Text
                    Э. И. Березкина
МАТЕМАТИКА
ДРЕВНЕГО
КИТАЯ


АКАДЕМИЯ НАУК СССР Институт истории естествознания и техники Э. И. Березкина МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ Издательство «Наука» Москва 1980
УДК 51(091) Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980. Настоящая монография — это первая книга на русском языке, посвященная развитию математики в Китае. Она написана на основе изучения подлинников, часть которых уже была опубли¬ кована автором данной книги в качестве первых переводов древ¬ них источников на современный язык. Каждая часть независима от другой и посвящена наиболее характерным проблемам ма¬ тематики древнего Китая', технике вычислений на счетной доске и выработке позиционной арифметики; развитию поня¬ тия числа и созданию аппарата дробей как пар; алгебраическим вопросам решения систем уравнений табличным методом и урав¬ нений высших степеней численным методом с изобретением отрицательных чисел впервые в истории математики, а также некоторым вопросам геометрии и приложения алгебраических методов к геометрическим задачам. Книга рассчитана на историков математики, синологов и читателей, интересующихся историей науки. Табл. 34. Ил. 67. Библиогр. 181 назв. Ответственный редактор доктор физико-математических наук Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД 20201—458_ gg_gg_.75_.7g 2602020000 © Издательство «Наука», 1980 055(02)—80 ^ J
ПРЕДИСЛОВИЕ Математика в Китае развивалась с глубокой древности более или менее самостоятельно и достигла своего наибольшего раз¬ вития к XIV в. н. э. Далее в Китай проникает западная мате¬ матика, принесенная в основном европейскими миссионерами, и^это уже другая эпоха в истории науки Китая. Древняя тра¬ диция в математике была таким образом прервана и утеряна. Многие открытия, сделанные раньше, чем в Европе, были за¬ быты, и их вновь повторили западные ученые. Китайские мате¬ матики, обрабатывая древние и средневековые тексты, сами об¬ наруживали неожиданно для себя удивительные результаты, полученные их предками. В этой книге основное внимание уделено математике древнего Китая в период со II в. до н. э. по VII в. н. э. Менее подробно рассмотрены труды китайских математиков XIII—XIV вв. Это связано с тем, что материал изложен непосредственно по сохра¬ нившимся источникам, главным образом математическому «Деся- тикнижыо», которое автор данной книги переводил и исследовал в течение ряда лет. История математики древнего Китая пред¬ ставлена здесь в виде отдельных глав, каждая из которых явля¬ ется, по существу, независимым друг от друга очерком о наиболее характерной проблеме математики как древнего Китая, так и других древних цивилизаций: Египта, Вавилона, Греции и Индии. Проблемы эти «начальные», свойственные развитию математики с самых древних времен, они касаются развития понятия числа, фигуры и ее площади, тела и его объема, форми¬ рования простейших теоретико-числовых понятий среднего арифметического, общего наибольшего делителя, наименьшего общего'"кратного, истории теоремы Пифагора и т. д. Мысль на¬ писать ^rajiyio книгу принадлежала учителю автора в области китайского языка, советскому китаеведу Чжоу Сун-юаню, памяти которого автор считает своим долгом посвятить этот труд. Автор глубоко благодарен своему учителю в области истории матема¬ 3 1*
тики И. Г. Башмаковой, под влиянием идей которой он пос¬ тоянно находится. Искреннюю признательность автор приносит А. Н. Колмогорову и А. П. Юшкевичу, побудившим автора за¬ няться в свое время столь увлекательным исследованием. Автор всегда ценил чуткую внимательность С. А. Яновской, проявлен¬ ную ею в особенно трудном начале этой работы. Автор книги благодарит Б. А. Розенфельда за большую редакторскую работу. В обсуждении книги принимали участие сотрудники Инсти¬ тута истории естествознания и техники Академии наук СССР и участники научно-исследовательского семинара по истории ма¬ тематики Московского государственного университета им. М. В. Ло¬ моносова, — всем им и всем, кто способствовал выходу в свет этой книги, автор приносит искреннюю благодарность. Э. Березкина
Часть первая ИСТОЧНИКИ До нас дошел ряд китайских текстов по математике, принад¬ лежащих древним и средневековым авторам. Они резко делятся на две группы не только по языку источников, но и по существу своему. К первой группе относятся в основном анонимные трак¬ таты-руководства, которые были обработаны к VI—VII вв. н. э. и изданы в виде сборника «Десять классических трактатов по математике» (далее всюду — математическое «Десятикнижье» или просто «Десятикнижье») [100]. Главное сочинение «Десяти- книжья», древняя классическая «Математика в девяти книгах», составленная примерно во II в. до н. э., сама является обработ¬ кой более древних текстов эпохи Цинь и даже Чжоу (XII'—III вв. до н. э.) [50, 156]. Это самый ранний дошедший до нас собственно математический текст, хотя первый в «Десятикнижье» «Матема¬ тический трактат о чжоу-бй» (чжоу-би — гномон) составлен раньше «Математики в девяти книгах». Он содержит астрономи¬ ческие рассуждения, но в некоторой своей части касается математических вопросов, например теоремы Пифагора. Другие трактаты «Десятикнижья» принадлежат авторам III—VI вв. н. э., о которых известны только имена (Сунь-цзы, Чжан Цю- цзянь, Сяхоу Ян), или комментаторам и составителям «Десяти¬ книжья» (Лю Хуэй, Чжэнь Луань, Ли Чунь-фэн) или являются анонимными [17, 22, 49, 51, 52]. Все они тесно связаны с «Мате¬ матикой в девяти книгах», разъясняют и развивают ее идеи и ме¬ тоды. Ко второй группе источников относятся более поздние сочи¬ нения; они индивидуальны: это книги Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Ли Е, Ян Хуэя и других математиков периода расцвета математической "мысли вт Китае XIII—XIV вв., составляющих китайскую алгебраическую школу, основным достижением кото¬ рой было получение численного метода решения уравнений выс¬ ших степеней [139, 142]. Отсутствие источников "в период VII—XII вв. не^~дает воз¬ можности проследить возникновение этой китайской алгебраи¬ ческой школы. Тем не менее, опираясь на традиции в китайской математической литературе, сохранявшиеся с древних времен (имелись специфические задачи, которыми занимались как древ¬ ние, так и средневековые ученые), а для более раннего периода привлекая древнеегипетские и древневавилонские тексты, по 5
своему стилю весьма близкие к древнекитайским, удается со¬ ставить довольно стройную картину развития древних математи¬ ческих методов в Китае на протяжении почти двух тысячелетий, от эпохи Конфуция (VI в. до н. э.) вплоть до XIV столетия. Глава первая ВВЕДЕНИЕ 1. Обзор литературы Интерес к математике Китая у европейцев проявился еще в статье Лейбница 1703 г., где со слов одного миссионера он тол¬ ковал «триграммы» (см. ниже с. 16 и сноску на с. 16) как цифры двоичной арифметики, утверждая, что в Китае она существовала. Однако это не вполне верно. Во всех существующих древнеки¬ тайских текстах по математике употребляется только десятичная система счисления. В XIX столетии, как было отмечено Дж. Нидемом в [150, с. 1], существовали две крайние точки зрения: согласно одной, весьма популярной еще в XVIII в., развитие математики и дру¬ гих наук в Китае считалось весьма ранним; другая, напротив, отрицала какое-либо самостоятельное развитие науки в Китае. Представителем первой точки зрения был Ж. Б. Био [122], вто¬ рой — Л. Седийо [162]. В настоящее время обе эти точки зрения отвергнуты, как несостоятельные. Литература по истории предмета обширна, но большая ее часть написана на китайском и японском языках, потому мало¬ доступна европейцам. В фундаментальном труде М. Кантора по истории матема¬ тики [125] 1880 г. сведения о китайской математике устарели. Они базировались на работах Э. Био [122], а также на статье К. Л. Бернацкого [121], которая является переводом работы А. Вайли 1852 г. [179]. Если бы перевод К. Л. Бернацкого был более точным, М. Кантор избежал бы многих ошибок. Сами же работы А. Вайли, особенно его глоссарий астрономических и математических терминов, не потеряли своего значения и в настоящее время. Среди русских синологов XIX в. историей китайской мате¬ матики и астрономии интересовались И. А. Гошкевич [31] и его последователь К. А. Скачков, занимавшийся исключительно астрономией. Сведения о китайской математике содержались также в книге М. Е. Ващенко-Захарченко [24], являющейся в этой части переложением книги М. Кантора, но с чрезвычайно искаженной транскрипцией. 1 Начало XX в. ознаменовалось появлением известных трудов Ф. Кэджори [123], Д. Е. Смита [164], Дж. Лориа [143] и 6
Л. Карпинского [136], в Которых китайская математика пред¬ ставлена уже в достаточной степени и материал был получен авторами из первых рук. Д. Е. Смит находился в тесном сотруд¬ ничестве с И. Миками [165], а работы Дж. Лории [144, 145] написаны на основе переводов миссионера Л. ван Хе, придержи¬ вавшегося, правда, подобно Л. Седийо, точки зрения о заимст¬ вовании китайцами науки с Запада. Статьи Л. ван Хе посвящены трактатам Лю Хуэя, Ли Е, Сяхоу Яна [130—133]. Самыми фундаментальными исследованиями, несомненно, были работы японского историка математики И. Миками [147, 165], отли¬ чавшегося еще и тем, что он одинаково хорошо прсал как по- китайски, так и по-английски. Им написано очень много, и после его смерти в 1950 г. еще не все опубликовано. Следует отметить также работы нашего дальневосточного ученого А. В. Маракуева [48], который хорошо знал работы А. Вайли, И. Миками. История отечественной математики у китайских авторов пред¬ ставлена в книгах Ли Ян я [92, 99] и в пятитомнике [95], а также в книге Цянь Бао-цуна [108, 110]. Хотя среди названий указан¬ ных книг этих двух крупных историков математики есть почти одинаковые, написаны книги совершенно по-разному. Ли Янь скуп на объяснения, его скрупулезно точное хронологическое изложение, подобно документальному фильму, покоится на бо¬ гатом собранном им материале. Цянь Бао-цун больше внимания уделяет популяризации темы, он увлеченно повествует о своей реконструкции того или иного метода, сравнивает с современными методами в математике, поясняет древние термины. В периоди¬ ческих изданиях КНР регулярно помещались статьи по истории китайской математики Янь Дунь-цзе [114—116], Сюй Чунь- фана [102], Ли Ди, Ду Ши-жаня [90] и др. Интерес к истории китайской науки значительно возрос в на¬ стоящее время не только в самом Китае. История китайской математики стала предметом пристального внимания целого ряда иссл едов ате л ей. Многотомную «Историю науки и культуры в Китае» издает в Кембридже английский историк науки, известный синолог Дж. Нидем. Вышедший в 1959 г. третий том ее, написанный в сотрудничестве с Ван Лином, специально посвящен истории математики, астрономии и картографии [150]. Это великолепное издание имеет обширнейшую библиографию и много превосход¬ ных иллюстраций. История математики здесь изложена по раз¬ делам, посвященным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и т. д. Дж. Нидему также принадлежат главы об истории науки в Китае в издании Р. Татона [134]. В 1961 г. в СССР вышла книга А. П. Юшкевича «История математики в средние века» [81], первая глава которой посвя¬ щена Китаю. Во всех этих трудах история китайской математики рассматривается как часть общей истории науки или как период в общем развитии математики. 7
Следует указать еще две статьи этих же авторов, появившиеся уже в 1955 г. [79, 172]. Первая из них, обзорная, посвящена достижениям китайских ученых в области математики, вторая — одному из этих достижений: происхождению метода Горнера. В это же время уже была начата работа по изучению древних и средневековых текстов. Первым объектом стала классическая «Математика в девяти книгах». В 1956 г. в Англии Ван Лином была представлена диссертация «„Математика в девяти книгах*4 и история китайской математики эпохи Хань» [173]. В 1957 г. в СССР вышел первый комментированный полный перевод с древнекитайского на современный язык «Математики в девяти книгах», выполненный автором данной книги [7, 50], а в 1968 г. «Математика в девяти книгах» вышла в виде отдельного издания на немецком языке в переводе известного немецкого историка математики К. Фогеля 1156]. Далее приступили к изучению трудов китайских алгебраи¬ стов XIII—XIV вв. бельгийский историк математики У. Либ- брехт и Лем Лэй-ян из Сингапура. Первому принадлежит книга о сочинении Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике», в кото¬ рой подробно освещены теоретико-числовые методы в китайских и особенно индийских текстах [142]. Лем Лэй-ян посвятила свои статьи творчеству Ян Хуэя [139; 140]. В сочинениях этого мате¬ матика XIII в. нашли отражение древние методы, но они изло¬ жены Ян Хуэем с позиций своего времени. За последние десятилетия появился ряд статей по истории китайской математики, как общих, так и посвященных частным вопросам [170]. Статьи обзорного характера принадлежат Д. Стройку, К. Ябуути, М. Адамо, К. Хасимото, Куан Чао-ши, Г. X. Вану [117, 129, 137, 167, 178, 180] и др. Об абаке писали Ли Шу-тянь, П. X. Муун, Дж. М. Пуллан, И. Ямацаки [141, 148, 157, 181], о ранней математической астрономии — В. Гарт- нер и Н. Сивин [128, 163], о метрологии — Э. Райфлер [158], о А. Вайли — Ван Вин [177]. В связи с опубликованным переводом «Математики в девяти книгах» появились статьи и главы книг М. Я. Выгодского [29], А. Е. Раик [60], И. А. Апо- кина, Л. Е. Майстрова [1], а также статья Фр. Свитца [168]; о магических квадратах сообщается у С. Каммана [124] и т. д. 2. Развитие математики в Китае (краткий очерк) Чтобы определить место Китая s Общем развитии науки, пред¬ ставим мысленно электрифицированную карту древних цивили¬ заций, на которой зажигаются огоньки в периоды расцвета математики. Вначале и почти одновременно осветятся долины Нила, Тигра и Евфрата (начало II тысячелетия до н. э.). Во вто¬ рой половине первого тысячелетия (до н. э.) огнямж своих талан¬ тов засияет Древняя Греция, и примерно в это же время заго¬ рится огонек на р. Хуан (Желтой), несколько позже — на Инде и Ганге. К средине второго тысячелетия восточное зарево охва¬ 8
тит страны арабского Востока и затем переместится в Западную Европу через Византию, Сицилию и Пиренейский полуостров. В этой эстафете научных знаний от древних поколений к новой науке Китай участвовал в течение двух тысячелетий, вплоть до XIV в. н. э. Периодизация является сложным вопросом, который живо дискутируется учеными в самых разных аспектах: и относительно всемирной математики и науки вообще, и относительно китай¬ ской истории, и относительно китайской математики. Каждая из предложенных трактовок дает определенную характеристику китайской математики. Качественное представление об общем развитии математики дает периодизация, предложенная академиком А. Н. Колмого¬ ровым 142]. Согласно этой периодизации (ее придерживаются в основном советские историки математики), выделяются четыре этапа: id накопление математических знаний и создание практи¬ ческой математики, 2) период элементарной математики, или математики постоянных величин, 3) создание математики пере¬ менных величин и 4) период современной математики. Как выглядит китайская математика в рамках такого разде¬ ления? Она целиком укладывается во второй период развития, период математики постоянных величин. Отмечаются поэтому отдельные наиболее яркие открытия китайских ученых: метод численного решения уравнений п-й степени (метод Руффини— Горнера), теоретико-числовые задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным (сравнения Гаусса), метод решения систем линейных уравнений (метод Гаусса) и вычисле¬ ния числа и. При такой характеристике математики крупным планом, когда развитие науки до XIX в. рассматривается как предварительный этап современной, вклад китайского народа в математику оценивается в качестве любопытного и оригиналь¬ ного. Он как бы взвешивается на весах всемирной истории, и тем самым определяется конечный результат в развитии китайской математики. В книге А. П. Юшкевича [81, с. 11—18] обосновано выде¬ ление математики Китая, Индии, арабских стран, Ирана и Сред¬ ней Азии, а также средневековой Евроцы в единый цикл «мате¬ матики средних веков», с характерными для нее вычислитель¬ ными методами, в отличие от периода становления дедуктив¬ ной науки античной Греции, с ее неэлементарными методами (см. [5, 37, 78, с. 9 и след.; 80, с. 350—357]). Это и есть второй период развития элементарной математики, простиравшийся на много столетий: VI в. до н. э.—XIV в. в Китае, V—XII вв. в Индии, IX—XV вв. в странах исламского мира и начиная с XI—XII вв. — в Западной Европе. Он закончился примерно в XV—XVI вв., когда должен был последовать следующий (третий) период развития математики переменных величин. Со¬ циальной основой математики средних веков был феодализм, общностью социальных закономерностей которого можно объяс¬ 9
нить и общность в развитии математики этого периода в разных странах, хотя в каждой из них были свои отличия, и не только во времени, но и по существу. Особенно велико было различие между математикой Китая, с одной стороны, и математикой стран ислама, Западной Европы — с другой. Последние испытали сильное влияние греческого и эллинистического наследия, тогда как Китай его ощутил весьма слабо. Индия занимает промежу¬ точное положение: математика в Индии была в тесной связи и родстве с китайской, но в ней было заметнее влияние некоторых греческих идей, способствовавших развитию астрономии и три¬ гонометрии [78, с. 11]. Математика стран ислама и Западной Европы отличалась более отчетливым выделением различных математических дисциплин: алгебры, тригонометрии. В мате¬ матике европейских стран появились новые идеи: первые по¬ строения буквенной алгебры и первые разработки механики неравномерных движений. Именно буквенное исчисленние и мате¬ матика переменных величин в дальнейшем привели к революции во всем математическом научном мышлении. Математика же средневекового Кшая по своему стилю, по своей структуре ближе к математике древнего Вавилона, хотя и значительно превзошла ее в своем развитии. Исследователи иногда обращают внимание на застойный характер развития математики Китая, вообще восточной мате¬ матики в условиях феодализма и религии [62, с. 85; 66, с. 49]. Согласно экспоненциальному закону развития науки математика средних веков действительно развивалась медленно, однако не была застойной. Международные связи, осуществляемые в тор¬ говой, политической и культурной сферах, имели большое значе¬ ние в формировании единой средневековой науки. Хотя они не были регулярными, но имеющие общий интерес задачи и методы переносились на огромные расстояния. Из-за универсальности образования достаточно было одному ученому или одному сочи¬ нению энциклопедического характера попасть в ту или другую цивилизацию, как поступала достаточная информация о состоя¬ нии науки в стране пришельца. Более известны связи арабско- европейские, арабско-индийские, менее — индо-китайские, арабо¬ китайские, но что они существовали и в области математики — несомненно. Известно, что метод Горнера решения уравнений высших степеней численным методом, разработанный китайцами в VIII в., возможно, через Индию попал к Кушьяру ибн Лаббану и ан-Насави, применившим его в XI в. к извлечению кубического корня, и к Шараф ад-Дину ат-Туси, применившему его к реше¬ нию кубических уравнений общего вида в XIII в. с помощью метода, близкого методу Виета. Известно также, что сфериче¬ ская тригонометрия, принесенная астрономами Марагинской обсерватории в XIII—XIV вв. в Ханбалык (Пекин), использо¬ валась в дальнейшем в китайской математике. У самаркандского математика Али Кушчи (XV в.) появляются отрицательные («ложные») числа, и после его переезда в Стамбул отрицательные 10
числа в Западной Европе обнаружены у косистов, у Декарта, тогда как впервые отрицательные числа на Востоке появились у китайцев. Отрицательные числа были также у Диофанта. Десятичные дроби, которыми китайские математики владели еще в начале нашей эры, в XV в. представлены в сочинениях ал-Каши и др. Итак, определяется характер, уровень развития китайской математики, а также ее место в общем развйтии науки. Однако остаются еще как частные, так и общие проблемы. Они касаются коренных причин, которые обусловили развитие тех, а не иных методов, расцвета и упадка науки, касаются связей Китая с Ин¬ дией, арабскими странами, Европой. Для детального исследования требуется такая периодизация, которая бы расчленила ход исторического развития так, чтобы стало ясно, каким образом китайским ученым удалось дости¬ гнуть определенного уровня в развитии математики, почему в эпоху средневековья некоторые математические методы полу¬ чили более раннюю разработку на Востоке, чем в Европе. Существует много спорных вопросов; например, следует ли считать изолированное от эллинистической культуры развитие китайской науки недостатком или, наоборот, удачным истори¬ ческим примером оригинальной математической системы? И во¬ обще, так ли это было? Ведь наряду с вычислительными методами в китайской математической литературе обнаружены «прогре- ческие» методы геометрической алгебры, вычисления числа п с понятием предела и др. В ней были некоторые неэлементарные методы, а что касается феодальной социальной основы развития средневековой науки, то китайская математика начала разви¬ ваться гораздо ранее, и до сих пор трудно окончательно устано¬ вить, когда в древнем Китае произошел переход к феодализму. Стоит ли сетовать на замедленный характер развития науки, если это помогает, как на замедленной киноленте, установить происхождение основных математических понятий, проследить развитие математических методов и их происхождение, тем более что количество некитайских источников, до нас дошедших, весьма ограниченно? Какая наука нужна была средневековому обществу и как далеко пошло собственное развитие науки «ради науки»? При подробном изложении истории китайской математики обычно предлагается более специальная периодизация, с при¬ влечением традиционной китайской хронологии [92, 147]. Со¬ гласно Ли Яню история китайской математики делится на пять периодов [97]. «Глубокая древность» (шан гу) обнимает период со времени легендарного Хуанди до начала Ханьской династии (2700—100 гг. до н. э.). Это первый период. Второй — «древность» (чжун гу) — длился с 100 г. до н. э. до 600 г. н. э., включая ди¬ настии Хань (206 до н. э.—220 н. э.), Суй (589—619); «Позд¬ няя древность» (цзинъ гу) (600—1367) — это династии Тан (618—907), Сун (960—1279), Юань (1280—1367). «Новое время»
(цзинъ uiu) (1368—1750) — четвертый период, охватывающий ди¬ настии Мин (1368—1644;, Цин до ее середины (т. е. до 1750 г.). Последний, «новейший», период (цзуй цзинъ ши) тянется с 1750 г. вплоть до «освобождения» в 1949 г. Рассмотрим развитие математики в Китае в рамках периоди¬ зации, предложенной Ли Янем. Она, конечно, условна. Сам ав¬ тор ее, кстати, указывает на условность терминов «древность», «современность». Но эта классификация позволяет хронологиче¬ ски расположить более или менее значительные события в истории математики, нанеся их на историческую «каньу». Первый период — обычный начальный этап развития науки во всякой древней цивилизации. Здесь мы находим много общего с египетской и вавилонской математикой. Это эпоха накопления знаний в связи с запросами хозяйства и появления первых спе¬ циальных текстов, руководств-решёбников. Такие тексты, как правило, безымянны и дошли до нас в более поздней обработке, много раз переписанными. О самих древнейших математических знаниях человека до письменных источников судят по данным археологии, этнографии и других наук, представители которых занимаются изучением жизни народов на заре их цивилизации. Складывая вместе предания, цитаты из древних сочинений о еще более древних эпохах, отдельные надписи на памятниках мате¬ риальной культуры, этимологию слов, выражающих те или иные понятия древних о количественных отношениях и пространст¬ венных формах окружающего мира, мы можем составить некото¬ рую картину о первых знаниях по математике. Сыма Цянь (II в. до н. э.), китайский Геродот, начал свой исторический труд с мифического Хуанди (Желтого императора, предка Желтой Земли), который будто бы правил с 2698 по 2598 гг. до н. э. [34, с. 100 и след. ]. Даосы считали его родона¬ чальником китайцев, основателем их философии. Его министр Ли Шоу ввел «девять чисел» (вероятно, девять цифр десятичного счета), сообщает Сыма Щшь в своих «Исторических записках». Однако достоверные свидетельства о происхождении десятичной системы счисления дают первые письмена на иньских костях (XIV в. до н. э.) (см. далее подробно п. 5, ч. II). До изобретения письменности для фиксирования чисел древние китайцы, как и многие другие народы, пользовались узелками на веревках и зарубками на деревянных дощечках (см. далее п. 4 ч. И). К таким незапамятным временам относят употребление цир¬ куля гуй и угольника цзюй. Легендарный Ся Юй «укротил реки с помощью циркуля и линейки». Об этом многократно упомина¬ ется в историко-философских сочинениях IV—III вв. до н. э.: «Мо-цзы», «Мэн-цзы», «Чжуан-цзы», «Ханьфэй-цзы» и других, а также у Сыма Цяня. Циркуль и угольник держат в руках мифи¬ ческие Фуси и Нюйва (рис. 1), изображения которых на камне и кирпиче сохранились от эпохи Хань [77, с. 44; 84, 85]. Инст¬ рументы символизируют порядок (по-китайски: гуй-цзюй), уста¬ новленный на земле этими полулюдьми-полузмеями, занимав- 12
Рис. 1. Изображение мифических^Фуси с угольником и Нюйва^с циркулем на стене родового храмаjV в. в Цзясяне, пров. Шаньдун шимися различными добрыми делами., Иногда их считали воз¬ родившими людской род после потопа. Еще в древности они об¬ росли легендами: Фуси научил людей пользоваться^огнем, ло¬ вить рыбу и птиц и^создал музыкальный^инструмент гусли — сэ. Он начертал восемь триграмм (сочетание^из двух по три прерыви¬ стых и непрерывных черт): небо — цянъ, земля — кунъ, вода — кань, огонь — ли, гора — гень, гром — чженъ, ветер — сюнъ, болото — дуй. С помощью этих разнообразных явлений при¬ роды люди могли записывать различные события своей жизни. Эта идея в дальнейшем была воплощена в системе построения «Книги перемен», где из триграмм были составлены 64 гекса¬ граммы и с их помощью построена картина мира (см. далее с. 16 и след.). Что касается Нюйвы, то она также изобрела музыкаль¬ ный инструмент — губной органчик шэнхуан, а однажды даже починила небосвод, который был разрушен одним чудовищем. Она расплавила камни пяти цветов и залепила дыру, но все же, гласит легенда, небосвод перекосило. С тех пор светила и звезды стали клониться к северо-западу, а на юго-востоке осталась глу¬ бокая впадина, к которой стекаются все реки, и там образова¬ лись моря и океаны. Заметим еще, что для древних текстов очень символичным было упоминание о круглом небе и квадратной земле. Самобытность китайской культуры доказана археологиче¬ скими находками синантропа (500—600 тыс. до н. э.), хэтаос- ского (400 тыс.) и шаньдиндунского (200 тыс.) человека, а также древнейших культур красной и черной керамики (3 тыс. до н. э.) времен существования древних шумеров. Синантроп уже поль¬ зовался огнем, к оседлости же перешли иньцы. В эпоху Инь (18—12 вв. до н. э.) пользовались календарем. Единицей обмена были раковины каури. Судя по текстам, в иньском обществе 13
Существовали различные категории чиновников, связанных с во¬ просами культуры: предсказатели (бу), летописцы (ши), враче¬ ватели (г/), священнослужители (чжу). В XII в. до н. э. некогда великое царство Инь пало под ударами кочевых племен чжоу, которые восприняли культуру завоеванного народа, но уровень ее снизился, как это видно по бронзе. И если обычно конфуци¬ анцы, идеализировавшие чжоуские времена, приписывали первому чжоускому князю Чжоугун Даню установление этикета, вве¬ дение музыки, составление математической книги «Цзю чжан» («Девять книг»), то на самом деле было не совсем так: обряды и письменность отчасти чжоусцы заимствовали у иньцев. Чжоу¬ гун заставил детей чжоуской знати учиться у иньских учителей. Многие древние книги: «Ли цзи», «История Ранней Хань» и дру¬ гие — сообщают, что дети восьми лет поступали в школу, где изучали летоисчисление и вычислительные методы, таблицу умножения «Девятью девять» (цзю цзю). Эта таблица частично приводится в книгах «Сюнь-цзы», «Гуань-цзы», «Хуайнань-цзы» и др. Ее экземпляры, написанные на бамбуковых дощечках, сохранились от эпохи Хань (см. далее ч. II). К сожалению, от этой эпохи не сохранилось ни одного источника по математике. Вторая половина чжоуской династии, примерно с VIII по III в. до н. э., — время отдельных рабовладельческих городов- государств ле го, аналогичное времени полисов Древней Греции [45, с. 202—203]. Если в Греции предшествующим был гомеров¬ ский период (XI—IX в. до н. э.), то в Китае ему соответствовала примерно первая половина чжоуской династии. В середине пер¬ вого тысячелетия (время начала плавки железа) в Китае про¬ изошли существенные изменения во всех сферах жизни. К эпохе Конфуция (VI в. до н. э.), как соответственно ко времени Пифа¬ гора в Древней Греции, математика оформляется в самостоятель¬ ную науку, которая в древности носила название «Искусства вычисления» (суаиъ ту) 1 и, подобно другим искусствам (фехто¬ ванию, музыке и т. п.), подлежала изучению благородным чело¬ веком цзюнъженъ. Это была пора расцвета китайской философ¬ ской мысли, украшенная именами философа Конфуция, или Кун-цзы (552—497), и Мэн-цзы (372—289), представителей дру¬ гого философского течения — даосизма — Лао-цзы (V в.), мате¬ риалистов и диалектиков Ле-цзы (IV в.) и Чжуан-цзы (360— 286), софиста Сюнь-цзы (IV в.) и логика Мо-цзы (III в.), военных деятелей Сунь-цзы (VI—V вв.) и У-цзы (IV в.) [43, 44], эконо¬ миста Гуань-цзы (IV в.) и легиста (школа законников) Хань Фэй-цзы (III в.), поэтов Цюй Юаня (340—278) и Сун Юя (III в.) и др. Именно от этого времени памятна фраза о том, что «рас¬ цветали сто школ и соперничали все ученые». Развитие математики в этот «золотой век» совсем не исследовано, не сохранилось ни одного специального текста. Возможно, они погибли тогда, 1 На современном китайском языке это означает «арифметика». 14
когда сжигали конфуцианские книги по приказу императора Цинь Шихуана, как неугодные и противоречащие идее объеди¬ нения. Возможно, они просто не сохранились. Однако эти тексты несомненно послужили основой для составления более поздних «Математического трактата о чжоу-би» и классической «Матема¬ тики в девяти книгах», которые относятся к самому концу данного периода, а их окончательная’редакция лежит уже во втором периоде, что, как увидим далее, совсем не случайно. Впрочем, вообще искусство писать научные трактаты еще только зарож¬ далось, и многие учения древних философов были записаны их учениками и последователями позже, после их смерти. Как по¬ лагают некоторые исследователи, до эпохи Хань устная традиция была очень сильна [2]. Часто книги записывались в виде диало¬ гов, притчей (например, «Чжуан-цзы»), так как вначале они передавались устно, а затем были записаны на бамбуковых до¬ щечках, связанных иногда в произвольном порядке. Отсюда относительная независимость глав в позднейших книгах. К ос¬ новному тексту в дальнейшем писался комментарий, и возникали таким образом различные наслоения (например, трехслойный текст конфуцианской «Книги перемен» [74]). О математике этого периода, периода ее становления, мы можем судить по отдельным фрагментам из указанных выше двух специальных сочинений, а также на основании нематемати¬ ческой литературы. Последняя дает хотя и отрывочные, но все же некоторые ценные сведения. Во-первых, следует упомянуть классическую «Книгу перемен» («И цзин») (примерно VIII—VII вв. до н. э.), которая «оказала свое влияние в самых разнообразных областях: и в философии, и в математике, и в политике, и в стратегии, и в теории живо¬ писи и музыки, и в самом искусство. . .» [74, с. 21], как пи¬ сал один из самых крупных ицзинистов, советский востоковед Ю. К. Щуцкий. Этот текст хотя и приписывают Кун-цзы, но на самом деле он является результатом многовековой работы поколений, в нем самом (цзине, основе), исключая комментарии («Девять крыльев»), можно выделить три слоя. В ханьском Ки¬ тае «Книга перемен» была первой книгой конфуцианства, ее при¬ знали таковой примерно в 213—168 гг. до н. э., а в эпоху Сун при расцвете неоконфуцианства «Книга перемен» оказалась в центре внимания. Она оказала философское влияние не только на конфуцианское течение в философии, но и на оппозиционный даосизм, которому была свойственна идея переменчивости, пере¬ хода. Даже на буддизм, стоящий далеко от конфуцианства и вна¬ чале им не принятый совсем, эта книга оказала некоторое влия¬ ние тем, что ряд терминов и понятий был заимствован из нее. Сущность содержания собственного текста книги заключа¬ лась в следующем. В основу положены 64 гексаграммы, состоя¬ щие из непрерывных и прерывных черт, которым поставлены в соответствие числа 9 и 6: 15
Как упоминалось выше, составление восьми триграмм приписывалось Фу-си, и ему же иногда приписывалось их удвое¬ ние, т. е. образование гексаграмм: цянъ, творчество; = = пунь, исполнение; =-= чжунъ, начальная трудность, и т. д. Гексаграммы «Книги перемен» сопровождались мантической формулировкой и затем афоризмами, которые посвящались каж¬ дой черте и гексаграмме в целом. Поэтому эту книгу использо¬ вали еще относительно недавно уличные гадальщики колониаль¬ ного Китая, которым, разумеется, было чуждо философское со¬ держание книги. Каждая гексаграмма обозначала динамическую ситуацию, а переходы совершались внутри ситуаций от одной гексаграммы к другой. Расположение черт толковалось опреде¬ ленным образом, так что в системе раскрывалась вся динамика быта, жизни. Такая числовая картина мира была выработана ко времени Конфуция и была весьма созвучна пифагорейскому лозунгу: «Все есть число». (Пифагорейцы считали, что в основе мирового порядка лежат числа. Гармония приводит противопо¬ ложности к единству, и она заключается в числовых отношениях. Основой учения пифагорейцев была музыка, гармония и числа.) Сам Кун-цзы неоднократно подчеркивал свою непричастность к составлению этого текста, но преклонялся перед ним и посвя¬ щал в него лишь очень способных своих учеников. Обычно же обязательная программа обучения в древности состояла из четы¬ рех трактатов: «Книга Правил» («Лицзи»), «Книга музыки» («Юэцзин»), «Книга песен» («Шицзин») [71], «Книга истории» («Шуцзин»). Судя по «Книге перемен», математики занимались вопросами комбинаторики, были знакомы с двоичной и троичной системами счисления, хотя в вычислениях применялась десятичная имено¬ ванная позиционная система счисления, и только она 2. В дальнейшем комбинаторные задачи неоднократно привле¬ кали внимание китайских математиков. Известно, что И. Синь (VII в. н. э.) рассчитал возможные расположения в игре, подоб¬ ной шахматам, для различного числа рядов и фигур; для 5 ря¬ дов и" 25 фигур он нашел число сочетаний равным 827 288 699 443. В цериод расцвета алгебры занимались составлением «тре¬ угольника Паскаля», т. е. треугольной таблицы коэффициентов разложения бинома по степеням (Цзя Сянь, Ян Хуэй, Чжу Ши- цзе) [104]. Следующими источниками, на которые следует обратить вни¬ мание, будут трактаты Чжуан-цзы и Мо-цзы. С первым именем 2 Существует путаница в исторической литературе, связанная с именем Лейбница, считавшего, будто китайцы в древности пользовались двоич¬ ной системой счисления, к которой у Лейбница был особый интерес. Лейб¬ ниц пользовался сообщениями миссионеров, которым было больше из¬ вестно о конфуцианстве, чем об истории математики [38, т. 3, с. 41—42]. 16
связано развитие диалектики в древнем Китае, со вторым — логики. В «Чжуан-цзы»^мы находим упоминание о софизмах, к сожалению, без доказательств и пояснений к ним. Вероятно, некоторые из них имели математическое содержание. Что каса¬ ется древних китайских софистов, то они были, как и в Древней Греции, необходимыми элементами общества и оказали большое влияние на его развитие. Историческая обстановка в эпоху Чуньцю (722—481) и особенно в эпоху Борющихся царств Чжаньго (403—221 до н. э.), когда между городами-го¬ сударствами процветала конкуренция за центральное верхов¬ ное положение, способствовала тому, что типичной фигу¬ рой древнего Китая был учитель политической мудрости. Их можно было найти при любом дворе. Некоторые состояли на службе у князя, выступали в роли советников, иногда обладали большим влиянием, чем сам князь. Другие создавали нечто вроде академий, где в беседах с учениками излагали свои взгляды. Третьи странствовали, проповедуя свое мировоззрение тем, кто хотел их слушать. Среди них были политики-государственники, дипломаты, военные деятели, экономисты, социологи, учителя логики и эвристики, софисты [45]. В «Чжуан-цзы» приведены софизмы, высказанные Хой-цзы, о котором здесь же сообщается следующее: «Записей речей у него пять повозок. Его учение противоречиво. Его слова не попадают в цель» [2, с. 320]. «Не обладающее толщиной нельзя нагромоз¬ дить, а заполняет оно тысячи ли». «Южная сторона и предельна и беспредельная. «Черепаха длиннее змеи». «Угольник не квад¬ ратный». «Циркуль не может дать то, что может быть кругом». «Если ежедневно делить пополам палку [длиной] в один чи, не закончить и через тьму поколений» и др. К последнему софизму следует добавить, что в это время рассматривали ряд -f- -g—|— ... = 1, знали его сумму. Существуют упоминания и о других логиках-софистах: внуке Кун-цзы Хуань Туане, ученике логика-софиста Гунсун Луна Хань Тане, Хой Ане (IV в. до н. э.). Что касается трактата Мо-цзы «Моцзин», то в нем рассматри¬ ваются вопросы логики, оптики, динамики, а также дан ряд опре¬ делений и аксиом геометрии [112]. Это удивительное событие для последующей официальной математической литературы древнего и средневекового Китая, среди которой нет ни од¬ ного сохранившегося текста, построенного подобно «Началам» Евклида. Мо-цзы определяет параллельные, центр круга, сферу и ее центр. Он высказывает аксиому о равенстве целого сумме частей его и о совмещении равных фигур при наложении, а также ак¬ сиому Архимеда [103; 110, с. 16 и след.]. Эпоха Борющихся царств привела к гегемонии царства Цинь. Процессы, начавшиеся при первом императоре Цин>, имели 2 Э. И. Березкина 17
продолжение и при ханьских правителях. Цинь Шихуанди реши¬ тельно укреплял централизацию в стране. В первые шесть лет царствования осуществил ряд реформ и начал большое строитель¬ ство. Из отдельных участков стен покоренных царств была по¬ строена Великая китайская стена шириною в 3 чжана, т. е. при¬ мерно 6,9 м. Императорская упряжка могла проскакать по ее верху. Средняя высота стен достигала 7,5 м, средняя ширина рав¬ нялась 5,4 м. Как и подобало великому государю, он начал стро¬ ительство дворца Эфангун и гробницы Циней. Реформы Цинь Шихуанди были посвящены унификации зако¬ нодательства, письменности, денежного хозяйства, мер весов и объемов и даже колеи для государственных дорог, поскольку этого требовали лёссовые почвы. Благодаря введению письма сяочжуань вместо дачжуанъ, происходившего еще от иньских времен, когда писали на камне и бронзе, появилась возможность упрощения письма и далее. Действительно, в дальнейшем перешли к еще более простому стилю лиши, который и послужил основой современной китайской письменности. Это последнее письмо было создано будто бы одним юристом для частной переписки. Реформа в области письменности способствовала появлению научных трактатов и ли¬ тературных сочинений, тогда как ранее преобладало устное творчество. Сбор налогов потребовал унификации системы мер^и весов. В каждом царстве были свои основные меры, теперь же были изготовлены единые общегосударственные эталоны и разосланы во все округа и уезды. Некоторые экземпляры эталонов сохрани¬ лись до сих пор. Основной единицей объема был установлен дере¬ вянный лян. Для весовой единицы употреблялись бронзовые или железные гири. На них отпечатан текст эдикта в 40 иероглифов следующего содержания: «На 26-м году [правления] Хуанди пол¬ ностью уничтожил чжухоу [правителей шести царств. — JI. Пере¬ ломов] Поднебесной. Черноголовые получили большое спокой¬ ствие. [Я, Ин-чжэн] принял титул хуанди [императора] и тогда же приказал [своим] чэнсянам [Вэй] Чжуану [и] [Ван] Гуаню уза¬ конить [новую систему измерения] длины и объема. Если же будут встречаться различные [или] сомнительные [меры измерения] — все их надо четко приводить к единому [эталону]» [58, с. 143]. Была унифицирована также единица площади му, которая при чжоуских князьях равнялась Ю0 кв. бу, или шагам. Вместо нее был взят шанъяновский му, равный 240 кв. бу, тот самый, с ко¬ торым мы встречаемся на первой странице классической «Мате¬ матики в девяти книгах». Денежная реформа установила два вида денег, золотые и медные монеты. Последние с тех самых пор про¬ существовали две с лишним тысячи лет. Они были введены вместо трех видов монет, имевших хождение до реформы. Медная монета баньлян, т. е. пол-ляна, имела круглую форму с квадратным от¬ верстием в середине. Яшма, черепашьи панцири, раковины, се¬ ребро были объявлены драгоценностями, украшениями,
Царствование династии было недолговременным, поскольку, как пишут древние историки, оно было отмечено жестокостями. Далее следовала Ханьская династия, время правления которой делится на две половины: первую — Раннюю, или Западную (202 г. до н. э.—9 г. н. э.), и вторую — Позднюю, или Восточную (25— 220 гг. н. э.). По периодизации Ли Ян я это время относится ко второму периоду в развитии математики. Второй период в развитии китайской математики приходится на^первую половину первого тысячелетия. Это время Ханьской империи и после нее Троецарствия и т. д., по своему характеру напоминающее эпоху эллинизма и время Римской империи. По своему размеру, могущественности и значению Ханьская империя вполне сопоставима с Римским государством, царством парфян, Сасанидов, с которыми она, кстати, имела торговые и другие сно¬ шения. В Ханьской империи насчитывалось 59 млн. налогообла¬ гаемого населения (по данным переписи 2 г. до н. э.), налоги стали платить в это время зерном, до этого платили землей. Было про¬ должено строительство Великой китайской стены, оросительных сооружений, проводились осушение почвы, борьба с разливами рек, устройство дамб, плотин, каналов и т. д. В первые пятьдесят лет правления дома Хань происходит централизация империи, захват земель, вводится монополия на соль и железо, казенная собственность на мастерскиё. Официальной идеологией избирается конфуцианство. С этой целью оно было канонизировано Дун Чжун-шу (И в. до н. э.) и его последователями. Это отразилось на всем развитии науки и искусства. Происходит разделение наук на ортодоксальные и неортодоксальные. Ханьская живопись, например, становится наглядным пособием для проповедывания «истинного пути», а созданная «Музыкальная палата» («Юэ фу») — конфуцианцы придавали большое значение гармонии и музыке в управлении Поднебесной — была призвана собирать и обраба¬ тывать народные песни и готовить к исполнению их во время об¬ рядов и празднеств. Палата насчитывала около 800 образованных и высококультурных чиновников (еуанъ), которые были призваны служить освящению ханьского режима, способствовать духовному единству общества. Из наук астрономия, математика, например, считались официальными науками, все, что было связано с черной магией, считалось неофициальным. Например, та часть медицины, которая опиралась на натурфилософские идеи, считалась ортодок¬ сальной, а другая, которая основывалась на магии, — неортодок¬ сальной [152]. Эпоха Хань породила движение за сбор литера¬ турных произведений классической поры. В это время зарожда¬ ется китайская классическая филология. Появляется первый словарь «Шовэнь», в котором мы находим и слова, относящиеся к математике. В области математики появляются универсальная энциклопедия «Математика в девяти книгах» (или, точнее, «Ис¬ кусство счета в девяти книгах»), а также «Математический трактат о чжоу-би» (о гномоне), который был написан ранее, чем «Матема¬ тика». Комментарий к той и другой сохранился от III в. н. э. 19 2*
Составителями «Математики в девяти книгах» были важные санов¬ ники Гэн Чоу-чан (II в. до н. э.) и Чжан Цан (I в. до н. э.). От этого второго периода в истории математики сохранилось много имен, связанных с математикой: кроме уже упомянутых выше в исторических хрониках встречаются имена Лю Цзо, Чжан Хэна, Сюй Шана, Ду Чжуна, Инь Сяня, Лю Ци, Лю Хуна, Ма Сюя, Чжэнь Сюаня, Цай Юна, Чжао Цзюнь-цина, Сюй Юэ, Цзу Чун- чжи и его сына Цзу Хэна, Чжэнь Луаня, Ли Чунь-фэна и др. Многие из них занимались проблемой числа тт. Иногда полагают, что этот интерес возник в связи с влиянием, пришедшим из Индии [81, с. 71]. Однако буддизм, начавший проникать в Китай в I в. н. э., был враждебно встречен конфуцианцами и не получил рас¬ пространения вплоть до VIII в. Это с одной стороны, а с другой — следует вспомнить о реформах Ван Мана, которые были опять-таки связаны с унификацией системы мер и весов [35]. Именно установ¬ ленный им эталон единиц длины, веса и емкости, называемый в ис¬ тории «ванмановский ху», послужил для математиков толчком к вычислению более точного значения числа ъ (подробдее об этом см. далее ч. V). В самой математике также устанавливается офи¬ циальная линия развития, именно ее в основном характеризует сохранившаяся литература. Другие источники, очевидно, не изда¬ вались в таких масштабах и не рассылались по библиотекам, поскольку не являлись официальными, каноническими, и потому до нас не дошли. Найример, если бы не комментарий в класси¬ ческой «Математике в девяти книгах», мы бы ничего не знали о творчестве Лю Хуэя: его собственных сочинений не осталось. Ком¬ ментарий же свидетельствует об оригинальном и весьма «прогре- ческом» стиле древнего ученого. Трактаты Сунь-цзы, Чжан Цю- цзяня, Сяхоу Яна и других создавались в духе официальной литературы, нужной для обучения будущих чиновников государ¬ ственной службы. В этих сочинениях проявлен интерес к задачам практической геометрии на измерение расстояний до недоступных предметов, вычислению объемов некоторых нетривальных тел, по существу, введено понятие проекции; определены действия с обыкновенными дробями, с именованными десятичными дробями, введены отрицательные числа и т. д. [19]. Уместно отметить, что в области астрономии продолжались успешные работы по уточнению и расширению звездных катало¬ гов, совершенствованию лунно-солнечного календаря. Появились солнечные часы, ранее были водяные. Чжан Хэн сконструировал небесный глобус и планетарий, учил о сферичности Земли, о без¬ граничности Вселенной в пространстве и времени и т. п. Юй Си вновь, открыл прецессию равноденствий. Было очень точно вы¬ числено время звездного обращения Сатурна. Чжан Хэн описал 2500 звезд и сгруппировал их в 320 созвездий. Конец Ханьской династии ознаменовался восстанием «Желтых повязок». С 192 г. начинается эпоха Троецарствия: северное государство Вэй, юго-восточное У и юго-западное Цюань (Цзянь), а затем время династии Суй. Ли Янь считает, что 600-й год огра- 20
НМивает второй период сверху, и, вероятно, эта граница условна. К этому времени были написаны почти все трактаты математи¬ ческого «Десятикнижья», но сам этот сборник был составлен в на¬ чале следующего, третьего, периода (см. след. ч. II). Третий период, период расцвета математики в Китае, украшен именами крупных ученых: Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Шэнь Ко, Го Шоу-цзиня, Ли Е, Ян Хуэя и других, — создавших своими работами своеобразную китайскую алгебраическую школу, ос¬ новным достижением которой было создание численного метода решения уравнений высших степеней. Этому периоду свойственны широкие связи китайских ученых с учеными других народов: Индии, Кореи, Японии, стран Ближнего Востока. Четвертый период (1367—1750) — период упадка классической математики и развития, по терминологии Ли Яня, «народных ме¬ тодов» [96]. Наблюдается широкое распространение руководств по правилам вычислений на китайских счетах, рифмованные ри¬ торические правила (правила-песенки). Появляются первые за¬ падные миссионеры и с ними первые переводы «Начал» Евклида и другой западной литературы. !^В пятый период (1750—1949) работа математиков проходит в двух направлениях: теоретическое обоснование принятых ранее без доказательств западных методов и обработка и развитие старых, традиционных проблем. В области теории чисел был прославлен Ли Шань-лань, работавший с Вайли и издавший в 1859 г. первый курс дифференциального и интегрального исчисления на китай¬ ском языке. Глава вторая ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ» Сборник «Суаць цзин ши шу» («Десять классических трактатов по математике», кратко: математическое «Десятикнижье» или просто «Десятикнижье») был составлен в VI столетии Чжэнь Луанем и прокомментирован Ли Чунь-фэном в VII в. Во время династии Тан (VII—IX вв.) это собрание служило пособием при подготовке чиновников к квалификационным экзаменам [70]. Тексты, входящие в «Десятикнижье», были написаны на про¬ тяжении III—VI вв. н. э. Самым поздним автором был современ¬ ник Ли Чунь-фэна Ван Сяо-тун, написавший трактат об урав¬ нениях третьей и четвертой степени «Продолжение древних [методов ]» [22 ]. В этом же столетии был отредактирован арифмети¬ ческий текст V в., составленный Сяхоу Яном. Современником по¬ следнего был, возможно, автор одного из больших трактатов «Десятикнижья» Чжан Цю-цзянь, которого больше интересовали алгебраические вопросы, чем практические или вычислительные, 21
которые разрабатывал Сяхоу Ян и еще раньше него Сунь-цзы, также оставивший подобное сочинение [10, 11, 15, 49, 51J. Быть может, к IV в. относится анонимный ведомственный трактат, небольшой по объему, но содержащий сугубо практические задачи для чинов¬ ников [13, 52]. Правда, некоторые исследователи (например, Цянь Бао-цун) считают автором трактата Чжэнь Луаня, которому не¬ сомненно принадлежат два текста «Десятикнижья» 3. Чжэнь Луань, составляя «Десятикнижье», счел необходимым — дань своему времени — составить «Искусство счета в Пятикнижье», коммен¬ тированные цитаты из классических философских, исторических сочинений, а также «Забытые записи по искусству счета», остатки от утерянного полного текста Сюй Юя эпохи Хань от II в. до н. э. Третье столетие поистине богато событиями. В это время работали, по-видимому, три математика, различные по стилю и ин¬ тересам. Одним из них был Сунь-цзы, который написал арифметико¬ метрологический трактат, рассматривавший вопросы вычисли¬ тельного характера [10, 11]. Другим был Лю Хуэй, знаменитый тем, что в его редакции дошла до нас классическая «Математика в девяти книгах» [50]. Ее составителями считаются Чжан Цан (II в. до н. э.) и Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.). Из дополнений Лю Хуэя к «Математике в девяти книгах» впоследствии был сделан самостоятельный «Математический трактат о морском острове», содержащий проблемы, измерения расстояний до недоступных предметов [17]. Он известен в истории науки как самый ранний текст из области практической геометрии. До нас не дошли, к со¬ жалению, другие сочинения Лю Хуэя, но по его самостоятель¬ ному и оригинальному комментарию к «Математике в девяти кни¬ гах» видно, что это был китайский математик, мыслящий нетра¬ диционно, более схожий по своим методам с древнегреческими учеными. Лю Хуэй применял методы геометрической алгебры, в его текстах есть описание чертежей, но они не сохранились, Лю Хуэй почти по-архимедовски вычислял число п и т. д. Однако, повторяем, к сожалению, нам неизвестны ни его предшественники, ни его собственные сочинения, кроме упомянутых комментариев, ко¬ торые первоначально будто составляли десять глав. Именно де¬ сятая глава «Чжун-ча» и была превращена в самостоятельный трактат «О морском острове». Третьим известным по «Десятикнижью» ученым был Чжао Цзюнь-цин, снабдивший большими пояснениями самый ранний математико-астрономический текст «Математический трактат о чжоу-би» (т. е. о гномоне), изложенный в форме диалога между правителем Чжоу-гуном и ученым Шан Гао, а также диалога Чэнь-цзы с учеником Жун Фаном. Чжао принадлежит первое в истории письменное доказательство в геометрическом виде теоремы Пифагора. Согласно тексту зависимость между сторонами прямоугольного треугольника для случая 3, 4, 5 была известна 3 Называют также Хань Яна (VI в.) как предполагаемого v автора этого сочинения. 22
в Китае еще в XII в. до н. э. В общем случае теорему формулиро¬ вали в VI в. до н. э. Таковы письменные свидетельства о теореме на древнекитайском языке. Таким образом, на протяжении пяти столетий были составлены и обработаны все десять трактатов математического «Десяти¬ книжья». Однако на самом деле эти тексты охватывают гораздо более обширный период времени, более чем в тысячу лет. Цент¬ ральное сочинение «Десятикнижья» «Математика в девяти книгах» само является обработкой более ранних текстов. Задачи на нату¬ ральный обмен, об измерении полей, на объем строительных работ и т. п. возникли на самых ранних этапах развития человеческого общества, гораздо более ранних по сравнению с эпохой составления «Математики в девяти книгах». Поэтому тексты «Десятикнижья» на самом деле дают возможность составить представление о мате¬ матике древнего Китая, начиная со времени образования самостоя¬ тельной науки, примерно эпохи Конфуция (VI—V вв. до н. э.), и вплоть до эпохи могущественной средневековой Танской империи, по оценке академика Н. И. Конрада — китайского Ренессанса [45]. И далее многие идеи из математического «Десятикнижья» были развиты в более поздних сочинениях X—XIV вв. китайских ма¬ тематиков — видны отчетливые связи, хотя нет, разумеется, прямых ссылок. Время, в которое были написаны или окончательно оформлены трактаты «Десятикнижья», в истории Китая отмечено как полоса междуцарствия и борьбы с кочевниками. После падения могущест¬ венной древней империи Хань (II в. до н. э.—II в. н. э.), эпохи классической древности, по мнению Н. И. Конрада [45], во время которой были составлены два самых ранних и больших сочинения «Десятикнижья»: энциклопедическая «Математика в девяти книгах» и трактат о гномоне, в Китае оспаривают гегемонию три отдель¬ ных государства. Победа достается государству Вэй (220—264), в котором работал знаменитый Лю Хуэй. Полководец Цао Цао при императоре Вэй сам становится императором. Недолговечную династию Цзинь сменила эпоха «Смуты восьми князей». На север¬ ных границах Китая под натиском кочевников часть земель была утрачена, но на юге еще существовали династии Цзинь (317—420), Сун (420-479), Ци (479-502), Лян (502-557), Чэнь (557-589), пока с севера не пришло объединение. Образовалась династия Суй (589—617), после которой, наконец, установилась трехсотлетняя власть дома Танов (618—907). После Танов столь же долго царство¬ вал дом Сунов (960—1279), правда, между этими двумя большими династиями была чересполосица, которую в истории назвали «эпохой пяти династий» (907—959): Лян, Тан, Цзинь, Хань и Чжоу; во время этих маленьких династий на троне успевало продержаться от двух до четырех ванов. Для периода составления «Десятикнижья» (VI—VII вв.) характерна канонизация конфуцианства. В VI в. Кун Ин-да дал «Правильное толкование конфуцианского Пятикнижья», что было предметом изучения в учебных заведениях, и конфуцианство ста¬ 29
новится схоластикой [45, с. 205]. В области математики, по-видимому, аналогичную роль сыграл Чжэнь Луань. Ведь не случайно ему принадлежит «Искусство счета в Пятикнижье», кусочки текстов из конфуцианских трактатов, связанных с каким-либо вычислением или математическим термином. Этот период характеризуется также усилением влияния буддизма и оформлением даосизма в качестве религии, поскольку даосизм утратил свои позиции в философии. Китай знакомится также с исламом и христианством. В «Десятикнижье» объединены самые различные тексты, однако они обладают и некоторыми общими свойствами. Все они, по су¬ ществу, безымянные, хотя некоторые заголовки трактатов содер¬ жат имена авторов. Но, как правило, нам ничего или почти ничего не известно о них. Мы не знаем, кто были Сунь-цзы, Чжан Цю-цзянь, Сяхоу Ян, Лю Хуэй. Более того, к составлению трактата, вероятно, предъявлялись вполне определенные требования, какие ставят перед авторами учебных пособий, и потому даже знание биографий авторов мало помогло бы выяснению творческого характера каждого из них. Индивидуальная манера письма, или вкусы ав¬ тора, свойственные «монографиям», в такого рода текстах малоза¬ метны, их приходится буквально выискивать при самом деталь¬ ном исследовании. Нам не известны требования, предъявляемые авторам классических трактатов по математике, но их можно было бы сформулировать следующим образом. К условию задачи, снаб¬ женной ответом, дается правило решения в виде алгоритма, дей¬ ствия же с числами выполняются на счетной доске. Вывод формул, различные определения, рисунки в таких руководствах не даются. По всей видимости, они объяснялись на уроках устно преподава¬ телями. Никаких описаний до нас не дошло, однако есть намек на подобные обстоятельства: в предисловии к своему трактату Чжан Цю-цзянь пишет, что «методы не сложны, но докучливы многократно, надеюсь их облегчить, поясняя вслух» [51, с. 28]. Если автор имеет целью показать класс задач, он сначала приводит самую четкую, простую, «каноническую», а затем по мере услож¬ нения демонстрирует, насколько широк такой класс задач; за¬ тем дает алгоритм сведения других задач к уже решенным, расши¬ ряя таким образом указанный класс задач. Именно так построена вся «Математика в девяти книгах», вообще семь трактатов из де¬ сяти являются сборниками задач. Задачи идут сплошным текстом (следует еще иметь в виду характер древнекитайского письма: в нем нет знаков препинания), без рисунков, без пояснений, без оп¬ ределений, без доказательств. В трактатах Сунь-цзы, Чжан Цю- цзяня, Сяхоу Яна труднее выделить группы задач, чем в «Мате¬ матике в девяти книгах». В них каждая задача, максимум две- три, посвящены одному и тому же методу, причем общие и частные правила, которые часто в «Математике в девяти книгах» были даны одновременно, в указанных трактатах исключают друг друга. У Сунь-цзы, например, как правило, даны числовые алгоритмы, которые, однако, выполнены согласно общему правилу. У Чжан Цю-цзяня, напротив, все правила сформулированы общими сло- 24
йами, а вычисления были дописаны астрономом Лю Сяо-сунем в следующем столетии. У Лю Хуэя и Ван Сяо-туна даны только общие правила, четко выделены классы задач. Случается также, что одни и те же задачи (или весьма схожие) встречаются в различ¬ ных трактатах. По-видимому, они были или переписаны из одного источника, который нам неизвестен, или заимствованы одни из других в порядке их хронологии. Так, задача о неправильном четырехстороннике содержится как в ведомственном трактате, так и в трактате Сяхоу Яна. В трактате Сунь-цзы и в трактате Сяхоу Яна обнаружены почти дословно повторенные изречения о способе изображения чисел на китайской счетной доске. В трак¬ тате Сунь-цзы повторены несколько задач из «Математики в девяти книгах», но, как правило, они даны с упрощенными числовыми данными. Эти задачи нужны были каждому автору всякий раз для своих особых целей. В математическом «Десятикнижье» три текста не представляют собой собрания задач. Как уже упоминалось, самый ранний трак¬ тат о гномоне написан был в виде диалога, что было свойственно манере изложения древних философских учений. Укажем на один из них, «Чжуан-цзы», который является собранием притч, изло¬ женных весьма образно, красочным народным языком [2] (ср. с древнегреческими диалогами Платона). И еще два текста, напи¬ санных Чжэнь Луанем, также не содержат задач. О них упоми¬ налось выше. Эти тексты, как каждый из трактатов «Десятикнижья», представляют историческую ценность. Они показывают вместе с ведомственным трактатом, содержащим примитивные задачи, диапазон применения математических знаний в древнем обществе, тогда как другие, такие, как «Математика в девяти книгах» и трак¬ таты Лю Хуэя, Ван Сяо-туна, свидетельствуют о достаточно вы¬ соком уровне развития науки. Трактаты Сунь-цзы и Чжан Цю- цзяня показывают различные области математики, развиваемой в то время, а комментарий Лю Хуэя, Чжень Луаня и Ли Чунь- фэна свидетельствуют о различной трактовке одних и тех же по¬ нятий, методов в разные эпохи. Таким было математическое «Десятикнижье» в древнем Китае, и оно было достоянием культурного человека наряду с конфуциан¬ ским «Пятикнижьем» и «Четверокнижьем», а также«Семикнижьем» в военном деле, каноном по медицине «Нейцзин» («Трактат о внут¬ реннем»), «Бэнь-цао» («Травники») и др. В каждой области науки были свои классические тексты. Издание 1963 г. «Десятикнижья» под редакцией Цянь Бао- цуна, которым мы пользовались, выверено редактором по несколь¬ ким сохранившимся экземплярам от XV, XVII, XVIII вв. Каждый из них восходит к хранящемуся в Государственной Шанхайской би¬ блиотеке экземпляру, изданному при Южных Сунах (XII—XIII вв.). Первый вариант текста «Десятикнижья», который был в рас¬ поряжении Цянь Бао-цуна, взят из собрания «Цянь лу линь цзе», находящемся в Пекинском музее Гугуд. Он был перепечатан в на¬ чале Циньской династии (1644—1911) с южносунского. Второй 25
вариант «Кун ли цзай сяо» является извлечением из собраний «Сы ку цюань шу» (1773), в которое в свою очередь вошли сочинения из средневековой известной энциклопедии «Юн лэй да цзянь» (1403—1407). Происхождение третьего варианта — непосред¬ ственно от «Юн лэй да цзянь». Что касается южносунского издания, то оно само было перепе¬ чатано с текста 1084 г. эпохи Северных Сунов — наиболее ран¬ него из известных изданий. Текст 656 г. самого Ли Чунь-фэна, в окончательной редакции которого «Десятикнижье» дошло до нас, не сохранился. После Ли только Се Ча-вэй в эпоху Сун написал свой комментарий к одной известной задаче на неопределенное уравнение из трактата Чжан Цю-цзяня. Вопросы, представленные в трактатах «Десятикнижья», более всего являются арифметико-алгебраическими, а не геометриче¬ скими. Совсем не рассмотрены, например, задачи на построение. И сами геометрические задачи имеют не тот вид, в каком мы их привыкли видеть: в них также производится вычисление, напри¬ мер, площади или объема и т. п. Много вопросов из области опери¬ рования с числами, поскольку решения задач даны в виде алго¬ ритмов для счетной доски. Рассмотрены некоторые вопросы календаря и даже музыкальной гаммы. Самыми излюбленными ме¬ тодами были методы, основанные на идее пропорциональности и среднего арифметического: это простое и сложное тройное пра¬ вило, вычисление процентов, пропорциональное деление согласно некоторому ряду чисел, формулы измерения площадей различных нестандартных фигур типа барабана с вогнутыми боками и др., приемы решения систем уравнений определенного вида, подобие треугольников. Классы задач, связанных с прогрессиями, показы¬ вают, каким образом постепенно осваивались арифметические и геометрические прогрессии, выяснялись свойства их членов, как была получена формула суммы конечного числа членов и как выяс¬ нилась бесконечная природа числовых рядов и т. д. Большой цикл задач по решению уравнений второй и третьей степеней, а также биквадратных пополнялся в течение многих веков. Довольно рано был разработан матричный метод решения систем линейных урав¬ нений с введением отрицательных чисел. Во многих случаях на¬ ряду с ним пользовались также частными приемами решения систем уравнений. Мощным методом было правило двух ложных положе¬ ний, характерное для средневековой и вообще элементарной ма¬ тематики. Оно было изобретено в древнем Китае [29, 109]. Про¬ цедура извлечения квадратного и кубического корней была тща¬ тельно разработана для счета на доске и применена к решению квадратных и кубических уравнений, трехчленных и четырехчлен¬ ных. В трактате Ван Сяо-туна этим методом решены кубические и биквадратные уравнения. Квадратные уравнения встречаются в «Математике в девяти книгах», в трактате Чжан Цю-цзяня. Отрицательные корни нигде не рассматривались, так как такие ответы не имели смысла для задач. Неопределенные уравнения и системы рассматривались: в этих случаях находились наимень¬ 26
шие целочисленные значения неизвестных, удовлетворяющие задаче. Рассмотрены также уравнения (линейные системы) в ко¬ нечной арифметике, т. е. в арифметике остатков. Встречаются задачи, составленные так, чтобы рассмотреть тройки пифагоровых чисел. Такие задачи есть в девятой книге «Математики в девяти книгах», а также в трактате Ван Сяо-туна. 3. Классическая «Математика в девяти книгах» «Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу») — центральное сочинение математического «Десятикнижья». Самое большое по объему и самое содержательное, оно является одним из замечательных памятников древнего Китая времени династии Ранней Хань (206 г. до н. э.—7 г. н. э.), правившей в одной из обширных и могущественнейших империй древнего мира [8]. Это сочинение — своеобразная математическая энциклопедия для землемеров, инженеров, астрономов, чиновников различных ведомств и т. д. Мы находим в ней разнообразный и богатый по содержанию математический материал: правила действия с дро¬ бями, алгоритм Евклида, пропорции и прогрессии, правила из¬ влечения корней, квадратного и кубического, и обобщение первого на решение полного квадратного уравнения; вычисление различных площадей и объемов, теорему Пифагора и применение подобия прямоугольных треугольников, формулы для пифагоровых чисел, вопросы практической геометрии, решение систем линейных урав¬ нений и др. Уже при первом чтении трактата обращает на себя внимание неоднородность текста, одна часть которого отражает достаточно высокий уровень развития математики, а другая соответствует начальным ступеням развития науки. Будучи обработкой более ранних, не дошедших до нас математических текстов, «Матема¬ тика в девяти книгах», подобно «Началам» Евклида, содержит значительную часть математических сведений, накопленных ко времени составления трактата. Это сочинение, подобно «Началам», является, вероятно, для Китая того времени лучшей такой обра¬ боткой, которой отдавали предпочтение, благодаря чему она и со- хранилась.1 Исторические сведения о текстах, предшествовавших «Матема¬ тике в девяти книгах», весьма скудны и иногда сомнительны. В летописях существует упоминание, что еще в XXVII в. до н. э. легендарный император Хуанди (Желтый император) приказал Ли Шоу составить книгу по математике, которая называлась «Цзю шу Хуанди». Совершенно неизвестно, что это была за книга и существовала ли она вообще. Быть может, в этом упоминании лишь отражен факт безусловной давности математической культуры Китая. Следующее летописное свидетельство показывает, что в эпоху Чжоу, в XII в. до н. э., Чжоугун Дань написал «Цзю чжан», по которой дети сановников учились математике. И эта книга не сохранилась, но в позднейших летописях дается ее 27
оглавление, почти совпадающее с оглавлением «Математики в де¬ вяти книгах». Названия заголовков следующие: фан чен, су ми, ча фэнь, шао гуан, шан гун, цзюнъ ту, ин бу цзу, пан яо, чжун ча, си цзе, дяо гу. При сравнении с заглавиями книг «Математикй в девяти книгах» видно, что первые семь либо совпадают полностью, либо аналогичны по смыслу. Последний, девятый, заголовок «Математики», по предположению многих ученых, объединил в себе материал последних четырех глав книги Чжоугуна. Отсюда, впрочем, не следует, что содержание обоих сочинений' совпадало: в «Математике в девяти книгах» есть материал, свидетельствующий о высоком уровне развития науки, который был, несомненно, достигнут позднее эпохи Чжоу. Но мы уже отметили, что в настоя¬ щем трактате встречается и такой материал, который явно должен быть отнесен к более раннему времени и, возможно, содержался в книге Чжоугуна. При создании единого государства во времена Циньской дина¬ стии (246—207 гг. до н. э.) по приказу императора ПГихуана с целью уничтожения всякой мысли, направленной против централизации страны, были сожжены многие конфуцианские книги, истори¬ ческие хроники и классические труды. Быть может, это не касалось трудов по математике, но в последующее время реконструкция культурного наследия была распространена и на математические сочинения. Первым, кто во время династии Хань собрал имевшиеся материалы в книгу, был Чжан Цан. О Чжан Цане известно не¬ многое. Он был чиновником в эпоху династии Цинь, а при первом ханьском императоре состоял первым министром, считался вы¬ дающимся деятелем, особенно в финансовой сфере, занимался астрономией и астрологией. Умер Чжан Цан в 152 г. до н. э., прожив около ста лет. Вторичной обработке произведение подверг Гэн Чоу-чан, занимавший пост министра при Сюаньди (73—48 гг. до н. э.). Настоящий вид сочинение приобрело после комментиро¬ вания в 263 г. математиком Лю Хуэем. В дальнейшем «Математику в тдевяти книгах» стремились комментировать многие другие ученые: Чжэнь Луань (VI в.), Ли Чунь-фэн (VII в.) и др. Во вре¬ мена династии Тан (618—907 гг.) этот трактат стал одним из учебников "при "подготовке"^ Государственным экзаменам на по¬ лучение звания "и "получил поэтому ""широкое ^распространение. Во’времена династий Сун и Юань (X—ХПГвв.)/когда*"математика в'"Китае"достигла своего^наиболыпего^расцвета,""многие ученые исходили тв своих" исследованиях” из ’’вопросов," содержащихся в этом трактате. ■-У'ЪЦ • Итак, более ранние тексты по математике не дошли^до нас, и «Математика в девяти книгах» "является, по существу,""первым собственно математическим сочинением из ряда классических в'древ- нем Китае, не считая трактата о «чжоу-би» (гномоне), "содержащем теорему Пифагора. " ' Прежде чем рассмотреть содержание «Математики в девяти книгах», остановимся на форме и характере изложения мате¬ риала. 28
Текст состоит из формулировок условий задач, которые со¬ провождаются ответами. После каждой задачи или группы ана¬ логичных задач обычно следует правило их решения, чаще всего описывающее в общем виде формулу для вычисления искомой величины (например, формулы площадей в книге I, формулы объе¬ мов в книге V и др.), или общий алгоритм решения данного типа задач (например, правило «избыток-недостаток» в начале книги VII, правило «|фан-чен» в книге VIII и др.). Общее правило может помещаться перед данной группой задач, и тогда^обычно, хотя и не всегда, после каждой такой задачи дается^еще «числовое» правило, т. е. указание, в каком порядке и какие производить действия над заданными числами, чтобы получить искомую ве¬ личину (например, правила к задачам первых половин книг II, III, IV, как видно, более древних частей текста сочинения). Но даже в таких частных правилах видно стремление возможно более общим способом описать решение задачи. В тексте нет объяснений, как получены правила, почему выбирается тот или иной ход реше¬ ния, нет доказательств, пояснительных чертежей, определений, знаков препинания (рис. 2). Все это осложняет выяснение картины математических знаний, которыми располагали древние ки¬ тайцы. Сочинение состоит из девяти довольно самостоятельных книг (чжанов или цзюаней — свитков). Каждая книга представляла собой отдельный свиток и не была органически связана с другими. Она должна была содержать в себе весь материал, посвященный какой-либо теме, и иметь до известной степени завершенный, законченный характер. Рассмотрим содержание трактата по книгам. Книга I «Измерение полей» («Фан-тянь») содержит задачи на вычисление площадей полей различной геометрической формы: прямоугольных, треугольных, в виде трапеции, круга, сегмента, сектора и кольца. Площади прямолинейных фигур вычисляются по правилам, совпадающим с общеизвестными. Площади круга, сектора и кольца определяются при 7т:=3. Площадь сегмента вы¬ числяется приближенно. Любопытно, что для подобного рода древних текстов (также египетских, ^вавилонских) характерно отсутствие "формулы для площади параллелограмма. Видимо, такая форма земельного участка была неестественной. Вряд ли также часто встречается в земледелии кольцеобразное поле. Однако в^обыденной жизни'круг~и~его^части^применялись, требовалось вычисление'площадей таких фигур, и потому эти правила'также были'сформулированы под видом определения площадей «полей» в первой книге сочинения. гСтороны полей задаются как целыми, так и дробными числами. Поэтому вслед за^первыми задачами, устанавливающими, по су¬ ществу, соотношения между основными единицами длины и площади, идут^задачи на действия'с дробями: их сокращение, сложение, вычитание, деление "и ^умножение; "'"только Лзатем ''производится измерение'полей. При "сокращении дробей общий "наибольший"де- 29
» Ш <в Ш X i т * Ч: 0 + Чг it I £ 81 $ л и Ч: £ 0 X 4> # it У Ч 1 Й # л ц ш $ £ в Чг t 4 t л 11 К А — Ж Е л и ги л — л Hi л я 9 Й Ч: 4= V * Т> T' 7Р А А А И + й Щ /\ А л И Ш ш л ъ ш щ 1К п $ & % Л м ъ Й н ш. tr Ф Й f * it а я т % 5.Шi А !Ш Й 3* Л: *: $ _ь ! » м А * Л Щ % -ь ш Рис. 2. Первая страница книги VII «Математики в девяти книгах» из обыч¬ ного издания, фотоофсетной копии 1937 г. с издания периода Канси литель числителя и знаменателя находился по алгоритму, совпа¬ дающему с евклидовым. Последний описан в «Началах», как известно, в геометрической форме. Китайский алгоритм в отличие от него дан в чисто арифметической формулировке. Деление дро¬ бей в книге I производится путем приведения их к общему знаменателю. Заметим, что интерпретация деления отлична от представления других действий (см. об этом подробно в ч. III). 30
Текст книги I помогает выяснить ряд интересных вопросов, относящихся к формированию и развитию основных математиче¬ ских понятий: числа, площади (см. далее ч. III и V). . В книге И «Соотношение между различными видами зерновых культур» («Су-ми») помещены задачи, в которых определяется по трем заданным величинам четвертая пропорциональная, т. е. задачи на так называемое тройное правило. Задачи, основанные на пропорциональной зависимости, т. е. задачи на простое и слож¬ ное тройное правило, на пропорциональное и обратно пропорцио¬ нальное деление, занимают значительную часть сочинения, они встречаются и в других его книгах. Что касается книги И, то здесь следует сделать два замечания. Первое относится к первой части книги II, состоящей из задач указанного типа, к их общему и част¬ ным правилам решений, из которых следует, что деление на дробь производилось по обычному алгоритму, а не по правилу, изложенному в книге I. Другое замечание относится ко второй части книги, состоящей из задач 32—36 на определение стоимости покупаемого предмета. Они рассматриваются как задачи на деление: сначала задачи сво¬ дятся к делению на целое число, затем на дробное, а далее задача обобщается и сводится, вообще говоря, к системе трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Однако решение ее единст¬ венное и находится также делением: подробнее об этом говорится в ч. III. Эти задачи были, вероятно, помещены в книгу II позже, так как они не отвечают ее заголовкам и включены потому, что нахождение искомой величины х делением х=А!п основано на пропорциональности: х : 1 —А : п. Действительно, в книге III «Деление по ступеням» («Чуй-фэнь»), которая начинается зада¬ чами на деление пропорционально и обратно пропорционально за¬ данным числам, содержатся задачи на простое и сложное тройное правило. В сопровождающих правилах специально указывается случай умножения А на 1. Книга IV «Шао-гуан» знакомит нас с древнекитайским методом извлечения квадратных и кубических корней, который возник благодаря применению формулы разложения квадрата и куба на счетной доске, где обычно производились вычисления. В методе содержится возможность обобщения на случай решения полного квадратного и кубического уравнений и, шире, начала так назы¬ ваемого метода Руффини—Горнера (см. подробно об этом в ч. IV). В начале книги IV находятся задачи, содержащие алгоритм деления на дробь, данные в своеобразной геометрической форме, относительно которых можно сделать различные суждения (см. об этом в ч. ш). Здесь же мы встречаемся с «египетскими» аликвот¬ ными дробями, долями единицы, но не с египетскими приемами вычислений. В книге V «Оценка работ» («Шан-гун») вычисляются объемы геометрических тел: параллелепипеда, полных и усеченных пира¬ миды и конуса, цилиндра, обелиска и некоторых призматических тел. Сферы здесь нет, хотя по последним задачам книги IV и VI 31
можно видеть, что ее объем вычислять умели — еще одна демон¬ страция независимости книг друг от друга. Вышеуказанным задачам предшествуют задачи на определение объемов различных гидротехнических сооружений вместе с рас¬ четами рабочей силы, требующейся для выполнения строитель¬ ства объекта, в зависимости от разного рода условий и т. п. Ана¬ логичные задачи содержатся в вавилонских текстах, сравнение с которыми позволяет отличить и в этой книге более древнюю часть от добавлений, сделанных более поздними составителями. Книга VI «Пропорциональное распределение» в своей первой части по содержанию перекликается с книгой III: в ней также по¬ мещены задачи на пропорциональное деление и простое и сложное тройное правило. Но условия этих задач более сложные, чем в книге III, и требуют иногда довольно больших вычислений. Помимо этого книга VI содержит еще ряд арифметических задач, например так называемые задачи на совместную работу, задачи на прогрессии и др. В последних мы обнаруживаем решение, по идее аналогичное решению одной вавилонской задачи подобного рода. В этой же книге мы встречаемся с примерами округления чисел, которое отчасти применялось еще в книге V. Книга VII «Избыток—недостаток» и книга VIII «Правило „фан-чен“» могут быть названы в противовес предыдущим алгеб¬ раическими. Это наиболее красивые книги сочинения. Содержание их математически однородно, вероятно, они относятся' к более поздним частям трактата. Например, книга VIII содержит задачи, которые сводятся к системам линейных уравнений, решенных с помощью правила «фан-чен», по своей идее довольно близкого к методу Гаусса. Рассматриваются только совместные системы, корни только положительные, и системы составляются не более чем из пяти уравнений. Среди них есть неопределенная система пяти линейных уравнений с шестью неизвестными, причем при¬ водится минимальное положительное целое решение. В этой же книге мы встречаемся с другим замечательным от¬ крытием древности: отрицательными числами, которые получаются уже при приведении системы к каноническому виду, а также при преобразовании первоначальной матрицы к треугольной. Если книга VIII является вершиной, которой достигла в своем развитии математика Китая к началу нашей эры, то книга VII позволяет взглянуть на сам процесс этого развития: она показы¬ вает «лабораторию» древнего китайского математика. Книгу VII можно разделить на две части, первая из которых посвящена задачам, сводящимся к одному частному виду системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, когда коэффи¬ циент при у равен —1. Вторая часть состоит из разнообразных задач, решенных с помощью метода двух ложных положений. В обоих случаях даны правила, конструирующие искомые вели¬ чины из таблиц, составленных из двух пар чисел, взятых или же полученных из условия задачи. 32
Разработка^этих Двух типов задач в виде некоторого таблич¬ ного способа, иначе говоря, принцип объяснения разных правил под одним заголовком, показывает характерную особенность и уровень математического мышления древнего китайского мате¬ матика. Для китайской математики свойственно ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление. Каждый вопрос математик, старался свести к правилу, состоящему из последова¬ тельного выполнения некоторого числа шагов. Для производства вычислений в древнем Китае пользовались счетной доской. Описа¬ ния ее и правил действий с целыми числами в трактате нет, по¬ скольку, вероятно, доска была широко известна и правила дей¬ ствий на ней объяснялись устно. Числа на доске изображались с помощью счетных палочек по определенным принципам (см. подробно далее ч. II). Таким образом, китайский математик, для которого счетная доска была своеобразной счетной машиной, стремился решение проблемы выразить в виде общего правила, четко определяющего ход конструирования искомой вели¬ чины. Укажем, наконец, на книгу IX «Соотношение.между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике» («Гоу-гу»), которая содержит геометрические задачи, решаемые на основании теоремы Пифагора и свойств подобных прямоугольных треугольников. Книга интересна тем, что здесь алгебра систематически применя¬ ется к решению геометрических задач. Китайцам были известны формулы для пифагорейских чисел, т. е. решение уравнения x2+y2=z2‘ в целых числах. Этой проблеме посвящены задачи 14 и 21 книги IX «Математики. . .». Эта книга интересна еще тем, что в ней решение квадратного уравнения про¬ изводится не только обычным образом, но и численным методом, являющимся обобщением извлечения квадратного корня на слу¬ чай нахождения корня полного квадрггного уравнения. Эта идея была затем разработана китайскими математиками далее и наи¬ более полное развитие получила в трудах математиков XIII — XIV вв. Последние задачи книги IX показывают, что измерением расстояний до недоступных предметов, а также их размеров зани¬ мались в древнем Китае еще с давних пор. Это также было излюб¬ ленным занятием^средневековых вычислителей. Обзор содержания трактата свидетельствует о традиционном, практическом принципе расположения материала по книгам: измерение полей, установление эквивалентности между различ¬ ными видами зерновых культур, распределение доходов, оценка земляных работ и т. д. Происходит это потому, что древние мате¬ матические тексты предназначались для чиновников различных ведомств, которые должны были уметь распределять и подсчиты¬ вать налоги, измерять земельные участки, вести расчеты при строи¬ тельстве и т. п. Из обзора также видно, каким образом обрабаты¬ вался математиками этот материал, дополняясь по принципу един¬ ства математического метода задачами, не носящими практиче¬ ского характера. 3 8« Hi Веревкина 33
Заметим, 4to комментарии Лю Хуэя носят самостоятельный характер и отличаются своей оригинальностью и глубиной от других более поздних комментариев, принадлежащий Ли Чунь- фэну. 4. Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии Лю Хуэй, математик III в. н. э., известен как основной ком¬ ментатор «Математики в девяти книгах». Комментарий Лю Хуэя имеет самостоятельное значение: в нем содержатся оригинальные для китайской математики идеи предела, методы геометрической алгебры, десятичные дроби и т. д. [110, с. 62 и след.]. «Математи¬ ческий трактат о морском острове» («Хай дао суань цзин») [17,133], вошедший в математическое «Десятикнижье» третьим по порядку вслед за «Математикой в девяти книгах», также был написан в ка¬ честве дополнения к «Математике», именно к трем ее последним задачам из области практической геометрии (см. далее ч. V). Он состоял из задач практической геометрии и был оформлен сна¬ чала в виде дополнительного десятого цзюаня древнего сочинения. Заголовок этого дополнения Лю Хуэя, подобно другим заглавиям девяти книг «Математики», обозначал метод решения: чжун-ча, т. е. «двухслойная разность» (смысл термина пояснен далее). В дальнейшем, однако, задачи Лю Хуэя были выделены в само¬ стоятельный трактат, который и получил название по первой за¬ даче, составленной Лю Хуэем. В ней измеряется высота морского острова и расстояние от наблюдателя до него. В математическом «Десятикнижье» трактат Лю Хуэя помещен с комментарием Ли Чунь-фэна, который представляет собой вычисления по пред¬ ложенным автором трактата правилам. В дошедшем до нас варианте «Математического трактата о мор¬ ском острове» содержится всего девять задач, каждая из которых снабжена ответом и правилом решения, представляющим собой алгоритм для искомых величин в общем виде. Весьма возможно, что в первоначальном тексте были чертежи, но теперь они отсут¬ ствуют. (Хорошую реконструкцию чертежей см. в [133].) По языку текст Лю Хуэя вполне идентичен тексту классиче¬ ской «Математики в девяти книгах», что понятно. Каждая задача начинается с типичного оборота «Имеется. . .» (цзинъ ю .. .), с которого начинаются все задачи «Математики»; терминология вполне аналогична употребляемой в «Математике». Однако Лю Хуэй предлагает еще специальные новые термины, с помощью которых он выражает свой метод решения данного класса задач. Формулировка задач достаточно лаконична, задачи составлены по мере их усложнения. Для решения задач практической геометрии в «Математике в девяти книгах» используют подобные прямоугольные треуголь¬ ники. Для решенйя задач более общего характера Лю Хуэй поль¬ зуется подобием произвольных треугольников, которое он вывел 34
из подобия прямоугольных треугольников, пользуясь при этом алгебраическими методами. Метод чжун-ча был заимствован из древнекитайской астроно¬ мии, где он употреблялся для определения высоты Солнца над го¬ ризонтом. Свою первую задачу Лю Хуэй сформулировал подобно астрономической задаче, как она описана в «Математическом трак¬ тате о чжоу-би» (см. о первой задаче Лю Хуэя подробно в ч. V). Древняя астрономическая задача была поставлена так, что реше¬ ние лишь приближенно давало значения искомых величин. Лю Хуэй поставил задачу точно, и его математическая задача имеет точное решение. Лю Хуэй обобщил такую задачу, рассмотрев различные виды измерений на местности. В «Математике в девяти книгах», в ее трех последних задачах, представлены три основных вида измерений на местности: при по¬ мощи шеста, при помощи угольника 4 и при помощи веревки. Все эти типы измерений проведены и у Лю Хуэя. Из девяти задач трактата в задачах 1 и 2 измерения проводятся с помощью шеста, в задачах 4, 5, 7—9 — с помощью угольника, в задачах 3 и 6 — с помощью веревки. Кроме того, Лю усложнил задачи, тем, что проводил наблюдения с несколькими измерениями. В его задачах употреблены пара шестов (чжун бянъ), пара угольников {си цзюнь) и проведено несколько наблюдений с помощью соединяющей шесты веревки (лянъ су). Таким образом, производится от двух до четырех наблюдений. Чаще всего проводятся измерения при помощи уголь¬ ника. Большая часть задач Лю Хуэя с тремя измерениями: два измерения в задачах 1, 3, 4; три измерения в задачах 2, 5, 6, 8, 9; четыре измерения в задаче 7. Эти древнекитайские задачи практи¬ ческой геометрии разделяются также по объектам измерения: вы¬ числяется либо высота (острова, сосны, пагоды), либо ширина (стены города, реки), либо глубина (ущелья, ямы). Чаще всего в задачах трактата Лю Хуэя измеряется ширина. Исходя из ука¬ занных параметров, типичной задачей оказывается задача 8: в ней определяется ширина переправы при помощи угольника, при этом производится три измерения. Напомним, что в задачах «Матема¬ тики в девяти книгах» производится одно измерение при помощи одного инструмента и рассматривается одна пара подобных прямо¬ угольных треугольников, определяется одна неизвестная вели¬ чина. У Лю Хуэя в первых трех задачах находится две искомых величины, это образцовые задачи на метод чжун-ча в его прямом значении. Но другие задачи, в которых определяется лишь одна величина, свидетельствуют о том, что этот метод понимался более широко. Упомянем, что И. Миками понимал под термином «чжун- ча» двойное отношение пропорциональных сторон, тогда как Цянь 4 Китайское понятие угольника: две линейки под прямым углом, которые носят название гоу и гу — катетов прямоугольного треугольника. Обычно катет гу вертикален и имеет постоянную для данной задачи высоту (по¬ добно шестам одинаковой высоты); Катет гоу горизонтален, когда наблю¬ датель смотрит через «конец» катета гу, на нем откладывается отрезок от прямого угла по его длине. 35 г*
Бао-цун понимает этот термин иначе (см. ч. V). Действительно, отношение пропорциональных сторон в дальнейших задачах уже не фигурирует, и решения задач основаны на подобии произволь¬ ных треугольников и пропорциональности их сторон. Эти девять задач Лю Хуэя сыграли, по-видимому, большую роль в науке. В сочинении Цинь Цзю-шао XIII в. «Девять книг по математике» мы снова находим задачи практической геометрии (свитки 7 и 8 книги Циня, см. о них далее в ч. V), которые средне¬ вековый автор посвящает основному своему методу численного решения уравнений высших степеней. Однако больше половины задач Циня решены при помощи метода гоу-гу и чжун-ча, т. е. та¬ ким же способом, каким пользовался в свое время Лю Хуэй. У Цинь Цзю-шао сохранена даже древняя терминология. Например, он употребляет в одной из задач выражение «пара шестов», хотя речь идет не о шестах. 5. Метрологический трактат Сунь-цзы После того как было составлено фундаментальное в своей об¬ ласти Сочинение «Математика в девяти книгах», включающее все многообразие математических знаний древних китайцев, которые они положили в дальнейшем каждому грамотному человеку в его научный багаж, — после этого через несколько столетий — срок достаточно большой по сравнению с жизнью одного поколения — был составлен трактат Сунь-цзы [10, 11, 49]. Достоверная история трактата Сунь-цзы неизвестна. Об авторе его нет никаких сведений. Однако историки точно установили, что это сочинение не принадлежит знаменитому древнекитайскому полководцу V в. до ii. э. Сунь-цзы. Датировка сочинения прибли¬ зительна. Ориентиром являются задачи 4 и 5 последней книги трак¬ тата: в первой из них идет речь о буддийской книге, во второй — о шашках индийского происхождения, терминология которых связана с буддийской культурой. Начало проникновения послед¬ ней (I в. н. э. и, возможно, несколько позже) — наиболее ранняя возможная дата сочинения. Однако известно, что буддизм, встре¬ ченный враждебно конфуцианцами, широкое распространение получил лишь при Танской династии (VII—IX вв.). Наиболее поздняя дата трактата Сунь-цзы — дата «Математического трак¬ тата Сяхоу Яна» (примерно V в. н. э.) из того же «Десятикнижья». В предисловии сочинения Сяхоу Яна упоминается имя Сунь-цзы. Большинство историков полагают, что книга Сунь-цзы написана была примерно в III—IV в. н. э. [147, 176]. Трактат Сунь-цзы в ряду сохранившихся древнекитайских текстов представляет собой как по содержанию/~так и по времени составления непосредственно’следующее за «Математикой в девяти книгах» звено. И это звено находится в общей цепи официального развития науки старинного" Китая. Ведь со времени составления «Математики в девяти^книгах» прошло^несколько столетий. Хань- ская империя перестала существовать, она распалась на ряд от¬ 36
