В. И. ДРОБЫШЕВИЧ, В. П. ДЫМНИКОВ, Г. С. РИВИН •
ЗАДАЧИ
ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ.
МАТЕМАТИКЕ
Под редакцией Г. И. МАРЧУКА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов вузов, .
обучающихся по специальности «Прикладная математика»
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ" ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 0

22rW
Д 75
Задачи no вычислительной математике. Д р о б ы ш е-
вич В. И., Дымников В. П., Ривип Г. С—М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
Сборник задач по методам вычислительной математики
ориентирован на кудс лекций, читаемый в Новосибирском
государственном университете по книге Г. И. Марчука «Методы
вычислительной математики».
Сборник построен таким образом, что вначале изучаются
основные понятия и идеи методов вычислительной математики,
а затем на их основе рассматриваются современные методы
решения практических задач. В первом параграфе каждой главы
формулируются основные нопятия теории, наиболее важные
теоремы, необходимые для решения предлагаемых задач. Для
ряда задач даны .полные и подробные решения, для других
только указания и ответы.
Задачник может быть использован при изучепии методов
вычислительной математики в высших учебных заведениях.
Валерий Игнатьевич Дробышевич
Валентин Павлович Дымников
Гдалий Симонович Р и в и н
Задачи по вычислительной математике
М., 1980 г., 144 стр. с илл.
Редакторы И. В. В и к т о р е н к о в а, Е. Ю. Ходан
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректоры Г. В. П о д в о л ь с к а я, Л. С. Сомова
ИБ JSfi 11554
Сдано в набор 24.07.79. Подписано к печати 26.12.79.
Бумага 84х108'/з2 тип. № 3. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 7,56. Уч.-изд. л 7,85.
Тираж 32000 экз. Заказ № 627. Цена книги 30 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука», 630077,
Новосибирск, 77, Станиславского, 25
(©Главная редакция
9П9П/ ППЙ физико-математической
д*,и^Ц4 ■— ууъ g qq 170^070000 литературы
053(02)-80 i'u*-v/uuuu издательства «Наука». 1980

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемый сборник задач по вычислительной
математике является результатом обработки
методических построений, выполненных доцейтами
Новосибирского государственного университета им. Ленинского
комсомола В. И. Дробышевичем, В. П. Дымниковым и
Г. С. Ривиным в процессе проведения практических
занятий по курсу вычислительной математики,
который читается для студентов третьего курса по книге
редактора настоящего сборника.
Методы вычислительной математики в настоящее
время являются важным средством практической
реализации математических моделей, формулируемых
обычно в терминах дифференциальных уравнений
математической физики. Эффективность реализации
таких моделей существенно связана с выбором того или
иного алгоритма и способа программирования на
электронных вычислительных машинах. Естественно, что
каждый алгоритм имеет свою эффективную область
применения. Поэтому чрезвычайно важно познакомить
студентов с принципами, на основе которых
осуществляется наиболее рационально стратегия численного
решения задач. Этому невозможно научиться, прочитав
учебник или несколько специальных книг по
вычислительной математике. Только прямое общение
исследователя с конкретными задачами может дать общее
представление и выработать необходимую интуицию
для нахождения эффективных путей решения задач
вычислительной математики. Поэтому предлагаемые
вниманию читателей задачи являются, по нашему
мнению, хорошим средством для практического
закрепления знаний в области вычислительной математики и
ориентирования в их использовании.
Поскольку акцент в книге «Методы
вычислительной математики» сделан на решение больших задач,
3

с которыми молодой исследователь встречается уже на
первых шагах своей самостоятельной деятельности, то
эта основная^ линия четко продолжается и в данцом
сборнике, задач/ Здесь наряду с набором наиболее
эффективных и простых алгоритмов рассматриваются и
задачи сложные, редуцируемые к простым алгоритмам.
Особенно это относится к итерационным процессам
решения задач линейной алгебры и методам
расщепления.
Задачи, представленные в сборнике, в значительной
части являются оригинальными и не повторяют
обычно используемые примеры в литературе. Накопление
таких задач велось авторами в течение многих лет с
учетом собственных вкусов и личных научных
интересов. Этим, в частности, определились широта и
разнообразие в подборе задач.
Часть задач сама по себе представляет большой
теоретический и практический интерес, поскольку
оригинальные методы, используемые для их
формулирования й решения, могли бы войти й теоретическую
часть курса. Поэтому можно сказать, что задачник
является в известном смысле дополнением к
цитируемой выше книге. *В этом смысле большое значение
имеет раздел, посвященный разбору решений
типичных задач.
В заключение следует отметить, что почти все
разделы учебного пособия «Методы вычислительной
математики» отражены в предлагаемом сборнике задач.
Исключение составляет лишь глава «Постановка и
численные методы решения некоторых обратных задач».
Нет сомнения, что предлагаемый сборник задач
окажется полезным как для студентов, изучающих
методы вычислительной математики в высших
учебных заведениях, так и преподавателей, которые
смогут получить необходимую ориентировку в подборе
нужных и интересных задач для практических
занятий.
Г. И. М арчу к

ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемый сборник содержит задачи,
подобранные в соответствии с курсом' «Методы вычислений»,
читаемым на математическом факультете
Новосибирского государственного университета. В основу этого
курса положена монография Г. И. Марчука «Методы
вычислительной математики» (в дальнейшем мы ее
будем обозначать МВМ).
Основная идея курса — ознакомить студентов с
современными подходами и методами решения сложных
задач математической физики. Выбор Ь классификация
задач в настоящем сборнике преследуют ту же цель.
Следуя этой цели, мы стремились построить
сборник таким образом, чтобы продемонстрировать все
этапы решения задачи (за исключением написания
программы), начиная от конструирования разностной
схемы, обладающей необходимыми свойствами (в
некоторых задачах мы демонстрируем возможность
построения схем с дополнительными свойствами, кроме
обычных свойств аппроксимации и устойчивости).
Иллюстрируются также различные подходы к исследованию
сходимости решения разностной схемы к решению
соответствующей дифференциальной задачи, построению
алгоритмов решения разностной задачи с
исследованием эффективности алгоритма и т. д.
Задачи тематически распределены в пяти главах.
В первом параграфе каждой из этих глав
формулируются основные понятия, наиболее важные на наш
взгляд теоремы, необходимые для решения
предлагаемых задач, раны ссылки на соответствующие разделы
монографии Г. И. Марчука. После всех глав
приведены решения некоторых задач, причем далеко не все
задачи, для которых приводятся решения, являются
наиболее сложными. Для части задач мы приводим
5

очень подробные решения, чтобы на их примере
продемонстрировать весь путь решения задач данного
класса поэтапно.
Первая глава содержит задачи по линейной
алгебре, освещающие круг понятий и теорем, необходимых
для исследования вычислительных методов. Заметим,
что используемое нами понятие положительной
определенности матриц (следуя монографии Г. И. Марчу-
ка) является «неклассическим», т. е. не требует
условия самосопряженности. Кроме того, предполагается,
что все операторы (если специально не оговорено в
условии задачи) действуют в вещественном векторном
пространстве.
Во второй главе исследуются наиболее
употребимые в настоящее время прямые методы решения
разностных задач. Большое внимание уделено важному
понятию обусловленности матриц. Включены задачи
на построение точных решений разностных уравнений,
которые позволяют в дальнейшем исследовать важные
свойства разностных схем. В этой главе точные
решения разностных уравнений используются для решения
спектральных задач.
В третьей главе изучаются итерационные методы
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Особое внимание обращено на изучение поведения
нормы вектора ошибки на первых итерациях и
построение расчетных формул алгоритмов различных
итерационных методов. Проиллюстрированы различные
приемы доказательства сходимости, причем много
задач посвящено методам расщепления. Решения спект-'
ральных задач второй главы используются ддя
получения оценок ассимптотических скоростей сходимости
различных итерационных методов, кроме того, эти же
методы сравниваются по числу арифметических
операций, необходимых для реализации одного шага
итерации.
В четвертой главе на примере обыкновенных
дифференциальных уравнений подробно рассмотрены
основные понятия теории сходимости разностных схем
и методы их построения. Выбор задач для этой главы
был во многом определен тем влиянием, которое
оказала на нас в свое время книга С. К. Годунова и
В. С. Рябенького «Введение в теорию разностных
схем». В задачах на исследование порядка аппроксн-
6

мации и построение разностных схем основное
внимание уделено схемам повышенного порядка
аппроксимации. При этом мы стремились продемонстрировать
как можно больше методов построения разностных
схем, с тем чтобы при построении разностных схем для
дифференциальных уравнений с частными
производными иметь большую свободу выбора..
С помощью точных решений разностных уравнений,
рассмотренных во второй главе, изучается сходимость
решения разностной задачи к решению
дифференциальной задачи/Сравнение оценок сходимости,
полученных с помощью точных решений и по теореме
сходимости, позволяет сделать качественные выводы о
различных свойствах разностных схем и точности
оценок, получаемых с помощью теоремы сходимости.
Построение точных решений разностных уравнений
используется также при изучении скорости сходимости
решения разностных охем, построенных с
использованием экстраполяции по Ричардсопу (МВМ, гл. 6).
Задачи подбирались, как правило, так, чтобы они
не дублировали друг, друга и чтобы каждая из них
иллюстрировала какой-нибудь один из аспектов
исследования или построения разностных схем.
Следует также отметить, что если специально не
оговорено в условии задачи, то мы использовали
следующие нормы и оператор проектирования:
|ф/1|ф/1 = тах|фП.-
г
1/1Р/1 = тах|/г|,
i
{u)h\i = u{xi).
В пятой главе приводятся задачи на применение
разностных методов для решения дифференциальных
уравнений с частными производными; при этом особое
внимание уделялось исследованию методов
расщепления для решения нестационарных задач. В первых
задачах этой главы на достаточно простых примерах
требуется определить порядок аппроксимации
разностной схемы. В последующих задачах требуется
построить разностную схему заданного порядка
аппроксимации; при этом, так же как и в четвертой главе,
мы стремились использовать как можно больше
методов построения разностных схем. Следует также
7

отметить, что в ряде задач предлагается доказать, что
построенные разностные схемы удовлетворяют
некоторым дополнительным требованиям.
Достаточно трудными, требующими знания
различных приемов и методов, являются задачи на
доказательство устойчивости и исследование сходимости
решения разностной схемы к решению
дифференциальной задачи. Причем в задачах на исследование
сходимости основное внимание, как уже отмечалось, было
обращено на изучение схем расщепления.
Задачи, в которых требуется построить устойчивую
разностную схему с заданным порядком
аппроксимации, опираются в основном на опыт решения
предшествующих задач, но требуют уже достаточно хорошего
владения всем курсом вычислительной математики.
Для того чтобы сделать изучение этого круга проблем
законченным и подвести исследователя к последнему
этапу решения задачи — ее программированию, мы
поместили в этой главе ряд задач на построение и
исследование конкретных алгоритмов и методов решения
систем разностных уравнений.
Не оговаривая этого специально, мы в большинстве
задач использовали следующие нормы и оператор
проектирования: ,
i
|фЛт Hi7A = max | [,
k
(u)hx \l = u {t\ xh).
Как специально отмечается в первых параграфах
четвертой и пятой глав, нормы в пространствах Ф и
Фнх вводятся так, чтобы выполнялись условия
согласования
lim ||(ц)Лх||ФЛх=||и|]ф.
Лд-*о
При подготовке'сборника нами были использованы
следующие книги:
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.:
Наука, 1967.
2. Г е л ь ф о н д Л. О. Исчисление конечных
разностей,— М.: Наука, 1967,
8

3. Годунов С. К., Рябенький В. С.
Разностные схемы. Введение в теорию.— М.: Наука, 1977.
4. И к р а м о в X. Д. Задачник по линейной
алгебре.— М.: Наука, 1975.
5. АГарчук Г. И. Методы вычислительной
математики.— М.: Наука, 1977.
6. Самарский А. А. Теория разностных схем.—•
М.: Наука, 1977.
7. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в
вычислительной математике.— М.: Наука, 1976.
8. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н.
Вычислительные методы линейной алгебры.— М.— Л.: Физмат-
гиз, 1963.
9. Форсайт Дж., М о л е р К. Численйое решение
систем линейных алгебраических уравнений.— М.:.
Мир, 1969.
10. Я пен ко Н. II. Метод дробных шагов решения
многомерных задач математической физики.—
Новосибирск: Наука, 1967.
1:1. Varga R. S. Matrix iterative analysis.— N.—
Y.: Englewood Cllifs, Prentice-Hall, 1962. , .
Авторы выражают благодарность академику
Г. И.„ Марчуку за постоянное внимание к их работе,
чл.-корр. АН СССР С. К. Годунову, доценту Ю. И. Шо-
кину, сделавшим ряд полезных замечаний после
прочтения первого варианта рукописи, а также С. Г. Дро-
бышевич, Е. Г. Климовой, О. А. Ободовской, А. В. Слудг
нову и 3. К. Уразалиной за помощь при подготовке
рукописи.

ГЛАВА 1
НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ.
СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ВЕКТОРЫ.
ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ МАТРИЦ
§ 1. Определения. Теоремы
Нормой вектора х называется функционал,
обозначаемый Ы1, удовлетворяющий следующим условиям:
1) \\х\\ = о^.г = 0, 1Ы1>0;
2) Hadl = ЫЫ1, « — произвольное число;
3) 11* + 011^Ы1 + Иу11.
Нормой квадратной матрицы А называется
функционал, обозначаемый IIЛII, удовлетворяющий
условиям:
• 1) Ш =0^4=0, \Ш>0;
2) WaAW = |а|1Ш, а — произвольное число;
3) WA+BW^WAW + WBW-
4) WABW^WAWWBW.
Норма матрицы \\А\\М согласована с нормой вектора
Ыв, если для любых х и А
\\AxWB^\\A\\Jx\\B.
Функционал sup||i4^||tt/||^||/j является нормой мат-
рицы А и называется нормой матрицы А, подчиненной
норме вектора \\х\\в.
Комплексное число К(А) и ненулевой вектор х
называются соответственно собственным числом и собствен-
ным вектором матрицы Л, если Ах = Х(А)х.
Множество всех собственных чисел матрицы А
называется спектром матрицы А. Спектральным
радиусом р(А) матрицы А называется максимум модулей
собственных чисел этой матрицы.
Для оценки границ собственных чисел могут быть
использованы следующие теоремы.
Первая теорема Гершгорина. Все
собственные числа комплексной матрицы А принадлежат
10

объединению кругов
|« —0,-/|<2 \аи1 * = 1, п.
Вторая теорема Гершгорина. Если
указанное в первой теореме объединение кругов
распадается на несколько связных частей, то каждая такая
часть содержит столько собственных чисел, сколько
кругов ее составляют.
Матрица А называется разложимой, если
существует такая матрица перестановок Р, что Р АР=^
- Mi ° 1
= К где А\, Л2 — квадратные матрицы, Рт —
транспонированная матрица Р. В противном случае
матрица А называется неразложимой (матрица Р
называется матрицей перестановок, если в каждой
строке и в каждом столбце один элемент равен 1, а все
остальные элементы равны 0).
> Теорема Т а у с с к и. Если матрица А
неразложима и собственное число Х{А) принадлежит границе
объединения кругов из первой теоремы Гершгорина,
то все их окружности проходят через Х(А).
Матрица А называется
1) положительно полуопределенной и обозначается-
А > 0, если для любого х {Ах, х) > 0;
2) положительно определенной и обозначается
Л > 0, если для любого х Ф 0 (А .г, х) > 0.
Соответствующий материал приведен в МВМ, гл. 1,
стр. 17-32.
§ 2. Задачи
1.1. Пусть dk>0, /c = l, п. Доказать, что
max (dh \xh\) есть норма вектора х.
п
1.2. Пусть dh>0, к = 1, п. Доказать, что 2 dh\xk\
есть норма вектора х.
1.3. Пусть dk>0, & = l,n. Доказать, что
ГИ : .
1/ 2 dh I xk |2 есть норма вектора х.
\ k=i
1.4. Доказать, что если С — симметричная
положительно определенная матрица, то {Сх, х)и2 есть норма
вектора х,
11

/ n I \l/2
1.5. Доказать, что 2*2 I*J2 есть норма век-
\i=ik=i I
тора х.
1.6. Доказать, что М(А) = п max |а/7| является
нормой матрицы А.
1.7. Доказать, что max | аГ] | не является нормой
матрицы А.
I n \1/2
1.8. Доказать, что N (А) = 1 2 I «/у I2 является
\ i, i = 1 /
нормой матрицы Л. _
1.9. Показать, что не является
нормой матриды А.
1.10. Доказать, что всякая норма матрицы
согласована с некоторой нормой вектора.
1.11. Доказать, что М(А) согласована. с нормами
II-Hi, 1Ы12, II-II ее вектора х.
1.12. Доказать, что N(A) согласована с нормой
IMI2 вектора х:
1.13. Доказать, что подчиненная норма
удовлетворяет четырём требованиям нормы и условию
согласованности норм.
п *
1.14. Доказать, что норма ЦА^ = max 2 \аи\ под-
чинена норме IMIj. _____
1.15. Доказать, что норма ||Л||3 = ]/ р {А А)
подчинена норме Ыг.
п
1.16. Доказать, что норма \А\х = max 2 |flul
ПОДКУП j=i
чинена норме IWL.
1.17. Найти нормы матриц, подчиненные, нормам
векторов из задач 1.Т, 1.2, 1.3.
1.18. Доказать, что М(А) и N{A) из задач 1.6, 1.8
не подчинены никакой норме вектора.
1.19. Доказать следующие неравенства для норм
векторов:
а) IWL^IWI^/zWL,
б) ^I^KIx^p^,
в) IWL<W2<ynlldL.
12

1.20. Доказать следующие неравенства для норм'
матриц:
а) АЛ7(Л)<МКМ(Л),
б) ^М(А)^\\А\\1^М(А),'
в) ±M(A)^\AU^M(A),'
т) ±M(A)^N(A)^M(A),
П) ±N(A)^IA%^N(A),
.в)-^=ЛГ(4)<(ЛК>^ЛГ(^, .
ж) -LN(A)^jAl^VnN(A),
.и) -r^MKi^j^/nMi,,
у п
1.21. Доказать неравенство \ А||1<|) А \{ ЦЛЦ».
1.22. Найти пространства с такими нормами, что
четырехугольники из Е2 (рис. 1) перейдут в сферу
радиуса 5.
^
■^
2
~2
^
«
х''
-£
1
0
ч
Т"з
а)
6)
Рис. 1.
max
1.23. Доказать, что для вектора я = [х1% х2] и А>0
является нормой. Найти норму
(|*.|.
матрицы, подчиненную этой норме.
1.24.' Доказать, что max
2 ч
k-i
I является нормой
13

вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой
норме вектора.
1.25. Показать, что если U — унитарная матрица,
то 1Ы12 = \Шх\\2 и Ы\\2 « WAh = ЫШ2.
1.26. Показать, что для любого собственного
значения Х(А) невырожденной матрицы А справедлива
оценка 1/Ы"]\\ < \Х(А)'\ ^Ы1
1.27. Доказать, что для любого собственного
значения Х(А) матрицы А справедливо неравенство
|Х(Л)1 <inf 11Л*И1А, где к —- натуральное число.
1.28. Показать, что для экстремальных
собственных значений симметричной матрицы А справедливы
оценки
^тах (4) > max (аи), Ят1п(А)< min {an).
1.29. Доказать неравенство
1И5<р(ОИ11-
1.30. Доказать что если матрица А — нормальная,
то IL4ll2 = pU).
1.31. Доказать первую теорему Гершгорина.
1.32. Доказать вторую теорему Гершгорина.
1.33. Построить пример несимметричной
вещественной матрицы п-то порядка, не имеющей ни одного
нулевого элемента и имеющей вещественный спектр.
1.34. Доказать, что у матрицы
Г2. 0,4 0,4]
0,3 4 0,4
[.0,1 0,1 5 J
все собственные числа вещественны. Указать
интервалы, которым принадлежат собственные числа.
1.35. Решить задачу 1.34 для матрицы
Г 2 0,4 0,21
0,1 3 0,4 .
1.0,1 0,1 4 J
1.36. Доказать, что у вещественной трехдиагональ-
ной матрицы
Г61
пп
2
0
[о
с1
ьъ
2
*9
0
0
сл
2
ьв
0
0 .
0 .
сз •
0 .
.. 0
.. о
.. 0
•• ап
0
0
0
К
"~1
-1
14

все собственные значения вещественны, если ai+\Ci>01
i = 1, лг — 1.
1.37. Доказать, что у матрицы
Pi
0
L°
с!
h
аз
0
0
С2
0
0 .
0 .
сз •
0 .
..0 0
..0 0
..0 0
.. о b
п
\Xk(A)\ <\; &=*1, тг, если \at\ + \bt\ + kl < 1, i = l, и,
й\ = cn = 0, примем хотя бы один раз имеет место
строгое неравенство, и
ai+\ci¥=01 i = 1, п— 1. .
1.38.. Доказать, что если Ы,г, я) > 0 для всех х, то
существует постоянная б > 0, не зависящая от х и
такая, что {Ах, х) > 6(х, х) для всех х. . .
1.39. Привести пример такой положительно
определенной в Еп матрицы, спектр которой не является
вещественным.
1.40. Доказать, что если матрица К вещественна и
кососимметрична, то матрица Т = (Е — К)(Е + /О"1
ортогональна.
1.41. Доказать, что у вещественной ортогональной
матрицы А все собственные числа по модулю равны 1.
1.42. Доказать, что для произвольных матриц Л, В
спектры матриц АВ и ВА совпадают.
1.43. Доказать, что если матрицы А\ и_ А2
коммутируют, то существует К(А[А2), равное МЛ1МЛ2).
1.44. Доказать, что еслп А — симметричная
положительно определенная матрица, а й- симметричная
матрица, то все собственные числа матрицы АВ
вещественны.
1.45. Доказать, что для симметричных
положительно определенных матриц А, В Х(АВ) > 0.
1.46. Пусть А — симметризуемая матрица, т. е.
существует невырожденная матрица Т такая, что
l1AT~l=S1 где S — симметричная матрица. Доказать,
что система собственных векторов матрицы А полна.
1.47. Пусть А — симметричная положительно
определенная матрица, а В — симметричная
матрица. Доказать, что система собственных векторов
матрицы АВ полна.
15

1.48; Доказать положительную определенность
матрицы
"0,5 1 1 1 ... 1
1 2,5 3 3 ... 3
1Ш 3 4,5 5 ... 5
I 3
4fr —3
2
1.49. Доказать, чта если Л, В — перестановочные
симметричные положительно определенные матрицы,
то матрица ВА также положительно определена.
1.50. Доказать, что определитель кососимметричной
матрицы (Л= — Ат) нечетного порядка равен нулю.
1.51. Пусть для матриц А, В, С выполнены
равенства АВ = ВА, ВС = СВ, Следует ли отсюда, что АС =*
*=СА?
1.52. Пусть матрица А размера пХп имеет п
различных собственных значений. Показать, что если
АВ=*ВА, то В — матрица простой структуры.
1.53. Показать, что в симметричной положительно
определенной матрице максимальный по модулю
элемент стоит на главной диагонали.
1.54. Показать положительную определенность для
Г 2 ~1 1/2 —i/3i
-1 3 -1 -1/2
1/2—1 4 2
_- 1/3 -1/2 2 5 I
1.55. Доказать положительную определенность для
г 12-6 3 -2'
— в' 18-6 '6
3-6 24 15
— 2 6 15 30_
1.56. Доказать, что если А, В — симметричные
матрицы, то необходимым и достаточным условием
равенства АВ — ВА является существование базиса,
составленного пз общих собственных векторов матриц А и В.
1.57. Пусть А — матрица размера пХп такая, что.
аи> 2 1а^|и ац<0 для i*£j. Доказать, что матрица
А"1 имеет только положительные элементы.
1.58. Пусть А —матрица из задачи 1.57, а С==*А +
rf-ai?, где ос>0. Доказать, что W"J)y> (С~%.

