/
Author: Дуран А.
Tags: математика геометрия искусство серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0722-9
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
27
Поэзия чисел
Прекрасное и математика
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Антонио Дуран
Поэзия чисел
Прекрасное и математика
Москва - 2014
IXAGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 27: Антонио Дуран. Поэзия чисел. Прекрасное и математи-
ка. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
Поэзия — недоказуемая истина. Математика же, напротив, состоит из доказательств.
И все-таки у этих двух сфер есть что-то общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать,
что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики,
элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». Мате-
матик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную
связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Цель этой книги —
на нескольких ярких примерах показать красоту математики.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0722-9 (т. 27)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Antonio J. Duran Guardeno, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: Getty Images, Corbis.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие........................................................ 7
Глава 1. Место красоты в математике................................ 9
«Пробуждать душевное наслаждение».................................. 10
Парфенон и математика Архимеда: здание из идей...................... И
Смерть Архимеда и его инженерные достижения...................... 14
Легенды об Архимеде.............................................. 17
Квадратура параболы............................................. 20
Математика: результат творчества или открытия?.................... 26
«Метод» Архимеда и письменные источники......................... 27
Рукопись С...................................................... 30
Последние перипетии в истории палимпсеста Архимеда.............. 33
Глава 2. Почему оценить красоту
математики непросто............................................. 35
Пять чувств и изобразительное искусство............................ 35
Живопись........................................................ 35
Музыка.......................................................... 39
Пример из гастрономии........................................... 40
Литература....................................................... 41
Когда пяти чувств недостаточно.................................... 42
Сплетение судеб................................................... 44
Касательные окружности, рациональное приближение, диофантовы уравнения
и роман «Улей».................................................. 46
Донья Роса, или построения с касательными окружностями.......... 47
Мартин Марко, или рациональное приближение иррациональных чисел. 52
Донья Роса — Мартин Марко, Форд — Дирихле и Гурвиц.............. 61
Хулита, или диофантово уравнение р2 + q2 + г2 = Зрдг............ 65
Уравнение Маркова............................................... 70
Глава 3. Абстрактное и эмоциональное: математика
и человеческая природа.......................................... 75
Математика и ее контекст.......................................... 76
Фракталы и размерность Хаусдорфа.................................. 78
5
СОДЕРЖАНИЕ
Пример с окружностями Аполлония................................. 81
Пример на основе треугольника................................... 83
Фрактальная природа техники разбрызгивания красок Поллока.......... 87
Хаусдорф: самый борхесовский математик............................. 89
«Сухие венки в святилище жизни».................................... 93
И в завершение..................................................... 97
Глава 4. Цель: красота математических рассуждений.................. 99
Англичанин, который не любил Бога.................................. 99
«Апостолы» ......................................................101
Сотрудничество с Рамануджаном ...................................103
Искусство и математика: целесообразность без цели? .................105
Общность и глубина.................................................108
Пример из Эйлера как отправная точка............................109
Размышления Харди применительно к практике......................114
Неожиданная, неизбежная, экономичная и озаряющая.................. 117
Бесконечное у Эйлера и возвышенное у Канта.........................119
Очарование географических открытий.................................123
Глава 5. История и красота.........................................125
От Венеры Виллендорфской — к ready-made Дюшана.....................125
От вавилонян — к теории множеств...................................130
Ядовитая змея в гнезде.............................................133
Кантор и анархистская природа математики...........................137
Доказательство Кантора..........................................139
Абсолютная бесконечность и наследие Кантора.....................140
Падение гения ..................................................142
Библиография.......................................................147
Алфавитный указатель...............................................149
6
Предисловие
Поэзия — это недоказуемая истина. Согласно словарному определению, цель по-
эзии — передать красоту с помощью слов. В том же толковом словаре математи-
ка определяется как дедуктивная наука, исследующая свойства таких абстрактных
сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между
ними. В это определение следовало бы включить один очень важный элемент: когда
математик выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, он
часто руководствуется их красотой. Лингвисты, которым буквы ближе, чем числа,
видимо, не поняли до конца неразрывную связь между математикой и прекрасным,
хотя кто-то из великих сказал, что именно красота — проводник на пути к матема-
тическим открытиям.
Математик находится посередине между наукой и искусством, и это также до-
казывает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмо-
циями. Анри Пуанкаре писал: «Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые
математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь
интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы за-
быть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом
полном смысле этого слова».
Обо всем этом — о красоте математики, сколь реальной, столь и труднодости-
жимой, об эмоциях, неразрывно связанных с этой необычной наукой, и о многом
другом рассказывается в нашей книге. Ее цель — показать красоту математики
и на нескольких ярких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с мате-
матикой эмоций. Автор не ставил перед собой задачу создать развернутый теорети-
ческий дискурс или нагромоздить целую гору рассуждений и аргументов в защиту
заявленной темы. Слишком много теоретизировать по поводу красоты математики
столь же абсурдно, как и пытаться объяснить, чем именно прекрасна Девятая сим-
фония Бетховена.
Все примеры представлены в соответствующем историческом и эмоциональном
контексте, и их яркая мозаика раскрывает важные эпизоды человеческой истории
за последние двадцать пять столетий. Автор постарался сделать изложение напря-
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
женным и интересным. Разумеется, мы не забыли и о традиционных искусствах —
живописи, литературе и архитектуре, на примере которых мы продемонстрируем
совпадения и подчеркнем различия.
8
Глава 1
Место красоты в математике
Если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, он наверняка лишь
удивленно поднимет брови. И тем не менее в массовом сознании укрепилась мысль
о том, что математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения
не лишены определенной красоты. Как это свойственно западной культуре, идея
о связи между красотой и математикой сформировалась под влиянием великих за-
конодателей мнений — классических древнегреческих философов. Для Платона про-
порциональность и соразмерность, составлявшие суть древнегреческой математики,
были синонимом красоты. Аристотель писал: «Важнейшие виды прекрасного — это
слаженность, соразмерность и определенность, и математика больше всего выяв-
ляет именно их». Впоследствии красоту математики восхваляло множество ученых
и мыслителей. «Геометрия есть архетип красоты мира», — писал астроном, астролог
и математик Иоганн Кеплер в XVII веке. Позднее, уже в XX столетии, философ
и логик Бертран Рассел отмечал: «Математика владеет не только истиной, но и выс-
шей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся
к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искус-
ства». Лауреат Нобелевской премии по физике Поль Дирак говорил: «Физические
законы должны обладать математической красотой».
И все же если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, никого
не удивит скептическое выражение его лица. Должно быть, красота математики по-
добна очарованию классических произведений: о нем знают почти все, но мало кто
смог почувствовать его сам.
Эту книгу следует начать с выражения, отражающего массовые представления:
математика обладает красотой. Но чтобы умерить пыл излишне оптимистичных чи-
тателей, следует добавить, что насладиться этой красотой непросто. В этой главе
мы объясним, в чем заключается красота, которой, по нашему мнению, обладает
9
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
математика, а в следующей главе обсудим, почему математическую красоту столь
сложно оценить. И вначале уточним значение понятий, о которых пойдет речь, то есть
определим, что означает «математика» и «красота».
Британский физик Поль Дирак (1902-1984),
совершивший множество открытий в квантовой механике, —
один из многих ученых, видевших связь между математикой и красотой
«Пробуждать душевное наслаждение»
О том, что такое красота, написано множество скучных эссе и высказано множество
мнений, как тревожных, так и приторно-слащавых. К первым можно отнести стихи
Райнера Марии Рильке «Дуинские элегии»: «Красота — только первый укол ужаса,
переносимый, но как сердце зашлось оттого, что мы поняли холод, с которым она
отстранилась, чтоб нас не разрушить»1, ко вторым — фразу Стендаля «Красота есть
обещание счастья». В этой книге мы не будем углубляться в научные трактаты в по-
исках сложного определения прекрасного или эстетичного. Обратимся к словарю. Вы
увидите, что даже ничем не примечательное на первый взгляд словарное определение
может оказаться весьма интересным.
В словаре мы прочтем такие строки: «Красота — свойство людей или вещей, ко-
торое заставляет любить их, пробуждая в нас душевное наслаждение». Мне кажется,
что это прекрасное определение: оно показывает, что красота предмета подразуме-
вает то или иное воздействие на зрителя. Составители словаря сходятся во мнениях
с Вольтером, который в своем философском словаре писал: «Для вкуса недостаточ-
но видеть или знать красоту шедевра: нужно почувствовать ее, нужно попасть под
1 Перевод О. Слободкиной. — Примеч. ред.
10
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
ее влияние». Математика прекрасно отражает личные предпочтения большинства
ученых, с которыми я познакомился на протяжении своей карьеры (и, разумеется,
мои собственные предпочтения): увлечение, любопытство и интерес, которые в нас
пробуждает математика (значит ли это, что мы любим ее?), мы объясняем красотой,
которую мы в ней видим, душевным наслаждением, которое мы испытываем, когда
занимаемся математикой, эстетическим удовольствием, которое она вызывает в нас.
Восхищение, испытанное мной после знакомства с определением красоты, пред-
ложенным лингвистами, сменилось разочарованием, когда я дочитал словарную ста-
тью до конца: «Это свойство (красота) существует в природе и в произведениях
искусства». Лингвисты совершили непростительную ошибку — они забыли причис-
лить к сфере прекрасного научные работы. Но в этой книге мы не станем обходить
их стороной!
Понятие «математика» я буду трактовать в очень широком смысле. Разумеется,
в наше определение войдут математические идеи, понятия и рассуждения, а также их
сочетания. Иногда мы будем использовать выражение «математические рассужде-
ния» как синоним понятия «математика» в самом широком смысле, в других случаях
будем иметь в виду более конкретные объекты — теоремы, определения, доказа-
тельства, целые теории и даже эвристические рассуждения, необязательно имеющие
достаточное логическое обоснование.
Парфенон и математика Архимеда:
здание из идей
В этой книге мы утверждаем, что математика обладает красотой. Мы принимаем это
утверждение за недоказуемую истину со всеми поэтическими оттенками, которыми
обладает любая недоказуемая истина. Тем не менее это не помешает нам обсудить
некоторые вопросы. Вот первый вопрос, который вызывает это утверждение: если
математика обладает красотой, то где она находится? Как ее найти?
Вместо развернутого теоретического обсуждения обратимся к конкретике. Луч-
ше всего провести параллель с одним из видов искусства. Мы уже говорили в пре-
дисловии, что искусство дает множество примеров, но пусть читатель не забывает,
что они могут быть довольно неожиданными.
Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота ма-
тематики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Пар-
фенона?
И
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Строительство Парфенона на афинском Акрополе началось примерно в 447 году
до н. э., спустя несколько десятилетий после того, как персы опустошили город и раз-
рушили Акрополь до основания. Строительство Парфенона продолжалось почти де-
сять лет, еще несколько лет ушло на завершение отделки под руководством скульптора
Фидия. Из греческого храма Парфенон превратился в церковь, затем — в мечеть,
а в XVII веке турки использовали его как пороховой склад. В1687 году храм серьезно
пострадал при обстреле Афин венецианским флотом. В начале XIX века англичане
демонтировали значительную часть скульптур и фризов, украшавших фронтоны зда-
ния, так как они якобы нуждались в реставрации. Эти украшения до сих пор находятся
в Британском музее.
Однако оставшихся украшений, которые сохранились до наших дней, достаточ-
но, чтобы мы смогли ответить на вопрос, в чем заключается красота Парфенона.
Если мы внимательно рассмотрим здание Парфенона, то увидим, что его раз-
меры гармоничны, его колонны, слегка наклоненные к центру, имеют соразмерные
пропорции, а их особая форма компенсирует оптические искажения. Даже горизон-
тальные линии здания — например, линии антаблементов и лестниц — искривлены
так, что кажутся прямыми. За счет этого, по словам Джорджа Сантаяны, удалось
избежать сухости и жесткости, свойственной длинным прямым линиям. (Возмож-
но, подобные искривления, как отмечает архитектор Оскар Тускетс, объясняются
не столько эстетическими, сколько практическими причинами: они обеспечивали
сток дождевой воды, попадавшей в перистиль.) Наконец, Парфенон отличает гар-
мония декоративных элементов, в том числе элементов фронтонов главных фасадов,
которые мы можем представить — если нам позволит сила воображения, — глядя
на рисунки, планы здания и остатки украшений, хранящихся в Британском музее.
Вывод очевиден: красота Парфенона — в гармонии его архитектурных элементов.
Взяв этот вывод за основу, зададимся вопросом: из каких элементов состоят ма-
тематические рассуждения? Они состоят из математических идей. Иными словами,
красоту математических рассуждений следует искать в гармоничном сочетании ма-
тематических идей, из которых они состоят.
Этот вывод, к которому мы пришли не совсем прямым путем, привел еще 1одфри
Харолд Харди почти три четверти столетия назад в своем эссе «Апология матема-
тика». В этой небольшой книге, о которой мы подробнее поговорим в главе 4, Харди
пишет: «Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «об-
разы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Создаваемые
12
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Парфенон, вид сбоку. Вы можете
видеть, какой ущерб был нанесен
зданию в 1687 году при взрыве
турецкого порохового склада,
располагавшегося внутри храма.
Одна из метоп Парфенона, которая
в настоящее время хранится
в Британском музее. Эта метопа
украшала южный фриз храма,
декоративные элементы которого
были посвящены кентавромахии.
математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать кра-
сотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота
служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике».
13
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Настало время продемонстрировать гармоничное сочетание математических идей.
По разным причинам, которые я объясню чуть позже, я выбрал одно из них, не толь-
ко очень красивое, но и необычное: это расчет квадратуры сегмента параболы, из-
ложенный Архимедом в «Методе», одном из его фундаментальных трудов. Этому
примеру мы посвятим оставшуюся часть главы, так как, учитывая цель, которую
поставил перед собой автор этой книги, совершенно необходимо изложить все со-
путствующие обстоятельства и привести исторический контекст. Поэтому прежде чем
привести сам пример, вкратце расскажем о «жизни и чудесах» Архимеда. Сначала
мы изложим историю его смерти — возможно, одну из самых символичных историй
античного мира.
Смерть Архимеда и его инженерные достижения
О смерти Архимеда говорится в произведениях разных эпох, начиная от мозаики,
найденной при раскопках Помпеи, и заканчивая фресками Пеллегрино Тибальди
в библиотеке монастыря Эскориал в Мадриде и картиной Делакруа.
Эта история произошла в 212 году до н. э., спустя пять лет после взятия Сагунта
войсками Ганнибала, что стало началом Второй пунической войны. В этом году основ-
ные военные действия переместились на Сицилию, в частности в Сиракузы — город,
дружественный Карфагену, который в то время осаждали войска римского генерала
Марка Клавдия Марцелла. Рим хотел взять остров под контроль и захватить урожай
зерновых. Штурм Сиракуз завершился неудачей. Только после длительной осады
город сдался армии Марцелла, и римские солдаты занялись грабежами и разбоем.
Во время этих беспорядков и был убит Архимед, которому в то время уже перева-
лило за 70. Римский писатель Валерий Максим спустя два столетия так описывал
это событие:
«Римский солдат, ворвавшийся в дом Архимеда, чтобы ограбить его, направил
на ученого меч и спросил его, кто он такой. Архимед, целиком погруженный
в решение задачи, не назвал себя и, указав на линии, проведенные на песке,
сказал: «Пожалуйста, не трогай моих чертежей». Солдат, услышав в ответе
ученого оскорбление, отрубил ему голову, и кровь Архимеда смешалась с пло-
дами его науки».
14
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
На этой мозаике, найденной на раскопках Помпеи, изображен римский солдат,
который через мгновение обезглавит Архимеда, и кровь ученого прольется на его чертежи.
Смерть Архимеда следует считать трагической случайностью, так как генерал
Марцелл приказывал найти мудреца и сохранить ему жизнь. Плутарх в I веке так
описывал этот эпизод в своей «Жизни Марцелла»: «Нельзя усомниться в том, что
Марцелл очень сожалел об этом и, извергая проклятия, приказал привести к нему
солдата, который убил Архимеда. Затем Марцелл повелел разыскать родственни-
ков Архимеда и окружить почетом»2.
Марцелл проявлял интерес к Архимеду не потому, что тот был известным мате-
матиком: Архимед также был видным инженером. По легенде, он обладал сверхъе-
стественным даром изобретательства, и его считали почти полубогом: «Все тайны
Вселенной были известны Архимеду, — пишет Силий Италик в своей поэме «Пу-
ника» (I век). — Он знал, когда неяркие лучи нарождающегося солнца предвещают
бурю, неподвижна ли Земля или вращается вокруг оси, почему море, распростершееся
по земному шару, приковано к его поверхности, почему возникают волны на море
и каковы фазы Луны, какому закону подчиняются океанские приливы и отливы. Он
стал известен тем, что сосчитал, сколько песчинок на Земле; он, кто смог снять с мели
галеру силами одной женщины; он, кто поднял гору камней против уклона земли».
2 Перевод С. П. Маркиша. — Примеч. ред.
15
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
У Плутарха мы также находим упоминание легендарной способности Архимеда
использовать рычаги: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был
в дружбе и родстве, что данною силою можно сдвинуть любой данный груз; как со-
общают, увлеченный убедительностью собственных доказательств, он добавил сго-
ряча, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать,
он сдвинул бы с места нашу»3.
АРХИМЕД И ЕГО БОЕВЫЕ МАШИНЫ
Описания разрушительной силы военных машин Архимеда у классических историков напоминают
дантовские сцены: «Итак, римляне напали с двух сторон, и сиракузяне растерялись и притих-
ли от страха, полагая, что им нечем сдержать столь грозную силу. Но тут Архимед пустил в ход
свои машины, и в неприятеля, наступающего с суши, понеслись всевозможных размеров стрелы
и огромные каменные глыбы, летевшие с невероятным шумом и чудовищной скоростью, - они
сокрушали все и всех на своем пути и приводили в расстройство боевые ряды, - а на вражеские
суда вдруг стали опускаться укрепленные на стенах брусья и либо топили их силою толчка, либо,
схватив железными руками или клювами вроде журавлиных, вытаскивали носом вверх из воды,
а потом, кормою вперед, пускали ко дну, либо, наконец, приведенные в круговое движение скры-
тыми внутри оттяжными канатами, увлекали за собою корабль и, раскрутив его, швыряли на скалы
и утесы у подножия стены, а моряки погибали мучительной смертью. Нередко взору открывалось
ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех
пор, пока все до последнего чело-
века не оказывались сброшенными
за борт или разнесенными в клочья,
а опустевшее судно разбивалось
о стену или снова падало на воду,
когда железные челюсти разжима-
лись».
Фрагмент фрески Джулио Париджи
конца XVI века, на которой
изображена одна из хитроумных
военных машин, созданных
Архимедом.
3 Здесь и далее перевод С. П. Маркиша. — Примеч. ред.
16
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Удивительнее всего то, что Архимед использовал рычаги не только для переме-
щения огромных весов — он применил рычаги в чистой геометрии и провел с их по-
мощью сложные расчеты, в частности вычислил площадь сегмента параболы. О ре-
шении этой задачи мы расскажем чуть позже, а сначала приведем еще несколько
историй об Архимеде.
Легенды об Архимеде
Хотя Архимед был умелым инженером, по легенде, его больше всего интересовали
теоретические задачи геометрии. «Архимед, — пишет Плутарх, — был человеком
такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что
о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал на-
писать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричаст-
ное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие
занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потреб-
ностями жизни». И действительно, неизвестно никаких исследований Архимеда,
посвященных военным машинам, однако следует учитывать, что множество его работ
утрачены, а в сохранившихся можно увидеть практическую направленность — на-
пример, Архимед доказал, что число Л чуть меньше 22/7 и чуть больше 223/71.
Он вообще выделялся на фоне остальных математиков Древней Греции, а благодаря
решению некоторых задач стал героем легенд и анекдотов.
Кто не знает изречений «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю» или «Эв-
рика!»? Очевидно, что все они хотя бы отчасти соответствуют действительности.
Вспомним известную легенду, в которой рассказывается, как Архимед смог опре-
делить, из чистого ли золота сделана корона царя Гиерона, использовав разницу
плотности золота и серебра. Решив задачу, Архимед издал всем известный воз-
глас «Эврика!», который позднее стал боевым кличем ученых. Витрувий в девятой
из «Десяти книг об архитектуре» рассказывает эту историю так: «Гиерон, достигший
царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил
по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал
сделать его за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчи-
ку. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу,
в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же
того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца
в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное
ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду
17
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
НАГОТА АРХИМЕДА
Архимед изображен нагим не только в истории о 5 «Эврике». В других сценах, исполненных гедо-
низма, мы вновь встречаем похожие описания: «И нельзя не верить рассказам, будто он был тай-
но очарован некоей сиреной, не покидавшей его ни на миг, а потому забывал о пище и об уходе
за телом, и его нередко силой приходилось тащить мыться и умащаться, но и в бане он продолжал
чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом,
проводил пальцем какие-то линии - поистине вдохновленный Музами, весь во власти великого
наслаждения»1 - пишет Плутарх в «Сравнительных жизнеописаниях».
Эта «вдохновленность Музами», свойственная любому ученому, погруженному в себя, не раз
вызывала возмущение церковных сановников: они видели в этом некий эротизм, уподоблявший
страсть к науке плотским страстям. Известны слова Блаженного Августина: «Помимо вожделения
плоти, которое заключается в удовольствии всех чувств и которому уступают те, кто становится
его рабом, удаляясь от Господа, также удаляется душой от Господа тот, кто испытывает пустое
любопытство, скрытое под эвфемизмами „знание" и .наука"». Отголосок этой мысли слышит-
ся во фразе Стивена Хокинга, одного из известнейших ученых наших дней: «Самое приятное
1 Перевод С. П. Маркиша. - Примеч. ред.
в жизни - открывать что-то, о чем раньше
никто не знал. Я сравнил бы это с сексом,
но он проходит куда быстрее, чем это потря-
сающее ощущение».
Гравюра конца XVI века, на которой
изображена знаменитая история «Эврики!»
Архимеда.
с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время
как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем
глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды.
И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя
от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что
нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика!»4
4 Перевод Ф. А. Петровского. — Примеч. ред.
18
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Эта история, как и все ее версии, не совсем верна с научной точки зрения. Как
в свое время совершенно справедливо заметил Галилей, опыт Архимеда, несомнен-
но, был намного точнее, чем это описано в исторических анекдотах. Очевидно, что
если бы Витрувий включил в свой рассказ подробное изложение опыта Архимеда,
его история утратила бы часть своей привлекательности, так как образ нагого уче-
ного, кричащего «Эврика, Эврика!», привлекает намного большее внимание, чем
образ того же ученого, склонившегося за рабочим столом.
Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью
зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических
источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного
инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, од-
нако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен
к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли
располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно,
он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно
ему.
Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда —
зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.
19
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида
вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом.
Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это по-
верхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.
Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно
из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, по-
казывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту
в математике.
Квадратура параболы
Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением
конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса
будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда
секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.
Полное фото семейства: конус и его отпрыски.
Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой
из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом
они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось
знать точное значение числа И. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры
гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось
20
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
найти квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один
удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием
«Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.
Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следу-
ющим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке Л, образованный сторонами
АВ и АС. Обозначим через г соотношение длин этих сторон: г = АВ /АС. Предла-
гаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС. Она будет располагать-
ся на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d). Соедините эту
точку с точкой отрезка АВ, находящейся на расстоянии d r от В. Если вы проведете
это построение для всех точек стороны АС, построенные отрезки будут описывать
кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем ри-
сунке: слева показаны несколько точек отрезка АС, соединенные с соответствую-
щими точками отрезка АВ, справа — парабола, описанная этими отрезками.
Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой от-
резка ВС. Точка V, где ось пересекает параболу, называется вершиной.
Парабола, ее ось и вершина.
21
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V.
На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С:
сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В,
а сторона DC будет касаться параболы в точке С.
Архимед доказал, что площадь сегмента параболы BVC равна одной третьей
площади треугольника BDC. Ключевым элементом его рассуждений стало умелое
использование рычага. Чтобы читателю было проще понять, приведем схему рассуж-
дений в общем виде. Сначала мы представим треугольник и сегмент параболы в виде
совокупностей отрезков прямых, затем вставим в геометрическую фигуру рычаг —
он позволит нам сравнить отрезки, на которые мы разделили обе фигуры. Затем
вновь составим из этих отрезков треугольник и параболу, которые будут находиться
в равновесии на концах рычага. Согласно правилу рычага, площади треугольника
22
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
и параболы будут обратно пропорциональны плечам рычага, уравновешивающего их.
Наконец, вычислим искомое соотношение плеч рычага. Чтобы читатель смог лучше
понять эстетику этих рассуждений, напомним ему фразу Эмиля Шартье (Алена):
«Прекрасное не доставляет удовольствие или неудовольствие — оно заставляет нас
задержаться». Подробные рассуждения выглядят следующим образом.
Архимед счел, что треугольник BDC образован множеством отрезков XT, па-
раллельных оси параболы (или стороне треугольника BD), а сегмент параболы BVC
образован множеством прямых отрезков ХР, параллельных оси параболы, как по-
казано на следующем рисунке. Представление геометрической фигуры в виде мно-
жества отрезков было чем-то доселе невиданным в математике. В следующий раз
этот метод был применен в XVII веке, спустя почти две тысячи лет.
Далее Архимед сравнил отрезки, из которых состояли рассматриваемые фигуры,
с помощью рычага. Плечо рычага будет располагаться вдоль прямой, соединяющей
вершину треугольника С с вершиной параболы V, а точкой опоры рычага будет точ-
ка F — точка пересечения плеча рычага и стороны BD треугольника. Левый конец
рычага Е будет располагаться в одной точке и находиться на том же расстоянии
от точки F, что и вершина С треугольника. Иными словами, длины отрезков E.F
и FC равны. Положение правого конца рычага Ed будет изменяться. Его определит
пересечение плеча рычага с одним из отрезков, образующих треугольник.
23
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Следовательно, если мы перенесем отрезок, образующий параболу, к левому концу
рычага Е., при этом на правом конце рычага Ed положение отрезка, образующего
треугольник, останется неизменным (как показано на рисунке ниже),
рычаг будет находиться в равновесии.
24
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Следовательно, при рассмотрении параболы как совокупности отрезков Архи-
меду удалось сбалансировать на разных концах рычага параболу (ее центр тяжести
совпадает с точкой Е.) и треугольник, центр тяжести которого, точка G, совпадает
с правым концом рычага.
Согласно правилу рычага, соотношение площадей параболы и треугольника об-
ратно пропорционально отношению плеч рычага, на которых располагаются пара-
бола и треугольник. Это соотношение равно одной третьей, что объясняется на сле-
дующей странице. Следовательно, площадь сегмента параболы BVC равна одной
трети площади треугольника BDC.
25
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
ПРОПОРЦИЯ И РАВНОВЕСИЕ
Рассмотрим подробнее, почему соотношение плеч рычага, на котором уравновешены треугольник
и парабола, равно одной третьей. В силу особенностей построения левое плечо рычага Неравно
отрезку FC, а правое плечо рычага - это отрезок FG. Центр тяжести треугольника - это точка
пересечения его медиан (прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами противопо-
ложных сторон). Центр тяжести делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины. Так как
FC - медиана треугольника (этот отрезок соединяет вершину С и середину стороны В), длина
отрезка FG будет равна одной трети длины отрезка FC.
Математика: результат творчества или открытия?
Рассуждения Архимеда, позволившие ему вычислить квадратуру параболы, помогут
нам ответить на непростой вопрос: можно ли назвать ученого творцом? Толчком
к этой полемике стали размышления об эстетике.
Большинство, возможно, полагает, что термин «творец» неприменим к ученым
в целом и математикам в частности. К примеру, Фернандо Саватер в «Вопросах
жизни» писал: «Творец — тот, кто создает что-то, что без него никогда не появи-
лось бы на свет, тот, кто привносит в мир что-то, что без него никогда не могло бы
существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем». Так,
Александр Флеминг не «изобрел» пенициллин, а открыл его: «Если бы он не от-
крыл пенициллин, рано или поздно другой мудрец открыл бы лечебные свойства
этого чудесного грибка. Напротив, если бы Моцарт или Сервантес умерли бы в мла-
денчестве, никто бы не написал «Волшебную флейту» и не рассказал бы историю
Дон Кихота». С философом Саватером согласны и другие ученые, например лауреат
Нобелевской премии по медицине Франсуа Жакоб.
Любой научный факт имеет два аспекта. Первый аспект — это само открытие,
будь то теорема, универсальный закон, галактика или химический элемент, вто-
рой — форма, в которой было совершено это открытие. Если мы используем термин
«открытие», то уместно было бы назвать ученых «первооткрывателями». Однако
26
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
порой случается — возможно, редко, но все же случается, — что ученого уместно
назвать творцом, так как он совершил или представил свое открытие совершенно
уникальным способом.
Так, можно сказать, что Архимед не был творцом соотношения площадей сегмента
параболы и треугольника — рано или поздно это соотношение обнаружил бы и другой
ученый. Однако Архимед не просто определил соотношение между площадями фигур,
а сделал это определенным образом. И именно этот конкретный способ уравновеши-
вания площадей посредством рычага можно назвать результатом творчества. Как мы
не можем представить картину «Менины» без Веласкеса, так и эти геометрические
рассуждения нельзя представить без Архимеда. Можно сказать, что Архимед открыл
формулу квадратуры параболы, но его исполненный эстетики метод разделения фигур
на отрезки с их уравновешиванием — результат творчества в полном смысле этого
слова, о котором говорил Саватер: «без него [это] никогда не могло бы существовать
именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем».
