Измерения: понятия, теории, проблемы - Берка К.

Author: Берка К.
Tags: метрология стандартизация измерительные приборы физические величины теория измерений
Year: 1987
Similar
Сборник вопросов и задач по физической химии для самоконтроля
Научно-прикладной справочник по климату СССР. Серия 3. Многолетние данные. Части 1-6. Выпуск 9. Пермская, Свердловская, Челябинская, Курганская области, Башкирская АССР
Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ
Научно-прикладной справочник по климату СССР. Серия 3. Многолетние данные. Части 1-6
Text
                    по
н
[>
п
[>
1Я
[Д
ЕОРИИ
п
р
О
BJ
IE
МЫ

Карел Берка
ИЗМЕРЕНИЯ
ПОНЯТИЯ,ТЕОРИИ,
ПРОБЛЕМЫ

MERENI
pojmy,teorie,
problemy
Karel Berka
Academia
PRAHA
1977

Карел Берка
ИЗМЕРЕНИЯ
ПОНЯТИЯ,ТЕОРИИ,
ПРОБЛЕМЫ
Перевод с чешского К. Н. Иванова
Под редакцией Б. В. Бирюкова
Послесловие Б. В. Бирюкова
и В. И. Михеева
ЕпЗ
МОСКВА
ПРОГРЕСС
1987

Карел БЕРКА
ИЗМЕРЕНИЯ
ПОНЯТИЯ, ТЕОРИИ, ПРОБЛЕМЫ
ИБ ЛІ 15221
Редактор О. Я. ІіГессидц
Художник М. Котова
Художественный редактор С. В. Красовский
Технические редакторы Г. К. Купцова,
Е. В. Велцчлина
Корректор If. В, Леонтьева
Сдано в набор 14.04.8Т. Подписано в печать 26.(0.87.
Формат 84хі087зі. Бумага типограф. М 1. Гарнитура
оОыкнов, Печать высокая. Условн. печ. л. 16,8.
Уел, кр.-отт. 16.8. Уч.-иад. л. 18,05. Тираж 4500 акз.
Заказ М 1102, Цена 1 р. 90 к, Изд. Л1 41625.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Прогресс» Государственного комитета СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
119847, ГСП, Москва, Г-21, Зубовский бульвар, 17.
Московская типография Jft 11 Союз п ол игр афпро ма при
Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии п княжной торговли, Москва, 113105,
ОТДЕЛ ИНИОНІ
при АН СоСР [
frbKi^s~ Я Д 5"
Редакция литературы
по философии и лингвистике
© Karel Berka 1977
© Перевод на русский язык. Послесловие.
Издательство «Прогресс», 1987
0302020100—696
4-87
Б
006(01)—87

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Автор книги — известный чешский философ, специа¬
лист в области логики и методологии науки. Настоящее из¬
дание книги К. Берки осуществлено с чешского оригина¬
ла с учетом дополненного английского ее издания (Mea¬
surement. Its Concepts, Theories and Problems. Dordrecht,
Boston, London, 1983), вышедшего в «Бостонских исследо¬
ваниях по философии науки» (т. 72).
В книге анализируются основные понятия теории из¬
мерений, в частности теория шкал, имеющая особое значе¬
ние для измерительных процедур, которые относятся к
социально-психологической реальности. Автор выявляет
онтологические, гносеологические и методологические
аспекты теории измерений, показывает их связь с прак¬
тикой.
Книга не предполагает предварительной ориентации
читателя в проблематике измерений, однако для понима¬
ния материала некоторых ее глав требуется знакомство с
основными понятиями современной логики.
В процессе подготовки русского издания книги К. Бер¬
ки редакция сочла необходимым дополнить eev примечания¬
ми, разъясняющими и уточняющими отдельные положе¬
ния автора. Библиография к книге расширена за счет вклю¬
чения в нее работ иностранйых'авторов, имеющихся в рус¬
ском переводе.
В послесловии к книге, написанном Б. В. Бирюковым
и В. И. Михеевым, дается анализ отдельных вопросов по
теории измерений, поднятых автором, в свете новейшего
развития методологии науки и социальной практики.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Современная научно-техническая революция ставит пе¬
ред методологией обществознания новые проблемы. Инте¬
грационные тенденции в развитии знания обусловливают
применение в этих науках методов и средств, традицион¬
но попользовавшихся лишь в естественных науках и тех¬
нике. Исторический процесс развития и применения коли¬
чественных методов в науке, технике и производстве с
необходимостью вызвал большой интерес к методологиче¬
ским п теоретическим вопросам измерения. В силу того
что сегодня к измерениям, помимо традиционных рамок
физических дисциплин, прибегают в самых разных обще¬
ственных науках, прежде всего в психологии, политэконо¬
мии и социологии, проблематика измерения становится од¬
ной из центральных в теории и методологии эмпирических
наук. В результате распространения практики измерений—
а оно связано с переносом понятий, методов и концепций,
которые первоначально использовались главным образом в
физике, на другие области — истолкование общих и спе¬
цифических концептуальных, теоретических и методоло¬
гических аспектов измерения, их философское объяснение
и обоснование являются чрезвычайно актуальными. Рас¬
смотрение всей этой комплексной проблематики, непосред¬
ственно связанной с вопросами применимости математиче¬
ских методов в эмпирических науках, пе является сугубо
теоретическим, ибо оно оказывает существенное влияние
па практическое использование измерительных процедур и
методик в самых различных научных областях, в технике
и на производстве. Это не только необходимое условие по¬
строения общей теории измерений, долженствующей про¬
лить свет на все основные характеристики этого эмпирико¬
математического метода, выявив их философские основы,
но и непременная исходная точка для адекватного и плодо¬
творного использования измерительных процедур в обще¬
ственной практике.
6

Данная работа, основанная на отдельных результатах,
ранее опубликованных автором, ставит целью критически
разобрать и обобщить наиболее существенные исследова¬
ния, относящиеся к теории и методологии измерения, осо¬
бый упор при этом делается на теоретические вопросы п
практику измерений в общественных науках. Поскольку
проблематика измерений до сих пор разрабатывалась глав¬
ным образом лишь в рамках «сциентистской» философии
науки, находящейся под влиянием операционалнзма, ин¬
струментализма, прагматизма и неопозитивизма, а также
в контексте формалистской философии математики, неотъ¬
емлемой частью предстоящего анализа является критика
на основе общеметодологических принципов марксистско-
ленинской философии этих философских концепций к тех
последствий, которые из них вытекают для теории измере¬
ния. Анализ измерительных процедур, непосредственно
связанный с проблематикой вычислений и квантификации
и с использованием математических моделей в эмпириче¬
ских науках, необходимо включает и рассмотрение вопро¬
сов, касающихся проблематики понятия числа, метода ак¬
сиоматизации в математике.
Этой общей направленности подчинена структура кни¬
ги. Во введении обрисовывается основной круг вопросов,
связанных с измерением, причем в его историческом раз¬
витии и в контексте теоретической рефлексии. В следую¬
щих за ним четырех главах анализируются основные по¬
нятия рассматриваемой в книге теории, а именно понятия
измерения, величины, шкалы и квантификации. Дальней¬
шие две главы посвящены теоретическим проблемам изме¬
рения. После разбора некоторых важных методологиче¬
ских вопросов в последующей главе (гл. 8) изложение за¬
вершается раздумьями автора относительно философских
основ, возможностей и пределов измерений (гл. 9).
Комплексность проблематики измерения и теоретико-
методологическая ориентация работы накладывали опре¬
деленные ограничения на выбор исследуемых вопросов: в
книге не освещен ряд важных тем, в частности вопросы из¬
мерения в квантовой физике, проблематика теории отно¬
сительности в ее связи с измерениями, планирование, реа¬
лизация и оценка измерительных экспериментов, примени¬
мость анализа размерностей. Способ, каким эта пробле¬
матика представлена в современной методологической ли¬
тературе, необходимо привел бы к тому, что отдельные по¬
ложения работы в теоретическом и техническом отноше¬
ниях были бы весьма сложными. Я же по мере возможно¬
7

сти, стремился избегать чрезмерного использования симво¬
лических средств формальной логики и математики. Чита¬
тель столкнется с ним лишь в гл. 6, где это было необходи¬
мо по существу дела.
Концепция измерений, развитию которой посвящена
настоящая работа, опирается на основную предпосылку,
согласно которой метод измерений применим только при
определенных объективных обстоятельствах и исторически
заданных условиях; эти обстоятельства и условия нельзя
ни волюнтаристски игнорировать, ни субъективистски ин¬
терпретировать. Подобная предпосылка необходима для
построения цельной теории измерений, ранее не существо¬
вавшей.
С этой точки зрения следует судить и о сделанных мною
критических замечаниях по поводу чрезмерно широкой
трактовки понятия измерения в общественных науках. Од¬
нако я ни в коей мере не подвергаю сомнению возможность
использования измерений вне области физики или приме¬
нения математических методов и методологии дедуктивных
наук в обществознании. С таким истолкованием своей по¬
зиции автор уже встречался в ходе дискуссий с представи¬
телями областей знания, в которых используются «внефи-
зические » измерения. Вопросы о том, является ли предлага¬
емая мною концепция измерения слишком «категоричной»
и «строгой», могут ли теоретические и методологиче¬
ские неточности или неясности (неизбежно сопровождаю¬
щие каждое новаторское начинание) поставить сколько-ни¬
будь под угрозу уже достигнутые результаты, может ли
критика психологических и социологических концепций из¬
мерения—при сложившемся положении вещей—удержать
исследователей от использования «квантитативного» под¬
хода в общественных науках, — все это следует считать
предметом дальнейшего обсуждения.
Возможные расхождения между моей точкой зрения и
позицией моих оппонентов — они, быть может, принципи¬
ально не согласны с некоторыми следствиями, вытекающи¬
ми из моего подхода, — обусловлены прежде всего разли¬
чием в общем теоретико-методологическом взгляде на
проблематику измерения и установкой на применение из¬
мерительных процедур в какой-либо частной проблеме.
Дальнейшее развитие теоретического познания и общест¬
венной практики покажет, в какой степени предлагаемое
понимание измерения оправдано и в каком направлении
его придется модифицировать.
Прага, январь 1976
Карел Берка

1.	ВВЕДЕНИЕ
«В числе, весе п мере вещей
кроется таинство».
Ян Амос Каменский.
«Геометрия»
В повседневной практике человечества п каждого ин¬
дивида измерение — вполне обычная процедура. Измере¬
ние наряду с вычислением непосредственно связано с ма¬
териальной жизнью общества; оно получило развитие в
процессе практического освоения мира человеком. Измере¬
ние так же, как счет и вычисление, стали неотъемлемой
частью общественного производства и распределения, а
также объективной отправной точкой для появлення мате¬
матических дисциплин, и в первую очередь геометрии [ср.:
Фарингтон, 60; Бернал, 23; Страйк, 148], а отсюда и не¬
обходимой предпосылкой развития науки и техники.
В самом начале, в момент своего возникновения те или
иные способы вычисления и измерения, сколь бы различ¬
ными они ни были, носили, естественно, элементарный ха¬
рактер; исчисление множества предметов определенного
вида основывалось на сравнении с числом пальцев; изме¬
рение длины тех или иных предметов строилось на срав¬
нении с длиной пальца руки, стопы или просто шага. Этот
наиболее доступный способ квантификации, который и яв¬
лялся «изначально и в буквальном смысле эксперименталь¬
ной вычислительной и измерительной техникой» [Фил-
корн, 63, с. 58], уходит своими корнями в далекую эпоху
«детства» человечества. Прошли целые столетия, прежде
чем развитие математики и других наук, появление изме¬
рительной техники, вызванное потребностями производства
и торговли, коммуникациями между людьми и народами
п т. д., привели к появлению хорошо разработанных и диф¬
ференцированных методов и технических средств в самых
различных областях знания.
Повседневно прибегая к измерительным процедурам,
мы не осознаем всей сложности этого исторпческого раз¬
вития. Взвешивание штучных товаров на весах того или
иного типа, определение времени с помощью часов, пзме-
9

рение скорости автомобиля с помощью спидометра—все
эти операции любой современный человек производит со¬
вершенно автоматически и считает их весьма несложными
ц легкодоступными. Достаточно только проследить за по¬
ложением стрелки на шкале соответствующего измеритель¬
ного прибора, чтобы установить вес, время или скорость,
иначе говоря, узнать, насколько тяжела вещь, который те¬
перь час плп как быстро мы передвигаемся. Однако способ
измерения с помощью считывания данных со шкалы изме¬
рительных инструментов или приборов представляется нам
столь несложным только потому, что мы не задумываемся
о тех эмпирических и теоретических предпосылках, кото¬
рые сделали возможным конструирование и использование
этих измерителей.
Благодаря собственному опыту, подкрепленному зна¬
ниями, полученными в школе, мы не испытываем каких-
либо затруднений, самостоятельно производя взвешивание
различных предметов на равноплечих рычажных весах.
Для нужд практического измерения веса тел, точнее гово¬
ря, их массы, вполне достаточно соблюсти три правила, ко¬
торые вкратце могут быть сформулированы следующим об¬
разом:
1)	Правило равенства. Веса двух тел, каждое из кото¬
рых помещено на разные чаши равноплечих рычажных ве¬
сов, равны, если чаши окажутся в положении равновесия.
Если чаши не займут такого положения, значит, одно пз
двух тел тяжелее (или легче) другого.
2)	Правило сложения. Если положить на одну чашу
равноплечих рычажных весов два тела и взвешивать их
(согласно предыдущему правилу) так, как будто это одно
единое тело, то общий вес обоих тел будет арифметической
суммой пх веса.
3)	Правило выбора единицы измерения. При взвешива¬
нии на одну из чаш равноплечих рычажных весов помеща¬
ются определенные стандартные тела-эталоны, так назы¬
ваемые гири-противовесы, представляющие собой образцы
основной единицы измерения (в нашей системе мер это
один килограмм), кратных ей единиц или ее дольных еди¬
ниц.
Первые два из этих правил нет необходимости явно осо¬
знавать, поскольку с точки зрения повседневной практики
взвешивания они очевидны. Тем более мы не склонны об¬
суждать технические, физические, математические илц
концептуальные условия этой измерительной процедуры.
Точно так же нам не составит никакого труда и простое
Ю

измерение длины, которое подчиняется трем аналогичным
правилам, упрощенно формулируемым следующим обра¬
зом:
1)	Правило равенства, Два тела с равными гранями на
обоих концах, положенные рядом (или одно на другое)
так, чтобы на одном конце их грани совпадали, будут
одинаковой длины, если их грани совпадут и на противо¬
положном конце. Если же они не совпадут, то это значит,
что одно тело длиннее, а другое короче.
2)	Правило сложения. Если два тела расположены про¬
дольно, одно за другим так, что поперечные грани их кон¬
цов точно прилегают друг к другу, то длина такого состав¬
ного тела будет представлять собой арифметическую сумму
длин обоих тел.
3)	Правило выбора единицы измерения. При измере¬
нии длин в качестве стандартного тепа-эталона использу¬
ется какой-либо линейный измерительный предмет, явля¬
ющийся образцом основной единицы измерения длины (в
нашей системе мер это один метр), кратных ей единиц или
ее дольных.
Если нас интересует лишь длина одного тела по сравне¬
нию с другими телами, иначе говоря, если для нас важно
установить только соотношение двух длин, то можно ог¬
раничиться первыми двумя правилами. Без применения
третьего правила точно сказать, какова длина измеряемого
тела, мы, разумеется, не можем.
При использовании всех трех правил процесс измере¬
ния простейших физических свойств объектов (веса, дли¬
ны и т. п.) в целом проходит очень просто. Предположим,
нам надо измерить длину какого-либо бруска. Возьмем в
качестве измерительного инструмента деревянную двух¬
метровую линейку; сравнение ее длины с длиной бруска
может привести к следующим результатам:
1)	Если измеряемый брусок точно совпадает с нашим
измерительным инструментом, то это значит, что оба тела
имеют одинаковую длину (в данном случае два метра) и
процесс измерения на этом заканчивается.
2)	Если брусок совпадает лишь с какой-то частью на¬
шего измерительного инструмента, то это значит, что его
длина меньше длины двухметровой линейки. Конкретное
числовое значение может быть установлено по положению
точки совпадения второй (задней) грани бруска с некото¬
рой частью основной единицы измерения, обозначенной на
нашем измерительном инструменте, или с ее кратной ве¬
личиной. Как и в предыдущем случае, процесс измерения
П

на этом заканчивается, причем без использования правила
сложения.
і) Если, наоборот, наш измерительный инструмент со¬
впадет с частью бруска, то это значит, что измеряемый объ¬
ект будет явно больше двух метров. В таком случае необ¬
ходимо, используя правило сложения (применительно к
измерительному инструменту), продолжать процесс изме¬
рения до тех пор, пока в п-й раз мы не достигнем одного
из двух предыдущих случаев.
Описанная (и поясненная на примере) процедура из¬
мерения длин интуитивно представляется предельно про¬
стой и понятной, хотя кое у кого, быть может, и возникнет
ряд скептических вопросов. Например, всегда ли можно в
очередной раз приложить двухметровую линейку к измеря¬
емому предмету столь точно, чтобы с уверенностью исполь¬
зовать арифметическую операцию сложения? Не случится
ли так, что наш измерительный инструмент изогнется? На¬
сколько точно мы в состоянии прочитать соответствующее
числовое значение на измерительном инструменте? Как мы
определим числовое значение измеряемого предмета, если
его конечная грань не совпадет с долями основной едини¬
цы измерения, обозначенными на измерительном инстру¬
менте, например если она придется между двумя милли¬
метровыми отметками? Какие числовые значения получа¬
ются при описанном выше типе измерения длины? Ответы
на эти и подобные вопросы связаны уже с общей теорией
измерений, которой мы займемся позже, или с теорией из¬
мерения длин, которая — в силу своей специфичности —
выходит за рамки наших рассмотрений.
Имея в виду последующее изложение, приведем — по¬
ка без подробного обоснования — ответ лишь на последний
из перечисленных выше вопросов: числовые значения, по¬
лученные конкретным процессом измерения, ОТНОСЯТСЯ
всегда только к области рациональных чисел. Это утверж¬
дение влечет за собой серьезные последствия для опреде¬
ленных видов измерения длин, осуществляемых в подоб¬
ных эмпирических условиях с использованием приведен¬
ных выше правил.
Представим себе, что имеется некое тело, имеющее фор¬
му прямоугольного равнобедренного треугольника с кате¬
тами a=b= 1 м. Требуется измерить длину гипотенузы с.
Если действовать тем же способом, каким мы действовали,
устанавливая длину бруска, то мы получим некоторое чис¬
ловое значение, лежащее в области действительных чисел,
скажем 1,42 или 1,41 м. Но если применить теорему Пифа¬
12

гора, из которой следует, что с —if (а?-%-№), то в нашей
случае окажется, что с=У2. Однако хорошо известно, что
это число иррационально и математически выражается
бесконечной апериодической десятичной дробью, а именно
дробью 1,4112135... Следовательно, длина грани измеряе¬
мого тела, соответствующая гипотенузе с прямоугольного
равнобедренного треугольника (при катетах а~Ь — 1 м),
неизмерима с помощью вышеописанного метода даже в том
случае, если мы пользуемся измерительными инструмента-
мп со сколь угодно малыми долями основной единицы из¬
мерения.
Эти два столь простых примера измерения длин убеди¬
тельно свидетельствуют о том, что проблематика измере¬
ния не так проста, как это представляется с первого взгля*
да. В подтверждение такого положения дел можно приве¬
сти целый ряд других примеров. Вспомним хотя бы
измерение температуры, при котором нельзя применить
правило сложения, или измерение эффективности (коэф¬
фициента полезного действия), при котором не выполняет¬
ся правило выбора единицы измерения.
Известно, что ни трудности, с которыми столкнулись
греческие землемеры и математики при решении вопросов,
связанных с несоизмеримыми длинами, ни проблемы из¬
мерения температуры, которые длительное время пытались
решить физики, ни сложности, и поныне возникающие в
различных сферах внефиэических измерений, скажем при
работе психологов, экономистов или социологов, не могли
тем не менее помешать весьма интенсивным поискам при¬
менения «квантитативных» — количественных методов В
эмпирических науках. Скорее наоборот: они лишь стиму¬
лировали эти поиски. Количественный подход к явлениям
ц предметам, точно так же как и качественный, необходи¬
мо предшествовавший ему в общем развитии научного по¬
знания (ибо человек должен был прежде всего различать
вещи и свойства на основе сходства и различия), фактиче¬
ски коренится в самой сущности объективной реальности,
а именно в том, что «отношение между качеством и коли¬
чеством взаимно, что качество так же переходит в количе¬
ство, как и количество в качество, что здесь имеет место
взаимодействие» [Энгельс, 58, с. 568]. Значение квантифи¬
кации в самых различных сферах человеческой деятель¬
ности, несмотря на препятствия, которые приходится пре¬
одолевать в теории и на практике, вытекает из осознания
ее преимуществ и полезности.
Соотношение между качественным и количественным
13

подходами и их оценками на теоретическом уровне объяс¬
няется разделением понятий на классифицирующие (ка¬
чественные), топологические (сравнительные) и метриче¬
ские (количественные)1.
Классифицирующие понятия, такие, например, как
близкий, холодный, длинный, старый, определяемые лишь
качественно, служат для классификации объектов на ос¬
нове общих характеристик. По историческим причинам и в
силу потребностей систематизации эти понятия в развитии
научного познанпя были первичными. Они характерны для
стадии классификации, через которую необходимо прохо¬
дит каждая научная дисциплина. В их значении в плане
таксономии, например в ботанике, зоологии, минералогии
и т. д., сомневаться не приходится. Однако нельзя забывать
о том, что эти понятия неточны и неопределенны п что пх
использование в понятийной структуре научных теорий:
весьма ограничено.
По собственному опыту всякий знает, что сообщения
вроде: «сейчас приду», «до города недалеко», «вода теп¬
лая» — достаточно расплывчаты и каждый человек вклады¬
вает в них свое значение. Когда член общества «моржей»
заверяет нас, что зимой вода в реке Влтаве теплая, боль¬
шинство пражан поймет его в прямо противоположном
смысле. Услышав от сибирского охотника, что до ближай¬
шего города недалеко, мы воспримем эту информацию не¬
сколько иначе, чем если бы мы получили ее от эстонского
водителя такси.
Далее, при классификации, осуществляемой над опреде¬
ленным понятием, получающиеся категории представляют
лишь весьма небольшое количество подгрупп. В некоторых
случаях (например, при классификации основных цветов,
успехов учащихся и т. и.) это обстоятельство не связано для
нас с какими-либо затруднениями. Если же речь идет о
классифицирующих понятиях, относящихся к градациям
свойств, то такая ограниченность уже мешает. При опре¬
делении разных температурных состояний, например, мы
можем использовать следующие классифицирующие поня¬
тия: обжигающий, горячий, теплый, тепловатый, прохлад¬
ный, холодный, ледяной. Разумеется, эту классификацию
1 В рамках теории измерений мы считаем более уместным ис¬
пользовать классификационные, топологические и метрические тер¬
мины, а не синонимичные пм качественные, сравнительные и «с-
личественные термины (понятия), которые, как правило, исполь¬
зуются при разработке языка науки.
14

можно было бы сделать более тонкой. Но даже если бы мы
ввели дополнительные категории, такие, например, как
очень прохладный, очень холодный, невероятно ледяной, то
для еще более тонкого различения нх все же было бы недо¬
статочно, не говоря уже о том, что мы, по-видимому, столк¬
нулись бы с трудностями истолкования различий, скажем,
между понятиями очень прохладный и холодный. В прин¬
ципе, разумеется, можно было бы ввести классифицирую¬
щие понятия для каждого действительно существенного
уровня данного свойства, если бы мы имели в своем рас¬
поряжении соответствующие специфические термины. Оче¬
видно, однако, что такой способ выражения малоэффекти¬
вен, не говоря о том, что для его использования явно не
хватило бы нашего обычного словарного запаса.
Значение некоторых (но отнюдь не всех) классифици¬
рующих понятий мы можем уточнить, выражая их в срав¬
нительной форме, в частности в виде топологических поня¬
тий, например: теплее, чем...-, длиннее, чем...; тверже, чем...;
столько же лет, сколько и... В отличие от классифицирую¬
щих топологические понятия имеют уже большую познава¬
тельную ценность. Они позволяют не только устанавли¬
вать тождество (пли различие), но и сравнивать друг с
другом по меньшей мере два предмета, обладающих дан¬
ным свойством, получая в результате их расположение в
определенном порядке.
Если, например, известно, что предмет х длиннее пред¬
мета у и что предмет у длиннее предмета Z, то из этого
можно непосредственно сделать вывод, что предмет х длин¬
нее предмета z, хотя, разумеется, конкретную длину упо¬
рядоченных таким образом предметов установить нельзя,
даже если мы знаем, например, числовое значение длины
предмета х. Только в исключительном случае, используя
выражение типа а А столько же лет, сколько и Вь и по сча¬
стливой случайности зная, сколько лет одному из этих двух
лиц, мы на основе этого можем определить и возраст вто¬
рого.
Характерно, что топологические понятия образуют пе¬
реходную ступень, ведущую от классифицирующих поня¬
тий к понятиям метрическим. С точки зрения методологии
топологический понятия имеют гораздо больше общего с
понятиями классифицирующими, нежели с метрическими,
поскольку и упорядочение предметов по определенному
свойству можно трактовать как некий тип классификации,
показывающий не только отношения подчиненности, пре¬
восходства или равнозначности между отдельными под¬
16

группами, но и взаиморасположение или размещение рав¬
нозначных подгрупп. К тому же речь здесь идет об очень
тонкой классификации, которую в принципе можно по не¬
обходимости детализировать, вводя между любыми члена¬
ми упорядочения все новые и новые промежуточные члены.
Это, разумеется, предполагает, что мы имеем дело с граду¬
ируемым свойством, как, например, в случае классифика¬
ции с помощью шкалы твердости минералов Мооса, осно¬
ванной на топологическом понятии тверже, чем... Однако
если упорядочение осуществляется на основе неградуиру-
емых свойств, например, пражский, кошачий, деревянный
и т. п., мы можем применять только классифицирующие
понятия.
С концептуальной точки зрения топологические поня¬
тия более тесно связаны с понятиями метрическими,
поскольку уже само наличие топологического понятия, точ¬
нее говоря, выполнение условий упорядочения (топологи-
зации), является необходимой предпосылкой существова¬
ния соответствующего метрического понятия.
Метрические понятия, такие, например, как «темпера¬
тура 50 °С», «длина 10 м» и т. п., не только выражают
качественную характеристику тела, например его темпе¬
ратуру или длину и т. д., но и содержат уже точные коли¬
чественные определения. Таким образом, метрические по¬
нятия в явной форме отражают единство качественных и
количественных аспектов реальных объектов. Их объек¬
тивизация, разумеется, относительна — зависит от приня¬
той системы единиц измерения. Однако такая специфика¬
ция совершенно необходима, так как иначе мы не смогли
бы узнать, что метрическое понятие «температурное со¬
стояние 122 °F» имеет точно такое же значение, что и по¬
нятие «температурное состояние 50 °С».
Значение метрических понятий не ограничивается тем,
что они служат для уточнения неопределенных и расплыв¬
чатых предикаций в суждениях типа «вода теплая» с по¬
мощью таких квантитативных утверждений, как «темпе¬
ратура воды +27 °С», обладающих интерсубъективным ха¬
рактером. Релевантность этих понятий базируется прежде
всего на том, что они позволяют формулировать числовые
законы, являющиеся неотъемлемой составной частью всех
точных наук, и применять математические средства в эм¬
пирических областях знания.
Переход от классифицирующих понятий к метриче¬
ским, на теоретическом уровне выражающий измеримость
соответствующего свойства, необходимо четко отличать от
16

более или менее удачной попытки количественного истол¬
кования какого-то качественного понятия. Под этот способ-
уяснения понятий подпадают, в частности, экземшшфнка-
ция какого-либо качественного понятия с помощью число¬
вых данных, скажем понятия успешной театральной
постановки с помощью числа повторных спектаклей, пли на¬
хождение соответствующего соотношения между содержа¬
тельно разными качественными и квантифицируемыми по¬
нятиями, например между понятиями страха и уровня ад¬
реналина в крови.
Эта дифференциация важна в первую очередь потому,
что количественное истолкование часто интерпретируется
в духе редукционизма, а затем такая интерпретация неоп¬
равданно переносится и на трактовку метрических поня¬
тий. Объективный переход от классифицирующих понятий,
к метрическим, исторически обусловленный и реализую¬
щийся только в случае крайней необходимости, НИ в коем
случае не следует истолковывать ни как сведение качеств
к количествам, ни как игнорирование качественных аспек¬
тов реальности. Ошибочность подобной интерпретации ста¬
новится совершенно очевидной, стоит лишь осознать, что
всякое метрическое понятие непременно включает в себя
свое качественное определение.
Оправданный интерес к развитию количественных ме¬
тодов в науке в своем историческом развитии был обуслов¬
лен не только объективными факторами. В пифагорейско-
платоновской традиции он также субъективно оказался
связанным с идеей универсального математического мето¬
да, который предположительно может быть распространен
на все области научного познания.
Тот факт, что методологически неверная и философски
несостоятельная идея универсального математического ме¬
тода, базировавшаяся на непонимании существа процесса
абстрагирования и идеализации, абсолютизации количест¬
венных аспектов реальности и на переоценке значимости
для процесса познания количественных понятий, оказы-
зывала большое влияние на развитие знания в период
научных революций, является выражением диалектики
исторически развивающегося процесса познания. В эпоху
Возрождения эта идея сказалась на развитии астрономии,
механики и но степенно утвердилась в других естественных
науках. С XIX в. эта идея начала проникать в психоло¬
гию и экономическую науку, а в наше время она распро¬
странена в социологии, педагогике, лингвистике и других,
общественных науках.
2 Зак. №1102
17

Несмотря на то что в античной науке эта концепция
была подчеркнута в девизе платоновской Академии «Не-
геометр да не войдет!», она не нашла достаточно широко¬
го развития н осталась ограниченной рамками математи¬
ческих дисциплин, к которым причислялись, разумеется,
и астрономия, и наука о музыке. В силу объективных по¬
требностей в классификации и систематизации научных
знаний, а также под влиянием естественнонаучных и фи¬
лософских взглядов Аристотеля в период античности ка¬
чественные методы превалировали над количественными
[ср.: Фнлкорн, 64, с.'69, 193]. В средние века конфрон¬
тация между качественным и количественным подходами,
которая с точки зрения марксистско-ленинской филосо¬
фии односторонне подчеркивает лишь один аспект диа¬
лектического процесса познания, в результате искажен¬
ного восприятия основных идеи перипатетиков привела
даже к временному преобладанию качественного подхода.
Именно это обстоятельство является ОДНОЙ ИЗ основных
причин, объясняющих, почему наука эпохи Возрождения,
ведя исторически оправданную {первоначально обуслов¬
ленную развитием ремесел, торговли п мореплавания)
борьбу против схоластики, в своем стремлении к истин¬
ному познанию природы опиралась не только на атомизм
Демокрита, но и на пифагорейско-платоновский идеал ма¬
тематизации.
Вот почему переход от качественного к количествен¬
ному взгляду на реальность считается началом современ¬
ной науки, нашедшей свое воплощение в трудах И. Кеп¬
лера, Г. Галилея н, конечно же, И. Ньютона. Сегодня мно¬
гие историки научного знания утверждают, что современная
наука выросла из измерения, без которого она немыс¬
лима, и утвердила себя только благодаря измерению. Мы
не считаем достаточно обоснованным обобщение мысли
Галилея, согласно которой необходимо «измерять все, что
измеримо, и стремиться превратить в измеримое то, что
таковым еще не является» [ср.: Вейль, 167, с. 100]. Нет
никакого сомнения, что со времен Галилея развитие на¬
уки связано с использованием математики и разработкой
методов измерения, однако одностороннее применение
количественного подхода и чисто эмпирически ориентиро¬
ванные измерения сами по себе никогда не привели бы к
становлению классической фнзнки в том виде, как она
представлена в «Математических началах натуральной
философии» Ньютона. Так же как и у Галилея, в «Мате¬
матических началах...» квантификация всегда подчиняет¬
18

ся теории. Измерение для Ньютона не цель научного по¬
знания, а всего лишь одно из его средств.
Значительные результаты, которых достигла физика,
соединяя экспериментальный подход, базирующийся на
измерении, с теоретическими построениями и устанавли¬
вая естественную, опосредованную математическими ме¬
тодами связь между опытом п теорией, оказали большое
влияпие на развитие других наук п стали, особенно в на¬
ши дни, как бы их общим идеалом.
Уже в XIX в. к этому направлению присоединились
две обществоведческие дисциплины: экономика и психо¬
логия. Под влиянием гипотезы Д, Бернулли о максими¬
зации ожидаемой прибыли, согласно которой различается
стоимость денег с точки зрения «количества» и нх эффек¬
тивности, а также по их полезности для копкретного ин¬
дивида [Бернулли, 24], в буржуазной экономической на¬
уке начинают создаваться два различных варианта тео¬
рии прибыли. Сторонники концепции так называемой
ординальной — порядковой — прибыли стали придержи¬
ваться той точки зрения, что прибыль можно только упо¬
рядочивать; приверженцы же концепции так называемой
кардинальной, или количественной, прибыли рассматрива¬
ли прибыль как измеримую в буквальном смысле слова.
Б нашем столетии эти исследования проблем измерения
в экономике продолжили Дж. фон Нейман и О. Морген-
штерн, совершенно однозначно занявшие позицию «кар¬
динальности» прибыли. По их мнению, которое оказало
весьма существенное влияние на современную концепцию
измерения в общественных науках (и прежде всего в ме¬
тодологическом аспекте), прибыль следует трактовать
только как «количественно измеримую величину, т. е. как
число» [Нейман, Моргенштерн, 112, с. 16].
Под влиянием традиции, идущей от Бернулли, пробле¬
матика измеримой эффективности прибыли в рамках более
широкого контекста так называемого субъективного изме¬
рения, включающего в себя измерение значений, позиций и
других «субъективных величин», получила широкое при¬
менение в психологии. Разумеется, здесь действовали н
другие факторы, и прежде всего пример физики, а также
философская концепция параллелизма физических и пси¬
хических явлений. Прогресс количественных методов в
психологической науке, обусловивший в XIX в. различие
между эмпирической психологией и психологией философ¬
ской, приобрел программный характер для так называемой
психофизики, ставившей целью изучение отношений между
2*
19

физическими раздражителями и психическими по своему
характеру ощущениями на основе измерения физических
величин [Фехнер, 62].
В нашем столетии под влиянием философских концеп¬
ций эмпиризма, прагматизма и главное операції опал из ма
■измерение было провозглашено основным методологиче¬
ским постулатом эмпирической; психологии, эмпирической
социологии, эмпирической педагогики п т. п. Оно стало
также теоретической основой для образования направле¬
ний или ПОДДИСЦШ1ЛИН в разных обществоведческих об¬
ластях, как об этом свидетельствуют названия экономет¬
рия, психометрия, социометрия.
Однако парадигму физического измерения, равно как
и математические методы, нельзя использовать одинако¬
вым образом во всех научных сферах, поскольку каждый
научный метод связан со специфическими содержатель¬
ными проблемами и теоретическими конструкциями, весь¬
ма различными для разных научных дисциплин. Исполь¬
зование методов и концепций, привнесенных из других
научных областей, всегда должпо быть адекватно моди¬
фицировано, ибо только так оно может быть согласовано
с предметом изучения той или иной научной дисциплины,
-с достигнутым уровнем ее теоретической организации.
Измерение дает плодотворные результаты лишь в том
случае, когда в разных научных областях учитывается ди¬
алектическое отношение между теорией и практикой;
между развитием измерительных методов и инструментов
измерения, с одной стороны, и специфической теорией из¬
меряемой величины — с другой (в случае использования
измерения в производственной или технической практи¬
ке); между проверкой гипотез или верификацией число¬
вых законов и их теоретическим обоснованием, зависящим
от общей теории измерений (в случае использования этих
гипотез и законов в фундаментальном исследовании).
Вообще говоря, полный противоречий исторический
процесс развития и применения методов измерения дол¬
жен был проявиться и в развитии соответствующих тео¬
ретических и методологических концепций, а также в ис¬
следованиях, касающихся анализа и оценки измеритель¬
ных процедур.
Однако в теории и методологии физических измерений
данная ситуация в целом облегчалась благодаря существо¬
ванию объективных условий применимости количествен¬
ных методов и богатого опыта использования измерений,
повышенное внимание к которым проявилось уже в
20

XVIII в. Физики просто не испытывали потребности в ме¬
тодологии экспериментальных исследовании, поскольку в
этом отношении не встревали сколько-нибудь серьезных
затруднений. Их интерес сосредоточивался скорее на во¬
просах практического характера: на разработке макси¬
мально точных и совершенных устройств, позволяющих
расширять диапазон измеримых значений данной вели¬
чины, повышать степень точности этих значений п облег¬
чать контроль за получением числовых результатов с по¬
мощью различных измерительных методов. Поскольку ни¬
каких серьезных сомнений относительно допустимости
разных единиц измерения не возникало, вопрос об их
стандартизации решался практически. Хотя в нашем сто¬
летии подобное отношение к теории и методологии изме¬
рений претерпело некоторые изменения, однако на повсе¬
дневной теории и практике физического измерения это
сколько-нибудь заметно не сказалось. За некоторыми ис¬
ключениями, измерение в физике, в сущности, не обре¬
менено какими-либо неясными или спорными проблема¬
ми теоретического или методологического свойства. Исклю¬
чения же в данном случае составляют: дискуссия о приро¬
де измерения в квантовой фнзике, и прежде всего о функ¬
ции измерительного прибора; полемика о значении опера¬
циональной концепции измерения — полемика, которая,
правда, вскоре закончилась, причем не в пользу операцио-
нализма; проблематика теории относительности, связанная
с понятием измерения, равно как теоретические построе¬
ния, относящиеся к анализу размерностей — анализу,
практическое применение которого, особенно в прикладной
физике, не вызывает каких-либо трудностей.
Следуя за физикой, психологи, экономисты или социо¬
логи сталкиваются, естественно, с проблемами принципи¬
ального характера. Не имея возможности последовательно
опираться на результаты в достаточной мере проверенной
практики, равно как и на убедительную теорию внефизи-
ческих измерений, они стремятся обосновать целесообраз¬
ность и реализуемость измерительных процедур в своих об¬
ластях исследования, переводя вопрос на теоретический и
методологический уровни. Вместе с тем они стремятся по¬
бороть всякие сомнения относительно того, оправдана ли
вообще квантификация в этих областях, основанная на из¬
мерениях, как это проявилось, например, в известной дис¬
куссии о возможностях измерений в психологии [ср.: Кэмп¬
белл, 40]. В обоих случаях обществоведы — сторонники ко¬
личественных методов вынуждены выступать против двух
21

противоположных, но по своим следствиям весьма сходных
тенденций, непосредственно связанных с оценкой приме¬
нимости математических методов в общественных науках.
В собственном лагере им приходится парировать скепти¬
ческие выпады по поводу пределов измерений в социаль¬
ной среде утверждением, вытекающим из переоценки каче¬
ственного характера соответствующих дисциплин п из не¬
дооценки преимуществ, проистекающих из правильного ис¬
пользования квантификации. В то же время, защищая воз¬
можности измерений в обществоведческих дисциплинах,
они вступают в конфликт с представителями естественных
и технических наук, по мнению которых эта позиция бази¬
руется на переоценке роли математических методов в дан¬
ных дисциплинах и на недооценке содержательной специ¬
фики последних.
В конце XIX — начале XX столетия теоретическим во¬
просам измерения косвенно уделялось внимание н со сто¬
роны математиков; это было связано с дискуссиями об от¬
ношении между величиной и числом, со спорами о приро¬
де геометрии и обсуждением путей аксиоматизации теории
мер.
Эти различные источники и сферы теоретических и ме¬
тодологических подходов к проблематике измерения про¬
явились, разумеется, и в ориентации соответствующих тео-
ретико-методологических исследований, развитие которых
условно можно разделить на три этапа. Ниже мы ограни¬
чимся указанием на основные работы, которые в последу¬
ющий период существенно повлияли на современную тео¬
рию и методологию измерений.
На первом этапе разработки теоретических и методоло¬
гических проблем измерения на авансцену выступают
прежде всего их философские и математические аспекты.
Общеизвестной в этом отношении является пионерская ра¬
бота Г. Гельмгольца «Счет и измерение с точки зрения по¬
знания» (1887), посвященная гносеологическим, методоло¬
гическим и математическим аспектам квантификации. Хо¬
тя проблемами аксиоматизации теории величин, помимо
О.	Гёльдера (1901), занимались Э. Хантингтон (1902) и
Винер (1902), именно аксиоматизация, разработанная
О. Гёльдером, повлияла на современную аксиоматическую
теорию экстенсивных величин и формальное обоснование
теории экстенсивных измерений. Специфическую теорию,
основанную на подробном анализе понятий количества, ве¬
личины и числа, разработал Б. Рассел, особенно в третьем
томе написанного совместно с А. Уайтхедом труда «Ргіп-
22

•cipia mathematical», одвако и эха теория ее утвердилась в
качестве базы теоретико-методологического обоснования
понятия измерения.
На втором этапе, представленном прежде всего работой
Н. Р. Кэмпбелла «Основы физики» (1920), теоретические п
методологические исследования определялись исключи¬
тельно интересами и потребностями физических измере¬
ний — физику Кэмпбелл считал чуть ли не наукой об из¬
мерении. Хотя пафос монографии Кэмпбелла был реши¬
тельно направлен против какого бы то нн было дальней¬
шего распространения метода измерения, эта работа со¬
ставила основу общей теории измерений и стала импульсом
для развития теоретических и методологических концеп¬
ций измерительных процедур во вне физических областях.
Наконец, на третьем этапе, начиная с работ С. Стивен¬
са, и прежде всего его статьи* «О теории шкал измерений»
(1946), интерес к методологическим и теоретическим ис¬
следованиям проблем измерения решительно переместился
в сферу психологии, социологии и экономики. С точки зре¬
ния представителей этих дисциплин, практика и теория из¬
мерений стала центральной проблемой формальной мето¬
дологии эмпирических наук. Причина этого интересного
сдвига, вне всякого сомнения, обусловлена трудностями
обоснования эмпирической и теоретической целесообраз¬
ности внефизических измерений, которые в общественных
науках могли бы играть ту же роль, что и физические из¬
мерения в естествознании. Осуществление этого намере¬
ния с необходимостью должно вести к созданию общей те¬
ории измерений, которая концептуально п методологиче¬
ски объединила бы оба типа измерений.
Важность этой труднодостижимой цели очевидна. Не¬
зависимо от импульсов, вызвавших ее постановку, каждый
следующий шаг в рассматриваемом направлении не только
важен для теоретического обоснования внефизических из¬
мерений, но и является весьма ценным вкладом в теорию,
методологию и философию науки.
* Хотя эта статья С. Стивенса на русский язык не переведена,
ее содержание вошло в: Стивенс С. Экспериментальная психо¬
логия, М„ 1960. — Прим, ред.

2. ИЗМЕРЕНИЕ
Понятие измерения, интерпретируемое в различных ас¬
пектах и в разных целях, является, несомненно, комплекс¬
ным, не имеющим однозначной трактовки (о чем мы уже
говорили во введении). Здесь мы еще раз напоминаем об
этом, с тем чтобы оправдать способ, с помощью которого
мы по мере изложения будем пояснять, что же входит в
объем и содержание данного понятия. С самого начала ус¬
танавливать его более или менее точные границы было бы
по меньшей мере преждевременно и в любом случае нео¬
боснованно. Разумеется, адекватное определение понятия
измерения, как бы его ни формулировать, имело бы, бес¬
спорно, большое значение с концептуальной точки зрения.
Однако считать его единственной целью нашего анализа
не следует. Для теории измерений намного важнее, если
мы подробно изложим различные точки зрения на проб¬
лему измерения, общие и специфические характеристики
метода измерения, его функцию в процессе научного по¬
знания, оптимальные условия его применения, — все это»
собственно говоря, и определяет понятие «измерение»,
2.1.	Понятие измерения
Даже без детального знакомства с процессом измере¬
ния — по собственному ли практическому опыту или на ос¬
новании изучения методологической и теоретической ли¬
тературы — не вызывает сомнения, что измерение включа¬
ет различные аспекты эмпирического и теоретического ха¬
рактера, обусловливающие друг друга весьма сложным об¬
разом. В практике на первый план выступает реализация
процесса измерения: подготовка и проведение эксперимен¬
тов по измерению некоторого свойства (свойств) объектов
в рамках определенной научной сферы; выбор соответству-
24

тощих измерительных операций; конструирование и ис¬
пользование измерительных инструментов; обработка и
■оценка результатов измерения. На теоретическом уровне
существенными оказываются прежде всего проблемы кон¬
цептуализации объекта измерения и его результатов, оп¬
ределение основных понятий теории измерений и условий
измеримости, исследование отношения между эмпириче¬
скими и математическими аспектами метода измерения,
построение общей теории измерений. Разумеется, все эти
аспекты, которые можно сформулировать еще более деталь¬
но в каждом отдельном случае измерения, так же как при
любом теоретическом анализе, который можно проводить
на самых разных уровнях, проявляются самым различным
образом.
Бели мы хотим уяснить, как трактуется понятие изме¬
рения, что следует подразумевать под измерением, мы дол¬
жны исследовать различные типы измерения или разные
интерпретации понятия измерения.
Если бы мы, продолжая проведенное во введении тол¬
кование измерений длины и массы, затронули и другие
случаи физического измерения, такие, как измерение ко¬
эффициента теплового линейного расширения в учении о
теплоте, измерение температуры с помощью термопары в
науке об электричестве или измерение угла преломления
луча света в оптике, то без труда установили бы, что эти
виды измерения — независимо от методов измерения и ис¬
пользуемых измерительных устройств— не укладываются
в рамки указанных выше трех правил. Это заключение
станет еще более очевидным, если мы исследуем разные
процедуры, считающиеся случаями внефизического изме¬
рения, например измерение коэффициента интеллектуаль¬
ности — в психологии, прибыли — в экономике, отношения
человека к труду — в социологии, успеха учащихся — в пе¬
дагогике, значения слов — в лингвистике. Таким образом,
сформулировать путем индуктивного обобщения какую-ли¬
бо концепцию, выражающую основные аспекты понятия
измерения, в принципе возможно, но все дело в том, что
такой подход уже был использован не только теоретиками
и методологами измерения, но и самими учеными и инжене¬
рами в прошлом.
Поэтому, приступая к предварительному определению
понятия измерения, уместнее начать с рассмотрения имею¬
щихся трактовок или описаний этого понятия. Что, кстати,
позволит нам предпринять своеобразную инвентаризацию
проблем, спорных в интерпретационном или терминологи¬
25

ческом отношении. Обычные описания или объяснении
понятия измерения основаны на знании о характере изме¬
рительных процедур на различных ступенях общности пре¬
имущественно в рамках разных научных областей, иногда
же в связи с измерениями в рамках одной ваучной дисци¬
плины. Поскольку явное различие между измерениями В:
физике и в не физических областях существует, постольку
интерпретация понятия измерения, основанная на сопо¬
ставлении основных типов измерений, с точки зрения ин¬
формативности будет наиболее результативной.
Приводимые ниже концепции {сначала будет рассмот¬
рена концепция, характеризующая физическое измерение,
а потом — концепция, относящаяся к внефизическому) на¬
следует рассматривать как проявление каких-либо особых
тенденций, и в частности как выражение априорного при¬
страстия к измерению во внефизических областях. Приве¬
ди мы иные высказывания, все равно мы убедились бы в:
том, что характер измерений в общественных науках вы¬
ражается гораздо менее определенно, нежели концепции
измерения в физике.
Понятие измерения, как оно обычно трактуется в кон¬
тексте физического измерения, можно проиллюстрировать
следующими двумя высказываниями:
і)	«Осуществление количественных описаний, т. е. ОПЫ¬
ТОВ, при которых мы получаем числовые данные, позволя¬
ющие устанавливать не только характер (качество), но и
меру (количество) наблюдаемых изменений, мы называем
измерением... Измерение служит для объективного опреде¬
ления физических величин... Почти все физические изме¬
рения можно свести к измерению «длин» («особенно это
касается тех измерений, при которых считывается со шка¬
лы положение стрелки, нити, светового индекса, уровня
жидкости и т. и.»), поскольку измеряемая величина здесь
определяется «удаленностью считываемого положения от
положения нулевого, т. е. длиной...» «Измерить физическую
величину означает сравнить ее с определенным количест¬
вом однородной величины, выбранной в качестве единицы»
[Брож, 33, с. 17 и сл.].
И) «Измерение включает в себя по меньшей мере три
специфических элемента: объект или скорее некую физи¬
ческую систему, над которой должна производиться неко¬
торая операция; свойство этой системы, которое поддается
наблюдению и сравнению и «значения» которого опреде¬
ляются с помощью данной операции; инструмент, посред¬
ством которого эта операция проводится... Таким образом,
26

•об номер епни можно говорить только тогда, когда резуль¬
татом операции, объединяющей в себе эти три элемента,
является некое метрическое число. Если такого числа мы
не получаем, то в лучшем случае можно говорить о каком-
либо эксперименте или наблюдении» [Кокельмаяс, 90,
с. 115; ср.: Маргенау, 106, с. 369 и сл.].
Исходя из этих двух формулировок, подчеркивающих
лишь основные аспекты измерительных процедур, и из не¬
явно заключенных в ннх концепций, мы можем, вообще
говоря, прийти к следующим характеристикам:
1)	Физическое измерение относится к реальным объек¬
там, первоначально не зависящим от познающего субъек¬
та,
2)	Методологически оно связано с наблюдением и экс¬
периментированием. Связь с наблюдением обязана тому
факту, что каждое измерение предполагает некое наблюда¬
емое свойство измеряемого предмета и что эмпирическая
процедура наблюдения вместе с тем необходима для уста¬
новления числовых значений с помощью шкал измеритель¬
ных устройств. Отношение измерения к экспериментиро¬
ванию обусловлено тем, что процесс измерения можно
трактовать как специфический вид эксперимента.
3} Основными элементами измерения являются, с од¬
ной стороны, наблюдаемые свойства (качества) или мера
(количество) измеряемых предметов, а с другой — объек¬
тивированные числами определения этих качеств или ко¬
личеств. Поэтому эти основные элементы можно считать
объектом измерения и его результатом. Результат, выра¬
жающий в числовой форме «размер» объекта измерения,
является как минимум рациональным числом или, если при
этом производится также и вычисление, числом действи¬
тельным. Результатом измерения является не только дан¬
ная числовая величина, но, как правило, множество подоб¬
ных числовых данных, включая их статистику.
4)	Процедура измерения зависит от эмпирических опе¬
раций, образующих связующее звено между обоими основ¬
ными элементами, от использования измерительных инст¬
рументов, позволяющих устанавливать числовые значения
измеряемых свойств на основе считывания соответствую¬
щих данных со шкал измерительных устройств, а также
от существования соответствующей единицы измерения,
однородной с измерительным объектом. Собственно про¬
цесс измерения базируется на сравнении измеряемого свой¬
ства с единицей измерения. Используя соответствующее
измерительное устройство, любое физическое измерение
27

можно практически свести к измерению длины *. Эти усло¬
вия операционализации можно подытожить с помощью не¬
которых правил, специфических для определенных видов
измерения.
Мы приведем также два описания внефизического из¬
мерения, которые, несмотря на внешнее терминологиче¬
ское сходство, различны по своему характеру.
i)	«Измерение имеет две компоненты: а) измеритель¬
ное устройство, как правило, в виде заранее подготовлен¬
ной шкалы, достаточно наглядной и понятной, которую мы
предлагаем испытуемым или используем при градуировке
и выставлении баллов...; б) собственно измерение; незави¬
симо от того, кто его проводит — сам испытуемый или на¬
блюдатель, — оно имеет ряд специфических моментов, та¬
ких, как сама возможность измерения (предполагается
объективность наблюдателя или способность испытуемого
оценить уровень сигнала), понимание инструкции по из¬
мерению и т. п.» [Ламсер, 97, с. 150].
ii)	«В самом широком смысле слова измерение можно
трактовать как классификацию объектов или явлений,
при которой каждой определенной группе приписывается
определенный знак (цифра, буква, слово и т. д.)» [Гоуд, 73,
с. 14].
Сравнив эти описания и вышеприведенные характери¬
стики физических измерений, мы можем прийти к следу¬
ющим — в чем-то сходным, а в чем-то различным — спе¬
цификациям обоих видов измерения.
1)	В отличие от физического измерения внефизическое
концептуально и операционально связано с человеком, точ¬
нее говоря, с такими его субъективными свойствами, как,
например, эмоции, установки, желания и т. д., иначе гово¬
ря, с такими его свойствами, которые в принципе не под¬
даются измерению. В то же время они не относятся к та¬
ким характеристикам человека, как, скажем, его рост или
вес, которые, разумеется, не являются типичными для из¬
мерительных процедур в общественных науках. В этом за¬
ключается объективное различие предметов исследования
в физике и в многочисленных обществоведческих областях.
2)	Внефизическое измерение методологически связано
с классификацией, причем, разумеется, предполагается 11 Ср.: «...все измерения сводятся к приписыванию некоего чис¬
ла совпадению стрелки измерительного прибора и риски на его
шкале» [Линдсей, 102, с. 465].
28

также определенная связь с наблюдением. Более того, оно
принимается даже за определенный вид классификации1 1.
Затем эта характеристика распространяется на измерения,.
относящиеся к любым предметам и явлениям, а следова¬
тельно, и на измерения физические- Точка зрения, соглас¬
но которой измерение более тесно связано с классификаци¬
ей, нежели с наблюдением и экспериментом, уже несет в
себе многообразные следствия методологического характе¬
ра. В первом случае подчеркивается его концептуальный
аспект, во втором акцент приходится на эмпирический уро¬
вень и операциональную сторону измерения.
3)	Впефизическое измерение, так же как и физическое,
предполагает в качестве исходной посылки величие двух
основных элементов: объекта и результата измерения, од¬
нако в качестве последнего признается уже только цифро¬
вая символизация2. Различие между числовым и цифро¬
вым выражениями носит, разумеется, важный принципи¬
альный характер, поскольку связано с различными взгля¬
дами на объем понятия измерения.
4)	Операционально процедура внефизического измере¬
ния определяется весьма нечетко. Под измерительными ин¬
струментами и шкалами, которыми она характеризуется,
понимается нечто существенно иное, нежели в физике. Из¬
мерительными инструментами считаются не только шка¬
лы, но также и «наблюдение, анкета, беседа» [Виггинс, 169,
с. 417]. Однако шкалами, которые так часто упоминаются
в концепциях так называемого поведенческого п социаль¬
ного измерения, являются не шкалы измерительных инст¬
рументов, а концептуальные средства, представляющие со¬
бой результаты измерений определенного типа пли уров¬
ня, — то, что именуется шкалами измерения. В результате
этого четкого операционального различия и само внефизи-
ческое измерение протекает несколько иначе, чем фи¬
зическое, а именно: оно зависит от субъективных фак¬
торов.
Даже без сопоставления всех приведенных выше опи¬
саний процесса измерения совершенно очевидно, что, не¬
смотря на значительные расхождения, они похожи тем,.
1 Ср.: «...определение свойств называется также описанием,
классификацией или измерением» [Лазарсфельд, 98, с. 108].
1 Ср.: «Измерение есть процедура, при которой мы получаем
символы, пригодные для представления определяемого понятия»-
[Акофф и др., 1, с. 177].
29

что выделяют три основные компоненты: объект измере¬
ния, его результат и некоторые опосредующие эмпириче¬
ские операции. Однако в какой мере достаточны и реле¬
вантны эти компоненты независимо от их конкретной ин¬
терпретации для реализации и обоснования методов изме¬
рения во всей их сложности и во всех сферах их примене¬
ния? Без подробного анализа удовлетворительный ответ на
этот принципиальный вопрос, ответ, который касался бы
всех типов измерении, мы дать не можем.
В связи с этим рассмотрим пока функцию эмпириче¬
ских операций. С операциональной точки зрения именно
эта компонента считается основой измерения. Такая по¬
зиция оставляет в стороне концептуальные стороны изме¬
рения н переоценивает его эмпирические аспекты, и преж¬
де всего способ операционализации измерительных про¬
цедур, а по своим следствиям она вступает в противоре¬
чие с исторически проверенными и теоретически обосно¬
ванными типами измерения. В этой связи обратим внима¬
ние читателя лишь на различие между так называемым
фундаментальным (основным) и производным измерения¬
ми (их детальный анализ будет дан в разд. 6.2).
Фундаментальное измерение некой величины чаще все¬
го интерпретируется как измерение, не включающее в себя
никаких предварительных измерений какой-либо иной ве¬
личины. Поэтому фундаментальным измерениям подверга¬
ются, например, такие величины, как длина, масса или вре¬
мя. В соответствии с этой концепцией производным счита¬
ется такое измерение некоторой величины, которое зави¬
сит от фундаментальных измерений других величин. Об¬
щепринятым примером такого измерения является изме¬
рение плотности. В этом случае числовые значения плот¬
ности веществ или (геометрически правильных) тел мы
устанавливаем с помощью вычисления их объемов и масс,
не прибегая к каким-либо эмпирическим операциям. Яв¬
ляется ли в этом случае измерение плотности эмпирической
процедурой в подлинном смысле слова? Аналогичный во¬
прос можно поставить и в других случаях — при измере¬
нии, например, объема правильных тел. Числовые значе¬
ния этой величины можно получить также без использова¬
ния специфически эмпирических операций, только с по¬
мощью вычисления, основанного на измеренных значени¬
ях длин. Можем ли мы в этом случае с операциональной
точки зрения трактовать производное измерение как из¬
мерение? Некоторые авторы [ср., например: Пфанцагль,
118, с. 31), продумав эту ситуацию, приходят к явно сом-
30

нательному заключению, что не можем1. Разумеется, это
означает, что плотность или объем суть физические вели¬
чины, неизмеримые, так сказать, ex definitione, иначе го¬
воря, они устанавливаются вычислением. Однако такая
точка зрения, сужающая диапазон понятия измерения до
фундаментального измерения, вряд ли согласуется с исто¬
рической практикой физического измерения этих и многих
других производно измеримых величин.
Не менее односторонней выглядит точка зрения, соглас¬
но которой эмпирические операции не являются сущест¬
венным компонентом измерения; в этом случае налицо аб¬
солютизация математических характеристик измерения.
Эта концепция, непомерно расширяющая сферу измерения,
также ведет к неприемлемым следствиям. Исходя из нее,
в качестве измерения можно принимать любой процесс
числового представления — не обязательно установление
«численности» (количества, количественного числа) некое¬
го множества объектов путем подсчета его элементов, что,
кстати, нередко предпринимается [ср., например: Стивенс,
144, с. 22; Эллис, 56, с. 166 и сл.], но и самые различные
формы счета, вычисления, что недопустимо.
В действительности же задачи, которые решают изме¬
рительные операции, намного сложнее, комплекснеє. Эти
операции нельзя оценивать исключительно с какой-то од¬
ной стороны — чисто эмпирически или чисто математиче¬
ски. Их неизменная функция в процессе измерения коре¬
нится во взаимосвязях между их концептуальными и опе¬
рациональными аспектами, в семантически целесообразном
и эмпирически реализуемом соответствии числовым опе¬
рациям и в надлежащей спецификации, которая соот¬
несена с природой объекта измерения, с используемыми
измерительными инструментами, применяемым способом
измерения и т. д.
2.2.	Определение понятия измерения
Важность последних двух компонентов для характери¬
стики метода измерения (хотя мы и здесь встречаем про¬
тивоположные взгляды на то, что, собственно, является
объектом измерения и на каком числовом уровне выража¬
ются результаты измерения) уже перестала быть предме-
1 Ср. высказывание И. Яфанцагля в его более поздней работе.
Автор, однако, выражает сомнение в том, разумно лп рассматри¬
вать «производное измерение» как измерение вообще [русск. пе-
рев.: Пфанцагль И. п др., 119, с. 29].
31

том спора, как об этом лучше всего свидетельствуют раз¬
личные определения этого понятия.
Сходство большинства определений состоит в том, что
они подчиняют понятие измерения понятию процедуры
(процесса или метода), точнее говоря, понятию процеду¬
ры приписывания, присваивания числа (или числового
представления). Следовательно, эти определения сходятся
в том, что дают этому неоднозначному понятию разные
видовые различия. Связанные с обоими основными эле¬
ментами — объектом и результатом измерения, — эти спе¬
цификации касаются прежде всего характера, цели и усло¬
вий, при которых можно осуществить измерительную Про¬
цедуру. Они определяют данную процедуру как присваи¬
вание числовых выражений объекту измерения, что слу¬
жит .для их репрезентации (представления) на основе оп¬
ределенных законов или правил.
Впервые с этим способом определения понятия измере¬
ния, не требующим обязательного привлечения всех трех
■основных спецификаций, мы в систематической форме
встречаемся в работах Н. Р. Кэмпбелла, взгляды которо¬
го—как в позитивном, так и в негативном планах — весьма
■существенно повлияли на все дальнейшие попытки рас¬
крыть существенные признаки понятия измерения,
■сформулировав простое классическое определение. Кэмп¬
белл также дает различные определения понятия «изме¬
рения»:
І) «присваивание цифр для представления свойств»;
ii) «процесс присваивания чисел для представления ка¬
честв»;
ЇІЇ) «присваивание цифр для представления свойств в
■согласии с научными законами»;
iv) «присваивание цифр вещам так, чтобы они пред¬
ставляли факты или конвенции о них» [ср. последователь¬
но: Кэмпбелл, 38, с. 2G7; 39, с. 1; 40, с. 340].
Все эти определения явно сходны в том, что прямо ука¬
зывают на репрезентативную функцию числового или циф¬
рового присваивания. Обосновав эту функцию числового
представлення в процессе измерения, Кэмпбелл тем самым
заложил основы так называемой репрезентативной теории
измерений, Согласпо этой теории, ныне почти единодуш¬
но прпзнанной, числовой результат измерения позволяет
нам — разумеется, только тогда, когда выполняются опре¬
деленные условия, — осмысленно выводить существенные
заключения об определенных свойствах объекта измере¬
ния.
32

Однако наряду с этим, бесспорно, весьма позитивным
вкладом в науку мы должны указать и на значительные
негативные следствия, вытекающие из концепции Кэмп¬
белла, состоящие в том, что в приведенных выше опреде¬
лениях термины число и цифра используются синонимично
в разных значениях и, помимо этого, вводится еще один,
содержательно отличный от них термин — количественное
число.
Как Кэмпбелл [ср.: Кэмпбелл, 38, с. 268 и сл., 295 н с л.]
трактует эти три термина? Термин количественное число
он истолковывает как математическое понятие в смысле
расселовского определения, т. е. как класс всех классов,
имеющих одну и ту же мощность, одно п то же кардиналь¬
ное число. Под термином число он понимает, во-первых,
физическую величину, точнее говоря, физическую вели¬
чину, измеримую фундаментально, но путем вычислений.
Эта специфическая величина — так называемое физиче¬
ское число — отличается от всех остальных фундаменталь¬
но измеримых величин в трех отношениях. В отличие от
любой другой основной величины, например времени, эта
величина не имеет размерности. Однако поскольку каждое
такое число всегда является числом чего-то, например чис¬
лом кристаллов или числом уборщиц {в этом случае со¬
вершенно очевидно, что оно понимается в смысле коли¬
чества ), два разных числа — например, длина и время —
суть две разные величины. Во-вторых, получается, что
каждое число меняется вместе с изменением характера
«единицы» (имеется в виду, разумеется, отдельный пред¬
мет определенного рода, а не единица измерения), приво¬
дящим уже к другой величине. И наконец, в-третьих,
только для «физических чисел» умножение имеет физиче¬
ски целесообразное истолкование. Термин же цифра Кэмп¬
белл интерпретирует как материальный или квазиматери-
альный символ, как условный знак, как имя числа, а иног¬
да даже как имя количественного числа. В то же время он
допускает, что цифры можно упорядочить, порождая
«стандартные» последовательности, и подсчитывать, в ре¬
зультате чего над ними независимо от их отношений к ко¬
личественным числам можно производить все основные
арифметические операции.
Дифференциация этих трех терминов путем различ¬
ной семантической интерпретации вытекает из концепции
Кэмпбелла, его чисто эмпирической и строго номиналнст-
кой позиции, онтологически опирающейся на признание
реальности чисел как физических величин специфпческо-
3 Зак. № 1102
33

го типа. Математическое понятие числа, т. е. количест¬
венное число, о котором «неспециалист вообще ничего не
знает, а до недавнего времени о нем ничего не знали да¬
же самые искусные математики» [Кэмпбелл, 38, с. 305],
Кэмпбелл отвергает, поскольку его определение связано
с расселовским логицизмом, который он также отрицает
по философским соображениям. В результате Кэмпбелл
приходит к выводу, что в теории и практике измерений
можно ограничиться лишь понятиями числа и цифры (да¬
же в случае вычислений, необходимых для установления
значений производно измеримых величин), если, разуме¬
ется, ввести также дроби и иррациональные числа.
Кэмпбелл, однако, утверждает об этих цифрах — выра¬
жениях чисел, будто они представляют иррациональные
количественные числа [Кэмпбелл, 38, с. 313], проявляя
тем самым известную непоследовательность. И это, к со¬
жалению, не единственная непоследовательность его из¬
ложения. Поскольку мы не намерены подробно анализи¬
ровать н оценивать ту философию математики, которой он
придерживается (в необоснованности этой философии со¬
мневаться, вероятно, не приходится), постольку мы не
считаем нужным останавливаться на других противоречи¬
ях в его концепции. В интересующем нас аспекте важны
лишь два вопроса: как можно трактовать термины число
и цифра в предложенных Кэмпбеллом дефинициях поня¬
тия измерения п какое воздействие оказали его определе¬
ния на концепцию измерения в последующих ее пнтерпре-
та цпях?
Прежде всего очевидно, что оба эти термина связыва¬
ются друг с другом благодаря весьма своеобразной фило¬
софии математики; так что, не приняв ее, мы не можем
приписывать им то же значение, что и Кэмпбелл. Он ис¬
толковывает понятия числа и цифры не совсем в общепри¬
нятом смысле. Однако если учесть, что в процессе изме¬
рения он выделяет два различных уровня — эмпириче¬
ский и концептуальный, что он считает числа «физиче¬
скими объектами», а цифры — их языковыми выражени¬
ями, а также что он допускает возможность проводить
над цифрами все основные арифметические операции, то
выясняется, что оперирует он ими, несмотря на свои ут¬
верждения, точно так же, как если бы это были числа в
обычном смысле слова.
В то же время если оставить в стороне специфический
характер концепции Кэмпбелла и вынести предложенную
им интерпретацию терминов число и цифра за рамки по-
34

нятпйноГі системы его теории, то необходимо происходит
смещение значений. Именно игнорированием различий
между числами и цифрами, или их смешением, ведущим
к весьма спорным заключениям, страдает концепция
С. Стивенса.
С. Стивенс, принимая кэмпбелловскую дефиницию по¬
нятия измерения, видоизменяет его, ее только опуская яв¬
ную ссылку на репрезентативную функцию, но п допол¬
няя его формулировкой условий, при которых измерение
осуществимо. По его мнению, в качестве измерения можно
принять любое присваивание, приписывание цифр объек¬
там или событиям (плп аспектам объектов пли событий) в
соответствии с правилами, иначе говоря, в соответствии с
любым правилом [ср.: Стивенс, 142, с. 142; 143, с. 1, 22;
144, с. 19, 25].
Здесь налицо терминологическое сходство, которому,
однако, не отвечает сходство понятийное; но это позволя¬
ет установить концептуальную связь между позициями
обоих авторов, хотя именно на этот факт ссылается Стп-
венс для подкрепления собственной аргументации. Созда¬
ется даже впечатление, что он убежден в том, что уточня¬
ет «очень либеральное» кэмпбелловское определение по¬
нятия измерения, трактуемое как «присваивание цифр
вещам таким образом, чтобы те представляли факты и кон¬
венции о них» [Стивенс, 142, с. 148] Ч Это уточнение со¬
стоит в подчеркивании специфического отличия, содержа¬
щегося в третьем определении понятия присваивания
(приписывания). Дело в том, что, по мнению Стивенса,
вопрос о том, чем, собственно, является измерение и чем
не является, можно свести к еще более простому вопросу:
с помощью каких правил присваиваются цифры? Одпако
это, на наш взгляд, не объясняет ни существенных свойств
понятия измерения, ни условий, прн которых измерение
может быть реализовано на практике. Если цифры могут
быть воплощениями конвенции о вещах, то правила при¬
сваивания цифр могут быть весьма условными. Таким об¬
разом, стивенсовская трактовка понятия измерения сов¬
сем необязательно ведет к его уточнению. Если, следуя
определению Кэмпбелла, допустить возможность чисто
конвенциональной формулировки правил присваивания, то 11 Ср. определение: «измерение есть приписывание чисел ве¬
щам в соответствии с определенными правилами» (Гласс Дж„
Стэнли Д ж. Статистические методы в педагогике и психологии.
М., 1976, с. 12). — Прим. ред.
3*
35

получится нечто противоположное: объем понятия изме¬
рения может быть расширен практически любым спосо¬
бом. В этом случае в качестве измерения можно принять
все, что угодно, поскольку конвенционально всегда можно
найти или ввести какое-либо правило, разрешающее при¬
сваивать цифры самым разным аспектам вещей, даже если
это и не имеет ничего общего с измерением В ПОДЛИННОМ
смысле слова. Хотя возможность такого субъективного ис¬
толкования правил присваивания и отвечает стремлению
Стивенса к использованию процедуры измерения в мак¬
симально широком диапазоне, тем не менее, даже несмот¬
ря на терминологическое сходство, такое понимание проб¬
лемы решительно противоречит строго объективному, фи¬
зически ориентированному пониманию измерения у Кэмп¬
белла.
Той же цели служит концепция цифрового присваива¬
ния Стивенса. Она призвана наделить процедуру цифрово¬
го именования «достоинствами, содержащимися в термине
измерения» [Стивенс, 142, с. 145], Однако подобное при¬
сваивание цифр тем или иным аспектам измеряемого
предмета приводит к цифровым же результатам. В таком
случае, разумеется, цифры используются не в значении
собственных имен, денотаты которых являются либо фи¬
зическими величинами, либо математическими сущностя¬
ми. а только в функции определенных символов, поддаю¬
щихся весьма разнообразным интерпретациям. Не прини¬
мая кэмпбелловскую философию математики, Стивенс не
должен был апеллировать к его определению понятия из¬
мерения. Числа и цифры каждый из них понимает по-сво¬
ему. Стивенс вполне определенно истолковывает понятие
число не в смысле физической величины, а как математи¬
ческое понятие, т. е. в смысле кэмпбелловского термина
«количественное число».
Подмена друг другом терминов цифра и число в о пре¬
деле пнях понятия измерения, обусловленная неприемле¬
мым семантическим смешением знака п денотата, обозна¬
чающего и обозначаемого в концепции Стивенса и Кэмп¬
белла, ведет к совершенно различным выводам. Последний
трактует цифры только как имена чисел — количественно
определенных физических величин, так что в итоге их
можно интерпретировать в том же смысле, в каком мы
обычно истолковываем числа: как некие математические
сущности. У Стивенса же цифры трактуются в двух со¬
вершенно разных значениях: и как имена математических
сущностей, и как совершенно условные знаки.
36

Выдвижение на передний план отношения между объ¬
ектом измерения и его результатом, равно как и их взаи¬
мосвязей, характерно, согласно репрезентативной теории
измерения, и для других определении, в которых, однако,
имеется в виду — по крайней мере тогда, когда речь идет
о понятии измерения в узком смысле слова, — уже не циф¬
ровое приписывание, а исключительно цифровое представ¬
ление. Вместо весьма неопределенной модификации Кэмп¬
беллов с к ой дефиниции («в соответствии с правилами')) в
них точно указывается способ, с помощью которого эмпи¬
рическим отношениям и операциям приписываются чис¬
ловые отношения и операции. Примером такого способа оп¬
ределения понятия измерения может служить следующая
дефиниция.
«Измерение заключается в присвоении чисел вешай
таким образом, что некие операции с приписываемыми
числами и некие отношения между ними соответствуют
наблюдаемым отношениям и операциям над вещами, ко¬
торым опп присвоены или которые с их помощью пред¬
ставляются» [Адамс, 3, с. 125].
Эта дефиниция отражает влияние формальной концеп¬
ции теории измерений, представленной, в частности, в
трудах Скотта и Сунпеса [129], Суппеса и Зннеса [155],
Кранца, Лыоса, Суппеса и Тверского [94] и Кангера [88].
Согласно результатам математической теории моделей,
сформулированной А. Тарским, измерение есть голкшор-
фкое отображение некой эмпирической реляционной си¬
стемы (эмпирической структуры) на некоторую число¬
вую реляционную систему (числовую структуру).
Дискуссия, развернувшаяся вокруг этой ныне весьма
распространенной концепции, получившей развитие в свя¬
зи с изучением формальных основ теории измерений, по¬
зволяет судить о характере объекта измерения и о функ¬
ции эмпирических операций.
Вообще говоря, под реляционной споте мой (системой с
отношениями) и реляционной структурой 3, согласно тео¬
рии систем [ср., например: Уемов, 163, с. 68; Берка, 21,
225 п сл.], понимается некая упорядоченная совокупность
множеств
Sf=(D, R>,
где D есть непустое (конечное или бесконечное) множест¬
во объектов произвольного вида, а Д - непустое (конечное
или бесконечное) множество n-местных отношений
(и=1, 2, 3,...) или операций; разумеется, сюда входят и
37

свойства {в случае, когда га=1). Различие между понятия¬
ми реляционной системы и реляционной структуры, кото¬
рые иногда отождествляются, отражает лишь степень абст¬
ракции, с какой данная проблематика рассматривается.
Понятие реляционной системы более конкретно: в ней оба
множества D и R предполагаются заданными. Понятие ре¬
ляционной структуры более абстрактно: оно определяется
только множеством R. Последнее вообще можно охаракте¬
ризовать как объединение двух подмножеств
Я'={й110},
где R — множество J?i’\ R271, .... Rkn — множество опе¬
раций Оim, Оз"\ ..., 0,т (т.= 1, 2, 3,...). Если множество R’
содержит только отношения R, то реляционная система 3?
истолковывается как естественная; если же она содержит
также и подмножество б?, то это искусственная система.
Это различение опирается па специфическое толкование
операций как того, что осуществляется путем человеческой
деятельности п служит теоретико-практическому отраже¬
нию известных объективных связей, В своем исходном
пункте оно имеет смысл, если рассматриваются также и
искусственные реляционные системы.
В соответствия с заданием множества D, определяю¬
щим и характер множества R, мы в принципе различаем
два вида реляционных систем (структур): числовые и эм¬
пирические.
Числовая реляционная система (числовая система с от¬
ношениями)
являющаяся искусственной, содержит множество ЧИСЛОВЫХ
объектов N ы множество Rif, элементами которого являют¬
ся числовые отношения RnK , Rnn2, ..., Rnirh 11 операции
ОпOnNr Onxh (n=l, 2, 3,...) над числами. Эмпи¬
рическая реляционная система
# = <£, Re\
если она поначалу является естественной системой, содер¬
жит множество эмпирических объектов Е и множество
эмпирических отношений Re. Объективно она не содержит
в себе никакого подмножества каких-либо операций.
На основе этой концепции понятие измерения Ж мож¬
но охарактеризовать как бинарное отношение
Ж(&, JT),
имеющее место между некоторой эмпирической системой
38

о отношениями и некоторой числовой реляционной систе¬
мой, или же как упорядоченную тройку
<<Г, Л», Ф>,
где Ф есть некоторый гомоморфизм, преобразующий <§
в JV.
Однако и это общее определение понятия измерения со
структурной точки зрения не совсем избавлено от трудно¬
стей, поскольку предпосылки существования гомоморфно¬
го отображения между обеими реляционными системами
вступают, строго говоря, в противоречие с гем фактом, что
множества Дв и Rn различны по природе. Элементами
множества числовых отношении R,4, с одной стороны, явля¬
ются отношения между числами, а с другой — операции
над ними. Однако в эмпирических системах с отношениями
поначалу никаких операций не может быть, могут иметь
место только эмпирические отношения.
Итак, при каких же условиях мы можем признать су¬
ществование некоего действительно симметричного гомо¬
морфизма, предполагающего соответствие между числовы¬
ми и эмпирическими операциями? Очевидно, только в том
случае, если допустим, что эмпирические операции в систе¬
ме & можно ввести по крайней мере в качестве вторич¬
ных. Эта возможность необходима для достижения требуе¬
мого отношения между обеими реляционными системами.
Исходным пунктом каждого измерения служит изучение
объективно существующих отношений между предметами
и явлениями объективной реальности. На основе этого изу¬
чения мы можем приступить к поискам для этих отноше¬
нии некоторого числового представления. На этом началь¬
ном этапе отображение эмпирической реляционной систе¬
мы на числовую систему с отношениями есть гомоморфизм,
основанный только на соответствии между эмпирическими
и числовыми объектами, между эмпирическими отноше¬
ниями и отношениями числовыми. Поскольку, однако,
числовая реляционная система определяется операциями
над числами, то на следующем этапе дело обстоит наобо¬
рот. Мы стремимся найти для этих числовых операций
подходящие, целесообразно интерпретируемые эмпириче¬
ские эквиваленты. Если нам удается найти также эмпи¬
рические операции, которые обладают свойствами, со
структурной точки зрения аналогичными свойствам чис¬
ловых операций, то мы можем говорить о гомоморфном
отображении системы в систему Jf в строгом смысле
слова. Только на основе этой предпосылки можно вывести
39

убедительные заключения относительно отношения между
обеими реляционными системами, а по свойствам элемен¬
тов числового множества N судить об аналогичных свойст¬
вах элементов эмпирического множества Е. Однако до тех
пор, пока этого по тем или иным причинам сделать невоз¬
можно, мы должны пытаться найти любое иное, по теоре¬
тически достаточно обоснованное решение.
Эти разъяснения вместе с тем показывают, что объект
измерения, формально представляемый понятием эмпири¬
ческой реляционной системы, всегда некоторым способом
концептуализируется. Этот факт также является серьез¬
ным аргументом против недооценки теоретической пробле¬
матики в практике измерений.
2.3.	Предмет, функция и сфера измерений
Какие заключения о характере измерения можно уже
на данном этапе наших рассмотрений сделать, учитывая
предыдущее изложение?
Трудности, с которыми мы встречаемся при определе¬
нии характера эмпирической реляционной системы, по¬
буждают нас выдвинуть в первую очередь вопрос о пред¬
мете измерения. Если, например, мы говорим об измере¬
нии длины и результат измерения выражаем высказывани¬
ем «эта доска имеет 5 м длины» или «длина этой доекп
5 м», то числовое выражение относится к длине, т. е. к
определенному свойству измеряемого предмета. Если мы
устанавливаем конкретную численность некоторой группы
населения, скажем лиц, достигших возраста 50 лет, и вы¬
разим результат измерения предложением «в данной груп¬
пе 10 человек», то числовое выражение опять-таки отно¬
сится к количественной характеристике (velikost) самой
этой группы, а не к возрасту отдельных лиц. Очевидно, что
между этими двумя случаями существуют определенные
различия. В первом случае говорится о свойстве некоторо¬
го предмета, во втором — о свойстве группы предметов. Но
какую же роль играют здесь сами предметы? Когда мы
измеряем длину, мы можем производить измерительную
процедуру, только используя какой-либо предмет или рас¬
стояние между двумя предметами и т. п. Если же мы вы¬
ясняем количество лиц одинакового возраста, мы должны
каким-то образом получить знание об этих людях. Как же
в этом случае определить множество Я? Являются ли его
элементами определенные эмпирические предметы, эмпи¬
рические совокупности предметов или же их свойства и
40

отношения между ними? На этот основной вопрос можно
дать два ответа в зависимости от того, какой аспект изме¬
рения мы примем во внимание: концептуальный или опе¬
рациональный. Концептуально возможно положить в ос¬
нову такое разбиение универсума, при котором элемента¬
ми эмпирического множества Е окажутся именно те объ¬
екты, которым непосредственно приписываются элементы
числового множества N. Как представляется на первый
взгляд, множество Е в этом случае должно содержать
только свойства вещей и явлений или, в определенных слу¬
чаях, отношения между ними, а не сами эти вещи пли яв¬
ления. Однако такое разбиение универсума, а следователь¬
но, и определение множества Е с операциональной точки
зрения немыслимы. Каждое измерение всегда проводится с
использованием объективно существующих вещей и явле¬
ний. Впрочем (что явствует также и из философских со¬
ображений), в объективной реальности никакие свойства
и отношения не существуют сами по себе—они существуют
только как вещи п явления с теми или иными свойствами,
определенные во времени и пространстве, как вещи и явле¬
ния, находящиеся в неких отношениях, независимо от то¬
го, какие свойства или отношения между ними мы концеп¬
туально выделяем.
Между предметами, на которых пли с помощью кото¬
рых что-то измеряется, — они образуют объективную
основу всякого измерения — и тем, что мы измеряем непо¬
средственно или опосредованно, нередко существуют
чрезвычайно сложные связи. Разграничение элементов
множества Е должно в каждом случае учитывать взаимо¬
связи между концептуальным и операциональным аспек¬
тами измерения и их теоретическим и философским обо¬
снованием. Даже при беглом взгляде на эту сложную про¬
блематику становится очевидным, что то, что мы измеря¬
ем, и то, на чем или с помощью чего мы измеряем, нельзя
ии отождествлять, ни изолировать друг от друга.
Однако в любом случае мы должны теперь с полной
уверенностью проводить различия между измеряемым
объектом и объектом измерения.
Кроме того, теперь мы можем задаться вопросом, ка¬
кое место занимает измерение в системе научных про¬
цедур. На этот вопрос, как уже упоминалось в разд. 2.1,
однозначного ответа нет, хотя в принципе существуют три
различные позиции, касающиеся разных аспектов измере¬
ния, его функции в процессе познания и его применения
на практике.
41

В физике (прежде всего под влиянием ее эксперимен¬
тальной практики) считается, что измерение, наблюдение
и эксперимент есть эмпирический метод или— еще уже—
операциональная процедура. Этой концепции придержива¬
ются и неопозитивисты, когда они классифицируют мето¬
ды на эмпирические и теоретические. В число первых
включаются методы дедуктивного и дефинициальяого по¬
строения научных теорий (например, классификация, оп¬
ределение, аксиоматизация и т. и.), в число вторых — пре¬
дикация, объяснение и верификация.
Иную позицию занимают многие представители внефи-
зпческого измерения, которые, наоборот, полагают, что из¬
мерение является лишь более утонченной формой класси¬
фикации, т. е., в сущности, теоретическим, или когщепту-
алънъш, методом.
Однако если принять в расчет посредническую функ¬
цию измерения, выступающего в процессе научного позна¬
ния в качестве связующего звена между теорией и прак¬
тикой, а также между эмпирическими знаниями и их ма¬
тематическим выражением, то измерение можно истолко¬
вать как эмпирически-математический метод.
На наш взгляд, именно эта — третья — концепция наи¬
более верна. В принципе считать измерение эмпирическим
методом — разумеется, в предположении, что мы не игно¬
рируем его теоретические предпосылки — возможно, п мы
с этим нередко встречаемся. Полагать же, будто это только
концептуальный метод, в любом случае ошибочно.
Если измерение трактуется как эмпирический метод,
то тем самым отражается лишь способ, каким на практике
проводится измерение значений разных величин или од¬
ной и той же величины с помощью различных измеритель¬
ных операций, а также с использованием тех ила иных
измерительных инструментов, как происходит поиск зна¬
чений измеряемых величин и выполняются другие усло¬
вия, связанные с технической реализацией измерительных
экспериментов. В этом случае методом измерения являет¬
ся не только любая общая измерительная процедура, кото¬
рая применяется при измерении разных величин (напри¬
мер, прямые, косвенные или компенсационные процеду¬
ры), но и каждая специфическая процедура, которая ис¬
пользуется при измерении одной и той же величины, на¬
пример, методика выбора нуля при измерении сопро¬
тивления, а также в высшей степени специализированные
виды измерительной техники, обусловленные выбором из¬
мерительных инструментов, например пикнометра, арео¬
42

метра или весов Мора—Вестфаля—приборов, служащих
для измерения плотности жидкости. При таком подходе
имеет место явное пренебрежение существенным различи¬
ем между методом и способом его операциошалшзацшы
В этом случае ие получает адекватного отображения ни
специфика методологической функции метода измерения
в сопоставлении его с иными методами, ни разные уровни,
виды и формы измерительных процедур.
Сведение проблематики измерения исключительно к
его эмпирическому аспекту — это является следующим,
философски очень важным выводом из развиваемой нами
концепции, выводом, о котором экспериментатор вообще
может не отдавать себе представления, — приемлемо, ра¬
зумеется, только с точки зрения методологии чистого эмпи¬
ризма, согласно которой существуют либо только эмпири¬
ческие, либо только теоретические методы. Такая класси¬
фикация методов строго дихотомична, поскольку она игно¬
рирует взаимные связи и отношения между различными
методами. И именно по этой причине она неприемлема в
случае метода измерения. Но как же сделать так, чтобы,
не нарушая традиционного различия эмпирического и тео¬
ретического, в то же время в полной мере учесть матема¬
тический аспект измерения и его концептуальные предпо¬
сылки? Очевидно, пз этой дилеммы возможен только «дуа¬
листический» выход: либо и далее считать измерение эмпи¬
рическим методом, не обладающим неэмпиричеекимп ком¬
понентами, которые подлежат выделению, конституирую¬
щему уже специфический концептуальный метод; либо,
исходя из какого-либо теоретического подхода, истолковы¬
вать измерение как эмпирический коррелят последнего.
В первом случае метод измерения, «поднятый» на кон¬
цептуальный уровень, приводит к методу метризации [ср.,
например: Эслер, 59, И, с. 64 и сл.], определяющему усло¬
вия — так называемые метрические условия, — при кото¬
рых возможен переход от классификационных понятий к
понятиям метрическим {см. 6.3). Введение понятия метри¬
зации знаменует собой, бесспорно, существенный и пози¬
тивный отход и от позиции one рационализма, и от просто¬
го феноменологического толкования измерения, подчерки¬
вающего даже, что одним нз фундаментальных видов из¬
мерения является простое считывание данных со шкал
измерительных инструментов. Однако если концептуаль¬
ный и измерительный методы считаются соотносящимися
только коррелятивно, не составляя единого понятия изме¬
рения, включающего оба своих основных аспекта, если,
43

иначе говоря, измерение понимается только как эмпирико-
математический метод, то в этом случае всегда существует
возможность трактовать эти аспекты изолированно, не
учитывая их реальных взаимосвязей. На практике нередко
так и происходит. В результате обсуждаются такие вопро¬
сы. как: является ли метризация какого-либо понятия не¬
обходимой предпосылкой его измеримости, или: можно ли
что-то измерять, не выполняя условий метризации. На
наш взгляд, подобные вопросы по меньшей мере некор¬
ректны.
Во всяком случае проявляется скорее обратная тенден¬
ция: изначальная эмпирическая позиция отступает на зад¬
ний план перед математическими процедурами. Измерение
оказывается просто эмпирическим эквивалентом кванти~
фи нации, или определением меры [см.: Бунге, 36, II,
с. 220]. В этом случае приоритет квантификации обосно¬
вывается тем, что в математике имеются «количествен¬
ные» теории, не связанные с эмпирической операцией, на¬
зываемой измерением. Хотя сама по себе эта аргументация
неубедительна, она достаточна для того, чтобы выяснить
тот факт, что опорой ее является концептуальная неяс¬
ность квантификации в эмпирических науках и в матема¬
тике. Последствия, вытекающие из того факта, что понятие
«измерение» трактуется не как единое целое, теперь про¬
являются в абсолютизации его математического аспекта.
С этим явлением мы встречаемся наиболее часто при
структурно ориентированном анализе, основанном главным
образом на аксиоматизации разных уровней или видов из¬
мерения независимо от того, можно ли их целесообразно
реализовать на практике и соответствует ли им какой-ни¬
будь эмпирический коррелят, которому можно приписать
характер измерения.
Утверждение, согласно которому измерение является
видом классификации — или скорее, наоборот, сама клас¬
сификация есть измерение, — следует непосредственно из
стивенсовской дефиниции понятия измерения. Дело в том,
что в случае классификации выполняется условие «припи¬
сывания цифр в соответствии с каким-то правилом» (на¬
пример, когда производится нумерация позиций в катало¬
ге), а это отличается от чисто случайного приписывания,
где не применяется никаких правил. Это обоснование при¬
емлемо только в случае принятия стивенсовского опреде¬
ления понятия измерения. Но сомнительность этого опре¬
деления, особенно в применении к классификации, Сти¬
венс признает сам. Поэтому, защищаясь от возможной
44

критики, он переводит все споры на чисто прагматический
уровень, заявляя при этом, что «вопрос, является ли про¬
цесс классификации.,, измерением, есть одна из семанти¬
ческих проблем, зависящих от нашего вкуса» [Стивенс,
144, 25].
Однако не так уж важно, используем ли мы при клас¬
сификации цифровое приписывание, группируем ли мы
книги, к примеру, по десятичной классификации М. Дыоп
или как-нибудь иначе. Решающим является здесь то, что
классификация есть изначально теоретический, а не эм¬
пирический или эмппрпко-математнческпй метод. С точки
зрения логики ее моя?но характеризовать как разделение
определенного класса объектов на разные взаимно непе-
ресекающнеся подклассы, объединение которых совпадает
с исходным классом, если речь идет об аналитической
классификации. Можно трактовать классификацию и как
операцию, обратную описанной, для которой выполняются
те же условия (при синтетической классификации, напри¬
мер) . Классификация непосредственно связана только с
характером классифицирующих (качественных) понятии,
а никак не с понятиями метрическими (квантитативны¬
ми). И в этом опосредованном смысле она является пред¬
посылкой измерения, но не собственно измерением; точно
так же она является предпосылкой и многих других мето¬
дов. Если бы мы считали измерением каждую из его пред¬
посылок, мы должны были бы утверждать то же, например,
и об идентификации. Следовательно, утверждение, что
классификация является одним из случаев измерения или
что измерение есть некий вид классификации, ошибочно,
поскольку подразумевает неоправданное и необоснованное
расширение сферы понятия измерения.
Теперь на основании вышеизложенного мы можем сде¬
лать следующие выводы и терминологические заключения.
С методологической точки зрения измерение есть эм¬
пирико-математический метод, включающий в себя на рав¬
ных началах две компоненты: эмпирико-операциональную
и концептуально-математическую (каждая из них теоре¬
тически обосновывается на разных уровнях общности).
Если акцент делается на концептуально-математиче¬
ской компоненте, мы будем говорить о метризации. Если
же рассматривается эмпирико-операциональный аспект
измерения, прежде всего конкретные измерения, это озна¬
чает, что речь пойдет об измерительных процедурах (опе¬
рациях измерения) на более общем уровне, или, конкрет¬
нее, об измерительных методах.
45

Наконец, мы можем задаться вопросом, позволительно
ли, и если да, то при каких условиях, определяя понятие
измерения, говорить о цифровом приписывании.
Коль скоро нам приходится анализировать проблему,
связанную с определением объекта измерения {см. 3.3),
мы должны различать три смысла: либо термин цифра
употребляется как совершенно произвольный символ; ли¬
бо он трактуется как имя числа, которое, однако, еще не
выражает никакого количественного определения в стро-
гсм смысле слова; либо же, наконец, мы подразумеваем
под ним имя числа, которое уже выражает квантитатив¬
ную определенность. Эти три возможных смысла для опре¬
деления сферы понятия измерения влекут за собой различ¬
ные последствия.
Если в дефиниции понятия измерения термин цифро¬
вое приписывание понимается в первом смысле, то шпрота
бпрёделяёмого понятия становится почти неограниченной,
и ото несмотря на ограничивающее условие — «по прави¬
лам». Если же мы предположим, что цифры означают чис¬
ла, которые, однако, еще не выражают никаких количест¬
венных детерминаций измеряемых объектов в собственном
смысле слова, то объем понятия измерения будет уже ог¬
раничен, причем ограничен условиями, которые мы — по
аналогии с метрическими условиями — назвали топологи¬
ческими. Забегая вперед, скажем, что условия топологи-
зации (см. 6.3) характеризуют необходимые предпосылки,
позволяющие от понятий классифицирующих (качествен¬
ных) перейти к понятиям топологическим (сравнитель¬
ным).
Если, наконец, цпфры обозначают числа, которые уже
выражают количественные определения в собственном
смысле слова, то диапазон понятия измерения станет еще
более ограниченным п зависящим от условий метризации.
Итак, в каком же объеме следует трактовать понятие
измерения? Распространение измерений в общественных
неуках привело к различению разных — как правило,
двух — уровней измерения: так называемого низшего,
включающего, помимо классификации, также й нумера¬
цию, цифровое обозначение и упорядочение, п так назы¬
ваемого высшего уровня, который соответствует сфере из¬
мерений, как он понимается в контексте измерения фи¬
зического. Эти различные уровни терминологически фикси¬
руются также и путем дифференциации понятий качест¬
венного и количественного измерения или классических и
неклассических теорий измерения [ср.: Гоуд, 73, с. И].
46

В таком же смысле мы будем дока говорить о более широ¬
кой и более узкой трактовке измерения.
Установление сферы понятия измерения как измерения
в узком смысле — в рамках приведенной классификации
понятий об измерении — предполагает выполнение усло¬
вий метризации и интерпретации термина цифрового при¬
писывания в его третьем значении. При установлении же
диапазона понятия намерения в широком смысле слова мы
сталкиваемся с двумя точками зрения. Одна из них тре¬
бует выполнения условий топодогизаццп п истолкования
термина цифрового приписывания во втором значении
[Пик, 117, с. 250; Торгерсон, 161, с. 12; Росс, 124, с. 133].
Согласно второй точке зрения, допускается также и про¬
извольное цифровое приписывание, коль скоро для него
выполняется условие «в соответствии с правилами» [Сти¬
венс, 142, с. 144; Кумбс, 50, с. 473] ^
Наша точка зрения по этому вопросу в общих чертах
уже была изложена. Поскольку с точки зрения структуры
мы определили понятие измерения как гомоморфное ото¬
бражение некой эмпирической реляционной системы на
(в) некоторую числовую реляционную систему, очевидно,
что мы считаем использование термина цифровое припи¬
сывание корректным только тогда, когда оно является
именем числового представления. В таком случае излиш¬
не различать в понятии измерения его цифровой и число¬
вой аспекты. Даніє если мы говорим только о числовом
отображении, отсюда еще не ясно, какую из двух интер¬
претаций термина цифра мы имеем в виду.
Далее, на наш взгляд, понятие цифрового приписыва¬
ния совершенно условно — независимо от того, ограничено
приписывание некоторым последовательно и систематиче¬
ски используемым правилом или нет. Ведь мы, разумеется,
можем без труда представить себе какое-то даже очень
трудно выполнимое правило, например такое: приписы¬
вать булыжникам па Староместскон площади в Праге циф¬
ры по числу лиц, наступивших па соответствующий бу¬
лыжник левой ногой в течение данного года. Но подобное
правило — правило цифрового приписывания, последова¬
тельно и систематически применимое, — вряд ли целесооб¬
разно. Тем более его нельзя считать достаточной предпо¬
сылкой измеримости, но измеримости уже на низшем 11 Эта очень распространенная концепция измерения иногда на¬
зывается «постулятивным измерением» [ср.: Торгерсон, 161, с. 22;
Пфанцагль и др., 119, с. 33].
47

уровне. Исключение цифрового приписывания — а вслед¬
ствие этого и классификации, нумерации, числового обо¬
значения— из сферы понятия измерения на низшем уров¬
не заключается, далее, в том, что с методологической точ¬
ки зрения понятие измерения определяется как эмпирико-
математический метод. Диапазон понятия измерения на
этом уровне ограничивается, таким образом, лишь случая¬
ми числового отображения, удовлетворяющими условиям
тополоптзацип.
На вопрос, можно ли говорить об измерении и на огра¬
ниченном таким образом низшем уровне или под понятием
измерения следует подразумевать только измерение на
высшей уровне, мы пока не можем дать удовлетворитель¬
ного отпета. Однако если мы сочтем возможным принять
более узкую концепцию измерения и нам удастся это до¬
статочно аргументированно обосновать, то такое решение
ни в коем случае нельзя считать просто терминологиче¬
ской конвенцией.

