Author: Козел С.М. Слободянин В.П.
Tags: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе физика олимпиада по физике школьная физика
ISBN: 5-8391-0087-0
Year: 2002
Text
ВСЕРОССИЙСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ
ПО ФИЗИКЕ
1992-2001
Научные редакторы
СМ. Козел
В.П. Слободянин
Допущено
Министерством образования РФ
в качестве учебного пособия
для учащихся старших классов
общеобразовательных учреждений
МОСКВА
2002
ББК 74.262.22+22.3я721
В 85
АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ:
Варгин А.Н., доц. МИФИ, к.ф-м.н.,
Дерябкин В.Н., доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Дунин СМ., доц. МГПУ,
Козел СМ.у проф. МФТИ, д.ф-м.н.,
Коровин В.А., нач. отд. МО, к.пед.н.,
Крюков А.П., ст.н.с. НИИЯФ МГУ, к.пед.н.,
Мельниковский Л.А., научн. сотр. ИФП РАН,
Можаев В.В., доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Орлов В.А.у зав. лаб. ИОСО РАО, проф.,к.пед.н.,
\Овчинников О.Ю], доц. МПГУ, к.пед.н.,
Самарский Ю.А., доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Слободянин В.П.у доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Шеронов А.А., доц. МФТИ, к.ф.м.н.,
Чешев Ю.В., доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Чивилев В.И.у доц. МФТИ к.ф-м.н.
Всероссийские олимпиады по физике. 1992-2001: Под. ред.
В 85 СМ. Козела, В.П. Слободянина. - М.: «Вербум-М», 2002. -
392 с.
ISBN 5-8391-0087-0
В книгу вошли материалы Всероссийских олимпиад школьников за
10 лет — с 1992 по 2001 год. Это условия и решения теоретических и
экспериментальных заданий двух последних этапов олимпиад (окружного
и заключительного).
Пособие адресовано учащимся 9-11 классов.
Отдельные типы заданий могут быть полезны и абитуриентам при
подготовке к вступительным экзаменам в вузы.
ББК 74.262.22+22.Зя721
ISBN 5-8391-0087-0 © Издательство «Вербум-М», 2002
ОТ АВТОРОВ
Всероссийские физико-математические олимпиады школьни-
школьников начали проводиться с 1964 года, а еще через три года старто-
стартовали и Всесоюзные олимпиады. Начиная с XI Всесоюзной олим-
олимпиады в программу соревнований были включены наряду с
вычислительными (теоретическими) задачами и эксперименталь-
экспериментальные. При Министерстве просвещения СССР был образован цент-
центральный оргкомитет Всесоюзных олимпиад. Его первым предсе-
председателем стал академик И.К. Кикоин. При Центральном оргко-
оргкомитете были созданы предметные Методические комиссии,
руководимые крупными учеными, профессорами вузов.
С распадом Советского Союза Всероссийские олимпиады школь-
школьников по физике стали преемницами Всесоюзных олимпиад. Это
нашло свое отражение в порядковом номере олимпиад.
Согласно Положению Всероссийские физические олимпиады
проводятся в пять этапов.
Первый - школьный этап проводится в ноябре и организуется
учителями. В олимпиаде могут принять участие по желанию уча-
учащиеся 7-11 классов.
В каждом последующем этапе участвуют победители предыду-
предыдущего этапа.
Второй этап — районные олимпиады. Он проводится в декабре
по заданиям, составленным областными (краевыми) оргкомите-
оргкомитетами олимпиад. В нем принимают участие учащиеся 8-11 клас-
классов.
Третий этап - областные, краевые, республиканские олимпиа-
олимпиады. Он проводится в январе местными органами народного обра-
образования для учащихся 9—11 классов. Базовый комплект задач
готовит Методическая комиссия при Центральном оргкомитете.
Местному жюри предоставляется возможность дополнять и час-
частично изменять задания третьего этапа.
Четвертый этап - окружные (зональные) олимпиады. Задания
четвертого и пятого этапов предназначены для учащихся 9-11
классов. До 2002 г. четвертый этап олимпиады проводился по
четырем зонам, на которые была поделена вся территория
России. Начиная с 2002 г., четвертый этап проводится по семи
федеральным округам. К окружным олимпиадам приравнива-
приравниваются городские олимпиады Москвы и Санкт-Петербурга. Олим-
Олимпиады проводятся в марте, в период весенних каникул школь-
школьников, по заданиям Методической комиссии Центрального
оргкомитета.
Пятый этап - заключительный. Он проводится во второй поло-
половине апреля. Наряду с победителями окружных олимпиад теку-
текущего года в нем принимают участие победители заключительного
этапа прошлого года.
Несмотря на то, что заключительный этап олимпиады проводит-
проводится в апреле, его программа включает материалы, которые в ряде
школ изучаются в более позднее время. Предполагается, что участ-
участники заключительного этапа, одержавшие победы на предыдущих
этапах, уделят необходимое время самостоятельной подготовке.
В книге приведены условия и решения теоретических и экспе-
экспериментальных заданий двух последних этапов (окружного и зак-
заключительного) за период с 1992 по 2001 год. В приложении пуб-
публикуется программа этих этапов. Задания заключительных
этапов помечены*.
Для решения олимпиадных задач требуются знания и умения,
не выходящие за рамки программы средней школы. Решение за-
задач, как правило, не требует громоздких вычислений.
При оценке выполнения экспериментальных заданий прини-
принимаются во внимание теоретическое обоснование работы, выбор
метода ее выполнения, процесс проведения измерений, оценка
погрешностей и обсуждение полученных результатов. Учитыва-
Учитывается также качество оформления отчета о проделанной работе и
соблюдение правил техники безопасности. Участник олимпиады
должен не только объяснить, как получить результат, но и фак-
фактически получить его. Это относится не только к эксперименталь-
экспериментальным, но и теоретическим заданиям.
Многолетний опыт проведения олимпиад по физике показы-
показывает, что участники значительно лучше справляются с теорети-
теоретическими заданиями. Экспериментальная подготовка наших школь-
школьников нуждается в существенном усилении. Недостатки этой
подготовки проявляются и на Международных олимпиадах.
Большинство задач, приведенных в книге, были предложены
членами авторского коллектива. Следует однако отметить, что
многие задачи являются продуктом коллективного труда. Обыч-
Обычно задача проходит довольно длинный путь от первоначальной
идеи до окончательной редакции. Авторы провели систематиза-
систематизацию задач, предлагавшихся на олимпиадах, отобрали наиболее
интересные решения, уточнили их. В разработке заданий олим-
олимпиады принимали также участие профессор С.-Петербургского
госуниверситета Е.И. Бутиков, профессор Московского физико-
технического института А.Л. Стасенко, научный сотрудник
А.Р. Зильберман и многие другие. Всем этим лицам авторы кни-
книги выражают искреннюю благодарность.
Часть 1 Теоретический тур.
Условия
9
КЛЗСС
1992
9.1. Космический корабль начинает двигаться прямолинейно с
ускорением, изменяющимся во времени так, как показано на гра-
графике (рис. 1.9). Через какое время корабль удалится от исходной
точки в положительном направлении на максимальное расстоя-
расстояние? Начальная скорость корабля равна нулю.
а, м/с2'
2
1
О
-1
н—ь
10
Н—I—h
Н—I—Ь
Рис. 1.9
9.2. «Вечерело. Уставший за нелегкий день бедный рыбак Аб-
дулла присел на берегу реки отдохнуть. Вдруг видит — плывет по
волнам какой-то предмет, почти полностью погруженный в воду,
только самый краешек виден на поверхности воды. Абдулла бро-
бросился в реку и вытащил его. Смотрит, а это старинный глиняный
кувшин, с горлышком, плотно закрытым пробкой и залитым сур-
сургучной печатью. Распечатал Абдулла кувшин и обомлел: из кув-
кувшина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Аб-
Абдулла спрятал, а кувшин закрыл, залил горлышко сургучом и
бросил кувшин обратно в реку. И поплыл кувшин дальше, при-
примерно на треть выступая над водой» — так говорится в одной из
восточных сказок.
Полагая, что кувшин был двухлитровым, оцените массу одной
золотой монеты.
9.3. При разведении теплолюбивых рыб в аквариуме для под-
поддержания необходимой температуры воды tT = 25 °С используется
электрический нагреватель, мощность которого Ро = 100 Вт. Для
хладолюбивых рыб температура воды в аквариуме должна быть tx =
= 12 °С. Чтобы обеспечить низкотемпературный режим через по-
груженный в аквариум теплообменник - длинную медную труб-
трубку - пропускают водопроводную воду, температура которой tг = 8 °С
(эффективность теплообменника столь высока, что вытекающая
из трубки вода находится в тепловом равновесии с водой аквари-
аквариума).
Предполагая, что мощность теплообмена между аквариумом и
окружающей средой пропорциональна разности температур между
ними, определите минимальный расход воды (k
Ат
) для поддер-
поддержания заданного температурного режима. Комнатная температура
t0 = 20 °С. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг*К).
Как изменится ответ, если в аквариуме будут разводить рыб,
предпочитающих температуру воды ?х*= 16 °С?
9.4. В схеме, изображенной на рис. 2.9, амперметр Аг показы-
показывает силу тока 1г. Какую силу тока показывает амперметр А2?
Оба прибора идеальны. Отмеченные на рисунке параметры цепи
считайте известными.
*9.5. Тяжелая цепочка, состоящая из большого числа одинако-
одинаковых гладких звеньев, свободно подвешена за концы (рис. 3.9).
Масса всей цепочки т = 0,2 кг. Определите силы натяжения в
нижней точке цепочки, а также в точке А, лежащей на половине
глубины «провиса» цепочки.
*9.6. Миниатюрный тигель (печка) для плавки металла имеет
электронагреватель постоянной мощности Ро = 20 Вт. Нагре-
Нагреватель включают и, после того как его температура практи-
практически перестает увеличиваться, в тигель бросают несколько
кусочков олова, общая масса которых т = 80 г. Олово начина-
начинает плавиться. График зависимости температуры в тигле от вре-
времени представлен на рис. 4.9. Определите удельную теплоту
плавления олова.
Рис. 2.9
Рис. 3.9
t,
°(
320
с
?80
240
L
:
¦ ]
>n
\t\J\S
.60
L20
80
40
(
1
1
1
)
/
1
/
f
f
/
/
1
1
и
¦¦E
4-
\
\
20
30
T
VIHH
Рис. 4.9
*9.7. Электронагреватель Н подключают, соединяя его после-
последовательно с амперметром и реостатом, к источнику тока и уста-
устанавливают реостатом силу тока 0,1 А (рис. 5.9). Затем в цепь
между точками Аи В включают резистор, сопротивление которо-
которого неизвестно. При этом амперметр стал показывать силу тока
0,05 А. Затем этот резистор отключают и включают его в другом
участке цепи - между точками А и С. При этом амперметр стал
показывать силу тока 0,3 А. Найдите отношение мощности нагре-
нагревателя к полной мощности, развиваемой источником, т.е. КПД
схемы во всех трех случаях. Источник тока и амперметр считать
идеальными. Сопротивление электронагревателя одно и то же во
всех трех случаях.
*9.8. На гладком горизонтальном столе лежат, касаясь друг дру-
друга, две одинакового размера шайбы 1 и 2, радиус которых равен jR.
Шайбы соединены друг с другом с помощью тонкой легкой нити
(рис. 6.9). Длина нити L = 2R. Нить начали тянуть в горизонталь-
Рис. 5.9
Рис. 6.9
ном направлении с постоянной силой F. Найдите силу, с которой
шайбы будут давить друг на друга, когда их движение установится.
Сила F приложена в середине нити. Трение можно считать малым.
Рассмотрите два случая: 1) шайбы имеют одинаковую массу;
2) масса одной шайбы в два раза больше массы другой.
1993
Рис. 7.9
9.9. Человек, рост которого равен h,
идет по краю тротуара с постоянной
скоростью v. На расстоянии I от края
тротуара стоит фонарный столб, на са-
самом верху которого горит фонарь Ф. Вы-
Высота столба равна Н (рис. 7.9). Изобра-
Изобразите графически зависимость скорости
движения по тротуару тени головы че-
человека от координаты х. Поверхность
тротуара горизонтальна, а его край
представляет собой прямую линию.
9.10. Для участия в Технической Олимпиаде по подводному
плаванию в Баренцевом море Чебурашка изготовил модель кро-
крокодила Гены. Однако модель оказалась слишком тяжелой и
тонула в воде. Чебурашка прикрепил к ней несколько герме-
герметичных полиэтиленовых пакетов с воздухом. Оказалось, что в
Баренцевом море, где плотность воды рс = 1050 кг/м3, при
погружении на глубину, не превышающую критической вели-
величины hc = 7 м, модель всплывает, а при погружении на боль-
большую глубину тонет. В устье реки Печоры, где плотность воды
равна рп = 1000 кг/м3, критическая глубина погружения мо-
модели крокодила составила всего hn = 1 м. Найдите плотность
модели крокодила Гены.
Примечание. Для воздуха применим закон Бойля-Мариотта. Для
постоянного количества газа при неизменной температуре произведе-
произведение давления р газа на занимаемый им объем V постоянно:
pV = const.
9.11. На прямолинейном горизонтальном участке железной до-
дороги стоит вагонетка с ценным грузом. Ночью к ней подкрался
похититель. В качестве вспомогательного орудия злоумышленник
решил применить невесомый упругий шнур; привязав один конец
этого шнура к вагонетке, а другой, взяв в руки, он побежал вдоль
8
Рис. 8.9
железнодорожного полотна с постоянной
скоростью v0 (рис. 8.9). Через некоторое
время похититель очнулся, лежа на ва- J|
гонетке, которая двигалась со скоростью ^
vx = 1,8и0. Чему равна масса вагонетки с
грузом, если масса похитителя т = 80 кг?
Трением качения можно пренебречь, а
трение между ботинками и землей достаточно велико. Опишите,
каким образом злоумышленник оказался на вагонетке.
9.12. Крокодил Гена купил в подарок Чебурашке электриче-
электрический утюг без терморегулятора, рассчитанный на включение в
сеть с напряжением 220 В. Собираясь в гости на день рождения,
он решил проверить подарок и погладить рубашку. Однако на-
напряжение в сети у него дома равно 127 В, поэтому утюг нагрелся
всего до 127 °С, тогда как для глажения рубашки необходима
температура утюга в пределах от 200 °С до 300 °С. Сможет ли
Гена погладить этим утюгом рубашку дома у Чебурашки, где на-
напряжение сети равно 220 В? Если нет, то почему? Если да, то
каким образом? Теплоотдача пропорциональна разности темпера-
температур, а нагреватель утюга содержит всего одну обмотку, сопротив-
сопротивление которой можно считать постоянным. Температура воздуха
в комнате равна 20 °С.
*9.13. Камень, брошенный под углом а к горизонту со скорос-
скоростью и0, летит по параболической траектории. По той же траекто-
траектории с постоянной скоростью v0 летит птица. Чему равно ее уско-
ускорение в верхней точке траектории?
*9.14. Массивная доска ЛВ скользит со
скоростью и по гладкой горизонтальной по-
поверхности. Из точки С той же поверхности од-
одновременно вылетают две легкие шайбы. Пер-
Первая шайба скользит по поверхности в направ-
направлении ССХ параллельно доске АВ со скоростью
v1, вторая скользит со скоростью v2 под углом
а к ССг (рис. 9.9). Через некоторое время шай-
шайбы сталкиваются в точке D. Определите скоро-
скорости шайб дх и v2 до столкновения, если извест-
известно, что время от начала движения шайб до их
столкновения в п раз превышает время от на-
начала движения шайб до столкновения второй
шайбы с доской. При ударе шайбы о доску
потерь энергии не происходит. рис. 9.9
/, Ai I i I I I I I *9.15. В термос с водой, имеющей тем-
rj пературу t = 40 °С, опускают бутылочку
6 _ —= с детским питанием. Там бутылочка на-
5 -f гревается до температуры tx = 36 °С, за-
4 у- тем ее вынимают и в термос опускают
3 —т другую точно такую же бутылочку. До
2 —г какой температуры она нагреется? Пе-
1 -у ред погружением в термос каждая бу-
бутылочка имела температуру t0 = 18 °С.
*9.16. Лампа, соединенная последо-
последовательно с резистором, сопротивление
которого R = 10 Ом, подключена к сети. Зависимость силы тока
от напряжения на лампе представлена на рис. 10.9. При каком
напряжении сети КПД схемы т| = 25% ?
КПД схемы равен отношению мощности, потребляемой лам-
лампой, к мощности, потребляемой от сети.
10 20 ЪОЦ В
Рис. 10.9
1994
9.17. Космонавт перемещается вдоль прямой из точки А в точ-
точку Б. График его движения изображен на рис. 11.9 (v - скорость
космонавта, х - его координата). Найдите время движения кос-
космонавта из точки А в точку Б.
о
А
10 х, м
В
Рис. 11.9
9.18. Стоял засушливый июль. Самолет противопожарной служ-
службы, производя аэрофотосъемку пожароопасных районов, сфото-
сфотографировал село Верхние Колдобы Усть-Колдобинского района.
На снимке (рис. 12.9, масштаб 1 : 1250) видны четыре неглубо-
неглубоких пруда A-4), причем видно, что пересохли все ручейки - и те,
которые снабжали пруды водой, и те, которые отводили ее из-
10
Противопожарная служба
Усть-Колдобинский район
Для служебного
пользования
\\
Рис. 12.9
лишки в речку Колдобинку. Определите, какой из прудов пере-
пересохнет последним, если в момент съемки пруды содержали
Vx = 200 м3, V2 = 30 м3, V3 = 500 м3 и У4 = 2 м3 воды соответствен-
соответственно. Можно считать, что каждый из Верхнеколдобинских прудов
имеет постоянную глубину по всей площади.
9.19. При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из
морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны)
находится на высоте hn = 0,5 м от поверхности воды, а в другом
(более соленом) - на высоте hc = 0,6 м. При этом максимальная
загрузка рыбой в первом море составляет тп = 50 т, а во втором -
тс = 63 т. Найдите массу т0 корабля без груза. Борта шхуны в
рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикаль-
вертикальными.
9.20. Полдень. По горизонтальному участку шоссе, ведуще-
ведущему строго на северо-восток, движется фургон. По задней стен-
стенке фургона мелькают тени деревьев, находящихся на обочине
дороги. Если тень верхушки какого-либо дерева пробегает от
одного угла задней стенки по диагонали до другого угла, то на
это уходит 0,1 с. Нарисуйте, как движется тень верхушки
дерева в этом случае. Как движутся тени других верхушек?
Найдите скорость фургона и высоту Солнца над горизонтом
(высота Солнца измеряется в градусах). Задняя стенка фурго-
фургона вертикальна и имеет размеры 2,0 м по вертикали и 2,5 м по
горизонтали.
11
10
5
0
/
/
1 2
Рис. 13.9
3 tc
*9.21. Самолет летит горизонтально по прямой со скоростью v0
= 720 км/ч. Определите, на сколько должна измениться скорость
самолета, чтобы он смог, оставаясь в горизонтальной плоскости,
описать окружность радиуса R = 8 км. Каков при этом угол на-
наклона плоскости крыльев самолета? Подъемная сила направлена
перпендикулярно плоскости крыльев и пропорциональна квадра-
квадрату скорости самолета (коэффициент пропорциональности в обоих
случаях считать одинаковым). Ускорение свободного падения при-
принять равным 10 м/с2.
*9.22. Два небольших стальных
шарика, размером которых в услови-
условиях задачи можно пренебречь, находят-
находятся в одной точке горизонтальной плос-
плоскости. Шарики одновременно бросают
с одинаковыми начальными скоростя-
скоростями. Начальная скорость первого шари-
шарика составляет угол аг = 30° с горизон-
горизонтом, скорость второго — некоторый угол
ос2, причем 45° < ос2 < 90°. Горизонталь-
Горизонтальная координата хг первого шарика во время полета изменяется по
закону, представленному на графике рис. 13.9.
Спустя время t = 7/5 с после броска оба шарика оказались на
одной высоте над плоскостью. Определите угол ос2, под которым
брошен второй шарик, а также расстояние между шариками че-
через 1 с после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Уско-
Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2. Считать, что
соударение шариков с горизонтальной плоскостью происходит по
законам упругого удара.
*9.23. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания
которого S = 100 см2, наливают 1 л соленой воды плотности
рх = 1,15 г/см3, и опускают льдинку из пресной воды. Масса льдин-
льдинки т = 1 кг. Определите, как изменится уровень воды в сосуде,
если половина льдинки растает. Считайте, что при растворении
соли в воде объем жидкости не изменяется.
*9.24. Лабораторная электроплитка, сопротивление спирали
которой R = 20 Ом, включена в сеть последовательно с резисто-
резистором сопротивлением Ro = 10 Ом. При длительном включении плит-
плитка нагрелась от комнатной температуры t0 = 20 °С до максималь-
максимальной температуры tx = 52 °С. До какой максимальной температуры
tx нагреется плитка, если параллельно ей включить еще одну та-
такую же плитку?
1995
9.25. Для изготовления нагревателя имеется кусок нихромо-
вой проволоки, сопротивление которого 1000 Ом. Нагреватель
рассчитан на напряжение 220 В. Какой наибольшей мощности
нагреватель можно сделать из этой проволоки, если максимально
допустимая сила тока через проволоку равна 1 А?
9.26. Катушку с нитками тянут за нитку с постоянной скорос-
скоростью v, как показано на рис. 14.9. Катушка катится по горизон-
горизонтальной поверхности без проскальзывания. Определите угловую
скорость вращения катушки.
9.27. Система, изображенная на рис. 15.9, предоставлена самой
себе. При этом оказалось, что невесомый брус длины L = 1 м дви-
движется вверх с ускорением g/2, оставаясь все время в горизонталь-
горизонтальном положении. Определите расстояние х, на котором подвешено
тело массы т3, если известно, что т1 = 2 кг, т2 = 3 кг. Трением
можно пренебречь.
9.28. На столе стоят две одинаковые шахматные фигуры. Уча-
Учащийся посмотрел на фигуры попеременно левым глазом и пра-
правым, не изменяя положения головы и держа ее так, чтобы фи-
фигуры были на одном уровне с глазами. Затем он зарисовал
изображения, получившиеся при взгляде одним и другим глазом
(рис. 16.9). Определите высоту фигур. Можно считать, что все
видимые углы малы и для них справедливы утверждения, что
sin ф « ф и cos ф я 1. Расстояние между глазами примите равным
65 мм. При решении задачи можно пользоваться измеритель-
измерительной линейкой.
Учащийся смотрит на
фигуры левым глазом
Учащийся смотрит на
фигуры правым глазом
Рис. 17.9
Рис. 16.9
*9.29. По реке со скоростью v плывут мелкие льдины, кото-
которые равномерно распределяются по поверхности воды, покры-
покрывая ее /1-ю часть. В некотором месте реки образовался затор.
В заторе льдины полностью покрывают поверхность воды, не
нагромождаясь друг на друга (рис.
17.9). С какой скоростью растет грани-
граница сплошного льда? Какая сила дей-
действует на 1 м ледяной границы между
водой и сплошным льдом в заторе со
стороны останавливающихся льдин?
Плотность льда р = 0,91 • 103 кг/м3;
толщина h = 20 см; скорость реки
v = 0,72 км/ч; плывущие льдины покры-
покрывают п = 0,1 часть поверхности воды.
*9.30. Сидевший на корточках человек резко выпрямляется и, от-
оттолкнувшись от пола, подпрыгивает так, что его центр массы поднима-
поднимается на высоту h, равную 3/4 его роста I (высота отсчитывается от
пола). Найдите среднюю силу, с которой человек действует на пол во
время отталкивания. Центр массы человека, когда он стоит выпрямив-
выпрямившись, находится на высоте — от пола. Перед прыжком центр массы
человека находился на высоте — от пола. Масса человека т = 75 кг.
*9.31. В дне теплоизолированного сосуда (калориметра) имеется
небольшое отверстие, через которое может вытекать вода.
В сосуд поместили смесь воды и льда при температуре 0 °С вместе
с электрическим нагревателем мощностью Р = 600 Вт, и начали
следить за изменением температуры содержимого калориметра в
зависимости от времени. Экспериментальный график зависимости
температуры t от времени т представлен на рис. 18.9.
14
100
80
60
40
20
/
У
/
А
f
/
о
10
Рис. 18.9
15 ?,мин
Рис. 19.9
1) Определите массу воды, оставшейся в калориметре к момен-
моменту окончания таяния льда.
2) Какая средняя масса воды вытекла из отверстия калоримет-
калориметра в течение 1 мин?
3) Сколько льда было в калориметре в начале экспери-
эксперимента?
4) Сколько воды находилось в калориметре в начале экспе-
эксперимента?
5) Определите массу воды, оставшейся в калориметре к концу
эксперимента (t = 17 мин).
Удельная теплота парообразования воды X = 2260 кДж/кг,
удельная теплоемкость воды св = 4,2 кДж/(кг-К), удельная теп-
теплота плавления льда q = 340 кДж/кг.
Примечание. Теплоемкость калориметра можно не учитывать.
*9.32. В цепи, изображенной на рис. 19.9, два резистора из
трех с неизвестными сопротивлениями R19 R2 и R3 имеют оди-
одинаковое сопротивление. Напряжение между точками 2 и 0
равно 6 В, а между точками 3 и 1 равно 10 В. Определите
неизвестные сопротивления.
1996
9.33. Внутреннее кольцо шарикоподшипника, имеющее ради-
радиус г19 вращается с угловой скоростью сох против часовой стрелки;
наружное кольцо, радиус которого равен г2, вращается по часовой
стрелке с угловой скоростью со2. Сам шарикоподшипник неподви-
неподвижен (рис. 20.9). Определите скорость движения центров шари-
15
Рис. 20.9
ков. Считайте, что шарики катятся без
проскальзывания и не соприкасаются
между собой.
9.34. Тело, масса которого т = 1 кг,
движется прямолинейно. График зави-
зависимости скорости и тела от его коорди-
координаты х представляет собой прямую с уг-
углом наклона а = 30°, проходящую че-
через начало координат.
Масштаб графика: по оси х в 1 см -
1 м; по оси у в 1 см - 1 м/с.
Найдите силу, действовавшую на
тело, когда оно находилось в точке с координатой х0 = 2 м.
9.35. В кастрюле плавает пористый кусок льда. Ровно половина
по объему этого «айсберга» находится над водой. Лед вынули из
воды, при этом ее уровень понизился на А/г = 6 см. Найдите сум-
суммарный объем воздушных полостей в куске льда, если поперечное
сечение кастрюли S = 200 см2, а плотность льда рл = 917 кг/м3.
9.36. В далеком
созвездии
Тау Кита...
Живут, между прочим, по-разному
Товарищи наши по разуму...
В. Высоцкий
Планета Косатка из созвездия Тау Кита имеет тот же размер, что
и Земля, и состоит из несжимаемой жидкой субстанции, плотность
которой р = 800 кг/м3. Продолжительность суток на этой планете
составляет 10 ч. Северный полюс Косатки направлен на Землю. Од-
Однажды ночью обитатель планеты Кит Вэйл всплыл на поверхность
планеты в северном полушарии на широте а = 56°, чтобы полюбо-
полюбоваться звездным небом. Найдите угол между горизонтом в точке,
где всплыл Вэйл, и направлением на Землю (ее средняя плотность р0
= 5500 кг/м3, радиус R = 6400 км). Во всем созвездии Тау Кита
широтой точки называется угол между радиусом, проведенным к
ней из центра планеты, и плоскостью экватора.
*9.37. Минимальное время, которое необходимо, чтобы пере-
переплыть в лодке реку, равно t0. Ширина русла реки равна Н. Ско-
Скорость течения реки постоянна в любом месте русла и в C раз боль-
больше скорости лодки (Р > 1), плывущей в стоячей воде.
1. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
2. На какое расстояние снесет лодку за минимальное время
переправы?
16
3. Определите наименьшее расстояние, на которое может снес-
снести лодку за время переправы.
4. Найдите время переправы лодки в том случае, когда ее сно-
сносит на минимальное расстояние.
*9.38. На тележке, движущейся по горизонтальной поверхнос-
поверхности с ускорением g/2, установлены равноплечные весы, длина плеч
которых равна I (рис. 21.9). На весах установлены два одинако-
одинаковых по размеру, но изготовленных из разного материала, одно-
однородных кубика. Длина ребра каждого кубика равна а. Найдите
отношение плотности материала кубиков 1 и 2, если известно,
что весы при движении тележки находятся в равновесии, а куби-
кубики относительно весов неподвижны.
*9.39. В кастрюлю поместили воду и лед при температуре
10 = О °С и закрыли ее крышкой. Массы воды и льда одинаковы.
Через время т = 2 ч 40 мин весь лед растаял.
1. Через какое время температура воды повысится на 1 °С?
2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от 20 °С до
21 °С?
Температура воздуха в комнате tK = 25 °С. Удельная теплоем-
теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда
X = 3,2 • 105 Дж/кг.
*9.40. Резистор, сопротивление которого постоянно, и реостат
подсоединены к источнику постоянного напряжения U (рис. 22.9).
При силе тока в цепи /х = 2 А на реостате выделяется мощность
Рх = 48 Вт, а при силе тока /2 = 5 А на нем выделяется мощность
Р2 = 30 Вт.
1. Определите напряжение источника и сопротивление резис-
резистора.
2. Найдите силу тока в цепи, когда сопротивление реостата
равно нулю.
3. Найдите максимальную мощность, которая может выде-
выделиться на реостате. Чему равно сопротивление RM реостата в этом
случае?
+ U-
;2
1
о
i
I
Ш
7 V
Рис.
21
1
.9
V
-+-
0
{a
g/2
?~
Рис. 22.9
17
1997
Рис. 23.9
Стекло
9.41. Найдите сопротивление R^
цепи, изображенной на рис. 23.9.
Известно, что Rx = 3 кОм, R2 =
= 8 кОм, R3 = 21 кОм, #4 = 56 кОм,
R5 = 9,625 кОм.
9.42. Во время ремонта магазина были
установлены новые рамы с двумя стек-
стеклами для витрин, конструкция которых
приведена на рис. 24.9: толщина L толсто-
толстого стекла равна 1 см, а тонкого I = 0,5 см;
расстояние между рамами 2 см. Одну
раму установили толстым стеклом внутрь
магазина, а другую - наружу. Какая тем-
температура воздуха установится между
стеклами в каждой из рам, если темпе-
температура в магазине +20 °С, а на улице -
10 °С. Считается, что теплоотдача про-
пропорциональна разности температур, а
температура воздуха между стеклами из-
за конвекции всюду одинакова.
9.43. На гладкой горизонтальной
поверхности, ограниченной вертикальными стенками, образую-
образующими равнобедренный треугольник ЛВС (АВ = ВС = L, /ЛВС <?С 1).
У середины стенки АС находится маленькая шайба (рис. 25.9).
Шайбе сообщают скорость v, направленную под углом а к АС.
Оцените время между последовательными ударами шайбы о стен-
стенку АС. Удары шайбы о стенки считайте абсолютно упругими.
9.44. Груз массы М и шарик массы т висят на трех невесомых
пружинах одинаковой жесткости (рис. 26.9). Верхняя пружина
1 см
Ш Q,5 см
ж*—
Рис. 24.9
Рис. 25.9
Рис. 26.9
18
отрывается от шарика в точке А. Определите ускорение а (мо-
(модуль и направление) шарика в начальный момент после отрыва.
*9.45. Птица летит горизонтально на высоте Н с постоянной
скоростью и (рис. 27.9). Плохой мальчик из 9 класса замечает
птицу в момент, когда она находится в точности над его головой,
и сразу же стреляет из рогатки. Какой должна быть скорость и
птицы, чтобы мальчик никак не смог попасть в нее? Максималь-
Максимальная скорость вылета камня равна и0. Сопротивлением воздуха пре-
пренебречь.
*9.46. Доска 1 лежит на такой же доске 2. Обе они как целое
скользят по гладкой ледяной поверхности со скоростью v0 и стал-
сталкиваются с такой же доской 3, верхняя поверхность которой по-
покрыта тонким слоем резины (рис. 28.9). При ударе доски 2 и 3
прочно сцепляются. Чему равна длина I каждой доски, если изве-
известно, что доска 1 прекратила движение относительно досок 2 и 3
из-за трения после того, как она полностью переместилась с 2 на.
31 Все доски твердые. Коэффициент трения между досками 1 и 3
равен k. Трением между досками 1 и 2, а также трением досок 2
и 3 о лед можно пренебречь.
*9.47. К ртутному термометру на уровне деления tx = 30 °С
прикреплен маленький нагреватель, температура которого под-
поддерживается постоянной и равной 500° С (рис. 29.9). Через неко-
некоторое время столбик ртути проходит через деление t0 = 20 °С со
скоростью vo= 0,1
град
. Найдите, через какое время температура
ртути достигнет 26 °С, считая теплопроводность ртути во много
раз больше теплопроводности стекла. Теплоемкостью стекла можно
пренебречь, а тепловой поток от нагревателя к ртути считать про-
пропорциональным разности температур.
Нагреватель
500 °С
Рис. 27.9
Рис. 28.9
Рис. 29.9
19
Рис. 30.9
*9.48. В цепи, которая изображена на рисунке 30.9, амперметр А2
показывает силу тока 2А. Найдите показание амперметра А1? если
известно, что резисторы имеют сопротивления 1 Ом, 2 Ом, 3 Ом и
4 Ом, а вольтметр V показывает напряжение 10 В. Все приборы счи-
считать идеальными.
1998
Рис. 31.9
9.49. Одновременно из одной точки
брошены два тела с одинаковыми по мо-
модулю скоростями | иг | = | v2 | = v0: первое
вертикально вверх, второе - под углом а
к горизонту (рис. 31.9). В дальнейшем они
двигались поступательно. Определите ско-
скорость второго тела относительно первого
в момент времени, когда второе тело будет находиться в точке А,
достигнув половины своей максимальной высоты полета. Сопро-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.50. На кольцевой горизонтальной дороге радиуса R = 1000 м
стартует гоночный автомобиль массой т = 1000 кг с постоянным
касательным ускорением а = 2 м/с2. Определите, в течение како-
какого времени гонщику удастся удерживать автомобиль на дороге,
если коэффициент трения скольжения шин о покрытие дороги
ji = 0,5. Ведущие колеса у автомобиля - задние, нагрузки на пере-
переднюю и заднюю оси при таком движении одинаковы. Центр масс
автомобиля расположен очень низко.
9.51. Система грузов (рис. 32.9) с массами ml = т3= 10 кг, т2 =
= 20 кг сначала находится в покое, трение отсутствует, а массы
20
Рис. 32.9
Рис. 33.9
блоков и нитей пренебрежимо малы. За-
тем к грузу т1 прикрепили довесок
Ат1 = 1,25 кг, к грузу тг - довесок
Ат3 = 5 кг и систему предоставили себе
самой. В каком направлении и с какими
ускорениями станут двигаться грузы т19
т2 и тг?
9.52. Фирма «Дивайс» выпускает при-
прибор, используемый как электрический пре-
предохранитель. Этот прибор состоит из ме-
металлической проволочки сопротивлением
г = 0,1 Ом и массой т = 1 г (удельная
теплоемкость с = 500/Дж (кг • К) и термо-
термомеханического выключателя К (рис. 33.9),
размыкающего цепь в тот момент, когда
проволочка нагревается до критической
температуры ?кр = 60 °С. При испытании
прибора его последовательно соединяют с
переменным резистором R и подключают
к источнику тока с напряжением U = 1 В.
На начальном этапе испытаний на
резисторе устанавливают сопротивление R1 = 14 Ом. Через неко-
некоторое время температура проволочки становится равной tx = 50 °С
и остается постоянной. Затем сопротивление резистора начинают
медленно уменьшать. Найдите его сопротивление Rx в тот момент,
когда испытываемый прибор разомкнет цепь. Известно, что при
подключении прибора непосредственно к источнику тока прибор
размыкает цепь спустя т=1с после подключения. Зависимостью
сопротивления прибора от температуры пренебречь. Температура
среды, окружающей проволочку, поддерживается постоянной.
9.53. Земля из-за вращения вокруг своей оси сплющена со сто-
стороны полюсов. Поэтому расстояние от центра Земли до полюсов
(полярный радиус) меньше расстояния от центра Земли до эква-
экватора (экваториальный радиус). Оцените отношение разности эк-
экваториального и полярного радиусов к среднему радиусу Земли
R = 6370 км. Землю считать жидким телом, окруженным тонкой
эластичной оболочкой в виде земной коры.
*9.54. На стержень радиусом г прочно насажен моток нерастяжи-
нерастяжимой липкой ленты внешним радиусом R (рис. 34.9). На этом же
стержне на легкой нити висит груз массы т. Если ленту тянуть с
силой F, то груз будет подниматься с постоянной скоростью. С какой
силой Fx надо тянуть ленту, чтобы поднимать груз 2т с той же скоро-
скоростью? Стержень может свободно вращаться вокруг неподвижной оси
21
g
Рис. 34.9
Рис. 35.9
OO'. Считать, что минимальная сила, необходимая для отрыва ленты
от мотка, направлена по его радиусу и не зависит от скорости отрыва.
*9.55. Тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной по-
поверхности без проскальзывания со скоростью v0 = 6 м/с. Коэффи-
Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью равен ц = 0,2.
Цилиндр сталкивается с вертикальной гладкой стенкой и упруго
отражается от нее (рис. 35.9).
1. Найдите скорости верхней и нижней точек цилиндра непо-
непосредственно после отражения.
2. Определите скорость центра цилиндра через tx = 2с после
столкновения со стенкой и путь, пройденный им за это время.
3. Определите, какой путь пройдет центр цилиндра к моментам
времени t2 = 4 с.
*9.56. Два высоких цилиндра, сообщающихся с атмосферой,
соединены одинаковыми тонкими трубками АВ и CD и заполне-
заполнены водой (рис. 36.9). Расстояние между трубками равно h0 = 1
м. Температуры воды в цилиндрах поддерживаются постоянны-
постоянными и равными tx = 100 °С и t2 = 40 °С. Плотность воды зависит от
температуры по закону р = ро[1 - C(f - t0)], где t0 - комнатная
температура, р0 = 1,0* 103 кг/м3 - плотность воды при комнат-
комнатной температуре, коэффициент C = 2,1 • 10~6 град. В такой сис-
системе возникает круговая циркуляция
воды по трубкам между цилиндрами.
Известно, что масса воды, перетекаю-
перетекающей по трубкам в единицу времени,
пропорциональна разности давлений на
их концах.
Определите разность давлений Ар^ и
ApCD на концах трубок АВ и CD.
*9.57. Лампочки Лх и Л2, имеющие
Рис. 36.9 вольт-амперные характеристики, пока-
22
"—¦ "=^" —
А В
С
h0
i Ъ
занные на рис. 37.9, соединили после-
последовательно и подключили к источнику
с напряжением U = 12 В.
1. Найдите силу тока, текущего при
этом через лампочку Лх.
2. Чему равна сила тока, протекаю-
протекающая через лампочку Л19 если лампочки
Лг и Л2 последовательно соединить с Л3,
имеющей такую же вольт-амперную ха-
характеристику, как и Л2, и подключить
эту «гирлянду» к источнику с напря-
напряжением U = 12 В?
0,2
од
лг-
3 6 9
Рис. 37.9
12
U, В
1999
9.58. Из легких нитей и одинаковых блоков массой М каждый
собрана полубесконечная система (рис. 38.9). Найдите силу F,
которую показывает динамометр Д.
9.59. Только взошло Солнце. По ровной дороге на велосипеде
едет со скоростью v0 кот Леопольд. А в это время на расстоянии
г от дороги и! от кота два озорных мышонка пытаются при
помощи осколка зеркальца попасть «солнечным зайчиком» Лео-
Леопольду прямо в глаз (рис. 39.9). Найдите, с какой угловой ско-
скоростью со мышата должны поворачивать зеркальце, чтобы сле-
слепить кота.
Примечание. Угловая скорость со = Д<р/Д*, где Д(р - угол поворота
зеркала за малое время At,
Рис. 38.9
Рис. 39.9
23
Рис. 41.9
9.60. В вертикально расположенных цилиндрах, площади сечений
которых Sx и S2, находятся два невесомых поршня, соединенных не-
невесомой пружиной жесткостью k. Пространство между поршнями за-
заполнено водой. Нижний поршень (площадью S2) в начальном состоя-
состоянии поддерживается так, что пружина не напряжена, ее длина при
этом равна 10 (рис. 40.9а). Затем поршень площадью S2 отпускают, и
оба поршня опускаются (рис. 40.96). На какое расстояние х сместится
поршень площадью Sx? Изобразите графически зависимость х от же-
жесткости k пружины. Оба цилиндра сообщаются с атмосферой.
9.61. Из точек А и Б, находящихся на одной горизонтальной
прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по моду-
модулю скоростями v0 = 20 м/с. Один из них полетел по навесной траек-
траектории, а другой по настильной и каждый упал в точку старта дру-
другого камня. Известно, что угол бросания а камня из точки А со-
составляет 75° (рис. 41.9). Через какое время после бросания рассто-
расстояние между камнями станет минимальным? Чему равно это рас-
расстояние? Укажите на рисунке положения камней в этот момент.
*9.62. Кот Леопольд сидел у края крыши. Два озорных мы-
мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Камень, описав дугу,
упал у ног кота (рис. 42.9) через время т = 1 с. На каком рассто-
расстоянии S от мышей находился кот Леопольд, если векторы скорос-
скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно
перпендикулярны?
Рис. 42.9
Рис. 43.9
24
*9.63. На гладком горизонтальном полу находится клин мас-
массой М с углом наклона а при основании (рис. 43.9). На поверх-
поверхности клина расположен брусок массой т, привязанный легкой
нитью к стене. Нить перекинута через невесомый блок, укреп-
укрепленный на вершине клина. Отрезок нити АВ параллелен гори-
горизонтальной поверхности пола. Вначале систему удерживают, а
затем отпускают, и брусок начинает скользить по наклонной по-
поверхности клина. Силы трения отсутствуют. 1. Найдите ускоре-
ускорение клина в этом случае. 2. Полагая а заданным, найдите, при
каком отношении масс клина и бруска такое скольжение воз-
возможно.
Рис. 44.9
*9.64. На рис. 44.9 изображена электрическая цепь, состоя-
состоящая из шести одинаковых звеньев. Все резисторы в цепи одина-
одинаковы и имеют сопротивление г. В первое и последнее звенья цепи
включены амперметры А и Aq. На входные клеммы х и у цепи
подано постоянное напряжение Uxy, при этом амперметр А пока-
показывает ток / = 8,9 А. 1. Какой ток /0 показывает амперметр Aq?
2. Определите напряжение Uxy, поданное на входные клеммы цепи
при условии г = 1 Ом. 3. Определите для этого случая электричес-
электрическое сопротивление Rxy между клеммами х и у.
*9.65. В архиве Снеллиуса нашли чер-
чертеж, на котором были изображены два
плоских зеркала Мх и М2, образующих
двугранный угол в 70°, и точечный ис-
источник света So (рис. 45.9). От времени
чернила выцвели, и невозможно было
разглядеть, сколько изображений источ-
источника So давала такая система зеркал. По-
Попробуйте восстановить все изображения
источника So. Сколько изображений ис-
источника So можно было увидеть в такой
системе зеркал?
Рис. 45.9
2000
9.66. Оцените (численно) максимальную скорость, которую мо-
может развить парашютист в затяжном прыжке (до раскрытия пара-
парашюта). Известно, что сила сопротивления воздуха F, действующая
на парашютиста, является степенной функцией его скорости и, ха-
характерного размера а и плотности воздуха р: F = apmanvk, где а -
безразмерный множитель порядка единицы, т, п, k - некоторые
числа. Принять плотность воздуха р = 1 кг/м3, размер а = 0,5 м.
9.67. Грузовик въезжает с постоянной по модулю скоростью v
на горку по дороге, профиль которой изображен на рис. 46.9. Доро-
Дорога состоит из прямолинейных участков (горизонтальных 0-1, 4-5,
под углом а к горизонту 2—3) и дуг окружностей A-2, 3-4) радиу-
радиуса R. В кузове грузовика находится незакрепленный груз. При ка-
каком минимальном критическом коэффициенте трения цкр груза о
кузов груз будет неподвижен относительно грузовика во время дви-
движения? В каком месте дороги груз начнет скользить по кузову, если
коэффициент трения окажется чуть меньше, чем |1кр? Ответ обоснуй-
обоснуйте. Размеры грузовика пренебрежимо малы по сравнению с R.
9.68. На открытой площадке находятся три одинаковые банки
со льдом, в которые помещены одинаковые электрические нагре-
нагревательные элементы. В некоторый момент эти элементы включа-
включают в три разные розетки с напряжениями Ux = 380 В, U2 = 220 В
и U3 = 127 В. В первой банке весь лед растаял за tx = 2 мин, а во
второй - за t2 = 10 мин. За какое время t3 растает весь лед в
третьей банке? Начальная температура льда во всех банках 0 °С.
Сопротивление нагревательного элемента не зависит от силы про-
протекающего тока. Считайте, что в любой момент времени темпера-
температура внутри каждой банки одинакова по всему объему.
9.69. Груз массы т прикреплен к потолку легкой пружиной
жесткости k. В начальный момент времени груз лежит на подстав-
Рис. 46.9
Рис. 47.9
Рис. 48.9
26
Рис. 49.9
ке П, пружина не растянута, а ее ось вер-
вертикальна (рис. 47.9). На какую макси-
максимальную длину L растянется пружина,
если подставку начнут опускать с уско-
ускорением а? Постройте график зависимос-
зависимости Да). Попытайтесь подобрать удобные
масштабы для переменных L и а.
*9.70. К диску радиуса R, насаженно-
насаженному на горизонтальный вал двигателя, под
действием силы тяжести прижимается тя-
тяжелый брусок массой М. Брусок может свободно поворачиваться
относительно оси О (рис. 48.9). Длина бруска равна L, его толщина
h. Точка соприкосновения бруска с диском находится на расстоянии
I от левого края бруска. Коэффициент трения скольжения между
бруском и диском равен \i. Предполагая, что двигатель развивает
мощность Р, определите угловую скорость со вращения диска в зави-
зависимости от расстояния L Рассмотрите случаи вращения диска по
(со+) и против (со") часовой стрелки. Постройте графики co+(Z) и со~(/).
*9.71. Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два озорных
мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Однако камень,
описав дугу, через tx = 1,2 с упруго отразился от наклонного ска-
ската крыши сарая у самых лап кота и через t2 = 1,0 с попал в лапу
стрелявшего мышонка (рис. 49.9). На каком расстоянии s от мы-
мышей находился кот Леопольд?
*9.72. Известно, что дистиллированную воду, очищенную от приме-
примесей, можно охладить без превращения в лед ниже температуры t0 =
= 0 °С. В зависимости от внешнего давления процесс кристаллиза-
кристаллизации воды может начаться при некоторой температуре tx < t0. Образо-
Образовавшийся при этом лед отличается по своим физическим свойствам
от обычного льда, имеющего температуру 0 °С. Определите удель-
удельную теплоту плавления льда (к2) при температуре tг = -10 °С. Удель-
Удельная теплоемкость воды в интервале температур от -10 °С до 0 °С
равна сг = 4,17 • 103 Дж/(кг • К); удельная теплоемкость льда в этом
интервале температур равна с2 = 2,17 • 103 ДжДкг • К); удельная тепло-
теплота плавления льда при температуре 0°С равна Х1 = 3,32 • 105 Дж/кг.
*9.73. Дан «черный ящик» с тремя выводами (рис. 50.9). Известно,
что внутри ящика находится некоторая схе-
схема, составленная из резисторов. Если к выво- 2
дам 1, 3 подключить источник напряжения J
U = 15 В и измерить с помощью вольтметра
напряжения между выводами 1, 2 и 2, 3, то
они оказываются равными U12 = 6 В и U23 =
= 9 В. Если источник напряжения подклю-
подключить к выводам 2, 3, то U21 = 10 В, С/13 = 5 В.
Рис. 50.9
27
Какими будут напряжения U13, U32, если источник подключить к выво-
выводам 1,2? Нарисуйте возможные схемы «черного ящика» с минималь-
минимальным числом резисторов. Полагая, что наименьшее сопротивление из всех
резисторов равно R, найдите сопротивления остальных резисторов.
2001
Рис. 51.9
9.74. Деревянный плот оттолкнули от бе-
берега так, что в начальный момент времени
его скорость оказалась равной v0 и направ-
направленной перпендикулярно берегу (рис. 51.9).
Двигаясь по траектории, показанной на ри-
рисунке, плот через некоторое время Т после на-
начала движения оказался в точке А. Скорость
реки постоянна и равна и. Графически най-
найдите точки траектории плота, в которых он
находился в моменты времени 27\ ЗТ и 4Т.
9.75. Тело, движущееся по горизонтальной поверхности, за
промежуток времени tr прошло путь s1. Какой путь s2 оно может
пройти за последующий промежуток времени t2? Коэффициент
трения скольжения тела о поверхность равен ju.
9.76. В схеме, изображенной на рисунке 52.9, все вольтметры
одинаковые, а их внутреннее сопротивление много больше всех
остальных сопротивлений цепи. Найдите показания вольтметров,
если сопротивление каждого из резисторов R = 10 Ом, а напряже-
напряжение на входе цепи U = 4,5 В.
9.77. Два плоских зеркала Зх и 32, каждое из которых имеет
форму квадрата со стороной а, сложены под прямым углом. То-
Точечный источник света S располагается на расстоянии а от каж-
каждого из зеркал (схема опыта приведена на рис. 53.9). Заштрихуйте
области, находясь в которых наблюдатель сможет увидеть ровно
п изображений источника S; принять п = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Рис. 52.9
Рис. 53.9
28
У
Рис. 54.9
Рис. 55.9
*9.78. С высокого берега озера за веревку подтягивают лодку.
К веревке привязан флажок (рис. 54.9). В момент, когда флажок
оказался в точке С посередине между Аи В, веревка была направ-
направлена под углом а = 60 ° к горизонту. Найдите скорость флажка в
этот момент, если известно, что скорость лодки и = 1 м/с.
*9.79. Горизонтальная платформа массы М = 300 г подвешена на
резиновом жгуте АВ (рис. 55.9). Жгут проходит сквозь отверстие в
грузе массы т = 100 г. Система находится в равновесии. Затем груз
отпускают без начальной скорости с высоты h относительно плат-
платформы. Найдите, при каком минимальном значении h жгут порвет-
порвется, если его максимально допустимое удлинение хк = 8 см. Зависи-
Зависимость силы натяжения жгута от его удлинения F(x) приведена на
рис. 56.9. Удар груза о платформу считать абсолютно неупругим.
6
5
4
3
2
1
у
/
J
f
f
. •
.—'
12 3 4 5 6 7
Рис. 56.9
8 9 х> см
29
Медь
Сталь
Рис. 57.9
*9.80. В теплоизолированном сосуде
находится смесь воды и льда при темпе-
температуре tx = О °С. Через стенку в сосуд
вводится торец медного стержня, боко-
боковые стенки которого покрыты теплоизо-
теплоизолирующим слоем. Другой торец стерж-
стержня погружен в воду, кипящую при ат-
атмосферном давлении. Через время тм =
= 15 мин весь лед в сосуде растаял. Если
бы вместо медного стержня в этом экс-
эксперименте был использован стальной
стержень того же сечения, но другой дли-
длины, то весь лед растаял бы через время тс = 48 мин.
Стержни соединяют последовательно (см. рис. 57.9). Какой будет
температура t в месте соприкосновения медного и стального стержней?
Рассмотрите два случая:
1) кипящая вода соприкасается с торцом медного стержня;
2) кипящая вода соприкасается с торцом стального стержня.
Через какое время т растает весь лед при последовательном
соединении стержней? Будет ли это время одинаково в случаях 1
и 2?
*9.81. Электрическая цепь составлена из семи последовательно
соединенных резисторов: Rx = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 3 кОм,
R4 = 4 кОм, R5 = 5 кОм, R6 = 6 кОм, R7 = 7 кОм и четырех перемы-
перемычек (см. рис. 58.9). Входное напряжение U = 53,2 В. Укажите, в
каком из резисторов сила тока минимальна. Найдите эту силу тока.
В каком из резисторов сила тока максимальна? Найдите ее.
Рис. 58.9
10
класс
1992
2k
т
т
УУ////////
Рис. 1.10
10.1. Определите максимальную ам-
амплитуду гармонических колебаний сис-
систему из двух брусков и двух невесомых
пружин, изображенной на рис. 1.10.
Жесткость правой пружины
k = 10 Н/м, жесткость левой 2k = 20 Н/м,
масса каждого бруска т = 100 г, коэф-
коэффициент трения между брусками
ц = 0,5. В положении равновесия пра-
правая пружина растянута на длину Ах01 =
= 2 см. Трения между нижним бруском
и опорой нет.
10.2. На рис. 2.10 показаны два опыта с шайбами. Поверх-
Поверхность стола горизонтальная и абсолютно гладкая. Измерения по-
показали, что v2 = v2. Найдите отношение масс шайб.
10.3. Воздух, заполняющий кубический резервуар, находит-
находится при нормальных условиях. Длина ребра резервуара а = 1 м.
Резервуар разделили на две равные части, поместив в него тон-
тонкий поршень (рис. 3.10). В левую половину резервуара медлен-
медленно наливают воду. Уровень воды достиг высоты h = а/2. На
ГПл
т
До столкновения
До столкновения
т1
После столкновения
Опыт 1-й
Рис. 2.10
После столкновения
Опыт 2-й
31
Вода
X
/
у
у
У
какое расстояние сместился при этом
поршень? Трения нет. Давлением пара
можно пренебречь. Резервуар находится
в изотермических условиях.
10.4. Над тонкостенным металлическим
шаром, радиус которого R = 5 см, на высоте
Л = 10 см находится капельница с заряжен-
Рис. 3.10 ной жидкостью. Капли жидкости падают из
капельницы в небольшое отверстие в шаре (рис. 4.10). Определите
максимальный заряд Qo, который накопится на шаре, если заряд
каждой капли q = 1,8 • 10" п Кл. Радиус капель г = 1 мм.
*10.5. На гладком горизонтальном столе находится массивный
куб с прикрепленной к нему легкой упругой пружиной, длина кото-
которой L = 1 м (рис. 5.10). Если закрепить второй конец пружины
таким образом, что пружина будет расположена горизонтально, и
затем, оттянув в горизонтальном же направлении куб от положения
равновесия, отпустить его, то возникнут слабозатухающие (вслед-
(вследствие трения о воздух) колебания куба. За 10 периодов амплитуда
колебаний куба уменьшится в два раза. Для того чтобы поддержать
амплитуду колебаний куба неизменной, закрепленный конец пру-
пружины начинают каждый раз, когда длина пружины становится ми-
минимальной, быстро сдвигать навстречу кубу на расстояние 1=1 мм
и быстро возвращать конец пружины в прежнее положение каждый
раз, когда длина ее максимальна. Найдите амплитуду установив-
установившихся колебаний. Потерями энергии в пружине можно пренебречь.
Примечание. При затухании колебаний их энергия за каждый
период уменьшается в одно и то же число раз.
*10.6. В вертикальном сосуде под тяжелым поршнем и при
температуре окружающей среды находится воздух (рис. 6.10). Пор-
Рис. 4.10
Рис. 5.10
Рис. 6.10
32
2/71
5/71
2q
шень медленно смещают из положения равновесия, поднимая его
на высоту Н. Затем дожидаются, пока температура воздуха в со-
сосуде снова станет равной температуре окружающей среды. После
этого сосуд теплоизолируют и поршень отпускают. На какое рас-
расстояние опустится поршень к тому времени, когда его колебания
прекратятся? Теплоемкостями сосуда и поршня можно пренеб-
пренебречь. Давление воздуха снаружи считать малым.
*10.7. Три маленьких шарика,
массы которых равны т, 2т и 5т,
имеют электрический заряд q, q и
2g соответственно и расположены
вдоль одной прямой (рис. 7.10).
Вначале расстояние между сосед-
соседними шариками равно Z, а сами
шарики закреплены неподвижно. Затем шарики отпускают. Най-
Найдите суммарную кинетическую энергию шариков после разлета
их на большое расстояние. Найдите скорости шариков, когда они
находятся на большом удалении друг от друга. Считайте, что при
разлете шарики все время остаются на одной прямой.
*10.8. В «черном ящике» находятся резистор, имеющий по-
постоянное сопротивление, и нелинейный элемент, которые могут
быть включены как последовательно, так и параллельно. Най-
Найдите сопротивление резистора. Какой нелинейный элемент мо-
может находиться внутри «черного ящика»? Вольтамперные ха-
характеристики для последовательного и параллельного включе-
включений элементов представлены на рис. 8.10.
Рис. 7.10
/,А>
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
/
/
1
/
f
/
/
/
>
1,0
2,0
3,0 17, В
Рис. 8.10
2 Коз<
1993
Рис. 9.10
10.9. Невесомая абсолютно упругая
доска лежит на двух опорах (рис. 9.10).
В некоторый момент в левый край дос-
доски ударяется упругий шарик, масса ко-
которого равна тх. Одновременно с ударом
из-под правого края доски, на котором
находится второй упругий шарик, быс-
быстро убирают опору. На какую высоту,
отсчитывая от начального положения,
подпрыгнет второй шарик после удара? Масса этого шарика рав-
равна т2. В каком направлении полетит первый шарик, если перед
ударом он падал на доску вертикально и имел скорость v0. Силой
тяжести, действующей на шарики в течение удара, можно пре-
пренебречь.
10.10. Определить КПД цикла, показанного на рис. 10.10. Газ
идеальный одноатомный. Участки 2—3 и 4—5 на чертеже пред-
представляют собой дуги окружностей с центрами в точках Ог и О2.
10.11. На дне колодца лежит небольшого размера груз, привя-
привязанный к невесомому упругому шнуру. Другой конец шнура при-
прикреплен к оси колодезного ворота, а на самом шнуре сделана мет-
метка (рис. 11.10). В начальный момент времени шнур не провисает
и не растянут. Затем ворот начинают вращать, наматывая шнур
на ось. Какую работу нужно совершить, чтобы оторвать груз от
дна колодца? В начальный момент длина шнура равна I, а метка
на шнуре находится на расстоянии 0,9/ от дна колодца. Известно
также, что шнур, наматываясь на ворот, не проскальзывает по
нему, а метка в момент отрыва груза от дна колодца оказывается
на оси ворота.
1 j
|4
5
o2
6
Po i
0 VQ 2V0 3V0 4V0 V
Рис. 10.10
Рис. 11.10
34
¦f--t::-r
Рис. 12.10
10.12. Воздушный цилиндрический конденсатор
представляет собой два тонкостенных металлических
цилиндра, вставленных соосно один в другой
(рис. 12.10). Длина каждого цилиндра равна /, радиус
одного цилиндра R, другого г, причем / ^> R> г. Ем-
Емкость конденсатора равна Со. Найдите емкость кон-
конденсатора, если радиус цилиндров увеличивать в два
раза, а их длину уменьшить в три раза. Считать, что
напряженность поля Е между обкладками заряжен-
заряженного цилиндрического конденсатора убывает обратно
пропорционально расстоянию от оси х, т.е. Е = k/x.
*10.13. Камень, брошенный под углом а к горизонту с началь-
начальной скоростью у0, движется по некоторой траектории. Если по этой
же траектории полетит комар с постоянной скоростью v0, то каким
будет его ускорение на высоте, равной половине высоты наиболь-
наибольшего подъема камня? Сопротивление воздуха при движении кам-
камня можно не учитывать.
*10.14. Заряженная капля уравновешена в вертикально направ-
направленном электрическом поле. С момента времени t = 0 электричес-
электрическое поле начинает уменьшаться и к некоторому моменту t1 обра-
обращается в нуль. При этом капля падает. Найдите наибольшее ус-
ускорение капли. График изменения ускорения капли со временем
приведен на рис. 13.10. Считайте, что сила сопротивления возду-
воздуха пропорциональна скорости капли.
а, отн. единиц
0 *i 5 10 t, отн. единиц
Рис. 13.10
*10.15. Два одинаковых теплоизолированных сосуда соедине-
соединены друг с другом тонкой короткой теплоизолированной трубкой
с краном К, закрытым в начальный момент (рис. 14.10). В пер-
первом сосуде под поршнем, масса которого равна М, при темпера-
температуре То находится идеальный одноатомный газ, молярная масса
35
1
1 /
/
/
if
/
/
/
1
\
\
\
V
\
ч
saa
MM
Рис. 14.10
которого равна ц. Во втором сосуде газа
нет, и поршень, масса которого равна
т = М/2, лежит на дне сосуда. Объем
между поршнем и верхней крышкой в
каждом сосуде вакуумирован. Кран от-
открывают, газ из первого сосуда устрем-
устремляется под поршень второго и тот на-
начинает подниматься вверх. Вычислите
температуру газа после установления
равновесия в сосудах. При равновесии между поршнем и крыш-
крышкой во втором сосуде остается свободное пространство. Можно
считать, что v\i/M = 0,1, где v - число молей газа. Трением
можно пренебречь.
*10.16. Неидеальный газ, находившийся изначально в неко-
некотором исходном состоянии, адиабатически расширился, совер-
совершив при этом работу. Далее этот газ изохорически перевели в
состояние с первоначальной температурой, а затем изотермичес-
изотермическим процессом перевели в исходное состояние. Найдите работу
Аад, совершенную газом при адиабатическом расширении, если в
изохорическом процессе к нему было подведено количество теп-
теплоты Q, в изотермическом процессе газом была совершена рабо-
работа А. Внутренняя энергия U и давление р неидеального газа за-
заданы следующими выражениями: U = p(T)F и р = — р(Т), где
о
р(Т) является функцией только температуры, V - объем газа.
*10.17. Две батарейки с одинаковой ЭДС (^ = 8?2 = §"), но
разными внутренними сопротивлениями (гг = 0,1 Ом, г2 = 1,1 Ом)
включены последовательно в цепь, содержащую конденсатор, ем-
емкость которого равна С, и резисторы,
сопротивления которых равны Rx = 2,8 Ом
и Яз = 1,12 Ом соответственно (рис. 15.10).
Сначала, когда цепь разомкнута, иде-
[ альный вольтметр, подсоединенный к
/к клеммам батареи б?15 показывает на-
напряжение Uo = 8 В. Потом вольтметр
подсоединяют к клеммам батареи ^2 и
замыкают ключ К. Найдите показания
вольтметра непосредственно после за-
замыкания ключа и после того, как токи
Рис. 15.10 в цепи установятся.
Н
1994
10.18. Упругая шайба падает плашмя на горизонтальную абсо-
абсолютно твердую поверхность таким образом, что в момент падения
ее скорость равна v0 = 4,5 м/с и направлена под углом а = 30° к
горизонту. Коэффициент трения скольжения между шайбой и
поверхностью k = 0,5. На каком расстоянии от места падения
шайба ударится о поверхность в пятый раз? Влиянием силы тя-
тяжести за время удара можно пренебречь.
10.19. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, находя-
находящимся при температуре кипения, была нарушена герметичность
его внешней стенки. Весь азот испарился из сосуда за время
tг = 5 ч, а концентрация молекул воздуха между стенками возрос-
возросла за это время в 6 раз, оставаясь такой, что молекулы воздуха
могут пролетать от стенки до стенки практически без соударений
друг с другом. Оцените, за какое время t2 эта же масса азота испа-
испарилась бы из неповрежденного сосуда. Поступлением тепла через
горловину сосуда и излучением можно пренебречь.
П р имечание. Сосуд Дьюара представляет собой сосуд с двойными стен-
стенками, в пространстве между которыми поддерживается высокий вакуум.
10.20. Электрические характеристики стартера таковы, что мощ-
мощность, выделяемая на нем в момент запуска двигателя автомобиля,
максимальна. Определите, во сколько раз изменяется в момент запус-
запуска двигателя мощность, выделяемая на лампочке в салоне автомоби-
автомобиля. Считайте, что сопротивление лампочки подчиняется закону Ома.
До начала работы двигателя все электроприборы питаются от акку-
аккумулятора (батареи с конечным внутренним сопротивлением).
10.21. Легкая Т-образная штанга с закрепленным на ней тяже-
тяжелым грузом массы т находится на твердой шероховатой поверх-
поверхности. В начальный момент времени система отклонена в плоско-
плоскости рисунка 16.10 на угол ф0 (ф0 <?С 1). Найдите минимальное вре-
время, за которой система примет первона-
первоначальное положение. Размеры штанги
указаны на рис. 16.10. Удар штанги о
поверхность можно считать упругим.
*10.22. Система грузов изображена
на рис. 17.10. Пружины одним концом
прикреплены к неподвижной опоре, а
другим - к грузам массы т. Блок и нить
в этой системе невесомы, а пружины
изначально не деформированы. Левый
груз опускают вниз на расстояние х и
затем без толчка отпускают. Найдите Рис. 16.10
37
Рис. 17.10
У////////////////, ускорения грузов сразу после того, как
его отпустили. Жесткости пружин рав-
равны кг и k29 причем кг > k2.
*10.23. На гладком горизонтальном
столе лежит шар массы т. С шаром упру-
упруго сталкивается клин массы М = т/2,
движущийся углом вперед со скоростью
v = 5 м/с (рис. 18.10). Определите вре-
время, через которое шар опять столкнется
с клином. Угол клина а = 30°.
Указание. Задачу решать в предположе-
предположении, что импульс передается клину только в
горизонтальном направлении.
*10.24. Длинный брусок квадратного
сечения свободно плавает в воде, при этом
одна из боковых граней находится над
поверхностью воды и параллельна ей
(рис. 19.10). При какой плотности мате-
материала бруска это возможно?
*10.25. В длинный вертикальный ци-
цилиндрический сосуд наливают воду, тем-
температура которой t0 = 0 °С. Высота уровня воды в сосуде Н = 20 м.
На сколько изменится высота уровня воды, если температура воды
внутри сосуда понизится до tx = -0,01 °С? Удельная теплота плавле-
плавления льда q = 335 кДж/кг, плотность льда рл = 920 кг/м3. Изменение
температуры AT плавления льда можно считать связанным с изме-
изменением внешнего давления Ар соотношением
М
Рис. 18.10
где Т - температура смеси «лед-вода», а рв - плотность воды.
Указание. Считайте, что лед к стенкам сосуда не примерзает.
Рис. 19.10
d
Рис. 20.10
38
*10.26. Между обкладками плоского конденсатора помещена
плоская пластина из слабопроводящего материала, удельное со-
сопротивление которого р. Толщина пластины равна h (рис. 20.10).
Конденсатор заряжают до напряжения Uo, затем его обкладки за-
замыкают накоротко. Найдите максимальную силу тока, который
потечет через слабопроводящую пластину. Площадь каждой из об-
обкладок конденсатора и пластины одинакова и равна S. Расстояние
между обкладками конденсатора равно d (d <
1995
10.27. Одноатомный идеальный газ в количестве v = 1 моль нахо-
находится в теплоизолированном цилиндре с поршнем. Дно цилиндра
заряжено зарядом q, а поршень - зарядом (-д). Газ медленно полу-
получает от нагревателя количество теплоты Q. На сколько изменится
температура газа? Считайте, что электрическое поле однородно, тре-
трения нет. Диэлектрическая проницаемость газа равна единице.
10.28. Найдите сопротивление цепи, состоящей из бесконечно-
бесконечного числа ячеек. Сопротивления резисторов заданы на рис. 21.10.
г 2r 4r 2V
10.29. Система тел состоит из пяти одинаковых
маленьких упругих бусинок, которые могут свободно
скользить по бесконечному вертикальному стержню
без трения (рис. 22.10). Каждой бусинке сообщают на- .
чальную скорость. Какое наибольшее число столкно- g\
вений бусинок друг с другом возможно, если все на- у
чальные скорости имеют различное значение и могут
быть направлены как в ту, так и в другую сторону?
10.30. Маленький источник звука, расположен-
расположенный в точке А, и маленький микрофон, расположен-
расположенный в точке Б, находятся на расстоянии L = 1 м друг Рис. 22.10
39
"А-
-и
-2И
Рис. 23.10
Рис. 24.10
от друга. В некоторый момент времени начинает дуть ветер
(рис. 23.10). Во сколько раз изменится мощность звука, поглощае-
поглощаемая микрофоном, если известно, что скорость ветра v = 15 м/с, а
скорость звука с = 340 м/с? Ветер не вызывает завихрения воздуха.
10.31. На столе один на другом лежат три одинаковых длин-
длинных бруска. Их поверхности обработаны так, что коэффициенты
трения скольжения между ними равны соответственно |i, 2|i и Зц
(рис. 24.10). По нижнему бруску ударяют молотком. Направле-
Направление удара горизонтально. Найдите время, через которое система
вернется в состояние покоя. Известно, что после удара по верхне-
верхнему бруску, сообщившему ему ту же скорость Уо, что и скорость
нижнего бруска в результате удара по нему, система вернулась в
состояние покоя через время t0 = 3 с.
*10.32. Теплоизолированная труба раз-
разделена на два отсека неподвижной пере-
перегородкой П с многочисленными тончай-
тончайшими отверстиями (порами) и закрыта с
обоих концов подвижными и теплоизоли-
теплоизолированными поршнями А и В. В началь-
начальный момент между поршнем А и перегород-
перегородкой находится при температуре tx = 95 °С
П
Pi
W////////////////A
- Т _
У/////////////////////////////////////////Ш
Рис. 25.10
вода, масса которой т = 1 кг. На поршень А действует давление
рг = 103 атм, а поршень В прижат к перегородке П атмосферным
давлением р2. Вода под давлением поршня А начинает очень медлен-
медленно просачиваться сквозь перегородку (рис. 25.10).
Определите долю воды, испарившейся к момен-
моменту окончания процесса продавливания. Удельную
теплоемкость воды считайте постоянной и равной
св = 4,2 кДжДкг • К), а удельную теплоту парооб-
парообразования X = 2260 = кДж/кг. Считать, что
удельный объем воды не зависит от давления и
температуры, а оба поршня перемещаются без
трения.
*10.33. Вертикально расположенный сосуд раз-
разделен на два отсека теплонепроницаемой перегород-
Рис. 26.10 кой (рис. 26.10), в которой имеется маленькое от-
40
верстие размером, много меньшим длины свободного
пробега молекул газа. В нижнем отсеке сосуда нахо-
находится газ, давление которого р0 = 6 мм рт. ст. Верх-
Верхний отсек, высота которого h = 9 см, заполнен мас-
маслом. Коэффициент поверхностного натяжения масла
с = 0,03 Н/м, плотность р = 870 кг/м3. Над отверсти-
отверстием перегородки образовался пузырь газа, радиус ко-
которого г = 1 мм. Найдите отношение ~7f температуры
масла к температуре газа, при котором размер пузы-
пузыря остается неизменным. Температура газа в пузыре Рис* 27.10
равна температуре масла. Внешнее давление по поверхности масла
не учитывать.
*10.34. Два проводящих стержня погружены в электролит та-
таким образом, что глубина погружения значительно превосходит
расстояние между ними (рис. 27.10). Измеренное сопротивление
между стержнями оказалось равным R. При погружении стерж-
стержней на глубину в два раза большую первоначальной, сопротивле-
сопротивление становится равным 2R/S. Определите, каким будет сопротив-
сопротивление г между стержнями, если глубину погружения стержней
еще раз удвоить. Проводимость материала стержней значительно
превышает проводимость электролита.
*10.35. Внутри длинного соленоида вдали от его _КН _
торцов магнитное поле однородно и его индукция
равна В. Один из торцов соленоида закрывают кар-
картонным диском, на котором соосно закрепляют не-
небольшой круговой виток из проволоки так, что
центр витка совпадает с осью соленоида (рис. 28.10).
Найдите силу натяжения проволоки витка, если
его радиус равен R, а сила тока протекающего по
нему равна /. Рис. 28.10
1996
10.36. Куб, склеенный из двух одинаковых по объему частей,
кладут на наклонную плоскость таким образом, что плоскость
склейки, параллельная одной из граней куба, перпендикулярна
наклонной плоскости (рис. 29.10). Начнет ли двигаться куб? Если
да, то каким будет его движение в начальный момент? Отноше-
Отношение плотности материалов, из которых сделан куб, равно 20.
Угол наклона плоскости а = 30°, коэффициент трения между
41
Рис. 29.10
наклонной плоскостью и нижней гранью
куба ц = 0,8.
10.37. На горизонтальной поверхнос-
поверхности лежит длинная доска, а на ней брусок
такой же массы. Коэффициент трения
скольжения между бруском и доской,
равный ji15 в три раза превышает коэф-
коэффициент трения |i2 между доской и гори-
горизонтальной плоскостью. Бруску сообщили вдоль доски горизон-
горизонтальную скорость v0. Известно время т, за которое движение дос-
доски относительно поверхности прекратится. Найдите щ и |12> в
предположении, что брусок не соскальзывает с доски.
10.38. Горизонтально расположенный закрытый с обеих сто-
сторон цилиндр разделен поршнем на 2 равные части. Поршень мо-
может свободно (без трения) перемещаться. В первоначальном со-
состоянии в обеих частях цилиндра находилось по одному молю
одноатомного идеального газа при одинаковой температуре То.
Разделяющий поршень может проводить тепло, причем тепловой
поток через него линейно зависит от разности температур его сте-
стенок: q12 = а(Тг - Т2). Одну часть цилиндра начинают нагревать,
при этом газ получает тепло со скоростью q19 а через время т с
такой же скоростью начинают отбирать тепло от газа из другой
части цилиндра. Определите коэффициент теплопроводности а,
если известно, что в стационарном состоянии (при t ^> т) отноше-
отношение объемов разных частей цилиндра равно 2.
10.39. Из одинаковых батареек, ЭДС каждой из которых J?,
внутреннее сопротивление г, а сопротивление резисторов R, со-
собрана «полубесконечная» цепь (число звеньев п —> °о), изобра-
изображенная на рис. 30.10. Что будет показывать идеальный ампер-
амперметр, подключенный к клеммам АВ?
*10.40. Русло реки разделено цепью узких песчаных отмелей
на два рукава с разной скоростью течения. С одного берега реки
на другой переправляется лодка. На рис. 31.10 показан путь, при
движении по которому снос лодки будет наименьшим. Для пере-
A R R R
~1Х:Г
в
0-
А
—I
Рис. 30.10
Рис. 31.10
42
AL0
Рис. 32.10
Рис. 33.10
правы по этому пути требуется время t = 25 мин. Принимая мас-
масштаб, обозначенный на рисунке, определите скорость лодки в сто-
стоячей воде v0 и скорости течения воды их и и2 в каждом рукаве.
*10.41. Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва
(рис. 32.10). Из-за сопротивления воздуха время подъема тела до
наибольшей высоты и время падения до точки А, находящейся на
линии горизонта, которая проходит через точку О старта, отлича-
отличаются на т. В той же точке А горизонтальная составляющая скоро-
скорости тела равна vrA, а вертикальная составляющая на Аи меньше
вертикальной составляющей скорости в точке О старта. На какую
высоту Н от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее
удаление его по горизонтали от точки А за время полета состави-
составило А1/о? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо про-
пропорциональна его скорости.