Если бы Архимед умер в младенчестве, никто не вычислил бы площадь сегмента
параболы, уравновесив ее с треугольником с помощью рычага, и это исторический
факт, а не личное мнение. Рассуждения Архимеда уникальны, а сам его труд под на-
званием «Метод», в котором ученый объяснил свои расчеты, дошел до наших дней
благодаря удивительным обстоятельствам. Подобно множеству античных научных
трудов и художественных произведений, работы Архимеда не раз могли бесследно
затеряться. И некоторые его книги действительно оказались утеряны. Эта участь
могла ожидать все или почти все труды Архимеда, которые на протяжении мно-
гих веков сохранялись в виде одной-двух рукописей. Ветер Истории переносил их
с одного побережья Средиземного моря на другое, как сухую листву, в то время как
совсем рядом гремели боевые барабаны, солдаты мародерствовали, а пожары унич-
тожали целые города.
«Метод» Архимеда и письменные источники
Древнейшие рукописи с трудами Архимеда, о которых нам известно, были созданы
в Константинополе в Х-м или, что маловероятно, в IX веке. Должны были существо-
вать и более древние рукописи, в том числе и написанные самим Архимедом в III веке
до н. э., но все они утрачены.
27
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Архимед наверняка создал все или большинство своих трудов в изоляции от дру-
гих ученых, в родных Сиракузах. В этом городе он родился в 287 году до н. э., одна-
ко в юности учился в Александрии — центре эллинистической математики и науки
вообще (Александрия имела этот статус начиная с момента основания Александром
Македонским и до V века). Закончив обучение в Александрии, Архимед вернулся
в Сиракузы, где прожил большую часть жизни. Если говорить современным язы-
ком, то научные труды Архимеда, дошедшие до наших дней, представляют собой
монографии. Они были написаны в разные годы и попали из Сиракуз в Алексан-
дрию и даже в Самос, где жил Конон, один из самых близких друзей Архимеда.
В число этих монографий входит «Метод», представляющий для нас наибольший
интерес. Это длинное письмо Архимеда к Эратосфену, который в то время был гла-
вой Александрийской библиотеки. В этом письме Архимед излагает свой метод со-
вершения научных открытий.
Весьма вероятно, что все произведения Архимеда попали в Александрию разны-
ми путями, и ни при его жизни, ни в первые годы после его смерти не образовывали
единое целое. По своему масштабу и размаху труды Архимеда значительно превос-
ходят «Начала» Евклида. Большая часть «Начал» содержала элементарные рас-
суждения, и это заставляет предполагать, что было создано множество копий труда
Евклида. А вот работы Архимеда имели более высокий уровень и были понятны
лишь посвященным. Естественно, что они существовали лишь в нескольких копиях,
которые, возможно, хранились в Александрийской библиотеке или в ее отделении
в Серапеуме. В результате часть копий была утеряна, другая серьезно пострадала.
Ущерб, нанесенный произведениям Архимеда, стал заметен уже спустя полвека по-
сле его смерти — об этом упоминали авторы, которые не смогли найти некоторые
из теорем Архимеда. Однако из других источников известно, что еще в III—IV ве-
ках существовали произведения Архимеда, до наших дней не дошедшие, — воз-
можно, они были утеряны при разрушении Серапеума в 391 году.
В первой трети VI столетия была предпринята попытка объединить труды Архи-
меда, упорядочить их и снабдить комментариями. Нельзя утверждать, что это была
первая из подобных попыток, но упоминаний о более ранних собраниях сочинений
Архимеда не сохранилось. Следующее действие этой истории развернулось в Кон-
стантинополе, когда на смену Восточной Римской империи пришла Византийская
империя, а императора Юстина, грубого и безграмотного служаку, сменил образо-
28
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
ванный Юстиниан, знаток богословия и права. Во время его правления, возможно,
возродился интерес к античной математике. Это не привело к появлению видных
математиков, однако в результате для потомков были сохранены некоторые важные
труды, в том числе произведения Архимеда. Это стало своеобразным реквиемом
по греческой науке: в 529 году Юстиниан издал указ о закрытии Академии Платона
и других научных и философских центров, которые якобы проповедовали языческое
учение.
Спустя три года император принял решение построить собор Святой Софии.
Именно авторы проекта нового собора, Исидор Милетский и Анфимий Тралльский,
помогли сберечь научное наследие греков, повелев найти и переписать все сохра-
нившиеся к тому времени классические труды, а также составить их списки. Один
из учеников Исидора Милетского и Анфимия Тралльского, Евтокий, составил сбор-
ник трудов Архимеда, которые смог найти, и прокомментировал три из них.
Два столетия спустя Византия вновь пережила период культурного, военного
и религиозного расцвета. Именно тогда были составлены три рукописи на греческом
языке, благодаря которым труды Архимеда, дошедшие до наших дней, стали из-
вестны ученым последнего тысячелетия. Эти три рукописи, по-видимому, появились
в одном и том же городе, Константинополе, в IX—X веках, однако они имели очень
разную судьбу. Из трех рукописей до наших дней дошла всего одна, и она не оставила
сколько-нибудь заметного следа в истории. А вот две исчезнувшие оказали огромное
влияние на европейскую математику XVII века, когда, говоря современным языком,
Архимед был самым цитируемым математиком, хотя его работы насчитывали уже
почти две тысячи лет. Обозначим эти три рукописи Л, В и С. Рукописи А и В, вместе
либо по отдельности, в XII веке попали из Константинополя на Сицилию, родину
Архимеда.
Рукопись В, возможно, содержала труды по механике и оптике. Она исчезла
в начале XIV века и о ней известно лишь то, что в XIII веке на ее основе некоторые
труды Архимеда были переведены на латынь.
Рукопись А жила бурной жизнью и пропала в середине XVI века, однако после
нее осталось довольно много потомков — копий, выполненных в середине XV —
середине XVI века, которые дошли до наших дней. Четыре копии, сохранившиеся
лучше остальных, находятся в Национальной библиотеке святого Марка в Венеции,
еще две — в Национальной библиотеке Франции.
29
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Разворот латинского перевода трудов Архимеда,
выполненного Вильгельмом Мербеке.
На основе рукописи А и ее списков, а также латинского перевода рукописи В было
подготовлено первое печатное издание трудов Архимеда на греческом и латыни. Эта
книга была издана в Базеле в 1544 году. С ее появлением математики Возрождения
и барокко наконец смогли познакомиться с большинством работ Архимеда.
Однако в эту книгу не вошел «Метод», которого не было в рукописях Л и В.
Рукопись С — единственная, местонахождение которой известно на сегодняш-
о
ний день. Ее обнаружил эрудит Йохан Гейберг, преподаватель греческого языка
в Кембриджском университете, в 1906 году. Этот документ представляет собой па-
лимпсест — древнюю рукопись, сделанную поверх более ранних записей. В нашем
случае поверх математического трактата был написан молитвенник для воскресных
служб и других христианских праздников.
Рукопись С
Рукопись С имеет удивительную историю. Возможно, это была последняя из трех
византийских рукописей с трудами Архимеда, и это единственная рукопись, местона-
хождение которой сегодня известно. Она оказала наименьшее влияние на математику,
так как считалась утерянной до 1906 года, и с момента ее обнаружения прошло чуть
больше ста лет.
30
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Судя по особенностям письма, рукопись была составлена примерно в 975 году.
Два с половиной столетия спустя кто-то решил, что поверх нее можно записать нечто
более интересное, и полностью соскоблил ее текст, чтобы лист пергамента можно
было использовать повторно. Рукопись Архимеда была дополнена листами из че-
тырех других книг. Листы пергамента были перемешаны, обрезаны и переплетены
снова, в результате новый текст был записан перпендикулярно старому. Перепис-
чик записал христианские молитвы поверх сложнейших и тончайших рассуждений
древнегреческого математика. С помощью ультрафиолетовых лучей ученые смог-
ли прочесть послесловие, где указывалось, что палимпсест был завершен 13 апреля
1229 года.
Труды Архимеда были скрыты христианскими молитвами, но время взяло
свое, и постепенно любопытство ученых привлек исходный текст рукописи. В се-
редине XIX века немецкий исследователь Константин Тишендорф, посетив Кон-
стантинополь, сообщил о том, что обнаружил палимпсест с математическими рас-
суждениями. Палимпсест постепенно начал раскрывать свои секреты. Тишендорф
не постеснялся вырвать из рукописи один лист, — он и не предполагал, что держит в
руках теоремы Архимеда. Этот лист, согласно завещанию Тишендорфа, в 1876 году
был продан Кембриджскому университету, где хранится и сейчас.
Следующим исследователем, который обратил внимание на эту рукопись, был
греческий палеограф Пападопулос Керамеус, который включил ее в каталог рукопи-
сей, опубликованный в 1899 году. Ему удалось прочесть несколько строк Архимеда,
которые он привел в своем каталоге. Согласно Пападопулосу, рукопись содержала
примечания XVI века (они не дошли до наших дней), где указывалось, что книга
принадлежала Лавре Саввы Освященного в Палестине. Неизвестно, как и почему
пергамент оказался в этом монастыре-крепости, затерянном в горах к югу от Вифле-
ема. Палимпсест неопределенное время находился в Палестине, после чего вернулся
в Константинополь, где его обнаружил Тишендорф в 1840 году и вырвал из него
один лист.
Несколько строк, опубликованных Пападопулосом Керамеусом, чрезвычайно
заинтересовали Йохана Людвига Гейберга, который в 1880—1881 годах опубликовал
прекрасное издание трудов Архимеда. В 1906 году Гейберг переехал в Константи-
нополь, где изучил палимпсест и понял, что в нем было сокрыто несколько трудов
Архимеда, два из которых, «Метод» и «Стомахион» (сохранилась лишь небольшая
часть последнего), не содержались ни в одной из известных на то время рукописей
31
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
с произведениями ученого. Еще один труд, «О плавающих телах», был известен
только по средневековому переводу рукописи В на латынь. Несомненно, обнаружение
рукописи С стало важнейшим событием нескольких последних столетий для понима-
ния классической науки. На основе фотографий пергамента Гейберг подготовил новое
издание трудов Архимеда, которое увидело свет в 1910—1915 годах (разумеется,
в собрание был включен и «Метод»). Глубина и серьезность исследования Гейберга
поражают, особенно если учесть, что в его распоряжении находились очень скудные
технические средства, а прочесть оригинальный текст было непросто.
БОЛЬ В ЖИВОТЕ
Стомахион - греческое слово, которое означает «боль в животе», а также служит названием од-
ного из трудов Архимеда и геометрической головоломки. В этой головоломке нужно составить
квадраты и другие фигуры из 14 частей, на которые разделен исходный квадрат. Собрать эту
головоломку сложно, поэтому она действительно может вызвать головную боль и даже боль в жи-
воте - именно таково происхождение ее названия и названия труда Архимеда, который известен
только благодаря отрывку, переведенному на арабский, и двум страницам палимпсеста, которые
дошли до нас в очень плохом состоянии. По результатам изучения рукописи С сегодня считается,
что «Стомахион» Архимеда мог быть трактатом по комбинаторике. Это открытие, которое, впрочем,
не подтверждено документально, учитывая недостаток материала и его плохое состояние, стало
настоящим сюрпризом, ведь древнегреческие математики, и в частности Архимед, были очень
далеки от комбинаторики.
которыми можно составить исходный квадрат из элементов головоломки
32
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
История рукописей Архимеда гласит, что «Метод» был неизвестен математи-
кам практически с момента создания и до публикации Гейбергом в начале XX века.
Следовательно, неизвестным оставался и метод расчета площади сегмента параболы,
который мы описали в предыдущем разделе. У нас нет сведений ни об одном матема-
тике, который на протяжении двух тысячелетий с небольшим вычислил бы площадь
параболы, уравновесив ее на одном рычаге с треугольником. Это доказывает, что
если бы Архимед умер в младенчестве, этот способ вычисления площади сегмента
параболы никогда не существовал бы именно в таком виде, а не в другом, более или
менее похожем. Никому никогда не удалось повторить рассуждений Архимеда. Так
что его метод, полный гармонии и красоты, можно по праву назвать результатом
творчества.
Последние перипетии в истории палимпсеста Архимеда
Было бы непростительно закончить эту главу, не рассказав о последних перипетиях
в истории рукописи С. После публикации Гейбергом палимпсест, скорее всего, был
украден. Его местонахождение было неизвестно на протяжении почти всего XX века,
пока он вновь не появился 28 октября 1998 года в Нью-Йорке на аукционе Christie’s.
Рукопись была приобретена за сумму, превысившую два миллиона долларов, неиз-
вестным американским коллекционером. Спустя несколько месяцев новый облада-
тель палимпсеста передал его Музею искусства Уолтера в Балтиморе для хранения
и изучения.
Интернет-страница The Archimedes Palimpsest Project («Проект„Палимпсест Архимеда*»)
содержит подробную информацию о восстановлении древней рукописи.
33
МЕСТО КРАСОТЫ В МАТЕМАТИКЕ
Палимпсест был тщательно отреставрирован и изучен знатоками античной на-
уки, реставраторами и специалистами по обработке изображений, которые ис-
пользовали самые современные технологии. Это неудивительно, ведь в ходе своей
одиссеи в XX веке рукопись пострадала больше, чем за предыдущие тысячелетия.
Несколько страниц исчезло, многие другие были серьезно повреждены плесенью,
из-за чего их содержимое стало невозможно разобрать невооруженным глазом (эти
повреждения особенно заметны, если сравнить современное состояние палимпсеста
с фотографиями Гейберга), наконец, кто-то, посчитав, что это привлечет интерес
к рукописи и повысит ее цену, изобразил на ней четыре миниатюры из жизни еван-
гелистов — в результате поврежденными оказались еще несколько страниц.
34
Глава 2
Почему оценить красоту
математики непросто
Как мы уже говорили в начале предыдущей главы, никто не удивится, если случайный
прохожий, которого мы спросим об эстетической ценности математики, лишь скепти-
чески поднимет брови. Мы же считаем, что эта эстетическая ценность, безусловно,
существует, и сомнения случайного прохожего означают лишь одно: оценить красоту
математики непросто. Здесь и возникает вопрос, вынесенный в название главы.
Пять чувств и изобразительное искусство
Мы знаем, что красота математических рассуждений заключается в гармоничном
сочетании идей, которые их образуют, подобно тому как красота здания складыва-
ется из гармоничного сочетания его архитектурных элементов. Однако большинству
людей намного сложнее оценить красоту теоремы, чем красоту готического собора.
В чем же причина? По нашему мнению, ответ на этот вопрос лежит в области
физиологии: людям сложно оценить эстетическую ценность математических рас-
суждений, так как нам не хватает отдельного чувства, позволяющего автоматически
различить структуру идей, составляющих рассуждения, и оценить гармоничность их
сочетания.
Прежде чем обсудить это утверждение, приведем несколько примеров, показы-
вающих тесную связь между нашими чувствами и визуальным искусством.
Живопись
Начнем с живописи. Можно сказать, что красота картины заключается в гармонич-
ном сочетании ее элементов: форм, цветов, композиции, пространства, света и даже
текстуры. Из утилитарных соображений рассмотрим живопись с чисто формальной
35
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
точки зрения, оставив в стороне ее этическую, моральную и другую ценность и функ-
ции. Об этом мы поговорим позже.
Как бы то ни было, все элементы картины, а также связи между ними восприни-
маются зрением напрямую.
Рассмотрим наскальный рисунок. Он состоит из простых цветных пятен на стене
пещеры. Зрение позволяет нам понять, что на рисунке изображены животные
и люди на охоте. Мы с первого взгляда увидели всю структуру форм картины, и те-
перь наш мозг может решить, гармонична ли ее композиция.
Наскальный рисунок на плато Тассилин-Адджер на юго-востоке Алжира.
Плато объявлено объектом всемирного наследия ЮНЕСКО,
так как на нем было сделано множество ценных археологических находок.
Точно так же достаточно одного взгляда, чтобы оценить картину Яна ван Эйка
«Портрет четы Арнольфини» — мозг автоматически получает информацию о цве-
тах и может определить, кажется ли картина красивой.
Так же автоматически зрение воспринимает композицию фрески Рафаэля «Афин-
ская школа» в Ватиканском дворце: персонажи картины, в числе которых можно
увидеть Пифагора, Евклида, Птолемея и, разумеется, Платона и Аристотеля, рас-
36
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
«Портрет четы Арнольфини» — картина Яна ван Эйка, созданная в 1434 году,
хранится в Лондонской национальной галерее.
положены симметричными группами. Мы мгновенно воспринимаем расположение
персонажей под куполами, ограничивающими сцену, и глубину, созданную с помощью
методов перспективы. Вся эта информация очень быстро передается органами зрения
в мозг, и он может «решить», гармонично ли сочетание элементов композиции.
Ничто не ускользает от нашего взора: ни пространство и свет, изображенные
Веласкесом на картине «Менины», ни даже текстура мазков «Сеятеля» Ван Ibra —
здесь зрение словно заменяет тактильные ощущения.
37
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
«Афинская школа» — фреска, созданная Рафаэлем Санти в 1510-1511 годах
для Ватиканского дворца.
Слева — «Менины», картина Веласкеса, написанная в 1656 году, сейчас хранится в музее
Прадо. Справа — фрагмент картины «Сеятель», созданной Винсентом ван Гзгом в 1888 году,
в настоящее время хранится в частной коллекции.
38
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Музыка
Похожие рассуждения будут справедливы для музыки и органов слуха. Здесь нужно
рассмотреть последовательность музыкальных аккордов во времени, их кинетический
характер. Философ Монро Бирдсли писал: «Музыка есть искусство, которое течет
со временем: она колеблется, подпрыгивает, колышется, становится неспокойной,
поднимается, запинается и беспрерывно движется». Эта временная упорядоченность
музыки, которая отсутствует в живописи, также крайне важна в математике. Теорема,
подобно симфонии, начинается, продолжается и заканчивается, и порядок располо-
жения ее составных частей имеет огромное значение.
Последовательный характер музыки очень важен для ее восприятия: чтобы оце-
нить эстетику мелодии, нужно обладать определенной звуковой памятью. При этом
звуковая память человека не особенно развита по сравнению, например, с визуальной.
Как-то раз я услышал такую фразу: человек, слушающий квартет Брамса, подо-
бен рыбе, смотрящей «Психоз» Хичкока. Наша кратковременная звуковая память
не способна фиксировать сложные последовательности звуков, и еще меньше она под-
ходит для распознавания подобных последовательностей с легким изменением ритма
каждые несколько минут. Именно это чувствует рыба, которая смотрит на киноэкран:
увидев эпизод фильма, уже спустя несколько минут или даже секунд она забывает
его и не способна узнать персонажа, который на мгновение исчез с экрана. Мне
кажется, что способность людей запоминать сложные мелодии также проявляется
«Виолончелист». Снимок выполнен одним из пионеров фотографии
Антоном Джулио Брагалья в 1913 году.
39
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
в распознавании абстрактных элементов грамотных математических рассуждений.
Как следствие, ограниченные способности распознавания подобных шаблонов, кото-
рые столь часто встречаются в математике, всерьез мешают нам оценить их красоту.
Схожесть музыки и математики легла в основу множества эссе, которые уже на-
писаны и наверняка появятся в будущем. Не будем забывать слова великого Лейбни-
ца: «Музыка есть тайное упражнение в арифметике ведущей счет, но не сознающей
этого души». Далее мы ограничимся тем, что подчеркнем важное различие между
музыкой и математикой. Когда мы наслаждаемся музыкой, органы слуха последо-
вательно и автоматически передают мозгу мелодию, ритмические элементы, ее ритм,
композицию и так далее. Располагая этой информацией, мозг определяет, можно ли
считать элементы мелодии гармоничными, а музыку — красивой. Но какое из на-
ших чувств автоматически передает мозгу последовательность математических идей,
которые содержит великая теорема?
Пример из гастрономии
Все эти рассуждения справедливы и в более сложных ситуациях, когда участвуют
несколько чувств, например в гастрономии, поэтому процесс сенсорного восприятия
более сложен, но столь же эффективен. Так, в дегустации вина участвуют все чувства,
начиная со слуха, который передает в мозг звук вина, льющегося в бокал (по этому
звуку можно оценить содержание в вине глицерина и алкоголя); за ним следует зре-
ние, которое передает тональность и насыщенность цвета; обоняние, транслирующее
мозгу множество информации о запахах, в формировании которых участвуют раз-
личные сорта винограда, особенности изготовления вина, условия и продолжитель-
ность выдержки; букет, позволяющий оценить соотношение четырех основных вкусов;
и даже осязание, которое передает внутреннюю гармонию различных компонентов
вина. Все органы чувств сообщают мозгу информацию об органолептических свой-
ствах вина, позволяющую оценить его с эстетической точки зрения.
В последнем примере нужно учесть некоторые минимальные начальные условия,
без которых оценить эстетические свойства вина невозможно. Речь идет об отсут-
ствии определенных религиозных и моральных ограничений — пусть и в меньшей
степени, это соображение применимо для живописи и скульптуры: представьте себе
40
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
знаменитый тайный зал дворца Габсбургов, где хранились изображения обнаженной
натуры, или цензуру в нацистской Германии, запрещавшую полотна импрессиони-
стов, экспрессионистов, авангардистов и других представителей «дегенеративного
искусства». Необходимо обладать определенной культурой и развитой способностью
оценивать и различать вкусы и запахи, а также обонятельной памятью, которая по-
зволяет распознавать запах дегустируемого вина и сравнивать его с винами, попробо-
ванными ранее. И разумеется, важное условие — отсутствие атрофии органов чувств,
возникающей при встрече с некоторыми определенными вкусами и запахами. Совсем
нетрудно увидеть, что подобные начальные условия мешают нам наслаждаться ма-
тематическими рассуждениями: это и антипатия, которую добрая часть населения
испытывает к математике, и атрофия чувств, которую может вызвать подобная не-
любовь. Не будем говорить о причинах такого отношения к математике. Предлагаем
читателю поразмыслить: рекламной индустрии удалось совершить чудо и превратить
черный и сладкий освежающий напиток во «вкус жизни», просто повторив одну
и ту же фразу несколько миллионов раз; то же самое, но со знаком «минус», про-
изошло с математикой.
Литература
Наконец, рассмотрим пример, который намного ближе к математике, а именно лите-
ратуру. В этом случае органы зрения (или слуха, если кто-то читает нам книгу вслух,
либо осязания, если мы читаем книгу, набранную шрифтом Брайля) передают в мозг
сюжетные повороты романа и строчки стихотворения. Но если мозг фиксирует жи-
вописные элементы картины или мелодию струнного квартета автоматически, то для
восприятия литературы необходим определенный анализ. Причина в том, что эстети-
ческий объект, а именно литература, не имеет особенностей, доступных визуальному,
аудиальному, обонятельному или осязательному восприятию, а состоит из смыслов,
которые неощутимы органами чувств и являются результатом интенсивной работы
разума. Эстетическая ценность романа или стихотворения не написана черным по бе-
лому — она сокрыта в тексте. Литература обладает эстетической, но не осязаемой
ценностью.
41
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Когда пяти чувств недостаточно
Представленные выше примеры подтверждают исходное утверждение: красоту мате-
матических рассуждений сложно оценить потому, что у нас нет подходящего чувства,
которое позволило бы оценить композицию идей, в которой и заключена красота
математики.
Математические рассуждения, подобно литературе, обладают неосязаемой эсте-
тической ценностью: внешний вид, форма (в гегелевском смысле) математических
рассуждений, которые мы способы ощутить с помощью органов чувств, не имеют
отношения к их эстетической ценности — их содержимое и значение важнее. Ма-
тематика, хотя и служит для описания и понимания реальности, целиком заключена
в мозгу человека, и теорема — не более чем передача идей из одного мозга в другой,
при этом в качестве посредника используется бумага или доска. Следовательно, нет
ничего, что менее зависело бы от чувств, чем математика.
Поэтому неудивительно, что смысл математики можно понять только по резуль-
татам глубоких размышлений. Иными словами, математика — хранилище эстети-
ческой ценности, которую можно оценить не органами чувств, а в результате интел-
лектуального анализа. Именно поэтому оценить красоту математики сложнее, чем
красоту картины, скульптуры или музыкальной композиции. Усилия, необходимые,
чтобы разобраться в хитросплетении математических идей, составляющих теоре-
му, очевидно, не всегда одинаковы. Существуют способы, позволяющие упростить
эту задачу, и эти способы имеют отношение к органам чувств. Самый привычный
из них — сделать математические рассуждения более понятными с помощью рисун-
ков и геометрических фигур. В этом случае мы просто используем быстроту и лег-
кость, с которыми зрение передает в мозг необходимую информацию.
Хотя зрение, слух и осязание делают формулировку теоремы или ее доказатель-
ство доступными для мозга, структура идей в этой формулировке или доказатель-
стве необязательно будет заметной. Часто бывает, что она скрыта за логически-
ми преобразованиями, которыми изобилуют доказательства теорем, раздроблена
промежуточными действиями и доказательствами второстепенных утверждений,
которые скрывают основные идеи и мешают оценить их гармонию. Мозг оцени-
42
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
вает структуру идей, а в результате анализа элементов доказательства, его очист-
ки от незначительных элементов и переупорядочивания этот процесс не протекает
автоматически, и его итог может зависеть от уровня математической подготовки,
приложенных усилий и так далее.
На этой фотографии 1920 года Альберт Эйнштейн, Пауль Эренфест, Поль Ланжевен,
Хейне Камерлинг-Оннес и Пьер Вейс изображены за обсуждением у доски.
43
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Органы чувств автоматически передают мозгу информацию о форме, цветах,
композиции, пространстве, освещении и текстуре картины, о гармоничности и рит-
мичности музыкальной композиции, однако в математике этого не происходит: ана-
лиз, выполняемый в этом случае, требует усилий. И чем больше усилий необходимо,
чтобы понять математические рассуждения, тем сложнее оценить их красоту. Од-
нако, возможно, удовольствие, испытанное при виде их красоты, будет выше, ведь
за сложностью могут скрываться блестящие, глубокие и даже гениальные матема-
тические идеи.
Понимание структуры идей, в зависимости от гармонии их составляющих, про-
буждает эстетическое удовольствие, «душевное наслаждение», как сказано в сло-
варе. Перефразируя описание эстетической ценности, которое привел философ
Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты», можно сказать, что это
объективированное удовольствие, интеллектуальное наслаждение, которое мы мо-
жем получить, если изучим и поймем некую теорему, является центральной эсте-
тической категорией, свойством математических рассуждений, которое наделяет их
красотой.
Органы чувств передают в мозг информацию о том, что происходит вне его, сле-
довательно, без них невозможно насладиться красотой чего бы то ни было, будь
то картина, симфония или пейзаж. Тем не менее удовольствие, которое вызывает
красота, лежит не только в плоскости чувств, но и требует вмешательства разума.
«Довольствия, которые доставляет красота, — писал Фернандо Саватер, — наи-
менее „зоологические*1 из всех». Так, было бы неразумно полагать, что собака или
горилла оценят эстетику готического собора или картины Веласкеса. Последователи
Сантаяны утверждают, что существует тесная взаимосвязь между эстетическими
ценностями и другими жизненно важными представлениями человека. Витгенштейн
возвел эту взаимосвязь в абсолют, сформулировав уравнение: «Этика равна эстети-
ке». В любом случае, именно этот союз красоты и разума делает математику вмести-
лищем эстетической ценности.
Сплетение судеб
Как мы уже говорили в предисловии, цель этой книги — не развернуть сухое и скуч-
ное обсуждение эстетической ценности математики, а продемонстрировать на при-
мерах некоторые основные принципы математической красоты. К этому мы сейчас
и приступим.
44
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Вы уже знаете, как сложно увидеть красоту, сокрытую в математических рас-
суждениях. Похожие сложности возникают в попытках оценить эстетику литера-
туры. Однако литература описывает природу человека, что несколько упрощает ее
восприятие: эмоции намного ближе, понятнее и поэтому интереснее нам, чем хо-
лодность прямоугольного треугольника или экзотичность простого числа. Однако
математика также имеет эмоциональную составляющую, причем более интенсивную
и важную, чем можно предположить. Об этом мы поговорим в следующей главе.
Мы, математики, должны уметь использовать эмоции в той же степени, что и пи-
сатели, и переводить на математический язык, пусть и с необходимыми оговорками,
некоторые приемы из арсенала романистов. Расскажем об одном из таких приемов.
Одна из главных целей любого романа и, возможно, его основное достоинство
заключается в том, чтобы показать богатство, разнообразие и сложность челове-
ческой природы. В XX веке возник стилистический прием, позволяющий достичь
этой цели, — это изображение человеческого муравейника, в который неизбежно
превращается любой большой город, и плотной сети взаимоотношений между его
жителями. Так родились романы с великим множеством персонажей, изображавшие
сложность кишащего людьми мегаполиса; эти персонажи в романе, кажется, никак
не пересекаются друг с другом, но постепенно скальпель автора рассекает реальность
и обнаруживает плотную сеть удивительных взаимосвязей между героями. К жемчу-
жинам этого стиля принадлежат «Манхэттен» (1925) американского писателя Джона
Дос Пассоса и «Улей» (1951) испанского писателя Камило Хосе Села, лауреата Но-
белевской премии по литературе, в котором описывается 296 воображаемых и 50 ре-
альных персонажей, хотя большинство из них появляются на сцене лишь ненадолго.
В математике достаточно часто случается так, что различные законы и теоремы
кажутся далекими друг от друга, однако в итоге между ними обнаруживается нераз-
рывная связь. Математика представляет собой единое целое, и часто всего один
взгляд под правильным углом или одна блестящая идея позволяют связать и объ-
единить результаты, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой. Как
и в романах «Манхэттен» и «Улей», демонстрация этого богатства скрытых взаи-
мосвязей позволяет ярче выразить красоту математики. Хорхе Вагенсберг в сво-
ей книге «Интеллектуальное наслаждение» отмечает, что поиск общего принципа
в различном — важнейший источник эстетического удовольствия: «Понять, что две
вещи, по сути, различные, есть в конечном итоге одно и то же, — основа понимания
45
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
и редкого интеллектуального наслаждения». Оставшуюся часть этой главы мы по-
святим примеру, доказывающему истинность этого суждения.