дельных феодальных княжеств. Какие новые проблемы появля¬ ются в математике этого периода? Каково дальнейшее развитие методов, изложенных в «Математике»? «Математический трактат Сунь-цзы» до некоторой степени дает ответ на эти вопросы. Выше (см. п. 3 и 4) уже было написано о комментариях Лю Хуэя к «Математике в девяти книгах». К сожалению, сохранились только эти комментарии, а не все труды названного математика, которые, по всей вероятности, существовали и которые по своим методам, как показывают комментарии, резко отличаются от офи¬ циальной литературы. Методы Лю Хуэя ближе к греческим, чем к китайским, хотя они и приложены к традиционным древнекитай¬ ским задачам. В китайской математике также имела место разра¬ ботка геометрической аксиоматики, правда, пока об этом мало известно. Можно предположйть, что математическое доказатель¬ ство в работах древних китайских ученых все же имело место. Другое дело, что в официальных руководствах, предназначенных для обучения будущих чиновников, не полагалось приводить тео¬ ретические рассуждения, а требовалось писать их по определен¬ ному образцу. Составитель трактата, который оказался в положении автора — личности совершенно неизвестной, — имевшего перед глазами высокочтимую «Математику в девяти книгах», должен был придер¬ живаться традиционной проблематики и традиционной формы изложения материала. Действительно, в задачах Сунь-цзы те же пропорции, прогрессии, извлечение корней, линейные уравнения. Те же правила вычисления площадей и объемов и даже то же число тс=3, хотя к этому времени были найдены другие, более точные значения этого числа. Кажется, что Сунь-цзы не особенно утруждает себя составлением новых задач и ряд задач берет просто из «Математики». Таковы задачи 1—4 на действия с дробями, а также 5—8 на обмен зерна из средней книги трактата и др. [49, с. 28—29]. Заимствуя задачи из «Математики в девяти книгах», Сунь-цзы старается главным образом подробно изложить правило решения данной задачи, записанное в «Математике» лаконично, так как, возможно, со временем текст правила стал без пояснений непонятен. Отметим сразу же, что эти детальные пояснения пред¬ ставляют для исследователя ценный материал, восполняющий про¬ белы относительно, вычислительной техники древних китайцев, о которой в классической «Математике» специально не говорилось, хотя она была написана как руководство к действию на счетном приборе. Очевидно, такие пояснения либо давались устно, либо содержались в других текстах, но подобные книги до нас не до¬ шли. При первом~сравнении внешнее сходство с «Математикой в де¬ вяти книгах» очень большое: все те же книги-цзюани, в которых собраны задачи в сопровождении ответов и рецептурного правила решения, без сообщения каких-либо доказательств. Заметим только, что традиционная манера письма не составляла особен- ность^Сунь-цзы среди других древнекитайских авторов. Анало¬ 37
гично написаны трактаты Чжан-цзяня, практический трактат пяти ведомств и т. д. При детальном исследовании «Математического трактата Сунь- цзы» открываются удивительно красивые идей, а, казалось бы, неинтересные заимствования из «Математики» позволяют выяснить многие новые особенности арифметики и алгебры древнего Китая. Так, способы решения задач 1—4 отчетливо поясняют технику оперирования с дробями на счетной доске, о чем по «Математике» можно лишь догадываться. Текст Сунь-цзы подтверждает рекон¬ струкцию понятия числа в древнем Китае, проведенную автором настоящей работы по тексту «Математики», но вместе с тем суще¬ ственно уточняет ее [11, с. 9 и след.]. Дробь у Сунь-цзы пони¬ мается как пара равнозначных чисел, над которыми на доске про¬ изводятся действия, и получается она в результате деления, а не особого «объединения в одно [число]», как об этом говорилось в «Математике в девяти книгах». Таким образом, у Сунь-цзы под¬ черкивается природа рационального числа, его происхождение: выполнимость операции деления в числовом множестве (поле). Другая группа заимствованных задач 5—8 на пропорции, воз¬ никающих при обмене зерна, по существу, является цепочкой примеров, последовательно вводящих десятичные дроби (см. под¬ робно ч. II). Именно только детальное сравнение текстов решений, помещенных к этим задачам в «Математике в девяти книгах» и в трактате Сунь-цзы, помогло выяснить картину. Ведь подробных пояснений, вообще никаких пояснений на этот счет в древних тек¬ стах не имеется. Для объяснения происхождения десятичной дроби Сунь-цзы пользуется, как мы полагаем, также операцией деления. В композиции трактата Сунь-цзы имеются существенные отли¬ чия от «Математики в девяти книгах», хотя, как мы отметили выше, на первый взгляд они текстуально аналогичны. Девять книг «Мате¬ матики» претендовали на всеобъемлющее содержание. Число «девять» в китайском фольклоре является предельным, означаю¬ щим «много», подобно русскому «семь». Примерами могут служить девять слоев неба, девятиголовый змей, девять ворот во дворце небесного владыки, девять сыновей мифической Нюйвы и т. д. Употребление в заголовках числа девять в таком смысле было тра¬ диционно. Так, у «первого китайского поэта» Цюй Юаня (III в. до н. э.), в творчестве которого нашли отражение многочисленные народные легенды и сказания, есть произведения «Девять напе¬ вов», «Девять элегий». В отличие от «Математики» трактат Сунь-цзы не претендует на такую широту. Цели Сунь-цзы были иными, чем составителей «Математики». Сунь-цзы старался лишь дополрить основное сочи¬ нение и объяснить то, что со временем стало непонятным. Если в «Математике» на каждое правило приводилось по нескольку задач и задачи объединялись в книги-цзюани с общим заглавием, характеризующим так или иначе класс задач, то трактат Сунь-цзы построен иначе. 38
Композиция проста: три книги-цзюаня содержат 64 задачи, которые целиком размещены во второй и третьей из них. Первая же книга состоит из таблиц разного рода. Книги Сунь-цзы никак не озаглавлены, каждая задача у Сунь-цзы самостоятельна, она пред¬ ставляет собой класс задач, с которыми мы встречались в «Мате¬ матике» или, напротив, которых не оказалось в ней. , В качестве дополнения к «Математике» следует назвать задачу на остатки (систему сравнений первой степени с одним неизве¬ стным) — задачу 26 последней книги (подробно см. в ч. III). Это самая знаменитая задача, которая не только сделала имя Сунь-цзы широкоизвестным, но и представляла на Западе одно из китай¬ ских чудес. Весьма вероятно, что эта задача была широко изве¬ стна и ранее, но она не нашла себе места в четко построенной «Ма¬ тематике в девяти книгах». Хотя автор трактата ставил перед собой скромные цели, он написал выходящее за пределы простых пояснений и дополнений, вполне самостоятельное сочинение, в котором нашли отражение современные ему математические методы. Следует отметить новизну в постановке вопроса в задаче 35 последней книги, в которой находится наименьшее общее кратное трех чисел. Происхождение этого понятия теории чисел, как по¬ казали задачи 1—11 книги IV «Математики в девяти книгах», тесно связано с приведением дробей к общему знаменателю. В этих задачах изложен оригинальный метод нахождения наименьшего общего кратного ряда чисел на примере отыскания наименьшей общей меры для последовательностей единичных мер (1 !п) (под¬ робно см. ч. III). У Сунь-цзы проблема выделена в чистом виде: по существу, отыскивается наименьшее общее кратное целых чисел. Схема вычислений аналогична приведенной в «Математике», но из-за взаимной простоты чисел она значительно упрощается. Для трактата Сунь-цзы вообще характерно упрощение условий задач. Из двух задач на определение среднего арифметического трех дробей из «Математики» Сунь-цзы считает нужным выбрать менее сложную. Для демонстрации метода фан-чен решения линей¬ ных систем Сунь-цзы берет одну из простейших систем, решенных в «Математике в девяти книгах», и при этом еще упрощает ее тем, что делает решение ее целочисленным. Для этого он несколько изменяет свободные члены. Относительно задачи 28 средней книги трактата Сунь-цзы, представляющей класс задач на «избыток-недо¬ статок» (задачи 1—8 книги VII «Математики»), заметим, что и она предельно проста. Во всех таких случаях решение, однако, про¬ ведено полностью, хотя с нашей точки зрения при этом оказыва¬ ются лишние действия. Эта манера изложения: предельная про¬ стота условия и образность, подобранные числовые данные, под¬ робное, полное описание решения согласно общему методу, изло¬ женному в «Математике», — была продиктована, видимо, педаго¬ гическими целями. В подавляющем большинстве случаев Сунь-цзы сообщает все промежуточные результаты вычислений. Вообще язык Сунь-цзы по сравнению с лаконичным изложением «Математики»
весьма живой. Некоторые его задачи напоминают нам красочные индийские формулировки: например задача 17 последней книги трактата, построенная в виде диалога между женщиной, моющей посуду, и перевозчиком; задача 34. той же книги, описывающая степени числа 9. Трактат Сунь-цзы заслуженно считают наиболее ранним из дошедших до нас метрологических текстов. К метрологии отно¬ сятся не только таблицы из первой книги трактата, но и, по суще¬ ству, как выяснилось, геометрические задачи, а также задачи, связанные с употреблением десятичных метрологических дробей. Числовые таблицы, составляющие первую книгу трактата Сунь- цзы, являются отличительной особенностью этого древнекитай¬ ского сочинения. Известно, что вавилоняне широко пользовались числовыми таблицами, поскольку основание их системы было весьма велико. Трактат Сунь-цзы показывает, что и в древнем Ки¬ тае широко их применяли. Заметим, что чисто числовые таблицы даны в описательной форме. Деление, например, представлено как равное распределение некоторого количества А между п людьми. Содержание первой книги трактата Сунь-цзы следующее. Прежде всего приводятся канонические таблицы мер длины, веса и емкости. Сообщаются приближенные значения числа тс=3 и удельный вес некоторых металлов и других веществ. Далее кратко сформулирован позиционный принцип представления чисел на счетной доске при помощи счетных палочек, а также правила умножения и деления целых чисел на счетной доске. Затем следует ряд отношений, применяемых при обмене зерна различных видов. Остальные таблицы можно разделить на три группы. Первая из них описывает по существу переход от шкалы, разделенной на 10, 9, . . ., 5 делений, к шкале с удвоенным количеством делений. Вторую назовем «расширенной таблицей умножения». В ней вычисляются произведения вида т2п2 и шп2, где п=9, 8, . . . ., 1, а т—п, . . ., 1. Третья таблица содержит произведения (32.34).(3*4.3Ю) и 2*3Я+1, где п=1, . . ., 11. По-видимому, составление таблиц постепенно совершенство¬ валось, одни таблицы строились на основании других. (Конструк¬ ция расширенной таблицы умножения «Девятью девять».) Все эти таблицы содержатся в более поздних математических текстах Дуньхуанских пещер тысячи будд, которые ныне хранятся в Па¬ риже [93; 94, с. 22—39]. Некоторые из мер длины, веса и емкости уже встречались в «Математике в девяти книгах», но соотношения между ними можно было восстанавливать лишь по контексту задач. Метроло¬ гические таблицы Сунь-цзы не являются простым сводом изве¬ стных ему соотношений мер, но несут на себе следы специальной обработки. Мы их назвали каноническими, так как в основу таб¬ лиц положена десятичная шкала для перехода от одних названий к другим, а для минимальных единиц, которые мы назвали эле¬ ментарными, были сформулированы определения. Эти таблицы используются как для построения десятичных дробей, так и для 40
образования систем наименований старших десятичных разрядов, которых у Сунь-цзы две (подробно см. ч. И). Обильный практический материал, который поставляет метро¬ логия, с одной стороны, дал возможность усовершенствовать вы¬ числительную технику. И эти новые достижения, с другой сто¬ роны, дали возможность прийти к более совершенным методам, решающим более широкий класс задач. Сама методология изме¬ нилась. Если раньше древнекитайские ученые выражали точно результат вычисления (в виде обыкновенных дробей), то теперь точность переносится в область интерпретации. Раньше выбира¬ лась идеальная модель, далекая от реального сооружения, на¬ пример плотины, но проводились точные вычисления по точной формуле (вплоть до дробной части человека!). Теперь выбирается более точная «физическая» модель, а вычисления могут прово¬ диться приближенно (см. ч. V). 6. Математический трактат Чжан Цю-цзяня Трактат Чжан Цю-цзяня, входящий в математическое «Десяти¬ книжье», был написан примерно через 200 лет после написания «Математического трактата Сунь-цзы» [51 ]. Его автор, так же как и Сунь-цзы, испытал сильное влияние «Математики в девяти книгах», но представил сочинение, имеющее самостоятельное значение. Развивая методы предшествующей математической ли¬ тературы, Чжан Цю-цзянь уделял в ряде случаев внимание тем из них, которые оставил в стороне Сунь-цзы и которые в дальней¬ шем стали объектами пристального изучения: ряды, уравнения высших степеней, теоретико-числовые проблемы и др. Таким обра¬ зом, трактат Чжана существенно восполняет наше представление о развитии математики в Китае за время между древней класси¬ ческой «Математикой в девяти книгах» и работами китайских ал¬ гебраистов XIII—XIV вв. Не сохранилось почти никаких сведений об авторе данного трактата. Подпись под предисловием «С уважением Чжан Цю- цзянь из Цинхэ» лишь указывает, из какого рода знатных людей он происходил. Большинство математиков относят текст к V в. [15, с. 80; 135; 150, с. 33]. Трактат Чжан Цю-цзяня — второй по размеру текст в «Деся¬ тикнижье» после «Математики в девяти книгах»; он состоит йз трех книг: первой, средней и последней (подобно трактату Сунь- цзы). Некоторое количество задач утеряно, так как текст средней книги оборван, а последняя начинается с ответа к задаче, условие которой отсутствует. Вообще средняя книга выделяется наимень¬ шим количеством задач. В ней всего 22 задачи, тогда как в первой их"32, а в последней 38. Тем не менее даже неполный текст сочине¬ ния Чжан Цю-цзяня гораздо~болыпе всех остальных трактатов «Десятикнижья». Например, в трактате Сунь-цзы всего 64 задачи, в «Математическом трактате пяти ведомств» — 67. 41
Однако задач в трактате Чжан Цю-цзяня в три раза меньше, чем в «Математике в девяти книгах» (92 против 246), хотя по ко¬ личеству страниц иероглифического текста они соизмеримы. Зна¬ чительную часть текста трактата Чжайа составляют вычисления цао, которые помимо правил-алгоритмов ту также сопровождают каждую задачу. Этим трактат отличается от других частей сбор¬ ника и похож более на сочинения поздних авторов, например на книгу Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике» (XIII в.). Применение правила, описанного в общем виде, к конкретным числам задачи осуществлено не автором трактата, но неким астро¬ номом Лю Сяо-сунем в следующем столетии. Его имя упоминается на титульных листах каждой из книг трактата Чжана вместе с именами Чжэнь Луаня и Ли Чунь-фэна [100, т. II, с. 320]. Сам Чжан Цю-цзянь в предисловии к трактату обещает учащимся устно пояснять методы, которые, по его словам, «не сложны, но докучливы многократно» [51, с. 28]. На самом деле заметна раз¬ ница в стилях, которыми написаны правила и вычисления. Пра¬ вила лаконичны, вполне в духе и стиле «Математики в девяти кни¬ гах». Вычисления же подробны и сообщают промежуточные ре¬ зультаты (как в книге Сунь-цзы). Иногда они даже явно расхо¬ дятся с правилами, указывая дополнительно вычисление величины, о которой, вообще говоря, в задаче не спрашивается и которой соответственно нет в ответе (таким образом обстоит дело в задаче 25 первой книги), или избирается несколько отличный от правила ход решения на отдельном этапе (задачи И, 18, 21 первой книги). Указанные примеры подтверждают, что правила и вычисления принадлежат разным лицам. Некоторые исторические хроники приписывают авторство вычислений и правил целиком Чжэнь Луаню. Вероятно, следует согласиться с Цянь Бао-цуном [100, т. II, с. 325], что это мнение ошибочно. Вряд ли текст задач был дан древним автором без правил — это противоречило бы всем традициям составления трактатов. Как бы ни был решен вопрос об авторстве отдельных частей со¬ чинения, в основном вычисления проведены очень точно и строго по данным правилам. Таким образом, ими можно пользоваться как теми устными объяснениями автора трактата, которые он обе¬ щал давать своим ученикам по ходу вычислений на счетной доске, которой обычно пользовались в древнем Китае. Комментарий Ли Чунь-фэна к трактату Чжана незначителен и не очень связан с текстом. Он ийтересен лишь в той части, кото¬ рая относится к многочисленным задачам на тройное правило: (24—25, 27—28, 30-31 первой книги; 16-18, 23, 26-29, 33, 35 последней книги). Ли Чунь-фэн предлагает унифицированную тер¬ минологию для такого рода задач. - Если трактат Сунь-цзы знаменит своей задачей об остатках, то трактат Чжан Цю-цзяня — задачей на неопределенное урав¬ нение. Это последняя задача в трактате (38-я последней книги). «Имеются: 1 петух стоимостью в 5 цяней, 1 курица стоимостью 3 цяня, 3 цыпленка стоимостью в 1 цянь. Всего на 100 цяней ку¬ 42
пили 100 птиц. Спрашивается, сколько было каждых в отдель¬ ности: петухов, кур, цыплят?» [51, с. 59—60]. Обозначив искомые величины через х, у, z соответственно, можно записать условие задачи в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными 5x-{-3y+z/3 = 100, x+y-{-z=100. Эта система эквивалентна неопределенному уравнению 7х-\-Ау = 100. Отсюда 100 — 1х 0~ 7 У — 4 = 2j)—4 *’ z — 100 — (х -J- у) — 75 Если положить х=4к, т. е. г/= 25 — lky z = 75 -f- ЗА:, то при & = 1, 2, 3 у, z — положительные, целые. Подлинный текст задачи сопровождается комментарием Се Ча- вэя эпохи Сун. Вычисления проводятся по предложенному им правилу, которое, однако, неверно. Задача подробно рассмотрена в работах [130; 135]. Другими характерными для Чжан Цю-цзяня задачами яв¬ ляются задачи на прогрессии. Они также отмечаются историками математики. Действительно, в трактате Чжана впервые в истории китайской математики мы находим формулу суммирования неко¬ торого числа членов арифметической прогрессии, хотя такое пра¬ вило, вероятно, было известно и ранее. В вавилонских текстах оно встречается задолго до этого времени. Главное значение этих задач заключается в том, что методы их решения в эпоху Чжан Цю-цзяня стали прямыми, алгебраическими в отличие от преж¬ них, косвенных и арифметических. К такому выводу мы прихо¬ дим, сравнивая задачи на прогрессии, содержащиеся в «Матема¬ тике в девяти книгах» и в трактате Чжана (см. далее об этом под¬ робно в ч. III). Следует отметить, что задачи, аналогичные задачам на прогрессии «Математики», имеются в немалом количестве в трак¬ тате Чжана. Древним автором помещен ряд задач на пропорцио¬ нальное деление, когда в роли пропорциональных чисел выступали члены прогрессии (например, задача 1 последней книги). Однако уже в этих задачах заметен усиленный интерес к числовым рядам. В ряде задач на пропорциональное деление в качестве пропорцио¬ нальных чисел автор избирает то ряд четных чисел (задача 13 средней книги), начиная его с нуля, то ряд чисел, кратных трем (задача 17 первой книги), а то берется последовательность 14, 9, 5, 2, 0, у которой лишь вторые разности постоянны и равны 1 (задача 17 первой книги). Чжан Цю-цзянь приводит задачу, анало¬ гичную задаче 19 книги VI «Математики в девяти книгах», у ко¬ 43
торой имеется также вавилонский вариант. Эта задача интересна тем, что в ней взаимодействуют с разностью прогрессии, вычисля¬ емой фактически как тангенс угла наклона прямой, определенной линейной зависимостью членов арифметической прогрессии (см. далее рис. 9). Берется разность некоторых двух усредненных членов прогрессии и находится ее отношение к числу членов, содер¬ жащихся в данном промежутке, которое может быть и дробным [50, с. 555—557]. Чжан Цю-цзянь владеет подобными методами, он составляет задачу 18 первой книги, несколько изменив условия более древней задачи. Таким образом, мы убеждаемся, что автор данного трактата, как и Сунь-цзы, активно пользовался материалом классической «Мате¬ матики в девяти книгах», но в отличие от Сунь-цзы стоял на дру¬ гих методологических позициях. Эти его математические вкусы ярче всего выразились в арифметических вопросах. Новые задачи Чжана отличаются от прежних тем, что при их решении пользуются вполне отчетливым понятием разности прогрессии, формулой суммы п членов ее и даже понятием SJn «усередненной нормы», которая помогает задачу на определение неизвестного числа членов прогрессии свести к решению не квадрат¬ ного, а линейного уравнения. Это задачи 22 и 23 первой книги, их форма традиционна (ткачиха работает со^ скоростью, измеряе¬ мой прогрессией); задача 1 средней книги и последняя задача первой книги. В отличие от Сунь-цзы, который строил на метрологической основе систему десятичных дробей, Чжан Цю-цзянь отказался от употребления последних. Он предпочитал рассматривать метроло¬ гические величины, которые для Сунь-цзы были десятичными дро¬ бями (если, разумеется, шкала мер была десятичной), как обыкно¬ венные дроби. Например, 1 цзинъ 9 ланов (задача 29 последней книги) [51, с. 57] — это 25/16 цзиня, так как 1 цзинъ = 16 ланам (меры веса). Поэтому при выражении этой величины и аналогичных ей в других задачах Чжан употребляет тот же термин приведения к общим долям {тун фэнь), что и для обыкновенных дробей. Чжан Цю-цзянь придает большое значение учению об обыкно¬ венных дробях. Его трактат начинается с задачи на умножение и деление дробей. Быть может, к подробному разъяснению этих двух операций его побудил пример Сунь-цзы, который рассмотрел два первых действия, сложение и вычитание дробей. Напомним, что все операции с дробями были описаны в «Математике в девяти книгах». Однако еще в европейском средневековье эти дайствия считались непреодолимо трудными для обучавшихся математике. Возможно, и в древнекитайской математической литературе также потребовались дополнительные разъяснения, которые и произвели в своих сочинениях Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь. В задачах на дроби Чжан Цю-цзянь производит умножение и деление дробей, гораздо более сложных, нежели в «Математике». Его дроби отвлеченные и правило деления современное, отличное от описанного в «Матема¬ тике». Он не приводит дроби к общему знаменателю, с тем чтобы 44
затем делить их числители, но умножает на перевернутую дробь, как в дальнейшем поступали многие средневековые математики в странах ислама и Европы. Поэтому историки математики высоко оценивали примеры деления дробей, приведенные Чжаном, пио¬ нером этого усовершенствования. Задачи расположены по мере усложнения, и первые три представляют умножение целого числа и дробного (смешанная дробь) на дробное, в том числе и на сложное дробное число, у которого дробная часть составлена из двух дробей. Следующие три задачи аналогично представляют деление дробного числа, в частности сложного дробного, на целое и дроб¬ ное число. О дробях и их природе древний автор рассуждает еще в преди¬ словии. В первых строчках он пишет: «Тот, кто изучает [искусство] счета, не опасается, что трудными окажутся умножение и деление дробей, но боится, что трудным будет приведение дробей к общим долям». Здесь же Чжан разъясняет, как при делении целых чисел следует «составлять» дробь из имеющихся на счетной доске чисел, если при делении будет остаток. В качестве числителя берется остаток от делимого, в качестве знаменателя — делитель. Это то са¬ мое пояснение, которого не хватало читателю «Математики в де¬ вяти книгах», когда он в ней встречался с фразой: «Объедини делимое и делитель в одно [число]». Кстати, эта фраза также часто встречается в трактате Чжана, а Сунь-цзы, как было отме¬ чено выше, ее видоизменил. Далее Чжан пересказывает алгоритм попеременного вычитания, так называемый алгоритм Евклида, для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, который был изложен в «Математике». Далее в предисловии сказано о смы¬ сле термина тун фэнь ней цзы как обратного процесса превращения л Ъ g. Ас-\-Ъ смешанного числа А — в неправильную дробь —^—. Таким образом, после классической «Математики», в которой были представлены две тенденции в развитии древней математиче¬ ской мысли в ее начальной стадии, Чжан Цю-цзянь и Сунь-цзы оказались выразителями каждой из них. Чжан развивал исчисле¬ ние обыкновенных дробей как пар. Сунь-цзы пытался приблизиться к области действительных чисел с помощью метрологических десятичных дробей. В рамках официальной литературы были вы¬ ражены два эмпирических подхода к обоснованию числовых об¬ ластей. Что касается развития вычислительного искусства эпохи автора указанного трактата, то следует заметить, что в тексте мы находим приемы быстрого счета. Например, в задаче 16 средней книги в частном получается дробь и производится ее сокращение так: дробь 135/720 удваивается, а затем сокращается на 10, далее на^9 [51, с. 44-45]. Что касается алгебры и геометрии, то и здесь у Чжана отме¬ чается новизна в постановке традиционных задач. Он решает ли¬ нейные системы и при этом применяет несколько измененный вариант правила «фан-чен». Он заключается в том, что изменяется порядок в преобразовании матрицы системы к треугольному виду. 45
Этим самым Подчеркнута слабая связь матрицы с уравнениям#, т. е. имеется в виду, что вычислитель действовал с числами ма¬ трицы, а не с уравнениями. Однако перехода в полной мере к определителям произойти еще не могло, поскольку равноправия столбцов и строк матрицы не получалось из-за присутствия в ней свободных членов уравнений (см. далее подробно в ч. IV). В трактате Чжана приводятся также задачи на системы, решен¬ ные другими методами (задача 1 последней книги; 21 первой книги, похожая на задачу 15 последней книги трактата Сунь-цзы) [49, с. 35; 51, с. 35, 47]. Квадратные уравнения встречаются в задачах 22 средней книги и 9 последней [51 ]. Чжаи, как и составители «Математики», ни разу не описал подробно процедуру нахождения корня квадратного ура¬ внения. Или, быть может, переписчики опустили из-за трудности эту часть текстов? В тех же задачах, где извлекаются квадратные и кубические корни из чисел, формулировка правил несколько от¬ лична от предложенной в «Математике». Терминология более усто¬ явшаяся, более точная (см. далее подробно в ч. IV). Что касается геометрии, то опять-такй в отличие от Сунь-цзы задачи Чжана не измерительного характера. Они хотя и вычисли¬ тельные, но в них подчеркивается их геометрическая сущность. Делает это Чжан Цю-цзянь следующим образом, произведя спе¬ циальный подбор и группировку задач. Четыре задачи (20, 21 средней книги и 30, 31 последней книги) явно выделяются своей постановкой [51, с. 46, 57—58]. В первой паре извлекается квадратный корень, во второй — кубический. В этих случаях стандартными были задачи на определение сто¬ роны по заданным площади квадрата или объему куба. Чжан Цю-цзянь сначала действительно предлагает вычислить сторону квадрата с заданной площадью, а затем применяет правила из¬ влечения квадратного корня к проблеме преобразования квадрата в круг и наоборот. Задачи ставятся так: круг и квадрат равно¬ велики, и если известна сторона квадрата, то каков «обвод» (т. е. окружность круга); или: если известен обвод, то надо найти сторону квадрата. Задачи 30, 31 последней книги аналогичны: куб преобра¬ зуется в сферу, и, наоборот, сфера—в куб. Эти задачи приведены без предварительной задачи на вычисление стороны куба по его объему. Вычисления в этих задачах производятся в предположении числа -31=3 в планиметрических задачах и 71=27/8 в стереометри¬ ческих. Первое значение было общепринятым в канонической ли¬ тературе, хотя математики знали более точные значения числа тт. Второе значение было, вероятно, заимствовано Чжаном из правила к задачам 23, 24 на вычисление диаметра сферы по заданному объ¬ ему в книге IV «Математика в девяти книгах» [50, с. 471]. Это же значение числа п использовано в задаче 20 первой книги, где из глиняного единичного куба делают ядра диаметром, в десять раз меньшим стороны этого куба. Здесь появляются комментарии Ли Чунь-фэна, в которых он уточняет ответ в связи с более точным значением ti^22/7, вычисленным еще Лю Хуэем в III в. 46
Отметим также, что во всех этих четырех задачах корни извле¬ каются приближенно по правилу V^T^a+2^, ~ дающему значение корня с недостатком, в отличие от Сунь-цзы, который пользовался формулой, дающей корень с избытком: \ja2 -\-г ~ а ~2^ • Впрочем, обе эти формулы были описаны еще Лю Хуэем в его ком¬ ментариях к «Математике в девяти книгах». Другая группа задач составлена так, чтобы показать сечения геометрических фигур и тел (задачи 7—10 средней книги) [51, с. 41 — 42). Правильная четырехгранная пирамида усекается в усеченную пирамиду, и, наоборот, правильная усеченная пирамида с квадрат¬ ными основаниями достраивается до полной. Вычисляются высота усеченной и достроенной частей (это задачи 9 и 10). В предшеству¬ ющих им задачах произведено сечение трапецоида, сечение имеет, по-ви/щмому, форму прямоугольной трапеции. В этой трапеции произведено сечение отрезком, параллельным основаниям. Отыски¬ вается либо этот отрезок, либо высота отсеченной нижней части. Следует упомянуть еще задачу 11 средней книги трактата Чжана, так как в ней вычисляется боковая поверхность параллеле¬ пипеда, а также задачу 15 первой книги (из серии задач практиче¬ ской геометрии на измерение расстояний до недоступных предме¬ тов), в которой фактически вводится понятие проекции, правда, термина еще нет (о последней задаче см. далее подробно в ч. V) [51, с. 42, 32]. И, наконец, задачи 4—11 последней книги, в которых вычисля¬ ются емкости зернохранилищ, имеющих форму трапецоида, усе¬ ченного конуса, обелиска, усеченной пирамиды, построены по¬ парно: каждая задача дана с обратным ей вариантом [51, с. 48— 50]. По своему решению это обычные задачи, рассмотренные ранее в «Математике» и у Сунь-цзы. В задаче 19 первой книги Чжан Цю- цзянь принимает отношение диагонали квадрата к его стороне рав¬ ным, как у Сунь-цзы, 7/5. В1 этой задаче рассмотрен квадрат, впи¬ санный в круг [51, с. 35]. 7. Практическое руководство для чиновников пяти ведомств Небольшой анонимный «Математический трактат пяти ве¬ домств» («У цао суань цзин») относится приблизительно к IV в. [13, 14, 52]. Известно, что Чжэнь Луань уже работал с текстом трактата пяти ведомств, а Ли Чунь-фэн оставил его без изменения. Текст трактата помещен в «Десятикнижье» без комментариев. С этим текстом ра¬ ботал также некто Хань Янь, современник Чжэня, как об этом со¬ общается в «Новой танской истории» [110, с. 27]. Но о нем ничего 47
более неизвестно. Существует более раннее упоминание о данном тексте в предисловии к трактату V в. из того же «Десятикнижья». Автор его Сяхоу Ян даже позаимствовал из «Математического трактата пяти ведомств» одну характерную задачу о четырехсторон¬ нике, которую ниже мы рассмотрим особо. Согласно довольно поздним источникам (циньской энциклопе¬ дии «Сы ку ти яо», правда, со ссылкой на «Тан шу»—«Танскую историю») [110, с. 27], рассматриваемое сочинение было составлено одновременно с «Математическим трактатом Сунь-цзы» (не ранее III в. н. э.), также входящим в «Десятикнижье» [52]. Однако в трактате пяти ведомств есть задача, почти дословно совпадающая с задачей о нахождении стороны квадрата по его диагонали, которая весьма характерна для Сунь-цзы и которая, по всей видимости, заим¬ ствована у него, а не наоборот. При знакомстве с текстом сочинения достаточно ясно также, что оно, как и трактат Сунь-цзы, было написано под сильным влиянием «Математики в девяти книгах» (II в. дон. э. — II в. н. э.) — главного по своему значению текста в «Десятикнижье» [50]. Заметим, что эту же датировку принимают Дж. Нидем и Ван Лин [150. с. 33] в отличие от других историков ма¬ тематики [110, с. 91]. «Математическому трактату пяти ведомств» в историко-математи¬ ческой литературе не повезло, его судьба напоминает приключения «гадкого утенка». Трактат был низко оценен И. Миками, а также Дж. Нидемом и Ван Лином [150, с. 36], которые особенно упре¬ кают составителя в использовании «неверных» формул для пло¬ щадей. После «Математики в девяти книгах», где решаются, напри¬ мер, системы линейных уравнений матричным способом, этот текст кажется исследователям примитивным, и они теряют к нему инте¬ рес. Более того, — это отмечено у Дж. Нидема и Ван Лина [150, с. 34], — некоторые историки (Д. Е. Смит [164, т. I, с. 141], ошиб¬ ка повторяется у О. Бекера и И. Е. Гофмана [118, с. 134]) вообще сочли, что трактат Сунь-цзы и рассматриваемый — одна и та же книга. Что касается китайских авторов (Ли Яня, Цянь Бао-цуна и др.), то у них мы не находим оценки данному тексту. Они почти не останавливаются на нем в своих работах. Исключение составляет книга Цяня [110, с. 91—92]. В книге Цяня сделаны отдельные ссылки на «Математический трактат пяти ведомств», но все же и они не рисуют картины в полной мере. Между тем рассматриваемое сочинение представляет несомненный интерес для исследователя. Если внимательно прочесть этот^текст, можно обнаружить следующие новые факты. При решении задач гна"" объем груды зерна,гтип которых"был специально рассмотрен еще в «Математике в девяти^книгах», вводится новый термин: «внешний угол» (вайцзяо).г Он соответ¬ ствует случаю, когда зерно ссыпано не просто на пол, у стены или в углу («внутреннем углу»,гт. е. ней цзяо), но, например, возле дома. Объем зерна составляет три'четверти" объема полной груды, вычисляемого как объем конуса вращения (при тг=3). Таким об¬ разом, из практических задач на сыпучие"* тела~гвозникли пред- 48
ставления о пространственных двугранных углах в 90 и 270°, как очевидно дополняющих друг друга до полного угла. Среди задач на вычисление площадей появляется еще один но¬ вый термин — «центральная» (чжун ян) линия плоской фигуры, относительно которой она симметрична (см. далее рис. 22, а, б). Эта линия является третьей «шириной», существенно отличной от двух других, равных между собой. Их среднее арифметическое вхо¬ дит в формулу площади этих фигур, к которой мы еще вернемся несколько ниже. Новым является соотношение двух не употреблявшихся ранее в текстах по математике денежных единиц: вэней (грошей) и гуев (связок). 1000 вэней=1 гую. В «Математике в девяти книгах» и трактате Сунь-цзы было только одно название — цяни, т. е. монеты, слово, которое в данном сочинении приобретает общее значение для денег. Например, в задаче 7 книги III говорится: «Имеются цяни: 27 гуев 833 вэня» и т. д. [52, с. 89]. Весьма интересным материалом представляются выражения десятичных дробей. В трактате Сунь-цзы названия для десятых долей мер длины присваивались десятичным разрядам любого, даже неметрологического, числа. В «Математическом трактате пяти ведомств» этот способ также применен, но несколько иначе [13, 14]. Здесь употребляются названия не только десятых, но и сотых (ли) и тысячных (хао) долей цуня. Таким образом, метод Сунь-цзы как будто развит далее. Но эти названия прилагаются не для выражения десятичных долей частного, а для специального выражения остатка. Следует отметить еще, что в «Математическом трактате пяти ведомств», как и у Сунь-цзы, свободно обращаются с метрологиче¬ скими дробями. Здесь также применяются весьма мелкие единицы емкости: десятые, сотые доли самой маленькой на практике еди¬ ницы — шэна. Например, в ответе к задаче 6 книги III записано: «660 ху 3 доу 3 шэна 3 хэ с остатком 3 шао». В задаче производился обмен 849 ху бобов на кунжут из расчета, что каждые 9 доу бобов равноценны 7 доу кунжута. Следовательно, ответ получается в ре¬ зультате деления произведения 849- 70=59430 ху на 90, как об этом сообщается в правиле. Частное является периодической дробью 660,333(3), если за целую единицу принять ху. Здесь остаток выра¬ жен в виде трех десятитысячных основной единицы ху, но, по существу, он равен 3 1/3 шао [52, с. 89]. Однако значение «Математического трактата пяти ведомств» определяется не этой информацией о некоторых элементах вы¬ числительной техники и образовании, развитии некоторых понятий. Основная ценность текста заключается в том, что он сильно отли¬ чается как от «Математики в девяти книгах», так и от трактата Сунь-цзы своей ярко выраженной практической направленностью. Сосхавитель текста совсем не претендовал на более или менее 4 Э. И. Березкина 49
полное изложение математических методов, тогда известных, как это сделано в «Математике в девяти книгах». Он даже не преследовал целей Сунь-цзы — дополнить и развить алгоритмы «Математики», снабдив книгу новыми задачами и изложив достижения вычислительной техники. Он ставил узкопрактиче¬ скую цель: научить будущих чиновников решать те задачи, которые им непосредственно встретятся при работе в ведомствах. Назва¬ ния ведомств перечислены в заголовках: земельное, военное, торго¬ вое, амбарное, финансовое. Служащим этих учреждений приходи¬ лось исчислять площади полей, снаряжение и провиант для армий, проводить расчеты при обмене зерна или покупке вещей, раскла¬ дывать налоги, определять объем зернохранилищ или груды зерна, ссыпанной либо у стены, либо на землю, а также производить расчеты с шелком, поставляемым в виде сырца или уже готовой ткани, тафты. Для обороны крепости надо было через каждые три шага расставить охрану и подсчитать число требующихся для этого солдат. При устройстве военного лагеря необходимо было учесть место для установки повозок и т. д. Естественно, что в этом круге чисто деловых задач нет такого разнообразия методов, как, на¬ пример, в «Математике в девяти книгах». И по количеству их раза в четыре меньше — всего 67. У Сунь-цзы задач примерно столько же, но и у него они охватывают более широкий круг вопросов. Ведь в «Математическом трактате пяти ведомств» нет ни квадратных уравнений, ни извлечения корней, ни линейных систем, ни систем сравнений, нет ничего более сложного, чем умножение и деление. Отсутствуют всякого рода отвлеченные примеры и развлекательные задачи на тренировку учащихся в об¬ ласти математики. Именно эти обстоятельства, отмеченные И. Ми¬ ками, привели его .и других историков математики к низкой оценке сочинения. Если же в действительности этот трактат расценивать не как монографию, а как практическое руководство, то мы полу¬ чаем возможность выявить уровень математической практики в древнем обществе. И он не был таким низким, как кажется на первый взгляд. Конечно, применялась только часть (и, естественно ожидать, наиболее простая) тех знаний, которые, уже были накоп¬ лены. Пусть это были только четыре арифметических действия. Но ведь при этом пользовались понятиями и вычислительными методами, которые не были тривиальными, например десятичные дроби или среднее арифметическое. Прикладной характер текста интересен в общеисторическом плане. В отдельных задачах отражены конкретные стороны со¬ циально-экономического уклада древнего общества. Например, мы узнаем, что солдат (бинов) снабжают зерном из расчета 7 шэнов на человека, монетами (по 556 вэней), холстом (по 1 чжану 2 чи 3 цуня), шелковой тафтой (по 2 чжана 8чи5 цуней). Насколько ре¬ альны эти данные, неизвестно, но они любопытны несомненно. Почти вся пятая книга трактата посвящена расчетам, связанным С шелком, которым и занимались в «золотом» ведомстве (цзинъ 50
цао). Для данной эпохи характерно, что общим эквивалентом обмена служило уже не просо, как это зафиксировано в «Математике в девяти книгах» и трактате Сунь-цзы, а шелк. Налог собирали также главным образом шелком. Рассмотрим теперь главный вопрос: каким был уровень «при¬ кладной математики», или «математической практики»? Здесь мы подробно рассмотрим первую книгу трактата и ее «неверные» формулы площадей полей. Девятнадцать задач этой книги, вероятно, обобщают опыт измерения земельных участков, представляя наиболее типичные виды полей. «Математика в девяти книгах» начинается с аналогич¬ ной книги. Однако эта книга, носящая название «Измерение полей» (фан тянъ, буквально — «квадрирование» полей), принци¬ пиально отличается от рассматриваемой. Прежде всего «Измерение полей» начинается с определения мер площади, сначала основной единицы 1 жг/ = 15х16 кв. бу, а затем 1 кв. ли и соотношения 300 кв. бу = 1 цину. В первой книге ведомственного трактата основная единица площади предполагается известной и кроме нее никаких других производных единиц, вроде «кв. ли», нет. Далее, в первой книге «Математики» обстоятельно изложены правила действий с обыкновенными дробями. В «Математическом трактате пяти ведомств» обыкновенных дробей вообще нет, и во всех задачах книги земельного ведомства (тянъ цао) размеры участков выражены целыми единицами длины бу (двойными ша¬ гами, примерно равными 1,8 м), а искомые площади — в «му». В стандартном ответе содержится целое число му и «остаток» в несколько бу, разумеется, квадратных. Наконец, в «Измерении полей» вычисляются площади прямоли¬ нейных фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, в том числе равнобочной, а также круга с его частями (сектором, сегмен¬ том) при тг = 3. В первой книге ведомственного трактата значительное внимание уделяется криволинейным фигурам в виде барабана с во¬ гнутыми и выпуклыми боками, в виде змеи, в виде ущербного ме¬ сяца и рога буйвола, свирели. Это задачи 5, 6, 8, 10, 15, 16 [52, с. 85—87]. Площади первых трех фигур вычислены приближенно по формуле S а ° h, где а, Ъ, с были, по существу, тремя из¬ мерениями «ширины» прямоугольника с его длиной, равной h. Здесь использовалось понятие среднего арифметического трех из¬ мерений «ширины» поля в характерных местах — самом широком (узком) и на концах поля [52, с. 86]. Этот же принцип осуществлен при вычислении площади произвольного четырехугольника (задача 14 перкой книги ведомственного трактата) [52, с. 86]. Согласно правилу, приведенному в тексте, площадь такого поля вычислялась по формуле S=-~- ~^с • ■ d, где а, Ь, с, d — стороны четырехуголь¬ ника (см. подробно далее в ч. V). Необычайная популярность и живучесть этой, вообще говоря, неверной формулы, которая обычно не нравится математикам, заключается в ее умелом при- 51 4*
менбнии. Она не будет давать больших ошибок, если четырех¬ угольное поле не будет значительно отклоняться от прямоуголь¬ ного. Вероятно, на практике это условие интуитивно, но соблю¬ далось. И если формулу площади четырехсторонника рассматри¬ вать как первую попытку провести приближенное вычисление с привлечением среднего арифметического сначала только двух из¬ мерений (при соблюдении некоторых условий 'наименьшего от¬ клонения от точного значения), то эта формула, право, не кажется пугалом. Правда, в китайской задаче приводится фигура, не очень хорошо напоминающая прямоугольник. В зависимости от разного расположения фигуры с заданными сторонами и в случаях наилуч¬ шего приближения к прямоугольнику значение площади все же отличается от данного в ответе значительно, так что ошибка со¬ ставляет 6—7%. Но, может быть, эта погрешность допущена только в учебной задаче, или чиновников удовлетворяла такая точность? Нам, к сожалению, неизвестна точность измерительных инструментов того времени. Однако можно привести косвенные свидетельства. В ведомственном трактате [52, с. 86, задача 7] вычислена площадь поля «в виде лука», т. е. сегмента. Сегмент заменили треугольником с тем же основанием и высотой, и этой точности хватило. Тем не менее еще пятьсот лет назад в «Математике в девяти книгах», в первой книге, на вычисление полей были решены аналогичные задачи по более точной формуле [50, с. 446]. Таким образом, все изложенное выше характеризует «Мате¬ матический трактат пяти ведомств» как практическое руководство к вычислительной работе в учреждениях древнего Китая. 8. Арифметическое пособие Сяхоу Яна О «Математическом трактате Сяхоу Яна» («Сяхоу Ян суань цзин») исследователи обычно упоминают в связи с сочинениями Сунь-цзы и Чжан-цзяня [147, с. 39], кратко описывая его содержа¬ ние, сводящееся к задачам на проценты, к операциям умножения и деления и принципу позиционности [110, с. 34—35; 150, с. 37]. Известно, что в предисловии трактата Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.) упоминается о Сунь-цзы и Сяхоу Яне, а в трактате Сяхоу Яна повторяется правило нахождения площади неправильного четырех¬ угольника, употребленное в «Математическом трактате пяти ве¬ домств». Это все, что известно о хронологии текста. Об авторе трактата также нет сведений. Трактат прокомментирован Чжэнь Луанем. Комментария Ли Чунь-фэна здесь нет. Относительно даты составления трактата можно указать следу¬ ющее. И. Миками [147] относит текст к середине или второй по¬ ловине VI в. Дж. Нидем и Ван Лин считают, что Сяхоу Ян жил при династии Северная Вэй, поскольку автор древнего трактата упоминает об эталоне мер и весов V в. Таким образом, трактат Сяхоу Яна был по крайней мере при Чжан Цю-цзяне. Однако Цянь Бао-цун в последнем издании «Десятикнижья» поместил дан¬ ный трактат последним. Хотя сочинение Сяхоу Яна существовало 52
в V в., но сохранившийся ныне вид приняло тогда, когда его дополнил ц обработал некий Хань Янь (780—804). До него трактат состоял из двух книг, а не из трех, как мы его теперь находим. Действительно, первая книга существенно отличается от двух по¬ следних. В трактате Сяхоу Яна содержится, на наш взгляд, значи¬ тельный процент двусложных слов, особенно в книге первой, тогда как в других трактатах «Десятикнижья» преобладают слова одно¬ сложные. Некоторые древние термины, например относящиеся к пропорциям, исчезли, и правила описаны несколько иначе, чем в более ранних текстах. Встречается современное слово для обозначения процентов, тогда как ранее оно не употреблялось, хотя задачи подобного рода решались. Книга первая трактата Сяхоу Яна по содержанию весьма схожа с книгой первой твактата Сунь-цзы. В ней также содержится описание принципа позиционно¬ сти китайской счетной доски, некоторых правил операций (умно¬ жение и деление) с целыми числами и дробями, метрологических таблиц и др. Однако в отличие от трактата Сунь-цзы у Сяхоу Яна в первой книге для пояснения некоторых правил приводятся задачи. Их всего девять. У Сунь-цзы задач в первой книге нет. Но в нем большую часть занимают числовые таблицы, которых у Сяхоу Яна нет совсем. Весь материал первой книги трактата Сяхоу Яна разде¬ лен на отдельные параграфы. Их насчитывается шесть. Это тоже новшество в манере изложения древних авторов. Следует отметить еще одну характерную особенность трактата Сяхоу Яна: в первой его книге осуществляется попытка описать историю эталонов мер и веса, четко сформулировать правило умно¬ жения и деления на степени 10, которое, правда, употреблялось еще до Сяхоу Яна, например у Сунь-цзы. Все это действительно ставит сочинение Сяхоу Яна в ряд более поздних текстов, чем трактаты «Десятикнижья». Невозможно не заметить разницы при изложении принципа позиционности в трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Если у Сунь-цзы принцип излагался на фоне описания операций умножения и деления целых чисел, то в трактате Сяхоу Яна, наоборот, операции с числами описаны кратко и даже не¬ полно, а сам принцип изложен довольно обстоятельно. Если у Сунь-цзы по имеющейся у него терминологии можно было судить о том, что Сунь-цзы представлял дробь как пару чисел, то в трак¬ тате Сяхоу Яна дробь как пара выступает так отчетливо, что порою даже неясно, идет ли речь о паре чисел просто или о паре чисел, составляющих дробь. Во многих вопросах Сяхоу Ян очень близок взглядам Сунь-цзы, но иногда идет и дальше. Особенно это видно в области применения десятичных дробей. В трактате Сяхоу Яна большое внимание уделено действиям с именованными числами. Помещены специальные задачи для этого, более всего они располо¬ жены в последней книге. В них занимаются переводом из одних мер в другие или расчетом стоимости определенных единиц мер и весов. Именованные десятичные дроби заданы непосредственно в условии задачи, и выражения эти довольно сложные. Встречаются в ответах периодические десятичные дроби, у которых период повторен два 53
раза. Такого до сих пор избегали в трактатах «Десятикнижья». Иногда Сяхоу Ян специально преобразует именованное число, для единиц которого не существует десятичных соотношений, в имено¬ ванную десятичную дробь. Из всех трактатов «Десятикнижья» сочинение Сяхоу Яна вы¬ деляется особым стремлением к облегчению производства операций на счетном приборе. Очень часто в задаче дается два способа реше¬ ния, отличающихся друг от друга тем, что в одном из них специ¬ ально описан способ быстрого счета. Например, умножение на 16, на 24 Сяхоу Ян заменяет последовательным умножением на 2 и на 8, на 3 и на 8; умножение на число второго десятка — почленным умножением на вторую цифру и на 10, последнему соответствует на счетной доске движение влево на одну позицию. Для этого он упо¬ требляет особый термин, который ранее в математических текстах не встречался. Благодаря этому сочинению китайская вычисли¬ тельная техника становится еще более ясной. Что касается содержания двух других книг трактата Сяхоу Яна, то они состоят, как обычно, из задач, сопровождающихся ответами и правилами решения. В средней книге их 29, в последней—44. Содержание задач вполне характеризуется названием параграфов средней книги трактата, на которые она разбита. Параграфов всего пять. Задачи последней книги плохо поддаются систематиза¬ ции. Среди них много задач метрологического плана, как уже было указано выше. Ряд задач посвящен процентам, некоторые из них составлены на тему, уже содержащуюся в средней книге трактата (плата за перевозку), остальные задачи — на покупку, производство или очистку зерна. В двух задачах вычисляется объем земляных работ. Таким образом, по своему содержанию трактат Сяхоу Яна близок трактату Сунь-цзы и ведомственному. С «Математическим трактатом пяти ведомств» трактат Сяхоу Яна сближает ярко выраженный прикладной характер задач, а некоторые заголовки просто совпадают. Не удивительно поэтому, что в нем в разделе о площадях полей, необходимом для чиновни¬ ков земельного ведомства, повторяются некоторые приближенные формулы вычисления криволинейных фигур, в том числе «неверная» формула площади неправильного четырехугольника. Выше мы уже высказали соображение по поводу такой задачи, оно сохраняет свою силу ив отношении данного сочинения, поскольку назначение его примерно такое же, какое имел ведомственный трактат. «Математическому трактату Сяхоу Яна» специально посвящена статья JI. ван Хе [132], в которой он цитирует шесть задач из трактата, в том числе пять из них взяты из последней книги трак¬ тата. Ван Хе пользовался изданием, хранящимся в Парижской библиотеке. Кроме того, ван Хэ приводит названия для простей¬ ших дробей, типа «половина», «одна треть» и т. д., которые называет Сяхоу Ян, и указывает, что они применялись в водяных часах. Ван Хэ, а также Дж. Нидем и Ван Лин оценивают это практическое руководство по арифметике предпочтительно в сравнении с запад¬ ными книгами в данной области того времени [150, с. 35]. 54
9. Два трактата Чжэнь Луаня Чжэнь Луань жил в VI столетии н. э., был астрономом во время династии Северная Чжоу (557—583) и участвовал в составлении ка¬ лендаря Тяньхэ (эра правления Тяньхэ 566—571 гг.). Он изучил буддизм и написал «Трактат о веселом пути» в трех свитках. Чжэнь Луань — составитель и комментатор математического «Десятикнижья», автор одного из трактатов этого сборника: «Искусство счета в Пятикнижье» (« У цзин суань шу»). Цянь Бао- цун считает Чжэнь Луаня также автором еще двух трактатов сборника: «Забытые записи по искусству счета» («Шу шу цзи и»), «Математический трактат пяти ведомств» (см. выше п. 7). Впрочем, последний в историко-математической литературе обычно считают анонимным, что не является большой ошибкой по сравнению с утверждением Цянь Бао-цуна, поскольку индивидуальности Чжэнь Луаня как автора этот текст не отражает. Текст мог быть составлен любым знатоком в области математики, который бы воспользовался готовыми текстами, выбирая нужные для чинов¬ ничьей практики задачи. Что касается «Забытых записей», то автором их считают математика эпохи Хань Сюй Юя. В действи¬ тельности от первоначального текста осталось так мало, что обра¬ зовался набор мало связанных фраз. Основная смысловая нагрузка поэтому приходится на комментарий Чжэнь Луаня. Аналогичное утверждение можно сделать и относительно трак¬ тата «Искусство счета в Пятикнижье». Цитаты взяты из сочинений древних философов, вошедших в знаменитое «Пятикнижье» эпохи Хань («Ушу)»: «Книга истории», или «Книга документов» («Шу- цзин»); «Книга песен» («Шицзин»); «Книга перемен» («Ицзин» или «Чжоуи»); «Книга установлений», или «Книга обрядов», или «Трак¬ тат о правилах поведения» («Лицзи»); «Весны и осени» («Чуньцю») [34]. Встречаются цитаты также из других классических текстов. Все эти извлечения, касающиеся метрологии, способа выражения больших чисел и др., Чжэнь Луань подробно поясняет. Конфуцианское «Пятикнижье» сложилось во второй половине II в. до н. э. Обработку текстов, ранее написанных, осуществил официальный идеолог ханьской династии Дун Чжун-шу (136 г. до н. э.). Вторая редакция канонических текстов была выполнена Ян Ши-гу при Тай-цзуне (627—650), главном организаторе режима империи Тан. Каноническое толкование текстов было установлено Кун Ин-да — «Пятикнижье в правильном понимании» (641 г.). Изучение «Пятикнижья» было положено в основу преподавания в высшей школе империи Чанъаньском университете. «Так конфу¬ цианство стало школьным просвещением — схоластикой» [45, с. 205]. Чжэнь Луань был современником Кун Ин-да, не удивительно поэтому, что Чжэнь провел работу по комментированию некото¬ рых мест из классических текстов, имеющих отношение к искус¬ ству счета. В области математики он исполнил роль Кун Ин-да: провел канонизацию составленных до него математических текстовт 55
дал правильное толкование их для использования при обучении математике в той же высшей школе. После Чжэнь Луаня лишь Ли Чунь-фэн в следующем столетии был редактором «Десяти¬ книжья», и только современник последнего Ван Сяо-тун, написав¬ ший свой известный трактат «Ци гу суань цзин» об уравнениях третьей степени (см. далее п. 10), был еще одним, последним из авторов сборника. Существует мнение, что Чжэнь Луань не сделал ничего нового в области математики [110, с. 92]. Однако этот древний коммента¬ рий к еще более древним текстам объединяет различные немате¬ матические тексты и является весьма ценным. По нему можно судить об уровне математического образования у «интеллигенции» того времени, непосредственно не связанной с математикой. Напри¬ мер, сразу же видно, что календарное дело имело первостепенное значение в древнем Китае. «Искусство счета в Пятикнижье» состоит из двух свитков- цзюаней, содержащих около 45 страниц иероглифического текста. В отличие от подавляющего большинства трактатов «Десятикнижья», построенных по схеме задача — ответ — решение или общее пра¬ вило и группа задач одного класса с ответами (иногда такие задачи сопровождаются еще частными решениями), этот трактат Чжэнь Луаня написан иначе в силу своей специфики. Первый отрывок, взятый из «Книги истории», касается календар¬ ных расчетов. В математических сочинениях «Десятикнижья» аналогичных задач не так много, но все же они есть. С календарной задачи начинается трактат Ван Сяо-туна, она в нем единственная. В трактате Сунь-цзы самая последняя задача относится к области астрологии. Более всего содержит астрономические вопросы «Мате¬ матический трактат о чжоу-би». Однако в средневековых математи¬ ческих сочинениях XIII—XIV вв. астрономические расчеты полу¬ чили права гражданства. У Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике» задачам, связанным с календарем, с астрономией, отведены целые главы. Календарь в Китае был с самых древних времен лунно-солнеч¬ ным, т. е. календарь с лунными месяцами и солнечным годом, причем, так как 12 лунных месяцев на 10 дней короче солнечного года, каждые три года вставляется 13-й месяц для возвращения года к его началу. Путем вставочных месяцев нужно было посто¬ янно его уточнять, что составляло очень важную работу для им¬ ператорских астрономов и математиков. Считалось, что благопо¬ лучие царствующего дома зависело от точности календаря. Весьма часто, как это было с Чжэнь Луанем, математики были прежде всего астрономами, состоящими на службе правителей. Календарные расчеты, приведенные Чжэнь Луанем, просты. Известна продолжительность солнечного года, равная 365 1/4 сут. Продолжительность месяца (сидерического) принималась равной 29 499/940 сут. Тогда оказывается, что за 19 лет нужно добавить ровно 7 месяцев указанной продолжительности. Все эти расчеты производятся древним комментатором с использованием таких 56
цифр. Им вводится продолжительность вставки для одного года, равная 10 827/940 сут. Из истории Древней Греции известен «цикл Метона» (который был предложен Метоном, но принят не был; возможно, Метон взял это из календаря древних вавилонян), основанный на соотношении: за 19 лет набегает 7 вставочных месяцев. Цикл равен 235 месяцам [57, с. 22—23]. Тогда 235-29 499/940^19-365 1/4, или с большой точностью: 29,53085 X X235^365,25-19. При этом мы сталкиваемся, как это бывает до¬ вольно часто, с поучительной историей. Казалось бы, неинтересные с точки зрения математика расчеты — все в пределах четырех арифметических действий с целыми и обыкновенными дробями — дают любопытные детали относительно операции деления. Именно при делении произведения двух чисел на число (10 827/940.19):29 499/940-7 пользуются правилом деления многочлена на многочлен, а не пра¬ вилом деления дробей, которое было известно и которое мы нахо¬ дим, например, у Чжан Цю-цзяня (V в.) (см. об этом подробнее в ч. II). Следующие три цитаты, прокомментированные Чжэнь Луанем в его «Искусстве счета в Пятикнижье», связаны с системами по¬ строения больших чисел. Чжэнь Луань предлагает три системы, содержащие десять названий, которые были якобы созданы еще при легендарном Хуанди в XXVII в. до н. э. На самом деле на инь- ских костях встречаются числа не более чем четырехразрядные. (У Сунь-цзы в трактате были даны две системы обозначения боль¬ ших чисел.) Чжэнь Луань, критикуя древних комментаторов клас¬ сических текстов за неправильные пояснения названий разрядов, предлагает «младшую» и «среднюю» системы, аналогичные системам Сунь-цзы, а также еще «старшую» систему. Это такая система, в которой каждый раз по исчерпании всех названий новый разряд получает наименование (см. подробно далее в ч. II). Цитата из «Книги перемен» (здесь она названа «Чжоуи», как ее называли в древности) касается вопросов комбинаторики. Чжэнь Луань поясняет трудный и малопонятный текст с его символикой в числах. Историки математики не упоминают об этой части трак¬ тата Чжэнь Луаня, а она весьма примечательна. Многие древние и средневековые математики, по-видимому приверженцы нео¬ конфуцианства, посвящали свои труды числовой символике именно в связи с гадательной практикой по самой древней мантиче- ской части «Книги перемен». Сочинение знаменитого Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике» начинается именно с задачи, темати¬ чески связанной с «Книгой перемен», с гаданием по стеблям тысячелистника. У Цинь Цзю-шао составлена задача для арифме¬ тики остатков, в ней решается система уравнений первой степени с одним неизвестным. Здесь же Чжэнь Луань просто поясняет сам текст «И цзина» в той его части, где употребляются числа. Каждой непрерывной черте, соответствующей мужскому на¬ чалу (или небу), поставлено в соответствие число 9; женскому на¬ 57
чалу, прерывистой черте, число 6. Из непрерывных и прерывистых черт составляются триграммы, всего их получается 8: Из каждых двух триграмм составляются гексаграммы, всего их получается 64. Если в каждой гексаграмме по 6 черт, то всех черт будет 384. Каждая из них представляет собой либо четное, либо нечетное число, их будет по 192. Дощечек с символом ян (мужским началом) было 36, а с инъ (женским началом) — 24. Таким образом, по 192 черты на 36 дощечках — получается в сово¬ купности 6912 черт; по 192 черты на 24 дощечках — получается всего 4608. В сумме получается 11520 черт, которое называется «множеством вещей в двух связках». Кро*ме того, указывается, что для неба брались нечетные числа 1, 3, 5; а для земли — четные числа 2, 4. Им соответствуют два числа: 25 и 30, в сумме они дают «великое расширение» (да янь), равное 55. И для двух категорий «цянъ» и «куны заданы еще по три числовых характеристики: Два первых числа в двух связках дают в сумме 360. В комментарии к отрывку из «Луньюя» о налоге в 1000 чэн (земля, с которой взимается налог в 1000 повозок, чэн — повозка) Чжэнь Луань занимается извлечением квадратного корня из числа 9 000 000 000. Результат равен 94 868 бу, а дробная часть корня равна 62576/189737 бу. Она получена по приближенной формуле, которой пользовался как Лю Хуэй, так и Сунь-цзы еще в III веке н. э. Одна из цитат «Пятикнижья» потребовала пояснений относи¬ тельно теоремы Пифагора. Чжэнь Луань подробно повторяет алгоритмы вычисления сторон прямоугольного треугольника по двум заданным сторонам и демонстрирует их на примере простей¬ шего треугольника с целыми сторонами, равными 3, 4, 5. Он дает этим числам название «естественных коэффициентов» или «нор¬ мальных коэффициентов» (цзы жанъ чжи люй). Оказывается, теорема Пифагора нужна для вычисления покрытия повозок (см. далее 4.V). Здесь же вычислен корень из числа 12, прибли¬ женно равный 3 3/7. Он находится также по приближенной фор¬ муле. ^Чжэнь Луань комментирует место из «И ли». Этот памятник входил в «Четверокнижье» еще в эпоху Чуньцю (770—403 гг. до н. э.), но в дальнейшем стал называться «И ли». Цитата касается раскроя траурной одежды из пеньки, расчеты сводятся к вычисле¬ нию части числа и в результате получается прогрессия цянъ 216 36 дощечек 91 черта, кунь 144 24 дощечки 61 черта. 58
в тексте она приводится в числах 9; 7V,; 519/25; 4 76/125; 3^/62б. Вполне понятно, что в своих разъяснениях Чжэнь Луань вынужден уделять значительное внимание вопросам метрологии. Здесь мы встречаем новые единицы измерения площади, кото¬ рые в математической литературе не были приняты. В самом древнем тексте (цитата из «Луньюя») названа «земля в 1000 чэн», где чэн — повозка, нагруженная зерном, сданным в качестве на¬ лога. Соотношения с принятыми единицами длины и площади чи, бу, му следующие: 6 чи = 1 бу, 3 у =1 цзин, 100 бу = 1 му, 10 цзин = 1 тун, 100 му — 1 фу, 10 тун =1 чэн. 3 фу = 1 У. Еще один пример недесятичных соотношений в метрологии. Цитаты из «Ли» сопряжены с трудностями перехода от одних единиц к другим. Оценивая горсть риса, которую можно съесть в период траура по родителям, и определяя ее вес, Чжэнь Луань выражает горсть риса в единицах объема. Исходит он из следующих соотношений: 1 ху = 1 дань = 120 цзиней, 1 пригоршня (и) = 20 ланов=1112<к шэна, где надо вспомнить, что 16 ланов=1 цзиню, 1 ху = 100 шэнам. Другая цитата, о раскрое траурной одежды, содержит свое¬ образную единицу измерения тканей — «охапку» (э). Поясняется, что в древнее время «охапка» у среднего человека (так и сказано: чжун жэнъ) составляет обхват в 9 чи. Огромное количество расчетов потребовалось в последних отрывках, довольно многочисленных, из «Лицзи», относящихся к княжеским землям. Единицами площади занимается Чжэнь Луань и во втором свитке, когда речь идет снова о «Лицзи». Почти половина второго свитка посвящена вопросам гармонии. Здесь собраны отрывки из «Лицзи», из «Ханыпу» («Книга Хань»), из «Шицзи», т. е. «Исторических записок» Сыма Цяня. Что касается второй половины второго свитка «Искусства счета в Пятикнижье», то она содержит извлечения из «Чуньцю» («Весны и осени») и по¬ священа астрономическим вопросам, лунным и солнечным затме¬ ниям. Как в Греции, так и в Китае вопросам музыки было уделено достаточно много внимания. В древнем обществе гармония имела общефилософский смысл. Но греческая музыкальная гамма была построена отлично от китайской. Каждый древний народ строил своими средствами теорию музыки. Кратко о книге «Лицзи», которую комментирует Чжэнь Луань. Она была написана в разное время различными авторами (при¬ 59
мерно с IV по I в. до н. э.) и была отредактирована при Ханьской династии Дай Шэном, но его текст не сохранился. Книга состоит из 49 глав, наиболее часто упоминаемые: «Великое учение», «Учение о середине», «Действенность ритуала», «Записки о музыке». Авторство последней части книги приписывают Гунсунь Ни-цзы, или Сюнь-цзы. Текст сохранился от Кун Ин-да (VI в. н. э.) [34]. Китайская октава содержала 12 тонов, высота которых была определена в комментариях Чжэня. Длина свирели для исходного тона, хуан чжуна, равна 9 цуням. Следующую длину можно опре¬ делить, если 9 цуней умножить на 2/3, она получается равной 6 цуням. К следующей длине приходят путем умножения на удвоенную долю, т. е. на 4/3. Тон повышается, длина свирели получается равной 8 цуням. Таким образом, чтобы получить ряд, к которому восходят тона 9, 8, 7V», или ряд, к которому нисходят тона 6, 573, 4 20/27, а также 8ш/24з, 71/,, 6% И 62V 5 4/7. 5, следует умножить исходное число 9 цуней на разность геометри¬ ческой прогрессии со знаменателем VI ^ 0,943. Чжэнь Луань получает этот ряд по частям, умножая то на 2/3, то на 4/3. По¬ лучает близкие к нужным значениям длины для тонов. Весьма примечательно здесь то, что Чжэнь Луань обозначает числовые характеристики тонов порядковыми номерами «лун». Если рас¬ положить эти двенадцать его обозначений по кругу (в виде ци¬ ферблата часов), то, чтобы получить тона в порядке их абсолют¬ ных значений, надо отсчитывать деления на этом «циферблате», начиная с 12, против часовой стрелки через пять делений. Полу¬ чается арифметическая прогрессия с разностью 5 в конечной ариф¬ метике с модулем 12: 12,7,2; 9,4; 11,6,1; 8,3; 10,5. Этот факт, насколько известно, не был отмечен до сих пор ни одним исследователем. Однако позже счет на «циферблате» встре¬ чается у ал-Бируни. Чжэнь Луань приводит извлечения из~?«Истории Ханьской династии», где в разделе о календаре сообщается еще и о других пяти октавах. Практически можно построить 10 октав, чтобы охватить все звуки, слышимые человеческим ухом. Но обычно в современной музыке пользуются семью октавами. В древнем Китае было введено пять октав и это тоже достаточно много. 60
Основной текст другого сочинения Чжэнь Луаня «Шу шу цзи и» относится к эпохе Хань и принадлежит будто бы Сюй Юю. Чжэнь Луань комментирует, по существу, совершенно несвязный, отрывочный текст, который дошел до него, и без его комментария текст был бы непонятен. В самом начале этого текста, который, весьма возможно, сохранился только на бамбуковых дощечках и с пропусками, кроме имени Хань Юя упоминается еще имя Лю Хуна. Последний известен тем, что написал книгу «Лю гуй цзи» и употребил буддийские слова типа «чана» (санскрит¬ ское — миг, мгновение). Поскольку в эпоху Хань буддизм еще не был распространен, то некоторые исследователи, например Цянь Бао-цун [100, т. II, с. 531 ], полагают, что текст принадлежит не одному Сюй Юю. Фрагменты, которые комментирует древний автор, относятся к самым различным темам. Начало, как и в «Искусстве счета в Пя- тикнижье», посвящено календарю. Древний текст малопонятен. Чжэнь Луань, споря с другими древними комментаторами, пола¬ гает, что здесь речь идет о зодиакальных созвездиях. Двадцать восемь созвездий на китайской карте были разбиты на четыре области, каждая из которых специально обозначалась с помощью названий животных. Западная часть из семи созвездий называ¬ лась «Белым тигром», его иногда в текстах называли золотым. Календарю и созвездиям посвящены другие фрагменты. По трактату «Искусство счета в Пятикнижье» видно, что Чжэнь Луань считает необходимым объяснять вопросы комбинаторики, связанные с философской книгой «И цзин», а также системы по¬ строения больших чисел. Неспецйалисты, по-видимому, путали довольно часто эти системы. В данном трактате Чжэнь Луань вновь вынужден объяснять способы выражения больших чисел. Весьма примечательно, что часть фрагментов касается счетных палочек и счетов. Если эти отрывки принадлежат Сюй Юю, то это самый ранний текст о счетных приборах древнего Китая. Напомним, что в «Математике в девяти книгах» таких упоминаний нет, хотя все сочинение написано с учетом вычислений на счетной доске при помощи счетных палочек. Однако счеты могли еще и не употребляться, они появились, по-видимому, значительно позже. Таким образом, предположения о существовании лите¬ ратуры, помимо % канонических классических текстов по мате¬ матике, представляется весьма справедливым* Встречаются ги / отрывки, касающиеся общих философских категорийДнапример Дао (понятие «Пути» в даосизме), перво¬ основы из пяти элементов, а также ориентации по странам света, о повозке, указывающей на юг. В одном фрагменте Чжэнь Луань поясняет известную по трактату Чжан Цю-цзяня задачу о ста птицах, в которой рассматривается неопределенное уравнение. В этом же месте обсуждается проблема об измерении расстояний до недоступных предметов — задачи, которыми интенсивно зани¬ мались древнекитайские математики (см. п. 4). 61
В тексте встречается матрица (одновременно это и магический квадрат по диагоналям, а также ряд натуральных чисел и чис¬ ловые последовательности с разностью, равной 3!) 9 6 3 ся юань 8 5 2 чжун юань 7 4 1 тан юань 10. Трактат Ван Сяо-туна об уравнениях третьей * степени Имя Ван Сяо-туна популярно в истории китайской математики, с ним связано решение уравнений третьей степени численным способом. «Математический трактат о продолжении древних ме¬ тодов» («Ци гу суань цзин»), написанный Ван Сяо-туном, является единственным в своем роде, потому что ни в одном более раннем тексте и ни в одном более позднем нет кубических уравнений. Даже в сочинении Цинь Цзю-шао, содержащем специальные задачи на решение квадратных, четвертой и более высоких степе¬ ней уравнений, кубических уравнений нет. В общей истории математики это древнее сочинение также рас¬ сматривается как самое раннее, посвященное решению уравне¬ ний алгебраическим способом. Хотя еще древние вавилоняне ре¬ шали некоторые виды кубических уравнений (древние греки решали уравнения геометрическим способом), до Ван Сяо-туна нет сведений о каких-либо сохранившихся текстах подобного рода. Кубические уравнения в дальнейшем встречаются у О. Хайяма (X в.), а формула корней была получена в XVI в. европейскими математиками Дж. Кардано, Н. Тарталья и другими. Ван Сяо-тун жил в самом начале царствования дома Тан (VII—IX вв.). В VI в. возник арабский Халифат на Западе, с ко¬ торым после нескольких лет военных столкновений был заклю¬ чен мир и установлена торговля. Торговля велась также с Индией (чай, шелк, соль, фарфор и др.)* Бойко шла торговля также внутри большой централизованной империи, был построен Большой китайский канал, соединивший Хуанхэ с Янцыцзян и 11 мелких каналов. В эту эпоху бурного строительства сложился стиль ки¬ тайской архитектуры, оказавший сильное влияние на окружаю¬ щие Китай страны Дальнего Востока. В VI в. при переводе буддийского канона и для его распро¬ странения — буддизм активно развивается в Китае в VIII в. — было изобретено книгопечатание с досок. В VII в. Сюань Цзан (629—645) совершил путешествие в Индию, а затем написал изве¬ стное «Описание западного края» («Си юй цзи»). Больших успехов достигла китайская литература и искусство (танская новелла, танская живопись). Таким образом, на Востоке пышно расцвела цивилизация, Запад же в это время только пробуждался. Во Фран¬ ции правили Меровинги, в V в. было принято христианство, но Карл Великий (Каролинги) еще не появился на исторической 62
арене. В Испании были вестготы. Англию после 150-летней войны наконец завоевали англосаксы, у которых еще не было пись¬ менности. Что касается славян, то их «писанная история» начи¬ налась, но нам пока мало известно о математических знаниях этого времени [39, т. I, с. 47]. Самым примечательным в землях некитайского развития было возведение стен византийского храма София (знаменитая мечеть Айя-София). Культурным очагом на Западе в это время была Византия. Уже в V в. работали такие византийские математики, как Серен Антийский, занимавшийся коническими сечениями, и Теон 'Александрийский, математик и астроном. У арабов наука еще не получила большого развития, как это было в последующие столетия. Нам пока не известно, какая математика была у наро¬ дов Согда, Хорезма и Тахара, государств Средней Азии, завоеван¬ ных впоследствии арабами. На Кавказе в это время господство¬ вали хазары, но в Армении — сфере влияния византийской куль¬ туры — именно в это столетие жил и работал известный мате¬ матик Ананий Ширакаци [28, 36, 59]. Хотя точные даты жизни Ван Сяо-туна указать нельзя, он известное лицо в истории Китая. О нем говорится в «Истории ди¬ настии Тан»: он имел ученое звание по части календарной науки и преуспевал в государственной службе. Вместе с другими астро¬ номами выяснил недостатки существовавшего календаря и пред¬ ложил метод устранения ошибок. Ван Сяо-тун занимался не только астрономией, но и «чистой» математикой. Ему принадлежит «Математический трактат о про¬ должении древних [методов]», составивший эпоху в истории раз¬ вития науки. Полагают, что от сочинения сохранилась небольшая часть, содержащая 20 задач, остальное было утеряно. Название, данное автором, несколько отличалось от официального: «Про¬ должение древнего искусства вычислений» («Ци гу суань шу»). Иероглиф «цзин» (канон или математический трактат) был сообщен лицами, утверждавшими учебники для будущих чиновников Танской империи. Сохранившийся текст сочинения Ван Сяо- туна входит в имеющееся ныне математическое «Десятикнижье». Содержание задач Ван Сяо-туна следующее. Первая задача астрономическая, родственная календарным задачам более поздних авторов. Но, возможно, и до Ван Сяо-туна занимались такими задачами, например И Синь (VI в.), известный своими работами в области календаря, применявший интерполяционные методы. Исключая первую задачу, все остальные задачи Ван Сяо-туна легко делятся на три группы, общие по теме и методу решения. И весь трактат в целом посвящен четко одной проблеме — чис¬ ленному решению уравнений третьей степени, а также биквад¬ ратных уравнений [22]. Задачи 2—6 и 8 составляют первую группу. Они наиболее объемные, с громоздкими данными, некоторые из них, по су¬ ществу, двойные. В этих задачах производится расчет земляных работ при строительстве различного рода сооружений: дамбы, 63
плотины, канала и т. н. Задачи сводятся к решению уравнений третьей степени. В них требуется вычислить объем геометрических тел, имеющих форму неправильного трапецоида, обелиска и др. Формулы по большей части приближенные. Из этой группы за¬ дач в историко-математической литературе обычно упоминают о за¬ даче 2 (сооружение в виде обелиска) [92, с. 37—38]. В задаче 2 трактата Ван Сяо-туна предлагается рассмотреть тело в виде обелиска, т. е. неправильной усеченной пирамиды с прямо¬ угольными основаниями. Тела такой формы рассматривались еще в задачах «Математики в девяти книгах», и в правилах к ним дана формула вычисления объема таких тел (разумеется, сло¬ весная). Как была получена такая формула, остается неизвестным. Обычно предложенное Ван Сяо-туном решение задачи 2 рассматри¬ вали как возможную реконструкцию этой формулы древним авто¬ ром. Эта реконструкция связана с разбиением пирамиды на со¬ ставные части соответствующим образом [92, с. 37 ]. Однако, как удалось установить, Ван Сяо-тун предлагает алгоритм нахож¬ дения искомых величин для обелиска, который не совпадает с такой реконструкцией, и его термины для промежуточных произве¬ дений или выражений на самом деле не обозначают объемов частей данного обелиска. Таким образом, Ван Сяо-тун все реше¬ ние проводит чисто алгебраически, а его терминология — только внешне содержит геометрические образы, как это происходило в геометрической алгебре древних греков [22]. Вторая группа содержит задачи7, 9—14, в которых вычисляется емкость зернохранилищ. Эти задачи также сведены к решению кубических уравнений. По методу решения они собственно при¬ надлежат к первой группе, но условия их гораздо проще и по теме они между собой одинаковы, поэтому они естественно выделяются. В этих задачах также следует подсчитать объем и перевести его в единицы емкости, как этого требовала практика государствен¬ ных чиновников, ведающих заготовками. Эти задачи, как и за¬ дачи первой группы, были традиционными: в «Математике в де¬ вяти книгах» они представлены группой задач на груду зерна, имеющей форму конуса. Ведь Ван Сяо-тун и написал свой трак¬ тат как «продолжение древних методов». Задача 7 приводится в [110, с. 98]. Третья группа задач в отличие от первых двух содержит со¬ вершенно отличные, чисто алгебраические задачи. Это задачи 15—20, особо привлекавшие внимание историков математики. По своим условиям они очень просты и легко переводятся, благо¬ даря четко условному языку. Две из них (задачи 15, 17) приведены в книгах [81, с. 78; 147, с. 34]. В задачах 15—20 рассматривается прямоугольный треуголь¬ ник и его стороны. Геометрическим образом заданы алгебраиче¬ ские соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, которые надо найти. Решение заданных систем уравнений приво¬ дит к уравнениям кубическим и биквадратным, которые, как 64
указывает Ван Сяо-тун, следует решать, «извлекая квадратный корень делением», т. е. численным способом, как бы мы теперь сказали, по методу Горнера. Никто из исследователей не отме¬ чал, что эти шесть задач могут быть разбиты на пары, которые получаются одна из другой при помощи циклических подстано¬ вок. Поистине красивые задачи! Все правила в трактате Ван Сяо-туна сформулированы в общем виде, как в «Математике в девяти книгах» и в «Математике мор¬ ского острова» Лю Хуэя. Ван Сяо-тун употребляет специальную терминологию, возможно принадлежащую ему или общеупотре¬ бительную в его время. Комментарии весьма незначительны и при¬ надлежат самому автору, т. е. комментария, по существу, нет. В этом смысле трактат отличается от других трактатов «Десяти¬ книжья». 11. Трактат о гномоне «Математический трактат о чжоу-би» («Чжоу-би суань цзинь») — самый ранний текст из сохранившихся по истории китайской математики. Время его создания точно неизвестно. Собственный текст трактата о гномоне незначителен, его комментарии гораздо обширнее. Они принадлежат современнику Лю Хуэя (редактор III в. н. э. «Математики. . .») Чжао Цзюнь-цину. У них термино¬ логия весьма схожа. Комментарии Чжао Цзюнь-цина известны тем, что в них содержится геометрическое доказательство теоремы Пифагора, самое раннее в истории китайской математики пись¬ менное доказательство. Такое же доказательство встречается у древ¬ них индийцев в «Сульва-сутре» (V в. до н. э.). Кроме приме¬ чаний Чжао Цзюнь-цина к «Математическому трактату о чжоу-би», имеются еще комментарии Чжэнь Луаня и Ли Чунь-фэна, со¬ ставителей всего математического «Десятикнижья» (VI—VII вв. н. э.). Они довольно значительны, поскольку текст, принадлежа¬ щий Чжао Цзюнь-цину, лаконичен. В «Математическом трактате о чжоу-би» два цзюаня (свитка): верхний и нижний. Текст в первом свитке написан в виде диалога в отличие от большинства трактатов «Десятикнижья», которые содержат четко сформулированные задачи. Эта форма изложения, во-первых, сближает математический трактат с философским текстом Чжуан-цзы и, во-вторых, напоминает нам древнегре¬ ческие тексты Платона. Изложение в форме диалога свидетель¬ ствует, кстати, о более раннем составлении текста, чем те, которые представлены в виде задач с алгоритмами. Диалогов два. Первый ведется между Чжоугун Данем, ре¬ гентом при племяннике Чэнване (1115—1078 до н. э.), братом пер¬ вого чжоуского Увана (1112 дон. э.), вполне историческим лицом, и неким знатным сановником Шан Гао, «весьма искусным в счете». Второй диалог происходит шесть веков спустя: ученый Чэнь-цзы ведет беседу с учеником Жун Фаном, подобно тому как Платон беседует г Тимеем. Таково содержание первого цзюаня, что ка¬ сается второго, то он посвящен вопросам астрономии. В нем описан 5 8. И, Березкина 65
иньский календарь, изложена космологическая теория «гай-тянъ» (буквально «небо-покрывало»). Нас более интересует первый свиток, где’речь ведется о теореме Пифагора и других проблемах, относящихся к математике древнего периода. Эта часть трактата о гномоне наиболее древняя. Считается, что трактат был составлен до эпохи правления династии Цзинь, (265—420 до н. э.). Это с одной стороны, а с другой — полагают, что трактат появился не ранее Чжань-го (V—III вв. до н. э.), по¬ скольку до этого времени больших связных текстов и не могло появиться. Дж. Нидем указывает, что трактат о гномоне появился за 200 лет до «Математики в девяти книгах», а последний издатель «Десятикнижья» Цянь Бао-цун — что за 100 лет до нее [110, с. 13; 149, с. 24; 150, с. 19]. Диалог между Чжоугун Данем и Шан Гао естественным обра¬ зом распадается на два фрагмента. Первый фрагмент посвящен теореме Пифагора. Упоминается случай «египетского треуголь¬ ника», когда стороны равны 3, 4, 5. Во втором фрагменте обсуждена проблема измерения расстояний до недоступного предмета. Во вто¬ ром же диалоге, т. е. в объяснениях Чэнь-цзы своему ученику, ста¬ вится конкретно эта задача в форме проблемы измерения расстоя¬ ния до Солнца. Здесь изложена та самая древняя астрономиче¬ ская задача, которую затем в III в. н. э. Лю Хуэй переделал в ма¬ тематическую, поставленную определенно и имеющую конечное решение (см. выше п. 7). Первоначальным названием трактата о гномоне было просто «Чжоу-би». В самом тексте памятника в диалоге Чэнь-цзы с Жун Фаном дается объяснение этого термина. Иероглиф «чжоу» обо¬ значает столицу чжоуских ванов. Ныне это г. Лоян провинции Хэнань. Иероглиф «би» означал шест для измерения солнечной тени. Позже такой шест обозначался иероглифом «бяо», например в тексте Лю Хуэя. Таким образом, чжоу-би — это гномон, и все «действие» в трактате развертывается вокруг вопросов измеритель¬ ной астрономии. Поэтому древнекитайское сочинение о гномоне больше относится к истории китайской астрономии, хотя и со¬ держит интересующие историков математики сведения. Для астро¬ номических измерений потребовались теорема Пифагора, действия с дробями и другие математические знания, которыми обладали к этому времени древние китайцы. Правитель Чжоугун^Дань спрашивает Шан Гао: «Мы наслы¬ шаны, почтенный сановник, о Вашем искусном владении числами. Разрешите спросить Вас. В древности легендарный правитель Фуси учредил календарь, измерения и другое. Но ведь в небе можно и не взвешивать шэнами, а на земле можно и не мерять длину с помощью чи и цуней. Так скажите, пожалуйста, откуда все же взялись числа [или величины, шу. — Э. Б. ]?» Вопрос философский д задан для того, чтобы ученый муж дал ответ: откуда, собственно, взялась математика и что это за наука? На это Шан Гао дает также не менее философский ответ : «Число¬ вые [т. е. математические. — Э. В Л методы происходят из круга 66
и прямоугольника, прямоугольник происходит от угольника, угольник исходит от таблицы „девятью девять — восемьдесят один14». В этом отрывке форма записи чисел древняя, как на иньских костях, в фольклоре и в притчах Чжуан-цзы; таблица «девятью девять — восемьдесят один» — таблица умножения. Далее рас¬ сматривается треугольник со сторонами 3, 4, 5 и говорится, что «площади двух квадратов, построенных на катетах гоу и гг/, в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотенузе треугольника. Вот как Фуси управлял Поднебес¬ ной, вот откуда возникли числа». Здесь изложен древнекитайский принцип точных наук, уста¬ навливается цепочка причин, по которой идет логическое раз¬ витие науки. Зачем понадобились числа, откуда они взялись? — вот основной вопрос, волнующий правителя. Что же отвечает «искусный в числах» важный сановник? В основе вычислительного искусства, которое понадобилось легендарному Фуси, лежит угольник. С его помощью получают окружность, возможно, как геометрическое место точек вершин прямых углов, опирающихся на диаметр — общее для них осно¬ вание. В окружность вписывают прямоугольник, составленный из двух одинаковых угольников. Как видно, древним китайцам, как и древним ионийцам, было известно свойство угла, опираю¬ щегося на диаметр, и теорема Пифагора для случая 3, 4, 5. Числа же подчиняются таблице умножения «девятью девять». Такова попытка «обоснования» вычислительного искусства в соответствии с общим положением о числовой гармонии, напол¬ нявшей мир, напоминающей пифагорейский принцип «все есть число», отраженной в классической «Книге перемен». Вторая часть диалога Чжоугуна с Шан Гао касается «Дао угольника», т. е. ««Великого Закона» об угольнике. Здесь, в ча¬ стности, говорится: «Кружа угольником, получают круг; скла¬ дывая угольники, получают прямоугольник. Прямоугольник — это земля, круг — это небо, небо круглое, земля прямоугольная. Для вычисления [площади] прямоугольника есть правило, для круга [надо] исходить из прямоугольника». Это место Чжао Цзюнь-цин комментирует весьма подробно. Сначала он замечает, что сущность вещи, называемой угольником, беспредельна. И далее подробно поясняет вторую фразу приве¬ денной нами цитаты: «Вещи либо круглые, либо прямоугольные, числа либо четные, либо нечетные. Небесные движения являются кругами, их числа нечетные. Земной покой является прямоуголь¬ ником, его число четное. Все это соответствует идее инь-ян и не есть в действительности само тело Небо и Земли. Небо (в действи¬ тельности) нельзя осмотреть, Землю нельзя наблюдать целиком, как же можно определить их кругом и квадратом?» [100]. «Идея инь-ян» — идея двух противоположностей. Мы видим, что Чжао Цзюнь-цин еще в III в. н. э. понимал условность схемы древнего высказывания и хотел это подчеркнуть учащемуся. Разумеется, 67 5*
в утверждении «вещи либо круглые, либо прямоугольные» слово «круглые» обозначает «закругленные», а «прямоугольные» — «угло¬ ватые», но круг и прямоугольник рассматриваются как характер¬ ные представители этих двух видов вещей. Любопытно, как комментирует Чжао Цзюнь-цин послед¬ нюю фразу: «Сам прямоугольник измерить просто, круг измерить трудно. Покрытие прямоугольника обычное, круг нужно много изменять. Поэтому установлена данная система правил. Метод [вычисления площади круга ] состоит в том, что полуобвод и полу- диаметр, умноженные друг на друга, дают [площадь] прямо¬ угольника, [равновеликую площади данного круга]. Можно также умножить диаметр и обвод и взять четверть. Можно умно¬ жить диаметр на себя, разделить на 4 и взять три части. Можно обвод умножить на себя, взять одну 12-ю. Поэтому говорят: „Круг исходит из прямоугольника41» [100]. Такая интерпретация весьма близка к рассуждениям Лю Хуэя в его примечаниях к задачам на вычисление площади круглых полей в книге I «Математики в девяти книгах». Далее в комментариях Чжао Цзюнь-цина приведено его до¬ казательство теоремы Пифагора, основанное на конфигурации, в которой квадрат построен на диаметре круга как на гипотенузе и равен по площади сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника. В трактате о гномоне, как мы уже упоминали, изложена древне¬ китайская космологическая гипотеза гай-тянъ («небо-покрывало»), которую называли также «теорией чжоу-би» [149, с. 24—31]. Гипотеза гай-тянъ также основана на натурфилософском прин¬ ципе инъ-ян. Такую пару противоположностей составляют небо и земля. Небо круглое, земля квадратная — такова метафора, которая связывает пару «земля—небо» с парой инъ—ян, и небо на¬ ходится в движении, а земля в покое. Небу соответствуют нечет¬ ные числа, земле —^четные. Земля и небо взаимно параллельны — они или плоские, или выпуклые поверхности. Для учения 'гай-тянъ нужно было знать четыре арифметических действия, а также извлечение квадратного корня из любого числа, была нужна теорема Пифагора, хотя бы в том ее частном слу¬ чае, когда стороны треугольника равны 3, 4, 5 или пропорцио¬ нальны им, нужно знакомство с подобием треугольни¬ ков. Далее с помощью измерений тении гномона определяется время солнцестояний и равноденствий, причем применяется линейная интерполяция. Здесь используется гипотеза и цунъ цянъ ли (бук¬ вально "один цунъ — 1000 ли); длина тени гномона увеличивается или уменьшается на \ 'цунъ, если от места измерений уйти на север или на юг по меридиану на 1000 ли. В подлиннике говорится весьма лаконично: «Длина гномона 8 чи. В день летнего солнцестояния тень — 1 чи 6 цуней. Шест — это катет гу, тень — катет гоу. [Если отойти] прямо на юг на 1000 ли, катет гоу [будет равен] 1 чи 5 цуней. [Если пойти] прямо на север 1000 ли, катет гоу 68
(будет равен] 1 чи 7 цуням» [100], Метод подробно исследован в [153]. Здесь же в разъяснениях «законов Неба» Чэнь-цзы излагает метод определения диаметра Солнца: Солнце наблюдают через бамбуковую трубку длиной в 8 чи=80 цуней и диаметром отвер¬ стия в 1 цунь. Диаметр Солнца находится по известным диаметру, длине трубки и расстоянию от наблюдателя до Солнца. Здесь последнее принимается за 100 000 ли. Отсюда из пропорции диа¬ метр солнца равен}1250 ли. Вот соответствующее место трактата: «Возьми бамбук, пустой внутри, диаметром в 1 цунь, длиной в 8чи. Наблюдай. [Если] внутренность [трубки] полностью совмещается с Солнцем, [то] Солнце соответствует пустоте [трубки]. Исходя из этого наблюдения, коэффициент 80 цуней дает диаметр в 1 цунь. . . От шеста до Солнца по косине 100 000 ли. Взяв ко¬ эффициент из расчета: 80 ли дает 1 ли, 100 000 ли дают для диа¬ метра 1250 ли. Поэтому говорят, что диаметр Солнца — 1250 ли» [100]. Для вычисления расстояния от наблюдателя до Солнца «по косине» рассматривается треугольник с вершинами в точках S — Солнце, Р — проекция по вертикали Солнца на Землю, называе¬ мая здесь «нижним Солнцем» (жи ся), и М — глаз наблюдателя. Стороны такого треугольника соответственно равны: SP=80 000 ли, РМ=60 000 ли, тогда по теореме Пифагора SM^lOO 000 ли. Таким образом, здесь рассматривается треугольник со сторонами, пропорциональными числам 3, 4, 5. Посмотрим в подлинник: «При солнцестоянии шест в том месте, где Солнце вертикально над головой, тени не имеет. При солнце¬ стоянии по вертикали Солнце [находится] [на расстоянии] 80 000 ли. Если искать косину Солнца при солнцестоянии, то ка¬ тет гоу — это [расстояние до] „нижнего Солнца14, катет гу — вы¬ сота Солнца. Гоу и гу, умноженные сами на себя, сложи, извлеки квадратный корень делением, получишь косину при солнцестоянии. От [места, где поставлел] гномон [т. е. «би». — Э. Б.], до Солнца по косому [направлению] 100 000 ли» [100].