*10.42. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл
Карно (рис. 33.10) между изотермами Т иТг (Т1 > Т). Холодильни-
Холодильником является резервуар, температура которого постоянна и равна
Т2 = 200 К (Т2 < Т). Теплообмен между рабочим веществом и холо-
холодильником осуществляется посредством теплопроводности. Коли-
Количество теплоты, отдаваемое в единицу времени холодильнику,
q = а{Т - Т2), где а = 1 кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с
нагревателем происходит непосредственно при Тх = 800 К. Пола-
Полагая, что продолжительность изотермических процессов одинакова,
а адиабатических весьма мала, найдите температуру «холодной»
изотермы Т, при которой мощность N тепловой машины наиболь-
наибольшая. Определите наибольшую мощность тепловой машины.
*10.43. Три концентрические металлические сферы 1, 2, 3,
радиусы которых связаны соотношением гх < г2 < г3, имеют соот-
соответственно заряды q19 q29 q3 (рис. 34.10). Найдите потенциал поля
в некоторой точке Л, расположенной между сферами 1 и 2 на
расстоянии г от центра сфер в следующих случаях:
а) ключи Кх и К2 разомкнуты;
43
Рис. 34.10
Рис. 35.10
б) после замыкания ключа Кх\
в) после замыкания ключа К2 при замкнутом ключе Кх.
* 10.44. В (У-образную трубку с открытыми концами налили
ртуть, после чего один из концов трубки запаяли (рис. 35.10).
Затем ртуть вывели из состояния равновесия, в результате чего
возникли малые колебания ртути в трубке. Найдите период этих
колебаний, если известно, что масса ртути т = 367 г, ее плот-
плотность р = 13,6 • 103 кг/м3, площадь поперечного сечения трубки
S = 1 см2, а высота столба воздуха в запаянном конце трубки
равна (=1м. Внешнее атмосферное давление р0 = 105 Па. Про-
Процесс считать изотермическим.
1997
10.45. В двух вертикальных сообщающихся цилиндрах
(рис. 36.10) под поршнями массами 2т и т находится один моль
идеального одноатомного газа. Над пор-
поршнями - вакуум. На рисунке показаны
геометрические размеры: S - площадь
поршня, V' - объем трубы, соединяю-
соединяющей сосуды. Поршень 2т закреплен, а
поршень т свободен. Затем поршень 2т
освобождают. Оба поршня начинают пе-
перемещаться без трения. Удар поршня
т о верхнюю крышку цилиндра проис-
происходит абсолютно упруго. Найдите мак-
Идеальный газ симально большое отношение Тк/Т0, ко-
Рис. 36.10 торое можно достигнуть, изменяя рас-
44
a
S
m
Вакуум
4 s
2m j
о
м
Рис. 37.10
mh
Рис. 38.10
стояние Ъ (Тк - конечная равновесная
температура газа, а То - начальная).
Принять, что стенки цилиндров и пор-
поршни теплом с газом не обмениваются.
10.46. На гладкой горизонтальной
поверхности массивной плиты покоит-
покоится клин массой М и углом наклона а
(рис. 37.10). Клин плотно прилегает к
поверхности плиты. Шар массой тп ле-
летит горизонтально и ударяется о глад-
гладкую наклонную поверхность клина (удар
упругий). В результате клин начинает
двигаться по плите. Найдите отношение
пг/М, если через некоторое время шар
попадает в ту же точку на клине, от ко-
которой он отскочил.
10.47. Найдите положение центра масс системы касающихся
друг друга шаров (рис. 38.10). Все шары имеют одинаковый диа-
диаметр а = 3 см, а их массы возрастают по закону: гп1 = пг, /п2 = Злг,
пг3 = 5ттг, ..., mN = BN - 1)тп, где N = 500. Плотность каждого
шара постоянна.
10.48. В трубе установлена собирающая линза (рис. 39.10). Слева
на нее падает параллельный пучок света, который собирается в
фокусе линзы. Как изменится (увеличится, останется прежним,
уменьшится) фокусное расстояние F системы линза-вода, если:
а) в левую часть трубы залить воду, а в правой оставить воздух;
б) в левой оставить воздух, а в правую залить воду? Известно, что
показатель преломления материала линзы больше показателя пре-
преломления воды (пл > пв). Рассмотрите все возможные варианты.
10.49. Плоский конденсатор подсоединен к источнику посто-
постоянной ЭДС I?. В конденсатор параллельно его обкладкам вносят
заряженную проводящую пластину толщиной L и располагают ее
на расстоянии L и 4L от каждой из обкладок конденсатора
Рис. 39.1
к. ^
<^
г<—Н
F
0
L
«о-
L
В
Li
L\ 2L
Ч>|<>! < >
в4
Рис.4
Ю.10
45
Рис. 41.10
Рис. 42.10
(рис. 40.10). Заряд пластины положителен и равен заряду Q кон-
конденсатора до внесения пластины. Форма и площадь пластины и
обкладок конденсатора одинаковы, расстояние L много меньше
размеров пластины. Какую работу необходимо совершить, чтобы
переместить пластину из положения АВ в положение А В?
*10.50. Из тонкого шнура массой т с коэффициентом упругос-
упругости k сделано кольцо радиусом г0. Кольцо надевают на прямой
круговой конус с углом при вершине 2а (рис. 41.10). Ось конуса
вертикальна, его поверхность гладкая. Найдите радиус г кольца,
находящегося на конусе. До какой угловой скорости со надо рас-
раскрутить кольцо вместе с конусом вокруг оси конуса, чтобы ради-
радиус кольца, находящегося на конусе, стал 2г?
*10.51. В горах проведена линия электропередачи (рис. 42.10).
Масса провода между двумя опорами т, его длина L. Расстояние
по вертикали между нижней точкой провода В и местом крепле-
крепления его к верхней опоре в точке А равно Н. Длина участка АВ
провода равна L Найдите максимальную силу натяжения провода.
*10.52. В горизонтально расположенном цилиндре под порш-
поршнем, который может перемещаться без трения, находится смесь
из 75% кислорода и 25% гелия по массе (рис. 43.10). В результа-
результате окисления железной стружки, находящейся в цилиндре, весь
кислород вступил в реакцию с железом, при этом образовалось
2 моля твердого окисла Fe2O3 и через стенки цилиндра выдели-
выделилось количество теплоты Q = 1,642 Мдж. Во время процесса окис-
окисления в цилиндре поддерживалась по-
постоянная температура 25 °С, а внешнее
давление было равно нормальному ат-
атмосферному давлению. На сколько про-
процентов значение Q больше, чем модуль
изменения внутренней энергии системы
(т.е. вещества внутри цилиндра)? Во
сколько раз изменилась плотность газа
Рис. 43.10 в цилиндре?
46
*10.53. Очень длинная цепочка составлена из батарей с ЭДС
% = 12 В, внутренним сопротивлением г = 4 Ом и резисторов с
сопротивлением R = 15 Ом (рис. 44.10, а). Определите ЭДС 1?0 и
внутреннее сопротивление г0 эквивалентной батареи (рис. 44.10, б).
Рис. 44.10
*10.54. Говорят, что в архиве Снелли-
уса нашли рисунок с оптической схемой.
От времени чернила выцвели, и на бума-
бумаге остались видны только предмет (стрел-
(стрелка) и его изображение, даваемое тонкой
линзой (рис. 45.10).
1) Восстановите построением по име-
имеющимся данным положение линзы.
2) Найдите положение фокусов линзы.
3) Можно ли, исходя из рисунка, ска-
сказать, какая (собирающая или рассеиваю-
рассеивающая) была линза?
о' о
б)
<~к^л
Рис. 45.10
1998
10.55. В бесконечную однородную
жидкую среду плотностью р0 помести-
поместили шарик массой т1 и плотностью р1#
Затем на расстоянии г ^> а (а - радиус
шарика) поместили такой же по объему
шарик массой т2 и плотностью р2. Най-
Найдите появившуюся в результате этого
силу, действующую на шарик тг.
Рассмотрите случаи: 1) рх > р0, р2 > р0;
2) Pi > Ро> Р2 < Ро; 3) Рх < р0, р2 < Ро-
10.56. Два одинаковых маленьких
шарика упруго сталкиваются (рис. 46.10).
Известны их скорости vx и v2 до столк-
столкновения и угол а между ними (причем
т
Рис. 46.10
т
т
\
47
vx ^ v2). Найдите максимально возможный угол C разлета частиц
после столкновения.
10.57. Найдите для воды молярную теплоту парообразования
L2 при температуре Т2, зная молярную теплоту парообразования
Lx при температуре Тх. Считать, что молярная теплоемкость воды
С в интервале температур Тг< Т <Т2 постоянна, а водяной пар
является идеальным газом с молярной теплоемкостью при посто-
постоянном объеме Cv = 3R.
Молярной теплотой парообразования при некоторой темпера-
температуре Т называется количество теплоты, необходимое для превра-
превращения одного моля воды в пар в двухфазной системе вода-насы-
вода-насыщенный пар при постоянной температуре Т.
10.58. Два одинаковых маленьких шарика массой m и зарядом
q каждый висят на нитях одинаковой длины I на расстоянии
х ^ I (рис. 47.10). Из-за медленной утечки заряда по нити вели-
величина заряда каждого шарика изменяется со временем t по закону
q = go(l - at)s/2 (где а - постоянная), а шарики сближаются.
Величины q0, m, a, I заданы. Найдите скорость v = kx/kt сближе-
сближения шариков.
10.59. Герметичный сосуд полностью заполнен водой и сооб-
сообщается с атмосферой через трубку Т (рис. 48.10). Кран К откры-
открывают. За какое время t поверхность воды в сосуде опустится до
нижнего края трубки Т? Внутренний радиус сосуда R = 10 см,
внутренний радиус трубки с краном г = 2 мм. Расстояние от ниж-
нижнего конца трубки Т до верха сосуда h = 20 см, а до трубки с
краном if = 5 см. Объемом трубки Т по сравнению с объемом
вытекшей за время t воды пренебречь.
у//////////////////,
g, m
q>m
Рис. 47.10
Рис. 48.10
48
*10.60. Тело массой т бросают вертикально вверх с поверхно-
поверхности Земли, вдоль которой с постоянной скоростью и дует ветер.
Сила сопротивления воздуха пропорциональна его скорости и равна
F = - kv. Через время т тело возвращается на землю на расстоя-
расстоянии s от точки бросания с вертикальной составляющей скорости,
которая на Аи меньше стартовой скорости. Найдите работу сил
трения о воздух за все время полета.
*10.61. В тепловой машине в качестве рабочего тела использу-
используется один моль идеального одноатомного газа. На рисунке 49.10
представлены циклы I и II, совершаемые этим газом. Найдите
коэффициенты полезного действия (КПД) т^ и г\2 этих циклов,
если их отношение равно а = TliAb = 1>6.
*10.62. Водяной пар массой т= 1 г находится в теплоизолиро-
теплоизолированной камере объемом V = 39 л при температуре Т = 300 К.
В той же камере имеется вода, масса которой меньше массы пара.
В процессе адиабатного сжатия температура пара возрастает на
AT = 1 JKT, а часть воды испаряется. На сколько увеличится при
этом масса пара в камере? Теплота испарения воды X = 2,37» 106
Дж/кг; пар считать идеальным газом с молярной теплоемкостью
Cv = SR ~ 25 ДжДмоль • К); теплоемкостью воды пренебречь. Из-
Известно также, что при малых изменениях температуры AT насы-
насыщенного пара его давление изменяется на Ар = kAT, где
* = 2-102Па/К.
*10.63. Определите силы токов, протекающих через диоды Dx
и D2 в электрической цепи, параметры которой указаны на
рис. 50.10. Диоды считать идеальными.
*10.64. В воздушный конденсатор емкости Со вставлена плас-
пластина с диэлектрической проницаемостью 8. Диэлектрик запол-
заполняет весь объем конденсатора. Конденсатор подключен к бата-
батарее с ЭДС Ш через резистор R (рис. 51.10). Пластину быстро вы-
вынимают из конденсатора, так что его начальный заряд не успе-
I
II
0
V
AV AV AV
Рис. 49.10
D'l
Рис. 50.10
49
I
Mill
Рис. 51.10
вает измениться. После этого начина-
начинается процесс перезарядки конденсато-
конденсатора. Найдите:
1) механическую работу, совершае-
совершаемую внешней силой против сил элект-
электрического поля при извлечении пласти-
пластины из конденсатора;
2) изменение электрической энер-
энергии конденсатора в процессе переза-
перезарядки;
3) работу батареи;
4) количество теплоты, выделившееся на резисторе R.
1999
10.65. Маленький заряженный шарик «парит» в состоянии без-
безразличного равновесия на высоте Н над горизонтальной равно-
равномерно заряженной диэлектрической плоскостью (рис. 52.10).
С каким ускорением и в какую сторону начнет двигаться этот
шарик сразу после того, как из плоскости строго под ним будет
быстро удален диск такого радиуса г, что 100 г = Н?
10.66. Два точечных тела начинают одновременно двигаться:
первое по окружности радиуса R с постоянной по модулю скорос-
скоростью и19 второе из центра той же окружности со скоростью
4
v2 = —vl9 причем вектор v2 направлен все время на первое тело
5
(рис. 53.10). На каком расстоянии друг от друга окажутся тела
2kR
через время т ^> ~~ ?
vi
10.67. Длинная проволока навита в спираль радиуса R с шагом
h (рис. 54.10); ось спирали расположена вертикально. По спира-
Н
Рис. 52.10
Рис. 53.10
50
Рис. 54.10
Рис. 55.10
Р/Ро
ли скользит бусинка; коэффициент трения между проволокой и
бусинкой равен \i. Найдите установившуюся скорость движения
v0 бусинки.
10.68. В экспериментах по обнаружению нейтрино использу-
используют легкоплавкий металл галлий (?пл = 29,8 °С). Прямоугольная
теплоизолированная кювета шириной d, открытая сверху, до вы-
высоты Н заполнена галлием, нагретым до температуры кипения.
К противоположным стенкам А и В, изготовленным из хорошо
проводящего материала, подведено внешнее электрическое на-
напряжение. Через расплав галлия начинают пропускать постоян-
постоянный ток / (рис. 55.10). Через какое время весь галлий выкипит?
Удельную теплоту парообразования X, плотность р и удельное
сопротивление а считать известными.
10.69. В тепловой машине v молей
идеального одноатомного газа соверша-
совершают замкнутый цикл, состоящий из про-
процессов 1-2 и 2-3, в которых давление/?
газа линейно зависит от занимаемого им
объема V, и изохорического процесса 3-
1 (рис. 56.10). Величиныр0 и Vo считай-
считайте известными. Найдите:
1) температуру и давление газа в точ-
точке 3;
2) работу А, совершаемую газом за
цикл;
3) коэффициент полезного действия
У\ тепловой машины.
*10.70. По двум кольцевым дорогам
радиуса R, лежащим в одной плоскости,
движутся автомобили Аг и Аг со скорос-
скоростями vx = v = 20 км/ч и v2 = 2v
(рис. 57.10). В некоторый момент авто-
автомобили находились в точках М и С на
расстоянии R/2 друг от друга.
51
0
12 3 4 5 6 7V/V0
Рис. 56.10
А, л
1. Найдите скорость автомобиля А2 в системе отсчета, связан-
связанной с автомобилем Аг в этот момент.
2. Найдите скорость автомобиля А2 в системе отсчета, связанной с
автомобилем А19 когда А% окажется в точке D. Размеры автомобилей
малы по сравнению с R.
* 10.71. В герметично закрытом сосуде находится влажный воз-
воздух, температура которого равна tx = 75 °С, а относительная влаж-
влажность фх = 25%. Воздух в сосуде начинают охлаждать. При какой
температуре t2 внутренние стенки сосуда запотеют? График зави-
зависимости давления насыщенного водяного пара в относительных
единицах от температуры приведен на рис. 58.10.
*10.72. На миллиметровой бумаге изображена р-^-диаграм-
ма некоторого процесса 1—2, проведенного над идеальным од-
одноатомным газом (рис. 59.10). Но ось V на диаграмме не изоб-
изображена. В этом процессе количества теплоты, отводимой от газа
и поглощенной газом, одинаковы. Постройте по данным задачи
ось V.
*10.73. На рис. 60.10 представлена электрическая цепь, состо-
состоящая из батареи с ЭДС ^, конденсаторов емкостями Сг и С2, рези-
резисторов Rx и R2, ключа К и идеального вольтметра V. После замы-
замыкания ключа К оказалось, что в некоторый момент времени мак-
максимальное напряжение на конденсаторе С2, измеренное вольтмет-
вольтметром, равно %?/2.
1. Определите разность потенциалов на конденсаторе Сг в этот мо-
момент.
2. Найдите силу тока через резистор R1 в этот же момент.
3. Определите максимальный заряд на конденсаторе Cv
52
100 200 300 U, В
Рис 60.10 Рис. 61.10
4. Вычислите полное количество теплоты, выделившееся в цепи
после замыкания ключа К.
*10.74. На рис. 61.10 представлена идеализированная зависи-
зависимость силы тока /, протекающего через газоразрядную трубку, от
напряжения U между электродами для случая несамостоятельно-
несамостоятельного газового разряда. Трубка с последовательно соединенным бал-
балластным резистором сопротивлением R = 107 Ом подключается к
конденсатору емкостью С = КГ3 Ф, заряженному до напряжения
Uo = 300 В. Какое количество теплоты выделится в трубке за
время полного разряда конденсатора?
2000
10.75. Плотность вещества некоторой планеты, имеющей фор-
форму шара радиуса R = 6400 км, зависит только от расстояния до
центра планеты. При бурении скважины глубиной несколько де-
десятков километров обнаружилось, что ускорение свободного па-
падения не зависит от глубины погружения под поверхность плане-
планеты. Найдите плотность вещества, из которого состоит поверхность
планеты, если средняя плотность пла-
планеты, равная отношению ее массы к
объему, равна р = 5,5 г/см3.
10.76. В электростатических полях
Муха-Цокотуха умеет летать только по О
эквипотенциальным поверхностям. Ее
поместили между обкладками заряжен-
заряженного плоского конденсатора на оси ООГ
9999
на расстоянии 20 000 ^ от °Дн°й из них
(d - расстояние между обкладками). Об-
Обкладки конденсатора имеют форму дис-
53
Кольца
Желоб
Рис. 63.10
Цилиндры _» ков радиуса R, причем R^> d. На каком
расстоянии г от конденсатора будет
Муха, когда окажется вне конденсато-
конденсатора на его оси симметрии (рис. 62.10)?
10.77. Система из двух жестко со-
соединенных цилиндров радиуса R и
массой т = 2 кг каждый находится в
горизонтальном желобе с гладкими
стенками (рис. 63.10). Коэффициент
трения правого цилиндра о поверх-
поверхность \кх = 0,3, а левого - ц2 = 0,1.
Цилиндры можно тащить за нить, прикрепляемую к одному из
колец на их внешней стороне.
В какую сторону легче сдвинуть эту систему, прикладывая го-
горизонтальную силу к нити, направленной вдоль линии, соединя-
соединяющей центры цилиндров?
Найдите минимальные горизонтальные силы FA и FB, необходи-
необходимые для того, чтобы сдвинуть систему вправо и влево соответственно.
Можно ли эту систему сдвинуть влево или вправо, потянув ее
за нить в горизонтальном направлении с силой Т = 0,7 Н? Ответ
обоснуйте.
10.78. Заряженный конденсатор емкости С разряжают через
элемент с неизвестной вольтамперной характеристикой, при этом
сила тока в цепи зависит от времени как
где /0 и а - положительные константы. В момент времени t0 = —
конденсатор разряжается полностью. Найдите вольтамперную ха-
характеристику элемента.
10.79. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного
SRT
гелия возрастает прямо пропорционально температуре Т: С(Т) = 4^ ,
где Тх - начальная температура газа, R - молярная газовая посто-
постоянная. Какую работу А совершат v молей газа к тому моменту, когда
его объем станет минимальным в указанном выше процессе.
| *10.80. На гладкой горизонтальной
I-» Р х поверхности колеблется на пружине
1 § | ^ вдоль оси Ох брусок. По направлению к
бруску вдоль оси Ох движется со скоро-
скоростью v0 шарик (рис. 64.10), который
после упругого удара о брусок отскаки-
отскакивает в противоположном направлении.
54
Рис. 64.10
х, мм'
100
50
1
\
\
Юи
\
\
s
Г 1DU
N
ч,
ч,
ZUU
ZDU
z
/
/
/
/
(
/
/
/
" 6ЪУ)
мс
4UU
-50
-100
Рис. 65.10
Масса шарика во много раз меньше массы бруска. График за-
зависимости координаты х бруска от времени t представлен на
рис. 65.10.
1. Используя график, найдите максимально возможную ско-
скорость шарика после отскока, если v0 = 0,06 м/с.
2. При каких значениях v0 разность А между максимально воз-
возможной скоростью отскока и v0 не будет зависеть от v0 ? Найдите
эту разность.
*10.81. Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны
соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сце-
сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен L (рис. 66.10).
Масса локомотива равна т, а его порядковый номер - первый.
Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже равна т.
1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной F, най-
найдите время, за которое в движение будет вовлечено iV вагонов.
N
О О
N - 1
_О (Т
О (У
О ТУ
Рис. 66.10
55
70 80 90 100 *, С
Рис. 67.10
2. Полагая, что состав очень длинный (N —* °о), определите
предельную скорость ито локомотива.
*10.82. В воду массой т бросают вещество такой же массы,
обладающее следующими свойствами:
1. При растворении в воде вещество поглощает энергию А, на
каждый килограмм, причем — = 200 К, где с - удельная тепло-
теплоемкость вещества, которая равна теплоемкости воды и не меняет-
меняется при растворении.
2. Концентрация а вещества в воде, определяемая как отноше-
ние масс растворенного вещества к массе растворителя а = ~~ ,
^раств
в насыщенном растворе зависит от температуры (см. график
a(t °C) на рис. 67.10).
Начальная температура вещества равна +200 °С, воды -
0 °С. Определите установившуюся температуру раствора tycr и
конечную концентрацию ауст. Тепловыми потерями и испаре-
испарением пренебречь.
*10.83. Кривая ABC (рис. 68.10) является адиабатой для не-
некоторого вещества, у которого внутренняя энергия зависит от
произведения pV, т.е. U = U(pV). Найдите полное количество
теплоты, которое тело получило в процессе 1-2, изображенном
на рис. 68.10.
*10.84. В электрической цепи, представленной на рис. 69.10,
ключ К разомкнут и токи не текут. Определите:
1) силы токов, протекающих через батареи *?х и ^2 сразу после
замыкания ключа К;
56
10
i L^
II
л - 1
1
II
1
1
I
1
к
i
ii
rr l\l
7 \|
\
1
L
о \
j
5 ¦ ¦'" ~ \ ¦ "
A — \- — r—
4 Дjr
V
Q V _|Li
3 S
>
Z ^
i
1
S.- Z \
S Z 3
^ z
sz v
Чц "^
"** *** ** < r~
*«¦
Рис. 68.10
2) изменение электростатической
энергии AW системы после прекраще-
прекращения токов;
3) работы Аг и А2 батарей % х и ^2 за
все время процесса;
4) количество теплоты Q, выделив-
выделившееся на резисторах после замыкания
ключа К.
6 7 8 F/Fo
С J
С г
К
г {
Рис. 69.10
2001
Рис. 70.10
10.85. Тело Б удерживается непод-
неподвижно в воздушном потоке, движущем-
движущемся со скоростью и . В некоторый момент
тело отпускают без начальной скорос-
скорости. Траектория его движения изображе-
изображена на рисунке 70.10. В установившемся
режиме тело падает с постоянной ско-
скоростью под углом Р к горизонту. Под
каким углом у к горизонту тело начало
двигаться? Сила сопротивления воздуха, действующая на тело,
пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха и
направлена противоположно ей.
10.86. Горизонтальная ось ОО' может свободно вращаться в под-
подшипниках. Перпендикулярно к ней симметрично прикреплены три
одинаковые легкие спицы, составляющие друг с другом угол 120°.
На концы спиц насажены одинаковые маленькие шарики А, Б и С.
К шарику А на длинной нерастяжимой легкой нити подвешен груз
массы т. В первом эксперименте ось ОО' повернули так, что спица
с шариком А оказалась горизонтальной (рис. 71.10).
После того как систему отпустили без начальной скорости, груз
т начал опускаться с ускорением аг. Во втором эксперименте ось
ОО' повернули так, что шарики А и Б оказались на одной высоте
(рис. 72.10). Каким будет ускорение а2 груза т сразу после того,
как систему вновь отпустят без начальной скорости?
О(У
оо\
т Ф
Рис. 71.10
Рис. 72.10
58
Рис. 73.10
10.87. Для исследования свойств газа был
разработан специальный прибор - «электро-
«электроманометр». Он состоит из слабо электропро-
электропроводной U-образной трубки, заполненной рту-
ртутью (рис. 73.10). Манометр включен в цепь с
амперметром А и батареей с ЭДС % = 12 В и
малым внутренним сопротивлением. Элект-
Электрическое сопротивление R такого манометра
пропорционально разности давлений р в его
коленах: R = kp.
На экспериментальном графике
(рис. 74.10) изображен производимый над га-
газом процесс KLMNOPQ в координатах: ра-
работа А, совершаемая поршнем, — сила тока /, показываемая ампер-
амперметром. Найдите объем VQ, занимаемый газом к концу эксперимента
(в точке Q). Начальный объем газа Fk = 1 л, коэффициент k = 3 • 10~3
Ом/Па. Объемом манометра и подводящих трубок можно пренебречь.
10.88. В горизонтально расположенный плоский конденсатор
до середины вставлен брусок, который может скользить без тре-
трения между пластинами конденсатора (рис. 75.10). Конденсатор
подключен к источнику постоянного напряжения U. В некото-
некоторый момент времени брусок без толчка отпускают. Найдите зави-
зависимость скорости бруска v от времени и постройте ее график. Гео-
Геометрические размеры бруска Ь xb xd, его диэлектрическая про-
проницаемость е, плотность р. Расстояние между пластинами кон-
конденсатора d9 их размеры Ъ xb.
А,Дж
О
V
7
к
0,5 1,0
Рис. 74.10
Л А
Рис. 75.10
59
•D
Рис. 76.10
10.89. В школьной лаборатории экс-
экспериментатор Глюк исследовал электри-
электрический «черный ящик» с четырьмя вы-
выводами (рис. 76.10). Известно, что элек-
электрическая цепь внутри ящика состоит
только из резисторов. Глюк получил
следующие результаты: R^ = 27 кОм,
R^ = 120 кОм, RBC = 41 кОм, RCD = 52 кОм.
Дома Глюк вспомнил, что он не замерил сопротивления между
выводами (А, С). Определите сопротивление RAC.
* 10.90. Легковой автомобиль едет по горизонтальной дороге со ско-
скоростью v0. Если водитель заблокирует задние колеса, тормозной путь
машины составит Ьг = 28 м. Если водитель заблокирует передние коле-
колеса, тормозной путь будет равен L2 = 16 м. Каким окажется тормозной
путь машины, если заблокировать все четыре колеса? Известно, что
центр масс автомобиля расположен на равных расстояниях от осей
передних и задних колес, диаметр которых одинаков.
*10.91. Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли обрывок
рукописи, на котором был изображен замкнутый цикл для
v = 1 моль гелия в координатах p,V (рис. 77.10). Цикл состоял из
1
I
V
\
л
\
N
\
4
>
ч
s
4
\
\
4
\
\
4
s
ч
\
ч
s
\
s,
>
s
\
ч
ч
ч
ч^
4
ч
4
ч,
4»
ч
ч
s
N.
4
2
f
Рис. 77.10
60
изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиаба-
адиабаты 3-1. КПД данного цикла
г\ = 0,125. Найдите объем газа в изо-
хорическом процессе, если на рисунке
ось давления вертикальна, а ось объе-
объема горизонтальна. Масштаб по оси
объема: 1 дел = 0,5 л; по оси давле-
давления: 1 дел = 5 кПа.
*10.92. Сферический конденсатор с
радиусами обкладок Rx = R и R3 = 3i?
подсоединен к источнику тока, кото-
который поддерживает на обкладках посто-
постоянное напряжение U (рис. 78.10). Про-
Пространство между обкладками заполне-
заполнено двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлени-
сопротивлениями рх = р и р2 = 2р и диэлектрическими проницаемостями гг = е2
= 1. Радиус сферической границы между слоями R2 = 2R. Удель-
Удельная проводимость слоев между обкладками конденсатора намно-
намного меньше удельной проводимости материала обкладок.
Найдите заряд на границе между слоями различных веществ.
Найдите силу тока, протекающего через конденсатор.
*10.93. В плоский конденсатор емкостью Со вдвигается пласти-
пластина с диэлектрической проницаемостью е. Конденсатор включен в
цепь, представленную на рисунке 79.10. Оказалось, что сила тока,
протекающего через батарею с ЭДС If х, постоянна и равна /0. Обе
батареи идеальные.
1. Определите силу тока, протекающего через резистор с со-
сопротивлением Rx.
2. С какой скоростью движется диэлектрическая пластина?
При расчетах считайте, что ^х и ^2 заданы, Rx = R2 = R, длина
пластин конденсатора Со равна I.
Рис. 79.10
61
*10.94. На поверхности плоского зер-
зеркала лежит тонкая симметричная двоя-
ковыпуклая линза с фокусным расстоя-
"^^^Llxxl^^^S НИеМ F° = 8 СМ (РИС# 80Л0)*
1. Где будет находиться изображение
Рис. 80.10 точечного источника, помещенного на
расстоянии 1г = Fo от линзы?
2. На поверхность зеркала наливают воду так, что уровень воды
совпадает с плоскостью симметрии линзы. Если теперь точечный
источник поместить на расстоянии 12 = 12 см от линзы, то его
изображение совпадет с самим источником.
3. На каком расстоянии от линзы нужно расположить точеч-
точечный источник, чтобы его изображение совпало с ним самим, если
вода полностью скрыла линзу?
Пр имечание. Оптические силы тонких линз, расположенных вплот-
вплотную друг к другу, складываются.
11
класс
1992
11.1. Маленький шарик подвешен к балке на тонкой невесо-
невесомой нити длиной I = 10 см (рис. 1.11). Какую наименьшую ско-
скорость v0 необходимо сообщить шарику в горизонтальном направ-
направлении, чтобы он ударился о кронштейн в точке подвеса?
11.2. Предполагая, что некий фантастический космический
корабль может выдержать любые тепловые и механические пере-
перегрузки, найдите минимально возможный период обращения та-
такого корабля вокруг Солнца (и обоснуйте, почему такой период
минимален), зная, что видимый с Земли угловой размер Солнца
равен а = 9,3 • 10~3 рад.
11.3. В теплоизолированном цилиндре, поршень которого удер-
удерживается в неподвижном состоянии двумя одинаковыми гирями
(рис. 2.11), находится 1 моль одноатомного идеального газа. На-
Начальная температура газа равна То. Давление воздуха вне цилин-
цилиндра равно нулю. Как изменится температура газа, если одну из
гирь снять, а затем через некоторое время поставить обратно?
Поршень может скользить в цилиндре без трения.
11.4. Три небольших одинаковых металлических шарика рас-
расположили правильным треугольником. Вся система находится в
вакууме. Шарики поочередно по одному разу соединяют с удален-
удаленным проводником, потенциал которого поддерживается постоян-
Рис. 1.11
Рис. 2.11
63
\ / v
V
Воздух,
/
27
°С
---
ш
Лед, О С
Вода
Рис. 3.11
ным. В результате на первом шарике оказывается заряд, равный
Qj, а на втором - заряд, равный Q2. Определите заряд третьего
шарика.
*11.5. Масса Харона, недавно открытого спутника Плутона, в
8 раз меньше массы планеты. Плутон и Харон обращаются по
круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем они все
время «смотрят друг на друга», т. е. система вращается как еди-
единое твердое тело. Расстояние между центрами планеты и ее спут-
спутника R = 19 640 км, радиус Харона г = 593 км. Определите отно-
относительное различие в ускорениях свободного падения на Хароне в
точке, наиболее близкой к Плутону, и в точке, наиболее удален-
удаленной от него.
*11.6. Один из спаев термопары находится при комнатной
температуре (tx = 27 °С), а второй - в теплоизолированном сосу-
сосуде со льдом, имеющим температуру t2 = 0 °С. Мощность, разви-
развиваемая термопарой, выделяется на сопротивлении нагревате-
нагревателя, который помещен в другой теплоизолированный сосуд, со-
содержащий воду (рис. 3.11). Оцените повышение температуры
воды к моменту окончания плавления льда. Можно считать,
что все электрическое сопротивление цепи сосредоточено в на-
нагревателе. Массы воды и льда одинаковы. Удельная теплоем-
теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг-К); удельная теплота плавления
льда X = 335 кДж/кг.
*11.7. Заряженная частица, двигаясь в плоскости, перпенди-
перпендикулярной длинному равномерно заряженному проводу, пролетает
мимо этого провода, отклонившись от первоначального направле-
направления на небольшой угол а (рис. 4.11). Найдите этот угол, если
кинетическая энергия частицы при влете ее в поле провода равна
W, ее заряд равен е, а заряд единицы
длины провода q. Поле на расстоянии R
Га'
от длинного провода Е
Рис. 4.11
2m0R '
64
л—
у
1
1
л- ¦
a)
6)
Рис. 5.11
в)
*11.8. Виток тонкого провода, имеющий форму квадрата, об-
обладает индуктивностью Lx (рис. 5.11,а). Виток из такого же про-
провода, идущего по ребрам куба, как это показано на рис. 5.11,6,
имеет индуктивность L2. Найдите индуктивность показанного на
рис. 5.11,в витка из такого же провода. (Витки на рисунках выде-
выделены толстыми линиями.)
*11.9 Полуцилиндр изготовлен из оптически прозрачного ма-
материала с изменяющимся по радиусу показателем преломления
п. Зависимость п от радиуса г изображена на графике в координа-
г
тах In /I и In 7, где г0 = 1 см. (рис. 6.11). Используя данную
го
зависимость, найдите радиусы полуокружностей, по которым смо-
сможет распространяться тонкий пучок света при нормальном его
падении на плоскую поверхность полуцилиндра.
1,0
0,5
0,5
Рис. 6.11
,0
3 Ко
65
1993
11.10. Легкий теплопроводящий поршень А и тяжелый тепло-
непроводящий поршень В делят вертикально расположенный ци-
цилиндр на два отсека (рис. 7.11). Высота каждого отсека L = 40 см,
и в каждом из них находится 1 моль идеального одноатомного
газа. Первоначально система находится в тепловом равновесии.
Затем газ медленно нагревают, сообщая ему количество теплоты
Q = 200 Дж. Определите наименьшую силу трения между порш-
поршнем А и стенками сосуда, при которой поршень А еще останется
неподвижным. Поршень Б может перемещаться без трения.
11.11. Проволочное колечко пролетает между полюсами маг-
магнита, не успев повернуться. Диаметр колечка D = 6 мм, диаметр
проволоки d (d <^ D), ее удельное сопротивление рс = 2 • 10~8 Ом • м
и плотность рп = 9 • 103 кг/м3. Оцените изменение скорости колеч-
колечка за время пролета сквозь магнитное поле, если его скорость при
влете в поле равна v0 — 20 м/с. Вектор индукции В магнитного
поля перпендикулярен плоскости. Зависимость индукции магнит-
магнитного поля от координаты х (вдоль траектории движения колечка)
показана на рис. 8.11, при этом а = 10 см, Бо = 1 Тл. Можно
считать, что а ^> D.
11.12. По диаметру астероида, который имеет форму шара, про-
проходит узкий тоннель. С поверхности астероида в тоннель бросили
камень, сообщив ему скорость, равную первой космической для
этого астероида. Через какое время камень вернется назад? Изве-
Известно, что минимальный период обращения космических объектов
вокруг астероида равен То; астероид состоит из однородного веще-
вещества, а влияние гравитационного поля других небесных тел мало.
Примечание. Площадь эллипса S = nab, где а и Ъ - длины полу-
полуосей эллипса.
А• : :•' .'--'.'.'.у
yyywywwwywwwwyy1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\у^\\\\У
Рис. 7.11
Рис. 9.11
66
11.13. Тонкий пучок электронов, движущийся со скоростью
v0, пролетает сквозь сетки А и Б, к которым приложено перемен-
переменное напряжение U = Uo sin (со?) (рис. 9.11). Время пролета сквозь
сетки много меньше периода переменного напряжения. Измене-
Изменение скорости электронов, прошедших сквозь сетки, значительно
меньше v0. Оцените, на каком расстоянии от сеток электроны со-
е
берутся в сгустки. Значения Uo, v0, со и у = — (отношение заряда
электрона к его массе) считать известными.
*11.14. К парому, масса которого равна т = 5» 104 кг, привя-
привязан нерастяжимый трос. В момент t = 0 мотор начинает натяги-
натягивать трос. При этом сила натяжения троса начинает расти, дости-
достигает своего максимального значения и затем остается постоян-
постоянной. Найдите максимальную силу натяжения троса в момент tx =
= 2 с, если сопротивление воды движению парома пропорцио-
пропорционально квадрату его скорости. График изменения ускорения па-
парома со временем приведен на рис. 10.11.
*11.15. Рабочее вещество, внутренняя энергия которого U
связана с давлением р и объемом V соотношением U = kpV>
совершает термодинамический цикл, состоящий из изобары,
изохоры и адиабаты. Работа, совершенная рабочим веществом
во время изобарного процесса, в т = 5 раз превышает работу
внешних сил по сжатию вещества, совершенную при адиабат-
а, м/с2'
0,10
0,08
0,06
0,04
]_
\
\
\
-
0 2 4 6 8 10 12 *, с
Рис. 10.11
67
Рис. 11.11
ном процессе. Коэффициент полезно-
полезного действия цикла Г| = 1/4. Определи-
Определите коэффициент k.
*11.16. Пространство между двумя
большими горизонтально расположен-
расположенными пластинами, находящимися на
расстоянии I друг от друга, заполнено
воздухом. Температура нижней пластины
поддерживается равной 7\, верхней - рав-
равной Т2< Тг. Считая воздух идеальным
газом, определите, при какой разности
температур 7\ - Т2 в системе возникает
конвекция. Теплообменом между соседними слоями воздуха при
конвекции можно пренебречь. В отсутствие конвекции темпера-
температура меняется с высотой по линейному закону. Молярную тепло-
теплоемкость воздуха при постоянном объеме Cv и его молярную массу
\i считайте известными.
*11.17. Вдали от катушки с круглым цилиндрическим железным
сердечником находится кольцо из сверхпроводящего материала. Ток
в кольце равен нулю. На рис. 11.11 изображены линии индукции маг-
магнитного поля вблизи торца катушки; ось г является осью симметрии
магнитного поля катушки. Кольцо вносят в магнитное поле катушки.
Сначала кольцо занимает положение i, а затем - положение 2.
1. Определите отношение (IJI2) силы тока, протекающего в
кольце, когда оно находится в положении 1, к силе тока в кольце,
когда оно находится в положении 2.
2. Определите соотношение сил (Fl/F2), действующих на кольцо
в обоих положениях, и укажите направление действия этих сил.
ФП
Рис. 12.11
68
*11.18. Для измерения скорости мельчайших частиц, взвешен-
взвешенных в текущей жидкости, используется интерференционная схема,
изображенная на рис. 12.11. Параллельный пучок света от лазера с
X = 0,63 мкм падает на две одинаковые призмы, сложенные основа-
основаниями (бипризма). Преломляющий угол каждой из призм а = 5,7°,
показатель преломления п = 1,5. После прохождения сквозь бип-
бипризму свет разбивается на два пучка, которые проходят сквозь кю-
кювету с жидкостью. Частицы, двигаясь вместе с жидкостью с некото-
некоторой скоростью v, рассеивают свет. Определите скорость частиц, если
известно, что при регистрации рассеянного света фотоприемником
ФП частота колебаний тока фотоприемника / = 10 кГц.
1994
11.19. После удара футболиста по неподвижному мячу, тот
приземлился на расстоянии /х = 10 м от футболиста через Ёремя
t = 1 с. Во сколько раз нужно изменить значение импульса силы,
действующей на мяч, чтобы он приземлился через то же время на
расстоянии 12 = 20 м? Сопротивлением воздуха можно пренеб-
пренебречь.
11.20. Шар радиуса R, скользящий по гладкой горизонтальной
поверхности, налетает на ступеньку высотой Н = —. При какой
о
скорости скольжения шар «запрыгнет» на ступеньку после пер-
первого удара? Удар шара о ступеньку абсолютно упругий. Тре-
Трения нет.
11.21. Частица с удельным зарядом q = 108 Кл/кг влетает в
камеру Вильсона, находящуюся в магнитном поле с индукцией
В = 10~2 Тл. Направление ее скорости перпендикулярно линиям
индукции поля. После поворота вектора скорости на 90° (измене-
(изменение радиуса трека частицы при этом составило е = 5%) поле вык-
выключают. После этого частица проходит путь s = 300 мм до полной
остановки. С какой скоростью влетела частица в камеру, если сила
сопротивления при ее движении пропорциональна скорости?
11.22. На сколько процентов изменится фокусное расстояние
тонкой плосковыпуклой линзы при ее нагреве от 0 °С до 100 °С,
если при 0 °С фокусное расстояние равно Fo, а показатель прелом-
преломления п? Коэффициент линейного расширения материала линзы
а = 25 • 10~6 град. Линза изготовлена из материала плотности р.
Можно считать, что (п - 1) ~ р.
*11.23. Легкая нерастяжимая нить, длина которой I = 30 см,
одним концом закреплена на дне цилиндрического сосуда, а дру-
69
Рис. 13.11
Рис. 14.11
гим привязана к маленькому деревянному шарику (рис. 13.11).
Расстояние между точкой закрепления нити и центром дна сосу-
сосуда г = 20 см. Сосуд начинает вращаться вокруг своей вертикаль-
вертикальной оси. Определите угловую скорость со вращения сосуда, если
нить отклоняется от вертикали на угол а — 30°.
*11.24. Прямоугольный аквариум длины L = 50 см разделен
перегородкой на два отсека 1 и 2. В центре перегородки нахо-
находится симметричная двояковыпуклая линза. На задней стенке
аквариума, в центре, нарисована стрелка (рис. 14.11). Длина
стрелки равна h. Если в отсек 1 аквариума налить жидкость, то
на передней стенке отсека 2 появится четкое изображение стрел-
стрелки. Длина изображения стрелки hx = 4,5 мм. Если ту же жид-
жидкость налить во второй отсек аквариума, вылив ее из первого, то
на той же стенке отсека 2 вновь будет видно четкое изображение
стрелки. Длина h2 = 2 мм. Найдите длину стрелки h> показатель
преломления п жидкости и расстояние между линзой и стенка-
стенками аквариума.
*11.25. В колебательный контур, состоящий из катушки ин-
индуктивности L = 0,1 Гн и конденсатора емкости С = 10 мкФ,
включен «электронный ключ», составленный из двух одинако-
одинаковых диодов (рис. 15.11). Вольтамперная характеристика диодов
показана на рис. 16.11. Пороговое напряжение, при котором диод
I
-W-
К
Рис. 15.11
о иа
Рис. 16.11
и
70
открывается, Un = 0,7 В. Перед замыканием ключа К напряже-
напряжение на конденсаторе равно Uo = 4,5 В. Через какое время после
замыкания ключа К колебания в контуре прекратятся и устано-
установится стационарный режим? Чему будет равно установившееся
(остаточное) напряжение на конденсаторе? Постройте график за-
зависимости напряжения Uc на конденсаторе от времени.
*11.26. Вокруг Солнца по орбите Земли обращается спутник,
масса которого т = 100 кг. В некоторый момент спутник откры-
открывает солнечный парус - тонкую зеркальную пленку в форме кру-
круга радиуса г = 70 м. Во время дальнейшего полета парус непре-
непрерывно меняет свою ориентацию таким образом, чтобы его плос-
плоскость постоянно располагалась перпендикулярно направлению на
Солнце. Пренебрегая влиянием планет, найдите период обраще-
обращения спутника с открытым парусом. Орбиту Земли можно считать
круговой. Светимость Солнца (световая мощность) L = 3,86 • 1026
Вт, масса Солнца М = 2 • 1030 кг, гравитационная постоянная
G -¦= 6,67 х 101 Дж-м/кг2.
Указание. Импульс р фотона связан с его энергией Е соотноше-
соотношением рс = Е, где с - скорость света.
1995
11.27. Цилиндрический сосуд с идеальным газом разделен теп-
теплонепроницаемыми перегородками на три отсека (рис. 17.11; вид
на сечение сосуда сверху). В каждой перегородке есть отверстие,
размер которого мал по сравнению с длиной свободного пробега
молекул газа. Температуры газа в отсеках сосуда поддержива-
поддерживаются постоянными и равными Т19 Т2 и Т3. Давление в первом
отсеке рх известно. Найдите давления р2 и рг во втором и третьем
отсеках.
11.28. В схеме, изображенной на рис. 18.11, ключи Кг и К2
вначале разомкнуты. Ключ Кх замыкают, и после установления
Рис. 17.11 Рис. 18.11
71
V////////////////.
Рис. 19.11
Рис. 20.11
стационарного режима замыкают ключ К2. Какой заряд протечет
через резистор R после замыкания ключа К2? Величины R, %?, г, L19
L2 известны. Сопротивлением катушек индуктивности пренебречь.
11.29. Найдите (укажите координаты) внутри горизонтально
расположенной трубы радиуса R (рис. 19.11) хотя бы одну точку
С, не лежащую на вертикальном диаметре АВ, со следующим свой-
свойством: небольшой шарик, отпущенный из точки С без начальной
скорости, возвращается в точку С после трех упругих ударов о
стенку трубы. Определите время ?, за которое это произойдет.
*11.30. Определите период колебаний однородного бруска, под-
подвешенного на двух пружинах, жесткости которых равны kx и k2
соответственно (kx > k2). Пружины связаны нерастяжимой нитью,
перекинутой через невесомый блок (рис. 20.11). Масса бруска равна
М. При колебаниях брусок все время остается горизонтальным.
*11.31. Заголовок газетной статьи: Со скоростью 130 тысяч
километров в час прочь от Земли (Борис Лысенко, «Известия»,
21 февраля 1995)
«Два ветерана американской космонавтики снова и снова удив-
удивляют своими неожиданными резервами энергии во время полета
из Солнечной системы в карусель Млечного пути.
В 1972 и 1973 годах с Земли к центру Млечного пути отправи-
отправились два американских зонда - «Пионер-10» и «Пионер-11». Зон-
Зонды летят по орбите, двигаясь по которой смогут вернуться на Зем-
Землю лишь через 250 миллионов лет.
За прошедшие двадцать с лишним лет оба «Пионера» благопо-
благополучно прошли астероидный пояс и со скоростью 130 тысяч кило-
километров в час удаляются от Солнечной системы и находятся на
расстоянии десяти миллиардов километров. Из-за огромного рас-
расстояния сигналы от спутников поступают на Землю с опозданием
на 12 часов.
72
Космические корабли будут функционировать до тех пор, пока
не иссякнут термоэлектрические генераторы, вырабатывающие
энергию. В целях экономии на борту кораблей в рабочем состоя-
состоянии находятся лишь жизненно важные приборы.
Зонды измеряют «солнечный ветер», выясняют влияние гра-
гравитации на систему внешних планет, а также ищут доказатель-
доказательство наличия так называемых гравитационных волн, которые со
скоростью света распространяют поле тяготения небесных тел.
На случай встречи в бесконечных пространствах Вселенной с
инопланетянами ученые из НАС А на борту «Пионера» прикрепи-
прикрепили таблицу, на которой изображены мужчина и женщина, а так-
также наша Солнечная система».
Используя данные из второго абзаца приведенной заметки,
оцените, на какое максимальное расстояние от Солнца могут
удалиться эти космические аппараты в течение ближайшего
миллиарда лет. Как изменится ответ, если использовать дан-
данные не второго, а третьего абзаца? Влиянием космических объек-
объектов вне Солнечной системы можно пренебречь. В стиле газет-
газетной публикации добавим, что свет от Солнца до Земли идет
около 8 мин.
*11.32. Предположим, что создан материал с необычной зави-
зависимостью коэффициента теплопроводности k от температуры
(рис. 21.11). Пластину из такого материала поместили между двумя
стенками вплотную к ним. Температуры стенок поддерживаются
неизменными: Тг = 160 КиТ2= 500 К соответственно. Какой
тепловой поток установится между стенками, если толщина пла-
пластины d = 1 см, а ее площадь S = 100 см2? Укажите способ, с
k, Вт/(м-К)<
2
/
\
\
\
\
у
f
7x200
Рис. 21.11
400 То
71с
73
V УА
+
1
1
помощью которого можно найти распре-
распределение температуры внутри пластины.
Найдите температуру в среднем продоль-
d
ном сечении пластины (х = —).
Указание. Тепловой поток Р сквозь тон-
тонкий слой вещества, площадь которого S, а
$ толщина Ах, равный количеству теплоты, про-
Рис. 22.11 ходящему сквозь этот слой в единицу време-
времени, прямо пропорционален разности значе-
значений температуры его поверхностей AT и обратно пропорционален его
AT
толщине: Р = - kS (~Г~)> гДе & ~ коэффициент теплопроводности веще-
вещества.
*11.33. Излучение аргонового лазера сфокусировано на плос-
плоском фотокатоде вакуумного фотоэлемента (рис. 22.11). Между плос-
плоским анодом А, расположенным параллельно фотокатоду, и фото-
фотокатодом К подключают источник тока с постоянной ЭДС If. При
ускоряющей разности потенциалов между анодом и фотокатодом
диаметр пятна фотоэлектронов на аноде в два раза превышает
диаметр пятна фотоэлектронов на аноде при смене полярности
напряжения, т. е. при тормозящей разности потенциалов между
анодом и фотокатодом. Работа выхода материала фотокатода
А = 2 эВ. Длина волны излучения лазера X = 500 нм. Определите
ЭДС источника.
* 11.34. В архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы.
Чернила от времени выцвели и на чертеже остались видны толь-
только три точки: фокус /, точечный источник света S и его изображе-
изображение S'. Измерения показали, что расстояние между фокусом / и
источником света равно 1 дюйму, между источником света S и
его изображением равно 27 дюймам и между фокусом / и изобра-
изображением источника света равно V730 дюймам. Из пояснений к
чертежу следовало, что линза была положительная и находилась
в воздухе. Чему равно фокусное расстояние этой линзы?
1996
11.35. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем
находится идеальный газ. Сила трения цилиндра при перемеще-
перемещении поршня превышает сумму его веса и силы внешнего атмо-
атмосферного давления на поршень. Газ начинают медленно нагревать,
74
У////////////////.
к
Рис. 23.11 Рис. 24.11
причем за время расширения газ получил количество теплоты Q
как за счет нагрева, так и за счет части выделившегося тепла при
трении поршня. Затем газ охладили, отобрав от него такое же ко-
количество теплоты Q. Во сколько раз изменилось давление газа в
цилиндре за время от начала расширения до завершения охлажде-
охлаждения газа, если его объем за то же время увеличился в два раза?
11.36. Ускорение свободного падения на поверхности планеты
из несжимаемой жидкости равно а = 9,8 м/с2. Найдите давление
в центре планеты.
11.37. На пружинке жесткости k висит груз (рис. 23.11).
К грузу прикреплена горизонтально расположенная медная рей-
рейка АВ длины I. Рейка может скользить без трения по неподвиж-
неподвижным вертикальным проводящим рельсам АК и ВР, имея с ними
хороший электрический контакт. К рельсам с помощью проводов
подсоединен конденсатор емкости С. Система находится в одно-
однородном магнитном поле, вектор индукции Б которого перпенди-
перпендикулярен рейке и рельсам. Найдите период вертикальных колеба-
колебаний груза. Масса груза с рейкой равна т. Сопротивление рейки,
рельсов и проводов можно не учитывать.
11.38. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит ган-
телька, представляющая собой два одинаковых гладких абсолютно
упругих диска радиуса R, соединенных жестким невесомым стер-
стержнем так, что расстояние между их центрами L = 2y[3R. Концы
стержня шарнирно закреплены в центрах дисков. На гантельку
налетает со скоростью v другая такая же гантелька, движущаяся
перед соударением по столу так, как показано на рис. 24.11 (вид
сверху). Как будут двигаться гантельки после столкновения?
75
^-vwwwwwwwww-
т
т
т
Рис. 25.11
М
Рис. 26.11
11.39. По поверхности однородного диэлектрического диска
равномерно распределен заряд Q. Диск помещен во внешнее одно-
однородное магнитное поле индукции Б, направленной перпендику-
перпендикулярно плоскости диска. Масса диска равна М, и он может свобод-
свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр
перпендикулярно плоскости диска. С какой угловой скоростью со
будет вращаться первоначально неподвижный диск, если внеш-
внешнее магнитное поле выключить?
*11.40. Груз, соединенный пружиной с вертикальной стенкой,
совершает колебания, двигаясь по горизонтальной поверхности
(рис. 25.11). Масса груза равна т, коэффициент трения между
грузом и поверхностью равен |i, жесткость пружины равна k.
В моменты времени, когда пружина максимально растянута, по
грузу ударяют и сообщают ему некоторый импульс, так что он
приобретает скорость v0 в направлении к стенке. Найдите ско-
скорость v0, если колебания оказываются установившимися, а мак-
максимальное удлинение пружины равно I.
*11.41. В горизонтальном неподвижном цилиндре, закрытом с
обоих концов, находится поршень, масса которого равна М
(рис. 26.11). Поршень может двигаться в цилиндре без трения. Рав-
Равновесное положение поршня находится в центре цилиндра. Между
поршнем и торцами цилиндра в плоскости среднего сечения летают
в горизонтальном направлении два маленьких шарика, имеющие
одинаковую массу т {т <^ М). Частота столкновений каждого ша-
шарика с поршнем, находящимся в равновесии, равна /. Если поршень
медленно сместить из положения равновесия на малое расстояние,
то он начнет совершать гармонические колебания. Считая удары
шариков абсолютно упругими, определите период этих колебаний.
Указание, При х <?С 1 выражение A + х)п « 1 + пх.
*11.42. Периодически действующая установка (тепловая ма-
машина) использует тепловую энергию, переносимую теплым тече-
течением океана. Оцените максимальную полезную мощность, кото-
которую можно от нее получить, если скорость течения воды в месте
расположения установки и = 0,1 м/с, средняя температура воды в
76
поверхностном слое океана, толщина которого h = 1 км, Тх = 300 К,
температура воздуха вблизи поверхности воды Т2 = 280 К, размер
установки в поперечном течению направлении L = 1 км, удель-
удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг*К), плотность воды
р = 103 кг/м3.
*11.43. Электромагнитное реле через ключ Кх подключено к
батарее, ЭДС которой равна #\ Ключ К1 нормально замкнут и
размыкается при срабатывании реле (рис. 27.11). Омическое со-
сопротивление обмотки реле R = 50 Ом, индуктивность обмотки L =
2 &
= 0,5 Гн. Когда сила тока достигает значения /2 = , реле сра-
3 R
батывает и ключ Кх размыкается. Через некоторое время, когда
1 %?
сила тока в цепи реле становится равной 1г = , ключ Кх снова
3 R
замыкается. Определите период срабатывания реле в установив-
установившемся режиме работы. Считайте диод Д идеальным. Внутренним
сопротивлением батареи можно пренебречь.
*11.44. В архиве Снеллиуса найден чертеж оптической схемы
(рис. 28.11). От времени чернила выцвели и на чертеже остались
видны только три точки - фокус линзы F, источник света S, точ-
точка L, принадлежащая плоскости тонкой линзы, и часть прямой
линии а, соединяющей источник света S и его изображение S'. Из
пояснений к чертежу следует, что точка S' отстоит от плоскости
линзы на расстоянии, большим, чем точка S.
Возможно ли по этим данным восстановить исходную схему?
Если да, то покажите, как это сделать. Чему равно фокусное рас-
расстояние линзы?
F
+
Рис. 28.11
1997
Т_ 1*
?
Рис. 29.11
11.45. В цилиндрическом сосуде при
одинаковой температуре находятся угле-
углекислый газ и гелий, разделенные свобод-
свободно перемещающимся легким поршнем.
Гелий занимает объем в 5 раз больше, чем
углекислый газ. Из-за нагрева газов до
другой одинаковой температуры часть мо-
молекул углекислого газа диссоциировала на
окись углерода и кислород: 2СО2 —> 2СО +
+ О2. В результате поршень сместился и
объем гелия стал в 4 раза больше объема образовавшейся смеси. Сколь-
Сколько процентов молекул углекислого газа диссоциировало?
11.46. В электрическую цепь (рис. 29.11) включено устройство
Р с неизвестной электрической схемой. Параметры цепи: %х = 20 В,
<Г2 = 10 В, гх = 2 Ом, г2 = 1 Ом, Rx = 8 Ом, R2 = 9 Ом. При
подсоединении к клеммам А1В1 и А2В2 идеальных вольтметров
они показали одинаковое напряжение. Чему оно равно?
11.47. Плоский конденсатор подсоединен к источнику с посто-
постоянной ЭДС г?. В конденсатор параллельно его обкладкам вносят
тонкую пластину, состоящую из соприкасающихся латунного и
медного листов, и располагают ее на расстояниях L и 2L от каж-
каждой из обкладок (рис. 30.11). Заряд пластины положителен и ра-
равен заряду Q конденсатора до внесения пластины. Форма и пло-
площадь пластины и обкладок конденсаторов одинаковы, расстояние
L намного меньше размера пластины. Затем латунный лист (ле-
(левая часть пластины) удерживают на месте, а медный перемещают
в положение АВ. Какую силу необходимо приложить к медному
листу в положении АВ для его удержания?
Q В
I
Рис. 30.11
78
Рис. 32.11 Рис. 33.11
11.48. На гладкую поверхность, ограниченную двумя дугооб-
дугообразными вертикальными стенками (рис. 31.11), из точки О (центр
огороженной части поверхности) выпускают маленькую шайбу
со Скоростью v под малым углом а « 1 к оси у. Оцените время
между последовательными пересечениями шайбой оси у. Радиу-
Радиусы дуг R и расстояние 2h известны, причем h <? R. Удары шайбы
о стенки упругие.
11.49. Шарик массой т упруго ударяется о конструкцию ABCD
в форме ромба (рис. 32.11) и останавливается. Конструкция со-
состоит из легких шарнирно соединенных штанг и трех грузов мас-
массы М каждый, закрепленных в точках А, Б и С. Шарнир D укреп-
укреплен в массивной стене. Скорость шарика направлена вдоль BD.
Найдите массу М, считая известными массу т угол а.
*11.50. Горизонтально расположенная упругая пружина мас-
массой М под действием силы, равной ее весу Mg, растягивается
(или сжимается) на величину Ах0.
1. Чему будет равно удлинение данной пружины, если ее под-
подвесить за один конец (без груза)?
2. Чему будет равен период колебаний груза массой т, скреп-
скрепленного с одним из концов данной пружины, если второй конец
пружины неподвижен, а груз скользит по гладкой горизонталь-
горизонтальной поверхности? Деформация пружины во всех случаях мала по
сравнению с длиной недсформированной пружины.
*11.51. Вертикально расположенный цилиндрический сосуд ра-
радиусом R полностью заполнен водой плотности р0 и герметично
закрыт жесткой крышкой. На расстоянии — от оси симметрии
Цилиндра расположены три маленьких одинаковых шарика ра-
радиусом г (рис. 33.11). Плотность материала шарика 1 рг < р0, у
шарика 2 р2 = р0, а у шарика 3 р3 > р. Цилиндр медленно раскру-
раскручивают до постоянной угловой скорости вращения со.
79
1. Где будут находиться шарики во вращающемся цилиндре и
почему?
2. Определите результирующую силу давления со стороны воды
на каждый шарик и направление этой силы в их новых положениях
равновесия. Силой трения о дно и крышку цилиндра пренебречь.
*11.52. В сверхпроводящем тонком кольце радиусом R, индук-
индуктивностью L и массой М течет наведенный ток /0. Кольцо, подве-
подвешенное на тонкой неупругой нити, опускают в область горизон-
горизонтального однородного магнитного поля индукцией В. В устойчи-
устойчивом положении равновесия угол между вектором В и его проек-
проекцией на плоскость кольца равен а.
1. Найти зависимость угла а от начального тока /0 в кольце и
построить график а = а (Jo).
2. Найти зависимость установившейся силы тока / в кольце от
величины начальной силы тока /0 и построить график / = Д/о)-
3. Для случая, когда /0 >
nR2B
определить минимальную ра-
работу, которую необходимо совершить, чтобы вынуть кольцо из
магнитного поля.
*11.53. Горизонтально расположенные неподвижные пластины
1 и 2 плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d,
подключены к источнику регулируемого напряжения (рис. 34.11).
На пластине 2 лежит тонкая проводящая незаряженная пластина
3 массой М, имеющая хороший электрический контакт с пласти-
пластиной 2. Все пластины имеют одинаковые размеры, а площадь каж-
каждой равна S, причем d <^C yjS . Конденсатор находится в вакуу-
мированной камере. Ключ К замыкают.
1. При каком минимальном напряжении источника пластина
3 сможет оторваться от пластины 2 и достигнуть пластины 1?
2. Чему будет равна скорость пластины 3 в момент касания
пластины 11
*11.54. Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы
с известным фокусным расстоянием F и плоского зеркала (рис. 35.11).
Точечный источник света дает два изображения в линзе, которые
,\,
К
Рис. 34.11
Рис. 35.11
80
расположены на одной из побочных бптических осей линзы. Одно
из изображений является действительным и находится на извес-
известном расстоянии от линзы (пунктирная линия). Построением най-
найдите положения источника S и его изображений в линзе. Отра-
Отраженным от поверхности линзы светом пренебречь.
1998
К
=Ь+ L
-w—I
D
Рис. 36.11
11.55. Цепь, показанная на рис. 36.11,
содержит два конденсатора, емкости ко-
которых равны С и ЗС, катушку индуктив-
индуктивности L, идеальный диод D и ключ К.
В начальный момент конденсатор емко-
емкости С заряжен до напряжения Uo, кон-
конденсатор емкости ЗС не заряжен, ключ
К разомкнут, ток в катушке не течет.
1. Через какое время после замыкания цепи ключом К напря-
напряжение на конденсаторе С окажется первый раз равным нулю?
2. Постройте графики зависимостей от времени напряжений
на конденсаторах после замыкания ключа К с указанием коорди-
координат характерных точек (экстремумы и нули функции). Сопротив-
Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.
11.56. Маленький шарик массой т с зарядом q0 > О начинает
двигаться из состояния покоя в гравитационном и однородном
магнитном полях (рис. 37.11). Индукция магнитного поля равна
В, вектор В направлен параллельно поверхности Земли, причем
qcB ^> mg, где с - скорость света в вакууме. На какое расстояние
и в каком направлении шарик сместится от первоначального по-
положения через достаточно большое время т? Какое время т мож-
можно считать достаточно большим? Шарик в течение всего времени
т не достигает поверхности Земли.
11.57. Прочный плоский обруч радиусом R = 1 м раскрутили
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, до частоты
В
т, q
Рис. 37.11
Рис. 38.11
4 Ко
81
и
Рис. 39.11
Рис. 40.11
Рис. 41.11
обращения п = 100 об/с и сообщили ему скорость v0 = 10 см/с
вдоль поверхности (рис. 38.11). Коэффициент трения скольжения
между обручем и поверхностью равен (X = 0,1. За какое время t1
обруч удалится на sx = 10 см от начального положения? Оцените,
на какое максимальное расстояние s удалится обруч от начально-
начального положения. Обруч равномерно прилегает к поверхности.
11.58. В теплоизолированном цилиндре, расположенном верти-
вертикально, под невесомым не проводящим тепло свободно перемеща-
перемещающимся поршнем находится v = 1 моль идеального одноатомного
газа при температуре Тг = 300 К (рис. 39.11). Сверху над поршнем
находится ртуть, заполняющая цилиндр до открытого верхнего
края. Объем газа в два раза больше объема ртути, давление в газе
вдвое превышает внешнее атмосферное давление. Система нахо-
находится в состоянии равновесия. Какое минимальное количество теп-
теплоты нужно подвести к газу, чтобы вытеснить из сосуда всю ртуть?
11.59. Некто предложил новый способ запуска ракет. Вместо
того, чтобы запускать их вверх, он рекомендовал отпускать раке-
ракеты вниз по направляющим, образующим дугу большого радиуса
R (рис. 40.11). В некоторый момент движения по направляющим
следовало включать двигатель. Автор изобретения утверждал, что
при таком запуске высота Н2 подъема ракеты будет превышать
высоту Нг, достижимую при обычном запуске (вертикально вверх).
Полагая Нг и R заданными, найдите максимально возможное зна-
значение высоты Н2. Считать, что двигатель ракеты работает корот-
короткий промежуток времени, а сопротивлением воздуха и трением
между корпусом ракеты и направляющими можно пренебречь.
*11.60. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит
доска массой М = 1 кг и длиной L = 1 м, прикрепленная легкой
пружиной жесткости k = 100 Н/м к вертикальной неподвижной
стене. В начальный момент пружина не деформирована. На краю
доски лежит небольшой кубик массой m = 0,1 кг. Кубику сообща-
сообщают начальную скорость v0 = 1 м/с (рис. 41.11).
82
1. При каком коэффициенте трения \х кубика о поверхность дос-
доски количество тепла, выделившееся в системе, будет максималь-
максимальным? Найдите это количество тепла. Трением доски о поверхность
пренебречь. Считайте, что кубик движется все время в одном на-
направлении (относительно стола).
2. Проверьте, удовлетворяют ли условия задачи этому предпо-
предположению для всех полученных решений.
*11.61. Два высоких сосуда с водой соединены тонкими длин-
длинными трубками АВ и CD, расположенными на расстоянии h друг
от друга (рис. 42.11). Вода в сосудах поддерживается при темпе-
температурах tx и t2 (tx > t2). Для поддержания температур в сосудах
неизменными к более теплому сосуду приходится подводить теп-
тепло (мощность нагревателя N), а от холодного - отводить такую же
мощность. Пренебрегая теплообменом с окружающей средой и теп-
теплопроводностью материала трубок, определите:
1) уровень жидкости, отсчитываемый от нижней трубки, на
котором давление в обоих сосудах будет одинаково;
2) разность давлений Ар^ и ApCD на концах трубок АВ и CD;
3) мощность N, подводимую к теплому сосуду (и отводимую от
холодного).
Плотность воды зависит от ее температуры t по закону р = р0 -
- a(t - t0), где р0, аи t0 - постоянные величины. За время Ат
через любое сечение трубки протекает масса жидкости
Am = &Ар • At,
где Ар - разность давлений на концах трубки, k - некоторый
известный коэффициент. Удельная теплоемкость с воды задана.
*11.62. Теплоизолированный сосуд разделен на две части теп-
теплонепроницаемой перегородкой А. В перегородке Айв одной из
стенок В имеется большое количество маленьких отверстий об-
общей площадью S в каждой. В первой части сосуда включили на-
нагреватель мощности N (рис. 43.11). Сосуд заполнен аргоном и
помещен в атмосферу аргона. Внешнее давление р0 и температура
То поддерживаются неизменными.
z^Jr= N
А В
С D
1
Pi. 1
N
ггоп
A
1
Po>To \
2 p2,
/-—^
T2
в
¦—•
\
J j
J
Рис. 42.11
Рис. 43.11
83
Рис. 44.11
Оцените установившиеся значения
давлений (рг и р2) и температур (Tj и Т2)
в обеих частях сосуда. Сделайте число-
числовые оценки при N = 20 Вт, S = 10 мм2,
р0 = 105 Па, Го = 300 К. Молярная масса
аргона [i = 40'10~3 кг/моль; универ-
универсальная газовая постоянная R = 8,3
Дж/ (моль • К).
*11.63. На двух гладких горизонтальных и параллельных рель-
рельсах, расстояние между которыми / = 2 м, находится тонкая про-
проводящая перемычка массой тп = 0,01 кг. Рельсы через ключ К и
резистор сопротивлением R = 14 кОм подключены к конденсато-
конденсатору, заряженному до некоторого напряжения С/о. Рельсы располо-
расположены в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл, пер-
перпендикулярном их плоскости (рис. 44.11).
На рис. 45.11 приведена экспериментально снятая зависимость
скорости v перемычки от времени t после замыкания ключа К.
v, м/с
12
10
8
6
4
2
***
>
8 10 12 14 t, с
Рис. 45.11
Пренебрегая омическим сопротивлением проводов, рельс и пе-
перемычки, по заданному графику v(t) определите: 1) начальное на-
напряжение Uo на конденсаторе; 2) емкость конденсатора; 3) уста-
установившуюся скорость перемычки.
*11.64. Атомарный цезий при возбуждении испускает две мо-
монохроматические линии излучения с близкими длинами волн Хг и
Х2. Для анализа этого излучения используется интерферометр Май-
кельсона (рис. 46.11). Излучение цезиевой лампы S с помощью
84
линзы Лг в виде параллельного пучка '?///{///////<*&
направляется на полупрозрачное зерка-
зеркало-делитель D. Это излучение частично
отражается от делителя и падает на не-
неподвижное зеркало Н. Другая часть из-
излучения проходит через делитель и па-
падает на подвижное зеркало П. После
отражения от зеркал Н и П оба пучка
вновь возвращаются к делителю D.
Часть энергии этих пучков делитель на-
направляет в сторону линзы Л2, которая
фокусирует оба пучка на поверхность катода фотоэлемента Ф. Сила
тока фотоэлемента пропорциональна суммарной интенсивности па-
падающего на него потока излучения.
Подвижное зеркало П начинает медленно двигаться от дели-
делительной пластины с постоянной скоростью v = 2,02 • 10~6 м/с;
при этом сила тока фотоэлемента изменяется так, как показано
на рис. 47.11.
Определите: 1) среднюю длину волны излучения X = —^-г—~5
2) разность длин волн АХ = Х2 - Хг; 3) отношение 1г/12 интенсивно-
стей спектральных линий, испускаемых атомом цезия.
t, с
1999
12m
11.65. На горизонтальном столе на рас-
расстоянии l0 = 50 см друг от друга находят-
ся бруски массами т и 12т, к которым
прикреплена пружина (рис. 48. 11). Вна-
ВнаРис. 48.11
чале пружина недеформирована. Затем бруски раздвинули вдоль по-
поверхности стола, увеличив расстояние между ними на 32 см, и отпу-
отпустили без начальной скорости. На сколько и как изменится (увели-
(увеличится или уменьшится) по сравнению с 10 расстояние между бруска-
брусками после прекращения движения? Считать, что бруски и ось пру-
пружины находятся всегда на одной прямой. Известно, что подвешен-
подвешенный на этой пружине брусок массой т растягивает ее на а = 30 см.
Коэффициент трения скольжения между брусками и столом ц = 0,1.
11.66. Рабочим веществом тепловой машины является v молей
идеального одноатомного газа, которые совершают замкнутый цикл,
состоящий из линейной зависимости давления р от объема V на уча-
участке 1—2, изобарического процесса 2—3 и линейной зависимости дав-
давления от объема 3-1 (рис. 49.11). Величины р0, Vo считать известны-
известными. Найдите: 1) объем V3 и температуру Т3 в точке 3; 2) работу А газа
за цикл; 3) коэффициент полезного действия тепловой машины.
11.67. Параллельные проводящие неподвижные шины распо-
расположены в горизонтальной плоскости на расстоянии I друг от дру-
друга (рис. 50.11). Однородное магнитное поле индукцией В направ-
направлено вертикально. К шинам подсоединена катушка индуктивнос-
индуктивностью L. По шинам может скользить без трения проводящая пере-
перемычка массой /71, оставаясь перпендикулярной шинам и не теряя
с ними электрического контакта. В некоторый момент перемычке
сообщают скорость v0 вдоль шин.
1. Опишите движение перемычки и найдите характерное вре-
время ее движения.
Р/Ро
8
7
6
5
4
3
2
1
v/v0
0 12345678
Рис. 49.11
86
m, q
т, q
Рис. 51.11
Рис. 52.11
2. На какое максимальное расстояние сможет удалиться пере-
перемычка от первоначального положения?
Сопротивлением катушки, шин, перемычки и подводящих про-
проводов пренебречь.
11.68. На гладкой горизонтальной непроводящей поверхности рас-
расположены три небольших по размерам шарика массой т и зарядом
q каждый, связанные двумя нерастяжимыми непроводящими нитя-
нитями длиной а каждая. Шарики удерживают в положении, когда нити
составляют угол, близкий к 180° (рис. 51.11). Затем шарики отпус-
отпускают. Найдите период свободных малых колебаний системы.
11.69. Электрическая цепь состоит из источника ЭДС I?, рези-
резистора сопротивлением R, сверхпроводящих катушек индуктивно-
стями L1 и L2, конденсатора емкостью С и ключей Кг и К2
(рис. 52.11). Ключ Кг замыкают. После достижения в цепи устано-
установившегося режима замыкают ключ К2 и тут же размыкают ключ Кг.
Найдите:
1) силу тока, протекающего через катушку Ьг в установившем-
установившемся режиме после замыкания ключа Кг;
2) максимальное напряжение на конденсаторе после размыка-
размыкания ключа Кг.
Внутренним сопротивлением источника тока, сопротивления-
сопротивлениями соединительных проводов и контактов в ключах пренебречь.
*11.70. Тонкостенная цилиндрическая трубка массы М катит-
катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности непод-
неподвижной плиты П со скоростью v0 и попадает на ленту горизон-
горизонтального транспортера, движущуюся в том же направлении со
скоростью и (рис. 53.11). Коэффициент
трения скольжения между трубкой и
лентой равен \i. 1. Через какое время tx
после вкатывания на ленту трубка нач-
начнет катиться по ленте без проскальзы-
проскальзывания? 2. Определите изменение кине-
кинетической энергии трубки за время tx. Рис. 53.11
87
z z z z
R\\ R\\ R\
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 54.11
12 3 4 5
Рис. 55.11
Т, В
3. Чему равно количество теплоты, выделившееся в результате
трения трубки о ленту за время гг?
*11.71. Представим себе, что в безбрежных просторах космоса
обнаружена галактика X, в которой силы взаимодействия между
телами не подчиняются закону всемирного тяготения. В этой га-
галактике любые два точечных тела притягиваются друг к другу с
силой, пропорциональной их массам т1 и т2 и расстоянию г меж-
между ними: F = ат1т2г. Астрономам удалось определить полную
массу галактики М = 1040 кг и коэффициент пропорциональности
Я
а = 2,5-10'
-. Предполагая, что в момент открытия га-
м • кг
лактики X ее масса была распределена произвольно и несиммет-
несимметрично, а в галактике отсутствовали относительные движения тел,
оцените время жизни этого объекта.
*11.72. Идеальный холодильник, потребляющий во время ра-
работы из электросети мощность N = 100 Вт, находится в комнате,
которую можно рассматривать как замкнутую теплоизолирован-
теплоизолированную камеру объемом V = 100 м3. Начальные параметры воздуха в
комнате: То = 300 К, давление р0 = 1 атм. В холодильную камеру
устанавливается ванночка с водой при температуре Тх = 273 К.
Масса воды mQ = 4 кг.
1. Какое минимальное время должен проработать холодиль-
холодильник, чтобы вода в ванночке замерзла?
2. Чему равна температура воздуха в комнате в этот момент?
Удельная теплота плавления льда q = 3,34 • 105 Дж/кг. Тепло-
Теплоемкость стен комнаты и стенок холодильника не учитывать. Счи-
Считать относительное изменение температуры в комнате в результа-
результате работы холодильника малым. Воздух считать идеальным двух-
двухатомным газом.