Касательные окружности, рациональное приближение,
диофантовы уравнения и роман «Улей»
Среди великого изобилия законов, теорем и гипотез, населяющих необозримый мир
элементарной математики, выберем случайным образом трех главных героев нашей
истории. Как и на страницах «Улья», эти персонажи кажутся настолько далекими друг
от друга, насколько это позволяет невероятная широта и многообразие математики.
Однако в конечном счете отсутствие связей оказывается мнимым.
Первый персонаж нашей истории живет в старом квартале геометрии: это по-
строение, в котором участвуют касательные окружности. Для удобства я дам имена
всем трем нашим персонажам. Не думаю, что читатель очень удивится, когда узнает,
что я дал им имена героев романа «Улей». Так, я назову нашего первого героя до-
ньей Росой. В романе Селы донья Роса — хозяйка кафе «Утеха», где происходит
действие многих эпизодов романа. «Мир для доньи Росы,— пишет Села,— это
ее кафе и все прочее, что находится вокруг ее кафе. Говорят, что, когда приходит
весна и девушки надевают платья без рукавов, у доньи Росы начинают поблески-
вать глазки. Я думаю, все это болтовня: донья Роса не выпустит из рук серебряной
монеты ни ради каких радостей жизни. Что весной, что осенью. Самое большое удо-
вольствие для нее — таскать взад-вперед свои килограммы вот так, прохаживаясь
между столиками»1.
Второе действующее лицо нашей истории живет в рабочем районе приближений:
это метод, позволяющий верно определить приближенное значение произвольного
числа, например у[2 или Л, с помощью дробей. Этого персонажа я назову Мартин
Марко. В романе «Улей» Мартин Марко — поэт-идеалист левых взглядов, который
остался вне игры, когда закончилась гражданская война: «Мартин Марко, бледный,
изможденный, в обтрепанных брюках и потертой куртке, прощается с официантом,
поднеся руку к полям своей убогой, грязной серой шляпы». Мартин Марко выжива-
ет только благодаря заботам друзей и старых знакомых, питается жареными яйцами,
которые тайком от мужа готовит ему сестра Фило, и ночует в свободных кроватях
отдыхающих проституток борделя, который держит старая подруга его матери.
1 Здесь и далее перевод Е. М. Лысенко. — Примеч. ред.
46
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Третий и последний герой нашей истории — житель самого дорогого и эксклю-
зивного района математики — теории чисел Это диофантово уравнение
р2 + q2 + г2 = 3 • р • q • г,
точнее, тройки натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению. Этого ге-
роя я назову Хулитой в честь героини романа, которую Села изображает несколько
ветреной и легкомысленной: «Она красит волосы в рыжий цвет. Со своей пышной
волнистой шевелюрой она похожа на Джин Харлоу». Хулита — племянница доньи
Росы и встречается со своим ухажером в апартаментах доньи Селии.
Возможно, многим пуристам из мира математики покажутся неуважительными
подобные параллели между математическими понятиями и героями романа Селы.
Не отрицаю, что стремление сравнить геометрию или даже ее раздел с коварной
доньей Росой, полной, нечистоплотной и эгоистичной женщиной, или сравнить ра-
циональное приближение иррациональных чисел с мечтателем Мартином Марко,
олицетворением всех неудачников, или знаменитое диофантово уравнение — с мод-
ницей Хулитой Леклерк де Моисее не лишено концептуального риска. Однако и по-
добные сравнения, и сопутствующий им риск — важнейший элемент игры, которую
я предлагаю читателю.
Биография всех наших героев берет начало во времена древних греков, однако, как
вы увидите далее, это совпадение будет не единственным и даже не самым важным.
Как и в любом романе, совпадения в математике не случайны.
Донья Роса, или построения
с касательными окружностями
Начнем рассказ с доньи Росы, то есть с построений с касательными окружностями.
О великом греческом геометре Аполлонии нам практически ничего не известно.
Мы знаем лишь, что он родился в Перге примерно в 262 году до н. э., написал
несколько важных книг, большинство из которых не сохранились, и был известен под
прозвищем «великий геометр». Из всех его трудов нас интересуют «Касания» — эта
книга считается утраченной и о ней известно лишь по рассказам Паппа Алексан-
дрийского, датируемым III—IV веками. В «Касаниях» Аполлоний приводит решение
47
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
задачи, которая позднее получила название задачи Аполлония: построить с помощью
циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных точек, прямых или окруж-
ностей. И построение искомых окружностей, и число решений зависит от исходных
элементов задачи (точек, прямых или окружностей) и их относительного расположе-
ния. Аполлоний, по всей видимости, привел решения для всех возможных случаев.
Первые построения с касательными окружностями возникают в случае, когда ис-
ходными элементами задачи являются три окружности. В частности, если три дан-
ные окружности касаются, задача имеет два решения: в одном из них построенная
окружность будет располагаться внутри, в другом — снаружи.
Задача Аполлония в случае, когда исходными тремя фигурами
являются окружности (слева), имеет два решения (справа).
В самом общем случае, когда три данные окружности не касаются друг друга,
задача имеет восемь разных решений.
Для трех данных окружностей, не касающихся друг друга (слева),
задача Аполлония имеет восемь решений (на рисунке в центре представлены два из них,
на рисунке справа — третье).
Из множества вариантов расположения касательных окружностей рассмотрим
один, особенно простой и элегантный. Окружности, расположенные таким образом,
48
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
называются окружностями Форда и строятся по следующим правилам. Отметим
на прямой линии значения дробей (или рациональные числа — так мы, математики,
любим называть дроби), как показано на иллюстрации.
Все дроби вида p/q, которые мы рассмотрим, являются несократимыми, то есть р
и q не имеют общих делителей, при этом q — положительное число. К примеру, мы
будем рассматривать не дробь 5/15, а эквивалентную ей несократимую дробь 1/3.
В точках, соответствующих каждой дроби p/q, мы поместим окружность радиуса
l/(2t/2), которая будет касаться прямой.
4
Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для
обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми
координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образо-
вано всеми окружностями с центром в точках {p/q, l/(2q2)) и радиусом l/(2q2).
Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных
расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пере-
секаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.
49
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Окружности Форда, соответствующие дробям на интервале от О до 1, знаменатель которых меньше
или равен 7. Так, изображенные на иллюстрации окружности соответствуют следующим дробям:
0,1/7,1/6,1/5,1/4, 2/7,1/3, 2/5, 3/7,1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,1.
Аналогичные расчеты показывают, что окружности Форда, соответствующие
дробям р/g и Р/Q, касаются, если числа р • Q и Р • q отличаются на единицу; верно
и обратное.
Еще один фрагмент окружностей Форда. Изображенные на рисунке окружности
соответствуют дробям между 1/2 и 1 со знаменателем, меньшим либо равным 11.
Также можно относительно просто доказать, что если окружности, соответствую-
щие дробям р/g и Р/Q, касаются, то окружности Форда, соответствующие дробям
Р Р + р Р—р Р+2-р Р-2-р Р+З-р Р-З-р Р + 4-р Р-4-р
--, ----, ----, ------, ------, -------, ------, ------, ------ ит. д.,
Q Q + g Q — g Q + 2-q Q — 2q Q + 3-q Q — 3q Q + 4-q Q —4 g
будут касаться окружности, соответствующей дроби p/q. Кроме того, указанные
дроби описывают все окружности Форда, касающиеся окружности, которая соот-
ветствует дроби p/q.
50
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Построение окружностей Форда, касательных данной.
Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающие-
ся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации
бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно при-
ближаются к дроби p/q, пока не «кусают» ее (см. рисунок выше и врезку ниже),
как если бы они обладали столь же огромным аппетитом, что и донья Роса из романа
Селы.
ПРОЖОРЛИВЫЕ ОКРУЖНОСТИ ФОРДА
Представленные ниже простые расчеты должны убедить читателя, что окружности Форда, каса-
ющиеся данной окружности, соответствующей дроби p/q, неограниченно приближаются к точ-
ке, соответствующей этой дроби. Рассмотрим касающиеся окружности, расположенные слева
от дроби p/q. Они соответствуют дробям (Р + п • p)/(Q + п • q), где п - любое натуральное число.
Теперь достаточно показать, что разность между этими дробями и p/q неограниченно уменьшается
с увеличением п:
Р+п-р_р_ (Р+п p}-q-(Q+n-q)-p_ Р-q+n-p-q-Q-p-n-p-q _ Р q-Q-p
Q+n-q q~ (Q+n-q)-q ~ (Q+n-q)-q ~ (Q+n-q)-q'
Так как окружности, соответствующие дробям p/q и P/Q, касаются, то, как мы отмечали выше,
числа р • Q и Р q будут последовательными. Как следствие, их разность будет равна 1 или -1.
С учетом этого предыдущее равенство примет вид:
Р+п-р р_ ±1
Q+n-q q~ (Q+n-q)-q
Так как п расположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p/q и (Р + п - р)/
/(Q + n- q) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом п, будет равна нулю.
51
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии
и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее
вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплоще-
нием враждебности сытого к голодному».
Мартин Марко, или рациональное приближение иррациональных чисел
Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии вто-
рого нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррацио-
нальных чисел.
Пифагор и пифагорейцы основывали математику и рациональное объяснение
природы на том, что всю Вселенную можно свести к числам. Для пифагорейцев
существовали только натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) и дроби, которые
можно было образовать из натуральных чисел.
Тем не менее когда ученики Пифагора занялись простейшей геометрической опе-
рацией — измерением отрезков, основы их научной картины мира рухнули. Длина
диагонали квадрата со стороной 1 оказалась в точности равна \/2. Пифагорейцев
постигло разочарование, когда они поняли, что л/s нельзя представить в виде дроби
(об этом подробно рассказано на следующей странице). Что может быть проще, чем
измерить диагональ квадрата? Однако даже ее нельзя точно выразить с помощью
натуральных чисел и рациональных дробей. По легенде, Гиппас из Метапонта, пи-
фагореец, раскрывший эту тайну кому-то из непосвященных, был сброшен в море
с борта корабля и осужден вечно бороздить волны: «Раскрыв секрет невыразимого, он
удостоился страшнейшего наказания — быть отделенным от сущего и низвергнутым
в ничто, откуда прибыл».
Вскоре стало понятно, что, помимо чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., которые мы исполь-
зуем при счете, и дробей, которые образуются из натуральных чисел, нужны и дру-
гие, более «сложные» числа. Чтобы установить различия между «нормальными»
и «сложными» числами, математики стали использовать символические названия:
числа 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. стали называться натуральными, а дроби, которые можно
образовать из этих чисел, — рациональными.
Числа л/s, у/~5, Л, напротив, называются иррациональными, словно предупреж-
дая об их нездоровой природе.
52
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ КОРНЯ ИЗ 2
В доказательстве подобных утверждений проявляется изумительная сила логических рассужде-
ний математики. Так как существует бесконечное множество дробей и мы не можем проверить
их гее, то как мы можем быть уверены в том, что не существует дроби, которая при умножении
на саму себя будет равна 2? Используем революционное изобретение древних греков - до-
казательство, то есть корректное логическое обоснование математического утверждения. Взяв
за основу очевидный факт, посредством логических рассуждений, каждое из которых логически
выводится из предыдущих, мы доказываем истинность другого, неочевидного, факта. Первое
доказательство, о котором мы расскажем, приписывается самому Пифагору и звучит так. Заме-
тим, что всякая дробь имеет эквивалентную ей несократимую дробь, числитель и знаменатель
которой не имеют общих делителей. Если существует несократимая дробь (обозначим ее через
p/q), которая при умножении на саму себя равняется 2 (иными словами, p/q p/q - 2), долж-
но выполняться равенство р • р • 2 q q. Покажем, что это невозможно. Если р р - 2 q q.
то р • р - четное число; иными словами, оно в два раза больше некоторого другого числа. Так
как квадрат нечетного числа - всегда нечетное число, р должно быть четным. Следовательно,
число р в два раза больше некоторого другого числа, которое мы обозначим через к (иными
словами, р - 2 • к). Подставив это выражение в вышеуказанное равенство, получим 2- к-2-к-
-2-q q, или, что аналогично, 2 • к к - q q. Следовательно, q q - четное число, поэтому q
также будет четным. Однако это невозможно, так как если дробь p/q является несократимой,
числитель и знаменатель не могут быть четными одновременно.
Эта редкая особенность иррациональных чисел становится очевидной, если мы
попытаемся ответить на совершенно невинные вопросы: чему равен V2? чему рав-
но Л? Иррациональное число по своей сути нельзя представить в виде дроби: можно
найти дробь, которая будет отличаться от этого числа всего на одну миллионную или
даже на одну миллиардную, но она не будет равна иррациональному числу. Если мы
захотим уменьшить заданную величину разницы, мы сможем найти новую дробь,
но она опять не будет равна иррациональному числу. Эта ситуация подобна прокля-
тию: с той же жестокой монотонностью, с какой протекают тяжелые дни, описанные
в романе «Улей», дроби будут следовать друг за другом, и последняя дробь, воз-
можно, будет очень близка к иррациональному числу, но по-прежнему не равна ему.
53
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Получается, чтобы описать иррациональное число, нужно использовать более
или менее точные рациональные приближения. Чтобы выразить иррациональное
число с абсолютной точностью, нам потребуется бесконечное количество рациональ-
ных приближений. Так родился новый тип математических задач — задачи о рацио-
нальном приближении иррациональных чисел.
Одним из первых внес вклад в решение задач этого типа Архимед, который
получил известный результат, связанный с самой знаменитой математической кон-
стантой: найдя приближенное значение длины окружности с помощью правильно-
го 96-угольника, он определил, что число Л меньше дроби 22/7 чуть больше чем
на одну тысячную. Впоследствии этот результат пытались улучшить многие ученые:
так, китайский математик Цзу Чунчжи обнаружил, что дробь 355/ ИЗ отличается
от Л менее чем на 3 десятимиллионных (это же значение получили многие европей-
ские математики в конце XVI столетия).
Марки, выпущенные в честь Архимеда и Цзу Чунчжи —
двух математиков древности, которые нашли самые точные приближения числа я.
С XVII века разложение в ряд стало подлинной одержимостью, охватившей
всех, кто занимался вычислением рациональных приближений числа Л. Эта лихо-
радка не обошла стороной даже столь видных ученых, как Ньютон и Эйлер.
Но как можно найти приближенное значение иррационального числа в виде дро
бей в общем виде? Уточним задачу. Определить несократимую дробь p/q тем «за-
тратнее», чем больше ее знаменатель q — чтобы определить ее, нужно разделить
единицу на столько частей, сколько указывает знаменатель дроби. Следовательно,
чтобы определить, насколько точным приближением иррационального числа является
дробь p/q, нужно сравнить разность между этой дробью и иррациональным числом
54
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
относительно знаменателя q дроби. Для произвольного иррационального числа (обо-
значим его через а) нужно оценить наименьшее значение выражения |а — p/q\ для всех
дробей p/q с неизменным знаменателем q. Здесь для оценки разности двух чисел мы
используем привычную математическую нотацию: разность |х — у|, записанная между
вертикальными чертами, обозначает, что всегда рассматривается разность между
большим и меньшим числом, следовательно, эта разность всегда будет положитель-
ной. Точнее говоря, |х — у| равно х — у, если х больше у, и у — х, если у больше х.
Так как все дроби со знаменателем, равным q, расположены на числовой прямой
на одинаковом расстоянии друг от друга, равном i/q, можно сделать вывод: для
любого иррационального числа а всегда найдется дробь p/q такая, что |а — p/q\ < 1/
/(2 • q). Мы всегда можем представить иррациональное число в виде дроби, при этом
погрешность будет меньше величины, обратной удвоенному знаменателю дроби.
К примеру, если мы рассмотрим число Л и q — 10 и воспользуемся калькулято-
ром, то получим, что наиболее точное рациональное приближение числа Л со знаме-
нателем, равным 10, будет дробью 31 /10. В этом случае Л — 31/10 = 0,04159..., что
в действительности несколько меньше, чем 1/(2 • 10) = 0,05. Это наиболее точное
рациональное приближение со знаменателем, равным 10, из всех возможных. При
других значениях знаменателя точность приближения можно значительно улучшить.
Рассмотрим q = 7. Самым точным рациональным приближением числа Л дробью
со знаменателем, равным 7, будет дробь Архимеда — 22/7. В этом случае |л —
— 22/7| = 0,00126... Как вы можете видеть, дробь Архимеда 22/7 ближе к истин-
ному значению Л, чем приведенная выше дробь 31 /10. Нечто похожее произойдет,
если мы рассмотрим дроби со знаменателем, равным ИЗ. В этом случае самым точ-
ным приближением будет дробь 355/ИЗ, полученная Цзу Чунчжи: |л — 355/1131 =
= 0,000000266. Если мы рассмотрим дроби со знаменателем 125, большим ИЗ,
то самым точным приближением будет 393/125, которое будет заметно хуже: |л —
— 393/125| — 0,0024. Это приближение даже менее точно, чем дробь Архимеда.
Становится очевидным, что одни знаменатели подходят для приближенных зна-
чений иррациональных чисел лучше других. Вопрос заключается уже не в том, как
найти точное приближение иррационального числа дробью, а как найти точное при-
ближение дробью с правильно выбранным знаменателем.
С учетом этого немецкий математик Иоганн Петер Густав Аежён Дирихле (же-
натый на сестре композитора Феликса Мендельсона) в 1842 году показал, что ир-
рациональное число всегда можно представить в виде дроби так, что ошибка будет
меньше величины, обратной квадрату знаменателя дроби.
55
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805-1859),
после смерти Гаусса сменивший его на посту главы кафедры
в Гёттингене в 1855 году.
Доказательство этого утверждения элементарно и основано на «принципе ящи-
ков», позднее названном в честь Дирихле. Принцип Дирихле представляет собой
простое отражение здравого смысла: если мы хотим поместить определенное чис-
ло голубей в ящики, при этом голубей больше, чем ящиков, то в конечном итоге
в одном из ящиков окажется больше одного голубя. Принцип Дирихле полезен при
доказательстве определенных математических результатов, среди которых — тео-
рема Дирихле о рациональном приближении. Эта теорема звучит так: для данного
иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что
|а — p/q\ < 1/q2. Доказательство этой теоремы приведено на следующей странице.
Этот результат существенно точнее, чем тот, о котором мы говорили выше, так как
с увеличением q число 1/q2 уменьшается намного быстрее, чем 1/(2 • q).
Результат Дирихле нельзя улучшить относительно второй степени 1/q. Это тесно
связано с разделением иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные.
Рассмотрим у/2: это иррациональное число, однако его можно достаточно просто
описать последовательностью целых чисел 6,—5,—4,-3,—2,-1, 0,1, 2, 3, 4, 5,
6...), так как \/2 является решением уравнения с целыми коэффициентами х2 — 2 =
= 0. Числа, которые представляют собой решения уравнения с целыми коэффи-
56
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
ДИРИХЛЕ И «ПРИНЦИП ящиков»
Доказательство принципа Дирихле выглядит следующим образом. Рассмотрим произвольное
иррациональное число а и выберем некоторое натуральное число N. Теперь рассмотрим числа
а, 2 а, 3 а.N а и (N + 1) • а. Этот список содержит N + 1 число. Для каждого из них (обо-
значим их в общем виде к • а) найдется натуральное число рк такое, что разность к а - рк будет
лежать на интервале от 0 до 1. К примеру, если а ~ Vi ” 2,236..., то 2 а - 4,472... и р2 будет
равно 4. 3 а - 6,708..., р3 будет равно 6 и так далее. Теперь расположим числа от 0 до 1 в N
ящиков: в первом ящике окажутся числа от 0 до 1/N, во втором - от 1/А/ и 2/А/ и так далее. В по-
следнем ящике окажутся числа от (N - 1)/N до 1. Так как наш список чисел к • а - рк, к =* 1,..., N +
+ 1 содержит N + 1 число, лежащее на интервале от 0 до 1, и мы расположили числа от 0 до 1
в N разных ящиках, то, согласно принципу Дирихле, в одном из этих ящиков будет больше одного
числа. Допустим, что числа к-а-ркпп -а-рп находятся в одном ящике. Очевидно, что разница
между двумя числами в одном ящике меньше 1/А/. Отсюда следует, что | /с а - - (л • а - рп) | <
< 1/N. Если теперь мы введем обозначения q~k-n и р - р* - рп, то получим: | q • а - р | < 1/А/,
или | а - p/q | < l/(q /V). Так как и к, и п меньше N + 1, получим, что q меньше N. Учитывая, что
это число можно считать положительным, имеем | а - p/q | < 1/Q2. Так как число а иррациональ-
но, а Л/ - произвольное натуральное число, неравенство | а - p/q | < i/(q • Л/) гарантирует, что
мы можем найти бесконечно много различных дробей вида p/q, удовлетворяющих неравенству
la-p/q \ < 1/Q2.
циентами (вне зависимости от степени уравнения), называются алгебраическими.
Каким бы монструозным нам ни казалось число
оно является алгебраическим, так как его можно представить как решение уравнения
четвертой степени с целыми коэффициентами х4 + 8х~ 5 = 0. Все числа, которые
не являются алгебраическими, в математике называются трансцендентными. В неко-
тором смысле они максимально далеки от натуральных чисел, которые мы используем
при счете.
57
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Самые знаменитые математические константы — обычно трансцендентные чис-
ла. Так, трансцендентными являются число Л и число е, однако это было доказано
лишь в конце XIX века. Трансцендентность числа Л имеет удивительное следствие:
задача о квадратуре круга не имеет решения. Иными словами, с помощью циркуля
и линейки нельзя построить квадрат, равный по площади данному кругу. Задача
о квадратуре круга не давала покоя древнегреческим математикам, однако ее реше-
ние было найдено лишь в конце XIX столетия. Если мы сравним решение матема-
тической задачи с установлением мирового рекорда, то задача о квадратуре круга
стала рекордом, который не удавалось превзойти две с половиной тысячи лет!
При поиске приближения алгебраических чисел в виде дробей нельзя найти более
точное приближение, чем описанное теоремой Дирихле. Если мы рассмотрим про-
извольное алгебраическое число а и число k, строго большее 2 (k > 2), то, за неко-
торыми исключениями (число этих исключений всегда будет конечным), будет вы-
полняться неравенство \a~p/q\ > X/qk.
Это означает, что результат Дирихле нельзя улучшить относительно степени
знаменателя. Однако с единицей, «сопровождающей» знаменатель, дело обстоит
иначе. В 1891 году другой немецкий математик, Адольф Гурвиц, доказал, что эту
константу можно заменить меньшей: 1/V5. Так, для произвольного иррационально-
го числа а существует бесконечно много дробей вида р/q таких, что |а — p/q\ < X/
/ (л/5 • q2). Гурвиц также доказал, что значение 1/л/5 является минимально возмож-
ным, поскольку существует еще одна математическая константа, так называемое
золотое число, описывающее золотое сечение, Ф = (1 + Vs)/2.
Адольф Гурвиц (1859-1919), один из величайших математиков XX столетия,
внесший особый вклад в изучение алгебраических кривых и теорию чисел.
58
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Золотое сечение — это соотношение сторон прямоугольника совершенных про-
порций. Согласно древнегреческим геометрам, прямоугольник обладает совершенны-
ми пропорциями, если при отсечении от него квадрата со стороной, равной меньшей
стороне прямоугольника, оставшийся прямоугольник будет иметь прежнее соотно-
шение сторон. Допустим, длина короткой стороны прямоугольника равна а, длинной
стороны — Ь. Следовательно, длины сторон нового прямоугольника будут равны
b — а и а. Соотношение сторон прямоугольника будет наиболее гармоничным при
b/а = а/(Ь — а). Приняв х = b/а, имеем х — 1/(х — 1), то есть х1 — х — 1 = 0.
Положительный корень этого уравнения равен золотому числу Ф = (1 + л/б)/2.
Если мы отсечем от прямоугольника золотого сечения бесконечное число квадра-
тов и будем соединять противоположные вершины этих квадратов дугами длиной
в четверть окружности, получим спираль золотого сечения, изображенную ниже.
Именно такую форму имеет раковина наутилуса, в виде этой спирали распола-
гаются семена подсолнуха, облака в ураганах и антициклонах и звезды во многих
галактиках.
Форму золотой спирали имеют раковины наутилуса, ураганы и галактики.
59
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Золотое сечение присутствует в природе повсеместно. Оно привлекало матема-
тиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера.
Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в матема-
тике. Все, что Дюрер знал о возведении городских стен и крепостей, об использова-
нии циркуля и угольника для измерения размеров твердых тел, о пропорциях челове-
ческого тела и о форме букв алфавита, он изложил во множестве книг, напечатанных
после его смерти. Большую часть математических знаний Дюрер получил в Италии.
По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году от-
правился в Болонью, где постигал тайную науку у неизвестного наставника. Мно-
гие считают, что этим учителем был монах-францисканец Лука Пачоли, который
в 1494 году составил большую математическую энциклопедию XV столетия. До ка-
кой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение
было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить
по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева. Оцени-
те разницу между головастым Адамом и пышнотелой Евой на гравюрах Дюрера
1504 года (сегодня они хранятся в венской галерее Альбертина) и ими же, прекрас-
ными и стройными, на картинах 1507 года (они выставлены в мадридском музее
Прадо).
Чему Дюрер научился за три года с момента создания гравюры слева до написания картины справа?
Чем вызвана эта разница в пропорциях тел Адама и Евы на его картинах?
60
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Как показал Гурвиц, золотое сечение задается иррациональным числом, которое
хуже всего описывается рациональными дробями: для любого числа с > справед-
ливо неравенство |Ф — p/q\ > 1/(с • q2), за исключением некоторых дробей p/q,
при этом их число всегда будет конечным.
Донья Роса - Мартин Марко, Форд - Дирихле и Гурвиц
Вряд ли в романе «Ухей» найдется два персонажа, которые бы внешне отличались
больше, чем донья Роса и Мартин Марко. Она — полная, прожорливая, алчная
и мизантропичная, он — худой, голодны. , бездомный и приветливый. Эти два пер-
сонажа сталкиваются, когда донья Роса приказывает официанту вышвырнуть Мар-
тина Марко из ее кафе за то, что тот не заплатил по счету. Хозяйка кафе указывает
официанту, как нужно поступить: «На улицу выставить поаккуратней, а там — пару
добрых пинков куда придется. Хорошенькое дело!» Тем не менее официант не стал
наказывать Мартина Марко, поэтому ему ничего не оставалось, кроме как соврать
донье Росе:
«— Всыпал ему?
— Да, сеньорита.
— Сколько?
— Два.
Хозяйка щурит глазки за стеклами пенсне, вынимает руки из карманов и гладит
себя по лицу, где из-под слоя пудры пробиваются щетинки бороды.
— Куда дал?
— Куда пришлось, по ногам.
— Правильно. Чтоб запомнил. Теперь ему в другой раз не захочется воровать
деньги у честных людей».
Столь же непохожими, как донья Роса и Мартин Марко, кажутся окружности
Форда и рациональные приближения иррациональных чисел, описываемые теорема-
ми Дирихле и Гурвица. Окружности Форда точны, элегантны и гармоничны, дроби
Дирихле и Гурвица — шокирующие, полные секретов. Кажется, что эти понятия
отражают два очень далеких друг от друга аспекта математики.
Однако в хороших романах часто случается так, что два далеких друг от друга
персонажа воплощают дополняющие друг друга противоположности, составляющие
одну из граней человеческой природы. Так же часто два математических резуль-
тата, на первый взгляд далекие друг от друга, оказываются выражениями одного
и того же математического явления.
61
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Таковы касательные окружности Форда и рациональные приближения иррацио-
нальных чисел: первое есть не более чем геометрическое представление второго, как
если бы хитросплетения теоремы Гурвица выкристаллизовались в четком и прозрач-
ном изображении — в окружностях Форда.
Если читатель посмотрит на иллюстрацию на странице 50, он увидит, что это
не что иное, как наглядное представление теоремы Гурвица. В самом деле, изобра-
зим иррациональное число на числовой оси и проведем через соответствующую ему
точку прямую, перпендикулярную числовой оси, как показано на следующем рисун-
ке. Всякий раз, когда эта прямая будет пересекать окружность Форда (допустим,
окружность, соответствующую рациональному числу p/q), разница между а и p/q
обязательно будет меньше, чем радиус окружности, то есть меньше, чем 1/(2 • q2):
к ~ р/я\ < V(2 • q2).
Я
Как мы уже показали, окружности Форда, касающиеся окружности, которая
соответствует дроби p/q, образуют последовательность, которая неизбежно при-
ближается к p/q и в итоге «кусает» ее (см. рис. на стр. 51). Таким образом, если
прямая, проведенная через точку, обозначающую иррациональное число а, пересе-
кает окружность Форда, соответствующую дроби p/q, то она пересечет и другую
окружность, касающуюся этой и расположенную под ней (см. следующий рисунок),
а также окружность, расположенную под этой, и так далее. Отсюда следует, что
прямая, соответствующая иррациональному числу, пересечет бесконечное множество
62
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
окружностей Форда. Таким образом, существует бесконечное множество дробей
p/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q\ < 1/(2 • g2). Это необычное следствие
особого расположения окружностей Форда лежит на полпути между теоремами Ди-
рихле и Гурвица, так как полученная нами константа равна 1/2, а согласно теоремам
Дирихле и Гурвица она равняется 1 и 1 /у]~5.
