МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
В ПОМОЩЬ ПОСТУПАЮЩИМ В МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
МОСКВА 1969
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
В ПОМОЩЬ ПОСТУПАЮЩИМ
В МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Н. Н. ВЗОРОВ, И. Н. НИКОЛАЕВ, Г. И. ПАНТЮХОВ, Ю. И. ПЛОТНИКОВ, И. С. РОМЧЕНКО
МОСКВА 1969
Настоящий сборник составлен с целью дать представление о характере и степени трудности задач, которые могут быть предложены на вступительных экзаменах поступающим в Московский инженерно-физический институт.
Все задачи снабжены подробными решениями.
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКА
Vх 1. Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться равноускоренно и проходит первый отрезок за время т = 1 сек. За какой промежуток времени Тд тело пройдет 9-й отрезок?
2.	Блок укреплен на горизонтальной оси. Через него перекинута нить с укрепленными на ее концах грузами, массы которых равны Ш\ = 0,15 кг и т2 = 0,05 кг. Найти разность сил, действующих на ось блока в случаях, когда блок жестко закреплен на своей оси и когда он свободно вращается без трения. Массой блока пренебречь. Считать, что нить нерастяжима и нс проскальзывает по блоку (рис. 1).
3.	Стержень АВ весом Р = 5 н, который может вращаться на шарнире А, удерживается в равновесии горизонтальной проволокой ВС. К концу стержня подвешен груз весом Q = 30 н. Определить натяжение проволоки Т, если угол а, образуемый стержнем с вертикалью, равен 45° (рис. 2).
4.	На одной чашке весов находится груз весом Р= 1,2 н, на другой — весом Q= 1,1 н. На каком расстоянии от центра коромысла весов надо подвесить гирьку весом q = 0,4 я, чтобы весы были в равновесии? Длина коромысла I = 0,2 м.
5.	Тело массой т = 0,2 кг брошено с начальной скоростью щ = 50 м/сек под углом а = 30° к горизонту. Найти приращение количества движения тела за время от начала полета до падения на землю.
6.	Мяч массой т = 0,2 кг подлетает к стенке под углом а = 30° со скоростью v0 = 5 м/сек. Удар мяча о стенку абсолютно упругий. Время удара т = 0,01 сек. Найти среднюю силу, действующую на мяч во время удара.
7.	Из игрушечной пушки, установленной на полозьях, произведен выстрел шариком, масса которого т = 0,025 кг,
3
После выстрела вследствие отдачи пушка сдвинулась на расстояние S = 0,01 м. Найти скорость, с которой шарик вылетел из пушки, если масса пушки М = 0,5 кг, а коэффициент трения между полозьями и полом k = 0,1.
8.	По гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а 10°, начинает соскальзывать ящик с песком массой М -- 26 кг. В момент, когда ящик прошел путь

Рис. 1.
S = 1 м, в него попадает камень массой т = 2,5 кг, летящий под углом р = 20° к горизонту. Какова была скорость камня v, если после его попадания в песок ящик остановился?
9.	Тело массой т\ = 1 кг ударяется неупруго о покоящееся тело массой /Пг = 2 кг. После удара тела движутся вместе. Какая часть кинетической энергии расходуется при этом ударе?
10.	По наклонной плоскости снизу вверх пускают тело с начальной скоростью и0 = 2 м/сек. Поднявшись на некоторую высоту, тело соскальзывает по тому же пути вниз. Какова будет скорость тела, когда оно вернется в исходную точку?
Коэффициент трения между телом и плоскостью равен k = 0,6. Угол наклона плоскости а = 45°.
II.	Какую мощность затрачивает человек на движение саней, если он тянет их в гору равномерно со скоростью v =0,5 м/сек? Масса саней т = 10 кг, коэффициент трения
4
между полозьями саней и поверхностью горы k = 0,1. Угол наклона горы а = 30°. Веревка, за которую привязаны сани, натянута под углом 0 = 60° к поверхности горы.
12.	С высоты h = 5 м бросают вниз тело массой т = 0,2 кг с начальной скоростью v = 2 м/сек. Тело углубляется в грунт па I = 0,05 м. Найти среднюю силу сопротивления грунта.
13.	Вследствие толчка грузик, привязанный на нити к потолку. движется по окружности с частотой v = 0,8 сек"х.
Найти расстояние между плоскостью окружности и потолком (рис. 3).
14.	Шарик массой т = 0,1 кг, укрепленный на конце легкого стержня, длина которого /=1,27 м, вращается в вертикальной плоскости. В верхней точке шарик имеет скорость t>o = 4,13 м/сек. Найти силу Т, с которой шарик действует на стержень, в нижней и в верхней точках траектории.
15.	Тело массой т = 0,1 кг соскальзывает без трения по наклонной плоскости, переходящей в цилиндрическую поверхность радиуса /?. Определить силы давления тела на поверхность /а и /в в точках А и В в случае, когда тело соскальзывает с высоты /7 = 3/? (рис. 4).
16.	Гоночный автомобиль массой т = 600 кг движется вдоль экватора с востока на запад, а затем с той же скоростью v = 600 км/час относительно земли в направлении с запада на восток. Найти разность давлений автомобиля на поверхность шоссе в этих случаях.
5
6
17.	На какой угол от направления к центру Земли отклоняется нить со свободно висящим грузом на широте <р = 45е, если учесть вращение Земли (рис. 5)? (Гравитационная постоянная у = 6,67 • 10-11 м3)кг •	масса Земли
М = 5,96-1024 кг.)
18.	Период обращения спутника Земли по круговой орбите равен Т = 105 мин. Высота полета h = 1200 км. Найти скорость и ускорение спутника, если средний радиус Земли R = 6370 км.
19.	Найти отношение периодов обращения Тз и Т;\ спутников, один из которых движется вокруг Земли, а второй — вокруг Луны. Круговые орбиты обоих спутников пролегают на одинаковом расстоянии h — 200 км от их поверхностей. Радиусы Земли и Луны равны /?з = 6370 км, /?л = 1735 км, а их массы Мз = 5,96-1024 кг, М\ =7.35 X X Ю22 кг.
20.	Двигатели метеоракеты с вертикальным взлетом работают Т1 = 10 сек, в течение которых ракета движется с ускорением а = 4 g.
1.	Найти наибольшую высоту h подъема ракеты.
2.	Построить графики зависимости скорости ракеты от времени и высоты над поверхностью Земли.
3.	Сравнить времена подъема и падения ракеты.
Сопротивлением воздуха пренебречь.	j
7
ТЕПЛОТА, СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
21.	Кривые 1 и 2 на рис. 6 изображают процессы изотермического сжатия — расширения одной и той же порции идеального газа. Указать, в каком из процессов температура выше.
22.	Одинаковые массы одного и того же газа находятся в баллонах объемом Vi = 5 л и У2 = Ю л при давлении
Pi = 1 ат и р2 = 2,5 ат соответственно. Баллоны соединены трубкой с краном, который в начальный момент времени перекрыт. Затем кран открывается. Определить давление в баллонах после установления равновесия.
Теплоемкостью баллонов и соединительной трубки пренебречь.
8
23.	Баллон объемом V = 2*10-3 м3, наполненный газом, взвешивается дважды. При первом взвешивании давление в баллоне равно р\ = 1,13 • 105 н/ж2, при втором взвешивании, после некоторой откачки, давление в баллоне снизилось до р2 = 0,28- 105 н/м2. Вес баллона в первом случае на ДР ==- 0,029 н больше, чем во втором. Температура газа в баллоне в обоих случаях одинакова и равна Т = 300° К.
Найти плотность газа при нормальных условиях.
24.	При каждом ходе поршневой компрессор захватывает Уо Ю дм3 воздуха из атмосферы при нормальных условиях и нагнетает его в резервуар объемом V = 10 м3. Температура воздуха в резервуаре поддерживается постоянной и равна Т = 323° К.
Сколько ходов должен сделать поршень компрессора, чтобы повысить давление в резервуаре до р = 10 ашм>
25.	По исследованиям, проведенным аппаратом, доставленным на планету Венера советской автоматической межпланетной станцией «Венера-4», давление рв у поверхности Венеры примерно в 18 раз больше нормального давления рз, а температура Г» равна примерно 550° К. Допуская, что атмосфера на Венере состоит практически из углекислого газа, определить плотность ее у поверхности планеты. Плотность воздуха при нормальных условиях qo = 1,29 г/л. Температура у поверхности Земли Тз = 273° К.
