ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
ВВЕДЕНИЕ. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
§ 2. Постоянные и переменные величины
§ 3. Функциональная зависимость
§ 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции
§ 5. График функции
§ 6. Координаты
§ 7. График пропорционального изменения
§ 8. График линейной функции
§ 9. Квадратичная функция и ее график
§ 10. График обратной пропорциональности
§ 11. Графики степенных функций
§ 12. Обозначения функций
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 2. Понятие о методе аналитической геометрии
§ 3. Расстояние между двумя точками
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
§ 5. Уравнение прямой линии
§ 6. Уравнение окружности
§ 7. Примеры применения метода аналитической геометрии
§ 8. Пересечение линий
§ 9. Линия и точка
Глава II. Прямая линия
§ 2. Общее уравнение прямой линии
§ 3. Угол между двумя прямыми
§ 4. Условие параллельности двух прямых
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых
§ 6. Прямая через две точки
§ 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых
§ 8. Уравнение прямой в отрезках
Глава III. Эллипс, гипербола, парабола
§ 2. Эллипс как сечение цилиндра
§ 3. Исследование формы эллипса по его уравнению
§ 4. Эллипс и круг
§ 5. Построение эллипса по точкам
§ 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцентриситет
§ 7. Гипербола
§ 8. Исследование формы гиперболы по её уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы
§ 9. Асимптоты гиперболы
§ 10. Равносторонняя гипербола
§ 11. Парабола
§ 12. Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса
§ 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса
§ 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола»
§ 15. Общее планиметрическое определение конических сечений. Директрисы. Эксцентриситет параболы
§ 16. Конические сечения в природе и технике
Глава IV. Основные приемы исследования уравнений кривых
§ 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные
§ 3. Перенос начала координат
§ 4. Дробно-линейная функция
§ 5. Поворот координатных осей
§ 6. Общие формулы преобразования прямоугольных координат
§ 7. Кривые второго порядка
§ 8. Параметрические уравнения линии
§ 9. Полярные координаты
§ 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах
§ 11. Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной
Часть II. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 2. Задача о касательной
§ 3. Предел
§ 4. Уточнение понятия предела
§ 5. Бесконечно малая величина
§ 6. Бесконечно большая величина
§ 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины
§ 8. Основные теоремы о пределах
§ 9. Пределы вида \
§ 10. Предел sinх/x при x-->0
§ 11. Эквивалентные бесконечно малые величины
§ 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка
Глава VI. Производная функция
§ 2. Выражение углового коэфициента касательной
§ 3. Производная функция
§ 4. Производная степени независимого переменного
§ 5. Производная независимого переменного
§ 6. Производная постоянной величины
§ 7. Вынесение постоянного множителя за знак производной
§ 8. Производная алгебраической суммы
§ 9. Уравнение касательной
§ 10. Скорость
§ 11. Теплоемкость
§ 12. Линейный коэфициент расширения
§ 13. Возрастание и убывание функции
§ 14. Максимум и минимум
Глава VII. Диференциал
§ 2. Малые приращения функции
§ 3. Диференциал
§ 4. Важные частные случаи
§ 5. Обозначение диференциала; предмет диференциального исчисления
§ 6. Геометрическое и механическое истолкование диференциала
§ 7. Выражение производной через диференциалы
§ 8. Параметрические уравнения
§ 9. Диференцирование неявных функций
§ 11. Диференциал произведения
§ 12. Диференциал дроби
§ 13. Производная произведения и дроби
§ 14. Диференциал в приближенных вычислениях
§ 15. Погрешность произведения и дроби
Глава VIII. Диференцирование трансцендентных функций. Производные и диференциалы высших порядков
§ 2 Диференциал синуса
§ 3. Диференциал косинуса
§ 4. Диференциалы тангенса и котангенса
§ 5. Таблица формул; примеры
§ 6. Обратные тригонометрические функции
§ 7. Диференциал арксинуса
§ 8. Диференциал арккосинуса
§ 9. Диференциалы арктангенса и арккотангенса
§ 10. Таблица формул; примеры
§ 11. Диференцирование логарифмической функции
§ 12. Число е
§ 13. Натуральные логарифмы
§ 14. Перевод натуральных логарифмов в десятичные и обратно
§ 15. Диференцирование показательной функции
§ 16. Ускорение
§ 17. Вторая производная
§ 18. Второй диференциал
ЧАСТЬ III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 2. Задача о площади
§ 3. Площадь как предел. Понятие о предмете интегрального исчисления
§ 4. Определение интеграла
§ 5. Сумма приращений
§ 6. Примеры вычисления интеграла общим методом
§ 7. Интеграл Sx^ndx
§ 8. Замечания о пределах интегрирования
§ 9. Интегрирование многочленов
§ 10. Вычисление площадей
§ 11. Объем конуса
§ 12. Принципы применения интегрального исчисления; бесконечно малый элемент
§ 13. Вычисление площадей с помощью бесконечно малых элементов. Диференциальное уравнение
§ 14. Вычисление объемов. Объем тела вращения
§ 15. Работа. Интеграл с бесконечным пределом
§ 16. Интеграл с переменным верхним пределом
§ 17. Давление жидкости
Глава X. Основные приемы интегрирования. Неопределенный интеграл
§ 2. Основная теорема интегрального исчисления
§ 3. Первообразная функция
§ 4. Диференциал интеграла
§ 5. Неопределенный интеграл
§ 6. Основные свойства неопределенных интегралов
§ 7. Таблица неопределенных интегралов
§ 9. Простейшие примеры применения метода подстановки
§ 10. Комбинирование метода подстановки с тождественными преобразованиями подинтегральной функции
§ 11. Интегрирование по частям
§ 12. Об интегрируемости в элементарных функциях
§ 13. Применение изученных приемов интегрирования к решению задач
§ 14. Диференциал дуги; длина дуги
§ 15. Общее и частное решение диференциального уравнения
§ 16. Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными
§ 17. Разыскание частного решения по начальным данным
§ 18. Составление диференциальных уравнений
Text
                    М.Я.ВЫГОДСКИЙ
КРАТКИЙ УЧЕБНИК
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ОГИЗ'ГОСТЕХИЗДАТ'1947


М. Я. ВЫГОДСКИЙ КРАТКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ О Г И 3 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1947 ЛЕНИНГРАД
Редакторы Д. А. Райков и //. Н. Бронштейн Техн. редактор К, Ф. ,Брудно. Подписано к печати 2/VI 1947 г. 30 печ. л., 30,15 уч.-изд. л., 41 ООО тип. зн. в печ. листе. Тираж 100000 экз. А04575р Цена книги 10 р. 50 к. Переплет 1 р. Заказ № 7054. 1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкннга» ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие ко второму изданию 8 Введение. Функции и их графики. § 1. Предварительные замечания 10 § 2. Постоянные и переменные величины ........ 11 § 3. Функциональная зависимость 11 § 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции . . 12 § 5. График функции 17 § 6. Координаты 22 § 7. График пропорционального изменения 25 § 8. График линейной функции 29 § 9. Квадратичная функция и ее график 32 § 10. График обратной пропорциональности 38 § 11. Графики степенных функций 41 § 12. Обозначения функций.. 44 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Глава I. Основные понятия и формулы. § 1. Вводные замечания 48 § 2. Понятие о методе аналитической геометрии .... 49 § 3. Расстояние между двумя точками 51 § 4. Деление отрезка в данном отношении 53 § 5. Уравнение прямой линии 57 § 6. Уравнение окружности 61 § 7. Примеры применения метода аналитической геометрии 64 § 8. Пересечение линий 72 § 9. Линия и точка 76 Глава II. Прямая линия. § 1. Вводные замечания 77 § 2. Общее уравнение прямой линии 77 § 3. Угол между двумя прямыми 80 § 4. Условие параллельности двух прямых 83 § 5. Условие перпендикулярности двух прямых 85 § 6. Прямая через две точки 88 § 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых 91 § 8. Уравнение прямой в отрезках 95 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 111. Эллипс, гипербола, парабола» § 1. Вводные замечания 97 § 2. Эллипс как сечение цилиндра 97 § 3. Исследование формы эллипса по его уравнению... 100 § 4. Эллипс и круг 102 § 5. Построение эллипса по точкам 104 § 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцен- триситет 105 § 7. Гипербола 110 § 8. Исследование формы гиперболы по её уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы 112 § 9. Асимптоты гиперболы 115 § 10. Равносторонняя гипербола 120 § И. Парабола 124 § 12, Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса . 128 § 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса . 129 § 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «ги- пербола», «парабола» 131 § 15. Общее планиметрическое определение конических се- чений. Директрисы. Эксцентриситет параболы . . . 134 § 16. Конические сечения в природе и технике 137 Глава IV. Основные приемы исследования уравнений кри- вых. § 1. Вводные замечания 139 § 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные 140 § 3. Перенос начала координат 141 § 4. Дробно-линейная функция 143 § 5. Поворот координатных осей 148 § 6. Общие формулы преобразования прямоугольных ко- ординат 152 § 7. Кривые второго порядка 153 § 8. Параметрические уравнения линии 157 § 9. Полярные координаты 166 § 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах . . . 171 § 11. Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной 174 часть н. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Глава V. Предварительные сведения. Основы теории пре- делов. § 1. Исторические сведения 178 § 2. Задача о касательной 181 § 3. Предел 184
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 § 4. Уточнение понятия предела 189 § 5. Бесконечно малая величина 192 § 6. Бесконечно большая величина 196 § 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины . . 201 § 8. Основные теоремы о пределах 202 § 9. Пределы вида Ц 209 § 10. Предел при х—*0 212 § 11. Эквивалентные бесконечно малые величины .... 215 § 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка 217 Глава VI. Производная функция. § 1. Общая постановка задачи о касательной 222 § 2. Выражение углового коэфициента касательной . ... 223 § 3. Производная функция 224 § 4. Производная степени независимого переменного. . . 228 § 5. Производная независимого переменного 231 § 6. Производная постоянной величины 232 § 7. Вынесение постоянного множителя за знак произ- водной 233 § 8. Производная алгебраической суммы 233 § 9. Уравнение касательной 235 § 10. Скорость 236 § 11. Теплоёмкость 237 § 12. Линейный коэфициент расширения 239 § 13. Возрастание и убывание функции 240 § 14. Максимум и минимум 244 Глава VII. Диференциал. § 1. Вводные замечания 256 § 2. Малые приращения функции 256 § 3. Диференциал 257 § 4. Важные частные случаи 261 § 5. Обозначение диференциала; предмет диференциаль- ного исчисления 262 § 6. Геометрическое и механическое истолкование ди- ференциала 266 § 7. Выражение производной через диференциалы . . . 267 § 8. Параметрические уравнения 268 § 9. Диференцирование неявных функций 270 § 10. Диференцирование функций от функции (диферен- цирование через вспомогательную функцию) .... 272 § 11. Диференциал произведения 276 § 12. Диференциал дроби 279 § 13. Производная произведения и дроби 279 § 14. Диференциал в приближенных вычислениях 282 § 15. Погрешность произведения и дроби 283
6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава VIII. Диференцирование трансцендентных функций. Производные и диференциалы высших порядков. § 1. Вводные замечания 287 § 2 Диференциал синуса 287 § 3. Диференциал косинуса 289 § 4. Диференциалы тангенса и котангенса 289 § 5. Таблица формул; примеры 289 § 6. Обратные тригонометрические функции 291 § 7. Диференциал арксинуса 293 § 8. Диференциал арккосинуса 294 § 9. Диференциалы арктангенса и арккотангенса .... 294 § 10. Таблица формул; примеры 295 § 11. Диференцирование логарифмической функции .... 296 § 12. Число е 298 § 13. Натуральные логарифмы 300 § 14. Перевод натуральных логарифмов в десятичные и обратно 303 § 15. Диференцирование показательной функции 305 § 16. Ускорение 307 § 17. Вторая производная 309 § 18. Второй диференциал 312 ЧАСТЬ ш. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Глава IX. Интеграл. § 1. Вводные замечания 317 § 2. Задача о площади 317 § 3. Площадь как предел. Понятие о предмете интеграль- ного исчисления . 318 § 4. Определение интеграла 322 § 5. Сумма приращений . 324 § 6. Примеры вычисления интеграла общим методом . . 326 ь § 7. Интеграл \^xndx ... * 331 а § 8. Замечания о пределах интегрирования 336 § 9. Интегрирование многочленов 340 § 10. Вычисление площадей 343 § 11. Объем конуса 349 § 12. Принципы применения интегрального исчисления; бесконечно малый элемент 353 § 13. Вычисление площадей с помощью бесконечно малых элементов. Диференциальное уравнение 356 § 14. Вычисление объемов. Объем тела вращения 360 § 15. Работа. Интеграл с бесконечным пределом 367 § 16. Интеграл с переменным верхним пределом 376 § 17. Давление жидкости 381
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Глава X. Основные приемы интегрирования. Неопределенный интеграл. § 1. Вводные замечания 385 § 2. Основная теорема интегрального исчисления . . . , 385 § 3. Первообразная функция 388 § 4. Диференциал интеграла 392 § 5. Неопределенный интеграл 396 § 6. Основные свойства неопределенных интегралов . . 401 § 7. Таблица неопределенных интегралов 404 § 8. Интегрирование через вспомогательную функцию (способ подстановки) 408 § 9. Простейшие примеры применения метода подстановки 411 § 10. Комбинирование метода подстановки с тождествен- ными преобразованиями подинтетральной функции. . 418 §11. Интегрирование по частям 433 § 12. Об интегрируемости в элементарных функциях . . . 438 § 13. Применение изученных приемов интегрирования к решению задач 441 § 14. Диференциал дуги; длина дуги 446 § 15. Общее и частное решение диференциального урав- нения 453 § 16. Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными 455 § 17. Разыскание частного решения по начальным данным 462 § 18. Составление диференциальных уравнений 465
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ. Первое издание этой книги, выпущенное в Ленинграде в 1941 г., почти целиком погибло. Настоящее издание не со- держит существенных изменений. После тщательной проверки устранены вкравшиеся в первое издание ошибки. В основу книги положена программа индустриальных тех- никумов, но объем её несколько выходит за рамки этой программы, так что книга могла бы служить как пособием для техникумов, так и учебником в высших учебных заведениях с небольшим курсом математики. Изучать эту книгу может всякий, владеющий алгеброй и геометрией в объеме 8 классов средней школы и имеющий начальные сведения по тригонометрии. Лишь начиная с VIII главы читатель встретится с более сложными тригономе- трическими выкладками и с логарифмами. Если к этому вре- мени он не приобретет необходимых дополнительных сведе- ний, то главы VIII и X он может пропустить. В главе IX при- дется пропустить последнюю часть § 7. В тексте разобраны многочисленные примеры, освещающие значение высшей математики для техники и естествознания. В конце каждого параграфа даны примеры и задачи для самостоятельных упражнений. Последние два примера обычно несколько труднее других. Остальные требуют только четкого усвоения текста. При подборе примеров и задач я использо- вал большое количество русских и иностранных книг. Осо- бенно многим я обязан превосходным руководствам проф. Г. М. Фихтенгольца („Математика для техников" и „Мате- матика для инженеров"). Свои взгляды на принципы начального преподавания выс- шей математики я имел возможность подробно изложить в предисловиях по второму и третьему изданиям моей книги «Основы исчисления бесконечно малых» (ГТТИ 1932, 1933) и потому здесь не буду о них говорить. Должен однако за- метить, что хотя этих взглядов я придерживаюсь и сейчас,
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 я не мог провести их здесь полностью, так как должен был считаться с навыками преподавателей. Так, диференциальное исчисление я должен был изложить раньше интегрального, хотя на мой взгляд обратный порядок был бы предпочтитель- нее. Но и при данном расположении материала мне, насколько я могу судить, удалось сохранить существенные черты упо- мянутых методических взглядов. Так, в диференциальном исчислении ведущую роль играет не производная функция — главная героиня наших учебников, — а диференциал, которому но традиции принадлежит роль молчаливого статиста. Бла- годаря этому, мне кажется, устраняются те трудности, которые всегда испытывают учащиеся при изучении понятия диферен- циала. Вместе с тем, интегральное исчисление в своем, так сказать, утробном состоянии зарождается уже в недрах дифе- ренциального исчисления. С. А. Гальперну, прочитавшему вторую часть этого учеб- ника, и А. И. Маркушевичу, ознакомившемуся с книгой в целом, я выражаю признательность за ряд высказанных ими ценных замечаний. Д. А. Райкову, взявшему на себя труд редактирования первого издания этой книги, я обязан многочисленными сове- тами, касающимися существа и формы изложения. Приношу ему глубокую благодарность. В. А. Гуковской и Е. И. Кологрив выражаю глубокую признательность за проделанную ими работу по проверке для второго издания всех вычислений в тексте и ответов в упраж- нениях. Я буду очень признателен всем тем, кто пожелал бы сообщить мне свои замечания и пожелания; все они будут учтены, если книга эта будет переиздаваться. Письма можно адресовать в Государственное издательство технико-теоре- тической литературы (Москва, Орликов пер., 3) или автору (Москва, 4-й Сыромятнический пер., 3/5, кв. 105, Марку Яковлевичу Выгодскому). Ж. Выгодский» Москва, 20 октября 1946 г.
ВВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ § 1. Предварительные замечания Обширную область математических наук принято делить на две неравные по объему части, именуемые «элементарной» (в буквальном переводе «начальной») и «высшей» математи- кой. Это деление обусловлено и характером изучаемых воп- росов, и в еще большей мере различием применяемых ме- тодов. В этой вводной главе учащийся получит представление о некоторых существенных особенностях методов высшей мате- матики. Необходимо, однако, уже сейчас отметить, что между элементарной и высшей математикой нет непроходимой про- пасти. Понятия, с которыми имеет дело высшая математика, не чужды и математике элементарной, но только в элемен- тарной математике они появляются от случая к случаю, в высшей же математике они играют основную роль. Отсюда ясно, что по существу невозможно провести резкой границы между высшей математикой и элементарной. Такая граница может носить только условный характер. Основными дисциплинами высшей математики, составляю- щими базу для всех других ее областей и для технических наук, являются аналитическая геометрия и исчисление беско- нечно малых. Исчисление бесконечно малых в свою очередь подразделяется на ряд дисциплин; две основные из них носят название диференциального и интегрального исчислений. В этой книге изложены основы упомянутых трех дисцип- лин; аналитической геометрии посвящена первая часть, дифе- ренциальному исчислению — вторая, интегральному — третья. Чем эти дисциплины занимаются, будет выяснено в начале каждой части.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 11 § 2. Постоянные и переменные величины В элементарной математике мы имели дело с различными величинами: числовыми, буквенными, геометрическими (длины, площади, углы и т. п.), физическими (температура, вес и т. п.) и т. д. При решении той или иной задачи значение одних величин задается, а значение других — разыскивается. Сообразно этому в элементарной математике важнейшим раз- делением величин является разделение их на известные и не- известные. Одна и та же величина в одной задаче может быть известной, в другой же — неизвестной. Таким образом, разделение это имеет в виду не отдельно взятые величины, а ту роль, которую те или иные величины играют в изучае- мом вопросе. В высшей математике сохраняется разделение величин на известные и неизвестные, но основным разделением является другое, именно разделение величин на постоянные и пере- менйые. Как указывают самые названия, переменная величина есть та, которая (в условиях данного вопроса) может принимать различные значения; постоянная же величина есть та, которая (в условиях данного вопроса) сохраняет одно и то же зна- чение. Одна и та же величина в одной задаче может быть по- стоянной, а в другой — переменной. Так, например, темпера- тура кипения химически чистой воды есть постоянная величина, если кипячение производится в одном и том же месте, при одних и тех же атмосферных условиях. Но температура ки- пения воды становится величиной переменной, если кипячение производится в различных местах или при всевозможных атмосферных условиях. Принято переменные величины обозначать последними буквами латинского алфавита х, у, z, ty и, wy а постоян- ные— первыми буквами а, Ь, с, d,... Впрочем, по различным причинам от этого соглашения часто отступают. § 3. Функциональная зависимость Важнейшим во всей высшей математике понятием является понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Чтобы лучше уяснить это понятие, продолжим рассмотрение взятого выше примера.
12 функции и их графики (введение Производя наблюдения в различных пунктах Земли, мы устанавливаем, что температура Т кипения воды с изменением места меняется; вместе с тем меняется и ряд других величин, например широта и долгота места наблюдения, температура воздуха, его давление, влажность и т. д. Иными словами, — все эти величины переменны. Но не все они находятся в одинаковом положении по отношению к переменной величине Т. Так, например, величина Т может меняться при переходе из одного места в другое с той же широтой ср и, наоборот, оставаться неизменной при изменении широты ср. Это обстоя- тельство мы отмечаем, говоря, что переменные величины Т и ср не связаны между собой функциональной зависимостью. Если же мы будем рассматривать переменную величину давления воздуха р, то окажется, что всюду, где это давле- ние измерялось 760 мм ртутного столба, температура кипе- ния была одна и та же (100°С); всюду, где это давление измерялось 643 мм, температура кипения имела одну и ту же, но отличную от прежней величину (95°С) и т. д. Словом, каждому значению величины р соответствует вполне определённое значение 7\ Обратно, некоторому значению пе- ременной величины Т соответствует вполне определенное значение переменной величины р; так, температура кипе- ния 95°С может наблюдаться лишь при давлении 634 мм; температура кипения 100° — лишь при давлении 760 мм и т. д. Это важное обстоятельство мы отмечаем, говоря, что две переменные величины Т и р связаны функциональной зависимостью. Вообще мы говорим, что две переменные величины свя- заны функциональной зависимостью, если каждому зна- чению одной из них соответствует определенное значение другой. § 4. Аргумент и функция; явная и неявная функции Функциональная зависимость между двумя переменными величинами х, у носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Но в том или ином случае одна из переменных величин, напри- мер может выдвинуться на первый план по отношению к другой. Именно, часто случается, что мы задаем значения
аргумент и функция 13 величине х и по ним определяем соответствующие значения величины у, а не наоборот. Тогда переменная величина х называется аргументом или независимой переменной, а ве- личина у—ее функцией или зависимой переменной. Может случиться, что каждому значению одной перемен- ной, например х, может соответствовать не одно, а несколько определенных значений другой (примеры будут приведены ниже). Понятие функциональной зависимости естественно распространить и на этот случай. Мы получаем следующее определение: Переменная величина у называется функцией перемен- ной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует либо одно определен- ное значение, либо несколько определенных значений пере- менной у. В первом случае у называется однозначной функцией от х, во втором — многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.). Пример 1. Так как между температурой Т кипения воды и давлением атмосферы р существует функциональная зависимость (см. предыдущий параграф), то мы можем, не имея барометра, определять значение р по наблюдаемой с помощью термометра температуре Т. Для этого мы можем пользоваться таблицей т°с 70 75 80 85 90 95 100 р мм 234 289 355 434 526 634 760 или более подробной таблицей, раз навсегда составленной по данным наблюдения. Подобные таблицы самим своим устрой- ством приспособлены к тому, чтобы рассматривать Т как аргумент, а р — как функцию: значения Т следуют здесь через равные промежутки, что позволяет легче отыскивать по таблице значения р для приведенных в таблице значений аргумента Т и легче вычислять значения р для промежуточ- ных значений аргумента. «■ч Разумеется, можно считать и р функцией от Г. Таковой оно будет, например, в том случае, когда, измеряя барометром
14 функции И ИХ ГРАФИКИ [ВВЕДЕНИЕ давление, мы хотели бы заранее узнать температуру кипения воды. Приведенная выше таблица хотя и может служить для этой цели, но не так удобна, как таблица следующего типа: р мм 300 350 400 450 500 550 600 650 700 Т°С 75,8 79,6 83,0 85,8 88,5 91,2 93,5 95,7 97,6 Величина р, рассматриваемая как функция аргумента 7, есть однозначная функция; также и Т есть однозначная функция от р. Пример 2. Высота 5 тела, брошенного с земли кверху с начальной скоростью г>0, есть функция времени /, протек- шего с момента бросания, так как для каждого момента t высота ^ имеет вполне определенное значение. Так же, как в предыдущем примере, мы могли бы представить эту функ- цию таблицей. Но для многих целей лучше представить ее формулой 0) s = v0t- 2 & > выведенной теоретически и подтверждаемой наблюдениями 1). В этой формуле v0 и g=9>8 cMjcefc2 (ускорение земного тяготения) — постоянные величины. Переменная 5 есть одно- значная функция аргумента t. Можно рассматривать и t как функцию от аргумента s. Та же формула (1) может представлять и эту функцию, ибо она позволяет для каждого значения, которое может принять s, найти соответствующие значения t. Таких значений будет два, ибо уравнение (1) — квадратное относительно t. Следо- вательно, t есть двузначная функция от аргумента s. Два значения / вычисляются по формуле v0 + V vfl—2gs *=- ~—-, (2) дающей решение квадратного уравнения (1). г) Формула (1) предполагает, что брошенное тело движется в пустоте. При движении тела в воздухе она верна лишь прибли- женно.
аргумент и функция 15 Впрочем и из физических соображений ясно, что t есть двузначная функция от s. Действительно, на каждой высоте s брошенное тело побывает дважды: один раз на подъеме, дру- гой раз — на спуске. Из рассмотренных примеров видно, что функция может быть задана таблицей (как в примере 1) или формулой (как в примере 2). Существуют и другие способы задайия функции; с одним из них мы познакомимся в следующем параграфе. Здесь мы остановимся подробнее на задании функ- ции с помощью формулы. Если считать постоянные величины известными, а переменные — неизвестными, то формула, за- дающая функцию, будет уравнением; внешний вид этого уравнения дает основание различать явные и неявные функции. Будем считать в примере 2 аргументом переменную вели- чину s, а функцией переменную t. Тогда уравнение (1), как и уравнение (2), задает функциональную зависимость t от s. Но уравнение (2) разрешено относительно t, т. е. оно прямо (явно) указывает, какие действия нужно выполнить, чтобы найти значение t по заданному значению $. Уравнение же (1) не разрешено относительно t, т. е. t нельзя вычислить непо- средственно по формуле (1): нужно предварительно решить уравнение (1). Поэтому говорят, что уравнение (2) представ- ляет t как явную, а уравнение (1) —как неявную функцию (от аргумента s). Определение. Функция, заданная формулой (урав- нением), называется явной, если данное уравнение разре- шено относительно функции; функция называется неявной, если задающее ее уравнение не разрешено относительно функции. Ясно, что функция является явной или неявной не сама по себе, а в зависимости от способа ее выражения. Ясно также, что необходимо предварительно установить, какая из пере- менных, связанных уравнением, принята за функцию. Так, если в примере 2 функцией считать s, а не t, то уравнение (1) дает явную, а уравнение (2) — неявную функцию. Наконец, заметим, что уравнение, связывающее две переменные, может иметь и такой вид, что ни одна из переменных не будет явной функцией другой (см. приведенный ниже пример). Пример 3. Формула **у + у=\ (3)
16 функции и их графики [введение Отв.г = -\- t однозначна. 2. Выразить площадь круга 5 в явной функции от длины его окружности I. Отв. s =-г-. 4* 3. Связаны ли функциональной зависимостью переменные вели- чины площади квадрата 5 и его периметра р~> (Тот же вопрос — для прямоугольника). Отв. Да. (Для прямоугольника — нет.) 4. Переменная v есть объем куба, s — боковая поверхность куба. Выразить v в явной функции от s. з Oms. 5. Приняв за независимое переменное х синус некоторого угла, выразить переменный косинус у того же угла в функции х. Одно- значна ли эта функция? Отв. у~± V~l—л:2; двузначна. 6. Переменные у и х связаны функциональной зависимостью дг— j ^ ^. Переменная х принята за аргумент. Однозначна или многозначна функция у> Отв. Двузначна. задает функциональную зависимость между переменными величинами х и у\ при этом у — неявная функция от х ц также х — неявная функция от у. Если принять за аргументе, то явное выражение функции у будет Если принять за аргумент у, то х представится в явной функ- ции от у следующим образом: "^. (5) Переменная у есть однозначная функция аргумента х. Пере- менная х есть двузначная функция аргумента у; одно ее зна- чение получаем, беря в формуле (5) знак плюс, другое — беря знак минус. Упражнения 1. Переменные величины площади круга 5 и его радиуса г свя- заны функциональной зависимостью. Представить г в явной функ- ции переменной величины s. Однозначна или многозначна эта функция?
ГРАФИК ФУНКЦИИ. 17 7. Переменные х и у связаны зависимостью ху,= 1. Составить таблицу, представляющую^ в функции х в промежутке между х —1,4 и х — 2,2; значения х брать через 0,1. 8. Зависимость у от х представлена таблицей: X 3 4 5 6 7 8 9 10 у 7 9 11 13 15 17 19 21 Подобрать простую формулу, дающую у в функции х. 9. Какие значения может принимать аргумент х функции /х 1 ^ х (значения функции должны быть действительными)? Отв. Только значения, заключенные между х — 1 и лг = 2, включая и х = 1. 10. Тот же вопрос для функции y==V^\ — х2. Отв. — 1 1. * § 5. График функции Мы видели, что зависимость функции от аргумента может характеризоваться таблицей и формулой. Каждый из этих способов имеет свои преимущества: первый избавляет нас от вычислений, которых требует формула; второй позволяет найти с нужной точностью значение функции для любого из значений, которые может принимать аргумент, в то время как таблица по необходимости содержит лишь избранные значения аргумента. Однако, оба эти способа страдают тем недостатком, что они не дают общей картины изменения функции. Этот недостаток восполняется графическим изо- бражением функциональной зависимости. С графическим изображением уравнения с двумя неизвест- ными читатель знаком уже из курса алгебры. Но уравнение с двумя неизвестными устанавливает вместе с тем функцио- нальную зависимость между двумя переменными величинами (см. предыдущий параграф), так что график уравнения есть вместе с тем и график функции. Совершенно так же можно получить график функции и в тех случаях, когда функция задана не уравнением, а как-либо иначе (например таблицей). Ограничимся поэтому краткими указаниями. 2 М. Я. Выгодский
18 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение На бумаге чертятся две взаимно перпендикулярные оси (АВ и CD на черт. 1); обычно одна из них горизонтальна, другая вертикальна. На этих осях устанавливается направле- ние отсчета положительных величин; обычно на горизонталь- ной оси положительные величины откладываются вправо от начала отсчета, а на вертикальной оси — вверх (за начало отсчета принимается точка пересечения осей). На горизонталь- ной оси откладывают в некотором заранее устанавливаемом масштабе одно из значений аргумента; так, отрезок ОР на черт. 1 изображает одно из положительных значений аргумента. От точки Р по направлению вертикальной оси откладывается отрезок РМ, изображающий соответствующее Q м 0 с р ~" 0 i р . п Q м Черт. 1. Черт. 1а. значение функции в некотором масштабе. Масштаб может быть тем же, что и на горизонтальной оси, или иным. Если значение функции положительно, то отрезок РМ отклады- вается вверх, как на черт. 1; если оно отрицательно, то отрезок РМ нужно отложить книзу, как на черт. 1а. Вместо того чтобы откладывать значение функции вверх или вниз от точки Р, можно наносить отрезок той же длины на вертикальную ось вверх или вниз от начала отсчета; мы получим (черт. 1 и 1а) точку Q на вертикальной оси. Про- водя прямые QM || АВ и РМ || CD, мы в пересечении их по- лучим ту же точку М. Указанное построение производится для ряда значений аргумента; получаем ряд точек М. Если в этом ряде не обнаруживается резких колебаний или скачков, то через полученные точки легко провести (от руки или с помощью лекала) плавную линию, которая графически изобразит функ- циональную зависимость в промежутке между крайними из построенных точек М, а также и при незначительном продол- жении за края этого промежутка.
график функции 19 При выборе масштабов на осях приходится учитывать ряд обстоятельств: размеры листа бумаги, пределы, в которых берется изменение переменных величин, требуемая степень точности и т. д. В интересах экономии места может ока- заться полезным вынести начало отсчета О за пределы чер- тежа. Тогда для нанесения масштабных пометок удобно бывает использовать вместо одной из осей (или даже вместо обеих) прямую, ей параллельную. Пример 1. На черт. 2 графически представлена за- висимость модуля упругости Е кованого железа от тем- пературы t. Масштабы, в которых изображены значе- ния аргумента и функции, показаны числовыми помет- ками. При избранном мас- штабе значений функции начало отсчета величин Е на графике не помещается; но оно нам и не нужно, так как величина Е не может иметь значения 0 и тем более отри- цательных значений, а все нужные нам значения Е на гра- фике помещаются. Ту же зависимость можно представить таблицей, выдержка из которой здесь приводится: 50 Ш 150 200 250 Черт. 2. t°c —50 0 50 100 150 200 250 Е т[см2 21,6 21,5 21,4 21,2 20,9 20,5 19,9 Таблица могла бы дать и более точные результаты, чем график, но общий ход изменения функции график дает несравненно более выразительно. Поэтому-то графиками так широко и пользуются в науке, технике и повседневной жизни. Пример 2. Построить график функции у = 0,04jc2-f> -|^0,4jc — 2, если аргумент х изменяется в пределах между х = — 10 и л: = 4-10. 2*
20 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [беедение Выбираем отрезок ОМ за единицу масштаба (черт. 3). На горизонтальной оси намечаем точки Л, £, О, D, пред- ставляющие значения лг = — 10, х = — 5, х = 0, л: = 4-5, ^=^+10. По формуле j/= 0,04л:2+0,4л: — 2 (1) составляем следующую таблицу соответствующих значений функции у. Откладываем отрезки АА^ ВВг и OOj длиной в 2, 3 и 2 единицы масштаба вниз, а отрезки СС, и DDX длиной в 1 и 6 единиц вверх. Конечные их точки Av Bv Ov Cv Dx соединяем плавной кривой линией. Линия AxBiOlClDl есть график нашей функции. Он дает ясное представление о ходе изменения функции и позволяет без вычислений найти приближенные значения функции для любого значения аргумента между —10 и -f-10. Пусть, например, х =8. Тогда по графику вид- но, что точка Uv лежащая над точкой U (0£/=8), X —10 —5 0 5 10 У —2 —3 2 1 6 А В 0 а Dp и \д х i i 1 ( i —^ 1 Of Черт. 3. расположена на высоте несколько меньшей, чем 4 единицы масштаба; на-глаз можно положить у=3,& или jf=3,7. Истинное значение у, вычисленное по формуле (1), есть 3,76, Точно так же по графику прочитаем, что значению аргумента х = 2 соответствует значение функции у — — 1. На самом же деле у — — 1,04. Таким образом, при графическом представлении функции мы получаем довольно грубые и неточные результаты, но
§5] график функции 21 зато быстро, а главное сразу охватываем общую картину функциональной зависимости. П р и м е р 3. На черт. 4 изображен график функции у— sin х. Масштабы на обеих осях одинаковы; угол х выражен в ради- анной мере. Тот же график годен и при градусном измере- нии угла, однако, тогда на горизонтальной и вертикальной V Черт. 4. осях масштабы будут различными. Волнообразный характер графика прекрасно передает ход изменения синуса при изме- нении угла; периодичность этого изменения сразу же бро- сается в глаза. Кривая линия, изображенная на черт. 4, назы- вается синусоидой. Упражнения 1. Давление насыщенного пара р (кг/см2) связано с темпера- турой пара г°С функциональной зависимостью, определяемой таб- лицей. Начертить график этой функциональной за- висимости. Определить давление насыщенного пара при температуре 108,4°. При какой темпе- ратуре давление пара будет 2,10 кг\смГ^ Отв. 1,39 кг'см*: 121° С. У к а з а-н и е. На клетчатой бумаге тетра- ди удобно принять по оси г одно деление за 1°; по оси р— за 0,1 кг\сл&. 2. В приведенной таблице v (м?) есть объем 1 кг насыщенного пара, р {кг\см*)— его давление. Найти объем и при давлении 4,21; 5,43; 6,37 кг(см2. Отв. 0,449; 0,353; 0,302. t 105 ПО 115 120 125 р 1,23 1,46 1,73 2,03 2,37 Р 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 V 0,472 0,422 0,382 0,350 0,322
22 функции и их графики [введение Построить графики следующих функций: 3. у = Здг — 4 в промежутке от х = — 1 до х = -f- 3; значения д: брать через 0,5. 4. > = — ^-х-^2 в промежутке — 5 ^* -j- 5; значения х брать через 1. 5. у = — 0,13* — 0,25 в промежутке —3 s^* ^ + 3; значения х брать через 0,5. Для у взять в 5 раз больший масштаб, чем для х. 6. у = х? в промежутке — 10^*^-|-10, выбрав удобный масштаб. 7. у — х3 2х2 — 4х + 7 в промежутке — 4^*^ + 4, беря зна- чения х через 1; для у взяуь масштаб в 20 раз ббльший.чем для х. 8. Изобразить графически зависимость между длиной окруж- ности и ее радиусом. 9. Изобразить графически зависимость между площадью круга и его радиусом. ^ 10. При давлении /7=10 т/м* 1 кг воздуха (при темпера- туре 0° С) имеет объем р = 0,80 л3. Основываясь на законе Бойля- Мариотта, построить график зависимости между переменными р и v (при постоянной температуре 0°). 11. Построить графики функций cos*, tg*, ctg*. § 6. Координаты х' Построение графика мы начинали с фиксирования отдель- ных его точек. Положение каждой такой точки находилось по двум числовым данным. Так, в примере 2 § 5 точка В1 была построена по числовым данным * = — 5, у = — 3. Итак, выбрав две перпен- дикулярные оси и установив на них масштабы, мы можем за- данную пару чисел изобразить вполне определенной точкой плоскости. Обратно, положение заданной точки плоскости мо- жет быть вполне охарактери- зовано определенной парой чисел. Для этого мы выбираем на плоскости две перпендику- лярные оси Х'Х и Y'Y (черт. 5), устанавливаем на них масштабы (на черт. 5 масштабы на обеих осях взяты одинаковые; за единицу масштаба взята сторона одного из квадратов сетки, нанесенной // м' i р м 0 Я /// - IV г Черт. 5.
§6] координаты 23 на чертеже). Положение любой точки плоскости характеризуется двумя числами, выражающими расстояния этой точки от осей. Эти числа должны быть снабжены знаками -(- или —, смотря по тому, лежит ли точка вправо или влево от вертикальной оси и сверху или снизу от горизонтальной оси (см. § 5). Так, положение точки М на черт. 5 характеризуется числами х = РМ—-\-5 ну = QAf=-f~l,TaK как точка М лежит справа от Y'Y и сверху от Х'Х. Положение точки М' характери- зуется числами х =— 4 и у = -\-2, точки М"—числами х =— 4, у = — 3. Вместо того чтобы брать расстояние точки от вертикаль- ной оси, можно спроектировать точку на горизонтальную ось и взять расстояние проекции от начала отсчета. Так, вместо расстояния х — РМ можно взять расстояние OQ (Q—проек- ция точки М на горизонтальную ось). Ясно, что PM = OQ. Ясно также, что вместо расстояния QM от горизонтальной оси можно взять расстояние ОР. Описанный способ представления точки на плоскости с помо- щью пары чисел, выражающих расстояния ее от взаимно перпен- дикулярных осей, носит название способа прямоугольных координат. Оси Х'Х и К'К называются осями координат, точка их пересечения О — началом координат. Отрезки х = OQ и у = ОР, а также числа, измеряющие их в избран- ном масштабе, называются прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Координаты считаются положительными или отрицательными сообразно тому, какие направления на осях координат приняты за положительные и какие за отрицательные. Одна из прямоугольных координат точки М называется ее абсциссой, другая — ординатой. Какая из координат будет абсциссой, а какая ординатой, — это по существу безразлично; если, как обычно, оси координат имеют горизонтальное и вертикальное направление, то отрезок x = OQ, откладываемый на горизонтальной оси, обычно называется абсциссой, а вертикально откладываемый отрезок QM — ор- динатой г) В буквальном переводе термин абсцисса означает: «отсеченная» (подразумевается «прямая»). Термин «ордината» означает «упорядо- ченная». Происхождение этих терминов таково: прежде рассматри- валась лишь одна ось Х'Х\ на ней «отсекались» абсциссы, а орди- наты откладывались по вертикальному направлению от концов абсцисс; они «проводились по порядку» одна за другой.
24 функции и их графики [введение Сообразно с этим одна из осей (горизонтальная, ось иксов) называется осью абсцисс; другая (вертикальная, ось игреков) —■ осью ординат. Четыре угла, образованных осями, носят на- звание координатных углов: первого, второго, третьего и четвертого; обычно они нумеруются так, как указано на черт. 5. Знаки координат точки М зависят от того, в каком из ко- ординатных углов эта точка лежит. Следующая таблица ука- зывает, каковы эти знаки. Координаты Координатный угол I 11 III IV абсцисса х + — — + ордината у + + — — Если точка М лежит на оси абсцисс, то ее ордината у= 0; если она лежит на оси ординат, то ее абсцисса х = 0. Чтобы коротко выразить, что точка М имеет координаты х = а и у—Ь9 пишут М (a, b)t Например, отмеченные на черт. 3 (на странице 20) точки регистрируются так: Л1 (—1Q, —2), *i < —5, —3), О, (0, —2), Сг (5, 1), £>, (10, 6). Описанная выше система координат получила широкое распространение благодаря знаменитому французскому фило- софу и математику Декарту (1596—1650) и поэтому часто называется также декартовой системой координат; однако это название не совсем правильно]). J) Декарт пользовался только одной осью (осью абсцисс; см. предыдущее примечание); вторая ось не чертилась, и ординаты восставлялись из концов абсцисс под произвольным постоянным углом к оси абсцисс, а не обязательно под прямым. Главное же отличие системы координат Декарта от системы, ныне называемой декартовой, состоит в том, что абсцисса и ордината были у Декарта во всех случаях положительными величинами. Отрицательных чисел Декарт вообще избегал, хотя они в его время уже широко приме- нялись; незадолго до выхода основной математической работы Декарта («Геометрия», 1637 г.) отрицательные числа получили и геометрическое истолкование (в работе Жирара «Новые открытия в алгебре», 1629 г.). Встречающееся во многих учебниках указание,
§ 7] ГРАФИК ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ 25 Упражнения 1. Построить точки А (4, 1), Д( —4, 1), С(—4, —1). 2. Точки А, В, С, заданные в предыдущей задаче, служат тремя вершинами прямоугольника ABCD. Найти вершину D. Ото. £)(4,-1). 3. Какому координатному углу принадлежит точка (—2, —1,8)? Точка (4, —12)? Отв. HI, IV. 4. Где лежат точки, у которых абсциссы равны нулю? Отв. На оси ординат. 5. Где лежат точки, у которых абсциссы равны 2? Отв. На прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (2, 0). 6. Где лежат точки, абсциссы которых равны их ординатам? Отв. На биссектрисе первого и третьего координатных углов. 7. Где лежат точки, абсциссы и ординаты которых равны по абсолютной величине и противоположны по знаку? Отв. На биссектрисе второго и третьего координатных углов. .8. Диагонали квадрата приняты за координатные оси; сторона квадрата принята за единицу масштаба. Найти координаты вершин квадрата и середин его сторон. Отв. Координаты вершин: ( > 0 1 , ( 0, I , ( r>- , 0 1 ""4 ' 4 /' \ 4 ' 4 У' \ 4 ' 4 У* § 7. График пропорционального изменения В § 5 указывалось, что форма графика наглядно передает общую картину функциональной зависимости. В этом и в сле- дующих параграфах мы систематически рассмотрим графиче- ское изображение простейших функций. Масштабы на коорди- натных осях мы будем считать одинаковыми. Самой простой функциональной зависимостью между двумя переменными jc, у является зависимость пропорциональ- ная, известная читателю из арифметики и алгебры. Если переменные х и у (прямо) пропорциональны, то величина у, что различение направлений на осях знаками + и — введено Декартом, ошибочно. Напротив, Декарт отвергал это различие; это было существенным недостатком его работ. Ближайшие после- дователи Декарта заметили этот недостаток и устранили его. Координаты середин сторон:
26 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение рассматриваемая как функция аргумента дг, выражается через х формулой у = ах9 где а есть некоторая постоянная величина, называемая коэфи- циент ом пропорциональности. Пример 1. Поезд движется с постоянной скоростью 0,5 км\ман\ путь s (км), пройденный им за t минут, пред- ставится формулой 5 = 0,51. Здесь s пропорционально t; 0,5 — коэфициент пропорциональ- ности. Пример 2. Если через Т обозначить температуру тела по шкале Цельсия, а через Тл — по шкале Реомюра, то между Т и Тх существует функциональная зависимость Т=1,25 7\. Величина Т пропорциональна Г,; коэфициент пропорциональ- ности равен 1,25. Изобразим графически функцию последнего примера. Мы увидим (черт. 6), что график имеет вид прямой линии> про- Черт. б. Черт. 7. ходящей через начало координат и наклоненной к оси абсцисс под углом а, примерно равным 50°. Построив графики функций у = 2л:, у=\^х, у— —^х по точкам, мы убедимся, что все эти графики имеют форму прямых линий (черт. 7), идущих через начало коорди- нат под различными углами к оси абсцисс.
график пропорционального изменения 27 Докажем, что графином всякой пропорциональной зави- симости у = ах является прямая линия, проходящая через начало коорди- нату и что угол а, который эта прямая образует с поло- жительным направлением оси абсцисс ОХ, имеет тангенсом коэфициент пропорциональности а1): \ga = a. Действительно, пусть А и В (черт. 8) суть какие-нибудь две точки графика. Из формулы : ах или, что то же, X следует, что абсцисса х = ОМ и ордината у = МА точки А удовле- творяют соотношению МА ч А' А / I А ! м ом 0) Черт. 8. и точно так же координаты x — ON и у- удовлетворяют соотношению NB ON' ■ а. : NB точки В (2) Соединим точку А с точкой О прямой АО. Рассматривая прямоугольный треугольник АОМ и принимая во внимание формулу (1), получим МА igZ.A0X-= ОМ' ■■ а. (3) 1) При определении величины угла начальным направлением счи- тается направление ОХ (черт. 8) и отсчитывается этот угол от оси ОХ до прямой в направлении против часовой стрелки (как в тригонометрии). На прямой KL направление можно взять какое угодно, ибо углы ХОВ=а и ХОК= Р имеют равные тангенсы.
28 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение Соединим теперь точки В и О и докажем, что прямая ВО совместится с только что проведенной прямой АО. В самом деле, из треугольника BON находим с помощью формулы (2): tgZBOX=g? = a. (4) Сравнение формул (3) и (4) показывает, что прямые АО и ВО образуют с осью абсцисс одинаковые углы, т. е. совпа- дают друг с другом. Можно взять наряду с А и В сколько угодно других точек графика и повторить то же рассуждение. Окажется, что все точки графика лежат на одной прямой KL, прохо- дящей через начало координат. Тангенс угла а, образуемого этой прямой с направлением ОХ, как показывает любая из формул (3) и (4), равен а. Величина а = tg а (коэфициент пропорциональности) назы- вается также угловым коэфициентом графика или его укло- ном-, угол а называется углом уклона. Пример 3. Функция у = 2х изображается (черт. 7) прямой АВ, проходящей через точку О. Уклон прямой равен tf = tga = 2. Угол уклона а определяется по тригонометри- ческим таблицам: a = ^/ ХОВ = 63°2&. Положительный знак величины уклона tga = fl = 2 свиде- тельствует, что график располагается в I и III четвертях. Пример 4* Функция у = —^х изображается (черт. 7) прямой CD, проходящей через начало координат. Уклон этой прямой a = tga= — ~. Угол уклона а = ^ЛГОС==153°26'. Отрицательный знак величины уклона а = — -^-Указывает на то, что наш график лежит во II и IV координатных углах. Упражнения 1. Начертить график уравнения у = 0,3х. Какой угол обра- зует прямая, изображающая этот график, с положительным направ- лением оси абсцисс? Отв. 16°40'.
§ 8] график линейной фунчции 29 Замечание. Зная заранее, что график будет прямой линией, проходящей через начало координат, мы можем ограничиться построением одной его точки, отличной от начала координат; затем эту точку соединим с началом координат прямой линией. 2. Та же задача для уравнения у = — 0,3 х. Отв. 163° 20'. 3. Через точку М (— 4, —2) и начало координат проведена прямая. Графиком какого уравнения она служит? Отв. у = х. 4. Та же задача для точки М (3, —9). Отв. у=: — Злг. 5. Через начало координат проведена прямая под углом а = 150° к положительному направлению оси абсцисс; написать уравнение, графиком которого служит эта прямая. Л V з Отв. у — ц— х. 6. Та же задача для прямой, проходящей через начало коор- динат под углом а = 45°. Отв. у = х. § 8. График линейной функции Функция у —ах, рассмотренная в предыдущем параграфе, является частным случаем функции вида у = ах-\- Ь, где а и b — постоянные величины. Функция эта называется линейной. Когда Ъ — 0, линейная зависимость обращается в пропорциональную. Пример 1. Со станции Л, находящейся на расстоянии 100 км от станции В, вышел на В поезд, идущий со ско- ростью 0,6 км\мин. Через t мин. по выходе поезд будет отстоять от станции В на расстояние 5=-0,6^+100. Переменная s есть линейная функция аргумента t {а = — 0,6, £=100). Пример 2. Если через Тг обозначить температуру по шкале Цельсия, а через 72 — температуру по шкале Фарен- гейта, то Т2 есть линейная функция Тг: 72=1,8 7, + 32 (а=1,8, £ = 32). Точно так же и Тг есть линейная функция Т2: 5 ~ 160 / 5 . 160 \
30 функции и их графики [введение Построив график какой-либо линейной функции, мы убе- димся, что график этот, так же как и график пропорциональ- ной зависимости, есть прямая линия. Но только в общем случае (если Ь=^=0) эта прямая линия не проходит через на- чало координат. Возьмем для примера функцию у = ±х + 2 (1) и сравним ее график с графиком функции 1 У=Тх. Для построения графиков этих функций составим следующую таблицу: X !-6 1 — 4 — 2 0 2 4 6 1 II — 2 — 1 0 1 2 3 ! 0 1 2 3 4 5 График функции у х изображается, как мы уже знаем, пря- мой, проходящей через начало координат (АВ на черт. 9). Уклон этой прямой равен -i- ^tga = -^ . При построении графика функции у — ~х-\-2 мы все точки линии АВ должны по- высить на две масштабные единицы. Ясно, что новые точки расположатся на прямой, параллельной АВ и отстоящей от нее по вертикали на расстояние АС = 2. Эта прямая (CD на черт. 9) и будет графиком функции у = ^-х-\-2. Точно так же мы убедимся, что графиком функции y = ~2X—3 будет прямая EF, параллельная АВ и пони- женная по отношению к ней на 3 масштабные единицы. Пря- мые CD и EF, будучи параллельны прямой АВ, должны обра- зовывать с осью абсцисс углы той же величины а, что и пря- мая АВ, и, значит, будут иметь тот же уклон tg а = ~.
ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 31 Повторив такое же рассуждение для общего случая, мы придем к выводу, что графиком всякой линейной функции у = ах-\-Ь будет прямая линия, параллельная графику функ- ции у~ах. Она будет иметь тот же угол уклона а и тот же уклон tga = a. Посмотрим теперь, какие отрезки отсекают прямые CD и EF на оси ординат. Эти отрезки суть ОК = 2, OG = — 3, т. е. они численно равны сво- бодным членам (£ = -[-2 и b = — 3) в соответ- ствующих линейных функ- циях. Докажем, что так Черт. 9. же будет обстоять дело и в общем случае. Действительно, когда аргумент х получает значение 0, функция у = ах -j- b получает значение Ь, так что график проходит через точку (О, Ь), лежащую на оси ординат. А это и означает, что на оси ординат гра- фик отсекает отре- зок Ь. Мы приходим к сле- дующему выводу: График линейной функции у = ах-\-Ь есть прямая линия, отсекаю- щая на оси ординат отрезок b и наклонен- ная к оси абсцисс под углом, тангенс которо- го равен а. Замечание. Термин «линейная функция» пред- ставляет собой сокращение названия «прямолинейная функция», происхождение которого из предшествующего ясно. Пример 3. Функция у = — 0,5л: — 4 изображается пря- мой АВ (черт. 10), пересекающей ось ординат в точке Е Черт. 10.
32 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение на 4 единицы ниже начала координат (b=z— 4). Уклон этой прямой tga = — -i» откуда а— 153°26'. Пример 4. График функции у = 2— х изображается прямой CD (черт. 10), отсекающей от оси ординат отрезок OF=-\-2 (расположенный над началом координат); угловой, коэфициент графика равен — 1, т. е. прямая CD образует с осью ОХ угол 135°. Упражнения 1. Начертить график функции д/ = 2 — 0,3л:. Каков угол уклона графика? Какой отрезок отсекает он на оси абсцисс? Отв. 163°20'; 2. Указание. Можно ограничиться построением двух точек гра- фика; одну можно взять на оси ординат. 2. Та же задача для уравнения у = 0,3л:— 2. Отв. 16°40'; —2. 3. Скорый поезд Москва — Ленинград отправляется в полночь со станции Калинин, находящейся от ст. Москва по Октябрьской ж. д. на расстоянии 167 км. Развивая скорость 0,70 км/мин, он движется без остановки до ст. Вышний Волочок (286 км от Москвы). Написать линейную функцию, выражающую расстояние 5 (км) от поезда до Москвы через время суток t (мин.). Начертить график этой функции. Определить графически, когда поезд пройдет мимо ст. Лихославль ($:=209 км). Определить время прибытия поезда на ст. Вышний Волочок. Отв. s= 167 + 0,70*; 1 ч.; 2 ч. 50 м. 4. Через точку А (0, —2) проведена прямая с углом уклона а —45°. Написать уравнение, графиком которого служит прямая АВ. Отв. у==х — 2. 5. Та же задача для прямой, проходящей через точку (0, 3) с углом уклона 60°. Отв. у = 3 + У!*х. 6. Провести прямую через точки Л(1, 1) и В(—1, 5). Графи- чески определить отрезок, отсекаемый АВ на оси ординат. Напи- сать уравнение, графиком которого служит АВ. Отв. 3; у~3 — 2х. § 9. Квадратичная функция и ее график Простейшей функцией после линейной является квадра- тичная функция, выражаемая формулой у — ах2-\-Ьх-\-с, где а, Ь, с — постоянные величины. Начнем с частного слу- чая этой функции у = ах* (Ь = 0, с = 0).
квадратичная функция и ее график 33 График такой функции есть кривая линия, проходящая через начало координат (0, 0). Эта линия называется параболой. Форма параболы зависит от значения коэфициента а. На черт. 11 изображены параболы, являющиеся графиками функ- ции у = ах2 при а = 2, 1, — — 2. При по- 1 ± "2 ' 5 » 5' ложительных а график лежит целиком над осью абсцисс, при отрицательных — цели- ком под ней. Ось ординат служит осью симметрии для каждой параболы, изо- бражающей функцию у=ах2. При небольших абсолютных значениях а парабола поды- мается (или опускается) более полбго, при больших —более круто; абсолютная величина а характеризует, таким об- разом, «раствор» параболы. Теперь мы докажем, что график всякой квадратичной функции у — ах2 -j- Ъх -f- с Черт. 11. по форме совпадает с графиком функции у = ах2 и полу- чается простым переносом последнего. Чтобы доказательство сделать более доступным, рассмотрим сначала некоторые част- ные случаи. Пусть 0) Это — квадратичная функция, ибо ее можно представить в виде Если построить ее график (Al01BlClD1 на черт. 12), то бро- сается в глаза, что он имеет совершенно такую же форму, 3 м. Я. Выгодский
34 функции и их графики [введение 1 х2 (2) (AOBCD на черт. 12) и получается из последнего смещением вправо на 3 единицы масштаба. Докажем, что это действительно так и есть. Сравнив фор- мулы (1) и (2), мы убеждаемся, что если в формуле (2) взять какое угодно значение переменной х а в формуле (1) дать переменной х зна- чение, на 3 единицы большее: jt = a_{-3, то величины у в обеих формулах полу- чают одно и то же значение у = -i- а2. Из этого следует, что, взяв на графике AOBCD какую- нибудь точку М (я>4"а2)» мы на графике A101B1ClD1 всегда найдем точку Мг 3, -j^2)' лежа1ДУю на той же высоте -^а2, что и точка Ж, но расположенную на 3 мас- штабные единицы правее (ММг — Ъ). Так как это верно для любой точки графика AOBCD, то, сдвинув весь этот график целиком на 3 единицы вправо, мы совместим его с графиком A1OlB1C1Dv Таким же образом докажем, что график всякой функции у = а(х — т)2 получается из графика у=ах2 горизонталь- ным смещением на \т\ единиц1); это смещение будет про- исходить вправо, если т положительное число, и влево, если оно отрицательное. Пример 1. График функции .^ = 2(^ + 4)2 получается из графика у=2х2 смещением влево на 4 еди- ницы масштаба. *) Через | а | обозначается абсолютная величина числа а. как график функции У=2
§9] квадратичная функция и ее график 35 Продолжим теперь рассмотрение частных случаев и возь- мем квадратичную функцию у = ±(х — 3)» + 2. (3) Ее график A202B2C2D2 A101B1C1Dl функции (черт. 13) получается из графика (1) смещением кверху на 2 единицы. Чтобы доказать это, достаточно заметить, что при абсциссе х = а гра- фик функции (1) имеет ординату ~(а— З)2, а график функции (3) орди- нату -у (а — З)2 -|- 2. Из этого следует, что, взяв.на графике AlOtB1ClDi любую точку Mv мы всегда найдем на графике А^Оф^С^Рч точку Ж2, расположенную на 2 единицы масштаба выше, чем Мх (М1М2 = 2). Таким же образом докажем, что график всякой функции вида у = а(х — mf-\-n получается из графика у=а(х— т)2 смещением на \п\ масштабных единиц; это смещение будет происходить вверх, если т — положительное число, и вниз, если оно отрицательное. Но выше было доказано, что график у=а(х — /и)2 получается из графика у— ах2 горизонтальным смещением. Значит, график всякой функции вида у = а(х — mf -\~ п получается из графика функции у— ах2 смещением на \ т\ единиц по горизонтали и на \п\ единиц по вертикали. На- правление смещений определяется знаками величин тип (см. выше). Пример 2. График функции ^=-44*-И)2-4 з*
36 функции и их графики [введение представляет собой параболу у = — ~ л;2, смещенную влево на 1 (т — —1) и вниз на 4 (п —— 4). Пример 3. График функции у=\(х-Ь? — \ есть парабола у = — х2, смещенная на 5 единиц вправо и на единицу вниз. Постройте графики. Чтобы доказать, что график любой квадратичной функции у = ах2-\-Ьх-{-с Ц) получается смещением из графика функции у = ах2, (5) достаточно теперь доказать, что всякое уравнение вида (4) можно представить в виде у = и (х — тп)2 —J- п. (6) Чтобы не вводить громоздких выражений, проведем доказа- тельство на числовом примере. Пусть имеем квадратичную функцию у—Зл:2 + 18л;+17. Вынесем за скобки в первых двух членах коэфициент при х21 получим ^=3(x2 + 6jc) + 17. Чтобы в скобках получить полный квадрат, рассматриваем 6jc как 2-х-З и прибавляем 32 = 9. Чтобы выражение в скоб- ках не изменилось, одновременно вычитаем 9; получаем 3,= 3(^ + 6^ + 9 — 9)+17 или 3,= 3(*2 + 6jc + 9) —27+17. Окончательно имеем: j, = 3(a: + 3)2— 10. Это — функция вида у=а(х — m)2 + п>
квадратичная функция и ее график 37 где я=3, т = —3, л = —10. Следовательно, график будет представлять параболу у=3х2, смещенную на 3 единицы влево и на 10 единиц вниз. Совершенна аналогичные преобразования можно произвести и над квадратичной функцией (4) в ее общем виде (с бук- венными коэфициентами); повторив слово в слово предыду- щее рассуждение, мы строго докажем, что квадратичную функ- цию можно всегда преобразовать к виду (6). Тем самым будет доказано, что график всякой квадратичной функции у = ах2 -\- Ъх -|- с есть парабола той же формы, что и парабола у = ах2, но подвергнутая некоторому смещению по горизонтальному и вертикальному направлениям. Упражнения 1. Начертить графики функций: у = 0,3*2; у = 0,8*2; у — — 0,3*2; у = — 0,8*2. 2. Начертить графики функций: у = 0,3 (* — I)2; у = 0,8 (х 4* 2)¾; у = — 0,3 (л: — 4)2; у = — 0,8 (* + I)2 и сравнить их с графиками предыдущей задачи. 3. Показать, что графиком функции у = 0,3*2— 0,6*+ 0,3 слу- жит парабола той же формы, что и график функции v = 0,3*2. 4. Какую форму имеет график функции у = — 0,3 (* — 4)2 -f- 0,5? Ответить на вопрос, исходя из формы уравнения, и проверить по- строением графика. Отв. Парабола у = -0,3*2, смещенная по горизонтали на +4 и по вертикали на +0,5. 5. Какую форму имеют графики функций: .у = 0,3*2—0,6*+ 1; у = — 0.8*2 — 1,6* + 2,3; ^ = 2*2—3* + 1; у = — *2 — 3*? Отв. Параболы у= 0,3*2; у = -0,8*2; у = 2*2; у = —**, смещенные по горизонтали соответственно на +1; — 1; + ; — 1 9 и по вертикали на 0,7; 3,1;—-5-; -г-.
38 функции и их графики [введение § 10. График обратной пропорциональности Если переменные у и х обратно пропорциональны, то за- висимость между ними выражается формулой где а есть некоторая постоянная величина (коэфициент обрат- ной пропорциональности). Пример 1. Расстояние между станциями Ленинград и Москва Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Выраженное в часах время Г, необходимое для покрытия поездом этого расстояния, при средней скорости движения поезда v км\час выражается формулой Т = Щ-. (2) Здесь Т обратно пропорционально v; 651—коэфициент обратной пропорциональности. Обратно, средняя скорость v выражается через продол- жительность пути Т формулой v=~r, которую можно по- лучить из уравнения (2), разрешая его относительно v; v обратно пропорционально Т; коэфициент обратной пропор- циональности а тот же (а = 651). Вообще, уравнение а дающее у как явную функцию от х, одновременно представ- ляет X как неявную функцию от у; в явном виде эта по- следняя функция изображается уравнением а х = —, У показывающим, что обратная пропорциональность двух вели- чин есть их взаимное свойство. Ту же обратную пропорциональность можно представить в виде ху=а, (3) где обе величины х и у являются неявными функциями одна от другой.
ГРАФИК ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 39 Пример 2. Объем одного килограмма воздуха v (м2) при температуре 0° и да- вление р kzjcm2 связаны за- висимостью, с довольно боль- шой точностью представляе- мой формулой рт=7 990 (4) (закон Бойля-Мариотта). Ве- личины р и v обратно про- порциональны; формула (4) представляет р в неявной функции v и обратно. Ко- эфициент обратной пропор- циональности в обоих слу- „ . чаях есть 7 990. Черт' 14' На черт. 14 изображен график функции \ \ в 0 при а=1. Он состоит из двух оторванных друг от друга частей АВ и А 'В', одна из которых соответствует по- ложительным значениям х, другая—отрицательным. По мере неограниченного возра- стания абсолютной величины абсциссы х ордината у не- ограниченно уменьшается по абсолютной величине, и чем дальше мы уходим вправо или влево от начала коорди- нат, тем ближе к оси абсцисс располагаются точки графи- ка. Однако, самой оси аб- сцисс график не достигает. На черт. 15 изображен в том же масштабе график функции при а=г—1. Он отличается от предыдущего графика только
40 функции.н их графики [введение своим расположением: именно, две его части АВ и А*В1 лежат не в первой и третьей четвертях, а во второй и четвертой. Черт. 16. И здесь часть АВ оторвана от части А'В'. Сообразно с этим говорят, что функции у=~- и у — — «разрыв- ны» при л: = 0. Графики всех остальных функций вида а как показывает черт. 16, где изображены случаи я = 4~ > "> 1) 2, 3, , т>-, 1, 2, - 3, имеют форму, сходную с только что разобранными. Каждый график состоит из двух оторванных друг от друга ветвей; при а ^> 0 ветви эти располагаются одна в первой, а другая в третьей четверти; при а<^0 они располагаются во второй и четвертой четвертях. Графики обратной пропорциональности принадлежат к важ- ному классу линий, называемых гиперболами. Эти кривые будут в дальнейшем изучены более подробно. Наши графики
графики степенных функций 41 охватывают только часть всех гипербол, это — так называ- емые равносторонние гиперболы; однако, часто их называют просто гиперболами. § 11. Графики степенных функций Если переменная величина у связана с переменной вели- чиной х зависимостью, выражаемой формулой у=ах", (1) где а н п постоянные величины, то у называется степенной функцией переменной х. Степенные функции имеют очень большое применение в ряде прикладных задач; функции У=ах, • (2) у = ах\ (3) которые были рассмотрены нами в предыдущих параграфах, являются частными видами степенной функции (при я=1, /2 = 2, л = —1). Все степенные функции можно разбить на две группы: к одной принадлежат те функции, для которых показатель п есть положительное число, — таковы функции (2) и (3), к дру- гой те, для которых показатель п — число отрицательное, — такова функция (4). Графики первой группы значительно отли- чаются от графиков второй группы. Рассмотрим сначала графики функций у = ахп при я^>0. При этом мы можем ограничиться только слу- чаем а=1, так как остальные приводятся к нему измене- нием масштаба. Итак, рассмотрим функцию у = ха. При х = 0 имеем ^=0 и при х = 1 имеем у—\, так что графики всех функций у — хп проходят через две точки: (0, 0) и (1, 1). В частности, при п=\ имеем у^х; график
42 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение этой функции есть прямая линия OA (черт. 17). Графики сте- пенных функций, для которых я^>1 (например у = х2), сна- чала (между л; = 0 и л:=1) идут ниже прямой у=х, а затем (при лг^> 1) выше ее; искривленность графиков тем больше, чем больше отличается п от 1. Графики степенных функций, для которых 0<^/г<]1, сначала (между л: = 0 и х=\) идут выше прямой у = х% затем (при х^>\) ниже ее. На черт. 17 изображены графики степенных функций у=:Хп При Л = 0,1, \у 4". Т> *» Т» 2» 3j 4j 10- ПРИ у--хп-,п>0 МУЗ 2 г 3 ' ' 2 составлении этих графиков мы ограничились положи- тельными значениями х, ибо при отрицательных х некото- рые степенные функции с дробными показателями во- обще теряют смысл. Так, функция у = х^ = Угх не имеет действительных значе- ний при отрицательных зна- чениях х, а потому ее гра- фик не имеет точек слева от начала координат. При целых показателях степенные функции имеют смысл и для отрицательных хл но графики их имеют раз- личный характер в зависимости от того, четно л или нечетно. На черт. 18 изображены графики функций у = х2 и у==х*; первый типичен для степенных функций с четными показателями; их графики располагаются в первой и второй четвертях и симметричны относительно оси ординат, т. е. состоят из двух половин, накладывающихся друг на друга при переги- бании чертежа вдоль оси ординат. Второй график типичен для степенных функций с нечетными показателями; их графики располагаются в первой и третьей четвертях и симметричны относительно начала координат, т. е. состоят из двух половин, накладывающихся одна на другую при повороте на 180° около начала координат. По аналогии с графиком функции у— ах* графики сте- пенных функций у=ахп, если показатель п есть число поло- Черт. 17.
ГРАФИКИ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ 43 жительное, называются часто параболами п-й степени (или я-го порядка); так, график функций у=ахъ называют пара- болой третьей степени (или кубической). Во многих приклад- ных вопросах встречается кривая, служащая графиком функции • ах' Она называется полукубической параболой (или параболой Иейля). На черт. 19 показана полукубическая парабола у= \ л8/* (ОА=\) с двумя своими ветвями, расположенными сим- метрично относительно Черт.' 15. Черт. 19. оси абсцисс. Наличие этих двух ветвей объясняется тем, что величина ~ х1ш = у хУ~х при лг^>0 имеет два значения, отличающихся знаком. При дс<^0 величина у х 3 не имеет действительных значений; поэтому вся полукубическая пара- 1 з/ бола у — у х12 располагается по правую сторону от оси ординат. Переходим теперь к рассмотрению графиков другой груп- пы степенных функций у = ахп, а именно той, для которой л<0. Ограничиваясь опять случаем а — 1, мы рассмотрим графики функций yz=xa (п<^0). Так как при х — \ имеем у=19 то графики всех этих функций проходят через точку (1, 1), подобно графикам сте- пенных функций первой группы. Но через начало координат
44 функции и их графики [введение ни один из наших графиков не проходит. На черт. 20 изо- бражены графики степенных функций у = хп при п = 1 , — 1, — 2, — 3, — 10. Они в общем походят на гипер- болу у = х~1. При п <^—1 у\ jj -/ '2-3 Ш у=лЛ п<0 Черт. 20. график степенной функции располагается сначала (при 0 <^ х <^ 1) выше упомяну- той гиперболы, а затем (при д;^>1) — ниже ее. При 0> п^>— 1 имеем обратное соотношение. При сопоста- влении графиков мы ограни- чились положительными зна- чениями х по тем же при- чинам, что и раньше. Все графики неограни- ченно приближаются как к оси абсцисс, так и к оси ординат, не достигая ни той, ни дру- гой. Ввиду сходства этих графиков по виду с гиперболой, все они именуются часто гиперболическими кривыми или просто гиперболами. § 12. Обозначения функций Мы видели (§ 3), что две переменные величины х и у могут быть связаны функциональной зависимостью, но могут и не быть связанными. Чтобы отметить, что переменная у есть функция перемен- ной х, пользуются записью y = f(x). (1) Эта запись устанавливает лишь самый факт функциональной зависимости и оставляет совершенно открытым вопрос, как задана функция: таблицей, графиком, формулой или иными способами; если графиком, то какую форму он имеет; если формулой, — каков вид этой формулы, и т. д. Может даже случиться, что функция не задана вовсе, а лишь разыски- вается. Известно должно быть лишь одно: именно, что у действительно есть некоторая функция от х, а не незави- симая от х переменная величина.
обозначения функций 45 Запись у = / (л:) прочитывается: «у есть функция от х» или короче: равно эф от хъ. Конечно, буква / (начальная буква латинского слова func- tio — функция) в записи (1) не представляет какую-либо величину; она играет ту же роль> что буквы lg, tg и т. д. в записях )gx, tgjc и т. д. Только выражения \gx, tgx и т. д. представляют вполне определенные функции от дс, a f{x) представляет какую угодно функцию от х; это может быть и lgx, и tgjc, и я4 и т. д. Если известно, какую именно функцию изображает запись /(*), то выражение этой функции и выражение/(jc) соединяют знаком равенства. Пример 1. Если, кроме того, что y=fix), т. е. кроме факта функциональной зависимости у от х, стало известно, что у — х\ то пишем: /(*) = **. Разумеется, аргумент не обязательно обозначать через ху а функцию через у. Можно пользоваться любыми другими буквами. Например, запись означает, что z есть функция от t. Если одновременно написаны формулы y=f(*)> 0) * = /(<). (2) то такая совместная запись обозначает, что у есть т а ж е функция от х, что z от U Например, если у — х2> то z = t2; если y = lgAr, то z = \gty и т. д. Если же хотят подчеркнуть, -что зависимость у от х может быть иной, чем зависимость z от t, то эти зависимости обо- значаются различными буквами; например, пишут y=f{*), z = F(t)
46 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ [введение или y = fi (*), z=h(t), и т. д. Пример 2. Если запись у = / (л;) выражает функцио- нальную зависимость у от л;, заданную формулой то запись z — f(t) выражает зависимость 3*2 — м и запись y=f(u) —зависимость Зи2 — 4и При мер 3. Если / (л;) == и F(x) — Зх, то /(й) = 1/1+«2, a F{u) = Зи. Запись /(1), /(J/3), f(a) и т. д. выражает, что берется значение функции f(x) при jc=1, л; = 1/3, л: = а и т, д. Пример 4. Если f(x) = ^{-Vx2-\-\9 то /(1) = + ^2, /(1/3) = 2, f{a) = + V*+l. Над выражениями /(jc), F(a:) и т. д. выполняют всевоз- можные действия так, как если бы это были некоторые алгеб- раические выражения. Например, запись f(x)F(x) обозначает произведение функции f(x) на функцию F(x); запись означает частное от деления f(x) на F(y) и т. д. Пример 5. Если f(x) = х3, aF(x) = x\ то / (х) F (х) =¾ 1 ^(^)""^2' ^(5) ""25 * А- Упражнения 1. Дано f(x) = x* — Злг + 2. Найти /(0); /(1); /(2); /(3). Отв. /(0) = 2; /(1) = 0; /(2) = 0; /(3) = 2. 2. Дано F (л:) = 2лгЗ — 4л: + 5. Показать, что F (— 1) = F (3). Что больше: F(0) или F(\)? Отв. F(0)>F(l).
обозначения функций 47 3. Дано f(s) = /(^3). Отв. Vs's+1 Написать выражение / (у). Вычислить у , Уъ УуГ+л 9 2 4. Дано f(x) = дг2 + 1- Написать выражение /(дг-4-2). О/ив. /(дг4-2) = л:2 + 4л: + 5. 5# Запись y=f(x) изображает зависимость у = j ; какую зависимость изображает запись гг2 = /(«»)? Запись s=f(t — 1)? ЛГ— 1 6. Дано /(■*) = /<*)-/(») !+/(*)/(*)' О/Ив. т—: г. \ + ab 7. Дано /(*): /Ч*)-/(*>' /Ч*)/0) 1 Вычислить и упростить выражение 1; Отв. х] F(x)+f(y) F(xy) ' . х+у Написать выражения (*+l)Cv-l)' ху+\ш 8. Дано/(лг) = лг2+1; F(x) = x* — 2. Вычислить/(1) + 2/41); f(y) . /Ы 3/(0) + /^(-2);^;^^. v*4-1 Ошв. 0:5;^¾; 1.
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ § 1. Вводные замечания С незапамятных времен люди в своей деятельности по- стоянно сталкивались с прямой линией и окружностью. Эти две линии и были раньше всего изучены в геометрии. Та часть геометрии, которая изучает основные свойства фигур, ограниченных этими линиями, и некоторых связанных с этими фигурами тел, называется элементарной геометрией. Элемен- тарная геометрия уже более 2 000 лет тому назад вырабо- тала те методы, которые излагаются в нынешних учебниках. Древнейший дошедший до нас курс элементарной геометрии, написанный древнегреческим математиком Евклидом (III век до н. э.), по полноте и строгости не уступает лучшим нашим учебникам. Уже в эпоху Евклида математики не ограничивались пря- мой линией и окружностью, а изучали многие другие линии. Но здесь методы элементарной геометрии оказывались недо- статочными, и древнегреческие геометры (Архимед, Апол- лоний и др.) положили начало новым методам, имеющим более широкое поле применения. Полное свое развитие эти методы получили, однако, гораздо позднее, около 300 лет тому назад. Два французских математика — Ферма (1601—1655) и Декарт (1596—1650) независимо друг от друга и почти одновременно создали на основе этих методов новый отдел геометрии, получивший впоследствии название аналитической геометриих). Метод аналитической геометрии имеет преиму- 1) Работа Ферма была опубликована после смерти автора; ра- бота Декарта была опубликована на 30 лет раньше (1637 г.) и ока- зала гораздо бдльшее влияние на последующее развитие.
§ 2] ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ А) щество не только в том, что он применим к разнообразным видам линий, но и в том, что даже в применении ко многим задачам элементарной геометрии он дает легкие и, главное, общие приемы их решения. Методы элементарной геометрии «кустарны» в том смысле, что успешное применение их требует немалой изобретатель- ности. Методы аналитической геометрии обладают единооб- разием; тот, кто их усвоил, может почти механически решать многие задачи, представляющие значительные трудности, если их решать методами элементарной геометрии. Не удивительно, что свое полное развитие методы ана- литической геометрии получили именно в 17 веке. В это время во многих отраслях техники кустарные способы стали уступать место механизированным, и математика должна была привести свои методы в соответствие с потребностями прак- тики. Более того, механизированные технические приемы, поражавшие своей продуктивностью, стали для людей 17 века идеальным образцом построения всякой науки. Крупнейший философ 17 века Декарт четко сформулировал этот научный идеал; попыткой его осуществить и явилась созданная Декар- том аналитическая геометрия, § 2. Понитие о методе аналитической геометрии Чтобы к изучению разнообразных линий можно было применить единообразный метод, нужно прежде всего уста- новить единообразный способ задания линий. В аналитической геометрии эта цель достигается введением системы координат. Как расположить эту систему по отношению к изучаемой линии — принципиально безразлично, но удачный выбор си- стемы координат может значительно облегчить применение общего метода. Мы знаем, что в заданной системе координат можно гра- фически представить всякую функциональную зависимость между двумя переменными величинами, в частности всякое уравнение между ними. При этом форма и положение гра- фика полностью характеризуют вид этого уравнения. Идея аналитической геометрии состоит в том, чтобы использовать связь между уравнением и графиком не только в этом направ- лении, но также и в обратном. Именно, в аналитической геометрии форму и положение всякой линии характеризуют 4 М. Я. Выгодский
50 основные понятия и формулы уравнением, связывающим координаты произвольной ее точки; иными словами — тем уравнением, графиком которого эта линия служит. Разъясним это подробнее. Пусть вид (плоской) линии АВ (черт. 21) точно определен каким-либо образом (скажем, заданием свойства линии или способа ее построения). Возьмем на плоскости, содержащей нашу линию, какую-либо систему координат XOY. Представим себе, что точка М движется вдольглинии АВ. Тогда ее координаты х = ОР и у = РМ будут переменными величинами. Каждому значе- нию одной из координат (например х) будет соответствовать одно значение РМ (как на черт. 21) или ряд значений PMV РМг, ... (как на черт. 21а) другой координаты. Иными словами, переменные х и у будут связаны определенной функциональной зависимостью. Эту функциональную зависи- мость стараются изобразить уравнением. Когда такое уравне- ние получено, оно полностью характери- зует нашу линию, так как всегда можно графически изобразить это уравнение в Черт. 21. Черт. 21а. Черт. 22. системе координат XOY, и мы снова придем к линии АВ. Уравнение, связывающее координаты произвольной точки линии АВ, для краткости именуется «.уравнением линии АВ». Координаты произвольной точки М линии АВ называют ее «текущими координатами», так как точку М мы можем представить себе перемещающейся вдоль линии АВ. Пример. Пусть требуется охарактеризовать уравнением форму и положение окружности радиуса R с центром в начале координат О (черт. 22). Согласно основному свойству окруж- ности, какую бы точку М(х, у) мы на ней ни взяли, длина отрезка ОМ имеет постоянную величину R. Выразим вели- чину ОМ через текущие координаты х = ОР и у = РМ точки М. Из черт. 22 имеем ОМ* — х*+у\
§3] РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДЗУМЯ ТОЧКАМИ 51 Следовательно, для каждой точки М(х, у) имеем уравнение между ее координатами x*+y* = RK (1) Это уравнение полностью характеризует нашу окружность. Построив его график, мы снова получим окружность радиуса R с центром в начале координат. Итак, уравнение (1) есть урав- нение такой окружности. Представляя каждую точку ее координатами и каждую линию ее уравнением, аналитическая геометрия сводит реше- ние геометрической задачи к решению задачи чисто алгеб- раической, а для решения алгебраических задач существует, как известно, ряд совершенно общих приемов. Таков — в самых общих чертах — тот метод, которым пользуется аналитическая геометрия. В нижеследующих пара- графах этой главы рассмотрены простейшие задачи, решаемые этим методом. § 3. Расстояние между двумя точками Нахождение расстояния между двумя заданными точками является простейшим геометрическим вопросом. Так как в- аналитической геометрии мы вводим систему координат, то «заданной» точкой нужно считать такую точку, координаты которой известны. Пусть нам заданы точки Ах \xv ух) и А2 (х2У у2) (черт. 23) и требуется найти расстояние d между ними. Проведя через точку Ах прямую AtD, параллельную оси абсцисс, полу- чим прямоугольный треугольник AXDA2; из него по пифагоровой теореме имеем d = АгА2 = V(AtD)* + {DAi)*. Черт. 23 показывает, к&к длины AXD и DA2 выражаются через координаты данных точек. Именно, AxD=OC —OB = x2 — xv DA2 = СА2 —CD =у2 —yv (1) (2) 4*
52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ так что d=V{x2 — xj* + 0¾-^)*. (3) Радикал берем всегда со знаком+, так как длина отрезка есть положительная величина. Пример 1. Найти расстояние между точками Ах (0,5, 3,2) и Л (5,3, 6,2). Имеем й = К(5,3 — 0,5)2 + (6,2 — 3,2)2 _ j/4j82 _|_ 32 _ = /32,04 5,6. При выводе формулы (3) мы взяли на чертеже обе точки Аг и А2 в первом координатном углу. Но формула эта верна при любом расположении точек Ал и А2; только нужно пра- вильно учитывать знаки координат. Пример 2. Найти расстояние между точками Ал (— 3, 2) и А2(2, 5) (черт. 23а). По формуле (3) имеем d = V[2 — (— 3)]*+ (5-2)2 = }/52 + 32 =^/34 ^ 5,83. Из черт. 23а можно видеть, что длина AXD равна теперь не разности, а сумме длин ОС и ВО. Но сумма длин (2+3) есть не сумма абсцисс хл = — 3 hjc2 = 2, а разность этих абс- цисс х2 ■ ■ 2 • 0 I I I I (-3) = 2 + 3. Таким же образом можно убедиться в том, что формула (3) верна при любом другом расположении точек Аг и А2. Пример 3. Найти расстояние от точки A (xv ух) до начала координат. Начало координат имеет обе координаты равными нулю. Фор- мула (3) при х2=у2 — 0 дает Черт. 23а. Пример 4. Найти расстояние между двумя точками, лежащими на оси ординат: А (0, ух) и В(0, у2). Искомое расстояние есть d = У (Л - У\У = VCVi - Уг?-
§ 4] деление отрезка в данном отношении 53 Если y2^>yv то d=y*—yv если же у<^> Уъ, то а = Ух—Уъ- Упражнения 1. Найти расстояние между точками (9, — 7) и (4, 5). Отв. 13. 2. Найти расстояние АВ между точками А (4,2, —8,5) и 5(-1,4, -2,5). Отв. ЛЯ =^8,2. 3. Вершины треугольника суть А (3, 2),£(— 1, — 1),С(11. — 6). Найти длины сторон. Отв. ЛЯ = 5; ЯС=13; СА =^11,3. 4. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки Л (3, 2), В (6, 5), С(1, Ю), прямоугольный. 5. Найти периметр р четырехугольника ABCD, вершинами которого служат точки Л (0, 0), 5(4, 2), С (6, 0), D{0, —2). О/яв. /»¾ 15,6. 6. Найти на оси абсцисс точку, которая отстоит на равных расстояниях от начала координат и от точки (— 5, 3). Отв. (—3,4; 0). 7. На оси ординат найти точку М, отстоящую от точки Л (4, — 6) на расстоянии 5 единиц масштаба. Отв. Задача имеет два решения: Mi (0, — 3) и М2 (0, — 9). 8. На биссектрисе первого координатного угла найти точку М, отстоящую от точки Л (— 2, 0) на 10 единиц масштаба. Отв. М (6, 6). 9. Найти центр О круга, описанного около треугольника ABC, вершинами которого служат точки Л (2,2), В (— 5, -f-1), С (4- 3, — 5). Отв. 0(-1,-2). 10. Вершинами треугольника ABC служат точки Л (2, —3), В(-\-1, -f-3), С (—6, —4). Перегнем чертеж по прямой ВС, Каковы координаты точки Л в новом ее положении? Отв. (—5, +4). § 4. Деление отрезка в данном отношении Даны две точки M(xv уг) и N(x2J у2) (черт. 24). Тре- буется найти такую точку Р на отрезке MNt чтобы длины MP и PN находились в данном отношении т:п, т. е. чтобы MP т . v -pjy — ~ (т и п — данные числа). Обозначим координаты точки Р через х, у. Найти точку Р — значит найти выражение этих координат через данные величины xv yv x2f у2% m, п.
54 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Из черт. 24 имеем: ОС = хл, OD- CM = yv DN=y2i OQ=x, QP=y. Так как DN\\ CM \\ QP, то по известной теореме элементар- Черт. 24. Подставляя эти ной геометрии имеем: CQ МР PN'' т ' п * (1) Но CQ=OQ — OC = x — xv QD=OD — OQ = x2 — x. выражения в формулу (1), имеем уравнение из которого находим неизвестную величину х: (2) Если из точек М, Р, N опустить перпендикуляры на ось ординат, то совершенно таким же образом найдем ту2 + /гу1 (3) Формулы (2) и (3) дают решение поставленной задачи. Замечание 1, На черт, 24 мы взяли обе точки М и N в первом координатном углу. Но формулы (2) и (3) остаются верными при всех возможных других расположениях; только нужно каждый раз учитывать знаки координат, подобно тому, как это мы делали в предыдущем параграфе при рассмотре- нии расстояния между двумя точками. Замечание 2. Данное отношение мы представили в виде -^-.вместо того, чтобы обозначить его одной бук- вой, потому что иначе формулы (2) и (3) были бы менее симмет- ричными и их труднее было бы запомнить. Для лучшего запоминания формул (2) и (3) полезно заметить, что в них
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 55 координаты точки М множатся не на число т, которому пропорционально расстояние точки М от искомой точки, а на число п\ точно так же координаты точки N множатся не на /г, а на т. Иными словами, координаты концов отрезка множатся на числа, обратно пропорциональные их расстоя- нию до искомой точки. Очень важным частным случаем разобранной задачи является задача о делении отрезка пополам. В этом случае можно положить /я=1, п=\; формулы (2) и (3) принимают вид *=udbuf_ (4) У=*&. (5) Пример 1. Найти точку Р(лт, у\ делящую отрезок между точками М (4,2, —6,7) и N(—0,2, 4,0) в отношении 5:2 (MP:PN=5:2). Решение. 5—0,2 + 2-4,2 _ 7,4 _ х — 5^р2 — у — A>UD> 5-4,0+2.-6,7^6,6 У— 6 + 2 7 ^ и'У** Пример 2. Найти середину отрезка, соединяющего точки Л (—6, +4) и В( — 7, —8). Решение. Координаты середины отрезка АВ будут Пример 3. Найти центр тяжести системы, состоящей из двух материальных точек Л1(лг1, уг) и Л2(лг2, у2) с мас- сами тг и т2. Из механики мы знаем, что искомый центр тяжести Р лежит на отрезке АгА2 и что расстояния его от Ах и Ла обратно пропорциональны массам этих точек, т. е, ЛХР щ РА2 тх •
56 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл. I П- х тхХх + ГП2Ху ■ т\ + т2 ' у = пЩщуА (?) nti ~Ь т2 Их можно переписать в виде (тх -\-т2)х = mlx1 + т2х2, (6') («1 + Щ) У = т\Ул + ЩУъ- У7') Величины mxxxi т2х2 суть так называемые моменты точек Av А2л а величина (тх-\-щ)х есть момент центра тяжести Р по горизонтальной оси; величины тгул, т2у%, (тх~\-щ)у суть моменты тех же точек по вертикальной оси. Формулы (6') и (7') выражают, что момент центра тяжести двух мате- риальных точек равен сумме моментов этих точек. Упражнения 1. Найти точку Я, делящую отрезок MN в отношении MP:PN= = 4:3. Концы отрезка MN суть Л* (10, 6). N(—4, 8). Отв. Р (2, 71) . 2. Найти середину отрезка АВ, концы которого суть А (—4, 12) и ВЬЧ —6, -4). О/ив. (—5, 4). 3. Даны вершины треугольника /1(3, —7), В (5, 2), С(—1, 0). Найти середины его сторон. Отв. (4, -2,5), (2, 1), (1, -3,5). 4. Даны середина С (5, 1) отрезка АВ и один конец его А(— 1,—3). Найти другой конец. 0/яв. (11, 5). 5. Отрезок между точками А (3, 2) и В (15, 6) разделен на пять равных частей. Определить координаты точек деления Мх, М2, Л18, М4. Отв. ЛМ5,4, 2,8), Л*2(7Д 3,6), Ж3 (10,2, 4,4), Л14(12,6, 5,2). 6. В точке А (2, 5) сосредоточена масса 2 кг; в точке В (12,0) — масса 3 кг. Найти центр тяжести этих масс. Отв. (8, 2). 7. В точках Ах{хъ ух\ А2{х2у у2), Аз (*8, у3) сосредоточены массы тъ т2, Щ> Найти центр тяжести этих масс Отв mixi + m**2 + m*x* т1У1 + т2У2 + ^зУз miJrm2-{- т3 ' тх-\-т2 + т^ Указание. Найдем сначала центр тяжести двуЛ масс, напри- мер тъ т2; сосредоточив там массу mx^-m2i будем искать центр тяжести масс т\-\-т^ и т$. Формулы (2) и (3), в которых нужно положить т = Щу (6)
§ 5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 57 8. Давы вершины Л(1, 4), В (—5, 0), С (—2, —1) треугольника ЛВС. Определить длины медиан этого треугольника с точностью до 0,1. Отв. 6,4, 4,7, 3,0. 9. В треугольнике предыдущей задачи определить точку пере- сечения медиан. Отв. (—2, 4-1). Указание. Искомая точка должна делить каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. В § 2 было указано, что в аналитической геометрии форма и положение линии характеризуются ее. уравнением, т. е. уравнением, связывающим координаты произвольной ее iy « относительно системы коор- а » динат нужно задать. Это можно сделать различными Черт. 25. способами. Один из них со- стоит в задании: 1) уклона прямой a — tga [где а есть угол, образованный прямою с положительным направлением оси абсцисс; на черт. 25 а = Z.XCB или а — ^ХСА1)], 2) на- чальной ординаты Ь, т. е. отрезка, который прямая отсекает на оси ординат (на черт. 25 b = OD). Как а, так и Ь могут быть и положительными и отрицательными. Возьмем произ- вольную точку М (л:, у) нашей прямой АВ. Уравнение прямой есть не что иное, как уравнение, связывающее ее текущие координаты л:, у. Чтобы получить это уравнение, проведем DN параллельно ОХ; мы получим треугольник MDN, в ко- тором J/mMDN=a, DN— ху NM = PM — OD=y—b. По известной формуле тригонометрии § 5. Уравнение прямой линии В этом параграфе мы выведем уравнение прямой линии. Форма всех прямых линий совершенно одинако- ва; положение же прямой точки. NM = DN iga, J) См. примечание на стр. 27.