С помощью окружностей Форда также можно получить оптимальное значение
этой константы, описываемое теоремой Гурвица. В самом деле, на верхнем рисунке
на стр. 50, помимо окружностей Форда, представлены и другие фигуры — криво-
линейные треугольники, заключенные между любыми тремя касательными окруж-
ностями. Эти треугольники также обладают очень важными свойствами. Так, первая
координата всех трех вершин подобных треугольников является рациональным чис-
лом. Рассмотрим криволинейный треугольник, образованный касательными окружно-
стями Форда, которые соответствуют дробям p/q, pjq2 и р3/qy Обозначим вершины
этого треугольника через А, В и С. Пусть А} — первая координата вершины А,
— первая координата вершины В, С] — первая координата вершины С. Нетрудно
видеть, что
л _Р&+Р2<12 п _РА1±РАз_ „ Г _Р2<12+Р&
2.2’1 2,2 И(^1 2 2
41+^2 q,+q3 q2+q3
Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая,
проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой
прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бес-
конечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей,
образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости
63
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
от значений координат А и (в зависимости от того, какая из них больше) эти
треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.
41 42 Ъ
Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз,
когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволиней-
ный треугольник первого вида (при А^< см. рисунок выше), разность между
а и р2/^2 буДет строго меньше, чем Всякий раз, когда прямая, соответ-
ствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник вто-
рого вида (при А> В^, см. следующий рисунок), разность между а и р3/<73 будет
строго меньше, чем 1/(л/б- ^). В любом случае пересечения прямой, соответствую-
щей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят
бесконечное множество дробей p/q таких, что |я - р / <?| < 1 / (л/б • q ). Иными словами,
последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями
Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.
64
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Хулита, или диофантово уравнение р2 + q2 + г2 = 3pqr
В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р2 + q2 + г2 =
= 3 • р • q • г, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».
Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как прави-
ло, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, кото-
рые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно
и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика
Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано
в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым
искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил
ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая,
с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только
полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней мо-
гилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел
жизни печальной своей»2. Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года.
Предположительно, он жил в II—III веках.
Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них —
«Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древ-
негреческом и еще четыре — в переводе на арабский.
DIOPHANTI
ALEXANDRINI .
ARITHMETICORVM
LIBRJ SEX-
ГТ 1>е му е<г-лисьих
Grtfi & LMtKi fXtt.
LVTETIAE PARISIORVM,
SlimptlVut S Hl A STI ANl C ; A Mol ( Y, Vfl
h^obgi.ftib Cicopiis.
M ОС. XXI.
СУМ 4>XfrjL£C7O ЛЕС If
Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году
с комментариями французского математика Баше де Меризиака.
1 Перевод С. Н. Боброва. — Примеч. ред.
65
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ
Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15.
Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух по-
следовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму,
также является квадратом. В самом деле, если р - m2, q - (т + I)2, то:
p-q + p + q = m2-(m + l)2 + m2 + (m+ l)2 = m4 + 2-m3 + 4-m2 + 2-m+ 1 =
= (m2+ m+ I)2.
В частности, Диофант использовал р ~ 4 и q = 9. Таким образом, p-q + p* q обязательно будет
квадратом: 4 • 9 + 4 + 9 = 72. Две остальные величины будут таковы: 4-л+4+л»5-л+4и9х
хп + 9 + Л“10-п + 9. Таким образом, нужно найти число п такое, что и 10 • о + 9, и 5 о + 4 будут
квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, гик, определяемые
уравнениями г2 - 10 - п + 9 и к2 = 5 • п + 4. Имеем
г2 —/с2= 10-Л + 9 —5-л —4 = 5-л + 5,
что можно записать как (г + к) • (г- к) ~ 5 • (о + 1). Таким образом, г+ к - 5 и г-к - л + 1. Выразив
г и к из этих равенств, получим: г - (л/2) + 3 и к = 2 - (п/2). Подставив значение г в уравнение
г2 = 10 • л + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (п2/4) -
- 7 л “ 0. Его решением будет п ° 28.
Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Ариф-
метике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличен-
ное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q
и п, то р • q + р + q, р • п + р — nnq • п + q + п должны быть квадратами. Диофант
привел решение р = 4, q = 9 ип = 28. В самом деле, р • q + р + q = 49 = 72, р • п +
+ р + п = 289 = 172, q • п + q + п = 144 = 122 (см. врезку). Такие уравнения были
известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выгля-
дело так: найти натуральные числа тип такие, что т2 — 2 • п2. Как вы уже знаете,
Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали,
то \^2 было бы рациональным числом.
Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отноше-
ние к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, г, которые
были бы решениями уравнения р2 + q2 = г2. Согласно теореме Пифагора, точнее
66
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
обратной ей теореме, такие числа р, q, г являются сторонами прямоугольного треу-
гольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пи-
фагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой
задачи: для произвольных натуральных чисел т, п и k
p = k’ (т* 2 — п2), q = 2- k- m'nnr = k’ (т2 + и2)
образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. На-
пример, приняв т = 3, п = 1и/г = 4, имеем р = 32, q = 24 и г — 40, которые дей-
ствительно удовлетворяют равенству р2 + q2 — г2.
Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение,
описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение р2 + q2 = г2,
добавив к нему множество дополнительных условий. Например, он решил задачу
о нахождении сторон прямоугольного треугольника, периметр которого является
кубом, а сумма площади и гипотенузы — квадратом. Диофант нашел следующее
решение этой задачи: длина гипотенузы г равнялась 629/50, длины катетов pnq —
ЕЩЕ ОДНО ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ
Последняя задача, описанная на этой странице, приведена в «Арифметике» Диофанта в книге VI
под номером 17. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он ввел новую переменную л -
площадь треугольника. Тогда (р q)/2 - л, то есть р • q ~ 2 • л. Далее Диофант принял р = 2 и q -
“ л. Сумма площади и длины гипотенузы треугольника равняется л + г, периметр треугольника -
2 + л + г. Так как число л + г должно быть квадратом, нужно найти такой квадрат, который при
увеличении на 2 был бы кубом. Тогда Диофант обозначил длину стороны квадрата через т + 1,
длину стороны куба - через т -1. Теперь нужно найти число т такое, что (л? + I)2 + 2 {т - -1)3.
Иными словами, m2 + 2- m + 3-m3-3-m2 + 3m-l, или, что аналогично, 4 • т2 + 4 » т3 + т.
Отсюда следует, что 4 • (m2 + 1) - т • (т2 + 1), следовательно, т - 4. Таким образом, имеем л +
+ г» 52 - 25. Так как треугольник со сторонами р, q и гдолжен быть прямоугольным, имеем: 4 + л2 “
- г2. Подставив в это уравнение л - 25 - г, получим 4 + (25 - г)2 - г2. Раскрыв скобки и упростив
полученное выражение, имеем: 629 - 50 г= 0. Иными словами, г равно 629/50, следовательно,
лид равны 621/50.
Заметьте, что Диифант решил в целых числах кубическое уравнение х2+ 2 - у3 - его корнями
являются х - 5, у - 3. Это уравнение имеет единственное решение в целых числах (именно его
нашел Диофант) и бесконечно много дробных решений.
67
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
2 и 621/50. Периметр треугольника равнялся 2 + 621/50 + 629/50 = 1350/50 =
= 27 = З3, сумма площади и гипотенузы — (621/50) • 2/2 + 629/50 = 1250/50 =
= 25 = 52 (см. врезку на предыдущей странице).
В 1621 году, спустя почти полтора тысячелетия после того, как Диофант напи-
сал свою «Арифметику», шесть сохранившихся книг этого труда были отпечатаны
на языке оригинала и в переводе на латынь. Автором этого издания с комментария-
ми стал француз Баше де Меризиак.
«Арифметика» Диофанта — одна из немногих книг, вошедших в историю благо-
даря одному из своих читателей. Речь о французском адвокате Пьере Ферма. Фер-
ма также был математиком-любителем, однако его «любительские» заслуги намного
выше профессиональных достижений многих математиков.
В XVII веке теория чисел еще не была частью роскошного района математики.
После удивительного расцвета, достигнутого во времена Диофанта, интерес мате-
матиков к теории чисел ослабевал на протяжении полутора тысяч лет, и тут на сцену
вышел Ферма и вернул теории чисел прежнюю славу, применив самый действенный
способ, какой только известен математикам: он сформулировал несколько интерес-
ных задач. Достаточно прочесть его примечания и комментарии на полях «Ариф-
метики» Диофанта. Самуэль Ферма, сын математика, составил сборник этих при-
мечаний и комментариев, дополнил ими издание Баше де Меризиака и опубликовал
этот вариант «Арифметики» Диофанта в 1670 году.
DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX,
ЕТ DE NVMER.IS MVLTANCVLB
Ы**Ж TMVR
СГМ COMMEbCTfUHs с. д. ЫСН&П г.с.
Обложка «Арифметики» Диофанта с комментариями Пьера Ферма,
изданной его сыном в 1670 году.
68
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
В этой книге редко встретишь задачу, предложенную Диофантом или комментарий
де Меризиака, для которых Ферма не сформулировал бы дополнение, обобщение или
интересную задачу по той же теме. Известнейшую из них Ферма записал на полях
книги II рядом с задачей 8: «Представить данный квадрат в виде суммы двух квадра-
тов». Иными словами, в этой задаче Диофант объяснял свой алгоритм нахождения
пифагоровых троек: р2 + q2 = г2.
Ферма слегка изменил это уравнение и рассмотрел решения в целых числах для
уравнения р3 + q3 = г3. Удивительно, но ему не удалось найти ни одного реше-
ния за исключением так называемых тривиальных, то есть 0, 1 и —1. Увидев, что
уравнение не имеет решений, Ферма задался вопросом: что будет, если показатель
степени будет равен не 3, а 4? Каковы целочисленные решения уравнения р4 + q4 =
— г4? Для этого уравнения ему также не удалось найти решений. «А что, если этих
решений просто нет?» — должно быть, спросил себя Ферма после многочисленных
неудачных попыток. Тогда он подошел к проблеме с другой стороны и попытался
доказать, что уравнение с показателем степени, равным 4, не имеет целочисленных
решений. Применив собственный оригинальный метод, Ферма нашел искомое до-
казательство. Также возможно, что, немного изменив свой метод, он смог доказать,
что уравнение третьей степени также не имеет решений. Но достоверно это неиз-
вестно, ведь Ферма не был профессиональным математиком и не затруднял себя пу-
бликацией полученных им результатов, не говоря уже об описании использованных
методов и приемов. О том, как он размышлял, известно немного, и часто даже это
немногое — лишь плод догадок.
Воодушевленный полученными результатами, Ферма, вероятно, счел, что сможет
доказать отсутствие решений (за исключением тривиальных) уравнения рп + qn =
— г” для любого п > 2. Как же он поступил? Он записал на полях «Арифметики»
Диофанта такие слова: «Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два
биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же
показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги
слишком узки для него». Благодаря этому простому комментарию юрист Ферма
вошел в историю: целый легион математиков, словно обезумев, принялся за поиски
«чудесного доказательства» Ферма.
69
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Однако теорема Ферма оказалась весьма крепким орешком — за два последу-
ющих столетия ее удалось доказать лишь для нескольких п: простых п — 3 (Эйлер,
1770), п = 5 (Лежандр и Дирихле, 1825) и п = 7 (Ламе, 1839), а также для со-
ставных п = 6, 10 и 14. Полное доказательство теоремы Ферма привел английский
математик Эндрю Уайлс лишь в 1994 году. Оно занимает несколько сотен страниц,
и в нем используются сложнейшие математические понятия и методы XX столетия.
Уравнение Маркова
Диофантово уравнение, которое мы рассмотрим ниже, названо в честь русского ма-
тематика Андрея Андреевича Маркова (1856—1922). Оно записывается так:
р2 + q2 + i2 = 3 • р • q • г.
Натуральные числа, которые являются решениями этого уравнения (точнее, на-
туральные числа р, для которых существуют q и г такие, что р, q, г удовлетворяют
уравнению), упорядоченные по возрастанию, называются числами Маркова. О них
известно немало, но далеко не все. Так, известно, что чисел Маркова бесконечно
много и что первые 16 членов ряда таковы:
1, 2,5,13, 29, 34, 89,169,194, 233, 433, 610, 985,1325,1597 и 2897.
Существует простой метод, позволяющий получить новые числа Маркова на основе
уже известных. Нетрудно показать, что если pr q} и г] удовлетворяют уравнению
Маркова и мы запишем р2 = 3 • q} • q — pr q2 = 3 • р1 • rt — qx и r2 = 3 • p1 • — rr
то тройка p2, q} и rt также будет удовлетворять уравнению Маркова. Это же будет
справедливо для троек pr q2 и гр а также pr qv гт
Марков доказал, что все целые положительные решения уравнения Маркова
можно получить с помощью этого простого метода, приняв в качестве начальных
значений р{ = 1, q} = 1 и q = 1.
Живительно, что уравнение Маркова имеет великое множество решений.
Но если его немного изменить, оно не будет иметь ни одного решения: к примеру,
уравнение р2 + q2 + г2 = 2 • р • q • г не имеет целых положительных решении. В дей-
ствительности, как доказал Гурвиц, ни одно уравнение вида р2 + q2 + г2 = k • р • q ' г
не имеет целых положительных решений, за исключением случаев, когда k равно 3
(имеем уравнение Маркова), 1 или 0.
70
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Решения уравнения Маркова р, q и г при р = 1 образуют первую связь с теоремой
Гурвица о рациональном приближении. В самом деле, эти решения имеют вид р = 1,
q = / _ и г = / + , где / — соответствующее число Фибоначчи. Первыми двумя
числами Фибоначчи являются f{ = 1 и /2 = 1, каждое последующее число Фибоначчи
определяется как сумма двух предыдущих. Имеем: / = 1 + 1 = 2, / = 3, /5 = 5, /6 —
= 8, /7 = 13, /8 = 21, /9 = 34 и так далее. Числа Фибоначчи встречаются в природе
столь же часто, что и золотое сечение, с которым они тесно связаны: если рассмо-
треть отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, fn+1/fn, то полученные
дроби 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8..., будут всё больше и больше приближаться к зо-
лотому числу. Приближение вновь будет описываться теоремой Гурвица:
Это соотношение устанавливает неразрывную связь между числами Маркова
и рациональным приближением. Очевидно, что эта связь намного прочнее.
Как мы уже отмечали, из-за золотого сечения рациональное приближение, опи-
сываемое теоремой Гурвица, нельзя улучшить. Это справедливо для золотого чис-
ла Ф и всех иррациональных чисел, эквивалентных ему с точки зрения рационального
приближения. Иными словами, речь идет об иррациональных числах вида (т • Ф +
+ п)/(р • Ф + q), где m, n,p,q — произвольные целые числа, которые удовлетворяют
условию т • q — п • р = ± 1.
Математик Андрей Андреевич Марков совершил важные открытия
в теории чисел и теории вероятностей.
71
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Оставим в стороне золотое сечение и все иррациональные числа, эквивалентные
ему. Гурвиц доказал, что его теорема допускает более точную оценку, так как кон-
станту 1 /5/5 можно заменить другой, меньшей константой 1 /л/s: для произвольного
иррационального числа а, за исключением золотого числа и эквивалентных ему, су-
ществует бесконечное множество дробей p/q таких, что
Это приближение нельзя улучшить: если принять а = л/2, то его рациональное
приближение не может быть точнее, чем допускает константа 1/>/8, умноженная
на число, обратное квадрату знаменателя.
Однако если мы оставим в стороне V2 и все эквивалентные ему, то сможем еще
больше улучшить рациональное приближение, заменив константу 1/л/в другой,
меньшей константой 5/V221. Для любого иррационального числа а, за исключением
золотого числа, квадратного корня из 2 и эквивалентных им, существует бесконечно
много дробей вида p/q таких, что
Р 5
a — — <—f=-.
q \l221-q2
Читатель уже наверняка догадался, что теперь существует еще одно иррацио-
нальное число, для которого нельзя улучшить это рациональное приближение. Это
число — V221. Если исключить его из рассмотрения, то можно получить новое, еще
более точное рациональное приближение — 13/у]15Т7 , для которого, в свою очередь,
также существует «нежелательное» иррациональное число. Так мы постепенно при-
дем к предельному значению 1/3: для любого иррационального числа а, за исклю-
чением полученного списка иррациональных чисел и эквивалентных им, существует
бесконечно много дробей вида p/q таких, что
Р . 1
а < - .
q ^q2
В романе и в реальности, отзвуком которой он является, переплетаются судь-
бы персонажей, и из тесной паутины взаимоотношений рождается свет, озаряющий
тайные стороны человеческой природы.
72
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
Подобно тому, как Мартин Марко живет в страхе, опасаясь политических ре-
прессий режима Франко, Хулиту душат нормы национально-католической морали.
В то время как для Марко возможен только один выход — сдаться, Хулита и ее
жених смогли найти выход из ситуации, преодолеть все препятствия и начали встре-
чаться в доме свиданий. Села великолепно передает все моральные противоречия,
с которыми сталкиваются его герои. С одной стороны, донья Виситасьон Леклерк,
мать Хулиты и сестра доньи Росы, воплощает лицемерную мораль, которая была
столь по душе католическим сановникам того времени. Так, донья Виситасьон из со-
страдания жертвует деньги на крещение «китайских младенцев», за что, предполо-
жительно, Господь дарует ей Царствие Небесное после смерти. С другой стороны,
Села рисует образ отца Хулиты, дона Роке Моисеса, бездельника, который удачно
женился по расчету. Несколько сцен позволяют понять, какой была национал-като-
лическая мораль времен Франко. В одном из эпизодов Хулита и ее отец встречают-
ся на лестнице апартаментов доньи Селии: Хулита возвращается со свидания, а ее
отец идет на встречу с одной из своих любовниц.
Подобно тому, как различные грани человеческой природы в романе передаются
сплетением судеб его героев, которые кажутся далекими, так и в математике на пер-
вый взгляд не связанные между собой результаты скрывают тайные истины. Имен-
но этим свойством обладают числа Маркова и числовые константы, которые упоми-
наются в теореме Гурвица, по мере того как мы уточняем рациональное приближение
(это золотое число, квадратный корень из 2 и последующие иррациональные числа,
для которых нельзя получить более точное рациональное приближение).
Ниже приведены первые четыре числа Маркова, то есть решения диофантова
уравнения р2 + q2 + г2 = 3 ’ р • q • г, упорядоченные по возрастанию:
1, 2, 5,13.
Далее перечислены четыре первые константы, полученные при поиске всё более
точных рациональных приближений по теореме Гурвица:
1/-\/5, 1/л/в, 5/VS, 13/V1517 .
Подобно тому как жизни Мартина Марко, доньи Росы и Хулиты на страницах
«Уаья» оказываются неразрывно связанными, так и числа Маркова связаны с рацио-
нальными приближениями иррациональных чисел, поскольку именно они определяют
73
ПОЧЕМУ ОЦЕНИТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ НЕПРОСТО
различные константы, возникающие при поиске рациональных приближений по те-
ореме Гурвица.
Обратите внимание, что два приведенных выше списка чисел в действительности
ничем не отличаются. Чтобы показать это, нужен ключ, который позволит преобра-
зовать числа из первого списка в числа второго списка. Этот ключ нашел немецкий
математик Оскар Перрон в 1921 году: ш/ m/yfo-m2.
Подставим в эту формулу т = 1, первое число Маркова, и получим
1/V9-1-4 =1/^/5 — константу, которая фигурирует в теореме Гурвица о рацио-
нальном приближении. Подставим в формулу т — 2, второе число Маркова, и по-
лучим 2/х/9-4 —4 = 2/х/з2 = 1 /х/Ё — константу, которая фигурирует в теореме
Гурвица, если исключить из рассмотрения золотое число. Если мы подставим в эту
формулу т = 5 или 13, то есть третье и четвертое число Маркова соответственно,
получим 5 / х/221 и 13 / х/1517 — два следующих числа, отсылающих и к теореме
Гурвица. Аналогичные действия можно выполнить и для следующих чисел Марко-
ва. С другой стороны, если т, р и q являются решениями уравнения Маркова т2 +
+ р2 + q2 = 3 • т • р • q, то исключением, которое будет препятствовать уменьшению
константы m/ylv-m2 -4 в теореме Гурвица, будет число
х/9-ы2 — 4 + т Ч--
1
2-ш
и все эквивалентные ему иррациональные числа.
Как видите, в стране чисел, как в большом городе, жизненные пути персонажей
пересекаются. Математика больше напоминает улей, чем сухую логическую струк-
туру.
Было бы непростительно не закончить эту главу словами Камило Хосе Селы:
«Утро мало-помалу надвигается, червем проползая по сердцам мужчин и женщин
большого города, ласково стучась в только что раскрывшиеся глаза, в эти глаза, ко-
торым никогда не увидеть новых горизонтов, новых пейзажей, новых декораций...
Но утро, это вечно повторяющееся утро все же не отказывает себе в удовольствии
позабавиться, изменяя облик города — этой могилы, этой ярмарки удачи, этого
улья...»
74
Глава 3
Абстрактное и эмоциональное:
математика и человеческая
природа
Повторим наш мысленный эксперимент, в котором мы обращались к случай-
ному прохожему. На этот раз зададим ему два вопроса. Сначала мы попро-
сим его сгруппировать попарно следующие слова: «литература» / «математика»
и «страсть»/«расчетливость». Затем попросим нашего собеседника рассказать о том,
как, по его мнению, связаны математика и человеческая природа.
Отвечая на первый вопрос, большинство свяжет литературу со страстью, а мате-
матику — с расчетливостью. Нет никаких сомнений и в том, что прохожий скажет:
математика и человеческая природа очень далеки друг от друга. Возможно, этот же
ответ дадут и многие математики. Математика известна как совокупность абстрак-
ций, которые почти или никак не связаны с чувствами. Однако математика — про-
дукт нашего разума в самом чистом виде, и в этом с ней не сравнится почти никакое
другое творение человека. Логическая структура нашего разума — важнейшая ха-
рактеристика человеческого состояния: именно наш мозг в немалой степени опреде-
ляет то, какие мы есть.
Поэтому неудивительно, что внешность может быть обманчива.
Прежде всего напомним, что благоразумие, согласно толковому словарю, это
«рассудительность, обдуманность в поступках», в то время как «страсть» — это
«сильно выраженное чувство, воодушевленность» и «крайнее увлечение, пристрастие
к чему-либо». Многие не связывают страсть с математикой, но она подобна полю
битвы, на котором разгораются сражения между благоразумием и страстью. Мы,
математики, знаем, что математика — это неустойчивое равновесие между благоразу-
мием и страстью, тончайшая смесь трезвого расчета и крайнего увлечения, сильное,
опьяняющее чувство. Поэтому в поисках доказательства математик руководствуется
75
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
точным расчетом, который является неотъемлемой чертой строжайшего логического
мышления. Однако в моменты, когда математик стремится совершить открытие или
сражается с задачей, его охватывает возбуждение.
Предметом описания литературы и одновременно ее источником знаний служит
человеческая природа, непреходящая борьба страстей и здравого смысла. Поэто-
му неудивительно, что большинство связывает литературу и страсть. Однако я ос-
мелюсь заявить, что в этой борьбе между благоразумием и страстями математика
играет далеко не последнюю роль. Математика может оказаться удивительно по-
лезной: она способна помочь нам лучше познать себя и глубже понять человеческую
природу.
Математика и ее контекст
Это звучит странно, и наш воображаемый прохожий усомнится в том, что математика
может помочь людям познать себя. Наверняка многие ученые, которым известны
тайны этой науки, также не понимают, как математика способна осветить дно глу-
бокого колодца, которому подобна природа человека. Чтобы возразить скептикам,
отмечу, что математике действительно под силу нечто подобное, если рассмотреть ее
в нужном контексте. К примеру, под контекстом теоремы мы понимаем загадки исто-
рии, сопровождавшие автора или авторов этой теоремы: тех, кто выдвинул теорему,
доказал или опроверг ее, или тех, кто безуспешно пытался найти ее доказательство.
Контекст математики в некотором смысле подобен обстоятельствам, без кото-
рых, по мнению Хосе Ортеги-и-1ассета, невозможно понять «я». Контекст мате-
матики имеет много общего с ее историей, однако эти понятия всё же различаются.
Уточним фразу, которая показалась неправдоподобной нашему прохожему и в ко-
торой усомнился недоверчивый математик. Математика действительно помогает нам
познать себя: в столкновении абстрактного мира математики и мира эмоций, где оби-
тают первооткрыватели и изобретатели, рождается свет, который достигает самых
темных уголков человеческой натуры.
76
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту
математики. Как мы уже объясняли в главе 2, главное различие между литерату-
рой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом
их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоцио-
нальную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа,
фигуры и абстракции. Чувства и эмоции нам хорошо знакомы, благодаря этому мы
можем понять эстетическую ценность романа, в то время как холодность и абстракт-
ность математических объектов затрудняют их восприятие. Именно поэтому важно
учитывать эмоциональный контекст, которого не лишена математика: он позволяет
очеловечить математику и предрасполагает к эстетическому наслаждению.
Однако, как мы отмечали в предисловии, цель этой книги — не засыпать чита-
теля аргументами и доводами, а привести примеры, на основе которых он сделает
собственные выводы. В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление
абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насла-
диться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера
мы выбрали бесспорно красивые математические объекты — фракталы, а эмоцио-
нальный контекст предоставят события из жизни математика Феликса Хаусдорфа
(1868—1942), предсказавшего существование фракталов.
ДРЕВНЕЙШАЯ ИЗ НАУК
Не будем подробно описывать обстоятельства, которые связывают математику с наиболее эмо-
циональной частью человеческой природы и восходят к моменту зарождения науки. Момент за-
рождения математики ознаменован созданием чисел. Не будем забывать, что числа ожидают
нас «на кончиках пальцев», они словно являются частью нашего тела. Также не будем забывать,
какую огромную роль сыграли наши руки в том, кто мы есть сейчас. Истоки человеческой истории
окутаны мраком, поэтому сложно оценить, чему люди научились раньше: считать на пальцах, ри-
совать на стенах пещер, хоронить умерших или создавать божеств. Для всех этих действий, в том
числе для счета, характерны неустанная борьба страстей и здравого смысла. Всё это позволяет
назвать математику древнейшей из наук. Как видите, эмоциональный контекст пронизывает ее
до самых корней, восходящих к древнейшей истории homo sapiens как вида.
77
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Фракталы и размерность Хаусдорфа
Фрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов
чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. В ос-
нове этой аномальности лежит понятие размерности пространства, и это понятие
существенно расширил немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1919 году.
Открытия немецкого математика Феликса Хаусдорфа
впоследствии позволили сформировать современную теорию фракталов.
Хаусдорф счел классическое определение размерности объектов очень узким как
с математической, так и с философской точки зрения, а классификацию тел согласно
их размерности — примитивной. Он сказал, что будет несколько затруднительно
и, возможно, даже некорректно считать, что объект имеет размерность 1, если он
имеет только длину (например, нить или пружина), размерность 2 — если он имеет
длину и ширину (лист бумаги или поверхность сферы), и размерность 3, если, поми-
мо длины и ширины, он имеет высоту (сфера или коробка для обуви). Чтобы расши-
рить классическое понятие размерности, Хаусдорф предложил новое определение,
более сложное и общее с математической точки зрения.
Величина, введенная Хаусдорфом, позволяет намного точнее определить раз-
мерность объекта. Вопреки тому, что нам подсказывают органы чувств, существуют
78
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
объекты, размерность которых выражается дробями, например 1/2, иррациональ-
ными числами, в частности л/s, и даже еще более необычными числами. Прошло
больше 50 лет с момента, когда Хаусдорф ввел новое понятие размерности, прежде
чем Бенуа Мандельброт (1924—2010), французский математик польского проис-
хождения, определил фракталы как множества, имеющие дробную размерность Ха-
усдорфа.
Бенуа Мандельброт, математик, который ввел термин «фрактал».
На этой фотографии он изображен на конференции в Варшаве в 2005 году.
Чтобы объяснить понятие размерности Хаусдорфа в общем виде (именно это
определение привел сам Хаусдорф), потребуются серьезные знания математики. Тем
не менее существует альтернативное определение, не до конца точное, но позволяю-
щее читателю оценить смысл этого понятия. Это альтернативное определение размер-
ности ввели русские математики Лев Понтрягин и Лев Шнирельман. Живительно,
что Понтрягин был слепым — он лишился зрения в 14 лет в результате несчастного
случая.
Представьте, что дана плоская фигура, вписанная в квадрат, для которой мы хотим
рассчитать размерность Хаусдорфа. Разделим сторону квадрата на несколько равных
частей, например на 10. Квадрат окажется разделен на 100 мелких квадратов. Теперь
посчитаем, сколько этих квадратов нужно для того, чтобы покрыть рассматриваемую
79
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
фигуру, и адекватно сравним их число с числом частей, на которые мы разделили
сторону квадрата (в нашем случае на 10).
Ключ к задаче — в том, что мы вкладываем в слова «адекватно сравним». Про-
ясним смысл этих слов на простом примере. Пусть рассматриваемой фигурой будет
квадрат целиком. Для того чтобы покрыть его, потребуются все квадраты, на ко-
торые мы разделили исходный квадрат. Таким образом, если мы разделим сторону
квадрата на п равных частей, получим п • п = п2 мелких квадратов. Обратите вни-
мание на число 2 в показателе степени п2 — именно это число и будет размерностью
квадрата.
Теперь рассмотрим диагональ квадрата. Разделим сторону квадрата на 4 части.
Сколько мелких квадратов понадобится для того, чтобы покрыть его диагональ?
Немного подумав, читатель увидит, что для этого потребуется четыре мелких ква-
драта, так как именно столько квадратов лежит на диагонали большого квадрата.
Если мы разделим сторону квадрата на п частей, нам потребуется п квадратов, что-
бы покрыть диагональ. Однако п можно записать как п1, то есть п, возведенное
в степень 1. Эта степень 1 и будет размерностью диагонали квадрата. Таким обра-
зом, любой отрезок будет иметь размерность 1.