ГЛАВА 2
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Определения. Теоремы
Пусть дана система уравнений Лф = / с
невырожденной матрицей А размера пХп. Числом
обусловленности condM(4) матрицы А называется произведение
IU-MIMIUH„.
Нахождение решения систем линейных уравнений
с трехдиагональной матрицей
а<Ф<+1-Ь|ф' + с<Ф<-1в/<, 1 = 1, и-1, я^О, с^О,
ф0 = «0ф1 +./о,
ф« = С,фн-1 + /,»,
по формулам
Ко = До, ^о = /о,
<7. C.L,-, —/, # —————
^ = ь —к—Г*' ^ = ъ -к с ' i = 1, лг — 1,
/п+ЧАг-1
Ф"*8 1-е if ' Ф|в*|ф<+1 + £«' I — Л — 1, 0f
называется методом правой прогонки. Если
решение искать в виде ф,-=/^ф*-! + Lf, то рекуррентные
соотношения называются формулами левой
прогонки.
Нахождение решения системы уравнений
л,ф<+1 - btyi + Ct<p{-1 = /i, i = 2, дг - 1,
Япф1 — Ьпфп + Спфп-1 = /л,
2 Б. И. Дробышевпч, В. П. Дымников, Г. С. Ривин I*

по формулам
#i = lT' ^i —— IT' Mx
К,
Mi =
i-Kl-lei'
1
ciLi-i-fi
b. - Kt
1-1*1
2, /г,
pn-i == ^n-i? ?n-i = Kn — i + Л/n-ii
i —/г — 2, 1,
Фл~1-*Л-л/п'
ф* = Pi + фи?1, 1 = 1, П— 1
называется циклической прогонкой.
Система уравнений
Яг+йфгЧА + Я<+Ц-1ф*+Л-1 + . . . + Яц.1ф<+1 + Я*фг = /.',
где 1 = 0, ±1, ±2, ... (flf+A^O, fli^O хотя бы для
одного i), называется линейным разностным
уравнением k-го порядка. Это уравнение с /^ = 0 для всех i
называется линейным однородным разностным
уравнением, а в противном случае линейным
неоднородным разностным уравнением.
Теорема 1. Если ф(1), ф(2), |м, ф(Л) — решения
линейного однородного разностного уравнения, причем
Д[ф(1\ф(в,...,Ф<-"}
ф(1) ф(1)
ф£2Л
ф(/0 ф(«
ф£>1
отличен от нуля, то общее решение этого уравнения
h
имеет вид ф = 2 С/ф(°> где С\ — произвольные посто-
j=i
янные.
Теорема 2. Общее решение линейного
неоднородного разностного уравнения представляется в виде
суммы его частного решения и общего решения линей-
ного однородного разностного уравнения, т. е. ф = ф* +
k
+ 2 Cyp(Z), где ф* — частное решение неоднородного
/=г
уравнения.
18

Общее решение линейного однородного
разностного уравнения к-ro порядка с постоянными
коэффициентами
.якф<+Л + а*-1ф{+*-1 + . • • +Л1ф<+1 + Лоф.- —О,
где i = 0, ±1, ±2, ..., может быть выражено через
корни характеристического уравнения
ak\ik + ah-\\ik~] + . .. + а\\1 + а0 = 0.
Характеристическое уравнение получается, если
искать решение разностного уравнения в виде
Ф, = иЛ
Если все корни характеристического уравнения
простые, то общее решение имеет еид
ф« = 2 Сф].
В общем случае
4>i = 2j \*>i 2j Cmi ;
здесь Si — кратность Z-го корня, k\ — количество раз-
hi
личных корней, 2j si — ^*
Z=--l
Сведения, необходимые для решения задач данной
главы, приведены в МВМ, гл. 1, стр. 31 — 36; гл. 4,
стр. 223 - 242.
§ 2. Задачи
2.1. Показать, что число обусловленности сопа(Л)
не меняется при умножении матрицы А на ненулевое
число.
2.2. Доказать, что concU (-4) = 1, если А —
ортогональная матрица.
2.3. Доказать, что для матрицы А размера п X п
выполняются неравенства
1 ^ co"d«> U)
п ^ cond2 (A)
2.4. Пусть
■<ft.
А =
100 991
99 98 J
19

Доказать, что дацная матрица имеет наибольшее
число обусловленности cond2G4) из всех
невырожденных матриц второго порядка, элементами которых
являются положительные целые числа, меньшие или
равные 100.
2.5. Пусть Л —симметричная положительно
определенная матрица. Доказать, что cond2 (A + аЕ) есть
монотонно убывающая функция от а при а > 0
2.6; Пусть для некоторого 1 > а > 0 и матрицы А
размера пХп
<х|яп1>2К;Ь * = 1, л.
Оценить снизу и сверху cond«, (А) через диагональные
элементы матрицы А.
2.7. Пусть R —. треугольная матрица размера п X /г,
для которой 1) |г0|<1 для всех J, /; 2) г« = 1 для
всех L Найти максимально возможное значение числа
обусловленности cond«> Ш).:
2.8. Найти выражение для числа обусловленности
condoo(^) невырожденной матрицы А размера пХп
через ее сингулярные числа а\ > ссг ^ ... > сс„.
2.9. Пусть даны система линейных алгебраических
уравнений Aq> = f и возмущенные системы:
а) Л(Ф + бф)=/+б/,
б) (Л + бЛ)(Ф + бф)=/.
Показать, что для любой нормы справедливы неравен-
ства *
а) ^сошцл) ,
°' К-Ф + бфИ ^сопс^л> ||л|Г
2.10. Пусть ф1 — приближенное решение линейной
системы Аф = / при / ^ 0. Обозначим
е1 = ф1~Л-1Д г1=/~Лф1, '
рг = 1^11/11/11, pe^Ue^/WA-ifl
Доказать, что
cond (A) pr ^ v '
2.11. Доказать неравенство
\\В-1~-А-1\\ ^ т/лчМ-ЯЦ
И 1в_г{ ■<C0DdH)'-Tn-
20

2.12. Пусть А — квадратная невырожденная
матрица, а приближенная обратная к ней матрица В
удовлетворяет оценкам
•IL4fi-£H<0,02, Ш-100.
Дать достаточно точную верхнюю -оценку для нормы
Ш-Л-Ч1.
2.13. Пусть А и А~х имеют следующий вид:*
[6 13 -171 Г 6 -4 —П
13 29 -38, Л"1- -4 и 7.
-17 -38 50 J L-1 7, 5 J
Собственные числа Х(А) приближенно равны:
Xi = 0,0588; Я2 = 0,2007; Я3 = 84,74.
а) Описать множество S = {Ах: \\х\\ = 1).
б) Найти IL4ll2, Ili4"4l2, cond2U).
2.14. Пусть для матрицы А из задачи 2.13 п
векторов ф и / известно, что ИЛф — /II2 ^ 0,01, 11/И2 = 1.
а) Найти наименьшую верхнюю границу нормы
h-A-4\\2.
б) Найти наименьшую верхнюю границу выражения
||ф-4-7112/114-%.
2.15. Для задачи
«ёфг+1 - kepi + c^i-i = /,-, i = 1, n - 1,
I6,l>kl + lc,l, a^O.c^O,
Фо = «оф1 + /о, 0<а0<1,
фп = Спфп-1 + /n, 0 ^ Cn < 1,
написать формулы правой и левой прогонки. Показать,
что прогоночные коэффициенты, не содержащие
правой части, меньше единицы.
2.16. Доказать, что для решения системы
уравнений с трехдиагональной матрицей из задачи 2.15
метод прогонки есть метод Гаусса.
2.17. Написать формулы циклической прогонки
для решения системы
а,ф1+1 - biffi + с{(р{-1 «= /,, i = 0, п,
ф»-1=фп, фп + 1=ф0,
Ш>\щ\ + \с{\, а(Ф0, СгФО
(строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i).
21

2.18. Пусть А — матрица размера пХп имеет вид
где и — вектор-столбец размерности п — 1, v — вектор-
строка размерности п— 1, и нам известны решения
систем
An-iy = g1 An-iz = u.
Найти решение системы Лф = /, / = [gT, b]T.
2.19. Написать формулы матричной прогонки для
решения системы уравнений
— ф*-1, * — фь, z-i - фл+1, / - Фа, i+\ + 4фь. i = Л, *, '
/с = 1, w— 1, / = 1, /г — 1,
фг.О = фО.г = ф„.* = фг> = 0, i = О, Л.
2.20. Доказать, что матрица Л размера п X и, все
главные миноры которой не равны нулю, может быть
представлена в виде произведения левой (L) и правой
(R) треугольных матриц: А = LR. Сформулировать
метод решения системы Ay = f с помощью такого
разложения.
2.21. Доказать, что если все главные миноры
матрицы А не равны нулю, то имеется единственное
разложение А = LDU, где L — нижняя, U — верхняя
треугольные матрицы • с единицами на диагонали,
a D — диагональная матрица, причем
п
(1еЦЛ)-П d«i-
2.22. Доказать теорему Фредгольма: для того
чтобы неоднородная система линейных уравнений Лф = /
была совместна, необходимо и достаточно, чтобы
вектор / был ортогонален ко всем решениям сопряженной
однородной ристемы Л*\|) = 0.
2.23. Доказать следующую альтернативу
Фредгольма: или система уравнений Лф = / совместна при
любой правой части /, или сопряженная однородная
система Л*г|) = 0 имеет ненулевые решения.
2.24. Доказать, что положительно определенную
симметричную матрицу А можно представить в виде
22

Произведения A=$ST, где $ — нижняя ТреугоЯьйая
матрица.
2.25. Как связаны числа обусловленности сошМО
матриц А и S из задачи 2.24?
2.26. Пусть j/ п z — два частных решения
уравнения
либо равен нулю
тт \yi Ui+i
Доказать, что определитель
\Zi zi+l.
во всех точках i, либо не равен нулю во всех точках L
2Л27. Сформулировать и решить задачу,
аналогичную 2.26, для разностного уравнения
a{+k(fi+k + ai+h-i(pi+k-.i + ... + fli-ftcpf-fc = 0.
2.28. Найти общие решения следующих
разностных уравнений:
а) 6ф<+1—-5ф< + ф^1 =0,
б) 2ср1+1-5ф, + 2фг-1 = 0,
В) ф1+1 — 4фг + 4ф£-1 = 0,
г) 9ф*+1 — 6ф* +ф£-1 = О,
д) ф<+1 — 4ф* — 5ф,-1 = О,
е) 5ф1+1 — бфг + 5фг_1 =
2.29. Найти при i>0 ограниченное решение
разностного уравнения
. Фн-1— — ф! + Ф1-1 =0
такое, что фо = 1. '
2.30. Найти миллионный член последовательности
чисел Фибоначчи
0,1, 1, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34/55, ... #
2.31. Найти решение системы разностных
уравнений
Фи.1 - 2ф» + ф,-1 = 0, i = 1, п - 1,
Фо = а, ф« = Ь. '
2.32. Найти решение разностной системы
— ф<+1 + 2ф; — ф,-1 = h2 sin (Ш, i = 1, n - 1,
фо — ф1 = — Л, фп = 1, nh = дт/2.
23

2.33. Найти общее решение разностного уравнения
ф2*+1 + ф2< — ф2<-1 = Pt
ф2<+2 — ф2<+1 — ф2< = 0.
2.34. Исследовать разрешимость разностной
краевой задачи
Ф2/+2 — ф2*+1 "" ф2* ~ /2f+lf
ф2<+1 + ф2* — ф2*-1 = hb -
фО = #, фп = Ь.
-2.35. Решить спектральную задачу
Фо = 0, фп = 0.
2.36. Решить спектральную задачу
= fapi, i = 1, п —- 1,
' фо = 0, ф« = 0.
2.37. Решить спектральную задачу
Ф<+1-2ф| + ф<-1„
= Яф^, г = 1, и — 1,
ф0 = 0, фп «фп-!.
2.38. Решить спектральную задачу
,2 = Лф4, i - 1, дг — 1,
фО^фЬ фп^фм-!*
2.39. Решить спектральную задачу
<Pj-lt k + Ф<+1, ft + Ф], >-i + Фп *+1- Ч-, ft
Л2 ■ = ^-ф*.л»
£, А = 1, /г — 1,
ф*. о = Фо, < = q>i, n = Фп, t ^ 0t * = 0, п.
2.40. Решить спектральную задачу 2.39 при
следующих граничных условиях:
ф<, 0 в ФО, i =* фп, < — 0, ф,, Л = ф,, Л-1, Z = О, Л,
24

2.41. Решить спектральную задачу 2.39 при
следующих граничных условиях:
ф*. 0 = ф*. п = 0, фо, * = ф!.<, фп,«вфп-1,«, 1 = 0, П.
2.42. Решить спектральную задачу 2.39 при
следующих граничных условиях:
ф<; о = Фо. * = 0, фг,п = Ф<, п-ь фп,«вфп-1,1| - 1 = 0, п<
2.43. Методом циклической редукции найти
решение разностной задачи
— ф<+1 + 2ф* — ф<-1"=!-6/, * = 1, 7,
Фо = 0, ф8==272.
2.44. Е^ынисать формулы быстрого преобразования
Фурье для сеточной комплекснозначной функции фЛ,
заданной на равномерной сетке {х0, ,.., #*-i}, с
шагом /г, где N = 3m, m — натуральное число.
2.45. Выписать расчетные формулы быстрого
преобразования Фурье для нахождения коэффициентов
разложения вещественной сеточной функции в ряд по
косинусам.
2.46. Решить задачу 2.45 для разложения в ряд
по синусам и косинусам.

Г Л Л В Л 3
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определения. Теоремы
Дана система линейных уравнений Лф = / с
невырожденной матрицей А размера п X п. Для решения
егтон системы рассмотрим итерационный процесс
где Hj — невырожденные матрицы. Запишем его в
виде
Ф>+> = 7>>- + //,/,
где Tj = Е — IIjA — оператор /-го шага итерационного
процесса. Обозначим: г|У — вектор-ошибки (i|)J = cpj — ф),
a t,j — вектор невязки (Q = AcpJ — j). Имеют место
соотношения
f+l = T$\ ЪМ=АТ}А-Х1К
Итерационный процесс называется сходящимся,
если последовательность {ф;} сходится к ф при любом
Ф°. Итерационный процесс называется стационарным,
если Tj не зависит от номера шага /. В противном
случае процесс называется нестационарным.
Для тогю чтобы итерационный процесс фж =
*='Т$ + IIJ сходился, необходимо и достаточно, чтобы
IndU о.
II j-- О || Г-» °° .
Необходимым и достаточным условием сходимости
стационарного итерационного процесса yi+l = Т<р' + Hf
является неравенство р(Г) < 1. Достаточным условием
сходимости стационарного итерационного процесса
(pj+1 = Ту' + IIf является неравенство IIJU < 1.
2(5

Средней споростью сходимости итерационного
процесса за j итерации называется величина
/?j = __L,n/SUI,Mjji если|М1<И°1- llff^O;
для стационарного процесса она равна
i?i==-y-ln|r'|, если ||Г]<1. .
Асимптотической скоростью сходимости
итерационного процесса называется . »
Rac = lim R ;
j->oo
\ ч
Для стационарного процесса она равна
Дас = -1пр(Л.
Приведем некоторые итерационные процессы для
решения систем Лф = /, записанные в виде (pi+1 =
«7у + //,/.
1. Метод последовательных приближений:
Т, = Е-А, П} = Е.
2. Метод простой итерации {метод Якоби):
Т^Е-0~1А, Ui = D-\ Z) = diagW.
3. Одношаговый циклический процесс (метод Зей-
деля):
Tj=(E-AI)-lN, П>=(Е-М)-\ ,
где M + N = E — A, M — пилатяя треугольная матрица
с нулевыми диагональными элементами, N — верхняя
треугольная матрица.
4. Метод Гаусса — Зейделя:
T, = -(D + L)-4{, II^(D + L)-\
где L + D + R = Л, L —Nнижняя треугольная матрица
с нулевыми диагональными элементами, D —
диагональная матрица, /?—-верхняя треугольная матрица с
нулевыми диагональными элементами.
5. Метод последовательной релаксации:
7\ = (£ + T/J~i((l _ Т)Я _ тЯ),
7/^tCD + tX)-1, 0<т<2;
27

при т > 1 метод называется методом
последовательной верхней релаксации, при т < 1 — методом
последовательной нижней релаксации, при т = 1 он
тождествен методу Гаусса — Зейделя.
6. Чебышевский циклический итерационный
метод:
T^E-TjA, #; = т;£,
_ = 2
*' р (А) - а (А) - (р (А) - а (А)) */
2/*—1 . 1—
Xj = cos—2—гс» 7 = 1,5,
,5 — длина цикла.
7. Метод минимальных невязок:
Т} = Е-%}А, Н} = Х}ЕЧ Tj = ^j^.
8. Метод наискорейшего спуска:
. Тз = Е- Т;Л, Я,- - Т,#, Т; = т^У^т.
9. Метод расщепления {А = А^ + А2):
Н, = х{е +±Aty(E +±Al)j'\
Сведения, необходимые для решения задач,
приведены в МВМ, гл. 4, стр. 161—223.
§ 2. Задачи
3.1. Пусть дан итерационный процесс cpi+I = B(p}+f%
где
в=[о 3. о<«<*-
Показать, чтб норма I1-IL ошибки в этом процессе
начинает монотонно убывать лишь с некоторого номера
28

итерации /0 (определять /0 при а, достаточно близких
к 1).
3.2. Доказать, что при достаточно большом / для
получения еще одного верного десятичного знака у
cpj достаточно проделать (In 10//?ac) итераций, где
Лас ~ асимптотическая скорость сходимости.
3.3. Привести пример сходящегося итерационного
процесса и такого i|r<° (\\>* — вектор ошибки), что
1!^!!2/|]я|)0||2>Ю0.
3.4. Привести пример расходящегося
итерационного процесса и такого ф°, что
Нф3112/11ф0||2<0,01.
3.5. Пусть дан итерационный процесс cpi+1 =
~Tq? + g (НП1<1), сходящийся к решению системы
уравнений Лф«*/. Показать, что
ЦЛ ^ II (Я - ТУЧЦМ - q^ll, у = ф' - Ф.
3.6. В условиях задачи 3.5 доказать, что
3.7. Дан итерационный процесс ф,+ 1 = Cq>j + g.
Доказать, что если %i(C) = 0 для всех £, то итерационный
процесс сойдется не более чем за п итераций.
3.8. Дана система линейных алгебраических
уравнений Лф = /. Предположим, что известны все
^собственные числа матрицы А, причем Xt(A)>0, i = l, n.
Построить итерационный процесс вида фж =
-■-- (Е — TjA)(pj + tj/, сходящийся к точному решению
Лф = / не более чем за п итераций.
3.9. Пусть дана система уравнений Лф = /, где
А=Е-С, сц>0, fi>0.
Показать, что если решение системы А(р = f
неотрицательно, то процесс последовательных приближений
Ф;+1 = Сц>} + /, ф° = 0, сходится.
3.10; Пусть дан итерационный процесс вида фН1 =■
«= Bфi + /, где В — трехдиагональная неразложимая
матрица, в которой суммы модулей элементов по стро-
п „
кам удовлетворяют условию 2 I b\h | ^ 1? I = 1, Щ при-
А=1
29

чем строгое неравенство выполняется хотя бы в одной
строке. Показать, что данный итерационный процесс
сходится.
3.11. Указать область значений т, при которых
итерационный процесс фж = (Е — тА)(р3 + т/ сходится,
если J\eX(A)>6>0.
< 3.12. Показать, что итерационные процессы
ф*+1 = (Я_твЛУ + т/
сходятся или расходятся одновременно.
3.13. Пусть А — матрица размера 2X2, ai{ Ф 0.
Доказать, что метод Якоби и метод' Гаусса — Зейделя
для системы Acp = f сходятся или расходятся одно-
вгЬмеино.
3.14. Показать, что существует система уравнений
3-го порядка, для которой метод Якоби уходится,
*а метод Гаусса — Зейделя расходится.
3.15. Цоказать, что существует система уравпепий
3-го порядка, для которой метод Гаусса — Зейделя
сходится, а метод Якоби расходится.
3.16. Пусть дан итерационный процесс вида ф;+1 =
=• Byj + /, В = М + N, где М — нижняя треугольная
матрица с нулями на диагонали, N — верхняя
треугольная матрица. Показать, что если II5II» ^ (J- < 1
(т. е. процесс сходится), то будет сходиться и
итерационный процесс cp'+1 =;T/(pj+1 + Nqi + f.
3.17. Дана система уравнений
' <Pju+i + ТМ-1 + <Pfe+U + %-Ц - 4<Рм 4
■" ~ j? '*•"
' ' ' , A, Z = 1, л — 1,
фо, к = фп, к = фй, 0 = Фа, п = 0, к = 0, п.
Написать расчетные формулы алгоритма метода Якоби
для решения этой системы и найти его асимптотиче*
скую скорость сходимости.
3.18. Решить задачу 3.17 для метода чебышевско-
го ускорения при 5 = 1.
3.19. Решить задачу 3.17 для метода Гаусса —
Зейделя.
3.20. Решить задачу 3.17 для метода
последовательной-верхней релаксации при т = т0Пт.
30

3.21. Решить задачу 3.17 для метода чебышевского
ускорения при s = 8.
3.22. Написать расчетные формулы алгоритма
метода последовательной верхней релаксации для
системы уравнений
Фй, 1 = ак>1 фй_1, i+bhi i ф/н.1, i+chi, фЛ| t-\+dkt i фд, л-1+Д, z,
. . . . /=- 1, п— 1,
Фл, о = Фл, п = фо, h = Фм, л = О, Л = 0, /г.
3.23. Показать, что метод минимальных невязок
для решения системы A(p = f с симметричной
положительно определенной матрицей А является нижней
релаксацией метода наискорейшего спуска.
3.24. Дана система уравнений A(f = / с
вещественной положительна определенной матрицей А.
Доказать, что метод минимальных невязок для решения
этой системы сходится, если ф° ^ ЕП1 / ^ Еп.
3.25. В условиях задачи 3.24 доказать сходимость
для метода наискорейшего спуска.
3.26. Матрица шага для метода верхпей
релаксации имеет вид С = (Е + тМ)']{(\ - т)Е - тЛО, где Л/,
N — соответственно нижняя и верхняя треугольные
матрицы с нулевыми диагональными элементами.
Доказать, что р(С) > \т— \\. При каких т метод
последовательной верхней релаксации расходится?
3.27. Дан итерационный процесс фж = (Е—xA)q>}+
+ т/, где А представима в виде произведения двух
некоммутирующих симметричных положительно
определенных матриц. Доказать, что итерационный
процесс сходится при 0 < т < 2/рЫ).
3.28. Дана система уравнений Лф = /, где
0,3 0,4-1
1,0 -1,4
4 2,4 Г
2,5 -5 J
Исследовать* сходимость метода Якоби для решения
этой системы.
3.29. Решить задачу 3.28 для матрицы
Г-4 1 -1 П
А-\ 1 ~4 1 Ч
Л ~ . 2 1-4 1
L • 1 2 1 - 4 J
Г 2 -0,2
| 0,3-3
0,4 0,8
L— 0,5 1,2
31

3.30* Показать, что для системы линейных
уравнений Лф = /, где
[2 0,3 0,51
ОД 3 0,4 I
0,1 0,1 4,8 J
метод последовательных приближений фж =■
-»(Е — хА )ф* + т/ будет сходиться при 0 < т < 0,4.
3.31. Определить область значений параметра т
•для метода минимальных невязок при решении
системы уравнений А у = / для А = аЕ + К, где К — косо-
симметричная матрица, а а > 0.
3.32. Дана система уравнений
<рм+1 + фМ-.! + <pfe+b/ + ф^м - 4дул
Л = л — 1, 1, Z = 1, и — 1,
фО.Л = фп, ft = ф*. 0 = ф*. п = 0, Л = 0, П.
Найти асимптотическую скорость сходимости метода
Якоби.
3.33. Дана система разностных уравнений
ФМ + 1 + фдЛ-! + <Ph+ltf + Tft-U - 4фМ
? = A,h
Л = 1,и —1, Z = дг — 1, 1 f
фо, k = фп, h = Фа, о = фь, п ■= 0, , & = 0, я.
Найти асимптотическую скорость сходимости метода
Гаусса —- Зейделя.
3.34. Пусть для решения системы Лф *= / с
матрицей Л, имеющей, вещественный спектр АЖ{А)>
> б > 0, предложен итерационный процесс
Доказать, что при т > 0 этот итерационный процесс
сходится.
3.35. Для итерационного процесса из задачи 3.34
оценить асимптотическую скорость сходимости и
определить т, при котором асимптотическая скорость
сходимости максимальна.
32

3.36. Пусть для решения системы Лф = / (А —А{ +•
+ Л2, А\А2 = А2АО предложен итерационный процесс
ф*+1/2 = ф* _ Т(Л 1ф*+1/2 + Л2ф* - /),
. ф*+1 в ф^+1/2 _ т(Л,фЛ + 1/2 + Л2ф*+1 -/)-
Матрицы простой структуры Л< имеют вещественный
спектр, и выполняются неравенства Д>А(Л<)> 6>0,
i = l, 2. Доказать, что итерационный процесс
сходится.
3.37. Для итерационного процесса из задачи 3.36
оценить асимптотическую скорость сходимости и
определить т, при котором асимптотическая скорость
сходимости максимальна.
3.38. Пусть для решения системы Лф = / (А=А[ +
Ч-Л2, А[А2 = А2АО предложен итерационный процесс
фА+1/2 в ф* _ Т(А !фЛ+1/2 + Л2ф* - /),
Фй+1 = <р*+1'2 - тЛ2(ф*.+| - Ф*).
Матрицы простой структуры Л, имеют вещественный
спектр, и выполняются неравенства Д >K(At) > б > О,
i = l, 2. Доказать, что итерационный процесс
сходится.
3.39. Для итерационного процесса из задачи 3.38
определить асимптотическую скорость сходимости и
определить т, при котором асимптотическая скорость
сходимости максимальна.
3.40. Доказать сходимость итерационного процесса
из задачи 3.36, если матрицы Л, удовлетворяют
условиям
А{А2^А2Аи (Л,ф, ф)>0, г = 1,2.
3.41*. Доказать сходимость итерационного процесса
из задачи 3.38, если матрицы Л< удовлетворяют
условиям
AiA2¥-A2Au (Лгф, ф)>0, 1 = 1,2.
3.42. Пусть для решения системы Лф = / (Л =
= А\ + 4.2, Л1Л2 = Л2Л1) предложен итерационный
процесс
ф*+1/2 в ф* _ т(Л,(ф*+1/2 + Ф*) - 2/i)f
ф%+1 = ф*+1/2 -тиа(ф*+» + ф**"2) - 2/2),
/l+/2=/.
О В. И. Дробышевич, В. П. Дымников, Г. С. Ривин 33

1
Доказать, что -у (фл+1 + ФА+1/2) сходится к решению
системы, если матрицы. простой структуры А{ имеют
вещественный спектр и выполняются неравенства
А>ХШ>6>0, * = 1, 2.
3.43. Для итерационного процесса из задачи 3.42
определить асимптотическую скорость сходимости и
определить т, при котором .асимптотическая скорость
сходимости максимальна.
3.4^
\. Пусть
А =
~ 2
0,1
0,2
0,3
Lo,4
0,1
3
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
4
.0,1
.0,2
0,3
0,2
0,1
5
0,1
0,4-1
0,3
0,2
0,1
6 J
Доказать, что итерационный процесс из задачи 3.36
для решения системы Лф = / будет сходиться, если
А=А\ + А2, Ai=A, A\ — верхняя треугольная
матрица.
3.45.
Решить задачу 3.44 для матрицы
/0,5
А =
1
2,5
3
3
3
3
1
3
4,5
5
5
5
1
3
5
6,5
7
7
1
3
5
7
8,5
9
1 \
3
5
7
9
'10.5J
3.40. Написать формулы метода сопряженных
градиентов (МВМ, стр. 192—198) для решения системы
уравнений
, ' \ ATAy = ATf.'
3.47. Решить задачу 3.46 для системы
ЛЛтг|) = /, ф = ЛГг|).
3.48. Для системы уравпений
2ф1-ф2=1,
фг+1 + 2фг — фг-1 = J, t = 2, П ~ 2,
— фп-2 + 2фп-1 = П — 1
а) написать расчетные формулы чебышевского
итерационного метода с длиной цикла, равной четырем;
34 '

б) найти значения WE — т^/Шг,- / = 1> 4;
4
в) вычислить величину Ц || Е — тАЛ ||2 при rt = 12;
I 4 II
г) вычислить величину Л\ (Е — thA)l при и = 12.
3.49. Дана система уравнений
фм+1 + ФМ-! + <Pfe-n,j + <Pfe-U - 4фм
- -—■ jr = /*.«.
/c,i == 1, n — 1,
Фа, * = ф«, h = ф>; о = Фк,Л = 0, A; = 0, и.
Найти число арифметических операций, необходимых
для выполнения одной итерации метода Якоби при
решении этой системы.
3.50. Решить задачу 3.49 для метода Зейделя.
3.51. Решить задачу 3.49 для метода Гаусса
—Зейделя.
3.52. Решить задачу 3.49 для метода
последовательной верхней релаксации,
3.53. Решить задачу 3.49 для метода минимальных
невязок.
3.54. Решить задачу 3.49 ддя метода расщепления.
3.55. Решить задачу 3.49 для .метода сопряженных
градиентов (МВМ, стр. 192—198)/
3.56. Сколько требуется провести итераций мотода
Якоби для решения системы уравнений из задачи
3.49, чтобы норма Ht|?0ll2 (^ — вектор ошибки)
уменьшилась в 1000 раз?
3.57. Решить задачу 3.56 для метода Гаусса —
Зейделя.
3.58. Решить задачу 3.56 для метода
последовательной верхней релаксации с оптимальным
параметром релаксации.