*11.73. Бесконечная цепочка составлена из одинаковых нели-
нелинейных элементов Z и резисторов с сопротивлением R = 4 Ом
(рис. 54.11). Вольт-амперная характеристика цепочки, измерен-
измеренная между входными клеммами а и Ь, изображена на рис. 55.11.
88
Определите графическим построением
вольт-амперную характеристику нели-
нелинейного элемента Z.
*11.74. Лазерный луч распространя-
распространяется в сферически симметричной среде
R
с показателем преломления n(R) = яо~р~»
где п0 = 1, Ro = 30 см, Яо < Я < <*>. Траек-
Траектория луча лежит в плоскости, прохо-
проходящей через центр С симметрии среды.
Известно, что на расстоянии Дх = 80 см
от точки С лазерный луч образует с радиус-вектором, проведен-
проведенным из этого центра, угол ф = 30° (рис. 56. 11). На какое мини-
минимальное расстояние приблизится лазерный луч к центру симмет-
симметрии среды?
Рис. 56.11
2000
11.75. Найдите сопротивление между точками А и В проволочной
сетки с квадратными ячейками (рис. 57.11). Сопротивление куска
проволоки длиной, равной стороне квадрата ячейки, г = 2,4 Ом.
11.76. Небольшая шайба В скользит по гладкой внутренней по-
поверхности воронки, описывая окружность в горизонтальной плос-
плоскости. В результате незначительного толчка вверх вдоль поверхно-
поверхности скольжения шайба сошла с орбиты и вылетела из воронки со
скоростью v. Зная, что расстояние Н от начала координат до дна
воронки равно 100 см, Н1 = 75 см, найдите и. Считать, что для
точек профиля внутренней поверхности воронки координата у об-
1
ратно пропорциональна квадрату радиуса воронки г: у ~ —
(см. разрез воронки на рис. 58.11).
А
В
Рис. 57.11
У/////////////////////////////////////А
Рис. 58.11
89
I wwvwwwwww
m
У//////////////////////////////////////.
Рис. 59.11 Рис. 60.11
11.77. С горки с углом наклона к горизонту а съезжают по крат-
кратчайшему пути с постоянной скоростью v1 санки массой М
(рис. 59.11). За санками бежит собака массой т и запрыгивает на
них. В начале прыжка ее скорость v0 и направлена под углом C к
поверхности горки. Найдите скорость санок с собакой, если извест-
известно, что санки после соприкосновения с собакой не останавливались.
11.78. Тело массой т может совершать колебания с помощью
легкой пружины жесткостью k по горизонтальной поверхности пола
вдоль направления оси пружины (рис. 60.11). Трения между телом
и полом нет, но на тело во время движения действует сила сопротив-
сопротивления, пропорциональная его скорости: Fc = —yv , где у> 0. В случае
недеформированной пружины телу сообщают скорость и0, и на него
начинает действовать сила, изменяющаяся со временем по гармони-
гармоническому закону. Оказалось, что полная энергия установившихся ко-
колебаний в любой момент времени равна начальной энергии систе-
системы. Считая известными т, k, y> ^о> найдите циклическую частоту со
и максимальное значение Fo вынуждающей гармонической силы.
11.79. Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли график
циклического процесса, совершенного над идеальными газом
(рис. 61.11). От времени чернила выцвели и от координатных осей
р (давление) и V (объем) осталась только точка О их пересечения.
Из пояснений к тексту следовало, что в точке А температура газа
максимальна, а кратчайший поворот от положительного направ-
направления оси V к положительному направлению оси р совершается
против часовой стрелки. Восстановите по-
построением положение осей р и V.
* 11.80. На два вращающихся в противопо-
противоположных направлениях цилиндрических вали-
валика радиуса R = 0,5 м положили длинный одно-
однородный брус (рис. 62.11) так, что его центр
масс оказался смещенным от оси симметрии
Рис. 61.11
на ocL, где а=-,а! = 2м- расстояние между
о
осями валиков. Затем брус без толчка отпус-
90
тили. Коэффициент трения между брусом
и валиками равен k = 0,3 и не зависит от
их относительной скорости. Угловая ско-
скорость вращения валиков щ = 10 с'1. После
того, как колебания установились, угловую
скорость вращения валиков уменьшили в
10 раз. Найдите частоту и амплитуду А^
новых установившихся колебаний бруса.
*11.81. К двум точкам А и Б, находя-
находящимся на одной горизонтали, между
которыми расстояние 2а, прикреплена
тонкая легкая нерастяжимая нить дли-
длиной 21 (рис. 63.11, а). По нити без тре-
трения скользит маленькая тяжелая бусин-
бусинка С. Ускорение свободного падения g.
1. Найдите частоту малых колебаний
бусинки со± в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной отрезку, соединяющему точки креп-
крепления нити.
2. Найдите частоту малых колебаний
бусинки Ш| в вертикальной плоскости,
проходящей через точки крепления нити.
3. При каком отношении l/а траекто-
траектория движения бусинки в проекции на
горизонтальную плоскость может иметь
вид, представленный на рис. 63.11, б?
Примечание, При решении задачи по-
полезно воспользоваться формулой
A + хI/2
1 + -х
2
о
при х « 1.
*11.82. В электростатическом вольт-
вольтметре сила притяжения между металли-
металлическими пластинами 1 и 2 плоского кон-
конденсатора С измеряется с помощью ана-
аналитических весов (рис. 64.11). При по-
постоянном напряжении Vx = 500 В между
пластинами 1 и 2 весы уравновешива-
уравновешиваются разновесом массой т1 = 200 мг. На
пластины конденсатора подается перио-
периодическая последовательность треуголь-
треугольных импульсов напряжения с длитель-
длительностью т = 5 • 10~4 с и периодом повторе-
повторения Т = 0,01 с (рис. 65.11). Чему равна
Рис. 63.11
Рис. 64.11
Рис. 65.11
91
L, Я
амплитуда импульсов Fo, если в этом слу-
случае весы уравновешиваются разновесом
массой т2 = 30 мг? Период собственных
колебаний весов много больше Т.
*11.83. В электрической цепи, изобра-
изображенной на рис.66.11, после установления
всех токов размыкают ключ К. Определи-
Определите, при какой величине сопротивлений Rx
через микроамперметр с внутренним со-
^г ^^ противлением г после размыкания ключа
Рис. 66.11 „Г * « гл т>
К протечет наибольший заряд Q. Все ос-
остальные параметры электрической цепи, указанные на рис. 66.11,
считать заданными. Внутренним сопротивлением источника напря-
напряжения и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
2001
11.84. На рисунке 67.11 показана траектория движения лод-
лодки, которую оттолкнули от берега реки так, что в начальный мо-
момент ее скорость v0 = 1,0 м/с была направлена перпендикулярно
берегу. В точке С траектории лодка была через 1 с, в точке D —
через 2 с. Определите скорость и течения реки.
11.85. Теплоизолированный сосуд объема Vx разделен перего-
перегородкой на две части. В одной части сосуда, имеющей объем V2,
находится v молей сильно сжатого одноатомного газа при темпе-
температуре Т. В другой части сосуда вакуум. В некоторый момент
перегородка разрушается. Определите установившуюся темпера-
температуру Т газа. Известно, что при адиабатическом сжатии v молей
этого газа из сильно разреженного состояния с температурой Т до
объема Vx над газом совершают работу А1 и его температура ста-
становится 7\, а при сжатии до объема V2
совершают работу А2 и температура ста-
становится Т2.
Примечание. При сильном сжатии газа
существенно взаимодействие между его мо-
молекулами. В выражении для внутренней
энергии заданной массы газа появляется (по
сравнению с идеальным газом) дополнитель-
дополнительное слагаемое, однозначно определяемое
объемом газа.
11.86. Незаряженный цилиндричес-
Рис. 67.11 кий конденсатор высоты L, радиусы ци-
92
ц/
\
/
с
D
Рис. 68.11
линдрических обкладок которого RnR-d (при-
(причем d <?C R, L), касается поверхности конденса-
конденсаторного масла плотности р и диэлектрической
проницаемости Ш так, как показано на рисун-
рисунке. За счет сил поверхностного натяжения мас-
масло поднялось в зазоре между обкладками на
высоту L/4. В следующий раз конденсатор за-
зарядили и вновь опустили в масло. На этот раз
масло поднялось на высоту L/2 (рис. 68.11).
Найдите заряд Q конденсатора.
11.87. В схеме на рисунке 69.11 конденса-
конденсатор Сх емкостью С заряжен до напряжения Uo
= 36 В, а конденсатор С2 емкостью 8С не заря-
заряжен. Сначала замыкают ключ К19 затем - ключ
К2, и в цепи возникают слабо затухающие ко-
колебания. Найдите для этих колебаний возмож-
возможные значения (укажите интервал) начальной
амплитуды напряжения на конденсаторе С2.
11.88. Говорят, что в архиве Снеллиуса на- Рис. 69.11
шли рукопись с оптической схемой (рис. 70.11). От времени чернила
выцвели, и на рисунке остались видны некоторые лучи из пучка па-
параллельных лучей, падающих на идеальную тонкую линзу, и пучок
лучей, выходящих из точки А, находящейся в фокальной плоскости
линзы. Из текста рукописи следовало, что путем изменения наклона
линзы относительно падающего пучка Снеллиус добился того, что луч
АВ, проходящий через край линзы, претерпел наибольшее возможное
отклонение. Известно, что диаметр линзы равен двум дюймам (на схе-
схеме размер одной клетки равен 0,5 дюйма). Найдите построением по
этим данным положения линзы и главной оптической оси.
в
Рис. 70.11
Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок па-
параллельных лучей после прохождения линзы собирается в ее фокаль-
фокальной плоскости.
93
X.
к
Рис. 71.11 Рис. 72.11
*11.89. На наклонную плоскость, составляющую угол ас гори-
горизонтом, поставили ящик массой М. Между дном и крышкой ящи-
ящика с помощью пружин закрепили груз массы т (рис. 71.11). Груз
совершает гармонические колебания, описываемые уравнением х
2п
= A sin — t, где х - смещение груза вдоль оси X, перпендикуляр-
перпендикулярной наклонной плоскости, А - амплитуда колебаний, Т - их пе-
период. Коэффициент трения ящика о плоскость ji = tg а. Найдите
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
У
/
1
/
1
1
1
(
г
/
—--
2 3 4 5 6 7
Рис. 73.11
8 9 10 11 1/нэ,В
94
го-
с. 74.11
среднюю скорость движения ящика за
время, много большее 7\ полагая, что
ящик все это время двигался поступа-
поступательно и не подпрыгивал по наклонной
плоскости. Найдите условие, при кото-
котором ящик не будет подпрыгивать.
*11.90. Электрическая цепь, схема ко-
которой изображена на рис. 72.11, состоит
из батареи с ЭДС I? = 10 В, резистора
сопротивлением R = 100 Ом, конденса-
конденсатора емкости С = 8 мкФ и нелинейного
элемента НЭ, вольтамперная характеристика В АХ которого изоб-
изображена на рис. 73.11. В некоторый момент времени ключ К за-
замыкается. Полагая, что сила тока, протекающего через НЭ, в любой
момент времени много меньше силы тока, протекающего через
батарею, определите количество теплоты, выделившейся на НЭ.
*11.91. Электрическая цепь состоит из конденсатора емкос-
емкостью С, идеальных диодов Dx и D2 и катушек с индуктивностями
Ьги L2 = 4 Lx. В начальный момент ключ разомкнут, а конденса-
конденсатор заряжен до напряжения Vo (рис. 74.11). Найдите зависи-
зависимость силы тока через катушку L2 от времени после замыкания
ключа и постройте график этой зависимости.
*11.92. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую
схему, на которой были изображены линза, предмет - палочка
длины I и ее изображение длины Г. От времени чернила выцве-
выцвели, и остались видны только две точки: вершина палочки S и
ее изображение S'. Из текста следовало, что главная оптичес-
оптическая ось проходила через середину палочки перпендикулярно
ей. Определите построением положения линзы, главной опти-
оптической оси, фокусов линзы, предмета и его изображения и ука-
укажите, какая это линза (собирающая или рассеивающая), если
I = 5 см, V = 2 см, SS' = 15 см.
9
Решения
теоретического тура
КЛЗСС
9.1. По графику зависимости ускорения от времени а = a(t)
строим график зависимости скорости от времени v = v(t), пло-
площадь под которым численно равна перемещению (рис. 1). Из по-
построенного графика видно, что корабль удалится на максималь-
максимальное расстояние через 12 с после начала движения.
v, m/cj
4
2
0
-2
-4
/
/
/
/
\
\
/
/
\
\
\
/
/
i
\
0
\
\
i
I
/
5
\
\
\
2
\
0
/
/
\
\
2
ч
&_*, с
Рис. 1
9.2. Условия плавания кувшина с монетами в воде:
(М + 147m)g = pBVg, A)
М — масса кувшина, т — масса одной монеты, V — объем кувши-
кувшина, рв — плотность воды;
после того, как Абдулла высыпал из кувшина монеты,
Решая A) и B), находим
147/n = -pBF, т = 777 - 4,54 г.
96
9.3. В аквариуме с теплолюбивыми рыбами энергия, поступаю-
поступающая от нагревателя, в конечном счете полностью передается окру-
окружающей среде. Условие теплового равновесия при этом имеет вид
Ро = а(*т - *0),
где а - коэффициент пропорциональности мощности теплообмена.
Для аквариума с хладолюбивыми рыбами уравнение теплового
баланса:
где Рг - мощность, подводимая к воде аквариума из окружающе-
окружающего воздуха. Эта же мощность должна отводиться водопроводной
водой:
Рх Ат = с Am(tx -tj,
откуда
Am -fi
Am
г Am
Поскольку jr = (*0~ U/ (*т " *o)> получим —
Atm
¦— ~9,5 г/с. Расход воды для аквариума с менее хладолюбивы-
хладолюбивыми рыбами равен
Am
Как видим, разводить рыб, предпочитающих температуру
16 °С, в 4 раза экономичнее.
9.4. Сумма сил токов, вытека-
вытекающих из точки А, равна сумме сил
токов, втекающих в точку В
(см. рис. 2):
13 = /2
A)
Напряжение между точками А А
и В для верхней ветви равно
U = ISR + I2R B)
и такое же напряжение для сред-
средней ветви:
U = 1г • 3R + IAR. C)
Из A), B) и C) получаем: /2 = 2IV
Рис.2
9.5. По условию цепочка гибкая. Это означает, что сила натя-
натяжения в каждой точке направлена по касательной. Рассмотрим
правую половину цепочки, которая представлена на рисунке 3.
97
Тг
Горизонтальная составляющая силы на-
натяжения везде одинакова. Она равна по
модулю силе натяжения в нижней час-
ти цепочки. Поэтому То = Тх cos а, или
Тх sin a = — mg, откуда Тх =
2sinoc*
Определяя sin а из рисунка, получим
m __ mS л л. тт. m _ mi
—-t l 2 sin a
Рис. 3 « 0,3 H.
Аналогично найдем силу ТА:
• cos aA
cos а
ctg a
cos а л
0,65 Н.
9.6. Из графика зависимости температуры t в тигле от времени
т следует, что тп = 80 г олова плавились в течение Ат = 12 мин.
Чтобы найти удельную теплоту плавления олова, необходимо оп-
определить мощность, которая непосредственно затрачивалась на
плавление. В начале процесса нагревания тигля, когда его темпе-
температура близка к температуре окружающей среды, можно пренеб-
пренебречь теплоотдачей в окружающее пространство и считать, что пол-
полная мощность электронагревателя затрачивалась на нагревание
тигля. Скорость возрастания температуры, определенная по на-
наклону касательной на начальном участке графика (рис. 4) состав-
составляла в этом случае ~ 60 К/мин.
(
-i
320
i
:
:
280
240
20
0
^60
L20
80
4-
40
-
1
j-
л
J
tb
/
J
f
IA
/j
/
f
1
4
/
i
1
t
/
1
j
j
1
/
л
1
п
и
/
/
шал
—
1
\
|
о
Z
(Л
и
а:
1
о
о
у
п
и
М
*
>
И
1\/ГТ
н
Рис.4
98
кг
При температуре плавления олова (?пл = 232 °С) скорость воз-
возрастания температуры равнялась ~ 18 К/мин, т. е. приблизитель-
приблизительно в 3 раза меньше. Это означает, что теплоотдача в окружающее
пространство при t = tnn составляла приблизительно 66% от пол-
полной мощности нагревателя, а 34% мощности затрачивалось на
согревание тигля. Такая же доля мощности нагревателя затрачи-
затрачивалась на плавление олова при t = ?пл. Из этих данных можно
определить удельную теплоту X плавления олова:
0,34Р0 - Ат _ 0,34-20-12-60 Дж кДж
т 0,08 кг
9.7. Обозначим напряжение источ-
источника через I?. По условию внутренние
сопротивления источника и ампермет-
амперметра равны нулю. Пусть сопротивление
реостата равно г, сопротивление неиз-
неизвестного резистора равно R и сопротив-
сопротивление нагревателя равно Z (рис. 5). Из
схем II и III ясно, что при включении
резистора между точками АВ и АС сила
тока, текущего через источник, оста-
остается постоянной и равной /3 = 0,3 А.
Кроме того, очевидно, что сила тока,
текущего через нагреватель, тоже оди-
одинакова и равна
/2= 0,05 А.
В свою очередь сила тока через резис-
резистор
IR = I3-I2 = 0,25 А.
Для вычисления КПД все сопротивле-
сопротивления удобно выразить через Z. Из уело- Рис« 5
В
nl
ч
R
вия
I2Z ~> R = -—. При параллельном соединении R и Z
5
получаем Яобщ = —.
Используя закон Ома, сравним силы тока:
r + Z
= 0,1 А,/3= г + ^ =0,3 А.
6
Решая систему, получим г = —.
Итак, для схемы I определяем КПД:
99
1\Z
'¦i l}(Z + r) Z 5
T
КПД для схем II и III один и тот же:
llz 5210~4Z
= - =0,8=>тц = 80%.
Z_ Z_
4 + 6
- 0,067
Лримечание. Зная КПД т^в первом случае, можно получитьг\2 = Г|3
путем следующих рассуждений. Сравнивая схему II со схемой I, ви-
видим, что сила тока через источник возросла в три раза. Значит, пол-
полная мощность также увеличилась в три раза. Сила тока нагревателя
уменьшилась в два раза, а значит полезная мощность уменьшилась в
четыре раза. Итак, ц2 = ц3 =
= —х\х = 6,7 %.
У
9.8. В первом случае, когда массы шайб одинаковы, они будут
двигаться вдоль биссектрисы угла, образованного половинками нити
(рис. 6). Поскольку длина каждой половинки равна R, то из рисунка
следует, что а = 30°. Ясно, что силы натяжения половинок нити
одинаковы. Движение равноускоренное. Ускорение каждой шайбы
F
равно а = а2 = а2 = Ым)' где ^ ~ Macca
каждой шайбы. Напишем уравнения дви-
движения, например, шайбы 1 в проекциях
на оси координат:
По оси х:
тг
Т cos а = Ма => Т =
2 cos а'
Рис.6
где а =
По оси у:
N - Т sin а = 0 =
2М"
N = Т sin а.
Рис.7
F F
Таким образом, N = — tg a = ~т=.
2» Zylo
Во втором случае, когда М1 = М,
М2 = 2М, шайбы будет двигаться под не-
некоторым углом C к биссектрисе (рис. 7).
Очевидно, поступательное движение
шайб возможно, когда линия действия
силы F проходит через центр масс сис-
100
темы. Легко получить, что центр масс
системы находится на прямой, соеди-
соединяющей центры шайб на расстоянии
—R от центра шайбы с массой 2М. Тог- N
да, используя рис. 7, находим
Ускорение каждой из шайб равно
Рис.8
Запишем второй закон Ньютона для движения шайбы М в про-
проекции на направление Ох', перпендикулярное силе натяжения fx
(рис. 8):
F sin(oc + р)
N cos oc= Ma cos (90° - а - р) = Ma sin (а + р) => N = ~г .
v к/ v к/ 3 cos а
После тригонометрических преобразований находим
4F
AT 4F ' ft ' ft
AT = —- sin p; sm p =
3
V28"
Окончательно N =
0,25 J?.
9.9. Заметим, что треугольник ФСТХ и Г1Н1Т1 (т. е. "фонарь -
основание фонарного столба - тень головы" и "голова - ноги - тень
головы") всегда подобны (рис. 9). Голову человека и ее тень условно
считаем точками. Из этого легко получить, что тень головы движет-
движется по прямой, параллельной краю тротуара и находящейся на рас-
расстоянии L от столба. А это означает, что
расстояние ТХТ2 всегда в L/1 раз больше рас-
расстояния HXH2. Следовательно, скорость и
тени головы человека в эти же L/1 раз боль-
больше скорости самого человека и:
vL
Из подобия треугольников ФСТ и ГНТ
находим:
— = (L - l)h9
Рис. 9
101
ин 7 = (#-/*)•
H-h
Таким образом, скорость и тени го-
головы человека не зависит от расстоя-
расстояния х и равна
иН
О х График приведен на рис. 10.
рис# ю 9.10. Критическая глубина погруже-
погружения модели крокодила соответствует
положению неустойчивого равновесия; сила тяжести уравновеши-
уравновешивается выталкивающей силой, действующей на суммарный объем
модели и пакетов с воздухом. Обозначив через М, рм, VM массу,
плотность и объем модели крокодила, через Vo> Vc и Va - объемы
воздуха в полиэтиленовых пакетах соответственно над водой и
при погружении на критическую глубину в морской и речной
воде, а через р0 — атмосферное давление, запишем:
Mg = pc(VM +Vc)g A)
в морской воде;
Mg = pn(FM +Vn)g (Г)
в речной воде.
При погружении объем воздуха в полиэтиленовых пакетах
уменьшается, причем согласно закону Бойля-Мариотта
= (Ро + 9jShc)Vc9 B)
70 = (Ро + РпёКЖ' B')
Это две системы уравнений, которые нам понадобятся. Произ-
Произведем преобразования уравнений A) и (Г):
PuVu = Рс(^н + Vc) C)
в морской воде,
рм^м = pJVM + Vn) Cf)
в речной воде,
pcv; = (Рм - Pc)fm D)
в морской воде,
рп1^п = (Рм _ Рп)^м D')
в речной воде.
Из последних двух уравнений находим
PCFC _ рм-рс
Рп^п = Рм ~ Рп '
Взяв величину VJVn из уравнений B) и B'), имеем
Рс(Л) + Рп^п)(Рм " Рп) == Рп(Р0 + Рс^Ас)(Рм ~ Рс)»
102
откуда после преобразований получаем
К-К-
9.11. Рассмотрим движение вагонетки в системе отсчета, свя-
связанной с бегущим человеком: благодаря наличию упругого шнура
движение описывается уравнением для гармонического колеба-
колебания и скорость вагонетки изменяется от — v0 до + и0. В неподвиж-
неподвижной системе отсчета скорость вагонетки возрастает от нуля до 2v0
(в момент уменьшения силы натяжения шнура до нуля), после
чего вагонетка продолжает двигаться со скоростью 2v0 вплоть до
неупругого столкновения с похитителем. В результате этого стол-
столкновения похититель оказывается на вагонетке (и теряет созна-
сознания). Из закона сохранения импульса при столкновении
M2v0 + mv0 = l,8(m + M)v0
получаем М = 4т = 320 кг.
9.12. Обозначим через R сопротивление обмотки утюга, через а -
коэффициент теплоотдачи в окружающую среду. Если утюг включен
в сеть дома у Гены, то уравнение теплового равновесия имеет вид
^ = Фг ~ *„)•
Если утюг включен в сеть дома у Чебурашки, то
Из этих уравнений легко получить
U2
Ч = *о + 7^('i " *о) = 341 °с-
Таким образом, если утюг включен в сеть 220 В, то гладить им
рубашку нельзя - температура утюга слишком высока. Однако
способ выгладить рубашку существует: надо во время глажения
попеременно включать и выключать утюг.
Примечание. Можно легко оценить, какую часть времени Xутюг
должен быть включен в сеть, если необходима температура t3:
h
хщ
~ч
или
х =
Ч);
ul
и!
ч
ч
-t0
-*о
X
Например, для температуры t3 = 300 °С получаем X = 280/341.
103
Рис.11
9.13. Пусть R - радиус кривизны тра-
траектории в верхней точке (рис. 11); нахо-
находим
гС —
Ускорение птицы в верхней точке равно
v2 g
R cos2 a
9.14. Пусть L - расстояние между ЛВ и ССг в момент удара
второй шайбы о доску, a tx - время движения второй шайбы до
удара о доску (рис. 12).
L = (v2 sin a)^. A)
При упругом ударе о неподвижную массивную стенку скорость
шайбы v± меняет направление на противоположное, оставаясь не-
неизменной по модулю. Перейдем в систему координат, связанную
с движущейся доской. При этом v\ = v2 sin a + и. После удара
скорость шайбы направлена от стенки и в неподвижной системе
координат равна v2 sin a + 2и. Таким образом,
L = (v2 sin a + 2u)t2, B)
где t2 - время движения второй шайбы после отскока от доски до
соударения с первой шайбой, причем —-— = п.
Из A) и B) находим
v2 = 2и
(,-1)
B -n) sin ос *
Проекции скоростей шайб на направление
ССг одинаковы, поэтому
2u
(п - lj
cosa
с .
-я) sin a
9.15. Пусть теплоемкость воды в термосе
равна Ст, а теплоемкость бутылочки равна
Сб. Запишем уравнения теплового баланса для
обоих случаев:
Рис.12
104
откуда
h-h
4. , г ~ Q9 7 °ГЛ
Z2 — ГТ \ ~ &Ck) ( vy.
9.16. Пусть I - сила тока в цепи, U -
напряжение на лампе. Согласно опреде-
определению КПД (см. условие)
IU
= 0,25.
1 IU+RI2
Отсюда / == 0,3 U. Это уравнение прямой
в координатах I - U, проходящей через
начало координат. Построив ее на графи-
графике (рис. 13), находим две точки пересече-
пересечения. Таким образом, возможны два ре-
решения:
1) 1Х = 1,5 А, иг = 5 В, g\ = Ut + IXR
10 20 30 U, В
Рис.13
2) /2 = 6 A, U2 = 20 В, g% = U2
20 В;
I2R = 80 В.
Здесь gTj и &2 - напряжения сети в этих двух случаях.
9.17. Площадь под графиком численно равна искомому време-
времени (действительно, Ax/v = At). После несложных вычислений по-
получаем: t = 28,5 с.
9.18. В засушливую погоду (т. е. при малой влажности) коли-
количество испаряемой воды из водоема пропорционально площади
водной поверхности, а это значит, что для всех прудов будет по-
постоянной скорость уменьшения глубины прудов. Фактически доль-
дольше всех будет пересыхать самый глубокий пруд. Разделив ука-
указанные в условии объемы воды на измеренную на фотографии
площадь для каждого из прудов (Sx = 250 м2, S2 = 100 м2,
S3 = 1000 м2, S4 = 40 м2), находим: hx = 0,8 м, h2 = 0,3 м, h3 = 0,5 м
и h4 = 0,05 м, так что последним пересохнет пруд 1.
9.19. Обозначим площадь горизонтального поперечного сече-
сечения шхуны через S (поскольку борта шхуны считаются верти-
вертикальными, S постоянно для всех случаев), плотность менее соле-
соленой воды через рп, более соленой - через рс. Тогда в менее соленой
воде тп = pnShn, в более соленой тс = pcShc.
Сразу же получаем
1,26
1,2
1,05.
105
Далее, обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним
судном в менее соленом море, а через Vc - в более соленом, полу-
получим:
V р
™о = PnVn, т0 = pcFc, -?- = -JL,
кп Не
- hj = Sftc - Shn = -^ - -^l,
He Mn
тс _ Шп | РсРп __ ^с -1,05УПп
Ре Рп J'pc-Pn " 1,05-1
9.20. На двух рисунках (вид сверху и вид сбоку) изображена схема
движения фургона (рис. 14,а и б). Отметим на каждом из этих рисун-
рисунков по два положения задней стенки фургона: A) в тот момент, когда
тень верхушки дерева начинает движение по стенке и B) в тот мо-
момент, когда она завершает это движение. Из первого рисунка видно,
что тень должна двигаться справа налево, а из второго - сверху вниз,
т. е. от точки D к точке А (рис. 14,в). Другие тени будут двигаться
параллельно этой линии. Обозначим время пробегания тени по зад-
задней стенке через т, скорость фургона - через v, угол между направле-
направлением дороги и азимутом направления на Солнце (в нашем случае,
поскольку дело происходит ровно в полдень - это направление Север-
Юг) - через а, а высоту Солнца над горизонтом - через C, тогда будут
справедливы следующие соотношения:
AB BD
p
\2
Uxa2I2 + I>^I2= U2^J2-
Поскольку в нашем случае т = 0,1 с, а = 45°, \АВ | = \AlA2 \ = 2,5 м,
|Б?)| = 2,0 м, получаем
v = -f-— = 25 м/с = 90 км/час,
0,1с
9.21. При полете по прямой: mg = Fx = kvQ2, где Fx - подъемная
сила, отсюда k = —у-.
При движении самолета по окружности в горизонтальной плос-
106
Вид сверху
в)
Рис. 14
кости (рис. 15) подъемную силу F2 можно разложить на составля-
составляющие:
по оси у: mg = F2 cos a = kv2 cos а,
2
по оси х: F2 sin а = тп—.
Из последних равенств находим
gJti
1
30°,
~ 215 м/с « 774 км/ч.
Изменение скорости равно Аи = v - v0 » 54 км/ч.
Рис.15
ац.с.
107
9.22. Уравнение движения первого
шарика по оси х (рис. 16):
хг = vx cos ax't.
Используя график х1 = f(t), получим
ш
..ч у., v...
а1 <*2 X Vx= 10 М/С = У2 = У,
Рис. 16 где их и и2 - начальные скорости перво-
первого и второго шариков соответственно.
Время полета первого шарика до удара о плоскость
2v sir
время полета этого шарика после удара
7 2
Итак, первый шарик через время t ~ — с окажется на высоте
5
/ • ч &* 6
ух = (и sin ах) т - — = - м.
7
В то же время, равное t = — с, высота, на которой находится
о
второй шарик, равна
gt2 49
у2 = (и sin ос2)? — = 14 sin а2 ——.
Заметим, что к моменту t второй шарик еще ни разу не уда-
ударится о поверхность. Это можно показать, оценив время его по-
полета до первого удара. Описанная ситуация проиллюстрирована
на рис. 16.
49 6
По условию задачи ух = у2. Следовательно, 14 sin а2 —— = ~,
5 5
откуда
sin а2 = — или а2 « 52°.
Расстояние I между шариками в момент времени Т = 1 с равно
I = |Аг|
^-ГпГ + Ш
2
= ijvl + v%- 2vxv2 cos(a2 - aj • T = 4\A м « 3,7 м.
108
9.23. Вначале лед, масса которого т, вытесняет объем воды
т
V1 = ~~~, где рх — начальная плотность воды. После того, как лед
т ^ тг т
массы — растаял, вытесняется объем воды V2 = -—, где р2 - ко-
2 2р2
т
нечная плотность воды. Объем добавившейся воды V = 7Г' > где р -
zp
плотность пресной воды. Изменение уровня воды в сосуде равно
Ah e V2 + v' - vi = m( X 1 г *1
АЛ S 5^2p2 2p pj"
Конечная плотность воды р2 равна отношению полной массы воды
pxV + — к полному объему V + —, т.е.
2 2р
v + -
P2=Pl
2р
где 7=1 л — начальный объем воды.
Подставляя числовые значения, получим
р2 = 1,1 г/см2 и АЛ ~ 0,85 см.
Таким образом, уровень воды в сосуде повысится.
9.24. Иллюстрацией к решению служит рис. 17. Запишем для
первого случая:
U
следовательно,
U2R
= k(tx - tQ).
(R0+Rf
Аналогично для второго случая
Т - - U
2 ~ 2
A)
и
U2R
4U0+f
Рис.17
B)
109
Разделив B) на A), получим
*, " Ч = (*1 ~ *в)
4 Дп+^
= 18 °С.
Таким образом, tx = 38 °С.
9.25. Найдем сопротивление куска проволоки, через который
при напряжении 17 = 220 В течет максимально допустимый ток
/= 1 А:
R=U/I = 220 Ом.
Из заданного куска проволоки можно сделать 4 куска сопро-
сопротивлением R = 220 Ом каждый, которые затем нужно соединить
параллельно. Оставшийся кусок проволоки, сопротивление кото-
которого г = 1000 - 4 • 220 = 120 Ом, не используется, так как если
подключить его параллельно, то через него будет протекать ток,
превышающий наибольшее допустимое значение, а любые другие
способы подсоединения уменьшат общий потребляемый ток, а
следовательно, и мощность нагревателя. Таким образом,
Pmax = ImaxU = 4 • 220 = 880 Вт.
i 9.26. Скорость поступательного дви-
движения оси катушки (рис. 18) равна
L>0 = V .
Перейдем в систему отсчета, движу-
движущейся со скоростью v0. В этой системе
катушка вращается вокруг точки О,
причем скорость вращения обода катуш-
катушки по модулю равна и0. Отсюда нахо-
находим угловую скорость вращения
Рис.18
со = — =
Л +г9
9.27. Так как брус движется, все время оставаясь в горизон-
горизонтальном положении, то ускорение тел, массы которых равны т1 и
g
т2 соответственно, равно — и направлено вниз (рис. 19). Запи-
шем следующую систему уравнений:
110
и уравнение для моментов сил относи-
относительно точки О:
Тхх = T2(L - х).
Отсюда х = L-
7П9
ТП9
= 0,6 м.
9.28. Размеры (в том числе и угловые)
изображений шахматных фигур, нарисо-
нарисованных учащимся, неизвестны, однако
можно использовать любые соотношения
размеров фигур и расстояний между ними
на рисунке, изображающем фигуры и гла-
глаза учащегося. На рис. 20 условно показа-
показаны сами фигуры, стороны угла, под кото-
которым они видны учащемуся, а на рис. 21 —
дан вид сверху на фигуры, стоящие на
столе, и направления, под которыми уча-
учащийся видит фигуры тем или иным гла-
глазом. Сначала находим соотношения меж-
между высотой Н изображения фигуры на ри-
рисунке, углами фх и ф2, под которыми на-
наблюдателю видны фигуры, и расстояния-
расстояниями L19 L2 от глаз до фигур:
Ц>1Ь1 = ф2Ь2 = Н. A)
Откуда
А = Ф2 "
m2g
Рис.19
н
>-
Рис. 20
B)
Затем из рис. 21 находим соотношение между угловыми расстояния-
расстояниями (а, C) между фигурами, расстояниями от глаз до фигур и расстояни-
расстоянием между глазами наблюдателя, которое по условию равно Д = 65 мм:
хл = aL2, хп = CL2. C)
Фигура 2
Левый глаз
Правый глаз
111
Угол у» с одной стороны, равен
Д
с другой,
Y =
Приравнивая D) и E) друг другу, с учетом C) получаем
D)
E)
F)
С учетом B)
h Ф1-Ф2
Взяв отсюда выражение для Lx и подставив его в A), получаем
G)
Я
а-р
(8)
Углы в формуле (8) прямо пропорциональны измеряемым на
рисунке с помощью измерительной линейки размерам, поэтому
Я ~ 6 см.
9.29. Пусть L — длина произвольно-
произвольного участка реки. С этого участка льди-
льдины соберутся в сплошной ледяной слой,
длина которого х = Ln (рис. 22). При
скорости движения границы и это про-
произойдет за время т = —. Тогда их + их =
= L, откуда
nv
и =
0,022 м/с.
Рис. 22
1-п
Сила давления льдин на единицу дли-
длины границы затора равна импульсу, передаваемому в единицу вре-
времени затору останавливающимися льдинами. За время Д? к еди-
единичной длине границы присоединяются льдины общей массы
Am = puhAt. Тогда можно записать
FAt = v • Am = puhvAt.
Таким образом, сила давления на единицу длины границы затора
равна
71 IT
1-п
ph = 0,8 Н/м.
112
9.30. Сила реакции пола в момент толчка N = m(g + а). Пусть
v — скорость центра масс в момент отрыва ног от пола, тогда
V2
ускорение а = -ггтт. С другой стороны, из закона сохранения энер-
П 2gl
гии v — 2g\h - — = —-. Отсюда следует, что а = g. Таким обра-
V 2.) 4
зом, средняя сила давления на пол равна
F = N = 2mg = 1470 Н.
9.31. 1) Зная наклон кривой при т = 5 мин (рис. 23), находим
массу пг1 воды в момент окончания плавления льда:
РАт = m^At;
Р Ат
7711 = Т а7 ^ °'86 кг'
,°с>
100
80
60
40
20
у
/
/
л
1
J
т
J
/
у
5 10
Рис. 23
15
2) Аналогично находим массу т2 воды при т = 12 мин (начало
кипения):
т2 ~ 0,34 кг.
Следовательно, за время нагрева воды от 0 °С до 100 °С G мин)
масса воды изменилась на Am:
Am = /n1 - т2 = 0,52 кг,
отсюда
\х = —- = 0,074 кг/мин.
3) Первоначальную массу т0 льда можно выразить через удель-
удельную теплоту плавления q:
тОлъда = ~=О,53кг.
5 Ко:
113
4) В начале эксперименты (t = 0) в калориметре было воды:
то воды = гпг + цАх - т0 льда =
= @,86 + 0,074 • 5 - 0,53) кг = 0,70 кг.
5) К моменту времени т = 17 мин испарилось:
РАт
Динара = — « 0,08 КГ.
За время испарения из калориметра дополнительно вытекло
Доводы = ^ ~ °>37 КГ-
"воды
Таким образом, Дтпобщ = Дтпара 4- Дягводы ~ 0,45 кг > т2, т. е.
это означает, что к моменту времени т = 17 мин воды в калори-
калориметре не осталось!
(Возможны незначительные отклонения числовых значе-
значений.)
9.32. Напряжения в точках i, 2 и 3 по отношению к точке 0
приведены на рис. 24. Через R3 течет ток /3 = —, сила тока че-
к3
4 2
рез R2 равна /2 = —; сила тока через Rx равна 11 = —.
Применим первый закон Кирхгофа для узлов А и Б.
1. Допустим, что R3 = R2 = R, тогда для узла А:
для узла Б:
3 A2 В)
I дч 2. Допустим теперь i?3 = ^i ^ !?• Т01""
да для узла Б:
6 2 2 _
для узла А:
6 4 4
/з = То = То + Т2 * R* = 20 Ом*
3. Допустим, что R2 = jRj = Е. Тогда
для узла Б:
А А = 2.
Рис. 24 10 + i? ~ 5
114
Это равенство не выполняется. Таким образом, третий случай
невозможен.
9.33. Ответ: v = (ш2г2 - ш1г1)/2.
9.34. За время At скорость тела изменится на Av = tgaAx, где
а — угол наклона прямой. Отсюда ускорение тела равно
Аи , Ах , л 9
а = — = tg a— = v tg а = д: tg а.
Следовательно, сила, действовавшая на тело в точке с координа-
координатой х0, равна
2
F = та = /пл:0 tg2 а = — Н.
о
9.35. Используем закон Архимеда:
Заметим также, что
"*л = Рл(^айо6 - ^пол)> УВЫТ = SAh, \V^6 = FBHT.
Решая совместно эти уравнения, получаем
упол = S А/г2рл~Рв « 1090 см3.
9.36. Рассмотрим маленький элемент жидкости на поверхнос-
поверхности планеты рядом с Вэйлом. Обозначим массу этого элемента че-
через т. На него действуют сила тяжести и сила реакции окружаю-
mgp
щей жидкости. Первая направлена к центру и равна FTa
Ро
а вторая Fpe&K направлена перпендикулярно поверхности планеты
(рис. 25). Их сумма равна
тяж + ^реак | = ГП^Я COS ОС
и должна быть направлена перпен-
перпендикулярно оси вращения планеты.
Отсюда находим
mg cos ap/p0 - moJi? cos a
tga
Земля
1-р0ш2Д/Ы'
где со = 2n/T. Окончательно полу-
чаем р « 60°.
Рис. 25
115
9.37. 1. v0 = H/t0.
2. Скорость течения реки и = Ci>0; за
время переправы лодку снесет на рас-
расстояние L = ц?0 = (Зио?о.
3. Скорость лодки относительно сис-
системы координат, связанной с берегом,
равна v = и + 50 (рис. 26). Из рисунка
видно, что минимальное расстояние LMHH
сноса лодки соответствует случаю, ког-
когда скорость лодки v направлена по касательной к окружности
радиуса v0. Из подобия треугольников скоростей и расстояний,
имеющих общий угол а, получим
Рис. 26
я
и так как v -L v0, находим
"о "о
4. Время переправы лодки, когда ее сносит на минимальное
расстояние, равно
t =
Я
vn cos a
cos а
= t
9.38. Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть кубик на-
находится на горизонтальной поверхности, движущейся с уско-
ускорением g/2 (трение достаточно велико). Определим расстояние
от центра массы кубика до линии действия силы реакции опоры
(рис. 27).
Ясно, что N = mg, FTp = mg/2. Из уравнения
-л моментов относительно полюса О следует:
N
Nx
отсюда х = —.
4
По третьему закону Ньютона вес Р кубика
и реакция опоры N действуют вдоль одной
прямой.
116
Возвращаясь к исходной задаче, можно утверждать, что ли-
линии действия веса каждого кубика смещены относительно центра
масс кубиков влево на х = а/4.
Напишем условие равенства моментов сил, действующих на
весы:
отношение плотности материалов кубиков 1 и 2 равно
р2 _ За *
4
9.39. Теплообмен между кастрюлей и окружающей средой про-
пропорционален разности температур tK- t, где t - температура кас-
кастрюли. При плавлении льда t = t0 = О °С:
тк = А(*к - *0)т, A = / ^ v .
Здесь m - масса льда, А - коэффициент пропорциональности. При на-
нагревании воды массой 2т от О °С до 1 °С (Д* = 1 °С) теплообмен остался
таким же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:
с At • 2т = A(tK - *0)Ат1 = тк—.
Отсюда
Дтх = —-— == 4,2 мин.
При нагревании воды от t = 20 °С до 21 °С (Д^ = 1 °С) потребу-
потребуется время Дт2:
Дт2 = Дтх * _ .° = 21 мин.
9.40. 1. Пусть в первом случае сопротивление реостата равно
R19 во втором - равно R2. По закону Ома имеем:
Р Р 6
где Дх = -j = 12 Ом, -R2 = -§¦ = - Ом.
Р
117
Решая систему A), получим
тт - А^2 ?2А _ оа ту
~ IT (I -J ) ~ '
r
6 Ом.
2. Если сопротивление реостата равно нулю, то
3. В общем случае мощность, которая выделяется на перемен-
переменном сопротивлении R, можно представить в виде:
U2R
(R
или
PR = IU- I2r,
где IU - мощность, развиваемая источ-
источником. На рис. 28 представлена зави-
зависимость Ря(/). Это парабола, вершина
которой Рмакс соответствует силе тока
U
-> J = — • Следовательно,
U/Br) U/r I 2г
Рис. 28
откуда Ям = г. Итак,
\2 »
и2
макс=1Т = 54 ВТ,
ОМ.
9.41. Обозначим точки подсоединения Rb через С и D. Рассмот-
Рассмотрим две схемы, получающиеся из исходной путем разрыва между
точками СиD(рис. 29) и закорачивания этих же точек (рис. 30).
А0-
А0-
Рис. 29
Рис. 30
118
Пусть напряжение между клеммами А
и В равно U. Тогда силы токов в этих
схемах
U
U
* 3 == * 4 = Yj '
Рис. 31
Заметим, что силы токов через каждое из сопротивлений R19
R2, R3, R4 одинаковы для обеих схем. Ясно, что схема на рис. 31
эквивалентна схеме на рис. 30. Сила тока через перемычку CD
1ъ = 1г-12 = 0.
Поскольку сила тока на участке CD равна нулю, независимо от
величины R5, то и R^ не зависит от R5. Таким образом, для расче-
расчета сопротивления R^ можно использовать любую из схем на
рис. 29-31. Воспользуемся схемой на рис. 29 и найдем:
9,625 кОм.
#3
(Совпадение с R5 случайно!)
9.42. Так как теплопередача пропорциональна разности темпе-
температур, то температура внутри стекла изменяется линейно. Оче-
Очевидно, что температура воздуха между
стеклами не зависит от расстояния меж-
между ними. Сложим два стекла вместе.
Для этого случая график температуры
представлен на рис. 32. Линия АА со-
соответствует первому случаю, а линия ВВ -
второму. Из графика видно, что темпе-
температура воздуха в раме, установленной
толстым стеклом наружу, равна +10 °С,
а во второй раме - 0 °С.
9.43. При упругих ударах о стенки
угол падения равен углу отражения.
Таким образом, движение шайбы мож-
можно рассматривать на фигуре, получив-
получившейся последовательными отражения-
отражениями треугольника относительно одной из
боковых сторон (рис. 33). Рис. 32
119
-10
-—~Х\
При малых Z. ЛВС эту фигуру мож-
можно приближенно считать окружностью,
а хорды I вычислять по формуле
I = 2АВ -sin a = 2L• sin а.
Искомое время между ударами
I Л „ sin a
* = - = 2L .
9.44. Выберем прямоугольную сис-
систему координат Оху, как показано на
рис. 34. Рассмотрим силы, действую-
действующие на шарик т до того, как верхняя
пружина оторвется. Так как шарик в этот момент находится в
покое, то
по Ox: Fx cos 45° + (F2 4- mg) sin 45° - F3 = 0,
no Oy: Fx sin 45° - (F2 + mg) cos 45° = 0.
Условие покоя груза М
Рис. 33
Mg
Рис. 34
F\ = F2 = Mg.
Решая эту систему уравнений, по-
получим
F3 = 42 (М 4- тп)?.
В начальный момент после отрыва
пружины на шарик т будут продол-
продолжать действовать силы mg, Fx и F2 •
Следовательно, его ускорение в началь-
начальный момент будет направлено вдоль оси
х и равно
\
Рис. 35
п- & - feM + m *
а — — si z g»
т т
9.45. Рассмотрим два случая.
1. Если v0 < ^2gH, то скорость и -
любая.
2. Пусть v0 > y/2gH . Рассмотрим си-
ситуацию, когда траектория камня каса-
касается прямой, вдоль которой летит пти-
птица. Горизонтальная проекция иг
(рис. 35) скорости камня в течение все-
всего его полета сохраняется. Ясно, что
120
при vr > и мальчик может попасть в птицу, а при иг < и — нет. Из
закона сохранения энергии следует, что иг = ^v% - 2gH. Таким
образом, мальчик не сможет попасть в птицу, если и > ^Jvq - 2gH.
9.46. Пусть т - масса каждой из досок, а^- скорость систе-
системы после прекращения относительного движения досок. Запи-
Запишем закон сохранения импульса:
Bm)v0 = (Зт)иг:
и закон сохранения энергии:
Bm)vl _
2
A)
B)
2 2
где Q - количество теплоты, выделившейся при неупругом ударе
досок 2 и 3, АгР - работа силы трения при движении доски 1 по
доске 3.
Так как трение между досками 1 и 2 отсутствует, в течение
процесса неупругого удара к системе брусков 2 и 3 можно приме-
применить законы сохранения импульса и энергии;
mv.
Bт)и
Bт)и2
+ Q =* Q = imv02.
2 2
По мере того как доска 1 надвигается
на доску 3, сила трения между этими
досками возрастает по линейному зако-
закону от 0 до kmg (рис. 36). Работа силы
трения численно равна площади за-
заштрихованной части графика, т. е.
4
kmg
C)
D)
I.
E)
Рис. 36
Подставляя в B) выражение для v19 Q и АгР, получим
9.47. Скорость движения столбика ртути пропорциональна мощ-
ности, подводимой к ртути: v ~ N. В свою очередь N , где AT -
Ах
разность температур между нагревателем и ртутью, Ах - расстояние
между нагревателем и ртутью, выраженное в показаниях термомет-
121
pa, т. e. Ax ~ (tx - t), где t - текущее
показание термометра.
По условию задачи разность тем-
температур остается приблизительно
1
постоянной. Поэтому v ~
Для
нахождения искомого времени по-
10Дх,°С
строим график в координатах Ах, —,
4
Рис. 37
где Ах - разница между 30 °С и
температурой ртути (рис. 37), а и - скорость движения верши-
вершины столбика ртути, выраженная в градус/с.
В принятых обозначениях площадь под графиком есть вре-
время. Таким образом, искомое время т численно равно заштрихо-
заштрихованной площади на графике и составляет т = 42 с.
9.48. Введем обозначения резистров и покажем направления
токов на схеме (рис. 38). Идеальный амперметр Ах "закорачива-
"закорачивает" точки А и Б, поэтому сопротивление всей цепи (между точка-
точками С и D) равно
R™ R1 + R2 " RZ + RA-
Тогда сила тока, текущего через амперметр А19 равна
A)
Значение выражения ^Пд = RXR2^ + -*W*4 + #3^4#i + RARXR2
не зависит от порядка резисторов в цепь и всегда равна 50 Ом3.
Теперь определим силу тока /0, ис-
используя показания амперметра А2. Из
приведенной схемы следует
2
122
тогда
(R1+R2){R3+Ri)
Приравнивая A) и B), получаем
н2щ - ягн4 -
= 10 Ом2.
B)
C)
Последнее условие будет выполнено, если:
1) R2 = 3 Ом, #3 = 4 Ом> #1 = 1 Ом, Д4 = 2 Ом. Тогда сопро-
25
тивление цепи RCD = — Ом и показания амперметра Аг: /01 =
х ^
= 4,8 А;
2) Д2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, ^ = 1 Ом, #4 = 2 Ом. Тогда сопро-
сопротивление цепи JRCD = 2 Ом и показание амперметра Ах: 102 = 5 А.
Другие перестановки сопротивлений, удовлетворяющие усло-
условию C), приводят к тем же результатам.
Итак, в зависимости от порядка включения резисторов в цепь
показания амперметра Аг:
/01 = 4,8 А или /02 = 5 A. Vq
9.49. Составим систему уравнений:
• gt,}
= v
01
v2 = v20 +gt
Из рис. 39 видно
~ v, = vM -
02
V//////////////////////////
Рис. 39
= 2vn sin
90°-а
9.50, Рассмотрим силы, действующие на автомобиль в момент
времени, когда он должен сорваться с трека. В этом момент силы
трения, действующие на задние коле-
колеса, достигают своего максимального
значения, равного
F = \i(m/2)g,
и направлены под углом а к вектору
скорости (рис. 40). Тогда
F = F sin а = — • —
F9 = F cos а = та.
123
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, получаем
таН2
х 2R
откуда время равно
t = — (mV - 4а2I/4 = 26,5 с « 27 с.
а
9.51. Нить нерастяжима, следовательно, сила натяжения Т по
всей длине одинакова. Пусть m'1 = mx + Amv т'г = ms + Атг. Для
грузов запишем систему уравнений:
= m[g - Т, A)
тп2а2 = m2g - 2Т, B)
- Т. C)
Запишем уравнение, связывающее между собой ускорения грузов:
D)
У нас есть четыре неизвестных а19 а2, а3, Т и четыре уравне-
уравнения. Решая их, находим
аг = 0, а2 = - -я = - 0,125^, а3 = -g = 0,25#.
Следовательно, первый груз останется в покое, второй будет
двигаться вверх, а третий — вниз.
9.52. В установившемся режиме мощность тока в проволочке
равна мощности потока тепла в окружающую среду:
U2r
где А - некоторая константа.
Записав соотношение A) для начального момента времени и
для момента размыкания цепи, найдем выражение для искомого
сопротивления переменного резистора Rx:
Rx = (Rx + г) Д^- - г, B)
где t0 — температура окружающей среды.
124
При непосредственном подключении прибора к источнику тока
на малое время т почти все тепло, выделяющееся на проволоке,
идет на ее нагрев:
U2
—т = cm(tKV - t0).
Из уравнений B) и C) следует:
C)
Rx
- г.
Подставив числовые значения, получим Rx = 10 Ом.
9.53. Пусть давление в центре Земли
р. Рассмотрим два тонких столба жидко-
жидкости ОА и ОБ сечением S и длиной Rn (по-
(полярный радиус), расположенных вдоль
оси вращения Земли и в экваториальной
плоскости (рис. 41). Оценочно будем счи-
считать, что они притягиваются к центру
Земли с одинаковой силой F. Условие
равновесия столба ОА: F = pS. На столб
ОБ давит "довесок" толщиной AR. Центр
масс столба ОБ движется с ускорением
а = ~тГ ~гГ> гДе г = 24 ч. По второму Ркс- 41
закону Ньютона
F - pS +pgSAR = pSRna.
Из записанных уравнений с учетом того, что замена Ra на R
мало изменит числовой ответ, получаем
R
R
2g
582 *
Отметим, что табличное значение составляет ^гг.
297
9.54. Разложим силу натяжения ленты на две составляющие:
касательную Ft и нормальную Fn к поверхности мотка в точке
отрыва. Касательную компоненту Ft находим из уравнения мо-
моментов для мотка, которое запишем для двух случаев:
FtR = mgr, FtxR = 2mgr.
Тогда сила, с которой следует тянуть ленту в этих случаях,
равна
125
Отсюда получаем
9.55. До удара при чистом качении скорость поступательного дви-
движения цилиндра v0 и угловая скорость со связаны соотношением
v0 = coR, где R - радиус цилиндра.
1. После упругого удара скорость поступательного движения ци-
цилиндра изменяет знак, а угловая скорость вращательного движения
остается прежней. Цилиндр начинает двигаться с проскальзыванием.
Сразу после отражения цилиндра от стенки скорость его верхней точ-
точки В (рис. 42) равна vB = v0 - caR = 0, а нижней точки А будет vA =
= v0 +
= 2vQ
2. После отражения оба движения ци-
цилиндра — поступательное и вращатель-
вращательное — оказываются равнозамедленными,
так как на него будет действовать посто-
постоянная сила трения скольжения F^ = \\mg.
Цилиндр будет двигаться с ускорением
т
линдра
= \\g. Через время tг скорость ци-
2 м/с
Рис. 42
и пройденный путь
«1 = *Vi - -у- = 8 м.
3. Цилиндр остановится через время т = — = — = 3 с. К этому
моменту прекратится и вращательное движение. Пройденный путь
в этот момент будет равен
"El e Ji. e Q „
2 ™
Следовательно, через t2 = 4 с скорость цилиндра равна нулю, а
пройденный путь 9 м.
9.56. Из условия сохранения мас-
массы разности давлений на концах труб-
трубки должны быть одинаковы:
Распределение давлений в цилин-
цилиндрах (в условных единицах) по высо-
высоте, считая от нижней трубки, показа-
показано на рис. 43. Давления изменяются
126
по линейному закону. Из рисунка следует, что на уровне -ф давле-
ние в цилиндрах одинаково. Следовательно, Ар^ = - Арс
где Ар = р2- рх = РоР^! - t2) = 1,26 • 10 кг/м3. Тогда Ар =
9.57.1. При последовательном со- /, А,
единении лампочек через каждую из
них течет ток I. При этом напряже- 0,2
ние ихA) на лампочке Л1 и напря-
напряжение U2 на лампочке Л2 связаны
соотношением
А
2 '
0,63 Па.
где U - напряжение источника тока.
Точка пересечения графиков за-
зависимостей UX(I) и U - U2(I) (рис. 44)
определяет напряжения на лампоч-
лампочках и силу тока, текущего через них:
I = 0,094 А.
2. При последовательном соедине-
соединении трех лампочек надо построить
суммарную вольт-амперную характе-
0,1
/
1
/
(
/
V
^*
г -
\
и2
\
*-*
{I)
\
\
\
\
\
о
б
12
t В
Рис. 44
ристику U23(I) лампочек Л2 и Л3, соединенных последовательно, после
чего задача сводится к предыдущей. Поскольку вольт-амперные ха-
характеристики лампочек Л2 и Л3 по условию совпадают, U23{I) = 2U2(I)
(рис. 45). Силу тока, текущего через лампочку Л19 в случае последо-
последовательного соединения Л19 Л2 и Л3 найдем из графика (рис. 46)
/ = 0,084 А.
0,2
0,1
/
/
(
/
1
t J
/
1
/
>
/
I)
с
I)
—>
0,2
0,1
/
U - V
2з
0 3 6 9 12
U, В
Рис. 45
0 3 6 9 12
U, В
Рис. 46
127
Рис. 47 Рис. 48
9.58. Заметим, что если удалить крайний правый блок, полу-
получится система, эквивалентная исходной. Иными словами Fx = F
(рис. 47). Условие равновесия первого блока:
2F = Mg + *\ = Mg + F.
Отсюда F = Mg.
9.59. Пусть за время Д? зеркальце повернулось на угол Дф.
Тогда луч света за это же время повернется на угол (рис. 48)
Да = 2 Дф, Да
Здесь cos а = —¦. Получим
L
L2
= 2 Дф,
откуда со =
Дф
At 2L2 "
9.60. Из условия равновесия поршней
PoSi + Т = pSlt
PoS2 + T = (p + pgl)S2
находим силу натяжения пружины
(здесь I - длина деформированной пружины),
откуда
? _ . L_
128
Удлинение пружины
оно равно разности перемещений первого
хг и второго х2 поршней:
= х2 -
B)
Из A)иB) следует
Ata-S,) -pgS&iSt-Sj
C)
Это и есть зависимость x(k).
Жесткость пружины, при которой верхний поршень "ляжет"
на стык цилиндров, найдем из условия х0 = 10:
Если в C) знаменатель устремить к нулю, то это произойдет
, , _ QgStSj
при k -^ пЛУ где пл = "^ 5" — вертикальная асимптота.
Строим зависимость x(k); это кривая 1 на рис. 49; зависимость
x2(k) показана кривой 2.
9.61. Рассмотрим полет камня, брошенного из точки А.
В проекции на вертикальную ось
(и0 sin a) t - 4" = О,
откуда время полета
t =
2v0 sin a
g
Расстояние L между точками А
и Б равно
В
cos a
vl sin 2 a
- = 20 м.
В
Поскольку для камня, брошен-
брошенного из точки Б, можно аналогич-
аналогичным образом написать
Рис. 50
129
«g sin 2ft
то мы получим sin 2a = sin 2P, и, так как по условию a ^ P, то
2а = я - 2Р, т. е.
Далее удобно перейти в систему отсчета, в которой камни дви-
движутся равномерно.
В качестве тела отсчета выберем камень, вылетевший из точки
А. Так как vx J_ v2 и vx = v2 = и0, то вектор иотн есть диагональ
квадрата, построенного на векторах v2 и -щ. Поэтому v0TH = V2 v0.
Из рис. 50 видно, что АС — кратчайшее расстояние между кам-
камнями. Найдем его: 8 = а - 45° = 30° и, следовательно,
АС = -L = 10 м.
Время, через которое расстояние между камнями станет мини-
минимальным, равно
АС Юл/3
20>/2
0,61 с.
х v0THtgd
Положения камней можно найти параллельным переносом от-
отрезка АС до тех пор, пока его начало и конец не окажутся лежа-
лежащими на навесной и настильной траекториях камней (рис. 51),
при этом АС = АС.
9.62. При движении камня в поле тяготения
Ч = до + ё*> (!)
где t - время от начала движения камня (рис. 52, а).
Вектор перемещения камня
Рис. 51
Рис. 52
130
s(t)
2v0 + gt
V0 + (v0 + gt)
2 l~ 2 *•
Тогда для момента т найдем перемещение камня
т.
B)
Из рис. 52, б видим, что в силу перпендикулярности векторов
v0 и vK (как диагонали прямоугольника)
| ?о + ук | = | ^ _ щ | = gx. C)
Подставив C) в B), находим
\s\ = -—, или S ~ 5 м.
9.63. 1. Силы, действующие на брусок и клин, показаны на
рис. 53, причем
Т. Обозначим ускорение
клина через аг. Запишем уравнения движения тел в системе ко-
координат хОу:
' N |:
A)
для клина по Ох с учетом равенства реакций опоры
ТA - cos а) + N sin а = Мах\
для бруска по оси Ох:
Т cos а - N sin а = тпах;
для бруска по оси Оу:
mg - Т sin а - N cos а = пгау.
N' =
B)
C)
Здесь ах и ау - проекции вектора ускорения бруска на коорди-
координатные оси.
Связь между ускорением клина и
ускорением бруска можно установить,
используя кинематические соображе-
соображения. Пусть клин сместился на / влево.
Тогда брусок, движущийся по клину,
сместится на I вдоль наклонной плоско-
плоскости и одновременно на расстояние I вле-
влево вместе с клином. Отсюда получим:
ах = ах{1 - cos а) и ау = аг sin а.
Тогда система уравнений A)-C)
примет вид:
131
V//////////////////?/////////////,
- cosa) + iVsina =
Tcosa - iVsina = ma^l - cosa),
mg - T sin a- N cos a = ma^ sin a, J
D)
откуда
ал =
mg sin a
- 2тпA - cosa)#
2. Рассмотренное движение возможно, если N > 0. Находя N
из уравнений D), получим условие:
М A-cosaJ
т cos a
9.64. 1. Последовательно рассмотрим все токи и напряжения
на элементах цепи, начиная с последнего звена (рис. 54). Обозна-
Обозначим силу тока в последнем звене через 70. Тогда напряжение на
участке cd будет равно 2г/0, а сила тока на этом участке будет
равна 270.
144/п
55/о
21/,
Рис. 54
Следовательно, сила тока на участке be равна 370, а напряже-
напряжение на участке be равно 5г70. Далее находим, что сила тока на
участке be равна 570, а на участке ab — 870 и т. д. Рассуждая
аналогично, получаем 7 = 8970, следовательно, 70 = 0,1 А.
2. Находим напряжение Uxy на входе цепочки:
Uxy = A44 + 89)г70 = 23,3 В.
3. Сопротивление Rxy между клеммами х и у равно
u*v 23,3
1447ft
14,4
Ом = 1,62 Ом.
9.65. В плоском зеркале изображение точечного источника рас-
расположено симметрично этому источнику относительно плоскости
зеркала. Если получившееся изображение окажется с отражаю-
отражающей стороны другого зеркала - оно дает еще одно изображение и
т. д. В данном случае все изображения лежат на окружности ра-
132
Рис. 55
диуса R, проведенного из точки О пере-
пересечения плоскостей зеркал через So
(рис. 55):
Sx - изображение точечного источ-
источника SQ в зеркале Мг;
S12 - изображение мнимого источни-
источника Sx в зеркале М2;
S121 - изображение источника S12 в
зеркале Мг.
Источник S121 не может дать изобра-
изображение, так как он лежит с обратной (не
отражающей) стороны зеркала М2 (и, разумеется, Мг);
S2 - мнимое изображение точечного источника So в зеркале
М2;
S21 - изображение источника S2 в зеркале Мг.
Мы видим, что источник S21 оказался с обратной (не отражаю-
отражающей) стороны зеркала М2, поэтому он тоже не может дать изобра-
изображений.
Следовательно, в зеркалах можно увидеть 5 изображений ис-
источника So. Вообще говоря, любое изображение, оказавшееся в
секторе АОВ (он заштрихован), не может более отразиться в зер-
зеркалах Мх и М2.
9.66. Для определения чисел т, п, k воспользуемся соображе-
соображениями размерностей: сила выражается в кг • м/с2, плотность - в
кг/м3, размер а - в м, скорость - в м/с. Отсюда
кг • м
кг'"
,3 т
м"
с2 м°"* с*
Приравнивая степени при кг, м, с в левой и правой частях данно-
данного равенства, получаем:
1 = т, 1 = - 3 + k + п, -2 = -k.
Отсюда
т
2,
/i = 2, k
F = ocpaV.
Установившаяся скорость парашютиста в затяжном прыжке
определяется из соотношения
Mg = apaV.
Подставляя М ~ 70 кг, р = 1 кг/м3, а2 = 0,25 м2, a « 1,
g ~ 10 м/с2, получаем v2 ~ 2800 м2/с2, и « 50 - 60 м/с.
9.67. При движении по наклоненному под углом а прямоли-
прямолинейному участку дороги груз не будет скользить по кузову, если
Ц > tg a.
133
N
a)
Рис. 56
Рассмотрим движение по участкам дороги, которые имеют фор-
форму дуг окружностей радиуса R. Обозначим через т массу груза,
N — силу реакции со стороны кузова, 2**тр — силу трения груза о
кузов. Так как центростремительное ускорение равно v2/R, то для
движения по участку дороги 3-4, выпуклому вверх (рис. 56, а):
2
mg cos C - N = -тг- и mg sin C = FTp.
Так как в случае отсутствия скольжения F < \xN, то груз не будет
скользить при
cos Р
v2
¦. Отметим, что при cos C - —г < 0 гру-
зовик оторвется от дороги, поэтому условие задачи о движении
грузовика по дороге не будет выполнено.
Аналогично, для вогнутого участка дороги 1-2 (рис. 56, б) no-
лучаем, что груз не будет скользить при [X >
sin
• Таким
cos Р + -—
образом, случай cos а — < 0 не соответствует условию задачи,
git
v2
а в случае cos а — > О груз не будет скользить, если ц > цкр =
sin а
cos а
gR
Если |ы будет чуть меньше, чем |Хкр, то груз в точке 3 начнет
скользить по кузову.
134
9.68. Количество теплоты, подводимое ко льду, складывается
из количества теплоты, втекающего из окружающей среды через
стенки банки, и количества теплоты, преобразованного нагрева-
нагревательным элементом из электроэнергии. Во время плавления льда
его температура остается постоянной (О °С), поэтому и количе-
количество теплоты, ежесекундно подводимое ко льду через стенки бан-
банки, тоже постоянно. Обозначим его Рг. Мощность тока нагрева-
нагревательного элемента равна —, где U — напряжение, подаваемое на
R
нагревательный элемент, R — его сопротивление. Пусть для плав-
плавления всего льда, находящегося в банке, необходима энергия W.
Тогда время плавления льда в банке найдем по формуле
W
W
-, где t19 t2, Ux, U2 — время и напряжение
Р + ^±. р | ^2
1 R l R
в случае с первой и второй банкой. Решая систему двух приведен-
приведенных уравнений, найдем неизвестную величину Р19 точнее произ-
произведение
= -2,44 -104 В2.
Таким образом, оказывается, что Рг < 0, т. е. теплота отво-
отводится ото льда в окружающую среду. Минимальное напряжение,
достаточное для плавления льда (т. е. такое, что Рг + Р2 > 0),
определяется выражением Umin = ^]- PXR =156 В. Значит, нагре-
нагревательный элемент, питаемый напряжением U3 = 127 В, никогда
не расплавит лед, находящийся в третьей банке.
9.69. Рассмотрим случай а < g. До отрыва груза от подставки
mg - N - kx
а — ,
т
где N - сила реакции опоры, х - удлине-
удлинение пружины. В момент отрыва груза от
подставки N = 0, а удлинение
_ m{g - a)
Х°~ к '
В положении равновесия груза на пру-
rng
жине ее удлинение хх = —г-. После от-
рыва от подставки на груз будет действо-
действовать сила F = mg - kx. График зависи-
та
Рис. 57
135
мости силы F от удлинения х пружины приведен на рис. 57.
В момент начала движения подставки и в момент максимального
удлинения пружины скорость груза равна нулю, в точке хг - ско-
скорость максимальна.
Таким образом, на участке @, хг) уве-
увеличение кинетической энергии груза рав-
равно работе внешних сил Av На рис. 58
^, эта работа численно равна площади тра-
• пеции над осью Ох. На участке (xlf L)
—-' уменьшается до нуля кинетическая энер-
энергия, и работа внешних сил А2 численно
' + ? ' а I* равна площади треугольника под осью
Ох. Ясно, что площади должны быть рав-
ИС' ны друг другу, т. е. Аг = А2:
~(х0 + хх) та = -(L- хг) (kL - mg)9
Если на графике L откладывать в единицах хг, ускорение а в
единицах g9 то график L(a) имеет наиболее простой вид.
Для — < 1 соответствующая часть графика L(a) представляет
g
собой четверть дуги окружности с центром в точке — = 1, — = 1
хг g
(рис. 58).
В случае, если а > g, отрыв груза от подставки происходит
сразу после начала ее движения и! = 2хг. Эта часть графика L(a)
представляет собой прямую линию. Окончательно имеем, что мак-
максимальная длина пружины
JfH
при а < gf
2хх при а> g.
136
mg
0 \ih
Рис. 60
Рис. 59
9.70. Рассмотрим случай вращения диска против часовой стрел-
стрелки (рис. 59). Условие равновесия бруска:
где F = \iN. Отсюда
По определению Р
Следовательно,
Р
Mg- = N1,
MgL\x
Fv. В нашем случае F =
v = (О R.
2Р
ш
- \ih) =
где А =
2Р
гр • R RMgL\i
- коэффициент пропорциональности между со и I.
RMgL\i
Задача решается при I > \ih. При I < \ih происходит "заклини-
"заклинивание", двигатель не может повернуть диск.
Если диск вращается по часовой стрелке, то его угловая ско-
скорость 0)+ = А{1 + \ih), т. е. "заклинивания" нет.
Графики co+(Z) и co"(Z) представлены на рис. 60.
9.71. Пусть п0 — вектор начальной скорости камня, пк — вектор
скорости камня в момент его попадания в лапу мышонка. Направим
ось Ох вдоль ската крыши, ось Оу перпендикулярно ей через лапу
мышонка (рис. 61). Из закона сохранения энергии следует
l _ тик
откуда получим
|ц> I Ч йк |- A)
Проекция вектора скорости камня на
ось Ох непосредственно перед ударом о
скат крыши равны проекции скорости
на эту же ось сразу после удара. Тогда
| и0х\ = | и„ |. B)
137
Из A) и B) следует что \иОу\ = \ику\. Запишем в проекциях на оси
Ох и Оу уравнения движения
UtJ + Чг = **' C)
+
8у,
D)
где gxvigy — проекции g на соответствующие оси. По теореме
Виета уравнения C) и D) можно преобразовать к виду
s* 2 ' ( '
^ = ~^Ф-- F)
Тогда s
9.72. Решение задачи поясняет рис. 62. В прямоугольной рамке
указано агрегатное состояние воды и ее температура. В овальной
рамке - количество теплоты, необходимое для перехода по схеме по
направлению вращения часовой стрелки к очередному состоянию.
При прохождении вдоль схемы через все агрегатные состояния
соблюдается баланс тепла
^т + c2mAt = Х2т + c^At.
Отсюда следует, что
Х2 = Хг - (сг - с2) Д* = 3.12 • 105 Дж/кг.
J}
1
Лед*0= 0°С
t
Вода^0= 0°С
Лед^--10°С
Вода^--10 °С
t
(^ QA=c2mAt J) (^ Q3=X2m J)
Рис. 62
138
9.73. Рассмотрим соединение резисто-
резисторов "треугольником" (рис. 63, а). Тогда
при подключении источника напряжения
_ е\ ту
к клеммам 1, 3 по ветви 1-2-3 будет течь 12 у
ток /, поэтому
U
Отсюда
12
'12
Е
й.
= /г
6
" 9
23*
Аналогично, для случая подключения
источника питания к выходам 2, 3 мож-
можно записать
'13
и
13
Тогда получим г13 < г12 < г23. Значит,
Г13
R, г12 =
Для соединения "звездой" (рис. 63, б)
получаем, что при подключении источ-
источника напряжения к клеммам 1 и 3 ток
/13 течет только по ветви 1-0-3, поэтому
а при подключении к выходам 2, 3
Отсюда ^i < г3 < г2, значит,
rx — R, г3 —
3R.
Эти две схемы полностью эквивалентны, поэтому напряжения
U1S и С723 можно вычислять по любой из них. Воспользуемся схе-
схемой "звезда":
U1S = Irl9 U23 = /r2, U13
Отсюда получаем
U23 =
^23
^13
3
^23 =
45
4
_ 15
! ~ 4
= 11,
9.74. Пусть О — точка старта плота v
(рис. 64). В системе отсчета (СО), дви-
движущейся вниз по течению реки со ско- ®
ростью и (в этой СО вода неподвижна),
Ох О2 О3
Рис. 64
139
плот движется по прямой в направлении вектора i; = v0 - и .
Вектор г (t), соединяющий точку О с точкой А - местом нахожде-
нахождения плота в момент Т в движущейся СО, направлен параллельно
v . В неподвижной СО вектор, соединяющий точку О с местом его
нахождения, R(t) = r (t) + ut.
Проведем через точку А прямую параллельно v . Точку пересе-
пересечения этой прямой с берегом обозначим О19 тогда ООХ = иТ. Отло-
Отложим на луче ОО отрезки ОО2 = 2иТ, ОО3 = ЗиТ и ОО4 = 4 иТ. Через
полученные точки О2, О3, О4 проведем прямые параллельно v . Точ-
Точки пересечения этих прямых с траекторией плота будут соответ-
соответствовать местам его нахождения в моменты времени 2Г, ST, 4Г.
9.75. Тело движется по поверхности с ускорением - |ig до тех
пор, пока не остановится. Обозначим начальную скорость тела
через v0. Возможны следующие случаи:
(а) остановка тела произойдет на интервале времени от 0 до tx;
(б) тело остановится на интервале от tx до tx + t2;
(в) к моменту времени tx + t2 тело не остановится.
Если v0 < \igt19 то sx = -7Г- < "^Г1"' a s2 = 0. Это случай (а).
Пусть теперь v0 > \igtx. При этом sx = иогх - -—L. Отсюда
К моменту времени tг скорость тела уменьшится до значения
Если vx < \igt2, то реализуется случай (б). Последнее неравен-
неравенство можно представить в виде
~2~ I < №*2 или
Пройденный телом путь
_
*2 2yig 2№lVl 2
Если vx > \igt29 то реализуется случай (в). При этом
140
9.76. Обозначим напряжения на R
вольтметрах Vv V2, V3 (рис. 65) через U19
U2, U3 соответственно. Поскольку сопро-
сопротивления вольтметров много больше со-
сопротивлений всех резисторов, влиянием
вольтметров на напряжения на резисто-
резисторах в цепи можно пренебречь. Поэтому
напряжение между точками 1 и 2 рав-
равно нулю; но вместе с тем оно равно
иг - U2. Следовательно, U1 = U2. Напря-
Напряжение между точками 2 и 3 равно С//3 рис# 55
или U2 4- U3.
Для токов, протекающих через точку 4> имеем
1г + 12 = /3,
откуда можно записать Ux + U2 = U3 = 2172, так как сопротивле-
сопротивления вольтметров равны. Следовательно, 3G2 = U/3. Таким обра-
образом, показания вольтметров соответственно равны:
| иг | = 0,5 В, | U21 = 0,5 В, | I
9.77. Идущий от источника света S луч 3,
может (рис. 66):
- не отражаться от зеркал;
- отразиться только от зеркала Зх;
- отразиться только от зеркала 32;
- отразиться от зеркал Зх и 32;
- отразиться от зеркал 32 и Зг.
В двух последних случаях луч света
после отражений изменяет свое направ-
направление на противоположное, и поэтому в
дальнейшем он отражаться от зеркал
не будет.
В системе зеркал образуются сле-
следующие изображения источника све-
света S: St при отражении в зеркале Зх;
S2 в зеркале 32; S3 сначала в зеркале
31Э затем в зеркале 32 (либо сначала в
зеркале 32, а затем в зеркале Зг).
Изображение *SX будет наблюдаться
в области 1 (рис. 67), изображение S2
- в области 2 (рис. 68).
Изображение <S3, полученное в резуль-
результате отражения сначала от зеркала 31?