Примечание. Отношение констант в уравнении объединенного газового закона для единицы массы углекислого газа и воздуха равно
У = Ссо2/С’воз1 -- 0,68.
26.	Для проведения подводных работ на дно водоема опущен стальной кессон, имеющий форму цилиндрического стакана (рис. 7). В кессон накачивают воздух, чтобы вытеснить из него воду. Глубина водоема в месте работ h = 20 м.
Какое давление следует создать в кессоне, чтобы уровень воды в нем установился на / = 20 см выше уровня дна водоема?
27.	Стеклянная трубка длиной 2/= 1 м, запаянная с одного конца и открытая с другого, согнута посередине под прямым углом (рис. 8,а). При этом открытое горизонтальное колено полностью заполнено ртутью. Насколько переместится ртуть в трубке, если ее наклонить в вертикальной плоскости под углом а = 30° к горизонту (рис. 8,6)?
Атмосферное давление равно HQ = 750 мм рт. ст.
9
10
28.	Цилиндрический стакан плавает в воде так, что его края находятся у поверхности воды, когда он наполовину заполнен водой (рис. 9,а). Вынув стакан и вылив из него воду, погружают его вверх дном на такую глубину z, где он находится в равновесии — не всплывает и не тонет (рис. 9.6).
Рис. 9.
Определить эту глубину. Атмосферное, давление ро=Ю5 н/м2. Толщиной стенок и дна стакана пренебречь.
29.	После прекращения действия силы, удерживающей пробковый шар массой т = 100 г в воде на глубине Aj = l м, шар вынырнул из воды и поднялся на высоту Л2 = 1 м над поверхностью воды. Определить среднюю силу сопротивления воды движению шара.
Плотность пробки р = 0,2 г!см3\ плотность воды р=1 г/см3. Сопротивлением воздуха пренебречь.
30.	В один калориметр помещены Mi = 1 кг воды и т\ = 2.1 кг льда, в другой такой же калориметр — М2 = 2,1 кг волы и т2 = 1 кг льда. В обоих случаях температура воды
11
одинакова Т = 323° К, а также одинакова температура льда т = 223° К. К моменту установления равновесия температура воды в обоих калориметрах оказалась одинаковой и равной То = 273° К.
Найти количества воды и М2 в каждом из калориметров к моменту установления равновесной температуры. Теплообмен с окружающей средой отсутствует. Удельные теплоемкости воды и льда равны = 4,2-103 дж)кг*град и сл = 2,1 • 103 дж/кг* град соответственно. Удельная теплота плавления льда X = 33,6 дж)кг. Теплоемкостью калориметров пренебречь.
31.	В калориметр с водой при температуре То = 273° К погружают кусок алюминия массой пг = 0,1 кг, нагретый до О = 778° К. При этом температура воды в калориметре повышается до Т = 278° К, а часть ее выкипает.
Определить массу выкипевшей воды, если вначале в калориметре находилось М = \ кг воды. Удельные теплоемкости воды и алюминия равны св = 4,2 • 103 дж/кг^град и ся = 0,92-103 дж!кг* град соответственно. Удельная теплота парообразования воды равна г = 2,3- 106 дж!кг. Теплоемкостью калориметра пренебречь.
32.	При соблюдении некоторых условий можно нагреть воду при нормальном давлении до температуры свыше 373° К без того, чтобы вода закипела (перегретая вода). Пробирку, содержащую М = 0,06 кг перегретой воды при температуре Т = 391°К и нормальном давлении, слегка встряхивают, отчего происходит бурное вскипание воды. Определить, сколько воды останется в пробирке. Удельная теплоемкость воды в интервале температур от 373 до 391° К равна с„ =4,2-103 дж!кг*град, удельная теплота парообразования г = 2,3 • 106 дж/кг.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
33,	Электрон подлетает к точечному отрицательному заряду q = — 10~5 к (рис. 10). Находясь в точке А (гА =20 см), электрон имеет скорость vA =106 см!сек. На какое минимальное расстояние гв приблизится электрон к заряду q? Какова будет кинетическая энергия электрона, после того как он,
двигаясь в обратном направлении, окажется в точке С на расстоянии гс = 50 см от заряда q? Масса электрона т 0,91 • 10“27 г, заряд е = — 1,6- 10-19 к.
34.	Две металлические заряженные сферы взаимодействуют электростатически в вакууме с силой Л = 1,5 н. Определить силу взаимодействия F2 между сферами, если их погрузить в диэлектрическую среду с проницаемостью е = 3, обеспечив постоянство потенциалов их поверхностей. Расстояние между сферами значительно превышает их радиусы.
35.	Плоский конденсатор с площадью пластин S = 10 см2 и расстоянием между пластинами d = 0,2 см подключен к гальваническому элементу с э.д. с. $ — 2 в (рис. И). В пространство между пластинами конденсатора вводят плоскую металлическую пластину толщиной d\ = 0,1 см. Определить
J3
заряд, прошедший через элемент при введении пластины, если ее поверхность полностью перекрывает полость внутри конденсатора.
36.	Сопротивления /?2, подключены к источнику тока, как показано на рис. 12. Как изменится мощность,
выделяющаяся на сопротивлении если сопротивление /?3 охладить на 100° С? Температурный коэффициент сопротив' ления а = 5* 10“3 град~х.
14
37.	Две металлические концентрические сферы радиусами /?j и Ro погружены в диэлектрическую среду с проницаемостью е (рис. 13). На внутреннюю сферу помещен заряд Q Найти напряженность поля и потенциал внутри меньшей сферы, между сферами и вне большей сферы как функцию расстояния г от центра сфер.
38.	Две пары небольших шаров с зарядами q = 10 4 к, соединенных изолирующими стержнями длиной а = 0,05 м,
расположены так, как показано на рис. 14. Определить силу, действующую на стержень АВ. Считать массу стержня пренебрежимо малой.
39.	На рис. 15 показана простейшая схема прибора, который выделяет из ионного пучка ионы определенного заряда. Прибор состоит из плоского конденсатора С и узкой щели L, ось которой составляет угол а = 6° с плоскостью пластин. Длина конденсатора I = 20 см. Расстояние между пластинами d = 3 мм.
Вдоль оси 00' в конденсатор влетает пучок ионов одинаковой массы М, но с различными зарядами пе, где п--кратность по отношению к элементарному заряду электрона е. Энергия всех ионов одинакова и составляет W 105 эв. Определить напряжение U на пластинах конденсатора, при котором в щель попадут ионы с кратностью заряда и = 2.
15
16
40.	Цепь составлена нз сопротивлений = 10 ом, R2 = 20 ом, 7?з = 50 ом, емкостей Ci = 20 мкф, С2 = 5 мкф и источника тока с э.д. с. <£ = 1,5 в и внутренним сопротивлением г = 0,2 ом (рис. 16). Определить напряжение IJ2, которое установится на конденсаторе С2 после замыкания ключа /<.
41.	В некоторой области пространства, имеющей форму куба со стороной /, равной 1 см, существует однородное магнитное поле с индукцией В = 1 тл (рис. 17). В вертикальном направлении эту область с постоянной скоростью
v — 10 см!сек пересекает миниатюрная замкнутая проволочная рамка квадратной формы со стороной а = 2 мм. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной* индукции; стороны рамки параллельны ребрам куба. Начертить график 2—1155	17
зависимости э. д. с. индукции от времени, возникающей в рамке при ее движении.
42.	Две одинаковые лампочки мощностью Mi = 50 вт, рассчитанные на напряжение U = 12 в, присоединены к аккумулятору с внутренним сопротивлением г = 0,5 ом (рис. 18). После того как одна из лампочек перегорела, ее заменили другой лампочкой мощностью Af2 = 25 вт, рассчитанной на то же напряжение. Определить, во сколько раз изменится при этом коэффициент полезного действия аккумулятора?
Рис. 19.
43.	Радиоприемник настроен на радиостанцию, работающую на длине волны М = 25 м. Во сколько раз нужно изменить емкость приемного колебательного контура радиоприемника, чтобы настроиться на длину волны 2*2 = 31 м?
44.	Четыре одинаковых конденсатора емкостью С = 5мкф каждый подключены к источнику тока с э.д. с. ё = 2 в, как показано на рис. 19.
Определить, насколько изменится заряд на конденсаторе С2 после того, как конденсатор Ci будет пробит.
45.	Для определения сопротивления используется схема, показанная на рис. 20. Точность измерений должна быть не менее 1%. Каким должно быть внутреннее сопротивление вольтметра для того, чтобы при измерении сопротивлений /?1, не превышающих 100 ом, можно было вычислять сопротивление по формуле R , обеспечив одновременно необходимую точность?