Теперь обозначим через F плоскую фигуру, заключенную внутри квадрата, для
которой мы хотим определить размерность Хаусдорфа. Разделив сторону квадра-
та на п частей, подсчитаем, сколько мелких квадратов потребуется, чтобы покрыть
фигуру F. Обозначим их число через nf. «Адекватное» сравнение числа с чис-
лом частей п, на которые мы разделили сторону квадрата, означает определение
степени п, соответствующей этому числу nf. Так, в примере с квадратом nf = п2
соответствующей степенью будет 2. В примере с диагональю квадрата nf = п1 соот-
ветствующей степенью будет 1. Если мы обозначим этот показатель степени через d,
то п, nfH d будут связаны следующим отношением: nf = nd. Применив логарифмы,
выразим d через п и nf: d — это логарифм nf, разделенный на логарифм п:
, Ь(п )
а =-----.
ln(rz)
Чем больше п, то есть число частей, на которые мы делим сторону квадрата, тем
ближе число d будет к размерности Хаусдорфа для фигуры F. Размерность Хаус-
дорфа будет пределом, рассчитываемым при делении стороны квадрата на бесконечно
большое число бесконечно малых равных частей.
80
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Пример с окружностями Аполлония
Построим пример фрактала. Для этого вновь рассмотрим окружности Аполлония,
о которых мы говорили в главе 2, так как мы будем строить фрактал на основе каса-
тельных окружностей. Построим три окружности, касающиеся друг друга (см. рису-
нок слева внизу). Как мы уже отмечали в предыдущей главе, существуют две другие
окружности, касающиеся этих трех. Имеем пять окружностей (см. рисунок справа
внизу).
Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.
Выберем три из них, касающиеся друг друга, и построим две соответствую-
щие касательные окружности (их существование следует из теоремы Аполлония).
В конечном итоге, с учетом повторений, получим шесть новых окружностей. Вкупе
с пятью исходными имеем И окружностей (см. рисунок слева внизу). Повторим по-
строение для этих И окружностей, затем — для окружностей, построенных на сле-
дующем этапе (см. рисунок справа внизу), и так далее до бесконечности. Получен-
ные окружности носят название «ковер Аполлония» и представляют собой пример
фрактала.
Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.
81
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Сложно представить, что неимоверно сложный ковер Аполлония образуется
простым построением окружностей, касающихся друг друга. Если читатель исполь-
зует воображение, то увидит, что каждая окружность на ковре Аполлония находится
среди бесконечного множества касательных окружностей, за исключением внешней,
которая содержит в себе все прочие окружности. Более того, на любой дуге любой
окружности, сколь малой бы она ни была, находится бесконечно много касающих-
ся ее окружностей. Стандартное обозначение размерности абсолютно неприменимо
для описания ковра Аполлония: было бы излишне говорить, что эта кривая име-
ет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость. Тем
не менее, учитывая сложность этой кривой, в которой произвольной дуги любой
окружности касается бесконечное множество окружностей, было бы преуменьшени-
ем сказать, что ее размерность равна 1. Вычислить точную размерность Хаусдорфа
для ковра Аполлония невероятно сложно. На данный момент известно лишь ее при-
ближенное значение, равное 1,305688.
Этот ковер Аполлония колоссальных размеров изобразил художник Джим Деневан
в пустыне штата Невада.
82
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Пример на основе треугольника
Построим другой фрактал, для которого можно точно определить размерность Хаус-
дорфа. Это кривая Коха, названная в честь шведского математика Нильса фон Коха,
определившего ее в 1906 году. Существует несколько разновидностей этой кривой.
Мы построим кривую Коха, взяв за основу равносторонний треугольник. Для этого
разделим каждую его сторону на три равные части и заменим центральный отрезок
на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием ко-
торого будет этот отрезок. Получим шестиконечную звезду. Повторим построение
снова, то есть разделим каждую из двенадцати сторон звезды на три равные части
и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего
треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Для построения кривой Коха
эти действия нужно повторить бесконечное число раз.
Четыре первых этапа построения кривой Коха.
Теперь представьте, что кривая Коха — это дорога. Рассмотрим две любые точки
на этой кривой (представьте, что это две деревни, расположенные у дороги). Сядем
в воображаемую машину и поедем из одной деревни в другую вдоль кривой. Какое
расстояние покажет счетчик пробега в конце пути? Если читатель ответит, что рас-
стояние будет зависеть от выбранных точек кривой, то ошибется: независимо от того,
какие точки мы выберем, пройденное расстояние всегда будет равно бесконечности.
Иными словами, любой участок кривой Коха имеет бесконечно большую длину —
она содержит так много поворотов, что проехать по ней от начала до конца невоз-
можно (см. врезку на следующей странице). Похожими свойствами обладает дорога,
проходящая вдоль побережья Галисии в Испании. Расстояние, отделяющее устье
реки Миньо и мыс Эстака де Барес, по прямой составляет чуть больше 200 киломе-
тров. Но попытайтесь проделать этот путь, следуя вдоль побережья, и он покажется
вам бесконечным: автомагистраль будет петлять возле каждой реки, идти в объезд
83
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
ДЛИНА КРИВОЙ КОХА
Чтобы убедиться, что кривая Коха имеет бесконечную длину, выполним следующие действия. За-
метим, что на каждом шаге построения кривой Коха число отрезков, составляющих ее, увеличива-
ется в 4 раза: каждый из отрезков, построенных на предыдущем шаге, делится на три части, одна
из которых заменяется двумя отрезками. Иными словами, на смену каждому отрезку приходит
четыре. Так как построение начинается с равностороннего треугольника, общее число отрезков
на шаге N будет равно 3 4N. По той же причине длина каждого из этих отрезков (все они имеют
одинаковую длину) на каждом шаге делится на 3, поэтому на шаге N длина каждого ее отрезка
будет равна //3N, где / - длина стороны исходного равностороннего треугольника. Длина кривой
на шаге N будет равна числу образующих ее отрезков, умноженному на их длину:
^'=з./М
з" (з/
Так как 4/3 больше 1, степень (4/3)* с увеличением N будет неограниченно возрастать и в итоге
будет равна бесконечности. Аналогичным образом можно убедиться, что любая часть кривой Коха
имеет бесконечную длину.
всех гор, мысов и заливов. Десять километров, разделяющие устье реки и мыс, пре-
вращаются в сто и даже больше, и путь кажется бесконечным. Именно это (пусть
и в несколько преувеличенном виде) произойдет, если мы попытаемся проехать вдоль
кривой Коха.
Как и в случае с ковром Аполлония, стандартная размерность совершенно
не подходит для описания кривой Коха: нельзя говорить, что эта кривая имеет раз-
мерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость; однако
учитывая сложность этой кривой, произвольный участок которой имеет бесконеч-
но большую длину, было бы ошибкой полагать, что ее размерность равна 1. Раз-
мерность Хаусдорфа позволяет в точности понять, в какой степени кривая Коха
сочетает в себе кривую и поверхность. Ее размерность равна 1п4/1пЗ (см. врезку
на следующей странице).
Мандельброт показал, что геометрия фракталов может быть невероятно сложной,
однако очень часто эту сложность порождает простое подобие различных частей
кривой, сохраняющееся вне зависимости от масштаба.
84
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КРИВОЙ КОХА
Вычислить фрактальную размерность кривой Коха сравнительно просто. Напомним, что общее
число отрезков этой кривой на шаге N равно 3 • 4\ а длина каждого из этих отрезков равна l/3N
(см. предыдущую врезку). Учитывая особенности построения кривой, впишем ее в квадрат со сто-
роной / (где / - длина стороны исходного треугольника). Будем делить квадрат на равные части
так, чтобы их число отвечало степени тройки: сначала на 3 части, затем на 3 • 3 - З2 частей, затем
на 3 3 • 3 З3 и так далее. Теперь подсчитаем, сколько маленьких квадратов необходимо для по-
крытия кривой Коха если мы разделим сторону исходного квадрата например, на 3" частей. Для
этого заменим кривую Коха кривой, полученной на /V-м шаге построения. Так как длина стороны
маленького квадрата равна //3\ каждый из них покроет примерно один отрезок кривой, который
также имеет длину //3N. Так как число отрезков кривой равно 3 • 4N, нам потребуется примерно
3 4N маленьких квадратов. Согласно определению размерности Хаусдорфа, мы разделили сто-
рону квадрата на п - 3N частей, а для покрытия всей кривой требуется nF - 3 4** маленьких ква-
дратов. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дробь, определяющую размерность
Хаусдорфа:
ln(nf)_ ln(34w) 1пЗ+Л/ In4 _ 1 In4
1п(л)“ ln(3w) ~ Л/- 1пЗ “л/+1п3‘
Когда число частей, на которое мы делим квадрат, то есть л, или, что аналогично, N, становится
бесконечно велико, размерность Хаусдорфа будет равна /л4//лЗ.
Фракталы — редкие, удивительные множества, которые, как «кажется», далеки
от привычных нам физических ощущений. Мы взяли слово «кажется» в кавычки,
поскольку фракталы присутствуют повсеместно, мы видим их так часто и настолько
привыкли к их особенностям, что даже не распознаем их. В природе фрактальная
геометрия обнаруживается буквально повсюду. Береговая линия Испании или Нор-
вегии, изрезанная фьордами, точнее всего описывается именно фрактальной кривой,
подобной кривой Коха. Ничто не описывает сложную сеть нейронов нашего мозга
лучше, чем фракталы. Именно математический взгляд и острота взора Хаусдорфа
и Мандельброта позволили увидеть, как часто фракталы встречаются в природе.
85
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Фракталы — это не только математические объекты; они присутствуют и в окружающем мире.
Слева — аэрофотосъемка норвежских фьордов, справа — фрагмент фрактала Мандельброта.
ФРАКТАЛЫ В ПОЭЗИИ
Присутствие фракталов в природе уловили не только математики, но и поэты. Среди бесчис-
ленного множества примеров, которыми можно проиллюстрировать совпадение поэтического
и математического взгляда на реальность, мы выбрали первые строки поэмы № 18 из серии
«Двадцать поэм любви и одна песня отчаянья» Пабло Неруды. Чтобы описать нереальность любви
на расстоянии, Неруда в своей поэме «Здесь я тебя люблю, напрасно даль тебя прячет» описывает
предметы, легкая и эфемерная сущность которых контрастирует с твердостью их физическсо
воплощения:
Здесь я тебя люблю.
Над темными соснами ветер расправляет свой стяг.
На блуждающих водах лунные пересветы.
Похожие дни теснятся, гонят друг друга во мрак.
Распадается сумрак на пляшущие виденья.
Серебристую чайку закат роняет во тьму.
Порой объявится парус. Высокое небо в звездах1.
В этих семи строчках поэт соединил три трехмерных объекта. Представьте себе хитросплете-
ние сосновых иголок, над которыми ветер расправляет свой стяг; пенистые воды, освещаемые
луной, или неуловимое дыхание пляшущих видений в тумане. К этой картине следует добавить
вездесущие звезды, эти светящиеся точки, сложный узор которых в небе кажется почти двухмер-
ным. В действительности эта неоднозначность - следствие фрактальной природы объектов. Наши
скудные органы чувств неспособны оценить реальность в ее дробной размерности; реальность,
которая, напротив, проявляется во всей полноте только тогда, когда ее рассекает отточенный
скальпель размерности Хаусдорфа или пронзает острый взор Пабло Неруды.
1 Перевод П. Грушко. - Примеч. ред.
86
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Фрактальная природа техники разбрызгивания красок Поллока
Среди многочисленных примеров использования фракталов мы расскажем об одном,
занимающем поистине особое место, в котором фракталы связаны с абстрактным
экспрессионизмом Джексона Поллока.
Поллок был художником непростой судьбы, он злоупотреблял алкоголем и так
далее — все в соответствии со стереотипом. Погиб в автомобильной катастрофе
в 1956 году, когда ему было всего 44 года. Меценатом Поллока стала Пегги Гугген-
хайм. «Современный художник, — как-то сказал Поллок, — не может изобразить
эпоху самолетов, атомных бомб и радио в старом стиле Возрождения. Каждая эпоха
имеет свою технику». Верный этой максиме, он в середине 1940-х основал новое
направление в живописи — абстрактный экспрессионизм. Свои картины он рисо-
Джексон Поллок за работой в своей студии. Конец 1940-х.
87
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
вал на больших полотнах, используя созданную им технику разбрызгивания красок.
В 1946 году он превратил в студию огромный амбар на Лонг-Айленде, а холсты
разложил на полу. «Так я нахожусь ближе к тому, что рисую, — говорил художник, —
я чувствую себя частью картины, поскольку могу ходить вокруг нее, работать со всех
четырех сторон и в буквальном смысле находиться на картине. Поэтому я пытаюсь
держаться в стороне от традиционных инструментов, то есть мольберта, палитры
и кистей. Я предпочитаю палки, шпатели и краску, которая капает и разбрызгивается,
и даже цемент, измельченное стекло и другие материалы». Один из критиков сказал:
«Его картины — не искусство; они существуют сами по себе. Это не изображение
чего-либо, а вещь в себе; это не изображение природы, но сама природа». И это
в самом деле так, поскольку картины Поллока источают движение, графический
ритм, жизненную силу и одновременно глубокую нежность.
Связь полотен Поллока и фракталов обнаружили австралийские ученые Ричард
Тейлор, Адам Миколич и Дэвид Джонас. В 1999 году была опубликована их статья
в журнале Nature, в которой указывалось, что картины Поллока имеют фракталь-
ную структуру, которой подчиняются как ширина капель и подтеков, так и геоме-
трия линий краски, пролитой на полотно. Ученым удалось измерить фрактальную
размерность этих структур с помощью метода, описанного выше.
Расчеты показали, что размерность картин Поллока превысила 1, то есть его
полотна начали становиться по-настоящему фрактальными, в середине 1940-х. Впо-
следствии их фрактальная размерность неизменно возрастала и в 1952 году достиг-
ла значений, близких к 1,7 для структур, образованных разбрызгиванием краски,
и 1,9 — для хаотических структур, обусловленных перемещениями самого художни-
ка во время работы над картиной. Рост фрактальных размерностей был постоянным
и проявлялся в работах Поллока с такой точностью, что их анализ позволил опреде-
лить подлинность полотен и даже дату создания.
Разумеется, Поллок не контролировал фрактальную размерность своих полотен.
Он наверняка даже не подозревал, что его картины имеют фрактальную природу.
Они были воплощением чистой интуиции, чистого стиля. Методы работы Поллока
хорошо известны, о них сняты документальные фильмы. Художник добавлял но-
вые и новые линии, капли и подтеки краски. Работа над картиной могла длиться
до нескольких месяцев. Поллок отверг множество картин, которыми не был дово-
лен, и обрезал края других полотен, потому что чувствовал, что по краям изобра-
жение менее интенсивно, чем в центре. Фрактальные размерности, вычисленные
88
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
австралийскими учеными и характерные для его полотен, есть не что иное, как мера
стиля художника.
Вернемся к вопросам, заданным в начале главы. Сколь бы велика ни была гармо-
ния фрактала, наш воображаемый прохожий сочтет, что фракталы едва ли отражают
человеческую природу.
Возможно, он скажет, что ковры Аполлония или кривая Коха, несомненно,
красивы, а размерность Хаусдорфа — прекрасная мера их удивительной красоты.
И наш воображаемый собеседник, конечно же, добавит: этот подсчет квадратиков
и вычисление логарифмов очень похожи на рассуждения, типичные для некоторых
увлеченных математиков, далеких от реальности. Но наш прохожий будет неправ:
никто не может быть далек от окружающей реальности. Не может быть далеким
от реальности и само понятие размерности Хаусдорфа: как мы уже объясняли, это
понятие было введено человеком и также имеет эмоциональную составляющую. Ха-
усдорф — это ведь реальный человек из крови и плоти, со своими чувствами, иллю-
зиями, страстями, огорчениями и всем прочим, который в свое время плыл по реке
жизни точно так же, как автор этой книги и ее читатели.
Наш собеседник спросит нас: что может рассказать о человеческой природе на-
ука, в которой рассматриваются столь абстрактные понятия, как размерность Хаус-
дорфа? Продолжив чтение, читатель сможет сам решить, проливает ли сопоставле-
ние математического понятия и его эмоционального контекста свет на темные уголки
человеческой природы.
Хаусдорф: самый борхесовский математик
Возможно, лучше всего математическое творчество Хаусдорфа можно описать
теми же словами, которыми обычно характеризуется творчество Хорхе Луиса Бор-
хеса: «иллюзорное», «парадоксальное», «ироничное», «запутанное».
Разумеется, самым запутанным элементом творчества Хаусдорфа является
определенное им понятие размерности. Оно расширило классическое понятие раз-
мерности и позволило создать более точную классификацию геометрических объек-
тов. Так, фракталы, в высшей степени запутанные объекты, которые обрели неверо-
ятную популярность в последней четверти XX века благодаря Бенуа Мандельбро-
ту, определяются как множества, размерность Хаусдорфа для которых не является
натуральным числом.
89
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Хаусдорф также рассмотрел прообраз чисел, которые сегодня называются
«недостижимыми кардинальными числами». Эти бесконечные числа — продукты
нашего разума, которые, вне всяких сомнений, не лишены доли иронии. Их опреде-
ляющая характеристика — невероятно огромные размеры, причем эти числа столь
велики, что неизвестно, существуют ли они на самом деле. В этом и заключается
невообразимая ирония: они столь велики, что их довольно сложно увидеть!
Математика Хаусдорфа не только иронична и запутанна — она еще и противо-
речива. Высшее проявление противоречивости в математике Хаусдорфа изложено
в его книге «Основы теории множеств». Это парадоксальное описание сферической
поверхности, на основе которой десять лет спустя польские математики Стефан Ба-
нах и Альфред Тарский определили шар, который можно разделить на несколько
частей, к примеру на пять, из которых затем можно составить два шара, идентичные
исходному. Аналогично можно разделить горошину на части так, что при опреде-
ленном расположении из них можно составить шар размером с Солнце. Это матема-
тическая версия евангельской притчи о хлебе и рыбе.
Хаусдорф родился в Бреслау в 1868 году, но три года спустя его семья переехала
в Лейпциг. В Лейпциге, а также во Фрайбурге и Берлине он изучал математику
и астрономию. Хотя юношеские работы Хаусдорфа относятся к прикладным дис-
циплинам, в частности к астрономии и оптике, в конечном итоге он занялся тео-
ретической математикой. Возможно, наиболее важной его работой стали «Основы
Новая фотография
Феликса Хаусдорфа.
Взгляд математика
излучает меланхоличный
свет: видел ли он перед
собой бури, которые, как
писал Ницше, с корнем
вырывают деревья
жизни?
90
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
теории множеств». Считается, что в этом монументальном труде, опубликованном
в 1914 году, были заложены основы топологии.
Хаусдорфу не были чужды и другие интеллектуальные занятия. В юности он
хотел изучать музыку и стать композитором, и даже написал несколько пьес, и часто
играл на пианино.
Под псевдонимом Поль Монгре Хаусдорф публиковал стихи, философские эссе,
а также сатирические театральные пьесы. Расцвет его литературного творчества при-
шелся на 1896—1906 годы. В 1897 году вышла из печати его первая книга — «Сан-
Иларио: мысли из страны Заратустры», название которой отсылает к интересному
совпадению в жизни Хаусдорфа: он начал работать над книгой в день Сан-Иларио
в небольшом городе Сан-Иларио близ Генуи. Книга содержит сонеты, стихотворения
и афоризмы более или менее философского содержания. Одно из них гласит: «Когда
у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или
вечность [...] Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть
заменитель эротизма».
В 1898 году был издан «Хаос в космической интерпретации», где Хаусдорф
защищает «трансцендентный нигилизм». Об этой книге кто-то сказал, что она
слишком математическая для философа и слишком философская для математика.
На философию Хаусдорфа оказали большое влияние Ницше и Шопенгауэр. Он
постулировал преимущество некой элитарной индивидуальности над эгалитарны-
ми обществами. Хаусдорф обычно перемежал сухое философское изложение менее
возвышенными размышлениями об эгоизме, гедонизме, любви, страсти, музыке
Моцарта и гипнозе.
Помимо сонетов в «Сан-Иларио», Хаусдорф стал автором еще одного сборника
стихотворений под названием «Экстаз» (1900), в который вошли 158 произведе-
ний. Чтобы читатель мог оценить поэзию Хаусдорфа, приведем одно из его стихот-
ворений под названием «Бесконечная мелодия» (Unendliche Melodie):
Идти по дрожащей плоскости, медленно,
где неизменно льется звук изначальный,
в дыму, и мир танцует по спирали,
и простирается душа на небосводе.
Не останавливая взгляд
и без препятствий в углах,
на гранях или перегибах,
идти по дрожащей плоскости, медленно,
91
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
где неизменно льется звук изначальный.
И всякой необычности лишенный,
отделенный от человека, чистой песней
звук без источника распространяется негромко,
плыть, проходить без формы и движения,
идти по дрожащей плоскости, медленно.
Наибольший успех имела его пьеса, которая называется так же, как драма ис-
панского драматурга Педро Кальдерона де ла Барка, — «Врач своей чести», од-
нако произведение Хаусдорфа носит намного более сатирический характер: в нем
рассказывается история прусского архитектора-идеалиста, который соблазнил жену
государственного советника и теперь должен сразиться с ним на дуэли. Но в назна-
ченный день и час поединок пришлось отложить, так как дуэлянты и их секунданты
были до неприличия пьяны. В результате скандала советник теряет работу, но ми-
рится с женой. Пьеса была поставлена в Берлине и Гамбурге и, согласно хроникам,
была тепло встречена зрителями.
Творчество Хаусдорфа
стало предметом
множества
исследований,
в частности этого труда,
созданного коллективом
авторов во главе с Тиле
и Айхгорн.
92
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
«Сухие венки в святилище жизни»
Хаусдорф преподавал в университетах Лейпцига (1902—1910), Грайфсвальда (1913—
1921) и Бонна (1910—1913 и 1921—1935). В марте 1935 года Хаусдорф вышел в от-
ставку. Ему было уже 67, и, как он сам предвидел за несколько лет до этого, многое
в Германии начало меняться.
30 января 1933 года Пауль фон Гинденбург, занимавший в то время пост прези-
дента Германии, назначил 43-летнего Адольфа Гитлера рейхсканцлером. Национал-
социалистическая партия по итогам выборов в июле 1932 года получила 230 мест
в парламенте — большинство, хотя и не абсолютное. На выборах в марте 1933 года
нацисты получили 288 мест, что в сумме с 52 креслами, принадлежавшими Немец-
кой национальном народной партии, позволило Гитлеру взять под контроль парла-
мент, состоявший из 647 депутатов. Последующее исключение и арест 81 депута-
та от коммунистической партии и подкуп центристов позволили Гитлеру взять под
контроль две трети парламента, провозгласить Третий рейх и захватить абсолютную
власть в стране.
Верный антисемитским убеждениям, Гитлер не замедлил претворить в жизнь
первые законы об этнических чистках. 1 апреля 1933 года был объявлен бойкот ма-
газинов и предприятий, принадлежащих евреям. Неделей позже, 7 апреля, был при-
нят закон о реформе государственного управления, запрещавший евреям занимать
государственные должности. Все евреи, которые на момент принятия закона зани-
мали подобные должности, были уволены.
В то время в немецких университетах работали 200 преподавателей математики,
из них 98 профессоров. 35 преподавателей, из них 15 профессоров, были уволены.
Среди уволенных 30 были «в большей или меньшей степени» евреями. В 1935 году
число уволенных преподавателей достигло 60. За этим числом скрывались 60 тра-
гедий, 60 подлостей, 60 человек, 60 семей, многие из которых были уничтожены.
Однако под действие закона от 7 апреля не попадали евреи, которые проявили
себя как патриоты Германии, например те, кто участвовал в Первой мировой войне.
Именно поэтому закон не распространялся на Хаусдорфа. Он никогда не скры-
вал еврейского происхождения и не акцентировал внимание на религиозных вопро-
сах в своем творчестве. Когда он писал о религии, он чаще обращался к религиям
Востока, а не к иудаизму и христианству.
93
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Супруга Хаусдорфа, Шарлотта Голдшмидт, на которой он женился в 1899 году
и которая родила ему дочь, в юности приняла лютеранскую веру.
Хотя Хаусдорф вскоре увидел очертания будущей нацистской угрозы — когда
Гитлер заполучил 230 мест в парламенте, он сказал: «В будущем всё будет совер-
шенно иначе», — ученый не пытался покинуть Германию. Лишь в письме Рихар-
ду Куранту (1888—1972) в 1939 году Хаусдорф упомянул о возможности занять
должность исследователя в Нью-Йорке.
КУРАНТ, ГИЛЬБЕРТ И ГЁТТИНГЕН
Рихард Курант, который, как и Хаусдорф, был немецким евреем, покинул Германию в 1933 году.
Несмотря на то что многие выдающиеся люди со всего мира обратились в Гёттингенский универ-
ситет с просьбами сохранить его в должности, несмотря на то что он был превосходным ученым,
13 апреля 1933 года Курант был уволен по обвинению в принадлежности к социалистической
партии. Парадоксально, но это в итоге спасло ему жизнь. В 1936 году Куранту удалось получить
место в Нью-Йоркском университете. Там он создал Институт математических наук, один из наи-
более престижных в мире, который с 1964 года носит его имя. Случай Куранта, разумеется, был
не единственным в Гёттингене.
В результате новой этнической политики Третьего рейха Гёттингенский университет покинули
ученые масштаба Куранта, Эдмунда Ландау, Эмми Нётер и Германа Вейля - и этот список далеко
не полон. Многие из них были учениками Давида Гильберта, который не допускал никаких пред-
рассудков и при выборе учеников не принимал в расчет пол, расу и национальность. Приложив
огромные усилия, Гильберт сделал Гёттинген центром мировой математики. Всего за несколь-
ко месяцев его усилия были сведены на нет. «Когда я был молод, - сказал Гильберт, которому
в то время был 71 год, - я решил, что никогда не повторю фразу,
которую слышал от стольких пожилых людей: „Раньше было луч-
ше, чем сейчас". Я решил, что никогда не произнесу этой фразы
в старости. Однако сейчас у меня нет другого выхода, и я вы-
Ж нужден произнести ее».
. Давид Гильберт остался работать в Гёттингенском университете
несмотря на так называемую чистку 1933 года, после которой
должностей лишились многие исследователи. Выдающийся
математик скончался десять лет спустя.
94
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Возможно, если бы Хаусдорф лишился должности в Боннском университете, его
судьба и судьба его жены сложилась бы иначе. Однако Хаусдорф не подпадал под
действие закона от 7 апреля: в юности, сразу после окончания учебы, он несколько
лет отслужил добровольцем в немецкой пехоте. Поэтому он продолжил занимать
должность преподавателя, пока не вышел в отставку по возрасту в марте 1935 года.
Однако его мучения только начинались. В апреле 1941 года коллега Хаусдорфа
так писал о нем и его жене: «Дела у Хаусдорфов идут сравнительно неплохо, хотя,
естественно, они не могут избежать издевательств и волнений, вызванных непре-
кращающимися антисемитскими законами. Их денежные обязательства и повин-
ности столь высоки, что они не могут прожить на пенсию и вынуждены тратить
сбережения, которые, к счастью, всё еще сохранились. Кроме того, их обязали сдать
государству часть жилья, где теперь живет много людей. [...] Есть и несомненно
утешительные новости: некий музыкант по-прежнему приходит к ним, чтобы сы-
грать с Хаусдорфом; это приносит в их дом хоть какую-то радость».
В октябре 1941 года Хаусдорфов обязали носить звезду Давида, а в конце года
они получили извещение о депортации в Кёльн — последний шаг перед отправкой
в концентрационные лагеря в Польше. После Нового года угроза отступила, одна-
ко ей на смену пришла новая: в середине января им было сообщено, что 29 числа
того же месяца они будут высланы в пригород Бонна Эндених. Затем их вновь ожи-
дал лагерь смерти.
Сохранилось письмо Хаусдорфа, написанное в воскресенье, 25 января 1942 года.
В нем ученый писал: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nicht». В этой фразе
обыгрывается схожесть слова Endenich — названия боннского пригорода — и слов
Ende и nicht, которые означают «конец» и «нет»: «Возможно, Эндених еще не ста-
нет для нас концом». Хаусдорф, который увлекался музыкой, наверняка знал, что
в Энденихе находилась психиатрическая больница, где композитор Роберт Шуман
(1810—1856) провел в заключении два последних года жизни. Это было дурным
предзнаменованием, и фраза: «Возможно, Эндених еще не станет для нас концом»
стала грустным каламбуром. Этот каламбур оказался преисполнен жестокой иро-
нии, поскольку Хаусдорф решил покончить жизнь самоубийством: «К тому момен-
ту, когда вы прочтете эти строки, — писал он в том же письме от 25 января, — мы
уже решим нашу проблему, однако, возможно, мы примем решение, от которого вы
неустанно отговаривали нас. [...] То, что было сделано против евреев в последние
месяцы, стало для нас в высшей степени невыносимым, поскольку мы оказались
95
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
в невозможных условиях [...] Передайте самую сердечную благодарность госпо-
дину Майеру за всё, что он для нас сделал, а также за то, что он, вне сомнения,
сделал бы в будущем. Мы искренне изумляемся успехам его организации, и если бы
с нами не случилось это несчастье, мы обязательно обратились бы к нему. Он на-
верняка вызвал бы в нас чувство относительной защищенности, хотя, к несчастью,
она по-прежнему была бы лишь относительной (здесь Хаусдорф был прав: адвокат
Майер погиб в Аушвице) [...] Если это возможно, мы бы хотели, чтобы наши тела
были кремированы; с этой целью я прилагаю к письму три завещания. Если же это
будет невозможно, пусть господин Майер или господин Голдшмидт сделают всё,
что в их силах (учтите, что моя жена и невестка — лютеране). Используйте сумму,
уже внесенную нами в счет оплаты: моя жена уже оплатила расходы на похороны
на протестантском кладбище (все документы вы найдете в ее спальне). Остаток
суммы внесет моя дочь Нора. Простите нас за то, что мы доставили вам неудобства,
в том числе после нашей смерти. Я убежден, что вы сделаете всё возможное и что
мы не просим слишком многого. Простите нам наше бегство! Мы желаем вам и всем
нашим друзьям лучшего будущего».
