когда х — независимая переменная, совпа- дает с (5), останется верной и в том случае, когда х есть функция какого-нибудь аргумента /. Для этого нужно до- казать: 1) что величина A dx пропорциональна At и 2) что она отличается от Д/(л:) на бесконечно малую высшего порядка.
§5] ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛА 265 Первое вытекает из того, что dx пропорциональна At; значит, и A dx пропорционально At. Второе вытекает из того, что dx отличается от Дл: на бесконечно малую высшего порядка; значит, и A dx отличается от А Ах на бесконечно малую высшего порядка; но Л Дл: в свою очередь отличается от Af(x) на бесконечно малую выс- шего порядка, ибо это есть второе из тех двух условий, которые составляют содержание формулы (5)*). Таким образом, положения 1) и 2) доказаны; иными сло- вами, A dx есть диференциал функции / (л:), и формула (6) верна, безразлично, является ли х независимым или нет. В силу этой замечательной теоремы формулы, содержащие диференциалы, приобретают большую общность. Такой общно- стью не обладают ни те формулы, в которые входят прира- щения, ни те формулы, которые содержат символы производ- ных. Потому та часть исчисления бесконечно малых, которой мы занимаемся, не только из исторических соображений, но и по существу может по справедливости именоваться дифе- ренциальным исчислением. Задачу диференциального исчис- ления можно определить наиболее общим образом так: Диференциальное исчисление ставит своей задачей по данному соотношению между переменными величинами находить соотношение между их диференциалами. Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 1. Зл:2. Отв. 6х dx. 2. Зл:2 — 0,6. _ Отв. 6xdx. _ 3. 16лг* — Зл'З + У2х — я. Отв. (64лгЗ — 9лг2 -f У2 ) dx. 4. ах*+±. Отв.{2ах-^)с 5. 1/х~. Отв. \dx X*} dx , л— . Ь ~ a dx Ь dx а У х -f- . Отв. Ух' ' 2Ух 2Ух*' J) Это второе условие совершенно не затрагивается тем, что х вместо независимого переменного стало зависимым. Напротив, пер- вое условие требует, чтобы диференциал был пропорционален приращению независимого переменного, и потому нару- шается, как только х перестает быть независимым переменным.
266 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII 7- 2 + 3 * • 8. а(лг + $). 9. (л; — д)2. 10. /илг2(длг4"^)- 11. Ь(а-\-х) — аЬ. 12. ^(д + лг) — блг. Отв. 1 Owe. дл?л:. Отв. 2(х — a) dx. Отв. тх (Ъах + 2Ь) dx. Отв. Ь dx. Отв. О сГлг = 0. 2x^dx. § 6. Геометрическое и механическое истолкование диференциала Пусть функция y=f(x) графически изображена кривою PQ (черт. 107). Возьмем на PQ точку М с координатами х~ОА, у=АМ. Дадим х приращение Ax = AB = MN. Если считать х независимой переменной, то dx = Ax = AB = MN. Приращение ординаты будет Ду=М?, а диференциал орди- наты равен dy = Dxy-dx = т. е. он изобразится при- ращением ординаты касательной в точке М. Разность между Ду и dy изображается отрезком 77?. При бесконечно ма