затем от зеркала 32, будет наблюдаться
= 1 В.
Рис. 66
Рис. 67
141
Рис. 68
<S3 Si
Рис. 69
в области 3' (рис. 69); это же изображе-
изображение, полученное в результате отражения
сначала от зеркала 32, затем от зеркала
Зх, - в области 3" (рис. 70).
Ответ к задаче представлен на ри-
рисунке 71. Цифры 0, 1, 2, 3 показыва-
показывают количество изображений, наблюда-
наблюдаемых в каждой из областей.
9.78. Рассмотрим проекции скорос-
скорости флажка в точке С на направления
вдоль веревки и перпендикулярно ей
(рис. 72):
vn = ип = и cos a,
где ип - проекция скорости лодки на направление АВ.
В системе отсчета, движущейся со скоростью vn, hoc лодки (точ-
(точка В) и флажок в данный момент времени движутся вокруг обще-
общего центра (точки А на берегу) со скоростями uL и vL соответствен-
з2
\
>
2\*:::::::::::^У-уУУУУ.
•'.•'.•'.•У.'^Р*^
Рис. 70
У
Рис. 72
142
АВ
но. Так как —г = 2, то
- и sin a.
Тогда
v = л/и2 + v2T = uJcos2 a + Tsin2 а «
V П L у 4
0,66 м/с.
9.79. Введем обозначения: хн — на-
начальное положение равновесия плат-
платформы, Е(х) — потенциальная энергия
растянутого жгута (рис. 73). Посколь-
Поскольку в положении равновесия платфор-
платформы F(xH) = Mg = 3 Н, то из графика
находим хн = 3 см. При падении с вы-
высоты h скорость груза в момент удара о
платформу равна v = J2gh • В процессе
удара груза о платформу импульс системы "груз-платформа" со-
сохраняется:
mv = (М + т) и. Сразу после удара ее скорость
Рис. 73
и =
M + m
Воспользуемся законом сохранения энергии:
М + т
E(xJ -{M + m) gxH +
и2 = Е(хк) -(M + m) gxK
A)
B)
Так как разность между Е(хк) и Е(хн) равна работе силы натяже-
натяжения жгута, то ее можно найти как площадь под графиком F(x),
приведенном в условии задачи:
Е(хк) - E(xJ ~ 25 Н • см = 0,25 Дж. C)
Подставив выражение A) в уравнение B), получим
m*g Л ^ Л' ^ и" у т
используя данные графика F(x) и C), находим
h ~ 20 см.
9.80. Тепловой поток, т.е. количество теплоты, передаваемой в
единицу времени по стержню с заданными значениями длины и
поперечного сечения, зависит от материала стержня и разности
температур на его концах. Когда медный и стальной стержни ис-
143
пользовались поодиночке, по ним от кипящей воды поступало
одинаковое количество теплоты Q, необходимое для плавления
всей массы льда:
Q = Ku(t2 - fX = Kc(t2- txytcf
где Км и Кс - коэффициенты пропорциональности для меди и
стали соответственно, t2 = 100 °С - температура кипящей воды.
Отсюда
К,
-f = р = 3,2.
При последовательном соединении стержней по ним протека-
протекают одинаковые тепловые потоки. Для случая 1, когда в кипящую
воду погружен торец медного стержня, имеем
где t - температура в месте соприкосновения стержней. Отсюда
следует
Аналогично для случая 2, когда в кипящую воду погружен торец
стального стержня, получим
t = 3j±& = 23,8 °С.
Время т, необходимое для плавления всей массы льда при пос-
последовательном соединении стержней, находим из соотношения
Q = KM(t2 - txyzu = Ku(t2- t)x, A)
откуда
-—— = т. + т = 63 мин.
4~t
Рис. 74
Соотношение A) записано для слу-
случая 1. Для определения т можно ис-
использовать и другие аналогичные
соотношения.
Время т в случаях 1 и 2 одина-
одинаково.
9.81. Рассмотрим эквивалентную
схему цепи (рис. 74).
Сопротивление Rx 5 параллельно
соединенных резисторов jRj и R5
равно
144
= — кОм.
j^ -г хг5 6
Аналогично,
3 21
#2,6 = 2 К°М И Яз'7 = 10 КОМ*
Таким образом, сопротивление всей верхней цепочки из 6 ре-
резисторов
R = R15 + #26 + R31 = 4— кОм.
Поскольку R > jR4, то сила тока, протекающего через R4, будет
U
максимальной: /тах = "тг = 13,3 мА. Сила тока, протекающего
и
через верхнюю цепочку, I = ~ = 12 мА.
Суммарная сила токов, протекающих через пары параллель-
параллельных резисторов, одинакова для каждой пары; в паре же силы
токов относятся друг к другу обратно пропорционально сопротив-
сопротивлениям. Отсюда следует, что сила тока, протекающего через /?5,
будет минимальной: /min= 2 мА.
Коз
10
класс
2k
m
m
Fx k
Рис. 75
10.1. В случае, когда бруски находят-
находятся в равновесии, Fx = F2 (рис. 75), т. е.
k/\x01 = 2kAx02.
Таким образом, Дх02 = 1 см.
Система совершает гармонические
колебания, следовательно, скольжения
одного бруска по другому нет. Посколь-
Поскольку общая масса системы равна 2т, а
эффективная жесткость пружин равна
3k, уравнение движения будет иметь вид:
2та = - 3kx,
где х — текущее смещение от положения равновесия, а — ускоре-
ускорение системы. Для того, чтобы верхний брусок двигался с ускоре-
ускорением а, сила трения FTp должна удовлетворять уравнению:
та = - 2k(x + Д*02) + F
Tp,
откуда
kx
^Тр = "у + 2kAx02.
Поскольку сила трения не может превышать величины \\rng, то
для максимальной амплитуды А имеем:
kA
и
[img
2([img - 2kAx02) _
k
6 СМ.
10.2. Опыт 1-й. Из закона сохранения импульса имеем
mxv0 = /n2i?2'. A)
Опыт 2-й. Выберем систему отсчета, движущуюся со скорос-
скоростью д0. В этой системе шайба т2 вначале покоится, а шайба тг
146
движется со скоростью vx = v0. Из закона сохранения импульса
следует, что после столкновения шайб справедливы те же соотно-
соотношения, что и в первом опыте:
тгд0 = т2д2', B)
где v2 ~~ скорость второй шайбы в движущейся системе отсчета
после соударения. Возвратимся в неподвижную систему отсчета и
запишем
C)
Окончательно из A) и C) получим
Щ л тг
1*^
т2
т2 = 2т1.
10.3. Обозначим р& — давление возду-
воздуха слева и справа от поршня в резерву-
резервуаре без воды, ргир2- давления воздуха
соответственно справа и слева от порш-
поршня в резервуаре с водой (рис. 76).
По Закону Бойля-Мариотта
A)
у'
J
у
н
Рис. 76
Условие равновесия поршня:
2
B)
C)
Из A), B) и C) находим (у
8ра
= 80.
6г/ — 1 pga
Окончательно: у ~ 0,17, т. е. х ~ 0,17 м.
10.4. Максимальное количество капель, попавших в отверстие
шара, ограничивается его объемом:
= |у| =1,25-105.
D/з)яД3
Заряд, накапливающийся в шаре по мере падения капель, оттал-
отталкивает вновь падающие капли. Обозначим через Q = n2q заряд
147
шара, здесь п2 - число капель, попавших в шар. Запишем закон
сохранения энергии:
где т = D/3Oir3p - масса капли, р = 103 кг/м3 - плотность воды,
1
v - скорость капли при попадании в отверстие шара k = * .
При условии, когда Qo максимален, скорость v = 0, и тогда
nR + h H R '
Отсюда получаем
mgR{R + Л)
Qo = j^ -1,9-10-6Кл.
Проверим, уместятся ли в шаре все капли, несущие такой за-
заряд:
10.5. Обозначим амплитуду установившихся колебаний куба
через х. Тогда сила, деформирующая пружину при минимальной
(и максимальной) ее длине, равна F — kx. Заранее предположим,
что смещение I много меньше амплитуды колебаний. Тогда при
этом смещении работу внешних сил можно записать в виде А = FI =
= kxl. Эта работа совершается дважды за период и равна измене-
изменению энергии системы за то же время:
Д W = aWnonK = 2А = 2kxl,
где /SW — потеря энергии за период из-за вязкого трения.
За 10 периодов амплитуда колебаний куба уменьшается в два
раза, следовательно энергия уменьшается в четыре раза. Отсюда
A - аI0 = 1иа=1-вг?.
Из условия баланса энергии
a^j- = 2kxU
отсюда
41 41
х = — = _ ^ 31 мм ^> 1 мм.
148
Таким образом, сделанное вначале
предположение в заданных условиях за-
задачи выполняется.
10.6. Для решения используем урав-
уравнение Менделеева-Клапейрона: pV =
= vRT. В начальном состоянии р = Mg/S,
V = H0S, T = То и уравнение запишет-
запишется в виде MgH0 = vRT0 После того, как
поршень остановится (рис. 77), уравне-
уравнение будет иметь вид
Mg(H0 + Я - ft) = vRTx.
Так как второй процесс адиабатический, рис 77
то используя первое начало термодина-
термодинамики, можем записать уравнение баланса энергии:
Mgh = vCyiT, - То).
С другой стороны
vR(Tx - То) = Mg(H - h).
Отсюда
и окончательно
Я
h
Н-
и
h
Я
Су
R
1 +
R
Для идеального двухатомного газа CF= — R, таким образом,
10.7. После разлета на большие рас-
расстояния суммарная кинетическая энер-
энергия шариков будет равна начальной
энергии электростатического взаимодей-
взаимодействия зарядов:
W
q
m
q
2m
а2
Рис. 78
4яе0 ^ I I 21 ) пго1'
Для ответа на второй вопрос найдем
ускорения шариков сразу после того, как их отпустили:
пгал =
1 4ЯЕ0 ^ I
412
C + *L _^_з,*
т. e. a, =
2l2m
2q
5m
149
Аналогично
4тге0
Видно, что крайние шарики начали двигаться относительно
среднего в разные стороны с одинаковым ускорением (рис. 78)
а = ал — а0 = ач — а9 =
следовательно, расстояния от каждого из них до среднего шарика
будут все время одинаковыми. Отношение скоростей шариков будет
таким же, как отношения их ускорений:
v9 : Vo
3:1:1.
Запишем закон сохранения энергии
m(SvJ
Т
2mv2 bmv2
~г
Отсюда
и соответственно
v =
V, = 3
J,A>
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
/
/
i>
у
г
/
•-
С/, В
1,0 2,0 3,0
Рис. 79
Я + г = 14 Ом и
10.8. Наиболее простое решение по-
получается, если провести касательные
к вольт-амперным характеристикам
при G = 0 (рис. 79). По наклону каса-
касательных найдем сопротивления для
параллельного и последовательного со-
соединения элементов при малых напря-
напряжениях. Если обозначить сопротивление
резистора через R, а сопротивление не-
нелинейного элемента через г, то получим
1П7 - 2'5 Ом-
Исключая из системы одно неизвестное, имеем
R2 - 14Д + 35 = 0.
Отсюда Rx ~ 11 Ом, R2 ~ 3,25 Ом.
Второе решение явно не подходит. Следовательно, R = 11 Ом.
Исходя из полученного результата, можно построить вольт-ам-
вольт-амперную характеристику нелинейного элемента — это характерис-
характеристика лампочки накаливания.
150
Рис. 80
10.9. Силы упругости Fx nF2, действу-
действующие соответственно на первый и вто-
второй шарики со стороны доски с момента
удара появляются одновременно в мо-
момент соприкосновения первого шарика
с доской, одновременно достигают сво-
своих максимальных значений и одновре-
одновременно исчезают, когда один из шариков
отрывается от доски (рис. 80). При этом
в любой момент времени выполняется соотношение
Fxa = F2b9 A)
поскольку доска - это обыкновенный рычаг Архимеда, с помо-
помощью которого тот был готов «перевернуть Землю», если бы нашел
точку опоры (в нашем случае - точка О). Соотношение A) верно
во всех случаях, когда рычаг неподвижен или, как в нашем слу-
случае, не имеет массы и для того, чтобы его повернуть, не требуется
никакого усилия. Если Fx cp и F2 cp - усредненные за время удара
значения сил Fx и F2, то
Flcva = F2cvb. B)
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме, пренеб-
пренебрегая силой тяжести (в проекции на ось, направленную верти-
вертикально вниз):
m1(v1 - v0) = -Fx с At, C)
m2v2 = -Fx cvAt, D)
а также закон сохранения энергии при упругом ударе
тл
тл
nuvf
2 2 +Т" <5>
(здесь vx и v2 - скорости шаров после завершения удара; At -
продолжительность удара).
Вводя обозначения а
нения A)—D), получаем ответ:
т1/т2, Р = — и решая совместно урав-
Анализ решения: Скорость v2 отрицательна при любых значени-
значениях а и Р, т. е. второй шарик всегда движется вверх. Движение пер-
первого шарика после удара зависит от заданных соотношений а и Р:
а > р2 —> vx > 0, первый шарик «проваливается» вниз, увлекая
за собой доску;
а = р2 —> vx = 0, первый шарик и доска остаются на месте, а
второй шарик подпрыгивает;
151
ос < Р2-* иг < О, оба шарика подскакивают вверх.
Из закона сохранения энергии находим высоту, на которую
поднимается второй шарик:
. v\ v\ { 2ctp 2
10.10. КПД определяется как г\ = —-, а так как Q+ - \Q~\ = A,
его можно выразить через Q": "П = А/(А + |Q~|).
Вычислить Q" существенно проще, чем Q+. Тепло отдается на
участках 5-6 и 6-1:
|Q1 = |#(Т5 - гв)
= f A6 - ф0У0 + f D - l)PoVo = y
Работа А численно равна площади цикла: А = 6
6 4
В результате получаем rj = ^т = ^7-
2
10.11. Обозначим длину растянутого шнура через L = 10Z/9, а
его коэффициент упругости - через k. Вся работа пойдет на уве-
увеличение потенциальной энергии шнура:
Из условия имеем mg = — &Z. Отсюда получаем
у
<
А= I 2-92 18 "
Для сравнения можно вычислить работу по натяжению шнура
длиной 0,9 I до длины I: А* = ~^г. Очевидно, что эта работа
должна быть немного меньше вычисленной выше, так как часть
работы А перейдет в упругую энергию участка шнура, намотанно-
намотанного на ворот.
10.12. По определению, емкость конденсатора равна С = д/|Дф|.
Чтобы найти емкость конденсатора, его нужно «зарядить» произ-
произвольным зарядом q и вычислить возникшую между обкладками
разность потенциала |Дф|, которая по определению равна
1Дф| = t'
152
где А - работа по перемещению пробного заряда q0 между обклад-
обкладками заряженного конденсатора. Для того, чтобы найти работу А,
построим график зависимости силы, действующей на пробный
заряд д0, от расстояния х (рис. 81, а):
F(x) = q0E = qok/x.
шг-.
О г Axt R
a)
x О
Рис. 81
2r 2R х
б)
Искомая работа А складывается из элементарных работ ДА. =
= Fi/\xi (площади прямоугольных столбиков на графике) и чис-
численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции
Sx. Если теперь, не изменяя заряда q, увеличить R и г в два раза,
то искомая работа будет изображаться площадью S2 (рис. 81, б).
Легко сообразить, что Sx = S2 (при сохранении способа разбиения
и полного числа элементов-прямоугольников, каждый такой пря-
прямоугольник растянется вдвое по оси х и уменьшится вдвое по оси
F). Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора не из-
изменяется при одновременном изменении размеров Rn r в одина-
одинаковое число раз.
Изменение длины цилиндров приводит к пропорциональному
изменению емкости, так как при этом изменяется площадь об-
обкладок при неизменном расстоянии между ними.
Итак, увеличение радиусов йигв два раза не изменит емкос-
емкости конденсатора, а уменьшение длины I в три раза приведет к
уменьшению его емкости втрое:
10.13. Максимальная высота подъема камня определяется вер-
вертикальной составляющей начальной скорости:
_ ^о sin2 a
2g *
153
„ н
На высоте — скорость камня найдем из закона сохранения энер-
гии:
Отсюда
mv*
H
о| 2 у
Угол наклона ф скорости камня к горизонту находим из условия
cos(p,
где игор — горизонтальная составляющая скорости камня.
Следовательно,
cos ф
cos a
I sin2 а
Г 2~
Рассмотрим теперь составляющую уско-
ускорения камня, нормальную к орбите дви-
движения (рис. 82),
R
= g COS ф.
Здесь R - радиус кривизны на высо-
Н
те —. Он равен
Рис. 82
Отсюда ускорение комара в этой точке траектории
а =
g
cos a
1-
3/2 •
Таким образом, ответ не зависит от и0.
10.14. При включенном электрическом поле уравнение движе-
движения капли имеет вид (в проекциях на ось х, направляющую вер-
вертикально вниз):
та = mg + еЕ - kv.
Здесь е - заряд капли, Е < 0 - напряженность электрического
154
поля, k - коэффициент пропорциональности между скоростью v и
силой сопротивления, g - ускорение свободного падения.
После выключения поля (t > tt) уравнение движения примет
вид
та = mg - ku.
Максимальное ускорение ах капли достигается в момент tv Оно
определяется выражением mal = mg - kvx, где иг - скорость в
момент tx. Ускорение станет равным нулю, когда сила сопротив-
сопротивления уравновесит силу тяжести, т. е. mg = kv^. Отсюда
Значения vx и v^ находятся из графика численным интегрирова-
интегрированием; Voo пропорционально площади под всем графиком, vx - под
первой половиной графика до точки tx. Отсюда
= g"-0,58 ~ 5,7 м/с2.
10.15. Весь газ перетечет в сосуд 2. Закон сохранения энергии
(первый закон термодинамики) можно записать в виде
§уД(Г - Го) = MgH0 - mgH + ^(Но - Н).
Mg
До открытия крана (в левом сосуде) р0 = -—; Vo = SH0 и
о
уравнение Менделеева-Клапейрона запишется в виде MgH0 = vi?T0,
v v
следовательно, gHn = —RT«. После открытия крана gH = —JRT.
М т
Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получим
и окончательно
= 0,98Т0.
5М
10.16. Изобразим процесс в координатах р - F(pnc. 83). Здесь
«1 —*• 2» - адиабата, «2 —*• 3» — изохора. Отметим что изотерма
«3 —> 1» совпадает для данного уравнения состояния газа с изоба-
155
рх
КЗ.
рой, ибор = р(Т)/3. Так как процесс зам-
замкнут, то изменение внутренней энерги-
е** за цикл равно нулю
ДЕ/12 + ДС/23 + ДС/31 = 0.
На изохоре работа А23 = 0 и, следова-
тельно,
0 Fl Уг MM
Рис 83
* На изотерме
ДС/31 = иг - U3 = pfT^ - F2) = -3(F2 - Vt)Pl = 3A31 = ЗА.
Заметим, что при изотермическом сжатии газ совершает отрица-
отрицательную работу: А < 0. На адиабате Q12 = 0, следовательно,
Ад = А2 = - дс/12 = Д^23 + Д^з! = Q + за.
10.17. Так как вольтметр идеальный, то до замыкания ключа
он показывает значение ЭДС батареи:
Сразу после замыкания ключа сила тока, текущего в цепи,
равна
г + г + L_^L_
R1+R2
а напряжение на второй батарее
RXR2
- Г2
= С/о ^^- = - 0,Ш0 - - 0,8 В.
Когда конденсатор зарядится, ток будет течь только через сопро-
сопротивление R19 и тогда
6 у. I у. I Р
'1 "•" *2 1
Следовательно,
t/2 = ш-i2r2 = uo*l*l* = ольио = з,б в.
Обратим внимание на то, что напряжение на батарее в зависи-
зависимости от схемы включения может менять знак.
10.18. Из второго закона Ньютона следует
Др.
156
В проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:
NAt = Ару = 2mv0y9
FTpAt = kNAt = Арх = m(vOx - vlx).
Деля второе уравнение на первое, получаем
vlx = иОх - 2kv0y = u0(cos a - 2&sin а).
Так как cos а - 2fcsin а = (л/з/2) - 1/2 > 0, то шайба
после
первого соударения с плоскостью продолжит движение со скорос-
скоростью (vlx, vOy). При последующем соударении
V2x = Vlx - 2kV0y = V0x - 4kV0y = y0(COS a ~ 4/2sin ОС)-
Но cos а - 4&sin а = (v3/2j - 1 < 0 - х-я составляющая скоро-
скорости шайбы после второго удара погасится. Шайба будет подпры-
подпрыгивать на месте. Смещение вдоль горизонтальной оси составит
s = ~vlxvOy
О
2vl
= sin a (cos а - 2&sin а) = 0,75 м.
О
и t
10.19. При высоком вакууме молеку- п
лы свободного газа пролетают от одной
стенки к другой, не сталкиваясь друг с 6по
другом, и переносят энергию непосред-
непосредственно от одной стенки к другой. При
постоянной разности температур AT сте-
стенок, что имеет место в нашем опыте, по
тепловой поток, пропорциональный пАТ,
будет изменяться только вследствие из- Рис. 84
менения концентрации молекул возду-
воздуха между стенками сосуда. Так как в единицу времени в сосуд
втекает одно и то же количество воздуха (ивт ~ ратм - рс;
рс <? рагы; vBT ~ рйТМ), концентрация является линейной функцией
времени п = п0 + а? (рис. 84). Коэффициент пропорциональности
5я0
а определим из условия 6п0 = п0 + atx => а = ~г~.
Итак, п = nQ\ ~ |.
Азот будет испаряться за счет теплового потока между стенками
сосуда. За малый промежуток времени Att испарится азот массы Am:
QAt = LAm, xATn(t)Att = LAm,
LM.
157
Здесь М - масса азота в сосуде, L - удельная теплота испарения
азота, Q - тепловой поток, равный %ДТп(?), где % - некоторый
коэффициент пропорциональности, N - число малых промежут-
промежутков времени At. Площадь фигуры под графиком зависимости n(tt)
(рис. 74) равна
N
т. е.
Для неповрежденного сосуда п = п0. Тогда %АТ • not2 = LM. Окон-
7
чательно t2 = — ?х = 17,5 ч.
10.20. В предположении, что сопротивление лампы RA велико,
напряжение на клеммах аккумулятора U = §? - Ir, где W - ЭДС
аккумулятора, г - его сопротивление, / - сила тока, текущего
через стартер. Мощность, выделяемая на стартере, N = UI = U(W -
- U)/r. Это выражение максимально при U = 872. Мощность,
выделяемая на лампочке, Р = С/2/Дл = ^2/D#л), что в четыре раза
меньше, чем при выключенном стартере.
10.21. Равнодействующая сил, приложенных к грузу массы ш,
равна
^ (п . ,Л п mg
F = mg cos 7 + Ф ~ mg cos — = -?=•.
Тогда время движения t от положения с максимальным отклоне-
отклонением ф0 до положения, где ф = 0, вычисляется как:
За расчетный период времени система 4 раза проходит этот
путь. Таким образом, искомое время равно Т = 4t.
10.22. Решение задачи иллюстрирует рис. 85.
Запишем уравнения второго закона Ньютона для обоих грузов
в проекциях на ось х, направленную вертикально вниз:
-Т - kxx + mg = ma, A)
mg + k2x - T = -ma. B)
При написании этих уравнений предполагалось, что аг = - а2 =
= а. Отсюда находим силу натяжения нити Т: Т =
158
Сила натяжения нити Т может прини-
принимать только неотрицательные значения
(Т > 0), поэтому возможны два случая.
2mg
1) Если х <
-k2
то нить после
отпускания левого груза натянута, а ус-
ускорения грузов одинаковы по модулю.
Из уравнений A) и B) получаем
II К + k2
\а\ = -i-—-х.
1 ' 2m
2) Если х >
2mg
т—г"
К1 »2
то нить в тече-
mg
Рис. 85
ние некоторого времени будет провисать, а левый и правый грузы
будут двигаться независимо друг от друга с ускорениями ах и а2
соответственно:
10.23. Поскольку трения нет, то во
время столкновения шара с клином на
шар со стороны клина действует сила,
перпендикулярная поверхности клина,
т. е. шар приобретает скорость под уг-
углом а к вертикали (рис. 86). Найдем
скорости шара V и клина i/ после столк-
столкновения, для чего запишем закон сохра-
сохранения энергии и закон сохранения им-
импульса в проекции на горизонтальную ось х:
у//////////////////////////////////////.
Рис. 86
Mv2 mV2
Mv'2
Из
A)
B) находим i/ =
, получим
2
Mv = mV
2
sin a +
v —— V sin а. Пс
M
1-
2usina
m . о
hMsin
2 '
Mi/.
щста]
a
A)
B)
Зная скорость шара V, определим скорость клина z/, используя
ранее полученное выражение:
159
V = U
771 . «
1 sin2 a
M
771 . «
1 + — sirr a
M
Найдем составляющие ux и и скорости шара относительно клина:
uy = Vy = V cos a =
и„ = Fv - i/ = v
2usina cos a
771 . 2 :
1 + — sirr a
M
-1
771 . о
1 + — siir a
M
При M = — и sin a = — скорость ux = 0, т. е. шар относительно
клина движется вертикально вверх. Искомое время t0
2 v
Так как ии = -#г, то t0
Рис. 87
10.24. Брусок плавает в устойчивом
положении, если при его отклонении на
небольшой угол а (рис. 87) возникает
вращающий момент сил.
Момент сил удобно считать относи-
~ тельно продольно оси, проходящей через
~ центр С торцевого сечения бруска, так
- как относительно этой оси момент силы
._ тяжести бруска равен нулю. Момент ар-
архимедовой силы, действующей на погру-
погруженную в воду часть бруска, равен
М = MOKD - (МАВШ - MONE).
Обозначим Мдд^^ через М19 а MOKD - через М2. Поскольку по мо-
модулю MOKD = MONE = M2, то положение бруска будет устойчивым,
если 2М2 > Мх. В свою очередь, имеем
Мг = pgLahl19
где р - плотность воды, L - длина бруска, 1г
a h
77 lot,
160
где
Неизвестную величину h можно найти из условия
pahL = pxa2L,
где рх — плотность бруска.
Введем обозначение: х = рх/р, тогда h = xa. С учетом этого
условие устойчивости бруска примет вид
Поскольку а - малый параметр, неравенство можно упростить:
х2 - х + — > 0. Решая это неравенство, получим
6
0 < х < 0,21 и 0,79 < х < 1.
Так как плотность воды равна р = 1 г/см3, имеем окончательно
0 < рх < 0,21 г/см3 и 0,79 г/см3 < рх < 1 г/см3.
10.25. Найдем избыточное давление Арх (по отношению к нор-
нормальному атмосферному давлению), которое соответствует изме-
изменению температуры плавления льда на Д?х = tx - t0:
Здесь То = 273 К - температура смеси «лед-вода» при нормаль-
нормальном атмосферном давлении. Этому давлению соответствует давле-
давление столба льда высоты
н» - S -15'64 м-
Этот столб льда будет находиться в верхней части трубы, а ниже
него - вода. Из условия сохранения исходной массы воды:
найдем высоту Нв столба воды:
НВ = Н- ^#л = 5,61 м.
Изменение полной высоты воды и льда в трубе составляет
Д# = Ял + Нв - Н = 1,25 м.
161
R 10.26. При переносе проводящей
пластины параллельно обкладкам кон-
конденсатора, поле между ними и внесен-
рис 88 ной пластиной не изменяется, перене-
перенесем ее к одной из обкладок конденса-
конденсатора вплотную. Тогда получится простая эквивалентная схема,
изображенная на рис. 88. В этой схеме конденсатор имеет пло-
площадь обкладок S и расстояние между ними d - h. Конденсатор
заряжен до напряжения t/0, и его сопротивление равно R = ph/S.
После замыкания обкладок конденсатора накоротко, в началь-
начальный момент по цепи потечет ток (и сила тока в этот момент будет
максимальной):
R РЛ
10.27. Поскольку электрическое поле однородно, сила притяже-
притяжения между поршнем и дном цилиндра не зависит от положения пор-
поршня. Поэтому давление р в газе во время опыта постоянно (даже с
учетом наружного атмосферного давления и веса поршня). Согласно
закону сохранения энергии количество теплоты, полученной газом,
3
Q = v—RAT + А. Если изменение объема газа равно AV, то работа газа
А = p/SV. Учитывая уравнение состояния газа, имеем А = vRAT. Из
2 Q
записанных равенств находим изменение температуры: AT = — • ——.
5 vit
Примечание. Выяснив, что р = const, можно сразу записать
10.28. Пусть искомое сопротивление R = хг. Тогда, отделив
первую ячейку, мы получим бесконечную цепочку, сопротивле-
сопротивление которой равно х • 2г. Используя формулы для расчета соеди-
2хг
нений сопротивлений, мы получаем уравнение: хг = 2г + г
Г* "г
5 + V41 „ 5
откуда х и R = г
4
и R г .
4 4
10.29. Перейдем в систему отсчета, которая движется с ускорени-
ускорением g. Ось X направлена вдоль оси стержня. В этой системе бусинки
движутся равномерно, обмениваясь скоростями при столкновениях.
На графике (рис. 89) их движение изображается пересекающимися
прямыми линиями. Число столкновений бусинок равно числу пересе-
пересечений прямых линий. Число пересечений /г = 4 + 34-2 + 1 = 10.
162
t
Рис. 89
Рис. 90
10.30. В отсутствие ветра звуковая энергия, излучаемая точеч-
точечным источником звука (рис. 90), распространяется во все стороны
одинаково, т. е. изотропно. Поток энергии в единицу времени сквозь
поверхность единичной площади на сфере радиуса L с центром в
точке А равен мощности источника звука, деленной на 4nL2. Когда
дует ветер, звук «сносится» в сторону, противоположную направ-
направлению от источника на микрофон. В этом случае удобно перейти в
систему отсчета, связанную с движущимся потоком воздуха. По-
Поскольку по условию задачи ветер не вносит завихрений, то в этой
системе отсчета распространение звука из точки А также изотроп-
изотропно и поток энергии в единицу времени сквозь единичную площад-
площадку на сфере радиуса I также обратно пропорционален I2. Расстоя-
Расстояния в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью и, и
неподвижной системе отсчета, связаны соотношением
с -и
Относительное изменение мощности звуковой энергии, поглощае-
поглощаемой микрофоном, равно
с - v
^0,9.
10.31. Нумеруем бруски и силы трения так, как показано на
рис. 91.
В случае удара по верхнему бруску (брусок 1) F2max = 4Flmax, по-
поэтому движется только брусок 1: ао = -\xg; t0 = vo/a.
Разобьем движение брусков после удара по нижнему бруску
(брусок 3) на три этапа.
1. Силы трения очевидны: Fx = [img,
F2 = 4\img, F3 = 9\img и тогда имеем
ai = «о» a2 = 3a0, a3 = -13a0, где a0 = \ig.
Скорости брусков 2 и 3 уравниваются:
Л 2
v0 - 13a0t = 3a0t9 t =
A.
16'
Рис. 91
163
При этом vx = —, v2 = vB = —.
2. Бруски 2 и 3 скользят вместе, поскольку из уравнения
-9[img + F2 = -ц/n^ - F2
получим F2 = 4,\img. Тогда
a2 = аз" = ~5а0' ai' = a0-
Скорости всех брусков уравниваются через время At:
Скорость каждого бруска равна -~, At = -j^-.
3. Бруски снова разъезжаются, так как |а3"| > 5а0, а \ах"\ < а0;
ai" = ~ао» аг" = ~За0, а8" = -5а0.
Последним остановится брусок 1 за время ^ = т~.
Итак, полное время, за которое система приходит в состояние
покоя,
*сум = t
At + tx = I = 0,5 с.
Задачу можно решить графически - см. рис. 92. В кружке указан
номер соответствующего бруска, цифры без кружочка - угловые ко-
коэффициенты прямой (ускорения соответ-
ствующего бруска в единицах
). Ус-
корение верхнего бруска после удара по
нему равно — = \ig.
10.32. Так как процесс продавлива-
ния воды через перегородку адиабати-
¦>- ческий, теплообмена нет: Q = 0. При
этом силы давления, действующие на
поршень А, совершают работу Ах =p1Vr1,
а силы давления на поршень В - рабо-
работу А2 = -p2V2. По условию рх ^> р2. Пред-
Предположим, что испарится лишь малая часть воды, т. е. V2 ~
~ Vx. Тогда можно считать, что Ах ^> |А2|. Первый закон термоди-
термодинамики запишется в виде:
to, to Q
16 12
Рис. 92
164
где Am - масса испарившейся воды. Так как под поршнем В смесь
воды и пара находится при давлении р2 = 1 атм, температура
смеси равна 100 °С. Следовательно, вода нагрелась на At = 5 °С.
Относительная масса а испарившейся воды равна
Am _ т _ Ply0-cBAt
ОС — — г — " .
т А А
у
Здесь vn = — = 10~3 м3/кг - удельный объем воды. Вычисляя,
т
находим
108 -КГ3-4200-5
Таким образом, как и предполагалось, испарилась лишь малая
часть воды C,5%).
10.33. Условие равновесия для пузыря с учетом сил поверхно-
поверхностного натяжения pgh Н =Pi» где рг = n1kT1 - давление газа в
пузыре. Чтобы объем пузыря оставался неизменным, потоки газа
в пузырь и из пузыря должны быть равны друг другу: T^i^i =
1
= -тпоио, где пг и п0 - концентрации газа в пузыре и в нижнем
отсеке, щ и v0 - средние скорости теплового движения молекул
газа.
Так как jj ~ Jy , то пх = лОа1т~ • Отсюда
V ii
2а
fl f t 2а| Тх
= р?Л+ «1,06 и ^г = 1,12.
10.34. Тот факт, что сопротивление между стержнями не умень-
уменьшилось в два раза с увеличением глубины их погружения в два
раза, означает, что ток протекает не только через боковые повер-
поверхности стержней, но и через торцы. Если Rp - сопротивление,
обусловленное протеканием тока через боковые поверхности, а
Ro - сопротивление, обусловленное влиянием торцов, то
165
В случае увеличения глубины погружения в два раза имеем
Отсюда Ro = Rp = 2R и тогда находим
г =
-!*
Рис. 93
10.35. Очевидно, что поле вблизи
торца соленоида неоднородно. Но если
мысленно к этому соленоиду «приста-
«приставить» точно такой же соленоид, то из
соображений симметрии ясно, что ак-
аксиальные составляющие магнитных
полей обоих соленоидов одинаковы и
В
равны —, а радиальные взаимно ком-
компенсируют друг друга. Возвратимся к
исходной задаче. Сила, действующая со
стороны составляющей магнитного
поля, лежащей в плоскости витка, будет прижимать виток к
картону, а сила, обусловленная аксиальной составляющей поля,
будет растягивать виток. Найдем условие равновесия витка. Для
этого разделим его на две половинки. Сила Ампера, действую-
В
щая на элемент витка dl, равна dF = ~rldl (рис. 93), а ее проек-
ция на ось х
В В
dFx = dF sin ф = /—- Al sin ф = I~zdy.
Таким образом, полная сила, действующая на полукольцо, есть
IB
F — ——- • 2jR = IBR. Эта сила уравновешивается силой натяжения
витка в точках А и В. Следовательно,
2Т = IBRvl Г= ^-.
166
10.36. Так как
jPTp = \img cos a > mg sin a,
куб соскальзывать не будет. Рассмотрим
уравнение моментов относительно полю-
полюса А. Центр масс С находится на рас-
расстоянии х от передней грани, равном
= 3 + рг / Р2
Х 4-(l + Pl/p2)'
где рх - плотность правой половины.
Если
Рис. 94
Р2
61
- - 20, то х - 34«.
Следовательно, момент силы тяжести направлен против часовой
стрелки и положение равновесия устойчиво.
Если
Р2- _ JL _ ^7
Pi ~ 20'TOX~ 84*'
момент силы тяжести направлен по часовой стрелке, и брусок
начнет кувыркаться.
10.37. На рис. 95 показана каче-
качественная диаграмма движения обоих
тел, где v19 v2, vl2 - скорости бруска,
доски и доски с прекратившим по ней
скользить бруском. Брусок движется
равнозамедленно, а доска равноускорен-
равноускоренно до момента т\ От т' до т оба тела
движутся как единое целое. Используя
уравнение для системы двух тел
Д(гтш) = Ft, находим \i2, а затем и цх:
v
Рис. 95
т t
\i2 =
10.38. Применим первое начало термодинамики ко всей сис-
системе:
qx = AU = С^Тг - То) + Су(Т2 - Го) = f Д(Г2 + Тг - 2Г0). A)
(В уравнении учтено, что для одноатомного газа молярная теп-
теплоемкость при постоянном объеме равна Cv = — jR.)
Запишем условие стационарности системы:
167
\ - Г2).
B)
В обоих уравнениях Тг и Т2 - установившиеся температуры газа
в нагреваемой и охлаждающей частях цилиндра соответственно.
Решая совместно уравнения A) и B), находим Тг и Т2:
1 qx
C)
-2-
2а'
D)
Используя уравнения состояния для обеих частей цилиндра в
стационарном состоянии pK(V0 + AV) = RT19 pK(V0 - ДУ) = RT2,
получаем
n=v^~w=f2' E)
Подставляя в E) значения Тг и Т2 из C) и D), находим коэффици-
коэффициент теплопроводности при п = 2:
а =
10.39. Изобразим схему, как показано на рис. 96. Потенциалы
точек М19 М2, ... одинаковы, т. е. мы можем соединить их, не
изменяя показаний амперметра. Теперь задача сводится к вычис-
вычислению сопротивления цепочки резисторов. Обозначив его как Rx,
получаем уравнение
Rxr
+ R = Д..
Рис. 96
Здесь учтено, что подключение еще од-
одного звена не должно изменять сопро-
сопротивления цепочки. Решение уравне-
уравнения
R + л/я2 + 4гД
Искомый ответ
168
10.40. Пусть аг и ос2 - углы между траекторией движения лод-
лодки и береговой линией в каждом из рукавов. Из приведенного
рис. 31.10 (в условии задачи) следует:
sin ax = —, sin a2
5
, cos аг = —, cos a2
Скорость лодки относительно систе-
системы координат, связанной с берегом, в
каждом из рукавов равна v = и + v0
(рис. 97). Из рисунка видно, что мини-
минимальный снос лодки по течению соот-
соответствует случаю, когда скорость лод-
лодки v направлена по касательной к ок-
окружности радиуса vQ. Поэтому
Рис. 97
sin сс2 щ
Обозначим — = n = —. Горизонтальная составляющая скорости
v лодки есть
Urop = U ~ V0 Sm a = U
Запишем полное время переправы:
t =
—- sin a
j
и cos2 a.
cos2 а2 п cos2 а2
¦
щ cos4 ax u2 cos4 a2
Здесь Lx = 0,3 км и L2 = 0,4 км - снос лодки в каждом рукаве.
Подставляя в это соотношение числовые значения величин,
найдем
их ~ 3,1 км/ч.
Теперь определим и2 и v0:
и2 = пиг — 4,1 км/ч,
v0 = i/1sin ax — 2,5 км/ч.
10.41. Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За
малый промежуток времени At изменение его импульса составит:
иъ = -mgAt - kvBAt = -mgAt - kAH,
169
где k - коэффициент пропорциональности в выражении для силы
сопротивления воздуха. Когда тело достигнет верхней точки тра-
траектории, изменение импульса тела будет равно
-mvB0 = -mgt1 - kH. A)
При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки А
изменение импульса составит
mv^ = mgt2 - kH. B)
Складывая A) и B), получим
-mAv = mgx - 2kH,
где т = 12 - t19 Ли = vb0 - и^д. Отсюда
m gc + Ар
я~ k~~Y~' C)
Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.
Изменение горизонтальной составляющей импульса тела Avr
равно импульсу силы сопротивления воздуха:
где AL - малое смещение тела по горизонтали. Когда тело дости-
достигает точки А, изменение горизонтальной составляющей импульса
составит (по модулю)
mvr0 - mvTA = kLA, D)
где LA - расстояние между точками А и О. При максимальном
удалении, когда горизонтальная составляющая скорости станет
равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно
"™гО = *^W E)
Вычитая D) из E), получаем
т Mj0
где Д1/о = Lmax - LA. Следовательно,
10.42. За время т холодильник получает количество теплоты,
равное Qx = а(Т - Г2)т. Коэффициент полезного действия цикла
Карно
QH-QX Тг-Т
Ц Ян тг •
Полезная работа тепловой машины равна
А = QH - Qx - QH [x-f) = Q,f (i-f) = a(T - T2)x[f
170
Мощность тепловой машины
N - — -
~" 2т ~~
Эта величина достигает максимума при Т = ^JTl
Выполнив вычисления, в этом случае получим Nmax
10.43. В случае а) имеем
= 400 К.
100 кВт.
ГА1
ft.+
В случае б) поле между сферами 2 и 3 отсутствует. На сфере 2
будет индуцирован заряд, равный ~ql9 заряд q1 + q2 уйдет на сфе-
сферу 3. Из закона сохранения заряда следует, что полный заряд на
сфере 3 будет равен qt + q2 4- q3. Следовательно,
ГА2
Qi Qi ,
Я2 +
В случае в) после заземления сферы i ее потенциал станет рав-
равным нулю:
4718П
ft + ^2 +
. + 5L-&.
A)
где gx* - заряд на сфере 1 после замыкания ключа К2. Из соотно-
соотношения A) находим
1
Тогда
ГАЗ
4718П
Яг ft , ft + Q2 +
4пг0 гг
10.44. При смещении уровня ртути в
каждом колене (рис. 98) на расстояние
Ал: из-за разности гидростатических дав-
давлений возникает сила, равная
Fx = 2pgSAx.
Воздух в левом колене сжимается, объем
воздуха при этом становится равным
(I - Ax)S. По закону Бойля-Мариотта
г.
Рис. 98
171
Poi = (p0
Так как колебания малые, слагаемым ДдгДр можно пренебречь.
Отсюда Ар = ~т~Ро9 а сила, действующая со стороны воздуха,
Ах
F2 = ——p0S. Уравнение движения ртути имеет вид
та +
Это уравнение совпадает с уравнением движения груза на пру-
пружинке с эффективной «жесткостью»
Тогда по аналогии
Т = 2Пл— = 2^Jf9r.tf , _ /7\q ~ 0,63 С.
10.45. Из условия адиабатичности процесса следует, что уве-
увеличение внутренней энергии газа происходит за счет работы силы
тяжести
С(ТК - То) = mgBx2 - хг) = p0SBx2 - хг), A)
3R
где С = —, х2 - смещение поршня 2тп вниз, а хг - смещение
поршня ш вверх. Из уравнения состояния идеального газа имеем:
VK = SCa - х2 + хЛ = —-. B)
Рк
Исключим из A) и B) хг:
2PoSv к 0/ 2
= За - х2 + jCj,
[SPK
отсюда
Хг + da 2 p0S + SpK 2 PoS
172
или
SRT0
+ За + х2
ЗД
Из C) следует, что Тк максимальна, когда х2 и рк также макси-
максимальны. Но
_ 2mg
*2max ~ а> Рк max g ^Po>
3 4
2 12
RT0
(использовано условие Fo = 3aS = ).
Po
10.46. Пусть v0 - начальная скорость шара. Закон сохранения
горизонтальной составляющей импульса при ударе шара о поверх-
поверхность клина:
mv0 = (т + M)vx, A)
где vx - горизонтальная составляющая скорости шара после стол-
столкновения, равная скорости клина (в противоположном случае шар
не упадет в ту же точку).
Закон сохранения энергии:
mvl т + М т
1Г 2 х 2
где vy - вертикальная составляющая скорости шара после столк-
столкновения с клином.
Пусть за время удара Д? шарика о клин между ними действо-
действовала сила, среднее значение которой равно F. Тогда в проекциях
на координатные оси уравнение второго закона Ньютона для обо-
обоих тел будет иметь вид
mvy = FAt cos a, C)
Mvx = FA* sin а. D)
173
Из-за отсутствия трения сила F направлена перпендикулярно
поверхности клина. Исключив FAt из C) и D), получим выраже-
выражение
т
cos a
sin а' Vy
М cos а
х
E)
m sin a
Подставим vy в B) и преобразуем полученное выражение:
9 9 т2 sin2 а + тМ sin2 а + М2 cos2 а 2 //%ч
m2v02 = г-2 V2. F)
0 sin2 а Л
Возведя A) в квадрат и поделив его на F), найдем искомое соот-
соотношение:
т
~М
= 2.
10.47. Представим одномерную цепоч-
цепочку шаров в виде равнобедренного тре-
треугольника, состоящего из вплотную рас-
расположенных шаров одинаковой массы т
(рис. 99). Очевидно, что положение цен-
центра масс хц этого треугольника и задан-
заданной цепочки шаров одинаково. Следова-
Следовательно,
2 хт 2
sNa's
500 • 3 см = 103 см = 10 м.
10.48. Собирающая линза может иметь
три «формы»: плосковыпуклая, двояко-
двояковыпуклая, вогнуто-выпуклая.
Возможны следующие варианты:
а) вода в левой части трубы:
1) левая поверхность линзы выпуклая
=> F > F, причем система линза-вода остается собирающей, так
как пл > п2;
2) левая поверхность линзы плоская => F = F;
3) левая поверхность линзы вогнутая => F < F;
б) вода в правой части трубы:
4) правая поверхность вогнутая R = F => F = F (здесь R -
радиус кривизны вогнутой поверхности линзы);
5) правая поверхность вогнутая R < F => F < F;
6) правая поверхность вогнутая, причем R > F => F > F;
7) правая поверхность плоская или выпуклая => F > F.
Заметим, что результаты для случаев 6) и 7) совпадают.
174
10.49. Суммарный заряд обкладок
конденсатора равен нулю. До внесения
заряженной пластины в конденсатор
заряд его правой обкладки
~Ч\
Q
4L
где S - площадь обкладок конденса-
тора.
Поле в конденсаторе создается все-
ми зарядами. Энергия поля вне конден-
сатора не изменяется. #
Проанализируем схему с внесенной рис
в конденсатор пластиной. При переме-
перемещении вдоль электрической цепи (рис. 100) пробного единичного
заряда выполняется равенство
ЪЬ
4L
-2e0S
Q
2e0S
B)
С учетом A) получим qx = —Q. Аналогично можно показать,
что после перемещения пластины в положение А В заряд на пра-
правой обкладке конденсатора q2 = jt:Q-
Энергия поля конденсатора до и после перемещения плас-
пластины:
, W2 =
Работа источника тока
0.
По закону сохранения энергии А + А^ — W2 - Wv Отсюда с
учетом записанных выше выражений находим, что для переме-
перемещения пластины надо совершить работу А = 13Q&/30.
10.50. Рассмотрим маленький элемент кольца массой Д/n, ко-
которому соответствует малый угол Р (рис. 101, а). Масса элемента
т
А/п = — р. Силу нормального давления N разложим на верти-
вертикальную А^ и горизонтальную А^2 составляющие (рис. 101, б). Ясно,
N
что N2 = ——. Запишем условие равновесия элемента кольца:
175
ПН'
N, = 2T sin ?.
A)
B)
C)
С учетом малости Р имеем N2 = TC.
Решая совместно уравнения A) и C),
находим силу натяжения:
km-
-g
mg
P • tg ос 2ti tg a "
Так как Т = kBnr - 2лг0), то радиус коль-
кольца, находящегося на конусе, равен
0 4тс2/г tg a * v '
Пусть при вращении радиус кольца ста-
станет R = 2г. Сила Мг не изменится. Значит, не
изменится и N2. По второму закону Ньютона
Am • ац = ТХР - iV2 =>
г
tg a
где ац — центростремительное ускорение, Тх =
том выражения для Am и D) получаем
о 4kn2 R-r
- г0). С уче-
учеоткуда при R = 2 г находим
(О = Я J
V тп
10.51. На участок АВ провода (рис. 102) действуют силы натя-
натяжения Тх и Т2. Переместим мысленно участок АВ вверх на малое
расстояние А1 вдоль кривой расположения провода. Работа сил
натяжения равна изменению потенциальной энергии участка АВ:
Рис.102
T2Al-
- f ШН.
Отсюда Т2-Тг = ~gH.
Условие равновесия участка АВ за-
запишем в виде
\2
I
-mg
176
Из последних двух уравнений находим Т2, которая и будет
максимальной силой:
Т = mg -я2+*2
тах 2 ' HL *
10.52. В цилиндре происходит химическая реакция
4Fe + ЗО2 = 2Fe2O3.
Пусть р - давление, Т = 298 К - температура во время про-
процесса окисления, V — объем, AU - изменение внутренней энер-
энергии. Работа газа в цилиндре А = pAV = RTAv. По условию весь
кислород вступил в реакцию, т. е. Av = -3 моля. Для ответа на
первый вопрос надо найти величину х = (Q - \AU\)/Q. Имеем
Q + AU -A RTA v
х = —-— = — = - ^ ~ 0,0045 или х = 0,45%.
Обозначим через рх и р2 начальную и конечную плотности газа,
через m и jicp — массу и среднюю молярную массу начальной сме-
смеси газов соответственно. Давление газа в цилиндре остается по-
постоянным.
р =
Отсюда ~~ = —. Величину ll_ найдем из условия:
Р2 ^2
т 0,75/п 0,25/п
V = 7~ = + .
Здесь \1г = 32 г/моль, ji2 = 4 г/моль. Из записанных уравнений
находим
?к _ 4^ _ 32 _
Р2 ~~ M-i + 3jli2 ~" 11 "" ' '
10.53. Выделяем одно звено цепочки
и подсоединяем к нему эквивалентную
батарею (рис. 103). Напряжение на вхо-
входе (между точками А и В) должно быть
равно б?0, т. е. ЭДС разомкнутой бата-
батареи. Следовательно,
^о = & + Р4-г • С1)
7 Козел 177
Рис.104
Для отыскания г0 накоротко замкнем
вход АВ (рис. 104). Тогда сила тока ко-
короткого замыкания
Найдем силу тока ix из законов Кирх-
Кирхгофа:
\цг - i2R = «\
\
B)
C)
D)
Из D) и C) имеем (ix + i2)r0 + i2R = 8^, отсюда ?2(r0 + R) = 0,
т. е. i2 = 0. Из B) находим ix = — =
полученное выражение для ^0 в A):
= — %. Подставляем
г Jti + г0 г
Из E) получаем квадратное уравнение относительно г0:
- Rr = О,
E)
Знак «—» не подходит, так как тогда г0 < 0. Итак,
10.54. Проведем прямую а через острия стрелок, а прямую & -
через их окончания. Из свойств линз известно, что эти прямые дол-
должны пройти через оптический центр О линзы. Поскольку линза
прямую линию отображает в прямую, то продолжения прямых ли-
линий, совпадающих со стрелками, должны пересечься в плоскости
линзы (на рис. 105 это прямая ОЛ). Главная оптическая ось СС
линзы перпендикулярна плоскости линзы и проходит через опти-
оптический центр О. Луч, идущий параллельно главной оптической оси,
преломившись в линзе, пройдет через ее фокус. Если этот луч к тому
178
с
Рис.105
же проходит через конец стрелки, то продолжение преломленного
луча пройдет через другой конец стрелки (следует из свойств лин-
линзы). Поскольку в условии не указано, какая из стрелок является
предметом, а какая - изображением, однозначно сказать, какая была
линза - собирающая или рассеивающая - невозможно.
10.55. При помещении шарика т1 в жидкую среду возникает
неравномерное распределение давления в жидкости (сферически
симметричное с максимумом на поверхности шарика). Выделим
объем V = -гпа3 в той точке, куда затем мы поместим шарик. Так
о
как этот объем массой т0 находится в равновесии, то сила грави-
гравитационного притяжения должна уравновешиваться силой давле-
— т0 )т0
ния:
(
= G
2
. Эта сила направлена от шарика mv При
помещении в эту точку шарика т2 сила FA не изменится, а сила
гравитационного притяжения станет равной ЕТ = G
2
и
будет направлена к шарику тх. Поэтому равнодействующая этих
сил, направленных к шарику т19 будет равна F2 = Fr - Fa =
(
G
1 - то)(т2 - т0)
. По третьему закону Ньютона Fx = - F2.
179
В первом и третьем случаях шарики притягиваются, во втором -
отталкиваются.
10.56. Запишем закон сохранения импульса для сталкиваю-
сталкивающихся частиц:
/ г
V1 + V2^Vl + V2 . A)
Возведя уравнение A) в квадрат и учитывая закон сохранения
энергии, получим
[vl9 v2) = I Ц > Щ j или vxv2 cos a = v{v2 cos C.
Отсюда cos C = , V cos а. Угол (З будет максимальным, когда про-
vxv2
изведение vxrv2 максимально. Из закона сохранения энергии следует
и/2 + v22 = const. B)
Изобразим функцию B) на рис. 106.
Из всех прямоугольников с заданным
периметром максимальной площадью
обладает квадрат. Следовательно, произ-
произведение v{v2 максимально при vx = v2.
(V2J
Отсюда р = arccos
не. 106
Превратим v м
Т2. Тогда
д Ртах [y + u
10.57. Превратим v молей воды в пар при температурах Тг и
vLx = Uln - UlB + PlV19 vL2 = U2n - U2b + p2V2.
Здесь С/1п, UlB и и2пУ U2b - соответственно внутренние энергии пара
и воды при температурах Тг и Т2, а р19 Vx и р2, V2 - давления и
объемы насыщенного пара также при температурах Тг и Т2.
Так как
U2B - С/1в = vC(r2 - Тх), t/2n - Uln = уС,(Г2 - Гх),
ТО
L2 = Lx + (Cv + Л - С)(Т2 - Тг)
и окончательно имеем
L2 = LX + DЯ - С)(Г2 - Тх).
10.58. Так как ток утечки мал, то можно считать, что в каж-
каждый момент времени сумма всех сил, действующих на шарик,
равна нулю (вспомните квазистатические процессы в термодина-
180
мике). Тогда сила Кулона
к х2
где угол а - половинный угол между нитями. Из A) получим
kqo2(l - atK
mgx*
21
ИЛИ X
A - at), откуда скорость
сближения шариков равна v = а
10.59. После открытия крана трубка Т быстро заполняется воз-
воздухом и давление на уровне конца трубки будет оставаться посто-
постоянным и равным атмосферному. Скорость истечения воды из труб-
трубки с краном равна v = yJ2gH = const. Объем воды, вытекшей из
сосуда, равен объему воды, протекшей через трубку с краном:
nR2h = vnr^t,
откуда
R2h
t
500 с.
10.60. При движении вверх тело под действием ветра смеща-
смещается по горизонтали вдоль оси X (рис. 107), причем его движение
описывается уравнением
mAvxi = k(u - vxi)Atr
При движении по вертикали вверх выполняется уравнение
mAvyi = ~(kvyi + mg)Ati9
а в обратном направлении
mAvyi = (-kvyi + mg)Atr
Суммируя по всем i уравнения A), B) и
C), получим
mvxl = kux - ks9 (V)
-mvy0 = -kH - mgx19 Bf)
C')
mvyl = -kH
где тх - время подъема тела, т2 - время
его падения на землю, vyQ - начальная
рис.
A)
B)
C)
s X
181
скорость тела, a vxl и vyl - горизонтальная и вертикальная проек-
проекции конечной скорости. Из A'), B') и C') имеем
а из A) соответственно vxl =
/шт - ks
Работа силы трения равна изменению кинетический энергии
тела
Л~
т\
lk2
10.61. Пусть за цикл 1-2-3-4 (рис. 108) совершается работа
Л
0. Тогда тI = 7j—, где подведенное к газу количество теплоты Q123 =
U1S + Л23. Рассмотрим промежуточный цикл Г 4-3-6-5:
_ Ар
^436
Так как AV и Ар в циклах I, Г и II
равны, то и А23 = А36.
р.
•* 2
0
2
1
I
< >
3 6
I*
4 5
ч >
II
AV AV AV
Рис. 108
с/46 = cat, - т4),
где CF - молярная теплоемкость газа
ПрИ постоянном объеме.
И3 уравнения Менделеева-Клапейро-
Менделеева-Клапейрона (pV - ЯГ) имеем
pAV
AT = (при р = const).
(i)
ИзA)следует
- т4 = (г, - гх)
= (г, - г,)
где Ар=р2- рг.
Изменение внутренней энергии на интервале 4-6 равно
6 - т4)
182
Л)
Л)
(Напомним, что ti, = 7;—.)
^123
Из этого выражения получим связь между ^ и т^*:
1 1 Cv
Аналогично для циклов Г и II:
1 1 Cv
— = — + —. C)
Исключая rij* из B) и C), находим
_1 _ Л 2CV
Л2 Лх Д "
Используя из условия соотношение т^ = ссг|2 для КПД, получаем
R
1 2
10.62. Пусть m - масса пара в камере, Am - увеличение мас-
массы пара, |i - его молярная масса. Считая, что приращение давле-
давления пара равно Ар, приращения его объема AV и температуры
т
AT у из уравнения состояния pV = ~RT получим
Am m
pAV + VAp = — RT + —RAT. A)
За счет работы внешних сил при сжатии пара его температура
увеличивается и происходит испарение воды:
-pAV = ХАт + ^CVAT (AV < 0). B)
По условию задачи
Ар = kAT. C)
Из уравнений A), B), C) окончательно получаем
- m(cv + R)
AT 30lO-з г.
183
10.63. Диод D1 всегда открыт. Рассмотрим 2 случая.
1. Диод D2 закрыт. Тогда IDz = 0, а
А Rx+R2 •
Такая ситуация возможна при условии
R
0 или д +2Д (g\ + ^2) - ^2 > 0 или
g\JR2 - %2RX > 0.
2. Диод D2 открыт. В этом случае
Если /2 - сила тока, протекающего через резистор R2, то сила тока
Итак: 1) JA = д1 + д2 , 7D2 = 0, если l?^ - g7^ > 0;
ср ар ар
2) 7А в "rJ"' JA e Д7 ~ ^7' еСЛИ ^1^2 - ^2#i < 0.
10.64. 1. При удалении диэлектрика из конденсатора его энер-
энергия изменяется на
Работа батареи Абат = 0, так как Дд = 0. Из закона сохранения
энергии механическая работа, совершаемая внешней силой
2. В процессе перезарядки конденсатора заряд изменяется на
Дд = -С0&(г - 1), а его энергия на
Е
W* W' 2С0 2С0 2
3. Работа батареи в процессе перезарядки равна
ЛаТ = ^Л<7 = ~С^\г - 1).
4. Из закона сохранения энергии находим количество тепло-
теплоты, выделившееся на резисторе:
184
10.65. Условие равновесия шарика
*, + *,- о-
Здесь FB = mg, Fn = Eq =
aq
Zt0
масса шарика, q - его заряд,
а - поверхностная плотность заряда на плоскости. Считая шарик
точечным зарядом, поскольку г <^ Н, найдем силу F19 с которой
действовал на шарик удаленный диск:
ч2 пп и г \ 1 \ г ]
mg.
7ir2og
4еп
2\Н
2{Н
1 47ie0 Я2
Вектор силы Fx направлен вверх. После удаления диска сила
тяжести окажется нескомпенсированной. Шарик начинает падать
с ускорением
а = —- или а = — — \ g = 0,5 мм/с2.
171 Л \ri J
Вектор ускорения направлен вниз.
10.66. Через некоторое время тела
будут двигаться по концентрическим ок-
окружностям с одинаковыми угловыми
скоростями. Решение ясно из рис. 109.
10.67. Угол наклона проволоки к го-
горизонту равен а, причем
h
tg а
2nR'
A)
Рассмотрим силы, действующие на бу-
бусинку: N19 N2 и FTp взаимно перпенди-
перпендикулярны, FTp направлена вдоль проволо-
проволоки, N2 - перпендикулярна к оси спира-
спирали, Nx лежит в плоскости mg и ^тр
(рис. 110 и 111). Силы N19 N2 и Frp -
составляющие полной силы, действую-
действующей на бусинку со стороны проволоки.
Когда скорость бусинки устанавливает-
Рис. 109
В плоскости а
Рис. 110
185
ся, полная сила, действующая на нее,
равна та , где а - ускорение при уста-
установившемся движении.
Для вычисления а перейдем в систе-
систему отсчета, движущуюся вниз со скоро-
скоростью v0 sin а. В этой системе бусинка
равномерно движется по окружности
радиуса R со скоростью иг cos а, ее ус-
vZ cos2 а ^
корение равно — . Вектор а на-
направлен к центру вращения. Во всех
инерциальных системах отсчета
а = const, поэтому в неподвижной сис-
системе ускорение а такое же.
Отсюда
= та =
XV
B)
Рис.111
При равномерном движении бусинки
Frp + Nx + mg = 0. C)
Расписывая C) в проекциях на оси х п у, имеем:
FTp = mg sin a, D)
Nx = mg cos а.
Так как Nx и N2 - взаимно перпендикулярные составляющие
нормальной силы реакции опоры, то
E)
Из B), D) и E) имеем:
9 • 9 9\ 9 9 1Л
g* sur a = |i g2 cos2 a + -
4 cos4(
xt
2ч 2L>oCos2a
a - \x2) = \x2 r2 ,
^o4 = I f11 (tg2 a - ^i2)(tg2 a + 1),
так как —ъ— = tg2 a + 1. Получим ответ:
cos a
186
если
2nR
если
2nR
i, то v0 = 0.
10.68. Обозначим длину кюветы через L, а высоту поверхнос-
поверхности галлия в некоторый момент времени t через h. Его сопротивле-
сопротивление R = а—, а выделяющаяся в этот момент мощность Р = /2Д =
см
Пусть за малое время At испарилась А^
масса галлия Am = pLdAh, где Ah —
изменение высоты галлия. Тогда АН
Xpd2
hAh = Ah Ah,
гдеА =
Xpd2
I2a
— постоянный множитель.
В начальный момент h — Н, а в ко-
конечный h = 0. Искомое время испаре-
испарения численно равно площади под гра-
фиком
/2а
h от h (рис. 112):
t =
Xpd2 Я2
Н
Рис.112
/2а 2 '
10.69. Давление, объем и температуру газа в точках 1, 2 и 3
графика (рис. 113) обозначим через р, V и Г, добавляя соответ-
соответствующие индексы.
р3 р2
1. Для участка 2-3 имеем — = —. Так как V3 — 3F0, p2 = р0,
= 7V0, тор3 = —~. Из уравнения состояния газа находим
9 PqVq
7 vR
Т _
3 vR
1 64 р V^
2. Работа газа за цикл равна А = —{рх - Р3)(^2 "" ^з) = —^Г~^
187
Р/Ро
8
7
6
5
4
3
2
1
¦ \
>
-
г~з1
3. На участке 3-1 газ получает
2 3 4 5 6
рис 113
7V/V0
тепло Q41 = v-J?G\ - ТЛ =
- AM f
Покажем, что на участке 1-2 есть
точка jK" с критическим объемом VK
таким, что газ при V < VK получает
тепло, а при V > VK отдает тепло.
Для этого в процессе 1—2 выразим
зависимость приращения теплоты
AQ, подводимой к газу от нагрева-
нагревателя, от увеличения объема на ма-
малую величину AV. Уравнение про-
процесса 1-2 есть
Y
Подставив найденное давление р в уравнение состояния идеаль-
идеального газа pV = vRT, получим 8p0V - TrV2 = vRT. Отсюда в прира-
щениях
С учетом полученных соотношений уравнение первого закона тер-
2
модинамики AQ = —vRAT + pAV можно преобразовать к виду:
л
Из последнего уравнения видно, что на участке 1-2 изменение
AQ > 0 при V < 5F0 и AQ < 0 при V > 5F0. Следовательно, VK = 5F0,
рк = Зр0. Отсюда
Т =
Итак, за цикл газ получает тепло на участках 3-1 и 1-К, причем
Qik = v • § Д(ГК - Тг) + ~^4FK - Vx) = 8p0V0.
188
Коэффициент полезного действия тепловой машины
А
Л =
= 0,32.
10.70. Скорость автомобиля А2 от-
относительно дороги назовем абсолютной
скоростью. Жестко свяжем с движу-
движущимся автомобилем Аг систему отсче-
отсчета S. Точки С и D, неподвижные в S,
движутся относительно дороги со ско-
скоростью, которую называют перенос-
переносной. Скорость автомобиля А2 относи-
относительно тех точек из S, мимо которых
он проезжает в данный момент, назы-
называют относительной.
1. Для точки С (рис. 114)
Doth
Рис. 114
9 — — R + — —
Тогда
Заметим, что
н = 0,5и = 10 км/ч.
v2 - vx = v = 20 км/ч!
2. Для точки D:
^абс = ^пер + VDoTH, VDa6c = 2v, VDnep = 3,5u.
Тогда vDoTH = S,5v + 2v = 5,5v = 110 км/ч.
Итак: 1) vCoTH = 0,5u = 10 км/ч; 2) vDoTH = 5,5u = 110 км/ч.
10.71. Так как объем водяного пара не изменяется, но началь-
начальное давление рг и текущее давление р вплоть до начала конденса-
конденсации связаны с соответствующими им термодинамическими тем-
температурами Тг и Т2 соотношением
Тг " Т'
где р = ФхРхнас, р1нас - давление насыщенного пара при температу-
температуре Тх (определяется из графика). Таким образом,
Т
189
40 80 120 160 200 240 280 320
360 380
313 348
Рис.115
Полученная зависимость р{Т) есть прямая. Точка пересечения
с графиком зависимости давления насыщенного водяного пара от
температуры (рис. 115) соответствует искомому значению темпе-
температуры Т2 = 313 К или t2 = 40 °С.
10.72. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона
pV = vRT.
Из этого уравнения при малых изменениях давления, объема
и температуры следует
pAV + VAp = vRAT.
Запишем первое уравнение термодинамики
5Q = ДА + Ш = pAV + CvvAT
или после подстановки A) в B)
A)
B)
5Q = pAV + ^
XV
VAp)- ^p&V+^VAp,
где pAV - площадь элементарной площадки 1, VAp - площадь
элементарной площадки 2 (рис. 116).
Просуммировав по всем элементарным участкам, получим
If
CJS2 + S3) -
= О (по условию),
1 + Sa) - 0 (рис. 117).
190
Рис.116
Отсюда находим
Рис.117
CySi+CySj-CpPt _ CFSX-ES2 BS.-2S2
3 Ср 2 СР LP 5
По найденному значению «S3 определяем расстояние от точки 2
до оси V и строим эту ось.
10.73. Так как Uc = — максимально, то сила тока через рези-
стор R2 равна нулю. Тогда разность потенциалов на Rx равна —.
с*
др ср
Следовательно, Uc = §? —— = -т-.
2. Сила тока через резистор Rx равна
3. Когда процесс установится, сила тока через резистор Rx рав-
равна нулю, откуда
ЯшахС, = СХШ% qC2 = 0.
4. Из закона сохранения энергии следует, что в установившемся
режиме
д,, = С,Г или Q = ^?1.
10.74. Зависимость напряжения на трубке U от напряжения
на конденсаторе Uc во время разрядки имеет вид U = Uc - IR.
Пересечение данной прямой с вольт-амперной характеристикой
газового разряда определяет силу тока через трубку и напряже-
напряжение на ней. На рис. 118 прямая 1 соответствует моменту подклю-
191
/, мкА'
30
25
20
15
10
5
Л
\
\2 \
\ \
А \
О 100 200 300 400 U, В
Рис.118
чения конденсатора (t = 0). В этот мо-
момент Uo = 200 В, Uco = 300 В, /0 =
10 мкА. Прямая 2 соответствует мо-
моменту t = t19 когда процесс стабилиза-
стабилизации тока закончился. При этом Ux =
= 100 В, UC1 = 200 В, 1г = 10 мкА.
Для этого участка - от t = 0 до t = tx -
dt °
Решение этого уравнения имеет вид
/
Отсюда находим время разряда
= 104 с.
За это время на резисторе R выделится количество теплоты
Wm = I02Rtx = 10 Дж.
Начальная энергия конденсатора
W = CU™ = 45 Пж
Wco 2 40 ДЖ,
а к моменту tx энергия конденсатора
WC1 = ^ = 20 Дж.
Следовательно, всего в цепи выделилось 25 Дж: на резисторе
10 Дж, а в трубке 15 Дж. На линейном участке вольт-амперной
характеристики трубка ведет себя как резистор с сопротивлением
RT = y~ = Ю7 Ом. Поэтому электростатическая энергия конденса-
конденсатора Wcl = 20 Дж преобразуется в тепло, выделившееся на рези-
резисторе R и трубке поровну — по 10 Дж. Следовательно, полное
количество теплоты, выделившееся в трубке,
W = 15 Дж + 10 Дж = 25 Дж.
10.75. Ускорение свободного падения на расстоянии г от цент-
центра планеты равно g{r) = GMW/r2, где М(г) - масса вещества, на-
находящегося внутри сферы радиуса г с центром, совпадающим с
центром планеты. Введем буквенное обозначение AR = R - г.
В этом случае имеем:
192
M(R) = M, M(R - AR) » M - 4тг#2ДДрП0В,
где рпов - плотность вещества, из которого состоит поверхность
планеты. Отсюда
М - 4лД2АДрпов _ М_
(R - ARJ ~ R2 '
Mi?2 - 4я#4ДДрпов ~ MR2 - 2MRAR + M(ARJ.
Пренебрегая последним слагаемым в правой части и учитывая,
4яД
что объем сферы радиуса R равен , находим
о
2я#3рпов = М - -тгД3^,
где р - средняя плотность вещества, из которого состоит плане-
2
та. Отсюда рпов - -рср = 3,7 г/см3.
10.76. Пусть на оси симметрии конденсатора на равном рас-
расстоянии от обкладок конденсатора потенциал равен нулю, тогда
при смещении вдоль ООГ на расстояние потенциал будет
Z0 000
d Q
равен ф = о пл rj, где Q - заряд на обкладках. На больших
расстояниях от конденсатора на его оси ОО' поле конденсатора
можно рассматривать как поле двух точечных зарядов. В этом
случае
A 1 Qd
ф 4т180 [г r + d) ~ 4тге0 г2
Так как Муха-Цокотуха умеет летать только по эквипотенци-
эквипотенциальным поверхностям, потенциал поля в ее начальной и конеч-
конечной точках полета равны, т. е.
d Q 1 Qd
-^Ш7^ = ^Г • Т2"' тогда
10.77. Пусть на систему действует сила FA (рис. 119, а). Запи-
Запишем равенство моментов сил относительно точки О:
FAR + N2-2R = P-2R, A)
где Р = mg, a R и 2R - «плечи» соответствующих сил. Из условия
равновесия получаем еще два уравнения:
193
Решая систему A)-C), находим
Аналогичным образом найдем
FB = 2 + (ц - Ц ) ~ °>72 Н*
Из A) видно, что если увеличить «плечо» горизонтальной силы,
то это приведет к уменьшению силы реакции опоры N2 и, следова-
следовательно, к уменьшению силы трения. Приложим горизонтальную
силу Fc в точке С (рис. 119, б). Тогда уравнение A) запишется в
виде
17 , On J. \Т . О ТУ D • О Z?
¦Г q 6Х\ г 1У g Алл, — х Zxt.
Решая полученную систему, находим
Значит, с помощью силы Т = 0,7 Н систему сдвинуть можно.
10.78. Построим график /(?) (рис. 120). Заряд на конденсаторе
в момент времени т численно равен за-
заштрихованной площади треугольника,
т.е. Q = a(t0 - тJ/2. Напряжение на кон-
конденсаторе равно
Рис.120
194
оно совпадает с напряжением на элемен-
элементе, сила тока через который равна
/ = a(t0 - т). Отсюда U = /2/BаС), 0 < I < /0, - вольтамперная харак-
характеристика элемента.
10.79. При увеличении температуры газа от Тх до Т2 = 2Т, тепло-
теплоемкость газа возрастет до С(Т2) = Cv, его внутренняя энергия увели-
Q
чивается на АС/ = v • —ЩТ2 - Тг), а количество теплоты, подведен-
з ri - т*
ной к газу, окажется равным AQ = v • — R ~ . В соответствии с
о Ii
первым началом термодинамики работа, совершенная газом,
AQ-
f
о
Знак минус означает, что работа газа отрицательна, т.е. внешняя
сила производила сжатие газа.
10.80. По наклону касательной к графику в точке С его пере-
пересечения с осью t (рис. 121) находим максимальную скорость брус-
бруска: имакс = 1,75 м/с. Так как ммакс > и0, то шарик не достигнет
бруска в момент, когда скорость бруска имакс. Ответим на вопросы
задачи графическим методом.
1. Временная зависимость координаты шарика x(t) есть набор
прямых с наклоном, определяемым значением v0 = 0,06 м/с. Мак-
Максимально возможной скорости и бруска при ударе соответствует
прямая АВ, касающаяся графика в точке А и пересекающая его в
X, ММ
100
50
-50
-100
D
¦Е
s
\
0
s
V
\
\
1
\
V
*•>
Li
¦^>
>С
)С
/
/
If
/
/
Ох
А
f
/
л
/
f
/
г
/
•я
/
J
f
/
V
I
/
mm
/
=
=
>c
i(
MC
H
Рис.121
195
точке В. Проведя касательную к графику в точке В, находим
и = 1,03 м/с. Максимально возможная скорость отскока v = и0 +
+ 2и ~ 2,1 м/с.
2. Разность Д не будет зависеть от v0, если прямая, выражаю-
выражающая зависимость x(t) для шарика, пройдет через точку С и не
будет пересекать график вблизи t = 0, т. е. прямая x(t) будет
круче, чем прямая DC, касающаяся графика вблизи точки А. Это
будет при v0 > 0,38 м/с. При этом Д = 2имакс = 3,5 м/с.
10.81. Пусть и/ - скорость части состава из ? вагонов сразу
после вовлечения в движение i-vo вагона, a vt - скорость части
состава из i вагонов перед ударом c(i + 1)-м вагоном.
Из закона сохранения импульса (i + l)mvi+1' = imvi = рг По
второму закону Ньютона
По известному кинематическому соотношению
Подставив A) в B), получим
Л+12 = 2(г + DmFL + Pi2.
Из полученной рекуррентной формулы следует
N
pN2 = 2mFZ,I/ + р02
и, так как р0 = 0, то
Найдем время вовлечения в движение N вагонов:
и, - и/ = а,А*„
т
л
N-1
1-1J -
jt - wt
7П
F
171 г*
(г )v.
т
- 1).
Используя полученное ранее выражение для vN, найдем
196
10.82. Из закона сохранения энергии следует
QpaCT - теплота, ушедшая на растворение вещества, Qx - выделив-
выделившаяся теплота при остывании воды (возм., Qx < 0), Q2 - выделив-
выделившаяся теплота при остывании вещества.
= Тр
Хат
растворителя
.ос = Хта,
1 - в) = emit, - 0),
2 - 9) = cm(t2 - в),
1 - 0) + cm(t2 - 0),
а = ^(tt + t2 - 29). A)
Зависимость осF) - это уравнение прямой: ос(О °С) = 1, аA00 °С) = 0.
60 70 80 90 100 t,°C
Рис.122
Уравнение A) решается графически (рис. 122): tA « 65 °С,
осЛ « 0,35.
10.83. Первый закон термодинамики 8Q = pdV + dU для про-
процесса 1-2 приводит к выражению:
-г
Q12 = )pdV + Щ2) - U(l).
а)
197
Bf
Интеграл pdV равен площади Sx под графиком процесса 1-2
а)
(рис. 123).