58 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ т. е. у— b = xtga, или y — xiga-\-b. (1) Введя уклон прямой a = tgcc, мы можем формулу (1) переписать в виде у = ах-\-Ь. (2) Уравнение (1) или, что то же, уравнение (2) есть иско- мое уравнение прямой. В него кроме текущих координат х, у входят две постоянные величины: угловой коэфициент a = tgа и «началь- ная ордината» Ь. Эти постоянные вели- чины называются параметрами1) урав- нения прямой (2). Самое уравнение (2) называют уравнением прямой с угло- £ выи коэфициентом в отличие от урав- нений, представляющих прямую при иных способах задания ее положения. Каждой паре значений параметров а, Ъ соответствует определенная пря- мая. Например, при a = 2, Ъ = — 4 Черт. 26. мы имеем уравнение у=2х — 4, пред- ставляющее прямую АВ (черт. 26), пе- ресекающую ось ординат на 4 единицы ниже начала; угловой коэфициент ее равен 2; она наклонена к оси абсцисс под углом a=63°26' (tg63°26'%2). При а = — ~, b = -\-\ мы имеем уравнение прямой у= — ~ х -|- 1. Это — прямая CD (черт. 26) с начальной орди- натой Ь — -\-\ и уклоном —~. Угол уклона а = 153°26\ 3) Параметр — математический термин, искусственно создан- ный древнегреческими математиками и не поддающийся точному переводу. Приблизительно его можно передать словом «мерило». Термин этот имеет в математике различные значения. Здесь он означает одну из постоянных величин, входящих в уравнение ли- нии. Давая параметрам те или иные значения, мы выделяем из всех линий, охватываемых этим уравнением, одну определенную линию. С другими значениями термина «параметр» мы встретимся ниже.
§5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 59 Итак, по заданному уравнению у = ах -\- Ь (2) можно сразу же построить представляемую им прямую (см. § 8 Введения, стр. 30). Обратно, определив начальную ординату Ь и угловой ко- эфициент а заданной по положению прямой, мы сразу напишем уравнение этой прямой. Рассмотрим важные частные случаи. 1. Прямая прохо'дит через начало координат. Тогда начальная ордината £ = 0; уравнение прямой имеет вид у — ах. (3) оси абсцисс (оси а = 180°); х). следовательно, >» 1 Черт. 27. признаков парал- 2. Прямая параллельна Тогда угол уклона а=0 (или угловой коэфициент а — tg а = 0. Уравнение прямой имеет вид у=0'Х + Ь, т. е. У = Ь. (4) Уравнение (4) выражает, что все орди- наты прямой (например РМ на черт. 27) равны начальной ординате b = ODt т. е. что расстояние между прямой DM и осью абсцисс постоянно, а это — один из дельности прямой DM с осью х. 2а. Прямая совпадает с осью абсцисс. Будем рассматривать этот случай как частный случай предыдущего. Расстояние b между заданной прямой и осью х теперь равно нулю. Следовательно, уравнение самой оси абсцисс есть У=0. (5) 3. Прямая параллельна оси ординат (оси у). Татя прямая (АВ на черт. 28) не может быть представ- лена уравнением вида (2). При выводе уравнения (2) пред- полагалось, что прямая задана начальной ординатой и угловым коэфициентом; между тем прямая АВ, параллельная оси у, не отсекает от нее никакой начальной ординаты. Искомое уравнение, однако, мы легко получим, если при- мем во внимание, что обе координатные оси совершенно
60 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ равноправны. Уравнение (4) прямой, параллельной л:, выражало постоянство ординаты у. Значит, уравнение прямой, парал- лельной оси у, должно выражать постоянство абсциссы х, т. е. иметь вид х = с, (6) где постоянная величина с есть расстояние между прямой АВ и осью у. Черт. 28 показывает, что для любой точки прямой АВ уравнение (6), действительно, имеет место (например для точки М имеем х = QM = c). М За. Прямая совпадает с осью ординат. Рассуждая, как в £ случае 2а, найдем, что уравнение с а- мой оси ординат есть jc = 0. (7) А Замечание 1. Прямые, парал- Черт. 28. лельные оси уу являются единственными прямыми, которые нельзя представить уравнением вида (2). Действительно, всякая другая прямая имеет вполне определенную начальную ординату и вполне определенный уклон. Замечание 2. Уравнения прямых, параллельных осям, содержат тольку одну координату; именно, уравнения прямых, параллельных оси х, — координату у, а прямых, параллель- ных оси у, — координату х. Такое уравнение, например, уравнение ^у = 3, выражает, что при любом значении переменной х величина у имеет значение 3. Таким образом, теперь ордината у является постоянной величи- ной и не есть переменная величина в буквальном смысле слова. Однако, часто сохраняют за ней название пере- менной величины; таким образом, постоянная величина н е противопоставляется переменной, а рассматривается как особый случай переменной. Такое развитие понятия переменной величины вполне закономерно. Подобное же явле- ние можно наблюдать во всех областях науки. Так, в арифметике понятие дробного числа сначала противопоставляется понятию целого числа; потом последнее включается в понятие дроби как частный случай (например, дробь есть целое число 2). Для подобного развития понятия всегда бывают веские основания.
§ 6] уравнение окружности 61 Есть они и в данном случае: прямая, параллельная коорди- натной оси, сама по себе взятая, ничем не выделяется из числа других прямых; естественно и ординату ее рассматри- вать так же, как ординату любой другой кривой. Далее, резкое противопоставление постоянной величины переменной величине не соответствует тому факту, что прямая, парал- лельная оси, может нечувствительно отличаться от прямой, не параллельной оси. С другими основаниями для включения понятия постоянной величины в понятие переменной мы позна- комимся в дальнейшем. 1. Начертить прямые, заданные уравнениями y = ~jt — 3; > = -Зл:+1;у=:2;у = -6; * = 0; * = —3; у = 0; у = х. 2. Прямая, проходящая через начало координат, лежит в I и III координатных углах. Один из углов, образуемых ею с осью ординат, по абсолютной величине равен 30°. Написать уравнение прямой. Отв. у = УЪх. 3. Написать уравнение прямой, параллельной оси ординат и про- ходящей через точку (2, 4). Отв. х — 2. 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—1,3) и параллельной оси абсцисс. Отв. у = 3. 5. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого приняты за оси координат; длина стороны квадрата равна а. В этом параграфе мы выведем общее уравнение окруж- ности. Форма ее определяется величиной R радиуса, а поло- жение— заданием координат a, b центра С (черт. 29). Уравнение окружности есть не что иное, как уравнение, связывающее ее текущие координаты, т. е. координаты любой точки М (ху у), лежащей на окружности. Чтобы получить это уравнение, используем определение окружности как геомет- рического места точек М, для которых расстояние МС до центра С равно радиусу R: Упражнения 1 § 6. Уравнение окружности MC = R. О)
62 ОСНОВНЫЕ понятия и ФОРМУЛЫ [гл. I Но МС можно (§ 3) выразить через текущие координаты х, у и координаты центра а, Ь\ МС= У(х — а)*-\-{у—Ь)*. (2) Подставив выражение (2) в формулу (1), найдем V(x — а)* + (у —*)* = /?. (3) Это и есть уравнение окружности. Лучше всего представить его в виде (х _ а)2 + (у — bf = R\ (4) Постоянные а, /?, входящие в уравнение (4), суть пара- метры уравнения окружности (ср. § 5). Уравнение окружности с центром в ' ^ ы начале координат ( <ИГ\ х*+у* = & (5) V J получится из уравнения (4) при a = b = 0. X Пример 1. Уравнение окруж- ^ ности радиуса /? = 0,7 с центром в точке С( — 4,2, 2) есть ЧеРт-29- (х + 4,2)2 4- {у — 2)2 = 0,49. Пример 2. Уравнение окружности радиуса R с центром на оси абсцисс имеет вид (x — a)*-\-y* = R*9 (6) так как ордината центра £ = 0. Пример 3. Какую линию представляет уравнение х« —6x + ji» = 16? (7) Если удастся привести это уравнение к виду (4), то, зна- чит, оно представляет окружность. В формулу (4) входит член.(х — а)2 = х2— 2ах-\-а2. В левой части уравнения (7) мы имеем член х2 и член — 2ах = = — 6а: (а=3). Нехватает члена а2 {а2 ==9). Прибавим его к обеим частям уравнения (7), Получим равносильное уравнение т. е. (*_3)2-f у2 = 25.
§ 6} уравнение окружности 63 Это уравнение — сравните его с уравнением (6) — есть урав- нение окружности с центром С(3, 0) и радиусом R = ]/25 = 5. Пример 4. Какую линию представляет уравнение *» + 10у+>» = Н? t (8) Здесь нужно дополнить до квадрата суммы последние два члена левой части; прибавляя к обеим частям уравнения 25, получим д:2+ (^+5)2 = 36. Наша линия есть окружность с центром С(0, —5) и радиу- сом R = К36 = 6. Пример 5. Какую линию представляет уравнение 2х2 — 8x-f2y2 + 4j/ — 8 = 0? (9) Если разделить обе части уравнения на 2, получим х2 — 4л:-hy2 + 2у — 4 = 0. (10) Дополним до квадратов члены х2 — 4л: и члены у2 -\- 2у, прибавив к обеим частям уравнения (10) числа 4 и 1. Полу- чим {х-2)2+^,+ 1)2-4 = 4 + 1 или 2)2 +(.у+1)2 = 9. Наше уравнение представляет окружность радиуса /? = = j/~9 = 3 с центром С( + 2, — 1). Таким же образом убедимся в том, что всякое уравнение вида Ax2-\-Ay2-\-Bx + Cy-\-D = Q (11) представляет сббой окружность. Обращаем внимание на то, что коэфициенты при х2 и при у2 должны быть одинаковы. Упражнения 1. Написать уравнение окружности: а) с центром С (—4, —5) и радиусом /? = 3, Ь) с центром С (2, — 1) и радиусом Я^Кз. От*, a) Cr + 4)3-f-(y-f-5)2=9; b) (дг — 2)2-f-(y-f-1)2 = 3. 2. Написать уравнение окружности с центром на оси ординат. Отв. х*+(у — by* — R}.
64 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл.1 3. Из точки С(3, 0) как из центра проведена окружность, про- ходящая через начало координат. Написать ее уравнение. Отв. х* — 6л:+у2 = 0. Найти центры и радиусы следующих окружностей: 4. лг2-|-у2 — 12*+12у 4-36 = 0. Отв. С(6, —6); /? = 6. 5. х*+у*— 12л:+12у--36 = 0. Оке. С(6, —6); /?¾ 10,4. 6. л:2 4-у2 —39 = 0. Отв. С(0, 0); Я = 6,25. 7. х2 — Юл: — 39 = 0. О/яв. С (5, 0); R = 8. 8. 9лг2 + 9у2+12л--6у — 4 = 0. Owe. С (—у. l");/?=l4 9. 2лг2 + 2у2 —6* —8у — 19 = 0. Отв. С , 2^ ;/?^3,97. 10. 2лг2 + 2у--5лг-}-7у-.15 = 0. О/я*. С ^| , — ; Я ^3,47. § 7. Примеры применения метода аналитической геометрии В § 2 было указано, что, представляя каждую точку ее координатами, а каждую линию ее уравнением, мы сводим геометрическую задачу к задаче алгебраической; благодаря этому аналитическая геометрия обладает той общностью ме- тода, которой недостает геометрии элементарной. В двух предшествующих параграфах мы вывели уравнения тех двух линий, которые только и изучаются в элементарной геомет- рии,— прямой и окружности. Теперь мы имеем возможность решить методом аналитической геометрии некоторые задачи элементарной геометрии. Пример 1. Найти геометрическое место точек, рав- ноотстоящих от данных точек А и В. Решение этой задачи известно заранее: искомое геомет- рическое место есть прямая линия, перпендикулярная к от- резку АВ и проходящая через его середину. Чтобы решить эту задачу методом аналитической геометрии, прежде всего нужно отнести точки А и В к некоторой системе координат. Это можно сделать по-разному, но заранее можно ожидать, что проще всего будет использовать- прямую АВУ приняв ее за одну из координатных осей, например за ось абсцисс. Остается еще выбрать начало координат. Возьмем его, например, в середине О отрезка АВ (черт. 30). Тогда условие задачи можно сформулировать так: даны точки А( — а, 0) и В (а, 0). Найти геометрическое место точек
§ 7] примеры применения метода аналитической ГЕОМЕТРИИ 65 \ \ а Черт. 30. Остается выразить С А и С В через координаты. Согласно § 3 расстояние С А между А( — а, 0) и С{х,у) выразится формулой СА = У(х-{-а)*-\-у\ а расстояние СВ между В (а, 0) и С (jc, у) — формулой CB = V(x — а)2+/. Условие (1) дает У(х-\-а)2-\-у*=У(х — af -fy* • (2) Это и есть уравнение искомого геометрического места. Чтобы определить, чтб это за линия, упростим уравнение (2). Воз- ведя обе части его в квадрат, имеем (х + а?+у* = (х-а)* +у> или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, 4£x = 0. (3) Отсюда следует (так как д^О), что х = 0. (4) В § 5 мы видели, что это уравнение представляет ось орди- нат. Так как в выбранной нами системе координат эта ось перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через его середи- ну, то искомое геометрическое место есть перпендикуляр, проведенный через середину АВ. б М, Я. Выгодский . С(х, у), для которых СЛ = СВ. Величина а есть половина данного расстояния АВ, так что АВ = 2а. Точка Сна черт. 30 нарочно взята произвольно (она этого положения на самом деле не может занимать), Чтобы не вносить в решение предвзятых гипотез. Чтобы найти искомое геометриче- q ское место, составим его уравнение, т. е. уравнение, которому должны / удовлетворять текущие координаты х, у. Условие задачи есть do СА=СВ. (1)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Удачный выбор системы координат помог нам быстро распознать искомое геометрическое место. Но и при всяком ином выборе мы благополучно пришли бы к решению, хотя в иных случаях несколько более длин- ным путем. Для примера положим, что начало х координат выбрано нами не в середине ^ *■ отрезка АВ, а где-либо на его продол- жении. Тогда условие задачи можно сформулировать так: даны две точки Черт. 31. A(xv 0) и В(х2, 0) (черт. 31). Найти геометрическое место точек С, для ко- торых СА = СВ. Здесь хх и х2 произвольные числа (рас- стояния точек А и В от начала координат). Рассуждая, как прежде, получим: CA = V(x—x,)*-\-j*~> Условие С А — СВ дает У(х _ Хг)2 +у2 = Y(X - Х2)*+У\ (2') После упрощений получим — 2ххх -f- х\ = — 2х2 х -f х\, (3f) откуда * = (4') Из § 5 известно, что это уравнение представляет прямую, параллельную оси у% и что начальная абсцисса ее OD = £ixf? в Но из § 4 мы знаем, что "У1"^"х% есть абсцисса середины отрезка АВ, так что искомое геометрическое место есть пря- мая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину D. Замечание. Элементарно-геометрическое решение рас- смотренной задачи, конечно, проще, чем здесь приведенное, и если рассматривать эту задачу изолированно от других, то преимущества метода аналитической геометрии останутся не- раскрытыми. Но они выступят очень ярко, когда мы решим следующую задачу, которую методами элементарной re омет-
примеры применения метода аналитической геометрии 67 рии решить трудно; с помощью же аналитической геометрии она решится легко и, главное, тем же способом, каким реша- лась предыдущая задача. Пример 2. Найти геометрическое место точек, отстоящих от данной точки А на расстояние, вдвое большее, чем от точки В. Как и в предыдущей за- даче, отнесем искомое гео- метрическое место к системе координат XOY (черт. 32) с началом в середине отрез- ка АВ = 2а. Ось абсцисс направим по прямой АВ. Тог- да будем иметь: А (— а, 0), В (а, 0). Пусть М(х,у) есть любая точка искомого геомет- рического места. Согласно условию задачи Черт. 32. МА = 2 MB. Но (5) МА = ]/"(* +я)2-ку2, MB = V(x — af +3/2. Условие (5) принимает вид V{x-\-af-\- у* = 2 V{x — а)а+у> (х -J- а)2 +у> = 4 [(* — а)2 +.у2]. или (6) Это есть уравнение искомого геометрического места. Чтобы распознать, какую линию оно представляет, упростим его. Открыв скобки, перенеся все члены в правую часть и совершив приведение подобных членов, получим За:2 — 1 Оах + Зу2 + За2 = 0. (7) Сравнение с формулой (11) § 6 (стр. 63) показывает, что ис- комое геометрическое место есть окружность. Исследуем, как расположена она по отношению к отрезку АВ. Разделим обе части уравнения (7) на 3. Получим 10 — —ах+у2 -fa2=0. (8) 5*
68 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Дополним первые два члена до квадрата, для чего при- — а) =-д а2. Получим (*_!«)*+^+*=! д2 или (х-Ь.а)2+у1=]-§а*. -■ (9) Значит, радиус нашей окружности равен д2 =-^-а, т. е. 2 составляет -g- длины отрезка = 2а. Центр С лежит в точке 0J, т. е. находится на продолжении отрезка АВ 8 2 в сторону В на расстоянии а и yfl от концов АВ. Проще всего охарактеризовать положение нашей окруж- ности указанием точек Кх и К2, в которых она пересекает ось абсцисс. Эти точки, раз они принадлежат искомому гео- метрическому месту, удовлетворяют условиям КХА = 2КХВ, К2А = 2К2В. Поэтому можно решение задачи сформулировать так: геометрическое место точек, отстоящих от точки А на расстояние, вдвое большее, чем от точки В, есть окружность; диамет- ром ее служит отрезок КХК2, концы которого Кх и К2 делят отрезок АВ внутренним и внешним образом в от- ношении 2:1. Пример 3. Дан равносторонний треугольник ABC (черт. 33). Найти геометрическое место точек М, сум- ма квадратов расстояний которых до вершин А и В вдвое больше квадрата расстояния до вер- шины С. Примем сторону А В за ось абсцисс; начало координат б возьмем в середине АВ. Если длину АВ = ВС = АС поло- жить равной 2а, то имеем точки А (— а, 0), В (а, 0). Вер- /V / к у С \\ \\ \ N А Черт. 33.
§ 7] примеры применения метода аналитической геометрии 69 В шина С, очевидно, лежит на оси ординат; высота СО равно- стороннего треугольника равна a V3, так что мы имеем С (0, а УЗ). Согласно условию мы должны иметь МЛ2 -\- MB2 = 2 МС2. (10) Обозначим через х, у текущие координаты искомого геомет- рического места и выразим МА, MB, МС через координаты; получим МА2 = {х-\-а)2-\-у2, МВ* = (х~а)2-\~У2, _ МС2 = х2 + (у~аУз)2. Подставим эти выражения в формулу (10). Получим (х + а)2 + (х — af± 2у2 = 2 [х2 -f (у — а Уз)2]. Открыв скобки и произведя упрощения, найдем 2д2 = — 4ауУЗ-{-6а\ откуда "У* /114 ^ = -3-. (И) Формула (11) есть уравнение искомого геометрического места. Так как в нее не входит абсциссах, то оно представляет прямую, параллельную оси л:(т. е. стороне АВ) и отстоящую от этой оси аУъ и на расстояние —~— . Как известно, о a —— есть расстояние центра равно- о стороннего треугольника от его сто- роны. Итак, искомое геометрическое место есть прямая MN, прозе- Черт. 34. денная через центр К равносторон- него треугольника параллельно стороне его АВ. Пример 4. Стержень АВ длины 21 (черт. 34) сколь- зит своими концами по сторонам прямого угла. Какую кривую опишет середина С стержня? За оси координат удобнее всего принять стороны данного прямого угла. Подвижные концы стержня будут А(0,^,), В(х2, 0). При движении стержня величины ух=ОА и х2 = ОВ
70 основные понятия и формулы [гл. I Упражнения 1. Найти геометрическое место точек, отстоящих от данной точки А на расстояние, втрое большее, чем от данной точки В. Отв. Окружность, для которой концами одного из диаметров служат точки, делящие отрезок АВ внутренними внешним образом в отношении 3:1. 2. Найти геометрическое место таких точек, для которых сумма квадратов расстояний до данных точек А и В в 25 раз превосхо- дит квадрат расстояния АВ. Отв. Окружность с центром в середине АВ и радиусом 3,5 АВ. переменны. Запишем аналитически условие, что ЛВ = 21. По формуле (3) § 3 имеем 2l = V х\-\-у\% или л|-f 3,2 = 4/2. (12) Это уравнение выражает функциональную зависимость между переменными лс2 и yv Нам же нужно связать функциональной зависимостью координаты х% у точки С. Так как С есть сере- дина АВ, то по формулам (4) и (5) § 4 * = (13) JV = $. 04) Чтобы найти уравнение, связывающее хну, нужно из трех уравнений (12), (13) и (14) исключить переменные x2,yv Уравнения (13) и (14) дают х2 = 2х, уг — 2у. Подставляя эти выражения в (12), имеем 4^2^4^2=4/2 х*+у*=1*. Это — уравнение окружности радиуса / с центром в О. Итак, середина С отрезка АВ опишет дугу окружности с цен- тром в вершине данного прямого угла и с радиусом, рав- ным половине отрезка АВ. Если отрезок движется в пределах одного прямого угла, середина его опишет четверть окружности. Полную окруж- ность точка С опишет в том случае, если точки А и В смо- гут двигаться и по продолжениям сторон прямого угла.
§ 7] примеры применения метода аналитической геометрии 71 геометрическое место 3. Длина отрезка АВ равна 6 м. Найти. точек Mf для которых МА2 — MB2 = 24 м2. Отв. Прямая, перпендикулярная к АВ и пересекающая отрезок АВ на расстоянии 1 м от конца В. 4. Треугольник ABC задан своими вершинами. Показать, что геометрическое место точек, для которых сумма квадратов рас- стояний от вершин Л, В, С равна постоянной величине, есть окружность, центр которой лежит на пересечении медиан тре- угольника. 5. Пусть ABC равносторонний треугольник. Найти геометри-* ческое место точек М, для которых МА2 \- МВ2 = МС2. Отв. Окружность; радиус равзн стороне данного треугольника; центр симметричен точке С относительно прямой АВ. 6. Дан прямой угол АОВ. Прямая PQ, пересекающая стороны прямого угла в точках М и N, движется так, что площадь тре- угольника MON сохраняет постоянную величину. Какая линия слу- жит геометрическим местом середины отрезка МЮ Отв. Гипербола (равносторонняя). 7. Угол АОВ прямой. Какую линию опишет точка М, движу- щаяся внутри угла АОВ так, что расстояние ее до прямой OA вдвое больше расстояния до прямой ОБ. Отв. Луч ОР, образующий с OA угол АОР = 63°26'. 8. Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой АВ и от данной точки F, отсто- ящей от АВ на расстояние FC — 2L Указание. За ось абсцисс еы- годно принять прямую АВ (или парал- лельную ей прямую, проходящую через середину FC). Ось ординат выгодно провести через точку F. Отв. Парабола, имеющая ту же формулу, что график функции у х2 (вершина параболы лежит в середине FC\ ось симметрии направлена по FC). 9. Прямая MN (черт. 35) перпендикулярна к отрезку АВ и про- ходит через его середину О. Два стержня вращаются около точек А и В так, что они пересекают прямую MN в точках С и D, ле- жащих обе сверху или обе снизу от точки О. При этом имеет место соотношение OC-OD = АО2. Найти геометрическое место точек R пересечения стержней. Указание. Принять АВ и MN за оси координат; выразить ОС и OD через текущие кооодинаты, рассмотрев подобные тре- угольники АОС со ASR и BOD <s> BSR. Отв. Окружность, построенная на АВ, как на диаметре. 10. Дана окружность с центром в О и на ней точка К» Найти геомет- рическое место середин хорд окружности, проведенных через точку К. Отв. Окружность, построенная на UK, как на диаметре.
72 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ [гл. I 11. Прибор, изображенный на черт. 36, называется конхоидо- графом. Он состоит из двух неподвижно скрепленных линеек RO и CD. Муфта Q, шар- нирно соединенная с линей- кой RO, может вращаться около точки Т. В муфту Q свободно входит третья ли- нейка АВ, на которой имеется ползун Р. Ползун L может вращаться около точки Р и скользить по линейке CD. В линейке АВ сделан ряд отверстий для острия карандаша. Найти уравнение линии, описан- ной острием карандаша, по- мещенным в отверстие М, если ТО=а, LM = Ъ. Оси координат OX, OY направлены, как показано на черт. 36. Отв. (х > 0). Указание. Из подо- бия треугольников TOL и MKL вытекает пропорциональность их катетов. Выразить пере- менные длины катетов через а, Ь и текущие координаты. 12. Показать, что уравнение Черт. 36. у2 = (£2_ д.2) х2 представляет не только линию задачи 11, но также и линию, которую описывает карандаш, вставленный в отверстие N (LN = LM). Замечание. Различие между обеими линиями заключается в том, что первая соответствует положительным значениям х, а вторая — отрицательным. Обе линии, взятые вместе, называют конхоидой Никомеда. § 8. Пересечение линий Имея уравнение двух линий, мы можем вычислением решить вопрос о том, имеют ли эти линии общие точки (пересече- ния или касания), и если да, то сколько их и каковы их координаты. Пусть, например, мы имеем окружность х*-\-у* = 2Ь (1)
пересечение линий 73 и прямую линию у = 0,75*-f- 6>25- (2) Координаты всякой точки окружности должны удовлетворять уравнению (1), а координаты всякой точки прямой — уравне- нию (2). Если окружность и прямая имеют общие точки, то координаты последних должны удовлетворять и уравнению (1) и уравнению (2), т. е. системе уравнений л;2-[-у* = 25, 3/=0,75*+ 6,25. Решая эту систему, получим ответы на все поставленные выше вопросы. Исключая из обоих уравнений неизвестную величину у, получаем уравнение х* + (0,75* + 6,25)2 = 25, (4) которому должны удовлетворять абсциссы общих точек. Уравнение (4) — квадратное. Если оно имеет два действитель- ных корня, то прямая пересекается с окружностью в двух точках; если один действительный корень, то прямая имеет одну общую точку с окружностью, т. е. касается ее; если же корни мнимые, то прямая не имеет общих точек с окруж- ностью. Решив уравнение (4), найдем, что оно имеет только один корень Следовательно, прямая (2) касается окружности (1). Абсцисса точки касания есть * = — 3; ордината найдется из уравнения (2); она равна у = 0,75 • ( — 3) + 6,25 = 4. Все сказанное здесь об окружности (1) и прямой (2) остается в силе для любых двух линий, и мы приходим к выводу: чтобы решить вопрос, существуют ли у двух ли- ний общие точки и если да, то какие, — нужно взять си- стемуv образуемую уравнениями этих линий, и либо раз- решить ее, либо показать, что она не имеет действитель- ных решений. В первом случае мы найдем общие точки, во втором общих точек не существует.
71 ОСНОВНЫЕ понятия И ФОРМУЛЫ Пример. В каких точках линия д;2 _ 2х + у — 4у = 3 (5) пересекает оси координат? Ось абсцисс имеет уравнение у = 0. (6) Система уравнений (5) и (6) имеет решения •*i = 3> Уг = ° и *2 = —1, у2 = 0. Линия (5) пересекает ось абсцисс в точках А (3, 0) и В (— 1,0), Ось ординат имеет уравнение * = 0. (7) Решая систему уравнений (5) и (7), получаем уравнение у2 _ 4у _ з _ о. Корни его Л=2+]/7, уг = 2-ут. Линия (5) пересекает ось ординат в точках С(0, 2-{-У7) и D(0, 2 — 1/7). Читателю предлагается построить линию (5) — это окруж- ность (см. § 6) — и проверить решение геометрически. Связь между линией и уравнением можно использовать и в обратном направлении. Пусть требуется решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, например, систему Зная, что первое уравнение представляет окружность ра- диуса 5 с центром в начале координат, а второе — прямую с угловым коэфициентом ~ и начальной ординатой 4, построим эти две линии на графленой бумаге (черт. 37). Если бы по- строенные окружность и прямая не имели общих точек, то система уравнений не имела бы действительных решений. Но в нашем случае имеются две общие точки Мг и М2. Прочи- тываем на-глаз их координаты и получаем два решения си- стемы (8): первое
пересечение линий 75 и второе 2,1, л = 4,5. Разумеется, эти решения, как правило, будут приближен- ными и лишь случайно могут оказаться точными. Так, в на- шем случае первая система решений точна, вторая — прибли- женна (точные 9 *2 — 2 Ту значения 9 \ ^y2 = 4jyj. Тем не менее описанный графический способ решения весьма ценен; особенно важен он тогда, когда система двух уравнений с двумя неиз- вестными сводится к уравнению, с тру- дом решаемому или вовсе не разрешимому в радикалах. В таких случаях графиче- ский способ дает приближенное реше- ние, которое затем можно уточнять уже алгебраическими методами. Но для практики часто уже и грубого решения достаточно. Если по виду уравнения нельзя быстро узнать, какую линию оно представляет, нужно строить график этой линии по точкам. Черт. 37. точки: а) с Упражнения 1. Пересекаются ли следующие пары прямых: а) у — Зд* — 2, у = 2х\ Ь) л: = 3, у = х — 1; с) у = у х-\- 1, у = 2лг? Отв. Да. 1 3 2. Имеет ли парабола у~-ггх2 — л: + — общие прямой х = Ъ\ Ь) с прямой у = 3; с) с прямой у = ~х; d) с пря- мой у = (У'д — 1) л:? Отв. а) Пересекает в одной точке; Ь) пересекает в двух точ- ках; с) не имеет общих точек; d) касается. 3. Сколько общих точек имеет парабола у = х~: а) с окруж- ностью х2-\-(у + 1)2 — 5; Ь) с окружностью лг2 + (У — 2)2 = 2; с) с окружностью х* -f- (у -f- 1 )2 = 1 ? Отв. а) Две; Ь) четыре; с) одну (точка касания). 4. Пересекает ли ось абсцисс линия х*+у* + 4х + 6у— 14 = 0? Отв. Да. 5. На каком расстоянии от начала координат пересекает ось абсцисс прямая у = —2х + 5? Отв. 2,5.
76 основные понятия и формулы [гл«,1 Решить графически системы уравнений: 6. ** + у» = 25, у = 7 — л\ Отв. хх = 4, Ух = 3; лг2 = 3, Уг~4. 7. л:2+у2 = 12, у — л: = 2. О/ив. л:! 1,2, Ух 3,.2; лг2 =¾ — 3,2, у2=^ — 1,2. Указание. Радиус окружности вычислить приближенно. 8. л:2+з/2=16; ху==6 Отв. .^¾3,5, y1 = \J; лг2 1,7, у2=^3,5. 1 1 2 9. Решить графически уравнение -тг л:3 5- х—-— = 0. х 2 о о Указание. Можно искать пересечение кривой у = -~-xz — 12^ —^-л:—-g- с осью абсцисс или рассмотреть систему уравнении, 1 , 1,2 например, у = — хд; у = — х+ у . Отв. х ^ 1,3. 10. Сколько решений имеет уравнение 2* = 2лг? Отв. Два (л: = 1, х = 2). § 9. Линия и точка Зная координаты некоторой точки и уравнение некоторой линии, мы можем определить, лежит ли точка на этой линии или нет, другими словами, проходит ли линия через точку или не проходит. В самом деле, координаты всех точек линии должны удов- летворять ее уравнению, а координаты всякой точки, не ле- жащей на линии, должны не удовлетворять ему; следовательно, если подставим в уравнение вместо текущих координат ко- ординаты данной точки и уравнение обратится в тождество, то точка лежит на линии, если же тождества не получится, то точка на линии не лежит. Пример 1. Лежит ли точка Л (5, 5) на окружности x2-\-y* = 49? Подставляя в уравнение окружности л: = 5, ^ = 5, мы получаем 25 -f- 25 = 49, т. е. противоречивую формулу. Значит, точка А (5, 5) на нашей окружности не лежит. Впрочем, то, что 25 -f-25 = 50 сравнительно мало отличается от 49, показывает, что точка А лежит недалеко от окружности (постройте график). Пример 2. Проходит ли прямая У = \ * ~Ь * через точку А (4, 5)?
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 77 Проходит, ибо подстановка # = 4, у =5 в уравнение у = ~-л;-|-4 дает тождество 5 = -^--4-)-4. Упражнения 1. Лежит ли точка (—1, —3) на прямой дг — у = 2? Отв. Да. 2. Проходит ли через начало координат линия у = * t ; ли- дг —j— i ния у= —— ? Отв. Да; нет. 3. Проходит ли окружность (х — 2)2 -(- (у -f 7)2 = 20 через точку (—2, —5); через точку (5, *—4); через точку (4, —3)? Отв. Да; нет; да. 4. Пересекаются ли в одной точке три прямые: х — у = 2, дг+у = 4, у = 2д: — 5? О/ив. Да. ГЛАВА II ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Вводные замечания . . Материал предыдущей главы позволяет нам составить, об- щее представление об аналитической геометрии и оценить силу ее метода. Для того чтобы с успехом применять этот метод на практике, нужно систематически изучить ряд про- стых вопросов, постоянно встречающихся при решении гео- метрических задач. В этой главе мы рассмотрим простейшие задачи, относящиеся к прямым линиям. § 2. Общее уравнение прямой линии Мы видели (§ 5 гл. 1), что всякая прямая линия, не па- раллельная оси у> мэжет быть представлена уравнением вида y=ax-\-b, (1) прямая же, параллельная оси у, — уравнением х=с. (2) Всегда, следовательно, прямая может быть представлена уравнением первой степени. Докажем теперь, что и обратно:
78 ПРЯМАЯ линия [гл. II всякое уравнение первой степени (относительно текущих координат) представляет прямую линию. Самый общий вид уравнения первой степени относительно х, у есть Ax;-{-#y-J-C = 0, (3) где Л, В, С — постоянные коэфициенты. Если коэфициент В не равен нулю, т. е. член, содержа- щий у у не отсутствует в уравнении (3), то это последнее уравнение можно решить относительно у, что даст <4> Сравнив это уравнение с уравнением (1), мы видим, что урав- нение Ах + Ву-\-С=0 при В =f=0 представляет прямую линию с начальной орди- С А натой b = ^ и Угловым коэфициентом а = —-^-. Пусть теперь В = 0, т. е. уравнение (3) принимает вид Ах-\~С=0. (5) Коэфициент А здесь нужно считать не равным нулю; иначе в равенстве (3) исчезли бы оба члена с текущими координа- тами, и оно не было бы уравнением линии. Разрешим уравнение (5) относительно х\ мы получим С Х = -А- Сравнив это уравнение с уравнением (2), видим, что уравнение Ах + С = 0 представляет прямую, параллельную оси ординат, с начальной С абсциссой с = —- —. Наше предложение доказано. ■о Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Ах-\-Ву + С=0. I. Случай В = 0 только что рассмотрен; прямая параллельна оси ординат.
§ 2] общее уравнение прямой линии 79 всегда представляет прямую, мы можем очень упростить по- строение графика линейного уравнения: достаточно построить II. В случае А = О уравнение (3) имеет вид Ву + С = 0, т. е. Значит (ср. § 5 гл. 1), прямая параллельна оси абсцисс. III. В случае С = О уравнение (3) имеет вид Ах + Ву=0, (6) т. е. А У = -вх- Сравнение с формулой (1) показывает, что отрезок Ь, отсекаемый на оси у, равен нулю, т. е. прямая проходит че- рез начало координат. Это видно и из того, что координаты точки (0, 0) удов- летворяют уравнению (6) (см. § 9 гл. I). Ша. Если одновременно С=0 и В = 0, то уравнение принимает вид Ах = 0} т. е. х = 0\ прямая совпадает с осью ординат. ШЬ. Если одновременно С = 0 и А = 0, то уравнение принимает вид Ву=0 или У = 0; прямая совпадает с осью абсцисс. Пример 1. Прямая 2х — 7^у = 0 проходит через на- чало координат, так как в этом уравнении С=0. Пример 2. Прямая 3jc —{— 8 =0 параллельна оси у, так как в этом уравнении В = 0. Зная, что линейное уравнение, т. е. уравнение первой степени, Ах + Ву+ С=0
80 прямая линия [гл. II две любые точки, принадлежащие искомому графику, и через них провести прямую. Для этого, задав одной из ко- ординат произвольное значение, найдем из данного уравне- ния значение другой координаты; то же проделываем еще раз, задав новое значение, координаты. Часто бывает удобно положить один раз х = 0у другой раз у = 0. Пример 3. Построить график уравнения ' Ux— 15^ = 20. 20 1 Полагая х = 0, находим у = — J5 =— * у. Полагаяд^^О, находим х = ^ = 1 ^. Откладывая на оси абсцисс отрезок -j-l-^-, а на оси ординат отрезок —1у, соединяем прямою их концы и получаем искомый график. Для точности построения желательно, чтобы выбираемые точки были не очень близки друг к другу. Поэтому прием, примененный в примере 3, не всегда можно рекомендовать. § 3. Угол между двумя прямыми Если две прямые заданы своими уравнениями, то вычис- лением можно легко найти угол ср между ними, точнее го- воря, какую-либо тригонометрическую функцию этого угла. Пусть дано урав- нение у = ахх -\- Ьх прямой Л1В1 и уравнение у = а2х-\-Ьг Черт 38 прямой Л2В2. Проведем (черт. 38) че- р ' * рез точку М пересечения прямых AxBt и А2В2 прямую MNy параллельную оси абсцисс. Через ах и а2 обозначим углы, образуемые данными прямыми с прямой MN. Такие же углы данные прямые будут образовывать и с осью абсцисс, ибо MNпараллельна этой оси. Следовательно, igax = av tga2 = a2. Из черт. 38 видно, что <j>=a2 — av
§ 3] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 81 имеем откуда 1 q <*i = ~2 и а2=6> '-Т tgcp = Г=1> 1 + з.т <р = 45°+ 180°. я, (2) •где п любое целое число. Если, как это делается в элемен- тарной геометрии, рассматривать только положительные углы, меньшие 180°, то получаем: <р = 45°. Ничто не мешало бы нам обозначить данные прямые в обратном порядке, т. е. прямую у=улс—обозначить через А2В2, а прямую у — Ъх-\-2~ — через A XBV Тогда мы имели бы ах = 3, а2=-^,и формула (3) дала бы tg<p= 1, 1+8.1 откуда ср = — 45° 4- 180°. п. (3) 6 М. Я. Выгодский Значит^ Пример 1. Найти угол между прямыми 1 5 о I о 1 1 5 Обозначим прямую у = -^х—"3 через Afiv а прямую ^=3^4-2^- — через А2В2\ тогда, подставляя в формулу (1) значения
82 прямая линия [гл. II Если рассматривать лишь положительные углы, меньшие 180°, мы получим ср= 135°. Этот результат нисколько не противоречит предыдущему, ибо две прямые образуют не один, а четыре угла, попарно равные. В нашем случае одна пара углов содержит по 45°, другая — по 135°. Вообще задача о вычислении угла между двумя прямыми остается не вполне определенной, если не поставить каких- либо добавочных условий. Если, например, добавочно указать, что разыскивается (абсолютная) величина острого угла, задача станет вполне определенной. Для решения ее будет служить формула или, что то же, I 1+^1^2 а\ — а2 I 1 -f- аха2 | (5) (прямые черты означают, что берется абсолютное значение содержащегося между ними выражения). Пример 2. Найти величину острого угла между пря- мыми 2х — 3у = 4: и Злг + 5у=1. Разрешив каждое из уравнений относительно у, имеем: 2 4 3,1 У = -гх-Т и У = -тх+-ь- Мы можем положить Формула (4) даст tg? j 3 2_ 5 " 3 19 2,111. Тот же результат даст и формула (5). По таблице находим <р^б4°39'.
§4] УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДЗУХ ПРЯМЫХ 83 4 Замечание 1. Так как в формулы (1), (4) и (5) не входят величины bv ЬгУ то свободные члены в уравнениях данных прямых никакой роли при вычислении угла не играют. Поэтому вместо уравнений 2х— 3^/ = 4 и Зх -f- 5у = 1 мы могли бы взять урав- нения 2х — Зу = О и Зл: + 5у = 0; эти уравнения проще решить относитель- но у; геометрически это означает, что вместо данных прямых можно взять две другие, им параллельные, проходящие через начало координат. Замечание 2. Мы знаем, что уравнение прямой нельзя представить Черт. 39. в виде у — ах-\-Ъ, если прямая параллельна оси у; уравнение прямой имеет тогда вид х = с. Ясно, что формулы (1), (4), (5) в этом случае непригодны. Чтобы определить угол ср между прямой у—ах-\-Ъ и прямой х = су достаточно заметить (черт. 39), что где а — угол уклона первой прямой1). Отсюда ctgcp = ctg (у — a) =tga, т. е. ctg ср = а. (6) Пример 3. Определить угол между прямыми линиями у = ^х — 5 и Зх+2 = 0. По формуле (6) имеем ctgcp = -i, откуда <р = 63°26'. § 4. Условие параллельности двух прямых При выводе формулы (1) предыдущего параграфа мы предполагали, что . прямые Л1В1 и А2В2 пересекаются в не- которой точке М. Однако, эта формула сохраняет силу и *) Если бы и вторая прямая была параллельна оси у, то определение угла между ними (который равен нулю) не требовало бы никаких вычислений. б*
84 ПРЯМАЯ линия {гл. II и, значит, a2 — ai , q 1 -f- ^1^2 Мы видим вместе с тем, что из сопоставления уравнений прямых y = a1x-{-bl (1) и у=а2х-{-Ь2 (2) сразу же можно узнать, параллельны ли эти прямые или нет. Именно, прямые параллельны, если их угловые ко- эфйциенты равны: аг = а2, (3) и не параллельны, если угловые коэфйциенты не равны. Итак, условием параллельности прямых служит равен- ство их угловых коэфициентов. Пример. Узнать, параллельны ли прямые 2л;+ 3^/ = 8 и \х -f6y=l. Разрешаем уравнения относительно у: 2,8 2,1 Равенство угловых коэфициентов свидетельствует о парал- лельности прямых. Свободные члены и здесь не играют роли (см. замечание 2 в предыдущем параграфе). Вообще, если имеем уравнения прямых в форме Л^ + Б^ + С^О и А2х + В2у+С2 = 0, то их угловые коэфйциенты (ср. формулу (4) § 2) будут для случая, когда АгВх\\А2В2ш Действительно, угол между двумя параллельными прямыми нужно считать равным нулю (или 180°), и, значит, tg ср = 0. С другой стороны, две параллельные прямые имеют всегда одинаковые угловые коэфйциенты, т. е. в формуле (1) § 3 мы имеем
условие перпендикулярности двух прямых 85 = — ~ и а2 =— Ф. Условие параллельности (3) примет £х " "2 — В вид: или Вг В2 А1_В1 (4) Итак, условием параллельности двух прямых является пропорциональность коэфициентов при текущих координа- тах. В нашем примере имеем: A— А 4 — 6 " § 5. Условие перпендикулярности двух прямых Чтобы получить условие перпендикулярности двух прямых, подставим в формулу <р = а2 — ах значение <р = 90°. Мы получим *2 = 90° + av (1) Следовательно, tga2 = — ctgax или tga2 = — -Lf (2) или, что то же, т. е. аха2 = — 1. (4) Таким образом, если две прямые взаимно перпендику- лярны, то произведение их угловых коэфициентов равно —1. Обратно, если это произведение равно —1, то прямые вза- имно перпендикулярны. Действительно, из уравнения (3) вы- текает уравнение (2), а отсюда и уравнение (1). Итак, имеем следующее условие перпендикулярности: две прямые АХВХ и А2В2 взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда их угловые коэфйциенты ах и а2 удовлетворяют соотношению 1
86 прямая линия [гл. II т. е. когда ах и а2 обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Замечание. Если бы мы в формуле (1) § 3 ьг 1 + аха2 заменили ср через 90°, а аха2 через — 1, то получили бы tg90° = ^=-^. Из арифметики известно, что деление (а2 — ах) : 0 невоз- можно, т. е. нет такого числа, которое после умножения на 0 дало бы а2 — ах (эта величина не равна нулю). С другой стороны, прямой угол, строго говоря, не имеет тангенса. По- этому формулой (1) § 3, казалось бы, нельзя пользоваться, если прямые взаимно перпендикулярны. Но не всегда можно наперед знать, перпендикулярны ли прямые или нет. Поэтому желательно иметь возможность пользоваться формулой (1) § 3 во всех без исключения слу- чаях. С этой целью вводят запись и говорят, что тангенс угла 90° «равен бесконечности». Смысл этого выражения таков: когда угол ср приближается к 90°, абсолютное значение tgcp неограниченно возрастает; это и отмечается равенством tg90° = oo. С другой стороны, при этом величина а^ приближается к —1, так что знаме- натель 1 -|- аЛа2 приближается к нулю. Вместе с тем дробь "Y^^~^' неограниченно возрастает по абсолютной величине; это и отмечается «равенством» ~ ai = со . Это означает следующее. Представим себе, что 1 -f- аха2 есть величина переменная и что она неограниченно прибли- жается к нулю. Тогда величина tgер = а2—-ах также b г 1+ аха2 переменная величина, и абсолютное ее значение неограни- ченно увеличивается. В этом и состоит точный смысл записи tg ср = оо. Но при неограниченном увеличении | tg ср | величина угла ср неограниченно приближается к ~. Итак,
§ 5J условие перпендикулярности двух прямых 87 А±А2 _ ВХВ2 ' = -1, (5) или, что то же, А1А2 + В1В2 = 0, (6) т. е. условием перпендикулярности двух прямых является обращение в нуль суммы произведений соответственных коэфициентов при текущих координатах. Упражнения Найти величину (острого) угла между прямыми: 1. у = 2лг + 6, у = ~ х — 4. Отв. 45°. 2. 2х_ — Зу = 1, 6у — 4лг = 7. Отв. 0°. 3. Ybx — у == 4, V Ъх — Зу == 1. О/яв. 30° 4. 2.r — 3y+l=0, Злг-f 2у+1 =0. Отв. 90° 5. 7х4-Зу = 4, л:—у= 1. Отв. 62°26'. если 1 аха2 стремится к нулю, то прямые приближаются к перпендикулярному положению. Естественно ожидать, что при \ -\- ага2 = 0 прямые будут перпендикулярными. Мы ви- дели, что так оно и есть. Но тогда естественно от записи tgcp = oo перейти к записи ср = -^-, т. е. условно считать, что прямой угол имеет тангенс, «равный бесконечности». Если иметь в виду это соглашение, то формулой (1) можно пользоваться во всех без исключения случаях. Пример. Перпендикулярны ли прямые 2х-\- 5у = 8 и 5х — 2у=3? Разрешив данные уравнения относительно у, имеем: 2,8 5 3 Q 2 5 ^=--5^ + -5-, У = ~2 х— у- 3Десь ^1 = --5-» а2 = ~2-; условие ала2=—1 ^или а2 = — ^ удовлетворяется, и прямые перпендикулярны. Свободные члены и здесь не играют роли. Вообще, если уравнения двух прямых заданы в виде Агх -(- Вху Cj = 0 и А2х -f В2у -fs С2 = О, то их угловые коэфйциенты будут А\ /4 о Условие перпендикулярности примет вид:
88 прямая линия [гл. II. 6. Найти углы треугольника, стороны которого имеют уравне- ния: х — у — 3 = 0, х — Зу — 4 = 0, 4дг + 2у + 3 = 0. Отв. 26°30', 71°30', 82°. 7. Среди следующих прямых: (I) 2л:-4-Зу = 1: (II) х — 4у = 0; (IH) 4дг+у-7 = 0; (IV) 4*-f-6y—11=0; (V) Зл: - 2у - 3 = 0 найти параллельные и перпендикулярные между собой прямые. Отв. Параллельные (I) и (IV); перпендикулярные (I) и (V), (II) и (III), (IV) и (V). 8. Через начало координат провести прямую, перпендикулярную х х — 2у = 3. Отв. у = — 2л*. 9. Через начало координат провести прямую под углом 45р к прямой у = 2л: + 5. Отв. 1) з/ = -1 л:; 2) 3/ = — Зл:. 10- Составить уравнение прямой, проходящей через точку (0, 3) и параллельной прямой 2л: — 3/ = 1. Отв. у = 2л: + 3. § 6. Прямая через две точки В этом и следующем параграфах мы решим ряд простей- ших задач на составление уравнения прямой линии по неко- торым условиям, задающим ее положение. Рассмотрим прежде всего такую задачу: Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Ml(xv ух) и М2(х2> у2)- Если бы оказалось, что точки Mv М2 имеют одинаковые абсциссы хх = х2У то задача решалась бы особенно просто- Обозначив общую величину хх и лг2 через а и построив чертеж» мы увидим, что абсциссы всех точек прямой МХМ2 одинаковы и равны а. Следовательно, уравнение прямой МХМ2 будет х = ау и прямая МХМ2 параллельна оси ординат. Пример 1. Прямая, проходящая через точки Мг (—3, —8) и М2(—3, -]-8), имеет уравнение х = — 3. Точно так же, если точки Мх и М2 имеют одинаковые ординаты ух =у2= Ь, то уравнение прямой МХМ2 будет у=Ъ и наша прямая будет параллельна оси абсцисс.
прямая через две точки 89 Рассмотрим теперь общий случай, когда хх фх2 и ух -фу2. Как мы знаем, всякая прямая, если она не параллельна оси (случай прямой, параллельной оси у, мы только что рас- смотрели), может быть представлена уравнением у=ах-\-Ъ\ (1) остается только определить значения параметров а и Ь. Искомая прямая должна проходить: 1) через точку Мх (xvyx), 2) через точку М2 (лг2, у2). Значит, параметры а и Ъ нужно выбрать так, чтобы 1) уравнение (1) удовлетворялось значениями x = xv у = ух (ср. § 9 гл. I) и 2) чтобы то же уравнение удовлетворялось значениями х = х2у у = у2% Таким образом, должны одновременно иметь место равен- ства У\ = axi + (2) у2 = ах2 + Ь. (3) В нашей задаче xv x2f yv у2 известные величины, a a, b неизвестные. Равенства (2), (3) нужно поэтому рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными аи Ь. Эту систему легко решить; внеся найденные значения ау Ъ в урав- нение (1), мы получим искомое уравнение прямой МХМ2. Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(\1 5) и М2 (3, 9). Уравнения (2) и (3) примут вид 5 = a+b, (2') 9 = 3a-fft. (3') Из них находим а=2, Ь = 3. Подставляя эти значения в уравнение (1), имеем у=2х-\-3. Если мы повторим вычисление, проделанное в примере 2, для общего случая, то найдем из уравнений (2) и (3) а = Уч — У\ b __ У i*2—.У 2*1 . Хо — Х\ у Х2 — Х\ * подставив эти выражения в (1), найдем искомое уравнение в виде '-5=^+*¾^- «•>
90 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В этом виде, однако, уравнение неудобно для вычисления и трудно для запоминания. Лучше поэтому получить искомое уравнение в более симметричном виде, что достигается, на- пример, таким образом: будем исключать величины а, Ь из уравнений (1), (2), (3); для этого вычтем почленно уравнение (2) сначала из уравнения (1), затем из уравнения (3). Получим: У —Уг = а(х —xj, (5) У%—У\ = а (*2 — (6) Разделив уравнение (5) на уравнение (6) почленно, получим: У —У\ = х — хх /7v Уг — У\ *2 — *Г Нетрудно убедиться, что это уравнение равносильно урав- нению (4), но в силу своей симметричности оно гораздо прак- тичнее. Пример 3. Решим по формуле (7) задачу, рассмотрен- ную в примере 2: составить уравнение прямой, проходящей через точки Мх(\у 5) и М2(3, 9). Здесь ^=1, ^ = 5; х2 = 3, у2 = 9. Получаем у — Ъ_х—\ 9 — 5— 3—1 ' или У — 5 = 2(х — 1), или у = 2х -f- 3. Формулу (7) следует запомнить. Замечание. Так как точки М х и М2 совершенно равно- правны, то уравнение прямой МХМ2 может быть записано также в виде У — У2 = х — х2 У\ — У 2 *i — х2* 1 ' получаемом из (7) перестановкой индексов (указателей) 1 и 2. Можно показать, что уравнение (7') вытекает из (7) и об- ратно. Геометрический смысл уравнения (7) выясняется из черт. 40, на котором OAx = xv AxMx = yv OA2 = x2l А2М2=у2} ОА = ху АМ=у.
§7] ПРЯМАЯ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ. ПУЧОК ПРЯМЫХ 91 Имеем: у —ух— АМ — АХМХ= АМ — АР = РМ% у2 —УА = Л2М2 — Ахмл = Л2М2 — AQ= QM2, x — xl==OA — ОАх = АгА = МгР, х2 — хх — ОА2 — OA г = А гА2 == Л4г(3, и уравнение (7) выражает, что в подобных прямоугольных треугольниках MlQM2 и МгРМ катеты ^ пропорциональны: РМ _ МгР QM2 MXQ * Способ, которым мы решили зада- чу о прямой, проходящей через две точ- ки, часто применяется в высшей матема- Черт. 40. тике при решении разнообразных задач; этот способ носит название метода неопределенных коэфи- циентрв. Суть его состоит в следующем. При решении некоторой за- дачи (в нашем примере задачи составления уравнения прямой М1М2) мы часто можем заранее предвидеть, к какому общему типу будет принадлежать решение (в нашем примере мы знаем заранее, что искомое уравнение будет первой степени); тогда мы пишем соот- ветствующую формулу (в нашем случае y = ax-\-b)t в которую входят «неопределенные коэфициенты», т. е. некоторые постоян- ные, но пока еще неизвестные величины (в нашем примере а и Ь). Эти постоянные и определяются затем с помощью не использованных ранее условий задачи (в нашем примере условия состоят в том, что прямая у—ах~\-Ь должна пройти через точки Mi и М2). Привлечение этих условий дает одно или несколько уравнений [в нашем примере уравнения (2) и (3)], из которых, если это воз- можно, находим значения «неопределенных коэфициёнтов». § 7. Прямая через одну точку. Пучок прямых Прямая линия может быть задана не двумя, а одной из ее точек, если сверх того установлено еще одно какое- либо условие, например условие, чтобы прямая имела задан- ное направление. Поэтому важно знать, каков общий вид уравнения прямой, проходящей через одну заданную точку M,(xvy1).
92 прямая линия [гл. II Чтобы решить этот вопрос, перепишем уравнение (7) § б в виде и обозначим величину через k. Уравнение (1) примет вид y—yx = k(x—xt). (2) Очевидно, введенная нами величина х2 — XL есть не что иное, как угловой коэфициент прямой, проходя- щей через две точки Мх (хХУ ух) и М2 (х2у у2). Если обе точки Мх и М2 заданы, то и угловой коэфициент k имеет опреде- ленное значение. Если же задается только одна точка Mx(xvyx), то вторую точку можно выбрать произвольно и, значит, угловой коэфициент k может иметь какое угодно значение. Итак, уравнение прямой, проходящей через одну точку Мх (xv ух)у имеет вид y—yx = k{x — xx)y где k есть неопределенный угловой коэфициент, характеризующий направление прямой. Вращая прямую вокруг точки МХУ мы изменяем величину этого коэфициента. Пример 1. Если прямая, проходящая через МХУ парал- лельна оси абсцисс, то ее угловой коэфициент равен нулю, и уравнение (2) принимает вид у—Ух = 0 или у = ух. Пример 2. Если прямая, проходящая через М\у обра- зует с осью абсцисс угол 45°, то ее угловой коэфициент k — \, и мы получаем уравнение у—У\= *—хх или у = х-\-ух—xv Таким же образом из уравнения (2) можно, дополнительно задав направление, получить уравнение любой прямой, проходящей через Mx(xvyx), кроме прямой, па- раллельной оси у. Для прямой, параллельной оси у,
§ 7] прямая через одну точку. пучок прямых 93 :0, и формула (3) дает k х — хх = О, т. е. X = хь а это (§ 2) есть уравнение прямой, параллельной оси у. Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку Mv называется пучком прямых; точка Мг называется вершиной пучка. Уравнение (2) называют поэтому уравнением пучка прямых с вершиной Мг (xv ух). Пример 1. Составить уравнение пучка прямых с вер- шиной в точке Мг(—4, —8). Подставляя в уравнение (2) уг = — 8, х{ = — 4, находим ^+8 = ^(л:+4). Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей че- рез точку Мх (1,4) и перпендикулярной к прямой Зл: — 2у = 12. Искомая прямая принадлежит пучку с вершиной Ml(l9 4), поэтому ее уравнение имеет вид y — 4 = k(x — \). (4) Значение углового коэфициента k найдем из условия перпен- дикулярности данной и искомой прямых. Это условие имеет (§ 5) вид где k' есть угловой коэфициент прямой Злг — 2у=\2, т. е. k! = ; следовательно, из (5) получаем угловой коэфициент равен бесконечности, и потому формула (2) становится непригодной. Впрочем, если предварительно преобразовать уравнение (2) к виду £=^=х-хь (3) то можно получить и уравнение прямой, проходящей через М\ па- раллельно оси у. Для этого заметим, что при любом заданном зна- чении у Ф Ух величина -—неограниченно убывает, когда k не- ограниченно возрастает. Поэтому при &=гоо нужно положить
94 прямая линия [гл. II Подставляя это значение k в уравнение (4), находим 2 2 2 .У — 4=—- у (х — 1) или y = — — XJ^4j. Это есть уравнение искомой прямой. Пример 3. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок ОМх = — 3 и параллельной прямой у=2х. Прямая принадлежит пучку с вершиной Мх (—3, 0); урав- нение ее имеет вид y = k(x-\r3). Угловой коэфициент k определяется из условия параллель- ности искомой прямой у=2х (§ 4); имеем, следовательно, k = 2. Искомая прямая имеет уравнение _у=2(* + 3). Упражнения 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (—1, 2) и (—0,5, —4). Отв. Ах — Зу + 10 = 0. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки (0,3) и (2, 5). Отв. у = jc-f-3. 3. Составить уравнения сторон треугольника с вершинами Л (4, 6); 5(-4,0); С (-1,-4). Отв. Зх — 4y-f 12 = 0; 4лг + Зу + 16 = 0; 2лг—у —2 = 0. 4. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами Л (2, 0); В (4, 6); С (6, —2). Отв. 2х— Зу — 4 = 0; х = 4; 5х-f-Зу — 24 = 0. 5. Лежат ли на одной прямой три точки (1, 3), (5, 7), (10, 12)? Отв. Да. 6. Даны вершины четырехугольника ABCD: А (2, 2), В (5, 1), С(3, 6), D (0, 3). Найти точку пересечения его диагоналей. ^ /45 24\ 0тв' (й- ш- 7. Написать уравнение пучка прямых с вершиной А (—2, —5). Отв. у4-5 = £(л;-4-2). 8. Через точку (2, 5) провести прямую, параллельную прямой 2лг-г-3у = 15. Отв. 2лг-г-3у — 19 = 0. 9. Через точку (—4, 1) провести прямую, перпендикулярную к прямой Зу — 7х -f-1 = 0. ' Отв. Злг-|-7у4-5 = 0.
§ 8] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ 95 § 8. Уравнение прямой в отрезках Положение прямой может быть задано отрезками, кото- рые она отсекает на осях координат (отрезки отсчитываются от начала координат и берутся со знаками, соответствующими направлению отсчета). Составим уравнение прямой по данным отрезкам а (на оси абсцисс) и Ъ (на оси ординат). Эта задача есть частный случай задачи § 6: искомая пря- мая должна проходить через точки Мх (а, 0) и М2 (0, Ь). Ее 10. Диагональ АС квадрата ABCD имеет уравнение jr = 7.r + 5. Вершина В имеет координаты (3, 1). Найти уравнения сторон АВ и СВ. Отв. Здг — 4у — 5 = 0, Ах + Ъу — 15 = 0. 11. Стороны треугольника представляются уравнениями х+ 3_у — 2 = 0, 2л--f jy + 5=s0, 3* —4 = 0. Найти уравнения высот этого треугольника. Отв. 5^ — 9 = 0, 9лг — 18j/— 8 = 0, 9х — Зу — 35 = 0. 12. Даны точки Л (—3,1), 5(3,—7). На оси ординат найти точку, из которой отрезок АВ виден под прямым углом. Отв. (0,2) и (0, —8). 13. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х+у — \=Ъ, ЗДГ—Д>+4=:0 и точка пересечения его диагоналей (3, 3). Найти уравнения двух других сторон. Отв. х+у — 11=0, 3* —j/—16 = 0. 14. Даны две противоположные вершины квадрата (2, 1) и (4,5). Найти две другие вершины. Отв. (1,4) и (5, 2). 15. Найти расстояние точки (3, —7) от прямой Зд-+4у + 5 = 0. Отв. -г. о 16. Даны уравнения двух высот треугольника 2х — Зу+1=0, х-\-у = 0 и координаты одной из его вершин (1,2). Найти урав* нения сторон треугольника. Отв. х— д/+ 1 =0, Злг + 23/ — 7 = 0, 2х + 3^/ + 7 = 0. 17. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки (-1, 1), (3,-1), (7, 1). Отв. (х — 3)2 + (у — 4)2 = 25. Указание. Наиболее общий вид уравнения окружности есть хч +^2 + Ах + By + С -е 0. По методу неопределенных коэфициентов (§ 6) определим А, В, С
96 прямая линия [гл. II уравнение можно записать в виде у — 0 х — а Ь — 0~~~ 0 — а1 т. е. у_ х — а b — а или b а * 1' или, наконец, в симметричном виде: Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Пример. Составить уравнение прямой, отсекающей от- резок— 2 на оси ОХ и -\- у на оси OY. Подставляя а = —2, ¢ = +"Г в УРавнение 0)> находим I^-H-f=l или 3* —4у + 6 = 0. Т Упражнения 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях коорди- нат отрезки а = 2, Ь = — 3. Отв. Зх — 2у — 6 = 0. 2. Написать уравнения прямых Зл: — 2у-\-\2 = 0; у = 4лг— 2; jr = — а* 1 в отрезках. г\ х « У л х У 1. х \ У 1 Оте.—л+% = \; Т —Т ' Т+Т = 1- 2 3. Составить уравнения сторон ромба с диагоналями 8 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось абсцисс, меньшую за ось. ординат и взяв за единицу масштаба 0,2 см. Пта £.0. У — Ь £ |У — 1- * У 1 • £. ! 1 u/we*20~M5 ' 20+15"-1' 20 15""1' 20+15~~ lu 4. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2дг + 5у — 20 = 0, если за'единицу мас- штаба принять 0,5 см* Отв. 5 см2.
эллипс как сечение цилиндра 97 ГЛАВА III ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА § 1. Вводные замечания В предшествующих главах мы видели, что метод анали- тической геометрии оказывается полезным уже в таких геометри- ческих задачах, где мы имеем дело с простейшими линиями — прямой и окружностью. Для этих линий во многих случаях до- статочно применять методы элементарной геометрии, и часто это бывает даже предпочтительнее. На практике, однако, часто приходится иметь дело и с кривыми линиями, отлич- ными от окружности. Здесь метод аналитической геометрии особенно ярко обнаруживает свою силу. В этой главе мы покажем применение метода аналитиче- ской геометрии к изучению простейших и вместе с тем важ- нейших для практики кривых линий. § 2. Эллипс как сечение цилиндра поверхность (например параллельной основанию. Если круглую цилиндрическую трубу) пересечь плоскостью /?, не то в сечении получится овальная ли- ния (ABCD на черт. 41). Такую ли-, нию можно видеть, например, на сты- ке двух труб, соединенных коленом. Чтобы исследовать свойства этой линии, отнесем ее к прямоугольной системе координат, выбранной на пло- скости сечения. За начало координат примем точку О, в которой плоскость сечения встречает ось цилиндра Ог02. Через точку О проведем пло- скость St перпендикулярную к оси цилиндра. Она даст на цилиндриче- ской поверхности окружность EBFD с центром в точке О, а с плоскостью R пересечется по диаметру BD этой окружности. Примем прямую BD за ось ординат. Тогда ось абсцисс пойдет по прямой Л С, проведенной в плоскости овала через О перпендикулярно к BD. 7 М. Я. Выгодский
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. 111 Очевидно, что при проектировании на плоскость S любая точка М овала ABCD спроектируется в некоторую точку N окружности EBFD, а ось абсцисс АС спроектируется в диа- метр окружности EF, перпендикулярный к BD. Введем на плоскости S систему координат, в которой осью абсцисс служит прямая EF, а осью ординат — прямая BD. Координаты точки М в плоскости R обозначим через х, у> а координаты точки N в плоскости 5 — через х', у'. Наконец, длины отрезков OA и OB = OF обозначим соот- ветственно через а и Ь. Так как геометрическое место то- чек N есть окружность радиуса ОВ = то х' и у* связаны уравнением х'2+у'2=Ь*. (1) Чтобы получить уравнение нашей овальной линии, являю- щейся геометрическим местом точек Му выразим переменные х\ у' через координаты х, у точки М. Легко показать, что ордината у1 — NQ равна ординате у = МРу так что у'=у. (2) Далее, из подобия треугольников OCF и OPQ имеем х1 _OF Ъ х ~~ОС~~~ а ' откуда т*- (3) а Подставляя выражения (2) и (3) для х\ у1 в формулу (1), мы получим |*2+.У2 = *2. (4) Это есть уравнение нашего овала. Его можно представить в более симметричном виде, если разделить почленно на Ь2. Будем иметь 5+?,='- <*> Уравнение (5) представляет любое овальное сечение любой круглой цилиндрической поверхности; конечно, ве-
§ 2] эллипс как сечение цилиндра 99 в» личины а и ft меняют свое значение в зависимости от выбора цилиндра и сечения на нем. В частности, окружность EBFD есть вид сечения цилиндра; для этого сечения мы имеем а = Ъ, и уравнение (5) принимает знакомый нам вид или x*-\-f = №. Обратно, всякую кривую линию, уравнение которой имеет вид (5), можно получить в результате сечения цилиндра плоскостью. Если а = Ь, то уравнение (5) представляет окружность, и спра- ведливость наиТего утверждения очевидна. Если а и Ь не равны, то мы можем считать, что я > Ь, ибо если в уравнении ^+^ = 1 (5) а < Ь, то, переименовав ось абсцисс в ось ординат, а ось ординат в ось абсцисс, мы ту же линию представим уравнением вида х2 V2 где a' = b, Ь'=а, и, следовательно, я'> Итак, пусть а > Ь. Тогда берем цилиндр радиуса OF—b и рас- сечем его какой-либо плоскостью, образующей с плоскостью ос- нования такой угол а, чтобы Тогда найдем, что Ь cos а = — . а OC=OF- = b:l = a, cos а а и, повторив вышеприведенное рассуждение, покажем, что уравне- ние линии ABCD есть Итак, уравнение (5) является общим уравнением овального сечения цилиндрической поверхности. Представляемая им кри- 7i:
100 эллипс, гипербола, парабола [гл. III вая носит название эллипса. На черт. 42 изображены эл- липсы при различных значениях параметров а, Ь\ рекомендуем читателю провести на одном ппимере построение эллипса по точкам. Черт. 42. § 3. Исследование формы эллипса по его уравнению О форме эллипса можно составить представление из чисто геометрических соображений, но мы хотим показать, какие сведения можно получить о форме эллипса, изучая его уравнение в V «2 ~Г bi 1. 0) Черт. 43. Разрешив это уравнение относи- тельно у, получим Ь_ а У- (2) Если задать абсциссе х значения, превышающие а по аб- солютной величине, то под корнем окажется отрицательная величина и, значит, ордината у не получит никакого дей- ствительного значения. Отсюда ясно, что наша кривая целиком помещается внутри полосы, ограниченной прямыми PQ и SR (черт, 43), параллельными оси ординат и лежащими направо и налево от этой оси на расстоянии а от нее. Точно так же, разрешив уравнение (1) относительно х, получим О)
§ 3] исследование формы эллипса по его уравнению 101 и убедимся, что эллипс лежит внутри полосы, ограниченной прямыми RQ и SP, параллельными оси абсцисс и отстоящими от нее на расстоянии Ь. Сопоставляя эти выводы, приходим к заключению, что эллипс лежит целиком внутри прямоугольника PQRS. Далее, уравнение (2) показывает, что для каждого значе- ния jct абсциссы х, меньшего а по абсолютной величине (\хх\<^а), мы получаем два значения ординаты у, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Это значит, что мы получаем две точки эллипса (Мх и М2 на черт. 43), расположенные симметрично относительно оси абс- цисс. Иными словами, ось абсцисс служит осью симметрии эллипса. При х=ьа и х = —а уравнение (2) дает одно значение ординаты у=0, т. е. обе симметричные половины эллипса смыкаются на оси абсцисс в точках А(ау 0) и А' (—а, 0), от- стоящих от начала координат каждая на расстояние а. Точно так же из уравнения (3) убеждаемся в том, что и ось ординат является осью симметрии эллипса. На черт. 43 точки М\ й Mz расположены симметрично относительно оси ординат. Наконец, уравнение (1) показывает, что если точка Мх (хиух) принадлежит эллипсу, то и точка М4 (—л^, —уг) тоже лежит на эллипсе, ибо равенство х\ у\ — -4--=1 можно переписать также в виде Но точки Мх(хиух) и Ж4 (—хи—уг) расположены симмет- рично относительно начала координат О, т. е. О есть сере- дина отрезка Л^Л^. Таким образом, с каждой точкой Мх эллипса можно связать другую его точку МА так, что пара точек Мъ Мх расположится симметрично относительно точки О. Иными словами, точка О есть центр симметрии эллипса. Сопоставляя все вышесказанное, получаем следующий вы- вод: эллипс есть замкнутая кривая линия; она расположена целиком внутри некоторого прямоугольника PQRS, имеет центр симметрии О и две оси симметрии А'А и В'В.
102 ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. 111 Точка О называется центром эллипса; отрезки А*А = 2а и В'В = 2Ь осям а эллипса. Если а^> Ь, то ось А 'А назы- вается большой осью, а ось В'В малой осью эллипса. Концы осей, т. е. точки Л, А\ Б, В1 называются вершинами эллип- са. В этих вершинах эллипс касается сторон ограничивающего его прямоугольника. § 4. Эллипс и круг Свойства эллипса, отмеченные в предыдущем параграфе, дают хотя и важные, но далеко не достаточные сведения о его форме. Но из уравнения (1) предыдущего параграфа можно извлечь еще очень много важных свойств эллипса. Одно из них состоит в том, что всякий эллипс можно полунить, равномерно сжимая (или растягивая) круг в каком-либо одном направлении. Построим окружность АСА'С (черт. 44) на большой оси 2а эллипса, как на диаметре. Уравнение этой окружности в той же системе координат, к которой мы относим эллипс, будет (1) где через х, у обозначены текущие координаты окружности. Представим это уравнение в виде и сравним его с уравнением эллипса Ъ а (2) (3) Зададим абсциссам х и х какие угодно одинаковые зна- чения: х = х. Тогда, разделив почленно уравнение (3) на уравнение (2)', получим: (4) У а Уравнение (4) выражает, что отношение любой ординаты у эллипса (например РМ на черт. 44) к соответствующей орди-
ЭЛЛИПС И КРУГ 103 нате у окружности (PN на черт. 44) всегда равно отноше- нию малой полуоси эллипса, Ь = ОБ к большой а — OA = ОС. Это значит, что если мы возьмем окружность радиуса а и подвергнем ее равномерному сжатию в каком-либо на- правлении, w. е. сократим все хорды ее, имеющие это направление, в одном и том же отношении k = b:a, то в результате сжатия получится эллипс, большая полуось которого „а" равна радиусу окружности, а малая полуось „Ь* равна ha. Отношение малой оси эллипса к его большой оси А = ? = ^ (4') 2а а х ' называется коэфициентом сжатия эллипса, а величина называется сжатием эллипса (обычно обозна- Ь 1 чается через а). Пример. Земной меридиан, как показали точные изме- рения, лучше считать не окружностью, а эллипсом. Земная ось является малой его осью. Размеры этого эллипса (округленно) таковы: а =6 377 км, b = 6 356 км. Коэфи- циент сжатия Земли А = 0,997; сжатие а = —Ь = 0,003, Совершенно так же можно показать, что эллипс можно получить и в результате равно- мерного растяжения окружности по одному направлению. Только тогда не большая, а малая ось эллипса будет равна диаметру растягиваемой окружности. Возьмем теперь окружность АБА*В\ лежащую в плоскости Р (черт. 45), и спроектируем ее на плоскость р, образующую с плоскостью Р угол а. В проекции получим кривую aba'b\ Докажем, что эта кривая есть эллипс. Черт. 45.
104 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1гл. III Очевидно, что все хорды окружности, параллельные линии MN пересечения плоскостей Р и р, спроектируются отрезками той же длины; в частности, диаметр А'А спроектируется отрезком а'а, равным А'А. Все же хорды, перпендикулярные к А'А, например диаметр В'В, после проектирования сокра- тятся в одном и том же отношении: b'b ш = cos а. На основании только что доказанной теоремы мы заключаем, что проекция окружности ABA'В' на плоскость р есть эллипс, большая ось которого а'а параллельна линии пе- ресечения плоскости круга Р с плоскостью проекций р и равна диаметру круга; коэфициент сжатия эллипса равен косинусу угла, образованного плоскостями Р и рш § 5. Построение эллипса по точкам Рассматривая эллипс как равномерно сжатый (или растяну- тый) круг, мы находим следующий простой способ построения эллипса по точкам. Пусть даны полуоси эллипса а и Ь. Строим две концентрические ок- ружности: АСА'С и DBD'B' с ради- усами ОА=а и OD=b (черт, 46). Через общий центр О проводим произвольный луч OPQ, встречаю- щий наши окружности в точках Р и Q. Из точки Р проводим горизон- тальную прямую РМ; из точки Q — вертикальную прямую QM. Точка М пересечения этих прямых будет при- надлежать искомому эллипсу. Меняя положение луча OPQ, по- лучим сколько угодно точек эллипса. . Доказательство. Рассмотрим отношение ординаты NM точки М к ординате NQ окружности АСА'С. Из подо- бия треугольников OQN и PQM получаем NM _ОР _ Ъ_ NQ ~OQ~ а {ОР и OQ суть радиусы наших концентрических окружно- стей). Черт. 46.
§ 6] другое определение эллипса. фокусы. эксцентриситет 106 Итак, ординаты всех точек построенной нами кривой по- лучены из ординат окружности радиуса а равномерным сжа- тием, величина которого есть — . Значит, наша кривая есть ь и эллипс, полуоси которого суть а и а-— = о. § 6. Другое определение эллипса. Фокусы эллипса. Эксцентриситет Пусть имеем две точки Fx и F2 (черт. 47), отстоящие друг от друга на расстояние FXF2 = 2с. Закрепим в точках F, и F2 концы нити *), длина которой 2а больше расстояния FxF2 = 2c (ay с). Натянув нить концом карандаша, будем передвигать его ост- рие по плоскости чертежа. Мы полу- чим замкнутую кри- вую овальной фор- мы. Докажем, что эта кривая есть эл- липс, и найдем его Черт. 47. полуоси. Для этого составим уравнение нашей кривой; Начало координат естественно выбрать в середине О отрезка FXF2. Ось абсцисс направим по прямой FXF2. Точки Fx и F2 будут тогда иметь координаты Fx(c, 0); F2(—с, 0). Из способа построения кривой ясно, что для любой ее точки М(ху у) сумма расстояний до Fx и F2 есть постоянная величина 2а: MF1 + MF2=2a. (1) !) На чертеже 47 вместо нити F1MF2 = 2a, закрепленной своими концами Fx и /¾, изображено нитяное к о л ь ц о FXMF2FX = = 2a-\-F1F2, наброшенное на гвоздики Fx и F2. Легко сообразить, что это не меняет дела, так как отрезок нити FXF2 остается неиз- менным.
106 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [гл. Ш По формуле расстояния между двумя точками имеем MF, = + V(x — с)« + у\ (2) MF2 = + V(x + cf + у\ (3) Уравнение (1) принимает теперь вид Vyx — cf^f^ V(x^7j^y~== 2а. (4) Это и есть уравнение построенной нами кривой; чтобы иссле- довать его, освободим его от радикалов. Перенесем один из радикалов в правую часть. Получим V(x — cf -\-у* = 2а — V(x -f cf -{-у2. (4') Возведем обе части этого уравнения в квадрат; получим (х — cf -\~у2 = \а2 — 4аУ{х+сГ+у*-+- {х -\-cf -4-у?. Перенесем член, содержащий радикал, в левую часть, а остальные члены — в правую, и упростим правую часть. Тогда получим 4а Y(x^-cf + / = 4а2 -f- 4сх. Разделив \ обе части равенства на 4 и возведя затем их d квадрат, получим Ф (х2 -f- 2сх + с2 -\-у2) = с2х2 -J- 2а2сх -f а4. Собрав члены, содержащие переменные величины, в левую часть и произведя приведение подобных членов, будем иметь (а2 — с2) х2 Фу2 — а2 (а2 — с2) или, деля обе части равенства на свободный член, Теперь мы видим, что наша кривая есть эллипс. Действи- тельно, так как #^>с, то величина а2 — с2 положительна и может быть представлена как квадрат некоторого положитель- ного числа Ь\ а2 — с2= Ь2 (6) (отрезок Ь есть катет прямоугольного треугольника, гипоте- нуза которого а и другой катет с). Тогда уравнение (5)
§ б) ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА* ФОКУСЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ 107 примет вид Значит, наша кривая есть эллипс с полуосями а и Тот факт, что малая ось эллипса должна быть равна У~а2 — с2, очень наглядно выясняется из черт. 47. Когда острие карандаша попадает в точку в (или в') на оси ординат, отрезки f2b и f±b становятся равными, и так как общая их длина 2я, то каждый ра- вен а. Отрезок же ofx равен с. Значит, ов = Vbf\-of\ = Из сказанного ясно, что эллипс можно определить также следующим образом: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек Fv F2 есть постоянная величина (2а). Точки Fv F2 называются фокусами эллипса; расстояние между ними FXF2 = 2с называется фокусным расстоянием. Отрезки MFV MF2, соединяющие любую точку М эллипса с фокусами, называются радиусами-векторами эллипса. Фокусы эллипса расположены на большой его оси, сим- метрично относительно центра; если заданы длины полуосей а, Ь, то расстояние с каждого из фокусов до центра опре- деляется из соотношения (6): c = Va?—b\ (8) Чтобы построить фокусы по данным полуосям, нужно из конца В малой оси, как из центра, сделать радиусом а засеч- ки Fv F2 на большой оси А'А. Выше было указано, что окружность можно рассматривать кач эллипс с равными осями (Ь = а). Естественно спросить, где находятся фокусы окружности? Формула (8) при Ь = а дает с — 0. Значит, фокусы окружности совпадают с ее центром. Чем более отличается эллипс с заданной большой осью от окружности, тем больше расстояние его фокусов от центра. Величина с этого расстоя- ния может поэтому служить мерой вытянутости эллипса. Но сама по себе величина с еще мало характерна для определения формы эллипса, ибо даже при больших ее зна- чениях эллипс с трудом отличим от окружности- если его
108 ЭЛЛИПС, ГИПЕРВОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ш оси очень велики сравнительно с с. Поэтому для характе- ристики растянутости эллипса лучше всего ввести отношение ; оно называется эксцентриситетом эллипса и обозна- чается буквой g; таким образом, t = ± = Yj*f£. (9) а а Эксцентриситет окружности (а = Ь) равен нулю; вообще же эксцентриситет эллипса е<Ц, так как (^<Сща- При пропор- циональном увеличении осей эллипса его эксцентриситет, как показывает формула (9), не меняется. Заметим, что и коэ- фициент сжатия k=± а и сжатие эллипса а — Ь а = - а остаются при этом неизменными. Между эксцентриситетом £ = — эллипса и коэфициен- том сжатия k — существует простая связь. Переписав уравнение (6) в виде разделим обе его части на я2. Получим Пример. Найти коэфициент сжатия эллипса и составить его уравнение, если эксцентриситет эллипса равен -g-, а фо- кусное расстояние 24 см. 4 Имеем е=— с = \2см. о ' *■ Из уравнения (11) находим Далее, из формулы (9) находим с 12-5 1е а = — = -^— = 15 см.
§ 6] ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА. ФОКУСЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ 109 Наконец, из формулы (4) § 4 находим b = ak = \5.~ = 9 см. о Уравнение эллипса будет 225 • 81 *2 , У~ -4--= 1 Упражнения Написать уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат, по следующим данным: 1. Оси эллипса равны 40 м и 30 м. х2 у2 0тв' 400 + 225 = 1' 2. Фокусное расстояние равно 8 м\ большая ось 10 м. х2 у2 0тв- ^5-+-9- = 1- 3* Фокусное расстояние равно 18 см; малая ось 6 см. х2 у2 0тв' 90-+-9- = 1' 4. Сумма длин осей равна 2 м; фокусное расстояние равно 1,6 м. X2 у2 0тв' 0Д724 + 0Д)324 = 1 * 5. Найти длины осей эллипса 16.*:2-f 25у2 = 400, определить ко- ординаты его фокусов, коэфициент сжатия и эксцентриситет. Отв. 2я = 10, 2& = 8, 7^(3, 0), 3, 0), k = 0,8, е = 0,6. 6« Построить по точкам эллипс с полуосями а = 3,8 см и ¢ = 2,4 ем (см. § 5). Построить фокусы этого эллипса. 7. Даны полуоси эллипса а = 70 см, ¢ = 50 см. Не вычерчивая всего эллипса, найти графически (с точностью до 1 см) координаты его точек, для которых л: = 40 см; х — — 25 см; у = —15 см; у = 30 см (ось абсцисс — большая ось эллипса, ось ординат — малая). Указание. Уменьшить масштаб. 8. Сжатие эллипса равно а = 0,18. Найти коэфициент сжатия k и эксцентриситет е. Отв. k = 0,82, 0,57. 9. Найти эксцентриситет земного меридиана (см. пример § 4). Отв. е = 0,077. 10. Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу; Солнце нахо- дится в одном из фокусов этого эллипса. Большая полуось земной орбиты а = 150 миллионам км\ эксцентриситет ее e = g^. На ка- ком расстоянии от Солнца находится центр земной орбиты? На-
по ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill сколько кратчайшее расстояние от Земли до Солнца (оно бывает в декабре) короче длиннейшего (в июне)? Отв. 2,5 миллиона км; на 5 миллионов км. 11. Насколько малая ось земной орбиты короче большой (см. услозие предыдущей задачи)? Отв. Примерно на 40 тысяч км. 12. Расстояние между концами малой и большой оси эллипса втрое больше полуфокусного расстояния. Найти эксцентриситет эллипса (с точностью до 0,1). Отв. 0,45. 13. Через один из фокусов эллипса с полуосями а =10 см, Ь = 6 см проведена хорда перпендикулярно к большой оси. Найти ее длину. Отв. 7,2 см. 14. Найти полуоси а, Ь эллипса, зная, что на нем должны ле- жать две точки All и М2, расстояния которых от оси 2а соответ- ственно равны ^^ = 8 сму М2Р2 = 4 см, а от оси 2b MxQi = = 10 см, M2Q2 ~ 20 см. Отв. а = 22,4 см, 6 = 8,9 см. 15. Два стержня вращаются около точек А и В (см. черт. 35 на стр. 71) так, что они пересекают прямую MN в точках С и D, лежащих по одну сторону от АВ. При этом имеет место соотноше- ние OC-OD = 4 АО2. Найти геометрическое место точек R пересе- чения стержней. См. указание к упражнению 9 на стр. 71. Отв. Эллипс с центром в середине АВ; малая ось — АВ; боль- шая ось вдвое больше. § 7. Гипербола Наряду с эллипсом большое практическое значение имеет другая кривая — гипербола; ее свойства обнаруживают боль- шое родство со свойствами эллипса. Гиперболу, как и эллипс, можно опре- делить различно. Следующее опреде- X ление сразу же сближает гиперболу с эллипсом. ■ Гипербола есть геометрическое Черт. 48. место точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fx, F2 есть величина постоянная, равная 2а. Точки Fu F2 (черт. 48) называются фокусами гиперболы; расстояние между ними FXF2 — 2с называется фокусным расстоянием. Постоянная величина 2а должна быть, конечно, меньше, чем 2с, так что, в отличие от эллипса (где было с<^а), мы имеем здесь с>а. (1)
§ 7] ГИПЕРБОЛА ш ;=1. (5') Теперь можно положить с2 — а2 = Ь2 (6) и уравнение (5') примет вид Систему координат выберем так же, как в предыдущем параграфе. Из определения гиперболы вытекает, что для каждой ее точки должно иметь место равенство MF2—MFl= 2а (2) или MFx—MF2 = 2a. (3) Точки гиперболы, для которых имеет место равенство (2), лежат ближе к /7,, чем к F2; точки, для которых имеет место равенство (3), лежат ближе к F2. Точки первого рода образуют одну ветвь гиперболы, точки второго рода — другую. О расположении и форме этих ветвей мы составим себе представление, исследуя их уравнения. Рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, мы за- пишем условие (2) в виде уравнения V(x + c)*+f — У(х—с)*+у* = 2а. (4) Если перенести первый радикал вправо, получим — V(x — с)2-\-у2 = 2а — V{x-\-cf-\-y\ (4') Это уравнение отличается от уравнения (4') предыдущего параграфа только знаком в левой части. По возведении обеих частей его в квадрат различие исчезнет, так что в резуль- тате мы получим снова уравнение х2 у2 ^2 + ^=72= (5) но теперь а2 — с2 есть величина отрицательная, а ее нельзя представить в виде квадрата какого-либо действитель- ного числа. Поэтому перепишем уравнение (5) в виде
112 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill сходный с уравнением (7) предыдущего параграфа. Проделав такие же выкладки с уравнением (3), мы снова придем к уравнению (7)1). Итак, координаты точек обеих ветвей гиперболы удовле- творяют одному и тому же уравнению (7). Это и слу- жит причиной того, что гипербола с двумя своими ветвями считается за одну, а не за две кривые. Можно было бы показать (мы этого не будем делать), что все точки, коор- динаты которых удовлетворяют уравнению (7), непременно принадлежат одной из двух ветвей гиперболы, т. е. удовле- творяют либо условию (2), либо условию (3). Геометрический смысл величины Ь будет выяснен ниже; пока заметим только, что, как видно из формулы (6), вели- чина Ь2 не превосходит с2, поэтому b (эту величину считают положительной) не превосходит полуфокусного расстояния с. § 8. Исследование формы гиперболы по ее уравнению; оси, вершины и эксцентриситет гиперболы Разрешим уравнение гиперболы х--у-=\ (1) Ф Ь2 1 * ' относительно у; мы получим y = ±%V*—(fi. (2) Если задавать абсциссе х значения, меньшие а по абсо- лютной величине, то под корнем окажется отрицательная величина, и ордината у не получит никакого действительного значения. Значит, гипербола (1) не имеет точек внутри полосы, ограниченной прямыми PQ и RS (черт. 49), парал- лельными оси ординат и лежащими направо и налево от этой оси на расстоянии а от нее. Для каждого значения jc, пре- восходящего а по абсолютной величине (т. е. для х<^— а J) Это можно видеть и не проводя вычислений; действительно, мы найдем уравнение У(х — с)2 -(-У2— У (х-\- с)2 -\-у2 = 2а, кото- рое получилось бы из (4) заменой с на — с. Поэтому вместо урав- х* у2 х2 у2 нения — z 0 = 1 мы получим — — —^ 5=1» но это Ф с2 — Ф Ф (— с)2 — Ф 1 последнее уравнение не отличается от первого, ибо (—с)2-=с\
§ 8] исследовлниЕ ФОРМЫ гиперболы ИЗ и для х ^> о)у ордината у будет иметь два значения, равных по величине и противоположных по знаку. Это значит, что гипербола имеет неограниченное про- тяжение вправо от прямой PQ и влево от прямой RS, причем с обеих сторон она расположена симметрично относительно оси абсцисс (т. е. отно- сительно прямой, проходящей через фокусы). Разрешив уравнение относительно л:, получим х=±^УуЧгр~. (5) Черт. 49. Это уравнение показывает, что ординате у можно задавать любые значения; соответствующая абсцисса всегда будет иметь два действительных значения. Значит, по направлению оси ординат гипербола (1) не стеснена никакими пределами, причем повсюду она расположена симметрично относительно оси ординат. Наконец, совершенно так же, как для случая 1*3, с*5, Ь=4 а Черт. 50. b эллипса, мы покажем, что гипербола (1) симметрична относи- тельно начала координат. Сообразно с этим гипербола выгля- дит так, как показано на черт. 50, а и b1). Две ветви гиперболы разобщены между собой пространством, лежащим между прямыми PQ и RS. В каждой ветви две ее части, расположенные симметрично по отношению к оси абсцисс, 2) На этом чертеже изображены две гиперболы: • r2 V2 ~9 V2 а) у 1 кч *г У 1 8 М. Я. Выгодский
114 ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. Ill смыкаются в точках А (я, 0) и А' (— а, 0). Эти точки назы- ваются вершинами гиперболы. Точка О называется центром гиперболы. Отрезок А'А=2а называется действительной осью гиперболы. Отрезок В'В длиной 2Ь называется мнимой осью. Название это нельзя признать удачным, ибо отрезок В'В столь же действителен, как и отрезок А*А. Роль «мнимой оси» при определении формы гиперболы выяснится в следующем параграфе. Отношение фокусного расстояния гиперболы к действи- тельной ее оси 2с_ 2а а называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой е, как и эксцентриситет эллипса. Только для эллипса величина е заключена между 0 и 1, для гиперболы же е^> 1, ибо су а. Заметим, что величина s = — при соответствующем под- боре величин с, а может быть сделана сколь угодно боль- шой. Так как мы положили b2 = с2 — а\ (4) то для гиперболы t=jLs=V^T» (5) a a v ' [ср. формулу (9) § 6, стр. 108]. Пример. Составить уравнение гиперболы, действительная 5 ось которой равна 24 см, а эксцентриситет равен . Имеем a=12, s = 4". Из формулы (5) находим полуфокусное расстояние с = аг — \2--г= 15. 4 Из формулы (4) находим мнимую полуось: b2 = c2_a2= 152— 122 = 81, Ь = 9. Уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, имеет вид *2 У2 Л
АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 115 § 9. Асимптоты гиперболы Мы видели, что гипербола, подобно эллипсу, имеет центр симметрии. Но, рассматривая пучок прямых с вершиной в центре симметрии, мы обнаруживаем между эллипсом и гиперболой существенное отличие. Именно: любая прямая, проходящая через центр эллипса, пересечет эллипс в двух точках, распо- ложенных симметрично по отношению к центру. Для гипер- болы дело обстоит иначе: не всякая прямая, проходящая через ее центр, встречает гиперболу. Так, ось ординат заведомо не имеет общих точек с гиперболой (§ 7). С другой сто- роны, ось абсцисс заведомо пересекается с гиперболой. Воз- никает вопрос, какие из прямых, проходящих через центр, встречают гиперболу, а какие нет? Пучок прямых, проходящих через центр гиперболы £1-^1 = 1 (1) имеет уравнение y = kx. (2> Нужно узнать, при каких значениях k прямая пучка пере- секает гиперболу (1). Для этого нужно узнать, при каких значениях k система уравнений (1) и (2) имеет решения и при каких не имеет. Подставляя выражения у из уравнения (2) в уравнение (1), получим IP—-*г = 1> откуда и уравнение (2) дает у = 4- r , -. (о) Из формул (4) и (5) видно, что координаты х, у не имеют действительных значений, если подкоренное выражение Ь2 — a2ft2 отрицательно, т. е. если ft2 —а2£2<0, или 8*
116 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. ПГ ИЛИ Итак, если угловой коэфициент прямой, проходящей через центр гиперболы, по абсолютной величине превосходит ~ , т. е. либо & Ъ> —, либо k — , то эта прямая не будет пересекать гиперболы. Напротив, все те прямые нашего пучка, для которых т. е. и ^ а ' пересекут гиперболу, ибо при l&|<C"7f подкоренное выраже- ние в формулах (4) и (5) положительно: и координаты л:, у получают по два действительных значения, рав- ных по величине и противо- положных по знаку. Таким образом, в этом случае будем иметь две точки пересечения, симметрично расположенные отно- сительно центра гиперболы. Границами между прямыми пуч- ка, пересекающими гиперболу и не пересекающими ее, будут служить прямые РР' и QQ' (черт. 51), имеющие угловые Ь „ , Ь Черт. 51. k=— и k = — —. а а коэфйциенты Уравнения этих прямых суть у= — х У = х.