3.	ВЕЛИЧИНЫ
Различение измеряемого объекта н объекта измерения*
знаменует собой лишь первый шаг к надлежащему опреде¬
лению того, что, собственно, считать предметом измерения.
Данную проблему можно исследовать с разных сторон.
Можно изучать необходимые онтолого-гносеологпческпе
предпосылки, объективные условия, позволяющие утверж¬
дать о том мп ином свойстве измеряемого объекта, что
оно является объектом измерения и что, следовательно,
допускает возможность эмпирически релевантного число¬
вого отображения. Такая трактовка с необходимостью
ведет к дифференциации качественных и количественных
аспектов объекта измерения, к различению количества и
качества. Объект измерения следует также оценивать с
точки зрения взаимного отношения между эмпирическим
и числовым аспектами. Можно его анализировать и в пла¬
не дифференциации классифицирующих, топологических
и метрических понятий. Анализ всех этих вопросов, про¬
изводится ли он под одним или под несколькими углами
зрения, ведет пае к основной цели: так концептуализиро¬
вать объект измерения, чтобы он максимально соответст¬
вовал теории измерения и измерительной практике.
Эта проблема не из легких. Ее рамки зависят прежде
всего от сферы понятия измерения: от того, какая концеп¬
ция измерения — в узком, широком илп даже очень широ¬
ком смысле — нами принимается, зависят привлекаемые
формы и виды физического и внефизического измерения.
Отсюда следует, что рассматривать ее мы должны на раз¬
ных уровнях абстракции. Кроме этого, не следует игнори¬
ровать и различные теоретические и философские установ¬
ки. И если все это взвесить — а перечисление аспектов
проблемы можно было бы продолжить, назвав еще другие
условия и связи, — то мы, естественно, можем задаться во¬
просом, реально ли вообще так концептуально представить,
4 Зэк. № 1102
49

и терминологически зафиксировать объект измерения, что¬
бы это удовлетворяло всем аспектам, связям и очень раз¬
личным взглядам па природу измерения.
Итак, что же является объектом измерения? Есть ли
это любое свойство (если исходить из очень широкой кон¬
цепции измерения) или это только количественное свойст¬
во (если исходить из более узких рамок)? Достаточна ли
данная классификация? Не таятся ли здесь другие возмож¬
ности? Можем ли мы отделить объект измерения от резуль¬
тата измерения? И если да, то на каком уровне это воз¬
можно, а на каком — нет? Следует ли считать объектом
намерения количества или величины? Позволительно ли
истолковывать оба эти понятия в одном н том же смысле
или их следует концептуально разграничить? Что такое,
собственно говоря, величина? Можем лп ыы принять точку
зрения физиков и перенести понятие физической величины
без каких-либо изменений на внефизпческие области?
И все ли измеримые свойства в самой физике являются
величинами?
Попробуем постепенно осветить эти вопросы, по край¬
ней мере на том уровне, который, если отталкиваться от
предыдущего изложения, возможен и который вместе с тем
необходим для предварительного обоснования нашей пози¬
ции. По фактическим, а в известной мере и по терминоло¬
гическим соображениям мы считаем наиболее уместным
предположить, что объектом измерения на эмпирико-мате¬
матическом уровне являются те или иные величины. По¬
этому при анализе данной проблематики мы должны при¬
нять во внимание отношение этого понятия к родственным
понятиям количества, качества, свойства и числа и согла¬
совать их все с различными интерпретациями данных по¬
нятий, п прежде всего с концепцией величины в математи¬
ке. Не менее важно исследовать, при каких условиях мож¬
но использовать знания, относящиеся к физическим вели¬
чинам, для построения общего понятия величины, такого
понятия, которое — разумеется, с необходимыми уточне¬
ниями — приемлемо и для теории внефизического измере¬
ния. Поскольку понятие физической величины имеет четко
определенное значение, можно ожидать, что это терминоло¬
гическое расширение вызовет разного рода возражения.
Конечно, можно было бы ограничить понятие величины
лишь объектами физического измерения, а для объектов
измерения внефизического ввести какой-то другой термин,
пусть даже уже известный, например, знак, индикатор, пе¬
ременная, континуум, индекс, мера и т. п., или же какое-
50

нибудь новое, не слишком перегруженное В СМЫСЛОВОМ
отношении выражение. Но н такая альтернатива в связи с
многозначностью п неточностью приведенных выше тер¬
минов не избавила бы нас от трудностей; а введение совер¬
шенно нового термина означало бы лишь умножение тер¬
минологической изменчивости и неточности. Решающим
аргументом в пользу предлагаемой нами терминологиче¬
ской конвенции является то, что таким способом мы смо¬
жем выразить единство — разумеется, единство в многооб¬
разии — общей теории измерений, рассматриваемой в кон¬
тексте всеобщих теоретических, методологических п фило¬
софских оснований.
3-І. Количества, величины, числа. История вопроса
Чтобы раскрыть понятия, относящиеся к количеству и
величине, в частности понятие числа, произведем краткий
исторический экскурс в историю математики; с его по¬
мощью мы хотим подчеркнуть различие между трактовкой
величин в математике и физике.
Древнегреческие математики поначалу четко разделя¬
ли понятия числа (arithmos) и величины (megethos), ис¬
ходя из различия арифметики и геометрии; это нашло от¬
ражение в философии — в арифметической интерпретации
мира у пифагорейцев и в геометрической его концепции у
представителей платоновской школы. Понятие числа было
ограничено только целыми числами, составленными пз
единиц (monas), и рациональными числами — дробями,
которые понимались как операции над целыми числами.
Понятие велнчнпы охватывало различные геометрические
фигуры (такие, как линии), взаимное расположение тел
п т. и. Эти основные виды количественных понятий вошли
в аристотелевскую систему категорий как видовые поня¬
тия категории количества (poson), определяемые как то,
«что делимо па составные части, каждая из которых, бу¬
дет ли их две пли больше, есть по природе что-то одно и
определенное нечто» (Аристотель, «Метафизика», кн. V,.
гл. 13, 1020а). Категория количества, по Аристотелю, вы¬
ражает либо множество (если количественные свойства
исчислимы), либо величину (если они измеримы)*. Иечпс-
* У Аристотеля сказано: «Всякое количество есть множество,,
если оно счислило, а величина — если измеримо. Множеством же-
называется то, что в возможности делимо на части не непрерыв¬
ные, величиной — на части непрерывные» (там же). — Прим. ред..
4*
51

лен по. вычисление, счет он относил к числам, которые рас¬
сматривались им как дискретные сущности, поскольку их
части не соприкасаются и не занимают никакого положе¬
ния; измерение касается величин, которые, наоборот, не¬
прерывны: их части занимают определенное положение и
соприкасаются друг с другом.
Ситуация в греческой математике, однако, радикально
изменилась, когда появилась проблематика несоизмеримо¬
сти, когда была обнаружена вся глубина различия между
соизмеримым!: и несоизмеримыми отрезками. Открытие
несоизмеримости привело к понятию иррационального
числа п стало отправной точкой для постепенного опреде¬
ления понятия действительного числа. Исходным пунктом
всех многовековых усилии математиков — усилий, увен¬
чавшихся в XIX с. известной работой Р. Дедекинда «Was
sind und was sollen die Zahlen?» (1888) («Чем являются и
чем должны быть числа?))),— стала теория пропорций Ев¬
докса, развитая в пятой книге «Начал» Евклида. В отличие
от пифагорейцев Евдокс создал чисто геометрическую тео¬
рию чисел, объединившую арифметику и геометрию, равно
как и другие математические дисциплины (к которым в
античности причислялись и наука о музыке, и оптика), в
единую теорию — теорию величии. Эту теорию, сглажи¬
вавшую противоречие между соизмеримыми и несоизмери¬
мыми величинами, следует считать древней формой тео¬
рии действительных чисел.
13 результате этого развития — развития, которое объ¬
ясняет, почему именно геометрия, а не арифметика стала
первой аксиоматически разработанной теорией *,— произо¬
шел принципиальный смысловой сдвиг терминов «arith-
mos> и «megethos». Диапазон понятия величины был, в
сущности, расширен на все виды количественных понятий,
а не только на геометрические или физические величины
(например, па время шш длительность), но и на сами чис¬
ла. прежде всего на числа иррациональные. Изменились и
соотношения внутри категории количества. Числа переста¬
ли быть самостоятельным видом количеств и стали лишь
особым видом величин. Это непосредственно проявилось и
в латинской терминологии, где стали фигурировать терми¬
ны «quantitas» и «munems», причем первый иногда упо-
* См. по этому поводу: Яновская С. А. Из истории аксио¬
матики. — В: Я в о в с к а я С. А. Me то дологические проблемы нау¬
ки. М., 1972 (эта статья впервые опубликована в 1958 г.). — Прим.
ред.
52

треблялся синонимично второму, иногда же — в отличном
от него значении, выражая количество нли величину.
Поэтому если античный или средневековый автор говорит
-о количествах (величинах), то он имеет в виду в первую
очередь математические объекты определенного вода, а
отнюдь не величины в смысле теории измерения, особенно
в применении к физическому измерению, Попробуем срав¬
нить современную формулировку так называемой аксиомы
Архимеда в теории действительных чисел, которая звучит
следующим образом: «Для любых положительных чисел х,
сколь угодно малых, и любых чисел у, сколь угодно боль¬
ших, существует неотрицательное число п, такое, что
— с оригинальной версией, с полной определен¬
ностью приписываемой Евдоксу.
«Если два пространства пе равны [будь то отрезки,
плоскости или тела], то можно столько раз сравнивать с
собою разность, на которую большее превосходит мень¬
шее, чтобы она превзошла любое конечное пространство»
[Архимед. «О шарах и цилиндрах». Цит. но: Стройк, 148,
русск. перев.: с. 63].
Теория величин Евдокса, резюмированная в широко-
распространенной концепции, в соответствии с которой ма¬
тематика является паукои о величинах, продержалась, в
■сущности, до начала XX столетия, несмотря на новые
идеи, развитые в теории чисел Р. Дедекпндом, К. Вейершт-
расеом и Г. Кантором, а в исследованиях по основаниях!
математики— Г. Фреге, Д. Гильбертом и Б. Расселом. Мы
встречаемся с ней, например, у И. Ньютона п Б. Больцано.
Быотон в сочинении «Arithmetica universalis» (1732) по¬
нимает под числом отношение определенной величины к
некоторой однородной ей величине, выбранной в качестве
единицы, т. е. истолковывает его в смысле так называемого
абсолютного числа [ср.: Штольц, Гмайнер, 147, с. 13].
Б. Бельца по ограничивает область чисел только натураль¬
ными и целыми числами, а рациональные числа — дроби
трактует как величины [Больцано, 26, с. 91]1. Во всем
этом почти едином потоке мы, разумеется, находим и дру¬
гие точки зрения, и это, по-видимому, потому, что рассуж¬
дения о соотношении чисел и величин выходят за рамки
1 Ср.: «Возьмем две произвольные (абстрактные) величины, на¬
пример 5 и 12» [26, с. 96]. Небезынтересно привести и более харак¬
терный отрывок: «Не только все числа являются также количест¬
вами, но количеств больше, чем существует чисел: дроби... и так
называемые иррациональные выражения V2... также означают ко¬
личества».
53

математики как таковой и концентрируются скорее всего
в области методологических а философских вопросов тео¬
рии величин, причем в связи с проблематикой измерения.
Вероятно, исключение здесь составляет И. Г. Ламберт,
который в своей «Архитектонике» [Ламберт, 96; подроб¬
нее об этом см.: Берка, 18, с. 231 и сл.] на основе отчетли¬
во сформулированных критериев очень тонко различает
понятия числа п величины. По его мнению, величина или
представима каким-то именованным числом {единиц опре¬
деленного вида), пли же переводима в такого рода число.
При этом, разумеется, недостаточно привести лишь соот¬
ветствующее числовое значение, мы должны также опре¬
делить вид, которым и определяются его качественные ас¬
пекты. Кроме того, что каждая величина характеризуется
единицей измерения, она отличается от числа п своей ме¬
рой и использованием некоего унифицированного измери¬
тельного стандарта, с помощью которого она практически
измерима. Единица фигурирует в самой величине, имеет
тот же вид, что ц величина, и имеет ту же размерность.
Понятие размерности, поначалу истолковываемое чисто
геометрически, обобщается Ламбертом и распространяется
на все виды величин, с тем чтобы таким образом оказалась
обоснованной возможность измерения разнородных вели¬
чин. Результатом такой расширенной трактовки размерно¬
сти было то, что, согласно Ламберту, величины появляют¬
ся везде, «где объединяются единицы разного вода и где,
следовательно, должны соединяться числа одного вида с
числами прочих видов». Дальнейшее различие между чис¬
лами и величинами кроется в том, что числа дискретны,
тогда как величины непрерывны. На этом основании Лам¬
берт считает величинами в подлинном смысле слова только
пекопечные величины.
Эти различия отражаются также и на приписываемых
числовых значениях, а поэтому характеризуют две отлич¬
ные друг от друга процедуры: измерение и счет (исчисле¬
ние). Множества и их отношения при исчислении всегда
представляются целыми числами. Отношения же меж¬
ду частями величин, если мы применяем к ним операцию
измерения, не могут быть выражены целыми числами. Од¬
нако это фундаментальное отличие исчисления от измере¬
ния не исключает использования арифметики целых чисел
и для измерительных нужд. Это связано с тем, что так на¬
зываемые экстенсивные величины, характеризующиеся
единицей измерения и аддитивностью, можно измерять
двояко: либо «по числу», «когда их части принимаются как
54

целые», либо «по степени», когда принимается во внима¬
ние их непрерывность. Измерение «по числу» приемлемо
только в том случае, когда получаемые в его результате
числовые значения используются для дальнейших вычис¬
лений, но не в случае, когда весь этот процесс исчерпыва¬
ется простым исчислением. Для расчетов, образующих не¬
кое связующее звено между счетом п измерением, требует¬
ся однородность величин, гарантируемая соответствующи¬
ми единицами измерения и размерностями.
При таких условиях можно даже вразрез с общеприня¬
тыми правилами истолковывать величины как числа, Эта
возможность превращается в необходимость, когда мы из¬
меряем разнородные величины, которые нельзя прямо п
непосредственно сравнивать. В таком случае необходимо
привести их взаимные отношения в форму отношений
«чисел к числам», За счет введения такпх соотношений,
которые Ламберт не считает величинами в подлинном
смысле слова, можно измерять (косвенно, разумеется) не
сами величины, а нх соотношения.
Точка зрения Ламберта на природу величин, их отно¬
шение к числам и на измерение и печнеление не оказала
какого-либо влияния ни на теорию чисел, ни на теорию из¬
мерений. Теория величин прочно коренилась в долголет¬
ней традиции и в непоколебимой вере в истинность евкли¬
довой геометрии. Эту веру не удалось подорвать даже не¬
евклидовым геометриям, возникновение которых, помимо
всего прочего, показало, что геометрия, понятийная систе¬
ма которой породила идею величины, является «гибрид¬
ной» дисциплиной.
Коль скоро необходимо сохранить трактовку величин в
значении действительных чисел, было бы целесообразно
ввести понятие «внематематические величины», включаю¬
щее в себя, кроме физических, величины в других эмпири¬
ческих областях или даже ограничить понятие величины
только этими областями. А быть может, стоило пойти про¬
тивоположным путем и распространить понятие числа на
все виды чисел, включая комплексные. Однако с этим не¬
обходимым шагом медлили вплоть до 1900 г., когда для
теории величин были построены специфические аксиома¬
тические системы. Между тем гильбертовское доказатель¬
ство непротиворечивости евклидовой геометрии, осуществ¬
ленное путем теоретико-числовой интерпретации, и гиль-
бертовская же аксиоматизация теории чисел были уже из¬
вестны [Гильберт, 80, с. 180—194; 81]. В этот период под
влиянием парадоксов теории множеств, открытых при
55

исследовании оснований математики, удалось обосновать
существование чисел как самостоятельных математических
сущностей. Тем самым была преодолена устоявшаяся точ¬
ка зрения, согласно которой они являются только понятий¬
ной фиксацией величии. Вполне возможно, что эта идея
казалась слишком радикальной даже тем, кто в математи¬
ке отстаивал замену величин числами. Еще в труде «The
Principles of Mathematics» («Основания математики»)
(1903) Б. Рассел стремился разработать математическую
теорию меры, которая, с одной стороны, была бы независи¬
ма от теории чисел (арифметика), а с другой — служила
бы потребностям теории измерений. Более того, в этот пе¬
риод главенствовало стремление теоретически доказать,
что математика является системой величин, охватывающей
геометрические величины, а именно прямые, отрезки,
углы, плоскостл и тела, евдоксовы пропорции и все виды
чисел, включая натуральные, и защитить эту концепцию с
помощью аксиоматизации теории количеств или теории
так называемых абсолютных непрерывных величин.
Однако каким образом можно в рамках этой концепции
объяснить явное различие между величинами и числами,
особенно натуральными? На этот вопрос, который нельзя
просто обойти, достаточно четкого ответа ие существует.
Некоторые авторы отрицают существование чисел как ма¬
тематических объектов п принимают числовую систему
только в качестве концептуального отображения системы
величин. Отсюда истолкование величин, выраженных чис¬
лами — разумеется, неотрицательными целыми числами —
как «числовых величии» (Zahlgrossen) [Штольц, Гмайнер,
147, с. 7 и сл.]. Другие же исследователи полагают, что
математика заключает в себе две разные системы величин:
естественную систему ординальных (порядковых) чисел —
теорию натуральных чисел — и искусственную систему
действительных и комплексных чисел, т. е. арифметику в
узком смысле слова (арифметику целых неотрицательных
чисел) и арифметику в широком смысле слова (науку о
величинах, включающую в себя, помимо теории действи¬
тельных чисел, также и теорию геометрических величин)
[Хантингтон, 84, с. 266 и сл.; Гёльдер, 82, с, 1].
Во всех этих случаях независимо от того, говорится ли
о величинах вообще или же о числовых величинах, имею¬
щих, в сущности, то же значение, что и числа в общепри¬
нятом сегодня смысле, речь, как правило, идет либо о по¬
строении теоретической математики как таковой, либо об
арифметике натуральных или действительных чисел, либо
56

о геометрии, точнее о математической геометрии, а отнюдь
не о какой-то в в е м ат е м атическо it теории, например теории
физических величин.
Бели сравнить толкование понятия величины и тео¬
рию величии в математике с концепцией величины в тео¬
рии измерений, то нельзя не заметить, что понятие вели¬
чины имеет по меньшей мере два различных зпачепия.
Точности ради следует различать разные виды геометриче¬
ских величин в зависимости от того, как мы их интерпре¬
тируем: в контексте математической или физической гео¬
метрии. Это различение можно обосновать тем, что вели¬
чины физической геометрии пе обязаны иметь точно такие
же свойства, что и соответствующие им величины матема¬
тической геометрии. Так, например, с точки зрения мате¬
матической геометрии объем является аддитивной величи¬
ной, а если мы принимаем его в качестве величины физи¬
ческой геометрии, то он далеко не всегда оказывается
удовлетворяющим условию аддитивности. Следовательно,
до тех нор, пока мы истолковываем понятие величины как
понятие внематематическое, его нельзя идентифицировать
с понятием числа. Говоря о величинах в эмпирических
науках, мы, безусловно, имеем в виду не просто действи¬
тельные числа.
Следовательно, если числа являются не особым видом
величин, а представляют собой специфические математи¬
ческие сущности, то термин «числовая величина» исполь¬
зовать нецелесообразно. В результате диапазон понятия
величины в математике сужается до величин математиче¬
ской геометрии.
3.2,	Количество и величина
Дифференцируя числа и величины, мы, собственно,
возвращаемся к исходной концепции древнегреческой ма¬
тематики, не принимая, однако, ее фундаментального кри¬
терия классификации и не предполагая, что величины не¬
прерывны, тогда как числа дискретны. Это разделение —
которое ныне также отстаивается на основании того, что
при измерении измеряемые свойства отображаются на
■множество действительных чисел, — не является альтерна¬
тивным, поскольку существуют и дискретные величины,
например электрический заряд, т. е. заряд одного элект¬
рона.
Однако здесь возникает вопрос, как относятся числа и
величины к категории количества. Если мы понимаем ко-
57

лтество (kvantiti) как философскую категорию, то, вне
всякого сомнения, поскольку понятия кисла и величины
отражают количественные аспекты предметов, явлений и
процессов объективной реальности, они принадлежат имен¬
но к этой категории. Это отличает их от других понятий и
прежде всего от понятия атрибута, или свойства, которое,
отражая качественные особенности предметов, явлений и
процессов, относится к парной (для количества) категории
качества. Если бы термины качество и количество означа¬
ли только эти философские категории, мы могли бы при
рассмотрении проблематики измерения сосредоточиться
только на исследовании взаимоотношений между величи¬
нами и свойствами. Более того, у нас не было бы необхо¬
димости вдаваться в проблемы, связанные с многознач¬
ностью этих терминов, и прежде всего термина количе¬
ство.
Несмотря ыа разговорное употребление термина коли¬
чество — в значении множества, — этим термином обозна¬
чается также и величина. Это варьирование значений в су¬
щественной мере обусловлено чисто лингвистическими
причинами. Возможность трактовать немецкое слово
«Grosses (английское «magnitude») в значении «размера»
<velikat> или просто «величины» ведет к таким выраже¬
ниям, как «die Grosse der Grosse Lange (или соответст¬
венно «the magnitude of the magnitude of length») — «ве¬
личина величины длины», — или даже к более сложным
формулировкам, если мы не проводим достаточно ясного
различения между предикациями есть и имеет*. Поэтому
не приходится удивляться, что предпочтение отдавалось
использованию синонимов, терминологически дифференци¬
рованных выражений, таких, как «die Grosse der Quantitat
Lange» (аналогично «the magnitude of the quantity
length»), — хотя оба термина — «Grosse» и «Quanti¬
tat» — и в дальнейшем продолжают использоваться в од¬
ном и том же значении или — по мере необходимости — в
различных спецификациях, как, например, числовое коли¬
чество, количественная величина и т. д. Это терминологи¬
ческое смешение, случайно обусловленное многознач¬
ностью соответствующих слов (в чешском языке благодаря
паре «velikoct — velicina» подобной проблемы нет), оказы¬
вает, однако, влияние на концептуальный и теоретиче¬
ский уровень. 11 В выражениях типа «нечто, например «длина», есть некото¬
рая величина» и «два объекта определенного рода имеют одну и
ту же величину».
5S

Под количеством подразумевается все. что может быть
каким-либо способом изображено в числах: любое кванти¬
фицируемое — исчисляемое или измеряемое — свойство.
Под качеством понимается свойство пли отношение, не яв¬
ляющееся измеримым. Разумеется, в зависимости от ха¬
рактера числового отображения и в соответствии с тем, в
каком смысле и в каком объеме интерпретируется понятие
измерения, возникают различные точки зрения. Порой ко¬
личествами считаются такие качества, свойства пли атри¬
буты которых можно представить в числах, даже если
приписываемые числа не выражают какой-либо меры.
Б качестве достаточного условия бытия количества допу¬
скается простое линейное упорядочение рассматриваемого
качества. Однако в большинстве случаев к определению
количества предъявляются более серьезные требования.
Для того чтобы мы могли сказать о каком-то свойстве, что
это количество, отображение должно охватывать п его
меру. Обе эти позиции нам уже хорошо известны: первая
соответствует широкой концепции измерения, вторая от¬
носится к более узкому его пониманию. Кэмпбелл [Кэмп¬
белл, 38, с. 238; 39, с. 14] еще более ограничивает это су¬
женное определение понятия количества, сводя его к фун¬
даментально измеримым качествам, удовлетворяющим
условию эмпирической аддитивности, и в результате трак¬
тует каждое свойство, например плотность, которое лишь
производно измеримо, как качество.
Другим, намного более важным следствием первона¬
чального синонимичного пспользования двух рассматри¬
ваемых терминов является их постепенная понятийная
дифференциация на разных уровнях абстракции в зависи¬
мости от их специфических характеристик п от различных
■связей, которые они имеют с другими понятиями.
Если измеримые и неизмеримые свойства связываются
с философскими категориями количества и качества, воз¬
никает тенденция подчеркивать их онтолого-гносеологнче-
ские аспекты. Эта тенденция с необходимостью приводит
либо к онтологической, либо к антионтологической пози¬
ции.
В первом случае отношение между количествами и ве¬
личинами смещается, спускаясь с общего понятийного
уровня на два иерархически организованных уровня боль¬
шей конкретности: движение совершается в направлении
от понятийно отображаемого к объектному уровню. Тогда
количество образует объективную базу для соответствую¬
щей величины, концептуально зафиксированной в системе
59

определенной дисциплины. Количества, заключающие в
себе разные квантитативные аспекты объективно сущест¬
вующих предметов, явлений и процессов, представляются
одинаковыми или разными величинами в зависимости от
системы единиц измерения и взаимных отношений между
осеовбьтмп величинами.
Онтологическая точка зрепия указывает на необходи¬
мость анализа проблематики измерения на разных иерар¬
хически организованных уровнях и правомерно подчерки¬
вает значение онтологического уровня. Без подобной объ¬
ективной основы мы вряд ли смогли бы убедительно моти¬
вировать, почему одни свойства измеримы, другие пока
еще не измеримы, а третьи вообще неизмеримы. Однако
благодаря отождествлению количественных аспектов пред¬
метов, явлений и процессов объективной реальности, отра¬
женных в разных величинах, с одной стороны, и понятия
количества (quantity) — с другой, возрастает и многознач¬
ность термина количество. В результате теряется возмож¬
ность определения паивысшего уровня этой иерархии —
в области философских категорий.
Во втором случае взгляд на проблематику измерения
также расширяется, но расширение это имеет противопо¬
ложное направление — в сторону большей абстрактности;
от понятийного уровня происходит переход к уровню тео¬
ретическому, ограниченному к тому же только языком
науки. Эта отчетливо антионтологическая концепция
инспирируется известными субъективно-идеалистически¬
ми взглядами неопозитивистов, с точки зрения которых
различие качеств и количеств обусловлено не различием,
существующим в объективной реальности, а только разли¬
чиями на уровне понятийной системы, языка науки. Фак¬
тически это различие между качественным языком, содер¬
жащим одноместные предикаты, и количественным язы¬
ком, характеризующимся функциями, принимающими
числовые значения. Следовательно, в этой концепции поня¬
тие количества отождествляется с количественными поня¬
тиями-идеями, с метрическими предикатами. Термин
количество оказывается всего лишь сокращением для тер¬
мина количественное понятие [Гемпель, 77, с. 55; Бунге,
3G, И; с. 198].
В результате сведения количеств либо к понятиям, ли¬
бо к языковым выражениям, сведения, которое операцио-
нализм трансформирует в редукцию понятия величины к
измерительным операциям (и, доводя дело до абсурда, во¬
обще отвергает количество), измерение лишается своей'
ео

объективной основы и становится, вообще говоря, чисто
конвенциональным, субъективным делом. В связи со ска¬
занным мы не станем углубляться в крайне спорные след¬
ствия этой явно односторонней точки зрения, а ограничим¬
ся одним выводом семантического характера, с которым
именно неопозитивистам трудно смириться. Если количе¬
ство есть лишь сокращенное выражение для термина мет¬
рическое понятие, то вряд ли можно призвать корректным,
что количества, например длины в сантиметрах, имеют
разные числовые значения [ср.: Гемпель, 77, с. 85,
прим. 61]. Поэтому утверждать, что числовые значения
можно непосредственно приписывать метрическим поня¬
тиям, например понятию длины, с семантической точки
зрения явно ошибочно.
Понятия количества и величины дифференцируются
также на различных уровнях абстракции. Если мы так
ставим проблему и при этом предполагаем, что перед на¬
ми два разных понятия, то существует только две возмож¬
ности: либо величины более абстрактны, чем количества,
либо, наоборот, количества абстрактнее величин.
В первом случае [см., например: Рассел, 126, с. 159;
Пап, 116, с. 126] количество — это особенное, конкретный
случай величины; например, длина прута пли длина пру¬
та в метрах есть количество, тогда как длина сама по се¬
бе— это величина. Каждое количество, например опреде¬
ленная длина, определенный вес, определенная температу¬
ра данного предмета, или, говоря более конкретно, опреде¬
ленная длина в метрах, определенный вес в килограммах,
определенная температура в градусах Цельсия, относит к
каждому предмету данной области некоторое число, кото¬
рое специфицирует количественное значение данной вели¬
чины — в длине, весе, температуре. Следовательно, если
количество определяется не только путем указания на
предмет и его количественный аспект, но и посредством
установления соответствующей единицы измерения, то оно
понимается, как правило, в значении количественно опре¬
деленной меры или как кванта чего-то.
Во втором случае [ср,, например: Фокен, 70, с. 1] дело
обстоит в точности наоборот: длина есть количество, тогда
как, например, длина стола или длина стола в метрах
есть величина.
Обе эти концепции независимо от того, как они опреде¬
ляют отношение между количествами и величинами, с ме¬
тодологической точки зрения совершенно сходны. Они
аналогичным образом выражают отношения между кон-
61

кретньши количественными аспектами предметов или яв¬
лений, объективно существующими различиями в степе¬
нях, в более или менее точно установимых интенсивностях,
размерах — на эмпирическом уровне — и их теоретически¬
ми обобщениями с помощью понятия классов эквивалент¬
ности — классов предметов, равных в каком-либо отноше¬
нии. Следовательно, если количества расцениваются как
конкретные выражения описанных аспектов, то величины
оказываются классами эквивалентности этих количеств,
или классами эквивалентных классов. И наоборот, если
величины представляются более конкретными сущностя¬
ми, чем количества, то последние в свою очередь опреде¬
ляются с помощью классов предметов, эквивалентных друг
другу в некотором смысле. Этот подход, которым должны
выражаться взаимосвязи между эмпирическими и теоре¬
тическими характеристиками объекта измерения, находит
свое применение и в концепции Гельмгольца — Менгера,
основанной на дифференциации количеств, интерпрети¬
руемых как упорядоченные пары, первым членом в кото¬
рых является некоторый эмпирический объект, а вто¬
рым — некоторое число, и классов взаимно согласованных
количеств, которые Менгер обозначает ньютоновским тер¬
мином «fluent» («переменная») [ср.: Менгер, 108; см. так¬
же: Кернер, 91, с. 176 и ел.].
С онтологической и с антионтологической позиций
иерархическое упорядочение разных уровней, на которых
объект измерения можно понятийно фиксировать, истолко¬
вывается лишь под определенным и достаточно односторон¬
ним углом зрения. Посредством объединения этих концеп¬
ций и их систематизации мы приходим к различению по
меньшей мере трех последовательно упорядоченных, вза-
имообусловливаюгцнх уровнен.
3.3.	Объект измерения
При определении объекта измерения, которое может
быть проведено на разных уровнях и с разной мерой абст¬
рактности, мы с уверенностью можем исходить из объек¬
тивной базы, содержащей весьма дифференцированные
виды предметов, вещей, процессов и явлений объективной
.реальности, обладающих различными свойствами и нахо¬
дящихся в разных отношениях. Для процесса измерения
эти объекты сами по себе есть только измеряемые объек¬
ты, а отнюдь не объекты измерения.
Объект измерения на первом, онтолого-гносеологиче-
62

ском уровне определяется разными свойствами измеряе¬
мых объектов, которые мы будем считать их качественны¬
ми и количественными (квантитативными) аспектами. По¬
скольку эта дихотомия слишком груба, мы считаем необ¬
ходимым различать два специфических вида количествен¬
ных аспектов.
Под сильными количественными аспектами мы будем
понимать такие свойства измеряемых объектов, которые
допускают различение не только по степени, но п по своей
мере. Слабыми количественными аспектами мы будем счи¬
тать такие свойства, которые различимы только по своим
степеням. Для качественных аспектов не выполняется нп
одно из этих условий.
На этом онтолого-гносеологическом уровне объект из¬
мерения можно определять относительно самостоятельно
и независимо от чего бы то нп было; прежде всего это ка¬
сается результата измерения числовых значений, припи¬
сываемых соответствующим аспектам.
Однако дифференциация качественных, слабо и сильно
количественных аспектов опирается не только на реаль¬
ность разных свойств измеряемых объектов, — реальность
эта первична и в этом смысле не зависит от способа, ка¬
ким мы отражаем ее в понятиях, — но п на достигнутую
ступень нашего познания, вторичную по отношению к ре¬
альности. Поэтому эти аспекты не являются резко отгра¬
ниченными, раз и навсегда неизменными. Между ними
существуют разные переходы, они взаимозависимы и на¬
ходятся в определенных отношениях; познание этпх аспек¬
тов важно именно тогда, когда мы задаемся вопросом, до
какой степени можно считать качественные аспекты также
измеримыми в узком смысле слова или являются ли они —
а если да, то при каких условиях — поддающимися опре¬
деленной оценке.
Рассуждая о разных свойствах предметов, вещей, яв¬
лений пли процессов объективной реальности, мы предпо¬
лагаем определенную классификацию этих объектов, вы¬
деляя индивиды, свойства индивидов, отношения между
индивидами, классы индивидов, свойства классов индиви¬
дов и т. д., — классификацию, философски обоснованную
разделением мира на вещи, свойства и отношения [ср.,
например: Уемов, 162]. То, что мы трактуем как вещь, а
что как свойство, что мы считаем индивидом, а что прини¬
маем как класс, каким образом, кроме того, мы различаем
вещи и процессы — все это обусловливается в конечной
счете (исходя из диалектики целого и части, общего, еди-
63

вечного и особенного) самим характером расчленения
реальности, релятпвизованного уровнем, на котором в той
или иной научной дисциплине исследуются явления при¬
роды и общества. Если не вводить конкретизацию предме¬
тов и способов их изучения, то вещью, или предметом, мо¬
жет быть, например, ц лес, и дерево, и его ветка, и лист,
точно так же как молекула, атом, электрон, позитрон. Од¬
нако как только мы примем обоснованное решение отно¬
сительно определенного расчленения, будь то расчленение
на макрофизическом уровне или на уровнях, специфиче¬
ских для разных научных дисциплин, мы тем самым сразу
определяем множество объектов D или Е (если изучаемая
область относится непосредственно к явлениям объектив¬
ной реальности). Этой релятивизацией по отношению к
данной области исследования также определяется, что в
данном множестве объектов можно трактовать как вещь, а
что — как совокупность вещей, или, говоря языком теории
множеств, чтб — как индивид, а что — как множество ин¬
дивидов. Аналогично следует различать и разные виды
свойств. Одни будут относиться только к индивидам, дру¬
гие же только к множествам. О какой-то отдельной вещи
можно, например, сказать, что она гладкая, тяжелая, име¬
ет определенный цвет и т. п., но утверждать, что опа
конечна, невозможно. Это свойство относится не к отдель¬
ной вещи, а к совокупности вещей, к множеству индиви¬
дов, множеству множеств и т. д. Некоторые свойства в раз¬
ных теориях будут обладать различающимися специфика¬
циями. Так, например, относительная скорость аддитивна
только в классической физике, но не в специальной теории
относительности.
Итак, если мы хотим отойти от первого уровня объек¬
тивно существующих аспектов и перейти к следующему.
эмпирико-математическому уровню, мы должны строго
различать свойства, относящиеся к измеряемым объектам,
н свойства, которые с уверенностью можно приписывать
только совокупностям этих предметов. Разумеется, этого
еще далеко не достаточно. Мы должны также задаться во¬
просом, какие вообще свойства существенны для уясне¬
ния объекта измерения в его разных спецификациях. Чтб.
собственно, можно измерять на отдельных предметах, а
что—на множествах предметов? Этот вопрос можно раз¬
делить на две части. Каковы те сильные (или слабые) ко¬
личественные аспекты, которые следует относить к множе¬
ствам предметов, если мы знаем, что их можно конституи¬
ровать на весьма общем уровне и что их элементы могут
64

быть почти совершенно несравнимы? На этот вопрос мы
ответом, когда будем рассматривать свойства счета п из¬
мерения (см. 5.2). Однако возникает вопрос: какое сильно
(или слабо) квантитативные аспекты могут относиться к
отдельным предметам? Очевидно, таких аспектов, которые
отражают какое-либо свойство в разных его мерах пли
масштабах, по крайней мере в разных его степенях, может
быть много.
Коль скоро мы принимаем какие-то свойства в качестве
величин, мы должны уметь распознавать их на отдельных
предметах, отождествлять, сравнивать, абстрагировать,
обобщать так, чтобы в процессе измерения эти свойства
можно было выражать в числах. Такая концептуализация,
основанная па постепенном образовании классов эквива¬
лентности разной общности, ограничивается — особенно,
если учитывать уровень ее абстракции, — рядом условий,
специфических как для определенного способа измерения,
так и для определенного вида величин.
Процедуру, о которой идеть речь, — она включает, ра¬
зумеется, и предшествующий уровень — мы можем в весь¬
ма упрощенной форме проиллюстрировать следующей
концепту ал пзацией величины, называемой длиной.
Представим себе, что в нашем распоряжении имеется
ряд очень разнородных индивидуальных предметов, напри¬
мер забор, стакан, яблоко, рейка, роза, пылинка, волос,
число 5, и что мы хотим узнать, обладают ли они неким
общим свойством. С помощью взаимного сравнения (нелег¬
кого и не всегда вполне однозначно осуществимого) мы
можем, например, установить, что некоторые из них зани¬
мают определенное положение и обладают протяжен¬
ностью. Такой аспект, который у ряда этих предметов рас¬
познается без труда, мы можем считать длиной. Допустим,
что благодаря первичной «гомогенизации» — уравнива¬
нию — этих разнородных предметов мы пришли к классу
{забор, репка, стул, волос, стакан, яблоко}, содержащему
хотя и очень разные предметы, но такие, о которых в лю¬
бом случае можно сказать, что они эквивалентны в том
отношении, что обладают протяженностью. Это лишь пер¬
вый шаг к конституированию величины длины; на этом
этапе мы выделяем основной качественный аспект рас¬
сматриваемой величины, каковой, несомненно, отличает,
например, забор от числа 5, бесспорно, не принадлежащего
к данному классу. Этот еще вееьма неоднородный класс
предметов мы можем «гомогенизировать» далее, если при¬
мем в расчет не только такие предметы, о которых уже из
5 Зак. Л'р поз
65

опыта известно, что они протяженны, но и, сузив подход,
лишь отдельные предметы того или иного вида, например
рейки, бруски, прутья, заборы или даже только разные
прутья. Рассмотрим, простоты ради, следующий класс
уравниваемых предметов:
{прута, прут(, npyTd, прутг, пруть, прут,,
прутк, прут0, прутр, прут,, Прут,}.
Этот класс можно далее гомогенизировать, если опреде¬
лить, в какой степени его элементам прпсуще свойство
протяженности. Предположим, что в нашем классе урав¬
ниваемых предметов можно найти следующие подклассы
одинаково длинных прутьев, которые могут, разумеется,
содержать и только один-едпнетвенный элемент:
{прута, прут,, пруть прут0}, {прутс, npyrd, прутг},
{прут,}, {прутк}, {прутр}, {прутч}.
Поскольку элементы этих классов можно отождествлять
по степени их протяженности, мы тем самым получаем
класс, элементами которого оказываются классы эквива¬
лентности, состоящие, каждый, из одинаково длинных
прутьев, что дает уже класс, состоящий из одноэлемент¬
ных классов, скажем
{ІЦ'	lyi ^z}'
К аналогичному результату мы бы, разумеется, пришли,
если бы рассуждали о любых других протяженных пред¬
метах.
Ясно, что эти уже довольно абстрактные классы экви¬
валентности, характеризующие длину разной степени, не¬
обходимо как-то конкретизировать, если мы хотим эмпи¬
рически установить, в какой степени измеряемые объекты
в этом аспекте попарно сходны или различны. Каждому
классу 1* эмпирически соответствует . некий экземпляр
протяженного предмета, скажем какой-то прут. Любой
прут, например прут,, можно выбрать в качестве образца
стандартного прута и затем непосредственно сравнивать
с ним остальные прутья илп любые другие предметы, о ко¬
торых мы знаем или предполагаем, что они в некоторой
степени протяженны. Этим способом мы, разумеется, выяс¬
ним только, является ли определенный прут плп другой
предмет таким же длинным, что и прут,, или об длиннее
или короче его.
Эта топологическая характеристика длины позволяет
нам упорядочивать разные протяженные предметы — или,
66

на более абстрактном уровне, различные степени длины
вне зависимости от того, к каким конкретным предметам
они относятся. — в определенную последовательность с
точки зрения отношения больше или меньше. Эмпириче¬
скую последовательность разнопротяженных предметов
можно отобразить в последовательности чисел, порядок
элементов которой представляет только степени (но не
размер илд меру) длины, причем, так что большей сте¬
пени соответствует большее число, а меньшей степени —
меньшее.
Величину, связывающую определенный качественный
аспект объективно существующих предметов, например их
протяженность, со слабо количественным аспектом степе¬
ни, в которой это свойство может проявляться, мы будем
считать неметрической величиной. Ясно, что в том же
смысле мы могли бы говорпть и о топологических величи¬
нах.
Если некую величину мы хотим считать метрической
величиной, связывающей определенный качественный ас¬
пект объективно существующих предметов, например их
протяженность, с сильно количественным аспектом — раз¬
мером, то мы должны ввести еще и единицу измерения, на¬
пример, путем отображения длины стандартного прута на
число определенной величины-размера.
Благодаря введению единицы измерения длины фунда¬
ментальный процесс сравнения с помощью стандартного
прута можно реализовать путем подсчета числа этих еди¬
ниц, выразив длину определенного предмета неким числом
в собственном смысле слова. Тогда последовательность деи¬
ст вптельных чисел представит последовательность число¬
вых значений, которые приписываются или могут быть
приписаны размерам длин эмпирически измеряемых объ¬
ектов. Как этот способ сравнения проводится конкретно и
при каких дальнейших условиях он осуществим, в прин¬
ципе нас пока не интересует.
С помощью этой модели — она воспроизводит, в сущ¬
ности, разные исторические этапы концептуализации мет¬
рической величины длины — мы можем также объяснить
специфичность объекта измерения на втором уровне, рав¬
но как и характер величин, прежде всего со структурной
точки зрения.
Поскольку каждая величина связывает какой-то каче¬
ственных! аспект измеряемых объектов с какпм-то слабо
(или сильно) количественным аспектом, мы можем на эм¬
пирико-математическом уровне обобщенно характеризо¬
5*
67

вать ее некоторой функцией /(е, п), предполагающей эм¬
пирическую область аргументов и числовую область зна¬
чений. Аргументы функции / можно интерпретировать как
эмпирические переменные, а их значения — как числовые
переменные. т. е. переменные, значениями которых явля¬
ются числа.
Если предположить, что величины представляют объ~
ект измерения на его эмпирико-математическом уровне,
выражающем сущность измерения, то отсюда следует,
что объект измерения на этом втором уровне уже нельзя
понимать изолированно от результатов измерения. Это ди¬
алектическое отношение, разумеется, конкретизируется
уже в измерительном процессе как таковом путем специ¬
фикации числовых значений, приписываемых эмпириче¬
ским переменным.
Эмпирические переменные, представляющие собой
свойства измеряемых объектов, можно относнть к разным
но своему характеру классам эквивалентности, охватываю¬
щим, в частности, измеряемые объекты, их качественные
аспекты, качественные аспекты измеряемых объектов оп¬
ределенного вида и т. д. Каждая из этих допустимых ин¬
терпретаций эмпирических переменных обусловливается
разными обстоятельствами.
Если известно, что качественные аспекты принадлежат
именно тем предметам, на которых или с помощью кото¬
рых производятся измерения, или если в нашем распоря¬
жении имеется достаточно теоретически и операционально
обоснованное качественное понятие соответствующей вели¬
чины, то будет достаточно отнести эмпирические перемен¬
ные лишь к качественным аспектам измеряемых предме¬
тов. Определяя, например, температуру различных предме¬
тов, мы прекрасно осознаем, на каких предметах можно
измерить эту величину, ни в коей мере не допуская пред¬
положения, что ее можно устанавливать, например, для
ощущений или желаний. Аналогичной интерпретацией мы
пользуемся и при анализе измерения величин вообще, при
этом совершенно игнорируя вопрос о том, на каких пред¬
метах или с помощью каких предметов конкретно прово¬
дится измерение. Например, сравнивая измерение време¬
ни с измерением скорости, мы замечаем, что в обоих случа¬
ях эмпирические переменные относятся непосредственно к
качественным аспектам измеряемых предметов, т. е. к са¬
мим абстрактным классам эквивалентности.
Если не соблюдаются необходимые предпосылки, при
которых объект измерения можно анализировать на выс-
68

шеи уровне качественных аспектов, то эмпирические пере¬
менные следует относить к более конкретным классам
эквивалентности измеряемых предметов. С этой ситуацией
мы, как правило, встречаемся в самом начале процесса
измерения, когда еще не вполне ясно, к предметам какого
вида принадлежит искомое свойство, когда его область не
ограничена вполне четко шли когда мы производим измере¬
ние в новых, не вполне операционально п теоретически
установленных условиях. Поэтому данная ситуация харак¬
терна главным образом для разных случаев ваефизнческо-
го измерения, где подчас неясно, какая, собственно, вели¬
чина измеряется пли действительно ли то, что измеряется,
отвечает целям, которые при этом преследуются.
Третья возможная интерпретация применяется тогда,
когда мы дифференцируем измеряемую величину относи¬
тельно различных предметов, измеряя ее в разных преде¬
лах, ограничивая процедуру измерения только определен¬
ным видом предметов или, еще конкретнее, только единст¬
венным предметом (когда, например, мы хотим провести
различие между измерениями массы биллиардного шара,
атома или Луны).
Для числовых переменных, которые сами по себе пред¬
ставляют так называемые шкальные значения числовых
шкал, полученных как результат разных измерительных
процедур, на эмпирико-математическом уровне можно дать
только одну интерпретацию, а именно числовую. Областью
значений этой переменной являются либо так называемые
ординальные (порядковые) числа, представляющие толь¬
ко упорядочение, либо так называемые кардинальные (ко¬
личественные) числа, представляющие также и величину
в смысле «размера», т. е. упорядочение денотатов эмпири¬
ческих переменных и их «размеров».
Следовательно, эмпирические переменные определяют
качественные аспекты величин на самых разных уровнях
абстракции: тип величины, например длину, виды величи¬
ны, например удаленность, высоту, глубину, ширину, ее
спецификацию, например длину волны, или ее конкретный
случай, например длину моего письменного стола.
Числовые переменные репрезентуют слабо (пли силь¬
но) количественные аспекты либо во всем диапазоне, в ко¬
торый объективно укладывается тин, вид пли специфика¬
ция данной величины, либо только их конкретные случаи.
Следовательно, под числовым компонентом величин мы
должны понимать либо множества чисел, либо лх элемен¬
ты. Так, например, у неметрической величины твердости
69

множество ординальных чисел {1, 2, 3,	8, 9, 10} в
первоначальной концепции Мооса или другое множест¬
во чисел {0,2, 0,3, 0,4	 9,0, 9,5, 10} в более точной
классификации представляет собой упорядочение ве¬
ществ по их твердости. Положение, например, рубидия
во второй классификации обозначается порядковым но¬
мером 0,3.
Различение множества значений числовых переменных
II пх элементов имеет силу, разумеется, и для метрических
величин, где мы, однако, должны к тому же установить л
определенную единицу измерения.
Различие между величинами и пх значениями позво¬
ляет нам выявить суть спорных вопросов, касающихся
взаимоотношения величин и количеств (см. 3.2). Если мы
повпмаем величины как множества упорядочениях пар
«е, к)}, а каждое нх конкретное числовое значепие, пред¬
ставляющее упорядочение или величину-размер опреде¬
ленной эмпирической переменной, — как элемент этого
множества (например, {е,-, »,-)), то нам нет необходимости
на эмпирико-математическом уровне концептуализации
объекта измерения проводить различие между количества¬
ми и величинами. Тем самым мы избегаем трудностей,
связанных с известной многозначностью термина количе¬
ство (quantity). Если исходить из первоначального пони¬
мания величины и количества, то очевидно, что речь здесь
вдет о двух разных понятиях существенно разной общно¬
сти, не относящихся к понятийной системе одной и той же
дпецпшшны.
Понятие величины является фундаментальным поняти¬
ем теории измерений. Понятие количества — равно как и
парное понятие качества — есть философская категория.
Эти «ступеньки выделения, т. е. познания мира, узловые
пункты в сети, помогающие познавать ее и овладевать ею»
[Ленин, 101, с. 85], нельзя считать искомыми фундамен¬
тальными понятиями теории измерений.
Из проведенного нами различения следует единственно
возможное заключение, приемлемое с точки зрения марк¬
систско-ленинской философии. Если мы не хотим заменять
или скорее подчинять понятие количества понятию вели¬
чины (по своим последствиям это означало бы нечто иное,
кап отвержение системы категорий философии и ее функ¬
ций в процессе познания объективной реальности — тезис,
приемлемый разве что для «антиметафизической» позиции
неопозитивизма, прагматизма или инструментализма), то
мы должны истолковывать понятия количества и качества
70

совершенно однозначно, а именно как философские кате¬
гории.
Остается еще рассмотреть отношение между неметриче¬
скими величинами и топологическими понятиями, между
метрическими величинами и метрическими понятиями. Это
поможет нам уяснить сущность, третьего, теоретического
уровня концептуализации объекта измерения.
На теоретическом уровне объект измерения оказыва¬
ется представленным либо метрическими понятиями, если
мы признаем только суженное толкование измерения, либо
топологическими понятиями, если в сферу измерений мы
включаем измерения в широком смысле слова. Однако при
концептуализации объекта измерения на теоретическом
уровне остаются в стороне классифицирующие понятия,
поскольку, по нашему мнению, необоснованно считать из¬
мерением то, что мы назвали измерением в самом широ¬
ком смысле слова.
Метрические и тополотическиб понятия можно истолко¬
вывать как классы абстракции величин, характеризующие¬
ся одними и теми же эмпирическими, формальными, тео¬
ретическими, а возможно, и операциональными свойства¬
ми. Топологические понятия суть классы абстракции в слу¬
чае неметрических величин, метрические — суть классы
абстракции в случае метрических величин.
Следует заметить, что иногда различие между неметри¬
ческими и метрическими величинами, с одной стороны, п
топологическими и метрическими понятиями — с другой,
упрощенно интерпретируется всего лишь как различие
между эмпирическими, экспериментально наблюдаемыми
и теоретическими понятиями, между конкретными случая¬
ми величин (если мы измеряем, например, длину стола,
длину пути движущегося тела) и величиной как таковой
(если мы рассуждаем, например, об измерении длины не¬
зависимо от того, какой предмет пли с помощью каких
предметов мы ее измеряем).
В этой — неопозитивистской — концепции эмпириче¬
ских и теоретических понятий, основанной на строгой ди¬
хотомии экспериментального и теоретического языков нау¬
ки, игнорируется тот совершенно очевидный факт, что ве¬
личины не укладываются в рамки просто наблюдаемых,
эмпирических понятий или в рамки просто теоретических
понятий. Мы показали, что величины образуют диалекти¬
ческое единство качественных и количественных аспектов
реально существующих предметов, явлений и процессов —
единство, концептуально представленное разными класса¬
71

ми эквивалентности. В зависимости от того, как на эмпи¬
рико-математическом уровне интерпретируются эмпириче¬
ские переменные, меняется только соотношение их эмпи¬
рических и концептуальных характеристик. Тип величины,
разумеется, «теоретичнеє», чем конкретный случай. Одна¬
ко коль скоро мы хотим в обоих случаях говорить о вели¬
чинах, «наблюдаемую» компоненту нельзя полностью ис¬
ключить пз понятия типа величины. Истолковывать вели¬
чины — тип величины или разные ее виды — как теорети¬
ческие понятия означает не что иное, как идентифициро¬
вать их с топологическими или метрическими понятиями
[более детальную критику см., например Чижек, 52].
Против возможности абстрагирования от эмпирических
характеристик величин в принципе возразить нечего. За¬
вершение постепенной концептуализации объекта измере¬
ния с необходимостью требует анализа и синтеза общих
свойств величин как с точки зрения их отношений к общей
понятийной и теоретической структуре данной научной
области, так и с точки зрения общей теории измерений.
Различение топологических и метрических ПОНЯТИЙ на
теоретическом уровне концептуализации объекта измере¬
ния, бесспорно, методологически очень важно и необходи¬
мо. Однако эта концепция приемлема только тогда, когда
она различает отдельные уровни и принимает в расчет вза¬
имные отношения топологических и метрических понятий
(теоретический уровень), неметрических и метрических
величин (уровень эмпирико-математический), а также
качественных, слабо и сильно квантитативных аспектов
(онтолого-гносеологический уровень).
3.4.	Единицы измерения, именование и размерность
Из характеристики величин как функций с эмпириче¬
скими аргументами и числовыми значениями следует, что
каждую величину можно выразить некоторым именован¬
ным числом. Такого рода номинация относится к эмпири¬
ческим переменным, характеризующим качественный ком¬
понент величин; числа же представляют их следующую
количественную определенность: у неметрических вели¬
чин — только порядок, упорядочение, у метрических —
также и величину в смысле «размера».
Номинальный компонент метрических величин, пред¬
ставляемый именованными кардинальными числами, отож¬
дествляется, особенно в теории физического измерения, с
так называемой размерностью, а числовой компонент ин¬
72

терпретируется как некое множество кратких или доль¬
ных данной единицы измерения, с которой они однородны.
Для неметрических величин мы должны, по крайней мере
per analogiam, предполагать, что каждый элемент после¬
довательности числовых значений в унорядоченип, специ¬
фическом для каждой из них, однозначно относится к оп¬
ределенной ее «силе» и что, следовательно, последователь¬
ность числовых значений, представляющих эти слабо ко¬
личественные аспекты, состоит из именованных ординаль¬
ных чисел. Так, например, ординальное число 8 на шкале
твердости Мооса обозначает топаз, тогда как на шкале
силы ветра Бофорта оно обозначает бурный ветер, т. е.
скорость ветра в диапазоне 55—65 км/ч. Ординальное чис¬
ло 1 на шкале Мооса, точнее говоря, твердость степени 1,
представляющая тальк, и порядковое число 1 на шкале Бо¬
форта, точнее говоря, сила ветра степени 1, представляю¬
щая легкий ветерок, бриз, — суть два разных именованных
числа, относящихся к различным эмпирическим перемен¬
ным. Поэтому их нельзя идентифицировать, точно так же
как нельзя отождествлять именованные числа «4 метра» и
«4 килограмма», представляющие два одинаковых «разме¬
ра» (velikosti) качественно различных метрических вели¬
чин.
Разумеется, против такого понимания именованных чи¬
сел можно возразить, что, помимо области теоретической
арифметики, мы никогда не работаем с неименованными
числами и что аналогично нельзя сравнивать такие пред¬
меты, как, например, 4 стола и 3 цветочных горшка. Одна¬
ко, между именованием величин и этими именованными
числами существует значительное различие. Понятие
именования, номинации, является необходимой компонен¬
той любого определения величины, необходимой для раз¬
личения разных качественно определенных метрических д
неметрических величин. Именованные же числа, относя¬
щиеся к совокупностям предметов, выражают независимо
от их весьма гетерогенного характера единое свойство,
общее всем множествам, — их исчислимость. Именно в от¬
ношении этого свойства множеств мы можем эти имено¬
ванные числа сравнивать и даже суммировать. Если только
представить, что требуется определить количество предме¬
тов на письменном столе, то утверждение, что 5 книг+
+2 пепельницы-}-1 телефон-1-1 календарь = 9 предметам,
очевидно, имеет смысл.
Следовательно, если мы предположим, что числовая
компонента неметрических величин образует последова¬
73

тельность именованных порядковых чисел, то мы можем
любую из них трактовать даже как единицу упорядочения
отдельных степеней их качественных элементов. Это обоб¬
щение понятия единицы измерения, разумеется, весьма
необычно и может быть обосновано в нашей концепции
ссылкой на то, что неметрические величины рассматрива¬
ются нами в качестве специфического вида величин.
Наверное, нет необходимости подчеркивать, что едини¬
цы упорядочения неметрических величин отличаются от
единиц измерения метрических величин точно так же, как
отличаются друг от друга измерения в широком и узком
смысле слова. Укажем хотя бы на одно существенное раз¬
личие. Если выбрать для непрерывной метрической вели¬
чины какую-то единицу измерения, т. е. определенную еди¬
ницу отсчета, в качестве основы сравнения, то каждое сле¬
дующее кардинальиое число, представляющее сильно
квантитативные аспекты этой величины, по объективным
основаниям уже однозначно детерминируемо. Однако вы¬
бор подобных единиц отсчета — единиц, служащих только
цели упорядочения, — совершенно произволен, и выбор
последующих ординальных чисел ограничивается в этом
случае только тем, что каждое из них должно быть боль¬
шим или меньшим. Если выбрать, например, для представ¬
ления і-й степени неметрической величины порядковое
число п, то для представления (i-J—1) -й: «силы» можно вы¬
брать любое ординальное число т, такое, что т>п, и
аналогично для представления (г—1)-й «силы» — любое
порядковое число к, такое, что к<_п. Как правило, для
большей наглядности единица отсчета идентифицируется
с началом упорядочения, например с ординальным чис¬
лом 1 или даже с числом 0, а все остальные ординальные
числа / выбираются так, чтобы они удовлетворяли условию
j> 1. Тогда единица, служащая упорядочению неметриче¬
ской величины но ее интенсивности, представляет наи¬
меньшую «силу» величины, например наименее желатель¬
ную альтернативу, если рассматривается эффективность
какой-либо деятельности.
Номинация единицы измерения относится не к типу
или виду величины, а скорее к ее конкретизации, напри¬
мер к длине некоего стандартного предмета, скажем, пру¬
та, принимаемого в качестве образца. Поначалу явно уста¬
навливать числовое значение этой специфической величи¬
ны даже и не нужно. Вполне достаточно, если нам ні
практики известно, что единица измерения в своей объек¬
тивированной форме — как материальная единица измере-
74

иия — представляет для нас определенный «размер» изме¬
ряемой величины, а это делает возможным сравнение этой
единицы с предметами, в которых рассматриваемая вели¬
чина проявляется с разной «силой».
Единицу измерения как таковую в концептуальном.
смысле можно истолковать как класс эквивалентности
предметов — такой класс, элементы которого имеют отно¬
сительно рассматриваемого свойства ту же интенсивность,
что и стандартный предмет, материальная единица изме¬
рения. Так, например, 1 килограмм есть класс эквивалент¬
ности, состоящий из всех предметов, имеющих ту же мас¬
су, что и известный предмет, принятый как эталон, имею¬
щийся в Международном бюро мер и весов в Севре (Фран¬
ция). Таким образом, килограмм есть имя этого класса
эквивалентности. Точно так же именем некой единицы из¬
мерения массы является, например, фунт, унция п т. п.,
если используются какие-то другие классы эквивалентно¬
сти. Метрические величины, например длину, мы измеря¬
ем в кратных и дольных определенной единицы измерения,
скажем сантиметрах, дециметрах, километрах п т. п.;
раньше для этого пользовались и другими единицами
измерения, например ту же величину измеряли в локтях,
двойных шагах (около 2 аршин), футах, ярдах, милях, са¬
женях, верстах и т. п.
Если, выбирая числовую компоненту единицы измере¬
ния, мы можем считать ее равной единице, то в ее специ¬
фикации превалирует качественный аспект незавпспмо от
того, что с вей можно работать как с числом и проводить
над ней различные арифметические операции. Однако в
действительности единицы измерения, их произведения и
частные, так называемые кратные и дольные единицы из¬
мерения, не являются числами в подлинном смысле слова,
даже если мы оперируем с ними в вычислениях, абстраги¬
руясь от их качественных компонент, и допускаем, что
числовые значения величин выражаются в качественно од¬
нородных единицах. Когда мы принимаем единицы изме¬
рения за специфические случаи метрических величин, это
ex definitione понятно.
Поэтому некорректно, когда в физике [ср. например:
Бинко, 25, с. 17; Штилле, 146, с. 10 и сл.; Флэшнер, 69,
с. 141; Альберти, 6, с. 7], как правило, любая величина X
выражается через ее числовое значение величины (X) и
единицу измерения [X] в виде
Х={Х}-[Х)
75

или когда, более конкретно, измеряемое значение истолко¬
вывается как произведение измеряемого числа — коэффи¬
циента измерения (nierove cislo) и единицы измерения*.
Выражение типа
величина = {числовое значение} [единица измерения]
достаточно неточно, так как определяет величину как не¬
которую функцию, связывающую множество значений эм¬
пирических переменных и множество значений числовых
переменных именно благодаря единице измерения, пред¬
ставляющей также и их интенсивность. Иной характер
имеет сходное выражение, а именно:
значение величины»
= [коэффициент измерения] [единица измерения],
которое характеризует эту функцию для определенного
значения величины. Оба эти выражения скорее всего мож¬
но понимать как символическое выражение либо метриче¬
ских суждений — обобщенно, например, «масса измеряет¬
ся в килограммах», или конкретно, например, «масса тела
А равна 76 кг»,— либо процесса определения числового
значения величины; однако в любом случае их нельзя ис¬
толковывать как дефиниции понятия величины или значе¬
ния последней, в дифениенсах (определяющих частях)
которых фигурирует арифметическая операция перемно¬
жения коэффициента измерения и единицы измерения.
Наше возражение относительно этой, в общем, доста¬
точно распространенной формулировки тем более прило¬
жимо к так называемым формулам размерности анализа
размерностей [ср.: Седов, 130; Брож, 33; Бинко, 25;
Бриджмен, 28; Бекенгем, 34; Кози, 44; Фокен, 70; Кранц
и др., 94], которые характеризуют в знаковом виде либо
величины, выведенные с помощью произведений степеней
основных величин, либо единицы измерения этих вторич¬
ных велпчпн как произведения степеней основных единиц
измерения. Разумеется, и в этом случае арифметические
операции умножения и возведения в степень относятся к
числовым значениям величины или единиц измерения, но
не к метрическим величинам или единицам измерения как
таковым.
Если бы мы интерпретировали приведенные выше фор¬
мулировки verbis expresses — буквально, то позиция, проти¬
* Иначе: X=*[*], где х есть числовое значение величины X,
а [*] — ее размерность. Например, а=2 м/с2; здесь 2 есть х, а (м/с2)
есть [*]. — Прим. ред.
76

воположная нашей, оказалась бы с теоретической и ме¬
тодологической точек зрения в явном противоречии с
качественным характером законов, численные «составляю¬
щие» которых отражают объективные закономерности дви¬
жения материи, и с неизменностью функциональных отно¬
шений между величинами в формулировках этих зако¬
нов, — с тем, что эти формулировки не зависят от того, ка¬
кой вид эти законы имеют в числовом выражении.
Коль скоро мы встречаемся в физике с такими опреде¬
лениями производных величин, как
сила = масса - ускорение,
и нх уравнениями типа
F = ma,	(3.4—1)
мы должны хорошо осознавать, что речь здесь вдет ТОЛЬКО
о знаковых выражениях, а не о дефинициях или числовых
равенствах: символы F, т, а обозначают не числа и не чис¬
ловые переменные, а названия соответствующих величин;
операция умножения не является определяющим призна¬
ком для величины сила — она выражает лишь определен¬
ное функциональное отношение.
В данном случае речь идет о наглядном представлении
результата ньютоновского второго закона движения: «Ус¬
корение тела прямо пропорционально воздействующей на
него силе и обратно пропорционально его массе». В соот¬
ветствии е этим законом получается, что ускорение, кото¬
рое получило тело, тем больше, чем больше примененная
к нему сила и чем меньше его масса. Это функциональное
отношение можно выразить формулой
а — F/m,	(3.4—2)
где а означает ускорение, F — силу, am — массу. Следова¬
тельно, если мы знаем числовое значение силы F, с кото¬
рой мы действуем на данное тело, и числовое значение его
массы т, то по формуле (3.4—2) мы можем вычислить
числовое значение ускорения а как их частное.
Результат (3.4—1) выражает аналогичное функцио¬
нальное отношение: сила, примененная к телу, прямо про¬
порциональна его массе и его ускорению. Следовательно,
если мы знаем числовое значение массы тп п числовое зна¬
чение ускорения о, с которым данное тело приводится в
движение, то можно установить числовое значение силы F,
которая на него воздействует, перемножая значения ль
и а. При этом, разумеется, мы всегда предполагаем, что
77

коэффициенты измерения рассматриваемых величин вы¬
ражаются с помощью единиц измерения, принадлежащих
к определенной внутревне согласованной системе единиц
измерения.
Итак, когда мы говорим об умножении, делении и т. д.,
эти арифметические операции относятся только к число¬
вым значениям величин или единиц измерения. Абстраги¬
роваться от именования пли «размера» метрических вели¬
чин и рассуждать только об их интенсивностях, представ¬
ленных определенными кардинальными числами, возмож¬
но лишь потому, что нам заранее известны функциональ¬
ные отношения между рассматриваемыми величинами, п в
то же время мы предполагаем определенную систему ос¬
новных и производных единиц измерения.
Разумеется, на практике каждый физик это хорошо
осознает. Однако в теории такой неточный способ выраже¬
ния недопустим, так как легко может привести w чеверной
интерпретации роли физических законов, понятия величи¬
ны, отношения величин к числам и' т. д. Эти некорректно¬
сти действительно наблюдаются, особенно в так называе¬
мой формальной теории измерений, отстаиваемой многими
методологами, занимающимися проблемами измерения в
бихевиориетнческо-социологическом плане [Кранц, 94,
е. 460]. Акцентируя внимание на структуре величин, оно
причисляют к метрическим величинам также и безразмер¬
ные действительные числа и в качестве первичного поня¬
тия такого рода структуры вводят хорошо известную опе¬
рацию умножения, которая, по их предположению, облада¬
ет теми же формальными свойствами (замкнута относи¬
тельно той области, на которой определена, коммутативна
и ассоциативна), что и обычная операция умножения в
арифметике; при этом не объясняется, чем эти в концепту¬
альном отношении структурно сходные операции отлича¬
ются друг от друга. Такое чисто формальное истолкование
понятия величины но многим причинам неприемлемо: оно
игнорирует качественное различие между числами п мет¬
рическими величинами, стирает существенное различие
между математикой и опытными науками, искажает ха¬
рактер арифметических операций и. что самое главное, яв¬
ляется типичным выражением неопозитивистского редук¬
ционизма.
Если мы, строго говоря, можем применять числовые
операции только к числовым значениям величин, а следо¬
вательно, только к «размерам» — абсолютным значениям,
модулям — единиц измерения, но не к величинам и единп-
78

цам измерения как таковым, то мы должны соответствую¬
щим образом уточнить общепринятые формулировки за¬
кона инвариантности относительно замены единицы и за¬
кона преобразования размерности единицы, непосредст¬
венно из пего следующего [ср., например: Бунге, 36, II.
с. 226].
По закону инвариантности относительно замены едини¬
цы, иначе говоря, относительно замены единицы размерно¬
сти, числовое значение некоторой величины не зависит от
того, в каких единицах, или, точнее, в каких единицах оп¬
ределенной размерности, мы его измеряем. Этот закон опи¬
рается на ту предпосылку, что свойства п отношения ре¬
альных предметов существуют объективно п не зависят от
их концепту а лпзацип, в данном случае от выбора единицы
размерности измерения — либо в той же, либо в разных
системах единпц измерения.
Если, исходя из предпосылки объективности сильно
количественных аспектов метрических величин, сравнить
два разных числовых значения величины одного и того же
наименования, то мы увидим, что соотношение этих число¬
вых значений, выраженное неким неименованным числом,
постоянно. Следовательно, отношение размерности двух
величин имеет «абсолютное» значение, не зависящее от
размерности выбранной едиипцы измерения.
Эта инвариантность непосредственно очевидна, когда
числовые значения выражаются с помощью однородных
единиц одной и той же величины. Для такого рода гомо¬
генных величин — в той мере, в какой они измеряются
единицами одной и той же размерности, — инвариантность
относительно замены единицы можно в общем виде выра¬
зить как постоянное отношение параметров размерности*
п/п' = К,	(3.4—3)
или, более явно,
kjlk'i^K,	(3.4-4)
где к и к' суть параметры размерности, а ; означает еди¬
ницу той же размерности**.
* Например,
1 пуд 2 пуда 16 кг	22 кг
1 фунт 2 фунта 400 г	800 г
ж т. д. — Прим. ред.
** Здесь к} имеет тот же смысл, что и запись {X} [X] в формуле
на с. 75. Применив ее более естественный вариант г[*], мы получа¬
ем для (3.4—4) равенство «!*]/*'[*]=£. — Прим. ред.
79

Б сущности, каждое числовое значение метрической
величины можно трактовать как отношение числа — пара¬
метра размерности — к основному «размеру» единицы из¬
мерения 1:
ЬЦ\ 1 = К.	(3.4-5)
Конечно, инвариантность, основанная на сохранении
отношения чисел, имеющих одинаковое именование, три¬
виальна, Намного более важна инвариантность числовых
значений гомогенных величин, измеряемых с помощью
единиц разной размерности, поскольку эта инвариантность
позволяет сравнивать друг с другом не только отношения
двух числовых значений, но и числовые значения метриче¬
ских величин. Для этого случая закон инвариантности
можно сформулировать, согласно (3.4—4), в виде
kjlk'j = hj'/h'j' = К,	(3.4—6)
где ft, У, h, h' суть параметры размерности, а /, /' — еди¬
ницы разной размерности. Из формулы (3.4—6) непосред¬
ственно следует равенство числовых значении метрических
величин, измеряемых в разных единицах:
kj = h}’,	(3.4—7)
или
(3.4—8)
Из этих равенств следует, разумеется, и равенство отноше¬
ний, инвариантно выражаемых в единицах той же размер¬
ности.
Из равенства (3.4—7), так же как из равенства
(3.4—8), можно вывести закон замены значения едини¬
цы в виде
h -ft (///'),	(3.4-9)
согласно которому справедливо следующее: если число¬
вое значение ft некой величины выражается в единицах
размерности /, то числовое значение h этой величины,
выражаемое в единицах размерности будет равно ft-
нратному коэффициента (///'). Этот коэффициент, позво¬
ляющий переводить числовые значения величин, выра¬
женные в единицах одной системы измерения, в числовые
значения измерений, производимых в единицах другой
системы, или взаимно переводить основные, мультипли¬
кативные пли. парциальные, главные ж дополнительные
единицы в одной и той же системе друг в друга, называ¬
ется козффициентом замены (преобразования). Коэффи-,
80

циент преобразования, например, для перевода значеппй
величины в сантиметрах в значения в метрах равен
1/100, для перевода секунд в минуты он равен 1/60 и т. п.
Б общем, можно сказать, что числовое значение мет¬
рической величины, согласно этому закону, обратно про¬
порционально размерности единицы измерения. Если мы
заменим размерность основной единицы каким-нибудь
числом, кратным р, то каждое числовое значение мы дол¬
жны заменить его обратной величиной, 1/р; п наоборот,
если мы заменим числовое значение данной величины на
какое-то кратное ей число, то и размерность соответству¬
ющей единицы измерения должна быть изменена на об¬
ратную. Следовательно, если для измерения какой-то ве¬
личины мы выберем большую единицу, то ее числовое
значение будет выражено меньшим числом, а если мы
выберем меньшую единицу, то она будет выражаться
большим числом.
Оба эти закона действительны в первую очередь для
единиц измерения основных величин. Поскольку произ¬
водные величины определяются с помощью этих основ¬
ных величин, что напоминает отношения основных и про¬
изводных единиц измерения, эти законы можно опосредо¬
ванно применить и к последним, а тем самым — и ко всем
метрическим величинам.
Учитывая инвариантность функциональных отноше¬
ний между величинами и объективность количественных
аспектов величин — предпосылку обоих этих законов, —
можно оценить подлинный смысл нередко повторяемого
утверждения, согласно которому единицы измерения ос¬
новных величин устанавливаются произвольно, условно,
их выбор есть дело чисто конвенциональное, не более чем
вопрос практического удобства, не имеющий какого-либо
теоретического значения [ср. например: О’Рейли, 113, с. 748;
Джефрис, 87, с. 838], и т. п. В какой мере обоснована
эта точка зрения, оправдываемая разного рода аргумен¬
тами, и прежде всего ссылкой на отсутствие объективно¬
го значения единиц в случае непрерывных метрических
величин, произвольность материальной единицы измере¬
ния и наличие разных систем измерений? Ответ, оче¬
видно, зависит от того, как мы интерпретируем понятие
конвенциональности: как обоснованный отбор или как
чисто субъективный выбор.
Единицы измерения величин, коль скоро последние
представляют собой непрерывный феномен, действитель¬
но выбираются конвенционально, но отнюдь не произ¬
5 Зак. № 1102
81

вольно. Их отбор есть выражение концентрированно її че¬
ловеческой практики, теоретических размышлений и не¬
устанного процесса стандартизации. Конвенциональность
.при выборе единиц измерения касается не их качествен¬
ных, а единственно сильно количественных аспектов:
конвенционально выбираются только значения основных
■единиц измерения. Это обусловливается тем, что в непре¬
рывных величинах — в отличие от величин дискретных—
нельзя обнаружить далее неделимые части, которые одно¬
значно характеризовали бы значение единицы такой-то
размерности. На этом основании иногда различают «ис¬
кусственные» единицы измерения, использование кото¬
рых, однако, преобладает, от так называемых естествен¬
ных единиц некоторых величин в квантовой и атомной
физике, к которым причисляются и основные физические
константы, такие, например, как гравитационная посто¬
янная, постоянная Планка и т. п.
Конституированию единиц измерения в историческом
и систематическом аспектах предшествуют практически
проводимые операции измерения с помощью стандартных
измерительных инструментов, которые обязаны быть
константными, легко воспроизводимыми и должным обра¬
зом точными. Если бы эти условия не выполнялись, то
мы не могли бы практически использовать эти инстру¬
менты как объективные средства сравнения. Это следует
принимать в расчет и при рассмотрении определения
единиц измерения основных величин, основанном на объ¬
ективно воспроизводимых природных процессах и явле¬
ниях, напрпмер длине волны некоего источника света,
периоде обращения Земли вокруг Солнца и т. п.; так
же следует поступать и при постепенном уточнении
значения основных единиц измерения и их стандарти¬
зации.
Вспомшш историю единиц измерения длины С ПОМО¬
ЩЬЮ различных материальных мер (папример, стопы,
пальца, локтя); определение понятия метра как
1/40000000 части длины парижского меридиана; констру¬
ирование стандартного метра и дефиницию соответству¬
ющей единицы измерения как «расстояния между двумя
рисками на международном эталоне метра, хранящемся в
Международном бюро мер п весов во французском городе
Севре, измеряемого при температуре 0°С и давлении
1,01325 - 10s паскалей», и, наконец, новейшее, конвенцио¬
нально уточненное определение, согласно которому метр
есть длина, «равная 1650 763,73 длины волны в вакууме
S2

излучения, соответствующего переходу между энергети¬
ческими уровнями 2р10 и 2d5 атома криптона 86».
Хотя это последнее определение понятия метра и бы¬
ло одобрено 11-й Генеральной конференцией по мерам и
весам, состоявшейся в 1960 г., его конвенцнональность не
является ни произвольной, ни возникшей в результате
чисто практических изысканий, — это итог очень сложных
теоретических концепций Если бы мы могли по жела¬
нию вводить разные единицы измерения, то не было бы
необходимости различать ни измерения в широком п
узком смысле слова, ни неметрические и метрические ве¬
личины. Теория внефнзического измерения не столкну¬
лась бы с принципиальной проблемой, как поддержать
распространение измерений без введения некой, пусть
даже произвольно выбранной, единицы измерения. Оче¬
видно, существенно не столько то, какое значение вели¬
чины мы выберем в качестве единицы измерения, сколько
то, что ее можно выбрать как основу сравнения сильно
количественных аспектов, Б результате числа, приписы¬
ваемые величине, будет возможно использовать как кар¬
динальные. Следовательно, прежде чем ввести единицу
измерения, мы должны знать, что, собственно, мы хотим
измерить и можно ли это измерить вообще.
Выбор основных единиц измерения зависит не только
от возможности их объективации с помощью какой-то
материальной меры, но и от уяснения теоретических от¬
ношений между основными и производными величинами.
Для единиц измерения производных величия по практи¬
ческим соображениям также можно конструировать ех
post различные материальные единицы измерения; теоре¬
тически, однако, это пзлишне, поскольку эти величины —
равно как единицы их измерения — являются в принци¬
пе определяемыми понятиями. Ответ на вопрос, какие ве¬
личины являются основными, а какие — производными,
какие единицы измерения можно считать первичными, а
какие — определяемыми, ни в коем случае не может но¬
сить произвольного характера. Ведь, очевидно, невозмож- 11 По-видимому, если не привлекать обширные теоретические
построения физики, уяснению смысла понятия метра не слишком
помогут упоминания о том, что крпптон 86 есть изотоп криптона
с числом'нуклонов 86, что 2р<° и 5d3 суть спектроскопические обо¬
значения соответствующих энергетических уровней атома и что
соответствующее излучение относится к красной части светового
спектра и имеет длину волны Я=605,7802 ем (нанометров, т. е.
10-*м).
6*
83

яо измерить площадь раньше, чем мы сумеем измерить
длину, так же как нельзя измерить скорость, если в на¬
шем распоряжении не имеется единицы измерения дли¬
ны и времени. Следовательно, если мы измеряем разные
величины, необходимо исходить из того, что некоторые из
них объективно проще и их можно измерять непосредст¬
венно, независимо от измерения других величин, тогда
как другие более сложны н предполагают уже измерение
тех самых проще измеряемых величин.
Таким образом, выбор единиц измерения зависит от
объективных отношений между разными величинами, от¬
раженных теоретически двумя способами: системой основ¬
ных и производных величин и системой соответствующих
единиц измерения.
Образование системы величин есть сложный историче¬
ский процесс познания закономерностей объективной
реальности, в ходе которого человеческая мысль восходит
от низших форм движения материи к высшим формам
движения. Процесс расширения знания, ведущий науку
от более простого к более сложному, непосредственно про¬
является в развитии теоретической систематизации путем
упорядочения «согласно внутренне присущей им после¬
довательности», и в классификации наук, «из которых
каждая анализирует отдельную форму движения ели ряд
связанных между собой и переходящих друг в друга
форм движения» [Энгельс, 58, с. 564—565]. Эта процедура
характерна и для каждой отдельной научной дисципли¬
ны. Поэтому отнюдь не случайно, что в развитии физи¬
ки сначала систематически разрабатывалась кинематика
и только потом — динамика, что именно механика, объ¬
единяющая эти частные дисциплины, стала базой, на ко¬
торой могли быть построены последующие разделы физи¬
ки — теория теплоты, например. Именно поэтому основ¬
ными единицами измерения в физике стали различные
значения величин длины, времени и массы.
С единицами измерения этих основных величин мы
встречаемся в каждой связной, теоретически значимой
и практически удобной системе единиц: в трехмерной
системе С ГС — сантиметр, грамм, секунда, или в семи¬
мерной Международной системе единиц СИ — метр, кило¬
грамм, секунда, ампер, кельвин, кандела, моль. При огра¬
ничении только этой или другими десятичными система-
ми ‘, легко переводимыми друг в друга, не имеет 11 Например, системой мер МКСА — метр, килограмм, секунда,
ампер, которая входит как часть в систему СИ.
S4

теоретического и практического значения вопрос о том,
какую основную единицу длины мы выберем — санти¬
метр или метр, что мы установим в качестве основной
единицы массы — грамм или килограмм.
Только в этом смысле можно считать выбор единицы
измерения произвольным. Однако конвенциональности в
подобном выборе ничуть не больше, чем при выборе од¬
ного из синонимичных слов, которые имеют одинаковое
значение либо в одном п том же языке (как, например,
слова «тождественность» и «идентичность» в русском и
чешском языках), либо в разных языках (например, сло¬
ва «pes», «собака», «Hund», «dog», «chieu» в чешском,
русском, немецком, английском и французском языках).
Разумеется, главные единицы производных величин в
каждой согласованной системе измерений всегда одно¬
значно детерминируются выбором основных единиц
фундаментальных величин.
Приняв во внимание, что основные единицы можно
считать исходными понятиями системы измерения, а
главные или общие {но производные) единицы — поня¬
тиями определяемыми, мы обнаруживаем, что произволь¬
ность выбора основных единиц в точности подобна выбо¬
ру исходных понятий в разных, но эквивалентных друг
другу аксиоматических системах одной и той же теории.
Но если сравнить аксиоматические системы с совокупно¬
стями величин и, следовательно, считать основные вели¬
чины подобными первичным понятиям аксиоматических
систем, а производные величины — понятиям, определяе¬
мым при аксиоматизации на основе первичных, то ока¬
жется, что конвенциональность аксиоматики намного боль¬
ше, чем в случае системы единиц, где она ограничива¬
ется естественным существованием объективных функ¬
циональных отношений. Между тем эти отношения необ¬
ходимо учитывать при определении производных величин,
в силу чего анализ этих отношений — отношений, пред¬
определяющих последовательно организованную структу¬
ру системы измерений, — следует производить, прежде
чем мы будем в состоянии установить размерности (veli-
kosty) главных (общих) единиц с помощью базовых, ылп
основных, т. е. таких, в отношении которых мы должны
предполагать, что они независимы друг от друга и пото¬
му несводимы друг к другу. Как правило, такого рода
анализ проводится на основе установления зависимостей
между значениями (rozmerem) производных и основ¬
ных величин и знание размерности последних позволяет
85

придавать размерности первых вид «произведения степе¬
ней» основных размерностей основных величин. При этом
исходят из требования, чтобы величины одной и топ же
размерности измерялись в одних и тех же единицах.
Разумеется, это возможно только тогда, когда разные
наименования величины можно свести к определенному
значению основной пли производной размерности. Хотя
ото условие по практическим соображениям желательно,,
оно тем не менее неосуществимо, причем не только по
причинам, диктуемым историей науки (с чем приходит¬
ся мириться), по и в силу теоретических соображений.
По нашему мнению, следует проводить различие меж¬
ду понятиями именования, номинации и их значениями
п размерностями. Понятие размерности, о котором мы уже
говорили, понимается в различных, но сходных значенн¬
ях. Оно истолковывается либо как выражение отноше¬
ния между простыми (фундаментальными) и сложными
(производными) величинами (по Дж. К. Максвеллу), ли¬
бо как выражение отношения числовых значений произ¬
водных величин к числовым значениям базовых величин
относительно замены размерности единицы измерения (no-
ш. Фурье), либо же как выражение зависимости произ¬
водных единиц измерения от базовых единиц основных
величин (по Г. Гельмгольцу).
Теоретически эти концепции соединяются в нечто еди¬
ное либо путем подчеркивания качественных аспектов
метрических величин (и тогда понятие меры может быть
связано с понятием наименования), либо —что происхо¬
дит чаще — посредством выделения их сильно количест¬
венных аспектов, и тогда под мерой понимается числовое
представление величин или единиц намерения. Практиче¬
ски же понятие размерности используется в анализе раз¬
мерностей для формулировки зависимости между произ¬
водными и основными величинами или главными и основ¬
ными единицами в рамках одной и той же системы изме¬
рений либо при переводе единиц измерения из одной
системы в другую. В обоих случаях предполагается, что
производные величины, определяемые с помощью основ¬
ных — одного и того же вида, а следовательно, одной п
той же меры, — точно так же как соответствующие им
единицы измерения, должны быть (насколько это вооб¬
ще возможно) наименованы одинаковым способом,
В любом случае, как нам представляется, следует в
содержании понятия меры подчеркнуть его качественную
спецификацию. Оно решительно не может рассматривать-
86

■ся как чисто количественная компонента метрических
величин [ср. например: Флэшнер, 69, с. 146 и сл.]. Точно
так же некорректно, как мы полагаем, отождествлять это
понятие и понятие наименования, номинации.
В теории измерении, метрологии, размерность в самом
■общем виде выражается символом соответствующей вели¬
чины в квадратных скобках, например [v] —для скорости,
.[а] — для ускорения, [F] — для силы. Для различения слу¬
чаев, когда мы хотим выразить значение производной
величины как таковой и когда нас больше интересует
■определение значения соответствующей единицы измере¬
ния, в анализе размерностей используются две разные
■формулы размерности. Значение производных величин
выражается с помощью соответствующих символов основ¬
ных величин L (длина), М (масса), Т (время) и т. д,1:
например, размерность давления представляется форму¬
лой
[р] = L_1MT‘a.
Значение единицы измерения представляется с помощью
символов основных единиц данной системы измерений, на¬
пример
[р] =m“1kgs-a,
что также соответствует определению главной единицы
измерения этой величины: Паскаль (Па) есть давление,
с которым сила в один Ньютон (Н) равномерно прило¬
жена к поверхности площадью 1 м2, перпендикулярной к
направлению силы.
Для разъяснения принципов анализа размерностей вос¬
пользуемся предыдущим рассмотрением. В равенстве
(3.4—1), как легко видеть, фигурирует только один сим¬
вол основной величины, а именно т (масса). Поэтому мы
должны исследовать, в каком функциональном отноше¬
нии находится величина а (ускорение) к основным вели¬
чинам— длине и времени. Так как скорость в равномер¬
но ускоренного движения прямо пропорциональна време¬
ни, имеет силу равенство
v=at,	(3.4—10)
из которого непосредственно следует, что
a = u/f.	(3.4—11)
Хотя в этом уравнении уже появляется знак новой ос¬
новной величины (і), этого еще недостаточно, пока мы
1 Формулой размерности длины является выражение [1]=L.
87

не выясним функциональное отношение величины V к ве¬
личинам времени и длины. Учитывая, что скорость зави¬
сит от пути s, который некоторое тело проходит за вре¬
мя t, мы получим
v = S/г.	(3.4—12)
Пусть s трактуется как вид величины типа длины I. От¬
сюда для скорости v можно установить следующую фор¬
мулу размерности:
[vI = L/T = LT_1.	(3.4—13)
С помощью этой формулы мы можем выразить значение
величины а:
[a]=LT'1/T = LT-2	(3.4—14).
н значение величины F:
[F]=LMT-2,	(3.4—15):
записанной в обычном лексикографическом упорядочении
(вместо MLT-2). В системе единиц измерения СИ значе¬
ние единицы силы выражается формулой размерности:
[F] = mkgs-2,	(3.4—16)
что также отвечает определению главной единицы изме¬
рения силы1 : ньютон (Н) есть сила, которая придает
телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с2. В системе СГС'
формула размерности (3.4—15) осталась бы, разумеется,
без изменений. Однако вместо формулы (3.4—16) для
размерности соответствующей единицы измерения мы
должны были бы использовать формулу
[F] = cmgs'2,	(3.4—17)
а также изменить наименование единицы измерения.
В системе единиц измерения СГС главной единицей силы
является 1 дина (дин). Коэффициент пересчета для этих
двух систем единиц измерения равен 105, так что
1 дина=10‘5Н, или 1Н=105дин.
Итак, если мы знаем формулу размерности некоторой
производной величины, например силы, и знаем, в какой
системе единиц измерения выражается ее единица мы
1 Иногда в качестве дополнительной внесистемной единицы
сплы фигурирует также 1 килопонд (кп), или килограмм-сила —
сила 9,806 55N точно. Она определяется как гравитационная сила,
действующая в вакууме на тело массой 1 кг в условиях нормаль¬
ного гравитационного ускорения (g„ = 9,806 65 м/с2).
88