18
46.	Амперметр теплового действия включают один раз в цепь переменного тока с амплитудой = 10 а и частотой п\ = 50 гц, а другой раз в цепь переменного тока с амплитудой /г = 50 а и частотой Пг = 100 гц. Определить, во сколько раз будут отличаться при этом показания амперметра?
Рис. 20.
47.	Электромотор питается источником постоянного тока, электродвижущая сила которого = 36 в. Определить мощность, расходуемую на приведение в движение электромотора
при протекании по его обмотке тока / = 10 а, если известно, что при полном затормаживании якоря в цепи протекает ток /о = 20 а.
8*	19
48.	К источнику постоянного тока с напряжением U (рис. 21) подключена нагрузка с сопротивлением R? через потенциометр с сопротивлением R. Как зависит потребляемая нагрузкой мощность от положения движка х потенциометра? Считать, что сопротивление Rx пропорционально длине' у. Рассмотреть также случай R > R2-
49.	В ванне для никелирования за время t = 2 ч на платите площадью 5=100 см2 образовалась пленка никеля толщиной d = 20 мк. Валентность никеля равна 2. При какой силе тока проводился электролиз? Плотность никеля Р =* 8,8 г!см\
ОПТИКА
50.	В помещении с зеркальным потолком, отражающим k = 0,73 падающего на него света, на высоте А = 2,8 м от пола висит лампа, сила света которой I = 100 св. Высота потолка Н = 4,3 м. Какова освещенность пола на расстоянии z*i = 5,2 м от лампы? Светом, рассеянным от степ, пренебречь.
51.	В фокусе вогнутого сферического зеркала радиуса г = 80 см, глубина которого равна половине радиуса, помещен точечный источник света /0 = 500 св. Зеркало отражает k = 0,78 падающего на него света. Какова средняя освещенность плоской поверхности, составляющей с осью зеркала угол ф = 45° и расположенной на расстоянии R = 100 м от него? Принять, что на этом расстоянии сечение отраженного пучка света в т] = 2 раза больше сечения отверстия зеркала (рис. 22).
52.	125 строго плоскопараллельных пластинок различной толщины и с различными показателями преломления сложены вместе и находятся в воде. На пластинки падает луч света под углом сц = 23°. Считая, что свет проходит все пластинки, найти, под каким углом ai27 он выйдет в воду из последней пластинки.
53.	В толще стеклянной пластины на расстоянии I = 2,2 см от ее поверхности находится небольшой воздушный пузырек. Наблюдатель рассматривает его в направлении, перпендикулярном к поверхности пластины. Определить, на каком расстоянии (от поверхности пластины) находится изображение этого пузырька, видимое наблюдателем. Показатель преломления стекла п = 1,5.
54.	Через стеклянную трехгранную призму с преломляющим углом a = 30° рассматривают звезду, находящуюся па угловом расстоянии р = 15° от горизонта. Сечение призмы представляет собой равнобедренный треугольник: Основание
21
22
расположено горизонтально (рис. 23). Каково угловое расстояние у от горизонта изображения звезды? Показатель преломления стекла п = 1,73.
55.	На оси тонкой собирающей линзы диаметром d = 4 см с фокусным расстоянием f = 10 см помещен точечный источ-
ник света / = 12 св на расстоянии а = 15 см от линзы. За линзой находится параллельный ей экран на расстоянии b = 20 см от нее. Какова средняя освещенность Е светлого пятна на экране? Линза пропускает долю k = 0,6 падающего на нее светового потока.
56.	Точечный источник света колеблется вдоль оптической оси объектива проекционного аппарата. Амплитуда колебаний а = 0,5 см\ его среднее положение совпадает с фокусом объектива; фокусное расстояние объектива f = 6,5 см. Экран находится на расстоянии / = 80 икот него; диаметр отверстия объектива d = 3 см. Каков максимальный радиус светлого пятна на экране?
57.	Фотограф, находясь на расстоянии h = 6 м от беговой дорожки, фотографирует бегуна в момент, когда тот находится от него на расстоянии I = 13 м. Скорость бегуна v = 8,5 м!сек. Какую максимальную выдержку может дать фотограф, если фокусное расстояние объектива фотоаппарата f = 7,5 см, а размытие на пленке не должно, превышать s = 0,5 мм?
23
58.	Расстояние от предмета до экрана L = 105 см. Топкая линза, помещенная между ними, дает на экране увеличенное изображение предмета. Если линзу переместить на I = 32 см, то на экране будет уменьшенное изображение. Каково фокусное расстояние f линзы?
59.	Предмет, находившийся вначале па расстоянии d\ == 21 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием f = 20 см, начинают равномерно перемещать вдоль оптиче-
Рис. 21.
ской оси на расстояние d2 = 26 см от линзы. Во сколько раз средняя скорость перемещения изображения больше скорости перемещения предмета?
/7	4	
1 л*		
Рис. 25.
60.	Найти построением изображение точки А (рис. 24) в системе двух тонких линз (рассеивающей и собирающей). F1? F' и F2, F'2— фокусы первой и второй линз.
61.	Найти расчетом положение изображения точки Д в системе собирающей и рассеивающей тонких линз (рис. 25). Фокусные расстояния первой и второй линз равны 24
fi = 10 см и fz = 12 см соответственно. Расстояние между линзами O1O2 = 21 см, AOi = 13 см.
62.	Две тонкие собирающие линзы и точка А расположены так, как показано на рис. 26. Если расстояние АО = 7,5 м, то изображение точки А, даваемое линзами, находится на бесконечности. На какое расстояние и в какую сторону надо
/7
О
Рис. 26.
передвинуть вторую линзу, чтобы при удалении точки А налево в бесконечность ее изображение осталось бы в бесконечности? Оптическая сила первой линзы D = 2 дп.
63.	Две тонкие собирающие линзы с оптическими силами Di = 0,5 дп и D2 = 10 дп расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами 210 см. На первую линзу падает параллельный пучок лучей под углом а = 10' к ее главной оптической оси. Какой угол 0 с осью составят лучи по выходе из второй линзы?
РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА
1.	Первый отрезок пути тело проходит за время = г? 
где / — длина каждого из равных отрезков;
а — ускорение тела.
Времена, в течение которых тело проходит расстояния l(n — 1) и In, равны tn_x = у —	 и tn- -- |х соот-
ветственно.
Отсюда находим промежуток времени, в течение которого тело проходит n-й отрезок
~-п ~ tn - tn- 1= J/'-y (J/Й- Y'n— 1) = т, (]/п — у п - 1);
Tg = 0,16 сек.
2.	Если невесомый блок жестко закреплен, то па его ось действует сила, равная сумме сил тяжести грузов mxg + m2g.
Когда блок начинает вращаться, эта сила меняет свою величину, оставаясь при этом равной удвоенному 2Т натяжению нити (рис. 27).
Натяжение Т нити может быть найдено из уравнений второго закона Ньютона, записанных соответственно для первого и второго грузов:
mxa = m{g — Т\ m2a = Т — m2g, откуда 1 —-----.
J .	tnx m<2
Искомая разность сил составляет /	।	\	4 m. т.»	(/л.--/»..)2 /л
(/и. 4- m2)g-----7-^- g — —-----— g — 0,49 н.
v 1 s 4- /n2 mi -f- m2 b ’
26
3.	Из условия равновесия стержня следует, что алгебраическая сумма моментов всех приложенных к стержню сил относительно любой точки равна нулю (рис. 28).
Чтобы исключить из рассмотрения реакцию опоры, составим уравнение моментов сил относительно точки /1:
Tl cos а — Р sin а — QI sin а — О,
где I — длина стержня.
Отсюда натяжение проволоки
Q)tga.-^32,5 н.
4.	Если коромысло весов находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к коромыслу, относительно точки опоры равна нулю:
P-^--Q^--xq = 0,
где х — расстояние гирьки q от точки опоры коромысла.
27
Отсюда
х — £^/ = 0,025 м.
5.	Приращение количества движения за малый промежуток времени равно
Д (mv) = FAZ.
Во время полета на тело действует постоянная сила Г = mg. Следовательно, тело приобретает дополнительно количество движения
А (/?ш) = mg-,
где т — время полета тела.
Это время может быть найдено из условия равенства вертикальной составляющей скорости тела нулю в верхней точке траектории:
i^sina —о, откуда __________________________2^ sin a т “ g *
Таким образом, приращение количества движения тела по абсолютной величине составляет
Zmv 1 sin a = 10 кгм!сек.