Рис.123
Так как U зависит только от pV, то U = const на гиперболах
pV = const. Проведем гиперболы через точки 1 и 2 и найдем пере-
пересечения с кривой адиабаты — точки 1* и 2*:
198
17A) = t/(l*), UB) = UB*).
B*)
Для адиабаты Q^* = 0 = \pdV + UB*) - C/(l*).
(i*)
Отсюда следует:
UB*) - U(l*) = -S2,
где S2 - площадь под графиком адиабаты. Тогда получаем, что
Q12 = Sx - S2. Подсчитав площади Sx и S2 найдем
S, = 9,8p0V09 S2 = G,8 ± 092)p0V09
Q12 = B,0 ± 0,2)p0V0.
10.84. 1. До замыкания ключа К на конденсаторах были оди-
одинаковые разности потенциалов Uo = &J2 и заряды q0 = C&J2.
Полярность указана на рис. 124.
/о
V i
II 1
С
Рис.124
+
п
1
I
J
h с
11 1
?х г
2
Г
1 U
1 г
Рис. 125,
а
Г
В момент замыкания ключа К заряды конденсаторов и напря-
напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляют-
появляются токи /, i\ и /2 (рис. 125, а). Согласно законам Кирхгофа:
Ir
, - Uo
Здесь 7 - ток через ^2. Далее
72г + /г =
+ С/о»
— i
0.
Следовательно, 1г = / = — , где 1г - ток через ^г.
2. Начальная энергия системы Wo = 2GU02/2 = С^х2/4. В ко-
конечном состоянии (т.е. после затухания токов) напряжения на
199
!
4
V "l
II 1
¦ ^2
1 h
конденсаторах равны i/j = б 2 + б j и
?/2 = ^2# Полярность указана на
рис. 125, б. Энергия системы в конеч-
конечном состоянии есть:
Изменение энергии
AW =
- Wo = ^
Рис. 125,6
3. До замыкания ключа суммар-
суммарный заряд на левых обкладках кон-
конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии
?2:
Это означает, что через батарею Ш\ протек заряд q и батарея со-
совершила работу
Через батарею *§х протек заряд
Батарея совершила работу
Обе батареи совершили работу А = Ах + А2 =
4. По закону сохранения энергии А = AW + Q, где Q - выде-
с(& + 21Г J
лившееся тепло. Следовательно, Q = A- AW = —.
4
10.85. Согласно условию Fconp = -ос| иотн | Сотн, где а - коэффи-
коэффициент пропорциональности.
Проекции ускорения тела на горизонтальную ось ОХ и верти-
вертикальную ось OY, направленную вниз, соответственно равны:
200
где т - масса тела, g - ускорение свободного падения. При ма-
малых временах полета тела можно считать vx
и, vy
и, av
mg и движение тела происходит с постоянным ускорением.
Для малого промежутка времени At координаты тела
х —
au2At2
2т
У -
gAt2
т.е.
В установившемся режиме vx = и, av2
\mg
mg, т.е. vy = y—.
груза и ускорение
В этом случае tg C = -f- =
Таким образом, tg у = tg2 p.
10.86. В первом эксперименте ускорение ^
аА шарика А направлены вертикально вверх и равны по модулю,
так как длина L нити не меняется.
Пусть масса всех трех шариков равна М. По закону сохране-
сохранения энергии
M(aAAtf m{a1At
2 2 2
После преобразований A) получим mg = Маг + та1У откуда
A)
М
т
B)
Во втором эксперименте проекция
ускорения аА шарика А на вертикаль-
вертикальную ось равна ускорению а2 шарика
массы т (рис. 126).
2а2
аА sin 60° = а2 или аА =
C)
По закону сохранения энергии
2 M(aAAtf m{a2Atf
mga2At
2
D)
2 2
С учетом C) выражение D) примет вид
т
4а2
E)
Рис.126
а2
I
201
Приравнивая выражения B) и E), получим
10.87. Для малых изменений объема
откуда
Чтобы найти объем VQ, определим на графике, приведенном в
условии, площадь Sn левее ломаной KLMNOPQ:
Vq e VK " Ц- « 0,533 л.
10.88. Воспользуемся законом сохранения энергии системы
«источник-конденсатор-брусок». Источник тока совершает рабо-
работу по увеличению электрической энергии конденсатора и кинети-
кинетической энергии бруска:
CU2 CQU2 ^ mv2
где q - заряд конденсатора в текущий момент времени, q0 - на-
начальный заряд конденсатора, т — масса бруска, v — текущее зна-
значение его скорости.
Поскольку q = CU> q0 = CQU, выражение A) преобразуем к виду
. sf. B)
Обозначим через х расстояние, на которое брусок вошел между
пластинами конденсатора. Тогда
Подставим C) в B):
ео(е-1) *-- \Ъ
I2j C)
го(г-1)Ьи2
2d
Известно, что работа силы F по перемещению (х - х0) тела
массы т равна изменению кинетической энергии тела:
xo) = ?y-. E)
202
Сравнивая D) и E), видим, что на Vi
брусок в конденсаторе действует сила а.г
F, равная выражению в квадратных
скобках. Следовательно, ускорение
бруска
F ?
а = — = ~
т
Брусок будет двигаться со скоростью
ео(е-1)?/2
2bd2p
Рис.127
v = at
до момента времени т = J—, когда брусок полностью втянется в
конденсатор и его скорость достигнет максимального значения,
равного
Затем она будет уменьшаться по линейному закону v = аBт - i) до
момента времени 2т. После этого все этапы движения повторятся
в обратном порядке (рис. 127).
10.89. Любую схему трехполюсника (А, Б, С), состоящую из
омических сопротивлений и соединительных проводов, можно све-
свести к эквивалентной схеме, изображенной на рисунке 128. Сопро-
Сопротивления гА, гв и гс этой схемы найдем, решая систему уравнений
IS O i5C
Оставим свободным вывод D четырехполюсника, который ис-
исследовал Глюк. В получившемся трехполюснике (А, Б, С) сопро-
сопротивление между выводами А и С неизвестно. Однако можно запи-
записать
или
Аналогичным образом для трехполюс-
ника (А, С, D) можно получить
или
B)
Рис.128
203
Объединим неравенства A) и B):
Подставив числовые значения, найдем
68 кОм < RAC < 68 кОм, т.е. RAC = 68 кОм.
10.90. Пусть центр масс С автомобиля расположен на высоте h
относительно полотна дороги, расстояние между осями передних и
задних колес равно I (рис. 129). Для случая торможения задними
колесами запишем уравнения моментов относительно точки Ог:
1 АГ 7 — + \xN2h = 0.
mg
Отсюда N2 =
Работа силы трения равна
A)
Аналогично, при торможении пере-
передними колесами уравнение моментов относительно точки О2 име-
имеет вид
mgl
- Nxl
xh = О,
откуда
mg
2A -
Работа силы трения равна
А2 =
\imgL2
2A -
B)
При торможении всеми четырьмя колесами работа сил трения
А3 = \imgL3. C)
Поскольку —~ = Аг = А2 = А3, то, совместно решая уравнения
A), B) и C), получим
+ Ь2
= 11 м.
10.91. По определению, КПД цикла равен г\ = тт~, где А -
работа, совершаемая газом за цикл, Q+ - количество теплоты,
204
10.92. Пусть заряд обкладок конденсатора Qx и Q3> a заряд на
границе слоев, заполняющих конденсатор, Q2. Эти три физические
величины нам предстоит найти. Для этого необходимо составить
три уравнения (по числу неизвестных), содержащих эти величины.
Запишем закон сохранения заряда:
Qi + Q2 + Qs - о. (l)
Выразим разность потенциалов между обкладками конденса-
конденсатора через потенциалы на границе сферических поверхностей кон-
конденсатора:
2R SR
Плотности тока у по обе стороны границы, разделяющей веще-
вещества с^и р2, одинаковы:
А = 7*2- C)
Плотность тока находим из закона Ома для участка цепи -
сферического слоя толщины AR:
205
где Ат, Av, AQ - работы, совершенные газом соответственно в изо-
изотермическом, изохорическом и адиабатическом процессах. Обра-
Обратите внимание на то, что количество теплоты, полученное газом
от нагревателя, равно положительной работе, совершенной газом:
Q+ = Ат. Следовательно,
/ AU EAR E
S SAr
D)
где S - площадь поверхности сферического слоя, Е - напряжен-
напряженность электрического поля, Дг - сопротивление сферического слоя.
С учетом D) выражение C) представим в виде
1 1
р 4яе0 B#J 2р 4яг0 \{2RJ BBJ у
Отсюда получим
E)
F)
Из A), B) и F) находим
24
Плотность тока вблизи обкладки радиуса R равна
7 р 4яе0Я2 5 * Р^"
Тогда сила тока, текущего через конденсатор,
•
= у
С7Я
~5~ P '
10.93. 1. Из рис. 130 ясно, что Io = 1г + /2. Из закона Ома I2R2 -
- I1R1 = ^2. Отсюда следует, что при Ех = R2 = i?
>|
1
2
^ 1—
1 1
1 1
*—-
С
Рис. 130
2. Согласно закону Ома
A)
206
где q - заряд на конденсаторе, а С - емкость конденсатора с вдви-
вдвигающейся в него диэлектрической пластиной:
С = С0 + С0(е - 1)у. B)
Из уравнения A) находим:
Aq = (g\ - 11Л1)АС,
или
Aq/At = /0 = (Гх - I^JAC/At = const; C)
из уравнения B)
ЛС/Л, ,
Скорость движения пластины, как следует из D), постоянна:
v = Ax/At = const. Подставляя в C) выражение для силы тока 1г
и принимая во внимание D), находим
2101
10.94. 1. В первом случае луч света проходит через линзу два
раза. Следовательно, система эквивалентна одной линзе с опти-
оптической силой Dx = 2D0. Источник находился на расстоянии
Fo = 2Fiy т.е. на двойном фокусном расстоянии. Поэтому изобра-
изображение совпадает с самим источником: 1г = FQ = 8 см.
2. Когда линза погружена в воду наполовину, то оптическая
сила системы D2 = 2D0 + 2D, где D — оптическая сила водяного
1 2
слоя под линзой, то есть — = — + 2D. Из условия задачи l2 = 2F2.
Следовательно,
9 О
3. Аналогично, в третьем случае D3 = 2D0 + 42); /3 = 2F3. Сле-
Следовательно,
2 _ 2 , 4f,-i2
Отсюда находим
2F0-l2
24 см.
11
класс
11.1. Для положения шарика, когда сила натяжения нити ста-
становится равной нулю, имеем (рис. 131):
..2
-mg cos a =
mv
I '
A)
здесь т - масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для
этой же точки:
mvl _ mv2
~2~ " ~2~
Из A) и B) получаем
+ mgl{l ~ cos a).
B)
vl-2gl 2
cos а = г—;—, v = -gl cos а.
ogl
Далее до точки подвеса шарик летит по параболе:
\-vcosat = х,
at2
\у + vsinat --1— = О,
/и
где х = I sin а, у = -I cos а.
Тогда
n sin ос + ijv2 sin2 a - 21gcosa
и t = —tg a.
у
Приравнивая друг другу эти выражения
и учитывая, что
-gl cos a = v2,
получаем
Рис. 131
/ о . 2 Г2
и sin a + vu sin2 a + 2vz =
vcosz a
. C)
208
2 л/4
Решая уравнение C), находим sin2 ос= —, cos а = ——- ~ -0,577,
3 3
1,93 м/с.
11.2. Из третьего закона Кеплера квадраты периодов обраще-
обращения относятся как кубы радиусов орбит:
^=4- A)
Следовательно, чем меньше радиус орбиты космического кораб-
корабля, тем меньше период его обращения вокруг Солнца, и минималь-
минимальному периоду обращения соответствует минимальный радиус ор-
орбиты. Минимальный радиус орбиты корабля есть радиус Солнца:
amin = -^с» а ^с = Т ^з №~ радиус Земли). Согласно A) запишем
2 Т2
) imin
Т2 Т
imin ±3
1 min l 3 —
min
з
Tmin = 365,25 • D,65 • 10~3J сут * 0,166 сут « 2 часа 47 минут.
11.3. Так как цилиндр теплоизолирован, то
Д[/+А = 0. A)
Введем обозначения: рг = — начальное давление газа, р2 -
о
mg
окончательное давление, р3 = —— давление газа после того, как
о
одну гирю сняли. Ясно, что рх = р2. С учетом A) при снятой гире
получим уравнение
С^Гз-Г^РзСП-^) B)
где Cv - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из пос-
последнего равенства находим
CvT1+P3Vl
Т
Аналогично после того, как гирю опять поставили на поршень,
получаем
CyT3+PlV3 {CV+2R)T3
Т^ Cv+R = Cv+R * D)
8 Козел 209
Из соотношений B) и C) получаем (учитывая, что
и Рг = Pi = 2Рз)
P2V2
Далее находим
11.4. Потенциал первого шарика после соединения его с уда-
удаленным проводником равен
ф1 " 4тхеог >
где г - радиус шарика. На втором шарике при соединении его с
проводником появится заряд Q2, а его потенциал будет опреде-
определяться зарядами Qx и Q2:
4яе0г
R - расстояние между шариками. Аналогично потенциал третье-
третьего шарика ф3 будет:
V3~4nE0r^ „
Так как все шарики соединялись с одним и тем же проводником,
имеющим постоянный потенциал, то
4>i = Ф2 = Фз •
Из полученных уравнений находим
*11.5. Обозначим радиус орбиты Харона через х. Уравнение
движения Харона по круговой орбите радиуса х имеет вид:
Mm 2
A)
где М - масса Плутона, m - масса Харона, со - угловая скорость
вращения.
Ускорение свободного падения на поверхности Харона в точке,
наиболее близкой к Плутону
210
т
М
- г).
Первый член в данном выражении соответствует гравитационному
полю Харона, второй член - гравитационному полю Плутона. Пос-
Последнее слагаемое вызвано движением Харона по круговой орбите.
Аналогичное выражение для ускорения свободного падения в
наиболее удаленной к Плутону точке имеет вид:
Абсолютное различие в ускорениях свободного падения для дан-
данных точек Харона
= g2 ~ Si = GM
(R-rf
Выражая оАс из уравнения A), получим:
M
Ag = 2G^2-
A-е2J
4
здесь P= —.
Относительное различие в ускорениях свободного падения
rz m
*11.6. Будем рассматривать данную установку как тепловую
машину, в которой в качестве нагревателя используется комнат-
комнатный воздух при температуре Тх = 273 + tx = 300 К, в качестве
холодильника - лед при температуре Т2 = 273 + t2 = 273 К, а в
качестве рабочего вещества - свободные носители заряда в про-
проводниках электрической схемы. Работа, совершаемая при пере-
перемещении зарядов вдоль спирали нагревателя, превращается в теп-
тепло, которое передается воде.
В результате температура воды повысится на Д?. Это и есть
работа, совершаемая тепловой машиной.
А = mcAt.
Максимальный КПД тепловой машины (работающей по циклу
Карно)
Л =
A)
211
К моменту окончания плавления льда холодильнику будет отдано
количество теплоты
где т - масса льда в сосуде.
Количество теплоты, полученной от нагревателя за это время,
Q, = Q2 + A
По определению КПД такого цикла
_ — - А - mcAt
Приравнивая A) и B), получим
Отсюда
X Тх -Т2
Д* = — тр «8 К.
с h
*11.7. Пусть заряженная частица проле-
пролетает над проводом, заряженным одноимен-
одноименно, вдоль оси х (рис. 132), и пусть в некото-
некоторый момент она находится на расстоянии R
от провода. Радиус-вектор R составляет угол
у\г с осью у. В этот момент на частицу дей-
гт- 'Э^ ствует электростатическая сила
_ _ eq
Проекция этой силы на ось у
eg cos у
Fy = 2л?0Д #
Уравнение движения частицы вдоль оси у можно записать в виде:
eg cos у
A)
За малое время dt частица смещается вдоль оси х на расстояние
dx, а радиус-вектор R поворачивается на малый угол d\\r. Эти
приращения связаны между собой:
dx Rdy
где vx - скорость частицы вдоль оси jc. Мы полагаем, что она практи-
практически не изменяется и все время остается равной скорости частицы.
212
После подстановки B) в A), получим
eqdy vxeqd\\r
Vx ~~ 47l?0W *
*>,-
За все время пролета угол у\г изменяется от — — до —, а вертикаль-
2 ^
ная составляющая скорости частицы - от нуля до некоторого зна-
значения vy, поэтому
eqvx
V = ~А TXT.
Угол отклонения скорости частицы от горизонтали на большом
удалении от провода
vy eq
*11.8. Пусть вдоль контура 1234561 те-
течет ток I. Такой контур можно заменить
двумя контурами 12361 и 63456 с тем же
током I. Это понятно из рис. 133. Магнит-
Магнитный поток, пронизывающий контур
1234561, состоит из двух одинаковых маг-
магнитных потоков, создаваемых контурами
12361 и 63456. Рассмотрим один из этих кон-
контуров, например, 12361. Поток, пронизыва-
пронизывающий собственный контур A2361), очевидно равен LXI и направ-
направлен на нас. Одновременно линии индукции магнитного поля это-
этого тока пронизывают контур 63456. Этот магнитный поток будет
равен L21I и направлен от нас. Здесь L21 - коэффициент взаимной
индукции. Поэтому полный магнитный поток, пронизывающий
контур 1234561 двумя эквивалентными контурами, будет равен
Ф2 =2Aг-Ь21I.
По определению коэффициент самоиндукции (индуктивности)
контура 1234561
L2 = Ф2/1 = 2(LX - L21).
Отсюда неизвестный коэффициент са-
самоиндукции
Ь21 = Ч - Ц-. A)
Рассмотрим теперь контур 1234561,
по которому течет ток / (рис. 134). За-
Заменим этот контур тремя эквивалент-
эквивалентными контурами: 12761, 23472 и 67456.
213
Магнитный поток, пронизывающий каждый из этих трех контуров,
Ф = LJ - 2L2lI.
Суммарный магнитный поток через три контура
Ф3 = ЗФ = 3LJ - 6L21/.
Поток Ф3 входит через три грани нашего куба: 12761, 23472 и
67456. Этот же поток будет выходить через три другие грани,
поскольку через любую замкнутую поверхность поток равен нулю.
Этот закон является следствием отсутствия магнитных зарядов.
Следовательно, магнитный поток Ф3 будет пересекать контур
1234561.
По определению
L3 = Ф3/1 - 3LX - 6L21 = 3(L2 - Lt).
При написании последнего равенства было использовано выраже-
выражение A).
*11.9. Если тонкий пучок света распространяется по окружно-
окружности радиуса г, то в любой момент времени проекция волнового
фронта пучка (поверхность постоянной фазы) проходит через центр
данной окружности. Из этого следует, что оптические пути всех
лучей, входящих в состав пучка, должны быть одинаковы, т.е.
rn = const. Эквивалентная запись этого соотношения:
In Ь Inn = const, A)
го
где г0 = 1 см. Формула A) описывает се-
г
мейство прямых на плоскости In , Inn, с
_ го
0,5 1,0
Рис 135 углом наклона к оси абсцисс, равным -—.
Значение г, при которых световой пучок будет распространяться
по окружности, определяется точками касания прямых A) и гра-
т
фической зависимостью \пп от \п~т. Два таких графических ре-
го
шения показаны на рис. 135. Это две точки: In— = 0,27 ± 0,02 и
го
г2
1п~ = 0,54 ± 0,02, что соответствует гх = A,31 ± 0,03) см и г2 =
= A,7 ± 0,02) см.
11.10. Пусть Тх и Т2 - температура газа до и после нагревания, S -
площадь поршней. Давление в верхнем отсеке не меняется и равно
214
Давление в нижнем отсеке увеличится и станет равным
Минимальная сила трения, при которой поршень А останется не-
неподвижным, равна
F-iPb-pJS-BHTt-TJ/L. C)
Процесс в нижнем отсеке изохорический, а в верхнем - изобари-
изобарический, поэтому
©нижи = СДТ2 - Тг)9 D)
Qaepx = (Cv + Я)
ЗД
2
Здесь Cv = —— молярная теплоемкость идеального одноатомного
5Д
газа при постоянном объеме, Cv + it == — при постоянном дав-
давлении. Таким образом, всего подведено энергии
Q = 4ЩТ2 - Тг). E)
Из уравнений C) и E) получаем ответ:
F= ¦% = 125 Н.
11.11. Сопротивление колечка R = 4pcD/d2, его масса
m = n2d2DpJ4.
Предположим, что скорость движения колечка изменилась
мало, т.е. Av <? v0. Тогда время, в течение которого колечко нахо-
находится в магнитном поле равно t = 2a/v0.
гл™ пр во nD2 Bovo nD2
ЭДС индукции в колечке & = 77~2 ~Т~ = ~^~Т~У сила тока
/ = —. Выделившееся количество теплоты Q = I2Rt = ——; изме-
Н R
нение кинетической энергии AW = mv0Av. По закону сохранения
энергии Q = -AW, поэтому имеем —— = -mv0Av.
R
Подставив в последнее равенство полученные выражения для
2?9 t, R, m, находим
D2B2
Av = -5 = -0,25 м/с.
Видим, что предположение о малости изменения скорости оправ-
оправдалось: скорость уменьшилась на 0,25 м/с, т.е. Av <^C v0 = 20 м/с.
11.12. Пусть R, М и р - соответственно радиус, масса и плот-
плотность астероида, vx - первая космическая скорость, G - гравита-
гравитационная постоянная, m - масса камня.
215
Период обращения будет минимальным при движении по кру-
круговой орбите радиуса R. Можно показать, что
Сила, действующая на летящий по тоннелю камень, на расстоя-
4
нии х от центра астероида равна F = —nGpmx. Движение в тонне-
о
ле - часть колебательного движения с циклической частотой
со =
и периодом
Оказалось, что Т = То. Скорость камня в тоннеле меняется по
закону v = v0 sin со?, где v0 - скорость камня в центре астероида.
Если Fx - сила, действующая на камень на поверхности астерои-
mvl
да, то по закону сохранения энергии —~L
г1- + -~-. Так как
Fx = тп-^г, то v0 = vx42. Итак, и = v1yl2 sin cof. На поверхности
v = v19 следовательно, sin co?ol = -т=. Отсюда время движения
V2
71
камня от поверхности астероида до центра t01 = — = —.
Время движения камня в тоннеле tx =
Траекторию движения камня вне ас-
астероида можно представить как часть
вырожденного (очень узкого) эллипса с
большой полуосью а и малой полуосью
Ъ, причем Ь -* 0 (рис. 136). Чтобы най-
найти а, воспользуемся законом сохране-
сохранения энергии
— mvt —
2 г
GmM -GmM
R
2а
Рис.136
и условием движения по окружности
радиуса R
216
mv\ _ GmM
~T ~ ~W'
Получим, что а = R. Следовательно, в соответствии с третьи зако-
законом Кеплера, период движения по этому эллипсу равен периоду
То обращения по круговой орбите радиуса R. При движении на
участке ABC радиус-вектор, проведенный из центра астероида к
камню, «заметает» площадь S, заштрихованную на рисунке и рав-
равную сумме площадей половины эллипса и треугольника АОС:
_ пЛЬ_ 2W* _ (я + 2)bR
S~ 2 + 2 " 2 *
По второму закону Кеплера
Ч_ _ S
То nab'
Итак, время движения на участке ABC равно
t = М = Го(Я
2 nab 2я
Для возвращения в исходную точку камень должен еще раз проле-
пролететь сквозь тоннель. Таким образом, он возвратится через время
11.13. Пусть е и т — соответственно заряд и масса электрона,
Аи - изменение скорости электрона в результате пролета сквозь
сетки.
За счет совершения работы электрическим полем над электро-
электроном изменяется его кинетическая энергия: eU0 sin co? = mv0Av.
Отсюда
V ~ mv0 Sm Ш* " U° Sm Ш*'
eU Y^o
где u0 = —^ = —.
Перейдем в систему отсчета К, движущуюся со скоростью v0 в
направлении движения электронов. Начало координат системы К
свяжем с теми электронами, которые проходят сквозь'сетки в те
моменты, когда под действием электрического поля их ускорение
меняет знак (sin со? = 0). Направим ось X этой системы по направ-
направлению ее движения. В TiT-системе электроны, прошедшие сквозь
сетки, будут иметь различную скорость в зависимости от коор-
координаты х. Скорость изменяется от -и0 до и0 с пространственным
217
периодом Н = uo27i/co по закону и = -и0 sin (x(d/v0). В точках с
координатами X = О, ±#, ±2#, ±3#, ... электроны неподвижны.
Электроны, скорость которых отлична от нуля, будут приближать-
приближаться к неподвижным электронам, причем более быстрые электроны
будут догонять более медленные. Таким образом, вблизи точек,
где электроны неподвижны, концентрация электронов будет уве-
увеличиваться и начнут образовываться электронные сгустки. В этих
областях, т.е. там, где и близко к нулю, и ~ -u0x(o/v0. Получи-
Получилось, что скорость электронов, ближайших к областям сгущения,
пропорциональна расстоянию от них до этих точек. Это означает,
что эти электроны попадут в области сгущения почти одновре-
одновременно через время t0 = х/\ и | = и0/щсо после пролета сквозь сетки.
Таким образом, можно приближенно считать, что сгустки появятся
2 3
на расстоянии L = vntn = —— = —17" от сеток.
*11.14. Уравнение движения парома для произвольного момента
времени имеет вид:
та = F - kv\
где F — сила натяжения троса, k — коэффициент пропорциональ-
пропорциональности между силой сопротивления воды и скорости v парома. Пусть
в момент tx ускорение парома равно а19 его скорость равна v19 a
сила натяжения троса равна -Fmax. Уравнение движения парома
для этого момента времени:
^^ш-Ц2- (!)
После того, как сила натяжения троса в течение длительного вре-
времени будет оставаться постоянной (F = ^тах), ускорение парома
будет стремиться к нулю, его скорость - к некоторому значению
v2. Движение парома в этом случае описывается уравнением:
^ах - W = 0. B)
Решая уравнения A) и B), находим максимальную силу натяже-
натяжения троса:
Поскольку vx = I a(t)dt = Sx (площадь кривой a{t) при 0 < t < t0,
о
где ?0= 2с - момент времени, когда а = amax, a u2= a(t) dt ~ S2
о
(полная площадь под кривой <*(?))> Т0
218
1
V
N
2
444 3
Значения Sx и S2 определяются по Р
графику зависимости a(t) (рис. 10.11 на
с. 67) путем численного интегрирования.
*11.15. Коэффициент полезного дей-
действия цикла г\ равен отношению полез-
полезной работы, совершенной рабочим веще-
веществом, к суммарному количеству тепло- V
ты, подведенной к рабочему веществу за ис#
термодинамический цикл (рис. 137).
В нашем случае полезная работа
А = А12 — А31 = А12 — = А12 ,
т т
где А12 - работа рабочего вещества на изобаре 1-2 9 аА31 - работа,
совершенная над рабочим веществом на адиабате 3-1.
В рассматриваемом цикле тепло Qx подводится к рабочему ве-
веществу только на изобарическом участке цикла:
Qx = AUl2+A12, A)
где ЛС/12 - изменение внутренней энергии рабочего вещества на
участке 1-2. Используя заданную связь внутренней энергии U
рабочего вещества с давлением и объемом, запишем
AU12 = kpAV = kA12.
После подстановки этого выражения в A) получим
Тогда
_А_ GП-1)
Отсюда
. 2f2.
r\m
*11.16. Направим ось х от нижней пластины, температура ко-
которой 7\, к верхней, температура которой Т2. Распределение тем-
температуры между пластинами можно записать в виде:
Т(х) = Тх - ^Y^x. A)
Запишем теперь распределение давления воздуха между пласти-
пластинами:
iipg
Р(х) « Ро - 98х = р0 - —х, B)
~ давление воздуха у нижней пластины (х = 0), р - средняя
плотность воздуха между пластинами, g — ускорение свободного
219
падения. В последнем равенстве средняя плотность р выражена
через среднее значение давления р и среднюю температуру Т.
Уравнения A) и B) описывают стационарное состояние возду-
воздуха между пластинами. Пусть теперь небольшой объем воздуха,
находящийся у нижней пластины, начнет всплывать. Это обяза-
обязательно произойдет, поскольку плотность воздуха верхних слоев
больше. В некоторый момент времени всплывающий объем воз-
воздуха поднимется на высоту х. Допустим, что подъем происходит
адиабатически, т.е. теплообменом этого объема с внешней средой
можно пренебречь. Попробуем оценить, на сколько понизится тем-
температура воздуха во всплывающем объеме. Поскольку процесс
всплытия адиабатический, то работа, совершаемая воздухом это-
этого объема равна уменьшению его внутренней энергии:
pdV = -vCvdT, C)
где v - число молей всплывающего воздуха, Cv - молярная тепло-
теплоемкость, a dV и dT - малые изменения объема и температуры.
С другой стороны, согласно уравнению состояния идеального
газа запишем
РУ
— = const.
Прологарифмируем это выражение:
lnp + \nV - lnT = const,
а затем продифференцируем:
dp dV dT
d(lnp + lnF- lnT) = -f + — - — = 0. D)
Теперь выразим приращение объема dV из соотношения C) и под-
подставим в D):
Ф. _ vCvdT dT
Р pV Т
Отсюда
Vdp RTdP
Поскольку
dT~ v(Cv + JR) - p(Cv+R)'
*--?*¦
как это следует из B), то изменение температуры воздуха, всплы-
всплывающего на высоту х, равна
220
Очевидно, что конвекция начнется в том случае, если понижение
температуры всплывающего объема воздуха будет меньше умень-
уменьшения температуры окружающего воздуха, связанного с распре-
распределением A). Это означает, что если температура поднявшегося
воздуха на высоту х окажется больше температуры внешнего воз-
воздуха на этом уровне, то конвективный поток будет подниматься
дальше.
Аналитическая запись этого условия имеет вид:
X> CV+RX'
Отсюда
*11.17. 1) При внесении кольца в магнитное поле в нем возни-
возникают две ЭДС индукции, направленные навстречу друг другу: одна
ЭДС вызвана пересечением кольцом линий индукции внешнего
магнитного поля, а другая - ЭДС самоиндукции, обусловленная
изменяющимся во времени током, текущим по кольцу. Посколь-
Поскольку сопротивление кольца равно нулю, то суммарная ЭДС в кольце
равна нулю.
Здесь Ф — внешний магнитный поток, L — индуктивность кольца,
I — сила тока в кольце.
При перемещении кольца из удаленной точки в положение 1 в
кольце возникает ток 119 равный
i -^
где Фг - магнитный поток, пронизывающий кольцо в положении 1.
Аналогично для положения 2:
I =^
Теперь находим отношение сил токов:
h <V
Магнитный поток через кольцо пропорционален количеству
линий индукции магнитного поля, пронизывающих кольцо. Оче-
Очевидно, что это количество N линий будет пропорционально квад-
квадрату числа п линий, распределенных по диаметру кольца:
Фг ~ щ2, Ф2 ~ п22.
221
Рис.138
Из рисунка линий индукции внешнего
магнитного поля найдем, что пх = 5, а
л2= 9. Поэтому
г Г Л2
f = N «0,35.
2) Результирующая сила, действую-
действующая на кольцо, направлена вдоль оси z
(рис. 138). Ток в кольце течет против
часовой стрелки, если смотреть на коль-
кольцо слева от него. Сила Fz, действующая
на кольцо, пропорциональна силе тока I в нем, индукции В маг-
магнитного поля на окружности кольца и синусу угла а между на-
направлением вектора Б и осью г\
Fz ~ IB sin a.
Индукция В пропорциональна густоте силовых линий, т.е.
1
а2 '
где а - расстояние между двумя соседними линиями индукции.
Из рисунка находим
а
sin a ~ — •
о
Следовательно, сила, действующая на кольцо,
г а2 Ь
аЪ'
Отношение сил для двух положений 1 и 2 кольца равно
r2 i2 alol
*11.18. Покажем, что в случае малого преломляющегося угла
а призмы, параллельный пучок света после прохождения сквозь
призму выйдет также в виде параллель-
параллельного пучка с углом отклонения у от го-
горизонтали, где
Y = а(п - 1).
В этой и во всех последующих форму-
формулах углы а и у измеряются в радианах.
Для этого рассмотрим произвольный луч
света, проходящий через призму. Ход
этого луча показан на рис. 139. Как вид-
Рис. 139 но из этого рисунка,
222
sin(cc + у)
n.
Рис.140
since a
Отсюда
y~a(n- 1).
Рассмотрим интерференционную
картину (рис. 140), которая возникает
в результате пересечения под углом 2у
двух когерентных параллельных пуч-
пучков. В плоскости у = 0 выберем произвольную точку С с коорди-
координатой х. В этой точке происходит сложение двух световых волн с
амплитудами Ео и сдвинутыми по фазе на некоторый угол ф. Если
отсчитывать фазы обеих волн от точки О, то фаза первой волны
2тг, . 2п . _ 2я
А А Л
где X - длина волны света.
Фаза второй волны
Л А
Сдвиг фаз между двумя волнами в точке С
471
Ф = Ф2 - <Pi = у *Y-
Интенсивность результирующего колебания в точке С
I = Е02 +
cos
Расстояние между соседними максимумами интенсивности (шири-
(ширина интерференционных полос) этой интерференционной картины
X X
2у 2а(п -1) *
Частицы, двигаясь вдоль оси х со скоростью v, периодически
пересекают области максимальной и минимальной интенсивнос-
тей света. Такая же периодичность будет иметь место в рассеян-
рассеянном свете. Период Т колебаний интенсивности рассеянного света
равен времени, за которое частица перемещается на расстояние,
равное ширине интерференционной полосы:
т-1- х
V
Отсюда скорость частицы
X
2va(n -1) *
Xf
2Та(п - 1) 2а(п - 1)
= 6,3 см/с.
223
11.19. Запишем второй закон Ньютона, спроектировав силу уда-
удара на горизонтальную и вертикальную оси: FJSt = mvx, FyAt = mvy.
Поскольку F2 = Fx2 + Fy2, то FAt = /n^J + v2y .
Используя формулы кинематики, получаем: vx = L/t, uy = gt/2.
Окончательно имеем
F2At
2 ~
1,8.
11.20. Как видно из рис. 141
cos a
R-H
R
-,sina=-.
Скорость центра масс после удара со-
сохраняется неизменной по модулю
(v0 = vo), и направлена она под углом 2а
к горизонту. После удара шар должен
пролететь в горизонтальном направле-
направлении расстояние, не меньшее, чем
R sin а, чтобы «запрыгнуть» на ступень-
ступеньку. Горизонтальная проекция скорости
сразу после удара будет равна v0 cos 2a,
а вертикальная - v0 sin 2a. Минималь-
Минимальное время полета шара равно
jRsina
°~~ u0cos2a *
Высота ступеньки Н должна удовлетворять условию:
Рис.141
откуда после алгебраических преобразований получим
о 1125
914
•gR.
24 7
(Здесь учтено, что sin 2a = —, cos 2a = —.)
11.21. Запишем второй закон Ньютона применительно к час-
частице, влетевшей в камеру Вильсона:
FAt = /тг Аи,
mv
qvB.
224
jlR 2
Поскольку F = kv, vAt = As, a As = —, то k = —qBe. Здесь учтено,
tL 71
что тпАи = = qBAR и AR/f? = e.
После выключения поля ks = mv, где у = v0 - Av - скорость в
момент выключения поля, откуда
Av
= е,
ks
1-е m(l-e)'
Окончательный ответ:
2 8
11.22. Иллюстрация к решению при-
приведена на рис. 142. Пусть фх ~ h/R, тог-
тогда ф2 = щ19 ф3 = Ф2 ~ 9i =
откуда
4 м/с.
Фз п-1
Используя условие задачи, что п - 1 ~ р,
можно предложить следующую цепоч-
цепочку рассуждений:
Рис.142
п-1 щ-1
Ро
F=FOA +
; R = ДоA + ОАО;
1 + ЗосД*
- ZoAt, — = 1 - 3aAt;
Ро
^оо - (Яв-1)A-8аД*) - W
AF
— = 4aAf = 1%.
^о
*11.23. Поскольку плотность шарика рш меньше плотности воды
р, то шарик отклонится к оси вращения сосуда. Обозначим объем
шарика через V. Рассмотрим вращающийся сосуд с водой без ша-
шарика. Мысленно выделим объем V воды в месте расположения
шарика (рис. 143, а). На жидкость в данном объеме действуют
225
две силы: силы тяжести mg = pVg и выталкивающая сила F (g -
ускорение свободного падения). Под действием этих двух сил во-
водяной «шарик» равномерно движется по окружности радиуса
R = г- I sin а с угловой скоростью со. Такое движение описывает-
описывается двумя уравнениями:
Fy - pVg = 0; A)
Fx = pFco2(r - I sin a). B)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в воде находится деревянный
шарик (рис. 143, б). В этом случае на шарик действуют четыре
силы: вертикальная проекция выталкивающей силы Fy, горизон-
горизонтальная проекция выталкивающей силы F , сила тяжести mxg =
= рш Vg ji сила натяжения нити f. Уравнения, описывающие
равномерное вращение шарика в горизонтальной плоскости, име-
имеют вид:
^-Pm^-^cosa=0; C)
Fx ~ T sin a = рш Vco2(r - / sin a). D)
Подставляя Fy и Fx из A) и B) в C) и D), получим систему двух
уравнений относительно Т и со:
E)
F)
[Tsina = Fco2(r- Zsina).
Исключая Т из уравнений E) и F), получим
со
/ gtgc
Vr-Zsi
gtga
Zsina
= 10,6 с.
а)
б)
Рис.143
226
а)
б)
Рис.144
*11.24. На рисунке 144, а, б показан ход луча, вышедшего из
вершины стрелки в направлении оптического центра линзы. Для
каждого из двух случаев имеем:
а) па = а19 а = h/a, аг = Нг/Ь9
б) ос = па2, а2
71 == ~~\
а о
— = 71—.
п О
Разделив A) на B), получим для показателя преломления
Из A) и C) получим: h
Найдем а.
1 1
Формула тонкой линзы имеет вид —Ь —
а о
A)
B)
C)
D)
(рис. 145). Для
малых углов из нее следует соотношение фх + ф2 = ф0, где ф0 - угол,
под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к
нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние сис-
системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть
аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом
г
F и положим "^Г = ф (здесь г - радиус
линзы). Тогда, если жидкость в правом
отсеке, то фхп + ф2 = ф, а если в левом, то
Фх + пф2 = ф. Взяв разность двух после-
последних уравнений, получим
фх(п - 1) = ф2(тг - 1). Рис. 145
227
Поскольку п Ф 1, то, сокращая последнее равенство на (п - 1),
получим ф2 = ф2 и, следовательно, а = Ъ = L/2.
Тогда формула D) принимает вид:
Подставляя в полученные выше выражения числовые значе-
значения входящих в них величин, находим
п = 1,5, а = & = 25 см, & = 3 мм.
*11.25. Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа
К, когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряже-
напряжения Uc на конденсаторе: Uc = Un 4- UL или, с учетом того что
Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет
1
меняться по гармоническому закону с частотой оо0 = г—. Из
энергетических соображений найдем экстремальные значения на-
напряжений U3 на конденсаторе:
Это уравнение имеет два корня:
Ц.1 = Uo, иэ2 = -(С70 - 2UJ.
Зависимость Uc(t) будет иметь вид:
Uc(t) = (С70 - UB) cos(co0t) + Un
при 0 < t < —, где Т = 2пу[ьс - период колебаний. После л полу-
периодов напряжение на конденсаторе
UCn = (-l)n(C70 - 2nUn) (n = 1, 2, 3, ...).
Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда
Рсп\ < Ри\.
В нашем случае п = 3, поэтому время
установления стационарного режима
т = ЗиЛе = 9,42 • 10~3 с.
Остаточное напряжение на конденсаторе
Uc = -0,3 В.
График Uc(t) представлен на рис. 146.
-3,l| ^S Примечание. Эта задача аналогична ме-
механической задаче о колебании груза на пру-
Рис 146 жине при наличии сухого трения.
228
*11.26. Иллюстрацией к решению
служит рис. 147. При обращении спут-
спутника вокруг Солнца по орбите Земли вы-
выполняется соотношение:
mvl тМ
' ^= (у п = И 111
¦"о по Рис. 147
Здесь v0 - скорость спутника, Ro - радиус орбиты.
После раскрытия паруса на спутник начинается действовать, кроме
гравитационной, сила светового давления. Эта сила равна
Fs = 2W/c, где W - световая мощность излучения Солнца, падаю-
падающего на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то
где R - расстояние от Солнца. Обозначим а = GmM, P = ——.
?с
Тогда равнодействующая сил, приложенных к спутнику, будет
равна
_о р_ _ а-Р
R R R
Поскольку F, как и Fo, пропорциональна /Г2, то движение спут-
спутника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. Спутник бу-
будет двигаться по эллиптической траектории. Найдем большую по-
полуось эллипса.
Из закона постоянства секториальной скорости следует
v0R0 = v,R19 B)
а из закона сохранения энергии имеем
mvl g-P mvi oc-p ,Q4
z Щ z R1
Подставляя B) в C), получим
2Rl-Rl 2(a-p)
vn—-о— =
0 R? т
откуда
Используя соотношение A), можно получить:
р - р а
229
Большая полуось эллипса будет равна
По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите
равно времени обращения по окружности радиуса а:
т 2па ти2 ос-В
Т = , причем = —«""•
и а а
здесь и - скорость спутника на круговой орбите радиуса а, откуда
С другой стороны, период обращения Земли
Следовательно:
а
а 2GmMc . ЛО Т
Так как тг = —г-,— = 4,23, то "^г ~ 2.
Р Lr -«о
Искомый период обращения спутника с солнечным парусом
равен приблизительно 2 годам.
11.27. Пусть п1 и Uj, n2 и U2, n3 и п3 - концентрации молекул
и средние скорости молекул соответственно в первом, втором и
третьем отсеках сосуда. Число ударов молекул о стенку сосуда
пропорционально концентрации молекул и их средней скорости.
Через каждое отверстие в обе стороны проходит в единицу време-
времени одинаковое число молекул: n1jj1 = n2jj2
Так как v - vT, p = nkT, то отсюда
11.28. В стационарном режиме сила тока через катушку ин-
индуктивности Ьг равна
110 = ^/(Л + г).
После замыкания ключа 2?2 сила тока /2 через катушку индуктив-
индуктивности L2 возрастает от нуля до /20 = Ш*/г, а сила тока 1г через
катушку Lx убывает от /10 до нуля. При этом за любой малый
интервал времени At
230
= L2AI2/At.
Так как I^t = Aq - заряд, протекающий за время At через сопро-
сопротивление R, то
RAq + L1AI1 = L2AI2.
За все время после замыкания ключа К2 через резистор протек
суммарный заряд V Ag = q. Кроме того
Поэтому окончательно
R
11.29. Из принципа обратимости ме-
механического движения следует, что ша-
шарик после второго удара должен лететь
назад по прежней траектории. Для этого
в точке D (рис. 148) он должен ударить-
удариться, имея скорость, перпендикулярную
поверхности трубы. Попробуем подобрать
такой угол а, чтобы касательная в точке
К была параллельна OD. Возьмем точку
С на продолжении OD. Движение шари-
шарика вдоль оси х происходит с ускорением g sin a, a вдоль оси у - с
ускорением g cos а. Исходя из этого можно показать, что точка С -
искомая точка. При этом
Рис.148
R
Получаем ответ: точка находится на расстоянии ОС = — от
о
центра трубы (выше центра) на прямой, проходящей через центр
трубы под углом a
arctg — к горизонту. Из
уравнения движения определяем время дви-
движения шарика:
t =
2yflOR
*11.30. Пусть х - смещение бруска вниз
для произвольного момента времени, у — сме-
смещение верхнего конца пружин. Удлинение
левой пружины Ахх = х - у, удлинение пра-
правой пружины Ах2 = х + у (рис. 149). Из усло-
Рис. 149
231
вия малости масс блока и нити следует, что силы упругости обеих
пружин одинаковы:
Нх - У) = Ых + У)-
Отсюда
Удлинения левой и правой пружин соответственно равны
2ko 21
Уравнение движения бруска:
Мх = -k1Ax1 -
Откуда
= 0,
= 0.
Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом
*11.31. Согласно имеющимся во втором абзаце статьи данным
аппараты должны вернуться к Солнцу, а значит, их орбиты -
эллипсы, причем, очевидно, очень вытянутые, т.е. максимально
удаленные точки орбиты находятся от Солнца на расстоянии по-
порядка большой оси эллипса (рис. 150).
Воспользуемся третьим законом Кеп-
Кеплера, чтобы найти длину большой по-
полуоси этого эллипса. Пусть Та и Т3 -
периоды обращения аппаратов и Земли
вокруг Солнца, аа и а3 - большие полу-
полуоси их орбит. Тогда
Золнце
Рис.150
8 Ч Q
Расстояние от Солнца до Земли находим, используя скорость све-
света и время его прохождения: а3 = тс. Получаем, что максималь-
максимальное удаление аппаратов от Солнца
L = 2аа = 2тс(Та/Т3J/3,
где отношение т^Г согласно данным статьи равно 2,5 • 108. Отсюда
L « 2 • 480 • 3 • 108B,5 • 108J/3 м « 1,2 • 1017 м « 1,2 • 1014 км.
232
Если же оценивать это расстояние из данных в третьем абзаце,
получается совершенно иной результат. Во-первых, плохо согла-
согласуются между собой данные о расстоянии до аппаратов и о време-
времени запаздывания сигналов:
1) Za = 1010 км « 67 а.е.;
2) /а = A2 • 3600 • 3 • 105) км ~ 1,3 • 1010 км ~ 87 а.е.
Во-вторых, независимо от того, на каком из этих расстояний
находятся аппараты, указанная скорость v0 = 130 000 км/ч =
= 36 км/с является гиперболической. Эта скорость настолько ве-
велика, что гравитационное взаимодействие с Солнцем способно
уменьшить ее не более, чем на 1%:
vj = v02 -2GMc/la.
Известно, что GMC = volN2R3, где vop6 - орбитальная скорость Земли
по орбите вокруг Солнца (уорб ~ 30 км/с), R3 - среднее расстояние
от Земли до Солнца (R3 = 1 а.е. = 149,6 • 106 км). В результате
получаем:
vj = v02 - 2vop62R3/la.
Числовые оценки дают:
1) для Za = 1010 км
Уоо ~ 35,7 км/с;
2) для 1й = 1,3-1010км
и» ~ 35,8 км/с.
В любом из этих случаев аппараты летят, практически равно-
равномерно удаляясь от Солнечной системы, и за миллиард лет улетят
на расстояние
L~ 1,Ы018км.
Как видим, этот ответ на четыре порядка отличается от ре-
результата, полученного по данным из второго абзаца.
*11.32. Направим ось х от стенки с температурой 7\ к стенке с
температурой Т2. В стационарном режиме тепловой поток через
сечение пластины, расположенное на расстоянии х> равен
Р = -k(T)Sj^ = const.
Запишем это уравнение в виде
Р dx = -Sk(T)dT. A)
Просуммируем обе части уравнения A) по всей толщине пластины:
d To
Р) dx = -SJ k(T)dT.
о тх
233
Отсюда находим
sTt
Р = ~ k(T)dT.
Интеграл вычисляем графически, как площадь под кривой k(T),
ограниченную прямыми Т = Тх и Т = Т2. Поскольку I k(T)dT > О,
т\
то Р < 0; это означает, что тепловой поток направлен против оси
х (от Т2 к Тг) и по модулю равен
\Р\ ~ D50 ± 20) Вт.
Распределение температуры внутри пластины можно найти с
помощью A), если просуммировать k(T) по толщине пластины от
нуля до х:
= l^b = J k(T)dT.
b Ti
Для каждого значения х можно найти температуру Тх, при
которой площадь под кривой k(T), ограниченной прямым иТ =
\Р\х
= Тг и Т = Тх, была бы численно равна —^-.
S
В среднем сечении пластины (х = d/2) температура Т ~ B90 ±
± 10)К. Если бы коэффициент k не зависел от температуры, то
d
температура в плоскости X = ~ равнялась бы ЗЗОК.
*11.33. Максимальная скорость vm фотоэлектронов у поверхно-
поверхности фотокатода определяется уравнением Эйнштейна:
mVm __ ЬС
~2 Т ~ '
где тп - масса электрона, h - постоянная Планка, с - скорость
света.
При ускоряющей разности потенциалов радиус пятна на аноде
определяется электронами, вектор скорости которых при вылете
из катода направлен параллельно поверхности катода. Время про-
пролета т1 таких электронов до анода равно:
где а - ускорение электронов. Радиус Rx пятна на аноде в этом
случае есть:
234
\2d
A)
При тормозящей разности потенциалов радиус пятна на аноде
определяется электронами, которые, вылетев из катода с макси-
максимальной по модулю скоростью под некоторым углом а к поверх-
поверхности катода, подлетят к аноду со скоростью, нормальная состав-
составляющая которой равна нулю:
vn sin а - ат2 = 0; vm sin а т2 —т*- = а.
Здесь т2 - время пролета электронов от катода к аноду.
Из этих сооотношений следует
тх = J—; sin a -
Радиус R2 пятна на аноде при тормозящей разности потенциалов
равен
R2 = vn cos а т2 = Jv2m - 2ad • у— . B)
Используя A) и B), найдем отношение ¦—¦:
Принимая во внимание, что ускорение электрона равно а = ——,
dm
где е - заряд электрона, % - ЭДС источника тока, запишем
Отсюда
р= fL™*L =
4 2е 4
Числовой расчет дает:
9 « 0,36 В.
235
*11.34. Из анализа расстояний (рис. 151) видно, что треуголь-
треугольник S'Sf - прямоугольный.
Оптический центр О линзы лежит на отрезке прямой S'S или
его продолжении.
Если изображение S' действительное, то S и S' лежат по раз-
разные стороны линзы и независимо от того, какой фокус (передний
или задний) сохранился на схеме, угол S'Sf всегда будет острым,
но по условию задачи он прямой. Следовательно, изображение S'
мнимое и лежит с источником S по одну сторону от линзы. Из
свойств положительной линзы следует, что если изображение ис-
источника мнимое, то источник S должен находиться к линзе бли-
ближе, чем изображение S' и фокус /. Таким образом, оптический
центр О должен находиться правее источника S (рис. 152).
S'
S'
О
Рис.151
Рис.152
Проведем качественное построение хода лучей, считая, что за-
заданы точки /, S и О. Главная оптическая ось проходит через точ-
точки / и О. Линза перпендикулярна оптической оси.
Луч, пущенный из / через S, дойдя до
линзы, преломится в точке L и пойдет па-
параллельно главной оптической оси, а изоб-
изображение S' должно находиться на продол-
продолжении преломленного луча (рис. 153).
Углы S'Sf и fSO, OSL и LSS' - пря-
прямые, a AfSO "AOSL ALSS'. Поэтому мож-
можно записать
Рис.153
SO _ LS _ S'S
Sf ~" SO~ LS '
откуда (SS') = k(LS) = k\SO) = k*(Sf),
Теперь находим фокусное расстояние линзы
f(soJ = Vio.
11.35. Расширение газа осуществляется при постоянном дав-
давлении рг и увеличении температуры от Тг до Т2. Затем газ охлаж-
236
дается от температуры Т2 до температуры Т3 при постоянном объе-
объеме, так как по условию задачи сила трения поршня о стенки ци-
цилиндра больше суммы веса поршня и силы внешнего атмосферно-
атмосферного давления. Пусть в начале расширения объем газа V, тогда в
конце расширения и в конце охлаждения объем равен 2V. Для v
молей газа
JJi V — vJLXl j, jJ-^ CaV — Vjlt 1 2y JJ2 CtV — \?\1 g.
Здесь р2 - давление в конце охлаждения. Можно показать, что
3R
при расширении Q = v(CF + R)(T2 - TJ, где Cv = -г-. При охлаж-
Ct
дении
— УСД1 2 - 1 3).
Из записанных уравнений находим, что — = —, т.е. давление
уменьшилось в 6 раз.
11.36. Рассмотрим условие равновесия цилиндрического стол-
столба жидкости с площадью основания S, протяженного от центра
планеты до поверхности. Получим:
р = ^- « 1,7 • 1011 Па = 1,7 • 106 атм.
StiG
11.37. Направим ось х вниз, поместив начало координат в точ-
точку, соответствующую равновесному положению груза. Пусть в
некоторый момент груз имеет координату х. Уравнение движе-
движения:
тпх = -ВП - k(x + х0) + mg.
Здесь I - сила тока в цепи, х0 - удлинение пружины в положении
равновесия, причем kx0 = mg. В любой момент времени напряже-
напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции в рейке:
q/C = Bxl,
где q - заряд конденсатора. Находим / = q = ВЮх. Исключив из
записанных уравнений х0 и /, получаем дифференциальное урав-
уравнение гармонических колебаний для величины х:
Х + т + В212СХ °'
Период колебаний Т = 2nMm + В212с) / k .
11.38. Направим ось х по движению гантельки. Перейдем в
систему отсчета, движущуюся вместе с центром масс системы со
v
скоростью —. На рис. 154, а, б показаны скорости дисков соответ-
237
ственно перед соударением и сразу после соударения. Диски про-
пронумерованы цифрами от 1 до 4. Совершив почти полный оборот
после первого соударения, гантельки снова сталкиваются диска-
дисками 1 и 4 (рис. 154, в). В результате гантельки движутся посту-
v 2R п
пательно со скоростями — под углом 2arctg-r~ = "г к оси х.
2а Li &
В системе отсчета, связанной со столом, гантельки после взаи-
взаимодействия будут двигаться (рис. 154, г) поступательно со скоро-
Vy[3 V П П
стями vx = и v2 = — под углами — и — к оси х. Оси гантелек
2 ? Do
составляют с осью х угол
п
6#
Рис. 154, а
Рис. 154,6
238
Рис. 154, в
Рис. 154, г
11.39. Вырежем мысленно из диска узкое кольцо радиуса г с
центром на оси диска. Пусть заряд кольца д, его масса т. Рас-
Рассмотрим поведение кольца отдельно от диска. При выключении
магнитного поля появляется вихревое электрическое поле. Заря-
Заряженное кольцо в электрическом поле начинает вращаться. Пусть
в некоторый момент времени линейная скорость точек кольца рав-
равна v. За малое время At через поперечное сечение кольца пройдет
а
заряд -—vAt и над ним электрическое поле совершит работу
^717*
где & = —
яг2АБ
At
2пг
- ЭДС индукции в кольце. Здесь АВ - изменение
индукции магнитного поля за время At. Имеем
rqvAB
~ 2
Изменение кинетической энергии кольца за время At равно АК =
= mvAVy где Av - изменение скорости и. Поскольку АА = АК9 то
2mAv = -rqAB.
Просуммируем все аналогичные равенства, записанные для всех
малых интервалов времени, на которые можно разбить время
выключения магнитного поля:
2тп(сог - 0) = -rg@ - В).
Отсюда угловая скорость вращения кольца после выключения поля
qB
(О =
2т'
q Q QB
Так как — = —, то со = 777- Видим, что для всех колец, на которые
772 М ZM
можно разбить диск, величина со одна и та же. С этой угловой скоро-
стью станет вращаться диск. Итак, ответ: со= ТГГ •
JVL
* 11.40. При движении груза влево от
точки A) (рис. 155) закон сохранения
энергии имеет вид:
mvl
kl2
kl?
lx)9 A)
где /х - максимальное сжатие пружины.
При движении груза вправо от точки
B) имеем
2.0.1
239
jxmg
k
k
Рис.155
т\ ы2
¦у- = -у
Из A) и B), находим
тих
= 2\img(l + IJ.
B)
C)
Из уравнений C) и A) можем найти максимальное сжатие 1Х пру-
пружины:
D)
Подставляя полученное выражение для Zx в C), получим:
mvX
откуда
Заметим, что задача имеет решение, если I >
\img [img
—-— < х < —¦— называется зоной застоя.
в k
. Область
*11.41. Пусть в некоторый произволь-
произвольный момент времени поршень движется
nS влево. Его смещение равно х, скорость
и(х) х
Рис.156
и(х) = Ах/At. Обозначим скорость лево-
го шарика в этот момент через v
(рис. 156). При каждом отскоке шарика
от поршня скорость шарика увеличива-
увеличивается на 2и. За малое время At число уда-
ударов о поршень равно
AN = At\ ~
BA-*) У1 „д*
2A
где I - расстояние между поршнем и стенкой при равновесии.
Полное изменение скорости шарика за это время равно Av = 2uAN =
vAx
1-х
. Получаем уравнение относительно v и х:
Аи
v
Ах
1-х'
240
Строгое решение этого уравнения приводит к соотношению:
v(x)(l - х) = vQl = const,
где v0 - скорость шарика при равновесном положении поршня
(х = 0). Этот же результат получим и при малых смещениях пор-
поршня, если положить, что Ах ~ х, a v ~ iH. Тогда Av = у-5—, а
. / — х
v(x) = v0 + Ai> = uo_i—
Найдем силу ^, действующую в этот момент на поршень со
стороны левого шарика. Число ударов шарика о поршень в еди-
единицу времени
лг= и = v°l
" 2A-х) 2A -хJ'
При каждом ударе изменение импульса шарика
2mvJ
Ар = -2mu = —
Z - x
Поэтому
Аналогично сила со стороны правого шарика
mvll2
При у « 1.
mvZ
2 \л , Зх) „ ^4|1
J тр
Уравнение движения поршня:
Поскольку равновесная частота / = vo/Bl), то уравнение дви-
движения будет иметь вид
m
х + 24/2]i7x = 0.
Следовательно, круговая частота равна со = 2v6/J—,
V М
а период
9 Козел 241
*11.42. Максимальная полезная мощность может быть получе-
получена при использовании цикла Карно. Масса теплой воды, которая
может быть использована за время т, равна т = phLux. Будем
считать, что вода, поступающая за время т, является нагревате-
нагревателем тепловой машины, а атмосфера - холодильником, температу-
температура которого остается неизменной и равной Т2. При работе тепло-
тепловой машины происходит постепенное понижение температуры
воды. Пусть в некоторый момент времени работы установки по
циклу Карно температура воды равна Т9 тогда в течение малого
промежутка времени можно считать Т ~ const. По теореме Карно
КПД цикла равен
_ dA __ Т-Т2
Ц ~ mc(-dT) ~ т '
где dA - работа, совершенная при изменении температуры воды
на dT < О, с — удельная теплоемкость воды. Через время т, в тече-
течение которого вода остынет от Т1 до Т2, будет совершена работа
Эта работа была совершена за время т. Поэтому мощность Nmax
тепловой установки, в которой от нагревателя получено макси-
максимальное количество теплоты, равна
^шах = 7 = QbLu\ Ti ~ Т2 ~ Т2 In^-J = 2,86 • 108 кВт.
*11.43. После замыкания ключа К2 можно применить закон
Ома для замкнутой цепи:
dt
Решение этого уравнения имеет вид (рис. 157):
Через некоторое время tx сила тока через катушку реле будет
равна
h = f A - e-Rt>IL)>
а через время t2 сила тока
242
Из совместного решения двух последних уравнений найдем
^i'-4i»«.
(i)
После размыкания ключа К1 образу-
образуется новая замкнутая цепь, состоящая
из обмотки реле и диода D. Закон Ома
для этой цепи будет иметь вид:
dl
L— +IR = 0.
at
В этом случае т2 = t3 - t2; чтобы най-
найти т2 нужно в A) заменить 1г на /2, а /2
на 1г и учесть, что Ш = 0. Тогда
Рис. 157
L h L
т» - Ti - л1п77 = я1п 2-
Период размыкания и замыкания реле в установившемся режиме
Т - х1 + т2 = Ц- • In 2 = 1,4 • 10"s с.
*11.44. Из соотношения расстояний от S и S' до плоскости лин-
линзы следует, что линза собирающая.
Пусть точка О - оптический центр линзы. Положение точки О
можно оценить с помощью геометрических построений.
Главная оптическая ось проходит через точки F, О и перпенди-
перпендикулярна плоскости линзы. Следовательно, угол FOL - прямой.
Прямая, соединяющая источник S и его изображение S', все-
всегда проходит через оптический центр линзы.
Соединим точки FиЬ прямой и из середины отрезкаFL (пусть
это будет точка С) проведем окружность
через точки F и L (рис. 158).
Так как угол, опирающийся на диа-
диаметр окружности, всегда прямой, мы
делаем заключение, что точка О лежит
на пересечении окружности и прямой а.
По построению мы получили два воз-
возможных положения точки О (Ох и О2)
и два возможных положения линзы:
Л1иЛ2. Рис.158
243
Ло
По условию изображение S' источника S отстоит от линзы даль-
дальше, чем сам источник. Поэтому можно сделать вывод: условиям
задачи соответствует только схема с линзой Л2. В самом деле:
точка S отстоит от плоскости линзы Лг на расстоянии, превыша-
превышающем двойное фокусное. Значит, изображение *S' будет находить-
находиться на расстоянии, меньшем двойного фокусного. Построения на
рис. 158 поясняют этот вывод. Аг и А2 — точки, находящиеся на
двойном фокусном расстоянии от линз Лг и Л2 соответственно. На
рис. 158 изображены плоскости, перпендикулярные оптическим
осям FOX и FO2 и отстающие от линз Лг и Л2 на двойном фокусном
расстоянии.
11.45. Пусть до нагрева давление и температура в сосуде соот-
соответственно равны рг и Т19 а после нагрева р2 и Т2. Обозначим через
V1 и V2 объемы углекислого газа до нагрева и смеси после нагрева.
Пусть число молекул гелия NQ. Если до нагрева было N молекул
углекислого газа и диссоциировала часть молекул, равная а, то в
JVoc
смеси станет N -\—— молекул. Запишем уравнения
p2V2 = (N + N a/2)kT2, p2 • 4F2 = N0kT2.
Из этих уравнений находим а = —. Это значит, что диссоциирова-
А
ло 50% молекул углекислого газа.
11.46. Зададим направления токов 119 /2, /0 (рис. 159). По вто-
второму правилу Кирхгофа имеем
%х + ^2 = 1^ + гх) + I2(R2 + г2),
По первому правилу Кирхгофа
? Чтобы избежать громоздких выкладок,
1=1—i rzz—¦ удобно сразу подставит в эти соотноше-
JL g> —t~rg* JL удооно сразу подставит в эти соотноше-
Ор ггт °tlTl^ rg~P ty ния числовые значения параметров. Это
К /«to^r дает
Рис.159 Л- ^—^'^г1"
По условию
U = \1,Г1 - rj = |12г2 - Га|.
С учетом выражений для 1г и 12 запишем
244
1
2
Отсюда получаем два значения /0:
/01= 51 А, /02= — А
и два значения напряжения на вольтметрах:
иг = 34 в, и2 = ^ в-
р ПО?
11.47. По условию, Q = ° (S - площадь обкладок конденса-
oL
тора), поле создается всеми зарядами, разность потенциалов меж-
между обкладками конденсатора всегда равна & и суммарный заряд
обкладок конденсатора всегда равен нулю. Заряд правой обклад-
обкладки конденсатора после внесения пластины равен qx = —г*. Вос-
Воспользовавшись тем, что напряженность поля в пластине равна
5Q
нулю, находим заряды латунного и медного листов: Q1 = —,
о
2Q
Q2 = -~г~. Заряд правой обкладки конденсатора после перемеще-
о
25Q
ния медного листа в положении АВ равен q2 = —г-. Сила, кото-
1о
рую необходимо приложить к медному листу,
F~
Qi{242-Qi)
10 QW
11.48. Предположим, что удары о стенки происходят гораздо
чаще, чем пересечения шайбой оси уу и что движение вдоль оси х
ограничено в узкой области вблизи начала координат (затем убе-
убедимся в верности этого предположения). Тогда время пролета от
2h
стенки до стенки At — будет почти постоянным. Изменение
х
проекции скорости на ось х за один удар Avx = -2—v. Здесь х -
R
абсцисса шайбы. ах — —- = —^г*- С учетом того, что ах = х
At Rh
xv2
можем записать х = ——. Имеем дифференциальное уравнение
tin
гармонических колебаний величины х:
245
Период колебаний величины х равен Т = 2п J—j-, а искомое
время т
v
Заметим, что — = — J~ ^> 1, амплитуда А колебаний вдоль
Д? 2 V п
оси х равна А = a^jRh <?С ОС = v2i?ft . Это значит, что высказан-
высказанные выше предположения верны.
11.49. Обозначим скорость груза, находящегося в точке В, че-
через и. Тогда скорости грузов, находящихся в точках А и С, равны
v
——. Полная кинетическая энергия грузов массы М равна
_ Мх? , ЛМ( v V Мг?
д + 2^J
. Эта энергия совпадает
с энергией материальной точки с массой Мэф = м\ 1 + 2 . 2— > а
значит, при кратковременных воздействиях (ударах) конструк-
конструкция ведет себя как материальная точка с массой Мэф. Для оста-
остановки шайбы должно выполняться условие т = Мэф, откуда
2 sin2 a
*11.50. Жесткость данной пружины k = т~^« Найдем жест-
жесткость k* небольшого элемента этой пружины длиной dx. Если
пружина растянута на величину Ах, то очевидно, что удлинение
Ах
5х элемента пружины длиной dx равно 5х = ~т~<2х, где 10 - длина
пружины, при этом упругая сила в любом сечении пружины рав-
равна F = kAx. С другой стороны, деформация элемента пружины dx
F kAx
может быть записана в виде ох = — = -r-j-. Приравняв два выра-
выражения для 8х, получим k* = k-~.
(XX
246
1) Рассмотрим вертикально подвешенную пружи-
пружину (см. рис. 160). Распределение силы Fx вдоль оси х
будет иметь вид
_ Mln
х k °
Удлинение элемента пружины длиной dx, имеющего
координату х, равно
Fx Mg(l0 - x)dx (l0 - x)Ax0
OX = . = т 72 == ;2 (XX •
Очевидно, что удлинение всей пружины
k
(l0 - х)Ах0
II аХ=~Т
Рис. 160
Ах
к
2) Пусть в некоторый момент времени
груз массой т сместился от равновесного
положения (х = 0) на величину х (см. ^
рис. 161). Найдем полную энергию сис-
системы «пруЖИНа + Груз» МаССОЙ т. Ки- '/7777777777
V///Y///////////
тх
0 х
Рис.161
нетическая энергия груза Тт = —
Если смещение правого конца пружины х> то смещение элемента
пружины с координатой у равно
Следовательно, скорость элемента пружины с координатой у
У
1q
±o>
а кинетическая энергия элемента пружины длиной dy
_ М у2 9 Mo? 9
Полная кинетическая энергия пружины
Теперь найдем энергию упругой деформации пружины
„ kx2 Mg 9
Полная энергия системы «пружина + груз»
247
тх2 тх2 Mg
—I 1 h ТГТ X = COnst.
Продифференцировав по времени t> получим уравнение движе-
движения груза:
Mg
(т + М/3)х + J^x = 0.
т
Период колебания груза Т = 2щ
Mg
*11.51. 1. Мысленно выделим во вращающейся жидкости эле-
элемент объема в виде шарика радиусом г, расположенным на рас-
расстоянии х от оси вращения. Данный элемент жидкости вращает-
вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью со. Следова-
Следовательно, радиальная составляющая силы Архимеда Fr является цен-
центростремительной силой, которая равна
где р0 - плотность воды. На каждый из трех шариков, располо-
расположенных на расстоянии х от оси вращения, будет действовать имен-
именно такая сила, поскольку радиусы шариков одинаковы, а распре-
распределение давления в жидкости зависит только от х. Для шарика 1,
плотность которого рх < р0, сила Fr является «избыточной», т.е.
она больше, чем та, которая необходима для его стационарного
вращения по окружности радиуса х. Поэтому шарик 1 будет сме-
смещаться к оси вращения и в конце концов окажется на оси (устой-
(устойчивое положение равновесия). Очевидно, что шарик 2 останется
на своем месте, а шарик 3, плотность которого р3 > р0, будет сме-
смещаться от оси вращения и упрется в боковую стенку цилиндра.
Для этого шарика радиальная результирующая сила давления со
стороны жидкости не достаточна для того, чтобы обеспечить ему
стационарное вращение.
2. Результирующая сила давления со стороны воды на шарик
1 будет иметь только вертикальную составляющую, равную
о
На шарик 2 действует результирующая сила F2, которая имеет
две составляющих: вертикальную F2B = po—xr*g и радиальную
3
248
F2r= p0Z*rV—.
2 ю4Д2
+
+
Аналогично на шарик 3 действует результирующая сила
3
4 о _. 4 ч 9-гл
ее составляющие F3B = po—xr*g9 F3r = р0—пгсо R.
3 3
*11.52. Если кольцо находится в однородном магнитном поле
индукции Бив кольце течет ток 7^0 (при 0 < а < —), то един-
ственным положением устойчивого равновесия является положе-
положение, когда а = — и вектор индукции собственного магнитного
поля кольца в его центре направлен вдоль Б. Пусть а = —, а в
л
кольце течет ток / таким образом, что кольцо находится в устой-
устойчивом положении равновесия.
Магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящее кольцо
сохраняется, поэтому
Ыо = LI + BnR2.
Отсюда
„ , BnR2
BnR2
Из условия, что / > 0 следует, что /0> —-—. Следовательно при
BnR2 л „ _ BnR2
/о > —-— угол а = —. При /0 < —-— устойчивого положения с
Lj Z Li
током 7^0 нет, поэтому устойчивое положение равновесия в этом
случае будет при / = 0.
п
Пусть при / = 0 угол а ^ ~. По закону сохранения магнитного
потока
Ыо = nR2B sin a.
Отсюда
249
Графики зависимости а(/0) и Що) приведены на рисунках 162 и 163.
1
/
/
nR2B /о
L
Рис.162 Рис.163
3. Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля в кольце
nR2B T r nR2B
/0 > —-—, а в магнитном поле сила тока в кольце I = 10 .
la la
Найдем работу по удалению кольца из области однородного маг-
магнитного поля. На рисунке 164 показано произвольное положение
кольца, когда его вытянули на величину х. На кольцо со стороны
поля будет действовать сила Ампера
г х — IJdL^ A)
где 1Х - сила тока в кольце. По закону
сохранения магнитного потока
Ыо = Ых + B(nR2 - Sx)9
где Sx - площадь заштрихованной на
рисунке области. Следовательно,
{nR*-Sx)B
После подстановки B) в A) получим
{nR2-Sx)B~
B)
BL.
Работа по удалению кольца из поля равна
2flr («*-sJb"
Blxdx
250
nR2
= f
{¦kR2 -Sx)b'
nR2B\ Io -
nR2B
2L
С учетом поля тяжести
= nR*B[l0 - 5g?] + 2MgR.
*11.53. Пластина З оторвется от пластины 2, когда электричес-
электрическая сила F3 будет равна силе тяжести Mg. Пусть это произойдет
при напряжении источника Uo. В этот момент на пластине 3 бу-
8 S
дет находиться положительный заряд Qo = -~-?70. Электростати-
Электростатическая сила, действующая на пластину 3 со стороны пластины 1,
равна
о—-. Отрыв произойдет при условии
Qo2
2e0S
>Mg.
Выражая Qo через Uo, получим, что Uo>
Рассмотрим теперь некоторый произ-
произвольный момент времени, когда плас-
пластина 3 движется к пластине 1 и нахо-
находится от пластины 2 на расстоянии х
(рис. 165). Пусть на пластине 2 в этот
момент времени находится заряд д, тог-
тогда на пластине 1 будет заряд -(Q + q).
Источник постоянного напряжения под-
поддерживает между пластинами 1 и 2 раз-
разность потенциалов Uo:
qd (Qo + q)d Qo(d-x) Qo,
1 i.
3t77777777fQo
++++T+++*
к
Рис.165
Qod
EQS
qd
^o 280S 280S 2e0S 2e0S
Из этого уравнения найдем заряд q на пластине 2
Теперь найдем электростатическую силу, действующую на плас-
пластину 3:
251
d
Результирующая сила, действующая на пластину 3 вдоль оси х,
равна
d
Работа, совершенная этой силой А = J Mg— dx =
В
В'
\<У
1
1
1
1
1
1
Из закона сохранения энергии запишем А — —^—, откуда находим
скорость v = yJ2gd .
*11.54. Источник света и оба его изображения будут лежать на
побочной оптической оси ААГ линзы, перпендикулярной плоско-
плоскости зеркала (см. рис. 166). Точка пересечения этой оси с пунктир-
пунктирной линией является одним из изобра-
изображений St. Найдем положение источни-
источника, от которого получено это изображе-
изображение. Проведем прямую SXB9 параллель-
параллельную главной оптической оси ОО\ а за-
затем прямую BF. Точка S' пересечения
этой прямой с прямой АА является мни-
Рис. 166 мым изображением источника S, кото-
который дает в зеркале изображение S'. Для нахождения второго изоб-
изображения проведем прямую FB через фокус линзы и источник S,
а затем через точку В - прямую параллельно главной оптической
оси. Ее пересечение с прямой АА - точка S2 - является вторым
мнимым изображением.
11.55. 1. В течение времени tx = т = -• = vLC диод закрыт.
К концу этого промежутка времени конденсатор С первый раз
разрядится, и его электростатическая энергия преобразуется в энер-
энергию магнитного поля катушки.
2. В следующий интервал времени t2 = — V4L • С = пл/ЬС диод
открыт и параллельно соединенные конденсаторы общей емкос-
емкостью 4С к концу этого интервала времени заряжаются до напряже-
напряжения U, а сила тока в катушке становится равной нулю. Из закона
сохранения энергии следует, что
252
От
CUl _ 4Ш2 _ U±
~2 2 => "" 2 *
В дальнейшем диод всегда закрыт, и
в левом контуре происходят незатухаю-
незатухающие колебания с периодом Т = 2n\LC и
амплитудой колебаний напряжения
U = -у-. При этом напряжение на кон-
конденсаторе ЗС остается постоянным и рав- -0,5J70|—
*У0 „ Рис.167
ным U3C = -^-. Графики зависимости от
времени ? напряжений Uc и ?/зс на конденсаторах показаны на
рисунке 167.
11.56. Перейдем в систему отсчета К9 движущуюся вправо с
некоторой скоростью v0. В этой системе отсчета появится элект-
электрическое поле с напряженностью Е = v0B, направленное верти-
вертикально вверх. Выражение для Е можно получить, приравняв силы,
действующие на заряд со стороны электромагнитного поля в не-
неподвижной и движущейся системах. Подберем скорость v0 такой,
чтобы сила электрического поля была равна силе тяжести:
qv0B = mg.
Отсюда
mg
В системе К шарик будет иметь скорость v0, направленную
вначале влево. Результирующая сила, действующая на шарик, -
сила со стороны магнитного поля индукцией Б. В системе К ша-
шарик будет двигаться в плоскости чертежа против часовой стрелки
mv0
со скоростью vQ по окружности радиуса jR = —^~
2птп
с периодом
'. Относительно Земли шарик будет дрейфовать со скоро-
стью системы К, т.е. со скоростью v0 и за достаточно большое
время т (т ^> Т) сместится относительно Земли вправо на рассто-
яние I
vot =
mgx
vot = g
показана на рисунке 168.
. Траектория шарика
ч
рис#
253
Замечание. Задачу можно решить и другим способом, представив ско-
скорость шарика v в виде суммы v = v0 4- vx, где vQ = const и выбрана
так, чтобы qvQ х в + т? — 0, т.е. v0 направлена вправо. Тогда только
скорость vx будет отвечать за движение шарика в магнитном поле.