Часть вторая ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ Эта часть посвящена не самим математическим методам, а вопросам, лежащим в основе математики любой древней цивили¬ зации и передающим ее специфику, ее «колорит». Речь идет о тех¬ нике вычислений. Проблема подробно описана О. Нейгебауером [56, с. 18—19, 56, 96]. От того, насколько хорошо освоены и разработаны действия с числами, зависит развитие математических методов, особенно в древние эпохи. В истории математики достаточно хорошо из¬ вестны техника вычислений древнего Египта и древней Месопо¬ тамии — два ярких, сравнимых между собой по времени примера того, как на различных вычислительных основах строилась ма¬ тематика той или другой древневосточной цивилизации. И мало известна техника вычислений древнего Китая, которую иногда совсем не упоминают, хотя она существенным образом дополняет общую картину развития математики в древности ([23; 66] и др.)- Египетская арифметика была основана на десятичной, но не¬ позиционной нумерации и не знала дробей р том смысле, как мы понимаем их теперь: всякую дробь mln записывали в виде суммы аликвотных дробей 11к. Эта задача, стоявшая в центре внимания египетского вычислителя, решалась с помощью деления, и это было отнюдь не тривиально, так как в египетской арифметике все действия, в том числе и деление, сводились к удвоению, раз¬ двоению и сложению [23, с. 22 и след. ]. При делении подбирались такие удвоения и раздвоения делителя, которые бы в сумме со¬ ставили точно делимое. Законченная исторически, как сама древне¬ египетская цивилизация, предельно простая в своей основе, но сложная и громоздкая по структуре вычислительная система ло¬ гически исчерпала себя решением задач, сводящихся к линейным и неполным квадратным уравнениям, которые решались при помощи метода ложного положения, основанного наид ее про¬ порциональной зависимости. Квадратные уравнения — удел древ¬ них вавилонян. В древнем Двуречье в отличие от Египта история развивалась не так статично. Одни народы исчезали, другие появлялись, одна культура сменяла другую, и в результате их синтез привел к сов¬ сем иному примеру вычислительной техники. Здесь еще в третьем тысячелетии до н. э. шумеры создали клинописное письмо и пози¬ ционную нумерацию с основанием 60, которые затем были заим¬ ствованы многими народами Передней Азии. Вавилоняне, наслед¬ 70
ники шумеров, сумели развить математику дальше. В начале второго тысячелетия до н. э. появляются первые ростки алгебры как науки о решении уравнений, уже не связанной непосредственно с расчетными задачами [23, с. 54—58]. Методы решения квадрат¬ ных уравнений были разработаны благодаря тому, что вавилоняне полностью овладели числовыми процедурами и достигли высокого уровня проведения тождественных преобразований. Вавилонская техника вычислений представляла собой первую в истории пози¬ ционную арифметику, шестидесятеричную с шестидесятеричными дробями, которые были легко введены из-за неабсолютности ну¬ мерации: в ней не было нуля в конце чисел. Проблемой номер один было отыскание обратных величин для того, чтобы можно было деление заменить умножением на обратное число: alb=ab~1 [56, с. 41]. Большие затруднения вызывало деление на «неправильные» числа типа 7, 11, 13 и другие, приводящее к бесконечным шестидесяте¬ ричным дробям. Клинописной технике вычислений, для которой вообще характерны числовые таблицы (умножения, извлечения корней и др.), были свойственны именно таблицы обратных чисел и обратных постоянных величин. Третьим примером развития вычислений техники на древнем Востоке, вполне сопоставимым с первыми двумя, хотя и не во времени, но по существу своему, является древний Китай. Лю¬ бопытно, что древнекитайская техника вычислений имеет много общего с вавилонской, хотя хронологически ее необходимо срав¬ нить с древнеиндийской и древнегреческой. Китайская техника счета, как египетская, была основана на десятичной нумерации, но, подобно вавилонской, — и это главное— пользовалась позиционным принципом. Получили развитие как обыкновенные дроби, так и систематические дроби, десятичные. В этом смысле китайская арифметика весьма близка к современ¬ ной, европейской, однако происходящей от индийской. В древнем Китае большую роль играла счетная доска с осуществленной на ней позиционной системой счисления. Благодаря ей на первое место ставились вопросы алгоритмичности правил, теории опера¬ ций, что проявилось, пожалуй, еще в большей степени, чем в Ва¬ вилоне, в преимущественном развитии алгебраических методов 1150, с. 151, 156]. Китайские источники существенным образом дополняют об¬ щую историческую картину развития вычислительных методов в древности. Этот пример из истории науки, несмотря на его спе¬ цифичность, в совокупности с другими позволяет более полно выяснить различные общие вопросы, например происхождение позиционного принципа и появление нуля, создание современной системы счисления; вопросы введения десятичных дробей в мате¬ матику- и взаимодействия метрологии и счета; вопросы формиро¬ вания понятия числа и расширения числовых областей (рациональ¬ ные, действительные, отрицательные числа) и др. Развившись сравнительно рано до уровня почти современной европейской, древнекитайская арифметика в силу обстоятельств осталась как бы 71
в стороне от общего хода истории. Вначале прогрессивные вычис¬ лительные средства древнего Китая оказались, как это бывает в истории, в дальнейшем консервативными по сравнению с ушед¬ шими вперед в своем развитии европейскими. Это, впрочем, также тесно связано с общей историей Китая. Перед нами удивительные исторические явления того, как при наличии, казалось бы, всех предпосылок для создания современной системы счисления в древ¬ нем Китае, в эпоху, более раннюю, чем это произошло в Индии, при раннем открытии позиционного принципа, все же не было сделано последнего, решающего шага — изобретения нуля. По¬ чему-то развитие вдруг,’ остановилось и китайцы так и остались у порога величайшего открытия. Аналогично обстояло дело с де¬ сятичными дробями. Поняв их принцип, введя их фактически в ма¬ тематику, китайцы не смогли преодолеть традиции именованной нумерации, так и оставив десятичные разряды с индивидуальными наименованиями. Мы постараемся выяснить причины этого. Глава первая СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ 1. Как считают китайцы? Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохра¬ нилась до наших дней. Хотя в настоящее время в математической литературе употребляется общепринятая система счисления, в оби¬ ходе, на страницах газет мы встречаемся с традиционной нумерацией. Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принци¬ пом записи чесел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 3,1-я колонка ^ таблицы). Всякое число может быть записано и произнесена с помощью этих знаков: сначала — цифра, обозначающая >4 число единиц разряда, за ней — название самого разряда. ^Так как китайское письмо не буквенное, а иероглифическое, то запись получается компактной. Например, число 38071 представляется так (с&. рисунок слева). Китайская запись , производится сверх/ вниз справа налево и от послед- I ней страницы нашей книги к первой. Если китайские цифры — заменить современными, а разряды римскими, то эту иерог¬ лифическую запись можно передать в виде: 3N 8М 7Х 1, где буквой N мы обозначаем десятки тысяч (вани), для которых в римской системе нет обозначения. Китайскую запись можно передать также в виде 38071=3*10000+8.1000+7.10+1. У китайской нумерации имеется два характерных отличия от современной европейской. Во-первых, разряды в китайской системе объединяются в классы не по три, как принято у нас, а по 72
Цифры - ПДУ70¥К{/ ча i ^ | § 1% ЛЯ.дянз. -XT/d нз. XlUfi. ms. 1 st ip х ^ I 1 I 1 N $ ^ / / и зр — = 1 - II = 1 ~ II = J саиь = = III S III = ш сы = Illi s Illi X = X J ж У X X lllll 1 iiiii 0 i 6 6 ✓Ч J7W А Л Л T± T ± 7 •ь + + 11 T ± S А )( X ¥ h ¥ =b У X цзю S mi=k IX i * /О + ши 1 ♦ т Ж бай W @ /ш * тянь * /шя -н- $ дань /7 V У7ЦН О Рис. 3 четыре. Впрочем, древнегреческие классы также были четырех¬ разрядными. Если мы говорим: «Тридцать восемь тысяч и т.д.», то китайцы буквально говорят: «Три десять тысяч восемь тысяч и т.д.». Следовательно, ванъ, равный 104, является «новой единицей», единицей следующего, второго класса. Его разряды: единицы запей, десятки ваней, сотни ваней и тысячи ваней. Вань ваней, носящий специальное название и, составляет 108 и является единицей следующего, третьего класса. Дальнейшие 4-й, 5-й и т. д. классы строятся аналогично. Во-вторых, в китайской системе счисления нет нуля. Это отли¬ чие от современной системы счисления наиболее существенно. 73
Без нуля мы не можем обойтись в том случае, если какой-нибудь разряд отсутствует (в нашем примере отсутствуют сотни). Китайской системе нуль не нужен, так как в ней всякий раз указывается* к какому разряду принадлежит цифра. Если разряд не назван, значит, у числа его нет. Таким образом, если в нашей письменной позиционной нуме¬ рации для каждого разряда нужна одна цифра, а ее значение, при¬ надлежность к разряду определяется в зависимости от ее положе¬ ния в ряду других цифр, в китайской нужны два знака: цифра и название разряда. Как видим, китайская система счисления с мультипликативным принципом записи очень близка к пози¬ ционной. Такого рода нумерацию Б. JI. ван дер Варден называет именованной позиционной [23, с. 74]. Стоит только в ней опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позици¬ онную. Такой переход был совершен в Индии, являющейся родиной современной системы счисления. Хотя позиционными нумерациями пользовались еще в древней Месопотамии шумеры и вавилоняне в III—II тысячелетиях до н. э. и более поздние народы, переняв¬ шие у них шестидесятеричную нумерацию, а в Центральной Америке майя в самом начале нашей эры, именно в Индии не позже VII в. н. э. десятичная позиционная система окончательно сфор¬ мировалась и затем распространилась по всему миру [146]. Ка¬ ким образом произошло изобретение нуля и затем передача системы другим народам, остается не до конца ясным и до сих пор занимает историков науки. По этому поводу существуют различные гипотезы [6; 126]. Однако в имеющейся литературе не отмечено, как от¬ носились к4 индийской системе счисления древние китайцы. 2. О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления Широкая волна распространения индийской системы счисле¬ ния по всему миру не могла не достигнуть Китая, у которого с Ин¬ дией, «белой страной», как иногда называли ее китайцы в древности^ к этому времени были достаточно тесные контакты. Полагают, что китайцы начинают знакомиться с буддизмом еще в I в. н. э., хотя поначалу эта философская доктрина, близкая учению дао- систов, была встречена весьма неодобрительно со стороны конфу¬ цианцев [73, с. 150; 106]. Однако начиная с IV—V вв. и особенно в эпоху Тан (618—912 гг.) буддизм, приспособленный конфу¬ цианцами для своих целей и поддержанный правительственными кругами, становится в Китае одной из официальных религий. К VIII в. буддийские монастыри в Китае, владевшие землей и ра¬ бами, занимавшиеся ростовщичеством, настолько усиливаются, что правительство было вынуждено предпринять против них ряд репрессий. Среди обширной переводной литературы с санскрита, послужив¬ шей мощным стимулом к развитию книгопечатания, были труды 74
по календарю, которому китайцы на протяжении всей своей исто¬ рии придавали первостепенное значение. Так, в период Кайюань (713—741 гг.) было издано сочинение «Кай юань цзянь цзин» индийца Сиддхарта под китаизированным именем Цюйтань Сида. Здесь рекомендовались индийские цифры [95, т. V, с. 47 и след. ]. Их изображения в современных изданиях не сохранились, как плохо сохранились «индийский цифры» в западноевропейских пере¬ водах трудов среднеазиатского математика IX в. ал-Хорезми, познакомившего арабов с этими цифрами. О нуле ал-Хорезми говорит, что это «маленький кружок» [61]. Но из текста Цюйтань Сиды видно, что нуль он изображал точкой. Индийские цифры не привились в Китае, как не привились алфавиты, предлагаемые учеными того времени. После первой волны чужеземного влияния пятью столетиями позже пришла от арабов вторая и оставила свои несколько более заметные следы. Под влиянием арабских методов в Китае был введен счет на абаке — пудидин. В XIII—XIV вв. в Китае появилась арабская литература. Сравнительно недавно в Сиани была обнаружена железная плита тех времен, на которой выгравирован магический квадрат с восточно¬ арабскими цифрами, где нуль обозначен не точкой, а кружком [114]. Тем не менее индийская система счета с арабскими цифрами снова не привилась в Китае. Еще долгое время даже в заимствованных у арабов методах вычислений они заменялись китайскими. Совре¬ менные цифры и символика (буквенные формулы) начали употреб¬ ляться в переводной литературе только в XIX столетии, когда китайцы стали знакомиться с западной высшей математи¬ кой. Таким образом, система счисления в Китае оставалась без изменений, так как еще в древности именованная позиционная система счисления была приспособлена к счетному прибору, ко¬ торым пользовались при выполнении вычислений. Техника вы¬ числений на счетной доске принципиально мало отличалась от современных действий с числами. Китайцам не было особой нужды заимствовать индийскую арифметику, у них была своя, вполне их удовлетворявшая. Там, где непосредственно производились вычисления, китайцы пользовались десятичной позиционной нуме¬ рацией, а при письме для фиксирования результатов или записи начальных данных применяли десятичную именованную позицион¬ ную систему. Аналогично обстояло дело у древних шумеров и ва¬ вилонян, оперировавших с числами в позиционной шестидесяте¬ ричной системе счисления, но записывавших условие и ответ в не¬ позиционных десятичной и шести-десятичной устных нумерациях. Поэтому современная система счисления не была изобретена в Ки¬ тае, где для нее были те же предпосылки, что и в Индии [81, с. 121 ]. Счет десятками велся с незапамятных времен, и никакого другого, по существу, в математике древнего Китая не было. От группового -счета вместе с образованием письменности возник мультиплика¬ тивный принцип записи чисел ^индивидуальные знаки для чисел 75
от 1 до 9. Во время вычислений производилось опускание разрядов и для отсутствующих разрядов оставлялось пустое место. Напомним «индийские условия» возникновения современной системы, которые, конечно, отличались от китайских своими исто¬ рическими деталями. В конце I тыс. до н. э. и начале I тыс. н. э. в Индии существовало несколько нумераций, все они были с основанием 10. Два вида древнего письма: брахми и кхарошти — дали два способа представления чисел при письме (тексты с начала III в. до н. э.). Судя по всему, система брахми, распространенная на большей части территории Индии и бытовавшая долгое время, сыграла большую роль, хотя в обеих системах в изображении чисел после 100 употреблялся мультипликативный принцип за¬ писи. В системе брахми в отличие от кхарошти, в которой приме¬ нялся аддитивный принцип, имелись индивидуальные знаки для чисел от 1 до 9, а также для 10, 20, , 90. Начертание первых девяти чисел наводит на мысль о том, что наши цифры — трансформация их, хотя существует и другая точка зрения. Позиционность была выработана в тех системах, которые упот¬ реблялись в астрономических, математических текстах. Впервые позиционный принцип зафиксирован в тексте примерно V в. н. э. «Сурья-Сиддханта», где таблицы синусов написаны по традиции стихами. Цифр в этой системе нет, вместо них называются словаг обозначающие предметы, всегда встречающиеся по одному, по два и т. д. Например, для цифры 1 употребляются слова «Луна», «Земля», «Брахма»; для цифры 2 — глаза, руки, близнецы и т.д. Отсутствующие разряды обозначались при этом словом «дыра». Очевидно, эту нумерацию нельзя признать в качестве совершенной позиционной системы, поскольку в ней нет цифр и производить действия в ней было бы весьма затруднительно. Математик и аст¬ роном V в. н. э. Ариабхата считал более удобным обозначать числа слогами — этому способствовал санскритский алфавит. У нега числа от 1 до 25, а также 30, 40, 50, 60, . . . , 90, 100, как в ал¬ фавитных системах типа греческой, славянской, обозначены со¬ гласными буквами. Гласные буквы выражают степени 100. Нуль не нужен, потому что гласные буквы в сочетании с согласными (слоги) указывают, к какому разряду принадлежит цифра: еди¬ ницам и десяткам, сотням и тысячам и т. д. Здесь соблюден принцип именованных разрядов, нет длинных слов — числительных, на позиционного принципа нет. Его вводит в данную систему счета ученик Ариабхаты Бхаскара I. Один и тот же слог у нега стал обозначать и единицы, и десятки, и сотни в зави¬ симости от места, занимаемого слогом. Слог для 4 может обозна¬ чать 40, 400. Для нуля он ввел особый слог. Запись ведется на* чиная с единиц. Обе ситуации, китайская и индийская, логически ничем на отличаются, хотя исторически конкретные условия были различ¬ ными. Анализируя историю позиционных систем у вавилонян, индийцев и китайцев, можно отметить в первых двух случаях существование нескольких нумераций у одного народа и введение 76
позиционной для удобства вычислений. В третьем, китайском, случае путь оказался «прямым», но и здесь позиционность была введена вычислителями. И еще одно общее обстоятельство для истории нумераций: нуль был введен довольно поздно. Рассмотрим вопрос о нуле подробнее. 3. Чей же нуль? Кому посчастливилось открыть волшебный знак нуля, который занял равное место в ряду других цифр, обозначая в отличие от них «ничто»: либо пропуск разряда, либо, на конце, кратность 10. Главное заключалось в том, что нуль стал не только разделитель¬ ным знаком, но приобрел, выражаясь языком современной алгебры, свое собственное значение нейтрального элемента группы целых чисел по сложению. При помощи девяти цифр и нуля, т. е. сравни¬ тельно небольшим числом знаков, стало возможным изображение любого натурального числа в весьма компактном и наглядном виде. Среди высоких оценок этого великого изобретения выделяются образные слова французского математика, механика, астронома XVIII—XIX вв. Лапласа, которые мы здесь приведем: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько про¬ ста, что именно из-за простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась сокрытой» [61. Рассмотрим, когда и для чего был введен нуль в позиционных системах. Подчеркнем одно общее обстоятельство: этот знак обычно вводился на заключительном этапе развития нумерации. У вавилонян нуль был введен на закате развития их системы счисления. Это можно объяснить как наличием большого основания, так и существованием счетного прибора, когда в нуле не особенно нуждались. Но когда в V в. до н. э. вавилонские астрономы стали проводить вычисления с большими числами, был введен специаль¬ ный разделительный знак, ставившийся внутри числовой записи. Он обозначал отсутствующий разряд или часть его (в шестидеся¬ теричной системе разряды двузначны), до этого делали просто пропуск в записи. Александрийские астрономы, записывавшие целые числа в греческой алфавитной системе, следуя за вавило¬ нянами, пользовались шестидесятеричными дробями, знаки ко¬ торых они записывали алфавитными знаками от а=1 до vu=59. Именно для обозначения дробей они ввели для нуля букву о (омик¬ рон), численное значение которого «70» не встречалось при обозна¬ чении дробей. Считалось, что выбор буквы о объясняется тем, что это первая буква слова ooSsv — «ничто». Китайцы повторяют путь вавилонян. В их именованной по¬ зиционной системе нуль не нужен, а на счетной доске достаточно было оставить пустую клеточку, равносильную пропуску в поздне¬ вавилонской нумерации. Настоящий нуль зафиксирован у Цинь Цзю-шао в XIII в. 77
Как полагают [114], этот нуль в виде кружка О получился от первоначального его изображения в виде клеточки счетной доски □ , употреблявшегося в календарных разделах «Истории династии Тан» и «Истории династии Сун». Но уже в календаре «Да мин» употребляется кружок. Словесный нуль в Индии появился в V в. в виде термина «сунья» (ничто). Нуль в виде точки зафиксирован в надписи на каменной стелле 876 г. из Гвалиора (Индия), где изображено число 270 [159]. Однако сравнительно недавно были найдены более ранние свидетельства употребления нуля в виде точки и в виде кружочка на территории Индокитая, относящиеся к 683 и 686 гг. Вопрос о том, где возник нуль, обсуждался многими истори¬ ками науки [160]. Г. Фрейденталь [126] и за ним Б. JL ван дер Варден [23, с. 77] полагают, что нуль был заимствован от греков индийцами, пользовавшимися при составлении «Сурьи-Сиддханты» сочинениями александрийских астрономов. Действительно, в «Сурье-Сиддханте» много греческих терминов (кендра — рас¬ стояние до центра, липта — минута и др.). В VI в. в трудах Джинабхадро Гани и других индийских астрономов порядок сле¬ дования цифр в числовой записи изменился. Стали писать, как греки и вавилоняне, от старших разрядов к младшим, тогда как ранее писали, начиная с единиц и десятков; обыкновенные дроби стали изображаться, как в позднегреческих папирусах: числитель под знаменателем, без разделительной черты. С другой стороны, на основании новых находок Дж. Нидем считает, что нуль пришел в Индию не с запада, а с востока и что он возник на стыке индийской и китайской культур [150, с. 11]. В пользу этой гипотезы говорит то, что в китайской системе счис¬ ления число всегда записывалось от старших разрядов к младшим, а дроби располагались на счетной доске так, что числитель оказы¬ вался над знаменателем. Отметим также, что VI столетие — период довольно интенсивного обмена культурными ценностями между Китаем и Индией, который происходит вот уже несколько веков. Таким образом, всем пунктам гипотезы Г. Фрейденталя можно противопоставить аналогичные пункты, связанные не с греческим, а с китайским влиянием. Тем не менее пока у нас нет достаточных данных, чтобы отдать предпочтение одной из указанных двух ги¬ потез. 4. Узелки и зарубки Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью. В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы 78
чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древ¬ ности пользовались узелками на веревках и управляли (госу¬ дарством], а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве» [92, с. 1 ]. Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI— V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел. У нас нет оснований сомневаться в таких сообщениях. Многие народы недавнего прошлого, не имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева. Хорошо известны в литературе перуанские квипу — узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков. Существуют свидетельства о древ¬ них персах и об индийских племенах прошлого века, обозначав¬ ших числа с помощью узелков на веревках [6]; от таких узелков, кстати, произошли четки. В северном^Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев [92, с. 1]. В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной до¬ щечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую но¬ сили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40 (см. с. 82).' В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении пер¬ вого тысячелетия до н. э. писали на бамбуковых и деревянных дощечках. 5. Становление китайской системы счета Как считали первобытные жители бассейна р. Хуанхэ? К сожа¬ лению, приходится ограничиться лишь письменными свидетель¬ ствами более позднего времени. В классической литературе ста¬ ринного Китая введение цифр десятичного счета приписывается Ли Шоу, министру легендарного Хуанди (XXVII в. до н. э.), первого китайского правителя. Имя «Желтого императора» весьма популярно в китайской традиционной истории, мы не первый раз с ним встречаемся. Древним народам было свойственно относить величайшие изобретения к легендарным личностям. Например, в древнегреческой трагедии Эсхила Прометей говорит: Для них я выдумал Науку чисел, из наук важнейшую, Сложенью букв я научил их [76, с. 36]. FT Но уже от XIV в. до н. э. существуют археологические данные, по которым мы можем вполне реально установить десятичность китайской нумерации, а также принцип числовой записи. Это пер¬ вые китайские письменные памятники эпохи Инь (XVII—XII вв. до н. э.), с которой начинается достоверная история древнекитай¬ ской цивилизации. В 1899 г. были обнаружены тексты на «драконовых костях» у знахарей главным секретарем императорской Академии наук 79
Ван И-жуном, которому рекомендовали лечиться от малярии магией. Это были черепашьи панцири и кости животных, на которых были вырезаны гадательные фразы. Кости были предварительно расколоты на пластинки и обточены в виде овала. Фразы содержали пророчества и сообщали о свершении предсказанного. На обо¬ ротной стороне в выдолбленной ямке сжигали ритуальные травы или прикладывали раскаленную бронзу. По образовавшимся трещинам формы Д (откуда^и произошел этот иероглиф бу, означающий га¬ дание) судили о хороших и плохих предзнаменованиях. Кости были найдены в руинах иньского городища у деревни Сяо-тунь уезда Аньян провинции Хэнань, а также в селе Луншань в огромных количествах. Нашли 161 989 штук костей, содержащих в среднем по 10 знаков. Гадательные надписи относятся к периоду У-дин (1324—1265 гг. до н. э.), когда были еще заметны остатки матри¬ архата. Надписи довольно однообразны, гораздо интереснее фразы, выгравированные на бронзе. Они содержат до 500 иероглифов. Китайская бронза в истории столь же знаменита, как греческий мрамор. Сосудов найдено довольно много (до 10 тыс.), но не все из них надписаны и, как правило, неизвестно место находок. Поэтому датировка бронзы не столь точна, как датировка костей. Очень многие сосуды, считавшиеся иньскими, на самом деле оказались принадлежащими следующей эпохе Чжоу. Известно, что иньцы пользовались календарем [63]. Сам иероглиф нянь, т. е. год, означал годовой урожай и слагался из трех: жень фу хэ, что передавало фразу: «человек несет хлеб». Год состоял из 12 месяцев, «високосный» из 13. В «большом меся¬ це» было 30 дней, в «малом.месяце» — 29, употреблялись также декады. Дни считали по шестидесятеричному циклу ганьчжи, который в дальнейшем лег в основу традиционного китайского лето¬ исчисления. Обнаружены надписи с иероглифами — циклическими знаками цзя цзы [63, 87]. Отмечают, что в столице иньского тосу- дарства был устроен деревянный водопровод с гор. Единицей об¬ мена была связка раковин-каури, которые, возможно, служили ук¬ рашениями или тотемами^В иньском обществе существовала целая категория чиновников, связанных с вопросами культуры: пред¬ сказатели (бу), летописцы (ши), врачеватели (у), священнослужи¬ тели (чжу). Они были связующим звеном между верховным небесным владыкой шанди и земным повелителем сяди [86, с. 21—22J. ГЙньские тексты и чжоуская бронза повествуют о становлении китайской системы счисления, которая развивалась, очевидно, вместе с письменностью^ Для развития китайской письменности характерны упрощенные пиктограммы и фонограммы [89].(Именно эпоха Инь является «живой» историей китайской нумерации, по¬ тому что впоследствии она, по существу, не менялась. В иньских текстах обнаружены все цифры десятичной системы (см. рис. 3, четвертую колонку таблицы). Вид некоторых из них весьма напоминает зарубки на дереве. Изменяясь с течением вре¬ мени, они превратились в современные. Обнаружены также на¬ 80
звания степеней десяти (см. там же). Эти знаки также прообразы современных числовых разрядов. Мы видим, что в иньском обществе проблема нумерации была решена успешно. В это время, пожалуй, только вавилоняне об¬ ладали более совершенной системой счисления. У китайцев, как у большинства народов, что зависит, по всей видимости, от паль¬ цевого счета, в основании счета лежало число 10. Выбор основания, впрочем, несуществен для нумерации, он принципиально может быть любым. Технические совершенства нумерации определяются способом представления чисел. Функции нумерации не ограничи¬ ваются их фиксированием, а главным образом заключаются в про¬ изводстве операций с числами. Иньцы считали десятками и в пределах только первого класса. Самое большое число, встречающееся на костях, 30 ООО. Среди различных числовых записей много чисел, кратных 10 и его сте¬ пеням: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 800, 900, 1000, 3000, 4000, 5000, 8000, 10 000, 30 000 [94, с. 3-4]. Эти записи указывают, что счет был десятичным и предельным числом был ванъ — 104; вероятно, этого было вполне достаточно для практических нужд. Возможно, что четырехразрядность классов — дань традиционному, ограниченному владению числовым рядом. У многих древних народов число 4 (от двоичного счета) было свя¬ щенным. Пифагорейцы клялись этим числом. Представим себе древнего жителя эпохи Инь, которому, напри¬ мер, надо пересчитать какие-нибудь плоды. Ведя счет десятками, счетчик из каждых 10 плодов составляет кучку. Когда таких кучек наберется 10, все плоды, а их 100, инец соберет в одну кучу. В свою очередь каждые 10 таких куч образуют большую кучу, груду, в которой всего 1000 плодов. Десять груд составят, наконец, огромную кучу, больше которой или больше несколь¬ ких таких больших куч плодов практически быть не может. В со¬ знании счетчика каждой куче плодов, которые различаются на глаз, соответствует свое число и свое «имя»: 10, 100, 1000,10 000 — десяток, сотня, тысяча, ванъ. Но пока он воспринимает эти кучи больше как совокупности плодов (числа), нежели как новые раз¬ рядные единицы (имена). Вот если бы каждой куче из 10 плодов счетчик поставил в соответствие какой-нибудь цветной шар, на¬ пример красный, тогда 100 плодов представились бы 10 красными шарами. Предположим, что кучу из 100 плодов обозначили зеленым шаром, тогда 1000 плодов отождествилась бы с 10 зелеными ша¬ рами. Белый шар обозначал бы груду из 1000 плодов, а черный — 10 белых шаров, т. е. 10 000 плодов. В этом случае красный, зеленый, белый, черный шары и есть числа-совокупности в своем новом качестве. Каждый из них не столько обозначает определенное число- груду из 10, 102, 103, 104 плодов, сколько новую единицу, разряд числа. В таких обозначениях числа, кратные 10, будут соответ¬ ствовать какому-то количеству (в пределах десяти) шаров одного цвета и будут символизировать кучи плодов соответствующего размера. 6 Э. И, Березкина 81
Мы старались показать формирование мультипликативного принципа (введение цветных шаров). Для чисел, кратных 10, он применим легко. А как поступали в общем случае при записи числа общего вида? Может быть, на иньских костях нет таких чисел? Напротив, подобных записей немало. Это изображения чисел: И, 12, 13, 14, 15, 25, 33, 37, 41, 56, 157, 164, 199, 299, 348, 350, 659, 2626, 13 081 (сюда же включены числа, выгравированные на иньской бронзе) [94, с. 4]. Для этих записей характерно употребление составных иеро¬ глифов и употребление соединительного союза «и» между разрядами. Например, число 659 начертано на бронзовой чаше-треножнике «Даюй» в виде ^ э* X (буквально: «шестьсот и пятьдесят и девять») [88, с. 33—34] б. Числа 600 и 50 являются составными иероглифами, а между ними и цифрой 9 стоит союз «и». Такого рода комбинации не были постоянными. Например, для 50 встречаются другие варианты: £ или X |. Последнее, раздельное написание характерно для чисел, кратных 10: число 30 встречается в виде = | [94, с. 18], число 5000 — в виде X ^ [88, с. 33—34]. Составные иероглифы указывают на то, что степени десяти еще не осознаются отчетливо в своем новом качестве, именно в качестве названий раз¬ рядов, которое уже ясно в более простых числах, как 30, 50, 500. (Для древнего еще кучи плодов, а не цветные шары.) Поэтому потребовался соединительный союз для усвоения компактности, связности, единства числовой записи (соответственно все плоды надо считать в единой куче). Постепенно, с освоением мультипликативного принципа, союз «и» исчезает. Вот пример «чистой» записи: ^ ^ ^ буквально: «две тысячи шестьсот пятьдесят шесть» [94, с. 33—34]. Другой пример, в котором нерегулярно употребляется и союз, и состав¬ ные знаки: ~ ® ¥ 1+Н / V • Здесь изображено число 348, буквально: «три сотни и сорок восемь» [88, с. 33—34]. Итак, вначале раздельное написание чисел, кратных степеням десяти, комплексная запись составными иероглифами и употреб¬ ление соединительного союза; затем отказ от соединительных слов, а также переход к раздельному написанию числа общего вида, — вот этапы формирования именованной позиционной си¬ стемы, ведущей происхождение от группового счета. Иньские тексты свидетельствуют о таком образовании китайской нумерации. Посмотрим, как она развивалась далее. 6. Большие числа Как мы видели, для счета древнему китайцу сначала было до- статочно четырех разрядов, которые и образовали первый класс. Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань», приписываемая исторической традицией Бань Гу: $ Перевод цитаты полностью см. в книге Го Мо-жо [87, с. 58]. 82
«Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ва- нями» [94, с. 18] 6. Действительно, ванъ, т. е. 10 ООО, первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань» (IV в. до н. э.) говорится: «Вань есть полное число». В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но ванъ писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, ты¬ сяч — комбинации единицы с древним иероглифом для этих раз¬ рядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, ванъ употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (ср. даже современ¬ ное «ваньсуй», десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «(^олыпой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет». В «Истории Ранней Хань» сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», — фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни». / Иногда же просто говорили: «Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь», — фраза из «Истории Поздней Хань». Или там же: «Клеветники исчислялись ванями». Предельные числа, указывающие границы практической нуме¬ рации, в разное время были различными у каждого народа. У сла¬ вян, например, тьма, несведь сначала обозначали 103, а затем 104, а еще позже так называли 106 (тысячу тысяч), и понимались всегда как очень много, несчетно много, больше и представить нельзя. Сороконожка (поскольку в славянском языке 40 также в свое время означало предельное число, ср. «сорок сороков» церквей и т. п.) называется мириадоножкой от греческого слова «мириада», т. е. 104. Всевидящая египетская богиня Изида по-гречески «мириадо¬ именная», «мириадоглазая». Тысяча египтянами воспринималась как бесконечность, а шумеры изображали ее в виде диска, т. е. полного числа. Подобных примеров в истории очень много. Но границы человеческой деятельности постепенно раздвига¬ лись, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II—III вв. до н. э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, большие ваня. Предлага¬ лись различные системы (см. [49, с. 23; 81, с. 23; 98; 101, 150, с. 87]). Сначала, по-видимому, название давали каждому новому раз¬ ряду ваня: 105, 106, 107, . . . , 1012 (см. столбец I табл. 1). Иногда это делали, начиная с третьего класса (см. столбец II табл. 1). * Приведенные нище примеры см. там же. 83 6*
Таблица 1 Название I II III IV У Вань 10* 10* 104 10* 10* И 105 108 108 10® 108 Чжао 106 10® 1012 101в 101« Цзин 107 Юю 1016 1024 1032 Гай 108 1011 1020 1032 1064 Цзи 109 1012 1024 1Q40 1012S Сянь 101° — 1028 — — Цзай 1011 — 1Q32 — — Цзу Ю12 — 1036 — — Жан 1013 1Q48 10» Гоу 1014 1066 ю* Цзянь Ю1# 1064 102'* Чжен 1016 1072 ю2" Цзай 1017 Ю80 102” Однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 104, 10®, 1012... . . . , 1036 (см. столбец III табл. 1). Пример такого числа содер¬ жится в тексте «Математики в девяти книгах»: «1 вань 6 тысяч 4 сотни 4 десятка 8 и 6 тысяч 6 сотен 4 десятка 3 ваня 7 тысяч 5 сотен» [100, т. 1, с. 155]. В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем — это и, хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом чжао. И и чжао обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.). В эпоху Тан (VII—IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом — так называл их Кун Ин-да, ком¬ ментатор «Лицзи». Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит, в том, чтобы до 108 поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использо¬ вать всякий раз все названия вплоть до 108. Приведенный выше пример из «Математики в девяти книгах», вероятно, выражен в такой системе. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 10®, 1016, 1024, . . . , 1080 (см. столбец IV табл. 1). Самый быстрый рост степеней — это когда всякий раз удваивается их счет: 104, 108, 1016, 1032, 1064, . . . , 10122 (см. стол¬ бец V табл. 1). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них. Например, в «Математическом трактате Сунь-цзы» указаны «обыч¬ ная система» и «большой счет» (дату, см. столбцы II и IV табл. 1) [49, с. 22—23]. А в книге «Шу шу цзи и» (VI в. н. э.) указаны три 84
счета: «нижний», «средний», «верхний», что можно перевести также как «малый», «средний», «большой» (см. столбцы I, III, V таблЛ1) [100, т. II, с. 540]. Это часто поясняет Чжэнь Луань в своих ком¬ ментариях к древним текстам в трактатах «Десятикнижья». Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов. В старой русской нумерации также существовал «малый» и «великий» счет: «тьма» означала соответ¬ ственно 104 и 10002, «легион» — 10б и 10004, «леодр» — 106 и 1000* и т. д. Так же обстоит дело с нашими терминами «миллион», «бил¬ лион», «триллион» и т. д., которыми в Америке и во Франции обо¬ значаются разряды 106, 109,1012, . . . , а в Англии и Германии — разряды 106, 1012, 1018, . . . Помимо отмеченных нами чисто китайских систем построения разрядов, в буддийской литературе начиная с IV—V вв. н. э. рекомендуются другие системы, связанные с индийской нумерацией, в которой классы строятся по три разряда, а также по два. От¬ метим, что в Индии счет больших чисел производился еще в III в. до н. э. После числа «коти», т. е. 107, назывались еще 23 числа, вплоть до Ю7+2’23, что составляло только «первый счет», всего «счетов» было девять, и последним называлось число 107 +9 *46 = 10421— индийцы любили большие числа. Знаменитый греческий математик Архимед (III в. до н. э.) в «Псаммите» [3] построил систему счисления для больших чисел, где «первыми числами» называются числа до 108, «вторыми» — числа 108 *108 и т. д. Все эти числа составляют «числа первого пе¬ риода». Далее аналогично можно построить «числа второго периода» и т. д. до числа 108-го периода. Аполлоний же считал тетрадами 104. У греков не было специальных названий для разрядов. Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифмети¬ ческую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1). Глава вторая АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ; 7. Счетная доска Для нас совершенно очевидно, что при вычислениях в имено- ванной позиционной системе удобно опускать названия разрядов, точнее, при оперировании с числами подразумевать их, не обозна¬ чая явно, а там, где нет разряда, оставлять пустое место. Однако, когда мы так рассуждаем, следует учитывать, что мы интуитивно предполагаем вычисления на бумаге. И хотя бумага была изобре¬ 85
тена в Китае очень рано, вычисления производились не на ней, особенно в древнее время. В 105 г. н. э. Цай Лунем был предложен рецепт производства бумаги из коры деревьев, древесины, старых рыболовных сетей и тряпок. До этого времени начиная примерно с X в. до н. э. для письма пользовались бамбуковыми дощечками, а с IV в. — шелком. На деревянных дощечках или бамбуковых планках, очищенных от коры и просушенных у огня, вырезали знаки ножом или писали палочкой, которую макали в красящее вещество, вероятно сок лакового дерева; ножом также стирали написанное неверно. На планке помещались всего одна-две строки, иногда писали еще на обороте, таким образом, помещалось от 8 до 30—40 иероглифов. Если текст был длинным и умещался только на нескольких планках, то на их концах делали отверстия и связывали веревкой, ремешком. В «Шицзи» рассказывается о том, как Конфуций, усердно изучая «Ицзин», должен был трижды обновлять ремешки, связывавшие дощечки, на которых она была написана. Известный экономический трактат «Гуань-цзы» (при¬ мерно V в. до н. э.) также был первоначально записан на бамбуко¬ вых пластинках, как предполагают исследователи, а затем в конце эпохи Хань был переписан на бумажных свитках [72]. Возможно, такова же была судьба некоторых ранних математических текстов, например «Математики в девяти книгах», и именно поэтому они не содержат пространных рассуждений и рисунков. В III в. до н. э. Мэн Тянь стал писать кисточкой по шелку. Шелк накручивался на палочку в виде свитка (цзюанъ). Шелк был дорог, поэтому продолжали употреблять дощечки. Интересно, что первые книги из бумаги также были в виде свитка. Палочки окра¬ шивались в разные цвета в зависимости от того, к какому отделу относилась книга. Книга могла достигать 10 м длины и более. Один конец такой полосы приклеивался к палке, на другой наклеи¬ валась бумага или ткань, которая образовывала обложку. Свиток завязывался тесемками, 5—10 свитков вкладывались в чехол из ткани, на который наклеивалась этикетка с названиями опреде¬ ленного цвета. Такие книги были распространены в V—VI вв. н. э. Такой вид имело и математическое «Десятикнижье». Впослед¬ ствии форма свитка сохранилась только для картин, книги же стали делать по-другому. В эпоху китайского Возрождения Суй и Тан делались книги-гармоники, книги листовые, в эпоху Сун книги-бабочки с двойными согнутыми листами, склеенными бумаж¬ ным клеем. Начиная с эпохи Мин делали картонные книги, Кото¬ рые уже приняли современный вид [69]. Отсюда понятно, что в древние эпохи математические тексты были лаконичными, объяснения давались устно, а выкладки про¬ изводились на счетном приборе. Такой же аргумент в пользу суще¬ ствования счетного прибора у вавилонян приводит И. Н. Веселов¬ ский [25, с. 438]: трудно представить себе, чтобы они производили умножение и деление в своей шестидесятеричной системе счисления в уме, в то время как описание этих действий в решениях отсут¬ ствует. Правда, в отличие от вавилонских китайские тексты содер¬ 86
жат описания правил этих двух операций, но уже довольно позд¬ ние. Ниже мы их подробно рассмотрим. В древней математической литературе нет описаний счетных приборов, но их существование можно обосновать помимо при¬ веденных выше соображений также построением правил в виде алгоритмов или указаний типа: «делай так», «затем так» и т. д. Эти правила не просто рецепты отыскания неизвестного, но, по существу, программы для простейшей счетной машины, в которых указана последовательность операций, совершаемых над данными числами по определенным правилам [83, с. И]. Некоторые из этих правил являются специфическими, относящимися только к счетному прибору. На это указывают такие слова, как «сдвинь», «установи», «отступи на разряд, отступи еще», «объедини в одно» и др. Сведения о счетных приборах содержатся в исторических и других книгах, дающих описание древних эпох. В частности, в пер¬ вом китайском словаре I в. н. э. «Шовэнь» приводится толкование счетных палочек суанъ: «Суань — прибор из бамбука, длиной в 6 чи, употребляется при вычислениях календаря» [95, т. IV, с. 1—8]. Самое раннее название счетных палочек цзе, широко распростра¬ нены были также наименования суанъ-цзы, чоу, чоу-суанъ, чоу-цзе, суанъ-чоу [94, с. 139—144]. Длина счетных палочек менялась, со временем они становились короче. Пдлочки делались из бамбука или веточек дерева, позже из слоновой кости, металла, нефрита. С открытием отрицательных чисел стали употреблять две формы палочек: с квадратным сечением (отрицательные) и треугольным (положительные) или (например, у Лю Хуэя) двух цветов: черные (отрицательные) и красные (положительные). Комплект палочек с треугольным сечением состоял из 216 штук, так что они в сло¬ женном виде в сечении представляли шестиугольник, а квадрат¬ ные палочки — квадрат, вмещающий 144 штуки. Полагают, что счетные палочки появились не позже IV в. до н. э., в период расцвета древних наук эпох Чуньцю и Чжаньго ими широко пользовались. В эпоху Тан счетные палочки носили у пояса в чехле, и тогда их делали пустотелыми, цилиндричес¬ кими. Очевидно, в приведенной выше цитате из «Шовэня», которая в той или иной вариации повторяется в более поздней литературе, имеется в виду не только набор счетных палочек, но именно счет¬ ный прибор в целом. В самом иероглифе суань (его древнее начерта¬ ние было несколько иным) в верхней части (того и другого) пишется знак бамбука. Средняя часть старого иероглифа означает «манипу¬ лировать». В современном иероглифе можно усмотреть изображе¬ ние разграфленной доски, на которой располагались счетные па¬ лочки. Была ли доска действительно разграфлена так, как пока¬ зано в иероглифе, или наподобие шахматной доски — точно не известно. Сначала счетные палочки раскладывались просто на столе или ровной площадке, а затем на специальной разграфлен¬ ной доске. 87
8. Позиционный принцип Каким образом изображались числа на счетной доске? При по¬ мощи единичных палочек по пятеричной системе — отвечают на этот вопрос Сунь-цзы и Сяхоу Ян в своих трактатах: «Начиная с шести и более пятерка кладется наверху. Шесть не есть [простое] собрание счетных палочек, пять не есть единич¬ ная палочка» [49, с. 23; 100, с. 558]. Эта рифмованная песенка- поговорка в негативной форме сообщает о построении чисел от 1 до 5 при помощи простого собрания единичных счетных палочек: в числах же от 5 до 9 первые пять палочек заменяются одной, по¬ ложенной перпендикулярно остальным (см. две последние колонки на рис. 3). Для представления многозначных чисел на счетной доске пользовались чередованием то вертикального, то горизон¬ тального их положения, поскольку на доске нельзя было иначе обозначить разряды, особенно если доска не была специально разделена на колонки. Первую письменную формулировку позиционного принципа мы находим в тех же трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Обе фор¬ мулировки почти не различаются. Сунь-цзы объясняет: «В методах, которые употребляются при обычном счете. . . [сле¬ дует] познакомиться с разрядами: единицы вертикальны, десятки горизонтальны; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки выгля¬ дят одинаково, десятки тысяч и сотни — тоже» [49, с. 23]. Разумеется, этот принцип был выработан значительно ранее эпохи, когда жили оба автора, — счетная доска применялась уже за много веков до них. 9. Арифметические операции Как производились четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление на китайской счетной доске, легко представить. Принципиально они не отличались от совре¬ менных, но поскольку действия производились не на бумаге, а при помощи счетных палочек, то имелись некоторые технические осо¬ бенности. Например, при вычислениях использованные цифры снимались с доски, так что проверку произвести уже было нельзя. Действия производились в порядке от старших разрядов к млад¬ шим: если написанное на бумаге исправлять неудобно, то поло¬ жение палочек на доске можно изменить без труда. Расположение на доске чисел не было таким, какое мы применяем ныне: частное от деления двух чисел располагалось над делимым и т. п. (мы уви¬ дим это далее). Конечно, эти детали интересны для более полного и конкретного представления техники вычисления в древнем Ки¬ тае, однако нам более важно рассмотреть логическую сторону операций, на которую мы постараемся обратить внимание в нашем изложении. Очевидно, два первых действия на китайской счетной доске не представляли затруднений, чем и объясняется то, что мы не 88
можем найти их описаний ни в одном древнем сочинении, тогда как умножение и деление вызывало обсуждение у древних авторов ма¬ тематических трактатов. Аддитивный характер представления цифр палочками при выполнении позиционного принципа делает сложение и вычитание простыми. Судя по описанию умножения и деления, при которых производится сложение и вычитание част¬ ных произведений, два первых арифметических действия выпол¬ няются так, как это делается на наших счетах или в вавилонской нумерации, где числа представлялись аддитивно клиньями двух видов [30, с. 105]. Конечно, требуется складывать числа в соответст¬ вующих разрядах и знать правило перехода из разряда в разряд, а также учитывать пятеричность в представлении чисел; при этом можно обойтись даже без таблицы сложения, которую мы выучи¬ ваем наизусть в начальный период обучения арифметике и потому не замечаем ее применения. Действительно, «два плюс три будет пять» на доске просто означает соединение двух палочек и трех палочек вместе, в результате чего автоматически получается пять палочек. Если же палочек больше пяти, то каждые пять, как мы видели, заменяются одной, расположенной перпендикулярно остальным. Если число палочек более десяти, то каждый десяток их заменяется одной палочкой в соседнем, старшем разряде. «Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]», — рекомендует по этому поводу Сунь-цзы [49, с. 23]. Вычисление производится слева направо, а не наоборот, как мы привыкли; и по мере сложения разрядов цифры второго сла¬ гаемого исчезают, а на месте первого появляются сумма, она одна и остается на доске в конечном счете. Приведем пример на сложе¬ ние: 3851+472=4323. Очевидно, числа располагаются так, чтобы в одной колонке ока¬ зались цифры одного одноименного разряда. Последовательность действий схематично можно передать так: а I Т II g ^ Т II л II i Первый старший разряд первого слагаемого оставляют в покое — в этом примере его складывать не с чем (положение а), вторые в сумме дают 12, одна палочка добавляется в первый слева раз¬ ряд, во втором оставляется две палочки (положение б). Далее ана¬ логично (положения в ж г). Этот процесс напоминает инструмен¬ тальный счет, которым, по существу, и теперь пользуются малень¬ кие дети. Еще не зная таблицы сложения, они не могут ответить сразу, сколько будет, если сложить три и четыре, и должны вос¬ пользоваться пальцами, чтобы непосредственно сосчитать: 3, 4, 5, 6, 7. 89
Вычитание производилось аналогично сложению, расположе¬ ние на доске, по-видимому, сохранялось: уменьшаемое на месте суммы — в верхней строке, вычитаемое — во второй строке снизу, разность — в пустой строке снизу. Таким образом, непосредственно на доске можно выполнить одну простую операцию — прибавление, присоединение единицы, и для двух первых действий большего не требуется. Для двух дру¬ гих, умножения и деления, надо было разработать комплекс та¬ ких простейших операций. Тогда сложные операции окажутся своего рода «блоками», из которых составилась бы более сложная машина, решающая сложные задачи. В них умножение и деление уже считались б!ы простыми операциями. Возникает (первона¬ чально, конечно, интуитивно) теория операций. В сочинении Сунь- цзы приведены правила умножения и деления как «методы, которые употребляются при обычном счете», — автор этого математиче¬ ского трактата, интересы которого лежали в области вычислений, понимал необходимость определения этих операций [83, с. 11]. Вся сложность умножения заключается в том, как правильно разместить по колонкам вспомогательные произведения, т. е. промежуточные результаты. Остальное обеспечивается таблицей умножения и умением складывать. Так же как сложение и вычи¬ тание, умножение начинается со старших разрядов. Умножаемое располагается в верхней строке, множитель в нижней, а частные произведения размещаются в середине, между ними. По мере умножения цифры множителя и умножаемого исчезают одна за дру¬ гой. Прочтем древнего автора: «Правило, которое [употребляется] всякий раз при умноже¬ нии, [следующее]. Установи разряды [чисел] одни под другими [так, чтобы числа] в верхней и нижней [строках] были соответ¬ ственно расположены. В верхней [строке] разряды суть десятки, за десятками следуют сотни, за сотнями следуют тысячи, за тыся¬ чами. . . Нижние [разряды] умножь на верхние. Числа, кото¬ рые получаются, помести в ряд в средней строке. Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]. Ту [цифру] раз¬ ряда в верхней [строке], которая до конца использована при умно¬ жении, убери. Ту [цифру] разряда в нижней [строке], которая до конца использована при умножении, передвинь вместе со всеми остальными вправо. Шесть не состоит из груды палочек, пять не является единичной [палочкой]. Когда в верхней и нижней [стро¬ ках разряда] перемножишь, то полностью все будет выпол¬ нено» [49, с. 23]. Далее в трактате приводится пример: 81.81=6561. Схема действий представляется следующим образом (в наших цифрах): 90
/ 5 £ в 0 / 8 / я * 8 / в / 0 / a 0 J Я / / J Я / / Я * 8 Я / где Мы видим, что разряды, в которые надо помещать частные произве¬ дения, определяются при помощи движения множителя. Это место в правиле описано нечетко, но главное заключается в том, чтобы обратить внимание на расположение множителя в нижней строке. Надо, чтобы его самый младший разряд находился под самым стар¬ шим разрядом множимого (положение а). Как только все числа разрядов умножены на первую цифру множимого (положения б и в)у она убирается (положение в). Множитель передвигается вправо на один разряд (положение г), этим самым произведена подготовка к умножению второй цифры множимого на множитель (положе¬ ния дне). Вот текст решения этого примера: «Установи разряды один под другим. В верхней [строке] 8, в нижней — 8. Восемью восемь [дает] 64, т. е. внизу 6400, [это число] занимает среднюю строку. В верхней [строке] 8, в нижней 1. Одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 80. Пере¬ двинь вправо [цифры] на один разряд, сними в верхней строке 8 десятков. В верхней строке 1, в нижней 8, одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 8 десятков. В верхней [строке] 1, в нижней 1. Одиножды один дает 1, т. е. в средней строке будет 1. Разряды в верхней и нижней строках убраны, и в средней строке получилось 6561» [49, с. 24—25]. Что касается деления, то «Правило, которое [употребляется! всякий раз при делении, прямо противоположно умножению: результат умножения находится в центре, результат деления на¬ ходится в верхней строке», — сообщает Сунь-цзы вслед за описа¬ нием умножения. Это утверждение нетривиально, так как связь этих двух действий была установлена значительно позже, чем сами эти действия. Исторически они возникли независимо друг от друга и получили различные интерпретации: умножение — как задача на нахождение площади земельного участка по заданным сторонам, деление — как задача на распределение некоторого количества, например денег, между людьми. Особое внимание при делении также уделялось расположению чисел на доске: делитель размещался так, чтобы он находился под первыми разрядами слева от делимого, в тех колонках, которые 91
составляют число, делящееся на этот делитель. Поэтому Сунь-цЗы далее специально разъясняет на конкретном примере: «Пусть б является делителем, 100 делимым. Чтобы 100 разде¬ лить на 6, следует передвинуть его [т. е. делитель] по разрядам выше на две позиции, так что [делитель] окажется непосредственно под сотнями. Если 1 делить на б, то делитель больше, а делимое меньше, и деление невозможно. Поэтому [шесть] надо передви¬ нуть влево, в разряд десятков. Делимое дели на делитель, одно [из них] 6, а раздробленное [число] 100 является 10 десятками, по¬ этому можно производить деление. Если делимое больше, делитель меньше, [цифру] сотен не надо помещать в соседний разряд. По¬ этому правило перехода в разряды таково: то, что [обозначает] десятки, устанавливается в разряде десятков; то, что [обозначает] сотни, устанавливается в разряде сотен» [49, с. 23—24]. Пример приводится несколько ниже, он обратен предыду¬ щему: 6561 : 9=729. Схематически представим его так: J £ / я 7 6 6 / У У 6 / а б 3 7 / 9 7 2 2 6 / Я 7 2 Я / У г д е ж Правильность этой последовательности схем, приведенных нами, подтверждается текстом правила: «Сначала установи 6561 в средней строке, это делимое. [Коли¬ чество] „9 человек4* в нижней строке есть делитель. В верхней строке установи 700. В верхней [строке] 7, в нижней 9. Семью девять [дает] 63. Вычти из средней строки 6300, в нижней строке [число] передвинь влево на один разряд. В верхней строке уста¬ нови 20. В верхней [строке] 2, в нижней [строке] 9. Дважды девять [дает] 18. Вычти из средней строки 180, [число] в нижней строке также передвинь влево на один разряд, тогда в верхней строке установи 9. В верхней [строке] 9, в нижней 9. Девятью девять [дает] 81. Вычти из-средней строки 81. Средняя строка исчерпана полностью. Убери [число] в нижней строке, в верхней строке получится то, сколько получит [каждый] человек» [49, с. 25]. Такие подробности правил (это нам надо иметь в виду при чте¬ нии этих цитат) объясняются тем, что на доске не было нуля, 92
я поэтому надо было всякий раз напоминать о нуле на конце: «100 является 10 десятками», «установи 700» и т. д. Кроме того, нам сле¬ дует отметить, что деление демонстрируется древним автором дей¬ ствительно на примере распределения поровну некоторого коли¬ чества между участниками дележа: «6561, {^человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек?» [49, с. 25]. Еще одно замечание, которое нам в дальнейшем потребуется, касается деления с остатком. У Сунь-цзы в конце правила деления, процитированного выше, специально оговаривается: «Правило [при делении] с остатком всегда такое: если во время деления делимое имеет излишек, то объяви делитель; делитель возьми в ка¬ честве знаменателя, остаток делимого — в качестве числителя» [49, с. 24]. Специальное выражение «объяви делитель» означает, что следует, по-видимому, прочитать это число, «считать» его с?доски именно в качестве знаменателя дробной части остатка, числителем которого будет остаток от делимого. Ниже эта про¬ цедура будет рассмотрена особо. 10. Таблицы В истории древней математики хорошо известны вавилонские таблицы умножения, обратных значений, квадратных корней и др. У древних китайцев также были числовые, таблицы. Прежде всего необходима была таблица умножения от 1 -1 до 9*9, с применением которой мы уже встречались выше. Составлялись и другие спе¬ циальные таблицы, свидетельствующие о большом размахе вы¬ числительной деятельности в древнем Китае. Таблица умножения называлась «Девятью девять» (цзю цзю) по своей первой строке. Это была треугольная таблица с двумя входами, в которой произведения шли в порядке от 9*9 до 1*1: Таблица 2 9.9 = 81 8 • 8 = 64 2.2 = 4 1.1 = 1 9 . 8 = 72 8-7 = 56 2-1 = 2 9-2 = 18 8-1 = 8 - 9-1 = 9 Таблица заканчивалась контрольной фразой: «Всего 1155», т. е. указывалась сумма всех произведений таблицы. При распе¬ вании таблицы учеником наизусть и одновременном откладывании результатов на доске или на счетах «накапливается» это известное для контроля число. На счетах оно представляется косточками, расположенными по одной попарно слева и справа. Предание приписывает изобретение этой таблицы мифическому Фуси, и тогда она была символом вообще счетного искусства. В ма¬ тематическом трактате о гномоне говорится: «Фуси составил для чисел „Девятью девять" и познал устройство Вселенной» [100, с. 1]. 93
$ * * 3. 2. аг ь Г? А Я- А А + * п Я j\, Чг -*г ^ ^ * л. в? ^ ^ S\~ #t * 1 + +Г ^ Л < лХ» — > ^ ^ - f- -*Г -tf ->С '+ AT itr Г у\ t& У ГГ а? д. дЯ ixJ* ,*•<*» 1* ^ ^ /V- •> -*“ *Л> •6- ^г Рис. 4. Бамбуковые дощечки с таблицей умножения из Дунхуанских пещер Это созвучно высказыванию ассирийского владыки Ашшурба- нипала, постигшего «мудрость Набу, все искусство писцов», тол¬ ковавшего «явления небес с учеными жрецами», решавшего «слож¬ ные задачи с умножением и делением, которые не сразу понятны»... Очевидно, и китайский автор имеет в виду календарные рас¬ четы, которыми регулировалась жизнь Поднебесной. До нас дошли таблички из Дунхуанских пещер (примерно IX в. н. э.) [93]. Бамбуковые пластинки еще ханьских времен, на которых лаком написан текст (см. рис. 4). Кроме этой таблицы, которую будем называть обычной, в «Математическом трактате Сунь-цзы», а также в математических текстах из Дунхуанских пещер [94, 94
с. 28—36] содержится более общая таблица умножения, которую назовем в отличие 6т первой расширенной. В ней предложены все произведения вида m2ri2 и тп2, где п=9, 8, .... 1, а т—п, . . . ..., 2,1. В^развернутом виде ближе к тексту ее можно передать так [49, с. 24—27]. Таблица 3 9.9.81 = 6561 6561 :9 = 729 , ... 2-2.4 = 16 16:4 = 4 1.1.1 = 1 8-9.72 = 5184 5184 :8 = 648 , ... 1-2.2 = 4 4:1=4 1.9.9 = 81 81:4 = 81 Где применялась такая таблица, неизвестно, но что она была спе¬ циально составлена по примеру обычной таблицы умножения, подтверждается фразой в конце каждого ее столбца: «Справа [в столбце] „Девятью девять“ получается 405, умножь само на себя, получишь 164025 и т. п.». Заключает таблицу фраза: «Справа от „Девятьюдевять" до „Одиножды один “ получается всего 1155. Умножь само на себя, получишь 1 334 025. 9 человек делят это, [каждый] человек получит по 148 225» [49, с. 25, 27]. Это значит, находится 2 ».(«-!-(» — 1)+ ... —1) = 1155; я=9 затем квадрат этого числа, а затем производится деление на 9 {в духе всей таблицы). В «Математическом трактате Сунь-цзы» есть еще другие таб¬ лицы, назначение которых пока неясно. В одной из них вычис¬ ляются 3я+1(4.3я), 2 • Зя+1 = -3"+t(4 • 3I!, Т(4.3») где /1=1, 2, . . ., 11. В другой серии таблиц трактата Сунь-цзы производится перевод десятых долей в двадцатые, девятых долей в восемнадцатые и т. д., до перевода пятых долей в десятые. 11. Счеты Китайские счеты суанъ-панъ, буквально «счетное блюдо», получили известность в истории сравнительно недавно как при¬ бор, которым в совершенстве владели китайцы и японцы (рис. 5). В Японии счеты назывались сорабан и имели почти такое же строе¬ ние, основанное на пятеричной системе, но на проволочках слева у них были не две, а одна косточка. Однажды в Японии провели со¬ ревнование между американцем, вооруженным арифмометром, и японцем, владевшим искусством счетов, победил японец [150, с. 75]. 95
Рис. 5 Рис. На счетах отложено 1 234 567 890 . Трудно сказать, когда возникли счеты, но они были широко рас¬ пространены в Китае в XV в. [127 ]. В это время существовало множе¬ ство арифметических руководств, непременной частью которых было описание проведения операций на счетах [91, 96]. Китайские счеты, по-видимому, произошли от счетной доски [141 ]. Они также основаны на пятерич¬ ной системе. Основная рама разде¬ лена на две неравные части, в од¬ ной из них находится по пять косточек на каждой проволоке, в другой — по две. Каждые пять косточек одной части равносильны одной косточке в другой. Вторая из двух косточек не нужна, и в японских счетах ее не делают: ведь каждые две косточки немед¬ ленно заменяются одной на следую¬ щей проволоке, означающей более старший разряд (рис. 6). Количество проволок бывает разным, материал для счетов ис¬ пользуется самый различный, от бамбука до слоновой кости, как для рамы, так и для косто¬ чек. 96
После распространения бумаги счетная доска перестала, по- видимому, быть необходимой, математики XIII—XIV вв. прово¬ дили свои вычисления на бумаге, в их сочинениях появились схемы расчетов, чего не было в трактатах «Десятикнижья». Цифры, которые применяли в расчетах, были, однако, зарисовкой счет¬ ных палочек. Быть может, счетная доска применялась еще при обучении в школах, подобно тому как наши первоклассники поль¬ зуются счетными палочками или демонстрационными счетами с ко¬ сточками в классе, но, оставшись достоянием учителей, она стала превращаться в счеты у вычислителей. Сначала раскладывались косточки на блюде, косточки могли быть различных цветов, двух и более. Затем косточки стали нанизывать на проволоку. История китайских счетов по древней литературе, главным образом нема¬ тематической, изложена у Лакуперье, Дж. Нидема, Ли Ян я, Гудрича [91; 127, 138; 150]. Мы не будем останавливаться на под¬ робностях этой истории, так как нас интересует древняя история, когда счетов еще не было. Глава третья ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Весьма примечательно, что в китайской истории мы находим не только принцип неограниченного построения системы больших чисел, но и распространение этого принципа на область дробных чисел [120, 174]. Как и вавилоняне, китайцы пользовались систе¬ матическими дробями: вавилоняне пользовались шестидесятич¬ ными дробями, китайцы — десятичными. Десятичные дроби у ки¬ тайцев были метрологического происхождения [12, 119, 175]. Поскольку китайская нумерация была именованной позиционной, то и дроби также были именованными, а на счетной доске эти наиме¬ нования как для целого числа, так и для дробных разрядов опу¬ скались, и представленное на доске число оказывалось как бы в современной позиционной записи. В области построения десятич¬ ных разрядов иногда, по-видимому, буквально соблюдали прин¬ цип образования разрядов для целых чисел. Например, в книге Лю Цзиня «Люй люй чен шу» эпохи Юань число 106368,6312 было записано так [98]: Десятки Вани 108 100 10 Единицы Тысячи Сотни Десятки Единицы ваней ху фэней - _L III _L ¥ ± III - II 7 Э. И. Березкина 97
Здесь в качестве единицы взята мера емкости ху, десятичные доли выражены фэнями. Класс фэней, как и класс для ху (целых), также составили из четырех разрядов: единицы, десятки, сотни и тысячи фэней. 12. Роль китайских десятичных дробей в истории науки Десятичные дроби, как известно, окончательно вошли в мате¬ матику лишь в XVII столетии в связи с логарифмами, и произошло это в Европе. Сама обстановка, как отмечают историки матема¬ тики, уже в конце XVI в. была такой, что идея десятичных дробей «носилась в воздухе». Официальным годом их рождения в истории математики признают 1585 г., когда вышла в свет книга С. Сте- вина (1548—1620) «Десятая», которая была издана в качестве при¬ ложения к французскому изданию «Практика арифметики» [166]. После Дж. Непера (1550—1617), родоначальника логарифмов, где десятичные дроби широко применяются, они прочно утвердились в математике вместе с новой десятичной позиционной арифметикой и ныне стали достоянием всякого получившего школьное образо¬ вание. Однако история десятичных дробей начинается задолго до эпохи новой математики и своими корнями уходит в глубокую древность. Хотя еще в средневековой Европе математики в отдель¬ ных случаях в разное время приходили к идее десятичных дробей, они лишь повторяли историю. Законченная теория десятичных дробей была создана в трудах среднеазиатского математика XV столетия Джемшида ал-Каши, хотя дроби встречаются еще в X в. у ал-Уклидиси [38, с. 214]. Ал-Каши описал операции над ними в книге «Ключ арифметики» (1427), он пользуется десятичными дробями в «Трактате об окружности» [40]. И ал-Каши, и европейские математики строили десятичные дроби по аналогии с шестидесятеричными, которые по традиции, восходящей к вавилонским и эллинистическим ученым, применя¬ лись в астрономии. В «Ключе арифметики» ал-Каши описывает десятичные дроби наряду с шестидесятеричными и дает таблицы перехода от одних к другим и обратно. Шестидесятеричные дроби пришли от вавилонян, от которых греки унаследовали астрономию и первоначальные математические знания. Греки целую часть числа записывали в своей десятичной системе, а дробную — в ше¬ стидесятеричной. По древнегреческим астрономическим сочине¬ ниям познакомились в Индии и на арабоязычном Востоке, а также в средневековой /Европе с шестидесятеричными дробями. Но так как по всему миру постепенно распространилась десятичная по¬ зиционная нумерация, то математики пришли со временем к по¬ строению десятичных дробей взамен вавилонских. Последние лишь остались в исчислении времени: час, минута, секунда. История десятичных дробей в древнем Китае отдалена от этой эпохи на полторы тысячи лет и была совсем иной. Здесь понятие 98
десятичной дроби развивалось в «чистом» виде: ведь в Китае не было шестидесятеричных дробей. Весьма любопытно, каким об¬ разом китайские математики уловили преимущества десятичных дробей без логарифмов и тригонометрических функций, на том уровне науки, который был в то время. И еще: не было ли более тесной связи между китайской вычислительной техникой и арабо¬ язычной наукой, чем нам она известна без истории десятичных дробей? Возможно, что ал-Каши ввел десятичные дроби под влия¬ нием китайцев 7. Форма записи десятичных дробей у ал-Каши на¬ поминает китайскую. Ал-Каши иногда обозначал десятичные раз¬ ряды красным цветом, или целую часть числа отделял от дробной вертикальной чертой, или заключал эти две час'ги числа в прямо¬ угольники. Ал-Каши обычно обозначал названия разрядов деся¬ тичной дроби, но иногда называл только последний разряд. Все эти способы представления применялись и китайцами. Истори¬ чески оказались наиболее перспективными последние два способа. Даже С. Стевин пользовался ими с той лишь разницей, что вместо названий разрядов он употреблял их цифровые обозначения. Но главное родство методов заключается, конечно, не в записи, а в области применения десятичных дробей. Ал-Каши использует их при измерении окружности, вычислении числа тг, но и китайцы применяли их также в этой области. Рассмотрим, как это делалось.. 13. Метрологические дроби Неудовлетворенный «грубым» приближением ти=3, которым пользовались в традиционной математической литературе древнегб Китая, Лю Хуэй в комментариях к «Математике в девяти книгах» вычисляет более «точное» значение при помощи правильных впи¬ санных многоугольников. Он выражает отрезки, которыми опери¬ рует, десятичными долями меры длины чи: цунями, фэнями («долями»), ли («порядковыми»), хао («шерстинками»), мяо («тон¬ чайшими»), ху («паутинками»). Например, «1 цунь 3 доли 8 шер¬ стинок 6 паутинок» у него соответствует числу 0,130806. (Мы на¬ меренно оставляем меры, имевшие хождение на практике, в китай¬ ской транскрипции и переводим остальные, чтобы подчеркнуть характер этого выражения.) Если же число не может быть выра¬ жено в пределах этих единиц, то остаток представляется обыкно¬ венной дробью. Например, «1 цунь 3 доли 3 порядковых 9 шерсти¬ нок 9 тончайших 4 паутинки и 3/5 паутинки». Конечно, можно было бы без труда избежать инородных «хвостов», достаточно было ввести еще одно название для следующего по порядку раз¬ ряда десятичной дроби. Но Лю Хуэй этого не делает даже в таких выражениях, как «9 цуней 7 долей 7 порядковых 8 шерстинок 5 тончайших 8 паутинок 9/10 паутинки». 7 Ученик Улугбека и ал-Каши Али Кушчи был послом Улугбека при китай¬ ском императоре. Весьма возможно, что под влиянием китайцев у Кушчи появились термины «положительный» и «отрицательный», о которых будет сказано далее. 99
На основании этих примеров можно считать, что Лю Хуэй пользуется наименованиями разрядов десятичной дроби, называя их, как следует из другого его комментария, общим термином вэй шу «мельчайшие» в пределах установленных единиц, т. е. до ше¬ стого десятичного знака. Такие дроби будем называть метрологи¬ ческими. Каждый разряд обозначен в них своим названием, кото¬ рое является названием одной из мер: единицы длины, веса или емкости. В зависимости от выбора целой единицы названия последо¬ вательно обозначают десятые, сотые, тысячные и т. д. доли этой единицы. Таким образом, метрологические дроби являются по современной терминологии «дробями с плавающей запятой». Если в выражении Лю Хуэя за основную единицу взять чи, как он и делает, то дробь будет равна 0,130806, если же за единицу взять цунь, то получится 1,30806. Как известно, Цзу Чун-чжи через два столетия после Лю еще раз вычислил тс с поразительной для его времени точностью. Чтобы записать это число с семью десятичными знаками, Цзу принял за единицу не чи, а чжан — единицу длины, в 10 раз большую, и получил: «3 чжана 1 чи 4 цуня 1 доля 5 порядковых 9 шерстинок 2 тончайших 7 паутинок». Очень много метрологических дробей в «Математическом трак¬ тате Сунь-цзы». Они применяются всюду: и при формулировке условия задачи, и для выражения постоянных при переходе от одних единиц к другим, и в результатах вычислений. Например, в задаче 16 последней книги говорится: «Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку, [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнов проса. Спрашивается, сколько [всего он купит] шелка» [49, с. 35]. Метрологической дробью здесь является первое число. Широко- употребляемые единицы емкости ху, доу, шэны дополнены еще бо¬ лее мелкими десятыми долями гэ («коробок» емкостью около ОД л), которые на практике, по-видимому, не употреблялись. Они появились в вычислениях как разряд метрологической дроби. Что именно так и обстояло дело, доказывает один характерный пример из того же источника. Остановимся на нем подробнее. Случилось так, что в «Математическом трактате Сунь-цзы» оказались задачи из «Математики в девяти книгах». Попали они, по-видимому, не случайно. Составитель трактата хотел, вероятно, показать образование десятичной дроби. «Имеется 7 доу 9 шэнов проса. Спрашивается, сколько станет пшена для князей» [49, с. 29]. Решение просто: из специальной таблицы, помещенной в начале книги II «Математики в девяти книгах», которую читатель трактата Сунь-цзы, очевидно, должен был иметь под рукой, берутся численные коэффициенты проса и пшена для князей: они соответственно равны 50 и 21. Искомая величина вычисляется по правилу 7 доу 9 шэнов Q4 50 '* Z • 100■
Так как в «Математике в девяти книгах» всегда пользуются соот¬ ношениями 1 ху =10 доу, 1 доу = 10 шэнам, широко применяемыми на практике, то в пределах этих единиц у китайского вычислителя получается величина: «3 доу 3 шэна Я/50 шэна». Буквально так и записана она в «Математике в девяти книгах». В «Математическом трактате Сунь-цзы» они представ¬ ляются как «3 доу 3 шэна 1 гэ 8 шао». Чтобы избежать обыкновен¬ ных дробей для выражения «остатка», Сунь-цзы использовал еще более мелкие, чем шэны, десятичные доли основной единицы ем¬ кости. Сознательность введения десятичных долей у Сунь-цзы видна из того, что эта задача — одна из четырех, составляющих единую группу задач, взятых из «Математики в девяти книгах». В трех предшествующих задачах можно усмотреть «подготовку» к выделению десятичной дроби, в них представлены различные случаи деления целых чисел, когда в результате получается целое число, смешанная несократимая и сократимая дроби. Четвертый случай, случай деления с остатком, представляемым конечной десятичной дробью, является как бы завершающим шагом, логи¬ чески приводящим к новому математическому понятию. Всем задачам такого класса на обмен зерна и зерновых культур во второй книге «Математики в девяти книгах» предпосылается общее правило, сводящееся к отысканию четвертой пропорцио¬ нальной; каждая задача имеет, кроме того, отдельное правило. Эти правила весьма кратки, в них даны лишь указания взять соответ¬ ствующую часть данной величины. Для задач, которые нас интере¬ суют, части выражены дробями 3/5, 27/50, 12/50, 21/50. У Сунь-цзы общего правила нет, а частные решения к каждой задаче формулируются отлично от частных правил «Математики в девяти книгах». Данные в задачах величины предварительно, в уме, переводятся в шэны: взято соответственно 10 шэнов, 21 шэн, 45 шэнов и 79 шэнов. Эти количества каждый раз умножаются на соответствующий коэффициент желаемого зерна и делятся на 50. Таким образом, здесь применяется общее правило нахождения чет¬ вертой пропорциональной, сформулированное в «Математике в девяти книгах» в общем виде. Расчеты проводятся в шэнах, принимаемых за основную единицу, а в ответе выделяется более крупная единица — доу. В приведенной выше задаче Сунь-цзы, не переводя числа в шэны, выполняет необходимые действия не¬ посредственно над этим числом, принимая его за метрологическую дробь. Будучи последовательным, он и ответ выражает в виде де¬ сятичной дроби. Или наоборот, чтобы выразить ответ десятичной дробью, он и заданное число, видя в нем метрологическую дробь, не превращает в целое, как это делал в предыдущих зада¬ чах. Эта же десятичная шкала мер емкостей применяется у Сунь- цзы в ответах к задаче 13 последней книги, где утруска проса, хра¬ 101
нящегося в амбаре в течение года, составляет «11099 ху 4 доу 2 шэна 1 гэ», а проса, хранящегося 9 лет, «99894 ху 7 доу 8 шэнов 9 гэ», и во многих других задачах [49, с. 35]. Однако метрологические дроби можно считать лишь прообра¬ зом настоящих десятичных дробей. Чтобы получить вполне аб¬ страктные десятичные дроби, надо было отказаться от метрологи¬ ческой оболочки, т. е. выйти из той среды, из той области величин, которая «вырастила» самую идею систематической дроби. Совер¬ шить этот шаг было для древних нелегко, и он был сделан при весьма специфических обстоятельствах. 14. Переход к абстрактной дроби Трудность заключалась в том, что древние решали по большей части конкретные задачи. Обычно в них речь шла об измерении площадей полей, объемов плотин, вычислении емкости зернохра¬ нилищ, о весе шелка-сырца, о размере шелковых тканей или по¬ лотна и др. Следовательно, в задачах из повседневной жизни чаще всего имеют дело с метрологическими величинами или именован¬ ными числами. Выделяя в конкретных задачах общую сущность, математики создают методы для решения класса подобных задач. Более широ¬ кий класс сводят к более простому с известным решением, при этом конкретное содержание задачи отодвигается на задний план, на передний план выдвигаются научные проблемы, в результате чего задача формулируется в общем виде, без конкретных величин. В «Математике в девяти книгах» мы встречаем вполне отвлеченные задачи в ее алгебраических VII и VIII книгах. Предлагая общую трактовку десятичной дроби, Сунь-цзы посту¬ пает следующим образом: он берет величину, заведомо не имею¬ щую частей, как, например, человека. Десятые доли величин по¬ добного рода и демонстрируют десятичную дробь, хотя формально число остается именованным. Вот эта замечательная задача 2 последней книги «Математиче¬ ского трактата Сунь-цзы», на которую почему-то до сих пор иссле¬ дователи не обращали внимания: «Имеется 15000000 тяглых, [требуется] выделить 400000 солдат. Спрашивается, на сколько тяглых приходится один солдат? Ответ: 37 тяглых 5 фэней» [49, с. 34]. Образование десятичной дроби в тексте не поясняется, но дробь «налицо»: «37 и 5 десятых» — так следует понимать ответ к задаче,—ведь не может существовать полчеловека!. Для обозна¬ чения десятых долей китайский автор употребил знакомое слова фэнь, т. е. доля — то же самое, которое указывает одну десятую меры длины цуня. Заимствование слова для обозначения вообще любой десятой наблюдалось в дальнейшем во многих областях. Например, так называли десятую часть стоимости монеты, пло¬ щади му и др. В трактате Сунь-цзы «долей» названа и 1/10 бу 102