Этот же результат может быть получен из геометрических соображений (рис. 29).
Рис. 29.
6.	В случае абсолютно упругого удара при отражении мяча от стенки изменение его количества движения по абсолютной величине равно 2mt’0sina, где a — угол между стенкой и направлениями полета мяча до и после удара.
28
С другой стороны, оно равно импульсу силы Лт, где F— средняя сила взаимодействия мяча со стенкой за время т. Следовательно,
F=.2^osina =1(Х) н
т
7.	Ввиду весьма малой длительности выстрела можно пренебречь импульсом силы трения между полозьями и полом, которая возникает при движении шарика в стволе пушки, и считать количество движения пушки и шарика неизменными, тогда
mv — MV = 0.	(1)
TZ	и MV*	'
Кинетическая энергия пушки = —приобретенная сю в результате отдачи, расходуется на совершение работы А = kMgS
по преодолению силы трения между полозьями и полом:
Из соотношений (1) и (2) находим скорость, с которой шарик вылетает из пушки:
v —	\А2kgS — 2,8 м сек.
8.	Так как ящик с песком после попадания в него камня остановился, то количество движения ящика до остановки равно составляющей количества движения камня вдоль наклонной плоскости. Если учесть, что скорость ящика в момент падения камня равна V‘2Sg sin а, то М ] r2Sg sin а. — = mv cos (а + Р).
Отсюда скорость камня
v =-----у- .  V 2Sg sin а = 22 м/сек.
Ш COS (а + jj) г 6	1
9.	Если тело массы т\ имело начальную скорость то па основании закона сохранения количества движения тела после удара будут двигаться со скоростью
29
Кинетическая энергия тел после удара равна + т2 _	(т^-
2	2 (/zzj -- tn2)
Следовательно, доля энергии, израсходованная при ударе, равна:
9
/ /ад2 (/ад)2	\ . miyi__ т2 •______ 2
<	2	2 (т1; /Пи) ) *	2 тх -j- /п2	3
10.	Кинетическая энергия в исходной точке не может быть равна потенциальной энергии в верхней точке на высоте /г, так как на тело действует сила трения. Полная механическая энергия тела уменьшается на величину, равную работе против сил трения при подъеме тела:
— -----mgh = kmg cos а —:.	(1)
2 е*	&	sin а	4 7
Па такую же величину изменяется полная механическая энергия тела при спуске с высоты h
mgh -	= kmg cos а .	(2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно, находим
11.	Движение саней равномерное, следовательно, сумма составляющих сил, действующих вдоль наклонной плоскости, равна нулю:
Т cos Р — FTp — mg sin а = 0, где Т — натяжение веревки.
Сумма составляющих сил, действующих перпендикулярно к наклонной плоскости, также равна 0:
Т sin р + N — mg cos а = 0, где N — нормальная реакция плоскости. Из последнего уравнения находим Af:
N = mg cos а — Т sin р
и записываем выражение для силы трения:
Лтр — k {mg cos а — Г sin Р).
Подставляя F1? в первое уравнение, определяем Т\
~  k cos а 4- sin g
k sin p + cos [i
30
Мощность, развиваемая человеком, равна
k COS a -I- sin 7.	, о . г-
,	,---— mgv cos >> — 24,о вт.
k sin S -- cos 6 b 1
IF = 7’cos 8-v =z
12. Работа
A = Fl
(1)
против средней силы камня совершается за камня, которая равна
F сопротивления грунта движению счет убыли Д£ механической энергии
(2)
Приравнивая выражения в правых частях равенств (1) и (2) друг к другу, находим силу F:
H.
ЬЕ +
13.	Согласно второму закону Ньютона
mtzuc — 7’cos a, где T — натяжение нити (рис. 30); яцс ное ускорение грузика:
<« = J2L =
(I)
цептростремнтель
(2)
31
Натяжение нити можно найти из равенства вертикальных составляющих сил, действующих на грузик:
Т sin а = mg.	(3)
Подставляя Т из (3) и пцс из (2) в уравнение (1), получим:
4л2ти2/? = mg ctg а.
Заменив ctg а его значением -р (см. рис. 30) и решив получившееся уравнение относительно Л, найдем
h — ; .  = 0,39 м.
14.	Уравнения второго закона Ньютона в моменты прохождения шариком нижней и верхней точек траектории имеют вид:
— — 1, — mg;	(1)
2 пых
-± = T2 + mg,	(2)
где v — скорость в нижней точке: 7\ и Т2— силы, с которыми стержень действует на шарик.
Кинетическая энергия шарика в нижней точке равна
2 mv2 mvo . oz — = — + Ung,
откуда
и2 — и2 -j- 4gl.
Подставив это значение в уравнение (1), найдем
2
Т\ = т(^ + &) = Ъ,2 н.
Из второго уравнения находим z у2 \
Т2 — т(-т—gj = 0,36 я.
По третьему закону Ньютона силы Т\ и Т2 равны по величине силам, с которыми шарик действует на стержень. 32
15.	Уравнения второго закона Ньютона для моментов времени, когда тело находится в точках А и В (см. рис. 4), имеют вид:
™L = Nx-mg-	(1)
t 2
'^- = N2-\-mg,	(2)
где N\ и — силы нормальной реакции цилиндрической поверхности, с которыми она действует на тело.
Значения кинетической энергии тела в точках А и В равны: /пи?
ЁА = -ПГ — SRing',
Ев —	= 3>Rmg — 2Rmg = Ring.
Отсюда находим квадраты скоростей
v* = 6Rg-,
v22 = 2Rg.
Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), получаем:
Z	V? N
N, -fng{\ 4-	= 7 nig\
N2 - mg	- 1) ~ mg.
По третьему закону Ньютона
/д = Nt = 7mg — G,85 «;
fn — N.,~~mg — 0,98 «.
16.	Рассмотрим движение автомобиля в системе отсчета с началом координат в центре Земли. Угловая скорость о> вращения Земли вокруг своей оси равна
где Г == 86 400 сек — длительность земных суток.
а-1186	39
В этой системе координат автомобиль движется со скоростью
th = v + со/?
с запада на восток и со скоростью
02 = ^ — со/?
с востока на запад (/? — экваториальный радиус Земли).
При движении автомобиля на него действует сила тяготения
Р ____ тМ
* грав — 7
п сила реакции со стороны шоссе, которую в первом случае обозначим /Vi, а во втором —
Напишем уравнения движения автомобиля для обоих случаев
(у <0^)2	т.н
*—ц-1- = । — - М-	(3)
Вычитая из равенства (3) равенство (2) и учитывая соотношение (1), находим:
— N2 — 2mvw —	— 29 н.
Согласно третьему закону Ньютона эта разность равна искомой разности давлений автомобиля на дорогу в обоих случаях.
17.	При вращении Земли груз движется по окружности радиуса У? cos ф (рис. 31). При этом на груз действует сила со стороны нити, равная ее натяжению Т, и сила тяготе-ПИЯ 7-Трап-
Р ____ тМ
-* грав — (	’
(Здесь обозначения те же, что и в задаче 16).
Напишем уравнение второго закона Ньютона для составляющих сил, перпендикулярных земной оси АВ:
mor У? cos ф = 1	cos ф — Т cos (а + ф),	(1)
и для составляющих сил, параллельных той же оси:
7 sin <f — Т sin (а + <р) — 0.
34
Из последнего равенства определяем натяжение нити Т у, _ ж шМ sin <р
~ f R- sin (я -р с) ’
равное по величине весу груза.
Подставляя найденное выражение Т в уравнение (1), получим соотношение
со2/? cos ср = 7	| cos ср — sin ср ctg (а + ср)],
которое преобразовываем к виду
С1 “ *^")ctg'P = ctg(a I- <?)•
Из соотношения (2) находим угол отклонения а:
а ~ arc ctg [ ctg ср Q - - J — ср = 1,7 • 10“.3 рад.
3*
35
18.	При движении по окружности спутник обладает центростремительным ускорением
и2
а~ R + h 1
где v — орбитальная скорость спутника; /? — радиус Земли; h — высота полета.
Орбитальная скорость спутника может быть выражена через его угловую скорость со:
v = а) (7? + Л),
где со = 2л!Т.
Отсюда
2т (7? 4- h) по. I v — —= 7,6 км! сек.
Ускорение спутника
4т? (R - J- h) _ с .
а = ——- = 7,6 м)сек~.