В этом письме, написанном за несколько часов до самоубийства, чувствуется, что
обстоятельства застали Хаусдорфа врасплох. Он писал о самоубийстве несколько
раз, и, возможно, эти размышления помогли ему принять тяжелое решение, однако
Могила Феликса Хаусдорфа, его жены Шарлотты, свояченицы Эдит,
дочери Леноры и ее мужа на боннском кладбище Поппельсдорф.
96
АБСТРАКТНОЕ И ЭМОЦИОНАЛЬНОЕ: МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ПРИРОДА
никто не может знать, когда придет последний час. В 1899 году Хаусдорф написал
эссе «Смерть и возвращение», на которое оказали большое влияние мысли Ницще
о «свободной смерти». В прощальном письме Хаусдорфа, написанном утром в день
самоубийства, отчетливо прослеживаются отголоски заповедей Заратустры. «Умри
вовремя!» — словно кричат строки письма Хаусдорфа, как если бы он своим до-
стойным поведением хотел показать, что «своею смертью умирает совершивший свой
путь, умирает победоносно». Хаусдорф не был готов «повесить сухие венки в свя-
тилище жизни», поэтому он выбрал «свободную смерть, которая приходит ко мне,
потому что я хочу».
В тот же день Хаусдорф, его жена Шарлотта и ее сестра Эдит приняли смертель-
ную дозу барбитала. По-видимому, их последнее желание было исполнено: их тела
были кремированы, а прах захоронен на кладбище Поппельсдорф1.
И в завершение...
Возможно, наш воображаемый прохожий, к которому мы в начале главы обратились
с вопросом о математике и природе человека, отметит, что всё вышесказанное мало
помогает понять природу человека как вида. Он посчитает, что противопоставление
абстрактного понятия размерности Хаусдорфа и эмоционального контекста его жизни
не проливает свет на темные уголки человеческой природы, а, скорее, ставит перед
нами новые вопросы. Тем не менее это противопоставление всё равно крайне полезно:
именно размышления, вызванные различными вопросами и сомнениями, движут наш
разум вперед и помогают лучше узнать человеческую сущность.
1 В неспокойные годы перед Второй мировой войной и во время войны произошло множество трагических эпизодов.
Нацистская угроза вышла из границ Германии и обрушилась на многие страны Европы. Результатом стали
чистки в рядах польских математиков и преследование немецких математиков. Ужасы войны повлияли на ученых
по другую сторону Атлантики, в США, подтолкнув их к участию в создании атомной бомбы. Всё, о чем мы
рассказали, неразрывно связано с одним из самых драматичных эпизодов человеческой истории, когда наука
столкнулась со сложнейшей моральной дилеммой.
97
Глава 4
Цель: красота математических
рассуждений
Мы уже знаем, где следует искать красоту математики и почему ее сложно увидеть.
Мы также знаем, что математику всегда нужно рассматривать в эмоциональном кон-
тексте, чтобы воспринять ее красоту.
В этой главе мы перенесемся по другую сторону зеркала и представим, что наш
мозг оказался способен понять структуру идей, наделяющую математические рассуж-
дения эстетической ценностью. Теперь попробуем совершить двойное сальто-мортале
и попытаемся объяснить, что именно в этих идеях эстетически ценно. Пусть читатель
не пугается, ведь мы следуем совету философа Джорджа Сантаяны: «Чувствовать
красоту лучше, чем понимать, как мы ее чувствуем».
Чтобы пройти намеченным путем, возьмемся за руки гиганта (не будем, подобно
Ньютону, взбираться на его плечи), который проведет нас по этой дороге, полной
опасностей. Нашим проводником станет Годфри Харолд Харди (1877—1947): па-
цифист в военное время, предположительно гомосексуалист (по словам его ближай-
шего коллеги), стилист от математики, гурман чисел.
Англичанин, который не любил Бога
Как и в других главах этой книги, перед тем как изложить мысли Харди об эсте-
тической ценности математики, познакомим читателя с некоторыми моментами его
биографии.
Харолд Харди, по своей собственной оценке, был пятым в списке лучших мате-
матиков своего времени. Составление списков и рейтингов ему очень нравилось —
возможно, оно вполне соответствовало его любви к соревнованиям. Как-то Харди
составил рейтинг математической одаренности, в котором присвоил себе 25 очков
из 100, своему коллеге Джону Литлвуду — 30, а немецкому ученому Давиду Гиль-
берту, первому математику того времени, — 80. Высшего балла, 100, был удостоен
99
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Сриниваса Рамануджан, индийский математик-самоучка, бывший клерк в мадрас-
ском порту, неограненный алмаз, которого Харди, к его великой гордости, открыл
миру. Чуть позже мы расскажем о Рамануджане.
По мнению Бертрана Рассела, у Харди были блестящие глаза, какие бывают
только у очень умных людей. Возможно, он не был гением, подобно Эйнштейну, но,
с точки зрения многих, в одном Харди превосходил Эйнштейна: он умел превратить
любой результат интеллектуального труда в произведение искусства. Эта его спо-
собность ярко проявилась в небольшой книге под названием «Апология математи-
ка», написанной им за несколько лет до смерти. По мнению Грэма Грина, эта книга
дает наиболее полное представление о том, что такое быть художником-творцом.
Именно это эссе Харди станет для нас путеводной звездой в попытках объективно
оценить те свойства, которые наделяют математические идеи эстетической ценно-
стью.
Кто-то как-то сказал: чтобы сесть в кресле так, как сидит Харди
на этой фотографии, нужно закончить английскую частную школу.
Харди получил прекрасное образование: сначала он окончил школу в Суррее,
к западу от Лондона, где работали его родители-учителя. В 13 лет, став первым
из 102 кандидатов, он получил право обучаться в Винчестере, в престижной частной
школе. Наконец, в 19 лет он был принят в кембриджский Тринити-колледж, где
чуть больше двух веков назад учился и работал Исаак Ньютон.
100
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Харди отличался типично английской холодностью и был при этом довольно экс-
центричен и сумасброден. Он ненавидел зеркала (в гостиничных номерах он завеши-
вал все зеркала полотенцами) и брился наощупь. Также он не любил механические
устройства, никогда не пользовался часами, авторучкой и отказывался фотографи-
роваться. Не пользовался он и телефоном, за исключением экстренных ситуаций,
при этом говорил только он сам. Еще одной его страстью, помимо математики, был
крикет — игра, полная тайн и загадок почти в той же степени, что и математика.
Харди был близким другом Бертрана Рассела и разделял его пацифистские
убеждения во время Первой мировой войны. Он был верным защитником идеалов
единства и общности математического братства. Видя обстановку, которая сложи-
лась в Кембридже во время Первой мировой войны, он решил сменить университет
и в 1919 году принял приглашение занять место преподавателя в Оксфорде. Спустя
двенадцать лет Харди вернулся в Кембридж. Он по-прежнему хотел находиться
в центре английской математики, который в то время располагался в Кембридже,
а кроме того, здесь ему было гарантировано жилье и после выхода в отставку. Харди
всегда жил один, в последние годы за ним ухаживала сестра Гертруда, которой он
в детстве по неосторожности выбил глаз крикетной битой. Этот инцидент не испор-
тил их прекрасные отношения, которые они сохраняли всю жизнь.
Харди был отличным собеседником, однако, возможно, за его кажущейся ис-
кренностью и непринужденностью скрывалось нечто большее. Кто-то сказал, что
Харди был другом для очень многих, но близким другом — лишь для некоторых.
«Апостолы»
Харди входил в эксклюзивное общество «Апостолы» — тайное кембриджское брат-
ство, членами которого были выдающиеся интеллектуалы: Эдвард Морган Форстер,
Джон Мейнард Кейнс, Бертран Рассел, Людвиг Витгенштейн, Литтон Стрейчи
и другие члены образовавшейся позднее группы Блумсбери. Рассел писал об «апосто-
лах» так: «Не существовало ни табу, ни ограничений, ничто не считалось скандаль-
ным, а на пути свободы мысли и дискуссии не возводилось никаких препятствий».
101
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Справа — писатель Литтон Стрейчи, слева — художница Дора Каррингтон,
в центре — ее муж Ральф Партридж. История отношений Стрейчи, Каррингтон
и Партриджа была экранизирована в 1995 году.
Во время учебы в кембриджском Тринити-колледже Харди перестал верить
в Бога. Он объявил декану о своем нежелании посещать часовню, что в Тринити-
колледже было обязательным. На это декан ответил, что не будет возражать, если
Харди оповестит о своем решении родителей. Декану было известно, что родители
Харди очень религиозны и признание сына огорчит их. Понимал это и сам Харди.
Однако, тщательно обдумав все за и против, он написал родителям письмо, которое
действительно очень их огорчило. После этого случая Харди не только перестал ве-
рить в Бога, но и начал считать его своим личным врагом — эта идея ученого стала
темой многих анекдотов. Так, Харди выходил из дома в солнечный день, одетый
в плащ и с зонтиком под мышкой: он считал, что если Бог увидит его с зонтиком,
то не станет портить вечер дождем.
102
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
ХАРДИ, БОГ И ГИПОТЕЗА РИМАНА
Самый «божественный» из анекдотов о вражде Харди с Богом связан с гипотезой Римана. Не бу-
дем объяснять, в чем заключается смысл этой гипотезы, лишь укажем, что ее доказательство
позволит нам понять, как распределяются простые числа.
Выдвинутая немецким математиком Бернхардом Риманом (1826-1866) в 1859 году, эта ги-
потеза стала важнейшей задачей математики и одной из самых любопытных для Харди. Перед
тем как сесть на корабль, отплывавший в Данию, Харди отправил открытку, в которой написал,
что доказал гипотезу Римана. Благодаря математическому авторитету Харди, если бы он погиб
при кораблекрушении, другие математики сочли бы, что он действительно решил важнейшую за-
дачу математики, и лишь несчастный случай помешал ему опубликовать доказательство. Харди
вознесся бы на математический Олимп, присоединившись к Гауссу, Архимеду, Ньютону и Эйлеру.
Позднее Харди объяснил, что вся эта затея была мерой предосторожности: Бог, заклятый враг
Харди, не допустил бы, чтобы тот попал на математический Олимп, и успокоил буйные ветры
Северного моря.
Сотрудничество с Рамануджаном
О моральных качествах Харди лучше всего свидетельствуют его взаимоотношения
с индийским математиком Сринивасой Рамануджаном.
Рамануджан родился в 1887 году в деревне к югу от Мадраса, в бедной семье
брахманов. Он не получил даже среднего образования, но не по финансовым при-
чинам, а потому, что из всех дисциплин его интересовала только математика. Он
еще мальчиком попал под очарование чисел и возвел прочное математическое здание
буквально на пустом месте: Рамануджан размышлял, сидя в одиночестве у дверей
своего дома, он записывал формулы на грифельной доске и стирал их локтем.
Когда о его теоремах и формулах стало известно, небольшое научное сообщество
Мадраса не смогло определить, кто же был перед ним: гений или сумасшедший.
Осознавая, что никто в ближайшем окружении не способен понять его формул, Ра-
мануджан отправил рукописи в Кембридж — центр английской математики. Первое
и второе его письмо остались без ответа: английские профессора не сочли нужным
103
ЦЕЛЫ КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
вникать в записи неизвестного клерка из мадрасского порта. А третье письмо попало
в руки Харолда Харди.
Харди отнесся к письму Рамануджана серьезно и, подробно изучив его, сделал
все возможное и невозможное для того, чтобы Рамануджан смог приехать в Кем-
бридж. Он перебрался в Англию в 1914 году, почти одновременно с началом Пер-
вой мировой войны. Харди убедился, что Рамануджан был подобен неограненно-
му алмазу: он обладал сверхъестественной интуицией во всем, что касалось чисел
и формул, однако не владел базовыми понятиями и методами. Однако произошло
невозможное: Рамануджан, который изучил математику самостоятельно, смог пло-
дотворно и на равных сотрудничать с Харди, воспитанным британской системой
образования.
Рамануджан провел в Англии почти пять лет, то есть всю Первую мировую войну,
последние два года он обитал в различных санаториях из-за своей болезни: одиноче-
ство, влажный климат и скудная вегетарианская диета привели к тому, что он заболел,
и никто из врачей не смог поставить ему правильный диагноз.
Рамануджан вернулся в Индию в 1919 году — чтобы умереть. Он покинул ро-
дину цветущим и полным сил, а вернулся, съедаемый болезнью и овеянный славой:
он был избран членом Лондонского королевского общества, став самым молодым
ученым, удостоенным этой чести за многовековую историю общества, а также первым
индийцем — членом Тринити-колледжа. Вскоре после его возвращения мадрасская
Индийская марка, выпущенная в честь математика
Сринивасы Рамануджана — великого открытия Харди.
104
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
газета «Таймс» посвятила ему статью, где были такие строки: «Как сказал некто
из Кембриджа, со времен Ньютона не было никого, подобного Рамануджану, —
не следует и говорить, что это высшая похвала». Математик умер в апреле 1920 года
в возрасте 32 лет.
Харди как-то признался: «Мой союз с Рамануджаном был единственным ро-
мантическим событием в моей жизни. Ему я обязан больше, чем кому-то еще в це-
лом мире, за единственным исключением». Харди всегда гордился тем, что работал
с Рамануджаном. В «Апологии математика» он писал: «Когда я бываю в плохом
настроении и вынужден выслушивать людей напыщенных и скучных, я говорю про
себя: „А все-таки мне выпало пережить нечто такое, о чем вы даже не подозрева-
ете: мне довелось сотрудничать с Аитлвудом и Рамануджаном почти на равных”».
Это сотрудничество началось в конце января 1913 года, когда с утренней почтой он
получил письмо из Мадраса. «Вне сомнений, это было самое удивительное письмо,
которое я когда-либо получал», — позднее признавался Харди.
Харди жил исключительно математикой и ради математики и был ведущим ан-
глийским математиком с 1910-х годов и до начала Второй мировой войны. Для него
математика была сродни соревнованию: он стремился стать первым, кто решил ту или
иную сложную задачу. Харди был автором свыше 300 статей и 11 книг, и его научное
творчество охватывало почти все разделы анализа и теории чисел.
Искусство и математика: целесообразность без цели?
Занятия математикой для Харди имели преимущественно эстетический характер. Как
он писал в «Апологии математика», «красота служит первым критерием: в мире нет
места безобразной математике».
Харди считал, что красота — единственное, что наделяло математику ценно-
стью, а его жизнь — смыслом: «По любым практическим меркам ценность моей
математической жизни равна нулю, а вне математики она, так или иначе, тривиаль-
на. У меня есть лишь один шанс избежать вердикта полной тривиальности — если
будет признано, что я создал нечто такое, что заслуживает быть созданным. [...]
Смысл моей жизни или жизни кого-нибудь еще, кто был математиком в том же
смысле, в каком был математиком я, заключается в следующем: я внес нечто свое
105
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
в сокровищницу знания и помог другим сделать то же, и это „нечто** обладало цен-
ностью, которая отличалась только величиной, но никак не сущностью, от творений
великих математиков или любых других художников, больших и малых, которые
оставили после себя нерукотворные памятники»2.
Упорство, с которым Харди настаивал на бесполезности «истинной > математи-
ки, часто считается еще одним проявлением его экстравагантного характера. Его
провокационные строки: «Настоящая математика не оказывает влияния на войну.
Никому еще не удалось обнаружить ни одну военную или имеющую отношение
к войне задачу, которой служила бы теория чисел или теория относительности, и ма-
ловероятно, что кому-нибудь удастся обнаружить нечто подобное, на сколько бы
лет мы ни заглядывали в будущее», — были написаны почти в то же самое время,
когда в США начинался проект «Манхэттен», имевший целью создание атомной
бомбы. Ирония судьбы: в энциклопедии «Британника» в статье о Харди самому
математику уделено меньше места, чем закону Харди — Вайнберга. В энцикло-
педии отмечается: «Харди не считал этот закон особенно ценным, однако он имеет
определяющее значение при решении множества задач генетики, в том числе задачи
о распределении Rh в зависимости от группы крови и гемолитических болезней».
Однако для меня беззастенчивые похвалы бесполезности математики были
не просто проявлением сумасбродства Харди: он в своей манере заявлял, что в во-
просах эстетики был последователем Канта.
Эстетическое удовольствие, по-видимому, имеет иную природу, нежели другие
удовольствия, теснее связанные с нашим животным происхождением. Так, удоволь-
ствие, которое чувствовал доисторический человек, видя разукрашенную глиняную
чашку, не могло сравниться с удовольствием, которое он чувствовал, когда утолял
голод или жажду из этой чашки. Аналогично, сексуальное удовольствие и тяга
к удобствам также отличаются от удовольствия, которое мы испытываем, когда
слушаем Второй фортепианный концерт Рахманинова. Согласно Канту, разница
между эстетическим удовольствием и другими происходит от того, что последние
возникают при удовлетворении какой-либо необходимости, следовательно, мы за-
интересованы в них; удовольствие, вызванное восприятием художественного про-
изведения, напротив, не подразумевает никакой полезности. Человек, утверждал
Кант, единственное животное, способное к эстетическим суждениям: «Вкус есть
способность судить о предмете или о способе представления на основании удоволь-
2 Здесь и далее перевод Ю. А. Данилова. — Примеч. ред.
106
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
ствия или неудовольствия, свободного от всякого интереса». Именно эта «свобода
от всякого интереса» — важнейшая характеристика любого произведения искус-
ства: искусство, как писал Кант в «Критике способности суждения», есть «целесо-
образность без цели».
Поэтому Харди восхвалял бесполезность математики не из экстравагантно-
сти — следуя теории Канта об эстетике, он отстаивал точку зрения, согласно кото-
рой математика — больше искусство, чем наука.
Это доказательство эстетической ценности математики, а следовательно, ее бес-
полезности, повсеместно присутствует в «Апологии математика». Так как далее
именно на примере этого эссе мы проясним, какие свойства математических идей
наделяют их эстетической ценностью, в завершение этого раздела мы приведем
несколько слов о том, что переживал Харди, когда работал над этим произведением.
Обложка английского издания «Апологии математика».
Страсть Харди к математике в итоге поглотила его. В конце жизни, когда у него
уже не было сил заниматься математикой, он чувствовал себя угнетенным и попытался
покончить жизнь самоубийством. Именно на этом последнем этапе своей жизни, про-
жив шесть десятилетий, он создал «Апологию математика», полную горечи, которую
107
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
он чувствовал. «„Апология математика**, если читать ее с тем вниманием к тексту,
которое она заслуживает, — писал в предисловии Чарльз Сноу, — книга, прони-
занная неизбывной печалью. Да, она блещет остроумием и игрой ума, да, ее все еще
отличает кристальная ясность и искренность, да, это завещание художника-творца.
И вместе с тем „Апология математика “ — это стоически сдержанный сокрушенный
плач по творческим силам, которые некогда были и никогда не вернутся снова».
Сам Харди подтверждает это в первых строках своего эссе: «Писать о матема-
тике — печальное занятие для профессионального математика. Математик должен
делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математи-
ческие знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики.
Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают
пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают анало-
гичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного,
чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняю-
щим. Изложение чужих результатов, критика, оценка — работа для умов второго
сорта». Он продолжает: «Но если я теперь сижу и пишу о математике, а не занима-
юсь собственно математикой, то это — признание в собственной слабости, за ко-
торую молодые и более сильные математики с полным основанием могут презирать
или жалеть меня. Я пишу о математике потому, что, подобно любому другому мате-
матику после шестидесяти, я не обладаю более свежестью ума, энергией и терпени-
ем, чтобы успешно выполнять свою непосредственную работу».
Общность и глубина
Цель этого раздела — описать свойства математики, которые наделяют ее эстети-
ческой ценностью. Во-первых, напомним, что математик создает образы из идей.
Харди писал в «Апологии математика»: «Создаваемые математиком образы, по-
добно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам
или словам, идеи должны сочетаться гармонически».
Таким образом, чтобы достичь поставленной цели, мы должны определить, какие
основные свойства наделяют математические идеи эстетической ценностью. Начнем
с того, что выделим два основных аспекта, внутренне присущих математическим
идеям и способных перевести их в эстетическое измерение. Эти аспекты — общ-
ность и глубина.
108
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Пример из Эйлера как отправная точка
Проиллюстрируем рассуждения Харди об этих свойствах математических идей
на не слишком сложном примере, чтобы читатель, не обладающий обширными зна-
ниями математики, мог понять его. При этом наш пример достаточно сложен, чтобы
адекватно проиллюстрировать все рассуждения Харди об эстетической ценности
математических идей и связать их с философскими рассуждениями об эстетике, при-
надлежащими другим авторам. Выбранный нами пример показывает, как Эйлер вы-
числил сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел, в своей книге «Введение
в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum). Эйлер вычислил
следующую сумму:
111111
4 9 16 25 36 49
Заметьте, что знаменатели этих дробей — квадраты натуральных чисел, а мно-
готочие означает, что число слагаемых бесконечно велико. Математики называют
сумму бесконечного числа слагаемых рядом. Сумма ряда — это число, к которо-
му мы приближаемся по мере увеличения числа слагаемых так, что разность между
этим числом и суммой слагаемых уменьшается с увеличением их количества.
Представленный выше бесконечный ряд содержит некоторый контекст, о кото-
ром будет полезно рассказать.
История этого ряда такова. В марте 1672 года юный Лейбниц, которому было
двадцать с небольшим, прибыл в Париж. Он хотел улучшить свое математическое
образование и углубить знания, которые на тот момент были весьма скудными.
Спустя несколько месяцев Лейбниц придумал хитроумный метод вычисления сумм
бесконечных рядов. Его метод заключался в записи слагаемых в виде разности с по-
следовательным сокращением членов. Ввиду врожденного оптимизма и недостатка
математических знаний Лейбниц посчитал, что открытый им способ позволяет найти
сумму произвольного ряда. Не будем забывать, что, по мнению Лейбница, мы жили
в лучшем из миров, причем он произнес эти слова вскоре после окончания Тридца-
тилетней войны.
109
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Слева — портрет Лейбница работы Иоганна Фридриха Вентцеля, около 1700 года.
Справа — портрет Гюйгенса, выполненный Каспаром Нечером в 1671 году.
Оптимизм Лейбница по отношению к его методу вычисления сумм рядов только
усилился, когда он узнал об открытии Христиана Гюйгенса, одного из авторитетней-
ших ученых. Гюйгенс родился в Голландии и к описываемому моменту уже несколько
лет работал в Парижской академии наук. Чтобы проверить метод Лейбница, Гюй-
генс предложил ему найти сумму ряда чисел, обратных треугольным. Треугольные
числа имеют вид п • (п + 1)/2. Своим названием они обязаны пифагорейцам и их гео-
метрическому толкованию чисел: треугольное число — это число кружков, которые
можно расставить в форме равностороннего треугольника. Таким образом, Лейб-
ницу требовалось вычислить сумму ряда: 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 4- 1/21 +
+ 1/28+ ...
По случайному совпадению этот ряд — один из немногих, для которых спо-
соб, открытый Лейбницем, позволяет найти верное значение суммы (см. врезку):
1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + ... = 2.
В 1673 году Лейбниц посетил Лондон, где запомнился как наивный оптимист
и дилетант. С математической точки зрения его поведение не раз сослужило ему
плохую службу — англичане припомнили некоторые эпизоды сорок лет спустя,
в разгар дискуссии с Ньютоном об авторстве анализа бесконечно малых.
По возвращении в Париж Лейбниц получил письмо от Джона Коллинза, ко-
торый предложил ему найти сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел:
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 + ...
Коллинза нельзя было назвать великим математиком, он был скорее посредником
между британскими математиками и учеными континента. Он не обладал достаточ-
но
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
ВЫЧИТАЙ, КОГДА ХОЧЕШЬ СЛОЖИТЬ
Как мы уже говорили, метод Лейбница заключался в том, что при вычислении суммы ряда каждый
член записывался в виде разности так, что искомую сумму было нетрудно вычислить путем после-
довательного сокращения членов. Именно так сокращаются числа, обратные треугольным числам.
В самом деле, число, обратное треугольному числу 2/(п (п + 1)), - это разность 2/п и 2/(п + 1):
2 _2____2
п (п+1) п л+Г
Приняв л -1,2,3,4,..., получим: 1 - 2 -1; 1/3 -1 - 2/3; 1/6 - 2/3 - 2/4; 1/10 - 2/4 - 2/5; 1/15 -
- 2/5 - 2/6; 1/21 - 2/6 - 2/7 и так далее. Сложив указанные дроби, заметим, что вычитаемое
в каждой разности и уменьшаемое в следующей разности сокращаются и в конце концов остается
лишь уменьшаемое первой разности: 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + ... - 2.
ними способностями, чтобы понять истинную сложность задачи, поэтому весьма
вероятно, что это предложение было выдвинуто более авторитетными математиками,
к примеру Джеймсом Грегори или самим Исааком Ньютоном. Как бы то ни было,
тот, кто со злым умыслом предложил Лейбницу эту задачу, мог сказать ему, что вы-
числить искомую сумму вряд ли будет слишком сложно, так как искомые слагаемые
были почти равны членам ряда, сумму которого Лейбницу удалось найти: в одном
случае слагаемые имели вид 2/(п • (n + 1)), в другом — 1/(п • п).
Однако найти сумму ряда не удалось ни Лейбницу, ни его ученикам, братьям
Иоганну и Якобу Бернулли. Не сохранилось документальных свидетельств того,
что этой задачей занимались Грегори или Ньютон, однако это не означает, что они
обошли ее своим вниманием — возможно, их, как и других математиков, постигла
неудача.
Прошло почти полвека, прежде чем Леонарду Эйлеру удалось найти сумму этого
ряда. Идея, которую использовал Эйлер для сложения чисел, обратных квадратам
натуральных, очень проста. Отправная точка его рассуждений такова: рассмотрим
произведение вида (l-2z2) • (1 —5z 2) • (l-6z2), раскроем скобки и приведем по-
добные слагаемые:
(1 - 2z2) • (1 - 5z2) • (1 - 6z2) = 1 - 13z2 + 52z4 - 60z6.
ill
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)
Эйлер был одним из величайших математиков всех
времен и, вне всяких сомнений, лучшим в XVIII веке. Он
родился в 1707 году в Базеле, окончил местный универ-
ситет, брал частные уроки у Иоганна Бернулли - одного
из учеников Лейбница.
В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, с 1731
по 1741 год был членом Петербургской академии наук, за-
тем работал в Пруссии и был избран членом Берлинской
академии наук. Несмотря на непростые отношения с прус-
ским королем Фридрихом II, Эйлер прожил в Берлине
25 лет и в итоге возглавил академию наук. По словам
Фридриха II, усилиями которого Берлин стал одним из культурных центров Европы, Эйлеру недо-
ставало блеска, таланта и элегантности. Эйлер был простым человеком, лишенным качеств,
необходимых для «салонной жизни», которую так любил король. В одном из писем к Вольтеру
Фридрих II назвал Эйлера «огромным циклопом геометрии» - злая шутка о математике, который
в 1738 году ослеп на один глаз После Берлина Эйлер вновь вернулся в Санкт-Петербургскую
академию наук и умер в Санкт-Петербурге в 1783 году.
О влиянии Эйлера на математику последующих эпох лучше всего скажет классическая фраза
Лапласа: «Читайте, читайте Эйлера - он учитель всех нас!». Или процитируем Гаусса: «Изучение
трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть за-
менено ничем другим».
Нетрудно видеть, что число, которое умножается на z2 в полученном выраже-
нии, равно сумме чисел, на которые умножается z2 в левой части равенства. Так-
же нетрудно показать, что это соотношение верно для любого числа сомножите-
лей в этом произведении. Эйлер понял: все, что верно для конечных произведений
и сумм, верно и для бесконечных. Иными словами, если мы запишем:
(1 — az2) • (1 — bz2) • (1 — cz2) •... = 1 — Az2 + Bz4 — Cz6 + ...,
то-Д^а + Ь + сЧ- ...
112
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Далее Эйлер ввел в игру функцию синуса. Синус и косинус — две основные
тригонометрические функции. Они определяются очень просто. Изобразим угол х
на координатной плоскости следующим образом: одной из сторон угла будет гори-
зонтальная ось, вторая сторона угла будет иметь длину, равную 1. Синус определя-
ется как длина проекции этой стороны угла на вертикальную ось, косинус — как
длина проекции этой стороны на горизонтальную ось, что показано на следующем
рисунке.
Эйлер последовательно рассмотрел два разложения функции синуса в ряд. Один
из этих бесконечных рядов открыл сам Эйлер:
sin z
где знаменатели дробей — квадраты натуральных чисел, умноженные на квадрат
числа Л. Второе разложение синуса в бесконечный ряд открыл Ньютон:
sin Z
6 120 720
Z
Здесь знаменатели представляют собой факториалы последовательных чисел. На-
помним, что факториал произвольного числа п определяется как произведение всех
чисел, меньших п: п • (п — 1) • (п — 2) • ... • 3 • 2 • 1. Следовательно, знаменатели
в представленной выше формуле равны факториалам показателя степени z плюс 1.
Иными словами, если показатель степени z равен 2, то знаменатель будет фактори-
113
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
алом 3: 3 • 2 • 1 — 6; если показатель степени z равен 4, то знаменатель будет равен
факториалу 5: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120, и так далее.