можем непосредственно установить размерность главной
единицы. Это отношение справедливо, разумеется, и для
обратного отношения между названными размерностями.
В то же время формулы размерности позволяют нам пе¬
реводить каждое числовое значение измеряемой величи¬
ны из одной системы измерения в другую. Итак, значе¬
ние производных величин инвариантно относительно раз¬
личных систем единиц, измерения, если в них главные
единицы согласованно определяются с помощью базовых
единиц той же основной размерности. Инвариантность
значения производных величин является непосредствен¬
ным результатом размерной инвариантности физических
законов, обусловленной тем, что функциональные отноше¬
ния между физическими величинами, описываемыми эти¬
ми законами, не зависят от того, как мы, пользуясь еди¬
ницами измерения, представляем их в числах.
Однако понятие размерности соотносительно с опре¬
деленной системой основных величин уже этим отличает¬
ся от именования, связанного с эмпирическими перемен¬
ными метрических величин в самом общем виде. Имено¬
вание величин — это начальный этап в измерении вели¬
чины, так как он не зависит от того, как мы характери¬
зуем ее в терминах размерностей анализа размерностей;
эта характеристика всегда вторична. Если бы мы имели
в своем распоряжении две системы с различными основ¬
ными величинами, то при анализе размерности одной и
той же производной величины мы пришли бы к разным
формулам размерности, а тем самым — и к разным глав¬
ным единицам, хотя в остальном мы могли бы и дальше
использовать для нее то же наименование. Например, если
бы мы ограничили систему величин механики только
длиной и временем [Седов, 130, с. 13], то массу мы дол¬
жны были бы расценивать как производную величину
размерности:
[гп] = М =Ь3ТЛ	(3.4—18)
В результате должно было бы измениться и значение
других производных величин. Для силы, например, мы
получили бы формулу размерности
[F]=L4T-4;	(3.4—19)
определения их единиц измерения также должны были
бы измениться. В различных системах основных единиц
формулы размерности величины одного и того же наиме¬
нования будут выражаться по-разному: они будут содер¬
89

жать другое количество или другой вид независимых
основных величин и иметь иной вид. В системе основных
величин — длина, масса, время и сила электрического
тока, LMTI, содержащейся как часть в Международной:
системе единиц измерения СИ, и в системе основных ве¬
личин — длина, масса, время и электрический заряд,
LMTQ, одинаковые величины имеют разную размерность.
Так, например, напряженность электрического поля выра¬
жается формулами размерности LMT"2Q_I и LMT~3I_I
а электрическая поляризация — формулами L~2Q и L~2TL
Разумеется, различные величины выражаются разными
формулами размерности, например разность электриче¬
ских потенциалов — формулой L2MT"2Q“1, а поток маг¬
нитной индукции — формулой L2MT~2I_1.
Необходимость различения наименования и размерно¬
сти величин и единиц измерения можно обосновать так¬
же следующими аргументами.
Основная размерность L относится к величинам очень
разных наименований: не только к длине, но и к высоте,
ширине, глубине, пути, расстоянию, фокусному расстоя¬
нию, коэффициенту трения качения и т. д. Однак о эти
величины отражают разные качественные аспекты объ¬
ективно существующих предметов и явлений; с теорети¬
ческой точки зрения они имеют также разные значения,
Б системе СИ существуют производные величины раз¬
ного наименования, которые, хотя и измеряются разными
главными единицами, тем не менее имеют одинаковую
размерность. Например, момент силы, измеряемый в нью-
тонметрах, теплота, работа и энергия, измеряемые в джо¬
улях, имеют одинаковую размерностьL2AIT-2. Разли¬
чие между этими величинами заключается в том, что ко¬
личество теплоты и работа являются скалярными вели¬
чинами, тогда как момент силы есть величина векторная.
Следовательно, формулы размерности не отражают суще¬
ственного различия между скалярными и векторными ве¬
личинами.
Если применить формулы размерности к так называе¬
мым относительным величинам, т. е. к величинам, кото¬
рые выражаются в виде отношения двух величин одной
и той же размерности, например к относительному удли-
1 Как давление и механическое напряжение, измеряемые в пас¬
калях, так и модули упругости при растяжении п объемной упру¬
гости, измеряемые в ньютонах на квадратный метр, имеют одина¬
ковую размерность LMT-2.
90

шению, относительной диэлектрической проницаемости,
относительной молярной массе и т. д., а также к коэффи¬
циентам, например к коэффициенту трения скольжения
и особенно к плоским и телесным углам, то можно уста¬
новить, что, собственно, никакой размерности они не име-
;ют. Поскольку любой плоский угол а действительно
есть отношение двух одинаковых длин hlh, его значение
можно выразить формулой размерности
[a]*=i- = L°,	(3.4-20)
или, если символ L понимается как число (что не очень
■отвечает существу дела, о чем мы уже говорили} — фор¬
мулой размерности
[a]=-^ = I.	(3.4-21)
Разумеется, если говорить более точно, эта формула отао-
‘Ситея к единице размерности соответствующей величины
(velikost).
В этом случае плоский угол — равно как все осталь¬
ные относительные величины — принимается за безраз¬
мерную величину и относительно его единицы размерно¬
сти допускается, что она равна 1. Отсюда иногда выво¬
дится заключение, что эти безразмерные величины явля¬
ются всего-навсего числами [Коштял, 92, с. 13]. Разделе¬
ние на размерные, или именованные, и безразмерные ве¬
личины объясняется тем, что числовые значения размер¬
ных величин зависят от определенной системы единиц
измерения, а числовые значения безразмерных величин
от них не зависят [Седов, 130, с. 10].
Существование безразмерных величин и единиц их
измерения с размерностью 1 всегда являлось достаточно
важной проблемой для всей концепции анализа размер¬
ностей. Из определения безразмерных величин с очевид¬
ностью следует, что для всех этих величин можно, вооб¬
ще говоря, установить единую единицу измерения, выра¬
женную в неименованном числе 1, причем независимо от
любой системы метрических величин. Однако это число¬
вое значение можно получить и для каждого отношения
двух одинаковых чисел. Но тогда возникает вопрос, име¬
ет ли вообще смысл говорить о единицах измерения без¬
размерных величин; ведь это всегда лишь неименованное
число 1. Следовательно, если число 1 является единицей
измерения для всех безразмерных величин и для всех
91

дробей, имеющих одинаковые числитель и знаменатель,
то мы должны признать, что все эти сущности имеют
одинаковую меру или соответственно одинаковое наимено¬
вание и что, следовательно, они относятся к одним и тем
же качественным аспектам предметов, явлений и про¬
цессов объективной реальности.
Однако мы не избежим аналогичного — и в той же
мере неприемлемого — следствия, если займем противопо¬
ложную позицию и станем считать, что безразмерные ве¬
личины не имеют, собственно говоря, никакой единицы
измерения в подлинном смысле этого слова. Такая альтер¬
натива, однако, противоречит тому факту, что для углов
используются разные единицы измерения. Для величин
ПЛОСКОГО ш телесного углов в системе СИ при этом уста¬
новлены дополнительные единицы измерения — радианы
(рад) и стерадианы (ср). Радиан определяется как
«плоский угол, ограничиваемый двумя радикальными до-
лулучами, отсекающими на окружности дугу, равную по
длине ее радиусу», стерадиан определяется как «телесный
угол с вершиной в центре сферы, вырезающей на ней фи¬
гуру, площадь которой равна квадрату радиуса сферы».
Если бы мы захотели преодолеть это противоречие тем,
что — несмотря на явное различие этих единиц измере¬
ния—интерпретировали бы их всего лишь как неименован¬
ное число 1 (исходя из четких формулировок прежних
определений), мы должны были бы принять и следствия
приведенного выше положения, согласно которому все,
в сущности, имеет одинаковую меру.
Выхода из этой дилеммы не существует и в том слу¬
чае, если единицы измерения размерных величин рас¬
сматриваются в качестве какой-то арифметической еди¬
ницы [Штилле, 146, с. 34], В противном случае мы дол¬
жны допустить, что некоторые метрические величины, т.е.
размерные величины, имеющие именованные числовые
значения, измеряются с помощью единиц определенной
системы измерений, тогда как другие, безразмерные, ве¬
личины, имеющие неименованное числовое значение 1,
измеряются этой арифметической единицей, не зависящей
от какой-либо системы единиц. Мы должны были бы, сле¬
довательно, признать, что некоторые метрические величи¬
ны, вообще говоря, являются не величинами, а только
неименованным числом 1. В этом случае было бы умест¬
нее говорить просто о размерных величинах и безразмер¬
ных числах. Коль скоро мы хотим сохранить разделение
величин на размерные и безразмерные, нам надо стать на
S2

противоположную позицию и относить к безразмерным
величинам не только число 1, но и все действительные
числа. Если последние рассматривать в качестве безраз¬
мерных метрических величин, то нет необходимости де¬
лать различие между числами и величинами. Ясно, одна¬
ко, что такое решение нельзя считать удовлетворитель¬
ным.
Не претендуя на исчерпывающее изложение теорети¬
ческих проблем, относящихся к метрологии п размерно¬
стям, и прежде всего к вопросу о том, почему, собствен¬
но, физические законы инвариантны относительно раз¬
мерностей единиц измерения заключенных в них величин,
мы все же можем на основании предыдущего изложения
вывести заключение, что многие трудности отпадут, если
мы будем последовательно различать именование (номи¬
нацию) и размерность метрических величин и единиц из¬
мерения.
Номинация является существенным признаком вели¬
чин, отличающим их от чисел. Она относится к эмпири¬
ческим переменным и отражает единство их качествен¬
ных и количественных аспектов, и прежде всего их про¬
явление во взаимных функциональных отношениях, обра¬
зующих также объективную основу для формулировки
законов. В отличие от более общего понятия номинации
понятие размерности носит намного более специальный,
можно даже сказать, более технический характер. Оно
введено только в связи с определенной системой основ¬
ных и производных величин или в связи с соответствую¬
щей системой единиц измерения. Первоначально оно
выражает теоретически обоснованный отбор основных ве¬
личин и отношение выводимости, существующее в дайной
системе величин между производными и основными вели¬
чинами. Во вторую очередь это понятие представляет
аналогичные отношения между их единицами измерения.
С описанной точки зрения каждая величина, следова¬
тельно, характеризуется определенным наименованием
независимо от того, является ли она в данной системе
основной или производной величиной, специфицированной
с помощью дольных величин «силы» значения основных
величин, либо определенной простым соотношением вели¬
чин одной и той же размерности. Аналогично обстоит
дело и с единицами измерения. Безразмерные величины,
даже если их единицы измерения представляются числом
1, имеют тем не менее какое-то определенное наимено¬
вание и этим отличаются от чисел. Наименование еднни-
93

цы измерения плоского угла — радиан — отличается от
наименования единицы измерения уровня звукового дав¬
ления— децибела; но оно отличается и от наименования
единицы измерения показателя преломления, которое яв¬
но не указывается; однако их числовые значения выра¬
жаются одинаково.
Точно так же не возникает особых трудностей, если
нам приходится иметь дело с по-разному наименованны¬
ми величинами одной п той же размерности или с одина¬
ково наименованными величинами разных размерностей,
б обоих случаях выраженными с помощью одинаковых
или различных единиц измерения. Этими различениями
п мнимым несоответствием между именованием величин
и единиц измерения, с одной стороны, и их размерно¬
стями — с другой, не опровергается ни инвариантность
размерностей производных величин относительно разных
систем измерения, ни их релятивность с точки зрения
системы основных величин. Понятия наименования и раз¬
мерности, относятся ли они к величинам или к единицам
их измерения, выполняют в теории метрических величин
разные функции, которые, стремясь к простоте, нельзя
отождествлять.
3.5.	Классификация величин
Классификацию величин мы уже упоминали в тон
или иной связи, к примеру в связи с величинами непре¬
рывными п дискретными, метрическими и неметрически¬
ми, физическими и внефизическими, основными и произ¬
водными, размерными п безразмерными, скалярными и
векторными я т. п. Эту классификацию можно дополнить,
подразделив величины на экстенсивные и интенсивные,
аддитивные и неаддитивные, первичные и вторичные. Все
подобные классификации, базирующиеся на разных, часто
весьма близких, а иногда даже одинаковых критериях,
выделяют разнообразные, парно организованные альтер¬
нативные характеристики, оцениваемые с самых разных
содержательных точек зрения и под влиянием существен¬
но различных теоретических позиций. Поэтому трудно
ожидать, что их можно объединить и согласовать таким
образом, чтобы получилась некая содержательно исчерпы¬
вающая, логически корректная и методологически прием¬
лемая таксономия величин.
Для выяснения существенных признаков понятия ве¬
личины в рамках общей теории измерений достаточно
94

рассмотрения обоих главных классификационных уровней
и их взаимоотношений. Если отношения между величи¬
нами исследовать с точки зрения того, представляют ли
они — и если да, то каким образом — единство качествен¬
ных, слабо и сильно количественных аспектов объек¬
тивно существующих сущностей, можно различить мет¬
рические и неметрические, экстенсивные II интенсивные,
аддитивные и неаддитивные величины. Если взаимные
отношения величин рассматривать в рамках определенной
системы величин, то можно различить основные и произ¬
водные, первичные и вторичные, размерные и безраз¬
мерные величины. Некоторые из этих классификаций
содержательно сходны, отличаясь только терминоло¬
гией.
Традиционно классификации такого рода основаны на
различиях экстенсивных и интенсивных величин, но что
их существенно выделяет, так это способы интерпрета¬
ции содержания и распространения понятия интенсивной
величины, которые зависят от разлпчных способов изме¬
рения.
Иногда интенсивные величины отождествляются с ка¬
чественными аспектами, а экстенсивные величины — со
слабо или сильно количественными аспектами. Затем к
интенсивным величинам причисляются как чисто качест¬
венные свойства, например «брненский», которые вообще
нельзя трактовать как величины, так и слабо количест¬
венные свойства, допускающие различение степеней, на¬
пример твердость [Кэмпбелл, 38, с. 283], а следовательно,
п неметрические величины.
Иногда объем понятия интенсивных величин сужается
до понятия неметрической величины. Классификацион¬
ным критерием, позволяющим решать о какой-то величи¬
не, является ли она в этом смысле интенсивной плп экс¬
тенсивной, служит существование единицы измерения:
для интенсивных величин нельзя оправданно установить
какой-либо единицы измерения, в крайнем случае можно
определить только единицу упорядочения. С точки зрения
формальной теории измерении этот критерий соответству¬
ет двум разным допустимым преобразованиям {см. 7.2).
Интенсивные величины — это величины, преобразуя кото¬
рые им можно однозначно приписывать числовые значе¬
ния; преобразования при этом обладают свойством моно¬
тонности. Экстенсивным величинам также можно припи¬
сывать числа, однако в этом случае допустимы только
преобразования подобия (т. е. умножение всех чисел на

положительную константу) [Суппес и др., 155, с. 163,
п сл.].
Объем понятия интенсивной величины трактуется да¬
же еще уже. Хотя для этих величин можно установить
какую-то единицу измерения, но найти для них эмпири¬
чески оправданный и операционально реализуемый экви¬
валент арифметической операции сложения нельзя. По¬
скольку в этой интерпретации интенсивные величины
образуют специфический подкласс метрических величин,
а именно нс аддитивных метрических величин, иногда в
этом случае говорят о так называемых неэкстенсивных
(иля пнэкстенспвных) величинах. Из этой концепции
следует, что экстенсивные величины отождествляются с
аддитивными, а неэкстенсивные — с неаддитивными ве¬
личинами.
По мнению Кэмпбелла, различение интенсивных и экс¬
тенсивных величин связано с дихотомией основных и про¬
изводных величин; тем самым еще больше увеличивается
многозначность используемых понятий. Такое соединение
двух концептуально различных уровней классификации не
носит органического характера: в одном случае оно опи¬
рается на критерий единицы измерения и эмпирической
реализуемости операции сложения, в другом же — на вза¬
имосвязь сводимости в определяемой системе основных и
определяемых понятий; в данной позиции отсутствует
четкость и присутствует противоречивость. Дело в том,
что Кэмпбелл, с одной стороны, провозглашает, что меж¬
ду основными и производными величинами существенного
и строгого различия не существует, и считает общепри¬
нятым, будто, несмотря на важные исключения, фунда¬
ментально измеримые величины являются количествами,
тогда как производно измеримые —качествами {Кэмпбелл.
38, с. 348; 39, с. 14]. С другой стороны, в связи со своей
концепцией фундаментального и производного измерений
он широко анализирует различие между основными (фун¬
даментальными) и производными величинами и стремит¬
ся пайти доводы в пользу того, почему в конечном счете
в множестве величин необходимо выделять некоторое под-
мнгжество фундаментальных величин [ср. Кэмпбелл, 38,
с. 277 и сл., 346 и сл.; 39, с. 26, 101 и ел.]. Связующим
звеном между обеими этими позициями является оценка
роли аддитивности в процессе измерения, но при изло¬
жении этой проблемы заключения Кэмпбелла недостаточ¬
но последовательны.
С философской точки зрения это противоречие можно
96

охарактеризовать как дилемму, требующую выбора меж¬
ду операционалистским подходом к экспликации измери¬
тельных процедур и нанвно-матерпалистическим отноше¬
нием к вопросу о топ, при каких эмпирических услови¬
ях можно с уверенностью утверждать, что приписывае¬
мые числовые выражения охватывают количественные
аспекты измеряемых объектов.
Для операционалистской концепции измерений, кото¬
рая игнорирует объективные предпосылки и теоретиче¬
ские доводы, дающие право принимать в данной системе
величин некоторые из них в качестве основных, а дру¬
гие — в качестве производных, между обоими типами
величин никакого существенного различия не существует.
Хотя эта релятивизация и может быть операционально
обоснована возможностью измерения многих величин —
или непосредственно («фундаментально»), или с помо¬
щью измерения других величин (т. е. опосредованно, про-
изводно),—она несовместима с теоретической конструк¬
цией физики, в которой эта классификация пока еще при¬
меняется. Кроме того, она вступает в противоречие с тем,
что различение основных и производных величин в каж¬
дом случае имеет принципиальное значение для построе¬
ния согласованных систем единиц измерения. Одпако
сторонники операционалистской позиции делают упор на
эмпирической интерпретации арифметической операции
сложения, ограничивая тем самым произвольность в при¬
писывании числовых значений в процессе измерения
только выбором единицы измерения, что, несомненно,
выражает стремление к объективному обоснованию изме¬
римости того или иного реально существующего свойства
и к утверждению приоритета природных закономерностей
по отношению к их числовым и теоретическим представ¬
лениям.
Разумеется, трудности, с которыми мы сталкиваемся
при дифференциации различных видов величин, имеют и
свои объективные основания.. Взаимоотношения величин
различных видов в конкретных случаях не всегда одно¬
значны. Многие расхождения во взглядах на вопрос отра¬
жают, естественно, разные теоретические позиции, касаю¬
щиеся главного вопроса: какой объем следует связывать
с понятием измерения. Поэтому не приходится удивлять¬
ся, что к интенсивным величинам, — а их можно интер¬
претировать как выражающие физические состояния
[Брож, 33, с. 17], — причисляются не только твердость
или коэффициент умственного развития, но и раствори¬
7 Зак. № 1102
97

мость, плотность, температура, электрическое напряже¬
ние, напряженность магнитного поля и т. п., что экстен¬
сивные величины иногда различаются, а иногда отожде¬
ствляются с ними — в зависимости от того, как истолко¬
вывается условие аддитивности (см. 8.2).
Согласно нашей концепции—концепции, базирующей¬
ся в первую очередь на дифференциации качественных,
слабо и сильно количественных аспектов всех объективно
существующих объектов и на различении величин и чи¬
сел, — величины можно, в общем, разделить на различ¬
ные подклассы с помощью двух классификационных кри¬
териев.
В зависимости от того, можем ли мы для величин
установить единицы измерения или только единицы упо¬
рядочения (а это объективно обусловлено тем, что неко¬
торые из величин отражают лишь упорядочение интен¬
сивности соответствующего свойства, а другие — также и
его меру), мы различаем на первом уровне классифика¬
ции, как уже говорилось, неметрические и метрические
величины. Согласно критерию эмпирической аддитивно¬
сти, на следующем классификационном уровне мы выде¬
ляем дальнейшие подклассы метрических величин.
Метрические величины, удовлетворяющие условно эм¬
пирической аддитивности без какого-либо ограничения,
будем считать строго экстенсивными. О метрических ве¬
личинах, которые аддитивны только при известных усло¬
виях — таков, например, объем веществ, имеющих оди¬
наковый химический состав, — мы будем говорить, что они
экстенсивны. Метрические величины, которые можно счи¬
тать аддитивными только опосредованно и только при
определенных теоретических предпосылках (примером
может служить температура), мы будем называть квази-
экстенсивпыми.
Мы сознательно не использовали в этой классифика¬
ции многозначный термин «интенсивный», который в од¬
ном из значений совпадает с понятием неметрической
величины, а в другом — с понятием квазиэкстенсивной
величины. По аналогичным соображениям в нашей трихо¬
томической классификации, некоторым образом объеди¬
няющей разделение величин на экстенсивные и неэкстен¬
сивные, аддитивные и неаддитивные, мы не сочли необхо¬
димым выразить явно, в названии отдельных подклассов,
также л их общую классификационную основу — крите¬
рий эмпирической аддитивности.
Говоря об основных и производных величинах, мы
98

должны в первую очередь четко осознать; эту классифи¬
кацию величин нельзя понимать в том же смысле, что
и классификацию разных видов измерений или измери¬
тельных операций (см. 6.2) —классификацию, с которой
мы проводим аналогичное различение фундаментально н
лроизводно измеряемых или измеримых величин, точнее
говоря, фундаментальных и производных измерений, шш
•фундаментальных н производных измерительных опера¬
ций, — хотя к этому легко приводит ие только терминоло¬
гическое сходство, но и существующие взаимосвязи меж¬
ду видами величин и видами измерений.
Какие условия позволяют различать классы основных
я производных величин? В целях проведения соответст¬
вующей классификации Кэмпбелл выделяет следующие
три критерия (Кэмпбелл, 38, с. 277, 346 и сл.]:
І) Способ измерения. Основные величины измеряются
непосредственно (фундаментальное измерение), т. е. неза¬
висимо от предшествующих измерений топ же нли какой-
либо нной или иных величин, т. е. измерение производит¬
ся с помощью некой фундаментальной измерительной
операции; это значит, что для них имеется некоторый
прямой, непосредственный способ измерения; измерение
же производных величин зависит от измерения других
величин.
и)Закон сложения. Для основных величин можно
найти эмпирический эквивалент числовой операции сло¬
жения, а для производных — нет.
iii)	Отношение к законам арифметики. Производные
величины зависят от этих законов, основные — нет.
Иа этих трех критериев самыми важными, хотя и с
известными оговорками, мы считаем два первых, которые
по своей значимости, в сущности, равносильны.
Исходя из этих двух критериев, Кэмпбелл предлага¬
ет «полный список» основных (физических) величин и
разделяет его на две группы. К первой он относит дли¬
ну, время, вес и электрическое сопротивление, а ко вто¬
рой— следующие метрические величины: угол, площадь,
-объем, энергию, массу, момент инерции, количество дви¬
жения, электрическую емкость, электрический ток, элек¬
трическое напряжение (разность электрических потенци-
■алов), электропроводность, поток магнитной индукции и
т. д. Все эти величины аддитивны (измеряются в адди¬
тивной шкале) и могли бы измеряться фундаментальным
процессом измерения, но в действительности таким обра¬
зом измеряется только первая группа.
7*
99

Оба эти критерия для данной классификации величин
мы не считаем ни подходящими, ни достаточными. Раз¬
личие между фундаментальным и производным измерени¬
ем принципиально и относится к видам измерения или к
измерительным операциям, а не к самим физическим
величинам. Между основными и фундаментально измери¬
мыми величинами, равно как и между производными и
производно измеряемыми, не существует, однако, никакой
взаимной корреляции. Дело в том, что наряду с основны¬
ми величинами, фундаментально измеримыми, например
длиной, имеются и основные величины, например темпе¬
ратура, которые так не измеряются1. Требование адди¬
тивности является различительным критерием в класси¬
фикации метрических величин, но не относится к диффе¬
ренциации величин на основные и производные. Ведь
иначе мы вынуждены были бы признать, что любая
основная величина должна быть аддитивной и что, следо¬
вательно, основными могут быть только строго экстенсив¬
ные величины. Но тогда мы не могли бы отнести к основ¬
ным величинам температуру, которая вообще считается
интенсивной, а стало быть, квазпэкстенсивной.
Эти замечания в адрес концепции Кэмпбелла не теря¬
ют силу и тогда, когда он позднее, в связи с изложением
анализа размерностей, вводит, помимо термина «funda¬
mental magnitude» («фундаментальная величина»), еще я
термин «basic magnitude» («основная величина») [Кэмп¬
белл, 38, с. 378 и с л.], с тем чтобы иметь возможность
провести различение так называемых практических ос¬
новных величин, измеряемых фундаментально, н так на¬
зываемых теоретических основных величин, которые
принимаются в качестве основных в системе (физиче¬
ских) величин. Но между практическими и теоретически¬
ми основными величинами также не существует никакой
взаимной согласованности. Например, хотя весу, являю¬
щемуся практической основной величиной, и соответству¬
ет на теоретическом уровне масса, но температуре, кото¬
рую приходится считать теоретической основной величи¬
ной, никакая практическая основная величина не соответ¬
ствует. Об этой величине в другой связи [Кэмпбелл, 38,
с. 402] он даже утверждает, что в самом строгом смысле
слова она вовсе не является величиной, ибо не удовлетво¬
ряет самому главному требованию, которое Кэмпбелл предъ¬
1 В согласия с Эллисом мы принимаем, что эта величина из¬
меряется ассоциативно.
100

являет к метрическим, фундаментально измеримым ве¬
личинам, — требованию аддитивности. Противоречие воз¬
никает в том случае, если мы применим концепцию Кэмп¬
белла к производным величинам. Так, например, объем
есть аддитивная величина, и потому его можно измерять
фундаментально. Стало быть, для него выполняются
условия, достаточные, чтобы считать его практической
основной величиной. Однако с этой производной величи¬
ной нельзя сопоставить никакую теоретическую основную
величину в рассмотренном выше смысле.
Разумеется, все непоследовательности такого рода
Кэмпбелл достаточно хорошо осознавал, однако его позд¬
нейшая попытка устранить их, выявив понятие основной
величины [Кэмпбелл, 38, с. 101 и сл.], оказалась безус¬
пешной, В самом деле, для включения величины в класс
основных теперь он выдвигает следующие критерии:
Ї) Конкретный способ, каким измеряется данная ве¬
личина. Основные величины измеряются независимо
от измерения других величин, т. е. фундаментально,
їі) Отношение к системе единиц измерения. Основ¬
ным величинам конвенционально приписываются ос¬
новные единицы измерения.
iii) Теоретическое значение, которое придается от¬
дельным величинам в согласии с иерархическим упо¬
рядочением физических законов. Основные величины
вводятся в рамках первичных физических законов или
законов, связанных с первичными, если раньше они
уже не фигурировали в качестве производных вели¬
чин.
Однако эти критерии явно неальтернативны, ибо они
не выделяют четко тот же класс основных величин, кото¬
рый Кэмпбелл рассматривал прежде. Теперь в этот класс
Кэмпбелл включает число, массу, длину, время, электри¬
ческое сопротивление и угол. Из приведенных величин
этим критериям удовлетворяют только длина, масса и
время, но не число, которое величиной вообще не явля¬
ется, не электрическое сопротивление и не угол — вели¬
чины, для которых не выполняются второе и третье усло¬
вия.
Как же, однако, на базе этой концепции можно объяс¬
нить, что к основным величинам современной системы
физических величин относится, например, температура,
которая тем не менее не удовлетворяет первому крите¬
рию? Приняв при классификации величин критерий фун¬
даментальной измеримости, подразумевающий, что каж¬
101

дая основная величина должна удовлетворять условию
аддитивности, Кэмпбелл закрывает путь к решению этого
частного вопроса, и ему не остается ничего другого, как,
вступая в противоречие с физической теорией, утвер¬
ждать, что температура основной величиной не является.
Поскольку он в то же время признает, что фундаменталь¬
но можно измерять и такие величины, которые мы обыч¬
но не считаем основными, что не все величины, «основ¬
ные в теории», являются «основными и в измерении», он
не может удовлетворительно объяснить, в чем же в об¬
щем плане состоит взаимоотношение между основными
и производными величинами. Поэтому, стремясь преодо¬
леть ьто противоречие между теорией и практикой изме¬
рения, он релятивизирует свою классификацию величин
и в конце концов без какой-либо дальнейшей аргумента¬
ции провозглашает, что величины, являющиеся, согласно
приведенным выше критериям, основными, просто—в
силу стечения обстоятельств — для нас очень важны.
Итак, если мы допустим, что принципиальное различие
между основными и производными величинами заключа¬
ется в том, что основные величины обязательно ДОЛЖНЫ
выполнять условие фундаментальной измеримости и что,
как результат, мы всегда можем найти для них какой-то
эмпирически оправданный и операционально реализуемый
эквивалент операции сложения, то мы не сможем причис¬
лить к ним, как уже было сказано, такую величину, как
температура. Этого заключения, которое с необходимо¬
стью выводится из первичного классификационного кри¬
терия концепции Кэмпбелла, нельзя избежать, даже если
различать два понятия температуры. Такое положение
дел характерно для многих авторов, Дж. Смарт [Смарт,
134, с. 4 и сл.], например, допускает, что температуру, коль
скоро она измеряется с помощью так называемой термо¬
динамической температурной шкалы, следует считать тео¬
ретической величиной; однако в явной форме он не гово¬
рит, является ли она или должна являться в- этом
случае аддитивной величиной. Если она измеряется с
помощью так называемой газовой шкалы температуры,
он считает ее производной величиной, которая, несомнен¬
но, аддитивной быть не может и в действительности та¬
кой не является.
Если, находясь в пределах современной системы физи¬
ческих величин, мы полагаем температуру основной вели¬
чиной, то это решение, по сути дела, не зависит от того,
как мы измеряем температуру — непосредственно (фунда¬
І02

ментально), т. е. исходя из физического определения, про-
язво ДНО иля ассоциативно. При этом не имеет значения,
выполняется или нет предъявляемое Кэмпбеллом условие
аддитивности. Если мы и включаем температуру в число
основных величин, то делаем это по объективным, теоре¬
тически и практически значимым причинам, обусловлен¬
ным историческим развитием физического знания, а это
знание приводит нас к выводу, что приписывать темпера¬
туре в системе метрических величин роль основного, эле¬
ментарного понятия совершенно необходимо.
Разумеется, аналогия между основными и производ¬
ными величинами в системе физических величин, с одной
стороны, и основными понятиями и понятиями, опреде¬
ляемыми с помощью основных в некой аксиоматической
системе, — с другой, действительна лишь в ограниченной
степени. В аксиоматической системе—для примера рас¬
смотрим аксиоматизацию логики высказываний — в каче¬
стве первичных понятий можно выбирать разные операто¬
ры: либо только несовместимость, либо импликацию и от¬
рицание, либо импликацию, отрицание, конъюнкцию,
дизъюнкцию и эквиваленцию. При этом разные, но рав¬
носильные аксиоматические системы с теоретической и
практической точек зрения существенно друг от друга не
будут отличаться. Но в системе физических величин воз¬
можность подобного выбора по объективным причинам
ограничена. Это ограничение, конечно, не следует пони¬
мать так, будто между основными и производными вели¬
чинами имеется некое абсолютное различие. Правда, в
рамках системы физических величин в качестве основной
величины подсистемы электромагнитных величин вместо
силы электрического тока можно принять электрический
заряд. Но вместе с тем, не располагая подсистемой вели¬
чин механики, вряд ли возможно построить более общую
систему физических величин, которая находилась бы в
согласии с теорией и отвечала бы требованиям практики.
И если бы система величин механики не была основана
на длине, мы, по всей видимости, вообще не смогли бы
говорить о какой-либо физической системе.
Выбор основных величин механики не является выра¬
жением некой конвенции и не зависит от способа, каким
эти величины теоретически вводятся или эмпирически
измеряются, — он есть результат того, что каждый реаль¬
ный объект существует во времени и пространстве. Если
принимать во внимание только операциональные проце¬
дуры, с помощью которых производятся измерения, мы
103

Оудем игнорировать приоритет объективно существующих
количественных аспектов измеряемых объектов, и можем
прийти к совершенно противоположной точке зрения [ср.,
например: Штегмюллер, 140, с. 94] и приписывать взаим¬
ному отношению между основными и производными вели¬
чинами — в отличие от аналогичного отношения между
первичными и определяемыми понятиями аксиоматиче¬
ской системы — гораздо большую степень произвольности.
В системе метрических величин мы имеем возмож¬
ность рассмотреть подразделения другого рода: исследо¬
вать, и примеру, взаимные отношения между основными
п производными величинами с точки зрения размерно¬
сти. В этом случае окажется, что основные величины
размерно просты, тогда как производные величины раз¬
мерно сложны. Это относится к производным величинам
и тогда, когда они являются пропорциональными величи¬
нами, т. е. когда они безразмерны ш дроизводны. Далее,
размерные производные величины мы можем разделить
на одномерные {если они определяются с помощью раз¬
мерности одной основной величины) и многомерные
(если они определяются с помощью размерностей по
меньшей мере двух разных основных величин). К классу
одномерных производных величин относятся, например,
объем или площадь; большинство прочих производных
величин, например сила, скорость и т. п., попадает в
класс многомерных производных величин.
Эта классификация, которую можно было бы допол¬
нить последующими подразделениями, однако, сколько-
нибудь существенно не расширяет наших знаний о харак¬
тере и роли функции величин с точки зрения общей теории
измерений.

4.	ШКАЛЫ
Различение метрических ц неметрических величин на
эмпирико-математическом уровне концептуализации пред¬
мета измерения с необходимостью должно проявляться и
и эк с и л и нации результатов измерения. Степеням немет¬
рических величин будут отвечать другие числовые реля¬
ционные структуры, а не меры метрических величин.
Однако в обоих случаях эти структуры образуют опреде¬
ленную последовательность числовых значений, которая
называется шкалой.
Понятие шкалы является следующим основным поня¬
тием, которому в теории измерений в широком смысле
слова придается особенно большое значение. Под шкалой
понимается не только результат измерительных операций,
примененных к определенной эмпирической реляционной
системе, но и средство измерения некоторой величины, а
иногда только конкретная градуированная шкала опреде¬
ленного измерительного устройства. Эта семантическая
многозначность еще более возрастает, когда понятие шка¬
лы толкуется в том же смысле, что и понятие измерения,
пли в аналогичном ему смысле.
4.1,	Понятие шкалы
Понятие шкалы, обычно трактуемое в том же значе¬
нии, что и мера (масштаб), в теории измерения специ¬
фицируется разными способами, В общем смысле говорят
о шкалах измерения, или измерительных шкалах, кон¬
кретнее — о шкалах измерения определенной величины,
например о шкале времени, о газовой шкале для измере¬
ния температуры и т. п. Когда в теории внефизического
измерения говорят, например, о шкалах Гутмана, Тёрсто-
уна, Лайкерта или Эдварда [Апсах. 164, с. 73], понятие
шкалы идентифицируется с понятием градуирования,
105

шкалирования, т. е. с процедурой или методикой, которую
данный автор использовал при измерении. Иногда поня¬
тие шкалы измерения отождествляется с понятием вели¬
чины; например, твердость расценивается как ординаль¬
ная шкала, о газовой шкале температуры говорят, что
это производная величину [Смарт, 134, с. 7, 13; см. также;
Гемпель, 77, с. 58; Кранц и др., 94, с. 517]. В формаль¬
ной теории измерений понятие шкалы интерпретируется
в том же значении, что и понятие измерения [Сулпес,
Зинес, 155, с. 11; Кранц и др., 94, с. 143]. За шкалу здесь
принимается упорядоченная тройка
<в, ж, ф>,
причем В означает эмпирическую реляционную систему,
Ж — числовую реляционную систему, а Ф — изоморфное
цли гомоморфное отображение В на Ж.
Если мы хотим объяснить функцию шкал в теории
измерений, то прежде всего мы должны выяснить разли¬
чие между так называемыми материальными н концеп¬
туальными шкалами [ср.: Бунге, 36, II, с. 221 и сл.].
В геометрии, из которой практически родилась проце¬
дура измерения, шкала была определенным масштабом,
измерительным инструментом или измерительным сред¬
ством, с помощью которого сравнивались предметы раз¬
ной длины. Такое понимание шкал имело место и позд¬
нее, когда практика геометрического измерения распро¬
странилась на другие области физики. Шкала понималась
просто как определенное измерительное устройство, точ¬
нее говоря, как специфическая составная часть такого
устройства. Однако как только дело дошло до проникно¬
вения измерения в сферы обществоведения и измеритель¬
ным процедурам стали подвергаться даже такие неметри¬
ческие величины, как умственное развитие, ощущения,
мнения, установки, иначе говоря, величины, для измере¬
ния которых в наше время пока невозможно сконструи¬
ровать какой-либо измерительный прибор, понятие шка¬
лы уже нельзя было интерпретировать в значении гра¬
дуированной шкалы измерительного устройства. Только
после этого понятие шкалы обрело более многостороннюю
функцию как с теоретической, так и методологической
точек зрения.
Различие между материальной формой шкалы и ее
концептуальным видом совершенно очевидно, если вспом¬
нить, например, как различаются циферблат часов и шка¬
ла измерения времени. Располагая каким-то измеритель-
106

вым средством, неким стандартным, градуированным или
калиброванным предметом, относительно которого что-то
объективно сравнивается или упорядочивается, мы можем
в каждой паре
{величина, измерительное устройство),
например {длина, длинометр), {температура, термо¬
метр), {давление, манометр) (или (давление, баро¬
метр)), (плотность, пикнометр) (или (плотность,
ареометр)), назначить две разные шкалы — концепту-
алъную и материальную. Это различение, не отрицая вза¬
имосвязи этих шкал, обусловленной отношениями между
теоретическими и эмпирическими аспектами измерений,
распространяется прежде всего на шкалы метрических
величин, В последующем изложении под термином «шка¬
ла», если он употребляется без прилагательного «концеп¬
туальная», мы будем иметь в виду концептуальную шка¬
лу; если же имеются в виду ее конкретные реализации,
то мы будем употреблять термины «материальная шка¬
ла» и «градуировка».
Концептуальная шкала, или, короче, шкала, характе¬
ризуется определенным упорядочением числовых значе¬
ний, так называемой ценой деления шкалы, или шкаль¬
ным значением, которое теоретически можно приписывать
измеряемым величинам в зависимости от жх качествен¬
ных и количественных аспектов и их понятийной фикса¬
ции в рамках определенной теории. Понятие концепту¬
альной шкалы не следует отождествлять с понятием чис¬
ловой шкалы, т. е. шкалы с определенным упорядочени¬
ем, поскольку шкальные значения для разных величин
могут быть одинаковыми, а объективные свойства изме¬
ряемых величин и их интерпретация в рамках определен¬
ной теории могут заметно различаться. По-видимому, это
объясняется тем, что область изменения шкальных значе¬
ний однородно ограничена либо множеством ординальных
или кардинальных чисел, либо же их подмножеством, от¬
личаясь только объемом данного числового диапазона, в
то время как область изменения измеряемых величин
может быть качественно весьма разнородной.
Форма концептуальной шкалы, несущая информацию
об интерпретированном распределении шкальных значе¬
ний, обусловливается, с одной стороны, характером соот¬
ветствующих числовых значений, началом (точкой отсче¬
та) шкалы, так называемым шкальным нулем, обычно
ограничивающим упорядоченный диапазон шкальных зна¬
107

чений слева, а с другой — природой интервала между
двумя произвольными непосредственно соседствующими
шкальными значениями, которые зависят от единицы из¬
мерения. Ограничение этого упорядоченного диапазона
Справа, которое предполагается по крайней мере из прак¬
тических соображений, для установления формы шкал
несущественно.
Материальная шкала определяется упорядоченным
множеством знаков-отметок на измерительном устрой¬
стве, в большинстве случаев множеством цифр, чтение ко¬
торых позволяет нам приписывать числовые значения
мерам (ннтенсивыостям) измеряемых величин. Совокуп¬
ность этих знаков-отметок, их упорядочение и особенно
ех разметка зависят от отношения материальной шкалы
к соответствующей концептуальной шкале. Она обуслов¬
лена также конструктивными возможностялш инструмен¬
тальной технологии, конкретной реализацией и характе¬
ром использования устройства в процессе измерения, рав¬
но как и требованиями желательной или достижимой
'степени точности измерения. Эти аспекты определяют
«способ калибровки (градуировки), дающий материальную
шкалу измерительного устройства.
Из приведенных разъяснений следует, что между по¬
нятиями концептуальной и материальной шкал существу¬
ет одно очень существенное различие, которое мы не дол¬
жны забывать: материальные шкалы характеризуются
цифрами, тогда как в случае концептуальных шкал нам
приходится иметь дело с числами — либо ординальными,
либо кардинальными. Числовые шкальные значения кон¬
цептуальных шкал позволяют определить упорядочение
или интенсивность неметрических и метрических вели¬
чин. Цифры как таковые эту функцию выполнять неспо¬
собны, так как их можно использовать и независимо от
их допустимых интерпретаций: лишь как конвенцио¬
нально отобранные знаки, относительно которых вообще
не предполагается, что они суть имена ординальных или
кардинальных чисел. Шкальные значения не могут быть
языковыми выражениями, но только внеязыковыми сущ¬
ностями — числами. Цифры являются максимум имена¬
ми шкальных значений.
Следующая проблема, вытекающая из различения кон¬
цептуальных и материальных шкал, — это вопрос об их
взаимоотношении. Однозначно данное отношение или
нет? Только последовательный сторонник операционалист-
ского понимания измерения будет отстаивать точку зре-
108

яия, согласно которой какой-то (концептуальной) шкале
•соответствует в точности одна материальная шкала, и на¬
оборот. Такая позиция необоснованна. Материальная шка¬
ла, на которую нанесено равномерно структурированное
множество цифр, может в конечном счете соответствовать
качественно очень разнородным (концептуальным) шка¬
лам. Материальной шкалой измерительного устройства,
пока она не получила интерпретации в соответствии со
слабо или сильно качественным аспектом измеряемой
величины определенного вида, в силу ее содержательной
многозначности практически нельзя пользоваться. Пред¬
ставим себе только два разных измерительных устройства
с одной и той же градуировкой. Если нам неизвестно на¬
именование или размерность величин и их единиц изме¬
рения, мы не можем сказать, к чему относятся цифры,
выражающие градуировку этих измерительных приборов.
Если принять во внимание, что существуют самые раз¬
личные измерительные процедуры, при которых использу¬
ются разнообразные измерительные устройства, то стано¬
вится очевидным, что одной и той же (концептуальной)
шкале должны соответствовать разные материальные
шкалы, разные градуировки. Одни из них будут служить
получению одинаковых шкальных значений, другие будут
сконструированы именно для того, чтобы выдавать
шкальные значения, лежащие в весьма различных число¬
вых диапазонах и получаемые только при использования
разных измерительных операций и измерительных уст¬
ройств. Определенную величину можно измерять с помо¬
щью различных материальных шкал, точнее говоря, с
помощью по-разному проградуированных реальных изме¬
рительных устройств, и все же речь будет идти об одной
и той же величине, характеризуемой единой (концепту¬
альной) шкалой.
Однозначности отношения между шкалами и градуи¬
ровками можно добиться лишь тогда, когда мы перейдем
от конкретных концептуальных шкал и градуировок к
классам шкал — к шкальным типам (см. 7.1). Разумеет¬
ся, такая абстракция стирает качественное различие меж¬
ду конкретными концептуальными шкалами и их реали¬
зациями — материальными шкалами. Поэтому она прием¬
лема только при спецификации структурных свойств раз¬
ных градуировок и шкал относительно формы, присущей
данному типу шкал.
Поскольку шкальными значениями могут быть толь¬
ко числа, выражающие либо порядок, либо меры подле¬
109

жащих измерению величин, мы оудем — в соответствии с
нашей предыдущей классификацией величин — различать
два вида шкал: неметрические и метрические. Неметри¬
ческие шкалы мы будем называть также топологическими
шкалами.
Различие шкал и градуировок приходится рассматри¬
вать, строго говоря, только в отношении метрических ве¬
личии, поскольку лишь их мы измеряем с помощью раз¬
ных измерительных устройств.
4.2.	Начало шкалы
Выясняя вопрос о форме (концептуальной) шкалы, мы
должны обратиться к начальной точке отсчета шкалы,
или к так называемому шкальному нулю. При анализе
связанной с этим проблематики, нам надо, по-впдимому,
прежде всего исследовать взаимоотношения, существую¬
щие между шкальным нулем и другими видами нулей,
и выяснить в то же время, насколько понятие нуля свя¬
зано с рядом родственных понятий, особенно с понятием
пустого класса. Поскольку шкальный нуль, как прави¬
ло, отождествляется с нулем в арифметике (с числом 0),
достаточно, если мы будем искать ответ только на два
вопроса. Во-первых, как эмпирически интерпретировать
данное специфическое шкальное значение? И во-вторых,
можно ли в процессе измерения получать шкальные зна¬
чения, которые меньше нуля? Оба этп вопроса в совокуп¬
ности формируются следующим образом: можно ли в объ¬
ективной реальности найти какой-то эмпирический эквива¬
лент числа нуль или отрицательных чисел, который
обладал бы значимой и нетривиальной интерпретацией?
Объективно существующие объекты всегда известным
образом качественно и количественно определены, в то
время как, хотя разные виды чисел и имеют основу в
реальности, до сути своей они являются идеализациями;
поэтому для последних невозможно найти эмпирические
эквиваленты, обладающие точно такими же структурны¬
ми свойствами, что и эти идеализации. Если мы признаем
оправданность этой посылки, нам представится очевид¬
ным, что объективно не может существовать никакого
эмпирического свойства, которое само по себе имело бы
некую нулевую меру, т. е. совсем не имело бы ее. Тем
более не может существовать свойство, которое имело бы
меру меньшую, чем нулевая. Реально существующие
ПО

предметы не имеют «нулевой длины» или «нулевого ве¬
са», не имеют —в нашей интерпретации — п «пулевой
температуры», поскольку относительно данного свойст¬
ва — коль скоро, разумеется, оно им присуще, — они всег¬
да какие-то, а не никакие. В силу этих соображений целе¬
сообразную интерпретацию числа 0, когда оно выступает
в качестве шкального значения, необходимо искать либо
в самом процессе измерения, либо в свойствах соответ¬
ствующей эмпирической реляционной системы.
В первом, скорее всего тривиальном случае можно
просто сказать, что под эмпирическим эквивалентом чис¬
лового нуля подразумевается отсутствие некоего свойства
у данной эмпирической системы. В процессе измерения
это можно, например, установить, обнаружив, что стрелка
измерительного прибора не отклонилась от своего началь¬
ного положения. Эта интерпретация приемлема, разуме¬
ется, при условии, что измерительный прибор не повреж¬
ден и что он настолько чувствителен, что реагирует на
любое проявление данного свойства, и т. п.
Во втором, нетривиальном случае следует прежде все¬
го осознать, что шкальный нуль вообще нельзя интерпре¬
тировать в том же значении, что и число 0, — мы должны
соотносить его с соответствующей эмпирической реляци¬
онной системой. Эго справедливо и для отрицательных
шкальных значений, которые нельзя отождествлять с от¬
рицательными действительными числами, поскольку ина¬
че мы должны были бы допустить существование отрица¬
тельных величин как онтологических сущностей. В любом
случае мы должны проводить различие между двумя воз¬
можностями: когда числовые значения, соотносящиеся с
мерами метрических величин, сопоставляются с иными
числовыми значениями, которые этим величинам припи¬
сываются в .рамках данной реляционной системы, и когда
такого сопоставления нет. Игнорирование различия этих
возможностей легко ведет к непоследовательности в за¬
ключениях. Так, например, хотя Кэмпбелл [Кэмпбелл, 38,
с. 321] и отрицает, что существуют тела с «нулевой дли¬
ной» или с «нулевым объемом», тем не меиее он допус¬
кает существования тел с «нулевым весом». Аналогично:
■он не признает существования отрицательных длин или
отрицательных объемов, но признает существование отри¬
цательных расстояний и отрицательных временных ин¬
тервалов.
Для того чтобы избежать подобной ситуации, примем
понятие ориентированного класса величин, введенное Мен-
111

гером ІМенгер, 108, с. 105] и предполагающее возмож¬
ность конструирования двух классов положительных мет¬
рических величин; эти классы зависят только от едини¬
цы измерения и не содержат нулевого элемента, так на¬
зываемого ничто (нуля). Б этом случае между этими
классами существует следующее отношение: каждому
элементу одного из них соответствует некий элемент дру¬
гого, и наоборот; причем элемент одного класса является
обращением соответствующего ему элемента второго
класса.
Оба эти противоположные класса, например класс
предметов тяжелее воздуха и класс предметов легче воз¬
духа, которые сами по себе положительны, можно объеди-
ігить в полный класс. Только для такого класса можно
дать имеющую смысл эмпирическую интерпретацию нуле¬
вого элемента. Это и есть пересечение Двух соответствую¬
щих друг другу противоположных положительных клас¬
сов; при взвешивании, например, таким положением
будет равновесие рычажных весов. При установлении
расстояний эти классы характеризуются разными направ¬
лениями — налево или направо, на запад или на восток
от определенной точки, например от точки, через кото¬
рую проходит гринвичский меридиан. В случае времен¬
ных интервалов оба противоположных класса представля¬
ются классами прошлых и будущих событии или класса¬
ми моментов времени до и после некоторого данного.
Тогда нулевую точку можно понимать либо как сиюми¬
нутный временной момент, либо же как точку, с которой
соотносятся отдельные временные моменты.
Следовательно, нулевую точку шкалы — шкальный
нуль — мы можем трактовать либо как точку равновесия,
либо как точку соотнесения. Какая интерпретация будет
выбрана, зависит от объективных свойств измеряемой
величины и от используемой теории измерения. Если
шкальный нуль как наименьшее шкальное значение из
эмпирически достижимых или теоретически предполагае¬
мых значений можно отождествить с числовым нулем,
что по вычислительным соображениям всегда удобно, то
элементам одного класса можно приписать положитель¬
ные числа, а элементам второго, противоположного ориен¬
тированного класса — отрицательные. Однако отсюда
нельзя еще заключать, что величины с отрицательными
числовыми значениями существуют объективно.
Данная концепция позволяет также объяснить разли¬
чие между условной нулевой точкой, с одной стороны, и
112-

естественной абсолютной — с другой. Это различие неред¬
ко интерпретируется как различие между последователь¬
ностями значений величин, объективно имеющих некий
минимум (например, температура) и не имеющих его-
(например, время).
Когда говорят об условном нуле или об условном на¬
чале шкалы, предполагается, что на шкале, понимаемой
либо геометрически — как последовательность точек, либо
арифметически — как последовательность чисел, сущест¬
вует некая точка или число, конвенционально выбранное
в качестве наиболее удобного шкального начала. После
упорядочения в числовую последовательность шкальные-
значения получают направления направо или налево от
начала отсчета. Для шкал с естественным (абсолютным)
началом эти шкальные значения размещаются только с
одной стороны. Шкала ориентирована в одном направле¬
нии — направо от начала отсчета.
Дифференциация абсолютного и условного начал как
точек соотнесения метричных шкал обычно иллюстрирует¬
ся температурными шкалами Цельсия, Реомюра и Фарен¬
гейта, с одной стороны, и Кельвина и Ренкина — с дру¬
гой. Выбор разных числовых значений для начала этих
шкал — О °С, 0°R, 32 °F и —273,16 °С — обусловлен раз¬
ными факторами: конструкцией термометров и их прак¬
тическим применением, развитием представлении о при¬
роде теплоты, вычислительными соображениями и
прежде всего следствиями, вытекающими из термодинами¬
ки. Можем ли мы, учитывая все эти обстоятельства, про¬
вести четкую границу между условно выбранным нача¬
лом, например, шкалы Цельсия и абсолютным (естествен¬
ным) началом шкалы Кельвина? Бесспорно, что последо¬
вательность возможных температур имеет свой минимум,
если исходить из положений термодинамики. Однако не
приходится сомневаться в том, что, если исходить из тео¬
рии теплоты Дальтона и принять дальтоновскую «лога¬
рифмическую шкалу», удовлетворяющую всем целям
измерения теплоты и полностью отвечающую вычисли¬
тельным требованиям, ничто не заставит нас предполо¬
жить, что последовательность тепловых состояний огра¬
ничена в нисходящем направлении [ср.: Эллис, 56, с. 60,
193]. Вполне возможно, что при подобных теоретических
предпосылках нам бы даже в голову не пришла мысль
об абсолютном нуле. Доводы, заставляющие предпочитать
шкалы Кельвина или Ренкина шкалам Цельсия, Фарен¬
гейта или Реомюра и игнорировать «логарифмическую
8 Зал. № J Ш2
113

шкалу» Дальтона, носят главным образом теоретический
характер.
Однако если брать в расчет чисто практическое ис¬
пользование температурных шкал в разных термометрах,
то условное начало отсчета шкалы Цельсия представля¬
ется намного более естественным. Рассмотрим, например,
шкалу для измерения температуры человеческого тела,
значения которой заключены в диапазоне, скажем, от
35 °С до 42 °С. Для этого вида измерений можно считать
значение 35 °С началом отсчета шкалы. Мы могли бы
даже условно переградуировать ее значения так, чтобы
это начало считалось нулевой точкой данной температур¬
ной шкалы. Если сравнить начало отсчета шкалы Фарен¬
гейта с началами отсчета шкал Цельсия и Реомюра, то
нулевая точка 32 °F нам покажется намного более услов¬
ной, чем нулевая точка О °С (или 0° R), корреспондирую¬
щая с началом числового ряда.
Различение двух видов нулевых точек, которое явно
обусловлено представлениями о природе и роли начала
отсчета и строгой дихотомией на то, что считается
условным, а что естественным, ведет к следующей дилем¬
ме. Для шкал с условным нулем, например для шкалы
Цельсия, мы должны предполагать целесообразную эмпи¬
рическую интерпретацию отрицательных действительных
чисел, а для шкал с абсолютным нулем, например для
шкалы Кельвина, этого предполагать нельзя. Если бы мы
в одном случае допускали для температуры отрицатель¬
ные значения, а в другом — нет, мы должны были бы
различать две разные величины одного и того же наиме¬
нования с явно различными свойствами.
Такой результат, несомненно, неприемлем. Коль скоро
мы трактуем температуру как единую метрическую вели¬
чину, теоретически зафиксированную в современной си¬
стеме физики, различие между разными тепловыми шка¬
лами можно объяснить тем, что для них установлены не
только разные точки начала отсчета, но и разные едини¬
цы измерения. Если у этих шкал нулевые точки отсчета
совпадают, то для шкальных значений температуры за¬
кон инвариантности относительно замены единицы спра¬
ведлив в самом общем виде; если же они не имеют одина¬
ковых начал, то его выполнимость, кроме того, зависит от
постоянной сдвига шкалы, «аддитивной константы»,
позволяющей, в частности, выражать одно начало отсче¬
та через другое. Следовательно, в этом смысле темпера¬
тура нисколько не отличается от других метрических ве¬
114

личин, например от длины, которую можно измерять в-
единицах разных измерительных систем. Далее, следует
принять во внимание, что форма шкалы не может пред¬
определять объективно существующие качественные, сла¬
бо или сильно, количественные аспекты какой-либо ве¬
личины. Наконец, из такого математического факта, как
существование отрицательных чисел, еще не следует
вывод о реальности отрицательных величин.
Термины естественный нуль и условный нуль выбра¬
ны не слишком удачно. Иногда они по аналогии перено¬
сятся и на единицы измерения, и тогда, кроме конвенцио¬
нальных единиц, говорят о естественных единицах изме¬
рения [ср. также: Ипсен, 85, с. 16]. Эти термины легко
приводят к необоснованным выводам вроде тех, с кото¬
рыми мы встречаемся в дискуссиях о температурных шка¬
лах. А из этих выводов делают заключения, призванные
обосновать измеримость неметрических величин в узком
смысле слова, хотя для них нельзя установить впкакоп
единицы измерения. На основании сказанного мы не счи¬
таем различение естественных и условных шкальных
начал подходящим терминологическим соглашением.
Установление начала отсчета шкал, ориентированность
шкал в одном направлении или в двух, является резуль¬
татом упорядочения некоего класса величин, а следова¬
тельно, и соответствующих шкальных значений. Услов¬
ный и естественный нули суть теоретические построения,
не являющиеся ни абсолютно условными, ни абсолютно
натуральными. Различие между ними можно выразить
только большей или меньшей степенью условности, кон¬
ке нци он а лье ос ти: абсолютный нуль носит менее конвен¬
циональный характер, че.н условный. Поэтому выбор1
шкального начала, всегда известным образом объективно
предопределенный, может быть более или менее эмпи¬
рически обоснован, более или менее удобен с точки зре¬
ния вычислении, более пли менее приемлем относитель¬
но принятых теорий.
4.3.	Расстояние
Понятие расстояния, или так называемой функции
расстояния, играющее значительную роль при определе¬
нии формы шкал главным образом в теориях внефизиче-
ского измерения, также интерпретируется не слишком
удовлетворительным образом.
И 5
8'

С одной стороны, понятие расстояния используется
синонимично понятиям промежутка, интервала, а с дру¬
гой — связывается с понятиями арифметической операции
и ее эмпирического эквивалента, причем ни в том, ни в
другом случае не ясно, когда выражается соотношение
между шкальными значениями *, а когда — определенное
эмпирическое отношение.
Так, Торгерсон, например [Торгерсон, 161, с. 15, 35,
42], характерными чертами чисел** считает, с одной сто¬
роны, порядок (упорядочение), разность и начало отсче¬
та, а с другой — порядок, расстояние и начало отсчета.
Разность между действительными числами интерпретиру¬
ется как расстояние, как интервал между количествами,
но «температурное расстояние» определяется как множе¬
ство разностей между любой парой значений соответст¬
вующей величины. Кумбс [49, с. 481], пожалуй, смешива¬
ет понятия расстояния и интервала, когда говорит о
функции расстояния, относящей некоторое действитель¬
ное число всем парам элементов в некоем упорядоченном
множестве, число, которое специфицируется им как рас¬
стояние или интервал между предметами или классами
предметов.
II.	Пфанцагль [Пфанцагль, 118, с. 284: Пфанцагль,
119, с. 19 и сл., 59 и сл.] вводит особое понятие метриче¬
ской связанности <connection) и стремится доказать, что
между понятиями расстояния и метрической связности
существует отношение взаимной определпмостн. Если
введено понятие метрической связности, определенное ус¬
ловиями существования, монотонности, непрерывности и
б и симметричности, то можно определить понятие расстоя¬
ния, специфицированное условиями упорядочения, моно¬
тонности, непрерывности и перестановки <replaceabi-
Hty >, и наоборот. Для характеристики этой аиалогии
достаточно привести — из тех аксиом теории метрической
связности, которые структурно сходны с аксиомами тео¬
рии средних значений [ср.: Ацель, 2, с. 392 и сл.], —ак¬
сиому бисимметричности***
	 (a°b)°(cod) = (a°c)o(b°d),	(4.3—I)
* Не следует забывать, что под шкалой автор имеет в виду
концептуальную, а не материальную шкалу; поэтому шкальные
значения понимаются не как эмпирические, а как абстрактные объ¬
екты. — Прим. ред.
** Имеется в виду использование чисел в шкалах измерений,—
Прим. ред.
*** [См. также: Кранц и др., 94, разд. 6.9.1; и русск. перев.:
Пфанцагль И., 119, разд. 5.2, 7.2]. — Прим. ред.
116

•а из аксиом, задающих расстояние, — соответствующую ей
аксиому перестановки:
из ab = cd следует =	(4.3—2)
•сформулированную для пары ab^M, причем аЬфЪа. По¬
нятие метрической связности принимается в качестве
•обобщения понятия аддитивной операции. Всякая адди¬
тивная операция есть метрическое соединение точно так
же, как операция фиксации средней точки — осреднение
пли операция деления интервала пополам — равноделе-
ние (бисекция), использующаяся, например, в психофизи¬
ческих измерениях — либо при определении стимула, зани¬
мающего для субъекта в точности серединное положение
между двумя данными стимулами*, либо при измерении
индивидуальных убеждений, ценностей, желаний, полез¬
ностей и т. п. с помощью метода Рамзея, основанного на
понятии степени доверия р = 1/2, которая характеризует
нейтральное в этическом отношении высказывание [ср.
подробнее: Берка, 20, с. 71 и сл.]. Операция равноделения
может, кроме того, обладать свойствами коммуникативно¬
сти и рефлексивности. Если учесть взаимную определи¬
мость понятий метрической связности п расстояния, то с
помощью последнего понятия можно определить также и
понятие средней точки (точки равноделения) для адди¬
тивной операции. Тогда в одном случае речь идет о мет¬
рической связности, касающейся элементов абстрактного
* Свойство б асимметричности осреднения (равноделения, би-
секщш) наглядно иллюстрирует следующий рисунок [Кранц, Лыос,
Суппес, Тверскпй, 94, с. 295]:
(оос; о іаоо1)
;
1
1
І
1
1
1
І
Ll" 1 -1
1 1 ;
І і і
1 • 1
! 1 , ! !
1
1
1
t
\
_k_l 1
І 1
і 1
, 1
1
1
t
г
і і ; :
і..:..! і
і
1
1
1
1 t
1 '
і і
і .!
' 1
1
1
1
1
)
1
1
. 1
! ! і !
1 1-І
1
1
f*l —
1 1
1 1
' 1 ■
[
1
* 1
1
F
Є о 0 Ь £> а ос
І
І
І
с bod
cod
d
іьоі) о (corf)
— Лрим. ред.
117

множества М, интерпретированного как множество объ¬
ектов, которые обладают некоторым свойством в опреде¬
ленной интенсивности, в другом же — о метрической связ¬
ности, относящейся к классам эквивалентности пар эле¬
ментов данного множества.
Прежде чем мы попытаемся изложить доводы, кото¬
рые приводят к введению в теорию шкал понятия рассто¬
яния, мы ДОЛЖНЫ отметить, ЧТО ЭТО понятие, как ОНО'
было определено с помощью понятия отрезка (интерва¬
ла), например О. Гёльдером [Гёльдер, 82, с. 10] (на пред¬
ложенную им аксиоматизацию ссылается не только
И. Пфанцагль, но и П. Суппес, а также многие другие
авторы), свое первое применение получило в теоретиче¬
ской математике. Понятие интервала обычно трактуется
как система отношений между упорядоченными набора¬
ми действительных чисел (ад, Хц,...,Хп) и (Ці, ^2,—,1/п)-
В случае евклидова расстояния между двумя точками оно
определяется выражением
Понятие расстояния определяется также в теоретико-мно¬
жественной топологии. Если существует функция d(x,x')
над декартовым произведением XXX со значениями в
множестве неотрицательных действительных чисел (где
X есть непустое мно?к єство, имеющее элементы л,а/, л:"...),
для которой выполняются следующие три условия
d{xх') = 0 тогда и только тогда, когда х=х', (4.3—4>
то мы говорим, что эта функция есть метрика на X. Тогда
множество X вместе с метрикой на X называется метри¬
ческим пространством.
Расстояние в обоих этих трактовках, вне всякого сом¬
нения, является результатом математической идеализа¬
ции. Но понятие расстояния d(x,x') имеет соответствую¬
щую эмпирическую интерпретацию и важное применение
в топ мере, в какой мы рассматриваем его как понятие-
геометрии. Любое его распространение вне этой области,,
если его значение соответствующим образом не модифи-
для всех х,х'£Х: d (х, х’) ^d(x',x),	(4.3—5)
для всех x,x',x"£X:d(x,x') <
^ d (х, Xя)+d (х", х'),	(4,3—6).
Ш

цировано, весьма спорно. Впрочем, это справедливо и от¬
носительно понятий интервала и отрезка, по крайней
мере в их техническом применении. Это арифметические,
а не эмпирические понятия*. При использовании их за
пределами математики — в тех или иных значениях —
■они должны быть для этих специализированных примене¬
ний по меньшей мере заново «переопределены». Точно так
же должно быть ясно сказано, какое из них истолковыва¬
ется как эмпирическое понятие, а какое — как математи¬
ческое, иначе говоря, какое понятие относится к свойст¬
вам измеряемых величин, а какое — к приписываемым им
шкальным значениям.
Привлечение геометрического понятия расстояния в
понятийную систему теории шкал, — к сожалению, на
основе весьма поверхностной аналогии — можно в первую
очередь объяснить смешением между (концептуальными)
шкалами и градуировками или материальными шкалами.
Хорошо известно, что считывание показаний с регистри¬
рующего устройства измерительного прибора можно лег¬
ко осуществить «измерением» удаленности друг от друга
двух материальных точек, например одинаковых расстоя¬
ний между двумя рисками на шкале термометра. Разу¬
меется, это — результат наблюдения над пространствен¬
ным отношением удаленности, измеримого как длина
соответствующего материального промежутка. Если мы в
этом смысле используем какую-то материальную шкалу,
то можем «свести любой вид измерения к измерению
длин», как иногда метафорически говорят. Однако из
* Обычное понимание терминов «интервал* («промежуток») п
«отрезок» («сегмент») в математике состоит в следующем. Интер¬
валом (числовой оси) называется множество действительных чисел,
заключенных между некоторыми данными точками а и Ь; точки
а и & не входят в интервал; это условие записывается в виде:
а<х<Ь, где переменная х принимает значения из множества дей¬
ствительных чисел. В этом смысле интервал называют также про¬
межутком. Для отрезка {сегмента) описанное условие изменяет¬
ся: точки а п Ъ включаются в множество точек, расположенных
между а п Ь (т. е. имеет место жа^Ь). Интервал обычно обозна¬
чается записью (я, Ь), а отрезок — записью [а, Ь]. Автор, однако,
оперирует названными терминами (точнее, их чешскими эквива¬
лентами), по существу, синонимично, так как в теории измерений
обычно рассматриваются интервалы с «концевыми» точками, т. е.
отрезки. Что касается расстояния, то оно — с математической точ¬
ки зрения — есть число (выше были рассмотрены свойства функ¬
ции, вычисляющей это число). Следует заметить, что в тексте кни¬
ги термины «интервал» и «промежуток» нередко имеют смысл
«расстояния». — Прим. ред.
119

такой возможности никак нельзя делать вывод об эмпи¬
рической интерпретируемости понятия расстояния — точ¬
нее говоря, линейного расстояния, — в других случаях,
например, когда мы сравниваем разные предметы по их
температуре, плотности и т. д.
Другой причиной подобной путаницы мы считаем точ¬
ку зрения, согласно которой допустимо без какой-либо
дальнейшей спецификации распространять существенные
заключения, сделанные на основании свойств чисел, от¬
ношений между ними и операций над ними, на свойства,
отношения и операции, относящиеся к измеряемым вели¬
чинам. На необоснованность такой позиции мы уже ука¬
зывали. Допустим, однако, что для разных величин у нас
имеется в распоряжении некое эмпирическое понятие рас¬
стояния, отвечающее математическому понятию расстоя¬
ния, то есть разности двух действительных чисел или
интервалу между ними. Можем ли мы вообще эмпириче¬
ски регистрировать каждое теоретически мыслимое рас¬
стояние между числами? Совершенно очевидно, что оди¬
наковые расстояния между действительными числами
будут иногда эмпирически постижимыми и измеримыми,
а иногда — нет. Рассмотрим хотя бы расстояние между
двумя нарами чисел, например, между числами
9 и 10, между числами 1000000000000009 и
1000 000 000000010. Разве будут два эти расстояния оди¬
наково доступны для нашего опыта? То же самое спра¬
ведливо и относительно равных расстояний между «очень
малыми» и «очень большими» числами. Их различие бу¬
дет эмпирически постижимым, измеримым и имеющим
смысл только в определенных пределах, в зависимости от
природы измеряемой величины, от практических потреб¬
ностей и целей, при этом преследуемых. При поисках
эмпирического эквивалента математического понятия рас¬
стояния следует установить тот интервал, в пределах ко¬
торого мы способны определять одинаковые и различать
разные расстояния, и вместе с тем указать, когда разли¬
чия между числовыми расстояниями являются эмпириче¬
ски существенными, а когда нет.
Следующим, по-видимому, важнейшим источником пу¬
таницы является явное стремление к распространению
понятия измерения в узком смысле и на неметрические
величины. Но поскольку для этих величин не существует
никаких единиц измерения, они тем более не могут удов¬
летворять условию аддитивности. Если мы не можем для
такой простой арифметической операции, какой является
120

сложение, найти эмпирическую интерпретацию, то труд¬
но говорить о гомоморфизме (или изоморфизме) между
эмпирической и числовой системами с отношениями.
Чтобы добиться выполнения этого основного условия из¬
меримости, для операции сложения и для единицы изме¬
рения надо найти какую-то подходящую замену. Именно
этой цели должно дослужить понятие расстояния и поня¬
тие метрической связности.
При введении понятия расстояния можно было, по
крайней мере per analogiam, сослаться, с одной стороны,
на теорию экстенсивных величин О. Гё ль дер а, в которой,
однако, расстояние всегда является метрической величи¬
ной удовлетворяющей условию аддитивности, а с др5г-
гой, — на предложенное Р. Карнапом истолкование про¬
цесса конструирования физических понятий, связанное со
своеобразной теорией величин и мер Б. Рассела, в кото¬
рой различие между расстояниями и «делимостями» соот¬
несено с различием между аддитивными и неаддитивными
свойствами величин. Карнан [Карнап, 41, с. 28] различает
два отличных друг от друга подкласса расстояний: рас¬
стояния, являющиеся метрическими величинами, —тако¬
во, например, линейное расстояние — и расстояния,
которые метрическими величинами считать нельзя, — та¬
ковы, например, температурные промежутки.
Эта позиция, явно преследующая цель преодолеть
трудности, с которыми мы встречаемся при традицион¬
ном взгляде на измерение температуры, вызывает возра¬
жение, согласно которому сам Рассел придерживался дру¬
гой точки зрения [Рассел, 126, с. 171, 183]. Для него рас¬
стояние является метрической величиной, точно так же,
как и разность величин; однако расстояние ориентиро¬
вано, а разность — нет. Утверждение, что температурные
интервалы не являются метрическими величинами, проти¬
воречит также концепции шкалы интервалов (см. 7.1).
Этот тин шкалы характеризуется именно тем, что ариф¬
метические операции, которые в этом случае нельзя про¬
водить с самими шкальными значениями, оказываются
применимы только к расстояниям, интервалам, промежут¬
кам между шкальными значениями.
Из карнаповского различения двух разных видов рас¬
стояний вытекает парадоксальное следствие. Если проме¬
жутки на шкале температуры не являются метрически¬
ми величинами и тем не менее измеримы в узком смысле
слова, то измеримость нельзя трактовать как существен¬
ную характеристику метрических величин. В этом слу¬
121

чае мы должны допустить, что могут существовать мет¬
рические величины, не измеримые в узком смысле, и не¬
метрические величины, в таком смысле измеримые.
Эта парадоксальная концепция в первую очередь обус¬
ловливается тем, что понятие метрической величины, со¬
ответственно величины вообще, отождествляется с поня¬
тием аддитивной величины. Следовательно, если условие
аддитивности является необходимой предпосылкой изме¬
римости, то всякую величину, не удовлетворяющую ему,
следует полагать неизмеримой. Это, разумеется, противо¬
речит тому положению, что и неаддитивные величины,
например температуру, можно измерять. Карнап несом¬
ненно прав, называя два разных вида расстояний, но оши¬
бается в их интерпретации. В своем изначальном значе¬
нии, как мы уже говорили, расстояние является геомет¬
рическим понятием, конкретизированным в теории изме¬
рений метрической величиной длины. В своем вторичном
значении в теории шкал расстояние (функция расстоя¬
ния) является отношением между двумя шкальными зна¬
чениями, будь то между любым шкальным значением и
началом отсчета — шкальным нулем, илы между двумя
непосредственно соседними шкальными значениями, отно¬
шением, которое представлено в числах как их разность,
выраженная в абсолютных значениях.
Для того чтобы различить эти отличающиеся по свое¬
му значению понятия, мы считаем необходимым в первом
случае говорить об интервале, тогда как во втором — о
расстоянии по шкале, или о функции расстояния шкалы.
Расстояние по шкале нельзя смешивать и с так назы¬
ваемым интервалом температур. Интервал температур, вы¬
ражающий не что иное, как разность температур на одной
или разных температурных шкалах, является эмпириче¬
ским понятием. Расстояние но шкале, относящееся к фор¬
ме шкалы, так же как и начало отсчета — шкальный нуль,
является теоретическим понятием. Оно гораздо больше
связано с единицей измерения, чем с началом отсчета, о
чем по понятным причинам в теориях внефизического
измерения часто сознательно забывают. Сравнивая формы
двух разных шкал, мы должны соотносить их шкальные
значения прежде всего с единицами измерения соответ¬
ствующих метрических величин. Только тогда, когда эти
шкалы не имеют одинакового начала, как это и имеет
место в случае измерения температуры, мы должны при¬
нимать во внимание ш взаимное отношение между их
шкальными нулями и найти некую общую точку, отно¬
122

сительно которой это сравнение можно согласовать. Дан¬
ное согласование, осуществляемое в случае шкал с раз¬
ными началами отсчета именно благодаря учету расстоя¬
ния, существующего между определенным шкальным
значением и шкальным нулем, дозволяет установить, оди-
иаковы ли эти значения или нет и при каких условиях
их можно взаимно переводить друг в друга. Разумеется,
с подобным согласованием мы встречаемся и при срав¬
нивании шкальных значений для одной и той же вели¬
чины, измеряемой с помощью единиц разных систем из¬
мерения.
Далее, как относится понятие расстояния по шкале к
понятию аддитивности и метрической связности? Если
вспомнить, что эти понятия были введены в качестве
основной характеристики интервальных шкал, призван¬
ных обосновать измеримость неаддитпвных метрических
величин и неметрических величин, то будет ясно, что рас¬
стояние по шкале, так сказать ex definitione, неаддитив¬
но. Этим оно также отличается от понятия промежутка,
которое несомненно аддитивно. Но как же объяснить про¬
тиворечие между тем, что интервал температур не адди¬
тивен, а разность двух чисел, промежуток между парами
соответствующих шкальных значений, аддитивен? Самое
простое объяснение можно как будто видеть в том, что
шкальные расстояния аддитивны. Но такое объяснение
отвергается [ср., например: Торгерсон, 161, с. 36], и не
только потому, что прп этом учитывается случай темпера¬
турных интервалов, но, главное, потому, что это противо¬
речит тем соображениям, которые привели к введению
понятия шкалы интервалов. Поэтому приходится искать
другой выход.
Либо неаддитивные расстояния не нужно считать
метрическими величинами, — как, следуя логике своего
рассуждения, но ошибочно полагает Карнап, — и тогда
трудно объяснить, почему же они все-таки измеримы в
узком смысле слова; либо они суть величины метриче¬
ские, но тогда мы оказываемся перед проблемой обосно¬
вания допущенной корреляции между неаддитивными
эмпирическими расстояниями и аддитивными числовыми
разностями, промежутками между парами шкальных зна¬
чений. Если из свойств чисел (либо предполагая возмож¬
ные преобразования, либо без всяких дальнейших ограни¬
чений) можно извлекать существенную информацию об
измеряемых величинах — на этой позиции стоят прежде
всего сторонники формальной теории измерений, — то мы
123

вынуждены будем допустить, что и в самом деле способ¬
ны найти какие-то эмпирические эквиваленты числовым
свойствам, отношениям и операциям. Противоположное-
решение состоит в том, чтобы признать: не все свойства
действительных чисел, например аддитивность, эмпири¬
чески реализуемы. Но в этом случае мы должны отверг¬
нуть допущение гомоморфизма {или изоморфизма) меж¬
ду некоторой эмпирической системой с отношениями И'
реляционной системой действительных чисел.
Эти трудности не устраняет и теория метрического
соединения. Впрочем, о нереалистичное™ рассматривае¬
мой концепции свидетельствует уже тот факт, что аксио¬
ма, которую И. Пфанцагль считает выражающей свойство-
рефлексивности [Пфанцагль, 119, с. 20]*
а°а=а,	(4.3—7)-
необходимая для эадания операции осреднения (опреде¬
ления точки равноделения), имеет смысл только для един¬
ственного числового значения переменной а: либо для 0,.
если мы истолковываем знак о как символ сло?кения,
либо для 1, если мы трактуем его как символ умноже¬
ния**. Однако данная аксиома в своем числовом выраже¬
нии уже не имеет смысла, если знак о донимать как
символ вычитания, как этого требует аксиома бисиммет-
ричности (4.3—1) и если мы не хотим принимать эту ак¬
сиому в качестве тривиального следствия из аксиомы
ассоциативности для сложения***.
Для практического использования данной концепции
намного более важна эмпирическая интерпретация от¬
дельных аксиом и операциональная реализуемость опера¬
ции определения точки равноделения. Учитывая сущест¬
вование неаддитивных метрических величин, различие
между неметрическими и метрическими величинами обус¬
* фактически эта аксиома есть закон тавтологии (идемпотент¬
ности), который в логике высказываний дает возможность упро¬
щать выражения, содержащие операции конъюнкции и дизъюнк¬
ции, а в логике классов — операции объединения и пересечения
классов. Закон рефлексивности в логике отношений формулирует¬
ся в виде: (уя) (следует читать: «любой элемент * находится
в отношении R к самому себе»). — Прим. ред.
** Точнее говоря, рефлексивность, по Пфавцаглю, определяется
следующим образом: 1) элемент iosA называется рефлексивным,
если е.т0 = г0; 2) операция называется рефлексией, если все эле¬
менты множества X рефлексивны [см. русск. лерев.: Пфанцагль И.
119, с. 83]. — Прим. ред.
*** Она получается при использовании свойства коммуника¬
тивности сложения. — Прим. ред.
124

ловливается существованием единицы измерения, а не
возможностью нахождения какого-то эмпирического экви¬
валента арифметической операции сложения. Эта необхо¬
димая предпосылка измеримости в узком смысле слова
должна быть соблюдена и в случае обобщенного понима¬
ния метрической связности. По аналогии это справедливо
и для расстояния по шкале (функции расстояния), суще¬
ствование которой реализуется «общей и постоянной
единицей измерения» [Кумбс, 50, с. 481]. При этом усло¬
вии все непосредственно соседствующие шкальные рас¬
стояния (интервалы) будут постоянными, а их взаимо¬
отношения — зависящими от начала шкалы, без учета
того, каким является шкальный нуль, условным или
естественным.
Бели начало шкалы считать просто точкой соотнесе¬
ния—точкой, относительно которой ориентированы шкаль¬
ные значения, и если в интересах упрощения вычислений
отождествлять шкальный нуль с числовым, то мы можем
работать только с единицей измерения как таковой. Тог¬
да расстояния по шкале будут во всех случаях унифици¬
рованными: между любыми непосредственно соседствую¬
щими шкальными значениями они всегда окажутся рав¬
ными единице измерения или каким-то кратным или доль¬
ным единицам. Однако понятие шкального расстояния
было введено в теориях внефизического измерения имен¬
но для тех величин, для которых пока нельзя найти под¬
ходящей единицы измерения. Следовательно, сама пред¬
посылка, делающая осмысленным понятие шкального рас¬
стояния, опровергает те доводы, на которых покоится его
использование как геометрического понятия.
Для метрических величин соответствующие метриче¬
ские шкалы будут равномерными, [ср.: Бунге; 36,	И,,
с. 222] в том смысле, что последовательность шкальных
значений однозначно определяется кратными величина¬
ми относительно единицы измерения. По этой же причи¬
не функция расстояния как средство определения формы
шкалы излишня. Но, разумеется, для определения формы
неметрических шкал, которые являются неравномерными,
эта функция имеет большое значение. Однако в этом слу¬
чае мы не можем установить никакой единицы измере¬
ния, поэтому функцию расстояния нельзя реализовать.
Вывод, следующий из сказанного, очевиден: либо в нашем
распоряжении имеется единица измерения, и тогда
шкальное расстояние — подобно метрической связнос¬
ти — как средство установления формы шкалы азлиш-
125

не, либо у нас ее нет, и тогда данную функцию и связ¬
ность, нельзя объективно интерпретировать, эмпирически
реализовать и точно выразить в числах.
Для равномерных метрических шкал
[ і І І	1	І 1	I	I I 1..
і І і і	і	І	І	І і I
Xq Х\ Xg Xj	Х4	Xg Х6	Х7	Xg Х9 Xjo
очевидно справедливы следующие два условия:
d (■'■'о- хi) = d (xj, Xg) — d (Xg, x3) = ... d (xm, xm+j), (4.3 8)
<*(*і.*і+іНі**	(4.3—9)
где p есть единица измерения либо дольная пли крат¬
ная ей. Поэтому метрические шкалы являются равномер¬
но градуированными.
Для неравномерных неметрических шкал
Уо Уі Уг Уз Уі
т, е. шкал с неодинаковыми интервалами, эти условия не
выполняются. Разумеется, и для таких шкал тгеег смысл
требование какой-то шкальной функции расстояния
Л{Уі,Уі+і)=А{уі,уиі),
которая, однако, не реализуема посредством «общей и
постоянной единицы измерения»1.
Для того чтобы иметь возможность применять основ¬
ные арифметические операции над шкальными значения¬
ми, мы должны предполагать, что соответствующие шка¬
лы равномерны. Но это можно гарантировать только для
метрических шкал, пока их форма определяется едини¬
цей измерения и шкальным нулем. Так как эти два усло¬
вия необходимы н достаточны, условие существования
•шкального расстояния избыточно. Этот факт нельзя обой¬
ти за счет того, что при определении формы равномер¬
ных метрических шкал единица измерения заменяет
•функцию расстояния, удовлетворяющую лишь условие
(4.3—8). Если одновременно не выполняется условие
* Этому различению тогда соответствует различие между ли¬
нейными и нелинейными шкалами в обычном физическом смысле
•■слова.
126

(4.3—9), то равномерная градуировка, полученная, на¬
пример, с помощью осреднения, необоснованна.
Далее, для различения равномерных и неравномерных
шкал решающей является единица измерения, а отнюдь
не характер начала шкалы. С этой точки зрения необхо¬
димо расценивать и часто встречающееся утверждение
[ср.: Стивенс, 142, с. 146; Кумбс, 50, с. 483; Кумбс и др.,
51, с. 481; Акофф и др,, 1, с. 191] о том, что шкальные
значения на шкалах интервалов нельзя истолковывать как
кратные величины каких-то других шкальных значений.
Утверждение, согласно которому арифметические опера¬
ции могут проводиться только над интервалами шкальных
значении, а не с самими шкальными значениями, обосно¬
вывается, например, тем, что, скажем, температуру 64 °F
нельзя понимать как двойное количество температуры
32 “F, исходя из того, что по шкале Цельсия этим значе¬
ниям соответствуют значения 17,8 °С и 0°С, Поэтому опе¬
рация умножения допустима только тогда, когда мы срав¬
ниваем пары шкальных расстояний на одной и той же'
шкале, соотнося их с ее специфическим началом. Однако
к подобному заключению мы вынуждены были бы прий¬
ти и тогда, когда бы мы применили арифметические опе¬
рации к шкальным значениям любой другой метрической
величины, соотнесенной с разными опорными точками.
Итак, данная аргументация лишь на первый взгляд,
обоснованна и убедительпа. На деле же в ней смешаны две
точки зрения: отношение температурных шкал к разным
началам отсчета, с одной стороны, и свойства определен¬
ной температурной шкалы как таковой, с другой, причем
в одном случае шкальный нуль тождествен числовому
нулю, тогда как в другом —нет.
Равномерность метрических шкал является существен¬
ной характеристикой этих шкал относительно неметриче¬
ских шкал, градуировка которых но удовлетворяет ни од¬
ной известной закономерности. Но метрические шкалы не
обязательно должны быть всегда равномерными. Их
шкальные значения можно, например, преобразовать так,
что каждое из них будет выражено логарифмом соответ¬
ствующего шкального значения. Разумеется, преобразова¬
ние равномерной метрической шкалы в логарифмическую,
градуированную уже неравномерно, есть операция вто¬
ричная, относящаяся к шкальным значениям, а не непо¬
средственно к интенсивностям измеряемых метрических
величин.