§ 9] АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 117 Все прямые, проходящие через центр гиперболы и лежа- щие внутри той пары вертикальных углов, образованных пря- мыми РР' и QQ\ которая содержит действительную ось гиперболы, — пересекают гиперболу; прямые, проходящие через центр гиперболы и лежащие внутри другой пары вер- тикальных углов, образованных прямыми РР' и QQ', — не пере- секают гиперболы. Если вращать прямую МОМ\ пересекающую гиперболу, около центра О, приближая ее к одной из двух прямых РР' или QQ\ то угловой коэфициент k будет приближаться к величине -^- или —-^-; знаменатель в формулах (4) и (5) будет приближаться к нулю, и, следовательно, координаты х, у точек пересечения будут неограниченно возрастать. Это значит, что точки пересечения будут неограниченно удаляться от центра гиперболы. Ясно, что сами прямые РР1 и QQ' уже не встретят ги- перболы. Прямые РР' и QQ' называются асимптотами1) гиперболы. Сообразно сказанному выше, можно дать такое определение: асимптотами гиперболы называются прямые, служащие границами между теми проходящими через центр гиперболы прямыми, которые пересекают гиперболу, и теми из них, которые гиперболы не пересекают. Уравнения асимптот в принятой нами системе координат имеют вид У = ±Т*- <6> Сами асимптоты, как мы видели, не пересекают гиперболы. Но среди всех остальных прямых, не пересекающих гипер- болы, они занимают особое положение. Именно: всякая прямая (например NON' на черт. 51), не встречающая гиперболы и не являющаяся ее асимптотой, при неограниченном продолже- нии в обе стороны все более и более удаляется от гипер- болы. Асимптота же, напротив, при неограниченном про- должении все более и более сближается с гиперболой. Чтобы доказать это, рассмотрим одну из асимптот, напри- мер асимптоту [) Асимптота — греческое слово; означает «не попадающая».
118 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III и верхнюю половину гиперболы; уравнение последней будет (координаты точек гиперболы, для отличия от координат точек асимптоты, обозначены чертой сверху). Будем задавать одни и те же положительные значения абсциссе гиперболы и абсциссе асимптоты: х = л;>0, т. е. будем рассматривать точки V на верхней половине пра- вой ветви гиперболы и брать лежащие на той же вертикали точки U асимптоты (7) (черт. 51). Длина отрезка VU будет VU^W—LV^y—y, и из уравнений (7) и (8) получим VU=±(x — Ух2 — а2)- (9) Так выражается измеряемое по вертикали расстояние между гиперболой и асимптотой. При неограниченном возрастании х неограниченно увели- чивается также и величина Ух2—а2, и потому по формуле (9) трудно судить о том, как изменяется величина VU. Поэтому подвергнем формулу (9) преобразованию, умножив и разделив правую ее часть на величину х-\-Ух2— а2. Получим VU= Ь {х — Ух* — €^(х-\-Ух*--Ф)_ а х -f Ух2 — а* = А д а1 И0) ах + ухч-ф х + УхГ—а**- * ' Числитель в правой части (10) остается постоянным; знамена- тель состоит из двух неограниченно растущих слагаемых. Оба они положительны; поэтому неограниченно увеличивается и их сумма. Значит, величина VU при этом неограниченно умень- шается, что и требовалось доказать. ' Совершенно так же мы доказали бы, что гипербола в ниж- ней части своей левой ветви неограниченно приближается к той же асимптоте у= — х. В верхней же части левой
§9] АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 119 ветви, а также в нижней части правой ветви гипербола неогра- ниченно приближается к другой асимптоте у = х. Итак, каждая из асимптот гиперболы обладает тем заме- чательным свойством, что гипербэла, хотя и не имеет с ней ни одной общей точки, но неогра- . . ниченно к ней приближается. nn g l/s Это свойство асимптоты гиперболы принимается часто за ее определение. Преимущество такбго определения состоит в том, что его можно обобщить на многие другие кривые линии. Именно, если кривая линия CD неограниченно сближается с некоторой прямой ЛЯ (черт. 52), то последняя называется асимптотой кривой CD. Пример. Найти уравнения асимптот гиперболы В данном случае а = 3, ¢ = 4. Поэтому уравнения асимптот будут В заключение отметим, что рассмотрение асимптот позво- ляет ^приписать вели шне 2¢ («мнимой оси») определенный геометрический смысл. Проведем через одну из вершин ги- перболы, например А (а, 0) (черт. 53), прямую AL, парал- лельную оси ординат; эта прямая пересечет асимптоту OL в точке L. Ордината AL найдется из уравнения после подстановки в него значения х = а. Мы получим Черт. 52. Черт. 53. 9 16 ~~~ у = — х а AL = —-а=Ь. а В силу симметрии имеем L'L=2-AL = 2b.
120 эллипс, гипербола, парабола [гл. Ш Итак, мнимая ось В'В равна ограниченному асимпто- тами отрезку прямой, проходящей через одну из вершин гиперболы перпендикулярно к ее действительной оси. § 10. Равносторонняя гипербола Равносторонней гиперболой называется гипербола, у ко- торой действительная и мнимая оси равны между собой, т. е. У\ Л а = Ь. (1) Уравнение равносто- ронней гиперболы может быть записано в виде £1_ У1_ 1 а2 Д2 — '» е. Х2—у2=:а?. (2) Среди гипербол равносто- ронняя гипербола зани- мает, таким образом, то же положение, что окруж- Черт. 54. ность среди эллипсов. Асимптоты равносто- ронней гиперболы могут быть представлены уравнениями у = х и у = — х. Они образуют с осями гиперболы углы 45° и 135°, так что между собой асимптоты гиперболы взаимно перпендику- лярны. Вид равносторонней гиперболы и ее асимптот показан на черт. 54. Найдем положение фокусов равносторонней гиперболы. Из формулы (6) § 6 имеем с2 = a2 -f £2, так что полуфокусное расстояние OFx = c для равносторон- ней гиперболы (Ь = а) определится из равенства с*=0/* = 2А (3) Если опустить из точки Fx перпендикуляр FXK на одну из асимптот, то треугольник OKFx будет прямоугольным и
РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 121 равнобедренным (ибо J/mFxOK = 4b°). Поэтому OF21 = 20K2=2KF2y (4) Сравнение формул (3) и (4) показывает, что OK = KFx = a. (5) С равносторонней гиперболой мы уже встречались как с графиком обратной пропорциональности [см. Введение, § 10 (стр. 41)]. Конечно, в той системе координат, которой мы до сих пор пользовались, равносто- ронняя гипербола не служит графиком об- ратной пропорциональ- ности. Но если отнести равностороннюю гипер- * болу не к ее осям, а к - асимптотам, то она бу- дет графиком обратной пропорциональности. Докажем это. Для большей наглядности повернем черт. 54 на 45° против часовой стрелки, так чтобы асимптоты приняли го- Черт. 55. ризонтальное и верти- кальное положения. На черт. 55 X X и Y'Y суть асимптоты равносторонней гиперболы, принятые за новые координатные оси. Старые координатные оси занимают положения XX и Y'Y. Фокусы Fx и F2 располагаются на прямой XX. Коор- динаты xv ух фокуса FA в новой системе координат, как яв- ствует из формулы (5), суть хх--=ОК=ау y1 = KFx = a. (6) Координаты другого фокуса F2 отличаются от координат фо- куса Fx только знаками: х2 '= — а, уг — — а. (7)
122 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [[У1. II На основании определения гиперболы (§ 7), для любой точки М(х, у) ее правой ветви имеет место равенство MF2 — MFx = 2a. (8) Это равенство мы прежде выражали в виде уравнения между координатами л:, у, взятыми в системе координат XOY; теперь воспользуемся системой координат XOY. Формула расстояния между двумя точками (§ 3 гл. I) и формула (7) дают: MF2 = }/r (x + a)* + (y + af. (9) Точно так же найдем с помощью формулы (6) MFx = y {х — а? + Су-а)\ (10) и равенство (8) примет вид: ^ (* + я)2 + 0> + я)2 — — а)2 + (у — а)2 = 2а. (11) Перенесем второй радикал в правую часть и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим *2 + 2я* + а2+у2 + 2аЗГ+д2 = 422 + + 4а ]/~ (х—a)2+(j; — а)2 +х2 — 2ах + а2+у2 — 2ау-\- а2. Перенесем все члены, кроме члена, содержащего радикал, в левую часть, выполним приведение подобных членов и раз- делим обе части полученного уравнения на 4а. Получим: х-\-у — а = У (х — а)2-\-(у — а)2. Возведя в квадрат обе части последнего равенства, буде* иметь х2 +у* + а2 + 2ху — 2ах — 2ау = — х2 — 2ах + а2 -\-~у2 — 2ау-\-а\ Отбрасывая в правой и левой частях попарно равные члены, получаем 2ху = а2 или
РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА 123 К такому же уравнению мы пришли бы, рассматривая левую ветвь равносторонней гиперболы. Уравнение (12) показывает, что переменные х и у обратно пропорциональны (см. Введе- ние, § 10). Поэтому равносторонняя гипербола, если асимп- тоты ее принять за координатные оси, дает график обратной пропорциональности, что и требовалось доказать. Упражнения Написать уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, по сле- дующим данным: 1. Действительная ось равна 20 см, мнимая 16 см. х2 у2 Отв.—- — 1. 100 Ь4 2. Действительная ось равна 16 см, мнимая 20 см. х2 у2 Отв. ж — Гб0=1- 3. Действительная полуось равна 10 см, эксцентриситет равен 1,4. х2 у2 °тв- ш—"%=1- 4. Фокусное расстояние 12 см, действительная ось 10 см. х2 у2 0тв- Тоо_ТГ=1- 5. Фокусное расстояние 12 см, мнимая ось 10 см. х2 у2 0тв- ТГ-ш^1- 6. Гипербола проходит через точки (4, 2) и (6, 8). Отв. Зх2— у2 = 44. 7. Найти длины осей гиперболы 25х2 — 144у2 = 3 600. Определить координаты фокусов и эксцентриситет. Отв. 2а = 24, 26 = 10, F1(\S, 0), (— 13,0), е = у|. 8. Мнимая ось гиперболы 2Ь = 8 см; эксцентриситет г = 2. Найти длину действительной оси. Отв. 2я=-4,6 см. 9. Даны длины действительной полуоси а и мнимой полуоси Ь ги- перболы. Найти длину хорды, проведенной через один из фокусов перпендикулярно к действительной оси. Отв. ——. а 10. Найти уравнения асимптот гиперболы х2 у2
124 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III Черт. 56. 11. Найти величину угла между асимптотами, внутри которого лежит одна из ветвей гиперболы с эксцентриситетом е = 2. Отв. 120°. 12. Найти эксцентриситет равносто- ронней гиперболы. Ome.z = V2. 13. Прямая АС вращается около точки А (черт. 56); прямая bd вращает- ся около точки В. При этом они пере- секают ось МЫ (проходящую через се- редину О отрезка АВ перпендикулярно к • АВ) по разные стороны от АВ так, что имеет место соотношение OCOD=zAOK Найти геометрическое место точек R пересечения вращающихся прямых. См. указание к упражнению 9 на стр. 71. Отв. Равносторонняя гипербола с вершинами в А и В. 14. Даны две взаимно перпендикулярные прямые АА* и ВВ'. Найти геометрическое место центров кругов, которые отсекают на прямой АА' отрезки длиной 40 см, а на прямой ВВ' отрезки дли- ной 24 см. Отв. Равносторонняя гипербола, оси которой направлены по АЛ' и ВВ' и равны 16 см. § 11. Парабола В § 9 Введения мы познакомились с параболой как с графиком квадратичной функции. Парабола имеет, наряду с эллипсом и гиперболой, много технических приложений, вытекающих из ее разнообраз- ных геометрических свойств. Одно из этих В - свойств, часто принимаемое за определение параболы, таково: парабола есть геомет- рическое место точек М, для которых расстояние MF до данной точки F и рас- стояние MB до данной прямой PQ равны между собой. Точка F (черт. 57) называется фокусом в " параболы; прямая PQ — директрисой парабо- лы; расстояние FC = p фокуса от директрисы Черт. 57. называется параметром параболы. Ниже будет доказано, что определенная таким образом парабола есть та же кривая, которую мы рассматривали раньше как график квадратичной функции. О Л м'
§ 11) парабола 125 Выведем уравнение параболы, исходя из определения в настоящем параграфе. При выборе системы координат заметим, что середина О отрезка FC должна принадлежать параболе, ибо точка О заведомо находится на одинаковых рас- стояниях OF=OC от фокуса F и ди- ректрисы PQ. Кроме того, можно пред- видеть, что парабола окажется симме- тричной относительно прямой С/7, Так как для точки М\ симметричной с Л7, мы имеем M'F = MF и М'В' = МВ. Ввиду этого удобно будет принять точку О за начало координат, а пря- мую CF за одну из координатных осей, например за ось абсцисс (черт. 58). В Черт. 58. этой системе координат фокус F будет иметь координаты F ^4~"f"> расстояние MF между М (х, у) и F (|, О) будет MF= )/)2+j,. 0) Расстояние же ВМ точки М до директрисы PQ есть сумма длин BD =| и DM = лг, так что ВМ = х-\- 2 • (2) Согласно определению параболы имеем MF=MB, т. е. j/(*-f)3+y=*+f (3) Это и есть уравнение параболы; приведем его к простейшему риду. Возводя обе части уравнения (3) в квадрат, имеем
126 эллипс, гипербола, парабола [гл. III По приведении подобных членов получим у2 = 2рх. (4) Таково уравнение параболы в простейшем виде. Разрешив его относительно у, получим y = ±V2px. При отрицательных значениях х переменная у не может иметь действительных значений; следовательно, парабола не имеет точек по ту сторону прямой YY\ где располагается дирек- триса PQ. При всяком л;^>0 переменная у всегда имеет два значения, равных по абсолютной величине и противополож- ных по знаку; следовательно, по ту сторону от прямой YY\ где расположен фокус, парабола имеет неограниченное про- тяжение и симметрична относительно прямой XX'. Эта пря- мая (ось абсцисс в нашей системе координат) называется осью параболы. Так как при х = 0 имеем у=0, то парабола проходит через точку О, в которой смы- каются две симметричные ее половины. Точка О (совпадающая с началом ко- ординат при нашем выборе координат- ной системы) называется вершиной па- раболы. Уравнение у2 = 2рх представляет параболу, отнесенную к системе коор- динат, выбранной указанным выше спо- собом. При ином выборе системы коор- динат мы получили бы и иные уравне- ния. Например, если за положительное направление оси абсцисс принять не направление от директрисы к фокусу, а обратное, то урав- нение параболы будет иметь вид f = — 2px, (5) Предлагаем читателю показать это. При обычном расположении осей парабола (5) располо- жится так, как показано на черт. 59. Если ось параболы CF принять не за ось абсцисс, а за ось ординат, то уравнение параболы будет 2ру = х* (6)
ПАРАБОЛА 127 или — 2ру = х\ (7) смотря по тому, какое направление на оси параболы принять за положительное. Расположение парабол (6) и (7) показано на черт. 60 и 61. Разрешая уравнения (6) и (7) относительно у и обозначая величину или — ~" через я, получаем уравнение параболы в виде у = ах2. Парабола есть график этого уравнения, из чего выте- кает, что определение настоящего параграфа и прежнее оп- Черт. 60. Черт. 61. ределение параболы (Введение, § 9) по существу со- впадают. Упражнения 1. Написать уравнение параболы с параметром /7 = 3 см, при- няв ее вершину за начало координат н направив ось ординат от вершины в сторону, противоположную фокусу. Отв. х2 = — 6у. 2: Составить уравнение той же параболы, приняв ее ось за ось абсцисс, а директрису за ось ординат. Отв. у2 = Ьх — 18 или у2 = — вх — 18. 3. Директриса параболы имеет уравнение у = 4; фокус поме- щается в точке (8, 10). Составить уравнение параболы. Отв. х2 — \6х — 12у -f 148 = 0. 4. Парабола симметрична относительно оси абсцисс; вершина ее лежит в начале координат. Найти уравнение директрисы, если известно, что парабола проходит через точку (—2, 4). Отв. х = 2. 5. Найти параметр параболы у = — -i- х2 — 7х -{-8. Отв. /7=-2.
128 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III 6. Найти координаты вершины и фокуса, а также уравнение директрисы параболы х*-\-4х— 6у4-7 = 0. Отв. (— 2,0,5), (— 2,2); у = — 1. 7. Показать, что хорда параболы, проведенная через фокус перпендикулярно к оси, вдвое длиннее расстояния фокуса от директрисы (двумя способами: из чертежа и из уравнения пара- болы). 8. В параболическом сегменте основание перпендикулярно к оси параболы. Зная основание сегмента а = 6 м и высоту его h — 4 м, найти положение фокуса. Отв. Фокус отстоит на 56,25 см от вершины. 9. Где находится фокус параболического рефлектора диамет- ром 15 см и глубиной 10 см^ Отв. На расстоянии 1,4 см от вершины. 10. Параболическое зеркало рефлектора Симеизской обсерва- тории (в Крыму) имеет в диаметре 1,02 м\ расстояние его фокуса от вершины равно 5 м. Найти глубину параболической выемки, ко- торую пришлось сделать при изготовлении зеркала из плоского стекла. Отв. 13 мм. 11. Горло фонтана расположено на уровне окружающего его бассейна. Струя воды имеет форму параболы с параметром 0,1 м и падает в бассейн на расстоянии 2 м от горла. Определить вы- соту струи. Отв. 5 м. 12. Через фокус параболы с параметром р проведена хорда под углом 45° к оси параболы. Определить расстояние от середи- ны этой хорды_до фокуса. Отв. р V 2. Указание. Для сокращения вычислений полезно восполь- зоваться известным свойством корней квадратного уравнения лг2 -f- тх + п = 0; сумма их равна—т. . 13. Найти геометрическое место середин хорд параболы, про- ходящих через ее фокус. Отв. Парабола с "вдвое меньшим параметром и с вершиной в фокусе данной параболы. Указание. Составить уравнение пучка прямых с вершиной в фокусе и выразить координаты искомого геометрического места через угловой коэфициент пучка; исключив этот коэфициент, най- дем искомое уравнение. См. также указание к задаче 12. § 12. Замечания о форме параболы, гиперболы и эллипса По своему гиду парабола имеет некоторое сходство с гипер- болой (точнее, с одной из ветвей последней): если взять гиперболу с эксцентриситетом, незначительно превышающим единицу, и с очень большими осями, то около одной из своих вершин такая ги- пербола будет мало разниться от параболы и практически может быть и неотличимой от последней. Гипербола с эксцентриситетом, значительно большим 1, заметно отличается от параболы; но даже
сечения конуса 129 и при близких к 1 значениях эксцентриситета гипербола вдали от вершины резко отличается от параболы. Наиболее ярко это ска- зывается в том, что всякая гипербола имеет асимптоты (§ 9), тогда как парабола асимптот не имеет. Если мы поместимся в одной из вершин гиперболы и будем следить за удаляющейся в бесконечность точкой, движущейся по той ветви гиперболы, на которой мы поместились, то лучи зрения будут приближаться к направлениям, параллельным асимптотам. Это можно вывести аналитически, но это очевидно и при беглом взгля- де на черт. 51 (стр. 116). Таким образом, обе симметричные поло- вины данной ветви гиперболы представятся, как это и есть в дей- ствительности, расходящимися, Если мы поступим так же, поместившись в вершине параболы у* = 2рх, то картина будет совершенно иная. Направление луча у зрения определяется его угловым коэфициентом, равным ~ = ±У'2рх УТр _ . — ■- r=r. По мере удаления точки параболы в х Ух бесконечность по любой из ее симметричных половин^ абсцисса х неограниченно возрастает, а угловой коэфициент ""^j? прибли- V х жается к нулю, т. е. парабола будет казаться замкнутой кривой (эллипсом). Таким образом, парабола имеет родство не только с гипербо- лой, но и с эллипсом. Родство это проявляется и в том, что если взять эллипс с экс- центриситетом, незначительно меньшим, чем 1, и с очень больши- ми осями, то вблизи одной из своих вершин он будет очень мало разниться от параболы. Разумеется, вдали от этой вершины эллипс рано или поздно начнет сужаться, тогда как парабола все время будет расширяться. В связи с этим стоит и тот факт, что эллипс (как и гипербола) имеет центр симметрии; парабола же центра не имеет. Далее, эл- липс и гипербола имеют две оси симметрии; парабола же только одну. Указанные черты сходства и различия между параболой и эллипсом и между параболой и гиперболой ставят параболу в по- ложение, промежуточное между эллипсом и гиперболой, и связы- вают все три кривые в единое целое. И, действительно, они обла- дают целым рядом общих свойств и образуют единую семью кривых линий, связанных между собой общностью происхождения. Об одном из способов единообразного порождения этих линий говорится в сле- дующем параграфе. § 13. Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса Эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как линии пересечения круглой конической поверхности с пло- скостью при разных положениях последней. Пусть S есть вер- 9 М, Я. Выгодский
130 эллипс, гипербола, парабола [ГЛ. III шина конической поверхности, a ABCD— окружность, слу- жащая направляющей конической поверхности (черт. 62). Образующие конической поверхности SA, SC и т. д. мы бу- дем неограниченно продолжать в обе стороны от вершины, так что коническая поверхность будет иметь две полости: SABCD и SA'B'CD'. Возьмем на конической поверхности скости Р к положению Я3, в кото- ром она параллельна образующей SE, эллипс будет неограничен- но удлиняться и расширяться, но малая ось будет расти медлен- нее большой, так что коэфициент сжатия ~ будет стре- миться к нулю, а, следовательно, эксцентриситет е — к 1. Пло- скость Р3, параллельная образующей SE9 разрежет кониче- скую поверхность по параболе с вершиной в К. При даль- нейшем вращении плоскость Р пересечет не только полость SABCD, но и полость SA'B'CD'. Одно из таких положе- ний (Р4) изображено на черт. 62. Мы получаем гиперболу, одна ветвь которой BKD располагается на полости SABCD, Черт. 62. какую-либо точку К. Проведем через нее осевое сечение ASE и плоскость Р, перпендикулярную к этому осевому сечению. Пло- скость Р будем вращать около точки К так, чтобы она оставалась перпендикулярной к осевому се- чению. Когда плоскость Р займет положение Pv в котором она па- раллельна плоскости основания, в сечении ее с конической по- верхностью получится окружность. При небольшом повороте секущей плоскости, когда она займет положение Я2, сечение вытянется в овальную кривую, которая есть не что иное, как эллипс с вер- шиной в К. Пока плоскость Р пересекает только одну полость конической поверхности и не па- раллельна образующей SE, в се- чении всегда будет получаться эллипс; по мере приближения пло-
§ 14] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 131 1) Если основание конуса оставлять неизменным, а вершин/ удалять в бесконечность, конус будет приближаться по форме к цилиндру. Тогда все большую часть его сечений будут соста- влять эллипсы; на самом цилиндре, -как мы знаем (§ 2), все сече- ния — эллипсы. 2) Л также на поверхности некруглого конуса, имеющего в качестве направляющей линии окружность. 9* а другая B'K'D' ~~ на полости SA'B'C'D'. Точка /Сбудет одной из вершин гиперболы. Другая вершина К' по мере вращения плоскости Р будет приближаться к вершине конуса S. Экс- центриситет гиперболы при большом удалении К' от К будет незначительно превышать 1; по мере приближения К' и S он будет неограниченно возрастать. Доказательство всех этих утверждений нетрудно, но не- сколько громоздко, и потому мы его не приводим. Для нас важно было только показать, что эллипс, парабола и гипер- бола в описанном простом геометрическом способе их полу- чения являются частными видами единого класса кривых ли- ний1). Заметим еще, что на любой круглой конической поверх- ности2) можно получить любой эллипс, любую параболу, но не всякую гиперболу, а лишь такие, у которых угол между асимптотами не превышает угла при вершине конуса в осе- вом сечении. Наконец, отметим, что эллипс, гипербола и па- рабола впервые . были введены в математику именно как се- чения конуса. Теория их была обстоятельно разработана уже за 2 200 лет до нашего времени древнегреческими матема- тиками (Менехмом, Евклидом, Аполлонием и др.), которые дали этим кривым общее название: конические сечения. Это название сохраняется и поныне. § 14. Общее уравнение конических сечений, отнесенных к вершине. Происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола» Уравнения эллипса и гиперболы, изученные нами выше, схожи друг с другом, но непохожи на уравнение параболы. Это несход- ство вызывается тем, что для эллипса и гиперболы мы прежде брали начало координат в центре, а для параболы в вершине. Если единообразно выбирать для всех трех кривых систему координат, то и уравнения их представятся в единообразном виде. Так как парабола центра не имеет, то для составления общего уравнения всех конических сечений лучше за начало координат принять вер- шину конического сечения"
132 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1.ГЛ. III Черт. 63. Черт. 64. Поместим начало координат в вершине В (черт. 64), ось абсцисс направим по действительной оси от вершины В к фокусу /¾. Рас- стояния фокусов до начала координат будут теперь BF1 = OF1 — OB = c — a = a(z—\)1 F2B = F20 + OB = c+a = a(t + \). Так как фокус F2 лежит слева от начала координат, его абсциссу нужно взять со знаком минус, и мы получим координаты фокусов: ^(«(в-1),0), /^(-й(е + 1),0). Уравнение гиперболы запишется в виде V [х — а(г — \)]*+у* + Vlx + a(* + l)P+y* = 2а. Возьмем эллипс с большой осью 2а и эксцентриситетом s; тогда полуфокусное его расстояние есть с = га. Поместим начало координат в вершине А (черт. 63), а ось абсцисс направим по большой оси АВ от вершины А к фокусам. Тогда фо- кусы эллипса F2t будут отстоять от начала координат на рас- стоянии AF2 = AO — F20 = a — c = a{\ — e), AFl = AO + OFl = a + c = a(\ + s) и будут иметь координаты (а (1 + е), 0), F2(a ( \ s)7Q). Уравне- ние эллипса получим, как и прежде, из условия MF2 + MFx = 2a. При нашем выборе системы координат получим Y[x — a(\ — z)¥+y* + У[х — а(1 + *)Р+}Р = 2а. После преобразований, аналогичных проведенным в §5, получим ура- внение у2 = (\ — е2) 2ах — (1 — е2) х\ (1) Возьмем теперь гиперболу с действительной осью 2а и эксцен- триситетом е; полуфокусное расстояние с опять будет равно еа.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 133 По освобождении от иррациональности оно примет вид: у2 = — (1 — е2) 2ах — (1 — е2) х2. (2) Уравнения (1) и (2) имеют весьма схожий вид. Если мы вспом- ним, что для эллипса е2< 1, а для гиперболы s2 > 1, то увидим, что в обоих уравнениях (1) и (2) коэфйциенты при х существенно по- ложительны. Обозначим в уравнении (1) через р величину (1-е2) *, а в уравнении (2) введем то же обозначение р для величины — (1-е2) а. Тогда оба уравнения примут вид: уъ = 2рх— (1 — е2)*2. ^ (3) Итак, уравнение (3), в котором р имеет любое положительное зна- чение, представляет эллипс, если е < 1, и гиперболу, если е>1. Но при е=1 оно представляет параболу, ибо тогда уравнение (3) принимает вид у2 = 2рх. (3') Таким образом, параболу можно считать за эллипс или гиперболу с эксцентриситетом 11). Уравнение (3), в геометрической формулировке, было положено древнегреческим математиком Аполлонием в основу общей теории конических сечений, и с этим связано происхождение названий «эллипс», «гипербола», «парабола». Именно: уравнение (3) геоме- трически означает, что площадь у2 квадрата, построенного на орди- нате конического сечения, получается из площади 2рх прямоуголь- ника, построенного на абсциссе х и отрезке постоянной длины 2р, следующим образом: в случае эллипса величина (1—е2)дг2 поло- жительна, так что площадь квадрата ординаты эллипса получается вычитанием некоторой положительной величины из площади упомянутого прямоугольника и, следовательно, меньше последней площади. В случае гиперболы величина (1 — s2) х2 отрицательна, так что к площади прямоугольника 2рх прибавляется неко- торая положительная величина; следовательно, площадь квадрата ординаты больше площади прямоугольника 2рх. Наконец, в слу- чае параболы площадь квадрата у2 равна площади прямоуголь- ника 2рх. Термин «эллипс» означает в переводе на русский язык «недостаток», «гипербола» — избыток, «парабола» — точное равен- ство. Эти термины введены были Аполлонием в связи с только что упомянутыми соотношениями. *) При этом оси эллипса или гиперболы нужно считать беско- нечно большими, ибо из условия р = ±а(\ — s2) вытекает а = = zt ^ Р с2 и при обращении е в 1 величина а становится беско- нечной.
134 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. III §15. Общее планиметрическое определение конических сечений. Директрисы. Эксцентриситет параболы Поставим задачу: найти геометрическое место точек М, для которых расстояние MF до данной точки F (черт. 65) име- ло бы данное отношение е к расстоянию MB до датой пря- мой PQ, т. е. MF " m Для случая е — 1 мы эту задачу уже решили в § 11. В этом слу- чае искомая кривая есть парабола; точка F есть ее фокус; прямая ЯР —директриса. Как мы сейчас увидим, в общем случае искомая кривая будет ко- ническим сечением (эллипсом или гипербо- лой), для которого данная точка F является одним из фокусов, а данное отношение е эксцентриситетом. Прямую PQ по ана- логии со случаем е = 1 назовем директри- сой искомого геометрического места. За ось абсцисс естественно принять прямую FC, перпендикулярную к PQ; из условия задачи заранее видно, что искомая Черт. 65. кривая симметрична относительно оси абс- цисс. За начало координат, как мы делали в случае параболы, примем ту точку А отрезка FC = d> которая принадлежит искомой кривой. В общем случае это будет не сере- AF дина отрезка, а точка, делящая CF в отношении £^[.= £> от" куда легко найдем AF=TT7> СА = ТТГ' (2) Следовательно, координаты точки F суть ^'^^, 0^; по формуле для расстояния между двумя точками имеем I? YJ ft D И \ ... С А Р F MF=Y(х- jto-y+y*, (3) а из черт. 65 видим, что BM = BD + DM = y^j-+x. (4) Подставляя выражения (3) и (4) в соотношение (1), получаем сле- дующее уравнение:
§ 15] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ 1Ь5 По упрощении оно примет вид: У> = 2<*£лг — (1 — е2)*2. (5) Сравнение с формулами (1) и (2) § 14 показывает, что при е<1 уравнение (5) представляет эллипс, а при е > 1 — гиперболу. В обоих случаях е есть эксцентриситет, а точ- ка А — вершина. Нетрудно выразить оси этих конических сечений через данные величины rf, е. Возьмем, например, слу- чай эллипса (е<1). Сравнение форму- лы (5) и формулы (1) § 14 дает: откуда (1-е2) 2a = 2dct di (6) Черт. 66. 1 —б2 • Следовательно, полуфокусное расстояние выражается через е и d следующим образом: малая полуось определится из соотношения cfl&— d2e*_ d№(\ — £2) откуда (1—68)2 (1-е2)2 d*s* 1-е2 V\ — 62 Расстояние 8 от фокуса эллипса до ближайшей его вершины есть т. e. o = AF. А так как начало координат А есть вершина эллипса, то точ- ка F есть не что иное, как ближайший к ней фокус эллипса. Центр эллипса О отстоит от вершины А (черт. 66) на расстояние dt 1 —52 ' а от прямой PQ (директрисы) на расстояние или, если принять во внимание формулу (6), d (10)
136 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА 1гл. III В случае гиперболы (е > 1) совершенно аналогичные выкладки, которые предоставляем проделать читателю, дадут формулы а ■= dz с = 6* — г £2—1' . dz Ь — . V £2-1 Расстояние I от фокуса гиперболы до вершины есть d& —- dz dz ) ~ с— а = - 1 1+е ' <6'> (7') (8') (9') т. е., так же, как и для эллипса, 8 = OF (черт. 67). Значит, F есть фокус гиперболы. Центр гиперболы О (черт. 67) отстоит от вершины А на расстояние dz м ft с в Р V £2— г а от прямой PQ на расстояние ОС=а-СА-- dt d d или, если принять во мулу (6'), ОС=±. е 62_1 е + 1~ е2—1» внимание фор- (10') Черт. 67. вас к важному выводу Формулы (10) и (10') вместе с ус- ловием решенной нами задачи приводят если выбрать один из фокусов а эллипса или гиперболы F и на расстоянии — от центра эллипса (гиперболы) по ту же сторону от центра, где находится Ft провести прямую PQ (директрису), перпендикулярную к оси а, то отношение расстояния любой точки М эллипса (гипер- болы) до фокуса к расстоянию этой точки до директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гипер- болы). Ясно, что для второго фокуса /¾ (черт. 66 и 67) будет су- ществовать на том же расстоянии от центра О вторая директриса P\Q\* обладающая тем же свойством. Эксцентриситет эллипса и гиперболы мы определяли прежде с как величину отношения —; теперь мы можем определять эксцен-
§ 16] КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ 137 триситет как величину постоянного отношения MF £ MB Это определение, в отличие от первого, пригодно также и для па- раболы. Для эллипса е<1, для гиперболы е>1; для параболы е = 1. В отличие от эллипса и гиперболы парабола имеет лишь один фокус и соответственно лишь одну директрису. § 16. Конические сечения в природе и технике Изучение конических сечений не только представляет боль- шой теоретический интерес, но и имеет огромное практиче- ское значение. Мы покажем это на небольшом числе про- стейших примеров. Если круглый диск освещается пучком лучей, выходящим из одной точки, то тень этого круга на экране будет эллип- сом, гиперболой или параболой. Это ясно из того, что лучи, отделяющие светлое пространство от темного, образуют ко- ническую поверхность, а плоскость экрана сечет эту поверх- ность (ср. § 13), причем секущая плоскость может занимать любое положение по отношению к конической поверхности. Из тех же соображений ясно, что если на стене высокого здания на большом расстоянии от земли изображен круг, то смотрящему вверх наблюдателю он представится в виде эл- липса, большая ось которого горизонтальна, а малая верти- кальна. Архитектор, желающий, чтобы орнамент на фронтоне высокого здания создавал у зрителя впечатление круга, дол- жен поэтому придавать орнаменту форму эллипса, сплющен- ного по горизонтальному направлению. Если в фокусе эллипса поместить светящуюся точку, то все лучи, исходящие из этой точки и лежащие в плоскости эллипса, после отражения от эллипса соберутся снова в одной точке, именно в другом фокусе эллипса. Отсюда, между про- чим, название «фокус»; это латинское слово означает «очаг». Итак, один фокус эллипса является зеркальным изображением другого, если зеркалом служит сам эллипс. Лучи, исходящие из фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы дадут расходящийся пучок, вершина которого лежит в другом фокусе гиперболы («мнимое изображение»). Наконец, лучи, исходящие из фокуса параболы, после отражения от параболы пойдут параллельным пучком по на-
138 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА [ГЛ. iii правлению оси параболы. Парабола является единственной лини- ей, в точности обладающей этим свойством. Поэтому зеркалу прожектора придается по возможности точно форма поверх- ности, которая получается вращением параболы около своей оси (параболоид вращения). Обратно, все лучи, параллельные оси параболы и лежа- щие в ее плоскости, после отражения от поверхности пара- болы пройдут через ее фокус. Поэтому отражательные телеско- пы, которыми пользуются астрономы, имеют форму параболи- ческих зеркал. В этих телескопах получается отчетливое изо- бражение небесных светил, которые удалены от нас на такое огромное расстояние, что доходящие до нас лучи, исходящие из какой-либо точки светила, можно считать параллельными. Если цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, при- вести в быстрое вращение около его оси, то жидкость при- нимает форму параболической воронки. Параметр параболы, образующей эту воронку, зависит от скорости вращения и от плотности жидкости. На этом основано устройство ртут- ного зеркального телескопа, который представляет собой вра- щающийся цилиндр, наполненный ртутью. Зеркальная поверх- ность ртути при вращении цилиндра сама собой принимает форму параболоида вращения, так что трудная работа шли- фовки стекла делается ненужной. Тело, брошенное горизонтально или наклонно, если бы не существовало сопротивления воздуха, падало бы на землю по параболе. В тех случаях, когда сопротивление воздуха неве- лико, траекторию (путь) брошенного тела практически можно считать параболической (см. ниже § 8 гл. IV). Планеты и кометы, обращающиеся вокруг Солнца под дей- ствием силы его притяжения, описывали бы конические сече- ния, имеющие фокусы в центре Солнца, если бы взаимодей- ствие их с Солнцем не нарушалось другими причинами..Так как вблизи Солнца действие этих других причин (например, взаимное притяжение планет) ничтожно по сравнению с дей- ствием Солнца, то в основном этот закон и наблюдается в действительности. Все планеты движутся по эллипсам с очень небольшими эксцентриситетами, т. е. эти эллипсы по форме близки к окружностям. Но кометы движутся по очень вытя- нутым эллипсам; более того, некоторые кометы движутся по параболам и гиперболам. Они, следовательно, не возвраща- ются более к Солнцу.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 139 В различных станках находят себе применение эллипти- ческие зубчатые колеса; употребление их позволяет регули- ровать скорость^ движения какой-либо части механизма так, чтобы на холостом ходу эта часть двигалась быстрее, чем на рабочем. Очень часто в технической практике приходится также встречаться с эллипсом как сечением круглого цилиндра; мы уже упоминали, например, в § 2 о коленчатом соединении труб. Гипербола встречается гораздо реже. Все же и она пред- ставляет интерес для различных сооружений и конструкций. Упомянем, например, о высоких башнях, имеющих в верти- кальном разрезе форму гиперболы. Эти башни, имея круглую форму, могут, однако, быть сконструированы из прямолиней- ных балок, что представляет большие выгоды' для строитель- ства. Подобные сооружения часто употребляются для даль- него радиовещания. О значении гиперболы как графика обратной пропорциональности мы уже говорили. Уже из этих немногих примеров ясно, как велико практическое значение изученных нами кривых. ГЛАВА IV ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ § 1. Вводные замечания Вид уравнения, представляющего некоторую линию, зави- сит не только от свойств этой линии, но и от выбора системы координат. Так, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим осям, имеет уравнение л:2—у2 = а2; та же гипербола, отне- сенная к асимптотам, имеет, как мы видели в § 10 предыду- щей главы, уравнение ху — ^% Поэтому для успешного при- менения координатного метода необходимо найти общий прием, дающий возможность по уравнению линии в одной системе координат перейти к уравнению той же линии в любой дру- гой системе. Владея таким приемом, мы сможем судить, оди- наковы или различны между собой две кривые, заданные их уравнениями. Мы сможем также, имея уравнение некоторой линии в одной системе прямоугольных координат, выбрать
140 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV новую систему прямоугольных координат так, чтобы при пе- реходе к новой системе уравнение приняло возможно более простой и удобный для исследования вид. В этих же целях аналитическая геометрия с успехом при- меняет ту же идею в более широком масштабе. Именно, она пользуется не только прямоугольными системами координат, но и другими системами, в которых положение точки на пло- скости определяется не расстояниями от двух перпендикуляр- ных прямых, а иными способами. Наиболее важной и часто употребляемой системой координат является (после прямоуголь- ной) система полярных координат; с ней мы ознакомимся в конце главы. Наконец, как в прямоугольной, так и в полярной системе координат оказывается иногда возможным облегчить исследо- вание линии, если за независимую переменную принять не какую-либо из двух координат, а новую, вспомогательную величину; с этим так называемым «параметрическим» пред- ставлением кривой мы также познакомимся в настоящей главе. § 2. Задача преобразования прямоугольных координат в прямоугольные Уравнение линии в новой системе прямоугольных коорди- нат мы сможем найти по уравнению той же линии в перво- начальной системе, если мы будем знать, как связаны между собой координаты произвольной точки М относительно старой системы с коор- динатами той же точки относительно новой системы. Пусть мы имеем на плоскости две системы координат XOY и X'O'Y (черт. 68). Одну из них (XOY) усло- вимся называть «старой», другую (X'O'Y) «новой». Сообразно с этим, координаты х = ОР, у — РМ точ- ки М назовем «старыми» коор- динатами, а х' = 0'Р', у' = Р'М «новыми». Задача наша состоит в установлении связи между старыми и новыми ко- ординатами. Новая система координат всегда может быть получена из старой последовательным выполнением двух движений: 1) пе- Черт. 68.
ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ 141 реноса начала О в точку О' при неизменном направлений осей; при этом система ХО У переходит в систему ХО'У> 2) по- ворота системы координат ХО Y вокруг нового начала О' до совпадения с системой ХО' У. Поэтому для установления связи между старыми и новыми координатами достаточно знать: 1) координаты дг0, у0 нового начала О' относительно старого и 2) угол а поворота, приводящего систему ХО' Y в положе- ние ХО'У. Для лучшего уяснения мы рассмотрим отдельно каждое из указанных преобразований. § 3. Перенос начала координат Пусть точка М имеет в старой системе XOY (черт. 69) координаты х = ОРу у — РМу а в новой системе XO'Y, по- лученной переносом начала в точку О'(х0,у0), координаты x = 0'Qt y=QM. Из черт. 69 имеем: vr x=OR + RP = OR-\-O'Q = x0-\-xi у = PQ+QM = RO'-\-QM=y0+y. Следовательно, У=У+Уо> (2) 4i* Черт. 69. т. е. старая координата равна новой, сложенной с коор- динатой нового начала (в старой системе). Для запоминания этого важного правила лучше не читать слов, поставленных в скобки; хотя они и существенны, но легко подразумеваются. Из формул (1) и (2) можно выразить и новые координаты через старые: л? = лг — х0, (Г) У=У-Уо- (2') Но формулы (1), (2), как мы сейчас увидим, более полезны на практике. Пример 1. Начало координат перенесено в точку О' (2, — 5); найти новые координаты точки М {— 3, -|- 4).
142 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Формулы (Г) и (2') дают jc = — 3 — 2 = — 5, у = 4 + 5 = 9. Пример 2. Начало координат перенесено в точку О' (— 4, — 1). Найти уравнение окружности х2 -\-у2 = 25 в новой системе координат. Здесь нужно воспользоваться основными формулами (1), (2), которые дают х= х— 4, у—у — \. Подставляя эти выражения в данное уравнение, имеем £_4)«+£—1)» = 25 или _ х2 -f у2 — 8* — 2у — 8 = 0. Так как основной задачей нашей является сопоставление уравнений одной и той же линии в двух системах координат, то формулы (1) и (2) важнее, чем (1') и (2'). Пример 3. Сместить систему координат таким образом, чтобы уравнение кривой y=z3x2 — 6x-{-2 (3) приняло простейший вид. После смещения начала координат в точку О1 (х0} у0) урав- нение нашей кривой примет вид У+Уо = 3 (* + х0)2 — 6 (х0) + 2 или у — Зх2-}-(6х0— 6) х -j- Зхо — 6х0 —у0 -\- 2. От выбора значений л:0, у0 зависит численная величина ко- эфициента при л; и свободного члена. Если бы удалось подо- брать х0 и у0 так, чтобы эти величины обратились в нуль, то в правой части остался бы только член Зл:2, и уравнение кривой приняло бы простейший вид у=3х\
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 143 Для этого величины х0> у0 должны удовлетворять системе уравнений 6*0— 6 = 0, Зх20 — 6л;0— ^ 4-2 = 0. Первое дает х0 = 1; из второго находим Уо=Ъх1—6хо + 2 = — 1. Итак, перенеся начало в точку 0'(1, — 1), мы приведем уравнение данной кривой к виду у = Зх2. Так как это есть уравнение параболы с осью ОТ ис вер- шиной в точке О', то кривая, представляемая уравнением (3), есть парабола с вершиной в точке 0'(1, —1) и вертикаль- ной осью. Подобным же образом можно показать, что всякая кривая с уравнением у = тх2 -\-nx-\- р (4) всегда путем смещения начала может быть представлена урав- нением у = тх2, (5) т. е. что график всякой квадратичной функции представляет собой параболу с вертикальной осью (ср. § 9 Введения). Читателкг предлагается показать, что вершина этой пара- болы лежит в точке (— гг- , р — . \ 1т' r Am J § 4. Дробно-линейная функция Функция вида тх + п /1V y = l*+-q <»> называется дробно-линейной. Многие зависимости, с которыми приходится иметь дело в технике, выражаются, если не точно, то с большой степенью приближения, дробно-линейными функ- циями. Поэтому важно заметить, что графиком дробно-линей- ной функции является равносторонняя гипербола, асимп- тоты которой параллельны осям координат.
144 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. IV ХУ = ~2 (6) представляет равностороннюю гиперболу с полуосью а. Центр ее лежит в новом начале координат, асимптоты совпадают с новыми координатными осями. В нашем случае тг = °, так К этому результату мы' придем, если поставим задачу привести уравнение (1) к простейшему виду с помощью пере- носа начала координат. Сначала проделаем это преобразова- ние на частном примере. Пусть требуется привести к простейшему виду уравнение кривой 31— Ъх /о\ Представим его в виде 2Ху — 5у-\-6х — 3\=0 (3) и перенесем начало координат в точку (х0) у0). В новой системе координат уравнение исследуемой кривой будет 2 (* + *о> (У + У о) - 5 (У + У о) + 6 (х + *0) — 31 = О или 2ху + (2у0 + 6) х + (2х0 — 5) J-f- + 2x0yQ + 6х0 — 5у0 — 31 = 0. (4) Величинами jc0, yQ мы теперь можем распорядиться так, чтобы члены, содержащие х и у, исчезли. Для этого нужно удовле- творить условиям 2у0 + 6 = 0 и 2^-5 = 0, т. е. положить Уо= 3, х0 = —. Подставив эти значения в уравнение (4), найдем: 2ху— 16 = 0 или xy=S. (5) Из § 10 гл. III мы знаем, что уравнение
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 145 .-/ 2 (пр — тд) (8) ( q т\ q т с центром в точке — — , - ) и с асимптотами х = — ~, у = — . \ Р' Р / р" р Если пр — mq<Ot то правая часть формулы (7) есть отрица- тельное число, и уравнение (7) представляет собой (см. Введение, § 10) равностороннюю гиперболу, расположенную во второй и чет- вертой четвертях и по форме совпадающую с гиперболой пр — mq *У = ^2-1 (?') (правая часть формулы (7') положительная величина). Сравнение с формулой (6) дает теперь а=-/-'2^~тй. (8-) /\2 (пр—тд) \_V2\np-mg\ 1/ ' Р2 \ \Р~\ ' Формулы (8) и (8') можно объединить, написав -/Is Рассмотрим, наконец, случай np-~mq^=:0, или, что то же, п q m^J' (9) Ю М. Я. Выгодский что а = 4; центр лежит в точке, имеющей в старой системе координаты xQ == тг, у о = — 3. Асимптоты проходят через эту точку и параллельны старым осям, так что их уравнения 5 о суть х — и У = — 3. Проверьте этот результат, построив график уравнения (2) по точкам. Рассуждая совершенно так же по отношению к общему урав- нению (1), мы найдем (промежуточные выкладки предлагается проделать читателю), что после переноса начала координат в точку (—~Р* 1р) УРавнение исслеДУемои кривой примет вид пр — mq *У= р2 • (7) Если пр — /я<7>0, как в рассмотренном числовом примере, то сравнение формул (6) и (7) покажет, что мы имеем гиперболу с полуосью
146 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV В этом случае посл£ переноса начала в точку ~, ^ урав- нение (7) исследуемой кривой примет вид -- О т. е. ху = 0 (10) ^величину р2 можно считать не равной нулю, ибо при р = 0 урав- нение (1) дает не дробно-линейную, а линейную функцию Уравнение (10) допускает два решения: дг = 0 и у—0. Первое представляет новую ось ординат, второе — новую ось абсцисс. Зна- чит, если пр — mq = 0t то уравнение (1) представляет в старой системе пару прямых, параллельных осям координат и проходящих через точку Эту пару прямых можно рассматривать как вырожденную гипер- болу, ибо гипербола ху = ~ при приближении величины а к нулю все теснее примыкает к своим асимптотам. Что уравнение тх + п /1ч в случае - = О) т р w представляет пару прямых, можно видеть и непосредственно. Пере- пишем уравнение (1) в виде "(*+£)=«(*+£)• (11> Выражения, стоящие в скобках, в силу условия (9) тождест- венны между собой. Разделив обе части уравнения (11) налг + —= =zx-j- —, получим РУ = т% или т
§ 4] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 147 10* Это —одна из упомянутых прямых. Но деля уравнение (11) на x-j- — , мы утеряли решение * + * =0 т или п т' Это — вторая из упомянутых прямых. Упражнения 1. Относительно системы координат XOY точка А имеет коор- динаты (8, —3). Каковы будут координаты точки А после смещения начала координат в одну из точек (2,-5); (6, 11); (—*4, 7); (-2,-2)? Отв. (6, 2); (2, — 14); (12, — 10); (10, — 1). 2. При замене старых осей новыми с тем же направлением неподвижная точка (2, — 3) становится точкой (— 6. — 1). Найти координаты нового начала в старой системе и старого начала в новой. Отв. (8, —2); (—8, 2). 3. Начало координат перенесено в точку О1 (2, 5). Найти урав- нение равносторонней гиперболы х*—у*=10 в новой системе координат. Отв. л-2 — у* 4- 4х — 10у — 31 = 0. 4. Найти уравнение эллипса с полуосями я, Ь и с центром в точке А (лг0, у0). Указание. Принять сначала точку А за начало координат; затем перенести начало координат, приняв данную систему за «новую». 5. Написать уравнение равносторонней гиперболы с полуось» я = 6, асимптоты которой даны уравнениями лг = 3, у = — 2. См. указание к предыдущей задаче. Отв. (лг — 3) 0, + 2) = 18. 6. Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой лежит в точке (xQy y0)» а ось параллельна оси абсцисс. Отв. (у—у0)2~2р(х — х0). 7. Написать уравнение эллипса с осями 2а и 2Ь, приняв за начало координат один из фокусов и направив ось абсцисс к бли- жайшей вершине. 8. Написать уравнение параболы, приняв ее фокус за начало координат и направив ось абсцисс вдоль оси параболы. Отв. у1 = 2р (х -\-р).
148 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV \ 9. Сместить систему координат так, чтобы уравнение кривой 2ху— Ах — 2у-{-3 = 0 приняло более простой вид, и определить форму и положение кривой. Отв. Равносторонняя гипербола с полуосью 1; вершина лежит в точке (+1, 2); асимптоты параллельны осям координат.^ 10. Сместить систему координат так, чтобы в уравнении кри- вой х*-\-4у2-\-4х — 48y-f-144 = 0 исчезли члены, содержащие первые степени координат. Определить вид кривой. Отв. Сместить начало координат в точку (—2, +6). Эллипс с полуосями д=2 и Ь = \. 11. Та же задача для уравнения 2х2 — Зу2 — 8лг+12у — 6=0. Отв. Сместить начало координат в точку (2, 2). Гипербола с полуосями я = 1, Ь = 12. Найти геометрическое место середин хорд, проведенных через конец большой оси эллипса. Отв. Эллипс с тем же эксцентриситетом; большой его осью служит большая полуось данного эллипса. § 5. Поворот координатных осей Пусть точка М имеет в старой системе XOY (черт. 70) координаты х = ОР. у = РМу а в новой системе XOY', полученной поворотом старой на угол а, координаты х'=ОР\ у'=Р'М. Угол а, как обычно, считаем поло- жительным, если поворот совершен против часовой стрелки. Чтобы выразить старые коорди- наты через новые, введем в качестве вспомогательной величины угол ср, образованный лучом ОМ с новой осью абсцисс. Со старой осью абс- цисс луч ОМ образует, очевидно, угол <р-{-а. Из черт. 70 имеем х' = ОМ cos ср, У = ОМ sin ср; х = ОМ cos (ср -J- а), у = ОМ sin (ср -|- а). Формулы (2) можно переписать в виде х = ОМ cos ср cos a — ОМ sin у = ОМ cos ср sin a -j- ОМ sin cpsina, ^ ср cos a. j (1) (2) (3)
§5] ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ 149 1:} В правые части вместо OMcoscp и OAfsincp можем в силу (1) подставить х' и у\ Тогда получаем х = х! cos ot — У sin а, у = х' sin а -j-У cos а. Для запоминания этих важных формул полезно заметить, что в выражении х имеем «полный беспорядок», т. е. сначала cos, потом sin, а между ними минус; в выражении у, напротив, имеем «полный порядок* — сначала sin, затем cos и между ними плюс *). Чтобы получить выражения новых координат через старые, мы могли бы либо решить систему уравнений (4) относительно х', у\ либо повторить предыдущее рассуждение, взяв в качестве вспомо- гательной величины угол, образованный лучом ОМ со старой осью абсцисс. Но проще всего воспользоваться уже готовыми формулами (4), переставив в них координаты лг, у и лг\ у1 одни на место других и заменив а на —а, ибо ничто не мешает нам «старую» систему считать «новой» и наоборот; но только тогда поворот старой системы в новое положение придется совершать в противоположном направ- лении. Таким образом, получим следующие выражения новых коор- динат через старые: *' = *cosa-|-.ysina, \ у' = —X sin a + у cos a. / Пример 1. Найти уравнение гиперболы с полуосями а = 2, b = i в системе прямоугольных координат, получен- ной поворотом осей гиперболы на угол 45°. Уравнение гиперболы, отнесенной к ее осям, есть 4-16-1 (5) или 4*2— у =16. (6) При повороте координатных осей на 45° имеем, согласно формулам (4) х = х "2 У~Г> ,УТ , ,V2 *) Это мнемоническое правило я заимствую из книги А. В. Ко- марницкого «Основания аналитической геометрии в плоскости и в пространстве».
150 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Подставляя эти выражения в формулу (6), находим 3*'»-|-3/2 —10*'/ = 32. Таково уравнение данной гиперболы в новой системе коор- динат. Пример 2. С помощью преобразования координат пока- зать, что кривая jty = -i есть равносторонняя гипербола. Этот факт нам уже известен из § 10 гл. III, но там он был получен из косвенных соображений. Теперь мы получим тот же результат общим методом. Предположим, что нам вовсе неизвестна форма кривой ху — ~, и покажем, как без всяких предвзятых намерений притти к открытию упомянутого факта. Для этого будем пытаться преобразованием системы коор- динат привести уравнение нашей кривой к знакомому виду. Попытка применить перенос начала не достигает цели, ибо, как легко видеть, никаким переносом не удастся изгнать член, содержащий ху. Попытаемся использовать поворот осей. Оставляя пока неопределенным угол поворота а, подста- вим выражения (4) в уравнение ху=~. Мы получим (х' cos а—у sin а) (х' sin а"+У cos а) = ~ (7) или cos а sin а jc'2 -J- (cos2 а — sin2 а) х' у' — cos а sin а у'2 = ]у . (8) Выберем угол поворота а так, чтобы коэфициент при х'у обратился в нуль. Решая уравнение cos2 а — sin2 а = 0, (9) находим tga = ±l. Какое из двух значений tga мы возьмем — безразлично; в обоих случаях член с х'у' исчезнет. Возьмем, например, tga=l, т. е. а = 45°. Тогда
§5] ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ 151 Подставим эти значения в уравнение (8). Оно примет вид Значит, наша кривая есть равносторонняя гипербола с полуосями а = Ь=\. Ее оси совпадают с новыми осями координат, т. е. образуют углы 45° с исходными. Пример 3. Исследовать форму кривой использовав поворот осей. С помощью формул (4) получим новое уравнение 37 (х' cos а—У sin a)2 -j- 79 (х' sin а 4~У cos а)2 — — 42 Уз (х' cos а —у sin а) [х' sin а -|- у cos а) = 400 или (37 cos2 а + 79 sin2 а — 42 УЗ cos a sin а) л:'2 + + (37 sin2 а + 79 cos2 а + 42 Уз cos а sin а)у'*-\- + (84 cos а sin а -f 42 /3 sin2 а — 421^3 cos2 а) *'У = 400.(11) Чтобы избавиться от члена, содержащего х'у\ нужно выбрать угол а так, чтобы 84 cos a sin а + 421^3 sin2 а — 42 УТ* cos2 а = 0Ч Это уравнение можно представить в виде или 37х* 4- 79уа — 42l/3*y = 400, (Ю) tg2a=V/"3. Одно из решений уравнения (12) есть 2а = 60°, (12)
152 исследование уравнений кривых [гл. IV Подставляя теперь в левую часть уравнения (1) значения Уз" . 1 cos a = -2-, sina = —, найдем 16a;'2+ 100/2 = 400 или, деля на 400, •^4-^-1 25 * 4 ~ 1# Наша кривая есть, таким образом, эллипс с полуосями а = 5, Ь=2. § 6« Общие формулы преобразования прямоугольных координат В § 2 мы выяснили, что переход от старой системы коор- динат XOY к любой новой системе координат X'O'Y' может быть выполнен с помощью: 1) переноса начала в точку Ог; таким образом, мы получаем «промежуточную» систему коор- динат XO'Y; 2) поворота промежуточной системы около на- чала О'; в результате получаем «новую» систему X'O'Y'. Обозначим координаты точки М в старой системе через jc, у, в промежуточной — через х, у, в новой — через х\ у\ Тогда на основании формул (1) и (2) § 3 имеем х = х-\-х0) У = У+Уо, а на основании формул (4) § 5 х = х' cos a —у sin a, у — х' sin a -\-y9 cos a. Подставляя выражения (2) в формулы (1), получим х = х' cos а —у sin a -f- xQy у = хг sin a +/ cos a -f- y0. Здесь jc0, y0— координаты нового начала в старой си- стеме, а a — угол поворота системы координат.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153 Упражнения 1. Найти координаты точки (—1, —2) после поворота осей на угол 45°; на угол 135°. / 3^2* V2\ ( V2 3V2\ Отв. ^ 2-, гу —]' 2. Найти координаты точки (1, Yz) после поворота осей на 240°. Отв. (— 2, 0). 3. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы точка (2, 0) получила равные координаты? Отв. На yn^J35° или 315°; в первом случае М (—1^2, —1^2), во втором М (У 2, V%)' х2 у2 4. Какой вид примет уравнение эллипса -—-|~^- = 1 после по- ворота осей координат на 30°? Отв. Их* —2/Злгз/ + 9у2 = 24. 5. Какой вид примет уравнение параболы у2 = 2рх после пово- рота осей координат на 60°? Отв. Sx2-t-2V3xy+y2 = 4p(x—yV3). 6. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы в урав- нении х2 — ху -J-у2 = 1 исчез член с произведением координат? Какую кривую представляет данное уравнение? Отв. 45° или 135°. Эллипс с осями V2 и 7. Поворотом осей привести к простейшему виду уравнение х2 — 2^3 ху—у2 = 2. Какую линию оно представляет? Отв. Равностороннюю гиперболу с полуосью а=\. § 7. Кривые второго порядка Мы имели дело с различными видами уравнений эллипса, гиперболы и параболы, и каждый раз это были уравнения второй степени. Покажем, что упомянутые кривые во всякой прямоугольной системе координат представятся не- пременно уравнениями второй степени. Возьмем, например, эллипс. Отнесенный к своим осям, он будет иметь уравнение £+£=1 (1) Уравнение его во всякой другой системе получится подста- новкой выражений (3) предыдущего параграфа в формулу (1). Ясно, что в новом уравнении не может быть членов выше второй степени, так что новое уравнение эллипса должно
154 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV иметь либо вторую, либо первую степень. А так как всякое уравнение первой степени представляет прямую линию, то уравнение эллипса в новой системе непременно должно иметь вторую степень. Так же обстоит дело и с гиперболой и параболой. Итак, эллипс, гипербола и парабола во всякой системе прямоугольных координат представляются уравнениями второй степени. Теперь возникает вопрос: всякое ли уравнение вто- рой степени относительно координат х, у представляет собой одну из упомянутых кривых? Наиболее общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными х, у есть Axt + Bxy+Cyt + Dx + Ey+F^O, (2) где Л, В, С, Д Е, F любые постоянные величины1). Заме- тим прежде всего, что уравнение вида (2) может вообще не изображать никакой кривой. Так, например, при А — С — — F= 1 и В= D — E= О оно принимает вид л:2+У + 1=0 или Это уравнение напоминает уравнение окружности, но оно не может удовлетворяться ни при каких действительных значе- ниях ху у, ибо ни одна из величин л;2, у2 не может быть отрицательной и, следовательно, сумма их не может быть равна —1. Может также оказаться, что уравнение (2) удовлетворяется только одной парой значений х, у. Таково, например, уравнение х2-\~у2 = 0, которое допускает единственное действительное решение jc = 0, у = 0. В подобных случаях уравнение (2) представляет собой не линию, а только одну точку; в нашем примере — начало координат. 1) При этом хотя бы одна из величии А, В, С должна быть отличной от нуля; иначе уравнение (2) будет линейным.
§ 7] КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 155 Далее, рассмотрим такой частный вид уравнения (2): х2 — у2=0. (3) Если это уравнение записать в виде {х+у)(х—у) = 0, (3') то станет ясно, что оно удовлетворяется: 1) при х — -\-у, 2) при х — — у. Но все точки, для которых х = уу лежат на прямой линии (биссектрисе первого и третьего координат- ных углов), а все точки, для которых х — —у, лежат на другой прямой х = —у (биссектрисе второго и четвертого координатных углов). Таким образом, уравнение (2) может представлять пару прямых линий. Один подобный пример мы уже встречали в § 4 этой главы. Уравнение второй степени (2) может представлять собой также пару параллельных линий. Так, например, уравнение х2 — 2ху-\-у2 -f- х —у = 0 (4) можно представить в виде {х — у)(х — у+\) = 0, (4') и так же, как выше, убедимся, что это уравнение представ- ляет пару прямых у = х и у = х-\-\у параллельных друг другу. Наконец, может случиться, что уравнение (2) представит собой две слившиеся прямые, т. е. фактически одну прямую. Так, уравнение хъ + 2ху-\-у* — 2х— 2у + \ = 0 (5) можно представить в виде 1)* = 0. (5') Здесь оба сомножителя правой части сделались равными: урав- нение (5') равносильно уравнению х+у—\=0, которое представляет прямую линию.
156 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Итак, если уравнение (2) вообще допускает действительное решение, то может случиться, что оно представляет не эллипс, не гиперболу и не параболу, а точку или пару прямых. Од- нако, эти случаи не являются типичными: стоит в по- добном случае хотя бы немного изменить значения коэфици- ентов уравнения или его свободного члена, чтобы картина изменилась. Так, уравнение Х2_у2 = 0 (3) отличается от уравнения Х2 —у2== 0,0001 (6) лишь малым изменением значения свободного члена. Но уравнение (6) представляет гиперболу, тогда как уравнение (3) представляет пару прямых, служащих асимптотами этой гиперболы. Упомянутые исключительные случаи являются как бы вы- рождениями нормальных. Так, равносторонняя гипербола х2 —у2 — а2 ПрИ уменьшении полуоси а все теснее примыкает к своим асимптотам (3). Круг х2-\-у2 = г2 при уменьшении своего радиуса г все теснее смыкается около точки (0, 0), представляемой уравнением х2 -\- у2 = 0. После этих замечаний мы можем следующим образом сформулировать ответ на вопрос о том, какие линии может пред- ставлять уравнение Ax* + Bxy + Cy*+Dx-{-Ey + F=0. (2) Если уравнение (2) допускает действительные решения и если не имеет места ни один из вышеперечисленных исключительных случаев, то кривая линия, представляе- мая уравнением (2), есть непременно либо эллипс, либо гипербола, либо парабола. Этот замечательный результат можно установить, привлекая метод преобразования координат, который мы • неоднократно при- меняли в этой главе. Именно, в уравнение (2) мы подставляем вы- ражения (3) § б старых координат через новые. Затем мы стара- емся выбрать значения xQ, Уо, а так, чтобы уравнение (2) в новой системе координат приняло либо вид х2 у2 —2 — "р" — 1 (эллипс, гипербола), (7) либо вид у2 = 2рх (парабола). (8)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 157 Исследование показывает, что уравнение (2), допускающее действительные рзшения, нельзя привести ни к виду (7), ни с виду (8) в том и только в том случае, если величины Л, В, С, D9 Е, F удовлетворяют соотношению: 4 (ACF+ BDE) — АЕ2 — CD1 — FB2 = 0. В тех исключительных случаях, когда это соотношение удовле- творяется, мы имеем один из вышеперечисленных случаев выро- ждения. Во всех же остальных случаях возможно преобразовать систему координат так, чтобы уравнение (2) приняло либо вид (7), либо вид (8). Иными словами, во всех остальных случаях кривая, изображаемая уравнением (2), есть эллипс, гипербола или па- рабола. Интересно отметить, что случаи вырождения можно получить и из рассмотрения сечений конуса: если секущая плоскость про- ходит через вершину конуса и не пересекает его полостей, сече- ние конуса вырождается в точку; если секущая плоскость, проходя через вершину конуса, пересекает и полости его, мы имеем пару пересекающихся прямых. Если вершина самого конуса уходит в бесконечность и конус обращается в цилиндр, то плоскость, парал- лельная оси цилиндра, даст в сечении пару параллельных прямых. Наконец, если плоскость касается конуса или цилиндра, то сече- ние вырождается в одну прямую — образующую конуса или цилиндра. Поэтому можно сказать, что уравнение (2), если оно имеет дейст- вительные решения, представляет всегда коническое сечение или его вырождение. § 8. Параметрические уравнения линии Изучая движение материальной точки в плоскости, мы интересуемся не только формой линии, описываемой этой точкой, т. е. уравнением, связывающим ее координаты лс, у. Нам нужно также знать, как меняется положение точки с течением времени, т. е. иметь выражение обеих координат в функции времени t. Если мы нашли выражения *=/(*). 0) У=Ч®, (2) то мы найдем и уравнение, связывающее координаты х, у траектории. Для этого достаточно исключить t из двух урав- нений (1) и (2). Таким образом, система уравнений (1) и (2) вполне опре- деляет некоторую линию. Ясно, что переменная t может вы- ражать не время, а какую-либо иную физическую или гео- метрическую величину, входящую в условие вопроса, — система уравнений (1) и (2) все равно представит некоторую линию.
158 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Систему двух уравнений, задающих координаты линии в функции переменной t, называют параметрическими урав- нениями линии, а переменную t параметром1). Часто случается, что условие задачи вовсе не требует, чтобы текущие координаты были выражены через какой-либо параметр, но все же некоторая величина играющая роль вспомогательной переменной, вводится в качестве параметра. Удачный выбор параметра может облегчить составление урав- нения линии или заменить уже полученное громоздкое урав- нение линии парой простых параметрических уравнений. Пример 1. Поднятое на некоторую высоту тело брошено горизонтально с начальной скоростью v0. Найти уравнение траектории тела, пренебрегая сопро- тивлением воздуха. Начало координат выберем в той точке О, из которой брошено тело; ось абсцисс ОХ (черт. 71) направим горизонтально в направлении началь- ной скорости: ось ординат OY на- правим вертикально книзу. Пусть М ерт* положение тела в момент t. Абс- цисса х = ОР есть расстояние, прой- денное телом по инерции в горизонтальном направлении; ор- дината у — РМ есть расстояние, пройденное телом при спуске под влиянием тяготения. Движение по инерции есть равномер- ное движение со скоростью v0. Поэтому x = v0t. (3) Движение по вертикали есть равномерно ускоренное движение с ускорением £-=9,8 см/сек2. Поэтому y = \gt2. (4) Формулы (3) и (4) дают параметрические уравнения траекто- рии. Чтобы получить уравнение между координатами, исклю- чим /; для этого уравнение (3) решим относительно t; получим *) Здесь термин «параметр» употребляется в ином математиче- ском смысле, чем прежде. См. сноску на стр. 58.
параметрические уравнения линии 159 /=--; это выражение подставим в уравнение (4); получим или, что то же, 21/2' х* = 2 -2 у. (5) (5') Следовательно, движение происходит по параболе; ось ее вертикальна, вершина лежит в точке бросания; параметр па- раболы р = — . В этом примере введение параметра t существенно необ- ходимо для установления закона движения и, сверх того, об- легчает вывод уравнения траектории. Пример 2. Концы А и В стержня АВ скользят по двум взаимно перпен- дикулярным прямым XX н Y'Y (черт. 72). Какую линию описывает при этом точка М стержня? Прямые Х'Х и Y'Y примем за оси координат. Длина стержня и положение точки М на нем полностью определя- ются заданием расстояний точки М до концов стержня; обозначим их а = МА и Ъ — NiB. Положение движущегося стержня АВ и, следовательно, положе- ние точки М полностью определяются величиной угла а — ^АВО. Примем а ва параметр и выразим через него координаты х, у точки М. Из треугольника MNA (NM = x, МА = а, / AMN= а) имеем х = a cos а. (6) Из треугольника MBL (LM— у) имеем y=zbsm а. (7) Уравнения (6) и (7) дают параметрическое представление ис- комого геометрического места. Параметр а самостоятельного интереса не имеет, но с его помощью мы легко получили уравнения (6) и (7); из них, если нужно, легко исключим а. Черт. 72.
160 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Именно, представим уравнения (6) и (7) в виде х — = cos а, а У_ ь 4- = sin а. Возведем (6') и (7') в квадрат и сложим. Получим £+£ = 1 (6') (Г) (8) Черт. 73. Следовательно, искомая кривая есть эллипс с цен- тром в О и полуосями а и ^1). Точка М может лежать и на продолжении стержня АВ (черт. 73). Разобранная задача объяснит нам устройство прибора, изображенного на черт. 73 и служа- щего для вычерчивания эллипсов. Линейка АВ имеет шарнирно скрепленные с ней ползуны А и В. Ползуны ходят в прорезах, сделанных в метал- лической доске. Муфта М со вставленным в нее карандашом k может быть поставлена и зажата винтом v в V любом месте линейки. На линейке нанесены деления, позволяющие регулировать оси элли- пса. Описанный прибор называется эллипти- ческим циркулем. Пример 3. Ко- лесо ОАВ катится без скольжения по прямой линии Х'Х (черт. 74). Какую линию описывает некоторая точка О обода колеса? За начало координат выберем одно из тех положений точки О, в которых она ложится на прямую Х'Х. Послед- нюю примем за ось абсцисс. Через некоторый промежуток вре- Черт. 74. *) Если точка М лежит в середине АВ (а — Ъ), то эллипс ста- новится окружностью; ср. пример 4 § 7 гл. I.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 161 мени колесо примет положение EML, и точка О займет по- ложение М. Чтобы найти геометрическое место точек М, нужно прежде всего выразить на геометрическом языке тот факт, что катание колеса совершается без скольжения. Когда колесо скользит по прямой Х'Х, точка О может либо вовсе не поворачиваться вокруг центра колеса (полное скольжение), либо же поворачиваться так, что пройденная им дуга окружности меньше, чем смещение ОЕ точки опоры колеса (частичное скольжение). Отсутствие же скольжения означает, что дуга ЕМ\ вдоль которой колесо касалось прямой Х'Х во время движения, равна отрезку ОЕ, по которому колесо про- тратилось. Теперь составим параметрические уравнения искомой ли- нии. Естественно в качестве параметра выбрать дугу ЕМ или соответствующий ей центральный угол а. Выберем за пара- метр а. Тогда ОЕ = ЕМ = га, где г—радиус колеса (угол а выражен в радиальной мере). Координаты х, у точки М выразятся через параметр следую- щим образом: x=OF—OE — FE = OE — MK=ra — rsln а, V = FM = ЕК= ED — KD = r — rcos а. Итак, параметрические уравнения искомой кривой суть x = r(a — sin a), y — r(l—cos а). (9) Давая а значения от 0 до 2тт, получим из уравнений (9) ряд точек, дающих положение точки М в течение одного оборота колеса: по этим точкам можно построить кривую OPN (черт. 74). Предшествующие и последующие обороты колеса дадут ветви той же формы, что OPN (справа и слева от OPN). Сово- купность всех этих ветвей образует искомую кривую. Она называется циклоидой. Если бы мы пожелали написать уравнение между текущими координатами циклоиды, то нужно было бы исключить пара- метр а из уравнений (9). Второе из них даст cosa= 1 — у ; П м. Я. Выгодский
J62 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV отсюда sin а = V\— cos2a = ^2гУ-У2, (10) и a = arccos —(11) Подставляя выражения (10) и (11) в первое из уравнений (9), получим: x=riaxccos ^\—V^ — Y2ry — y\ (12) Ясно, что это уравнение гораздо менее удобно для изучения, чем параметрические уравнения (9). Циклоида обладает рядом замечательных и важных свойств. Одно из них мы здесь укажем. Если жолоб имеет форму циклоиды, обращенной вершиной книзу, и тяжелое тело совершает колебания, катаясь без трения по этому жолобу, то период колебания остается все Ерсмя неизменным; при всякой же другой форме жолоба, в частности круговой, период будет меняться. Для обыкновенного (кругового) маятника период колебаний приблизительно постоянен лишь при малых колебаниях, при которых груз описывает дугу окружности, мало отличающуюся по форме от дуги циклоиды вблизи ее вершины Р. При колебаниях большего размаха маятник может сохранить постоянный период лишь в том случае, если с помощью особых приспособлений его груз заставить двигаться по циклоиде. С некоторыми другими свойствами циклоиды мы встретимся в дальнейшем. Упражнения 1. Написать параметрические уравнения движения конца минут- ной стрелки длиной я, приняв за параметр t время (в мину- тах), протекшее от прохождения стрелки через 0 (12) ч. Начало ко- ординат взять в центре циферблата; ось абсцисс направить к 0 ч., ось ординат к 9 ч. ч Отв. Если угол измерять градусами, то получаем х = а cos 6*, у— — a sin 6t; если угол измерять радианами, то х— flcos ^ t, y = -r-a sin ~ t. 2. Как нужно напрагить оси координат, чтобы параметрические уравнения предыдущей задачи приняли вид x=acos~t, у = a sin ^ ft Отв. Ось абсцисс направить к 0 ч., ось ординат — к 3 ч.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 163 3. Точка М (черт. 75) движется по окружности радиуса г про- тив часовой стрелки с угловой скоростью 1 (т. е. ОМ в единицу времени поворачивается на единицу угловой меры). Написать пара- метрические уравнения окружности, описываемой точкой М; момент прохождения М через А принять за начальный. Отв. x = ro.ost, y = rsint. Замечание. Этими уравнениями часто задают окружность независимо от закона движения точки М, ибо параметр t можно рассматривать как величину угла АОМ. Черт. 75. Черт. 76. Черт. 77. 4. Рассматривая эллипс ACBD (черт. 76) с полуосями я, Ь как равномерно сжатую окружность АЕВР, написать параметрические уравнения эллипса. За параметр принять угол t (см.. предыдущую задачу). Отв. x = acost, y = bsint. х2 v2 5. Показать, что уравнение эллипса ^--f-p-== 1 получается из параметрических уравнений предыдущей задачи 4 исключением па- раметра t. 6. Написать параметрическое уравнение окружности радиуса г, выбрав систему координат, указанную на черт. 77, и приняв за параметр £MCA~t. Отв. x = r(1 -f-cosf), y=zrs[nt. 7. Исключить параметр t из уравнений предыдущей задачи. Отв. (x — r)2-i-y2 = r\ 8. В условиях задачи 6 написать параметрические уравнения геометрического места середин хорд ОМ (черт. 77), проведенных из начала координат в точки М окружности, и, сопоставив с отве- том задачи 6, определить форму и положение искомого геометри- ческого места. Отв. х = ~- (1 4- cos t), у = y sinf. Окружность, построен- ная на ОС как на диаметре. 9. Написать параметрическое уравнение эллипса задачи 4, при- няв вершину В за начало координат, а касательную ВТ за ось ординат; параметр сохранить прежний. Отв. х — а (1 -j-cosf), y = bsint. 11*
164 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. iv 10. Найти геометрическое место середин хорд эллипса, выхо- дящих из вершины В (черт. 76; см. предыдущую задачу). Отв. Эллипс; большая ось совпадает с полуосью ВО=а дан- ного эллипса. Малая ось равна Ъ. 11. Точка К (черт. 78) равномерно движется по окружности круга радиуса а, а прямая PQ равномерно движется в плоскости круга, оставаясь параллельной сама себе. При этом, когда PQ касается окружно- сти в точках В к А, там находится и точка К- Геометрическое место точек пересечения прямой PQ с подвижным радиусом OR (часть этого геометриче- ского места изображена на черт. 78) называется квадратрисой. Составить параметрическое уравнение квадратрисы, приняв за параметр угол КОС = ^. Вы- чертить кривую. Отв. При расположении координат- ных осей на черт. 78 *) Черт. 78. 2а х — — <р, я ' 2а . <y = —(pctg?. 12. С неподвижной круглой катушки АСВ радиуса а (черт. 79) сматывается туго натянутая нить. Кривая линия AMN, которую описывает конец нити, называется раз- верткой круга. Составить параметри- ческое уравнение развертки круга, при- няв за параметр угол t= /_LOA (OA — неподвижный радиус, проведен- ный к исходному положению конца ни- ти; OL — радиус, проведенный в точку касания нити с катушкой). Оси коорди- нат указаны на чертеже. Отв. х = a (cos*-J-*sin/), у = а (slut — tcost). Указание. Абсцисса точки М развертки получается из абсциссы точки L круга прибавлением отрезка RP=QM\ ордината получается из ординаты точки £ вычи- танием отрезка QL. Эти отрезки выражаются через параметр с по- мощью треугольника LMQy в котором £ MLQ = t. Длина LM дол- жна быть равна длине дуги, с которой она смотана. 13. Колесо радиуса г катится без скольжения по прямой линии. Линия, описываемая точкой, лежащей на спице колеса между обо- дом и центром, называется укороченной циклоидой. Написать па- Черт. 79. *) Здесь и в дальнейшем углы выражены в радиальной мере.
§8] ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 165 раметрические уравнения укороченной циклоиды, описываемой точ- кой, лежащей в расстоянии у от центра. Отв. При том же выборе осей и параметра, что в примере 3 настоящего параграфа, имеем х~г(^а — —-sin а^, у = г[\ Lcosaj. И. Круг BMD радиуса г катится без скольжения по неподвиж- ному кругу ABE того же радиуса (черт. 80). Произвольная точка М круга описывает кривую, изображенную на черт. 80 и называемую кардиоидой (что в переводе означает сердцевидная). Составить параметрические уравнения кардиоиды. Ось абсцисс на- править от центра непо- движного круга к той его точке, в которую ложится точка М. За параметр при- нять t = £XOC (ОС линия центров). Отв. x=r(2cost—cos2f), y=r(2 sin ^—sin 2f). Указание. Так как качение происходит без скольжения, то АВ = ВМ и, следовательно, ВСМ = t. Из чертежа 80 найдем х = 2r cos t -f- г cos и, где ,и = £mRMC= Л.ОКС. Угол и можно выразить через t, рассматри- вая равнобедренный треугольник ОСК- Аналогично найдем пара- метрическое выражение для у. 15. Около точки А (черт. 81) окружности ANE вращается луч АМ\ от второй точки встречи его с окружностью мы откладываем по направлению луча отрезок NM, равный диаметру. Составить параметрическое уравнение геометрического места точек М при указанном на черт. 81 выборе осей и параметра а. Отв. х = г (2 cos а 4- cos 2 а), у = г (2 sin а -f- sin 2 а). Указание. Координаты искомого геометрического места по- лучаются из координат точек окружности прибавлением отрезков NR и RM, определяемых через параметр из треугольника MNR (2. MNR=a). Центральный угол NOQ вдвое больше вписанного NAE. Замечание. После поворота луча AM на 180° в положение АМХ точка М займет положение M1(NM1 = 2r). Поэтому при го>- Че>>т. 80.
166 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Черт. 81. Черт. 82. AM, равный отрезку КТ, заключенному между окружностью и ка- сательной. Точка М описывает кривую, изображенную на черт. 82 и называемую циссоидой Диокла. Составить параметрическое уравнение, этой кривой, взяв за параметр угол t=£TAB. Исклю- чив параметр, найти уравнение между координатами. Постарайтесь получить последнее уравнение, не прибегая к помощи параметри- ческих уравнений. Отв. x = 2r sin°-1, у = 2r sYal* ; *з =у2 (2г — х). * cost 1 . * v ' 18. Точка К (черт. 82) движется по окружности. Из точки Къ симметричной с К относительно диаметра CD, опускается перпен- дикуляр на диаметр АВ; он пересекает вращающуюся прямую в точке М. Показать, что геометрическое место точек М есть цис- соида (см. предыдущую задачу). § 9. Полярные координаты В § 1 этой главы мы упоминали, что после прямоугольной системы координат наиболее употребительной является система полярных координат. Она строится следующим образом. строении можно ограничиться углами а, заключенными между — 90° и4-90°, но откладывать отрезки в обе стороны от точки N. 16. Начертить кривую предыдущей задачи. Сравнив уравнения задач 14 и 15, показать, что кривая задачи 15 есть кардиоида. Отв. Положить a = ic-f-f. Учесть расположение осей в обеих задачах. 17. Около точки А окружности АКВ (черт. 82) вращается пря- мая AT. В диаметрально противоположной точке В проведена не- подвижная касательная ВТ. На прямой AT откладывается отрезок
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 167 На плоскости выбираем (черт. 83) точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОХ (полярная ось). Тогда положение любой точки М плоскости вполне определяется следующими двумя величинами: 1) расстоянием ее ОМ — г до полюса; от- резок ОМ называется ра- диусом-вектором точки М; 2) углом ХОМ = ср между радиусом-вектором и поляр- ной осью; этот угол назы- вается полярным углом точки М. Радиус-вектор г и полярный угол ср называют- ся полярными координата- ми точки М. Для числового задания радиуса-вектора нуж- но выбрать какой - либо масштаб. Если радиус-вектор счи- тать величиной положитель- Черт. 83. ной, а угол ср отсчитывать от радиуса-вектора к полярной оси по часовой стрелке, оставаясь при этом в пределах первого полного оборота (О<;ср<^2тг), то каждой точке М плоскости, за исклю- чением полюса О, будет соответствовать единственная пара значений полярных координат г, ср *). Пример 1. Построить точку Му для которой г =4, <р== ~. Из полюса О (черт. 83) проводим луч ОМ под углом ~ (45°) к полярной оси и на нем откладываем ОМ = 4. Пример 2. Построить точку Ny для которой г =4, <р=1,7тг. Из полюса О проводим луч ON (черт. 83) под углом 1,7тс (288°) и на нем откладываем ОN=4. Можно также описать из центра О дугу AN в 288° ра- диусом OA — 4. Конец этой дуги есть искомая точка N. Пример 3. В масштабе, заданном делениями на черт. 83, определить полярные координаты точки Р0 Радиусом ОР !) Что касается полюса, то радиус-вектор его г имеет един- ственное значение г = 0, но полярному углу у можно приписать любое значение.
168 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. iv описываем дугу РВ по направлению часовой стрелки до пе- ресечения в точке В с полярной осью. Прочитываем длину радиуса-вектора г—ОР= OB = 3 и величину полярного угла <р = 0,75 тг (135°). В полярной системе координат, так же как и в прямо- угольной, всякое уравнение между координатами представляет некоторую линию, и, обратно, всякую линию можно предста- вить уравнением между радиусом-вектором и полярным углом. В следующем параграфе мы покажем на примерах, как со- ставляется уравнение кривой в полярной системе координат. Здесь же рассмотрим пример построения кривой по ее урав- нению в полярных координатах. Пример 4. Построить линию по ее уравнению г = — ш Давая <р ряд значений, например <р = 0,-~, •^-, — ...бу- дем вычислять соответствующие значения г; получим такую таблицу: ? 0 Т тс IF 3 1с 5 Т* 3 7 2я г 0 1 4 1 2 3 4 1 5 4 3 2 7 4 2 Построив по точкам график, получим кривую OABCD, изображенную на черт. 84 сплошной линией. Эту кривую мы должны считать обрывающейся в точке D, если сохраним в силе принятое выше соглашение, согласно которому угол ср должен оставаться меньшим, чем 2тс Между тем, кривая ABCD имеет естественное продолжение DEFGH. %. Это продолжение мы по- лучим и из уравнения г = , если только разрешим углу <р при- нимать значения, ббльшие, чем 2тт. При 2гс^<р<4тг мы полу- чим завиток DEFGH (проверьте вычислением). При дальнейшем изменении <р получим бесконечный ряд завитков, образующих спираль. Отказавшись от принятого прежде соглашения, мы лиша- емся, конечно, некоторого удобства; именно теперь всякой !) Строго говоря, уже точка D не принадлежит тогда нашей кривой, ибо для нее полярный угол нужно считать равным не 2тс, а нулю, а полярному углу ^» = 0 соответствует точка О.
§9] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 169 точке плоскости будет соответствовать уже не одно, а бес- численное множество значений полярного угла. Так, точке М на черт. 83 соответствует не только значение ср^=~, но также ср = 2 -^- тт, 4-j-tt ^ и т. д. Следующий пример покажет, что по намеченно- му пути полезно пойти и дальше, введя в рассмотре- ние и отрицательные значе- I ния ср. Пример 5. Построить кривую линию по ее уравне- нию в полярных координатах r = — —^4-. Поступая, как 1с 1 в предыдущем примере, построим линию ABCDE... (черт. 85); эта линия, как нетрудно показать, получается из одноименной линии черт. 84, если последнюю повернуть около полюса на угол ~ по часовой стрелке. Однако, если не ввести в рас- смотрение отрицательные полярные углы, то куска ОЛ, наме- ченного на черт. 85 пунктиром, мы не получим, ибо этому куску теперь соответствуют значения ср, содержа- щиеся между — «j и 0. С введе- нием отрицательных полярных углов появится и кусок OA. Итак, полярному углу ср мы усло- вимся придавать также и отрицатель- ные значения. Но и для радиуса- вектора целесообразно допустить не только положительные, но и отрица- тельные значения. В противном слу- чае в уравнении г = ~ мы лишены будем возможности зада- вать углу ср отрицательные значения, а, например, в уравнении Черт. 85.