Так как оба этих ряда представляют собой разложение одной и той же функции
синуса, они должны быть равны, в частности:
1---------- •... — 1-------1-----
16-я:2 J 6 120
Согласно изложенному в предыдущем абзаце, получим:
1111 1
— — —- ч-- ч-- ч-- ч-...,
6 л 4-я: 9-я: 16 п
или, что аналогично:
1 1 1
1Ч--Ч--Ч- — ч-
4 9 16
Таким образом, суммой чисел, обратных квадратам натуральных чисел, будет
квадрат числа Л, разделенный на 6.
Размышления Харди применительно к практике
Теперь вернемся к рассуждениям Харди о двух основных свойствах, которые наде-
ляют математическую идею эстетической ценностью. Харди писал: «Два качества
играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддается
определению легко и просто».
Говоря об общности математической идеи, Харди уточнял: «Значительная мате-
матическая идея, серьезная математическая теорема должна обладать „общностью**
в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих
математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем раз-
личного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сфор-
мулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать
существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного
рода. Отношения, выявляемые в ходе ее доказательства, должны связывать многие
различные математические идеи». Чтобы у читателя не осталось никаких сомнений
относительно того, насколько сложно точно определить «общность», Харди писал:
«Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений».
114
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Рассмотрим пример, приведенный Эйлером: обладает ли ряд Эйлера общностью
в том смысле, в каком трактовал это свойство Харди? Да, этот ряд действительно
обладает общностью, причем в нескольких значениях.
Основная идея Эйлера заключалась в том, чтобы использовать для вычисления
некоторых бесконечных сумм два представления одной и той же функции: одно в виде
произведения, другое — в форме ряда. В представленном выше случае Эйлер с по-
мощью функции синуса нашел сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел.
Применив другие функции, Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» с помо-
щью аналогичного метода вычислил множество сумм бесконечных рядов, в частности:
1 J_____1_ J____1_ 71У
5з+73 11з + 133 173 +"‘-18л/з'
В этой сумме с противоположными знаками записаны числа, обратные кубам нечет-
ных чисел, за исключением кратных 3.
Однако общность идеи Эйлера не ограничивается одной лишь заменой функции
синуса на другие. В его методе рассматривается выражение
(1 - az2) • (1 - bz2) • (1 - cz2) • ... = 1 - Az2 + Bz4 - Cz6 +...
Число, на которое последовательно умножается z2, связывается с суммой чисел,
на которые умножается z2 в левой части равенства. В слегка видоизмененном виде
идея Эйлера становится еще более плодотворной. Достаточно обратить внимание
на числа, которые умножаются на остальные степени переменной в правой части ра-
венства и выразить их через коэффициенты при z2 в левой части равенства (см. врезку
на следующей странице). Применив эту идею, Эйлер вычислил не только сумму
чисел, обратных квадратам натуральных чисел, но и чисел, обратных четвертым,
шестым и восьмым степеням:
111 я4
14—— Ч—-Ч—тЧ-... — ,
24 З4 44 90
111 я6
1Ч—-Ч-—-Ч—тЧ-... —-,
2 З6 46 945
„ 111 яг8
1ч-—ч-—ч-—ч-... —---.
28 З8 48 9450
115
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Ему удалось дойти до 26-й степени:
1 1 1
+ ~тг + +
226 3 4
76 977 927-224
1-2-3-...-27
Надеемся, что читатель смог оценить всю общность рассуждений Эйлера и, как
следствие, лучше понять, что хотел сказать Харди, когда писал об общности мате-
матической идеи: именно общностью, помимо гениальности, отличается рассмотрен-
ная идея Эйлера.
Согласно Харди, другое неотъемлемое свойство, наделяющее математическую
идею эстетической ценностью, — это глубина. «Второе свойство, которое я потре-
ЭЙЛЕР И БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Эйлер уточнил свою исходную идею следующим образом. Вернемся к произведению
(1 - az2) (1 - bz2) • (1 - cz2) •... - 1 - Az2 + Bz* - Cz6 +...
Теперь рассмотрим число В, на которое умножается z4. Нетрудно видеть, что это число В обра-
зуется попарным умножением с последующим сложением чисел а,Ь,с.которые умножаются
на z2 в левой части равенства: В - ab + ас + Ьс + ...
Таким образом, если мы запишем Р = а + b + с + ... и Q = а2 + Ь2 + с2 + ..., путем простых под-
счетов имеем: P“AhQ*=A-P-2 В.
Если мы вновь рассмотрим два разложения для функции синуса:
( Z2 V z2 "I f z2 ) f z2 'I z2 z*
?t2J\ 4-я2 J 9-я2 J 16 л2 ) 6 120
и примем во внимание, что в этом случае А - 1/6, В - 1/120 и, как мы уже вычислили, Р- я2/6,
получим значение суммы чисел, обратных четвертым степеням натуральных чисел: 1 + 1/24 +
+ 1/34+ 1/44 + ... = я4/90.
Нечто подобное можно выполнить для z6 и последующих степеней. Благодаря этому Эйлер
вычислил суммы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел, начиная от второй и за-
канчивая двадцать шестой. Несколько лет спустя Эйлер обнаружил общую формулу суммы чисел,
обратных произвольной четной степени натуральных чисел. 0 сумме чисел, обратных нечетным
степеням натуральных чисел, ничего не известно и поныне. Мы знаем лишь, что первые несколько
подобных сумм являются иррациональными числами.
116
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
бовал от значительной идеи, — ее глубина. Определить его еще труднее. Оно каким-
то образом связано с трудностью; „более глубокие** идеи обычно труднее постичь,
но вместе с тем это не одно и то же. Создается впечатление, что математические
идеи „стратифицированы**, то есть расположены как бы слоями, идеи в каждом слое
связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних
и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея».
И вновь суммы Эйлера помогут нам понять, что Харди имел в виду, когда го-
ворил о «глубине» математических идей. Эйлер связал математические понятия
из разных областей. В методе Эйлера скрывается понятие бесконечности, принад-
лежащее, можно сказать, к метафизике. Этот метод относится и к арифметике, так
как в его задаче рассматриваются натуральные числа — требуется сложить квадра-
ты чисел, обратных им. При вычислении суммы на сцену выходит геометрия, так
как значение суммы выражается с помощью квадрата числа И, описывающего гео-
метрию окружности. Наконец, весь метод Эйлера вращается вокруг представления
функции в виде бесконечной суммы и бесконечного произведения — эти методы от-
носятся к математическому анализу. И все это богатство взаимосвязей между столь
разными «стратами» проявилось в одной идее Эйлера, которая на первый взгляд
кажется простой. Именно это имел в виду Харди, когда говорил о глубине идеи: он
рассуждал о ее способности неизбежно и плодотворно самым блестящим образом
связывать между собой разные математические «страты».
Неожиданная, неизбежная, экономичная и озаряющая
К общности и глубине Харди добавил еще три свойства, способные наделить ма-
тематическую идею эстетической ценностью. Это не свойства идеи как таковые, а,
скорее, характеристики, показывающие способность идеи вызвать определенную
эстетическую реакцию. Харди назвал эти свойства неожиданностью, непреложно-
стью и экономичностью. Он описал их так: «Доказательства необычны и удивительны
по форме; используемые инструменты кажутся по-детски простыми по сравнению
с далеко идущими результатами, но все заключения непреложно вытекают из тео-
ремы».
117
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Нетрудно видеть, что суммы Эйлера обладают всеми этими характеристиками.
С одной стороны, сама простота идеи Эйлера делает ее необычной, и этого до-
статочно, чтобы рассуждения ученого удивляли — как нечто столь простое может
привести к таким глубоким результатам? Кроме того, читатель согласится с нами
в том, что расчеты Эйлера имеют абсолютно неожиданный результат: мы не могли
и представить, что суммы четных степеней натуральных чисел будут связаны с чис-
лом Л. Именно об этом писал Харди, говоря о неожиданности математических идей.
В идеях Эйлера четко прослеживается непреложность выводов. Увидев простые
и безупречные рассуждения Эйлера, число Л2/6, которому равна сумма чисел, об-
ратных квадратам натуральных, кажется абсолютно неоспоримым и неизбежным.
Наконец, отчетливо видна экономичность, с которой действовал Эйлер: всего
в нескольких строках он смог решить задачу, с которой не справились Лейбниц, бра-
тья Бернулли и, возможно, сам Ньютон. Решение Эйлера, несомненно, прекрасный
пример того, что философ Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты»
назвал «выражением экономичности»: из нашей способности ценить экономичность
вещей постепенно рождается эстетическое восприятие.
Три качества, о которых писал Харди, связаны с тем, что Сантаяна в «Пости-
жении красоты» называл «изобретательностью», или с тем, что математик Джан-
Карло Рота именовал «способностью идеи озарять» — в главе «Феноменология
математической красоты» (The Phenomenology of Mathematical Beauty) своей книги
«Непрерывные мысли» (Indiscrete Thoughts) Рота использует слово enlightenment
(«озарение»). С одной стороны, Сантаяна напрямую связывал гениальность с глу-
биной: «Гений обладает способностью проникать в глубины вещей, чтобы извлечь
оттуда некое значимое обстоятельство или взаимосвязь, позволяющие увидеть рас-
сматриваемый объект в новом, более ярком свете». С другой стороны, согласно
Рота, «озаряющая» идея проливает свет на понятия, с которыми она связана, или
помогает лучше проанализировать и определенные математические задачи. Именно
этими качествами обладает идея, которую использовал Эйлер при вычислении сум-
мы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел.
Эта способность математических идей озарять восхищала ученых, инженеров
и архитекторов во все времена. Приведем слова архитектора Ле Корбюзье, кото-
рые он произнес при работе над проектом одного из домов: «Отсутствие правила,
закона, бросилось мне в глаза. Это наполнило меня ужасом, так как я увидел, что
118
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
работаю в полном хаосе. В тот момент я понял необходимость вмешательства мате-
матики, потребность в каком-то регуляторе. С того момента эта одержимость всегда
занимала уголок в моем мозгу».
Бесконечное у Эйлера и возвышенное у Канта
Два последних раздела главы посвятим книге Эйлера «Введение в анализ бесконечно
малых», откуда мы заимствовали примеры, которыми проиллюстрировали рассуж-
дения Харди о красоте математики.
Во «Введении в анализ бесконечно малых» не описывается ни дифференциальное,
ни интегральное исчисление. В этой книге, в соответствии с ее названием, Эйлер
показывает читателю, как следует обращаться с бесконечно большими и бесконечно
малыми величинами. Он рассматривает элементарные функции с помощью беско-
нечных процессов: описывает представление функций в виде рядов и бесконечных
произведений (впервые в истории математики), а также использует разложение функ-
ций для решения различных задач. Некоторые из них относятся к математическому
анализу, например задача о вычислении сумм бесконечного числа слагаемых (при-
меры подобных задач мы привели в третьем разделе этой главы), другие же скорее
относятся к теории чисел3.
Метафизика бесконечного и способность Эйлера объяснять сделали «Введение
в анализ бесконечно малых» одной из самых красивых книг в истории математики.
Чуть позже мы расскажем, как эта прекрасная работа повлияла на один из фунда-
ментальных трудов по эстетике — книгу «Критика способности суждения» немец-
кого философа Иммануила Канта, в частности эстетическую категорию возвышен-
ного.
Чтобы ввести читателя в курс дела, вкратце расскажем о том, как понимал бес-
конечность Эйлер и что означают слова «бесконечно малые» в заглавии его книги.
Эйлер не дал никакого определения бесконечно малым и бесконечно большим ве-
личинам, на которых основывались все понятия анализа в XVII, XVIII и большей
части XIX века, а работал с ними на интуитивном уровне. Целью математика было
обучить читателя работе с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами,
сформировать у него некоторое интуитивное представление об их особенностях.
3Я считаю своим долгом предупредить читателя, что мое мнение о «Введении в анализ бесконечно малых»
Эйлера не вполне объективно, так как я был редактором и автором комментариев к первому изданию этой книги,
вышедшей на испанском языке.
119
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ»,
ОДИН ИЗ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ
INTRODUCTIO
IN Л L TS I N
INFINITORUM.
AV СТО Jt £
LEONHARDO EU1ERO,
Frafcfjort Bbkoliniksi,
ftrntlu SctMtijarw» FmoroilTMiJi
«Введение в анализ бесконечно малых» не простая книга; она сыграла основополагающую роль
в создании математического анализа. Историк математики Карл Бойер в своей статье о наиболее
выдающихся математических текстах всех времен, написанной в 1969 году, поставил «Введе-
ние в анализ бесконечно малых» в один ряд с «Началами» Евклида и «Алгеброй» Аль-Хорезми:
«Нетрудно видеть, что трактатом, оказавшим наибольшее влияние на математику древности
(и на математику всех эпох), стали «Начала» Евклида. Определить, какой из средневековых тру-
дов стал наиболее влиятельным, не так просто. Одна из подходящих кандидатур - «Алгебра» Аль-
Хорезми. Можно ли выделить современный текст, сопоставимый с ними по авторитету и влиянию,
которое они оказали? Да, можно выделить текст, который «стоял на плечах гигантов» - трудов
барокко и Просвещения - и повлиял практически на всех
последующих авторов. Это «Введение в анализ бесконечно
малых» Эйлера. Эта книга стала для математики тем же, чем
стали «Начала» Евклида для синтетической геометрии древ-
них греков, а «Алгебра» Аль-Хорезми - для элементарной
алгебры. Понятия функции и бесконечных процессов заро-
дились в XVII веке, однако лишь с выходом «Введения в ана
лиз бесконечно малых» они стали полноправными членами
математического триумвирата, образованного геометрией,
алгеброй и анализом».
Обложка первого издания «Введения в анализ
бесконечно малых» Эйлера, опубликованного в 1748 году.
T О MU s FRIMUS
t A U 1 A N N A.
Apd МдкСим-MlClUtJLlM Sock*-
Краткое описание бесконечно малых величин в соответствии с тем, как их пред-
ставлял Эйлер, может звучать так: бесконечно малая величина — это числовая функ-
ция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго
равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является
бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить вы-
ражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда
мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если /V — бесконечно большая
величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N. А бесконечно
малое число w — это число, не равное нулю, однако сколько бы мы ни складывали
его с самим собой, полученная сумма не будет больше 1, 1/2 или любого другого по-
120
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
ложительного числа. Чтобы получить 1 из бесконечно малого числа ш, потребуется
бесконечно большое число N: N • w = 1.
«Будет непросто найти в истории математики другой труд, который оставлял бы
у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот», — писал Эрнест
Уильям Хобсон о «Введении в анализ бесконечно малых». Возможно, с Хобсоном
согласится любой, кто прочел книгу Эйлера. Такое восприятие вызвано тем, что
«Введение в анализ бесконечно малых» обладает огромной способностью вызывать
эмоции. Гениальный Эйлер создал текст, преисполненный красоты, который оказы-
вает неизгладимое впечатление на всех, кто его читает.
Как мы уже говорили, Эйлер в своей книге работает с бесконечно малыми ве-
личинами интуитивно понятным образом — именно в этом и заключается его ге-
ниальность. Бесконечно малые величины опасны, и небрежная работа с ними мо-
жет закончиться катастрофой. Для греков бесконечность была сродни ужасному
чудовищу, от которого следовало спасаться бегством. Эйлер не сбежал: напротив,
он приблизился к чудовищу, потрепал его за холку и надел на него ярмо, чтобы
вспахать доселе бесплодную землю. В руках Эйлера бесконечность оказалась уди-
вительно податливой. А учитывая, какой страх внушала она всем математикам, эта
податливость потрясает до дрожи. Именно в этой способности потрясать до дро-
жи и заключается эстетическая ценность труда Эйлера. Немецкий философ Теодор
Адорно утверждал, что эстетическая ценность объекта заключается именно в его
способности вызывать потрясение и в некотором роде испуг. Эта идея прозвучала
на знаменитой конференции под названием «Красота занятий математикой», кото-
рую для всех желающих провел Серж Ланг в парижском Дворце открытий в начале
1980-х. Ланг говорил о «дрожи в позвоночнике», которую вызывают красивейшие
математические рассуждения.
Философ Иммануил Кант (1724—1804) был представителем нового поколения.
Он родился и прожил почти всю жизнь в Кёнигсберге (ныне Калининград). Эйлер
тоже имел отношение к Кёнигсбергу, хотя никогда не жил в этом городе: он родился
в Базеле, занимался математикой в Санкт-Петербурге и Берлине. Однако именно
Эйлер решил знаменитую задачу о семи мостах Кёнигсберга. В XVIII веке в городе
было семь мостов, соединявших его части с островами на реке Прегель. Жители
Кёнигсберга хотели узнать, можно ли обойти все мосты, не проходя ни по одному
из них дважды. Эйлер путем простых, но очень наглядных рассуждений, которые
позднее дали начало теории графов, показал, что искомого пути не существует.
121
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Портрет Иммануила Канта (1724-1804),
одного из ведущих философов в истории человечества.
Учитывая, какое определение Кант дает возвышенному, не будет преувеличени-
ем сказать, что источником его вдохновения могли стать рассуждения о бесконечно
малых величинах, принадлежавшие Эйлеру или любому другому математику XVIII
столетия, хотя Эйлер выразил силу бесконечно малых лучше остальных. «Возвы-
шенно то, — писал Кант в «Критике способности суждения», — в сравнении с чем
все остальное мало... Возвышенно то, одна возможность мыслить которое дока-
зывает способность души, превосходящую любой масштаб чувств. Представляя
возвышенное в природе, душа ощущает себя взволнованной, тогда как при эстети-
ческом суждении о прекрасном она находится в состоянии спокойного созерцания.
Эту взволнованность можно (особенно в ее первые минуты) сравнить с потрясени-
ем, то есть быстро сменяющимся отталкиванием и притяжением одного и того же
объекта»4.
Характеристики «в сравнении с чем все остальное мало» и «превосходит любой
масштаб чувств», которые использует Кант в своем толковании возвышенного, есть
не что иное, как выражение противоречащей здравому смыслу формулы N + 1 = N,
описывающей свойство бесконечно больших величин. Эту формулу Эйлер не раз ис-
4 Перевод М. И. Левиной — Примеч. ред.
122
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
пользовал в своем «Введении в анализ бесконечно малых». И это «волнение души»
возникает в сердце математика тогда, когда он видит формулу N + 1 = N или замечает
в знаменателе дроби величину, которая спустя две строки исчезает, обращаясь в ноль.
С другой стороны, кантовское «волнение» — это чувство, которое мы испытываем,
когда видим, каких результатов добился Эйлер, применив удивительные свойства
бесконечно малых величин. Читая рассуждения Эйлера, мы неизменно чувствуем «по-
трясение, то есть быстро сменяющееся отталкивание и притяжение одного и того же
объекта», точнее, главных героев его книги — бесконечно малых величин.
Очарование географических открытий
Рассуждения Эйлера известны тем, что не отличаются особой логической строгостью.
Поэтому в XIX веке математики решили заменить бесконечно большие и бесконечно
малые величины понятием предела. Математические выкладки Эйлера не слишком
точны. Однако это лишь первое впечатление: сегодня нам известно, что анализ,
в котором используются бесконечно малые, столь же строг, как и современные рас-
суждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент
анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории
моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бес-
конечно малых, с которыми производятся стандартные арифметические операции.
Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».
Математик Абрахам Робинсон (1918-1974), автор нестандартного анализа.
123
ЦЕЛЬ: КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ
Не думаю, что Эйлеру не давала спать избыточная или недостаточная строгость
его рассуждений. Самого Эйлера, как и Декарта, Ньютона и Лейбница, волновали
открытия, а не доказательства. Это особенно ярко звучит в предисловии к «Вве-
дению в анализ бесконечно малых», где постоянно встречаются слова «вникнуть
в суть», «решить», «изобрести», а вот «показать» или «доказать» не упоминаются
вовсе.
«Введение в анализ бесконечно малых» построено так, что новые идеи пред-
стают перед нами подобно тому, как перед глазами изумленных первооткрывателей
эпохи Возрождения представали чудеса природы. Эта книга не имеет ничего обще-
го со скучнейшими логическими рассуждениями, которыми изобилуют современные
работы по математике. Чтение «Введения в анализ бесконечно малых» подобно ис-
следованию неизвестных уголков Земли. Эта книга напоминает мне заметки Ан-
тонио Пигафетга о кругосветном путешествии Магеллана и рассказы Хуана Себа-
стьяна Элькано, который возглавил экспедицию после смерти Магеллана. Эйлер
не умалчивает о бесплодных, но наглядных попытках решить те или иные задачи, по-
добно тому, как Пигафетга повествует о тщетных попытках Магеллана найти путь
из Атлантического океана в Тихий.
«Введение в анализ бесконечно малых» — это рассказ о первом путешествии
в мир бесконечно малых величин. Эйлеру удалось вызвать у читателей то же го-
ловокружительное чувство, которое мы испытываем, читая о первом кругосветном
путешествии. Это еще одна причина познакомиться с «Введением в анализ беско-
нечно малых» — возможно, эта книга лучше других поможет понять гениальность
математического творчества и почувствовать математическую красоту.
124
Глава 5
История и красота
В конце введения к своей знаменитой «Истории искусства» Эрнст Гомбрих отстаи-
вает такую точку зрения: историю искусства следует знать потому, что она помогает
понять, почему художники действовали так, а не иначе, или стремились произвести
определенный эффект. Знание истории искусства, пишет Гомбрих, позволяет нам
улавливать тончайшие различия и ценить эстетику произведений искусства. Иными
словами, должный культурный багаж помогает увидеть красоту того или иного жанра,
а знание истории искусства — неотъемлемая часть этого багажа. Гомбриха можно
назвать сторонником контекстуализма, в рамках которого считается, что произве-
дение искусства следует рассматривать в контексте — историческом, социальном,
религиозном, культурном и других, в отличие от изоляционизма, утверждающего,
что произведение искусства должно быть самодостаточным. Чем больше знаний
контекста требуется, чтобы оценить его, тем менее полным оно является, поэтому
изоляционисты, следуя Клайву Беллу, отказывались изучать контекст произведений.
Рассмотрим аргумент контекстуалиста Гомбриха применительно к математике.
От Венеры Виллендорфской - к ready-made Дюшана
Прежде чем перейти к дискуссии о математике, совершим небольшой экскурс в мир
изобразительных искусств. Попытаемся широкими мазками описать, как история
искусства помогает оценить красоту скульптуры.
Начнем с рассказа о Венере Виллендорфской. Нет никаких сомнений в том, что
красота и очарование этой скульптуры не в последнюю очередь обусловлены ее древ-
ностью: ее возраст оценивается в 25 000 лет. Поскольку мы знаем историю искусства,
нам известно, что это одна из древнейших скульптур, дошедших до наших дней, что
делает ее особенно ценной. Можно спорить о том, является эта добавленная ценность
125
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
эстетической или нет, но нет никаких сомнений в том, что это историческая ценность,
и знание истории Венеры помогает оценить ее с эстетической точки зрения.
Венера Виллендорфская была обнаружена в 1908 году археологом Йозефом Сомбати
в австрийском местечке Виллендорф. Скульптура хранится в венском Музее естествознания
(фотография: Матиас Кабель).
Знание истории искусства позволяет понять, какими были цели и задачи скуль-
птора, какие техники он использовал, каково значение созданного им произведения
и так далее. Таким образом, история искусства расширяет культурный багаж, благо-
даря которому нам легче оценить произведение с эстетической точки зрения.
Быть может, чтобы верно оценить греческую скульптуру, нужно знать, каким
было культурное наследие древних греков и чему они научились, например, у егип-
тян? Дать ответ на эти вопросы помогает история искусства, благодаря которой мы
можем представить вклад греков в мировую культуру, оценить гармонию и совер-
шенство, достигнутые ими в изображении человеческого тела.
История искусства также позволяет понять, почему в Средние века изображение
человека претерпело столь значительные изменения, чем объяснялась эта инфантили-
зация романской скульптуры по сравнению с классической греко-римской, кажущееся
падение качества изображения, несовершенство скульптур. История искусства по-
зволяет нам лучше оценить романскую скульптуру как единое целое, раскрыв новое,
религиозное измерение, которое оказало огромное влияние на традиции изображения
человеческого тела. Под влиянием всемогущей католической церкви, контролировав-
шей все сферы жизни средневекового общества, все человеческое было подчинено
126
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Эта иллюстрация позволяет оценить, чему древнегреческие скульпторы научились у египтян:
слева — египетский скульптурный ансамбль, известный как триада Микерина, справа —
греческие скульптуры, изображающие Клеобиса и Битона.
божественному началу. Как следствие, символическое изображение этой покорности
стало играть столь же важную роль, какую в античном мире играло натуралистическое
изображение человеческого тела.
Фрагмент одной из скульптур в галерее романского аббатства
в Мильштадте, Австрия, построенного в X веке.
127
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Та же самая история искусства объясняет, почему скульпторы вернулись к клас-
сическому канону и почему фигуры мужчины и женщины вновь стали привлекать
основное внимание художников. История искусства также помогает выделить разли-
чия между классической скульптурой и скульптурой более поздних периодов, вплоть
до романтического неоклассицизма.
И наконец, чтобы лучше оценить красоту новых форм, которые с возвращением
к классическому реализму начали проявляться в скульптуре, необходимо знать, ка-
кие новые цели ставили перед собой художники. История искусства показывает, как
скульпторы уходили от холодного совершенства и создавали произведения, более
впечатляющие зрителя. Как можно понять ускорение развития искусства в последние
150 лет, если не знать его историю? Можно ли оценить эстетику скульптуры «По-
целуй» Константина Бранкузи — варианта одноименной работы его учителя, Огюста
Родена, не зная истории, которая объясняет этот возврат к палеолитическим истокам
(см. иллюстрацию на следующей странице)?
128
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
«Поцелуй» Огюста Родена (1889) и скульптура с одноименным названием
авторства Константина Бранкузи, созданная в 1908 году.
Можно ли оценить красоту некоторых произведений последнего столетия, на-
пример знаменитого «Фонтана» Дюшана, не понимая эстетической ценности вы-
хода за пределы дозволенного?
«Фонтан» (1917) — самый известный «реди-мейд» Марселя Дюшана.
Как вы можете видеть на фотографии, скульптура не подписана именем Дюшана. Художник, доводя
абсурдную идею до конца, подписался именем немецкого производителя унитазов — R. Mutt.
129
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
ДЮШАН И «РЕДИ-МЕЙДЫ»
Марсель Дюшан своими «реди-мейдами» («готовыми ве-
щами») выразил следующую идею: любой предмет может
стать произведением искусства, если так решил художник.
Это был революционный жест, удар в самое сердце искус-
ства. Дюшан, который интересовался математикой, физи-
кой и в особенности шахматами, посвятил много времени
поискам ответа на вопрос, тесно связанный с эстетической
ценностью математики: можно ли создать в уме произведе-
ния искусства, не основанные на результатах зрительного
восприятия?
Марсель Дюшан в образе Розы Селяви.
Фотография Мана Рэя, 1921 год.
От вавилонян - к теории множеств
История математики поможет понять эстетическую ценность математических рас-
суждений подобно тому, как история искусства помогает понять эстетику скульпту-
ры. Учитывая, что оценить красоту математики намного сложнее (и об этом мы уже
говорили), роль истории в решении этой задачи также намного важнее, чем при
эстетическом восприятии любого направления искусства.
Рассмотрим, например, высказывание: любой треугольник, вписанный в полу-
окружность, — прямоугольный. Диоген Лаэртский, основываясь на вторичных ис-
точниках, приписывает авторство этой теоремы Фалесу, который в благодарность
за ее открытие принес в жертву буйвола. По мнению Диогена, Фалес был и автором
доказательства этой теоремы, однако Аполлодор, опираясь на, возможно, более ав-
торитетные источники, считает автором этой теоремы Пифагора.
Эту на первый взгляд простую теорему можно доказать несколькими способами.
Однако истинный ключ к ней дает история математики: теорема Фалеса стала одной
из первых сопровождавшихся рассуждениями, целью которых было подтвердить
правильность теоремы в общем случае. Иными словами, теорема сопровождалась
доказательством в его классическом понимании. Доказательство — не более чем
130
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
логическое рассечение утверждения на ряд универсальных и очевидных истин. Чтобы
понять всю важность этого первого в истории доказательства, теорему Фалеса нужно
сравнить с математическими рассуждениями древних египтян или жителей Месопота-
мии, то есть вновь обратиться к истории математики. Если мы будем знать контекст
той эпохи, теорема Фалеса уже не покажется нам столь примитивной. Мы даже
сможем почувствовать, насколько концептуально близкими были греки к некоторому
примитивизму, который мы находим в математических рассуждениях египтян или
вавилонян. Будет уместно привести фразу, которую Харди как-то сказал Литлвуду:
«Греческие математики не были одаренными школьниками — они принадлежали
к другому университету». Подобно Венере Виллендорфской, теорема Фалеса имеет
историческую ценность, и знание этой ценности позволяет оценить ее с эстетической
точки зрения.
Существуют и другие причины, по которым следует уделить внимание истории
теоремы. Эти причины имеют отношение к математике в эмоциональном контексте —
я имею в виду эпизод с принесением в жертву буйвола. Хотя Диоген Лаэртский
приписывает это жертвоприношение Фалесу, большинство классических историков
считают, что гекатомбу принес Пифагор, открыв свою знаменитую теорему. Как гла-
сит словарь, гекатомба — это «жертвоприношение из 100 быков в Древней Греции».
Гекатомба Пифагора была более скромной, в жертву определенно не было принесено
сто быков — тем не менее различные авторы, среди которых Вергилий, Цицерон,
Плутарх, Диоген Лаэртский и другие, упоминают об этом жертвоприношении, хотя
и расходятся во мнении, кто именно его совершил: Пифагор или Фалес. Эти жертвы
были наполнены множеством скрытых смыслов, связанных с основными жизненными
потребностями людей, их неизбывным страхом или самыми сокровенными заботами
и опасениями. Не будем забывать, что гекатомбы изначально обладали религиозным,
магическим и мистическим значением. Они приносились, чтобы избежать бедствий
и отвести проклятие богов, выиграть войну или положить конец голоду или болезням.