19.	Спутник движется по круговой орбите с центростремительным ускорением
а = (/? + h) = (R + h).	(1)
Согласно второму закону Ньютона имеем
/77(7ЦС —	।	»	(^)
где пг — масса спутника, у — гравитационная постоянная.
Подставив в уравнение (2) выражение (1) для центростремительного ускорения, найдем период обращения спутника
Т- 2к
(/? + /р3/а
Искомое отношение-«Д —периодов обращения земного и 1 л
лунного спутников равно
36
20.	/) За время ti ракета достигает высоты
на которой будет иметь скорость
Двигаясь далее по инерции до полной потери скорости, ракета пройдет расстояние h2 =	— 8g^t поднявшись на
наибольшую высоту
h — hx h2 — 10 gtf = 9,81 км.
2)	Графики.
а)	Зависимость скорости ракеты от времени (рис. 32, а).
При подъеме во время работы двигателей скорость ракеты возрастает от 0 до значения Vj по закону v = 4gt
При дальнейшем движении, происходящем под действием силы тяжести, скорость ракеты изменяется по закону
v = Vi—gt
вплоть до момента падения на Землю.
б)	Зависимость скорости ракеты от высоты (рис. 32,6).
На участке 0 <	когда работают двигатели ракеты,
зависимость ее скорости от высоты имеет следующий вид:
v — ]/ 2az — ]/ 8gz.
При дальнейшем подъеме ракеты на участке \~h2 после прекращения работы двигателей ее скорость убывает
V — /и? - 2g (г — ftj,
достигая нулевого значения на высоте z —	4- Л2.
После прохождения наивысшей точки . подъема z = h\ + h2 скорость ракеты меняет знак и возрастает по абсолютной величине по закону
|V|= V2g(hi + /гя - z), достигая значения v = v2 — — V'2g(ht -f~ h2) у поверхности Земли.
3)	Сравнение времен подъема и падения ракеты.
37
Как при подъеме, так и при падении ракеты участок движения h\<z <h{ + h2 ракета проходит за одинаковые промежутки времени.
На участке ОС z средняя скорость ракеты при подъеме меньше ее средней скорости при падении. Поэтому
при падении участок пути длиной 1ц ракета проходит быстрее, чем при подъеме: т' <	.
Таким образом, время подъема ракеты оказывается больше ее времени падения.
38
ТЕПЛОТА. СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
21. Взяв в качестве исходного состояние газа, изображаемое точкой А (см. рис. 6), проведем процесс его изобарического расширения до точки В. Используя для этого процесса закон Гей-Люссака, запишем:
Г»
Т\ ~ Г, ’
где Т] и Т2— значения температуры в процессах 1 и 2.
Из рисунка видно, что V2>V\. Таким образом, Т2>Т[. Тот же результат может быть получен из рассмотрения изохорического процесса В С, когда давление падает от р2 до Рь
22. Очевидно, что первоначально газ в баллонах имел различную температуру Т{ и Т2. Обозначив Т температуру газа в баллонах после установления в них равновесия, составим уравнение теплового баланса:
С'(7\-Т) = С'(Т-Т2),	(1)
где С' — теплоемкость одинаковых масс газа, находившихся в каждом баллоне.
Из уравнения (1) находим температуру Т:
т - Л+А .	(2)
Запишем уравнение объединенного газового закона для одинаковых масс газа, находившихся в каждом баллоне при перекрытом кране:
(3)
11
р2 Го
(4)
39
и для удвоенной массы газа, находящегося в соединенных баллонах после открытия крана:
V* = 2С.	(5)
Решая систему уравнений (2), (3), (4) и (5), находим давление в баллонах после установления равновесия:
_ P1V1 + P2V2 _ 2ат
Р~ V, + и2 - £ат-
23. Уравнение объединенного газового закона для массы газа tn можно написать в виде
= Ст,
где С — газовая постоянная для единицы массы газа.
Используя это уравнение, для плотности газа напишем следующее выражение:
Разность показаний весов при первом и втором взвешивании равна:
Из последнего соотношения находим С:
С*= (Р1 -' Р2) у /р •
Наконец, подставив С в формулу (1) и взяв в качестве р нормальное давление р0 = 1,01 • 105 н/м2, а в качестве Т температуру То = 273° К, найдем плотность газа при нормальных условиях:
Ро =	= 1,93 кг/м3.
10 Vg Pl — р2 Tq
24.	Запишем уравнение объединенного газового закона для порции воздуха, захватываемой из атмосферы и поступающей в резервуар при каждом ходе поршня
PqVq _	/i\
т0 “ т ’
где ро—атмосферное давление; Т0 = 273°К; Api — давление порции воздуха в резервуаре.
40
Из соотношения (1) следует: л _ К, Т ^Pi — Pu v • 7^- •
После совершения М ходов давление воздуха в резервуре повысится на величину
&p = №Pl=NpnV2..T-.	(9)
По условию задачи
Ар = 1 Оро — р0 = 9р0.	(3)
Из соотношений (2) и (3) находим
9РО - Ж у ’	>
откуда
ДА=9-£ • -^ = 7600. Vo 1
25.	Как было показано в задаче 23, плотность газа может быть представлена в виде
где С — газовая постоянная для единицы массы газа;
р — давление; Т — температура газа.
Следовательно, отношение плотностей атмосферы Венеры и Земли равно
Рв   Рв	^3	б’уозд
Рз	Рв	Лз	ССои
откуда
26.	Давление воды в водоеме на глубине h — I равно Ро + pg(h-l),
где q — плотность воды; р0 — нормальное атмосферное давление.
Это давление должно быть уравновешено давлением р воздуха в кессоне. Следовательно:
р = Ро +	— I) = 2,95 • 105 h/jh2.
41
27.	Напишем выражение закона Бойля — Мариотта для [ аза, находящегося в закрытом колене трубки:
p0Sl = pS(l — х),	(1)
где р0 и р — давления в закрытом колене трубки в положениях а и б соответственно (см. рис. 8); S — сечение трубки.
Из условия равновесия ртути в трубке находим:
,	/ —х(1 + /3)
Р = Ро Н- (>g----2	,	(2)
где р — плотность ртути.
Подставив выражение (2) для р в формулу (1) и приняв во внимание, что ро = получим уравнение
+	+ 4 =	(3)
которое после подстановки численных данных приобретает вид
х2 — 1,22х + 0,09 = 0.	(4)
Решая его, находим:
Xi = 1,14 м;
х2 = 0,08 м.
Корень Xi квадратного уравнения отбрасываем, как не имеющий физического смысла. Таким образом, ртуть в трубке перемещается на х2 = 8 см.
28.	Запишем условие равновесия стакана в положении а (см. рис. 9):
= (1)
где mg — вес стакана; h — высота его стенок; S — площадь его поперечного сечения; р— плотность воды. При погружении перевернутого стакана на глубину z объем воздуха в стакане уменьшится от значения Sh до значения Sx (см. рис. 8,6). Полагая, что температура воздуха в стакане не меняется, применим закон Бойля — Мариотта для массы воздуха, находящегося в стакане:
(?gz+ p0)Sx~pltSh.	(2)
По аналогии с (1) запишем условие равновесия стакана на глубине z:
mg = pgSx.
(3)
42
При этом, как и в условии (1), пренебрегаем весом воздуха в стакане. Решив уравнения (1), (2) и (3), найдем глубину погружения z стакана, на которой он находится в равновесии:
z = —^10 м. ?g
29.	При подъеме шара в воде па него действует сила тяжести mg, выталкивающая сила Fnhvr и сила сопротивления воды FC01ip (рис. 33).
Выталкивающая сила равна:
= fagV = Ро§ "Г -	’	(1)
г	Г 0L
где V—объем шара. Приращение механической энергии шара за время его
движения в воде и воздухе равно:
Д£ = mgh2 — (— mghi) = mg(h2 + Л,),	(2)
43
причем потенциальная энергия взаимодействия шара с Землей отсчитывается относительно уровня воды.
При движении шара в воде выталкивающая сила и средняя сила сопротивления воды совершают работу
Д = FBwt   FСОПр Лр	(3)
В силу закона сохранения энергии А£ = А.
Из этого условия определяем силу сопротивления воды:
Лопр = Лыт - mg А _ 1 у	(4)
Учитывая (1), окончательно находим:
Лопр - mg£ 1 +	= 3,9 н.
30.	Возможны два процесса: охлаждение воды до 0° С с частичным ее вымерзанием и охлаждение воды с частичным или полным расплавлением льда.