5.	КВАНТИФИКАЦИЯ
После изложения концепций, ОТНОСЯЩИХСЯ к поняти¬
ям измерения, величины и шкалы, остается еще рассмот¬
реть содержание и объем понятия квантификации. Это
понятие включается в контекст примерно тех же теорий, в
которых рассматривается понятие измерения. Если под
квантификацией подразумевается переход от классифици¬
рующих понятий к понятиям метрическим или любая
процедура, с помощью которой эмпирические переменные
сопрягаются с числовыми переменными (но отнюдь не
заменяются ими или не сводятся к ним, как иногда необо¬
снованно утверждают), мы можем в соответствии с ха¬
рактером числового приписывания различить три разных
уровня квантификации. Эти различные по объему виды,
операционально характеризующиеся процедурами нуме¬
рации (цифрового наименования), упорядочения и изме¬
рения, соответствуют, таким образом, понятиям измере¬
ния в самом шпроком, широком и узком смысле слова.
Процедуры нумерации и упорядочения — иногда подразу¬
меваются только операции по упорядочению, но иногда
также и измерительные операции — в методологической
литературе, касающейся внефизического измерения, обыч¬
но обозначают термином шкалирование.
Квантификация в эмпирических науках включает не
■только измерение, но и очень важную операцию сложе¬
ния.
5.1.	Шкалирование
Термин шкалирование, трактуемый иногда и как си¬
ноним термина шкала [ср. также: Стивенс, 144, с. 26;
Льюс, 103, с. 147], используется главным образом в двух
.значениях. Во-первых, под шкалированием подразумева¬
ется совокупность методов, процедур ЕЛИ техник, ПОЗВО¬
ЛЯЮЩИХ достроить любую шкалу или только какие-то не¬
128

метрические шкапы [ср., например: Апсах, 164, с. !'■>;
Кранц и др., 94, с. 33]. Если помимо числового преобразо¬
вания допускается и цифровое приписывание, то в диапа¬
зон понятия шкалирования включается не только упоря¬
дочение, но и нумерация. Во-вторых, в психологии, социо¬
логии и других обществоведческих дисциплинах шкалиро¬
вание означает реальный процесс измерения, точнее го¬
воря, процесс так называемого качественного измерения,
который приводит к получению только шкальных значе¬
ний неметрических шкал 1ср., например: Xагендорф, 75,
с. 6S; Кумбс, 49, с. 484].
Для дифференциации и того, н другого значения будет
уместно, аналогично тому как мы поступили при интер-
цретации понятия измерения, ввести определенную тер¬
минологическую конвенцию: в первом случае мы будем
говорить об операциях шкалирования, пли о методиках
шкалирования, во втором же случае — о шкалировании.
Во внефизическом измерении операции шкалирования
играют роль, аналогичную измерительным процедурам в
физике. Разумеется, в отличие от операциональных про¬
цедур, используемых при различных физических измере¬
ниях, операции шкалирования намного более неопреде¬
ленны и произвольны. Это справедливо прежде всего для
операции нумерации, применяемой либо к отдельным
предметам, либо к классам предметов, например теле¬
фонных абонентов, заграничных паспортов, домов, улиц,
квартир, размеров обувп пли одежды, позиций в катало¬
гах и т. п.
Нумерация, приписывание цифр выполняет на прак¬
тике ту же функцию, что и наименование, номинация.
Поэтому для цифр, используемых только в качестве
специфических имен, не предполагаются какие-лпбо
арифметические соотношения. Если, например, вратарь
хоккейной команды обозначен цифрой 1, это не означает,
что он стал членом данной команды раньше, чем защит¬
ник, занумерованный цифрой 9. Если один из нападаю¬
щих обозначен цифрой 6, а другой — цифрой 12, то из это¬
го конвенционального наименования нельзя выводить за¬
ключение, что один из них играет вдвое лучше другого.
Разумеется, цифровому обозначению нельзя отказать в
ряде преимуществ: оно наглядно, имеет большую инфор¬
мативную ценность, облегчает запоминание названий
оцифрованных предметов и позволяет в целом произволь¬
но расширять их количество. Если кто-то, например, на¬
ходится в Праге на Парижской улице, это еще пе значит,
9 Зак. № 1102
129

что он, не имея под руками плана города, сумеет опреде¬
лить, где находится улица Жатецкая. Если же, наоборот,
он окажется на 26-й восточной улице Манхеттена, ему не
составит труда найти 28-ю восточную улицу. Разумеется,
это различие между именным и цифровым обозначением
не следует переоценивать, поскольку определенную по¬
следовательность символов образуют и буквы алфавита.
Однако истолковывать нумерацию как вид измерения ни
в каком случае нельзя. Ибо из этой точки зрения, отстаи¬
ваемой некоторыми методологами, анализирующими вне-
физическое измерение, следует, что, используя подобное
специфическое указание имен, мы в состоянии прийти к
заключениям количественного характера.
Поэтому не приходится удивляться, что понятие шка¬
лирования иногда интерпретируется в том же значении,
что и понятие измерения и что такая интерпретация
переносится и на понятие шкалы. Эта концепция строит¬
ся либо на понятии измерения, при котором в соответ¬
ствии е классификацией Кэмпбелла или ее модификация¬
ми [Эллис, 56, с. 54] по аналогии различают фундамен¬
тальные (основные), производные п ассоциативные (за¬
висящие от принятых условий) шкалы [например: Берг¬
ман, Спенс, 12, с. 8 и сл., с. 11; Суппес и Зинес, 155, с. 16
н сл.; Эллис, 56, с. 78, 90 и сл.], либо на понятии шкалы,
при котором, согласно классификации типов шкал Сти¬
венса (см. 7.1), используется, например, понятие интер¬
вального измерения и измерения номинального уровня
[например: Стивенс, 141, с. 45; Кумбс, 49, с. 473]. Это поня¬
тийное «загрязнение» можно было бы объяснить неточ¬
ным, а иногда просто чрезмерно кратким способом выра¬
жения. В первом случае следует явно говорить: «шкалы,
которые мы получили как результат фундаментального,
производного или ассоциативного (определяемого приня¬
тыми условиями) измерения», а во втором — «измерение,
которое ведет к образованию интервальной шкалы». Ивее
же подлинной причиной этого смешения понятий шкали¬
рования и измерения, шкалы и измерения [например:
Бергман, Спенс, 12, е. 6; Пфанцагль и др., 119, с. 31]
является лишь стремление некоторых методологов, иссле¬
дующих внефизическое измерение, трактовать понятие
измерения, а следовательно, н квантификации, в макси¬
мально широком смысле слова.
Как уже говорилось, с такой концепцией мы встреча¬
емся прежде всего у С. Стивенса, который рассматривает
наличие правила цифрового приписывания не только в
130

качестве существенного признана определения понятия
измерения (см. 2.2), но и как существенную характерис¬
тику понятия шкалы [Стивенс, 143, с. 23]. В модифицп,
рованном виде аналогичную точку зрения мы встречаем
и у других авторов. Так Эллис [Эллис, 56, с, 41], напри¬
мер, уточняя правило цифрового приписывания и
связывая его с требованием детерминированности, соглас¬
но которому одна и та же цифра должна приписываться
■одним и тем же вещам при одних и тех же условиях,
:а также с требованием невырожденности, согласно кото¬
рому разные цифры должны приписываться разным ве¬
щам или одной и той же вещи при разных условиях,
•отождествляет шкалу измерения с существованием неко¬
торого правила, которое трактуется им как видовое раз¬
личие, фигурирующее в классическом опре дел ешш поня¬
тия измерения.
Однако вопрос о том, можно ли квантифицировать то
или иное понятие, на деле зависит не от цифрового при¬
писывания, которое всегда можно конвенционально реа¬
лизовать, а от объективно существующих аспектов соот¬
ветствующих предметов, явлений и процессов. Истолковы¬
вать цифровое приписывание как частный случай кванти¬
фикации — значит превращать последнюю в условность
до такой степени, что стирается всякое различие между
тем, что измеримо, а что — нет, что квантифицируемо, а
что нет.
Разумеется, можно констатировать, что некоторые ме¬
тодологи, исследующие внефизическое измерение, при
■определении объема понятий измерения и квантификации
■занимают гораздо более реалистическую позицию [ср.
Росс, 124, с. 47 и сл.; Саугстед, 127, с. 159 и с л.; Роу збуті,
125, с. 171 и сл.; Сикурел, 47, с. 119]. Они говорят о шка¬
лировании только в связи с конструированием и исполь¬
зованием топологических (неметрических) шкал, отказы¬
ваясь относить к ироцедурам шкалирования цифровое
(приписывание и считая недопустимым отождествление
понятий шкалирования и измерения.
В соответствии с этой точкой зрения, которую мы уже
отстаивали при изложении понятий измерения и величи¬
ны, мы — наряду с применявшимися до сих пор термина¬
ми: измерение в самом, широком смысле слова, измерение
•в широком смысле (измерение на низком уровне) и изме¬
рение в узком смысле слова (измерение па высоком уров¬
не) — будем синонимично использовать также следующие
терминологические эквиваленты: в первом случае гово-
J3I

рить о нумерации, во втором—о шкалировании, а в треть¬
ем— об измерении.
Итак, шкалирование можно понимать либо как само¬
стоятельный метод, на онтолого-гноееологическом уровне
связанный со слабо (но никак не с сильно) количествен¬
ными аспектами объективно существующих предметов,
явлений и процессов, на уровне эмпирико-математиче¬
ском — с неметрическими величинами и на уровне теоре¬
тическом — с топологическими понятиями, либо как не¬
обходимую предварительную ступень измерения, опреде¬
ляющую топологические условия метризации. Хотя эти
альтернативы не исключают друг друга, мы будем отда¬
вать предпочтение первой. Понятно, что к такому пони¬
манию мы должны приспособить и интерпретацию про¬
цедур шкалирования. Диапазон этих процедур будет огра¬
ничен только такими операциональными методами, кото¬
рые позволяют конструировать неметрические шкалы.
Как же относятся понятия числового приписывания,
шкалирования и измерения к понятию квантификации?
Если демаркационная линия проходит на уровне опера¬
циональном и если, следовательно, различается цифровое
п числовое приписывание, то из объема понятия кванти¬
фикации удаляется только понятие нумерации [ср., напри¬
мер: Бунге, 36, II, с. 197, 206]. Но если мы считаем гораз¬
до более существенным различение и взаимоотношения
между качественными, слабо и сильно количественны¬
ми аспектами объективно существующих предметов, явле¬
нии и процессов на уровне онтолого-гпосеолотческом, то,
считая это первичным критерием, из объема понятия кван¬
тификации мы должны исключить и шкалирование.
Поэтому в интересах данной концепции мы будем счи¬
тать частным случаем квантификации только измерение.
Нумерацию же (цифровое приписывание) мы будем трак¬
товать как псевдоквантификацию, а шкалирование (чис¬
ловое упорядочение) —как квазиквантификацию.
5,2.	Подсчет
Числовое преобразование, представляющее сильно ко¬
личественные аспекты реальных объектов, не ограничива¬
ется, однако, только измерением, но включает и счет, ко¬
торый следует расценивать как дальнейшую, более эле¬
ментарную форму квантификации.
Под счетом мы подразумеваем эмпирико-математиче-
снлй метод, с помощью которого можно установить колн-
132

честно или число элементов некоей совокупности (класса*
множества) объектов, обладающих по крайней мере од¬
ним общим свойством. Объекты, допускающие подсчет,
составляют множество дискретных, хорошо различимых
индивидуальных предметов, явлений пли процессов, мно¬
жества таких объектов, с которыми можно обращаться
так, словно они дискретны.
Путем подсчета мы можем, например, определить ко¬
личество людей, которые в молодости переболели такой-то
инфекционной болезнью, поскольку отдельные люди впол¬
не различимы и относительно них можно объективно
установить, перенесли ли они когда-то эту болезнь плп
нет. Однако трудности появляются уже при подсчете
капель воды, дока мы не установим какое-то соглашение
о том, что мы будем понимать под «каплей воды», п не
используем какое-то устройство, скажем, пипетку, ко¬
торое позволит разделять воду на относительно одинако¬
вые части. Если нам надо указать количество мужчин и
женщин в какой-то группе людей, мы легко можем уста¬
новить однозначный критерий для различения элементов
в обеих группах. Но если требуется установить, сколько
в каком-то коллективе квалифицированных рабочих,
сколько опубликовано художественно п идейно ценных
романов, сколько имеется математически одаренных детей
и пр., то хотя мы и можем узнать число индивидуальных
элементов в каждой из рассматриваемых групп, но ре¬
зультат подсчета не будет точен, пока не удастся на
основе дальнейших содержательных критериев решить,
какие элементы мы должны включить в выделенные клас¬
сы, а какие — в дополнительные к ним.
Далее счет предполагает, что элементы подсчитывае¬
мой совокупности объективно появляются в определен¬
ной временной последовательности (как это имеет место,
когда мы считаем, например, пульс конкретного человека,
количество машин, проезжающих через данный перекрес¬
ток) или что мы можем регистрировать пх один за дру¬
гим, если они имеются в совокупности (когда, напри¬
мер, мы выясняем количество книг в библиотеке, количе¬
ство предметов в комнате и т. п.). Совокупность объек¬
тов, численный состав которых мы хотим установить, не
обязательно должна быть однородной. Это могут быть не
только объекты, одинаковые по своему типу, но и весь¬
ма разнородные вещп, например предметы, попадающие
в бюро находок. Тем не менее даже такие совокупности
объектов, как, например,
133

{яблоко, яблоко, яблоко, яблоко, яблоко, яблоко},
{Европа, Африка, Азия, Америка, Австралия,
Антарктида},
{зонтик, ключи, клетка, собака, папка,
левый мужской ботинок},
сходны с точки зрения численного состава; в данном при¬
мере они даже одинаковы. Если, сравнивая их друг с
другом, каждый элемент одной совокупности привести в
соответствие в точности с одним элементом другой, и на¬
оборот, то не обязательно вообще использовать числа. Но
тогда, разумеется, можно установить только, имеют ли
рассматриваемые совокупности одинаковый численный
состав (т, е. равнозначны в количественном отношении)
или одна пз них пмеет больший (или меньший) состав
такого рода (т. е. менее или более многочисленна), чем
другая. Общее свойство этих совокупностей — иметь боль¬
ший численный состав, чем!иметь такой же численный
состав, что и (быть большей по количеств у/быть такой же
по количеству) — в данных условиях является лишь срав¬
нительным понятней. От последнего понятия мы прихо¬
дим к метрическому понятию численного состава, числен¬
ности, если одна из сравниваемых совокупностей являет¬
ся множеством неотрицательных целых чисел.
Поскольку установление численного состава элементов
некоей совокупности объектов относительно численности
элементов другой совокупности возможно без применения
чисел, то счет часто истолковывается как эмпирическая
операция, которая с операциональной точки зрения за¬
висит от нумерации, перечисления [ср.: Кэмпбелл, 38, с.
301, 309; Веркмайстер, 166, с. 269: Бунге, 36, II, с. 212,
218]. Однако как эмпирическая операция счет истолковы¬
вается п тогда, когда применяется уже числовое представ¬
ление, если только операции измерения придается эмпири¬
ческий характер. Из посылки, согласно которой счет есть
частный случай измерения, — будь то самый основной или
только специфический его вид, то есть измерение чисел,—
делается заключение о том, что число, точнее говоря,
«физическое» или «эмпирическое» число, то есть числен¬
ный состав, илп численность, есть физическое свойство
классов эмпирических объектов, а следовательно, неиме¬
нованная физическая величина, являющаяся фундамен¬
тально измеримой [ср.: Кэмпбелл, 38, с. 303 и сл.; Смарт,
134, с. 2; Стивенс, 143, с. 72; Эллис, 56, с. 152 и сл.].
С таким пониманием счета согласиться нельзя. Рас¬
134

смотрим прежде всего различие между перечислением и
счетом. Перечисление можно применять в случае, когда
мы имеем дело с объектами одного-единств енного множе¬
ства, счет же всегда относится по меньшей мере к двум
совокупностям: или к каким-то множествам объектов,
если мы оперируем только сравнительным понятием иметь
больший численный состав, чем!иметь такой же числен¬
ный состав, что и, или к какой-то совокупности объектов
и множеству неотрицательных целых чисел, если МЫ ОТ¬
НОСИМ эту операцию к метрическому понятию численного
состава, численности. При перечислении мы характеризу¬
ем данное множество качественно: сообщаем, какие эле¬
менты в нем заключены. Путем счета мы определяем его
количественно: устанавливаем, сколько их.
Перечисление не связано с использованием чисел —
оно состоит в наименовании индивидуальных элементов
данной совокупности. Тем самым данная определенно
эмпирическая операция отличается как от эмпирико-мате¬
матической операции счета, основанной па взаимно-одно¬
значном соответствии между некоторой совокупностью
объектов и множеством неотрицательных целых чисел,
так и от процесса вычисления, включающего выполнение
разных математических операций вад числами. Счет сле¬
дует истолковывать как эмпирико-математическую опера¬
цию и в том случае, когда, кроме математического поня¬
тия числа, мы допускаем и «физическое» понятие числа,
поскольку и в этом случае приходится признать, что речь
идет об отображении некоей совокупности эмпирических
объектов на множество чисел.
Далее, в какой мере оправданно говорить об «эмпири¬
ческих числах» и трактовать их как фундаментально из¬
меримые величины? Так как мы уже рассматривали отно¬
шение, существующее между числами и величинами
(см, 3.1) и критически проанализировали номиналист¬
скую концепцию математики Кэмпбелла (см. 2.2), нам
нет необходимости подробнее обосновывать неоправдан-
ность такого понимания. Почему мы встречаемся с подоб¬
ным пониманием именно при уяснении понятия счета, это
очевидно. Если счет есть частный случай измерения и
если измерение относится к величинам, то величиной сле¬
дует считать и то, что является предметом счета. Однако
существует более важный довод. Если физические числа,
или численный состав некоей совокупности объектов, мож¬
но истолковывать как специфическую величину, которая
даже фундаментально измерима, то это создает возмож¬
135

ность измерений, так сказать, без какого-либо ограниче¬
ния. Ведь процедуру определения количества элементов
любой совокупности, как однородных, так и весьма разно¬
родных, с помощью счета — в той мере, в какой эти эле¬
менты можно истолковать в качестве индивидуальных
объектов, — можно реализовать при любых обстоятель¬
ствах.
Критически рассматривая утверждение, согласно кото¬
рому счет является специфическим случаем измерения,
мы, исходя из приведенного выше истолкования понятия
счета, обнаруживаем, что между процедурами счета и из¬
мерения существуют удивительные различия. Счет пред¬
полагает только отображение на множество неотрицатель¬
ных целых чисел, измерение же связано с отображением
либо на множество рациональных чисел (если мы рас¬
сматриваем экспериментально получаемые значения мет¬
рических величин), либо на множество действительных
чисел (если пронимать во внимание также и вычисления,
производимые при обработке экспериментально получен¬
ных числовых значений). Измерение подразумевает упо¬
рядочение, а при счете неважно, в каком порядке произво¬
дится подсчет элементов данной совокупности. Путем
измерения мы квантифицируем однородные свойства
предметов, явлений и процессов; посредством же счета
устанавливаем только численность индивидуализирован¬
ных элементов, входящих в совокупность объектов, при¬
чем элементов, которые часто качественно весьма разно¬
родны.
Сторонники концепции, которую мы здесь критикуем,
могут, разумеется, не признавать эти различия сущест¬
венными. Они могут сослаться на то, что некоторые мет¬
рические величины тоже дискретны, так что их можно
трактовать как классы индивидуализированных элемен¬
тов, Кроме того, они могут подчеркнуть, что множество
неотрицательных целых чисел содержится в множестве
действительных, расценивая этот факт как подтвержде¬
ние своей позиции. Но от чего им не удается отмахнуться
(идет ли речь об определении численного состава элемен¬
тов какого-то класса, об измерении численности его эле¬
ментов путем счета или же об измерении «физических»
чисел), так это от отсутствия существенного компонента
измерения — его единицы, а вследствие этого и метриче¬
ской шкалы.
Это обстоятельство достаточно хорошо осознает Б. Эл¬
лис [Эллис, 56, с. 153, 159], который, хотя и отстаивает
136

точку зрения, согласно которой «физическое» число есть
величина, в то же время сомневается в том, уместно ли
вообще понимать счет как измерение и говорить о шкале
измерений величины, для которой мы не можем устано¬
вить единицы измерения, Суппес и Зипес также призна¬
ют, что, хотя счет и позволяет нам однозначно определить
численный состав элементов в данной совокупности, он
не дает в наше распоряжение какой-либо условной еди¬
ницы измерения или шкального нуля. Тем не менее пз
этого делается вывод, будто счет является специфическим
видом измерения, которое осуществляется с помощью так
называемой абсолютной шкалы [Суппес, Зпнес, 155, с. 9].
Так как оба автора отличают эту шкалу от шкалы отно¬
шений и от шкалы интервалов, они тем самым явно при¬
знают, что для этой шкалы можно установить естествен¬
ную единицу измерения и естественный шкальный нуль.
С. Стивенс [Стпвенс, 142, с. 147; ср. также: Стивенс, 144,
с. 20] причисляет шкалу чисел, которую он вместе с тем
интерпретирует как шкалу численности эмпирических
совокупностей предметов, к шкалам отношений. Такую
числовую шкалу (шкалу кардинальных чисел, используе¬
мую при счете) он даже считает основным видом отно¬
шений. Следовательно, в отличие от Суппеса и Зинеса, он
вынужден допустить, что для нее можно найти какую-то
условную единицу измерения.
Такие взаимоисключающие взгляды убедительно сви¬
детельствуют о том, какие трудности следуют из подчине¬
ния понятия счета понятию измерения, из истолкованпя
числа, численности как метрической величины, из причис¬
ления к метрическим шкалам числовой последовательно¬
сти неотрицательных целых чисел, то есть самой число¬
вой шкалы.
Что же является единицей измерения и шкальным
нулем этой абсолютной шкалы? Ее единицей измерения
может быть только число 1, относящееся к любым инди¬
видуализируемым элементам всякого непустого множест¬
ва объектов. Но ее шкальным нулем уже не может быть
число 0, поскольку это число сообщает нечто о чпелен-
пости элементов сосчитываемого множества. Если мы
ограничим счет только непустыми множествами, то
шкальным нулем абсолютной шкалы тоже должно быть
число 1. Но в этом случае утрачивается всякое различие
между естественным началом и естественной единицей
измерения этой специфической шкалы. Следовательно,
абсолютная шкала не удовлетворяет одному из условий,
137

которым, как считается, должна удовлетворять форма мет¬
рических и неметрических шкал.
Единицу абсолютной шкалы нельзя, однако, понимать
ни как единицу измерения, ни только как единицу счета.
Единица счета, даже если она относится к разным инди¬
видуализируемым элементам некоторого множества, всег¬
да является неименованным числом. В отличие от изме¬
рения, при счете мы абстрагируемся от качественных
определений сосчитываемых объектов. Что же касается
численного состава, то все множества одинаковой числен¬
ности, даже состоящие из качественно разнородных объ¬
ектов (например, множества из шести деревень, шести
континентов, шести теорий и т. д.), тождественны. В ка¬
кой степени единица счета естественна, как полагают
П. Суппес и Дж, Зинес, пли условна, как считает С. Сти¬
венс? Ее «естественность» коренится, по-видимому, в том,
что она всегда относится к единственному индивидуали¬
зируемому элементу данного множества, а ее «услов¬
ность» задается тем, что это может быть любой индиви¬
дуальный предмет. Но этим единица счета опять-таки су¬
щественно отличается от единицы измерения.
Если счет принять в качестве вида измерения (и, зна¬
чит, единицу счета — в качестве единицы измерения), то
получится, что с помощью подсчета можно измерять и
неметрические величины, для которых у нас в распоря¬
жении нет никакой единицы измерения. Поскольку мож¬
но, например, подсчитывать численный состав людей, по¬
сещающих театр, чпслепность людей, положительно отно¬
сящихся к спорту, количество листов бумаги, приходя¬
щихся на одного человека и т. д., многие методологи, ана¬
лизирующие внефизическое измерение, делают отсюда
вывод, что путем счета можно измерять частоту посещае¬
мости театров, отношение людей к спорту, уровень их
культуры и т. п. Если бы это было так, то измерять
можно было бы все что угодно, и делать это совсем не¬
сложно, поскольку, в сущности, каждое общее понятие,
охватывающее в своем объеме, как правило, больше од¬
ного объекта, оказалось бы тогда метрическим, количест¬
венным понятием.
В действительности же с помощью подсчета можно
установить только численность элементов некоей сово¬
купности. Благодаря этой исходной форме квантификации
мы получаем основные количественные данные, но сами
по себе они, однако, еще не могут служить основанием
для выведения каких-либо последующих заключений, не¬
138

посредственно касающихся качественных аспектов сосчи¬
тываемых предметов, явлений или процессов. Это спра¬
ведливо п в случае таких понятий, как, например, трав¬
матизм, аварийность, рождаемость, смертность. Если мьг.
трактуем эти и им подобные понятия только как синони¬
мы понятий «число травм», «число аварий», «число ново¬
рожденных» или «число умерших», то есть как количест¬
венно определенные понятия (но не как метрические
понятия в том смысле, который мы придали этому поня¬
тию во введении), то на осиове полученных количествен¬
ных данных мы можем сказать только то, что в течение
определенного периода времени в рамках определенной
демографической группы имело место столько-то травм
пли аварий, что родилось столько-то п умерло сюлько-то
людей. Если же мы хотим с помощью этих понятии вы¬
разить нечто большее, то количественные данные, полу¬
ченные посредством подсчета, образуют только один из их
признаков, Эти данные, предоставляющие материал для
дальнейшего статистического исследования, носят харак¬
тер так называемых индикаторов (показателей), которые,
однако, не представляют метрические величины в смыс¬
ле теорий измерений.
Точно так же нельзя рассматривать в качестве част¬
ного случая эмпирико-математического метода измерений
так называемые корреляции, установление которых по
своей сущности является лишь делом статистической об¬
работки количественных данных, точнее говоря, представ¬
ляют собой вычисление тех или иных статистических
характеристик. Игнорирование существенного различия
между первичным использованием эмпирико-математиче¬
ского метода измерения и вторичной статистической обра¬
боткой данных (независимо от того, были ли они получе¬
ны путем измерения или подсчета) является еще одной
причиной того, почему методологи, изучающие внефпзн-
ческое измерение, относят к категории измерения также
и подсчет. Тем более невозможно принять ссылки на ста¬
тистические «измерения» корреляций между разными
показателями, полученными с помощью счета, в качестве
убедительных аргументов в пользу применимости измери¬
тельных процедур при изучении поведения человека и
социальных групп.
Точке зрения, согласно которой подсчет есть специ¬
фический вид измерения, противостоит противоположная
ей: она состоит в том, что измерение сводится к счету,
то есть к подсчету численного состава единиц измерения,
139

содержащихся в отмеренных значениях метрических
величин [ср., например, Карнап, 41, с. 15 и сл.: Кокель-
манс, 90, с. 115]. Хотя эта точка зрения, опирающаяся
прежде всего на практику физического измерения, п ме¬
нее спорна, она также уязвима для критики, ибо игнори¬
рует различие между первичным и вторичным использо¬
ванием процедуры подсчета п, будучи последовательно
развита, ведет к упрощенному истолкованию проблема¬
тики измерения.
Путем подсчета, как уже говорилось, определяется
численность индивидуализируемых объектов некоторой
совокупности, п поэтому он применим к дискретным сущ¬
ностям, к отдельным объектам; измерение же связано со
свойством непрерывное™. Разделяя с помощью единицы
измерения измеряемую величину на последовательность
индивидуализируемых и одинаковых по размеру элемен¬
тов, мы можем в качестве вторичной процедуры приме¬
нить счет и к этому специфическому виду дискретных
объектов; тогда эта процедура будет выступать в виде
вспомогательной компоненты измерительных процедур.
Из этого факта, однако, нельзя делать тот общий вывод,
что измерение можно свести к счету.
В заключение хотелось бы коротко ответить на одно
возможное возражение. Если мы понимаем подсчет как
вид квантификации, то не вытекают ли из этого след¬
ствия, аналогичные тем, которые вытекают из критико¬
вавшейся нами точки зрения, согласно которой счет явля¬
ется специфическим видом измерения? Ответ таков. Мы
провели различие между псевдоквавтификацией, квази-
квантифпкацией и квантификацией, из чего должно быть
ясно, что в нашей интерпретации нумерация и шкалиро¬
вание — в отличие от подсчета и измерения — не могут
рассматриваться как виды квантификации.

6.	ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
О теории измерений можно говорить в разных отно¬
шениях, Это вызвано не только тем, как мы, собственно,
интерпретируем понятие измерепия — в широком плп
узком смысле, но и тем, в каком диапазоне мы собираем¬
ся стропть эту теорию. Ведь можно рассуждать об общей
теории измерений, о частных теориях измерении, прежде
всего физического и внефизического, о теории определен¬
ного вида измерений, например фундаментального изме¬
рения, специфицированного в тех или иных случаях
применительно к определенной научной дисциплине, о
теории измерений некоторой метрической величины, на¬
пример массы, о теории измерительных процедур на об¬
щем уровне пли только о теории измерительных проце¬
дур, применяемых при измерении одной величины, либо
используемых с целью получения определенного интерва¬
ла шкальных значений. Строя теорию измерений в том
или ином объеме и направлении, мы можем подчеркивать
концептуальные, методологические и операциональные
аспекты измерения, его эмпирические и математические
характеристики; но мы можем также сосредоточиться
только на анализе некоторых из них. Разумеется, эти воз¬
можные подходы всегда подвержены влиянию общемето¬
дологических концепций и философских взглядов, а по¬
тому— даже нри совпадении выбранных для анализа
вопросов — должны вести к различным, иногда совершен¬
но противоположным результатам.
Классическая теория измерений, выдвинутая Г. Гельм-
тольцем и разработанная Н. Р. Кэмпбеллом, включала в
себя прежде всего формулировку так называемых зако¬
нов измерения, а именно закона упорядочения, закона
сложения и закона канонического следования, и анализ
двух основных видов измерения — фундаментального и
производного. В теории измерении, разработанной Р. Кар-
141

напои, К. Гемпелем, В. Штегмюллером и другими авто¬
рами в связи с различением классифицирующих, сравни¬
тельных и метрических понятий, основные компоненты
классической теории измерений расширяются за счет
аксиоматизации необходимых и достаточных концептуаль¬
ных предпосылок измеримости с помощью установления
условий метризации. В концепции С. С. Стивенса теория
измерений интерпретируется, в сущности, как теория
шкал, которая базируется на свойствах преобразований
шкальных типов и допустимых статистических операций
над эмпирическими данными в зависимости от этих типов.
Под влиянием аксиоматической теории ожидаемой полез¬
ности Неймана—Моргенштерна и концепции модели
А. Тарского П. Суппес, Дж. Л. Зинес и другие методоло¬
ги, представляющие формальный подход в теории изме¬
рений, причем прежде всего в применении к впефпзнче-
скому измерению, сосредоточивают свое внимание на
структурных свойствах разных систем измерения н изме¬
рительных процедур и на двух основных теоремах теории
измерений — на теореме представления н теореме един¬
ственности,
В этой главе будет дан критический анализ лишь наи¬
более важных вопросов общей теории измерений, прежде
всего проблемы классификации видов измерения, условий
метризации и проблемы представления, включая теоремы
о представлении. Другие вопросы будут рассмотрены в
связи с теорией шкал. В обоих случаях мы покажем, что
разные подходы к теоретическим основаниям измерения
в значительной мере сходны и что многие проблемы час¬
то не решаются однозначно.
6.1.	Релрезеитацнонная теория измерении
(теория представлений)
Все общие теории измерений — идет ли речь о тео¬
рии, связанной с классической концепцией Кэмпбелла,
или о так называемых либеральных теориях [Кангер, 88,
с. 28], пропагандируемых методологами, исследующими
виефизическое измерение, — явно или неявно опираются
па предположение* об определенном гомоморфизме {или
* Поскольку, как станет ясно из последующего изложения,
предположение это означает требование описания формальных
свойств рассматриваемых эмпирических операций и соотношений
путем подбора структур, построенных из абстрактных объектов,
гомоморфных (и, в частном случае, изоморфных) эмпирическим
142

изоморфизме), существующем между какоП-то эмпириче¬
ской реляционной системой <!Г и определенной числовой
реляционной системой Jf. В связи с тем что эта предпо¬
сылка обычно приводит к пониманию числового отобра¬
жения как задающего определенную функцию представ¬
ления, такие теории измерений получили название репре-
зентационных.
Различие между отдельными вариантами репрезента-
ццонной теории измерений заключается в том, как в них
интерпретируется природа числового отображения, число¬
вого представления, как понимается взаимное соответст¬
вие числовых и эмпирических соотнесений и операций,
как теоретически обосновывается возможность этих соот¬
несении и какие последствия из всего этого выводятся
относительно представления эмпирических характеристик
измеряемых величин, прежде всего с учетом характера
получаемых шкальных значений.
В зависимости от того, в каком объеме трактуется по¬
нятие измерения, функция представления принимает
значения либо цифр, либо ординальных чисел, либо чисел
кардинальных. Аналогичным образом по-разному интер¬
претируется и репрезентационныи характер числовых
соотношений и операций. Некоторые авторы отстаивают
тот взгляд, что числовые отношения н операции должны
представлять соответствующие им эмпирические отноше¬
ния и операции только в случае фундаментального изме¬
рения, другие же требуют этого и для остальных впдов
измерения — хотя бы в определенной мере. С учетом
того, к каким величинам применяется измерение — к
строго экстенсивным, экстенсивным или квазиэкстевсив-
ным, — требование корреляции между структурами эмпи¬
рической и числовой реляционных систем либо распро¬
страняется на отношения п операции, либо ограничива¬
ется только отношениями.
Репрезентационная теория измерений, разумеется, не
может сводиться лишь к констатации того, что числа при¬
писываются эмпирическим объектам таким-то п таким-то
образом, что тем или иным соотношениям между объекта¬
ми и операциям над ними отвечают определенные соот¬
ношения между числами и операции над числами, — она
структурам, его выполнение — в рамках подхода, анализируемого
здесь автором, — равносильно доказательству того, что обычно на¬
зывают теоремой (теоремами) о (численном) представлении спо¬
соба измерения; доказательство этой теоремы (теорем) средства¬
ми аппарата соответствующей «формальной» теории измерений счи¬
тается при этом решением проблемы представления. — Прим. ред.
143

должна теоретически обосновать условия, при которых это
приписывание не только возможно, но и эмпирически зна¬
чимо и операционально реализуемо. При обосновании
фактического существования и значимости этой корреля¬
ции, определяемой правилами соответствия между эмпи¬
рической и числовой реляционными системами, между
эмпирическими фактами и числовыми выражениями, мож¬
но в принципе либо исходить из какой-то числовой систе¬
мы с отношениями — и тогда искать для нее подходящую
эмпирическую модель, — либо, наоборот, устанавливать
(на более общем или специфическом уровне) формаль¬
ные характеристики, которым исследуемая эмпирическая
спстема с отношениями должна удовлетворять, еелн мы
хотпм найти соответствующую ей числовую реляционную
систему.
Эта основная проблема каждой общей теории измере¬
ний решается двояким способом: или формулировкой
условий метризации для объектов эмпирической реляци¬
онной системы, или позитивным решением так называе¬
мой проблемы представления, т. е. путем доказательства
соответствующей теоремы представления, В обоих слу¬
чаях преследуются, в сущности, одинаковые цели: теоре¬
тическое обоснование измеримости определенного свой¬
ства или величины строится, как правило, на базе аксио¬
матизации двух реляционных систем, хотя, как мы пола¬
гаем, достаточно в аксиоматическом виде определить
условия измеримости только в одном случае, дополнив нх
надлежащими правилами соответствия. Доказательство
теоремы представления, так же как метризация, при этом
специфицируется относительно разных видов измерения
или разных видов величин.
Поскольку получаемые числовые значения, приписы¬
ваемые в результате измерения эмпирическим элементам»
единственны лишь до определенной степени (например—
в случае измерения строго экстенсивных величин — с точ¬
ностью до единицы измерения), следующей основной
проблемой репрезентационной теории измерений является
так называемая проблема единственности; она состоит в
установлении меры этой единственности и в определении
условий, при которых разные шкальные значения могут
представлять одни и те же слабо (или сильно) количе¬
ственные аспекты измеряемых свойств или величин.
Проблему единственности можно решать тоже двояко:
либо для каждого вида числового отображения эмпириче¬
ской реляционной системы доказывать особую теорему
144

единственности, определяющую условия преобразования.,
при которых шкальные значения остаются инвариантны¬
ми, либо, с учетом видов шкал, производить инвариант¬
ные преобразования, при которых форма шкалы не изме¬
няется. Так как инвариантность относительно допустимых
преобразований является первичным, основным критери¬
ем различения шкальных типов, эту вторую основную'
проблему репрезентационной теории измерении удобнее
изучать уже в связи с теорией шкал.
6,2.	Виды измерении
Прежде чем приступать к проблематике тодологиза-
цпп и метризации и к анализу проблемы представления,
следует проанализировать разные классификации видов
измерений. Это, как правило, дихотомические классифи¬
кации, которые касаются не только системы измерений,,
но и измерительных процедур и находятся в связи с клас¬
сификацией величин и метрических шкал.
Во всех теориях измерений мы встречаемся с разли¬
чением так называемых фундаментального и производ¬
ного измерений, различением, которое было предвосхище¬
но в проведенном Г. Гельмгольцем анализе измерении и
счета. Однако эта основная классификация интерпрети¬
руется в разных теориях измерений неодинаково.
В классической концепции измерения, разработанной
Кэмпбеллом, в качестве фундаментального измерения
принимается всякое измерение, не предполагающее ника¬
ких предшествующих измерений. Измерения, которые
зависят от предшествующих измерений, трактуются как
производные измерения [ср., например: Кэмпбелл, 39,
с, 14, 101]. Аналогичное различение проводится между
фундаментальными и производными измерительными опе¬
рациями.
Такие внешне сходные классификации исходят из из¬
вестного наблюдения, что одни величины измеримы пли
измеряются вне зависимости от предыдущих измерений,
тогда как другие — измеримы или измеряются только с
помощью ранее выполненных измерений; иными словами,
одни измерительные процедуры непосредственны, а дру¬
гие — опосредованы. С теоретической точки зрения эта
концепция фундаментального и производного измерений
строится со ссылкой на систему физических величин И
анализ размерностей. С позиций же практически прово¬
димых измерений она подтверждается возмошностью-
Ю Зак. № 1102
145

измерения некоторых величин непосредственно (либо с
помощью сравнения с какой-то последовательностью эта¬
лонных предметов, либо при помощи соответствующим
образом сконструированных измерительных устройств)
или опосредованно—на основе числовой обработки пре¬
дыдущих результатов измерений топ же или другой
(других) величины (величин).
Для кэмпбелловской концепции, как мы уже подробно
говорили при анализе понятия величины (см. 3.5), суще¬
ственно, помимо этого, то обстоятельство, что фундамен¬
тальное измерение принципиально применимо только к
строго экстенсивным величинам. Производное измерение,
осуществляемое на основе числовых или эмпирических
законов, относится также и к экстенсивным и (илы) ква-
31 экстенсивным величинам.
Значимость фундаментального измерения при этом
видится в том, что такой вид измерения служит исход¬
ным пунктом для всех прочих измерений, что он удовле¬
творяет всем условиям топологизации и метризации, а
также что он операционально реализуем.
Чем же, однако, обосновать приоритет фундаменталь¬
ного измерения? Как объяснить, что измерение некоторых
величин можно проводить независимо от измерений дру¬
гих величин? Если мы хотим исследовать эти проблемы
и поддержать оправданность такого рода основной класси¬
фикации видов измерения, то прежде всего надо выяс¬
нить, в каком смысле следует трактовать понятие незави¬
симости.
Независимость фундаментального измерения, напри¬
мер измерения длины, которую принято считать основной
величиной в системе физических величин, можно, по-ви¬
димому, истолковать только так, что по историческим и
систематическим основаниям, обусловленным объектив¬
ными характеристиками этой величины, лынейг-юе изме¬
рение является необходимой предпосылкой для измере¬
ния многих других величии. Разумеется, это не означает,
что данную метрическую величину мы могли бы изме¬
рять независимо от теоретических предпосылок, связан¬
ных как с концепцией измерения, так и с теорией физи¬
ки, или независимо от специфических операциональных
условии.
Для измерения длины обычно признается ряд таких
посылок, которые, разумеется, реально осуществимы
лишь частично. Приведем хотя бы некоторые из них:
і) измеряемый объект и измерительное устройство, в
146

самом простом случае измерительная линейка, являются
абсолютно неизменяемыми жесткими телами;
ІІ) длина измеряемого предмета и измерительного,
устройства в процессе измерения не изменяется:
iii)	результаты измерения при всех возможных откло¬
нениях, вызванных разными внешними влияниями, вме¬
щаются в определенный числовой интервал значений,
которые с требуемой точностью представляют протяжен¬
ность измеряемого предмета;
iv)	длина заданного предмета, по крайней мере в
определением диапазоне ее значений, доступна для опы¬
та и измерима путем тон или иной непосредственной из¬
мерительной операции;
v)	оба сравниваемых предмета — измеряемый объект
п измерительное устройство — могут точно коррелировать
относительно свойства, которое измеряется.
Вероятно, нет надобности подчеркивать, что эти п дру¬
гие посылки, относящиеся прежде всего к операциональ¬
ной реализуемости формальных свойств, приписываемых
эмпирическим эквивалентам числовых отношений п опе¬
раций, необходимых для получения шкальных значений
при линейном измерении, объективно осуществимы толь¬
ко в приближении. Допущение, согласно которому изме¬
ряемый объект и измерительное устройство являются
абсолютно ведеформируемыми жесткими телами, пред¬
ставляет собой явную идеализацию. Ведь ни одно реаль¬
ное тело.пе существует изолированно от своего окруже¬
ния, не является неизменным, а потому и в процессе
измерения оно неизбежно изменяется. Объективно оно
всегда зависит от многих других условий, например, от
температуры, давления, влажности и т. и. Учитывая, что
измеряемый объект и измерительный прибор суть разные
тела, совмещаемость их конечных частей всегда будет
более или менее неточной — в зависимости от различи¬
тельных способностей экспериментатора, а в более слож¬
ных случаях — и от чувствительности измерительных уст¬
ройств и других обстоятельств, связанных с конкретным
способом измерения. Не менее важно п то, что эмпириче¬
ские отношения и операции соответствуют своим идеали¬
зированным числовым эквивалентам только в известной
мере и только в определенном диапазоне измеряемых
значений. Определяя длину в ее крайних значениях, эмпи¬
рически лишь опосредованно доступных, как это имеет
место, например, в случае измерения межатомных и
межпланетарных расстояний, необходимо учитывать те-
10*
147

•или иные физические законы, которые могут ОТНОСИТЬСЯ
к другим величинам.
Все эти обстоятельства, прежде всего взаимные отно¬
шения между разными свойствами измеряемых объектов
и соответствующими им величинами, необходимо влияют
на теоретические и эмпирические характеристики фунда¬
ментального измерения. Независимость фундаментально
измеряемой величины относительно нефундаментально
измеряемых величин можно считать выражением того, что
-свойства измеряемых объектов, вплоть до их протяжен¬
ности (если мы рассматриваем, например, измерение дли¬
ны), можно по теоретическим основаниям трактовать как
неизменные. Но коль скоро эти величины должны остать¬
ся постоянными, нам опять-таки следует учесть целый
ряд физических законов, определяющих взаимосвязи меж¬
ду ними. Константность некоторых условий, в которых
находится измеряемый объект, должна быть, разумеется,
сохранена и тогда, когда мы измеряем какую-то величину
производив. Такая зависимость от теоретических предпо¬
сылок в обоих случаях обусловливается тем, что измере¬
ние не есть просто эмпирическая операция, которую мож¬
но практически использовать независимо от ее концепту¬
альных аспектов и от теории соответствующей научной
ДИСЦИПЛИНЫ.
Итак, можем лп мы утверждать, что измерение длины
объективно не завысит от измерений других величин? Не
оказываемся ли мы в порочном круге, полностью реляти-
впзпрующем различие между фундаментальным ы произ¬
водным измерениями, когда допускаем, например, что
измерение длины подвержено влиянию температуры из¬
меряемых объектов, и вместе с тем признаем, что изме¬
рение температуры требует предварительного измерения
длины, — причем в обоих случаях предполагаем, что про¬
чие свойства измеряемых объектов, например давление,
остаются постоянными?
При обсуждении этих вопросов мы должны принять
во внимание в первую очередь объективные предпосыл¬
ки измеримости для самых разных видов метрических ве¬
личин, рассматриваемые с онтолого-гносеологической точки
зрения. Приоритет фундаментального измерения есть не
выражение некой конвенции, обусловленной требованием
операциональной или теоретической простоты (что, оче¬
видно, допустил бы каждый позитивистски настроенный
методолог), — это необходимое следствие исторического
процесса раскрытия закономерностей объективной реаль-
148

вости, восхождения дознания ко все более сложным фор¬
мам движения материи (а это методолог-позитивист, ра¬
зумеется, будет отрицать). Поэтому с точки зрения объ¬
ективной диалектики развития природы и ее отражения
в системе научных знании несомненно, что классифика¬
ционная система видов измерении, точно так же как и
теоретическая система величин — между этими система¬
ми, как мы уже подчеркивали ранее (см, 3.5), не обяза¬
тельно взаимно однозначное отношение, — должна исхо¬
дить из определенных первичных измерении и основных
видов величин.
Эту концепцию фундаментального измерения можно
подкрепить дальнейшей аргументацией. Измеряя какую-
то величину фундаментально, мы получаем относительно
приемлемые числовые результаты даже тогда, когда забы¬
ваем принять во внимание некоторые идеализации, отно¬
сящиеся к реальным свойствам измеряемых объектов, нлп
обстоятельства, при которых производится измерение.
Если, например, измеряется длина эластичных тел нлп
длина какого-то предмета в разных условиях, скажем
сначала при низких, а затем при высоких температурах,
то диапазон полученных значений оказывается шире п
разнообразнее, чем это было бы в обычных условиях.
Однако этот интервал шкальных значений можно всегда
уточнить, если ограничить сферу побочных условий ИЛЕ
ввести для них подходящие поправочные коэффициенты,
измеряя, например, длину тел только в определенном
среднем диапазоне температурных различий или уточняя
эмпирически полученные значения в соответствии с тем¬
пературным коэффициентом линейного расширения, зави¬
сящим от состава измеряемых тел.
Для величин, фундаментально неизмеримых, описан¬
ной выше возможности не существует. Измерения длины,
массы или времени являются для измерения плотности,
температуры, давления, скорости и т. д. не второстепен¬
ными факторами, а необходимыми исходными предпо¬
сылками их измеримости, причем предпосылками прежде
всего концептуальными. Площадь или объем нельзя из¬
мерить без предварительного измерения длины. Плот¬
ность однородного вещества, главной единицей которой
является килограмм на кубический метр, обусловливается
определенным отношением между объемом и массой и
поэтому предполагает измерение длины и массы. Ско¬
рость равномерного движения, определяемая путем з,
который проходит какое-то тело за время t, связана сиз-
149

мерением Бремени и длины. Разумеется, такие зависимо¬
сти справедливы и для отношений между другими основ¬
ными и производными величинами. Производное измере¬
ние электрического заряда обусловливается фундаменталь¬
ным измерением времени и силы электрического тока.
Поскольку размерность электрического сопротивления
выражается в системе СИ формулой размерности
[R] = LaMT-*I-2,	(6.2-1)
определение этой производной величины опирается на
следующие основные величины: длину, массу, время и
силу электрического тока.
Зависимость производив измеримых величин от фун¬
даментально измеримых сохраняется и тогда, когда мы
измеряем их с помощью какого-то измерительного устрой¬
ства, вместо того чтобы получать их шкальные значения
путем вычислений, базирующихся на числовых значениях
фундаментально измеримых величин. Различные способы
измерения тон или иной производной величины, осуще¬
ствляемые с помощью разных измерительных устройств,
п различных измерительных методик, не в состоянии
изменить характер этих видов измерения. Не могут они
вести и к тому, чтобы — вследствие развития инструмен¬
тальной техники, позволяющей измерять данную величи¬
ну непосредственно или в тех ее значениях, которые до.
этого измеримыми не были, — стало возможным тракто¬
вать производпую величину как фундаментально измери¬
мую.
К противоположному заключению может прыптн толь¬
ко сторонник операдионализма, для которого, собственно,
вообще не существует никакого различия между измере¬
нием н измерительными процедурами [ср., например:
Бриджмен, 27, с. 16; Дингль, 54, с. 23]. Операционалнзм
истолковывает процесс измерения исключительно как
эмпирическую операцию, основанную на эксперименталь¬
но контролируемых методах, связанных с использованием
измерительных устройств, которые позволяют фиксиро¬
вать числовые значения путем считывания данных с реги¬
страционных устройств материальных шкал. Такое по¬
нимание в силу философских, теоретических и методоло¬
гических причин в принципе неверно. Всякая эмпириче¬
ская операция — а тем более измерение, относительно,
которого мы показали, что это эмпирико-математический
метод, — должна носить объективный характер и быть
теоретически обоснованной. Вероятно, нет необходимости
150

подчеркивать, что конструкция измерительных устройств
основывается на объективно существующих отношениях
между фундаментально измеримыми величинами, пред¬
ставленных в форме теоретически обоснованных числовых
законов; в этом смысле она неоперациональна. Тот, кто
пользуется каким-то измерительным прибором, например
водитель автомобиля, наблюдающий за стрелкой спидо¬
метра, разумеется, не обязан все это осознавать: всю
теоретическую работу за него уже проделал конструктор
соответствующего измерительного устройства. Практиче¬
ское использование измерительного инструмента не дает
никаких оснований для серьезных заключений о том, на
каком принципе, на каких теоретических предпосылках п
на каких реальных соотношениях между фундаментально
измеряемыми величинами базируется его действие.
С чисто операциональной точки зрения каждая произ¬
води© измеряемая величина становится фундаментально
измеримой, если удается построить измерительный при¬
бор, позволяющий ее непосредственно измерять. Так, на¬
пример, плотность жидкостей, сслп соответствующие
шкальные значения получены путем вычисления, исходя
из ранее установленных значений массы и объема, опера-
цновалист будет понимать как производно измеримую
величину; но если она будет измеряться пикнометром, он
будет считать ее фундаментально измеримой. Однако из
этой концепции с очевидностью вытекает, что каждое
изменение в приборостроительной технике, равно как и
введение отличных друг от друга измерительных опера¬
ций, применяемых к тем значениям измеряемых величин,
которые по объективным причинам нельзя измерять оди¬
наковым способом, должно изменять границы между фун¬
даментальным и производным измерениями. Поскольку
сперационалпст считает конкретный способ, каким изме¬
ряется некоторая величина, необходимым и достаточным
условием ее существования, он приходит к полной реля¬
тивизации соотношения между основными и производны¬
ми величинами в системе метрических величин. Но это
не только не согласуется с теоретическими основами фи¬
зики, но и нарушает стабильность принятой системы еди¬
ниц измерения и анализа размерностей. Если мы крити¬
куем эти следствия операционалистской интерпретации
измерений, это еще не означает, что, как уже было ска¬
зано, мы понимаем эти концептуально близкие классифи¬
кации как абсолютные и независимые от исторического
развития научного познания.
151

Операционалиетская позиция не в состоянии адекват¬
но выразить природу фундаментального измерения. Каж¬
дая метрическая величина, даже если она измеряется
непосредственно эмпирически фиксируемыми операциями,
предполагает — в согласии с требуемым гомоморфизмом
или изоморфизмом реляционных систем В и JF — воз¬
можность приписывания значений из области действи¬
тельных чисел. Но ведь с помощью актуальных, чисто
эмпирически проводимых измерительных операций мы
можем получить лишь значения, лежащие в области ра¬
циональных чисел. Исходя из операционалистскн пони¬
маемого измерения, мы никогда не сможем поэтому прий¬
ти к действительным числам, которые необходимы для
формулировки количественных законов, без которых не¬
мыслима никакая теоретическая дисциплина, предполага¬
ющая данные, получаемые посредством фундаментального
измерения метрических величин.
Это противоречие между эмпирически измеряемыми
значениями величин и их числовыми значениями, кото¬
рые требуются по вычислительным соображениям, прояв¬
ляется еще и по-другому. Хотя множество актуально'
измеримых значении, т. е. множество числовых значений
из рациональной области, теоретически с точки зрения
их счетности ц бесконечно, практически оно всегда носит
конечный характер. Каждое повторное измерение ограни¬
чивается финитностью реальных возможностей, нри кото¬
рых мы его производим, прежде всего по временным:
причинам. Однако множество всех действительных чпело¬
вых зпачещщ определенной величины несчетно-бескоиеч-
но, т. е. обладает мощностью континуума. Если бы фун¬
даментально измеримые величины были в самом деле-
измеримы только «операционалистскн», то тогда можно
было бы, как будто, установить, например, для длины все-
ее допустимые значения, включая значения, представляе¬
мые действительными числами, причем независимо от
какой-либо теоретической экстраполяции или интерполя¬
ции полученных таким образом числовых значений. На-
самом деле это, однако, невозможно. В этом нас убежда¬
ет уже такой элементарный акт, как измерение длины,
диагонали квадрата, скажем, со стороной а—А дм. Невоз¬
можность чисто операциональными методами измерять,
также и основные величины особенно заметно проявля¬
ется тогда, когда данная величина измеряется в ее гра¬
ничных значениях, которые непосредственно не наблюдае¬
мы; в этом случае приходится обращаться к вычислениям!
152

на основе определенных теоретически обоснованных коли¬
чественных законов.
Операционализм как концепция, делающая акцент на
измерительных процедурах, односторонен. Но формальная
теория измерений впадает в противоположную крайность,
преувеличивая роль числового представления п именно с
этой точки зрения оценивая отношение между фундамен¬
тальным и производным измерением [ср.: Суппес и Зи-
нес, 155, с. 17; Пфанцагль и др., 119, с. 31; Кранц и др.,
94, с. 1]. При формальном подходе в качестве фундамен¬
тального принимается всякое измерение, при котором
числовое отображение непосредственно представляет неко¬
торую эмпирическую систему с отношениями. Производ¬
ным же считается любое измерение, которое непосред¬
ственно зависит от других числовых отображений и не
зависит от эмпирической реляционной системы. Поэтому
отношение между этими видами измерений релятпвирова-
но относительно различных формальных структур, для
которых можно выводить разные теоремы представления
и единственности.
Для формальной теории измерений решающей являет¬
ся вариативность числового представления, а не такое
соотношение величин, когда некоторые из них можно из¬
мерять только в том случае, если возможно измерение
других. Поэтому с позиций данной теории отвергается
также тот взгляд, что существует только одна фундамен¬
тальная система свойств, адекватно ведущая к числовому
измерению, и утверждается, что можно формулировать
разные системы измерений, которые все будут фундамен¬
тальными в том смысле, что не будут зависеть от других
измерений. Такое утверждение направлено против требо¬
вания Кэмпбелла, согласно которому фундаментальное
измерение всегда должно удовлетворять условию аддитив¬
ности. Хотя представители формальной теория и призна¬
ют, что эмпирическая операция приложения, конкатена¬
ции*, если она имеет место, весьма ценна, они не счита¬
ют ее необходимым условием фундаментального измере-
* Имеется в виду «физическое» сложение конкретных «реали¬
заций» пли значений (интенсивностей, мер, интервалов и т. и.)
измеряемой величины, которому при гомоморфном отображении
данной эмпирической реляционной системы в (на)_ числовую си¬
стему обычно соответствует — как ее гомоморфный образ — опе¬
рация арифметического сложения. Д. Кранц, Д, Льюс, Р. Суппес и
Л. Тверский вводят операцию конкатенации, обозначаемую ими зна¬
чим °, уже на с. 2 своей книги. — Прим. ред.
153

шія [Кранц и др., 94, с. 123]. С такой критикой позиции
Кэмпбелла, как мы уже говорили (см. 3.5), можно согла¬
ситься. Но этого уже сказать нельзя ни о предпосыл¬
ках, ни об аргументах, используемых для ее обоснова¬
ния.
Почему представители формальной теории измерений
не могут допустить, чтобы фундаментальное измерение
было применимо только к строго экстенсивным величи¬
нам, понять нетрудно. Если мы отождествим фундамен¬
тальное измерение с так называемым экстенсивным изме¬
рением, то получится, что в общественных науках фунда¬
ментальное измерение вряд ли возможно. Дело в том, что
для разных свойств, которые В ПСИХОЛОГИИ, социологии,
экономике и т. п. считаются предметом измерения, на¬
пример для громкости, умственного развития, разных
установок, прибыли н т. п., пока еще не найдено никаких
подходящих эмпирических эквивалентов арифметической
операции сложения. Поэтому кэмпбелловское понимание
фундаментального измерения находится в резком проти¬
воречии с мотивами, которые привели к становлению фор¬
мальной теории измерений. Эта теория была развита
именно для того, чтобы оправдать внефизическое измере¬
ние и максимально расширить диапазон измеримости.
Однако фундаментальное измерение не единственный
вид измерения, так что требование существования непо¬
средственного числового отображения некоторой эмпири¬
ческой реляционной системы не является для измеримо¬
сти даже необходимым условием. Учитывая известные
формы психофизического измерения, мы можем рассчи¬
тывать на проведение подобных измерений и в других
обществоведческих областях. В случае успеха это озна¬
чает, что измерение в этих областях зависит от физиче¬
ских измерений. Но тогда мы не сможем смотреть на вне-
физическое измерение как на самостоятельный вид изме¬
рительной деятельности. Этот результат опять-таки не
соответствует стремлению методологов, занимающихся
вне физическими измерениями, развить собственную тео¬
рию и методы.
Представители формального подхода подчеркивают не¬
зависимый характер вне физического измерения еще и по¬
тому, что формальные свойства эмпирических структур,
которые — при значительных идеализациях — соответство¬
вали бы свойствам числовых реляционных систем, уста¬
новить намного легче, чем исследовать содержательно
обусловленные отношения между физическими величина¬
154

ми и соотнесенными с ними впефизическими величинами
или чисто х<ачественными свойствами. Это позволяет ИИ
также считать фундаментальным измерением любое чис¬
ловое отображение, ведущее хотя бы только к так назы¬
ваемым ординальным (порядковым) шкалам (см. 7.1).
Если фундаментальное измерение понимать гак, как его
истолковывают представители формальной теории измере¬
ний [ср.: Суппес п Зинес, 155, с. 16 и сл., 45], то не суще¬
ствует никакого серьезного различия между тем пли
иным видом числового представления. Каждое из них, в
той степени, в какой его можно выразить в форме гомо¬
морфизма между эмпирической и числовой реляционными
системами, такой же хороший «методологический пример
фундаментального измерения, как и любой другой».
Дискуссия на тему, возможно ли такое фундаменталь¬
ное измерение, которое нс было бы измерением строго
экстенсивных величин, не должна нас отвлекать от гораз¬
до более принципиальной проблемы: при каких условиях
в общественных науках мы можем говорить об измерении
в строгом смысле слова? Сторонники формальной теории
решают эту проблему, просто создавая для (фундаменталь¬
ного измерения разные аксиоматические системы, не
включающие в качестве одного из исходных попятий опе¬
рацию конкатенации.
Однако возможность фундаментального измерения
нельзя обосновать лишь формальными средствами. Пока
не соблюдены основные эмпирические, концептуальные и
теоретические предпосылки, позволяющие, исходя из
свойств числовых реляционных систем, делать значимые
выводы относительно соответствующих свойств эмпири¬
ческих реляционных систем, п наоборот, об измерении в
строгом смысле слова вообще нельзя говорить. Только
когда такие предпосылки налицо, мы имеем право рас¬
суждать о том, с чем мы имеем дело — с фундаменталь¬
ным измерением или нет; ибо если нельзя констатиро¬
вать, что измерение некоторых величин предполагает из¬
мерение других величин, что для некоторых величин
можно получить их шкальные значения независимо от
шкальных значений других величин, между тем как для
других здесь требуются вычисления, если это так, то во¬
обще нет смысла различать фундаментальное и другие
виды измерений. Все эти вопросы можно решать, только
исходя из некоторой системы данной научной специаль¬
ности. Поскольку в общественных науках были сделаны
лишь первые шаги на пути к реализации этих необходи¬
155

мых предпосылок теоретически обоснованных систем из¬
мерения, получилось, что, в сущности, каждое внефизиче-
ское измерение — в той степени, в какой его вообще
можно счесть измерением, — носит характер фундамен¬
тального измерения, хотя и ограниченного только данной
научной областью.
В рамках формальной теории измерений [ср.: Кранц
и др., 94, с. 9 ; Суппес и Зинес, 155, с. 16] это заключе¬
ние следует и из формулировки теоремы представления,
согласно которой данную эмпирическую систему всегда
можно определенным образом гомоморфно отобразить в
некоторую числовую реляционную структуру—структуру
с отношениями, удовлетворяющую известным аксиомам.
Но если измерение понимается как построение такого ро¬
да гомоморфизмов, т. е. шкал измерения, то очевидно, что
решающим здесь оказывается числовое отображение, отно¬
сящееся непосредственно к эмпирическим структурам, іша¬
че говоря, осуществление фундаментального ЧИСЛОВОГО
приписывания для данной эмпирической системы. На на¬
чальных этапах развития формальной теории измерений
говорилось и о производном числовом приписывании *, но
в последующем развитии этой концепции производное
измерение было заменено теориями так называемого ком¬
бинированного (conjoint) измерения [ср.: Кранц и др.т
94, с. 245 и сл., 131 в сл., 502; Суппес и Зииес, 155, с. 53
и сл.]. Этот подход призван обеспечить построение шкал
измерения сложных объектов, сохраняющих наблюдаемый
порядок относительно данного свойства, например коли¬
чества движения (импульса), — при котором шкальное
значение каждого объекта является функцией шкальпых
значений его компонентов, в данном случае массы и скоро¬
сти, Он должен также доставить возможные методы для
фундаментального измерения величин, не удовлетворяю¬
щих условию аддитивности, т. е. для всех видов неэкетеп-
сивпого измерения, к которым относятся разные виды изме¬
* П. Суппес и Дя>\ Л. Зпнес [Суппес п Зипес, 155, с. 20] выде¬
ляют в качестве третьего вида измерений так называемое прибор¬
ное измерение, т. е. чпсловое приписывание, основанное на прямом
считывании данных со шкал измерительных приборов. [В статье
Л, Суппес а и Дж. Зпнес п «Основы теории измерений» мы читаем
(с. 31 русского перевода): «Кроме первичных и производных из¬
мерений, следует отметить еще один тал измерении — приборные.
Под приборными измерениями мы понимаем числовые значения
(первичные или производные), полученные при прямом использо¬
вании допустимых инструментов. Инструмент называется допусти¬
мым, если он выдает числовые значения, соответствующие некото¬
рому первичному или производному измерению». — Прим, ред.]
156

рения в шкале интервалов, линейной шкале, шкале по¬
лез ности, шкале порядка и т. и.
Так, с помощью комбинированного измерения, кото¬
рое, как считается, ведет к аддитивным, мультипликатив¬
ным или экспоненциальным (показательным) представле¬
ниям, может быть преодолено различие не только между
фундаментальным и производным, но п между экстенсив¬
ным и интенсивным измерением, а также между основ¬
ными и производными величинами. Но о комбинирован¬
ном измерении утверждается даже больше: фундамен¬
тально измеримыми объявляются все свойства, для кото¬
рых выполняется условие упорядочения, т. е. и свойства,
являющиеся неметрическими величинами, например твер¬
дость. Это, разумеется, означает, что шкалирование также
считается измерением. Таким образом, направленность
критики концепции фундаментального измерения в его
кэмпбелловском понимании, ведущейся со стороны пред¬
ставителей формальной теории измерений, вполне ясна:
для них важно, чтобы к измерениям можно было отнести
и любое числовое отображение «по правилам».
С подобной концепцией, явно ориентированной на мет¬
рические величины, мы встречаемся л у Каигера [Кавгер,-
88, с. 29 и сл.], который различает три основные структу¬
ры и соответствующие им шкалы. Первая из них пред¬
ставляет экстенсивное измерение, а другие две, иллюстри¬
руемые измерениями температуры и ожидаемой полезно¬
сти, — неэкстенсивное.
Комбинированной структуре <М, =, -С, °>, где М есть
некоторое непустое множество, « = » и «С» — отношеипя
между элементами множества М, а « °» — двухместная
операция над элементами из Ы, такая, что для всех
х, у^М выполняется следующее: х °у^М, соответствует
либо комбинированная шкала <Р, =, <, +>, где Р есть
множество положительных действительных чисел, «=»
означает равенство, «<» — отношение «меньше, чем», а
« + » — операцию сложения, либо расширенная комбини¬
рованная шкала <Д, —, <, +>, где R есть множество
всех действительных чисел.
Интервальной (дифференциальной) структуре <М, =г
■С, }>, где «|» есть четырехместное отношение между
элементами в М, соответствует интервальная (дифферен¬
циальная) шкала <Д, =, <, !>, причем R есть множест¬
во всех действительных чисел, таких, что (x-j-y)/Z^R, где.
х, уЄ.Я, а для | выполняется условие:
\{x,y,z,w)	\х—у\ < \z—w\.
157

Смешанной структуре <М, еэ, <С, [а]> — здесь [«J есть
.двухместная операция на И для каждого а в открытом
интервале (0,1) — соответствует смешанная шкала <Д, = ,
<> [я]>, где R есть множество действительных чисел, та¬
ких, что а-х=( 1—й)-уеД, где х, y^R, а [а] для каждо¬
го я из открытого интервала (0,1) определяется так, что
для х, t/ЄЙ выполняется
х[а]у = а-х+(1—а) ■у.
Б этой концепции, несмотря на то, что в ней явно пре¬
валируют главные ндеп формальной теории измерений,
интересно то, что по крайней мере для физического из¬
мерения допускается различие между фундаментальным
п производным измерением. Кангер [Кангер, 88, с. 12; ср.
также: Гоуд, 73, с. 15] истолковывает производное из¬
мерение как определимое измерение и — по-видимому, под
влиянием Гемпеля—различает два случая: во-первых,
когда данная величина определяется с помощью других
величин п, во-вторых, когда шкальные значения исследуе¬
мой величины определяются с помощью измерения дру¬
гих величин. Гораздо более важным мы считаем, однако,
то, что Кангер различает эмпирические и леэмпиричеекпе
структуры и что как эмпирическую он интерпретирует
только комбинированную структуру. Бслп сравнить по¬
следние элементы в вышеприведенных структурах и со¬
ответствующих им шкалах, то основание такого различе¬
ния очевидно. В то время как для комбинированных
■структур и обоих впдов комбинированных шкал опера¬
ция конкатенации отличается от операции сложения, в
обоих последующих случаях мы находим, несмотря на
различные интерпретации, сходные по смыслу знаки, а
именно | и [а].
Если последовательно рассмотреть главные предпосыл¬
ки формальной теории измерений, то отчетливо раскры¬
ваются ее принципиальные слабости. Если мы не в состо¬
яв™ формально дифференцировать все компоненты
структур и шкал, если, следовательно, мы не можем для
каждого числового понятия найти соответствующее ему
эмпирическое понятие, то, значит, структуры, равно как
и шкалы, представляют собой только абстрактные, идеа¬
лизированные сущности. Установление формальных усло¬
вий, при которых какая-то структура имела бы числовое
представление, но чтобы при этом ее компоненты не бы¬
ли эмпирически интерпретируемы и операционально реа¬
лизуемы, нельзя, следовательно, считать достаточным ос¬
158

нованием измеримости. Разумеется, справедливо п обрат¬
ное: путем простого установления операциональных
структур нельзя определить понятие измерения.
Итак, обе крайние позиции — формальная теория и
операциональная концепция измерений, — несмотря на
противоположные исходные точки, сходятся в том, что все
измерения они трактуют как фундаментальные. Сторон¬
ники формальной теории выдвигают на первый план непо¬
средственное числовое отображение некоторой эмпириче¬
ской системы с отношениями, поскольку полагают, что это
поможет им отстоять максимально широкую концепцию
измерительных процедур ы обосновать своеобразие внефи-
зического измерения. Для операцыоналшстов же производ¬
ное измерение не является измерением, ПОСКОЛЬКУ ОНО'
опирается па вычисления, а не на непосредственно прово¬
димые измерительные операции.
На устранение наиболее заметных недостатков опера-
циоиалистской позиции рассчитана концепция, разрабо¬
танная Гемпелем в связи с анализом проблематики образо¬
вания понятий в эмпирических науках. При этом Гемпель
пытается найти адекватное соотношение между эмпирнко-
операциональньши и концептуально-математическими ас¬
пектами измерения и одновременно соединить кэмпбел-
ловское и стивенсовское понимание измерения. Однако,
рассматривая взаимное отношение между фундаменталь¬
ным и производным измерениями [Гемпель, 77, с. 58 и сл.],
он не приходит к однозначным выводам.
В согласии с Кэмпбеллом Гемпель тоже различает два
основных вида измерений, но понимает их как два различ¬
ных способа введения скалярных количественных понятий1
(разделяя последние в контексте теоретически ориен¬
тированного подразделения понятий па качественные,
сравнительные и количественные) или как два разных спо¬
соба определения шкал измерения или метрических шкал
в духе стивенсовской позиции. Фундаментальное измере¬
ние, не предполагающее никаких предварительных шкал
измерений, состоит, по его мнению, из двух фаз: на первой
происходит спецификация некоторого сравнительного по¬
нятия, определяющая неметрическое упорядочение, так
называемый квавипорядок*; на второй этот порядок мет-
ризуется путем введения соответствующих числовых зна¬
чений. Под производным же измерением он понимает оп-
* Илл квазисерию. См.: Суггпес П. и Зивес Дж. Основы теории
измерений. — В кы.: Психологические измерения. М., г. 36 а сл. —
Прим, ред.
159

ре де левые некоторой метрической шкалы с помощью кри¬
териев, которые предполагают предварительно заданной
по крайней мере еще одну шкалу.
Конечно, такое специфическое понимание фундамен¬
тального и производного измерений, разработанное в свя¬
зи с метризацией качественных понятий, означает суще¬
ственное продвижение в интерпретации понятия измере¬
ний. В явной форме это проявляется у других авторов.
Так, например, В. Шгег.мюллер [Штегмюллер, 140, с. 2, 46,
94 п сл.] говорит уже только о введении какой-то метриче¬
ской величины при фундаментальной или производной
метризации, а отнюдь не о фундаментальном или произ¬
водном измерении этой величины, поскольку измерение
для него является только эмпирической процедурой, сово¬
купностью измерительных техник и методов, используе¬
мых при экспериментальной проверке метризации. Фун¬
даментальную (первичную) же метризацию он понимает
как построение какого-то метрического понятия. Произ¬
водную (вторичную) метризацию он трактует в русле
неопозитивистского редукционизма — как сведение неко¬
торого количественного понятия к иным, метрическим по¬
нятиям.
Сам Гемпель относит метризацию как к построению
количественных понятий или метрических шкал, так и к
фундаментальному измерению. В духе кэмпбелловской
концепции он требует для фундаментального измерения
в физике выполнения условия аддитивности и поэтому
каждое фундаментальное измерение метрических величин
расценивает как частный случай экстенсивного измерения.
Но под влиянием С. С. Стивенса он в то же время призна¬
ет, что существуют такие измерительные процедуры (они
используются, например, при измерении высоты тона в
психологии), характерные для фундаментального изме¬
рения (поскольку оно не предполагает никакой предшест¬
вующей шкалы измерения), для которых тем пе менее не
выполняется условие аддитивности. Но его взгляды отра¬
жают также влияние операционалистского истолкования,
так как он интерпретирует фундаментальное измерение
как актуально проводимые измерительные процедуры, с
помощью которых непосредственно получаются числовые
значения измеряемых величин. Гемпель при этом, разу¬
меется, ясно осознает, что фундаментальные измеритель¬
ные процедуры тоже связаны с разными условиями н
.предпосылками теоретического характера.
Фундаментальным измерением можно получить значе¬
160

ния, лежащие в области только рациональных чисел, при¬
чем лишь при известных, операционально определенных
условиях, Измеряя, например, массу, мы осуществляем
фундаментнальное измерение, точнее говоря, пользуемся
непосредственно применимыми измерительными процеду¬
рами, но к значениям, лежащим в области рациональных
чисел, можно прийти только тогда, когда мы в состоянии
взвешивать измеряемые предметы. Однако совершенно яс¬
но, что этим способом нельзя измерять массу целого ряда
эмпирических объектов, например Солнца или электрона.
На базе этой интерпретации понятия фундаментально¬
го измерения, которое под влиянием операционализма
трактуется им аналогично истолкованию процедур так на¬
зываемого прямого измерения, Гемпель выводит для это¬
го способа измерения следующую существенную характе¬
ристику — так называемое условие соизмеримости. Это
условие можно сформулировать так.
Каждый эмпирический объект соизмерим с неким
стандартным объектом (измерительным инструментом)
на основе эмпирического отношения равенства и эмпири¬
ческого отношения приложения (комбинирования, соеди¬
нения, конкатенации).
Учитывая ограниченные различительные способности
наблюдателя, следует, конечно, требовать, чтобы при фун¬
даментальном измерении физических величин это условие
не могло быть нарушено. Но по теоретическим соображе¬
ниям, как уже говорилось, дополнение его требованием со¬
измеримости, согласующимся только с операционалнст-
СКОІГ концепцией измерения, явно неприемлемо. У Гемпе-
ля это тоже выступает в качестве принципиального аргу¬
мента против операционального определения теоретиче¬
ских понятий. Дело в том, что условие соизмеримости с
необходимостью приводит к выводу, что посредством фун¬
даментального измерения, коль скоро оно понимается как
совокупность измерительных процедур [ср., например:
Гемпель, 78, с. 112]1, нельзя получить все числовые зна¬
чения, которые теоретически можно приписывать данной
величине. Если бы мы этим условием ограничили диапазон
понятия фундаментального измерения, то это с необходи¬
мостью означало бы, что из интервала возможных шкаль¬
ных значений должны быть исключены не только все ир¬
рациональные значения, но и многие рациональные, когда
1 Гемпель отождествляет здесь фундаментальное измерение о
прямым.
11 Зак. № 1102
161

измеряемые величины не укладываются в диапазон зна¬
чений, непосредственно сравнимых с некоторым стандарт¬
ным объектом.
Для преодоления этого противоречия — несоответст¬
вия операционального и теоретического аспектов фунда¬
ментального измерения — Темпе ль осуществляет модифи¬
кацию понятия производного измерения. Он вынужден
это сделать, поскольку стремится показать, что количест¬
венные понятия в эмпирических науках определяются
теоретически обоснованными правилами метризации. По
его мнению, следует различать так пазываемое производ¬
ное измерение (производную метризацию), проводимое на
основе предварительного условия, и производное измере¬
ние с помощью закона (законов)1.
В первом случае — в случае обусловленного производ¬
ного измерения — какое-то новое метрическое понятие
определяется, исходя из ранее введенных понятий, напри¬
мер средняя скорость какой-то точки в определенный про¬
межуток времени определяется как отношение пути к
длительности соответствующего временного интервала. Во
втором же случае — когда имеет место «легитимирован¬
ное» производное измерение — вводится не новая величи¬
на, а альтернативный способ измерения, который до сих
пор еще не использовался. Это возможно только с помо¬
щью некоторого закона, когда данная величина выступает
как математическая функция других величин, для кото¬
рых уже имеются подходящие измерительные операции,
например измерение расстояния с помощью сонара или
радара, измерение высоты с помощью барометра, измере¬
ние температуры с помощью газового термометра и т. п.
Между фундаментальным и обоими видами производ¬
ных измерений, равно как между производной метриза¬
цией путем введения условия и с помощью законов, суще¬
ствуют разные связи. Благодаря сочетанию фундаменталь¬
ного измерения, с одной стороны, и производного измере¬
ния с помощью законов — с другой, мы можем устанавли¬
вать такие числовые значения измеряемой величины, ко¬
торые непосредственно недостижимы. Соединив, напри¬
мер, фундаментальное измерение длины с производным
измерением на основе законов евклидовой геометрии, мы
подучаем также и иррациональные шкальные значения.
1 А. Пап, например [Пап, 116, с. 132 я сл.], подобным же обра¬
зом различает производное измерение на основе эмпирической функ¬
ции ж производное измерение на основе определяющей функции
[см. также: Росс, 124, с. 62].
162

Взаимоотношение обоих видов производного измерения
можно проиллюстрировать на примере температуры. Шка¬
ла измерения температуры была первоначально оговорена
условием, вытекающим из свойств ртутного термометра.
Понятие температуры в этом случае может интерпретиро¬
ваться только для веществ в диапазоне значений от точки
плавления до точки кипения ртути. Поскольку, однако, су¬
ществует эмпирический закон, согласно которому темпера¬
туру в этом диапазоне можно истолковывать (при посто¬
янном давлении) как функцию объема, температуру ве¬
ществ можно измерять непрямо — на основе законов, а с
помощью газового термометра, т. е. путем установления
объема, который займет определенное стандартное коли¬
чество газа (при некотором фиксированном давлении),
когда оно соприкасается с измеряемым веществом. Если
теперь использовать процедуру производного измерения
на основе предварительного условия, то можно решить,
что за температура будет вне пределов первоначального
измерения, произведенного на основе функции объема. В
пределах измерения температуры с помощью ртутного
термометра использование газового термометра представ¬
ляет собой производное измерение на основе закона, а вне
их — производпое измерение путем введения условия.
Однако из этих соотношений между фундаментальным
и производным измерением, в понимании Гемпеля, нель¬
зя заключить, что одна и та же величина в определенной
системе метрических величин может быть измеримой и
фундаментально, и пропзводно — в зависимости от того,
измеряется ли она непосредственно (когда, например, мы
определяем длину стороны квадрата) или с учетом опре¬
деленных законов (когда мы измеряем его диагональ)
jcp., например: Штегмюллер, 140, с. 98]. По нашему мне¬
нию, такое понимание ведет к неоправданному смешению
понятий измерения и измерительной процедуры. Прихо¬
дится признать, что гемпелевское определение понятия
производного измерения с помощью законов касается,
собственно, измерительных процедур, а своим результа¬
том оно характеризует скорее так называемое непрямое
измерение.
Различие между прямым и непрямым (косвенным)
измерением относится к измерительным процедурам [Бун¬
ге, 36, II, с. 232 и сл.]. Прямое измерение основано на не¬
посредственном сравнении измеряемого объекта с каким-
то стандартным предметом (измерительным инструмен¬
том) или с материальной шкалой измерительного прибо¬
11*
163

ра. Косвенное измерение предполагает прямое измерение
чего-то другого, той же или иных величии, и вычисления,
проводимые на основе геометрических, физических и про¬
чих законов. В практически и теоретически значимых слу¬
чаях преобладают непрямые измерения, поскольку прямо
нельзя получить ни значений, лежащих в иррациональ¬
ной числовой области, ни рациональных шкальных зна¬
чений, относящихся к таким эмпирическим значениям, ко¬
торые для измерения непосредственно недоступны.
Прямые и косвенные измерительные операции можно
применять как в случае производного, так и в случае
фундаментального измерения. Плотность однородного те¬
ла, например, можно измерить производив и прямо, уста¬
новив его массу и объем; косвенно же измерить ее можно
на основе закона Архимеда, заменив установление объема
взвешиванием тела в жидкости. Удаленность друг от дру¬
га двух доступных для нас точек измеряется фундамен¬
тально п прямо, а если какая-то точка недоступна, то —
косвенно, например когда мы прибегаем к измерению уг¬
лов и расчетам, осуществляемым с помощью геометриче¬
ских законов.
Различение двух видов производного измерения таит в
себе возможность дальнейших модификаций. Поскольку
в случае выефизнческого измерения (если мы не посягаем
на его самостоятельность по отношению к физическому)
трудно вводить какие-то производные величины (по при¬
чинам, о которых мы уже говорили), понятие производно¬
го измерения на основе некоторого условия используется
для обоснования совершенно произвольного способа изме¬
рения, так называемого конвенционального измерения (Ьу
fiat).
С этой концепцией мы встречаеліся, например, у Тор-
герсона [Торгерсон, 161, с. 21 и сл.; ср. также: Пфанцагль
и др., 119, с. 33], который в своей трихотомической класси¬
фикации видов измерений (фундаментальное, произвол*
аое и конвенциональное) опирается па так называемое
конституционное и операциональное значение основных
характеристик шкал измерения, то есть на теоретически
обоснованную интерпретацию условий упорядочения,
функции расстояния" и шкального начала, а также их опе¬
рациональную реализуемость. У производного измерения,
основанного на законах, на объективно существующих от¬
ношениях между разными величинами или свойствами,
конституциональное значение основных характеристик
шкал измерения прямое, а их операциональное значение—
164

непрямое. Относительно конвенционального измерения (by
fiat), зависящего от «предполагаемого отношения между
наблюдением и нашими интересами», мы можем говорить
самое большее об операциональном значении этих харак¬
теристик. Тем самым, разумеется, признается, что измере¬
ния, проводимые этим способом — Торгерсон упоминает
об измерениях в социометрии, Пфанцагль, Бауманн п Ху¬
бер говорят о тестировании умственного развития и об из¬
мерениях социального статуса, — теоретически необосно¬
ванны. Поскольку конвенциональные измерения зависят,
собственно, от «интуиции каждого отдельного эксперимен¬
татора», то результаты, получаемые путем этого псевдо¬
измерения, весьма спорны. Хотя Торгерсон пытается и
этот вид измерения оправдать тем, что считает его прак¬
тически важным, он вынужден признать, что из-за про¬
извольности используемых при этом шкал — когда неко¬
торые из них совершенно тривиальны — его достоверность
весьма низка.
Этот негативный результат гемпелевской концепции
обусловленного производного измерения компенсируется
эллисовской идеей [Эллис, 56, с. 54 и сл., 90 и сл.] так на¬
зываемого ассоциативного измерения, связанного с поня¬
тием «легитимированного» производного измерения. Не¬
посредственным стимулом для введения понятия об этом
виде измерений послужила, как и у Гемпеля, проблемати¬
ка измерения температуры. Чтобы измерить эту квази-
экстенсивную величину, по своему специфическому ха¬
рактеру отличающуюся от остальных метрических вели¬
чин в физике, достаточно произвести фундаментальное или
производное измерение длины какого-нибудь теплометрн-
ческого вещества, либо давления, объема, электрического
сопротивления или любой другой термометрической вели¬
чины и рассмотреть объективные связи, существующие
между этими величинами и температурой.
Таким образом, в качестве ассоциативного измерения
можно в целом принять любой вид измерений, при кото¬
ром та или иная независимо — фундаментально пли про-
изводно—измеряемая величина связана функциональны¬
ми отношениями с той или иной квазыэкстенсивнон вели¬
чиной или качественным свойством. На основании взаим¬
ной корреляции этих величин, когда каждое изменение
прямо измеримой величины обусловливает определенное
изменение величины пли свойства, е ней ассоциирован¬
ного, можно производить существенные заключения о
шкальных значениях и числовых характеристиках, при¬

писываемых величинам или свойствам, не являющимся
измеримыми непосредственно. Ассоциативное измерение
отличается от производного тем, что не обязано основы¬
ваться на числовых законах. Мы можем использовать его
и тогда, когда существуют определенные качественные за¬
коны, причем не только между неметрическими и метри¬
ческими величинами, но и между неметрическими вели¬
чинами и количественными данными, получаемыми с по¬
мощью счета. Естественно, это имеет большое значение
для вне физического измерения.
Понятие ассоциативного измерения расширяет перво¬
начальную кзмпбелловскую дихотомическую классифика¬
цию, делая ее трихотомической; в последней, таким обра¬
зом, фундаментальное, производное я ассоциативное изме¬
рения предстают в качестве трех основных видов измере¬
ний в строгом смысле слова. Поэтому в их число мы не
включаем так называемое элементарное измерение, про¬
иллюстрированное Эллисом на примере измерения твер¬
дости материалов с помощью шкалы Мооса, поскольку
этот вид измерения удовлетворяет только условиям топо-
логизациш.
От этой классификации видов измерения следует отли¬
чать, как уже было подчеркнуто в предыдущем изложе¬
нии, с одной стороны, прямое и непрямое измерения, с
другой стороны — измерение экстенсивное и неэкстенсив¬
ное {например, интервальное). Прямое и непрямое изме¬
рения относятся к классификации измерительных проце~
дур. Различение экстенсивных и неэкстенсивных измере¬
ний касается концептуальной характеристики разных ви¬
дов величин (метрических, а иногда и неметрических),
способов их метризации (или только топологизации) и по¬
лучаемых в результате этого видов шкал.
6.3.	Метризация
Метризация, включающая в себя в качестве необходи¬
мого предварительного условия топологизацию, согласно
концепции К. Г. Гемнеля и его последователей, относит¬
ся прежде всего к установлению количественных (метри¬
ческих) понятий. Переход от классифицирующих поня¬
тий к сравнительным, входящим в класс качественных по¬
нятий1, теоретически определяется выполнением тополо¬
1 Некоторые сторонники этой теории признают качеств елньши
понятиями только классифицирующие понятия.
166

гических условий, устанавливающих, при каких предпо¬
сылках какое-то множество элементов можно упорядочить
относительно некоторого свойства. Поэтому целью то поло¬
ги за ции является выяснение, образуют ли элементы дан¬
ного множества определенную последовательность, назы¬
ваемую квазипорядком, квазиупорядочением или квазисе¬
рией*. Задача же метризации некоторого качественного
понятия, т. е. конституирования определенного количест¬
венного (метрического) понятия, заключается в нахожде¬
нии числовой функции, отображающей выделенный бла¬
годаря топологизации квазипорядок на множество чисел.
В обобщенной формулировке, если иметь в виду метриза¬
цию не только какого-то качественного понятия, например
сравнительного понятия быть по крайней мере таким же
твердым, как, но и эмпирических реляционных систем, под
метризацией [Кучера, 95, с. 27] подразумевается установ¬
ление определенной функции метризации, гомоморфно ото¬
бражающей качественное понятие или эмпирическую ре¬
ляционную систему на числовую систему — множест¬
во действительных чисел — или на множество точек п-
мерного пространства. Наряду с таким пониманием, в зна¬
чительной степени испытавшим на себе влияние формаль¬
ной теории измерений, метризация некоторого данного ква¬
зипорядка определяется — в большей зависимости от за¬
мысла, заложенного в данной концепции, — правилами
метризации и свойствами меры [ср.: Штегмюллер, 140,
с. 53 и сл.].
Что из этой концепции можно принять, а что отверг¬
нуть? Если под измерением понимать теоретически обо¬
снованный эмпирико-математический метод (см, 2.3), то
не нужно односторонне подчеркивать только один из ком¬
понентов описанной концепции. Нельзя говорить только об
измерении или только о метризации, игнорируя их взаи¬
мосвязь. Если бы мы признали, что топологизация есть
концептуальный метод, а метризация — концептуально-
математический, то мы не могли бы расценивать их как
операции одного и того же вида и уровня. Но если срав¬
нить, например, концепцию метризации Ф. фон Кучеры с
суппесовским пониманием измерения или со стивенсов-
ской концепцией шкал измерения, то, кроме терминологи¬
ческих расхождений, никаких более существенных содер¬
жательных различий мы не обнаружим. Поскольку поня¬
* Ср., например; М и р к и н Б, Г. Проблема группового выбо¬
ра. М.( 1974, с. 36 и сл. — Прим. ред.
167

тие метризации у многих авторов используется в том же
значении, что и понятие измерения, что количественным
нередко считают всякое понятие, которое можно предста¬
вить в числах, — в той мере, в какой оно удовлетворяет
условиям топологизации, — получается, что диапазон по¬
нятия измерения включает и шкалирование. С этим след¬
ствием согласиться нельзя.
Поэтому мы полагаем, что понятия топологизации н
метризации следует переосмыслить и по-новому интерпре¬
тировать — так, чтобы они относились только к концеп¬
туальным аспектам измерения. Таким образом, топологп-
зацпя п метризация определяют в общей или конкретизи¬
рованной форме (в зависимости от того, рассматриваем ли
мы измеримость разных видов величин или только изме¬
рение какой-то определенной величины) условия, которым
должна удовлетворять каждая эмпирическая система с от¬
ношениями, если она может быть отображаемой на чис¬
ловую реляционную систему, обладающую определенными
формальными характеристиками, и если мы хотим в то же
время из свойств чисел выводить эмпирически значимые
заключения об аналогичных свойствах величин.
Это отображение можно выразить правилами соответ¬
ствия, согласовывающими эмпирические и числовые харак¬
теристики обеих систем, т, е. отношения и операции, оп¬
ределяющие их структуру, а в результате этого — и ко¬
личественные или только качественные аспекты измеря¬
емых величин и соответствующие нм шкальные значення.
Поэтому правила соответствия определяют и то, можно ли
приписанные шкальные значения интерпретировать как
кардинальные (количественные) числа пли только как чи¬
сла ординальные (порядковые), представляют ли, следо¬
вательно, шкальные значения также и количества или
только упорядочение. Применение правил соответствия, ра¬
зумеется, ограничивается и разными идеализирующими
допущениями.
Топологизации определяет условия, которым должна
удовлетворять каждая пеметрпческая величина. Но если
топологизация не сопровождается метризацией, то она об¬
разует лишь концептуальную основу шкалирования. Мет¬
ризация, обогащающая топологические условия дальней¬
шими предпосылками, которые должны соблюдаться в слу¬
чае метрических величин, является концептуальной осно¬
вой измерения. Конечно, это различие между топологиче¬
скими и метрическими условиями, и особенно ограничение
возможностей метризации, нельзя понимать так, будто мы
168

не можем расширить сферу измеримости, охватив ею срав¬
нительные и даже классифицирующие понятия (это мож¬
но сделать эа счет ассоциативного измерения). Однако по¬
добная возможность пока еще не была достаточно оцене¬
на, теоретически изучена и практически использована.
Внимание методологов, изучающих измерение, пока со¬
средоточивается — прежде всего под влиянием формаль¬
ной теории измерений — на аксиоматическом установле¬
нии формальных свойств методов топологнзащш я метриза¬
ции. В целом ряде аксиоматизаций [ср.: Нагель, 110, с. 315;
Суп нес, 149, с. 164 и сл.; Темпе ль, 77, с. 59 и сл.; Верен д,
11, с. 346 и сл.: Росс, 124, с. 38 и сл., 49 и сл.; Лайнфель-
нер, 99, с. S3 и сл.; Штегмюллер, 140, с. 29 н сл.; Кучера,
95, I, с. 22 и сл.], связанных с системой Гель дера, эти ха¬
рактеристики явно соотносились лишь с системами строго
экстенсивных или экстенсивных величии, а потому непо¬
средственно связаны только с экстенсивным измерением.
И лишь после проникновения измерений в обществоведче¬
ские области топологические и метрические условия были
аксиоматически сформулированы также и для разных си¬
стем неэкстепсивного (интенсивного) измерения. Специа¬
листы, изучающие внефизическое измерение [ср., напри¬
мер: Суппес. Зшіес, 155, с. 34 н сл.; Кранц и др., 94, с. 136
и сл.; Кангер, 88, с. 33 и сл.; Суппес, 154, с. 48 и сл.; Ку¬
чера, 95, I, с. 23 и сл.], пытаются использовать такую фор¬
мулировку для разных видов интервального или разно¬
стного измерения, измерения путем определения точек
равноделения (бисекционного измерения) (bisection mea¬
surement), разных — аддитивных, мультипликативных и
экспоненциальных — форм сложного измерения или толь¬
ко для так называемого ординального измерения. Следст¬
вием этого расширения сферы метризации явилось то, что
ее стали распространять — по нашему мнению, неоправ¬
данно — и на шкалирование разных неметрических вели¬
чин.
Поскольку топологические условия применимы к шка¬
лированию, смысл топологизации для систем неэкстенсцв-
ного и экстенсивного измерения, неметрических и метри¬
ческих величин можно выразить одинаково.
Топологизация в своем основном виде определяется
двумя первичными понятиями: двучленными отношения¬
ми К и Р или — другая возможность — двучленными от¬
ношениями К и L, определяющимися на элементах некое¬
го множества Е. Эти отношения можно в общем случае ин¬
терпретировать как тождество (одинаковость, совпадение,
169

равенство) и предшествование, или соответственно как
тождество л следование за. Если, например, мы будем рас¬
сматривать концептуальные предпосылки измерения дли¬
ны, то К будет интерпретироваться как отношение быть
таким же длинным, как, Р — как отношение быть короче,
чем, a L — как отношение быть длиннее, чем.
Если первичные отношения К и Р должны обеспечить
упорядочение элементов х, у, z, ... множества Е, точнее го¬
воря, их слабый порядок, относительно которого предпола¬
гается, что оно характеризует большинство видов эмпири¬
ческого упорядочения, то К и Р дол?кны удовлетворять
ряду СВОЙСТВ
Отношение К, т. е, отношение х тождествен у, должно
быть симметричным* *'.
(A) (Vx) (Іу) (хКу — уКх).	(6.3—1)
Отношение К должно быть, далее, транзитивным:
(A) (Vx) (Vy) (Vz) (xKyAyKz хКг). (6.3—2)
Поскольку из симметричности и транзитивности выте¬
кает свойство рефлексивности** ***, то отношение К должно
быть также рефлексивным
(Т) {Ух)(хКх).	(6.3—3)
1 Для указания того, что соответствующие выражения явля¬
ются аксиомами, теоремами, определениями и правилами соответ¬
ствия, используются сокращения — соответственно (А), (Т), (Оп),
(Пр), — как это принято в современной формальной логике.
* Далее автор использует принятую логическую символику.
Знаки у. Я, A, V, —►, ранее уже использовавшийся знак
и знак * означают, соответственно, кванторы общности и сущест-
воваиия («все ж», «существует»), операции конъюнкции, дизъюнк¬
ции, импликации н эшшваленции («и», «или», «если..., то», «если и
только если..., то») я отрицание высказывания; при записи формул
предполагается, что операции конъюнкции и дизъюнкции связы¬
вают высказывания друг с другом теснее, чем знаки импликации
и эквивалепцпн. — Прим. ред.
** Свойство рефлексивности следует из свойств симметрично¬
сти и транзитивности в предположении непуототы тон предметной
области, на которой оно определено, т. е. множества Я, в термино¬
логии автора (см. об этом, например: Яновская С. А. О так на¬
зываемых определениях через абстракцию. — В; Яновская С. А.
Методологические проблемы науки. М., 1972, с. 55—57). Это пред¬
положение, естественно, принимается в теории измерений. —
Прим. ред.
*** В. Штегмюллер налагает на отношение К более строгое усло¬
вие, называемое им тотальной рефлексивностью, и поэтому счита¬
ет выражение (уя) (хКх) аксиомой [см.: Штегмюллер, 140, с. 30].—
Прим. ред.
170

Поэтому отношение К является отношением типа эк¬
вивалентности-. Этим отношением множество Е исчерпы¬
вающим образом разбивается на взаимоисключающие
классы эквивалентных объектов.
Отношение Р, т. е. отношение х предшествует у, тоже
должно быть транзитивным:
(A) (V*) (ду) <Vz) (хРуЛУР2	*PZ)-	(6.3—4)
Отношение Р должно быть, кроме того, up рефлексив¬
ным. Однако в данном случае этого недостаточно. Для сла¬
бого упорядочения множества Е с помощью отношения Р
в его связи с отношением К необходимо еще предполагать,
что ни один элемент из множества Е, совпадающий с ка¬
ким-то другим элементом, не должен находиться к этому
элементу в отношении Р. На этом основании мы требуем,
чтобы отношение Р было А-нррефлекеивньш (т. е. прре-
флексивным относительно К).
(A) <V%) Of У) {ХКУ 1 (хРу)).	(6.3-5)
Отношения Р и К несовместимы. Все элементы множе¬
ства Е должны быть сравнимыми относительно них. По¬
этому следует постулировать, что отношение Р относитель¬
но К связано, т. е. К-связано, как мы будем говорить:
(A) Otx)Ofy)n(xKy)-*xPy‘VyP*)- (6.3-6)
Эту аксиому можно выразить и в виде*
(А') (Щ(Чу)(хКу\ухРуЧуРх), (6.3-7)
или, если ввести определение отношения «следования за»,
(On) xLy тогда и только тогда, когда уРх, (6.3—8)
в виде:
(А") {Щ0!у){хКу\УхРуУх1у). (6.3-9)
В таком виде эта аксиома выражает закон трихотомии.
Однако мы можем интерпретировать ее только как слабый
закон трихотомии, согласно которому для всех х и у вы¬
полняется одна из трех альтернатив, а не как сильный за¬
кон трихотомии, согласно которому для всех х и у дейст¬
* Аксиома (6.3—7) логически следует из аксиомы (6.3—6) в си¬
лу законов логики, согласно которым импликатпвное суждение
равносильно дизъюнктивному суждению вида [аЛР, а двойное от¬
рицание суждения равносильно самому суждению. — Прим, ред.
171

вительна одна, и только одна из этих альтернатив*. Такая
интерпретация противоречила бы предпосылке, что топо-
логизация определяет только квазипорядок, который изо¬
морфен структуре слабого упорядочения.
Это взаимное отношение проявляется нагляднее, если
интерпретировать: множество Ё как множество чисел а, Ь,
с, отношение Р — как числовое отношение «О, или L
как отношение «>» для чисел, а К — как числовое отно¬
шение « = ». Тогда вышеприведенные аксиомы можно вы¬
разить в виде
(А*) (Щ (Щ) (а= b —*■ Ь= а),	(6.3—1*)
(A*) (Vo) (Щ (Vc) (а = b/\b = с -► а= с),	(6.3-2*)
(А*) (Уй)(Уб)(дс)(а<6Дй<с -*а<с),	(6.3—4*)
(A*) (Vo) (Уй) а = Ь	а<£Ь),	(6.3-5*)
(A*) (Va) (V6) (а ф b -*■ а < b\Jb < а).	(6.3—6*)
С помощью такой интерпретации мы можем упростить
характеристику условий топологизации. Для чисел а, Ь,
с, ... определены, как известно, и отношения
а ^ b и а > Ь,
которые читаются: а меньше или равно Ь (а, самое боль¬
шее, равно Ъ) ж а больше или равно b (а, самое меньшее,
равно Ь). Отношение меньше или равно можно ввести с
помощью определения
(Оп) а^Ь тогда и только тогда,
когда a<.b\/a = b.	(6.3—10*)
На основании этого определения и приведенных акси¬
ом, которые мы интерпретируем как аксиомы топологиза¬
ции и как аксиомы структуры слабого порядка, мы можем
в числовой модели вывести следующие две формулы:
(Vo) (Щ (а < ЬУЬ < а),	(6.3—11*)
(Ve) (Щ (Vc) (а < ЬДЬ < с -*■ а < с).	(6.3—12*)
Первая из них выражает условие связности, а вторая—
условие транзитивности. Если некая числовая структура
(N,	) удовлетворяет этим двум формулам, которые мож¬
* Сильная трихотомия, которую имеет в виду автор, передает¬
ся формулой (V X) (уу) ((хКуУхРуухЬу) Д1 (хКу/\хРу) Д Н {хКу,\
/\х1у)/\ 1 (хКуАхіу)),— Прим. ред.
172

но считать вариантами аксиом структуры слабого порядка
(первичным понятием является в этом случае отношение
<s^»), то каждая структура, ей изоморфная, может быть
слабо упорядочена.
Если, наоборот, на основании первичного понятия «<(»
мы определяем отношение «О и « = »:
(Оп) а<Ь тогда и только тогда,
когда 1 (£><а),	(6.3—13*)
(On) a=ab тогда и только тогда,
когда а ^ £>Д6 ^ а,	(6.3—14*)
то из аксиом (6.3—11*) и (6.3—12*) мы можем в качестве
теорем вывести аксиомы (6.3—1*), (6.3—2*), (6.3—4*) —
(6.3—6*). Тогда для структуры слабого порядка мы име¬
ем в распоряжении две эквивалентные аксиоматизации:
одна основана на первичном понятии «^» н двух аксио¬
мах, а другая — на первичных понятиях « < » и << — » и пя¬
ти аксиомах.
Эти факты можно использовать для альтернативной
формулировки условии топологизации. Если мы интерпре¬
тируем отношение «^» как двуместное отношение Q в
значении х, самое большее, совпадает су и примем его в
качестве первичного понятия, то аналогично для топологн-
зации можно сформулировать только две аксиомы, а имен¬
но:
(A) (V;c) (Vp) (xQyVyQx),	(6.3-11)
(А) (V*) (Vp) (Vz) {xQy/\yQz — xQz). (6.3-12)
Разумеется, подобным же образом мы можем в каче¬
стве двуместного отношения Q избрать отношение «5=»,
имеющее смысл х по меньшей мере равно у, отношение
«>» — двуместное отношение L в значении х следует за у,
и « = » — отношение К, Тогда условия топологизации
можно сформулировать для структур или (Е, К, Р) и
<Е, К, L), или <Е, Q). Теоретически «элегантнее» второй
вариант, поскольку он короче. Но методологически более
удобен первый, исходный вариант, поскольку интерпрета¬
ция двуместного отношения Q не так интуитивно прозрач¬
на, как отношений К и Р или К и L. Это тем более спра¬
ведливо для операциональной реализации этих отноше¬
ний.
Из взаимно однозначного отношения между структура¬
ми (JV, =, <) и {Е, К, Р) числовых и эмпирических реля¬
173