ГЛАВА 4
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определения. Теоремы
Сеткой называется конечное множество точек на
оси х. Составляющие ее точки называются узлами
сетки. Расстояние между двумя ближайшими узлами
называется шагом сетки. Если все шаги сетки равны
друг другу, то такая сетка называется равномерной,
в противном случае — неравномерной.
Функция, область определения которой есть
некоторая сетка, называется сеточной функцией.
Обозначим через h максимальный шаг сетки.
Пусть [а, Ь] — некоторый сегмент числовой
прямой, а Ф — некоторое линейное нормированное
пространство функций и с областью определения [а, Ь] и
нормой II -11ф. Рассмотрим множество сеток Dh из [а, Ь]
и множество пространств Фл сеточных функций фл с
областью определения Dh. Отобразим пространство *Ф
на каждое из пространств Фл с помощью некоторого
линейного оператора (•)*. Введем в каждом из
пространств Фл норму так, чтобы
\\ш\\(и)н\\ф}1 =Н!ф-
Рассмотрим некоторое множество сеточных
функций <р\ принадлежащих различным Ф^. Говорят, что
сеточные функции фл сходятся к функции и с
порядком п, если существуют такие положительные
константы h и С, что для всех h ^ h имеет место неравенство
Пусть L, Lh — операторы, область определения
которых принадлежит соответственно Ф и Фл, область
значений — F и Fh. Оператор Lh в дальнейшем будем
называть разностным оператором. Говорят, что one-
36

ратор th аппроксимирует оператор L^ на функций и
с порядком п, если существуют такие положительные
константы h и С, что для всех h ^ h имеет место
\Lh{u)h-{Lu)h\\Fh<Chn.
Говорят, что оператор Lh локально аппроксимирует
в точке Xi оператор L йа функции и с порядком п,
если существуют такие положительные константы h
и С, что для всех h ^ fe имеет место неравенство
| (£Л (и)л — {Lu)h)x=x. | < СЛП.
Пусть дана задача
Lu = U "еФ> /е^, (1)
to = g, g e G.
Рассмотрим семейство разностных задач
£лф* = Аф*ефЛ| f eft,
(2)
Множество этих задач в дальнейшем будем называть
разностной схемой, а множество решений разностных
задач — решением разностной схемы.
Говорят, что разностная схема (2) аппроксимирует
исходную задачу (1) с порядком п на решении и этой
исходной задачи, если существуют такие
положительные константы fe, C\ и Сг, что для всех h^k имеют
место неравенства
\Lh(u)h-fh\\Fh^C1hn\
\lk(u)h-gh\\all<Cihn\ (3)
п = min (nt, n2).
Разностная схема (2) называется устойчивой, если
существуют такие положительные константы h, Сз, С^
что для всех h ^ h и любых f и gh справедливы
свойства: ■ *■ *
1) существует, и притом едиственное, решение
разностных задач (2),
2) имеет место неравенство
lk"lk<Cs|f|f/l + C4|^||Gft.. (4)
37

Теорема сходимости. Если
1) существует решение и задачи (1),
2) операторы Lh и lh — линейные,
3) разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1)
на решении и,
4) разностная схема (2) устойчива,
то решение разностной схемы q/1 сходится к решению
и исходной задачи.
Если при этом разностная схема (2) аппроксими- -
рует задачу (1) на решении и с порядком п, то
сходимость решения разностной схемы к решению исходной
задачи имеет порядок /г, причем имеет место неравенство
II u)h - Фл ||фй < CxCJfr + C,C4A"».
Канонический вид разностной схемы с
постоянными коэффициентами на равномерной сетке:
yi+\=R,jji + hpi, J.5)
г/о задано.
Если существуют такие положительные константы
h, К\, #2, К$, что при всех h ^ h канонический вид
разностной схемы (2) удовлетворяет неравенствам
1Ф* !«.*<*! max |0,|,
г
|рПК^{1/Л1к + 1?Л1к).
liJ/oll<^a(»/./,lk + lkhlk).
то для устойчивости (2) достаточно, чтобы нормы
степеней оператора Rh были равномерно по h
ограничены, т. е. существовали такие положительные
константы А и С, что для всех h^h имело место неравенство
|| д< j С С, i^(b-a)/h.
Для существования такой константы С достаточно,
чтобы существовали положительные константы h и С\
такие, что при всех h ^ h имеет место неравенство
\\Rh\\<l + C{h.
Для ограниченности норм степеней Rh необходимо,
чтобы существовали такие положительные константы
38

h и Сг, что при всех h < h имеет место неравенство
Методы построения разностных схем. Шаблоном
будем называть взаимное расположение узлов сетки,
значения сеточных функций в которых входят в раз-
ностпое уравнение для некоторого фиксированного
узла.
1. Метод неопределенных
коэффициентов. Проиллюстрируем его на трехточечном
шаблоне (рис. 2).
хы
Рис. 2.
. Требуется найти разностный оператор Lh,
локально аппроксимирующий дифференциальный оператор L
па функции и в точке х{. Для нахождения
коэффициентов а-1, «о, а\ с помощью формулы Тейлора вначале
находятся коэффициенты при и(х), и(х), и" (х) и т. д.
в выражении
(Lh (и)Л — (Lu)h)x==x. =*
= а.ги fa-i) + а0и (х{) + aLu (a?i+1) — (Lu)x=x..
Затем, приравнивая нулю коэффициенты
последовательно при ut, u'i% и"{ и т. д., приходим к системе
линейных алгебраических уравнений, решая которую
находим a-i, а0, а\. Порядок аппроксимации
определяется после подстановки найденных значений я_ь
ао, а\ в первый ненулевой коэффициент при
производных.
2. Интегро-интерполяционн ы-й м е то д.
Проиллюстрируем его на том же шаблоне для
уравнения
и+ " = /(*>•
Проинтегрируем уравнение от.ж*-1 до xi+\:
xi+l - *t+l
in (Ui+i - "*-i> + ih J u dx = i j ' (*>d*-
**-i
*,•
39

Заменяя интегралы по. квадратурной формуле Симп-
сона, получим разностное уравнение
1 1
7Г (фН-1 ~ фг-l) + -7Г (фг+1 + 4Ф* + <Pi-l) —
2А
= 4-(/i+i + 4/i + /i-i)«
3. Интегральное тождество Марчука.
Для задачи т
-is[p {x) ^) + qUz=f' р (*)>*> о,
и(0) = а, и(1) = Ь, g = /?Ы > О,
где р(х), д(#), /(я) имеют конечное число разрывов
первого рода, построение разностной схемы
основывается на интегральном тождестве Марчука, которому
удовлетворяет решение исходной задачи
J-74
X
1 »Ш'<*ХХ, xi+l/2
?Ixi-l xi-1/2
Р
4. Метод Ритца. Если оператор £
—самосопряженный и положительно определенный, то
равносильны две задачи:
а) нахождение решения задачи Lu = f в
гильбертовом пространстве U со скалярным произведением
V*, */J
40

б) нахождение u^U, минимизирующего
функционал
Ли) = (/лг, и) - 2(и, /).
Для нахождения и строится последовательность
{Uh) конечномерных подпространств пространства U
£ известным базисом (о)*)# В каждом Uh находится
w\ минимизирующий /(а) в Uh. Для^ этого достаточно
найти коэффициенты ^.разложения uh no[(oJ):
—h V h «
i
из системы линейных алгебраических уравнений
/1а = Ъ, где
ai;- = (Lcd^ а>5), Ь,- = (/, со*), i, / = 1, Л^л,
Л^л — размерность Uh. Если последовательность {С/Л}
полна в U, то
lim uh = и.
5. Метод аппроксимации
функционала. В этом методе минимизируемый функционал Ли)
заменяется приближенным функционалом /д(ф). Пусть
на [а, Ъ\ введена сетца ixu i = О, п). Производные в
функционале заменяются конечными разностями, а и
life
тегралы — квадратурами. Например, Vf-j^r) &x за*ченя-
о
п
ется на V (~— Ч Л, и мы, таким образом,
приходим к задаче минимизации приближенного
функционала Л(ф). Разностная схема получается
приравниванием нулю dJh/d(pu i = О, п.
6. М е т о д Г а л е р к и н а. В отличие от метода
Ритца, метод Галеркина не требует
самосопряженности и положительной определенности L из Lu = /.
Для нахождения решения и задачи Lu = f в
каждом из конечномерных подпространств £/л_ находится
элемент uh такой, что для любого vh^ Uh {Luh — f, uh)==
~= 0. Соответствующие коэффициенты а{ разложения
uh по базису подпространства Uh определяются из си-
41

етемы уравнений, имеющих тот же ёиД, <ito й й
методе РнТЦа, HO «i; = (£&),, CDj).
7. Метод сумматорного тождества. Так
же как и в методе аппроксимации функционала,
интегральное тождество (Lu — f, у) = 0 заменяется сум-
маторным тождеством (£ЛфЛ — /\ г|)Л) = 0 для любого
i{;\ Так как в конечномерном пространстве векторы
ек, к = 0, п, образуют базис, то разностная схема полу-
чается^из системы уравнений
^ = 1^^, 1,0, ...,01т.
Сведения, необходимые для решения задач,
приведены в МВМ, гл. 1, стр. 36—55; гл. 2, стр. 56—83;
гл. 6, стр. 288-307; гл. 8, стр. 352-357.
§ 2. Задачи
4.1. Привести пример последовательности
сеточных функций {фл} из семейства пространств (Фл),
которая сходилась бы к некоторой функции и^Ф, если
в качестве нормы Фл взять (А2(ф«)2\1/2» и
расходилась; если в качестве нормы в Фл принять max | ф{ |.
г
4.2. Сходится ли последовательность сеточных
функций {фл} к функции и и с каким порядком, если
- =и(1).
i= 1, п — 1, /& = 1/и,
а а принадлежит пространствам С, С1, С2, С3, С100?
В качестве ||• ||фл взять ML. Существуют ли функции
«Ы, к которым {фл} сходится с бесконечным
порядком?
4.3. Справедливы ли равенства
Игл ц (* + *0 — 2м (х) + и{х — h) __
u(x + 2h) + u (х) _ 2м ^ _|_ и{х) + u(x — 2h)
1. и Z
im
л-*о Л
42

lim" (x + h) — u(x — h)
h->o 2h
= lim
и (x + 2h) + и (x) _ к (x) + ц (* — Щ
2 2
если и(х) е С4?
4.4. При каких а, (}, f разностная схема
Л
= /(*i) + -kn*i>.
12
фо = 0, фя = 0, £ = 1, /г — 1, Xi = ih, А = 1/тг
аппроксимирует задачу
_^ + ц = /(х), *е[0,1],
ах
ы(0)=0, ы(1)=0
с четвертым порядком?
4.5 Оценить, с каким порядком дифференциальная
задача
-^ + 2и cos ж = cos х -f sin (2я), ж е [0,1],
и(0) = 0
аппроксимируется разностной схемой
т h Л/ « ~" Ti>
ф0 = 0, i = 0, л — 1, Л = 1/и,
где
1 1
ai=cos^ + cosari+1, /, =yfl»+yr(sin (2^) + sin(2si+1)),
взяв в качестве области определения /h
Df = bi+i/2, * = 0, л — 1>,
Xi = ih, xi+\/2 = ife + ft/2.
4.6. Решить задачу 4.5 для
£>/Л = (я,, * = 0, л- 1), Xi = ih.
43

4.7. Решить задачу 4.5 для
а{ = 2 cos #f, /i = cos xi+i + sin(2#t+i),
Df = {xi+i/2, i = 0, дг — 1>, я» = ih, х{+\/2 = ih + A/2.
4.8. Решить задачу 4.5 для
a,- = 2 cos .r», /< = cos xt + sin(2xi),
* Df = {xu i = 0, rc-1}, s, = ift.
4.9. Решить задачу 4.5 для
a{ = 2 COS Ж<+1/2, fi = COS Xi+i/2 + Sin(2^+i/2),
Df = (xt+i/2, г = О, л — 1), х{ = г/г, £i+i/2 = ih -fc A/2.
4.10. Дана дифференциальная задача
-£ -f a (я) и (я) = /(*), ie|0, 1],
и(0)
и разностная схема
Л
+ (axa (*,) + a2a (*i+1)) (Р1ф| + p2<pi+1)
= Yi/fo) +У2/(^г+1У, *i=0, л —1,
фо = с, A = 1/дг, ж, = гА.
Как следует выбрать af, (},-, ^ь чтобы получить второй
порядок аппроксимации? ч-
4.11. Аппроксимирует ли разностная схема
Ф<+12*Ф<"1 + Ф* =<* + *» *-=1. л—"I, A = 4-»
фо = 0, ф1 = 0
дифференциальную задачу
dx
±-+u = x + l, *е[0,1],
и(0) = 0
со вторым порядком по А? Если нет, то видоизменить
разностную схему так, чтобы она имела второй
порядок аппроксимации.
44

4.12. Для дифференциальной задачи
Л*
dx
+ aw~cos#, яе[0, я], а>0г
и(0) = 0, и(я) = 1
на трехточечном шаблоне* построить схему десятого
порядка аппроксимации.
4.13. На нерегулярной сетке методом
неопределенных коэффициентов построить разностные схемы пер-
и * к
Рис. 3.
вого и второго порядка аппроксимации для задачи
d2u , . ч
~17 = Пх)'
u(0)=a, и(1) = Ь, цеС4,
Использовать трехточечный шаблон (рис. 3).
4.14. Для задачи
-—\-си ~ f(x), w(0) = a, с = const,
интегро-интерполяционным методом на трехточечном
шаблоне с постоянным шагом построить схему
четвертого порядка аппроксимации.
4.15. Решить задачу 4.14 для
~ ^ + си = / (я), с > О, * е= [0, 1 ],
и(0) = а, и(1) = Ь.
4.16. Построить разностную схему с помощью
интегрального тождества Марчука для задачи
-•£(*(*>£) = i. /ею,!],
(1/2, 0<ж<я/4,
45

4.17. Дана дифференциальная задача
,2
-4 + си = / (x)r ^e[0,l]t
dx
ы(0) = ы(1)=0.
При каких с для решения этой задачи применим
метод Ритца?
Рис. 4.
4.18. Построить разностную схему с помощью
метода Ритца для задачи
' . -г(*(*)^) = 1. «ею,!!,'
(3/2, 0<х<я/4,
»<0)-«<1) = 0, *(*) = |2f n/4<x<1)
взяв в качестве базисных функций функции со* (я) с
графиком, изображенным на рис. 4.
4.19. Указать такую разностную схему,
аппроксимирующую дифференциальную задачу
d*u
dx2
/(*), же [О, I]/
'u(0)«u(l)=0
со вторым порядком, в которой каждая разностная
задача приводит к системе алгебраических уравнений
с положительно определенной матрицей.
4.20. Для дифференциальной задачи
- £ {к {х) Щ+1 <х) и <*>=* <*>• *е to, и,
u(0) = u(l)=0, k(x)>0, q(x)>0,
построить на равномерной сетке разностную схему
методом аппроксимации функционала.

4.21. Построить разностную Схему с помощыо
метода Галеркица для задачи
1, . 0<х<п/5,;
и (0) = и (1)^0, *(х) = Г1/3> я/5<,<1
(базисные функции взять из задачи 4.18).
4.22. Дана дифференциальная задача
~ 17 + а~£ +си = 4> с ^ °< * ^ f °'1]»
и(0) = й-(1) = 1.
Построить разностную схему с помощью метода Га-
леркина, используя базисные функции из задачи 4.18.
4.23. Для дифференциальной задачи
"■ i[к № Щ+ р(х) 5 + я(хМх)=Нх)* х е i°i *ь
ц(0) = и(1) = 0| к(х)>0, q(x)>0,
построить на равномерной сетке разностную схему
методом сумматорного тождества.
4.24. Функция gix) называется линейным
сплайном относительно сетки {#,-} для функции fix), если
а) gix) е Рц_ ж е [#<_!, #J, i = 1, n;
б) gWeflfl, Ы;
в) gixd = /U<), i = 0, rc.
Найти явные выражения для коэффициентов
многочленов.
4.25. Функция s[Ljc) называется кубическим
сплайном относительно тЕтки {#,•}. для функции fix), если-
a)^)eP3, aj6[iM,«i], 1 = 1, п;
б) gWeC2[fl, Ы; __
в) gix^fixd, i = 0, га;
'rU"U) = a, ^,,(Ь) = р.
Написать систему уравнений относительно т* =
— #"(#«)» г = 0, и, и доказать ее однозначную
разрешимость.
4.26. Решить задачу 4.25 для сплайна,
удовлетворяющего условиям а), б), в) из задачи 4.25 и условию
г) g'(a) = a, g'ib) = p.
47

4.27. Дана дифференциальная задача
Lu ~ ~~ л? + Р ^ "^ + q (X) U = "'(х)' * е [0,11'
и(0) = а, и(1) = Ь, дЫ>0.
На сетке {ж*} найти приближенное решение задачи
с помощью кубического сплайна, удовлетворяющего
условиям:
а) ^Ы^Рз, x^lxi-uXi], i=l, л;
б) ^ЫеС2[0, 1];
в) Lg(xi) =f(xi), i = 0, n\
г) g(0) =дц g{xn) ~ b.
4.28. Введем следующие обозначения:
П-1 П П-1
(ф, ф) = 2'"ф|ф£, (Ф, г|)] = 2 ф^ь [ф, Ч>) = ИфЛ»-
г=1 г=1 г=^0
(Дф)* = фт — ф„ (Уф)Г= Фг — фг-1-
Доказать, что
(ф, ДУ\|)) = - (Уф, У\|)) + фп(У\|))п - ф0(V^)Ie
4.29. Используя обозначения из 4.28, йоказать, что
(ф, AVi))) — (ДУф, г|)) =фп-1г|)п —фпг|)п«1 + ф1^о —фо'фь
4.30. Используя обозначения из 4.28, показать, что
(ф, Дг|)) = — ^ф, \р] + фп^п — ф0г^>1.
4.31. Исследовать устойчивость разностных схем
е ъ+1-ъ + (1 _ Q)b-*t-i.1=г fh t = iT^n,
Фо = а, ф1 = Ь
при 0е(О, 1). **
4.32. Доказать устойчивость следующей разностной
схемы:
2 / Ф«+г — Ф| _ ФгГ"ф^1 __
J p U) J
dx
P (*) J pT*)
xi-l
xi + l/2 \ *i+l/2
I q{X)dXr («,+A-») J J
*i-l/2 / xi-l/2
*3

p{x)>0, q(x)>0, i=l, n- 1,
фо = 0, фп = 0, £0 == 0, £n = l, же [0,1].
4.33. Найти решения дифференциальной и
разностной задач
■| + 2И = 0, и(0) = 1; же [0,1];
^р^ + 2Ф,-0, i = l~^=T, .Л=±,
фо = 1, Ф1 = 1 — 2h
и оценить Н(и)Л-г Фл11фл по этим решениям и теореме
сходимости.
4.34. Решить задачу 4.33 для разностной схемы
фо = 1, Ф1 = 1.
4.35. Найти решения дифференциальной и
разностной задач
|L = 0, u(0)-l, are [0,1];
ф0 =1, ф1 == 1 + Л2
и оценить 1(м)л —ФЛ|фл.
4.36. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
Ф<^Ф<"1 + Цг-г = 0, Фо =41, Л = 1,
* h <~1 — ^фг-i = 0, г|>0 = Ь, f =: ГТ^г,
к решению дифференциальной задачи
-£+fc = 0, u(0) = fl,,
~-Zu = 0, i>(0) = 6,
х ^ [0, 1] Z = const,
используя решения обеих задач.
4 В. И. Дробышевич, В.. П. Дымников, Г. С. Ривин 49

Ф* *l~* + hfr = О, Фо = а, Л = 4,
4.37. Решить задачу 4.36 для разностной схемы
h
1 h г — lyi == 0, ф0 = Ь| i = l, л.
4.38. Решить задачу 4.36 для разностной схемы
1 .+ * 2 = ' Фо = а» А IP
4.39. Решить задачу 4.36 для разностпой схемы
ср., — Ф*-1
2Л ' + **' = °' Фо ^ а» Ф1 = а ~ lhb, -
^i+1^ti"1 - /ф, = О, ф0 = Ь, г|)! = 6 + Z/ш,
• j = 1, л — 1, h =.—.
4.40. Решить задачу 4.36 для разностной схемы
4 Th 3- _- + /^ = 0f ■* = -•
2A ""^ h Г Ф* ' * = li-л -— 1,
Ф0 — а, фг = a — Ihb,
г|)0 = 6, ^ = Ь + Z/ш.
4.41* Пусть даны дифференциальная задача
^- = 0, u(0) = l, *е=[0,1],
(2, £<я<М (|—иррациональное число),
и разностная схема
P№+i) д Ь Фг д - =0, i=U, и—1,
фо = 1» xi = г^» ^ = 1/л.
Исследовать сходимость решения разностной схемы
50

к решению дифференциальной задачи, используя
решения обеих задач.
4.42. Решить задачу 4.41 для разпостной схемы
ф0 = 1, xi = ih, ft=—'
4.43. Решить задачу 4.41 для разностной схемы
;(11)л±1^+ф1г£ш^£ы).о, ,-i^n;
ф0 = 1, фх =? 1, xt = /ft, 'ft = 1/n.
4.44. Используя теорему сходимости, оценить
порядок сходимости решения разностной схемы к решению
исходной дифференциальной задачи
-р- -\-5и = cos х + 5 sin ж, и (л) = 0^ # е [л, 2я],
+ 5ф| = cos(tft) + 5 sin (г/г), i = 0, п—1,
фо = 0, ft = я/тг.
4.45. Решить задачу 4.44 для уравнений
^ + 2и = 2{х + х2), и(4) = 16, хе= [4, 7],
Ф<+\ Ф< + Фг-м + Ф| = 2(4+Л+(4+Л)«)| *=0, ii-l,
фо = 16, ft = 3/rc.
4.46. Решить задачу 4.44 для уравнений
^ + 2и = 2(х + я2), а(4) = 16, ^е= [4, 7],
Фн1Гф< +ф<+1 + ф1^
= 2 (4 + Л + (4 + ift)2) + ft(l+2(4+ift)), i = 67*^1,
фо = 16, ft = 3/rc.
4.47. Решить задачу 4.44 для уравнений
du , . sin (2a:) , . м лл
-^ -\- usmx = g—- + sin ж, х <= [0, 1],
u(0) = l,
4* " 51