{шага), который содержал отнюдь не 10, а 6 основных единиц чи, и Сунь-цзы поступает с бу так, как раньше с «челове¬ ком». Присвоение десятым долям любого именованного числа од¬ ного конкретного «имени» составляет ту переходную ступень, которая лежит между метрологической и десятичной дробью. Постепенно становятся не нужными три отдельные метрологи¬ ческие шкалы: длины, емкости, веса, достаточно и одной шкалы, как достаточно одного слова «доля» для обозначения десятых долей числа. Затем следовало освободиться и от этой единствен¬ ной шкалы, перейдя к абстрактному понятию дроби. Можно ука¬ зать на одну такую попытку из текста Сунь-цзы. В задаче 21 сред¬ ней книги показано образование десятичной дроби на примере деления «неделимого» на 10 бу; в задаче 16 той же книги, нао¬ борот, Сунь-цзы воздерживается от такого шага. Такое счастли¬ вое сопоставление почти одинаковых решений двух задач пока¬ зывает нам осторожность Сунь-цзы в обращении с новым, только что созданным понятием. Например, в задаче 21: «Имеется кривое поле. Обвод 639 бу, диаметр 380 бу. Спраши¬ вается, каково поле?» [49, с. 31]. Вычисляя площадь сектора согласно правилам, автор делит обвод в 639 бу пополам, резуль¬ тат таков: «Получишь 319 бу 5 долей», вычислитель получает частное равным 319,5 бу. Совершенно так же должно было получиться и в задаче 16: «Имеется веревка длиной 5794 бу. Если сделать [из нее] квадрат, то спрашивается, каков [он]?» [49, с. 30]. Легко видеть, что сторона квадрата равна 1448,5 бу. Однако в ответе записано: «1448 бу 3 чи». Откуда такая непоследователь¬ ность у одного автора? Ее можно объяснить лишь тем, что в пер¬ вом случае Сунь-цзы дозволяет себе применить новое понятие десятичной дроби, поскольку он .находится в «своей» области, в области вычислений. Далее полученная дробь умножается на 190 и «исчезает». Ее «ввод» обошелся без последствий. Во втором же случае дробь стоит в окончательном ответе, и Сунь-цзы не хочет, а может быть, не имеет права затруднять чиновника земельного ведомства новой искусственной единицей. Здесь Сунь-цзы вынужден отступить от своих правил и оставить старые, привыч¬ ные меры и тем самым поступиться простотой решения, которое значительно усложняется и из одного действия превращается в три: «Установи длину веревки 5794 бу, раздели это на 4, получишь 1448 бу с остатком в 2 бу. Умножь это на 6, получишь 1 чжан 2 чи. Раздели это на 4, получишь 3 чи, присчитай и получишь [искомое]» 149]. Итак, десятичные дроби появились в области непосредственных вычислений, как более удобный, совершенный вычислительный аппарат. Но этим, конечно, значение десятичных дробей не огра¬ ничивается. Очень скоро интуитивно их создатели почувствовали другие преимущества этого нового понятия. 103
15. Основное свойство. Операции Каким образом производились действия с десятичными дро¬ бями? В настоящее время они никого не затрудняют, поскольку принципиально не отличаются от действий с целыми числамиг надо только знать правило расстановки запятой в результатах. Очевидно, с метрологическими дробями оперировали аналогично, только все усложнялось из-за формы дробей, в которых не была зафиксирована запятая. Как вы¬ глядели конкретно операции с та¬ кими дробями, показывает одна характерная задача (задача 25 последней книги) «Математиче¬ ского трактата Сунь-цзы»: «Имеется шест неизвестных размеров. Измеряя его тень, по¬ лучают 1 чжан 5 чи. Отдельна стоит столбик длиной в 1 чи 5 цу¬ ней. Тень получается в 5 цуней. Спрашивается, какова длина шеста? Ответ: 4 чжана 5 чи» [49, с. 37]. Катеты двух подобных прямоугольных треугольников (рис. 7) дают пропорцию ж = Если принять за целую единицу чжану ai то решение в нашей записи будет таким: 1,5 . 0,15 0,225 22,5 -т* — I : I — : \ Рис. 7 0,05 0,05 : 4,5. Действительно, в правиле говорится: «Установи тень шеста в 1 чжан 5 чи. Умножь это на длину столбика в 1 чи 5 цуней. Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 чи. Раздели это на.тень от столбика в 5 цуней и полу¬ чишь [искомое]». Схема действий на доске по этому правилу будет такой (табл. 4). Таблица 4 чжаны чи цуни ‘[доли] 1 5 множимое 1 5 множитель 1 5 частные 5 2 5 произведения 2 2 5 произведение 4 5 частное 2 2 5 делимое 5 делитель Напомним, что действия производятся от старших разрядов к младшим и в следующем порядке: 104
1) 1 чжан» 1 чи =1 чи, 2) 5 чиЛ чи=5 цуням, 3) 1 чжан* 5 цуней=5 цуням, 4) 5 *ш-5 цуней=2Ъ десятым цуня = 2 цуням 5 долям. В последнем шаге мы, по существу, дописали за китайского автора, который в правиле не пишет слова «доли», как и не указывает десятков чжанов в крайних столбцах этой схемы. Наша реконст¬ рукция основана на центральной фразе правила: «Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 чи». Если бы она от¬ сутствовала, то было бы неясно, каким образом производилось умножение 1 чжана 5 чи на 1 чи 5 цуней. Решение задачи могло быть и иным: 150 цунейАЬ цуней=2250 кв. цуням, 2250 кв. цуней : 5 цуней=450 цуней=4 чжана 5 в этом случае мы имели бы дело с обычными метрологическими, а не с десятичными дробями. Именно то обстоятельство, что пло¬ щадь в 2250 кв. цуней рассматривается как линейная величина 22 чжана 5 чи, указывает на наличие здесь десятичной дроби, получившейся из 2 чи 2 цуней 5 долей умножением на 100, а эта последняя в свою очередь могла получиться только от умножения 1,5 чжана на 0,15 чжана, как показано на схеме. Для этого, как видим, автор должен был знать правило умножения десятичных разрядов, т. е. знать, что, умножая чжаны на чи, получим чи, умножая чи на чи, получим цуни и т. д. Умножение двух дробей предполагает поразрядное сложение промежуточных результатов, частных произведений — мы полу¬ чаем представление еще об одном действии, впрочем незатруд¬ нительном. Следующий шаг — приготовление к делению дробей: 2 чи 2 цуня 5 долей : 5 цуней. Для этого число передвигают влево на две колонки, что равно¬ сильно умножению на 100 или нашему перенесению запятой вправо на два знака. То же самое надо проделать с делителем. В правиле об этом не говорится, но на доске проводится автомати¬ чески. Здесь использовалось основное свойство десятичной дроби: перенос запятой вправо или влево равносилен умножению или делению на степень десяти. Итак, при решении рассмотренной задачи вычислитель должен был применять самые разнообразные операции с десятичными дробями: сложение, умножение, деле¬ ние и особо умножение на степень десяти. В китайских текстах часто пользуются основным свойством деся^чной дроби. Как на самого раннего автора, в сочинении которого употребляется умножение на степень десяти в качестве особого действия, обычно ссылаются на Сяхоу Яна. Но уже у Сунь-цзы оно применяется много раз. Для этого действия существуют специальные термины. Движение числа по разря¬ дам влево, т. е. умножение на степень 10, выражалось фразой: шан ши чжи, буквально «поднять в десять раз». Любопытно сравнить с названиями шестидесятеричных разрядов у ал-Каши: 105
«поднятое 1 раз» означает 60, «поднятое дважды» — 602 и т. д_ У ал-Каши «повысить на разряд» означало умножение на 60- Китайский термин «шан ши чжи» встречается в тексте правил к задачам 9, 22, 25, 32 последней книги трактата Сунь-цзы. В за¬ даче 9 умножение числа на 40 разбивается на два действия: сна¬ чала умножают на 10, затем на 4. Выше мы подробно рассмотрели задачу 25, где производилось умножение на 100, тогда как в за¬ даче 32 умножается на 10. Что же касается задачи 22, то в ней надо произвести умножение на 100, в ответе же помещено оши¬ бочное число, полученное от умножения на 10. Следует, вероятно, предположить, что там термин не был понят поздним перепис¬ чиком и был прочитан буквально «повысить в десять раз». Для обозначения деления на степень 10, или движения числа вправо по колонкам, употребляется термин туй, буквальна «пятиться, отступать» — глагол, обратный движению вперед , цзинъ. Этот термин ясен из решения задачи 21 последней книги трактата Сунь-цзы: «Имеется 1 пи полотна, стоит 18000 цяней. Спрашивается, сколько стоит чжан, чи, цунь каждый в отдельности? Ответ: чжан — 4500 цяней, чи— 450 цяней, цунь — 45 цяней. Способ: установи 18000 цяней, раздели на 4, получишь сто¬ имость 1 чжана. Передвинь [число] на разряд вправо, еще раз передвинь вправо, получишь стоимость чи и цуня» [49, с. 36]. А в аналогичной задаче 8 книги V «Трактата пяти ведомств» употреблены оба термина: «Имеется полотно, 1 пи стоит цяни: 8 гуев вэней. Спрашивается, сколько стоит 1 чжан, 1 чи, 1 цунь? Ответ: 1 чжан — 2 гуя вэней; 1 чи — 200 вэней; 1 цунь — 20 вэней. Способ: расположи цяни, 8 гуев, раздели на 40 чи, получишь стоимость чи. Сдвинь по разрядам вперед, получишь стоимость чжана. Отступи назад, получишь стоимость цуня» [52, с. 93]. Здесь гуй — связка в тысячу монет и 1 пи=40 чи. Здесь применены соответственно цзин вэй — «двигать по раз¬ рядам вперед, т. е. влево, и туй вэй — «отступить на позицию», т. е. «передвинуть вправо». Умножение дробей выполняется в задаче 21 средней книги и в задачах 12 и 13 последней книги трактата Сунь-цзы. О первой из них мы уже упоминали ранее (см. п. 14), когда приводили пример умножения 319,5*190; в двух других производятся сле¬ дующие действия: 2374-1,03=2445,22 (задача 12), 369980,7-0,03=11099,421, и также 11099,421.9=99894,789 (задача 13). 106
Рассмотрим еще одну группу задач, связанную с делением на десятичную метрологическую дробь. В этих задачах вычисля¬ ется емкость зернохранилищ для груды ссыпанного на земле у стены в углу зерна — типичные задачи древних, они содер¬ жатся почти в каждом древнекитайском трактате. Читатель «Десятикнижья» впервые встречается с ними в книге V «Мате¬ матики в девяти книгах», где вычисляются объемы разных тел, есть они и у Сунь-цзы. Однако задачи Сунь-цзы и задачи «Мате¬ матики в девяти книгах» только на первый взгляд кажутся оди¬ наковыми. Если обратить внимание на вычислительную сторону, то мы увидим специальное назначение задач Сунь-цзы. Действи¬ тельно, в задачах «Математики в девяти книгах» (задачи 23—25 книги V) определяются две величины: объем и емкость — в от¬ ветах названы по два числа. Но главное внимание в соответствии с целями этой книги уделяется вычислению объемов. В ответе объем выражен более или менее «круглым» числом: 8000 чи, 350 чи, 35 5/9*ш; емкости же—как придется: 2962 26/27 ху, 144 8/243 ху, 21 691/729 ху. В задачах Сунь-цзы главное внимание уделено вычислению "емкостей. Величины объемов в ответе не сообщаются, о них и не ста¬ вится вопрос к задаче. Числовые данные задачи подобраны так, чтобы «круглыми» числами получились емкости, а не объемы. В двух случаях, по крайней мере, числа упрощены до предела: 2700 ху (задача 12 средней книги трактата Сунь-цзы) и 100 ху (задача 3 последней книги того же сочинения). При переходе от объема к емкости Сунь-цзы берет метроло¬ гическую десятичную дробь «1 чи 6 цуней 2 доли» взамен дроби- коэффициента перехода «1 чи61/5 цуня», употребляемого в «Ма¬ тематике в девяти книгах». Таким образом, у Сунь-цзы все подоб¬ ного рода задачи на исчисление емкости сводятся в конечном счете к делению на этот дробный коэффициент. Обратим внимание на еще одну подробность: из всевозможных коэффициентов для разного вида зерна, употребленных в «Математике в девяти кни¬ гах», Сунь-цзы выбирает самый подходящий для него, указанный выше, не обращая внимания на его назначение (для риса, а не для проса). Процитируем для примера наиболее простую из этих задач: «Имеется куча проса на ровном месте. Нижний обвод 3 чжана б чи, высота 4 чи 5 цуней. Спрашивается, сколько проса? Ответ: 100 ху. Способ: установи обвод в 3 чжана 6 чи,' умножь на себя, полу¬ чишь 1296 чи. Умножь это на высоту в 4 чи 5 цуней, получишь 5832 чи. Раздели это на 36, получишь 162 чи. Выдели ху: раздели на 1 чи 6 цуней 2 доли, получишь [искомое]» [49, с. 34]. В этой задаче 3 последней книги трактата Сунь-цзы мы выделяем послед¬ нее действие, оно ясно описано в подробном правиле решения и не нуждается в комментарии. Подчеркнем только, что числа действительно подобраны так, чтобы облегчить вычисления и не заслонить тем самым содержание задачи. 107
Среди таких задач, последнее действие которых есть деление на метрологическую дробь, находятся такие, где получается или должна получиться периодическая дробь. Например, в задаче 11 средней книги трактата Сунь-цзы для определения искомой величины надо разделить: 86940 : 1,62=53666 ху 666 шэнов 1/3 шэна. Здесь получается бесконечная периодическая дробь. Вероятно,, не зная, как поступить в таком случае, вычислитель записывает- результат деления с помощью обыкновенной дроби. В другом случае в задаче подбираются числа более тщательно, чтобы из¬ бежать бесконечного деления. Так, в задаче 11 последней книги трактата Сунь-цзы задано «3999 ху 9 доу 6 шэнов проса», так как каждые 9 доу меняются на 1 ху бобов. Ответ: «444 ху 4 доу» [49, с. 35]. В противовес этим вычислениям приведем общий случай деления метрологических дробей, который содержится в задача 16 последней книги трактата Сунь-цзы, где применяются меры для тканей, не подчиняющиеся десятичным соотношениям. В задача сказано: «Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку,, [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнов проса. Спрашивается, сколько всего шелка? Ответ: 36117 пи 3 чжана 6 чи» [49, с. 35]. Здесь 1 пи=4 чжанам=40 чи, и правило вычисления усложня¬ ется. 16. Древнекитайское понятие десятичной дроби Зачем понадобились десятичные дроби древнему китайскому математику, когда в его распоряжении был хорошо разработан¬ ный аппарат обыкновенных дробей? Другое дело у вавилонян: из-за неабсолютности системы (из-за отсутствия нуля на конце число читалось неоднозначно, а в зависимости от контекста* и сразу не видно было даже, целое это число или дробь) к систе¬ матическим дробям пришли сразу, минуя дроби обыкновенные. Кроме самых простых, типа 1/2, 1/3, 1/6 и некоторых других* вавилоняне обыкновенными дробями не пользовались. Систематические дроби, как показывает история, и в Китае* и в Вавилоне, и в эллинистических странах, и в странах ислама* и в Европе были введены для проведения больших вычислений. Их появление всякий раз свидетельствовало о новом этапе раз¬ вития вычислительной техники. Они удобны тем, что действия с ними аналогичны операциям с целыми числами. Однако значение десятичных дробей в математике этим не ог¬ раничивается. Десятичные дроби потенциально содержат в себа бесконечность и связанные с нею проблемы, так как обыкновен¬ ные дроби выражаются конечными и бесконечными периодическими десятичными дробями, но множество всех десятичных дробей 108
этим не исчерпывается, и, например, квадратичные иррационалъ* ности дают бесконечные непериодические десятичные дроби. По¬ нятие десятичной дроби гораздно шире, богаче понятия обык¬ новенной дроби, оно включает в себя интуитивно понятие дей¬ ствительного числа. В самом алгоритме, приводящем к десятич¬ ной дроби, не делается различия между числом рациональным и иррациональным. Десятичную дробь можно получить при де¬ лении пары чисел (как у Сунь-цзы), можно получить и при извле¬ чении корня (как у Лю Хуэя), нужно только продолжать процесс по известному алгоритму достаточно долго и, после того как част¬ ное или корень вычислены в целых числах, получить последо¬ вательно десятые, сотые и т. д. доли результата. Таким образом, появление десятичной дроби (вообще говоря, бесконечной) знаменовало для древних выход за пределы рацио¬ нального числа в область действительного числа. Десятичные дроби связаны с идеей аппроксимации и в даль¬ нейшем привели к бесконечным рядам. Известно, что к разло¬ жению функции в ряд И. Ньютон пришел от понятия десятич¬ ной дроби как непрерывного ряда, у которого каждый следую¬ щий член (знак) дает лучшую степень приближения для данного числа. Этот аналитический характер десятичной дроби придает ей большую привлекательность в области вычислений, в которых нуждаются естествоиспытатели, желающие непосредственно видеть оценку. В китайской математике десятичные и обыкновенные дроби развивались в равной степени [12]. В этом отношении интересно провести сравнение трех текстов: «Математики в девяти книгах», где имеются в начальном состоянии обе линии, «Математического трактата Сунь-цзы», не раз нами цитировавшегося в связи с де¬ сятичными дробями, которые в нем нашли более полное осве¬ щение, и «Математического трактата Чжан Цю-цзяня», автор ко¬ торого в противоположность Сунь-цзы занимается предпочти¬ тельно обыкновенными дробями. Его вообще не интересуют вычислительные проблемы, ему представляется интересным лишь теория, он имеет в виду по большей части алгебраические методы, о чем он и говорит в своем предисловии к трактату. Уровень вычислительного исскуства во времена «Математики в девяти книгах» требовал выражения всякого результата точно. Представляя в распоряжение китайского вычислителя рацио¬ нальные числа, авторы сочинения давали ему возможность выра¬ жения любой величины — измерял ли он ее непосредственно или вычислял по заданным величинам. Иногда даже точный результат звучал нелепо. Например, оказывалось, что для выпол¬ нения некоторой работы требуется 258 и 3726/10063 человека (задача 22 книги V «Математики в девяти книгах»), или нужно перенести наполненную землей корзину на некоторое заданное расстояние 57 и 1629/2603 раза (задача 8 книги VI). У Сунь-цзы в III в. н. э. ничего подобного нет. Числовые дан¬ ные у него подобраны так, что в ответе получаются круглые числа, 109
и вычисления негромоздки. Обыкновенные дроби явно вытеснены метрологическими, для выражения которых им применены более полные, широкие системы мер, подчиняющихся десятичным со¬ отношениям, так что дроби оказываются десятичными. Несколько позже, в V в., было написано сочинение Чжан Цю-цзяня, которое свидетельствует о непрерывности развития линии обыкновенных дробей с алгоритмом Евклида нахождения общего наибольшего делителя, сыгравшим большую роль в раз¬ витии теории чисел. Выше мы рассмотрели переход от метрологической дроби к абстрактной. Но как возникли метрологические дроби? Какова основа, представленная метрологией для образования этого по¬ нятия? Различные единицы измерения в разных сферах человеческой деятельности возникали у всех древних народов одновременно и независимо друг от друга. В древнем Китае при помощи пи и дуаней (кусков) измеряли ткани, при помощи бу (двойного шага) измеряли стороны земельных участков, при помощи ли (версты) выражали расстояния до населенных пунктов. Китайский фут — чи, ныне равный 1/3 м, применялся для предметов домашнего обихода и в других случаях. Когда названные единицы установились, каждая в своей области, потребовалось сравнить их между собой. При этом со¬ отношения между ними оказались приближенными, на самом деле, возникнув в разных областях, они не были обязаны быть кратными друг другу. Соотношения были, конечно, округлены и отнюдь не получились при этом десятичными. Оказалось, на¬ пример, что 1 бу=6 чи, 1 ли=300 бу и т. п. Далее происходит образование как более крупных (при счете), так и более мелких (при измерении и вычислении) единиц. Перво¬ начально объединение и дробление производилось произвольно. В периоды расцвета китайской государственности делались по¬ пытки ликвидировать разнобой в метрологии, установить в ней единую систему мер. Тогда и вводится в метрологию десятичный принцип, т. е. метрологию пытаются строить по тому же основа¬ нию, по которому построена общепринятая система счета. Первую унификацию мер в истории китайской метрологии отмечают в III в. до н. э. при императоре Цинь Ши-хуане, осно- 17. Метрология и происхождение десятичных дробей 10 цуней = 1 чи, 8 чи = \ сюнюу 10 чи = 1 чжану, 4, 7 или 8 чи = 1 чжэню, 5 чи = 1 мо, 2 мо — 1 чжану, 2 чжана = 1 дуаню, 2 дуаня=1 лану, 2 лана= 1 пи. 110
вателе династии Цинь и первом объединителе Китая в единое государство. Он провел целый ряд реформ: ввел единые законы, унифицировал письменность, упорядочил денежные знаки и даже ввел единую колею для всех повозок, чтобы не разрушались до¬ роги [58]. При подготовке реформы мер и весов Фа Ся по пору¬ чению императора составил для дробных долей чи, основной меры длины на протяжении всей истории Китая, следующие соотношения: 1 чи= 10 цуням, 1 ли-—10 фа, 1 цунь = 10 фэням («долям»), 1 фа = 10 хао 1 фэнь= 10 ли («порядковым»), («шерстинкам»). К области упорядочения системы единиц, очевидно, относится также определение эталонов для единиц, принимаемых за основ¬ ные. Здесь на протяжении всей истории Китая эталоны часто менялись. Размер чи начиная с древних времен постепенно удлиняется от 0,175 до 0,308 м. В разных местах страны чи имел свое значе¬ ние. Например, в эпоху Хань в различных княжествах он был равен 0,236; 0,251; 0,284 м. Накануне революции 1911 г. в Китае, кроме основного, так называемого «инженерного чи», употреб¬ лялись «плотничий чи», «портняжный чи», «чи у каменщиков» и т. п. — почти в каждом ремесле был свой эталон, и при этом в разных провинциях разной длины [48]. Точно так же существовало несколько разных ланов для опре¬ деления веса: «казначейский», равный 37,312 г, которым измеряли вес серебра, выплачиваемого в виде налога, зарплаты и т. п.; «шанхайский», равный 36,592 г, применявшийся при взвеши¬ вании риса, соли и т. п.; «такелажный», равный 37,783 г. Первыми эталонами для основных мер у всех народов были предметы окружающего мира, обладавшие более или менее посто¬ янными размерами. По большей части такими мерами древним народам служили части человеческого тела: кисть руки, пядь, ладонь, локоть и др. В Китае наблюдалось то же самое. В «Лицзи» (IV—I вв. до н. э.) чи приравнивался длине кисти руки. Бу опре¬ делялся как двойной шаг. В дальнейшем с вводом более мелких единиц определяли не установившуюся единицу, а минимальную меру. В приведенных соотношениях Фа Ся в качестве нее взята мера хао,, а у Сунь-цзы (см. далее с. ИЗ) взята еще более мелкая единица ху («паутинка»). Часто за минимальную меру-эталон принимали зерно или конский волос, обладавшие примерно по¬ стоянными размерами. В «Си цы чжуань», комментариях к «Книге перемен» (VI в. до н. э.), 1 фэнь равен 10 волосам конского хвоста, а в книге II—I вв. до н. э. «Хуайнань-цзы» 1 цунь равен 12 зер¬ нам проса. Первые известные нам в настоящее время упорядочен¬ ные меры длины, веса и емкости содержатся в «Математическом трактате Сунь-цзы», в его первой книге, посвященной целиком числовым таблицам. 111
18. Метрологические таблицы Сунь-цзы Свое сочинение Сунь-цзы начинает с перечисления имевшихся в его эпоху мер. Действительно, здесь можно обнаружить все те единицы и соотношения между ними, которые встречаются, на¬ пример, в более ранней «Математике в девяти книгах», но совер¬ шенно не описаны в ней. Современному читателю «Математики в девяти книгах» приходится наводить особые справки о соот¬ ношении единиц, которые там упоминаются, или восстанав¬ ливать эти соотношения по тексту. Хотел ли Сунь-цзы лишь ис¬ править недостаток «Математики в девяти книгах», поместив свод единиц? Несомненно, что цель таблиц не только в этом. Таблицы Сунь-цзы — систематическое собрание метрологиче¬ ских единиц, носящее следы специальной обработки. Она выпол¬ няется по двум основным принципам. Первый принцип заключается в выборе и определении эле¬ ментарной меры, при помощи которой исчисляются все осталь¬ ные. При измерении длины элементарной мерой служит ху, буквально «шелковичная» нить [49, с. 22]. Для измерения веса взято шу, зерно проса; в качестве эталона меры емкости приме¬ няется су, зерно чумизы. Как видим, Сунь-цзы выбирает в ка¬ честве элементарных единиц объекты, наиболее привычные и относящиеся к основному производству: самым распространен¬ ным древним культурам, шелку, просу и чумизе. Второй принцип таблиц Сунь-цзы — десятичность, которую он осуществляет (вслед за Фа Ся) всюду, где только можно. Остаются недесятичными только укоренившиеся на практике соотношения, например, между такими единицами, как су, бу, ли и др. Следовательно, принцип десятичности проник в китай¬ скую метрологию еще в III в. н. э. О введении принципа деся¬ тичности в китайскую систему мер помимо «Математического трактата Сунь-цзы» упоминается в «‘Истории Поздней Хань» и в «Истории Сунской династии». Рассмотрим метрологические таблицы Сунь-цзы, каждой из ко¬ торых автор, по-видимому, отводит свою роль. Всего их три, расположены они в таком порядке: сначала идет таблица мер длины, затем веса и, наконец, емкостей. В соответствии с этим порядком мы будем их называть под номерами I, II, III. Таблица II весовых единиц менее всего интересна нам, она демонстрирует возможное многообразие в соотношениях между единицами: «10 w,y = 1 лэю, 16 ланов= 1 цзиню, 10 лэй = 1 чжу, 30 цзиней = 1 цзюню, 24 чжу = 1 лапу, 4 цзюня= 1 даню» [49, с. 22]. 112
Соотношения не только недесятичные, но и неоднородные. Древние соотношения отличаются от современных, но и вплоть до настоящего времени весовые единицы не были переделаны в десятичные, хотя такие попытки предпринимались. О таких попытках упоминается в «Истории Поздней Хань» и «Истории Сунской династии». Исключение из таблицы составляют два пер¬ вых равенства, по-видимому добавленных позже. Этот опыт в зна¬ чительной степени был проведен с таблицей I мер длины, в основ¬ ном для более мелких делений чи, а с таблицей мер емкостей — целиком; в последней, кроме первого соотношения, все соотно¬ шения десятичные. Не удивительно поэтому, что Сунь-цзы, когда хочет показать десятичные дроби, в своих задачах поль¬ зуется преимущественно единицами емкости. «При определении емкости исходи из су, 6 сг/ = 1 гую, 10 шао = 1 гэ, 10 гуй = 1 цо, 10 гэ — \ шэну, 10 цо = 1 чао, 10 шэнов = 1 доу, 10 чао = 1 шао, 10 доу= 1 ху» [49, с. 22]. Если за целую единицу измерения принять ху, то при помощи этих наименований можно выразить десятичную дробь с семью знаками. Если же, наоборот, за единицу принять, например, гуй, то можно создать систему для больших чисел. Сунь-цзы так и поступает и строит даже не одну, а две системы. Как он это сделал, было показано в п. 6 этой части. В области мер длины можно было вычислять с точностью до 5-го или 6-го десятичного знака, как это проведено у Лю Хуэя и Цзу Чун-чжи. Приведем таблицу I полностью. «При изменении длины исходи из ху. Если хочешь знать об этих ху, то нить шелкопряда и есть ху. 10 ху= 1 сы, 10 чжанов = 1 иню, 10 сы = 1 хао, 50 чи = 1 дуаню, 10 хао = 1 ли, 40 чи= 1 пи, 10 ли= 1 фэню, 6 чи=1 бу, 10 фэней = 1 цуню, 240 бу = 1 му, 10 цуней = 1 чи, 300 бу = 1 ли» 10 чи = 1 чжану, [49, с. 22]. Одна мера, названная здесь, относится к площадям, это му. Предпоследнее равенство означает, что 240 кв. бу = 1 му, и, как видно из первой задачи «Математики в девяти книгах», пер¬ вая книга которой посвящена вычислению площадей полей, это ллощадь прямоугольника со сторонами в 15 и 16 бу. Таблицы Сунь-цзы находят свое продолжение у Канси (1662— 1722), который пересмотрел и подверг точному определению основ¬ ные меры «древним способом», которым якобы пользовался ле¬ 8 9. И. Березкина из
гендарный Хуанди, связавший китайские меры с изготовлением бамбуковой свирели — древнейшего музыкального инструмента. Свирель состояла из 12 трубок одного и того же диаметра, но раз¬ ных длин, подобранных для хроматической гаммы. За эталон было взято зерно черного проса, имеющее вытянутую форму и обладающее постоянной шириной. В наибольшей трубке свирели хуан чжун укладывается по толщине 100 таких зерен. Их вес был принят за единицу чжу. Если же уложить зерна по длине, то потребуется 81 зерно. Отсюда двоякое деление длины: музы¬ кальный чи, или люй чи, равный 9« 9, и обычный чи, равный 10« 10. Единица емкости юэ определялась также в зависимости от раз¬ меров трубки основного тона, в которую помещалось 1200 зерен проса [48]. Таблица мер, определенных, по преданию, этим способом, была издана в «Математической энциклопедии» («Шу ли цзинь юнь»). Дробление мер в ней значительно продолжено: меры длины доведены до 10“31 чи, меры емкости — до 10“14 шэна, меры веса — до 10“16 лапа. Соотношения между единицами почти все десятичные, а такие, как 1 бу=6чи, заменены более удобными: 1 бу=5 чи. Следует отметить, что, несмотря на попытки Сунь-цзы постро¬ ить абстрактные десятичные дроби, в китайской вычислительной технике укоренились метрологические дроби. Список наимено¬ ваний десятичной шкалы мер рос, например у Чжу Ши-цзе в XIV в. единицы длины продолжены до 10'16 чи, и последова¬ тельность названий сохранялась в дальнейшем долгое время. У Канси именно такая последовательность [48]. 19. Роль счетной доски в преобразовании метрологии Мы видим, что к идее десятичных дробей пришли в резуль¬ тате опыта измерения и вычисления. Для более.точных измере¬ ний требовался большой набор мер, который особенно проста расширять при расчетах, ведь при вычислениях можно получать сколь угодно малые меры. Но для оперирования с метрологи¬ ческими величинами следовало упорядочить образование единиц. В этом процессе упорядочения метрологии, несомненно, не по¬ следнюю роль сыграла счетная доска. Именно она со своим по¬ зиционным принципом способствовала введению десятичных дробей. Ли Янь специально подчеркивает, что десятичные раз¬ ряды появились потому, что деление и извлечение корней про¬ водились по алгоритмам, разработанным для доски [98]. Доска способствовала распространению этих алгоритмов на любой случай, который включал также нецелое деление и извлечение корня из неполного квадрата. Сравнительная легкость перехода «через запятую», т. е. от целых чисел к десятичным разрядам дроби, на доске обусловливается беспрепятственным движением единичной счетной палочки. Благодаря тому что число на доске 114
может мыслиться с любым количеством нулей на конце, осуще¬ ствляется возможность получать десятичные разряды после -запятой при помощи того же самого алгоритма, давшего целую часть частного или корня. В то же время счетная доска вводила своеобразное ограни¬ чение, сказавшееся на всем развитии техники вычислений в ста¬ ринном Китае. После выкладок, проведенных на доске, резуль¬ тат «снимался», и позиционность системы утрачивалась. Так как целые числа записывались в именованной системе счисления (назывался каждый разряд числа), то и десятичные разряды дробной части аналогично фиксировались под своими названи¬ ями. Вот почему метрологические дроби оказались столь же жи¬ вучими в китайской практике, сколь неизменной оставалась сис¬ тема счисления в целом. Понятие десятичной дроби в абстрак¬ тной форме, кесмотря на попытки Сунь-цзы еще в III в. создать его, так и не было выработано до конца, пока оно не пришло в китайскую культуру вместе с заимствованной с запада совре¬ менной математикой.
Часть третья ПОНЯТИЕ ЧИСЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ Эта часть тесно примыкает к предыдущей, поскольку в ней речь также идет в значительной мере о тех возможностях, которые имели древние математики для решения своих задач. В ч. II представлена арифметика целых чисел и десятичных дробей,, здесь — арифметика дробей обыкновенных. В предыдущей части мы видели, как проблемы измерения заставляли перехо¬ дить от целых чисел к десятичным дробям, с помощью которых можно приближенно выразить любое действительное число (прагматический подход к построению действительного числа) [20, с. 146]. Здесь мы рассмотрим алгебраический путь перехода от целых чисел к числам рациональным. Действительно, этот путь, при¬ нятый в современной алгебре, исходит из того, что требуется выполнимость определенного действия: для рациональных чисел — деления, для дальнейшего расширения (т. е. алгебраических чисел) — извлечения корней. Как заметил А. Н. Колмогоров, поле действительных чисел при этом расширении не получается [46, с. 4—5]. Нас интересует, каким образом древние ввели в ма¬ тематику обыкновенные дроби. Они также исходили из требования выполнимости деления, но, конечно, не аксиоматически. Рас¬ смотрим освоение древними китайцами операции деления и по¬ нятия рационального числа: разработку аппарата обыкновенных дробей, связанную с введением методов и понятий теоретико¬ числового характера — наименьшего общего кратного, наиболь¬ шего общего делителя и др. В нашем распоряжении нет какого-либо систематического изложения, подобного «Началам» Евклида, по которому мы смогли бы выявить объем понятия числа в древнекитайской математике. Мы пытаемся воссоздать картину развития этого понятия по от¬ дельным вычислениям и алгоритмам. Разрабатывая алгоритмы* китайские математики активно осваивали одну числовую область за другой, и если при этом не строили теорий, то фактически все же вырабатывали понятие числа в том или ином объеме. Здесь можно более отчетливо, чем, может быть, где-либо, выявить те действи¬ тельные причины, которые побуждали к введению новых кате¬ горий чисел. Тот исторический процесс, который происходил в древнем Китае при освоении понятия числа, носил достаточно общий характер и имел место во всех древних цивилизациях. 116
Глава первая ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 1. Дроби в «Десятикнижье» Все четыре арифметических действия с обыкновенными дробями были освоены и изложены в трактатах «Десятикнижья». Они прежде всего специально описаны в книге I «Математики в девят книгах» об измерении полей. Этим самым древний читатель получал возможность вычислить площадь любого поля указан¬ ного там вида, измерялись ли его линейные размеры целыми чис¬ лами или дробными [9]. В нашей символике правила операций с дробями, содержа¬ щиеся в «Математике ... », можно передать следующими формулами:. п 2 ai (&i • • • • • • Ю i п * п> 1 если b1 = b2= ... =bn=b, то просто п А ъ ~ Ъ ’ i—l а с ad — be . а ^ с 1 ~d = bd ’ здесьт>т; а с ас ^ ^ а ^ с Ab —|— a Cd —j— с (Ab —J— о) (Cd —|— с) T*T = "57’ ЛТ ~d = b d = bd ’ а ж с ad ' cb ad T:~d~~~bd:Td^We Но уже в «Математическом трактате Чжан Цю-цзяня» (V в.)* деление дробей производится по обычному правилу: а в с ad T:Y~'Tc'm Для нас эти алгоритмы почти обычны и не представляют осо¬ бого интереса (отклонения и ограничения древнекитайских пра¬ вил будут рассмотрены далее по ходу изложения). Однако древние пришли к ним в результате долгого и трудного пути, поскольку тогда не существовало ни современной символики, яи современ¬ ного понятия дроби. 117
2. Натуральные дроби Самые первые дроби совсем не были дробями в том смысле, ъ каком мы теперь их понимаем. Они появились одновременно с целыми числами, составляли независимое от них понятие и от¬ нюдь не были вторичными, производными от целых чисел, ка¬ кими стали позже. На самом деле простейшие дроби 1/2, 1/3, 2/3 давали не столько количественную характеристику предмету, сколько опи¬ сывали его качественно. Как первые числовые понятия не были еще достаточно абстрагированы и обозначали конкретные числа (например, пять пальцев, пять персиков, пять бревен и т. д.) или числа-качества (кисть руки как живой эталон для числа пять: т. е. конкретное множество, с которым сравниваются все остальные равномощные множества исчисляемых предметов), так и для нашего далекого предка, например, «полполя» воспри¬ нималось прежде всего конкретно: это некоторое поле, обладаю¬ щее новым качеством (пусть поле с менее плодородной почвой или плохими всходами), из-за которого его отделили, отрезали от другой половины первоначального поля. При этом, в част¬ ности, выделенная и оставшаяся части оказались одинаковыми по размерам, каждая из них в два раза меньше всего первона¬ чального поля. Части могут оказаться и неравными. Именно поэтому в старом китайском языке 1/3, 2/3 получили названия: «меньшая половина» (шаобанъ), «большая половина» (тайбанъ) по сравнению просто с «половиной» (бань), которые употребля¬ ются в задаче 10 книги VIII «Математики в девяти книгах» и и в задаче 14 последней книги трактата Чжана; или «малая поло¬ вина» (сяобанъ), «большая половина» (да бань) в отличие от «средней половины» (чжунбанъ), которые употребляются в задаче 28 последней книги трактата Сунь-цзы [100, т. I, с. 230, т. II, с. 318, 384]. Других дробей на первых порах не существовало. После разделения некоторого поля каждая часть приобретает значение самостоятельной величины, меры. В дальнейшем про¬ цесс деления как бы забывается, отодвигается на второй план, остается само понятие половины. Вспомним русские «четверть» (мера емкости), «десятину» (мера площади) и другие меры, полу¬ чившие самостоятельное значение как нечто новое целое. И лишь этимология этих слов напоминает о том, что они происходят от деления. Таким образом, чтобы осмыслить половину в качестве дроби 1/2, надо было абстрагировать процесс деления поля и мыслить его примерно так: нечто целое (единица) (величины могут быть различной природы, теперь уже неважно, одномер¬ ные они или двумерные, либо это вообще некоторое количество предметов, но предметов однородных, и т. п.) делится на две равные части, так что каждая из них в два раза меньше целого. Именно дри этом получается не «половина», а «одна вторая». Такое понятие дроби становится уже более общим, оно соответ¬ 118
ствует дальнейшему развитию понятия числа. По природе своей оно алгоритмично, так как деление единицы на части может пред¬ ставляться как регулярный процесс: сначала на 2, далее на Зг на 4 и сколько угодно частей. Такое толкование дроби ниже рас¬ смотрено особо. Исходное «расширение» области целых чисел совершенно одинаково у всех народов. Во всех языках до сих пор сущест¬ вует слово половина» наряду с «одной второй» (см. табл. 5). Всюду обнаружены также индивидуальные названия для третьих долей (см. эту же таблицу). Что касается других простейших дробей, то разные из них получали собственное имя, здесь у каж¬ дого народа был свой выбор. Специальные названия дробей дава¬ лись и позднее, когда уже существовало более общее понятие дроби, это происходило только в том случае, когда путаница по вопросу о том, какие дроби имеются в виду, совершенно ис¬ ключалась: так обстояло с римскими весовыми унциями. Таблица 5 Таблица названий простейших дробей Дробь Китай Египет Вавилон Греция Фран¬ ция Рим V. Половина, средняя половина Половина Половина Половина Поло¬ вина Половина V. Малая, мень¬ шая половина Одна часть (вышла из употребления) Специальное название Третья часть Третья 2/з БольшАя, ббльшая по¬ ловина Две части Специальное название Две части Специальное название V* Малая, мень¬ шая Разламывать Четвертая часть 3/4 Большая, ббльшая Три части (подже 7а + 7<) Три части Специальное название 1/« 5/б Иногда упо¬ требляется специальное название 10 унций, т. е. ,0/12 V. ‘/и Специальные названия для всех долей Специальные названия для I/ 10/ 11/ /12» /12» /12 В древнем Китае дроби со знаменателем 12 также имели осо¬ бые наименования, которыми обозначались деления на зодиаке в календарях V—VI вв. династийных историй [95, т. I, с. 23] (см. табл. 6, содержащую названия из календаря «Цзинчу» в «Истории Сунской династии»). Эти названия в основном ском¬ бинированы из слов шао бань, бань, тай бань, цян, жо. Для китайских водяных часов кэлоу, помимо широко распространен¬ 119
ных 1/3, 1/2, 2/3 (шаобанъ, чжунбанъ, тайбанъ), употреблялись еще названия для 1/4, 3/4: «половина с недостатком» (жобанъ), «половина с избытком» (цянбанъ), как сообщает Чжу Ши-цзе в книге «Суань сюэ ци мен», 1299 г. [95, т. I, с. 20]. Следующий этап развития понятия числа — это появление 1 /п, для которых существовали также специальные названия. В древ¬ ности ими наделялись как основная 1М, так и дополнительная (п—1 )/п дроби. Действительно, в словах «третья», «четвертая» для 1/3 и 1/4 подразумевается последняя доля при делении це¬ лого на указанное число частей. Так мы говорим при перечисле¬ нии трех объектов о «третьем человеке», «третьем апельсине» и т. д. Аналогично все остальные п-е доли, которые дополняют (ri—l)/n до единицы, обозначались количеством оставшихся долей данного разбиения единицы. Например, для 2/3 термин «две части», для 3/4 — «три части», для 11/12 непосредственно Таблица 6 Таблица названий двенадцатых долей Дробь Китайское название Перевод Представление 1 12 цян С избытком 1 1 4 ‘ 3 2 1 12“* 6 шао жо Меньшая с недостатком 1 2 4 ' 3 3 1 12= 4 гаао Меньшая (половина) 4 1 12“* 3 шао цян Меньшая с избытком 1 1 1 4 + 4 ‘ 3 5 12 бань жо Половина с недостатком 1 1 2 4 + 4 ' 3 6 1 12 2 бань Половина 7 12 бань цян Половина с избытком 2 1 T + I2 8 2 12 = 3 тай жо Бблыпая с недостатком 2 1 2 4 + 4 ‘ 3 9 3 12“ 4 тай Большая (половина) 10 5 12 = 6 тай цян Большая с избытком 3 1 4+12 И 12 и чень жо Полный цикл с недостатком 3 1 2 4 + 4 • 3 12 —1 цюань Полная 120
указано «без одной». То, на сколько делится единица, при этом не указывается в названии — и так известно, о каких долях: ведется речь. 3. Дробь как мера или именованное число Несомненно, дробь происходит от деления. Однако не от той операции в абстрактной форме, которая имеется в виду, когда в теоретической арифметике строится поле рациональных чисел над кольцом целых чисел как такая числовая область, в которой выполнялись бы все четыре арифметических действия. В пред¬ ставлении древних деление было наполнено конкретным содер¬ жанием, и потому одно «деление» отличалось от другого: было ли это нахождение четвертой пропорциональной, или задача на распределение некоторого количества между различными объек¬ тами, или просто раздробление единицы измерения на более мелкие доли. Каждая из задач определяла свой подход к поня¬ тию дроби, хотя с нашей точки зрения задачи не различаются между собой, поскольку все они сводятся к одному действию — делению. Разберем сначала последний случай: рассмотрим именно ту задачу, которая является, по существу, частным случаем об¬ щего деления А на тг, когда А = 1. Этот класс задач имел само¬ стоятельное значение в формировании понятия дроби. Он нахо¬ дил наиболее яркое истолкование в метрологии, когда в процессе измерения для более точной оценки требуется размельчить основную единицу на более мелкие п частей. Невозможно указать, когда был совершен переход от деления только на 2 или 3 части к делению единицы на любые п частей. Этот момент был началом качественно нового этапа в развитии дроби. Он знаменовал собой введение дроби не как еще какого-то числа в дополнение к целым числам, но именно как дробного, нецелого, раздробленного числа, части целого. На этом новом этапе 1 In стала символизировать новое число, в котором деление уже было явным, а не маскировалось под соб¬ ственным именем натуральной дроби. Она свидетельствовала не о случайном (на 2, 3, 4, 12 частей), а регулярном процессе деления единицы (на п=2, 3, 4, . . .), который порождал не огра¬ ниченное количество дробей, но бесконечное их множество. Про¬ цесс позволял производить действительное или мысленное из¬ мерение не «на глазок» (остаток в виде половины или немногим, больше, меньше половины), а более точно, при помощи регуляр¬ ного введения все более мелких мер. Именно в последнем случае появляется вероятность возникновения систематических дробей (если делить на степени основания счета). В результате такого понятия дроби как меры, как доли целого множество целых чи¬ сел пополняется множеством дробных долей. Однако появление одной п-й в виде новой меры означало лишь самое начало (подчеркнем это особо) формирования поня- 121
тия дроби в общем виде. Хорошо известно, что в древнем Египте, где знали лишь эти аликвотные дроби 1 //г, дробей как таковых все же не было. Главным вычислительным постулатом у египтян было обя¬ зательное представление дробного числа суммой основных, алик¬ вотных дробей (обычно обозначают их через /г), конечно, неоди¬ наковых. Поэтому центральной задачей древнеегипетской вычис¬ лительной практики была разработка таблицы 2/п, разгадке тайны которой посвящено так много исследований [82, 155, 171 и др.]. Иными словами, древнему египтянину предстояло для этого прийти к простой, но замечательной идее о том, что удвоен¬ ное произведение 2п и есть частное от деления 2 на п [23, с. 30]. И поскольку действия в древнеегипетской математике были по¬ строены в основе своей на бинарной процедуре (удвоение, раз¬ двоение и сложение), то деление сводилось в конечном счете к задаче о дополнении дробного числа, т. е. некоторой суммы дробей вида п до 2. Именно в этой задаче особую роль играли так называемые красные числа (они писались красным лаком в от¬ личие от остальных), в некотором смысле аналоги дополнительных множителей при приведении дробей к общему знаменателю. Красные числа убедительно доказывают отсутствие современного понятия дроби в древнеегипетской математике. Сами красные числа могли оказаться дробными (т. е. суммой аликвотных дро¬ бей), потому что за общий знаменатель выбиралось не общее кратное, но просто больший знаменатель. Таким образом, эта числовая процедура заменила наше приведение дробей к общему знаменателю представлением разных дробей в масштабе неко¬ торой минимальной доли: п-я была не дробью, а «мелкой моне¬ той» 8. Вот почему древнему египтянину было не просто дога¬ даться о тождестве. Но вернемся к Китаю, где развитие на аликвотных дробях не задержалось и, более того, наверное, ими фактически не поль¬ зовались в том узком, «египетском» смысле; по крайней мере, таких сведений пока обнаружить не удалось. В древнем Дву¬ речье, где обыкновенные дроби не получили развития, так как были вытеснены систематическими, обозначение п-й, близкое к современному, также показывает исключительность египет¬ ских аликвотных дробей. Осмысление -^--й в качестве одной п-й части единицы, которая в сумме с остальными (п—1) частями дает еди¬ ницу, отразилось в китайском термине «полный», «целый» (цюанъ) ^см. в табл. 6 название для ^, долгое время употреблявшемся для обозначения дробя-^9. По-китайски слово «дробь», «доля» (фэнь) обо¬ 8 [23, с. 148, примеч. 1]. Платон высмеивает вычислителей, «которые разме¬ нивают единицу на мелкую монету», и говорит, что там, где они делят, ученые умножают, — намек на теорию отношений. 9 [50, с. 463—464]. Этим же термином в «Десятикнижье» обозначается целая часть смешанной дроби (например, см. [50, с. 444]). 122
значает также глагол «делить». В «Началах» Евклида дроби назы¬ ваются «частями» (ср. со старорусским названием «ломаная» для дроби). В нашем чтении —-: «т п-х», также и по-китайски, с той лишь разницей, что в китайской грамматике определение стоит перед определяемым словом и потому в древних текстах дробь (буквально) записывается по схеме т-хт». Здесь и выявляется содержательное понятие дроби. Речь идет о целом числе т неко¬ торых новых единиц измерения, количество которых указыва¬ ется числителем дроби, а их «качество» (т. е. их определение) указывается знаменателем дроби: п-е. Итак, сначала выполня¬ ется деление основной единицы на п частей, а затем берется т таковых. Это толкование дроби во многих случаях помогало китайцам успешно преодолевать трудности в разработке правил действий с дробями. В противоположность египтянам китайцы не только приводили дроби к общему знаменателю «по-настоящему», но находили наименьшее общее кратное в качестве общего знамена¬ теля. Этот метод весьма остроумен, и его интересно сравнить с египетской процедурой «красных чисел». Идея одна и та же, но в разных случаях проявляется по-разному; развитая до конца, она помогает получить новое понятие в математике. 4. Приведение дробей к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное Здесь мы просим читателя вернуться к п. 1 этой главы и об¬ ратить внимание на китайские алгоритмы, представленные для более легкой обозримости формулами. Они отличаются от совре¬ менных незначительно, но нас интересует пока одна деталь: при сложении и вычитании дробей общий знаменатель находится просто в виде произведения знаменателей. Это непринципиальное отличие, незаметное для небольших знаменателей при малом количестве дробей, в иных случаях может оказаться весьма ощу¬ тимым. Здесь мы рассматриваем задачи 1—11 книги IV «Мате¬ матики в девяти книгах», в которых хотя и оперируют с дробями,. но совсем иначе, чем в специальных задачах книги I этого же сочинения, правила к которым мы представили выше в п. 1 современ¬ ными формулами. Назначение рассматриваемых задач весьма неясно, но в них дан метод приведения дробей к общему знаме¬ нателю, в котором, по существу, пользуются наименьшим общим кратным. Из анализа вычислений видно, как практически вы¬ рабатывалось это теоретико-числовое понятие. Задачи 1—11 однотипны и сводятся к отысканию стороны единичной прямоугольной площади по известной другой стороне, п которая выражается необычно: в виде ^Т’ где 3, ....,12. i Приведем текст одной из них, 7-й: 123
«Имеется поле шириной 1 с половиной, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 м 1/8 бу. Известно, что поле в 1 му. Спрашивается, какова длина? Ответ: 88 233/761 бу». [50, с. 466] 10. Решения всех таких задач сводятся к делению на дробь: «ели х искомая, то я 1 1 • п ^ 1 т Х я т ’ ^| i п * 1_ i i где т определяется равенством последовательно для указанных п. Хотя задачи обратны тем, в которых дано правило умножения дробей [50, с. 443—444, книга I, задачи 19—24], сформулиро¬ ванных в геометрической форме (произведение выступает в них в виде площади прямоугольного поля), однако они, по всей види¬ мости, не считались основными для определения деления дробей. Для сравнения приведем одну задачу на умножение дробей из книги I «Математики в девяти книгах»: «Имеется другое поле шириною в 7/9 бу, длиною в 9/11 бу. Спрашивается, каково поле? Ответ: 7/11 бу» [50, с. 443, за¬ дача 20]. Эти две задачи обратны друг другу, но задачи 1—11 книги IV тем не менее не могут служить примерами, демонстрирующими деление дробей. Во-первых, в них показано лишь деление целого на дробь, и, конечно, для этого не было необходимости решать одиннадцать однотипных задач — слишком неэкономно для лаконичных древ¬ них текстов. Во-вторых, задачи на деление дробей уже содер¬ жатся в книге I «Измерение полей» [50, с. 443, задачи 17—18]. Там они к месту, тогда как книга IV посвящена извлечению кор¬ ней. В книге I древнего сочинения содержатся все действия с дробями, включая и алгоритм Евклида попеременного вычи¬ тания, примененного для сокращения дробей. Правда, задачи на деление отличаются от остальных своими формулировками, но в них полностью рассмотрено как деление целого на дробь (задача 17), так и деление дроби на дробь (задача 18). Деление в них представлено распределением монет между людьми, а не в геометрическом виде (см. п. 6). В-третьих, не случайно ориги¬ нальное задание известной стороны в виде суммы аликвотных дробей (в подлиннике буквально пишутся по-современному: «п-я одна», т. е. они по определению не «египетские»). Благодаря такому заданию на первый план выдвигается процедура под¬ счета суммы этих дробей и отодвигается на второй план операция деления, хотя последняя и представляет собой большой инте¬ рес — мы к ней еще вернемся ниже. По существу, в задачах 1 — 11 книги I «Математики в девяти книгах», каково бы ни было 10 В ответе перевода опечатка. Укажем, что единица площади 1 му=240 кв. бу. 124
их специальное назначение п, дан общий метод приведения дро¬ бей к общему знаменателю как наименьшему общему кратному знаменателей дробей. Если бы китайский вычислитель в этих задачах стал находить общий знаменатель обычным способом, т. е. так, как указано в правиле сложения дробей книги I, то вычисления оказались бы чрезвычайно громоздкими. Здесь особенно целесообразно было п взять наименьшее общее кратное чисел (1, 2, 3,.... 12) вместо JJi. i=1 Из решений задач, сформулированных словами, ясно, что именно так поступали во всех случаях, кроме задач 5 и И. Каким образом дроби приводились к общему знаменателю? Прием, которым пользовались китайцы, прост и изящен. Начи¬ ная с самого большого знаменателя, последовательно на него умножали числители остальных дробей. По ходу дела прово¬ дили сокращение, и общий знаменатель получался равным не произведению всех знаменателей, но их наименьшему общему кратному. Таким образом пришли к новому математическому понятию — понятию наименьшего общего кратного. Несколько подробнее о реконструкции этого метода 1а. Описания решений задач 1—11 недостаточно подробны. Они начинаются (в наших терминах) с представления дополнительных множителей: «Правило следующее: имеется восемь дробей, взяв 840 за 1, 420 вместо половины, 280 вместо 1/3, 210 вместо 1/4, 168 вместо 1/5, 140 вместо 1/6, 120 вместо 1/7, 105 вместо 1/8, сложи их, получишь 2283, это делитель» [50, с. 466, задача 7]. Как получены эти числа, можно узнать из общего правила к этим задачам под названием «Шао-гуан», сформулированного в виде алгоритма для счетной доски, на которой производились вычисления. Применим его к приведенной выше задаче 7. Пра¬ вило начинается словами: «Расположи целый бу, числители и знаменатели дробей». В нашем примере они представляются двумя рядами чисел: 11111111 2 3 4 5 6 7 8 Китайские строки вертикальны, поэтому знаменатель последней дроби будет располагаться в самом низу и справа. Далее: «Чи¬ 11 Ли Янь рассматривает эти примеры в связи с толкованием специального термина чжун ю фэнь — сложные дроби (см. [95, т. I, с. 28]). ^Использование наименьшего общего кратного в качестве общего знамена¬ теля дробей иногда видят в примерах книги I «Математики в девяти кни¬ гах». Однако это не так. Выкладки к задачам книги I отсутствуют, а общие правила сложения и вычитания дробей (вместе с комментарием Лю Хуэя к ним) показывают, что значение в ответе, равное наименьшему общему кратному, получалось лишь после сокращения готового результата, т. е. на самом последнем этапе вычислений, и потому данное понятие в этих задачах не применялось (см. [95, т. I]). 125
слители дробей и целый бу умножь один за другим на самый нижний знаменатель», т. е. 88888888 2 3 4 5 6 7 8 или 8 4 8 2 8 8 8 1 3 5 6 7 Некоторые дроби можно сократить — это действие обеспечива¬ ет получение наименьшего общего кратного знаменателей- 8 4 8 2 8 4 8 1 3 5 3 7 Особенности задач 5 и 11 заключаются именно в некотором отступлении от этого правила. В задаче 5 не сокращенной оста¬ лась дробь 6/4: 111111 2 3 4 5 6 далее 6 3 2 6 6 1 4 5 Возможно, так произошло потому, что эта задача была первой* где надо было произвести сокращение получающихся промежуточ¬ ных дробей. В предыдущих задачах было достаточным только деление нацело. Аналогичное упущение в задаче 11, последней из этой группы, объяснить трудно. Оказалась не сокращенной дробь 12/9 в схеме 12 6 4 3 12 2 12 3 12 6 12 1 5 7 2 9 5 И В результате этих отклонений общие знаменатели по сравнению с наименьшим общим кратным знаменателей увеличились в 2 и в 3 раза. Это, конечно, не очень существенно для вычислений. Эти примеры показывают, что понятие наименьшего кратного еще не окончательно выкристаллизовалось. Следующая фраза правила предлагает: «Если надо сделать приведение к общему знаменателю, то умножить числители один за другим на знаме¬ натели дробей». Очевидно, далее числа верхней строки умно¬ жаем последовательно на 7: 56 28 56 14 56 28 8 7 3 5 3 на 3 (возможно, сокращение на 3 производится на ходу) 168 84 56 42 168 28 24 21 5 126
я на 5: 840 420 280 210 168 140 120 105 Во второй строке все числа исчерпаны, процедура окончена. Первое число строки всегда выражает общий знаменатель, точ¬ нее, наименьшее общее кратное знаменателей дробей. В терминах метрологии первое число указывает, на сколько долей надо раз¬ делить основную единицу измерения, чтобы все остальные дроб¬ ные части этой первоначальной меры выразились целыми чис¬ лами. Остальные числа и являются количествами, выражен¬ ными в этой найденной малой мере. Далее правило описывает собственно решение задачи, здесь мы его приводить не будем. От египетской процедуры с красными числами китайская отличается тем, что преобразование заданных долей в более мел¬ кие производится не один раз, но до тех пор, пока все они не будут выражены целыми числами, т. е. выбирается не просто мера, а отыскивается общая наименьшая мера. Поэтому «допол¬ нительные множители» в китайских вычислениях в конце концов становятся целыми числами, а египетские красные числа, вооб¬ ще говоря, остаются дробными и только в частном случае могут быть целыми. Здесь хорошо виден смысл приведения дробей к общему зна¬ менателю, чтобы разные дроби можно было сравнивать, оцени¬ вать, оперировать с ними, надо выразить их в одинаковых долях и все свести к операциям с целыми числами. В конечном счете так поступали древние любой цивилизации, да и мы тоже, но при этом шли разными путями. В древнекитайском алгоритме главным образом фиксируется внимание на толковании дроби как некоторой доли основной единицы или нескольких таких долей, иными словами, дроби как именованного числа. Нам остается только показать, что в дальнейшем проблема наименьшего общего кратного была выделена в самостоятельную и предлагалась в задачах вне всякой связи с дробями. Через несколько столетий в «Математическом трактате Сунь-цзы» и еще в более общей форме в трактате Чжан Цю-цзяня она нашла отражение в специальных задачах13. Вот условие задачи Сунь-цзы: «Имеется три сестры: старшая сестра возвращается домой один раз в пять дней, средняя сестра возвращается домой один раз в четыре дня, младшая сестра возвращается домой один раз в три дня. Спрашивается,через сколько дней [эти] три женщины встретятся все вместе? Ответ: [через] 60 дней» [49, с. 39]. Правило к задаче весьма корректно: 13 В Монголии такие задачи также получили распространение, например за¬ дача о посещении учителя четырьмя его учениками соответственно еже¬ дневно, через сутки, двое и 5 дней и о встрече их всех. 127
«Установи 5 дней для старшей сестры, 4 дня для средней сестры, 3 дня для младшей сестры справа. В каждом ряду слева расположи единичную счетную палочку». Схема будет следующей: 1 5 1 4 1 3 Далее в правиле говорится: «Взаимно поочередно перемножь это. Число раз, которое будет получено для каждой, [следующее]: старшая сестра через 12 раз, средняя сестра через 15 раз, младшая сестра через 20 раз», т. е. находится наименьшее общее кратное для каждой пары чисел: 12 5 15 4 20 3 И, наконец, в последней фразе объявляется о получении наимень¬ шего общего кратного трех заданных чисел, равного 60, из каж¬ дой строчки таблицы. «Умножь эти числа на [количество ] дней, через которое каж¬ дая возвращается домой, и получишь [искомое]». Хотя решение этой задачи гораздо проще, чем решение задач 1—11 книги IV «Математики в девяти книгах» (здесь наименьшее общее кратное есть просто произведение простых чисел), но сама проблема обсуждается отдельно и весьма образно. Эта за¬ дача соответствует вкусам автора трактата, интересовавшегося теоретико-числовыми задачами. В задачах 10—11 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня оперируют не только с наименьшим общим кратным, но и с об¬ щим наибольшим делителем. Рассмотрим их подробно, так как в историко-математической литературе о них упоминают редко и очень кратко [110, с. 81]. В обеих задачах снова имеют дело с тройкой чисел 3, 4, 5, хотя они явно и не заданы. «Имеется насыпная гора с оградой 325 ли. Три человека Ау Б, В одновременно ходят вдоль ограды. А за день проходит 150 ли, Б за день проходит 120 ли, В за день проходит 90 ли. Спрашивается, сколько дней и сколько обводов [они] пройдут, пока встретятся» [51, с. 30]. Решение очевидно: если А сделал до встречи кругов, Б — п21 В — п3 и для этого потребовалось х дней, то имеет место ^ 325 • пх 325 • п2 325 • п3 Х~ 150 120 — 90 * После сокращения, в том числе на наибольший общий делитель, равный 30, становятся ясными наименьшие целые значения Wi=5, п2=4, п3=3. В правиле описано, как при помощи деления получить число дней, нужных для встречи трех пешеходов. 128
«Установи числа ли, нормы ходьбы для А, Б, В. Найди рай- ное число, это делитель. В качестве делимого возьми число ли ограды. Делимое составь с делителем и получишь единое [число]» 14 [Там же]. На этом правило заканчивается. В вычислениях же еще по¬ казано, как найти искомые количества оборотов, совершенных А, Б, В до встречи. Для этого надо разделить нормы ходьбы на их наибольший общий делитель. Следующая задача несколько сложнее: «Обвод военного лагеря внутри 720 бу, обвод военного ла¬ геря в середине 960 бу, обвод военного лагеря вовне 1200 бу. Три человека А, Б, В шли ночью. А шел по внутреннему обводу лагеря, Б шел по среднему обводу лагеря, В шел по внешнему обводу лагеря, встретились у южных ворот. Нормы ходьбы для А 9, для Б 7, для В 5. Спрашивается, по скольку обводов пройдет каждый, пока все они не окажутся у южных ворот [од¬ новременно]» [51, с. 31, задача 11]. Согласно условию 720 • пг 960 • п2 1200 • па 9 — 7 — 5 ’ или, после сокращения на наибольший общий делитель, рав¬ ный 240: 3щ _ 4п2 5и3 ~7~‘ ~~Ъ~ * Здесь не получаются наименьшие целые значения для искомых величин, поэтому последующие члены отношений предлагается увеличить в 4 раза. В вычислениях так и сказано: «Ищи целые числа» [там же], а также указана схема 3 9 4 7 5 5 Правый столбец, который требуется увеличить «дважды в два» раза: 3 36 4 28 5 20 Разделив на соответствующие числа, стоящие слева, полу¬ чают искомые числа 72-^==12j W2 = 7, п3 г= 4. Однако китайское правило отлично как от описанных в тексте, так и от приведенных здесь вычислений. Это один из немногих 14 «Равное число» (деншу) и есть наибольший общий делитель — китайский термин, употребленный в «Десятикнижье» впервые в правиле сокращения дробей [50, с. 440]. 9 Э, И, Березкина 129
в трактате Чжана случаев несовпадения алгоритма с вычисле¬ ниями. В правиле автор рекомендует применить тот же метод, которым пользовался Сунь-цзы при решении своей задачи: найти число обводов, а не количество дней до встречи. «Количество бу внутреннего, среднего, внешнего обводов взаимно перемножь с коэффициентами ходьбы А, В, В. Ищи равное число, сократи, для каждого получишь ходьбу в обво¬ дах» ,— вот весь текст правила [51, с. 31]. Можно восстановить схему вычислений по этому алгоритму. Составляется таблица 720 9 960 7 1200 5 и производится поочередное перемножение чисел левого столбца на соответствующие числа правого столбца, как это делается при приведении дробей к общему знаменателю, даже термин употреблен тот же, «ху чет [50, с. 441]: 720 • 7 • 5 9 960 . 9 • 5 7 1200.9*7 5 Полученные произведения сокращаются на «равное число», т. е. на общий наибольший делитель, равный здесь 3600. В левом столбце остаются числа 7, 12, 21. Искомые величины, очевидно, должны быть такими, чтобы произведение их на полученные числа рав¬ нялось наименьшему общему^кратному этих чисел. К сожалению, в правиле не^говорится, как действовать окончательно. Наверное, так же, как в задаче Сунь-цзы: следует искать наименьшее общее кратное чисел 7, 12, 21. 5. Общий наибольший делитель. Алгоритм Евклида. Основное свойство дроби Способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел известен в математической литературе как алгоритм Евклида [55, с. 12, книга VII, предл. 2], содержание которого сводится к следующему. Для определения наибольшего общего делителя двух чисел а и Ъ (а > Ъ) надо вычитать Ъ из а последовательно столько раз, чтобы остаток rx—a—q0b был меньше Ъ. Далее сле¬ дует аналогично поступить с парой (Ь, гх). Получится остаток r2=b—и т. д. Наконец, получатся остатки гя_2 > гя_1? и та¬ кие, что в гп_2 остаток гп_г укладывается целое число раз: Гп-2 Гя-1 Qn-1 — 0 (Гя = 0)- Таким образом, г^ будет наибольшим общим делителем данных а и Ъ. Такой же алгоритм описан в древнекитайской «Математике в девяти книгах» в виде правила «Сокращение дробей» (книга I сочинения), предваряющего весь цикл задач на дроби: «То, что 130
можешь разделить пополам, раздели пополам; если нельзя раз¬ делить пополам, то установи количества числителя и знаменателя, из большего вычти меньшее; продолжай взаимно уменьшать до тех пор, пока не получатся равные [числа]; на это равное число и сократи» [50, с. 440]. Хотя древнекитайский алгоритм сформулирован в арифмети¬ ческой форме в отличие от древнегреческого, где речь идет об отрезках, в нем также применено попеременное вычитание вместо современного деления. Вероятно, это диктовалось техни¬ кой вычислений на счетной доске, когда числа представлялись счетными палочками. В зависимости от этого сформулировано конечное условие: «пока не получатся равные [числа]», т. е. rw_2=rw_1gw_1. Здесь применен термин для общего наибольшего делителя «равное число» (деншу). Этот термин встречается всюду в математических текстах древнего Китая. В «Математике в де¬ вяти книгах» определение алгоритма, по-видимому, довольно древнее. В нем сохранилось упоминание о делении чисел на чет¬ ные и нечетные — свойстве, подмеченном древними народами задолго до какого-либо развития теории делимости чисел (древ¬ ние египтяне должны были столкнуться с ним в алгоритме деле¬ ния 2 : п). И, конечно, в древнем алгоритме попеременного вычи¬ тания не требовалась единственность разложения на множители, хотя связь с цепными дробями в дальнейшем, вероятно, была установлена. В «Математике в девяти книгах» алгоритм нахож¬ дения общего наибольшего делителя выражает основное свой- ство дробей и, кстати, представляет дробь явно в виде пары чи¬ сел. Это свойство дроби, когда величина дроби не изменяется от умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число, было особо отмечено комментатором «Математики в девяти книгах» Лю Хуэем, а также Чжан Цю-цзянем, раз¬ вившим далее учение о дробях. Лю Хуэй, поясняя заголовок правила «Сокращение дробей» (юэ фэнь), пишет: «Тот, кто стал¬ кивается с сокращением дробей, мерой количеств вещей, не может исследовать полностью, как- надо говорить о дроби. Дробь- это число, сложное по устройству"^ трудное в употреблении. Пусть имеется 2/4. Если говорить об усложнении (фань), тогда можно получить 4/8, если говорить о сокращении (юэ), то'бу¬ дет 1/2. Хотя количества (шу) представлены разными словами, возвращаются к одинаковому значению. Делитель (фа), делимое (ши) взаимно выделяются, постоянно^имеется разность, поэтому и дается такое правило, которому прежде всего подчиняется каждая дробь» [100, т. 1, с. 94—95]. Понимание Лю Хуэем смысла и значения этого алгоритма весьма глубокое. Вот что он пишет в комментарии к алгоритму: «Сократить на равное~число — это значит разделить [на него]. Когда'при взаимном вычитании начинают повторяться равные числа, то берут равное число и сокращают на него» [Там же]. Предисловие'трактата Чжан Цю-цзяня посвящено специально учению о дробях, и сам трактат начинается с задач на умножение 131 9*
и деление дробей. Он кратко излагает алгоритм попеременного вычитания для определения наибольшего общего делителя числи¬ теля и знаменателя (уже без разделения на четные и нечетные), а также упоминает в связи с этим о свойстве дроби быть не только сокращенной, но и увеличенной (тот же термин фанъ). В «Математике в девяти книгах» общий наибольший делитель употреблялся лишь для сокращения дробей. Кроме задач 5 и 6, где специально производится сокращение 12/18 и 49/91 (эти же примеры приводит и Сунь-цзы (в задачах 1, 2 средней книги)). В «Математике в девяти книгах» отыскивается общий наибольший делитель еще в задачах 8, 15, 19 книги I, где получаются 339/i89, 18/i08, 63/999 а также в задачах на «уравнение дробей» (лип фэнь). В последних находится среднее арифметическое трех заданных дробей (например, V2, 2/3, 3/5 или V2, 3/4, 5/7) и производится их сравнение (по абсолютной величине) с этим «уравненным» значе¬ нием «На сколько больше, на сколько меньше каждая из них?» [50, с. 442]. 6. Деление дробей. Задачи на распределение После некоторого отступления, связанного с исследованием теоретико-числовых понятий, рассмотрим другие «типы» деления, которые также послужили источником формирования понятия дроби. Указанный в заголовке класс задач является обобщением предыдущего случая деления 1 : п, предполагая делимое А =^= 1. Древние, однако, воспринимали эти"задачи как вполне самостоя¬ тельные и трактовали их отличным от первых образом. Если деление единицы на некоторое число частей представлялось глав¬ ным образом в метрологическом плане, как раздробление единицы измерения на более мелкие доли, то деление А : п в общем слу¬ чае, когда А некратно п, давало повод осмыслить дробь в качестве результата деления целых чисел. Правда, и в этом случае должно подразумеваться измерение А в однородных единицах. Дейст¬ вительно, в китайских задачах обычно берутся монеты, цяни, конечно, одного достоинства, которые распределяются между людьми, а в задачах Сунь-цзы делимое вообще отвлеченное число, возможно мыслимое, в виде подлежащих дележу монет. Например, «6561, 9 человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: 729» [49, с. 25]. Здесь нет ни именованного делимого, ни именованного ответа, колорит задачи на распределение сохраняет лишь делитель. Эта задача из числовой таблицы произведений: 9*9«81=6561, 9-8*72=5184 и т. д. (см. п. 10 ч. II). Она сопровождает каждое такое умножение, указывая на обратное действие: 6561/э=729 и т. д. Выше мы уже отметили, что здесь Сунь-цзы явно указал на взаимно обратную связь умножения и деления. В отличие от авторов «Математики в девяти книгах» у него лишь деление представлено в традиционной форме. Умножение абстрактно: 132
«Сколько получится, если перемножить 9, 9, 81? Ответ: 6561» [Там же]. В трактате Чжан-Цю-цзяня оперируют с абстрактными чис¬ лами, во всех первых шести задачах на умножение и деление дробей. На практике древним часто приходилось распределять не¬ которое количество А (имущество, добычу, расходы и т. п.) как между равнозначными, так и неравнозначными объектами. Интер¬ претация этой четвертой арифметической операции в виде за¬ дач на распределение показывает нам, что эта операция возникла независимо от прямой, т. е. от умножения. Связь между ними была, по-видимому, осмыслена позже: в китайской математиче¬ ской литературе впервые у Сунь-цзы. Не удивительно поэтому, что задачи на умножение и деление дробей, помещенные в книге I ч<Математики в девяти книгах», о которых ранее уже упоми¬ нали, непохожи друг на друга по форме и расположены не «по порядку». Деление дробных чисел, изложенное в задачах 17 и 18, про- изводится в книге I в традиционной форме «распределения» и еще до задач на умножение дробей, которые представлены в геометрическом виде, как отыскание площади прямоугольного поля по заданным сторонам. Действительно, книга I «Измерение полей» посвящена опре¬ делению площадей земельных участков различной формы, сто¬ роны которых могут быть выражены как целыми, так и дроб¬ ными числами (иррациональные числа древними китайцами не рассматривались). Но для определения площади хотя бы простей¬ шего, прямоугольного, поля в общем случае надо уметь умножать смешанные дроби. Вероятно, составители «Математики в девяти книгах» при систематизации древних текстов решили поместить перед задачами на измерение полей правила действий с дро¬ бями: сокращение их, сложение, вычитание и несколько других задач на вычитание (сравнение и уравнивание дробей). Заметим, что все эти действия производятся над отвлеченными дробями. Далее естественно было перейти, как мы представляем и при¬ выкли, к умножению дробей, сначала правильных, затем смешан¬ ных. Это действие представлено древними авторами в виде определения площади прямоугольного поля, а не с отвлечен¬ ными дробями. Поэтому задачи 19—21, помещенные под заго¬ ловком «Умножение дробей» чэн фэнъ (но не «измерение полей»; очевидно, размеры сторон, равных дробной части бу, т. е. шага, для реального поля неестественны), являются подготовкой к «Общему измерению полей» (да гуанъ тянъ), когда стороны поля выражаются смешанными дробями (задачи 22—24). Далее идут задачи на вычисление площадей треугольников, трапеций, круга и его частей, являющиеся основной темой книги I. По¬ местить деление дробей после умножения, когда уже начали- излагать основной материал, значило прежде всего нарушить цельность текста книги I. Да и с точки зрения древних, в этом 133
не было необходимости, поскольку деление трактовалось вне связи с умножением. Чтобы показать деление дробей, авторам пришлось прибегать к явно нереальным, абсурдным величинам. В задаче 17 мы встречаемся с обобщением деления целого на дробь: «Имеется 7 человек, делится [между ними] 8 1/3 цяня. Спра¬ шивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 1 4/21 цяня» [50, с. 443]. Обобщая деление на дробь на случай деления дроби на дробь, в следующей задаче 18 при¬ ходится пользоваться дробной частью человека (!?): «Имеется 3 1/3 человека, делится [между ними] 6 1/3 и 3/4 цяня. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 2 1/8 цяня» [Там же]. Все понимали, очевидно, что эти задачи имели лишь видимо практическое значение. На самом же деле они давно стали по су¬ ществу отвлеченными. В китайской математике мы не раз стал¬ киваемся с таким обстоятельством, когда в старую конкретную форму вкладывалось новое, абстрактное содержание. Мы уже встречались с ним на примере десятичных дробей. Приведем алгоритм деления дробей: «Правило: количество людей возьми в качестве делителя, количество цяней — в качестве делимого. Объедини делимое и делитель. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаме¬ нателю. Если еще имеются дроби, то таким же образом приведи их к общему знаменателю» [50, с. 443]. Смысл этого правила заключается в сведении деления дроб¬ ных количеств к делению целых. Для этого дроби приводятся к общему знаменателю. Делается это дважды, поскольку в зада¬ чах делимые заданы суммой дробей с разными знаменателями. Такой процесс деления хорошо вяжется с толкованием дроби как именованного числа — еще один пример использования понятия в указанном виде. Проблема деления дробей, как видим, была достаточно слож¬ ной и встречала существенные затруднения. Достаточно напом¬ нить, что тем же вариантом цитированного правила пользовались греки, арабы, византийцы, математики средневековой Европы: Леонардо Пизанский (XIII в.) и Хр. Рудольф (XVI в.). Современ¬ ным же алгоритмом деления дробей, сводящимся к умножению на перевернутую дробь, стали пользоваться сравнительно не¬ давно. Он изложен у М. Штифеля (XVI в.), но употреблялся и ранее в сочинениях китайских (V в. н. э.) и индийских (VII в. н. э.) авторов. Что касается китайских источников, то здесь можно проследить, как постепенно к нему пришли. В тех самых задачах 1—11 книги IV, которые были подробно рассмотрены выше в п. 4, фактически осуществляли деление на дробь в виде умножения на перевернутую дробь, хотя прямого указания на такое правило в тексте нет. Далее, к делению на дробь, по существу, прибегают при ре¬ шении задач типа 34—37 книги II и 11—13 книги III, где речь 134
идет о покупке шелка-сырца или тканей [50, с. 453 и след., с. 461]. Казалось бы, в таких задачах, исходя из пропорции 1 единица товара стоит а цяней, N единиц — А монет, решение сводится либо к умножению A=aN (задачи 11—13), либо к деле¬ нию N=A/a и a=A/N (задачи 34—37). Но дело в том, что обычно N=m/n той основной единицы (люй), стоимость которой определяется в задаче, и в последнем случае фактически следует уметь делить на дробь. Внимание вычислителя специально обра¬ щается на «Расчет стоимости предмета». «Правило: норма купленного есть делитель, количество за¬ траченных цяней есть делимое, объедини делимое и делитель, получишь [искомое]» [50, с. 453]. «Затратили 5785 цяней на покупку 1 ху 6 доу 7 шэнов с большой половиной лака. Спра¬ шивается, сколько стоит 1 доу, если доу — основная норма?» [50, с. 454]. Действительно, вспомнив соотношения 1 ху=10 доу=100 шэ¬ нов, получаем, что Л^=503/30 и a=5785/iV. Таким образом, деление целого на дробь было рассмотрено так или иначе в китайской арифметике, деление же дроби на целое, вероятно, не вызывало дополнительного объяснения. Но тогда можно было бы прийти и к современному правилу де¬ ления a ad a t с c/d с ad Т1 Т~1Г~—'Тс • Современным правилом пользуется уже Чжан Цю-цзянь (V в.). В самом начале трактата он производит умножение и деление дробей. Правда, отдельного правила в общем виде не формули¬ рует (единственный случай в книге). Однако каждая задача снабжена детальным описанием последовательности вычислений. Задачи расположены в порядке усложнения: сначала дробное число умножается и делится на целое, затем на дробное, и, на¬ конец, сложное дробное число — на дробное (дробная часть «сложного» числа составлена из нескольких дробей). Числа, на которых Чжан учит операциям с дробями, отнюдь не такие простые, как в «Математике в девяти книгах». Примеры из «Математики»: A A—ii L JL_A JL—jL 7 * 5 — 35 ’ 9 * И И * 5*9 9 е Примеры Чжан Цю-цзяня: 9.214=1944, 211. 37 4=804 З74.(494н4)=1889 «|. 135
Деление в трактате Чжана представлено так: 256 12 = 21 ii, 1768А:27| = 64^, (65874+4): 581=112^. Заметим, что Сунь-цзы в своей книге рассматривает только сокращение, сложение и вычитание дробей, а также определение среднего арифметического для трех дробных чисел, заимствуя для этого непосредственно задачи из «Математики в девяти кни¬ гах». 7. Дробь как пара чисел Так или иначе, операция деления постепенно формализовалась и стала рассматриваться сама по себе как общая и единственная для всех типов задач. К этому ведет вообще накопление опыта в решении задач, когда люди в разных конкретных задачах уста¬ навливают общий математический смысл. Так было и с задачами, в которых производилось деление. Очень может быть, что в формировании четвертого арифме¬ тического действия, а значит, и понятия дроби, немалую роль сыграла китайская счетная доска. Правда, такая формализация носила локальный характер, она имела место только на доске и только во время вычислений. Действительно, в китайском алгоритме деления предполага¬ ется получение частного в любом случае. Если делимое оказыва¬ ется кратным делителю, то частное будет целым числом, которое и остается единственным в верхней строке, тогда как остальные, заданные, числа убираются с доски в процессе счета. Если же де¬ лимое некратно, то на доске под частным во второй строке будет располагаться остаток (вместо делимого), а еще ниже, в третьей строке, — делитель: частное остаток делитель Весьма вероятно, что это обстоятельство способствовало ускоре¬ нию возникновения той формы представления остатка, которая часто встречается в задачах математических трактатов и о которой подробно написано в п. 6: просто «сняли» результат со счетной доски, назвав целую часть частного и отдельно остаток от дели¬ мого. Здесь существенным оказалось то, что неделимые счетные палочки на доске заставляли вычислителя оперировать лишь во множестве целых чисел. Об операциях с дробями на счетной доске С. А. Яновская пишет следующее: 136
«Особую роль играло введение в обиход таких операций, кото¬ рые сами по себе вообще не могли быть выполнены на абаке, а также соответствующих новых математических объектов, как это было, например, в случае, когда требовалось один хлеб раз¬ делить на столько-то частей: счетные палочки трудно делить на одинаковые части и еще труднее их склеивать. Но оперирование с дробями люди давно научились заменять оперированием с це¬ лыми числами, и исторически весьма по-разному: египтяне не так, как вавилоняне, вавилоняне не так, как китайцы или другие народы. Древность этого открытия не делает его, однако, менее великим, требующим преодоления менее значительных трудно¬ стей. Не случайно во всех дошедших до нас первых математических памятниках древних египтян, вавилонян, китайцев столь много внимания уделяется именно оперированию с дробями. Не случайно они наталкивались при этом на трудные задачи теории чисел» [49, с. 5]. Дробь на доске представлялась двумя целыми числами. Числи¬ тели дробей, с которыми оперировали, размещались в одной строке, знаменатели — в другой (как следует из текстов, либо вверху и внийу, либо слева и справа соответственно). Для примера рассмо¬ трим правило сложения дробей, формулу которого мы приводили в начале очерка. Прежде чем его процитировать, для наглядности выпишем хоть одну задачу, предшествующую этому правилу, помещенному в книге I «Математики в девяти книгах». Задача 7 книги I, она же выбрана Сунь-цзы для иллюстрации определения суммы дробей: «Имеется 1/3 и 2/5. Спрашивается, сколько получится, если их сложить?» Ответ: 11/15» [50, с. 440]. Правило озаглавлено: «Сложение дробей» (хэ фэнь), хэ — бук¬ вально «объединять», «складывать вместе» (современный термин цзя фа): «Числители поочередно умножь на знаменатели, сложи — это делимое. Перемножь знаменатели — это делитель. Объедини делимое и делитель. Если делитель больше делимого, то обозначь делитель. Если их знаменатели одинаковы, то прямо складывай» [50, с. 441]. Здесь употреблен ряд специальных терминов. Для приведения дробей к общему знаменателю (но не наименьшему) пользуются термином «поочередно умножь» (ху чэн), который обозначает на¬ хождение всех чисел вида а{Ьг. . . . .Ьп в отличие, напри¬ мер, от термина сян чэн, буквально «взаимно перемножь», когда отыскивается произведение знаменателей. Сумма этих чисел п 2 а( (Ьг... Ь{_гЬ{+1... Ьп) называется «делимое» (ши), а произведение 1 п п*, «делитель» (фа). i Таким образом, ясно, что дробь на доске представлялась парой целых чисел,« и поэтому правило напоминает сложение дробей, 137