ционных систем, изоморфных структуре слабого порядка,
непосредственно вытекают следующие, в общем виде
сформулированные правила соответствия*:
(Пр) а = Ь <=> хКу,	(6.3—15)
(Пр) а < й <=> хРу.	(6.3—16)
Если исходить из формулировки, альтернативной фор¬
мулировкам обеих реляционных систем, т. е. из структур
(N, и (Е, Q), то достаточно только одного правила со¬
ответствия:
(Пр) а<й<^-х£2у.	(6.3—17)
Из формулировок этих правил видно, что любым пред¬
метам х, у, х множества Е, которые совпадают друг с дру¬
гом относительно некой неметрической или метрической
величины, будут приписываться одинаковые числовые зна¬
чения; если же в данном упорядочении х предшествует у,
то предмету х мы припишем меньшее шкальное значение,
чем предмету у, или, как вариант, если х самое большее
совпадает с у, то предмету х мы будем приписывать мень¬
шее число, чем предмету у или же припишем им одинако¬
вые числа.
Следовательно, при топологиаации с помощью правил
соответствия, сформулированных для некоторого эмпири¬
ческого множества упорядоченных элементов, величинам
можно приписывать только порядковые (ординальные)
шкальные значения.
Разумеется, правила соответствия (6.3—15) и (6.3—
16), так же как и правило (6.3—17), следует для каждого
конкретного случая специфицировать. Например, если мы
шкалируем твердость минералов, то первые два правила
можно выразить так:
(1) Только тогда, когда минерал пх не оставляет ца¬
рапины на минерале пу и минерал пу не оставляет царапи¬
ны на минерале пх, мы обоим минералам приписываем од¬
но и то яіє шкальное значение; или: двум минералам пх и
щ мы приписываем одно и то же числовое значение толь¬
ко тогда, когда минерал пх не оставляет царапины на ми-
* Знак ис принадлежащий нп рассматриваемым автором
реляционным системам, нп логике высказываний, служит (мега)
обозначением соотношения двух типов систем с отношениями или,
иначе говоря, знаком того, что мы здесь имеем дело с правилом пе¬
реноса знаний, извлеченных пз рассмотрения одной системы, на
другую систему. — Прим. ред.
174

ыерале пу, а минерал пу не оставляет царапины па мине¬
рале в*.
(2) Только тогда, когда минерал щ оставляет царапи¬
ну на минерале пх> мы припишем минералу пх меньшее
шкальное значение, нем минералу пу\ или: минералу пх
мы припишем меньшее числовое значение, чем минералу
пу, только тогда, когда пу оставляет царапину на минера-
Лб
Если, например, мы измеряем массу тел, то К мы мо¬
жем интерпретировать — в применении к чашечным ве¬
сам — как отношение быть в состоянии равновесия, а Р —
как отношение быть легче, чем, и т. п.
Поскольку правила соответствия приводят идеализиро¬
ванные математические сущности и отношения между ни¬
ми во взаимосвязь с конкретными эмпирическими объек¬
тами и отношениями, очевидно, что пх применимость —
даже несмотря на явно выраженное отношение однознач¬
ной корреляции — носит аппроксимационный характер.
Конкретное их использование зависит, например, от того,
сумеем ли мы на практике различать отношения тожде¬
ства и «следования за», сможем ли мы для этих отношений
найти какую-то операционально реализуемую интерпрета¬
цию. Кроме того, мы не должны забывать и о том, что
эти отношения не могут иметь в точности такие же свой¬
ства, что и соответствующие им отношения между числа¬
ми. Прежде всего это касается отношения тождества, но
справедливо и для отношения «следования за»: ведь при¬
менительно к этим отношениям вряд ли можно предпола¬
гать, что при большом количестве элементов их транзи¬
тивность может быть удостоверена практически; для чи¬
сел это свойство действительно без всяких ограничений.
Идеализирующей предпосылкой следует считать и условие
сравнимости, без которого мы не могли бы признать спра¬
ведливость закона слабой трихотомии. Но на практике мы
встречаемся и с несравнимостью элементов множества Е
касательно отношений К и Р или по крайней мере со спор¬
ными случаями, когда мы просто вынуждены решать в
пользу одной из альтернатив, не будучи уверенными в том,
что наше решение правильно.
С такими проблемами мы в еще большей степени встре¬
чаемся в случае иных видов топологизации, специально
предложенных для целей внефизического измерения. Об¬
щим признаком для этих топологизации является то, что,
кроме двуместных отношений К п Р или Q, они использу¬
ют — в дополнение к ним или наряду с ними — еще и
175

другие, четырехместные или трехместные, отношения с
аналогичными характеристиками.
Метризация, как она была разработана в связн с ана¬
лизом систем экстенсивного измерения, обогащает усло¬
вия тонологизации, сформулированные для определенных
на элементах множества Е первичных понятий К. Р пли
К, L либо Q, следующими требованиями, относящимися к
операции S. Эта операция — (xSy)Kz — в значении: ре¬
зультат приложения х к у или конкатенации (соединения,
комбинации) хну тождествен z — была введена в каче¬
стве эмпирического эквивалента арифметической опера¬
ции сложения. Поэтому на операцию S мы налагаем такие
же условия, каким должна удовлетворять операция сло¬
жения чисел [ср., например: Тарский, 159]. Если исходить
из эмпирической структуры <Е, К, Р, ЗУ, то операцию
можно определить следующим образом.
Операция іS должна быть коммутативной и ассоциатив¬
ной:
(A) (Vx) (V*,) ((xSy) К (ySx)),	(6.3-18)
(A) (Vx) (Vi/} (Vz) (xS (ySz)) К ((xSy) Sz». (6.3-19)
Операция S должна удовлетворять законам монотон¬
ности относительно К п Р:
(A) (Vx) (Vy) (Vz) (4w) ((xKyAzKw) -*■
-*■ (xSz) К (ySw)),	(6.3—20)
(A) (Vx) (Vy) (Vz) (V®) ((xKyAs^w) —►
—	(xSz) P (ySw)),	(6.3—21)
(A) (Vx) (Vy) (Vz) (Vbi) ((хРуДгРш)
—	(xSz) P {ySw)).	(6.3-22)
Для структуры <£, ()> закон монотонности можно вы¬
разить проще:
(Vx) (Vy) (Vz) (xQy — (xSz) Q (ySz)).	(6.3-23)
Поскольку для арифметической операции сложения
всегда можно ввести обратную операцию вычитания, мы
должны и для S постулировать обратную операцию полу¬
чения разности:
(A) (Vx) (Vy) (Эя) (хРу -ч- уК (.xSz)).	(6.3—24)
По аналогии с аксиоматической системой арифметики,
ограниченной положительными целыми числами, вводится
176

еще следующее условие, исключающее существование в
множестве Е нулевого элемента*:
(А) (V*) (Vi/) (Vz) (хКу — хР (ySz)). (6.3-25).
Если быть последовательными, мы должны были бы по¬
стулировать также условие
(Vx) (Vt;) (3/г) (хРу	уРпх), (6.3—26}'
причем >г = 1, 2, 3, ..., а пх определяется рекурсивно: 1х =
= х и (т+1)а:=т(з:6'а:); это условие** соответствует ак¬
сиоме Архимеда, используемой при аксиоматизации ариф¬
метики. Однако ни одно эмпирическое множество объек¬
тов, которое мы реально можем измерить, практически не
является бесконечным. Точно так же нельзя требовать,,
чтобы это множество было замкнутым относительно опе¬
рации S, т. е. чтобы для любых х и у, принадлежащих
множеству Е, выполнялось требование принадлежности к
нему результата ы конкатенации xSy. Таким образом,
структура (Я, К, Р, S) эмпирических реляционных систем
экстенсивного измерения не является, строго говоря, изо¬
морфной числовой структуре (N, =, <, +), где N есть
множество целых положительных чисел. Это, конечно, тем
более справедливо для отображения какой-то эмпириче¬
ской реляционной системы па структуру действительных
чисел.
Тем не менее приведенных условий достаточно, что¬
бы—с темп оговорками п ограничениями, о которых шла
речь при изложении условий соизмеримости И ТОПОЛОПІ-
заціпі, — можно было сформулировать следующее правило
соответствия:
(Пр) а + & = с <=> (xSy)Ky.	(6.3—27)
* В самом дале, если бы такой элемент (обозначим его через
і0) существовал в Е, то для него в силу (6.3—25) должно было
бы быть справедливо	{z^Sx?) ir в силу рефлексивности
отношения К, следуя известному логическому правилу modus ро-
nens, мы имели бы x^Pf^Sx0). Так как конкатенация — физиче¬
ское сложение — элемента Xі с самим собой совпадает с х°, полу¬
чилось бы	что невозможно в силу свойств отношения Р.
Таким образом, формула (6:3—25) теряет свою общезначимость при
наличии в множестве Е пустого элемента, введение же ее равно¬
сильно запрещению существования в Е такового. — Прим, ред.
** Фигурирующая в нем операция • , как легко видеть, пред¬
ставляет собой операцию умножения элементов эмпирического мно¬
жества — результатов конкатенации xSy на целое неотрицательное-
число. — Прим. ред.
12 За к. № ног
177

На основании этого правила соответствия для метри¬
зации разным величинам можно приписывать кардиналь¬
ные шкальные значения. Его применение, следовательно,
предполагает, что мы в состоянии определить для измеря¬
емых величин единицу измерения.
Но так как квазиэкстенсыввые величины, например
температура, хотя для них и имеются единицы измерения,
не удовлетворяют условию аддитивности, которое посту¬
лируется этим правилом соответствия, мы должны каким-
то образом модифицировать условия метризации так, что¬
бы они относились ко всем метрическим величинам.
Для установления модифицированных условий метри¬
зации, которые характеризовали бы измерение темпера¬
туры, можно воспользоваться понятием ассоциативного из¬
мерения. Учитывая, что между изменением температуры и
расширением теплометршческих материалов существуют
известные функциональные отношения, разность темпе-
тур можно связывать с линейными расстояниями, скажем
на шкалах термометров. Тогда определенной разности
температур будет соответствовать в точности одно линей¬
ное расстояние
d(xt, yt) тогда, и только тогда, когда d(xd,ya).
Меру линейного расстояния d(x±, yd) — масштаб —
можно при этом выбрать так, чтобы значение соответству¬
ющего температурного интервала d(xt, yt) равнялось еди¬
нице измерения температуры, ее кратной или дольной ча¬
сти.
На основании приведенной выше эквивалентности ана¬
логичным образом коррелируются приписываемые шкаль¬
ные значения, в данном случае расстояния между отмет¬
ками на шкале измерительного прибора {расстояния по
шкале):
| а( — bt[ тогда, и только тогда, когда | ad—bd[.
Для последовательности расстояний по шкале важно, что
в обоих случаях мы можем представить эти расстояния на
равномерной шкале как последовательность интервалов
одинаковой протяженности. Такая возможность вытекает
из того, что мы располагаем единицами измерения для обе¬
их этих величин.
Поскольку для линейного расстояния выполнимы все
условия метризации и вытекающие из них правила соот¬
ветствия, мы можем то же самое предполагать и для соот¬
ветствующих разностей температур, хотя для них нельзя
178

операционально реализовать требование аддитивности. И®
этой естественной предпосылки вытекает, что правила со¬
ответствия для отношений К и Р и операции S, отражаю¬
щие сущность метризации метрических величин, для из¬
мерения температуры можно переформулировать так, что'
они будут относиться не к элементам х, у, г... множества
Е и к числам а, Ъ, с, d, ... множества N, а к парам этих
элементов — к температурным интервалам и к разностям
чисел. В обобщенной форме (без специфицирующих индек¬
сов) эти правила можно выразить так:
(Пр) \а—6j = |c—d \ <=> d(x,y)Kd{z,w), (6.3—15')
(Пр) | а—Ь | < [ с—d | <=> d (х, у) Pd (г, w), (6.3—16')-
(Пр) \а—Ь| + |£>—с|=|а—с] <=>
<=> (d (х, у) Sd (г/, г)) Kd (х, г).	(6.3—27')
Третье правило, как мы видим, содержит то условие, что
интервалы температур должны быть непосредственно со¬
седними.
Эти правила соответствия для тополозизации и метри¬
зации, сформулированные для пар элементов некоего эм¬
пирического множества, относятся к каждой структуре ин¬
тервального (дифференциального) измерения, для кото¬
рого нельзя явно ввести операцию конкатенации <spojo-
vani>. К другим величинам их можно применять, однако,
только тогда, когда соблюдены предпосылки, при которых
они были введены.
Интервальное измерение величин, для которых нельзя
установить единицу измерения и которые нельзя поста¬
вить в связь ни с какой экстенсивно измеримой величи¬
ной, мы рассматриваем только как шкалирование. С этой:
точки зрения следует также оценивать трактовку метри¬
ческой связности <spojeni> и функцию расстояния, разви¬
тую Пфанцаглем (см. 4,3), равно как и разные топологи-
зации п метризации в теориях внефизического измерения.
Наиболее разработанная версия топологизации немет¬
рических величин, пытающаяся интерпретировать тополо-
гизацию одновременно и как метризацию, связана с ана¬
лизом разных видов интервального (разностного) измере¬
ния. Данный вид неэкстенсивного измерения характери¬
зуется разными эмпирическими структурами: например,
структурой (Е, К, Р, | ) , где | есть четырехместное отно¬
шение (см. 6.2), структурной <Е, Е*, D>, где Е* есть не¬
пустое подмножество декартова произведения ЕУ.Е, a D—
12*
179

двуместное отношение на Е*, т. е. двуместное отношение
между парами элементов из Е, ылн структурой (Е, D>,
где D есть четы ре хмес гное отношение
D(x,y,ztw) или x,yDz,w.
Все эти структуры сходны в том, что в них фигурирует
некоторое четырехместное отношение, которое с формаль¬
ной точки зрения может быть интерпретировано так же,
как п отношение Q или обратное ему отношение Q. Раз¬
личаются они тем, каким эмпирическим реалиям это от¬
ношение соответствует и как трактуется отвечающая ему
эмпирическая структура — как конечная или как беско¬
нечная. Но для выявления сути интересующей нас проб¬
лематики все эти различия несущественны.
Отношение | имеет место между парами элементов х,
у и л. w множества Е тогда, н только тогда, когда этим
элементам можно приписать числа а, Ъ, с, d так, что абсо¬
лютное значение разности чисел между а и Ъ самое боль¬
шее равнялось бы (было меньше или равно, не больше)
абсолютному значению числового интервала (разности)
между с и d. В качестве примера можно привести четы¬
рехместный предикат предпочтения: предпочтение х по от¬
ношению к у, самое большее, таково же, что и предпочте¬
ние z по отношению К W.
Аналогично отношение D имеет место между парами
элементов х, у и г, w множества Е. если названным эле¬
ментам можно приписать числа а, Ъ, с, й так, что раз¬
ность чисел между а и Ъ по крайней мере равна (больше
или равна, не меньше) разности чисел между с ж d. От¬
носительно этих арифметических разностей, как правило,
принимается, что их значения будут положительными;
впрочем, не исключается и противоположный случай. Ес¬
ли сравнить, например, разные пары предметов с точки
зрения их сходства — скажем, по цвету или форме, — то
отношение D можно интерпретировать так: сходство меж¬
ду х и у по крайней мере столь же велико (больше или
равно, не меньше), что и сходство между z и w.
Если оба эти отношения объединить, то получается от¬
ношение быть самое большее столь оке индифферентным,
что и, или быть по меньшей мере столь же индифферент¬
ным, что и, или быть самое большее (по меньшей мере)
столь же неразличимым, что и. Разница между ними с фор¬
мальной и семантической точек зрения, если отвлечься от
того, как здесь трактуется понятие интервала, несуще ст-
180

венна. Если рассмотреть стандартную числовую интерпре¬
тацию, для которой
а—ь < с—d -«—*■ с—d > а—Ь,	(6.3—28*)
то, рассуждая по аналогии, мы можем постулировать спра¬
ведливость эквивалентности их и у самое большее столь
же индифферентны, что и z и и>» тогда, и только тогда,
когда «г и w по меньшей мере столь же индифферентны,
ЧТО И X ЇІ у '>.
Характеристику условий тополошзации для разных ви¬
дов интервального измерения, дифференцированных в со¬
ответствии с мощностью множества Е и возможными ин¬
терпретациями понятия числового интервала, лучше всего
доказать на примере конечной, равномерно градуированной
■интервальной структуры <Е, D>.
С помощью первичного понятия D со стандартной чис¬
ловой интерпретацией	можно, как и с помощью от¬
ношения Q (или обратного ему отношения Q), аналогич¬
ным образом определить понятия о следующих четырех¬
местных отношениях1: понятие предпочтения V:
(Оп) х, iJSJz, w тогда, и только тогда,
когда П (z, ®Dx,p),	(6.3—29)
и понятие индифферентности (безразличия, неразличимо¬
сти) U:
(Оп) х, yXJz, w тогда, и только тогда,
когда м, yOz, w/\z, wDx, у.	(6.3—ЗО)
Кроме этих четырехместных отношений, мы можем с по-
(мощью отношения D определить еще двуместное отноше¬
ние индифферентности (неразличимости) U:
(On) xUy тогда, и только тогда,
когда х, у\5у, х,	(6.3—31)
и двуместное отношение предпочтения V:
(Оп) х\у тогда, п только тогда,
когда х,уУу,х.	(6.3—32)
1 Б отличие от прочих формулировок мы для всех этих отно¬
шений вводим специфические символы. Хотя использование этих
символов, обычно только арифметических, более наглядно, по оно
легко приводит к искажению интерпретации, обусловленному не¬
уместными аналогиями между эмпирическими и числовыми аспек¬
тами измерения. Любой читатель с легкостью увидит, что отноше¬
ние U соответствует отношению К, V — отношению L и т. д.
181

Следовательно, е помощью отношений U и V или с по*
мощью отношения D мы можем определить и двуместное
отношение индифферентности ила предпочтения VIIV:
(On) xUHVy тогда, и только тогда,
когда х, yDy, х.	(6.3—33)
Однако для нужд топологиэации эмпирической струк¬
туры <Е, D> — если требуется соблюдение условия равно¬
мерной градуировки интервалов — намного важнее ввести
другое понятие: двуместное отношение /, или отношение
так называемого непосредственного предшествования:
(On) xJy тогда, и только тогда,
когда xVу/\(Чz) (xVz	yUz\JyVz).	(6.3—34)
Интуитивный смысл этого определения ясен: при услови¬
ях, установленных в дефинненсе — т. е. в том, что опре¬
деляется, — все непосредственно соседствующие элементы
в данном упорядочении находятся друг от друга на рав¬
ном удалении. Следовательно, если х я у суть два таких
элемента, то между ними не может появиться никакой эле¬
мент z. Если бы вместо отношения D мы ввели в качестве
первичного понятия отношение | (с отношением «^»
как его стандартной интерпретацией), то мы должны бы¬
ли бы ввести обратное понятие непосредственного следо¬
вания за, с помощью которого можно, согласно системе
аксиом арифметики натуральных чисел, введенной Дж.
Пеапо, образовывать равномерно градуированную после¬
довательность такого рода чисел.
Разумеется, аналогию между последовательностью чи¬
сел и последовательностью равномерно «расставленных»
элементов множества Е нельзя понимать так, будто интер¬
вал между любыми элементами хя у равняется 1. Если вы¬
разить дефипиенс в числовой форме
а > 6Д (Vc) (а > с —*■ Ь = с\/Ь > с),
то данная формула будет выполняться не только для а=8,
6—7, с=6, но, например, и для а—8, 6=6, с—2. Не будет
она выполняться только для каждого с, такого, что с>6,
например, для а=8, 6=4, с=5, поскольку в этом случае
с будет находиться между а и 6; следовательно, элементы
х и у не будут непосредственно соседствующими элемен¬
тами в данном упорядочении.
На основании этих определений ясно, что для тополо-
гнзации интервального измерения тоже можно сформули¬
182

ровать два равносильных варианта, имеющих аксиомы,
аналогичные аксиомам для структур <Е, 0> и <Е, К,
Р>: одпа будет базироваться па структуре <Е, D), а
другая — на структуре (Е, V, U>. Чтобы не загромож¬
дать изложение, приведем только одну из них (по тем же
соображениям мы опускаем в записи и кванторы общно¬
сти):
(А) х, yDz, w\Jz, wDx, у,	(6.3—35)
(А) х, yDz, w/\z, wDu, v —x, yDu, v. (6.3—36)
Первая аксиома характеризует условие связности, а вто¬
рая — условие транзитивности для отношения D. Таким
образом, здесь выражено, что данное четырехместное от¬
ношение допускает слабое упорядочение пар элементов цз
множества Е. Поскольку понятие эмпирического .интер¬
вала (промежутка, расстояния), которое в теории измере¬
ния экстенсивных величин было введено per analogiam
как качественный коррелят арифметического понятия чис¬
лового сегмента (интервала) и геометрического понятия
удаленности (отрезка), само но себе обосновано недоста¬
точно, вводятся еще следующие две аксиомы:
(А) х, yDz, w —► х, zDy, w,	(6.3—37)
(А) х, yDz, w w, zDy, x.	(6.3—38)
Первая из них характеризует некоторое обязательное
свойство стандартной арифметической интерпретации от¬
ношения D, а вторая — алгебраический факт, касающий¬
ся числовых сегментов, а именно:
(А*) а—6 > с—d —*- а——d, (6.3—37*)
(А*) а—Ъ^с~ d-+d—c^b— а. (6.3—38*)
Вместо аксиомы (6.3—38) иногда приводится аксиома
x,yDx',y'Ay,zDy',z' х,уЬх,' у1.	(6.3—39)
Из этих аксиом, общих для всех структур внефизиче-
ского интервального (разностного, дифференциального)
измерения, непосредственно следует правило соответствия
(Пр) а—b > с—d <=> х, yDz, w,	(6.3—40)
эквивалентное обоим первым правилам для интервального
измерения температуры, сформулированного для d(x, у) и
d{z, w).
183

Последняя аксиома выражает специфическую предпо¬
сылку равномерного градуирования или «эквидистантно¬
сти»: если х есть непосредственный сосед для у, а г есть
непосредственный сосед для ю, то расстояние (промежу¬
ток) между я н у должно быть таким же, ЧТО II между
Z И WI
(A) xJy/\zJw х, y\Jz, гг». (6.3—41)
Эта аксиома используется уже при формулировке условий,
при которых форма шкалы интервальных структур инва¬
риантна относительно допустимых преобразоваиіііі, и при
доказательстве соответствующей теоремы единственпости.
Но па самом деле предпосылка эк ни дистантной градуиров¬
ки для неметрических величин представляет собой фик¬
цию — суррогат отсутствующей единицы измерения; по¬
этому она пе дает нам права на выведение таких же
следствий, что и те, которые относятся к внешне сходному
случаю интервального измерения температуры.
В продолжение проведенного выше анализа интерваль¬
ного измерения перейдем теперь к краткому рассмотрению'
топологнзацпи системы путем так называемого определе¬
ния «точек равноделення» и простейшей версии аддитив¬
ного комбинированного измерения.
Измерение с помощью «равноделення», или бисек¬
ции интервалов*, введенное в психофизические исследова¬
ния Г. Т. Фехнером еще в прошлом веке, основывается на
следующей процедуре: испытуемый должен определить
такую силу раздражителя (например, громкость), которая
субъективно воспринимается им как лежащая точно посе¬
редине между интенсивностями двух других предъявле¬
ний того же раздражителя. Подобное измерение можно
расценивать как частный случай ассоциативного измере¬
ния. Методологи, исследующие внефизичеекое измерение
и стремящиеся создать такую теорию измерений в психо¬
логии, которая была бы независимой от физических изме¬
рений, трактуют рассматриваемый вид измерительных про¬
цедур как подчиненный более общему понятию бисиммет-
ричного измерения, пли комбинированного измерения.
Со структурной точки зрения мы можем, однако, изме¬
рение путем «равноделення» (осреднения) адекватно ха¬
рактеризовать, связав его с эмпирической структурой си-
* В отечественной психологической литературе говорят также
об определении «субъективной середины отрезка» шкалы, задан¬
ного двумя данными стимулами. — Прим. ред.
184

стам интервального измерения <£, D> и двуместным
отношением J, если ввести еще два трехместных отноше¬
ния: отношение tA(x, у, z), имеющее смысл: у лежит меж¬
ду х и г, — и отношение В (ж, у, г), которое имеет смысл:
у лежит посередине между х иг:
(On) М (х, у, г) тогда, и только тогда,
когда (xVy/\yVz)\/\zVy/\yVx),	(6.3—42)
(On) В (х,у,г) тогда, и только тогда,
когда М (х, у, г)/\х, yVy, г.	(6.3—43)
Это понятие можно, разумеется, определить также непо¬
средственно, с помощью двуместного отношения J:
(Оп) В (х, у, г) тогда, и только тогда,
когда xJy/\yJz.	(6.3—44)
Аксиомы, которыми можно характеризовать топологи¬
ческие условия измерения с помощью «равноделения», ин¬
туитивно явны. Отдельны элементы множества Е слабо
упорядочиваются, и их последовательность шаг за тагом
«эквидистантно» строится так, что для любых двух край¬
них элементов произвольного интервала всегда можно най¬
ти третий, располагающийся посередине элемент.
Соответствующее числовое отображение в терминах
правил соответствия, выраженных с помощью отношений
U, V и В или (совершенно эквивалентно) с помощью от¬
ношений К. Р (или L) и В, — в случае, когда мы хотим
показать связь этих правил с правилами соответствия для
•систем экстенсивного измерения, а именно:
(Пр) а*=Ь <=> хКу,	(6.3—15)
(Пр)	хРу,	(6.3—16)
(Пр) (а+Ь)/2	Ъ(х,у,г),--	(6.3—45)
•на самом деле напоминает скорее метризацию систем эк¬
стенсивного измерения.
Такое впечатление, однако, необоснованно. Измерение
с помощью «равноделения» как его сегодня понимают
специалисты, занимающиеся внефизическим измерением,
является особым случаем неэкстенсивного измерения. Для
величин, измеряемых таким способом, нельзя ввести ех
■definitione единицу измерения. Приписывание шкальных
значений приводит только к упорядочению измеряемых
величин, но ее породит их меры. Тем более ДЛЯ ШІХ
185

невозможно найти эмпирически значимую интерпретацию
числовой операции сложения. Справедливость третьего
правила соответствия может быть, следовательно, обосно¬
вана только тогда, когда есть основания предполагать, что
неметрическая величина, которую мы хотим измерить этим
способом, измерима ассоциативно.
Для комбинированного, сложного измерения, основан¬
ного на одновременном измерении (или шкалировании)
по меньшей мере двух разных величин или свойств, на¬
пример интенсивности и частоты тона, постулируется эм¬
пирическая структура <£'[. Е2, D'>. где Е\ и Е2 суть два
разных эмпирических множества объектов. Четырехмест¬
ное отношение D' — отношение <х, Z>D'<y, ;> — свя¬
зывает упорядоченные нары <х, (> и <у, ;>, причем
х и у являются элементами множества £і, а г п / — эле¬
ментами множества Еч. От аналогичного четырехместного
отношения D для интервального измерения отношение D'
отличается только тем, что декартово произведение £1X^2
определено здесь на двух разных эмпирических множест¬
вах и что члены отношения D/ упорядочиваются парами,
а не интервалами пли разностями между элементами мно¬
жества Е,
С помощью отношения D' можно по аналогии в соот¬
ветствии с определениями (6.3—29) и (6.3—30) ввести
два четырехместных отношения V' и 1Г, равно как и три
двуместных отношения U', V' и U'liV' (ср. определения
(6.3—31) — (6.3—33)). Однако теперь эти двуместные от¬
ношения следует определять с учетом того, ЧТО X, у и i, j
относятся к двум разным эмпирическим множествам:
(On) xU'1/V'у тогда, и только тогда,
когда (Vt) ((X, і) D' (у, і)),	(6.3—46)
(On) iU'f/V'j тогда, и только тогда,
когда (Vx)«x, і) D'<■*,/»;	(6.3—47)
это, разумеется, справедливо и для сходных определений
отношений 1Г и V'. Если ограничиться конечным, «экви¬
дистантным», аддитивным, комбинированным, сложным из¬
мерением, то следует предположить еще двуместное отно¬
шение J.
Аксиоматическая формулировка условий топологшза-
ции включает в себя, таким образом, кроме уже известных
аксиом слабого порядка, т. е. аксиом связности и транзи¬
тивности, еще две аксиомы независимости:
186

(А) (х, i> D' (у, ї> — {х, /> D' (у, />,	(6.3-48)
(А) <зс, i> D' <х, />	<у, і> D' <у, />.	(6.3-49)
Первую из них можно интерпретировать так: если упоря¬
доченная пара <ж, і> но меньшей мере столь же пред¬
почтительна, что и упорядоченная пара <у, ;>, то это
отношение между предпочтениями для элементов х а у
из Ei с охраняется и тогда, когда мы заменим элемент і
любым другим элементом / множества Е2. Вторая аксиома
выражает то же свойство элементов множества Е2, рас¬
сматриваемое относительно элементов множества Ei.
Следующая, последняя, аксиома постулирует условие
«эквидистантности»
(A) xJy/\iJ\ <х, /> U' {у, t>,	(6.3—50)
которое опять-таки компенсирует отсутствие единицы из¬
мерения для комбинированно измеряемых — а на самом
деле лишь комбинированно шкалируемых — неметричес¬
ких величин.
Таким образом, структура этого основного варианта
комбинированного измерения удовлетворяет постулатам
слабого порядка. Однако поскольку для элементов мно¬
жеств Е\ п Е% аксиоматически постулируется, что они не¬
зависимы друг от друга, то для каждого из множеств необ¬
ходимо сформулировать свои — впрочем, сходные — пра¬
вила соответствия, в числовой компоненте которых фигу¬
рируют либо отношения « = » и «>» (или «<»), либо,
что то же самое, отношения « = » и «^» (или «^»), Вы¬
полнение этих общих условий топологизации, конечно,
тривиально и не отличает структуру комбинированного
измерения от других форм неэкстеасивного измерения.
-Поэтому для эквидистантно шкалированного аддитивного
комбинированного измерения вводится специфическое
правило соответствия
(Пр) a + cf = 6-f с	<x,j)V' (у, />. (6.3—51)
Согласно этому правилу, элементам х, у эмпирического
множ ест в'a Ei приписываются произвольные числа а, Ъ,
для которых справедливо, что а^Ъ, равно как при анало¬
гичном условии элементам і, эмпирического множества
Е2 пришгеыв аются произвольные числа d и с. II до тех
пор пока разности чисел «, Ъ и с, d одинаковы (что посту¬
лируется аксиомой эквидистантного расположения для
соответствующих элементов эмпирических множеств), вы-
187

ражевие (х, )>V'<y, О справедливо при условии*
что а-Ы=Ь+с (например, когда для х а=3, для у Ъ— 1,
для і с=9, а для / d= 7).
Приведенное правило соответствия в более общем
виде формулируется так:
(Пр) o-j- d ^ Ъ + с <=> (х, /) D' <гл [>•	(6.3—52)
Отсюда, однако, не следует, что это правило можно приме¬
нять и к отношению V' и его числовому эквиваленту «>»,
поскольку это противоречило бы требованию эквидистант¬
ности*
Данное правило соответствия в топ или иной его фор¬
мулировке непосредственно вытекает нз аксиомы эквиди¬
стантности и по крайней мере частично проливает свет на
подразумеваемую в нем интерпретацию понятия упорядо¬
ченной пары вида (ж, г)- Остается, однако, необъясненным,
как складывать соответствующие шкальные значения и,
следовательно, как соединять элементы двух содержатель¬
но различных эмпирических множеств. Утверждение
С. Сулпеса, что вещественные функции можно подвергать
конкатенации, используя одну н ту же единицу [Суппес,
154, с. 55], фактически необосновано и к тому же вступает
в противоречие с основными предпосылками, из которых
исходит теория комбинированного измерения. Если бы для
обеих величин мы имели в своем распоряжении единицы
измерения, которые, понятно, должны были бы быть раз¬
ными, и если бы мы сумели создать для них эмпирически
реализуемые условия, позволяющие производить физиче¬
ское сложение элементов соответствующих множеств со¬
гласно предполагаемой аддитивности, то но было бы, ве¬
роятно, вообще необходимости с помощью очень сложных
конструкций вводить этот специфический вид неэкстенсив¬
ного измерения.
Постулирование разных условий метризации также и
для иеэкстенснвных величин — условий, которые, однако*
нельзя практически реализовать, — не самый лучший путь
преодоления объективно существующих различий между
тем, что измеримо, а что нет, что измеримо фундаменталь¬
но, а что пет. Построение чисто формальных систем, кото¬
рые в действительности соответствуют только какой-то
числовой модели, еще не достаточный аргумент в пользу
возможности измерения этих величин хотя бы ассоциа¬
тивно.
188

6.4.	Теорема представления
Идея сформулировать проблему представления п для
каждой аксиоматически введенной эмпирической структу¬
ры измерения доказывать некоторую теорему представле¬
ния, как мы об этом уже говорили, была вызвана к жизни
аксиоматической теорией ожидаемой полезности. Стремясь
опосредованно обосновать восходящую к Д. Бернулли ги¬
потезу максимизации ожидаемой полезности, Дж. фон
Нейман п О. Моргенштерп [Нейман, Моргенштерн, 112,
с. 50, 616 и сл.] вводят два основных свойства этого поня¬
тия. Первое имеет вид:
и Ife v влечет v (и) ^ v (о),	(6.4—I)
что истолковывается следующим образом: если некто оце¬
нивает полезность альтернативы и, как по меньше и мере
такую же же лате льну го. что и полезность альтернативы v,
то он приписывает функции полезности v(n) большее НЛП
такое же числовое значение, что п функции полезности
v{u). Второе свойство передается равенством:
v(Tn + (l— y)y) = fv(«) + (l— Y) v(u), (6.4—2)
которое интерпретируется так: ожидаемая полезность
(значение функции полезности) комбинации ув-(-(1—■y)v
двух альтернатив и, икс вероятностями у и 1—у
(0<у<1) равна сумме вероятностно оцененных ожидае¬
мых полезностей (значений функции полезности) *. Этим
понятиям придается форма теоремы существования
(А: V)**:
«Существует отображение
W '—ч(ш)
* Выражение веда у в+(1—у) Дж. фон Нейман и О. Морген¬
штерп рассматривают как некоторую «естественную» операцию над
полезностями и читают ее как: центр тяжести и п v с весами у ж
1—у или, по-другому, как: комбинация а к и с альтернативными
вероятностями у, 1—у. Ход рассуждений, приводящий к равенст¬
вам 6.4—1 п 6.4—2, они характеризуют как нахождение такого со¬
ответствия между полезностями и числами, которое переводит от¬
ношение и fey и операцию у и+ (1-у) и для полезностей «в синони¬
мичные понятия для чисел», Прп этом авторы обращают внимание
на то, что в обоих этих равенствах «в левой части фигурируют «ес¬
тественные» понятия для полезностей, а в правой — обычное поня¬
тие для чисел» (русск перев.: Нейман Дж., М о р г е н ш т е р н О.,,
112. с. 50). — Прим. ре$.
** Там же, с, 625—626. — Прим. ред.
139

всех w в некоторое множество чисел, обладающее следую¬
щими свойствами:
І) монотонность;
И) для 0<y<1 и любых u,o:v((l—=
= 0 — t)v(uH-tv (ф.
Проблематика представления, приводящая к опреде¬
ленной теореме представления, была в общем виде сфор¬
мулирована в качестве необходимой составной части вся¬
кой аксиоматической теории измерений Д. Скоттом и
П. Супиесом (1958) и выдвинута П. Суппесом и Дж. Зпое-
сом (1963) как одна из важнейших целей изучения осно¬
ваний теории измерений.
По своей сущности формулировка теоремы представ¬
ления, насколько она непосредственно касается определен¬
ной системы фундаментально (независимо) измеримых
величин, не отличается от формулировки правил соответ¬
ствия. Это заметно с первого взгляда, если сравнить, напри¬
мер, правила соответствия для систем экстенсивного изме¬
рения. а именно (6.3—17) п (6.3—27), со следующей фор¬
мулировкой теоремы представления [Кранц и др., 94,
с. 74]:
«Пусть А — некоторое непустое эмпирическое множе¬
ство, — бинарное отношение на Л, ° — бинарная опе¬
рация на А, относительно которой множество А замкнуто.
Тогда (Л,	° > является некоторой замкнутой экстенсив¬
ной структурой, если существует вещественная функция
0 на А (Ф:А—*-Де), такая, что для всех а, Ьі=Л
і) с^Ь тогда, и только тогда, когда ф(а) >0(6);
И) ф (а°6) =0(а)Н-0(ф.
Таким образом, теорема представления, так же как и
правила соответствия, устанавливает условия, при кото¬
рых данная эмпирическая реляционная система гомоморф¬
но (плп изоморфно) отображается на (в) некоторую чис¬
ловую реляционную систему. В психологической литерату¬
ре, а также в работах по формальной теории измерений
понятия измерения и шкалы часто не различаются, и тог¬
да получается, что в обоих случаях определяются условия,
при которых можно конструировать некоторую метриче¬
скую или даже неметрическую шкалу.
Правила соответствия отличаются от теоремы пред¬
ставления тем, что они устанавливают соответствие между
190

эмпирическими и неметрическими понятиями, так что их
можно использовать только в случае фундаментально из¬
меримых величин, теоремы же представления можно дока¬
зывать и для систем производно измеримых величин [ср.:
Суппес, Зинес, 155, с. 17 а сл.]. Так, напрпмер, для из¬
мерения ПЛОТНОСТИ, определяемой структурой {Е,	0у)>
где Е есть множество эмпирических объектов, Фт— функ¬
ция массы, а Ф v— функция объема, существует представ¬
ляющее отношение Z(0m, 0v, "ф), такое, что для каждого
х^Е:
^ (х) = 4-д г •
т w Ф v (*)
Следующее различие можно усмотреть в том, что для
физически измеримых величин правпла соответствия, ис¬
ходящие из известных свойств числовых реляционных си¬
стем, довольно легко можно сформулировать и эмпириче¬
ски интерпретировать. Эти правила в данном случае столь
интуитивно ясны, что их даже не нужно обосновывать, как
это требуется при дедукции теорем представлений, исходя
из аксиом, введенных для тех шли иных эмпирических
структур систем неэкстенсшвных величин. Правпла соот¬
ветствия непосредственно определяют, для каких числовых
отношений и операций следует искать соответствующие
им эмпирические корреляты, которые дают возможность
приписывания количественным аспектам измеряемых
объектов шкальных значений так, чтобы они выражали не
только их упорядочение, но и меру. Хотя при доказатель¬
стве теорем представлений преследуются в принципе те же
цели, тем не менее из-за сложностей, связанных с эмпири¬
ческой интерпретацией числовых понятий и операциональ¬
ной реализуемостью предполагаемых условий метризации,
считается необходимым выяснить прежде всего структу¬
ру той эмпирической реляционной системы, которая может
обладать свойствами, аналогичными свойствам числовой
системы.
Теоремы представлений кажутся более убедительными,
чем прямые формулировки правил соответствия, так как
они доказываются. На деле же это лишь затушевывает
проблематичность многих предложений систем внефпзиче-
ского измерения — систем, которые нельзя удовлетвори¬
тельным образом операционально реализовать. Сторонники
формальной теории измерений это осознают, но, глядя на
вопрос со своей точки зрения, не видят в этом какого-либо
недостатка. По их мнению, аксиоматическое обоснование
191

теорем представления имеет целью не выяснение того,
■«возможна ли такая-то процедура, а того, существует ли
■некоторая числовая функция, отвечающая определенным
свойствам» [Кранц, 94. с. 8]. Поэтому они полагают оправ¬
данным ограничиться рассмотрением только абстрактных
структур измерений [Кранц, 93, с. 434] — структур, ха¬
рактеризующихся абстрактными законами, — оставляя в
стороне вопрос, реализуемы ли они на практике.
Разумеется, такого чисто формального построения тео¬
рии измерений недостаточно. Выведение топ или иной тео¬
ремы представления не может быть самоцелью. Метриза¬
ция имеет смысл только в связи с измерением, когда она
помогает теоретически объяснить практически проводи¬
мые измерения и когда она ими подтверждается. Поэтому
доказательство существования какой-то числовой функции,
проводимое путем доказательства некоторой теоремы
представления, еще не означает, что мы можем фактически
строить эту функцию. Дедуцируя какую-либо теорему
представления исходя из множества аксиом, по меньшой
мере непротиворечивого, мы тем самым доказываем лишь
ее логическое существование. И до тех пор, пока аксиомы
нельзя эмпирически интерпретировать, удостовериться в
их соответствии практике, мы не можем считать обоснован¬
ным то, что данная числовая функция существует также
фактически. Но если для первичных понятий эмпириче¬
ских структур мы не в состоянии предложить эмпириче¬
скую интерпретацию, которая удовлетворяла бы предпо¬
лагаемой системе измерений, то мы не может сделать это¬
го п для соответствующей теоремы представления. Бремя
доказательства предполагаемой корреляции между число¬
выми отношениями и операциями и их эмпирическими
эквивалентами, таким образом, не может быть возложено
на силу одной абстракции. Поскольку формальными сред¬
ства мп ни одну содержательную проблему удовлетвори¬
тельно решить нельзя, критикуемый нами подход способ¬
ствует скорее затемнению, нежели прояснению данной
проблематики.
Эту оценку можно подкрепить некоторыми характерны¬
ми примерами подходов, относящимися к проблематике
■физических измерений, когда преследуется одна и та же
цель: обоснование возможности фундаментального, незави¬
симого измерения квазиэкстенсивных и неметрических
величин.
Так как функция Ф п для теорий внефпзического изме¬
рения обычно считается вещественной, то при формулиров¬
192

ке проблемы представления вряд ли можно игнорировать
вопрос о том, что, собственно, соответствует арифметиче¬
ской операции сложения. Конечно, вопрос этот очень не¬
приятен. Чтобы избежать его постановки, П. Суппес и дру¬
гие авторы обращаются к возможности формального опи¬
сания произвольной двуместной операции с помощью соот¬
ветствующего трехместного отношения [Суппес, 153, с. 2;
ср. также: Кранц и др., 94, с. 8]. Разумеется, посредством
формального описания эмпирической структуры, для ко¬
торой операция конкатенации выражается с помощью
трехместного отношения между х, у п zK (xSy), опре¬
деленного на некотором множестве Е, ничего еще не ре¬
шается. Если этот метод применить также и для описания
числовой реляционной структуры {что необходимо сделать
согласно теореме представления), то мы должны бу¬
дем соответствующим образом измерить и арифметическую
операцию сложеиия. Можем ли мы тогда вообще говорить
об операциях над числами? Но Суппес на это не обращает
вниманпя, свободно рассуждая об операции конкатенации,
когда анализирует системы экстенсивного измерения. Либо
он непоследователен, либо смешивает синтаксическое опи¬
сание и семантическое значение понятия операции. Довод,
который он приводит, а именно что эмпирическая опера¬
ция конкатенации не может в отличие от арифметической
операции сложения удовлетворять условию замкнутости,
так как для линейного измерения нельзя постулировать
существование сколь угодно больших длин, недостаточен.
Аналогичный аргумент можно привести, как уже было ска¬
зано, для любого компонента эмпирической реляционной
структуры, которая никогда не может точно соответство¬
вать всем свойствам числовых коррелятов.
Следующая спецификация теоремы представления от¬
косится к изменяемости числового приписывания. Подобно
тому как для одной и той же системы можно построить не¬
сколько аксиоматик, для одного и того же внефизического
измерения, считают некоторые исследователи, существует
несколько числовых функций Ф, сохраняющих характер¬
ные свойства рассматриваемой эмпирической реляционной
системы. Поскольку числовое приписывание может вести
к разным представлениям, не только аддитивным, но и
мультипликативным либо экспоненциальным, для опреде¬
ленной эмпирической структуры можно доказать больше
чем одну теорему представления [ср: Суппес и Зинес, 155,
с. 19, 44 и сл.; Кранц и др., 94, с. 99 и ел.]. Эта многознач¬
ность относится к теоремам представления, доказываемым
13 Зак. № 1102
193

как для фундаментального, так и для производного изме¬
рения.
Согласно П. Суппесу и Дж. Зинесу, эмпирическую ре¬
ляционную систему экстенсивного измерения <§ = <Е, Q, S>
можно отобразить как на числовую реляционную систему
Ж*= (N, Ч- >, так и на систему Ж* — <jV#, sC, • >, и эти
отображения эквивалентны. Такую возможность они обос¬
новывают транзитивностью гомоморфного (изоморфного)
отображения.
Если эмпирическую систему <£ можно гомоморфно ото¬
бразить на числовую систему Ж и если эту «аддитивную
систему» можно в свою очередь гомоморфно отобразить
на мультипликативную систему Ж*, то Ш можно отобра¬
зить и на Ж*. «С математической точки зрения теорема
пред ставлення, основанная на Ж*, так же справедлива и
полезна, как и теорема представления, основанная на Ж,
так что нет никакого оопов'аашя интерпретировать опера¬
цию « о » как сложение, а не как умножение».
Такой выбор — а его П. Суппес н Дш. Зине с считают
делом конвенция — оказывает влияние только на соответ¬
ствующую теорему единственности: в первом случае речь
идет о преобразовании подобия, во втором — об экспонен¬
циальном преобразовании.
Хотя Суппес п Зипес подходят к измерению с матема¬
тической точки зрения*, такое сужение проблемы не игра¬
ет—в рамках их формальной концепции измерения — во¬
обще никакой ограничительной роли. Значимость числово¬
го представления фундаментально измеримых величин за¬
висит в конечном счете от того, как производится непо¬
средственное отображение данной эмпирической реляци¬
онной системы на числовую систему и что можно извлечь
из этого числового отображения для спецификации соот¬
ветствующей эмпирической системы. Кроме того, каждую
числовую систему можно, конечно, преобразовывать и да¬
лее. Вместо рациональных чисел мы можем, например,
выбрать их логарифмы (десятичные или натуральные).
На деле такие преобразования проводятся не для любых
измерений, но из этого нельзя заключать, будто получаю¬
щиеся в результате них числовые значения и отношения
между этими значениями обязательно имеют эмпирические
* Ср. их слова: «...ответы на вопросы об измерении имеют та¬
кое же однозначное толкование, что и ответы на математические
вопросы, возникающие в других областях науки» (Суппес П. и
Зинес Дж. Цит. соч., с. 10). — Прим. ред.
194

эквиваленты, которые могут быть осуществлены операцио¬
нально.
Произвольность числового отображения обосновывает¬
ся и ссылкой на конвенциональаость эмпирической интер¬
претации абстрактной операции конкатенации. Этот аргу¬
мент можно проиллюстрировать «линеарной» и «ортого¬
нальной» интерпретацией линейного измерения, как она
представлена в работах Эллиса; эта интерпретация опи¬
рается, в частности, на рассуждения Кэмпбелла относи¬
тельно параллельного п последовательного соединения
проводников [Эллис, 56, с. 79 п ел.; Кэмпбелл, 38, с. 290
п сл.; Кранц и др., 94, с. 87 и сл.].
Наряду с обычной эмпирической интерпретацией кон¬
катенации как последовательного линейного соединения
двух измеряемых объектов х п у:
г
н
V.
V
х
2
А.
V"
У
1
так что (xSy)Kz, а при числовом отображении а+Ь=с,
Эллис рассматривает еще «ортогональную» интерпрета¬
цию, основанную на «прямоугольном сложении». В этой
интерпретации два измеряемых объекта х ж у соединяются
так, что образуют прямой угол
Л
> V
что для числового отображения приводит к выражению
й+б=У(ог~\-Ъ2). Опираясь на геометрию, нетрудно пока¬
зать, что данная интерпретация удовлетворяет всем аксио¬
мам, установленным для линейного измерения с «линеар¬
но» интерпретируемой операцией конкатенации. Поэтому
Эллис рассматривает их как два эквивалентных варианта:
первый позволяет конструировать аддитивные шкалы, а
второй — шкалы мультипликативные. Но между этими
шкалами существует взаимно однозначное отношение.
13*
195

Если для ортогональной интерпретации ввести в качестве
единицы измерения длины один диагональный метр (dim),
то на основании равенства
п dim = V(n)m или пт = п dim*
значения одной шкалы можно преобразовать в значения
другой.
В каком отношении находятся друг к другу эти разные
интерпретации абстрактной операции конкатенации? Если
принять во внимание приведенные выше преобразования
и обычную практику измерения удаленности, где анало¬
гичным образом используются знания законов геометрии,
то нельзя согласиться с тем взглядом, что здесь речь идет
о «совершенно разных интерпретациях конкатенации»
[Кранц и др., 94, с. 87]. Даже если бы так и было, эти ин¬
терпретации не могут относиться к фундаментальному из¬
мерению одной и той же величины. К этому заключению
пришел уже Кэмпбелл, на которого в этой связи без осно¬
ваний ссылаются сторонники критикуемой концепции вне-
физического измерения.
Для Кэмпбелла совершенно очевидно, что в рамках оп¬
ределенной системы изменений для арифметического сло¬
жения можно привести разные эмпирические интерпрета¬
ции, например в виде параллельного и последовательного
сое дине пия проводников с током. Но такие интерпретации
не могут относиться к одной и той же величине. И дейст¬
вительно, при последовательном соединении проводников
мы измеряем сопротивление, тогда как прн параллель¬
ном — электропроводность. При этом числовые значения
сопротивлеппя можно преобразовать в числовые значения
электропроводности, и наоборот, поскольку одна величина
обратно пропорциональна другой.
Утверждение, что для одной и той же фундаментально
измеримой величины можно доказать больше одной специ¬
фической теоремы представления, ведет в случае пронзвод-
но измеримых величин к таким последствиям, которые еще
более спорны. Ведь в соответствии с этой концепцией мож¬
но истолковать, например, аддитивное представление мас¬
са Н~ объем н мультипликативное представление мас¬
са'объем как два эквивалентных представления независи¬
мо от того, что объективные доводы можно привести в
пользу только второго представления.

7.	ТЕОРИЯ ШКАЛ
Теорию шкал можно рассматривать либо как специфи¬
ческий вариант теории внефизического измерения, наце¬
ленный прежде всего на проблематику шкалирования и
шкальных операций, либо как относительно самостоятель¬
ную составную часть общей теории измерений. Из нашего
анализа понятия шкалы, основывавшегося на представле¬
ниях об измерении и величине, и из изложения теории из¬
мерений должно быть ясно, что более подходящей мы счи¬
таем вторую альтернативу. Но и в этом случае нам не
обойтись без рассмотрения некоторых проблем, наметив¬
шихся в контексте первой альтернативы. Разумеется, мы
не будем при этом повторять то, что уже было сказано, но
для сопоставления разных концепций небезынтересно ука¬
зать на некоторые их взаимосвязи.
В данной главе мы сосредоточимся на двух проблемах:
на классификации шкальных типов — этой самой разрабо-
танной части теории шкал, и на проблеме инвариантности
шкалы относительно различных допустимых преобразова-
нпё, по-разному решаемой в рамках формальной теории
измерений путем доказательств теорем единственности.
7.1.	Классификация типов шкал
Все известные классификации типов шкал — пли
классификации шкал, как часто неточно говорят, не разли¬
чая индивидуальные шкалы и классы шкал, элементами
которых являются шкалы одинаковой формы, — определя¬
ются тем, в каком объеме трактуется понятие измерения.
В связи с этим можно различать более широкие и более
узкие классификационные системы. В более широких клас¬
сификациях, развитых прежде всего в рамках внефизиче¬
ского измерения [Стивенс, 142, с. 142 и сл.; Стивенс, 144,
с. 25 и сл.; Кумбс, 49, с. 472 и сл.; Торгерсон, 161, с. 15
197

и сл.; Суппес, Зинес, 155, с. 14 ш сл,; Пфанцагль и др., 119,
с. 28 и сл., 74 и сл.; Кангер, 88, с. 4 и сл.], все шкалы — не¬
метрические и метрические — истолковываются как шкалы
измерения, и к неметрическим шкалам, как правило, при¬
числяются также и те шкалы, которые получаются путем
простого приме пения цифровых обозначений. В более уз¬
ких классификационных системах [Лайнфельнер, 99, с. 75
и сл.; Бунге, 36, II, с. 222; Росс, 124, с. 47 и сл., 59] учи¬
тывается различие между нумерацией, шкалированием и
измерением п в качестве неметрических шкал допускаются
такие, которые удовлетворяют условиям топологизации.
Широкие классификации ведут свое происхождение от
системы С. Стивенса, сознательно разработанной ее авто¬
ром так, чтобы опа отвечала определенным критериям.
Стивенс пытается основать свою систему шкальных типое
на понятиях эмпирической операции, математической
структуры шкалы и статистики, применимой при обработ¬
ке получаемых числовых данных. Из этих трех понятий
для оценки его концепции существенны только первые два.
Применение соответствующей статистики является уже
делом практическим н не связано непосредственно со
строением отдельных типов шкал.
На базе этих понятий—или скорее исходя из своих ин¬
туитивных представлений — Стивенс различает четыре
типа шкал: номинальные шкалы (шкалы наименований),
ординальные (шкалы порядка), интервальные (шкалы ин¬
тервалов) и шкалы отношений. В его классификационной
системе типы шкал располагаются «по восходящей» — от
самой слабой номинальной шкалы до самой сальной шка¬
лы отношений, причем каждая последующая шкала пред¬
полагает предыдущую.
Шкала наименований основа па на любом приписыва¬
нии цифр (чисел), играющих роль простых имен: такое
приписывание служит для нумерации индивидуальных
предметов только с целью их идентификации пли для ну¬
мерации классов, причем такой нумерации, что каждому
из элементов соответствующего класса приписывается од¬
на к та же цифра; в обоих случаях действует правило:
«не приписывай одну и ту же цифру разным классам или
разные цифры — одному и тому же классу» [Стивенс, 143,
с. 26].
Основной эмпирической операцией, определяющей дан¬
ный тип шкалы, является «определение равенства», так
что для приписывания шкальных значений эмпирическим
объектам в расчет берется только первое правило соответ¬
J9S

ствия при топологпзации (6.3—15). Следовательно, с по¬
мощью шкальных значений номинальной шкалы можно
установить только, относятся ли (или не относятся) два
данных объекта к одному и тому же классу.
Математическая структура этого типа шкалы определя¬
ется группой подстановок
х' =f(x),
причем х и х' означают в этом случае любые числа, a f(x)
выражает взаимно однозначную подстановку.
Данный тип шкалы остается инвариантным относитель¬
но каждой замены числового приписывания, сохраняющей
класс, т. е. относительно группы подстановок. Так как
форма номинальных шкал не меняется, если применить к
ней какое-то взаимно однозначное преобразование, этот
шкальный тип иногда обозначается термином абсолютная
шкала.
Ординальная шкала, или шкала порядка, предполагаю¬
щая естественное упорядочение объектов относительно ка¬
кого-то свойства, определяется двумя эмпирическими опе¬
рациями: ((установлением равенства» и «установлением от¬
ношения «больше или меньше»». Эти операции позволяют
использовать оба правила соответствия при топологизации
(6.3-15) и (6.3-16).
Математическая структура ординальных шкал харак¬
теризуется изотонической (сохраняющей порядок) груп¬
пой
x'~f(x),
причем f(x) ив этом случае представляет собой опять-та¬
ки любую монотонно возрастающую или убывающую
функцию. Таким образом, форма шкал порядка остается
инвариантной по отношению ко всякому монотонному пре¬
образованию.
Интервальная шпала (шкала интервалов) отличается
от предыдущих типов тем, что требует установления еди¬
ницы измерения и какого-то начала и что она допускает
все арифметические операции, если они относятся к интер¬
валам между двумя шкальными значениями, хотя бы и не
все они были операционально существенными.
Однако этой общей характеристике не соответствует
основная эмпирическая операция, специфическая для дан¬
ного типа шкалы. «Определение равенства или различия
интервалов» допускает только такое числовое приписыва¬
ние, при котором равенство промежутков между двумя
199

шкальными значениями выражает равенство интервалов
между двумя эмпирическими объектами относительно не¬
которого свойства; это требование совпадает с тем, кото¬
рое предполагается в правиле соответствия при топологп-
зации (6,3—15'). Этого, однако, еще не достаточно, чтобы
данный тип шкал можно было считать «квантитативным» в
обычном смысле слова [Стивенс, 142, с. 146].
С точки зрения математической групповой структуры
шкала интервалов характеризуется общей линейной груп¬
пой
x,=ax-j-fS (а> 0),	(7.1—1)
где а означает единицу измерения, а р — начало шкалы.
Таким образом, интервальная шкала инвариантна относи¬
тельно всякого линейного преобразования, не меняющего
ее ориентации.
Шкала отношений с формальной точка зрения есть
собственно интервальная шкала с естественным началом,
т. е. с аддитивной константой [1=0. Характерной для нее
эмпирической операцией, дополняющей эмпирические опе¬
рации, предполагавшиеся для предыдущих шкальных ти¬
пов, является «определение равенства отношений». В слу¬
чае шкалы отношений к ее значениям можно применять
все арифметические операции, из которых, однако, не все
обязательно должны быть операционально существенны¬
ми; таковой, например, является операция сложения [Сти¬
венс, 144, с. 32]. Числовое приписывание с помощью шка¬
лы отношений инвариантно при любой смене основной
(базовой) единицы измерения. Наоборот, замена начала
отсчета или его произвольное обусловливание изменяет
интерпретацию отношений, и тогда шкала данного типа
превращается в интервальную шкалу.
То, что Стпвенс подразумевает под эмпирической опе¬
рацией определения равенства отношений, касается скорее
шкальных значений, нежели элементов эмпирического
множества Е. Если эмпирическим объектам х, у приписы¬
вать шкальные значения па и nb, где п — основная едини¬
ца измерения, то отношение шкальных значений najnb,
приписываемое эмпирическому отношению xjy, будет рав¬
но любому другому отношению шкальных значений
п' ajn'b, где п' есть некоторая кратная или дольная еди¬
ница измерения и; тогда эмпирическому значению xjy
можно будет приписать и это новое числовое значение.
Математическая групповая структура шкал отношений
выражается группой подобия (гомотетической группой)
200

х' — ах (а > 0),	(7.1—2)
г ре а означает единицу измерения. Таким образом, форма
этого типа шкал остается инвариантной относительно вся¬
кого преобразования подобия.
Иерархию шкальных типов в концепции Стивенса, за¬
ключающую в себе еще так называемую логарифмическую
интервальную шкалу, можно в целой обобщить следующей
схемой [Стивенс, 143, с. 25]:
номинальная шкала
х' = / (х)
(группа подстановок)
!
ординальная шкала
*'-/(*>
(изотоническая групппа)
линейная интервальная шкала логарифмическая интервальная шкала
Xі « OUt р	x' = kxn
(группа линейных преобразований) (экспоненциальная' группа)
шкала отношений
х’ — ах
(гомотетическая группа)
Если придерживаться той позиции, что «определение
равенства», относящееся к отдельным элементам, интерва¬
лам и их соотношениям, является действительно эмпириче¬
ской операцией, как считает Стивенс, то следует показать,
что понятия равенства, интервала и отношения суть изна¬
чально эмпирические понятия. Надо также четко изло¬
жить, в чем, собственно, заключается оперативный харак¬
тер обращения с ними и как они соотносятся с правилами
цифрового приписывания или числового представления.
Однако относительно этих принципиальных проблем мы не
находим у Стивенса никаких удовлетворительных объяс¬
нений. Нам недостает не только конкретных характери¬
стик этих понятий, но и общих определений их свойств.
За исключением случая номинальных шкал, у Стивенса не
сформулированы отчетливо даже правила цифрового при¬
писывания. В общем виде понятие операции «определение
равенства», но сути дела, является всего лишь абстракт¬
ным коррелятом числовых характеристик шкал и не мо¬
201

жет служить эмпирической отправной точкой процесса из¬
мерения.
Следовательно, стивепсовская классификация шкал, как
это явствует и из приведенной выше схемы, опирается не
на понятие эмпирической операции, а только на представ¬
ление о математической структуре шкальных типов — их
групповой структуре, обусловливающей допустимые пре¬
образования, при которых форма шкалы не измеряется.
К тому же заключению пришли, впрочем, и те, кто пошел
но пути С. Стивенса, прежде всего сторонники формальной
теории измерений.
С первой попыткой по-новому интерпретировать концеп¬
цию Стивенса мы встречаемся у Кумбса. По его мнению,
тлпы шкал — это математические модели, представляющие
иерархически упорядоченные уровни измерения и «спо¬
собные с возрастающей силой передавать информацию об
эмпирических данных». Основу этой классификации обра¬
зует критерий аналитической применимости алгебраиче¬
ских формул, объединяющий математический компонент
стивенсовского понятия эмпирической операции с пред¬
ставлением о математической структуре. На основании по¬
добного критерия отдельные типы шкал характеризуются
только алгебраическими формулами, например интерваль¬
ные шкалы — формулами
и ]о—Ь| = |с—d|,
относительно которых можно установить [ср.: Эллис, 56,
с. 65 и сл.], что им соответствуют аналогичные формулы
для преобразований, отвечающих стивенсовскому требова¬
нию инвариантности формы шкалы.
Поскольку Кумбс совершенно явно подчеркивает толь¬
ко математический аспект теории шкальных типов, он со¬
вершенно не интересуется тем, являются ли вообще от¬
дельные операции «определения равенства» операциональ¬
но реализуемыми. Разумеется, своей классификацией ти¬
пов шкал он преследует иные методологические цели, чем
Стивенс. Вводя дальнейшие шкальные типы — типы шкал
более низкого уровня, — он использует свою концепцию
прежде всего для разработки вопросов шкалирования, а
не для решения задачи переформулировки теории измере¬
ний в стивенсовском смысле.
К. Кумбс расширяет классификацию типов шкал в пер¬
вую очередь за счет частично упорядоченных шкал, кото¬
рые отличаются от просто упорядоченных шкал (ординаль¬
ных шкал в понимании Стивенса) тем, что у них отно-
202

шешіе больше или меньше имеет место только для некото¬
рых элемептов, рассматриваемых в определением порядке.
Намного более важной модификацией является введение
так называемых сложных (комбинированных) шкал, под¬
разделяемых далее с учетом классов объектов п расстоя¬
ний между ними. Поскольку Кумбс различает три основ¬
ных типа неметрических шкал (шкалы наименований, или
номинальные шкалы, шкалы частичного порядка п упоря¬
доченные шкалы), в целом он признает девять типов слож¬
ных шкал, для которых он унифицирует систему пх назва¬
ний, состоящих, каждое, из двух частей: первая относится
к объектам, а вторая — к расстояниям между ними, напри¬
мер поминально-номинальная, поминально-частично упо¬
рядоченная и иомппально-упорядоченная шкала и т. д.
Конечно, если рассматривать лить сами объекты, то эти
сложные, комбинированные шкалы тождественны номи¬
нальным шкалам.
Классификация Торгерсопа, так же как и классифика¬
ция Кумбса, опирается на предположение, что шкальные
типы следует трактовать как формальные, математические
модели, которые должны удовлетворять по меньшей мере
одной из общих характеристик чисел (см. 4,3). Первое
свойство — порядок — должно соблюдаться в каждом тнпе
шкал, остальные же два свойства — наличие расстояния и
начала отсчета — определяют условия, достаточные для
характеристики специфических свойств шкал отдельных
типов. Так, торгерсоновская классификация включает сле¬
дующие типы шкал: ординальную (порядковую — без за¬
дания расстояния и начала отсчета), ординальную с есте¬
ственным началом отсчета, интервальную (без задания
расстояния и естественного начала отсчета) и интерваль¬
ную с естественным пачалом.
В данной классификации мы уже не находим номи¬
нальной шкалы. Ординальная шкала с естественным на¬
чалом является лишь вариантом ординальной, а интер¬
вальная с естественным началом отсчета тождественна
шкале отношений.
Последовательное переосмысление с точки зрения фор¬
мальной теории измерений стивенсовская классификация
получила лишь у її. Суппеоа и Дж. Зинеса. По их мне¬
нию, понятие шкального типа следует определять исклю¬
чительно в терминах классов числового приписывания; по¬
этому для дифференциации разных типов шкал на самом
деле существенны лишь свойства числовых приписываний
с точки зрения допустимых преобразований, но не эмпи¬
203

рические операции. Последние будто бы не оказывают ни¬
какого влияния ни на определение, ни на строение шкал
разных типов, количество которых теоретически столь же
неограниченно, что и количество возможных формальных
преобразований.
Однако и в рамках этой теории измерений обычно выде¬
ляется несколько основных видов шкал, в отношении кото¬
рых предполагается, что они значимы также и эмпириче¬
ски. Разумеется, это не обязательно должны быть те же
самые типы шкал, что и рассмотренные выше. Так, напри¬
мер, И. Пфанцагль, помимо номинальной, ординальной,
интервальной шкал и шкалы отношений, характеризую¬
щихся такими же инвариантными преобразованиями, что
и у С. Стивенса, приводит еще разностную шкалу (шкалу
разностей), которая однозначна с точностью до «сдвига»
(7.1—3)
т. е. с точностью до какой-то аддитивной константы р.
Наоборот, С. Кангер различает — имея в виду различие
числовых структур соответствующих видов измерений —
і) ординальные (порядковые), п) бисекционные (осно¬
ванные на методе равводеления), ш) интервальные, iv)
разностные шкалы ж v) шкалы отношений. Эти типы
шкал характеризуются следующими числовыми выраже¬
ниями:
і) а < Ъ,
ii) Ь + Ь < а < с,
Hi) \a—b \ < \c—d\,
iv)	c-fd,
v)	c-d.
Кроме данных шкал, он допускает еще и другие возмож¬
ные типы, например так называемые полуордпнальные
шкалы.
В более узких системах классификации типы шкал вы¬
деляются в соответствии с различением топологических и
метрических условий измерения, либо в соотнесении с
экстенсивными и интенсивными величинами, либо же в
связи с дифференцированием шкалирования и измерения.
До тех пор пока соответствующие величины удовлетво¬
ряются только условиями тополотизащии и их шкальными
значениями являются, следовательно, просто ординальные
числа, с ними соотносятся неметрические, или топологиче¬
204

ские, шкалы т. е. порядковые шкалы стпвенсовской систе¬
мы. Если же 'ОНИ удовлетворяют условиям метризации,
т. е. если их шкальными значениями являются кардиналь¬
ные числа, то им соответствуют метрические (или адди¬
тивные) шкалы.
Что номинальные шкалы исключаются из класса не¬
метрических шкал — с этим согласятся и многие предста¬
вители более широкой концепции измерении. Нельзя лп
аналогичным образом ограничить и класс метрических
шкал? Должны ли мы, помимо шкал отношений, считать
самостоятельным типом также интервальные и, возможно,
разностные и бисекционные шкалы? При обсуждении этой
проблемы достаточно рассмотреть шкалы интервалов.
Важность различения шкал интервалов и шкал отно¬
шений — различения, обычно связываемого с противопо¬
ставлением произвольного и естественного шкального
начала и с функцией расстояния, — была уже поставлена
нами под сомнение в свете тех результатов, к которым мы
пришли при выяснении смысла понятий начала отсчета
(см. 4.2) и расстояния {см, 4.3), В повторении нет необхо¬
димости. Поэтому рассмотрим другой аргумент. Он опира¬
ется на понятие математической структуры типов шкал н
может быть конкретизирован на примере шкал темпера¬
тур.
Когда мы сравниваем температурные шкалы Цельсия
и Фаренгейта, нам достаточно воспользоваться широко из¬
вестной формулой преобразования
eF (jO *= 9/5 (°С (де)+32),	(7.1—4)
где °F(:r') и °С(х) обозначают шкальные значения, или
формулой
°С (х')« 5/9 (°F (Jt)—32).	(7.1-5)
Поскольку шкалу Фаренгейта можно преобразовать в шка¬
лу Цельсия и наоборот, их взаимоотношение в самом об¬
щем виде можно выразить линейным преобразованием
х' = ах+& (а>0).	(7,1—1)
Возможность линейного преобразования одной из них в
другую рассматривается как достаточное основание, для
того чтобы их можно было интерпретировать как шкалы
интервалов.
Подобная аргументация убедительна лишь на первый
взгляд. Если аналогичным образом сравнить шкалы Цель¬
205

сия и Реомюра, то мы получим иной результат. Эти две
шкалы взаимно преобразуемы на основе формул
еС (*') = 5/4 °R (je)	(7.1—6)
и
°R (x') = 4/5 °С (д:),	(7.1—7)
так что их взаимооотношение можно выразить с помощью
преобразования подобия
х' =ах (а>0).	(7.1—2)
Если принять бо внимание групповые свойства преоб¬
разования подобия, то эти шкалы следует интерпретиро¬
вать как шкалы отношений.
Противоречие между двумя этими интерпретациями
очевидно: в первом случае, когда мы сравнивали шкалы
Цельсия и Фаренгейта, нам приходилось иметь дело с дву¬
мя разными точками соотнесения, двумя разными начала¬
ми отсчета, тогда как в случае шкал Цельсия и Реомюра —
только с одной.
Итак, сравнение трех разных температурных шкал
привело к противоречивым результатам. Если форма одной
и той же шкалы, а именно, Цельсия, инвариантна относи¬
тельно линейного преобразования (как в первом случае),
то с точки зрения математического критерия, лежащего в
основе стивенсовской классификации, она должна интер¬
претироваться как шкала интервалов. Но если, как во вто¬
ром случае, она остается неизменной относительно преоб¬
разования подобия, то ее следует интерпретировать как
шкалу отношений.
Различие между разными инвариантными преобразо¬
ваниями, характеризующее оба этих типа шкал, с чисто
математической точки зрения обусловливается различи¬
ем аддитивной постоянной (константы): (5=0 в одном слу¬
чае, |3#0 — в другом. Так как обе эти шкалы можно в об¬
щем виде описать с помощью одиох’о и того же линейного
преобразования, то мы, наоборот, могли бы считать интер¬
вальную шкалу основной, а шкалу отношений — лишь ее
предельным случаем, т. е. интервальной шкалой с аддитив¬
ной константой р=0.
Если свойства преобразований недостаточны для разли¬
чения шкал интервалов и шкал отношений, то мы должны
вернуться к различию между условным и естественным
началами шкалы. Учитывая правила шкальных преобра¬
зов анпй, это различие обусловливается скорее тем, сравни¬
206

ваем ли мы шкалы с одним и тем же или с разнымп нача¬
лами отсчета, причем независимо от того, произвольны они
или нет. Ведь, несмотря на условное начало, шкалы Рео¬
мюра н Цельсия переводятся одна в другую с помощью
преобразований подобия.
Против этой интерпретации можно возразить, что она
искажает аргументацию Стивенса, касающуюся возможно¬
сти измерения температуры с помощью шкал двух разных
типов, связанных друг с другом различными преобразова¬
ниями и зависящими от характера выбора шкального
нуля — произвольного или естественного. Обычно анализ
этой аргументации, как мы докажем, приводит к заключе¬
нию об ограниченности критерия преобразования: наши
рассмотренпя прольют свет также на то, почему Стивенс
ввел термины «шкала интервалов» и «шкала отношений».
Возьмем в качестве однородного теплометрпческого ве¬
щества идеальный газ; это, разумеется, возможпо только
теоретически, поскольку разные температурные шкалы
всегда градуируются на основе какого-то реального тепло¬
метрического вещества. Однако мы поступаем так для то¬
го. чтобы иметь возможность найти единую меру для срав¬
нения двух различных по своим свойствам типов шкал, с
присущими им различными свойствами преобразования.
Опираясь на функциональное отношение между темпера¬
турой и объемом (ори постоянном давлении), мы можем
температуру, измеряемую в градусах Цельсия п Кельвина,
выразить следующими равенствами1
°С*
г wo — Го
Т ^-тг -273,16К,
Го
где V означает данный объем газа, Vioo— объем его при
температуре 100 °С, Vo — при температуре 0 °С, t — темпе¬
ратуру в °С, а Г — температуру в К (кельвинах). В первом
случае мы с левой стороны от знака равенства имеем дело
с интервалами, или разностями объемов, тогда как во вто¬
ром случае —- с отношениями объемов. Но в обоих случаях
1 Второе из приводимых ниже равенств, очевидно, можно вы¬
разить г так:
Г-(100-т&^ + 273'1в)к-
207

достаточно исследовать объем газа: или разность объемов,
или их отношение. Следовательно, в первом случае мы
можем говорить per analogiam об «интервальной» шка¬
ле, а во втором — о шкале «отношении».
Можем ли мы, однако, на этом основании делать серь¬
езные заключения о характере измеряемой величины? До¬
статочна ли аналогия между отношением объемов и шка¬
лами отношений, с одной стороны, и между интервалами,
или разностями объемов, и шкалами интервалов — с дру¬
гой, для различения двух разных типов шкал со своими
свойствами преобразований? Пока мы рассматриваем
только последствия, вытекающие из этой дифференциации
для оценки отношений свойств преобразования для шкал
различных типов и свойств измеряемой величины, а имен¬
но температуры. Поскольку разные метризованные величи¬
ны имеют значимую эмпирическую интерпретацию п для
шкал интервалов, и для шкал отношений, мы должны, рас¬
сматривая переход от одного типа шкал к другому (об
этом мы уже говорили), предположить и изменение каче¬
ственно определенных, объективно существующих свойств
измеряемой величины, в нашем примере температуры: в
случае интервальной шкалы эта величина оказывается не¬
экстенсивной, тогда как в случае шкалы отношений —
экстенсивной. Разумеется, это явное логическое противоре¬
чие.
Измеряя температуру в кельвинах, как нас к тому обя¬
зывают узаконенные единицы измерения, мы, в согласии
со стивенсовской концепцией, должны счесть ее величи¬
ной, измеряемой с помощью шкалы отношений. Если же
измерять температуру в °С, то ее приходится интерпрети¬
ровать как величину, измеряемую интервально.
Однако какие же другие примеры интервальных шкал,
удовлетворяющие условию существования единицы изме¬
рения, мы еще можем привести? В теории внефизического-
измерения, придающей большое значение этому типу
шкал, приводятся, правда, разные случаи интервального
измерения, например измерение ожидаемой полезности,
при которых тем пе менее ае соблюдается требуемое усло¬
вие существования единицы измерения. Но если данное
условие не выполняется, то интервальную шкалу вряд ли
можно признать метрической.
Далее, если мы откажемся признать шкалы интервалов
самостоятельным типом шкал, то не будет смысла говорить
и о шкалах отношений. В результате система классических
типов шкал, как она была разработана Стивенсом, сводит¬
208

ся к двум типам, т. е. к неметрическому ц метрическому
типам — типам, которые в то же время представляют два-
различных взаимосвязанных эмпирико-математических ме¬
тода шкалирования и измерения.
В пользу данной концепции можно привести еще один
серьезный аргумент, который вытекает из предыдущего
изложения, касающегося топологнзацин п метризации.
Правила соответствия при топологизацнп выражают одни
и те же свойства слабого порядка независимо от того, от¬
носятся ли они к отдельным элементам или к парам эле¬
ментов множества Е. Правила соответствия при метриза¬
ции, обусловленные в первую очередь существованием еди¬
ницы измерения и только во вторую очередь — эмпириче¬
ской реализуемостью условия аддитивности, можно анало¬
гичным образом сформулировать также и для двуместного
отношения типа К и Р, или Q, или для четырехместного
отношения типа [, или D. Так как ни «функция расстоя¬
ния», ни «эквидистантное размещение» не являются доста¬
точной компенсацией отсутствия единицы измерения, по¬
лучается, что и с этой точки зрения мы можем трактовать
интервальные и разностные шкалы только как специфиче¬
ский вариант шкал порядка, т. е. как шкалы неметриче¬
ского типа. Тем самым сводится на нет подлинная причин¬
на, по которой они вообще вводились в теорию шкал.
7.2.	Преобразования шкал н теорема единственности
На основании предыдущего изложения мы можем су¬
дить, насколько выделение разных шкал соответствует по¬
нятию инвариантности преобразовании. В дальнейшем для
нас будет важным главным образом то, относятся ли
шкальные преобразования к типам шкал или к индивиду¬
альным шкалам, а также то, можно ли из свойств преобра¬
зования выводить существенные заключения относительно
природы числового отображения, а следовательно, о свой¬
ствах соответствующих эмпирических объектов.
Принимая во внимание результаты нашего анализа
взаимоотношений между температурными шкалами, мы
вынуждены признать, что свойства преобразований отно¬
сятся ее к отдельным шкалам, а только к формальным
свойствам классов шкал, т. е, к шкальным типам. Значение
этих преобразований заключается в том, что, поскольку в
них воплощено сравнение формальных свойств индивиду¬
альных шкал, они помогают решать вопрос, относятся лв
14 Зак. № 1102
209

сравниваемые шкалы к одному и тому же типу шли нет.
Свойства эти значимы только для постижения взаимных
отношений между шкалами в рамках одного п того же
шкального типа. И служат они лишь для преобразования
одного элемента некоторого класса шкал в другой элемент
того же класса. Поэтому их и можно использовать в раз¬
ных системах шкальной классификации, не только в широ¬
ких, но и в узких, которые основаны на дифференцирован¬
ных критериях классификации.
Свойства шкальных преобразований не обнаруживают
и какой-либо необходимой связи с видом п характером из¬
меряемых величин. Изменение формальных свойств типов
шкал не может весты к изменению качественно определен¬
ных величин. Если бы мы сочли, что это не так, то мы вы¬
нуждены были бы допустить абсурдный вывод, будто тем¬
пература, относительно которой считается, что она измери¬
ма как на шкале интервалов, так и на шкале отношений,
является одновременно и метрической, и неметрической
величиной.
Поэтому одних математических свойств шкал недоста¬
точно для определения измеряемых величин — совершенно
так же как нельзя этого достичь, если принимать в расчет
только операциональные характеристики измерительных
процедур. Б обоих случаях необходимо учитывать методо¬
логические аспекты и соображения чисто практической
применимости. Нельзя забывать и объединяющую функ¬
цию научных теорий, обусловленную достигнутым истори¬
ческим уровнем нашего знания.
Поскольку критерий классификации, основанный на
характере шкальных преобразований, релевантен только
для типов шкал, классификация Стивенса является клас¬
сификацией шкальных типов. По этим соображениям она
не может одновременно основываться и на каком-то эмпи¬
рическом критерии, значимом только при дифференциации
индивидуальных шкал. Впрочем, Стивенс всегда очень
абстрактно говорит об «установлении равенства», не ука¬
зывая конкретно, как оно производится. Как только мы
осознаем, что шкальный тип есть класс шкал, имеющих
одинаковую форму, такое заключение вытекает непосред¬
ственно и из известного различия между классом и его
элементами.
Различие шкал и шкальных типов необходимо не толь¬
ко в случае классификации Стивенса — оно касается всех
остальных систем классификации шкал, которые также
применимы только к классам шкал. Так как шкальные ти¬
210

пы — в отличие от индивидуальных шкал — не являются
результатом шкалирования или измерения, а представля¬
ют собой классы эквивалентности, которые формально оп¬
ределяются характером инвариантных преобразований,,
то для них не могут быть релевантными также ни эмпири¬
ческие отношения и операции, ни пх операциональная
реализация. Разумеется, выяснение формальных свойств
конкретных эмпирических отношений п операций, всегда
связанных с той или иной величиной, п их категоризация
необходимы, если мы хотим оценить адекватность число¬
вого отображения. Только так, опосредованно, категориза¬
ция формальных свойств эмпирических отношений п опе¬
рации оказывается связанной с выделением разных типов
шкал.
Инвариантность преобразовании формы шкалы допу¬
скает альтернативную формулировку. Она производится с
помощью теорем единственности, доказываемых аналогич¬
но тому, как теоремы представления доказываются на ос¬
нове аксиоматически определенных реляционных струк¬
тур.
Требование единственности числового отображения за¬
ключено уже в предпосылке однозначности измерения в
классической теории измерений. Для Кэмпбелла каждое
измерение, удовлетворяющее условию аддитивности, одно¬
значно «с точностью до выбора единицы измерения, кото¬
рый произволен» [Кэмпбелл, 38, с. 294]. Это значит, что
числовые значения, приписываемые интенсивностям изме¬
ряемых величин, зависят от выбора единицы измерения н
изменяются при каждом повом выборе.
Каждому шкальному значению а, выраженному в еди¬
ницах измерения U можно приписать только одно шкаль¬
ное значение а', выраженное в других единицах измере¬
ния }'. Это взаимное отношение можно в общем виде ха¬
рактеризовать с помощью преобразования подобия
(7.1 — 2), где коэффициент преобразования а означает
единицу измерения.
Собственно утверждение о единственности «с точностью
до некоторого преобразования» и способ его доказательст¬
ва в формальной теории измерений опять-таки связаны с
предложенной Дж. фон Нейманом п О. Моргешнтерном
аксиоматизацией теории ожидаемой полезности [русск.
перев.: Нейман, Моргенштерн, 112, с. 624 и сл. Ср. 6.4].
Речь идет о второй основной их теореме, теореме единст¬
венности, (A:W), которая гласит;
«Для любых двух отображений v(w) и v'(w), обладаю-
14
2U

угпту свойствами і) и іі) [в смысле теоремы существования
(А : V). — К. £.], должно быть
У (да) = w0v (w) -f ©j
при некоторых ПОДХОДЯЩИХ, НО фиксированных О)о и 0)1,
причем <ЙО>0».
Эта теорема выражает тот факт, что «численное пред¬
ставление полезности... определяется с точностью до ли¬
нейного преобразования»*.
Таким образом, для каждого шкального значения, при¬
писываемого некоторой полезности, можно, производя ли¬
нейное преобразование (7,1 — 1), найти некоторое другое
шкальное значение; преобразование (7.1—1) в формаль¬
ной теории измерений выражается также в виде
ф'(х)=аф(х) + $,	(7.1—Г)
где Ф\ Ф суть две вещественные функции.
Как следует из формулировки Неймана — Моргенштер-
на, не требуется, чтобы коэффициент преобразования соо
означал единицу измерения, а со і — начало шкалы. Тем не
менее здесь можно обнаружить аналогию с интервальным
измерением температуры; более того, без температурной
интерпретации преобразование (7.1—1/) не приобретает
того статуса, какой имеет условие инвариантности для
температурных материальных шкал интервального тппа.
Учитывая это, рассмотрим вопрос о том, может ли по¬
ложение об измеримости ожидаемой полезности быть фак¬
тически подкреплено аналогией с измерением температу¬
ры, аналогией, которая обычно используется и для других
неэкстенсивных величин. При анализе этой проблемы до¬
статочно исследовать, как при измерении полезности реа¬
лизуются основные свойства интервальных шкал — свойст¬
ва, которые имеют все материальные шкалы температуры
интервального типа, а именно: свойство существования
единицы измерения, свойство условности начала шкалы и
свойство инвариантности формы шкалы относительно про¬
извольного линейного преобразования.
Начнем с первого свойства, самого существенного усло¬
вия измеримости. В то время как для температуры мы име¬
ем в своем распоряжении хотя и установленную новенцио-
нально, но объективно воспроизводимую единицу измере¬
ния, для полезности до сих пор не найдено никакой прием¬
* Русск. перев.: Нейман Дж. фон, Моргенштерн О.,
112, с. 51. — Прим. ред.
212

лемой единицы, даже псевдоединицы. Некоторые авторы
[см., например; Фридман, Сэвидж, 71. с. 293; Баумоль, 9,
с. 65; Эльсберг, 57, с. 545; Сэвидж, 128, с. 48, 82, 202;
Льюс, Райфа, 105, с. 33; Стивенс, 144, с. 45; Фишберн,
66, с. 10; Аллин, 7, с. 628] решают эту проблему, правда,
просто: единицей измерения полезности они объявляют
так называемый утиль *, не объясняя при этом, однако, как
они определяют эту единицу или как представляют себе ее
эмпирическую воспроизводимость. Но без такого обоснова¬
ния введение единицы измерения фиктивно и решительно
не может способствовать обоснованию аналогии между из¬
мерением полезностп и измерением температуры.
Некоторые авторы определяют 1 утиль как полезность,
равную одному доллару. Разумеется, это вступает в явное
противоречие с теорией ожидаемой полезности [ср.: Берка,
20, с. 165 п сл.]. Другие предпочитают более нейтральную
позицию: единицу измерения полезности, точно так же как
и начало «шкалы полезностей», они выражают какими-то
действительными числами без какого-либо дальнейшего
именования. Допустим, что мы действительно можем для
этого выбрать произвольные пары чисел, например 13,
105; 3, —39. Какими доводами руководствоваться, призна¬
вая одно пз них единицей измерения, а другое — началом
шкалы? Их нет. Но ведь без содержательной интерпрета¬
ции нельзя обосновать линейность шкал интервального
типа, потому что с помощью лары чисел а, |3 (а>0) мож¬
но однозначно преобразовать каждое шкальное значение х
н шкальное значение х\ хотя бы и на номинальной шкале.
Таким образом, выбор двух чисел а, р для формулы ли¬
нейного преобразования сам по себе еще не достаточен,
для того чтобы мы могли судить об измеримости некото¬
рой величины с помощью значений на шкале интервалов.
Впрочем, эта произвольность при операционализации
функции полезности ограничивается тем, что упорядоче¬
ние полезностей производится в определенном интервале,
ограниченном наиболее и наименее желаемыми альтерна¬
тивами х ш у, которым приписываются числа а, Ъ так, что
а<Ъ (как правило, числа 0 и 1). Но можно ли эти числа
считать единицей измерения и нулевой точкой шкалы?
Даже у одного и того же автора мы находим два несовме¬
стимых решения [Адамс, 5, с. 165, 183] этой проблемы: с
одной стороны, в качестве единицы измерения принимает¬
ся число 1, с другой — разность чисел 1 и 0. С точки зре¬
* От лат. utilis — полезный. — Прим. ред.
213

ния предполагаемой аналогии с измерением температуры
и то, и другое объяснение неприемлемо.
Даже произвольность выбора начала отсчета на «шка¬
ло полезностей» нельзя истолковывать в том же смысле,
что и условность шкального нуля для материальных шкал
температур. В качестве начала отсчета на «шкале полез¬
ностей» мы можем выбрать любое число а, если оно удов¬
летворяет неравенству а<&; теоретически такой выбор не¬
ограничен. У температурных шкал выбор числового значе¬
ния точки начала отсчета очень сильно ограничен и зави¬
сит от ряда содержательно значимых обстоятельств, в част¬
ности от свойств теплометрпческого вещества. Начало от¬
счета для «шкалы полезностей» ограничивают требовани¬
ем, чтобы оио служило числовым представленном наименее
желаемого элемента в упорядочении, производимом отно¬
шением предпочтения. Но начало отсчета на температур¬
ных шкалах интервального типа не соответствует наимень¬
шему значению температуры. Таким образом, начало от¬
счета па «шкалах полезностей» имеет, с одной стороны,
более условный характер, а с другой — более «натурально»
и к тому же обладает таким же свойством, что и абсолют¬
ное начало шкалы Кельвина. Однако в стандартном число¬
вом отображении полезностей предпочтение отдается ско¬
рее так называемой канонической форме, в которой 0 оз¬
начает начало, а 1 — конец интервала полезностей.
Остается еще обсудить, в какой степени соблюдается
третье свойство, на основании которого делается вывод о
том, что ожидаемая полезность есть величина, измеримая
по крайней мере на шкале интервалов. По нашему мне¬
нию, для «шкал полезностей» нельзя осмыслепно интер¬
претировать и формулу преобразования, при которой фор¬
ма шкал интервалов остается инвариантной. Критерий ин¬
вариантной преобразуемостп является характерным при¬
знаком интервальных шкал только тогда, когда мы можем
приписывать константам преобразования семантически
обосновываемое и операционально реализуемое значение:
а должно представлять единицу измерения, ар — начало
шкалы. Однако для двух разных «шкал полезностей»,
как это ясно из предшествующего изложения, такая интер¬
претация вообще не принимается во внимание, особенно
для коэффициента а.
Без подобной интерпретации линейность функции по¬
лезностей опирается лишь на поверхностное сходство с ли¬
нейностью температуры, которое не дает оснований заклю¬
чать, что выигрыш — ожидаемая полезность должна быть
214

измеримой величиной. Коль скоро для этой величины нель¬
зя установить единицы измерения, ее нельзя счптать из¬
меримой в строгом смысле слова. Измеримость ожидаемой
полезности нельзя обосновать тем, что числовые значення
функции полезности линейно преобразуемы в другие чис¬
ловые значения. Но ведь только в этом смысле для ожи¬
даемой полезности можно истолковывать понятие л поен¬
ной преобразуемое™.
Данная интерпретация в концепции Неймана — Мор-
генштерна опирается на формулу преобразования
Р'=0(Р) —“ЮР + ®1.	(7.2—1)
где p = v{u) п p^v'fu) суть два числовых отображения,
a Wo к Wi (u>o>0) — два произвольных, но фиксированных
числа. Если применить эту формулу к чпеловьш элемен¬
там основных формул, выражающих оба свойства ожидае¬
мой полезности, то мы подучпм следующие выражения:
v(u)>v(o) влечет v'(w)>v'(y)>	(7.2—2)
v' (tv (и) + (1 - т) v (и)) = Tv' (и) + (1 - V) v' (о). (7.2-3)
Преобразование (7.2—1) можно пояснить следующей чис¬
ловой моделью. Пусть v(u)=4, v (у) = 2, l/(li) = 18,
v'(v) =10, а у=0,5. Тогда, очевидно, справедливо, что
4>2 влечет 18>10,
но в отличие от того, что требует формула (7.2—3), мы
получим теперь неравенство
4.0,5 + 2- 0,5# 18.0,5+10-0,5,
или
З Ф 14.
Для того чтобы получить требуемое равенство, достаточно
использовать формулу (7.2—1)
(4-0,5+2.0)5).да0+ші = 18-0,5 +10-0,5,
или
3o)0+aut= 14,
позволяющую вычислить числовые значения констант
Wo И W\\
4а>0 + ау1= 18
3 w0+wi = H	12 + wt = 14
Щ=2
215

Пусть аналогично v(u)=10,	v(y)=5,	v'(ti)=100,
v'(o) — 30 и y=0,8. Тогда явно справедливо, что
10 > 5 влечет 100 > 30.
Используя {10 • 0,8+5 • 0,2) и?оН-н?1=100*0,8+30-0,2 и дей¬
ствуя аналогично, получаем ыяо= 14, a u?i = —40.
Из этих преобразований с очевидностью следует, что
числовые константы н?о и W\ зависят от числовых значений
v(k) , v/(n), v(f), v' (0) и у. Однако как получены эти чис¬
ловые значения? Преобразовывать какое-то числовое выра¬
жение в некоторое иное — это уже второй вопрос. Что бо¬
лее важно, так как это найти какой-то объективный способ
установления исходных числовых значений, которые при¬
писываются полезностям рассматриваемых альтернатив.
Числовые значения wo и ж і никак не могут помочь реше¬
нию этой исходной проблемы измерения. Это, по сути де¬
ла, произвольные числа, которые нельзя интерпретировать
как единицу измерения и начало шкалы. Что касается пре¬
образования одной материальной шкалы температуры в
другую, то константы преобразования а и |3 по своему зна¬
чению точно определены, даются заранее, а также непо¬
средственно обусловливают размерность числовых значе¬
ний, приписываемых разным значениям температуры.
Однако при формулировке теоремы единственности об
этом существенном различии неоправданно забывают.
Впрочем, причина этого понятна. С точки зрения формаль¬
ной теории измерений не существенно, имеют ли констан¬
ты, фигурирующие в соответствующем преобразовании,
вообще какой-либо смысл и значимы ли они эмпирически.
Важен лишь вопрос, можно ли эту теорему доказать на ос¬
нове аксиоматически сформулированных определений,
специфицирующих свойства абстрактных реляционных
структур, или из других подходящих определений. Именно’
это обычно и служит исходным пунктом всех этих внешне
корректных доказательств, которые в действительности
обременены методологической ошибкой petitio principii*.
Дело в том, что в них заранее предполагается то, что долж¬
но быть доказано.
Для доказательства того, что некоторая вещественная
функция Ф единственна с точностью до некоторого линей¬
ного преобразования, при доказательстве теоремы единст-
* То есть ошибкой «предвосхищения основания» доказательст¬
ва, когда в набор исходных посылок рассуждения неявно вводится
и существенно используется недоказанное суждение. — При», ред.
216

б енно с ти [ср.: Суппес, 154, с. 57 и сл,], для структуры
{Е, D) интервального измерения вводятся для каждого х
множества Е две функции h\ и h2, такие, что h\ есть ли¬
нейное преобразование функции Фі, a hi есть линейное
преобразование функции Ф2 и что также h\ тождественно
h2. Из этих дефиниций — которые, однако, сформулирова¬
ны не с помощью первичных понятий данной аксиомати¬
ческой системы — явствует, что функции hi п h2 были вве¬
дены так, чтобы они были инвариантны относительно про¬
извольного линейного преобразования. Тогда в самом деле
легко показать, что функция Ф\ есть линейное преобразо¬
вание функции Ф2, что, следовательно, существуют числа
аир (а>0), такие, что для каждого х в Е справедливо
Фі (*)=«$М*) + Р-	(7.1 — 1*)
Из отой же процедуры видно, что линейные преобразова¬
ния относятся к уже ранее заданному числовому выраже¬
нию.
Совершенно аналогично на основании дополнительных
удачно выбранных определений доказываются теоремы
единственности и для других структур неэкстенсивного из¬
мерения. Так, например, для бисекции — измерения мето¬
дом равноделения, формально определяемого другим мно¬
жеством первичных понятий и аксиом, — доказывается
такая же теорема единственности, что и для интервально¬
го измерения.
Сходство между теоремами единствевности для интер¬
вального измерения и измерения путем «равноделения» —
несмотря на то, что они доказаны в разных аксиоматиче¬
ских системах, которые неэквивалентны, — можно объяс¬
нить тем, что теоремы эти основаны на одинаковых фор¬
мальных преобразованиях.
Бисекцию — измерение путем нахождения средней
точки — можно объяснить, анализируя логику «частичных
мер» Рамзея — первую попытку построения логики норма¬
тивных суждений [Рамзей, 123, с. 167 и сл.; см. также:
Джефри, 86, с. 14 и сл.; Берка, 20, с. 54 и сл.]. Основными
понятиями системы Рамзея являются понятия упорядоче¬
ния на основе отношения предпочтения числового отобра¬
жения желательности на интервал вероятностей (0, 1} и
понятие меры доверия к высказываниям, прежде всего к
так называемому этически нейтральному высказыванию,
которому приписывается числовое значение p—lh. С по¬
мощью этически нейтрального высказывания и понятия об
отношении безразличия (индифферентности) между дву-
217

ші альтернативами можно путем бисекцяи — последова¬
тельно дихотомического деления интервала желательно¬
сти —- достичь разбиения этого интервала на равномерно
расположенные точки.
Для целей нашего анализа достаточно сказать только
об эквивалентных преобразованиях порядка на основе от¬
ношения предпочтения; этот порядок можно — исходя из
интерпретаций Р. Джефри — выразить определенной мат¬
рицей желательности размерности 2x2. Матрица жела¬
тельности Md характеризует желательность результатов
определенных действий, реализующихся при известных
обстоятельствах, с помощью качественных атрибутов
сочень желательный», «менее желательный», ..., «совер¬
шенно нежелательный»; эти атрибуты обозначаются либо
числами в интервале (0,1), либо целыми числами ..., —2,
— 1, 0, 1, 2, ..., где отрицательные числа должны выражать
«зло», положительные—«добро», а нуль — нейтральное
значение. Хотя приписываемые числа выражают лишь по¬
рядок, с ними обращаются так, словно это кардинальные
числа.
Если две разные матрицы ведут к одинаковому упо¬
рядочению, то они трактуются как эквивалентные. Уста¬
новление этой эквивалентности основывается на их взаим¬
ной преобразуемости — либо с помощью общего, либо с по¬
мощью специального линейного преобразования.
В первом случае каждый элемент одной матрицы ум¬
ножается на одно и то же положительное число либо уве¬
личивается (уменьшается) на одно п то же произвольное
чнсло; в общем виде это выражается как
d€MD-^d*€MD,	(7-2-4)
где d* =ad-f~b, а>0, т. е. аналогично (7.1 — 1). С помощью
такого преобразования каждую матрицу Md можно пере¬
вести в се канонический вид М*о, где самый желательный
элемент обозначается числом 1, а наименее желательный—
числом 0. все же остальные — числами в открытом интер¬
вале (0, 1), вычисленными с помощью соответствующих
значений констант преобразования а, Ъ.
Предположим, что некто решает, какое из двух дейст¬
вий выбрать—«вымыть автомашину», «не вымыть авто¬
машину» — при условиях «завтра будет дождь» или «завт¬
ра не будет дождя» и выражает свое отношение к погоде,
желание иметь чистую машину, свое отношение к необхо¬
димым для этого усилиям и т. д. следующей матрицей же¬
лательности
21 а

Согласно установленной процедуре, мы тої'да приписываем
значениям —100 и 50 канонические значения 0 и 1 и ис¬
пользуем преобразование ad-\-b. В соответствии с канони¬
ческими значениями мы теперь можем наименее желатель¬
ный и наиболее желательный элементы выразить так:
Путем вычисления устанавливаем, что а = 1/150, Ь = 100/150.
С помощью этих значений постоянных преобразования
мы легко вычисляем числовые значения остающихся эле¬
ментов, а именно
—50.1/150+100/150 = 1/3,
0.1/150+100/150 = 2/3,
так что эквивалентная каноническая матрица будет иметь
Можно поступить и иначе: выбрать положительное чис¬
ло а и произвольные числа &і, +, затем все эдемеиты мат¬
рицы Md умножить на постоянную пик каждому полу¬
чившемуся элементу в первом (втором) столбце прибавить
постоянную Ь\ (соответственно Ьг). Однако такое преоб¬
разование можно применить только тогда, когда учитывае¬
мые условия одинаково вероятны.
Удобство этих преобразований явно заключено в пх
■аналогичности действиям с вероятностями и в облегчении
вычислений. Однако эти преобразования не обеспечивают
возможности установления исходных «числовых значений»
элементов матрицы Md, которые произвольно приписыва¬
ются желательностям и имеют лишь то ограничение, что
наименьший из них должен характеризовать наименее же¬
лательное действие, а наибольший — наиболее желатель¬
ное.
Поскольку такого рода линейные преобразования здесь
вполне определенно соотнесены с упорядочением на осно¬
ве отношения предпочтения, т. е. со шкалами порядка, яс¬
но, что инвариантность относительно линейных преобра¬
зований не является достаточным критерием измеримости
неметрических величин с помощью интервальных шкал.
Все это еще раз показывает, что на пути чисто фор¬
мального определения понятия единственности приписы¬
—100а+& = 0	50а+Ь= 1.
ВИД
219

вания числовых значений, когда пытаются обойти анализ
принципиальных семантических проблем за счет использо¬
вания синтаксических средств, нельзя обосновать ни це¬
лесообразность выбранного формализма, ни — и это для
теории измерений намного важнее — его эмпирическую
осмысленность и операциональную реализуемость. Эту
оценку следует отнести и к критерию инвариантности шка¬
лы, который лишь внешне подтверждается эмпирическим
критерием. Формальными средствами, имеющими лишь
инструментальный характер, нельзя решить ни одной со¬
держательной проблемы, тем более эти средства не могут
изменять границу, разделяющую то, что является и что не
является объективно измеримым в строгом смысле слова.

8. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ
С измерением непосредственно связан еще целый ряд
общих и специфических методологических проблем. Их
характер, несомненно, обусловливается тем, на каком
уровне общности и с какими целями производится кон¬
цептуальный анализ измерения, а также практическое
применение измерительных процедур. Вполне понятно,
что практик, предлагающий реализацию экспериментов,
которые призваны обеспечить измерение некоторой вели¬
чины в определенном диапазоне числовых значений, бу¬
дет ставить и решать совершенно иные методологические
вопросы, нєяїєли теоретик, выдвинувший задачу оценить
принципы методологии, привлекаемые при рассмотрении
понятия внефизического измерения.
Опираясь на предыдущее изложение вопросов теоршг
измерений и теории шкал, мы проанализируем в данной
главе прежде всего роль и применение аксиоматического
метода для характеристики формальных свойств эмпири¬
ческих систем с отношениями. Затем последует рассмот¬
рение методологических проблем, с которыми приходится
сталкиваться при интерпретации эмпирических отноше¬
ний, определяющих слабое упорядочение и операцию фи¬
зического сложения — конкатенации. Существенно новую
тематику составят проблемы точности измерений, кото¬
рые обычно анализируются вместе с теорией погрешно¬
стей. Поскольку в этой последней исследуются также во¬
просы, касающиеся функции измерительных устройств,
задач наблюдателя в экспериментах по измерению, усло¬
вий, при которых измерения практически проводятся, а
также методов, использующихся при обработке конкрет¬
ных измерительных результатов, мы в рамках данной
работы не сможем уделить ей то внимание, какое ей
обычно уделяется при методологическом анализе измери¬
тельных операций. В конце главы мы остановимся на про¬
221

блеме осмысленности измерений — проблеме, которую в
ее общем виде необходимо решать для каждого типа из¬
мерений отдельно, с учетом основных компонент измере¬
ния п его функций в процессе научного познания, а так¬
же на так называемой надежности и валидности, возни¬
кающей только в контексте внефизнческих измерений.
8.1.	Аксиоматизация систем измерении
Применение аксиоматического метода в теории измере¬
ний непосредственно связано с гёльдеровской аксиомати¬
зацией величин (си. 3.1). Сначала оно было осуществлено
Э, Нагелем (1932) и П. Суппесом (1951) в применении к
системам экстенсивного измерения, а позднее под влия¬
нием аксиоматической теории ожидаемой полезности Ней¬
мана— Моргенштерна получило распространение также и
на разные системы неэкстенспвного измерения.
Следует заметить, что между аксиоматической систе¬
мой О. Гёльдера и аналогичной системой 9. В. Хантинг¬
тона (1902), с одной стороны, ы разными аксиоматизаци¬
ями в теории измерений — с другой, имеются весьма су¬
щественные различия.
Гёльдеровская аксиоматизация величин, хотя она п
ставила целью охватить не только теорию абстрактных
величин, но и теорию пропорций Евдокса, арифметиче¬
скую теорию меры ц геометрическую теорию расстояний
и отрезков, является аксиоматической системой, разрабо¬
танной в математике и для нужд математики. Поэтому
концептуально она отличается от стандартной аксиома¬
тизации действительных чисел, как она была впервые
предложена Д. Гильбертом практически в тот же пери¬
од*, единственно тем,-что основывается на понятии вели¬
чины, а не числа. Терминологические различия, вытекаю¬
щие из этого, равно как и способ, каким конкретно про¬
изводится аксиоматическое построение обеих этих экви¬
валентных математических теорий, несущественны. Реша¬
ющим является то, что в рамках теоретического обосно¬
вания математики как таковой они играют одинаковую
роль. Это обстоятельство хорошо осознавал уже Э. В. Хан¬
тингтон, который подчеркивал, что постулаты его аксио¬
матической системы «абсолютно непрерывных» величин
«составляют полную логическую базу для дедуктивной
* Имеется в виду труд Д. Гильберта «Основания геометрии*,
.первое издание которого вышло в 1900 г. — Прим. ред.
222

математической теории» [Хантингтон, 84, с. 264]. Эти
системы относятся к идеализированным математическим
сущностям, имеют вполне определенную направленность
и относительно ясную семантическую интерпретацию.
Однако в теории измерений аксиоматизация связана с
разными эмпирическими реляционным!: структурами, с
общими свойствами разных метрических и неметрических
величин, с формальной характеристикой эксперименталь¬
но реализуемых эмпирических отношении и операций пли
просто с определением какого-то понятия, напрпмер по¬
нятия ожидаемой полезности, дефиницию которого пред¬
ложить затруднительно. В силу такой специфической
направленности отдельные аксиомы — поскольку они
выдвинуты длд разных эмпирических структур — должны
быть также эмпирически удостоверены. Следовательно, их
справедливость гарантируется не столько обычными мета¬
логическими условиями непротиворечивости, полноты и
независимости — условиями, выполнимость которых в тео¬
рии измерений обычно и ие рассматривается,— сколько
тем, в какой мере они эмпирически значимы и верифи¬
цируемы В отношении конкретных СЕОІІСТВ измеряемых
величии. Сторонники формальной теории измерений от-7
кровенно подчеркивают, что аксиоматика теории измере¬
ний не может (.рабски подражать» [Суплес и Зииес, 155,.
с. 45] аксиомам для числовых систем; правда, такое со¬
ображение выдвигается только по отношению к аксиоме,
постулирующей замкнутость эмпирической системы по
отношению к операции эмпирического соединения, пли
конкатенации. Но уже это подрывает их доктрину, по¬
скольку стержневой идеей формального анализа измере¬
ний является осуществление такой аксиоматизации эмпи¬
рических систем, которая, соответствовала бы аксномати-j
зации числовых структур. ■, Однако «более реалистичная
аксиоматизация» системы экстенсивного измерения [Суп-
пес, 150, с. 246; Кранц и др. 94, с. 25] уже не связана с
аксиомой Архимеда, которая для проведения данного под¬
хода по сутд дела необходима, хотя эмпирически «реали¬
стичной» ле является. Без аксиомы Архимеда нельзя фор¬
мально обосновать возможность отображения эмпириче¬
ских реляционных систем на область действительных чи¬
сел. Вместе с тем ослабление условия аддитивности при¬
ветствуется как подготовка почвы для аксиоматизации
веэкстенсивного измерения. Вся эта ситуация не означа¬
ет, что сторонники «более реалистичного подхода к аксио¬
матизации» в теории измерений существенно модпфици-
223

ров а ли свою концепцию. И все же вследствие различия
функций аксиоматического метода в математике и в тео¬
рии измерений аксиоматизацию экстенсивных величин
Гёльдера и Суппеса нельзя считать системами одного и
того же рода.
Далее, если сравнить обычное построение какой-то
.аксиоматической системы в математике с аксиоматиками
в теории измерений, нельзя не заметить, что между этими
аксиоматизациями существует принципиальное методоло¬
гическое различие. В математике — так же как в логике
н некоторых разделах физики —. аксиоматический подход
основывается на определенном достаточно богатом мно¬
жестве утверждений, организованном в виде логически
последовательной системы, содержащей — кроме аксиом,
первичных понятии и определений — также и обширное
множество теоремҐПольза аксиоматизации заключается е
объединении знаний, которые до этого носили лишь инту¬
итивный характері в систему знаний, при этом ценность
аксиоматической системы зависит от позитивного реше¬
ния проблемы полноты. Поэтому аксиоматические систе¬
мы строятся на определенных семантических основах.
Без ясного представления о том, к чему, собственно, дан¬
ная формальная процедура должна применяться, аксио¬
матическая система (если для нее выполняется условие
непротиворечивости) может в лучшем случае расцени¬
ваться как формальная игра, вряд ли имеющая какое-
либо практическое значение.
Б формальной теории измерений аксиоматизация, если
подходить к делу объективно, служит единственной целп:
доказать, исходя из множества аксиом, которые постули¬
руются относительно некоторой эмпирической структуры,
только две теоремы — теорему представления и теорему
единственности — и таким образом показать существова¬
ние изоморфного или гомоморфного отображения эмпири¬
ческой реляционной системы на числовую. Поэтому ак¬
сиоматизация разных видов измерений имеет лишь весь¬
ма ограниченное дедуктивное значение, несоразмерное со
сложностью используемого формального аппарата и с ре¬
альными возможностями его применения.
Решающими доводами для привнесения в теорию па-
' мерений аксиоматического метода являются скорее субъ¬
ективные моменты. Стремление использовать в разных
обществоведческих областях процедуры измерения — пре¬
жде всего это касается экстенсивного измерения по ана-
. логии с измерением в физике — наталкивается на значи¬
224

тельные теоретические и практические препятствия. Ме¬
тодологи, исследующие проблематику внефизпческого
измерения, в этой связи обычно сетуют на нехватку хо¬
рошо обоснованных теорий, которые можно было бы
применить при создании практических систем измерений,
на неясность относительно того, какие, собственно, свой¬
ства можно измерять в данных областях, на отсутствие
четко определенного гомоморфизма между эмпирически¬
ми и числовыми реляционными структурами, ц особенно
на трудности, обусловленные тем, что во внефизическои
сфере в нашем распоряжении не имеется никакой подхо¬
дящей эмпирической операции конкатенации [ср.: Кранц
и др., 94, с. 32 и сл., 124]. Гораздо более важной причи¬
ной этих трудностей следует, разумеется, считать отсут¬
ствие единиц измерения, без которых измеряемые вели¬
чины нельзя трактовать как величины метрические.
И именно решению этой проблемы, как совершенно от¬
кровенно признает Кумбс [Кумбс, 49, с. 7], рассматрива¬
ющий психологические измерения, должно служить по¬
строение разных математических формализмов. Вместо
требования существования общей единицы измерения
выдвигаются определенные гипотезы о поведении челове¬
ка, адаптированные так, чтобы они отвечали некой «пред¬
почтительной математической модели».
Разумеется, создание разных аксиоматических систем,
для которых не нужно искать подходящих эмпирических
эквивалентов арифметической операции сложеппя и ко¬
торые просто исключают саму проблему единицы измере¬
ния, ничего не решает. Подобное развитие теории внефи-
зического измерения, в принципе намеченное уже стпвен-
совскоп теорией типов шкал, представляется неприемле¬
мым даже его зачинателю. Критикуя «энтузиазм по отно¬
шению к формализму, проявляемый такими авторами,
как П. Суппес и Дш, Зине с», Стпвенс очень правильно
указывает на то, что их формальный подход к измере¬
нию лишь «затемняет важность нерешенных эмпири¬
ческих проблем» [Стивенс, 145, с. 174; ср. также: Саугстед,
127, с. 60].
Против оправданности и целесообразности аксиомати¬
ческого подхода в теории измерений можно выдвинуть
еще одно серьезное возражение. Мы уже указывали
(см. 7.2) на то, что теорема единственности, строго гово¬
ря, не выводится из постулируемого множества аксиом.
То же самое можно показать и в отношении теоремы
представления [ср.: Берка, 20, с. 44 и сл., 79 и сл.]. Ее
15 За*. № 1102
225

доказательство также осуществляется иа основании до¬
полнительных дефиниций, с помощью которых в первую
очередь вводятся числовые выражения, а они принципи¬
ально невыводимы из аксиом, постулируемых для эмпи¬
рических реляционных структур. Это явствует уже ИЗ
того, что теорема представления соотносит эмпирическое
выражение с числовым.
Утверждение, согласно которому теорема представле¬
ния есть дедуктивное следствие, строго выводимое из мно¬
жества эмпирических аксиом, предполагает, что рассмат¬
риваемая аксиоматическая система дедуктивно замкнута.
Однако в данном случае это невозможно, поскольку аксио¬
матизация эмпирических структур ex definitione не мо¬
жет содержать в себе никакого первичного понятия или
аксиомы, которая относилась бы к числовым выражениям.
Таким образом, либо аксиоматический подход в теории
измерений не отвечает металогическому требованию де¬
дуктивной замкнутости, согласно которому все множество
следствий системы должно быть выводимо из аксиом, либо
теорема представления недоказуема на основе аксиомати¬
чески принимаемого множества эмпирических постулатов.
Эта дилемма в любом случае оказывается принципиаль¬
ным препятствием на пути к достижению логическо-мето¬
дологической корректности аксиоматического обоснования
теоремы представления.
Но даже если бы аксиоматический метод в теории
измерений оказался корректным с методологической точ¬
ки зрения, т. е, если бы теорема представления была бы
на самом деле выводима из исходного множества аксиом,
этого было бы все равно недостаточно для того, чтобы мы
могли считать его применение обоснованным. Если уж
такой метод действительно служит установлению усло¬
вий, при которых эмпирическим объектам можно значи¬
мо приписывать определенные числовые значения, то сле¬
дует также доказать — как уже было сказано, — что соот¬
ветствующие аксиомы эмпирически верифицируемы. Если
быть последовательным, то и в этом случае нельзя избе¬
жать адекватной интерпретации основных понятий эмпи¬
рических структур и удостоверения эмпирической реле¬
вантности аксиом.
В свете сказанного понятно, почему представители
формальной теории измерений [ср.; Скотт, 129, с. ИЗ;
Кранц и др., 94, с. 8; Суппес, 152, с. 95] вынуждены до¬
пустить необходимость «практической эмпирической ин¬
терпретации»; на самом деле они, однако, больше сосре¬
226

дотачиваются на свойствах числового представления, не¬
жели на процедурах, которые это представление делают
возможным. Но для того, чтобы мы могли утверждать, что
данное представление основывается па изоморфном (илп
гомоморфном) отображении эмпирической системы с от¬
ношениями на систему числовую, очевидно, что аксиома¬
тика эмпирических структур должна строиться так, чтобы
она соответствовала аксиомам числовой реляционной
системы. Таким образом, получается, что аксиомы в ак¬
сиоматизациях теории измерений являются скорее эмпи¬
рическими аналогами математических аксиом, иежелп
утверждениями, которые выражают определенные свой¬
ства эмпирических элементов структур измерений, не
зависящих от предполагаемого числового отображения.
В рамках данной концепции это в конце концов тоже
признается — хотя обычно и утверждается, что аксиома¬
тизация эмпирических структур исходит из формального
.анализа эмпирических отношений п операций. Конечно,
такое признание имеет свои преимущества. Когда кри¬
тики аксиоматического обоснования теоремы представле¬
ний указывают на то, что не все аксиомы теории измере¬
ний можно актуально верифицировать, им возражают, что
в множестве аксиом следует различать два подмножества:
подмножество формальных, так называемых чисто струк¬
турных аксиом, к которому принадлежит, например, акси¬
ома Архимеда, и подмножество эмпирических аксиом;
амппхпічески значимые интерпретации и конкретные
верификации требуются только для аксиом второго под¬
множества. Но и такой модификацией нельзя снять со¬
мнения в целесообразности аксиоматического метода в
теории измерений: ведь если множество аксиом содержит
чисто структурные аксиомы, то такую аксиоматизацию
нельзя истолковывать как аксиоматизацию эмпирических
•структур.
Проблематичного использования аксиоматического ме¬
тода в теории измерений можно избежать, если для обо¬
снования теоремы представления применить более про¬
стую операцию, основанную на непосредственной эмпири¬
ческой интерпретации и верификации правил соответ¬
ствия. Ведь если, например, некоторое эмпирическое от¬
ношение должно соответствовать числовому отношению
«>», то очевидно, что предполагаемое соответствие будет
иметь место только тогда, когда первое будет обладать
формальными свойствами, аналогичными свойствам вто¬
рого. Поскольку пз математики хорошо известно, что от¬
15-
227

ношение «>» цррефлексивно, асимметрично и транзитив¬
но, необходимо исследовать, можно ли вообще — и если
да, то при каких ограничительных условиях — утверждать
то же самое и относительно его эмпирического эквивален¬
та. Поэтому излишне вводить специфические эмпириче¬
ские аксиомы, представляющие эти общие свойства отно¬
шения, если можно соответствующим образом проинтер¬
претировать числовые аксиомы.
С точки зрения методологии дедуктивных наук такой
подход вполне корректен и логически эквивалентен ранее
описанному. Разумеется, верифицировать теоремы вместо
аксиом можно только при условии дедуктивной замкну¬
тости данной аксиоматической системы. Хотя это усло¬
вие в рассматриваемой ситуации и не выполняется, сто¬
ронники формальной теории измерений — поскольку они
с ним считаются — не в состоянии ничего противопоста¬
вить такому «упрощенному» подходу. Против пашей по¬
зиции остается, пожалуй, единственное возражение: оно
состоит в том, что с психологической или методологиче¬
ской точки зрения эти два подхода не одинаково убеди¬
тельны. Это возражение, однако, не имеет под собой поч¬
вы, поскольку аксиомы теории измерений отнюдь не
более очевидны, чем выводимая из них теорема представ¬
ления. Многим людям легче понять правила соответствия,
чем, скажем, аксиому Архимеда, и при этом им не нуж¬
но прослеживать весь, порой весьма сложный, процесс
ее введения.
Преимущество такого «упрощенного» подхода заклю¬
чается в том, что он предупреждает возможное появление
формальных и методологических ошибок и ориентирует
теорию измерений на разработку содержательных про¬
блем. В этом случае отпадает опасность переоценки аксио¬
матизации при выяснении основных проблем теории из¬
мерений. Не сможет возникнуть и иллюзия, будто ОДНИ
формальные средства обеспечивают измеримость величин
без соблюдения, хотя бы даже опосредованно, необходимых
условий метризации. Безусловно, нечего сожалеть об ут¬
рате сложности построения и формальной утонченности,
поскольку это лишь кажущаяся и, по сути дела, ненуж¬
ная вещь.
8.2.	Эмпирические отношения и операции
Описание формальных свойств эмпирических отноше¬
ний в операций выступает в качестве минимального тре¬
бования к предполагаемой корреляции между числовым
228

и эмпирическим компонентами правил соответствия и тео¬
ремы представления. Из-за их качественно дифференци¬
рованного использования нельзя удовлетвориться только
общей характеристикой эмпирических отношений и опе¬
раций: совершенно необходимо конкретизировать пх ин¬
терпретацию как с семантической, так и операциональной
точек зрения.
Это дополнительное требование относится в первую
очередь к отношению эмпирического равенства, которое
в разных контекстах поясняется как совпадение, конгру¬
энтность, качественное равенство, одинаковость, неразли¬
чимость и индифферентность, иногда и как отношение
полного тождества, идентичности, а для отдельных вели¬
чин специфицируется сравнительными отношениями типа
точно такой же, как, например: точно такой же длинный,
как и, точно такой же тяжелый, как и, точно такой же
предпочтительный, как и, и т. п.
Даже не производя более подробного анализа смысла,
который можно придать этим формально сходным, но се¬
мантически различным выражениям, бесспорно, что неко¬
торые из них являются скорее псевдоэмпирлческйми
вариантами математических или логических понятий.
Тем более нельзя считать полное тождество, идентичность
вещей эмпирическим отношением, эмпирическим СВОЙСТВОМ
мира [Стивенс, 142; ср. также: Эллис, 56, с. 42, 63], если
мы, разумеется, не ирпдерживаеыся философских воззре¬
нии Парменида. Но такое понимание тождества, которое
опровергал еще Гераклит, нельзя относить даже к логи¬
зированному объективному идеализму Лейбница. Его кри¬
терий тождественности неразличимых вещей лишь подво¬
дит онтологический, но не эмпирический фундамент под
семантически определимое понятие тождества salva veri-
tate — с точностью до сохранения истинности. Если уж
какое-то понятие и носит откровенно формальный харак¬
тер, то это как раз понятие тождества. В объективной
реальности не существует никаких тождественных пред¬
метов, явлений ели процессов, как не существует и двух
объектов, которые были бы тождественны только относи¬
тельно какого-то эмпирически установпмого свойства.
В каком же смысле можно тогда трактовать понятие
эмпирического равенства? Как установить, что две вели¬
чины хотя бы приблизительно равны друг другу? Эти
проблемы решаются двояко в соответствии с тем, как
интерпретируется отношение между понятием равенства
в разных его определениях и понятием различия, которое
229

истолковывается как предшествование {следование за),
предпочтение, больше (меньше), чем, IT.D. Согласно тео¬
рии отношений [Рассел, 126, с. 160 и сл.; ср.: Адамс, 4,
с. 206 и сл.], эмпирическое равенство по аналогии с три¬
хотомией отношений « = », «>» и «<» для чисел интер¬
претируется как эмпирически наблюдаемое отношение на
том же уровне абстракции, что и оба варнанта отноше¬
ния различия, т. е. отношения «больше, чем» и «меньше,
чем». Согласно так называемой абсолютной теории, осно-
Еанной на представленні! о гносеологическом приоритете
эмпирических суждении неравенства по отношению к
суждениям равенства, последнее интерпретируется как
выражающее вторичное отношение, которое получено на
основе суждений, содержащих экспериментально опреде¬
ляемые отношения «больше, чем» и «меньше, чем».
Однако еслп мы пе расцениваем эмпирическое равен¬
ство как отношение тождества и метафизически не про¬
тивопоставляем чувственную и абстрактную ступени по¬
знания — а такое противопоставление противоречит диа¬
лектико-материалистической гносеологии, — то различие
между данными альтернативами зависит от решения во¬
проса, какими мы считаем суждения равенства, подкреп¬
ляемые «ощущением неразличимости вещей»: «активны¬
ми» или «пассивными» познавательными актами.
Согласно первой концепции, суждения равенства име¬
ют основой целенаправленную ориентацию, направленную
на выявление характеристик, общих для измеряемых
объектов. Если, например, сравнивается длина двух пред¬
метов, то их конгруэнтность, достижимая, разумеется,
лишь с определенной степенью точности, составляет
достаточное основание для того, чтобы о них могло быть
высказано суждение равенства. Согласно второй позиции,
равенство истолковывается как следствие нашей неспо¬
собности обнаружить какие-то различия между вещами.
Если мы не можем установить, существует ли между ис¬
следуемыми предметами какое-то различие {или нет), то
мы считаем их неразличимыми относительно того свойст¬
ва (ели свойств), которое принимается нами во внима-.
нив. Например, если мы производим выбор между двумя
альтернативами, но не в состоянии привести какой-либо
довод, почему какая-то из них предпочтительнее, нам не
остается ничего другого, как считать их индифферент¬
ными.
С точки зрения диалек-гико-материалистической гно¬
сеология, для которой процесс познания объективной
230

реальности есть движение «от живого созерцания к аб¬
страктному мышлению и от него к практикеь [Ленин, 101,
с. 152—153], убедительнее первая концепция. Познание
эмпирических отношений равенства п различия — это
исторически обусловленный, корректируемый практикой
процесс, определяющий ту меру точности, с которой МЫ
пытаемся — в рамках проводимого исследования — кон¬
статировать, каким выступает данное свойство измеряе¬
мых объектов: с одинаковой или разной интенсивностью.
Поэтому очевидно, что различение «одинаковых» свойств,
когда оно осуществляется только посредством обычного
наблюдения, превращается в нахождение различий меж¬
ду вещами; для этой цели используются микроскоп, теле¬
скоп и другие устройства. Рассуждение же о том, уста¬
новимо или не установимо «точное равенство» двух изме¬
ряемых объектов только на основании непосредственно
чувственного восприятия, равно как истолкование способа
построения суждении равенства только как пассивного
действия, означает непонимание диалектики процесса че¬
ловеческого познания.
В защиту критикуемой нами позиции, исходящей из
«эмпирической» теории познания, иногда приводят тот
аргумент [Льюс, Райфа, 105, с. 35; Адамс, 3, с. 187; Фиш-
берн, 68, с. 108], что равенство — в противоположность
различию — нельзя истолковывать как эмпирическое отно¬
шение; нельзя потому, что фактически формулируемые
суждения равенства, полученные путем непосредственного
наблюдения неразличимых или индифферентных объек¬
тов, выражают отношение, которое нетранзптивно. Поэто¬
му если требовать от эмпирического равенства, чтобы оно
было эквивалентом числового равенства (которое по опре¬
делению является отношением типа эквивалентности), то
мы должны заменить нетранзитивное отношение эмпири¬
ческой неразличимости идеальным транзитивным отноше¬
нием равенства. Но такое отношение уже не является
эмпирическим в подлинном смысле слова, т. е. отноше¬
нием, не зависящим от высших ступеней абстракции.
Этого аргумента в действительности не достаточио для
того, чтобы можно было обосновать тезис, согласно кото¬
рому отношение равенства — в противоположность отно¬
шению «больше (меньше), чем» — не является эмпири¬
ческим отношением в подлинном смысле слова: ведь ана¬
логичные идеализации относятся и к отношению разли¬
чия. Для отношений предпочтения, «следования за» ит. п.
тоже можно найти ситуации, когда свойство транзитивно¬
231

сти не выполняется*. Для упорядочения на основе отно¬
шения предпочтения даже допускается — как с эмпири¬
ческой, так и с теоретической точек зрения — еще более
спорная, контринтуитивная предпосылка о полноте упо¬
рядочения сравниваемых альтернатив, предполагающая
их качественную однородность и константность {неиз¬
менность во времени), а также числовую представимость
упорядоченных таким образом элементов.
Суждения равенства и различия всегда преступают
границы эмпирической очевидности, так как заключают
в себе больше чем результаты только чувственного вос¬
приятия. Здесь налицо переход от конкретного к абстракт¬
ному, совершающийся путем абстрагирования и постепен¬
ных обобщении; возникающие на этом пути эмпирические
понятия равенства и различия и их корреляция с соот¬
ветствующими числовыми отношениями связаны со все
более заметными идеализациями, которые, однако, в оди¬
наковой мере характерны для обоих этих основных отно¬
шений, содержащихся во всяком упорядочении. Оба эти
эмпирических отношения представляются своими число¬
выми эквивалентами лишь приблизительно. В какой мере
последние им соответствуют—это можно установить, толь¬
ко применив конкретные измерительные процедуры и
учтя специфический характер той или иной величины, ее
теоретическое обоснование, искомый интервал измеримых
значений и т. п.
С гораздо более сложными проблемами — они обуслов¬
лены не только различием в гносеологических концепци¬
ях, но и непосредственно характером реализации требу¬
ющегося гомоморфизма обеих реляционных систем & и
Л5 — мы встречаемся при 'интерпретации эмпирического
коррелята арифметической операции сложения. В этом
случае речь идет не столько о том, в какой мере подвер¬
гается идеализации данная эмпирическая операция,
сколько о том, существует лп она объективно; если же ее не
существует, то возникает вопрос, возможно ли измерение.
В качестве эмпирического эквивалента арифметическо¬
го сложения, как мы уже говорили, принимается некая
абстрактно сформулированная операция конкатенации,
для которой затем подыскивается подходящая эмпириче¬
ская спецификация. Например, когда мы измеряем массу
* О проблеме транзитивности (нетранзитивности) отношения
предпочтения как оно дано -субъекту цознаяия, см., например: К о-
велецкнй Ю. Психологическая теория решений. М., 1979.—
Лрим. ред.
2.32

е помощью взвешивания на равно плечных весах, это мож¬
но интерпретировать как размещение двух или более
предметов на одной и соответствующего количества про¬
тивовесов—на другой чаше весов; измеряя длину, мы>
располагаем измеряемые тела линейно друг за другом, и
т. д. Затем мы можем приписать результату соответствую¬
щей эмпирической операции шкальное значение, равняю¬
щееся сумме шкальных значений, которые были приписа¬
ны предметам до пх соединения вместе, руководствуясь
правилом соответствия (6.3—27). Разумеется, мы можем
вообразить н другую интерпретацию, например соедине¬
ние атомов или образование единого физического тела из
каких-то двух тел. Однако в этом случае результирую¬
щее шкальное значение не обязано быть равным сумме
отдельных «слагаемых». Таким образом соответствие меж¬
ду операцией сложения и операцией конкатенации зави¬
сит от качественной однородности либо неоднородности
соединимых эмпирических объектов.
Наряду с этими «естественными» конкретизациями
операции конкатенации существуют более сложные интер¬
претации; примерами могут служить суммирование отно¬
сительных скоростей в специальной теории относительно¬
сти, сложение тригонометрических функций, а в области
внефизпческого измерения — различные «искусственные»
способы соединения элементов.
В теории относительности [ср.: Карнап, 42, с. 4 и сл.]
известное из классической физики условие аддитивности
для относительных скоростей:
»S = ®i + »Z
заменяется более сложной формулой
о, + щ
р, = ——	,
1 4-Чзг-
(8.2-1)
(8.2—2)
где с означает скорость света. Представим себе, например
[ср.: Карнап, 42, с. 74 и сл.], что космический корабль А
минует планету М с относительной скоростью Пі и что
космический корабль S, движущийся в том же направ¬
лении, пролетает мимо космического корабля А со ско¬
ростью V2 (относительно А). Какова скорость щ космо¬
плана S относительно планеты М? Если скорости щ и Уг
малы, то значение отношения щУг/с2 в формуле (8.2—2)
будет также малым. Поэтому для вычисления относитель¬
ной скорости уз им можно пренебречь: Уз можно рассчи¬
тать по более простой формуле (8.2—1). Но если оба кос-
233

моплана будут двигаться очень быстро, то надо будет
учитывать также скорость света с. Значение скорости из
будет тогда существенно отличаться от суммы скоростей
V\ H V2-
Для величины ожидаемой полезности Дж. фон Нейман
п О. Моргенштерн интерпретируют операцию конкатена¬
ции как операцию «образования центра тяжести» двух
масс, находящихся в данных положениях, либо как опе¬
рацию комбинации (комбинирования) двух выигрышей,
имеющих альтернативные вероятности у и 1 — у. (0<у<
<1) [Нейман, Моргенштерн, 112, с. 50 и сл.].
Однако операция комбинации, которая в концепции
Неймана—Моргенштерна выражает ожидаемую полез¬
ность, заметно отличается не только от операции физи¬
ческого соединения, конкатенации, применяемой при из¬
мерение длины, массы и других физических величин, но
и от операции «образования центра тяжести». Поскольку
из совокупности двух возможных событий, подлежащих
выбору, реально осуществиться может только одна аль¬
тернатива, операцию выбора следует интерпретировать
так: мы можем получить либо и с вероятностью у; либо
г —с вероятностью 1—у; и то, и другое получить невоз¬
можно. Иными словами, из двух возможных событий ре¬
ально может осуществиться только одно. Однако в случае
образования центра тяжести обе компоненты существуют
одновременно, поскольку иначе не имело бы смысла гово¬
рить об общем для них центре тяжести. Таким образом,
операция комбинирования образует не реальную, а лишь
мысленную комбинацию будущих альтернатив. Это видно
и из других пояснений, в которых семантическое обосно¬
вание этой теории смешивается с ее операциональной реа¬
лизуемостью, когда, например, операция комбинации
интерпретируется как лотерея, пари шли игра, в которой
один выигрыш (полезность) получается с некоторой ве¬
роятностью, а Другой — с вероятностью, к ней дополни¬
тельной. Данные интерпретации не обосновывают ни эм¬
пирического характера этой основной операции, ни ее
отношения к арифметической операции сложения.
В отличие от обычного выражения операции соедине¬
ния, конкатенации для экстенсивно измеряемых величин
Ф (х°у) =ф(х) + ф (у),	(8.2—3)
где Ф означает функцию, определенную для элементов
эмпирического множества и принимающую числовые зна¬
234

чения, в первоначальной формулировке Неймана—Мор¬
генштерн а, т. е. в формуле
v (Yu -|- (1 — V) и) = ї v (и) + (1—7) v (и).	(6.4—2)
мы встречаем дважды знак «+». Утверждение, что смысл
этого знака в левой части уравнения выражает эмпнрн че¬
сний коррелят того же знака в правой части*, ничего не
объясняет. Но интерпретации операции комбинации нель¬
зя избежать и чисто формальным способом. Дабы заранее
исключить вопрос, каково, собственно, различие между эм¬
пирической ы числовой интерпретациями знака «+», мно¬
гие авторы просто видоизменяют запись: левую (эмпири¬
ческую) часть они выражают, напрнмер, используя записи
вида** (А, р; В), ayb, хру, <px(l~p)y>,	Ь(а:, у, $/).
Ио путем знаковой конвенции проблему решить нельзя.
Установить, что формула (6.4—2) не выражает пред¬
полагаемого соответствия между эмпирическими II число¬
выми понятиями, нетрудно также, если обратиться к син¬
таксическим п семантическим характеристикам, касаю¬
щимся смысла знака «=» как главного функтора, и вы¬
ражениям типа v( ), фигурирующим в обоих частях дан¬
ного уравнения. Поскольку знак « = * в системе Нейма¬
на—Моргенштерна интерпретируется как «полная иден¬
тичность» [русск. перев.; Нейман, Моргенштерн, 112,
с. 616], оба выражения должны иметь одинаковое значе¬
ние или даже один и тот же смысл. Разумеется, одина¬
ковое значение они должны иметь и тогда, когда мы ис¬
толковываем их просто как числовое равенство. Что каса¬
ется смысла, то фигурирующее в левой части рассмат¬
риваемого уравнения выражение типа v( ) (обычно
истолковываемое как определенная числовая функция)
не свидетельствует об эмпирическом его характере.
В формулировке операции комбинации появляются,
кроме того, вероятности. По нашему мнению, от этого
факта нельзя отгородиться тем, что по аналогии с «физи¬
ческим» понятием числа истолковать вероятность двух
альтернатив, из которых надлежит выбрать одну в каче¬
стве некой специфически эмпирической величины [Эллис,
56, с. 160 и сл.]. Против такого истолкования можно вы¬
двинуть возражения, аналогичные тем, которые мы при¬
водили, когда анализировали соотношение, существующее
* Русск. перев,: Нейман Дж, фон, Моргенштерн О., 112. с, 50.—
Прим. ред.
** Ср., на пример, Кранц Д. п др., 94, с. 407, 409. — Прим. ред.
235

между математическим и физическим понятиями величи¬
ны (см. 3.1), а также когда рассматривали понятия счета
(см. 5.2).
Мы не считаем, однако, приемлемым и такое решение
этой проблемы, которое опирается на введение понятия
качественной вероятности или схем качественных реше¬
ний [ср.: Севидж, 128, с. 32 и сл.; Фишберн, 66, с. 137
и сл.; Суппес, 152, с. 88; Адамс, 3, с. 173; Лайнфельнер,
100, с. 198 и сл.], долженствующих сделать возможным
введение числовых вероятностей. Ведь с точки зрения
количественных аспектов между качественной вероятно¬
стью р(е), означающей появление некоего эмпирического
события е с вероятностью р (0<р<1), и «числовой» веро¬
ятностью у (0<уО нельзя найти вообще никакого разли¬
чия. Кроме того, пока еще не удалось убедительно пока¬
зать ни значимости понятия качественной вероятности,
ни выводимости числовых вероятностей из качественных,
ни оправданности применяемых операциональных проце¬
дур, делающих возможным этот способ квантификации.
В действительности операция комбинации имеет зна¬
чение смешанной, вероятностно оцениваемой случайной
величины. Поэтому формула (6.4—2) либо выражает
равенство двух числовых выражений, либо характеризует
числовую оценку выбора из двух альтернатив в условиях
неопределенности или риска как смешанное значение рас¬
сматриваемых компонентов. Это значение можно вычис¬
лить совершенно так же, как и математическое ожидание
некоторой случайной величины (умножив каждое значе¬
ние, которое может получить или получает эта величина,
на вероятность того, что она принимает соответствующее
значение, и сложив полученные таким образом произве¬
дения) .
Конечно, эта интерпретация противоречит допущению
об эмпирическом характере операции комбинации, для
которой соединение уи нельзя трактовать как произведе¬
ние, а у»+ (1—'y)v — как сумму двух числовых выраже¬
ний. Но если присмотреться к способу вычисления функ¬
ции полезности, то выяснится, что так поступают и те ав¬
торы, которые по теоретическим соображениям это отри¬
цают. Поэтому на деле операция комбинации является
просто псевдоэмпирическим эквивалентом числовой опера¬
ции сложения вероятностно оцениваемых средних значе¬
ний функции полезности.
Аналогичным образом следует относиться и к утвер¬
ждению [Кранц и др., 94, с. 124], что экстенсивно изме-
236

рять можно и другие впефизичеекпе величины — субъек¬
тивную вероятность и риск, если операцию эмпирического
сложения (конкатенации) в первом случае интерпретиро¬
вать как дизъюнкцию двух несовместимых событий, а во
втором — как свертку распределения вероятностей. Но и
эти «искусственные» интерпретации операции конкатена¬
ции мы не можем считать эмпирическими эквивалентами
операции сложения.
Можем ли мы тогда говорить о фундаментальном из¬
мерении этих величин в строгом смысле слова? Как мы
уже говорили, в классической теории измерений соблюде¬
ние условия аддитивности трактуется как необходимая
посылка фундаментального измерения. Хотя в либерали¬
зованной теории измерений это отвергается п вводятся
разные системы иеэкстенсивного измерения, все же боль¬
шое значение придается по крайней мере «искусствен¬
ным» интерпретациям эмпирической операции конкате¬
нации. Такую не совсем последовательную позицию мож¬
но объяснить тем, что теоретики, анализирующие внефп-
зическое измерение, исходя из эмпирической операции
конкатенации, выводят существование стандартной равно¬
мерной последовательности элементов экстенсивно изме¬
ряемых величин.
Однако равномерная последовательность элементов на
деле изначально базируется не на эмпирической конка¬
тенации и не на «индифферентности» попарно берущихся
элементов в случае интервального измерения, а на су¬
ществовании единицы измерения. Для сторонников клас¬
сической теории измерений это настолько очевидно, что
им нет нужды даже говорить об этом. Те же, кто зани¬
мается проблемой внефизнческих измерений, молчат об
этом по другим соображениям. Если мы можем значимо
приписывать элементам или парам элементов эмпириче¬
ского множества кардинальные числа, над которыми мож¬
но проводить все основные арифметические действия, то
мы должны предположить, что с их эмпирическими экви¬
валентами можно проводить аналогичные эмпирические
операции, как минимум эмпирический аналог операции
сложения. Коль скоро шкальные значения нельзя сумми¬
ровать, мы не можем интерпретировать их в качестве
кардинальных чисел — в крайнем случае мы можем смот¬
реть на них как на числа ординальные. Кардинальными
числами мы их считаем потому, что они отражают не
только упорядочение, но и интенсивность измеряемых
величин.
237

Эмпирическая аддитивность есть результат, а не пред¬
посылка существования единицы измерения. Не является
она и необходимым условием измеримости, поскольку в
случае температуры, для которой в нашем распоряжении
имеется единица измерения, мы не в состоянии дать та¬
кую интерпретацию операции физического сложения —
конкатенации, которая была бы реализуемой таким же ес¬
тественным способом, как это имеет место в случае других
физических величие.
На основании того, что нам известно об измерении
температуры, мы можем, пожалуй, предложить два про¬
тивоположных решения: либо расширить понятие эмпи¬
рической операции конкатенации, либо сузить его. Что
касается температуры, то в первом случае эту операцию
можно модифицировать так, что в отличие от соедине¬
ния двух тел в одно целое (как это бывает при измере¬
нии, вапример, длины) сложение двух температур истол¬
ковывается как «аддитивность во времени»: с учетом раз¬
ных температурных состояний одного тела в разные
моменты времени. Во втором случае можно, в согласии
с Кэмпбеллом, потребовать соблюдения условия аддитив¬
ности лишь для фундаментально измеримых величин. Для
производно или ассоциативно измеряемых величин доста¬
точно того, что на основе какого-то теоретического закона
или с помощью некоего достаточно обоснованного функ¬
ционального отношения устанавливается их связь с фун¬
даментально измеримыми величинами.
8.3.	Точность измерений
Один из доводов, который приводят, обосновывая боль¬
шое значение количественных методов в науке, технике п
производстве, состоит в ссылке на ожидаемое получение'
точных результатов. Но не звучит ли тогда парадоксаль¬
но, что мы рассуждаем о точности измерений или вообще
допускаем в измерениях неточность? Ответ таков: на
деле точность измерений — так же как точность, дости¬
жимая при использовании любого другого метода, концеп¬
ция, определения, теории, вообще любой вид точности—
не есть «врожденное» свойство измерительных процедур.
Вопрос точности нельзя абсолютизировать: следует, учи¬
тывая практические и теоретические цели и намерения,
принимать во внимание конкретные общественно-истори¬
ческие условия.
Говорить о точности измерений имеет СМЫСЛ ТОЛЬКО в:
рамках некоего практического или теоретического кон¬
238

текста, в котором какие-то результаты измерений отно¬
сительно более толпы, чем другие. До тех пор пока с
практической или теоретической точки зрения не опреде¬
лено требуемое соответствие предполагаемого результата
измерения уровню нашпх познаний, технических возмож¬
ностей и содержательных задач, мы не можем, например,
сказать, точен лп допуск 0,1 мм или нет. Для инструмен¬
тальщиков XVII в, такая степень точиостп была почти
немыслимой. Или другой пример. Если при взвешивании
двух вагонов мы установим, что один из них на 1 г тяже¬
лее другого, то вряд ли будет разумно считать один из
этих результатов более точным.
По сравнению со счетом измерение в известном смыс¬
ле даже менее точно, хотя при счете используются толь¬
ко целые числа, тогда как при фундаментальном пзмере-
яии — рациональные, а при производном измерении —
также и действительные числа. Вопреки тому очевидному
факту, что действительные числа предоставляют нам бо¬
лее точную информацию, чем целые, точность результатов
измерений нельзя понимать в том же смысле, что п точ¬
ность подсчета элементов какого-то конечного множества.
В первом случае, связанном, как правило, с непрерывны¬
ми величинами, в отношении которых допускается, что
они теоретически бесконечно делимы, можно получить
результаты с различными мерами точности. Во втором
же случае, если не пропустить ни одного элемента данно¬
го множества, этот результат — если, конечно, количество
элементов не изменяется — всегда одинаково точен.
Степень точности конкретно измеренных значений
физических и внефизпческих величин следует также отли¬
чать от точности значений величин в геометрическом по¬
нимании. Это непосредственно вытекает из разной при¬
роды геометриечских объектов и реальных предметов.
Числовое значение геометрических углов установлено
по определению совершенно точно. Теорема, утверждаю¬
щая, что сумма углов треугольника равна 180°, является
аналитическим следствием постулатов евклидовой плани¬
метрии, а не синтетическим высказыванием, истинность
которого должна быть проверена практикой. Еслн бы мы
придерживались системы постулатов неевклидовой геомет¬
рии, эта теорема оказалась бы несправедливой: в гипер¬
болической геометрии Лобачевского сумма внутренних
углов треугольника меньше, а в эллиптической геометрии
Римана — больше 180°. Но ни об одном треугольнике в
евклидовой геометрии измерением нельзя доказать, что
239

сумма его углов на самом деле равняется 180°, так как
ори любом измерении мы обязательно установим большее
или меньшее отклонение от этого теоретически заданного
значения.
Помимо такой дефинициональио задаваемой точности
значений геометрических величин, которая обосновывает¬
ся чисто теоретически, для эмпирических — физических
или внефизических — величин, числовые значения кото¬
рых получаются уже в процессе измерений, следует раз¬
личать два разных вида точности: требуемый и дости¬
жимый.
Достижимая точность объективно и исторически обус¬
ловливается прежде всего реальным характером объекта
измерения, теоретическим уровнем нашего знания и зре¬
лостью измерительной техники. Требуемая степень точ¬
ности обусловливается целью данного измерения в опре¬
деленном контексте с учетом достижимой точности. Реа¬
лизовать достижимую степень точности измерений — по
историческим и объективным причинам всегда ограни¬
ченную — это та цель, к которой стремятся, например,
в астрономии, где стараются получать все более точные
количественные данные: ведь они позволяют нам устанав¬
ливать новые отношения между еще мало изученными
явлениями. Измерения, проводимые с ориентацией на до¬
стижимую точность, также тесно связаны с проверкой
числовых законов и теорий. Если же измерение произво¬
дится в расчете на требуемую степень точности, целью
обычно является получение количественных данных, ин¬
терпретация которых пока еще не совсем ясна, и исполь¬
зование результатов измерений для подтверждения пли
опровержения тех иле иных гипотез, которые выдвинуты
б рамках данной научной области с учетом соответствую¬
щей степени измерительной точности.
По практическим и теоретическим причинам измере¬
ние данной величины проводится всегда в некотором
диапазоне точности, который либо явно установлен, лпбо
просто подразумевается. Если требуемая точность зара¬
нее установлена путем указания определенного интерва¬
ла допустимых значений, например 6,783 см±0,001 см,
то с учетом этого интервала числовые значения 6,783 смт
6,782 см и 6,784 см мы сочтем достаточно точными.
В этом случае нет смысла утверждать, что одно из них
более (или менее) точно, чем другое. Но если мы полу¬
чим какие-то иные значения, выходящие за рамки пред¬
полагаемого или требующегося интервала, например
240

6,781 см и 6,7811 см, то второе из них мы будем считать
точнее первого.
Требуемая точность как максимум может равняться,
достижимой, но, как правило, она меньше. Конечно, не¬
трудно представить себе такую степень точностп, которая
пока еще не достигнута из-за того, что в настоящее вре¬
мя соответствующая измерительная процедура технически
неосуществима. Поэтому конструирование новых, все-
более чувствительных измерительных приборов л слож¬
ных измерительных процедур является одним из сущест¬
венных условий для повышения достижимой точности.
Но возможно ли неограниченное увеличение точности?
Будет ли при вычислении площади круга важно, что зна¬
чение числа я—3,141592 653... ограничено тремя, десятью
или тысячей десятичных знаков? С такими приближенны¬
ми значениями мы всегда должны считаться, поскольку
каждое иррациональное число можно выразить лишь при¬
близительно. Это тем более верно в случае конкретных
измерительных процедур; они позволяют достигать лишь
определенной точностп. Допущение ничем не ограничен¬
ного повышения степени точности несовместимо с резуль¬
татами квантовой физики и теории информации, которые
не только теоретически обоснованы, но и подтверждены,
иа практике. Абсолютная точность физически невозмож¬
на, поскольку «это означало бы возможность осуществле¬
ния эксперимента, дающего бесконечное количество ин¬
формации, что физически невозможно» [русск. перев.:
Бриллюэн, 32, с. 62].
Но здесь есть еще одна важная проблема. Как вообще
узнать, что некое числовое значение, полученное в про¬
цессе измерения, было объективно измерено с достижи¬
мой точностью? Суть данного вопроса можно сформули¬
ровать и иначе: являются ли значения, полученные в ре¬
зультате эмпирических измерительных процедур, «под¬
линными» значениями исследуемых величин?
Эту проблему нельзя решить так просто, ссылаясь на
невозможность абсолютно точного измерения и приблизи¬
тельность результатов измерительных эксперименте Н,
обусловленную объективными ограничениями, несовер¬
шенством измерительных приборов и методик, ограничен¬
ностью возможностей экспериментатора в различении
данных. Прежде всего необходимо осознать, что аппрок¬
симационный, приближенный характер эмпирически уста¬
навливаемых значений можно понимать в двух разных
смыслах. Согласно одному из них, непрерывное движение
16 Зяк. № 1102
241

и изменение, которое претерпевают все реально сущест¬
вующие предметы п явления, приводит к тому, что не
может быть двух актов измерения, результаты которых
былн бы одинаково точны. Второй смысл означает трак¬
товку этой приближенности как разброс результатов
измерений, группирующихся около некоторого истинного,
подлинного значения. Но в каком же смысле это подлин¬
ное значение реально, если оно эмпирически недоступно?
Как можно признать объективность непрерывных вели¬
чин, если пет эмпирических средств, позволяющих их
верифицировать до конца? Это расхождение между эмпи¬
рически измеримыми и истинными значениями величин
можно преодолеть за счет различения разных аспектов
значений, приписываемых одному и тому же объекту из¬
мерения.
В первую очередь это актуальное, но неизвестное зна¬
чение. т, е. числовое значение, которое нельзя получить
с помощью эмпирических измерительных процедур. Одна¬
ко, несмотря на это, мы относительно такого значения
допускаем, что оно — независимо от какого бы то ни было
способа измерения — характеризует определенную интен¬
сивность измеряемой величины. Его можно представить
себе, например, как действительное число, для которого
не может быть последнего знака в представляющей его
бесконечной десятичной апериодической дроби.
Во-вторых, это разные результати измерения, т. е. зна¬
чения, имеющие вид отдельных числовых данных, полу¬
ченных с помощью разнообразных измерительных при¬
боров и процедур при оптимально контролируемых усло¬
виях. Эти значения лежат всегда в определенном более
или менее ограниченном числовом интервале.
Наконец, в-третьих, это аппроксимационное значение,
т. е. значение, которое следует считать наиболее близким
к истинному значению. Это вычисленное числовое значе¬
ние, равное теоретически предполагаемому значению, ко¬
торое вместе с тем является статистическим средним
отдельных результатов измерений.
Эти три вида значений одновременно характеризуют
иерархически упорядоченные уровни процесса измерения:
онтологический, эмпирический гг теоретический. Сегодня,
no-видимому, никто не станет открыто высказывать со¬
мнения относительно необходимости различения эмпири¬
ческого л теоретического уровней. Но допущение онтоло¬
гического уровня, необходимое для признания объектив¬
ного существования сильно количественных аспектов из¬
242

меряемых величин, может по философским соображени¬
ям встретить критические возражения со стороны эмпи¬
рически и операционалистски настроенных методологов и
представителей формальной теории измерений. Хотя сто¬
ронники как оиеращюналпстской, так п формалистской
концепции измерения отрицают объективное существова¬
ние истинного значения, к которому мы асимптотически
приближаемся по мере развития измерительной техники,
и углубления наших теоретических знании, тем не менее
они его молчаливо предполагают, поскольку допускают
возможность повышения точности эмпирически измеряе¬
мых величии.
Различие между измеренными и истинными значения¬
ми нельзя отвергнуть, поскольку мы очень хорошо знаем,
чем оно вызвано. Одним из возможных источников здесь
служит появление разных погрешностей, которыми по
тем или иным причинам обременен каждый измеритель¬
ный результат. Следующим его источником является про¬
тиворечие между эмпирически измеряемыми и теоретиче¬
ски предполагаемыми значениями, в частности противоре¬
чие между рациональными и иррациональными числовы¬
ми значениями. Если бы эмпирики последовательно при¬
держивались своей философской позиции, они должны
были бы использовать только рациональные числа, отка¬
зываясь от чисел иррациональных, эмпирически недоступ¬
ных. Тогда они должны были бы отвергнуть существова¬
ние непрерывных величин и отказаться от использования
математического анализа, основанного на представлении
о континууме действительных чисел. Таким образом, по¬
следовательно проведенный эмпиризм отбросил бы физи¬
ку к доньютоновским или долеибшщевским временам.
Однако никто ничего такого не делает и эмпирики в про¬
тиворечии с тем, что сами же утверждают, допускают
использование действительных чисел даже в случае наме¬
рения вне физических величия.
Без допущения объективного существования иетшшых
значений мы также оказываемся не в состоянии выяс¬
нить, почему с помощью тех или иных измерительных
методик и процедур можно прийти к разным приближен¬
ным значениям, относительно которых мы тем не менее
признаем, что они представляют — по крайней мере, тео¬
ретически — одно и то же значение измеряемой величины.
В этом случае речь идет, разумеется, об идеализации, но
такая идеализация концептуально необходима, если ре¬
зультаты измерений должны служить формулировке или
16*
243

уточнению численно выражаемых законов. Не смогли бы
мы объяснить и то, почему более совершенные измеритель¬
ные приборы и более прогрессивные способы измерения,
позволяющие производить дальнейшее уточнение уже из¬
вестных значений, вносят столь крупный вклад в разви¬
тие научных дисциплин.
Так как самое вероятное значение измеряемой вели¬
чины, коль скоро оно было вычислено, исходя из доста¬
точного количества измеренных значений, наиболее точ¬
но — для каждого данного уровня развития наших зна¬
ний — отражает пстинное значение, подобное приближе¬
ние всегда необходимо связано со стремлением свести к
минимуму влияние самых разных погрешностей измере¬
ния.
Погрешности измерения представляют степень неточ¬
ности, с какой измеренные значения отклоняются от
истинного. Разумеется, и в этом случае мы не в состоянии
точно определить истинную погрешность измерения — мы
можем получить только ее приближенные значения. Если
исключить так называемые грубые ошибки, вызываемые
явной небрежностью экспериментатора или совершенно
неверным применением измерительных процедур и при¬
боров, то погрешности измерения [ср., например: Брож и
др., 33, II, с. 32; Бунге, 36, II, с. 242 и сл.; Кэмнбелл, 38]
можно разделить, согласно их происхождению, на два
вида — систематические и случайные.
Систематические погрешности вызываются несовер¬
шенством измерительных устройств и процедур, игнориро¬
ванием изменений, которые происходят во внешней обста¬
новке и могут повлиять на действие этих устройств, и,
наконец, личностными особенностями наблюдателя (огра¬
ниченностью его способностей к различению данных,
накопленным опытом, уровнем его умения проводить изме¬
рительные эксперименты и т. д.). Погрешности этого вида
проявляются в форме простого и в целом регулярного ис¬
кажения результатов измерений. В принципе их можно
теоретически объяснить, обнаружить контрольными изме¬
рительными экспериментами и внести корректировку,
прибегнув к таким способам измерения, в которых ис¬
пользуются иные измерительные приборы.
Случайные погрешности представляют собой несисте¬
матические отклонения, конкретные причины которых
достичь очень трудно. Говоря в самом общем плане, по¬
грешности эти вызываются самыми разными внешними
обстоятельствами, которые нельзя полностью поставить
244

под контроль: шумом, сопровождающим любую передачу
информации, случайными колебаниями, например тепло¬
вым движением молекул и электронов, проявляющимся во
всех макроскопических системах. Это п результат техно¬
логических ограничений, которые по объективным при¬
чинам не позволяют градуировать материальные шкалы
измерительных приборов настолько тонко, чтобы можно
■было регистрировать результаты измерения с помощью
чисел, запись которых содержит любое количество деся¬
тичных знаков. Случайные погрешности — это, собствен¬
но, не погрешности в подлинном смысле: они выражают
закономерности развития природы. Поэтому очевидно, что
их влияние никогда нельзя полностью элиминировать.
Повышение точности получаемого приближенного зна¬
чения измеряемой величины за счет уменьшения того
интервала неточности, в котором отдельные значения в
результате ошибок измерения отклоняются от среднего,
по объективным причинам, следовательно, ограничено.
Диапазон возможных погрешностей можно сузить, если
поставить под контроль систематические погрешности и
свести к минимуму случайные ошибки измерения — до
такой степени, чтобы, исходя из разумных представлений
о требуемой степени точности, ими можно было пренеб¬
речь.
Итак, результат измерения всегда отягощен известной
неточностью. Но он зависит еще н от того, как конкретно
проявляется эта неточность — сводится ли она к опреде-
ленному относительно устойчивому значению бесспорного
отклонения, близок ли центр распределения вероятностей
результатов измерения к определенному числовому значе¬
нию или рассеяние экспериментально-измерительных дан¬
ных слишком широко и переменно. Бесспорно, чтобы
сделать эти данные устойчивыми, необходимо повышение
меры приближения вычисленного значения к значению
истинному.
Необходимой предпосылкой достижения упомянутой
устойчивости является повторение измерительных про¬
цедур определенного вида, проводимых с одним и тем же
объектом измерения при одинаковых «внутриэксперимен-
тальных» и внешних условиях. Выдвигая это требование
повторяемости, мы, разумеется, очень хорошо сознаем, что
нельзя и двух измерений провести при совершенно одина¬
ковых обстоятельствах и что, строго говоря, они не могут
относиться к одному и тому же объекту. Осознание этого
является непосредственным результатом диалектико-мате-
245

рш а диетического понимания объективной реальности, пред¬
восхищенного гераклитовским л ал1 та реї— все течет. Но,
несмотря на кажущуюся нереальность, повторяемость из¬
мерительных экспериментов — совершенно необходимое
условие, если мы хотим, чтобы результаты измерений име-
лд какое-нибудь информативное значение. Ведь если при¬
нять во внимание систематические и случайные погрешно¬
сти, одно-единственное измерение ценностью не обладает.
Сведение погрешностей к минимуму возможно только
тогда, когда проводится много измерений. Чем их боль¬
ше п чем они разнообразнее, тем адекватнее удается
установить наиболее вероятное значение измеряемой ве¬
личины.
Чтобы судить о релевантности результатов измерения,
следует при каждом повторном измерительном экспери¬
менте оценивать примененные измерительные процедуры,
условия, при которых проводилось измерение, и внешние
обстоятельства, которые могли повлиять на полученные
результаты. Этот контроль необходим для установления
согласованности результатов, получавшихся каждый раз
при несколько иной объективной ситуации. Действуя.та¬
ким образом, мы также корректируем идеализированную
предпосылку о повторяемости опыта при одних и тех же
условиях — условиях, которые, разумеется, на протяжении
даже одного измерительного эксперимента в действптель-
ности изменяются. При простом повторении измерений в
разные моменты времени при внешних условиях, прибли¬
зительно таких же, как и при каждом предыдущем экспе¬
рименте — когда мы, например, взвешиваем подряд ка¬
кой-то предмет на одних п тех же весах, — можно ожидать
значительной согласованности. Но если мы измеряем некий
предмет на разных весах, то различие в результатах будет
уже больше. Естественно, мы в этом случае должны при¬
нять во внимание, что разные весы обладают различной
чувствительностью, так что получаемые значения будут
отягощены разными систематическими погрешностями.
Если использовать разные измерительные приборы, напри¬
мер, производя механическое, оптическое и акустическое1
измерение длины, то стандартизировать полученные число¬
вые данные будет еще труднее. Однако и в этих, и в дру¬
гих, намного более сложных случаях повторного измере¬
ния речь идет не о чем ином, как об интерпретации, систе¬
матизации и оценке результатов, о том, что эксперимента¬
тор делает при любом другом повторении опытов опреде¬
ленного типа,
246

Ограничиться несколькими плп даже единственным из¬
мерением — это лишь вынужденное решение в условиях,
когда по объективным причинам соответствующую экспе¬
риментальную процедуру воспроизвести невозможно. По¬
этому неповторимость многих социальных явлений, IIX
уникальность представляют собой одну пз серьезных помех
для достижения адекватности результатов измерения в
данной области. Но явно отвергать требование повторяемо¬
сти для измерительных процедур в общественных науках,
ссылаясь на сомнительный аргумент, что тогда «у испы¬
туемых может сложиться впечатление, будто первоначаль¬
ным данным мы не доверяем» [Ламсер, 97, с. 150], озна¬
чает, по нашему мнению, непонимание условий измеримо¬
сти.
■8.4. Осмысленность, валидность и надежность измерений
Об осмысленности, пли значимости, измерений можно
говорить с разных позиций. В операциональной концепции
измерений проблема осмысленности ставится только для
отдельных измерительных процедур п методик. В формаль¬
ной теориц измерений она соотносятся с проблемами пред¬
ставления и единственности, и ее решение ограничивается
только требованием единственности числового представле¬
ния в его связи с условием пнвариазтности шкалы относи¬
тельно допустимых преобразований*. В обеих этих одно¬
сторонних концепциях всегда подчеркивается только один
компонент измерений и совсем не рассматривается гораз¬
до более принципиальный вопрос — о том, является лп по
объективным, теоретическим и практическим соображени¬
ям сама предпосылка об измеримости всегда осмысленной.
Осмысленность измерений в том более широком аспек¬
те — аспекте, который мы считаем исходным — определя¬
ется объективными условиями, позволяющими обосновать
данную процедуру на базе реальных свойств измеряемых
объектов и их роли в процессе человеческого познания п
соответствии с теоретическими и практическими целями,
которые преследует эта форма квантификации. Сдедова-
' * В статье П. Суипеса и Дж, Зипеса это требование зазывает¬
ся адекватностью; последняя определяется следующим образо її:
«Числовое утверждение (об объекте измерения.—Ред.) адекватно
тогда и только тогда, когда его значение нстлпности инвариантно
относительно допустимых преобразований шкалы любого из его
числовых представлений, т. е. если любая из представляющих его
функции выражает результат измерения» (руссо. перев.: Сун-
песП. в Занес Дж. Цит. соч., с. 96). — Прим- ред.
24 7

тєльно, для того, чтобы признать измерительную процеду¬
ру пли числовое отображение осмысленными, мы должны
сначала определить, в каком диапазоне следует истолковы¬
вать этот метод, каких результатов мы ждем от него, поче¬
му мы используем его и можем ли мы, собственно, в том
или ином случае применять его вообще. Поэтому решение
вопроса об осмысленности измерений на общем или специ¬
фическом уровне всегда является результатом принимае¬
мой теории измерений.
Для сторонников более широкой концепции измерения
смысл будет иметь любое измерение, даже с помощью но¬
минальной шкалы, если соблюдаются условия взаимной
однозначности отображения и эмпирической значимости
операции «определения равенства». Поэтому тот, кто так
подходит к проблеме, не может возражать ни против из¬
мерений, например, математических знаний с помощью
серии вопросов, ответы на которые можно представить та¬
кими обозначениями, как «знал» и «не знал»; ни против
измерения отношения человека к спорту — исходя из того,
участвует ли он в спортивных состязаниях или смотрит-
соответствующие телевизионные перадачи; ни против,
оценки облысения путем выяснения количества волос,
оставшихся на голове, тем более, что, как можно предпо¬
ложить, степень интенсивности данного свойства в этом
случае измерима с помощью ординальной шкалы. Однако
с точки зрения более узкой теории подобные измерения —
даже если выполняется и условие инвариантности шкалы
относительно допустимых преобразований, и условие суще¬
ствования эмпирической операции определения равенства
или даже может быть введено отвошение «больше, чем» —
не будут иметь приемлемого смысла.
Если подходить к понятию осмысленности в соответст¬
вии с его этимологией — «иметь смысл» (а именно так оно
обычно и трактуется в логическом анализе научного язы¬
ка), —то понятно, что его рассмотрение относится к сфере
логической семантики, а отнюдь не к области синтаксиса,
как полагают представители формальной теории измерений
[русск. перев.: Суппес, Зинес, 155, с. 94 и сл.].
Неприемлемость такого рода подмены явствует из за¬
мечания П. Суппеса и Дж. Зивеса относительно условий,
при которых осмыслена формула
х-\-у=а.	(8.4—1>
Если для данной формулы, интерпретируемой этими авто¬
рами как «сумма роста и веса каждого человека... равна
248

одной и той же константе» [Сушгес, Зинес, 155, с. 102],
предполагается, что их и у определяются с точностью до
преобразования подобия», то такая формула смысла не
имеет. Почему же? По мнению Суппеса п Зинеса, все дело
в нарушении требований инвариантности шкалы относи¬
тельно допустимых преобразований. В действительности
же это вызвано бессмысленностью рассматриваемой ими
интерпретации.
Преобразовав х в кх, у — в ту, а — в а' {к. т суть па¬
раметры допустимых преобразований), мы получаем фор¬
мулу
kx-\-ту —а',	(8.4—2)
относительно которой очевидно, что ни одно значение по¬
стоянной а/ не сведет ее к равенству (уравнению), кото¬
рое было бы эквивалентно формуле (8.4—1). Из этого так¬
же следует, что при данных условиях формула (8-4—1) не
имеет смысла. Но если будут введены дополнительные ус¬
ловия. то она его обретет.
Допустим, например, что х я у лежат на шкале разно¬
стей так, что значения as и у единственны с точностью до
аддитивной постоянной. Следовательно, если мы подста¬
вим х-\-1 вместо х, у-\-п вместо у, a a+i+ra вместо а, при¬
чем I, п суть другие параметры допустимых преобразова¬
ний, то получим формулу
(х'4-/) + (г/+д) = а+/-|-я,	(8.4—3)
которая явно эквивалентна формуле (8.4—1).
Данная формула будет иметь смысл и тогда, когда, на¬
пример, допускается, что у есть производное числовое
представление и что оно, в частности, зависит от х. Пред¬
положим, что если преобразовать х в выражение кх, то у
превратится в выражение (ку-\-2к). Если затем подста¬
вить а' вместо а, то мы получим формулу
kx+(ky-\- 2k) — а',	(8.4—4)
которая явно эквивалентна формуле (8.4—1), если а'=
— к (а+2).
Рассмотрение этого примера приводит Суппеса и Зине¬
са к примечательному заключению: «...Разумность склады¬
вания весов и длин зависит не столько от физических
свойств тела, сколько от свойств единственности числового
представления, связанного с длинами и весом» [Суппес,
Зинес, 155, с 71; русск. перев. с. 103].
249

Ко всему этому рассуждению, абсурдность которого,
вероятно, вполне ясна, достаточно добавить лишь следую¬
щие замечания.
Мы полагаем очевидным, что сложение весов и длин
бессмысленно как по физическим, так и по математиче¬
ским причинам независимо от того, каким образом мы пре¬
образуем соответствующие шкальные значения. Если уж
допустить, что формула (8.4—1) позволяет производить
преобразования подобия, то мы не видим никаких причин,
почему бы мы не могли корректно преобразовать ее в фор¬
мулу
kx+ky — kat	(8.4—5)
которая — так же как формула (8.4—3) — «явно эквива¬
лентна» формуле (8.4—1).
Если сравнить приведенные выше формулы, то нетруд¬
но установить, что преобразования, ведущие к формулам
(8.4—3} и (8.4—4), являются допустимыми для уравне¬
ний, как это хорошо известно из элементарной математи¬
ки; преобразование же, использующееся при получении
формулы (8.4—2), некорректно.
Поскольку из такого синтаксического понимания ос¬
мысленности вытекает, что смысл числовых утверждений
предопределяется исключительно единственностью число¬
вых представлении (приписываний), а отнюдь не характе¬
ром операций в эмпирических или числовых системах, как
это явно подчеркивают Суппес и Зипес, им следовало
прежде всего обосновать осмысленность свойства единст¬
венности. Мы уже показали (см. 7,2), что это свойство
выражает, в сущности, лишь чисто тавтологические пре¬
образования одного числового представления в другое,
причем совершенно вне какой-либо связи с его предпола¬
гаемой ролью в теории типов шкал.
Наконец, мы считаем уместным заметить, что П. Суп-
пес и Дж, Зинес в заключение своего изложения* все же
допускают необходимость дальнейшего уяснения пробле¬
матики осмысленности (адекватности) измерения с эмпи¬
рической и теоретической точек зрения.
С тематикой осмысленности измерений, а в значитель¬
ной мере и с проблематикой точности и устойчивости их
результатов связаны, далее, оба специфических постулата
теории внефизического измерения, шкалирования и тести¬
* См. разд. 5.3, с. 105 и далее русского перевода их статьи.—
Прим., ред.
250

рования — постулат валидности и постулат надежности
[ср., например: Унлкс, 170, с. б и сд.; Акофф и др., 1,
с. 200; Сикурел, 47, с. 76; Гилфорд, 74, с. 398; Фишер, 65,
с. 31; Ратц, 121, с. 159]. Оба эти постулата выдвигаются
прежде всего потому, что методологп, исследующие виефп-
зпческое измерение, прекрасно осознают, что в отличие от
физического измерения здесь вообще нечасто бывает ясно,
какие свойства являются подлинным объектом измерения,
точнее говоря, объектом шкалирования пли счета, п какие
заключения можно значимо выводить из числовых данных
о предполагаемом предмете исследования. Поскольку фор¬
мулирование, интерпретация н применение упомянутых
постулатов служат предметом весьма оживленной дискус¬
сии, участники которой пока еще не пришли к удовлетво¬
рительным и более или менее сходным заключениям, мы
в нашем изложении ограничимся лишь самой основной их
характеристикой.
Под валидностью в целом понимается правильность,
корректность измерительных процедур, полученных дан¬
ных, измерительных устройств {в данном случае средств
измерения, к которым, как мы уже упоминали, относятся
разные материальные шкалы, анкеты, интервью) — попро¬
сту всех компонентов измерения н шкалирования. В связи
-с этим о некотором измерении (измерительной процедуре,
средстве измерения, его результате и т. п.) утверждают —
причем явно тавтологично, — что оно достоверно только
тогда, когда и в самом деле измеряется то, что предполага¬
ется. Корректность также истолковывается как степень
отклонения от плана измерительного эксперимента, от тре¬
буемого объекта измерения или от применяемого способа
.шкалирования, выбранной измерительной процедуры пли
методики, используемого средства измерения п т. д.
В связи с проблематикой точности о некотором изме¬
рении или шкалировании, если оно валидно и избавлено
■от систематических ошибок, говорят также, что оно строго
(exaktni). Хотя оба названных условия строгости взаимно
независимы, поскольку первое (корректность) отпосится
к плану измерительного эксперимента, а второе (отсутст¬
вие ошибок) — к его проведению, в отношении ожидаемо¬
го результата корректность является необходимой предпо¬
сылкой строгости. Например, может случиться, что приме¬
нение какого-то теста, служащего для измерения уровня
интеллекта, не сопровождается систематическими погреш¬
ностями, однако относится этот тест не к уровню интел¬
лекта, а к памяти. Тогда полученные результаты не явля-
25!

готся — если иметь в виду цель исследования — нп валид¬
ными, ни строгими.
Под надежностью (reliability) в целом понимается
корректность количественных или даже только качествен¬
ных результатов, относящаяся к объективной надежности
измерительных процедур, процедур шкалирования, мето¬
дик или инструментов и к субъективной надежности ис¬
пытуемых и экспериментаторов. Надежность принимается
также в качестве меры стабильности измерительных инст¬
рументов, позволяющей при повторных измерениях или
тестовых испытаниях получать приблизительно одинако¬
вые результаты. Поэтому надежность ставится в непосред¬
ственную связь с возможными погрешностями измерений*
но в отличие от валидности в первую очередь с погрешно¬
стями случайными. Надежность результатов измерения*
шкалирования или тестирования некоторой величины, сле¬
довательно, тем больше, чем меньше интервал и варьиро¬
вание возможных отклонений от ее предполагаемого зна¬
чения.
В рамках проблематики точности о надежном измере¬
нии (шкалировании, тестировании) — измерении, для ко¬
торого случайные погрешности можно свести к миниму¬
му,—говорят также, что оно прецизионно. Степень пре¬
цизионности, устанавливаемая с помощью оценки надеж¬
ности отдельных компонентов процесса измерения (шка¬
лирования, тестирования), является также критерием для
суждений о пригодности избранного измерительного ме¬
тода.
В какой же мере, однако, оба эти постулата — валид¬
ности и надежности измерения — реально выполнимы в
конкретных случаях? Наше сомнение относительно приме¬
нимости постулата надежности можно обосновать трудно¬
стями повторного измерения общественных явлений. Про¬
блематичность же постулата валидности коренится в труд¬
ностях теоретического и методологического выяснения
многих проблем, относящихся к внефизическому измере¬
нию, а также — и прежде всего — в стремлении многих ме¬
тодологов и практиков как можно шире применять количе¬
ственные методы, даже если для этого нет достаточных
объективных оснований.

9. ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗМЕРЕНИЙ
Истолкование основных понятий, исследование эмпири¬
ческих и математических компонент измерений, анализ их
формальных характеристик и практическое использование
измерительных процедур в науке, технике и производстве
не могут быть делом только общей теории измерений как
таковой или методологии эмпирических наук, как считает
подавляющее большинство сциентистскп ориентированных
методологов и теоретиков, занимающихся проблемой изме¬
рения. Постановка и решение всякой сколько-нибудь су¬
щественной проблемы, относящейся к концептуальным,
методологическим и теоретическим аспектам измерения, —
это в принципе также и философская проблема, причем не¬
зависимо от того, признается это открыто или обходится
молчанием. В этом можно было уже убедиться, так как в
наших рассмотрениях мы подвергали критике прежде все¬
го такие философские направления, как операционализм,
неопозитивизм и фнлософию математпкп в духе форма¬
лизма.
Стремясь выяснить сущность и роль измерений в про¬
цессе познания, мы не можем, однако, ограничиться лишь
критическим разбором философских предпосылок, зало¬
женных в той или иной частной проблеме, и тех послед¬
ствий, которые вытекают из ее различных решений: мы
должны поставить перед собой принципиальный вопрос о
философских основаниях измерения. Ибо философское
обоснование измерительных процессов позволяет составить
представление о том, каковы, собственно, возможности и
пределы измерений.
9.1.	Материалистические основания измерений
Вопрос о философских основаниях измерения позити¬
вистский сциентизм в явном виде принципиально не ста-
253

■кит. Если же этому вопросу вообще уделяется какое-то
внимание, то представители данного направления стремят¬
ся сохранить видимость философской «нейтральности».
Что касается дискуссий между сторонниками операциона-
лизма и его противниками — среди последних мы встреча¬
ем серьезно, по-философски мыслящих методологов [см.
особенно: Байерли, Лазара, 37],— то суть разногласий за¬
ключается скорее в методологической оценке соотношения
между теоретическими и операциональными аспектами из¬
мерений или в логическом анализе так называемых опе¬
рациональных определений. Конечно, во всех этих случаях
нейтральная позиция относительно философского обосно¬
вания измерения— не что иное, как иллюзия пли самооб¬
ман. Независимо от того, поднимается пли нет эта пробле¬
ма в рамках той или иной концепции измерения, в конеч¬
ном счете непосредственно или опосредованно любая из
них вынуждена на нее как-то реагировать.
Проблему философских оснований измерения можно
конкретизировать в серии следующих вопросов:
Имеет ли измерение какой-нибудь онтолого-гносеолопт-
ческий фундамент в объективной реальности или не име¬
ет? Существуют ли количественные аспекты измеряемых
предметов, явлений и процессов независимо от измеритель¬
ных процедур или нет? Являются ли разные величины
исторически обусловленным отражением диалектического .
единства качественных и количественных аспектов реаль¬
ных объектов либо они суть результаты измерений НЛП
выражения концептуальных конвенций?
С материалистической точнії зрения в каждом из этих
вопросов следует принять первую альтернативу. Положи¬
тельный ответ на вторую характерен для разных форм
субъективного идеализма.
Идеалистическую позицию в ее крапнем выражении
представляет так называемый гомоцентрический one рацио¬
нализм, развиваемый прежде всего Г. Дингл ем [ср.:
Дннгль, 54: ср. также: Берка, 14]. С точки зрения этой
доктрины измерение — это любая операция, результат ко¬
торой приводит к каким-либо числовым данным. Измере¬
ние как таковое соотносится только с проводимой опера¬
цией, и его можно описать, не беря в расчет «подлежащее
измерению гипотетическое нечто». Между измеряемым
объектом и средствами измерения нельзя провести ника¬
кого различия, и поэтому необходимо отказаться от взры
в объективно измеримые свойства тел. Точно так же сле¬
дует отвергнуть предпосылку о том, что количества имеют
254

некую меру, поскольку это означало бы, что они сущест¬
вуют независимо от операций измерения, а этот взгляд
для гомоцентрического операционализма, совершенно от¬
кровенно прокламирующего свой антитеоретический, во¬
люнтаристский ш крайне субъективистский характер, не¬
приемлем, так как ведет к признанию объективного суще¬
ствования величин и, следовательно, к признанию объек¬
тивной реальности, не зависящей от нашего личного опы¬
та. Действительность как таковая в этом крайнем вариан¬
те «чистого» эмпиризма ограничивается опытом. Если
опыт, точнее говоря, личный опыт индивида является как
исходным пунктом, так и результатом процесса познанпя,
то допущению объективного существования величин не-
остается места. Хотя операцпоналясты и признают нали¬
чие разных измерительных операций, они понимают их
чисто субъективно: процесс измерения специфицируется
только в отношении тех деталей, которые необходимы для
того, чтобы полученные результаты могли служить корре¬
ляции между элементами нашего опыта.
С этой концепцией (которая у Г. Дннгля выступает в
самой открытой форме) мы встречаемся и у П. У. Бридж¬
мена [ср.: Бриджмен, 27, 29, 30, 31], методологический
операционалигм которого выражается не столько в фило¬
софских размышлениях относительно природы измерений,
сколько в операциональном анализе и в установлении опе¬
рациональных критериев определения понятий. В соответ¬
ствии со своим общим тезисом, согласно которому всякое
понятие синонимично соответствующему множеству
операций, Бриджмен отрицает объективный характер ве¬
личин и их теоретические связи со всей концептуальной
системой данной научной области, сводя их только к при¬
меняемым измерительным процедурам. Чтобы подготовить
подходящую почву для такой редукции и избежать воз¬
можного вопроса, к чему, собственно, относятся измери¬
тельные процедуры (вопроса, для операционалистов всегда
крайне неприятного), он использует следующую термино¬
логическую конвенцию. Вместо того чтобы говорить, на¬
пример, о длине, он предлагает употреблять выражение
«измерение длины», пли, еще лучите, «линейное измере¬
ние». Поскольку при таком подходе данная величина не
получает языкового выражения в виде имени существи¬
тельного, ее и нельзя понимать как «нечто». Тогда отпа¬
дает вопрос, не является ли длина чем-то большим, неже¬
ли то, что мы измеряем, когда определяем длину согласно-
некоторому предписанию.
255

Такая терминологическая «конвенция» не нуждается
в дальнейших комментариях. Но мы все же должны по¬
ставить вопрос о том, при каких условиях вообще относи¬
тельно какой-то операции можно установить, что она и в
самом деле поДходит для данной измерительной процеду¬
ры, что она может быть однозначно определена и непосред¬
ственно применена при измерении. На этот основной во¬
прос Бриджмен удовлетворительного ответа не дал и дать
не мог. Различение им так называемых хороших и плохих
операций расплывчато, так же как п его прагматическое
истолкование «хорошей» операции как такой, которая
«выживает» на практике, причем выживает тогда, когда
■она применима и проста. Без установления критериев, при
которых какая-то операция допустима, любой вопрос о ее
применимости совершенно условен и произволен. Произ¬
вольность, конвенцпональность и субъективность выбора
с необходимостью проявляется и в понимании отдельных
операций, поскольку используемые измерительные про¬
цедуры с точки зрения операционализма всегда базируют¬
ся лишь на личном опыте экспериментатора.
Поскольку против операционализма был выдвинут ряд
важных критических возражений, причем не только со
стороны философов-марксистов, но и со стороны многих
представителей сциентизма [ср., например: Нарекий, 111;
Киселева, 89; Пап, 115; Гемпель, 78], нет, наверное, нуж¬
ды подробнее доказывать, что операционализм как фило¬
софия не может служить подходящей основой для плодо¬
творной теории. Если измерение зависит исключительно от
используемых экспериментальных процедур, а его пред¬
мет объективно не существует, то мы утрачиваем всякие
межличностные критерии измеримости. Если занять такую
позицию — позицию, сознательно отрицающую онтологиче¬
скую обусловленность теории измерений, — то следует сде¬
лать еще шаг и признать, что диапазон измерительных
процедур можно произвольно расширять практически без
каких-либо разумных ограничений.
Для операционалистского подхода не существует ни¬
какой исторически обусловленной границы между тем, что
измеримо, а что нет. Поскольку измерительные процедуры
-разрабатываются отдельными экспериментаторами, реше¬
ние о том, с чем мы в данном случае имеем дело — с изме¬
рением или нет, — зависит исключительно от их изобрета¬
тельности иле опыта в разработке тех пли иных способов
■■операционализавдги. С этой точки зрения, таким образом,
получается, что единственным существенным критерием
256

измеримости является соответствующая субъективная спо¬
соби ость. Тогда под измерительной операцией можно пони¬
мать любую операцию, про которой мы чему-то приписы¬
ваем числа или цифры. Этот неприемлемый результат со¬
вершенно открыто признает Дпнгяь [54, с. 21]. По его мне¬
нию, даже игра в бросание монеты есть особый случай из¬
мерения, поскольку и эту «операцию» — как эмпирическую
процедуру — можно описать во всех деталях. А это значит,
что подобная игра ничем существенным не отличается от
измерения какой-то величины, скажем длины.
На деле множество операций нельзя определить только
эмпирически, без знания законов математики, вне связи с
теорией. Измерительные операции не могут быть единст¬
венным критерием определимости какой-то величины, а
тем более какого-то метрического понятия. Известный опе-
рационалнетекий тезис, согласно которому для каждого
конкретного множества операций следует вводить особый
термин, противоречит изначальной теоретической ориен¬
тации любого понятия, носящего метрический характер.
Введение все новых и новых понятий в зависимости от из¬
менения множества используемых операциональных про¬
цедур означало бы дезинтеграцию научных теорий, а
также сделало бы невозможным применение законов,
определяющих действия над числами. Операциональная
концепция измерений, будь она реализована последова¬
тельно, должна бы отвергнуть все теоретические аспекты,
которые не находят непосредственного эмпирического про¬
явленая; кроме того, она должна исключить использова¬
ние иррациональных числовых значений, В результате
понятие измерения стало бы ограничено только фундамен¬
тальными измерениями, приводящими к таким значениям
величин, которые лежат в определенном интервале рацио¬
нальных чисел.
Но утверждение, что в процессе измерения решающую
роль играют измерительные операции, ведет к еще более
абсурдным выводам. Если ориентироваться только на из¬
мерительное устройство и признать, что физическая вели¬
чина проявляется всего лишь как некоторое число, «полу¬
ченное с помощью какой-то операции, которая принадле¬
жит к определенному классу операций» [Бриджмен, 31,
с. 48], то допустимыми станут такие операции, как «счи¬
тывание показаний со шкалы измерительного устройства»
и «установление степени отклонения стрелки на шкале
измерительного прибора». Но результаты операций над
числами, полученными на основании этой процедуры, про¬
17 Зак. № 1102
257

веденной на разных измерительных устройствах, опреде¬
ляют с операционалистской точки зрения одну н ту же ве¬
личину. Таким образом, из операциональной концепции
измерения получают два противоречивых следствия: рас¬
щепление единого понятия па разные понятия и объедине¬
ние разнородных понятий в нечто единое.
Высказанная намп критика гомоцентрического и мето¬
дологического операцноналпзма в известной мере распро¬
страняется и на довольно умеренную позицию Б. Эллиса,
который из всех позитивистских теоретиков уделял фило¬
софским вопросам измерения наибольшее внпмаипе. Влия¬
ние операцпонализма особенно проявляется в его концеп¬
ции шкал измерения и в интерпретации понятия величи¬
ны. Эллис [Эллис, 56, с. 38, 32, 49, 48] отвергает тот
взгляд, что «величины имеют некий первичный онтологи¬
ческий статус», и отрицает «предположение, будто тела
обладают свойствами, обладающими какой-то мерой». По¬
скольку он не считает количественные аспекты объективно
существующих предметов, явлений и процессов онтологи¬
чески первичными, величины для него не могут быть по¬
нятийным отражением этих аспектов. Но Эллис отождеств¬
ляет величины не с измерительными процедурами, а с «по¬
рождением упорядочения»: «существование величин выте¬
кает из существования множества отношений, задающих
линейную структуру». Тогда некоторая величина измери¬
ма, если разные измерительные процедуры могут «порож¬
дать одинаковое упорядочение .между одинаковыми сущ¬
ностями при одинаковых условиях».
Такое решение тоже нельзя считать жизнеспособным
философским отправным пунктом для обоснования теории
и практики измерений. Концепция Эллиса не может преж¬
де всего объяснить, что следует понимать под выражения¬
ми «одинаковые сущности» п «одинаковые условия». Разу¬
меется, еще проблематичнее то, как практически реализу¬
ется эта «одинаковость» и с чем, собственно, она соотно¬
сится, коль скоро у измеряемой величины отрицается объ¬
ективная основа. Кроме того, очевидно, что установление
одинакового упорядочения само по себе не является до¬
статочным критерием для определения величин, которые
могут быть качественно различны: ведь все неметрические
величины, равно как и все метрические, удовлетворяют
независимо от своей качественной специфичности одним
и тем же свойствам отношения порядка. Кроме того, упо¬
рядочение определяет только топологические условия мет¬
ризации, Поэтому оно является лишь необходимой, но от¬
258

нюдь не достаточной предпосылкой измерения В строгом
смысле слова. Упорядоченная последовательность объек¬
тов. имеющих некоторую общую качественную характери¬
стику, — точно так же, как и соответствующий им квазп-
гюрядок шкальных значений, — не может быть сама по
себе исходной, далее неанализируемой основой измерения.
Установление того факта, что некоторое отношенпе обла¬
дает свойством отношения порядка, есть уже результат
практической н теоретической деятельности людей, НТО г
исторического процесса познания количественных аспек¬
тов объективно существующих предметов нлн свойств,
аспектов, с разной степенью интенсивности реально у них
наличествующих. Ни один теоретик плп практик, поста¬
вивший своей исследовательской целью проведение изме¬
рительных экспериментов, не начинает свою работу с вы¬
яснения того, можно ли о каком-то свойстве, общем для
определенного класса предметов, сказать, что оно удовлет¬
воряет условиям топологазацяп. Исходным пунктом его
деятельности всегда является определенный содержатель¬
ны!! анализ исследуемых объектов, относительно которых
на основании хотя бы какой-то рабочей гипотезы он — пра¬
вильно или неправильно — предполагает, что они обнару¬
жат определенные слабые или сильные количественные
аспекты. Только потом он сможет сказать, поддаются лп
рассматриваемые им объекты упорядочению относительно
денного свойства или же нет.
С точки зрения материалистической концепции изме¬
рения отношение порядка и измерительные операции ба¬
зируются на предпосылке существования количественных
аспектов реальных объектов. Величины, которые измеря¬
ются, не являются ии продуктом измерительных процедур,
ни результатом выяснения характера отношений порядка;
они суть отражение диалектического единства качествен¬
ных и количественных аспектов реальных предметов, яв¬
лений и процессов. Приписывание чисел эмпирическим
объектам —■ безразлично, получены ли они с помощью фун¬
даментального, производного или ассоциативного измере¬
ния, — эмпирически значимо и теоретически оправдано
только тогда, когда оно непосредственно плп хотя бы опо¬
средованно относится к пх количественным аспектам.
С помощью измерения величины объективируются, а от¬
нюдь не создаются. Приписывание чисел предметам, явле¬
ниям или процессам шо правилам» должно полностью
учитывать объективно существующее различие между их
качественными и количественными характеристиками. Мы
17*
259