Фг + 1 — Ф; , • /.7 4 Sin (2/Л) , . /.7Ч . 7\ Г
j -f ф£ sm (ih) == —|—- +sin(ift), i=0, n—1,
фо = 1, h = 1/тг.
т
<Pi+i-2<Pi + <Pi-i
4.48. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
+ (1 + *А)Ф< =
= (i/г)3 — i/г — 2, i = l,n —1,
Фо = фп = 0, fe = 1/л
к решению дифференциальной задачи
-^г + {1 + х)и = х*-х-2, же [0,1],
dx
м(0) = и(1) = 0.
4.49. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
Vi+i —2Ф| + Ф1-1
(l.+ iV
г = 1, /г — 1, й — —,
^f^ = l, Ф„ = 1п2
к решению дифференциальной задачи
d2u
dx2
du
dx
— * г г— [О 11
(1 + Л)»' яс=1и'^
= 1, и(1) = 1п2.
х=0
"(°) = 1' -eL»-»
4.50. Для дифференциальной задачи
|х=0
предложена разностная схема
^ 6 2Л 4фг = 0, 1 = 1, л—1,
Фо = 1, il^ = -lf А = ±.
52

а) Определить порядок аппроксимации.
б) Как изменить аппроксимацию граничных
условий, чтобы получить второй порядок аппроксимации?
в) Какое h достаточно взять в обеих схемах, чтобы
и(\) и фп имели одинаковые три первые значащие
цифры?
4.51. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
"3ф' + 41Г"Ф;+2+аф^/Ы, , = 0,2,4,'...
..., 2п — 2,
~9i~k+(Pi+1 + вф| - / (**), * = 1, 3, 5, ..., 2п - 1,
фй = b, h = —, xr = ih
к решению дифференциальной задачи
du
dx
JL + аи = f{x), ^g[0, 1],
и(0) = b.
4.52. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
Ь+1йЬ~1 + 2Ф| = - 4 (1 - Л)8Л+ 2 (1 - ihf\
i •-= 1, п — 1,
ф^^ ф1==(1_А)5/2> ft _ l'/n
к решению дифференциальной задачи
*L + 2и = -1 (1 - xf2 + 2(i-xf\ x e [0,1],
ц(0) = 1.
4.53. Исследовать сходимость- решения разностной
схемы
ii±iz^±2tL_3Vj=Bf(i--Ar-
— 3(if — iA)7/2, i = 1, в-1,
. "Pi" Ф0 7 , 35 , , 1
53

к решению дифференциальной задачи
dx2
Ъи
35
7/2
{i-.xf*-3(l-x)v\ *е=[0,1],
и(0) = 1,
da:
|я=0
4.54. Исследовать, используя теорему сходимости,
сходимость решения разностной схемы
1 h *""* + i|>i-i sin {(i — 1) ft)--- cos х^г + -i sin (2х^г),
—-—, г — 9i_1sin((i — l)ft) = —(1 + sin xi-J sin я^,
Фо = 0, tfo = 1, ft = 1/rc, #* = ih
к решению дифференциальной задачи
-j^ + *> sin a; = cos а: -{--о* sin (2a:), ц(0) = 0,
- u sin #= — (1 + sin x) sin я, г; (0) = 1,
ге=[0,1].
4.55. Решить задачу 4.54 для разностной схемы
——. г"х + ifc sinff; = cos^ -fysin(2^i)»
**"*<-i • />■ , • x • • -a—
—- ^ - —{fi Sin Xt = — (1 + Sin Х{] Sin X{, I = 1, И,
фо = 0, tfo1^, h = 1/n, Xi = ih.
4.56. Решить задачу 4.54 для разностной схемы
= cos Si-1/a + у sin (2^_1/2),
_ _ gin Xi-1/2 — „ Л
= —• (1 + sin^^sin^^, i = 1, n,
Фо = 0, г(5о==1, ft = l/rc, Xi-i/2 = ih--h/2.
54

4.57. Решить задачу 4.54 для разностной схемы
-J—^fT1—^ ^ sin Xi = cos X{ + T*sin f2**)»
——2^— 9i sin ^i = — (1 + sin x^ sin xb
i = 1, n — 1,
Фо = О» Ф1 = Л fcos Л + -у sin(2/m, u = —,
if>0 = 1, 'фх = 1 — fe (1 + sin A) sin /&, Ж| = i'A.
4.58. Решить задачу 4.54 для разностной схемы
4 2й— А 1 ^ ^ sin ** =
1
= cos я* + -у sin(2x£),
4 2Л 3 A ф|81ПЛ,=:
= — (1 + sin^) sinxir г = 1, /г— 1,
ф0 = 0, ►фх = h (cosfe + -у sin (2Л) J, h = —,
<ф0 = 1, oh = 1 — fr (1 + sin Л) sin h, xt = ih.
4.59. Задача
-Ti =/(*). /eL2(0fl), *e=[0,l],-
и(0) = и(1).= 0
решается методом Ритца с базисными функциями из
задачи 4.18. Показать, что приближенное решение
uh(x) сходится к точному решению при h -* 0 и имеет
место оценка
2
4.60. Даны дифференциальная зад&^а
-!i -|- аи = 0, же[0,1], а = const > 0,
w(0) = с, с = const > 0
и разностная схема
ф. — ф. -— I
' h '" + афг-i = 0, i = 1, п, А = —,
фо = с.
55

Пусть ф(1} — решение разйостной задачи при h = hu a
ф-2) — решение разностной задачи при h = hJ2, ah\ < 1.
Определим на сетке с шагом h\ сеточную функцию i^:
ih = 2ф(22/ — ф(Д i = О, пи nl = l/hv
Доказать, что 1) г|)Л сходится к и со вторым
порядком по h; 2) выполняются неравенства
и(х{)<и(х{_л), ф^ < ф^,
Ф<2><Ф<«1, ь<Ь-1-
4.61. Найти решения дифференциальной и
разностной задач
^ + " = 0, хе[0,Ц
и(6) = 1;
Фг+1 - Фг-
2А^-1 + ф1 = 0, 1 = 1, л — 1, Л = —,
"ф0=1, ф1 = е~\
Оценить ПСг^)Л — если
*ь = х ^V — х ^ ' = ^^' -ni = т~>
где ф(.1} — решение разностной задачи при h = hu a
Ф^} — решение разностной задачи при h = fei/2.
4.62. Найти решения дифференциальной и
разностной задач
-71 + 11 = 0, *е[0,1Ь
Ас
»(o) = i. £
х—о
dx
— :L±1—з 1 + Фг = 0, г = 1, дг — 1, Л = —,
Показать, что Н(ц)Л — ^IL ^ С7&4, если
где ф(.х) — решение разностной задачи при h = h\, a
Ф^} — решение разностной задачи при h = hrf2.

Г Л А В Л 5
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Определения. Теоремы
При исследовании уравнений с частными
производными будем различать временную переменную t и
пространственные переменные х.
Пусть функция uit, х) с областью определения
[О, T]XD принадлежит линейному нормированному
пространству Ф с нормой II НФ. Введенную в этой
области сетку при заданном шаблоне G будем
характеризовать параметрами
h = max max || xk —< xt ||, т == max | U+1 — V |.
к ItEG j
Будем рассматривать сетки, которые всегда являются
слоистыми по t, т. е.
Если сетка слоистая по всем переменным, то
Dh = {хМ = 0Г7> X {yh\k = 0,ЮХ izM = ОД}.
Рассмотрим множество пространств ФЛт сеточных
функций фЛт с областью определения Dhx. Введем
линейный оператор (-)лт, отображающий пространство Ф
на пространство ФЛх. Норму в пространстве ФНг введем
так, чтобы
Km \\(и)Нх\\Ф = ||и||ф
л,т-*о tn
для любого «еф.
В задачах, (если специально не оговорено) будем
рассматривать слоистую по всем переменным сетку с
постоянными шагами h и т. Будем считать"также, что
(и)лт \1 = и (*■>, xh), || и ||ф = max || и (t% x) \\и, v
t
где U — линейное нормированное пространство
функций с областью определения D (при фиксированном t).
57

В пространствах Фнх будем рассматривать нормы
1фЛткт = тах1фЛт1^
з
причем
lim||(a)J|t7 =\\u\\u.
/i-*0 h
Пусть дана задача
£и = /, ыеФ, /ef,
• lu = g, ge=G. ,
Рассмотрим разностную схему
WT=f\ фЛТеФЛ„ Г^г,
W* = g"\ «*TeGftt.'
Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости
и теорема сходимости переносятся из гл. 4 с учетом
вышеприведенных определений сеток и норм.
Канонический вид двухслойной по t разностной
схемы с постоянными коэффициентами:
* ф° задано. *
Теорема. Если при приведении разностной схемы
к каноническому виду соблюдены условия
iP'KiCiO^K + I^K)'
где К^К^ —константы, не зависящие от h, т,/**,£**, то
для устойчивости разностной схемы достаточно равно-
мерной ограниченности норм степеней оператора- RhXy
т. е. выполнения условия "
где К — константа, не зависящая от h, т.
Достаточным условием равномерной ограниченности
норм степеней оператора Rhx является неравенство
где С — константа, не зависящая от h, т.
Расположение собственных значений оператора Rhx
внутри круга 1А|^1 + Ст на комплексной плоскости
•58

необходимо для равномерной ограниченности норм
степеней оператора /?Лт. Для самосопряженного
оператора Rhx это неравенство является и достаточным
условием.
Сформулируем необходимое спектральное условие
устойчивости для двухслойной разностной задачи Коши
(а также задачи с периодическим решением). Будем
искать решение разностной схемы в виде
где . А, = Х(а) -определяется путем подстановки этого
решения в однородное разностное уравнение задачи.
Для устойчивости разностной схемы необходимо,
чтобы выполнялось неравенство
1Л,(а)1^1 + Ст
1\ри любом а, где С — константа, не зависящая от fe, т.
Сведения, необходимые для решения задач,
приведены в МВМ, гл. 1, стр. 36—55; гл. 2, стр. 98—110;
гл. 4 стр. 198-211; гл. 5, стр. 243-287; гл. 8,
стр. 357-409.
§ 2. Задачи
5.1. Определить порядок локальной аппроксимации
дифференциального оператора
г ди , ди
разностным оператором
5.2. Определить, какой дифференциальный опера-'
тор и а каким порядком локально аппроксимирует
разностный оператор
iv/i9 )i,k — ; ^2 •
^5.3. Решить задачу 5.2 для разностного оператора
/г тЛч y<-itfc+i + ^-l.fe-i + <Pi+i.fe+i+9*+itfe-i-4<Pjtfc
(^ЛФ )*,* = ^2 ' •
*) Здесь i (прямым шрифтом) означает мнимую единицу.
59

5.4. Показать, что разностная схема
И"1"1 — Ф{ __ Ф?-1 — Щ + Фгн
т " л2
локально аппроксимирует дифференциальное уравнение
5м д и
со вторым цорядком по т и четвертым по h, если
т/fe2 = 1/6.
5.5. Пусть даны дифференциальное уравнение
ди д и
и разностная схема
ф|+1-ф! офШ-зф^ + фЦ,1 ,
—-_ = е ^ - +
Найти, при каком 8 локальный порядок
аппроксимации будет вторым по т и четвертым по h.
5.6. Определить порядок аппроксимации задачи
£-0, «еЮ, Л, ' *S[b.l],
u(0, x) = i/W, u(*. 0)-u(f, 1)^=0
следующей разностной схемой:
,12 т """в т "г 12 т
= ^ ((ФЙ - 2Ф1+1 + фШ) + (ф{-1 + ф1+х - 2Ф{)),
7 = 0,/7г — 1, г = 1,71—1,
ф^ = v (Xi), i = 0, тг, fe = 1/тг, Sj = ift,
Фо = фп == 0, / = 0» Щ т = ^/^»
г w тт Г <?M » ди .
5.7. Для оператора Lu = — -f afx построить (если
возможно) разностные операторы, локально аппрокси-
60

мирующие исходный с первым и вторым Порядком, на
шаблоне из рис. 5 при условии т = гА (г = const).
5.8. Построить разностный оператор, локально
аппроксимирующий со вторым порядком по т,и h
дифференциальный оператор •
т да
Lu = T7 — а
ot
д2и
дх'
2 + ЬР
2 ' дх
на шаблоне из рис. 6.
5.9. Построить разностный оператор, локально ап-
tJk
—X
JO:.
tJ*'
tJ-<
Ч-i
—К
Рис. 5.
Рис. 6.
проксимирующий в точке {t\ x{) со вторым порядком
по т и h дифференциальный оператор
г ди . ди
Lu = Tt+aTx' ■
на шаблоне из рис. 7.
5.10. Построить разностный оператор, локально
аппроксимирующий в точке (tj+4\ х{) со вторым порядком
по т и четвертым по h дифференциальный оператор
Lu
ди , ди
л + атх>
на шаблоне из рис. 8.
5.11. Методом неопределенных коэффициентов
построить разностную схему, локально
аппроксимирующую с четвертым порядком дифференциальное
уравнение
д2и , д2и .. ч
дх ду
61

используя шаблон с постоянным шагом (рис. 9)
h = Xi - Xi-1 = yh — г/л-i == const.
5.12. Методом неопределенных коэффициентов
построить разностную схему второго порядка аппрокси-
*'*♦'
*'♦/
Xi-f
*i+t.
tJ к
Li+1 *i*2
Рис. 7.
Рис. 8.
мации по т и h для дифференциальной задачи
и(0, я) = £Ы, и(*, ж) = и(*, я + 1),
используя шаблон из рис. 10.
5.13. Используя интегро-интерполяционный метод,
построить разностную схему, аппроксимирующую со
*&.♦/
Уы*
* к *
т 1 —т
*— к *
xi-l xl Xi>f
Рис. 9.
tJ ^
tJ*f*
Рис. 10.
вторым порядком по т и h дифференциальную задачу
(а = const)
g + ajj ==/(*,*), are [0,1], *€=[(>,■ Л. -
и(0, x)=g°U), att, 0) = g0U),
на шаблоне из рис. И.
62

5.14. Решить задачу 5.13 на шаблоне из рис. 12 со
вторым порядком по т и четвертым по fe.
5.15. Решить задачу 5.13 на шаблоне из рис. 13 со
вторым порядком но т и шестым по h.
*j*t
tJ4
Xi4
LH
Рис. 11.
Рис. 12.
5.16. Предложить разностную схему,
аппроксимирующую со вторым порядком по т и h
дифференциальную задачу
ди , ди , ди , Y ч . г л m 1
dt+Tz + Ty = Hx'V)' 'е[0,Г],
и(0, х, у) = g{x, у\,
u(t, х, у) = u(t, х+l, у), uit, х, у) = uit, х, у + 1).
5.17. Считая систему базисных функций ©ь о)2, ...
..., (On заданной, выписать систему уравнений метода
tJ"*
tJ
*— * к
*- * *
"1-2
*"l+2
Рис. 13.
Ритца для задачи
|(e(^»)S)+.^(b(*.»)g) = /(*.»).
ц|г = 0..
5.18. На квадратной сетке (рис. 14) введем
следующие базисные функции:
63

№ (*> У) = {
Uxi+1 — x)/h, {x, у) <= Dv,
\(У}+1 — У)№, (x, y) e= Z>2,
| (x — Xi)/h + {yi+l — y)fh, (x, у) e= D3,
Ux — Xi-^lh, (x, у) е Dv
\(y — V)-i)th, (x,y)(=Dbt
\(xi+1 - x)lh + {y — y})/h, (x, y) <= Du.
Используя эти базисные функции, построить методом
tj*f 1*1, j*l
i*U
/щ
B*A
i.J /\
Hi
ПН U-i
Рис. 14. Триангуляция области.
Ритца разностную схему для дифференциальной задачи
- ft - ft + 5и (*• у) = 3« <*' У) е D^°> *1х (°> И'
5.19. Считая систему базисных функций о)\, о>2, ...
..., (On заданной, выписать систему уравнений метода
Галеркина для задачи
—г + —% + « (х, У) Тх + Ь (х, у) Ту - с2 (ж, у) и = / (ж, у).
и
■0.
5.20. Используя базисные функции задачи 5.18,
построить методом Галеркина разностную схему для
дифференциальной задачи
mI0d = O.
64

6.21. Пусть дана система уравнений
д& т г г\л л т г 1 ди до ди dv
^ + ^ = q, (^г/)е£)=[0,1]х[0,1], *е=[0, Г]
с периодическими граничными условиями. Используя
базисные функций задачи 5.18, рассмотрим функции
и1 (*, я, У) = 2 ai;- (0 rjtj (*» ^/)»
й^*.») = 2М')л«(*>»).
i.i
где коэффициенты {а<ДШ, {р«(Ш определяются из
системы уравнений
a(Q^)+(/[^,Q/.],nij)=0,
UP дх) \ду' дх )-^ -I"''
а .
(и, v) — J J uv dD.
Доказать, что
£(ом>--а
5.22. Для задачи 5.21 доказать, что
|(Q*,Q») = 0.
5.23. Для задачи 5.21 доказать, что
dt
(duh duh) (duh duh\]
5.24. Исследовать устойчивость разностной схемы
ч>1+1 - ф{ , ф!+1-фЙ
х~ + а^ _J_1 = 0, i = 1, п, / = 0,/и-1,
ф? = £ь J = 0» л, и/г = 1,
фо = gK I = 0,m, mx =T, a > 0.
5 В. IT Дробышевич, В. П. Дымников, Г. С. Ривин 65

5.25. Исследовать устойчивость разностной схемы
Ф?*г - ф| , ф{+1 —ф{
{-а г^\ Т|«0, /=0,±1,±2,... / = 0,/п-1,
ф? = ёь
/ = 0, /тг, тт*= 7\ а>0.
5.26. Исследовать устойчивость разностной схемы
ф!+1-ф! , „ф^-фЦ л
i = 0, n —1, / = 0, /и — 1,
ф1=£ь / = 0, лг, nh = l,
фо = фп» Ф-1 = фп-ц 7 = О, т, тх = Т, а > 0.
5.27. Исследовать устойчивость разностной схемы
j+i_?i±i±*i=i
^ ~ 2 ф}+|-ф{-1 л
т 2fc ~~ 7i'
- t = Of /г — 1, / = 0, wi —1,
ф? = ^г» 1 = 0, тг, nh = l,
Фо = фп» ф-1 = Ф«-1» / = 0, т, тт = Г.
5.28. Исследовать устойчивость разностной схемы
2т ~ Л»
i = 1, /г — 1, / = 1, /га — 1,
ф? = £г> Ф? = 8ь i = 0, /г, nh = 1,
Фо = фп = 0, / = 0, иг, тт = Г.
5.29. Исследовать устойчивость разностной схемы
i -(1-0) jji + _
■ еФ?-,-^ + ФЦ- , = Г7Гтт, 7 = 07^1,
Ф? = £г> * = 0, /г, тг/г = 1,
cg^ = фп = 0, / = 0, /тс,' тт = Г,
66

5.30. Доказать, что разностная схема
. — _- _ _,
i = 1, п — 1, у = 1, m — 1,
Ф? = ^°\ ^~^==Vb * = 0,n, nft-l,
Фо = ф£ = 0, / =■ 0, /и, тх = Г
при т/fe = 1 неустойчива.
5.31. Разностную схему назовем монотонной, если
в разрешенном относительно ф>+1 уравнении
Ф^1 = 2а«ф|+д«
i
псе <7г/ ^ 0.
Доказать, что монотонна разностная схема
ф{+1-ф{ ф^+j - 2Ф>+' + Ф]|! . . .
— = ~LJ ^ —, .i = l,ii — lf п/г-=1,
Ф> = 1, Ф£ = 1, <р?=*?.
5.32. Решить задачу 5.31 для разностпых схем:
а) Ф' т 7' + &(*0 ' /'-'. = 0, ft (■*)><);
6)^-r^ + ft(xi)li±ixIi_=0, ft(x)<0,
с периодическими граничными условиями и ф,- =gi.
5.33. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
Ф*
.* + * - ®?
Ф| Ф1-1-1 —Ф?-1 ■ т / j о 5 . j \ п
2Л 2Л2
< = 1,л / = 0, m — 1,
ф? = £i» * = 0, л, nh = 1,
ф-+„ = ф-, / = 0, га, тх = Т
к решению дифференциальной задачи
£-1-0, «ею. Л.
и(0, х) «»gU), w(J, х) = wU, £+1).
5* 67

5.34. Исследовать сходимость к решению диффереп^
циальной задачи
lF + ae==0, u(0,x) = g(x)
с периодическими граничными условиями (u(t, x) —
= и(/, x+l), t^[04 Л) решения следующей
разностной схемы: ^
ф{+1-ф? , 4 ,ф||}/2-Ф^Г ' 1 фЩ/2-Ф^/2 л
т ^~1а 2Л Тй 4А -и'
ф!Ч1/2=|(ф1+1 + фО^ * = 0,л-1, / = 0,m-l,
Ф? = «Tit 1 = 0,.л —1, nh=\,t
ф!+п = Фь / = 0, w, тт = Г.
5.35. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
1 L фЩ/2-ф{^/2 , e<+t<;/'-qt.,fj+»^
~ 1 l9i 4А + Th J = °'
ф? = gu ' i = 0, га — 1, гай = 1,
9i+„ = ф{, / = 0, тга, гагт = Г
к решению дифференциальной задачи '
и(0, ;г)=£Ы, м(/, я) = ы(£, х+ 1).
5.36. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
Ф^1/2-фЬ - (1,5 + sin2 (tt))f!±!iz4i±^;
12I
^ Ibi— = (2 -1- sin2 (A*)) 5ii±l Ф^ ty'.ft-',
i, & = 1, га — 1, / = 0, m — 1,
C8

ф? ft = sin (2nih) sin (2лМ), I, A: = 0, n, nh = 1,
ф<М = Ф*М = Ф^.О = фг.п = U,
к решению дифференциальной задачи
| = (1,5 + sin**) 0 + (2 + sin»») 0,
(z, ff)s[0, UXIO, II, te[0, 71,
ц(0, я, 1/) = sin (2яя) sin (2лу),
и(*, 0, г/) = u(t, 1, г/) = u(l, х, 0) = mU, хч 1) = 0.
5.37. Исследовать сходимость решения разностной
схемы .
т
^41/2^41,^ (Vt4l/2 + 1-1/2/ Фг,6 + V7-1^t-l,/?
Л»
ф^'-фм1/2__ ф^,-?ф?У + ф{У-1
; — ^ Г2 »
i, к — 1,/г —1, / = 0, т—'1,
ф°й = sin (2шй) sin (2яМ), i, А: = 0, п, nh = 1,
Фо.г ~~ ФМ "~ Ф*.о — ФМ — и»
/ = 0, т — 1, /тгт = 7\
Vf4f, s= 1 + j/г + fe/2, \ik = 1 + ЛА
/i
к решению дифференциальной задачи
г-й^+^+^+'Ф' ^^o,i]x[o,i],
и(0, ж, ») = sin (2яя) sin (2щ/), * е [О, Я,
и(*, 0, y) = uit, 1, y)=*utt, x, 0) = uU, x, l) = 0. " *
5.38. Исследовать сходимость решения разностной
схемы

т + 2" 6 (Xi) V 5Г—+ 2Д Г0'
/э & = 0, п — 1, . / = О, т,— 1,
ф? А в sin (iffe) sin (Zrfe), i, & = U, /г — 1, nh = 2л,
<Pi,A= <Pi.fc+ni <Piffc = ф!+п,Л» ./.= 0» m*
Zi = *A, Ун = kh, mx = T
к решению дифференциальной задачи
(х,у)е=\0,2п]х\0, 2л], *е|0, Г|,
м(0, х, у) = sin a: sin г/
с периодическими краевыми условиями.
5.39. Исследовать сходимость к решению задачи
и(0, ж, г/) = sin arsin r/
(и — периодическая по пространственным переменным
функция с периодом 2л) решения разностной схемы
mi+i/2___mi mH*i/2-_mj+i/2
+ 6(zi)2i5±ir»li=l.o,
^ + *(»*): 3 +
i, Л: = 0, лг — lt / = 0, т — 1,
Ф?#А = sin (//г) sin (£Л), nh = 1, ягт = Г,
Фи = ф*,л+т Фи = ф!+п,л» / = 0, иг,
5.40. Исследовать сходимость решения разностной
схемы
т/2 "*"а .2Л ~U»
0)5+1/ 2 _ ffi j+1/4 j+1/2 _ .m j+ 1/2
Фи Фи , , Ф<,л+1 — Ф<,д-1 ___ п

т - + a 5E г ° oh = U.
lh ^u 2h
i,k = 0, w—1, / = 0, то—lf.
Фа = sin (2m*ft) sin (2лА7*), *, ft = 0, и — 1, nh = 1,
q>U= фЦ+n, фЬ = ф;+п,ь, / = 0, то, тт = Т
к решению дифференциальной задачи
du.du.jdu~ ,
51+ай + ь^в°'- а' b = const>
U, »)e[0f ИХ [0, 1], «е[0, Я,
и(0, я, у) = sin (2ях) sin (2mj)
с периодическими краевыми условиями.
5.41. Для дифференциальной задачи
ди , ди . . 1
-+-Sin* + jMcosz =
= y sin (x — t) cos x + sin x cos (.r — t) — cos (я — t)t
ы(0, x) = sin x, t^[0,T], u{t, x) = wU, x + n)
построить устойчивую разностную схему второго
порядка аппроксимации по т и ft.
5.42. Для дифференциальной задачи
и(0, ж) = g(x), u(t, x) = и(*, x+l), te= [0, Л,
построить устойчивую разностную схему второго по*
рядка аппроксимации по т и ft. -
5.43. Для дифференциальной задачи
и(6, ж) = 1 — х, u(tt 0)=cos£, mU, 1)=0
построить устойчивую разностную схему второго
порядка аппроксимации по т и Л.
5.44. Для дифференциальной задачи
(х, у) s [0, 2л1 X [0, 2я], i e [0, 21,
и(0, ж, ^) = 1 + sin х sin у, u(t, х, у) |г = 1 f
71