определенных в современной арифметике парой чисел. Следующая фраза в таком случае становится совершенно необходимой: «Объ¬ едини делимое и делитель» (ши жуфа эр и), и вслед за ней: «Если делитель больше делимого, то обозначь делитель» (бу манъ фа чжи и фа мин чжи) [100, т. I, с. 70] (см. также [50, с. 517, примеч. 10]). Все это означает, что после получения двух чисел, делимого а и делителя 6, надо «составить» (жу) из них одно число. В процессе «объединения» по мере возможности производится сокращение а, Ь. Если а^>Ь, то выделяется целая часть так чтоа = = АЪ-\-а. Но даже при а<^Ъ специально говорится: «Обозначь де¬ литель», т. е. напоминается, что и в том случае, когда никаких до¬ полнительных действий проводить не нужно, ответ следует про¬ читать в виде числа, у которого числителем является a, a знаме¬ нателем Ь. Вторая фраза, кстати, часто опускается в текстах правил. По-видимому, «объедини делимое и делитель», превратив¬ шись в специальный математический термин, в достаточной сте¬ пени полно обо всем говорила, а последняя фраза только уточняла частный момент. Первое толкование фразы дал Лю Хуэй в комментариях к ней. Видимо, пятьсот лет спустя после составления «Математики в де¬ вяти книгах», в которой почти все правила заканчиваются декла¬ рацией «объединения» (если только искомая величина находится в результате деления найденных двух количеств), требовались пояснения к этому специальному термину, связанному со счетом на доске. Но у Лю появляется новая терминология. «Чтобы найти результат, надо [взять] „ци“ за числитель, а „тун“ за знаменатель. Составить со знаменателем одно [число], остаток сократить на „равное числотак получить искомое. По так называемому способу „тун“ делитель есть знаменатель, остаток от делимого есть числитель, все сдвигается в этот ряд» [50, т. I, с. 95—96]. Лю Хуэй делимое (ши) определенного указанного выше вида называет циу делитель (фа) — тун, т. е. общий (имеется в виду знаменатель). Таким образом, хотя действия с дробями всегда и во всякое время сводились к действиям с целыми числами, на счетной доске у китайцев дробь рассматривалась как пара чисел. Конечно, это не была аксиоматическая пара современной алгебры, так как два ряда чисел из числителей и знаменателей всегда имели свое тол¬ кование. Сами правила-алгоритмы подразумевали их различное значение. Тем не менее во время счета для вычислителя эти два ряда чисел были равнозначными, они ничем не отличались друг от друга, разве лишь нумерацией^строк, в которых они находи¬ лись, или ориентацией последних. Вычислитель видел на доске два ряда чисел, с которыми ему надлежало манипулировать опре¬ деленным образом согласно предписанному правилу. Иногда можно встретить в терминологии правил намеки на подразумевае¬ мое прямое равноправие чисел, соответствующих числителям и 138
Знаменателям. Например, сокращая дробь 12/18, Сунь-цзы пишет: «Установи 18 долей в нижней [строке], 12 долей в верхней [строке] . . .» [49, с. 28, задача 1 средней книги трактата]. Эту задачу он заимствовал из «Математики в девяти книгах», где сформулирован алгоритм попеременного вычитания для на¬ хождения общего наибольшего делителя двух чисел, так называе¬ мый алгоритм Евклида. У Сунь-цзы и числитель и знаменатель получили одно и то же определение «доли» (фэнъ). Знаменательно, что фраза «Объедини делимое и делитель» у Сунь-цзы почти не употребляется. Термин «объедини» заменен словом «дели» (чу), и лишь в немногих случаях говорится об «объ¬ единении» [49, с. 33—35, правила к задачам 27 средней книги; к задачам 2, 6, 8, 11 последней книги трактата]. У Сунь-цзы дробь выступает как пара равнозначных чисел, над которыми на доске производятся действия, и получается она в результате обык¬ новенного деления, а не какого-то особого «объединения» в одно число делимого и делителя. Благодаря постоянной вычислитель¬ ной практике, понятие дроби постепенно формализовалось. На доске дробь представлялась парой чисел, над которой произво¬ дились действия так, как если бы никто их и не объединял в новые математические объекты — дроби. Лишь самым последним шагом было объединение полученных членов пары в одно число. Отметим значение, которое приобрело числовое множество в результате освоения операции деления хотя бы при локальной формализации, в результате представления дроби «инструмен¬ тально» парой целых чисел. Уже одно то обстоятельство, что на доске у вычислителя в результате деления могло получиться и целое число и дробное, придавало этим двум родам чисел одинако¬ вое «происхождение» и тем самым устанавливало их равноправие. Множество рациональных чисел теперь не представлялось древ¬ ним в качестве собрания натуральных чисел, дополненного дро¬ бями. Все множество поглощало как те, так и другие, при этом целые числа представлялись как часть всего числового множе¬ ства, — это всего лишь частный случай деления нацело. Кроме того, подчеркивалась (конечно, интуитивно) алгебраическая при¬ рода числа: его происхождение в результате разрешимости опера¬ ции деления в множестве целых чисел. Глава вторая ПРОПОРЦИИ И ПРОГРЕССИИ 8. Пропорциональное деление Задачи на распределение между неравнозначными объектами, более общие, чем рассмотренные выше в п. 6, в большой степени интересовали древних в связи с вопросами дележа наследства, доходов, расходов. В общем виде задачи такого рода сводятся к де- 139
лению некоторого количества А на части х. в соответствии с чис¬ лами так что к Хотя из решения этих задач операция деления ни коим образом не исключается, поскольку А • п{ * 2»< ’ все же она здесь заслонена общей идеей решения, основанной на оперировании с пропорциональным рядом: хх х2 х3 хк Л п2 п3 * ■ ■ пк • Тем не менее мы опишем этот класс задач вслед за задачами на де¬ ление и тем самым уподобимся в некоторой степени древнему уче¬ ному, который по традиции классифицировал задачи обычно не столько по методам, сколько по их темам. Примером могут служить заголовки книг в «Математике в девяти книгах»: «Измерение полей» (книга I), «Оценка работ» (книга V, имеются в виду расчеты при строительстве сооружений), «Пропорциональное деление» (книга VI), «Деление по ступеням» (книга III) и т. п. Две послед¬ ние из названных содержат задачи, интересующие нас здесь не¬ посредственно. Специальный разбор задач на пропорциональное деление с исто¬ рико-математической точки зрения имеет на самом деле более глу¬ бокие основания. Это был очень широкий класс задач древней математики, интересовавший в равной степени древних китайцев, египтян, вавилонян, индийцев, не утративший значения в средне¬ вековой математике стран ислама, Европы. Пропорциональная зависимость была в полной мере освоена древними и вместе с ме¬ тодами, использующими понятие среднего арифметического, при¬ менялась для решения самых разных задач. Мы не ошибемся, если скажем, что в математике древнего обще¬ ства в основном рассматривались линейные зависимости. Осталь¬ ные, нелинейные, сводились по возможности к первым. Например, подход к решению квадратных уравнений был сделан древними впервые в предположении, что для этого годится правило ложного положения, основанное на пропорциональной зависимости истин¬ ного и предположенного значений неизвестного. Но этим способом удается решить только неполное квадратное уравнение. Другой пример — прогрессии, также излюбленный предмет исследования в древней и средневековой математике, оказываются тесно связан¬ ными с методами, основанными на пропорциональной зависимости. Первые задачи на прогрессии, как это показано в п. 9, именно сво¬ дились к задачам на пропорциональное деление. Это особенно хорошо можно проследить по древнекитайским текстам математи¬ ческого «Десятикнижья» [16]. 140
С задачами на пропорциональное деление в «Десятикнижье» мы встречаемся впервые в книге III «Деление по ступеням» (чуй фэнь) «Математики в девяти книгах», где пропорциональные числа названы «ступенями» (чуй), очевидно, потому, что почти во всех задачах в качестве них берутся члены прогрессий вида 1, 2, 3, 4, 5 или 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. Правило сформулировано в общем виде следующим образом: «Каждому установи соответствующую ступень, сложи — это делитель. То, что распределяется, умножь на каждую [ступень], еще не сложенную с другими, это делимое. Объедини делимое и де¬ литель. Если делитель больше делимого, то назови делитель» [50, с. 457J 1б. Правило в точности соответствует приведенной выше формуле для искомых пропорциональных долей, на которые раз¬ бивается заданное число. Задачи книги III «Математики в девяти книгах» весьма образны. В самой первой, «канонической», предлагается разделить пять оле¬ ней между пятью чиновниками разных рангов: дайфу, бугенъ, цзанъняо, шанцзао, гунши, доходы которых пропорциональны числам 5, 4, 3, 2, 1. «Имеется дайфу, бугень, цзаньняо, шанцзао, гунши — всего 5 человек. На охоте поймали 5 оленей. Спрашива¬ ется, сколько каждый получит, если разделить между ними по рангу? Ответ: дайфу получит 1 2/3 оленя, бугень получит 11/3 оленя, цзаньняо получит 1 оленя, шанцзао получит 2/3 оленя, гунши получит 1/3 оленя [50, с. 457]. Любопытно, что эти числа- «ступени» в задаче не указаны, о них мы узнаем по контексту, и они указаны в комментарии Лю Хуэя к этой задаче. Названные чиновники — вновь действующие лица задачи 6 этой же книги III, но в этот раз от них требуется выделить из уже распределенного зерна (распределенного согласно указанному ряду) соответствен¬ ные части, чтобы обеспечить еще одного, опоздавшего чиновника ранга дайфу. Подбор чисел (пять человек, пять предметов), конечно, не слу¬ чаен, он оттеняет характер неравнозначного деления. С делением на пять частей количества из пяти предметов мы часто встречаемся в древнекитайских задачах различных трактатов. В задаче 7 книги III «Математики в девяти книгах» теперь уже не чиновники, а простые смертные делят между собой 5 ху зерна в отношении 3 : 3 : 3 : 2 : 2. В задаче 18 книги VI «Математики» А, Б, В, Г, Д делят 5 цяней-монет, но при новых условиях: первые двое получают столько же, сколько последние трое (задача на прогрессии). На¬ конец, в задаче 4 книги III искусная ткачиха за 5 дней выраба¬ тывает 5 чи ткани, наращивая дневную норму в отношении 1, 2, 4, 8, 16. «Искусная ткачиха ткет в [каждый следующий] день в 2 раза больше [чем в предыдущий]. За 5 дней наткала 5 чи. Спра¬ шивается, сколько она вырабатывала ткани ежедневно? Ответ: за первый день наткала 1 19/31 цуня, за следующий день наткала 16 По поводу двух последних фраз правила, которые мы здесь не поясняем, см. п. 7 данной части. 141
3 7/31 цуня, за третий день наткала 614/31, цуня, за четвертый день наткала 1 чи 2 28/31 цуня, за последний день наткала 2 чи 5 25/31 цуня» [50, с. 458]. В первой задаче последней книги «Математи¬ ческого трактата Чжан Цю-цзяня» также пятеро чиновников делят пресловутых пять оленей, правда, в отношении 6, 5, 4, 3, 2. Текст этой задачи Чжана сохранился неполностью, но легко восстанав¬ ливается. Здесь пропорциональные числа названы по-другому — рангами (ча); правило по существу формулируется как прежде. Задачи 1—4 книги VI «Математики в девяти книгах» на про¬ порциональное деление отличаются от задач книги III тем, что в них ni не заданы, а их требуется составить по условию задачи. От этого, конечно, задача усложняется, но будущему чиновнику, очевидно, было полезно научиться устанавливать пропорциональ¬ ную зависимость между количествами, с которыми ему приходи¬ лось сталкиваться при распределении налогов зерном (цзюнъ ШУ СУ — задачи 1,3,4 книги VI), поставок людей для обществен¬ ных работ (цзюнъ фу су — задача 2 той же книги). Ради нагляд¬ ности, с какой полнотой должно было все учесть, приведем цитату из текста самой сложной задачи 4 книги VI «Математики в девяти книгах»: «Налог в виде зерна пропорционально распределяется между: уездом А, где 42000 суаней, 1 ху зерна [стоит] 20 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день 1 цянь, везут зерно в этот уезд; уездом Б, где 34272 суаня, 1 ху зерна [стоит] 18 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день Юцяней, до места сдачи 70ли»; и т. д. [50, с. 48]. Но это еще не все: «Каждые 6 человек имеют [одну] общую повозку. На повозку грузят 25 ху. Груженая повозка за 1 день проходит 50 ли, порож¬ няя повозка за 1 день проходит 70 ли. Каждый [раз ] на погрузку и разгрузку отводится по 1 дню» [Там же]. В этих задачах 1—4 пропорциональные числа хотя и не явля¬ ются членами прогрессий, как, впрочем, еще в задачах 3 и 5 книги III, и даже порою убывают немонотонно, но все же названы «сту¬ пенями». По-видимому, сначала в задачах, которые подвергались систе¬ матизации и обработке для педагогических целей, числами про¬ порционального ряда были члены прогрессии, представлявшиеся наглядно в виде ступеней. Затем этот термин утратил свое букваль¬ ное значение, стал обозначать просто числа, пропорционально которым производится деление. Задачи на пропорциональное деление приводятся и в других трактатах «Десятикнижья» в достаточном количестве. Так, Сунь- цзы, представляя задачи книги III «Математики. . .», переписы¬ вает задачу об искусной ткачихе (задача 27 средней книги его трак¬ тата), по-видимому, она была популярной. В конце трактата (за¬ дача 30 последней книги) он дает задачу, аналогичную задаче 2 книги III «Математики в девяти книгах», о буйволе, лошади и овце, потравившими чужой посев. В задаче Сунь-цзы речь идет о возмещении зерна, которое склевали цыпленок, курица, петух 142
в том же отношении 1, 2, 4. Теме о налогах посвящена задача 1 последней книги трактата Сунь-цзы, где производится перерасчет ренты девяти семей, которым нужно из своих паев еще уплатить за перевозку. В задаче 24 средней книги следует считать денежные паи участников дележа — задача, похожая на задачу 3 книги III «Математики в девяти книгах» о таможенном сборе в 100 цяней, который распределяется между тремя лицами в соответствии с на¬ личными деньгами'каждого из них. Все эти'аналогии и перечисле¬ ния показывают неослабевающее внимание к такого рода задачам со стороны древних и примерно определяют среду, откуда такие задачи черпались, хотя, как видим, многие из них уже утратили свой практический смысл. В задачах Чжан-Цю-цзяня, например, заметное внимание уделяется числовым последовательностям, которыми представлены пропорциональные числа. Приведем лишь одну, но характерную задачу на пропорциональное деление из трактата Чжан Цю-цзяня, в которой использованы сразу два ряда: числа, кратные трем, и числа, вторые разности которых лишь по¬ стоянны. Это задачат17 первой книги трактата: «Начальник выделил из казначейства золота 59 цзиней 1глан, одарил им 9 ванов, 12 гунов, 15 хоу, 18 цзы, 21 наня. Каждый ван получил золота на 5 ланов больше, чем [один] гун; каждый гун получил золота на 4 лана больше, чем [один] хоу; каждый хоу получил золота на 3 лана больше, чем [один] цзы; каждый цзы получил золота на 2 лана больше, чем [один] нань. Спрашивается сколько золота получил каждый из ванов, гунов, хоу, цзы, на- ней? Ответ: ван — 1 цзинь 6 ланов, гун — 1 цзинь 1 лан, хоу — 13 ланов, цзы — 10 ланов, нань — 8 ланов» [51, с. 33]. Обратно пропорциональное деление также было рассмотрено в древних текстах, с ним связаны нетривиальные задачи. Еще в книге III «Математики в девяти книгах» сразу после задач на «ступени» приводятся задачи на «обратные ступени» (фанъ чуй), к которым есть указание, сформулированное кратко и неясно. Эта фраза поддается реконструкции, но неоднозначно. Таких задач здесь всего две. В первой из них, по порядку она 8-я в книге, на сцене снова чиновники пяти рангов, но теперь они не получают, а платят, и потому их расходы, как указал в комментарии Лю Хуэй, обратно пропорциональны известному ряду натуральных чисел, характеризующих их доходы (?!), именно пропорциональны ряду обратных чисел: % V4» V» V». Vl. Во второй из них, задаче 9, Производится «переоценка ценно¬ стей» — задача не менее любопытная: «Имеется 3 шэна проса у А, 3 шэна грубо обработанного пшена у Б, 3 шэна вареного грубо обработанного пшена у В. Спрашива¬ ется, сколько получит каждый, если все сложить и распределить снова?» [50, с. 460]. 143
По данным книги II этого сочинения, нормы-коэффициенты взятых видов зерна соответственно равны 50, 30, 75. Чтобы отве¬ тить на вопрос задачи, надо провести деление обратно пропорцио¬ нально этим коэффициентам или пропорционально ряду обратных величин: / 50> /зо> /75* Укажем, что в задачах 5—6 книги VI «Математики в девяти кни¬ гах» также проводится обратно пропорциональное деление, в ча¬ стности первая из них похожа на приведенную выше задачу 9 книги III: «Имеется 7 доу проса. Три человека разделили его между собой и очистили: один получил грубо обработанное пшено, другой — очищенное пшено, третий — хорошо очищенное пшено. Пусть [по¬ лучившиеся] количества пшена равны. Спрашивается, сколько каждый взял проса и сколько получил пшена после очистки?» [50, с. 482]. Указание на ход решения в общем правиле выражено родной фразой: «Установи по порядку ступени и взаимно перемножь перевер¬ нутые ступени» [50, с. 460] (ср. [100, т. I, с. 136]). Не совсем ясно, как следует проводить вычисления. Одна гипотеза предложена Ли Янем. Приведем правило к задаче 8 книги III «Математики в девяти книгах» о расходах пяти чинов¬ ников в 100 цяней, на примере которого построена расшифровка общего правила: «Для каждого установи ранговые количества, это ступени. Возьми обратные им ступени, сложи, это делитель. 100 цяней умножь на каждую [ступень], еще не сложенную с другими, это де¬ лимые. Объедини делимые и делитель, получишь [искомые коли¬ чества] в цянях» [Там же]. Ли Янь предлагает толковать термин «будун» как «неперевер- нутое» число, так называется «неподвижное» число 3 в ряду 5 :4: 3 :2 :1, все остальные числа «дун», т. е. «подвижные». Это пред¬ полагает составление обратного ряда, т. е. 1, 2, 3, 4, 5. «Неподвиж¬ ное» число составляет основу (единицу), по отношению к которой другие «ступени» изменяются так: 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ /5> /4’ /3» /2» /1- Чиновник, которому соответствует «неподвижное» число 3, рас¬ ходует 100/5 = 20 цяней, а остальные соответственно: у. 20 = 12, у -20 = 15, 20 = 20, • 20 = 30, 1 • 20 = 60. Сумма полученных чисел равна 137, а должна быть равной 100. Отсюда окончательно по правилу ложного положения получаются: ^ • 12, ^ • 15 и т. п. искомые числа. Нам представляется, что 1 О I 10 / вычисления шли иначе. Выложив при помощи счетных палочек на доске ряд из знаменателей заданных пропорциональных чисел т
5, 4, 3, 2, 1, вычислитель перемножал их так, как это в древне¬ китайском языке было принято называть «бянъ чей»: 4*3-2-1 = 24, 5-3.2.1=30, 5*4.2.1=40, 5-4.3.1=60, 5.4*3.2=120, или 12, 15, 20, 30, 60, как если бы он приводил заданные дроби, составляю¬ щие здесь пропорциональный ряд 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1/1, к общему знаменателю, в качестве которого он взял произведение знамена¬ телей. Далее, соответственно нашей реконструкции в задаче 9 книги III заданная последовательность заменяется такой: 30-75=2250, 50-75=3750, 50*30-1500, или после сокращения на общий наибольший делитель: 450, 750, 300. Тогда искомые х. будут следующими: 9-450 27 9 - 750 45 9 - 300 18 Х1 1500 10 ’ Ж2 1500 — 10 ’ Хз 1500 10 # Я Пропорции. Коэффициент пропорциональности. Подобие Очевидно, задачи на пропорциональное деление, использующие производные пропорции, не были самыми древними; ранее появи¬ лись те, которые возникали в связи с натуральным обменом. Перво¬ начальный качественный обмен со временем был заменен количе¬ ственным с учетом трудоемкости, вложенной в добытый или изго¬ товленный предмет, подлежащий обмену. В древнекитайской «Математике в девяти книгах» ее книга II «Соотношение между раз¬ личными видами зерновых культур» (су ми) [50, с. 447 и след.] специально посвящена задачам на обмен. Содержание задач, кото¬ рые несомненно гораздо древнее, чем эпоха составления трактата, заключается в составлении отношения объемов имеющегося коли¬ чества а зерна и того зерна х, на которое меняется данное. Обмен производится в соответствии с коэффициентами са и сх, установлен¬ ными для этих видов зерна. Решение, очевидно, исходит из про¬ порции x/a = cjca, откуда х = Ц^. La Эта формула описана в общем правиле к задачам 1—31 книги II трактата: «Количество имеющегося [вида зерна] умножь на норму иско¬ мого, это делимое. Норма имеющегося [вида зерна] есть делитель. Объедини делимое и делитель» [50, с. 447]. Последнюю фразу сле¬ дует понимать как «раздели делимое на делитель», т. е. искомая величина отыскивается как четвертая, пропорциональная к трем заданным. Коэффициенты с• вычислитель должен брать из таблицы, которая помещена в самом начале книги II китайского трактата: IQ Э. И. Березкина 145
«Правило соотношения между различными видами зерновых культур Просо — основная норма .... 50 Грубо обработанное пшено .... 30 Очищенное пшено 27 Хорошо очищенное пшено .... 24 Пшено для князей 21 Мелкая крупа 13 с половиной Крупная крупа 54 Вареное грубо обработанное пшено 75 Вареное очищенное пшено .... 54 Вареное хорошо очищенное пшено 48 Вареное пшено для князей ... - 42 Бобы, горох, кунжут, пшеница — каждое 45 Рис неочищенный 60 Приготовленные бобы 63 Каша 90 Вареные бобы 103 с половиной Хмель 175» [Там же]. Таблица свидетельствует о довольно разнообразном натураль¬ ном рынке. Задачи на покупку товара, по-видимому, более позд¬ ние: в книге II они составляют вторую часть ее (задачи 32—46). Например, текст задачи 32: «Затратили 160 цяней на покупку 18 черепиц. Спрашивается, сколько стоит штука?» 150, с. 453 и след. ]. В задачах на обмен за общий эквивалент «стоимости» принято просо (отметим, что не рис), впрочем, в древнем мире эталоном при об¬ мене часто служили продукты, ткани, шкуры, но не монеты или даже драгоценности. На островах Рюкю вплоть до прошлого сто¬ летия таким эквивалентом был рис. Самым дешевым продуктом на древнекитайском рынке согласно этой таблице оказалась винная закваска, хмель, а самым дорогим — «мелкая крупа», т. е. манная, изготовляемая, как показывает ключ иероглифа, из пшеницы. Эти значения коэффициентов люй никогда не сообщаются в за¬ дачах трактатов «Десятикнижья», по-видимому, вычислитель должен был знать, где их найти. Заметим здесь, что в древнекитай ¬ ском языке различались термины «коэффициент» (люй), всегда отвлеченное число, и «количество», «число» (шу), вероятно, перво¬ начально означавшее только именованное число. Математическое содержание задач на обмен сводится к следую¬ щему. Согласно таблице всякое отношение двух «стоимостей» есть некоторый фиксированный коэффициент у=ci/cJ-, которому равны отношения соответствующих объемов (емкостей) зерна двух сэртов: J^=i4L=i£-= =Y Vj v't v"j Любопытно, что в’таблице содержатся дробные коэффициенты так как за эталон приняли не 100, а 50. Возможно, это и были са! мые первые задачи, в которых древние имели дело с пропорцио¬ нальной зависимостью v% — 4vj- т
йли с обратно пропорциональной зависимостью и- _ i vi = —i где у = . i i Вычисление в древних задачах на обмен производилось именно по последней формуле. Искомое количество зерна определялось как х=а!*1- Приведем в качестве доказательства первую задачу книги II «Математики в девяти книгах», которую использует также в своем трактате Сунь-цзы, — остальные задачи 1—31 этой группы аналогичны: «Имеется 1 доу проса. Спрашивается, сколько получится, если хочешь получить грубо обработанное пшено? Ответ: грубо обра¬ ботанного пшена станет 6 шэнов. Правило: взяв [количество] проса, ищи [количество] грубо обработанного пшена, разделив на 5/3» [50, с. 447]. Д Напомним, что 1 доу=10 шэнам. Задача тривиальна, но все дело в том, что общее правило к этим задачам отличается принци¬ пиально от правил, которые следуют за каждой задачей в отдель¬ ности. В общем правиле искомую нашли как четвертую, пропор¬ циональную к заданным трем, а в каждом из правил ее находят при помощи деления данной величины на коэффициент, который со¬ ставлен из с.. Чтобы выразить это, употреблялось специальное вы¬ ражение: «. . .чжи. . . эр и», означавшее буквально «распять — третьерить», т. е. разделить на 5 частей и взять из них три, т. е. разделить на дробь 5/3. Такое труднопереводимое выражение часто употреблялось в древнекитайской математической литературе для обозначения деления некоторого количества на п частей и переда¬ вало смысл математической операции: «взять одну п-ю», или соот¬ ветственно «разделить пополам», «разделить на три части и взять 1» и т. д. Выражение не менялось в случае дробного, отсюда бук¬ вальное «распятьтретьерить». В этих вычислениях правило деления на дробь в явном виде не сформулировано. Здесь мы наблюдаем другое явление, характер¬ ное для древней математики: непосредственную зависимость мето¬ дов от средств вычислений. Существовало определенное выражение для некоторого действия, к нему и обращались при решении задач. Аналогично дело обстояло в древневавилонских текстах. В древ¬ нем Двуречье бурная строительная деятельность породила мно¬ жество различных норм, например, человеко-дни для разных видов работ (копать землю, класть асфальт, перенести кирпичи и т. п.). Кроме того, проводились в хозяйстве подсчеты с использованием норм посевного зерна, урожая (в расчете на единицу площади), настрига шерсти с овец и т. д. Поскольку вычислительная техника вавилонян была связана с тем обстоятельством, что деление в ней заменялось умножением, то таблицы этих «постоянных» состояли именно из обратных постоянных, так же как в рассмотренных древ¬ некитайских задачах предпочитали делить на обратное значение коэффициента у. 147 10*
Любопытно, что и в геометрии до того, как было выработано понятие подобия, например подобие прямоугольных треугольни¬ ков, сначала рассматривался коэффициент пропорциональности для их сторон. Это хорошо видно на древневавилонских зада¬ чах [21; с. 184]. 10. Тройное правило. Проценты В дальнейшем задачи на пропорции были объединены под на¬ званием задач на тройное правило. В средневековой европейской арифметике оно называлось золотым, ибо с помощью него «совер¬ шаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов», как высказался Ян Видман, автор известного учебника арифметики XVI в. Свое название в истории науки правило получило в древней Индии, где оно было возведено в ранг всеразрешающего метода арифметики. «Трайрашика» (буквально «трехместное») обозначало размещение трех заданных величин в определенном порядке в строке, чтобы вычислитель по определенной схеме мог найти чет¬ вертую пропорциональную. В VII в. правило было обобщено Брахмагуптой и другими на случай 5, 7, 9 величин и называлось соответственно «пантарашика», «саптарашика» и т. д. (буквально «пятиместное», «семиместное» и др.)* Вслед за индийцами эту ли¬ нию продолжили математики стран ислама. У ал-Бируни мы на¬ ходим специальное сочинение «Об индийских рашиках», посвя¬ щенное обоснованию и дальнейшему обобщению правил индийцев. Правила были впервые обоснованы с помощью общей теории состав¬ ных отношений со ссылками на Евклида и его комментаторов, хотя у Евклида не было непосредственного вычисления четвертой пропорциональной. Ал-Бируни подробно разъясняет правило на примерах, приводя схемы вычислений с расположением величин в два ряда [41]. Вплоть до средины XIX в. тройное правило на¬ ходилось в центре внимания авторов учебников по арифметике. Европейские авторы пытались классифицировать задачи на трой¬ ное правило. Например, известный итальянский математик XVI в. Н. Тарталья выделяет задачи на проценты, учет, сроки, сложные проценты, правило товарищества, обмен и смешение. История тройного правила в ее раннем периоде может быть существенным образом дополнена китайскими материалами. Стоит только заглянуть в ту же самую «Математику в девяти книгах», в ее книги III, VI, где содержатся арифметические задачи, а также в другие трактаты «Десятикнижья», как мы обнаружим в них, по существу, те же задачи, которые названы у Н. Тартальи. На самом деле, если определять в задачах на «расчет стоимости предмета», которые содержатся в конце книги II «Математики в девяти кни¬ гах», саму стоимость у из расчета некоторого количества монет а, на которые куплено было п предметов, то следует найти либо об¬ щую стоимость N предметов, либо количество предметов, куплен¬ ных на А монет. В этом случае задача потребует применения трой¬ 148
ного правила: N= и А= . Особенно четко видно это в зада¬ чах 10—19 книги III «Математики в девяти книгах»: «1 цзинь шелка-сырца стоит 240 цяней. Спрашивается, сколько можно купить шелка-сырца на 1328 цяней?» [50, с. 461, задача 10]. Сравним ее с задачей 37 книги II: «Затратили 13 670 цяней на по¬ купку 1 даня 2 цзюней 17 цзиней шелковых ниток. Спрашивается, сколько [стоит] дань, если дань — основная норма?» [50, с. 454]. Еще любопытнее сравнить задачу 10 с задачей 14 той же книги III: «1 пи 1 чжан некрашеного шелка стоят 625 [цяней]. Спрашива¬ ется, сколько можно купить некрашеного шелка на 500 цяней? Ответ: можно купить 1 пи некрашеного шелка» [50, с. 462]. Задача обратна первой из приведенных выше и совпадает со второй, в ней определяется опять-таки стоимость единицы для измерения ткани, хотя явно об этом не спрашивается. После всех этих задач в следующих задачах 16—19 книги III переходят явно к тройному правилу: «Человеку дают 14 цзиней шелка-сырца, получают взамен 10 цзиней шелковой ткани. Теперь человеку дают 45 цзиней 8 ланов шелка-сырца. Спрашивается, сколько получат взамен шелковой ткани?» [50, с. 462, задача 15]. Или: «Если взять работника на один год, то стоимость составляет 2500 цяней. За¬ платили 1200 цяней. Спрашивается, сколько дней должен рабо¬ тать [работник]?» [50, с. 463, задача 19]. Приводятся также рас¬ четы на усушку, утруску, потерю, припек и т. п., т. е., по существу, предлагается вычислить проценты. Например, в задаче 17 книги III «Математики в девяти книгах» рассчитывается потеря шелка- сырца при сушке, а в «Математическом трактате Сунь-цзы», в за¬ дачах 12—14 последней книги, вычисляется фактически 103% в качестве добавки к просу, 3% в качестве утруски проса, храня¬ щегося в амбаре и 1% ссуды под залог шелковых ниток. «Имеется ссуда: дается человеку 57 цзиней шелковых ниток; за год нара¬ стает 16 цзиней. Спрашивается, каков прирост на [один] цзинь?» [49, с. 34-35]. Комментатор «Десятикнижья» Ли Чунь-фэн к задачам 17—18 последней книги «Математического трактата Чжан Цю-цзяня» применил четкую терминологию: данное а он называет «имеющимся числом» (со ю шу), сх — «коэффициентом для искомого» (со. цюй люй), са — «коэффициентом для данного» (со ю люй). В это время и условия задач стали формулироваться более однотипно, напри¬ мер: «Имеется засоренного проса 1 ху 5 доу. Очистив его, получили 7 доу грубо очищенного пшена. Пусть имеется 2 доу засоренного проса. Спрашивается, сколько получится хорошо очищенного пшена?» [51, с. 53, задача 17]. Правило рекомендует: «Установи количество грубо очищен¬ ного пшена, ищи число, которое получится для хорошо очищен¬ ного пшена. Умножь на [количество] предположенного засорен¬ ного проса, это делимое. В качестве делителя возьми первона¬ чальное просо. Объедини делимое и делитель в одно [число]». [Там же]. 149
Далее идут слова комментатора: «Ли Чунь-фэн дает свой ком¬ ментарий. В этом способе устанавливается 7 доу грубо обработан¬ ного пшена, умножается на 9 — коэффициент для хорошо очищен¬ ного пшена; берется одна десятая часть, получается 6 3/10 доу. Именно при очистке 15 доу засоренного проса получается 6 3/10 доу хорошо очищенного пшена. Для данного правила имеется: данное число 20 доу засоренного проса, коэффициент для иско¬ мого [числа] 6 3/10 доу, коэффициент для данного [числа] 15 доу засоренного проса» [51, с. 79]. Мы специально цитируем древние тексты, чтобы показать, насколько было характерно для китайских задач употребление соотношения зерновых культур, начатое еще в «Математике в де¬ сяти книгах». Правда, эти задачи Чжана отличаются от задач на обмен: в них заданы не коэффициенты (люй), но отношения объемов. Отсюда более четкая формулировка задач: «имеется» и «пусть те¬ перь», — стандартные начала фраз для задания двух пар величин, которые, как в таблице, четко разграничиваются: те, которые уже есть, и те, которые предполагаются. Как могли быть получены задачи на сложное тройное правило? Например, достаточно ввести в задачах на прирост или на про¬ центы третью изменяющуюся временную компоненту. «Человек пустил в рост 1000 цяней, за месяц наросло 30. Человек пустил 750 цяней, через 9 дней возвратил их. Спрашивается, каково нара¬ щение?» [50, с. 463]. Подобных задач в математическом «Десяти¬ книжье» очень много, они содержатся и в книге VI «Математики...», и у Сунь-цзы, и особенно в трактате Чжан Цю-цзяня. К ним отно¬ сятся также задачи на правило товарищества, совместную работу, на смешение. Вот некоторые из них: «Нанялись нести 2 ху соли на расстояние 100 ли за 40 цяней. Нанялись нести 1 ху 7 доу 3 с ма¬ лой половиной шэна соли на расстояние 80 ли. Спрашивается, за сколько цяней?» [50, с. 483, задача 7 книги VI]. Или: «Корзину весом в 1 дань 17 цзиней носят 50 раз на расстояние в 76 бу. Кор¬ зину весом в 1 дань носят на расстояние 100 бу. Спрашивается, сколько раз?» [Там же]. Решены они обычно. 11. Прогрессии в «Десятикнижье» и у Цинь Цзю-шао Прогрессии, арифметические и геометрические, встречаются в истории математики с самых древних времен у разных народов. Это были задачи-загадки, задачи развлекательного характера, в которых задавалась некая «красивая» последовательность чисел. В древнеегипетских текстах, например, встречается запись, кото¬ рую можно трактовать как задачу о семи домах, в которых по семь кошек, а каждая кошка съедает семь мышей, и т. д., т. е. как задачу на геометрическую прогрессию со знаменателем 7 [30, с. 59—65]. Ее решение представляется в виде 7+72+73+74+75=7 (1 + 7+72+73+74). 150
Задача, близкая этой, содержится в «Математическом трактате Сунь-цзы». Она сформулирована в виде задачи-загадки, но со зна¬ менателем прогрессии, равным 9: 1У- «[Если] выйдешь за ворота, взору открывается 9 плотин, на [каждой] плотине по 9 деревьев, на [каждом] дереве по 9 ветвей, на [каждой] ветви по 9 гнезд, в [каждом] гнезде по 9 птиц, у [каждой] птицы по 9 птенцов, у [каждого] птенца по 9 перы¬ шек, [каждое] перышко 9 расцветок. Спрашивается, сколько каж¬ дого?» [49, с. 38]. Здесь каждый член прогрессии 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 определяется непосредственно умножением. «Способ: уста¬ нови 9 плотин, умножь это на 9, получишь число деревьев; умножь это еще раз на 9, получишь число ветвей» и т. д. [Там же]. В древневавилонских текстах, относящихся к XVIII в. до н. э., также обнаружены задачи на арифметические прогрессии с нахожде¬ нием суммы ее п членов по правилу: с а1 Н" ап п — » где аг и ап — первый и последний ее члены [21, с. 94]. Известна задача на свойства прогрессии, исследованная О. Нейгебауе- ром [56, с. 195—196]. Древние вавилоняне умели суммировать также геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2, и ряд квадратов чисел от 1 до 10 по формуле 1 +22 + 32+...+п*=(1 + п|-)(1+2 + ...+«). Последние примеры находятся в позднем селевкидском тексте [23, с. 105; 21, с. 94—95)]. Древнекитайские задачи на прогрессии ценны тем, что по ним можно проследить создание методов их решения. Видно, какие немалые затруднения вызвало, например, освоение понятия разно¬ сти арифметической прогрессии. Сначала для него не было тер¬ мина, хотя оно уже употреблялось. Правило суммирования п чле¬ нов арифметической прогрессии в древнекитайских текстах по¬ является довольно поздно, только в трактате Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.), но, видимо, его знали несколько раньше. В задаче 19 книги VII «Математики в девяти книгах», где нужно просуммиро¬ вать 15 членов прогрессии [50, с. 497—498], вряд ли это произво¬ дили непосредственно. ^ Первоначально прогрессии играли довольно скромную роль упомянутых выше «чисел-ступеней», пропорционально которым производилось деление заданного количества. В таких задачах свойства прогрессий оставались, по существу, не использован¬ ными. Даже в трактате Чжан Цю-цзяня наряду с «настоящими» задачами на прогрессии приводятся эти задачи на пропорциональ¬ ное деление. Однако они более сложные, последовательности в них более разнообразные. В большей степени свойства прогрессий выявлены в задачах книги VII «Математики в девяти книгах» на правило двух ложных 151
положений, где они употреблены для задания ежедневных скоро¬ стей роста или движения. В задаче 11 сравнивается рост тростника (3, 3/2, 3/4, . . .) с ростом гороха (1, 2, 4, . . .); в задаче 12 — эф¬ фективность прогрызания стены толщиной в 5 чи двумя крысами: большой (1, 2, 4, . . .) и маленькой (1, 1/2, 1/4, . . .); в задаче 19 — скорости двух лошадей: рысака, пробегающего по 193, 193—13,..., и клячи, проходящей 97, 97—1/2, . . . (Все данные выражены в со¬ ответствующих единицах длины.) По сравнению с задачами на пропорциональное деление, где число членов прогрессии было всегда конечным, в этих задачах оно мыслится продолженным как угодно далеко, — последовательности не оборваны. Здесь также сопоставляются возрастающие и убывающие прогрессии. При не¬ большом числе членов (п=3, 4) суммирование здесь, возможно, производилось непосредственно, хотя для задачи 19, как уже выше говорилось, это трудно представить. К первым задачам на прогрессии можно отнести задачи 17—19 книги VI «Математики в девяти книгах», но их решение так или иначе сводилось к пропорциональному делению, при этом поль¬ зовались той же идеей числовой модели в виде «чисел-ступеней», что и в задачах на пропорциональное деление. И только гораздо позже в трактате Чжан Цю-цзяня мы находим задачи на прогрес¬ сии с «чистыми» методами. В книге Чжана задачи поставлены четко: в них находится как сумма тг членов арифметической прогрессии, так и число п членов по данным задачи. Здесь пользуются отчетливым понятием раз¬ ности прогрессии, основными ее свойствами. При нахождении числа членов, однако, стараются не получать квадратного урав¬ нения, для этого дают в условии дополнительно Sin. Задачу об оп¬ ределении числа членов арифметической прогрессии в общем виде можно обнаружить лишь в книге Цинь Цзю-шао (XIII в.) «Девять книг по математике». й Сравнение задач «Математики в девяти книгах» с задачами Чжан Цю-цзяня выявляет переход от первых задач с прогрессиями к «настоящим» таким задачам. Задачи 17—19 «Математики в девяти книгах», специально посвя¬ щенные прогрессиям, различны, решения их кажутся нам искус¬ ственными, но для древнего вычислителя они были единственно возможными, сведенными к пропорциональному делению. Наи¬ более яркой задачей в этом отношении является задача 17 книги VI «Математики в девяти книгах»: «Имеется золотая трость длиной в 5 чи. Отрубили основание в 1 чи весом в 4 цзиня. Отрубили верхушку в 1 чи весом в 2 цзиня. Спрашивается, каков вес каждого чи?» [50, с. 486]. Подразумевается, что в задаче задана убывающая прогрессия а\ч я2, а3, а4, или а, а—d, а—2d, а—3d, а—4d, 152
хотя в условии об этом явно не сказано. Решение тривиально: так как а = 4, а — 4d = 2, то d=1/2, или непосредственно j ах — а5 4 — 2 1 4 Однако согласно древнекитайскому правилу следовало поступать иначе. Изложим это правило в нашей символике, оно носит доста¬ точно общий характер. 1. Следует найти «коэффициент разности»: k=a1—an=(n—l)d. 2. Надо составить «ступени»: 1) аи вообще п{= = (п—1)а1—(1—1)к=(п—1)а.,ще1=2, .п, а к — «коэффициент разности». 3. Далее надо вычислить искомые: • п.. Действительно, ni «1 [(п — 1) «tl * (п — 1)^ • В основу решения положена идея пропорциональной зави¬ симости: aja^njn^ специально «конструируются» «ступени» п.. В задаче еще не пользуются понятием разности прогрессии d, а оперируют лишь с общей разностью, или «коэффициентом разности» к. Чтобы найти а0 нужно составить «модель» из используя свойство прогрессии: — (i — 1 )d. В данном случае к приходится на четыре члена: аХ1 а21 а3, а4, поэтому все члены прогрессии увеличиваются в четыре раза. Учетверяют а1? увеличенный вес а2 составляют из разности между увеличенным весом 4аг и общей разностью к и т. д. для остальных а{. Эти увели¬ ченные веса и есть ступени п.. Что касается следующей задачи 18 книги VI «Математики в девяти книгах», то она интересна своим условием: 5 цяней делится между пятью людьми в соответствии с убывающей про¬ грессией: a-\-4d, a+3d, a-\-2d1 a-\-d, на которую наклады¬ вается условие: «Первые 2 получают столько же, сколько последние 3» [50, с. 487], т. е. 2a-\-9d=3a-\-6d, или a=3d. Так как по условию 5a+15d=5, то легко видеть, что d=l/6. Китайское правило как будто бы предписывает фактически решить эту систему уравнений: «установить цяни в пирамидообразные строки-ступени», т. е. пред¬ положим d=1 и установим ряд 5, 4, 3,2,1. Быть может (в дальней¬ шем это нам понадобится для ссылки), это надо было сделать с помощью счетных палочек на доске: 11111 1111 1 1 1 . 1 1 1 153
Далее шло указание: «Сложи первые строки для двух человек, получится 9. Сложи последние строки для трех человек, полу¬ чится 6. Шесть меньше 9 на 3». Действительно, по схеме это со¬ считать просто, и пока решение не отличается от нашей рекон¬ струкции. Оно интерпретируется преобразованием первого усло¬ вия. Но далее вычислителю надлежало поступить совсем иначе: «3 прибавь ко всем». Под этим подразумевалось получение из первоначального ряда следующего: 8, 7, 6, 5, 4, согласно которому и производится деление заданного числа монет. Именно об этом повествует конец правила. В наших обозначе 5 ниях S=2(3 + 0 d = 30d, и каждый член прогрессии xt=5 . t=i Аналогично решались вавилонские задачи о разделе серебра (59 шекелей) между братьями, например, в отношении 7 : 4 : 3 : 2 : 1 и другие задачи клинописных текстов [21, с. 92—93]. Как видим, при решении задач на прогрессии упорно обраща¬ лись к «делению по ступеням», хотя и китайцы и вавилоняне умели решать системы уравнений с двумя неизвестными. Мы видим, что в таких задачах понятие d еще «не работало». Однако оно постепенно выкристаллизовывается. Понятие разности арифмети¬ ческой прогрессии определяется непосредственно и описывается содержательно — «то, на сколько понижается каждая ступень от соседней» (чуй сян цюй) — как в китайской задаче 19 книги VI «Математики в девяти книгах», так и несколько менее четко в вавилонской задаче, исследованной О. Нейгебауером, в которой 10 братьев делят серебро [56, с. 195]. «Имеется бамбук из девяти колен. Объем трех нижних колен 4 шэна, четырех верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы [объемы] двух средних колен, если объем каждого [колена] от¬ личается от соседних на равную [величину]?» [50, с. 487]. Реконструкция китайского решения следующая. Обозначим члены прогрессии через а{=а + (i — 1) d (i=l, 2, . . ., 9), d — разность прогрессии. Задача сводится к системе 4ti-|-6d=3, 3a+21d=4. Откуда а=39/66, d=7/66. Хотя подобные системы свободно реша¬ ются в книгах VII—VIII, в правиле предложен иной способ реше¬ ния, который в основном сводится к следующей цепочке действий. 1. Находится разность между «верхним» и «нижним» коэффи- 4 3 7 циентами: у— Она является делимым для разности прогрессии. 2. Делитель составляется так: п 4 3 И
3..Разность прогрессии будет равной 7_ л 12 * 2 — 66 — ’ т. е. «на столько отличается каждая ступень от соседней». 4. Один из членов прогрессии находится так: Решение легко интерпретируется геометрически (рис. 8). Здесь 2. Вычисляется АС между аг и а4 (4 — 1) промежутка, между а7 и а9 (3 — 1) промежутка; всего же между аг и а9 (9 — 1) про¬ межуток. Следовательно, 3. Составляется отношение ВС/AC=tga=d. 4. Для определения величины членов прогрессии указывается, что a8=BD. Реконструкция О. Нейгебауера также сопровождается гео¬ метрической интерпретацией. Надо полагать, что подобные задачи составляли необходимую часть математической эрудиции того времени. Чжан Цю-цзянь в своем трактате счел возможным также предложить аналогиче¬ скую задачу (задача 18 первой книги): «Имеется 10 рангов людей, [начиная с] ранга А 10 человек. Ведомство выделяет золото со¬ гласно рангам в той последовательности, в которой спускается разность [между ними]. Первыми вошли 3 человека старших [рангов], получили 4 цзиня золота, вышли. Последними вошли 4 человека низших [рангов], получили 3 цзиня золота, вышли. Три человека средних [рангов] не пришли, но должны были полу¬ чить согласно рангам. Спрашивается, сколько золота получил каждый, а также сколько золота должны были получить вместе те три человека, которые не пришли?» [51, с. 34]. Однако Чжан Цю-цзянь не ограничивается только такими задачами и переходит от методов, основанных на пропорциональ- дости, к прямым методам, использующим непосредственно свой- 1. Находится среднее арифме¬ тическое dgf fltg И а4, т. е. BD и AF\ составляется их разность BC=BD — AF. Когда х = 0, 1, 2, •.8, у = а, d —|— d, а —2d, • • ., а —j- Sd. y = a-\~xd, 0^#<^oo. Рис. 8 155
ства прогрессии. Задачи на прогрессии размещены в разных частях его трактата, но все они едины по методу решения. В них приме¬ нено явно правило суммирования п членов арифметической про¬ грессии С а1 + ап м а п 2 ^» где — первый, ап — последний ее члены. Этой формулой пользуются как для определения Sn, так и d — разности прогрес¬ сии или числа п ее членов, при этом также привлекают выражение ап=а 1+ (п — 1) d и свойство величины SJn. Правило суммирования дано к задаче 23 первой книги трак¬ тата Чжана. В ней находится сумма 30 членов прогрессии по за¬ данному первому и последнему членам ее. В задаче действует знакомый нам образ ткачихи, но для закона убывания автор объявил ее подростком, так что ее норма выработки ежедневно падает [51, с. 36]. По такому же правилу суммируется 100 чле¬ нов натурального ряда, начатого с 1, в задаче 36 последней книги трактата Чжана, но в варианте, который мы бы записали с а1 “Ь ап так: Sn=——-п. По закону натурального ряда растет ссуда на пеню: «Человек записал на себя некоторое количество шелка в долг, усилили чек, по которому [он] будет по прошествии срока пла¬ тить проценты: 1 чи шелка за первый день, 2 чи за второй день, так что каждый следующий день процент повышается на 1 чи шелка. Пусть прошло после срока 100 дней. Спрашивается, сколько шелка [пришлось бы выплатить в качестве] процентов? Ответ: 126 пи 1 чжан. Способ: сложи проценты за 100 дней и 1 день, умножь на 100 дней, возьми половину, и получишь [искомое] число» [51, с. 59]. Разность прогрессии определяется в задаче 22 первой книги трактата Чжана, которая предшествует задаче о ткачихе-подро- стке. Здесь задана возрастающая прогрессия и потому речь ве¬ дется об искусной ткачихе, которая начала с той же нормы, но наращивала выработку ежедневно в течение месяца, т. е. 30 дней. «Имеется искусная ткачиха, ежедневная выработка которой резко увеличивается. Сначала за день [она] соткала 5 чи. Пусть за месяц наткала 9 пи 3 чжана. Спрашивается, каково ежедневное увеличение. Ответ: 5 15/29 цуня» [51, с. 35]. Здесь разность прогрессии d определена в качестве ежеднев¬ ного прироста выработки по правилу 2lf-2ai n — 1 Действительно, в тексте сказано: «Установи число чи, которое предположили сотканным. Объе¬ дини в одно [число] с [количеством] дней в одном месяце. То, что получится, удвой. Удвой также число чи в первый день, вычти; 156
остаток есть делимое. Вычти один первый день из числа дней в одном месяце, остаток есть делитель. Делимое составь с делителем и получишь одно [число]» [Там же]. Как была получена эта формула? Возможно, путь был таким. Используя формулу суммы и выражение для последнего члена прогрессии, получили (п — 1) d Ьп— 2 П' Отсюда сначала определили величину A = |[2a1 + (n-l)d], а затем получили указанное выше выражение для d. Отметим, что при определении числа членов прогрессии вели¬ чина SJn, заданная вместо Sn, позволяет избежать квадратного уравнения, хотя в Китае уже умели их решать. В трактате Чжан Цю-цзяня приводятся задачи на решение квадратных уравнений, и можно считать, что SJn было им задано специально, чтобы обра¬ тить внимание на свойства этой величины. Это есть не что иное, как член прогрессии с номером (л+1)/2, если число взятых членов нечетное, и члены с номерами если число взятых членов четное. Кроме того, величина SJn равна полусумме двух любых равноотстоящих членов, в том числе первого и последнего: $п а1 + ап Л 1 (п — 1)^ ~~~ 2 * Это значит 2 (if ~ e0+d п= 3 • В правиле к задаче 1 средней книги описано вычисление по этой формуле: «Имеется двор, дает [в среднем] серебра 1 цзинь 8 ланов 12 чжу. Семьи по своей зажиточности неравны. Пусть теперь дворы в соответствии с разницей в рангах сообща производят плавку, [так что] самый нижний двор выдает 8 ланов серебра, а разница следующего двора [с предыдущим] каждый раз увеличивает [долю] на 3 лана. Спрашивается, сколько дворов?». «Способ: установи количество цзиней, ланов, чжу в серебре, которое выдает двор, вычти из него количество ланов, чжу в се¬ ребре, которое выдает самый нижний двор. Остаток удвой, сложи с количеством ланов, чжу, на которые увеличивается разница; это делимое. Количество ланов, чжу в разности есть делитель. Делимое и делитель объедини в одно [число]» [51, с. 39]. С этой задачей интересно сравнить предыдущую, которая является последней задачей первой книги трактата. «Имеются люди, дают цяни. Первый человек дает 3 цяня, следую¬ щий человек дает 4 цяня, следующий человек дает 5 цяней, так 157
что каждый следующий дает на один цянь больше [предыдущего]. Наконец, собрав со всех, сложили вместе и снова разделили, распределив поровну. Каждый человек получил по 100 цяней. Спрашивается, сколько было всего человек? Ответ: было 195 человек» [51, с. 38—39]. В ней натуральный ряд чисел начат с 3; поскольку здесь d—1, то правило упрощается: w=2(4L-ai)+1- Еще раз встречается «усредненная норма» в задаче 13 средней книги трактата Чжан Цю-цзяня, но эта задача на пропорциональ¬ ное деление [51, с. 42—43]. Среднее арифметическое в древней математике применялось часто; его свойства были хорошо известны и, так же как линейная зависимость, были универсаль¬ ным средством для решения • многих задач. В общем виде задачу отыскания числа членов арифметической прогрессии мы находим у математика XIII в. Цинь Цзю-шао в его сочинении «Девять книг по математике». Его задачи на про¬ грессии содержатся в свитках 15—16 (восьмая книга сочинения «Класс задач на военные построения»). В задаче 3"свитка 15 по данным сумме S и ее первому члену аг определяется число п членов арифметической прогрессии. Известно, что S = ^±^n, С* или 2 S= [а1+л1+(тг — 1 )d]n. Отсюда получается квадратное уравнение относительно п: ^+[(2% — d)n=2S. Поскольку Цинь Цзю-шао специализировался на решении урав¬ нений любой степени численным методом, то он занимался и решением квадратных уравнений. Надо полагать, что из различ¬ ных задач на арифметические прогрессии он специально выбрал такую, которая бы привела к нелинейному~}уравнению. Прочтем средневекового автора: «Задача. Идут солдаты, 2600 человек,^в^виде^кругового по¬ строения. Каждый человек занимает 9 чи“по обочине круга 1в. . . Промежутки между рядами удваивают число чи, которое прихо¬ дится на одного человека, стоящего на обочине круга. Пусть диаметр внутренней окружности 72 чжана. Делитель круга упо¬ требляется в виде коэффициента отношения окружности к диаметру, как 3 к 1. Как узнать число рядов в построении, а также внутрен¬ нюю и внешнюю окружности, их общий диаметр, при этом коли¬ чество людей, стоящих на них?» [105, с. 383], 16 Далее несколько иероглифов остались мне непонятны. В книге У. Либ- брента об этом сочинении Цинь Цзю-шао перевода этой задачи нет, хотя решение приводится [142, с. 174]. 158
Таким образом, задано некоторое кольцо с внешней и внутренней окружностями С я с соответственно (рис. 9). Длину их следует определить, и следует подсчитать также число солдат, размещен¬ ных на них: N„ и Nx соответственно. Задан диаметр внутренней окружности d, требуется найти диаметр внешней окружности Z), который назван «общим диаметром». Кроме того, надо найти число п рядов (чжун), находящихся в толщине кольца Д = (D — d)/2. Именно эта величина п (число рядов) является числом членов ариф¬ метической прогрессии, которую составляет количество солдат, размещенных на концентрических кругах. Их сумма известна. Легко подсчитывается длина внут¬ ренней окружности, поскольку ее диаметр известен (здесь тс=3), а также число солдат на ней. C = nd = 3- 720 = 2160, ^ = 2160/9 = 240 (солдат). Далее согласно правилу к задаче находится число п из квадратного уравнения 6л2+234^=2600. Приближенное значение корня п=9. Чтобы он был точно равен Рис. 9 этому значению, необходимо иметь свободный член равным 2592. Уравнение было получено,Тпо-видимому, так. Общее количество солдат на концентрических кругах есть сумма п членов арифмети¬ ческой прогрессии, у которой^первый^член найден равным N±= =240. Разностью прогрессии является число 12—d. Половина этого числа d!2=у называется «коэффициентом разности для круг¬ лого пучка» (юань су ча люй) или просто «разностью кругов» (юань ча) (ср. с. числом тс, которое называется «коэффициентом круга» (юань люй)). Надо полагать, что значение данного коэф¬ фициента т общеизвестно, оно не указано в условии задачи, так же как не указано и в следующей задаче, для решения которой этот коэффициент снова потребуется. По формуле суммы для п чле¬ нов арифметической прогрессии и выражению для п-то члена про¬ грессии ae=0!+ (п — i)d находится число п: уп2 + к — Г) П = S. К этой задаче тесно примыкает по своей теме следующая за¬ дача 1 свитка 16, в которой также рассмотрена прогрессия. «Задача о том, как одна армия строится в виде круга. Для того чтобы расположиться в круглом лагере из 9 рядов, каждому солдату надо уместиться на 6 чи по обочине круга, причем между рядами вдвое больше. Одна четвертая часть [армии] была послана в стан врага для того, чтобы застать его врасплох. Нельзя сузить лагерь меньше указанного. Необходимо допустить, чтобы, как 159
прежде, лагерь был заполнен оставшимися солдатами. Как узнать внутреннюю и внешнюю окружности первоначального лагеря, а также число людей, в них расположенных; и после убы¬ тия каждое количество солдат, число чи для стоянки, число людей во внешней окружности?» [105, с. 387]. Итак, в задаче требуется найти длины окружностей, внутрен¬ ней и внешней, число солдат на них, а также число солдат на них после отсылки на задание и получившуюся «норму» приходяще¬ гося на одного солдата расстояния «по обочине круга». Таким образом, в нашей символике задано число кругов п, или число членов арифметической прогрессии, которую составляют количество солдат на концентрических кругах лагеря N±, .. Nn с прежней разностью d=12. Разумеется, известна численность всей армии, хотя в задаче она не названа. Во второй задаче пре¬ дыдущего свитка указано, что в армии находится 12 500 человек. Имея формулы для суммы арифметической прогрессии и для Nn: д = +.*»„, Nn=Nl + (n-l)d, получаем выражение для первого члена уу _ S — (n — l)-jn 1 п Именно так решает задачу Цинь Цзю-шао. Он предлагает следую¬ щий алгоритм: 1) вычисляется число дуанъ, т. е. число промежутков между рядами (лг — 1) =9 - 1=8; 2) вычисляется число чуй, или длина промежутков в единицах чи (п — 1)у=8.6=48; 3) подсчитывается «коэффициент», т. е. вся длина диаметра кольца (п — 1) у/г=48-9=432; 4) составляется разность £-(тг-1)рг=12 500 - 432=12068; 5) разность делится на число рядов: ^=12068/9; 6) далее вычисляется длина внутренней окружности с=1340.6=8040 чи. Интересно отметить, что средневековый автор не пользуется непосредственно формулой для Nn при вычислении последнего члена прогрессии, или внешней окружности, а выбирает иной путь. Он подсчитывает число фанъ 96«6=576 чи, а затем С= 160
= 8040+576 = 8616 чи, также Nn = 8616/6 — 1436 (человек), т. е. Ццнь Цзю-шао сразу получает длину внешней окружности (в мерах длины), а затем подсчитывает, сколько людей на ней разместится. Дальнейшие вычисления в задаче тривиальны и не относятся к прогрессиям, опустим их. Что касается суммирования рядов, то упомянем лишь несколько имен, отмеченных в истории китайской математики. Шэнь Ко (XI в.) в книге 18 своих «Рассуждений Мэнси» («Мэнси битанъ», 1086) вычисляет ступенчатую усеченную пирамиду, состоящую из п слоев, которые имеют форму прямоугольников. Соответствующие стороны этих прямоугольников последовательно увеличиваются сверху вниз на единицу. Пусть в верхнем слое аЪ шаров, тогда искомая сумма ряда S=(ib-\- (я-f-l) (b-(-l)-j-. . . -f- [a-f- (п — 1)]- [ЬН- (ть — 1)]. Шэнь Ко пользуется правилом: S = ±[a(2a + B) + A(2B + b) + (B-b)], где А=а-\-п — 1, B = b-\-n — 1. Как оно было получено, можно только догадываться. Он не поясняет этого в своем сочинении. Однако существует гипотеза о выводе этой формулы [102]. Ян Хуэй (XIII в.) приводит правила суммирования рядов п п 2 к и 2 к2, а также ряда треугольных чисел к=1 к=1 1 “К 3 —f- 6 —f- ... Ч—2" /г (лг —1) =-q п (п -j- 1) (п 4- 2). Особенно много занимался числовыми рядами Чжу Ши-цзе [95, т. I, с. 339-352]. Г лава третья ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ 12. Еще раз о делении В начале этой главы мы рассмотрели историю деления, перей¬ дем теперь к исследованию самой этой операции и к области ее приложения. Что произошло в результате ее постепенного освоения? Как мы установили, первым числовым множеством были целые числа и натуральные дроби. Деление в таком множестве выполнимо в относительно редких случаях: когда делимое кратно делителю и когда частное-дробь совпадает с какой-либо натуральной дробью. Составляло ли это существенное ограничение в вычислительной деятельности древних? Оказывается, совсем нет. Вначале древ¬ 11 Э. И. Березкина 161
ние нецелую часть частного просто выражали как-либо описа¬ тельно или совсем отбрасывали его, давая округленное значение. Затем стали применять различные способы выражения остатка, каждый из которых характеризовал вычислительную культуру данного периода и был связан с тем или иным представлением о числе. Как свидетельствует Ли Янь, в исторических хрониках «Хуай- нань-цзы», «Истории династии Цзинь», существуют примеры, в которых нецелое частное заменялось целым числом, вероятно, без какого-либо определения степени его приближения к истин¬ ному значению [95, т. I, с. 15]. Иногда эта неточность отмечалась словами: «имеется остаток» (ю юй), «имеется еще нечто» (ю ци), что указывало на нецелостность частного, или строго говоря, на невыполнимость деления в целых числах. В свитке 37 «Исто¬ рии Ранней Хань» сообщается: «Чжоу вернулся за 5 с лишним ли отсюда» [Там же]. Или в первой книге «Математического трактата о чжоу-би», самого раннего из трактатов «Десятикнижья», дробное частное запи¬ сано при помощи второго выражения: «. . .Расстояние с востока на запад по диаметру 26632 с лишним ли» [100, т. I, с. 21]. Весьма любопытно, что число, как это указано в комментарии, было получено в результате арифметической операции: 810 ООО — 783 367 с остатком = 26632 с остатком. Это показывает, что словесное указание на остаток было не только устной традицией (как иногда мы говорим: «Отсюда до ближайшего населенного пункта 23 км с лишком»), но употребля¬ лось в вычислительной литературе в качестве первоначальной попытки фиксирования дробного числа (при измерении, но не при делении). Операция деления стимулировала введение дробей, но в свою очередь, не имея в своем распоряжении дробных чисел, древние не могли выразить частное точно. Получался как бы зам¬ кнутый круг, разорвать который надлежало древнему математику. Можно установить попытки указывать точный остаток при помощи объявления остатка от делимого, когда целая часть уже найдена. Характер такого представления особенно ярко виден при сравнении деления с извлечением корня из неполного квад¬ рата и указания на остаток от подкоренного выражения: yjA+a^b (в остатке а), где Ь2=4. В подобных примерах представления остатка нет оценки его при помощи неравенств. Возможность дать приближенное значение результата при помощи округления или итерации была обнаружена гораздо позже. Еще в «Математике в девяти книгах» ее состави¬ тели, зная правила округления, предпочитали тем не менее упо¬ треблять такой способ указания остатка, о каком выше было сказано. Например, в дополнении к задаче 7 книги V «Математики в девяти книгах» подсчитывается, сколько рабочих потребуется для того, чтобы вырыть канаву объемом в 10074586,6 куб. еди¬ 162
ниц, если норма рабочего составляет 300 таких единиц. В ответе указано: «33582 человека, не хватит 14 чи 4 цуня», т. е. одному рабочему не хватит до выполнения нормы 14,4 куб. единицы [50, с. 473]. Здесь произведено (и произведено правильно) округ- 2856 ление числа 33581 щд, но тем не менее точно указано, на сколько это округление дает превышение. Аналогичные примеры обнаруживаются в ответах к задачам «Математического трактата Сунь-цзы». В задаче 23 средней книги трактата подсчитывается количество рабочих, которое потребу¬ ется для того, чтобы выкопать канаву. Ответ гласит: «32645, останется выкопать 69 чи и 6 цуней» [49, с. 32]. Или в ответах к задачам 6 и 7 последней книги трактата записано: «1975 штук, и останется еще 12 ху», — столько повозок потребуется для до¬ ставки налога (по-видимому, зерна); а также: «3950 человек и еще 16 тяглых», — под этим следует понимать количество солдат, которые смогут поставить тяглые из расчета, что 25 тяглых выде¬ ляют одного солдата [49, с. 34]. В обоих случаях не указано приближенное значение частного (остаток меньше половины й больше половины делителя). Проблема остатка была бы решена, если указанный остаток был оценен по отношению к делителю, именно делением на него. Это было бы измерением его в долях делителя,что означало бы переход к изображению остатка с по¬ мощью дробей. 13. Деление с остатком Приведем здесь одну иллюстрацию того, насколько хорошо понимали древние невозможность деления в целых числах для лю¬ бого случая. Рассмотрим зад^%Я$йа деление с остатком, которые расположены в конце книги II «Математики в девяти книгах» [50, с. 454—456]. Они встречаются иногда и в других трактатах «Десятикнижья». Эта книга в основном посвящена пропорциям (задачи 1—31 на обмен различных зерновых культур). Далее идут задачи 32—37 на расчет стоимости предмета, который закупают на определенную сумму монет, также основанные на пропорциях. Наконец, тема обобщается: на А монет закупают не один, а два рода предметов, общее количество которых в задаче определено как п/т. Здесь может быть т—1 (задачи 38, 39, 45 и 46) и п > ту как в предыду¬ щей группе задач на стоимость предметов. Если через х обозначить количество предметов по стоимости и цяней за штуку, а через у — количество предметов по v цяней за штуку, то условия задач 38—44 можно записать в наших обо¬ значениях системой A=ux+vy1 Tt i - = x-f-u, тп 1 163 и*
или Am = их' -\-vy', п — х'-\-у\ где хг = тх, у'=ту. Кроме того, судя по ответам, всегда еще име¬ ется в виду, что V — и=1, хотя в условиях задач об этом ничего не сказано. Таким образом, решение задач сводится к системе трех уравнений с четырьмя неизвестными; число неизвестных больше числа уравнений, и, казалось бы, получается неопреде¬ ленная задача. Но задача имеет единственное решение, деление производили в целых числах: Ат их' -\-vyf . у9 п хг + г/' U п * Отсюда сразу определяется и как целая часть частного Amin и также у' как числитель дробной части, или «сам» остаток от делимого. Далее легко находятся v=u-\-1, х'=п — у Приведем в качестве примера задачу 38, первую из этой группы: «Затратили 576 цяней на покупку 78 бамбуков. Среди них есть большие и маленькие; спрашивается, сколько каждых? Ответ: среди них 48 штук по 7 цяней, среди них 30 штук по 8 цяней» [50, с. 454]. Эта задача сводится к системе хи -I- ии = 576, * + ,==78, и — и — 1. Решение находится просто: делим 576 на 78, в частном 7, в остатке 30, т. е. и=7, у=30, тогда и=8, я=78—30=48. Здесь хорошо видно, насколько прозрачным является решение при Следующая задача также не загружена вычислениями. Но этими двумя задачами лишь начинается знакомство с методом. Правило на «Расчет, когда имеются разного рода предметы» сформулировано в общем виде для дробного п/т. В следующих задачах 40—43 (в них п > т) на одну и ту же сумму 13 970 ця¬ ней покупают шелковую пряжу одного и того же веса: «1 дань 2 цзюня 28 цзиней 3 лана 5 чжу». Вопросы в задачах, точнее в четырех вариантах одной и той же задачи, ставятся относительно «дорогих и дешевых» даней, цзюней, цзиней и т. д. В зависимости от того, какая мера принимается за основную, производится пере¬ счет заданного именованного числа в эти единицы. Для древнего вычислителя эта процедура была немаловажной. Во всех видах задач, например в предыдущей группе на расчет стоимости, всегда обращали внимание на эту сторону расчетов. Напомним, что вычисления^десь значительно усложняются из-за неоднород¬ ности и недесятичности весовой шкалы мер: 1 данъ=4 цзюням= —4-30 цзиням=4.30*16 ланам=4.30-16-24 чжу. Таким образом, 79949 79949 п/т последовательно принимает значения: даня, Чзюня9 164
/ywiJ /плп/n -щ- цзиня, ~24” лана (7У У4У чжу, которые содержатся в заданном количестве шелка). Тогда решение, например, задачи 40, где оце¬ ниваются «дорогие» и «дешевые» дани, будет следующим: 13970-46080 643737600 Qnc;, , со on* —79949 =—79949—=8051 (в остатке 68 201 чжу, что состав¬ ляет 1 дань 27 цзиней 9 ланов 17 чжу). Определены и и г/', можно вычислить у и ж'. В правиле совершенно четко преподносится именно такая после¬ довательность действий: «Каждый раз установи количество даней, цзюней, цзиней, ланов в купленном, это делитель. То, сколько самых мелких единиц содержится в единице, стоимость которой определяется, умножь на количество цяней, это делимое» [50, с. 455—45.6]. Очевидно, далее надо разделить делимое на делитель, на что и указано в правиле. Его конец посвящен, по всей видимости, проверке задачи. Последние задачи 44—46, наконец, посвящены «Расчету стои¬ мости предмета каждого вида в отдельности на одну монету», когда система приобретает вид и 1 и 9 п — х-\-у, 1 = V — и, где теперь и, v не стоимость дорогой и дешевой вещи, а их соответ- ствующеэ количество на 1 монету. Решение соответственно будет таким: п (х +у) up \ У. J_ А XV + иу ' v А * Отсюда легко определяются v их. В разряд этих задач попадает тот вариант, когда вес купленной шелковой пряжи выражен в самых мелких мерах чжу (задача 44). Ее решение п _ 79949 _ с . 10099 А ~ 13970 13970 • Так как -S=f4’ 4 = 13970, т. е. f = 10099, то u = u-\-1=6, у = 10099-6=60594 чжу, что составляет 1 дань 1 цзюнь 7 цзиней 12 ланов 18 чжу. Далее легко подсчитать х=п — у = 19 355. 165
14. Системы сравнений первой степени. Задачи Сунь-цзы и Цинь Цзю-шао Первая задача на систему сравнений в классах вычетов за¬ фиксирована в «Математическом трактате Сунь-цзы» (III в. н. э.). Современное решение таких задач имеется в книге И. М. Виногра¬ дова «Теория чисел» [27, с. 57]. Весьма возможно, задача была более древнего происхождения и в «Математику в девяти книгах» не попала потому, что по своему характеру не подошла ни к одной теме ее разделов. У Сунь-цзы задача «на остатки» помещена в по¬ следней книге трактата, она единственная. «Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их трой¬ ками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей?» [49, с. 37, задача 26]. Таким образом, задана система сравнений первой степени с однйм неизвестным (запись в нашей символике, которой мы обязаны К. Гауссу) х = 2 (mod 3), х = 3 (mod 5), х = 2 (mod 7), где х — неизвестное число «вещей». Модули взаимно просты: (3, 5, 7)=1, наименьшее решение # = 23. Общее решение х = 23 (mod 105). Эта задача была широко известна в народе и благодаря совпа¬ дению имен служила примером особой мудрости полководца Сунь-цзы. Каким образом было получено решение системы? Согласно методу, изложенному в [27], составляется ряд произведений модулей тt на дополнительные до наименьшего общего кратного множители М{: miMi = 3 • 35 = 5 • 21 = 7 • 15 = m^rn2mz = 105. Далее надо определить вспомогательные числа М[=2, М'2=1, М'=1, которые удовлетворяют сравнениям 35Л/; = 1 (mod 3), 2Ш; = 1 (mod 5), 15Д/' = 1 (mod 7), или то же самое 2М[ = 1 (mod 3), Л#; = 1 (mod 5), М; = 1 (mod 7). Отсюда очевидны указанные значения МТогда решение будет В ВИД6 х=х0 (mod где х0 = ЪМ4М&. 166
Для данной задачи Сунь-цзы z0=35.2.2+21.1-3+15.1.2=233 и * = 233 —105 *2 = 23. В правиле к задаче Сунь-цзы сначала называются числа MiM\bi и то, как составляется из них искомое число, а эатем называются числа М{М[. Вот русский перевод этого правила: «Способ: при счете их тройками и остатке 2 установи 140; при счете их пятерками и остатке 3 установи 63; при счете их семерками и остатке 2 установи 30; сложи это, получишь 233. Из этого вычти 210 и получишь [искомое]. Вообще [если] при счете их тройками остаток 1, то установи 70; [если] при счете их пятерками остаток 1, то установи 21; [если] при счете их семерками остаток 1, то установи 15. [Если сумму] больше 106, то вычитай 105 и получишь [искомое]» [49, с. 37]. Общее правило решения таких задач, как, впрочем, для лю¬ бой его задачи, у Сунь-цзы сформулировано не было. Полное изложение метода для общего случая решения систем сравнений мы находим лишь в XIII столетии у Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике». В первых двух свитках его сочинения, которые носят один общий заголовок «Класс задач на даянь» (да янь лэй) и составляют первую книгу трактата, содержится девять задач на системы сравнений: четыре в первой книге и пять — во второй [105, с. 1—53]. Термином «большое расширение» (да янь) определяется число 2 М{, называемое «большим расширенным числом» (даянь шу). Сам термин происходит от гадательной терминологии конфу¬ цианской «Книги перемен» («И цзин») (VIII—VII вв. до н. э.), по тексту которой производилось предсказание судьбы [74]. Самая древняя мантическая часть текста, на основе толкования которой появился более поздний текст «Книги перемен», содержа¬ щий древнюю философскую систему взглядов. В основе такого гадания лежало предсказание судьбы по стеблям тысячелистника, которые раскладывались произвольным образом на отдельные груды, и т. п. В результате манипуляций с этими палочками и возникла теоретико-числовая задача, с которой Цинь Цзю-шао начинает свое сочинение, отдавая дань неоконфуцианству. Терми¬ нологию метода решения этой задачи он перенес на остальные задачи, уже не связанные с гаданиями. Таково происхождение метода янь, янь шу, что означает «способ чисел янь», т. е. способ чисел М4. Напомним, что это дополнительные множители до произведений модулей к каждому из модулей сравнений системы: ПТермин прочно вошел в китайскую математику, таким образом, фразу «способ отыскания единиц по большому расширению» (да янь цю и шу) можно вполне заменить современным эквивалентом: решение 167
систем сравнений первой степени с одним неизвестным, которым мы и будем пользоваться. Первая задача сочинения Цинь Цзю-шао по своему математи¬ ческому содержанию весьма проста. Она представляется с помощью нашей символики в виде системы сравнений ж = 1 (modi), х = 1 (mod 2), * = 1 (mod 3), *=1 (mod 4), что, очевидно, эквивалентно системе ж = 1 (mod 3), х ~ 1 (mod 4) со взаимно простыми модулями. Ее решение тривиально: х=1 (mod 12). Из всех натуральных чисел, дающих в остатке единицы при делении их на 3, выбираются те, которые при делении на 4 также дают в остатке единицы. Это ряд чисел х=Ш+1 = 13, 25, 37, 49, 61, . . . По условию задачи подходит *=49 (при к=4). Решение системы в наших обозначениях следующее. Первое сравнение обозначает равенство *=1+3к, где к=1, 2, . . . Чтобы система была совместной, нужно, чтобы] 1+3^ = 1 (mod 4) или кг = 0 (mod 4), т. е. кг=&к2, тогда *=1 + 12&2, где к2=1, 2, 3, . . . В ответе к задаче 1 сочинения Цинь Цзю-шао названы два рода чисел: 24, 12, 8, 6 — янь шу, т. е. числа янь, 12, 24, 4, 9 — юн шу, т. е. числа юн. Первые в сумме дают 50, т. е. число да янь, вторые — 49, число, которое требуется определить в задаче. Решение этой первой задачи обстоятельно пояснено: после условия задачи сначала изложено общее правило, а затем решение самой задачи, которое сопровождается схемами вычислений. В первой схеме выписаны все «основные числа» (юань шу)у в наших обозначениях mi 1 1 1 2 1 3 1 4 168
Следует особо отметить здесь термин «небесный элемент» (тянъ юань), который вводится Цинь Цзю-шао именно здесь, при решении сравнений, а не уравнений высших степеней, как это делали другие математики. Таким образом, этим термином у Цинь Цзю-шао обозначались единицы левого столбца приведенной выше таблицы, поставленные в соответствие модулям, при отыскании числа М-. В следующей схеме найдены «расширенные числа» (янь шу) или М{: 24 1 12 2 8 3 6 4 Эти числа и их сумма названы в ответе. Напомним, что произ¬ ведение чисел-модулей сравнений в правом столбце и произведе¬ ния двух чисел каждой строки равны П/?г. = 1 . 2-3-4 = 24-1 = 12-2 = 8-3 = 6-4 = 24 = М.т,. Эта процедура не одинакова с нахождением дополнительных мно¬ жителей, как если бы дроби 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 складывались, хотя и похожа на нее. Средневековый автор даже называет «не¬ бесные единицы» числителями (цзы), а модули т{ (после приведения к взаимной простоте) знаменателями определенных чисел, или определенными знаменателями (цзин му). Напомним, что пред¬ ставление дробей на древнекитайской счетной доске или в схе¬ мах вычислений было идентичным: знаменатели записывались в правой строке (иногда в нижней), а числители — в левой (или соответственно в верхней). Далее Цинь Цзю-шао излагает решение системы х = 1 (mod 3), х=1 (mod 4), к которой, как он показывает, сводится заданная система. Дела¬ ется это, согласно общему правилу, путем перехода ко взаимно простым модулям. Для этого для каждой пары модулей, в тер¬ минах средневекового ученого — знаменателей, надо найти общий наибольший делитель, по-китайски «равное число» (ден шу). Этот термин появился еще в древней «Математике в девяти книгах» при описании алгоритма попеременного вычитания для нахожде¬ ния общего наибольшего делителя (алгоритм Евклида). При этом специально оговаривается, как нужно затем пользоваться этим «равным числом». В данном случае все числа, стоящие в правом столбце, взаимно просты, кроме одной пары: (2, 4). Общий наи¬ больший делитель равен 2. Таким образом, «сокращается» двойка, а 4 остается без изменений. Иными словами, второе сравнение включает в себя четвертое, и, следовательно, им можно прене¬ 169
бречь. Китайская схема оказывается следующей: 1 1 1 1 1 3 • 1 4 Далее, опять-таки согласно общему правилу, хотя решение очевидно, находятся числа М t так, как это было описано выше. Схема следующая: 12 1 12 1 4 3 3 4 Очевидно, эта схема заменяется такой: 1 1 1 1 1 3 3 4 при помощи, как говорит Цинь, «полного вычитания (манъ цюй) ТП( из М( в сравнениях: MiM\ =1 (mod m{). Таким образом, остается решить сравнение ЪМ\ = 1 (mod 4). Решение проводится с помощью непрерывных дробей [27]. Дей¬ ствительно, здесь тривиально 1-14-1 з з ’ но решение проведено согласно общему правилу. Таким образом, М[=3 (mod 4). Остальные задачи на системы сравнений книги Циня посвя¬ щены самым разным темам. В задаче 2 первого свитка проведены календарные расчеты; в задаче 3 описывается строительство пло¬ тины на средства крестьян деревень А, Б, В, Г; задача 4 посвя¬ щена денежным расчетам семи казначейств. Следующая задача 5 (в нашей нумерации), т. е. первая задача второго свитка, известна в литературе своим условием [81, с. 89; 147, с. 93] 17. Здесь проводится сравнение некоторого количества зерна с местными ценами [142, с. 399—400]. В задачах 6 и 7 взаимодей¬ ствуют скороходы, в задаче 8 показана конечная арифметика у ка- менщика, измеряющего кирпичами разного рода ширину и глубину фундамента, которые следует найти. Наконец, последнюю задачу приведем полностью. В ней «по остаткам зерна вычисляется его количество» (юй ми туй шу). В данных изданиях вкралась опечатка: в первом сравнении модуль равен не 82, а 83. 170
«Задача. Имеется зерновая лавка. Поступила жалоба, что из нее украли три корзины зерна. Все они были полными, [но] не было зафиксировано точное количество зерна. В корзине у левой стены остался 1 гэ [зерна], в корзине, стоящей посредине [лавки], остался 1 шэн 4 гэ, в корзине у правой стены остался 1 гэ. Воров пой¬ мали, их было трое: А, Б, В. А рассказал, что тогда ночью [он] на- ощупь черпал [зерно] из корзины у левой стены полным лошадиным ковшом, пересыпая в полотняный мешок. Б рассказал, что [он] из корзины, стоящей посредине, перечерпал [зерно] в мешок де¬ ревянным башмаком. В рассказал, что [он] из корзины у правой стены наощупь перечерпал [зерно] в мешок пиалой, [покрытой] черным лаком. Вернувшись домой, [они] стали его есть. Сколько дней [они ели] и какое количество съели, неизвестно. Эти три посу¬ дины нашли: лошадиный ковш в полном объеме [дает] 1 шэн 9 гэ, деревянный башмак емкостью в 1 шэн 7 гэ, лакированная пиала емкостью в 1 шэн 2 гэ. Как узнать количество пропавшего зерна и подсчитать, сколько каждый из грабителей утащил [зерна]? Ответ: всего пропало зерна 9 даней 5 доу 6 шэнов 3 гэ; зерно А — 3 даня 1 доу 9 шэнов 2 гэ, зерно Б — 3 даня 1 доу 7 шэнов 9 гэ, зерно В — 3 даня 1 доу 9 шэнов 2 гэ» [105, с. 50—51]. В современной записи задана система х = 1 (mod 12), х = 14 (mod 17), х = 1 (mod 19) co^взаимно простыми модулями /тгх=12, т2=17, т3=19. Их произведение Пт, = 3876, а числа М4 (числа янъ) в произведении с mi дают т4М{ = 3876 = 12 - 323 = 17 - 228 = 19 • 204. Следует теперь решить систему 323М; = 1 (mod 12), 228Л/; = 1 (mod 17), 204М; = 1 (mod 19), которая эквивалентна следующей: UM[ = 1 (mod 12), 7М'2 = 1 (mod 17), 14Л/; = 1 (mod 19), где числа М/ определяются подбором, они равны соответственно 11, 5, 15. Общее число получается в виде #0=323- 1М+228.5-14+204-15-1 =22573, 171
и решение х=х0 (mod 3876)=3193 (mod 3876). Здесь числа юн будут равны 323*11, 228-5, 204-15. Задача Сунь-цзы обошла весь мир. Она или ей подобные встре¬ чаются в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202), в одной ви¬ зантийской рукописи XIV в., в немецких рукописных арифметиках XV в. и в русских арифметических рукописях XVII в. На нее часто ссылаются в современной математической литературе (напри¬ мер, [32]). Теория решения сравнений была разработана Л. Эйле¬ ром (публ. 1740) и окончательно К. Ф. Гауссом в его знаменитых «Арифметических исследованиях» (1801). Что касается других теоретико-числовых задач, то следует упо¬ мянуть магические квадраты. Некоторые такие квадраты встреча¬ ются в очень древних источниках [150, с. 55—62]. Известно, что магические квадраты рассматривал Ян Хуэй (1275) и другие более поздние авторы Китая и Японии. В истории математики известно, что их рассматривал также во II в. н. э. Теон Смирнский и многие средневековые арабские и византийские ученые. Существовали и другие неопределенные задачи с не единствен¬ ным решением. Такова известная «задача о птицах» из трактата Чжан Цю-цзяня, имеющая такую же «всемирную» историю, как задача Сунь-цзы (см. п. 6 ч. I). В древней «Математике в девяти книгах» имеются задачи, в которых используются тройки пифа¬ горовых чисел. Весьма возможно, что древние китайцы, подобно древним вавилонянам, умели решать неопределенное уравнение второй степени х2-\-y2=z2 и находили решения а2 — В2 0 а2 + В2 X — —2х-, У = аР’ 2 = где а, 8 — целые числа.