170 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [гл. IV г =1 — ~ не сможем давать углу ср и положительных зна- чений, больших, 'чем тт. Но так как прежде величина г выражала у нас длину отрезка ОМ (черт. 83) и, следовательно, не могла иметь отрицательных значений, то теперь нужно заново условиться, как строить точку с полярными координатами г и ср в том случае, когда г имеет отрицательное значение. По аналогии с тем, как изображаются отрицательные числа на неподвижной оси, мы условимся определять положение точки М с отрицательным радиусом-вектором г и любым полярным углом ср следующим образом: Черт. 86. Черт. 87. 1) проводим луч ОАх (черт. 86 и 87), образующий угол ср с полярной осью\ 2) продолжая его в противоположную сторону, строим лун OA; 3) на луче OA откладываем отрезок ОМу длина которого равна абсолютному значению отрицательной величины г. Точка М есть искомая. На черт. 86 показана точка М с координатами г = — 2, ср=~; на черт. 87 точка М с координатами г = — 2, 1 3 ср=1ттт. Разумеется, те же точки можно было бы определить и иным заданием координат, при котором г было бы положи- тельной величиной. Так, точку М на черт. 86 можно задать координатами: г— 2, cp=l-i- тг; r=2, ср = 3~ it и т.д., 5 5 а также г=2, ср = — -g-тт; г=2, ср = — 2-g-Tr и т. д. ф 1 Пример 6. Уравнение г = ^ при соблюдении при- нятого условия представит уже не одну спираль (ср. пример 5),
УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 171 а две. Вторая спираль будет развертываться по мере того, как <р, начиная от значения <р=~, будет неограниченно уменьшаться, принимая также и отрицательные значения. По- строив эту вторую спираль по точкам, читатель легко заме- тит, что она симметрична со спиралью черт. 85 относительно полярной оси. § 10. Примеры составления и исследования уравнений геометрических мест в полярных координатах Пример 1. Прямая А'А (черт. 88) вращается около точки О с постоянной угловой скоростью (о. Вдоль прямой движется точка М с постоянной линей- ной скоростью v. Составить уравнение траектории точки М в полярных коор- динатах. Естественно выбрать за полюс точ- ку О, около которой совершается вра- щение прямой. За полярную ось можно выбрать любой из лучей, проходящих через О; мы выберем тот луч, в на- правлении которого двигалась точка М, когда проходила через точку О. Обозначим через t время, протекшее с того момента, когда точка М находилась в точке О. Тогда, согласно усло- вию задачи, имеем r = vt, (1) ср = (2) Это — параметрические полярные уравнения искомой ли- нии. Исключая параметр /, имеем v г = — со. о) 4 (3) Обозначив постоянную величину — сать уравнение (3) в виде г — дер. через я, можем перепи-
172 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Линия, уравнение которой мы нашли, называется архиме- довой спиралью. Вид архимедовой спирали нам уже знаком 1 по частному ее случаю, когда а — —, рассмотренному в при- мере 4 § 9. При других значениях а мы получаем ту же кривую в увеличенном или уменьшенном виде. Сам Ар- химед (111 в. до н. э.) рассматривал только одну ветвь своей спирали, считая, что точка начинает движение из точки О. Если же считать, что точка М совершает движение вдоль всей прямой А'А, проходя в момент 2 = 0 через точку О, то получим две ветви спирали (ср. пример 6 § 9). В системе координат, принятой в настоящем примере, вторая ветвь будет симмет- рична с первой относительно прямой (YY* на черт. 88), проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси. Замечание. Можно показать, что уравнение вида r—ay-\-b также представляет архимедову спираль, име- Черт. 89. ющую ту же форму, что спираль г=аъ, но повернутую по отношению к последней на некоторый угол около полюсах). Та- ким образом, общее уравнение первой степени в полярных координатах изображает не прямую, как в прямоугольной системе координат, а архимедову спираль. Пример 2. Составить в полярных координатах уравне- ние прямой А'А (черт. 89), проходящей через полюс О, если один из углов, образуемых этой прямой с полярной осью, равен а. Для всех точек прямой АА' полярный угол ср можно счи- тать равным а; поэтому уравнение прямой А А' есть <р = а. Переменная г в это уравнение вовсе не входит; она мо- жет принимать какие угодно значения, положительные или !) Всякое уравнение r = a$-\-b можно преобразовать к виду г=гя — уд), а последнее выражает, что г пропорционально углу, образованному подвижной прямой с лучом, составляющим угол <р0 с полярной осью.
УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 173 отрицательные. В первом случае получаем всевозможные точки луча ОЛ, во втором случае — точки луча oa'. Пример 3. Какую линию представляет уравнение г=д, где а постоянная величина? Это уравнение выражает, что радиус-вектор ом точки м при всевозможных направлениях луча ом имеет постоянную величину. Следовательно, линия г = а есть окружность ра- диуса а с центром в О. Пример 4. Составить уравнение окружности радиуса R в такой полярной системе координат, в которой за полюс принята некоторая точка О на окружности, а за полярную ось принят диаметр, проходящий через О. Чтобы найти функциональную зависимость между г—ом (черт. 90) и ср = / мох% достаточно рассмотреть треуголь- ник mon, в котором вершина n есть точка окружности, диаметрально противоположная полюсу О. Угол omn прямой (как вписанный, опирающийся на диаметр). Поэтому ом = on cosy. (5) Но om = ry on=2r; подставляя эти выражения в (5), получаем уравнение нашей окружности г =2/? cos?. (6) Черт-90' Если угол ср изменять, давая ему возрастающие значения в пределах от —~(— 90°) до +у (90°), то г будет оста- ваться положительным, а точка м, выйдя из точки О, опишет полную окружность. Если угол ср, возрастая, будет изменяться от у до it, то г будет получать отрицательные значения от О до —2r, а точка м снова опишет нижнюю полуокруж- ность. При дальнейшем изменении ср от тг до у тг переменная г, оставаясь отрицательной, начнет убывать по абсолютной величине, а точка м опишет вторично верхнюю полуокруж- ность и т. д. Читателю предлагается построить график уравнения (6), помня о введенном в конце § 9 условии насчет отрицательных значений г.
174 исследование уравнений кривых [гл. IY г = 2, <р = 6 * Найти ее прямоугольные координаты при указанном выше вза- имном расположении систем координат. Имеем Ar=2cosy=K3, .у = 2sin у = 1. Пример 2. Написать уравнение архимедовой спирали в прямоугольной системе координат. Уравнение архимедовой спирали при надлежащем выборе полярной системы координат (§ 10, пример 1) имеет вид г — Щ, (3) § 11. Формулы перехода от полярной системы коорди- нат к прямоугольной В тех случаях, когда легче составить уравнение линии в полярной системе координат, а желательно получить урав- нение в прямоугольной системе, можно всегда простым вычи- слением перейти от уравнения в по- лярных координатах к уравнению той же линии в прямоугольной системе. Точно так же и обратно, имея уравне- ние линии в прямоугольной системе координат, можно легко найти полярное уравнение той же линии. Черт. 91. Возьмем начало координат в полю- се О и направим ось абсцисс по по- лярной оси. Тогда, как легко видеть из черт. 91, будем иметь AT = rcoscp, у = г sin ср. (1) Эти формулы выражают прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Обратно, как видно из того же чертежа, г = Ух2-\-У2, tgcp=£. (2) Эти формулы (вторую можно записать также в виде ср = arctg ■—^ выражают полярные координаты через прямо- угольные. Пример 1. Полярные координаты точки суть
§ 11] переход от полярной системы к прямоугольной 175 или г или tg<p=tg-£. Подставляя сюда выражения (2), получим (4) Конечно, исходное уравнение (3) удобнее, чем полученное. Из последнего мы не сможем даже получить у в явной функции от х. Пример 3. Окружность радиуса R с центром в точке С(/?, 0) представляется, как известно, уравнением (x — R)2 + y2 = R2. (5) Написать уравнение этой окружности в полярной системе координат, взяв за полюс точку (0, 0) и за полярную ось — положительно направленную ось абсцисс. Преобразовав уравнение (5) к виду х2 — 2RX + у2=0, (6) подставим сюда выражения (1). Получим г2 cos2 ср — 2/?rcos ср -f- г2 sin2 ср = О, или или или*) Ср. пример 4 § 10. г2 (cos2 ср -J- sin2 ср) — 2Rr cos ср = О, r2 = 2/?rcoscp, (7) г = 2/? cos ср. (8) г) Сократив уравнение (7) на г, мы теряем его корень /• = 0 (ф произвольное число). Но все пары значений (0, ф) дают только одну точку — полюс. А эта точка сохраняется и в уравнении (8), которое удовлетворяется значениями г = 0, ф = ~-.
176 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ [ГЛ. IV Упражнения Построить точки, полярные координаты которых суть: I. r = 2, <p=Hf- 6. г = ~, <р = -|-я. 2.r = 2, 1=--3-. 7. г = -4, у = + ~. 3. г = 3, ? = я. 8. г = —4, 9=+«. 4.г = 2,4.? = ~«. 9. г = -6,5, ? = - * . к r„o ffl„ 7 10. г = — 6,5, ? = —тт. Построить линии, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: II, г =af. 12. г =_~ (гиперболическая спираль). 13. г = л sia 2? (четырехлепестковая роза). 14. г = a sin 3? (трехлепестковая роза). 15. г = a cos2f. - „ я2 Пример 4. Найти полярные координаты точки (1, —1). Уравнения (2) дают г = 1^2. tgcp = — 1, Углу ср можно дать любое из значений arctg(—1), т. е. можно положить 1 1 1 о 1 9 = --4*, <р = — l-^-TT, (р = —2ттт, ... Но при этом нужно соответственно выбирать знак при ради- кале У2. Если хотим иметь r=-}-K2, то можем взять 1 1 3 3 <р = —ттг, ср = —2ттг, ... или <р=1ттг, З-^-тг,..., ибо наша точка лежит в четвертой четверти. ТЭ 3 0 3 , 1 q 1 Взяв же ср=-^-тг, 2-^-тг, —1 -^-тг, —З-^-тх и т. д., мы получим луч во второй четверти; в четвертой четверти лежит его продолжение, так что теперь нужно взять г =—|/2.
§11] переход от полярной системы к прямоугольной 177 12 М. Я. Выгодский 17. г = 2а sin ф (ср. пример 4 § 10). 18. Составить в полярных координатах уравнение прямой, пер- пендикулярной к полярной оси. Отв. г=—-—. собф 19. Составить в полярных координатах уравнение прямой, па- раллельной полярной оси. Отв. г = —^—. sin ф 20. Исходя из определения параболы, состаеить в полярных координатах ее уравнение, приняв фокус параболы за полюс, а ось параболы за полярную ось. Отв. г = -%— • 1 — cos ф 21. Исходя из общего свойства конических сечений (отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно эксцен- триситету), написать полярное уравнение конического сечения. Систему координат выбрать, как в предыдущей задаче. Отв. г — -л—— , » 1 — £ cos ф где р — расстояние от фокуса до директрисы. 22. Написать полярное уравнение эллипса, приняв за полюс его центр, а за ось большую полуось эллипса. ~ cos29 . sin2? 1 Отв. —~ Н—ттг = -г- • а1 № г2 Указание. Преобразовать к полярным координатам уравне- ние эллипса в прямоугольных координатах. 23. Написать полярное уравнение равносторонней гиперболы, приняв за полюс ее центр, а за полярную ось одну из асимптот. а2 Отв. ^=--^-. sin 2ф 24. Отрезок постоянной длины 2а скользит концами по сторо- нам прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опу- щен перпендикуляр. Найти геометрическое место оснований пер- пендикуляра в полярных координатах (за полюс принять вершину прямого угла, а за полярную ось — одну из его сторон). Отв. Четырехлепестковая роза. 25. Написать уравнение четырехлепестковой розы в прямо- угольных координатах. Отв. (*2 +3/2)3 = 4я2д;2у2. 26. Составить уравнение кардиоиды в полярной системе коор- динат, исходя из определения, данного в задаче 15 § 8, Отв. г = 2а (14- ccs <р).
ЧАСТЬ II ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ГЛАВА • V ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ § 1. Исторические сведения Около трехсот лет тому назад, одновременно с аналити- ческой геометрией и в тесной связи с ней, возникла другая ветвь высшей математики — исчисление бесконечно малых (иначе «анализ бесконечно малых» или коротко: «анализ»). Источником исчисления бесконечно малых послужил ряд задач астрономии, механики, физики и геометрии, а задачи эти стали в центре внимания ученых 17 века в связи с по- требностями мореплавания, архитектуры, военного дела, гид- ротехники, оптики и механических производств. Так, например, еще в 16 веке делались попытки опреде- лить траекторию пушечного снаряда, т. е. форму той линии, по которой летит ядро, выброшенное из наклонно располо- женного орудийного ствола. Точно так же пытались узнать, при каком угле наклона орудия ядро упадет дальше всего от орудия. На второй вопрос знаменитый итальянский ученый Тарталья в середине 16 века дал, опираясь на наблюдения, правильный ответ: наибольшая дальность полета достигается при наклоне 45° к горизонту. Однако, Тарталья не был в состоянии правильно ответить на первый вопрос. Ои считал, что ядро летит сначала по наклонной прямой линии, затем описывает дугу окружности и, наконец, вертикально падает вниз. Наблюдением нельзя было проверить эту фантастическую гипотезу. Теоретический же вывод закона движения ядра нельзя было дать средствами элементарной математики, а другими средствами математики в эпоху Тартальи не владели. И в вышеупомянутой, и во многих других задачах нужно было перевести на математический язык такое «простое» по-
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 179 нятие, как понятие скорости движения. Нужно было научиться по закону изменения скорости тела находить закон движении тела (т. е., выражаясь на современном языке, выразить путь в функции времени). Нужно было научиться решать и обрат- ную задачу: по закону движения находить закон изменения скорости. Первые твердые шаги в этом направлении были сделаны великим Галилеем. Около 1600 г. Галилей дал точ- ное решение задачи о свободном падении тела и, основы- ваясь на этом решении, теоретически определил траекторию снаряда (в пустоте). Оказалось, что это — парабола. Галилей заметил, что решение задачи о нахождении пути по данной скорости сводится к геометрической задаче, уже со времени Архимеда (3 век до н. э.) привлекавшей внима- ние ученых. Это — задача об определении площади, ограни- ченной произвольными (прямыми или кривыми) линиями. Уче- ник Галилея Торричелли выяснил (около 1635 г.), что реше- ние обратной задачи (определить скорость по данному закону движения) теснейшим образом связано с другой геометриче- ской задачей, также привлекавшей внимание ученых со времени Архимеда. Это — задача о проведении касательной к произ- вольным кривым линиям. Вскоре выяснилось, что решение множества других задач (например, нахождение центра тяжести тел произвольной формы, времени истечения жидкости из сосуда, давления жидкости на стенку сосуда, вычисление максимальной вели- чины дальности полета снаряда и т. д.) сводится к двум упомянутым выше геометрическим задачам: к «квадратуре кривых» и «построению касательных», как их тогда называли. Опираясь на работы Архимеда и развивая заложенные в них идеи, западноевропейские ученые в последующее трид- цатилетие (1635—1665) выработали общий метод «квадра- туры кривых» и общий метод «построения касательной». Ученики Галилея Торричелли и Кавальери, французские ма- тематики Ферма и Паскаль, английский математик Валлис, голландский физик и математик Гюйгенс и многие другие, менее известные, ученые разработали эти методы. Наконец, Ньютон (начиная с 1666 г.) и Лейбниц (с 1675 jr.) завер- шили грандиозное открытие*). Они полностью выяснили вза- г) Лейбниц впервые выступил публично со своими открытиями в 1684 г.; Ньютон — значительно позднее (в 1693 г. было опублико- 12*
180 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V имную связь между задачей квадратуры и задачей о каса- тельных; они выразили их t наиболее отвлеченным образом, введя буквенную символику, подобную алгебраической. Бла- годаря этому оба метода приобрели характер исчисления, получившего название исчисления бесконечно малых. Про- исхождение этого названия вскоре (§ 5 этой главы) станет ясным читателю. Задача о касательных легла в основу так называемого диференциального исчисления, задача о квадра- турах— в основу интегрального исчисления. Эти термины введены в литературу Лейбницем. Лейбниц показал, что основное действие диференциаль- ного исчисления (диференцирование) и основное действие интегрального исчисления (интегрирование) являются взаимно обратными действиями, подобно тому, как, например, сложе- ние и вычитание, возведение в степень и извлечение корня являются взаимно обратными действиями. Те же результаты Ньютон получил в несколько иной форме. У Ньютона была другая терминология, другие обо- значения и несколько иной подход к основным понятиям. Лейбниц оказал на последующее развитие исчисления бесконечно малых несравненно большее влияние, чем Ньютон, не только потому, что к моменту опубликования работ Нью- тона работы Лейбница успели уже создать мощное научное течение, но и потому, что сами по себе обозначения Лейб- ница были лучше и шли дальше, чем символика Ньютона. Б настоящее время символика Лейбница общепринята. Что касается представлений Лейбница, Ньютона и предшествую- щих им авторов о сущности основных операций исчисления бесконечно малых (диференцирования и интегрирования), то они оказались во многом недостаточными, но лишь через столетие после смерти Лейбница и Ньютона математики ока- зались в состоянии подняться в этом отношении на более высокую ступень. Это, однако, не помешало грандиозному развитию исчисления бесконечно малых; как Лейбниц и Ньютон, так и математики позднейших поколений в совершенстве развили технику исчисления бесконечно малых и применили это исчисление к решению разнообразных задач науки и вано его письмо к Валлису с кратким сообщением об открытом им методе; обстоятельное изложение появилось только в 1736 г. — после смерти Ньютона).
§2] ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ 181 техники. В настоящее время нельзя изучать ни одной области науки и техники без знакомства с диференциальным и ин- тегральным исчислением. § 2. Задача о касательной Пусть некоторая кривая линия задана своим уравнением относительно прямоугольной системы координат, например, уравнением у = х2 (парабола с вершиной в начале коорди- нат, осью которой служит ось у; черт. 92). •х Черт. 92. Возьмем на ней какую-нибудь точку, например точку А , -i-^ , и поставим себе задачу—составить уравнение пря- мой ММ, касающейся параболы у = х2 в точке -£-) • Чтобы прямая MN была касательной, она должна 1) про- ходить через точку Л и 2) иметь то направление, которое имеет кривая линия в той же точке А. Иными словами, это — та прямая, по которой стала бы двигаться по инерции точка, соскочившая с криволинейного жолоба, по которому она прежде перемещалась. .Уравнение, которому удовлетворяет всякая прямая, про- ходящая через точку (^у, , есть (см. § 7 гл. II) у — т=т (х—т)' (1)
182 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V и все дело сводится к определению углового коэфициента m = tga. Этот угловой коэфициент можно определить следующим образом. Возьмем на кривой линии какую-нибудь точку В, отличную от точки Л, и проведем секущую АВ; она обра- зует с направлением оси абсцисс угол [$ = ^ВАС, не рав- ный углу а (в случае, изображенном на черт. 92,— больший). Будем теперь перемещать точку В по кривой линии так, чтобы она все более и более приближалась к точке А, стре- мясь к ней, но не совпадая. Секущая АВ примет положе- ния ABV АВЪ АВг и т. д. и будет образовывать с направлением оси абсцисс углы $^ = ВгАСу Р2 = £2ЛС, §г = В2АС и т. д. Угловые коэфициенты секущих будут k1=-tg$v ft2 = tg j}2, Из чертежа мы видим, что углы §v (52, [}3,... все менее и менее отличаются от угла а. Практически скоро станет даже невозможным отличить эти углы от угла а. Угловые коэфициенты ftb ft2, ft3,... также все менее будут отличаться от искомого углового коэфициента т. Но все угловые ко- эфициенты ft2, ft3,... очень просто выражаются через ко- ординаты точки А и точек Bv Въ £3,...; их числовые ве- личины легко найти. Остается, следовательно, решить такую задачу: к какому числу неограниченно приближаются числа kv ft2> ft3,...? Если это число мы найдем, оно и будет ис- комым значением т. Такова общая идея метода решения задачи о касательной. Поясним ее числовой выкладкой. Пусть абсциссы точек Bv B2i B2l... будут ^ = 0,51, лг2 = 0,501, #з = 0,5001 и т. д.; при таком их выборе/они, очевидно, неограниченно приближаются к абсциссе # = 0,5 точки А. Угловые коэфициенты kv ft2, ft3,... вычисляются так: ft. ft, =*з + 0,5= 1,0001, ft, '3
§2] ЗАДАЧА О КАСАТЕЛЬНОЙ 183 Мы видим, что числа kv k2} &3... неограниченно приближа- ются (стремятся) к числу 1. Оно и будет значением т: т=\. Формула (1) после подстановки т=\ дает искомое уравне- ние касательной: 1 1 У-Т=* —2 или I у = х — т. Мы могли бы взять иной ряд точек Bv В21 Z?3,..., лишь бы они стремились к точке А; например, можно взять хг = 0,505, х2 = 0,5005, хг = 0,50005,... Тогда получим (вычисление предоставляем читателю) кг = 1,005, k2 = 1,0005, k3 = 1,00005,... Ряд чисел &2, &3,... снова стремится к 1. Точку В можно было бы приближать к точке А не справа, а слева; напри- мер, абсциссе ее можно дать ряд значений ^ = 0,49, х2 = 0,499, *3 = 0,4999,... Эти значения также приближаются к числу 0,5; угловые ко- эфйциенты соответствующих секущих будут ^ = 0,99, Л?2 = 0,999, £3 = 0,9999,... Числа к19 k2i &3, ... здесь также стремятся к 1. Этому числу и равен угловой коэфициент касательной к кривой у = х2 в точке А , ^ . Описанным способом можно найти уравнение касательной в любой другой точке параболы; тот же прием годится и для всякой иной кривой линии. Но в той форме, в которой мы его только что применили, этот прием был бы в боль- шинстве случаев очень громоздким. Диференциальное исчи- сление позволяет усовершенствовать этот прием до такой степени, что при некотором навыке касательная прямая на- ходится почтя моментально. Но прежде чем приступить к из- ложению диференциального исчисления, мы должны выяснить одно основное понятие, которым пользуются и в диферен- циальном, и в интегральном исчислении, и во всех других областях высшей математики. Это — понятие предела.
№ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V § 3. Предел С понятием предела мы по существу уже имели дело в предыдущем параграфе. Оно встречается и в элементарной математике (например при вычислении площади круга, объема круглых тел, суммы бесконечной геометрической прогрессии). Но в элементарной математике с понятием предела мы встречаемся лишь от случая к случаю; в высшей же мате- матике оно играет роль основного понятия. В примере предыдущего параграфа мы рассматривали две переменные величины: 1) абсциссу л; подвижной точки В; 2) угловой коэфициент k секущей АВ. Первую мы считали независимой переменной — мы изменяли ее, задавая ей различные значения; вторая была зависимой переменной — она при этом принимала ряд значений, вполне опреде- лявшихся выбором значений независимой переменной. Когда переменная х приближалась к числу -^-, перемен- ная k приближалась к числу 1. Число ~ называется пре~ делом переменной х, число 1—пределом переменной k. Вообще постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем изменении неограниченно приближается к постоянной а. Ниже мы несколько уточним это определение, расшифро- вав математическое содержание слов «неограниченно прибли- жается». Здесь же мы обращаем особое внимание читателя на принципиальное различие между пределом независимого переменного и пределом функции. В первом случае нужно задать или указать этот предел; во втором слу- чае нужно убедиться в том, что предел действительно суще- ствует, и найти его. Пример 1. Пусть две переменные величины х и у свя- заны зависимостью Если мы спросим, к какому пределу стремится переменная х или переменная у} то такой вопрос не имеет смысла. Нужно указать, как изменяется одна из величин х или у, и тогда можно спросить, стремится ли другая к какому-нибудь пре- делу и если да, то к какому именно.
§ 3] ПРЕДЕЛ 185 Пусть х есть независимая переменная и пусть указано, что при своем изменении х стремится к пределу 6; это запи- сывается так: х—*6. Такое указание не определяет еще полностью характера из- менения величины х. Она может, например, принимать зна- чения 6,1, 6,01, 6,001, 6,0001 и т. д., (1) или значения 5,9, 5,99, 5,999, 5,9999 и т. д., (2) или значения 6,1, 5,99, 6,001, 5,999, 6,0001 и т. д. (3) Словом, независимая переменная х может изменяться как угодно, лишь бы абсолютная величина разности л: — 6, т. е. величина i*-6|, неограниченно уменьшалась. Так, в последнем случае разность х — 6 становится равной 0,1, -0,01, +0,001, -0,0001 а абсолютная ее величина \х — 61 становится равной 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001,... При указанных способах изменения переменной х пере- менная у также меняется различным образом, но каждый раз она приближается к одному и тому же пределу. Величину этого предела легко найти из таких соображений: когда х приближается к 6, знаменатель х — 2 приближается к 4, числитель же х2 — 4 приближается к б2 — 4 = 32. Дробь х2 4 5», т. е. величина у% должна приближаться к пределу х 32 „ т=8- Подставляя в выражение х___2 любой РЯД чисел (1), (2) или (3) и произведя выкладки, мы убедимся, что величина у во всех случаях действительно стремится к пределу 8. Это
186 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V записывается так: lim у =8 или аг->б х а Буквы lim представляют сокращение французского слова li- mite (читается: лимит) или латинского слова limes (лимес); оба слова в переводе значат «предел». х2 4 Пример 2. Пусть снова у — ~-, но пусть теперь х ■ & х-+2. Стремится ли у к пределу и если да, то к какому? Рассуждение, подобное предыдущему, не дает никакого ответа на этот вопрос! Действительно, как числитель, так и х2 4 знаменатель дроби х__2 приближаются к нулю, когда д-2 4 х —► 2, и если бы мы сказали, что дробь х 2 приближается к пределу -д-, то ничего не выяснили бы, ибо выражение неопределенно. хъ 4 Однако, величина у = тг все же стремится к олреде- х л ленному пределу. Это сразу же почувствуется, если задавать переменной х любой ряд значений, приближающихся к пре- делу 2, например, х^ —-1,9, ^2 — ,99¾ " ^ ,999,. • • Мы имеем тогда 1 Q2 д Ух = jfzr = 3'9> У* = ^99' Л = 3,999,... Очевидно \imy = 4. Чтобы доказать справедливость этого результата, представим у в виде > = (4)
ПРЕДЕЛ 187 т. е • у = х + 2. (5) Теперь очевидно, что если х каким угодно способом стре- мится к пределу 2, то у стремится к одному и тому же числу 4. Заметим, что правые части формул (4) и (5) не вполне тожде- ственны, ибо сократить на х — 2 мы имеем право лишь в том слу- чае, когда х — 2^0, т. е. когда х Ф 2. хч 4 Выражение — — при х = 2 прямого смысла не имеет, но при всех х Ф 2 оно тождественно с выражением х -\- 2; значит, когда х (х — 2){х + 2) к стремится к 2, выражение ^ J_ t> —- приближается к тому же пределу, что и выражение х-\-2. Итак, имеем hm = 4. Пример 3. Пусть у = sinх и х —► 0. Из черт. 93 оче- видно, что когда £МОА — х неограниченно приближается к нулю, то линия синуса MP также стремится к нулю; при этом точка М может переме- щаться по окружности как угод- но, лишь бы она неограни- ченно приближалась в точке А; при- ближаться она может сверху или сни- зу, непрерывно или скачками. Вместе с линией синуса MP приближается к MP нулю и sin л: = ^, так что lim sin* = 0. Черт. 93. Пример 4. Пусть y = s'm~ и лг->0. На черт. 93 угол МО А 1 теперь нужно считать равным ~, величину же х попрежнему не- ограниченно приближать к нулю. По мере уменьшения абсолютной величины х переменная — будет по абсолютной величине неогра- ниченно увеличиваться. Например, когда х мы будем задавать значения 1, 0,1, 0,01, 0,001 и т. д.,
188 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V 1, 0, -1, 0, то — примет значения 1, 10, 100, 1 000 и т. д. Значит, когда х, оставаясь положительным, будет плавно от значе- ния х = 0,1 приближаться к значению 0, точка М будет передви- гаться по окружности против часовой стрелки, описывая все' большее число оборотов. Что станет с величиной sin Очевидно, она будет принимать всевозможные значения (меньшие единицы по абсолютной величине) и ни к какому пределу стре- митьсянебудет. Если стремить х к нулю не плавно, а скачкообразно, то можно подобрать такой ряд его значений, чтобы подвижная точка М приближалась к любой неподвижной точке окружности* Для этого можно давать х ряд, скажем, таких значений: 1 1 1 (2 + 0,1) я' (4 + 0,01) *' (6 + 0,001) *' *' • При этом, очевидно, х приближается к 0; величина же -~ полу- чит тогда значения 2тс + 0,1я, 4it-f-0,01ic, 6те + 0,001те, Наконец, величина sin ~ будет равна sin (2я -f-0,1тс) = sin 0,lic, sin (4тс + 0,01ic) = sin 0,01ic, sin 0,001¾:,..., т. е. будет стремиться к пределу 0. Это, однако, не дает нам права написать lim sin •— = 0, х->о х ибо так же легко подобрать другой ряд значений х, тоже стремя- щийся к нулю, для которого величина sin ~ будет приближаться к другому пределу, например к 1 (постройте такой ряд). Наконец, можно подобрать и такой ряд значений х, для которого sin-^ вообще ни к какому пределу не приближается. Например, давая х значения 2_ .2. 2. -2. я ' 2it9 3ic' 4it' • • • » 1 мы для — получим ряд значении 1с Зя _ у, я, —, 2я, ... Для sin— получаем значения
§4] УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 189 Эта четверка значений будет повторяться бесконечное множество раз. Ни к какому пределу эти значения не стремятся. Таким образом, функция sin — прл х ->0 никакого пре- дела не имеет. * Пример этот мы рассмотрели для того, чтобы лучше уяснить понятие предела и подчеркнуть отличие между пределом аргумента и пределом функции: аргумент мы можем заставить стремиться к пределу, который мы сами назначим; а будет ли функция стре- миться при этом к пределу — это еще подлежит выяснению. Если да, то задача наша состоит в нахождении величины этого предела. Впрочем, в этой книге мы рассматриваем только такие случаи, когда предел функции существует. § 4. Уточнение понятия предела В определении предыдущего параграфа мы не дали точ- ного разъяснения слов «неограниченно приближается». Теперь мы это сделаем. Пусть переменная х имеет пределом число 6 (л:—*6) и принимает, например, такой ряд значений: 6,1, 6,01, 6,001 и т. д. Возьмем теперь число, меньшее 6, например 2. Пере- менная х% пробегая указанные значения, приближается к 2, т. е. величина - |*-2| все время уменьшается. Но мы не называем число 2 преде- лом переменной х% потому, что здесь нет неограничен- ного уменьшения. Действительно, величина | х — 21 в нашем примере никогда не станет меньшей, например, чем число 2,8 или чем число 3,6. Таким образом, точный смысл фразы: «л: неограниченно приближается к а» состоит в следующем: какое бы положи- тельное число е1) ни было задано, всегда наступит момент, после которого | х — a J будет оставаться меньшим е. В этом именно смысле величина \х — 6 J в нашем примере неограниченно уменьшается. Действительно, ее можно сделать меньше любой наперед заданной положительной величины е. Зададим, например, е = 0,01. Тогда в ряду значений 6,1, 6,01, 6,001 и т. д. все значения х, начиная с третьего (6,001), удовлетворяют неравенству \х — 6|<0,01. 1) Греческая буква «эпсилон».
190 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V Возьмем 8 = 0,0015. Тогда все значения х9 начиная с чет- вертого (6,0001), удовлетворяют неравенству \х — 6|<0,0015, и вообще неравенство 1*-6|<8 при любом заранее выбранном е удовлетворится всеми зна- чениями величины х, следующими за некоторым определенным его значением (зависящим от е). Поэтому число 6 мы и на- зываем пределом переменной х. Выяснив точный смысл термина «неограниченно умень- шается», мы можем определение предыдущего параграфа вы- сказать в следующей форме: Определение. Если переменная величина х изме- няется таким образом, что для любого наперед заданного положительного числа е абсолютная величина разности между ней и некоторой постоянной величиной а вслед за некоторым моментом остается меньшей е: I* — «1<е. то величина а называется пределом переменной величины х. Закончим этот параграф выяснением вопроса, который часто затрудняет начинающих: может ли переменная величина х, стремящаяся к пре- Л м2 ми у /ч3 м, делу ау принимать зна- ^ 1 1 J - [- В чения, равные а? Согласно только Черт. 94. что приведенному опре- делению на этот во- прос нужно ответить утвердительно» Пусть, например (черт. 94), мы заставляем точку М плавно двигаться по АВ следующим образом: от положения Мх с абсциссой 1 она движется влево до точки М2 с абсциссой —-i , затем она движется вправо до точки М3 с абсциссой -\- , потом снова влево до точки МА с абсциссой —^ и т. д. В остальном закон движения произволен; например, точка может ускорять или замедлять свое движение как угодно. Перемен- ная абсцисса х имеет, очевидно, предел, равный нулю, ибо
§4] УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 191 величина \х-0\ = \х\ вслед за некоторым моментом станет и будет дальше оста- ваться меньше любого наперед заданного числа е. С другой стороны, переменная х принимает знамение нуль каждый раз, как точка М проходит в том или ином направлении через О. Итак, переменная величина, стремящаяся к пределу а, может принимать значение, равное я, и притом не только один или несколько, но даже бесконечно много раз. Когда подобное явление имеет место с зависимой переменной, мы должны констатировать ч стремление к пределу а (в нашем примере а = 0). Когда же речь идет о независимой переменной, то от нас самих зависит, как приближать ее к пределу; в частности, мы могли бы заставить ее принимать сколько угодно раз свое предельное значение. Но это было бы нецелесообразно, и вот почему. В тех вопросах, где приходится искать предел функ- ции, нам всегда бывает существенно знать, что происходит с функцией в процессе стремления аргумента к его пре- дельному значению, а не в тот момент, когда аргумент до- стигает своего предела. К тому же в этот момент функция может оказаться неопределенной, что и происходит во многих практически важных случаях. Нижеприводимые примеры по- ясняют сказанное. Пример 1. В § 2 мы искали предел, к которому стре- мится угловой коэфициент k секущей, когда абсцисса х точки В стремится к пределу 0,5. Роль аргумента играла здесь переменная х, роль функции — переменная k. Когда х неограниченно приближается к 0,5, не принимая предель- ного значения л; = 0,5, точка В неограниченно приближается к Л, не сливаясь с ней. Секущая А В получает вполне опре- деленные положения; зная, как меняется это положение в про- цессе приближения В к А, мы можем найти предельное по- ложение секущей АВ, т. е. предел ее углового коэфициента k. Эта величина нас и интересовала. Выиграем ли мы что-либо, если разрешим переменной х принять предельное значение л: =0,5? Нет, ибо тогда точка В сольется с точкой А и положение секущей станет неопределенным. Можно, конечно, сказать, что в момент, когда х = 4-, секущая стала каса-
192 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V тельной. Но ведь угловой коэфициент касательной и есть та неизвестная величина, которую мы ищем. Пример 2. В § 3 мы искали *->2 х ~~ z При всех значениях а;^2 мы имеем и ясно, что при неограниченном приближении х к 2 функция стремится к 4. Именно эту величину мы и разыскивали. Раз- решив х принять значение х = 2, мы лишим себя права со- кратить дробь и получим х2 — 4 _0 х— 2 0 » т. е. неопределенность. Таким образом, когда речь идет о пределе независимой переменной, то из значений, которые она может принять, нужно исключать значение ее предела1). Здесь снова сказывается различие между пределом зави- симой и пределом независимой переменной. § 5. Бесконечно малая величина Когда переменная величина х стремится к пределу а, то разность х — а, а также разность а— х стремится к пре- делу нуль. Обратно, если разность х — а (или а — л:) между переменной х и постоянной а стремится к нулю, то постоян- ная а является пределом переменной х. 1) Точнее говоря, символ lim f(x) = b означает, что / (х) не- х->а ограниченно приближается к Ь всякий раз, когда х приближается к а, не принимая этого последнего значения. Что делается с / {х), когда х = я, нас не интересует. Функция может равняться Ь, но может и не равняться, становясь неопределенной, как в рас- смотренных примерах, или даже принимая значение, отличное от Ь. Заметим, что если / {х) определена для х = а и если / (а) = lira / (х), х-+а то функция называется непрерывной при х = а. Если же f(a) не определено совсем, или определено, но f (а) Ф lira f(x), то функция х -+ а называется разрывной при х = а.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 193 Эти положения настолько очевидны, что мы не будем их доказывать. Таким образом, переменная величина, стремящаяся к пределу 0, играет особенно важную роль. Такую величину называют бесконечно малой. В § 1 мы дали читателю общее представление об исчис- лении бесконечно малых; мы указали, что одной из его ос- новных задач является задача о касательной. Рассматривая частный случай этой задачи (§ 2), мы искали предел пере- менной величины х* — 0,52 х — 0,5 ' когда л:—►0,5. В этом выражении и числитель, и знаменатель стремятся к пределу 0, т. е. являются бесконечно малыми. Знаменатель х — 0,5 есть не что иное, как разность абс- цисс точек В и Л, т. е. отрезок DE = AC числитель же — разность ординат тех же точек, т. е. отрезок СВ. Когда точка В приближается к точке Л, оба отрезка АС и СВ неограниченно уменьшаются. Так будет и в общем случае задачи о касательной. В задаче о площади криволинейной фигуры — другой основной задаче исчисления бесконечно малых — при- ходится искать предел выражений иного типа, но и там мы имеем дело с переменными, стремящимися к нулю. Теперь понятно, почему изучаемый нами предмет называется исчисле- нием бесконечно малых. Определение. Бесконечно малой величиной назы- вается переменная величина, стремящаяся к пределу 0. Сопоставив это определение с определением предела (§ 4 этой главы), мы можем определить бесконечно малую вели- чину еще так: Если переменная величина х изменяется таким обра- зом, что для любого наперед заданного положительного числа е абсолютная ее величина вслед за некоторым момен- 13 м. Я. Выгодский
194 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V том остается меньшей е: М<е, то величина х называется бесконечно малой. Все то, что в § 3 было сказано относительно различия между стремлением к пределу независимой и зависимой пере- менной, разумеется, остается в силе и здесь. Пример 1. Переменная величина х2—16 бесконечно мала при х—^4 и при х—— 4. Пример 2. При бесконечно малом х переменная хь бесконечно мала, а переменная 3* не есть бесконечно малая величина, ибо Нпис3 = 0, a lim 3-^=1. х ->0 х О Пример 3. При бесконечно малом х величина 3х — 1 бесконечно мала (см. предыдущий пример). Пример 4. При х—>2 величины х — 2 и х2— 4 бес- х2 — 4 конечно малы, но ?г не есть бесконечно малая величина, ' х — 2 * х2 4 ибо lim = 4 (см. пример 2 § 3). х -*0 х~~ 1 Согласно точному смыслу определения, никакая постоянная величина, отличная от нуля, не есть бесконечно малая вели- чина. Так, постоянная величина, равная 0,000000000001, не есть бесконечно малая величина, так как хотя она мало от- личается от нуля, но неограниченно к нулю не приближается. Однако, в практических вопросах часто называют беско- нечно малой не только величину 0,000000000001, но иной раз и 0,01, 0,1 и т. д., а подчас и очень большие постоян- ные величины. Говорят, например, что радиус Земли беско- нечно мал по сравнению с междузвездными расстояниями. Это словоупотребление, если раз навсегда установить его точный смысл, будет не только позволительным, но и весьма целе- сообразным. Чтобы уяснить, в каком смысле постоянная величина мо- жет быть названа бесконечно малой, рассмотрим вновь задачу о касательной. Если точка в стремится к точке а (черт. 95), то ас и св, как мы только что видели, стремятся к нулю, а их от- св , ношение стремится к угловому коэфициенту к касатель- ной. С некоторого момента (с какого именно — зависит от
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА 195 требуемой и достижимой степени точности) разница между постоянным угловым коэфициентом касательной и переменным угловым коэфициентом секущей становится и в дальнейшем остается совершенно незаметной, и практически наступит момент, ев когда дальнейшее изменение величины не нужно или даже невозможно учитывать на практике. И вот, когда АС и СВ св столь малы, что отношение практически равно сво- ему пределу, — величины АС и СВ можно назвать бесконечно малыми, т. е. применять к ним те теоремы, которые, строго говоря, верны лишь в том случае, когда АС и СВ стремятся к пределу нуль. Ясно, что одну и ту же величину в одном практическом вопросе можно, а в другом — нельзя считать бесконечно малой. Пользуясь сравнением, приводимым Энгельсом!), мы мо- жем сказать, что радиус Земли по отношению к звездным расстояниям бесконечно мал, по отношению же к земным расстояниям — нет. В природе все математические зависимости осуществля- ются лишь приблизительно, хотя часто с колоссальной сте- пенью точности; поэтому и математическая теория бесконечно малых величин имеет практическое значение лишь постольку, поскольку она применима к величинам «бесконечно малым» в указанном практическом смысле. Вот почему нежелательно было бы переименовывать, как это предлагают некоторые авторы, бесконечно малые (в мате- матическом смысле) величины в «бесконечно умаляющиеся». Упражнения Являются ли бесконечно малыми величины: аз 1. при бесконечно малом о. Отв. Да. 1 — а 1 — аЗ 2. -А при бесконечно малом о. Отв. Нет, 1 — а 3. Y\ — о при бесконечно малом а. Отв. Нет. при бесконечно малом а. Отв. Да. 5. Vl — а — 1 при а 1. Отв. Нет. 1) Соч. К. Маркса и Ф. Энгельса, т. XIV, стр. 343. 13*
196 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 6. 2*—1 при х-+1. 7. 2* — 1 при х 0. 8. sin х при лг -> 0. 9. cos л: при х 0. 10. 1 — cosat при jc -н 1 — cos х 11. 12. 1 sin* — cos л: sin2* при х при л: - 0. ► 0. Нет. О/ив. Да. Отв. Да. О/ив. Нет. Отв. Да. О/ив. Да. Отв. Нет. § 6. Бесконечно большая величина Определение. Переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает, называется бесконечно большой величиной. Смысл выражения «неограниченно возрастает» будет ниже уточнен; пока рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Пусть в выражении — величина а есть бес- конечно малая величина. По мере того как а стремится к нулю (значение 0 мы ей запретим принимать; см. конец § 4), переменная -~ будет принимать все большие по абсо- лютной величине значения; эти . значения могут быть и по- ложительны, и отрицательны, смотря по тому, положительна или отрицательна величина а. Например, пусть а принимает ряд значений Тогда а —> 0, a ~ принимает значения 1, —2, +3, —4, +5 и т. д., т. е. неограниченно возрастает по абсолютной величине. Со- гласно определению переменная величина -~ будет бесконеч- но большой. Как Мы видим, бесконечно большая величина не имеет предела в том смысле, в каком это понятие было определено в § 4. Тем не менее принято говорить, что бесконечно боль- шая величина «имеет бесконечный предел» или что ее предел
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНА 197 «равен бесконечности». Соответственно с этим пишут: lim i = оо . а->0 а Символ оо (бесконечность) не изображает никакого числа, и приведенная запись носит условный характер; ниже будет видно, почему есть смысл вводить такое условие. 5 Пример 2. Пусть У = -% и *—Тогда у неогра- ниченно возрастает; читатель легко убедится в этом. Со- гласно определению у есть в этом случае бесконечно боль- шая величина, или lim^ = lim= со. В отличие от предыдущего примера, у, возрастая неограни- ченно, остается всегда положительным (ибо л:2 положи- тельно и при jc>0, и при лг<0). Чтобы оттенить это, пишут lim 4 = + со. Аналогичный смысл имеет запись со . В соответствии с этим результат предыдущего примера за- писывается также следующим образом: lim -1 = -ь со . 12 Пример 3. Пусть у = х_2 и х2- Тогда знаме- натель дроби стремится к нулю, а вся дробь по абсолютной величине неограниченно возрастает. Таким образом, в этом случае у есть бесконечно большая величина: 12 lim у= lim —— = 4^ со. х~>2 *-*2 х ^ В предыдущих примерах бесконечно большими величинами были зависимые переменные; независимые переменные мы заставляли стремиться к конечным пределам (в примерах 1 и 2 к нулю; в примере 3 к двум). Но можно заставить
19^ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V X Когда х—►00, слагаемое -^- стремится к нулю, а, значит, сумма 2-J-— ►2. Запись: llm** + I = 2. независимое переменное стремиться «к бесконечному пределу», т. е. задавать независимой переменной неограниченно возра- стающие значения, и искать предел, к которому стремится при этом функция. Пример 4. Пусть мы имеем зависимость 1 if заставляем х пробегать неограниченно возрастающие поло- жительные значения, например, принимать последовательно значения 1, 2, 3, 4, 5,... Тогда функция у принимает значе- ния 1,4 , -т-, х, ..., т. е. имеет пределом нуль. Записывается 2, о 4 это так: lim — = 0. jr ->-f-oo х Точно так же запись lim — = 0 х л: -> —оо л выражает тот факт, что когда х неограниченно возрастает по абсолютной величине, но с некоторого момента остается отрицательным, то и тогда -^- имеет пределом нуль. Ввиду этого пишут также короче: lim — = 0. х Пример 5. Пусть у = —ил: —> со . Тогда и чи- 2хЛ- 1 слитель, и знаменатель -дроби —неограниченно возра- стают, но сама дробь стремится к пределу 2. Проверьте это, давая величине х значения 100, 1 000 и т. д. Это нетрудно и доказать. Действительно, . 2*+1 = 2* , j_ = 2 , j_ X ' X ' х '
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНА 199 Пример 6. Напомним результат, известный из элемен- тарной алгебры. Пусть имеем убывающую геометрическую про- грессию ах = а, а2 = aq, аъ = aq2,... с общим членом an = aqn~x. Формула lim ап — lim aqn~x = О выражает, что при бесконечно большом целом п предел выра- жения aqn~x, где а и q постоянны и |?|<0> равен нулю. Из алгебры известно также, что lim s„ = lim «-+00 П Я-*00 Здесь функцией бесконечно большой величины п является сумма sn первых членов прогрессии (число п предполагалось целым). Пример 7, Здесь мы рассмотрим вопрос, на котором выяснится значение понятия бесконечного предела для прак- тики. При фотографировании для получения четкого изображе- ния нужно изменять расстояние пластинки от объектива в за- висимости от того, на каком расстоянии от объектива нахо- дится фотографируемый предмет. Если обозначить через х расстояние предмета от объектива, а через у расстояние пла- стинки от объектива, то х и у связаны зависимостью ~ + - = - х * у F 9 где величина F постоянна для данного аппарата. Пусть, на- пример, F=0,2m; тогда ± + ± = 5. х 1 у Легко видеть, что по мере удаления предмета (т. е. по мере увеличения л:) пластинка должна придвигаться к объективу; но с неограниченным ростом х расстояние у стремится не к нулю, а к 0,2 м (т. е. к величине F). Действительно, когда х—►30, величина — ►0, поэтому —= 5—— стремится к5,
200 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ: [гл. V а значит, у—>.^- = 0,2. Запись: lim ^ = 0,2. х ->оо Теоретически ни при каком расстоянии предмета ве- личина у не равна 0,2 м (она всегда больше). Но практи- чески величина у скоро становится неотличимой от 0,2 м. Так, при х= 10 м y^z 0,204 м, при х— 50 м 0,201 м7 при л; =100 м y^z 0,2004 м9 т. е. у отличается от своего предела меньше, чем на мил- лиметра. В этом смысле часто говорят: величина у равна 0,2 при х, равном бесконечности, и пишут вместо lim ^ = 0,2. x -»00 В том же смысле нужно понимать распространенное среди оптиков выражение: «наводить фокус на бесконечность». Это выражение и ему подобные оправдываются тем, что в практике достаточно большая (хотя бы и постоянная) величина играет роль бесконечно большой величины. Какая именно величина является достаточно большой, конечно, зависит от условий вопроса. Сопоставьте это с тем, что в кон- це предыдущего параграфа было сказано о бесконечно малой величине. Пример 8. В тригонометрии употребительна запись tg 90° = ±оо. Она равнозначна записи lim tg л; = со , *->90° смысл которой состоит в том, что когда х—>90°, igx по абсолютной величине неограниченно возрастает, а по знаку может принимать и положительные, и отрицательные значения.
§ 7J УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ВЕЛИЧИНЫ 201 каково бы ни было е, т. е. у есть бесконечно малая величина. § 7. Уточнение понятия бесконечно большой величины В определении предыдущего параграфа мы оставили без точного пояснения слова «неограниченно возрастает». Теперь, когда смысл этого выражения выяснился на примерах, мы мо- жем сформулировать наше определение полнее. Под неограниченным возрастанием переменной величины мы разумеем такое ее изменение, при котором вслед за неко- торым моментом абсолютная ее величина будет оставаться большей, чем любое наперед заданное положительное число Е. Так, например, переменная величина, последовательно принима- ющая значения -1, +4, -9,..., (—1)ял*, ... (п целое положительное число), превзойдет по абсолютной величине любое число Е. Если за- дать, например, £=90, то, начиная от п =10, т. е. от зна- чения 102=100, переменная (—\)пп? станет и будет затем оставаться по абсолютной величине больше 90. Теперь определению § 6 можно придать такой вид: Определение. Переменная величина х называется бес- конечно большой, если она изменяется так, что для любого наперед заданного положительного числа Е абсолютная величина ее вслед за некоторым моментом остается большей Е. Сопоставив это определение с определением бесконечно малой величины (§ 5), мы видим, что величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая. Действительно, пусть у — -^- и х—> со. Тогда при каком угодно положительном Е величина х вслед за некоторым мо- ментом будет удовлетворять неравенству 'И>Е, а, значит, \у\<^"2г* Но ~ произвольное число (так как Е произвольно). Обозначив его через е, видим, что вслед за не- которым моментом
202 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V Точно так же легче показать, что величина, обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая. Эти два предложения дают точный смысл условных ра- венств 1 л 1 о7 = 0 и (Г = °°' которые означают то же, что равенства (также условные) lim —= 0 и lim —= оо. ► оо X v-о У Упражнения Являются ли бесконечно большими величины: 1. ——jг при х -> 4. Отв. Да. л — 4 г 2. 0 ^ . при х 4. Отв. Нет. 3. 1 +.V при лг —»- оо. Отв. Да. 4. —~— при лоо. О/нв. Да. 5. \— при х оо. Отв. пет. л*4 6. —-р— при л* оо. Отв. Нет. 7. 2х при дг оо. Отв. Да. 8. (0,2)* при х оо. Отв. Нет. 9. (0,2)*+ 2* при л-^ оо. Отв. Да. 10. х-» при бесконечно малом х. Отв. Да. 11. —— при бесконечно малом х. Отв. Да. sin х 12. sin ~ при бесконечно малом х. Отв. Нет. § 8. Основные теоремы о пределах В простых примерах, разобранных в предыдущих пара- графах, вычисление предела функции при заданном, пределе ее аргумента не вызывало особых затруднений. Вообще же го- воря, это задача трудная, и общего метода ее решения не существует. Впрочем, для тех вопросов, с которыми мы встре- тимся в этой книге, достаточно пользоваться сравнительно простыми методами, с которыми мы начнем знакомиться со
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 203 следующего параграфа. При изучении их нам будут очень полезны четыре простых правила, излагаемые ниже. Ввиду их очевидности, мы не будем останавливаться на их доказатель- ствах. Во избежание усложнений мы будем предполагать, что пре- делы всех функций, о которых говорится в этих теоремах, конечны. Независимое же переменное может иметь любой пре- дел (даже и бесконечный), лишь бы только при этом не были бесконечными пределы функций. I. Предел суммы. Если у и z суть функции одного и того же переменного х и если при х —* а • у—>Ь и z—>с, то сумма y-\-z при х—>а стремится к пределу Ь-\-с. Символическая запись: lim (y-\-z) = hm y-\-\imz, (1) х->а х-±а х-±а или, короче, lim (у-\-z) = lim у-\- lirn z. В этой последней записи подразумевается подстрочное указание х—*а. Самое правило формулируют короче так: Предел суммы равен сумме пределов. Здесь подразумеваются условия, что оба слагаемых — функции одного и того же аргумента и что этот аргумент стремится к некоторому пределу. Правило I имеет силу и тогда, когда имеем сумму не- скольких слагаемых, например четырех, десяти и т. д. *). Замечание. Чтобы этому правилу придать возможно более общий вид, нужно учесть возможность, что некоторые слагаемые могут быть постоянными величинами. Нужно усло- виться, чтб мы будем считать «пределом» постоянной вели- чины. Пределом постоянной величины а мы назовем самую величину2) а. Тогда только что высказанное предложение 1) Но она может быть несправедливой тогда, когда число сла- гаемых есть бесконечно большая величина. 2) Это будет согласоваться с определением предела (§ 4), ибо разность а — а равна нулю и, следовательно, меньше любого напе- ред заданного положительного числа е. Сообразно с этим, постоян- ную величину 0, предел которой есть также 0, можно считать бес- конечно малой величиной.
204. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V сохранит свою силу и для тех случаев, когда одно или не- сколько слагаемых—постоянные величины. Зл*4- 1 Пример 1. Найти lim ———. х-+0о х Решение, lim ^L+l _ цт (з + —) = = lim3+ lim-i = 3-f 0 = 3. II. Предел разности. Так как разность у— z можно рас- сматривать как сумму у-\-{—z), то случай этот ничего но- вого не представляет, и мы можем сказать: Предел разности равен разности 'между пределом уменьшаемого и пределом вычитаемого, или еще короче: Предел разности равен разности пределов. Конечно, и здесь подразумеваются те же условия, что и в сокращенной формулировке правила I. Запись: lim (у — z) = lim у— limz. x-+a х-+а х-+а III. Предел произведения. Предел произведения двух или нескольких величин равен произведению их пределов. Мы нарочно не говорим «переменных величин», ибо неко- торые из сомножителей могут быть и постоянными величинами (см. замечание к правилу I). Запись (для трех сомножителей): lim (yzu) = lim^; lim z lim u. (2) x-+a x-±a x-+a x-+a Пример 2. lim Зл: = lim 3 limx = 3-5= 15. х-+Ь х-* 5 х-+Ъ Пример 3. lim (4 — x) (2 — Зл:2) = lim (4 — л;) lim (2 — Зл:2) = 4-2 = 8. x-+0 х->0 х-*0 Если сомножители у, г, и,... равны между собой, то из формулы (2) мы получаем (для п сомножителей) формулу lim у4 = (limy)4. х-+а х-*а Формула эта сохраняет силу и тогда, когда п дробное или
§ 8] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 205 отрицательное число. В частности, если я —~г (где m целое положительное число), мы имеем: х-+а х-±а Пример 4. Пример 5. lim V'3x + 3x2 = V Hm (3* + 3*2) = = j/lim 3jc4- limЗх2 =1/9Л.27 = 6 х-+3 jt->3 1 IV. Предел частного. Если у и z суть функции од- ного переменного л: и если \\ту—Ь и lim z = c, причем х-±а х-*а с 0, то lim у \\™ У х-* а lim — = . х^а z lim z х->а Короче можно сказать.так: Предел частного равен частному пределов, если,предел делателя, не равен нулю. .. , . . В первом из следующих примеров выясняется основное содержание правила IV; в остальных — характер содержащейся в ней оговорки. х-\~А Пример 6. Найти lim , дг -> 5 х — А Предел делимого lim(*-f-4) = 9, х ->5 предел делителя lim (дг — 2)=3; дг->5 он не равен нулю. Применяя наше правило, находим: Ит£±А" 9 Q lim -—- = -- = 3. Переходя к рассмотрению примеров, в которых предел де- лителя равен нулю, мы будем различать два случая.
206 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V а) Предел делимого не равен нулю. Пример 7. Найти lim - -- . х->2 х — 1 Предел делителя равен нулю; предел делимого нулю не равен нулю: lim(jc + 4) = 6^0. х-+2 Давая независимой переменной х значения, стремящиеся к 2, х-\- 4 например 2,1, 2,01, 2,001 и т. д., увидим, что частное есть бесконечно большая величина, или, что то же, предел частного равен бесконечности: 1. лг + 4 lim = оо . х-+2*-2 Если бы мы применили теорему о пределе частного, то полу- чили бы ,. х + 4 6 Деление на нуль не дает никакого числа и в этом смысле невозможно; однако мы можем написать 6 "0 понимая это равенство в том смысле, что Jim — = оо x-+0 х (ср. примеры 7 и 8 § 6). Тогда правило IV сохраняет силу, и мы получим: lim (х + 4) jim* + 4 _х-+2 _b_ = OQ х-+2х — 2 Нт (х-2) 0 х-±2 Итак, в случае а) правило IV в расширенном его смысле верно. б) Предел делимого равен нулю. Тогда предел частного может оказаться и бесконечным (как ниже в при- мере 10), и конечным (примеры 8 и 9), в частности, равным нулю (пример 9) *). Если же формально применить правило IV, г) Может даже оказаться, что частное совсем не будет иметь предела.
§ 8] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 207 х*+2х — 3 .. . I q\ lim ' = Inn (л: -j- 3): 1 * -* l X2 2л- 4- 1 ■* 1 * -+1 Пример 9. Найти lim х->1 х—\ Здесь снова Итг = 0 и Нт<у = 0. Произведя преобразо- вание, сходное с преобразованием примера 8, имеем Иш *=**±1 = Пт <*-»>* = lim(*- 1) = 0. х л—1 х-+1 х—1 Пример 10. Найти lim .,^ "Г1, t . И здесь limz = 0 и Нтиу = 0. Между тем, *. л: — 1 t. л' — 1 t. 1 lim ——-—г—г- = lim — г-г- = lim г- = со. Из этих примеров видно, что в случае б) для нахождения предела частного необходимо предварительно подвергнуть это частное некоторым преобразованиям. то оно даст неопределенное выражение -jj-. Поэтому сказать, что правило IV дает неверный результат, нельзя, но оно не дает и верного результата. Правильно будет сказать, что к случаю б) правило IV неприменимо. Пример 8. Найти lim *lL+1x ~~ 3 . Здесь lim z = lim (х—1) = 0, ]\ту = lim {х2-\у2х — 3)=0. АГ->1 „ ^ х* + 2х — 3 Преобразуем —£—j— таким ооразом: x* + 2x-3 = (х-\)(х + 'д) ^х . 3 х — 1 л- — 1 ~т" ■ Сокращение на х— 1 допустимо лишь тогда, когда х—1 =^=0, т. е. когда х=^=\. А так как независимой переменной х мы не позволяем (см. § 4) стать равной своему пределу а =1, то. наше преобразование вполне правомерно. Теперь имеем:
208 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ . ^ [ГЛ. V ►1 u»—г- От. ' X* 4. lim 2л + * Отв. 2. 5. lim (1 — 2 cos2*) sin х. Отв. • х2 4 6. lim Отв. 4. *->2 х — z 7. lim О/не. 3. 8. lim ■ f_~1 • , Ome. 2. x+iy x — l Указание. Представить числитель в виде разности квадратов. л-1 —а-1 Л„ 1 х-+а 9. lim —■. Отв. х — а а2 10. lira Отв. 2. Х-+0 1 —У 1 —X Указание. Изгнать иррациональпость из знаменателя. п. ци УЩ=±. От. 1. Указание. Сравнить с предыдущим примером. V24- - ч 12- Iirn ^7^2 - °°- *-*7 (X— 7)2 i. 14-cos* _ 13. 1ш . Отв. оо. х_+о 1 — cos л .... 2 sin л _ 14. lim . . Отв. оо. j^^o * —cos л Указание. Числитель и знаменатель "выразить в функции половинного угла. Упражнения Найти значения следующих пределов: « .. 2л —24л2 - . . 1. hm \— Owe. —4,4. 6л- — 1 '
00 п C0SX 17. lim S.iTl0X •. Отв. оо. § 9. Пределы вида ~ В предыдущем параграфе предполагалось, что пределы рассматриваемых функций конечны. Часто, однако, приходится встречаться со случаями, когда это условие не выполняется. Особенно важным является разыскание предела частного — , ко- <? гда делимое или делитель или оба сразу имеют бесконечные пределы. Рассмотрим эти три случая. Случай 1. Делимое имеет бесконечный, а делитель ко- нечный предел. Тогда частное имеет бесконечный предел. Пример 1. Найти lim *~^~*2 , х-+00 2 — 1 X Делимое неограниченно возрастает, а делитель стремится к 2. Ясно, что частное неограниченно возрастает. Условная запись: |. 1+аг2 00 х-юо 24--L z х Таким образом, правило IV § 8 в расширенном смысле мо- жет быть применено к случаю 1. Случай 2. Делимое имеет конечный, а делитель — бес- конечный предел. Тогда предел частного равен нулю. 2 + i- Пример 2. Найти lim * Х-+ОО 1 -\-х* Делимое стремится к 2, в то время как делитель неогра- ниченно растет. Очевидно, частное приближается к нулю. Условная запись: 2 + Т 2 л:-»оо а"гл ^ § 91 ПРЕДЕЛЫ ВИДА — 209 00 2 sin2 х 15. lim . Отв. 4. Сравнить с предыдущим примером. дг-*0 1 — cos X 16. lira ^SJL. Отв. 1. 14 М. Я. Выгодский
210 предварительные сведения [ГЛ. V Следовательно, и к этому случаю можно применить пра- вило IV § 8 в расширенном его толковании. Случай 3. Делимое и делитель имеют бесконечные пре- делы. Применение правила IV дало бы -^-. Это выражение неопределенно, подобно выражению ~. Общих способов на- хождения предела и здесь указать нельзя. Однако, если чи- слитель и знаменатель — многочлены относительно независи- мого переменного, то можно указать простой и быстрый способ, ведущий к цели. Способ уяснится на нижеследующих примерах. п q и о |, 8лг*+12*2-4- х + 4 Пример 3. Найти lim „ ,, \ „ —Ц. Чем больше величина х, тем меньшую роль играют в сум- ме 8л:3 -|- 12л:2 -|~ х -(- 4 члены низших степеней по сравнению со старшим членом. Естественно поэтому отбросить их вовсе, когда речь идет о неограниченном возрастании. То же самое сделаем с делимым и получим 8л:3 + 12л:2 + л: +4 8л:3 4 4 lim -л—ч- ггг^—-ц——гг = lim -7-7 = hm — = — . Эта запись носит вполне строгий характер. Но наше рассу- ждение было нестрогим (ведь мы отбрасывали бесконечно большие величины). Для строгого вывода следовало бы по- ступить так: разделим числитель и знаменатель нашей дроби ч 111 на л:3 и заметим, что при х —> со величины ~ , и ^ стре- мятся к нулю. Мы имеем 8л-3-И2л:2 4-л:4-4 8 12 Т + ~х* +"4 Т* lim „ q .0 9—*-=——= lim ----r = л^ооЬл-3+2*2-7^-2 , 2—-7 — -2 — """л* X2 X* lim (^8-4-12— + —0 + 4—Л _*-*ооУ х ~ х?^ хз) =_8 _ lim л: -*оо При переходе от второго выражения к третьему мы при- меняем правило IV § 8, а при переходе от третьего выраже- ния к четвертому — правило 1 § 8,
§ 9] ПРЕДЕЛЫ ВИДА. — 211 оо 6. lim * -» оо 2* — 1 1^*+ lim *-*оо2 Ух — 4* * У2 + дг* л 1 8. lim — . Отв. -тг. *-> ooj/5 + 27*3 J 14* Пример 4. Найти J^.-—^.. Отбрасываем в числителе и знаменателе члены низших степеней, как в предыдущем примере. Имеем х2—12*+1 ,. *2 1 л Строгое доказательство можно провести так же, как в пре- дыдущем примере. *3 4- 1 Пример 5. Найти lim 9 2 \_ 1, Имеем *3+1 *3 .г lim 9*fe = lim 9*2= lim-у = оо. Таким образом, пределы типа ^ могут быть как конечными (в частности равными нулю), так и бесконечными. Упражнения Найти значения следующих пределов: 1. hm —J—-— . Отв. 0. *-»ol+ctg.*: 2. lim ^1 + * . Отв. 0. О/ив. оо.
212 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ПИ, V 9. Hm *2Г}2АХ. Отв. 1. 10. lim (Vx+T—Vx). Отв. 0. У к а з а н и е. Помножить и разделить на сопряженную ирра- циональность Yx-\-1+V х. И. lim (V С*+1)9— Vx~*). Отв. оо. Указание. Применить прием, указанный в предыдущем при- мере, а затем отбросить члены низшего порядка. § 10. Предел при х-+0 В дальнейшем мы встретимся с необходимостью вычислить 0 также и sin*—(см. пример 3 § 3); поэтому правило IV § 8 неприме- lim — . При * х->0 х г* ^ sin ж нимо. Сократить дробь так- же не удается, и потому мы при- бегнем к геометрическим сообра- жениям. Условимся измерять углы в jpa- диальной мере. Из черт. 96 видно, что площадь ч Qfi сектора AOD больше площади черт. уо. д 0AD и меньше пл0щади д OAS. Обозначая радиус круга через г, а центральный угол BOA через*, имеем: так что или пл. Д OAB = ^OA-AB = ~r2tgx, пл. сект. AOD=^OA-AD = ^r2x, пл. Д OAD = ^ OA-DC = ^ г2 sin х, у г2 siii х < ^ г2х < ~ г2 tg * sin*<^*<^tg*. 0) Угол х предполагается положительным и острым. Разделив
§ 10] sin* ~ л ПРЕДЕЛ —— ПРИ X 0 213 неравенства (1) на sin* (это можно сделать, так как sin*]>0), получим !<■?-< — . (2) ^ sin X ^ cos X w Если взять обратные величины, то и знаки неравенств изме- нятся на противоположные; мы гюлучим: , sin* ^ 1>—>COS X. ¥Ж sin* Итак, отношение — остается заключенным между постоян- ным числом 1 и переменной величиной cos*; но при *—*0 имеем cos л:—Отношение , будучи заключено между 1 и стремящейся к 1 переменной величиной cos*, само должно стремиться к 1, так что получается следующая теорема: Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла, выраженной в радиальной мере, равен 1. Замечание. При выводе этой теоремы мы брали выра- жения площадей; поэтому угол * и его синус, стремясь к нулю, оставались положительными. Но так как sin (— *) sin* — * * * то теорема остается в силе и тогда, когда * стремится к нулю, оставаясь отрицательным или колеблясь около нуля то в сторону отрицательных, то в сторону положительных значений. Доказанная теорема позволяет находить пределы многих тригонометрических выражений. Пример 1. Найти lim . л:->0 х r-j sin 3* 0 sin 3* rf * Представим —— в виде 3 -5— . Если * бесконечно малая * о* величина, то и 3* также бесконечно мало. Поэтому согласно нашей теореме siH_5£ стремится к 1. Имеем: о* у . sin 3* 01. sin 3* 0 i 0 lim = 3 Urn --— = 3-1=3. х-+0 х х->0 6х
214 предварительные сведения [гл. V Тот же результат получим еще быстрее, рассуждая так: формула lim s^-^ означает, что при «достаточно малом» х *->о х величина практически равна 1, т. е. s^r=^l. Предста- X X вим это приближенное равенство в виде sin х х или, что то же sin За: ^ 3*. (3) Тогда ,. sin3x ,.3* о lim = lim — = 3. Х-+0 Х х-+0 х Обращаем внимание на то, что вместо приближенного равен- ства (3), относящегося к «достаточно малому» х, мы здесь имеем точное равенство, относящееся к бесконечно малому х. Строгое обоснование правильности этого рас- суждения будет дано в следующем параграфе. Пример 2. Найти lim -!1^^. Применяя только что приведенное рассуждение, имеем «. sin 5л: 5л: i 2 lim-;—= lim 77- =1—. X_+Qsm3x x^03x 3 Зная результат, нетрудно его подтвердить с помощью простого преобразования и последующего применения теорем этого параграфа и § 8. Мы имеем: I. sin 5л: .. lim -—- = lim Пределы величин х ■ и —— находятся, как в преды- дущем примере, Разумеется первый способ проще. Пример 3. Найти lim * ~~cosх. х~>0 х Используя формулу 1 — cosA: = 2sin2y
§ 11] ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 216 1 — cos х sin ~ х — Hm i.lim Sin ±. = 1.0 = 0. х-+0 -у jt-+0 1 §11. Эквивалентные бесконечно малые величины Определение. Две бесконечно малые величины^ отношение которых имеет пределом 1, называются экви- валентными Пример 1. Переменные х и sin* при х—*0 эквива- лентны, ибо (см. § 10) i. sin * - hm = 1. x-+Q х Пример 2. Бесконечно малые величины а2-[-За8 и а2— 4а4 (а—*0) эквивалентны, ибо а2 + 3а3 14-За - hm =hm , 1 . 9— 1. Эквивалентность бесконечно малых величин обозначается тем же символом =^, что и приближенное равенство постоян- ных чисел. Таким образом, sin х xt и точно так же а2 + 3а3^а2 — 4а4. Нетрудно доказать, что формула х у равнозначна с формулой у ^ *, а также что из формул х ^ у и у ^ z !) Латинский термин «эквивалентный» в переводе означает «равноценный». Происхождение этого термина станет ясным из последующего. X X и заменяя sin у под знаком предела через у, имеем ,. 1-cos* .. 2si"4 .. 2'(f)2 у X п hm : = lim = hm— ; = hm — =0. лг-^о л* *-+0 х х-+0 ■* *-►() * Не прибегая к замене, можно было бы вести вычисление так:
216 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [гл. V вытекает формула X ^Z. В примерах предыдущего параграфа мы при вычислении пределов частного бесконечно малых величин заменяли их другими, им эквивалентными. Так, в примере 2 мы заме- нили величины sin Зх и sin 5л: соответственно величинами Зл: и 5л:. Законность такого приема вытекает из следующей теоремы: Теорема. При разыскании предела частного двух бес- конечно малых величин можно заменить одну из них или обе величинами, соответственно им эквивалентными. Вели- чина предела при этом не изменяется. Доказательство. Пусть аир бесконечно малые величины, а! и две другие бесконечно малые величины, причем a а* и т. е. lim А = 1 а' и lim 1 = 11). Тогда lim у = lim (у, - -,. |J=limy.limt/.lim| = = lim -77- ы =11т-т-.. Теорема доказана. Упражнения 1. Показать, что бесконечно малая дуга окружности и стяги- вающая ее хорда эквивалентны. 2. Показать, что tgx и бшл^прил:—*0 эквивалентны. !) Величины а, а', (j, р' предполагаются функциями одного и того же аргумента ху стремящегося к некоторому пределу а. Под- строчное обозначение х—±а мы опускаем. В частности, аргументом может быть одна из величин а, а', р, р'. Тогда этот аргумент должен иметь пределом 0.
§12] ПОРЯДОК МАЛОСТИ 217 3. Показать, что л;2 + sin3 л: и sin2*4-3*8 при х—»-0 экви- валентны. 4. Показать, что при неограниченном приближении внешней точ- ки к окружности квадрат касательной эквивалентен произведению диаметра на кратчайшее расстояние точки до окружности. 5. Показать, что квадрат хорды бес- конечно малой дуги окружности эквива- лентен учетверенному произведению диаметра круга на стрелку дуги: A&^AED-CD (черт. 97). Найти значения следующих пределов: 6. Нш sin2 Зл; *->о 12лг 7. lim sin2 Зл: *-*0 12л:2 8. iimfc?- Х->0 X lim Отв. 0. Отв. 1. 4 Отв. 1. 10. lim *—cos* . Отв. 0. tg* Черт. 97. 9. Ito + Отв. 2. *->о х X 11. lim - *-»0 1 Отв. оо. § 12. Порядок малости; принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка При разыскании эквивалентных бесконечно малых величин очень полезно применять следующую теорему: Пусть в сумме a-J-fi величины а и р бесконечно малы и пусть lim~=0. Тогда ' а а-Н==а. Доказательство. Имеем lim!±J = lim (i+l) = i+iiml=1> т. е. Пример 1. Пусть имеем сумму 3*— 2sin2*. Предел отношения второго слагаемого к первому равен нулю: — 2 sin2Ar — 2лг2 / о \ hm —тг-— = hm -тг—— hm — T* =0. *-»0 ох лг->0 ох лг->0\ 0 J На основании доказанного заключаем, что Зл: — 2sin2*^3*.
218 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V Это свойство дает основание ввести следующие опреде- ления: Определение 1, Если отношение 1 двух бесконечно малых величин само бесконечно мало ^т. е. lim A — ^j » то fi называется величиной высшего порядка малости по отношению к а; наоборот^ а называется величиной низшего порядка малости по отношению к [J. В примере 1 величина —2 sin2* (или 2 sin2*) есть беско- нечно малая высшего порядка но отношению к Зх. Определение 2. Если отношение 1 двух бесконечно малых величин стремится к конечному и отличному от нуля пределу, то а и $ называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости 1). Пример 2. Величины sin2 5* и 4л:2 (при х —► 0) имеют одинаковый порядок малости, ибо ,. sin2 5л: (5л:)2 25 llm,~4^" =llm 4*2 =Т- Замечание. Эквивалентные бесконечно малые величины, согласно определению 2, имеют одинаковый порядок малости, но, конечно, не всякие бесконечно малые величины одного и того же порядка эквивалентны; так, величины sin2 5л: и 4л:2, рассмотренные в примере 2, имеют одинаковый порядок мало- сти, но не эквивалентны. С помощью введенных терминов мы можем высказать теорему, доказанную в начале этого параграфа, так: Теорема. Если в сумме a-f-fi двух бесконечно малых величин величина р имеет высший порядок малости отно- сительно а, то h Вместо отношения — можно взять и обратное , ибо если a r р lim J- =т, то Jim — = — , и так как т не нуль и не бесконеч- ен р т ность, то не бесконечность и не нуль.
ПОРЯДОК МАЛОСТИ 219 Это предложение можно назвать «принципом отбрасывания бесконечно малых высшего порядка». В подавляющем большинстве практически важных случаев можно внести в классификацию бесконечно малых величин еще большую упорядоченность. Для этого обратим внимание на то, что если а есть бесконечно малая величина, то в ряду а, а\ а3, а4,. ^ + каждая из бесконечно малых имеет низший порядок по отно- шению к любой, следующей за ней. Например, а2 имеет по- рядок ниже, чем а5, ибо lim — = lima3 = 0. Так как более высокой степени соответствует более высокий порядок мало- сти, то естественно измерять порядок малости величин ат по отношению к а величиной т показателя степени. Этот способ измерения можно применить ко всем положительным степеням а1), так что, например, а5 имеет пятый порядок, a з х— 1 у а имеет порядок относительно а. Величины, имеющие тот же порядок малости (см. определение 2), что и ат, естественно именовать бесконечно малыми т~го порядка. Таким образом, мы приходим к следующему определению: Определение 3. Бесконечно малая величина [$ назы- вается бесконечно малой т-го порядка относительно а, если отношение ■^- имеет конечный предел, не равный нулю. Пример 3. Бесконечно малая величина ~ а3 есть бес- конечно малая третьего порядка относительно а, так как 1 ч hm —— = hm — = —. а->0 я^0 4 4 Вообще имеет место следующее правило: Правило 1. Бесконечно малая величина сат, где сесть постоянное число, не равное нулю, имеет /я-й порядок по J) Распространять его на нулевую и отрицательные степени нет смысла, так как нулевая степень бесконечно малой величины есть постоянное число 1, а отрицательные ее степени суть вели- чины бесконечно большие.
220 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. V отношению к а. Доказательство проводится так же, как в примере 1. Пример 4. Бесконечно малая величина 1 — cos а имеет второй порядок по отношению к а, ибо 1 — cos а = 2 sin2 ^ ~ (см. замечание к определению 2). Пример 5. Бесконечно малая величина ~а3-}-100а4 есть бесконечно малая третьего порядка относительно а, ибо 4 ='4-юоа* , Um„ —s =т+Ит ю°«=т. а-> 0 а * а-*0 * Вообще имеет место следующее правило: Правило 2. Сумма двух бесконечно малых величин Pi+ (^2» п0ряДки которых тх и /я2 отличны друг от друга, есть бесконечно малая величина, порядок которой равен меньшему из чисел тх и /я2. Доказательство. Пусть тх <^ /и2. На основании тео- ремы этого параграфа (^-ЪРг^Рр Отсюда следует (см. определение 2 и замечание к нему), что Щ-^Рг имеет тот же порядок малости, что и (Jt, т. е. тх. Правило 2 имеет место и для большего числа слагаемых; при этом слагаемые высшего порядка малости могут иметь и одинаковые порядки. Пример 6. При а —► 0 бесконечно малые величины a sin2 а + Ь tg3 a, a sin2 а + Ь ig8a -f- са4, а sin2 а -J- 6 tg3a -}- <я8 имеют второй порядок малости. Относительно же суммы asm2 а-\-btg2 а-\-са? мы этого утверждать не можем, так как два первых слагаемых оба имеют одинаковый низший порядок малости. Этот случай разобран в примере 8. а3 Пример 7. Бесконечно малая величина ^—— (а —* 0) г г 2 cos2 a v ' имеет третий порядок малости относительно а, ибо Вообще имеет место следующее правило: Правило 3. Произведение (или частное от деления) бесконечно малой /я-го порядка на переменную величину,
ПОРЯДОК МАЛОСТИ 221 имеющую конечный и не равный нулю предел, есть беско- нечно малая т-гр порядка, В примере 7 мы имеем произве- дение бесконечно малой третьего порядка (а8) на переменную 2Ср82д» предел которой равен ~. Пример 8. Определить порядок малости величины sin2 а — tg2a-|-a3 относительно а. Первые два слагаемых этой величины дают sin2 a—^tg2a = = sin2a ^1 —£3^) =l5s"2a* ^та величина имеет, согласно правилу 3, четвертый порядок малости. Поэтому, согласно правилу 2, сумма (sin2 a — tg2 a) -f- a3 имеет третий порядок. Вообще величина asin2a + Mg2a-f со? (с ^0) при #=:—Ь имеет третий порядок малости. Предоставляем читателю показать, что при а= Ь эта величина имеет вто- рой порядок малости. Упражнения Определить порядок малости по отношению к бесконечно ма- лой а следующих величин: 1. 12Отв. 5. 1 —cosa. Отв. 2. 2. 3a3 + 7a. Отв. 1. 6. (1 — о)2—(1-f 2a)*. Отв. 1. 3. 0,3 уТ 4-0,8 yf~a. Отв. -j. 7. (1 — cos о) sin2 а. Отв. 4. 4. 5 sin2 a — sin4 a. Отв. 2. 8. (1—cosa)(l4-sin2 a). Отв. 2. 9. Определить порядок малости а3 по отношению к а2. Отв. ~. 10. Определить порядок малости tg а по отношению к sin a. Отв. 1. 11. Определить порядок малости хорды бесконечно малой дуги относительно стрелки той же дуги [ср. упр. 5 § 11 (стр. 217)]. Отв. 12. Определить порядок малости разности площадей правиль- ного вписанного и описанного я-угольника относительно бесконечно малой стороны л-угольника. Отв. 2.
222 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI ГЛАВА VI ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ § 1. Общая постановка задачи о касательной Задача о касательной (см. § 1 гл. V) была одной из основных задач, из которых возникло диференциальное исчис- ление. Рассмотрение ее (см. § 2 гл. V) привело нас к поня- тию предела, которое мы и изучили в главе V. Вооружившись теорией пределов, мы вновь возвратимся к задаче о каса- тельной. Вместо параболы, которую мы рассматривали в § 2 гл. V, возьмем произвольную кривую линию; мы предъявим к ней единственное требование, чтобы Черт. 98. Черт. 99. удовлетворяет, например, кривая черт. 98, которая в точке D имеет излом. Иными словами, наша произвольная кривая (PQ на черт. 99) должна в каждой своей точке иметь един- ственное направление. Прямая MN, проходящая через точку А и имеющая то же направление, что и кривая PQ в той же точке Л, и есть касательная к кривой PQ в точке А. Уравнение всякой прямой, проходящей через точку A (xv ух), имеет вид v— уЛ = т(х — х1). Все дело сводится к нахождению углового коэфициента т касательной. Рассуждая, как в § 2 гл. V, мы придем к за- ключению, что величина т есть предел, к которому стремится переменная величина k углового коэфициента
§ 2] ВЫРАЖЕНИЕ УГЛОВОГО КОЭФИЦИЕНТА КАСАТЕЛЬНОЙ 223 секущей АВ, когда точка В неограниченно приближается к Л с той или другой стороны. В соответствии с этим можно дать следующее определе- ние касательной: Касательной к кривой y = f(x) в точке А (хи уг) назы- вается прямая, проходящая через точку А и имеющая угловой коэфициент т, равный пределу, к которому стре- мится угловой коэфициент k секущей АВ, когда абсцисса х точки В стремится к пределу xv Это определение носит аналитический характер, тогда как определение § 2 гл. V опиралось на наглядные пред- ставления. § 2. Выражение углового коэфициента касательной Угловой коэфициент k секущей АВ представляется фор- мулой в которой xv у! суть постоянные координаты точки А, а х2, у2 — переменные координаты точки В. Согласно вышесказан- ному угловой коэфициент т касательной М N в точке А пред- ставится формулой да = Ит Уг~Ух (1) или, что то же, т = \\ха Я*»)-//*!>■. (2) Xi^Xi Х2 Х1 При вычислении предела величины хи ух (или xv f(xx)) рассматриваются как постоянные, а х2, у2 (или х2, f(x2)) — как переменные; за независимое переменное будем принимать х2. Для фактического вычисления углового коэфициента необ- ходимо знать уравнение кривой PQ, т. е. вид функции f(x). Пример 1. Найти угловой коэфициент касательной к параболе у = х2 в точке А с абсциссой хх ^задачу эту мы решали в § 2 гл. V для частного случая хх = у) .
224 производная ФУВЧСЦЯЯ [гл. VI откуда *a-**i *2 *1* m = lim (x2 -f- л^) = 2xv Таким образом, в точке , ^ угловой коэфициент будет т=1; в точке (1,5, 2,25) т = 3 и т. д. Уравнение касательной в точке A (xv yt) будет y — yl = 2xl(x — xl). Например, уравнение касательной в точке (3, 9) будет у — 9 = 6(* — 3). Пример 2. Найти уравнение касательной к кубической параболе у = хг в точке A(xv ух). По формуле (1) получаем m=hm *2__ *1= lim (x!+*2*i + т. е. m = Зх\. Например, в точке (1, 1) угловой коэфициент есть w = 3. Уравнение касательной в этой точке ^,-1 = 3(* — 1). § 3. Производная функция Нахождение касательной к кривой y = f(x) приводится, как мы видим, к решению аналитической задачи: найти пре- дел выражения /(*2)-/(*i) х% — х1 В формуле (1) нужно заменить yt через х\, а у2 черзз х\% так что w= lim 2 1
§ 3] производная функция 225 !) Таким образом, х,у суть текущие координаты кривой. Раньше мы через х, у обозначали . текущие координаты касательной. Во избежание смешения мы впредь будем последние обозначать одно- именными большими буквами X, Yi 15 м. Я. Выгодский при x%-+xv При нахождении предела ^рассматривается как- постоянная величина (геометрически это означает, что точка А на черт. 99 неподвижна). Но величина предела, как мы видели из примеров, не одинакова для различных хх\ она, следова- тельно, есть функция от xv Геометрически это означает, что наклон касательной при смещении точки касания изменяется. Так как нас интересует величина наклона касательной не для одной какой-нибудь точки кривой, а для. произвольной точки, то не имеет смысла обозначать дальше координаты точки А через xv уг; будем обозначать их просто х, у1). Координаты точки В в соот- ветствии с этим обозначим не х2, уъ а, скажем, х\ у'. В этих новых обозначениях угловой коэфициент касательной пред- ставится формулой ж= lim £Щ=Ш, х'-*х х х При вычислении предела х считается постоянной величиной. После этого вычисления т выражается в функции от х (но не от х\ которое совершенно не войдет в выражение т). f (х'\ f (х) Таким образом, lim ~——=^—' есть функция от х\ вид х этой функции зависит от вида функции f(x). Так, в примере 1 § 2 мы имели f(x) = x2 и получили v f(x') — f(x) п lim ——J—J-1—L = 2х. х'->х х х В примере 2 § 2 было f(x) = x2, и мы нашли х'->х X — X Функция lim ——' у зависящая, как мы видели, от функ- ции f(x), называется производной функцией (или просто ((.производной») от f(x). Так, 2х есть производная от х2; Зх2 есть производная от л:3.
226 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Определение. Производной функцией от данной функции f(x) называется предел, к которому стремится /(*') — /(.*) , ' величина х, при^-^х. При нахождении предела х считается постоянной величиной. Обозначения. Производная функция иногда обозна- чается символом D (начальная буква французского слова derivee — производная). На- пример, Djc2 = 2jc, Dx* = 3*2 или (указывая, что аргумен- том функции является х): Dxx2=2x, Dxx* Зл:2. Черт. 100. Для обозначения производ- ной часто пользуются так- же штрихом: например, (х2У = 2х. Символ f'(x) обозначает производную функцию от f(x); сим- вол у'х означает производную функцию от зависимой перемен- ной у, аргументом которой является х. f (х') f (х) Знаменатель выражения ■ х, _х называют прираще- нием аргумента и обозначают через Д* *), так что Ьх = х'—х. (1) Числитель того же выражения называют приращением функ- ции и обозначают через Д/ (х), так что */(*) = /(*')—/(*). (2) Так как из формулы (1) мы имеем х' = х -f- Дл:, то формулу (2) можно также представить в виде А/(*) = /(* +А*)—/(*)• Когда х' ху переменная Д* стремится к нулю, так что про- !) Греческая буква Л («дельта») не есть множитель, так же как в обозначении sin* символ sin не есть множитель.
§ 3] производная функция 227 изводную функцию можно представить в виде Д/(*)= lim + (*) или А*-* 0 Ддг Ьх-*0 *х Если функцию /(л:) обозначить через у, то Д/(х) запишется в виде Ду, и Dxy= lim На черт. 100 мы имеем: OD = x, ОЕ = х\ DA=y = f(x), EB=y'=f(x'), AC = xr— х = Ьх, СВ = у' —y = &y = bf(x), m = tg NAC— hm -A- = hm \ = hm 7 '—- =: Ajc-j-O^ Ьх-+0 ЛХ Hx-+Q *X =f(x) = Df(x). Чтобы лучше освоиться с новыми обозначениями, выпол- ним вновь с их помощью вычисление производной от х\ Мы имеем / (х) = х\ f(x+ Их) = (* + Ьх)\ А* -* 0 d* При вычислении предела х рассматривается как постоянная величина, Дл: величина бесконечно малая. Вычисление предела можно вести как раньше: (Х + Ьх)*-Х* . (Х + Ьх + х) (х + Ьх-Х) Лу 1 At* = Hm J2£+^f = lim (2* + Дж) = 2*. Ддг->0 ЛА A*-*0 Можно итти иным, при новых обозначениях, более простым путем: hm = hm -Л! = = lim 2*A* + ^2 = Iim (2* + Д*) = 2*. 15*
228 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Предлагается читателю проделать аналогичные вычисления для случая f(x) = xs. Сообразно с введенными обозначениями можно сформу- лировать определение производной функции еще следующим образом: Производной функцией от данной функции f(x) назы- вается предел, к которому стремится выражение Из предшествующего ясно, что задача о нахождении каса- тельной к произвольной кривой была бы полностью решена, если бы мы научились вычислять производную от любой функции. Решение многих других задач геометрии, механики и физики сводится также к нахождению производных. Поэтому разыскание производной от данной функции есть одна из важнейших задач исчисления бесконечно малых. Можно сказать, что она и составляет основной вопрос диференци- ального исчисления1). § 4. Производная степени независимого переменного В предыдущих параграфах мы нашли производные от функций х2 и л:3, именно: Dx2 = 2x, DxB = 3x2. Эти фор- мулы являются частным случаем общей формулы которую мы сейчас докажем. Предварительно установим одно важное алгебраическое тождество. Читателю известны тождества при Дх -> 0. При нахождении предела х считается постоянной величиной. Запись: Dxn = nx*~19 a2 — b2 = (a—b)(a-\-b), a*—b3 = (a— b)(a2 -f ab-f b2). *) Более полное определение предмета диференциального исчи- сления дано ниже (§ 5 гл. VII).
§4] производная степени 229 Подобные же тождества имеют место для разности любых целых степеней. Так, а4 — ft4 = (а— Ь) (а3 -f аЧ + ab% + £3), а& _ Ъъ = (а — Ь) (а4 + аЧ + а2£2 -f + б4). Закон образования этих тождеств очевиден; справедливость их доказывается непосредственным перемножением многочле- нов, входящих в правую часть равенства. Так же докажем справедливость общей формулы + aft*-2_|_ft/l-l)e (1) Здесь « — целое положительное число; второй сомножитель пра- вой части содержит п членов. Теперь вычислим производную от функции хп. Мы имеем согласно определению предыдущего параграфа Dx"=lim Х Х Пусть п — целое положительное число. Тогда, применив выве- денное тождество (при а = х\ Ь = х), получим Dxn= lim (x'n-1-^xtn^x-\-x,n'Bx2-^. ..+ **-*). Применяя теоремы о пределе суммы и произведения (сте- пени), получим Dxn= (lim х'у-* + (lim х')п~2-х-{- (lim лг')*-3-*2-{--... х'-+х х'-+х х*-+х щ _ хч-г = х*1-* + х*1-*• а: + x^-W -{-...~{-х'г-1 = я**-1. Итак, имеем Dxn = nx^i (2) при целом положительном л. Для дробных или отрицательных п теорема доказывается тем же методом.
230 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI _ „ х'т xm ( x'm — Хт \ х*-*х \ Х'тхт) х'-*х X — X Первый сомножитель равен — ; так как т есть положитель- ное число (целое или дробное), по предыдущему, второй сомножи- тель есть тх"1-1. Таким образом, Dxn- -L .тх™-1 = -тх-т-\ х2т -тх т. е. снова Dxn = nxn-1- Пример 1. Dx™ = \2xn. 1 1 Пример 2. DVx = Dx~2=±x 2 — 1 2 2Vx* Пример 3. Z)i =Dx-*=— Зх~*=— j^. Рассмотрим случай, когда п — дробное положительное число п = (р, q — целые положительные числа). Имеем ^ п x'q —xq .. (х'<?)Р — (х<?)р Dxn= hm = hm ^ —• x'-±x x —x x'-+x JL (x'«)q — (xq)q Обозначим xq через z> a x'g через г'. Тогда при х' -»дг также г'-^г. Теперь имеем Dxn= hm — -= hm -——2- ! . z'-*z — гчггн + z'<7-2z +... + z4~l Мы применили к числителю и к знаменателю тождество (1). При- меним правило о пределе частного. Так же, как выше, находим: рг"-1 р р р-^р Dxn = — т = — »-q—£L г q*Lxq qzq-1 Чг ЧХ Я т. е. Dxn=nxn-\ Итак, теорема доказана для дробного положительного п. Если теперь п есть отрицательное число, целое или дробное, т. е. п = — т (т—по- ложительное число), то мы имеем ± J, г ТП „ ТП
ПРОИЗВОДНАЯ НЕЗАВИСИМОГО ПЕРЕМЕННОГО 231 Замечание. Полезно запомнить случаи формулы (2): следующие частные X ДГ2' 1 П— — — —— и хп — хп+1* D]/х = , D"/x = Ух Особо нужно рассмотреть случаи п—\ и п = 0у так как тождество (1), на которое мы опирались, для п— 1 приобретает вид а— Ь — а — Ъ и ничего дать не может, а для я = 0 вообще теряет смысл. Тем не менее формула Dxn = nxn~1 остается и для этих случаев верной. Это доказано в следую- щих двух параграфах. § 5. Производная независимого переменного При п = 1 имеем Dx* = lim *—— = lim 1 = J. x'—x To же дает и формула (2), ибо пхп-1 = \х°=\. Итак, производная независимого переменного равна 1. Геометрический смысл этого предложения таков: линия у — х (черт. 101) является биссектри- сой первого и тгЗЬтьего координатных углов. Так как касательная к линии должна иметь в каждой своей точке то же самое направление, что и эта линия, то касательной к прямой линии в любой ее точке является она сама, и угловой коэфициент ее равен единице. Точно так же мы докажем, что D (ах) = а, т. е. производная величины, пропорциональной независимей переменной, равна коэфициенту пропорциональности. (Истол- куйте это геометрически.) Пример. D (0,6*) = 0,6. Черт. 101.