построить устойчивую разностную схему первого
порядка аппроксимации по т и второго по h.
5.45. Для дифференциальной задачи
■i((*+^)-£)+^((*+^^)-o.
u(x,y)\r = g(x,y), (х,у)е[0, 1]X[0, 1],
построить устойчивую разностную схему второго
порядка аппроксимации.
5.46. Для системы дифференциальных уравнений
!f+3-£-2-!=0' «е. *>-«*<*.*+и.
и(0, х) - и0Ы, у(0, я) = у0Ы, * е [О, Г],
построить разностную схему, решение которой
сходится к решению данной системы со вторым порядком
по т и ft.
/ 5.47. Для системы дифференциальных уравнений
ди п д а , д v ,. ч ,. , ,ч
■аГ^2^4"^' "(*.*) = "('.* + !).
ди д и . п д v .. ч ' . ,ч
^= ^ + 3^? "С *) = "('.*+!).
и(0, х) = M0U), у(0, ж) = и0{х), t e [0, Я,
построить разностную схему, решение которой
сходится к решению данной системы со вторым порядком
по т и h.
5.48. Пусть дапы дифференциальная задача
■£ = S + $' (*'0)e[O,l|x|O,l], te[О, Г].
и(0, х, у) = sin (2ях) sin (2яу),-
и(*. 0, 0) = (l — e-f)sin(2nff),
ц(£, 1, г/) = (1 — e~') sin (2яг/),
* и(£, х, 0) = (1 — е~*) sin (2ях),
wU, х, 1) = (1 — e~l) sin (2яя)
и разностная схема
72

0)5+1 __ 0)5+1/2
(Al<P)i,fe= ^ >
(Л2ф){,л = ^ —i
J, к = 1, и — 1, j = 0, m — 1,
Ф?ft = sin (2nih)sin (2nkh), i, к = О, я, wfe = 1, mr=T.
Сформулировать граничные условия на слоях /, / +1/2
так, чтобы сохранился общий второй порядок
аппроксимации по т и ft.
5.49. Решить задачу 5.48 для разностной схемы
[Е - -L Ах) <pi+i'« = (Лх + Л2)У,
5.50. Решить задачу 5.48 для разностной схемы
<pj + l/2 — (pj
Т
= 0^^+1/2 + (1-а2)Л2ф'\
? ^— = а2Л2ф^1 + (1 - ах) Л1ф*+1/».
Показать, что при 0\ =02 = 1/2 — /г2/12т схема
аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым
порядком по т и четвертым по h.
5.51. Построить разностную схему,
аппроксимирующую со вторым порядком по т и h
дифференциальную задачу
-g--§ = /(',*)- *е[0,1], *е[0,П
и(0,х) = Ч>0(*), ■£('. 0) = ^(<). и (М) = *.(*).
и написать расчетные формулы алгоритма.
5.52. Для разностной схемы из задачи 5.25 написать
расчетные формулы алгоритма.
73

5.53. Для разностной схемы из задачи 5.29
написать расчетные формулы алгоритма.
5.54. Для разностной схемы из задачи 5.6 написать
расчетные формулы алгоритма.
5.55. Для разностной схемы из задачи 5.37 написать
расчетные формулы алгоритма.
5.56. Для разностдой схемы из задачи 5.40 написать
расчетные формулы алгоритма.
5.57. Для разностной схемы из задачи 5.48 написать
расчетные формулы алгоритма.
5.58. Записать разностную схему
_ = j.h^ ^ Л: =1,5,
фг.о = Фг.б = Фо..-
Фб.г
•• 0, i = 0,6,
в матричном виде Ах = Ь, используя различные
способы упорядочивания при
образовании вектора х из значений се-
точнсхй функции ф\ (Значения фЛ
на границе предварительно иск*
лючить.)
5.59. Как упорядочить
значения сеточной функции в задаче
5.58, чтобы матрица А имела
блочно-трехдиагональный вид со
скалярными матрицами на
диагонали?
5.60. Как упорядочить значения сеточной функции
в задаче 5.58. чтобы матрица А имела вид
А =
я
где D\, D2 — скалярные матрицы?
5.61. Пусть 0Dh aft- множества узлов
равномерной сетки, лежащих соответственно на границе и
внутри области, указанной на рис. 15.
Рассмотрим разностную задачу
Dh>
q>i.h = 0, (хи ук) е= dDh. . #
Как упорядочить значения сеточной функций, чтобы
при записи этой задачи в виде Az = b матрица Л'*име-
74

ла блочный трехдиагональный вид со скалярными
матрицами на диагонали?
5.62. Для задачи 5.58 рассмотрим два способа
перебора узлов, указанных на рис. 16. Обозначим через
х, у соответствующие векторы, элементы которых есть
значения ф\ Доказать, что при применении метода
верхней релаксации с одним и теАм же параметром
релаксации для любого номера итераций к xh = j/\
если х{0) = у{0).
5.63. Найти Топт метода верхней релаксации для
разностной задачи из 5.58 и спектральный радиус со-
X X X X X
X X X X X
XX X X X
6 7 ' 8 9 10
12 3 4 5
X X X X X
7 х х х х
4 8 х х х
Z 5 9 х х
/ 3 6 10 у
Рис. 16.
ответствующего оператора шага (матрицы перехода).
5.64. Для решения разностной задачи 5.35 на
каждом шаге по времени предлагается следующий
итерационный процесс:
где
(Ltfb = 9i
2h
"<lh
(L2i|5)j = Qi ^ H ш s
/i = Ф| - -§" т (^Ф3')* + 4" x (^гФ5)«-
Найти, при каких значениях xjh итерационный процесс
сходится.
5.65. Выписать расчетные формулы итерационного
процесса задачи 5.6-i.

РЕШЕНИЯ
ГЛАВА 1
1.7. Функционал
,<TK.(|ewl)
не является нормой, так как оп не удовлетворяет четвертому
условию определения нормы матрицы.
В самом деле, пусть
тогда
Но
-С !!
ч я-
2 = max([U2)ij|)> max (1^1) max (la, J) = 1.
1.10. Пусть для матрицы Л введена некоторая ее норма
1|ЛЦм. Произвольному вектору х поставим в соответствие
функционал ||я|| в следующим образом:
|0 0 ... 0 хл
И*Ь =
о о
о о
о
о
*п)
\м.
Нетрудно убедиться, что этот функционал является нормой
вектора х. Кроме того, введенная таким образом норма вектора
согласована с исходной нормой матрицы.
. В самом деле,
\\Лх\\в^\\Л\\мЫ\в, ,
так как
1Аху=
А
0 0 .
0 0 .
0 0 .
• ° хг\
• ° *»)
|м 1
«о о
о о
о о
■'\\А\\М\\
76

1.23. Обозначим
M|A-max(|*1|,Lft_fLl).
а) Выполнение условий из определения нормы вектора
очевидно; следовательно, функционал \\х\\п является нормой.
б) Легко видеть, что
0*11* = IMU,
где
у = Sx,
■Г 1 ° 1
l-i/A 1/Aj*
Из определения пормы матрицы, подчиненной норме вектора,
и очевидных преобразований следует
'МП, = sup
\\А\
11*11„
= sup
хфо
ISAxl,
IS* II
\SAS-*yL . 1Л
an + "и
a2t+<722-<7ll-g12
V ~
= max (| au + .„ | + A|«lt|. | «„-«„ | +
1.27. Так как X(4)x = Ах, то для любого натурального
числа к
' Кк(А)х = Акх.
Для любой нормы Ц-Пд/ матрицы существуют согласованная с
ней норма ||-||в вектора (см. задачу 1.10); следовательно,
\*.к(А)\Ыв^ЫкШхЬ;
отсюда для любого к.
I хм) |</ОТ.
1.36. Обозначим ч^рез А трехдиагональную матрицу, ука-
занную в условии задачи. Для доказательства вещественности
собственных значений матрицы А докажем, что она подобна
симметричной вещественной матрице В.
77

В самом деле, непосредственные вычисления показывают,
что
А — DBD~\
где D — диагональная матрица с элементами
а матрица В — трехдиагональпая вещественная матрица с
элементами
Ьи = Ьи i=A, nf
bij+i= Ь ifl • = Vfli + iCf, * = 1, n— 1.
1.37. Доказательство неразложимости матрицы А удобно
проводить с помощью ориентированного графа матрицы Л.
Кратко изложим соответствующие определения и
сформулируем необходимое и достаточное условие неразложимости матрицы
(подробнее этот вопрос изложен в книге Р. Варги, § 1.4).
Возьмем на плоскости п различных точек Хи Х2, ..., Хп.
Если a,j ф О, то Xt соединяются направленной от Х{ к Xj
линией XfX]. Совокупность этих линий будем называть ориенти*
рованным графом матрицы Л. Граф называется строго
связным,, если для любых X* и Х^ существует ориентированная
траектория
XxXi^Xi^ Xi f, ..., XikX],
соединяющая Xi с Xj.
Имеет место следующая теорема: для того чтобы (л X
X п)-матрица А была неразложимой, необходимо и достаточно,
чтобы ее ориентированный граф был строго связным.
Расположение точек Х{ на плоскости цля каждой матрицы
выбирается так, чтобы построенный граф был нагляден.
Рис. 17.
Для матрицы, указанной в условии задачи,
ориентированный граф можно представить так, как на рис. 17. Из рисунка
видно, что граф строго связный и, следовательно, матрица А
неразложима.
78

Из .первой теоремы Гершгорина следует, что для
собственных чисел матрицы А имеет место неравенство
1МЛ)|<1.
Предположим, что существует такое ЦЛ), что \ЦА)\ =1,
Так как по условию задачи
то А, (Л) принадлежит границе объединения кругов из первой
теоремы Гершгорина. Но тогда по теореме Таусски все эти
окружности проходят через эту точку К(А), т. е.
M + IM + H = *• * = Г^Г
что противоречит условию задачи.
1.39. Пусть К — кососимметричная матрица, Е —
единичная матрица, а > О,
А = К + аЕ\
тогда
ЦЛ) = ЦК) +а.
Если порядок матрицы К больше или равен 2, то среди
К(К) существует чисто мнимое число, тогда соответствующее
ему Я (Л) не является вещественным числом. В то же время
для любого х Ф 0 имеем
(Лх, х) — (Кх, х) + ос(я, х) = а(х, х) > 0..
Следовательно, Л — положительно определенная матрица,
причем одно из ЦА) не является вещественным числом.
1.42. Для доказательства совпадения спектров матриц АВ
и ВА покажем, что соответствующие характеристические
многочлены
Ы(1Е-АВ), det(X£ —ЯЛ)
совпадают. Хотя для доказательства совпадения полиномов"
порядка п достаточно показать равепство значений этих
многочленов для п + 1 различных значений X, покажем, что
det{KE-AB) =det(XE — BA)
при любом положительном К.
С этой целыо? введем в рассмотрение три блочные матрицы:
С-Г Е \-\ D-[V
[-В УКЕ\ [0
79
М
У%Е A
в УТе

где X — произвольное положительное число. Так как det(£) =*1
= det(D) = (уГ)п, то det(CM) = det(ZM). Но матрицы СМ а
DM таковы:
СМ =
[О \Е-ВАУ [В УХЯ]*
следовательно, приравнивая определители, имеем
(ЩпЫ(ХЕ-ВА) = (y^^detCX^ — ЛЯ);
отсюда следует, что для любого X > О имеет место равенство
эначений характеристических многочлепов
det (ХЕ —АВ) =det(XE—BA).
Поскольку X является произвольным положительным
числом, то характеристичеекие многочлены вдатриц А В и В А
совпадают.
1.43. Пусть
. А\х = X(Ai)х;.
тогда для любого натурального числа К имеем
А\А1х = А\%{А1)х = Х(А1)А\х.
Предположим, что р векторов
х, А2х, ..., А\'ххг (1)
линейно независимы, а вектор А^х может быть представлен
как их линейная комбинация. Тогда подпространство 5,
натянутое на векторы (1), инвариантно относительно А2 и,
следовательно, в подпространстве S существует вектор у такой, что
А2у = Х(А2)у. С другой стороны, любой ненулевой элемент
подпространства S является собственным вектором А\ и,
следовательно, А\у = Х(А\)у. В силу коммутативности А\ и Л2
получаем, что
-. AiA2y = Х(Ах)Х(А2)у%
т. е,
Х(А1А2) = Х(А1)Х(А2).
1.48. Обозначим данную в условии задачи матрицу через
Л л и покажем, что все ее главные миноры положительны и,
следовательно, выполнено необходимое и достаточное условие
положительной определенности симметричной матрицы.
80

Легко видеть, что -4! ===== 1/2, А2
Ы(Лк) = det
—
^А-2
1 ... 2& — 5
1 ... 2к - 5
= det
-
«1/4. Кроме
1 1
2fc — 7 2/с — 7
2fc — 5 2/г —5
4/с — 7
—2— 2к~3
2fe —3 ——
—
V*
1 ... 2Л — 5
1 ... 2к
-5
того,
1 0 -
2/г-5 6
4*-7 Г
2 2
3
2/с — 3
ду1=3
3 1
= —det(^ft_1)--rdet
Ak~2
1 ... 2к - 5
1
2fc-5
2Л — 3|
= 4 &l (^-J - 4" [^t (Ллг|) + -f del (Л„_2)] =,
= det(^_1)-4"det(V2).
По индукции легко показать, что
det (Л О = 2"* > 0.
1.57. Представим матрицу Л в виде
Л = D - Я,
где D — диагональная матрица с элементами
da = аа, * = 1, и,
а В — матрица с элементами на главной диагонали, равными
нулю, и
Ьц = —ai} > 0, * Ф U
Из условия задачи следует, что
||D-iS|U < 1;'
0 в, II. Дробышевич, В. П. Дымнлков, Г. С. Ривин 81

поэтому матрицу Л"1 можно представить в виде
Л-1= (E-D-lB)-W-l= [E + D~*B+ (D-*B)* + ...]D-*.
Так как элементы матриц (D~xB)h при к > 1 положительны,
то и элементы матрицы Azl положительны.
Г Л А В А 2
2.5. Так как а > 0, а матрица А — положительно
определенная симметричная матрица, то
condaM + «Z0= XminU) + a •
где \тах(Л) и Xmin (4) — соответственно наибольшее и
наименьшее собственные значения матрицы А. Тогда
л IA , яч ■ • *ma»-(^)-*mtnM)
cond2 U + аД) = 1 + а + Хт1п(Л) .'
По условию задачи
Ьт*х(А+аЕ) > Ктщ(Л+аЕ) > 0;
следовательно, из последнего выражения для cond2 (А)
вытекает, что cond2(A-\-aE) есть монотонно убывающая функция а.
2.9. а) Из соотношений
. Лф = /, Л(ф + бФ) =/ + б/
следует Абср = б/. Отсюда
1|6ф||<||Л-МП%
Так как ||/|| ^ ЦЛ||||ф||, то, перемножая левые и правые части
двух последних неравенств, получаем
ИбфЦ 11/11 ^||4-«|| 116/ЦIUII ||ф||.
Разделив левую и правую части этого неравенства на ||/||||ф||
и использовав обозначение cond (А) = ||Л""1||||Л||, получаем
требуемое неравенство
б) Из систем
следует, что
82
116Ф11 W/nll°7ll
ж<сопа(л)Ж.
(Л+бЛ)(ф + бФ) = /,
ЛФ = /
Лбф = —6Л (ф + бф)-.

Но тогда к требуемому неравенству прпходгга после следующей
цепочки неравенств:
]6ф|
IФ + 6ф
<
|Л6фЦ
|Ф + бф[|
^l/l-iie^KcondM)^1.
2.16. Обозначим К0 = я0, £о = /о н запишем систему в
матричном виде: ' ■" и-
1
с1
0
0
0
-*о
-*1
°2-
0
0
0
а1 •
"&2
0
0
0
0 ,
0
•• V-i
0
.0
0
0
-А-!
— с»
0
,0
0
%.-1
1
•р.
Ф-2
Фп-1
in-i
'-tn.
Первый шаг метода Гаусса состоит в исключении гр0 из
всех уравнений, начиная со второго, с помощью первого
уравнения. Трехдиагональность матрицы делает такое исключение
необходимым лишь в одном втором уравнении. Итак, исключим
из второго уравнения ф0 и разделим полученное уравнение на
Ь\ — К0с1ш В результате приходим к уравнению
ф1 — #1ф2 = £|,"
где
К,
1 ь: — к с,
Л
О 1
Продолжая этот процесс при i = 2, п — 1, приходим к системе
L
1
0
0
0
■-*«
1
0
0
0
и
-Кг
1
0
0
0
0
-*. •
0
0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 1
.. 0
0
0
0
-**
1
«Pi
Фп-1
причем значения Я"* (i == 0, /г — 1) и £г- (г = 0, п) совпадают
со значениями прогоночных коэффициентов, приведенных в
начале главы.
Обращение полученной верхней треугольной матрицы,
проводимое при обратном ходе метода Гаусса, очевидно, равно-
6* 83

сильно выполнению рекуррентных соотношении
фп = Ln, фг = RiW+i + Li (i=n — l, 0)
метода прогонки.
2.25. Доказательство следует из цепочки неравенств
cond2M)=MlJM-MI, = sup^Sup(il^£)==
= S.,P(MT*,*) ^((i7)-^-1»,») =
с sup №&*> *> sup <Г'^ S~'*> =
= I5|*|5-4l* = [conds(5)]«.
2.30. Числа Фибоначчи можно найти с помощью
следующего рекуррентного выражения:
ф0 = 0, ф! '= 1, фг + 1 = ф< + ф»-!, ' = 2, 3, . . .
Эти рекуррентные соотношения можно рассматривать как
однородное разностное уравнение
/pi+i — ф,- — ф,--1 ==0, i == 1, 2, 3, ...,
фо = 0, ф, =i.
Соответствующий характеристический многочлен:
\i2 — \i — 1 = 0.
Корни этого многочлена
. ■ 2
различны, и, следовательно, общее решение однородного
разностного уравнения имеет вид
Т« = С,И1 + С2и«.
Из условий фо = 0 и ф1 = 1 приходим к системе уравнений
для С\ и С2: . *
С, + С2=0, ^, + ^2.= 1.
Решение этой системы имеет вид
С-1/А С2--1/У5Г.
84

Отсюда
следовательно, миллионный член последовательности
Фибоначчи таков: ,
1 I'fl + Т/5"\'0OD 00° ({ — у5*\юооооо\
«Pi воооо. в^и"~2 J -\~iT~t J*
1 /1+У5У1
L'SV 2 )
I 000 000
2.32. Запишем систему линейных алгебраических
уравнений, в условии задачи в следующем виде:
фо — ф1 = — Л,
— фо + 2ф| — ф2 = h2 sin //-,
— ф, + 2ф2 — Фз = h2 sin 2/г, (1)
— срп-2 + 2фЛ«, — ф„ = Л2 sin (лг — l)/it
фп = 1.
Систему (1) преобразуем к эквивалентной системе, i-e
уравнение которой есть сумма i первых уравнений системы (1):
Фо — ф1 = — h,
ф1 — ф2 == — h + h2 sin h,
Ф* - Фи i = - Л + ^2(sin h + ... + sin i/i), (2)
Фп-! — ф„ = — h + /*2(sin A + ... + sin(w — 1)Л),
, фп == 1.
Отсюда следует, что
фп = 1, ' ' '
Фп-i = 1 — Л + /*2(sin Л + . . . + sin (л — 1)Л),
Ф, = 1 - Л (и - i) +
/ i l+i ' n-i \
+ лм 2sln *л + 2sin kh + • • • + 2sin kh ]
85

--1-— + th- -—Ism — sm -j
«in —— \
sin —
И — 1 Я/Л
... + sin —5— л s*n "о")»
i = 0, л —1.
2.37. Запишем спектральную задачу в виде
фо = О,
ф, + 1-(2-Я,я2)ф, + ф,-1=:01 1= 1, П-1, (1)
фп = фг,.-,.
Решение системы (1) будем искать в виде ц*; тогда корни
характеристического уравнения
р2_ (2 —М2)ц + 1 = О
таковы:
•'м^'-^т)*'!/!1-^-1-
Из теоремы Таусски вытекает неравенство
П"
< 1;
(2)
следовательно, корнп характеристического уравнения являются
комплексными числами вида
cos\|? ± isin г|? *),
где
cos г|) = 1 — X —.
В этом случае общее решение имеет вид
= С (cos zip + i sin ?Ч') + C„ (cos /г|> — i sin t\p) =
= (Cx + C2) cos /г|) -f i (Cx — 6"2) sin ii|> = Cj cos i^ + Cn sin f\J),
где
Ci = Cx + Cb Cu = i(Cy + C2).
*) Во избежание путаницы здесь и далее мнимая единица
обозначается i (прямым шрифтом).
86

Поскольку фо — 0, то и С\ = 0; следовательно,
Ф; = С sin (*\|>). (3)
Функция фг, указанная в (3), удовлетворяет первым
уравнениям системы (1). Для того чтобы она удовлетворяла и
последнему уравнению фп = фп_1, необходимо и достаточно,
чтобы
C(sin (пф) — sin((n —1)ф)) =0.
Так как нас интересуют только нетривиальные решения, то
С Ф 0 и, следовательно, нетривиальные решения системы (1)
существуют тогда и только тогда, когда
sin(rn|?) — sin(rc — 1)\|> = 0. (4)
Найдем все значения*^ (а с их помощью и
соответствующие значения а), являющиеся корнями уравнения (4). Из (4)
следует, что
ф /2л — 1 \
2 sin -у cos I —«— ^1 = 0.
Если
sin-g- = 0,
2 Ф • . 2 ХР
cos г|) = cos -тр — sin -j" = 1
nj следовательно,* не выполняется неравенство (2). В этом
случае л = 0, а соответствующее решение (1):
ф,- = 0; i = 0, /г,
не является собственным вектором
Если
2/г — 1
cos —2— ^ = 0,
то корни этого уравнения
2 2/г — 1
**=.5Г=1—2~я' *=0' ±lj ±2>"-»
дадут лишь и—1 различных значений cos ^а. Поэтому из
этого бесконечного множества значений г|?А достаточно взять
2/т—1
Ф* = ^.п — 1 л> * = 1,л — 1;
87

тогда получаем п — 1 различных значений к:
4 22А*-1 я t _
Этим собственным числам соответствуют следующие
собственные векторы:
где копстанту С обычно выбирают так, чтобы
рассматриваемая в практической задаче норма вектора xik) равнялась 1.
2.46. Вещественнозначную функцию f(k) дискретного
аргумента к (к = О, /V — 1) (пусть для определенности N — четное
натуральное число) можно представить в виде
N/2 *
/ СО = 2 у (w) cos ("Ж кп)+ h №sin ПГ ы))' (1)
где коэффициенты а(п) и 6(/г) этого конечного ряда Фурье
имеют вид
N-1
flw=ji,(4cos(i4
a(4)=4-21(-i)'1/(fc)'
/l —О
МО) = 0,
N-l
n=i, N/2-1,
b{n)=j-^ f(k) sin {j^knj,
й=1, A72-1,
= 0.
Используя равенства
X + e~
-s , sin я = — i
jx + e~{x . .eix-e-1*
преобразуем (1) к виду
N/2 / .2Л. .2Я. \
/ (к) = ^ «(п) + \ь\п) elwkn + MfLz-iii^ Г F .
♦1 Л »
88

Обозначим
W = e N .
Так как Wklf = 1, то последнее равенство можно представить
в виде
) (к) . J (a(n)tiMn) И*" + '(Я)-'Ь(И) IF**-)),
л-ft Л
или
Г TIP
'Л(0) = а(0),
а (п) + i/> (л)
А(п) = g ,
я-~0
Л'
a(;V — я) — i/> (iV — и) TV
А (л) = гр , и = — + if Лг — 1,
*
(2)
(3)
и(т)-'(-т)-
Из этих соотношений следует, .что
A(n)=A(N-n), (4)
где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.
Из равенства (2) следует, что
А(п)^± %f(k)W-hn. (5)
fc-Q
Расчетные формулы быстрого преобразования Фурье для
ряда (5) для N = N\N2 и N = 2гп, где т — натуральное число,
приведены в МВМ, стр. 224 — 225 (более точно, приведены
формулы для ряда (2), но они имеют аналогичный вид). С
помощью этих формул находим А (л) для п = О, iV/2, а затем
искомые коэффициенты а(п) и Ь(п) можно найти по формулам
а(п) =2Re(^(w)),
6 (л) = 21т(-4(л)), rsO, JV/2.
$9

ГЛАВ А 3
3.1. Так как р(В) = а < 1, то итерационный процесс
<pj+i = *q,J + /- (1)
сходится. Обозначим Ф = lim ф7, тогда имеет место соотношение
Ф = By + /. (2)
Из (1) и (2) следует, что вектор ошибки ф* =• ф* — ф
удовлетворяет соотношению \pi+l = В^К
Таким образом, г|?^ = #*ф° и, следовательно,
11^11-< 11^11.1Ц)°Н..
Исследуем поведение \\ВЦ\оо как функции /. Так как
V 4/ai~1'
О aj
В3;
то ЦДЛ!» = а' + 4/а'-!.
При а > 0,5 a^l функция /(я) = ах + 4^ах"' вначале
возрастает, а затем начинает стремиться к нулю.
Так как
f'(x) = ax In а + 4ах"! + 4га*"1 In а,
/'(л) = а* 1п а + 4а*"1 + 4га*-1 In а,
то стационарная точка
1 а
*~~ In а 4
является точкой максимума функции /(я), поскольку /"(*)< 0
при я ^ 1 и 0 < а < 1.
Если -ф0 = [1, 1]т, то поведение Иф'П» совпадает с
поведением ||#J||«>. Следовательно, при таком начальном векторе
ошибки норма вектора ошибки начнет убывать только с номера
итерации /„, равного
еп1,ет{-ш—т}
Для других значений ф° убывание, вообще говоря, может
начаться и ранее.
i 1
Так как при а, достаточно близких к 1, ^"ТгГа^1 — а
то при а = 0,99 убывание нормы ошибки можно гарантировать
только для / > /о — 99.
3.2. Из определения средней скорости сходимости Rj для
стационарного итерационного процесса имеем || тЦ = e-JRj
где Т — оператор шага итерационного процесса.