Часть четвертая АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Алгебраические методы характерны для китайской матема¬ тики. Недаром ее считают в противоположность греческой проявле¬ нием алгебраического духа китайского математического интел¬ лекта [150, с. 112]. Вычислительно-алгоритмический характер, свойственный китайской математике [80, с. 350—357], несомненно стимулировал алгебраизацию методов. Ими пронизаны и геометри¬ ческие задачи, примером может служить книга IX «Математики в девяти книгах». Достижения китайских алгебраистов — наиболее известная часть истории математики в Китае, известная, однако, далеко не в полной мере. В этой области мы находим удивительные по своей общности и их раннему возникновению в истории науки результаты — предвосхищение нынешних вычислительно-алге¬ браических методов. Неоднократно отмечалось, что в XIII—XVI вв. в Китае был окончательно разработан метод численного решения уравнений высших степеней, который носил название «метода небесного эле¬ мента» (тянъ юань шу), а позднее в математической литературе получил название «метода Горнера». Этот метод был создан в ра¬ ботах китайских алгебраистов Цинь Цзю-шао, Ли Е, Чжу Ши-цзе и др. В начале XIX в. итальянец П. Руффини (1804, 1813) и англи¬ чанин У. Горнер (1819) независимо друг от друга вновь открыли этот метод. Каким образом и на какой основе был впервые разработан этот метод? На этот вопрос можно ответить, рассмотрев трактаты «Де¬ сятикнижья». Историки математики указали истоки метода из процедуры извлечения корней, описанной еще в «Математике в девяти книгах» [172]. В этом же сочинении и в трактате Чжан Цю-цзяня метод применяется для п=2. В VIII в. Ван Сяо-туном он. был применен для п=3 и т. д. Но дело не столько в этом правиле извлечения корней и реше¬ нии, уравнений высших степеней, сколько в общей алгебраизации древнекитайской науки, приведшей к блестящему результату, в формах этой алгебраизации и причинах ее развития. Такие во¬ просы прежде всего стояли перед автором книги при исследовании древнекитайских текстов. Эти главы — попытка ответить на них. «Математика в девяти книгах» весьма насыщена алгебраиче¬ скими методами. Наиболее значительным из этих методов является общий алгоритм решения систем линейных уравнений в книге 173
VIII — самой совершенной из книг древнего сочинения, однород¬ ной по содержанию, стройной по композиции, лаконичной по изло¬ жению [90, 107]. Прежде чем перейти к изложению алгебраических методов древ¬ него и средневекового Китая, необходимо сделать одну оговорку: термина «алгебра» в древнекитайской математике, конечно, не было. На начальных этапах развития математика не разделялась даже на арифметику, геометрию и алгебру. Мы прибегаем к этим терми¬ нам при изучении методов древних, так как в различных задачах, часто объединенных в древних текстах только по тематике, но не по методам, мысль древнего ученого все же искала общность не в форме, а в математическом содержании. Мы отбрасываем тради¬ ционную форму и обнажаем те пути, которым следовала интуиция древнего математика. Существо алгебраических методов часто приходится улавливать сквозь вычислительную форму, в которой представлены правила решения древних задач. Поэтому мы рас¬ сматриваем в этой главе не только книги VII и VIII из «Матема¬ тики в девяти книгах» в качестве основных, содержащих задачи на решение линейных систем, что сразу же их определяет как «алгебраические», но и книгу IX, содержащую геометрические за¬ дачи, решаемые алгебраическими методами, а также привлекаем методы других, «арифметических» книг трактата и отдельные за¬ дачи из других сочинений. Заметим, что древняя алгебра излагалась словесно, без симво¬ лики. Специальные термины выражали смысл операций достаточно четко, но основная задача символики, не только краткая запись некоторых выражений, но и возможность оперировать с символами, при этом, конечно, не выполнялась. Китайцы всякий раз произво¬ дили действия на счетной доске с конкретными числами, но по определенным для каждого типа задач общим алгоритмам, сфор¬ мулированным в виде правил. Глава первая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Тождественные преобразования В древнекитайских математических сочинениях пщроко при¬ менялись тождественные преобразования. Это свидетельствует в пер¬ вую очередь о сравнительно высоком уровне развития науки алгебры в древнем Китае, таком же, как в древней Месопотамии. На самом деле, чтобы проводить тождественные преобразова¬ ния, необходимо иметь алгебраическое понятие неизвестной, т. е. искомую величину рассматривать как существующую наряду с дан¬ ными величинами еще до того, как она вычислена. Кроме того, надо 174
уметь составлять соотношения (уравнения) между ними. После этого можно равноправно оперировать с неизвестными и извест¬ ными величинами: приводить подобные члены, переносить члены из одной части равенства в другую и т. п., т. е. преобразовывать уравнения с сохранением их эквивалентности. С. А. Яновская писала: «Таким образом, производятся операции по определенным правилам уже не с числами, а с выражениями, содержащими „не¬ известные", и притом именно с такими выражениями, которые имеют вид равенств (с „уравнениями"). Правда, ни термина „уравне¬ ния", ни правил, в явной форме относящихся к оперированию с вы¬ ражениями, содержащими „неизвестные", а не только числами, <г Z0MI/ Рис. 10 //7/7ли в „трактате" нет» [49, с. 21 ]. И далее: «Всегда приходится восста¬ навливать путь рассуждений древнего математика, позволявших ему преобразовывать одни выражения в другие: сводить последо¬ вательно одну задачу к другой вплоть до получения задачи кано¬ нического вида, которая уже решается с помощью алгоритма, по¬ строенного для решения любой задачи данного класса и состоя¬ щего в сведении решения задачи к последовательности шагов, каж¬ дый из которых состоит в выполнении некоторой арифметической операции, хотя бы последняя сама по себе и была отнюдь непро¬ стой» [Там же]. В самых простых задачах требуется умение проводить тожде¬ ственные преобразования. Но осознать их и перейти к более слож¬ ным для древних было не так просто, как нам может показаться на первый взгляд. Для примера остановимся на одной простой задаче 13 книги VI «Математики в девяти книгах», которая не явля¬ ется алгебраической, но которая не решается без тождественных преобразований. Приведем ее точную формулировку: «Медленно идущий проходит сначала 10 ли. Быстро идущий догоняет его, и через 100 ли медленно идущий оказывается от¬ ставшим на 20 ли. Спрашивается, сколько ли пройдет быстро идущий, прежде чем догонит (медленно идущего)? Ответ: *33 с малой половиной ли» [50, с. 485]. Решение задачи сводится к составлению пропорции (рис. 10) х 100 я —10 "~"Ю0—(10 + 20) * Эту пропорцию можно заменить производной пропорцией х 100 10 10 + 20 * отсюда (10+20) *-10-100 175
10 • 100 QQ 1 и x 10 + 20 — 3 ’ как указано в ответе. На самом деле в правиле рекомендуется именно такой образ действия: «Тот путь в 10 ли, который прошел медленно идущий, сложи с путем в 20 ли, на который обгоняет его быстро идущий, это дели¬ тель. 10 ли пути медленно идущего умножь на 100 ли пути быстро идущего, это делимое. Объедини делимое и делитель, получишь [искомое количество] в ли» [Там же]. Эта и две другие аналогичные задачи (12-я и 14-я) являются «за¬ дачами на движение». Они составлены так, что рассмотрены раз¬ личные случаи движения двух тел с разными скоростями. Для задач такого рода уже в древности, по-видимому, существовал об¬ щий метод решения. Устанавливалось соотношение пропорциональ¬ ных величин х/(х—а) = Ыс, где а, Ь, с — данные или составленные по данным величины, х — искомая. Хотя правила к задачам числовые, видно, что х находится, фактически, по формуле x=ab/(b—с). Как ее выпели, в тексте не поясняется, но для ее получения нужно либо от пропорции перейти к производной пропорции х/а =Ь/(Ь—с), либо, также применяя свойства пропорции, получить сначала xc=xb—abj а затем аЪ = (Ъ—с) х. В задачах 13, 14, надо полагать, переходят к производным про¬ порциям, что же касается задачи 12, то в ней этого не требуется, она проще последующих. Приведенные задачи отличаются от задач 1—31 на пропорции книги II «Математики в девяти книгах», подробно разобранных в § 9 предыдущей части, именно тем, что в них неизвестная входит и в предыдущий и в последующий члены отношений. Вот почему в тех задачах не требуется тождественных преобразований, точно так же как они не нужны в других арифметических задачах на про¬ порциональное деление, тройное правило и т. п., как бы сложными они ни были. Тождественные преобразования были необходимы также при выводе формул площадей и объемов, по которым производятся расчеты в книгах I и V «Математики в девяти книгах». Здесь мы не будем подробно на них останавливаться. Они широко применяются в книге IX, посвященной решению геометрических задач алгебраи¬ ческими методами. Нам следует отметить, что для всех этих случаев характерно одно: преобразования проводятся над такими величинами, которым соответствует некий геометрический образ. Это либо длйны отрез¬ ков, выражающих пройденный путь (задачи на движение книги VI), 176
либо линейные размеры плоских, объемных фигур, именно: длины, ширины, высбты (задачи на определение площадей и объемов в книгах I и V), либо стороны, диагонали и т. п. многоугольников {задачи книги IX). Таким образом, и неизвестная и заданные вели¬ чины одной природы, разница между ними лишь в том, что одни отрезки уже «измерены» (известны), а длину других предстоит определить. При проведении преобразований должны быть известны законы операций над числами: коммутативность, ассоциативность, дистри¬ бутивность. Если в арифметике в каждом конкретном случае могли проверить, например, что 2+3=3+2, непосредственным подсчетом, то с введением неизвестной потребовалось, вообще говоря, уверен¬ ность в сохранении подобного рода свойств для любых двух пар величин, т. е. а+6 = Ь+а. Таким образом, применение тождествен¬ ных преобразований означает фактическое интуитивное исполь¬ зование общих законов операций. А это уже область алгебры, оп¬ ределенной таким образом JI. Эйлером в 60-х годах XVIII в. во «Введении в алгебру». И хотя исторически точка зрения на предмет алгебры не оставалась постоянной: в середине XIX в. у Серре ал¬ гебра еще определялась как теория решения алгебраического урав¬ нения п-й степени с одним неизвестным, а в XX в. — уже как ак¬ сиоматическая алгебра, теория операций всегда являлась важней¬ шей принадлежностью алгебры. 2. Китайская «символика» Хотя мы упомянули о том, что настоящей символики у китай¬ цев не было, остановимся на этом вопросе несколько подробнее. Во-первых, здесь символику заменяла совокупность терминов и специальных выражений, которые в целом создавали характерный для математической литературы язык. Кстати, он составляет зна¬ чительные трудности при переводе древних текстов (одна из при¬ чин неохотного до последнего времени их исследования сино¬ логами). При помощи специальных выражений можно было сфор¬ мулировать алгоритмы, выразить соотношения, описать операции и т. д., но нам на первый взгляд может показаться непонятным, как без символики представляли уравнение и решали его, — ведь для нас уравнение и есть буквенная запись соотношения известных и не¬ известных величин. Все это тем более необходимо рассмотреть, что в настоящее время значения многих терминов утрачены и их при¬ ходится восстанавливать. Непонятные места помогает прочитывать логика самого математического решения, и нам еще не приходи¬ лось встречать бессмысленных утверждений у древних, если это, конечно, не было явной ошибкой или опиской. Во-вторых, обсуждение символики у древних необходимо по¬ тому, что некоторые исследователи все же склонны были призна¬ вать ее наличие и на ранних ступенях развития математики. Например, О. Нейгебауер в своих первых работах по истории вавилонской математики полагал, что общие обозначения неизвест¬ 12 Э. И. Березкина 177
ных величин при помощи слов «длина», «ширина» и т. п. были сим¬ волами, вроде наших х и у. Действительно, эти слова выделялись из текста, написанного по-аккадски, тем, что были написаны на шумерском языке. Но эти зачатки символики все же не дают осно¬ вания считать их полностью символами, так как только подлинные символы допускают проведение операций над ними, вавилонские же задачи всегда решались в числах. Ни сокращенные обозначения, ни знаки-идеограммы, еще не ставшие полностью символами, т. е. знаками, совершенно утратившими свое семантическое значение, не могут составить настоящую символику. Запись, хотя бы и более краткая, не составляет достаточного условия для символики, но является необходимым условием для нее. Символика применяется не только для зашифровки специального текста, не только ради сокращения записи, но способствует более ясному выяснению со¬ держания. Если величина обозначается, например, символом х, то правило формулируется не только короче, но и яснее. Искомая величина в конечном счете выражается в виде формулы, и резуль¬ тат получается в явном виде. Именно в этом и состоит отличие фор¬ мул от алгоритмов. Хотя формула тоже является программой для вычисления искомой величины и может быть словесной, она отли¬ чается от алгоритма тем, что выражает результат явно. В китай¬ ских текстах встречаются формулы, главным образом описываю¬ щие словесно площади и объемы. Например, в правиле к задаче 8 книги V, где определяется объем параллелепипеда с квадратным основанием, говорится: «Умножь сторону на себя, умножь на высоту, это и будет объем в чи» [50, с. 474]. Здесь, как в вавилонских текстах, употребляются «универсаль¬ ные» обозначения: для «стороны квадрата» — фан, «высоты» — гао, «объема» — цзи, — термины, установившиеся в китайской математической литературе. Правило высказано весьма компактно и является фактически описанием формулы F=a2A, где а — сторона квадрата, h — высота, а7 — объем тела. Хотя это фраза, но она воспринимается прежде всего зрительно, как древние китайские стихи, и потому ее компактный вид делает ее почти формулой. Можно было бы привести для сравнения текст древнего алгоритма, например алгоритма Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, но мы этого делать не будем. Каким образом «записывалось уравнение» в древнекитайских текстах? — вопрос, который нас интересует более всего. Ли Янь считал, что понятие уравнения фактически было: для неизвестных употреблялись специальные обозначения, а свободный член назы¬ вался «ши», он как бы включал в себя знак равенства. Как нам представляется, дело обстояло все же не совсем так. Древнекитай¬ ская алгебра была полностью словесная, и для описания «уравне¬ ния» существовала специальная терминология. Вначале она не была универсальной, но постепенно становилась все более четкой и единообразной. Рассмотрим ее несколько подробнее, например, в задаче 15 книги VIII «Математики в девяти книгах» (далее будет 178
ясно, почему именно в ней): «2 снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 [снопов урожая ] А [превышает дань] на [вес] 1 [снопа урожая] Б, вес 3 [снопов урожая] Б на [вес] 1 [снопа урожая] В, [вес] 4 [снопов урожая] В на [вес] 1 [снопа урожая] А. Спрашивается, каков вес каждого из снопов урожаев А, Б, В?» [50, с. 505]. Система в наших обозначениях имеет вид 2х = 1+у, Зу — 1 4“ 42 = 1 4- где х, у, z — веса соответственно каждого из снопов урожаев А, Б, В. Как видим, китайский текст весьма компактен, в переводе мы вынуждены были постоянно добавлять слова для связности. Условие описывает систему в целом, а не отдельно, называя каж¬ дое уравнение. Кроме того, в отличие от других задач здесь урожаи обозначены литерам:и (в китайской письменности они представля¬ ются циклическими знаками, к которым принято обращаться и в наше время), а не классифицированы как хороший, средний, пло¬ хой урожаи, хотя и в таких обозначениях был свой резон. По-ки¬ тайски эти категории урожая буквально обозначались словами: «верхний» (шан), «средний» (чжун), «нижний» (ся), так что коэф¬ фициенты при неизвестных (если обозначить неизвестные соответ¬ ственно через х, у, z) в матрице системы займут действительно верх¬ нюю, среднюю, нижнюю строки, поскольку таково китайское классическое письмо. Уравнения будут представлены столбцами в порядке справа налево. Приведем текст задачи 1 книги VIII «Математики в десяти книгах», к которому в дальнейшем мы будем не раз обращаться: «Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу [зерна]. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу [зерна]. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого получили 26 доу [зерна]. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев? Ответ: из 1 снопа хорошего урожая 9 1/4 доу, из 1 снопа среднего урожая 4 1/4 доу, из 1 снопа плохого урожая 2 3/4 доу» [50, с. 498—499]. Китайский текст гораздо компактнее перевода. Например, первая фраза звучит так: цзинь ю: шан хэ санъ бин, чжун хэ эр бин, ся хэ и бин, ши санъ ши цзю доу [100, с. 221], буквально, «имеется: верхний урожай 3 снопа, средний урожай 2 снопа, нижний урожай 1 сноп, ши составляют 39 доу». Таким образом, в условии представлена система Зх -f- 2у z = 39, 2х -f- Зу -f- z = 34, х -j- 2у -j- 3z = 26, 179 12*
которую мы записали в нашей символике, обозначая неизвестные х, у, z. У древнего китайского вычислителя были, с одной стороны, текст, с другой — счетная доска, на которой он мог выложить палочками заданные в условии числа. В данном случае согласно правилу, сопровождающему задачу, он это делал так: /1 2 3\ / 2 3 2\ 3 11 \26 34 39/. Эта матрица, расширенная, как принято теперь ее называть, т. е. состоящая из коэффициентов и свободных членов, и представляла китайское уравнение на счетной доске. Древний автор описывает составление такой матрицы следующим образом: «Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего уро¬ жая, 1 сноп плохого урожая, составляющие [их] 39 доу [зерна] с правой стороны. [Расположи] посередине и слева [количества снопов] урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны» [50, с. 499]. Толкование Ли Яня слова ши как свободного члена уравне¬ ния весьма соблазнительно, в данном случае оно вполне подходит. Однако этот термин встречается лишь в первых шести задачах книги VIII «Математики в девяти книгах», во всех, где речь идет о снопах и зерне. Даже в задаче 15 на ту же самую тему (мы ее процитировали выше) это слово уже не употребляется. Термино¬ логия в ней другая: снопы различаются по весу, а не по емкости содержащегося в них зерна, термина ши в тексте этой задачи нет. В остальных задачах вместо ши употребляются другие выражения эквивалентности одной части уравнения другой. Мы уже видели это в задаче 15. Все они описательного характера. Заметим, что знак равенства, которым мы пользуемся, впервые ввел Рекорд в 1557 г., но общеупотребительным он стал еще позже, в XVIII в. Кроме того, в том же правиле ши употребляе^я в обычном, принятом в китайской математической литературе значении «де¬ лимого». Чтобы вычислитель не перепутал эти два ши, специально отмечено в правиле: «Верхнее [число] есть делитель, нижнее есть делимое, делимое для [искомого количества ] снопов плохого урожая» [50, с. 499]. Свободный же член назван «нижним содержимым», «нижним ши» для определенного вида урожая. Таким образом, терминология создавалась главным образом вокруг табличных чисел (см. о ней подробно далее в § 5). Здесь мы отметим только значение «цикли¬ ческих знаков» в китайском математическом тексте, которые мы переведем буквами А, Б, В. Обычно в древних задачах пользо¬ вались знаками десятеричного, а не двенадцатеричного цикла. В трактатах «Десятикнижья» А, Б, В, . . . это люди, уезды, семьи и, как мы видели, сорта урожая. В дальнейшем циклические знаки употреблялись также для обозначения неизвестных в линейных системах, их применял в XIII в. Ян Хуэй. Однако следует отме¬ тить, что иероглифы шан, чжун и ся, с помощью которых в образ¬ 180
цовых задачах книги VIII «Математики в девяти книгах» проде¬ монстрировано правило фан-чен, также часто применялись в даль¬ нейшем. Особенно любопытно их использование в задаче 13 сред¬ ней книги трактата Чжан Цю-цзяня для представления «двухин- дексной» таблицы (таблицы с двумя входами). Условие задачи Чжан Цю-цзяня: «Имеется коэффициент > двор платит налог тафтой [в среднем] по 3 пи. Если же учесть [разное] состояние бедности, расположить согласно 9 рангам, то двор от двора отличается на 4 чжана. Имеется: высшего верхнего [ранга] 39 дворов, высшего среднего 24 двора, высшего нижнего 57 дворов; среднего верхнего 31 двор, среднего среднего 78 дворов, среднего нижнего 43 двора; низшего верхнего 25 дворов, низшего среднего 76 дворов, низшего нижнего 13 дворов. Спрашивается, сколько должен выдать тафты каждый двор из девяти рангов» [51, с. 42]. Для обозначения строк и столбцов в подлиннике употребляются одинаковые иероглифы: шан («верхний, высший»), чжун («сред¬ ний»), ся («нижний, низший»). 3. Классы задач и алгоритмы Развитие математической науки в древности показывает, как постепенно из частных приемов решения той или иной задачи вырастали общие методы. Конечной целью математика было созда¬ ние правила, состоящего из некоторого числа шагов, которые не¬ обходимо проделать, чтобы «сконструировать» искомую величину из заданных. Иными словами, математик должен был дать вычисли¬ телю алгоритм, по которому последний мог автоматически, не заду¬ мываясь, решить любую задачу указанного типа независимо от ее числовых данных. Создание алгоритм# требовало проведения исследования в не¬ скольких направлениях. Во-первых, нужно было выделить опреде¬ ленный класс задач, для которого бы работал данный алгоритм, или найти каноническую форму задачи. Чтобы научиться сво¬ дить другие задачи к уже решенному классу задач, надо было попытаться расширить класс решаемых задач канонического типа насколько возможно. Естественно, что при этом возникали трудно¬ сти, разрешение которых иногда требовало введения в математику новых объектов. Именно так были изобретены в европейской математике XVI в. мнимые числа, а в древнекитайской матема¬ тике — отрицательные. Подтвердим эти общие положения на примере создания одного из самых красивых методов древней математики: матричного метода решения линейных систем 4. Линейные системы. Метод Гаусса Метод решения линейных систем был предложен К. Ф. Гауссом в XIX в. и под этим именем широко известен современным мате¬ матикам. Существует несколько схем решения систем по этому ме¬ 181
тоду, одна из которых, в точности совпадающая с древнекитайской, называется «схемой умножения и вычитания». В настоящее время этот метод Гаусса относят к точным в отли¬ чие от итерационных, поскольку решение задачи получается «при помощи конечного числа элементарных арифметических операций. При этом, если исходные данные, определяющие задачу, заданы точно (например, если они целые или рациональные числа, пред¬ ставленные в виде обыкновенных дробей) и вычисления выполня¬ ются точно (например, по правилам действий над обыкновенными дробями), то решение тоже получается точное» [68, с. 137]. В эпоху применения электронных машин область решаемых систем, конечно, сколь угодно большая и она не исчерпывается только теми «хорошими» системами, которые рассматривали древ¬ ние китайцы, имевшие в своем распоряжении примитивный счетный прибор в виде доски со счетными палочками. Методу решения линейных систем п уравнений с п неизвест¬ ными посвящена книга VIII «Правило фан-чэн» «Математики в девяти книгах». Аналогичные задачи в небольшом числе встреча¬ ются и в других трактатах «Десятикнижья». Решают линейные системы также математики средневекового Китая. Восемнадцать различных, но однотипных задач из «Математик^ в девяти книгах» подобраны так, чтобы в полной мере показать, как работает метод. Хотя правило приводится всего лишь однажды, только к первой задаче книги, оно сформулировано достаточно общо. Судя по нему и материалу книги VIII, нельзя не прийти к заключению, что метод решения линейных систем был разработан китайскими математи¬ ками к началу н. э. в виде общего алгоритма, применимого к любой задаче данного класса. Чтобы оценить достижение китайцев в этой области и сделать это быстро в обозримых пределах, изложим содержание китайского алгоритма в современной символике. 1. Заданная в условии произвольная система уравнений приво¬ дится к каноническому виду а\Тр\ “h ~j“ • • • &1пХп == ^1» а21х1 “f" а22х2 “("•••“(" а2яР'п==^ «и А + «Л + • • • + = К- 2. Из коэффициентов этой системы af.y, bt составляется расши¬ ренная матрица, первая строка которой (но китайская, т. е. по- нашему правый столбец) соответствует 1-му уравнению, 2-я строка (предпоследний столбец) — второму и далее аналогично:
3. Таблица приводится к треугольному виду при помощи пре¬ образований, являющихся по своему характеру элементарными, оставляющими систему эквивалентной данной. В результате в ле¬ вом верхнем углу над диагональю образуются нули: 4. Из полученной треугольной таблицы находится решение системы по рекуррентным формулам последовательно от послед¬ него неизвестного к первому: При этом необходимо помнить, что здесь изложена лишь совре¬ менная интерпретация древнекитайского правила, а вычислитель эпохи «Математики в девяти книгах» имел дело не с нашими буквен¬ ными уравнениями, а с набором чисел на счетной доске. Учитывая это обстоятельство, мы покажем конкретно, как применялся китай¬ ский метод решения линейных систем, насколько он был общим и одновременно какие ограничения содержал, что, собственно, от¬ личало его от метода решения систем при помощи определителей, предложенного Г. Крамером в 1750 г. в его знаменитом «Введении в анализ кривых линий». Поправки к современной интерпретации алгоритма, нужные для того, чтобы избежать опасной модернизации метода, введут ьнас непосредственно в «мастерскую» китайского математика. Первая поправка заключается в том, что пункт 1 алгоритма в действительности не является первой операцией, проводимой вы¬ числителем на счетной доске. Приведение к каноническому виду происходило в виде специального рассуждения, образно говоря, «на ходу». Первым же актом, который совершал вычислитель, было составление расширенной матрицы системы канонического вида, что входит в пункт 2 алгоритма. Ее коэффициенты, а отнюдь не коэффициенты заданной в условии задачи системы изображал он счетными палочками на доске. Приведением каноническому виду содержалось в виде подготовительных действий, которые дополни¬ тельно разъяснялись в правилах к задачам, но уже после того, как было сделано основное указание о составлении матрицы. ( 0 ... 0 а1Л 0 • • • &22 ^12 я. гт В, я а2п а1п b2 btj 1 ^i^nn — i+lui+l — i+2ui+2 — • • • — » где Ui = X<am (i-П — 1, • • 1), xn=bja„„, u„ — Bn при i = n. 5. Китайская матрица 183
Действительно, все без исключения правила книги VIII, какими бы они ни были, большими или маленькими, с краткими или длин¬ ными пояснениями, — все начинаются с фразы: жу фан чэн. Теперь трудно определить, что точно означал иероглиф чэн, но в современном языке есть слова, в которые этот иероглиф входит и которые могут помочь понять его значение. Например, кэчэн, где кэ — «урок», означает «учебный план», «учебную сетку». Веро¬ ятно, специальная фраза китайского правила буквально обозначала выстраивание заданных чисел по направлениям фан в определен¬ ном порядке, так чтобы получалась таблица, сетка чэн. Еще Лю Хуэй в III в. старался пояснить, что такое чэн. В комментарии к заголовку правила фан-чэн он раскрывает смысл этого термина. «Пусть в каждом столбце коэффициенты. Число вещей опреде¬ ляет чэн: если две вещи, то чэн [состоит] из двух [столбцов], если три вещи, то чэн из трех [столбцов ]; столбцы примыкают друг к другу рядами, поэтому и называется фан-чэн» [100, с. 221]. Детали построения таблицы показывают нам общность китай¬ ского метода решения систем линейных уравнений, а также труд¬ ности, с которыми сталкивался китайский математик из-за отсут¬ ствия символики. У китайского вычислителя на счетной доске все числа станови¬ лись отвлеченными. Как же тогда узнать, какое из них является коэффициентом при первой, второй и т. д. неизвестной, какое — свободным членом, тем более что может оказаться не один член с х, не один член с г/, не один свободный член и т. д. Естественно было определить эти числа, привязав их к определенному месту, т. е. указать порядок их расположения. Для этого нам достаточно сообщить букве-коэффициенту индексы: а^, Ъ{. Китайскому вы¬ числителю приходилось поступать иначе. Надо было разместить числа-палочки по соответствующим рядам и колонкам, как это де¬ лаем мы с числами матрицы. Поэтому вычислитель должен был сначала выделить класс задач с системами канонического вида, так чтобы был один член с х, один с у, один свободный член в другой части уравнения. Как и следовало ожидать, в «образцовой» задаче 1 книги VIII, на которой показан алгоритм, задана именно такая система. Кроме нее, в задачах 7 (п=2), 16 (тг=3), 17 (тг=4), 18 (тг=5) также заданы системы в приведенном виде, выполнения пункта 1 алгоритма не требуется. Во всех остальных задачах, прежде чем представить на доске матрицу системы, вычислитель должен произвести преобразо¬ вание ее к каноническому виду. Какие виды преобразований при¬ меняются при этом, мы рассмотрим отдельно в § 6 этой главы. Таким образом, составляется таблица фан-чэн. Легко видеть, какие «ин¬ дексы» получают в употребляемых здесь терминах ее «коэффици¬ енты», как назвал Лю Хуэй числа прямоугольной матрицы. Так как дано «три вещи», то образуется три столбца хэн, или три направле¬ ния фан, и четыре строки: для снопов хорошего урожая (в подлин¬ нике «верхнего»), среднего и плохого (в подлиннике «нижнего») урожаев, последняя строка отводится для чисел ши, которые вы¬ 184
ражают меры зерна, эквивалентные этим снопам. Иными словами, i-м столбцам ставятся в соответствие уравнения и их свободные члены, а ;-м строкам — неизвестные. Например, число ап описыва¬ ется так: ю хэн тан хэ, т. е. верхний урожай в правом стоблце. Число а22 описывается словами: чжун хэн чжун хэ, т. е. средний урожай в среднем столбце. Число а33 описывается: цзя хэн ся хэ, т. е. нижний урожай в левом столбце. В следующих задачах, не выходящих за пределы п=3, эта терминология работает без изменения, с поправкой для п=2 (опу¬ скаются средний столбец передняя строка). Что касается всех остальных задач, то в подлиннике нет подробного текста правил, и потому мы не знаем, какая терминология употреблялась в «Мате¬ матике в девяти книгах» для матриц более высокого порядка. Математик XIII в. Ян Хуэй, разбирая методы древних, употреблял общую терминологию для чисел таблицы. Столбцы у него обозна¬ чаются циклическими знаками: столбец А (цзя хэн), столбец Б (и хэн) ит. д., коэффициент при х объявляется первым, головным (шоу вэй) [150, с. 116]. Однако последний термин применялся го¬ раздо ранее, еще Лю Хуэем в его комментариях к задачам книги VIII. У Лю также уже существует общая терминология: столбцы он нумерует: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, a bi называет коэф¬ фициентами (люй) [100, с. 221—222]. Отсюда можно заключить, что метод построения таблицы в об¬ щем виде был усвоен во всяком случае не позднее чем; во времена Лю Хуэя и, наверное, даже гораздо ранее. Метод был применим для сколь угодно большого п. Не случайно в первой задаче книги VIII «Математики в девяти книгах» взято не два, а три уравнения, хотя около половины систем книги VIII содержали два уравнения. Составители трактата выбрали некий «средний» пример, для нагляд¬ ности не очень громоздкий и для общности не слишком простой. Заметим, что всякий раз при вводе новых условий (отрицательных чисел, однородного уравнения и т. п.) используется система при п = 3 (ср. задачи 3, 8). Последние задачи начиная с 12-й уже имеют дело с системами только из трех, четырех, пяти уравнений. Таким образом, задачи расположены так, что после установления алго¬ ритма для линейных систем канонического типа, затем для различ¬ ных произвольных систем и т. д. предлагают применить правила и к системам более высокого порядка. Мы видим, что отсутствие символики компенсировалось специ¬ альным техническим языком в применении к некоторой достаточно общей схеме в стандартном примере. Подчеркнем еще раз: достиг жение общности метода облегчалось тем, что вычислитель все время имел дело с отвлеченными числами на счетной доске независимо от терминологии задач. Общее правило существовало, но для его описания в общем виде не хватало средств. Разумеется, рассматри¬ вались только совместные системы; рассматривались и неопреде¬ ленные системы, такова задача 13 (она, правда, единственная) книги VIII «Математики в девяти книгах», содержащая систему из пяти уравнений с шестью неизвестными (см. ниже § 9). 185
6. Решение системы Другая существенная поправка к современной интерпретации правила возникает при анализе пунктов 3 и 4 алгоритма. Здесь мы обнаруживаем специфическую ограниченность табличного метода решения систем линейных уравнений, что объясняет нам, почему китайские математики естественно не перешли к решению задач с по¬ мощью определителей, ведь сделал же такой переход от метода фан-чэн японский математик Секи Кова (1642—1708) в своей работе 1683 г. Поправка заключается в том, что элементарные преобразования, указанные в пункте 3, в расширенной матрице весьма условны уже по самой ее природе. Преобразования производятся только над столбцами (т. е. уравнениями), так что равноправия строк и столб¬ цов не было и не могло быть. Присутствие свободных членов не по¬ зволяло перейти к понятию определителя, хотя попытки сделать равноправными строки и столбцы мы обнаруживаем в трактате Чжан Цю-цзяня. Вообще, современная теория определителей была разработана лишь в середине прошлого столетия в трудах Вине, Коши, Якоби, Кэли, Сильвестра, Вронского. Она стала ин¬ тенсивно разрабатываться в связи с развитием общей теории си¬ стем дифференциальных уравнений, играющих большую роль в современном естествознании. В свою очередь теория определи¬ телей стимулировала работу комбинаториков и подготовила почву для развития во 2-й половине XIX в. алгебраической тео¬ рии форм и их инвариантов (Сильвестр, Кэли, Коши, Якоби, Гаусс). Символическое матричное исчисление, вполне современ¬ ное, создал Кэли (1858), хотя отдельные теоремы содержались еще у Вине, Коши, Якоби. Китайские математики решали системы линейных уравнений при помощи хорошего алгоритма, и этим их запросы были вполне удовлетворены. Уместно напомнить, что даже Лейбниц, с именем которого обычно связывают в истории науки введение определителей, не стал развивать их теории, хотя и сознавал важность своего открытия. Действия непременно над столбцами (но не над строками) рас¬ ширенной китайской матрицы подчеркивают неразрывную связь матрицы с системой. Операции со столбцами лучше всего про¬ демонстрировать на той же задаче 1 книги VIII «Математики в де¬ вяти книгах». Прямоугольная матрица заданной системы имеет вид Правый столбец (т. е. первое уравнение) остается неизменным, и согласно правилу преобразуются средний и левый (т. е. второе и третье уравнения) 186
( ' 1 0 3 2 5 2 3 1 1 .26 24 39 '00 3 4 5 2 8 1 1 ,39 24 39 '0 0 3’ 0 5 2 36 1 1 ,99 24 39, Особенно тесная связь с уравнениями обнаруживается при выполнении пункта 4 алгоритма, когда находится решение си¬ стемы. Как мы уже видели, в рекуррентные формулы входят най¬ денные значения неизвестных в составе и{. Собственно, эти формулы означают нахождение неизвестных из ступенчатой системы урав¬ нений, которая соответствует треугольной матрице с нулями, при этом происходит «восхождение» от последнего уравнения к первому: Единственно, что отличает эти формулы от непосредственно опре¬ деления из ступенчатой системы, — это выделение общего «делителя» ат. Так поступают, по-видимому, даже тогда, когда Ьп делится на ат без остатка. Быть может, в этом сказалась ки¬ тайская традиция получать на доске отдельно целочисленные де¬ лимое и делитель и затем «объединять» их в одно число, т. е. на¬ ходить их частное, которое, вообще говоря, может быть дробным. Так или иначе, но в терминологии при формулировке действий с таблицей имеет место следующая двойственность. С одной стороны, при вычислении и{ его делитель, т. е. at4., называется «количеством снопов какого-то урожая», т. е. в пере¬ воде на наш язык коэффициентом при неизвестном х4 в i-м урав¬ нении. Между тем аи можно было бы назвать числом, стоящим в i-м столбце и в г-й строке, пользуясь термином для табличного числа, который употреблялся в другом месте правила. С другой стороны, при составлении первого слагаемого biaim в числителе х{ Ъ{ называется матричным термином: «составляющее [коли¬ чество] в i-м столбце». Кроме того, х{ «составляются» из чисел, являющихся коэффи¬ циентами матрицы, которую вычислитель видит непосредственно перед собой на счетной доске, названия же этих чисел содержатся в тексте правила. Итак, во время преобразования матрицы связь ее с уравнениями все же ослабевает. Но таблица с нулями мобилизует память вы¬ числителя: он должен теперь «вспомнить», что перед ним система уравнений, из которой удобно найти значения неизвестных. Дробные значения корней, вынуждают математика составить рекуррентные формулы общего вида по традиционной форме выделения общего делителя. Отсюда двойственная терминология табличных чисел. ®«-1, п-1Хп-1 “f" «_1. пХп — ги 187
7. Усовершенствование метода Особенностью метода фан-чэн является неподвижность столб¬ цов. Порядок действий строго выдержан, ц столбцы не перестав¬ ляются. Действительно, в приведенном выше примере проще было бы оставить в покое левый столбец, а преобразовывать средний и правый: Но в том-то и заключалась специфическая особенность китай¬ ского алгоритма, что вычислитель не должен был обращать вни¬ мания на частный вид системы, а, владея универсальным методом, решать любую задачу такого типа единообразно. Обратимся снова к задаче 1. Правый столбец первого уравнения остается неизмен¬ ным с самого начала. Следующий, второй столбец преобразуется так: его числа умножаются на ап, и из них вычитаются числа правого столбца до тех пор, пока, как сказано в правиле, «все не исчерпается», т. е. не получится нуль вместо а21. Таким образом, даже при преобразовании очередного столбца уже «готовый» столбец (столбец, принадлежащий треугольной матрице) не ме¬ няется, его не умножают на какое-то число, чтобы потом вычесть из преобразуемого столбца, как это сделали бы мы теперь. Такое многократное вычитание нас не должно удивлять, если мы опять- таки учтем характер китайской вычислительной техники: в ней более удобно раз за разом убавлять нужное число на соответствую¬ щее, постепенно изменяя сочетание счетных палочек, изобра¬ жающих число. Впрочем, в дальнейшем Лю Хуэй и Сунь-цзы усовершенство¬ вали этот способ, быть может, потому, что в III—IV вв. н. э. бумага уже получила распространение и, вероятно, вычисления стали производиться на бумаге. Оба автора в своих описаниях правила отказались от многократного вычитания и нарушили тем самым «неприкосновенность» столбцов после преобразований. Лю Хуэй показал это на задаче 7 книги VIII, а Сунь-цзы — на задаче 10, взятой из той же книги «Математики в девяти книгах». Лю Хуэй сделал это непосредственно в комментарии к задаче, Сунь-цзы перенес задачу в свое сочинение, упростив при этом усло¬ вие задачи. В качестве наиболее яркого примера приведем трак¬ товку правила, которую дает Сунь-цзы. Чтобы не загромождать решение дробными значениями, Сунь-цзы «подправляет» свободные члены, заменив 50 на 48, все внимание уделяя самому методу: «Имеются два человека А и Б, они получили цяни, количество у каждого неизвестно. Можно дополнить до 48, если А получит среднюю половину цяней Б; можно дополнить также до 48, если Б получит большую половину цяней А. Спрашивается, сколько цяней получил каждый из двух первоначально? ' 1 0 2 1 3 5 ,26 18 3 188
Ответ: А получил 36 цяней, Б — 24 цяня» [49, с. 37, задача 28]. «Средняя половина» означает 1/2, «большая половина» — «В Математике в девяти книгах» нет решения этой задачи, а в ком¬ ментариях Лю Хуэя указано лишь преобразование заданной си¬ стемы, к каноническому виду. У Сунь-цзы же мы находим весьма подробное описание, настолько подробное, что по нему стало воз¬ можно установить детали, весьма любопытные. Правило непосредственно начинается с составления матрицы системы: Мы не будем цитировать это место. Далее идут преобразования матрицы: «Числа левой строки умножь на 2 из правой строки. В левой строке: вверху получится 4 для А, в середине получится 6 для Б, внизу получится 288 цяней. [Числа правой строки] умножь на 2 из левой строки. В правой строке: вверху получится 4 для А, в середине получится 2 для Б, внизу получится 192 цяня. [Числа] правой строки вычитай из [чисел] левой строки» [49, с. 37]. Правило настолько ясно, что комментарии к нему не нужны. Очевидно, что в данном случае излишни умножения чисел таблицы. Нуль можно было получить, непосредственно вычитая числа пра¬ вого столбца из соответствующих чисел левого столбца. Термин для многократного вычитания «образуй остатки» (чжи чу) уже не нужен, но потребовался термин для обозначения отсутствую¬ щего коэффициента: «пустота» (кун). При многократном вычи¬ тании просто говорили: «вычитай до тех пор, пока ничего не оста¬ нется». , Заметим, что значения х и у Сунь-цзы сделал целыми, и потому он находит их просто из уравнений, а не по рекуррентным фор¬ мулам. Здесь он отходит от общего алгоритма: «Слева вверху пусто, в середине остаток 4 для Б, возьми [его] в качестве делителя; внизу остаток 96 цяней, возьми [его] в ка¬ честве делимого. Делитель наверху, делимое внизу, получишь 24 цяня, это цяни Б. Вычти [это] из 96, [стоящего] внизу справа, остаток 72 является делимым. Делителем является 2 для А, [стоящее] вверху справа. Делитель вверху, делимое внизу, по¬ лучишь 36, это цяни А>. 2/3. Следовательно, задана система а:-}- у у — 48, X -{- у — 48. 189
Это место любопытно тем, что здесь единственный раз по¬ дробно сообщается о нахождении хну. Из таблицы сразу видно, что у=96/4=24. Подставляя значения у в первое уравнение, получают, вероятно, таблицу откуда ж=72/2=36. Об этом и говорит последняя фраза правила, подчеркивая, что (внимание, вычислитель!) в отличие от обычного «делимое внизу, делитель наверху». У Лю Хуэя в задаче 7 таблица заданной системы Особенно заметна формализация в решении задач у Чжана Цю-цзяня. Приводится три задачи (12—14) в последней книге трактата на системы линейных уравнений, которые достаточно привычны читателю «Десятикнижья» [51, с. 50—52]. Так, задача 12 тождественна задаче 1 книги VIII «Математики в девяти книгах», изменены лишь свободные члены, чтобы решение системы было в целых числах. Задача 13, аналогичная 26 средней книги трак¬ тата Сунь-цзы, также отличается только свободными членами. Но у Сунь-цзы такая задача решена не матричным методом. Задача 14 Чжана Цю-цзяня сходна как с задачей 10 книги VIII «Математики в девяти книгах», так и с задачей 28 последней книги трактата Сунь-цзы. Правило Чжан Цю-цзянь не формулирует. В вычислениях же, не принадлежащих, вообще говоря, автору, несколько иная по¬ следовательность, чем та, которая определена правилом фан-чэн из «Математики в девяти книгах». Покажем это на задаче 12 из по- ледней книги трактата Чжан Цю-цзяня, в которой речь идет о парче высшего, среднего и низшего качества и о ее эквиваленте — тафте. Не приводя условия задачи [51, с. 50], укажем, что для отыскания искомых величин х, г/, z следует решить систему претерпевает следующие изменения: Зх-\- 2у z = 45, 2х -j— Зу —z = 43, х -f- 2у -f- 3z = 35. 190
В тексте лишь указано на применение матричного метода: «Спо¬ соб: составь таблицу», т. е. 1 2 3^ 2 3 2 3 1 1 V35 43 45/. Вероятно, далее надо считать так: 3 6 3\ / 0 0 3\ / 0 6 9 2 \ / 4 5 2\ /20 9 3 1 8 11 40 vl05 129 45/, \60 39 45/, \300 39 45 Здесь сначала получают нули только в верхней строке. Для этого преобразуются верхние числа столбца, стоящего рядом с самым правым, затем следующего и т. д. Далее снова возвращаются к третьему слева столбцу от крайнего правого, чтобы получить нули во второй сверху строке, и так до тех пор, пока не получится треугольная матрица с нулями. Правило, предложенное в трактате Чжан Цю-цзяня, свиде¬ тельствует о постепенном отмирании первоначально тесной связи матрицы с уравнениями. Однако полностью равноправными строки и столбцы матрицы сделать было невозможно, поскольку в нее входят свободные члены уравнений. Они связывают свободу дей¬ ствий над числами строк и столбцов независимо от их расположения. Заметим, что свободные члены уравнений в задачах «Десяти¬ книжья» всегда ставились внизу последними. Впоследствии Цинь Цзю-шао в своих «Девяти книгах по математике» поступал иначе. Таким образом, получается своеобразный круг в развитии ме¬ тода. В частных приемах решения системы, конечно, не было стро¬ гой последовательности действий с уравнениями, как мы далее увидим. Но при разработке общего метода отказались от всех частностей, установив общий порядок действий. На первом этапе это привело, как мы видели, к неподвижности столбцов и запрету производить какие-либо действия над уже преобразованными столбцами. Но далее, совершенствуя способ, снова фактически при¬ бегли к умножению уравнений, освободив столбцы от абсолютной неподвижности. 8. Неопределенная система Рассмотрим задачу 13 книги VIII «Математики в девяти кни¬ гах», сводящуюся к решению неопределенной системы линейных уравнений. Хотя в нашем распоряжении всего лишь одна задача такого рода, она показывает, что случай, когда число уравне¬ ний меньше числа неизвестных, не оставался без внимания древ¬ них математиков. В условии задачи пять уравнений с шестью неизвестными за¬ даны следующим образом: 191
«У пяти семей имеется общий колодец. Чтобы достать [до По¬ верхности воды], 2 веревкам [семьи] А недостает 1 веревки [семьи] Б, 3 веревкам [семьи] Б недостает 1 веревки [семьи] В, 4 веревкам [семьи] В недостает 1 веревки [семьи] Г, 5 веревкам [семьи] Г недостает 1 веревки [семьи] Д, 6 веревкам [семьи] Д недостает 1 веревки [семьи] А. Спрашивается, какова глубина колодца и какова длина каждого куска веревки?» [50, с. 504]. Если обозначить через х, г/, з, гг, v веревки каждой семьи А, Б, В, Л Д, а через а — общую длину этих кусков, то система уравнений в современной записи -Н у — а> 3у-у z = а, 4 z-\-u = a, 5и -\-v = а, 6 v-\-x = a будет с симметричной матрицей /1 0 0 0 ?\ /0 0 0 3 1 \ 0 0 4 1 0 0 5 1 0 0 1 0 0 о/ \® а а а а) Если поступать согласно методу фан-чэн, на что указано в пра¬ виле к задаче, то преобразования приведут матрицу к виду (мы опускаем промежуточные вычисления) ' 0 0 0 0 2\ 0 0 0 3 м 0' 0 4 1 01 0 5 1 0 01 721 1 0 0 °/ 76а а а а а/ . Отсюда тогда 1 721а — 7 6а 129 U,= ~тгг f = гттгг а 721 5 721 и т. д. Однако в тексте мы не находим этих общих формул решения. В ответе же приведено лишь минимальное целочисленное решение, которое получается, если положить а=721: ж=265, у=191, z=148, и=129, у=76. Действительно: «Ответ: глубина колодца 7 чжанов 2 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] А 2 чжана 6 чи 5 цуней, длина веревки 192
[семьи] Б 1 чжан 9 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] В 1 чжан 4 чи 8 цуней, длина веревки [семьи] Г 1 чжан 2 чи 9 цуней, длина веревки [семьи] Д 7 чи 6 цуней» [50, с. 504]. 9. Отрицательные числа. Приведение уравнений к каноническому виду Важнейшим событием в истории древнекитайской математики является открытие отрицательных чисел. Отрицательные числа обнаружены у Диофанта (III в. н. э.), их знали индийцы (Брахма¬ гупта, VII в.); ими пользовались арабские ученые (Абу-л-Вафа, X в.), но впервые они появились в Китае, именно в связи с реше¬ нием линейных систем по единообразному матричному методу [4, с. 53]. Дело в том, что при преобразовании матрицы системы к треугольному виду может представиться случай, когда из «ни¬ чего» (т. е. из нуля) надо вычесть некоторое количество или из меньшего числа большее. Чтобы довести решение до конца и получить положительное решение, пришлось ввести в действие но¬ вые математические объекты — отрицательные числа. Именно так произошло при решении задачи 3 книги VIII «Математики в де¬ вяти книгах», в которой задана система Вот условие этой задачи: «2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?» [50, с. 500]. Следует преобразовать левый столбец: умножаем его числа на 2 и вычитаем из полученных произведений числа правого край¬ него столбца: 2* = 1 3y=l — z, 4z = 1 — х, т. е. матрипя ■1 0 2\ 13 Э. И. Березкина 193
Появилось отрицательное число. а32=—1. Далее числа левого столбца вновь умножают на 3 и к полученным произведениям прибавляют числа среднего столбца: О 0 2\ /00 —3 3 1 \ /03 24 1 0 I 25 1 3 1 1/, \ 4 1 Отсюда 4 2 ==~25* 1 25-1—4.1 7 У~2Ь* 3 —25’ 1 1-3. 25 — 0-3-4 + 1.1-4 — 1 - 1 - 25 9 Х~ 25* 2-3 “25* Таким образом, здесь производятся следующие операции с отри¬ цательными числами: 0—1 =—1, (—1).3=—3, —3+3=0. Для этих новых чисел здесь же, в тексте задачи 3, вводятся правила действий. Они сформулированы так, что их можно пере¬ дать в алгебраической символике следующим образом: (i а) — (+ Ь) = + (а — Ь)9 (±а) — ( + Ь)= + (а + Ь), 0 — (±Ь)=+Ь. Это правило для вычитания. Далее определено сложение: (±а) + (ТЪ)=±{а-Ь), (±а) + (±Ь)=±(а + Ь), 0 + (+ Ь) = + ь. Само правило гласит: «Правило „чжен-фу“: если одинакового названия, то вычи¬ тается, если разного названия, то прибавляется; если положи¬ тельное без пары, то [становится] отрицательным, если отрица¬ тельное без пары, то [становится] положительным. Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то при¬ бавляется, если положительное без пары, то [становится] поло¬ жительным, если отрицательное без пары, то [становится] отри¬ цательным» [50, с. 500]. Напомним читателю, что рождение отрицательных чисел в дан¬ ном случае произошло на счетной доске, где производились вы¬ числения. Числа представлялись счетными палочками. Отри¬ цательные числа, как числа другой природы с определенными над ними операциями, обозначались отличным образом от положитель¬ ных чисел. Если положительные числа представлялись палочками красного цвета, как показывает Лю Хуэй, то отрицательные — палочками черного цвета, если первые были представлены палоч- 194
нами с треугольным сечением, то вторые — с квадратным. В книгах эпохи Сун числа изображались двумя цветами, также соответ¬ ственно красным и черным; иногда перечеркивалась косой чер¬ той последняя цифра отрицательного числа, как это делал Ли Е (XIII в.). Положительные коэффициенты обозначались иерогли¬ фом чжен, т. е. правильный, справедливый, отрицательные — иероглифом фу, т. е. ноша, долг, налог, повинность, горевать. Этим и объясняется название «правила чжен-фу». Отрицательные числа были хорошо освоены древнекитай¬ скими математиками, а в книге VIII они последовательно вводятся в обращение. В следующих задачах 4—6 отрицательные коэффи¬ циенты появляются в канонических таблицах. Системы уравне¬ ний этих задач соответственно имеют вид В частности, последняя матрица (задачи 6) описана так: «Пра¬ вило: составь таблицу фан-чэн. Установи, что 3 снопа хорошего урожая положительны, 10 снопов плохого урожая отрицательны, прибавка в 6 доу отрицательна. Еще установи, что 2 снопа хоро¬ шего урожая отрицательны, 5 снопов плохого урожая положи¬ тельны, прибавка в 1 доу отрицательна. Вычисляй по способу чжен-фу» [50, с. 502]. Истолкование отрицательных чисел мы находим в задаче 8 книги VIII: «Продали 2 буйволов, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйволов, 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8 свиней, купили 5 буйво¬ лов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья?» [50, с. 502]. По поводу последнего уравнения в тексте имеется такое опи¬ сание его коэффициентов после приведения уравнения к канони¬ ческому виду: «Еще установи, что 5 буйволов отрицательны, 6 баранов поло¬ жительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицате¬ лен» [50, с. 502]. Таким образом, отрицательные числа получили толкование долга, недостачи, нехватки в отличие от положительных, сви¬ детельствующих о достатке, избытке, доходе и т. д. В остальных задачах при решении линейных систем уравне¬ ний довольно часто и свободно оперируют с отрицательными чис¬ лами. Не приводя задач, мы укажем лишь, что в задачах 9, 12—16 нельзя обойтись без отрицательных чисел и знания законов их вы¬ читания, сложения и умножения. В задаче же 6 должно было про¬ ба:— 11 = 7у, 6ж — 18 = 10у, Зя-|~ 6 = Юг/, 7х — 25 = 5г/, 15 у — 5 = Ъх, 5г/-[~1=2.т. Китайские матрицы этих систем такие: 195 13*
изводиться и деление отрицательных чисел. Однако отрицатель¬ ных корней уравнений в древнем Китае не употребляли. В заключение отметим, что всякий раз отрицательные числа, впрочем как впоследствии и мнимые, появлялись формально 18. В Китае, как мы выше видели, — при распространении алго¬ ритма решения линейных систем матричным методом на весь класс задач, в Греции — у Диофанта в связи с решением классов уравнений [33, 65], в Индии — для того, чтобы единообразно рассматривать квадратные уравнения, у Абу-л-Вафы (X в.) — при обобщении способа умножения [53]. Али Кушчи (XV в.) называл их «ложными» [38, т. I, с. 218, 338]. В Европе первым подошел к идее отрицательного числа в XIII в. Леонардо Пизан¬ ский, в явном виде они были у Н. Шюке (XV в.), и в середине XVI в. их употреблял М. Штифель [541. 10. Второй матричный метод. Правило двух ложных положений В книге VII «Математики в девяти книгах» содержатся две группы задач, 1—8 и 9—20, объединенных под одним заголовком «Избыток-недостаток» (ип бу цзу). В первой группе задач речь идет о совместной покупке, их усло¬ вия могут быть выражены с помощью одного частного вида системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть а±, а2 — количества монет, которые вносят покупатели при первой и второй попытке сообща купить вещь. Стоимость этой вещи обозначим через г/, а через х обозначим количество людей. При первой попытке получается некоторый «избыток» монет Ь±1 при второй — «недо¬ статок» Ь2. Таким образом, получается система вида CL^X У = Ь2, для решения которой предложен табличный метод «избыток- недостаток». Рекомендуется составить таблицу К а2) и из нее получить искомые величины. Tf ai&2 — a2&i „ — &1 JJ ■ % tЬ 1 ' # 9 аг — аг 9 а2 — аг Правило гласит:! «Избыток-недостаток. Правило: расположи избыток, недоста¬ ток вместе с нормами, которые вносятся при покупке вещи сообща: 18 Мнимые числа были введены в XVI в. итальянскими алгебраистами для того, чтобы распространить полученное ими решение кубического уравне¬ ния на неприводимый случай: все корни — действительные числа, но в процессе решения без комплексных чисел обойтись нельзя. 196
избыток и недостаток, каждый из них, помести под нормами. Перемножь с ними нормы, которые вносятся, крест-накрест, сложи, это ши. Сложи избыток и недостаток, это фа. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Сопоставь и расположи нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, на этот остаток раздели ши и фа. Ши дает стоимость вещи, фа — коли¬ чество людей» [50, с. *491—492]. Это правило изложено в трех вариантах, поскольку рассмо¬ трены также случаи, когда аг, а2 взяты так, что Ь{ одинаковых знаков (правило называется «оба избытка, оба недостатка»), и когда взято так, что Ь2=0 (правило называется «избыток-равно¬ весие», «недостаток-равновесие»). К первому варианту относятся задачи 1—4, ко второму — задачи 5—6, к третьему — задачи 7—8. Здесь не пользуются отрицательными числами, и поэтому можно полагать, что этот табличный метод более раннего происхож¬ дения, чем матричный метод решения линейных систем произволь¬ ного вида. Варианты правила «избыток-недостаток» сформулированы вся- киг раз дважды, кроме последнего, когда система упрощается: «i*—У=Ьи а2х=0, и решение очевидно. Во^второй формулировке правило пред¬ ставляет собой, по существу, решение заданной системы при помощи исключения неизвестной и приведение системы к одному уравнению (см. ниже § И). Следует отметить исключительную четкость в построении этой группы задач. Текст их лаконичен, общие правила сформулиро¬ ваны в абстрактном виде. Для примера приведем условие первой, «образцовой» задачи книги VII «Математики в девяти книгах». «Сообща покупают вещь. Если [каждый] человек внесет по 8, то избыток [равен] 3. Если [каждый] человек внесет по 7, то не¬ достаток [равен] 4. Спрашивается, [каковы] количество людей и стоимость вещи? Ответ: 7 человек, стоимость вещи — 53» [50, с. 491]. Вторая группа самых разных арифметических задач (задачи 9—20) этой же книги VII решена с помощью метода двух ложных положений, который носил такое же название, как и первый. Пусть по условию задачи y=f (x)=ax-{-b=0. Корень заданного уравнения х0 определяется с помощью пра¬ вила двух ложных положений следующим образом: если x = xv то г/1 = аж1-{-6, если х == ж2, то у2 = ах2 -J- Ь. Составляется таблица fx i ж2\ }Уг Уъ{> 197
из которой определяется искомая величина ^ Х\У2— Х<2,У\ Х*— У2-УХ • Это формула линейной интерполяции, точная только в применении к уравнению первой степени. Действительно, отсюда х =—Ыа. Правило двух ложных положений (Regula duorum falsorum positionum) было заимствовано европейцами у арабов, называвших его «правилом двух ошибок» (ал-Хатайм); в Китае, где оно появи¬ лось раньше, оно называлось методом избытка-недостатка 19, поскольку в китайских задачах всегда берется хг <СХ0 <СХ2> гДе / (#0)=0 и уг, у2 имеют разные знаки, т. е. являются «недостатком» и «избытком». Более того, задачи 1—8 первой группы могут быть решены методом двух ложных положений. В этих задачах у/х=а и может определяться по формуле аналогично: g1^2 — g2^1 Ь2 — по данным в условии ах, bx=a±x—у; а2, Ъ2 = а2х—у. Искомые х, у можно найти, если учесть еще, например, Ъг=агх—у. О связи одной группы задач с другой авторы «Математики в девяти кни¬ гах» хорошо знали. Об этом говорят термины «делимое» (ши) и «делитель» (фа) в правиле «избыток-недостаток», сформулиро¬ ванном для первой группы задач [50, с. 560]. Эти термины послу¬ жили основой для гипотезы М. Я. Выгодского о происхождении правила двух ложных положений [29]. Дело обстоит не так просто, как кажется на первый взгляд: правило двух ложных положений не описано подробно столь общим образом, как таб¬ личный метод «избыток-недостаток». Без всяких пояснений в тексте книги VII за задачами первой группы следуют задачи 9—20, каждая из которых имеет описание своего конкретного решения. Однако все задачи 9—20 решаются по правилу двух ложных положений. Самым наглядным примером служит задача 10, решение которой можно было получить, не применяя правила, непосредственным подсчетом. «Имеется стена высотою 9 чи. Тыква растет на верху стены, стебель задень вырастает на 7 цуней. Кабачок растет внизу, у стены, стебель за день вырастает на 1 чи. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и какова длина каждого стебля?» [50, с. 493— 494]. Пусть х — искомое число дней, тогда получается совсем про¬ стое уравнение (10+7) #=90. 19 Любопытно, что в математической литературе Китая XVI в. правило двух ложных положений под влиянием европейского названия называлось «Ме¬ тод взаимного исправления ложными положениями», а древний метод был забыт. 198
В предыдущей задаче 9, первой из этой группы задач на дан¬ ное правило, х в точности есть среднее арифметическое между х1 и х2. По-видимому, эта задача «установочная». Следующая за ней, как видели, совсем простая задача, на ней специально демонстрируется правило. Вообще, в задачах 9, 12, 13, 17, а также 11—18 рассматривается / (х)=с или f1 (x)=f2 (х) и fi (х) — линей¬ ные функции. Задачи 15, 19, 20 в нашей символике более сложные, но с помощью правила двух ложных положений решаются просто. Таким образом, здесь, как и в других книгах «Математики в де¬ вяти книгах», соблюдается принцип расположения задач в по¬ рядке усложнения. Правило двух ложных положений рассмотрено даже в том частном случае, который хорошо знаком нашим школьникам по задачам на покупку сукна, чая и т. д. двух сортов, когда предположения делаются либо в пользу первого сорта, либо в пользу второго. Это задача 16: «Имеется куб из яшмы со стороной в 1 цунь, весом в 7 ланов и куб из камня со стороной в 1 цунь, весом в 6 ланов. Имеется камень-куб со стороной в 3 цуня, внутри него находится яшма, общий вес 11 цзиней. Спрашивается: каков вес яшмы и каков вес камня?» [50, с. 496]. И правило: «Предположим, что весь [куб] из яшмы, [тогда] превышение составляет 13 ланов; предположим, что весь [куб] из камня, [тогда] недостаток — 14 ланов. Недостаток есть [объем] яшмы, превышение есть [объем] камня. Умножь на это вес каж¬ дого цуня, получишь веса объемов яшмы и камня» [50, с. 496]. Среди всех этих разнообразных задач для нас самой интересной (далее мы сравним ее с другой) является задача 14, в которой за¬ дана система 5я-|~г/ = 3, х + 5у = 2. «Объем 5 больших посудин и 1 малой посудины равен 3 ху. Объем 1 большой посудины и 5 малых посудин равен 2 ху. Спра¬ шивается, каков объем большой и малой посудин в отдельности?» [50, с. 495]. По способу, предложенному в книге, оба уравнения сводятся к одному: *+5 (3—5*) =2, и полагается либо *х=0,5, либо х2=0,55, тогда соответственно либо уг=0,5, либо у2 =0,25. Получаем избыток zt^= 1 и недоста¬ ток z2 =0,2. Здесь еще нет понятия положительного или отри¬ цательного числа. Знак величины содержится в самом термине. По китайскому правилу двух ложных положений надо составить таблицу в виде (х2 жЛ \z2 . zji 199
которая для рассматриваемой задачи 14 имеет вид /55 50\ \ 2 10) (принимая во внимание, что 1 ху=10 доу = 100 шэнам). Отсюда [55.10-1-50.2 650 - 13 7 * = 1о + 2 = 12 шэнов = ^ху, у = ^ху. Здесь использован тот вариант правила, который называется «избыток-недостаток» (см. с. 196). Правило двух ложных положе¬ ний в древней и средневековой математике имело огромное зна¬ чение, как универсальный прием, решающий широкий класс задач. 11. О происхождении матричного метода. Частные приемы Что касается происхождения матричного метода, то мы можем только строить догадки, почему в древнем Китае тривиальную идею исключения неизвестных, осуществляемую всеми древними народами при решении простых систем, превратили в регуляр¬ ный процесс. Нечто подобное впоследствии проделал Леонардо Пизанский (XIII в.) в отношении некоторого класса линейных систем. По-видимому, созданию регулярного правила способство¬ вала *в какой-то степени счетная доска: китайская матрица, как мы видели, непосредственно с ней связана. Можно предположить, что регулярность вычислительного процесса удалось подметить уже при решении небольших систем, наподобие ;гой, к которой сводятся задачи на «избыток-недо¬ статок»: aix — У = К У ’ а^Х = &2* Один .летод решения "таких задач был табличным, другой же сво¬ дился, по существу, к решению этой системы при помощи исклю¬ чения одной неизвестной и сведения ее к одному уравнению. Складывая оба уравнения почленно, получалиТсначала значение х, а затем у: Ь\ -f- &2 7 I 7 х = ~_а2-у y = a1x — b1 = a2x-\-b2. Эти формулы в книге VII «Математики в девяти нигах» описаны так: «Еще одно правило: Сложи избыток и недостаток, это делимое. Взяв нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, остаток является делителем. Объедини делимое и делитель, по¬ лучится [искомое количество] людей. Умножь^на это нормы, 20
которые вносятся, убавь на избыток или добавь недостаток, это и будет стоимость вещи» [50, с. 492]. Решение проводится в уме при помощи простых арифметиче¬ ских рассуждений. Их приводит Лю Хуэй в своем комментарии к этому варианту правила: «Смысл этого правила, которое называется избыток-недоста¬ ток, состоит в том, что берется разница для совокупности людей; из большей нормы, которая вносится, вычитается меньшая; оста¬ ток является разницей для одного человека. Раздели разницу для совокупности людей на разницу для одного человека, полу¬ чишь число людей» [100, т. I, с. 207]. В этом решении довольно трудно усмотреть «алгебру», оно весьма просто. Мы все же склонны считать, что в данном случае решалась система уравнений. Обратимся теперь к другому при¬ меру из трактата Сунь-цзы, решенному явно как система двух уравнений с двумя неизвестными: «Имеется столб неизвестных размеров. Его стали измерять при помощи каната, [получился] остаток каната в 4 чи 5 цуней. Если измерить канатом, сложенным вдвое, то не хватит 1 чи. Спраши¬ вается, какова длина столба? Ответ: 6 чи 5 цуней» [49, с. 36, за¬ дача 18]. Можно опять-таки в уме подсчитать искомую величину. К остатку каната в 4, 5 чи надо прибавить ровно столько, сколько не достает до земли от обоих концов каната, когда он подвешен за середину к вершине столба, именно 1+1=2. Значит, высота столба равна 4,5+2 чи. Однако правило к задаче говорит о другом ходе решения: «Установи остаток каната в 4 чи 5 цуней, прибавь недостаток в 1 чи, всего получится 5 чи 5 цуней. Удвой это, получишь 1 чжан 1 чи. Вычти остаток в 4 чи 5 цуней и получишь искомое» [49, с. 36]. Согласно правилу вводится, по существу, еще одна неизвестная у — длина каната, и тогда условие задачи может быть представлено системой У — х = 4,5, x-f = i, где х — высота столба. Решение получается, если сложить оба уравнения: 1-4,5+1^ . Отсюда у=2 (4,5+1), х=2 (4,5+1)—4,5 в точности по правилу. В менее простых задачах при замене нескольких уравнений одним приходилось прежде уравнять коэффициенты исключаемых неизвестных. Для этого применяли умножение и деление коэффи¬ циентов уравнений, сложение и вычитание частей уравнений и 201
тому подобные преобразования, оставляющие уравнения экви¬ валентными. Здесь нам стоит обратить внимание на две любопытные задачи из «Математического трактата Сунь-цзы», близкие друг к другу, в решениях которых можно обнаружить стремление автора к ре¬ гулярности в преобразовании коэффициентов. Одна из них — задача 27 последней книги трактата: «Имеются звери с 6 головами и 4 ногами и птицы с 4 головами и 2 ногами, всего вверху 76 голов, внизу 46 ног. Спрашивается, сколько птиц и зверей каждых в отдельности? Ответ: 8 зверей, 7 птиц» [49, с. 37]. По описанным в подлиннике вычислениям искомые величины находятся так: 46-2 — 76 q 46 — 4 . 8 „ * = j = 8, у = 2 = 7. Такое решение, очевидно, получается из системы, в которой за¬ писывается условие задачи: 6я+4^=76, 4#+2z/=46, умножением на 2 второго уравнения и вычитанием из него пер¬ вого. Другая задача 31 из этой же книги трактата Сунь-цзы: «В клетке имеются фазаны и зайцы. Вверху 35 голов, внизу 94 ноги. Спрашивается, сколько фазанов и зайцев каждых в отдель¬ ности? Ответ: 23 фазана, 12 зайцев» [49, с. 38]. Правило дает y = Y — 35 = 12, ж — 35 — у = 23, что соответствует решению заданной системы х+У= 35, 2#+4г/=94 в таком порядке: —х — у = —35 . 0 94 х-\-2у = т У = ~2 —’ % В этом случае предпочитают произвести деление коэффициентов второго уравнения на 2. Почему же это не сделали в первом слу¬ чае, от этого решение задачи только бы упростилось? Остается пред¬ положить, что вычислитель хотел сохранить порядок преобразо¬ ваний: первое уравнение всегда оставлять в первоначальном виде и оперировать со вторым. Первая задача по своему нарочито фантастическому условию ни коим образом не может считаться 202
практической. Эти задачи, очевидно, составлены специально для обучения решению систем двух уравнений с двумя неизвестными. Из опыта решения таких систем, вероятно, и появился матрич¬ ный метод фан-чэн. Стоит отметить также, что нерегулярные методы решения си¬ стем линейных уравнений не потеряли своего значения после разработки матричного метода. Это особенно хорошо видно по задачам трактата Сунь-цзы. Матричный метод представлен в нем только одной задачей, тогда как вообще решается не одна система линейных уравнений. Преимущество частных методов решения отдельных систем видно на следующем примере: «Три человека А, Б, В имеют цяни. А говорит Б[и В: „Если каждый из нас объединит половину тех цяней, которые имеет в наличии, то, добавив мои цяни, получим 90“. Б также сказал А и В: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех ця¬ ней, которые имеет, то, добавив мои цяни, получим 70“. В также сказал А ж Б: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех цяней, которые он имеет, то, добавив мои цяни, получим 56“. Спрашивается, сколько цяней было первоначально (у каждого) из трех человек? Ответ: А — 72, Б — 32, В — 4» [49, с. 32]. В современной символике условие можно представить системой !-+!-+*=-во, Т + Т + *= 70’ *+| + 2 = 56, где х, у, z — искомые суммы денег А, Б, В соответственно. Си¬ стема приводится к виду 2х-\- у-(- z = 90-2, х-\-2у-\- z = 70 • 2, х~\“ г/+ 2г = 56 • 2. Уравнения складываются почленно: i , 90 , 70 , 56 * + У + * = т + Т + Т- Значения неизвестных х, у, z определяются, если вычесть со¬ ответственно из 1-го, 2-го, 3-го уравнений приведенной системы полученное уравнение. Правило гласит: «Сначала установи в строках те [количества], о которых го¬ ворили три человека. Умножь их на 3, для каждого произведения будут [следующие количества]: для А получится 270, для Б получится 210, для В получится 168. Каждое [количество] раз¬ дели пополам: для А получится 135, для Б получится 105, для В получится 84. Снова установи для А — 90, для Б — 70, для В — 56, каждое раздели пополам. [Количество для] А и Б вычти из [количества для] В; [количество для] А ж В вычти [из коли¬ 203
чества для] Б\ [количество для] Б ж В вычти из [количества для] А\ получишь для каждого его первоначальное количество» [49, с. 32-33]. Поместим эти вычисления в таблицу (см. табл. 7). Таблица 7 А Б в 90 90 • 3 = 270 90 *3 2 “135 90 2 70 70*3 = 210 70 *3 2 —105 70 2 56 56-3 = 168 56-3 о/ 2 “8 56 2 В конце правила описано получение искомых величин, причем вычитаемые берутся из 4-й строки, а уменьшаемые из 3-й строки. Таким образом: 90 . 3 70 56 _ 79 о о У- 2 2 56 • 3 90 90 56 «о ~9~ ”9~ ^ ’ 70 : 4. Мы видим, что здесь частный прием решения системы уравнений первой степени предпочли матричному методу, хотя довольно симметричная матрица системы позволила бы легко применить его. 1 1 2> 1 2 1 2 1 1 \112 140 180/, 1 0 2\ 1 3 1 2 1 1 ч112 100 180/, 0 0 2\ / 0 0 2\ 1 3 11/0 3 1 3 1 18 1 1 ^44 100 180/, \32 100 180У Из последней таблицы: z=32/8=4, у=32, *=72. По-видимому, автору древнего учебника хотелось, чтобы уча¬ щийся был искусным в преобразовании уравнений, а не только владел одним методом, хотя и универсальным. 12. Линейные системы в книге Цинь Цзю-шао Весьма любопытно знать, как обстояло дело с решением ли¬ нейных систем в дальнейшем, после рассмотренных выше задач «Десятикнижья» с вполне разработанным матричным методом. Сравним задачи «Десятикнижья» с аналогичными задачами Цинь 204
Цзю-шао. Отметим сразу, что Цинь Цзю-шао не совершил перехода к определителям, он значительно отошел от древнего цравила в сто¬ рону большей связи чисел таблицы с коэффициентами уравнений. Цинь Цзю-шао практически отказался от вычисления корней по таблице и рекуррентным формулам и стал действовать с уравне¬ ниями. Кстати, свободные члены он записывает сверху, а не снизу. В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао имеются две задачи на линейные системы: 1-я и 2-я свитка 17 в девятой книге, озаглавленной «Класс задач о городском хозяйстве» (ши у лэй). Здесь собраны как алгебраические, так и арифметические задачи, требующие применения тройного правила, правила двух ложных положений и т. д. В первой задаче решается система трех уравнений с тремя не¬ известными, во второй*— система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Обе они заданы в канонической форме, т. е. сво¬ бодные члены стоят в одной части уравнения, а члены с неизве¬ стными— в другой, так что приведения заданной системы к кано¬ нической форме не требуется. Отрицательные числа применяются только во второй задаче. Правило у Цинь Цзю-шао сформулиро¬ вано в общем виде, для этого он применил специальную термино¬ логию, свидетельствующую о существовании понятия уравнения. Условие задачи 1 свитка 17 «Отыскание стоимости товара»: «Задача о расчетах торгового ведомства третьего ранга. Учредили [количество] товара в стандартных цянях: каждое [эквивалентно] 1470000 гуань вэней. Вначале ассигновали 350 ли орлиного де¬ рева, 2200 цзиней черепаховых изделий, 375 тао масличного де¬ рева. Затем ассигновали 2970 ли орлиного дерева, 2130 цзиней черепаховых изделий, 3560 тао масличного дерева. Наконец, ассиг¬ новали 3200 ли орлиного дерева, 1500 цзиней черепаховых изде¬ лий, 3750 тао масличного дерева. Как узнать, какова стоимость каждого ли, цзиня, тао соответственно орлиного дерева, черепахо¬ вых изделий, масличного дерева? Ответ: каждый ли орлиного дерева [стоит] 300 гуань вэней, каждый цзинь черепаховых изде¬ лий [стоит] 64 гуань вэня, каждый тао масличного дерева [стоит] 180 гуань вэней» [105, с. 155—160]. Здесь задана система: 350я + 2200у+ 375z — A, 2970ж + 21 ЗОу + 35602 = А, 3200ж + 1500у + 3750z = А, где ^4=1470000. Во второй задаче задана система: 200ж + 40 у = В, 264z/ + 800z = 5, 1670z + 15tf = £, 58 у ж+ 52и —В, где 5 = 106000. 205
Цинь Цзю-шао, записав свободные члены сверху, получает нули внизу справа, т. е. первое уравнение приводит к виду а,пх=Ь[ и т. д., так что получается треугольная система атх1 + а2пх2 4- . • • + К Последнее уравнение остается без изменений. Преобразование столбцов матрицы (соответствующих уравнениям) производит в том порядке, в каком ему удобно [142, с. 161—162]. Цинь Цзю-шао называет «совокупностью» свободный член (цзи), коэффициенты при неизвестных называет «количеством вещей» (у шу). Г лава вторая РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ Известно, что уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. для корней этих уравнений, вообще говоря, нельзя найти формулу, выраженную иррациональностями, по¬ добную той, с которой знакомятся школьники при решении квад¬ ратного уравнения. Этот факт был доказан окончательно лишь в XIX в. H. X. Абелем и Э. Галуа, создателем теории групп и по¬ лей. До тех же пор на протяжении всей истории науки старались разрешить эту проблему, особенно начиная с работ итальянских математиков Ш. дель Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кардано, JI. Фер¬ рари, которые решили уравнения 3-й и 4-й степеней в радикалах. Не имея возможности непосредственно выразить формулой корень уравнения произвольной степени общего вида, вычислители при¬ меняли численные методы, которые разрабатывались наряду с по¬ пытками получить формулу или дать доказательство невозможности ее существования. Одним из таких численных методов, позволяю¬ щих найти корень уравнения любой степени общего вида (но многочлена), является метод Руффини — Горнера, или просто — метод Горнера, который был предложен в XIX в. каждым из ав¬ торов независимо друг от друга и почти одновременно. Итальянец П. Руффини (1765—1822) поместил заметки о таком методе в ра¬ ботах 1804, 1813 гг. Кстати, Руффини принадлежит первое дока¬ зательство теоремы о неразрешимости уравнений выше четвертой степени в радикалах, но доказательство оказалось неполным. Англичанин У. Горнер (1768—1837) опубликовал метод в работе 1819 г., и по его имени известна в алгебре схема вычисления коэф¬ фициентов вспомогательных уравнений в данном методе (см. ниже). Эти европейские ученые, конечно, и не подозревали, что 206
задолго до них таким методом пользовались в древнем и средневе¬ ковом Китае. Любопытно, что даже для квадратных уравнений, при развитых алгебраических методах китайской математики, мы не находим обычной формулы корней, но обнаруживаем описание или указания относительно решения этих уравнений численным методом (см. далее § 14 даннойглавы). Источники относятся ко II в. до н. э. и позже. Уравнения 3-й степени, решенные по методу Горнера (мы будем так называть этот метод), содержатся в работе Ван Сяо-туна (VIII в.), а метод в общем виде изложен в сочинении Цинь Цзю-шао, а также у других алгебраистов этого времени (XIII-XIV вв.). Возможно, под влиянием китайцев этот метод применялся для извлечения кубических корней (т. е. решения уравнений х3=а) в XI в. Кушьяром ал-Джили и ан-Насави [38]. Этот же метод при¬ менялся для извлечения корней любой степени Насир-ад-Дином ат-Туси в XIII в. [38] и ал-Каши в XV в. [40]. В дальнейшем Шараф ад-Дин ат-Туси (XIII в.) обобщил этот метод на произволь¬ ные уравнения, именно к нему весьма близок метод Виета (1600), в котором, однако, нет удобной схемы. Содержание метода следующее: пусть задано уравнение п-й степени /(*)=0, где / (х) — многочлен: его вещественный корень х — некоторое А-значное число: х=ск_г 10л”1+. . .+с0, которое можно записать в десятичной системе в виде х=ск_х. . . с0 (математики стран ислама записывали корень, меньший 1, в виде шестидесятеричной дроби, а корень, больший 1 — в виде числа в шестидесятеричной системе). Сначала с помощью проб находился первый знак ск_х неизвестного, затем производилась подстановка х=10к~1ск_1+у и с помощью «схемы Горнера» f(x) = f(l0*-'ck_1+y) = 9(y) разлагалось по степеням у. Далее с помощью проб находился пер¬ вый знак уу равный ск_2, производилась подстановка y=10k~2ck_2-\-zy с помощью «схемы Горнера» ср (9) = <р*(10л”2сл_2+з) = ф (z) разла¬ галось по степеням z, с помощью проб находился первый знак z, равный ск_з, и т. д. Эта процедура повторяется до тех пор, пока корень данного уравнения не будет вычислен точно или приближенно с заданной точностью. 13. Извлечение квадратных и кубических корней в трактатах математического «Десятикнижья» Извлечение квадратных и кубических корней (кай фан, кай ли фан) в древних китайских трактатах производилось по схеме Горнера, а не на основании бинома Ньютона, как мы привыкли это делать теперь. Правило извлечения корней второй и третьей 207