И тот факт, что гекатомба подробно описывается в связи с простой геометрической
теоремой, должен навести чита геля на определенные мысли. Кто-то скажет, что гека-
томбы, приписываемые Пифагору или Фалесу, не имеют достаточных исторических
доказательств, вполне возможно, что они являются всего лишь легендой. Но в этом
случае следует задуматься еще больше: почему Витрувий, Цицерон, Плутарх, Диоген
Лаэртский и многие другие авторы, серьезные и занятые люди, потрудились при-
думать или передать потомкам легенду (к тому же довольно кровавую), чтобы вос-
131
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
славить нечто столь незначительное, как открытие математической теоремы? Почему
они связали результат интеллектуального труда, давший начало всей древнегреческой
математике, это исключительно абстрактное явление с таким эмоциональным собы-
тием, как жертвоприношение?
Как и в случае с греческой скульптурой, понять развитие греческой математики,
ее путь от первых теорем до тех высот, которых она достигла позднее, нам поможет
история. Путь, пройденный древнегреческой математикой, можно оценить в полной
мере, если сравнить теорему, о которой мы рассказали выше, с решением задачи
о вычислении площади сегмента параболы, которое привел Архимед (об этой задаче
мы рассказали в главе 1).
Чтобы определить эстетическую ценность чего-либо, что кажется менее краси-
вым, чем древнегреческая синтетическая геометрия, например позиционной системы
счисления или элементарных методов алгебры, как и для того, чтобы оценить ро-
манскую скульптуру, будет полезно узнать, что в этих случаях эстетика заключе-
на в символическом потенциале простоты. Если хорошо подумать, то мы поймем,
что зачастую простота есть не более чем продукт нашего образования: наша систе-
ма счисления кажется нам простой, потому что мы изучали ее в начальной школе.
Но для древних греков, которым была практически неизвестна алгебра, наша систе-
ма счисления показалась бы крайне сложной. Как можно оценить концептуальную
сложность системы счисления или алгебры, не зная, сколь медленным и трудным
был исторический процесс ее появления и развития? Может быть, мы оценим гре-
ков по достоинству, если будем знать, какую важную роль они сыграли в XVII веке,
при создании намного более сложных разделов математики, в частности аналитиче-
ской геометрии и, позднее, дифференциального и интегрального исчисления?
Даже для того чтобы оценить эстетику анализа бесконечно малых, необходимо
знать его историю. Нужно знать, что для его создания потребовалось совершить
несколько шагов вперед относительно древнегреческой математики, знать, каким
был вклад анализа бесконечно малых в научную революцию, которая произошла
в Европе в XVI—XVII веках и благодаря которой наука достигла таких успехов.
Наконец, нужно знать, какое влияние анализ бесконечно малых оказал на развитие
не только математики, но и физики.
Гомбрих в своей «Истории искусства» писал, что современное искусство, как и лю-
бое другое, возникло в ответ на вставшие перед ним проблемы. Так, революционные
процессы, столь радикально изменившие искусство начиная с середины XIX века,
были запущены тогда, когда художники задались вопросом: почему они ограничива-
132
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
лись максимально точным изображением того, что видели перед собой, будь то пейзаж
или группа людей? Тогда же возник вопрос о том, какова истинная функция худож-
ника. Кто он — безмолвный свидетель, который должен точно передавать то, что
он видит, подобно фотокамере, или действующее лицо произведения, отражающее
в картине прошлый эмоциональный опыт? Используя творческую свободу художни-
ка в качестве одного из главных аргументов, искусство склонялось в пользу второй
точки зрения. В результате возник новый мир, который часто критиковали, порой
не ценили и не понимали. Друг друга последовательно сменяли импрессионизм, экс-
прессионизм, абстракционизм, авангард, экспериментальное искусство и так далее.
Для эстетической оценки этого нового искусства, сложного, иногда странного и даже
сумасбродного и как никогда изменчивого, история искусства почти так же важна,
как способность видеть.
В XIX веке в математике тоже начался процесс последовательного абстраги-
рования, кульминацией которого стало помещение практически всей математики
в атмосферу теории множеств, на первый взгляд стерильную и инертную. Великим
вдохновителем этого процесса был немецкий математик Георг Кантор, а движущей
силой — жажда понять и обуздать страшнейшее из математических чудовищ —
бесконечность. Словно бы доказывая, что определенные закономерности объеди-
няют даже наиболее далекие друг от друга аспекты одной культуры, словно под-
тверждая фразу Марселя Пруста о том, что все существующее одновременно есть
кажущееся, эволюция математики весьма схожа с процессами, которые происходи-
ли в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке и литературе. Не напрасно девиз
Кантора «суть математики — в ее свободе» содержал отсылку к идее, привержен-
цами которой являются художники, скульпторы и композиторы.
Бесконечности, ее укротителю Кантору и, разумеется, обстоятельствам, сопут-
ствующим этой истории, посвящены последние страницы этой книги.
Ядовитая змея в гнезде
Бесконечность можно сравнить со змеиным гнездом: лишь по прошествии нескольких
тысяч лет, пережив несколько болезненных укусов, человек осмелился опустить в это
гнездо руку. Бесконечность — продукт логической структуры нашего мозга. Эта
структура обладает способностью создавать понятия путем отрицания уже извест-
ных. На основе того, что воспринимают наши органы чувств, естественным образом
возникает понятие конца, границы, финала, то есть конечного, имеющего предел.
133
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
К понятию бесконечного мы приходим через отрицание конечного, а не на основе
чувств или ощущений. Парадоксально, что хотя бесконечность является продуктом
логической структуры нашего разума, она обнаруживает некоторую несовместимость
с логикой, точнее со здравым смыслом, который часто путают с логикой. Здравый
смысл неизбежно находится под влиянием информации, поступающей от органов
чувств, а эта информация обязательно тем или иным способом отражает понятие
конечного или ограниченного. Таким образом, бесконечность едва ли имеет отноше-
ние к здравому смыслу, и неудивительно, что она сильно пугала греков, для которых
логика и здравый смысл были основой культурной революции.
История об Ахиллесе и черепахе, логическая головоломка Зенона Элейского
о делимости и движении, столь же глубоко укоренилась в массовом сознании, что
и теорема Пифагора, «Дон Кихот» или Девятая симфония Бетховена. В своем па-
радоксе Зенон тайком использовал бесконечность. Отзвуки бесконечности слышны
и в пифагорейском кризисе, причиной которого стало открытие иррациональных чи-
сел: так, л/2 нельзя было представить в виде дроби, и чтобы точно выразить значе-
ние этого числа, требовалось записать бесконечно много знаков.
История об Ахиллесе и черепахе отражает представление древнегреческого философа
Зенона Элейского о бесконечности. На иллюстрации изображен
кадр из фильма Такеши Китано с одноименным названием.
Однако бесконечность была продуктом логики, и появилась она благодаря воз-
можности определять новые понятия через отрицание уже известных. Более того,
бесконечность была приятной на вид: некоторые математические объекты очевидно
плохо уживались с понятиями конечного и ограниченного. Это и числа, которых на-
столько много, что им нет конца (это подтвердит любой), и прямые линии, которые
всегда можно мысленно продолжать бесконечно.
134
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Учитывая контекст, сопровождающий бесконечность, в котором абсурдное и, как
следствие, скандальное и полемичное смешалось с разумным, неопровержимым, пусть
и едва заметным, греки разделили бесконечность на две части: первая, потенциаль-
ная бесконечность, была приемлемой, вторая, актуальная бесконечность — отвра-
тительной и ненавистной. Непреходящий аристотелевский «здравый смысл» стал
тем ножом, которым чудовище было рассечено надвое. Отрицать существование
бесконечных процессов невозможно (так, мы можем последовательно делить отрезок
пополам бесконечное число раз, а последовательность чисел бесконечно велика),
и Аристотель в книге III «Физики» описал природу потенциальной бесконечности
так: «много невозможного получается, если вообще отрицать существование беско-
нечного», таким образом, «о бесконечном можно говорить в возможности», то есть
«бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием». Бесконечность сама
по себе, как нечто завершенное, по Аристотелю была запретной: «Невозможно, чтобы
бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция
и первоначало. [... ] величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже
сказано, но она может быть беспредельно делимой». По Аристотелю, отрезок нельзя
рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако до-
пускается деление отрезка пополам неограниченное число раз.
АРХИМЕД И БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Архимед был, возможно, единственным древнегреческим
математиком, который преодолел аристотелевский запрет
на использование актуальной бесконечности, однако сде-
лал это вдумчиво и сдержанно. В рассуждениях Архимеда
о вычислении площади сегмента параболы, приведенных
в главе 1, упоминается актуальная бесконечность всякий
раз, когда поверхность рассматривается как бесконеч-
ное множество отрезков прямой - «прямые, проведен-
ные в треугольнике, составляют сам треугольник». Однако
Архимед не стремился восстать против Аристотеля, так
как, по его словам, его рассуждения были «далеки оттого,
чтобы считаться доказательством».
Архимед, каким его увидел
художник Хосе де Рибера (1591-1652).
135
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Однако использование актуальной бесконечности противоречило и Евклиду, кото-
рый включил в «Начала» такую аксиому: «Целое больше, чем каждая из его частей».
Эта аксиома порождена нашими интуитивными представлениями о конечном и огра-
ниченном. Лучше других объяснить несовместимость бесконечного и этой аксиомы
Евклида сумел Галилей в своих «Беседах» (1638). Так как каждое число порождает
квадрат: 2 порождает 4, 3 — 9, 4 — 16 и так далее — а каждый квадрат, в свою оче-
редь, порождается единственным числом, Галилей указал, что мы можем объединить
в пары числа и соответствующие им квадраты, заключив, что чисел и квадратов будет
одинаковое количество. Тем не менее очевидно, что квадратные числа — лишь часть
множества чисел (так, 2, 3, 5, 7 — числа, но не квадраты), то есть чисел больше,
чем квадратов, целое больше его части. Мы столкнулись с парадоксом: чисел одно-
временно столько же, сколько их квадратов, и одновременно больше, чем квадратов.
Галилей сделал вывод: «понятия «больше», «меньше» и «равно» неприменимы к бес-
конечному».
Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи
перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная,
в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам
Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную
бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский
рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая
трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать,
что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы
находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, все-
ведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также:
«Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего
уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бес-
конечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих
атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и так-
же у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая,
универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реаль-
ность, какую только возможно».
Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И ника-
кое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность,
ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений при-
136
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224-1274),
и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596-1650),
сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.
роды: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ
бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения
природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: по-
чему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет
столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной,
если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?
Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная
бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом
о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал:
«В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окон-
чательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к кото-
рому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».
Кантор и анархистская природа математики
Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор
(1845—1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное
математическое чудовище.
137
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числа-
ми, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он
объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно
объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число
элементов этих множеств одинаково.
Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные
и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его ча-
сти, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько
и дробных.
Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались
бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен
в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элемен-
ты которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что нату-
ральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот
результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого
утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в выс-
шей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно
картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необхо-
димый контекст.
Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет,
когда он пытался систематизировать теорию множеств.
138
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Доказательство Кантора
Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последователь-
ности вида 0, Ар а2, ау ..., где каждая цифра а}, а2, ... имеет значение 0 или 1.
Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу
точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько
технический характер).
В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод,
который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4... и двоичной
последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, кото-
рая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара,
образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим
следующие несколько пар.
1 <-> (),[1]0010011...
2 <->0,1[1|011110...
3 <-> 0,00010001...
4 <-> 0,11101011...
5 <->0,01010100...
? <->0,00101...
Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру
первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так да-
лее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена
многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единица-
ми. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0,
третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости
от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех преды-
дущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от вто-
рой — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя,
что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности
не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора
139
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД КАНТОРА
Этот же диагональный метод наряду с понятием подмножества позволил Кантору показать, как
можно построить бесконечные множества сколь угодно большого размера. Представьте множе-
ство А = {1, 2, 3}, образованное тремя числами 1, 2, 3. Множество подмножеств А получается,
если рассмотреть все множества, которые мы можем составить из элементов А, в том числе пустое
множество 0. Обозначив множество подмножеств А через Р (А), имеем:
Р(А) = {0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
Кантор доказал, что если множество А бесконечное, то бесконечность соответствующая мно-
жеству подмножеств А, будет всегда больше, чем бесконечность, соответствующая исходному
множеству. В своем доказательстве Кантор вновь применил диагональный метод, адаптировав
его к этой задаче. Рассмотрим пары, образованные элементами множества А и множества его
подмножеств Р(А). Каждый элемент / множества А будет иметь пару - множество/, составленное
из элементов А. Теперь определим подмножество А, которое не будет иметь пары: это множество Y,
содержащее те элементы х множества А, которые не принадлежат соответствующему множеству/.
В самом деле, если элемент/ множества А принадлежит своей паре, множеству/, то, по определе-
нию Y, элемент/ не принадлежит У. Следовательно, X * Y, так как/ принадлежит/, но не Y. С дру-
гой стороны, если элемент / множества А не принадлежит своей паре /, то, по определению Y,
элемент / будет принадлежать Y. Вновь X * Y, так как / принадлежит Y, но не /. Это доказывает,
что никакой элемент / множества А не может иметь парой множество Y.
не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем
применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность,
для которой не найдется пары.
Абсолютная бесконечность и наследие Кантора
Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: слов-
но на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как
упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать
их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно,
не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он
назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со сто-
роны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное
140
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ
И ДРУГИЕ ЧУДОВИЩА
Абсолютная бесконечность тесно связана с такими безграничными и невообразимыми поняти-
ями, как, например, множество всех множеств или множество всех множеств, которые не при-
надлежат сами себе. Последнее «чудовище» - главный герой парадокса, сформулированного
Бертраном Расселом в 1901 году: принадлежит ли самому себе множество всех множеств, кото-
рые не принадлежат сами себе? Если это множество принадлежит самому себе, то оно не будет
образовано всеми множествами, которые не принадлежат сами себе. Если же оно не принадлежит
самому себе, то, по определению, оно должно принадлежать самому себе.
Однако Кантор никогда не рассматривал подобные парадоксы, так как он всегда был убежден,
что они не затрагивают множества и бесконечности, которые он изучал, - эти монструозные сущ-
ности, связанные с абсолютом, которые мы можем только распознать, но не познать.
Парадоксы, подобные описанным выше, возникли как результат наивного определения множе-
ства как произвольной совокупности объектов. Парадокс Рассела схож с еще одним парадоксом,
опровергающим всемогущество Бога: может ли всемогущий Бог создать такой камень, который
он сам не в силах будет поднять? Если он сможет создать такой камень, то не сможет поднять его
и, следовательно, не будет всемогущим. Если же он не сможет создать такой камень, то вновь
не будет всемогущим.
можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконеч-
ность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.
Кантор вышел победителем в схватке с бесконечностью, однако был тяжело ранен.
Его исследования вызвали неприязнь части немецкого математического сообщества.
Кантор хотел работать в Берлине или Геттингене, однако двери этих университетов
оказались для него закрыты, и нет сомнений, что поводом для травли стала неприязнь
со стороны влиятельных коллег. В 1879 году Кантор наконец получил должность пре-
подавателя в небольшом университете Галле, где проработал всю оставшуюся жизнь.
Работы Кантора часто называли незначительными, не представляющими инте-
реса, а когда его заслуги начали признавать, злые языки вложили в уста Анри Пу-
анкаре (1854-1912), одного из величайших математиков того времени, знаменитое
изречение: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь,
от которой они вылечились». В конечном итоге на сцену вышло новое поколение ма-
тематиков, которые воздали должное трудам Кантора, что привело к революции, на-
141
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
всегда изменившей математику. Кантор начал процесс абстрагирования, характерной
чертой которого стало появление неконструктивных доказательств существования тех
или иных объектов. Иными словами, после Кантора математики начали признавать
существование тех или иных математических объектов, даже когда было неизвестно,
как эти объекты можно построить. Кульминацией достижений Кантора стало соз-
дание теории множеств, которую Давид Гильберт, наиболее влиятельный математик
того времени, назвал «раем для математиков».
Падение гения
Георг Кантор был чрезмерно активным, энергия в нем била через край и, возможно,
поэтому он был эмоционально нестабильным. В середине 1884 года, почти в сорок
лет, математик пережил первый приступ депрессии, который длился приблизительно
два месяца и прекратился так же внезапно, как и начался. С того времени Кантор,
который сам по себе испытывал тягу к мистицизму, стал еще более эксцентричным.
Он перестал уделять математике основное внимание и обратился к другим, сомни-
тельным исследованиям. В результате он заключил, что Фрэнсис Бэкон был истин-
ным автором произведений Шекспира, а Иосиф Аримафейский — отцом Иисуса
Христа. Кантор еще не раз страдал от нервных приступов, особенно после 1899 года.
В результате каждые два-три года его помещали в психиатрическую лечебницу с диа-
гнозом «мания преследования» и «маниакально-депрессивный психоз». Даже новость
о присуждении наград и премий застала его в психиатрической больнице университета
Галле.
В математическом фольклоре причиной нервных приступов Кантора считается его
неустанная борьба с бесконечностью. Действительно ли это так? Конечно, положи-
тельный ответ сделал бы наш рассказ более драматичным. Возможно, определенный
вклад в утверждение этой точки зрения, сам того не осознавая, внес Бертран Рассел.
Кантор впервые посетил Великобританию в сентябре 1911 года, будучи приглашен
на торжество по случаю пятисотлетней годовщины Сент-Эндрюсского университета
в Шотландии. Затем он написал Расселу несколько писем с предложением встре-
титься, однако встреча не состоялась. В автобиографии Рассела, опубликованной
в 1967—1969 годах, упоминаются эти два письма и несколько эксцентричное поведе-
ние Кантора, которое, возможно, было вызвано тем, что он впервые ступил на землю
142
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
КАНТОР И МУНК
«Дрожа от страха, я услышал крик природы, пустой, бесконечный», - так норвежский художник
Эдвард Мунк описал рождение замысла самой знаменитой своей картины «Крик». И действи-
тельно, символичность этого полотна, драматичное использование перспективы, нереальность
и колорит также наводят на мысли о неумеренности, близкой к бесконечности, о бесконечном
страхе. Этот крик виден, но не слышен. Именно поэтому картина вызывает страх: мы с ужасом
ждем, что вот-вот услышим крик.
Работы Мунка вызвали в Германии примерно такую же полемику, как и (примерно в то же
время) труды Кантора в математическом сообществе. 5 ноября 1892 года открылась выставка
Мунка в Берлине. Спустя неделю выставка была закрыта, уступив место ожесточенным спорам,
известным как «дело Мунка». Важное место в споре занимала дискуссия о границах свободы ху-
дожника. Похожее обсуждение развернулось вокруг трудов Кантора, который в результате сказал:
«Суть математики - в ее свободе».
Подобно тому как теоретические работы Кантора повлияли на математику, произведения
Мунка оказали огромное влияние на живопись, причем не только немецких экспрессионистов,
но и на Пикассо, в частности на его
«Гернику».
У Мунка и Кантора есть еще одна
общая черта, вызывающая опреде-
ленное беспокойство: Мунк также
страдал от нервных приступов, од-
нако, возможно, они были менее
острыми и продолжительными.
Самый известный вариант
картины «Крик» Мунка (1893)
хранится в Национальной галерее
Осло, откуда она была украдена
в 1994 году и возвращена
в 2006 году.
143
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Фотография Кантора, сделанная в 1917 году, когда ученому было 72 года,
незадолго до того, как он был помещен в психиатрическую больницу Галле,
где и умер спустя несколько месяцев.
144
ИСТОРИЯ И КРАСОТА
Шекспира и Бэкона. Рассел писал: «Георг Кантор был, по моему мнению, одним
из величайших умов XIX столетия [...] Прочитав следующее письмо, я не удивил-
ся, узнав, что он провел большую часть жизни в сумасшедшем доме». Британский
историк математики Айвор Граттан-Гиннес, один из первых, кто усомнился в том,
что причины болезни Кантора были связаны с математикой, в 1971 году писал: «Два
письма Кантора были в высшей степени беспорядочными. Почерк, которым они
написаны, говорит нам о личности ученого еще больше. В этих письмах мы видим
проявления многих черт его характера, особенно заметных, когда он находился в воз-
бужденном состоянии. Письма написаны изящным почерком, а строки поднимаются
вверх. Они не только продолжаются на полях, что было типично для Кантора —
на одной из страниц второго письма Кантор пишет сверху вниз поверх других строк,
расположенных слева направо. Фрагмент письма написан даже на обратной стороне
конверта».
Весьма вероятно, что заболевание Кантора было наследственным, однако это
не означает, что нервный срыв приблизили напряженные отношения с коллегами
или борьба с бесконечностью. Причиной болезни могли стать и другие трагические
события в жизни ученого, например смерть младшего сына Рудольфа, который умер
в возрасте 13 лет.
В мае 1917 года Кантор против своей воли вновь был помещен в психиатриче-
скую больницу университета Талле. Граттан-Гиннес пишет: «Война привела к недо-
статку продовольствия, Кантор похудел и страдал не только от усталости и болезней,
но и от голода [...] На Новый год Кантор отправил жене последние сорок листов
календаря за предыдущий год, давая понять, что прожил эти дни, однако 6 января
он внезапно скончался от сердечного приступа. Смерть была быстрой и безболез-
ненной. Он был похоронен в Галле рядом с сыном Рудольфом».
145
Библиография
ARQUfMEDES, El metodo, edicion de Luis Vega, Madrid, Alianza, 1986.
ARQUfMEDES, Obras escogidas, edicion facsimilar у cntica de Antonio J. Duran, Sevilla,
Real Sociedad Matematica Espanola, Patrimonio Nacional e International Congress
of Mathematicians, Madrid, 2006.
CELA, C.J., La colmena, Barcelona, Seix Barral, 1985.
CUSICK, T. у FlahIVE, M.E., The Markoff and Lagrange Spectra, Providence, Mathe-
matical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, 1989.
DlOFANTO, La aritmetica у el libro sobre los numeros poligonales, edicion de Manuel
Benito, Emilio Fernandez у Mercedes Sanchez, Madrid, Nivola, 2007.
DurAn, A.J., El valor estetico de las matemdticas, La Gaceta de la RSME, 4.2, 329-
254, Real Sociedad Matematica Espanola, 2001.
----: Pasiones, piojos, dioses... у matemdticas, Barcelona, Destino, 2009.
EULER, L., Introductio in Analysin Infinitorum, edicion facsimilar у cntica con traduccion
al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad
Matematica Espanola у SAEM Thales, 2000.
FORD, L.R., «Fractions», The American Mathematical Monthly, 45, 586-601, 1938.
GoMBRICH, E.H., Historia del arte, Madrid, Debate, 1997.
GRATTAN-GuiNNESS, I., «Towards a Biography of Georg Cantor», Annals of Science,
27, 345-391,1971.
HARDY, G.H., A Mathematician s Apology, Cambridge, Cambridge University Press,
1940 (hay versiones castellanas: Autojustificacion de un matemdtico, Barcelona, Ariel,
1981; Apologia de un matemdtico, Madrid, Nivola, 1999).
KANT, E., Cntica del juicio, Madrid, Espasa Calpe, 1977.
Rota, G.C., Indiscrete Thoughts, Boston, Birkhauser, 1997.
SANTAYANA, J., El sentido de la belleza, Madrid, Tecnos, 1999.
SAVATER, F., Las preguntas de la vida, Barcelona, Ariel, 1999.
147
Алфавитный указатель
«Апология математика» 12, 100,
105-108
«Арифметика» Диофанта 65—69
«Введение в анализ бесконечно малых»
109,120-123
«Метод» Архимеда 14, 21, 27—33
«Стомахион» Архимеда 32
«Улей» 45-46, 53, 61, 65, 74
«Эврика!» 17—19
Адорно, Теодор 121
Александрия 28, 48
Ален (Эмиль Шартье) 23
Аль-Хорезми 120
анализ бесконечно малых 110, 132, 137
Анфимий Тралльский 29
Аполлоний 47—48, 81—82
Апостолы 101—102
Аристотель 9, 36, 135, 136
Архимед 11-34, 54—55,103,132,135
бесконечность 81, 83, 109, 117, 119—
124,133-145
бесконечно малые 120—123
Бирдсли, Монро 39
Бог 99,102-103,127,136,141
Бойер, Карл 120
Вагенсберг, Хорхе 45
Витгенштейн, Людвиг 44, 101
возвышенное 119, 121—123
Вольтер 10, 112
Галилей, Галилео 19, 136
Гаусс, Карл Фридрих 56, 103, 112, 137
Гейберг, Йохан Людвиг 30—34
Гильберт, Давид 94, 99, 142
гипербола 20
гипотеза Римана 103
Гиппас из Метапонта 52
Гитлер, Адольф 93—94
глубина 108, 114, 116—118
Голдшмидт, Шарлотта 94
Гомбрих, Эрнст 125, 132
Граттан-Гиннес, Айвор 145
Грин, Грэм 100
Гурвиц, Адольф 58, 61—64, 70—74
Гюйгенс, Христиан 110
Декарт, Рене 124, 136—137
Деневан, Джим 82
Джонас, Дэвид 88
Диофант Александрийский 65—69
диофантовы уравнения 46—47, 65—
70, 73
Дирихле, Иоганн Петер Густав Лежён
55-58, 61, 63, 70
донья Роса 46—47, 51, 52, 61, 73
Дос Пассос, Джон 45
дроби 49-58, 62-64, 71-72
Дюрер, Альбрехт 60
Дюшан, Марсель 125, 129, 130
Евклид 28, 36, 67,120,136
Евтокий 29
задача Аполлония 48
зажигательные зеркала 19
Зенон Элейский 134
золотое сечение 58-61, 71-72
Исидор Милетский 29
Кант, Иммануил 106—107, 119—123
Кантор, Георг 133, 137—145
149
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Керамеус, Пападопулос 31
ковер Аполлония 81—82
Константинополь 27—31
кривая Коха 83—85, 89
Курант, Рихард 94
Ланг, Серж 121
Ле Корбюзье 118
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 40,
109-112,118,124,136
Литлвуд, Джон 99,105,131
логарифм 20, 80, 85, 89
Магеллан, Фернан 124
Мандельброт, Бенуа 79, 84—86, 89
Мартин Марко 46—47, 52, 61, 73
Марцелл 14—15
Меризиак, Баше де 65, 68—69
Миколин, Адам 88
Монгре, Поль 91
Мунк, Эдвард 143
Неруда, Пабло 86
Ницше, Фридрих 91
Ньютон, Исаак 99, 100, 105, 110—111,
ИЗ, 118
общность 108, 114—117
окружности
касательные 46—52, 62, 63, 81—82
Форда 49—52, 61—64
окружность 20, 48—49, 54, 59, 62, 82
Папп Александрийский 47
парабола 20—27, 33, 132, 135
параболоид вращения 20
Парфенон 11—13
Пачоли, Лука 60
Пигафетга, Антонио 124
Пифагор 36, 52, 53, 66, 130-131
пифагоровы тройки 67, 69
Платон 9, 29, 36
подмножество 140
Поллок, Джексон 87—88
принцип Дирихле 56—57
Пуанкаре, Анри 7, 141
размерность Хаусдорфа 78—90
Рамануджан, Сриниваса 100, 102—105
Рассел, Бертран 9, 100—101, 141—145
рациональное приближение 46—47,
52-62, 71-74
Рильке, Райнер Мария 10
Риман, Бернхард 103
Робинсон, Абрахам 123
Рота, Джан-Карло 118
Саватер, Фернандо 26—27, 44
Сантаяна, Джордж 12, 44, 99, 118
свойство
неизбежности 117—118
неожиданности 117—118
экономичности 117—118
Святой Августин 18
Села, Камило Хосе 45—47, 51—52,
61, 73, 74
Сиракузы 14—17,19, 28
Спиноза, Бенедикт 136
Стендаль 10
Тейлор, Ричард 88
теорема Ферма 70
теория множеств 90, 133,138, 141—
142
техника разбрызгивания красок 87—88
Тишендорф, Константин 31
топология 91
Уайлс, Эндрю 70
уравнение Маркова 70—74
Фалес 130-131
150
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ферма, Пьер 68—70
Фома Аквинский 136—137
фракталы 77—89
Фридрих II (король Пруссии) 112
Харди, Годфри Харолд 12, 99—109,
114-119,131
Хаусдорф, Феликс 77—79, 89—97
Хобсон, Эрнест Уильям 121
Хокинг, Стивен 18
Хулита Леклерк де Моисее 47, 72—73
Цзу Чунчжи 54—55
числа
алгебраические 56—58
иррациональные 52—58, 61—64,
71-74
натуральные 57, 66—67, 70, 109—
118,138
рациональные 49, 52, 62—63, 66
трансцендентные 56—58
число тт 54—55, 58, ИЗ, 114,117-118
Шнирельман, Лев 79
Эйлер, Леонард 109—124
эллипс 20
Элькано, Хуан Себастьян 124
Юстиниан 28—29
151
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 27
Антонио Дуран
Поэзия чисел.
Прекрасное и математика
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисна»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите иа сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, а/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Укра’ша, 01033, м. Ки!в, а/с «Де АгоспнЬ>
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 331 94 41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 04.06.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 22.07.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 34 000 экз.
© Antonio J. Duran Guardeno, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0722-9 (т. 27)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Поэзия чисел
Прекрасное и математика
Поэзия - недоказуемая истина. Математика же, напротив,
состоит из доказательств. И все-таки у этих двух сфер есть что-то
общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать, что математика
затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте
математики, элегантности геометрии, которые прекрасны
в самом полном смысле этого слова». Математик находится
посередине между наукой и искусством, и это подтверждает
неизбежную связь между самой абстрактной из наук
и человеческими эмоциями. Цель этой книги - на нескольких
ярких примерах показать красоту математики.