Так как ||ifJll < ||T'||||i|i"||, где if' —вектор ошибки /-Й
итерации, то
IIГ II „ -}в,-
Следовательно, \/Н} указывает среднее число итераций,
которое надо сделать в течение первых / итераций, чтобы норма
вектора ошибки уменьшилась в е раз. Поскольку
то при достаточно большом /
поэтому при достаточно большом / величина 1//?а<; показывает
число итераций, которое надо сделать, чтобы, норма вектора
ошибки уменьшилась в е раз. Таким образом, чтобы получить
еще один верный десятичный знак у нормы ||cpJ||, надо при
достаточно большом / сделать еще (lnlO)//fac итераций.
3.7. Поскольку все собственные значении матрицы С
равны нулю, то ее характеристический многочлен имеет вид
X" =0. Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что Сп = 0.
Так как для вектора ошибки фм имеет место равенство
xj)?i = С"ф°, то для любых ф° вектор ошибки if>" есть' нуль-
вектор.
' 3.9. По условию задачи решение Лф = / существует,
причем ф, ^ 0.
Сходимость итераций докажем на основе цепочки
неравенств, имеющих место для любого i
0 = Ф? < <pj < ... < ф{ < ... < фг (1)
Из (1) следует, что существует ф такое, что
lim ф{ - ф..
j->x>
Но тогда ф •= С(р + /. Следовательно, Лф = /, т. е. итерационный
процесс сходится к решению исходной системы.
Для доказательства (1) вначале с помощью метода
математической индукции покажем, что для любого / ф^~1<ф].
В самом деле, 0 = ф?</^ = ф|- Если же предположим, что
для любого i фг?~2 < ф]"1, то, поскольку cik ^ 0, имеем
фГ1 = 2 evd~a + п < 2 'iA'1 + и = ч>1-
h=i k=i
91

Аналогично, с помощью метода математической индукции,
можно показать, что для любых *, / ц>\ < ф^, что и
завершает .доказательство цепочки неравенств (1).
3.13. Расчетные формулы метода Якоби решения системы
Ау = / с матрицей А второго порядка имеют вид
ф:
+ 1 _.
11
ф*+1 =
11
21 ,•
22 22
следовательно, оператор 7'я шага итерационного метода Якоби
таков;
*я-
О
11
21
Отсюда следует, что
Расчетные формулы метода Гаусса — Зейделя имеют вид
ф.;+1=.-.
Л
11
Р^+1 =
*22 ^ °22 '
т. е. оператор, Г гз шага итерационного метода Гаусса —
Зейделя таков:
гз
Легко видеть, что
\ (Ггз) - О,
. _ fl12g21
S~ а„а'
(2)
Из (1) и (2) следует, что р2(^я) == р(Т гз) и'
следовательно, области сходимости методов Гаусса — Зейделя и Якоби
совпадают.
92

3.17. Расчетные формулы метода Якоби для решения
указанной в условии задачи системы уравнений имеют вид
фЦ I задано (обычно ф£ , =0),
Фа = фЦ=:<о!=<п = ^ А = 0Гй, 7=0,1,2,...,
ФМ1 = ф*-и + Уь+1,1 + ^Ь+1 + Фм-i + Т 'М'
А:, 1 = 1, и —1, / = 0, 1, 2, ...
Если указанную в условии систему уравнений записать в
матричном виде Лф = /, исключив предварительно из
уравнений фЛ i при к = 0, к'= п, I = 0, J = и, получим оператор
Т'я шага итерационного метода Якоби:
Следовательно,
Т'я = £- — Л-
Л2
*т,р (Гя) = * —Г *т,Р <Л>' . ». Р = 1. » -.1.
Так как (см. МВМ, с. 33—36)
то для спектрального радиуса матрицы Тп получаем
h2 8
Р(*я) = 1—Г*^Tsin 15=С08"Г
Отсюда следует, что
*ac = --lncoslP
3.20. Расчетные формулы метода верхней релаксации
следующие: Ф^ задано,
Фо.* = Фп.л = Фм=<п = <>, ^="0^Г, / = 0,1,2,...,
ф£У = <1 - топт «, - ф£Ь - ФМ-I - Ф*+1.1 -
- Фj - h* f ^
Фм+i ~rbtiy
Если найдены всефд j, то нахождение ф^1 идет
следующим образом: вначале последовательно находятся
Di+i f0i+i «J+i №i+i
93

затем
ffjM rr.7 + 1 if..H-l rpj+l
и т. д. Такая последовательность вычисления значений ф£*]
дает право найти значения т0пт по формулам (МВМ, стр. 175,
задача 5.45)
2
"т i + ^i-pV,,)
гдер (Тя) = cos——спектральный радиус оператора шага
метода Якоби для этой системы (см. задачу 3.17). Следовательно,
л
1 + sin —
Так как для метода верхней релаксации при т = т0Пт имеет
место соотношение (МВМ, стр. 175)
Дас(7,топт)=-1п(ТоПт-1),
то *
1-sm —
Лас(4пт)--1П, , . я>
1 + sin —
где 7\ — оператор шага метода верхней релаксации.
3.26. Обозначим через d(K) характеристический многочлен
матрицы С, т. е.
d(K) = Ы(С — Щ.
По теореме Виета имеет место равенство
п
.(—l)nd(0> = U Х4(С).
i=l
Так как М и /V — соответственно нижняя и верхняя
треугольные матрицы с пулевыми диагональными элементами, то
d(Q) = del(C)-= (1-т)\
Следовательно,
р(С)>]/
/
г = 1
= 11-
Отсюда следует расходимость метода последовательной
верхней релаксации при т ^ 0 пли т ^ 2.
94

3.42. Вначале докажем, что если предложенный
итерационный процесс сходится, т. е. если
lim фЛ= ф*,
к-*оо
ТО
lim -> = Ф«
fe-oo ^
где ф — решение исходной системы Лф — /, а ф* — некоторый
вектор.
С этой целью сложим оба уравнения, указанные в условии
задачи итерационного процесса, и, объединяя члены с <pk+\ ф*
и Ф* + 1/2, получим
(Е + тЛ2)фЬ+1- (Е — тА^уЪ = 2Tf — i;(Al + A2)y*+l''\
Отсюда следует, что
фМ-1/2+ф* фЬ+1_ф*
А 2^Я = / -{Е + тЛ2) 2т *,
Таким образом,
Л lim - ^"""^ = /•
Теперь докажем, что предложенный итерационный процесс
сходится. С этой целью представим уравнения итерационного
процесса в виде
■ (Е + т4,)ф*+1/2= (Я-т4,)ф* + 2т/,,
(Е + тЛ2)ф^+1 = (£,-тЛ2)ф^ + 1/2 + 2т/2.. .
Исключая из этих уравнений ф*+1/2, получим
ф*+1 = (Е + гЛ2)-,(^-тЛ2)(£ + тЛ1)-,(^-тЛ1)ф*+'
+ 2т[/2+ (^ + тЛ2)-Ч^-тЛ2)(£: + тЛ1)-1/1].
Следовательно, оператор Т шага итерационного процесса равен
Т = Г,Г2, где
Г, « (£: + т41)-1(Я-тА,)|.
г2 = (£: + тЛ2)-1(^-хл2).
Собственные числа 'матриц 7\-, * -= 1, 2, равны
МЪ) - [1-тЧЛД]/[1+тЧЛ,)], 1-1,2.
95

Так как X(Ai) > 0, то Щ7\)| < 1, и поскольку Т< — матрицы
простой структуры и ТХТ2 = Т2Ти то
1МП1НМ7|)МЦГ2)|<1,;
т. е. итерационный процесс сходится.
3.43. При доказательстве задачи 3.42 было показано, что
для оператора Т шага итерационного процесса имеет место
' формула \
1-тХ(Л1)1~тХ(Л2)
МГ) = 1 + тЧИ,) 1 + т*И2)'
Итак, требуется найти
Да с ^-lnptT').
Максимальной асимптотическая скорость будет при*
минимальном р(Г), т. е. необходимо найти такое т0пт, при котором
достигается
11 — тЯ, 1
min max " , > . (1)
Функция
/<*>-гт5
при ^0 и фиксированном т > 0 является убывающей, так
как
Следовательно, максимальное значение на [б, А] функция
|/(Х)| принимает на границах этого сегмента при Х = б или
К = Д. Таким образом, задача (1) сводится к задаче отыскания
/|1-т6| |1-тД|\
™0П max Itt^t- t+^J- . (2)
На рис. IS приведены графики функций
, х 11 - тб | | 1 - тД |
ftЫ = Т+1б~' ф*(т) = ТГй"•
Из рис. 18 видно, что задача (2) -имеет решение при т,
удовлетворяющем соотношению фв(т) •= фд(т), Отсюда
получаем - ■■■*
i - TonTfi т0ПТА - 1
l + t0I1T6 ~ 1 + т0ПТД;
96

следовательно,
топт = 1//6Д.
Соответствующие спектральный радпус Т и асимптотическая
1/А l/ffi I/S **■
. Рпс. 18.
скорость сходимости даются формулами
Уд-Уб\2
Уд-Уё
'ас_ '■'"Уд + Уб"
3.48. Для указанной-в условии задачи системы линейных
алгебраических уравнений
PW)
Л„п = -21п.
ГЯ
Я. (Л) = 4 sin2---,
.* = 1, л —1
(см. МВМ, стр. 36); тогда
я
я
О < а (А) « 4 sin' -^г < Я. (Л) < 4 cos' ^ = р (А),
где Л — трехдиагональная матрица порядка п — 1 с элементами
ац = 2, - f 2= 1, п — 1,
а
i—1. я
i = -г 1.
1, л —2,
2, л— 1.
Следовательно,
р(Л) + а(Л)=4,
я
р(Л) — а (Л) = 4cos —.
а) При длине цикла s = 4 корни многочлена Чебышева
Г4(я) таковы:
а^ = cos-g- > О,
« В. И. Дробышевич, В. П. Дымников, Г, С. Ривин
97

Зя
rr2 = cos -g- > О,
5л Зл
?3 = cos -g~ = — cos -g- < 0,
7л я
т4 = cos -g- = — cos -g- < 0,
Соответствующие значения jh имеют вид:
1
,(,-
,(,-
2^1 +
cos
1
cos
1
cos
1
л
n
л
n
л
cos
COS
COS
-rj
Зл у
8J
Зя\'
8J
(1)
4 - l л я \#
2\\ + cos— cos -g-J
Таким образом, расчетные формулы чеб?лшевского
итерационного метода следующие:
Ф° задано,
V4i+* = TJi+ft-i _ Tft (_ ф4;Чл-1_ гср}'4*-1 - ф}^"1 - ■),
г^-2, л-2,
Ф^ = Ф^"1 ~ тА (- Ф^"1 + 2ф^"1 - » + l),.
/с = 1,4.
б) Матрица А является симметричной, следовательно,
||£--тАЛ||2==*р(Я--т*Л), &'=Т71
Так как
Я,(Д —т*4) = 1—тД,(Л), тА>0,
то
1 — = 1 - хка (А) > 1 - тл?м (Л) > 1 - тйр (Л)~
* « 2 Я
2 cos Гп
= 1-
"НК
98

Но
2sin2H 1-х. cos£-2sin8*.
2n R n 2n
j Я t Я
1 — x. cos — 1 — x. cos —
h 11 Я П
— cos —
Я 1 — *fc
"l-xv-cosil
A n
Аналогично,
2cos2£ _~cos^~^cos^__pngn ' *+*fc
Я Я Я ' Я "
1-*kcoslT- 1-*ftcosT i-xkcoaT
Таким образом, имеют место неравенства
Я * "I" *ь Я 1 — *ft
-™st tj5r<1"ViM)<cwsir —it- <2)
1 — я. cos— 1—a: cos-—
ft П - ' ft П
Из этих неравенств следует, что
я
1 + cos -д
II Я - x^l, = cos IL 2— > 1,
II 1 II- п Я Я
1 — cos— cos-5-
ч о
Зя .
- - 1 + cos -£-
l*-Vb = «»T я-Чй>1'
1 — cos — cos -Q-
11 о
Зя
1 +-cos-o-
II Я — Ts^ И-> = cos — : Ц- <*'
I' 3 ll2 и я Зя
1 + cos-cos-g-
я l + cosf -
в) Так как ,
1 + cos ~ cos -g-
cosiL = .LLtJ« 0,9659,
12 2/2
cos j = j V2 + J/2"» 0,9239,
Зя 1
cos-g=yK2-]/2» 0,3827,
7* . 99

то при п = 12 получаем
|| Е -xLA I «17,27,
||Е-тгА\\^ 2,119,
||Я-т,Л|4« 0,9751,
||£-V||2«0,9820.
Отсюда
ЕЛ*-VI, «35,04.
г) Матрица Л — симметричная, следовательно,
|П(£-тАЛ)| =т«П|1-т^М)|=>
: max
г
о /Я л Я о Я
COS — —COS —COS -Q-
n n о
2 гя о я о Зя I
cos -— — cos' — cos4 -q
n n о
1-cos -cos -g-
о Я оЗЯ
1 — cos -~ cos -Q-
/l О
maxl eos415 - cos2 «. cos212 + Icos" £
л и л 8 л
n ~r~ 8
max
fcoS2 3_Icos2iLY-lcos*iL.|
\ л 2 и / 8 »
sin*7T + "8"cos IT
, m
0<cos ~<cosz —, t = l, л —1;
поэтому
В условии задачи п — четное число, следовательно,
-A cos4 £ < (cos2 I*- 1 cos2 £LV - 1 cos4 £L < 1 cos4 £L.
8 * и \ и 2 n/ 8 n 8 л
При i = 1 верхняя оценка достигается. Таким образом:
Tcos 7Г
. 2 Л , *
sm 7Г + "8 cos
<1.
При л = 12 эта величина приближенно равна 0,6190. Такое
значение будет получено при любом порядке перебора тА, а вот
100

поведение
|П(*-^)
||m=i
будет зависеть от порядка выбора параметров т*. Так,
практически более полезен перебор та следующим образом: {т3, т2,
т4, т,}..
3.52. Расчетные формулы метода верхней релаксации вы-
писапы в решении задачи 3.20. Если до начала проведения ите-
раций будет сосчитано вспомогательное поле —fkl, то для
проведения одной итерации потребуется выполнить: операций
умножения— (и — I)2, операций типа сложения — 6(л — \}2.
Иногда метод верхней релаксации реализуют с помощью
следующих расчетных формул:
ФЙ1/г = <+]., + i#ii + ч-I+m + <н г + jfk.i>
tits = а - т) ф{.,+^i!,i/2. *,«- i,«-i.
.2
В этом случае заранее вычисляется также поле -yf^%i и, кроме
того, вычисляется константа 1 — т. Тогда для проведения одной
итерации потребуется выполнить: операций умножения —
2(п — I)2, операций типа сложения — Ъ(п — I)2. Так как
выполнение операции умножения на ЭВМ требует больше
процессорного времени, чем выполнение операции типа сложения, то
такая реализация менее экономична. Если же последнюю
формулу представить в виде
ФЙ1 = Ф*м + т(ф&1/,-фЬ).
то в этом случае число арифметических операций совпадает" с
первоначальным вариантом.
Кроме того, два последних варианта требуют выполнения
(п — I)2 операций засылки промежуточных значений ф^1/2
в память ЭВМ, что потребует дополнительного процессорного
времени. Таким образом, наиболее экономичны расчетные
формулы, приведенные в решении задачи 3.20.
3.56. Оператор Тя шага итерационного метода Якоби
является симметричным, и поскольку для вектора ошибки имеет
место соотношение
fc-1,3,
101

(см. решение задачи 3.17), то
[lt'|2<(cos^yik0|3.
Следовательно, чтобы ||г|)°||2 уменьшилась в КЮО раз,
достаточно взять такое /, Для которого имеет место неравенство
cosi: <0,001.
Отсюда
/i?ac > 31п 10.
Поскольку
П = - In cos — « JL, In 10 « 2,302,
с п 2п2
то в качестве / можно взять
en tie г
(i3,8li+l).
Г Л Л В А 4 -
4.14. Проинтегрировав левую и правую части
дифференциального уравнения на отрезке [xt-u xi+l] и разделив результат
на 2/г, получим
MK-+i)-M(*i-i) 1
= "ST f (f (t) ~ си (I)) d%.
2h
xi-i
Обозначим
v(z) = f{x) — cu(x)
и найдем коэффициенты квадратурной формулы a_i, ао и aj
такие, что
J » (Б) 4 - (*_,» (^.х) + v (*i) + V (*i+i)) ^ о (а5).
Отсюда сразу следует, что имеет место совтношение
u(xi+i)-u(xt-i) 1 , ч , , ч ,
+ V(*i+i)) = °(*4)-
102

С помощью формулы Тейлора получаем
- i ((a-i + ао + ai)y (*«) +Л К - a-i)".' Ы +
+т к+a-i)y" (*o+4- к - «-оv'" (*») +
+ 24" (V1V (*i+e2J + «-/V (Vef)) = Г W —23T(fli +
+\+«-о > (**)) - 4- к - «-л»' w+4 [u* (xt) -
_3_
2Л'
V / \ ( IV / \ IV
+ (120 » (*l+ei) -24 ^V (*J+ej) ~ a-i* (Ve») J J"
Здесь
|б?|<1, 0<ej<l," О<0г3<1.
Поскольку
u'(x) = v(x), u'"(x) = v"(x),
то для нахождения таких значений аи д0, я-ь что е; = О (/г4),
достаточно, чтобы они удовлетворяли следующей системе
уравнений:
!н(а1 + по + а-1)=л>
а, — о_!'= О,
■3
" "2А (ai + a-i)
Решение этой системы таково:
4
103

Таким образом, мы получим формулу Симпсона:
+It<",v(Vb?)' leM<4'
и следующий разностный аналог дифференциального
уравнения:
Ф|+1 — Ф|—1 С
2ft +T(y|+i+4<Pi + V|-i)-
e4-(/(afm) + 4/(*i)+'(*i-i))-
г = 1, л — 1,
причем
^-^«v(^ei)-^(/,v(*f+e.)-c-,vM).
|е,»|<1._
т. е. имеет место локальная аппроксимация четвертого
порядка на решении дифференциального уравнения.
Если выбрать ф0 = а, то б0 = 0.
Для окончательного построения разностной схемы осталось
задать ф! с четвертым порядком точности. Для нахождения
такого значения ф1 проинтегрируем левую «и правые части диф*
ференциального уравнения на сегменте [0, h]. Получим
л
«! — «0 = J ^ (Б) *«•
0
Но
v (I) = v (0) + lv' (0) + Y v" <°> + "Т v"' (0о)'
где 0 ^ 80 ^ £, следовательно,
h2 h3 h4
uL = uQ + hv (0) + — vT (0) + — v" (0) + -gj- v" (90).
Итак, если положить, что
h2 /г3
Фх = Ф» + *" W + Т v' (°) + Т "'" t°)«
104 '

то
h*
б1=2Г(/"'(в.)-с""'(в«,))-
Осталось выразить у(0), i>'(0) и i>"(0) через начальные данные
и правую часть:
»(0)»/(0)-еи(0)=/(0)-са,
v'(0) = /'(0) - си'(0) •= /'(0) - с/(0) + сЧ,
v"(0) = /"(0) - си"(0) = /"(0) - с/.'(0) + с'/(0) - с3а.
Таким образом, приходим к разностной схемо
Ф0 = <*.
«Pi = в + h (/ (0) - са) + -2- (/' (0) - cf (0) + Л) +
+ т (/' (0) - с/' (0) + «V (0) - Л)>
Ф#4-1 — Ф' — i С
которая аппроксимирует исходную дифференциальную задачу
на ее решении с четвертым порядком, причем
hfck4»*(iS5l-vlc + Wl»Ivlc + -il/Ivlc).
1бЛ«Сл<Л4^||ц'"«с + К«П1с)-
В качестве норм в пространствах Fh и Gh взят максимум
модулей соответствующих сеточных функций.
4.24. Общий вид линейного сплайна-таков:
gi(x) =fli) + fl»)(ar""a'i-i)» *е lx{-vxih *=Т~^
Из условия в) следует, что коэффициенты я(^= ^_1? i = 1, гс.
'Кроме того, e(1n)+a<1nV=yni следовательно, «(2n) = у"~у"-1 ^
Из условия б) имеем еще п — 1 уравнение
105

Тогда имеем
hi^xi-xi^v yi^l + ofhi^yv £ = 1, л —lf
°2 ~ h.
Таким образом,
Vi — Vi-i
Si (*) = Vi-!+ x.-x.^ (x-xi-i)> l = *' ,u
4.33. а) Нетрудно убедиться, что решением
дифференциальной задачи является функция
и(х) = е~2*.
Разностную задачу запишем в виде
фо = 1,
Ф1 = 1 — (1)
— ф£ —1 + 4Лф< + фг + 1 = 0, 1 ■ = 1, И — 1.
Общее решение уравнения
— ф€_, + 4Лф* + ф*+1 •= 0, * = 0, ±1, ±2, ..." (2)
будем, как обычно, искать с помощью подстановки ф* = р\
Корни соответствующего характеристического уравнения
[х2 + 4Ац — 1 = 0
таковы:
. • И1|'а = -2Л±1Л + 4Ла.
Отсюда
,х - 1 - 2k+2h*+0 (н^еМ1-^пЧ0М) = -»&+<**)•
^ = - (1 + 2Л + 2h2 + 0{h')) - .вш(1+2Л+2ЛЧ0(М)) я
2Л-±ЛЧо(М).
= — е J
Итак, общее решение уравнепия'(2) можно представить в виде
Ф, = с^\ + с2,ф
Для нахождения решения разиостпой задачи (1) достаточно
найти соответствующие значения Ct и С2 из системы
С, + С, - 1, ,
CjHi + C»jij = 1 - 2А,
106

к которой приходим после подстановки общего рептепия
уравнения (2) в два первых уравнения системы (1).
Из этой системы двух уравнений с двумя неизвестными
получаем
С.
1-2Л-|12 ! j. Yl + Ah2
1 ^1-^2 2Vl+4h2 '
с _ - 1 + 2/л Ч- ^! 1 - КТТ"4^
2
^-^ 2|/1 + 4Л2
илиС,-= 1-/^ + 0(/И), С2 = k* + 0(h*)u
Итак, решение разностной задачи (1) имеет вид
2 / 4чч -2i/»+|i/l3-|0(»/i4)
Ф^(1-Л2 + 0(Д4))в 3 +
+ (Ла + 0(Л4))(-1)<в 3
Таким образом, при 0 ^ х <с; 1 имеем
|Wft-^lk= max И*.) - Ф; | <
в-**_(1_Л«) Г''"+^/(3-/г2 (-1)* **'"-5,л8+0(*Л4
< max \e-'ilfi-(l-h')e a -Ла (-1)'«""""S^+Oti^K
< max | в-«*л — в"2*л + Л2 (в~2|Л — (— 1)* в2*л) + О («Л4) | <
<(1 + е2)/Л (3)
Последнее соотношение имеет место при достаточно малых h.
б) Для исследования сходимости решения разностной
схемы к решению дифференциальной задачи с помощью теоремы
сходимости достаточно оценить порядок аппроксимации и
доказать устойчивость, а затем найти порядок сходимости.
I. Описание пространств.
(^ = ^11 = 077},
ФйеФ.<=Н, ли .
'„ _ ,'£/" = {** I г" = Г^1},
' "^11/%,= max |/.|;
* e0fc*Ml„ ,,ц
' У1Од = тах(|г0|, |?1|).
107

II. Исследование аппроксимации.
1) Определение порядка локальной аппроксимации.
Обозначим
еЛ = £й(и)л —/\
6» =ll(u)h -g"
и положим ((м)л)« = "(я*)-
Так как решение дифференциальной задачи имеет
производные любого порядка, имеем
6l = wi ~ *i = м1 -(1-2Л)-ми + Ли; + % и\ - 1 + 2k =
= b. + M-2«.) + tV-1 + 2*==tV
* "о ■ ^ но
^ "i+1 -
2Л
-(«.-"".:+т<-т«;-.;)) + 2».=
и. 4- — lu Л + и 0 I
1^ 12[ i+ej i+tf)
уЪ т . ^
В этих соотношениях величины 0*, 0? и 0* могут
принимать следующие значения:
. о<о]<1, o<e?<i, |в^< 1.
2) Определение порядка аппроксимации. Используя
найденные в предыдущем пункте значения сеточных функций еЛ
и 6\ получаем
|е*ЬЛ<*«* max \и'" \^\и" \\с,
Iв» th <*••}■ max \и"\^\\и"\\с.
Отметим, что при оценке сверху нормы сеточной функции бЛ
максимум модуля 6Л можно взять не на всем [0, 1], а па [0, /г],
где h меньше 1.
Вывод: Разностная схема аппроксимирует
дифференциальную задачу со вторым порядком аппроксимации на решении
этой дифференциальной задачи.
103