не можем произвольно изменить за счет измерения онто¬
логическую природу исследуемого свойства, не можем све¬
сти качества к количествам. Этого не достичь, вводя
произвольные конвенции или теоретические конструкции,
основанные на требовании простоты (как считают инстру¬
менталисты и конвенционалнсты), не достичь этого и с
помощью разных математических моделей (как полагают
представители формальной теории измерений).
Применение измерительных операций и установление
отношения порядка значимо реализуемы только в той ме¬
ре, в какой для этого существуют объективные основания.
Вез соотнесения с объективной реальностью все кванти¬
тативные утверждения, выражающие результаты измери¬
тельных экспериментов, будут всего лишь суждениями об
измерительных операциях или об упорядочениях; они ока¬
зываются просто высказываниям]! о субъективном опыте,
а не утверждениями о межлпчноетно удостоверяемых фак¬
тах.
История науки предоставляет достаточно свидетельств
того, что измерительные процедуры получили свое разви¬
тие в процессе практического освоения мира человеком в
ходе изучения количественных аспектов реальных объек¬
тов. По своей сущности измерение с самого своего возник¬
новения является комплексом взаимообусловливающих
эмпирических и числовых компонентов, операциональных
процедур и теоретических концепций. Из этой взаимной
связи всех существенных характеристик измерительных
процедур вытекает также, что неверно отвергать их влия¬
ние на понятие соответствующей величины. Даже тогда,
когда мы имеем дело с величинами, относительно которых
нет сомнения в непосредственной зависимости от объек¬
тивно существующих количественных аспектов, мы, кри¬
тикуя операциовалнзм, не должны впадать в другую край¬
ность н утверждать, будто эти величины совершенно неза¬
висимы от применяемых измерительных процедур. Такая
позиция ошибочна н по фактическим, и по философским
соображениям. Способ, которым мы измеряем некоторую
величину, или выбор измерительных операций и измери¬
тельных устройств не произвольны: измерение всегда под¬
чинено реальным свойствам измеряемых объектов, поня¬
тийной и теоретической системе данной научной области
и потребностям практики.
Все сказанное нами об онтологической обусловленности
методов, концепций и объективно обосновываемых конвен¬
ций в теории измерений в полной мере относится и к шка¬
260

лам, и к выбору начала отсчета п единицы измерения. На
это мы уже указывали, когда подчеркивали недопусти¬
мость переоценки различия между так называемыми про¬
извольными и естественными началами шкал (см. 4,2) и
критиковали конвенционалистскую интерпретацию поня¬
тия единицы измерения (см. 3.2). Впрочем, тот факт, что
в случае в нефизического измерения в нашем распоряже¬
нии не имеется объективно воспроизводимой п значимо
интерпретируемой единицы измерения, служит самым убе¬
дительным аргументом как против конвенционалкстекого
понимания измерения, так и против антионтологнческой
позиции операционализма, инструментализма п неопозити¬
визма.
Разумеется, первичность объективно существующих
количественных аспектов по отношению к измерительным
операциям,' зависимость конвенций ирп выборе единиц
измерения от реальных свойств измеряемых величин нель¬
зя понимать метафизически, в духе созерцательного ма¬
териализма или наивного реализма. Недооценивая актив¬
ную роль человека в процессе познания, созерцательный
материализм не может дать адекватного философского
обоснования понятия измерения. Односторонность разви¬
ваемого им подхода, однако, противоположна односторон¬
ности операционализма. Последний неоправданно расши¬
ряет понятые измерения, преувеличивая его конвенцио¬
нальные стороны. Созерцательный же материализм это
понятие сужает, поскольку трактует величины просто как
пассивное отражение количественных аспектов реальных
объектов. Короче говоря, операционалнзм основывается на
«плохой» онтологии, а созерцательный материализм — на
«плохой» теории познания. Кроме того, вследствие неисто-
ричности своих установок как операционалнзм, так н со¬
зерцательный материализм не способны пролить свет на
очень важную для теории измерений проблему — пробле¬
му перехода от классификационных и сравнительных по¬
нятий к понятиям метрическим. Оба направления игнори¬
руют исторические условия, при которым в разных науч¬
ных областях происходило развитие измерений, и поэтому
не способны раскрыть те объективные обстоятельства,
когда измерения реально возможны.
Философское обоснование измерения, которое опира¬
лось бы на принципы марксистско-ленинской философии,
равно как и критика операциональной концепции измере¬
ния, стало ныне настоятельно необходимым, особенно из-за
применения измерительных процедур в различных общест-
261

ьоведческих областях, получившего в паши діш широкое
распространение.
В физике, которая благодаря своему предмету и прило¬
жениям в технической практике фактически всегда разви¬
валась на материалистических основах, опасность оттера-
ппоналистекой интерпретации измерения не столь отчет¬
лива. Поскольку уже в эпоху Ньютона теоретическая фи¬
зика достигла высокого уровня, операцыонализм, с его ан-
титеоретическоп направленностью, не мог в пей рассчиты¬
вать на успех. Не пустил он глубоких корней и в экспери¬
ментальной физике, которая теперь все теснее переплета¬
ется с физикой теоретической. Отрезвление от кратковре¬
менного операцпоналнстского опьянения проходило здесь
поэтому решительно и легко. Однако этого уже нельзя
сказать о психологии. В условиях, когда представители
этой науки так стремятся преодолеть традиционный— ско¬
рее спекулятивный, нежели эмпирический, — способ иссле¬
дования, методологические постулаты операцпопализма в
психологии, наоборот, приветствовались. Это особенно ка¬
сается ученых, сосредоточившихся на практике психоло¬
гического тестирования: им казалось, что операциональ¬
ный подход в теории измерений стирает существенные
различия между измерительными процедурами в физике
п в психологии п что поэтому только операциональная пси¬
хология является действительно научной [Стивенс, 141,
с.	100].
Разумеется, следует признать, что операциональный
подход в психологической науке, если сравнивать его с
традиционной «душеведческой» психологией, поначалу
означал бесспорный шаг вперед. Но как только стала ощу¬
щаться потребность во включении операционально полу¬
ченных данных в более широкий теоретический контекст
п нахождении для тестирующих и измерительных про¬
цедур адекватных теоретических обосновании, стали да¬
вать себя знать методологически непродуманные п фило¬
софски ошибочные положения операциейализма. Ни раз¬
работка разных, часто очень сложных тестовых процедур,
удовлетворительную объективную интерпретацию которых
п их теоретическое обоснование дать было, однако, очень
трудно, ни стремление ко все большей точности за счет
расширения количественных методов исследования, ни вы¬
сокая оценка возможностей внефизического измерения —
ничто не приводило к желаемым результатам. Стараясь
быть последовательными в своем эмпирико-эксперимен¬
тальном подходе, психологи полагались на «универеаль-
262

ность» возможностей измерения, не осознавая, что не зля
каждой внефизической величины разработаны достаточно
теоретически обоснованные процедуры. Акцепт, который
делался на операциональных определениях и операциоиа-
лпзации гипотез, очень неопределенных по своему харак¬
теру, отвлекал внимание от комплексного теоретического
анализа проблем как вне физического измерения в целом,
так и его особенностей в психологической области. Разу¬
меется, подобные проблемы не поддаются решению в рам¬
ках методологических и общефилософских концепций
операционалпзма, который уже потерпел неудачу в
физике.
Методологи, ставившие во главу угла внефнзнческое из¬
мерение, впоследствии, конечно, тоже отказались от опе-
роционалистскнх установок, поскольку на собственном
опыте убедились, что полагаться на одни лишь операции
измерения невозможно — их недостаточно, для того чтобы
числовые результаты, полученные с помощью нумерации,
шкалирования, измерения или счета, вообще при любой
«числовой квантификации» общественных явлений, были
по сути своей оправданы.
Путь, на который вступил С. Стивене, развивая понятие
инвариантности формы шкалы относительно допустимых
преобразований и которым вслед за ним пошли, причем
намного более последовательно, С. Суппес, Дж. Зннес п
многие другие методологи, исследующие измерения в нау¬
ках о поведении и социальных структурах и доказываю¬
щие теоремы представлений и единственности на основе
аксиом, задающих структуры с отношениями, приводит
просто от одноіі крайности к другой, Переход от субъек¬
тивного эмпиризма операциональной концепции измерений
к «объективному формализму» чисто математически раз¬
работанной аксиоматической теории измерений — теории,
которая с точки зрения философии обязана так называемо¬
му модельному платонизму*, тоже не способствует теоре¬
тическому и философскому обоснованию измерительных
Процедур.
* Имеется в виду точка зрения, согласно которой модели (ин¬
терпретации) формальных систем, даже когда они предполагают
области абстрактных объектов, обладают бытием, подобным бытию
систем конкретных, «вещно задаваемых» предметов. Эту позицию
иногда называют математическим платонизмом, Связь с филосо¬
фией Платона здесь достаточно косвенная. О математическом пла¬
тонизме см.: Френкель А. А., Бар-Хпллел И. Основания
теории множеств. М., 1966. — Прим. ред.
263

Описанная направленность, как и раньше, обусловли¬
вается некритическим отношением к проблематике внефи-
зпческого измерения. Некритичность эта вызывается не¬
дооценкой специфики обществоведческих дисциплин, рез¬
ко контрастирующих с естественными и техническими на¬
уками, особенно с физикой, поскольку в социальной сфере
объективные условия и предпосылки исследования носят
ивой характер. Все это еще раз подтверждает актуальность
разработки материалистических основ теории измерений.
9,2.	Возможности п пределы измерений
Из изложенных выше положений матери алпстического
истолкования измерения — они вытекают из предложен¬
ных нами ответов на философские вопросы теории измере¬
ний, ответов, являющихся результатом анализа основных
понятий, теоретических и методологических проблем из¬
мерения,— совершенно отчетливо вытекает следующий вы¬
вод (на него мы уже не раз указывали): измерение по са¬
мой своей сути объективно ограничено, и главным ограни¬
чением являются рамки количественных аспектов реаль¬
ных предметов, явлений и процессов. Эта объективная ос¬
нова измеримости обусловливает и свойства метризации, и
характер числового представления, связанный с существо¬
ванием единиц измерения, и способ, которым данная эмпи¬
рико-математическая процедура практически реализуема
в тех или иных областях, обладающих специфическим
предметом исследования. Диапазон измеримости историче¬
ски обусловливается, далее, достигнутым уровнем теоре¬
тических знаний, требованиями практики и техническими
возможностями, связанными с конструкциями соответст¬
вующих измерительных устройств. Методологическая
функция измерений обусловливает также необходимые
требования к теоретической интерпретации получаемых
числовых данных— интерпретации, делающей в то же вре¬
мя возможными экстраполяцию -или интерполяцию число¬
вых значений, которые нельзя непосредственно получить
путем измерительных процедур. Само по себе измерение,
не связанное с определенной теорией, научной гипотезой
нли по крайней мере какой-то гипотезой ad hoc, может да¬
вать такие результаты, о которых мы не можем толком
сказать, к чему они, собственно, относятся. Измерение
имеет смысл только тогда, когда образует фундамент для
математической формулировки числовых законов, когда
служит подтверждению, верификации или фальсификации
какой-то теории ила гипотезы.
264

Подобное объективное ограничение, равно как и необ¬
ходимые связи между измерением и теорией, между целя¬
ми, которые ставятся в измерительных экспериментах, и
потребностями практики, следует в полной мере прини¬
мать в расчет, если мы хотим, чтобы соответствующая из¬
мерительная процедура вела к теоретически обоснован¬
ным и практически применимым результатам. Но из мате¬
риалистического обоснования измерений вытекает еще од¬
но важное следствие: некоторые свойства реальных объек¬
тов принципиально не измеримы.
Разумеется, на философский вопрос об измеримости,
который в той или иной форме должен ставить перед собой
каждый теоретик, занимающийся проблемой измерений,
можно ответить и в русле субъективного идеализма. Имен¬
но так подходит к этой проблеме Р. Карнап [42]. Его пози¬
ция основана на чисто феноменологическом понимании
объективной реальности, на номиналистическом сведештн
понятий к языковым выражениям и на идеалистической
интерпретации математики. В согласии с операцпоналист-
ской концепцией измерения, — имеется в виду ее антптео-
ретическая направленность, принимаемая им, правда, не
полностью, — Карнап считает всякое упорядочение, коль
скоро оно допускает сравнение разных объектов относи¬
тельно какого-то общего свойства, достаточной предпосыл¬
кой для измерения. Все остальное, по его мнению, есть во¬
прос целесообразности предлагаемых процедур, служащих
для того, чтобы явлениям можно было приписывать числа
«эффективным образом». Исходя из положения, согласно
которому «количественные понятия ... суть составная
часть нашего языка, а не часть природы», — положе¬
ния, искажающего диалектику процесса познания, — п из
утверждения, будто «сами явления обнаруживают только
свойства, которые мы наблюдаем», Карнап приходит к вы¬
воду: «именно мы приписываем числа природе». Прп этом,
приписывая числа объектам нашего опыта, «нет смысла
спрашивать, являются ли они «правильными» числами».
Достаточно просто предложить определенные правила, ко¬
торые специфицируют процедуры, позволяющие осуществ¬
лять это приписывание. На основе такого решения фило¬
софской проблемы измеримости Карнап приходит к заклю¬
чению, что «с этой точки зрения не существует ничего, в
принципе неизмеримого» [Карнап, 42, с. 152, 153, 158].
Карнаповское обоснование концепции ничем не огра¬
ниченной возможности измерения — обоснование, которое,
в сущности, столь же неприемлемо, как п сама концеп-
265

цпя, — для нас тем не менее ценно в том отношении, что
весьма отчетливо показывает идеалистические корни соот¬
ветствующей позиции. Оно дает нам следующий весьма
убедительный аргумент против понимания измерения в
широком смысле слова. Если бы мы могли приписывать
«числа природе» с помощью правил в духе стпвеисовского
определения измерения (которое Карнап сознательно или
неосознанно принимает), не задумываясь над вопросом,
обосновано ли ото объективными причинами, то мы долж¬
ны были бы каждую манипуляцию с числами или даже
цифрами, поскольку они соотносятся с эмпирическими
объектами, истолковывать как измерение. Почему такая
«безбрежная» концепция измерения принципиально не¬
приемлема — это было уже достаточно раскрыто в нашем
изложении, и нет необходимости еще раз повторять сде¬
ланные нами критические замечания.
Бесспорно, измерение является одной из основных на¬
учных процедур, п его значение неуклонно возрастает в
оггоху научно-технической революции. Но это ни в коем
случае не должно приводить к переоценке его возможно¬
стей. Перспектива применения числовых вычислений
(очень заманчивая!), притягательная сила формального
подхода, стремление к повышению точности — все это не
должно превалировать над реальными условиями, делаю¬
щими измерение фактически осуществимым. Трезвая оцен¬
ка условий измеримости дает развитию науки, техники п
производства гораздо больше, чем субъективистский
взгляд, согласно которому измерение, в сущности, всегда
возможно и не имеет никаких объективных ограниче¬
ний.
В науках об обществе этих ограничений, понятно, го¬
раздо больше, чем в науках естественных и технических.
Конечно, это не означает, что к внефизпческому измере¬
нию в подлинном смысле этого слова следует относиться
скептически. В общественных науках реализованы далеко
не все возможности получения количественных данных с
помощью вычислений, разработки многообразных способов
шкалирования. Весьма положительных результатов можно
ожидать и от ассоциативного измерения, которому пока
еще не было уделено того внимания, которое оно по праву
заслуживает. Конечно, при этом не следует ограничивать¬
ся операциональными и формальными сторонами соответ¬
ствующих квантитативных методов, игнорируя намного бо¬
лее важные проблемы философского, теоретического и ме¬
тодологического характера.
266

Математизация в науке носит лишь инструментальный
характер. Эффективность количественного подхода зависит
от вдумчивости при его применении, от выяснения теоре¬
тических и методологических аспектов этого подхода н от
надлежащей его конкретизации, учитывающей специфику
предмета исследования. Использование квантитативных
методов, математических моделей, аксиоматизация п фор¬
мализация не могут заменить разработку фундаменталь¬
ных теоретических концепций, уточнение понятий н даль¬
нейшее развитие методов, адекватных данной научной об¬
ласти. Путем простого перевода нечетких или неясных
концепций на язык математики точности достичь нельзя.
Количественные методы, математические модели, ак¬
сиоматизация и формализация, если пх применение опре¬
делено установками неопозитивизма н философии матема¬
тики формалистического рода {как это свойственно бур¬
жуазным методологам, не учитывающим объективных
предпосылок и общественно-исторнчеекой обусловленности
этих моделей и методов), не могут выполнять тон роли, ко¬
торой от них ждут. Математизация в науке не может
стать каким-то исключительным методом исследования;
она не способна заменить собой диалектике»- и историко-
материалистический подход к анализу нашего предмета
исследования — измерения. Математизация всегда есть
лишь средство — однако такое, которое может повысить
результативность исследования социальных процессов.

БИБЛИОГРАФИЯ
V
1.	Ackoff R, L., Gupta S. K., Minas J. S. Scientific Me¬
thod: Optimizing Applied Research Decisions. New York—London,
1962.
2.	Aczel J. On mean values. — Bull. Amer. Math. Society, 54,
1948.
3.	Ada m s E. W. Survey of Bernoulli an utility theory. — In: S o-
1 о m on H. (ed.). Mathematical Thinking In the Measurement of Be¬
havior. Glencoe. 1960.
4.	Adams E. W. Elements of a theory of inexact measurement.—
Phil, of Science, 32, 1965.
5.	Adams E, W. On the nature and purpose of measurement.—
Synthese, 16, 1966,
6.	AI b e r t і НЛ. v. Maas nnd Gewicht. Berlin, 1957.
7. A11 e n R. G, D, Mathematical Economics.	London—New
York, 1965.
8.	В a і r d D. C. Experimentations; an Introduction to Measure¬
ment Theory and Experiment Design. Englewood Cliffs, N. J., 1962.
9.	В a u m о I W. The Neumann—Morgenstern utility index—an
ordinal!st view. — 7. Pol. Econ., 59, 1951.
10.	Be hr end F. A. A system of independent axioms for mag¬
nitudes.— 7. Ptoc. Roy. Soc. New South Wales, 87, 1953.
11.	Behrend F. A, A contribution to the theory of magnitu¬
des and the foundations of analysis. — Math. Z., 63, 1956.
12.	Bergmann G„ Spence K.W. The logic of psychophysi¬
cal measurement. —Psychol. Rev., 51, 1944.
13.	В e г к a K. Russell’s theory of quantity and magnitude. —
Teorie a metoda, П/2, 1970,
14.	В e г к a K, Rriticky rozhor operacionalistick4ho pojeti тёге-
ni. —Filosoficky casopis, XIX, 1971.
15.	Berk а К. К pojeti mSreni v ceskoslovenske sociologii. So¬
ciologies casopis, 5, 1971.
16.	В e г к a K. Skaly mereni. Kritick? rozhor pojeti skal v teorii
mefni a jejich funkce. Praha, 1972.
17.	В e г к а К. К axiomatizaci intenzivnich velicin. — Filosofi¬
cky casopis, ХХЇ, 1973.
18.	В e г к a K, Lambert’s Beitrag zur Messtheorie. — Organon,
9,1973.
19.	Berk a K. Moznosti a meze uplatfiovani logicko-matemati-
ckych metod ve spolecenskych vSdach. — In: К aktualnim otSzkam
nali filosofie a sociologie. Praha, 1973.
20.	В егк a K. Teorie ocekavan#m uziku. Praha, 1974
268

21.	Beit а К. Theoretisch-methodologische Bemerkungen zur
System auffassung in der Wisse esc haft. — In: Krober G. u. a.
(eds.). Wissenschaft und Forschung im Sozialismus. Problems ilirer
Effltwicklung. Gestalt nag und Analyse. Berlin, 1974.
22.	Berk a K. Ramsey's logic of partial belief. — Teorie & me-
toda. VI/1, 1974.
23.	Bernal J. D. Science in History. Cambridge., Mass., 1971.
.(Русск. пзд.: Бернал Д ж. Наука п общество. М., 1953; Наука в
истории общества. М„ 1936.)
24.	Bernoulli D, Specimen theoriae novae de mensura sortis,
СоттепЫгИ Acad. Scientiarum Imperiales Petropolitanae, 5, 1738;
англ, перев.: Exposition -of a new theory on the measurement of risk.
Econometrica, 22, 1954.
25.	В і n k о J. Fyzikalni a technicke veliciny. Praha, 1968.
26.	Bolzano B. Paradoxy nekonecna. Praha, 1963. (Русск. пе¬
рев.: Больцано Б. Парадоксы безконечяаго. Одесса, 1911.)
27.	Bridgman Р, TV. The Logic of Modern Physics, New York,
1927.
28.	Bridgman P. W. Dimensional Analysis, New Haven, 1931.
29.	Bridgman P. W. Operational analysis research. — Phil, of
Sciences, 5, 1938.
30.	Bridgman P. W. How much rigor is possible in physics?—
In: Henkin L. et al. (eds,), The Axiomatic Method. Amsterdam,
1959.
31.	Bridgman P. W. The Way Things Are. Cambridge, Mass.,
1959.
32.	Brillouin L. Scientific Uncertainty, and Information. New
York—London, 1964. (Русск, перев.: Б p п л л ю э н Л. Научная неоп¬
ределенность и информация. М., 1966.)
33.	В г о і I. a kol, Zaklady fyzikalnich mereni. Praha, 1967.
34.	Buckingham E. B. On physically similar systems: illu¬
strations of the use of dimensional equations. — Phys. Rev., 4. 1914.
35.	Buckingham E. B. Dimensional analysis. Phil. Magaz.,
Ser. 6, 48, 1924.
36.	Bunge M. Scientific Research, I—II. Berlin, 1967. (Русск.
''•щзд.: Бунге M. Философия фпзпки. М., 1975; Интуиция и наука.
М., 1967; Причинность. Место принципа причинности в современ¬
ной науке. М., 1962.)
37.	В у е г 1 у Н. С., L a z а г а V. A, Realist foundations of mea¬
surement. — Phil, of Science, 49, 1973.
38.	Campbell N. R. Physics: The Elements. Cambridge, 1920;
перепзд. под назв.: Foundations of Science, The Philosophy of Theo¬
ry and Experiment. New York, 1957.
39.	C a m p b e 11 N. R. An Account of the Principles of Measure¬
ment and Calculation. New York, 1928.
40.	C a m p Ь e 11 N. R. Notes on physical measurement, — Final
Report, The Advancement of Science, 1, 2, 1940.
41.	Carnap R. Physikalische Begriffsbildung. Karlsruhe, 1926.
42.	Carnap R. Philosophical Foundations of Physics. New
York—London, 1966. (Русск, перев.: Карнап P. Философские ос¬
нования физики. М., 1971.)
43.	Carnap R. РгоЫёту jazyka vedy. Praha, 1968.
44.	Causey R. L. Derived measurement, dimensions, and di¬
mensional analysis. — Phil, of Science, 36, 1969.
45.	Caws P. Definition and measurement in physics. — In:
Churchman C. W., Ratoosh P. (eds.). Measurement: Definiti¬
ons and Theories. New York, 1939.
■369

46.	Cbcrnoff H., Moses L. E. Elementary decision Theory.
New York—London—Sydney, 1959.
47.	Cicourel A. V. Method and Measurement in Sociology.
New York—London, 1966.
43. Sohen M. R., Nagel E, An Introduction to Logic and
Scientific Method. New York, 1934.
49.	Coombs С. H. A theory of psychological scaling. — Eng.
Res. Instit. Bull,, 34. Ann Arbor, 1952.
50.	С о о m b s С. H, Theory and methods of social measure¬
ment. — In: Fe stinger L., Katz 0. (eds.). Research Methods
in the Behavioral Sciences. New York, 1953.
51.	С о о m b s С. H., R a і f f a H,, Thrall R. M. Some views
on mathematical models and measurement theory. — Pay eW. Rev.,
61,1954.
52.	Cizek F, Teorie a empirie. Praha, 1974.
33. Dingle H. On the dimension of physical magnitude. Phil.
Magazine, 33, 1942.
54.	D in ge H. A theory of measurement. Brit. J. Phil, of Science,
1, 1950.
55.	Dingle И. Review of C. W. Churchman and P. Ratoosh
(eds.), Measurement: Definitions and Theories. Scientific American,
202, 6, i960..
об. E 11 і s B, Basic Concepts of Measurement. London, 1936.
57. E11 s b e r g D. Classic and current notions of “measurable
utility”. — Econ. }., 59, 1954.
-v 58. D и г e л ь с Ф. Диалектика природы, — В: M арке К. и
Энгельс Ф, Соч., г. 20.
59.	Е s s 1 е г W. К. Wissenschaftstheorie. II. Freiburg—Miincheu,
1971.
60.	Farrington В. Science in Antiquity. London, 1969.
61.	F e a th e г N. An Introduction to the Physics of Mass, Length
and Time. Edinburgh, 1959.
!62, Fechner G. T. Elemente der Psychophysik. Leipzig, I860,
63.	Filkom V. Predheglovska logika. Bratislava. 1953.
64.	Filkorn V, Pre-dialectical Logic. Bratislava, 1963.
65.	F і s c h e г G. H, Neuere Entwicfelungen in der psychologi-
schen Testtheorie. — In: Fischer G. H, (ed.) Psychologische Testthco-
rie. Bern—Stuttgart, 1968.
66.	Fishburn P. C. Decision and Value Theory. New York,
1964.
67.	Fishburn P, C. Utility theory. — Manag. Science. 14,
1968.
68.	Fishburn P. C. Utility Theory for Decision Making. New
York, 1970. (Русск. перев.: Фиш бери П. К. Теория полезности
для принятия решений. М., 1978.)
69.	Flascbner L. Zur ontologischen Begrundung dor Misshe-
griffe und Gesetze in Mechanik und Elektrizitatzlehre. — Phil, Bo.t.u-
ralis, 2, 1952.
70.	F о c k e n С. M, Dimensional Methods and their Applications.
London, 1953.
71.	Friedman M., Savage L. J. The utility analysis of
choices involving risk. — J. Pol. Econ., 56, 1948,
's72. Гносеологические аспекты измерений. Киев, 1968.
73.	G о и d е G. On Fundamental Measurement in Psychology.
Stockholm—Goteborg—-Uppsala, 1962.
74.	Guilford J. P. Psychometric Methods. New York, 1654.
75.	Hagen cl or f H. Ubcr die Rolle der Skalierung im Problem-
270

losen. In: F. Klix F. u. a, (eds.) Analyse und Synthesc von Prohlem-
losungsprozesseii. Kybernetik—Forscbung, II, Berlin, 1972.
76.	Helmholtz H. V. Zahlen und Messen erkenntniss-theore-
tisch botrachtet. — In; Philosophische Aufsatze Eduard Zeller gewid-
met, Leipzig, 1887, пере из д. б: Gesammelte Abhandlungen, III, Leip¬
zig. 1895. (Русск. іізд.: Гельмгольц Г. Con., вьш. І—-5, СПБ,
1895—97.)
77.	Hempcl С. G. Fundamentals of concept formation in em¬
pirical science. — Inter. Enc. of Unified. Science, II/7. Chicago. (1958
ed.), 1952.
78.	H e m pel C. G. Operationism, observation, and scientific
terms. — In: D antо A., Morgcnbesscr S. (eds.). Philosophy
of Science. Cleveland—New York, 1964.
79.	Hem pel C. G. Philosophy of Natural Science, London,
1966.
80.	Hilbert D. Uber den Zahlbegriff.— Jahresber. Deutsch.
Math. Vet., 8, 1930.
81.	Hilbert D. Grundlagen der Geometrie. Leipzig—Berlin, 1930.
(Русск. перев.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948.)
82.	Н и 1 d е г О. Die Azioine der Quantitat und die Lehre vom
Mass. — Ber. Kgl. Sitiksis. Ges. Wiss. Leipzig, Math. — Phys. Classe,
53, 1901.
83.	H о f ш a n и К. H. Zur matbematischen Theorie des Mes-
sens. — Bozpr. Mat., 32, 1963.
84.	Huntington E. V. A complete set of postulates for the
theory of absolute continuous magnitude. — 2Y«ns. .1 mer. Math. Soc.
3, 1902.
S5. I p s e n D. C. Units. Dimensions and Dimensionless Num¬
bers, New York—Toronto—London, 1969.
86.	Jeffrey R. C. The Logic of Decision. New York, 1985.
87.	J e f f г e у s H. Units and dimensions. — Phil. Magaz., 7,
Ser., 34, 1943.
88.	К a n g e r S. Measurement: An essay in philosophy of scien¬
ce. Theoria, 38, 1972.
ч 89. Киселева H. А. О современном состоянии операцшжа-
лшша IL Бриджмена. — В: Фплософня марксизма и неопозитивизм.
М.. 1963.
90.	Коскеlmans 1. J. Phenomenology and Physical Science.
An Introduction to the Philosophy of Physical Sciences. Pittsburg,
1966.
91.	Korner S. Experience and Theory, New York, 1966.
92.	Kostal K. Sbirka fyzikalnich vzorefi a poufek. Praha, 1970.
93.	К r a n t г D. H. Measurement structures and psychological
laws. — Science, 175,197:2.
94.	Krantz D. H. et al. Foundations of Measurement, I. New
York—London, 1971.
95.	Kut seller a F. v. Wissenschaftstheorie, I. Mttaclien, 1972.
96.	Lambert J, H. Anlage zur Architectonic oder Theorie des
Einfachen und des Erstens in der plulosophischen und naatliematL-
sclien Erk«minis, II. Riga, 17/L
97.	Lam ser V. Zaklady sociologickeho vyzkumu. Praha, 1968.
98.	L a z arsf e 1 d P. Evidence and inference in social rese¬
arch,—In: Lerner D. (ed.). Evidence and Inference in social rese¬
arch. Chicago, 1960.
99.	Le ien feline г W. Struktur und Aufbau wissenschaftli-
cher Theorien. Eine wissenschaftstlieoretisch-philosophische Untersn-
chung. Wie n—Wiirzburg, 1965.
271

100.	Leienfellner W. Generalization of classical decision
theory. — In: Borch К. H., Mossin J. (eds.). Risk and Un¬
certainty. New York, 1968.
'101. Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29.
102.	Lindsay R. В. The future of theoretical physics. — Phil,
of Science, 5, 1938.
103.	Luce R. D. A probabilistic theory of utility and its relation¬
ship to Feclmerian scaling. — In: Churchman C. W., Rato-
osh P. (eds.). Measurement: Definitions and Theories. New York,
1959.
104.	Luce R. D. Similar systems and dimensionally invariant
laws, — Phil, of Science, 38, 1971.
105.	Luce R. D., R a iff a H, Games and Decisions: Introduction
and Critical Survey. New York, 1957. (Русск. перев.: Льюс P. п
Райфа X. Игры и решения. Введение п критический обзор. М,,
1961.)
106.	Margenau Н. The Nature of Physical Reality. A Philo¬
sophy of Modern Physics. New York, 1950.
M07. Мариничев E. А. О понятиях количества, величины u
числа. — В: Актуальные проблемы диалектической логики (Мате¬
риалы всесоюзного симпозиума по диалектической логике 1938),
Алма-Ата, 1971.
108. М е n g е г К. Mensuration and others mathematical connec¬
tions of observable material. — In: Churchman C. W., Rato-
osh P. (eds,). Measurement: Definitions and Theories. New York,
1959.
'v!09. Методологические проблемы теории измерений. Киев, 1966.
110.	Nagel Е, Measurement — Erkenntnis, 2, 1932; переизд. в:
Danto A.. Morgenbesser S. (eds.). Philosophy of Science. Cle¬
veland — New York. 1960.
111.	Барский И. С. Современный позитивизм. М., 1961.
112.	Neumann J. v., Morgenstern О. Theory of Games and
Economic Behavior. Princeton, 1953. (Русск. перев.: Нейман Д ж.
^.фон, Моргенштерн О. Теория игр п экономическое поведе¬
ние. М., 1970.)
113.	O’Rahilly A. Electromagnetics; A Discussion of Funda¬
mentals. London, 1938.
114.	Осипов Г. В. Количественные методы в социологии. М.,
1966.
115.	Р а р A. Are physical magnitudes operationally definable? —
In: Churchman C. W„ Ratoosh P. (eds.). Measurement: De¬
finitions and Theories. New York, 1959.
116.	Pap A. An Introduction to the Philosophy of Science. New
York, 1962.
117.	Peak H. Problems of objective observation. — In: Fes-
tinger L., Katz D. (eds.). Research Methods in Behavioral Scien¬
ce. New York, 1953.
118.	Pfanzagl J. A general theory of measurement—applica¬
tions to utility. — Naval. Res. Logistics Quart. 6, 1959.
119.	Pfanzagl J., Bauman V., Huber H. Theory of Measu¬
rement. WiiTzhurg—Wien, 1968. (Русск. перев.: Пфанцагль IT.
Теория измерений. M., 1971.)
120.	Przelecki М. The Logic of Empirical Theories. London—
New York, 1869.
121.	Raatz V. Neuere Ansatze zur Theorie der Reliahilitat. —
In: Fischer С. H. (ed.). Psychologische Testtheorie. Bern—Stutt¬
gart, 1968.
272

122.	Radnit2ky G. Toward a theory of research which is.'
neither logical reconstruction nor psychology or sociology of scien¬
ce, — Teorie a metoda, V/2, 1973.
123.	Ramsey F. P. Truth and probability. — In: R a m-
sey F. P. The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays.
London — New York, 1931,
124.	Ross S. Logical Foundations of Psychological Measure¬
ment. A Study in the Philosophy of Science. Copenhagen, 1964,
125.	Ті о 7. e b о о m W. W, Scaling theory and the nature of mea¬
surement. Syn these, 16, 1966.
126.	Russell B. Principles of Mathematics, London, 1964,
127.	Saugstad P. An Inquiry into the Foundations of Psycho¬
logy. Oslo, 1935.
128.	Savage L, I. The Foundations of Statistics, New York,
1954.
129.	Scott D,, Suppes P. Foundational aspects of theories of
measurement. — J. Symb. Logic, 23, 1958.
130.	Sedov L, I, Metody podobnosti a roznierovosti v mechani¬
cs, Praha, 1955. (Русск. перев.: Седов Л. II. Методы подобна и
размерности в механике, 8-е над. М., 1977.)
131.	S en a L. A. Fyzikalni jednortky. Praha, 1953.
132.	Schleichert H. Zur Erkenntnislogik des Messens. —
Arch. Phil. 12, 1964.
133.	Schleichert H. Elemente der physikalischen Semantik.
Wien—Miinchen, 1966i.
134.	Smart J. J. C. Measurement. Austral. J. Phil., 37, 1959.
135.	Stahl W. R. Similarity and dimensional methods in biolo¬
gy. — Science, 137, 1962.
136.	Staricek I. Proces шетапіа z hiadiska metronomiky. —
Acta metronomica. UTM—SAV, 4, 1968.
137.	Staricek I. Metronika meracieho systemu. — -4ci« Met-
ronomica, CTM—SAV, 7, 1971.
138.	Staricek I. Metronomische Analyse physikah sober und
technischer Messungen, — Acta Metronomica, OTM—SAV, 8, 1972.
139.	Staricek I. Uvod do metronomiky. Bratislava, 1977,
140.	Stegmiiller W. Problems und Resultate der Wissen-
schaftstheorie und Analytischen Philosophie, II: Theorie und Erfah-
rung. Berlin—Heidelberg—New York, 1970.
141.	Stevens S. S. Psychology: The propaedeutic science. —
Phil, of Science, 3, 1936. (Русск. пзд.: Стивенс С. Эксперимен¬
тальная психология, в 2-х томах. М., 1969.)
142.	Stevens S, S. On the theory of scales of measurement. —
Science, 103, 1946; переизд. в: Dan to R., Morgenbesser S.
(eds.). Philosophy of Science. Cleveland—New York, 1960.
143.	Stevens S. S. Mathematics, measurement and psycho¬
physics. — In: Stevens S. S. (ed.). Handbook of Experimental
Psychology. New York, 1951.
144.	Stevens S. S. Measurement, psychophysics, and utility. —
In: Churchman C. W., Ratoosh P. (eds,). Measurement: De¬
finitions and Theories. New York, 1959.
145- Stevens S. S. Ratio scales of opinion. — In; W h і 11 a
D. K. (ed.) Handbook of Measurement and Assessment in Behavioral
Sciences. London, 1968.
146.	S t і 11 e V. Messen und Rechnen in der Physik. Braunschweig.
1955.
147.	Stolz O., Gmeiner J. A. Theoretische Arithmetic, I,
Leipzig, 1900.
18 Зак. № 1102
273

118. Struik D. J. A Concise History of Mathematics. New York,
1961. (Русск. перев.: Сгроик Д. Краткий очерк истории матема¬
тики. М., 1964.)
149.	S и р р е s Р. A set of independent axioms for extensive quan¬
tities. — Portugal. Math., 10, 1951.
150.	S и p p e s P. Some remarks on problems and methods in the
philosophy of science. — Phil, of Science, 21, 1954.
151.	S и p p e s P. Measurement, empirical meaningfulness, and
three-valued logic. — In: Churchman C. W., ltatoosh P. (eds.).
Measurement: Definitions and Theories. New York, 1959.
152.	S и p p e s P. Studies in the Methodology and Foundations
of Science. Selected Papers from 1951 to 1969. Dordrecht, 1969.
153.	Suppes P. Measurement: problems of theory and appli¬
cations. — Stanford Technical Report., Psychological Series, 147, 1969.
151. Suppes P. FiniLe equal-interval measurement structure. —
Theoria, 38, 1972.
155. Suppes P., Zinnes J. L. Basic measurement theory. —
In: Luce R. et al. (eds.). Handbook of Mathematical Psychology.
New York, 1963. (Русск. перев.: Суппес П., 3 и пес Дж. Основы
теории измерении. В: Психология измерения. М., 1967.)
456. Ш т о ф ф В. А., 1-І о в и к о в А. Я., Ядов В. А. и др. Проб¬
лемы методологии социального исследования. Л., 1970.
-.157. Шубнин В. Н. Социологические опыты. М., 1970.
158.	Tarski A. Contributions to the theory of models I—III. —
lndagattones Math., 16, 1954.
159.	Tarski A. Introduction to Logic and to the Methodology
of Deductive Sciences. New York, 1965. (Русск, перев.: Тарский A.
Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948.)
160.	Thiel R. Quantitat oder Begriff? Berlin, 1967.
161.	Torgerson W. S. Theory and Method of Scaling. New
York, 1958.
4162. Уёмов А. И. Вещи, свойства, отношения. М., 1970.
'--163. У ё м о в А. И. Системы и системные исследования. — В:
Б л а у б е р г И. В., Садовский В. Н., Юдин Б. Г. и др. Проб¬
лемы методологии системного исследования. М., 1970.
164.	U ps a h Н. S. Attitude measurement. — In: В1 а I о с k Н. М.,
Blalock А. В. (eds.). Methodology in Social Research. New York—
St. Louis—S. Francisco—Toronto—London—Sydney, 1968.
165.	War to fsk у M. W. Conceptual Foundations of Scientific
Thought. New York—London, 1968.
16ft, Werkmeister W. H. The Basis and Structure of Know¬
ledge. New York, 1948.
167.	Weyl H. Philosophic der Mathematik und Naturwissen-
schaft. Miinchen—Berlin, 1927.
168.	Wiener N. A new theory of measurement: A study in the
logic of mathematics. — Proc. London Math. Soc., 19, 1921.
169.	Wiggins J. A. Hypothesis, validity and experimental labo¬
ratory methods.—In: Blalock H. M., В1 a 1 о ck A. B. (eds.). Metho¬
dology in Social Research. New York—St. Louis—S. Francisco—To¬
ronto—London—Sydney, 1938.
170.	Wilks S. S. Some aspects of quantification in science. —
In: Wo о И H. (ed.). Quantification. New York, 1961.

ИЗМЕРЕНИЕ
КАК ОБЪЕКТ ЛОГИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКОГО
II ФИЛОСОФСКОГО АНАЛИЗА
(Послесловие)
Взаимосвязанный комплекс многообразных отраслей современ¬
ного научного знания включает в себя как науки, которые нахо¬
дятся па переднем крае конкретных — фундаментальных п при¬
кладных — исследований природы п общества и решают многочис¬
ленные задачи теоретического, технологического п социально-зна¬
чимого порядка, так и науки «обеспечивающие», среди которых
особое место занимает, с одной стороны, математика, а с другой—
философия. Математические средства и философские представле¬
ния во многом опосредуются концептуальным н формальным аппа¬
ратом логики, также выполняющей «обеспечивающую» функцию,
В специальных науках математика служит источником языка
для «точного» анализа и необходимых расчетов, научная филосо¬
фия доставляет надлежащую мировоззренческую и методологиче¬
скую базу, логика уточняет используемые способы расе у ж доннії.
Долгое время положение было таково, что иных научных дисци¬
плин, ориентированных на «аппаратное обеспечение» п мето до логи¬
ческое «руководство» громадным арсеналом специальных паучпых
дисциплин, фактически не существовало. Положение изменилось
сравнительно недавно, когда появился ряд псследовательских на¬
правлений общенаучного характера п возникли электронные си¬
стемы автоматической переработки информации. Речь пдет о ком¬
пьютерной технике п программировании, о кибернетике п инфор¬
матике, о теории наблюдений и обработки экспериментальных ре¬
зультатов, о теории планирования эксперимента, теории пгр п при¬
нятия решений п ряде других1. Особое место среди научных отраслей
этого рода заняли ныне такие дисциплины, как метрология, ква-
лиметрня п наукометрия2, в которых в качестве главной категории
по существу выступает измерение. К этим дисциплинам естествен¬
но добавить проблематику стандартизации9, не выделившуюся по-
1 См.: Винер Н. Кибернетика. М., 19Й8; Эшби У. Р. Введение в
кибернетику. М., 1959; Галлагер Р. Теория информация и надежная
связь. М., 1974; Я г лом А. М., Яглом II. М. Вероятность и инфор¬
мация. М-, 1973; Л п н н и к ІО. В. Метод наименьших квадратен и не¬
новы математико-статистической теория обработки наблюдений. М.,
1962; Налимов В. В. Теория эксперимента, М., 1971; II е Я м а и Дж.
Фон. Моргенштерн О. Теория пгр п экономическое поведение. М..
1970.
г Маликов М. Ф. Основы метрология. Ч. 1. 2. М-, 1949; Статисти¬
ческие методы анализа экспертных оценок. М., 1974; Налимов В. В.,
М у л ь ч е н к о 3. М. Наукометрия. М., 1999.
J Гимадн 9. X., Дементьев В. Т. Экстремальные задачи стан¬
дартизация. Новосибирск, 197S.
18*
275

«а в особую научную область, но потребовавшую своих специфи¬
ческих методов — методов, которые также связаны с вопросами
измерения и с опирающейся на измерения проблематикой контро¬
ля изучаемых, управляемых либо конструируемых систем и про¬
цессов.
Измерение — воплощение единства теории,
методологии и практики
Если открыть отечественные монографии и учебные пособия
2К> логике и методологии науки, то бросается в глаза, что пробле¬
ме измерения и понятиям, связанным с измерением, в них уде¬
ляется совершенно незначительное внимание если вообще об из¬
мерениях заходит речь. Измерение как познавательный процесс в
нашей философской литературе анализируется преимущественно в
контексте квантовой физики и теории относительности, гораздо в
меньшей степени — в контекстах иных естественных наук и наук
об обществе. Из существующих отечественных работ философского
--плана, в которых затрагивается проблема измерения, затрудни¬
тельно извлечь ответ на главный вопрос: каков гносеологический
статус понятия измерения — является ли оно философской катего¬
рией, общенаучным концептуальным образованием или понятием
математической (или физической, или психологической и т. п.)
теории измерений.
Эта ситуация в некотором смысле непонятна: тезис о един¬
стве «качества» и «количества» общеизвестен, и тем не менее из¬
мерение как процедура уточнения «количества» подчас выпадает из
поля методологического зрения и философского видения. Оъясне-
лие этого положения можно видеть в следующем.
Проблемы измерения, будучи актуальными почти для всех
■современных наук, во многом по-своему интерпретируются в раз¬
ных областях, а иногда п в разных ответвлениях одной и той же
научной области. Так, например, в физике измерения плеча рыча¬
га и длины волны, массы, силы тока, удельного веса, температуры,
коэффициента .вязкости, заряда электрона, спина элементарной ча¬
стицы и т. д. основаны не только на разных аппаратных средствах,
по и подчас па различной методологии s; измерения в квантовой
химии непохожи на измерения в аналитической химии и химии
поверхностно активных веществ и т. д.
Два столетия назад идея измерения вошла уже в политэконо¬
мию. В труде К. Маркса «Капитал» * кап мера стоимости прежде
всего определяются деньги. С конца XIX—начала XX вв. измерп-
тельвые процедуры все более входят в качестве составной части
в конкретную методологию социальных наук, таких, как приклад- 1 21	Ср., например, Петров Ю. А., Никифоров А. Л. Логика и
методология научного познания. М., 1382; даже в такой фундаменталь¬
ной работе понятию и методу измерения посвящено всего 7 страниц.
2	Г у т н е р Л. М. .Методологические проблемы измерения. Л., 1973;
Методологические проблемы теории измерений. Киев, 1966; Страхов
A. U. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М., 1977; Ней-
« а к Дж. фон, Моргекштеря О. Теория игр и экономическое по¬
ведение. КГ., 1970.
“Маркс К. Капитал. Т. 1—3. — В: Маркс К., Энгельс Ф.
■Соч., т. 23—25.
276

ная социология* 1, психология2 (в частности, социальная), педаго¬
гика *, языкознание * и т. д.
Бурный натиск методов, основывающихся на измерениях,
нельзя считать неожиданным. Согласно К. Марксу, человечество
ставит перед собой лишь те задачи, материальные предпосылки
решения которых созрели в недрах общества, в науке и технике,
и это полностью относится к перспективам измерений в растущем
древе человеческого знания. Мощная современная техника, прежде
всего электронная техника передачи и переработки информации,
открывает невиданные ранее возможности перед измерительными
процедурами, позволяет выдвигать такие задачи по измерению,
которые нельзя было даже представить несколько десятилетий на¬
зад. В том же направлении «работает» и изощренный логико-мате¬
матический аппарат — детище нашего столетия.
Методы измерений, использование совершенной аппаратуры,
средств теории измерений — все это особенно актуально ныне по¬
тому, что без высококачественного, количественно выраженного
информативного материала невозможно либо затруднительно при¬
менение математических и кибернетических методов анализа дан¬
ных, управление большими системами, моделирование сложных
процессов, концептуализация знаний, необходимая при создании
баз давных и систем «искусственного интеллекта». Это значит, что
измерения в наши дни следует считать потенциально почти без¬
гранично применимыми.
Коренной гносеологической особенностью измерения как по¬
знавательного метода является то, что оно неотделимо от практи¬
ческой деятельности — имеет неустранимую важную операцио¬
нально- действепную п инструментально-экспериментальную компо¬
ненту. Этим оно резко отличается, скажем, от логической дедукции
или методологии восхождения «от абстрактного к конкретному».
К. Берка совершенно справедливо подчеркивает «посредническую»
роль измерений, выступающих в гносеологическом процессе в ка¬
честве связующего звена между теорией и практикой, между опыт¬
ным званием и его математическим представлением. Этот эмпири¬
ко-математический метод, как он характеризуется в книге, с са¬
мого начала явился средоточием взапмообусловливающих опытно-
качественных и количественно-числовых компонент, процедур тех¬
нолого-практического оперирования и теоретического конструиро¬
вания.
Взаимоотношения теоретического, методологического и прак¬
тического в контексте реалий конца нашего века изучены еще не¬
достаточно; это касается, например, принятия решений и соответ¬
ствующей теории (теорий)5. Сказанное тем более справедливо в
отношении проблемы измерений. Отсюда потребность в тщатель¬
ном и аккуратном подходе к вопросам методологии измерений п
философскому осмыслению различных аспектов измерительных
' Осипов Г. В., Андреев Э. П. Методы измерения в социологии.
М., і 377; Математические методы в социальных науках, М., 1973.
г Стивенс С. Экспериментальная психология. Т. 1, £. М., 1360;
Психологические измерения. М,, 1967.
1 Е и т и н а с Б. Многомерный анализ в педагогике и педагогической
психологии. Вильнюс, 1971; Измерение знаний при проведении массовых
обследований. М., 1984; Михеев В. И. Моделирование н методы теории
измерений в педагогике. М., 1987.
■* Пиотровский Р. Г, Информационные измерения языка. М., 1968.
1 Ср.: Бирюков Б. В., Тихомиров О. К. Принятие решений как
предмет методологических и психологических исследований. — В: К о зе¬
ле Ц к и її Ю, Психологическая теория решений. М., 1979.
277

процедур. Сделать ото тем более важно, что в изложении п толко¬
вании теоретических концепций п положений теории измерений на¬
блюдается теоретическая и «прикладная» пестрота, что возможно¬
сти и пределы измерений в изучении различных по своей природе-
явлений. процессов и систем оцениваются в научных кругах по-
разному.
Проблема намерения как предмет изучения
в книге К. Берки
Списанная ситуация объясняет настоятельность обобщающих,
исследовании теории п практики измерений, приложений теории:
измерений и различных областях, вопросов методологии измерю
тельных процедур. Это п делает значимым русский перевод кпппг
Карела Беркп, изданной Чехословацкой Академией наук (Прага)
в 1П77 г. Конечно, десять лет, истекшие со дпя выхода чешского
издания, внесли в проблему немало нового: область научного зна¬
ния, которую можно обозначить как общую теорию измерений, рас¬
ширилась, охватила новые области знання п практики, в ней воз¬
никли новые задачи, предлагались новые теоретические и методо¬
логические подходы. Тем не менее основные положення книга впол¬
не сохранили свою значимость.
Цель настоящего послесловия отметпть ключевые моменты
позиции К. Беркп, кратко дополппть авторское изложение некото¬
рым теоретическим, методологическим п справочным материалом,
отражающим нынешнее видение проблемы. Высказываемые ниже
замечания носят характер не столько критики, сколько -раздумий,
не претендующих на окончательность. Мы выражаем паше пони¬
мание того, каковы «опорные пункты» фило софско-мето до логиче¬
ского осмысления категории измерения п связанной с ней пробле¬
матики.
Обращаясь к содержанию книга, прежде всего отметим, что
К, Берка исследует понятия теории намерений, их виутрпнаучные
взаимосвязи, их отношение к другим областям, к категориям ча¬
стных наук с диалектико-материалистических позиции. Его книга
показывает, что положення теории пзмереипй, разработанные та¬
кими учеными, как А. Лебег, Н. Кэмпбелл, С. Стивенс. П. Фиш-
борн, Дж. фон Нейман, 0. Моргеиштери, П. Сутшес, Дж. Зинес,
И. Пфапцагль, Р. Фпшер и др., заслуживают определенного переос¬
мысления как с общенаучной, так и с методологической точки
зрения.
В книге убедительно показано, что задача общей теории изме¬
рений — концептуально объединить физические и внефпзпчеекпе
измерения; измерительные операции нельзя оценивать только с
какой-то одной стороны — как чисто эмпирические плп как чисто
математические; это вытекает хотя бы из естественной трактовки
измерения как специфического вида эксперимента. «С методологи¬
ческой точки зрения измерение есть эмпирико-математический ме¬
тод, включающий в себя на равных началах две компоненты: эм¬
пирико-операциональную и концептуально-математическую» (с. 45),
При этом ориентирующую роль играет теория, ибо решение, напри¬
мер, такого важного вопроса, как вопрос об осмысленности измере-
ппй того или иного рода, зависит от принимаемой теоретической
концепции.
278

Как всякая пионерская работа, — а кат; философское исследо¬
вание проблемы измерения она именно такова, — книга К. Берки
в чом-то дискусионна, в чем-то авторское изложение недостаточно
ясно. Но книга безусловно интересна: в ней определяется и клас¬
сифицируется, анализируется и обобщается широкий крут поня¬
тии, относящихся к измерениям, наводятся (либо, наоборот, разво¬
дятся) мосты между разными точками зреяия; где-то автор объ¬
единяет, а где-то расчленяет и даже ставит «с ног па голову» при¬
вычный понятийный «каркас и арсенал» методов теории измере¬
ний, проливая свет философской мысли на общую методологию уже
не новой fno все еще не оформившейся в единую систему) науки-
учения об измерениях.
С полным основанием Берка пишет, что занимается «общей
теорией измерений, рассматриваемой в контексте всеобщих теоре¬
тических, методологических и философских оснований» (с. 51). II,
вдумываясь в ход мысли автора, мы замечаем, что в его книге
представлены, по-существу, следующие четыре аспекта данной тео¬
рия: исторпко-генетияеский (гл. 1—6). теоретический (гл. 3—8),
методологичесшш (гл. 7—8) и общефилософский (гл, 1, 2, 9).
На этих аспектах мы прежде всего п остановимся.
Историко-генетический аспект	'
Для философского исследования проблемы измерения естест¬
венно прослеживание предпосылок соответствующих теоретических
представлений, предысторпп и дпнампкп соответствующей теорпп
пли теорий. Поэтому авторское рассмотрение начинается с расска¬
за об обыденных взглядах на измерение, о зачатках измерений в
лредысторнческую эпоху, о развитии теории измерения на раз¬
личных ступенях цивилизация. При этом, однако, автор не очень
четко различает математические и физические («реальные») изме¬
рения, что, однако, немаловажно.
Хорошо известно, что арифметика родилась пз счета, геомет¬
рия — из измерения (вспомним, греч. ут) — «земля», (ієтоетх — «из¬
мерение»). Вопросы измерений были важным элементом (прото)-
научных воззрений древних египтян. В Древней Греции формиру¬
ется уже теоретическая проблематика измерения—по крайней
мере начиная с Фалеса Милетского (первая половина VI в. до и, э.),
который критически осмыслил приемы египетских гарне дон ап тов
и нашел доказательства первых геометрических теорем, основанные
на перемещении фигур п свойствах симметрии. По-впднмому, имен¬
но в исследованиях Фалеса впервые появляется теоретически важ¬
ное представление о соизмеримости отрезков; и с тех пор оно —
я соответствующий термин — прочно вошло в геометрию '. Впо¬
следствии это представление переросло в более общее понятие о
соизмеримых п несоизмеримых величинах, для которого определя¬
ющей стала идея общей меры, т. е, такой величины, которая имеет
ту же природу, что и сравниваемые величины, и которая содер¬
жится целое число раз в каждой из них. Естественно, что возник¬
новение представлений о соизмеримости п несоизмеримости оказа¬
лось неотделимым от развития понятия о числе: для измерения
величии в общем случае требуются не только натуральные я даже 11 См., например, Бурсаки Н. Очерки по истории математики. —
М., 1903; История математики. Т. 1, М., 1970.
279

не только рациональные числа (дроби), но и числа иррациональ¬
ные.
Начиная с Фалеса, Пифагора, Гиппократа Хиосского п других
греческих ученых, сравнительно долго геометрия рассматривалась
как наука об измерениях. При этом концепция геометрического из¬
мерения согласовывалась с ключевыми идеями теории чисел того
времени1 1. В литературе по теории намерений2 отмечается по край¬
ней мере два фундаментальных факта, благодаря которым возни¬
кавшая математическая концепция измерительных процессов вы¬
ступала в роли своего рода методологического базиса теории чисел.
Это открытие в школе Пифагора несоизмеримых отрезков (в ко¬
нечном счете приведшее к теории иррациональных чисел) и фор¬
мулировка того, что ныне называется аксиомой Архимеда. Суть,
последней, в интересующем нас плане, раскрывается в предложен¬
ном Евдоксом Книдским «методе исчерпывания»: если от некото¬
рой величины отнять половину (или больше), а с остатком про¬
делать то же самое — и так действовать и дальше, — то можно'
получать величины, которые будут меньше любой заданной. Имен¬
но метод Евдокса позволил античной науке преодолеть трудности,
связанные с открытием несоизмеримости. Существенно, что уже в
этот период, период, когда математика достигла высокого уровня
абстракции и широко пользовалась дедукциями, концепция гео¬
метрического измерения носила четко выраженный теоретический
характер.
Аксиому Архимеда (восходящую к Евдоксу и называемую ны¬
не также аксиомой измерения) можно трактовать как сжатую фор¬
мулировку метода измерения отрезка А с помощью отрезка В, на¬
кладываемого на отрезок А. Этот метод по существу предполагает
использование простого алгоритма счета, а счет, как 'известно, сыг¬
рал роль «заводной пружины» в развитии теории чисел, да и, по¬
жалуй, математики в целом (например, такие фундаментальные
понятия, как «натуральное число», «простое» и «составное чпелш»,
операции над числами и др., сформировались именно на базе про¬
цедуры счета). Наиболее полно, пожалуй, связь счета п измере¬
ния в древнегреческой математике обнаруживается в «Началах»
Евклида, который рассматривал числа в их связи с геометрически¬
ми образами, а операции над числамп — как измерение (по «алго¬
ритму счета»).
Значительно позже, на рубеже XIX п XX вв., крупнейший ав¬
торитет в области математической теории измерений — А. Лебег
выразительно замены: «Геометрическое измерение начинается фи¬
зически, по заканчивается лишь метафизически»3. Выход из кол¬
лизии физическое («метафизическое») — геометрическое, который
нашли древнегреческие математики, был весьма кардинальным и
на удавление соответствующим нынешним представлениям о мате¬
матической строгости: он состоял в аксиоматическом построении
теории (Евклидовы «Начала»), Отметим также, что уже тогда из¬
мерение трактовалось (осознанно или неосознанно — это другой
вопрос) как функция, определенная на классах эквивалентных объ¬
ектов, со значениями в некотором числовом множестве. Это не сов¬
сем очевидно в случае длин, понятнее в случае площадей и объе¬
мов и совсем ясно для углов: эквивалентность двух углов, имею¬
щих одну и ту же меру, требует значительного воображения и уме-
' Ср,: Яг лом ГГ. ВТ. Математика и реальный мир. М., 1978.
1 См.: Страхов А. П. Алгоритмическая теория измерения, с. 25.
s Л е б е г А. Об измерении величии, М., I960, с. 102.
280

ння абстрагироваться. Два угла, длины сторон которых зримо раз¬
нятся, могут иметь одинаковую меру, — а значит, требуют опреде¬
ленного умственного усилия для установления этой одинаковости.
В книге К. Берки много внимания уделяется понятию кванти¬
фикации. В связи с этим заметим, что представление о квантифика¬
ции как дискретизации, рассматриваемое некоторым образом в ка¬
честве современной новации, анализировалось еще в древности, в
рамках учений о неделимых. Сыграв свою роль в историк челове¬
ческой мысли, это учение уступило место математике непрерыв¬
ного, слабее подтверждаемой чувственным опытом, по зато весьма
продуктивной в теоретических изысканиях; анонимный автор со¬
чинения «О неделимых линиях» (иногда приписываемого Аристо¬
телю) утверждал, что учение о линиях-атомах «резко противоре¬
чит всей математике»1.
Чисто математический аспект теории измерений еще долго ос¬
тавался в поле зрения математиков. Попытки дедуктивного пост¬
роения этой теории привели к глубокому изучению ряда ключевых
положений точного естествознания (достаточно обратиться к тру¬
дам таких выдающихся ученых, как О. Коши, К. Жордан,
К, Г. Шварц, Дж, Шано, Г. Кантор, А. Лебег и др., которые много
занимались проблемами измерения). Попытки определить площа¬
ди криволинейных фигур, отталкиваясь от площади единичного
квадрата, оказались непродуктивными (контрпример был построен
для одной из самых элементарных криволинейных фигур — пря¬
мого круглого цилиндра). Здесь уместно назвать так называемый
«саяог Шварца», открытие которого привело к удручающей ситуа¬
ции с определением площади поверхности1. Как отметил А. Н. Кол¬
могоров в предисловии к книге А. Лебега, далеко не всем
известно, что «...дело вовсе не в затруднительности привести такое
определение <...>, а в том, что корректное элемеитарно-геометрн-
ческое определение площади поверхности, пригодное хотя бы в
простейших случаях, вообще было найдено лишь к концу XIX века
н излагается лишь в специальных мемуарах»3.
Теоретический аспект. Значение теории меры
Основные проблемы теории измерений в математике были раз¬
решены в рамках созданной А. Лебегом аксиоматической теории
меры, в которой на одном полюсе находится измерение длины от¬
резка, а на другом — измерение шансов того или иного исхода в
неконтролируемом процессе, то есть вероятностей. Таким образом
аксиоматический подход закрепил в теории измерений результаты
человеческой практики — так же как двадцать три века назад это
произошло в геометрии. «Аксиоматический метод, — лншег в этой
связи А. Н. Колмогоров в упомянутом предисловии, —может и дол¬
жен являться методом выделения и закрепления для дальнейшего
■отчетливого изучения тех общих форм (количествявных и прост- * 51 Еіглеііінер Г. Хрестоматия по истории математики, Вып. 4,
М.-Л„ 1332.
5 Речь идет о многогранной поверхности, которая вписана в конеч¬
ный круговой цилиндр так, что последовательности таких поверхностей
при соответствующем подборе параметров тип (где т — число точен
яа окружности сечеяия, п — число сечений, перпендикулярных оси
сращения цилиндра) могут стремиться к любому пределу, в том чистій
и бесконечному.
* Л е б с г А. ОВ измерении величин, с. 12—13.
281

ранственных) действительного мира, изучение которых составляет
предмет математики с точки зрения диалектического материализ¬
ма»1.
Хотя вопросам теории измерений К. Берка уделяет очень много
внимания (см. особенно разд. 4.1, 6, 7, 8.1), тем не менее в пред¬
принятом им анализе имеются некоторые лакуны. И одной из них
как раз является то, что не освещено понятие меры множество по
Лебегу (1902) и основные положения его теории. Между тем мера
множества представляет собой естественное обобщение понятия
длины отрезка, площади фигуры, объема тела, а соответствующая
теория возникла в связи с изучением понятия интеграла, «измери¬
тельный» аспект которого в пояснениях не нуждается.
Мера множества обладает свойством счетной аддитивности: ме¬
ра объединения конечного числа или счстио-бесконечаой совокуп¬
ности неперессдающихся множеств равна сумме мер этих мно¬
жеств; мера отрезка прямой равна длине отреви а. В конечном слу¬
чае для множеств в евклидовом пространстве мера есть неотрица¬
тельная аддитивная функция, такая, что и(М0, \>.(М^ + ]и(М~г) =
=	мера пустого множества равна нулю1 2.
Теория меры, основоположения которой были выработаны Ле¬
бегом, и на сегодня во многом является и квинтэссенцией метола
измерений и чрезвычайно популярным подходом для многих науч¬
ных школ и направлений. Представления Лебега используются в
теория относительности, в квантовой механике, в теории элемен¬
тарных частиц, слабых и сильных взаимодействий, в космологии,
в теории информации и пр. Большую роль теория Лебега сыграла
в становлепии идей кибернетики и статистической механики, тео¬
рии вероятностей и случайных процессов3. Так, в аксиоматической
теории вероятностей, развитой А. Н. Колмогоровым в 1933 г., было
аксиоматически введено свойство аддитивности вероятностей. Бо¬
лее того, если учесть, как отмечают Ю. П. Адлер и А. Н. Ковалев4,
что свойства неотрицательности и аддитивности являются основ¬
ными свойствами меры множества, то теорию вероятностей фор¬
мально можно трактовать как часть абстрактной теории меры, что
создает предпосылки для логического обоснования применений те¬
ории вероятноостей — и математической статистики, базирующейся
на ее -результатах, — ко многим научным областям, непосредствен¬
но интересующим исследователей различных специальностей.
Теоретико-групповой подход
Глава 3 книги целиком посвящена вопросам формирования н
смысла понятий количества п величины. Под количеством в книге
понимается все, что может быть каким-либо образом выражено в
1	Там ж:, с. 12,
2	Определение меры по Лебегу на самом деле более сложно. Здесь
наметим лишь, что понятие меры строится в его теории на представле¬
ниях о мере точечного множества, об измеримости открытых и ограни¬
ченных множеств и измеримых функциях, См, работу а. Лебега (.Об
измерении величин». См, также: Сазонов В. В. Мера, — В,: Матема¬
тическая энциклопедия, т. 3. 1382; его же: Лебега мера. В.: Там же;
а также: Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, М., 1073, с. 122.
s См,: Винер Н. Кибернетика; Лозе М. Теория вероятностен, М.,
і962; Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.
М., 1962.
‘Адлер Ю. П., Ковалев А. Н, Математическая статистика и
планирование эксперимента в науках о человеке. — В: Гласс Д)[; и
Стенли Дж. Статистические методы в педагогике н психологии. М.,
1976, с. 485,
282

числах: любое квантифицируемое— исчислимое или измеримое —
свойство; качество же истолковывается как свойство, такого рода
способом же выразимое (см. с. 59). На дискуеспониости подобной
трактовки данных категорий мы еще остановимся, а пока обратим
внимание читателя на проводимое в книге различение «сильных»
и «слабых» количественных аспектов: первые присущи объектам в
различной степени и с шош может быть связана определенная
мера, вторые допускают только упорядочение по степени (интен¬
сивности) . Хотя согласно автору для качественных аспектов не
имеет место шг то, пп другое, он тем не менее все же допускает
вопрос, в какой мере их можно считать измеримыми, причем даже
в узком смысле (см. с. 63).
Измерительные процедуры в узком смысле являются для
К. Ееркц измерениями в собственном смысле, и разъяснению лх
особенностей в книге уделяется достаточно места. Но несмотря на
ото не вполне освещенным остается вопрос о методике построения
системы базисных величин, которые, по мнению многих исследова¬
телей1, играют в современной фпзнке, химии п других естествен¬
ных науках важную роль, так как связаны с проблемой ограниче¬
ния, к примеру, числа физических величин небольшим их набором,
в терминах которого определяются все прочие... производные ве¬
личины. В атом плане унесло остановиться па подходе Р. Фледш-
мана* 2, использующего теоретико-групповой подход, фундаменталь¬
ное значение которого становится ясным для читателя лишь при
знакомстве с разд. 7.1.
Смысл положений, выдвинутых Р. Флейшманом. заключается в
следующем. Пусть имеются разные типы величин, обозначаемые, в
общем случае, через А, В, С п т. д. Вводится следующая структура:
1) из произвольных А ц В строится новый тип величин С — А-В; 2)
■существуют неименованные числа, обозначаемые через (1) = (Л°);
которые прп умножении па А не изменяют размерности этого типа
величин: А-{Ї)=А (единичный элемент); 3) всякому типу величин
соответствует обратный тип, т. е. А~\ для которых Л-.4-1 = (1); 4)
связь между величинами разных типов подчиняется законам ассо¬
циативности п коммутативности (т. е. для любых А, В а С имеет
силу: А(ВС) = (АВ)С и АВ—ВА); 5) для всех А^= (І) справедливо
А'“ф (і), где та — произвольное целое неотрицательное число;
6) полное множество, состоящее ив бесконечного числа типов ве¬
личин, обладает конечной производящей системой — это означает,
что имеется конечное число (п) элементов Сі, С2, ..., С„, через ко¬
торые любой тип величины X может быть представлен в виде
x-=cf2-C-
при целочисленных ад где (=1, ..., п (однозначности такого пред¬
ставления не предполагается).
В системе, определяемой условиями 1)— 6), содержится теоре¬
тико-групповая структура. Как известно, группу образует любое
множество объектов М — в теории Фпейшмаиа таковым является
множество типов величин, — на котором определена бинарная
(двуместная) операция «•» (такая, что ее результат также при¬
надлежит М), обладающая свойством ассоцпатішіостп. Кроме того,
предполагается существование в М «нейтрального» (единичного)
'Камке Д., Крамер К. Физические основы единиц измерения.
М-, 1980, с. 17—18.
2 Р 1 е і s с її m а и n R. Einluhruug ir. die Pliysili, XVeinhcia, 1973.
283

элемента / (в системе, задаваемой условиями 1)—6), это тип (І)),
т. е. элемента, имеющего то свойство, что для любого аеЛГ имеет
место а /=/>л=а; для каждого а из М имеется обратный элемент
я-1, для которого »-г1=г‘-й=/, Бели групповая операция «•»
коммутативна (как в рассматриваемом нами случае), то группа
называется коммутативной, или абелевой. Нетрудно видеть, что в
системе, определяемой условиями 1)—6), содержится структура
абелевой группы; и важно, что эта структура остается неизменной,
идет ли речь, скажем, об основных уравнениях теории электриче¬
ства, или магнетизма, или гравитации и т. гг.
Доказываемые далее теоремы раскрывают, по существу, содер¬
жание понятия базисных величии. Первая теорема гласит, что сре¬
ди л элементов производящей системы С|, С2, ..., Сп имеется под¬
множество q*zn элементов Si, S2, ..., Вд, которые отличаются тем,
что каждый элемент может быть однозначно представлен в виде
Х^В^1 Sjj3.. .B^qq, где Pi есть некоторое рациональное число,
a St, Вг, ..., Bq образуют базис группы Bs (i=l, ..., q) —являются
основными, базисными типами величин, а произведение впда
П-В^ оказывается произведением размерностей основных типов ве¬
личин В). Вторая теорема утверждает, что группа, удовлетворяю¬
щая условиям 1)—6), обладает по меньшей мере одним базпеом
Ви В2, ..., Bq, причем в случае з>2 существует бесконечно много
иных, но равноценных базисов.
Для теория величин значимость сказанного очевидна. В прак¬
тическом плане использование данного подхода позволяет полу¬
чать ответы на многие вопросы, связанные с определением числа
элементов некоторого базиса. Так, например, в физике данный во¬
прос решается путем задания к взаимно независимых уравнений
для I типов величав (1>к). Тогда q—l—к из них остаются неопре¬
деленными. Более того, такие величины не могут быть введены
на основании уже известных величин. Именно поэтому их следует
принять в качестве основных. В механике, например, известен ба¬
зис, состоящий из длины (1), массы (ш) я времени (t); для гео¬
метрии достаточно длин; для кинематики — длин и времени, н т. д.
■Следует отметить, что такие величины, как площадь, масса п
время базиса не образуют. Однако импульс р, энергия w и дейст¬
вие F дают в совокупности базис. Его связь с базисом (ш, 1, t) мо¬
жет выражаться как
Fsl’m't-1, w = J-m’t-2, p=l1mlt-1,
откуда однозначно следует, что
m = I2w_1F°, t = p1w°F-1.
К числу других результатов, вытекающих из описанного под¬
хода. можно отнести однозначность перехода от базпеа к базису,
что позволяет для того или иного раздела физики указать экви¬
валентные базисы.
Идеи теории вероятностей и теории информации
Рассматривая проблематику, относящуюся к объекту измере¬
ния, количеству и величине, автор не привлекает подходы, прв
которых числа сопоставляются не с «традиционно» измеримыми
284

величинами, а такими относительно новыми для общей теории из¬
мерений сущностями, как событие, сообщение ц выскаэываные,,
сущностями, изучаемыми в теории вероятностей, теории информа¬
ции и логике. Скажем в этой связи несколько слов.
Понятия «событие» и «вероятность» составляют коапептуаль-
ную основу теории вероятностей. Абстрактное представление о
произвольном событии А имеет отношение лишь к тому, про¬
изошло А или нет, но не к его конкретной_прИ'родеВ теории ве¬
роятностей изучаются сложные события: А — событие, состоящее
в ненаступлении события А, А=В — эквивалентность наступления
двух событий, А[)В — совместное наступление двух событии,
А\}В — наступление хотя бы одного из двух событий, А ПА— не¬
возможность одновременного наступления и ненаступленпя одного
и того же события, А[]А —тривиальная ситуация, состоящая в том,
что произвольное событие А может либо наступать, либо не насту¬
пать, В теории вероятностей определяются численные оценки —
вероятности наступления этих (и других) сложных событий в за¬
висимости от вероятностей событий элементарных.
При приложениях теории вероятностей происходят те или
иные спецификации понятия события. Так, при изучении законо¬
мерностей природы и общества, носящих в себе моменты неопре¬
деленности, события подразделяются на условия эксперимента п
его исходы-, условия рассматриваются в качестве известных собы¬
тий, тем нлн иным способом осуществляемых экспериментатором,
а исходы считаются событиями, которые лишь могут произойти,
когда производится эксперимент. При этом возможные комбина¬
ции исходов, образуемые с помощью операций «~» (не), «|> (и),
«U» (или), также являются исходами, которые в алгебраических
терминах образуют так называемую алгебру множеств, пли буле¬
ву алгебру. Считается, что условия эксперимента вместе с множе¬
ством исходов составляют испытание, которое рассматривается
как случайное, если при повторении его достаточно большое число
раз наблюденные частоты любого из возможных исходов события
.4 группируются около некоторых чисел, выступающих числовыми
характеристиками событий; наблюденные частоты нанимаются как
результаты измерений этих характеристик. При этом число, изме¬
ряемое наблюденными частотами случайного события А, называют
вероятностью2 события А и обозначают как р(А), причем
р(ЛиЛ} = 1, р(ЛЛА)=0 и 0<р(А)<.і.
Таким образом, в данной теории понятия «вероятность» и «со¬
бытие» суть основные понятия; случайные события определяются
как элементы некоторого множества, вероятности же — как постав¬
ленные им в соответствие неотрицательные числа. Аксиоматиче¬
ское введение свойств неотрицательности и аддитивности вероят¬
ностей позволяет считать, что современная теория вероятностей1
есть часть абстрактной теории меры.
Следующие понятия, о которых мы хотим сказать, —это «со¬
общение», «информация» и «энтропия». Эти понятия составляют
основы теории информации. Абстрактное понятие сообщения со-
1 Ср.: Л о э в М. Теория вероятностей. 51, 1362, С. 11—14.
5 Мм позволяем себе не оста на владаться на тонком различии меж¬
ду вероятностью и частотой события, отсылая читателя к имеющейся
литераторе. См., например; Мизес Р. Вероятность И статистика М.—Л.,
1930; Я г л о м А. Вероятность. — В: Философская энциклопедия. Т, 1.
М., i960; Прохоров Ю. В., Севастьянов Б. А., Вероятностей'
теория. — В: Математическая энциклопедия. Г. 1., 51, 1377.
285

гласуется с главным свойством случайных событий: отсутствием
полной уверенности в их наступлении, что создает соответствую¬
щую неопределенность при выполнении связанных с этими со¬
бытиями опытов !. Численная оценка степени неопределенности
опытов есть одна из основных задач теории информации, рассмат¬
риваемой в интересующем нас плане.
Путем введения моры неопределенности Iog2 к опыта, для кото¬
рого возможны к равно вероятных исходов А і, А%..., Ль, появляется
возможность (используя вероятности наступления исходов р (А,)
= 1/А) оценить ае только вклад каждого из них в неопределенность
опыта В форме (1/А:) logs к (или — 1/7. log2 \jk=p (--1;) log2 P (-4,). но
її определить общую меру неопределенности (энтропии) опыта а,
к
обозначаемую через #(«), которая имеет вид: //(а) = —^РІН,)
;= і
logs 1> (Л,). В свою очередь понятие об информации (количестве
информации) и ее измерение строится уже па понятии условной
энтропии Яя(|3), отражающей тот факт, что осуществление опыта
и уменьшает степень неопределенности опыта р. Тогда оценка ко¬
личества информации /(а, Р) относительно опыта Р, содержащимся
в опыте а, строится па основании оценок #(Р), На (Р) как их раз¬
ность: /(сі, р) =Я(Р)—ЯК(Р). Таким образом, и здесь вводится
мера—численно оценивается, т. е. измеряется (количество) ин¬
формации, что весьма важно при изучении различных по своей
природе свойств объектов II явлений.
В книге К. Берки большое внимание уделяется классификации
как, грубо говоря, «ослабленному измерению». Известно, что ин¬
формативность классификации повышается, если результатом
классифицирования является упорядоченная конечшая совокуп¬
ность классов, каждый из которых описывается либо набором
категорических высказываний, либо набором вопросов (тестов —
я простейшем случае дихотомических, — требующих ответа «да»
пли «пет»). Известны методы такого рода класспфпкацші, исполь¬
зующие теорегако-ішфоірмацпоиньїе, энтропийные меры; они, как
правило, ориентированы на измерения в гуманитарных науках. Это
объясняется тем, что в социальной сфере и психологии анализи¬
руемые свойства носят, как правило, неметрический характер п
нередко измеряются в номинальной шкале, которой К. Берка отка¬
зывает в праве считаться шкалой пзмеренпй. Однако если для
классов, связываемых со шкалой этого типа (пли тем более по¬
рождающих саму эту шкалу), установлено понятие расстояния, то,
как отмечается в литературе2, здесь могут оказаться полезными
методы теории информации.
В книге К. Берки указывается на то, что понятие расстояния
(функция расстояния) играет значительную роль при определении
формы шкалы измерения при внефизичеекпх измерительных про¬
цедурах (см, с. 115). В теорпп кодирования, являющейся важной
составной частью теории информации, широко применяется мера
Хемми яга, определяющаяся через число несовпадений в знаках
сообщения (слова) конечной длины, деленного на общее число пе¬
реданных знаков (так, сообщения 00 п 11 в алфавите пз нуля п * і1 Я г лом А. М-, Я Г лом II. М. Вероятность и информация. Ы.,
і 073, с. «8—138.
г См: Меллер ф„ Калек к и В. Роль энтропии в номинальной
.классификации. — В: Математика в социологии: моделирование и об¬
работка информации. М., 1977.
286

единицы отстоят друг от друга дальше, нем сообщения 00 и 01 пліт
10 и 11, поскольку в первом случае 2 — число несовпадений знаков,
находящихся в одной и той же позиции, деленное mi 2 — общее
число знаков в каждом из сообщений, равно 1, а во втором 1 —
число несовпадений, деленное на 2, равно ‘/г)-
Логика в аспекте измерения
Упоминавшееся выше понятие высказывания (суждения) со¬
ставляет основу математической, да п вообще всякой форматной
логики. Под высказыванием понимается повествовательное пред¬
ложение, которое либо пс тан но (обычная опенка «1»), либо ложно
(оценка «О»), п только одно пз двух. Истинность п ложность суть
истинностные значения высказываний, н логический аппарат ус¬
троен так, что истинностная оценка сложных (построенных с по¬
мощью логических операций) высказываний зависит от ист ига сет¬
ных значений составляющих высказываний-компонент. Эта зави¬
симость наглядно передается таблицами пстппностп. Ниже мы
приводим табличное задание оценок сложных высказываний, обра¬
зованных с помощью логических операций конъкшталти (логиче¬
ское «и», обозначаемое знаком А), дпзъюнкцпп (логическое «млп»,
обозначаемое через VI, импликации («если..., то», обозначаемое-*-)
п отрицания («не», «неверно, что», обозначаемого ~1):
р
Q
PAQ
'PVQ
P^Q
-Р
1Q
1
I
1
і
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
і
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
Не вдаваясь в подробности, приведем пример пстшшостпых
оценок. Пусть надлежит оценить^ следующее рассуждение «Если
цены высоки, то высока и заработная плата. Либо цены высоки,
либо имеет место регулирование цен. Если цепы регулируются, то
инфляция пе наблюдается. Но инфляция, имеет место. Значит, за¬
работная плата высока». Примем в качестве элементарных следую¬
щие высказывания: Р — цены высоки; IV— заработная плата вы¬
сока; С — цепы регулируются; -1—наблюдается инфляция; 17—
инфляции нет. Составим три сложных высказывания п присоеди¬
ним к нпм высказывание <1. Получим систему посылок нашего рас¬
суждения. Какова оценка высказывания IV — заключения всего-
рассуждения?
Согласимся с посылками — примем, что их истпвностпые зна¬
чения все равны 1. Тогда, пспользуя истинностные таблицы, полу¬
чаем: 1) поскольку 7= 1, имеем 1 7=0; 2) поскольку С— '7=1.
а 17=0, используя табличное задание операції п 1. получаем,,
что С= 0; 3) поскольку Р\/С=1, а С=0, имеем Р=1, 4) поскольку
p-+W=l и Р=1, должно быть, что W=i. Требуемая оценка про¬
изведена.
‘Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М., Ш8,
с. 76—77.
287

В лотпке разработаны мощные средства оценки высказываний
и систем высказываний — рассуждений (выводов из посылок) и до¬
казательств, базирующиеся на многообразных аналитических и
вычислительных методах Приведенный промер дает лишь самое
первое представление о сути логической оценки высказываний,
причем только в двузначной логике, называемой алгеброй логики
(булевой алгеброй высказываний), а в случае аксиоматического
построения — исчислением высказыванииг. Наряду с логикой вы¬
сказываний существуют ц активно разрабатываются многие дру¬
гие логические системы; в качестве примера можно назвать трех¬
злачную логику высказываний Лукасевпча, которая порождается
.функциями (операциями) 1—Р, mia (1, 1—Л-г-Рг), где Pi в Ра
принимают значения 0, 7г, 1; m-значную логику Поста* 1 * 3, порож¬
даемую функциями P+i (mod m), max (Pi, Pi), где Pi и Pj при¬
нимают значения 0, 1, иг—1. Все эти логики находят приложе¬
ние в кибернетике, лингвистике п других областях. Так, важный
для теории управляющих систем вопрос об оценке системной слож¬
ности обычно рассматривается в применении к формулам и функ¬
циям двух- и многозначной логнкн. Изучаются и используются
также бесконечнозяачные логики.
Не входя в тонкости числовой оценки объектов логики, отме¬
тим лишь, что она занимает важное место в математико-логической
теории моделей (не путать с моделированием в кибернетическом
смысле!). Б частности, «измерительный» аспект имеет предложен¬
ное П, Дж. Коэном решение знаменитой проблемы континуума, что
было отмечено самим автором этого решения4. «Номинацией»
в том смысле, какой в это понятие вкладывает К. Берка, по сути
дела является «гё дел ев а нумерация» объектов логико-арифметц че¬
сного формализма, с помощью которой К. Гёдель сумел доказать
широко известную теорему о неполноте формализованной арифме¬
тики натуральных чисел — теорему, названную его именем5.
Думается, что в современной логике заложены большие воз¬
можности дальнейшего развития общей теории измерений, причем
,в розных направлениях.
Измерение и гомоморфизм.
Дискретное и непрерывное
Понятие измерения определяется в книги К. Берки в теоре¬
тико-модельных терминах*: «Измерение есть гомоморфное отобра¬
жение некой эмпирической реляционной системы (эмпирической
1 См., например: Мендельсон Э. Введение в математическую
логику. М,, і 384. Доступное изложение методики логической оценки
высказываний можно найти в: Бирюков Б. В. Жар холодных чнеп и
ттафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных вре¬
мен до эпохи кибернетики. М., 1935.
1 Двузначная алгебра высказываний изоморфна алгебре множеств,
у помина вшеііея выше (с. 285). Приводимые там операции Л, U соот¬
ветствуют операциям над высказыванием1. _>, л и V.
5Яблонский с. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б.
■Функции алгебры логики и классы Поста. М., 1968.
' См.: Коэн Д. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969,
С. 158.
5 Изложение метода Гб де ля можно найти е любом серьезном руко¬
водстве по математической логике. Доступное для неспециалистов-логи-
ков ее освещение дано в кн.: Бирюков Б. В. Жар холодных чвел и
пафос бесстрастной логики, гл, 6.
f В смысле упомянутой теории моделей (по А. Тарскому), соответ¬
ственно, теория алгебраических систем по А. II. Мальцеву,
288

структуры) на некоторую числовую реляционную систему (число¬
вую структуру)» (с, 37). Именно в этом контексте говорится в кни¬
ге о различных шкалах и метриках, связываемых с эмпирическими
п числовыми системами с отношениями. Однако при этом К. Берка,
как нам кажется, слишком противопоставляет дискретность мно¬
жеств N и Z натуральных и целых чисел непрерывности множеств
Q и R чисел рациональных п действительных. Различая счет и
измерение, он утверждает, что счет «применим к дискретным сущ¬
ностям <...>, измерение же связано со свойством непрерывности»
(с. 140). Между тем помимо рассмотренной в книге евклидовой
метрики, основанной на архимедовом нормировании множества R,
существует и бесконечная дискретная серия дискретных <неархи¬
медовых р-адическпх нормирований множества целых чисел со
своими специфическими свойствамиВообще для множеств N, Z,
Q, Р., С (С-комплексные числа) существует целая иерархия их
свойств, а также иерархия структурных уровней их изучения —
об этом свидетельствует весь исторический процесс развития чис¬
ловых систем. Как отмечают специалисты1 2, при переходе от каж¬
дой данной к более «обширной» числовой, системе оказывается воз¬
можным более полно и успешно производить те нлн иные опера¬
ции. Так, например, в системе натуральных чисел jV=<N, +,	1>
с двумя бинарными операциями (сложением, умножением и вы¬
деленным элементом) не всегда осуществимы обратные операции
относительно сложения и умножения; расширение системы нату¬
ральных чисел до системы всех целых чисел Z— (Z, +,	0,1) при¬
водит к тому, что сложение приобретает свойство обратимости, так
как результат вычитания в области всех целых чисел всегда опре¬
делен.
Таким образом, любая новая числовая система является рас¬
ширением старой, и определения операций в старой и новой си¬
стеме согласованы. Несомненно, переход от JV к Я увеличил мощь
вычислительного аппарата, а переход к системе комплексных чи¬
сел С позволяет получить уже такую числовую систему, которая
в некотором отношении является максимальной.
Современный теоретико-групповой подход позволяет тракто¬
вать переходы от одних систем объектов к другим. Понятие груп¬
пы допустимых преобразований представлено в книге К. Берки
лишь контурно. Между тем теоретико-групповая точка зрения вно¬
сит в вопросы выбора шкал и перехода от одних шкал к другим
определенную естественность.
Спору нет. наличие на разных множествах чисел всевозмож¬
ных структур может запутать неискушенного читателя. Так, на
множествах натуральных чисел имеются структуры полугруппы3 * * * * 8
со сложению и по умножению, структуры порядка, на множестве
рациональных чисел — структуры группы по сложению и по ум¬
ножению а т. п. Именно с этих позиций более ясной становится
1 Уточним: р-адическое число — это элемент расширения поля ра¬
циональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых
чисел на заданное простое число р; ото расширение есть пополнение по¬
ля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования. Ко¬
лее подробно об этом см.: Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в п ч И. Р. Тео¬
рия чисел. Н., 1972.
s См.: Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. М.,
1974; Нечаев В. II. Числовые системы. М., 1975; его же: Число. —
В: Математическая энциклопедия. Т. 5, 1985.
8 Множество М называется полугруппой, если для него определена
бинарная ассоциативная операция, результат которой также принадле¬
жит множеству М.
19 Зах. № 1192
289

сходство и взаимосвязь шкап, отвечающих разным типам групп
допустимых преобразований. Привлечение понятия однородного
пространства под действием групп, а также рассмотрение связи
действия групп с имеющимися на рассматриваемых множествах
топологиями1 и — тем более — обсуждение возможностей глубоко¬
го закона двойственности Понтрягина1 2, по нашему мнению, выво¬
дит теорию измерений на новый уровень абстракции п в новые
сферы приложений.
Как нам представляется, размышляя о путях развития общей
теории измерений, полезно учитывать возможность использования
обобщений — причем достаточно простых — отношений гомомор¬
физма между эмпирическими и числовыми .реляционными систе¬
мами. Такие обобщения приводят, например, к понятию «я есть
модель у», которое определяется как такое отношение М{х, у),
когда для систем і п } существуют, для каждой, гомоморфные нм
системы х' п у', находящиеся друг к другу в отношении изомор¬
физма3. Стоит иметь в виду, что в литературе4 рассмотрены н
другие возможные пути, ведущие к понятиям, более общим, чем
гомоморфизм,
Методологический аспект книги.
Проблема измерений в гуманитарных науках
А. Лебег, имея в виду будущее теории измерений, в свое вре¬
мя писал; «...следовало бы создать такую теорию, которая могла
бы прилагаться одновременно к объемам, к температуре, к аппети¬
ту, к государственному бюджету, к плодородию почвы, к уму,
к уровню воды б Сене, к удивлению п т, д. и, в частности, к вели¬
чине числа, измеряющего величину»5. Эти слова принадлежат
мыслителю, теория которого значительно расширила рамки пред¬
ставлений об измерении — как в плане теоретико-методологическом
(аксиоматический подход), так и в плаке приложений. Развитие
идей Лебега может способствовать более полному раскрытию во¬
просов, связанных с аксиоматизацией систем измерения и теорией
шкал, в том числе и в случае внефизическпх измерений.
Проблема измеримости во впефнзпческой сфере — методологи¬
ческая проблема, и ее решение, предлагаемое К. Беркой, относится
к методологическому аспекту его труда. Как нетрудно заметить,
автор книги не разделяет ваглядов Лебега. К. Берка не согласен
с тем, что «путем счета», как он говорит, можно измерять частоту
посещаемости кинотеатров, отношение людей к спорту, уровень
их культуры и т. ш. По его мнению, это только исходная форма
квантификации, с помощью которой получаются лишь исходные
количественные данные, данные, которые «сами по себе (...> не
могут служить основанием для выведения каких-либо последую¬
щих заключений, непосредственно касающихся качественных ас¬
пектов сосчитываемых предметов»; такого рода количественные
данные, с его точки зрения, образуют только один из признаков
количеств дано определенных понятий типа «число травм» или
1 Келли Дне ОВщая топология. М.. 1081.
1 Успехи математических наук. Т, 2,, 1947, с. 2J—Н; Понтря¬
гина двойственность. — В: Математическая энциклопедия. Т. 4, 1984.
3 Модель. — В: Философская энциклопедия. Т. З, М., 1964; Бирю¬
ков К. В, Кибернетика в гуманитарных науках. Ш., 1973, гя. 1.
'Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок, М., 1971.
! Лебег А. Об измерении величин, С. 154.
290

«число аварий» (см. с. 138—139). Автор отказывается рассматри¬
вать в качестве частного случая эмпирико-математического мето¬
да измерений даже установление корреляций как результата ма¬
тематической обработки статистического материала, отделяя вы¬
числение от измерения (см, с. 140).
Эта позиция является определяющей в авторском подходе к
измерениям в науках о человека н обществе. Например, рассмотре¬
ние И. Пфанцаглем вопроса об измерении уровня интеллектуаль¬
ного развития он считает теоретически не обоснованным. Между
тем подобное измерение интеллекта более «фундировано», чем,
скажем, использование денег в качестве меры стоимости. Напом¬
ним. что К. Маркс в «Капитале» в числе пяти функций денег пер¬
вой называет меру стоимости. Однако ни пятитысяче летняя прак¬
тика, ни появившаяся со времен А. Смита а Д. Рикардо теория
денег не смогли дать надежного теоретического обоснования обще¬
экономической роли этого всеобщего товарного эквивалента, пред¬
ложить убедптельпые теоретические концепции лх фуикциоппро-
вания. Практика человечества свидетельствует о толі, сколь не¬
стабильны эти измерители и сколь необъясним выбор соответст¬
вующих единиц стоимости товаров *. Однако отказываться от
такого измерителя пока не приходится, так как оп в определенной
ме.ре надежен.
Обращаясь к проблеме измерений в психологической области,
и в частности к измерениям умственных способностей, мы, как
представляется, имеем здесь дело с процессом, куда лучше описан¬
ным и понятным теоретически, чем процесс денежного обращения,
и менее нестабильным, чем, скажем, метеорологические процессы.
Исследователям, плодотворно работающим в области психологии,
не приходит в голову мысль отказываться от оценок интеллекту¬
альных данных людей, вопросов их профессиональной пригодности
и профориентации по причине лишь грубости и субъективности
измерительных средств 2 иди отсутствия безупречных шкал изме¬
рения.
Впрочем, то же самое прослеживается и в других областях
науки, например в физике, где элементарные частицы изучают по
фотографиям их траекторий в камере Вильсона. Ибо сложность
постановки многих экспериментов или их повторения, например,
в астрофизике, генетике и в других областях, не является аргу¬
ментом для отказа от них. Критерий их принятия — практическая
полезность либо согласие с теоретической концепцией — достаточ¬
но надежен и позволяет решать сложные научные и прикладные
задачи. Так, например, климатологические наблюдения неповто¬
римы, а каждое новое наблюдение вносит лишь небольшие коррек¬
тивы в средние многолетние характеристики климата3, и это вовсе
не служит тому, чтобы отказаться от новых наблюдений и мате¬
матической обработки их результатов. Здесь, как и во многих гу¬
манитарных науках, накопление опытных данных служит основой
для разработки и совершенствования самих методов сбора, анализа
и переработки результатов измерений, выдвижения научных ги- * 11 См.: Ксэ елецкий Ю. Психологическая теория решений. М.,
1979; КазикецЛ. С, Теория индексов. М, 1968.
гАнастази А. Психологическое тестирование. Т. 1. М.,	1082,
с, 288—308.
1 Прогнозы развития природных явлений. М,, 1982; Изменения кли¬
мата. М., 1980; Теория климата. Л., 1967.
19*
291