232 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI § 6. Производная постоянной величины При п = 0 имеем v'o у-0 11 Dx° = lim = Hm A—^ = lim 0=0. х'-*х х х х*-*хх х х'-+х Формула (2) дала бы такой же результат. Так как величина х° есть 1, то она не является перемен- ной величиной в собственном смысле слова. Однако, в целях общности (например, для того, чтобы хч при всяком п было функцией от л:) величину 1 и всякую v вообще постоянную величину считают особым случаем функции. Законность этого обобщения поня- тия функции вытекает из такого рас- j суждения. Вообще говоря, функция при- а нимает различные значения при различ- 1 х ных значениях независимых переменных. °' Но среди этих различных значений Черт. 102. могут быть и равные между собой. И вот, если все значения функции ста- нут равны друг другу, мы будем иметь постоянную величину. Естественно поэтому считать постоянную величину особым случаем зависимой переменной, т. е. функции. В этом смысле мы можем говорить и о производной функции даже тогда, когда х'-*х - х х есть постоянная величина. Как раз такой случай имел место в предыдущем параграфе, когда исходная функция была ах. Выведем теперь формулу _для производной от постоянной величины а. Согласно вышесказанному мы должны считать f(x) = a~f(x') = a, так что Оа= lim = lim 0 = 0. х'-*хх х х'-+х Итак, производная постоянной величины равна нулю. Геометрический смысл этой теоремы таков. Линия у = а (черт. 102) есть прямая, параллельная оси абсцисс. Угловой коэфициент ее касательной (т. е. ее самой) равен нулю. Пример. Dx(6a*) = 0.
§ 8] ПРОИЗВОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ 233 § 7. Вынесение постоянного множителя за знак производной Если мы будем искать производную функции 3jc5, то, применяя тот же метод, которым мы пользовались в § 4, найдем D 3x5=15jc4 и вообще Daxn = anx"~1i т. е. производная функции хп множится на коэфициент а. Это свойство — частный случай следующей общей теоремы: Постоянный множитель можно выносить за знак про- изводной: Daf{x) = aDf(x). Доказательство. ^ xi ч 1- af(x') — af(x) ,. f(x')—f(x) Daf(x)= lim ——J = lim a——, _ = x'^x x x x'-+x x x = a lim /(*'?~{(лс) = аВ/(*). Пример 1. D0,12л:3 = 0,36x2. Пример 2. DS Ухв == SDx 2 == 12 Ух. § 8. Производная алгебраической суммы Пусть разыскивается D (jc3 х3). Напраи1ивается решение: D (л:3 + jt2) = Djc3 + Djc2 = 3jc2 -f 2x. Это решение верное, так как имеет место следующая общая теорема: Производная от алгебраической суммы нескольких функ- ций равна алгебраической сумме производных от этих функций. Доказательство. Мы рассмотрим случай трех сла- гаемых и докажем формулу D [Л (*)'+U (*) - /з (*)] = £>Л (*) + *>/. (*) ~ Dh (х).
234 производная функция [гл. vi 6. -^-=г ^г-. о/ив. — К' * V* " ' *£/* хУX Имеем: я [А (*>+/. (*)—/.(*)] = _ lim f/i (*') + /i (*') -/з (•*')] - Ifi (*)+/» (x) -/з (*)] _ _Ит Ai£) = Df (x) + D/a(д)_Df {x). х'ч>х л л Для иного числа слагаемых доказательство будет в точности таково же. Важным частным случаем является формула D (ах -j- b) = D (ах) + Db = а-\- 0 = я, показывающая, что производная линейной функции равна коэфициенту при независимой переменной. Мы видим, что постоянное слагаемое b не влияет на выражение производ- ной. Последнее свойство имеет силу для любой, а не только для линейной функции, ибо, как мы видели в § 6, производ- ная от постоянного слагаемого равна нулю. Пример 1. D(4*4 — 15) = D(4*4)= 16*3. Пример 2. D(0,3*4 + 2*3 — 31) = D(0,3*4)-f D(2*3) = = 1,2*3 + 6*2. Пример 3. D ^ — 6у * j = — ~ y=. Упражнения Найти производные от следующих функций: 1. 2*2 — З*4. О те Ах — 12л:3. о 1 2 гл 1 . 4 2'-3-*"2- 3- + J3- 3.i/*+|*-*2. 4. З*2 - 16. О/яа. 6* + -^ . 5. 12*2 _ бл: -f 4. Отв. 24* — 6. 3 2 л 1,1
§ 9] УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ 235 7'4lT2-4 + l- °тв' -2P + i' 8. \2х (4х + 5). Отв. 96лг + 60. 9. (х — 5)2. Отв. 2х — 10. 10. а (х 4- а) — ялг. О/яв. 0. 11. а(х-\- а)-\-ах. Отв. 2а. 12. а (х + я)2 — я*2. О/ив. • 2а2. 13. ах*(х + а). Отв. гах* + 2а2х. § 9. Уравнение касательной Обозначив через X и У текущие координаты точки каса- тельной, а через х и у координаты точки касания, мы можем, согласно предыдущему (§ 1—3 этой главы), написать урав- нение касательной в виде Y-y=,Df(x)(X-x) или Y—f(x)=--Df(x)(X—x). В этом уравнении, если точка касания остается неподвиж- ной, величины х, у9 Df(x) постоянные, a X и У переменные. Пример. Уравнение касательной к параболе у = - j jc2 в точке (а:, у) есть Y-y = ±x(X-x) или, что то же, Y—±x* = ±x{X—x). Уравнение касательной в точке (2, 1) есть Y — 1 =Х— 1, т. е. Y = X, а в точке (— 4,4) У-4 = -2(*+4), т. е. Г=—2-Y--4. Мы видим, что касательная к кривой y=f(x) определяется без особого усилия, как только найдена производная функ- ции /(*).
236 производная ФУНКЦИЯ [гл. VI Столь же просто выражаются через производную функ- цию многие другие величины, рассматриваемые в математике и естествознании. Несколько важных примеров мы сейчас рассмотрим; § 10. Скорость Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на ка- ком километре пути он находится в момент t, а затем в момент f. Пусть это будут $ км и $' км. Тогда мы делим «приращение пути» s' — s = ^s на «приращение времени» г* — t = M и находим «среднюю скорость»: As s' — s М — t' — t 9 Если движение поезда было равномерным, то эта средняя скорость вполне характеризует движение поезда. Но если движение поезда неравномерно, то знать среднюю скорость недостаточно. При средней скорости в 40 км\час поезд в отдельные промежутки времени мог развивать скорость 100 км\нас, в другие—вовсе не двигаться. Поэтому, помимо средней скорости за вр емя от t до t\ рассматривается еще так называемая «истинная скорость» в момент/. На практике величина этой «истинной» ско- рости определяется так же, как и величина средней; только конечный момент времени берется настолько близким к на- чальному моменту ty чтобы за время f — t движение поезда было практически равномерным. Насколько малым нужно взять V—зависит от обстоя- тельств движения: иной раз можно взять 30 мин., а иной раз и секунда будет в?лика. Поэтому для теоретического определения скорости мы должны представить себе, что As а а в выражении величина Дг уменьшается неограниченно, и назвать скоростью в данный момент t величину
теплоемкость 237 А это, по определению, есть производная функция от независимой переменной t. Если s=f(t), то v = Df(t), т. е. скорость движения в данный момент t есть производ- ная той функции, которая выражает путь через время. Пример. Путь s, проходимый свободно падающим те- лом в пустоте, выражается через время формулой s = ±gt> (g—ускорение силы тяжести ^9,8 м\сек2). Скорость v дви- жения в момент t будет v = D*(±gp) = gt. Замечание 1. Теоретическое определение скорости в. данный момент (v= lim -^—Ds) не противоречит практи- ческому способу вычисления скорости по формуле v = ^ , так как при достаточной малости Д/ отноЩение ^ прак- тически неотличимо от lim Замечание 2. По аналогии со скоростью движения говорят вообще о скорости изменения функции. Если вели- чина s есть функция величины т. е. 5 = / (/), то производ- ную Df (t) называют скоростью изменения величины $ отно- сительно величины U § 11. Теплоемкость Теплоемкостью вещества (например железа) называется обычно то количество тепла (в больших калориях), которое необходимо для нагревания 1 кг вещества на 1°С. Это определение не совсем точно, потому что при различных н а ч а л ь н ы х температурах для повышения температуры на 1° требуются различные количества тепла. Так, например, 1 кг железа при температуре 0° должен получить 0,1053 большой калории, чтобы достигнуть температуры 1° С. Тот же 1 кг железа при температуре 100° С должен получить уже
238 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI 0,1195 большой калории, чтобы повысить свою температуру до 101° С. Чтобы притти к точному определению теплоем- кости, обозначим через Q то количество тепла (в больших калориях), которое требуется для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от температуры 0°С некоторой температуры /°С« Q есть функция t: Q=/(<)• Вид этой функции, как показывают опыты, различен для различных веществ. Чтобы нагреть 1 кг вещества от t° до t'°9 нужно затратить /(*') —/(<) = AQ больших калорий тепла. Если мы эту величину разделим на разность температур f — t = M, то найдем среднее количество ctit теплоты, повышающее температуру 1 кг вещества на 1°С: „ _ fin-fit) AQ ct,e— t' — t — Ы e Когда приращение температуры At «достаточно мало» (в огром- ном большинстве случаев уже 1° будет достаточно малой величиной), то ^ практически дает теплоемкость при тем- пературе /. Говоря, что изменение температуры «достаточно мало», мы имеем ввиду, что для двух температур tv t'v взя- тых где-либо в промежутке между прежними значениями t значение величины —^- практически неотличимо от прежнего значения. Теоретически мы можем определить теплоемкость (при температуре t) ct как lim или, что то же, hm J-~^— т. е. как производную от той функции, которая выражает зависимость Q от t: ct=D/(i). Пример. Количество тепла Q, необходимое для нагре- вания 1 кг железа от температуры 0° до температуры *°С,
ЛИНЕЙНЫЙ КОЭФИЦИЕНТ РАСШИРЕНИЯ 239 зависит от t следующим образом: Q = 0,10531 + 0,00007 U2 Найти теплоемкости железа при 10° С и 50° С. Находим ct = DtQ = 0,1053 + 0,000142^. При /=10° имеем с10о = 0,10672. При / = 50° имеем С50о = 0,1124. Замечание. Можно сказать (см. замечание 2 § 10), что теплоемкость есть скорость изменения количества Q тепла, потребного для нагревания 1 кг вещества на t°. § 12. Линейный коэфициент расширения Линейный коэфициент расширения в элементарных учебни- ках физики определяется как удлинение, приходящееся на единицу длины тела (1 см) при нагревании последнего на 1°С. Это определение не совсем точно: при разных начальных температурах нагревание на 1° дает для одного и того же тела разные удлинения единицы длины (ср. со сказанным в начале § 11). Обозначим длину тела через /, температуру его через U I есть некоторая функция t: / = /(/). При повышении темпе- ратуры с t до f длина увеличивается на Д/ = /' —/=/(*')-/(<)• В среднем на 1° повышения температуры приходится общее удлинение Ы—>(*0-/(')д и— v—t ' а на 1 см длины приходится удлинение a^tt Так же как из средней скорости (§ 10) и из средней те- плоемкости (§ 11), мы получали скорость в данный момент и теплоемкость при данной температуре, и теперь от величины а/,// мы перейдем к линейному коэфициенту расширения а при !) Эта формула — приближенная, но для значений t, меньших 200° С, она дает практически удовлетворительные результаты.
240 производная функция [гл. VI V /ПК ь /Г 1 0 с d,dd2e f 2 к в Черт. 103. мы будем иметь подъем; в других (например, в D2) спуск. Соответственно с этим говорят, что функция f(x) в одних точках возрастает, в других—убывает (точное определение этих терминов дано ниже). В промежутках между точками подъема и спуска будут точки (как, например, Z)), где подъем переходит в спуск, или наоборот (как, например, £), где спуск переходит в данной температуре t\ а = |/>/. Пример. Ребро платинового куба при температуре 0° имеет длину /0 см, а при температуре t имеет длину /= /0 (1 + 8,806.10 -V + 1,95 • 10-¾2). Найти линейный коэфициент расширения платины при 0°С и при 1 000° С. Находим £>/ = /0 (8,806 • 10"6 4- 3,90 • 10-»/), _Dtl ■ 8,806-10-6 + 3,90-10-¾ а= ~~Г= 1+8,806-10-¾+1,95-10-¾*' Отсюда о/=э = 8,806. Ю-6, a/=1000 = 12,57 -10"6. § 13. Возрастание и убывание функции Взглянем на черт. 103, где изображен график некоторой функции y = f(x). Будем двигаться вдоль графика слева направо. В некоторых точках графика (например, в точке Dt)
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 241 подъем. Точки, подобные D, будут лежать выше всех сосед- них с ними; точки, подобные Е, — ниже всех соседних с ними. Соответственно с этим говорят, что функция f(x) при неко- торых значениях имеет максимум, при некоторых — мини- мум. Чтобы подчеркнуть, что данные значения функции (dD и еЕ) сравниваются лишь с соседними, а не со всеми другими значениями функции, к словам «максимум» и «минимум» до- бавляют слово «относительный», так что в точках Л, D, F на черт. 103 мы имеем относительные максимумы функции (аД, dD, fF)y а в точках Bt Е — относительные минимумы (ЬВУ еЕ). Если же хотят отметить, что при некотором значении аргумента функция имеет значение, большее или меньшее, чем остальные ее значения на всем протяжении задан- ного участка, то говорят, что при этом значении функция имеет абсолютный минимум или максимум. Так, на участке ag нашего графика ордината dD изображает абсолютный максимум, а ордината ЬВ абсолютный минимум. Нелишне заметить, что относительный минимум мо- жет оказаться больше относительного максимума (так, точка Е на черт. 103 лежит выше точки Л), Заметим также, что часто для краткости в наименованиях «относительный ма- ксимум»^ «относительный минимум» слово «относительный» вовсе опускается. В соответствии с вышесказанным мы получаем следующие определения: Определение 1. Функция называется возрастающей при длнном значении аргумента, если достаточно милое увеличение аргумента влечет за собой увеличение функции, а достаточно малое уменьшение аргумента влечет умень- шение функции. Определение 2. Функция называется убывающей при данном значении аргумента, если достаточно малое увеличение аргумента влечет за собой уменьшение функ- ции, а достаточно, малое уменьшение аргумента влечет увеличение функции. Определение 3. Функция имеет (относительный) максимум при данном значении аргумента, если как уве- личение, так и уменьшение аргучента {достаточно малое) влечет за собой уменьшение функции. 16 М, Я, Выгодский
242 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Определение 4. Функция имеет (относительный) минимум при данном значении аргумента, если как уве- личение, так и уменьшение аргумента (достаточно малое) влечет за собой увеличение функции. Определение 5. Функция имеет абсолютный макси- мум (минимум) при данном значении аргумента, если соответствующее значение функции больше (меньше) всех остальных значений функции. Множество практически важных задач (примеры будут даны ниже) сводится к разысканию абсолютного максимума или абсолютного минимума некоторой функции. Для этого бывает важно предварительно найти относительные максимумы или минимумы этой функции, а также исследовать, где эта фун- кция является возрастающей и где убывающей. Все , эти во- просы теснейшим образом связаны с нахождением производной функции. Теорема. Если производная функция Df(x) в данной точке положительна, то функция f(x) в этой точке воз-» растает; если отрицательна, то—убывает. В самом деле, пусть £/(*)> 0; геометрически это значит, что угловой коэфициент касатель- ной в соответствующей точке кривой положителен. Ясно, что в этой точке кривая должна подниматься кверху, если итти слева направо, и книзу, если итти в обратном направлении. Иными словами, функция в такой точке возрастает. Если же £>/(*)< 0, то угловой коэфициент касательной отрицателен, и кривая опускается при движении направо и подымается при движении налево. Иными словами, функция здесь убывает. Итак, имеем следующие признаки возрастания и убывания функции: Для тех значений аргумента, при которых производ- ная функция Df(x) положительна, функция f (х) возрастает; для тех значений аргумента, при которых Df(x) отри- цательна, функция f(x) убывает. Замечание. Если х есть время, а /(л;) функция, выра- жающая путь через время, то Df(x) (см. § 10) есть скорость
I 13] ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 243 1) Не точно в три раза, так как 3 есть лишь lira ^г^-Но при малых Д* отношение ^^ мало отличается от своего предела 3. 16* движения в момент х. При таком истолковании приведенные признаки становятся еще нагляднее; они означают, что рас- стояние тела от начальной точки увеличивается, если скорость положительна, и уменьшается, если скорость отрицательна. Пример 1. Возрастает или убывает функция / (л:) =з х= л:3 — х2 -\- ~ при значении аргумента х — — 1? Находим производную функцию: Df(x) = x2 — 2х. Подставляя х = — 1, находим /)/(-1)= + 3. Функция возрастает, и притом с довольно большой «скоро- стью»: малые приращения функции примерно в 3 раза больше соответствующих приращений аргумента 1). И действительно, если наряду с /(— 1) вычислить, ска- жем, /(— 1,1) и /(— 0,9), то получим /(-1,1)=1(-l,l)«-(l,t)» + l* —1,321, /(-1) = -1, /( — 0,9)^—0,720. Таким образом, при Дл = + 0,1 имеем Д/(*) =/ (- 0,9) —/(— 1) = — 0,720 +1 = + 0,280 и При Дл: = — 0,1 имеем Д/(*) =/(-1,1)-/(-1)^-1,321+ 1=-0,321, и "5г ~ 6>1-
244 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI, Пример 2. Из зенитного орудия вертикально кверху вылетает ядро с начальной скоростью v0 = 196 м/сек. Рас- стояние s ядра от земли выражается тогда формулой s= \9&—±gt* (f—время в-секундах, £=^9,8 м/сек2— ускорение земного тяга* тения). Спрашивается, подымается ли ядро кверху или падает книзу в момент /=12 се/с; /=25 сек. Когда ядро поднимается, 5 есть возрастающая функция t+ когда опускается, — убывающая. Вычисляем Ds{t). Имеем Ds (/)=196—£/. При /= 12 Ds (12)^196 — 9,8.12 = 78,4>0. Значит, через 12 секунд ядро поднимается еще кверху. При / = 25 (25)^196 — 9,8-25 = — 49 <0. Через 25 секунд ядро уже опускается книзу. Величины Ds (12) = + 78,4 и Ds(25) = — 49 представ- ляют значения скорости (в м/сек) ядра; положительные зна- чения скорость принимает при движении вверх (ядро удаляется от земли), отрицательные — при движении вниз. § 14. Максимум и минимум Рассмотрение примера 2 § 13 подсказывает нам решение следующей задачи: каков наивысший подъем ядра, вылетев- шего кверху с начальной скоростью г/0=196 м/сек2? Момент наивысшего подъема, очевидно, служит границей между полетом ядра кверху и спуском книзу. При полете, кверху скорость положительна; постепенно она уменьшается, через некоторое время, когда ядро падает вниз, скорость имеет отрицательное значение. Границей между положитель- ными и отрицательными числами служит нуль. Ясно, что в момент наивысшего подъема скорость, т. е. производная функ- ция Ds(t)y должна обращаться в нуль. Поэтому поступаем следующим образом: 1) Найдем производную от функции 5=196.'-y'9>8'2;
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 245 она равна £>$(*)= 196— 9,8*. 2) Приравняем это выражение нулю: 196-9,8/=0. Полученное уравнение имеет единственное решение /=20 сек. 3) Так как других решений это уравнение не имеет, а при наивысшем подъеме оно непременно должно удовлетво- ряться, то наивысший подъем имеет место через 20 сек.; зна- чит, величина максимального подъема sMaKC = 196 • 20 — 1.9,8 • 202 = 1 960 м. Прием, примененный нами для решения задачи о наиболь- шем подъеме ядра, можно использовать и в других вопросах для решения задачи о наибольшем или наименьшем значений некоторой величины у, заданной в функции какого-нибудь аргумента х: y=f(x) (в нашем примере подъем ядра задавался в функции времени). Идея этого приема состоит в том, чтобы сначала разыскать все относительные максимумы или минимумы функции f{x) (см. § 13). Среди этих значений мы ищем затем то, которое дало бы не только относительный, но и абсолютный максимум (минимум), т. е. то, которое больше (меньше) не только чем соседние с ним значения / (л:), но и чем все остальные значения. Геометрически это означает, что среди всех «вер- шин» кривой линии ABCDEFG (черт. 103) мы выбираем са- мую высокую, а из всех «долин» самую глубокую. Разобранная задача о наивысшем подъеме ядра подсказы- вает нам, что для разыскания всех максимальных (или мини- мальных) значений функции f(x) нужно: 1) найти ее произ- водную Df(x), 2) приравнять выражение производной нулю и 3) найти все решения полученного уравнения. - Рассмотрим вопрос подробнее. Докажем прежде всего следующую теорему: Теорема. При том значении х, для которого функция f(x) имеет максимум или минимум, производная функция Df(x) равна нулю.
246 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Короче всего эта теорема доказывается от противного: если бы производная Df(x) не была равна нулю, она была бы положительным или отрицательным числом; но тогда, согласно теореме § 13, при данном значении х функция была бы возрастающей или убывающей и не могла бы иметь здесь ни максимума, ни минимума. Дадим еще другое, более наглядное рассуждение, идущее тем же путем, каким мы решали задачу о ядре. Черт. 103 показывает, что в «вершинах» графика, например, в точке Dy подъем графика переходит в спуск, т. е. при значениях х, несколько меньших, чем то, которое дает максимум, функция возрастает, а при несколько больших значениях х функция f(x) убывает. По теореме § 13 производная функция Df (х) должна переходить от положительных значений к отрицатель- ным. При плавном изменении это может произойти лишь в том случае, если она пройдет через нулевое значение. Анало- гично докажем, что при том значении х, при котором f(x) имеет минимум, производная, переходя от отрицательных значений к положительным, равна нулю. Геометрически наша теорема означает, что касательные в вершинах кривой (Л, D, F на черт. 103), а также в ее долинах (Ву Е на черт. 103) должны быть горизонтальны. Таким образом, искомые значения х должны быть корнями уравнения Df(x) = 0. Корни этого уравнения называют кри- тическими значениями аргумента х. Но в с е ли критические значения х дают максимумы или минимумы функции f(x)7 Иными словами: все ли точки кри- вой, где касательная горизонтальна, являются вершинами или долинами? Оказывается, что нет. На черт. 103 направление кривой горизонтально не только в точках Л, Dy Fy В, Еу но и в точках С и G, не являю- щихся ни долинами, н'и вершинами. Возьмем, например, точку С. Налево от нее мы имеем подъем, который при приближении к С становится все более пологим и в самой точке С исчезает; но вместо дальнейшего спуска мы имеем вправо снова подъем. Таким образом, при х — Ос имеем Df(x) = 0. Ос есть критическое значение*. Однако, функция f(x) здесь не имеет ни максимума, ни минимума, но возрастает. Так же убедимся в том, что при критическом значении х = Og
§ 14] МАКСИМУМ и минимум 247 функция /(*), представленная графически на черт. 103, убывает. Говорят, что при х ^== Ос и при x = Og кривая y = f (х) имеет перегиб Из сказанного вытекает, что для разыскания относительных максимумов или минимумов некоторой переменной величины следует поступать так: 1) Выразив эту величину в функции независимой перемен- ной сообразно условию задачи, находим производную функ- цию. 2) Приравняв производную функцию нулю, решаем полу- ченное уравнение; получаем критические значения. Кроме кри- тических никакие другие значения аргумента не могут дать ни относительного минимума, ни относительного максимума функции 2). 3) Исследуем критические значения, чтобы определить, какие из них дадут максимум, какие — минимум и какие — перегиб. Существуют различные методы исследования последнего вопроса. Для наших целей достаточно заметить следующее. Часто само условие задачи позволяет сразу распознать, имеем ли мы в данной критической точке максимум, минимум или 1) В точке перегиба касательная перерезает кривую, а не ле- жит по одну ее сторону. 2) Мы предполагаем, что функция f (х) имеет всюду производ- ную и что значения производной всегда конечны; иначе говоря, что кривая y=f (х) везде имеет касательную и что эта касательная не параллельна оси у, иначе возможно, что не только при крити- ческих значениях аргумента функция будет иметь максимумы и ми- нимумы. На черт. 104 изображена кривая, не имеющая в точке А касательной; на черт. 105 —кривая, у которой касательная в точке В вертикальна. В обеих этих точках мы имеем «вершины» кривых, т. е. максимумы соответствующих функций. 8 Черт. 104. Черт. 105.
218 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI перегиб. Если же этого не видно сразу, то обычно следующее простое вычисление решает вопрос: берем два значения /(#), очень близкие к критическому, одно немного меньше, другое немного больше критического *). Вычисляем для нихгзначения производной. Если производная при переходе от меньшего значения х к большему меняет знак с-|-на — , то критическое значение дает максимум (ибо функция из возрастающей ста- новится убывающей); если, наоборот, производная меняет знак — на-(-, то имеем минимум; наконец, если в обоих слу- чаях имеем одинаковые знаки (-["»+ или —» — )> то имеш перегиб. Пример 1. Величины у и х связаны зависимостью Найти относительные максимумы и минимумы величины у (ср# пример Г § 13). 1) Выражение у через х прямо дано в задаче; находим производную: Dy = x2 — 2x. 2) Приравняв ее нулю, решаем уравнение х2 — 2х = 0. Корни этого уравнения О и х = 2 будут„критическими значениями аргумента. 3)-Исследуем.эти критические значения. Начнем с первого, х = 0. Возьмем'два близких к нему значения, скажем х=— 1, 2). Значения производной будут Dy{-1) = (- l)2-2 (-1) = + 3, Цу( + 1) = -1. !) Как велика должна быть степень близости, выяснится на при- мерах, ниже рассматриваемых. 2) «Близким» значением можно считать всякое такое значение, которое лежит между исследуемой критической точкой и другой критической точкой, соседней с первой. Пусть, например, исследуется критическое значение x~d (черт. 103). Если в качестве близкого взять значение х, лежащее где-нибудь. между х — й и соседним критическим значением х = е, то производная сохранит отрицатель- ный знак (кривая имеет спуск), но вправо "от значения * = *произ-
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 249 Так как при переходе от меньшего значения х = — 1 к большему х = -[-1 производная меняет знак с -f- на —, то при х=0 имеем максимум (относительный) функции у. Этот максимум есть Теперь исследуем критическое значение лг = 2. Взяв близкие к нему значения jc = —|— 1 и х = -\~31)у получим Dy(+1) = —1, Dy( + 3)= + 3. Мы видим, что при переходе через критическое значение х=2 от меньшего значения к большему производная меняет знак с — на-j-. Значит, при х = 2 функция у имеет мини- мальное значение; это значение равно Умия == • 2s — 22 —|- -g- = 1. Начертив график функциональной зависимости мы видим, что кривая ABCD (черт. 106) имеет в точке в(о>-\- -g-) вершину, а в точке С(2,— 1) долину. Выше (стр. 245) было сказано, что абсолютный максимум мы ищем среди относительных. Однако, здесь нужно сделать некоторые оговорки. В рассмотренном нами примере мы имели два критических значения аргумента, и из них лишь одно (л; = 0) давало максимум функции у ^макс = -g") • Однако, если аргументу х мы позволим принимать все возможные значения, то функция jf (jc) = -g- *3 — x2 -J~ "g" сможет принять сколь угодно большие значения; если неограниченно удаляться вправо, то кривая водная может стать положительной (может начаться подъем), как это и имеет место на черт. 103. В нашем примере значение х, большее чем 0, следует брать меньшим, чем 2, ибо х = 2 есть соседнее справа критическое зна- чение. Значение же, меньшее, чем 0, можно взять любое, ибо слева нет критических точек. 1) См. предыдущее примечание.
250 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI ABCD будет неограниченно подыматься. Но в задачах с кон- кретными условиями независимая переменная обычно может изменяться лишь в определенных границах, т. е. наивысшая точка разыскивается не для всей кривой, а лишь для данного ее куска, например, для куска между точками А и D на черт. 106. В этом случае нужно особо обратить внимание на то, каковы значения функции на краях куска. Может оказаться, Черт. 106. что один из краев (D на черт. 106) выше всех «вершин» кривой, и тогда на этом краю мы имеем абсолютный макси- мум функции в данных границах; он вовсе не обязан принадлежать к числу относительных максимумов функции f(х), ибо за границей нашего куска функция может продолжать расти. Если же ни на одном из краев функция не имеет абсолют- ного максимума, то наибольший ее относительный максимум является вместе с тем и абсолютным. Так, если взять кусок кривой (черт. 106) между точками Л и С, то вершина В является на соответствующем участке наивысшей точкой. Все сказанное здесь о максимуме функции в данных гра- ницах можно с соответствующими изменениями повторить о минимуме.
МАКСИМУМ И МИНИМУМ 251 В большинстве практически важных случаев содержание самой задачи позволяет упростить расчеты. Пример 2. Проволоку длиной 80 см требуется согнуть в прямоугольник так, чтобы площадь этого прямоугольника была возможно ббльшей. 1) Обозначим площадь прямоугольника через 5 и за не- зависимую переменную примем длину х одной из его сторон. Соседняя с ней сторона будет иметь длину 40 — х, и 5 вы- разится через х формулой s = x(40 — x) = 40х—х2. Отсюда Ds (х) = 40 — 2х. 2) Приравняв это выражение нулю, решаем уравнение 40 — 2л: = 0 И находим единственное критическое значение х = 20 см. 3) Из условия задачи ясно, что аргумент х изменяется в пределах от х = 0 до л; =40 (две противоположные стороны прямоугольника не могут в сумме дать больше, чем длина проволоки). При обоих этих значениях площадь s равна нулю, так что функция 5 = х (40 — х) на краях нашего участка не может иметь абсолютного максимума. Значит, абсолютный ма- ксимум должен быть вместе с тем и относительным. Но отно- сительный максимум возможен только при критическом зна- чении аргумента, а таковое — единственно. Поэтому оно и дает абсолютный максимум. Если все же желательно провести непосредственную про- верку, то возьмем соседние с критическим значения х =19 и х = 2\. Имеем Ds(\9) = 40 — 2-19 = 2, Ds(2\) = — 2. Так как производная при переходе от меньшего значения jc = 19 к большему л:=21 меняет знак с-{-на—, то имеем относительный максимум величины s; значение его равно Wc = 20 (40 — 20) = 400 см2 (при л: =19 и при х = 2\ мы имели бы 5=399).
252 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Итак, наибольший по площади из прямоугольников, кото- рый можно согнуть из проволоки 80 см длины, есть квадрат со стороной в 20 см. Рассмотрим еще вопрос о прямоугольнике минимальной площади, который можно согнуть из проволоки длиной 80 см. Функция s = х (40 — х) не имеет ни одного относительного ми- нимума, ибо единственное критическое значение аргумента л" = 20 дает максимум. Абсолютный же минимум в границах от .v = 0 до 40 она имеет. Именно, на обеих границах функция s имеет наимень- шее значение s~i) Это означает, что прямоугольник минимальной площади имеет одну сторону, равную 40 см, а другую — равную нулю. Разумеется, это уже не настоящий прямоугольник; смысл нашего результата тот, что площадь нашего проволочного прямоугольника не может быть меньше нуля. Пример 3. Требуется изготовить жестяную банку ци- линдрической формы вместимостью в 2 л, закрытую сверху и снизу. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление потребовалось минимальное количество жести? Обозначим поверхность банки через s, радиус основания через г, высоту через h\ пусть за единицу длины принят 1 см* Разыскивается абсолютный минимум величины s. 1) Величина 5 выражается через г и h формулой $ = 2тг/7г-|-2тг/-2. За независимую переменную можно принять одну из величин г, h; другая выразится^через нее с помощью уравнения w2h = 2 000, означающего, что объем банки должен быть 2 л = 2 000 см*. Проще принять за независимое переменное г; тогда имеем , 2 000 Подставляя это выражение в формулу, дающую s, имеем 4 000 . 0 „ <у= —^—Ь 2тг/-2. Отсюда Ds= ^г+4тгл 2) Решая уравнение 4 000 . А Л
максимум и минимум 253 получаем о 1 ООО г6 = , откуда находим единственное критическое значение 10 3) Из условия задачи ясно, что это значение дает абсо- лютный минимум. Действительно, при очень малой высоте банка, чтобы иметь вместимость 2 л, должна иметь очень большое дно, так что для изготовления ее понадобится очень много жести; если же сделать очень малое дно, то придется придать банке очень большую высоту и очень много жести пойдет на боковую поверхность. Таким образом, радиус ос- нования должен иметь какюе-то наивыгоднейшее значение — не слишком большое и не слишком малое. Единственное же такое 10 ТуГ . . 2 000 значение есть г= Зх_ см. Из формулы п = -^- находим /*= см = 2 г, т. е. высота равна диаметру основания. у % Задачи и упражнения 1. Количество тепла Q (малых калорий), необходимое для на- гревания 1 г алмаза от 0° до *° С, выражается формулой Q = 0,0947* + 0,000497*2 — 0,00000012*3. Найти теплоемкость алмаза ct при * = 100°, 200°, 300° С. Отв. 0,1905; 0,2801; 0,3615. 2. При условиях предыдущей задачи определить: 1) при какой из температур от 2 000° до 3 000° теплоемкость алмаза имеет наи- большую величину; 2) тот же вопрос для промежутка от 0° до 1 000°. Отв. 1) 1 400°. 2) 1 000°. 3. Тело, брошенное вверх с высоты 56,4 я со скоростью 20 м\сек% через * секунд находится на высоте h = 56,4 -f- 20* — 4,9*2 от земли. Какова будет скорость тела по истечении 2 секунд? В каком направлении в этот момент движется тело? Отв. 0,4 м\сек\ вверх. 4. В условиях предыдущей задачи найти: 1) какова наиболь- шая высота, достигаемая телом; 2) с какой скоростью оно упадет на землю.
254 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ [гл. VI Указание. Для решения второго вопроса предварительно найти, через сколько времени тело достигнет земли. Отв. 1) 76,81 м, 2) 38,8 м/сек. 5. При каких значениях х функция л:3 — Зл:2-|-7 убывает? Отв. При 0<*<2. 6. Найти наименьшее значение функции л:4— 2х2-\~6. Отв. 5. 7. Найти наибольшее значение функции 12л: -f- 6 — х*. Отв. 22. 8. Прямоугольный лист жести имеет длину 48 см и ширину 30 см. По углам его вырезывается четыре квадрата равной вели- чины, в остающемся куске загибают края и получают открытую сверху прямоугольную коробку (высота ее равна стороне выре- занных квадратов). Какова наибольшая вместимость такой коробки? Отв. 3 888 см*. 9. Требуется изготовить жестяную банку цилиндрической формы вместимостью 2 л, открытую сверху. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на изготовление ее пошло минимальное количество материала? Отв. Высота 101/ — см, диаметр основания 20 1/ — см. 10. Судно В, находящееся на расстоянии 10 км к востоку от судна Л, движется к западу со скоростью 15 км/час; судно А дви- жется к югу со скоростью 10 км/час. Через сколько времени рас- стояние между судами будет наименьшим? Указание. Квадрат функции получает наибольшее значение одновременно с самой функцией. Отв. Через 27,7 минуты. 11. Сумма длины и поперечного обхвата почтовой посылки не должна превышать 1,5 м. Найти размеры наибольшей по объему посылки цилиндрической формы, которую можно послать по почте. Отв. Длина 50 см, обхват 1 м. 12. Расходы на топливо на пароходе пропорциональны кубу его скорости; при скорости 10 узлов (10 миль в час) расходы "эти со-, ставляют 30 руб. в час. Остальные расходы составляют 480 руб. в час. При какой скорости стоимость данного рейса будет наи- меньшей: 1) если пароход в состоянии развивать скорость до 18 узлов, 2) если предельная скорость парохода 25 узлов? Отв. 1) 18 узлов, 2) 20 узлов. 13. Из бумажного круга радиуса г вырезается сектор; из остающейся части делается коническая воронка. Найти наиболь- шую вместимость этой воронки. Указание. За независимое переменное проще всего принять высоту воронки. Отв. 2/3 27 14. Над центром круглого стола, радиус которого /?=1 м, висит электрическая лампа, которую можно опускать и подымать
§ 14] максимум и минимум 255 на блоке. На какой высоте над столом должна быть лампа, чтобы освещенность на краях стола была наибольшей? Освещенность / выражается формулой , Fsln «р / — Г2- ' где F—постоянная для данного источника света величина, г—рас- стояние источника света S до освещаемой точки Л, у— угол, обра- зуемый лучом SA с освещаемой плоскостью. Указание. За независимую переменную лучше взять величину г.Величина/2получает наибольшее значение одновремен- но с /. Отв. Высота лампы над столом составляет 0,7 м. Г? 15. В данный равнобедренный треугольник вписать прямоуголь- ник с наибольшей площадью. Какую часть площади треугольника займет этот прямоугольник? Отв. Половину. 16. В конус, радиус основания которого R и высота //, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти объем этого цилиндра. 4 4 Отв. —kR~H, т. е. -g- объема конуса. 17. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вырезать из усеченного конуса с высотой И =90 см и диамет- рами оснований #1==60 см и /?2 = 30 см. Отв. 60 см. 18. Та же задача при Н = 90 см, #2 = 60 см и ^ = 50 см. Отв. 90 см. 19. Найти уравнение касательной к кривой = 2л:3—Ьх2-^ Зх—3 в точке (2, -— 1). Отв. Y~ IX— 15. Xs 1 20. В каких точках кривая У —-к—^2-t--q" наклонена к оси абсцисс под углами— 45°; 0°; 45°? Отв. 1) ^1,-^; 2) (о,1) и (2,-1); 21. Через точку (л:, у) параболы у = х2 проведена касательт ная. На каком расстоянии от начала координат она пересечет ось у! Отв. На расстоянии, равном ординате точки касания.
256 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII ГЛАВ А VII ДИФЕРЕНЦИАЛ § 1. Вводные замечания Мы указывали (§ 3 гл. VI), что задачу вычисления произ- водной от данной функции можно считать основной задачей диференциального исчисления. Это исчисление называется «диференциальным», а не «исчислением производных», потому что понятие производной теснейшим образом связано с поня- тием диференциалы, которое исторически возникло раньше понятия производной*). Ознакомление с понятием диференциала мы начнем с рас- смотрения простого арифметического примера, типичного для многих физических и технических задач. § 2. Малые приращения функция Пусть мы имеем куб с ребром х =^10,00 см2). Пусть, нагревая его, мы удлиним ребро на величину Дл: 0,01 см. Спрашивается, насколько увеличится при этом объем куба? Обозначим через у объем куба до нагревания, а через Ду искомое его приращение. Очевидно, Ду = (я -|- Дл:)3 — л:3; раскрывая скобки и упрощая, получим Ду = Зл:2 Дл; -j- Зл: Дл;2 + Дл;3. Вычисляя три слагаемых, стоящих в правой части этой фор- мулы, мы видим, что они ^далеко не равноценны; действи- !) Термин «диференциал» введен Лейбницем в 1675 г., но самое понятие систематически применялось уже Ферма, начиная с 1638 г. Ньютон ввел для этого понятия в 1656 г. термин «момент». Поня- тие производной систематически применялось Ньютоном примерно с 1670 г. Ньютон обозначил его термином «флюксия». Термин «производная» введен в магматическую литературу Лагранжем в 1797 г. 2) Запись 10,00 см и т. п. указывает, что измерение произве- дено с точностью до 0,01 см, так что истинная длина ребра может быть равна, например, 10,003 см, или 10,0018 см, или 9,995 м и т. д.
§ 3] ДИФЕРЕНЦИАЛ 257 тельно, Зл:2 Да: Зл;Дл;2 Дл:3 300-0,01 =3, 30-0,0001=0,' = 0,003, = 0,000001. Второе слагаемое в тысячу раз меньше первого, а третье — в три миллиона раз. Важнейшим слагаемым является, конечно, первое. Второе же и третье являются практически бесполез- ными. Даже если бы мы хотели учесть тысячные и миллион- ные доли кубического сантиметра, мы бы не могли положиться на верность соответствующих цифр. В самом деле, пусть более точное измерение величины Дл; дало быДл; = 0,011 см. Тогда мы имели бы Мы видим, что незначительная и на практике совершенно неизбежная ошибка в измерении Дл; изменяет цифру деся- тых долей в первом слагаемом; но тогда незачем учитывать более мелкие доли. Таким образом, среди трех слагаемых, в сумме дающих Ду, величина Зл:2Дл: при малых Дл: является наиболее важной, а при очень малых Да:— единственно важ- ной. Ее называют поэтому главной частью приращения функ- ции л:3. Эта величина За:2Дл: пропорциональна (при постоянном а:) приращению Дл:, и потому она называется линейной частью приращения функции л:8. Итак, слагаемое Зл:2Дл: есть глав- ная линейная часть приращения функции л;3. Развитие и обобщение тех замечаний, которые были сде- ланы относительно приращений функции а:3, приводят нас к понятию диференциала. В приращении Ду функции у = х9, выражаемом формулой Зл;2Дл; Зл; Дл:2 Дл:3 3,3, 0,00363, 0,000001331. § 3. Диференциал Ду = Зл:2 Да: + За: Да:2 -f Дл* мы различали две части: 1) главную линейную часть За:2 Да:, 2) часть Зл:Дл:24-Дл;3. 17 М. Я. Выгодский
258 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII При бесконечно малом Дл; первая часть имеет первый порядок малости (относительно Дл;); вторая часть — более высокий (второй). Коэфициент Зх2 при Дл; в первой части не зависит от Дл:. На основании теоремы § 12 гл. V мы можем, отбросив вторую часть, имеющую высший порядок малости, написать Ду =^= Зх2 Дл;, где ^ знак эквивалентности. На основании теоремы § 11 "гл. V мы можем при отыска- нии предела lime> т. е. производной от функции л;3, заменить Ду эквивалентной ей величиной 3#2Дл\ Тогда имеем: Dx*= lim 3_f!_^f= lim 3*2==3л*. д*->о ах Д*->0 Таким образом, коэфициент Зл;2 при Дл; есть не что иное, как производная от л:3. Поэтому, зная главную линейную часть За:2 Дл:, мы тотчас же находим производную Зх2, и обратно: зная производную Зл:2, мы, умножив ее на Дл:, найдем главную линейную часть. Главная линейная часть прира- щения функции иначе называется диференциалом (от слова differentia — разность). То, что сказано здесь относительно функции л:3, можно распространить на все те функции, которые имеют практи- ческое значение. Приращение функции оказывается возможным расчленить на две части: одну пропорциональную Дл: [в част- ных случаях1) она может оказаться равной нулю] и другую — высшего порядка малости относительно Дл; (большей частью второго порядка). Первая часть называется главной линейной частью приращения или диференциалом функции. Определение. Если приращение Ду функции у рас- членено на два слагаемых Ду = А Длт + а, (1) где А не зависит от Дл:, а а при Дл;—»-0 есть бесконечно !) Когда производная равна нулю
ДИФЕРЕНЦИАЛ 259 малая величина более высокого порядка, чем Дл:, /я. е. Hm £- = 0, (2) то Л Дл: называется главной линейной частью приращения или диференциалом функции у. Из этого определения вытекает следующее важное пред- ложение, частный случай которого мы рассматривали в § 3. Теорема 1. Коэфициент пропорциональности А в ди- ференциале функции равен производной этой функции. Доказательство. По определению производной, д*->о^-* Д*->0 ' Так как А не зависит от Дл:, то lim А = А. Кроме того, д*-+о согласно (2) lim -2- = 0. Поэтому Д*-+0 Ах Dxy = A. Эту теорему можно сформулировать еще так: Диференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента. Пример 1. Найти диференциал функции у — х2. Так как производная от х2 есть 2л:, то диференциал от х2 равен 2л: Дл:. Убедимся, что это выражение удовлетворяет определению диференциала. Мы имеем \у=(х-\-ьх)2—х2=2х ^x-\-^x2. Первое слагаемое 2л: Дл: пропорционально Дл:; второе Дл:2 при Дл:—*0 есть бесконечно малая высшего (второго) по- рядка. Таким образом, 2л: Дл: есть, действительно, диферен- циал функции х2. Обратим внимание на то, что в этом примере величина а [т. е. (Дл:)2] не зависит от х. Это—исключительный случай, имеющий место только для функций вида у = ах2 -\-bx-\-c. Пример 2. Найти диференциал функции у = ^ . Предположим, что мы еще не знаем производной этой функции. Выразим by через Дл:: л 1 \_ Дл: х-\-Ьх х ~ х{х+Ьх)ш { } 17*
260 диференциал [гл. VII х*' а_"х*(х+Ьх)' Выражение А Ах = — ~ есть диференциал функции ~. Из определения диференциала функции вытекает также следующее предложение, играющее важную роль для инте- грального исчисления. Теорема 2« Если производная некоторой функции не равна нулю, то диференциал и приращение ее при При. малом Дл: знаменатель будет мало отличаться от х*. Естественно предположить, что диференциал равен —-^-. Чтобы проверить это предположение, обозначим через а разность между Ду и этой величиной: «=л.у+з£. (*) Если а окажется бесконечно малой высшего порядка, то наше предположение подтвердится, ибо из (4) следует и, значит, приращение Ау окажется расчлененным на два слагаемых, из которых первое пропорционально Дл;, а второе — бесконечно малая величина высшего порядка. Имеем: А \Ьх Дл: , Дл: Приведя дроби правой части к общему знаменателю, полу- чаем _ (Дл:)2 а — х*(х+Ьх)9 и уже видно, что величина а есть бесконечно малая второго порядка; впрочем это и доказывается моментально: ,. а Дл: л Jim -г— = lim —.—г—ч = 0. Итак, мы представили приращение Ду в виде х**х*(х.+ Ьх)' Здесь 1 (Дл:)2
ВАЖНЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 261 Да:—*0 суть эквивалентные бесконечно малые величины, т. е. Ду ^ Л Дл:. (5) Доказательство. Из формулы (1) получаем —у — 1 _1_ 1 а /А\ Л Д лг ' JG' W откуда lim •^- = 1 4- i- lim А или, принимая во внимание формулу (2), Это и доказывает формулу (5) (см. определение § И гл. V). Замечание. Если производная А равна нулю, то и диференциал А Дл: равен нулю. Поэтому уравнение (1) нельзя теперь делить почленно на А Да: и доказательство теряет силу. Теряет силу и сама теорема 2, ибо диференциал А Да: равен теперь нулю, тогда как приращение Ау функции у 1- ЛДлг «. О л может отличаться от нуля, так что hm -^- = lim т^=0 и, следовательно, не равен единице. § 4. Важные частные случаи Как мы видели, диференциал, вообще говоря, не равен приращению функции, но составляет лишь его (главную) часть. Однако, возможны случаи, когда диференциал и при- ращение тождественны. Это будет тогда (и только тогда), когда функция у линейна, т. е. когда у = ах -(- Ьу где а и b — постоянные величины. Действительно, в этом случае by = [а (х + Да:) + b] — [ах -f b] = а Да:; (1) но и диференциал функции ах-\-Ь также равен а Да:, ибо а есть производная этой функции, а диференциал равен произ- ведению производной на Да: (теорема 1 § 3). Итак, мы получаем следующую теорему:
162 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII 1) Это можно доказать и непосредственно. Формулу (1) можно записать в виде Ау = а Длг + 0. Первое слагаемое пропорционально Ах, второе слагаемое а = 0 удовлетворяет условию lim £■ = 0; поэтому а Ах есть диференциал функции ах-\-Ь. Величину 0 можно, как мы видим, считать бесконечно малой высшего (бесконечно большого) порядка. Теорема 3. Диференциал линейной функции равен приращению этой функции1). В частности, если а—\ и £ = 0, то функция ах-\-Ь равна независимому переменному: у = х, и мы получаем следующее важное предложение: Теорема 4. Приращение независимого переменного совпадает с его диференциалом. Теорема 5. Диференциал функции хп равен пхп~хАх. Действительно, Dxn=nxn'1, и по теореме 1 § 3 диференциал функции хп есть Dxn Ах = пх71"1 Ах. Теорема 6. Диференциал постоянной величины равен нулю. Это вытекает из того, что производная постоянной вели- чины равна нулю. § 5. Обозначение диференциала; предмет диференциал ь-> ного исчисления Диференциал переменной величины обозначается буквой d, :тавящейся перед обозначением переменной. Например, dy :сть диференциал величины у, dx — диференциал величины х> df (г) — диференциал функции f(z) и т. д. Теоремы 1 и 2 § 3 в этих обозначениях запишутся так: Теорема 1. df(x) = Df(x) Ах. Теорема 2. df(x)^Af(x) (Df(x) =^=0). Теоремы § 4 примут вид: Теорема 3. d (ах -f- Ь) = Д (ах -\- Ь).
§ 5] ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛА 263 Теорема 4. dx = Ax. Теорема 5. d(хп) = пхп~*Ах. Теорема 6. da — §. К ним можно добавить следующие очевидные предло- жения: Теорема 7. d(u-\-v — w) = du-\~dv— dw} т. е. диференциал алгебраической суммы равен алгебраиче- ской сумме диференциалов. Теорема 8. d[af(x)] = a df(x), т. е. постоянный сомножитель выносится за знак дифе- ренциала. Примеры. 1) d(x2) = 2x Ах. 2) d(x*) = 4x* Ах. 3) d(2x* — Зх+ 12) = (6*2 — 3)Дл\ 4) d 2х = 2 Ах. 5) dV2=0. До сих пор мы предполагали, что х есть независимое переменное. Спрашивается, останутся ли вышенаписамные формулы, например формула dx2 = 2х Ах, (1) верными, если х будет не независимой переменной, а функ- цией, например, если х = Р, (2) где t—независимая переменная. Нетрудно видеть, что нет. Действительно, когда вели- чина х2 выразится через левая часть формулы (1) примет вид dt*. В правой части величина х примет вид t2, а для Ах формула (2) даст Ax = (t-\- Д*)2 _ t2 = 2t At + (At)2. Но ясно, что dt4^2P [2t At-\-{\t)*], ибо правая часть не пропорциональна At Итак, формула dx2 = 2л: Дл: не верна, если х не есть независимая переменная. В противоположность этому формула dx2 = 2л: dx (3)
264 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII верна и тогда, когда х есть независимая переменная, и тогда, когда х какая угодно функция любой незави- симой переменной. В самом деле, если х есть независимая переменная, то формула (3) совпадает с формулой (1), ибо тогда dx = Ax (теорема 4 § 4). Пусть теперь х есть функция аргумента ty например, x = t\ (4) Тогда dx = 2t At. Левая часть формулы (3) принимает вид dt4, а правая — вид 2^*2* At = 4tB At, и формула (3) принимает вид dt* = At*At, что, как известно (теорема 5 § 5), верно. Предлагаем читателю проверить правильность формулы (3) при x = t3, x = t* и т. д., а также проверить правильность формул dx3 = Зх2 dx, dx4 = 4*3 dx для различных случаев, когда х есть зависимая переменная. Все эти примеры подтвердят правильность следующей теоремы: Теорема. Если в выражении диференциала некоторой функции через приращение независимого переменного заме- нить Ах на dxt то полученная формул! станет верной и тогда, когда х будет зависимой переменной. ; Доказательство. Пусть формула df (х) — Л Ах (5) справедлива, когда х есть независимая переменная. Докажем, что формула df (х) = A dx, (6) которая в случае, когда х — независимая переменная, совпа- дает с (5), останется верной и в том случае, когда х есть функция какого-нибудь аргумента /. Для этого нужно до- казать: 1) что величина A dx пропорциональна At и 2) что она отличается от Д/(л:) на бесконечно малую высшего порядка.
§5] ОБОЗНАЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛА 265 Первое вытекает из того, что dx пропорциональна At; значит, и A dx пропорционально At. Второе вытекает из того, что dx отличается от Дл: на бесконечно малую высшего порядка; значит, и A dx отличается от А Ах на бесконечно малую высшего порядка; но Л Дл: в свою очередь отличается от Af(x) на бесконечно малую выс- шего порядка, ибо это есть второе из тех двух условий, которые составляют содержание формулы (5)*). Таким образом, положения 1) и 2) доказаны; иными сло- вами, A dx есть диференциал функции / (л:), и формула (6) верна, безразлично, является ли х независимым или нет. В силу этой замечательной теоремы формулы, содержащие диференциалы, приобретают большую общность. Такой общно- стью не обладают ни те формулы, в которые входят прира- щения, ни те формулы, которые содержат символы производ- ных. Потому та часть исчисления бесконечно малых, которой мы занимаемся, не только из исторических соображений, но и по существу может по справедливости именоваться дифе- ренциальным исчислением. Задачу диференциального исчис- ления можно определить наиболее общим образом так: Диференциальное исчисление ставит своей задачей по данному соотношению между переменными величинами находить соотношение между их диференциалами. Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 1. Зл:2. Отв. 6х dx. 2. Зл:2 — 0,6. _ Отв. 6xdx. _ 3. 16лг* — Зл'З + У2х — я. Отв. (64лгЗ — 9лг2 -f У2 ) dx. 4. ах*+±. Отв.{2ах-^)с 5. 1/х~. Отв. \dx X*} dx , л— . Ь ~ a dx Ь dx а У х -f- . Отв. Ух' ' 2Ух 2Ух*' J) Это второе условие совершенно не затрагивается тем, что х вместо независимого переменного стало зависимым. Напротив, пер- вое условие требует, чтобы диференциал был пропорционален приращению независимого переменного, и потому нару- шается, как только х перестает быть независимым переменным.
266 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII 7- 2 + 3 * • 8. а(лг + $). 9. (л; — д)2. 10. /илг2(длг4"^)- 11. Ь(а-\-х) — аЬ. 12. ^(д + лг) — блг. Отв. 1 Owe. дл?л:. Отв. 2(х — a) dx. Отв. тх (Ъах + 2Ь) dx. Отв. Ь dx. Отв. О сГлг = 0. 2x^dx. § 6. Геометрическое и механическое истолкование диференциала Пусть функция y=f(x) графически изображена кривою PQ (черт. 107). Возьмем на PQ точку М с координатами х~ОА, у=АМ. Дадим х приращение Ax = AB = MN. Если считать х независимой переменной, то dx = Ax = AB = MN. Приращение ординаты будет Ду=М?, а диференциал орди- наты равен dy = Dxy-dx = т. е. он изобразится при- ращением ординаты касательной в точке М. Разность между Ду и dy изображается отрезком 77?. При бесконечно малом dx этот отрезок имеет высший порядок малости, что станет очевидным, если представить чем на черт, 107, близости Черт. 107. себе точку R в еще ббльшей, к точке М. Аналогично можно истолковать диференциал механически. Если s есть путь, пройденный телом за время то Д^ есть не что иное, как путь, пройденный за время Д£ величина
ВЫРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЧЕРЕЗ ДИФЕРЕНЦИАЛЫ 267 же ds равна Dfi*At, а так как Dts есть скорость тела в момент t, то ds есть не что иное, как путь, который тело прошло бы за время At = dt, если бы, начиная с момента оно сохраняло неизменной достигнутую к этому моменту скорость. При бесконечно малом dt этот вообра- жаемый путь отличается от истинного на бесконечно малую величину высшего порядка. Задачи 1. Показать геометрически и проверить вычислением, что дифе- ренциал площади круга переменного радиуса равен произведению длины окружности на диференциал радиуса. Иначе говоря, длина окружности есть производная площади круга по радиусу. Указание. Рассмотреть две концентрические окружности, образующие узкое круговое кольцо, и представить это кольцо вы- тянутым по прямой линии; главную часть площади кольца можно представить в виде прямоугольника. 2. Показать геометрически и проверить вычислением, что про- изводная объема шара по радиусу есть поверхность шара (см. пре- дыдущую задачу). 3. Найти производную объема цилиндра 1) по высоте при по- стоянном радиусе основания, 2) по радиусу основания при постоян- ной высоте. Истолковать результат геометрически. Отв. 1) Площадь основания, 2) боковая поверхность. § 7. Выражение производной через диференциалы Согласно теореме 1 § 3, dy = Dxy Ах (х — независимая переменная). Заменив Дл: на dxy получаем формулу dy = Dxydx, справедливую и тогда, когда х есть зависимая переменная (теорема § 5). Из этой формулы имеем иначе говоря, ,. Ду dy ах->о Д* dx' т. е. производная функция от переменной у по аргументу х равна частному от деления диференциала переменной у на диференциал переменной х.
268 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII В этом частном можно считать независимой переменной любую величину, в частности х9 или у, или некоторую вели- чину ty от которой зависят обе переменные ху у. Уже одно это обстоятельство заставляет нас предпочесть всем прежде dy указанным обозначениям производной обозначение ^ или ему подобные, как-то: dz [ ,. Дг _ - jim Дл:-»0 d(x*) dz ( ,. Дг\ -г- (производная z по ху т. е. lim т—), ах \ длг->оадг^ (производная х2 по jc, т. е. 2х)у dx (производная функции / (t) по t)y и т. д. Это обозначение имеет и ряд других преимуществ; так, например, оно очень удобно тем, что предел частного ^lim^~^ изображает в виде частного (jf^)* Это особенно важно в технических применениях, где малые приращения зачастую отождествляются с диференциалами, В ближайших параграфах мы познакомимся с рядом по- лезных применений диференциалов и, в частности, убедимся в преимуществах введенного сейчас выражения производной через диференциалы. § 8. Параметрические уравнения Пример 1. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x=2t2, (1) У = *3 (2) (парабола Нейля; черт. 108). Требуется найти угловой ко- эфициент и уравнение касательной в точке М (2, 1). Угловой коэфициент выражается производной *~ ; вычис- ляем ее, пользуясь параметром t как независимой переменной dx = Udt, dy = 3t2dtt откуда d_y_3 dx~ 4 Гв
§8] ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 269 Так как точка Ж (2,1) соответствует значению / = 1, то угло- 3 вой коэфициент касательной в этой точке равен -^-. Уравне- ние касательной есть 4 У—\=^(Х—2). Мы могли бы в данном случае найти величину производной ^ и не прибегая к параметрическому выражению перемен- ных х, у. Из формул (1) и (2) мы нашли бы Отсюда dx' и при х=2 4v2 ' т = \dxj х-2 Черт. 108. упрощает нахожде- Однако, во множестве случаев пара- метрическое выражение чрезвычайно ние производной, а иной раз без параметрического выраже- ния и совсем нельзя обойтись. Пример 2. Найти производную от у по jc, если зави- симость между этими переменными задана параметрически так: х= \ —t + P, y=2—±-t — 4P. В этом случае переменная у представилась бы через х с по- мощью . сложного выражения, содержащего радикалы; это выражение мы еще не умеем диференцировать; но если бы и умели, то нужно было бы предпочесть такой простой путь: dx = — (\—2t)dt, dy = — (y + 8*) dt, откуда dy l-f 16* dx — 2 — 4t
270 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII Упражнения Найти угловой коэфициент касательной: 1. К кривой * = l-ff3, 3/ = 1+*2 в точке (2, 2). 2. К кривой x=zt* ~{-t, y = 2V~t -±t* в точке (2,3). Отв.±. 3. К кривой х = а-\-Ы-\- с№, у = ах + bxt в точке t = m. Ъ-\-2ст § 9. Диференцирование неявных функций Пример 1. Пусть нужно найти угловой коэфициент и уравнение касательной к окружности *a+j* = /?». (1) Для вычисления производной ~ можно было бы выразить у через х, т. е. вместо неявной функции (1) написать явную y = ±VR2 — *2 . (2) В следующем параграфе мы покажем, как найти отсюда dy или , но здесь проще всего иметь дело прямо с неявной формой задания функциональной зависимости. Именно, беря диференциалы от обеих частей равенства (1), получим 2х dx-\-2ydy=0. Отсюда dy х ,оч Это выражение углового коэфициента сразу обнаруживает основное свойстзо касательной к окружности. Именно, так как ^ есть угловой коэфициент касательной mn(черт. 109), a y есть угловой коэфициент радиуса ОД, то уравнение (3) выражает, что эти угловые коэфйциенты в произведении дают—1, или, иными словами, mnj^oa.
§ 9] ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 271 f4) где X, У текущие координаты касательной, а х, у коорди- наты точки касания. Уравнение (4) можно преобразовать к виду Хх-\- Yy = а так как, согласно уравнению (1), х2 -|- у2 = /?2, то получаем Xx-\-Yy = R2. (5) В этом виде уравнение касательной выглядит проще всего. Черт. 109. Пример 2. Найти значение производной при х=\, если у2 — Ъу-\-2 = х—\. Диференцируя уравнение (6), находим: 2ydy— Ъйу— dx, (6) откуда dy _ 1 dx~2y — 3 Чтобы найти искомое значение производной, нужно сперва найти значение у при х=\. Формула (6) дает откуда В соответствии с этим У2 — Зу + 2 = 0, Уравнение касательной MN будет У~У=-у(Х-х),
272 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII 2+3' д-2 у2 3. Найти уравнение касательной к эллипсу ^ ~Н"^2 = 1 в точке Указание. Такой вид уравнение касательной примет после преобразования, сходного с примененным в примере 1 этого пара- графа. х2 у2 4. Найти уравнение касательной к гиперболе ^ — 5. Найти производную j~ из уравнения у2 = х, не решая этого уравнения относительно у; сравнить результат с тем, который по- лучится из уравнения у — У^х. dx 2у 6. Найти производные ^ и ^ из уравнения х* — 6лг+>/* — — 23/2 = 0. Сравнить результаты. _ dy dx Отв. -г- и - взаимно обратные величины. dx dy r § 10. Диференцирование функции от функции (диферен- цирование через вспомогательную функцию) i_ Пример 1. Пусть y = VR} — x2 = (R* — х2)29 Найти ^ (ср«, пример 1 § 9). Формулу производной степенной функции Dzn = nzn~l здесь применить нельзя, так как в этой формуле суще- ственно, чтобы z было независимым переменным. Формулу же Упражнения Найти выражения производной если х и у связаны со- отношением: х2 1. лг3 + у* = а*. Отв. . 2. л? — 2лг+3/2 + 43/ + 6 = 0. О/ив. 1 —
§ 10] диференцирование функции от функции 273 диференциала степенной функции dzn — nzn~ldz применить можно, так как она (см. § 5) верна и тогда, когда z есть зависимое переменное. В нашем случае роль z играет R2— х2, и мы имеем dy=d(R2—x2y = ±(R2 — х2) 2 d(R2— х2), откуда, далее, = 1 (#2 _ х2)~ 2"— 2х dx и, наконец, dy х dx~~~~ Yr- — а-2 ' Так как ]//?2—х2 = у, то мы имеем также dy х ~dx У ' В этом виде результат был получен в § 9. В данном случае способ § 9 проще. В других случаях выгоднее поступать так, как мы делали здесь, т. е. дифе- ренцировать функцию от функции. Функцией от функции (или сложной функцией) назы- вается такая переменная величина уу которая поставлена в за- висимость от (вспомогательной) переменной t> в свою очередь зависящей от переменной х. В общем виде можно записать такую зависимость у от х следующим образом: y=f(t)y t=y{x). В рассмотренном примере было y^=t\ t = R2 — x\ Нетрудно доказать такую общую теорему: производная сложной функции у по переменной х равна производной переменной у по вспомогательной переменной t, умножен- нрй на производную вспомогащельной. переменной t по пе- ременной х* 18 М. Я. Выгодский
274 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII dt 2 2 VR2 — x2 dx так что dy x dx V R2 x2 Производные сложных функций можно находить как с по- мощью этой теоремы, так и с помощью приема, который мы применяли в примере 1, т. е. предварительно вычислять ди- ференциал сложной функции, а затем делить его на дифе- ренциал независимой переменной. В сущности оба приема тождественны и отличаются лишь порядком действий. Пример 2. Вычислить производную от функции j/ = (3 —2*)3 Можно бы, в правой части: у = 27 — 54* + 36jc2 — 8л:3, откуда ^ = —54 + 72* — 24*2. Однако, проще рассматривать у как функцию от функции (принимая за вспомогательную переменную /=3 — 2х)л Мы имеем % = 3(3-2*)*, £ = -2; Можно было бы найти ~£ непосредственно, раскрыв скобки Действительно, упомянутые здесь производные соответ- ственно равны dy dy dt dx' It ' dx и очевидно, что первая величина есть произведение двух по- следних: dy_ dy (tt_ dx dt * dx * В нашем примере мы имели dy _\f\_ 1
ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ 275 значит, %= -6(3-2*)*. При небольшом навыке отпадает необходимость вводить особое обозначение для вспомогательной функции, и все вы- числение выглядит так: d (3 — 2*)3 dx = 3(3 — 2*)2 2 = — 6 (3 — 2х) о it d /о о \я d(S — 2дг)3 Замечание. Часто пишут — (3 — 2л:)3вместо ——- *> d ,. . df(х) d и вообще \х) вместо ^ . На символ — можно смо- треть как на символ производной функции, заменяющий обо- d значение D в выражении Df(x). Ясно, что — не означает де- ления d на dx, — это было бы бессмысленно. Делится на dx величина df{x). Пример 3. Найти производную от -:—}. 2. Вводим \Х -j- 4* ) вспомогательную переменную, например t = x-\-4x2. d * - 2 d (х 1 1*1- ^+8*) 4- 4*2)2 " + 4лг2)3 ^Л П~ ^ J ~ (д; + 4*2)3 в Упражнения и задачи Найти диференциалы следующих функций: 1. (4*3 — 0,6лг)3. Отв. 3 (4*з _ 0,6*)2 (12*2 — q,6) dx. ' (13дг2 +-8лг)2 • (13*2 +8лг)3 3. ^*Т+т23г2. отв. . 2>^*з+ 12*2 4. Vtr=r\. Отв. Отв. 2tm 'Vl+Z*' ' т/"(1 + г2)3- 6.V1 + ktt5*7. отв. — .^== ^ vl + 4* vl-f-kl- [ + 4* Найти производные следующих функций: 7в (я_ ^2)2. Отв. — 4*(а —*2). 8.1^6*. о/яв. j/"_jL . 18*
276 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII. (l"+^ 12. ( ^ \2. 0/яв. Д2 Кл:(1 + Кл-)3 13. — (а — л:)2. Owe. , * ч9 + 2 (а - дг). а — х ' (а — х)2'у ' 14. Найти наименьшее значение функции 5 Ух2 -f 100— 3jc в промежутке между л* = 5 и х = 10. Отв. 40. 15. Та же задача для промежутка между лг=10 и л: — 20. Отв. 501^2 — 30. 16. Гальванический элемент с электродвижущей силой £=1,1 V и внутренним сопротивлением г = 0,5 Й нужно включить в цепь так, чтобы количество тепла Q, выделяющегося во внешней цепи, было наибольшим. Каково должно быть внешнее сопротивление R цепи? Указание. По закону Джоуля Q = I2R, где /— сила тока в цепи (/ в амперах; Q в джоулях). По закону Ома / = ^ -}-/?• Отв. 0,5 Q. 17. От пункта М (черт. 110), отстоящего от железнодорожной линии АВ на AfC = 30 км, нужно провести к этой линии шоссе так, чтобы провоз груза из пункта М на м станцию А обошелся возможно дешевле. К какой точке О железнодорожной линии нужно вести шоссе, если провоз тонны груза по железной дороге обходится в 4 коп. с километра, а по шоссе — 5 коп. и н 0 СО если станция А отстоит от С на 50 км! ч 110 Отв. ЛО=10 км. р ' 18. Решить предыдущую задачу предположении, что АС = ЗБ км, а остальные данные те же. Отв. Шоссе нужно вести прямо к станции А. § 11. Диференциал произведения В предыдущих параграфах мы научились диференцировать многие новые функции. Чтобы уметь диференцировать любую алгебраическую функцию, мы должны ещё овладеть дифе- ренцированием произведения и дроби. 9. YWx- Отв. |/Л. 10. Vх* + 2ах + Р . Отв. х+а Vx* + 2ax+b*' it 3 п \8х
ДИФЕРЕНЦИАЛ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 277 Пусть нужно найти диференциал произведения uv% где и и v — две какие угодно функции. Мы имеем Д (uv) = (и -f- Аи) (v -{- Av) — uv, т. е. A (uv) = и Av —|— v Аи —|— Аи Av. Чтобы из приращения образовать диференциал, нужно отбросить бесконечно малые* величины высшего порядка так, чтобы оставшаяся величина оказалась пропорциональной при- ращению независимого переменного (оно в наши формулы прямо не входит). Член AuAv есть бесконечно малая второго порядка, и его мы отбросим; величины Av и Аи отличаются от dv и da на бесконечно малые величины высшего порядка (или даже совсем не отличаются, если они линейные функции незави- симого переменного). Поэтому замена Av и Аи на dv и du равносильна отбрасыванию бесконечно малых высшего по- рядка. Таким образом, величина и dv -\- v du отличается от приращения A(uv) на бесконечно малую ве- личину высшего порядка. С другой стороны, она пропорцио- нальна приращению независимого переменного Да;, ибо диференциалы dv и du каждый в отдельности пропорцио- нальны Дл:. Ввиду этого и dv -f - v du есть диференциал uv. Мы получаем формулу: d (uv) = udv-\-v du, которую словесно можно выразить так: Теорема. Диференциал произведения двух функций равен произведению первой функции на диференциал вто- рой плюс произведение второй функции на диференциал первой. Замечание. Полученный результат совпадает с тем, кото- рый мы получили бы, если бы вместо Av, Аи сразу написали du, dv и в выражении и dv + v du -f- du dv
278 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII отбросили бесконечно малый член du dv высшего порядка. Прак- тический смысл этого упрощения выясняется на следующей ил- люстрации. Пусть и и v суть стороны прямоугольника (ABCD на черт. 111). Пусть и и v меняются со временем; время t можно принять за независимую переменную. Ве- личина Ли (CCi на черт. 111) эквивалентна диференциалу du; ^ точно так же Av (СС2 на черт. 111) эквивалентна дифе- ренциалу dv. При образовании приращения площади прямо- угольника существенную роль играют две площади, заштри- хованные на черт. 111, равные и Av и dv и v Au^zv du. Черт. 111. Что же касается прямоугольника cci£c2, то его площадь Аи Av du dv есть бесконечно малая величина второго порядка и потому при вычислении диференциала не принимается во внимание. Пример 1. Найти d[(2*2-f Зх)(*3 — 2)]. Здесь роль и и v играют 2х2-\-Зх и хъ— 2. Имеем: d [(2*2 + 3*) (*3 — 2)] = (2*2 + 3*) 3*2 dx + 4- (*3 — 2) (4* + 3) dx = (10*4 + 12*3 — 8* — 6) dx. Тот же результат получим, если сначала выполним умно- жение многочленов в квадратных скобках, а затем проди- ференцируем почленно. Это будет даже проще. Пример 2. Имеем: Найти d *2-f-l х + \ = [х + 1) d (*2 + I)-* + (*2 + 1 )~*d (х -f 1) = _ 2x(x+\)dx , dx (*2-f 2*— l)dx (*2+ 1)2 *2 + l" (*2-f-l)2 Здесь без применения теоремы о диференциале произведения обойтись трудно.
§ 13] ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ 279 Пример 2. Найти d j/^[-^ \JL х Сначала рассматриваем функцию j-^tj как вспомогатель- ную, затем применяем формулу диференциала дроби: г 1 — л: 2 г 1 +Jf 1 — * 1_ /1 — л: (1 — лг) dx + (l-\-x) dx 2 V I- 2 V \+х (1 — дг)2 После алгебраических упрощений получим dx " 1 —* (1. (1 —д;) Kl — & § 13. Производная произведения и дроби Формулы для производной произведения и дроби отли- чаются от формул §§ 11 и 12 только тем, что всюду слово «диференциал» заменяется словом «производная». § 12. Диференциал дроби Представим дробь ~ в виде v1 и и применим теорему § 11 (на частном случае это было уже проделано в при- мере 2 § 11). Получаем j и j / 1ч 1 j \ • / 1 v du udv d- = d (v~*u) = v-Чи + ad(v~*) = - . Приводя к общему знаменателю, имеем , и vdu — udv d — = г, . v vl Теорема. Диференциал дроби равен произведению знаменателя на диференциал числителя минус произведе- ние числителя на диференциал знаменателя, все деленное на квадрат знаменателя. х I \ Пример 1, (Ср. пример 2 § 11.) Найти d^24.1 . Имеем . х 4- 1 __ (л-2 + 1) dx — (л + 1) -2х dx _ 1 — 2х — х* а х*+1~ (лг2+-1)2 — (*2+1)2
280 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII d f и \ vdu — dx\v ) — Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 1. (2л:4-3) (дг24-Злг— 1). Отв. (6*2 + 18л:-\-l)dx. 2. (х* + Ах — 3) (Зл:2 + 12* + 12). Отв. 6(*-f-2)(2*2 + 8*+l)rf*. 3. (3t— 1)2 (t — 1)8. Отв. 3 (bt —3) (3f — 1) (t — 1)2 dt. 4.yVxTTl. Ome.2f±=Ldy. 5. (U — 1) V"p+t. Отв.2ц2 — u + 1 du * Зл:— 1 5 — 12л: . 6. г— . Отв. -— dx. хь *ь xl±x±\ Пта 2-2*2 x*Lx+l • 0тв- (*2-* + 1)2 **• •у 2y*Vy + l 1П ,/!+* + *» (l-*2)rf* 10- Fttfr' 0ям- (1-*+*2)У1 + *2+*4 11. {а + х)Г7Г=Гх. Отв. <«-gf)jf . 21Лг —* Производная произведения двух функций равна произ- ведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой. Для доказательства достаточно обе части равенства d(uv) = и dv-\-v du разделить на dx (х — независимое переменное). Тогда имеем: d(uv) dv , du —з—-= и -—\-v — . dx dx 1 dx Точно так же докажем, что производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя ми* нус произведение числителя на производную знаменателя, все деленное на квадрат знаменателя, т. е. du — и dv
ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ 281 х-~а (х — а)2 XX*-f-l V(x"> -|-1)3 П.*. Oms aib-t)dt 15>У^±21. о™. ^=. Найти производные следующих функций: ,6- (1+^' 0тв- TTW • (ЛГ-fl)* Л 1— 1« С* + 4Р П«й (* + 2)(ЛГ + 4) 19. . Oms. (fl-*)2(4*-fl) а — 2л: (л — 2л:)2 л: л л2—4л2 20. — • О/яв. V (л2 + x2f ' YW^Txy* /х2 _ 1 2л: 22. , . Отв [a* -f*V л: 1 23. Найти наибольшее значение функции Х^ЦГ[ • Отв'~Т* ' х24- 5 24. Найти максимумы и минимумы функции XJ_2 • Отв. При л* = — 5 минимум (—10), при х = 1 максимум (4*2). 25. Найти наибольшее значение функции xV\ — х в проме- жутке от л — 0 до х ~\. Отв, же задач Отв, '6 V 3 • 26. Та же задача в промежутке от х = 0 до дг = ~ #
282 ДИФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. VII § 14. Диференциал в приближенных вычислениях Выражение диференциала функции через диференциал ар- гумента можно рассматривать как приближенное выражение малого изменения этой функции. Поэтому в тех вопросах, где нас интересует лишь приближенное, а не точное значение некоторого изменения, пользование диференциальным исчис- лением позволяет очень быстро получить нужный результат. Пример 1. Требуется извлечь приближенно квадратный корень из числа 3 654. Если взять вместо 3 654 число 3 600, получим ^3600 = 60. Таким образом, для функций у — У^х мы знаем ее значение при х = 3 600, а нужно найти значение при л: = 3 654. Речь идет, следовательно, об определении Ну при Дл: = 54. Имеем Значит, )/3654 = 60 -f Ну ^ 60,45. Здесь все знаки верные. Однако, примененный нами прием еще не гарантирует это. Слабая его сторона состоит вообще в том, что мы не знаем, какова степень точности получен- ного приближения. Более глубокое развитие методов диференциального ис- числения дает возможность восполнить этот недостаток, но здесь мы не можем заняться этим вопросом. Пример 2. Найти простое приближенное выражение величины j3/1 -f- а при малом а. _ Введя в рассмотрение функцию у= у/х и взяв х=1, мы имеем у = 1. Переходя от л: = 1 к л; = 1 а, мы имеем dx = a. Следовательно, , 1 -4 . 1,2 1 dy=Y х 3 dx — ^Л — j-ol= jot. Поэтому
§ 15] ПОГРЕШНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ 283 Так же докажем, что и ЧТО 1 + па. Дефект этих результатов тот же, что и в примере 1. § 15. Погрешность произведения и дроби Формулы диференциального исчисления можно с успехом применять и для оценки погрешности, вытекающей из не- большой неточности исходных данных. Именно, можно рас- сматривать погрешность как малое изменение соответ- ствующей величины. Тогда мы приходим к задаче, сходной с разобранными в предыдущем параграфе. Однако, в отли- чие от упомянутых задач, как данные, так и искомые по- грешности нам обычно неизвестны, и речь идет не о них самих, а о наибольших значениях их абсолют- ных величин. Какие видоизменения от этого получаются, будет видно из нижеприводимых примеров. Пример 1. При измерении прямоугольного поля нашли, что длина его я = 80 м, а ширина v = 3\ м. Ошибка при измерении длины не превышала 0,3 м, а при измерении шири- ны 0,1 м. В каких пределах лежит ошибка, которую мы совер- шаем, принимая площадь прямоугольника равной 80 X^l = = 2 480 ж2? Величина 0,3 м называется предельной абсолютной по- грешностью величины и; точно так же 0,1 есть предельная абсолютная погрешность величины v. Это значит, что а так как мы должны учесть возможность наихудшего вари- анта, то полагаем |*/я| = 0,3, |*/г/| = 0,1. Теперь применим формулу диференциала произведения В наихудших условиях (|с?я| = 0,3, \dv\ = 0,\) имеем I я» К о,з, |*>|<0,1, d (uv) = udv -\-v du. (1) £/(^) = 31-0,3-(-80.0,1 = 17,3 м*.
284 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. vir Такова наибольшая абсолютная величина погрешности, ко- торую мы можем совершить, принимая площадь участка рав- ной 2 480 м2. Округляя ее (в сторону увеличения), получаем в качестве предельной абсолютной погрешности для площа- ди 20 м2. Сама же площадь будет не более 2 480 -[-20 = = 2 500 м2 и не менее 2 480 — 20 = 2 460 м2. Часто важно знать предельную относительную погреш- ность результата, т. е. отношение предельной абсолютной погрешности к значению вычисляемой величины. В нашем случае предельная относительная погрешность выразится ве- личиной^^. Деля обе части формулы (1) на uv, получаем d (uv) du_ i dv uv ti ~\ V В наихудших условиях имеем I'-SH-lfl+lfhu+fc-w"- Итак, относительная погрешность не превышает 0,7°/0. Обобщая наш пример, получаем следующее предложение: Теорема 1. Предельная относительная погрешность про- изведения равна сумме предельных относительных погреш- ностей сомножителей. Найдем теперь предельную абсолютную и относительную и погрешность величины у=—. Формула диференциала дроби дает , и v du — и dv а • v ~ V2 В наихудших условиях члены vdu и и dv могут иметь раз- личные знаки, и тогда | v du — и dv\ = \v du\-\-\u dv\; поэтому для предельной абсолютной погрешности имеем фор- мулу \dy\— \^du\+\udv\^ Предельная относительная погрешность будет dy\ J du I , I dv I
§ 15] ПОГРЕШНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ 285 1 +а V\ 4- «2 2 9. . 1 . . Отв. 1 + а2. 13. f-^- . Отв. 1 + 2а. 1 — а2 1 1 — а • ,0-(i-=^r ош.. l+2a. И. 0*в. 1 + а 15. Одна сторона прямоугольника а ==10 см, другая 6 = 24 см. Найти приближенную величину изменения площади прямоугольника при удлинении а на 2 мм и укорочении 6 на 3 мм. Отв. Площадь увеличится на 1,8 см2. 16. В условиях предыдущей задачи найти приближенную вели- чину изменения диагонали прямоугольника. Отв. Диагональ укоротится на 0,2 см. х 17. Найти приближенное значение выражения ■ при у х2 + 9 х = 4 2. Отв. 0,8144. Теорема 2. Предельная относительная погрешность дроби равна сумме предельных относительных погрешно- стей числителя и знаменателя. Пример 2. Для нахождения удельного веса тела опре- делен его вес р = 20 г и вес вытесненной им воды v = 40 г. Предельная абсолютная погрешность для р равна 0,5 г, а для v равна 1 г. Найти предельную относительную погреш- ность удельного веса. Удельный вес у равен —. Имеем ifi=ifi+m=i+«=°.°5- Упражнения и задачи Найти приближенные значения величин: 1. УТЩ: Отв. 1,003. 4.-^. Отв. 0,996. 2. */ТЩ. Отв. 1,002. 5. у^-. Отв. 0,992. 3.1,0073. Отв. 1,021. 6- б"§9 ' 0тб' 1,01< При малых а найти простые приближенные выражения величин: 7. -=-i—. Отв. 1-1-а. 11. . 1 О/ив. 1—4. 1 —а У1+а 2 1 12 8. -г-т—. О/ив. 1 — о. 12. 1 . . Owe. ?L .
286 ДИФЕРЕНЦИАЛ [гл. VII /х2 г _L 1 i -7—г X* -f - X 4- 1 при х = 0,3. Отв. 0,7. 19. Сторона квадрата, измеренная с точностью до 0,1 му ока- залась равной 4,6 м. Каковы предельные погрешности, абсолютная и относительная, для площади квадрата? Отв. 0^92 л/2; 4,4% (округленно). 20. Та же. задача для объема куба со стороной 4,6 м. Отв. 6,35 л/3; 6,4% (округленно). 21. Окружность основания и высота цилиндра измерены с точ- ностью до 0,05 м каждая. Результаты измерения: 12,3 м и 7,5 м. В каких пределах заключена величина боковой поверхности ци- линдра? Отв. Между 91,2 и 93,2 м*. 22. Величина высоты h и радиуса основания г цилиндра измерены с точностью до 1% каждая. Какова предельная отно- сительная погрешность для 1) боковой поверхности, 2) объема цилиндра. Отв. 1) 20/0, 2) 30/0. 23. Предельные абсолютные погрешности при измерении диа- метра основания конуса D и его высота h равны соответственно 3D и Ыг (символ 8 означает предельную погрешность; подобно сим- волу диференциала, он не есть множитель). Как выражаются пре- дельные погрешности, относительная и абсолютная, для объема конуса? Отв. \)^nD(2h№ + Dbh), 2)?^-+^-. 24. Длина пути s, пройденного телом, измерена с точностью до 0,1%, а протекший промежуток времени t измерен с точностью до 0,3%. С какой точностью определится скорость по формуле •=7» Отв. С точностью до 0,4%. 25. Период колебания Т маятника (при малых амплитудах) вы- ражается формулой Г = 2гс у/^^У — длина маятника, g—ускоре- ние силы тяжести). Какова предельная относительная погрешность для периода, если величина g известна с точностью до 0Д0/0, а ве- личина / с точностью до 0,4%? Отв. 0,25%. 26. На практике формулой Т = 2к |/^" (см- предыдущую за- дачу) пользуются для определения ускорения силы тяжести в дан- ном пункте. Величины Т и / находятся измерением. Какова пре- дельная абсолютная погрешность для g если оГ и 5/ суть предель- ные абсолютные погрешности величин Т и /? Отв. Щ. (Г $1 + 21ЗГ).
ДИФЕРЕНЦИАЛ СИНУСА 287 ГЛАВА VIII ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ § 1. Вводные замечания В предыдущей главе мы научились диференцировать лю- бые алгебраические функции. Но в практике часто встреча- ются и не алгебраические («трансцендентные») функции: ло- гарифмические, показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические (круговые)1). Нужно научиться диферен- цировать и их. Мы начнем с функций тригонометрических. Всюду в дальнейшем углы предполагаются выраженными в ра- диальной мере. § 2. Диференциал синуса Пусть y = sinx. Тогда Ду = sin (х dx) — sin х = — sin л: (1 — cos dx) -f- cos x sin dx. Ho 1—cos dx при dx—>0 есть бесконечно малая величина второго порядка (гл. V, § 12, пример 4); величина же sindx эквивалентна dx. Поэтому Ду ^ cos х sin dx =5= cos x dx. Последнее выражение пропорционально dx; поэтому cosxdx есть диференциал величины у: dy = cos х dx*. Другой вывод. dy .. sin (x-\-dx)— sin x ~ = lim —-———- . dx dx^Q dx *) Это — так называемые элементарные трансцендентные функ- ции. В практике они имеют наибольшее значение, и читатель уже знаком с ними из элементарной математики. Впрочем, ниже напо- минаются определения этих функций. В высшей математике изуча- ются и другие трансцендентные функции, но в кратком учебнике для них нет места.
288 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII Геометрический смысл выведенной формулы выясняется из черт. 112; радиус окруж- ности OA примем равным 1; через х обозначим длину дуги от неподвижной точки А до переменной точки М, а через у линию синуса РМ> Тогда dx = M№% dy^\y = QM'. Но дуга ММ' эквивалентна хорде ММ1 [что нетрудно доказать но что очевидно и само собой], так что Черт. 112. ЛШ' -¾ dx. В прямоугольном треугольнике MM1 Q угол MM'Q бесконечно мало разнится от £МОА = х. Поэтому из со- отношения QM' = ММ1 cos £ MM! Q получаем dy = dx cos х. Итак, d sin х = cos x dx или D sin x = cos x. !) Дуга MM' при радиусе 1 численно равна центральному углу а; хорда ММ' равна 2 sin у. 2sin-l sinf Имеем lim == lim =- = 1 (гл. V, § 10). а->0 « а->о _i 2 Отсюда dx dX4.0 dx = lim — = cos x. dx-+0 ax
§5] таблица формул; примеры 289 cos X cos* X cos*- xdx-±- sin'* x dx dx cos2 x cos2 x Итак, dtgx= df = sec2 x dx. ь cos2 x Аналогично найдем fcos.v sin *d cos*—cos*rfsin* d ctg x = d sin* sin** — sin2 x dx — cos2 x dx dx sin2* sin2* ' Итак, d ctg x = = — esc2 x dx. ь sin2 * § 5. Таблица формул; примеры Сводя вместе полученные в предыдущих параграфах фор- мулы, получаем таблицу диференциалов тригонометрических функций: d sin х = cos х dx, d cos * = — sin * dx, 19 М. Я. Выгодский § 3. Диференциал косинуса Если y = cosx, то Ну = cos (х -(- dx) — cos* = = — cos * (1 — cosa:) — sin* s'mdx — sin xdx (cm. § 2). Поэтому dy = — sin xdx. Предоставляем читателю провести другой вывод, анало- гичный второму доказательству формулы § 2. Предлагаем также указать геометрический смысл выведенной формулы. § 4. Диференциал тангенса и котангенса Применяя формулы диференциала дроби, имеем: ,, ', sin х cos х d sin x — sin x d cos x dtgx = d =
290 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII l-SHl** ^ (l-Sin*)2 ' X 1 6. sin2 -y . Ome. у sin л: d*. 7. 2 cos * sin 2* — sin лг cos 2лг Отв. 3 cos * cos 2x dx» аъх = ШТ = *"*хах, Ей соответствует таблица производных: D sin х == cos ху D cos х = — sin л:, D tg л: = sec2 jc, D ctgx = — esc2 x. Эти формулы в соединении с теоремами главы VII позволяют вычислить диференциал или производную любого тригономет- рического выражения. Пример 1. Найти диференциал функции sec*. , ,1 1 , sin л: Л* , d sec x = d = 5— d cos x = ^— = tg x sec x dx. cosx cos2* cos2* & Пример 2. Найти d sin3 2x. d sin3 2x = 3 sin2 2* d sin 2* = 3 sin2 2x cos 2л: d (2x) = = 6 sin2 2л: sin 2л dx. Здесь дважды вводится вспомогательная функция: сначала sin 2*, затем 2*. Пример 3. Найти производную функции tg2*sin*. Рассматривая эту функцию как произведение функций tg2 х и sin*, получаем: D (tg2 х sin х) = tg2 х D sin*-}-sin* ^(^^) = х о i г»а m j__o I 2 sin * tg x = tg2*cos* -\- sin*-2tg*Dtg* = tg2*cos* -j ^ ° . Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 1. sin я*. Отв. a cos ах dx. 2. cos2 *. Отв. — sin 2х dx. 3. cos (*2). Отв. — 2х sin (л:2) dx. 4. х -f- — sin 2х. Отв. 2cos2*d*. 1 + sin х _ 2 cos л* dx 5. т—1 :— . О/Ив.