III. Доказательство устойчивости
разностной схемы. Доказательство устойчивости согласно
определению этого понятия необходимо проводить для произвольной
правой части разностной задачи, которую в этом случае
запишем в виде j ;
фо = go, ф1 = gu
1) Доказательство существования и единственности
решения разностной задачи при любых fh и gh. Легко видеть,* что
имеют место соотношения
фо = go, ~*~ ф1 = gi,
q>f+i = — 4//ф,- + фг-i + 2hfu i = 1, n — 1.
В силу возможности и однозначности всех действий,
которые необходимо выполнить при нахождении ф,- с помощью
рекуррентного соотношения, сеточная функция фл существует
и единственна при любых h, gh и fh.
2)Доказательство неравенства из определения
устойчивости. Для упрощения выкладок трехслойную схему обычно
сводят к двухслойной схеме относительно вспомогательного
двумерного вектора yi. Вид компонент вектора у г целесообразно
определять из вида начальных условий. Если, как в Данном
случае,
■''.*•-[?:]•""-[;:♦,]•-
Используя очевидное тождество ф* = ф;, приходим к
следующему каноническому виду:
yi = Ялг/i-i + /ф/-ь t = 1, п — 1,
г 1 - (5)
••-ю-..
где
Р'-1==[2/{]' Rh=\i -Щ-
Из канонического вида (5) разностной схемы следует, что
у. = щУй + h (Pi_1 + Rh9i_2 +:..+ Rjr\ + дг'ро).
Отсюда
l»il-<l^tl»'.".+*(|p*-ill»+-+lfl*|ir1|p.i«)*
109

Так как справедливы соотношения
1 К1~ = 1Н'СЛ,
iPwIU^fl/l^,
PJ»<l.+4*.
то приходим к следующему неравенству:
Но
(1 + 4Л)*'< (1 + 4й),/Л < e\
следовательно,
■'i»«i«<«*(4-i/*ipfc+j**ioA)-
Поскольку
i=0, л
-1.
||г/г[|оо •= тах(1ф,|, l<Pf+i|)t i = 0, и — 1,.
то приходим к искомому неравенству
||фл1к<^(4-1/лк+1^1Л)- (6)
IV. Оценка порядка сходимости. Из неравенств
(4), (6) и теоремы сходимости следует, что
||(«)Л-ф"1Фл<е4(1»«"1с + 11"'"|ф2. (?)
Таким образом, имеет место сходимость решения разностной
схемы со вторым порядком к решению дифференциальной
задачи. -
в) Из неравенств (3) и (7) следует, что теорема сходимости
дала тот же порядок сходимости, что и сравнение решения
дифференциальной задачи с точным решением разностной схемы.
Сравним теперь коэффициенты при h2 в (3) и (7).
Отметим, что и" — 4е~2х, и'" = — 8е~2х; отсюда ||м"||с<4,
1|и'"||с^8. Следовательно, коэффициент при Ь2 в (7) равен
«4(2 + -E-)=4«4
Таким образом, коэффициент при h2, найденный с помощью
теоремы сходимости, больше коэффициента при h2y
найденного-с помощью точного решения, примерно в 20 раз,
110

*4.36. Нахождение решений дифференциальной и
разностной задач произведем с помощью функций от матриц.
Запишем дифференциальную задачу в виде
где
Тогда
Так как
>/-["], л = [Л о]- d:
у — ехр(— Ax)d.
Я1р2(Л) ==±И,
то, обозначив через X матрицу, столбцами которой являются
собственные векторы матрицы А, получаем
у = Х
-Хлх
О
О
Х~гд,.
Для нахождения решения разностной задачи представим ее
в виде
.Л _... л \.h
где
Так как
то
h
О
У*-*,
у\-
LA
Л, =E — hA =
у1 - *№
1 —hi
hi 1 I'
Vk = X
(1 - ilhf
0
0 (1 + ilh)h\
Х-Ч.
При нахождении Ah было использовано совпадение
собственных векторов матриц A h и А и связь между их собственными
числами
K(Ah) = l-hX(A).
Ш

Легко показать, что е^11хь — (1 ± ilh)k == 0(h), следовательно,
\\У ixk) ~~ УкЦоо^ 0(h). Вводя в пространстве Yh норму -
приходим к следующей оценке сходимости решения
разностной схемы к решению дифференциальной задачи:
|<«ол-Vita = <><*>•
4.42. Решением дифференциальной задачи является
функция
£<*<1.
Пусть
■«-.{!*
(так как 5 — иррациональное число, то оно не совпадает ни с
одним узлом); тогда
P(xi+i)~P(xi) n
т = 0 при i Ф к,
следовательно,
При i — к имеем
т. е. фЛ+1=0.
Итак,
фг = Фо = 1 при i ^ к,
(pi = фг+1 при i > к + 1.
.^ + .^-0,
Г1, 0<*.<£,
: ф< 10, 6<*,<ь
Таким образом, решение разностной схемы не сходится к
решению дифференциальной задачи.
4.50. Используемые при решении настоящей задачи
пространства Фл, Fh и Gh совпадают с описанными в задаче 4.33
соответствующими пространствами.
а) Порядок локальной аппроксимации следующий;
e?=(bft(«)ft-/")i-
и (*<+i).-2" (*<) + »"(*<-1) nu(xt+i)~u(*i-i) , . ч
—-г 3 % Ы (*,)=»
11-2

»=1,я-1,
-4-(*«)-*,(i",v(Vei)-^B,'M)
где
|ej|<i, |e}|<i.
Кроме тогр,
в5 = 0л»*-А=в(*.)-1 = 0'
?i-"Jui^+i-'w)+^(es)4+*-
= *ТиЧво). o<ej<i.
Следовательно,
ie"ik<^(4i"IV"c+-fii""'nc}
т. е. имеет место первый порядок аппроксимации.
б) Первый порядок' аппроксимации получился за счет &\.
Если изменить правую часть g^, то можно* добиться более
высокого порядка локальной аппроксимации, используя
соотношение
к"(0) =3и'(0) + 4и(0) = 1.
В самом деле,
и щ~и(0) к til , оЧ
следовательно, полагая *
получаем второй порядок аппроксимации, так как теперь
11б"1Сл<л24-|1"да11с.
8 В. II. Дробышевич, В. П. Дымников, Г. С. Ривин * ^3

в) Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо
найти оценку сверху для
K-Vk-
С этой целью докажем устойчивость разностной схемы
Ф<+1-2ф< + Ф<-1 „ЯУн-Я^-! , 4 . . , J
^ -3 2Л -4Ф{ = /г. »=1, я-1,
% = "о- Л = *1'
где /Л и gh — произвольные сеточпые функции.
Доказательство устойчивости этой разностной схемы
проводится аналогично тому, как это проделывалось при
решении задачи 4.33.
Основпое отличие состоит в выборе компонент двумерного
вектора yt. Поскольку теперь
то полагаем
Г Ф|. -I
Vi = Ф,+1-ф,- •
Для получения канонического вида разностной схемы
представим разностное уравпение в виде
^г+1 —*Pi Ф,--Фг-1 , 3 , /Ф|+1-ф< Ф{~Ф{-1>\ ,
—I— = —*—-+1"Ч—I—-—н—)+ •
( ф{ —ф,-1 ' \
+ *h(h jr-J + ^-iJ'+^r
Отсюда для i = 1, п — 1 имеем
(; г+ 1 — ф1 _
h ~ .
3
4/г 1-ТД + 4/г2фг-фг-_1 Л
Г^1 + Г л~— + зГ/«-
1 — у h 1 —у/г 1—у/г
Используя очевидное тождество
Ф* —Фь-i
Ф4 = Ф4-1 + Л т , i=l, я,
114

приходим к следующему каноническому виду:
yi = Rhyt-i + /*pi-i, < = 1. л— 1.
где
ДЛ =
1
4Л
4/i2
1 +
.1—2* 4-7aj
Из канонического вида следует, что для
имеем
l»i|o.<|«At|y.|- + fc(|P«-ill-+-+ll/?ftl-1|p.l»)-
Так как при h < 0,01 имеют место неравенства
II ДЛ||оо = 1 + 4Л -1±#" < 1 +
II pi-i I- < —*т fl /" К <i.021/" l;A, «•■=гпг,
1-TA
к loo < i ghic,h.
то получаем
| * I. < (1 + Wf 1 «* lah + * I/* l,fc 1-02 (1+44;22fe/~1 <
(••■• I ** ^ +"^i=^ 1.Q21 /* |, J.
<
Так как
| ф* КII yiII со, 1 = 0, и-lf
И.2.
Таким образом, при использовании в разностной схеме
gj = — 1 приходим к следующему неравенству:
II (М>Л ~ Ф" к < Ш* (l2 I"'V "с + 4" !|"'" «с) + 35Л II и* (fc,
8*
115

а при g{ = — 1 + h/2 приходим к неравенству
II <м>л ~ ФЛ Ik < 20^2 (4I ^V Не + 4* Ии'" lc)+ " Т *Я«"'" Ic-
Так как и(х) = е*, то 1КИс-= ||и'"Ис = l|wivllc = е.
Для того чтобы совпадали три значащие цифры у фп и
и(1) = 2,7183, достаточно, чтобы
|Нь-Ф*кл< 0.0016.
Для разностной схемы первого порядка
|| (u)h - фЛ ||ф < 11-g- h2e + ЗЫье « ЮЛ2 + 91 Л.
Для разностной схемы второго порядка аппроксимации
I («о* - фл к < *• ("4-«+и 4«)«^2-
Из двух последних неравенств следует, что для совпадения
трех значащих цифр у фп и и(1) достаточно взять для схемы
первого порядка аппроксимации h < 0,000017, а для схемы
второго порядка аппроксимации h < 0,006.
В заключение отметим, что более точные оценки можно
получить, если использовать точное решение разностной
задачи.
4.52. Так как правая часть дифференциального уравнения
на отрезке [0, 1] принадлежит пространству С\ но не
принадлежит пространству С2, то решение дифференциальной задачи
в свою очередь принадлежит пространству С2, но не
принадлежит пространству С3.
В этом случае, в отличие от задачи 4.33,
» = U(Xi^)~U(Xi-l) , . , Л , 5 _ з/2 о/<(_|7лб/2 =
+ 2и (х.) + -j- (1 - ihf/2-2(i-ih)b
= и* (*>)+2" (*о -v 4 *• (*i+e4)+4 <* - ^3/2 -
_2(1_ гЛ)5/3 = 4"/ггг,/ (^+в£)'
|0,-|<1, * = 1, л-1.
В то же время
f$ = tt(0)-l=0,
^2
6J - и (Л) - (1 - Л)5/2 = и (0) + Ям' (0) + — м"(в0) -(i-hf/2 =
5 Л2 /5 ^
= 1 - -j- Л + у и* (90) — ^1 j-Л+О (h2)J = О (Л2),
116

Таким образом,
т. е. разностная схема аппроксимирует дифференциальное
уравнение па решении и(х) с первым порядком, (ср. с решением
задачи 4.33).
Доказательство устойчивости разностной схемы проведено
при решении задачи 4.33.
Итак, порядок сходимости решения разностной схемы к
решению дифференциальной задачи равен 1.
4.58. Определим норму решения разностной схемы
следующим образом:
||х|| = max \хХ где х{ = [ср., ^]т.
Добавим к разностной схеме два тождества
Ф< = Ф<1 Ф* = *i
и приведем ее к каноническому виду
Здесь
yi+l = Rh{i)yi + hph i = 0, n— 1.
У г = [фй *f, Ф*-Ь 4>*-JT»
. = (cos*. +-y sin2a:. J, — sin*. (1 + sin a:.), 0,0 ,
Д
lA(i)
Г 3
— h sin а^
1
L о
h sin ^
3
0
1
-2
0
0
0
o-
— 2
0
0.
Поскольку шах || у.Ц^ = || д?|| , то устойчивость схемы будет сле-
, а неустой-
довать из ограниченности произведений JJ Rh^
чивость — из условия
П ЛВД
г=1
оо при п ^ оо.
(1)
(Заметим, что операторы /?Л({) и R Л(Л) не коммутируют друг с
другом при i ф к.) Покажем, что в нашем случае выполняется
соотношение (1). Выбор нормы ll#h(i)ll несуществен, так как
в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.
117

Доказательство следует из цепочки неравенств
ПУ>рП йш))>
\г=1
det
(а««»)!)
1/4
>
>п
det (Rm)
Характеристический полином матрицы Rh(i) имеет ВИД
(3~Л)2Л2-4Л(3~Л) + 4 +Л2*.2 sin2*, = 0.
Отсюда следует, что det (Rh{i)) = 4 и, следовательно,
,1/4
i=l
Ш)
^ 4П/4 -»- оо при п -+ оо.
4.61. Решение дифференциальной задачи есть
Решение разностной задачи:
Ь = С1*1 + С2?2> ГДе ?1, 2 = Л ± Kl + Л
Используя начальные условия, получим
Используя формулу Тейлора для е~п, g4'2i получим
Так как (см. задачу 4.33)
*« = Г*' (l + h^ + О (А4)), 4 = (-!)««*' (1 + 0 (А2)),
ТО
*S? - (i - ш+ш») \l + - т) е~г + (т ~ шъ)
ь = -т ч® - -г ^- (' + те) «"* + «Л*.
где аг—.—1/72 при i четпом, а* = —1/24 при Г нечетном,
118

следовательно,
ГЛАВА 5
5.6. I. Описание пространств Fhx, Ф/u, Gh%.
Лх (|ф"х!1фЛг = тах1ф||.
а) ф»* 6ФЛ,«
где ti+i/2 = t5 + -i-T.
JZ)^={(0, /0, (1, *j), (*,, O)|i="0U,/=or^},
»)^eC^K'L=, max U||.
II. Определение локальной аппроксимации.
Легко видеть, что для всех (я,-, t>) e Dgh^
Обозначим a (*J, х^ = и], ut (*J, a^) = м^ { и т. д., тогда
согласно формуле Тейлора
_ _2 з
J+i _ „i+i/2 I _ „i+i/2 i _ J+i/2 i J5— „j+e
ui ~Ui ^2 *. i ^4-2! м", г ^93.Я! *". *'
2л.З!
М|±1 = uj ± Ki+ -gj- uxxi ± зг <x*,i + ^ и^л ± gj- ^5>.+e
(заметим, что в этих соотношениях 0 зависит от i, / и знака
приращения аргумента, но для упрощения записи эту
зависимость в дальнейшем указывать не будем, подчеркивая только
лишь такой записью, что значение соответствующей произвол-
пой выбирается в одной из внутренних точек
соответствующего интервала).
Используя эти соотношения, получаем для i = 1, п — 1,
/ = 0, т — 1:
1 иП1 J 5 Mi+i_Mf
Ei -\LtnWhi-t )i ~12 x, +6 x +
119

+ Т2 г Х-Ь ((«111 ~ 2-J+1 + «#) +
+ ("1+1 - Ч + «Lг)) = 1 «Ш? + Т "U 1/2 + |> »&? +
24\12 <3.i+i^6 <3,i rl2 <3,i-i/
- y( "Ш + i2 ui«.i+M««.4+i2 "k«) "" 720 (Mi».l+e+Bi«.f+e)'
Теперь заменим по формуле Тейлора значения M|,t+i' uxx\'
",' • и,+|1 „' . через значения в точке (*,-, t'+i/i); тогда
-5+1/2 _ (из+т i h* Mi+l/2 i fe4 Mi+i/a ^ 4-
^24\12 *3,t-H^6 <3,i 12 <3, i-i/
— 1 f 2«J'+1/2 4- t2 *z'+e 4- Л* «У+1/2 4. ^ Mi+e ^ __
T [ ххЛ + T *2<2,i+ T 4i + ^T V**,* j
— ^(V+1 4-MJ "\
72(Л xe,i+8n зсв,|+0/'
Таким образом, объединяя подчеркнутые члены, получаем
*!+1/2=("«- "«){+1/2+&«, - ««,)Й.?+ о (*2- Л2. *4> =
= 0(т2, Л2, Ь4)-
III. Определение порядка аппроксимации.
Так как
«ehxlk<^(4||Vlc+¥lVlc +
+ в1В^|С) + *4(э81Вм|с+Яо1^|с)'
то на решениях, имеющих ограниченные производные вплоть
до указанных в правой части последнего неравенства, имеет
место аппроксимация второго порядка по т и четвертого по h.
5.11. Будем искать разностную схему в гёиде
1
il. am, nVi+m, h+n = h\ h* (*)
m, n=—l
120

* В этом случае неизвестные коэффициенты надо подобрать
так, чтобы имело место соотношение
ч*Чмв>*-/*)«.*=<>(*'>•
Оценим вначале гх ^для схемы (*), использовав формулу
Тейлора для функции двух переменных:
и (х + Дж, у + Ду) = и (аг, у) + (и^Дг + иуку) +'"
+^(4л|+А-^)в||^+в1^у+в»Ау)'
где
Дг~+ д^~) и = bxvuxP + p^xp~1^yuxp-ly +...+
+ p^x^yp~iuxyp-l + д */%/?,
-Р = В' o<0i<lj °<e2<1-
Приводя подобные члепы и используя обозначения
«.,n = a-i,n + eo,n + fli,n. л = -1,0,1,
V- =_V-l + атЛ + am,v т = -1' °> *•
получаем
ei,h = - /а + "а (a-.-i+a.,o+a.,i) + А ((«*)«.* (ei..-e-i..)+
+ (в,)м C-.i - a-,-i)) + J (С,,)*.* (ai,. + a-i,-) +
+2Ky)i,ft(ai,l+a-l.-l-fll,-l-"-l.l) + ("i/,!/)i.ft(a,l+a-,-l)) +
- ai,-l - a-l,-l)+3(%/2)U (Vl + ai,-l-a-l,l-a -1, -l)+
• + 4 (ч)|,»(ви + e-i.-i - ei,-i - *-i.i)+
+6 (W)a ("i.i + в-ы + ei.-i + a-i.-i) +
+ 4(%8)J,fc(fl.l + e-l.-l-el.-l-e-l.l) +
.5
+ (M»*)ilfc(e.li-Fe.i-i)) + -3y((«*.)ilfc(ei,.-",e-il.) +
121

fc+o?
+ 5(и*««)а(вы+'|-ы-Ч-1-в-1.-1) +
. + 10 ("^з)а (aui + "-i.i - «1,-1 - e-i.-i) +
+ 5 (%«),,» («1.1+ el.-l-e-l.l-"-l.-l) +
+Mu('.---.-»+"S.2.1v>,,'W
r#e I 0m,n | < 1» | ()m,n | < *• Для того чтобы имела место
оценка zik=0(h4), достаточно потребовать, чтобы /ift и
неизвестные коэффициенты атп удовлетворяли следующей системе
уравнений:
1
ш, п=— 1
«!,.'■•— *-!,. = °>
e.j—a _j =-0,
ei.i + e-i.i-ei.-i-e-i.-i==0>
«1.1 +"i.-i-e-l.i-e-i;-i = 0« ^
1-я-1,1-а1.-1
/U = у(("**Ь ("1.. + "-!..) +"("„«,)..«. С..1 + «..-!» +"
+ 2- /7и \ (а-+а л ) + fi /w , Л (л. , -|- ал . 4-
24 U *4Л.Н 1- ' -1-/ г V x*yyitk\ Ь1 ' 1,-1 ■
+ а_1Л + a_l_1) + (^4).ft (а д + а §-1)).
Итак, мы получили семь уравлений с десятью
неизвестными. Из последнего уравнения видно, что если добавить еще
три уравнения:
2
fli.. + л-1..==^
e..i+'e..-i = ^ * (2)
2
в1.1 + Л-1.1 + *1.-1 + в-1.-1 = ^"2>
то
122
а. , -f- а_ _, — а , , — я, , -= 0.
л h2

где
Д ~ <te2 + dyv ■
Телерь найдем неизвестные коэффициента ат п. Вначале из
подсистемы
в1.1 + а1.-1—в-1.1 —в-1.-1 = °»
= 0,
2
ei.i + ei.-i +fl-i;i+e-i.-i = SIa
находим, сложив эти уравнения,
а1Д = 1/(6Ла). (4)
Сложив второе уравнение и четвертое и подставляя найденное
значениеа1л получаем
«i.-i = if№*)- ^ ^
Складывая последовательно четвертое уравнение с первым и
третьим уравнениями и используя найденные перед этим
значения коэффициентов, получаем
в.1§1'= «-,.-! = 1/(6Л*). (6)
Из второго и третьего уравнений системы (1) и первого и
второго уравнений системы (2) следует, что
Из (7) и (4) —(6) имеем
во.1 = а1.о = во.-1==я-1.о = 2/(ЗЛ*)-
Наконец, из первого уравнения системы (1) находим
Vo = - Ю/(ЗЛ2).
Поскольку при найденных значениях а>т^п и /\ имеет
место соотношение
*i,k = 0{amnh«) = 0(h\
то построенная схема
2
gj? (Фг+1,А + «Pl-l.fc + Ьл+1 + 4>iffc-i) +
1 , Ю,
+ ^(^i+Lfc+l + Vl,fe+1 + Фг+l.fe-l + b-l,k-i) ~ ^2<Pi,*=
h2
= ^»A "*" 12 ^xx "*" 'v»)l.fc
123

имеет четвертый порядок аппроксимации на заданном
шаблоне.
Нетрудпо переписать эту схему в более привычном виде:
2 Фг+i.fe + <Pj-l,ft + Фд+1 + Фм-1 - 4Ь,к ,
3 h*
, 1 4>i+l,k+\.+ Ф*-1,Н-1 + Фт.й-1 + Фг-l.fe-l — 4(Pt,fe_
"h 3 {Y2hf
^fi.h + Vxx + fyvh.hff (8)
Так как
Uxx + A/Wi,fc ^ + ^Л ''
то для практических расчетов можпо рекомендовать
следующую разностную схему:
2 Фг+bfe + Фг-i.fe + Фд+1 + ФгЛ-1 ~ 4(?М ,
3 * J? +
1 Ф< + 1,й+1 + Ф<-11Д+1 + Ф<+1,||-1+Ф<-11Л-1-4фа
= "З* ^i,ft ^ 12 ^i+1'ft "*" ^*-1*Л + ^M+i + A,fc-i)» (9)
имеющую, так же как и (8), четвертый порядок
аппроксимации. Если к правой части (8) добавить член
"бГ(/х4+4^2у2 + /г/4)г,^
то получим разностную схему, имеющую шестой порядок
аппроксимации. Рекомендуем читателю убедиться в этом
самостоятельно.
5.12. Будем искать разностную схему в виде
«Ч1+1 + а-М-1 + аУг + аМ+1 =
ev!+w?.i+vi+i+6l/j+i,
г = 0, /г — 1, / = 0, т — 1,
Ф^1==Фп±г ф£+1 = ф£+\ Ф? = *(*,).
где /{ = / (*\ Х{). Обозначим h = 1/п, т = Т/т. Неизвестные
коэффициенты надо подобрать так, чтобы имело место
соотношение
4 = ( hx Wftx - /"')! = О (х2 + ^ + хЛ).
124

Используя формулу Тейлора, получаем
г{ = в{ (а1 + а^ + в| + «J + т (и,)|а. + Jjl (М((){а1 + "
+ -gp («! K»)i+e ~ a-i (в*«)*+е)-
- /К*1 + ^ + К + b.J - т {ft)p- ±.ци)**ь* -
-h(fx){(bi ~b-i)—^(bi (/«,)l+e + *-i (/жж)!+е) -
Заменим производные по времени соответственно на
ut = / — wx,
utt = ft—uxt = ft — fx + uxx;
тогда получим
e{ = u{ (а1 + а_г + а0 + «j + fuj (h {ay -«.,)- «Ч)+
+ (в.х)1 (-г К+e-i) +a х т-) - '* ^ + *-*+ ь°+
+ bi-a\)-(ft){fr-a*Jpl-(fxy.(hib1-b_1) +
+ a1 J?.} + 0 (т3 а\ h\, k*a_v Л\ h\, tfb.J .
Полагая
e1 + a_1 + a0 + o1=0, h(a1^a_1) = a1T,
X(ai + a-i)+-Tel = 0' bl + b-l + bo + bi=ali>
приходим к системе 6 уравнений с 8 неизвестными. Положим
о1 = 1/т; тогда из грех первых уравнений получим
*_! + «„ + «! = --—,
1
ai*-a-i=5:T> ■
125

Следовательно, приходим к следующим значениям:
,1 1т
т ' "1 ~ 2/* ^ 2/*2'
1 т 1 т
fl-i = ~!/r + 2^v й° = ~ * "" ь2'
Кроме того, последние три уравнения приводят к системе
&1 + fte + 6-i + 6l = 1'
Для определенности возьмем Ь0 = 1/2; тогда
Ь1 = " 4Л» ^-l"* 4Л#
В результате приходим к следующей разностной схеме:
т + 2Л . + 2 ■ л2
_ JL (,j +i _l /A _ JL ^ttLZZlzi.
- 2 Vi ^;i; 2 2fc
Ф? = *(*«)•
После подстановки найденных значений коэффициентов в е/
получаем
-f(*1-rt)(«,.)^-^(/ll){-H» +
+ Т Wxx)i+6.— (/x»)t-e)b
Следовательно, построенная разпостпая схема имеет второй
порядок аппроксимации.
Читателю рекомендуется поискать и другие значения
коэффициентов, приводящие к схеме второго порядка по т и h.
5.13. Проинтегрируем левую и правую части
дифференциального уравнения по прямоугольнику [t*t ti+1; xi} xi+l],
126