степеней сформулировано в основном сочинении «Десятикнижья» «Математике в девяти книгах» (книга IV). В трактатах Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь это правило применяется с учетом приближен¬ ного значения, соответственно с недостатком у одного и с избытком у другого: a+i<^'2 + r<a4- Чжан Цю-цзянь также дает оценку для кубического корня ^+г==а+_т_. В «Математике в девяти книгах» корни вычислены точно, т. е. извлечены только из полных квадратов. Но в комментариях к трактату Лю Хуэя уже содержатся оценки Сунь-цзы и Чжана Цю-цзяня приближенного значения корня, а также указание на извлечение корня (при помощи метода Горнера) с точностью до любого десятичного знака. Чтобы показать извлечение корней, математик древнего Китая пользовался вполне однотипными, специально выбранными за¬ дачами, хотя, разумеется, извлечение корней могло применяться и в других случаях. Извлечение квадратного корня было равно¬ сильно отысканию стороны квадрата с заданной площадью: x=yJS или длины окружности по заданной площади круга C=\J12S (тс^З). Извлечение кубического корня демонстрировалось на задачах, в которых находилась сторона куба с заданным объемом: x — ^V или диаметр шара с известным объемом: D= j/"-у V Так, в книге IV «Математики» задачи 12—16 посвя¬ щены определению стороны квадрата, а задачи 17—18 «обвода» заданного круга при тс = 3. Приведем числовые данные (табл. 8, 9). В задачах 19—22 этой же книги «Математики» вычислена сто¬ рона куба по данному его объему (табл. 10), а в задачах 23—24 диаметр сферы данного объема (табл. 11). Здесь я=27/8, значение, которое во всем трактате больше не встречается. Заметим, что задачи относительно квадратного корня содержат именованные числа, все данные измерены в единицах длины бу (шагах), применявшихся в древности при измерении полей, тогда как в задачах о кубических корнях оперируют с величинами, изме¬ ренными в единицах длины чи (китайские футы). Таким образом, если задачи с квадратами еще можно было оформить по типу древних задач на измерение полей, то задачи с кубами составлены по аналогии совершенно абстрактно. В трактате Сунь-цзы приведены две задачи этого класса: в 19-й по площади квадрата S определяется его сторона х, в 20-й по площади круга S определяется длина окружности С данного диаметра при к=3 (табл. 12). Значения корней взяты с избытком по указанной выше формуле. 208
Таблица 8 Номер задачи Площадь квадрата S Сторона х = \/ S 12 55225 235 13 25281 159 14 71824 268 15 564752 1/4 7511/2 16 3972150625 63025 Таблица 9 Таблица 10 Номер задачи Объем куба V Ребро x = ¥v 19 1860867 123 20 1953 1/8 12 1/2 21 63401447/512 39 7/8 22 1937541 17/27 124 2/3 Таблица 11 Номер Площадь Окружность, задачи круга S С = Vl2 S 17 1518 3/4 133 18 300 60 Номер задачи Объем сферы V Диаметр 23 24 4500 1644866437500 20 14300 В трактате Чжан Цю-цзяня правило извлечения квадратного корня для точного значения корня показано в задаче 19 средней книги и приближенно с недостатком в следующих за ней задачах 20 и 21. В первой из них определяется сторона данного квадрата по его площади, а в других последующих задачах производятся преобразования квадрата в круг и наоборот, т. е. для квадрата с известной стороной требуется найти окружность круга, равно¬ великого данному квадрату, и, наоборот, для круга с известным «обводом» найти сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Все эти задачи снабжены подробным описанием вычислений и слу¬ жат определенным целям: во-первых, применить приближенную формулу для рационального значения корня; во-вторых, показать взаимосвязь квадрата и круга; в-третьих, подвести читателя к за¬ даче, в которой решается полное квадратное уравнение (см. ниже). Кубические корни вполне аналогично применяются в задачах 30 и 31 последней книги трактата. Рассмотрены «преобразования» куба в сферу и наоборот. Приведем данные задач Чжан Цю- цзяня (табл. 13). Здесь, так же как в «Математике в девяти книгах», в плоских задачах оперируют с бу (шагами) и «полями», а в объемных — Таблица 12 Номер задачи Площадь Искомая, величина 19 S = 234567 х = 484 311/968 20 S == 420000 С = 648 96/1296 14 Э. И. Березкина 209
Таблица 13 Номер вадачи Дано, Найти 19 20 21 30 31 Площадь поля 127449 Сторона поля 121 Обвод 396 Ребро куба 95 Диаметр сферы 132 Сторона 357(точное значение) Обвод 419 131/839 (с избытком) Сторона 114 72/229 (с недостатком) 11968 Диаметр сферы 116 40359(0 недостатком) Л 34020 Ребро куба 108 34993 (с недостатком) с чи (футами) и абстрактными фигурами. В последних также 7i;=27/8. Значения корней взяты с недостатком или с избытком по указанным выше формулам для квадратных и кубических корней. Терминологию во всех позднейших сочинениях заимствуют из «Математики в девяти книгах». Извлечение квадратного корня описывалось выражением кай фан («раскрыть сторону [квадрата ]»), извлечение кубического корня — кай ли фан («раскрыть сторону стоящего [квадрата]», т. е. куба), так озаглавлены правила к за¬ дачам. В задачах с кругом и сферой употреблены термины кай юань («извлечение [квадратного корня из площади] круга»), кай ли юань (соответственно «извлечение [кубического корня из объема] стоящего круга», т. е. сферы), это также заголовки правил к задачам «Математики в девяти книгах». В самих правилах обычно говорится: и кай фан юй чжи или эр кай фан юй чжи (т. е. «извлеки квадратный корень делением»). Правило, сформулированное в «Десятикнижье», и схема вычислений таковы. Пусть x=\JS. Подкоренное число S, или площадь квадрата, сторона х которого ищется, называется делимым {ши). «Установи площадь [квадрата] в качестве делимого», — реко¬ мендуется в правиле извлечения квадратного корня. Подкоренное число не случайно называется делимым: на счетной доске, где производятся вычисления корня, оно помещается во второй строке сверху, как делимое при делении, тогда как первая строка отводится для корня, как при делении первая строка от¬ водилась для частного. Поэтому и говорили: «Извлеки квадратный корень делением». Это число S остается неподвижным на доске в течение всего про¬ цесса извлечения корня, тогда как числа в других строках, распо¬ ложенных ниже, будут передвигаться по разделам согласно пра¬ вилу. Если искомое в десятичной системе ^=a1a2a3 (трехзначное число выбираем потому, что в подавляющей части примеров «Де¬ сятикнижья» оперируют трехзначными корнями), или (100ах -J- 10а2 -(- а3)2 = 5, 210
то S = [lOOa-J2 -f- [2 • 100ах • 10a2 -j- 100a2] [2 • lOOa^g -j- 2 - 10a2a3] -[- -f- a2 = (S — Аг) -f- [Bxd2 C^a2] -j- B2a3 -f- C2a2, где ^=5 — (lOOaj)2, B1 = 2000a1, <^=100, 52 = 200ax -f- 20a2, C2 = l. Таковы значения коэффициентов 2?г., С{ при а2, а3 и их квад¬ ратах. Согласно китайскому правилу сам процесс извлечения корня -состоит из операций двух родов: 1) подбора очередной цифры корня х\ 2) преобразования чисел доски к виду, пригодному для подбора следующей цифры корня. Прежде чем описать эти операции, в древнем правиле указы¬ вается: «Возьми одну счетную палочку и шагай через одну (колонку)». Имеется в виду, что в самой последней строке помещают единичную счетную палочку и сдвигают ее влево, через колонку, начиная с ко¬ лонки для последней цифры подкоренного числа. Это позволяет определить число цифр в корне. Движение единичной счетной палочки равносильно, таким образом, разбиению подкоренного числа на группы по две цифры, в последней может оказаться и одна цифра. Одновременно также получается число цзе-суанъ, равное 10я"1, если п нечетно, и 10w“2, если п четно, где п — число цифр в подкоренном числе. Схема такова (табл. 14). Схема соответствует уравнению 100 V* - s=о, где #=100 х', при этом х' = ага2а.г. Между строками делимого и цзе-суанъ размещаются промежу¬ точные результаты, полученные согласно правилу. Первая цифра аг корня х, как при делении, выбирается как наибольшее из чисел 1, 2, . . . , 9, для которого аг < х < аг +1, A±=S - (lOOa,)2 > 0. Здесь число (ЮОа^2 находится в такой последовательности: (1002a1)a1, т. е. число цзе-суанъ (см. схему) умножается на первую цифру корня дважды. В правиле этом говорится так: «Обсуди со-де. Первую [выбранную цифру корня] умножь на цзе-суань, это делитель». После первого умножения, или получения 1002а1э число назы¬ вается делителем и размещается во второй строке снизу. Схема такова (табл. 15). Далее следует подготовка чисел доски к выбору второй цифры корня. Для этого в правиле рекомендуется: «Раздели на [делитель]. После деления удвой делитель, это фиксированный делитель. Возврати его [на одно деление], [полу¬ 211 14*
Таблица 14 Таблица 15 X корень S делимое 10000 цзе-суань <*i корень S делимое 10000 аг со-дел делитель 10000 цзе-суань чишь] урезанный [фиксированный] делитель. Внизу возврати установленную счетную палочку на шаг» (табл. 16). Таблица 16 «i корень AX = S—(ЮО2^! Вг — 2000 хг С = 100 первый остаток укороченный фиксированный делитель второе цзе-суань Эта схема соответствует уравнению ср (у)=С1у2-}-В1у-\-А =0, где у= а2а3. При этом по схеме Горнера коэффициенты уравнения получаются именно так: 10000 0 —S 10000а, (1002а,)а, 10000 10000а, (100а,)2 = Л/ 10000а, 10000 20000а, = 10 Я, * Таким образом: Л,= (1002а,) а, — S = (100а,)2 — S, ■Q 20000 оппп В! = аА = 2000«!, с .—1^ = 100. 1 100 В результате доска приготовлена к выбору второй цифры кор- ня. В правиле так и говорится: «[Продолжай], как и ранее. Одну выбранную [цифру] умножь на это. Со-де прибавь к [урезанному] фиксированному делителю, И дели, со-де прибавь к фиксированному делителю, укороти воз¬ вратом, получишь [урезанный] фиксированный дополненный делитель». Для определения второй цифры корня а2 ищется такое наиболь¬ шее однозначное число, что Ai— (Bi + Cia2)a2>0 212
или [S — (100а,)2] — (2000а, + 100а2)а2 > 0, S — (100а, + 10а2)2>0. Далее числа доски преобразуются, готовятся к выбору третьей цифры. Схема такая (табл. 17). Таблица 17 аха2 л2 Вг С2 корень второй остаток второй укороченный фиксированный делитель третье цзе-суань вп— A2 = S — (100a, -)- Юа2)2, (В2 + Сл) + с}а± _ 2QQ 1 20a„, 2 С — — — 1 °2—100 — Ae Эта схема соответствует уравнению ф (z)=C'2z2+i?2z+^42=0, т. е. ф (z) = z2 + (2000а, + 200а2) z + (100а, + 10а2)2 — 5 = 0, где z=а3. Коэффициенты уравнения ф (z)=0 по схеме Горнера вычисляются так: 100 2000а, __7У + (Ю0а,)2 100а2 (2000а,+ 100а2)а2 100 2000а,+ 100а2 (100aL 10а2)2 — S = А2 100а2 100С2 2000а,+ 200а2=10Я2 ’ Как видим, эти коэффициенты подсчитаны так же и по китайскому правилу: А2 = (100a, -}- 10а2)2 — S, В2 = 2000ai + _ 200ai 20а2, С — 1 °2— 100 —;1' Далее аналогично выбирается третья цифра корня а3. В правиле только указано: «Делай, как раньше». Это значит, а3 должно удов¬ летворять условиям А2 - (В2 + С2а3)а3 >0, 5 - (100а, + 10а2 + а3)2]>;0. 213
14. Квадратные уравнения в «Десятикнижье» Как мы видели, правило извлечения квадратных и кубических корней показано на специальных задачах «Десятикнижья». Однако в этих же трактатах «Десятикнижья» встречаются другие задачи, при решении которых необходимо извлекать корни. В «Математике в девяти книгах» это геометрические задачи книги IX, решенные алгебраическими методами с использованием теоремы Пифагора. Первые три задачи этой IX книги и правило к ним — просто фор¬ мулировка теоремы Пифагора: c=\Ja2 -(- 62, а — \]с2 — Ь2, Ъ = \]с2 — а2. Теорема применяется в задаче, где находится катет но гипотенузе и другому катету. Далее в задачах 11,12,19, 20’ книги IX извлекаются квадратные корни. Интересно, что с точки зрения древнего автора эти задачи принципиально принадлежат к двум различным типам задач, хотя мы бы все их отнесли просто к задачам на квадратные уравнения. Задачи 11, 12 «вавилонского типа». В них фактически рас¬ смотрен прямоугольный треугольник с искомыми катетами х и у и заданной гипотенузой с. В задаче И решается система именно так, как, по мнению многих, решались подобные системы в древневавилонской математике. Не приводя системы к квадрат¬ ному уравнению, а используя свойства полусуммы и полуразности двух величин (что широко применялось в древней математике вооб¬ ще), вводим неизвестную t: где х, у, z так же, как и в задаче 11, стороны прямоугольного тре¬ угольника Подставляя значения х, у из системы и добавляя к обеим частям равенства 2аЪ, получим: ' * i к y = t+T; отсюда В задаче 12 решена система х=с — а, у=с — Ь, Z = Cy j [z _ (a+b)]2=2ab. 214
Как сообщает китайское правило, х= \J2ab -f- b y = \J2ab-\-a z = \J2ab-\-(a-\-b) [50, с. 509]. Таким образом, общей формулы решения квадратного уравне¬ ния в древнекитайских трактатах нет. Задачи 19 и 20 принадлежат к другому типу задач, именно тех, которые в обобщенном виде встречаются и у Цинь Цзю-шао, предложившего общий метод решения уравнений высших степе¬ ней. Эта группа задач 17—21 «О городе» (все они начинаются сло¬ вами «имеется город», а точнее, ограда) в форме квадрата (задачи 17, 19—21) или в форме прямоугольника (задача 18), в которых рассматриваются конфигурации а или б (рис. 11). Конфигурация б рассматривается в задаче 20, более других нас интересующей. При задании а и b (задачи 17, 18; в задаче 18 вместо квадрата взят прямоугольник, что не меняет метода решения) решение обходится без радикалов. В обратной им задаче 19 приходится решать урав¬ нение где не известна а, или, как сказано в правиле: «Извлекать квадрат- ный корень делением»». Решение тривиально: а=^90000=300. Чтобы получить полное квадратное уравнение, составителям при¬ шлось использовать конфигурацию б. В задаче 20 заданы с, dy b; требуется найти а — х. «Имеется город в виде квадрата со стороной неизвестного раз¬ мера, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. На расстоя¬ нии 20 бу от северных ворот имеется столб. Если пройти от южных ворот 14 бу и повернуть на запад, пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается, какова сторона города? Ответ: 250 бу». £ а2 _ 4Ьс=0 215
Если рассмотреть подобные треугольники ABC и ADE, то урав¬ нение будет следующим: я2 Ф + с)х — = 0. В правиле рекомендуется решать именно это уравнение. «Количество бу, [пройденное] от северных ворот, умножь на удвоенное количество бу, [пройденное] на запад, это делимое. Сложи с количеством бу, пройденным от южных ворот, это допол¬ ненный делитель. Извлеки квадратный корень, это и будет сторона города» [Там же]. Действительно, «делимое» — это свободный член уравнения; «дополненный делитель» — коэффициент Ъ-\-с при первой степени неизвестной; и разумеется, что при второй степени стоит 1 — об этом в правиле не написано. Схема на счетной доске имела бы вид (табл. 18). Таблица 18 2 корень 2 bd b + c 71000 34 1 делимое дополненный делитель юй Схема аналогична схеме извлечения корня, которая нредшест- вует выбору второй цифры, когда уже появились числа в третьей сверху строке. Таким образом, процесс определения корня квад¬ ратного уравнения совпадает с процессом извлечения квадратного корня начиная с середины. В книге Сунь-цзы задач на полные квадратные уравнения нет. Однако в трактате Чжан Цю-цзяня они снова появляются, их две. Рис. 12 а В задаче 22 средней книги отыскивается высота h кругового сег¬ мента по известной площади S и основанию а (рис. 12): №+ah - 25=0 исходя из формулы г о — а 4- h - - , L^cerM 2 В правиле к задаче описано уравнение, но текст среднего свитка именно здесь обрывается, так что и следующий свиток начинается 216
неполным условием задачи. Однако сохранившаяся часть правила свидетельствует о том, что при решении данной задачи составляется и решается квадратное уравнение. Величина 2S называется «дели¬ мым», а величина а «делителем» (здесь x=h). Схема предполагается следующая (табл. 19). Таблица 19 X 12Т корень 2S 17 1029 45 делимое а 68 4 делитель 1 коэффициент при х2 Цянь Бао-цун предполагает, что данное уравнение древние решали, предварительно избавившись от дробных значений коэф¬ фициентов путем перевода меры бу в другую меру цунь: l^6y = — 60 цуням. В таком случае получается уравнение *2+4116*=3705760, и #=760 цуням, или, при обратном переходе к бу, #=12 2/3 бу — число, которое названо в ответе к задаче. Однако решение могло быть проведено и по-другому. Либо дробные коэффициенты просто ставились в таблицу и вычисле¬ ния велись с такими числами, т. е. решали непосредственно урав¬ нение *4-684*= 1029 g, либо сначала автор трактата предлагал избавиться от дробных коэффициентов: 45 я2+3087#=46312, •но тогда следовало уметь решать уравнение квадратное с коэф¬ фициентом, отличным от 1, при квадрате неизвестного. К сожале¬ нию, текст утерян и мы можем только предполагать, как прово¬ дилось решение заданного уравнения. Корень найден точный. В задаче 9 последней книги трактата Чжан Цю-цзяня вычисля¬ ется окружность С нижнего основания усеченного конуса (при тс=3): С2 + сС + (с2-^) = 0, где значения букв указаны на рис. 13 (х=С). Схема следующая (табл. 20). 217
с Таблица 20 X ■ 18 i корень 3V h 594 делимое Рис. 13 с 15 1 делитель коэффициент при х2 Или в числах: #2+15#=594, где #=18. В нашем переводе схемы вычислений не приводились, приведем здесь их реконструкцию. Подстановке #=10у соответствует схема (табл. 21) или уравнение 100z/a+150z/=594. Первую цифру корня полагаем равной единице и делаем под¬ становку у=1+р. Тогда уравнение принимает вид 100 (1+р)2+150 (1+р)=594; затем делаем подстановку р=10&, и уравнение принимает вид &2+35&=344, что соответствует схеме (табл. 22). Таблица 21 Таблица 22 корень 1 корень 594 делимое 344 остаток от делимого 150 делитель 35 делитель 100 коэффициент при у2 1 коэффициент при к2 Эти числа в таблице получены так, как если бы они были вычис¬ лены по схеме Горнера: о « 100 , В последней строке: = Таблица 23 18 18 18 корень 344 344 0 делимое (43 • 8 = 344) 35+8 43 43 делитель 1 1 1 коэффициент при х2 218
В строке «делитель»: (100 . 1) . 2 + 150 : 10 35. В строке «делимое»: 594 — [(100 -1)+150 ] • 1=344. Далее подбором устанавливается вторая цифра корня, равная 8, и подсчитывается, верно ли сделан выбор. Приведем общую таб¬ лицу (табл. 23). Процесс окончен, корень точный. 15. Задачи,, приводящие к квадратным уравнениям, в сочинении Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике» В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао квадратные уравнения встречаются в нескольких местах. Прежде всего в свит¬ ках У—VI, VII—VIII, а также в свитках XV—XVI сначала в связи с методом Горнера, а затем в связи с арифметическими прогрес¬ сиями. Напомним, что Чжан Цю-цзянь избегал таких задач. Весь свиток, кроме первой задачи, где метод Горнера подробно описан при решении биквадратного уравнения, посвящен квад¬ ратным уравнениям, как неполным, так и полным, в том числе с коэффициентом при квадрате неизвестного, отличном от 1. В задачах 2—4 решены уравнения типа х2 — Р=0; в задачах 5—6 полные квадратные уравнения, причем корни уравнений находятся приближенно. Рассмотрим эти задачи подробно. Задачи остальных свитков можно затем классифицировать согласно этим задачам свитка V. Задачи 2—4 тесно связаны между собой, их решение основано на формуле для площади треугольника, определяемой по трем его сторонам (аналог формулы Архимеда — Герона). Этот алгоритм описан в задаче 2, где рассмотрен непосредственно треугольник с известными сторонами а, Ъ, с, причем а > b > с; его площадь В задачах 3—4 этот алгоритм применен для нахождения площадей четырехугольников, разбитых на пары треугольников, один из которых содержит три известных стороны: с, d и z, при этом z^> d^> с (рис. 14). Изложим алгоритм решения уравнения (где x=S, р — подкоренное выражение), приведенный Цинь Цзю- шао в правилах к указанным задачам 2—4 свитка V. Заметим, что схем вычислений в тексте нет, приведено лишь их словесное опи¬ сание. Отметим также, что алгоритм для этих задач является реше¬ нием уравнения по методу Горнера, а не извлечением квадратного корня по формуле бинома. В этом отношении алгоритм Цинь Цзю-шао более последователен, чем алгоритм, предложенный х2 - р=0 219
в «Математике в девяти книгах» для извлечения квадратных кор¬ ней. В задаче 2 составляется уравнение я2 - 7056-0. Схема 1 такая (табл. 24). Таблица 24 частное 7056 делимое 1 юй В ^правиле написано: «Возьми юй и перешагни через разряд, будет одна сотня». цТаким образом, определяется число знаков корня, корень бу¬ дет двузначным числом. Движением единицы образуется число 100 в строке «юй». В методе Горнера это и^есть подстановка х=10хг. Ю0ж| —7056 = 0, 1 где #х = — х имеет целую однозначную часть. Подбираем первую цифру корня: 8 десятков (табл. 25). «Установи над делимым в частном 8 десятков», — говорится в правиле, 100 0 - -7056 8 4-800 +6400 100 800 --656 +" 800 100 1600 Получаем уравнение 100i/2 +1600?/— 656 = 0. Далее осуществляется подстановка: у=у±/10, тогда получается уравнение у\+ту1 - 656—0, у которого уг=х — 8 или х =ух+8, Далее подбором находим оставшуюся часть корня. Пусть уг = 4. Проверяем (табл. 26), Определяем: 1 .4 + 160 = 164, 164-4 = 656. Корень извлекается точно: #=84. 220
Таблица 25 Таблица 26 8 частное 7056 делимое 1 юй 84 частное 656 делимое 164 цзун фан 1 юй В тексте написано: «Далее над делимым продолжай [устанав¬ ливать] в частном 4 ли. Умножь на [число] юй, сложи с [числом] цзун фан, получится 164. Итак, объяви частное, раз¬ дели делимое, как раз будет без остатка. То, что по¬ лучилось, 84 ли, будет площадью поля». В следующих задачах 3 и 4 подобных вычисле¬ ний корня нет, просто в правилах указано: «Извлеки квадратный корень». В задаче 3 (см. рис. 15) корень извлекается дважды, но числа простые: х = \/262 — 242 = 10, где х — катет прямоугольного треугольника со сто¬ ронами а=26, h=24, а также 5=17, с=15, d=20. Тогда, применяя формулу для площади, получим 52 - 22500=0, 5=150. Г В задаче 4 уравнение сложнее: , / ~ 52 — 2039184000000=0, 5=1428000. Здесь в тексте ошибочно написано, что 5=142800. Это урав¬ нение, несомненно, нуждается в подробных схемах решений, однако Цинь Цзю-шао их не помещает. В задачах 5 и 6 изложено приближенное определение корней. «Некоторое поле в виде бананового листа [имеет] длину посе¬ редине 576 бу, ширину посередине 34 бу. Обвод его неизвестен. Найти, сколько му содержится в площади [поля] Ответ: Пло¬ щадь поля 45 му 1 цзяо 11 бу 5213/63070 бу» [105]. В задаче описана фигура, состоящая из двух круговых сег¬ ментов с общим основанием (рис. 15). Китайское правило опреде¬ ляет площадь данной фигуры 5=#/2, где х — корень уравнения #2+а;г+(3=0, и а = (у/ — (j) = 82655, , р = (I -f dfii0 = 2269810000. Цинь Цзю-шао получает х ^ 21742, приближенное значение корня уравнения! ж2 -f 82655# — 2269810000 = 0. В следующей задаче 6 свитка V рассматриваются два полных квадратных уравнения с коэффициентом, отличным от 1 при квад¬ рате неизвестного: а.х*-\-$.х — у=0. У Рис. 15 221
В этой задаче решены два уравнения и притом приближенно: 9#2+5100# - 322500=0, где x=h1^57; 528381s2 -f 360096600# — 18933652500 = 0, где x=h2^49, остаток 20276319. Далее рассмотрим решение уравнений типа ах2 — (3=0 в работе Цинь Цзю-шао. Корень находится не по формуле: #=\/(3/аг a с помощью подстановки ах=у приходят к уравнению у2 - ар=0, где у = \/ар и х = у/а = \/а(3/а. В задаче 2 свитка VI решается шесть неполных квадратных уравнений типа #2 _ А=0 с приближенными корнями и одно уравнение четвертой степени [25]. В задаче 3, последней в данном свитке, также найдено приближен¬ ное решение уравнения [25]. Таким образом, задачи свитков V и VI на «Измерение полей», или, как они озаглавлены, «Класс задач на границы полей», в книге Цинь Цзю-шао сводятся к решению либо квадратных, либо би¬ квадратных уравнений. Далее остановимся на задачах свитков VII и VIII на измерение расстояний до недоступных объектов или их размеров. Эти задачи практической геометрии (не все, но некоторые) приводят к решению уравнений квадратных и более высоких степеней, например, де¬ сятой. Здесь мы приведем только те, в которых решаются квад¬ ратные уравнения: это задача 2 свитка VII и задача 5 свитка VIII. В задаче 2 свитка VII снова рассматривается уравнение типа а#2 — [3 = 0. Условие задачи — «измерить реку с городской башни»: «Задача о наблюдении за рекой с башни на городской стене. Вер¬ тикальная высота 3 чжана. [По отношению] к ее площадке на верхнем этаже ее основание выступает по ширине на 2 учи. Для обороны внизу в песок забита свая, отстоящая от фундамента на 1 чжан 2 чи. Внешняя [часть] сваи выступает над землей на 5 чи, по отношению к основанию ниже его уровня. Во время разлива реки вода доходит до самого основания. В настоящее время вода от¬ ступила, но насколько, неизвестно. Человек находится наверху у перил площадки, выставил наружу бамбуковый кнут так, чтобы по наклонной была видна граница воды, —получается 4 чи 1 цунь 5 фэней, когда конец палки как раз совпадает [с ней]. Глаз чело¬ века на высоте 5 чи. Как узнать, на какую глубину убыла вода по вертикали и какова длина наклонной по высохшему берегу от самого основания башни до границы воды? Ответ: Вода отступила 222
/f м Рис. 16 по вертикали на глубину 1 чжан 5 135/157 чи; длина наклонной от са¬ мого основания башни до границы воды 4 чжана 1 чи» [105, с. 166]. В задаче приведен рисунок, но на нем, к сожалению, отмечены не все данные. По нашей реконструкции данной задачи рассмотрена следую¬ щая конфигурация (рис. 16). Пусть О А — человек высотой h2, он видит берег реки по лучу зрения OR; АС — стена, на которой высится башня, ее высота АСя&Н; АВ—а — измеренная часть бамбукового кнута, ED=h± — наземная часть оборонительной сваи, отстоящей от основания башни на расстояние CD=b; СЬ=Ь также известна. Требуется найти расстоя¬ ние до высоты по откосу CR=y и вертикальную глубину рва, до по¬ верхности воды LM=СК=х. Я К задаче дано правило, вычисле¬ ния, т. е. как их описание, так и схемы самих вычислений с поясне¬ ниями. В наших обозначениях алгоритм для у следующей: находится число «дуанъ» (отрезок?) аН=4,15.30 = 124,5. Затем три числа «фанъ»: кэ фанъ Ь(аН) = 12-124,5 =1494, цянъ фанъ h^aH) =5* 124,5=622,5, юй фанъ h2b=5»12 =50. Ищем наибольший общйй делитель этих трех «фаней»: (baH, h2b) = y =1,5. После сокращения на общий делитель числа стали называться «определенными коэффициентами» (цзин юй).(вместо чисел «фанъ»); в том случае, когда наибольший общий делитель равен 1, числа именуются просто «коэффициентами» (люй). Таким образом, в этой задаче «определенный коэффициент кэ» (цзин люй кэ) ЪаН!^=996, «определенный коэффициент цянь» (цзин люй се) h1aH!^ = 415, и «определенный коэффициент юй» (цзин люй юй) ^2^/Т =40. Далее составляются такие числа: квадрат для кэ (ЪаН!^)2=992016, квадрат для цянъ (h1aHI^)2 = 172225, их сумма составляет квадрат для откоса /ЪаН\2 \~T~J ’ \ 7 223
и еще величина В = [(^jr)* + (^-)2] =1154945699856, нужная для образования «делимого», т. е. свободного члена урав¬ нения относительно г/. «Делимое» (ши) А =#22?=1038451129870400. Число щи» составляется для подсчета коэффициента при х2: ЬаН_ М£_413340> 7 i, 7 В таком случае «юй», т. е. коэффициент при #2, равен разности Д2 = я • — = 611305059600. 7 7 7 7 Снова находится общий наибольший делитель чисел А, Д2: (41Д2)=у1 = 24800400. После всех этих вычислений получаются следующие величины: «определенное делимое» (цзин ши) А1^г=Ах=41912676 и «опре¬ деленное юй» (цзин юй) A2/y!=24649 = Д|, или, в наших терминах, уравнение ду ~ Аг=0, 24649 у2 — 41912676=0. Оно решается с помощью подстановки H1y=z, тогда z2 — A1 = 0, z = \]Av y = zlb1 = \jAj&1; что к сается определения х (глубин), то для него описан следую¬ щий алгоритм. Вычисляются: «фань» для глубины а = Д2у- = 1047816900, затем «юй фань» р = (Ь2-[- hx)2 y“=- 4065681. Пишется общий наибольший делитель у2=(а, р) =169. После сокращения на него получаются числа-коэффициенты уравнения относительно х: «определенное делимое» для глубины и «опреде¬ ленное юй» для глубины. Уравнение вида i-#2 — = 0.; ъ ъ Оно также решается при помощи подстановки:
В задаче 5 свитка VIII уравнение такое: 1!2х2-\-2ах —• 2а2=0 или У2х2+152х - 11552=0. Интересно, что в нем не делают приведения к уравнению с целыми коэффициентами. Эта задача, как и указанная выше задача 2 свитка VII, решена при помощи метода шао-гуан, а также метода то ма. В способе сказано: и шао гуапъ цюй чжи, то ма шу жу Таблица 27 чжи. . ■ - - ■ В тексте, описывающем вы- 30 частное числения, сказано, как решать 115520 делимое это уравнение. Приведем ци- полный^фан о цзун юй тату полностью: «Извлеки квадратный корень (кай пин фан). Но в способе указано, что кай то ма пин фан. Установи делимое 11552 на¬ верху, полный фан 152 в средине, цзун юй 5 фэней внизу». Этому описанию соответствует схема (наша реконструкция по описанию; см. табл. 27). Заметим, что коэффициент при х2 выражен десятичной дробью 0,5. «Перешагивай через разряды, сократи полученные сотни, и тогда сверху от делимого в частном установи 3 сотни цуней. [Числом] фан дважды продвинься по разрядам вперед, будет 15200. [Числом] юй продвинься впе¬ ред по разрядам на две [пози¬ ции], будет 5000». Эта часть правила говорит о том, что первой подобранной цифрой корня будет 3. Но прежде подкоренное число раз¬ били на группы, по две цифры в каждой, чтобы определить значность корня. Далее в строках ниже делимого первоначальные числа продвинули по возрастающим разрядам, что соответствует подстановке в методе Горнера. Уравнение примет вид 50у2+20ау - 11552=0. Далее производится образование чисел-коэффициентов уравнения, получающегося при подстановке: «Взяв частное, восстанавливай с юй, получишь 15000, это поло¬ жительный фан. Приведи с полным фан, в этом полном фане оста¬ нется 200. Далее вместе с частным восстанови, получишь 600, введи в [строку] „делимое41, получится 12152». Схема такая (табл. 28). Далее «Снова частное восстанови с ющ получается опять положительный фдн 15000. Приведи с отрица¬ тельным фан 200, остахок 14800, эту цзун фан». Таблица 28 300 частное +11552 + 600 делимое —15200 полный фан +15000 положительный фан 5000 юй Таблица 27 30 частное 115520 делимое 1520 полный фан 5 цзун юй 15 Э. И. Березкина 225
Таблица 29 360 частное 12152 —200 15000 5000 делимое отрицательный фан положительный фан юй Таблица 30 360 частное 12152 делимое 1480 фан 50 юй Числа будут в схеме следующими (табл. 29). Снова произво¬ дится подстановка y=10z, что соответствует движению чисел по разрядам (табл. 30). «Отступило разрядам 1 раз, будет 1480. Взяв юй, отступи дваж¬ ды, будет 50. Тогда выше частного следует далее установить част¬ ное 60 цуней». Таким образом, выбрали вторую цифру корня: 6 десятков. И ана¬ логично производятся преобразования: «Восстанови вместе с юй, добавь к положительному фан, полу¬ чится 1780. Теперь объяви розыски дальнейшего частного. Раздели делимое окончательно. Остаток от делимого 1472. Далее, взяв частное, восстанови вместе с юй, дополни положительный фан, будет 208. Отступи [числом] юй дважды, будет 5 фэней. Теперь продолжай [находить] частное следующим образом». Прежде изобразим схемы (табл. 31, 32). Таблица 31 Таблица 32 360 частное 1472 1780 300 500 делимое фан юй «Снова в частном установи 6 цуней, восстанови вместе с юй, добавь к положительному фан, будет 211. Тогда объяви частное. Раздели делимое окончательно. В делимом неполностью исчер¬ пается 208 цуней. [Корень в целых числах] не извлекается, будет дробь». Квадратные уравнения еще раз встречаются в книге VIII со¬ чинения Циня (свитки 15—16), и методы решения задач, в них размещенных, также называются «шао-гуан,». Это задачи 1 — 3 свитка XV и задача 1 свитка XVI (правда, последняя, несмотря на название метода, все же обходится без квадратного уравнения). Все указанные задачи касаются арифметических прогрессий, и квадратные уравнения получаются, например, при подсчете числа п членов прогрессии, если задана их сумма S и первый аг член прогрессии, а также ее разность d. Действительно, dn2+(2аг — d) n — 2S=0, 226
поскольку известно, что s_ 2at + (п - 1) £ п В задаче 3 корень п уравнения 6 л2+234дг=2600 находится приближенно: п « 9. В задаче 1 свитка XV решено уравнение s2+2z=399, где 2 = 19. В задаче 2 получается неполное квадратное уравнение я2—62500=0, где #=250. Хотя значение корня очевидно, в вычислениях к дан¬ ной задаче вновь подробно повторена схема нахождения корня уравнения численным методом (методом Горнера). 16. Ван Сяо-тун. Кубические уравнения Выше был описан «Математический трактат о продолжении древних [методов]» Ван Сяо-туна, здесь рассмотрим его методы подробно. В трактате представлены 18 задач на кубические урав¬ нения и две задачи на биквадратные. В задачах 2—14 определя¬ ются размеры некоторых сооружений (башни, дамбы, плотины, погребов разной формы), а также скирды сена, сухого русла реки с насыпью. В условии заданы некоторые линейные соотношения. Формулы для вычисления объемов этих призматоидов, или обе¬ лисков, такие же, какими пользовались еще в «Математике в де¬ вяти книгах». Все указанные задачи приводят к полным уравне*- ниям третьей степени вида Aa?+Bx2+Cz=D (А =1). В остальных задачах 15—20 находятся стороны прямоугольного треугольника по заданным нелинейным соотношениям; они при¬ водятся к уравнениям вида z3-f Bx2 = D, xs + Bx2 + Cx = D, х* -j- Вх2 = D. Рассмотрим задачу 2, при ее решении хорошо виден метод, которым пользовался древний математик. Задача громоздкая, в ее тексте встречаются неточности, она, по существу, состоит из четырех задач, каждая из которых приводит к кубическому урав¬ нению [22, 111]. Вот ее условие: «Пусть [чиновник] тайши строит высокую наблюдательную башню, верхние ширина и длина [которой] меньше, а нижние ширина и длина больше. Разность между нижней и верхней ши- 227 15*
Рис. 17 риной [равна ] 2 чжанам, разность между нижней и верхней дли¬ ной [равна] 4 чжанам, разность между верхней длиной и шири¬ ной [равна] 3 чжанам, высота больше верхней ширины на И чжа- нов. Из уезда А послано 1418 человек, из уезда Б послано 3222 че¬ ловека. Летняя норма труда 75 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повинность и [строительство] башни закончили. [Сделали ] дополнительную пристройку, начинающуюся от южной стороны башни. Верхняя ширина [пристройки] больше нижней ширины на 1 чжан 2 чи, [но] меньше длины на 104 чи. Высота больше длины на 4 чжана. Уезд А [состоит] из 13 деревень, уезд Б — из 43 деревень. Каждая деревня дополнительно выпол¬ няет повинность — должна сде¬ лать 2700 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повин¬ ность и дополнительную при¬ стройку закончили. Мобилизован¬ ные из обоих уездов прибыли и сообща построили наблюдательную башню. Люди из деревень обоих уездов сообща строили дополни¬ тельное сооружение. В обоих слу¬ чаях сначала дали работу для уезда А,. а затем для уезда Б. Башня возводилась в высоту от нижнего основания, а при¬ стройка — от начала в длину. Спрашивается, каковы ширина, Высота, длина ьбашни и пристройки, а также высота, ширина, Длина [тех частей сооружений, которые] задали строить уездам? Ответ: Высота башни 18 чжанов, верхняя ширина 7 чжанов, ниж¬ няя ширина 9 чжанов, верхняя длина 10 чжанов, нижняя длина 14 чжанов. Для уезда А задается [часть] высотой 4 чжана 5 чи, верхняя ширина 8 чжанов 5 чи, нижняя ширина 9 чжанов, верх¬ няя длина 13 чжанов, нижняя длина 14 чжанов» и т. д. Введем обозначения, указанные на чертеже (рис. 17). По усло¬ вию задачи заданы соотношения между сторонами обелиска —#2 = СС» ^1—^2 = Р» ^2 ^2~Т» Н = 8, где ах и а2 — нижняя и верхняя ширина, Ъг и Ъ2 — нижняя и верхняя длина, Н — высота сооружения. Пусть «верхняя ширина» а2=х, тогда равенства, указанные выше, примут вид а1=х+ос, Ь2=х+Ч, ^=*+(0+1)» #=я+8. В задаче а=20, р =40, Т=30, 8=110, все величины выражены в распространенной единице длины чи. Напомним, что 1 чжан = s=10 чи. Объем вычисляется по правилу F=V6 {(2^+^) Ь1+(2а2+а1) Ь2}Н, Это да’ёт кубическое уравнение Aa?+Bx2+Cx=D, 228
где A— i, £ = -Ц^- +т + 8 = 170, С = (^±+т)8 + ^ + ^-=716б|, D = V — (Vt + F2) = V - [^- S + у TS] = 16776661. Названия для коэффициентов, принятые в трактате Ван Сяо-туна: А — цзун фа, во всех его задачах равен 1, В — лянъ фа, С — фан фа, Z) — иш. В буквальном смысле слова эти названия обо¬ значают соответственно: «прямой делитель», который получается сразу; «связанный делитель», полученный суммированием; «пря¬ моугольный делитель», полученный как сумма произведений; «делимое» в качестве свободного члена уравнения. В задачах Ван Сяо-туна «делимое» всегда является выражением некоторого объема. При «составлении» коэффициентов уравнения Ван Сяо-тун вводит специальные названия для промежуточных результатов, как будет поступать в свое время европейский математик XIII в. И. Немо- рарий. Названия похожи на обозначения объемов — составных частей неправильной четырехгранной пирамиды. Но на самом деле эти выражения не могут интерпретироваться геометрически. Китайский алгоритм начинается «с конца». Сначала вычисляют объем башни 7=75.4640.5=1 740 ООО чи3. Но свободный член уравнения — этот объем, «усеченный» на сумму двух «объемов»: юй янь и юй шоу: т/ * ^00 \\с\ 88000 у х— 3 3 3 ’ V2 = (у. т). 8 = 300- 110 = 33000, где 8 — «усеченная высота», т. е. высота башни Н, «усеченная» на величину верхней ширины а2; а (3/3 — произведение юй янъ, Y • у — произведение юй тоу. Таким образом, мы видим, что F, и V2 лишь по внешней форме есть выражения для объемов, а на самом деле это просто названия алгебраических выражений, кото¬ рые древним заменяли современную символику. На рис. 17 мы не можем указать эти «объемы». Заметим, что в подлиннике Ч = Ь2—а2 названа «отрезанной верхней длиной», т. е. верхняя длина «уко¬ рочена» на величину а2. Расшифровав все эти термины, нетрудно прочитать весь алгоритм: «Способ: взяв число чи для нормы труда, умножь на [коли¬ чество] людей двух уездов, умножь также на отведенные [для ра¬ боты] дни, это будет объемом башни. В другой раз разность между нижней и верхней длиной умножь на разность между нижней и верхней шириной, раздели на 3 и возьми 1 [раз ], это будет произ¬ 229
ведением юй янь. Умножь еще на усеченную высоту, это будет усеченный объем юй янь. Снова половину разности между нижней и верхней шириной умножь на отрезанную верхнюю длину, это будет произведением юй тоу. Умножь на усеченную высоту, это будет усеченным объемом юй тоу. Сложи два объема, вычти из объема башни, остаток и будет делимым. Взяв разность нижней и верхней ширины, сложи с разностью нижней и верхней длины, раздели пополам, это и будет положительным числом. Добавь усеченную верхнюю длину, умножь на усеченную высоту. То, что получится, присоедини к произведению юй янь, прибавь к про¬ изведению юй тоу, это и будет квадратным делителем. Снова сложи усеченную высоту башни с усеченной верхней длиной, а также с положительным числом, это будет делителем лянь. Делитель цзун [равен 1 ]. Извлеки кубический корень делением и получишь верхнюю ширину. Каждый [раз], добавляя к разностям, получишь для башни нижнюю ширину, а также верхнюю, нижнюю длину, высоту». Здесь употреблен еще один термин — «прямое число» (поло¬ жительное число) (чжэн шу) для среднего арифметического (а+р)/2= =30. Заметим, что Ли Янь [92, с. 40] указал на чжэн шу как на сумму В-\-С делителей фан и лянь, что неверно. Фраза «Извлеки кубический корень делением и получишь верх¬ нюю ширину» обозначает решение составленного уравнения чис¬ ленным методом на счетной доске, которое мы можем выразить в виде схемы: т. е. х=а2=70. Два других корня уравнения комплексные, зна¬ чит, они для древних не существовали. В следующей задаче 3 рассмотрена дамба в виде четырехгран¬ ной призмы. Снова задача сложная и состоит из двух частей, каж¬ дая из которых приводит к полному кубическому уравнению. Уравнение в задаче 4 вполне обозримо: где #=18 — «нижняя ширина» дамбы в виде «хвоста дракона» имеющего форму клина. Задачи с амбарами и погребами образуют три вполне однород¬ ные группы: это задачи 7 и 9, 10—12 и 13—14. Амбар в виде усе¬ ченных пирамиды и конуса (задачи 7 и 9) относительно искомых стороны или окружности верхних оснований, а также относительно высоты амбаров дают по паре полных кубических уравнений вида 1 170 7166 -J —1677661 70 1 240 239660 з?+62а:2+696а; =38448, +(«+Р)*2+(х+аР) 230
где а =6, Р=9, #=3 — сторона верхнего основания амбара, а Р — вес зерна, в нем хранящегося (задача 7). Или амбар (не¬ сколько амбаров) в виде параллелепипеда приравнен погребу (нескольким погребам) в виде цилиндра, и высота амбара равна глубине погреба — это задачи 10—12. Относительно искомой вы¬ соты (глубины) и составляется кубическое уравнение вида А* + (w Р + S3'“)■+ (р2 +1§ + S5 а2) h = * где а =5, Р = 10, h=13 — высота амбара, объем которого равен V (задача 11, в которой четыре «квадратных» амбара эквивалентны трем «круглым» погребам). Наконец, в задачах 13 и 14 говорится о равенстве емкостей двух типов погребов: «квадратных» и «круг¬ лых», имеющих форму правильных усеченных квадратной пира¬ миды или кругового конуса. Эти две задачи приводят к вполне одинаковым кубическим уравнениям вида (задача 14) 63 + [(« + Р) + И*2 + [(« + Р)Р + (ЧЁ1]6=Му-Ч111Р> где а =7, Р = 14, 6 =7 — искомая сторона или диаметр верхних оснований этих амбаров, имеющих объем V. Задачи отличаются лишь коэффициентом при V, зависящим от того, сколько «квадрат¬ ных» погребов приравниваются по объему к «круглым» погребам. Задачи 15—20 венчают трактат Ван Сяо-туна и отличаются своей лаконичностью и компактностью, поэтому они всегда при¬ влекали внимание исследователей. Однако до сих пор не была отмечена их цикличность, которую впервые заметил Е. И. Сла- вутин. Прежде всего перечислим тройки пифагоровых чисел, которые здесь использованы: 7, 24, 25 (задача 15 и 19); 8, 15, 17 (задача 20); 9, 40, 41 (задача 18); 12, 35, 37 (задача 16); 13, 84, 85 (задача 17). Искомые стороны прямоугольного треугольника пропорциональны указанным тройкам, в задачах 17, 19, 20 коэффициент пропор¬ циональности у = 1,1; в задаче 18 у =1,7, в задаче 15 у =2,05; в задаче 16 у=3,1. Таким образом, стороны прямоугольного тре¬ угольника — рациональные числа. Пусть стороны прямоугольного треугольника а <^Ъ с и а2+&2=с2. Тогда условие задачи 15 предстанет системой аЪ=т, с — a = q, где /тг=7061/50, g=36°/10; искомые а=147/20, Ь=491/5, с=511/4. Система дает уравнение о , <7 О т2 “Ь Т 2д” • Если применить подстановку 20 F±: а->Ъ, Ъ -> а, с -> с, то задача 20 На это интересное обстоятельство обратил внимание автора Е. И. Славутин. 231
IS переводится в задачу 16, 17 — в 18 и 19 — в 20. Если приме¬ нить подстановку F2: а -> с, b -> а, с -> b + 2g, то она пере¬ ведет задачу 15 в задачу 17. Есть подстановки, которые переводят задачи 16 — в 18, 18 — в 19, 17 — в 20 и, например, произведение подстановок F± (F2 (№ 15))=№18. В задачах 17 и 18 решают уравнение »*+т»», + 29% = $-т или аналогичное ему относительно а. (Здесь /7г=13371/20, q=1V10 и т=47393/б, д=542/6 соответственно.) Задачи 19 и 20 дают биквадратное уравнение, в них заданы системы Ъс = т, а = п (задача 19), 64+59ш62=527076’ где Ь=262/5. 17. Численный метод решения уравнений у Цинь Цзю-шао, JIu Е и Чжу Ши-цзе В книге Цинь Цзю-шао к уравнениям четвертой степени и выше приводят задачи на вычисление площадей, а также задачи на изме¬ рение расстояний до недоступных предметов. Мы рассмотрим здесь задачи, посвященные биквадратным урав¬ нениям, которые решены как уравнения четвертой степени. К этим же задачам относится еще одна, расположенная особо, в свитке IV — это задача 1. Задача 1 свитка V — первая из группы задач на метод числен¬ ного решения уравнений высших степеней. Задача проста и ла¬ конична по своему условию, решение ее тривиально. Метод де¬ тально описан: задача сопровождается правилом, в котором даны алгоритмы коэффициентов уравнений; вычислениями, которые сначала описаны шаг за шагом, а затем представлены схемами и комментариями к ним. Условие задачи снабжено рисунком. Тем не менее в тексте средневекового автора нет пояснений о том, как составлялось само уравнение. «Определение площади остроугольного поля. Задача. Имеется некоторое поле с парой пиков. Длина каждого из пиков не одинакова. Пара больших наклонных по 39 бу. Пара малых наклонных по 25 бу. Ширина в середине 30 бу. Как узнать его площадь? Ответ: Площадь поля 840 бу» [105, с. 117]. Итак, задана фигура (рис. 18), составленная из пары равно¬ бедренных треугольников с общим основанием, с площадями и S2, т. е. известны а=39, 6=25, йх = 30. Следует определить пло¬ щадь фигуры S = S1-\-S2=:Y<ild2’ гДе КЛ-К = й2. 232
Вычисления здесь могли быть простыми: h1 = \J392 — 152 = 36, /г2 = v/253 — 152 = 20, d2 = 36 —f— 20 = 56, S = ±30- 56 = 840. Ответ получен однозначно. Однако Цинь Цзю-шао предлагает другое решение. В наших обозначениях оно выглядит следующим образом. Пусть тогда S2=ol+2S1S2, где a=S'l+Sl Еще раз возведем в квадрат: (S*-a)*=4SlSI, или S4 — 2а S2 + а2 — iSISI = 0. Если положить S{—5|=Р, то величина а2—4£*£| = [32, и тогда S4-2aS2+P2=0, где неизвестная величина S является корнем уравнения, наибольшим положительным, т. е. выбранным «дважды с плюсом». Четыре корня уравнения выражаются формулой: S=± Vа ± ± У381600 ± v/3816002 — 2016002 = = ± х/381600 ± 324000, S’ = +840, S"= ±240. Отрицательные корни не имеют смысла, меньший положительный корень не подходит по условию задачи. Математики XIII в., насколько известно историкам, полагали, что уравнение любой степени имеет один корень. Имеются сведения, что в Китае мно¬ жественность корней у нелинейных уравнений впервые отметил лишь математик XV в. У Цзин в книге «Полная классификация математических методов сочинения в девяти книгах» (Цзю чжан суань фа би лэй да цюанъ). Действительно, в тексте описано именно такое уравнение чет¬ вертой степени, правда, с противоположными знаками: -S4+2aS2-P2=0; Цинь Цзю-шао описал алгоритм коэффициентов этого уравнения и вычислил их. Текст задачи содержит еще подробные схемы вычислений. Схемы снабжены подробными пояснениями каждой операции с числами таблиц, каждая из которых эквивалентна записи уравнения в наших обозначениях. 233
«Способ: взяв [метод] шао-гуан, ищи это. Примени метод фань. Установи половину ширины, саму на себя умножь, это квадрат половины. Вычти его из квадрата малой наклонной, перемножь* это малый коэффициент. Квадрат половины вычти из квадрата большой наклонной, перемножь, это большой коэффициент. Вычти один из другого, остаток сам на себя умножь, это делимое. Сложи оба коэффициента, удвой, это цзун шан лянь. В качестве и юй возьми единицу. Извлеки методом^фань трехкратный корень, получишь площадь». Указание в первой фразе на метод шао-гуан свидетельствует о том, что автор рекомендует для решения задачи применить метод Горнера. Термин древний употреблялся еще в «Математике в девяти книгах» для названия класса задач на извлечение корней, а также задач на прямоугольники, у которых заданы (одна и та же) площадь, равная 1, и одна из сторон; требуется найти другую сторону, причем заданная сторона постепенно увеличивается* а искомая соответственно уменьшается — отсюда его название, которое в переводе обозначает «уменьшение-увеличение». Для чис¬ ленного метода решения уравнений высших степеней Цинь Цзю- шао заимствует именно этот термин, а не общепринятый в даль¬ нейшем термин тянъ юань шу («метод небесного элемента»), хотя название «небесного элемента» встречается в этой же книге, но относится к другому методу. Последняя фраза правила говорит об «извлечении» корня чет¬ вертой степени. К этой фразе сделано примечание: «Если корень извлекается из однопозиционного числа, то метод фань употреб¬ лять не надо». В наших обозначениях алгоритм представляется таким. Сна¬ чала вычисляются квадраты площадей S2 и они называются соответственно «малым» и «большим» коэффициентами. Мы не бу¬ дем здесь цитировать вычисления и схемы, приведенные у Цинь Цзю-шао, поскольку текст понятен, а вычисления представляют собой описание последовательных действий: dj2=15, (d1/2)2=225> b2 = 625, **=400, 5|=А| (d1/2)2=90000 и т. д. При помощи вычисленных малого и большого коэффициентов далее вычисляются «делимое» |32 (или свободный член уравнения), цзун шан лянь 2а (коэффициент при квадрате неизвестного) и полагается равным 1 коэффициент при 4-й степени неизвестной: р2 = (S2 — S2)2 = 40642560000, 2а = 2(52 + 5|) = 763200. Итак, мы получили такое же уравнение, как в нашей реконструк¬ ции, только ^противоположными знакамд: —я4+763200я2—40642560000 = 0, где x=S. Относительно знаков Цинь Цзю-шао пишет — это един- ственное место во всей книге, где он говорит о знаках: «Схемы положительных, отрипательных [знаков] при извлече¬ нии корня четвертой степени. 234
Способ: частное обычно положительно, делимое обычно отрица¬ тельно, ,,цзун“ обычно положительно, „и“ обычно отрицательно». Таким образом, «цзун» означает здесь и всюду далее положи¬ тельный знак величины, а «и» — отрицательный. Исходная схема для составленного уравнения такая (табл. 33). Здесь знаки мы поставили современные: в тексте же, которым мы пользовались, стоят соответственно иероглифы «цзун» и «и». Но китайский историк Ли То свидетельствует, что в ориги¬ нале у Цинь Цзю-шао числа были написаны тушью разного цвета: положительные — крас¬ ной, отрицательные — черной. Алгоритм извлечения корня, или нахождения корня уравне¬ ния, начинается следующей рекомендацией. «Способ перешагивания [по разрядам]. [Числом] цзун лянь перешагни через один разряд, [числом] и юй перешагни через три разряда, раздели частное, получишь десятки. Теперь вновь перешагни по разрядам влево, и тогда в частном установи сотни. [В строке] цзун шан [лянь будет 7632000000, [в строке] и юй будет 100000000. Раздели делимое, установи в частном 8 сотен, это фиксированное частное». После таких передвижений чисел в два приема по разрядам получается схема (табл. 34). Заметим, что у Цинь Цзю-шао предыдущая схема отражает движение по разрядам на пер¬ вом шаге. Движение цифр по разрядам означает подстановку #=100 у, от которой получается уравнение — 100000000г/4+ —7632000000г/2— —40642560000=0. Такая подстановка производится для того, чтобы корень уравнения можно было представить однозначным числом, которое следует определить подбором из ряда 1, 2, 3, . . ., 9. Таким образом, если заданное уравнение имело трехзначный корень х=аха2а3, то это уравнение будет иметь корень у=ос1,а2,<х3, целая часть которого по предположению равна 8. Далее осуществляем подстановку «/=8+2 и переходим к уравнению ф (z) = 0, коэффициенты которого и находятся по схеме Горнера. А затем снова подстановкой z = 10w переходим к уравнению С (и)=0, у ко¬ Таблица 34 800 частное —40642560000 00 7632000000 0 —100000000 делимое сторона шан лянь ся лянь и юй Таблица 33 0 частное -40642560000 0 763200 0 —1 делимое сторона цзун шан лянь пустой ся лянь и юй 235
торого целая часть корня снова однозначна и опять-таки нахо¬ дится подбором: и = а2,а3. Теперь изложим задачу, о которой историки науки всегда упо¬ минают, когда говорят о Цинь Цзю-шао. В этой задаче решается уравнение 10-й степени, самой высокой степени, которая встре¬ чается у этого автора. Условие этой задачи является обобщением задачи 20 книги IX «Математики в девяти книгах», о которой выше подробно на¬ писано (см. § 15 этой главы). «Измерение круглой городской стены издалека. Задача о круг¬ лой городской стене неизвестного обвода и диаметра. Четверо [ее! ворот просматриваются из центра. За се¬ верными [воротами] вне [города] в 3 ли [от них] имеется высокое дерево. [Если] выйти из южных ворот и, повернув на восток, пройти 9 ли, [то] тогда можно увидеть дерево. Как узнать обвод и диа¬ метр стены? Ответ: Диаметр 9 ли, обвод 27 ли» [105, с. 183, задача 2 свитка VIII ]. Примечание к вопросу в задаче: «Для круга применить древний метод», что означает употребить число тг=3 (рис. 19). Уравнение составляется следующим образом: «Способ: ищи это с помощью гоу-гу и ча-люй. В качестве цзун юй возьми 1. Упятери [число] ли за северными [воротами], это будет цзун ци лянь. Установи квадрат [числа] ли возле северных [ворот], увосьмери, это будет цзун у лянь. Квадрат [числа] ли [возле] северных [ворот] будет положительным коэффициентом. Взяв квадрат ходьбы на восток в качестве отрицательного коэф¬ фициента, разность двух коэффициентов учетвери, умножь на [число ] ли у северных ворот, это будет и цзун санъ-лянь. Удвой отрицательный коэффициент, умножь на у лянь, это будет и шан лянь. Северные ли умножь на шан лянь, это будет делимым. Извлеки корень 9-й кратности, получишь число. Умножь его на себя, будет диаметр. Утрой диаметр, получишь обвод» [Там жеЬ_ Сразу же отметим, что здесь делимое вычисляется последним. Названия коэффициентов уравнения #10+15#8+72а;6—864т4—11664#2—34 992=0, Рис. 19 где корнем является х=3 и x2=D, следующие: цзун юй, коэффициент при х10: 1; цзун ци лянь, коэффициент при х8: 56 = 15, цзун у лянь, коэффициент при х6: 862=72, и санъ лянъу коэффициент при #4: 4 (Ъ2—а2) #=864, и шан лянъ, коэффициент при х2: 2а2-8Ь2=—11664, ши, делимое, свободный член х°: Ъ (16а2Ь2) = —34992. 236
Напомним, что здесь цзун — отрицательное, и — положитель¬ ное, величина —а2 названа отрицательным коэффициентом, Ъ2 — положительным коэффициентом, при вычислениях специально отмечается, что разность Ъ2 — а2 = — 72 является отрицательной разностью {фу ча). В схемах возле чисел словами всякий раз пишется иероглиф для знака. Например, в одной из схем: положительное — чжен, отрицательное — фу, пусто — сюй. Заметим, что в этой задаче схемы вычисления коэффициентов уравнения явно отделены от схем извлечения корня, т. е. нахожде¬ ния корня уравнения. В тексте сказано: «схемы, указанные выше, связаны с отысканием коэффициентов; схемы, следующие ниже, связаны с извлечением корня». Название «Метод небесного элемента» (тянь юань шу) закре¬ пилось в китайской математике за методом численного решения уравнений высших степеней. Впервые мы находим этот термин в сочинениях Ли Е: «Морское зеркало измерений круга» и «И гу янь дуань». Ли Е употребляет термин «тянь-юань» в качестве не¬ известного, которое мы теперь обозначаем символом х. Таким образом, в своем первоначальном смысле «тянь-юань шу» обозна¬ чал метод составления уравнений по данным задачи, а не метод- получения корня уравнения, который в древней китайской мате¬ матике назывался шао-гуан. Напомним, что в «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао термин тянь-юань употребляется в части, посвященной решению задач с остатками (системы сравне¬ ний по модулю), и имеет там свое значение. В местах, где при¬ меняется метод Горнера, этого термина нет и правило названо шао-гуан. Такое название носит книга IV в «Математике в девяти книгах», она посвящена извлечению квадратных и кубических корней. Мы не можем утверждать, что термин был предложен Ли Е, весьма возможно, что он употреблялся до него. Известно, однако, что Ван Сяо-тун не применял этого термина. Как полагает Цянь Бао-цун, следует считать терминологию установившейся при¬ мерно за 100 лет до Ли Е. Историки китайской математики обычно сопоставляют творче¬ ство Ли Е й Цинь^Цзю-шао, живших в одно время и работавших над одной проблемой. Однако Ли Е основное внимание в своих трактатах уделял составлению уравнений по данным задачи, тогда как Цинь Цзю-шао подробно описывал вычисление корня уравнения. Удачное в истории науки дополнение одного текста другим. Терминология и символика, применявшиеся Ли Е, были, по- видимому, разработаны им самим независимо от Цинь Цзю-шао, и в первом сочинении Ли Е отличаются от терминологии и симво¬ лики Цинь Цзю-шао. Коэффициенты уравнения Ли Е располагал один под другим, начиная со старшего, так что свободный член помещался внизу. Напомним, что при изображении линейных систем в «Математике в девяти книгах» свободные члены также 237
помещались внизу. Строки (т. е. наши столбцы) с коэффициентом при первой степени неизвестного и со свободным членом соответ¬ ственно помечались иероглифами юань («элемент») и тай («пре¬ дел»). На самом деле, достаточно отметить одну строку, чтобы можно было ориентироваться среди коэффициентов уравнения. Для отсутствующих коэффициентов, разумеется, использовались пустые места. Например, уравнение #3+15х2+66#-360=0 в книге Ли Е изображалось в таком виде: Отрицательные числа у Ли Е обознача¬ лись не цветом, как у Цинь Цзю-шао, а косой черточкой: перечеркивалась по¬ следняя значащая цифра в изображении отрицательного числа. Если имелись строки ниже строки «предел», то числа в них обозначали отрицательные степени неизвестного. Однако для решения уравнения удоб¬ нее было бы пользоваться способом представления уравнения, которым пользовался Цинь Цзю-шао. Вероятно, поэтому Ли Е в более поздней работе перешел к такому способу. Сам Ли Е писал об употреблении математиками средневекового Китая как той, так и другой формы представления уравнений. Он указывает девятнадцать иероглифов для употребления степе¬ ней и отмечает, что если принять иероглиф женъ за обозначение свободного члена, то девять иероглифов до него будут обозначать степени х, х2, я3, . . а после него — отрицательные степени -у"" X ууг- 2 /у* 3 wU J «A/ J U/ у I I I Дальнейшее развитие «метод небесного элемента» получил й сочинении Чжу Ши-цзе «Яшмовое зеркало четырех элементов». В начале книги Чжу Ши-цзе дает правило образования коэф¬ фициентов разложения бинома, или треугольник Паскаля, не ссылаясь при этом на предшественников, но и не указывая, что это достижение принадлежит ему самому. Он называет эту диа¬ грамму «Схемой для извлечения корней во все времена» (Цзинъ-гу кай-фан хуэй-яо-чжи ту). Чжу Ши-цзе применяет тот же порядок расположения коэф¬ фициентов уравнения / (х)=0, что и Цинь Цзю-шао, к которому пришел и Ли Е: свободный член находится наверху, ниже его помещаются степени неизвестного в порядке возрастания. Отри¬ цательные коэффициенты в книге Чжу Ши-цзе, как у Ли Е, пере¬ черкнуты косой чертой. Самым большим достижением Чжу Ши-цзе было распростра¬ нение «метода небесного элемента», применяемого до него только к уравнению с одним неизвестным, на линейные системы с не¬ сколькими неизвестными (вплоть до четырех, — отсюда название сочинения). Четыре неизвестных он называет: «небесным элемен¬ том» (тянъ юань), в наших обозначениях х, «земным элементом» 1 — IIIII 1 т Злемент /"ж/ III X о Предел /тай) 238
(<ди юань) — у, «человеческим элементом» (акгемь ю<шь) — z и «вещественным элементом» (i/ юаиь) — и. При расположении коэф¬ фициентов в схемах в центре помещается свободный член, в слу¬ чае его отсутствия ставится иероглиф тай («предел»). Мы обозна¬ чаем его звездочкой. Вниз от тай расставляют коэффициент^ при х и его степенях, вверх — при и и его степенях, слева — при у и его степенях, справа — при z и его степенях; в точках внутри полученных углов с целочисленными координатами ставятся коэф¬ фициенты при соответственных произведениях степеней ху и xz, уи и zu, а между ними ставили коэффициенты при остальных про¬ изведениях. Приведем пример записи Чжу Ши-цзе многочленов; я+У+з+м; я2+y2+z2jc и2+2 ху+2 zu+2yu+2xz; I , 1 2 0 2 1 * 1 1 0 * 0 f 1 г о г 1
Часть пятая ГЕОМЕТРИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ Здесь рассмотрены методы, которыми пользовались при реше¬ нии различных задач прикладного характера. Это задачи на из¬ мерение земельных участков, объема работ при строительстве сооружений разного рода (задачи практической геометрии), в ко¬ торых измеряется расстояние до недоступных предметов, измеря¬ ются их размеры. Это проблема, связанная с вычислением числа л, которая была выделена древними учеными при решении геометри¬ ческих задач. Существует обоснованный взгляд на китайскую математику (а также вообще на восточную) как на вычислительную, для кото¬ рой характерны алгебраические методы. Отсутствие же сочинений типа евклидовых «Начал» служит основанием для того, чтобы считать, что в древнем Китае геометрии не было. Мы старались показать недостаточность такой характеристики. Глава первая ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ 1. «Измерение полей». Древняя классификация фигур Наше слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео» — «земля», «метрео» — «измеряю» и обозначает «землемерие». В древне¬ китайских источниках аналогом этого термина является выраже¬ ние фан тянъ — «измерение полей». Так именуется книга I клас¬ сической «Математики в девяти книгах», посвященная нахождению площадей различных геометрических фигур [50, с. 445]. Китай¬ ский иероглиф тянъ изображает поле, разделенное оросительными каналами, а в математических текстах обозначает плоскую фи¬ гуру и ее площадь. Древнекитайские задачи на измерение полей заканчиваются стандартным вопросом: «Спрашивается, каково поле?», не содержащим специального термина «площадь». Про¬ исходит это потому, что общего термина «площадь» еще не было; слово «поле» выступало в роли такого термина, но только отчасти. В древнекитайских правилах, описывающих отыскание площади плоской фигуры, употребляется также термин цзи — «груда, 240
совокупность», в математическом тексте его можно перевести как «произведение» заданных линейных размеров (сторон, высот и др.), он употребляется также для обозначения объема тел. Заметим кстати, что древнекитайские тексты не фиксировали размерности единиц: ни квадратных, ни кубических. Это показывает, что тер¬ мин цзи для площади или объема возник среди вычислителей. В дальнейшем им долгое время пользовались, и он вошел в совре¬ менный язык: «площадь» — мянъцзи, буквально «плоское произ¬ ведение», объем — тицзи, буквально «объемное произведение». Еще в древности термин цзи вызывал различное толкование. Лю Хуэй в комментариях к книге «Измерение полей» «Матема¬ тики в девяти книгах» писал: «Это цзи означает площадь поля Iтянъ ми], если перемножить ширину и длину, то получишь площадь [ми]» [100, т. I, с. 67]. Лю Хуэй предпочитал пользо¬ ваться термином ми — «поверхность, покрывало», который впос¬ ледствии Ван Сяо-тун применял для квадрата числа. С площадью фщгуры в древности была связана и классификация •фигур. Она была проведена на основе вычислительного принципа, хотя названия фигур брались не только из землемерия, но и из других областей жизни (например, по-китайски треугольник назы¬ вался «фигурой в виде яшмы», а сегмент круга — «луком для стрельбы»). В древней классификации за основную фигуру был принят прямоугольник, у которого было достаточно простое и в то же время общее правило для вычисления площади: произведение его сторон, или, в древних терминах (как китайских, так и вавилон¬ ских), «ширина», умноженная на «длину». Квадрат рассматривался как частный случай прямоугольника. В китайских задачах из «Математики в девяти книгах», где собран наиболее древний ма¬ териал, как прямоугольное, так и квадратное поле названы просто «полем». В трактате V в. н. э., написанном для чиновников-прак- тиков, уже зафиксированы два. разных термина: фан тянъ — ч<квадратное поле» и чжи тянъ — «прямоугольное поле». Как видно, изучение геометрических свойств фигур потребовало введения более точного их названия. К термину «поле», означавшему пло¬ скую фигуру вообще, прибавляли какое-либо определение, чтобы обозначить тип фигуры. Например, «поле в виде яшмы» (гуй тянъ) означало треугольник, а «косое поле» (се тянъ) — трапецию. Для определения площади треугольника предполагалось перемно¬ жить «ширину» и «прямую длину», т. е. высоту, и взять половину -этого произведения. Таким образом, треугольник был ориентиро¬ ван относительно вычислителя: заданная сторона служила осно¬ ванием. Треугольник мог быть произвольным или прямоугольным, в последнем случае высота оказывалась одной из его сторон. Слу¬ чай прямоугольного треугольника впоследствии был выделен особо, и для него в древнекитайском языке существовала специаль¬ ная терминология. Правило определения площади трапеции выражено в тех же терминах: произведение полусуммы параллельных сторон (осно- 16 Э. И, Березкина 241
/7р/глгая ширина а Рис. 20 Рис, 21 ваний) на высоту — фразой со словами «прямая длина» или «пря¬ мая ширина» вместо высоты и соответственно две «ширины» или две «длины». Мы видим, что это «поле» также ориентировано отно¬ сительно вычислителя: если параллельные стороны горизонтальны,, это «ширины», задана «прямая длина», если же параллельные сто¬ роны вертикальны, задана «прямая ширина» (рис. 20, а, б). Особо рассматривались равнобочные трапеции, называвшиеся «полем в виде совка», с верхним основанием («ширина кончика языка»), гораздо большим нижнего («ширина основания языка»), и высотой, большей верхнего основания. Таким образом, такая трапеция имеет вытянутую форму вдоль своей высоты (рис. 20, в)~ Древняя классификация фигур описывала только три вида их: прямоугольники, треугольники, трапеции. Не выделялся, как говорилось выше, квадрат, а также параллелограмм, ромб и другие виды многоугольников. Например, правильные многоугольники были известны довольно рано, однако их нет даже во всеобъемлю¬ щей «Математике в девяти книгах», видимо, потому, что они редко применяются в землемерии. На самом деле, если вспомнить самый древний текст с вычислениями площадей — надписи на стенах храма Гора в Эдфу, где перечислены только четырехугольники и треугольники, то следует согласиться, что возможное разбиение какого-то участка земли на поля происходило главным образом на произвольные четырехугольники и треугольники (одна сторона равна нулю), при этом первые не очень отличались от прямоуголь¬ ников, а вторые — от прямоугольных треугольников. В таком случае «неверные» формулы вычисления площадей таких полей: где а, Ъ, с, d — стороны четырехугольника, следует рассматривать в качестве довольно хороших приближенных значений (рис. 21). Вместо «ширины» и «длины» брались средние арифметические двух противоположных сторон, рассмотренных как пара измерений (а, Р). Такое правило было весьма популярным, его обнаружили у всех древних народов с первоначальным развитием математиче¬ ских значений (см., например, [75]). о, “j— с Ъ —d 2 2 • 242
Со временем правила измерения площадей становятся точными за счет того, что рассматриваются только такие фигуры, как пря¬ моугольники, треугольники, трапеции, площади которых научи¬ лись вычислять. Древнекитайская «Математика в девяти книгах» показывает, что к области точных формул относили также вычис¬ ление площади круга и его частей: сектора, кольца, причем поль¬ зовались значением числа тг==3. Но площадь сегмента вынуждены были вычислять по приближенной формуле, которая свидетель¬ ствовала о том, что сегмент заменялся трапецией с таким же нижним основанием, как у сегмента, и с равными высотой и верх¬ ним основанием. В трактате пяти ведомств допускались и другие криволинейные фигуры с приближенными значениями площадей: на аднс/*/ конце „ барабаны " „ Jne/t" „ £дарель" „ Рог „ Месяц1 6 в г ff^3gOMa" е Рис. 22 кроме произвольного четырехсторонника, там указаны также «поля» в виде рога, серпа (рис. 22, д, е), в виде барабанов с выпук¬ лыми и вогнутыми «боками» (рис. 22, а, б), в виде свирели и змеи (рис. 22, в, г). Некоторые из них заданы тремя значениями «ши¬ рины»: двумя основаниями и средней линией («талией»); и тогда в качестве ширины бралось среднее арифметическое трех изме¬ рений [52, с. 85]. Древнекитайская классификация фигур в качестве «поля» включает также круг, что на практике вряд ли может встретиться. Однако нетрудно представить, что круглой могла быть площадь, клумба, основание зернохранилища, часто имевшего цилиндриче¬ скую форму. Следовательно, требовалось правило нахождения площади круга, а также его частей, примыкающих к окружности. Они назывались по-древнекитайски «кривое поле» (ванъ тянъ), т. е. сектор; «поле в виде лука» (гуй тянъ), «дырявое поле» (хуай тянъ), т. е. кольцо. Такие термины прочно вошли в обиход и употребляются до сих пор с той разницей, что вместо иероглифа «поле», как упоминалось выше, употребляется син. Древние ки¬ тайцы, как и греки, называли окружность словом «обвод», которое означал также и часть окружности. В определении площади круга -самым примечательным было то, что задавались две величины: «обвод» и диаметр. Вниманию вычислителя предлагались четыре 243 16*
формулы, методически перечисленные в «Математике в девяти книгах». Первой из них было произведение полупериметра круга на половину диаметра. Остальные были вариантами этой формулы. Как указал еще комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй, первая формула устанавливала равенство площади круга с площадью прямоугольника, сторонами которого являются полуокружность и радиус. Древнее задание круглого поля со¬ провождалось заданием двух величин, хотя было известно, что они зависимы (величины задавались в предположении, что тг=3). Причиной задания избыточных данных были потребности измере¬ ния; с этой точки зрения было безразлично, рассматривать круг или сектор, отсюда один термин «обвод» и для дуги и для окруж¬ ности. По той же причине первоначально не было понятия радиуса, оно появилось позже и было производным от диаметра. В современ¬ ном китайском языке радиус и до сих пор называется банъцзин — «полудиаметр». В древних же правилах и задачах говорится только о диаметре, и деление его пополам указывалось особо вся¬ кий раз. Отметим, что формула произведения полудиаметра на полуокружность отличалась от формулы четверть произведения диаметра на длину окружности. Приведем одну задачу из «Математики в девяти книгах»: «Имеется круглое поле, обвод его в 30 бу. Диаметр 10 бу. Спра¬ шивается, каково поле?» [50, с. 445]. Остальные задачи с более сложными дробными числами. Таким образом, казалось бы, самые простые понятия круга, радиуса, прежде чем стать вполне абстрактными, прошли дол¬ гий путь развития. Практические задачи получали математи¬ ческую обработку, их классифицировали в зависимости от мето¬ дов решения, и в этом процессе выкристаллизовывались понятия геометрических фигур и тел. Что касается геометрических тел, рассматриваемых в древ¬ ности, то их названия были вполне сопоставимы с названиями конкретных сооружений или предметов: «беседка», «сцена-помост», «шило», «клин» и др. В китайской «Математике в девяти книгах» тела описаны парами: параллелепипед и цилиндр, пирамида и ко¬ нус, усеченные пирамида и конус, а также различные виды приз¬ матоидов и, конечно, сфера. 2. Вычислительные задачи. Приближения Самыми древними задачами, которые приводят к рассмотре¬ нию геометрических тел, являются расчетные задачи древних «инженеров». В древних речных цивилизациях приходилось подсчитывать объемы таких сооружений, как дамбы, плотины, насыпи, крепостные стены, каналы и рвы. Их представляли в виде некоторого призматоида заданной «длины», у которого в сечении была трапеция, т. е. фигура с «верхней» и «нижней шириной», «высотой» или «глубиной» — в зависимости от характера соору¬ 244
жений. Приведем пример из древнекитайской «Математики в девяти книгах» (задача 6 книги V): «Имеется крепостной ров. Верхняя ширина 1 чжан 6 чи 3 цуня, нижняя ширина 1 чжан, глубина 6 чи 3 цуня, длина 13 чжанов 2 чи 1 цунь. Спрашивается, каков объем?» [50, с. 472]. Здесь описано тело, изображенное на рис. 23 с указанными на нем размерами. Объем тела подсчитывается по правилу, экви¬ валентному формуле V = l+±hl. & В условиях задач термина для тела нет. Правило сформули¬ ровано в общем виде и относится к «крепостной стене, плотине, каналу, крепостному рву, канаве». Такого рода задачи, как правило, даны в сопровождении дополнительных расчетов (см. условия задачи 21 книги V «Математики в девяти книгах»): «Носят землю на расстояние в 70 бу. Из них 20 бу в гору и под гору. [Каждые] 2 бу в гору и под гору составляют 5 [бу] по ровной дороге. Из-за столкновений на расстояние в 10 [бу] прибавляется 1 [бу]. Транспортировка производится на рассто¬ яние в 30 бу. Установленная [норма] для одного раза туда и об¬ ратно [получается равной] 140 бу. Объем [одной] корзины 1 чи 6 цуней земли. Осенью [каждый] человек должен выработать 59 с половиной ли. Спрашивается, какой объем [земли] в чи пере¬ несет [один] человек и сколько потребуется людей, [чтобы пере¬ нести вычисленный объем земли]?» [50, с. 476]. Эта задача, рисующая во всей полноте грандиозную картину массовых трудовых работ в древнем Китае, показывает, что порою древнему вычислителю приходилось производить сложные рас¬ четы с учетом многих компонентов. Геометрическое содержание таких задач «тонуло» в море вычислений. Но древнйй математик сумел его выделить и сформулировать в указанном выше виде. Форма призматоида, конечно, была идеализированной и могла быть далека от физически реального объекта. И, вероятно, более древними задачами были те, в которых применялись приближен¬ ные расчеты объема, их аналогом в планиметрии была формула для произвольного четырехсторонника (см. с. 242). Объем тела (рис. 24) вычислен по правилу, равносильному формуле т/ 1 Л*1 + Ъ\ I а2 4" &г\ ^1 4“ ^2 ^1 4" ^2 У ~ 2\ 2 ' 2 J 2 2 * Здесь иногда Zx=Z2= Z, может быть h1=h1 = h, т. е. размеры тела взяты в среднем. Иногда содержатся и такие расчеты, по которым нельзя восстановить чертеж сооружения: линейные размеры его таковы, что призматоида не получается [21]. Таким образом, в древности ставилась своего рода альтерна¬ тива: либо геометрическая модель, возможно более близкая к физическому объекту, и пользование приближенной формулой для ее объема: либо точная формула для объема правильного геометрического тела, которое менее точно представляет сам 245
объект. Понятно, что древних «инженеров» удовлетворяли при¬ ближенные формулы, а точные более интересовали «чистых» ма¬ тематиков. Поэтому надо полагать, что в китайских текстах в отличие от вавилонских задачи содержали точное вычисление объемов. Приближение производилось за счет геометрической формы. Расчеты, сопровождающие задачи, с учетом сезонных норм труда и других условий работы были данью традиции, равно как заголовок китайской книги: «Оценка работ». В древне¬ египетских и вавилонскихJзадачах основными были также рас¬ четы рабочей силы, требующейся для производства земляных работ. Рис. 23 Рис. 24 Отметим, что в задачах этого класса сохраняется измеритель- но-расчетный характер терминологии, аналогичной терминоло¬ гии задач на измерение полей. Вместо современных терминов «сторона», «высота», «ребро» и т. д. употреблены термины «ширина», «длина», а высота может быть и «глубиной». Названия линейных размеров тела зависят от положения тела относи¬ тельно вычислителя. Аналогична терминология для других тел: параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса и т. д. Здесь также применены термины: ширина, длина, глубина (или высота). Названия, данные телам, не всегда переводятся однозначно, поскольку древних значений этих слов мы не знаем. По-видимому, они обозначали какой-то реальный объект, по форме напоминающий рассматриваемое геометрическое тело. 3. Объемы Мы начинаем исследование с объемов и тем самым придержи¬ ваемся самой истории: знания человека в своем развитии не соб¬ людали индукции тг=2, 3,. . . Простейшие тела, рассмотренные в книге V «Математики в девяти книгах», наиболее систематическом древнем тексте, в котором вычислены объемы, — это параллелепипед (заметим, что не куб) и цилиндр, пирамида и конус, усеченные правиль¬ ная пирамида и конус. При этом для тел вращения обычно прини¬ мается значение числа тг=3 и формулы, которыми мы пользуемся 246