§ 6] ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 291 19* 8. tg 2* + sec 2*. Отв. 2 sec 2х (sec 2х -f- ^ -ftg2*)rf*. 9. sin t — sin3 t. Отв. cos3t dt. 3 3 1 10* -g-1 — — sin t cos £ — sin3 £ cos f. Owe. sin41 dt. Найти производные следующих функций: It. tg(2* + 3). Отв. 2 sec2(2*4-3). 12. tg * — x. Отв. tg2*. 13. cos3 (*2). ' Отв.— 6* cos2 (*2) sin (*2). 14. *2sin3*. Отв. x sin2 * (2 sin * + + 3* cos *). Найти производную Dxy, если: 15. x — a (* — sin£),y = a(l — cos*)- Отв. ctg —. 16. * = cos t + t sin t,y = sin t — tcost. Ome. tg r. к 17. Найти наклон кривой * = 2 sin * + 3 cos * в точке * = —. Отв. tg ф == У"3 —-|-. 18. Груз, подвешенный на пружине, оттянут вниз на расстоя- ние Л, затем отпущен. Тогда он начинает колебаться, причем отклонение его s от положения равновесия, если пренебречь тре- 2id нием, выражается формулой s = A sin -^-, где Т (период колеба- ния) есть постоянная величина, зависящая от массы груза и от качества пружины. Найти абсолютную величину скорости груза в момент прохо- ждения его через положение равновесия. Отв. • 19. В полусферическую чашу диаметра d положена игла дли- ны d так, что одним из своих концов она опирается на внутрен- нюю поверхность чаши, а вдоль своего стержня скользит по краю чаши. Опускаясь, игла займет положение равновесия, когда сере- дина ее примет наиболее низкое положение. Найти угол кото- рый в атом положении игла образует с горизонтом. Отв. cos <р = 1+]^33 , <р % 32,5°. о § 6. Обратные тригонометрические функции Напомним основные определения, известные из тригоно- метрии. Символ Arcsin * означает угол, синус которого равен *. Например, Arcsin у есть угол, синус которого равен у. Этот
292 ДИФЕРБНЦНРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII угол имеет два существенно различных значения: ~г и -^- тт. Величина Arcsin ^— имеет два существенно различных л 5я значения: g- и —-^-. То же верно для Arcsin* при любом *. То значение функции Arcsin *, которое заключено между — у и-j-y, называется главным; в наших примерах ~ и — ~ являются главными значениями Arcsin ~ и Arcsin ^ . Главное значение функции Arcsin* обозначается arcsin*. Кроме упомянутых двух значений, функция Arcsin* имеет бесчисленное множество значений, получаемых из них при- бавлением или отнятием целого числа полных оборотов (т. е. углов 2тт), так что, например, , J ! + 2*я, Arcsin ту = \ с (k — любое целое число: положительное, отрицательное или 0). В дальнейшем мы не рассматриваем этих значений, считая тождественными все углы, отличающиеся друг от друга на целое число оборотов. , Аналогично определяется функция Arccos*; например, Arccos у имеет два существенно различных значения , я л л / 1 \ 2л 2л -+--3 и — у. Arccos^—yj имеет значения-^- и ^ . Глав- ным значением функции Arccos* называется то ее значение, которое заключено между 0 и тг; оно обозначается arccos*. Таким образом, 1 л arccos "2=-3, / 1 \ 2л arccos Главное значение функции Arctg* определяется так же, как для Arcsin*, т. е. оно заключено между ~
§7] ДИФЕРЕНЦИАЛ АРКСИНУСА 293 и + у. Главное значение функции Arcctg х--, определяется так же, как и для Arccos *, т, е. оно заключено между О и тт. Например, arctgj/3"= у, arct&( —УТ) = - i , arcctg (- 1) = ^ . Функции-arcsin л;, arccos* и т. д. называются обратными тригонометрическими или, иначе, круговыми функциями. В самой тригонометрии они не играют почти никакой роли. Введены они. были в .математику лишь в связи с развитием исчисления бесконечно малых. В следующих параграфах мы научимся диференциравать круговые функции; практическая необходимость соответствую- щих формул выяснится в интегральном исчислении. § 7. Диференциал арксинуса Обозначив arcsin* через у, имеем ^/ = arcsin* (1) или, что то же, * — sin^y. (2) Диференцируя последнюю формулу, получаем: dx = cos у dy. Отсюда dy=—. (3) у cosy х ' Чтобы устранить вспомогательное обозначение у, можно вы- разить cosy через *. С помощью формулы (2) получаем: cos у = ± V А — ът*у — -+- У\ — . Так как у есть главное значение арксинуса, то оно заклю- чено между —- и-[-у, а в этих пределах cosy положи- телен; следовательно, знак минус перед радикалом нужно отбросить и взять cosy = y\ —*2. Тогда формула (3) примет вид , . dx
294 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII § 8. Диференциал арккосинуса Применяя тот же прием, что и в предыдущем параграфе мы найдем диференциалы остальных круговых функций. Пусть у — arccos х. Тогда X = COSy, dx = — sinydy, , dx dy = sin у В выражении sin^y = ±V\—cos*y = ±V 1—. мы снова должны взять знак плюс, так как главное значение арккосинуса лежит между 0 и п, а здесь sin^y положителен. Поэтому , dx d arccos х = r . § 9. Диференциалы арктангенса и арккотангенса Пусть у= arctg*. Тогда x = tgy, ~ dx = sec2ydy1 , dx У sec2j/ * Из тригонометрии известно, что sec23>= 1 -f- tg2^. Значит, sec23;= 1 + *2» и мы имеем Совершенно так же получим ^ dx
§ 10] таблица формул; примеры 295 ■ , г- , Mdl Л , r — , V\— *2 У\—Х*У d arctg * = {^x2 , ^arcctg* ==— y—^-. Таблицу производных предлагаем написать учащемуся. Обращаем внимание на то, что производные круговых функ- ций являются функциями алгебраическими. Пример 1. , . х \ а / dx date sin —=- (т) Пример 2 3 d arccos -j— 4* У Я2 — *2 Ъ-Adx . У (4*-- 1)2—9 6_dx (4*—1)2 ' 4*—1 ~~(4x— \ )V4x* — 2x — 2 ' Пример 3. _ 2dx . 2*2-f 2 rf* l) ~~(*+l)2:(*-f 1)2— l-f*2 • J) Внимательный читатель заметит, что результат совпадает с выражением диференциала функции arctg*. Из этого нельзя за- х 1 ключить, что последняя функция тождественна с arctg ^ ^ . Можно 1 * — 1 только сказать, что она отличается от arctg—г—г на постоян- ъ х-\- 1 н у ю величину. Действительно, arctg ^ = arctg х j-. В спра- ведливости последнего соотношения можно убедиться, опираясь на формулу arctg и — arctg v = arctg ^^^v» К0Т0Рая лишь по внеш- нему виду отличается от известной формулы для тангенса разности двух углов. Полезно проверить справедливость соотношения * — 1 tz arctg—j-y-— arctg *—на числовых примерах. § 10. Таблица формул; примеры Сводя результаты § 7—9, получаем следующую таблицу диференциалов круговых функций: * . dx dx a arcsin х = . , d arccos х = -
296 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII 1. arcsin (3* — 1), Отв. 2. (arcsin*:)2. Отв. Убл:-т-9л:2 2 arcsin * dx 3. arccos —^. Отв. dX V2ax - *2 - . ax ~ abdx 4. arctg -r- . Отв. b ■ * ' $2 + 02*2 • - . *— a ~ adx 5. arctg—i—• Отв. x+ a' " e« + ^2 " 6. arctg (f-4). О*,*. -rf^J_ 7. a arcsin — + Va2 — *2. O/we. "I/ g T X dx. Найти производные следующих функций: Ox 2 8. arctg w . Отв. 1—*2' v,,"°' l-f*2' 9. xVa? — x2-\-a2 arcsin ~ . О/яв. 2V" я2 — л2' 10. x arcsin x + У 1 — л:2. 0/we. arcsin л:. 11. arcctg ( |/"-| ctg *) . Отв. fl si„, ^ co$2,v • 13. Нижний край вывески находится на а см, а верхний на Ь см выше глаз читающего. На каком расстоянии от стены вывеска бу- дет видна под_наибольшим углом? Отв. Vab см. § 11. Диференцирование логарифмической функции Найдем сначала производную от функции loga*; это бу- дет несколько проще, чем непосредственное вычисление ди- ференциала. Основание логарифма оставим пока произволь- ным. Напомним, что как постоянная а} так и переменная х Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 3dx
§ И] ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ* ФУНКЦИИ 297 обязательно положительны1). По определению производной Для вычисления этого предела введем вспомогательную пере- менную величину "=25". (2) т. е. отношение аргумента х к его приращению. Напомним, что в процессе отыскания производной величина х остается постоянной (гл. VI> § 3); поэтому при бесконечно малом Ал: величина п бесконечно велика; она может быть как положи- тельной, так и отрицательной, в зависимости от знака Дл\ Выразив из (2) Дл: через п: ь<=Ъ (2,) и подставив это выражение вместо Дл: б (1), мы получим п |logfl (х+ |Л -log„* D\ogax = \\m -L i JLL 1 = л-»оо л I x 1 x -I— = — lim n log„ —. x a x Величина -^- вынесена за знак предела, так как она посто- янна. Преобразуя далее, имеем Dlog„* = ilim/2loga (l + тг) = Теперь задача сводится к нахождению предела переменной -j--~)Л ПРИ п—Обозначим число, равное этому пре- делу, через е: e = llm fl + iV. И->оД П J J) В противном случае не существует действительного лога- рифма.
298 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ- VIII Значение е мы вычислим в следующем параграфе. Пока же заметим, что когда величина (^Ч-"^) приближается к сво- ему пределу е, величина \oga приближается к пре- делу logae, так что из формулы (3) мы имеем Dloga*=loga€.y, т. е. производная от «логарифма обратно пропорциональна величине аргумента. Коэфициентом пропорциональности яв- ляется (постоянное) число logae. Остается вычислить значе- ние е. § 12. Число е На первый взгляд может показаться, что число e = llm (1 + 1)" должно быть равно 1, ибо при п —> оо величина 1 -f- -i стремится к 1. Это рассуждение, однако, ошибочно. Дело в том? что показатель степени п есть бесконечно большая величина, и мы имеем как бы борьбу двух сил: одна при- ближает величину 1 -|- — к единице; другая же одновременно повышает неограниченно степень этой величины. Но число, очень близкое к единице, если его возвести в достаточно большую степень, может превысить единицу во много раз. Мыслимо, что одолеет одна из двух сил, и тогда предел равнялся бы в одном случае 1, в другом оо. Но борьба мо- жет кончиться и компромиссом, т. е. искомый предел может оказаться конечным, но большим единицы. Так и происходит на самом деле. Строгого доказательства этого факта мы давать не будем, так как оно сложно. Но справедливость сказанного станет почти несомненной, если мы проследим за / 1 \ п изменением величины (1 -f- — J при возрастающих целых зна- чениях п. Действительно, если величине п мы дадим значения 1, 10, 100, 1 ООО и т. д., то получим такую таблицу, вычи-
число е 299 сленную с точностью до четвертого десятичного знака (все значения взяты с недостатком): 2 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 2,7182 п 1 10 100 1 ООО 10 000 1 00 000 1 000 000 Как видим, при п^> 100 000 изменение величины ^1 -f» —J уже не отражается на четвертом десятичном знаке. Таким образом, и предел е, к которому стремится число ^1-|-^-)Я при п—*оо, будет иметь те же четыре десятичных знака, т. е. с точностью до четвертого десятичного знака е= 2,7182 (с недостатком)1). Точнее будет избыточное значение е = 2,7183. Более точно значение е = 2,7182818. Для практики большей точности никогда не требуется, а для грубых подсчетов достаточно брать ¢=2,72. Это число полезно запомнить. г) К такому же выводу мы пришли бы, рассматривая измене- ние (*+~)Л ПРИ п-* — оо; так, при п = — 1 000 величина ^1 + — ^ ^:2,7186, т. е. уже три первых десятичных знака дости- гают своей предельной величины. При возрастании абсолютной величины п величина ^1 + —^ убывает, и при /1 = - 100 000 че- тыре первых десятичных знака достигают своей предельной вели- чины.
300 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII Можно Доказать, что никакой простой дробью, т. е. от- ношением двух целых чисел; число е с полной точностью выразить нельзя; так же, как известное из геометрии число тг, число е иррационально1). § 13. Натуральные логарифмы В формуле D\ogax=logae.L (1) числовое значение коэфициента loga£ зависит от выбора.ос- нования логарифмов. Если за основание принять 10 и, со- гласно стандарту, обозначать десятичный логарифм симво- лом lg, то формула (1) примет вид: Dlg* = lg*. Величина Ige обозначается буквЬй М и называется «мо- дулем перехода к десятичным логарифмам» или короче «мо- дулем». Смысл этого названия выяснится в следующем параграфе. Числовое значение модуля есть М = lg е = lg 2,7183 = 0,43429. Практически ту же степень точности имеет значение М = 0,4343, очень легко запоминающееся. Для грубых расчетов доста- точно брать два десятичных знака. Итак, имеем D\gx = M^ = 0,4343 у . (2) Эта формула часто бывает полезна при расчетах. Однако, в ц:лях упрощения многих выкладок, в частности формулы (1), за основание системы логарифмов в высшей математике чаще всего принимается не 10, а е. Эта система логарифмов на- зывается «натуральной». Логарифм по основанию е называется !) Не поможет и употребление радикалов; никаким нагроможде- нием их нельзя выразить точно *.*исла е (так же, как и я). (Ко- нечно, предполагается, что подкоренные числа рациональны; в про- тивном случае, например, У дает точное значение е.)
§ 1¾] НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ 301 *) Натуральные логарифмы называют часто неперовыми по имени английского математика (шотландца по национальности) Не- пера, изобретателя логарифмических вычислений. Однако, это на- звание неправильно. Таблицы Непера (опубликованные в 1614 г.) не имели основанием число е. Вообще, строя свои таблицы, Непер определял логарифм не как показатель степени, а иначе, так что у самого Непера нет речи ни о каком «основании». Если же говорить о числе, которое по существу является основанием неперовых ло- гарифмов, то это число практически равно числу —, а не е. Идея десятичных логарифмов возникла несколько позднее соста- вления таблиц натуральных логарифмов; она принадлежит тому же Неперу и его сотруднику Бриггу. Вычисление таблицы десятичных логарифмов проделано Бриггом, и потому десятичные логарифмы на- зывают также бригговыми (правильнее было бы назвать их лога- рифмами Непера-Бригга). Первая таблица десятичных логарифмов была издана в 1617 г. Неправильное именование натуральных лога- рифмов неперовыми ведет начало от Галлея (1695 г.). натуральным логарифмом1) и обозначается символом In (начальные буквы латинского названия logarithmus naturalis). Так как ln* = logee= 1, то формула (1) приобретает для натуральных логарифмов особенно просуой вид: Dln* = l. (3) Для диференциала логарифмической функции получаем из формул (1) — (3) следующие формулы: d\ogax = \ogaed-£, (Г) d]gx = M^, (2') d\nx = £. (3') Особенно важны последние две. Пример 1. Найти производную от 1п(л;2-}-1). Рассматривая х2 -\-1 как вспомогательную функцию, найдем
302 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII Приведя к общему знаменателю выражение, стоящее в скоб- ках,, и сократив числитель его с знаменателем первого сомножителя, получим d\n(x+Va2 + *2) = dx Уд2 _|_ х*' Пример 3. Найдем по таблице логарифмов десятичный логарифм . какого-нибудь четырехзначного числа, например, lg 4 000 = 3,60206, и вычислим теперь (без таблицы) десятич- ный логарифм числа, на единицу большего, т. е. ig4 001. Так как Mgx^d\gx=-^Hx, то при х = 4 000, Ал; = 1 имеем ilg^M. = 0,00Oll; потому lg4 001 = lg4 000 -f A lg 4 000 = 3,60206 + 0,00011 = = 3,60217, что совпадает с табличным значением. Таким приемом можно было бы, начиная от числа 1 000, десятичный логарифм ко- торого непосредственно известен, быстро составить всю таблицу логарифмов. Упражнения Найти диференциалы следующих функции: 1. lg(2*). Отв.М^. 2*\g(3x). Отв. Af^. 3. Объяснить, почему диференциалы, вычисленные в упражне- ниях 1 и 2, совпадают друг с другом и с диференциалом функ- ции lgJC. Пример 2. Найти диференциал от 1п(лг-{-Кя2-|-л:2), где а — постоянная величина. По формуле (3') имеем
§ 14] ПЕРЕВОД НАТУРАЛЬНЫХ ЛОГАРИФМОВ В ДЕСЯТИЧНЫЕ 303 ах-\-Ъ' ,. 1**4.4,-7* Отв. |№±2L. 8.,.(^ + 2^ + ,,. Отв. Найти диференциалы следующих функций: 9. In г-1—. Отв. 1-х' 1-х2' 10. log3 (4, - 2). Отв. logs ^ = Ш • 11. In sin х. Отв. ctgxdx. 12. In cos x. Ome.—tgxdx. 13. In tg 4 • Отв. 4^-. 14. In ctg — О/и*. -^. ь 2 sin x 6 \ 4 2 / cos l a i i ,/"•* — a „ 2ax2dx 15. arcctg 7+ln|/ jjq^ • Ome. 16. x arctg - In (*2 4. д2). Отв. arctg ~ d*. 17. In In x. Отв. fX—. x\n \nx 19. Найти lim (l-f- —)*. Отв. e2. Указание. Ввести вспомогательную переменную /г' = -^-. 20. Найти lim Л-f 1-)*. Отв. У"ё7 п-*оо \ 2П) 21. Зная, что lg 425 = 2,62893, найти без таблиц lg 425,1. Отв. 2,62894. §14. Перевод натуральных логарифмов в десятичные, и обратно Введя в рассмотрение кроме десятичных еще и натураль- ные логарифмы, мы должны научиться по натуральному ло- гарифму числа находить его десятичный логарифм, и обратно. Найти производные следующих функций: 4. 1п2лг. Отв. —. 5. In Зх. Отв. — . X х 6. In (ах + Ъ). Отв.
304 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII 10 = е а это равенство можно переписать в виде ■м-=1п1°- Итак, имеем формулы: 1п х = Жlgx — 2»302591е*> lg-x = М In х — 0,43429 In х. Это делается очень просто. Именно, десятичный лога- рифм любого числа получается из натурального его ло- гарифма умножением последнего на модуль М (отсюда название: «модуль перехода к десятичным логарифмам»), т. е. lg х 5= М In х (М = lg е = 0,43429). (1) Действительно, обозначив In а: через у, имеем у = 1пх, т. е. х = еУ . Отсюда lg х --- ylne =уМ = Minx. Из формулы (1) сейчас же получается формула для пере- вода десятичного логарифма в натуральный: ln* = ^lg*. (2) Величина -тг с точностью до пятого знака равна 1=2,30259. Это число есть не что иное, как натуральный логарифм числа 10. Действительно, так как M = lge, то \0м = е, откуда м
§ 15] ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 305 Для облегчения умножения многозначных чисел на ^ и на М, к таблицам логарифмов прилагаются специальные таблицы (в таблицах Пржевальского они помечены Номерами IX и X). Упражнения Без помощи таблиц цайти: 1. In 100. Отв. 4,6052. ~ irt 2/Т7Г п«й 0 7fi7<tt 2. In 1 ООО. Отв. 6,9077. 3- 1п У 10' 0тв' °'76753' Пользуясь таблицей десятичных логарифмов, найти: 4. In 2. Отв. 0,69315. 7. In 87,4. Отв. 4,47049. 5. In 15. Отв. 2,70805. 8. In 8,74. Отв. 2,16790. 6. In 874. Отв. 6,77308. Логарифмируя по основанию 10 и пользуясь таблицами деся- тичных логарифмов, найти: 9. е*. Отв. 20,086. 10. *о,23. Отв. 1,2586. 11. «1.63 { 0^5.5,1039. 12. In* = 2,70805. Отв. 15,000. Найти число х, если: 13. In лг=—2,13765. Отв. 0,11793. § 15. Диференцирование показательной функции Функция вида ах называется показательной. Число а должно быть положительным 1). Показательная функция есть функция, обратная логариф- мической, т. е. если у есть показательная функция от х: у = а*, (1) то х есть логарифмическая функция от у: x = ^gay. (2) х) В противном случае при дробных значениях х величина а* не всегда будет иметь действительные значения; например, (— 2)х при лг = -^- не имеет действительного значения. Не следует смешивать показательной функции ах со степенной функцией ха. Существенно не то, что изменились обозначения ос- нования и показателя степени, поменявшись местами, а то, что с обозначением х мы связываем переменность изображаемой величины, а с обозначением а — ее постоянство. Величина тп есть показательная функция, если показатель п — переменная величина, а основание т постоянно; та же величина есть степенная функция, если переменной величиной является основание т9 а показатель п постоянен. 20 М. Я." Выгодский
306 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII !) Эту формулу можно представить также в виде da* = In aydxt ибо i—-—=\ogea: доказать последнее тождество можно так же, как в предыдущем параграфе мы доказали тождество т— = In 10. 1 lg Вообще, lge& = j^. Для диференцирования показательной функции можно воспользоваться тем же приемом, которым мы пользовались в § 7 — 9 по отношению к обратным тригонометрическим функциям. Диференцируя обе части формулы (2), имеем dx = \ogae^. Отсюда dy = — у dx. Подставляя вместо у его выражение (1), имеем dax = r^—axdx1). (3) При основании a =10 имеем d\0x = ~\Oxdx. \ge Наиболее простой вид формула (3) принимает при основа- нии е; именно dex = e*dx. Значит, Dex = ex, т. е. производная показательной функции ех равна самой этой функции. Пример 1. Найти диференциал функции хе~х2» d (хе~х*) = х de~x* -|- er-** dx = хе~х* d (— х*) + е~х* dx = = xe~xl — 2х dx -f е-** dx = е~х* (1 — 2лг2) dx. Пример 2. Найти производную от функции е^ (k—посто- янная). Имеем Dekx _ ekxQ (kx) _ kekxt
УСКОРЕНИЕ 307 Мы видим, что производная функции ekx пропорциональна самой функции ekx. Пример 3. Найти d(xx). Применить формулу (3) нельзя, так как основание х не постоянно. Применить формулу d(xn) = пхп~г dx также нельзя, так как в этой формуле показатель степени постоя- нен, у нас же показатель переменный. Представив основание х в виде е1пх, имеем d(xx) = dexl*x=ex^xd(xln х)=хх d (х In х)= Xх (1 -f 1 n х) dx. Упражнения Найти диференциалы следующих функций: 1. е^х Отв. 0,4е0Лх dx. 2. е*-\-е Отв. (ех — e-x) dx. 3.£1+1 Отв. 2eXdX — 1 ' — 1)2 ' et — e-t 4dt *' e' + e-f Ume' (et+e-t)* ' 5. *<2+3'>2- Отв. 6(2 4-3*)*(2+3')3<#. 6. (e** — 1)2. Отв. 4 (*2* _ l) e*x dx. 7. 1пт~1—г* Отв. 1-f-** 1+**' 8. 10'2. Отв. W*dt. M 9. 73*9. Отв. 9(ln7)t*73tadt. 10. esinx. Отв. esinx cos xdx. l ex—e-x 2dx 11. arctg 2 ' 0me' ex + е-*' ex —e-x 2dx 12. arccos j -. Отв. ex 4- e-x • • 13. (sin ax — cos ялг). Отв. 2ae<*x sin a* rfjc. § 16. Ускорение Пусть некоторое тело движется прямолинейно под дейст- вием силы F. Тогда скорость его v подвергается изменению и за промежуток времени кк получает приращение Дг>. Be- at; личина дает изменение скорости, приходящееся на еди- 20*
308 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII ницу времени. Если F остается неизменной, то и величина для любого промежутка (t, t-\-bt) сохраняет одно и то же значение. Такое движение называется рае номе рно-уско- репным; постоянная величина называется ускорением. Важность этой величины для механики обусловливается тем, что если на тело неизменной массы т будут действо- вать различные неизменные силы /7, то постоянная во времени величина ускорения будет от одной силы к другой меняться пропорционально F (второй закон Ньютона: F — m • Когда тело подвергается действию силы, меняющейся во Sv времени, величина ^ для различных промежутков имеет различные значения; она дает «среднее ускорение» в проме- жутке от t до t-\-kt. От этого среднего ускорения можно перейти к «истинному ускорению» (или просто «ускорению») в момент t так же, как от средней скорости мы переходили к истинной (см. § 10 гл. VI). Мы придем тогда к следую- щему определению: ускорение в данный момент t есть предел величины ^ при бесконечно малом Ы. Иными сло- вами, ускорение есть производная скорости по времени. Обозначая ускорение буквой у, имеем При таком определении ускорения второй закон Ньютона применим к любому движению, т. е. при изменении величины силы F, действующей на тело, ускорение j будет меняться пропорционально F ^F=mj = m • Пример. Пуля, попав в твердое тело, движется в нем со скоростью 0) где v0 — скорость, с которой пуля входит в тело, a k — посто- янная положительная величина, зависящая от вещества тела (и от выбора единицы длины). Найти ускорение пули в функции времени.
ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 309 Имеем J u\+kv0t— (\+kv<f)2 0— (1+*V)2' 1 ' Мы видим, что ускорение—величина отрицательная; это значит, что скорость — убывающая функция времени. Кроме того, сравнение* формул (1) и (2) показывает, что ускорение по абсолютной величине пропорционально квадрату ско- рости.. Это значит, что и сила сопротивления твердого тела движению пули (пропорциональная ускорению пули) пропор- циональна квадрату скорости пули. § 17. Вторая производная Мы видели, что ускорение есть производная функция скорости, но сама скорость есть производная функция пути по времени (§ 10 гл. VI). . Таким образом, мы приходим к понятию «производной второго порядка» или, короче, вто- рой производной. В соответствии с этим производную функ- цию Df (х), с которой мы имели дело раньше, называют также производной первого порядка или, короче, первой производной. Определение. Второй производной называется про- изводная от (первой) производной. Вторая производная обозначается символом D2, так что D2f (х) есть вторая производная от f(x); D2(x*) есть вторая произвэдная от xi и т. д. В соответствии с этим символ Dlf(x) равнозначен с Df(x), подобно тому как а1 равнозначно с а. Если первая производная обозначается штрихом (у\ f (х),(х*)' и т. д.), то вторую обозначают двумя штрихами (y",f" (лг),(лг4)/и т. д.).Употребляют- к d4(x) d2y d2(x*) „ ся также и обозначения '^ ', — ^ ■ и т. д. Про- исхождение и смысл их будут выяснены в следующем пара- графе. Согласно сказанному в § 16, ускорение прямолинейного движения есть вторая производная от пути по времени: J=&sV)*). г) При криволинейном движении эта формула дает так называ- емое «тангенциальное ускорение»; ускорение же получается с уче- том изменения не только величины, но и направления скорости.
310 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII В ряде вопросов оказывается необходимым отыскивать производную функцию от второй производной; такая функ- ция называется третьей производной (или производной третьего порядка) и обозначается символом Z)3 (или тремя штрихами), так что, например, D*f(x) есть третья произ- водная от f(x); D^lnx есть третья производная натураль- ного логарифма и т. д. Тот же смысл имеют символы /"' (х)} (In*)'" и т. д. Аналогично определяются и обозначаются производные четвертого, пятого и т. д. порядков. Обозначения штрихами становятся, однако, непригодными, и их заменяют цифровыми; обычно употребляются римские цифры, чтобы подчеркнуть отличие от показателей степени. Вместо f" (х) пишут flv(x) и т. д. Производная л-го порядка обозначается через Daf (х) или, при пользовании штриховыми обозначениями, через f№ (х). Пример 1. Найти значение второй производной от дс4 при х =2. Имеем Dx* = 4*3, DW = D (4jc3) = 12л:2, {D*x*)x_2 = 48. Пример 2. Найти ускорение свободно падающего тела; путь его 5 (в метрах) выражается через время t (в секундах) формулой 5 = ^ + 4.¾2, где v0 есть начальная скорость падения. Имеем v = Ds (t) = v0-\-9fit, j= D*s (0 = 9,8 (Mjcetfi). Ускорение здесь — постоянная величина; она обозначается через g (ускорение земного тяготения). Пример 3. Движение незатухающего колебания мембраны представляется уравнением s=asm-jr, (I) где t — время, протекшее с момента начала колебания, Т — положительная постоянная величина (период колебания), s — отклонение некоторой точки мембраны от положения покоя, а — постоянная для этой точки положительная величина (ам- плитуда колебания).
§ 17] ВТОРАЯ производная 311 r=w0(l-- е «), где Vq — скорость до выключения мотора, а a—постоянная величина, зависящая от формы, массы и вещества лодки. Полагая a = 40 сек., Найти зависимость между ускорением точки мембраны и отклонением этой точки от положения покоя. Из уравнения (1) находим «=DS(*)=^cos?£, (2) у=/).,(*)=_!£.в,п». (3) Зависимость между jus получается исключением г из урав- нений (3) и (1). Чтобы произвести это исключение, достаточно почленно разделить одно из этих уравнений на другое. По- лучим Формула эта показывает, что ускорение (а значит, и упругая сила колебания) пропорционально величине отклонения и имеет противоположное направление. Упражнения Найти вторые производные следующих функций: 1. л* — 12лг2 — Зл: -f 7. Отв. 6х — 24. 2. е*(х — 1). Отв. е*(х+\). 3. г—7 • Отв. ^~гЦ * 4. *31пл\ Отв. 6х\пх-\-5х. 5. a sin х 4- b cos х. Отв. — (a sin х + b cos х). 6. Найти значение D2—Х—Тпрп jf = -i-. jr— 1 v 2 Отв. 16. x 7. Найти значение Z)2 sin — в точке х, для которой х 1 £> sin — = г:— . Отв. =Р 0^г • а 2а 2а2 8. Найти D3 (^л:2 + Ьх -f- г). Отв. 0. 9. Найти (лгз In л-Jiv. Отв. . 10. После остановки мотора моторная лодка проходит за t сек. расстояние
312 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ.. VIII Отв. V- /7 eY*«-e-y*« 13. Может ли скорость в условиях предыдущей задачи не- ограниченно возрастать по мере увеличения продолжительности полета? Отв. Нет; предельная скорость равна |/^~ • § 18. Второй диференциал Пусть мы имеем некоторую, функцию у =/(х). Зададим аргу- менту ее х определенное значение. Кроме того, рассмотрим еще два значения аргумента, образующих вместе с первым значением арифметическую прогрессию х, х + &х, х -f- 2&х с разностью Дат. Соответствующие значения функции у будут У=/(х), У1 = Г(х+&х)ч y2 = f(x + 2bx). Разность У! — у — f(x -f- &x) — f(x) мы будем попрежнему обозначать через &у. Соответственно с этим разность у2—У\ — = / (х + 2±х) — / (х -f- &х) мы обозначим через Дух. Итак, 4у=/-/(*>. 4У1 = fix + 2Ьх) - / (х + Дл:). Приращения Ду и Ду1? вообще говоря, не равны между собой; их разность Д^ — Ду z/0 = 10 юм\час, найти скорость и ускорение лодки через 2 минуты после остановки мотора. Отв. v = vQe " ^:-0,50 км\час, j — — V-^-e " — 12 mjmuh. а 11, Показать, что в условиях предыдущей задачи сопротивле- ние воды движению лодки пропорционально ее скорости. 12. При затяжном врыжке парашютиста вертикальное расстоя- ние его от начальной точки полета выражается (приблизительно) формулой s=Tln =5 • где g— ускорение земного тяготения, а а —постоянная величина, за- висящая от плотности воздуха и других условий. Найти выражение скорости и ускорения.
§ 18] ВТОРОЙ ДИФЕРЕНЦИАЛ 313 мы обозначим символом Д2у и назовем «второй разностью» функции / (х). Приращения же и Д^ будем называть «первыми разно- стями». Пример 1. Возьмем функцию у = х^. Зададим аргументу значение х — 2 и рассмотрим три значения аргумента: . ( х = % дг-т-Д^ = 2 + Длг, х + 2Д* = 2 + 2Ддг. Соответствующие значения у будут у - 23 = 8, у1 = (2 + Дл)3, у2 =:(2 + 2Дл-)3. Первые разности будут Ду = (2 + Длг)3 — 23 = 12Длг + бДл? + Дл* Дух = (2 + 2Дл:)3 — (2 + Длг)3 == 12Д* + Шлг2 + 7Дл;3. Вторая разность будет Д2у = Дуг — Ду = 12Дл:2 + бДдгЗ. При бесконечно малом Дл: как первые разности, так и вторая бес- конечно малы. Но первые разности имеют первый порядок малости, а вторая — второй порядок. «Главной» частью первой разности Ду является линейный член \2±х; его мы назвали (§ 3 гл. VII) диференциалом функции (при х =^2). Теперь мы будем называть его первым диференциалом. Вторым же диференциалом мы назовем «главный» член второй разности, в нашем примере 12Длг2. Второй диференциал, таким об- разом, пропорционален квадрату приращения независимого пере- менного. Его называют поэтому также «главной квадратичной частью» второй разности. За вычетом второго диференциала от второй разности остается величина более высокого порядка; в нашем примере она сводится к одному члену третьего порядка (бДд:3). Мы приходим к такому общему определению (ср. определение § 3 гл. VII): Определение. Пусть у есть функция х и пусть вторую ее разность Д2у можно расчленить на два слагаемых, из кото- рых одно пропорционально (Дл1)2, а другое при Дл: 0 есть бес- конечно малая величина более высокого порядка, чем Дл;2. Тогда первое слагаемое называется вторым диференциалом функции у и обозначается символом d2y. Таким образом, если Д*.у = где Ига ~=0} то d2y = В Д*2. Величина В не зависит от Дж, но, вообще говоря, зависит от х.
314 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII Предлагается читателю показать, что для функции у = л*3 мы имеем &у = блгДл-2. Ход выкладки такой же, как в разобранном выше примере. Можно доказать (мы не будем этого делать), что коэфициент В равен второй производной, т. е. что d*f(x) = D*f(x)bx\ (1) В нашем примере (/ (х) = х3) D*f(x) = 6x. Пример 2. Найти второй диференциал функции л4. Находим вторую производную от jc4: Dx* = 4л:3, /)2д;4 = 12лА По формуле (1) имеем d* (лг4) = 12л;4 ДлА Проверьте результат непосредственным вычислением. Пример 3. Найти второй диференциал от линейной функции независимого переменного. Общий вид линейной функции ах-\-Ь. Вторая производная ее равна нулю; поэтому d? {ах + Ь) = 0'Ьх* = 0. В частности, Фх = 0. Второй диференциал независимого переменного равен нулю. Это предложение очевидно и непосредственно, ибо обе первые разности в данном случае равны между собой: Ду = (х + &х) — х = Дл-, ЬУ1 = (* + 2Длг) — (х + Ддг) = Ддг, так что вторая разность равна нулю: Д2у = _ Ддг = 0 = О-Д.**; поэтому d?y = cPx = 0. В формуле (1) мы могли бы вместо Дд:написать dx (§4 гл. VII). Тогда d*f(x) = D*f(x)dx*. (2) Отсюда Мы получили то выражение второй производной, о котором упоминалось в § 17. Оно аналогично выражению Df(X)=dJJf (4)
§ 18] ВТОРОЙ ДИФЕРЕНЦИАЛ 315 *) Точнее, тогда и только тогда, когда Д2лг = 0, т. е. когда х есть линейная функция независимого переменного. для первой производной. Но между выражениями (3) и (4) есть существенное отличие. Заменой Дл: на dx в формуле для первого диференциала мы добились того, что (§ 5 гл. VII) формула df(x) = Df(x)dx (4') или равносильная ей формула (4) верна и тогда, когда dx есть за- висимая переменная. Переход же от формулы (1) к формуле (2) или равносильной ей формуле (3) этой цели не достигает. В этом легко убедиться на примере. Формула d* (*з) = 6z dz2 (5) верна лишь тогда, когда z— независимая переменная; если же, например, г = х и независимое переменное есть х, то гз __ л-б^ d2 2Х dx, и формула (5) приняла бы вид d* (*«) = 2\x±dx\ тогда как на самом деле должно быть d? (л*) = £>2 (д*) ах2 = ЗОл^л-2, Причина непригодности формул (2) и (3) в общем случае со- стоит в том, что для образования второй разности функции мы брали не произвольные три значения аргумента, а такие, которые обра- зуют арифметическую прогрессию, в результате чего вторая раз- ность независимого переменного (см.выше)оказывается равной нулю. Но если переменное z в формуле (5) есть зависимое, то соответствующие три значения его уже не образуют, вообще говоря, арифметической прогрессии, вторая разность не равна нулю, и для вычисления второй разности величины <г3 эти значения z уже не годятся. Итак, формула ««-¾? верна, когда х — независимая переменная1), но вообще несправедлива. Поэтому дробь можно рассматривать только как обозначение второй производной. Общего же ее выражения она не дает. Можно показать, что общее выражение второй производной функции у по переменному х дается формулой у~~ dx*
316 ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VIII Эта формула верна всегда; в частном случае, когда сРх = 0, она переходит в формулу (3). Так же, как был определен второй диференциал, можно получить третий, четвертый и*т. д. Для этого нужно вместо трех значений аргумента взять четыре, пять и т. д., вычислить после вторых раз- ностей третьи, четвертые и т. д. и взять главные части этих раз- ностей; они будут пропорциональны третьим, четвёртым и т. д. степеням Ддг. Коэфйциенты этих частей будут третьей, четвертой и т. д. производной. Отсюда можно получить соотношения D*y = ^ D*y = ^ иу dxr иу dx* и т. д.; переменная х предполагается независимой. Если а'—зависимая переменная, то эти формулы вообще не верны, d*y №у так что частные , и т. д. можно рассматривать лишь как обозначения производных высшего порядка; общих же их выражений эти частные не дают.
ЧАСТЬ III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ГЛАВА IX ИНТЕГРАЛ § 1. Вводные замечания Средствами элементарной геометрии можно вычислять пло- щади плоских фигур, а также объемы и поверхности тел лишь в очень ограниченном круге случаев. Потребность в общих приемах для разрешения этих и многих других задач (см. § 1, гл. V) привела к созданию интегрального исчисления. Основные понятия интегрального исчисления вполне уясняются при рассмотрении простейшей из упомянутых задач — задачи об определении площади. К ней мы и обратимся. § 2. Задача о площади Пусть требуется определить площадь, ограниченную не- которой линией A'C'B'D' (черт. 113). Мы будем предполагать, что геометрическое свойство, которым задана линия A'C'B'D', Черт. 113. Черт. 114. может быть выражено в виде уравнения между прямоуголь- ными координатами, и будем поэтому считать, что эта линия отнесена к некоторой системе координат XOY и задана уравнением (или несколькими уравнениями, определяющими различные ее чести).
318 интеграл [гл. IX Из точек А' и В', имеющих наибольшую и наименьшую абсциссы, проведем ординаты А'А и В'В. Ясно, что искомая площадь есть разность площадей АА'С'В'В и AA'D'B'B. Значит, задача о вычислении площади, ограниченной замкну- той линией, будет решена, если мы найдем общий способ решения следующей задачи: Дано уравнение линии MN (черт. 114). На этой линии заданы две точки: А' (с абсциссой ОА = а) и В1 (с абсцис- сой OB = Ь). Найти площадь криволинейной трапеции АА'В'В, ограниченной дугою А'В', ординатами ААГ и BBf и отрезком АВ оси абсцисс, заключенным между этими ординатами. Площадь АА'В'В для краткости часто называют «пло- щадью кривой А'В'». § 3. Площадь как предел. Понятие о предмете интегрального исчисления Разобьем отрезок АВ оси абсцисс на некоторое число п частей; эти части могут быть равными или неравными (на черт. 115 п = 6). Мы получим п — 1 точек деления Ах А2, •••» An-v Проведем через них ординаты А\Аи А2А* и т' д- Наша фигура разбилась теперь на п полосок; площадь ее равна сумме площадей этих полосок. Проведем через точки А\ A,vA,2i...,A'n_l пря- мые, параллельные оси абсцисс, как показано на черт. 115. Из каждой по- Черт. 115. лоски выделяется, таким образом, прямоугольник, площадь которого несколько отличается от площади полоски. Поэтому и заштрихованная на черт. 115 «ступенчатая фи- гура» по площади несколько отличается от фигуры АА'В'В. Однако, если число точек деления неограниченно увели- чивать, так чтобы каждый из отрезков AAV АгА2 и т. д. неограниченно уменьшался (при этом число ступенек неогра-
§ 3] ПЛОЩАДЬ КАК ПРЕДЕЛ 319 ®Ап-\ — xn-v Ап-1Ап-1—Уп-V ОА = хп=Ь, ВВ'=уп. Чтобы вычислить площадь ступенчатой фигуры, нужно сложить площади всех ее ступенек. Площадь первой ступеньки есть АА' • ААЛ = АА' (ОАг — OA) =у0 (хг — xQ). Таким же образом найдем, что площадь второй ступеньки есть У\(х2— xi)> площадь третьей есть у2(хь— х2) и т. д. Для площади Sn воай ступенчатой фигуры мы получаем, следова- тельно, формулу Sn = У0 {*! — -^о) +7l <^2 ^l) + У2 (^3-^2)+--.+ + Уп-1(Хп — Хп-г)- (1) Эту формулу можно записать сокращенно так: Здесь знаком 2 (прописная греческая буква «сигма») отмечается тот факт, что вычисляется сумма однотипно обра- х) Рассмотрение черт. 115 делает этот факт очевидным. Здесь мы принимаем его без доказательства. ниченио возрастает), то разность между площадью АА'В'В и площадью ступенчатой фигуры будет стремиться к нулю1). Иными словами, площадь АА'В'В есть предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры, когда при не- ограниченном увеличении числа ее ступенек ширина всех сту- пенек стремится к нулю. Переведем теперь этот геометрический факт на язык ана- лиза. Обозначим через xv хъхп_Л абсциссы точек Av A'v-> A'n-v а чеРез Ун Л,...,Л-1ИХ ординаты. Абс- циссы точек А' и В' будем попрежнему обозначать через а и Ь, но, кроме того, для единообразия будем иногда вместо а и Ь писать х0 и хп. Ординаты точек А' и В' будем обо- значать в соответствии с этим через у0 и уп. Таким образом, OA =х0 = а, А А' = у0, OAx = xv AtA[=yv ОА2 = х2, АоА'2=у2,
320 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX зованных членов. Выражение yt(xl+x—л:,) показывает как образованы члены этой суммы; давая букве i значения 0, 1, 2, 3, ..., мы получаем первый, второй, третий и т. д. члены суммы (1). Если разности хх — х0, х2 — хх и т. д. обозначить через Дл:0, Дл:, и т. д., так что *ж —= (3) то формула (2) перепишется еще короче: Согласно сказанному выше, площадь S фигуры есть предел, к которому стремится величина Sn, когда при не- ограниченном увеличении числа слагаемых в сумме (4) все разности \xt стремятся к нулю. Если разности Да:; не все равны между собой, то наиболь- шее из значений Дл^ мы обозначим через Да:; в случае равен- ства всех Дл;,- через Да: обозначим общую величину разностей Дя£.. Тогда условие, чтобы все Дл^—►0, можно заменить ус- ловием Да;—►0, и мы имеем: S= пл. АЛ'В'В = lim у,у^£. (5) Заметим, что величина суммы 2у/ Да:/, представляющей площадь ступенчатой фигуры, зависит не только от числа п ступенек, но также и от того, каким образом отрезок АВ разбит на п частей Длго, &хь ,.., Да:,,-!. Но предел этой суммы lim 2у/ Дат,- , пред- ставляющий площадь «криволинейной тра- пеции» АА'В'В, совершенно не зависит от того, как производилась разбивка отрезка АВ; существенно лишь то, чтобы все сту- пеньки неограниченно суживались; это требование и выражает запись Да:—*-0. Пример. Пусть уравнение линии Черт. 116. А'В9 есть у=х. Тогда фигура АА'В'В есть прямолинейная трапеция с осно- ваниями АА'—апВВ' — Ь (черт. 116) и высотой АВ = Ь — а. Площадь ее S, как известно из элементарной геометрии, есть с b-\-a,, . i S—^-{b — a)=' (6)
§ 3J ПЛОЩАДЬ КАК ПРЕДЕЛ 321 Вычисляя предел, находим: S _ jb—а) (а + Ь) _ 2 2 21 М. Я. Выгодский Покажем, как получить тот же результат с помощью фор- мулы (5). Так как мы имеем у = х, то у0 — х0, y{ = xv у2 = х2 и т. д. Формула (5) дает: 5= lim 2*/A*/ = lim(*o Д*о + *1^гК • •+■*/*-! A*/*-iM7) Чтобы вычислить предел выражения, заключенного в скобки, нужно принять какой-нибудь закон выбора точек деления. Положим, например, что они делят отрезок АВ на п равных частей: Дл:0 = Дл^ =... =кхп_г = . (8) В этом случае а Ь — а откуда п=-кг- (9) С другой стороны, так как теперь ^ — •^0 = ^2-^1=- • • = -^--^-1=^ (10) то числа xQ, xv..., хп_г образуют арифметическую прогрес- сию с разностью Дл\ Формула (7) примет вид S=lim [Д*(*о + *1+*2+.«-+*я-1)]. Дл:->0 Пользуясь известной формулой суммы арифметической про- грессии, имеем д*-»о L z J Подставим сюда вместо п его выражение из формулы (9), вместо х0 его значение х0 = а и вместо хп_х его выражение из формулы (10): хп_г = хп— Дл; = b — Дл\ Тогда получим: 5= lim (fr—*Ha + fr — Длг-»0 2
?22 интеграл [гл. IX Мы снова получили формулу (6). Этот способ вывода мо- жет показаться чересчур громоздким. Однако, во-первых, способ этот применим не только к прямолинейным трапециям, но и к трапециям криволинейным; во-вторых, существуют ме- тоды, позволяющие вычислять предел величины ^IvA*/ с г0" раздо меньшей затратой труда. Разработка этих методов и составляет первую и основную задачу интегрального исчи- сления. § 4, Определение интеграла Сформулируем в общем виде ту задачу, к которой мы пришли в предыдущем параграфе при рассмотрении вопроса о площади криволинейной трапеции. Пусть y=f(x) есть некоторая функция аргумента х} заданная в промежутке а ^ х ^ Ь. Дадим аргументу х ряд последовательно возрастающих значений х0 = а, х[у л:2, • • • j хп-и xnz= b и составим выражение /(*о) (*i — *0) + /(*i)(*2 — *i) + • • • + f(*n-\)(xn — *п-\) = =/(*о) A*o + /(*i) A*i + • • • + /(*„-i) A*„-i, (1) которое сокращенно запишем в.виде 2/(¾) А*/. (2) Обозначим через Ал: наибольшее значение разностей Дл:,, Дл:2, Дх3,... (или, если все они равны, общее их значение). Тогда имеет место следующее предложение, которое мы при- нимаем без доказательства и которое в геометрической форме (§ 3) совершенно очевидно: Если при неограниченном увеличении числа п величина Дл: стремится к нулю, то сумма (2) стремится к опре- деленному пределу, совершенно не зависящему от того, как вставлялись между а и Ь промежуточные значения xv х2>• • • > Xn-V Предел этот называется интегралом функции ь /(л:) в пределах от а до b и обозначается \/(л:) dx, так что а Ь J/(*)** = lim 2Я*/)**/. (3)
§ 4] определение интеграла 323 Ь В символе^ f(x)dx буквы а и Ъ обозначают границы а того промежутка, в котором мы изменяем независимую пере- менную х; величины а и b называются (нижним и верхним) пределами интегрирования. Символ ^ обозначает, что мы бе- рем предел суммы (2); поэтому при нем обозначение lim не проставляется1). Выражение f (х) dx называется подинте- грильным выражением; оно получается из выражения f{xt) Дл:,., 'если в последнем опустить указатель / и заменить прираще- ние \х независимого переменного (см. § 4 гл. VII). Функция f(x) называется подинтегральной функцией. Теперь мы можем дать следующее определение интеграла: - ъ Определение. Интегралом ^f(x)dx функции f(x) в а пределах от а до b называется предел, к которому стре- мится сумма2) когда наибольшее значение Дл: приращений Дл:,. стремится к нулю. !) Знак ^ вЕеден Лейбницем, который сам пользовался им с 1675 г., а публично предложил его в 1686 г. Понятие предела в это время еще не сложилось, и Лейбниц рассматривал интеграл не как п] едел суммы, а как сумму (бесконечно большого числа) слагаемых. Отсюда и форма знака ^ ; так, во время Лейбница писали букву s (начальная буква слова summa). Пределы интегрирования при знаке ^ Лейбниц не обозначал, указывая их в случае нужды в словесной форме. Обозначение пределов ввел гораздо позднее (в 1823 г.) зна- менитый французский математик и физик Фурье. Термин «интеграл» (от латинского слова integer — целый) был предложен в 1689 г. знаменитыми швейцарскими математиками братьями Яковом и Иоганном Бернуллн, учениками Лейбница, и одобрен Лейбни- цем. Прежде Лейбниц называл интеграл просто «суммой». 2) В некоторых новейших учебниках эту сумму стали называть «интегральной суммой»; традиция, к счастью, пока не закрепила этого термина, который буквально означал бы «целостная сумма». Если необходимо присвоить этой сумме особое наименование, то лучше было бы назвать ее «доинтегральной» или «допредельной» суммой. 21*
?24 ИНТЕГРАЛ [гл. IX 5 Пример. Символ [xdx (здесь f(x) = x) означает не что з иное, как lim 2*/Д*,-, или, в развернутом виде, lim (х0 Д*0 + ^^+...+ хп_л ЬхЛтт1). Этот предел мы вычислили в предыдущем параграфе и Ь2 - я2 нашли, что он равен —^— • В нашем примере а=3, Ь = 5, так что г . 25 — 9 0 ^ xdx= —— = 8. з Вообще же Нашей ближайшей задачей является теперь разыскание ь общих формул для вычисления интегралов ^f(x) dx при раз- а личных видах подинтегральной функции f(x). § 5. Сумма приращений Прежде чем перейти к разысканию общих формул инте- грального исчисления, установим одно простое тождество, на которое мы часто будем ссылаться в дальнейшем. Возьмем ряд совершенно произвольных чисел «о. uv аъ • • •> «Л-1» «и- Вычтем из второго числа первое, из третьего второе и т. д,; получим разности ux — uQi u2 — uv ив — и2, ап — un_v Если все эти разности сложить, то получим разность между последним и первым из взятых чисел: («1 — «0) + («2—«l) + («3—«2>+ ••■ +К- *Jl-l) = = и„—*о, (1)
§ 5] сумма приращений 325 ибо при раскрытии скобок и приведении подобных членов все члены, кроме ип и и0, попарно взаимно уничтожаются. Пример. #0 = 3, их — Ъ, «2 = 4, #з = 7, я4 = 5; и\—ио = 2> Щ — и>х — —\ , иг — и2 = 3, я4 — иг = — 2; 2—1 +3 — 2 = 2; я4 — я0 = 5 — 3 = 2. Пусть теперь ^у=/(л:) есть какая угодно функция неза- висимого переменного х. Возьмем ряд последовательных зна- чений аргумента х: * = *0<*1<>2< • • • <*Л-1<*Л=*. и выпишем соответствующие значения функции у: /W=/W,/W./W. •••• /(*«)=/(*)• (2) Разности /(*,)-/(*<>), /(¾)—/(*J-/(**-i> будем обозначать Тогда тождество (1) в применении к ряду чисел (2) запи- шется следующим образом: Д/(*0) + Д/ (*,) + Д/(*2) + ... + Д/(*„_,) = / (¢) -/(а) или, сокращенно, 2 Д/ (*,)=/(*) -/(а). (5) Это тождество на словах можно формулировать так: Если данный промежуток изменения аргумента х(а^х^Ь) произвольным образом разбить на участки, то сумма приращений функции на всех этих участках равна разности между значениями функции на концах пр омежутка. Пример. Положим /(л;) = ул;3. Тождество (3) прини- мает вид
326 ИНТЕГРАЛ [гл. IX Проверим это тождество при п = 4. Имеем А{тх1)=Тхг-Та*> А(т*!)=Т^-¥*?' Д ("3 *г) =Тл;з"— "з 4> Д (т*з) = 3"&3 — "3 ^3' Все остальные члены суммы попарно взаимно уничто- жаются. Замечание. Частным случаем формулы (3) является (при f(x) — x) формула 2Д*/=£ — a. W § 6. Примеры вычисления интеграла общим методом В § 4, основываясь на вычислениях, выполненных в § 3, мы получили формулу ъ а Эти вычисления были довольно громоздкими; они еще более усложняются, если мы пожелаем непосредственно вычислять интегралы других функций. Поэтому мы прибегнем к косвен- ному способу, основанному на использовании формул дифе- ренциального исчисления. Этот способ носит весьма общий характер и с легкостью дает множество разнообразных инте- гралов. Открытие его составляет одну из важнейших заслуг Лейбница и Ньютона. Для большей ясности продемонстрируем метод Лейбница — Ньютона сначала на частном примере и вычислим интеграл ь ^ х2 dx. По определению интеграла (§ 4) мы имеем а Ъ [хЫх= lim 2*?Д*л W
§ 6] ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 327 \x*dx = lim 2*3-tf*i = Ддг->0 = }l™(xo + + 4 + • • • + 4 -1 dxn -1>- (2) Согласно известным правилам диференциального исчисле- ния х5 dx. (3) Поэтому все слагаемые, стоящие в скобках формулы (2), суть диференциалы величин i-л:4, ~х\, -jx*, ..., х^__р и фор- мулу (2) можно переписать так: ь а (^)+^)+^) + .- + + '(t*S-i)]- <*> Согласно определению (§ 3 гл. VII), диференциал является главной линейной частью приращения функции. Если Дя мало, то относительная погрешность, получающаяся от замены d х4^ на Д , также мала (§ 2 гл. VII). Малой будет и относительная погрешность при замене суммы суммой £Д(!**). Но эта последняя сумма, согласно тождеству предыдущего параграфа, равна -j- &4— -j-a4. Итак, при малом Д* сумма или, что то же (для независимого переменного имеем Дл:, = dxt).
328 ИНТЕГРАЛ [гл. IX будет приближенно равна величине 4 4 При Дл: —► 0 приближенное равенство 2 х) ^х ^ 4" ~~ — -~а4 будет становиться все более и более точным, т. е. постоянная величина -^- £4 — -j- а4 будет пределом суммы 2*/^/» так что формула (1) даст1) ь J*3 rfjc = ift* — ^а4. (5) Читателю рекомендуется повторить это рассуждение при- менительно к интегралу ^x2dx. Вместо формулы (3) придется а взять формулу d (^х*) =x*dxy (6) и в окончательном результате получим ь а Формула (7) тотчас же позволяет вычислить площадь па- раболической трапеции АА'В'В (черт. 117), лежащей под дугой параболы у = х2у концы которой А' и В' имеют абс- !) Этот вывод не вполне строг: мы приняли за очевидное поло- жение, что относительная погрешность суммы ^ и ' ~4 стремится к нулю, если стремится к нулю относительная погреш- ность ее слагаемых. Так как число слагаемых этой суммы неогра- ниченно растет, то упомянутое положение нуждается в доказа- тельстве. В конце параграфа читатель найдет строгий вывод формулы (5).
§ 6] примеры вычисления интеграла 329 цпссы а, Ь. Как было показано в § 3, пл. АА'В'В = lim Vvi^ = lim ух2&х£= [x*dxy т. е. пл. дл'В'В = (8) В частности, можно вычислить площадь параболического треугольника ОВВ'. Для этого доста- точно положить в формуле (7) а = 0. I Получаем пл. ОВВ' = , (9) Так как ОВ=Ь нВВ' = OB2 = Ь\ то последнюю формулу можно представить в виде пл. ОВВ' = ±ОВ-ВВ\ (10) т. е. площадь параболического тре- угольника ОВВ' равна трети произ- ведения его основания на высоту. В заключение проведем строгое доказательство формулы (5), сохраняя общий ход вышеприведенного рассуждения. Мы ищем ь х* dx = lim 2, ■*/ Д*/-- d ~ . Величина kxi = d есть главная часть приращения Д-^- (И) 4 Обозначим остальную часть,через а,-: откуда л? Ад-,- = Д ^ — а,-. (12) (13)
ззо ИНТЕГРАЛ [гл. IX Сложим все равенства вида (13) для i' = 0, 1, 2, п—1. Полу- чим или, на основании тождества § 5, Переходя к пределу при lx-*Q (-^ — есть постоянная вели- чина ^, имеем lim S*/^/= lim (15> Левая часть равенства (15) есть, по определению, интеграл ^ лг3 я?лг, так что 1- = — lim Va/. Об) Формула (5) будет строго доказана, если мы докажем, что предел суммы ^ а/ Равен нулю. Чтобы доказать это, найдем в развернутом виде выражение через ;г/ и Длг/. Формула (12) дает «/ = д -4- — ■*/ — 4 Т ~~ ' '" Развернув (*/ +Дл:/)* в многочлен (по формуле бинома Ньютона или непосредственным умножением) и выполнив упрощения, найдем: а, = \х) (| + *, А*, + { Д*? ) . (17) Величина заведомо меньше разности ft — а. Величина х/ заключенная между числами а и Ь, не может неограниченно воз- растать. Значит, при любых значениях л:; и Ддг/ выражение в скоб- ках не превзойдет по абсолютному значению некоторого положи- тельного числа А; величину последнего (зависящую от выбора пределов интеграла) нам* нет нужды вычислять. Абсолютное зна- чение а,- не превосходит, таким образом, величины А кх$\ \*i\<A Ьх* = (А Ьхй Длг/,
§ 7] ИНТЕГРАЛ ОТ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ 331 x*dx = T — т. Возникает предположение, что должна иметь место общая формула b hn+\ „п+\ hn+l — an + 1 V хп dx — —=— J л-Н /г -f 1 /г-fl /г 4- 1 а Чтобы проверить, насколько это предположение правильно, применим метод, разъясненный в предыдущем параграфе. Be- а так как Длг/^Длг, то и подавно \ч\<(АЬх)Ьх£. (18) Просуммируем все неравенства вида (18); мы получим Множитель А А*, одинаковый для всех членов суммы, можно вынести за скобки (т. е. за знак суммы). Получим или (см. § 5) %\*i\<A(b-a)lx. Но абсолютное значение суммы 2 °i не может превзойти 2 i Ч ij поэтому и подавно \%а£\<А(Ь-а)\х. (20) Когда -+ 0, правая часть этого неравенства стремится к нулю; тем более стремится к нулю величина | 2 ai |» а значит, и сама сумма 2 а£ lim yia._0 Подставив это в формулу (16), мы и получим формулу (5). ь § 7. Интеграл ^xndx а Мы получили уже формулы ъ ъ
332 интеграл [ГЛ. IX личину п мы считаем, конечно, постоянной; она может быть как положительной, так и отрицательной, как целой, так и дробной. Что же касается пределов интегрирования а, Ь, то будем пока считать, что они имеют одинаковые знаки, т. е. либо оба положительны, либо оба отрицательны. По определению интеграла (§ 4) имеем ъ С xndx= lim 2*? A*/ a или, что то же, ь \xldx=: lim 2 x»dxt. (1) д*-»-о а Слагаемые х% dx0, х* dxv х% dx2i ..., входящие в правую часть формулы (1), суть значения, которые при % = х0, x = xv x = x2l ... принимает выражение хи dx. Согласно известным правилам диференциального исчисления имеем ^=xndx. (2) " U+i Важно, однако, отметить, что формула (2) имеет силу для всех я, кроме п = —1. Действительно, при этом значении п (и только при этом!) знаменатель левой части формулы (2) Хп+1 X® равен нулю, и выражение ^ , принимая вид -^-, теряет смысл. Случай п = — 1 мы поэтому пока исключим, чтобы позд- нее подвергнуть его особому исследованию. Для всех остальных значений п мы можем, пользуясь форму- лой (2), переписать формулу (1) в виде ъ \ xndx= lim V di—X-) д п_ (3) Так как диференциал есть главная линейная часть прираще- ния функции (§ 3 гл. VII), то мы имеем
§ 7] ИНТЕГРАЛ ОТ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ 333 где а,- есть бесконечно малая высшего (второго) порядка относительно Дл;,. и, значит, можем написать приближенное равенство Относительная погрешность этого равенства будет стремиться к нулю при Дл^. -> 0. Полагая в формуле (5) i = 0, 1, 2, ... и суммируя все эти приближенные равенства, имеем л + 1 -+ 1 / \ л+1 или, согласно тождеству § 5, V w (x"+1) bn+l att+l ta\ Представляется очевидным, что относительная погрешность этого равенства также будет стремиться к нулю, когда ах -+ 0. по —г—1 г—г есть постоянная конечная величина, л+1/1 + 1 ' так что стремление к нулю относительной погрешности озна- чает стремление к нулю также и абсолютной погрешности. Иными словами, величина — п-\-\ есть пРедел СУММЫ „ / 1> lim 21 d и формула (3) дает ¢+1 Ьп+1 апл- л + 1 / /г + 1 /г + 1 Эта формула верна для всех я, кроме « =— 1. *) До формулы (6) включительно наши рассуждения были стро- гими. Но в дальнейшем следовало бы доказать принятое за оче- видное утверждение, что относительная погрешность равенства (6) стремится к нулю вместе с Ал* (или, что то же, стремится к нулю
334 ИНТЕГРАЛ [гл. IX интеграла, имеем ъ д*-»о Постараемся представить выражение — в виде диференциа- ла некоторой функции. Для этого воспользуемся формулой диференциального исчисления й\ъх = Ц. (2') Дальше рассуждение протекает совершенно так же, как для вышерассмотренного случая п=^=—1, с той разницей, что вместо формулы (2) мы имеем теперь формулу (2'). По- следовательно получим ъ ^xldx = \im%d(lnxi), (3) а </.(lnjc,) % Д1п*„ (5') 2 d In х. ^^\\п xt = In b — In a, (6') lim ^ld\nxi = lnb—In a; абсолютная его погрешность). Можно поступить так же, как было сделано в конце предыдущего параграфа для частного случая / х"+'\ ( х"+* \ п = 3. Именно, формула (4) дает d \ _^ ^ J = А у—а/. Суммируя, получаем: Переходя к пределу, получим: Дл:-»0 1 4/2-)-1/ /2+1 Л+1 Д*-»0 Остается доказать, что lim ^]aj=rO. Это доказательство для . Дл:-»0 случая произвольного п громоздко, почему мы его опускаем. Рассмотрим теперь случай п — — 1. В этом случае ин- ь ь- теграл ^xndx принимает вид j Согласно определению
§ 7] интеграл от степенной функции 335 или, что то же, If='»4 • m Формулы (7) и (8) позволяют найти \xndx для лю- а бого п. Замечание. Формула (7) в применении к случаю п — 0 дает ь а или (так как л:0 = 1) ь ^dx=b — а. (9) а В справедливости этой формулы легко убедиться непо- средственно. Согласно определению интеграла ь \dx= lim 2 A*/. а л—r\> Но, согласно формуле (4) § 5, 2 ИХ; = Ъ — о,\ поэтому b \ dx = lim (/; — a) = b—а. Геометрически формула (9) иллюстрируется черт. 118. Уравнение у=х°у или, что то же, ^=1, изображается ь прямой Л'Б'. Площадь, изображаемая интегралом ^dx, есть из последней формулы, принимая во внимание формулу (Г), получаем ъ J ^ = 1п& — In а
336 интеграл [гл. IX площадь прямоугольника АА'В'В, основание которого АВ равно OB — OA = b — а, а высота АА'=\. 4 х2 dx = —4— - 2 4 А' В* :60. В Черт. 118. Пример 2. J~ = ln~=ln 2 ^ 2 •=^0,69 (о вычислении натуральных лога- рифмов см. § 14 гл. VIII). 1 Пример 3. ^Vxdx=jjx2dx = JL iL 92 -42 2 = |[(1/9 )3 _ (/4")3] = 2(27-8)^12,7. 2 2 п „ f dx Г ^ 2-2—1-2 Пример 4. J = \ х~6dx =——-— = 1 1 2 U l) 8 " 2a Пример 5. J x* dx = (20)5-05 _3i Замечание. При интегрировании отрицательных степе- ней полезно помнить формулу ъ Cdx_ 1 / 1 1 \ J х" /2—1 Viz*-1 b*-i) (10) равносильную формуле (7). § 8. Замечания о пределах интегрирования До сих пор мы предполагали, что пределы а и Ь суть числа одинаковых знаков. Если а и Ъ будут иметь разные знаки, то между ними будет заключено значение л*=0. Для
замечании о пределах интегрирования 337 этого значения формула /хп + 1 которой мы выше пользовались, теряет свой смысл, если я4-1<^0, т. е. если п <^—1. Действительно, тогда функция х^+1 ——г при х — 0 имеет бесконечно большое значение; сле- п -j-1 г /хп+^ \ fxn+1\ довательно, ни Д \п_^_ ±j , ни d уп_^ | J ие могут быть бес- конечно малыми ни при каком Д#. Например, при п = — 3 xn+i v-2 1 1 имеем —j = = __> и при х = 0 имеем — ^ = — оо. То же самое относится к случаю п = —1: формула ,, dx d\nx = — х при л; = 0 теряет смысл, так как функция \пх при лг = 0 имеет бесконечно большое значение. Неудивительно, что при — 1 выведенные нами в § 7 формулы (7) и (8) не имеют силы, если один из пределов положителен, а другой отри- цателен. Пример 1. При п = — 2 имеем по формуле (7) § 7 о Ъ х~ •dx = — ft-i-fa-i= —— (1) Этот результат верен, если а и Ь суть числа одинако- вого знака, и неверен, если аяи b имеют разные знаки. Так, при а = — 3, Ь = -\-2 формула (1) дала бы + 2 i ах j * dx \ \ 5 л;2 —3 2 6 Зтот результат явно абсурден, так как подинтетральная функция при всех значениях х положительна, и, значит, интеграл не может быть отрицательным числом. Напротив, если /г^>—1, то формула (7) § 7 сохраняет силу для любых а и Ь. 22 М. Я. Выгодский
338 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Пример 2. — 8 = »[1-(-2)1 = 4-33 = ?. Заметим, что если один из пределов, например я, будет числом отрицательным, то подинтегралъная функция (при дробном п) на участке между х = а и х = 0 может оказать- ь ся мнимой. Тогда и интеграл \ хп dx будет мнимым. а Пример 3. Формула (7) § 7 при п=дает о | Vx~dx = ~{bV~b— aV~a). Если в этой формуле положить а — — 1, & = —)— 1, то она даст + 1 §Vxdx=l{l+V- 1). — 1 Мнимость результата объясняется тем, что между х — —1 и jc = 0 подынтегральная функция У х имеет мнимые зна- чения. Остается еще рассмотреть случай, когда один из преде- лов равен нулю. В этом случае формулы (7) и (8) § 7 верны при любом значении п\ только при п ^ — 1 в них войдет символ оо, который нужно понимать так, как было разъяс- нено в § 6 гл. V. Пример 4. Формула
§ 8] замечания о пределах интегрирования 339 (см. пример 1) при a = Q, Ь = 2 дает 2 j^-2^=-l—l=(X). (3) Эту формулу нужно понимать следующим образом: поло- жим в формуле (2) а=е, Ь=-2, где е есть некоторое поло- жительное число. Тогда формула (2) безусловно верна; она дает 2 Б 2 Если е стремится к нулю, величина интеграла ^ х~2 dx ме- няется и, как показывает формула (4), стремится к беско- нечному пределу: 2 lim \ х~2 dx = оо. (5) Формула (3) есть не что иное, как сохращенная запись фор- мулы (5). Пример 5. Полагая в формуле и . х а а —О, Ъ = \, имеем 4 |^=1л1 = 1пао = *>. (6) О Смысл формулы (6) можно (см. пример 4) выразить формулой 4 lim Г =0О- e-*Oj X е 22*
340 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Упражнения Вычислить интегралы: 5 8 1. §xdx. Отв. 4,5. 9. j ^dx. 0тв> 19Д 4 —1 5 8 2. j* *2 dt Отв. 39. Ю. | у х dx. 0тв. 11 ^ . 2 1 5 3. I j^rf*. Owe. 41 4 . П. \ -^■. Отв. In 2 = 0,69... Отв. 2. ^x*dx. Отв. 41 -| . 11- j*- 0 4 0 1 4. j* tdt. Отв. —2. 12. f -2 О О 1 5. [j*dy. Отв. 9. 13. |-^=. Отв. оо. +3 2 6. J22^ Отв. 18. И.^-^. О/ив. -j- -з 1 1 7. ^xVxdx. Отв. |.. 15в flT- 0//гб' °°* о о 2 4 8. [ xVxdx Отв. 16. Отв. In 4= 1,29... 1 § 9. Интегрирование многочленов Следующие две простые теоремы позволяют вычислить интеграл от любого многочлена, члены которого — степенные функции. Теорема 1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла ь ь Л mf(x)dx = m{ f(x)dx. U)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 341 Доказательство. По определению интеграла ь \ mf (х) dx = lim [mf (х0) \х0 -{- mf (хх) Дл:1 + . .. + + w/(*„-i)A**-i] = = lim т [f (*„) Д*о +/ Д*1 + • • • + /(xn-i) = = /л lim [f{xQ)bx0 + f(xl)bxx-{-...-\-f(xn_l)Axnmml] = Вынесение постоянного множителя за знак интеграла ана- логично вынесению за скобку множителя, общего всем членам суммы. Пример 1. ь J Тх dx = 7 * Ас = 7 ^-^2 Теорема 2. Интеграл -алгебраической суммы (т. е. суммы или разности) равен сумме или разнос/Ни интегралов с теми же пределами: b b b .Г [Л (*)±f, (*)] dx=ffl (х) dx±ff2{x)dx. (2) a a a Доказательство предоставляем учащемуся; оно состоит в про- стой перестановке членов суммы, пределом которой является интеграл. Пример 2. ь ь о |(3лг2 — 5л;) dx=§ Зх* dx — j 5л: dx = £3 — а3 — 5 Ь2~ * . а а а Теорема 2 легко обобщается на случай, когда сумма состоит из трех слагаемых, четырех и т. д.
342 ИНТЕГРАЛ [гл. IX 1 = щ — 3 + 1п2^=7,03. Пример 4. а а \ (а — х)2 dx = ^ (а2 — 2ах х*) dx = 2 2 а а = a2 j dx — 2а jx dx-\- rfje = ^ _2^1-J-^ == g. a «2 я 2* 2 2 Упражнения Вычислить интегралы: & з 1. J JL .v2 d*. O/we. 3. 7. J (2дг+ л-2) tfjc. Отв. 16 -|. 2 1 3,2 2 2. J 0,4*2 О/ив. 4,37. 8. J (3 — лг) d*. Отв. 1,5. о 1 2 2 3. j*3*4/tf. Р/и*. 38,4. 9. j* (и — 2)2 як. Отв. -2 1 4. jr^dr. О/ив. Ю. j (*-,)'*. О/яв. О —« / 2,2 5. [^**rff. Отв. ;~-™2Л П. | ^Г- О/ив.0,14375. О 1.4 т 3 6. §^tdt. Отв. ^тп. 12. [ ^L_ + -ly dx.Ome. 2,75. Пример 3. 2 2 2 2 §(tx* — 2x + ±)dx = 4§x*dx-~2\xd -\-\Ц =
вычисление площадей 13. f (У л: + -* ) 2 dx. Отв. 2,673.* Н. j (б Vz + -?4r) dz. Отв. 8lVl- о 2т г m(m-\-t) dt i со о 15. I _J—J—i—и Отв. 1,69 т2. ъ 16 1 4я 17. ^l±*dx. Отв.2,\4. а § 10. Вычисление площадей Хотя в предшествующих параграфах мы научились вычис- лять интегралы только от степенных функций и составлен- ных из них многочленов, однако, уже этот запас интегралов достаточно велик, чтобы мы могли ознакомиться с много- образными применениями интегрального исчисления. В этом параграфе мы покажем силу метода интегрального исчисле- ния на задаче вычисления площади. Напомним, что площадь 5 криволинейной трапеции можно определить по' формуле (5)" § 3: S= lim 2 л Д"*/- Дл:-»0 Согласно определению § 4, в правой части этой формулы мы ъ г» имеем интеграл ^ у dx, где а= OA и Ъ = ОВ суть абсциссы а крайних точек дуги А'В' (см. черт. 114 на стр. 317). Итак, площадь криволинейной трапеции мы можем вычислять по формуле
:-44 интеграл [гл. IX Здесь у есть некоторая функция от х, задаваемая уравнением линии А'В'. Умея вычислять площадь криволинейной трапеции, мы сможем вычислять площадь, ограниченную любыми линиями. Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной ли- нией у= у л3 — х -f- 1, осями координат и ординатой х = 2. Как показывает черт. 119, наша фигура есть криволинейная трапеция OA'В'В, для которой а = 0, Ь=2. Искомая пло- щадь равна интегралу 2 2 j ydx=^ (i-x3—*-j-l) dx = 2. Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной ли- нией у — х2 — х и осью абсцисс. Линия у = х2 — х есть (§ 9 Введения) парабола с вертикальной осью; раствор ее обращен кверху, вершина ее есть точка (~; —-j-j . Дан- ная фигура, как показывает черт. 120, расположена под осью абсцисс. Ее можно считать криволинейной трапецией (парал- лельные стороны стянулись в точки О и В). Концы дуги ОВ суть точки пересечения параболы у = х2— х с осью абсцисс у=0. Они, следовательно определяются из уравнения х2 — л: = 0. Это уравнение имеет корни х = 0 (абсцисса точки О) и х= \ (абсцисса точки В). Вычисляем интеграл: 1 1 ■ х) dx = — i
вычисление площадей 345 Площадь выразилась отрицательным числом, так как ли- ния ОМВ расположена под осью абсцисс; все ее орди- наты у отрицательны. Естественно, что и lim У\у;&х. оказался отрицательным. Абсолютная величина искомой площади 1 есть —. 6 Пример 3. Какую площадь описывает ордината линии у = (х—1) (лг — 2) (л: — 3), перемещаясь из положения х = 0 в положение лг = 4? Очевидно, движущаяся ордината описывает криволинейную трапецию; площадь этой криволинейной трапеции можно вычи- слить по формуле (1); мы получим 4 4 S= ^у dx = ^ (л:3 — 6*2 -j- 1 \х — 6) dx = 0. о о Результат не должен нас удивлять: на своем пути орди- ната принимала как положительные, так и отрицательные значения; соответствующие площади оказывались то положи- тельными, то отрицательными, и, как показывает вычисление, величины их в сумме взаимно уничтожились. Если мы площадь пожелаем считать всегда положитель- ной величиной, как это принято в элементарной геометрии, то нам придется отделить те участки, на которых ордината у положительна, от тех, на каких она отрицательна; затем мы вычислим площади для этих участков по отдельно- сти и сложим абсолютные их величины. Когда кривая у— (х—1)(л: — 2)(х — 3) переходит из части плоскости, расположенной над осью лг, в часть плоскости, лежащую под осью х, она пересекает ось абсцисс. Абсциссы точки пересе- чения мы найдем, решив уравнение (*—1)(* —2) (*—■3)==0. Корни этого уравнения суть лг=1, х — 2, х — 3. Чита- телю предлагается построить график. Итак, промежуток от а — 0 до Ь—А разобьется на четыре участка: от 0 до 1, от 1 до 2, от 2 до 3 и от 3 до 4, в каждом из которых ордината сохраняет один и тот же знак; какой именно — можно найти прямым вычислением. Мы обнаружим это косвенно, вычисляя площади четырех криво-
346 ИНТЕГРАЛ [гл- IX линейных трапеций 12 3 4 ^у dx, ^у dx, ^ у dx, §ydx. U 1 2 3 Получаем 1 1 ^ydx = j (х9 — 6jc2 -f 11л: — 6) dx = — 2 ^. о о Значит, на участке от О до 1 ордината отрицательна. Далее, найдем 2 3 4 ^ydx=\,^ydx = —^, §ydx = 2j. 12 3 Отсюда видим, что на участке 1 <^лг<^2 ордината у поло- жительна, на участке 2<^*<^3 отрицательна и на участке 3<^*<^4 положительна. Значит, если площадь считать существенно положительной величиной, то площадь, описан- ная нашей ординатой, есть 2т+Т + Т+4 = 5- Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами yz= -I х2 и у = 1 —х°~. Искомая площадь АОВС (черт. 121) есть разность площадей двух криволинейных тра- пеций А'АСВВ' и А'АОВВ'. Абсциссы а, Ь точек А и В мы найдем, решив систему уравнений И у =z 1 — X2. Получим х = — \^\ = а и х- = -\- = Ь. Далее, ъ ь ь пл. АОВС = j(l — x2)dx — ^jx2dx = J (l — у*2) tf*
§ Ю] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 347 (теорема 2 § 8). Отсюда пл. АОВС = Ь- Пример 5. Найти площадь, описываемую ординатой _ _i_ кривой у — х при движении от положения х = 8 к поло- жению л; = 0. Указанная кривая, изображена на черт. 122. Хотя линия ВС кажется смыкающейся с осью у уже на незна- чительной высоте, од- нако, теоретически это смыкание вовсе не осуще- ствляется: кривая у=х 3 имеет ось у своей асимп- тотой, как и гипербола у = х~1, только асимпто- тическое приближение здесь происходит гораз- до стремительнее. При х —► 0 мы имеем 1 у=х—з" —>■ оо, т. е. наша кривая неограниченно простирается вверх, не доходя до оси ординат. Может показаться, что и площадь, описываемая ор- динатой АВ при движении ее к оси у, неограни- ченно возрастает. Одна- ко, на самом деле это не так. Пусть ED есть положение ординаты, продвинувшейся к оси у на расстояние ОЕ = а. Тогда 8 1 Черт. 121. Черт. 122. пл. ABDE При неограниченном приближении ED к оси у величина а стремится к нулю, и площадь ABDE, возрастая, стремится
348 ИНТЕГРАЛ [гл. IX Разобранный пример показывает, что площадь криволи- нейной трапеции, одно из оснований которой бесконечно, может все же иметь конечную величину. Однако, это далеко не всегда будет так. Если бы, например, вместо кривой у=х~~ч* мы взяли гиперболу у — х~"1 и поставили бы туже задачу, то нашли бы или, что то же, о S= lim \x~ldx = lim In я -» 9 J <7->0 8 - = со a 0 (ср. пример 5 § 7). Задачи 1. Найти площадь, ограниченную параболой у = 2х — 2х2 и осью абсцисс. Отв. -гг . о 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и ли- нией у = 2 — — х%. Отв. 3. 3. Найти площадь, ограниченную прямой у — х + 1 и параболой Отв. 2\ГЪ. 4. Показать, что площадь прямоугольного криволинейного тре- угольника ОАВ (черт. 123), образованного параболой у = ах2, осью к пределу 6. Этот предел мы и можем принять за величину S площади фигуры OABDC...: 8 S= lim { x-ihdx = b. Эту формулу можно написать так: 8 S= [ х~ъ dx = 6.
§ 11) ОБЪЕМ КОНУСА 349 Черт. 123. Черт. 124. 6. Какую площадь описывает ордината линии у = х2 — х, пере- двигаясь из положения х~0 в положение х = 2? 2 Отв. -g-, если площадь считать величиной алгебраической; 1, если считать ее всегда положительной. 7. Парабола АОВ (черт. 124) пересечена прямой АВ, перпен- дикулярной к ее оси. Найти площадь 5 параболического сегмента АОВ по данным длинам АВ = а (основание сегмента) и OC=h (высота сегмента). Отв. S~-^ah. Указание. Принять вершину параболы за начало координат, а ось параболы за ось абсцисс. Параметр параболы определится из условия, что на ней лежит точка А, координаты которой из- вестны. 8. Найти площадь шпилеобразной фигуры, образованной осью абсцисс, прямыми х~—4 и х = 4 и кривой линией х2у%=\ (по- следняя и дает шпиль над началом координат). Отв. 6 ^4"¾ 9,5. § 11. Объем конуса Столь же единообразными приемами, какими вычисляются площади разнообразных фигур, можно с помощью инте- грального исчисления находить и объемы тел. Для примера вычислим объем V конуса, высота которого h и радиус основания г. Так же, как при вычислении пло- щади (§ 2), мы разбивали фигуру на полоски параллельными абсцисс и произвольной ординатой АВ, равна одной трети произве- дения катетов: S=^OB-BA. 5. Показать, что площадь 5 прямоугольного криволинейного треугольника, образованного параболой Нейля х9 = ауй, осью 2 абсцисс и ординатой точки А (х0,у0) параболы Нейля, равна.%Уо*
350 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX прямыми, мы разобьем теперь конус на слои плоскостями, параллельными основанию конуса (черт. 125). Расстояние такой плоскости от вершины будем обозначать через х. Последовательные значения переменной х будут х = хх (для плоскости А^ВХ), х = х2 (для • плоскости А2В2) и т. д. Если число слоев есть /г, то для последнего сечения (ДЛ_1ВЯ_1) x = xn_v Для симметрии обозначим через хп высоту конуса: xn=hy и через х0 расстояние вершины S до параллельного сечения, проходящего через эту же вершину, т. е. лг0 = 0. Черт. 125. Черт. 125а. Через у будем обозначать радиус круга, получающегося в сечении конуса плоскостью, параллельной основанию. Соот- ветственно с этим y0l yv у2, yn_v уп будут радиусы сечений, проведенных на расстоянии х0> xv x2l. .., xn-v хп от вершины. При этом у0 = 0, уп = г. На черт. 125 Xr0 = S05, Уъ = ОъАъ. Теперь проведем через окружности AXBV А2В2У... цилиндрические поверхности, как показано на чер- теже 125. Из каждого слоя выделится, таким образом, цилиндр, объем которого несколько отличается от объема слоя. Поэтому и «ступенчатое тело», образованное цилиндрами, несколько отличается по объему от конуса. Однако, если число слоев неограниченно увеличивать так, чтобы толщина каждого слоя неограниченно уменьшалась, то разность между объемом ко- нуса и объемом ступенчатого тела будет стремиться к нулю ]). !) Доказать это мо>#но следующим образом. На тех же круго- вых сечениях, на которых мы строили вписанное ступенчатое тело (черт. 125), построим описанное ступенчатое тело, как показано на черт. Г25а. Объем V конуса должен заключаться между объемом V
§ 11] ОБЪЕМ КОНУСА 351 вписанного и объемом V" описанного тела. Поэтому интересующая нас разность V—V заведомо меньше, чем разность V — V*. Дока- жем, что последняя разность стремится к нулю. Тогда и подавно к нулю стремится разность V— V. Обозначая через slt s2,... , sn-b s площади сечений Афь A2B2i ..., Ап-хВп__ь АВ, и через Дл-0> &хь ... разности Xi — х0, х2^хь ..., мы легко находим: V" = sx Ьх0 + ¾ &x1 + ssbx2-\-...+ sn ±хп_г и V == SX Ьхг + S2 Дл2 + . . . -f Sn _! ДХп _1} откуда V'—V'^s^Xb+is.-sd Л^4- (sz—s2) Ддг2+. •- + {sn-sn-{)bxn_b Обозначим через Дл- наибольшее из значений Длг0, Ххь ... (если все они равны, то общее их значение). По нашему предположению Дл- 0. С другой стороны, так как все величины в скобках поло- жительны, мы имеем si *x0 + (s2 - sx) 1хг + ... + (sn—sn^) ±хп-х < < *i *х + (s2 — *i) ±х +... + (за — sn_{) Ддг, т. е. V" - V < Дл: (Sl-{-s2 —sx +s2-s2 +.. .+sn - sn_x) или V>— V <sa Ax. Ho sn есть постоянная величина s* площади основания. Поэтому при Ддг-^0 величина sn±x стремится к пределу 0: Ил $ЛДл- = 0. Положительная величина V"— V, оставаясь меньше, чем sn&x, тем более стремится к нулю, что и требовалось доказать. Иными словами, объем конуса есть предел, к которому стремится объем ступенчатого тела, когда при неограни- ченном увеличении числа ступенек толщина каждой из них стремится к нулю. Объем ступенчатого тела можно с помощью введенных обозначений представить в виде rryg Дл;, -|- ггу2 Д^ + ТТу| ДлГ2+ . . . + Try* ^ (1) где через Длг0, Дл^, Длг2,... обозначены, как обычно, разно- сти хх— xQ, х2 — xv хв — х2,... Первое слагаемое этой суммы равно нулю (у0 = 0) и выписано лишь для того, чтобы оттенить закон составления суммы. Выражение (1) можно со- кращенно записать в виде
352 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Согласно сказанному выше, имеем 1/= lim У,пу2Лх.. (2) Длг->0 ' 1 Правая часть формулы (2) есть не что иное, как интеграл пу2 dx. Так как расстояние х может иметь любое значение от х = 0 до x—h, то нижний предел есть 0, а верхний /г, и мы получаем л V=\n?dx. (3) о Чтобы вычислить интеграл, нужно выразить подинтегральную функцию ну2 через аргумент х. Из подобия треугольников (например SObAb и SO А на черт. 125) имеем Z— ± г — h 1 откуда Формула (3) принимает вид о Вычисление дает h о т. е. V = \nr2h. (4) о Мы получили известную из элементарной геометрии фор- мулу, выражающую, что объем конуса составляет треть объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Заметим, что в элементарной геометрии вывод формулы объема конуса опирается на теорему об объеме пирамиды, которая принадлежит к числу труднейших теорем элементар- ной математики1). В интегральном исчислении нам нет нужды г) В сущности говоря, методы элементарной математики вообще недостаточны для вычисления объема конуса, пирамиды, шара и
ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 353 опираться на нее. Более того, и самую теорему об объеме пирамиды здесь можно получить тем же простым методом, как и теорему об объеме конуса. Правда, мы в этом пара- графе должны были провести довольно длинное рассуждение, прежде чем получили формулу (3). Но это было необходимо лишь для того, чтобы объяснить суть общего метода. В дальнейшем подобные рассуждения станут очень краткими, и дело сведется к выполнению немногих вычислений, подоб- ных тем, которые привели нас от формулы (3) к формуле (4). § 12. Принципы применения интегрального исчисления; бесконечно малый элемент Объем V конуса, как мы видели в предыдущем пара- графе, представляется интегралом h V=\nfdx. (1) б Чтобы упростить и сократить рассуждения, приведшие нас к этому интегралу, мы поступим следующим образом. Не изображая на чер- теже всех слоев, на ко- торые мы разбиваем ко- нус, возьмем в качестве типического их предста- вителя слой, ограничен- ный плоскостями аЪ и а'Ъ* (черт. 126). Расстояние So от вершины конуса до плоскости сечения ab будем считать независи- мой переменной и обо- значим через х. Расстоя- ние оо' между сечениями аЪ и а'Ь' есть приращение независимой переменной и равно dx. других круглых тел. Элементарная геометрия вынуждена здесь при- влекать чуждое ей понятие предела. Но делается это по необходи- мости кустарно и потому громоздко. Интегральное же исчисление использует это понятие предела (оно входит в определение инте- грала) систематически. Отсюда единство и простота его метода. 5 Черт. 126. 23 м. Я. Выгодский
354 ИНТЕГРАЛ 1.ГЛ. IX Объем конуса есть сумма объемов многих слоев типа abb'а'. Заменим каждый такой слой цилиндрическим слоем с высо- той оо*— dx и основанием пл. ab = тгу2 (через у обозначим радиус оа). Объем такого слоя есть uy2dx, а общий объем всех цилиндрических слоев есть ^izy^dx. Если мы примем объем цилиндрического слоя ny2dx за объем соответствующего слоя конуса, то совершим погреш- ность, но эта погрешность будет при dx—>0 бесконечно малой величиной высшего порядка (доказательство см. ниже), а потому погрешность суммы ^ny2dx будет стремиться к нулю, когда число слоев будет бесконечно большим и наибольшая из их высот — бесконечно малой (ср. рас- суждение § 7). h Поэтому lim ^ity2dx, т. е. \ny2dx есть точное значе- Ду-»0 о ние объема конуса. Так как проведенное здесь рассуждение вполне типично для всех аналогичных задач, то его полезно еще более сократить, и тогда оно будет выглядеть так: 1) конус раз- биваем на параллельные слои; 2) каждый слой заменяем цилиндрическим, пренебрегая погрешностью, малость кото- рой имеет высший порядок; вычисляя объем цилиндрического слоя, находим ny2dx; 3) интегрируем выражение объема h цилиндрического слоя и получаем объем конуса \ny2dx. о Основным моментом, вносящим упрощение в решение задач интегрального исчисления (и вообще исчисления бес- конечно малых), является, как видно из вышеизложенного, отбрасывание бесконечно малых высшего порядка (ср. § \i гл. V). Поэтому необходимо научиться правильно оценивать порядок бесконечно малой величины. При решении геометрических и физических задач полезно сначала производить эту оценку «на-глаз»; после этого легче провести и доказательство. В рассмотренном примере мы имели параллельный слой конуса и заменили его цилиндром. Что допущенная при этом погрешность будет бесконечно малой высшего порядка, можно заранее видеть. Для этого достаточно представить себе, что из нашего слоя нужно выточить цилиндр с основанием ab»
§ 12] ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 355 Если толщина слоя очень мала, то обрезок будет очень узкой стружкой, объем которой ничтожно мал не только сам по себе, но и по отношению к объему слоя. В переводе на язык теории пределов это и означает, что пренебре- гаемая величина не только бесконечно мала, но и имеет высший порядок малости. Это наглядное рассуждение легко превратить в математическое доказательство. Очевидно, объем «стружки» (это и есть допускаемая погрешность) меньше разности между объемами цилиндрических пластинок, одна из которых имеет основание а'Ь' и высоту оо' = dx, а другая — основание аЪ и ту же высоту. Остается доказать, что упомянутая разность есть бесконечно малая высшего порядка. Если площадь аЪ обозначать через s, а площадь а'Ь' через s', то объем первой цилиндрической пластинки есть s'dx, а второй s dx, разность между ними есть (s'— s)dx = ksdx. При бесконечно малом dx бесконечно мало и As; значит, произведение t\s-dx есть бесконечно малая высшего (второго) порядка относительно dx, что и требовалось доказать. Отбрасывание бесконечно малых высшего порядка можно производить самыми различными способами.. В нашем примере можно было бы заменить слой конуса, скажем, шаровым слоем, а не цилиндрической пластинкой. Но эта замена нисколько не облегчит вычисления, если даже считать известной фор- мулу объема шарового слоя. Успех замены, произведенной нами, основывается на том, что выражение ny2dxy дающее объем цилиндрической пластинки, есть диференциал объема конуса. Докажем это. Обозначим через v переменный объем конуса Sab с подвижным основанием аЬ и будем считать v функцией от независимого переменного х. Объем конического слоя аЪЪ'о! есть не что иное, как приращение Дт> функции v% а объем цилиндрической пластинки: 1) пропорционален приращению dx = kx независимого переменного, 2) отличается от прира- щения на бесконечно малую величину высшего порядка относительно dx. А это и значит (определение § 3 гл. VII), что njpdx есть диференциал переменного v: dv = ny2dx. В геометрических и физических применениях исчисления бесконечно малых диференциал какой-либо переменной вели- чины называют часто ее «элементом» или «.бесконечно ма- 23*
356 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX лым элементом». Сообразно с этим можно сказать, что цилиндрическая пластинка есть элемент объема конуса. В заключение сформулируем в общем виде те принципы, которые лежат в основе всех применений интегрального ис- числения и которые мы рассмотрели здесь для частного вопроса об объеме конуса. 1) Искомая величина расслаивается на бесконечно малые части. Способы расслоения могут быть различными; стараются выбрать наиболее удобный. 2) Каждая часть, (достаточно рассмотреть одну типичную) заменяется бесконечно малым элементом. 3) Этот элемент подвергают интегрированию; пределы интегрирования определяются из условия задачи. § 13. Вычисление площадей с помощью бесконечно малых элементов. Диференциальное уравнение В настоящем параграфе мы применим принципы, изложен- ные в § 12, к вычислению площадей. Для начала мы рассмот- рим задачу, уже решен- ную нами (пример 4 § 9). Пример 1. Най- ти площадь S фигуры, ограниченной двумя па- раболами у=-^ х2 и у= 1 —х2. 1) Искомую площадь расслаиваем на полоски прямыми, параллельными оси у; на черт. 127 изо- бражена типичная полоска птт!п\ 2) Заменяем полоску птт'п' прямоугольником с высотой рр' == dx и основанием пт = рт — рп = \—х2 — х2 — 3 / 3 \ = 1 —^ х2' Площадь этого прямоугольника есть П — — х2) dx; она пропорциональна dx и отличается от площади тпт'п на бесконечно малую высшего порядка1). Следовательно, площадь упомянутого прямоугольника есть элемент ds Черт. 127. *) Доказательство можно провести так же, как в § 11.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 357 площади s: ds = {\ — ^x^dx (1) (через s обозначена переменная площадь АСтпО с подвиж- ной границей тп). 3) Интегрируем этот элемент; пределы интегрирования будут абсциссы точек А и В, которые найдем, решая си- стему уравнений у=~х2, у = 1—х2. Получим а =— j/^y* |/^"|"- Искомая площадь есть ь к- То же самое вычисление можно выполнить еще так: про- интегрируем обе части формулы (1); при этом примем в> внимание, что пределами интегрирования для величины бч будут: 5 = 0 (при х = а) и s = S (при х — b). Имеем 0 а откуда Соотношение (1) и вообще всякое уравнение, в которое входят диференциалы переменных величин, называется дифе- ренциальным уравнением. Пример 2. Зная, что длина / окружности выражается через ее радиус г формулой / = 2тгг, найти выражение площади круга через его радиус. Если мы будем разбивать окружность на параллельные полоски, мы придем к интегралу, который пока еще не умеем вычислить. Гораздо проще мы придем к цели, если расслоим окружность на колечки, как показано на черт. 128. За неза-
358 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX висимое переменное примем внутренний радиус колечка г; толщина кольца будет dr. Постоянную величину радиуса данного круга обозначим через R. Если узкое колечко раз- резать в одном месте и затем растя- нуть по прямой линии, то его при- дется лишь незначительно покоробить, чтобы получить прямоугольник со сто- ронами / = 2тгг и dr. Значит, площади упомянутого прямоугольника и колечка различаются на бесконечно малую вели- чину высшего порядка. Площадь пря- моугольника есть 2nrdr; она прогюр- Черт. 128. циональна dr. При избранном способе расслоения площади круга величина 2ъг df есть элемент площади круга. Независимое переменное г меняется от г=0 до r = R. Значит, R S=i\2nrdr='nR2. (2) о Если через s будем обозначать переменную площадь круга, лежащего внутри кольца, то можем написать диференциаль- ное уравнение ds = 2nr dr. Интегрируя его почленно, получим снова формулу (2). Пример 3. Найти площадь OMNAО (черт.гЛ29) первого завитка архимедовой спирали г=ау. Разбивка на параллельные слои в данном случае практи- чески непригодна, ибо в прямоугольной системе координат уравнение архимедовой спирали (см. § 10 гл. IV) не удается разрешить относительно ординаты. Можно расслоить нашу фигуру концентрическими дугами, как мы делали это в пре- дыдущей задаче. Предоставляем читателю выполнить соответ- ствующую выкладку. Еще удобнее разбить нашу фигуру на бесконечно малые секторы OMN, как показано на черт. 129. Полярный угол ср, диференциал которого du = ^MON является центральным углом сектора, примем за независимую переменную. Сектор спирали OMN можно было бы заменить прямолинейным тре-
§ 13] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 359 угольником OMNy но площадь последнего ^r{r-\-dr) sin dy (3) при нашем выборе независимой переменной не есть элемент площади, ибо выражение (3) не пропорционально dy. Зле мент площади мы по- . ^ лучим, если проведем дугу окружности MP радиусом г=ОМ. Пло- щадь кругового сектора ОМР по известной тео- реме элементарной гео- метрии равна у/*2 dy. Она пропорциональна dy и отличается от площади сектора спирали OMN на величину площади MPN; последняя, как явствует тт 1on юп J Черт. 129. из черт. 129, есть бес- к конечно малая высшего порядка. Итак, имеем равенство: 1 ds — — r2 dy (4) Когда точка М описывает первый завиток спирали, поляр- ный угол у изменяется от 0 до 2тт. Поэтому, интегрируя диференциальное уравнение (4), имеем 5 2я 2л §ds = $±r*d4 =J-j а2у2 dy или S=j-nBa2. (5) Чтобы раскрыть геометрическое содержание формулы (5), опишем из центра О окружность радиусом OA — 2яа и срав- ним площадь & с площадью Sx полученного круга. Имеем S% = ттОД2 = 4гс3а2.