потез, широкого использования методов математического модели¬
рования
Подобно измерениям в описанных выше областях, работа со
шкалами интеллекта (шкала Стэнфорда—Вине, векслеровскне
шкалы интеллекта для взрослых, детей и школьников и г. п.) пли
с тестами интеллектуального развития1 обогащает наши знання,
касающиеся общих и специфических особенностей личности, ее
интеллектуальных возможностей, интересов, установок и ценно¬
стей, Напомнпм, что именно использование методов тестирования
и шкалирования позволило ввести в психологию число н меру, а
это во многом обогатило данную область, расширив ее конкретно-
методологический базис и приложения 1 * 3.
Стоит сказать и о высказанных К, Беркой критических заме¬
чаниях в адрес единицы полезности — «утиля». Нельзя недооцени¬
вать эти высказывания: в чем-то они справедливы, но во всем лп?
Мы уже говорили о невозможности отказаться от денег, а ведь
любая денежная единица не более субъективна^ чем «утплье. Ско¬
рее, суть дела в недостаточной теоретической разработанности
проблемы, недостаточной апробации возможных теоретических под¬
ходов. Здесь напрашивается одна историческая параллель. В период
становления теории вероятностей математики много занимались
задачей Шевалье де Мере о разделении выигрыша4. Решил ее Блез
Паскаль, и это решение было в свое время научным достижением:
ведь еще не был создан необходимый математический аппарат.
Ныне такой аппарат в виде теории статистического оценивания5
имеется, п его средства делают решение задачи де Мере доступ¬
ным для любого научного работника.
Метод измерении — феномен
развивающейся науки и техники
Теория, методология и практика измерений — неотъемлемая
составная часть развития практически действенного человеческого
познания, и эта динамическая, диалектическая черта измеритель¬
ных процедур достаточно выразительно показана в книге. Мы до¬
полним нарисованную К. Беркой картину несколькими достойными
упоминания штрихами.
Характеризуя исторический прогресс в методологии измере¬
ний, автор не оттеняет такой аспект этого прогресса, как неуклон¬
ное обогащение технологии, а между тем оиа прошла большой
путь —от примитивных средств, относящихся еще к дотеоретнче-
скому периоду измерений, к мощным современным электронным
системам измерений. Анализируя этот путь, чрезвычайно важно
учитывать, как в истории измерений отразился тот факт, что в
одних случаях требуется многократное воспроизведение «одних п
1 Форрестер Дж. Аытнинтуитпвное поведение сложных систем.
М., ШТ.
3 Thorndike R, L. The effect of interval between test and retest
on the constancy of the IQ. — Journo! of Educational Psychology, і933, p.
24; "W e c k s 1 e г D, The Measurement of Appraisal of adult Intelligence, Bal¬
timore, 1B58-, Анаетазп А. Психологическое тестирование. T. 1—2,
M., №2.
5 Психология и математика, М., 1976,
* Н е П и а я Ю. Вводный курс теории вероятностей и математиче¬
ской статистики, Ы., 1968, С. 20—23.
’Фишер Р, А. Статистические методы для исследователей. М..
1958.
292

тех же» измерительных процедур, в то время как в других доста¬
точно единичных измеренийЭту особенность метода измерений
можно проследить на примере судьбы нормального закона распре¬
деления вероятностей* 1, чрезвычайно популярного на одних этапах
а у одних исследователей п столь же непопулярного в другие перио¬
ды п у других ученых. Ведь пмепно намерениями (в первую оче¬
редь, в астрономии) была вызвана к жизни сама формулировки
этого закона. Но те же измерения, но уже с точки зрения "человека
как «измерителя», привели к изучению его проявления в экспери¬
ментальной психологии: исследователи обратились к такой области
действия нормального закона, как распределение скоростей инди¬
видуальных реакций людейг, п его использованию при разработке
теории тестов4 п т. Д.
Другая область, иллюстрирующая развитие метода намере¬
ний,— это прогресс в анализе конкретных измерительных опытов,
направленных на установление основных физических констант,
таких, как скорость света, магнитная проницаемость вакуума, по¬
стоянная Рпдберга, элементарный заряд, число Авогадро и т. д.,
прогресс, который явственно обнаруживается, когда мы сравни¬
ваем классические и современные методики, а главное, выводы о
соотношении первичных (плц фундаментальных, согласно терми¬
нологии, преимущественно используемой К, Беркой) п производ¬
ных измерений, об информативности этого соотношения в контек¬
сте достигнутого уровня развития наукп. Иллюстрируя эту мысль,
приведем пример из области физики.
Известно, что в атомистической концепции строения материн
определенное место отводится физическим представлениям о ко¬
личестве вещества. Значимость этих представлений тем более по¬
нятна, что, по мнеяпю Камке и Крамераs. ряд физических явлений
и закономерностей допускает простые описания, связанные с чис¬
лом частиц, роль которых стала определяющей в формулировках
многих физических законов. Последнее привело к тому, что в си¬
стеме СИ было принято в качестве базисной величины количество
вещества, измеряемое в молях. Учитывая, что под количеством
вещества в і моль понимается такое количество некоторого веще¬
ства, в котором содержится точно столько же частиц, сколько ато¬
мов углерода имеется в 12 г этого элемента, число частиц, носящее
название числа Авогадро, определяется как NA = (12 000 г/моль)-
■ (масса одното атома углерода)-1. Знание массы атома углерода,
которая сама вычисляется с привлечением ряда атомных п макро¬
скопических постоянных, позволило С большой точностью опреде¬
лить число Авогадро: JVa = (6,0220921d=0,0000062)-10s3 моль-1. Одна¬
ко на современном уровне развития измерительной техники уда¬
лось определить величину Na еще более точно — на основе иной,
более совершенной методики, включающей микроскопические на¬
мерения на монокристалле кремния. Использование более мощной
методики позволило, однако, не только точнее оценить число Авli¬
ra про (величина постоянной теперь считается равной 6,0220943.
’См.: Камке Д., Крамер К. Физические основы единиц изме¬
рения. М., 1930, с. 180; Гнеденко Б. В., Хпичии А. Я- Элементар¬
ное введение в теорию вероятности. М., 1970.
- Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и
психологии. М., 1976. с. 91—162.
1 См.: Психология и математика. М., 1976, с. 215.
•См.: Анастази А, Психологическое тестирование, с. 180—187;
Михеев В. И. Методика получения и обработки экспериментальных
данных в психолого-педагогических исследованиях. М., 1Я8С, с. 78—8.7.
1 К а к к е Д., Крамер К. Цит. соч., с. "I—75.
293

•30гэ моль'1), но пересчитать целый ряд основных физических
констант п даже уточнить некоторые концепции строения вещест¬
ва в целом 1.
В этом же плане интерес представляют примеры, иллюстри*
р ующие переход от малоинформативных порядковых шкал к более
измерительно значимым метрическим шкалам. Так, обращаясь к
области стандартизации, достаточно упомянуть вновь введенный
государственный стандарт на цвет, включая и черный, или замену
шкалы Мооса, использовавшуюся для оценки твердости материа¬
лов, более современной метрической шкалой. Другой пример —
введение равномерной шкалы времени, которая должна поддавать*
ся промеру с помощью земных методов, и т. д. В социальных нау¬
ках 8 можно также встретить интересные примеры перехода от
качественных шкал к количественным. Анализ показывает, что
такой переход сопряжеп с многими трудностями, связанными с
разработкой математических методов анализа качественных дан¬
ных5. Впрочем, обусловлено это тем «почетным» для теории изме¬
рений обстоятельством, что применение математики в гуманитар¬
ных науках пока еще во многом не вышло за рамки самой изме¬
рительной проблематики,
В книге лишь вскользь освещаются вопросы математической
обработки результатов первичных измерений — автор енлопеи вы¬
косить их за пределы проблемы измерения, — между тем в мето¬
дологическом плане они заслуживают самого пристального вни¬
мания. Ток, проблема адекватности результатов первичных (фун¬
даментальных) измерении4 пли вопрос о соответствии результатов
производных измерений первичным играли в развитии теории
измерений важное, в каком-то смысле самостоятельное значение.
Известно, что не всякая операция при обработке «качественной»
информации является допустимой, так как корректность исполь¬
зуемой измерительной операции зависит от шкалы, в которой по¬
лучены .результаты первичных измерений. Например, такая рас¬
пространенная операция, как взятие среднего арифметического,
не имеет смысла для .результатов, полученных, скажем, примени¬
тельно к шкале порядка. Но при измерении в более сильных шка¬
лах {например, в интервальной) данная операция может быть
корректно использована.
Другая важная проблема — это развитие интерпретации изме¬
рений, которую ныне естественно рассматривать в контексте более
общей теории интерпретации формальных системs. Сюда же, на
наш взгляд, примыкают вопросы, связанные с кибернетизацией,
информатизацией, компьютеризацией многих областей науки и
гг рак таю г, использующих измерение5. Немалый интерес вызывает
1 Benda) W. A. J375 Least — Squares Adjustment of Values of the
Fundamental Constants. Neva) Research Laboratory Mamorandum Report
32)3, January, 197S,
-Оси no а Г. В.. Андреев Э. П. Метопы измерения в социоло¬
гии. M,, і ft 7 7; Артемьева E. Ю. Психология субъективной семантики.
Автореферат докт. дисс. М., 1087.
"Миркни Б. Г. Анализ качественных признаков и структур. М.,
19S0: Михееп В. И. Моделирование и методы теории измерений в пе¬
дагогике, М., 1987; Л и т в а к Б. Г. Экспертная информация. М.,	1982;
Тюрин Ю. Н.. Литии Б, Г,, Орлов А. И., С а т а р о в Г. А.,
Шмерлинг Д. С. Анализ нечисловой информации. М., 1BS1.
1 Л ф а к ц а г л ь П. Теория измерений, с. 28—30.
а См., например: Семенов А, Л. Интерпретация. — В: Матема¬
тическая анцпклопедшт. Т. 2, М., І979.
ь Ср такие разноплановые книги, как. с одной стороны, к К ибер ис¬
тина и проблемы обучения» (М., 1970) и Стахов А. П. «Алгоритмиче¬
ская теория нзмере^'ія» (И., 1979) — с другой.
294

я анализ аппаратных средств измерения ! (как новых, так л ста¬
рых), основанный на их классификации по методологическим,
функциональным и технологическим принципам. К вопросам но¬
вейшей информационной технологии и техники измерений мы еще
вернемся.
О «расширительном» и «нерасшнрнте льном»
истолковании измерения
Значительное место в книге К. Берки занимает критика так
называемой расширительной трактовки измерения. Автор реши¬
тельно возражает против того — п его позицию можно понять,—
что объем понятия измерения допускает любое расширен не.
«В этом случае в качестве измерения можно принять все. что
угодно, поскольку конвенционально всегда можно найти нлл ввести
какое-либо правило, разрешающее присваивать цифры самым раз¬
ным аспектам вещей» (с. 36). Категорически возражая против по¬
нимания измерительных процедур в слишком широком смысле, он
указывает, что. приняв такое толкование измерений, мы должны
были бы каждую манипуляцию с числами или даже цифрами (если
они соотносятся с эмпирическими фактами) трактовать как изме¬
рение, Поскольку, однако, в реальной научной практике термин
«измерение» используется с разной степенью широты, автор вво¬
дит понятие «измерение в самом широком смысле», «измерение в
широком смысле» и «измерение в узком смысле», отождествляя
первое с нумерацией, второе — со шкалированием, а третье с (соб¬
ственно) измерением (см. с. 132). За измерением «в самом широ¬
ком смысл:» — нумерацией, основанной на использовании номи¬
нальных шкал, — он решительно отвергает право считаться изме¬
рением. Но автор идет и дальше: по его мнению, нельзя согласить¬
ся и с точкой зрения, согласно которой понятие измерения охва¬
тывает и шкалирование (измерение в шкалах порядка, использо¬
вание того, что в книге называется топологпзацией). Такой подход
связан с возражениями автора против «чрезмерно широкой» трак¬
товки понятия измерения в общественных науках (см. с. 8).
Измерения в гуманитарной сфере знания — как «внефизиче-
ские» измерительные процедуры — методологически связаны с
классификацией, что показано в книге со всеми подробностями.
К. Берка называет «классифицирующими» понятия типа «близ¬
кий», «холодный», «длинный», «старый», указывая, что значения
некоторых из них (но отнюдь не всех) можно уточнить, выражая
их в форме топологических понятий «ближе, чем», «холоднее, чем»
и лр. Топологические понятия, с точки зрения автора, — это пе¬
реходная ступень к понятиям метрическим, доступным измерению
в собственном смысле, но, считает он, топологические понятия
ближе к понятиям классифицирующим, нежели к метрическим:
упорядочение предметов можно трактовать как определенный спо¬
соб классификации, но не метризации.
Позицию автора по всем этим вопросам нельзя считать впол¬
не последовательной. «Топологизация, — пишет он, — определяет
условия, которым должна удовлетворять каждая неметрическая 11 Они представлены широким спектром; от физики (см.; Камке Д.,
Крамер К. Физические основы единиц измерения) до инженерной
психологии и эргономики (ср.: Венда В. Ф. Информационная техни¬
ка и эргономика. М., 1970).
295

величина. Но если тоцологизация не сопровождается метризацией,
то она образует лишь концептуальную основу шкалирования»
(с. 168; курсив наш,—В. Б., В. М.). Концептуальная основа «изме¬
рения в узком смысле» — это метризация. Заняв такую позицию,
автор вместе с тем утверждает, что его не следует «понимать так,
будто мы не можем расширить сферу измеримости, охватив ею
сравнительные и даже классифицирующие понятия (это можно
сделать за счет ассоциативнозо измерения}» (с. 168—169; курсив
наш. — Б. Б., В. М.). Учитывая, что под ассоциативным измерением
в книге понимается комбинированное, сложное измерение, осно¬
ванное на одновременном измерении (или шкалировании) по мень¬
шей мере двух разных величин или свойств (ср.: с. 1S6), либо про¬
изводное измерение, основанное на использовании законов, получа¬
ется, что К. Берка сам склонен отказаться от «узкого» истолкова¬
ния измерительных процедур, тем более что пм подчеркивается
перспективность ассоциативного измерения, которое он считает
еще недостаточно оцененным, теоретически изученным п практиче¬
ски используемым (см. с. 168).
Конечно, вопрос о том, что считать измерением, а что нет, как
понимать измерение — в широком или узком смысле, есть во мно¬
гом вопрос терминологического соглашения. Однако, вводя такого
рода соглашения, нельзя не учитывать реальные факты, касающие¬
ся научной практики. А практика эта такова, что к измерениям —
это касается прежде всего измерений в гуманитарных науках —
относят яе только измерения в порядковой шкале, но и в шкале
наименований, т. е. номинациюИ так поступают не только зару¬
бежные авторы, например П. Ф. Лазарсфельд, который ппшет, что
«...если расплывчатый термин «измерение» назвать «поиском упо¬
рядоченной классификации», это будет хорошим определением»
н что ранжирование является «краеугольным камнем проблем из¬
мерения» Так же подходят к делу и многие отечественные авто¬
ры, например Б. Г, Мпркин, относящпп к намерениям не только
классификацию, но п «номинацию»: «Измерение в номинальной
шкале — самый, слабый вид измерения: указывается только, оди¬
наковы пли нет объекты с точки зрения измеряемого признака»
Многообразный набор шкал используется для получения информа¬
ции о качественных показателях в процедурах принятия решений
И т. Д.1 11
Но дело даже не в шкапах. Например, широкий поиск спосо¬
бов измерения происходит в ;рамп ох опытов по применению мето¬
дов математики ц информатики в исследованиях произведений
искусства, включая художественную литературу, а также соответ¬
ствующих процессов творчества 6. При этом обычно не привлека¬
ются представления о каких-либо измерительных шкалах: хотя на
уровне «метаапализа» используемые здесь процедуры измерения
ц можно охарактеризовать в «шкальных» терминах, специалисты.
1 Ср.: Гласс Дж.. Станли Дж. Статистические методы в педаго¬
гике и психологии, гя. 2.
1 Американская социология. Перспективы, проблемы, методы. Перев.
с англ., М-, і 972, с. 134
5 Маркин Б. Г. Проблема группового выбора. М., 1974, с. 40.
‘Березовский Б. А., Борзенко В. II., П о л я ш у к М. В. Мо¬
делирование структуры предпочтений лица, принимающего решения (мо¬
дели и методы многокритериальной оптимизации). Информационные
материалы: кибернетика, К С. 1987.
* Ограничимся ссылкой на кн.: Моль А., Фукс В., К а с с л е р М.
Искусство и ЭВМ. М., 1975.
296

пытающиеся измерить, скажем, «эстетическую информацию», пре¬
красно обходятся без таких характеристик.
Нам думается, что в данном концепту а льно-термшо логическом
вопросе философ должен занять гибкую позицию: признать неце¬
лее ообразность ограничения понятия измерения каким-то одним
классом процедур, ибо, говоря словами Дж. Гласса и Дж, Стэнли,
«„.педагогические и психологические иомерешш, особенно кли¬
нические, не поддаются какой-либо простои классификации > К
Вклад теории бинарных отношении
Приняв измерения в шкалах порядка в качестве «полноправ¬
ного» вида измерений, мы сразу же замечаем ту важную методо¬
логическую роль, которую в них играет логическая теория бинар¬
ных отношений. Роль эта подробно н убедительно раскрыта в
работах Б. Г. Маркина, изучавшего проблемы группового выбора
н качественного анализа информации.
При качественном анализе данных их «агрегированное опи¬
сание» осуществляется в иеколичественных терминах группиро¬
вок, упорядочений и т, п. По миеншо Б. Г. Мпркипа, убедитель¬
ным представляется постулат, согласно которому любая качест¬
венная информация об объектах может быть представлена бинар¬
ными отношениями или пх матрицами смежности на множество
рассматриваемых объектов. Это применимо и к номинальным при¬
знакам. Такой признак на множестве объектов характеризуется
разбиением этого множества на классы объектов, имеющих оди¬
наковые значения этого признака. Качественная информация
более общего вида выражается понятием макроструктуры (или
разбиения со структурой) — разбиения с заданным графом свя¬
зей между классами. Б случае, когда информация относится не
только к упорядочению значений признака, но п к расстояниям
между значениями, приходятся применять несколько бинарных
отношений, а расстояния задавать, например, мерой Хеммпнга2.
Распространенным способом упорядочения интенсивностей ка¬
чественных признаков является метод парных сравнений, с по¬
мощью которого на эмпирических множествах устанавливаются
отношения порядка и неразличимости (равенства). Однако с уста¬
новлением этих отношений связана одна трудность — фактически
обнаруживаемое нарушение транзитивности зтпх отношений,
«Суждения равенства и различия, — пишет К. Берка, — всегда
преступают границы эмпирической очевидности» (с. 232) и добав¬
ляет, что реально формулируемые суждения равенства выражают
отношение, которое нетрапзитивно.
Существует несколько источников такого рода петран8птпв-
ностп (т. е. нарушения общезначимости закона xRy/\yRz—* *-xRz);
в их числе парные сравнения на основе различных критериев,
наличие порога различения степени интенсивности упорядочи¬
ваемого свойства и — в случае групповых оценок — так называе¬
мый парадокс Коядорсе—Эрроу, связанный с наличием ситуаций,
когда при голосовании на основе установления предпочтения од¬
ного объекта другому невозможно коллективное решение5. Hau-
1 Гласс Дж., Стэнли Дж, Цит. соч.,- с', 19.
1 Математика в социологии, с. 339—341.	■	-
* Пью с р. Д., Райфа X. Р. Игры и решения. М., 1961, гл. 1-і;
Маркин Б, Г. Цит. соч,, § 3; Г ю 1 б о Д. Т. Теория общего интереса и
логическая проблема агрегирования. — В.: Математические методы в
социальных науках. М., 1973; Козелецкий Ю, Психологическая
теория решений.
297

более общую природу носит источник, коренящийся в неизбеж¬
ности порога различения. В работах М, М. Новоселова данная
гносеологическая ситуация получила концептуальное выражение
в понятиях интервала г-перазличимости (интервала |а—б | «е,
где в — фиксированное число) и абстракции, неразличимости:
«Поскольку тождество неразличимых (понятие, восходящее к
Лейбницу. — Б. Б., В. М.) мы, вообще говоря, считаем полезной
абстракцией, а не просто ошибкой, то мы естественно приходим
!. заключению, что акт измерения, равно как и всякий чувствен¬
ный опыт, эксперимент основаны па абстракции неразличимости»
Понятие равенства (неразличимости), вводимое определением:
|я—Ь\ <е, естественным образом оказывается нетракзи-
тивньш.
Общефилософский аспект исследования К. Берки.
Диалектика «количество — качество»
и математизация знания
Философская, точнее гносеологическая, сторона метода изме¬
рений, его концептуальной структуры достаточно полно освещена
автором в двух первых и в заключительной главах его труда.
Здесь мы находим и содержательные философские интерпретации
богатого фактического материала, и критику полярных, но равно
неубедительных концепций измерения: оцерацноналпзма, делаю¬
щего неумеренный акцент на инструментально-измерительных
процедурах, и чрезмерно формального подхода к теории, преуве¬
личивающего роль числового представления.
Ведущей философской идеей, пронизывающей книгу, являет¬
ся тезис о единстве количества и качества. Правда, некоторые вы¬
сказывания автора и здесь нуждаются, с нашей точки зрения, в
определенных уточнениях. Так, вряд ли оправданно характеризо¬
вать качество как то, что не поддается измерению (см. цитату,
приведенную нами на с. 290 Послесловия): это верно разве что по
отношению к субъективно переживаемым состояниям психичес¬
кой жизни человека, но вряд ли справедливо для мира внешней
реальности, где любая качественная определенность несет в се¬
бе — быть может, еще не выявленные, не эксплицированные, но
измеренные — количественные компоненты. Поэтому вряд ли
можно согласиться со взглядом, согласно которому яненоторые
свойства реальных объектов принципиально не измеримы*
(с. 265).
Спору нет, метод измерения применим всегда только при оп¬
ределенных исторически заданных условиях (см. с. 8), но отсюда
не следует, будто он имеет объективные ограничения. Впрочем, не
эта позиция является определяющей в философских заключениях
автора: в книге она остается как бы «за сценой», поскольку
К. Берка с полной определенностью указывает на то, что нельзя
«к внефизическому измерению в подлинном смысле этого слова (...)
относиться скептически. В общественных науках реализованы
далеко не все возможности получения количественных данных с
помощью вычислений, разработки многообразных способов шкалп-
•Новоселов М. М. Абстракция- неразличимости и метрическое
равенство. — В: Диалектика и актуальные проблемы теории познания.
Севастополь, 1982, с. 15; его же: Категория тождества и ее модели.—
В: Кибернетика и диалектика. М., 1978.
298

рования» (с. 266), напоминая снова о возможностях ассоциатив¬
ного измерения.
В определенных коррективах нуждается н авторская оценка
значения аксиоматического метода в теории измерений. Мы ужо
говорили о важной общеметодологпчеекой роли аксиоматизация,
в том числе и в учениц об измерениях (Лебег, Колмогоров). При¬
знавая значение аксиоматического подхода, автор вместо с те:!
метко указывает па слабый пункт аксиоматизаций впефизпческо¬
го измерения: построение системы аксиом служит здесь, по суще¬
ству, доказательству только двух теорем — теоремы представле¬
ния и теоремы единственности, что скрадывает дедуктивное
значение системы аксиом: задачи, решаемые с помощью аксиома¬
тизации, оказываются несоразмерными со сложностью используе¬
мого формального аппарата (см. с. 224). К тому же тут налицо
и трудности установления единиц измерения, без которых изме¬
ряемые величины нельзя трактовать как величины метрические, ц
проблематичность гипотез о поведении человека, используемых
для обоснования измерений в науках о человеке и обществе. С
нашей точки зрения, мы имеем здесь дело с «трудностями роста»,
н одним из способов их осознания (а, может быть, отчасти, и
преодоления) является идея К. Берии об использовании для обос¬
нования теоремы представления непосредственной эмпирической
интерпретации и верификации правил соответствия объектов эм¬
пирической и числовой природы.
В целом же аксиоматический подход в теории измерений по
ухудшает, а улучшает методологическую ситуацию в данной об¬
ласти. Специалисты, изучающие внефпзические измерения, ни
случайно обращаются к аксиоматике: она облегчает формулировку
условий разных видов интервального н бисекциотшого измерения,
аддитивных, мультипликативных, экспоненциальных п других
форм измерительных процедур. В свете сказанного не все крити¬
ческие замечания автора в адрес аксиоматических теорий измере¬
ний, представленных в работах К. Кумбса. П. Суппеса п Дж. Зи-
неса, можно принять. Те.м более это каеается теории, изложенной
в из песты о и книге Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна: она яв¬
ляется прочным завоеванием современной научной мысли.
Книга К. Берки выразительно показывает, какую значитель¬
ную роль в математизации современного научного знания играет
теория н практика измерений. Она также подтверждает диалекти¬
ческую оценку возможностей квантификации: при всем значении
количественных методов и математических моделей аксиомати¬
зация и формализация сами по себе нс могут устранить задачу
разработки фундаментальных теоретических концепций и уточ¬
нения понятийного каркаса той или иной научной области. Путем
простого перевода нечетких или неясных концепций на язык
математики, справедливо подчеркивается в книге, точности до¬
стичь нельзя, И хотя мы не можем присоединиться к словам
К. Берки о том, что математизация в науке носит лишь инстру¬
ментальный характер — нет, она несет в себе глубокий методоло¬
гический и теоретический заряд! — мы согласны с ним в том, что
измерительно-математические средства — это один ш важных
путей повышения результативности исследований в гуманитарных
науках. Об этом стоит сказать несколько подробнее.
299

Об анализе нечисловой информации в науках
о человеке и обществе
В главах 7—8 в связи с вопросами шкалирования в переш ка-
лировання, применения аксиоматического метода в теории изме¬
рений поднимаются проблемы, касающиеся качественного п ко¬
личественного описания объектов нечисловой природы. Вопросы
эти имеют, как очевидно, прямое отношение к пониманию соот¬
ношения «количество — качество», в связи с чем мы позволим
себе па них задержаться ц уточнить нашу позицию.
Поскольку любое измерение является факторизующей проце¬
дурой — разбивает всю область измеряемого на нспересекающпе-
ся классы, в своей совокупности эту область исчерпывающие (это
хорошо показано в книге), — возникает задача исследования тех
методов, какими можно или следует проводить это разбиение, по¬
рождающее классы эквивалентности. С фнлософско-методологнче-
ской точкп зрения, когда речь идет о гумаиптариых, «качествен¬
ных» науках, важно не просто оперировать темп или иными ме¬
тодическими приемами факторизации, а выработать, но существу,
и некоторый общий подход выявления соответствующих числовых
шкап, опираясь на определенные отношения, преимущественно
бинарные, о которых уже шла речь. В исследованиях этого рода —
их можно назвать изучением нечисловой информации — огром¬
ную роль играют математические модели, которые учитывают как
детерминированные, так п вероятностные характеристики изучае¬
мых объектов. Тому примером могут служить модели фон Нейма¬
на— Моргешптерна, Тёретоуна, Чёрчмена—Акофа, Брэдли—Тер¬
ри—Льюиса и другие, в которых в форме соответствующих отоб¬
ражений предлагаются определенные способы согласования
изучаемых объектов с элементами того нлн иного числового мно¬
жества Во многих из них предметом анализа является отноше¬
ние предпочтения, которому определенное внимание уделено и в
данной книге К К этому следует добавить, что анализ нечисловой
информации3, по существу, затрагивает и другие вопросы, кото¬
рые решаются в теории нечетких множеств, систем ц понятии % * 11 См.: Лыоис В., Галантер Е. Психофизические шкалы. — В:
Психологические измерения. М., 1967; Тёрстоуи Л. Л. Психофизиче¬
ский анализ. — В:: Проблемы и методы психофизики. М„ 1974; Гло¬
тов В. А„ Гречко В. М., Павельев В. В. Экспериментальное срав¬
нение некоторых методов определения коэффициентов относительной
важности, — В; Многокритериальные задачи принятия решений. М.,
1S7S.
1 Здесь автор опирается на пионерскую работу Дж. фон Неймана и
О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Заметим в
этой связи, что в гл. 7.2, когда речь идет об аксиоматическом представ¬
лении численно оцениваемых предпочтения (полезностей) по Дш. Ней¬
ману — О. Моргенштерку, в записи формулы (7.2—3) допущена некото¬
рая неточность, что затрудняет понимание выкладок автора. Следуя
обозначениям, используемым В формуле (7.2—і) Г'-ф(е) =-ШоЄ+Юі, фор¬
мулу (7.2—3) следует писать в виде
„	4>(vV(lt)-Kl—Y)V(i>))=vV'(«) + (i-y)V'(K).
Кроме того, из формулы (3.1.6) в книге Дж. фон Неймана и О. Морген¬
штерна (см. с. 50 русского перевода) следует, что функция полезности
VtCLU-T (1— О) ц) обладает в некотором смысле свойством линейности, II
поэтому вычисленные К. Беркой на с. 215—216 значения ковстант зд>п
to, в числовой модели, иллюстрирующей преобразования (7.2—2) II
(7.2—3), можно получить проще, используя лишь крайние значення
* (Н|) И V (л2) и не вводя при вычислении констант весового коэффици¬
ента у-0,5.
’ Современные проблемы кибернетики. М., 1961.
‘Заде Л. Понятие лингвистической переменной п его применение
к принятию приближенных решений. М., 1976.
300

s области экспертных оценоктеории технологических процессов,
квалнметрии, экономики в иных отраслей научно-технической
деятельности. Определение количественных характеристик объек¬
тов нечисловой природы (и отношений между ними) ныне зани¬
мает центральное место во многих исследованиях. Как отмечают
отечественные специалисты (Ю. Н. Тюрин, Б. Г. Лптвак, А. И. Ор¬
лов п др.), в области анализа нечисловой информации широким
фронтом ведется разработка матеиатнко-статостпческого аппарата
анализа качественных данных, в частности касающегося характе¬
ристик распределении, оценивания, проверки гипотез п классифи¬
кации 1 2. Большое место здесь отводится п методам при клад вот
многомерного статистического анализа, использование которыт,
как отмечает С. А. Айвазянs, позволяет решать многие узловые
задачи, касающиеся обработки числовой и нечисловой информа¬
ции в социально-экономической сфере. К таким задачам, в част¬
ности, можно отнести: статистическое исследование зависимостей
между ап а лизируемыми свойствами; классификацию объектов,
задаваемых многомерными признаками смешанной природы; сни¬
жение размерности исследуемого факторного пространства и вы¬
явление наиболее информативных признаков; сжатие больших
массивов обрабатываемой информации; анализ устойчивости ве-
роятностно-статнстнческпх моделей; изучение многомерных вре¬
менных рядов и марковских систем и др. Исследования в этих
направлениях касаются математических методов обработки ре¬
зультатов измерительных процедур, методик их интерпретации,
связи между первичными и производными измерениями в разных
областях социальных и естественных наук.
Автоматизация процессов измерения
Не освещенными в книге остались аспекты измерений, свя¬
занные с информатикой п кибернетикой. Вопросы эти можно раз¬
делить на две части: одна из них — это сфера информатики как
объекта конкретной измерительной практики {измерение сложно¬
сти и качества программ, вопросы оценки труда программистов и
др.), другая — автоматизация измерений на основе современной
электронно-вычислительной техники. О вопросах второго рода,
особенно важных, нельзя не сказать несколько слов.
Резкое усложнение процессов измерения в современной науч¬
но-технической деятельности вызвало возрастание числа проме¬
жуточных операций и создание математических моделей, описы¬
вающих как объект измерительной процедуры, так и само изме¬
рение. Это привело к разработке информационных измерительных
систем на основе современной электроники. Перерабатывая огром¬
ные массивы данных, они преобразуют значения измеряемых ве¬
личии, придавая им вид, удобный для дальнейшего использования
человеком или компьютером. Развивается теорпя автохгатизиро-
1	Лптвак Б. Г. Экспертная информация. М., 1982.
2	Прикладноп многомерный статистический анализ. М.т 1078; Т га¬
ри в Ю. Н. Не параметр ячее кие методы статистики. М, 1978; Ор¬
лов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М., 1973;
Айвазян С. А., Вежаева 3. И., Староверов О. В. Классифи¬
кация многомерных наблюдений. М., 1974.
‘Айвазян С. А. ■ Многомерный статистический анализ в соци¬
ально-экономических исследованиях. — Б: Современные проблемы кибер¬
нетики. М., 1981, с. 24—29.
301

ванных измерительных устройств, в которой находят свое место а
методы помехоустойчивого кодирования сообщений, и новые под¬
ходы к оценке погрешностей измерения.
Автоматизация измерений служит созданию современных си¬
стем управления, робототехничесних комплексов, гибких компью¬
терно обеспечиваемых производств. Измерительная информация —
результат работы комплексов многообразных приборов — преоб¬
разуется либо выдается в цифровой, буквенной, графической и
иной форме. Если она предназначена для восприятия человеком,
то разработчики таких систем стремятся учесть его психофизио¬
логические особенности.
Применение электронной автоматики, цифровой техники и те¬
лекоммуникации открывает невиданные ранее возможности в
сборе измерительной информации и ее обработке. Компьютериза¬
ция намерений оказывает глубокое преобразующее воздействие
не только на технологию измерительных процедур, по п на паша
понимание отношения между объектом измерения л его «и з ме¬
рительным образом» — результатом чрезвычайно сложных п под¬
час недоступных человеческому контролю опосредовании.
Диалектика измеряемого и измеряющего
Оставив в стороне вопросы планирования, реализации и
оценки измерительных экспериментов, К. Берка не коснулся п
вопросов измерений в новейших областях физики (ср, его слова
на с. 7). Однако последние имеют одну общую черту с измерени¬
ями в социально-гуманитарной сфере: и там и там происходит
взаимодействие объекта измерения и измерителя — прибора или
(и) человека.
А. А. Ляпунов ! попытался в некотором смысле систематизи¬
ровать те области науки, в которых вмешательство человека-пс-
следователя существенным образом воздействует на изучаемые
явления. Сюда относятся: квантовая механика, теория относи¬
тельности, изучение явлений жизнедеятельности в микроскопиче¬
ских и ультрамикроскоппческих масштабах, исследование естест¬
венных человеческих языков, попытки «изнутри» понять функцио¬
нирование человеческого сознания и, наконец, математическая
логика. Изучая логические операции путем их формализации и
аксиоматизации, математики в свою очередь прибегают к логиче¬
ским операциям; осмысливая собственное «я», человек меняет
свое психическое состояние; измеряя языковые явления, лингви¬
сты пользуются тем же языком; экспериментируя над живыми
системами (в таких науках, как молекулярная биология или био¬
химическая генетика), биологи их умерщвляют; описывая «реля¬
тивистские» феномены, физики включают в описание систему
отсчета наблюдателя.
Если говорить об измерениях, то две такого рода области реа¬
лизации очерченного диалектического взаимовлияния объекта- н
субъекта (если воспользоваться привычными философскими ка¬
тегориями) привлекают прежде всего наше внимание: квантовая
физика и (не отмеченная А. А. Ляпуновым) сфера социальных п
социально-психологических отношений.
‘Ляпунов А. А, О некоторых особенностях строения современно¬
го научного знания. — В: Ляпунов А. А. Проблемы теоретической »
прикладной кибернетики. М., іЭВО (ем. о. £94—296).
302

Квантовая механика базируется на экспериментах, проводи¬
мых над элементарными частицами, которые можно наблюдать,
лишь воздействуя на них другими частицами; но такое воздейст¬
вие меняет состояние наблюдаемых частиц, и данные наблюде¬
ний — а их подвергают математической обработке и рассматри¬
вают как результат измерений — зависят от состоянии частиц
до и после экспериментального воздействия; кроме того, все про¬
исходящее в ходе опыта понимается в статистическом смысле, так
как даже если бы состояние «данной» частицы было »известно»,
переход ее в то или иное повое состояние может быть предсказан
лишь с некоторой вероятностью.
Но не сходную ли картину мы .можем наблюдать ирн изуче¬
нии социальных структур или социалыю-психологпческпх реа¬
лии? Социологам хорошо известно то «обратное воздействие», ко¬
торое оказывает на людей тестирование каких-либо пх личност¬
ных параметров. Ссылки на влияние опросов общественного
мнения, на генеральную совокупность — тот социум, из которого
произведены соответствующие выборки, — стали в социологии
общим местом. Неудивительно поэтому, что некоторые исследо¬
ватели видят в нерешенных проблемах социального и психологи¬
ческого измерения серьезное препятствие на пути гуманитарных
наук. Одна из распространенных ситуаций в конкретных соци¬
альных исследованиях, пишет X. Блейлок, состоит в том, что из¬
меряемая переменная может оказаться фактором, влияющим на
субъективную оценку ситуации и, следовательно, па изучаемое
человеческое поведение. «Если рассматривать воздействие или
объективное изменение как индикатор изменения некоторого
субъективного состояния, которое в свою очередь является фак¬
тором, определяющим анализируемое поведение, тогда в теорети¬
ческой системе имеет место искажение реальности, если корреля¬
ция между стимулом и субъективным состоянием низка»
Бее это имеет глубокий философский смысл, убедительно де¬
монстрируя, что метод измерения не нужно окружать ореолом
некой «абсолютной точности». Один из создателей современной
физики — Э. Шрёдингер как-то произаес: «Новая наука (имеется
в виду квантовая механика. — В, Б., В. М.) самонадеянно при¬
сваивает себе право третировать все наше философское воззре-
пио. Она утверждала, что те тонкие измерения, с которыми легко
обходится квантовомеханический формализм, действительно могут
быть сделаны. Но это невозможно (...) Возражение вызывает
<...) философская презумпция, которая признает реальность
чего угодно, если только квантовый теоретик предпочтет считать
это измеримым, так как при этом закрывают глаза па тот факт,
что интерпретации в квантовой схеме поддается очень мало дей¬
ствительных измерительных устройств, если таковые вообще име¬
ются» 2.
Измерение — общенаучная категория
В начале этой статьи мы поставили вопрос о научном статусе
категории измерения. Книга К. Берки и проведенный нами анализ
позволяют, как представляется, получить ответ па этот вопрос.
’ Математика в социологии, с. 268.
’ Шрёдннтер Э. Философия эксперимента. — В: Ш р ё д и к-
гер Э. Избранные труды по квантовой механике. М., 1976, с. 295.
303

Измерение — общенаучное понятие, в том смысле, в каком одна
из авторов этих строк предложил понимать общенаучпость кон¬
цептуальных образований1. Отличительная черта общенаучных
понятий состоит в том, что, не уступая философским понятиям по
своей общности и широте применимости, они допускают — в оп¬
ределенных пределах, в определенных аспектах, с разной степе¬
нью полноты — уточнение средствами математики я формализо¬
ванной логики, б тех пли иных математических или логико-мате¬
матических теориях. «И как раз математика придает им опера¬
тивную силу: превращает построенные для их уточнения или с их
существенным участием теории в источник эвристических прин¬
ципов, применимых зачастую далеко за пределами сферы их пер¬
воначального генезиса» а. Возможность математической (логико¬
математической) экспликации отграничивает общенаучные «кон¬
структы» от философских категорий, носящих, по определению,
исключительно содержательный характер. Методологическая функ¬
ция общенаучных понятий состоит в их опосредующей роли: бу¬
дучи ядром научных теорий разной степени общности п «силы»,
они «специфицируют» философские идеи, делая более прозрач¬
ной отношение последних к конкретно научному знанию. Сказан¬
ное полностью относится к «измерению». Как с ясностью следует
из книги К. Берки, это понятие — одно из средств опосредовании
философской идеи «количества» в отношении реальных количест¬
венных характеристик объектов, систем, процессов реальности,
изучаемых специальными науками. Общенаучным понятиям отве¬
чают соответствующие общенаучные методы, и мы видели, что с
категорией измерения связан метод намерений, имеющий обще¬
научный статус. А этот метод «работает» в рамках общей теории
измерений или, лучше сказать, в целой серии теорий, рассмотрен¬
ных в данной книге.
Освещая разные аспекты теории измерений, К. Берка выявля¬
ет смысл многих «измерительных» понятий и процедур, а разви¬
ваемое им философское вйдеиие проблемы позволяет выйти на
уровень интересных заключений. В частности, он прослеживает
историю развития данной области знаний с точки зрения прогрес¬
са ее объяснительных схем, предлагает хотя и не бесспорный, но
поучительный анализ применимости современной теории измере¬
нии, создает у читателя определенные представления о возмож¬
ных путях развития научного аппарата теории и метода измере¬
ний. Книга открывает возможности для дальнейшего обсуждения
многих сложных н противоречивых вопросов, связанных с изме¬
рениями.
Если судить по ряду высказываний К. Берки, он понимает,
что проведенное им исследование не исчерпывает проблему и что
его выводы требуют дальнейшего обсуждения. Но, быть может,
такой и должна быть философская книга об измерении. Взгляд
философа ва концептуальные основы теории измерений, метода
измерения, осмысление того нового, что категория измерения вно¬
сит в изучение познавательного процесса, рассмотрение логиче¬
ских оспов измерительных процедур — все это необходимо для
того, чтобы понять объективные трудности, стоящие перед теми,
кто всерьез задумывается над данной проблематикой. Именно
характеристике этих трудностей был в основном посвящен и наш
анализ. * *1 Б и рюк о в В. В. Г. Вейль и методологические проблемы натки. —
В: В е ft л ь Г. Симметрия. М., 1968.
* Б и р Ю К О в Б. В. Там же, с. 1ST.

Книга «Измерение» дает богатый материал для последующих
изысканий в области соответствующих т еоретико-ме то до логичес¬
ки х и философских проблем. Ее можно рассматривать и как свое¬
образный путеводитель по тем идеям теории, которые представ¬
ляют интерес и для «узких» специалистов. Читатель, заинтересо¬
вавшийся теми или иными положениями, обсуждаемыми автором*
может обратиться к приведенной в книге библиографии, которая
содержит монографические исследования п прикладные руковод¬
ства по теории, методологии н практике измерений.
Б. В. Бирюков, S, Л, Muxeev
20 Зак. № ног

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ *
Адамс И. 37, 213, 230, 231, 23'5
Акофф Р. 29, 127, 231
Аллин Р. 213
Альберти X. 75
Апсах X. 105, 128
Аристотель 18, 51
Архимед 53, 164, 223, 22(5 —
228
Байер ли X. 254
Бар-Хиллел И. 263
Бауманн В. 165
Баумоль В. 213
Бекепгем Э. 76
Бергман Г, 130
Беренд Ф. 169
Берка К. 37, 54, 117, 213, 21 і,
225, 254
Бернал Дж. 9
Бернулли Д. 19, 189
Бинко Дж. 75, 76
Больцано Б. 53
Бриджмен П. 76, 150, 255, 257
Ериллюэн Л. 241
Брож Дж. 26, 76, 244, 269
Бунге М. 44, 60, 79, 106, 125,
132, 134, 163, 198, 244
Вейерштрасс К. 53
Вейль Г. 18
Верк майстер В. 134
Баггинс И. 29
Випер Н. 22
Галилей Г, 18
Гёльдер О. 22, 56, 118, 121,
IKQ 222 224
Гельмгольц Г, 22, 86, 141, 145
Гемпель Г. 60, 61, 106, 142,
159,	160,	161—103,	136,
169, 256 *Гераклит 229	,
Гилфорд Дж. 251
Гильберт Д. 53, 55, 222
Гласс Дж. 35
Гмайнер Дж. 53, 58
Гоуд Д. 28, 46, 158
Гутман Л. 105
Додекинд Р, 52, 53
Джефри Р. 217, 218
Джефрис X. 81
Дингль X. 150, 254, 255, 257
Евдокс 53, 222
Евклид 52
Зинес Дж. 37, 106, 129, 130,
137, 138,	142,	153,	155,
156,	159,	169,	190, 191,
193,	194, 198,	203,	223,
247, 248, 249, 263
Ипсен Д. 115
Кангер С. 37, 142, 157, 15S,
169, 198, 204
Кантор Г. 53
Карнап Р. 121—123, 140-142,
233, 265, 266
Кеплер И. 18
Кернер С. 62
Киселева Н. А. 250
Козел едкий Ю. 232
Кози Р, 76
Кокельмаке Дж. 27, 140
Кошти л К. 91
Кратщ Д. 37, 76, 78, 106, 117,
129, 153, 154, 156, 169. 190.
192, 193, 195, 196, 223, 225.
226 237
Кумбс’ К. 47, 116, 125, 127,
* Составители именного и предметною указателей В. II. Минеев И
Б. В. Бирюков.
306

129,	130, 197, 202, 203, 225
Кучера Ф. фон 167, 169
Кэмпбелл Н. 21, 23, 32—36,
59, 95, 96.	99-101,	11 і,
130.	134, 135, 141, 142, 145,
153; 154, 159, 195, 196, 211,
233, 244
Ляаара В. 254
Лазарсфельд П. 29
Лайкерт Р. 105
Лаі'шфельнер В. 1G9, 198
Ламберт И, Г, 54, 55
Ламсер В, 28, 247
Ленин В. И. 70, 231
Линдсей Р. 28
Льюс Р. 37, 117, 128, 129, 153,
154, 156, 169. 190, 192, 193,
195, 196, 213, 223, 225, 226,
231, 237
Максвелл Дж. К. 86
Маргенау X. 27
Менгер К. 62, 112
Миркин Б. Г. 167
Моргенштерн О. 19, 142, 189,
211, 215, 222, 234, 235
Нагель 3. 169, 222
Нарскин И. С. 256
Нейман Дж. фон 19, 142, 189,
211, 216, 222, 234, 235
Ньютон И. 18, 53, 87, 262
Пап А. 61, 102
Парменид 229
Пик X. 47
Пифагор 12
Пфанцагль И. 30, 31, 47, 116,
118,	124, 130, 153,	165,
198, 204
Райфа X. 213, 231
Рамзей Ф. 217
Рассел Б. 22, 53, 56, 61, 121,
230
Ратц В. 251
Рейли А. 81
Росс С, 47, 131, 162, 169, 198
Роузбум В. 131
Саугстед П. 131, 225
Седов Л. И. 76, 91
Сикурел А. 131, 251
Скотт Д. 37, 190, 226
Смарт Дж. 102, 106, 134
Спенс К. 130
Стивепс С. 23, 31, 35, 36, 44,
45, 47, 127. 128. 130, 131,
137, 138, 142, 160, 197, 198,
209-202, 207, 216, 213, 225.
228, 262, 263
Строіік Д. 9, 53
Стэнли Дж, 35
Cvnnec II. 37, 96,	106,	117,
118, 130. 137. 138. 112, 153,
154—156, 159,	169. 1SS,
190—196,	198,	203,	217,
222-226,	236, 237,	247—
249, 263
Савидж Л. 213, 236
Тарский А. 142, 176
Тверский А. 37, 117, 129, 158,
154, 156. 169, 190, 192, 193,
195, 196, 223, 225, 226, 237
Тёрстоуц Л. 105
Торгерсон В. 47, 116, 123, 164,
165, 197, 203
Уайтхед А. 22
Уемов А. И. 63
Уилкс С. 251
Фарингтон Б. 9
Фехнер Г. Т. 20, 184
Фил корн 9, 18
Фшииерн П. 213, 231, 236
Фишер Дж. 251
Флэишер Л. 75, 87
Фокея К. 61, 76
Фреге Г. 53
Френкель А. 263
Фрпдмап М. 213
Фурье Ж. 86
Хагеидорф X. 129
Хантингтон Э. 22, 56, 222, 223
Хубер Г. 165
Чижек Ф. 72
Штегмгаялер В. 104, 142, 160,
163, 167, 169, 170
Штнлле В. 75, 92
Штольц О. 53. 56
Эллис Б. 31, 113, 131, 134, 136,
165, 166, 195, 229
Эльсберг Д. 213, 258
Энгельс Ф. 13, 84
Эслер В. 43
Яновская С. А. 52. 170
20'

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Абстракция — 1: уровни а. 3.2. S.2; ступень а. 2.2, S.2
аддитивность — 3.1, 6.3, 7.2; понятие а. 4.3; условия а. 3.2, 3.5, 8.2;
а.	во времени S.2; а. относительных скоростей 8.2; эмпириче¬
ская а. 3.5, S.2; а. числовых разностей 4.3; а. представления
б.	2
-адекватность — 8; а. результатов измерений S.3; а. числового отоб¬
ражения 7.1
аксиома — 8.1; множество а. 8.1; а. для числовых систем 8.1; эм¬
пирическая релевантность а. 8.1; а. Архимеда 6.3, 8.1; а. неза¬
висимости 6.3; а. эквидистантности 6.3; математические а. 8.1;
а, топодогпзацпп 6.3; а. числовой реляционной системы 8.1; а.
теории чисел 8.1; а. 5псимметричности 4.3; а. структуры слабо¬
го порядка 6,3
■аксиоматизация — 2.3, S.3, 9.2; а. теории измерений 8.1; а. двух
реляционных систем 6.1; а. логики высказываний 3.5; а. теории
ожидаемой полезности 7.2; а. эмпирических систем 8.1; а. си¬
стем измерения 8.1; а. теории чисел 3.1; а. числовых структур
8.1; а. арифметики 6.3; а. теории величин 1; а. эмпирических
структур 8.1; стандартная а. действительных чисел 8.1; аксио¬
матизация Гёльдера 8,1; а. теории количеств 3.1
анализ — 3.4; а, размерностей 3.4; формальный а. измерений 8.1
аппроксимация — 6.3
арифметика — 3.1; а. в широком смысле слова 3.1; а. в узком смыс¬
ле слова 3.1; а. натуральных чисел ЗА; а. целых чисел 3.1;
арифметические соотношения 5.1
асимметричность — 8.1
•аспект — 3.2; количественный а. 3.2, 3.3, 8.1, 9.1; качественный
а. предметов 3.3, 5.2; качественный а. метрических величин
3.4,	4.1; эмпирический а. измерения 2.1; квантитативные а. 3.2
ассоциативность — 6.3
атомизм — Демокрита 1
Бисекция — 6.3, 7.2
Валидность — 8.4; постулат в. 8.4; в. измерения 8.4; в. внефизиче-
ских измерений 8.2
•величина — 1.2, 2.2, 3.1, 3.2, 3.3, 5,2, 6.3, 8.1, 9.1; метрическая в. 3.4,
5.2; экстенсивная в. 3.1, 3.5, 6.1, 6.2, 6.3, 8.2; номинальный
компонент метрической в. 3.4; производные в. 3.4, 3.5, 4.4, 6.2;
основные виды в. 3:2, 3.3, 3.4, 3.5, 6.2; в. непрерывная 3.1, 3.5, ** Гнездование терминов произведено по тематическому принципу;
■ссылки даются на . разделы без указания-странна.
308

8.3; в. дискретная 3.2, 3.4, 3.5; основные в. 3.4, 3.5, 6.2; неэк-
зтенсивная в. 7.2; единица измерения в. 3.4; случайная в.
8.2; система величин 3.1; кратная в. 1; квази экстенсивная в.
3.5,	6,1, 6.2, 6.3; свойства в. 3.2, 4.1, 6.3; размерность в. 3.3,
3.4,	4.1; функционально измеряемая в. 6.2; аддитивная в. 3,1,
3.5,	4.3; безразмерная в. 3,4, 3.5; шкала метрических в. 4.1:
именованные в. 3.4; фундаментальное измерение в. 3.5, 6.2,
3.2; многомерные производные в. 3.5; скалярная в. 3,4; под¬
система в. механики 3.5; физическая в. 2.2, 3.1, 3.5, 8.2; геомет¬
рическая в. 3.1; таксономия в. 3.5; подклассы метрических в.
3.5; топологизация неметрической в. 6.3; абстрактная в. 3.1;
векторная в, 3.4; числовая в. 3.1, 3.2; объективное существо¬
вание в. 9.1; неаддитивные метрические в. 4.3; измеряемая б.
S.3; неконечная в. 3.1; однородность в. 3.1; внематематпческая
в.	3.1; метризованная в. 7.1; разнородные в. 3,1
верификация — 1, 2,3, 8.1
вероятность — 7.2, 8.2; распределение в. S.2; альтернативные в.
S.2; числовая в. 8.2; качественные в. 8.2; центр распределения
в.	результатов измерения 8.3
вес — 1, 3.2; нулевой в. 4.2
весы — 8.2; равноплечные в. 8.2
вещь — 3.2
восприятие — 8.2; чувственное в. 8.2
время — 1, 2.2, 3.4; фундаментальное измерение в. 6.2
высказывание — 8.3; синтетическое в. S.3: этически нейтральное
в.	7.2
выигрыш — 8.2
Геометрия — 1. 3.1; евклидова г. 3.1; математическая г. 3.1; не¬
евклидова г. 3.1, 8.3; гиперболическая г. Лобачевского 8.3;
эллиптическая г. Римана 8.3; доказательство непротиворечи¬
вости евклидовой г. 3.1
гипотеза — 1; г. о поведении человека S.1; научная г. 9.2; опера-
ционалпзацпя г. 9.1
гири-противовесы — 1
гносеология — 8.2; диалектико-материалистическая г. 8.2
гомоморфизм — 2,2, 6.1, 6.2, 8.2; г. эмпирической операции 8.1;
г.	между числовой и эмпирической системой с отношениями
4.3
градуирование, градуировка — 2.1, 4,1; равномерная г. 4.3, 6.3;
эквидистантная г. 6.3
группа — 7.1; г. подобия 7.1; гомотетическая г. 7.1; экспоненци¬
альная г. 7.1; общая линейная г. 7.1; г. линейных преобразо¬
ваний 7.1; изотоническая г. 7.1; г. подстановок 7.1
Данные — 5.2; количественные д. 5.2; эмпирические д. 7.1
Декартово произведение — 6.3
денотаты — 2.2; д, эмпирических переменных 3.3
детерминированность — 5.1
дефиниция — 2.2; д. понятия измерения 2.2; д. понятия величи¬
ны 3.4
деятельность — 6.2; д. измерительная 6.2
диалектика — 9.2; д. процесса человеческого познания 8.2, 9.2;
д.	целого 3.2
динамика — 3.4
дисциплины общественные — 1
309

длина — 1, 2,1, 2.2, 3.2, 3.4; несоизмеримые д. 1; измерение д. 2.3,
6.2; д, предметов 6.2, 8.2
Евклидова планиметрия — 8,3
единица - 3.1; е. измерения 1, 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 4,1, -1,3,.
5.2,	6.3, 7.1, 7.2, 8.2; конвенциональные е. 4.2; е, разных си¬
стем измерения -4.3: е, отсчета 3.4; е. упорядочения 3.5; е.
измерения длины 3.3; естественные е. измерения 4.2, 5.2; ос¬
новные е. намерения 3.4, 7.1; долытьте е. 1.8 3.4, 7.1; е. счета
5.2; числовая компонента е. измерения 3.4; е. упорядочения
неметрических величин 3.4; однородные е. 3.1; основная е.
массы 3.4; «искусственная» с. измерения 3.4; материальная е.
измерения 3.4; е. размерностей 3.4; условная е. 5.2; кратные е.
измерения 3.4; е. измерения основных величии 3.4; е. і абсо¬
лютной шкалы 5.2; именованная е. измерении 3.4
единственность — S.4; е. числового представления S.4; свойства-
е.	8.4; понятие е, 7.2; е. числового отображения 7.2
Желательность ■	2.1, 7.2; матрица ж. 7.2
Закон — 3.4; з. сложения 6.2; з. замены значения единицы 3.4;
качественные з. 6.2; сильным з. трихотомии 6.3; з. монотон¬
ности 6.3; эмпирические з. 6.2; з. слабом трихотомии 6.3; чис¬
ловые з. 6.2, 8.3; проверка числовых з. 8.3; э. математики 9.1;
з. евклидовой геометрии 6.2; з. Архимеда 6.2; з. инвариантно¬
сти относительно замены единицы 3.4; з. упорядочения 6.2
закономерность — 6.2; з. объективной реальности 6.2; з. развития
природы 8.3
замкнутость — 8.1; дедуктивная з. 8.1
знак — 2.2; смысл з. 8.2
знания — 1; эмпирические з. 2.3; теоретический уровень з. 8.3
значение — 8.2; щкаяьаое з. 3.4, 4.1, 4.2, 4.3, 6.2, 6.3, 7.1, 7.2, 8.2,
8.4; числовые з. 2.1, 3.1, 3.3, 3.4, 6.2, 6.3, 7.2, 8.3; измеримые з.
величины 1.2, 8.3; операциональное з. 5.2; семантическое з.
6.3; эмпирические з. 6.3; актуально измеримые з. 6.2; допусти¬
мые з. 6.2; интерполяция числовых з. 9.2; приближенное
з. 8.3; информативное з. 8.3; интервал измеримых з. 8.2, S.3
Идеализация — 4.3; математическая и. 4.3
идеализм — 1, 4.2, 6.2, 8.2, 8.3; субъективный и. 9.1, 9,2; логизи¬
рованный объективный и. Лейбница 8.2
идентичность — 8.2
измерение — 1, 1.2, 2.1, 2.2, 3.2, 6.2, 8.4; виды и. 2.1, 5.2, 6.2; пер¬
вичное н. 6.2; фундаментальное и. 2.1, 2.2, 3.2, 3.5, 6.1, 6.2,
6.3,	8.2, 8.3, 9.1; впефизическое и. 1, 2.1, 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3,
7.1,	8.1, 8.2, 8.4, 9.2; линейное и. 3.1, 6.2, 6.3, 9-І; социальное
л.	2.1; и. длины 1, 2.1, 6.2; операциональная сторона и. 2.1,
9.1; экстенсивное и. 6.2, 6.3, 8.1 8.2; производное и. 2.1, 0.2,
6.3,	8.2, 8.3, 9.1; интервальное и. 6.3. 7.2, 8.2; операциональны)"!
аспект и. 2.1, 2.3, 6.2, 9.1; абсолютно точное и. 8.3; и. времени
6.2; физические и. 1, 2.1, 2.3, 3.1, 3.6, 5.2; онто лого-гносеоло¬
гический аспект и. 6.2, 9.1; концептуальный аспект и. 2.1, 2.2,
2.3,	4.1, 6,2, 6.3, 8.1; и. массы 2.1; осмысленность и. 8.4; ас¬
социативное и. 6.2, 6.3, 9.1, 9.2; и. в широком смысле слова
3.3,	5.1, 9.2; и. в строгом смысле слова 6.2, 7.2; и. в узком
смысле слова 3,4, 4.3, 5.1; повторные и. 8.3, 8.4; психофизиче¬
ское и. 1, 6.2, 8.1; материалистические основы теории и. 9.1,
310

0.2; объект к. 2.2, 2.3, 3.6; материалистическое и теоретиче¬
ское обоснование и. 6.1, 6.3, 9.2; измерение уровня интеллек¬
та 3.4; бисекцаонное и. 6.3; стивенсовское определение а. 9.2;
и.	теплоты 4,2; и. температуры 6.2, 7,2; методологический ас¬
пект и. 1, 9.7; феноменологическое толкование и. 2.3; пред¬
посылка для и. 6.2, 9.2; надежное и. 8.4; понятие и. 6.1; не¬
экстенсивное и. 6.2, 6.3, 7.2, 8.2; философские основания п.
9.1,	9.7; релевантность результатов и. 8.3; погрешность и. 8.1;
возможности и пределы и. 9.7; комбинированное и. 6.2, 6.3;
собственное в. 2.1, 3.5; качественные н количественные ас¬
пекты и. 2.1, 2,3, 3.3; предмет и теория и. 1, 2.3. 6.1; уровни
и.	2.2; и. полезности 7.2; субъективное и. 1; и. в физике 1;
конвенциональное и. 6.2; прямое и косвенное а. 6,2; биспм-
метричное и. 6.3; эмпирический и числовой аспект и. 6.3
измеримость — 4.3, 6.2, 6.3; предпосылки и. 2.3, 8.4; условия и.
9.2; фундаментальная и. 3.5; основа и. 9.2; диапазон в. 9.2:
п. неметрических величин 4.2; межличностные критерии и.
9.1
изоморфизм — 6.2, 6.3, 8.1; и. отображения 4.1, 8.1
имя — 7.1; простое и. 7.1
инвариантность — 7.1, 7.2; и. физических законов 3.4; и. преобра¬
зований формы шкалы 7.2; и. относительно замены единицы
з.	4; и. шкалы 7.1, 8.4; и. шкалы относительно допустимых
преобразований 6.1, 7.2, 8.4; и. размерности производных ве¬
личин 3.4; и. преобразования подобия 7.1
индикатор (показатель) 5.2
индифферентность — 6.3; индивидуальная и. 6.3
инструментализм — 3,3, 9.1
интеллект — 8.4; уровни и. 8.4
интенсивность — 4.3; и. измеряемых величин 4.3, 7.2
интервал — 4.3; различие и. 7.1; и, возможных отклонений 8.4;
и.	неточности 8.3
интерполяция — 6.2; теоретическая и. 6.2
интерпретация 8.3, 8.4; эмпирическая и. 3.5, 4.2, 4.3, 6.2, 6.3,
7.1,	8.1; «искусственная» и. 8.2; и. процедур шкалирования
5.1; арифметическая и. мира 3.1; операционалистская
и. измерении 6.2, 6.3, 9.1; стандартная арифметическая и.
6.3; и. Р. Джефри 7.2; и. знака 8.2; теоретико-число¬
вая и. 3.1, 9.2; ортогональная и. 6.3; условия интерпрети¬
руемости и. 2.3; семантическая и. 8.1; и. основных понятий
2.1,	8.1, 9.1
информация — 8.3; передача и. 8.3
иррефлексивность — 8.1
испытуемый — 2.1, 6.3
исследование — 5.1; и. в экономике Дж. Неймана и О. Моргеп-
штерна 1; онтолого-гносеологический уровень и. 5.1; психо¬
физические и. Г. Фехнера 6.3; статистические и. 5.2
Калибровка (градуировка) — 4.1
кардинальность — 1; к. прибыли 1,
категория — 3.2; философская к. 3.2; к. количества 3.1
качество — 2.1, 3.2, 3.6, 9.1
квазиквантификация — 5.1
квазиупорядочение — 6.3
квантификация — 1, 2.3, 5.1, 5.2, 8.2, S.4; уровни к. 5.1; к. аспек¬
ты 3.2
311

класс — 3.2; к. абстракции величин 3.3; к. эквивалентности 3.2,
3,3,	0.3; к, шкал 41; ориентир о ванный к. величин 4.2; полный
к.	4.2; пустой к. 4.2
классификация — 1, 2.1, 2.3, 3.2; стнвенсовская к. шкал 7.1, 7.2,
аналитическая к. 2, 2.3; десятичная к. Дьюи 2.3; к. величии
3.5,	6.2; к. понятий измерений 2.3; к. видов измерений 0.2; к.
метрических шкал 6.2; 7.1; шкальная к. 7.2; к, шкал по Тор-
герсону л1; к. шкал по Кумбсу 7.1; дихотомическая к. 0.2;
к.	понятий 1
количество — 1, 2.1, 3.1, 3.2, 3.6, 5.2, 9.1; категория к. 3.1, 3.2;.
числовое к. 3.2
коммутативность — 4.3, 6.3
компоненты — 3.3; эмпирические к. 9.1; числовые к. 3.3, 9.1;
k.	структур и шкал 6.2
конвенция — 3.4, 9.1; терминологическая к. 9.1
конгруэнтность — 8.2
конкатенация — 6.2, 6.3, 8.1; эмпирическая операция п. 6.2, 8.2:
константа — 7.1; аддитивная к. 7.1; к. преобразования 7.2; физи¬
ческая к. 3.4
континуум — 6.2; мощность к. 6.2
концепция — 6.2, 9.2; классическая к. измерения 3.2, 3.3, 6.2, 7.1;
9.2; неопозитивистская к. эмпирических и теоретических по¬
нятий 3.3; к. метризации Ф. фон Кучеры 6.3; гемнелевская к.
производных измерений 6.2, 6.3; one р а цп он ал п стек а я к. изме¬
рения 1, 3.5, 6.2, 8.3, 8.4, 9.1; формальные к. измерения 6.3,
8.3; формальная к. теории намерений по Скотту, Суппесу и
Зинесу 2.2; к. Стивенса 2.2, 7.1; к. Неймана — Моргенштери»
7.2; концептуальные конвенции 9.1; анти онтологическая к.
3.2; концептуализация метрической величины 3.3; классиче¬
ская к. Кэмпбелла 6.1; эмпирико-математический уровень к.
объекта измерения 2.3, 3.3, 9.1; геометрическая к. 3.1; концеп¬
ция Кэмпбелла 2.2, 5.2
корректность — 8.4
корреляты 6.3
коэффициент — 7.2; к. преобразования 3.4, 7,2; поправочные к.
6.2; к. измерения 3.4; к. интеллектуальности 2.1
критерий — 7.1; к. преобразования 7.1; к. инвариантной преобра¬
зуемое ти 7.2; операциональные к. 9.1; к. измеримости немет¬
рических величин 7.2; к. измеримости 9.1
Линейка — 6.2; измерительная л. 6.2
линейность — 7.2; л. шкал интервального типа 7.2
логика — 7.2; л. нормативных суждений по Рамзею 7.2
Масса — 1, 6.2
масштаб — 6.3
математика — 8.1; математизация 9.2; теоретическое обоснование
м.	8.1; философия м. 2,2, 9.7; математические знания 8.4; ма¬
тематический аспект измерения 2.3; математизация науки
9.2; математическое ожидание 8.2; математический платонизм
l,	9.1; математическая формулировка числовых законов 9.2
материализм — 9.1; материалистичность 9.2; созерцательный м.
9.1; материалистическое истолкование измерения 9.2; матери¬
алистическое понимание объективной реальности 8.3
матрица — 7.2; каноническая м. 7.2
мера — 2.1, ЗЛ, 3.2, 4.1, 8.3, 9, 9.1; м. точности 8.2; м. линейных
расстояний 6.3; определение м. 2.3; свойства м. 6.3; м. дове-
312

рия н высказывания 7.2; м. приближения вычисленных зна¬
чений 8.3
метод — 1, 4.1; м. измерения 1, 2, 2.1, 2.3, 8.3; эмпирико-матема¬
тический м. 2, 2.3, 5.2, 6.2, 6.3; математические м. 1, 6.7, 7,2;
концептуальный м. 2.3, 6.3; аксиоматический м. 8.1; теорети¬
ческий м. 2.3; экспериментально-контролпрующпц и. 6.2; ко¬
личественный м. 1, S.4; качественные м. 1; операциональный
м. 5.1; м. равноделенпя 7.2; оятологпческая обусловленность
м. в теорпн измерений 9.1
методология — 1; м. дедуктивных наук S.1; м, проблемы измере¬
ния 9.2
метр — 3.4; стандартный м. 3.4; диагональный м. 6.3
метризация — 6, 6.2, 6.3, 7,2; условия ы. 2.3, 5.1, 5.3, 6.2, 6.3, 7.1,
9.1; свойства м. 9.2; производная м. 6.2; фундаментальная я.
6.2; экспериментальная проверка м. 6.2; метризация качест¬
венных понятий 6.2; метризация метрических величин 6.3
метрология — 3.4
механика — 3.4
множество — 3.2; исчисление м, 1; эмпирические м. 2.3, 6.3, 8,2;
м. действительных чисел 4.3; м. непустое 5.2; мощность м.
6,3; м. и их отношения 3.1; числовые м. 8.2; ы. предметов
з.	2; несравнимость элементов м. 6.3; порядок теория м. 3.1;
м.	индивидов 3.2; м. упорядоченных пар 3.3
модель — 6.3; математическая м. 7.1, 9.1, 9.2; числовые м. 6.3;
концепция м. Тарского 6.2; концепции м. Суп пес а п Заноса
6.2; модельный платонизм 9.1
мышление — 8.2; абстрактное ы. 8.2
Наблюдатель *— 2.1
наблюдения — 2.1
надежность — 8.4; н. внефпзпческих измерений 8.2; объективная
н.	измерительных процедур 8.4; постулат н, 8.4; субъективная
и.	испытуемых 8.4
наименование — 3.4, 5.2
наука — 1; психологические н. 1; дедуктивные н. 9; обществен¬
ные н. 1, 2.2, 6.1; формальная методология эмпирических н.
1.9; эмпирические н. 1; н. о величинах 3.1; н. об обществе 9.2;
философские н. 1
начало отсчета — 4.2, 4.3, 6.2, 7.1
неопозитивизм — 2.3, 3.2, 3.3, 9.1
пеопределенность — 8.2
непротиворечивость — 8.1
неразличимость — 6.3, 8.2
нетранзитивность — 8.2
номинация — 3.4, 5.1
нуль шкальный — 4, 4.2, 4.3, 5.2, 6.1
нумерация — 2.3, 5, 5.1, 7.1
Область — 1; внефизическая о. 1; о. измерения величин 4.1;
о.	действительных чисел 1; обществоведческие о. S.1; эмпири¬
ческая о. 3.1; о. рациональных чисел 1
обобщение — 8.2
обработка — 8; о. результатов измерений 8; статистическая о.
количественных и качественных данных 5.2
объект — 2.2; о. измерения 2.1, 2.2, 2.3, 3, 3.2, 3.3, 6.2, 8.3; свой¬
ства о. измерения 2.2; физический о. 2.2; о. шкалирования
313

8.4; количественный аспект измеряемых о. 3.5; наблюдаемые
индифферентные о. 8.2; эмпирический о. 2.2, 3.2, 8.2, У.2
объем — 6.2
однозначность — 8.4; о. отображений 8.4; о, измерения в класси¬
ческой теории измерения 7.2
операционализм — 3.2, 6.2, 9.1, 9.2; о. функция полезности 7.2;
анти онтологическая позиция о. 9.1; о. концепция 9.2; гомо¬
центрический о. 9.1; о. установки 9.1; о. в психологии 9.1;
о. измерения 1
операция — 8.4; непосредственно измерительные о. 2, 2.3, 6.2;
фундаментальная измерительная о. 3.5; о. сложения 4.3, 6,3;
результат измерительных о. 4; обратная о. вычитания 6.3; о.
конкатенации 6.2, 6.3; арифметическая о. 2.2, 3.4, измеритель¬
ная о. 2.1, 2.3, 3.2, 5, 5,2, 9.1 9.2; эмпирическая о. 2.1. 2.2, 1.3,
5.2,	7,1, 8.-4, 9.1; шкальная о. 5.1, 7; двуместная о. 6.2; мате¬
матическая о. 5.2
описание — 6.3; формальное о. 6.3; синтаксическое о. 6.3; количе¬
ственное о. 2.1
определение — 7.1; семантическое о. понятия тождества 8.2: о.
понятия измерения 2.2; операциональное о. 9.1; качественное
о. 7.1; о. производных величин 3.4; о. равенства отношений
7.1
опыт — 9.1; личный опыт 9.1
отношение — 3.2, 6.3; виды о. 6.3; числовые о. 2.2, 6.3, 8.2; о. тож-
дества 6.3, 8,2; операциональная реализация о. 6.3; функцио¬
нальные о. 3.4, 5,2, 6.2, 6.3; двуместное о. 6.3; трехместное о.
6.3,	8.2; четырехместное о. 6.3; п-местные о. 2.2; бинарное о.
2.2,	8.3; нетранзитивное о. 8.2; о. различия 8.2; о. эквивалент¬
ности 8.2; о. предпочтения 7.2; интерпретация эмпирических
о. 8.1; о. иррефлексивное 6.3; к-иррефлексивное о. 6.3; о. без¬
различия 7.2; о. между индивидами 3.2; о. больше, меньше
7.1; о. порядка 9.1; эмпирические о. 2.2, 6.2, 8.1, 8.2
отображение — 5.2; числовое о. 6,2, 6.3, 7, 7.2; природа числовых
о. 7.2; гомоморфное о. 2.2, 2.3, 8.1; эмпирически релевантные
числовые о. 3
отражение — 9.1
отрезок — С.З; субъективная середина о. 6.3; соизмеримые и не¬
соизмеримые о. 3.1
отсчет — 4.3; начало отсчета 4.3
ошибка — 8.3; случайные о. измерения 8.3; систематические о.
измерения 8.3, 8.4
оценка — 8.3; оценка результата измерения 8.3
Память — 8.4
параллелизм — 1.2; п. физических и психических явлений — 1
переменные — 3.3; числовые п. 3.3, 3.4, 5; эмпирические п. 3.3,
3.4
перипатетика — 1
платоновская школа — 3.1
плотность — 3.2; измерение п. 2.1, 2.3, 6.2
площадь — 3.4
погрешность — 8.3; случайная п. 8.3, 8.4; систематическая и. 8.3,
8.4; и. намерения 8.3; диапазон возможных и. 8.3
подход — 1; формальный и. 9.2; количественный п. 1, 9.2; эмпи¬
рико-экспериментальный и. 9.1; качественный и. 1
позитивизм — 6.2, 9.1
314

познание — 8.2; чувственные и абстрактные ступени п. 8.2
полезность — 1; линейная функция пГ 7.2; ожидаемая н. по Ней¬
ману—Моргешптерну 8.2; максимизация ожидаемой п. 5.2,
6.3,	7.2, 8
понимание — 6.2; п. измерения но Стпненсу 6.2; и. измерения по
Кэмпбеллу 6.2; синтаксическое п. 8.4
понятие — 9,1, темпе лев с кое определение п. 6.2; классификация
п.	1, 2.3, 6.3; эмпирическое п, расстояния 4; топологические
ж метрические п. 1, 2.3, 3.3, 5.1; первичные понятия 1, 3.4,
6.3,	7,2, 8.1; п. метрические 1, 2.3, 3.3, 4.3, 5.2, 6.3, 0.1; эмпи¬
рические п. 3.3, 6.2, 8.2; теоретические п. 3.3, 6.2, 7; количе¬
ственные п. 1, 3.1, 3.2, 3.3, 5.2, 6.2, 6.3; диапазон п. измере¬
ния 6.3; эксперимента льно-наблюдаемые н. 3.3; н. величины
3.3,	3.4, 6.2; арифметическое п. числового сегмента 6.3; каче¬
ственные п. 1, 3.3, 6.3; псевдоэмпприческпе варианты матема¬
тических и логических п. 8.2; п. измерения 2, 2.2. 2.3, 4.1.
4.2,	9.1; п. шкалы 4, 7; п. равенства 7.1; определение п. 91;
объем п. 5.1; образование н. 6.2; п. независимости 0.2; и. раз¬
личения 8.2
порядок — 0.3; слабый порядок 6.3
последовательность — 6.3; и. неотрицательных целых чисел 5.2;
п. чисел 3.3, 6.3; эмпирическая п. 3.3
постоянная — 8.4; аддитивная п. 7.1, 8.4; п. Планка 3.4; гравита¬
ционная п. 3.4
постулат — 8.1; эмпирический п, 8.1
правило — 1; п. метризации 6.3; п. равенства 1; п. сложения 1;
п. соответствия 6.1, 6.3, 7.1, 8.2
прагматизм — 1. 2, 3.3, 8.2
практика — 9.1
предел — 1: п. измерений 1
предикация — 2.3; одноместные п. 3.2; метрические п. 3.2
предмет — 3,6; индивидуальный и. 3.3, 5.2; п. измерения 3; ка¬
чественные особенности п. 3.2; эмпирический н. 2.3
предпочтение — 6.3
представление — 8.4; вариативность числового в. 6.2; проблема
п. 6.2, 8.4; числовое п. 2.1, 2.2, 3.4, 6.2, 6.3, 8.4
преобразование — 7.1; параметры допустимых н. 3, 3.5, 8.4; ли¬
нейные п. 1, 7, 7.1, 7.2; п. подобия 6.3, 7.1, 8.4; шкальные п.
6, 6.2, 7.2; взаимно однозначные п. 7.1; экспоненциальное п.
6.3; эквивалентное п. 7.2; формальные п. 7.2; п. шкал 7.1, 7.2;
инварнантпые п. 6.1, 7.1; числовое л. 5.2
прибор — 8.3; градуировать п. 8.3; измерительный п. 2.1, 4.2, 6.2,
8.3,	9.3
прибыль — 2.1; количественная п. 1: ординальная п. 1
приписывание — 2.2; числовое н. 2, 2.2, 7.1; цифровое н. 7.1; пра¬
вила п. чисел объектам 2.2
проблема — 8.1; н. единицы измерения 8.1; п. полноты 8.1; и.
единственности 6.1, 8.4; и. представления 6, 6.2, 6.3, 7; со¬
держательные п. 7.2; философские п. измеримости 9.2; л. се¬
мантики 7.2; п. перехода от классификационных к сравни¬
тельным понятиям 9.1; методологические п. 8.1; проблемати¬
ка измерения 3.2
промежуток — 4.3
пространство — 6.3; n-мерпое п. 6.3; метрическое п. 4.3
протяженность — 3.3, 6.2, 6.3; п. предметов 3.3
процедура — 2.2; измерительная п. 1. 2.1, 2.2, 2.3, 3, 4.1, 5.2, 6.2,
8.2,	8.3, 8.4, 9.1; п. шкалирования 5.1, 8.4; операциональная
315

п.	2.3, 3.5; математические д. 2.3; измерительные п. 6.2, S.3;
компенсационные п. 2.3
процессы — 3.2; п. измерения 2.1, 3.2, 3.3; сущность и роль из¬
мерений в и. дознания 8.4, 9.1; измерительный п. 2.3, 3.3, S.3;
социальные п. 9.2; эмпирико-математические п. 9.2
дсевдоединица — 7.2
псевдокваптификация — 5.2
психология — 1, 9.1; эмпирическая п. 1; п. философии 1
психометрия — 1
Равенство — 8.2; практическое р. 8.2; понятие р. 8.2; точиое р.
8.2; эмпирическое р. 8.2
равноделение — 4.3, 6.3
равнозначность — 1
радиан — 3.4
развитие — 6.2; умственное р. 6.2
раздражитель — 6.3
размер — 3.3
размерность — 2.2, 3.1, 3.4; р. числовых значений 7.2; анализ о.
3.4,	6.2; формула р. 3.4; р. электрического сонротивлеиия 6.2;
единица р. 3.4
размещение — 7.1; эквидистантное р. 7.1
разность — 6.3; арифметическая р. 6.3
расселовский логицизм — 2.2
расстояние — 4.3, 6.3, 7; р. как геометрическое понятпе 4.3; неад¬
дитивное р. 4.3; функция р. 4.3; р. по шкале 4.3; 6.3; линейное
р.	4.3, 6.3; понятие р. 4.3; математическое понятие р. 4.3; ев¬
клидова р. 4.3
реализуемость — 7.2; эмпирическая р. 3.5; операциональная
7.2
реальность — 9.1; объективная р. 9.1; феноменологическое пони¬
мание объективной р. 9.2
редукционизм — 6.2; неопозитивистский р. 3.4
результат — 2.1, 9.1; р. измерений 2.2, 3.3, 8.3; устойчивость р.
8.4; р. измеримых экспериментов 9.1; разброс р. измерений
8.3
реярезентативность — 2.2
рефлексивность — 4.3
риск — 8.2
Свойство — 2.1, 3; формальные с. индивидуальных шкал 6.3, 7.2;
градуированное с. 1; система с. 6.2; с. измеряемого предмета
2.1; с. симметричности 6.3; математические с. шкал 7.2; с.
преобразований 7.1; с. эмпирической системы 4.2; эмпириче¬
ские с. 4.2, 8.2; формальные с. 8.1; с. рефлексивности 6.3; с.
транзитивности 6.3; с. непрерывности 5.2; с. слабого упоря¬
дочения 7.1; измеримые и неизмеримые с. 3.2; с. классов эм<-
лирических объектов 5.2; групповые с. преобразования подо¬
бия 7.1
связность — 6.3; метрическая с. 6.3
сегмент — 6.3; числовой с. 6.3
семантика — 8.4; логическая с. 8.4
сила — 3.4; сила ветра 3.4
система — 3.4, 9.1; числовая реляционная с. 2.2, 6.1, 6.3; с. измере¬
ний 3.4; практическая с. измерений 8.1; с. экстенсивных изме¬
рений 6.3; международная с. СИ 3.4: с. неэкстенсивных ичг
мерений 8.1; с. физических величии 3.5; аксиоматическая <ь
316

3.4,	3.5, 7.2, 8.1; специальные аксиоматические с. 3.1; аксио¬
матическая с. Хантипгтона 8.1; формальные с. 6.3; с. едипшг
измерения 1, 3.2, 3.4; с. метрических величин 6.2; с. Нейма¬
на—Моргенштерна 8.2; с. аксиом арифметики 6.3; эмпириче¬
ская с. с отношениями 2.2, 6,1, 6.2, 6.3; аддптлвная с. <13;
с.	Гёльдера 6.3; с. классификации тпеов шкал 7.1; с. фунда¬
ментально измеримых величин 6.3; с. основных ц производ¬
ных величие 3.4; мультипликативная с. 6.3; понятийной с.
научной области 9.1
систематизация 8.3
скорость 1.7, 6.2; о. равномерного движения 6.2; относительная
о. 8.2
сложение — 6,3, 8.2; эмпирический аналог операции с. S.l, S.2
событие — 8.2; эмпирические с. 8.2; несовместимые с. 8.2
согласованность — 8,3
соединение — 8.2
соответствие — 5.2, взаимно однозначное с, 5.2
состояние — 3.5; физическое с. 3.5
социометрия — 1
способ измерения — 3.3, 8.3
сравнение — 3.3
средства — 8.4; с. измерения 4.1, 8.4, 9.1; формальные с. 6.3, 7.2;
синтаксические с. 7.2
статистика — 7.1
статистическое измерение — 5.2
структура — 6.3; эмпирические реляционные с. 2.2, 6,3, 7.2, 8.1;
линейная с. 9,1; с. с отношениями 9.1; с. слабого порядка 6.3;
интервальная с. 6.2; смешанная с. 6.2; комбинированная с.
6.2; с. действительных чисел 6.3; числовая с. 2.2, 6.3, 7.1;
математическая с. 7.1
существование — 7.2; условия с. единицы измерения 7.1, 7.2;
логическое с, 6.3
сходство — 6.3; сходство и различие 1
счет - 1, 3.2, 5.2, 6.2, 8.3
Таксономия — 1.1
твердость — 6.3; твердость минерала 6.3
температура — 1, 3.2, 6.2; измерение т. 1, 8.2; разность т. 0.3; ну¬
левая т. 4.2; единица измерения т. 6.3; газовая шкала т. 4.1,
6.2; интервальное измерение т. 6.3
теорема — 9.1; т. представлений 6.1, 6.2, 6.3, 7.2, 8.1, 9.1; т. един¬
ственности 6.3, 7.2, 8.1, 9.1
теория — 9.1; формальная т. измерения 3.1, .3.2, 4.3, 6.1, 6.2, G.3,
7.1,	8.1, 8.2, 8.4, 9.1; т. абстрактных величин 8.1; т. действи¬
тельных чисел 3.1; т. расстояний и отрезков 8.1; т. шкал 4.3,
7, 8.1; аксиоматическая т. ожидаемой полезности 8.1; т. ве¬
личия 3.1, 4.3; математическая т. меры Рассела 3.1, 4,3; специ¬
альная т. относительности 3.2, 8.2; т. систем 2.2; классическая
т.	измерений 2.3; т. моделей Тарского 2.2; т. шкальных типов1
7.1,	8.1, 8.4; эмпирическая т. познания 8.2; репрезентативная
т. измерения 2.2; верификации т. 9.2; дезинтеграция научных
т. 9.1; т. пропорции Евдокса 3.1; геометрическая т. чисел 3.1;
т. физических величин 3.1; фальсификация т. 9.2; абсолют¬
ная т. 8.2; т. внефизического измерения 3, 3.4, 7, 8.4; дедук¬
тивная математическая т. 8.1; семантическое обоснование т.
8.2
термин — 9.1
317

термометр — 4.2
тест — 8.4, 9.1
тестирование — 8.4; т. умственного развития 6.2; психологическое
т.	9.1
техника измерительная — 2.3, 8,3
тождество — 1, 6.3, 8.2
тополе газация — 2.3, 6.2, 6.3, 7.1; условия т. 6.2, 6.3, 9.1; т. эмпи¬
рических структур 6,3
топология — 4.3
точка средняя — 4.3
точность — 8.3, 8.4, 9.1; т. измерений 4.1, 8,3, 8.4, 9.2; достижимая
и требуемая т. 8.3: степень т. 8.2, 8.3; абсолютная т. 8.3
транзитивность — 6.3, 8.1
Удаленность — 6,3
упорядочение — 1, 3.3, 5.1, 6.3, 7.2, 8.2, 9.1; у. полезностей 7.2;
упорядоченная пара 6.3; линейное у. 3.2; условия у. 6.2, 8.1;
"слабое у, 6.3; у. интенсивности 3.5; эмпирическое у. 6.3; не
метрическое у. 6.2
ускорение — 3.4
условие — 2.1; типологическое у. 6.3; у. сравнимости 6.3; у. связ-
постн 6.3; у. соизмеримости 6.1, 6,2; у. измерения 2.1, 0.3;
у.	транзитивности 6.3
установка — 2.1
устойчивые данные — 8.3
устройства измерительные — 2.1, 6.2, 9.1
утверждения квантитативные — 1, 9.1
Факт — 9.1
fsrypa — 3.1; геометрическая ф. 3.1
пзика — 1; донью тонов окая ф. 8.3; теоретическая и экспери¬
ментальная ф. 9.1; основы ф. 6.2
философия — 9,1; ф. Ньютона 1; марксистско-ленинская ф. 3.3,
9.1
^пнитн ость — 6.2
орма — 7.2; ф. шкал интервалов 7.2
формализация — 7.2, 9.1, 9.2
формальный подход в теории измерений —■ 6.2, 8.1
Формула — 3.4; ф. размерностей 3.4
унктор — 8.2
функция — 7.1; ф. расстояния 4.3, 6.3, 7.1; ф. полезности 6.3, 8.2;
эмпирические ф. 2.2, 6.2; ф. метризации 6.3; ф. шкальных
значений 6.2; ф. представления 6.1; вещественные ф. 7.2;
монотонность ф. 7.1
Характеристика — 6.3: эмпирическая и числовая х. 6.3, 7.1, 9.1;
статистические х. 5.2; синтаксические и семантические х. 8.2;
х. фундаментального измерения 6.2; операциональные х. из¬
мерительных процедур 7.2; топологические х. 3.3; математиче¬
ские х. измерения 2.1
Центр тяжести— 8.2
цифра — 2.2, 2.3
цифровая символизация — 2.1
цифровое приписывание — 2.3, 5.1
Часть и целое — 6.3
318

число — 1, 2.2, 2.3, 3, 3.1, 3.2, 5.2; действительные ч. 2.3, 3.1, 5,2;
действительные ч. 3.1, 3.3, 4.3, 5.2, 8.3; кардинальные (коли¬
чественные) ч. 2.2, 3.3, 3.4, 5.2, 6.3, 7.1, 8.2; натуральные ч.
3.1; целые ч. 3.1, 5.2; абсолютные ч. 3.1; иррациональные ч.
1, 3.1; комплексные ч. 3.1; ординальные (порядковые) ч. 1,
3.3,	3.4, 4.1; приписывание ч. 2.2, 5.1, 7.1, 9.1, 9.2; числовое
представление 2.2, 5.2, 8.1, 8.2; числовое обозначение 2.3, 3.1;
числовое отношение 6.1, 8.1; операции над ч. 9.1; числовое
утверждение 8.4; числовая квантификация 9.1; именованные-
ч. 2.3, 3.1, 3.4, 5.2; физическое понятие ч. 5.2, S.2; безразмер¬
ные ч. 3.4
чувствительность — 8.3; ч. измерительного устройства 6.2
Шкала — 2.1, 4.1, 6.2; ш. измерения 4.1, 6.2, 6.3, 9.1; интерваль¬
ная ш. 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, 7.1; аддитивная ш. 3.5, 6.2, 6.3; кон¬
цептуальная ш. 4.1; ш, отношений 5.2, 7.1; ординальная ш-
6.2,	7.1, 8.4; производные и ассоциативные ш. 5.1; топологи¬
ческая ш. 4.1, 5.1; абсолютная ж. 5.2; начало ш. 4.2, 4.3, 7.1,
7.2; абсолютное начало ж. Кельвина 7.1, 7.2; ж. порядка 6.2,
7.1,	7.2; ж. измерительных устройств 2.1; материалы:а я т.
4.1,	4.3, 7.2, 8.4; тип щ. 5.1, 7.1; ж. температур 3.5, 4.2. 4.3,
6.2,	6.3, 7.1, 7.2; метрическая ш. 4.3, 5.2, 6.2, 7,1, 7.3; неметри¬
ческая ш. 4.1, 4.3, 5.1, 5.2, 7.1; номинальная ш. 7.1, 7.2, 8.1;
разностная ш. 7.1, 8.4; линейная интервальная ш. 4.3, 7.1;
ж.	твердости 3.4, 6.2; логарифмическая ж. 4.2, 4.3, 7.1; гп.
Реомюра 7.1; комбинированная ш. 6.2, 7.1; инвариантности
ш. 7.1, 7.2; индивидуальные ш. 7.1, 7.2; равномерные и неравно¬
мерные шкалы 4.3, 6.3; ж. полезностей 6.2, 7.2
шкалирование — 4.1, 5.1, 5.2, 6.3, 7, 7.1, 8.4, 9.2; способ ж. 8.4
шум — 8.3	1
Эквивалент — 6.2; эмпирический э. 3,5, 4.2, 4.3, 6.2, 8.1, 8.2
эконометрия — 1
экономика — 1
эксперимент — 2.1, 8.1; измерительный э. 2.3, 8.3, 8.4, 9.1; план э.
8.4; повторяемость э. 8.3
экспликация — 4
экстраполяция — 6.2
элемент пулевой — 4.2
эмоции — 2.1
эмпиризм — 1; чистый э. 9.1; субъективный э. 9.1
эмпирическая операция — 2.2. 6.1
эмпирическая процедура — 2.1, 8.3
эпоха Возрождения — 4.2
Язык науки — 3.2; я. выражения 2.2, 3.2; качественный я. 3.2;
количественный я. 3.2; я. математики 9.2

СОДЕРЖАНИЕ
От издательства
Предисловие автора
1,	Введение
2.	Измерение
2.1.	Понятие измерения
2.2.	Определение понятия измерения
2.3.	Предмет, функция и сфера измерений
.3. Be личины
3.1.	Количества, величины, числа. История вопроса
3.2.	Количество и величина
3.3.	Объект измерения
3.4.	Единицы измерения, именование п размерность
3.5.	Классификация величин
■4 Шкалы
4.1.	Понятие шкалы
4.2.	Начало шкалы
4.3.	Расстояние
5. Квантификация
5.1.	Шкалирование
5.2.	Подсчет
■8. Теория измерений
6.1.	Репрезентацнониая теория измерений (теория пред*
ставлений)
6.2.	Виды измерений
6.3.	Метризация
6.4.	Теорема представления
7. Теория шкал
7.1.	Классификация типов шкал
7.2.	Преобразования шкал и теорема единственности
.8. Методологические проблемы измерения
8.1.	Аксиоматизация систем измерений ......
8.2.	Эмпирические отношения и операции
8.3.	Точность измерений
8.4.	Осмысленность, валидность и надежность измерений
г9. Философские проблемы измерений
9.1,	Материалистические основания измерений
9.2,	Возможности ж пределы измерений
Библиография
Бирюков Б. В,, Михеев В, И. Измерение как объект логико¬
методологического и философского анализа (Послесловие)
Именной указатель
Предметный указатель
5
6
9
24
24
31
40
49
51
57
62
72
94
105
105
110
П5
128
128
132
141
142
145
166
189
197
197
209
221
222
228
238
247
253
253
264
268
275
306
308