В начальный момент дх = и0, и это вызовет движение по окружности
_ JTIVq _
радиусом R = —— с периодом Т = ——. Общее движение шарика
аВ оВ
можно представить как движение по окружности и равномерное дви-
движение со скоростью v0 вправо.
11.57. Начальная угловая скорость вращения обруча соо = 2пп.
Из условия задачи следует, что @0Е ^> и0. Сила трения, действую-
действующая на любой малый элемент обруча, направлена против скорос-
скорости этого элемента относительно поверхности. Для любой пары
элементов обруча, симметричных относительно центра обруча, век-
векторная сумма сил трения приблизительно равна нулю, поскольку
выполняется записанное выше неравенство. Поэтому центр вра-
вращающегося обруча будет двигаться, почти не замедляясь по срав-
сравнению со случаем поступательного движения без вращения. Для
оценки можно считать, что ускорение центра обруча
ас = №^r d 1,6 • 1(Г4 м/с2,
т.е. очень мало. Тогда
t « — = 1с
1 V
Почти равномерное движение центра обруча будет продолжаться
приблизительно до тех пор, пока не прекратится вращение обру-
обруча. Оценим время Т до прекращения вращения. Для малого эле-
элемента обруча массой Am работа сил трения за время At при вра-
вращении с угловой скоростью со равна
АЛ = -ju Am g((dR At). A)
Эта работа равна изменению кинетической энергии:
АА = д^^^ = Ат ид* Дсо. B)
А
Из A) и B) находим
At — ——Асо,
254
С00#
Т = —- = 640 с.
За это время обруч удалится (оценочно) на расстояние
s = v0T - ^f- « 64 м - 7 м = 57 м.
Более точные оценки дают s ~ 40 м.
Получаем ответ: tx = 1 с, s ~ 57 м (точнее s ~ 40 м).
11.58. Пусть ра - атмосферное давление, S - площадь поршня,
Н и 2Н - начальные высоты соответственно столбов ртути и газа,
х - высота газа в новом равновесном положении поднявшегося
поршня. Найдем выражение для подведенного количества тепло-
теплоты Q в зависимости от х.
Давление в газе складывается из атмосферного и давления стол-
столба ртути высотой ЗН - х:
4Н-х
Рх = н Р&- (!)
Температуру Тх газа для того момента, когда поршень на-
находится на высоте х, найдем из уравнения Менделеева-Клапей-
Менделеева-Клапейрона:
pxSx = 2paS2H
т ~ т
Отсюда с учетом выражения A) имеем
DН-х)х
1х 4Я2 1'
Изменение внутренней энергии газа, произошедшее при подъеме
поршня до высоты х, равно
AU = vCv(Tx - Тх) = -
Здесь Cv = ЗБ/2.
Работа газа при линейном (по х) изменении давления от 2рй до
рх равна
А -
Так как в начальном положении
то
255
Q+
О
2#;
I
\ЗН X
По закону сохранения энергии
Q = ДG + А.
С учетом выражений B) и C) имеем
Q = (-х2
'2Я2
= (х - 2Я)(ЗЯ - х) vRTx2H2.
Рис. 169 Формальная подстановка х = ЗЯ дает
неверный ответ: Q = 0.
Рассмотрим график зависимости Q(x) (рис. 169).
Для достижения равновесного положения системы при х = 2,5Я
надо подать максимальное количество теплоты Qo =
312 Дж.
**' 8
Для достижения равновесных положений при х > 2,5Я необходи-
необходимо Q < Qo. Это значит, что после того как газу сообщат количе-
количество теплоты Qo и поршень достигнет высоты х = 2,5Я, газ начнет
самопроизвольно расширяться и вытеснит всю ртуть.
Итак, Qmin
8
ос\
осо
312 Дж.
11.59. Скорость ракеты при ее запус-
запуске вверх после срабатывания реактив-
реактивного двигателя равна
При движении ракеты по направляющим
непосредственно перед включением двига-
двигателя -
Рис. 170 vR = ^ 2 gR sin a
(угол а указан на рис. 170), а ее скорость сразу после срабатыва-
срабатывания двигателя -
Из закона сохранения энергии
2
получаем
Н2 = Нх + 2yjHasina .
Максимальной высоты подъема ракета достигнет при а0 — 90°,
следовательно,
256
*11.60. 1. Выделившееся количество теплоты не может превы-
превышать начальную кинетическую энергию кубика. В случае, если в
некоторый момент останавливают кубик и доску, а пружина ока-
оказывается недеформированной, то дальнейшие движения в систе-
системе невозможны, и выделившееся количество теплоты будет мак-
максимально и равно
=* °'05
Описанная выше ситуация реализуется при определенном зна-
значении (или значениях!) коэффициента трения \1.
Рассмотрим систему, когда кубик движется относительно дос-
доски. Запишем уравнения второго закона Ньютона для кубика и
доски:
таг = -\xrng. A)
Ма2 = \irng - kxy B)
где аг и а2 - ускорения кубика и доски соответственно, а
х - деформация пружины в произвольный момент времени t.
Из уравнений A) и B) при заданных начальных условиях вы-
вытекают законы движения кубика и доски:
l-cos| J—t
M
C)
D)
Из анализа уравнений C) и D) следует, что доска останавлива-
останавливается, а пружина приходит в недеформированное состояние в мо-
менты t2n = 2tiJ— , где п - натуральное число (п = 1, 2, 3, ...).
Остановка кубика (относительно стола) произойдет в момент
v0
tx = —. Система придет в состояние покоя при условии, когда
*i = *2п> а ^i(^i) < ^ (кубик не должен соскользнуть с доски).
Отсюда следует, что коэффициент трения \х =
v0
При ЭТОМ JLJL > ;г-~ ~ 0,051.
AgL
257
Таким образом, в системе выделяется максимальное количе-
количество теплоты Q
~ 0,05 Дж при трех значениях коэффи-
коэффициента трения: [1г ~ 0,16, ц,2 ~ 0,08, |х3 ~ 0,053.
Эту часть решения можно получить из простых соображений.
Доска останавливается, а пружина оказывается в недеформиро-
ванном состоянии через целое число периодов колебаний
[м
t2n = пТ = 2пп J— .
Кубик, движущийся в одном направлении равнозамедленно ос-
останавливается в момент tx = ——. Приравнивая эти значения време-
ни, получаем приведенный выше результат. Значения целого чис-
числа п определяются из условия, что кубик не соскальзывает с дос-
доски; отсюда получим три возможных значения ц (jLij, \i2 и ji3)»
2. Для окончательного решения задачи осталось проверить
справедливость предположение о том, что кубик все время дви-
движется в одном направлении. Это условие означает, что ско-
скорость кубика в любой момент больше скорости доски.
Покажем это для случаи п = 1. Изоб-
Изобразим скорости кубика vx(t) и доски v2(t)
на графике (рис. 171). Они не должны
пересекаться на интервале @; Т). Это
условие можно записать (приблизитель-
(приблизительно) в виде
m
2пМ
При подстановке заданных числовых значений можно убедиться,
что это неравенство выполняется с большим запасом.
Аналогично можно рассмотреть случаи п = 2 и п = 3.
*11.61. Через обе трубки за время Дт протекают одинаковые
массы воды. Поэтому
Вода в верхней трубке перетекает из теплого сосуда в холод-
холодный, а в нижней - из холодного в теплый (циркуляция воды).
В каждом из сосудов давление уменьшается с высотой по линей-
линейному закону. Так как р^) < Р2(^)» давление в теплом сосуде па-
падает с высотой медленнее, чем в холодном. График зависимости
258
давлений рх и р2 от высоты между ниж- Р\> $
ней и верхней трубками представлен на /V
рис. 172. Ар
Из графика следует:
1) давления в сосудах одинаковы на
уровне ho/2;
2) Ар = ЛР?^> гДе Ар = p2(t2) -
a(t2 - tx) = aAt. Таким образом,
«аД**|.
По условию задачи
Мощность N, подводимая к теплому сосуду или отводимая от
холодного,
A)
N = c~At
*11.62. Среднеквадратичная скорость молекул в газе равна
hkT
V
т
Число ударов молекул о стенку сосуда площадью S за единицу
времени
— = -nvS, B)
где п - концентрация молекул.
В установившемся режиме должно выполняться равенство по-
потоков молекул сквозь перегородку А (и стенку Б). Тогда для пере-
перегородки А имеем
y
для стенки Б:
~n2v2
= -n2v2S,
-nov0S.
C)
D)
Аналогично, мощность переносимая молекулами, уходящими
из части 1 сосуда сквозь поры перегородки, равна мощности Р
нагревателя и мощности, переносимой молекулами приходящи-
приходящими из части 2.
259
+ i
ьтя.
E)
Решая систему уравнений C), D), E) и F), получим,
Pi =РоМ
Подставив числовые значения, находим:
Т2 = 354 К, 7\ = 408 К, р2 = 1,09 • 105 Па, рг = 1,36 • 105 Па.
*11.63. Рассмотрим произвольный момент времени после за-
замыкания ключа К. Пусть в этот момент через перемычку течет
ток /, а скорость перемычки равна v (см. рис 173). Уравнение
движения перемычки:
^- = ПВ.
dt
A)
Перепишем это уравнение в виде
mdv = IBI dt = -IB dq = -IBC dU, B)
где g - заряд, а[/- напряжение на конденсаторе. Проинтегриру-
Проинтегрируем соотношение B):
— dU,T.e. v = — (Uo-U).
т т
C)
Здесь Uo - начальное напряжение на конденсаторе. Запишем за-
закон Ома для замкнутой цепи: IBv = U - IR. Выразим из этого
уравнения силу тока / и подставим в уравнение A). Уравнение A)
будет иметь вид:
dv_
dt
(IBJ _ IBU
mR mR '
После подстановки выражения U из B) окончательно получим
уравнение движения перемычки:
в
О
/Су
12
1 П
хи
8
6
4
2
А
'/
J
(а)
7
(Р)
t с
Рис. 173
0 2 4 6 8 10Т21416^
Рис.174
260
dv Г(ШJ l 1 ши
1. Для определения Uo по заданному на рис. 174 графику v(t)
найдем при t = 0 ускорение а0 перемычки (а0 равно угловому
коэффициенту касательной к v(t)y а0 - @,43 ± 0,14) м/с2). Ис-
Используя уравнение D), вычислим Uo:
= М^. = (ЮО ± 10) В.
1В
2. Для нахождения емкости С выберем еще одну точку (t ^ 0)
и найдем скорость vx и ускорение ах перемычки для этого момен-
момента времени. Из уравнения D) вычислим емкость конденсатора С:
~R(U3U0 ) (^Г'1
с =
¦а, -
= A ±0,1)-10-3Ф.
v1 у mR ) m
3. Установившаяся скорость перемычки равна
^1 - A4.8 ± 1.6) м/с.
Погрешности полученных результатов обусловлены в основном
неточностью определения тангенса угла наклона прямых а и C.
*11.64. Каждая спектральная линия в излучении атомов цезия
создает на фотокатоде поток световой энергии, интенсивность ко-
которого периодически изменяется при изменении разности хода
А == 2vt, возникающей при движении зеркала. Изменение разно-
разности хода на одну длину волны соответствует одному периоду Т
колебаний силы тока фототока. В результате измерений числа
колебаний силы тока по графику (рис. 47.11) найдем период Т:
Т = ¦—¦ = @,113 ± 0,001) с,
здесь Д? - некоторый промежуток времени, N - число полных
колебаний фототока за это время. Таким образом,
X = hJ-h. = 2vT = 4,56 • 10 м = D56 ± 4) нм.
z
Наблюдаемые на рис. 47.11 «биения» обусловлены наложени-
наложением двух интерференционных картин для излучений с длинами
волн Хг и Х2. Максимальная амплитуда осцилляции фототока воз-
возникает в тех местах, где интерференционные максимумы для двух
спектральных линий точно совпадают друг с другом. В тех мес-
местах, в которых амплитуда колебаний фототока минимальна, мак-
максимумы одной интерференционной картины (например, для спек-
261
тральной линии Хг) совпадают с минимумами другой интерферен-
интерференционной картины (для спектральной линии Х2). Таким образом,
на периоде «биений» т (т.е. промежутке времени между двумя
точками на графике, где амплитуда быстрых осцилляции тока
минимальна) разность хода А изменяется на некоторое целое чис-
число тп длин волн Х2 и на целое число т + 1 длин волн Х1(Х1 < Х2):
2vx = тХ2 = (т + 1)Хг.
Отсюда
12,9
114, АХ= — =
тп
456
нм ~ 4 нм.
Т 0,113
Поскольку минимальное значение амплитуды колебаний фо-
фототока равно нулю, это означает, что интенсивности спектраль-
спектральных линий одинаковы:
л-
*11.65. Можно показать, что брусок массой \2тп останется в
покое. Брусок массой тп будет совершать затухающие колебания.
Его отклонения Ап и Ап _ г от положения равновесия можно найти
из закона сохранения энергии
[img(An_1 +An).
Отсюда с учетом того, что mg = ka, An _ г - Ап = 2\ia = 6 см =
= const. Имеем последовательность отклонений: Аг = 32 см,
А2 = 26 см, А3 = 20 см, АА = 14 см, А5 = 8 см, А6 = 2 см (справа).
Расстояние бруска массой тп от положения равновесия, при кото-
котором брусок уже никуда не сдвигается (зона застоя), определяется
величиной 2\ia = 6 см. Это значит, что брусок остановится, когда
отклонение равно А6.
Итак, расстояние между брусками уменьшится на 2 см.
11.66. Давление, объем и температура газа в точках i, 2 и 3
обозначим черезр,7иТ, добавляя соот-
соответствующие индексы.
1) Для участка 3-1 (см. рис. 175)
V3 Vx
— = —. Так как р3 = р0, рх = 5р0 и^ =
К
Рис. 175
3F0, то V3 = —Vo.
о
из уравнения состояния
находим
5 vR
262
2) Работа газа за цикл равна
3) Найдем температуры Тх = -^ = —^г-2- и
д т P2V2 = 7РоУо
vR 2 vR vR
На участке 2-3 газ отдает тепло, а на участке 3-1 получает
количество теплоты
Q= R(T — Т ) + ———(V — V ) =
31 л. о •П/\± 1 а 3' ' о VK1 v 3' к
V • са & О
Можно показать, что на участке 1-2 есть точка К с критичес-
критическим объемом VK таким, что при V < VK газ получает тепло, а при
V > VK отдает. При этом р = Зр0, Тк = г-2-.
Итак, за цикл газ получает тепло только на участках 3-1 и 1-
К, причем
Коэффициент полезного действия тепловой машины
Л = „ А„ = ^ « 0,35.
А 4
Замечание. Решение и ответ Г| = ТГ~ = — ~ 0,44 неверны!
ЧГ31 "
11.67. Направим ось х вдоль шин, совместив начало координат
с начальным положением перемычки. Пусть х - координата пере-
перемычки, vx - проекция скорости на ось х, I - сила тока через
перемычку. По второму закону Ньютона
По закону Ома
Бих/ - L^ = 0. B)
Продифференцируем уравнение A) по времени и подставим в
dl
него — из уравнения B):
d2v, B2l2
dt2 mL
263
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических коле-
баний для vx с частотой со
Скорость перемычки изменяется по закону vx = u0cos ш?. Пере-
Перемычка совершает гармонические колебания х = — sin со? с пери-
0)
одом (искомое характерное время) Т = 2я
и амплитудой (мак-
симальное удаление от начального положения) А
voy[mL
Bl
11.68. Направим ось х вдоль линии движения среднего шари-
шарика, поместив начало координат в точку его равновесного положе-
положения (рис. 176). Если в произвольный момент координата и ско-
скорость среднего шарика соответственно равны х и v = х, то коор-
координата и скорость (в проекциях на ось х) крайних шариков будут
-х/2 и -v/2. Полная энергия системы сохраняется:
mv2
m(v/2J
& a cos a a
const
или
3 2 fcg2
-тт;2 + —^
4 2 а cos а
= const.
I 2
Учтя, что cos a = ijl ~ тг~ и продифференцировав по времени
последнее уравнение, получим
Skg2
х
2а
Рис.176
Так как — <^ 1, то получаем дифферен-
дифференциальное уравнение гармонических ко-
колебаний
4та3'
264
Период свободных колебаний системы шариков равен
\4та3 jl6m0mas
Т e 2n\ik? = 2ni sq2 •
11.69. 1) В установившемся режиме (после замыкания ключа
Кх) через Lx течет ток /0 =
R
2) Пусть в некоторый момент после размыкания К2 напряжение
U на конденсаторе стало максимальным, а токи через катушки ста-
стали равными 1г и /2. Эти токи текут через катушки Lx и L2 в противо-
противоположных направлениях. Ясно, что в этот момент 1Х = /2. В контуре
из катушек Ьг и L2 сумма магнитных потоков сохраняется:
Ьг1г + L2/2 = L^. A)
По закону сохранения энергии
2 2 2 2 ' B)
Решая совместно уравнения A) и B), находим максимальное
напряжение на конденсаторе
U =
*11.70. 1. Рассмотрим систему координат, связанную с верх-
верхней стороной ленты. Начало отсчета (t = 0) - момент вкатывания
трубки на ленту. Начальная скорость центра масс трубки v@) = v0 - и,
начальная скорость точек на поверхности трубки относительно
центра масс ивр@) = v0. При проскальзывании трубки на нее дей-
действует сила трения скольжения FTp = \iMg (рис. 177). Запишем
временные зависимости этих скоростей:
v(t) - v0 - и + \xgt, vBV(t) = v0 - \\gt.
Трубка покатится без проскальзывания при t = t19 когда и(гг) =
т.е. v0 - и + \igtx = и0 -
отсюда ^! =
2. Скорость трубки после окончания
проскальзывания
и
В неподвижной системе координат
скорость установившегося движения
центра масс трубки при t > tx будет рав-
равРис.177
265
Начальная кинетическая энергия трубки равна
1 о 2 2 т ио '
а при ? = t x
M(vn+u/2)> M(va-u/2? 2 и2
1 2 2 ° 4 "
Изменение кинетической энергии
3. Количество теплоты, которое выделится при проскальзыва-
проскальзывании, равно изменению кинетической энергии AT' = Т'о - Т\ труб-
трубки в системе координат, связанной с движущейся лентой. На-
Начальная кинетическая энергия трубки
т =
1 о
о - 2 ¦ 2 '
а при t = tx
= М(ио-ц/2J М(ио-ц/2J
1 2 2
Уменьшение кинетической энергии трубки равно выделивше-
выделившемуся количеству теплоты:
*11.71. В любой момент в процессе сближения тел галактики
сила, действующая на i-ю частицу со стороны у-й, равна
а сила, действующая на i-ю частицу со стороны всех остальных,
Ft =
у
Центр масс С системы материальных точек определяется сле-
следующим образом:
где Rc - радиус-вектор масс, г. - радиус-вектор у-й частицы, М -
полная масса галактики. Если начало координат выбрать в точке,
где находится i-я материальная точка, то
'Л
266
Таким образом,
Каждая частица притягивается к центру масс с силой, прямо
пропорциональной ее массе mt и расстоянию RiC до центра масс
(квазиупругая сила). Такой силе соответствуют гармонические
2п
одинаковым для
колебания с периодом Т _..tf
у amtM
всех частиц. Через время Т/4 все частицы одновременно соберут-
соберутся (схлопнутся) в центре масс. Это и есть «время жизни» объекта
~ 3>14 • Ю9 с « 100 лет.
*11.72. Идеальный холодильник работает по обратному циклу
Карно. Температура в комнате изменяется мало, и ее, как темпе-
температуру более нагретого тела тепловой машины, можно считать
постоянной и равной Го. Имеем
f = о", А = Nt, QK = А + g/n0, QK =
'О ^
- Го).
Здесь А - работа, совершенная над рабочим телом холодильника,
QK - количество теплоты, полученное комнатой, t - время работы
холодильника, Тк - конечная температура воздуха в комнате,
Cv = — - молярная теплоемкость воздуха при постоянном объ-
еме, v = -?=— число молей воздуха. Из записанных уравнений
находим
мин,
~ i
2 дтото
*11.73. Заменим бесконечную цепоч-
цепочку эквивалентной схемой, содержащей
первое звено и нелинейный элемент X
(см. рис. 178). Вольт-амперная харак-
характеристика (ВАХ) этого элемента совпа-
совпадает с ВАХ бесконечной цепочки, задан-
заданной в условии. Построим на графике,
« 318 К.
R
X
Ъ0-
Рис. 178
267
R
X
I, A
1,0
0,8
0,6
0,4
0,25-
0,2
0
/ у
//
'/
H 2
1,25
Рис.
/
/
3 41
180
Рис.179
заданном в условии задачи, вольт-амперную характеристику резис-
резистора R (прямая, проходящая через точку U = 0, / = 0) (см. рис. 179).
На этом же графике построим сумму ВАХ резистора jR и нелинейно-
нелинейного элемента X. Обозначим эту характеристику через R + X.
Выберем теперь некоторое напряжение Ux на входе цепочки.
Определим по ВАХ элемента X силу тока /, соответствующую
выбранному напряжению. Такая же сила тока будет протекать
через элемент Z и через параллельно включенные R и X. Опреде-
Определим по графику напряжение UR + х, а затем напряжение на эле-
элементе Z, равное Uz = Ux - UR + X.
Таким образом, задавая различные напряжения Ux, можно оп-
определить силу тока Iz = / и напряжение Uz на нелинейном эле-
элементе Z. Это позволяет построить его вольт-амперную характери-
характеристику (рис. 180). Точка излома ВАХ есть
U=UO-1B= 1,25 В, / = /0 = 0,25 А.
*11.74. Заменим заданную сферически симметричную среду с
непрерывным распределением показателя преломления п{В) сфе-
сферически слоистой средой. Рассмотрим два тонких сферических
слоя, радиусы которых Rx и R2 (см. рис. 181). Луч падает на гра-
границу раздела этих сред под углом а. По закону преломления
nl sin a = n2 sin |3. A)
Из треугольника ОАВ по теореме синусов
siny Rx R2
Подставляя B) в A), получаем
Rln1 sin a = R2n2 sin y« C)
Это соотношение означает, что вдоль
распространяющегося луча в сферически
симметричной среде
Rn(R) sin ф (R) = const, D)
где R — текущее значение радиуса, n(R) —
показатель преломления, соответствую-
Рис.181
268
щий данному радиусу, (р (К) - угол падения света на сферическую
границу с данным значением радиуса R.
Подставляя в D) заданную в условии зависимость n(R)9 получим
п0
TrR sin ф = const.
п0
E)
откуда
При минимальном расстоянии от центра симметрии до траек-
траектории луча угол ф = 90°. Следовательно,
j? R2 sin 30° = fQ R2min9
Rmin = i^VsinSO0 = 56,6 см,
причем Rmin > Ro.
11.75. Изобразим схему, эквивалентную схе-
схеме в условии (рис. 182). При сравнении участ-
участков СМ В и CNB заметим, что
Фм = Флг = (Фс + Фв)/2-
Теперь легко подсчитать сопротивление R^:
0м.
11.76. Пусть шайба массой т вращается по окружности радиу-
радиусом R со скоростью v0 на высоте h. Ясно, что
R
mg tg а, отсюда
и02 = gR tg а (рис. 183). Для профиля воронки у = -k/r2, где /г > 0,
имеем у' =— = —з" = -2у/г. Тогда
2(Я-Л)
Следовательно, v02 = gRtga= 2g(H - Л).
По закону сохранения энергии
mv
mgH1 =
Рис.183
Из последних двух равенств находим v = \2g(H - Нг) ^ 3,8 м/с.
11.77. На систему «санки - собака» за время их взаимодей-
взаимодействия действуют внешние силы: направленные вертикально вниз
силы тяжести Mg и mg> изменяющаяся со временем сила реак-
269
ции R со стороны горки. При движе-
движении санок с горки с постоянной скорос-
скоростью сила R всегда направлена верти-
^ кально вверх, так как результирующая
Mg x всех сил должна быть равна нулю. Раз-
Рис. 184 ложим R (рис. 184) на силу нормально-
нормального давления N и силу трения FTp : R = N + FTp. Ясно, что FTp =
= jiiV, где ji - коэффициент трения скольжения. До прыжка сила
реакции Ro = NQ + -FTp0, где Frp0 = \jlN0 и вектор Ro направлен
вертикально вверх. В ходе взаимодействия собаки с санками ре-
реакция N возрастает в k раз (N = kN0), сила FTp тоже возрастает в
k раз и вектор R остается параллельным До, т.е. вектор R на-
направлен вертикально вверх. Итак, для системы «санки — собака»
за время их взаимодействия все внешние силы направлены вер-
вертикально. Отсюда следует, что проекция импульса системы на
горизонтальную ось х сохраняется:
Mvx cos a + mv0 cos (P - а) = (М + т) v2 cos а.
Из этого равенства находим скорость санок с собакой:
Мц cos a + mv0 cos(C - а)
2 (М + ттг) cos а
11.78. Направим ось Ох вдоль оси пружины. Начало коорди-
координат совместим с центром масс тела, соединенного с недеформиро-
ванной пружиной. Пусть под действием вынуждающей силы
F(t) = FQ cos(a)t -f P) тело совершает вынужденные колебания с
частотой со и амплитудой А. Тогда координата х, скорость и уско-
ускорение тела будут соответственно равны:
х = A cos((o? + a),
vx = -coA sin (со* + а),
ах = -со2А cos (ш? + а).
По условию,
mvl тел2А2 . 9 , . , kA2 9,
-^ = —^— sm (wf + а) + ~y~ cos2 (со* + а).
Это равенство будет выполняться при любом t, если тжо2 = k. От-
Отсюда о = ^Jk I т и А = vo^Jm / k . Подставим в уравнение второго
закона Ньютона
та^. = -уих - fex + F cos (со* + Р)
записанные выше выражения для х, vx, ax, со и А. После преобра-
преобразований имеем:
270
yvQ sin № + °0 = ^o cos(co? + P).
Если это равенство выполняется при любых t, то а и р связаны
соотношением а + — = Р, а искомая сила Fo = yv0.
11.79. Сначала рассмотрим, как из-
изменяется температура Т газа при дви-
движении вдоль отрезка ВС, задаваемого
V р
уравнением — + — =1 (рис. 185). Для
Ро
v молей газа pV-
PV
: vPT. Поэтому Т = — =
О
Ро
vRV0
(V0V - V2). Максимум Т будет в
Рис. 185
некоторой точке А при V =
~-. Это значит, что точка А находится
на середине гипотенузы прямоугольного треугольника АОВС и по-
поэтому равноудалена от точек О, Б и С.
Возьмем произвольный цикл (рис. 186). Проведем ряд изотерм.
Изотерма с наибольшей температурой, касающаяся кривой цик-
цикла (точка А на рис. 186), соответствует максимальной температу-
температуре в цикле. Проведем через точку А общую касательную к кривой
цикла и изотерме. Ясно, что максимальная температура на каса-
касательной соответствует точке А. По доказанному выше, эта точка
равноудалена от начала координат и точек пересечения касатель-
касательной с осями координат: АО = АВ = АС. Теперь понятен алгоритм
восстановления осей.
1. Проводим касательную в точку А (рис. 187).
2. Проводим окружность с центром в точке А и радиусом АО.
3. Через точки пересечения окружности с касательной прово-
проводим оси координат.
О
Рис. 186
Рис.187
271
4. Из двух возможных вариантов направлений осей р и V вы-
выбираем тот, который удовлетворяет условию задачи.
11.80. Обозначим через х смещение центра масс бруса, Nt —
реакция опор (рис. 188). Запишем второй закон Ньютона и урав-
уравнение моментов относительно центра масс:
Nx + N2 = Mg,
Nx(L/2 - x) = N2(L/2 + x),
где М - масса бруса, g - ускорение свободного падения. Предпо-
Предположим, что проскальзывание есть на обоих валиках. Тогда
FTV = k(N1 - N2) = ~kMg2x/L.
_* Из второго закона Ньютона в проекции
О'
м
на горизонтальную ось следует, что брус
будет совершать гармонические колеба-
колебания с частотой
-L/2 L/2 Шо = i]2kg IL = 1,72 с. A)
Рис. 188 Из A) видно, что частота колебаний не
зависит от начальных условий и от ско-
скорости вращения валиков. Следовательно и после уменьшения ско-
скорости вращения валиков эта частота не изменится, т.е. Q = ш0. До
уменьшения скорости вращения валиков амплитуда колебаний бру-
бруса Аг = ocL = 0,75 м, а амплитуда скорости
их = А1соо — 1,29 м/с.
Поскольку vx < (dR = 5 м/с, предположение о проскальзывании
бруса по обоим валикам оказалось верным. Новая скорость вра-
вращения валиков ш2 = ОДсс^. Амплитуда скорости бруска v2 =
= А2(оо не должна быть больше скорости точек поверхности вали-
валиков, т.е.
Отсюда
со2
А2 = — R ^ 0,29 м.
ш
2
*11.81. 1. В первом случае происходят колебания математи-
математического маятника с длиной подвеса Ъ = V/2 - а2 :
/ ?2 2
2. Так как нить нерастяжимая, то АС + СВ = 21. Следователь-
Следовательно, во втором случае бусинка С движется по эллипсу с фокусами
А и В. Длина малой полуоси Ъ = V/2 - а2 , большой полуоси - I.
Уравнение эллипса:
272
х2 ^ У2 л
Тогда получим: Ay ~ Ьх2/B12). Значит, при
отклонении бусинки по горизонтали на х
потенциальная энергия возрастет на
1 х2
АП = mgAy ~ -mgb-jY-
о
В х
Рис.189
Пусть кинетическая энергия бусинки Т ~ — тпх2.
А
Отсюда следует: со2,, ~ gb/l2, то есть со2,, ~ g^f _ a^ /I2.
со±
3. Из рис. 63.11, б в условии задачи видно, что ш = 2. Отсюда
получаем:
*11.82, При постоянном напряжении:
eQS
При периодической последовательности импульсов:
F2 = m2g
Отсюда:
Vo = Vx Щ^ = 1500 В.
*11.83. Перед размыканием ключа К сила тока, текущего че-
через катушку L равна
Пусть после размыкания ключа К в цепи
текут токи, положительные направления
которых изображены на рис. 190.
По правилам Кирхгофа можно запи-
записать систему уравнений:
^ - If = 0,
dl,
2ILR
= 0.
B)
C)
L, R
,'# ,
R Rr
Рис.190
10 Козел
273
Из A) и B) найдем, что JL = Ir(r + 2Д1)/BД1). После подстановки
этого выражения в C) получим:
dIL _ rR
It ~
Заряд, протекший через микроамперметр, за время dt:
LRl
dQ dI
Поскольку конечная сила тока через катушку IL2 = 0, то полное
изменение силы тока равно -<g/(Rx + R), а полный заряд равен
^ = 2R(R + г) + BR + r)Rx + rR2 / Rx '
Q достигает максимального значения, когда BR + r)Rx + rR2/Rl
минимально. А это имеет место при условии BR + r)Rt = rR2/Rv
Ответ можно получить, продифференцировав знаменатель выра-
выражения для Q по Rx и приравняв производную нулю.
Окончательно получим: Rx = R^
11.84. В системе отсчета, движущейся со скоростью реки вниз по
течению, траектория лодки - прямая АК. Проведем через точки С и
D прямые BD и FC, параллельные линии берега реки (рис. 191).
Так как скорость течения реки постоянна, расстояние BD, на
которое снесет лодку за 2 с, в два раза больше расстояния FC
сноса лодки за 1 с, т.е.
BD : FC = 2. A)
Выразим длины отрезков BD и FC в числах клеток. Обозначим
длину отрезка ВМ через х. Тогда длина
BD = х + 3.
Из подобия треугольников AFN и АВМ получим
B)
FN
AN
ВМ AM
б
_2
3
Следовательно, FN = — х, а длина отрезка
о
C)
Из A), B) и C) находим х = 3.
По условию задачи — = tg а, но
274
tg cc =
BM
AM
_3
6
1.
2
Отсюда следует
U = -v0 = 0,5 м/с.
11.85. Пусть дополнительное слагаемое в выражении для внут-
внутренней энергии при объеме Vx равно П19 а при объеме V2 равно П2.
Внутренняя энергия газа при указанных в скобках объеме и тем-
температуре для каждого процесса, происходящего в газе, равна
A)
Здесь cv = 3R/2. Запишем уравнения закона сохранения энергии
в процессах при разрыве перегородки и при адиабатическом сжа-
сжатии газа до объемов Vx и V2:
= U(T\Vl)-U(T,V2)
= U(T2,V2)-vcvT + (-
Решая систему уравнений A) и B), находим
B)
Г = Т + Тх - Т2 +
2(А2-А1)
SvR
11.86. Рассмотрим две части конденсатора, разделенные уров-
уровнем х поднявшегося масла, как параллельно соединенные кон-
конденсаторы. Поскольку <2 <$С R,L, то емкость каждого конденсатора
можно найти по формуле емкости плоского конденсатора:
c-c1 + c2-d+d- d + - -
_ 2ne0R[(E - l)x + L]
где x - высота подъема масла в зазоре.
Энергия заряженного конденсатора
Q2d
Электрическая сила, втягивающая масло, равна
275
(е - l)Q2d
F(*) = -^=4neojR[(e-l)* + L]2-
На масло в зазоре конденсатора действуют также сила тяжести
Р(х) = 2nRxdpg и сила поверхностного натяжения Fn0B, не завися-
зависящая от х. Запишем условия равновесия масла в обоих случаях:
и F +
Вычтем из второго уравнения первое и подставим выражения для
{z-l)Q2d
откуда
я(в + 1)RL
^ 2
11.87. Наименьшая возможная амплитуда колебаний Ux на кон-
конденсаторе С2 будет при замыкании ключа К2 в момент, когда на
конденсаторе Сг напряжение максимальное, т.е. Uo. Конденсатор
С2 быстро зарядится и в цепи выделится энергия (тепло или излу-
излучение). При этом новое напряжение на конденсаторе и будет Ux.
Так как заряд сохраняется, то
CXUO = (С, + C2)UX.
Отсюда
их = иосг/(сг + с2).
Наибольшая возможная амплитуда колебаний U2 на конденса-
конденсаторе С2 будет при замыкании ключа К2, когда конденсатор Сх раз-
разряжен. По закону сохранения энергии
Схи02/2 = (С, + C2)U22/2.
Отсюда U2 = ио^Сх I (Сг + С2). Искомый интервал значений на-
начальной амплитуды напряжения
i + С2) < U <
Окончательно находим 4В <U < 12 В.
11.88. Пусть 8 - угол наибольшего отклонения луча, прошед-
прошедшего сквозь линзу, А — точка фокальной плоскости, О — оптичес-
оптический центр линзы, ОС — ее радиус (рис. 192).
Рассмотрим треугольник САО, высота которого равна фокус-
276
Рис. 192
ному расстоянию линзы. Угол А при вершине этого треугольника при-
примет максимальное значение, когда СА = АО. Заметим, что ZCAO = 8,
как накрест лежащие углы.
Выполним необходимые построения на схеме из архива. Из точ-
точки А циркулем сделаем засечки на продолжении в сторону линзы
луча АВ и луча, проходящего через точку А параллельно падающе-
падающему пучку. Пусть это будут точки С" и О'; проведем через них пря-
прямую и отложим на этой прямой отрезок О'Р, равный радиусу лин-
линзы. Край линзы - это точка С, которая расположена на пересече-
пересечении прямой АВ и прямой, параллельной АО' и проходящей через
точку Р. Сама линза параллельна прямой СО. Далее находим центр
линзы О и главную оптическую ось OF.
11.89. Запишем второй закон Ньютона для груза на пружинах:
d2x , _
m -7= ~rag cos a + F,
at
A)
где F — сила, действующая на груз со стороны пружин. Ускорение
груза ——, совершающего гармонические колебания, выражается
соотношением
d2x А 2 . 2я
—j = -Аи>г sin (of, со = —.
Сила реакции наклонной плоскости, действующая на ящик,
N = (М - /n)^ cos a + .F. B)
Подставив в B) выражение для F из A), получим
N = М^ cos a - тпАсо2 sin cof. C)
Ящик не будет подпрыгивать, если в любой момент времени
N > 0, что выполняется при условии Mg cos a > со2 Am, т.е. при
2 А
ттс #!Г2 cos a '
277
Поскольку, согласно условию задачи, \i = tg а, то всегда ^тр =
= \iN. Следовательно, для любого момента времени
a{t) = ——с— = ц —Лиг sin со*.
м м
Скорость движения ящика
t
v(t) = J a(t)dt = \i — Aco(l - cos со*). D)
о M
Из D) видно, что скорость ящика изменяется с периодом Т, по-
поэтому средняя скорость за большое время равна
11.90. Пусть q - заряд конденсатора. По закону Ома
ииэ + % = Г. A)
Из A) следует, что q = С(^ - С/нэ), откуда, в свою очередь,
d<z = -CdUm. B)
Ток зарядки конденсатора
7 - dt " /- + "в" " "н"' C)
ибо, согласно условию задачи 1ИЭ <К /. Из B) и C) получим
Выделившееся на НЭ количество теплоты найдем по формуле:
о
QH3 = j UJBdt ~-RCJ I»dUH, E)
О Ш
так как при протекании тока напряжение на НЭ изменяется в пре-
пределах от % в первый момент времени до нуля по окончании заряд-
зарядки конденсатора. Поэтому Q = RCS, где S - площадь под графиком
ВАХ. По графику определяем, что S — 51,5 мВт, и тогда находим
11.91. Сразу после замыкания ключа К конденсатор будет раз-
разряжаться через катушку L2. Зависимость силы тока I2(t) от вре-
времени будет иметь вид:
sin woi * = ~f Jt" sin cool t, A)
* V n
278
где соО1 = 1/JZfi = 1/B JZfi) - собствен-
собственная частота Ь2С-контура. Эта зависимость
будет иметь место при 0 < t < п ^ЦС.
Рассмотрим теперь характер измене-
изменения тока 12 после того, как он достигнет
максимального значения. Для произ-
произвольного момента времени положительные
направления токов изображены на рис. 193.
Запишем закон Ома для контура, включающего обе катушки:
1 d* 2 d*
Отсюда следует, что LlIl + L2I2 = const. Константа, очевидно,
равна VoyJL2C . Из первого правила Кирхгофа следует, что 12 = 1Х + /3.
Для контура, в который входят катушка L2 и конденсатор С, можно
записать:
Рис-
d* c
Продифференцируем это выражение по времени:
2 ^2 С dt
= Ia, a I3 = I2 - i\ = I2 + -jrl2 -
Поскольку
ние B) можно переписать в следующем виде:
d2/.
I^Lfi 2
Собственная частота контура соО2 =
уравнения C) ищем в виде:
B)
уравне-
C)
. Решение
/2 = A cos (coO2f) + В sin (coO2?) +
Константы А и В находим из начальных условий: при t = О
I—
сила тока в катушке L2 максимальна и равна ^ovT~' а ПРОИЗВ°Д"
d/9
ная
= 0. Окончательно:
279
Отсюда
D)
v fc~
С учетом, что L2 = 4LX, получим: /2(?) = т?" Jt~ fcos(co02t) + 4J.
Зависимость I2(t) изображена на рис. 194, где tx = nJLfi, t2
1 "I , (. . 2 1 ( Г. З
2 V Z/1,
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
/
/
Рис.194
^
11.92. Проведем прямую SS\ оптический центр линзы О ле-
лежит где-то на ней.
Середина палочки М и ее изображение N лежат соответствен-
I
V
но на расстояниях — и — от S и S', т.е. на окружностях радиусов
I V
¦г и — с центрами в S и S'. Из условия следует, что MN - главная
оптическая ось, причем она перпендикулярна палочке и изобра-
изображению, а значит, и проведенным в точки М и N радиусам указан-
указанных окружностей. Поэтому проведем MN так, чтобы она каса-
касалась обеих окружностей. Это можно сделать четырьмя способами,
два из которых показаны на рис. 195, 196. Еще два являются их
симметричными отображениями относительно SS'. Ход дальней-
дальнейших построений одинаков для всех случаев.
Оптический центр О линзы находится на пересечении MN
vlSS'.
280
Рис.195
Линзу АВ построим как перпендикуляр к MN в точке О.
На рис. 195 S и S' находятся по разные стороны линзы, следо-
следовательно, линза собирающая, aS'- действительное изображение.
Во втором случае изображение мнимое и уменьшительное, зна-
значит, линза отрицательная.
Любой луч, вышедший из S, должен прийти в S'; поэтому про-
проведем луч SC\\MN; тогда точка пересечения преломленного луча
CS' (или его продолжения) и прямой MN будет фокусом F. Второй
фокус F находим из симметрии относительно плоскости линзы.
Предмет и изображение найдем, достроив их симметрично глав-
главной оптической оси MN.
Рис.196
Часть V. Экспериментальный тур.
Условия
9
класс
9.1. Найдите центр тяжести тела, имеющего геометрически
неправильную форму.
Оборулование: тело геометрически неправильной формы, нить длиной
~ 20 см.
9.2. Исследуйте зависимость силы взаимодействия металличес-
металлической гайки с подковообразным магнитом от различных положе-
положений металлической перемычки, соединяющей полюса магнита.
Оборулование: подковообразный магнит, металлическая перемычка, гай-
гайка, нить, динамометр, миллиметровая бумага.
9.3. Определите плотность пластилина рпл.
Оборулование: кусок пластилина, сосуд цилиндрической формы с водой
(р = 1 г/см3), линейка.
9.4. Изготовьте из листа бумаги модель моста, выдерживающе-
выдерживающего максимальную массу груза. Груз следует устанавливать в цен-
центре модели моста. Определите массу груза.
Оборулование: лист бумаги, линейка, два одинаковых бруска, разновесы.
Примечание. Модель устанавливается на брусках, расстояние
между которыми 25 см; ширину той части моста, на которой уста-
устанавливаются разновесы, следует сделать равной 2 см.
9.5. Определите теплоемкость монеты.
Оборулование: монеты C-5 шт.) одинакового достоинства, два термомет-
термометра, пенопластовые стаканы с горячей и холодной водой (удельная теплоем-
теплоемкость воды с = 4200 ДжДкг* К)), весы, нитки.
9.6. Определите коэффициент трения скольжения дерева о ма-
материал, покрывающий рабочий стол.
Оборулование: две деревянные линейки разной длины.
Внимание! Наклонять стол ЗАПРЕЩЕНО!
9.7. Найдите отношение жесткостей двух пружин.
Оборулование: две пружины, лист бумаги.
9.8. Если в плоском образце из некоторого материала возник-
возникнет трещина, то при определенном механическом напряжении эта
трещина начнет расти вплоть до разрушения образца. Трещина
длины Ь, которая при данной нагрузке еще не начинает расти,
называется критической длиной трещины.
282
Исследуйте зависимость критической длины трещины (разре-
(разреза) в бумажной ленте от нагрузки. Разрез делайте поперек ленты
в ее середине.
Оборулование: рулон бумаги шириной 10 см, динамометр, трубка металли-
металлическая длиной 12 см, деревянный брусок размером 2 см х 2 см х 15 см, струб-
струбцина, капроновый шнур, кнопки, линейка, лезвие.
9.9. Найдите отношение диаметров булавок.
Оборулование: две линейки без делений, две булавки (или иголки), кусок
фольги.
9.10. Определите минимальную температуру, достижимую при
перемешивании поваренной соли со снегом (или мелко наколо-
наколотым льдом).
Оборулование: два калориметра, весы с разновесами, калориметрическое
тело (на нитке) с известной удельной теплоемкостью ст, термометр лаборатор-
лабораторный спиртовой, сосуд с водой, мензурка с делениями.
9.11. Определите плотность картофелины.
Оборулование: картофелина средних размеров, банка с водой, иилиндр
измерительный, навески поваренной соли по 5 г, стеклянная палочка.
9.12. Определите отношение диаметров головки булавки и ее
длинной части.
Оборулование: булавка, кусок фольги, бумага белая формата А4.
9.13. Определите массу одного метра проволоки.
Внимание! Исследуемую проволоку запрещается выпрямлять.
Оборулование: кусок проволоки, линейка, гайка, сосуд с водой, нитки.
9.14. Исследуйте зависимость периода колебаний стержня, под-
подвешенного на нитях к штативу, от расстояния h между центром
массы стержня и точкой его подвеса. Определите расстояние
h = h0, при котором период Т колебаний минимален.
Примечание. Стержень относительно точки подвеса располагает-
располагается симметрично и совершает колебания в плоскости, проходящей че-
через точку подвеса и концы стержня.
Оборулование: однородный стержень, штатив, суровая нить, секундомер,
линейка, миллиметровая бумага.
9.15. Перекиньте нить через вал. К ее концам прикрепите грузы
массы m и тп0. Увеличивая массу т, добейтесь равномерного сколь-
скольжения нити. Определите характер зависимости т от радиуса вала.
Повторите эксперимент для разного числа оборотов нити вокруг вала.
Опишите (качественно) зависимость т от угла ф охвата вала нитью.
Оборудование: три вала различного диаметра, нить, груз массы т0, груз
массы т (пластиковая бутылка объемом 0,5 л, в которую можно наливать тре-
требуемое количество воды).
9.16. Определите плотность соляного раствора.
Оборулование: сосуды с дистиллированной водой и соляным раствором,
кусов пластилина, карандаш, линейка, нитки.
283
9.17. Определите массу т2 неизвестного груза.
Оборулование: два груза (масса т} одного из которых известна), нитка,
миллиметровая бумага, кнопки.
9.18. Из куриных яиц можно собрать на шероховатом столе пи-
пирамидку, которая будет устойчива, т.к. между скорлупками яиц
действует сила трения покоя, препятствующая их качению. Опре-
Определите значение коэффициента трения покоя между скорлупой двух
куриных яиц. До окончания эксперимента яйца разбивать нельзя.
Оборулование: линейка, вертикальный упор, салфетка, которая стелится
на лабораторный стол, угольник.
Лополнительное оборулование: два куриных яйца, сваренных вкрутую, раз-
размеры и вес которых можно считать одинаковыми, хлеб, соль.
Примечания.
1. Следует считать, что максимальная сила трения пропорциональна
силе нормального давления на скорлупу. Упор покрыт материалом с
высоким коэффициентом трения.
2. По окончании эксперимента дополнительное оборудование можно съесть.
9.19. Определите, на сколько микрон отличаются радиусы ще-
щечек (рис. 1.9) выданной вам шпульки от швейной машинки.
Оборулование: шпулька от швейной машинки, линейка, три булавки, лист
бумаги.
щечки
Рис. 1.9
9.20. Определите отношение масс монет разного достоинства.
Оборулование: монетки двух достоинств (по 15-20 штук), воздушный ша-
шарик, нитка, вода.
*9.21. Определите сопротивление резистора.
Оборулование: источник тока, резистор известного сопротивления Ru ре-
резистор неизвестного сопротивления R2, стаканчик (стеклянный на 100 мл), тер-
термометр, часы (можно использовать свои наручные), миллиметровая бумага,
кусок пенопласта, сосуд с водой.
*9.22. Определите коэффициент трения бруска о стол.
Оборулование: брусок, линейка, штатив, нитки, гиря известной массы.
*9.23. Определите вес плоской фигуры.
Оборулование: плоская фигура, линейка, гирька, карандаш.
*9.24. Исследуйте зависимость скорости струи, вытекающей
из сосуда, от высоты уровня воды в этом сосуде.
Оборулование: штатив с муфтой и лапкой; стеклянная бюретка со шкалой и
резиновой трубкой; пружинный зажим; винтовой зажим; секундомер; ворон-
воронка; кювета; стакан с водой; лист миллиметровой бумаги.
284
*9.25. Определите температуру воды, при которой ее плотность
максимальна.
Оборулование: стакан с водой при температуре t = 0° С; металлическая
подставка; термометр; ложечка; часы; маленький стакан.
*9.26. Определите силу разрыва Т нити.
Оборулование: планка длиной / = 50 см; нить или тонкая проволока; линей-
линейка; штатив; груз известной массы m (mg < Т).
*9.27. Определите коэффициент трения металлического цилин-
цилиндра о поверхность стола.
Оборулование: два металлических цилиндра приблизительно одинаковой массы
(масса m более легкого иилиндра задана); линейка длины 40 - 50 см; динамометр.
*9.28. Исследуйте содержимое механического «черного ящика».
Определите характеристики твердого тела, заключенного в «ящике».
Оборулование: динамометр, линейка, миллиметровая бумага, «черный ящик» -
закрытая банка, частично заполненная водой, в которой находятся твердое тело
с прикрепленной к нему жесткой проволокой. Проволока выходит из банки
сквозь малое отверстие в крышке.
*9.29. Определите плотность и удельную теплоемкость неизве-
неизвестного вам металла.
Оборулование: калориметр, пластмассовый стакан, ванночка для проявки
фотографий, измерительный цилиндр (мензурка), термометр, нитки, 2 цилиндра
из неизвестного металла, сосуд с горячей (fr = 60° -70°) и холодной (tx - 10° -15°)
водой. Удельная теплоемкость воды св = 4200 Аж/(кг« К).
*9.30. Определите модуль Юнга стальной проволоки.
Оборулование: штатив с двумя лапками для крепления оборудования; два
стальных стержня; стальная проволока (диаметром 0,26 мм); линейка; динамо-
динамометр; пластилин; булавка.
Примечание. Коэффициент жесткости проволоки зависит от моду-
модуля Юнга и геометрических размеров проволоки следующим образом
k = Ej,
где I - длина проволоки, a S - площадь ее поперечного сечения.
*9.31. Определите концентрацию поваренной соли в выданном
вам водном растворе.
Оборулование: стеклянная банка объемом 0,5 л; сосуд с водным раствором
поваренной соли неизвестной кониентраиии; источник переменного тока с
регулируемым напряжением; амперметр; вольтметр; два электрода; соедини-
соединительные провода; ключ; набор из 8 навесков поваренной соли; миллиметровая
бумага; емкость с пресной водой.
*9.32. Определите сопротивления милливольтметра и милли-
миллиамперметра для двух диапазонов измерений.
Оборулование: милливольтметр E0/250 мВ), миллиамперметр E/50 мА), два
соединительных провода, медная и цинковая пластины, соленый огурец.
*9.33. Определите плотность тела.
Оборулование: тело неправильной формы, металлический стержень, линей-
линейка, штатив, сосуд с водой, нить.
285
*9.34. Определите сопротивления резисторов R19 ..., R7, ампер-
амперметра и вольтметра.
Оборулование: батарейка, вольтметр, амперметр, соединительные прово-
провода, переключатель, резисторы: R}- R7.
*9.35. Определите коэффициент жесткости пружины.
Оборулование: пружина; линейка; лист миллиметровой бумаги; брусок; груз
массой 100 г.
Внимание! Не подвешивайте груз на пружине, так как при
этом вы превысите предел упругой деформации пружины.
*9.36. Определите коэффициент трения скольжения спичечной
головки о шероховатую поверхность спичечного коробка.
Оборулование: коробка со спичками, динамометр, груз, лист бумаги, линей-
линейка, нить.
*9.37. Деталь волоконно-оптического соединителя представляет
собой стеклянный цилиндр (показатель преломления п = 1,51), в
котором имеется два круглых цилиндрических канала. Торцы де-
детали заклеены. Определите расстояние между каналами.
Оборулование: деталь соединителя, миллиметровая бумага, лупа.
ю
класс
10.1. Смешивая снег с солью, определите концентрацию соли,
необходимую для получения минимальной температуры смеси.
Оборулование: калориметр, термометр, весы с разновесами, снег или ко-
колотый лед, поваренная соль.
10.2. Определите длину куска металлической проволоки.
Оборулование: источник тока, амперметр, вольтметр, ключ, соединитель-
соединительные провода, реостат, кусок металлической проволоки.
Примечание. Металлическая проволока такая же, как и на рео-
реостате. Ее удельное сопротивление р задано.
10.3. а) Из двух линз соберите зрительную трубу, имеющую
максимальное угловое увеличение Га.
Определите величину этого увеличения Га.
б) Поместите оставшуюся свободной линзу внутри зрительной
трубы вблизи фокальной плоскости объектива. Опишите, каким
образом изменились оптические свойства зрительной трубы, и
объясните, почему это произошло.
Оборулование: три собирающие линзы, линейка.
10.4. Определите среднее значение обратного тока через диод.
Оборулование: диод, источник тока, неградуированный микроамперметр, кон-
конденсатор известной емкости, соединительные провода, переключатель, секундомер.
10.5. Определите зависимость коэффициента поглощения све-
286
та смесью молока с водой от объемного отношения последних.
Постройте соответствующий график.
Оборулование: молоко, пипетка, источник тока, два переключателя, соеди-
соединительные провода, миллиметровая бумага, черная бумага, ножницы. В комп-
комплект оборудования также входят закрепленные на подставках: две лампочки,
две собираюшие линзы, два матовых стекла, экран, стеклянная кювета с водой.
Примечание. Коэффициент поглощения света а кюветой с мут-
мутным раствором равен отношению световых потоков на выходе и на
входе кюветы.
10.6. Определите коэффициент поверхностного натяжения ах
неизвестной жидкости.
Оборулование: весы без разновесов, пипетка, два стакана, вода, неизвест-
неизвестная жидкость, материал для уравновешивания весов (песок или лист бумаги).
Примечание. Коэффициент поверхностного натяжения воды при
18 °С равен ав = 73,1• 1(Г3 Н/м.
10.7. Исследуйте зависимость прогиба деревянной рейки пря-
прямоугольного сечения от:
1) силы F, действующей на свободный конец рейки;
2) длины L незакрепленной части рейки;
3) толщины h рейки.
Оборулование: две деревянные рейки одинаковой ширины Ь, но разной тол-
шины /?, динамометр, струбиина, капроновый шнур, миллиметровая бумага.
10.8. Определите коэффициент поверхностного натяжения a
неизвестной жидкости.
Оборулование: пластинка, покрытая бумагой, пропитанной парафином,
мерная мензурка, пипетка, сосуд с жидкостью, миллиметровая бумага.
10.9. Крутильный маятник представляет собой подвешенную
горизонтально на проволоке спицу с надетыми на нее симметрич-
симметрично относительно точки подвеса грузами. Исследуйте зависимость
периода колебаний Т такого маятника от расстояния L между
грузами и осью вращения.
Оборулование: кусок тонкой проволоки, вязальная спица, два грузика, часы,
линейка, штатив.
10.10. Исследуйте, выполняется ли закон сухого трения (Fw = \iN)
для бруска, обтянутого наждачной бумагой.
Оборулование: трибометр, деревянный брусок, наждачная бумага, динамо-
динамометр, набор грузов, кнопки канцелярские 10 шт.
10.11. Определите сопротивление Дл
нити накала лампочки, включенной в цепь,
схема которой изображена на рисунке 1.10.
Оборулование: источник тока, выходное на-
напряжение U которого постоянно F В), лампочка
от карманного фонаря, два резистора /?1 и R2 с
известными сопротивлениями, магазин сопро-
-®—,
Ri R2
нэ 0-
тивлений R3, двухпозиционный переключатель, U
соединительные провода. Рис. 1.10
287
Внимание! Подключение лампочки непосредственно к источ-
источнику тока приводит к ее перегоранию. В этом случае новая лам-
лампочка не выдается, а работа считается невыполненной.
10.12. Определите давление, которое можно создать, сжимая
руками пластиковую бутылку с водой.
Оборулование: пластиковая бутылка с водой, пробирка, миллиметровая
бумага, скотч, ножницы, барометр (один на аудиторию).
10.13. Определите удельную теплоту парообразования L воды.
Принять удельную теплоемкость воды св = 4200 Дж/ (кг-К).
Оборулование: стеклянный и пенопластовый стаканы, вода, кипятильник,
термометр, секундомер, линейка.
10.14. Измерьте температуру куска льда.
Оборулование: кусок льда (выдается по требованию), спиртовой термометр
с закрашенной шкалой и частично закрашенным капилляром, секундомер, пе-
пенопластовый стакан, миллиметровая бумага.
10.15. Исследуйте функциональную зависимость скорости вы-
вытекания жидкости из сосуда от уровня этой жидкости в нем.
Изготовьте устройство, скорость истечения жидкости из кото-
которого в течение примерно 30 с оставалась бы постоянной.
Оборулование: двухлитровая пластиковая бутылка с пробкой, шило, две
пластмассовые трубочки (для коктейля), пластилин, подставка для бутылки, ли-
линейка, сосуд для стока воды.
10.16. В «черном ящике», имеющем 4 вывода, собрана электри-
электрическая цепь, состоящая из нескольких резисторов. Известно, что
два вывода «черного ящика» соединены внутри него накоротко.
1. Какое минимальное количество измерений необходимо вы-
выполнить, чтобы найти закороченные выводы? Опишите методику
поиска короткозамкнутых выводов.
Внимание! Клеммы батарейки нельзя накоротко соединять
между собой, поскольку ее внутреннее сопротивление меньше
1 Ом. Ваша методика должна учитывать это обстоятельство.
2. Каково минимальное количество резисторов в схеме «черно-
«черного ящика»? Найдите их сопротивления.
Оборулование: «черный яшик», батарейка на 4,5 В, вольтметр.
10.17. Изучите зависимость прочности нити на разрыв от ее
длины (в диапазоне длин от 2 м до 5 см) двумя способами.
Первый способ (расточительный): нить заранее разрезается
на куски разной длины и определяется их прочность.
Второй способ (экономный): берется кусок нити некоторой мак-
максимальной длины, находится его прочность, затем более длинный
из получившихся кусков используется для определения прочнос-
прочности при длине, равной половине максимальной и т.д.
Объясните различия в результатах (если они есть), получен-
полученных этими двумя способами.
288
Оборулование: нить, штатив, ножнииы, линейка, динамометр (бытовые пру-
пружинные весы на 10 кг).
10.18. Положите брусок на деревянную пластину, расположенную
горизонтально, прикрепите к нему через нить динамометр и начните
очень медленно двигать динамометр в горизонтальном направлении.
В некоторый момент брусок срывается с места и, проскользив некото-
некоторое расстояние, останавливается, причем нить остается натянутой.
Изучите и объясните возникающее явление (срыв бруска).
По результатам этого эксперимента определите коэффициент
трения скольжения бруска по поверхности пластины.
Оборулование: деревянный брусок, динамометр, набор грузов (по 100 г),
деревянная пластина, линейка, нить, миллиметровая бумага.
10.19. Определите отношение масс грузов двух типов.
Оборулование: грузы 2 типов A0-15 штук каждого типа), магнит.
10.20. Определите давление воздуха в воздушном шарике.
Оборулование: воздушный шарик, кусок органического стекла, набор гру-
грузов известной массы, лист миллиметровой бумаги, фломастер.
*10.21. Определите удельное сопротивление куска нихромовой
проволоки.
Оборулование: резистор сопротивлением Ro = 30 Ом, кусок нихромовой про-
проволоки длиной примерно 30 см, батарейка, миллиамперметр, линейка, карандаш.
*10.22. Определите емкости двух конденсаторов Сг и С2.
Оборулование: батарейка, микроамперметр, конденсатор известной емко-
емкости Со = 2 мкФ, два конденсатора неизвестной емкости, резистор большого
(~ 1 МОм) сопротивления.
Внимание! Категорически запрещается подсоединять электро-
электроизмерительные приборы непосредственно к источнику тока.
*10.23. Соберите установку в соответ- А В
ствии со схемой (рис. 2.10): верхняя нить
маятника закреплена в точках Аи В, ле-
лежащих на одном уровне; точка С крепле-
крепления нижней нити находится на некото-
некотором расстоянии AL от линии АВ.
Определите отношение х = AL/L. рис 2.10
Оборулование: две нити, груз с «ушком», план-
планка с двумя вбитыми гвоздиками, штатив с лапкой для крепления планки.
* 10.24. Измерьте двумя способами атмосферное давление.
Оборулование: стеклянная трубка с внутренним диаметром 1,2 мм, про-
пробирка, линейка, пластилин, стакан с водой.
*10.25. Канцелярская кнопка скользит по вогнутой поверхности
горизонтально расположенного цилиндрического желоба, оклеенно-
оклеенного с внутренней стороны миллиметровой бумагой. Радиус желоба
равен R (рис. ЗЛО). Определите коэффициент трения покоя и коэф-
коэффициент трения скольжения железа по бумаге.
289
Точное решение этой задачи с помо-
помощью одних расчетов представляет боль-
большие математические трудности, поэто-
поэтому поставьте эксперимент так, чтобы
свести к минимуму систематические по-
погрешности, возникающие при прибли-
приближенном решении.
Оборулование: полуцилиндр, канцелярская
кнопка, линейка, транспортир (не обязательно),
Рис. 3.10 карандаш.
Примечание. На миллиметровой бумаге полуцилиндра можно про-
проводить вспомогательные линии.
*10.26. Исследуйте зависимость ускорения шарика, движуще-
движущегося по наклонному желобу, от угла наклона желоба к горизонту.
Оборулование: штатив с муфтой и лапкой; желоб; шарик; рулетка; копиро-
копировальная бумага; отвес (нить с грузом); бумага; кнопки.
*10.27. Определите давление насыщенного водяного пара, на-
находящегося при температуре tx — 60 °С, если известны атмосфер-
атмосферное давление и давление насыщенного пара при комнатной тем-
температуре t2.
Оборулование: сосуд с горячей водой; сосуд с водой при комнатной темпе-
температуре; пробирка; пробка с отверстием; термометр; линейка.
*10.28. Найдите магнитную индукцию поля магнита на его оси
на расстоянии I — 30 см от его центральной (средней) линии, если
известно, что в Орле (город, где проходила данная олимпиада)
магнитная индукция поля Земли В ~ 4,1 • 10~5 Тл, а вектор В
направлен под углом ф ~ 65° к горизонту.
Оборулование: магнит в виде тонкого цилиндра длиной 40 мм; линейка дли-
длиной 40 - 50 см; компас.
*10.29. 1. Определите напряжение зажигания неоновой лампы
С/заж, используя низковольтный источник тока 4-9 В.
2. Оцените наименьшую абсолютную погрешность измерения
напряжения зажигания неоновой лампы.
Оборулование: неоновая лампа (МН-4 или др.); соединительные провода;
источник постоянного тока 4-9 В; конденсаторы емкостью 0,2-1,0 мкФ A5-20
штук).
*10.30. Экспериментально исследуйте зависимость удлинения мяг-
мягкой пружины под действием ее собственного веса от числа витков
пружины. Дайте теоретическое объяснение найденной зависимости.
Определите коэффициент упругости и массу пружины.
Исследуйте зависимость периода колебаний пружины от ее чис-
числа витков.
Оборулование: мягкая пружина, штатив с лапкой, рулетка, часы с секунд-
секундной стрелкой, шарик из пластилина массой т = 10 г, миллиметровая бумага.
290
*10.31. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника
тока. Вычислите емкость двух электролитических конденсаторов.
Оборулование: источник постоянного тока, ЭАС и внутреннее сопротивле-
сопротивление г которого неизвестны; вольтметр V с известным внутренним сопротивле-
сопротивлением Rv; ключ; резистор с заданным сопротивлением R; два конденсатора, ем-
емкости С, и С2 которых неизвестны; секундомер; миллиметровая бумага; полу-
полулогарифмическая бумага.
*10.32. Найдите расстояние Н между двумя тонкими стекла-
стеклами, закрепленными в открытом с одной стороны ящике.
Оборулование: яшик с двумя стеклами; линейка; карандаш; лист бумаги.
*10.33. Определите мощность электрокипятильника и количе-
количество энергии, затраченной на нагревание воды от комнатной тем-
температуры до температуры 85 °С. Оцените количество теплоты, пе-
переданной окружающему воздуху в процессе нагревания воды.
Оборулование: источник тока, термометр со шкалой до 100 °С, стеклянная
банка для воды объемом 0,5 л, кипятильник, часы, миллиметровая бумага, штатив.
Примечание. Удельные теплоемкость стекла и воды принять неза-
независящими от температуры и равными соответственно 670 и
4200 Дж/(кг • К). Масса банки 250 г.
*10.34. Определите схему электрической цепи, находящейся
внутри «черного ящика» с тремя выводами, Постройте вольтам -
перные характеристики (ВАХ) элементов электрической цепи «чер-
«черного ящика». Оцените параметры этих элементов.
Оборулование: «черный яшик», плата на пружинах для монтирования схем,
переменный резистор на 1 кОм, вольтметр F В), миллиамперметр E/50 мА),
источник тока (батарейка на 1,5 В).
*10.35. Определите коэффициент трения графитового стержня
карандаша о лист бумаги.
Оборулование: карандаш, лист бумаги, линейка, прямоугольный треуголь-
треугольник, инструмент для заточки карандаша.
*10.36. Определите удельную теплоемкость металлического образца.
Оборулование: два одинаковых по размерам металлических образиа: один
из них алюминиевый, термометр или мультиметр с термопарой, секундомер,
сосуд с горячей водой, штатив, весы, салфетка, лист миллиметровой бумаги.
Пр имечание. Удельная теплоемкость алюминия: с = 896 Дж/(кг • К).
*10.37. Определите максимально достижимую с предлагаемым
оборудованием температуру вольфрамовой нити накала лампоч-
лампочки. Считать, что температурный коэффициент сопротивления воль-
вольфрама а = 0,0048 К.
Оборулование: источник постоянного тока с неизвестной ЭАС и неизвест-
неизвестным внутренним сопротивлением; миллиамперметр с известным внутренним
сопротивлением; два резистора с известными сопротивлениями, одно из кото-
которых Я, сравнимо с сопротивлением миллиамперметра, а другое R2 во много раз
его превосходит; лампа от карманного фонаря; соединительные провода, пе-
переключатель.
291
*10.38. Определите коэффициент по-
поверхностного натяжения жидкости
(плотность жидкости р = 1082 кг/м3).
Оборулование: капилляр, емкость с жидко-
жидкостью, шприц, миллиметровая бумага.
Рис. 4.10 *10.39. Исследуйте зависимость по-
положения равновесия тела (эллиптического цилиндра) от коорди-
координат груза на его боковой поверхности (рис. 4.10).
Оборулование: тело, составной груз (канцелярская кнопка с крупной плас-
пластиковой головкой и гайка, в отверстие которой вставлена резина).
класс
11.1. Определите плотность вещества, из которого изготовлен груз.
Оборулование: динамометр, груз, секундомер.
11.2. Найдите плотность деревянного стержня.
Оборулование: сосуд с водой, нить, штатив с лапкой, деревянный стержень,
линейка.
11.3. Определите расстояние между витками нити накала лам-
лампочки от карманного фонарика, не повреждая ее.
Оборулование: лампочка на подставке, источник тока, соединительные про-
провода, фольга, игла, лист белой бумаги, булавка, рулетка.
11.4. Определите внутреннее сопротивление гальванометра.
Оборулование: гальванометр, резистор с известным сопротивлением, рео-
реохорд, источник тока, соединительные провода, переключатель.
11.5. Определите показатель преломления стекла, из которого
изготовлена линза, и радиусы кривизны ее поверхностей.
Оборулование: двояковыпуклая линза, трехлитровая банка с водой (пока-
(показатель преломления света в воде лв = 4/3), источник света, штатив, линейка.
Примечание. Оптическая сила сферической поверхности радиуса
г, по одну сторону которой находится среда с показателем преломле-
преломления п19 а по другую - среда с показателем п2, равна
г
Этой оптической силе D соответствует фокусное расстояние Ft> изме-
измеренное со стороны среды с показателем преломления света nt, и равное
' = ~D'
11.6. Снимите ВАХ нелинейного полупроводникового прибора.
Оборулование: нелинейный полупроводниковый прибор, источник тока,
цифровой мультиметр, магазин сопротивлений, соединительные провода, мил-
миллиметровая бумага.
292
Примечание. Искомая зависимость может содержать участок, на
котором напряжение убывает с ростом силы тока. Эту особенность
следует учесть в предлагаемом способе измерения.
11.7. Исследуйте зависимость силы сопротивления от скорости
установившегося движения (падения) бумажного конуса.
Оборулование: десять бумажных конусов, рулетка длиной 2 м, пластилин.
11.8. Положите на стол дощечку. Поочередно ставьте на нее
бруски длинной гранью вертикально. Вытягивайте дощечку из-
под бруска. Изучите поведение брусков при различных значени-
значениях силы, приложенной к дощечке. Результаты объясните.
Оборулование: деревянная дошечка, два прямоугольных деревянных бруска.
11.9. Найдите показатель преломления жидкости.
Оборулование: лампочка от карманного фонарика, источник тока, соеди-
соединительные провода, стеклянная банка цилиндрической формы с жидкостью,
собирающая линза, белый экран, линейка.
11.10. Определите массу М куска пластилина.
Оборулование: кусок пластилина, карандаш (круглый), линейка, кристалли-
кристаллизатор (или банка с широким горлом), заполненный водой, нить, штатив с лапкой.
11.11. Снимите вольтамперную характеристику светодиода.
Оборулование: источник тока, выходное напряжение которого постоянно
C В), 2 светодиода, 2 переменных резистора, два двухпозииионных переключа-
переключателя, соединительные провода.
11.12. Определите:
1) длину волны излучения лазера;
2) содержимое оптического «черного ящика» (разбирать ящик
запрещено);
3) характерные параметры содержимого черного ящика.
Внимание! Не направляйте излучение лазера непосредственно
в глаза. Вы можете повредить сетчатку глаза.
Оборулование: лазер, оптический «черный яшик», рулетка, штангенциркуль,
лист миллиметровой бумаги, скотч, пришепка, пластилин.
11.13. Определите:
1) схему «черного ящика»;
2) параметры элементов черного ящика.
Внимание! Запрещается подключать схему «черного ящика» к ис-
источнику тока без дополнительного резистора. Мультиметр можно ис-
использовать только в режиме вольтметра постоянного и переменного тока.
Указание. В «черном ящике» находятся ровно три элемента, со-
соединенные по одной из приведенных на рисунке 1.11 схем (элементы
схемы - не обязательно резисторы).
Оборулование: «черный яшик», источник постоянного тока, источник пе-
переменного тока (звуковой генератор), резистор с известным сопротивлением
/?, соединительные провода.
11.14. Если полоска картона длиной L установлена вертикаль-
вертикально и вдоль нее приложена сверху вниз некоторая сила F, то при
293
в
D
D
В
Рис. 1.11
увеличении этой силы полоска вначале остается вертикальной, а
затем теряет устойчивость, прогибаясь в какую-нибудь сторону.
Знаменитым математиком Леонардом Эйлером в ходе его иссле-
исследований была построена теория этого явления. По результатам
Эйлера F ~ L~n, где п - натуральное число. Экспериментальным
путем определите значение п.
Оборулование: лист картона, ножницы, линейка, штатив с лапкой, набор
грузов или динамометр, нитки.
11.15. На краю доски лежит линейка. Ее конец выдвинут за
край стола на расстояние 1-2 см. Груз, подвешенный на нити
заданной длины L, ударяет по линейке так, что она начинает сколь-
скользить по поверхности доски. Груз подвешен так, что в момент уда-
удара нить вертикальна. Постройте график зависимости доли энер-
энергии, теряемой системой, в зависимости от угла ф отклонения гру-
груза. Движение нити и линейки происходят в одной плоскости.
Оборулование: штатив с лапкой, две линейки, груз, нить, доска длиной 60 -
80 см, лист бумаги формата A3.
11.16. Оптическим методом определите положение линзы JI
внутри цилиндра (рис. 2.11). Найдите ее фокусное расстояние F.
Разбирать цилиндр нельзя.
Оборулование: цилиндр с укрепленной внутри собираюшей линзой, линей-
линейка, две булавки, две полоски картона, лист бумаги.
Рис. 2.11. Вил цилиндра с линзой в разрезе
294
11.17. Прямыми измерениями определите площадь So отвер-
отверстия в стенке бутылки. Предполагая справедливой формулу Тор-
ричелли, определите площадь сечения струи Sc вблизи отверстия,
проделанного в стенке бутылки. Объясните отличие отношения
S0/Sc от единицы.
Оборулование: пластиковая бутылка объемом 1,5 л с небольшим круглым
отверстием в вертикальной стенке, лоток, миллиметровая бумага, секундомер,
ножнииы, стакан, вода, скотч.
11.18. Исследуйте зависимость силы сопротивления воздуха F,
испытываемой при движении бумажным конусом, от радиуса его
основания R. Считайте известным, что эта сила пропорциональ-
пропорциональная квадрату скорости движения v: F = f(R)v2.
Постройте график. Предложите аналитическое выражение для
f(R), описывающее эту зависимость.
Оборулование: 8-10 одинаковых конусов, линейка, ножнииы, миллиметро-
миллиметровая бумага, рулетка длиной 2 м.
11.19. Проделайте следующий опыт: отведите один из шаров
на небольшой угол от положения равновесия (рис. 3.11) и отпус-
отпустите его. После нескольких столкновений шары
начнут двигаться как единое целое. Определи- //Ш///////////Л
те, какую долю энергии, первоначально сообщен-
сообщенной системе, она будет иметь к этому моменту.
С помощью липкой ленты измените степень уп-
упругости сталкивающихся поверхностей шаров.
Исследуйте, как изменяется при этом поведе-
поведение системы. Объясните результат.
Оборулование: два одинаковых шара, подвешенных на
бифилярных подвесах, линейка, липкая лента.
*11.20. Рис. 3.11
Задание 1:
1.1. Определите статическим способом массу груза № 1 (сравните
с результатом, полученным при измерении массы этого груза дина-
динамическим способом; см. задание 2).
1.2. Постройте график зависимости амплитуды колебаний каж-
каждого из грузов от числа полных колебаний: а) в воздухе; б) в воде.
1.3. Определите относительное изменение энергии за один пе-
период колебаний каждого из грузов в воздухе и в воде.
Задание 2:
2.1. Определите массу груза № 1 динамическим способом.
2.2. Известно, что при колебаниях груза в жидкости вместе с
грузом колеблется и часть жидкости. Определите относительное
«приращение массы» каждого груза при колебаниях в воде по
сравнению с колебаниями в воздухе.
295
Рис. 4.11
Оборулование: пружина, груз №1, масса ко-
которого неизвестна, цилиндрический груз № 2,
масса которого известна, секундомер, банка с
водой, линейка, пластилин, нитки, миллиметро-
миллиметровая бумага.
*11.21. Соберите установку в соответ-
соответствии со схемой (рис. 4.11). Верхняя нить
двойного маятника закреплена в точках А
и Б, лежащих на одном уровне; точки С и
D крепления нижних нитей находятся на некотором расстоянии AL от
линии АВ. На расстоянии L от этой же линии к нижним нитям крепят-
крепятся грузы.
Ответьте на следующие вопросы:
а) Сколько типов нормальных колебаний (мод) имеет двойной
маятник?
б) Как возбудить каждую из этих мод?
Примечание. Модами, или нормальными колебаниями, называ-
называются такие движения грузов, при которых они совершают гармони-
гармонические движения одинаковой частоты.
Задание 1. Расположите моды в порядке возрастания их часто-
частоты и опишите движение грузов (синфазное или противофазное, в
какой плоскости происходят колебания).
Задание 2. Определите отношение C = AL/L.
Оборулование: нитки, два одинаковых груза с ушком, планка с двумя вби-
вбитыми гвоздиками, штатив с лапкой для крепления планки.
*11.22. Определите электрическую схему цепи, содержащейся
в «черном ящике», и параметры ее элементов.
Оборулование: «черный яшик» (четырехполюсник) (см. рис. 5.11), генера-
генератор электрических колебаний, осциллограф, резистор известного сопротивле-
сопротивления, проводники.