тогда
_J __ Л+— J 5 A-
^ "ЬI I j (t) x) dl dx' (1)
v xi
Согласно формуле трапеций
ь
j/ (x) dx = JLjp (/ (a) + / (b)) - 1Ц^/" Ol),
a
где a <vr| < b; тогда из (1) следует
»('i+1.*H-i) + MOi+1.*l) '"('''*«+i)+ в (''■ *f)"
2 ~~- 2
_ . - +
•2 ~ 2
+ a ■ ■- jj ; =
= 4- (/ft! + /i,+1 + /!+• + /I) + ° (**. A №)•
Отсюда следует, что разностная схема
■фГА + ФГ*"1 ф{+1 + ф{ ф#! + ф{+1 ф!+1 + ф|
2 ~ 2 2 "" 2
t д ~- =-
т ' Л
«Т-(/{Й + /{+1 + /{+1 + /|). * = о,«-1, / = 0,111-1,
ф? = *°(*0. i = o7^
Фо = ^о(^)| J = 0Tmf
имеет второй порядок аппроксимации.
5.19. В методе Галеркина для того, чтобы* и было решением
задачи Lu = /, требуется выполнение интегрального тождества
\Lu — /, v) = 0 для любого v e Я.
«Для нашего случая перепишем это тождество в виде
Г /дм др , ди dv ди . ди ,2 ■ , \
J \д*й* дуду дх д§ [ J
. — + — а — и — Ь — v + о ии -\- ju) dx ay — 0.
127

Решение этого тождества будем искать в подпространстве Нп
пространства Н. Базис этого подпространства нам известен, еле-
п
довательно, ип = 2 aj(0i (*> У)- При этом тождество должно
г=1
удовлетворяться при любом vn e Нп Это равнозначно
выполнению п уравнений
да, . о \ \ ' С
— b —} (о. ~\~ с (о .а). \ dx dy =: — I fw.dx dy, i ~ 1,«.
dy l J lj \ J l
J D
To етть мы пришли к системе литтейиых алгебраических
уравнений относительно а,:
2 v^tv ' = 1'п-
5-1
5.21. По условию задачи выполняется равенство
Базисные функции r\i)\x) удовлетворяют условию
2'^ij ^ = * Аля любого * е ^*
Следовательно, суммируя равенство (1) по £, /, приходим к
уравнению
-£Г(0\1) + Ии\0Л1, 0 = 0. (2)
Второе слагаемое в этом уравнении имеет вид
С Ид^дО^__ди^ дО^\ dD =
J J \ 0з \ <ty / <9г/ \ дх j dx dy dy dx)
JJ\dx\ dy j dy\ dx})
. D
Эта цепочка равенств является следствием правила
дифференцирования произведения функций. Последний интеграл
равен нулю в силу периодичности краевых условий.
123

Отсюда следует, что
5.25. Для устойчивости разпостной схемы необходимо,
чтобы было ограничено решение разностной схемы
^ + а '+\ г = 0, ф}^, _ (1)
i = 0, ±1, ±2, ..., / = 0, m-1, m = r/x.
Покажем, что мчЕ-раапостцая сАема цеуиойчива. Пусть gi==
= ( —1)*е. Тогда ф{+1 = (1 + г)ф{ —гф{+1, где г'= а -у > 0.
При / = 0, 1, ... получаем следующие равенства:
ф) = (1 + г)(- 1)'е - г (- 1)*+1е - (1 + 2г)(- 1)'в =
= (1 + 2г) ф? ,
Ф* = (1 + r)(i + 2г)(- 1Уг -- г (1 + 2г)(- l)i+1e =.
-(1+2г)2ф°«,
Ф? = (1 + 2г)^г
Отсюда
|| Ф^|!фЛх - max I ф{ I = (1 + 2г)[Т/х] max \g{ I =
= (1 + 2г)[^1||^||Слт.
При фиксированном Г и /г, т->0 первоначальная ошибка в
начальных данных (—1)*е очень быстро растет и не ограничена
никакой константой.
Следовательно, разностная схема (1) неустойчива.
5.30. Проверим устойчивость разностной схемы по
начальным данным. Будем искать решение однородной разностной
схемы, удовлетворяющей краевым условиям <pj = Ф^ = 0, в
виде
ф£ = qtylsin (nmkh) (=g4(wt))-
Тогда для q получим следующее уравнение: '
о2 — 2а + 1 4 . о mnh
%1 т т h ^
9 В. И. Дробышевич, В. П. Дымников. Г. С. Ривин 129

Учитывая, что т/h — 1, имеем
y_2(l-2sin2^)<7 + l=0,
q2— 2cos(mnh)q + 1=0,
^i»2= cos(mjl^) ± i sin (mnh).
Таким образом, существуют два линейно независимых
решения:
cos(m/nu)i|)(m) и sin-(mjnh)ty(m\
и общее решение есть
Vh ^ 2 (am cos (minh) + hm sin {rajnh)) f™K
m = l
При / = 0 и при / = 1 получаем соответственно
т=1
п-1
ат cos (wri) + bm sin (Mi) - am (m)
Jl) = V am cos ^ЯП) i- pw S1D (m™> ~ am fi
m-i
Если am и pm — коэффициенты разложения g(A0) и g^no
векторам i|)(m>, то нетрудно получить, что
1 — cos (z\mh) т
m ~ m sin (nmh) ~*~ Pm sin (nmh)'
Подставив am, 6m в '(1), после очевидных преобразований
получим "
ffi_ V / cos ((/—0,5) тя/г) , xsin (jmnh) fi \ (m)
^h JU I r"^fc m ^ sin (тлЛ) Hm I *k '
cos~2*
Так как при h -> 0
„л„ (и —• 1) яЛ л/i
cos - -— _ cin — _>. о
2 ~~ 2 '
то наша разностная схема неустойчива.
5.31. Для нахождения ^значений ф?+1 па каждом шаге
по времени приходится решать систему алгебраических
уравнений •
Ф$+1 = фН'.
130

Матрица Л этой системы обладает следующим свойством;
«м>0, fc = l,.n + l,
'eM>"SaM- Л = 1, n + 1.
Из первой теоремы Гершгорина следует, что А,(Л) =^=0.
Поэтому существует А~х и ф*+1 = А~\*, где Ф* = [ф^,..., Ф^] •
Элементы матрицы А~х неотрицательны (см. решение задачи
1.57); поэтому разностная схема монотонна.
5.42. Рассмотрим следующую разностную схему типа Кран-
ка — Николсона, имеющую, как нетрудно убедиться, второй
порядок аппроксимации по т и h:
«pj+1 -ф! к}лт± Ы+\-ф{-1 ф1+1-ф1-Л
i 1 f*i-H Фг + l N-l ^i-l , N+l Фг-Н"~~ i-l ^i-l )==z
2 \ 2Л 2fc /
— Ji > i = 0, n, /=0,m —1,
ф^ = ф4+1. 4Х\ = <р1+К фЗ = *(*<)•
где fc{+1/)! = fc(«'+1/2,xi), /|+1/, = /(^+1/8,*1).
Обозначим
Для нахождения q>j+l по известному ф^ требуется решить
систему уравнений
Фо ^ТС1/2, Ф1 ТСп+1/2Фп —
— Ф0 — тс1/2 фх -t- тсп+1/2фп -f- т/0 ,
«,5+1 ! ТЛ5+1/2гп5+1 __ Tri+i'2mJ+i _
= (pi _ xc't^avJ. 4- Tc?+1(2a)> 4- т/>+1/2
— Vj TCi+l/2^t + l ^ lCl-l/2^i-l r T/j »
i = l, И— 1,
9* 131

'cpi+i j_ TJ+l/2fJ+i __ TJ+i/2ff)5+i _
Tn T T>cn+X/2YQ TCn-i/2™n-l —
— rni __ Tri+l/2 (J i tJ+l/2ff)j ? -./5+1/2
— Фп тсп+1/2^0 ^ TCn- 1/24V-1 T- Vn •
В матричном виде эту систему можно записать так:
(Е + тЛ) cpj+1 = (5 - тЛ) Ф5' + T/i+1/2, (1)
•где
Л =
0
__ J + 1/2
С1/2
©
0
J+1/2
.■ п+1/2
J+l/2
С1/2
0
' С3/2
0
0
0
J+1/2
С3/2
0
0
0
0
0
0
0
__ J+i/2
Cn-i/2
cn+l/2
0
0
ci+i/2
Cn-l/2
0
n' =
Фо
ф{
Ф2
Фп-i
ф£
f
i + 1/2 _
'/i+1/2
'o
/i+i/2
'1
/i+1/2
/2
/i+1/2
/n-i
/i+1/2
In
Введем пространство Ф/1Т:
At,
Ф
фЛт^
рФл* = {(*', *.)[/ = О, те, i=0f л},
(n \l/2
г=о / 0<i^m
ФЛ
Здесь Фл — пространство сеточных функций с областью
определения {хг | i = 0, л} и нормой, введенной выше при
определений нормы в пространстве Ф/1Т. Аналогично введем
пространство Fh% и Ghx.
Из (1) следует, что
Иф'+1112< UE + iA)-\E-xA)hWh + T||(^ + T^)-i||2||/i+i/2||2.
Так как А — кососимметричная матрица, то (Лф, ф) == 0.
Следовательно,. • „
||(£ + тЛ)-Ч12< V ||(£ + тЛгчя-тЛ)||2=1
(доказательство этих неравенств см. в МВМ, стр. 21, 22, 250).
132

Таким образом,
11ф^,1|2^11фЛ12+Т|1Я + ,/2||2.
Умножив левую и правую части этого неравенства на у/*,
приходим к неравенству
или, усиливая неравенство,
Из этого неравенства следует, что
l *j+1 К < I». К+* I /Лт К < И ^ К +т«fhx К-
Поскольку Это неравенство имеет место для любого -/ ^ Г/т и
любых fhx и ghx, то .
«ф"11Флт<11^//«Лт + у|1Л11Пт
и, следовательно, разностная схема устойчива!
5.48. Пусть при х = 0, 1 # == 0, 1 заданы граничные условия
и(*, 0, у) = т|о(', 0), и(^, It У) = Л|(*э
и(*, ж, 0) = ф0(«, х), u(t, х, 1) = ф,(*, ж).
На (/ + 1)-м временном шаге имеем очевидпые граничные
условия
■ <У=\ (*,+I. *«)=4jy. ф^1=\ (<т. уд=niy,
Для того чтобы получить граничные условия на
полушагах, выразим ipi+1/2 из второго уравнения разностной схемы
ф5+1/2 = ф;+1 _т д2 (ф*+1 _ ф;)# (1)
Формула (1) должна выполняться при х = 0 и х = 1, иначе
значение (Л2ф'+1/2)Л j не будет определено при к.'= 1 и
& = п — 1.
Если граничные условия удовлетворяют (1), т. е.
ni+ih=K+i-r*M+i-x),
W,+1/2 = <+1-TA2(r,£+i^),
133

то общий второй порядок аппроксимаций по пространственным
переменным не изменится.
5.62. Доказательство следует из непосредственного
перебора значений х(Л> и y{k). В самом деле, х^ = у^\ так как в
расчетные формулы входят одни и те же значения на границе и
х2 = уз1 Х6= уг в свою очеРеДь Х2Х) = ^з^' так как
используется одно и тоже значение на границе и х^— у|[, х®— у^, х{^=
Перебирая таким образом элементы векторов x<!> и t/(l),
приходим к равенству #(,) = у{1).
С помощью аналогичных рассуждений следует, что я(2) =
= yW и т. д.

ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ
ГЛАВА 1
1.7.^ Найти пример матрицы, противоречащий условию 4)
определения нормы матрицы.
1.9. Проверить условие 4) определения нормы матрицы для
А = Е, В = Е.
1.17. 1) МЦ* = max У | а.-1 ~
п *
..2) Ml. = max2 |aiiiljf
3) «ли. = /рЩ,
1.18. Проверить условие ||
11 уъЛ
"ftiVhj-
= 1.
1.23. 1M|| = ||^9-ML. где S = [_\/h JJ.
1.24. ми-Ц/м/г-1!)^, .
R =
1
1
1
Li
1.27. Воспользоваться равенством
Ahx =
= кк(А)
X.
0
1
1
1
0 .
0 .
1 .
1 .
. 0
. 0
. 0
. 1
'
1.33. Воспользоваться второй теоремой Гершгорипа.
1.34. 1,6 < X, < 2,4, 3,5 < 12 < 4,6, 4,8 ^ Х3 < 5,2.
1.35. 1,8 ^ X, ^ 2,2, 2,5^ Х2 ^ 3,5, 3,8 ^ Х3 <4,2.
1.36. Показать, что матрица симметризуема
преобразованием подобия.
1.37. Воспользоваться теоремой Таусски.
1.-39. А = (аЕ + К), а > О, КТ = - К.
1.51. Нет.
1.54. Воспользоваться первой теоремой Гершгорипа.
, 1.55. "Воспользоваться теоремой Таусски.
135

ГЛАВА 2
! т;пМ mfxia«i1 + a
2-6-TT^ maxla,,! < COnd°° <Л> < min I a„ I T^*
i ' i
2.7. condoo(fl) = n2n->.
1 ai ai
2-8'— — <cond00M)<» —.
/I 71 v
2.12. ||5 -Л-ЧК 2,05.
2.13. а) Множество S — эллипсоид с полуосями К и ^2, ta;
б) И|12 = 84,74; lU-Ml^o^gs; cond, (Л) = |^|.
л. II ф-Л-'/fc 0,8474
' IM-VII2 ^0,0588-
2.18. <р = [*г, р|г, 6 = ^|, х = у - 0Z,
2.25. cond2 (Л) = cond| (5).
2.28. .)Cl (-!")'+ С,(4)1£
. 8)^24^2';
ДС^' + ^Ы)1;
e) CjCOs (/ф) + C2 sin (up), cos ф = 0,6.
2.29. Ф, = (4-)'-
•З0-Фюооооо- yf{[—2—) (-T-) У
2^
2.31. ф, = a + ±ZL£ f.
я Л2 / i'fe
2.32. ф{ = 1 — у + ih — ^ I sin -j sin
sin — V
(' + i)h
sm-2
2
+ ...
• ...+ sin
136
(^»)-т>

2.35,
2.36,
2.37,
2.38.
2.39.
-, № = Cicos—.
1 ЛЛ (Ь
^ = ¥icos7T- I'm
ткп
4 . ,/2fr —1я\ ,,т1 „ . (т\2к-\)
4 . оД — 1 я\ , ' л Д--1 2т-1
4/ . « ря . .,оя\
2.40. Я,
4 = ^sina2^
4 / о ря о ?я\
V? = ^(sin 27T + Sin 2^j>
»/2у-1я\\
\2n-i l)y
f . . \
"P.9 =
= ^(Sin 2T + Sin (2^M"2
= Csinl£?Sinf*i2bl)„Y
n \ 2re — 1 /
2.42.
n \ 2re —
'•* n \n-l 2 J
4/.2/2р-1я\ . ,/2g-l я\\
■ *P.*-^(s,n (2T^iTj + s,n(2irrTTjJ'
- 1 2 / ^ °'" \2n - 1
'2p-l . Л . /27 — 1 , \
ГЛАВА 3
3.1. / = -J_-£
0 In a 4'
3.3. t
7+1 =
Bty}, В =
3.4. t'Y = ВЦ3, В =
0,99 100 1 Г0|
0 0,99J' Y Ul
]-H5} ■
0,1 4
3.7. Воспользоваться теоремой Гамильтона — Кэли.
1
3.8. Tj = ^, / = 1, л.
341. T<26/Ji4f.

3.12. Использовать, результат 1.42.
3.17. Ф£у = 1(фЬ+1 + <i-i + <+!,г + 4-u)+*fk.i,
s /С, Z = 1, П — 1,
Дас = —-In (cos ли).
3.18. Совпадает с 3.17.
з.19. ф£у = |(Ф^+1 + V^i1 + 4+i.i + 4tb)+*fk.v
к,1 = 1,п — 1,
Лас = — 2 In (cos 3ih).
3.20. Ф|? = (1 - т) ф^, + | (<p»iI+1 -f ф»« х +
&, г = 1, « — 1,
- 2
k' ac \l+sinnfcj
1 + sin лЛ
8.21. Ф^,1 = <fSk>l - т, (4ф>_, - (fi+1<i - Ф(_1Л - ф5(+1 -
-фЬ-1-А\/).
/с, Z — 1, л — 1,
1
ti *=
2[l--costtucos(~/ - я) j
р = _ 4 in. 2cos8jl/i
ас 8 (l + sinrc/i)8 — (1— sinnu)8'
3.22. ф»у = (1-х) фЬ + т(^^Ь + У,ф£+Ы + *
+ Ч^М-i + йМ<<+1 + ^,/)» *• l = !.«-!•
3.26. х ^ 2, х ^ 0.
3.28. Сходится.
3.29. Сходится. Воспользоваться теоремой Таусоки.
3.31. 0 < х < 1/оь.
3.32. Совпадает с /?ас из задачи 3.17.
3.33. Совпадает с /?ас из задачи 3.19.
3.35. х0П1 - * «ас = _ In^-^,
>'бд ас >'д + Кб
138

3.37. топт = -4=, Rac = -2 In УЬ-УЪ
опт. УЖ ас VA + V&
3.39. Использовать результат 3.37. .
3.43. Использовать результат 3.37.
4
3.48. в) JJ ||^_тЛЛ||2 ^ 35,04;
г) Щ (Я-т^Л) s 0,619,
IU=1 2
3.56.. N =
3.57. # =
3.58. ЛГ =
/ , 13,81\
1 6,91 \
entie41 + W
/ 3,45V
entiei ^1 + —^J.
Г Л А В А 4
4.1.
4.2.
и(х) =
^^t'+k-W
кфО,
fc = 0.
Сходится с первым порядком при
рядком при и
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10
4.11
4.17
e= C\ * Ss 2.
Нет; да.
а = к
0(h>).
0(h*).
0(h).
0(h).
0(h*).
. OLi =
. Нет;
•=1/12, p = 5/6.
*
Р< = Т< = 1/2, t-
фо = О, ф! •= h.
. с ^ я2 — б, 6 > 0.
•
= 1. 2.
4.24. gl(x)~yl_l + Xt_Xi_i(x-xl_l), i = i,n.
4.25. wo == «n,
~ — mi_1 + 2mi + _ m i+ =
6 //<+!-/< /f-/i-A . —
n n
139

6 lh~h \
4.26. 2m0 + mL = ;—- —^ - a\,
1 0 \ 1 0 /
■ m.., + 2rni + ;;х_*^ ™i+1 =.
„ __ i -_—__—-_ l ^—^/г —jf
xi+l ^i-lV^i+l *i xi xi-lj
mn_1 + 2mr
г = 6 (» _/^^-у
n. re — a: , \ n x — x . !
"n n~i\
4.31. Устойчива при О ^ 1/2.
l2
4.33.|(и)л-фЛ|Фл<СЛ2
4.34. ||(«)л—
4.35. Разностная схема неустойчива, сходимости нет.
4.36.'|(«)Л-ФЛ||ФЛ^СЖ
4.37.|(«)Д-ФЛ||Ф/1<СЛ.
4.38.||(«)л-ф"1Фл<^.
4.39.||(и)/1-фл|ф/1<СЛ2.
4.40. Разпостная схема неустойчива, сходимости пет.
4.42. J| (и)л — ф71 |]Фл = const =^ 0.
4.43. |(и)л-ф*|фл = соше,ьО,
4.44.|(«)л-ф"|ф/1<СЬ.
4.45. ||(«)/1-ф"||Фл<СА.
4.46. |(и)л-^фЛ|ф/1<СЛ2.
4.47.|(и)л-ф*|фд<СЛ.
4.48. ||(«)Л-ФЛ|ФЛ<СЛ2.
4.49. K-4>hk<C*-
4.50. a) 0(h), б) (ф, - ф0)/Л = -1 + А/2.
в) h < 0,000017; h < 0,006.
140

4.51. ||(«)л-ФЛ||Фл<СЛ2.
4.52. |К-Фл|фл<С'Л.
4.53. |(и)л-Ф*|фл<СА.
4M.\(u)h-<?%h<Ch.
4.55. |(»)л-Фл|фл<СА.
4.56. |(«)'л-ФА|фл<СЛ\
4.57. |(«)л-Фл|фл<СЛ».
4.58. Разностная схема неустойчива, сходимости нет.
4.«.|(и)л-ФЛ|фА<СЛ».
ГЛАВА 5
5-М (S («)ах - Мь)^ | = О (т, Л2, !-).
S-3.(£ft(«)A),lfc=(A%yk+0(As). _
5.5.9 — 2 — 12т"
5.6.||LAt(««)At-/ft^ftt<C1T« + Ctfc*.
5.10. Использовать схему Крапка — Николсопа.
5.16. Использовать схему Кранка — Николсопа.
5.24. Устойчива при любых т и h.
5.25. Неустойчива при любых т и h.
5.26. Неустойчива при произвольных т и /г, при т = г/г2 (г =
= const) устойчива.
5.27. Устойчива при т/h ^ 1.
5.28. Неустойчива при любых т и h.
5.29. Для 0 < 0 ^ 1/2 устойчива при любых т и /г, для 1/2 <
< 0 ^ 1 устойчива при т//г ^ 1/(40—2).
5.33. При т/А ^ 1
141

5.36.При т/А2 < 1/6
ьж^-^Ц^с^ + с^.
5.40.|(«)А,-ф*Ч|фЛт<С1,» + С,Л .
5.41. Использовать результат задачи 5.13
5.42. Использовать результат задачи 5.35.
5.43. Использовать результат эадачи 5.37.
5.46. Использовать схему Кранка — Николсона.
5.47. Использовать схему Кранка — Николсона. •
5.63. топт = 4/3, йас = - In 4" « 1,1. ^
5.64. max 16; | -j- < 6.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л, В, С,...'— матрицы
114 = 2 Ы
i=l
I* и.
п \1/2
Si*ii*
1Иоо= max \xi\
l<i<n
Ыс=(Сх, x)V\ C=C*, С>0
к(А) — собственное число
матрицы А
р(А).— спектральный радиус
матрицы А
Ат — транспонированная мат-
. рица А
А* — матрица, сопряженная-
с А
Е — единичная матрица
А ^ 0 — положительно полу-
определениая матрица
А > 0 — положительно
определенная матрица
ац — элемент матрицы А
/ п \i/2
Л/ (А) = n max |я.. [
N11,= тахп2|в.;.|
ui--£& 2|««1
(.,.) —" скалярное
произведение
сопйм (А)> = М-ЧмШи
Т — оператор шага
Df — область определения
функции /
Г, дЪ — граница области D
i — мнимая единица
Ф, of>, е, б, ... — сеточные
функции
и, v — решение
дифференциальной задачи
|| vie = max I "(*) I
X€=Du
Pk — пространство полиномов
степени к

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 3
Введение * , « 5
Глава 1. Нормы векторов и матриц. Собственные числа
и векторы. Определенность матриц \ . . 10
§ 1. Определения. Теоремы . . . \ 10
§ 2. Задачи 11
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
алгебраических уравнений 17
§ 1. Определения. Теоремы 17
§ 2. Задачи 19
Глава 3. Итерационные методы решепия систем
линейных алгебраических уравнений .... 23
§ 1. Определения. Теоремы 26
§ 2. Задачи 23
Глава 4. Разностные схемы для обыкновенных
дифференциальных уравнений 36
§ 1. Определения. Теоремы 36
§ 2. Задачи 42
Глава 5. Разностные схемы для уравнений с частными
производными . 57
§ 1. Определения. Теоремы 57
§ 2. Задачи ; . ' . 59
Решения g s -, ? 76
Ответы. Указания 135
Основные обозначения 143

ОПЕЧАТКИ
Стр.
8
28
36
67
90
93.
93
100
101
121
129
Строка
7 снизу
8 сверху
' 6 снизу
4 сверху
17 сверху
5 сверху
4—5 снизу
6—8 снизу
13 сверху
10 сверху
7 сверху
Напечатано
/1,1-* 0
2
Tj = 9(A) — *U) —
h и С, что для всех
ф9 = сг(о)
/' (х) -ах1па +
+ 4а*-1 + 4*ах-1 х
X In а,
Фл-и + Фн.и +
+ фЬ+i + фЬ-1
Ф/i^u Фл.г-i
—фЦ1,/-фЬ+1
2 г л о л
0 < cos — < cos —,
i = 1, п— 1;
поэтому
В условии задачи
п — четное число,
следовательно,
ф£Ь + фЙ-1 +
+ Фл+u + Ф^г+i
+ phx*"1 t±yuxP-iy
эта разностная
схема неустойчива.
Следует читать
лЙ01(м)Лх|фЛт
2
tj~ pMJ + a^-
Ti и С, что для всех
г г ьг »
/"(ж) = ах(1па)2 +
+ 8ах_1In a +
+ 4^а5с~1 (In а)2
4(фл-и + Фл+и +
+ фЬ+1 + Фл.^1)
-1(ф£±Ь+фЙ-1 +
+ <pi+1,i+viJ+i)
В условии задачи
дг — четное число,
следовательно,
2 in о п
0<cos v<C0s 7Г>
i = 1, тг— 1;
поэтому
1(ф^и + ФЙ-1 +
+ фЦи + фЬ+1)
+ рДяр-1 Дуихр-1у
существует
неограниченное решение
схемы (1).