360 интеграл [гл. IX Сравнение формул (4) и (5) показывает, что завиток спирали по площади втрое меньше круга, радиус которого равен наибольшему радиусу-вектору завитка. Замечание. Выражение элемента площади можно получить и из выражения (3). Заменяя sin rfcp эквивалентной ей бесконечно малой, rf'f (см. §§ 10 и 11 гл. V), мы изменим выражение (3) лишь на бесконечно малую высшего порядка. Получим -i- г (г -f-dr) dy. Отбросив в множителе r-\-dr слагаемое dr, мы тоже допустим погрешность высшего (второго) порядка малости. Получим ds — = -^- г2 d<?, как и выше. § 14. Вычисление объемов. Объем тела вращения В § 11 мы вычислили объем конуса, разбив его на бес- конечно тонкие слои —■ элементы объема. Подобным же обра- зом можно вычислять объемы многих других тел. Способы расслоения могут быть различными. Простейший и практиче- ски наиболее важный способ расслоения — разбиение на па- раллельные слои. Пример 1. Вычислить объем шара радиуса R. Разбиваем шар на параллельные слои, как показано на черт. 130. Через х обозначим расстояние ОС от центра О до А Черт. 130.
§ 14] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 361 плоскости Mm. Толщина слоя CD = dx. Сечение Mm есть круг радиуса МС=у. Заменяем шаровой слой цилиндром с радиусом основания у и высотой dx. Объем его тту2 dx есть элемент dv объема шара. Объем шара есть ■hR V= [ ny2dx. (1) -R Пределы интегрирования—R и -\-R суть крайние значения независимой переменной я, соответствующие слоям, примыка- ющим к точкам А и В. Для вычисления интеграла выразим у2 через х. Из прямоугольного треугольника ОМС имеем yi = R2 — х2. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем +,* V= \ Ti(R2—x2)dx. -* Вычисление дает известную формулу 1/ = 1 тт/?3. (2) Ее можно истолковать следующим образом: объем шара в полтора раза меньше объема цилиндра, описанного около шара. Тот же результат можно получить, прибегнув к концентриче- скому расслоению шара на шаровые слои (наподобие того, как кочан капусты составляется из листьев). Если через г обозначить переменный радиус слоя (внутренний или внешний — безразлично, так как они разнятся на бесконечно малую величину), то dr есть толщина слоя. Поверхность (внутренняя или внешняя) слоя по известной формуле геометрии есть 4кг2. Элемент объема равен 4irr2dr. Переменная г изменяется от г = 0 дог = /?. Поэтому объем шара равен R V = ^Azr2dr= о Пример 2. Полуцилиндр (черт. 131) АВСА1В1С1 пере- сечен плоскостью ABD, проходящей через диаметр АВ ос- нования. Тело ABCD, отсеченное от цилиндра, называется «цилиндрическим сегментом» или «цилиндрическим копы-
362 ИНТЕГРАЛ [гл. IX том». Полукруг ABC есть его основание; отрезок CD=H высота. Определим объем цилиндрического сегмента. цилиндрический сегмент на параллельные слои перпендикулярными к диаметру АВ. В сечениях Разобьем плоскостями, получим треугольники, типа треугольника EFG. Обозна- чим через х отрезок диа- метра АВ от центра О до переменной плоскости EFG, через у катет FG, через z катет GE. Элемент объема равен произведению площади треугольника -т^уг на тол- щину слоя Ff=dx, откуда уг dx, (3) ности АСВ, отнесенной к Они связаны соотношением где R есть радиус полукру- га лев. Остается выразить ~ уг через х. Переменные х и у суть координаты точки G окруж- прямым О В и ОС, как к осям. х*-\-у* = ф. Из подобия же треугольников OCD и FGE имеем z__H У ~Ry (4) откуда Подинтегральное мулы примет вид 1 выражение —уг в силу последней фор- 1 Н 2 и в силу формулы (4) будем иметь И п 1 Н ,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 363 Подставляя это выражение в формулу (3), получим v = )щ (r*-x*)dx. -R Вычисление дает v=1hr*. о (6) Эту формулу можно истолковать геометрически следую- щим образом: если в основание цилиндра, половину которого мы брали, вписать квадрат, то площадь последнего будет равна 2R2. Формула (6) показывает, что объем цилиндриче- ского сегмента равен объему пирамиды, высота которой равна высоте сегмента, а основание есть квадрат, вписан- ный в основание цилиндра. Этот замечательный результат был получен еще Архимедом в III в. до н. э. методом, по существу тождественным с методом интегрального исчисления. Замечание. Можно расслоить цилиндрический сегмент и иначе, например плоскостями, параллельными плоскости ABBxAi. В сечениях получим прямоугольники со сторонами 2х и z (постройте чертеж). Толщина слоя будет dy. Приняв у за независимое пере- менное, будем иметь элемент объема 2xz dy. Крайние значения неза- висимой переменной у будут у = 0 (слой, прилегающий к ребру АВ) ny = R (слой, прилежащий к высоте CD). Поэтому Этого интеграла, однако, мы еще не умеем вычислить. С помощью параллельного расслоения тела можно полу- чить также общую формулу для объема тела вращения. Пусть некоторая плоская линия АВ (черт. 132) вращается вокруг непересекающей ее оси ОХ. Все точки этой линии описывают при этом окружности. Тело, ограниченное двумя параллельными кругами АА' и ВВ' и кривой поверхностью АВВА, называется телом вращения, а ось ОХ — осью вра- щения. R V= \ 2xzdy. о Выразив х и z через у по формулам (4) и (5), получим R о
364 ИНТЕГРАЛ [гл. IX Примем ось вращения за ось абсцисс; начало координат возьмем в какой-либо ее точке О и положим, что найдено уравнение y = f(x)y представляющее кривую А В. Через а н b обозначим абсциссы край- них точек дуги АВ. Раз- бив тело вращения на па- раллельные слои, мы найдем, что элемент объема есть объем цилиндра MNN'M\ радиус основания которого есть у, а высота dx. Эле- мент объема равен поэтому ny2dx, а весь объем ъ ь V= ^ ity2dx = тг £у2 dx (7) или Черт. 132. и V = n[[f(x)]*dx. (7') Пример 3. Шар можно рассматривать как тело, обра- зованное вращением полуокружности около диаметра. Если за начало координат принять центр полуокружности, то будем иметь а— — /?, b = -\-Ry а уравнение у =/(л:) при- мет вид y = yrR2—x2. Подставляя это выражение в формулу (7), найдем У=тт J (R2 — x2)dxt откуда снова находим V=^nR\ Пример 4. Параболоидом вращения называется кривая поверхность, образуемая вращением дуги OA (черт. 133) параболы около оси параболы (О — вершина параболы). Часто также называют параболоидом вращения круглое тело, огра- ниченное упомянутой кривой поверхностью и плоскостью АВ.
§ H) ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 365 Определим объем параболоида вращения. Приняв за на- чало координат вершину параболы О, мы напишем уравнение параболы в виде у2 = 2рх. (8) Обозначим через R радиус СА основания параболоида, через Н его высоту ОС. Пределы переменной х суть х=0 и х = Н. Объем па- раболоида вращения пред- ставляется формулой А, н V=tt \ 2pxdx, что дает V=npH2. (9) А /1 /1 / I I I I ! 1 в Черт. 133. Для геометрического ис- толкования этой формулы за- метим, что площадь основания АВ есть S—txR2; но форму- ла (8) дает R2 = 2рН, так что 5= 2ърН. Цилиндр АВВААХ имеет, следовательно, объем V^ = S-H — = 2тгр№. Сравнив это выражение с выражением (9), нахо- дим, что объем параболоида вращения вдвое меньше объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Этот результат был известен еще Архимеду. Задачи 1. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а высота h. Отв. ie«A. 2. Показать, что объем всякой наклонной пирамиды с квадрат- ным основанием выражается той же формулой. 3. Найти объем правильной усеченной пирамиды высоты h с квадратными основаниями, стороны которых равны а и Ь. Отв. ±h(a2 + ab-\-b2). Указание. За независимую переменную удобно принять расстояние сечения до (отсеченной) вершины пирамиды.
Збб ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Черт. 134. 4, Два круга радиуса R, расположенные во взаимно перпенди- кулярных плоскостях, имеют общий диаметр. Квадрат движется таким образом, что плоскость его остается перпендикулярной к этому диаметру, а диагонали служат хордами кругов (при этом размеры квадрата, конеч- но, меняются). Определить объем тела, образованного движением квадрата. Отв. |-/?3. 5. Эллипс с полуосями а и Ь вращается около большой оси 2а. Найти объем тела, образованного этим вращением {эллипсоид вращения). 4 Отв. y каЬ2. 6. Дуга МА (черт. 134) равносторонней гиперболы л;2 — у2 = а2 вращается около мнимой оси гиперболы. Определить объем тела вращения AMN'A1, если высота его OC = h. Обозначения этой задачи не совпадают с .обозначениями формулы (7). Отв. nh^ifl+^y 7. Дуга АВ равносторонней гиперболы CAB (черт. 135) с вер- шиной А вращается около асимптоты OY. Найти объем тела вра- щения, если уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам OX, OY, есть ху = 1\ а абсцисса точки В есть x(J. Отв. 7i/2(/ —лг0). 8. Показать (см. пре- дыдущую задачу), что с удалением точки В в бесконечность объем тела вращения (беско- нечный шпиль) не ста- новится бесконечным. Вычислить объем бес- конечного шпиля АаЪВ и показать, что он равен объему цилиндра DdaA. 9. Дуга АО параболы АОВ (черт. 136) вращается около каса- тельной ОС, проведенной в вершине О. Определить объем кону- сообразного тела ОАа по радиусу основания г = СА и высоте ОС ■= h. Отв. 4~ я^Л. 5 Черт. 135.
§ 15] РАБОТА. ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ 367 х А, Черт. 136. Черт. 137. Найти объем цилиндрического сегмента ABDDb если основание и высота параболического сегмента суть АВ = а, CD = h, а высота цилиндрического сегмента DDX --//. Отв. ~ ahH. 10 Указание. Расслоение можно производить плоскостями, перпендикулярными к АВ (ср. пример 2), а также плоскостями, перпендикулярными к CD; второй способ в данном случае упро- щает вычисление. Вычисление интеграла еще более упрощается, если расслоить тело плоскостями, перпендикулярными к DDi, и принять во внимание результат задачи 7 § 9. § 15. Работа. Интеграл с бесконечным пределом Работа Л, производимая постоянной силой F, действу- ющей на тело, которое движется по направлению этой силы, равна FS, где S есть длина пути, пройденного движу- щимся телом: A = FS. (1) 10. Параболы у2 = 2рх и х2 = 2рх вращаются около оси одной из них. Определить объем тела, ограниченного кривыми поверхно- стями двух параболоидов. Отв. ^ тер3. 11. Параболический сегмент, основание которого перпендику- лярно к оси параболы, вращается около основания. Найти объем тела вращения по основанию сегмента а и высоте его h. Отв. -7-=. шк2. 10 12. Цилиндр ABDAiB1D1 (черт. 137), основанием которого слу- жит параболический сегмент ADB, пересечен плоскостью ABD±.
368 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Однако, на практике в огромном большинстве случаев действующая на тело сила различна на различных участках пути; тогда работу нельзя непосредственно вычислять по формуле (1); необходимо прибегать к помощи интегрирова- ния. Почему это необходимо и как решаются задачи на оп- ределение работы, — будет ясно из нижеприводимых при- меров. Пример 1. Вычислить работу, которую нужно затра- тить, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар ABBXAX (черт. 138). Диа- метр основания резервуара АВ = —2R = 6 му высота AAt=H= 5 м. Здесь сила, производящая рабо- ту, равна весу поднятой воды. Но непосредственное применение фор- мулы (I) невозможно, так как раз- личные горизонтальные слои воды должны быть подняты на различную высоту. Поэтому расслоим мысленно наш резервуар горизонтальными плоскостями. Один из слоев CDdc изображен на черт. 138. Через х обозначим переменную глубину одного из оснований слоя, например верхнего. Тогда толщина слоя есть dx (dx = Cc). Объем слоя равен те/?2 dx (мг). Так как 1 мг воды весит 1 ОООлгг, то вес слоя в килограммах есть 1 ОООтт/?2 dx. Различные точки слоя CDdc тоже имеют неодинаковую глубину, но если тол- щина слоя мала, то можно считать, что все точки слоя должны пройти до уровня АгВг расстояние х, и тогда, согласно фор- муле (1), работа поднятия слоя («элементарная работа») будет равна 1 ОООтт/?2 dx • х = 1 OOOtt/?2* dx. (2) Черт. 138. Согласно общим принципам, изложенным в § 11, работа поднятия всей воды резервуара выразится интегралом н j 1 ОООтг/?2* dx = 500тг/?2//2 ^ 353 ООО кгм. о Рассмотрим подробнее наше рассуждение. Приняв работу вы- качивания слоя равной 1 ОООя^лг dxf мы допустили погрешность:
РАБОТА. ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ 369 истинная величина больше, так как нижние части слоя должны пройти большее расстояние. Но погрешность наша имеет высший (второй) порядок малости. Действительно, если все точки слоя должны быть подняты на высоту ЛС = x-\-dx, то работа предста- вится выражением ЮООкЦЦх + dx) dx, (3) и эта величина заведомо больше истинной. Но разность между величинами (3) и (2) есть 1 OOOrc/?2 (dx)2, т. е. имеет высший (второй) порядок малости по отношению к ве- личинам (2) и (3). Значит, разность между истинной величиной работы и величиной (2) и подавно имеет высший порядок малости. Поэтому на величину предела допущенная нами погреш- ность не повлияет. Пример 2. Два электрических заряда ех = —|— 20 элек- тростатических единиц и е2 = -f- 30 электростатических еди- ниц находятся на расстоянии /?0=10 см друг от друга. Сначала оба заряда были закреплены, затем заряд е2 был освобожден и начал удаляться от ег под влиянием силы оттал- кивания. Вычислить работу, которую произведет сила оттал- кивания, когда заряд е2 удалится на 20 см, 30 см, 40 см от заряда ev Согласно закону Кулона сила отталкивания F равна (в динах) (4) где г есть (выраженное в см) расстояние Am (черт. 139) между неподвижным зарядом ех и подвижным зарядом е2, А В dr с О о | | о ^ ю j?* "> * - 40см - Черт. 139. когда последний находится в переменной точке т. Непосред- ственно применить формулу (1) нельзя, ибо величина силы/7, как видно из формулы (4), на различных участках пути ВС имеет различную величину. Поэтому мы выделяем бесконечно малый участок пути тп = dr и считаем, что на протяжении 24 м. Я. Выгодский
370 ИНТЕГРАЛ [гл. IX этого участка сила отталкивания оставалась той же, что в точке т, т. е. была равна . Работа силы отталкивания на участке тп («элементарная работа») представится тогда согласно формулам (1) и (4) выражением dA = Fdr = ^dr. (5) Когда заряд е2 удалится на расстояние R от заряда ev сила отталкивания совершит работу Ro Подставляя сюда R0=\0 см и R = 20 см, 30 см, 40 см, найдем, что искомые величины работы будут 30 эргов, 40 эргов, 45 эргов. При безграничном удалении точки С величина работы возрастает, но не безгранично. Именно, формула (6) пока- зывает, что lim A = ^-= 60 эргов. Величина есть> так сказать, полный запас работы системы двух наэлектри- зованных зарядов. Большей работы эта система дать ни при каких условиях не может. В физике эта величина называется потенциалом (от слова potentia — возможность). С математической точки зрения величину мы можем рассматривать как интеграл со Ro верхний предел которого бесконечно велик. Это не мешает, как мы видим, тому, что такой интеграл имеет конечное значение. Точное определение интеграла с бесконечным пределом таково: ь если ^ / (х) dx при Ь -* оо стремится к некоторому пределу, а
§ 15) РАБОТА. ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ 371 ОО то под интегралом ^ f (х) dx понимают значение этого пре- а дела, т. е. 00 Ь [f(x)dx = lim [f(x)dx. Величину интеграла ^ e~— dr можно подсчитать no формуле (6), Ro подставляя туда /?=оо и полагая — = 0 (см. пример 2 § 9 гл.У). оо 00 Разумеется, не всякий интеграл ^ / (х) dx с бесконечным пре- а Ь ~ Г dx . Ь делом имеет конечную величину. Так, \ — = 1п —, и потому а 00 dx С dx .оо \ — = 1п — = In 00 = 00. j х а Пример 3. Решению нижеприводимой задачи необхо- димо предпослать следующие сведения из физики. Когда неизменное количество газа подвергается расшире- нию или сжатию, меняется и давление газа. При этом, если температура газа остается постоянной (изотер- мический процесс), то давление р газа на единицу поверх- ности сосуда и объем v газа связаны функциональной зави- симостью, выражаемой (приближенно) формулой £-=2о (7) (закон Бойля-Мариотта). Здесь р0 есть начальное давление газа на единицу поверхности, a v0 — начальный объем. Так как при расширении газ охлаждается, то, чтобы осуществить на опыте изотермическое расширение, нужно газ подогревать; напротив, для изотермического сжатия газ нужно охлаждать. Если же извне тепло не сообщается газу и не отнимается от него (адиабатный процесс), то температура газа не остается постоянной, и формула (7) не имеет силы. В адиа-
372 интеграл [ГЛ. IX батном процессе переменные р и v связаны зависимостью (уравнение Пуассона). Здесь k—постоянная для данного газа положительная вели- чина. Для всех газов k^> 1. Для воздуха &=^1,4 (точнее 1,41). Теперь мы можем решить следующую задачу. В цилин- дрическом сосуде с поршнем заключен объем v0=Q,\ мв атмосферного воздуха нормального давления (р0=10330 кг\м2). Цилиндр помещен в пустоте под колпаком воздушного насо- са, непроводящим тепло. Тогда воздух в цилиндре расширяется и выталкивает поршень. Вычислить запас работы расширения воздуха. На первый взгляд может показаться, что в этой задаче недостаточно данных; именно, неизвестны высота цилиндра и площадь его основания. Мы увидим, однако, что искомый результат от формы сосуда не за- * висит. Обозначим через h (черт. 140) переменное ^J^H ^ расстояние поршня до дна цилиндра. Тогда dh '| есть бесконечно малое перемещение поршня ч под действием силы давления воздуха. Чтобы найти элементарную работу на участке dh, мы Черт. 140. должны помножить dh на испытываемое порш- нем давление. Это последнее равно ps, где р — давление на единицу площади, а 5 — площадь поршня, т. е. поперечного сечения цилиндра. Элементарная работа пред- ставляется выражением psdh. Но sdh есть элемент dv объема цилиндра, так что элемен- тарная работа равна pdv. Если начальный объем воздуха есть vQl а конечный v, то ра- бота А расширения равна V a = \pdv. (9)
§ 15] РАБОТА. ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ 373 00 a»=j pdv. (10) v0 Чтобы вычислить этот интеграл, выразим р в функции v. Так как мы имеем здесь адиабатный процесс, то пользуемся уравнением (8). Из него получаем: и, следовательно, А ©о Вычисление дает = Ро<^- (И) Лоо= |3 ^ 2 600 кгм. Замечание. Если через а обозначить переменную ве- личину работы в условиях нашей задачи, то элементарная работа р dv = p0vk~. есть не что иное как диференциал da, так. что мы можем написать диференциальное уравнение » udv Интегрируя это уравнение, нужно принять во внимание, что при начальной величине объема v = v0 никакой работы не было еще произведено, т. е. а = 0, а при бесконечно большом объеме v = oo будет истрачен весь запас работы А». Таким образом, имеем А оо оо что равносильно формуле (11), Запас работы мы найдем, предположив v бесконечно боль- шой величиной. Он представится интегралом
ИНТЕГРАЛ [гл. IX Задачи 1. Вычислить работу А, которую нужно затратить, чтобы вы- качать воду из доверху наполненного котла, имеющего форму по- лушария радиуса /? = 0,6 м. Отв. А = 250тг/?4 ^ 102 кгм. Указание. В отличие от задачи примера 1 здесь горизонтальные слои — не цилиндры с постоянным радиусом основания, а шаровые слои с переменными радиусами оснований. Но ввиду бесконечной малости толщины слоев мы можем их считать цилиндрическими, пренебрегая бесконечно малыми величинами высших порядков. Переменный радиус основания бесконечно тонкого цилиндра нужно выразить в функции глубины. 2. Какую работу нужно затратить, чтобы опорожнить наполнен- ный водой конический резервуар, обращенный вершиной кверху? Радиус основания R м, высота Н м. Отв. 250тг/?2#2 кгм. 3. Какую работу нужно затратить, чтобы насыпать песчаную кучу конической формы? Плотность песка о = 2 г\см*\ берется он с поверхности земли. Высота кучи Н=\ м, радиус основания #=1,2 м. Отв. Л = 522 tc/?2#2 _ 753 кгм о 4. Сила, противодействующая растяжению пружины, пропорцио- нальна удлинению пружины. Показать, что работа, затрачиваемая на растяжение пружины, пропорциональна квадрату удлинения. 5. Силу упругости F, создаваемую в медной проволоке продоль- ным растяжением, можно с большой степенью точности выразить формулой р fsx (закон Гука), где L есть длина проволоки, х — удлинение ее, s — пло- щадь поперечного сечения, а Е—постоянный коэфициент пропорцио- нальности, который для меди округленно равен 106 kzjcm2. Вычи- слить работу, необходимую для растяжения 1 м медной проволоки на 1 мм, если поперечное сечение проволоки есть круг диаметра 4 мм. Отв. 0,063 кгм. 6. Медная проволока длиной L =1 м, поперечное сечение ко- торой имеет площадь 5=10 мм2, подвешена за один из своих кон- цов. Определить на основании закона Гука (см. предыдущую задачу) удлинение х проволоки под действием силы ее собственного веса. Плотность меди 3 = 8,9 г/см3. Отв. x=y~w^^mmm. Указание. Если вычисление вести непосредственно по фор- муле
§ 15] работа. интеграл с бесконечным пределом 375 полагая величину F равной весу всей проволоки SsI, то для вели- чины х мы получим вдвое больший результат. Однако, он будет неверен, так как лишь у точки привеса растягивающая сила равна весу всей проволоки; для промежуточных горизонтальных сечений эта сила равна весу нижележащей части проволоки, а у нижнего конца проволоки растягивающая сила равна нулю. Поэтому нужно разбить проволоку на горизонтальные бесконечно малые слои, под- считать растяжение слоя согласно закону Гука и затем проинтегри- ровать это растяжение. 7. В цилиндрическом сосуде объема t>0 = 0,l ms заключен ат- мосферный воздух нормального давления (/>0 = 10 330 кг\м2). Вдви- ганием поршня воздух сжимается до объема i> = 0,03 м3. Какая работа при этом производится, если стенки цилиндра непроницаемы для тепла? Отв Л=!^[(^)*"'-1]^1 600 кгм (^1,4). 8. Решить ту же задачу в предположении, что стенки цилиндра проводят тепло и температура сжимаемого воздуха поддерживается постоянной. Отв. А = р0и0 In — =^= 1 240 кгм. 9. До какого объема должен изотермически расшириться (см. пример 3) объем г/0 = 0,1 воздуха, чтобы произведенная работа А была равна 2 600 кгм? Отв. vx = v0e =^= 1,2 м3. 10. Показать, что при изотермическом расширении газа запас работы бесконечен. Замечание. Неисчерпаемый источник работы питается сооб- щаемым извне теплом. 11. Деревянный цилиндр, площадь основания которого 5=4000 см2, а высота // = 50 см, плавает на поверхности воды. Какую работу нужно совершить, чтобы вытащить цилиндр из воды, сохраняя вертикальное положение оси? Удельный вес дерева 8 = 0,8. Указание. За независимое переменное удобно принять длину погруженной в воду части цилиндра и рассчитать (кажущийся) вес цилиндра в его промежуточном положении по закону Архимеда. Начальное значение независимой переменной также рассчитывается по закону Архимеда, исходя из условия, что кажущийся вес цилиндра равен нулю. Затрачиваемая работа идет на преодоление именно кажущегося (а не истинного) веса цилиндра. 12. Деревянный конус, радиус основания которого R = 40 см и высота // = 40 см, плавает на поверхности воды вершиной кверху. Какую работу нужно затратить, чтобы погрузить конус в воду полностью? Удельный вес дерева 8 = 0,9. z-cM^z 0,9 кгм.
376 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX Указание. Здесь затрачиваемая работа идет на преодоление избытка давления воды над весом конуса. За независимую пере- менную удобно принять высоту непогруженной части конуса. § 16, Интеграл с переменным верхним пределом В связи с задачами, рассмотренными в предыдущем пара- графе, возникает важный теоретический вопрос, который мы здесь рассмотрим. В определении интеграла (§ 4 этой главы) мы считали ъ пределы я, Ъ интеграла \ f(x)dx постоянными величинами. В примере же 2 § 15 мы рассматривали верхний предел R интеграла A = I dr как величину переменную и искали Здесь мы лишний раз убеждаемся в том, что одна и та же величина, смотря по условию вопроса, может быть и по- стоянной, и переменной. По физическому смыслу величина R есть переменное рас- стояние подвижного заряда е2 от неподвижного заряда ev Но и переменная г, входящая в подинтегральное выражение, имеет тот же физический смысл. В чем же разница между ними? Разница в том, что в условиях рассматриваемой задачи величины R и г имеют неодинаковый смысл. Именно, R есть переменная граница изменения г. Так, если R принимает зна- чение 30, то г пробегает все значения между /?0= 10 и R — ЪО; если R принимает значение 40, то г пробегает все значения между 10 и 40 и т. д. Мы видим, что различие между R и г проявляется лишь в процессе интегрирования. Вне этого процесса они имеют один и тот же смысл и могут друг друга замещать. Так, вместо формулы (6) § 15 а R Ro lim А. A—eMk~~&) 0)
§ 16] интеграл с переменным верхним пределом 377 мы можем, не меняя смысла принятых обозначений, написать формулу выражающую работу, совершаемую силой отталкивания при удалении заряда е2 на расстояние г от заряда ev так же как формула (4) § 15 выражала силу отталкивания на расстоянии г. Запись (2) во многих отношениях предпочтительнее записи (1); так, из фор- мул (2) и (3) можно, исключив г, найти уравнение, связываю- щее наличную величину силы отталкивания и величину произ- веденной этой силой работы. Если остаться при обозначениях формулы (1), то возможность такого исключения из внешнего вида формул (1) и (3) не вытекала бы. Но ясно, что нецелесообразно пользоваться для одной и той же величины различными обозначениями. Так, желая найти уравнение, связывающее наличную величину силы отталкивания F с величиной произведенной этой силой работы Л, мы, есте- ственно, воспользуемся тем, что обе эти величины выражены через расстояние уравнениями (1) и (3), и постараемся исклю- чить расстояние из этих уравнений. Но тогда мы должны будем либо в (3) заменить г на /?, либо в (1) заменить R на г. Очевидно, удобнее остаться при старом обозначении г. не только • можно, но и полезно заменить перемелный верхний предел R переменным интеграции г. Отсюда естественно возникает мысль осуществить эту замену еще до окончания процесса интегрирования и интеграл (2) R Итак, после выполнения интегрирования R записывать в виде
378 ИНТЕГРАЛ [гл. IX Вычисление такого интеграла производится по обычным правилам; только в качестве значения верхнего предела бе- рется переменная г. То же самое относится, конечно, и ко всякому другому интегралу с переменным верхним пределом, и мы можем сфор- мулировать вышеизложенное следующим образом: ь Если в интеграле^ f(x)dx верхний предел рассматри- а вается как переменная величина, то его записывают в X виде \ f (х) dx. Эта запись означает, что по выполнении а интегрирования переменная b обозначается той же буквой х, которая раньше обозначала переменную интеграции. До- пустимость такой замены вытекает из того, что величины b и л: по существу тождественны и отличаются только своей ролью в процессе интегрирования. х Пример 1. Запись \ хdx означает, что нужно вычи- '6 ъ слить интеграл \ xdx=—-—, после чего заменить b на х, так что х I xdx= —-—. (4) Разумеется, при вычислениях нет необходимости сначала вво- дить для обозначения верхнего предела особую букву, заме- няя ее по выполнении интегрирования обозначением переменной интеграции; равенство (4) пишется прямо на основании общей формулы интегрирования. Пример 2. X dx х_ х ~а ' Пример 3. Для лучшего уяснения интегрирования при переменном верхнем пределе рассмотрим с новой точки зре- ния пример 2 § 13.
ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 379 Пусть нам известна зависимость 1=2ъг (5) между радиусом г и длиной / окружности, а требуется найти зависимость между площадью круга 5 и радиусом г. Рассуждая, как в § 13, найдем, что диференциалы ds и dr (первый представляет площадь концентрического колечка с погрешностью, имеющей высший порядок малости; вто- рой— толщину колечка) связаны зависимостью ds=2nrdr. (6) Интегрируя это диференциальное уравнение, мы будем считать верхние пределы переменными и соответственно с этим обо- значим их через s и г; нижние же пределы попрежнему будут равны нулю. Мы получим ^ds=\2nrdry (7) откуда s = Tir\ (8) Сопоставляя формулы (5) и (8) и исключая из них г, мы получаем важную функциональную зависимость /2 5 = 4- W между площадью круга и длиной окружности. Пример 4. При свободном падении тела в пустоте (без начальной скорости) скорость v выражается через время t, протекшее от начала движения, формулой v = gt (#=9,8 см/се/с2). (10) Найти выражение пути s, пройденного падающим телом за время t. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt; рас- стояние, пройденное телом за этот промежуток, можно по- ложить (с точностью до бесконечно малой высшего порядка) равным vdt; это — элемент пути ds: ds = v dt.
380 интеграл [гл. IX Подставляя сюда выражение (10), получим ds = gt dt. Интегрируя это уравнение, будем помнить, что в начале дви- жения величины s и t равны нулю. Это определяет значения нижних пределов. Верхние пределы переменны. Для обозна- чения их используем те же буквы 5 и t. Имеем s t \ds=\gtdt, о о откуда s=\gt\ (11) Исключая t из уравнений (10) и (11), получаем важную фор- мулу v=V*&. (12) В заключение заметим, что может представиться желательным считать переменным не верхний, а нижний предел интегрирования. И в этом'случае ничто не мешает ввести для переменного предела то же обозначение, что и для переменной интеграции. Так, интеграл а 1 ^ х dx равен °2 ~ х* ; интеграл ^ £2 dt равен * ~ и т. д. х t По существу здесь мы не имеем ничего нового, ибо интеграл а ъ С х dx, как нетрудно видеть, есть не что иное, как ^ —■ х dx, так что ^ х dx ничем не отличается от интеграла ^—х dx с перемен- х а ным верхним пределом. По условию вопроса может также оказаться, что оба предела инте- ъ грала J / (х) dx, верхний и нижний, нужно считать переменными. а Но вводить для обозначения обоих пределов одну и ту же букву, очевидно, нельзя, ибо это означало бы равенство пределов между X собой, а интеграл J / (х) dx всегда равен нулю.
ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 381 Упражнения и задачи Вычислить следующие интегралы: 8. Скорость тела, брошенного вниз с начальной скоростью v0l выражается через время t, протекшее от начала полета, формулой v = vq-\- gt. Найти выражение пути, пройденного телом за время t. Отв. s = v(jt+--j gt2. 9. Из диска радиуса 2 дм вырезается концентрический круг радиуса г. Определить площадь остающегося кругового кольца, раз- бив его на концентрические слои. 10. В цилиндре, объем которого равен 4 м3У заключен воздух, давление которого равно 2•104 кг/м2. Какую работу даст изотерми- ческое расширение этого воздуха до объема v? v Отв. А = 8-104 In — кгм. 4 § 17. Давление жидкости Из физики известно (закон Паскаля), что давление по- коящейся жидкости на единицу площади ограничивающей ее поверхности сосуда направлено перпендикулярно к этой поверхности; величина этого давления не зависит ни от на- правления поверхности, испытывающей давление, ни от формы остальной части сосуда, но меняется с глубиной погружения; давление на горизонтальную площадку равно весу вертикаль- ного столба жидкости, имеющего основанием эту площадку, а высотой — ее глубину под уровнем жидкости. Таким образом, вычисление давления жидкости на гори- зонтальную поверхность выполняется элементарно. Но для
382 ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IX негоризонтальной поверхности элементарных средств недоста- точно, ибо глубина площадки не остается постоянной. На рассмот- ренных ниже примерах показано, как с помощью интеграль- ного исчисления вычислить давление жидкости на вертикаль- ную стенку любой формы. Пример 1. Определить давление воды, наполняющей аквариум, на вертикальную стенку, имеющую в длину а = 60 см, а в высоту Ь = 26 см. Разобьем поверхность стенки на бесконечно узкие гори- зонтальные полосы, как показано на черт. 141. Глубину по- ■ лоски обозначим через /z; */, тогда высота полоски будет ================== ^dh dh, а площадь adh. Ввиду Ь бесконечной малости dh мож- но принять, что вся полоска ' ' находится на одной и той же глубине h под уровнем Черт. 141. воды. Представим себе, что она заняла горизонталь- ное положение, оставаясь на той же глубине. Давление оста- нется прежним; оно равно весу столба воды, имеющего осно- ванием площадь adh и высоту h. Объем этого столба ahdii. Вес воды в этом объеме, если а и h выражены в см, есть- ah dh г. Это — элемент давления. Давление же на всю стенку выразится интегралом ъ ^ahdh = ^=\8750 г = 18,75 кг. о Если через р обозначить давление на ту часть стенки которая лежит выше слоя глубины h, то решение задачи можно также записать в виде р п ^ dp—ahdh, ^dp— ^ ahdh, р = ^~ • о о При h—Ъ получаем решение нашей задачи
§ 17] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 383 откуда находим Пример 2. Вычислить давление Р воды на плоти- ну, имеющую форму трапеции (черт. 142), верхнее осно- вание которой а = 6,4 му нижнее £ = 4,2 м> а высота Н=3 м. Как в предыдущей задаче, разбиваем поверхность, испы- тывающую давление, на горизонтальные полоски. Глубина полоски /г, высота dh;. одно из оснований по- д а А лоски — безразлично V I- 7\ \ какое — обозначим че- рез х; очевидно,. х есть переменная вели- чина, зависящая от h. Рассуждая, как в пре- дыдущей задаче, най- дем для давления воды на полоску выражение xh dh; при этом помимо погрешности, проистекающей от предположения, что вся полоска нахо- дится на одной и той же глубине, мы допускаем еще погре- шность, проистекающую от замены площади полоски ее эле- ментом х dh. Однако, обе эти погрешности — бесконечно малые величины высшего порядка. Давление воды на всю плотину представится следующим интегралом: и P=^xhdh. (1) о Для вычисления этого интеграла нужно выразить х в функции от h. Это можно сделать, например, так: проведем прямую АЕ параллельно DC и продолжим FK до пересечения с АЕ. В треугольнике ABE основание есть а — Ъ, а высота И; в подоб- ном ему треугольнике AKL основание есть а — х, а высота h. Имеем пропорцию
384 интеграл [гл. IX Подставляя это выражение в формулу (1), имеем н P = J ^а — ~ (a — b)^ hdh. о Вычисление дает р = №(« + 2») = 22|2 ^ Задачи 1. Определить величину давления на нижнюю половину стенки аквариума в условиях примера 1. Отв.— ab2 = 14,06 кг. о 2. На какой глубине нужно провести горизонтальную линию на стенке аквариума (пример 1), чтобы давления на вышележащую и нижележащую части стенки были равны? Отв. На глубине -^=-:=^17,7 см. У 2 3. Прямоугольная пластинка со сторонами длины а и Ь погру- жена в жидкость удельного веса 8 так, что верхняя сторона а пря- моугольника расположена горизонтально на глубине с, а плоскость пластинки наклонена к горизонтальной плоскости под углом а. Вы- числить давление жидкости на одну из сторон пластинки. Отв. -j- (2с -f- Ь sin а). 4. Треугольная пластина, имеющая основание я = 60 см и вы- соту h = 40 см, погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды. Вычислить давление на одну из сторон пластины. „ ah2 ог. Отв. — = 32 кг. о 5. Вычислить давление на одну из сторон той же треугольной пластины, если на поверхности расположено ее основание. Отв. —г- = 16 кг. о 6. Вычислить давление на одну из сторон той же треугольной пластины, если вершина ее лежит под поверхностью воды на глу- бине с = 50 см, а основание обращено книзу. 0ш.аЛ (с_|_|) = 92 кг. 7. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объекту количе- ствами воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что давление на стенку сосуда уменьшится на 20°/0, если сосуд наполнить одним маслом.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 385 ГЛАВА X ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Вводные замечания В предыдущей главе мы на многочисленных примерах убедились в том, что интегральное исчисление представляет собой мощное орудие для решения разнообразных задач ма- тематики, естествознания и техники. Чтобы это орудие исполь- зовать во всей его силе, нам нужно еще научиться выполнять интегрирование не только в тех случаях, когда подинте- гральная функция есть сумма степенных функций. В целях скорейшего ознакомления с предметом и приложениями ин- тегрального исчисления мы до сих пор ограничивались про- стейшими интегралами. В этой главе мы научимся вычислять интегралы более сложных типов. § 2. Основная теорема интегрального исчисления ъ В § 7 гл. IX для вычисления интеграла \хаdx прия^ — 1 а мы представили подинтегральное выражение xndx в виде Д72+1 диференциала функции л+1 • у.П+1 , и и нашли, что интеграл [ хп dx равен разности между зна- а , Х" + г чением функции ^-р-j при х=Ьи значением той же функ- ции при х = а\ ь п j bn + l an + l xndx = —— — ii_. . (1) n 4. l л 4-1 v ; a 25 M. Я. Выгодслий
386 основные приемы интегрирования [гл. X I ь ^ = ln£ —In д. (2) Этот метод имеет силу не только для интегралов виз.а (1) и (2), но и в общем случае. Именно, имеет место следу- ющая основная теорема: ъ Теорема, Если в интеграле \ f (х) dx подинтегрлль- а ное выражение есть диференциал функции F(x): f(x)dx = dF(x)t <3) то интеграл равен разности между значением функции F(x) для верхнего предела и значением ее для нижнего предела: ь [f(x)dx = F(b) — F(a). (4) а В самом деле, согласно определению интеграла 4 гл. IX), ь [ f (х) dx = lim 2 f A*,. (5) Будем считать x независимым переменным. Тогда kxi = dxi и, согласно условию теоремы, / (х) \xl = f (х) dx, = dF (xt). (6) Формула (5) принимает вид: ъ \f(x)dx = hm^dF(xi). (7) а Согласно определению диференциала (§ 3 гл. VII) dF(xf) есть главная линейная часть приращения А/7^.), т. е. bF(xi) = dF(xi)^-ah (8) ь _ (* dx Тем же путем мы вычислили интеграл \ —; именно, мы пред- а dx л ставили — в виде a In х и нашли:
§ 2] 0СЛ03НАЯ ТЕОРЕхМА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 387 \f(x)dx = F(b)-F(a)1 что и требовалось доказать. Замечание. В § в гл. IX (мелкий шрифт)формула(11) была доказана для частного случая /(х) = х*. Тем же методом можно было бы доказать ее для / (х) — хпу где п — любое положительное целое число. Только выкладки будут более громоздкими. Формула (11) верна и для любой (непрерывной) функции f (х), но доказательство ее в общем-случае потре- бовало бы существенно иных методэв. Это вывело бы нас за рамки, которыми ограничен наш учебник. Ввиду этого мы здесь оставляем формулу (11) без доказательства. 25* где at есть бесконечно малая величина высшего порядка относите чьно 1х.. Заменим в формуле (7) dF(xt) его выражением из фор- мулы (8); получим ь \f(x)dx = Um [2 (xt) - 2¾]. (9) Но, согласно тождеству § 5 гл. IX, Величина F(b) — F(a) постоянная; поэтому формулу (9) можно переписать в виде ъ \f(x)dx = F(b) — F(u) — hmy.ai. (10) Величина есть не что иное» как погрешность, появ- ляющаяся в сумме ^JidF(xi) при замене диференциалов dF(x() приращениями \F(xt). Можно доказать (см. нижеприведенное замечание), что lim 2 а, = 0. (11) Тогда формула (10) дает
388 основные приемы интегрирования [гл. X или, что то же, d^- = x*dx. Введенное нами определение позволяет сформулировать основную теорему интегрального исчисления 2) следующим образом: Теорема 1. Если F(х) есть первообразная функция ь для f(x), то интеграл ^ f (х) dx равен разности F(b)—F(a) а между значением функции F(x) для верхнего предела и значением ее для нижнего предела. § 3. Первообразная функция Основная теорема интегрального исчисления, доказанная в предыдущем параграфе, сводит задачу вычисления интеграла ъ \f(x)dx а к разысканию такой функции F(x), диференциал которой равен подинтегральному выражению: dF(x)=f(x)dx, (1) или, что то же, к разысканию функции F(x), производная dp (х\ которой F' (х) = dx равна подинтегральной функции: Г (x) =/(*). (1') Функция F(x) называется первообразной функцией для функ- ции f(x). Определение. Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(x), производная кото- рой равна f(x) или, что то же, такая функция, дифе- ренциал которой равен f (х) dx. л 3 Пример 1. Функция — есть первообразная для функции о х2у ибо
§ 3] первообразная функция 389 1 х1 dx = - - = 39. Иногда (когда первообразная функция имеет сложное вы- ражение) для обозначения описанного процесса вычисления пользуются записью 5 5 2 ; Прямая черта называется «знаком подстановки». С помощью знака подстановки теорему 1 можно записать в следующем виде: ъ ь ^f(x)dx = F(x) |. (2) а а Эта формула есть не что иное, как иная запись формулы ь [f(x)dx = F(b)-F(:). (2') а Важно отметить, что одна и та же функция f(x) имеет не одну, а бесчисленное множество первообразных функций. Так, например, для функции х2 первообразной является не только функция ^ , но также функции S + 6' I"1' Xi + V2, ~ 2тт и т. п. Действительно, производные от всех этих функций равны х2, ибо производные от постоянных слагаемых 6, —1, V2, — 2тс и т. д. равны нулю. Б Пример 2. В интеграле \ х2 dx подинтегральная функ- 2 ция есть х2; функция— (см. пример 1) есть ее первообраз- о ная; даем в функции — переменной х значения х — 2 и х — 5 23 53 и вычитаем — из — :
390 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Вообще имеет место следующая теорема: Теорема 2. Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то F1(x) — F(x)-{-Ci где С есть любая посто- янная величина (положительная или отрицательная), также есть первообразная функция для f(x). Доказательство. Согласно определению первообраз- ной функции, dF(x)=f(x) dx. Но тогда dF^x) = d[F(х) -\-C] = dF (х) + dC = / (х) dx -f 0 =/(*) dx, т. е. и Ft (х) есть первообразная функция для / (х). Замечание. Для вычисления определенного интеграла совершенно безразлично, какой из первообразных функций, упомянутых в теореме, мы воспользуемся. Наряду с формулой ь \f(x)dx = F(b)—F(a) (3) *j а можно с равным правом написать формулу ъ [f(x)dx = F1(b)-F1(a)i (4) а ибо из соотношения F1(x) = F{x)-j-C вытекает F, (b) = F (Ь) + С, Рг (a) =F(a)+C и почленное вычитание дает F1{b)-F,(a)=F(b)-F(a), так что правые части формул (3) и (4) тождественны. з Пример. Пусть требуется вычислить интеграл ^ х2 dx. 2 х1* Если взять первообразную функцию F(x) = -rr9 то теэ- о реме § 2 получим:
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 391 Если за первообразную функцию взять F1 (х) получим: f^=(i_2„)_(|-2„) = 2 Итак, если известна одна первообразная функция F(x) для /(■*), то известно и множество других первообразных функций F(x)-\-C, отличающихся от данной, а следователь- но, и друг от друга на постоянную величину. Естественно возникает вопрос: не может ли функция / (х), кроме того, иметь и такие первообразные функции, которые отличаются друг от друга на переменную величину? Ответ на этот во- прос дает следующая обратная теорема: Теорема 3. Две функции F(x) и Fx(x), диференциалы которых один2ковы, отличаются друг от друга непременно на постоянную величину, т. е. если dF(x)=f(x)dx (5) и dF1(x)=f(x)dx, (6) то разность F^{x) — ^(л:) есть постоянная величина. Доказательство. Рассмотрим интеграл X \f(x)dx а с переменным верхним пределом х; за нижний предел можем взять любую постоянную величину. Применяя основную теорему интегрального исчисления (§ 2) к функциям F(х) и /71 (лг), получаем: х [f(x) dx = F(x) — F{a) а И х \f(x)dx = F1(x)—F1(a), а * откуда F1 (х) — Рг (a) = F(x) — F(a) х3 о = -g 2гг, то 19 6 •
392 ОСНОВНЫЕ ПГИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X или F1{x) — F(x) = F1{a) — F(a). (7) Правая часть формулы (7) есть величина постоянная, чем и доказана справедливость теоремы 3. Если обозначить /^(а)— F(a) через С, получим Fx(x) = = F(x)-\-C, так что если F(x) есть одна из первообраз- ных функций, то наиболее общий вид первообразной функ- ции будет F (х) -|- С, где С — произвольная постоянная вели- чина. § 4. Диференциал интеграла Теорема 1 § 3 показывает, что задача вычисления инте- грала может быть сведена к задаче разыскания первообраз- ной функции. Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная функция? Мы видели (теорема 2 § 3), что первообразных функций существует бесчисленное множество, если существует одна какая-нибудь. Но сущест- вует ли хотя бы одна первообразная — этот вопрос оставался открытым. Положительный ответ на него мы получим, доказав ниже- следующую теорему, которая и сама по себе играет важную роль в анализе бесконечно малых. Сначала выясним на примерах содержание этой теоремы. X Пример 1. Возьмем интеграл [ хъ dx с переменным К верхним пределом. Как мы знаем, *\ л:4 1 Найдем теперь диференциал функции — — , т. е. той функ- ции, которую представляет наш интеграл с переменным пре- делом. Имеем d(^-\)=x*dx, (2) т. е. мы получили подинтегральное выражение исходного ин- теграла.
§ 4] ДИФЕРЕНЦИАЛ ИНТЕГРАЛА , 393 Пример 2. Вычислим интеграл \-~ . Имеем а х dx j -^- = In * — In а. (4) a Продиференцируем это равенство, имея в виду, что d\nx=- dx — — \ получим X , С dx dx Как и в предыдущем примере, мы видим, что диферен- циал нашего интеграла равен подинтегральному выражению. Подмеченное нами явление всегда имеет место: Теорема. Диференциал интеграла с переменным верх- ним пределом равен подинтегральному выражению: X d^f(x)dx=f(x)dx. (5) а Доказательство. Подинтегральную функцию предста- вим себе графически изображенной линией UV (черт. 143). Нижний предел а изобразится постоянной абсциссой ОВ = а; верхний предел — переменной абсциссой ON= х. Ордината ВА неподвижна; ордината NM подвижна и изображает функ- цию f(x). Площадь криволинейной трапеции ABNM есть так- х же функция от л:; она и представляется интегралом ^ f(x)dx. Формулы (1) и (2) можно объединить, записав их так: х d\ х3 dx — x3 dx. Г В качестве нижнего предела можно взять вместо 1 любое другое число, так что имеем вообще X d [х3 dx = х3 dx. (3) а х dx X
394 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Для определенности предположим, что при x = ON функ- ция f(x) возрастает1). Дадим аргументу х приращение Лх = = dx = NN' так, чтобы не перешагнуть ближайшей к ити- ческой точки R. Тогда ордината N'M' — N'P-\- + РМ' =/(*) + Д/М будет наибольшей на уча- стке от x = ON до x' = ON'. Найдем графическое выражение приращения Черт. 143. Д \ f (х) dx функции а х [f(x)dx. При х = Обозначение этой функции представлялось площадью ABNM; при x' = ON' — ON-\- dx оно представляется площадью ABN'M'. Значит, X k\f(x)dx = пл. ABN'M — пл. ABNM = пл. MNN'M\ Диференциал d \f(x) dx по определению § 3 гл. VII есть а главная линейная часть этого приращения, иначе говоря, — элемент площади. Он представляется площадью прямоуголь- ника MNN'P. Действительно, эта последняя площадь, равная NM>Lx — X == f(x) кх> пропорциональна Да: и отличается от Д^/ (л:) dx = а =nn.MNNM' на площадь криволинейного треугольникаМРМ'; площадь этого треугольника меньше площади прямоуголь- ника MPftl'Q, так как ордината; N'M' выше всех ординат !) Если f (х) здесь убывает или имеет либо максимум, либо ми- нимум, то в дальнейшем доказательстве нужно будет произвести само собой разумеющееся изменение некоторых слов; ход доказа- тельства не изменится.
§ 4] диференциал интеграла 395 дуги ММ'. А площадь прямоугольника MPM'Q равна MP-PM' = \x-\f(x). При 1х—►0 также и Af(x)—►0, а потому плэщадь МРМ Q=lx-\f(x) есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно Ал;. Площадь треугольника МРМ меньше площади МРМ Q и, следовательно, также имеет выс- ший порядок малости. Итак, прямоугольник MNN'P есть диференциал площади ABNM, т. е. X d^f (х) dx—f (х) dx, а что и утверждалось в теореме. Следствие. Для всякой (непрерывной) функции f{x) существует первообразная функция. Действительно, обозначим через F{x) функцию, представ- х ляемую интегралом j f(x)dx (а — произвольная постоянная Be- at личина): х F(x) = ^ f(x)dx. а Согласно доказанной теореме, имеем X dF (х) = d j / (лг) dx =f(x) dx, a т. e. F(x) есть первообразная функция для f(x). Указанное следствие имеет большое теоретическое значе- ние. Но для практики вычисления интегралов оно не дает ничего существенного. Действительно, выше мы свели вычисление интеграла ь \f(x)dx к разысканию" первообразной функции F(x); теперь а х мы знаем, что за функцию ^(л:) можно взять интеграл [f(x)dx. а Ясно, что если мы не знаем величины первого интеграла, то
396 основные приемы интегрирования [гл. X не знаем и величины второго. Таким образом, для практики нужны иные способы разыскания первообразной функции. Изложению этих способов и посвящена большая часть этой главы. § 5. Неопределенный интеграл В теореме 3 § 3 было доказано, что если F(x) есть одна из первообразных функций для функции f (х), то наиболее общий вид первообразной функции будет F(x)-\-C, где С есть произвольная постоянная величина. Для вычисления инте- гралов нам достаточно знать ллшь одну из первообразны* функций, но в других вопросах часто идет речь об общем виде первообразной функции, в соответствии с чем для этого понятия вводится особое наименование — неопределенный ин- теграл. Определение. Неопределенным интегралом выраже- ния f(x)dx (или, что то же, функции f (х)) называется наиболее общий вид той функции, диференциал которой равен f(x)dx. Слово «интеграл» употреблено здесь потому, что инте- х грал ^/(л:) dx представляет первообразную функцию. Слозэ а «неопределенный» употреблено потому, что в общее выраже- ние первообразной' функции входит в качестве слагаемого неопределенная (произвольная) постоянная величина, которую мы обозначили через С. ь В отличие от неопределенного интеграла величину [ f (х) dx, а которую мы прежде именовали просто интегралом, мы будем называть теперь также определенным интегралом. Если в качестве исходной первообразной функции взять х определенный интеграл \f(x)dx с переменным верхним пре- а делом, то неопределенный интеграл функции f (х) можно пред- ставить в виде х \f(x)dx + C, (1) а
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 397 где С — произвольная постоянная величина; нижний предел а можно считать данным числом (например, а = 0), а можно и его считать произвольным постоянным числом. Пример 1. Найдем неопределенные интеграл выраже- ния х2 dx. В качестве одной из первообразных функций можно взять ^ , ибо d (^-) -=х2 dx. Общий вид первообразной функции, т. е. неопределенный интеграл, можно представить выражением -f-C, где С — произвольная постоянная. Возьмем теперь в качестве исходной первообразной функ- Г х* 1 ции определенный интеграл \ х2 dx. Он равен ^-;отпер- 1 вообразной функции -g- он отличается, как и должно быть, на постоянную величину—~ . Неопределенный интеграл можно представить в виде 3 з +с* Это выражение лишь по внешнему виду отличается от выражения '-g-~\-Cy полученного выше. В самом деле, вели- чину — мы можем Обозначить через С: _| + С = С, (2) X2 1 I г> Х'А , ~, и получим вместо g—(- С выражение -g--f-C, совпада- ющее по виду с прежде полученные. Важно заметить, что С есть, действительно, произволь- ная величина, ибо, задав заранее величину С, мы можем взять такое значение С, чтобы уравнение (2) оказалось удов- летворенным. Наконец, возьмем за исходную первообразную функцию х интеграл \ х2 dx> где а—произвольная постоянная величина. Не-
Z98 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X определенный интеграл можно представить в виде х J x2 dx 4, С, (3) т. е. в виде Это выражение также лишь внешним видом отличается от выражения -\- С, ибо если обозначить величину—^""4"^ через С: _^- + С = С, (5) то выражение (4) примет вид f + c' (6) и, каково бы ни было а, С остается совершенно произвольным. х Замечание. Если в интеграле \ х2 dx считать нижний а предел произвольной постоянной величиной, то в выра- жении (4) неопределенного интеграла можно вовсе откинуть х слагаемое С и написать неопределенный интеграл в виде ^ х2 dx. а Действительно, а и слагаемое есть постоянная величина, которую можно обозначить через С: -Т=С, (7) причем С есть произвольная постоянная, ибо для вся- кого заранее заданного значения С можно найти значение а, удовлетворяющее уравнению (7), например, для С = 1 най- дем а=у/ —3, ит. д.
§ 5] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл 399 х2 dx 4- с, где С — произвольная постоянная. С dX Пример 2. Символ I — обозначает неопределенный dx интеграл выражения — или, что тоже, общее выражение перво- образной для функции ~. Так как х dx Однако, в общем случае слагаемое С в выражении (1) отбросить нельзя, что видно хотя бы из такого примера. Ищем неопределенный' интеграл выражения х dx. Возьмем *С х2 а2 а2 \ xdx= — ij-. Здесь слагаемое — хотя и может при- а нимать различные значения, но не является произволь- ным, так как его значения отрицательны при любом значе- на ч х2 нии а. Таким образом, первообразные функции 4, — 5 X и т. д. содержатся в выражении ^ х dx, но первообразные а X2 X2 функции — 4, -у -\- 5 и т. д. не содержатся. Для обозначения неопределенного интеграла чаще всего пользуются тем же символом ^ , которым обозначают и опре- деленный интеграл, только без указания пределов, так что символ j/мл? обозначает неопределенный интеграл выражения f(x)dx. Этот символ подразумевает, следовательно, и произволь- ное постоянное слагаемое, входящее в неопределенный ин- теграл. Пример 1. Символ \ х2 dx обозначает неопределенный интеграл выражения х2 dxy т. е. наиболее общий вид перво- образной для функции х2. Поэтому
400 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. X то In лг есть одна из первообразных функций. Следовательно, |^=1п* + С, (8) где С — произвольная постоянная. Замечание. Очезидио, In ^-=\пх— In5 есть также о первообразная функция для -^-; поэтому вместо формулы (8) можно было бы написать формулу Г£ = 1П*+С (9) и другие аналогичные. Мы видим, что один и тот же не- определенный интеграл может выражаться многими фор- мулами, по внешнему виду отличными друг от друга. В связи с этим следует предостеречь читателя от такой ошибки: если приравнять между собой правые части фор- мул (8) и (9) (лезые части которых тождественны), мы по- лучим ln;c + C = ln-J-f С или In лг = In -^- , что, конечно, нелепо, ибо отсюда вытекало бы, что при любом значении лг. Источник ошибки состоит в том, что величина С, будучи неопределенной постоянной величиной, не имеет одного и того же значения в формулах (8) и (9). Чтобы при одном и том же значении х правые части фор- мул (8) и (9) были равны, величинам С в них нужно дать разные значения. Например, при х=\ правая часть (8) рав- на 0, если С = 0, правая же часть (9) равна 0, если С — = 1п5. Во избежание упомянутой ошибки целесообразно давать произвольным постоянным в формулах (8) и (9) различные
§6] основные свойства неопределенных интегралов 401 обозначения, например, писать их так: (8') (9') Тогда уравнение ln*-]-C = ln -J-+Ct дает In х -f С = In х — In 5 -f С откуда Сг = С-Ь In5, так что при С = 0 имеем С1 = 1п5, при С = 1п2 имеем С = = 1п 10 и т. д. § 6. Основные свойства неопределенных интегралов Из определения § 5 непосредственно следует формула Теорема 1. Знак d перед знаком j уничтожает по- следний. Рассмотрим теперь выражение j ^(л:); согласно опреде- лению § 4 это выражение есть наиболее общий вид функции, диференциал которой равен диференциалу функции F(x). Согласно теореме 3 § 3 такая функция может отличаться от F(x) только постоянным слагаемым. Следовательно, (1) Пример 2. d [xV** -\-\dx = x V*2 + 1 dx. Таким образом, имеем следующую теорему: (2) 26 м. Я. Выгодский
402 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЖ X где С и Ct = С -j- In 5 суть произвольные постоянные (см, за- мечание в конце § 4). Таким образом, имеем следующую теорему: Теорема 2. Знак ^ перед знаком d уничтожает по- следний, но при этом вводится произвольное постоянное слагаемое. Если отвлечься от последнего обстоятельства, то теоре- мы 1 и 2 в совокупности можно сформулировать так: Диференцирование и {неопределенное) интегрирование суть действия взаимно обратные1). Теорема Зу Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: [ af (х) dx = a^f (х) dx. (3) Доказательство. Согласно теореме 1, имеем: d[af(x)dx = af (х) dx и d [ а [ f(x)dx j = ad ^ f(x) dx — af (x) dx. Таким образом, функции ^ af (x) dx и a^f(x)dx, имея оди- наковые диференциалы, могут различаться лишь постоянным слагаемым; но каждая из них уже включает в себя произ- г) Так как определенный интеграл с переменным верхним пре- делом и произвольным нижним есть также первообразная функция с неопределенным постоянным слагаемым, то и определенное инте- грирование есть действие взаимно обратное с диференцированием. Это предложение впервые было сформулировано (в геометрической форме) учителем Ньютона английским математиком Ба: роу; оно опубликовано им в 1669 г. в работе, в составлении которой прини- мал участие и Ньютон, В руках Ньютона и Лейбница, придавших предложению о вза- имной обратности диференцироваыия и интегрирования чисто ана- литическую форму и создавших символику исчисления бесконечно малых, это предложение стало тем фундаментальным средств м для вычисления интегралов, каким оно является и поныне. Замечатель- но, что предшественники Ньютона и Лейбница, которые умели ре- шать многие задачи, по существу требовавшие диференцирования и интегрирования, не замечали, невидимому, упомянутой связи и во всяком случае не использовали ее дл-я разыскания интегралов.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 403 вольное постоянное, так что различным может быть лишь внешний вид выражения (см. замечание в конце § 4). Пример. Выражения 2л:3 -fC и 2л:3 -\-6С1 отличаются друг от друга только внешним видом; положив C = 6Ct, мы сделаем их и по внешнему виду одинаковыми. Замечание. Теорема 3 вытекает также из теоремы 1 § 8 гл. IX, так как неопределенный интеграл отличается от определенного интеграла с переменным верхним пределом лишь произвольным постоянным слагаемым. Теорема 4. Неопределенный интеграл суммы1) не- скольких слагаемых равен сумме неопределенных интегра- лов от каждого слагаемого в отдельности. Соответствующая формула (для трех слагаемых) имеет вид Эту теорему можно доказать так же, как и предыдущую, обнаружив, что обе части формулы имеют одинаковые дифе- ренциалы. Предоставляем сделать это читателю. Замечание. Теорема 4 вытекает также из теоремы 2 § 8 гл. IX. г) Сумма здесь рассматривается алгебраическая, т. е. она может быть также и разностью. Левую часть можно положить равной 2х*-\-С: [ fi (*) dx + J /2 (х) dx -f J /3 (x) dx. (4) 26*
401 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. X Пример. \{6x* — 8x-\-\)dx=[6x*dx—^ 8xdx + \dx = = 6^x2dx —8 j^ = 6y-8y + jc + C = * == 2л:3 — 4л:2 —j— a: —j— С Можно было бы при вычислении каждого из слагаемых 6 [x2dx,—8 ^ х dx и j dx вводить произвольные постоян- ные; мы получили бы 6 (т+с0 -8 (т + с*) +(* + с8) = = 2л:3 — 4л:2 -f - х + 6Сг — 8С2 + С3. Но оба полученных выражения отличались бы только внеш- ним видом, ибо можно положить 0 = 6^-80, + 0,. Отсюда ясно, что произвольное постоянное можно при вы- полнении промежуточных вычислений вовсе не учитывать, а приписывать его лишь тогда, когда все интегрирования выполнены. § 7. Таблица неопределенных интегралов Теорема 2 § 6 позволял- сразу же написать множество новых формул для вычисления неопределенных интегралов, а значит, с помощью основной теоремы интегрального исчи- сления (§ 2) и вычислить множество новых определенных ин- тегралов. Для этого достаточно в формуле \dF(x) = F(x) + C (1) (формула (2) § 6) написать вместо F(x) какую-либо функцию и выполнить диференцирование. Пример 1. Положим в формуле (1) F(x) = V^f\. (2) Продиференцировав, найдем dF(х) = . (3)
ТАБЛИЦА. НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИПТЕГРАЛ03 405 Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим откуда, согласно теореме § 2, ь а Мы вычислили интеграл, который прежде, вычислять не умели,- Пример 2. Положим F(х) = ех. Находим ($ 15 гл. VIII) dF(x) = ex dx. Подставляя в формулу (1), получагм [е* dx = ех -f С, *j откуда ь [ех dx = eb — ea. (5) а Подобным же образом, обращая прочесе диференцирова- ния, можно заготовить большой каталог формул интегриро- вания; однако, на все случаи жизни никакой каталог не будет достаточным. Поэтому разумно ограничиться небольшой таб- лицей легко затэминаэмьге формул и разработать приемы, позволяющие свести к этим формулам вычисление других интегралов. Естестзенно прежде всего остановиться на тех формулах, которые являются обращением основных формул диференци- ального исчисления. Тогда мы получим следующую таблицу: I. $x"dx = ££. + С (пф-\). II. ^ = Ых + С. III. \e*dx = e*-\-C. IV. [ cosxdx=smx-f С (§ 2 гл. VIII). V. С sinxdx — — cosx-f С (§ 3 гл. VIII).
406 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Пример 4. ^(2 sinx — 3cos)dx. !) Формулу VIII можно также записать в виде Г dx —.— arccos лг-I-С (§ 8 гл. VIII). Эта формула отличается от фор- мулы VIII только внешним видом, ибо функции arcsin лг и—arccos л* различаются только на постоянную величину. Именно ~— arccos лг= = arcsin х. Последняя формула есть не что иное, как соотношение sin — =cosa, и получается из последнего введением ноеой переменной ccsa—лг, откуда а = arcccsлг. VIII. Jу**_xi = arcsinx + Сi) (§ 7 гл. VJ1I). ix- 5тт^=агс12лг+с <§9 гл-vm>- Замечание. Полезно помнить также формулу 1а- 1ё=-«-^тз^г+с(«^1), равнозначную формуле I и удобную при интегрировании от- рицательных степеней. Используя теоремы 3 и 4 § 6, мы можем вычисление ряда интегралов свести непосредственно к формулам этой таблицы. Пример 1. [(3Vx — 4rx)dx = = j 3 Vxdx — \ 4х dx— 3 dx — 4 ^ х dx = =^!!_4^ + С= 2хУх—2х*+С. зг Пример 2. J.(2jc+1)2^= f (4^ + 4x + l)^r = = 4 J**if* + 4 + ^* = 1д:3 + 2л? + ;е + С. Пример 3. ^(2 sin x — 2>zosx)dx = = 2 j sin x dx— 3 ^ cos x dx = — 2 cos a: — 3 sin* -j- C.
§ 7] ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 407 \ (2 sin л: — 3 cos x)dx = — 2cosa: — 3 sin л: = ---\- 2. о о Таким образом, с помощью теорем 3 и 4 § 6 мы уже несколько расширяем поле действия нашей таблицы; но без дополнительных средств это поле остается все же очень ограниченным. Упражнения Вычислить интегралы: 1. j (2*24- \)*dx. Отв. 1.хч±}*хь-±2х* + х + С., г Здг5 -4- 4лг2 2 2. \ dx. Указание. Представить подинте- гральную функцию в виде суммы трех дробей. Отв. xi + 4lnx + x-* + C. С тх2 4- пх -4- v л „ т п р . „ 3. 4. j 4*2 (х — 3)dx. Отв. х* — 4^-f-C. - Г (х + !)(*2 —3) dx: п 1 1 , . 1 ,п S Зх2 */x*dx 1 хУX Отв. блг6 +-С. '*» + 2* + l„, Пйта 2 5 1 7. \ ГУГ^~ L dx. Отв. ^х2+4х 2 —2х 2 +С. Г х* + 2х -f J * V* ( sin •* ~Г 1 ^ О/яв. — cos л: — ctg^-l-C J Sin2 л: ь' J ccs2 лг 2 ' Найдем какую-либо первообразную ф/нкцию для данного подынтегрального выражения. Согласно предыдущему примеру, можем взять —2 cos л:—Ззтлг. Согласно теореме 1 § 3 имеем
<0S основные приемы интегрирования [гл. X 1 Г V. 2-S* Этому же выражению равен и искомый интеграл. Если же- лательно выразить его через старую переменную х, то до- ^ \^л*' Отв. х — arct<* х -f- С. Указание. Выполнить деление (с остатком) числителя на знаменатель. о § 8. Интегрирование через вспомогательную функцию (способ подстановки) Теоремы 3 и 4 § б хотя и расширяют поле действия таблицы § 6, все же представляют сами по себе слабое сред- ство, и к ним приходится присоединить другие приемы. Важ- нейшим является введение вспомогательной функции. В ди- ференциальном исчислении (ср. § 10 гл. VII) этот прием мы уже с успехом применяли. В интегральном исчислении идут по существу тем же путем, только в обратном напра- влении. Пусть, например, требуется вычислить интеграл — 1 dx. Если бы заданный интеграл имел вид j ]/ х dx, то мы нашли бы его по формуле I ^я = у^. Поэтому воз- никает мысль ввести вспомогательную функцию z = 2x—1, чтобы придать подинтегральной функции ]/r2x— 1 вид У z . В подинтегральное выражение, кроме величины \/Г2х — 1, вхо- дит еще диференциал dx; его тоже нужно выразить через гспомогательную переменную. Диференцируя соотношение z = 2х — 1, находим dz = 2 dx, откуда dx = ^ . Теперь имеем jV^Tl dx= \V~z~ = ±j г'Udz. 0) По формуле I § 7 получаем dZ = ±.£+C=±*+C. (2) 2
§ 8] способ подстановки 409 статочно подставить в правую часть формулы (2) выражение z = 2x— 1, из которого мы исходили. Получим j|/2^=П dx = ± (2х — 1)Ъ + С. Проверим результат диференцированием: d (j(2x— l)e/« + c) = ^d(2x—\)^ = = -j • -| (2х — 1 ),/2 </ (2л;#— 1) = (2х — 1 )''2 Ac. (3) Мы видим, что и при диференцировании функция 2х — 1 ис- пользована в качестве вспомогательной. При интегрировании через вспомогательную функцую нет нужды непременно вводить для нее новое обозначение. В на- шем примере мы можем рассуждать так: интеграл \ ]/2л; — 1 dx мы вычислим по формуле I § 7, если удастся привести его к виду j V2x—\ d(2x—\). Но d(2x—l) = 2dx. Поэтому помножим искомый интеграл на 2, а чтобы величина 1 его не изменилась, одновременно помножим на , вынеся последний множитель за знак интеграла. Имеем: ^V2x — 1 dx=^V2x — Ь2 dx = = Ц(2х~ rfd{2x — l)=llH£=Jl!" + С = 2 = ±(2х- 1)'''+С. Этот способ представляет прямое обращение вычисле- ния (3). Замечание. При вычислении определенного интеграла можно двояко пользоваться способом вспомогательной функции. 13 Пусть, например, требуется вычислить ^ У 2а;— 1 dx. 5
410 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Мы можем воспользоваться только что найденной перзо- образной функцией (2х— I)2 и на основании теоремы 1 § 3 написать 13 3 13 \ VZx— 1 dx = \(2x — 1)2 =32 4 3 5 6 Но можно ввести вспомогательную функцию z = 2x — 1 (4) прямо в определенный интеграл, и тогда нет смысла возвра- щаться к переменной х. Подинтегральное выражение прини- мает, как и в формуле (1), вид Уг£г % Переменная х изме- нялась в пределах от л: = 5 до х =13. Новая переменная z будет изменяться в других пределах. Их мы найдем, подста- вив л: = 5ил:=13в формулу (4). Будем иметьz = 2• 5 —1 = 9 и 2=2-13—1=25, так что пределы переменной z будут 9 и 25, и мы получим 13 25 J]/2F=1 </jc=ij*l/7<fe =32-| . 5 9 На необходимость изменения пределов интеграла при введе- нии вспомогательной функции мы обращаем особое внимание читателя, так как практика показывает, что начинающие часто забывают это делать. Способ интегрирования через вспомогательную функцию, показанный нами на примере интеграла ^\^2х—1 dx, назы- вается обычно способом подстановка. В общем виде его можно охарактеризовать следующим образом. Для вычисления интеграла ^f(x)dx вводится в каче- стве аргумента новая переменная величина zt связанная с х определенной функциональной зависимостью (в нашем примере — зависимостью 2х — \=z). Функцию f(x) выра- жаем через новый аргумент z. Точно так же выражаем dx через z и dz (дпференцируя уравнение, связывающее х
§ 9] простейшие примеры применения me года подстановки 411 и z). После этих преобразований под интегральное выра- жение примет вид fl(z)dz (ъ нашем примере yj/zAz). Вычислить интеграл [f(x)dx это значит найти общий вид функции F(x), диференциал которой равен f(x)dx: dF(x)=f(x)dx. (5) Выражение / (х) dx есть диференциал искомой функции как в том случае, если х есть независимое неременное, так и в том случае, если х есть зависимая переменная («§ 5 гл. VII). Значит, полученное выражение f1 (z) dz остается диференциа- лом искомой функции, и вместо интеграла (х) dx можно вычислять интеграл ^ /г (z) dz. Зависимость между z и х выбирают с таким расчетом, чтобы интеграл ^ Д (z) dz либо непосредственно содержался в таблице, либо приводился к табличному легче, чем исходный. Естественно возникает вопрос — как именно нужно выбрать функциональную зависимость между z и л, чтобы вычисление интеграла облегчилось, а не затруднилось? На этот вопрос нельзя дать общего ответа; как мы увидим ниже, это обус- ловлено не несовершенством теории интегрального исчисления, а существом дела. Все же можно установить ряд правил для некоторых важных частных случаев. К рассмотрению их мы и переходим. § 9. Простейшие пртшепы применения метода подстановки ПримеР luFTW С целью использовать формулу I (или 1а) § 7 положим 3*4-5=-*. 0) Отсюда 3dx = dz и dx=d* . (2)
412 основные приемы интегрирования [гл. X dx _1г ^(Злг + 5) _ j_ (Злг-г5)-2 , r (6х + д,*~ 3 J (Злг + 5)3 — 5 —j "T" = -JL(3*4-5)-» + C. 6 Пример 2. \ (3/^5;3 . Как в примере 1, вводим вспомогательную функцию Подинтегральное выражение снова преобразуется к виду Пределы интегрирования меняются (см. замечание в § 8). Функция z = 3x-\-5 при значениях х = — 1 и jc = —J--1 (пределы данного интеграла) имеет значения z = 2 и 2:=8. Поэтому новые пределы будут 2 и 8. Получаем 1 8 dx Г dz 1,1 5 С dx Г dz_ 1 j 1_ J (дх + 5)3 J З^з 6-8-2+6-22 (6х + 5)3 J З^з 6-82^6-22 128 e - 1 2 2 ПР™еР 3- Jl8=W • о Можно вычислить сначала неопределенный интеграл dx Вводим вспомогательную функцию 8 — bx—z\ J (о — оХг отсюда dx = — —; получаем о г <*лг г _i_ , г 1 , с J (8 — Зл:)2 J 3*8 — 3(3—Злг)"1" На основании теоремы 1 § 3 можем написать г Лл: J (d — ЗЛ")2 1 3(6 — Злг) С помощью соотношений (1) и (2) подинтегральное выраже- ние преобразуется к виду р, и мы имеем Г dx _ Гdz _ * i с— 1 1 г } (дх + 5)3 J 3*3 №Т^— 6(^ + 5)2 Вычисление можно вести еще так:
§9] простейшие примеры применекил метода подстановки 413 Пример 4. [ 8 dx 6л: — 7 * С целью использовать формулу II § 7 вводим вспомога- тельное переменное 6л; — 7 = z\ находим dx = ^ и получаем Пример 5. ^ еВх dx. С целью использовать'формулу III § 7 вводим вспомога- тельную функцию Зл;: ^e**dx = -j§ **xd(3x)=Ye*x + C- Пример 6. ^ cos"^tidx. С целью использовать формулу IV § 7 вводим вспомога- тельную функцию ^tA = z: [ cosх^~ 1 dx = 3 j coszdz — Ъ sinz-f-C=3 smx^^ + C Правило 1, Если подинтегралъная функция (как в примерах 1—6) имеет вид f(ax-\-b), то подстановка ax-\-b = z приводит интеграл ^f(ax-\-b)dx к виду ^^f(z)dz; если последний интеграл содержится в таблице или приводится к табличным, то указанная подстановка ре- шает задачу. т-т _ С х dx Пример 7. i Тйр^5 - Этот интеграл на первый взгляд похож на интеграл dx ^ _^2 = arctgх -f- С (формула IX § 7). Но наличие мно- жителя х в числителе существенно меняет вид первообразной функции. Вводим вспомогательную функцию \-\-x2 = z и S Можно также ввести вспомогательную функцию прямо в опре- деленный интеграл. Тогда вместо пределов х = 0 и х — 2 получим пределы z=S и z = 2: 2 2 Г dx _ С dz_ J 1_ J_ J(8 — 6xf J dz2 3-2 3-8- 8 *
414 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X : j (1П *)2 ЛП * =i- (1П *)3 + С. Правило 2. под интегральное выражение (как в примерах 7—10) разбивается на два сомножителя, один диференцируем это соотношение; получим 2* dx = dz. Таким образом, выражение xdx, стоящее в числителе интеграла, равно ~, и интеграл принимает вид ^-[— — ^-lnz — = — In (1 -\-х2). Вычисление можно вести так: Г x dx Пример 8. 1-7-=. Сходство с табличным интегра- }V\-x* лом VIII обманчиво. За вспомогательную функцию берем 1—х2 = 0. Имеем —2х dx = dz, и Cxdx==_ \ rJ^=_^_yT—? Проведите вычисление, не вводя нового обозначения для вспомогательной функции. Пример 9. ^ sin3 х cos* dx. Полагаем sin # = 2; диференцируя, имеем cos х dx = dz. Первый сомножитель подинтегрального выражения есть z3, второй есть dz, и мы получаем ^ sin3 х cos х dx= ^ z* dz = z* -\- С = sin4 x -\- C. Вычисление удобно вести так: ^ sin3 х cos х dx = ^ sin3 x d sin x = -j- sin4 л; -f- C. it 1 л Г (In *)2 d* Пример 10. у—^—, Представив подынтегральное выражение в виде (ln*)2^7, замечаем, что множитель ~ есть диференциал функции In*, от которой в свою очередь зависит выражение (In*)2. По- этому принимаем In* за вспомогательную функцию. Имеем
§ 9] ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПОДСТАНОВКИ 415 аз которых есть диференциал тхкой функции, через ко- торую другой сомножитель легко выр^жлется, то упо- мянутую функцию можно принять за вспомогательную. Успех этого приема зависит от того, удастся ли свести новый интеграл к табличным или нет. Часто это видно за- ранее. Так, в примере 8 ср:зу видно, что второй сомножи- dx тель — есть диференциал такой функции (In л:), по отноше- нию к которой первый сомножитель есть степенная функция, а интеграл степенной функции мы умеем вычислять. Точно так же легко заранее предвидеть, что подстановки, приме- ненные в примерах 7—10, будут удачными. Но не всегда так легко отличить удачную подстановку от неудачной. В этом мы убедимся на следующих двух примерах: Пример И. ^(x2 + \)*x*dx. Здесь напрашивается подстановка х2 -j- 1 = z. Действи- тельно, иодинтегральное выражение можно представить в виде произведения сомножителей —-(*2 4~ 1 )4-*2 и 2х dx, из ко- торых второй есть диференциал функции х2 -)-1= z, 4а пер- вый легко выражается через z. Именно, имеем i (х2-\- 1)4л;2 = = !**(* —1). Находим j (*2+ \yx*dx= j i-z4 (z—\)dz. Последний интеграл легко приводится к табличным, и мы имеем ^ (х2-|— 1 )4х3dx = ~ \г*dz — i [гЫг = Заданный интеграл можно было бы свести к табличным и не прибегая ни к каким подстановкам; для этого достаточно представить подинтегральную функцию в виде многочлена: [ (х2 + 1 у х3 dx = j (хп + 4*9 -f 6*7 -f 4*5 ~|- х3) dx = Однако, при использовании указанной подстановки и вычис- ление делается проще, и результат получается в форме, более Удобной для дальнейших вычислений.
416 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Пример 12. [ (x2-\-\)*x2dx. В этом примере подстановка x2-\-\—z будет уже не- удачной. В самом деле, выделим в подинтегральном выраже- нии множитель х dx = -j d(x2 -j- 1). У нас остается еще вы- ражение (х2-{- \у х. Первый его сомножитель (л:2 —f— 1 )4 после подстановки х2 -\-\=z принимает вид z[\ второй же сомножи- тель х выразится через z формулой x = Vz—1. Итак, получим: а этот интеграл имеет более сложный вид, чем исходный, и к табличным сразу не приводится. Более того, если бы интеграл \- \ zi У z—1 dz был предложен для вычисления, к нему следовало бы применить обратную подстановку z — 1 = jc2, которая приводит его к виду \ (х2 -\- I)4 *2 dx. Этот интеграл лучле всего вычислить, раскрыв скобки в под- интегральной функции: [(х2-\- \)*x2dx = [(х^-{-4х* + 6х*-\-4х* + х2) dx = Упражнения Отв. tg 2х -f С. Отв. — -i- ctg [ах -f b) + С. Отв. тет -\- С. Отв. -—arctg 2х -f- С. а н и е. Вынести в знаменателе за скобку Отв. ~ arctg 2х С. CCS 2Х * dx 2 \ ах ' J sin"2 (ах~\- b) ' 3. \emdx. 4 \ dX Чя^Ь-Указ тройку.
§ 9] ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПОДСТАНОВКИ 417 —г •dX . . Отв. 4- У\ — 4*2 2 р ал 1 7. I ^ л ± . О/яв. •^- arcsin 2* + С 8. \ ^ Указание. Вынести в знаменателе с2 за скобку и из-под радикала. Отв. arcsin — . а 9. ^ + I)2 dx. Указание. Представить подинтегральную функцию в виде суммы. Отв. -je*x + 2e*-{-x+C. Jdx —. Указание. Ввести отрицательный показатель сте- пени. Отв. — -1 е-*х -f- С. г (ех-1-1)2 11. \ —lx dx. Указание. Представить числитель в виде суммы и выполнить деление. Отв. е*-\-2х — е-х-\-С. 13. j у.** ^ . Отв.- У\=2~х + С. 14. ^ 1^4*2 -j- 6 х dx. Указание, х dx — ^d (х2) = =-1 d (4*2) ==-1 ^ (4v2 + 6). Поэтому 4*2-]-б принимаем за вспо- ен о могательную функцию. Отв. 1^(4*2^6)3 4- С. t- f f2<# j 1 , п J (1 + 2^)2- — "6 (1Ц_2^3) + С" 17. Г " . Отв. 1 arcsin (и«) 4- С. J У 1 — К* 2 18« 1Г£^2. О™- iln(l+t/2)-f-C. 27 М. Я. Выгодский
418 основные приемы интегрирования [гл. X J V* + t ^ ^ '. ^ sin'2 л: cos л: Отв. у sin*5 л: + С. . j sin2 2л: cos 2х dx. Отв. ~ srn^ 2х + С. ^mxdx 1 J cos4 л: 3cos^a: 1 20, 21 22, 00 г cos Зл: й?л: ^ 1 , ~ 23- \ —т-гъ— • Отв. — h . ао + С. J виИЗл: 9 sin3 Зл: 1 24. J cos2 л: 4 s i л_ С cos л: ^л: xr , 1 ,, 0 . ч 25. \ , 0 . гтг. Указание, cos л* */л: =- — d (1 4- 2 sin л:). J (1 -f- 2 sin л:)2 2 1 2(1 -f-2sinA:) 1 26. Г £XdX . Отв. arc sin ex -f С 27' °Яв- .4In^ + 4- + 5) + C- 28. [ xdx Отв. —Уф — х2 + С. 29. ^e-x* xdx. Отв. —~e~^ -f-C. 30. f **Т Ome. In {е* + е-*) + C. § 10. Комбинирование метода подстановки с тожде- ственными преобразованиями подинтегральной функции Чтобы извлечь из метода подстановки наибольшую пользу, нужно научиться комбинировать его с такими тождественными преобразованиями подинтегральной функции, которые подго- товляют почву для удобного введения вспомогательных функ- ций. Здесь мы рассмотрим важнейшие для практики типы преобразований !). 2) В каждом из нижеприводимых правил указывается один из способов вычисления интеграла некоторого типа. Для многих ин- тегралов того же типа указываемый способ будет не наилучшим. Часто случается, что к данному интегралу удобнее применить пра- вило, приведенное для интегралов другого типа (например, пра-
КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 419 Пример 1. \l+xX!_-X*dx. Подстановка 1—x = z привела бы к цели, но после длинного вычисления. Вычисление облегчится, если мы вы- полним деление 1-|-^5 — хв на 1—х. В частном получим*5, в остатке 1, так что Правило 1. Если подинтегральное выражение есть дробь, числитель которой есть многочлен более высокой или той же степени, что знаменатель, то интегрирова- ние облегчается, если выполнить деление (с остатком, если таковой получится). Замечание. Часто преобразование дроби можно вы- полнить проще искусственным приемом. Так, в нашем при- мере можно вести вычисление таким образом: !_+ f!zz£6 L_ I хЪ—х6— L_ I *Б(1 — х) 1-х ' 1 — *"т"1—* 1-х ' 1—* 1 ! v5 Пример 2. \ ,dx. ,. . v F J *(*-Н) Прибавим и вычтем в числителе подинтегральной функции . \ п величину * с целью разбить дробь на две с более X \Х -\- \) простыми знаменателями: 1 ' 1 -f х — * 1 -\-х х \ 1 *(l-f-*) х(\+х) *(1 +-х) х(\+х) * l-f* • Теперь интеграл легко вычисляется: г dx с dx С dx J *(*-)-1) J * J 1 -f * = ln* — ln(l Jrx)^C = \nT^:-\-C. Правило 2Г Если подинтегральная функция есть дг.обь, знаменатель которой есть произведение различных вило 8 можно применить к интегралам, объединяемым правилом 6, а также правилом 7). Вообще нет надобности заучивать эти пра- вила; плодотворное их усвоение и умение применять на практике достигаются только упражнением. 27*
420 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X линейных функций, то ее следует представить в виде суммы дробей с линейны ни знаменателями и постоянными числителями. Замечание 1. Предполагается, что числитель дроби имеет меньшую степень, чем знаменатель; если это не так, то выполняем предварительное преобразование по правилу 1. Замечание 2. Преобразование, о котором говорит правило 2, всегда возможно. Для выполнения его есть общий прием, который выясняется из рассмотрения примера 3. ПРИМеР 3- 1(х-№+-6)**- п о 4л: 4- 11 Согласно правилу 2 представим ^ ' , ■ в виде \х 1) \1х -\- 6) суммы двух дробей с линейными знаменателями; этими зна- менателями будут, конечно, выражения х—1 и 2х-\-3. По- стоянные числители, пока неизвестные, обозначим через А и В. Мы должны, таким образом, иметь 4*4-11 А ■ В , (х—\)(2х + о) ~~х— 1 \~2х + о ' * ' Приводя к общему знаменателю, получаем ^ 4л: -f- 11 _ (2Л + В) х -f- ЗЛ — В {х— 1) (2*4-3) ' (л-— 1) (2л: 4-3) Знаменатели правой и левой частей одинаковы; следовательно, и числители должны быть одинаковы, для чего необходимо, чтобы коэфициент 2А-\-В был равен 4, а свободный член ЗА—В был равен 11: 2Л-f£=4, зл —В = \\. Мы получили два уравнения с двумя неизвестными А и В. Решая их, находим Л = 3, В = — 2. Подставляя эти значе- ния в (1), находим тождество 4л:-[-11 _3 2_ (л:— 1) (2л: -f-З)-л— 1 2* + 3' справедливость которого легко проверить. Теперь вычисляем интеграл: j (лг— 1) (2л: + 3) j*-"1 J 2* 4-3 = 31п (*— 1) — In (2х + 3)4-С.