Запишем уравнение теплового баланса в первом случае (частичное вымерзание воды)
М'\ + М.св (Г - Го) = т.сл (Го - т)	(1)
и во втором (частичное или полное плавление льда)
Мсв(Г- Го) = т2сл(Т. - т) + т'К	(2)
где М' — масса воды, обратившейся в лед; т' — масса расплавившегося льда.
Обоим процессам — вымерзанию воды и плавлению льда — в зависимости от начальных количеств воды и льда и их температур соответствуют неравенства:
0<ЛГ <МХ	(1а)
(вымерзание части воды) и
0 < т! < т2
(2а)
(частичное или полное плавление льда).
Рассматривая порознь соотношения (1) и (1а), а также соотношения (2) и (2а), легко установить, что в первом калориметре будет происходить вымерзание воды (М'= 0,019 кг), а во втором калориметре — полное плавление льда (т' =1 кг). 44
Массы воды соответственно в первом и втором калориметрах равны:
Mi = Mt - ЛГ = 0,981 кг\
Л42 — ТИ2 + tn' — 3,1 кг.
31.	Запишем уравнение баланса тепла
mа (0 — Г) = М'св(Гк - Го) 4- гМ’ + (М-М')св(Г-То), где М' — масса воды, нагретой до температуры кипения 'Гк = 373° К и затем выкипевшей.
Решая уравнение теплового баланса, находим количество выкипевшей воды М' = 9,5 г.
32.	Пусть при вскипании воды испарилось т кг воды. Это потребовало затраты энергии гт, которая может быть заимствована только от охлаждающейся до точки кипения 7\ = 373°К перегретой воды. Уравнение теплового баланса имеет вид
пи - Мсв(Т — 7\),
откуда находим
т = ^-{Т- т;)^ 0,002 кг.
Количество оставшейся в пробирке воды равно 0,058 кг.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
33.	Потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии г от него равен
При движении электрона из точки А по направлению к заряду q в точку В, где он останавливается (vb~ 0), силы электрического поля заряда q производят над электроном работу
ААВ = е^А -
За счет совершенной над электроном работы происходит приращение его кинетической энергии
о	9	2
/тют?	mvA	mvA
Согласно закону сохранения энергии
Аав = WB - WA или
е(_ч__________q A	mvA
\^агА	4т.гигв )	2 ••
Отсюда находим минимальное расстояние гд, на которое электрон приблизится к заряду q-.
'	<7е
При движении электрона в обратном направлении из точки В в точку С (вследствие отталкивания зарядом q < 0), со-46
гласно закону сохранения энергии mt)C _ <	<7_________<7 Л	,
2	\ 4ле(/в 4яеоГл J 2	'
34.	Так как расстояние между сферами значительно превышает их радиусы, то силу взаимодействия между сферами можно вычислить по закону Кулона:
р — <7i<7-’
Г1 — 4ге0/?2 >
где 92 — заряды сфер; R — расстояние между центрами сфер.
Согласно определению емкости сферы
<7i =4-eorltPl, 9, = 4-г0Г.,<р,,
где фь ф2 — потенциалы сфер; гь г2— их радиусы.
Из условия постоянства потенциалов при погружении сфер в диэлектрик получаем
9; = 4кг„гг|'р1, 92 - 4кг0гг,?2
(91 и 9г —заряды сфер в диэлектрике).
Сила взаимодействия заряженных сфер в диэлектрике равна
F _ Wz 2 4-гое^
Отношение сил взаимодействия равно
= е, откуда f 2 -- F,e ~ 4,5 н.
35.	До введения пластины емкость конденсатора равна
После введения пластины в результате электростатической индукции на ее поверхностях образуются электрические заряды противоположных знаков (рис. 34). Получившуюся систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора с площадью пластин S (выступающие из конденсатора края пластины существенной роли не играют). Емкость получившегося конденсатора вычислим по формуле
_L = 2_ + _L
Cl С2 С3 ’
47
где
/О __ . /О _______ ____*$£0___
2 х 1	3 (d — d. — х) ’
откуда
Г* __ S £о
d-d. *
Из определения емкости получаем:
П ___ £()»$<£	,
где Qi и Q2 — заряды на обкладках конденсатора соответственно до и после введения металлической пластины.
Рис. 34.
Прошедший через элемент заряд равен
Л<3 = Q,'—Q,	= 8,8.10Ч>.
Следует отметить, что емкость получившегося конденсатора не зависит от положения пластины (емкость Cj не аа-висит от х).
36.	Вычислим сопротивление R, эквивалентное двум со* противлениям Ri и Tfa
1	1	।	1	т~)
~R ~	+ Тр 0ТКуда Я — ъ + r2 ’
На сопротивлении выделяется мощность Afj
Д7 __ /2 Р _ / _____________V р ___ _____(Rj + R?)
^-R.R. + R^ + R.R^riR^R^* \~ЁГ+~^ + ^ + г )
48
Известно, что при охлаждении металлов их сопротивление уменьшается по закону
/?з = /?з(1 ~ по-
следовательно, мощность М2, выделяющаяся на сопротивлении /?) после охлаждения /?з, равна
М = /2 /?! = /—п-п--------------------Y R =
~ R}R<> +	+ Я2/?з) (1 - at) + г (/?/+ RJ '
Для отношения мощностей получаем
__ R1R2 “Ь R\R?> +	+r (R\ + /?2)	_ 1 00
M “ R^2	+	+	+	’
37.	Заряд Q распределяется равномерно по поверхности внутренней сферы. Благодаря электростатической индукции на внутренней поверхности большей сферы возникает заряд —Q, а на внешней — заряд +Q. Поскольку поле внутри заряженного проводника отсутствует, можно написать для точек внутри меньшей сферы
Ei = 0.
Потенциал внутри меньшей сферы всюду одинаков и равен потенциалу на поверхности меньшей сферы:
_ Q
47ieoe/?1
Напряженность поля и потенциал в произвольной точке между сферами равны
E-i — —^—^-, Ъ = -^~	С/?2).
4леое/|	^tE0er 1
Напряженность поля и потенциал вне большой сферы равны
Q	Q ( П \
Е. — ——v : ср-; =	— О', > R »)•
4т:е()ег2	'	4-.еое/2
Следует отмстить, что результат не изменится, если:
1) внутри меньшей сферы не будет диэлектрика;
2) внешняя сфера будет отсутствовать.
4—1155	49
38.	Рассмотрим силы, действующие на стержень АВ. На заряд А действуют электростатические силы Л, ^2, на заряд В — силы А, А, А (рис. 35).
Используя закон Кулона и учитывая, что ABDC — квадрат, получаем:
Сумма F и проекций сил на направление вдоль стержня равна
F „ = F3 - F, cos 4- = ( ‘ ГЛУ = 2,36 -102 «.
Сумма F_l проекций сил на направление, перпендикулярное стержню, равна
Лх = 2 (f, - F, cos Tj-') - (-q' = 1,18-102 н.
< 1	-	4 J 8-е0а-	’
Таким образом, стержень АВ деформируется и одновременно притягивается к стержню CD.
39.	Определим скорость иона при вылете из конденсатора. Составляющая скорости иц, параллельная пластинам конденсатора, остается постоянной. Она равна
И
Время пролета в поле конденсатора равно . _ z _ I /7ш
1 ~ V (1 “ V 2W ’
Под действием электрического поля конденсатора все это время ион движется с постоянным ускорением, направленным перпендикулярно к пластинам. В результате к моменту вылета из конденсатора ион будет обладать перпендикулярной составляющей скорости
.	F Een Uen
v± — at, где а —	— -гт- — -тт?-.
Из этих соотношений получаем _____________________ Uen 1 / V± ~ ~Г V *
Вылетевший из конденсатора ион сохраняет величину и направление своей скорости (в соответствии с первым законом Ньютона).
Для того чтобы ион попал в щель, необходимо, чтобы составляющие его скорости удовлетворяли условию
или
Uen -|/	12М
d V 2WM-2W ~ т*а’
r г 2dW tg а. 1 „ откуда U ———= 160 в.
40.	Через некоторое время после замыкания ключа К переходные процессы прекратятся, и разность потенциалов между точками А и В будет равна падению напряжения на сопротивлении /?ь При этом ток через сопротивление /?2 равен нулю.
Падение напряжения на сопротивлении /?1 находим но формуле закона Ома
Г J _
U + Кз + Г ’
Сумма напряжений на конденсаторах и С2 также равна U:
где Q>— заряд на каждом конденсаторе.