*11.23. Через металлический стержень перекинута нить, к од-
одному из концов которой прикреплен груз. Установите зависимость
между силой Г, удерживающей груз, и углом охвата ф стержня
нитью (рис. 6.11). По полученным данным определите коэффици-
коэффициент трения.
1
О
2
Рис. 5.11
Рис. 6.11
296
Оборулование: штатив с креплением, металлический стержень
(лапка), груз, нить, динамометр, миллиметровая бумага.
*11.24. Электрическая цепь, состоящая из последо-
последовательно соединенных «черного ящика» и конденсато-
конденсатора, подсоединена к источнику переменного напряжения.
Определите мощность, потребляемую «черным ящиком». Рис 7
Оборулование: «черный яшик»; конденсатор; проводе вилкой;
источник переменного напряжения; ключ; мультиметр для измерения перемен-
переменных напряжений до 25 В B00 В) и токов до 50 мА B0, 200 мА).
*11.25. С помощью нитей подвесьте груз к перекладине, установ-
установленной на горизонтальной платформе так, как показано на рис. 7.11.
Рассмотрите три возможных случая.
1. Платформа неподвижна. Укажите все нормальные колеба-
колебания маятника. В системе без потерь нормальными называются
колебания, соответствующие разным степеням свободы, амплиту-
амплитуда которых не меняется. При этом некоторые из частот могут
совпадать.
2. Платформа вращается. Попытайтесь обнаружить нормаль-
нормальные колебания маятника.
3. Представьте теперь, что вначале, когда платформа была не-
неподвижна, некто возбудил одно из нормальных колебаний, а затем
начал вращать платформу и через некоторое время остановил ее.
Сможете ли вы определить по результирующему движению маят-
маятника, какое из нормальных колебаний было возбуждено вначале?
Определите экспериментально условия, которым должно удов-
удовлетворять движение платформы (от начала ее вращения до оста-
остановки), чтобы это нормальное колебание было возможно.
Решите ту же задачу для случая, когда платформу приводят во
вращение, но не останавливают.
Оборулование: горизонтальная платформа, способная свободно врашать-
ся вокруг вертикальной оси и снабженная горизонтальной перекладиной на
двух вертикальных стойках; нить; груз; линейка.
*11.26. 1. Найдите вывод базы транзистора.
2. Найдите выводы эмиттера и коллектора.
3. Определите тип проводимости транзистора (р-п-р или п-р-п).
Оборулование: миллиамперметр на 50 -И00 мА; медная и иинковая пластин-
пластинки; соединительные провода, биполярный транзистор без маркировки; лимон.
*11.27. Определите: а) сопротивление вольтметрами резисто-
резистора R; б) ЭДС источника тока; в) сопротивление участка цепи, со-
состоящего из последовательно соединенных миллиамперметра и
источника тока.
Оборулование: миллиамперметр E, 50 или 200 мА); источник постоянного
тока напряжением — 4,5 В, вольтметр E, 10 В), резистор неизвестного сопро-
сопротивления, соединительные провода.
297
Внимание! 1. Сопротивление миллиамперметра много меньше
внутреннего сопротивления источника тока. 2. Запрещается вклю-
включать параллельно источнику тока миллиамперметр без резистора.
В противном случае выход из строя миллиамперметра неизбежен.
*11.28. Снимите вольт-амперную характеристику «черного ящи-
ящика». Начертите схему наиболее простой электрической цепи, удов-
удовлетворяющая такой вольт-апмерной характеристике. Определите
основные параметры элементов, входящих в выбранную схему.
Оборулование: аккумулятор; вольтметр на 6 В; амперметр на 2 А; реостат
на 6 Ом; соединительные провода; ключ; миллиметровая бумага; «черный ящик»
с двумя выводами (в «черном ящике» могут находиться резисторы, конденсато-
конденсаторы, катушки индуктивности, лампочки, диоды, источники тока).
Внимание! Во избежание перегорания приборов не оставляйте
надолго включенной цепь при силе тока больше 1 А.
*11.29. Определите: 1) фокусное расстояние; 2) радиусы кри-
кривизны поверхностей; 3) показатель преломления стекла собираю-
собирающей и рассеивающей линз.
Оборулование: вогнуто-выпуклая линза и двояко-вогнутая линза на под-
подставках; рулетка; экран; лампочка на подставке; аккумулятор; ключ; соедини-
соединительные провода.
*11.30. Определите сопротивление R резистора.
Рассчитайте, при каком сопротивлении Rx известного резисто-
резистора получается наибольшая точность измерений.
Оборулование: резистор, магазин сопротивлений, переключатель, соеди-
соединительные провода, осциллограф.
Примечания. 1. В качестве источника тока следует использовать
встроенный в осциллограф генератор пилообразного напряжения
(ГПН). Выходные клеммы ГПН находятся на передней панели осцил-
осциллографа и обозначены транспарантом «выход X».
2. На рабочем столе имеется инструкция по пользованию ос-
осциллографом и описание работы ГПН.
*11.31. Определите толщину стеклянных пластинок, собран-
собранных в пакет, не открывая обертку его торцов.
Оборулование: бумага, линейка, карандаш, пакет стеклянных пластин с оди-
одинаковым показателем преломления.
*11.32. Определите электрическую схему цепи «черного ящика»,
состоящую из трех элементов. Найдите параметры этих элементов.
Оборулование: «черный яшик», миллиамперметр переменного тока E0 мА),
звуковой генератор, осциллограф, соединительные провода, миллиметровая
бумага.
*11.33. Определите коэффициент трения \i дерева по дереву
несколькими способами.
Оборулование: штангенииркуль, деревянная катушка из-под ниток, дере-
деревянный брусок, нить, булавка.
298
*11.34. Определите длину волны излучения полупроводнико-
полупроводникового лазера и период отражательной дифракционной решетки.
Оборулование: полупроводниковый лазер, два бруска, линейка, экран, алю-
алюминиевая фольга, две швейные иглы, стеклянная пластинка, пластилин, часть
сектора лазерного диска (дифракиионная решетка), ластик, лист миллиметро-
миллиметровой бумаги.
*11.35. Внутри черного ящика собрана цепь из последователь-
последовательно соединенных элементов. Определите, из каких элементов со-
состоит цепь, в какой последовательности они соединены и найдите
их параметры.
Оборулование: черный яшик; источник переменного тока с неизвестным
напряжением и частотой 50 Гц; резистор с известным сопротивлением; осцил-
осциллограф; соединительные провода.
Примечание. С каждого соединения схемы сделан вывод на соот-
соответствующую клемму ящика. Элементы цепи могут быть неидеаль-
неидеальными.
*11.36, Электрическая схема в черном ящике содержит 3 оди-
одинаковых резистора и два диода. Определите схему соединения
элементов в черном ящике и сопротивление резисторов.
Оборулование: черный яшик, мультиметр, батарейка, соединительные провода.
Примечание. Батарейку можно подключать только к выводам №
1 и № 2 черного ящика; емкость батарейки ограничена, поэтому при
каждом измерении ее необходимо подключать только кратковремен-
кратковременно.
*11.37. Оптический световод состоит из цилиндрической серд-
сердцевины и оболочки, сделанных из стекол с различными показате-
показателями преломления п, лежащем в диапазоне 1,5 -^ 1,7. Показатель
преломления одного из стекол равен 1,512. Определите показа-
показатель преломления другого стекла.
Оборулование: световод, лазер, миллиметровая бумага.
9
Решения
экспериментального тура
класс
9.1. Рекомендации для организаторов. Нить не должна вы-
выдерживать вес тела.
В качестве тела неправильной формы следует взять шта-
штатив, имеющий три ножки. К одной из ножек прикрепите струб-
струбцину (рис. 1).
Охватим нитью нижнюю часть стойки штатива. Соединим кон-
концы нити и потянем за них так, чтобы тело начало скользить.
Вертикальная плоскость, в которой лежит
нить, проходит через центр масс тела.
Сменим точку приложения силы и повто-
повторим опыт.
Перевернем штатив на бок и еще раз по-
повторим опыт.
Центр масс тела лежит в точке пересече-
Рис. 1. Вид сверху Ния трех плоскостей.
9.2. Поместим на лист миллиметровой бумаги гайку, которая
через нить связана с динамометром. Измерим расстояние / между
свободным полюсом магнита и краем металлической перемычки,
соединенной с другим полюсом. Подведем магнит с перемычкой
под лист миллиметровой бумаги. Для различных I снимем зави-
зависимость силы F, действующей со стороны динамометра на гайку,
от расстояния L между гайкой и серединой зазора I.
Определим силу трения FTp между гайкой и бумагой. Искомая
сила FM = F- FTp.
Из анализа экспериментальных данных получим
9.3. Погружаем в сосуд с водой кусок пластилина и измеряем
линейкой изменение уровня hx жидкости в сосуде. Изготавливаем
из пластилина «кораблик» и пускаем его плавать в сосуде с во-
водой. Вновь измеряем изменение уровня h2 жидкости. Плотность
пластилина находим по формуле
_ Шж. _ 9s h2 _ h.
300
9.4. Рекомендации для организаторов. груз.
1) Бумажные листы следует брать из одной
пачки; 2) максимальная ширина (диаметр)
разновесов не должна превышать 2 см.
Согнем из бумаги конструкцию, изоб-
изображенную на рис. 2. Ширина «рабочей»
части моста должна быть чуть больше ди- рис# 2
аметра разновесов. В этом случае стенки
нагруженного моста прижмутся к разновесам и конструкция бу-
будет устойчива. Поочередно выставляя на середину моста разнове-
разновесы, определяем максимально допустимую массу груза. Другие кон-
конструкции моста разрушаются при меньшей нагрузке.
9.5. Полезно провести предварительный эксперимент по оценке
времени охлаждения горячей воды в стакане на 5-7 градусов. Вре-
Время основного эксперимента должно быть в несколько раз меньше.
Для выполнения основного эксперимента обвяжем каждую из мо-
монет ниткой, оставив «поводок» длиной 10-15 см. Поместим с помо-
помощью поводка монеты в стакан с холодной водой и после того, как
температура установится (скажем, на уровне Тх), перенесем за повод-
поводки монеты в стакан с горячей водой (ее начальная температура ТГ).
Запишем уравнение теплового баланса:
NC^T^ - Тх) = тпгсуд(Тг - Тг1), A)
где Тт1 - установившаяся температура воды и монет, Сг - тепло-
теплоемкость монеты, N - количество монет, тг - масса горячей воды.
Перенесем монеты в стакан с холодной водой. Выждем некото-
некоторое время. Измерим новое значение установившейся температу-
температуры Тх1. Вновь запишем уравнение теплового баланса:
М^(Тг1 - Гх1) = тхсудСГх1 - Тх), B)
где тх — масса холодной воды.
Совершим аналогичный цикл с переносом монет еще раз. За-
Запишем соответствующие уравнения C) и D) теплового баланса.
Решая систему уравнений A)-D), получим
с = сУд тг(ТТ-Тг2)-тх(Тх2-Тх)
1 N Тх2-Тх
Примечание. Для повышения точности измерений рекомендуется
наливать воды в стакан равно столько, сколько нужно, для того что-
чтобы она полностью покрыла опущенные в стакан монеты. Число цик-
циклических переносов монет можно увеличить.
9.6. Рекомендации для организаторов. Желательно работу
выполнять за лабораторным столом, рабочая поверхность ко-
которого покрыта линолеумом.
301
Выполним два опыта.
1-й. Измерим коэффициент трения \1г дерева по дереву путем
определения угла а, при котором начинается скольжение одной
линейки по другой (рис. 3). В этом случае щ = tg a.
2-й. Установим одну линейку вертикально, а другую — под уг-
углом к плоскости стола (рис. 4). Измерим критический угол C, при
котором начинается скольжение наклонной линейки.
Рис.3
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную
и горизонтальную координатные оси:
FTpl + N2= mg, A)
N = F (9Л
1У1 Гтр2' \*)
где
, = FTpl, \i2N2 = F,
тр2-
Запишем условие равенства моментов сил относительно полюса О.
mg— cos P + \i2N2l sin p = N2l cos P,
где I - длина наклонной линейки.
Решая систему уравнений A)-C), получим
1
C)
9.7. Рекомендации для организаторов. Пружины должны
быть ровными, а их жесткости отличаться примерно в два раза.
На концах пружин целесообразно согнуть небольшие крючки.
Соединим последовательно пружины. Если растянуть состав-
составную пружину, то
k1tiX1 = F = k2Ax2,
где k19 k2 и A^1? A:r2 - жесткости и удлинения соответствующих
пружин.
Отношение жесткостей пружин
k2
Ах,
302
Чтобы измерить удлинения пружин, отметим на бумаге поло-
положение свободных концов пружин и место их соединения, затем
растянем составную пружину так, чтобы соединение пружин ос-
осталось неподвижным. Вновь отметим положение концов пружин.
Удлинение каждой из пружин можно измерить в относительных
единицах (например, в количестве плотно сжатых витков одной
из пружин).
9.8. Соберем экспериментальную установку так, как показано
на рис. 5.
Рис.5
Оба конца бумажной ленты охватывают деревянный брусок и
крепятся к нему кнопками. Брусок с помощью струбцины кре-
крепится к краю стола. Трубку вставляем в бумажную петлю для
обеспечения равномерного натяжения по всей ширине ленты.
С помощью динамометра контролируется нагрузка.
Сделаем лезвием разрез. Его длину из-
измерим линейкой. Будем увеличивать на- 1,см-1;
грузку на бумагу до тех пор, пока разрез ^ q 6
не начнет расти.
Построим график в координатах 1/Ъ и
F (рис. 6).
Из графика видим, что искомая зави-
зависимость нелинейная, причем критическая
длина убывает быстрее, чем возрастает на-
нагрузка.
9.9. Рекомендации для организаторов. Булавки (разных, но
близких диаметров) следует брать с головкой в виде петельки,
а иголки - с четко выраженной цилиндрической частью.
Одну из булавок положим на линейку перпендикулярно длин-
длинной стороне, накроем ее другой линейкой и прокатим булавку
так, чтобы она совершила, например, 10 оборотов. Для облегче-
облегчения подсчета числа оборотов, из фольги следует сделать флажок,
закрепив его в ушке иголки (булавки). На листке бумаги, подло-
подложенном под нижнюю линейку, отметим начальное и конечное по-
положения булавки. Заменим теперь булавку на другую и прокатим
0,4
0,2
0
F9H
Рис. 6
303
ее на то же расстояние, считая обороты. Отношение числа оборо-
оборотов равно отношению диаметров.
9.10. Рекомендации для организаторов. Предлагаемая для эк-
эксперимента вода должна иметь такую температуру, чтобы при
установлении теплового равновесия после погружения в нее ка-
калориметрического тела конечная температура была по возмож-
возможности близка к комнатной. Если снега нет, то можно сделать
лед в морозильной камере. Льда должно быть 300-400 г. Лабора-
Лабораторные термометры не должны давать возможность измерить
непосредственно температуру смеси снега и льда (около -20 °С).
Нижний предел температуры, который можно измерить тер-
термометром, не должен быть ниже -10 °С.
С помощью весов определим массу тпт калориметрического тела
и массу тъ воды, находящейся в одном из калориметров. Другой
калориметр заполним снегом и солью. Тщательно перемешаем со-
содержимое этого калориметра. Температура смеси в нем опустится
приблизительно до -20 °С.
Поместим калориметрическое тело в этот калориметр и выж-
выждем некоторое время, необходимое для выравнивания температу-
температуры. Перенесем тело в калориметр, наполненный водой. Измерим
температуру воды То до и Тг после помещения в нее калориметри-
калориметрического тела.
Запишем уравнение теплового баланса:
^Л(ГХ " Тх) = твсв(Т0 - Тг).
Из этого уравнения получаем расчетную формулу для определе-
определения температуры смеси соли со снегом:
9.11. Рекомендации для организаторов. Картофелина долж-
должна быть такой, чтобы в пресной воде тонула, а в насыщенном
растворе соли всплывала. Банка должна быть от 0,5 до 1 л. Па-
Палочка необходима для размешивания соли.
Постепенно добавляя навески соли в воду, необходимо добиться
всплытия картофелины. В этом случае плотности раствора и картофе-
картофелины одинаковы. Зная первоначальную массу воды, массу растворен-
растворенной соли и измерив с помощью измерительного цилиндра объем по-
получившегося раствора, можно рассчитать его плотность.
9.12. Рекомендации для организаторов. Булавка необходима
со шляпкой; можно использовать и маленький гвоздик. Должна
быть хорошо выражена цилиндрическая часть. При необходимо-
необходимости фольгу можно заменить на тонкую и плотную бумагу, не
пропускающую света.
304
Эксперимент очевиден из приведен-
приведенного рисунка 7. В фольге делаем малень-
маленькое отверстие, позволяющее одновремен-
одновременно видеть резкое изображение булавки,
находящейся близко к глазу, и далеко-
далекого листа бумаги с предварительно нане-
нанесенными равными делениями. Из подо-
подобия соответствующих треугольников вы- Рис. 7
числяем искомое отношение; делим количество делений, засло-
заслоняемых головкой булавки на количество делений, заслоняемых
ее длинной частью.
9.13. Изготовим рычажные весы. Для этого привяжем нитку к
середине линейки (чтобы исключить массу линейки из последую-
последующих расчетов).
Выразим массу М проволоки через массу т гайки. К одному
краю линейки подвесим проволоку, к другому - гайку. Допус-
Допустим, гайка легче проволоки. Изменяя длину b плеча подвеса
проволоки, уравновесим весы. Обозначим длину линейки через
2R, Запишем условие равенства моментов сил относительно
полюса О.
Mb = mR. A)
Найдем объем проволоки. Для этого опустим проволоку, под-
подвешенную за нитку к весам, в сосуд с водой. Изменяя плечо под-
подвеса проволоки, добьемся равновесия весов. Запишем условие ра-
равенства моментов сил относительно полюса О:
М^б' = той, B)
где Ь — новая длина плеча подвеса проволоки, АТэфф — эффектив-
эффективная масса, которую найдем из закона Архимеда
Мэфф = М - pV, C)
где р - плотность воды, V - объем проволоки. Этот же объем
выразим через длину L и диаметр D проволоки:
Из A)-D) выразим массу одного метра проволоки:
м_
L
b\
Чтобы точнее определить диаметр D проволоки, намотаем на
ее прямолинейный участок от 10 до 20 витков нитки. Выразим D
через число витков и длину намотанного куска нитки.
И Козел 305
9.14. Подвесим за нити маятник к штативу. Измерим линейкой
расстояние ft. Возбудим колебания маятника и определим их период
Т. Проведем измерения периода Т для различных длин ft. Результа-
Результаты занесем в таблицу. Построим график зависимости Т{К) (рис. 8).
8 9 10 h/h0
Рис.8
Из графика видим, что при малых расстояниях ft период Т -
большой. С увеличением ft период колебаний сначала убывает, а
затем, начиная с некоторой длины ft, - возрастает. Аналитичес-
Аналитическая зависимость T(h) может быть выражена формулой
где А и В - некоторые постоянные коэффициенты.
9.15. Рассмотрим небольшой участок поверхности вала со сколь-
скользящей по нему нитью (рис. 9). Здесь F и Fx - силы, приложенные
к концам участка нити.
Fx = F + AF, где AF - дополнительная сила, которая требуется
для компенсации силы трения AFTp, действующей на нить со сто-
стороны рассматриваемого участка вала.
AF = AFTp = [lAN, A)
где |х - соответствующий коэффициент трения, AN - сила реак-
реакции опоры.
AN
Рис.9
306
Согласно рис. 10
AN + Fx + F = 0 или
AN - 2F sin -^ - 2^Аф. B)
Из A) и B) получим
AF = ц^Аф. C)
Поскольку AF ~ Am, C) можно представить в виде
Am = |1/пАф. D)
Из D) видно, что Am не зависит от радиуса вала.
Проверим этот вывод на опыте.
Нальем в бутылку столько воды, чтобы нить начала скользить
по валу от небольшого толчка. Затем перенесем нить с грузами на
другой вал. Убедимся, что наш теоретический вывод согласуется
с экспериментом.
Увеличим число оборотов нити вокруг вала и повторим экспе-
эксперимент. Замечаем, что для равномерного скольжения нити масса
т должна возрастать гораздо быстрее, чем угол ф.
9.16. Рекомендации для организаторов. В качестве сосудов
целесообразно использовать пластиковые бутылки объемом 0,33
или 0,5 л. У бутылок следует срезать верхнюю коническую часть.
Изготовим ареометр - прибор для измерения плотности жид-
жидкостей. Для этого из пластилина вылепим колбу, сквозь которую
пропустим карандаш. Регулируя объем полости колбы добьемся
равенства средней плотности рА ареометра и плотности рв дистил-
дистиллированной воды:
Ра = Рв- A)
Опустим ареометр в соляной раствор плотности р. По закону
Архимеда
pAVg = p(V -AV)g, B)
где V — объем ареометра, a AV — объем части карандаша, возвы-
возвышающейся над поверхностью воды. Из A) и B) получим формулу
Р = Рв-ЛтГ- C)
V
Объем V измерим по изменению уровня воды в сосуде с дистилли-
дистиллированной водой при погружении в нее ареометра. AF найдем по
формуле
Л^=^, D,
307
где h - высота возвышающейся над поверхностью воды части ка-
карандаша, D - диаметр карандаша.
Для более точного вычисления D плотно обмотаем карандаш
10 витками ниток. По длине намотки определим D.
ИзC)следует
Рв
E)
Поскольку для данного раствора отношение рв/р остается по-
постоянным, то постоянным должно быть и отношение AF/V.
Чем больше будет объем V, тем больше окажется AF, тем с
большей точностью можно измерить р.
Следовательно, для изготовления колбы ареометра нужно ис-
использовать весь пластилин.
9.17. Рекомендации для организаторов. В качестве грузов можно
взять две разные гайки или монеты достоинством в 2 и 5 рублей.
Соберем установку, изображенную на
рис. 11. С помощью кнопок прикрепим
к краю лабораторного стола (точки А и
D) лист миллиметровой бумаги и кусок
нити длиной 60—70 см. Привяжем гру-
грузы к нити в произвольных точках В и
С. Перемещая вдоль нити место крепле-
крепления грузов (точки В и С), добьемся, что-
чтобы ее участок ВС стал горизонтальным.
В этом случае
Рис.11
Ж
ф2 -
A)
где d19 d2, Н19 Н2 - длины проекции участков АВ и CD нити на
горизонтальную и вертикальную координатные оси, Т1х9 Т2х, Т1уУ
Т2у - соответствующие проекции сил Тг и Т2 на эти же оси. По-
По¦ 2у
скольку
тт
1 ~~ >
т1х + т2х = 0,
Т2" + т2? = 0,
то, подставляя B)-E) в A), получим
т9, = тл —.
B)
C)
D)
E)
F)
Миллиметровой бумагой измеряем длины dx и d2, после чего по
формуле F) находим массу т2.
308
9.18. Рекомендации для организаторов. Яйца следует варить
«вкрутую», причем скорлупа яиц должна быть без трещин.
Упор можно сделать из деревянного бруска размером 10 см х
хЮ смхЗ смс приклеенной к одной его стороне (размером 10 см х
х 10 см) полоской наждачной бумаги или лейкопластыря.
В качестве угольника можно взять кусок металлического угол-
уголка 4 см х 4 см длиной 6 см.
Расположение элементов экспериментальной установки показано
на рис. 12. Нижнее яйцо следует отодвигать от вертикального упора
до тех пор, пока между скорлупой яиц не возникнет проскальзыва-
проскальзывание. До этого момента при аккуратной сборке яйца неподвижны.
Вертикальный упор
Угольник
Салфетка
mg
Рис.13
Рис.14
Рис.15
Рассмотрим силы, действующие на нижнее и верхнее яйца
(см. рис. 13). Яйца неподвижны, поэтому равнодействующая вне-
внешних сил, действующих в горизонтальном направлении, равна нулю:
Nx + F4 = 0. Яйца не вращаются, следовательно, момент сил, прило-
приложенных к каждому яйцу, равен нулю: FXR = F2R, F3R = F4R.
В соответствии с третьим законом Ньютона F2 = F3. Отсюда следует:
N^F^F^F^F^F^F. A)
Векторы сил, действующих на верхнее яйцо, показаны на
рис. 14. Проектируя силы на ось ОХ, получаем
11* Козел 309
F + F sin a = N2 cos a. B)
Поскольку сила трения скольжения F2 = [\N2, то из A) и B) находим
F2
2 cos a
^= N2 1 +since'
где a - угол, при котором начинается проскальзывание между
скорлупками.
Схема измерения cos a приведена на рис. 15. Величину I изме-
измеряем линейкой. Тогда cos a = (Z - D)/D, где D - диаметр яйца.
Коэффициент трения следует измерить несколько раз, затем
найти его среднее значение и ошибку.
Характерные результаты: D ~ 4 см, I = 6,0 -ь 7,0 см, ц = 0,3 -*- 0,4.
9.19. Рекомендации для организаторов. Диаметр одной из щечек
шпульки следует сточить на 0,3 мм. Стол, на котором проводится
эксперимент, должен допускать вкалывание в него булавок. Если по-
поверхность стола не позволяет этого делать, то следует накрыть
стол листом картона формата A3. Длина линейки не менее 40 см.
Установим две булавки на оси шпульки. Будем катить шпуль-
шпульку по столу. Из-за различия радиусов щечек шпулька будет ка-
катиться по дуге окружности радиуса R ~ 70 см. Установим третью
булавку в центре кривизны траектории шпульки.
Несложно показать, что Аг/г = L/R, где г - радиус щечки, L -
расстояние между щечками, Аг - искомое различие радиусов. Чис-
Численно: г = 10 мм, L - 11 мм, отсюда Аг = A50 ± 20) мкм.
9.20. Рекомендации для организаторов. Шарик должен быть
круглый («сосиска» не подходит). Выдается отрезок нити длиной
около 10 см - она необходима для завязывания шарика. Диаметр
отверстия шарика должен позволять вкладывать туда монетки
обоих достоинств. Хорошо, если все участники будут иметь дос-
доступ к водопроводному крану и раковине.
Заполним шарик водой и, оставив ма-
маленький пузырек, завяжем ниткой. Поло-
Положим шарик на стол и предоставим ему воз-
возможность прийти в равновесие. Поместим
некоторое количество монеток одного дос-
достоинства в «хвостик» шарика Б, отметим
Рис. 16 ручкой положение пузырька А (рис. 16).
Вытащим эти монетки и посчитаем столько монеток другого достоин-
достоинства потребуется чтобы пузырек находился в том же месте. Отноше-
Отношение количеств монет равно отношению их масс.
9.21. Собираем последовательную цепь, подключаем ее к ис-
источнику тока (см. рис. 17), погружаем резистор Rx в воду и конт-
контролируем с помощью термометра Т изменение температуры Atx
310
воды в течение времени Atx. Для доста-
достаточно малых промежутков времени Ат
можно пренебречь потерями тепла. Запи-
Запишем для этого случая уравнение тепло-
теплового баланса:
где св - удельная теплоемкость воды,
т - ее масса.
Затем, погрузив в воду резистор R2
вместо R19 повторяем эксперимент при той
же силе тока i\. В этом случае уравнение
теплового баланса будет иметь вид: Рис-17
I*R2t±x2 = cBmAt2,
где At2 - изменение температуры воды за время Ат2.
Взяв отношение количеств теплоты, получим искомую величину:
R2 -
Примечание. Трудность опыта состоит в том, что пренебречь теп-
теплообменом с окружающей средой можно только при малой разности
температур. Но измерить эту разность обычным термометром можно
лишь с большими погрешностями.
*9.22. Предварительно определяем
массу бруска. Для этого размещаем бру-
брусок и гирю на линейке и с помощью пра-
правила рычага находим искомую массу М.
Затем, привязав нить к гире и подвесив
ее на штативе, отклоняем гирю с помо-
помощью бруска на такой угол а (рис. 18),
когда сила, с которой гиря действует на
брусок, равна силе трения скольжения:
или
откуда
mg tg a = \xMgy
m
tg а.
Необходимые для расчета тангенса угла параметры определяем с
помощью линейки.
*9.23. Чтобы определить вес плоской фигуры, сначала нахо-
находим положение ее центра масс. С этой целью положим фигуру на
стол так, чтобы она опиралась только на край стола, и проведем
311
по фигуре карандашом линию вдоль
края стола. Затем эту операцию повто-
повторим, изменив положение фигуры на сто-
столе. Центр масс фигуры будет находить-
находиться в точке пересечения этих двух линий.
Рис19 Проведем на фигуре от центра масс
линию АС (рис. 19), положим на фигуру
гирьку так, чтобы ее центр масс находился на этой линии, а саму
фигуру вместе с гирькой положим на стол, край которого должен
быть перпендикулярен к линии АС. При этом сама фигура долж-
должна опираться только о край стола и находиться в равновесии.
В этом случае сумма моментов всех сил, приложенных к фигуре,
относительно края стола равна нулю.
На фигуру будут действовать три
силы: сила тяжести G, реакция опоры
N со стороны стола и сила F со сторо-
стороны гирьки, равная ее весу Рх (рис. 20).
Так как момент силы N относительно
F = Рг края стола равен нулю, то по правилу
моментов сил будем иметь
//
///////////V////////A
I
Вес фигуры равен действующей на нее силе тяжести, т. е.
Р = G. Так как вес гирьки известен, то для определения веса
фигуры измерим плечи I и 1г сил G и F соответственно.
*9.24. Используя воронку, наливаем в укрепленную вертикально
на штативе бюретку воду и с помощью винтового зажима на рези-
резиновой трубке подбираем размер выходного отверстия так, чтобы
время вытекания воды из бюретки было не слишком малым и в
то же время струя не прерывалась. Затем, фиксируя с помощью
пружинного зажима начальную высоту h уровня воды в бюретке,
измеряем секундомером время вытекания t. В результате получа-
получаем таблицу t = t{h), по которой можно приближенно найти ско-
скорость струи v = A/i/At для различных Л.
*9.25. Помешивая ложечкой воду в стакане, добиваемся вы-
выравнивания ее температуры по всему объему. Затем ставим ста-
стакан на подставку и исследуем зависимость температуры воды вбли-
вблизи дна стакана от времени. Вначале температура растет, а затем
стабилизируется вблизи искомого значения 4 °С в течение
- 10 минут, после чего опять начинает возрастать.
312
*9.26. Соберем установку, изображенную на рис. 21. Медленно
уменьшая глубину h провисания нити, добьемся ее разрыва. Ус-
Условие разрыва нити понятно из рис. 22.
Рис. 21
Рис. 22
fx + f2 + mg = 0, где |tJ = \f2\ = Г. Окончательно получим
2 cos a 2
*9.27. Рекомендации для организаторов. Вес легкого груза дол-
должен быть больше предела измерения динамометра.
На рис. 23 изображен вид сверху экспе-
экспериментальной установки, которую следует
собрать. Медленно увеличивая силу, при- ll
ложенную к линейке со стороны динамо-
динамометра, добьемся того, чтобы груз известной
массы начал равномерное движение. Это
будет происходить при условии
m
= F2l2.
A)
Рис. 23
Здесь F2 - показания динамометра, Ft
сила, действующая на линейку со стороны груза массы т:
F, = kmg.
Из A)иB) следует
ь ^
mg ^
*9.28. Соединим динамометр с крюч-
крючком на конце проволоки, выходящей из
крышки «черного ящика» и начинаем
поднимать его вверх. Снимаем зависи-
зависимость показаний динамометра от высо-
высоты h подъема крючка. На миллиметро-
миллиметровой бумаге строим график зависимости
F = F(h) (рис. 24).
B)
313
Из вида графика можно предположить, что участок ab соответ-
соответствует подъему тела от дна до поверхности воды, участок be -
«выходу» из воды, cd - дальнейшему подъему в воздухе. Поскольку
на участках ab и cd силы постоянны, делаем заключение, что
между грузом и ящиком нет пружин или резинок. Участок be -
прямая линия. Это может быть только в том случае, когда по всей
высоте тело имеет постоянное поперечное сечение (например, как
у цилиндра или параллелепипеда).
Масса тела
Воспользуемся законом Архимеда: Fx = F2 - pV^g, где р - плот-
плотность воды, VT — объем тела, равный
Плотность материала тела
Измеряем диаметр D дна (крышки) «черного ящика» и нахо-
находим его площадь: SHI4 = —j—. Находим высоту Нт тела в «черном
ящике» из уравнения
ЯТ = (Л2-ЛХ) + ^. D)
Площадь тела
5Т=|К E)
*9.29. Поставим стакан в ванночку. Заполним его до краев во-
водой. Обвяжем цилиндры нитками и опустим их в стакан с водой.
Объем вытесненной воды будет равен объему цилиндров. Помес-
Поместим калориметр в стакан и заполним стакан до краев водой. Опу-
Опустим в калориметр цилиндры. Масса воды, вытесненной из стака-
стакана, будет равна массе цилиндров. Найдем плотность металла, из
которого изготовлены цилиндры.
Смешивая горячую и холодную воду, получим такое количе-
количество воды комнатной температуры t0, которого хватит для того,
чтобы полностью скрыть под водой цилиндры, лежащие на дне
калориметра.
314
Перенесем цилиндры в горячую воду и подождем пока их тем-
температура на сравняется с температурой горячей воды tr.
Перенесем с помощью ниток цилиндры обратно в калориметр
и дольем в него мензуркой столько холодной воды, чтобы в кало-
калориметре установилась комнатная температура t0.
Запишем уравнение теплового баланса
тцсц*г + mxcBtx == (тцсц + mxcB)t0. A)
Здесь тц - масса цилиндров, сц - их удельная теплоемкость, тх -
масса холодной воды, которую долили в калориметр. Из уравне-
уравнения A) находим искомую теплоемкость
*9.30. Собираем установку, схематичес-
схематически изображенную на рис. 25. К правому кон-
концу стержня прикрепляем динамометр, а к
торцевой части стержня с помощью пласти-
пластилина прикрепляем булавку (она будет играть
роль стрелки). По вертикально поставленной
линейке определяем смещение М правого
конца стержня при разных значениях при-
приложенной силы F. Удлинение А/ проволоки
определяем из пропорции
А[ _ АЛ
к " L *
Рис. 25
A)
Это удлинение обусловлено увеличением силы натяжения прово-
проволоки AT. Увеличение силы натяжения найдем из уравнения мо-
моментов сил:
АТ/Х = AFL. B)
Согласно закону Гука имеем
AT = Ш. C)
Воспользуемся выражением для коэффициента жесткости, при-
приведенным в условии задания. Тогда после алгебраических преоб-
преобразований из A)-C) получим
_ I (ХЛ2 AF
Е~ sUJ АЛ'
*9.31. Соберем электрическую цепь (рис. 26) для того, чтобы
снять вольт-амперную характеристику раствора поваренной соли.
Нальем в банку фиксированное количество пресной воды. Раство-
315
Рис. 26
рим в ней один навесок соли. Снимем вольт-амперную характери-
характеристику (далее ВАХ) получившегося раствора.
Добавим в раствор другой навесок и вновь снимем ВАХ. Будем по-
повторять эту процедуру до тех пор, пока не закончатся все навески соли.
На рис. 27 приведено семейство ВАХ для растворов с разными
концентрациями С соли.
I,A I
1.0-
0.5
0.0
1 | 1 I I I I I I I I | Г I
14 19
I I [Г
24
29
34 С/, В
Рис. 27
Снимать все ВАХ следует при одной и той же геометрии кон-
контакта электродов и электролита.
Выберем на графике (рис. 27) такое значение силы тока /0, при
котором линия /0 = const пересекла бы все характеристики.
В нашем случае в качестве /0 удобно взять силу тока в 0,5 А.
Из графиков на рис. 27 определим соответствие напряжения на
316
О 2.0 4.0 6.0 8.0^ г
Рис. 28
электродах концентрации раствора (при силе U, В<
тока /0). Полученные результаты приведены
на рис. 28.
Теперь нальем в банку такой же объем
раствора неизвестной концентрации как
в опытах с известными концентрациями.
Измерим напряжение на электродах
при силе тока, равной /0. По графику за-
зависимости напряжения между электрода-
электродами от концентрации соли (рис. 28) опреде-
определим концентрацию неизвестного раствора.
*9.32. Изготовим источник тока, воткнув латунную и цинко-
цинковую пластины в соленый огурец. Подбирая расстояние между пла-
пластинами и глубину погружения пластин, добиваемся оптимально-
оптимального значения напряжения на выходе источника^
Для определения сопротивления милливольтметра соберем схе-
схему, изображенную на рис. 29.
Поскольку милливольтметр дает показания, равные напряже-
иг
нию на его клеммах, то Rv = ~т~. Для обеспечения большей точно-
ii
сти эксперимента напряжение на выходе источника тока подберем
так, чтобы показания приборов по возможности приходились на
последнюю треть шкалы.
Рис. 29
Рис. 30
Для определения сопротивления миллиамперметра соберем схе-
схему, изображенную на рис. 30. В этом случае милливольтметр по-
покажет напряжение на клеммах миллиамперметра. Сопротивле-
ние RA = у~.
*9.33. Находим центр масс стержня (точка С) при его равнове-
равновесии на опоре (лапке штатива) и измеряем расстояние 10 от точки С
до одного из концов стержня.
Подвешиваем тело на нити к одному концу стержня и добива-
добиваемся равновесия рычага на опоре (рис. 31, а).
317
Опора jmg
a)
Рис. 31
Из условия равенства моментов сил относительно полюса О
mgd2 = Mgd19 A)
где т - масса стержня, М - масса тела, dx - расстояние от точки
подвеса тела до опоры, d2 - расстояние от центра масс стержня до
опоры, находим массу тела
md2
М
B)
Погрузим тело в сосуд с водой и вновь уравновесим стержень на
опоре (рис. 31, б).
Вновь запишем условие равенства моментов сил относительно
полюса О:
mgdA = (Mg - FA)d3 = (рт -
C)
где FA - выталкивающая сила Архимеда, рв - плотность воды.
М
Решая совместно C) и A) с учетом того, что рт = —, находим
плотность тела:
Рт=Рв
D)
Рис. 32
- d1d4
*9.34. Для определенности пронуме-
пронумеруем резисторы в порядке возрастания
их сопротивлений. Измерим напряжение
U батарейки. Включая поочередно каж-
каждый из резисторов последовательно с
318
т
Рис. 33
вольтметром (рис. 32), определим те, со-
сопротивление которых соизмеримо с со-
сопротивлением вольтметра, т. е. №№ 5,
6, 7. Найдем, во сколько раз сопротив-
сопротивление каждого из них отличается от со-
сопротивления вольтметра:
К = R/Rv = (U - Uv)/Uy.
Соберем цепь, в которой будем каждый из оставшихся резисторов
последовательно соединять с батарейкой и амперметром. Опреде-
Определим номера резисторов в порядке возрастания их сопротивлений.
Определим (согласно схеме на рис. 33) сопротивления резисто-
резисторов R3n R4:
^з — j > R4 ~
ил
-т
Рис. 34
Рис. 35
Соберем цепь (рис. 34) и определим
сопротивление резистора № 2:
Используя R2 как шунт, найдем сопро-
сопротивление амперметра RA (рис. 35). Для
этого измеряем 1г при разомкнутом клю-
ключе и /4 - при замкнутом.
Вычислим RA = R2— -.
Повторяем предыдущий опыт, заменив резистор R2 на R19 и
измеряем силу тока /5. Находим
1 ~ КА
Соединяя последовательно с источником тока резисторы R4 и R5 и
измеряя вольтметром напряжение U4 на резисторе R4 и U на ис-
источнике, находим
R -RU-U*
Соединяя последовательно с источником тока резисторы R5 и 2?6,
определим напряжение Uv и найдем сопротивление вольтметра:
>и-иу(к6
319
Вычисляем сопротивления резисторов:
*9.35. Определить коэффициент жесткости k пружины «пря-
«прямым путем» (подвесив груз на пружине и измерив ее удлинение)
нельзя. Поэтому пойдем «обходным путем». Проведем экспери-
эксперимент на наклонной плоскости. Ее можно изготовить, положив один
конец линейки на брусок, а другой оставив на столе.
Изменяя угол а наклона линейки относительно плоскости сто-
стола, найдем коэффициент трения \i груза о линейку:
Ц = tg осо, A)
где а0 - угол, при котором груз начал скользить.
Прикрепим один конец пружины к грузу, а другой к верхнему
краю линейки (рис. 36). Будем постепенно увеличивать угол а и
измерять удлинение пружины. По результатам измерений пост-
построим график (рис. 37).
АХ1
V////////////////////////////////////// и осо а
Рис. 36 Рис. 37
В статическом состоянии сумма сил, действующих на груз, рав-
равна нулю, т. е.
mg sin a - kAl - \i mg cos а = 0, B)
где Al - удлинение пружины, т - масса груза.
Из A) и B) получим
_ mgcosa(tga-tga0)
k~ М '
*9.36. Задача допускает несколько вариантов решения.
1-й вариант. Вынем спички из коробки и вложим в коробку
предложенные грузы. С помощью динамометра определите вес
коробки с грузом. Далее уложим спички так, чтобы их головки
составляли дорожку (можно, например, втыкать их в бумагу), а
затем положите на эту дорожку коробку с грузом. С помощью
динамометра определим силу, при которой коробка начинает сколь-
скользить по спичечной дорожке. Из отношения измеренных сил опре-
определим коэффициент трения \i.
2-й вариант. Положим на выложенную из спичек дорожку ко-
320
робок и попытаемся его опрокинуть, толкая острием ручки или
линейкой в широкую вертикальную стенку. Найдем расстояние а
от нижней грани коробка до точки, при нажатии на которую ко-
коробок от скольжения переходит к опрокидыванию, и определим
коэффициент трения из соотношения \х = Ь/2а, где Ъ - ширина
спичечного коробка.
3-й вариант. Свяжем аккуратно две спички так, чтобы-их го-
головки были на противоположных концах. Положим их навшеро-
ховатую поверхность спичечного коробка и, наклоняя коробку,
определим угол а, при котором спички начинают скольжение.
В этом случае jii = tg a.
*9.37. Убедимся, что изображение каналов находится практи-
практически в центре детали в тот момент, когда луч зрения перпенди-
перпендикулярен плоскости, проходящей через оси каналов. Видимый раз-
размер изображения ~ 2,5 мм. При наблюдении каналов в перпенди-
перпендикулярном направлении видимый размер диаметра ближнего к
наблюдателю канала равен 1 мм.
Рассмотрим ход лучей, показанный на рис. 38, а. Очевидно,
что
а' _ tgP' sing'
= tgp sinp
а) б)
= п.
Рис. 38
Следовательно,
а 2,5
а = — = 7Т7 ~ 1>66 мм.
п 151
1,51
В схеме, изображенной на рис. 38, б расстояние Ъ равно
h b'S
при этом S' = 4 мм, S = R - а. Тогда Ь ~ 0,74 мм и расстояние
между каналами равно:
1,66 - 2-0,74 ~ 0,2 мм.
10
класс
10.1. Приготовим некоторое количество навесков соли.
Взвесим на весах калориметр, затем наполовину заполним его
снегом и вновь взвесим. Таким образом, по разнице показаний
весов определим массу снега.
Будем порциями добавлять соль в калориметр, перемешивая
содержимое и контролируя температуру смеси. Результаты зане-
занесем в таблицу.
Из анализа табличных данных определим количество соли, до-
добавленной к снегу, для получения минимальной температуры.
Определим концентрацию соли. Выполним оценку точности
измерений.
10.2. Оценим внутренние сопротивления амперметра RA, вольт-
вольтметра Ry и сопротивление jR исследуемой проволоки. Установим, что
^ Ry » R, RA ~ К Исходя из сделанных
оценок, соберем цепь, схема которой изоб-
изображена на рис. 39. По измеренным значе-
значениям напряжения U и силы тока / опре-
определим сопротивление R проволоки.
Известно, что сопротивление проволоки
Рис. 39 / 41
где р - удельное сопротивление металла, из которого изготовлена
проволока, /, D - ее длина и диаметр. Выразим длину проволоки
через ее диаметр. Для этого достаточно проволоку по частям при-
приложить к реостату. Пусть I = ND, где N - число диаметров, кото-
которое умещается на длине I. В результате получим
U _ 4ЛГ2р
откуда окончательно имеем
_ 4АГ2 р/
1~ к V
10.3. Рекомендации для организаторов. Одна линза должна
быть длиннофокусная с F ~ 50 см, две другие линзы с одинако-
одинаковым фокусным расстоянием F ~ 20 см.
322
C),
Рис. 40
A)
Рис. 41
а) В зрительной трубе задний фокус объектива должен совпа-
совпадать с передним фокусом окуляра (рис. 40). Угловое увеличение
зрительной трубы
г«=]г = ?> а)
где Fo6 - фокусное расстояние объектива, F0K - фокусное расстоя-
расстояние окуляра. Из A) следует, что увеличение зрительной трубы
будет максимальным, если Fo6 максимально, a F0K минимально.
Проведем измерения фокусных расстояний имеющихся линз
и, выбрав соответствующую пару, соберем зрительную трубу с
максимальным угловым увеличением.
б) Построим ход лучей, падающих на объектив под малым
углом а к главной оптической оси системы. Часть лучей, напри-
например, луч A), проходит мимо окуляра. Из оптической схемы (рис.
41) видно, что установка в задней фокальной плоскости объек-
объектива еще одной линзы не меняет угловое увеличение, но некото-
некоторые лучи, ранее не попадавшие в окуляр, теперь смогут пройти
через него. Делаем вывод: линза, установленная в задней фо-
фокальной плоскости объектива, увеличивает угловое поле зрения
системы.
10.4. Рекомендации для организаторов. У германиевых дио-
диодов обратный ток, как правило, составляет несколько десятков
323
микроампер, т.е. на порядок больше,
чем у кремниевых. В работе рекомен-
рекомендуется использовать именно германи-
германиевые диоды, так как в этом случае вли-
влиянием контактной разности потен-
потенциалов и термоэффектами можно пре-
Рис. 42 небречь.
Соберем электрическую цепь согласно схеме (рис. 42). Заря-
Зарядим конденсатор, а затем будем разряжать его через «запертый»
диод. Среднее значение силы тока найдем как отношение заряда,
накопленного на конденсаторе, ко времени т разряда:
\
Рис. 43
_К_ ць ь^ 10.5. Рекомендации для организато-
1 ~Г ~1~ I ^^П Ров' ЭкспеРимент желательно прово-
• *ч • •Vv А дить в затемненном помещении.
Расположим на одной линии лампоч-
лампочку, матовое стекло с диафрагмой, кю-
кювету с водой (в которую предваритель-
предварительно нужно добавить несколько капель
молока), собирающую линзу и экран.
На экране должно появиться светлое пятно - изображение от-
отверстия в диафрагме. Диафрагму вырезаем ножницами из чер-
черной бумаги.
Другие лампочку, матовое стекло с диафрагмой и линзу распо-
расположим так, чтобы изображение отверстия в диафрагме на экране
оказалось рядом с первым изображением (рис. 43). Частично диа-
диафрагмируя вторую линзу, можно добиться того, что пятна на эк-
экране будут казаться одинаково яркими.
Коэффициент поглощения а можно теперь вычислить как от-
отношение площади диафрагмы S к пло-
площади линзы яг2, где г - радиус линзы:
S
а " * " иг2 '
Отношение объемов молока и воды
можно найти, предварительно измерив
в относительных единицах объемы од-
одной капли молока и воды соответствен-
соответственно. Для этого достаточно накапать по-
поочередно в пустую кювету до одного и
Рис. 44 того же уровня молоко и воду. Отно-
324
шение числа капель будет обратно пропорционально их объе-
объемам.
Качественно результаты эксперимента представлены на
рис. 44.
10.6. Рекомендации для организаторов. 1. Рычажные весы
могут быть любыми, разновес не требуется!
2. В качестве пипетки можно использовать обычную меди-
медицинскую. Подойдет любое устройство, позволяющее капать дос-
достаточно медленно.
3. В качестве неизвестной жидкости лучше всего использовать
этиловый спирт. В принципе подойдет любая жидкость, с коэффи-
коэффициентом поверхностного натяжения сильно отличающимся от
воды. Однако необходимо предостеречь от использования масел, так
как должна быть возможность чисто отмыть пипетку от этой
жидкости. В крайнем случае можно использовать мыльную воду.
Два сосуда взвешиваем на весах. Далее в один из них закапы-
закапываем определенное количество капель (iVB) воды, а во второй -
неизвестную жидкость до тех пор, пока весы не уравновесятся.
Поскольку масса т капли пропорциональна коэффициенту по-
поверхностного натяжения а и обратно пропорциональна количе-
количеству капель в сосуде, мы можем записать
где Nx - число капель неизвестной жидкости.
10.7. Сложим рейки в виде бутерброда (плоскость к плоскости)
и прижмем струбциной один конец к столу. Рейки должны распо-
располагаться в горизонтальной плоскости перпендикулярно краю сто-
стола. Допустим, более тонкая рейка оказалась снизу. Накинем на
ее свободный конец капроновую петлю.
1) За ту же петлю зацепим динамометр, к которому приложим
силу F. Снимем зависимость прогиба 8 рейки от силы F. Прогиб
нижней рейки относительно верхней (прямой) измерим с помо-
помощью миллиметровой бумаги. Искомая зависимость имеет вид
2) Меняя расстояние L от петли до закрепленного края реек,
снимем зависимость прогиба 8 от L. Она имеет вид:
5-L3.
3) Поменяем местами верхнюю и нижнюю рейки. Повторим
измерения из пункта 2). Сравним серии измерений пунктов 2) и
3). Найдем зависимость 8 от толщины h рейки:
8 - /Г3.
325
Обобщим результаты измерений в пунктах 1), 2), 3):
Примечание. Из курса сопротивления материалов известно, что
4 F (L
где Ь - ширина рейки, Е - модуль Юнга.
10.8. Нальем на поверхность парафина воду, объем которой
равен V. Толщина слоя воды h = V/S. Площадь S водной поверх-
поверхности определим по клеткам миллиметровой бумаги.
Среднее давление р в налитой на бумагу воде равно pgh/2.
С другой стороны, сила поверхностного натяжения жидкости
создает давление
Ту с
0,6
0,3
где R1 - радиус водяного пятна, R2 = h/2.
Отсюда найдем коэффициент поверхно-
0 ъ "Тп
стного натяжения:
Рис.45 а 2 B^ + R,'
10.9. Определим диапазон углов поворота крутильного маят-
маятника, в котором сохраняется изохронность колебаний. Снимем
зависимость периода колебаний от расстояния грузов до оси
вращения (оси подвеса). Построим график зависимости Т от L
(рис. 45).
10.10. Рекомендации для организаторов. Наждачную бумагу же-
желательно подобрать более грубую. Динамометр должен обеспечивать
измерение силы трения скольжения при установке на брусок всех
грузов, входящих в комплект оборудования.
Закрепим кнопками на поверхности бруска наждачную бума-
бумагу. Исследуем зависимость силы трения скольжения от силы нор-
нормальной реакции опоры и от площади соприкосновения бруска с
опорой. При небольшой силе N реакции опоры зависимость FTp =¦
= [iM выполняется. В случае, когда наждачная бумага начинает
разрушать поверхность трибометра, сила трения скольжения на-
начинает зависеть от площади опоры.
10.11. Рекомендации для организаторов. Сопротивления Rt
и R2 следует подобрать так, чтобы накал лампочки был очень
326
слабым. Например, Rt = 24 Ом, R2 = 12 Ом.
В этом случае R3 ~ 50 Ом.
Соберем электрическую цепь, схема
которой приведена на рис. 46.
Установим максимальное сопротивле-
сопротивление R3. Затем начнем его уменьшать,
систематически меняя положение пере-
переключателя. Подберем такое значение R3, при котором накал лам-
лампочки не зависит от положения переключателя. Это возможно
тогда, когда напряжение на лампочке остается одним и тем же в
обоих положениях переключателя:
Рис. 46
иг = и--
A)
B)
Из A) и B) получим
Л
10.12. Закрепим вдоль пробирки с
помощью скотча полоску миллиметровой
бумаги. Сделаем из пробирки «картези-
«картезианского водолаза», поместив ее вверх
дном в бутылку с водой (рис. 47, а). Зак-
Закроем бутылку и сожмем ее (рис. 47, б).
Проведем измерения расстояний I, L, h
л Н в этих двух состояниях.
Пренебрегая неплоскостностью дна
Рис. 47
пробирки, запишем закон Бойля-Мариотта:
(Ратм + P8h)l = (рх + pgH)L,
где paTM ~ атмосферное давление (определяем по комнатному баро-
барометру), рх - искомое давление, р - плотность воды, g - ускорение
свободного падения, I и L — высоты столба воздуха в пробирке, h
и Н - высоты столба жидкости на уровнях жидкости в пробирке.
Отсюда находим искомое давление рх, причем все длины изме-
измеряем миллиметровой бумагой.
10.13. Рекомендации для организаторов. Стеклянный ста-
стакан должен быть цилиндрической формы.
Для уменьшения тепловых потерь стеклянный стакан помес-
поместим в пенопластовый. Нальем в стеклянный стакан воду, изме-
измерим ее температуру tx и начальный уровень А1# Опустим в стакан
327
с водой кипятильник, включим его и измерим время т1э за кото-
которое вода нагреется до температуры t2 = 100 °С. Полагая, что все
тепло, выделенное кипятильником, пошло на нагрев воды, запи-
запишем уравнение теплового баланса:
Q, = Рхг = mcb(t2 - tx), A)
где Р - мощность нагревательного элемента кипятильника, т -
масса воды.
Дадим воде покипеть в течение времени т2, после чего выклю-
выключим кипятильник и измерим уровень h2 воды, оставшейся в ста-
стакане. Запишем для процесса кипения воды уравнение теплового
баланса:
Q2 = Рт2 = LAm, B)
где Am - масса испарившейся воды. Очевидно, что
A/n _ hx - h2
Из A)-C) получим
10.14. Рекомендации для организаторов. Лед можно приго-
приготовить в морозильной камере холодильника. Температура льда
должна быть около -10 °С.
Изготовим и прокалибруем шкалу термометра. Для этого на-
нальем воду в стакан, поместим туда же некоторое количество льда и
термометр. (Воду не следует перемешивать!) Уровень h (а значит и
температура) спирта в капилляре термометра станет быстро пони-
понижаться и, достигнув значения h19 застабилизируется. Это произой-
произойдет при прекращении конвекции в воде, когда плотность воды на
дне стакана будет максимальной. Известно, что плотность воды
максимальна при 4 °С. Мы получим одну реперную температурную
точку. Если воду перемешать, то уровень спирта понизится до h2, a
температура установится на значении 0 °С (вторая реперная точка).
Коэффициент температурного расширения спирта постоянен. Сле-
Следовательно, шкала термометра линейна. Ее цена делений
4°С
*Tv A)
Опустим термометр в выданный кусок льда и измерим уровень
h3 спирта в капилляре термометра. Переведем по формуле A) вы-
высоту h3 в температуру.
10.15. Рекомендации для организаторов. Диаметр трубочек
должен быть примерно 4 мм. Длина одной из них 4-6 см, длина
другой ~ 20 см.
328
1. Проделаем в бутылке шилом несколько отверстий на разной
высоте и закроем их все (кроме одного) пластилином. В отверстие
вставим короткую трубочку. Установим получившееся устройство
на подставку и заполним водой. Скорость вытекания жидкости можно
измерить по дальности струи. Запишем закон сохранения энергии
v2
р— = pgH. Из него следует, что v ~
Li
2. Постоянство скорости истечения жид-
жидкости обеспечим с помощью сосуда Мари-
отта (рис. 48). Его устройство: в герметич-
герметичный сосуд сквозь пробку вставляется длин-
длинная трубка, сообщающаяся с атмосферой.
В этом случае до тех пор, пока уровень воды
в бутылке не опустится до нижнего края
трубки, перепад давлений жидкости в со-
сосуде будет постоянным и равным pgH, где
р - плотность воды, Н - высота столба воды.
Давление воздуха внутри бутылки равно р = р0 - pgh, где р0 -
атмосферное давление, h - длина погруженной в воду части вер-
вертикальной трубки.
Трубку Т вставляем в боковую поверхность бутылки для того,
чтобы струя не «прилипала» к стенке, а была горизонтальной на
выходе из Т.
10.16. Рекомендации для организаторов. В «черный ящик»
следует впаять два одинаковых резистора, сопротивление ко-
которых равно внутреннему сопротивлению вольтметра. Вольт-
Вольтметр должен быть магнитоэлектрической системы.
1. Вольтметр, подключенный непосредственно к батарейке, по-
показывает 4,5 В. Соединяем последовательно батарейку и вольтметр.
Подключаем получившийся прибор поочередно к парам выводов
«черного ящика» и заносим показания вольтметра в таблицу:
Рис. 48
№ опыта
Номера
выводов
1
1,2
2,25 В
2
1,3
1,5 В
3
1,4
2,25 В
4
2,3
2,25 В
5
2,4
4,5 В
6
3,4
2,25 В
Достаточно выполнить шесть измерений, чтобы найти корот-
козамкнутые выводы «черного ящика». Измерение № 5 свиде-
свидетельствует, что накоротко замкнуты выводы 2 и 4.
2. В общем случае любую схему, состоящую из омических со-
сопротивлений и имеющую три вывода, можно свести к схеме из
12 Козел 329
-0
3
2,4
a)
6)
Рис. 49
трех сопротивлений, соединенных «треугольником» (рис. 49, а)
или «звездой» (рис. 49, б).
Так как выводы 2 и 4 замкнуты, делаем заключение, что изме-
измерения № 1 и № 3 эквивалентны. Аналогично, эквивалентны из-
измерения № 4 и № 6. Сравним оставшиеся измерения № 1, № 2 и
№ 4. Показания вольтметра в измерениях № 1 и № 4 одинаковы
и составляют U/2, значит в схеме (рис. 49, a) Rx = Rs или в схеме
(рис. 49, б) гг = г3. Кроме того, в случае а сопротивление R2 с
неизбежностью должно быть много больше внутреннего сопротив-
сопротивления вольтметра (Rv). Можно считать, что R2 = ©о.
В случае б измерение № 2 показывает, что гх + г3 = 2RV. Из
гх = г3 следует, что гх = г3 = Rv. Поскольку гх + г2 = г3 + r2 = jRf
получаем, что г2 = 0. Вывод - схемы а и б эквивалентны.
Схема «черного ящика» такова:
0—
1
ен
2
i—i i
1 i—i
Rv
1—0
3
/*
4
Рис. 50
10.17. Рекомендации для организаторов. В качестве нити
следует взять либо достаточно тонкую хлопчатобумажную
нить, либо шерстяную пряжу. Длины нити, выдаваемой участ-
участникам, должно хватить для измерения каждым из способов не
менее трех раз. Необходимо заранее проверить, что нить не-
неоднородна по прочности вдоль всей длины.
В обоих способах нить выбранной длины закрепляем в штати-
штативе и нагружаем грузами до тех пор, пока она не разорвется.
Поскольку прочность нити на различных участках неодинако-
неодинакова, при «расточительном» способе на любой длине куска проч-
ззо
ность колеблется относительно некоторого среднего значения слу-
случайным образом.
При «экономном» способе мы сперва разрываем нить на самом
слабом участке, затем - на самом слабом из оставшихся, и так
далее. В результате возникает «зависимость», порождающая впе-
впечатление, что прочность нити растет по мере уменьшения длины
куска.
10.18. Рекомендации для организаторов. Брусок и пластину
следует взять от лабораторного трибометра, проследив, чтобы
явление срыва было достаточно заметным. При необходимости
можно обработать трущиеся поверхности мелкой шкуркой.
Максимальное растяжение пружины динамометра х0 опреде-
определяем по максимальному значению силы трения покоя Fu = kxQ,
где k - жесткость пружины динамометра. После того как брусок
срывается с места, он движется под действием равнодействующей
двух сил: силы трения скольжения и силы упругости пружины
динамометра. По закону сохранения энергии
-?- = \img(x0 - хх) + -^-,
где \i - коэффициент трения скольжения, хг - растяжение пру-
пружины в момент остановки бруска (малой скоростью движения
динамометра мы пренебрегаем). Это уравнение имеет два корня:
2iimg
хх = х0 и х\ = —- х0. Учитывая, что брусок сдвинулся с места,
к
выбираем второй корень. Показания динамометра Fx в момент
остановки бруска, максимальная сила трения покоя Fn и сила
трения скольжения FCK связаны соотношением
F + F*
ск 2
Найдем вес Р бруска с грузами. При скольжении бруска сила
реакции опоры N = Р, а сила трения FCK = \iN. Отсюда
найдем \i.
10.19. Рекомендации для организаторов. Требу-
Требуются ферромагнитные грузы. Для этого подойдут мо-
монетки достоинством 1 и 5 копеек. Если магнит тя-
тяжелый, предпочтительнее могут оказаться гвозди
двух типов. Сила притяжения магнита должна быть
достаточна для того, чтобы, будучи подвешенным к
одному из грузов, удерживать собственный вес маг-
магнита и не меньше десяти грузов.
Подвесим магнит (за полюс) на грузе и будем постепенно уве-
увеличивать количество грузов первого типа, подвешенных на ниж-
нижнем полюсе (рис. 51). В некоторый момент магнит упадет. Повто-
Повторим, подвешивая на нижнем полюсе грузы второго типа. Отноше-
Отношение количеств грузов, требующихся для отрыва магнита обратно
отношению масс грузов.
10.20. Рекомендации для организаторов. Воздушный шарик
лучше брать диаметром 15-20 см в надутом состоянии, а его
форма не должна быть вытянутой. Шарик следует брать дос-
достаточно мягкий. В любом случае его не нужно надувать слиш-
слишком сильно. Примерный размер куска
органического стекла 15 х 15 см, тол-
толщина 3 мм. Для проведения работы дос-
достаточно 3-4 грузов массой от 100 г до
500 г. Если используются нестандарт-
ные грузы, то необходимо выдать весы
<//ЖШШЖШ///ЖШЖ дляихвзвешивания. Фломастер должен
Рис. 52 оставлять на органическом стекле чет-
четкий след. Для этого необходимо использовать специальные фло-
фломастеры для рисования на прозрачных пленках.
Надуваем воздушный шарик. Накладываем на шарик кусок
органического стекла (рис. 52), а сверху ставим первый груз. От-
Отмечаем фломастером границу касания шарика с органическим
стеклом. Повторяем эксперимент для остальных грузов. Исполь-
Используя миллиметровую бумагу, измеряем площадь контуров нарисо-
нарисованных на органическом стекле. Вес груза уравновешен силой, с
которой воздух в шарике давит на площадку, по которой стекло
соприкасается с шариком: mg = PS. Отложим на графике в коор-
координатах т, S экспериментально найденные точки. Проведем че-
через эти точки прямую. Чтобы не учитывать массу пластинки,
прямая должна быть приподнята на величину So площади пятна,
создаваемого пластинкой без грузов. Таким образом давление в
шарике определяем по формуле: Р = Amg/AS.
*10.21. Так как сопротивление резистора и нихромовой прово-
проволоки порядка десятков ом, то внутренним сопротивлением бата-
батарейки можно пренебречь. Тогда, поочередно измеряя силу тока
через резистор и проволоку, определяем сопротивление нихромо-
нихромовой проволоки. Длину ее измеряем линейкой. Чтобы определить
диаметр d проволоки, ее плотно намотаем на круглый карандаш -
виток к витку — и разделим длину намотки Z, измеренную линей-
линейкой, на число витков п. Удельное сопротивление материала про-
проволоки находим по формуле
332
где /0 - сила тока через резистор Ro, I1 — сила тока через проволоку.
10.22. Изготовим вольтметр, соединив последовательно с галь-
гальванометром резистор, имеющий большое сопротивление. С помо-
помощью этого вольтметра определим в относительных единицах на-
напряжение Uo на батарейке. Затем зарядим от батарейки эталон-
эталонный конденсатор. На его пластинах накопится заряд
<7о = U0C0. A)
Параллельно эталонному конденсатору подсоединим один из
исследуемых конденсаторов, например, Cv Измерим напряжение
U1 на получившейся батарее конденсаторов:
Из A) и B) следует, что
г — г I ^° ll
u )
Аналогичным образом определим емкость конденсатора С2.
Примечание. При подключении вольтметра к заряженному кон-
конденсатору последний начинает разряжаться так, что за время т = RC
(это приблизительно 2 с), напряжение уменьшается в е раз. Поэтому
напряжение нужно измерять по максимальному отбросу стрелки галь-
гальванометра.
*10.23. Возможны два вида колебания груза на нитях:
в плоскости чертежа, при этом
8
перпендикулярно плоскости чертежа, при этом
]| B)
Из A) и B) находим
Но по условию задачи часы использовать нельзя. Выход из
положения можно найти следующим способом. Отклонив груз в
ззз
плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, а затем влево
или вправо, мы возбуждаем оба вида колебаний. Груз при этом
будет описывать узкую эллиптическую траекторию с изменяю-
изменяющимся направлением движения. Считая, что число колебаний,
при котором направление колебаний станет первоначальным, равно
N, запишем
TX(N + 1) = TJU. D)
Из выражений C) и D) получим
\2
L-AL
N
Отсюда следует
AL
L
1 -
N
2АГ
(N
*10.24. Возможны два способа измерения.
1. Опустив свободный конец трубки в воду и закрыв пластили-
пластилином верхний торец трубки, начать погружать ее в воду, сохраняя
вертикальное положение. При этом измеряются положения уров-
уровня воды в трубке.
2. Набрав в трубку столбик воды, не касающийся ни одного из
его торцов, и закрыв один из торцов пластилином, измерить вы-
высоту столба воздуха, заключенного в трубке при ее вертикальном
и горизонтальном положениях.
В обоих случаях для измерения используется закон Бойля-
Мариотта p0V = const.
Примечание. Оба способа (особенно второй) дают высокую погреш-
погрешность измерения из-за малой плотности воды.
*10.25. Сила трения скольжения (рис. 53), действующая со сто-
стороны бумаги на кнопку
/ , mv ч
\i(mg cos оН ).
R
Элементарная работа силы трения
dA = F dS = \i(mg cos a +
mv
)Rda.
Рис. 53
При перемещении кнопки по дуге
окружности от места старта (угол 0^) до
места смены направления движения
(угол ос2) работа А силы трения соверша-
совершается за счет убыли потенциальной энер-
энергии Д?„:
334
1
dA = -mgi^ - h2).
A)
При уменьшении hx разность (h - h2) —> 0, а это сопровождается
стремлением к 0 слагаемого . В этом случае выражение A)
R
можно упростить:
\i mg(sin ах - sin (-a2))R — mg(hx - h2),
откуда следует
x - sin(-a2)) *
0,4
0,3
0,2
0,1
2 4
6 8 10
(hx-h2), мм
Рис. 54
B)
Проведем серию измерений jiot^ - h2)
и построим соответствующий график
(рис. 54). Точка пересечения полученной
прямой с осью ординат даст нам значе-
значение коэффициента трения скольжения.
Максимальное значение коэффициента
трения покоя найдем из условия
К = *« aimin-
*10.26. Укрепляем желоб на штативе достаточно высоко над
столом под некоторым углом а к горизонту. С помощью отвеса
и рулетки можно найти sin a. Ускорение определим, измерив
длину желоба (пройденный путь) и вы-
вычислив скорость шарика в конце пути.
Для этого достаточно знать положение
шарика в момент удара о стол, кото-
которое удобно фиксировать, используя
лист копировальной бумаги, положен-
положенный на лист обычной бумаги, закреп-
закрепленной на столе с помощью кнопок.
Ход искомой зависимости резко меня-
меняется после достижения значения угла
sinocK
sina
Рис. 55
проскальзывание шарика (рис. 55).
*10.27. Поместим пробирку вверх дном в сосуд с горячей водой.
Выждав некоторое время (-10 минут), дождемся того, что в про-
пробирке возникнет насыщенный пар при температуре tx = 60 °С. Изме-
Измерим длину 1Х части пробирки, свободной от воды. Затем прикроем
пробирку пробкой и перенесем ее в сосуд с водой, находящейся при
335
комнатной температуре t2. Пробирка по-прежнему остается вверх
дном. Вынимаем пробку. Примерно через 10 мин в пробирке уста-
установится давление насыщенного парар2, соответствующее t2. Пусть
при этом длина пробирки, свободная от воды, равна /2.
Поскольку количество воздуха в пробирке не меняется, можно
записать для двух рассмотренных случаев систему уравнений:
(р0 - Pl)hS = vRTx, (I)
(po-p2)l2S = vRT2. B)
Здесь S - площадь отверстия пробирки, Тх = 273 + t19 T2= 273 4-12.
Решая систему уравнений A) и B), найдем искомое давление
Pi =Po-
Ък.
*10.28. Из рис. 56 видно, что горизонтальная проекция индук-
индукции магнитного поля Земли
Во = В cos ф. A)
Расположим компас и магнит так, чтобы ось магнита была
перпендикулярна направлению «север-юг» (рис. 56), а расстоя-
расстояние от центра магнита до оси вращения стрелки компаса I = 30 см.
При этом стрелка компаса отклоняется на угол а. Из рис. 57 сле-
следует, что
Бм = Во tg а, B),
где Бм - искомая индукция поля магнита. Из B) и A) находим
Бм = В cos ф tg a. C)
Север
Рис. 56
Север
Юг
Юг
Рис. 57
*10.29. 1. Соберем электрическую схему в соответствии с
рис. 58. Подсоединим проводники к источнику тока и, соблюдая
полярность, зарядим батарею однотипных конденсаторов.
Свободным концом проводника, подсоединенного к неоновой
лампе, последовательно прикоснемся к точкам 1, 2, 3, 4, ... и так
далее.
336
Если разность потенциалов между точками а и Ъ достигнет
напряжения зажигания, то неоновая лампа вспыхнет на корот-
короткое время ?/заж ^ Uп.
2. Погрешность определения ?/заж приблизительно равна напря-
напряжению источника тока. Чем меньше U, тем меньше абсолютная
погрешность, но больше необходимое число т конденсаторов.
Погрешность можно существенно уменьшить, если заряжать от
источника не каждый конденсатор в отдельности, а, начиная с но-
номера п, определенного в п. 1, зарядить от источника оставшиеся
k = т - (п - 1) последовательно соединенные конденсаторы. Тогда
напряжение на каждом из этих конденсаторов окажется равным
U/k. Подсоединяя теперь неоновую лампу к батарее из п - 1 конден-
конденсаторов, заряженных до напряжения U/k, можно в k раз уменьшить
абсолютную ошибку измерения напряжения зажигания. В этом слу-
случае все k конденсаторов должны иметь одинаковую емкость.
с4
Сп
+ 11 _ +11 - +11 -
+ I-
+ 11 - + II -
Рис. 58
*10.30. Запишем закон Гука F = k* AZ, где k - коэффициент
упругости пружины, AZ - ее удлинение. С другой стороны извест-
М
но, что F ——, где I - длина пружины. Очевидно, что I ~ п, где
п - число витков пружины. Из приведенных выше соотношений
получаем искомую зависимость
k~\. a)
Закрепляем один конец пружины в лапке штатива (рис. 59) и
измеряем длину пружины в зависимости от числа ее витков.
337
V/////////////////////////
Рис. 59
Зависимость получается параболической, так как масса пру-
пружины т ~ тг, а коэффициент упругости k ~ —. Для наглядности
строим график удлинения пружины от числа витков в координа-
координатах д/д^ / Д^ от п (рис. 60).
Дважды измеряем удлинение пружины: один раз с шариком,
прикрепленным к нижнему концу пружины, другой раз без него.
Пусть масса пружины равна М. Тогда по закону Гука
М_
2
m\g =
М
g = Ш2.
Решая эту систему уравнений, найдем
mg
М = т
2Л/2
Зажимаем в лапку штатива часть витков пружины и опреде-
определяем зависимость периода колебаний от числа свободных витков.
Получаем линейную зависимость, которая согласуется с теорией.
[Щ 1
Т = 27iJ~r—, и т.к. Мп~ пу kn , то период оказывается пропор-
циональным числу витков пружины:
Т~п.
*10.31. Собираем электрическую цепь согласно схеме на
рис. 61. Эквивалентное сопротивление Rd участка цепи с парал-
параллельно соединенным резистором с сопротивлением R и вольтмет-
вольтметром, внутренне сопротивление которого равно Rv:
338
RRV
Запишем показание вольтметра {/х:
иг= gn A)
Собираем электрическую цепь согласно схеме на рис. 62. Вновь
запишем показание вольтметра
Rv
U2= g*r + R + R . B)
Решая систему уравнений A) и B), находим внутреннее сопро-
сопротивление источника г и его ЭДС Ш.
Рис. 61 Рис. 62
Определяем емкость Сг конденсатора. Для этого сначала заря-
заряжаем конденсатор, а затем разряжаем его через вольтметр и пос-
последовательно соединенный с ним резистор. На миллиметровой
U
бумаге строим график /(?)> гДе I = 1Г"» Известно, что / =
10 ехр
Окончательно получим
'. Отсюда 1п| —
Jo
Rv)A\n\i-
Емкость С2 конденсатора можно определить другим способом.
Заряжаем Сх до напряжения U = I?, а затем разряжаем через С2.
Проводим некоторое количество (п) разрядок Сх через С2. На кон-
конденсаторе Сг останется заряд Qn:
339
C)
Измеряем остаточное напряжение С/о на конденсаторе Cv По-
Поскольку Qn = CjC/q, a Qo = C-Jg, из (З) получим
D)
Из D) находим С2 = Сг
-l
*10.32. Отогнем у листа бумаги два уголка так, как показано
на рис. 63. На лист установим ящик. На линии зрения, проходя-
проходящей через уголок А и изображение Вх уголка В в левом стекле,
сделаем карандашом отмету и проведем прямую АВг. Затем на
линии зрения, проходящей через уголок А и изображение В2 уголка
Б в правом стекле, сделаем другую отметку и проведем прямую
АВ2. Аналогичным образом проведем прямые ВАг и ВА2. Измерим
расстояние CD. Оно равно расстоянию между стеклами в ящике.
Рис. 63
Погрешность измерения расстояния Н между стеклами зави-
зависит от толщины h этих стекол и составляет — 2/г.
*10.33. Рекомендации для организаторов. Для относитель-
относительного увеличения эффекта потерь энергии кипятильник следует
включать в цепь с пониженным напряжением (например, 100 В).
340
Количество теплоты, которое получает в единицу времени сис-
система «вода-сосуд», определяем из выражения
— = (т1с1
т2с2)
A)
где m19 тп2 и с19 с2 - известные массы и удельные теплоемкости
воды и сосуда соответственно.
Удельная теплоемкость системы «вода-сосуд» постоянна в те-
течение всего эксперимента, поэтому для краткости обозначим ее
символом А, т.е.
А = mlcl + m2c2.
Пусть мощность кипятильника равна Р. Обозначим количе-
количество теплоты, переходящее в единицу времени от сосуда с водой к
окружающему воздуху, символом Р_. Запишем условие теплового
баланса
AQ ^ .AT
-— = P_ + A—-.
B)
Обратим внимание на то, что Р_ зави-
зависит от температуры, т.е.
Р_ = Р_(Т)> Чтобы найти Р_ при задан-
заданной температуре Т, прервем нагревание
сосуда с водой (отключим кипятильник
и вытащим его из воды) и проследим за
изменением температуры системы от вре-
времени, т.е. найдем отношение —. В этом
случае
ГаП
Г, °С
80.0
60.0
40.0
20.0
О 10 20 30 40
t, мин
Рис. 64
C)
Повторим опыт с нагреванием системы «вода—сосуд» и после-
последующим прерыванием нагрева при разных температурах.