§ 10] КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 421 V-xf dx. Здесь в знаменателе произведение двух одинаковых со- множителей. Ясно, что ни при каких постоянных А и В мы 2 х А В не можем представить дробь ^ 2 в виде f^zrx ~Ь ' Зато можно представить ее в виде ^ а -[- 7 ^, после чего интеграция не представит затруднений. К такому виду подинтегральное выражение можно привести либо непосред- ственно: 2-х 7 — Х — 5 1-х 5 1 5 (7 — xf~ {7 — х)* (7 — х)°~ (7 — х)* ~~ 1 — х (7 — дг)3 • либо методом неопределенных коэфициентов (см. пример 3). Именно, полагаем 2-х А . Д А-\-7В — Вх (7 —д:)2—(7 —*)2 1 7 —* — (7 —л')2 * Сравнение правой и левой частей дает систему уравнений Л + 7£ = 2, -В = -\, откуда Л = —5, £=1. Интеграция дает С 2-х . -(* . f J (7=5?}»** — —5 J (7—fZT-x — = -7Z^-ln(7-*) + C. Правило 3. подинтегральное выражение есть дробь, знаменатель которой есть квадрат линейной функ- ции, а числитель — линейная функция, то его следует представить в виде суммы дробей, числители которых постоянны, а знаменатели — квадрат упомянутой линей- ной функции и ее первая степень. Такое представление всегда возможно. Примененный здесь метод есть метод неопределенных коэфициентов. Пример 4. 4 2-х
422 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Пример 5. \ sin5* dx. Разбиваем подинтегральное выражение sin*xdx на два множителя sin4 х и sin л: dx. Второй есть — d cos х. Первый легко выражается через cos*. Именно, sin4 х = (sin2 л:)2 = (1— cos2 *)2 = 1 — 2 cos2 x + cos4 x. Поэтому cos* принимаем за вспомогательную функцию: [ s\nb х dx = — \ (1 — 2 cos2 х -f- cos4 *) d соз * = = — cos л: -|~ "J cos3 x — "g" cos5 x-\-C. Этот прием можно применить к интегралу любой нечет- ной степени cos х или sin *. Правило 4. Для вычисления интеграла ^ sln2n+lxdx или [ cos2n+1 х dx (п—целое положительное число) следует принять за вспомогательную функцию cos* в первом слу- чае и sin* во втором. В случае четной степени cos* или sin* этот прием не приведет нас к табличным интегралам. В этом случае можно пользоваться известными тригонометрическими преобразова- ниями: 9 l-f-cos2* /пч cos2*=—^2 , (2) . 0 1 — cos 2х /ч sin^ * = 2 • W Пример 6. [ cos4 * dx. J cos4 xdx = ^ (cos2 xf dx = ^ ^+0°82*^2 dx = = jj^ + ^jcos2*tf* + !J cos2 2* dx. Первые два интеграла вычисляются сразу; к третьему же нужно повторно применить формулу (2), переписав ее в виде о о 1-4-cos 4* /п,ч cos2 2* = —[—2 . (2 )
§ 10] КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 423 Тогда получим: j* cos4 х dx — -i- x -j- ~ sin 2x -J- у (1 -f- cos 4*) </л; = = -5^ + Tsin 2*+y* + 32sin 4* + C= 3 1 1 = -8-Л1+4 sin 2лг + 32 sin 4x + C- Правило 5. Для вычисления интеграла ^s\n2nxdx или ^cos2nxdx при четном п можно представать его в виде \ " С2 S ) " РаскРыть скобки и, если потребуется, повторно применить формулу (2). _ Г 4*4-11 , Призер 7. Jg—j^L—rf*. Разложим знаменатель 2х2-\-х— 3 на линейные мно- жители; как известно из алгебры, это можно сделать, ре- шив уравнение 2х2 -\-х — 3 = 0. Получаем корни хх = 1, 3 х% — — ^ и имеем 2х2-{-х —3 = 2(х— \)(х-\- |) =(*—1)(2лг +3). Теперь интеграл вычисляется, как в примере 3: Г 4ЛГ+П ^ Г 4*+ 11 J 2Л-2 + ДГ — ЗаХ J (лг-1)(2дг+3)ЙХ — = 31п (лг — 1) —1п(2лг + 3) + С. Правило 6. Если подинтегральное выражение есть дробь, знаменатель которой — квадратичная функция с действительными корнями, то знаменатель можно раз- ложить на множители и затем применить правило 2 или 3. Следующие примеры покажут, как можно поступать в случае, когда знаменатель есть квадратичная функция с мни- мыми корнями. Может случиться, что числитель есть дифе- ренциал этого трехчлена или отличается от диференциала постоянным множителем. Тогда знаменатель принимаем за вспомогательную функцию.
424 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X п q С* 3*40,9 , Пример 8^-ф—аХа Диференциал знаменателя есть (\0х -\- 3) dx, числитель получается умножением этого выражения на 0,3. Получаем Г 3*4-0,9 Г d(5x2 + 3x + \)_ j 5*24-3*4 5*2+3*4-1 — = 0,3 In (5л:2 -|- 3* 4- 1) 4- С. Другой важный частный случай, когда числитель есть постоянная величина. Тогда знаменатель следует представить в виде суммы постоянной величины и квадрата линейной функции. Делается это так же, как в алгебре при выводе формулы решения квадратного уравнения. Пример 9.|5ж>+6^+1^. Чтобы упростить промежуточные выкладки, полезно сде- лать коэфициент при *2 квадратом четного числа. Для этого помножим числитель и знаменатель на 5 •22 = 20: С 6,1 dx Г 122 rf* J 5*2-f-3* + l J 100*24-60* 4-20 • Теперь выполняем указанное выше преобразование знаме- нателя: 1 ОО*2 + 60* + 20 = (1 О*)2 4- 2 • 10* • 3 + 20 = = (10*)°-4-2-(Ю*).3-|-32 — З2 + 20 = (10* + 3)2 + 11. После этого уже легко свести данный интеграл к таблич- ной формуле IX (§ 7). Имеем С 6,1 dx Г 122 Л* 122 Г dx J 5*24-3*4-1 ~~J (10*4-3)24-11 11 J /ю* + з\2 , • \Vn ) + Ю* 4-3 Принимаем за вспомогательную функцию — ' = z, откуда dx=y^'dz. Получаем • 10 J У П Л dx 12,2 Г dz 12,2 , 10*4-3 — -{ — : arctg- — Г 6,\dx 12,2 С j 35*24-3*41-^3^ 4-3*4 1-^п J ^+1- уп * Vn К частным случаям, рассмотренным в двух последних при- мерах, можно свести, интегрирование любой дроби, знамена-
комбинирование методов интегрирования 425 тель которой есть квадратный трехчлен с мнимыми корнями, а числитель—любой многочлен. После применения правила 1 степень этого многочлена будет не выше первой. Дальнейший ход выкладки выяснен в следующем примере. _ 1Л Г За:+ 7 Пример 10* J5* + 3* + lrf*- Числитель разобьем на два слагаемых так, чтобы одно получалось из производной знаменателя ~ (5л:2 + Зх + 1) = = 10л; + 3 умножением на некоторую постоянную, пока неиз- вестную величину Л, другое же было бы постоянным числом В% так чтобы имело место тождество Л (1 Ол: + 3) + £ = Зл: + 7. Сравнивая коэфйциенты при х и свободные члены в правой и левой частях последнего равенства, получаем уравнения 10Л = 3, ЗЛ + £=7, откуда Л = 0,3, £ = 6,1. Итак, имеем Зл:-j-7 = 0,3 (\0х -f3) + 6,l. Теперь искомый интеграл разбивается на сумму двух инте- гралов, вычисленных в примерах 8 и 9: Г &x + 7)dx C(\0x+S)dx . fi 1 Г J 5** + 3* + 1 ' j 5л:2 + За+ 1 ' j dx 5а2+Здг+ Г = 0,3ln(5* + 3* + 1)+^arctg у^ + С. Правило 7. Чтобы проинтегрировать дробь, знаме- натель которой есть квадратный трехчлен с мнимыми корнями, а числитель — линейная функция, можно числи- тель представить в виде суммы постоянной величины и величины, пропорциональной производной знаменателя', получим сумму двух интегралов, из которых первый вы- числяется по образцу примера 8, а второй — по образцу примера 9. Пример 11. Г _ dx — , J V(2ax — л-2)* Преобразуем квадратичную функцию, стоящую под зна- ком радикала, как в примере 9, выделив в ней квадрат
426 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X * cos* a V a2 YtfZZ так что dx 1 V a2—(a — x)2~ V{2ax — д:2)3 a2 V2ax — x* + C. Правило 8. подинтегральное выражение содер- жит квадратный корень из квадратичной функции, то последнюю полезно преобразовать в сумму или разность постоянного числа и квадрата линейной функции. Приняв эту линейную функцию за вспомогательную, мы приведем радикал под интегральной функции к одной из трех про- стейших форм: I. Va2 — z2y II. Ya2-\-z2, III. ]/** — а*. Если после этого интеграл не сводится к табличным фор- мулам с помощью тождественных преобразований под- линейной функции: 2ах — х2 = а2 — а2-\- 2ах — х2 = а* — (а — дг)8, Г dx _ Г dx J V(2ax — х2)* J V[a2 — (a — x¥\* * Положив a — x = приведем интеграл к виду С dx Г dz J V(2ах — х2)* ~~ ) V(а2 — z2)* ' Теперь сделаем новую подстановку z=asmt (или z = acost) с тем расчетом, чтобы избавиться от радикала \гф—z2, который примет вид V& — a2 sin21 = a cos t. Бу- дем иметь Г dx Г dz С a cos t dt J V(2ax-x2)*~~ J V{a2 — z2f ~~ J ^cosU ~~ = ~~ T2 j C^i2! = _ T2 ^ ' + Ce Переходя обратно к переменной г и затем к переменной х, имеем
§ 10] КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 427 или I. z = asint, II. z = atgt, III. z = asct la. z = acost, Ha. z = actgt, Ilia. z = acsct. В следующих примерах радикал взят сразу в простейшей форме. Пример 12. Г \ Здг dx. )Va-# JV4-X* J ^4- xdx ~x? Первый интеграл приводится к табличной формуле VIII подстановкой x = 2z; во втором можно принять за вспомога- тельную функцию подкоренное выражение. Получаем = 2 arcsin ^- + 3)/4 —*2 + C. Пример 13. Г ^ J x2Vx2-\-a2 Полагаем x = atgt; тогда 1/*2 -\-а2 = а sec dx = a sec2 £ ctf Г rf* Г a sec2 f dt _1_ Ccostdt _1_ Г d sin t _ J х2Ух^\^а2 )a*tg2tsect a2 J sin2^ фJ sin2* ~ a2 sin £ 1 Возвращаясь к переменному xy имеем tg* x sin 1 — -7 — — r dx Ya2 + x2 , n интегрального выражения, то полезно испробовать тригоно- метрические подстановки
428 основные приемы интегрирования [гл. X Пример 14. jVa2 — *2 (*х. Полагаем х = a sin/, тогда dx = a cos tdt и j* Va2 — х* dx = a2^ cos21 dt. Последний интеграл можно вычислить по правилу 5: Переходя обратно к переменному х, имеем t = arcsin —, sin 21 = 2 sin t cos t = 2X ^a x . j Ya^x~2 dx = ^ arcsin Va^x2 + C. Нижеследующий пример покажет, что и после выполнения подстановок, указанных в правиле 8, для вычисления инте- грала рассматриваемого типа могут понадобиться те или иные приемы; предусмотреть всех их какими-либо общими прави- лами нет возможности. Пример 15. Г r dx - . jVx*-a* Применяя подстановку х = a esc/, получим Г dx г dt J Y~X*~Z& — J sin г Несмотря на простой вид этого интеграла, взять его сразу не удается. Здесь можно применить прием, который бывает полезным при интегрировании и других тригонометрических функций, именно, выразить подинтегральную функцию через тангенс половинного угла. Имеем sin t = 2 sin cos ^ = 2 tg »- cos2 ^ . t t Величину cos2-^- нетрудно выразить через tgy, но этого делать нет нужды; напротив, так как эта величина войдет
комбинирование методов интегрирования 429 в знаменатель, выгодно сохранить ее дчя выделения множи- теля dt а2 .. t 2 cos2 ~ cos2 ~ Теперь ясно, что интегрирование выполняется легко, если за вспомогательную функцию взять tg-* Переходя обратно к переменному х, получим dx , . t , „ , 1 — cos £ i = _lntg- + C=-ln—-+C = ]/"д;2 _ «2 1 2 ' Sin f — In I———i -f- C= In Lzt££i? _j_ c= 1 — COS * 1 Sill £ 1 = ln (csc^ + ctg^) + C = = ln (--)-1)+0 = 111^ + ^-^) + ¾, где Cj = С—In a. Замечание. Подстановка z = a sc а привела бы к ин- du Л . _ Г dt J sin^ тегралу I uu , который переходит в — I при новой под- j cos и становке а = \ — ^ Можно также ввести тангенс половин- ного угла прямо в интеграл \ , который примет тогда rftgT и вид 2 \ . Приняв tg за вспомогательную функцию и применив правило 2, доведем интегрирование до конца. Предоставляем вычисление читателю.
430 основные приемы интегрирования [гл. X Гл-з dx Упражнения Отв. ^х* + ^х* + х-\- 2- J(x+o£-3)- °-- -f i.Jn(2r-3)+G 3. j^. 0we.l,3+, + ^nJ_4+C. 4. f . 0*a. * inp±g2f+C 5. J ~x~{x2~—1)' ^ K a 3 a н и e* Представить под интегральную функцию в виде \ -т—г -] г ; ср. пример 3. X X —j~~ 1 X *~■ 1 1- У а2 — 1 Owe. ln^ i + C. х 1 ^ .Указание. Представить под интегральную х(х+\¥ А ВС функцию в виде . - -j- г-т- 1 I СР- пример 4 и правило 3. 0«.. г1_+1п1ф-1 + с. J х2 (д: — 1) д: 1 х 1 л 1 1 7 8- 4д;3_л--'/лг- 0тв- 4^ + 1"^-ХьХп(2х~1) — In (2*-(-1)+С. f dx 19. \ -^= . Указание. Знаменатель принять за вспо- 1 - могательную функцию. Отв. — (3 —2Ул-)— - |-ln(3-2j/T) + C.
§ 10] КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 431 •j j|7f+^- 0««. 4 in (1 + ^5)4-С. 12. ^ sin3 * rf*. Указание. Ср. пример 5 и правило 4. 1 Ome. — cos х + -^- cos3 л: + С. 13. ^ sin2 * dx. Указание. Ср. пример 6 и правило 5. Отв. у х — - j sin 2* -f- С Г 11 14. I cos2 д: rfjf. О/ив. — х + -у sin 2х -f- С Г 11 15. I sin* д: cos3 х dx. Отв. — sin5 х — у sin7 дг + С Г 11 16. I sin3 х cos6 дг dx. Отв. — у cos7 х -f- -5- cos9 х-\-С. л- Г cos* xdx „ 1 _ . i 1 . q , ^ 17. \ ——; . Отв. : 2 sin x + -^- sin3 д: + C. J sin2 л: sin ДГ 1 3 1 J sin7 Jf 6 sin6 л: 1 4 sin4 x *Л Г cos3 дг dx ~ . ■ 1 . n I /-» 19. I < :—. Отв. sin л: 4- -7г sin x-\-C. j 1 — sin дг 1 2 1 fdx z . Указание. Использовать преобразование 1—COS* X 1 — cos x = 2 sin2 — или умножить числитель и знаменатель на X 1 -f- cos х. Отв. ctg — -f С. tg дг **дг. У к а з а н и е. tg л* = 22-^-. Отв. — In cos дг+С & ь cos* 22. j* ctg х dx. Отв. In sin x-\-C. с* \ cos X 23. I —: dx. Указание. Можно разбить на два ин- j sin х ^ теграла, один из которых вычислится, как указано в примере 15; лучше преобразовать подинтегральное выражение, как в упражне- х нии 20. Отв. — 2 In cos — + С.
432 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Г ^дг 30. I 9^2 _|_ зоЛ- _|_ 29' У к а 3 а н и е* См* пРимеР 9* п 1 . Здг + 5 , п Отв. -г- arctg —-! h С- о 2 31. J2^tV5^Qmg' |ln(2*2-2* + 5) + , 4 , 2дг —1 , _ + 3arctg-T- + c- 00 f jfldx п 1 . 1+дг 1 , . п 32- 1—дг*. 0тв- -4 In j-^—^ arctg дг + С. Г дг2 ^дг 33. \ -f .. Указание. Ср. пример 14 и правило 8. J у а2 '— х2 Ф дг 1 г Отв. — arcsin дг V а2 — х2 + С. л а 1 34. Г f_dx_ Отв. * + ) мл"2— Д2,3 ^2 ^Л'2_ д2 1 35. 36. Г Отв. У*=* + П. J Л2 - Аг2 дв* ^ _. Указание. Подстановка .*r = tfsin* при- w Л* У ^2 — Л-2 Н ' 24* J 1 MSA'* dX' 0Ш' 1П (1 + Si" X) C== = 21ncos (-*---£-) 25. Гт-г^ . Отв. tg^+C. J 1 + cos дг ь 2 1 26. I -—— . Указание. Разбить на два слагаемых; ср. правило 7. Отв. 2 In (л2 -f- 9) + arctg 4- + С о 27- j ^■^37+7 **. Отв. In (*« - 3* + 7) + С. Г §Х П \ х2 — з^у ц. 2 у'казание- Ср. пример 7 и правило 6. Ome. In [(дг — 1)2 (дг — 2)7] 4- С. J 2дг2 -}- Здг -f- 1 дг -f- 1 1
§ 11] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 433 водит к интегралу j* -Jj^, который можно вычислить, как в при- мере 15. Отв. — In \- С. \ г . Отв. -= 38. I —-**** . Указание. См. правило 8. J : - dx х V& — а2 Ome. — arcsc —4- С dx ~ Ух* —а* ,1 я , - 0ЛМ- 9.2.2 + 9^73 3rCC0S V + С- 40. [ rdX Отв. \п(х+Ух*+а*) + С. J У Я2 _|_ д-2 41. \ ■ > —. Отв. r -f- J /(Л2Ц_Л-2}3 ^2+^2 + 1П (ЛГ + ^2 + ^2) _f. С. 42. f ^£—_ Ome. * +С. J (я2 + *2)2 § 11. Интегрирование по частям Хотя правила, с которыми мы познакомились в §§ 9 и 10, носят частный характер и не всегда гарантируют успех, однако, умелое их применение в очень большом числе прак- тически важных случаев решает задачу интегрирования. В подробных курсах интегрального исчисления можно найти еще ряд правил, которые, подобно выше рассмотренным, могут быть полезными в тех или иных типичных случаях; в кратком учебнике на них нет смысла останавливаться. Поэтому мы закончим изучение техники интегрирования ознакомлением с одним общим приемом, имеющим важное теоретическое значение и носящим название интегрирования по частям. В технике интегрирования этот прием имеет, однако, сравни- тельно небольшое значение, почему мы до сих пор о нем и не говорили. Для,лучшего уяснения метода интегрирования по частям начнем с примера. 28 М. Я. Выгодский
434 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Пример 1. ^ In л; jc dx. Представим множитель х dx в виде d ^л:2^ , как мы это делали в методе подстановки. Однако, принятие ~- х2 за вспомогательную функцию не приводит к цели. Поэтому поступим следующим образом: с целью получить под знаком интеграла диференциал произведения, прибавим к подинтеграль- ному выражению In х d л:2) выражение ^x2d(lnx) и для компенсации вычтем то же выражение. Тогда подин- тегральное выражение примет вид [inxd (± х2}-}-^х2 dlnxj — ~x2d\nx. Но в квадратных скобках стоит диференциал произведения (§ 11 гл. VII) Поэтому искомый интеграл разобьется на два слагаемых: J In х х dx = j* d (^\n x^j — j* x2 d \nx. Применив fc первому интегралу теорему 2 § 5, имезм!) Г х2 С х2 I In х х dx = 2" In х -— I — d \nx. Таким образом, вычисление интеграла [ In xxdx сведено С х2 к вычислению интеграла \-dmx. Последний находится г) Произвольное постоянное мы не выписываем, так как оно содержится в интеграле \ — d In х.
ИИТЕТРИРОВАРШЕ ПО ЧАСТЯМ 435 легко: Г *2 ,1 Г х2 dx Г xdx 1 о | п и мы получаем Г дг2 1 I In jc • х dx— у In jc — jc2 -\- C. ■ Проведем теперь такое же рассуждение для общего слу- чая. Пусть в подынтегральном выражении выделен множитель, представляющий диференциал dv некоторой функции v ^в нашем примере v — —^ '. Остающийся множитель обозна- чим через и (в нашем примере и = \ъх). Интеграл примет вид j udv. С целью получить под знаком интеграла диференциал про- изведения прибавим и отнимем член v du. Получим ^ и dvz==z ^ (udv-\-vdu)— j vdu= ^ d (uv)— \^vdu. Применяя теперь теорему 2 § 6, получим ^ и dv = uv — ^vda. (1) Это и есть общая формула интегрирования по частям. Интегрирование по частям сводит вычисление ^ udv к вычислению ^ v du. Последняя задача, вообще говоря, не легче первой, и потому этот общий метод лишь в отдельных случаях оказывается практически пригодным. Следует заметить, что всякое подинтегральное выражение можно представить в виде и dv бесконечно многими спосо- бами, ибо можно взять совершенно произвольно функцию v, вычислить ее диференциал и, разделив на него подинтеграль- ное выражение, найти выражение и. Однако, не при всяком выборе функции v интегрирование по частям будет иметь одинаковый успех. 28*
416 основные приемы интегрирования [гл. X Пример 2. [ ех х dx. Если по аналогии с предыдущим примером положить y = yjc2, т. е. принять и — ех, dv = xdx, то формула (1) даст ^ех х dx = ^ exd Ху — Х^ех — J ~ dex. В этом случае интеграл j v du = ^dex = ^^exx2dx нисколько не легче, чем исходный. •Совсем иную картину получим, положив v = ex, так что и — х, dv = exdx. Получим \ ех х dx = \ х dex — хех — [ ех dx — хех — ех -\-С. Прежде чем применять метод интегрирования по частям, следует в уме прикинуть, что даст нам то или иное расще- пление подинтегрального выражения на два множителя. Пример 3. ^ х sin х dx. Напрашивается представление sin х • х dx = sin х • d х2^ . Но сейчас же видно, что выражение ~x2d(s\nx) не будет удобнее исходного. Если же представить подинтегральное Выражение х sin х dx % в виде х d ( — cos х), то выражение — cos xdx будет удобным. Прикинув в уме эти возможности, пишем: ^ х sin х dx = ^ х d ( — cos х) = — х cos х — [ ( — cos л:) dx = — — х cos х -\- ^ cos х dx = — х cos x --{- sin x-\-C. Проверьте результат диференцированием. Пример 4. [ х2 cos х dx. Положив x2cosxdx = x2 ds'mx, видим, что выражение s\nx d(x2) = 2x sm х dx проще исходного; хотя оно и не
§ 11] интегрирование ПО частям 437 х*In xdx. Отв. ^x*lnx — 7£X* + C. интегрируется сразу по табличной формуле, но можно ожи- дать, что повторное применение интегрирования по частям приведет к цели. Выкладка проводится так: ^ х2 sin х dx = ^ х2 d sin х = х2 sin х — 2^ х sin х dx = = х2 sin х -f - 2 ^ х d cos x — x2 sin x -j- 2л: cos л; — — 2^ cos л: flfjc = x2 sin л: •-{- 2л: cos x — 2 sin x -f- С Замечание. Интегрирование по частям можно приме- нять и при вычислении определенных интегралов. т Пример 5. ^ х s'mx dx (ср. пример 3). о Рассуждая, как и выше, произведем преобразование я д л 2 2 2 ^ л: sin л: ==— ^ л:^(со5л:) =—^ (л: cos л:)-f- ооо гс тете ~т т т -}-^ со5л:^л: = —л: cos л: | -f* sin л: I =1. о оо Общая формула будет иметь вид: Ь x=zb ъ ^udv=uv | — \v du. а х—а а Непосредственное ее применение выгоднее, чем предва- рительное вычисление по формуле (1), особенно в тех слу- чаях, когда интегрирование по частям нужно . производить ь повторно и член uv ^ обращается, как в примере 5, в нуль. а Упfi л Вычислить интегралы: 1. J лг sin 2х dx. Отв. — ~ х cos 2лг -f -i- sin 2лг + С.
438 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X 8 \ —■ *• « C0S4JtT Указание. Ввести в числитель множитель cos2х + sin2лг и ^ sin лг л?лг разбить на 2 интеграла; во втором выделить множитель CQSix~ и применить интегрирование по частям. Можно также представить 1 я*лг подинтегральное выражение в виде со&2- ^ • cqs2 ^ и ввести вспо- могательную функцию tgx = z. Проделать вычисление обоими способами. От.. -|tg.+ i-^+C=tg.+ ltgU-fC. 9. И J COS3 dx - . (См. указание к предыдущему упражнению. Ср. также пример 15 § 10.) Отв. jm^ecx + tgAO + i-l^+C. С dx 10. j - . Указание. Интегрирование по частям (см. ука- зание к упражнение 8) выполнить дважды. Л 1 COS X 3 С08ЛГ , 3 , , лг , „ Отв. — ——. г;—г-5 h тг In tg — 4- С. 4 вш^лг 8 sin2AT ~ 8 6 2 ~ § 12. Об интегрируемости в элементарных функциях Функции хпу ах, log лг, sin лг, созлг и т. д., arcsin лг, arccos лг и т. д., а также всевозможные комбинации, полученные из них с помощью арифметических действий, называются элементарными функциями. 3. ^In xdx. Отв. х(1пх — 1)-\-С. 4. J е*х х dx. Отв. ~ е** (2х — 1) -f С. 5. J ехх* dx. Отв. ех (Л-2 — 2х + 2) + С. п 2 6. J^cos.* A*. 0mfl -^2" (1 *2 + 2* -8 ) . О \ 4 / Г х dx 7- cos^at ' 0тв' xigx + lncosx+C.
§ 121 ob интегрируемости в элементарных функциях 439 Так, sin In Vl — дг2 — arccos V1 — ex 0) есть элементарная функция. До сих пор мы имели дело только с функциями элементарными, и у читателя могло создаться впеча- тление, что математика и не нуждается ни в каких других функ- циях. Ошибочность этого мнения сейчас выяснится. Правила, изученные нами в диференциальном исчислении, по- зволяют для каждой элементарной функции, хотя бы она имела и столь замысловатый вид, как выражение (1), найти производную функцию; эта производная тоже будет элементарной функцией. Мы можем найти ее методически, не прибегая ни к каким искусствен- ным приемам. В интегральном исчислении мы такого положения не имеем. Нет общих методов, с помощью которых можно было бы найти для любой элементарной функции ее первообразную. Можно было бы думать, что отсутствие таких методов вызвано несовершенством теории интегрирования. В действительности дело обстоит не так. Отыскание общих методов, с помощью которых для каждой эле- ментарной функции можно было бы указать элементарную первообразную, заранее обречено на неудачу, потому что первооб- разная элементарной функции, вообще говоря, есть функция не- э л е м esh т а р н а я. Это" утверждение на первый взгляд покажется странным, осо- бенно если вспомнить, что нахождение первообразной есть дейст- вие, обратное диференцированию, а последнее для всех элементар- ных функций дает элементарные же производные. Чтобы лучше уяснить себе истинное положение дела, вообразим на минуту, что мы в совершенстве изучили элементарную алгебру, но никогда не занимались тригонометрией. Тогда мы ничего не будем знать о функциях sin ху arcsin дг и т. д., и элементарными функциями будут для нас такие, которые получаются с помощью любого чередова- ния арифметических действий, возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования, производимых над аргументом дг и по- стоянными величинами. Будем понимать термин «элементарная функция» в этом суженном смысле и поставим вопрос: всякая ли элемен- тарная функция имеет элементарную производную? Ответ бу- дет утвердительный, ибо диференцирование алгебраического вы- ражения, как мы знаем, никогда не дает тригонометрической функ- ции. Спросим теперь: всякая ли элементарная функция имеет эле- ментарную первообразную? Нет, не всякая. Так, функция •^====- , являющаяся элементарной в принятом смысле, не имеет элементар- ной первообразной, ибо наиболее общий вид первообразной есть dx
440 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X X Наряду с этим несколько более сложная функция — - - У 1 — х2 «элементарную» первообразную Могло бы возникнуть предположение, что раз интеграл (3) пред- ставляется элементарной функцией, то и интеграл (2), еще более псостой на вид, должен выразиться через элементарную функцию. Неудачу соответствующих попыток мы могли бы объяснить несо- вершенством теории интегрирования. Но истинная причина неус- пеха, как нам сейчас ясно, состоит в том, что среди «элементар- ных» функций вовсе нет нужной нам функции. Если теперь мы вернемся к более широкому пониманию тер- мина «элементарная функция», то интеграл I —-- можно бу- У 1 — х2 дет выразить через элементарную функцию arcsin х. Но уже такой простой интеграл, как dx г через элементарные функции выразить нельзя. Это было впервые доказано сто лет назад (в 1841 г.) французским математиком Лиу- виллем. Доказательство в рамках этой книги не может быть про- ведено. Точно так же невозможно выразить через элементарные функ- ции интегралы Это, конечно, не значит, что функции Y\—л*3, У\—л:4 и т. д. вовсе не имеют первообразных; они имеют первообразные функции X X [Vl—х'3 dx, [V\—л4dx и т. д., но только эти функции не эле- а а ментарны. Они принадлежат к числу так называемых эллиптических функций, изучением которых занимается специальная отрасль выс- шей математики — теория эллиптических функций. Через элементарные функции не могут быть выражены также интегралы Г dx \ Тп~х~ (интегРальныи" логарифм), 1- sin х dx (интегральный синус) и многие другие.
§ 13] ПРИМЕНЕНИЕ ИЗУЧЕННЫХ ПРИЕМОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 441 Из сказанного ясно, что отсутствие общих приемов для вы- числения интегралов -проистекает не от несовершенства мето- дов интегрирования, а от того, что элементарная функция, вообще говоря, не обладает элементарной первообразной. § 13. Применение изученных приемов интегрирования к решению задач В этом параграфе мы покажем на примерах, как исполь- зуются изученные нами методы интегрирования при решении задач. Пример 1. Цилиндрический бак, наполненный водой, лежит на боковой поверхности. Определить давление воды на (вертикально расположен- ное) дно бака, если радиус дна /? = 0,6 м. Выделим на поверхности ^i--- дна бесконечно тонкую верти- Х%~~А кальную полоску АВЬа (черт. 144). Через х обозначим рас- стояние этой полоски от цен- тра О. Длина полоски АВ = = 2 ]//?2 — х2; площадь по- лоски можно положить равной 2 j//?2 — Х2 dx. Глубина поло- Черт. 144. ски под уровнем жидкости есть R— х. Объем столба воды, давящего на полоску, есть 2 (R — л:) ]/^R2 — х2 dx. Если линейные размеры выражены в метрах, то последнее выражение численно равно давлению на полоску, выраженному в тоннах. Давление на все дно +R есть \ 2 (R — x)\/rR2 — х2 dx. Этот интеграл надлежит вы- -> числить. А. Можно начать с вычисления неопределенного инте- грала ^ 2(R—л:) VR2 — х2 dx. Делаем подстановку (правило 8 § 10)^ = *? sin*: \2(R — x) YR2 — x2 dx = 2 \ R*(\ — s'm t) cos21 dt = — 2/?3 j cos21 dt — 2/?з \ cos21 sin t dt.
442 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X так что J 2 (Я — x)VR2 — x*dx = R*^t + lsin2/ + ^p-^ = = tf3 (/+sin/cos* + ^) = =«' [-"**+i V^T+tV о-•£)'] ■ Возвращаясь к определенному интегралу, имеем +S V 2(R~x)VR2 — x2 dx = •Л +/? \R 0 +* = Я3 arcsin-J I -f Я*]//?2 —*2 -\--jV(R2 — . -Я -я -я Два последние слагаемые равны нулю, так как. радикал YR2 — х2 обращается в нуль при х = -}-/? и при х = — R. Окончательно имеем +R [ 2 (R — х) VR2 — x2dx = /?3 [arcsin 1 — arcsin (— 1)] = -Я Итак, искомое давление равно Р= tx/?3 = тт* 0,63 0,68 пи Первый интеграл вычислим по правилу 5 § 10, второй — по правилу 2 § 9. Произвольные постоянные выписывать не бу- дем, так как для вычисления определенного интеграла они значения не имеют. Имеем = ~ t -f- ~ jcos 2td(2t = \t-\-\s\n2t\ — J cos2 t • sin t dt = J cos21 d cos t = ,
§ 13] применение изученных приемов к решению задач 443 Б. Можно вести вычисление, не покидая определенного интеграла. Производя ту же подстановку x = R sint, имеем: +* Р= ) 2(R — x)VR2 — x2dx = :2/?2 I (1 — sin t) cos21 df. 2 Пределы интегрирования теперь изменились, ибо при x=R соот- к ношение х — R sin/дает sin t=l, откуда t = -^ , и точно так же при х — — R имеем t — Дальнейшее вычисление идет так: P=2R* \ cos2 tdt+ 2R* \ cos2 tdcost = 4- — 4-— 4- — ^2 ^2 = 2/?з j cos2 / Л + 2/?3 J = 2RZ j cos2 / d/, 71 it 71 2" 2~ 2" ибо второе слагаемое равно нулю. Наконец, имеем ^ 2 P=R3 ^ (1-f-cos2>)<# = тс = R3 j ^ cos2M(20 = n/?3, ибо второе слагаемое равно нулю. При известном навыке в вычислениях можно пределы, пока они остаются неизменными, не выписывать.
444 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Пример 2. Вычислить площадь S, ограниченную одчоЗ ветвью циклоиды и прямой, по которой катился производя- щий круг циклоиды. Уравнение циклоиды (см. § 9 гл. IV) можно представить параметрически в виде x = R{t —sin/), (1) y = R(\ —cos/), (2) где t есть угол поворота производящего круга (колеса), а R его радиус. Искомая площадь выражается определенным интегралом ь ydx. Значения а и если за независимое переменное а принять х, будут а = 0 и b = 2nR. Но принять х за неза- висимое переменное невыгодно, ибо у не удастся выразить в элементарной функции от х. Можно было бы за независи- мое переменное принять у, но выражение х в функции от у (см. § 8 гл. IV) очень сложно. Лучше всего за независимое переменное принять параметр /, через который выражены координаты х, у уравнениями (1) и (2). Тогда # = 0, £ = 2тг, ибо в начальной точке циклоиды угол поворота / = 0, а в конечной, после полного оборота производящего круга, / = = 2тг. Итак, имеем: 2к 2п ' S= ^R2 (1 — cos t)d(t — sin /) = R2 ^ (1 — cos if di = о 0 2к 2tt 2.t = R2[dt — 2R2 ^cos/tf/-|-/?2J cos2/tf/ = 0 0 0 2л 2к = 2тг/?2 — 2R2 sin /1+/?2 [ cos2 / dt. о 0 Второе слагаемое равно нулю; третье вычисляется, как в предыдущем примере. Получаем £=2тг/?2 + тт/?2 = Зтт/?2. Геометрически это значит, что площадь циклоиды втрое больше площади производящего круга.
§13] ПРИМЕНЕНИЕ ИЗУЧЕННЫХ ПРИЕМОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 445 Задачи 1. Вычислить объем тела, полученного вращением ветви цикло- иды x = R (t — sin 0, y = R (1—aost) около оси абсцисс. Отв. ЬтРф. 2. Вычислить объем тела, получающегося при вращении круга радиуса а около оси, отстоящей от его центра на расстоянии b(b>a). Это тело (оно имеет форму спасательного круга) назы- вается тором. Истолковать ответ геометрически. Указание. Элемент объема имеет форму полого цилин- дра. Отв. Объем тора равен 2тс-я2# (объему цилиндра, основание ко- торого есть производящий круг, а высота равна окружности, опи- сываемой центром производящего круга). 3. Вычислить объем цилиндрического сегмента, расслоив его плоскостями, параллельными высоте (см. пример 2 § 14 гл. IX и замечание к нему). 4. Вычислить площадь одной петли лемнискаты, уравнение ко- торой в полярных координатах есть г2 = я2 cos 2?. Указание. За элемент площади принять центральный сектор лемнискаты (ср. пример 3 § 13 гл. IX). Отв. |й2. 5. Вычислить площадь четырехлепестковой розы г = a sin 2<р. Отв. • 6. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой r=a (1 -f-cos <р). 3 Отв. -у гся2. 7. Наэлектризованный шарик с зарядом е = -f- 28 электростати- ческих единиц помещен на продолжении тонкой наэлектризован- ной палочки длины 2/ = 6 см, несущей заряд £'=-(-100 электро- статических единиц. Расстояние от шарика до середины палочки я =10 см. Определить величину силы отталкивания. Указание. Разбить стержень на бесконечно малые элементы и найти силу отталкивания между элементом стержня и шариком по закону Кулона (см. пример 2 § 15 гл. IX). Ее 0тв' а2__/2 — 31 дин- 8. Тонкий намагниченный стержень длины 2/ = 10 см притяги- вает намагниченный металлический шарик, лежащий на его про- должении, с силой /^=50 г, когда расстояние между шариком и серединой магнита есть а = 20 см. Найти силу Fb с которой те же тела будут притягиваться друг к другу, когда шарик, оставаясь на продолжении магнита, находится на расстоянии Ь= 10 см от его середины. От. F1=F^^=2bO г.
446 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X 9. Наэлектризованный шарик с зарядом е = + 20 электроста- тических единиц равноудален от концов тонкой наэлектризованной палочки длиной 2/ = 6 см, несущей заряд Е=—100 электроста- тических единиц. Расстояние от шарика до середины палочки а = = 10 см. Определить величину силы притяжения. Указание. Разбить палочку на элементы и вычислить при- тяжение шарика элементом длины палочки. Эту силу разложить надве составляющие: параллельную и перпендикулярную к направлению палочки. Первая уравновесится равной и противоположной силой, вызванной элементом, расположенным симметрично с первым отно- сительно середины стержня. Ее Отв. —г1 ^ 19,2 дин. а Уа? + /2 10. В условиях задачи 8 найти работу, совершаемую силой отталкивания при удалении шарика с расстояния я =10 см от се- редины палочки до расстояния Ь — 2§ см. Ее , (Ь —/)(а+/) И. В условиях задачи 8 найти полный запас работы силы от- талкивания. Ее , а + / 21 а — 1 12. Какую работу нужно затратить, чтобы удалить в беско- нечность шарик, о котором сказано в задаче 10? Ее |/"fl2+/2 + / Отв. -г- In —— / а § 14. Диференциал дуги; длина дуги Пусть кривая MN (черт; 145) отнесена к прямоугольной системе координат. Возьмем на MN некоторую точку Л за начало отсчета и обозначим через S длину дуги от точки А до точки В (х, у). Чтобы вычислить длину дуги АВУ разобьем АВ на бесконечно малые участки аЬ. Длина As дуги аЪ экви- валентна длине хорды аЪ !), а хорда ab, вычисленная из ттря- !) Т. е. относительная ошибка от замены дуги аЬ хордой аЬ стремится к нулю при аЬ 0. Это утверждение есть теоретиче- ское выражение процесса измерения длин кривых линий, применяе- мого людьми с незапамятных времен. Так, можно измерять шагами длину криволинейной границы участка; при этом каждый шаг практически выражает длину соответствующей малой дуги. Теоре- тическое рассмотрение вопроса об эквивалентности дуги и хорды дано в конце параграфа.
§ 14] диференциал дуги; длина дуги 447 моугольного треугольника aeb, Итак, £bS^Vbx2-{-ky2. (1) Замена Дл: и ку диферен- циалами dx и dy ведет по- грешность высшего порядка малости, так что эквива- лентность не нарушится: ^ i/dx2 -f dy2. (2) Правая часть формулы (2) линейна относительно диференциала независимой Черт. 145. переменной при любом вы- боре независимой переменной. Если, например, кривая MN задана параметрически уравнениями *=/(*), .V = ¥('), (3) то dx=f(t)dt, dy = ^(t)dt (3') и уаоА+dy2=V[r wp+[<?' WM- w Таким образом, l/tf.tf2 -f- tfy2 есть диференциал (элемент) дуги АВ: ds = Vdx2-\-dy2, (5) а вся дуга AB = S равна в 5= [Ydx2 + tfy2, (6) л где Л и В суть значения независимого переменного в точ- ках А и В. Если, например, кривая задана уравнением (3), то формула (6) дает и S=\V[f{t)¥ + W{t)?dty (7) и где tx и /2 суть значения параметра t для точек А и В. равна Yae2 ~\-be2 =
448 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X 3 = Я $1^2 — 2 cos tdt. 0 Для вычисления этого интеграла введем половинный угол и примем его за вспомогательную функцию: -^-= z. Полу- чаем 2* те к S=2R { sin -^dt = 4R £ sin z dz = — 4R cos z | =SR. 0 0 0 Итак, длина циклоиды вчетверо больше диаметра про- изводящего круга. Пример 2. Вычислить длину дуги параболы у = -^х2 от вершины ее до точки (3,4-j^ . Находим dy = xdx. Формула (5) дает ds = Vdx2 -f dy2 = ]/Т+~х2' dx. Если кривая задана уравнением y=f(x), то dy =f=/' (х) dxy и формула (6) дает Х2 Xi S= \Vdx2 + [f{x)]2dx2 = J/TTFW? d*> (8) где л:, и x2 абсциссы точек А и В. Из приведенных здесь формул достаточно заметить фор- мулу (5), выражающую пифагорову теорему для элементар- ного треугольника abe. Пример 1. Определить длину дуги одной ветви цикло- иды. Уравнение циклоиды (§ 8 гл. IV) можно написать в виде x = R(t — sin ^), y = R(\ — cos t). По формуле (5) вычисляем элемент дуги: ds = Vdx* -f dy2 = V[R (1 — cos t)\2 dt2 + (R sin t)2 dt2 = = R V2— 2cos^ dt. Длина дуги равна 2a
§ И] диференциал дуги; длина дуги 449 Отсюда з о Для вычисления интеграла найдем сначала неопределенный интеграл \ Y\ -{-x2dx; подстановка x = tgt (правило 8 § 10) Г dt приводит его к виду \ cosHt . отот последний интеграл мож- но взять так: Г dt fcos2/+sin2/ С dt , f . ../ 1 \ J^5PT = J cosH dt===)7ZTt +)*п*а\ШЗГф * Первый интеграл дает (ср. пример 15 § 10) fdx (произвольная постоянная опущена), второй интегрируем по частям: С . , . ( 1 \ sin/ Сcost dt j sint a [2cos2t) — 2cos4 — J 2cos2/ — - ^ -1 *ln(sec/ + tg/). — 2cos2/ 2 J cos/ 2cos2/ 2 x 1 a ' Итак, имеем Подстановка л; = 0 обращает функцию ^(л;) в нуль, так что з J^l + х% Ас = ±. зКТО + у ln(l + /16) ^ 5,65. о При выводе формулы для длины дуги мы опирались на утверж- дение, что бесконечно малая дуга эквивалентна своей хорде. Это утверждение можно доказать следующим образом. 29 М. Я. Выгодский
450 основные приемы интегрирования [гл. X 2) Выпуклой называется линия, обладающая тем свойством, что отрезок, соединяющий любые две ее точки, лежит внутри про- странства, ограниченного линией и замыкающим ее отрезком. * Возьмем настолько малую дугу ab, чтобы она была выпуклой1) (черт. 146). Тогда дуга ab длиннее хорды ab (прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками), но короче, чем сумма отрезков касательных ас -f- сЬ (объемлемая выпуклая линия меньше объем- лющей): ab < я£< ас -f- cb. (9) Опустив из точки с пер- пендикуляр cd на ab, найдем" из треугольников acd и bed: ас = ad sec а, Черт. 146. bc = bd sec ji. В треугольнике abc углы аир меньше внешнего угла 7, так что sec а < sec 7 и sec ft < sec 7. Следовательно, ac-\-cb< ad sec 7 -f- bd sec 7 = (tfrf + bd) sec 7, т. e. ac-\-cb <ab sec 7. Неравенства (9) перепишутся теперь так: ab <^ab < a£ sec 7, откуда l<|J<sec7. (10) При приближении точки b к а касательная be непрерывно изме- няется и стремится к предельному положению ас (мы предполагаем, что угловой коэфициент касательной, т. е. производная, есть не- прерывная функция). Поэтому при бесконечном уменьшении ab угол 7 стремится к нулю, и lim sec 7=1. ab-+0 Отношение дуги к хорде, заключенное в силу формулы (10) Между 1 и величиной sec 7, стремящейся к 1, также будет стремиться к 1: lim ~ = 1, ab->0 а" т. е. дуга и хорда эквивалентны.
диференциал дуги; длина дуги 451 В приведенном рассуждении надлежало бы дать строгое дока- зательство утверждения, что объемлемая выпуклая линия меньше объемлющей (это предложение доказывается в элементарной гео- метрии только для ломаных линий). Такое доказательство можно дать лишь в том случае, если мы предварительно дадим точное определение длины дуги. Действительно, не определив, что такое длина дуги, мы не можем и доказывать строго никаких предложе- ний о ней. Разумеется, определение нужно построить так, чтобы оно соответствовало понятию о длине дуги, которое имеет из опыта каждый человек. Этому требованию удовлетворяет, например, та- кое определение: Длиной дуги АВ кривой линии называется предел, к кото- рому стремится периметр ломаной линии, вписанной в дугу АВ, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длины звеньев — к нулю. Можно определить длину дуги и как предел периметра лома- ной линии, описанной около дуги АВ. Это определение, как можно доказать, равнозначуще предыдущему. Взяв за основу одно из этих определений, можно строго дока- зать, что выпуклая дуга ab меньше, чем объемлющая ломаная ac-\-cb. Мы этого доказательства приводить не будем. Упражнения и задачи 1. Вычислить длину дуги параболы Нейля 8у2 = л:8от вершины до точки (2, 1). Отв. 2 'L. X х_ 2. Найти длину дуги кривой у= ~ (^е а -\-е а^ (цепная ли- ния) от точки (0, а) до точки (х, у). х х^ Отв.-^ [е а —е а ^ . 3. Найти длину всей кривой х = а cos31, у = а su# t (астроида). Решить задачу двумя способами: 1) пользуясь задан- ными параметрическими уравнениями кривой; 2) выразив одну из координат в функции другой. Отв. 6а. 1 4. Найти периметр параболического сегмента, хорда которого перпендикулярна оси параболы. Основание сегмента я, высота Л. 5. Наибольший пролет Делаварского цепного моста (США) имеет в длину 534 м. Стальные канаты, на которых держится мост, 29*
452 основные приемы интегрирования [гл. X Отв. ^~ (екъ — etyi). 8. Определить длину дуги логарифмической спирали от точки г = гх до центра спирали (г = 0). Замечание. Логарифмическая спираль образует вокруг сво- его центра бесконечно большое число завитков. Отв. ^—гл. к 9. Найти длину первого завитка архимедовой спирали с ходом h = l см. Указание. Уравнение спирали с ходом h есть г = ^Ь При вычислении интеграла можно использовать вычисления приме- ра 2 настоящего параграфа. Отв. S 3,38 см. 10. Найти периметр кардиоиды r = а (1 +cos <р). Отв. 8а. 11. Дуга АВ кривой линии, отнесенной к прямоугольной системе координат, вращается около оси ординат. Поверхность S, описыва- емая дугой, есть предел поверхности ломаной линии с бесконечно малыми звеньями, вписанной в дугу АВ. Найти выражение поверх- ности S (боковая поверхность тела вращения). в в Отв. S = 2k { xds = 2гс С xYdx*+dy*. А А 12. Найти поверхность, образованную вращением дуги ОМ па- раболы Нейля 8у2 = л:3 около оси ординат. О — вершина параболы, М— точка (2, 1). Отв. 5^14,7. поддерживаются опорными башнями в концах пролета, возвышаю- щимися на 60 м над полотном моста. Линия провеса канатов — па- рабола. Определить длину каната. Отв. 550 м. ^ 6. Показать, что диференциал дуги кривой, отнесенной к поляр- ной системе координат, представляется выражением ds = Vdr* + r2df. Указание. Провести из начала координат к концам беско- нечно малой дуги радиусы-векторы и засечь между ними беско- нечно малую дугу окружности радиусом, равным длине одного из радиусов-векторов. Применить теорему Пифагора к диференциалам сторон образовавшегося криволинейного треугольника. 7. Определить длину дуги логарифмической спирали г = еЩ между точками ? = <рг и ? = ?2- Указание. См. предыдущую задачу.
§ 15] ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 453 13. Вычислить боковую поверхность параболоида вращения, радиус основания которого г = 3 дм, а высота h = 4,5 дм. кг Отв. ш У(4Л*-4-г*)« — И> J =^65,1 дм. § 15. Общее и частное решение диференциального уравнения Заключительные параграфы этой книги содержат простей- шие сведения о диференциальных уравнениях. В настоящем параграфе дано понятие об общем и частном решении дифе- ренциального уравнения; для лучшего уяснения этого понятия здесь рассмотрены с новой точки зрения две прежде решен- ные задачи. Точные определения будут даны в следующем параграфе. Пример 1. Разыскивая выражение площади круга s че- рез его радиус г (пример 2 § 13 гл. IX), мы нашли дифе- ренциальное уравнение ds = 2nrdr. (1) Далее, мы взяли интегралы с переменными верхними преде- лами в обеих частях формулы (1): ^ ds = ^ 2тгг dry откуда и получили искомую зависимость s = nr\ (2) Говорят, что уравнение (2) есть решение или интеграл ди- ференциального уравнения (1). Диференциальное уравнение (1) можно было решить еще таким рассуждением. Уравнение (1) выражает, что перемен- ная s, рассматриваемая как функция аргумента г, есть пер- вообразная функция от 2ггг (ср. определение § 3 гл. X). Наиболее общий вид искомой функции s есть, следовательно (ср. определение § 5 гл. X), неопределенный интеграл^ 2nrdr: s=[ 2nrdr. Отсюда получаем s = nr* + C, (3) где С есть произвольная постоянная величина.
454 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. X Говорят, что уравнение (3) есть общее решение или общий интеграл диференциального уравнения (1); уравнение (2), ра- нее полученное, есть частное решение, отвечающее случаю С =70. Если бы мы не знали заранее решения (2), то нашли бы его из общего решения следующим образом: искомая функ- ция 5 есть площадь круга радиуса г. Но при г=0, очевидно, и площадь круга s = 0. Поэтому уравнение (3) должно удов- летворяться значениями г=0, s = Q. Подставляя эти значе- ния в (3), получаем 0 = С. Найдя нужное нам частное значение постоянной С, подстав- ляем его в уравнение (3) и находим s = Tir2. Пример 2. В примере 2 § 15 гл. IX мы вычисляли ра- боту Л, производимую при удалении заряда е2 = 30 элек- тростатических единиц от заряда ег = 20 электростатических единиц с расстояния R0 = 10 см до расстояния г. Повторив рас- суждение § 15, найдем диференциальное уравнение dA = —dr. (4) Беря в обеих частях этого уравнения интегралы с перемен- ными верхними пределами, получаем ю л Выбор нижних пределов обусловлен тем, что при г =10 заряд еще не удалился от начального положения, т. е. ра- бота еще не производилась, так что значению г=10 отве- чает значение Л=0. Выполняя интегрирование, находим Л = 600 (1-1). (5) Уравнение (5), связывающее переменные Лиг, есть част- ное решение диференциального уравнения (4), отвечаю- щее условию нашей задачи.
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 455 Диференциальное уравнение (4) можно решить еще сле- дующим образом: наиболее общее выражение величины А через переменную г есть, согласно уравнению (4), неопреде- „ 600 dr ленный интеграл от —^—: где С — произвольная постоянная. Уравнение (6) есть общее решение (общий интеграл) диференциального уравнения (4). Нужное нам частное решение получается из него так: при г =10 мы имеем А = 0 (см. выше). Подставляем г= 10, Л = О в уравнение (6). Получаем откуда С =60. Подставляем это значение С в общее решение (6); на- ходим Г 1 Это уравнение тождественно с уравнением (5). § 16. Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными Все встречавшиеся нам до сих пор диференциальные урав- нения имели вид dy = f(x)dx, (1) т. е. содержали, кроме диференциалов dx, dy двух перемен- ных величин, только одну из этих переменных, а именно х. Считая эту переменную независимой и представив уравне- ние (1) в виде мы можем сказать, что до сих пор нам встречались такие диференциальные уравнения, в которых производная иско- мой функции задавалась выражением, содержащим только независимую переменную.
456 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Многие задачи приводят, однако, к диференциальным уравнениям более общего типа; именно, производная иско- мой функции может оказаться выраженной через обе пере- менные, зависимую и независимую. Таково, например, урав- нение или, что то же, Уравнение вида dy = (х -|-> у) dx. gr =./(*. У), (3) где /(jc, у) обозначает некоторую функцию от переменных х, у, носит название диференциального уравнения первого порядка (в отличив от диференциальных уравнений второго, третьего и т. д. порядков, в которые, наряду с аргументом, функцией и ее производной входят производные вто- сРу d*y\ рого, третьего и т. д. порядков , j . Решить диференциальное уравнение, значит, найти такую зависимость между переменными х, у, при наличии которой диференциальное уравнение обращается в тождество. Эта за- висимость называется решением или интегралом диферен- циального уравнения. Так, диференциальное уравнение первого порядка ^ = 2х dx имеет решением функциональную зависимость у—х2, а так- же у = х2 — 1, у = х2 и вообще у = х2-\-> С. Действи- тельно, при наличии одного из этих соотношений мы имеем dy—2xdx, и уравнение 2л; после замены dy через 2х dx обращается в тождество. В теории диференциальных уравнений доказывается, что для всякого диференциального уравнения первого порядка су- ществует решение, содержащее произвольную постоянную ве- личину. Такое решпие называется общим решением ди-
§ 16] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 457 ференциального уравнения первого . порядка *). Решение, получающееся из общего после того, как произвольной по- стоянной задано некоторое частное значение, называется частным решением. Примеры общих и частных решений бы- ли даны в § 15. Ниже будут рассмотрены и другие примеры. Разыскание решения диференциального уравнения есть вообще задача большой трудности. Свести эту задачу к за- даче вычисления интегралов, вообще говоря, не удается. Но в некоторых случаях это сделать можно. Важнейший из упо- мянутых случаев представляют диференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Диференциальное уравнение первого порядка (3) назы- вается уравнением с разделяющимися переменными, если выражение f(x, у) есть произведение (или, что то же, част- ное) двух выражений, одно из которых есть функция от х, другое же — функция от у. Так, диференциальное уравнение dx ~~ у* w есть уравнение с разделяющими переменными, ибо здесь х2 1 f(xyy) = —есть произведение множителей — х2 иили, что то же, частное от деления]— х2 на уь. Точно так же ди- ференциальное уравнение ys\nx4y = Y 1 -{-у2 cos xdx (5) есть диференциальное уравнение с разделяющимися перемен- ными, ибо, представив его в виде dy _ ctg х УТ+у2 dx у мы в правой части имеем произведение множителей ctg jc г) Диференциальные уравнения второго порядка имеют решения, зависящие от двух произвольных постоянных; например, решением d2y уравнения — — х является зависимость у = Сх sin х-\- C2cosx (проверьте диференцированием). В соответствии с этим, общим ре- шением диференциального уравнения второго порядка называют решение, содержащее две произвольные постоянные; точно так же общее решение диференциального уравнения третьего порядка со- держит три произвольные постоянные и т. д.
458 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Y14- v2 и —^ , один из которых есть функция от х, другой—• от у. Правую часть можно считать также частным от деле- у V\+v2 ния ctg л: на г или частным от деления Hatgx. У У Напротив, уравнение ах- = х+У не есть уравнение с разделяющимися переменными, ибо х-^-у нельзя представить как произведение или как частное упомя- нутого вида. Всякое диференциальное уравнение с разделяющимися пе- ременными можно привести к виду dy _f(x) dx <р (у) (6) Чтобы решить это уравнение, достаточно представить его в виде *(y)dy=f(x)dx. (7) Приведение диференциального уравнения с разделяющимися переменными к виду (7) называют разделением переменных. Пусть Ф (у) есть одна из первообразных для ср (у) dy, и F(x)— одна из первообразных для f(x)dx. Уравнение (7) означает, что диференциалы функций Ф(у) и F(x) равны между собой. Но тогда самые функции (теорема 3 § 3) могут отличаться друг от друга только постоянными слагаемыми, т. е. d>(y) = F(x) + C. (8) Уравнение (8) есть решение диференциального уравнения (7) и притом общее решение, так как в него входит произволь- ная постоянная. Это решение удобнее всего записать в виде [ ^(y)dy=[f(x)dx + C. (9) При вычислении входящих сюда неопределенных интегралов появятся две новые произвольные Сх и С2, но это не суще- ственно, так как при перенесении всех произвольных посто- янных в одну часть равенства мы получим сумму трех сла- гаемых, которую можно положить равной одной произвольной постоянной.
§ 16] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 459 Пример 1. Решить диференциальное уравнение <*!. — _ *L (л>\ dx~~ у* ' v ' Разделим переменные, т. е. уединим в одну часть равен- ства dy вместе с множителем, зависящим от у, а другую часть равенства dx вместе с множителем, зависящим от х. Получим y*dy = — x*dx. (7') Отсюда ^ ув dy = ^ — х2 dx С. (9') Вычисляя неопределенные' интегралы, находим £ + 0, = -^ + 0, + 0. Очевидно, что произвольные постоянные Сх и С2 можно не выписывать, ибо, перенеся их в правую часть, имеем ~f ~Ь "з" = Q С\ ~\~ что равнозначно с уравнением £+£=* (8») Уравнение (8') есть общее решение диференциального уравнения (4'). Давая постоянной С различные значения, на- пример С=2, С= — 5, С=0 и т. п. будем получать част- ные решения диференциального уравнения (4'). Решение диференциального уравнения можно представлять в различных видах. Так, можно уравнение (8') разрешить относительно у; мы получим У = ]/'с1—±л* (С, = 4С); (10) можно разрешить его относительно х; получим * = |/с2-|у (С2 = ЗС). (П) Какой из видов решения предпочтительнее выбрать, зависит от условий задачи. Легко проверить, что (8'), (10), (11) и
460 основные приемы интегрирования [гл. X dx = -(C2--Jv4) %*dy. (12) Подставив выражения (11) и (12) в уравнение (4'), мы уви- дим, что оно обратится в тождество. Пример 2. Решить диференциальное уравнение y{l+x*)dy = x{\ —у2) dx. (13) Разделим переменные; получим х dx у dy Отсюда 14-^2-1-^2- (14) jreHi4S + C. (.5) Выполняем интегрирование, не выписывая новых произволь- ных постоянных: ±ln(l+*») = -lln(l—Я + С. (16) Уравнение (16) есть общее решение диференциального уравнения (13). Ему можно придать более удобный вид. По- множая обе части уравнения (16) на 2 и перенося члены, получим In (1 —?) + In (1 + *•) = С, (С, = — 2Q, откуда 111(1-^)-0+^)=^, или, наконец, + х*) = С2 (С2 = *Ч О?) Предоставляем читателю, разрешив уравнение (17) отно- сительно у или х, проверить диференцированием, что для х и у, связанных уравнением (17), уравнение (13) обращается в тождество. Замечание 1. Уравнение вида dy = f(x)dx (1) можно рассматривать как частный случай уравнений с разде- ляющимися переменными. Таковым же является уравнение т. п. действительно являются решениями диференциального уравнения (4'). Возьмем, например, уравнение (11). Если его продиференцировать, получим
§ 16] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 461 вида dy= у (у) dx или, что то же, (»'> которое отличается от (1) только переменой обозначений (х иу меняются местами; функция / (у) изображается как ~^jyj) • Замечание 2. Всякое уравнение вида Xly1dx = Xjridyt где Хх и Х2—какие-либо функции х, a Y\ и Y2—какие-либо функцииjv есть уравнение с разделяющимися переменными; разделив его па Уг и Х2, получим (ср. пример 2). Выполняя деление, мы можем иногда потерять некоторые реше- ния, именно )^ = 0 или Х2 = 0 (если эти уравнения служат реше- ниями). Так, в примере 2, деля на (1 -|- л:2) (1 — _у2)» мы теряем со- отношение 1—у2 = 0, т. е. _у = -}-1 или у = —1. Каждое из этих равенств является решением дифференциального уравнения (13), ибо они дают dy = 0t а подстановка dy = 0 и _y = z£ 1 в уравнение (13) обращает последнее в тождество. Решения, о которых здесь идет речь, называются особыми решениями диференциального уравне- ния* Вообще говоря, они не принадлежат к числу частных решений. Упражнения Найти общие решения следующих диференциальных уравнений: 1. у dx = х dy. Отв. у = сх. =1±У_ в 0тв, (1 +^,)(1-^) = с. dx 1 — х « dx л . lnC(b-x) 3. -тг = а (Ъ — дг). Отв. t = • dt ' а 4. g = (.-ta* Отв. „ = Щ-±Щ + С. 6. {l+x)ydx + (\—y)xdy = 0. Отв. In ху + х — у = С. 7. dy -\-у tgхdx = 0. Отв. y = Ccosх. 8. (1 + x2)dy = х s\uy dx. Отв. tg ^ = С Vl + x*. Q 10. x dy + (у—у2) dx = 0. Отв. у — 'xj^q-
462 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X § 17. Разыскание частного решения по начальным данным Если задано только диференциальное уравнение и не до- бавлено никаких дополнительных данных, то постоянная, вхо- дящая в общий интеграл, остается совершенно произвольной, и ни одно из частных решений не имеет предпочтения перед другими. Но возникающие на практике задачи обычно со- держат еще дополнительные требования, предъявляемые к решению. Так, решив задачу о площади круга (§ 15), мы имели диференциальное уравнение ds = 2ш dr, общим решением которого является уравнение 5 = тгг2 + С. Но, кроме того, мы извлекли из условия задачи дополни- тельное требование, чтобы при г = 0 было s = 0. Из этого требования (см. § 15) вытекает, что постоянная С = 0, и мы получаем частное решение <?=ТГГ2, которое одно только и служит решением задачи. Так же обстоит дело и во многих других задачах. Условие их дает не только диференциальное уравнение между переменными х ну, но и дополнительное требование, обычно сводящееся к тому, что определенному значению х = а соответствует определенное значение у = Ь. Величины а и Ъ называются начальными значениями переменных х и у. Задание началь- ных значений позволяет выделить из общего решения нуж- ное частное решение. Это можно сделать двумя способами, с которыми мы уже знакомы из § 15. Следующие примеры покажут, как это делается для любых уравнений с разделяю- щимися переменными. Пример 1. Решить уравнение^ = — ^ при начальных значениях л: = 0, у = 0. Первый способ. Находим общее решение (см. при- мер 1 § 16)
§ 17] РАЗЫСКАНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ 463 C(\-y)dy ■ Г (14-х) ) У2 ~Ч Выполняя интегрирование, получим _i_ln>-l + ln* = C. (5) Подставляя в уравнение (5) значения jc = 1, ,у = 1, получаем — 2 = С. Внося это значение в уравнение (5), имеем — 1 —In у —-+ 1п* = — 2. (6) у s X 1 Подставляя сюда х = 0у у = 0, получаем 0 = С. Значение С = 0 вносим в уравнение (1). Получаем Уравнение (2) есть искомое решение. Второй способ. Разделив переменные, находим dy = — х2 dx. Берем определенные интегралы с переменными верхними пре- делами, причем за нижние пределы берем данные начальные значения л; = 0, у = 0; получаем У х [y*dy=^ — x2dx, о и откуда 4 ~~ 3 ' Пример 2. Решить диференциальное уравнение (я2 —ух2) dy + (у2 -f ху2) dx = 0 при начальных значениях #=1, у = \. Первый способ. Деля обе части данного уравнения на х2у2} разделяем в нем переменные; получаем П-Жу+(1+*)^=0> (3) откуда '(1— y)dy , С i\+x)dx __с щ
464 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Уравнение (6) есть искомое решение. Ему можно придать вид £±JL + lnJL = 2. (7) ху 1 X w Второй способ. Получив уравнение (3), берем опре- деленные интегралы с переменными верхними пределами. За нижние пределы берем данные начальные значения. Получаем х2 — Вычисляя интегралы, получаем: l-i — lnjr + l—1+1пдс = 0, откуда снова получаем уравнение (6) или (7). Замечание. Второй способ обычно предпочтительнее первого, особенно при решении задач с конкретным содер- жанием, в которых начальные условия даются в буквенном виде. Ср. примеры следующего параграфа. Упражнения Найти частные решения диференциальных уравнений: 1. у dx = x dy при начальных значениях дг = 1, у = 1. Отв. у = х. 2. xdx=ydy при начальных значениях дг = 3, у = 2. 0/яв.лг2 — у2 —5. 3. du = У\ — и2 dv при начальных значениях и = 0, v = 0. Отв. и = sin v. 4. du=u ctg t> dir при начальных значениях и = 0, t> = 0. О/ив. w = sint>. 5. s Y2ghdt = S dh при начальных значениях * = 0, Л = //. -4 (/!-/?)• 6. dv = (g— av2)dt при начальных значениях t = 0, v = Q. 2Yga Vg—vyiL
§ 13] СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 465 а — Vgat при начальных значениях t = О, s=0. ds v(R — ,?)2 r О™. v = r}f ^¾. при начальных значениях t> = 0, s = 0. § 18. Составление диференциальных уравнений В огромном большинстве задач естествознания и техники зависимости между исследуемыми величинами, если брать их в целом, не удается сразу обнаружить. Если же мы выделим из исследуемых величин бесконечно малые их части, то иссле- дование чрезвычайно облегчается. Облегчение это обусловли- вается возможностью пренебрегать бесконечно малыми выс- шего порядка, благодаря чему сложные соотношения между переменными величинами х, у и их приращениями Дл;, Ду за- меняются более простыми соотношениями, в которые входлт вместо приращений Дл;, Ду диференциалы dx, dy. Мы полу- чаем, таким образом, диференциальное уравнение, и задача сводится к решению последнего. Иллюстрацией к этим общим положениям могут служить все разнообразные задачи, решенные нами в гл. IX и X. При всем различии в содержании этих задач в них была одна объединяющая их особенность: диференциал одной из пере- менных величин (у) удавалось представить таким выражением, которое не зависело от самой этой переменной, т. е. дифе- ренциальное уравнение имело вид Так, в примере 2 § 15 гл. IX мы искали зависимость между расстоянием г, на которое удалились друг от друга заряды ev е2, и работой Л, произведенной при этом удалении. Со- ответствующее диференциальное уравнение имело вид dy=f(x)dx. О) dA = Z&-dr. (2) 30 М. Я. Выгодский
466 основные приемы интегрирования [гл. X Здесь выражение диференциала работы dA зависит от рас- стояния г и его диференциала dry но не зависит от вели- чины ранее затраченной работы А. Эта общая особенность рассмотренных выше задач облег- чала перевод условий задачи на математический язык, т. е. составление диференциального уравнения. В общем случае составление диференциального уравнения требует большой изобретательности. Трудности, которые здесь могут возникнуть, таковы же, как трудности составления алгебраического уравнения по условию задачи. Как в алгебре нельзя дать общих правил для составле- ния алгебраических уравнений, так и в исчислении бесконечно малых нельзя дать исчерпывающих указаний для составления диференциальных уравнений. Можно только сказать, что, вы- делив бесконечно малый участок изменения переменных х, у и применяя принцип отбрасывания бесконечно малых высшего порядка, следует составить уравнение между переменными и их диференциалами так, как если бы и те, и другие были неизвестными величинами обычной алгебраической задачи. Ни- жеследующие примеры поясняют это общее указание. Пример 1. В резервуаре имеется 100 л рассола, содер- жащего 10 кг растворенной соли. В него притекает пресная вода со скоростью 3 л в минуту. Одновременно из него вы- текает рассол со скоростью 2 л в минуту. Перемешивание со- храняет одинаковую концентрацию рассола во всем резерву- аре. Сколько соли останется в резервуаре через час? Обозначим через х переменное количество соли в резер- вуаре (в кг), а через t— время, истекшее от начала процесса (в минутах). Задача будет решена, если мы найдем функцио- нальную зависимость между х и t. Бесконечно малые изменения Дл; и Д£ величин х и t мы можем считать равными dx и dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Величина dt есть бесконечно малый промежуток времени, выделяемый нами из всей продолжитель- ности процесса. Так как количество соли в резервуаре убы- вает, то dx есть отрицательная величина; абсолютное значе- ние ее —dx есть количество соли, ушедшее из резервуара за промежуток dt. Чтобы составить диференциальное уравнение, рассчитаем иным путем количество соли, ушедшее из резервуара, и при- равняем — dx полученному выражению.
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 467 Согласно условию задачи соль уходит из резервуара вследствие вытекания рассола, происходящего со скоростью 2 л в минуту; за время dt минут вытекает, следовательно, 2dt л раствора. Ввиду бесконечной малости промежутка вре- мени dt можно считать, что за этот промежуток концентра- ция раствора не изменялась, так что остается узнать, какое количество соли приходилось на 1 л раствора через t минут после начала процесса. Общее количество соли было в этот момент х; общее же количество жидкости было 100 —|— 3^ — — 2t= \00-\-1л (ибо за t минут втекло Ы л воды и вытекло 2t л рассола). На 1 л приходилось ^q—^tfa соли. Следователь- 2х dt но, вместе с 2d/ л рассола из резервуара вытекло юО-J-f^ соли. Мы получаем, таким образом, диференциальное уравнение * 2xdt /0. -<*■* = Шит <3> В отличие от уравнения (2) здесь выражение для dx зависит не только от t и dt, но также и от ранее образовавшегося в резервуаре количества соли х. Диференциальное уравнение (3) есть уравнение с разде- ляющимися переменными. Нужное нам частное решение проще всего получать по второму из указанных в § 17 способов. Разделяя переменные, получаем dx 2dt х — 100 + Г Согласно условию задачи в начале процесса (^ = 0) было х = 10 кг. Поэтому имеем 2dt J х J 1 100 +Г to 0 Интегрирование дает: -lnTo = 21a-iob (4) Это—искомый частный интегралJ). Нам нужно найти значение х 100 000 !) Его можно представить также в виде х= ^qq_р^уа» но, как видно из дальнейшего, освобождаться от логарифмов нам не всегда выгодно. 30*
4G8 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. X при /=60, т. е. решить уравнение — ln£ = 21nl,6. (5) Можно итти таким путем: ln- = lnl,62, х—j 3,91 кг. (6) При менее округленных числовых данных предпочтитель- нее было бы не избавляться от логарифмов, входящих в фор- мулу (5), ибо все равно следовало бы логарифмировать фор- мулу (6). Помножая уравнение (5) на модуль перехода М (см. § 14 гл. VIII), получим уравнение, содержащее десятич- ные логарифмы: откуда с помощью таблиц найдем л;=^3,91 кг. Пример 2. Когда жидкость вытекает из какого-нибудь сосуда через небольшое отверстие, то скорость истечения (если отвлечься от трения, замедляющего течение) имеет ту же величину, какую имела бы скорость тела, упавшего с высоты уровня жидкости до высоты отверстия (закон Тори- челли). Если через h обозначить глубину отверстия под уровнем жидкости, а через v — скорость истечения, то имеем зависимость Исходя из этого, решим такую задачу. Вода наполняет цилиндрический сосуд высоты//= 20 см, дно которого имеет площадь 5=120 см2. Через сколько времени наполняющая сосуд вода выльется через отверстие в дне площадью 5=0,4 см21 Обозначим через t время, протекшее от начала истечения воды (в секундах), и через h — переменную высоту уровня воды, и найдем диференциальное уравнение, связывающее t и h. Выделим бесконечно малый промежуток времени dt; за этот промежуток уровень воды АВ (черт. 147) переме- — log£ = 21ogl,6, v = V2gh (g == 980 cjujce/fi).
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 469 dh щается в положение аЬ\ величина h уменьшается, и, следо- вательно, dh есть отрицательная величина. Абсолютное ее значение —dh есть (с точностью до бесконечно малой выс- шего порядка) высота Аа бесконечно малого цилиндра АВЬа. Убыль воды из сосуда равна объему этого цилин- дра — S dh. Ту же убыль можно подсчитать иначе. Можно считать, что за беско- нечно малое время dt скорость \^2gh протекания воды через отверстие в дне оставалась постоянной. Тогда в течение времени dt через отверстие проходит столбик воды высотой \f2ghdt. Объем этого столбика есть sY2ghdt. Итак, количество вытекшей воды, с одной сто- роны, представляется выражением —Sdh, а с другой,— выражением s\/r2ghdt. Отсюда получаем диференциальное уравнение — Sdh = sV2ghdt. (7) Черт. 147. Разделяя переменные, имеем sdi = - Sdh V2gh% Интегрируем, принимая во внимание начальные условия /=0, h = H: t h Вычисление дает: (8) (9) Такова зависимость между t и К Когда сосуд опорожнится целиком, будем иметь /г = 0, и уравнение (9) дает: , S ,/2// 120^/2^0 „п* *=ту т^бд у ш-=60>6сек- Таково искомое время опорожнения. Тот же ответ мы могли бы получить, беря сразу в правой части уравнения (8) ин-
470 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. X теграл о Sdh УШ Пример 3. При температуре 0° и при нормальном атмосферном давлении /?0 = 10,33 т[м2 плотность воздуха у поверхности земли k0 = 0,00129 т\мг. Предполагая, что вышележащие слои воздуха также имеют температуру 0°, найти зависимость между высотой h над уровнем земли и атмосферным давлением р\ вычислить атмосферное давление на высоте 1 км. Выделим из столба воздуха, находящегося над 1 м2 зем- ной поверхности, бесконечно тонкий горизонтальный слой. При поднятии от нижнего основания этого слоя к верх- нему высота h увеличивается на (положительную) величину dh, а давление получает отрицательное приращение dp. Абсолют- ная величина этого приращения —dp. Чтобы получить урав- нение, связывающее dp и dh, нужно принять во внимание, что уменьшение давления при подъеме вызывается тем, что вышележащий слой воздуха укорачивается. Таким образом, величина —dp должна быть равна весу выделенного нами бесконечно тонкого слоя воздуха. Объем этого слоя есть \-dhM3 и, следовательно, вес есть kdhm, где k есть плот- ность воздуха на высоте h. Получаем диференциальное урав- нение Интегрировать это уравнение еще нельзя, так как k есть величина, меняющаяся с изменением уровня. Поэтому нужно еще выразить k через переменные р, h (через одну из них или через обе). По условию задачи температура всех слоев нашего столба одинакова. А тогда имеет место закон Бойля-Мариотта, сог- ласно которому давление газа обратно пропорционально занимаемому им объему или, что то же, прямо пропорцио- нально его плотности. Таким образом, имеем — dp = k dh. (10) (И)
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 471 Определяем k из уравнения (11) и подставляем найденное выражение в уравнение (10). Находим dp==_k^h_^ (12) Разделяем переменные: dp kQ dh Интегрируем: Вычисление дает: Ра Ро ' k0dh Ро ln£ = — %h. (13) Ро Ро х ' Это и есть искомая зависимость между pah. Чтобы вычислить давление (в mJM2) на высоте h = 1 км = 1 ООО м, мы должны подставить в формулу (13) значения р0= 10,33, k0 = 0,00129, /г=1000. Переходя от натуральных логариф- мов к десятичным, имеем log^-= — M^Lh, (14) ь Ро Ро 1 * ' откуда log/? = logp0 — ^ ^ 0,9599 Ро и р ^ 9,12 т\м2. Если бы требовалось выразить давление в атмосферах, т. е. вычислить отношение — , то формула (14) дала бы Ро logR 0,0542, Ро f- = 0,88. Ро Пример 4. Нужно построить для моста каменный бык с круглыми горизонтальными сечениями и вышиной И= 12 м, на который (помимо его собственного веса) должна падать нагрузка Р = 90 т. Плотность материала у = 2,5 т\мь. Допустимое давление составляет k = 300 mJM2. Какую форму должен иметь бык, чтобы на его изготовление пошло мини-
472 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ мальное количество материала? Какова будет при этом пло- щадь его нижнего основания? Для наиболее экономного использования материала быку нужно придать такую форму, чтобы каждое горизонтальное сечение испытывало предельно допустимую нагрузку, т. е. нагрузку k — 300 т\м?. Это сразу дает нам площадь верх- р него основания $Q = ^- = 0,3 м2. Что касается до нижележа- щих сечений, то, помимо нагрузки Р, они выдерживают вес вышележащих частей быка; поэтому площади их должны возрастать с по- нижением их уровня. Обозначим через s переменную площадь сечения, а через х расстояние поперечного сечения от верхнего основания АВ (черт. 148). Вы- делим бесконечно тонкий слой MNnm. Площадь нижнего его основания тп превышает площадь верхнего основания на величину ds, и это превышение вы- зывается тем, что сверх того давле- X ния, которое испытывает MN,\ сечение Че т 148 тп должно ПРИНЯТЬ на себя давление слоя MNnm, вес которого равен ysdx. Распределяясь по площади ds, этот вес дает на единицу ys dx площади давление • ds - Согласно вышесказанному, эта ве- личина должна быть равна величине k допустимого давления. Получаем диференциальное уравнение ysdx ds • = k. (15) Разделяя переменные и интегрируя, имеем J х ' ds у Нижние пределы соответствуют наивысшему положению попе- речного сечения (когда оно сливается с верхним основанием быка). Вычисление дает: 1 8 У (16)
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 473 Площадь $j нижнего основания CD (в м2) найдем отсюда, подставляя s0 = 0,3, у = 2,5, £ = 300, х=\2. Переходя к десятичным логарифмам, получим откуда найдем 5, = 0,33 и2. Что касается формы быка, то по условию он должен быть телом вращения, так что форму его можно охарактеризовать уравнением линии, своим вращением порождающей поверх- ность быка. Если начало координат взять в центре верхнего основания АВ, а ось абсцисс направить по оси быка, то орди- ната у будет связана с площадью 5 уравнением s = ny2. (17) Точно так же будем иметь *о = *У02. <18> где у0 — радиус верхнего основания. Подставляя выражения (17) и (18) в уравнение (16), получим 1п(—У=^--х или л: = — In — . \Уо/ * 7 Уо Таково уравнение кривой BD (меридиан поверхности враще- ния). Эта кривая называется логарифмикой (общее уравне- 2k ние логарифмики х = а\пу-\-Ь\ в нашем случае а = —, 2k ^ Ь= ln^; как легко видеть, уравнение логарифмики можно написать также в виде у — тепх\ в нашем случае т=Уо, n = <Jk)- Пример 5. Моторная лодка двигалась со скоростью г>0=10 км\час. На полном ходу мотор был выключен, и через tA = 20 сек. скорость лодки уменьшилась до vA — 6 км\час. Принимая, что сопротивление воды движению лодки пропор- ционально скорости движения, найти, какой путь может пройти лодка после остановки мотора. Лодка перестанет двигаться, когда скорость ее станет равной нулю. Поэтому следует найти зависимость между
474 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X путем s, пройденным лодкой после остановки мотора, и ско- ростью ее v. Согласно условию задачи сила сопротивления F пропорциональна v: F= — kvt (19) где k — неизвестная постоянная положительная величина. Знак минус, стоящий перед ней в формуле (19), указывает, что направление силы противоположно направлению скорости. По второму закону Ньютона (см. § 16 гл. VIII) мы имеем F=m%, (20) где т—масса лодки (также неизвестная), a t—время. Сравнивая формулы (19) и (20), получаем диференциальное уравнение md£ = -kv (21) или v т Обозначив постоянную величину ^ через а, мы представим наше диференциальное уравнение в виде %=-adt. (22) Интегрируя его при начальных условиях / = 0, v = v09 по- лучаем \n^- = — at. (23) Неизвестную величину а можно найти из условия задачи; полагая в уравнении (23) t = tv v = vv мы найдем lnu = _a*lf (24) откуда a = — ~ln^ 0,025. Теперь уравнение (23) дает вполне определенную зависи- мость между v и t. Но нам нужна зависимость между v и s. Поэтому мы должны ввести уравнение, связывающее t и s.
§ 18] СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 475 $ t Искомая зависимость между s п v получается исключением t из уравнений (26) и (23) или, что то же, исключением e~at из уравнений (26) и (23'). Получаем s При v = 0 имеем <27> а Таким образом, лодка может пройти после остановки мотора путь уА_ 10-1000 _ а — 60-60-0,025 ^ 1 Мш Замечание 1. Теоретически этот путь лодка пройдет в бесконечно большое время, ибо уравнение (23) при под- становке v = 0 даст —at = — оо, т. е. / = оо. Однако, практически остановка наступит очень скоро; вычислим, на- пример, через сколько времени после остановки мотора лодка подвинется на 110 м. Для этого в уравнение (26) подставим s=\\0 м, ^=111 м. Найдем 1 In 111 Величины dt и ds связаны диференциальным уравнением ds = vdtt (25) для интегрирования которого нужно подставить вместо v его выражение, получаемое из (23): v = v0e-'. (23') Уравнение (25) принимает вид ds = v0e~at df, откуда находим (при начальных условиях / = 0, 5 = 0) s t i-**dt. о Вычисление дает s = v,_Voe-*t9 (26)
476 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X Таким образом, за 3 мин. 8 сек. лодка пройдет более 99°/0 своего пути. Замечание 2. Уравнение (27) можно было бы получить проще, прибегнув к такому искусственному приему: исклю- чим dt из уравнений (22) и (25); получим диференциальное уравнение dv = — a ds. Интегрируя его при начальных условиях v = v0, s = 0, имеем v — ^0 = — as или Задачи 1. Найти вид кривой АВ (черт. 149) обладающей тем свойством, что проекция любой ее точки М на данную ось ОХ отстоит на постоянном расстоянии а от точки Г, в которой касательная МТ пересекает ось ОХ. Указание. Приняв ОХ за ось абс- цисс, записать условия подобия треуголь- ника МРТ с бесконечно малым треуголь- ником, катеты которого dx и dy. Отв. Логарифмика. 2. Найти вид кривой, обладающей тем свойством, что отрезок касательной между координатными осями делится пополам точ- кой касания. Отв. Любая из равносторонних гипер- бол, асимптотами которых служат координатные оси. 3. Найти уравнение кривой АВ, обладающей тем свойством, что в каждой ее точке М отрезок касательной МТ (черт. 149) имеет постоянную длину а (эта кривая называется трактриссой). Отв. Если ОХ принять за ось абсцисс, то уравнение кривой будет У 4. Найти кривую, которая пересекает под постоянным углом все лучи, выходящие из заданной точки О. Указание. Точку О принять за полюс полярной системы координат и рассмотреть треугольник, образованный элементом дуги
§ 18] СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 477 искомой линии, элементом дуги окружности радиуса г и элемен- том dr. Отв. Логарифмическая спираль. 5. Скорость распада радия В пропорциональна его наличному количеству; половина наличного количества радия В распадается в течение 26,7 мин. Через какое время от 1 г радия останется 0,8 г? Какой процент начального количества распадается через 10 мин.? Отв. 1) 8,6 мин. 2) 23<70. 6. Металлический шар, имеющий в начале опыта темпера- туру 12,9°, охлаждается струей воды температуры 0°. Через 8 мин. 16 сек. шар охладился до температуры 9,9°. Принимая, что скорость охлаждения пропорциональна разности между наличной температурой шара и температурой охлаждающей его воды, найти: 1) через какое время шар охладится до температуры 6,9°; 2) ка- кова температура шара через полчаса после начала охлаждения. Отв. 1) 19 мин. 32 сек.; 2) 4,9°. 7. Вода заполняет коническую воронку с краном внизу. Радиус отверстия воронки 12 см; высота воронки 12см; радиус отверстия крана 0,3 см. Через сколько времени после открытия крана воронка опорожнится? Указание. Строго говоря, воронку благодаря наличию от- верстия следовало бы считать усеченным конусом; но ввиду незна- чительности размера нижнего основания можно допустить, что воронка есть неусеченный конус с высотой 20 см. Это упростит решение задачи. Ср. пример 2 настоящего параграфа. Отв. 64,6 сек. 8. В дне котла, имеющего форму полушария радиуса 43 см, образовалась пробоина площадью 0,2 см2. Через сколько времени вода вытечет из котла? Отв. 1 час 6 мин. 58 сек. 9. В дне цилиндрического сосуда с вертикальной осью, радиус основания которого 40 см и высота 160 см, имеется отверстие площади 0,4 см2. В сосуд подается ежесекундно 0,5 л воды, кото- рая частично вытекает через отверстие в дне. В какое время сосуд наполнится? Отв. 39 мин. 45 сек. 10. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на поверхность слоя. При прохождении через слой толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света. Какая часть первоначального количества света дойдет до глубины 30 м? Отв. 0,1°/о- 11. При растворении бензойной кислоты в воде скорость рас- творения можно считать (при постоянной температуре) пропорцио- нальной избытку количества кислоты, насыщающей раствор, над наличным количеством растворенной кислоты. Насыщение наступает тогда, когда вес растворившейся кислоты составляет 28°/о веса воды. Зная, что через 10 мин. после начала растворения раствор
478 ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл. X имеет крепость 6¾1), вычислить крепость раствора через 30 мин. после начала растворения. Отв. 14,40/0. 12. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью в 3 л, содер- жит 20°/о кислорода. Сосуд имеет две трубки: через одну в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вытекает столько же воздуха, сколько притекает в сосуд кислорода. Предполагая, что 7во всех частях сосуда концентрация кислорода одинакова, вычислить, какое количество кислорода будет содержаться в сосуде, когда через него притечет 10 л газа. Отв. 2,91 л. 13. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м\сек и вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 80 м\сек. Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску. Указание. Ср. пример 5 этого параграфа. Отв. 0,0007 сек. 14. Жидкость вращается около вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о). По истечении некоторого времени после на- чала движения свободная поверхность вращающейся жидкости при- нимает устойчивое состояние. Показать, что в устойчивом состоянии поверхность жидкости имеет форму параболоида вращения. Указание. Центростремительная сила, действующая на ча- стицу жидкости, находящуюся на поверхности, равна ти>2х (т—масса частицы, х — расстояние до оси вращения). Центростремительная сила есть равнодействующая веса частицы и давления, оказыва- емого на нее поверхностью жидкости; давление это направлено перпендикулярно к поверхности. Рассмотреть вертикальное сечение искомой поверхности; составить треугольник сил. 15. Сила сопротивления воздуха при падении тела, снабженного парашютом, выражается (приближенно) формулой F= 0,00020^2, где F— сила сопротивления (в динах), s — площадь круга в основании парашюта (в см2) и v—скорость падения (в м\сек). Летчик спу- скается на парашюте, основание которого имеет радиус R=4 м. Вес летчика вместе с весом парашюта составляет 82 кг. Найти скорость падения через 2 сек. после раскрытия парашюта, приняв для упрощения выкладки, что в момент раскрытия парашюта ско- рость падения равнялась нулю. Отв. 4,43 м\сек. 16. Какой процент предельной своей величины составляет вы- численная в предыдущей задаче скорость падения? Отв. 99,97%. 17. На какое расстояние опустился парашют в условиях за- дачи 15? Отв. 7,46 м. *) Крепость раствора есть вес растворенной кислоты, выражен- ный в процентах по отношению к весу воды, так что, например, 28% есть крепость насыщенного раствора.
§ 18] СОСТАВЛЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 479 18, Ускорение силы земного тяготения обратно пропорциональ- но квадрату расстояния падающего тела от центра земли. Вычи- слить, сколько времени продолжалось бы падение тела на землю, если бы в начальный момент это тело находилось в покое в одной из точек лунной орбиты. Сопротивлением земной атмосферы можно пренебречь, так как протяжение ее очень невелико в сравнении с радиусом лунной орбиты 17 час.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ „ГОСТЕХИЗДАТ" Москва, Орликов пер., 3 КНИГИ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗУЧЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (учебники для высших технических учебных заведений) ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ: Н. М. Веский, Курс аналитической геометрии для втузов (печатается). ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЯМ: А. Ф. Бермант. Курс математического анализа для втузов, т. I, изд. 3-е, 332 стр., цена 11 р. 50 к. То же, т. II, изд. 3-е, 344 стр., цена 12 р. 50 к. Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу матема- тического анализа для втузов, 404 стр., цена 11 руб. ПРОДАЖА ВО ВСЕХ КНИЖНЫХ МАГАЗИНАХ КОГИЗа И НАЦКНИГОТОРГА
Цена Юр. 50к.