4*	51
Напряжение U2 на конденсаторе С2 определим по формуле
U — Q —________________________— п о а
U2 - С, ~ (/?! + /?з + г) (G 4- С) -	°'
41.	Э.д. с. индукции равна
ср _ ДФ _ Д (BS) ® ~ ы ~ ы ’
где S — площадь рамки, пронизываемая магнитным полем. Поскольку индукция В постоянна, можно записать
Д(В5) __ BSS
st ~~ St '
Найдем скорость изменения зывается магнитным нолем,
st
площади рамки, которая прони-ири вхождении рамки в поле: avSt
Следоваюльпо,
в. iSt
Рис. 36.
При движении рамки в области однородного магнитного ноля -4т“ “ 0 и %' — 0.
st
Очевидно, что при выходе рамки из поля 8" = —Bav (так как в этом случае AS<0).
Полученные результаты изображены па графике (рис. 36).
52
Здесь t\ — момепт времени вхождения рамки в поле.
Д/ /, - — - 0,02 сек\ St' -I, -	— - о,1
1 V	У
Ы"	=0,02 сек.
42.	Коэффициент полезного действия аккумулятора ц по определению равен отношению мощности, выделяющейся на нагрузке, к мощности, выделяющейся во всей цепи. В нашем случае
где /1 — сила тока в цепи при двух одинаковых лампочках; /?1—сопротивление всей цепи; г—внутреннее сопротивление аккумулятора.
После замены одной из лампочек:
4/?2	~	«2 ’	(2)
где /?2 — новое значение сопротивления всей цепи. Сопротивления лампочек найдем из формул:
Вычислив 7?i и /?2 и подставив их в формулы (1) и (2), найдем:
^)2 _ У2 + 2^г	__ 1 (
- f72 + (/V1 + ^)r-
43.	Период колебаний в контуре: Т = LC (L —индуктивность; С — емкость) связан с длиной волны Л и скоростью света v соотношением Т =	. Следовательно,
^- = ^VLC.-, -^ = 2к/£С2.
Откуда
53
44.	Определим полную емкость Со четырех конденсаторов по формулам параллельного и последовательного соединений конденсаторов:
1	। 1 । 1 __ 1 . г _ 2С
G + С3 'Г G С4 ~ Со ’	0 “ 5 *
Заряд на конденсаторе С2 равен вначале
Q =	.
В результате пробоя конденсатора С\ (конденсатор С3 закорочен) конденсаторы и С3 можно заменить просто куском проводника. Подсчитаем емкость С6 оставшихся конденсаторов
1 I 1 _ 1	с — с
С2 + С4 - Q ’ Со ~ 2 •
Заряд на конденсаторе С2 станет равен
Таким образом,
Q'~ Q = AQ = -^- = + Ю"п к.
Знак + показывает, что заряд увеличился.
45.	Из схемы (см. рис. 20, буквой V обозначен вольтметр, буквой Л — амперметр) видно, что вольтметр показывает падение напряжения на сопротивлении /?', образованном параллельно включенными сопротивлениями R\ и /?3. Это падение напряжения равно
U=R,l=^l.
I — показание амперметра.
Таким образом, сопротивление, найденное по формуле П' V
Ку — — , имеет величину
отличную ОТ
По условию задачи должно выполняться неравенство
И
Подставив значение R\, получим:
1	1| -0,01,
I Ъ I
откуда следует, что  2	> 0,99.
Из последнего неравенства вытекает, что R3 > 997?j = = 9900 ом.
46.	Отклонение стрелки прибора теплового действия пропорционально мощности, выделяемой па внутреннем сопротивлении прибора:
N=k/^R,
где k — коэффициент пропорциональности; R — сопротивление прибора.
г __ 1 ампл
эф~ /2
Эта формула справедлива для переменного тока, изме-няющегося со временем по закону синуса
1 = Л,МПЛ Sill(2тот/ + <р).
Как видно из формулы для мощности, показания прибора зависят от амплитуды силы тока и не зависят от частоты тока п.
Если в первом случае стрелка прибора отклоняется на М делений, то во втором случае она отклоняется на N3 делений. N2 и 2V] связаны соотношением:
№. _ 2fe/2 R __ ( у _ 9Г-
М “ 2/^R ~ Ч R ) ~
47.	Мощность, затрачиваемая источником э.д. с. и равная N — частично расходуется на совершение механической работы и частично выделяется в виде тепла:
N--N -J- N N — I2R
где R — активное сопротивление цепи, складывающееся из сопротивления источника э.д. с., сопротивления обмотки электромотора и подводящих проводов.
Сопротивление R найдем из условия, что при заторможенном якоре в цепи протекает ток /0:
65
Мощность, расходуемая на приведение в движение электромотора, равна
7VMex	TV- jVrcllJ| zz $1 - PR =•-: 7(й’ - //?).
Подставив сюда выражение для R, окончательно получим
=	180 е,т.
48.	Сопротивление потенциометра с подсоединенной к нему нагрузкой равно:
Учитывая, что
Rx=~,
находим
п _ R2 xl - R2x- I RR-.1-
I (xR + R.l) ’
Ток в неразветвленпой части потенциометра 7 = свя-
<\О зан с током /2, протекающим через нагрузку, следующими соотношениями:
/ = Л + Л;
/ iRx — I 2^?2-
Отсюда
г _ IRxl
2 “ Rd -h Rx ’
Потребляемая нагрузкой мощность равна
?/=7^2 =
UWR2R2x> (Р xl — R2 -h RR.py
Для случая R /?2
U^R2 (l-xy •
N =
49.	Согласно закону Фарадея масса выделенного на электроде вещества равна
/И = —£ ,
zF ’
66
где А — атомный вес элемента; z—валентность; F — число Фарадея.
Сила тока
1-Л. - S.d*F -0,81 а.
I At ’
ОПТИКА
50.	Искомая освещенность равна сумме освещенностей, создаваемых лампой и ее изображением в зеркале потолка
Е = Еу 4- Е2.
Используя рис. 37, запишем:
kl	kl 2H — h kl (2H — Л)
•> = —= cos <р., — — . ---------- =---------5-------;
rl т-	Г.	,3
г, -	+ г* —h2.
Рис. 37.
Подставив численные значения величин и произведя вычисления, получим:
Е = 2,0 лк + 1,1 лк = 3,1 лк.
51.	Искомая освещенность Е складывается из освещенности £i непосредственно от источника и освещенности Е2, 58
создаваемой отраженным от зеркала светом. По известным формулам
е,	/о	гг ф
Ех	-р- cos а; Е2 — COS а,
f\~	**
где /о — сила света источника; /? — расстояние источника от освещаемой поверхности; а = 90° — ср = 45° — средний угол падения лучей на поверхность (а = 90° — ср); Ф — световой поток, отраженный от зеркала; S — сечение пучка лучей в месте падения его на плоскость.
Так как по условию задачи глубина сферического зеркала равна половине радиуса, то из геометрических соображений следует, что радиус отверстия связан с радиусом зеркала г формулой:
/з /1 -
Следовательно,	1
5 — Т)ЛГ2 = А ТртГ2.
Из определения силы света точечного источника света: Ф = /О,
где Q — телесный угол.
Источник расположен в плоскости отверстия зеркала, поэтому отражается пучок лучей, испускаемый источником внутрь телесного угла £2 = 2л стер-,
Ф = /Q = klo • 2л;
„ Ф	Bkk
cos а — ——- cos а.
5	Зт(г2
Окончательно получаем	
Е — Ех Е-> --- cos а cos а-Л"	о Vw
Замечаем, что	т. е. Е{ < Е2\ следовательно,
Е^: Ег~ -^7 cos а = 577 лк.
52.	Записав закон преломления света в виде
п-\ sin см = п2 sin аг,	;
59
легко заметить, что из-за параллельности пластинок произведение nsina оказывается постоянной величиной:
sin 04 = п2 sin a2 ? - ... — n127 sin al27.
Среда с обеих сторон пластинок одинакова, поэтому
П1 = П127 и
01127 = 01} = 23°.
53.	Для построения изображения воздушного пузырька я рассмотрим луч АВ, идущий перпендикулярно к поверхности пластины, и луч АС, образующий угол а с направлением предыдущего луча (рис. 38).
По выходе из пластины луч АС преломляется и идет по направлению СС' под углом р к лучу АВВ', вышедшему из пластины непреломленным.
Изображение (мнимое) воздушного пузырька находится в точке А' пересечения луча АБВ' и геометрического продолжения САГ луча СС' на расстоянии А'В от поверхности пластины.