Приведем данные трех серий измере-
измерений (рис. 64), отличающихся выбором
момента времени прерывания процесса
нагревания. В первом случае нагревание
до температуры 83 °С длилось 34 мин,
во втором — 15 мин до 61 °С, в третьем —
4 мин до 36 °С. По графику (или соот-
соответствующей таблице) легко установить,
что в согласии с формулой C) 0 10 20 301, мин
Р(83°) - РFГ) - ИЗ Вт. Рис.65
341
При нагревании воды до 36 °С найденное значение мощности не-
несколько выше:
РC6°) =* 126 Вт.
Полученные по трем измерениям среднее значение мощно-
мощности и ее среднестатистическая погрешность соответственно
равны 117 Вт и 5 Вт. Мощность потерь для выбранных момен-
моментов времени принимала следующие значения:
Р_(83°) * 76 Вт, Р_F1°) ^ 38 Вт,
Р_C6°) =* 13 Вт.
Искомое количество потерянной теплоты Q можно оценить,
определив площадь под графиком (рис. 65) зависимости Р_ от вре-
времени нагрева до соответствующей температуры. Находим ответ:
Q - 96 кДж.
* 10.34. Проверим вольтметром отсутствие источника тока внут-
внутри «черного ящика». Соберем цепь для снятия вольтамперной
характеристики его участков цепи (рис. 66). Поочередно снимаем
вольтамперные характеристики всех пар выводов «черного ящи-
ящика» при прямой и обратной полярности включения источника тока.
Черный
ящик
Рис. 66
По виду вольтамперной характеристики (рис. 67) участка цепи
АВ определяем, что он содержит диод. Вольтамперная характери-
характеристика участка цепи DB (рис. 68) имеет линейный характер, что
говорит о наличии резистора. По закону Ома для участка цепи
вычисляем сопротивление RDB = 1 кОм.
J, мА
I, мА
С/, В
U, В
Рис. 67
Рис. 68
342
Резкий отброс стрелки миллиамперметра при подключении
участка цепи DB к источнику тока и ее последующее плавное
установление на новом уровне свидетельствуют, что параллельно
с резистором включен конденсатор.
При максимальном сопротивлении переменного резистора полу-
получается, что конденсатор и два резистора по 1 кОм включены парал-
параллельно (рис. 69). Если в этом случае отключить источник тока, то
конденсатор будет разряжаться за время t ~ 1 с. Чтобы оценить
емкость С конденсатора, запишем закон сохранения энергии:
max»
ср « UJR, t^ -if-, Д, = R/2 = 0,5 кОм.
Емкость С ~ 1000 мкФ.
Электрическая схема «черного ящика» приведена на рис. 70.
Рис. 69
Рис. 70
*10.35. Линейку, обернутую листом бумаги, ставим верти-
вертикально на другой такой же лист бумаги, лежащий на столе.
Прислоняем к линейке карандаш (заточенный с двух сторон)
под углом а, предельным, при котором карандаш еще не сколь-
скользит (рис. 71). Условия равновесия ка-
карандаша определяются равенством нулю
суммы всех действующих на него сил и
равенством нулю моментов сил относи-
относительно общего полюса. Запишем в про-
проекциях на горизонтальную и вертикаль-
вертикальную координатные оси условие равен-
равенства нулю суммы сил:
N2 - Frpl = 0, A)
N, + FTp2 -mg = 0. B)
Определим моменты сил относительно
полюса О:
343
mg— cos a - N2L sin a - F' 2L cos a = 0, C)
здесь L - длина карандаша.
Решая системы уравнений A)-C), получим
*10.36. Чтобы определить материал, из которого изготовлен
один из образцов, следует найти теплоемкость металла методом
охлаждения и затем сравнить найденную теплоемкость с таблич-
табличными данными.
Металлический образец, имеющий температуру более высокую,
чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается.
Количество теплоты, теряемой образцом металла за малый про-
промежуток времени Ат, равно
AQ = -cpVAt, A),
где с - удельная теплоемкость металла, р - его плотность, V -
объем образца, At - изменение температур образца.
Это же количество теплоты может быть найдено из закона со-
сохранения энергии
AQ = ос(* - *0)SAt. B),
где t0 - температура окружающей среды, t - температура образ-
образца, a - коэффициент теплоотдачи, S - площадь поверхности об-
образца. Сравнивая выражения A) и B), получаем
-cpVAt = a(* - to)SAz. C)
Выражение C) перепишем в виде
—- = Ат, D)
t-t0 cm
где т = pV — масса образца; знак минус показывает, что с увели-
увеличением времени Ат температура образца убывает.
Определив из опыта температуры образцов для ряда значений
времени, на миллиметровой бумаге строим соответствующие гра-
графики.
Находя из графиков Atx и At2 для двух образцов при одинако-
одинаковых разностях температур {t - го)г и (t - toJ и при одинаковых Ат,
запишем
откуда
344
At2 clml '
Сл =
F)
Величины а и S принимаем одинаковыми для обоих образцов
в одних и тех же интервалах температур.
Образцы по очереди помещаем в горячую воду. После нагрева-
нагревания образца до 80-90 °С вынимаем его и протираем. В канал об-
образца помещаем термометр, закрепляя его в штативе. С помощью
секундомера через каждые 30 с записываем температуру образца
до температуры, примерно на 10 °С превышающую t0. По ряду
полученных из опыта значений температуры для каждого из двух
образцов на листке миллиметровой бумаги в координатах (t - t0)
и т строим графики.
По формуле F) вычисляем удельную теплоемкость сг.
*10.37. Сначала определим ЭДС и внутреннее сопротивление
источника тока. Для этого соберем цепь, схема которой приведе-
приведена на рис. 72. Измеряем силу тока 11 и вычисляем напряжение на
зажимах источника тока:
иг = Р - V ~ g\ A)
Рис. 72
Рис. 73
Соберем цепь, схема которой изображена на рис. 73. Измерим
силу тока /2 и вычислим напряжение на зажимах источника тока:
Из B) найдем внутреннее сопротивление источника:
B)
C)
Для того чтобы измерить сопротивление Длх нити накала лам-
лампочки при комнатной температуре собираем цепь, схема которой
приведена на рис. 74. Измеряем силу тока 13 и вычисляем
-1
-Л,.
D)
345
Рис. 74
Рис. 75
В цепи, схема которой дана на рис. 75, через лампочку течет
максимальный ток. Следовательно, и температура нити накала будет
максимальной. Напряжение на лампочке найдем по формуле
R
илт~ hR2~^RJlr- E)
Из E) выразим сопротивление Rnr разогретой спирали:
г
-1
F)
Поскольку сопротивление спирали лампочки от температуры за-
зависит линейно, можем записать
Длг = ДлхA + а(Глг-:Глх)) . G),
где Тлг и Тлх - температуры спирали лампочки в разогретом и
холодном состояниях.
Из G) окончательно получим
А
-1
*10.38. Найдем радиус г капилляра. Для этого набираем в шприц
определенный объем V жидкости, часть которой с помощью иглы
переливаем в капилляр, и измерим миллиметровой бумагой вы-
высоту h столба жидкости. Освобождаем капилляр от воды и вновь
заполняем его жидкостью из шприца. Так повторяем до тех пор,
пока в шприце не закончится вся вода. Зная объем воды в шпри-
шприце и просуммировав высоту столба воды в капилляре для каждого
измерения (допустим, получилась высота Н), можно по формуле
найти радиус капилляра.
Опустим капилляр в емкость с жидкостью. За счет сил поверхно-
поверхностного натяжения вода поднимется в капилляре на некоторую высо-
высоту h. Этот подъем воды можно связать с избыточным давлением
346
Р = -у = pgh. A)
Из A) получим выражение для определения коэффициента повер-
поверхностного натяжения
*10.39. В первую очередь необходимо определиться с системой
координат. Наиболее целесообразно начало отсчета установить в
центре боковой поверхности тела, а оси расположить горизонтально
и вертикально.
Перемещая груз при заданной координате х по вертикали, обна-
обнаружим, что при некотором положении груза тело переворачивает-
переворачивается. Таким образом, чтобы решить задачу, необходимо эксперимен-
экспериментально найти области и их границы на боковой поверхности тела,
в которых тело либо поворачивается на угол, меньший 90°, либо
осуществляет поворот вокруг оси, т. е. на угол, больший 180 °.
класс
11.1. Динамометром взвесим груз:
mg = kx0, A)
где т - масса груза, k - жесткость пружины динамометра, х0 -
удлинение пружины динамометра.
Возбудим колебания груза на пружине динамометра. С помо-
помощью секундомера определим период Т колебаний груза:
Из A) и B) получим выражение для х0:
C)
Из A) и C) устанавливаем соответствие между ценой делений
шкалы динамометра и длиной х0. Измерим размеры груза в еди-
единицах шкалы динамометра и переведем их в единицы длины. Вы-
Вычислим объем V груза. Используя формулу р = —, где
m - масса груза, вычисленная по A), находим плотность р груза.
347
Рис. 76
11.2. Обвязав нитью один конец дере-
деревянного стержня, привяжем его к шта-
штативу. Опустим стержень в сосуд с водой
(рис. 76). Измерим длину L стержня и
длину х части стержня, находящейся в
воде.
Запишем условие равенства момен-
моментов сил, действующих на стержень, от-
относительно полюса О:
A)
где рт - плотность стержня, S - площадь его поперечного сечения,
рв - плотность воды.
Из A) следует
11.3. Рекомендации для организаторов. Задачу желательно ста-
ставить в аудитории, где возможно хотя бы частичное затемнение,
тогда в качестве лампы можно применить лампочку от карман-
карманного фонаря. В других случаях следует использовать более мощную
лампу, чтобы ее яркость была достаточна для получения изобра-
изображения нити накала в сконструированном оптическом приборе.
Проделаем иглой отверстие в центре фольги. Прикрепим бу-
булавкой к стене лист белой бумаги. Это будет экран. Лампу следу-
следует установить на расстоянии около двух метров от экрана. Поме-
Поместим между лампой и экраном фольгу так, чтобы изображение
нити накала было видно на экране. Фольгу располагаем ближе к
лампе, тогда изображение спирали (рис. 77) будет увеличенным в
Ъ
— раз. Чем большее увеличение мы хотим получить, тем больше
должно быть отношение —.
а
Ъ
Пусть шаг спирали нити накала равен Н, тогда H/h = — и
Фольга
Экран
следовательно
Для более точного определения шага
h изображения спирали следует измерить
расстояние I между несколькими (k) вит-
витками. В этом случае h = l/k.
348
11.4. Рекомендации для организаторов.
Внутреннее сопротивление гальванометра
должно в 2-3 раза отличаться от сопро-
сопротивления резистора, которое известно. Па-
Параметры источника тока должны допус-
допускать включение приборов по схеме, указан-
указанной в решении, т. е. у школьника не должно Рис. 78
быть возможности сжечь приборы.
Подключим гальванометр Г к одному из плеч мостика Уинсто-
на, а в другое плечо включим резистор с известным сопротивле-
сопротивлением, ключ поставим в мостике там, где обычно включают галь-
гальванометр (рис. 78). Подберем положение движка так, чтобы при
замыкании и размыкании ключа ток через гальванометр не ме-
менялся. Поскольку это возможно только при сбалансированном
мостике, для расчета внутреннего сопротивление гальванометра
можно записать
RJR = LJL2, A)
где Ьг и L2 - длины соответствующих плеч реохорда, R — сопротив-
сопротивление резистора, a Rx — искомое сопротивление гальванометра.
h
Из A) получим Rx = R~l~-
11.5. Будем считать линзу тонкой. Как известно, оптическая
сила тонкой линзы равна сумме оптических сил ее преломляю-
преломляющих поверхностей:
где пг и п2 - показатели преломления света в среде, находящейся
слева и справа от линзы, а гх и г2 - радиусы кривизны левой и
правой преломляющих поверхностей линзы.
Измерим фокусное расстояние Fx линзы, находящейся в воздухе.
Аккуратно опустим линзу на поверхность воды так, чтобы ее
нижняя сферическая поверхность погрузилась в воду, а верхняя -
осталась в воздухе. Измерим фокусное расстояние F2 линзы со
стороны воды.
Перевернем линзу другой стороной и вновь измерим в воде ее
фокусное расстояние F3.
Выразим фокусные расстояния Fly F2, F3 линзы через радиусы
кривизны ее поверхностей и соответствующие показатели прелом-
преломления:
349
D2 1 Г n -1 n- пъ
F2 nB пъ{ г,
_L в А. = 1 (п-пв | п~1
*3 ^в ^в ' Л Г,
B)
C)
Решая систему уравнений A)-C), найдем выражения для иско-
искомых величин:
2-а'
-1
-А
D)
E)
F)
где для краткости было использовано обозначение
а
А
Подставляя в D)-F) измеренные значения F19 F2 и F3, вычислим
п, гх и г2.
11.6. Рекомендации для организаторов. В качестве исследу-
исследуемого полупроводникового прибора рекомендуется использовать
семистор, ВАХ которого приведена на рис. 79.
I относительные единицы
0,2 0,4 0,6
Рис. 79
Рис. 80
Соберем цепь, схема которой приведена на рис. 80. Снимем
ВАХ семистора. Для этого будем увеличивать выходное на-
напряжение источника тока. При достижении Ub сила тока в
цепи скачком возрастает от 1Ь до Id. При последующем увели-
увеличении напряжения мы снимем зависимость I(U), которой со-
соответствует участок (d, e) ВАХ. При уменьшении напряжения
мы снимаем зависимость I(U), которой соответствует участок
(е, d, с) ВАХ. При достижении Uc сила тока в цепи скачком
уменьшится от 1С до 1а. Таким образом, цепь, приведенная на
350
рис. 80, не позволяет изучить участок (с, Ъ) вольтамперной
характеристики.
Зависимость dU/dl любого электронного прибора называется
динамическим сопротивлением и обозначается гдин. На участке
(с, Ъ) (рис. 79) гдин - отрицательная величина. Соединим последо-
последовательно с семистором резистор, сопротивление которого больше
максимального значения модуля гдин. Теперь сопротивление фраг-
фрагмента цепи «резистор-семистор» положительно. Снимем В АХ этого
участка цепи. Учитывая вклад резистора R в вид новой ВАХ,
восстановим участок (с, Ь) ВАХ семистора.
11.7. Прежде всего убедимся, что два одинаковых конуса, од-
одновременно отпущенные с некоторой высоты, коснутся пола од-
одновременно. Далее, отпустим один конус с большой высоты, а
другой будем держать на меньшей высоте. Когда верхний конус
поравняется с нижним конусом, отпустим его. Оба конуса достиг-
достигнут пола практически одновременно.
Следовательно, время установления скорости равно погрешно-
погрешности измерений.
Расположим внутри одного из конусов дополнительно еще три
конуса таким образом, чтобы их вершины совпали. Отпустим од-
одновременно один и четыре соединенных вместе конуса с высот Н
и 2Н соответственно.
Эксперимент показывает, что в этом случае они также достиг-
достигнут пола одновременно. Значит, скорость четырех конусов в два
раза больше скорости одного конуса. Заметим, что при устано-
установившемся движении сила сопротивления, действующая на конус,
равна силе тяжести. Таким образом: F(v) = mg, FBv) = 4mg. Из
двух последних равенств получим F ~ v2.
11.8. Рекомендации для организаторов. Дощечка может быть
взята из лабораторного трибометра. Торцы брусков необходимо
обработать таким образом, чтобы для одного из них сила тре-
трения была недостаточна для опрокидывания бруска при движе-
движении пластины, а для другого - наоборот.
При малой силе, приложенной к дощечке, возникающая сила
трения удерживает брусок на дощечке. С увеличением силы, с
которой мы тянем дощечку, брусок начинает проскальзывать от-
относительно пластины, сохраняя вертикальное положение. Достиг-
Достигнув края дощечки, брусок падает на стол, причем при бо'лыних
ускорениях дощечки он сохраняет вертикальное положение, а при
меньших - может перевернуться. В случае с большим коэффици-
коэффициентом трения при большом ускорении дощечки брусок сразу оп-
опрокидывается. В зависимости от соотношения размеров и действу-
351
ющих сил брусок может как упасть на пластину, так и соскольз-
соскользнуть с нее.
11.9. Рекомендации для организаторов. Можно взять банку
объемом 0,7 л. Линза и экран могут быть использованы из стан-
стандартного оборудования школьного кабинета физики.
Установим источник света S и линзу вплотную к банке с ее
диаметрально противоположных сторон. Нальем в банку исследу-
исследуемую жидкость. Установим за линзой экран на таком расстоя-
расстоянии, чтобы на нем было четко видно изображение светящейся
спирали лампочки. Поскольку банка с жидкостью представляет
собой вертикально расположенную цилиндрическую линзу, изоб-
изображение спирали будет вытянуто в горизонтальной плоскости.
Уберем банку и, не меняя положения линзы и экрана, сместим
лампочку так, чтобы на экране вновь получилось ее четкое изоб-
изображение. Измерим расстояние L от лампочки до линзы и диаметр
D банки. Новое положение лампочки совпадает с ее мнимым по-
положением S' в первом опыте (рис. 81). Для того чтобы не загро-
загромождать рисунок, на нем не показано положение линзы и экрана.
Считая все углы, изображенные на рис. 1, малыми, запишем:
а = 1/D, у = 1/L, р = а п, ф = Р - а. Из приведенной системы
уравнений выразим искомое значение показателя преломления
„-*-?.
Рис. 81
11.10. Рекомендации для организаторов. Кристаллизатор
должен быть таких размеров, чтобы карандаш не умещался в
нем как в горизонтальном, так и в вертикальном положении.
352
Масса куска пластилина должны быть приблизительно рав-
равна массе карандаша.
Работу выполняем в два этапа. На первом этапе определим
(в относительных единицах) массу т карандаша. Подвесим к шта-
штативу с помощью нити карандаш так, как показано на рис. 82.
Измерим линейкой длину L всего карандаша их- длину части
карандаша, погруженной в воду. Запишем условие равенства мо-
моментов сил относительно полюса О:
A)
B)
где S - площадь поперечного сечения карандаша. Ее можно
найти, измерив диаметр карандаша. Для более точных измере-
измерений диаметра целесообразно обмотать вокруг карандаша нитку
A0-12 оборотов) и через длину Ь нити выразить диаметр и пло-
площадь:
где рв - удельная плотность воды.
Из A) получим выражение для массы карандаша:
*-
где N — число оборотов нити вокруг карандаша.
C)
?
м
Рис. 82
Рис. 83
На втором этапе изготовим разноплечные весы так, как пока-
показано на рис. 83. На короткое плечо повесим кусок пластилина.
Положение точки крепления весов (полюс Ох) подберем так, что-
чтобы весы оказались уравновешены. Вновь запишем условие равен-
равенства моментов сил относительно полюса Ох:
353
D)
Из B)-D) получим
'4n[N
11.11. Рекомендации для организаторов. Эксперимент сле-
следует проводить в затемненном помещении. Для выполнения ра-
работы наиболее подходят светодиоды АЛ307 иАЛ307Б. Перемен-
Переменные резисторы должны иметь шкалу и обеспечивать возмож-
возможность регулировать сопротивление от 0 до 20 кОм.
Соберем электрическую цепь, изображенную на рис. 84.
Рис. 84
Снимем В АХ светодиода D2. Обозначим напряжение на D2 сим-
символом U2, а ток /2.
Обозначим положения ключей Кх и К2 плюсами (если ключ
замкнут) и минусами (если разомкнут). Например, состояние, в
котором Кг разомкнут, а К2 замкнут, обозначим «- +».
Для различных значений R2, изменяя R19 добьемся, чтобы яр-
яркость светодиода Dx не менялась при переключении из положе-
положения «- +» в «+ -». При выполнении этого условия напряжение на
светодиоде Dx всегда равно U/2. Установим сопротивление резис-
резистора R2 равным нулю. При этом сопротивление резистора Rx сле-
следует подобрать таким, чтобы в состоянии «—Ь» напряжение на
нем тоже равнялось U/2. Обозначим это сопротивление Ro. Най-
Найдем силу тока /0, протекающего через светодиод Dx:
354
и
2R0'
A)
Изменим сопротивление резистора R2.
Вновь добьемся, чтобы яркость светоди-
ода Dx не менялась при переключении
из положения «—Ь» в <Н—». Напряже-
Напряжение U2 на светодиоде D2 найдем по фор-
формуле
B)
I, отн. ед.
О 0,15 0,3 0,45 Uy В
Рис. 85
В положении «- +» сила тока /0 рав-
равна сумме 12 и Г2, протекающего через D2 и R2 соответственно.
Отсюда
*0 * 2°
Очевидно, что
Г2 = U2/R2.
С учетом A), B), D) из C) окончательно получим
R2 R0R2 J
C)
D)
E)
BAX светодиода построим (рис. 85), вычисляя по формулам B)
и E) напряжение и силу тока.
11.12. Рекомендации для организаторов. Шкалу штанген-
штангенциркуля следует отполировать.
1. Штангенциркуль используем в качестве дифракционной ре-
решетки. Миллиметровые деления шкалы штангенциркуля будут
выступать в качестве штрихов рабочей поверхности решетки. При-
Прикрепим к стене скотчем лист миллиметровой бумаги (экран). Угол
падения 6 лазерного луча на штангенциркуль должен быть бли-
близок к я/2. Период решетки d = 1 мм.
Условие наблюдения на экране т-то дифракционного макси-
максимума:
d(sin в' - sin в) = mk. A)
Полагая, что тг/2 - 6' « 1, выразим sin 0' и sin 9 через расстояние
L от решетки до экрана, и расстояние hx и h0 от плоскости решет-
решетки до 1-го и 0-го дифракционного максимумов (рис. 86).
355
Рис. 86
sm 9 ~ 1 - -r-ry, s]
Из A) и B) получим
= d h* ~ h* = A1
B)
C)
'" m 2L2 /n 2L2
Подставляя в C) измеренные h0, hx и L, найдем X = 670 нм.
Для повышения точности измерений следует увеличивать
расстояние L и работать с т > 1. В этом случае погрешность
измерений при аккуратном проведении эксперимента не пре-
превышает 10% и, в первую очередь, обусловлена точностью из-
измерения Нг - h0.
2. Направим луч лазера в оптический «черный ящик». На эк-
экране увидим картину, наблюдаемую при прохождении света че-
через дифракционную решетку. При вращении лазера вокруг его
оптической оси яркость дифракционной картины изменяется. При
некоторых углах поворота лазера она исчезает практически пол-
полностью. Поскольку излучение лазера поляризовано, такая ситуа-
ситуация возможна, если в «черном ящике» находится поляризацион-
поляризационная пластинка.
3. Измерим на экране расстояние D между дифракционными
максимумами лазерного излучения, прошедшего сквозь «черный
ящик» и расстояние Lx от «черного ящика» до экрана. Период
дифракционной решетки
d =^-
11.13. Для измерения токов используем резистор: / = —г~. Проб-
к
ные измерения показывают, что сопротивление между клемма-
клеммами D и Б зависит от частоты и не зависит от амплитуды прило-
приложенного напряжения, между А и D - зависит от частоты и амп-
амплитуды напряжения, между В и А - зависит от амплитуды, но
356
не зависит от частоты напряжения.
Вывод - возможные схемы: 1, 2 и 3 (см.
указание). Схема 4 не подходит, так как
для любых двух выводов сопротивление
зависело бы от U и ш. С помощью изме-
измерений на постоянном токе, выясняем:
RAB + R
BD
и
Рис. 87
^ при фиксированной силе
тока. Следовательно, сопротивление
между узлом и клеммой Б равно нулю
(там нет катушки, так как сопротивле-
сопротивление между Б и А не зависит от со). Та-
Таким образом, остаются схемы 1 и 2.
Подключим электроизмерительные
приборы к клеммам А и Б. Снимем ВАХ
на постоянном токе (рис. 87). Она соот-
соответствует лампочке накаливания.
Подключим электроизмерительные
приборы к клеммам D и Б. Снимем час-
частотную характеристику «черного ящи-
ящика» (рис. 88). Этой зависимости удовлет-
удовлетворяет схема параллельно соединенных
резистора с сопротивлением R и конденсатора. Катушка индук-
индуктивности не подходит, так как в этом случае с ростом частоты
индуктивное сопротивление возрастало бы. Проводя измерение
отношения UDB/IDB на какой-либо фиксированной частоте со0, на-
находим емкость конденсатора
Zdb
Z,-
СОп
Рис. 88
со
С= —
где Z
DB
U
DB
— импеданс соответству-
Рис. 89
ющего участка цепи.
Изобразим схему цепи «черного ящи-
ящика» (рис. 89).
11.14. Отрежем полоску картона максимально возможной дли-
длины, подобрав ее ширину так, чтобы она не теряла устойчивости,
будучи вертикально закрепленной в штативе. С помощью нитки,
связанной в петлю, будем прикладывать к верхней части полоски
вертикальное усилие F (подвешивая грузы или натягивая нить
динамометром). Будем увеличивать нагрузку до тех пор, пока по-
полоска не начнет изгибаться.
357
Повторим эксперимент для других
длин полоски L или для других поло-
полосок той же ширины.
Построим график зависимости
F L
А - In тг = п In ~г~,
где A, Fo и Lo - нормировочные по-
постоянные коэффициенты, завися-
зависящие от выбранного масштаба изме-
измерений.
По тангенсу угла наклона графика
(рис. 90) определим п:
п — tg a - 2.
11.15. Рекомендации для органи-
организаторов. В качестве груза можно ис-
использовать пробку от «Пепси-колы»,
заполненную пластилином.
Если линейку уложить на край
доски, расположив штатив с подвешенным грузом так, что в
момент удара о торец линейки нить окажется вертикальной,
то после удара линейка проскользнет по доске некоторое рас-
расстояние I.
Энергию, приобретенную линейкой после удара, можно оп-
определить следующим образом. Под действием силы трения
линейка движется замедленно. Ее ускорение а = \xg, началь-
начальная скорость v0 =
Коэффициент трения линейки о доску определим, постепен-
постепенно поднимая один край доски с лежащей на ее поверхности
линейкой до тех пор, пока линейка не начнет скользить без
ускорения. В этом случае [i = tg а, где а — угол между наклон-
наклонной доской и горизонтальной плоскостью. Следовательно, мак-
максимальная кинетическая энергия Ек линейки равна [imgl.
Максимальная потенциальная энергия ЕП груза равна MgH, где
Н - высота, на которую поднимают груз. Отношение энергий
Ек к Еп есть Р = ц — — , т.е. Р~ —. На рисунке 91 приведен
\Ж J\FL J И.
пример зависимости доли энергии, теряемой системой «груз-
— Ev
линейка», от угла ф отклонения груза, т. е.
ОТ ф.
358
?п~?к
0,4
0,3
0,2
0,1
10°
-H h-
20° 30°
40°
50° 60° 70° 80° 90° (p
Рис. 91
11.16. Рекомендации для организаторов. Длина цилиндра дол-
должна быть такой, чтобы фокусы линзы находились внутри ци-
цилиндра, а двойные фокусы - вне его. Оптическая ось линзы долж-
должна совпадать с осью симметрии цилиндра. Чтобы не было воз-
возможности измерить положение линзы непосредственно, торцы
цилиндра следует закрыть каким-либо прозрачным материалом,
например, тонкой пленкой, применяемой для упаковки продук-
продуктов. Внутри цилиндра следует разместить какое-либо массив-
массивное кольцо для того, чтобы положение линзы в цилиндре нельзя
было найти по положению центра масс.
Вкалываем булавку в полоску картона и устанавливаем ее на
оси цилиндра. Теперь установим вторую булавку, закрепленную
в полоске картона, так, чтобы ее положение совпало с положени-
положением изображения первой булавки в линзе. Для этого воспользуем-
воспользуемся методом параллакса: будем сдвигать глаз перпендикулярно оп-
оптической оси линзы и отыщем такое положение второй булавки,
что ее смещение относительно видимого нам изображения первой
булавки будет минимально. Измерим расстояние I между булав-
булавками и расстояние а от первой булавки до ближнего к ней края
цилиндра. Теперь сдвинем цилиндр вдоль его собственной оси так,
чтобы изображение первой булавки и вторая булавка снова совпа-
совпали (рис. 92).
359
Булавка № 1
тхт
Т Булавка № 2
I
Рис. 92
В силу симметрии ситуации запишем
а + х = I - (а + d + х),
где а - расстояние от первой булавки до торца цилиндра в первом
его положении, d - сдвиг цилиндра, I - расстояние между булав-
булавками. Отсюда находим положение линзы в цилиндре:
- l~d _
х ~ 2 п'
По формуле тонкой линзы найдем фокусное расстояние линзы
_ I2 - d2
11.17. Рекомендации для организаторов. Бутылку удобно ис-
использовать пластиковую (с вертикальными стенками), объемом
1,5-2 л, проделав в ней на высоте около 5 см от дна отверстие
диаметром 2-3 мм. Отверстие не должно иметь закраин.
3,8 f-
3,3
2,8
2,3
1,8
1,3
360
¦к
t, С
50
100
150
Рис. 93
200
250
300
Из миллиметровой бумаги изготавливаем клин с малым углом
а раствора. Измеряем глубину L, на которую этот клин можно
вставить в отверстие. Диаметр и площадь отверстия So находим
по формулам:
D - oL, So = Jd2.
Если уровень воды над отверстием в момент времени t равен Л,
то уравнение неразрывности имеет вид
S.v, = Scy2. A)
где Sx и и1 - площадь сечения бутылки и скорость опускания
жидкости соответственно, a Sc и v2 - площадь сечения струи и
скорость воды в ней.
Запишем формулу Торричелли
-S,™ = Sj2gh ,
dt
siy-. B)
Пусть за промежуток времени dt уровень h изменится на dh,
тогда
v1 = - dh/dt. C)
Подставляя vx и v2 из B) и C) в A), имеем
_Q dh =
или
Проинтегрируем D):
4h = ~~1$\~7;* + const. E)
Построим график зависимости vu от t и по тангенсу угла на-
наклона прямой определим Sc. График, получившийся у автора, пред-
представлен на рис. 93. Отношение S0/Sc равно примерно 2,0.
Расхождение эксперимента с теорией в 2 раза объясняется тем,
что частицы жидкости в бутылке вблизи краев отверстия имеют
скорости в направлениях, перпендикулярных направлению струи
за отверстием. По существу, Sc — это сечение сформировавшейся
струи, т.е. струи на таком расстоянии от отверстия, когда гори-
горизонтальные скорости всех частиц струи примерно одинаковы.
11.18. Рекомендации для организаторов. Необходимо выре-
вырезать и склеить не менее 5 одинаковых конусов для каждого участ-
13 Козел 361
пика. Конусы делаются из обычной писчей бумаги. Примерный
радиус вырезаемого круга 100 мм; в нем вырезается сектор с
длиной стягивающей хорды 110 мм, вдоль одной из сторон следу-
следует оставить клапан для склейки шириной около 7-8 мм. Для
устойчивости имеет смысл положить в вершину каждого кону-
конуса по кусочку пластилина (одинаковой массы).
Заметим, что скорость падающего конуса быстро «устанавли-
«устанавливается», и в дальнейшем остается постоянной. Одновременно от-
отпуская два одинаковых конуса с некоторой высоты, убеждаемся в
том, что они касаются пола в один и тот же момент времени.
Начнем постепенно уменьшать диаметр одного из конусов (отре-
(отрезая ножницами тонкие полоски от края и складывая их внутрь
конуса, чтобы масса оставалась неизменной). Для каждого диа-
диаметра находим высоту Н, при падении с которой время t остается
равным времени падения целого конуса. Таким образом, для силы
сопротивления F получим зависимость, неявно заданную уравне-
уравнением: F = f(R)(H/tJ = const. Анализ показывает, что / ©с R2.
11.19. Рекомендации для организаторов. Шары следует взять
стальные или из твердой пластмассы, диаметром 20 ± 5 мм.
Длина подвеса 45+15 см. Шары должны быть подвешены на
одинаковой высоте так, что в положении равновесия их поверх-
поверхности соприкасаются, а плоскости подвесов вертикальны.
Начальная энергия системы есть потенциальная энергия одно-
одного шара, отведенного на угол а. Энергию «слипшихся» шаров удоб-
удобно измерять по амплитуде А их отклонения. Для шара, отклонен-
отклоненного на малый угол а, высота подъема, а значит и потенциальная
энергия, пропорциональна А20. Для конечного состояния системы
с учетом малости диаметра шара по сравнению с длиной подвеса
потенциальная энергия системы пропорциональна 2A2fe, потому
что теперь потенциальная энергия определяется массой двух от-
отклоняющихся шаров.
Теоретически рассмотрим движение системы из двух шаров.
При малых отклонениях период колебаний не зависит от ампли-
амплитуды. Поэтому шарики будут сталкиваться в нижней точке тра-
траектории. Применим законы сохранения энергии и импульса к си-
системе шаров для ?-го столкновения:
mva + mvi2 = mv'iX + mv'i2,
где Et - часть механической энергии, перешедшая в другие фор-
формы. Разрешив эти уравнения относительно скоростей шаров пос-
после столкновения, получим:
362
v /2 ~ 2 ^Vi2 Vil
Разность этих скоростей
v'n ~ v'i2 = A/^i " Ч2) -4E. / m .
Скорости шаров перед i-м столкновением равны скоростям после
(i - 1)-го столкновения. Поэтому подкоренное выражение может
быть приведено к виду v2 - ЦЕг + ... + Е^/т, где иг - скорость
налетающего шарика перед первым столкновением (второй ша-
шарик первоначально покоился). Пусть после п-то столкновения
шарики начинают двигаться практически вместе, т. е. v'nl = i/n2.
Это произойдет, когда суммарная потеря механической энергии
будет Ех + Е2 + ... + Еп = mv12/4 = mgH/2. Таким образом, ампли-
амплитуда отклонения системы в установившемся состоянии должна быть
в два раза меньше, чем первоначальное отклонение первого шара.
Возможные расхождения с экспериментом могут объяснять-
объясняться потерями энергии в системе за счет трения в подвесе и сопро-
сопротивления воздуха. При уменьшении упругости сталкивающихся
поверхностей шаров характерное число столкновений п будет
уменьшаться. Это может привести к лучшему совпадению экс-
экспериментальных результатов с теоретическим расчетом, если из-
за сопротивления движению потери энергии были велики в пер-
первом случае.
*11.20. 1.1. К пружине подвешиваем груз № 1 массы тп1 и из-
измеряем удлинение пружины Ахг, затем подвешиваем груз № 2
массы тп2 и измеряем удлинение пружины Ах2. Массу груза № 1
находим, решая систему уравнений:
Щ8 = йЛ*11 Ах
m2g = kAx2] г 2АХ
л о Тх
1.2. Имеет смысл измерять число ко-
лебаний при одинаковом изменении ам-
амплитуды А колебаний, например, при
АА — 1 мм.
1.3. Пусть Ах - удлинение пружины,
к которой подвесили груз массы т. Воз-
Возбудим в системе груз-пружина вертикаль-
вертикальные колебания с амплитудой А (рис. 94).
Полная механическая энергия систе-
системы «груз-пружина» равна рис. 94
363
Ах
A k/A ..2 mg-Ax mg - А2
= mgA+ -(Д* AJ= +
(При записи правой части уравнения использовано равенство
Пусть через iV периодов колебаний их амплитуда AN умень-
уменьшится на 8 = А - AN. При этом механическая энергия системы
тп& TYL&
уменьшится на AwN = ——(А2 - A2N) = —-(А + А^) • 5.
Если AwN <ЗС ш, то изменение механической энергии системы за
один период колебаний приближенно равно
Отсюда находим относительное изменение энергии системы за один
период колебаний
(Ах2
2.1. Воспользуемся формулой для периода колебаний груза на
пружине:
A)
Измерив периоды колебаний грузов № 1 и № 2 с помощью
формулы A), получим
т, = Ц|) .
2.2. Из A) следует:
T2k
В случае колебаний груза на пружине в воде его эффективная
T2k
масса тпэ = -f-j.
Тогда относительное приращение массы
Am m^ - m \ Тэ
= — - 1
m m I
Примечание. Величина Am называется присоединенной массой.
364
*11.21. а) Двойной маятник имеет пять типов нормальных ко-
колебаний;
б) Все эти моды можно возбудить последовательно, медленно
увеличивая частоту колебания нити.
1. Расположение мод в порядке возрастания частоты:
1-я мода - синфазные колебания в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости чертежа (см. рис. 4.11 в условии);
2-я мода - противофазные колебания в плоскости, перпенди-
перпендикулярной плоскости чертежа;
3-я мода - противофазные колебания в плоскости чертежа;
4-я мода - синфазные колебания в плоскости чертежа;
5-я мода - противофазные вертикальные колебания.
2. Чтобы вычислить отношение C = AL/L, сравним периоды
колебаний 1-й и 3-й мод. Для этого нужно возбудить одновремен-
одновременно два этих типа колебаний. Оба груза сначала отводим в плоско-
плоскости, перпендикулярной чертежу (удобнее на себя), а затем один
из грузов отводим влево, другой - вправо и отпускаем. Грузы
начинают колебаться в плоскостях, проходящих через ось сим-
симметрии маятника и расположенных под углом примерно я/2 друг
к другу (при одинаковых начальных отклонениях на себя и в
сторону). Эти колебания являются суперпозицией двух типов ко-
колебаний: в плоскости, перпендикулярной чертежу, с периодом
Тг = 2n^L I g , где g - ускорение свободного падения, и в плоско-
плоскости чертежа с периодом Т2 = 2nJ[L - ALj / g. Поскольку эти пе-
периоды не равны, то каждый из грузов будет совершать колебания
в вертикальной плоскости, которая медленно вращается. Через
некоторое число N колебаний грузы вновь вернутся в первона-
первоначальную плоскость колебаний. Это произойдет при условии:
NTX = (AT + 1)Т2.
После подстановки в это уравнение выражений для Тх и Т2 и не-
несложных алгебраических преобразований получим
AL _ 2N + 1
" ~" Т ~ (N +1J'
Сосчитав *шсло колебаний N, при котором направление колеба-
колебаний грузов станет первоначальным, вычислим величину C.
*11.22. Основная идея определения схем электрических цепей
«черных ящиков» сводится к исследованию частотных характе-
характеристик таких четырехполюсников.
Рассмотрим случай, когда в «черном ящике» смонтирована элек-
электрическая цепь, изображенная на рис. 95. Подключив клеммы 3, 4
365
R
2*-
-«4
Рис. 95
к выходу генератора, а клеммы 1, 2 к
входу осциллографа, убедимся, что амп-
амплитуда синусоиды, наблюдаемая на экра-
экране осциллографа, не зависит от частоты
выходного напряжения генератора. Если
теперь клеммы 1, 2 подключить к выхо-
выходу генератора, а клеммы 3, 4 к входу ос-
осциллографа, то будем наблюдать зависимость амплитуды выходно-
выходного напряжения U3 4 на экране осциллографа от частоты со генерато-
генератора при постоянной амплитуде U12 входного напряжения. Эту зави-
зависимость С/3,4((°) и следует аккуратно снять во всем диапазоне час-
частот генератора.
График зависимости U3 4(co) имеет вид,
изображенный на рис. 96 (кривая 1).
Эта кривая имеет два характерных уча-
участка:
1) в области малых частот (когда ре-
реактивное сопротивление конденсатора
иЗ,4
со
Рис. 96
— ^> R) зависимость 173,4(С0) очень близ-
0H
ка к линейной, т. е.
2) в области больших частот (когда -— <?С R) зависимость
соо
U3 4(со) стремится к постоянному пределу, т. е.
Чтобы определить сопротивление R резистора, параллельно к
нему (к клеммам 3, 4) подключим резистор известного сопротив-
сопротивления г и снова снимем зависимость U'3t 4(w)« На рис. 96 этой
зависимости соответствует кривая 2. В области малых частот
Используя отношения тангенсов утла наклона касательных к U3t 4(co)
и J7'3f 4(co) при со = 0, получим
R + r
tgvj/2 г "
Из этого соотношения вычислим Д.
Чтобы определить емкость конденсатора С, для зависимости
U3 4(со) выберем такую частоту со^ при которой отношение
366
~ 0,7. В этом случае емкостное сопротивление кон-
конденсатора примерно равно сопротивлению резистора R:
1
Отсюда получим
1
R.
*11.23. К свободному концу нити при-
прикрепляем динамометр. Для удобства вы-
вычислений угол охвата ф меняем дискрет-
п
Т,Н
но через —. С
помощью динамометра
измеряем минимальную силу, т. е. силу,
при уменьшении которой груз начинает
двигаться вниз. Получаем таблицу зна-
значений зависимости силы Т от угла охва-
охвата ф. Примерный график такой зависи-
зависимости показан на рис. 97 (звездочки).
Как видно из полученного графика,
зависимость нелинейная, однако очень
похожа на экспоненту с отрицательным
т
0 1 2 3 4 5 ф
(тс/2)
Рис. 97
Mg
показателем. Измеряем вес груза Mg и строим график In -=- от ф.
На рис. 97 этот график изображен кружочками.
Полученная зависимость линейна, поэтому можно предполо-
предположить, что
^ ф
Тангенс угла наклона прямой на рис. 97 равен коэффициенту тре-
трения |1 = 0,21 ± 0,02.
*11.24. Собираем схему, изображенную на рис. 98 (ЧЯ - «чер-
«черный ящик»). Переключим мультиметр в режим амперметра. При
разомкнутом ключе К с помощью амперметра измеряем силу
тока /. Амперметр измеряет действующие значения тока.
Из схемы убираем амперметр и замыкаем ключ К. С помощью
мультиметра (в режиме вольтметра) измеряем напряжения на выхо-
выходе генератора (Ur), на конденсаторе (Uc) и на «черном ящике» (UJ.
По измеренным напряжениям определяем сдвиг фаз \j/ между
током / и напряжением UH на «черном ящике». Качественная век-
367
торная диаграмма тока I и напряжений показана на рис. 99. Дей-
Действующее значение силы тока I откладываем вдоль горизонталь-
горизонтальной оси. Напряжение Uc на конденсаторе отстает по фазе от тока
на —, а векторная сумма
= ит.
По теореме косинусов
Ur2 = Uc2 + U/ - 2J7C?/Hcos<p.
Сдвиг фаз \}/ между током и напряжением на «черном ящике»
п
равен \|/ = — - ф, поэтому
cos \|/ = sin ф = ^/l - cos2 ф .
Мощность, потребляемая «черным ящиком»,
Р = Шя cos \|/.
ЧЯ
К
Рис. 98
ис
ит
ия
Рис. 99
*11.25. 1. В случае неподвижной платформы нормальными
являются колебания шарика в направлении вдоль и поперек пе-
перекладины.
2. В случае равномерно вращающейся платформы нормальные
колебания являются эллиптическими. При малых угловых уско-
ускорениях платформы колебания шарика остаются все время нор-
нормальными с малым вкладом другой моды колебаний.
3. Возбуждаем одно из колебаний (вдоль или поперек перекла-
перекладины) и начинаем вращать платформу. При достаточно медленном
вращении платформы плоскость колебаний шарика вращается со
скоростью вращения платформы, а колебания остаются почти ли-
линейными. После остановки платформы ориентация плоскости ко-
колебаний относительно платформы совпадает с исходной.
Меняя положение точки подвеса по вертикали, убеждаемся,
что вращение должно быть достаточно медленным по сравнению
368
с разностью собственных частот маятника |сох - со2|. Вращение мо-
может быть и не медленным при условии малости углового ускоре-
ускорения (по сравнению с |со12 - со22|). В этом случае после остановки
платформы плоскость колебаний также совпадает с исходной, но
теперь в процессе вращения колебания маятника уже являются
эллиптическими. При этом движение шарика по направлению
движения платформы соответствует исходному колебанию попе-
поперек перекладины, а против движения платформы - исходному
колебанию вдоль перекладины.
*11.26. Известно, что биполярный транзистор может быть пред-
представлен как два включенных навстречу друг другу диода
(рис. 100, 101).
р-п-р
+1.-
Си Zn (-)
Рис.102
->2
Рис.103
1. Из цинковой и медной пластинок, воткнутых в лимон, полу-
получаем химический источник тока с ЭДС ~ 1 В.
Медная пластинка имеет положительный потенциал, а цинко-
цинковая - отрицательный. Соединим миллиамперметр с источником
тока (рис. 102).
Произвольно выбираем два вывода транзистора и подключаем
к ним проводники 1 и 2 электрической цепи. При этом возможны
несколько вариантов, их анализ позволяет найти вывод базы (Б).
Предположим, что это выводы эмиттера (Э) и коллектора (К)
(рис. 103). Очевидно, что в этом случае тока в цепи практически
нет. Изменим полярность подключения, т. е. вывод 2 подключим
к коллектору, а вывод 1 - к эмиттеру, и в этом случае миллиам-
миллиамперметр не зарегистрирует ток в цепи. При других вариантах под-
подключения (база-коллектор или база—эмиттер) при «минусе» на
базе миллиамперметр будет регистрировать наличие в цепи тока.
369
2. Для определения выводов транзис-
транзистора «коллектор» и «эмиттер» можно
использовать сопротивление своего тела
между левой и правой руками. Извест-
Известно, что сопротивление тела между рука-
руками колеблется от 20 до 500 кОм. Если
кончики пальцев смочить соком лимо-
лимона, то сопротивление jR между ними бу-
будет 10-30 кОм, что вполне достаточно, чтобы открыть транзис-
транзистор, когда пальцы соединяют его базу и коллектор. На коллекто-
коллекторе при этом должен быть отрицательный потенциал для транзис-
транзисторов р-д-р-типа, а на эмиттере положительный (рис. 104).
Заметим, что ток в цепи не очень большой, но его достаточно,
чтобы определить выводы коллектора и эмиттера. Предположим,
что мы перепутали коллектор и эмиттер. Тогда ток в цепи станет
в 10-100 раз меньше и микроамперметром его зафиксировать прак-
практически невозможно.
3. Проведя аналогичное исследование с транзистором п—р—п-
типа, получим, что ток в электрической цепи «база-эмиттер» или
«база-коллектор» течет только в том случае, когда на базе будет
положительный (+) потенциал по отношению к эмиттеру.
*11.27. а) Собираем электрическую цепь согласно рис. 105. Оп-
Определяем 1Х и Ux и вычисляем Rv — U1/I1.
Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 106. Сни-
Снимаем показания 12 и U2. Находим сопротивление Ro параллельно
соединенных резистора R и вольтметра V:
R _r
Hq /2'Л° R + Rv'
Отсюда вычисляем
Rv - Ro
б) Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 107.
Используя закон Ома для замкнутой цепи, получаем
j
3 RA+Rv+r + R'
/3(Д + Rv) + I3(RA + г) = g\ A)
Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 108 и снима-
снимаем значение /4. Используя закон Ома для замкнутой цепи, запишем
RA+r
B)
SIAR
RA + r= —J^- C)
370
ил
Рис.105
Рис.107
Рис.109
Подставив C) в A), получим
Рис.106
° Ua Ui U2
Рис.110
I3(R -f Rv) + I3 -~±— — %\
14
Решим это уравнение относительно &:
в) Значения I3,14, Rn Rv уже известны. Значение %? подставим
в B) и найдем сумму (RA + г).
*11.28. Для того чтобы снять вольт-амперную характеристику
(ВАХ) «черного ящика» (далее ЧЯ), соберем электрическую цепь
согласно схеме на рис. 109. При одной полярности подключения
371
ЧЯ ток в цепи отсутствует, а при другой - течет. ВАХ «черного
ящика» приведена на рис. 110. Чтобы более аккуратно исследо-
исследовать начальный участок аЬ ВАХ, соберем электрическую цепь со-
согласно рис. 111.
Анализ вольт-амперной характеристики показывает, что из всех
приведенных в условии задачи элементов электрическая цепь ЧЯ
может состоять только из резисторов и двух диодов.
Отсутствие тока на участке Оа свидетельствует о том, что один
диод B)а) включен последовательно с оставшейся частью цепи.
Учитывая, что идеализированная ВАХ диодов имеет вид, при-
приведенный на рис. 112, конструируем возможные электрические
схемы цепи черного ящика (рис. 113 и рис. 114).
Dh
ЧЯ
Рис. 111
Da Д,
Рис.113 Рис.114
Проанализируем схему на рис. 113. На участке аЪ
dl
tea = lU^u~^ra
на участке be
372
dU
Тогда
_ J_. p _ ^2-^1.
tga
il 72 71
Аналогичным образом находим сопротивление в схеме рис. 114:
tga
; R2 —
tgp-tga"
Рис.115
*11.29. Сначала найдем параметры
собирающей линзы.
1. Получим на экране изображение
удаленного предмета. При этом можно
считать, что предмет удален бесконечно
далеко. Тогда фокусное расстояние Рл
равно расстоянию от линзы до экрана.
Возможны и другие способы определе-
определения F.
2. Найдем радиус кривизны Rx вогнутый поверхности. Ее мож-
можно рассматривать как сферическое зеркало. Согласно формуле Га-
Гаусса Fx = RJ2.
При определении R2 будем считать линзу тонкой. Свет от ис-
источника S после прохождения линзы частично отразится от ее
поверхности радиуса R2 и, вновь пройдя линзу, сфокусируется в
точке Sx (рис. 115). В данном приближении оптическая сила си-
системы: линза плюс отражающая внешняя поверхность, будет рав-
равна сумме удвоенной оптической силы линзы и оптической силы
зеркала с радиусом R2.
Рис. 116
373
где 2)= у, D2
2 2 112
". Отсюда " = - + - - —.
К2 К2 а Ъ F
Подставляя в последнюю формулу измеренные величины а, Ъ и
найденное значение F, можно вычислить R2.
3. Показатель преломления п стекла линзы найдем по форму-
формуле тонкой линзы:
?-<•-«(?-?)• A)
Радиусы кривизны поверхностей двояковогнутой линзы найдет
по той же методике, что и Rx собирающей линзы.
Для нахождения фокусного расстояния линзы соберем опти-
оптическую схему, изображенную на рис. 116. По формуле линзы
_I = _
а Ь Fn'
Измерив радиус оправы линзы гх и радиус светлого пятна г2,
вычислим интересующее нас фокусное расстояние Fn. Показатель
предложения найдем по формуле A).
*11.30. Собираем схему, показанную
на рисунке 117.
Здесь X означает гнездо выхода ге-
генератора пилообразного напряжения.
Благодаря пропорциональности напря-
напряжений по осям X и Y для каждого из
двух положений переключателя 1 и 2
на экране осциллографа получаем ли-
линейный сигнал. При этом наблюдается
один период пилообразного напряжения
генератора развертки. Используя закон
Ома для каждого из двух случаев и исключая силу тока (которую
можно полагать независящей от положения ключа из-за большо-
большого входного сопротивления осциллографа), находим
Рис. 117
El
A)
где отношение тг определяется из сравнения сигналов, как от-
U2
ношение тангенсов углов их наклона.
Минимизация относительной погрешности будет достигнута
(путем подбора jRx) при условии, что
374
t? = l + V2. B)
Для получения этого результата найдем АД/Д, полагая погреш-
погрешность измерения R19 равной нулю. Имеем
АД
R
и.
-1
и2иг - и\'
C)
где 8 = Шх = AU2 - абсолютная погрешность измерения Ux и U2
(в условных единицах), равная половине деления шкалы осцил-
осциллографа. Представляя выражение C) в виде произведения Ъ/их
(заметим, что 5/1^ < 5/?/2) на функцию
X
находим минимальное значение последней, которое совпадает
с правой частью B). Меняя R19 добиваемся того, чтобы отноше-
отношение UJU2 равнялось 1 + V2 . При этом сопротивление R = RJ
42 будет определено с минимальной относительной погрешно-
погрешностью.
Контрольные измерения проводились для осциллографа С1-93
(тогда величина S/L^, которую можно считать постоянной, равна
1/80). Результаты измерений при различных значениях извест-
известного сопротивления Rx представлены в таблице. Относительная
погрешность рассчитывалась по формуле C).
5,1
4,7
4,4
4,0
3,8
3,3
2,7
2,2
1,57
1,70
1,82
2,00
2,10
2,42
2,96
3,72
Rv Ом
4000
5000
6000
7000
8000
10 500
15 000
20 000
R
7018
7143
7317
7000
7240
7394
7653
7353
AR/R
0,09
0,08
0,078
0,075
0,074
0,073
0,075
0,081
375
11.31. Поставленный (торцом) на бумагу пакет пластинок об-
обведем карандашом (рис. 118). Перпендикулярно проекции АВ пе-
передней поверхности стекла проведем прямую ООХ.
Глаз
Рис. 118
На прямой ООг на некотором расстоянии от передней поверх-
поверхности стекла поставим точку S. Установим острие карандаша на
прямой ООг с обратной стороны пакета.
Угол а между лучом зрения и осью ООХ должен быть мал. Бу-
Будем смещать карандаш вдоль ООг до тех пор, пока видимое сквозь
стекло положение острия карандаша не совпадет с отражением в
передней поверхности стекла точки S. Обозначим эту точку St.
Повторим опыт для луча, отраженного от задней поверхности стек-
стекла. Обозначим положение новой точки через S2. Измерим рассто-
расстояние Нг между точками Sxn S2. Определим толщину Н пакета.
Согласно закону преломления
а = Cп, A)
где п - показатель преломления стекла.
Из рисунка видно, что
2а
ТГ = tg a - а, B)
Подставляя B) и C) в A), получим
2#
71 =
По формуле D) вычислим п.
Перепишем формулу D) в несколько ином виде
пНх
2 '
Н =
C)
D)
E)
376
Если теперь под Н19 понимать расстояние между изображени-
изображениями точки Z, полученными в результате отражения света от пере-
передней и задней границы любого из внутренних стекол, то Н будет
истинной толщиной этого стекла. Проведем измерения и вычис-
вычислим толщину всех стекол из пакета.
*11.32. Определяем зависимость силы тока от частоты при посто-
постоянном напряжении для различных пар выводов (рис. 119 - 124). По
виду этих зависимостей устанавливаем, что участок АВ представляет
собой емкостное сопротивление Хс (конденсатор), BN — индуктивное
сопротивление XL (катушка индуктивности), ND - активное сопро-
сопротивление R (резистор). Схема представлена на рис. 125.
Примечание. Вместо зависимости I = f(v) при U = const можно
построить зависимость U = g(v) при / = const или Z = U/I = F(v).
Определяем активное сопротивление.
Соберем схему, показанную на рис. 126. По масштабной сетке
экрана осциллографа измеряем амплитуду напряжения на резис-
резисторе при любой частоте генератора.
Измерения: Ua = 2В, I = 0,028 A, R = -^f= = 51 Ом.
Определяем емкость конденсатора.
Согласно схеме на рис. 126 вместо участка ND включаем участок
АВ. Устанавливаем частоту звукового генератора, например, 1000 Гц.
50
40
30
20
10
AN
12 3 4 v, кГц
Рис. 119
12 3 4 у,кГц
Рис.120
J, мА
50
40
30
20
10
AD
12 3 4 у,кГц
Рис.121
/, мА'
50
40
30
20
10
BD
12 3 4 у»кГц
Рис.122
377
/,мА
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5у,кГц
50
40
30
20
10
ND
1 2 3 4 у, кГц
Рис.123
Рис.124
N
к осциллографу
А В N D
I—и—bwJ_4=hJ
к генератору
Рис.125 Рис.126
Измерения: Ua = 2,2 В, / = 0,01 A, v = 1000 Гц,
Определяем индуктивность катушки.
Согласно схеме на рис. 126 вместо участка ND включаем уча-
участок BN. Устанавливаем частоту звукового генератора максималь-
максимальной из указанного диапазона, чтобы уменьшить влияние актив-
активного сопротивления катушки.
Измерения: Ua = 4,8 В, / = 0,01 A, v = 5000 Гц, Хь - ^
>L -
Определяем активное сопротивление катушки.
Устанавливаем частоту звукового генератора минимальной из
указанного диапазона, чтобы уменьшить влияние реактивного
сопротивления катушки. Имеем:
Хь = 2nvL = 350 Ом при v = 5000 Гц, XL = 2nvL = 3,5 Ом при
v = 50 Гц.
На частоте v = 50 Гц, Z = -^ = 11,3 Ом.
/л/2
С учетом реактивного сопротивления: В^ =
- X2L =11 Ом.
378
*11.33. Поднимая за один конец деревянный брусок, создаем на-
наклонную плоскость, на которой располагаем катушку с намотанной
на нее нитью. Конец нити крепим с помощью воткнутой в брусок
булавки у верхнего края наклоненного бруска. Рассмотрим два спо-
способа определения |1 - см. рис. 127 и 128. Для большей устойчивости
катушки нить должна быть протянута через ее середину.
Пока катушка покоится, сумма внешних сил, действующих на
нее, и сумма моментов этих сил равны нулю:
mg + f + N + F^ = 0 A)
и
*У* = тг. B)
В проекциях на координатные оси уравнение A) примет вид:
N = mg cos а и Frp = ± (Т - mg sin а)
(здесь знак «+» относится к рис. 127, а «-» - к рис. 128).
По определению,
.FTp = \iN = \img cos a.
Рис.127
Для первого способа определения ц.
\img cos а • R = Т • г; mg sin а + \img cos а — Т
или, исключая Т,
mg sm a + \img cos а = cos а • R.
llR г tgoc
Отсюда tg a + \i = — или ц = . Так как tg a
379
N4
vmg
Рис.128
где L - длина бруска, окончательно \i =
h
-. Подставляя
значения, получаем ji.
Рассмотрим второй способ (рис. 128).
\img cos а • R = Т • г, mg sin а - [img cos а = Т.
или исключая Т,
sin a - \х mg cos а =
_ цЛ rtgoc
Отсюда tg a - |i = — или ji = — .
г jR + г
cos а • it.
Окончательно имеем ц =
находим \i.
VL2 - h2
. Подставляя значения,
*11.34. Определим X.
Прокатив иглу по ластику, вычислим диаметр d иглы: d — S/ nN, где
S - длина пути иглы, N - число ее оборотов. Сложив две иглы
вплотную друг к другу, проколем в фольге два одинаковых отвер-
отверстия диаметром в несколько раз меньше диаметра иглы (для это-
этого фольгу надо положить на стекло). Расстояние между центрами
отверстий равно диаметру иглы.
Закрепим с помощью пластилина на одном бруске горизонталь-
горизонтально лазер, а на другом бруске вертикально квадратик фольги и
осветим отверстия.
380
Лазер
Рис.129
В центре картины, в области наложения центральных дифракци-
дифракционных максимумов при дифракции на круглых отверстиях, будем
наблюдать систему равноотстоящих интерференционных полос (как
в опыте Юнга). Измерив ширину нескольких полос (рис. 129),
найдем ширину одной и по ней вычислим длину волны излучения
лазера.
dAx
Определим период отражательной решетки.
Закрепим с помощью пластилина на бруске вертикально часть
сектора лазерного диска.
Л
Диск
Рис. 130
Направим луч лазера на лазерный диск (рис. 130). Дифрагиро-
Дифрагированные лучи наблюдаем в отраженном свете на линейке Л, нахо-
находящейся за лазером на расстоянии Ьг от лазерного диска. Период
X X XL,
sinq) ф Axj#
решетки Ъ =
*11.35. Собираем электрическую цепь из последовательно со-
соединенных источника переменного тока, известного сопротивле-
сопротивления и черного ящика. Последний подключают к какой-либо паре
клемм. Отключив развертку осциллографа и подавая напряжение
с известного сопротивления на «X» - вход осциллографа, а со всех
возможных комбинаций пар клемм черного ящика - на «Y» - вход
(рис. 131), получаем фигуры Лиссажу. Последние анализируем.
381
Рис.131
Горизонтальная прямая означает, что
потенциалы соответствующих клемм
одинаковы, т. е. разрыва цепи между
ними нет, но элемент не находится под
напряжением. Наклонная прямая сви-
свидетельствует об отсутствии сдвига фаз,
что в данной постановке соответствует
активному сопротивлению между клем-
клеммами. Эллипс, симметричный относи-
относительно вертикальной и горизонтальной
осей, соответствует конденсатору (сдвиг
фаз —). Эллипс, произвольно ориентированный относительно осей,
соответствует либо катушке индуктивности, обладающей актив-
активным сопротивлением, либо комбинации элементов.
Повторяем все действия до тех пор, пока не восстановим схему
черного ящика.
Для определения сопротивления цепи
подключаем источник переменного тока
и известное сопротивление последователь-
последовательно с каждым элементом схемы в отдель-
отдельности. Используя осциллограф как вольт-
вольтметр, измеряем напряжения на извест-
известном сопротивлении (Uo) и данном элемен-
элементе схемы (Ux). Находим его сопротивле-
сопротивление по формуле Zx = ROUX/UO. Для активного сопротивления
R = Zx, для конденсатора его емкости С = l/((dZx), для катушки
индуктивности коэффициент индукции можно найти из системы
уравнений:
Рис.132
coscp = —щ$гх—>ф=л-Ф'
coL
где U, RL, ф' - полное напряжение на Ro и Rx, активное сопротив-
сопротивление катушки индуктивности и сдвиг фаз между током и напря-
напряжением на катушке соответственно (рис. 132).
Рисуем схему черного ящика (рис. 133):
Рис.133
382
Рис.134
Рис.135
*11.36. Особенности характеристик реальных диодов, в отли-
отличие от их идеальной модели, заключаются в том, что при малых
напряжениях сопротивление диода достаточно велико. Поэтому
при измерении сопротивления между клеммами черного ящика
результаты не зависят от полярности включения измерительного
прибора.
По результатам измерения сопротивления между клеммами
черного ящика можно сделать заключение, что сопротивления
номиналом 10 Ом или 7,5 Ом включены между клеммами № 1
и № 2, № 2 и № 3, № 3 и № 4. Для того, чтобы определить
положения диодов в цепи, необходимо использовать батарей-
батарейку. При одной полярности ее подключения оказывается, что
между тремя клеммами напряжение одинаково и практически
равно напряжению батарейки, а в остальных случаях напря-
напряжение равно нулю (если, например, проводить измерения на
пределе 20 В). Такое поведение цепи возможно, если при выб-
выбранной полярности один из диодов включен в прямом направ-
направлении, а другой в обратном. Фиксируя напряжения на клем-
клеммах при другой полярности подключения батарейки, опреде-
определим положение второго диода. По результатам всех опытов не-
нетрудно понять, что сопротивление резисторов равно либо
10 Ом, либо 7,5 Ом, а электрическая схема черного ящика пред-
представлена на рис. 134.
*11.37. Можно заметить, что излучение на выходе световода
образует конус, угол раствора которого определяется углом паде-
падения лазерного луча на торец световода, но не превышает некото-
некоторого значения 20. Значение угла 6 найдем из геометрических со-
соображений, рассмотрев полное внутреннее отражение света на гра-
границе оболочка-сердцевина световода (рис. 135):
383
sin9 # sincp n0
- n" sin V= cos ф, —— = -, A)
где n0, nc - показатели преломления стекол, из которых изготов-
изготовлены оболочка и сердцевина световода.
Из соотношений A) следует:
sin Э = Jnl - п\. B)
Для измерения угла 0 можно воспользоваться миллиметровой
бумагой, располагая ее вблизи оси световода. Найденное значе-
значение угла 26 ~ 60° при п0 = 1,512 приводит к пс = 1,593.
Второе решение уравнения B) при пс = 1,512 не подходит, так
как значение по = 1,431 выпадает из оговоренного диапазона зна-
значений показателя преломления п.
Приложение
Программа заключительного этапа
Всероссийской олимпиады
школьников по физике
Заключительный этап Всероссийской физической олимпиады
проводится в 9-11 классах во второй половине апреля.
Несмотря на это данная программа включает некоторые вопро-
вопросы, изучаемые в IV четверти данного класса или в курсе астроно-
астрономии.
В 9 классе могут быть предложены задачи по всему материалу
курса физики основной школы.
В 10 классе к этому материалу добавятся темы, изученные в
9 классе.
В 11 классе могут быть предложены задачи по всему материа-
материалу курса физики средней школы.
Программа заключительного этапа Всероссийской олимпиады
школьников включает также некоторые вопросы, выходящие за
базовую программу средней школы, но изучаемые в школах и
классах с углубленным изучением физики. Поэтому участники
заключительного этапа Всероссийской олимпиады по физике дол-
должны уделить серьезное внимание самостоятельной подготовке.
ПРОГРАММА 9 КЛАССА
Измерение физических величин. Погрешность измерения. По-
Построение графика по результатам эксперимента, выбор перемен-
переменных.
Механика
Механическое движение. Относительность движения. Система
отсчета. Координаты. Материальная точка. Траектория. Путь и
перемещение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Пря-
Прямолинейное движение. Свободное падение.
Движение по окружности. Частота обращения. Угловая ско-
скорость. Центростремительное ускорение.
385
Механические колебания. Амплитуда, период, частота колеба-
колебаний. Механические волны. Длина волны. Звук.
Взаимодействие тел. Трение. Упругая деформация. Инерция. Мас-
Масса. Импульс. Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчета.
Сила. Принцип суперпозиции сил. Второй закон Ньютона. Силы в
природе: сила тяготения, сила тяжести, сила трения, сила упругости.
Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли. Тре-
Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса. Ракеты.
Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энер-
энергия. Закон сохранения механической энергии.
Элементы статики. Момент силы. Условие равновесия твердо-
твердого тела.
Давление. Атмосферное давление. Гидростатическое давление.
Передача давления твердыми телами, жидкостями и газами. За-
Закон Паскаля. Закон Архимеда. Гидравлический пресс. Уравне-
Уравнение Бернулли.
Применение законов Ньютона и законов сохранения импульса
и энергии для анализа и расчета движения тел. Простые меха-
механизмы. КПД механизмов.
Методы исследования механических явлений
Измерительные приборы: измерительная линейка, штангенцир-
штангенциркуль, часы, мерный цилиндр, динамометр, барометр. Измерение
расстояний, промежутков времени, силы, объема, массы, давле-
давления. Графики изменения со временем кинематических величин.
Молекулярная физика. Термодинамика
Гипотеза о дискретном строении вещества. Непрерывность и
хаотичность движения частиц вещества. Диффузия. Броуновское
движение. Модели газа, жидкости и твердого тела. Плотность.
Взаимодействие частиц вещества.
Внутренняя энергия. Температура. Термометр. Теплопередача.
Необратимость процесса теплопередачи. Связь температуры с хао-
хаотическим движением частиц. Тепловое расширение твердых тел и
жидкостей. Температурные коэффициенты линейного и объемного
расширения. Особенности теплового расширения воды. Количество
теплоты. Удельная теплоемкость. Удельная теплота сгорания топ-
топлива. Закон сохранения энергии в тепловых процессах.
Испарение жидкости. Удельная теплота парообразования (кон-
(конденсации). Влажность воздуха. Кипение жидкости. Плавление
твердых тел.
386
Применение основных положений молекулярно-кинетической
теории вещества для объяснения разной сжимаемости твердого
тела, жидкости и газа; процессов испарения и плавления; преоб-
преобразования энергии при плавлении и испарении вещества. Удель-
Удельная теплота плавления (кристаллизации).
Преобразования энергии в тепловых двигателях.
Методы исследования тепловых явлений
Измерительные приборы: термометр, манометр, гигрометр.
Измерение температуры, давления газа, влажности воздуха. Гра-
Графики изменения температуры вещества при его нагревании и ох-
охлаждении, кипении и плавлении.
Электродинамика
Электризация тел. Электрический заряд. Взаимодействие за-
зарядов. Два вида электрического заряда. Закон сохранения элект-
электрического заряда. Электрическое поле. Действие электрического
поля на электрические заряды.
Постоянный электрический ток. Сила тока. Напряжение. Элек-
Электрическое сопротивление. Электрическая цепь. Закон Ома для
участка цепи. Преобразование энергии при нагревании проводни-
проводника с электрическим током. Носители электрических зарядов в
различных средах.
Взаимодействие магнитов. Магнитное поле. Взаимодействие
проводников с током. Действие магнитного поля на электричес-
электрические заряды. Электродвигатель.
Электромагнитная индукция. Преобразование энергии в элек-
электрогенераторах .
Электромагнитные волны. Скорость распространения электро-
электромагнитных волн. Равенство скоростей электромагнитной волны и
света. Свет - электромагнитные волны. Прямолинейное распрос-
распространение. Луч. Отражение и преломление света. Закон отраже-
отражения света. Плоское зеркало. Закон преломления света. Линза.
Фокусное расстояние.
Методы исследования электромагнитных явлений
Измерительные приборы: амперметр, вольтметр, счетчик элек-
электрической энергии. Измерение силы тока, напряжения, сопро-
сопротивления проводника. Расчет простейшей электрической цепи.
Построение изображения в плоском зеркале, собирающей и рас-
рассеивающей линзе. Оптические приборы.
387
Атомная физика
Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома. Радиоактив-
Радиоактивность. Альфа-, бета- и гамма-излучения. Атомное ядро. Протон-
но-нейтронная модель ядра. Зарядовое и массовое число. Изо-
Изотопы.
Ядерные реакции. Деление и синтез ядер. Сохранение заряда
и массового числа при ядерных реакциях. Применение законов
сохранения для расчета простейших ядерных реакций. Энергия
связи частиц в ядре. Выделение энергии при делении и синтезе
ядер. Излучение звезд. Ядерная энергетика.
Методы наблюдения и регистрации частиц в ядерной физике.
Дозиметрия.
ПРОГРАММА 10 КЛАССА
Механика
Принцип относительности Галилея.
Закон всемирного тяготения. Движение под действием силы
тяготения. Первая космическая скорость. Невесомость.
Сила упругости. Закон Гука. Закон сохранения импульса. Ра-
Работа силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Уп-
Упругий и неупругий удар.
Математический маятник. Гармонические колебания. Ампли-
Амплитуда, частота, период, фаза колебаний. Свободные колебания.
Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс. Волны. Длина
волны. Скорость распространения волны. Уравнение гармоничес-
гармонической волны.
Молекулярная физика. Термодинамика
Основы молекулярной физики. Экспериментальные основания
молекулярно-кинетической теории. Опыты Штерна и Перрена.
Масса и размеры молекул. Количество вещества. Моль. Постоян-
Постоянная Авогадро.
Термодинамика. Тепловое равновесие. Температура. Связь тем-
температуры со средней кинетической энергией частиц вещества.
Постоянная Больцмана. Абсолютный нуль. Количество теплоты.
Теплоемкость. Первый закон термодинамики. Адиабатический
процесс. Второй закон термодинамики и его статистическое ис-
истолкование. Тепловые машины. КПД теплового двигателя.
Идеальный газ. Давление газа. Связь между давлением и сред-
средней кинетической энергией молекул идеального газа. Уравнение
388
Клапейрона-Менделеева. Работа при изменении объема идеаль-
идеального газа. Изопроцессы.
Жидкость и твердое тело. Относительная влажность. Кипение.
Зависимость температуры кипения жидкости от давления. Насы-
Насыщенный и ненасыщенный пар. Зависимость давления насыщен-
насыщенного пара от температуры. Психрометр. Гигрометр. Кристалли-
Кристаллические и аморфные тела. Поверхностное натяжение. Смачивание.
Капиллярные явления. Деформация.
На региональном и заключительном этапах Всероссийской
физической олимпиад могут быть предложены задачи по темам
"электростатика" и "постоянный электрический ток".
ПРОГРАММА 11 КЛАССА
Электростатика
Электрический заряд. Элементарный заряд. Закон Кулона.
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Потен-
Потенциальность электрического поля. Разность потенциалов. Прин-
Принцип суперпозиции полей. Проводники в электрическом поле. Элек-
Электрическая емкость. Конденсатор. Диэлектрики в электрическом
поле. Поляризация диэлектриков. Энергия электрического поля
конденсатора. Плотность энергии.
Постоянный электрический ток
Электрический ток. Носители свободных электрических заря-
зарядов в металлах, жидкостях и газах. Сила тока. Работа тока. На-
Напряжение. Мощность тока. Электродвижущая сила. Закон Ома
для полной электрической цепи. Сопротивление при последова-
последовательном и параллельном соединении проводников. Шунты и до-
добавочные сопротивления. Правила Кирхгофа.
Полупроводники. Собственная и примесная проводимость по-
полупроводников, р-п Переход.
Магнитное поле
Индукция магнитного поля. Сила Ампера. Сила Лоренца. Маг-
Магнитный поток.
Электромагнитное поле. Закон электромагнитной индукции
Фарадея. Вихревое электрическое поле. Самоиндукция. Индук-
Индуктивность. Электромагнитные колебания в колебательном конту-
контуре. Переменный ток. Производство, передача и потребление элек-
электрической энергии.
389
Идеи теории Максвелла. Электромагнитное поле. Электромаг-
Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн. Радио. Телеви-
Телевидение.
Волновые свойства света
Свет — электромагнитные волны. Скорость света и методы ее
измерения. Интерференция света. Когерентность. Дифракция све-
света. Дифракционная решетка. Поляризация света. Закон прелом-
преломления света. Призма. Дисперсия света. Формула тонкой линзы.
Получение изображения при помощи тонкой линзы. Оптическая
сила линзы. Глаз. Очки. Лупа. Микроскоп. Зрительная труба.
Фотоаппарат. Проекционный аппарат.
Основы специальной теории относительности
Инвариантность скорости света. Принцип относительности.
Пространство и время в специальной теории относительности.
Релятивистский закон сложения скоростей. Закон взаимосвязи
массы и энергии.
Квантовая физика
Тепловое излучение. Постоянная Планка. Фотоэффект. Опыты
Столетова. Фотоны. Опыты Вавилова. Уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта. Корпускулярно-волновой дуализм.
Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов. Боровская
модель атома водорода. Спектры. Люминесценция. Лазеры.
Закон радиоактивного распада. Нуклонная модель ядра. Энер-
Энергия связи нуклонов в ядре. Деление ядра. Синтез ядра. Ядерная
энергетика. Элементарные частицы. Фундаментальное взаимодей-
взаимодействие.
Содержание
От авторов 3
Часть 1. Теоретический тур. Условия задач 5
9 класс 5
10 класс 31
11 класс 63
Решения задач теоретического тура
9 класс 96
10 класс 146
11 класс 208
Часть 2. Экспериментальный тур. Условия заданий 282
9 класс 282
10 класс 286
11 класс 292
Решения заданий экспериментального тура 300
9 класс 300
10 класс 322
11 класс 347
Программа заключительного этапа
Всероссийской олимпиады школьников по физике 385
Программа 9 класса 385
Программа 10 класса 388
Программа 11 класса 389
Учебное издание
ВСЕРОССИЙСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ ПО ФИЗИКЕ
Под редакцией
С.М.Козела,
В. П. Слободянина
Редактор Е.С.Гридасова
Технический редактор Н.Д.Лаукус
Корректор В.И.Зенович
Дизайн обложки А. Ю. Никулин
Художник А. Г. Проскуряков
Компьютерная верстка и макет С.В.Сухарев
Издательство «Вербум-М»
109004, Москва, Земляной Вал, дом 64, стр. 2
Тел./факс 915-76-33, 915-70-91.
E-mail: Verbum-m@verbum-m.ru
http://www.verbum.ru
Издательская лицензия ЛР № 066334 от 23.02.99
Гигиенический сертификат
№ 77.99.02.953.Д.003533.06.02 от 05.06.2002
Подписано в печать 27.06.2002
Формат 60х90'/,6. Гарнитура Школьная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 24,5
Тираж 15 000 экз. (I завод - 7 000 экз.) Заказ №1873.
Диапозитивы предоставлены издательством.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.