60
Из треугольников АВС и А'ВС имеем: ВС = I tg а = А'В tg Р;
ла~1 tgrt •
Воспользуемся законом преломления света для лучей АС и С С':
nsin <z= sin р.
Ввиду малого расхождения лучей, идущих от воздушного пузырька в глаз наблюдателя, углы аир малы. Поэтому их синусы и тангенсы можно заменить самими углами; тогда
A'B^l-%-;
Отсюда получаем
А' В — = 1,5 см. п
54.	Рассмотрим ход одного луча через призму (рис. 39). Из геометрических соображений следует, что на первую грань лучи падают нормально, а на вторую — под углом а.
Угол у между вышедшим из призмы лучом и горизонтом является искомым угловым расстоянием. Из рис. 39 следует:
у = i — д, где i — угол преломления; б — угол между нормалью к грани и горизонтом.
61
Легко заметить, что
По закону преломления света имеем: п sin а = sin i\ i = arcsin (n sin a).
Подставив i в выражение для у, получим:
7 = arcsin (и sin а) —Т	’
55.	Средняя освещенность светлого пятна на экране
Е- —
где Ф — световой поток, падающий на экран; S — площадь пятна.
С другой стороны,
Ф = ЛФ0 = klQ, где Q— телесный угол, внутрь которого источник с силой света / излучает поток Фо, падающий на линзу:
о _	.
а2 4а2 ’
S = яг2,
где г — радиус пятна на экране.
Построим ход крайних лучей через линзу (рис. 40). Из подобия треугольников ABD и ECD находим
d 2х 
x — b
х находим из формулы линзы:
1,1 — 1 т 1 ~ - т ’
af a — f
Для г получаем:
_ d (х — Ь)
— 2х
dtaf — ab— Ь[)
—и-;----—	0,6/ СМ
2af
62
Вычисляем Е:
Е =-|- =	2,8-Ю3 лк.
S Аа-г* ’
56.	Так как экран Э расположен достаточно близко к объективу, то очевидно, что светлое пятно максимального
радиуса создается расходящимся пучком лучей, т. е. тогда, когда источник находится на минимальном расстоянии от линзы. Построим ход крайних лучей через объектив (рис. 41).
63
Из подобия треугольников CDA' и ВОА' имеем:
d
где h — расстояние от линзы до мнимого изображения А' источника А. По формуле линзы найдем:
1	1 _ 1
/—а	Л ~ f ’
h . а
Окончательно получим:
2f(f-a)	- ч i
57.	Расстояние бегуна от фотоаппарата во время фотографирования остается много больше фокусного расстояния объектива. Поэтому можно считать, что изображение нахо-
дится в фокальной плоскости объектива. При перемещении бегуна из некоторой точки А в точку В (рис. 42) его изображение сместится в фокальной плоскости на отрезок А'В' = s.
64
Из рис. 42, учитывая, что угол р < 1, имеем:
А'В' _ s _ f
ВС ~ ВС ~ I- АС ’
ВС = Дв81па = АВ
АС -- АВ cos а — АВ ]/ 1 --h Sin а = — ;
1/1
COS а =. У 1---.
(D
Отрезок пути АВ бегун пробегает за время выдержки At, следовательно,
АВ = vAt.
(2)
Из соотношений (1) и (2) находим At:
si2
At -----------r
v (hf 4- s//» -Л’)
Замечаем, что hf > s УР — h2, поэтому с достаточной точностью имеем:
с/2
At =	= 0,022 сек.
uhf ’
58.	Пусть х — расстояние от предмета до линзы в первом положении. Уменьшенное изображение можно получить, только отодвинув линзу от предмета. Следовательно, во втором случае расстояние от предмета до линзы будет х + I. По формуле линзы имеем для первого положения:
5 -1155
для второго положения: 1 1	_ 1
х И r L-x~l " f ’ 65
Из этой системы уравнений найдем f. Решить систему проще всего следующим образом Приравняем левые части и найдем х:
1 ,___1 _ 1_______1 .
х ' L — x х \ I г L x — I '
Подставив полученное выражение для х в уравнение (1), найдем
f = —fi— = 24 см.
59.	Средняя скорость перемещения изображения равна:
где t — время; 1\ и /2 — расстояния изображения от линзы, которые находим из формулы линзы
I 1 d ~ f '
Подставляя 1\ и Z2 в выражение для v, получим
„	(dt-djf
(d, -f)(d2-nt •
Легко заметить, что
d.; - dj -у,
где v' — скорость перемещения предмета, следовательно,
JL —________£______— 33
V' - (dy-F)(di~F) -°’°-
60.	Для построения изображения точки в оптической системе нужно взять два луча и построить их ход через систему. Точка пересечения этих лучей (или их продолжений) будет изображением.
Один луч рассмотрим идущим вдоль оптической оси (рис. 43); он идет без преломления. Другой луч рассмотрим 66
идущим под произвольным (но малым) углом к оси (луч АВ). Через оптический центр О\ первой линзы проводим побочную ось Л1О1, параллельную лучу АВ. После преломления этот луч должен пересечь побочную ось в фокальной плоскости линзы 01. Так как эта линза является рассеивающей, то фокальную плоскость надо провести через фокус F}
(а не через фокус Fx). Пересекает эту плоскость (в точке С) не сам луч, а его продолжение СВ. После преломления луч имеет направление BD.
Ход луча через вторую линзу строим аналогичным образом. Вторая линза собирающая, поэтому фокальную плоскость проводим через фокус F^. Преломленный луч DE пересекает оптическую ось в точке А'. Она и является изображением точки А.
61.	Изображение, создаваемое первой линзой, будет предметом для второй. Найдем по формуле линзы его положение /г.
i =	<*, =хо,:
' - 5^7, = 43'3
Расстояние 1\ оказывается больше расстояния между линзами, т. е. на вторую линзу падает сходящийся пучок лучей {рис. 44). Его вершина А' является мнимым предметом для второй линзы. Поэтому его расстояние d2 от линзы надо считать отрицательным
rf2 —(l\ — OiO2) = -22,3 см.
5*
67
Подставляем d2 в формулу второй линзы и находим 4— расстояние изображения Л" от нее. Фокусное расстояние fo берем с минусом, так как эта линза является рассеивающей
f	(- 22,3) (- 12)
2 d2 — f2 ~~	—22,3 - г- 12
26 СМ.
Отрицательное значение 12 означает, что изображение А" находится слева от второй линзы.
62.	Независимо от того, где находится на оси перед системой линз точка А, ее изображение, даваемое первой
линзой, должно быть в фокусе второй, чтобы изображение, создаваемое всей системой, находилось на бесконечности. Если точку А удалить в бесконечность вдоль оптической оси системы, ее изображение будет находиться в фокусе первой линзы. Следовательно, чтобы сохранить изображение на бесконечности, надо придвинуть вторую линзу к первой на отрезок
х = I - f,
где I — расстояние изображения от первой линзы, когда точка А находится на расстоянии d = 7,5 м от нее; f — фокусное расстояние первой линзы. Из формулы линзы находим /:
68
I —____-__•
Z)d— 1 ’
x = l — f= D (Dd _ ц — 3,6 CM.
63.	Построим ход лучей в оптической системе (рис. 45). После прохождения через первую линзу пучок собирается в ее фокальной плоскости (точка 4). Замечаем, что сумма
фокусных расстояний линз	) Равна расстоянию
между линзами. Это значит, что точка А находится в фокальной плоскости также и второй линзы. Следовательно, из последней выходит параллельный пучок лучей под искомым углом (3 к оси. Из треугольников 0р4В и АО2В имеем
AB = fi tga = f2tg 0.
По условию углы а и 0 малы, следовательно, тангенсы можно заменить углами; тогда
fia ^5 /г0;
p =	= а -2а- = 200' = 3° 20'.
12
СОДЕРЖАНИЕ
Задачи
Механика ........................................... 3
Теплота. Свойства	газов	и	жидкостей................. 8
Электричество ...................................... 13
Оптика .............................................  21
Решения
хЧеханика ...........................................26
Теплота. Свойства	газов	и	жидкостей.................39
Электричество........................................46
Оптика ..............................................58
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Редактор Н. А. Светлова
Техн, редактор И. М. Суровенков
Сдано в набор 24/XП-68 г.
Подписано в печать 16/1-69 г.
Л 79059 Бумага 60x84/16. Объем 4,5 п. л.
Заказ 1155. Цена 30 коп. Тираж 6000 экз.
Типография МИФИ, М. Пионерская, 12