теперь. Пары, образованные таким образом, обусловлены древ¬ ней терминологией. Параллелепипед и цилиндр — это «подмостки», усеченные пирамида и конус — «беседки», а пирамида и конус — «шило» (термин сохранился и поныне), соответственно квадрат¬ ные и круглые, так как в основании лежит либо квадрат, либо круг. В текстах ничего не говорится о том, как были получены формулы для объемов этих тел. По-видимому, объемы тел враще¬ ния были получены по аналогии с соответствующими им много- гранниками заменой площадей оснований. Таким образом, клас¬ сификация тел также основана на потребностях вычислений* Рис. 25. Тело цзянъ-ду Рис. 26. Тело чу-мэн После основных тел приводятся вычисления объемов призм разных видов, которые производились при помощи разбиения на составляющие части. При этом нельзя было обойтись без тож¬ дественных преобразований и принимаемого интуитивно посту¬ лата о том, что сумма объемов частей равна объему целого. Например, объем трехгранной призмы'—тела, которое напоми¬ нает стену у крепостного рва цзянъ-ду, изображенного на рис. 25, вычисляется по формуле V1=^-ahl, где значения букв указаны на чертеже. Эта призма разбивается на две пирамиды: ян-мау т. е. бита из кости рысака (в основании прямоугольник со сторо¬ нами а и Z), и бе-нао, т. е. черепашья кость такой формы (в осно¬ вании треугольник с катетами а и К). Объемы этих пирамид со¬ ответственно даны в предыдущих задачах: V2~^dlhy V3=~ahL Согласно комментариям Лю Хуэя эти объемы определяются, если дополнить трехгранную призму до параллелепипеда, в част¬ ном случае до куба, объем которого указан в задаче 8 книги V «Математики в девяти книгах». Итак, V1=V2-\-V3, V2=-^V\ V3= 1 1 =-g- V, V1 = yV- Отсюда следует, что тело в виде правильной усе¬ ченной пирамиды и вообще тело чу-тун (стог сена) типа обелиска (неправильная усеченная пирамида с основаниями в виде пря¬ моугольника) может быть разделено на параллелепипед, четыре цзянъ-ду (стены), четыре ян-ма (биты) и еще небольшой парал- 247
лелепипед — брусок. Но возможно, обелиск разбивали по-дру¬ гому. Для этого достаточно провести плоскость сечения через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований. Объемы таких тел, которые по-китайски называются чу-мен (черепичная крыша), вычислять умели. Правило для него указано в задаче 18 книги V «Математики в девяти книгах»: «Удвой нижнюю длину, присоедини верхнюю длину, умножь на ширину, еще умножь на высоту, разделив на 6, возьми 1 раз». Это правило выражается формулой тj (2Zi ~f- Z2) а^ 6 (размеры указаны на рис. 26). Объем этого тела мог быть Рис. 27. Тело цюй-чи Рис. 28. Тело сянь-чу вычислен и как сумма трех тел: двух ян-ма (биты) и одной цзян-ду (стены) или как сумма двух тел: бе-нао (черепашьей кости) и ян-ма (биты). Следует указать, что в последнем случае вопреки Лю Хуэю надо считать, что у ян-ма (биты) и бе-нао (черепашьей кости) более общий вид: две, а не три грани совместного тела чу-мэн (черепичная крыша) перпенди¬ кулярны друг другу. Что касается тела цюй-чи (изогнутый ров), то оно типа обе¬ лиска, но изогнутое. Не нарушая общности предложенной формулы: У . (2gj -f- Аг) &1 + (?Д2 Ч~ а\) 6 при а1 = (С1 + с1)/2, b1 = d1,:] а2 = (С2 + с2)/2, b2=d2 (рис. 27), можно также полагать, что это — тело, похожее на полый усе¬ ченный конус. Для полноты анализа древнекитайских материалов укажем, что в книге V «Математики в девяти книгах» вычислен объем клинообразного тела сянь-чу (восхитительная ступенька) по фор¬ муле У = 1//г(а + г> + с), ■248
где линейные размеры указаны на рис. 28. Возможно, формула^была получена таким образом: V=±lha + 2 = — ~ lha -f- blh -f- -g- clh= у lh (a -f- 6+c). что вта 4. Площади С вычислением площадей дело обстояло аналогично. В книге I «Математики в девяти книгах» сформулированы правила вычис¬ ления площадей для основных фигур: прямоугольника, треуголь¬ ника, трапеции, круга и его частей: сектора, сегмента, кольца. Вероятно, предполагалось, что остальные фигуры, в том числе параллелограмм, могут быть составлены из простейших. В основе определения площадей также лежал интуитивный постулат о том, что сумма площадей частей равна площади целого. Правила вполне совпадали с современными формулами, если только по¬ лагать тг=3. Исключение составляет формула для площади сегмента: *S'=1/2 (Д2+а/&), где а — основание сегмента, h—его высота (см. рис. 17). Принимая площадь прямоугольника за постулированную (единица площади определена и установлена в задаче 1 книги I «Математики в девяти книгах»), Лю Хуэй в своих комментариях приводит вывод формул площади треугольника и трапеции с помощью принципа дополнительности (ип пу чу) («добавить- убавить»), т. е. достраивает эти фигуры до прямоугольника, как достраивали — мы видели в предыдущем параграфе — при¬ зму или пирамиду до паралле¬ лепипеда. Очевидно, произволь¬ ные треугольники и трапеции могли быть составлены из пря¬ моугольников, как показано на рис. 29. При выводе формул для Рис. 29 площадей фигур при этом необ¬ ходимы тождественные преобразования. Ясно, что для треуголь¬ ника и трапеции нужны дополнительные построения: ^треуг = ~2 (2^1 + 2£2) = у (а — х) b -f- у xb = у ^трап = bh -f- -у 1 Y bh + у (#1 + х2) — -у- hy где х1-\-х2=а—Ь. 249
5. Древние понятия площади и объема Каковы^были понятия площади и объема в древности? Ко¬ нечно, они не были основаны на понятиях современного мате¬ матического анализа, но все же были достаточно абстрактными категориями, связанными с понятием геометрической фигуры или тела, отвлеченными от конкретных объектов, с которыми человек имеет дело. Каким образом это происходило, мы видели в предыдущих параграфах. По-видимому, первичным понятием, связанным с реально существующими вещами, была емкость, а понятия объема и даже площади были вторичными, производными от первого. Емкость сосуда для сыпучих и жидких тел — вот что прежде всего интересовало древнего математика. За единицу измерения площадей принимался участок земли, на который высевалась стандартная мера зерна. С точки зрения древнего математика, интуитивно (явных опре¬ делений мы, конечно, не найдем) под площадью и объемом пони¬ малась некоторая числовая характеристика. Мы уже упоминали, что долгое время для площади и объема в С существовал один термин. Измерить пло¬ щадь фигуры ' означало вычислить, сколько единиц элементарной площади содержится в ней. Такой процедуре по¬ священа, например, задача 9 средней книги метрологического трактата Сунь- а ^ цзы: Рис. 30 «Имеется фундамент дома, [у кото¬ рого] с юга на север 3 чжана, с во¬ стока на запад 6 чжанов. Если его выложить кирпичом так, что всякий раз на площади в 2 [кв.] чи укладывается 5 штук кирпичей, то спрашивается, сколько всего потребуется?» [49, с. 30 ]. Площадь прямоугольника ABCD (рис. 30) выражается фактиче¬ ски трижды. Сначала пользуются формулой для прямоугольника S=AD>AB=18 [кв.] чжанов=1800 [кв.] чи. Далее площадь выражается числом малых прямоугольников а(3 с площадью в 2 кв. чи: 5=900 штук. Полагаясь на другие геометрические задачи, мы считаем, что площадь в 2 кв. чи представляли в виде прямоугольника, подобного данному, одна сторона которого в два раза больше другой, сс=2[3, где [3=1 чи. И в третий раз площадь заданного прямоугольника была выражена следующим образом: 5=4500 штук кирпичей, поскольку на каждых 2 кв. чи умещается 5 кирпичей. Правда, по правилу дается другая по- „ 6 • 3•100•5 , следовательность действии: ^ -—4500, но тем не менее по¬ добные рассуждения о вычислении площади очень вероятны. Задача 15 этой же книги сочинения Сунь-цзы указывает, что аналогично рассуждали при действиях с объемами: 250
«Имеется деревянный куб со стороной в 3 чи. Он распиливается на кубики со стороной в 5 цуней. Спрашивается, сколько полу¬ чится кубиков?» [49, с. 30]. По этим задачам видно, что существовало достаточно развитое представление о квадрировании и кубировании. Следует отметить, что при этом преодолевали большую инерцию других менее абстрактных понятий. Еще во времена Сунь-цзы в III в. н. э. утверждены были единицы емкости и объемы выражались мерами сыпучих тел. Например, следовало определить объем зернохра¬ нилища определенного вида, который окончательно выражали не в кубических единицах, а в единицах емкости. В книге V «Математики в девяти книгах» выделена особо группа задач 23—25 на груду зерна, хотя конус уже был представлен до нее. Вот одна из них: «На земле имеется куча проса. Нижний обвод 12 чи, высота 2 чи. Спрашивается, каков объем и сколько проса [в куче] » [50, с. 447]. Характерны числа в ответе: объем равен 8000 чи (число подобрано), проса в куче будет 2962 26/27 ху. Для перехода от кубических единиц к мерам емкости указан коэффициент: «Емкость [одного] ху проса 2 чи 7 цуней» [50, с. 478]. По словам комментатора Лю Хуэя, этот коэффициент надо читать так: для проса меры в 1 ху нужен объем параллелепипеда с основанием в 1 кв. чи и высотой 2 чи 7 цуней. Такова древняя скрытая раз¬ мерность, которой, как кажется на первый взгляд, древние пре¬ небрегали. На самом деле, обозначая линейными единицами пло¬ щадь и объем, подразумевали двумерные или трехмерные еди¬ ницы. Однако они представляли собой не квадраты и кубы, а полоски и бруски, характеризующиеся некоторой длиной и еди¬ ничной стороной или площадью, на которых они построены. За¬ метим, что квадратная верста (кв. ли) специально определялась в задаче 3 книги I «Математики в девяти книгах». Задача, которую мы сейчас приведем, показывает, как древ¬ ние на первых порах скрупулезно отделяли понятие емкости от понятия объема. Книга V, о которой выше упоминалось много раз в связи с объемами, начинается следующей задачей: «Имеется земляная яма в 10000 чи. Спрашивается, сколько будет утрамбованной и взрыхленной земли, каждой в отдель¬ ности?» [50, с. 471]. Обычный с точки зрения древнего чиновника вопрос, а вот ответ особенно интересен: «[Объемы] выкопанной ямы, взрыхленной земли, утрамбо¬ ванной земли и вынутой земли относятся как 4 : 5 : 3 : 4. Взяв [объем] выкопанной ямы, ищи [объем] взрыхленной земли, разделив на 4/5. . .». [Там же]. 251
Глава вторая ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Прямоугольные треугольники были выделены древними из тре¬ угольников вообще. Задолго до Пифагора было известно, что а2 + 62 = с2, где а, Ъ — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника. Хотя в сохранившихся папирусах мы не находим этого соотно¬ шения сторон прямоугольного треугольника, древним египтя¬ нам, по свидетельству древних греков, был известен прямоуголь¬ ный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — так называемый египет¬ ский треугольник. В клинописных же текстах древнего Вавилона зафиксировано применение этой теоремы в общем виде, стояв¬ шей в центре внимания древневавилонских математиков [57, с. 54; 17]. 6. Древняя формулировка теоремы. Доказательство Чжао Цзюнь-цина В историко-математической литературе называют самые разные даты появления теоремы Пифагора в древнем Китае, и часто весьма ранние. Происходит это оттого, что сами тексты датиру¬ ются по-разному и часто неточно. Первое письменное свидетельство о теореме Пифагора мы нахо¬ дим в «Математическом трактате о гномоне». Согласно этому тек¬ сту еще в XII в. до н. э., а может быть и ранее, древние китайцы знали о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 и по крайней мере к VI в. до н. э. располагали теоремой в общем виде. Вот древний текст: «Если же в угольнике принять ширину — катет гоу за 3, и принять длину — катет гу за 4, то поперечина, [соединяющая концы] угла, будет равной 5» [100, с. 14]. Как свидетельствует трактат, такую древнюю формулировку услышал Чжоугун Дань из уст сановника Шан Гао, который ссылается на еще более древнее время, когда легендарный Фуси (III тыс. до н. э.) «управлял Поднебесной с помощью чисел» [Там же]. Здесь употреблена древняя терминология, сохранившаяся и в дальнейшем. Основной термин древнего «искусства вычисле¬ ний» — это «угольник» (цзюй). Плотничий угольник состоит из двух соединенных под прямым углом линеек (рис. 31). Его использо¬ вали для измерения расстояний до недоступных предметов. В этом случае он устанавливался так, что вертикальная сторона его была фиксированной и равной А, а на горизонтальной стороне откладывалась проекция наблюдаемой точки на расстоянии, равном а, от угла. В данном тексте термином цзюй обозначен, по существу, прямоугольный треугольник, а его катеты названы терминами гоу и гу. Все эти термины прочно закрепились в древне- 252
китайской математике и сохранились до наших дней. Если древ¬ ние авторы хотели указать на соотношение сторон в прямоуголь¬ ном треугольнике, то они говорили кратко «метод гоу-гу». Катет гоу (буквально «крюк») — горизонтальный — всегда меньший катет. Катет гу (буквально «бедро», берцовая кость) — вертикальный — всегда больший катет; в древних текстах не су¬ ществовало общих терминов «катет» и «сторона», стороны прямо¬ угольника называли «шириной» и «длиной» с учетом ориентации фигуры относительно вычислителя. Гипотенуза здесь называется «поперечной угла» (цзин цзюэ); слово цзин обозначает также диа¬ метр (поперечник) круга. В более поздней «Математике и девяти книгах» уже более четкая терминология: катеты именуются гоу П\ \ \ Л h \ ГОУ Рис. 31 Рис. 32 и гу, гипотенуза — сянъ — «тетива». Диаметр круга — цзин, а употреб¬ ляется также полудиаметр (радиус) — бань чжи цзин ж бань цзин. Совпадение названий для гипотенузы и диаметра круга, по- видимому, возникло не случайно. В древнекитайской символи¬ ческой конфигурации (рис. 32), объясняющей, по мнению древ¬ них, происхождение чисел, или науки о числах, диаметр круга действительно является одновременно и диагональю прямо¬ угольника и оба они — «поперечники» этих фигур. Заметим, что гре¬ ческое слово «диаметрос» и арабское слово «кучр» также обозна¬ чают и диаметр круга и диагональ прямоугольника. Далее в трактате о гномоне говорится: «Прямоугольник, вокруг которого описан круг, делится на два угольника со сторо¬ нами 3, 4, 5» [100, с. 14]. Как мы видим, Шан Гао, как и Фалесу, было известно свойство угла, опирающегося на диаметр. В конце этого древнего текста, содержащегося в трактате о гно¬ моне, говорится: «Площади этих двух квадратов, построенных на катетах гоу и гу, в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотезе треугольника». [Там же]. Здесь же в переводе мы ради простоты применили современную терминологию. Древний же термин для круга, ставший частью современного термина, — юань, для прямоугольника — фан. Последний термин может также обозначать и квадрат как частный случай прямоугольника (либо сторону квадрата или куба). Благодаря рассмотренной выше древней терминологии мы приходим к выводу о том, что понятие прямоугольного треуголь¬ 253
ника также происходит из измерительной практики. Сами катеты гоу и $у указывают на ориентацию фигуры относительно измери¬ теля или вычислителя. Весьма возможно, что в древности гномоны изготовлялись из берцовых костей. В дальнейшем, например у составителя математического «Десятикнижья» Чжэнь Луаня, пояснявшего древние тексты, встречается специальное выражение для простейшей тройки пифагоровых чисел 3, 4, 5: «нормальные коэффициенты» (цзы жанъ чжи люй). Он же приводит из «Книги установлений» («Лицзи») III в. до н. э. пример вычисления размеров покрытия повозкиг имеющей форму, указанную на рис. 33. Высота h находится Рис. 34 Рис. 35 по правилу так: /г-=\/16—4=\/12 ^ 3 3/7, где корень найден по известной древним интерполяционной формуле. Второй диалог, точнее монолог, Чэнь-цзы, объясняющего своему ученику древнюю астрономию и принципы вычислений, содержит большой материал, а также и большой комментарий Чжао Цзюнь-цина от III в. н. э. Здесь, в частности, описывается чертеж, более общий, чем приведенный нами (рис. 34, 35). Это обсуждение считают первым письменным доказательством тео¬ ремы Пифагора в истории китайской математики; этот же чертеж позже находят у индийских математиков. Терминология, к ко¬ торой прибегает Чжао Цзюнь-цин, весьма схожа с терминоло¬ гией, применяемой его современником Лю Хуэем, основным комментатором классической «Математики в девяти книгах». Обратимся снова к конфигурации «квадрат со вписанным в него кругом» (см. рис. 32). Квадрат, сторона которого равна диаметру круга, равновелик квадрату, описанному около этого круга. Он равен по площади сумме площадей квадратов, по¬ строенных на катетах любого из двух прямоугольных треуголь¬ ников, для которых диаметр является общей гипотенузой. Этот древний комментарий, рассмотренный в книге Цянь Бао-цуна [110, с. 57—60], мы излагаем в современных терминах по древне¬ китайскому тексту Чжао Цзюнь-цина. 254
Чжао Цзюнь-цин дает серию цветных чертежей, которые, ж сожалению, не сохранились. Их можно восстановить по его описанию. Рис. 34 у Чжао назван «чертежом для гипотенузы». На нем площадь четырех прямоугольных треугольников закра¬ шивалась красным цветом, она равна 2 аЪ, и площадь квадратика, находящегося в центре, равная (Ъ—а)2, закрашивалась желтым цветом. Обе площади составляют в то же время квадрат, по¬ строенный на гипотенузе с. Таким образом, составляется тождество 2ab+{b—a)2=c2, из которого и получается известное соотношение между сторо¬ нами прямоугольного треугольника, получившее название тео¬ ремы Пифагора. f Далее Чжао Цзюнь-цин дает геометрическое обоснование двух симметричных тождеств: с*-Ь2=(с+щс__ь^ с2—а2=(с-[- а) (с—а) Хрис. 36 и 37). Гномонооб¬ разная полоска, называемая Рис* 36 Рис’ «угольником из делимого для гоу» (гоу ши чжи цзюй), имеет площадь, равную а2, и состоит из двух прямоугольников с площадью сх и Ъх, где х=с—Ъ. Следовательно, сх-\-Ьх=х (с-\-Ъ)=а2, или а2=^(с—Ъ)(с+Ъ), откуда с-\-Ь = а2/(с—Ъ), c—b=a2/(c+b). Во втором случае гномонообразная полоска, называемая «угольником из делимого для гу» (гу ши чжи цзюй), имеет пло¬ щадь, равную Ъ2, и состоит из двух прямоугольников с площадями сх и ах, где х=с—а. Следовательно, сх-\-ах=х (с-\-а) = Ь2, «ли Ь2=(с—а)(с-\-а), откуда с-\-а=Ь2/(с—а), с—а=Ь2/(с-\-а). Как указывает Цянь Бао-цун, здесь дано геометрическое решение двух квадратных уравнений: я2+2Ъх=а2, х2-\-2ах=Ъ2, корни которых соответственно равны х=с—Ъ и х—с—а [110, с. 58—60]. Далее Чжао Цзюнь-цин описывает три рисунка (рис. 38—40), первые два из которых устанавливают тождества 2 (с — а) (с — Ь) — (а -(- Ъ — с)2, (а -|- Ъ)2 = 2с2 — (Ь — а)2, • ^ i 1— 1 - Л д S а 255
Г S в Т с-6 с Рис. 38 Рис. 39 к Рис. 40 а последний предназначен для интерпретации корня квадратного уравнения с отрицательным первым коэффициентом —х2-\-кх=А, к которому численный метод не применяли. Здесь к — сторона квадрата, равная сумме сторон прямоугольника с площадью А. По существу, в данном случае задана система х —f— Ъ •— к, хЬ = А, которую привели к квадратному уравнению указанного вида. 7. «Метод гоу-гу» Средневековые китайские математики при решении задач часто указывали на применение «метода гоу-гу». В чем состояло содержание этого древнего метода? Рассмотрим задачи пос¬ ледней книги «Математики в девяти книгах», название которой «Гоу-гу». Напомним, что принцип размещения материала по кни¬ гам этого древнего сочинения таков, что к первым задачам на опре¬ деленную тему, имеющим соответствующий заголовок, впослед¬ ствии присоединялись другие задачи, имеющие с первыми общ¬ ность лишь по методу их решения. Во всех задачах книги IX, кроме трех последних, при решении задач применяется теорема Пифагора; а в последних трех зада¬ чах пользуются свойством пропорциональности сторон подобных прямоугольных треугольников. Современное китайское на¬ звание теоремы Пифагора — гоу-гу динли, что можно перевести буквально «теорема о прямоугольном треугольнике»; таким об¬ разом, книга IX «Математики в девяти книгах» посвящена при¬ менению алгебраических методов к геометрическим задачам с применением теоремы Пифагора или подобия прямоугольных треугольников. Что касается вопросов подобия, то, начиная с Лю Хуэя, выделившего и разработавшего далее этот класс задач, известных под названием «метод чжун-ча», они, по-види¬ мому, не стали относиться к «методу гоу-гу». Следовательно, под классом задач на метод гоу-гу надо понимать те задачи, при ре¬ шении которых применяется равенство квадрата гипотенузы 256
сумме квадратов катетов. Некоторые задачи приводят к решению квадратного уравнения или системы, эквивалентной квадратному уравнению. Это задачи уже теоретического плана, и связь с прак¬ тикой здесь найти трудно. Такие задачи возникали по самым различным причинам, нередко при их составлении пользовались методом обращения. Этот класс задач имеет много задач, сход¬ ных с древнеегипетскими, древневавилонскими, древнеиндий¬ скими. По этим задачам, вероятно, можно судить, какая циви¬ лизация раньше достигла этой определенной ступени развития науки. Интересно, как изложено общее правило решения такого класса задач. В начале книги IX «Математики в девяти книгах» действительно предложены — вполне в стиле трактата — три алгоритма для трех сторон прямоугольного треугольника: c = \]aa-\-bb, b = \Jcc — аа, а = \]сс — bb> составленные на основе теоремы Пифагора. Они продемонстри¬ рованы на первых трех задачах на примере простейшей тройки: а=3 чи (гоу), Ъ=4 чи (гу), с = Ъ чи (сянь). Благодаря принятой терминологии задачи сформулированы четко, лаконично, в них педантично находится сначала с, затем b ж а. «Умножь на себя каждый из катетов, сложи, извлеки из этого квадратный корень», — гласит древнее правило гоу-гу, повто¬ ренное для каждого случая отдельно. Видно, что квадрат числа в древней математике именовался «число, умноженное на себя» (цзы чей). Вероятно, это и есть самая древняя часть свитка, к ко¬ торой затем были дописаны другие задачи. У Чжэнь Луаня в его древних ■ комментариях к нематематическим текстам эти алго¬ ритмы также описаны подробно и тоже на примере простейшей тройки пифагоровых чисел. Отметим прежде всего те задачи книги IX «Математики в де¬ вяти книгах», решение которых непосредственно выполняется по данным выше алгоритмам. Древнему вычислителю следовало в этих задачах лишь правильно установить, какие величины надо было взять в качестве катетов гоу ж гу ж в качестве гипотенузы (сянь), одна из них вычислялась. Самая важная задача в этой группе — нахождение диагонали прямоугольника или квадрата по их сторонам, которая в древ¬ ности представляла классическую задачу определения диагонали единичного квадрата (или вычисление корня из 2). Эта задача позволяла древним грекам сделать открытие несоизмеримых ве¬ личин, получить первое иррациональное число; корень из 2 до¬ статочно точно вычисляли еще древние вавилоняне. В древних китайских текстах для этой величины указывается отношение 7 : 5. Оно содержится в трактатах Сунь-цзы, Сяхоу Яна среди других табличных значений величин, сразу же после приближен¬ ного значения числа тс: «Сторона 5, диагональ 7». Это изречение поясняется алгоритмом: «Дана диагональ, находится сторона: [для этого] раздели [ее] на 7/5 и возьми 1. Дана сторона, нахо¬ 1/2 17 Э. И. Березкина 257
дится диагональ: [для этого] раздели [ее] на 5/7 и возьми 1» [49, с. 23] (рис. 41). Здесь «диагональ» (се) буквально «косая». Этот термин употреблялся не всегда, по-видимому, он еще не вполне утвердился. «Сторона» обозначена, как обычно, иероглифом фан. Тот и другой термины употреблялись в классической «Матема¬ тике в девяти книгах» (см., например, в задаче 12 книги IX) [50, с. 509]. Иногда для диагонали пользовались просто описа¬ нием: «наибольшее расстояние между углами» (лян сэ сянь цюй) — имеется в виду: прямоугольника (см., например, задачу 11 книги IX [50, с. 508—509]). Не называют диагональ словом се и в за¬ даче 14 средней книги трактата Сунь-цзы, где диагональ назы¬ вается «удвоенным расстоянием от угла квадрата до его центра» (цзун юэ чжи цао) [49, с. 30]. Рациональное приближение отношения стороны квадрата а к его диагонали d, рав¬ ное 5 : 7, применялось и у других древних народов. Например, в «Государстве» Платона число 7 называется «рациональной диаго¬ налью», соответствующей стороне 5. Как было получено это приближение в древнем Китае, неизвестно. Поскольку китайцам был известен алгоритм Евклида, то возможно, что это приближение было найдено при помощи этого алгоритма, примененного к отысканию наибольшей общей меры а и d [57, с. 177]. Однако возможно, что 7/5 было получено просто как значение \/2 = ^200/10« 14/10 = 7/5. Приведем задачу 14 средней книги трактата Сунь-цзы: «Имеется квадратное поле. В центре его растет тутовое дерево. От угла до тутового дерева 147 бу. Спрашивается, каково поле?» [49, с. 30]. О решении этой задачи говорится: «Установи 147 бу от угла до дерева, удвой это, получишь 294 бу. Умножь это на 5, получишь 1470 бу. Раздели это на 7, получишь 210 бу. . .» [49, с. 30]. Таким способом древний вычислитель находил значение сто¬ роны квадратного поля, по которой находил и его площадь. Более сложные задачи получались при помощи обращения. К ним относятся задачи «о дверях», имеющих вид прямоуголь¬ ника (рис. 42), помещенные в книге IX «Математики в девяти книгах» (задачи 11 и 12 книги IX [50, с. 508—509]). В первой из них известна диагональ прямоугольника z, определяются его стороны: «ширина» х, «высота» у. Задача сводится к решению системы уравнений: 22 = X2 + у2, к = у — х, так как известна разность к «высоты» и «ширины» двери. Таким образом, обращение задачи сразу же приводит к полному квад- 258
ратному уравнению 2x2+2kx+k2—z2=0, к которому и сводится данная выше система. Задача сопровождается общим правилом: «Правило: 1 чжан умножь на себя, это ши, половину избытка умножь саму на себя, удвой, вычти из ши, возьми половину остатка, извлеки квадрат¬ ный корень из него, из полученного вычти половину избытка, это и будет ширина двери. Прибавь половину избытка, это и будет высота двери» [50, с. 509]. В наших обозначениях это правило представляется формулами i/z2 — 2 (/с/2)2 к х = \ J-! у, i /z2 — 2 (к/2)2 к y = V —Т—■■■ + !-' где z2 называется ши — «делимым», а к — «избытком». Правило, как видим, лаконично и четко сформулировано в общем виде доступным древним способом. Каким способом были получены такие «формулы»? Возможно, од¬ ним и тем же приемом, каким пользовались, как полагают многие историки математики, Диофант и задолго до него древние вавилоняне. Пусть искомые величины, поскольку задана их разность, выражены с помощью новой неизвестной t, являющейся их сред¬ ним арифметическим: * к x = t~Y’ i к y. — i + f Этот метод часто применялся в древних цивилизациях. По условию задачи х2 + у2 = 212 + 2 (А/2)2 = Л Отсюда определяется введенная неизвестная ,_1 Л2-2 (*/2)2 —2 как раз по алгоритму для катета по известной гипотенузе и дру¬ гому катету. Далее легко находятся искомые величины. Вторая задача о двери книги IX «Математики в девяти книгах» (задача 12) сводится к решению системы (см. рис. 42) x — z — а, y = z — b, z2 = х2 -f- у2. Отсюда z2 = (z — a)2-\-(z — b)2, Рис. 42 259 17*
или [z — (a-\-b)]2=2ab. Отсюда находится величина z, которая в задаче определена очень интересно: это неизвестная длина бамбукового шеста, совпадаю¬ щего с диагональю двери: z = yJ2ab (а Ь). Легко видеть, что теперь х = \]2ab-|-b, у = \/2аЬ а. Правило гласит: «Перемножь недостатки длины и ширины, удвой и извлеки квадратный корень. То, что получится, прибавь к не¬ достатку длины, это и будет ширина двери. Прибавь к недостатку ширины, это и будет высота двери. Прибавь к обоим, получишь диагональ двери» [50, с. 509]. Здесь же можно отметить задачи 15—20 из трактата Ван Сяо- туна, содержащего задачи на кубические, квадратные и биквад¬ ратные уравнения. Это задачи о сторонах прямоугольного тре¬ угольника. Их можно рассматривать как дальнейшее обобщение такого класса задач. Следующая группа задач на «метод гоу-гу» связана с описан¬ ными и вписанными в круг многоугольниками. В задаче 16 книги IX [50, с. 510] круг вписан в прямоугольный треугольник, диаметр которого следует определить по заданным катетам треугольника. Имеется катет гоу в 8 бу и катет гу в 15 бу. Спрашивается, каков диаметр круга, вписанного в прямоугольный треугольник? [50, с. 510]. «Правило: 8 бу — гоу, 15 бу — гу, ищи гипотенузу» [50, с. 510К Искомый диаметр вписанного круга находится по известным периметру и площади треугольника. Теорема Пифагора нужна для вычисления гипотенузы как промежуточной величины. Решается и обратная задача: прямоугольный треугольник вписан в круг, найти его катет по гипотенузе и другому катету. Такова задача 4 книги IX «Математики в девяти книгах», в которой определяется катет гу, равный 24 цуням, по гипотенузе и катету гоу, соответственно равным 25 и 7 цуням. Условие задачи гласит; «Имеется бревно диаметром 2 чи 5 цуней. Если выпилить прямо¬ угольный брус толщиной, например, в 7 цуней, то спраши¬ вается, какова будет его ширина?» [50, с. 507]. Весьма характерную группу задач, решаемых единообразно* составляют задачи о сползающем столбе, прислоненном к стене (аналогичные задачи имеются в вавилонских текстах), о камыше* растущем в середине квадратного водоема (подобные задачи имеются в индийских трактатах), о бамбуке, сломанном ветром и вершиной коснувшемся земли (также встречается у индийцев) и др. При решении этих задач рассматривается прямоугольный треугольник, для которого выполняются равенства а2=с2 — b2 = (c-\-b)(c — Ъ), 260
причем известны по условию задачи а, с-\-Ъ (или с — Ь). Тогда другие катеты находятся по правилу . Ь — (с + Ъ) ~ а21(с + ь) . __ (с - Ь) + а21(с ~ъ) и— 2 , с_ 2 К. Фогель предложил следующую реконструкцию получения этих правил. Прежде всего где в правой части (с — b) заменяется его выражением. Получается b, выраженное через данные а и (с+Ь). Аналогично находим с, сложив тождества. Получится с, выра- его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он коснется его как раз. Спрашивается, какова глубина воды и какова длина камыша?» (рис. 43) [50, в целых числах относится к области теоретико-числовых проблем. Такими проблемами занимались древние ученые и в древнем Ва¬ вилоне, и в древней Греции, и в древнем Китае. Закон составления трех пифагоровых чисел — решений для уравнений Пифагора где р, q — натуральные числа, позволил выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. В китайских задачах по этим формулам решаются задачи, составляющие отдельный класс. В них катетами являются рас¬ стояния, которые проходятся с определенными скоростями, рав¬ ными р, q. Такова задача 14 в книге IX древней «Математики в девяти книгах»: Тогда с— b = a2/(c-\-b), c-{-b=a2/(c — Ь). 2b=(c+b) - (с- 6), женное через заданные а и (с — Ь). Конечно, во времена Лю Хуэя эти тожде¬ ственные соотношения могли быть интер¬ претированы и геометрически, но, судя по текстам древних вавилонян и китай¬ цев, арифметико-алгебраический путь был, по-видимому, более ранним. Эти правила применяются при решении задачи: «Име¬ ется водоем со стороной в 1 чжан. В центре i Рис. 43 с. 507]. 8. Тройки пифагоровых чисел Решение уравнения а2+&2 = с2 а 261
«Два человека находятся в одном месте. Норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем [идет] по косому [направлению] на северо-восток до встречи с Б. Спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б?ъ [50, с. 509]. Пусть А и Б выходят из точки М (рис. 44) и, пройдя соответ¬ ственно ML-\-LN и MN, встречаются в точке N. Треугольник MNL — прямоугольный, надо найти MN и LN. Пусть MN=x, LN=z, ML=y = 10 бу. Здесь х2-\-Ю2=z2. В трактате сначала составляются «нормы ходьбы» (сип люй), которым пропорциональны стороны треугольника: 21 : 20 : 29= =MN : ML : LN. Далее определяются длины этих сторон. По¬ скольку одна из них ML известна, числа 21, 20, 29 находятся по указанному выше алгоритму: ^ 72 1 З2 «норма ходьбы по косому направлению»: —— = 29, «норма ходьбы на восток»: 7-3 = 21, (72 i 32\ —-I—J = 20. Найденные пифагоровы числа соответствуют наименьшим це¬ лым р = 7, д = 3. Приведем задачу 21 из группы задач «на город»: «Имеется город в виде квадрата со стороной в 10 ли, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. А и Б, находясь в центре города, начинают двигаться: Б идет на восток, А — на юг, какое количество он проходит от ворот, неизвестно. [Затем] он [А] идет по косому направлению так, что проходит возле угла [сто¬ роны] восточных ворот, и догоняет Б. Норма ходьбы А есть 5, Б есть 3. Спрашивается, какие пути пройдут А и Б каждый в от¬ дельности?» [50, с. 512]. В задаче (рис. 45) требуется определить MN, ML-\-LN. Из¬ вестно KF = 5 ли. Напомним, что старинный 1 ли=300 бу. Здесь также находятся сначала пифагоровы числа х, у, z, которым про¬ порциональны стороны треугольника MNL, причем здесь р=5, q=3. Тогда «норма ходьбы по косому направлению» z=(p2-}-q2)/2 = 17, «норма ходьбы на юг» у=р2 — z=8, «норма ходьбы на восток» 262
x=p.q = 15. Здесь KL _ ML у ПП? mW х * откуда kl = ^LUL — = x У У Правило решения этой задачи таково: «5 умножь само на себя, также 3 умножь само на себя, сложи и возьми половину, это норма ходьбы по косине. Норму ходьбы по косине вычти из пяти, ум¬ ноженного само на себя, остаток есть норма ходьбы на юг. 3 ум¬ ножь на 5, это норма ходьбы на восток. Возьми половину стороны города, умножь на норму ходьбы на юг, объедини с нормой ходьбы на восток, это и будет количество бу, пройденное от южных ворот. Добавь к половине стороны города, это и будет дорога на юг. Установи [количество] бу по южной дороге [или гипотенузу], умножив на норму ходьбы по косине, ищи [путь] на восток, ум¬ ножив на норму ходьбы на восток. Каждый раз это делимое. Объе¬ дини делимые с нормой ходьбы на юг, получатся [искомые] ко¬ личества бу». [Там же]. Глава третья ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА И ШАРА Задачей об измерении круга занимались еще в глубокой древ¬ ности. Во всех древних цивилизациях (по-видимому, эмпирически) было замечено, что длина окружности примерно в три раза больше длины диаметра, т. е. принимали тс=3. Но и в древнем Египте, древнем Вавилоне, древнем Китае, древней Греции математики старались вычислить это отношение более точно, в частности этой проблеме посвящено «Измерение круга» Архимеда [3, с. 226— 271]. Древнекитайские математики занялись этой задачей в I—V вв. н. э. Математик III в. Лю Хуэй вычислил число тс почти по-архиме¬ довски. В V в. Цзу Чун-чжи получил значение числа тс с шестью верными десятичными знаками. Сочинения Цзу Чун-чжи, к сожа¬ лению, не сохранились, но текст Лю Хуэя дошел до нас в виде ком¬ ментариев к двум задачам книги I «Математики в девяти книгах». 9. Древние значения числа тс. Эталон мер Ван Мана Отношение длины окружности к диаметру выражалось словами: «Обвод 3, диаметр 1» (чжоу санъ, цзин и). В дальнейшем это зна¬ чение числа тс называли «древним коэффициентом» (гу люй) в от¬ личие от более точных коэффициентов (ми люй). Термин люй — 263
«коэффициент» широко применялся в древнекитайской математике для обозначения отвлеченных чисел; для именованных чисел, представляющих конкретные количества, применялось слово шу. Как и всюду в древности, в китайской математической литера¬ туре долгое время вычислителями широко употреблялось значение числа даже тогда, когда уже были известны «лучшие» при¬ ближения этого числа. В «Математике в девяти книгах» для определения площади круга, кольца и т. д. пользуются приближенными формулами, основанными на значении ти=3. Только в одном месте при вычисле¬ нии диаметра сфзры по ее объему пользуются значением ти=27/8 = =3,375, по-видимому более удобным для извлечения кубического корня [59, с. 471, правило к задачам 23 и 24 книги IV]. Самый поздний комментатор Ли Чунь-фэн каждый раз по поводу решения задачи, в котором применяется число ти, указывает более точное значение ти=22/7, и так по всему «Десятикнижью». Он часто пере¬ считывает задачу и дает более точный соответственно ответ. Зна¬ чит, к VII в. в практику вошло значение 7т=22/7, оттеснив все остальные. Дрзвниэ жз тексты нз переделывались, а все исправ¬ ления делались, согласно установившимся правилам, в коммен¬ тариях. Такоз жз значениз ти примзняется в трактате Чжан Цю-цзяна при решзнии задачи 20 первой книги его трактата, где из кубиче¬ ского чи глины требуется сделать ядра диаметром в 1 цунь (1 чи= = 10 цуням). К задаче приложены два правила. В первом подсчет проведен при тс=27/8, а во втором «способе в соответствии с более точным коэффициентом» учитывается, что ти=22/7; на это значение указывает и Ли Чунь-фэн [51, с. 35, 68]. Кроме этих значений, в древнем Китае были известны еще не¬ сколько приближений числа п. Лю Ци (59 г. до н. э. — 23 г. н. э.) вычислил тс^3,15. Астроном Чжан Хэн (76—139 гг. н. э.) пред¬ ложил 7i:=\/10 и 92/29 = 3,1724. . . Ван Фань применял ти^142/45= =3,1556. И, наконец, Лю Хуэй предложил свой способ вычисле¬ ния числа 7г=157/50 = 3,14, изложив его в комментариях к задачам книги I «Математики в девяти книгах». Известный политический деятель и реформатор эпохи Хань, Ван Ман, дал указание своему чиновнику Лю Ци провести стан¬ дартизацию мер и весов. В 1—5 гг. н. э. Лю Ци по образцу си¬ стемы мер в каноне «Чжоу ли» создал медный ху, назвав его «Гар¬ монично прекрасная мера ху» (Люй цзя лянь ху). Это был эталон для пяти мер: юе,гэ, шэна, доу и ху. Сверху была сделана надпись и пояснение для каждой меры. В этом тексте содержится первое в истории древнекитайской математики отличное от 3 значение тг«3,1547, предложенное Лю Ци для измерения круга. Относительно меры емкости ху было высечено следующее: «Гармонично прекрасная мера ху: квадрат [со стороной в один] чи, а около него описан круг, зазор сбоку Эли 5 хао, площадь 162 цуня, глубина [один] чи, объем 1620 [куб] цуня, емкость 10 доу». 264
Напомним, что линейные меры имели соотношение: 1 чи=10 цу- ням=Ю0 фэням=1000 ли=10000 хао. Применяемая Лю Ци тер¬ минология: «площадь» (мо, как у Лю Хуэя), «объем» (цзи, в «Ма¬ тематике в девяти книгах» термин цзи употреблялся и для объемов и для площадей); «сбоку», «бок», иногда «сторона» — бань и очень важный для данного текста термин «зазор». На основании иссле¬ дований сосудов древних мер можно восстановить примерный ход вычислений, который, по-видимому, проводил Лю Ци. Смысл термина «зазор» таков: «это то, что является внешним при отсе¬ чении от диаметра круга косого диаметра внутреннего квадрата». В наших обозначениях это а (рис. 46). Эта величина а=0,0095, если за единицу, т. е. сторону квадрата, принять 1 чи. Тогда диа¬ метр круга Z)xy = tf + 2a = \/2 + 2 .0,0095 = = >/2 + 0,019 да 1,4332. Известна площадь этого круга, равная 1,62 кв. чи. Тогда с D2 (1,4332)2 , ^г^71-Т~=я 4 ^ 1>62‘ Отсюда ти=3,1546645. . .=3,1547. Чжан Хэн пользовался двумя значе¬ ниями числа тс. Одно из них мы находим в календаре «Кай юань цзянь цзин», оно равно 92/29 да 3,1724. . . Это значение Чжан Хэн применил для сравнения окруж¬ ности неба с «шириной» Земли. Другое значение, приписы¬ ваемое Чжан Хэну, имеется в комментариях к задачам 23— 24 книги IV «Математики в девяти книгах» (тсда\/10даЗ,1622. . .). В этих задачах по объему сферы находится ее диаметр и при этом используется значение тг=27/8. Для определения объема шара, по-видимому, рассматривали отношение объема шара к объему кругового цилиндра, касающегося шара, а также отношение объема этого цилиндра к объему куба, касающегося этого цилиндра, и устанавливали равенство этих отношений. Но если отношение площади квадрата, построенного на диаметре круга, т. е. квадрата, описанного около круга, к пло¬ щади круга равно 4/3, то объем куба относится к объему шара, как 42 : З2, т. е. объем шара V = j^Dz, где Z) —его диаметр. В указан- 3 Г ^0 ных задачах определяется диаметр D—y у V. Чжан Хэн испра¬ вил это приближенное значение объема шара на более точное: ,'=Й0'+ИС’ = Т0"’ Рис. 46 18 Э. И. Березкина 265
отсюда он получил, что 4г2: тгг2 = \J8 : \J5, т. е. n = \JiO. Этим значением пользовались Брахмагупта (VI в.) и ал-Хорезми (IX в.). 10. Метод Лю Хуэя и его понятие предела Лю Хуэй в своих комментариях к «Математике в девяти книгах», так же как Архимед в первом предложении «Измерения круга», дает формулу площади круга как половину произведения окруж¬ ности на радиус, но при этом Лю Хуэй говорит не о треугольнике, а о прямоугольнике, являющемся эталоном измерения площадей. У Архимеда предложение сформулировано следующим образом: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем ра¬ диус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника» [3, с. 266]. Во втором предложении Архимеда «Круг к квадрату на диаметре относится, как 11 к 14» [3, с. 267] дается число п=22/7. В третьем предло¬ жении Архимеда «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых» [3, с. 267] даются более точ¬ ные неравенства значения ти: 3 10/71 < ти <3 1/7, что соответствует неравенствам в десятичных дробях: 3,14084 < тг < 3,14286, т. е. приближенно тг=3,14. Архимед показал это предложение при помощи вписанных и описанных правильных тг-угольников (п=6, 12, 24, 48, 96), для которых подсчитывает отношения радиуса к периметру, дающие последовательные приближения 1/ти. При бесконечном увеличении числа сторон периметры вписан¬ ных и описанных многоугольников приближаются к длине окруж¬ ности. Последовательность периметров описанных многоугольни¬ ков дает верхний предел отношения, а вписанных — нижний. Лю Хуэй рассматривает последовательность вписанных тг-уголь- ников при п=6, 12, 24, 48, 96 и 192. Но для верхней оценки он не прибегает к описанным многоугольникам, а пользуется некоторой многоступенчатой фигурой. После задач 31—32 книги I «Измерение полей» в «Математике в девяти книгах» следует правило вычисления площади круга в четырех вариантах, которые можно выразить формулами с_с D q—cd с 3Z)2 q—°2 ** — 2 2’ — 4 » ~ 4 * — 12 9 где S — площадь круга, С — его «обвод» (чжоу), D — диаметр круга. Ясно, что здесь принимается п=3. Для древних это были разные правила. Первое из них имело вид: «Умножь половину обвода на половину диаметра, получишь площадь в бу»; имелась 266
в виду площадь поля в виде круга. Именно к этому правилу написан основной комментарий Лю Хуэя, содержащий его вычисления числа ти. Лю Хуэй сразу же замечает, что первая формула для пло¬ щади круга, по существу, не что иное, как равенство площади круга площади прямоугольника с «длиной», равной полокружности, и «шириной», равной радиусу. «Пусть половина обвода будет „длиной44, а половина диаметра будет „шириной44; тогда „ширина44 и „длина44, умноженные друг на друга, будут „площадь44 в бу», — пишет Лю Хуэй. Затем он по¬ ясняет, что при ти-— 3 фактически за площадь круга принимается площадь правильного внисанного в круг шестиугольника: «Пред¬ положим, диаметр круга 2 чи; [тогда] сторона вписанного в круг 6-угольника и половина диаметра круга численно равны. Соот¬ ветственно коэффициент для диаметра 1, а коэффициент для внеш¬ него обвода 3». Здесь сторону многоугольника Лю называет имянъ — «одна сторона», шестиугольник — лю гу — «6 углов», и далее он называет n-угольник п—гу, ставя каждый раз вместо п соответ¬ ственное число 6, 12, 24, . . . Выражение юань чжун и («внутри круга») означает у Лю Хуэя «вписан в круг», вай чжоу («внешний обвод») применяется здесь для длины окружности, в которую впи¬ сан многоугольник. Эта терминология — новая по отношению к «Ма¬ тематике в девяти книгах». Для площади Лю Хуэй применяет иероглиф ми вместо цзи, применявшегося в «Математике в девяти книгах». Площадь правильного вписанного 2/г-угольника Лю вычисляет по правилу о ^ И ° 2п ап 2 ~2 9 где ап — сторона правильного вписанного /г-угольника, подобного данному. Вот слова Лю: «Взяв сторону 6-угольника, умножь на полудиаметр, увеличь втрое, получишь площадь 12-угольника. Если снова разделить его, то следующий раз сторона 12-уголь¬ ника, умноженная на полудиаметр, увеличенная в 6 раз, даст площадь 24-угольника». Процесс удвоения числа сторон не описан подробно, как у Ар¬ химеда. Лю Хуэй применяет здесь термин ге — «делить, резать». Процесс удвоения сторон предполагает нахождение середины сто¬ роны многоугольника, проведение через нее радиуса, соединение последовательно получившихся новых точек на окружности с вер¬ шинами рассматриваемого многоугольника. Таким образом, по¬ лучается новый нужный многоугольник. Дальше Лю Хуэй излагает основной принцип своего метода: «Дели их все мельче и мельче, и недостаток будет все меньше и меньше. [Если] делить их и делить до тех пор, пока деление не станет невозможным, то будет телесное совпадение периметра с окружностью и недостатка не будет». Это понятие предела древний автор выразил с помощью следующей терминологии. Здесь «не¬ достаток» (ши) — то же, что и «зазор». При достаточно большом п сторона а2п будет настолько малой, что делить ее «станет невозможно» 267 18*
(бу кэ ге). Периметр многоугольника, как сказал Лю Хуэй, «сов¬ падает телесно», (хэ ти) с окружностью, и, таким образом, не будет «зазора» между окружностью и многоугольником. Верхняя оценка Лю Хуэя такова: он рассматривает величину СЕ — «остаток от диаметра» (юй цзин) (рис. 47), который надо принять за высоту прямоугольника. Основанием этого прямо¬ угольника служит сторона вписанного в круг тг-угольника. Та¬ ким образом, на каждой стороне /г-угольника строится узкий прямоугольник, «полоска» (бяо). В этих прямоугольничках заклю¬ чены сегменты, остающиеся от круга при удалении из него п- с угольника. Эти прямоугольники Лю Хуэй описывает иерогли¬ фами ми чу гу бяо («полоска площади, выступающей за многоуголь¬ ник»). Площадь этих полосок, примыкающих к га-угольнику, равна ч ^пол = ап ’ СЕ • п. Лю Хуэй пишет: «С внешней стороны угольника имеется остаток диаметра. Взяв сторону, умножь на остаток диаметра. Образуется полоска площади, выходящей за многоугольник. Если дугу делать все мельче, тогда круг совпадает с многоугольником и в измеряе¬ мой полоске не будет остатка диаметра. Полоска не будет иметь остатка диаметра, тогда и измеряемая площадь не будет выступать за пределы». После этого Лю Хуэй обращается к учащимся и сетует на труд¬ ности вычисления площади круга, которая определяется не точно, но только приближенно. Далее Лю Хуэй проводит свои вычисления сторон 6-, 12-, 24-, 48-, 96-угольников с применением теоремы Пифагора, значения этих сторон были нужны для определения площади многоугольника по приведенной выше формуле: «Способ преобразования 6-уголь¬ ника в 12-угольник: установи диаметр круга 2 чи, половина его будет равна 1 чи. Этому же [числу] равна сторона вписанного 6-угольника. Пусть полудиаметр 1 чи будет гипотенузой, пол¬ стороны 5 цуней будет катетом гоу. Возьми их для отыскания катета гу. Взяв квадрат гоу за 25 цуней, вычти из квадрата ги¬ потенузы, остаток 75 цуней. Извлеки корень делением вплоть 268
до мяо, ху». В наших терминах Лю Хуэй предлагает произвести извлечение корня до четвертого десятичного знака: он пользуется десятичными дробями — фэнями (десятыми долями числа), ли (сотыми), мяо (тысячными) и ху (десятитысячными). Дальнейшие десятичные дроби Лю Хуэй называет общим термином вэй — «мельчайшие». В предположении Лю Хуэя полудиаметр ОВ=1 чи (рис. 48)— гипотенуза, полстороны BE=5 цуням — катет гоу прямоуголь¬ ного треугольника ОБЕ, тогда другой его катет гу ОЕ будет равен Цзу Чун-чжи (429—500), пожалуй, самый знаменитый китай¬ ский ученый в истории науки — его изображение помещено среди выдающихся деятелей мировой науки в фойе актового зала Московского университета. Цзу Чун-чжи знаменит главным об¬ разом своими вычислениями числа п. Цзу Чун-чжи был профессиональным астрономом; известно, что в 462 г. он исправлял и уточнял календарь того времени. Его календарь «Даминли» весьма известен в истории китайской астрономии. Свой способ вычисления круга он изложил в книге «Цзиши», этот способ так и называли цзи. В историях династий не раз указывается, что Цзу Чун-чжи и его сын Цзу Хэн были авторами книги «Цзищи», состоящей из 6 или 5 свитков. Указы¬ вается также, что Цзу Чун-чжи комментировал текст «Математики в девяти книгах». О Цзу Чун-чжи упоминают в своем трактате Ван Сяо-тун и Цинь Цзю-шао — математики, занимавшиеся численным решением уравнений высших степеней. Судя по этим упоминаниям, Цзу Чун-чжи уже в V в. рассматривал уравнения третьей сте¬ пени. Сама книга Цзу Чун-чжи утеряна, и в математическом сборнике «Ши бу суань цзин» (1084), содержащем десять трак¬ татов, этой книги уже не было. Так как сочинение Цзу Чун-чжи утеряно, в истории китай¬ ской математики существует несколько гипотез относительно его метода вычисления числа тт. Основой для реконструкций служит единственная большая цитата из «Истории династии Суй», где упоминается, что вслед за Лю Ци, Чжан Хэном, Лю Хуэем занялся задачей измерения круга Цзу Чун-чжи й бле¬ стяще разрешил ее. Если принять диаметр круга равным 1 чжану, то «обвод круга» (юань чжоу) будет равен с избытком 3 чжанам i чи i цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 7 ху, с недостатком 3 чжанам 1 чи i цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 6 ху. Истинное значение ле¬ жит между ними. «Точное значение» для диаметра круга равно 113, длина окружности равна 355, их сокращенные зна¬ чения — диаметр равен 7, окружность равна 22. Если предположить, что Цзу Чун-чжи, редактируя «Матема¬ тику в девяти книгах», следовал за Лю Хуэем и пользовался 11. Цзу Чун-чжи 269
его методом, то он должен был принять диаметр круга равным 108 чжанамг применить неравен¬ ство S2n<^ S < S2n+(S2n—Sn) и вычислить площади вписан¬ ных правильных 12288-, 24576- угольников, и, таким образом, получается неравенство 3,1415926 < ти < 3,1415927. Мы уже указывали, что Цзу Чун-чжи дал приближен¬ ные значения числа п в про¬ стых дробях 22/7 и 355/113. Так как эти дроби являются подходящими дробями для не¬ прерывной дроби, выражающей отношение длины окружности к диаметру, некоторые исто¬ рики науки считают, что Цзу Чун-чжи пользовался не¬ прерывными дробями. Результат Цзу Чун-чжи был перекрыт в 1427 г. самарканд¬ ским математиком ал-Каши. Мы уже упоминали вычисление Цзу Чун-чжи и его сыном Цзу Хэном объема шара с помощью атомистических [соображе¬ ний. В «Истории династии Сун» говорится, что Цзу Чун-чжи за¬ нимался «площадями и объемами, находя их по разностям с помощью извлечения корней». Это значит, поясняет Цянь Бао-цун [110, с. 86], Цзу Чун-чжи находит по площади или объему значение неизвестной «ширины», если известны ее раз¬ ности с «длиной» и с «высотой». Если х — ширина, х-\-к — длина, х-\-Z— высота параллелепипеда с объемом F, то V= =х (,х-\-к) (я+Z), т. е. получается кубическое уравнение для х. Аналогично для прямоугольника получается квадратное урав¬ нение. Имеется упоминание об отрицательных числах, по-види- мому, Цзу Чун-чжи применял их в качестве коэффициентов уравнений. Ван Сяо-тун пишет также о задачах Цзу Чун-чжи о шарах и пирамидах и о его задачах «о городе», по-видимому близких к задаче 20 книги IX «Математики в девяти книгах»: эта задача, как известно, составлена специально для численного Урешения квадратного уравнения, когда корень уравнения находится пу¬ тем «извлечения корня делением». У Цинь Цзю-шао задача та¬ кого же класса применяется для численного решения уравне¬ ния десятой степени.
Г лава четвертая ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО НЕДОСТУПНЫХ ПРЕДМЕТОВ 12. Три классические задачи древней «Математики в девяти книгах» Три самые последние задачи «Математики в девяти книгах» относятся к практической геометрии. Именно к ним Лю Хуэй написал приложение, которое впоследствии составителями «Десятикнижья» было превращено в самостоятельный «Трактат о морском острове». В «Математике" в девяти книгах» представлены все три вида простейших измерений на местности: с помощью веревки, шеста и угольника, которые применялись и в дальнейшем в китайской измерительной практике. В этих простейших случаях произво¬ дится одно измерение для определения одной неизвестной: нахо¬ дятся расстояние до дерева, высота горы и глубина колодца. Для решения в этих задачах достаточно рассмотреть пару подоб¬ ных прямоугольных треугольников. В задаче 22 девятой книги «Математики в девяти книгах» измеряется расстояние y=AD (рис. 50) от наблюдателя до дерева с помощью четырех столбиков А, В, С, О, расставленных по углам квадрата АВСО со стороной, равной 1=1 чжану. Когда человек смотрит на дерево из точки О, то проекция дерева — точка Е — на стороне ВС отсекает отрезок ЕС = 1Х=0,03 чжана (в оригинале десятичных дробей нет, но мы выражаем все величины в одной мере, в чжанах — китайских саженях). Искомое расстояние находится из пропорции, составленной на основании подобия треугольников AOD и CEO: у = Эта задача составлена для li того, чтобы продемонстрировать определение расстояния до недоступного предмета с помощью мерной веревки и фиксиро¬ ванной на ней проекции данного предмета. В решении использу¬ ется подобие двух прямоугольных треугольников. В следующей задаче 23 этой же книги определяется высота горы PQ=x (рис. 51). Расстояние BQ=b до нее известно. На¬ блюдатель пользуется шестом высотой AB=hv Известно расстоя¬ ние BD=d. Известен также DO=h — уровень зрения наблю¬ дателя. В этой задаче рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугольников АКР и OLA. Искомая величина находится из пропорции Эта задача посвящена измерению высоты недоступного предмета с помощью измерительного шеста. Для решения задачи исполь¬ зуется'пара подобных прямоугольных треугольников. х — h1 hi — h Ь d, или х 271
Рис. 50. «Дерево» Рис. 51. «Гора» h Я Рис. 52. «Колодец» Наконец, последняя задача «Математики в девяти книгах», задача 24 книги IX, заключается в том, что в «ей определяется глубина колодца BD=x при помощи измерительного шеста за¬ данной высоты OA=h (рис. 52). Измеряется отрезок АЕ = 1, полученный при проектировании «границы воды и стены» — точки D — на диаметр колодца AB=d, когда наблюдатель смот¬ рит из точки О. Искомая величина находится по формуле X : h (d — I) I в которую входят стороны подобных прямоугольных треуголь¬ ников ОАЕ и DBE. Эта задача относится к измерениям на мест¬ ности, когда пользуются угольником, т. е. двумя линейками, соединенными под прямым углом, при этом вертикальная линейка постоянной «высоты», а на горизонтальной линейке отмеряется отрезок от вершины прямого угла до точки — проекции наблю¬ даемого объекта. Таким образом, эта задача составлена на изме¬ рение глубины с помощью угольника. Снова используется пара подобных прямоугольных треугольников. Следует заметить, что измерения на местности производятся также в «задачах о городе», имеющихся как в «Математике в де¬ вяти книгах», так и у Цинь Цзю-шао. Мы рассмотрели их выше в связи с численным решением уравнений высших [степеней. 13. «Метод чжун-ча» у Лю Хуэя. Подобие треугольников Под таким названием Лю Хуэй поместил свои задачи по практической геометрии, хотя в самом тексте этот термин не употребляется. Термин заимствован из древней астрономии, 272
как и первая задача, рассмотренная Лю Хуэем. В древней астро¬ номии была предпринята попытка определить* высоту Солнца над горизонтом и расстояние до места падения его вертикальных лучей. Лю Хуэй преобразовал эту задачу в задачу о земных рас¬ стояниях: он определил высоту морского острова и расстояние до него. Первая задача Лю Хуэя такова: «Наблюдают морской остров. [Для этого] установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана. Предыдущий [шест] от последующего удален на 1000 бу. Пусть последующий шест вместе с предыдущим находятся на одной прямой. Если отойти по прямой от предыдущего шеста на 123 бу, то глаз человека, Р л Рис. 53. «Морской остров» f 8 Of Л к аг-а, '—, ' ' , ' у аг [лежащего] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Если отойти по прямой от по¬ следующего шеста на 127 бу, то глаз человека, [лежащего] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста также совпадающим с вершияой острова. Спрашивается, какова высота острова и его удаленность от шеста? Ответ: Высота острова 4 ли 55 бу, уда¬ ленность от шеста 102 ли 150 бу» [17, с. 233]. Пусть PQ=x — высота морского острова (рис. 53) (в астро¬ номической задаче Р — Солнце). А В и CD — измерительные шесты высотой А, соответственно «предыдущий» и (^последую¬ щий». 0± и 02 — точки, из которых виден пик острова Р. Расстоя¬ ние от шеста АВ до острова QB обозначим через у. Таким обра¬ зом, заданы отрезки: ^4C=d=1000 бу, В01=а1 = 123 бу, D02 = =а2 = 127 бу, AB = CD=h=3 чжана. Для решения следует провести С К \\ АО г или осуществить параллельный перенос треугольника АВОг на расстояние d. Как на самом деле это осуществляли древние, неизвестно, чер¬ тежи до нас не дошли, мы реконструируем их сами по тексту древних задач и правил к ним. Из подобия прямоугольных тре¬ угольников РВА и CD К, а также треугольников РАС и СК02 следует ряд отношений их сторон х — h у d h ах а2 — cl\ 9 273
откуда x = h^-\-h, y = atft где ^ = dj(a2 — al); по названию этого отношения двух разностей метод решения подобных задач и был назван «двухслойной разностью». Этот метод состоит в том, что на основании подобия прямоугольных треугольников PRC и CD02, PRA и CD К и пропорциональности их сторон можно прийти к подобию произвольных треугольни¬ ков РАС и СК02, стороны которых являются разностями d р и а2—ai сторон рассмотренных ранее прямоугольных треуголь¬ ников. И это подобие выражено «двухслойной» разностью, при¬ чем у — коэффициент пропор¬ циональности. Вторая задача Лю Хуэя, — ее любят цитировать в историко¬ математической литературе (см. [81, с. 68, 147]), — анало- Рис. 54. «Сосна» ГИЧНЙ П6РВ0Й; В Н6Й опРеДеля; ется высота сосны, растущей на вершине холма, и расстоя¬ ние до этого холма. Наблюдатель производит три наблюде¬ ния, два из которых такие же, как в первой задаче (при по¬ мощи двух шестов одинаковой высоты наблюдается вершина сосны), а третье наблюдение заключается в том, что нахо¬ дится проекция основания сосны на первом шесте (точка L), (рис. 54). Таким образом, известны расстояния, на которые надо отойти от шестов, чтобы увидеть вершину сосны: ВОх=ах, D02=a2, расстояние между шестами d, высота этих шестов h и отрезок I на первом шесте, который откладывается при наблю¬ дении основания сосны из точки Ог. Решение также основано на подобии треугольников РАС и СК02, PR А и АВ01, PSOx и ALOx, полученных при проведении С К j| Здесь рассматри- Баются две пары произвольных подобных треугольников и одна пара прямоугольных. Из ряда отношений, составленных из сто¬ рон подобных треугольников, получаются формулы для иско¬ мых величин: y=ai(j х=1ч+1. Здесь также y=d/(a2—ах). Это те же формулы первой задачи, в них лишь для х взята вели¬ чина Z, а не h («сжатие»). Эта задача интересна именно в сово¬ купности с первой, а также с последующими третьей и четвертой, поскольку они демонстрируют единый метод. «Метод чжун-ча» продемонстрирован древним автором также на задачах 3, 4. Рассмотрим сначала задачу 4. «Наблюдают глу¬ бокое ущелье, смотрят вниз по угольнику, [стоя] у края на¬ верху. Пусть высота [катета] гоу 6 чи. На конце [катета] гоу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на нижнем [катете] гу [отсекается^ 9 чи 1 цунь. В другой раз установили 274
второй угольник кверху [от первого], расстояние между уголь¬ никами 3 чжана. Теперь на конце [катета] гу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на верхнем [катете] гу [отсекается] 8 чи 5 цуней. Спрашивается, какова глубина? От¬ вет: 41 чжан 9 чи». Известно: 0102=d, 01B=02P=h, АВ=а1, CD=a2 (рис. 55). Искомая величина у находится следующим образом. Из подобия треугольников PQ02 и CD02 следует PQ/CD =02Q/02D; а из подобия треугольников PQOx и АВОг следует пропорция PQlAB^O&lOiB. Но 02В^0гВ=К т. е. CD-02Q=AB-01Q или а2 (y+h+d)=a1 (y+h). ^ Поэтому (аг—а2) y=a2d—h (ах—а2), откуда // а* y=a24'—h, / \и1 где Y'=d/(a1—а2). / /7' В / Правило гласит: «Установи промежуток // между угольниками и, взяв верхний ка- / / тет гу, умножь на него, это делимое. Верх- ний и нижний [катеты] гу вычти один из L другого, остаток будет делителем, раздели Р Q на него. Из того, что получится, вычти вы- _ г i ’ * * Рис. 55. «Ущелье» соту 1катета] гоу, это и будет глубина ущелья». Рассмотрим теперь задачу 3. «Наблюдают на юге город с квадратной [стеной] неизвестных*размеров. [Для этого] уста¬ новили пару вертикальных шестов на востоке и на западе с рас¬ стоянием между ними 6 чжанов и на уровне глаза человека на¬ тянули веревку между ними. Пусть восточный шест вместе с юго- восточным углом и северо-восточным углом города находятся на одной прямой. Тогда [если] отойти на север от восточного шеста на 5 бу, то можно наблюдать северо-западный угол города [на расстоянии ] 2 чжана 2 чи 6 цуней с половиной внутри на веревке от восточного ее конца. [Если] в другой раз отойти на север от шеста на 13 бу 2 чи, то северо-западный угол города можно на¬ блюдать в точности совпадающим с западным шестом. Спраши¬ вается, какова сторона города и насколько город удален от шеста? Ответ: Сторона города 3 ли 43 3/4 бу, город удален от шеста на 4 ли 45 бу». Заданы (рис. 56): длина веревки AB—d, первый отход от шеста А01=а1, второй отход А02=а2, отрезок АК = 1, искомые PQ~x и AQ=y. Для решения проводится KL параллельно Р02. Рассматривается пара прямоугольных треугольников АВ02 и AKL. Отсюда Л£ = -^|- = 8. Далее находится отрезок ОгЬ = Ъ — необходимый для пропорции Р011К01 = (а2—а-^Ю^Ь, вытекаю¬ щей из подобия треугольников Р0102 и КОгЬ. Третья пара по¬ 275
добных прямоугольных треугольников — это PQOx и КАО±. Они дают пропорцию х/1=Р011К01. Таким образом, получается т = ((Ь — а') их — Ца2 — аг)1(Ь — аг), а также у —аг (а2 — §)/(§ — ах). Как видно, условия этих первых задач весьма просты, но они не являются повторением классических задач «Математики в девяти книгах», рассмотренных в предыдущем параграфе. Лю Хуэй развил далее методы измерения на местности. Он учел, что следует измерять обычно не только высоту недоступ¬ ного предмета, но и расстояние до него. Для этого требуется провести два или более наблюдений. Лю Хуэй посвящает этой проблеме две первые свои задачи. Он занимается также вычисле¬ нием ширины наблюдаемого объекта при помощи измерительных инструментов (за¬ дачи 3, 6, 8, 9). Содержание задач ► Лю Хуэя таково: в них определяются 1) высота морского острова и расстояние до него; 2) высота сосны на холме и рас- ‘ стояние до нее; 3) размер городской стены у в виде квадрата; 4) глубина ущелья; 5) высота пагоды; 6) ширина реки; 7) глу¬ бина водоема; 8) ширина переправы; 9) размер городской стены в виде прямо¬ угольника. Рис. 56. «Город» С точкизРения вида измерений в «Ма¬ тематическом трактате о морском острове» Лю Хуэя измерениям при помощи мерной веревки посвящены две задачи (задачи 3, 6), при помощи пары шестов — две задачи (задачи 1, 2), при помощи пары угольни¬ ков — остальные пять задач (задачи 4, 5, 7—9). Основным типом измерений, как видим, являются измерения с помощью уголь¬ ника. В этих задачах находится как глубина, так и ширина объектов (задачи 4, 7 и 8, 9). Чаще всего в задачах Лю Хуэя про¬ изводятся три наблюдения, а в одной (задача 7) — даже четыре. Именно: ъ задачах 1, 3, 4 — два наблюдения, в задачах 2, 5, 6, 8, 9 — три наблюдения. Следовательно, типичной задачей в со¬ чинении Лю Хуэя должна быть та, в которой при помощи трех измерейий угольником определяется ширина недоступного объекта. Такой задачей является задача 8. Приведем задачу 8 трактата: «Взошли на гору для наблю¬ дения переправы вброд, переправа находится к югу от горы. Смотрят вниз по угольнику, [стоя] наверху на горе, пусть вы¬ сота катета гоу 1 чжан 2 чи. На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег переправы, [при этом] на нижнем катете гу [откладывается] еще 2 чжана 3 чи 1 цунь. Наблюдают северный берег переправы, [при этом] внутри катета гу от пре¬ дыдущего наблюдения [откладывается] 1 чжан 8 цуней. Подня¬ лись выше на отвесный утес, отошли точно на север на 22 бу, взошли выше на 51 бу, смотрят вниз по угольнику сверху с горы. 276
На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег переправы, [при этом] внутри на верхнем катете гу [откладыва¬ ется] 2 чжана 2 чи. Спрашивается, какова ширина переправы? Ответ: 2 ли 102 бу. Способ: взяв высоту катета гоу, умножь на нижний катет гу, составь в одно [число] с верхним катетом гу. Из того, что полу¬ чится, вычти высоту катета гу, остаток есть делитель. Установи [то, на сколько] отошли на север, умножь на высоту катета гоу, составь в одно [число] с верхним катетом гу. То, что получится, вычти из восхождения вверх. Остаток умножь на [то, сколько отложилось] внутри катета гу. Делимое и делитель объедини в одно [число] и получишь ширину переправы». Рис. 57. «Переправа» 4ч /Себер) ГЮг) Заданы (рис. 57): 01A=02C„=h=l чжан 2 чи; при первом наблюдении АВ=аг=2 чжана 3чи 1 цунь, BL = l = i чжан8 цуней; при втором CD'=a2=2 чжана 2 чи, при этом AR=d1=22 бу; CR=d2=5l бу; надо найти PQ=x. В древнем правиле, по существу, описана формула — - h Наша реконструкция решения следующая. Из подобия треуголь¬ ников OxSP и ОхАЬ следует —~~Г> что дает SP—°lS ^ ~ ^. Но из подобия 02CD и 02TQ вытекает h d2 +OtS &2, ~f- S P * подставляя сюда SP, получим {x+dj h+OiS (a1—l)=a2 (da+O^), что дает значение Q g ^2^2 — Ь(Х ^г) 1 (al — 0 — fl2 277
С другой стороны, значение можно выразить из пропорции xIl=01PI01L (в силу подобия треугольников OxPQ и ОхЬВ) и из пропорции 01P/01L=01S/h (в силу подобия треугольников OxSP и ОгАЬ). Таким образом, xh (аг—l—a2) = la2d2—lh (,x-\-d2), откуда и получается формула для искомой величины, эквива¬ лентная предложенному правилом алгоритму. Комментатор Ли Чунь-фэн подсчитал, что действительно х=102 бу = 2 ли 102 бу. 14. Задачи на измерение расстояний в других трактатах «Десятикнижья» В трактате Сунь-цзы встречается всего лишь одна задача этого типа: задача 25 третьей книги трактата. В ней измеряются тени от вертикальных столбов ВС=а, В^С^а^ высота одного из них известна, ^4151=А1, высоту другого требуется найти: x=ah1/a1. В задаче рассмотрена пара подобных и подобно рас¬ положенных треугольников с прямыми углами ABC и А1В1С1 (рис. 58). Напомним, что Сунь-цзы специально интересовался операциями с именованными десятичными дробями, которым он и посвятил свой трактат. И здесь для него, по-видимому, была важна не сама задача, но вычисления, которые следует произво¬ дить при ее решении. т" Рис. 58 Рис. 59 В отличие от Сунь-цзы Чжан Цю-цзянь поместил в свой трак¬ тат задачи для всех трех видов измерительных инструментов (веревки, шеста, угольника). Это еще раз подтверждает нашу реконструкцию относительно древней классификации задач на измерение расстояний до недоступных предметов. Классифика¬ ция первоначально была основана на внешних признаках: какие инструменты применялись. Однако довольно скоро древние поняли, что, как и в других случаях, основным является метод решения. Здесь рассматриваются подобные треугольники, сна¬ чала прямоугольные, а затем произвольные. И если обращать внимание на существо метода, то внешние признаки станут не¬ существенными. 278
В трактате Чжан Цю-цзяня три измерительных задачи. Одна из них — задача 12 первой книги трактата. В ней опреде¬ ляется неизвестная ширина реки х наблюдателем, которому из¬ вестна высота берега и который отошел от него на некоторое расстояние а. Высота уровня зрения человека А. Искомая х= ^hidlh. В задачах рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугольников (рис. 59). В задаче 14 этой же книги трактата Чжан Цю-цзяня следует определить уже две величины: высоту дерева х и расстояние у от наблюдателя до дерева с помощью измерительного шеста вы¬ соты h. Для нахождения/неизвестных наблюдатель производит два наблюдения, как в задачах Лю Хуэя. Стоя на некотором Р р м расстоянии dx от шеста, он видит вершину шеста совпадающей с основанием дерева (шест ниже человека); лежа наблюдает с земли вершину шеста совпадающей с вершиной дерева (рис. 60). Решение этой задачи основано на подобии прямоугольных тре^ угольников AQB и ОгАК, APL и 02АВ. Из первой пары треуголь^ ников находится расстояние от шеста до дерева по формуле: y=hd1I(h1—h). Из второй пары треугольников находится высота дерева Задачи, аналогичные задаче 15 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня, которую мы теперь рассмотрим, много раз встреча¬ ются у Цинь Цзю-шао. Такая задача есть и у Лю Хуэя. В этой задаче требуется найти размеры стены «города» (рис. 61) MN=хг, LN=x2, находясь на некотором расстоянии NC=y от нее, также подлежащем определению, при помощи четырех измерительных столбиков О, А, Е, С, расставленных, как в за¬ даче 22 «Математики в девяти книгах» (см. выше), по углам квадрата с заданной стороной а. Наблюдатель находится L х Рис. 60 Рис. 61 279
в точке О и получает при наблюдении объекта некоторые проек¬ ции, фиксируемые на сторонах квадрата. При решении данной задачи также требуется рассмотреть пары подобных прямоуголь¬ ных треугольников. Согласно древнему правилу сначала нахо¬ дится у. Для этого рассматриваются прямоугольные треуголь¬ ники OCN и В АО: у = — ]-а . Затем находится отрезок xv Для этого рассматривают треугольники ОСМ и DAO: у. 2 Наконец, третья искомая, отрезок хг, находится по правилу, которое можно выразить формулой а^у в принятых обозначениях, где y—ls=KN и LN/OC=KN/KC, пропорция, полученная из подобия треугольников LNK и ОСК. 15. «Измерения и наблюдения» у Цинь Цзю-шао В свитках 7—8 (четвертая книга) «Класс задач на измерения и наблюдения» (Це ван лэй) трактата Цинь Цзю-шао содержатся девять задач, как в трактате Лю Хуэя. Однако они отличаются от древних тем, что они болеем разнообразны и служат не только тому, чтобы показать метод «чжун-ча», рассматривавшийся Лю Хуэем. У Цинь Цзю-шао имеются как простые (см., например, задачу 4 свитка 8), так и сложные задачи, но почти все они включают в свои условия весьма реальное описание измерений на местности. Древнюю терминологию средневековый автор приме¬ нял по мере надобности. Во всех задачах, не связанных с урав¬ нениями высших степеней, с нелинейными уравнениями, в пра¬ вилах рекомендуется применять методы «гоу-гу» и «чжун-ча». Начальная фраза во всех этих правилах: «Ищи это при по¬ мощи гоу-гу, введи чжун-ча». В задачах Цинь Цзю-шао определяются: 1) высота горы и рас¬ стояние до нее, 2) глубина рва и расстояние до воды, 3) ширина реки, 4) (или задача 1 свитка 8) размеры стены квадратного го¬ рода, 5) диаметр стены круглого города, 6) диаметр круглого вражеского лагеря, 7) расстояние до вражеского лагеря, 8) диа¬ метр круглого озера, 9) высота пагоды и некоторые другие пара¬ метры ее. Задача 1 Цинь Цзю-щдо такова: «Наблюдение высоты горы и расстояния [до нее]. Задача о знаменитой горе неизвестной высоты и удаленной на неизвестное расстояние от городской стены. За городской стеной на ровном месте имеется некий столб высотой в 2 чжана 3 чи. Пусть [он] будет предыдущим шестом, и тогда установи последующий шест одинаковой высоты со стол¬ бом, так что они будут удалены друг от друга на 164 бу. Если сначала отойти от предыдущего шеста на 3 чжана 9 цуней, а за¬ тем отойти от последующего шеста на 3 чжана 1 чи 3 цуня, то горный пик будет наблюдаться по наклонной вровень с верх¬ ними концами шестов. Уровень зрения человека 5 чи. Делитель 280
для ли 360, делитель для бу 5 чи. Как узнать высоту горы и рас¬ стояние до нее? Ответ: Высота горы 20Jc половиной ли 3 3/5 бу, расстояние до нее 27 ли^328 67/575 бу» [105, с. 161]. Пусть вершина Р высоты PR=x и расстояние до нее R02=y подлежат определению (рис. 62). Известны высота измерительных шестов ^451=С,7)1=А,Трасстояние,гмежду ними AC=d, отрезки #!#=% и 02D=a2, нагкоторыегследует отойти, чтобы наблю¬ дать оба раза пик Р^совпадающим^точками А, С. Высота уровня зрения 01E=02F=h1. " 5 Задача вполне стандартна, она аналогична задаче 1 |из трак¬ тата Лю Хуэя. Разница заключается в том, что наблюдатель производит измерения стоя, а не с земли лежа. Таким образом, Р S /9 Рис. 62 \ я d' St Е Л, У в формулы для искомых величин войдет не й, а разность Ah= =h—h±. Кроме того, здесь искомые х ж у являются не PQ и QE, a PR и R02. Отсюда трансформация формул для хну. Согласно методу «чжун-ча» для решения задачи необходимо провести С К || АОг. Из подобия прямоугольных треугольников PR02 и CD02 следует ряд отношений соответствующих сторон я/Д/г= =у/а2=Р02/С02. Из подобия треугольников Р0г02 и СК02 следует Р02 d -j- (а2 — ^i) СО 2 d2 — d\ Таким образом, искомые величины находятся по формулам Дh [d 4- (а2 — fli)] {Ml [d -f- (a2 — ax)]} a2 X : У: a2 — fli 17 Дh (fl2 — ®i) Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в на¬ ших обозначениях можно передать следующим образом: 1) делитель для х равен (а2—аг), 2) составляется «верхнее число»: d-\-(a2—ах), 3) делимое для х равно A h [d-\- (а2—ах) I, /v Y \d “f- (^2 ““ ®l)] 4) формула для х: х — —-—L-L-* —, а2 — flj 5) делитель для у равен (а2—%) А /г, 6) делимое для у равно а2 (А/г \d-\-(a2—a^)]}, 7) формула для у: у= {М а*. 19 Э. И. Березкина 281
Таким образом, эта задача является типичной задачей изме¬ рения на местности при помощи двух шестов. Производятся два измерения, определяются две величины: высота и расстояние до объекта. Приведенные Цинь Цзю-шао формулы отличаются от формул Лю Хуэя тем, что в данной задаче искомая у опреде¬ ляется несколько иначе. Следующая задача на метод «чжун-ча» — довольно простая задача 3 того^же свитка VII. В ней говорится о том, как путе¬ шествующий чиновник встретил на своем пути реку и решил измерить ее ширину PQ=x (рис. 63). При помощи отвеса он из¬ мерил крутой берег реки, вы¬ сота которого оказалась равной NK=h2=3 чжанам. Далее на¬ блюдатель пользуется бамбуко¬ вой тростью длинойLB=а=6чи, держит ее горизонтально, осно¬ вание трости лежит на уровне подбородка на расстоянии h=5 цуням от глаза. Чинов¬ ник видит противоположный Р £ Q берег реки, песчаную отмель Рис. 63. «Река» $Р так’ 410 ПРИ этом ™ £P0C™ откладывается внутрь АВ=1= =3 чи 4 цуням. Уровень зре¬ ния ON=h1=5 чи. В результате вычислений наблюдатель полу¬ чает ширину реки ЦЬ + Ь) х — ъ . Для решения задачи следует рассмотреть пару произвольных подобных треугольников ОАВ и OPQ, а также пару прямоуголь¬ ных подобных треугольников OLA и ОКР. Отсюда х/1= =ОР/ОА=ОКЮЬ, где <Ж=Л2+^1 (вместо О К в подлиннике почему-то указан LK). Прежде чем перейти к задачам свитка VIII, отметим, что три задачи данного свитка VII представляют все виды измерений на местности: в первой задаче с помощью шеста, во второй (здесь опущенной) — с помощью угольников, в третьей, по существу, с помощью веревки, хотя можно также считать, что применяе¬ мая здесь трость могла служить угольником. Из них первую задачу можно оценить как типичную стандартную задачу, ана¬ логичную задачам Лю Хуэя; вторая, наоборот, нестандартная, а третья также обычная задача практической геометрии. Из следующего свитка VIII книги Цинь Цзю-шао рассмотрим задачи 1, 4 и, наконец, последнюю — 6. Эти задачи совсем про¬ стые. Задача 4 похожа на задачу 15 книги I трактата Чжан Цю- цзяня, которая в свою очередь базируется на задаче 22 книги IX «Математики в девяти книгах». Вот ее условие: .«Измерение квад¬ ратной городской стены [с помощью] шестов. Задача о неприя¬ h Z \ \ \ \ \ 282
тельской городской стене, [которая имеет] неизвестную ширину, и расстояние до нее также неизвестно. Ее наблюдают из леса, [растущего] на равнине возле стены на юг от города. На окраине леса имеется два дерева, отстоящих друг от друга с юга на север на 160 бу, находящихся на продолжении прямой восточной сто¬ роны стены. К востоку от двух столбов ставятся напротив два вертикальных шеста. Промежутки между шестами и столбами [образуют] четыре равных стороны. Глаз человека [находится на уровне] веревок, связывающих их. От восточного заднего шеста по направлению на запад человек проходит 10 бу и на¬ блюдает северо-восточный угол стены на 15 бу внутрь от перед¬ него восточного шеста, . а также на¬ блюдает юго-восточный угол стены на 48 бу с цань и половиной бу внутрь от восточного переднего шеста. Дели¬ тель для ли 360 бу. Как узнать ширину стороны стены и расстояние до нее? Ответ: Ширина стороны стены каждая 12 ли 320 бу, стена отстоит от дерева на 9 ли 320 бу». Пусть сторона города PQ=x, а рас¬ стояние до нее KQ=y (рис. 64). Здесь К и L — два дерева, а N и М — изме¬ рительные столбики, расставленные по утлам квадрата KLMN со стороной KN=d =160 бу. KN — веревка на уровне глаз наблюдателя, на которой точками проекции В и С отмечаются отрезки NB=l1 и NC=l2, когда наблю¬ датель находится в точке О, причем 0М—1 (у Чжана точкой наблюдений является точка М). Правила вычислений искомых ве¬ личин можно выразить в наших обоз¬ начениях формулами d(d-l2) W у— h-i * х~гУ ——~1 • Эти формулы получаются, если рассматривать пары подобных треугольников ОАВ и РКВ, QKC и О АС. Из подобия первой пары следует отношение (x+y)/(d—l1)=d/(l1—l) и находится х+у; из подобия второй пары следует y/(d— Z2)=d/(Z2—I) и на¬ ходится у. Задача 7 еще проще. Она похожа на задачу 23 книги IX «Ма¬ тематики в девяти книгах», но определяется расстояние от шеста до точки Q, а не высота наблюдаемого объекта, находящегося на расстоянии QB (рис. 65). Задача аналогична задаче 12 первой книги трактата Чжана Цю-цзяня. Здесь шест АВ высотой А, Р Рис, 64. «Городская стена» 283 19*
* наблюдение производится из точки О, находящейся на уровне hx и на расстоянии АК=а. Следует определить расстояние х. Из подобия треугольников (прямоугольных) ОКА и ABQ следует a/Mi=x!h, где &h=h1—h. Приведем условие задачи, она называется «Определение рас¬ стояния до противника». «Задача о войске противника, располо¬ женном за горой на северном склоне, на неизвестном расстоянии от равнины. Тогда на ровной площадке ставят шест высотой в 4 чи. Человек отошел от шеста на 900 бу. [Делитель для бу 5 чи] и наблюдает основание горы вдали совпадающим с концом шеста. Глаз человека на высоте 4 чи 8 цуней. Как узнать, на¬ сколько далеко вражеское 0 войско? Ответ: 12 с полови¬ ной ли». Наконец, последняя задача 9 свитка VIII из книги Цинь Цзю- шао — вполне стандартная за¬ дача практической геометрии. В задаче определяется высота в # пагоды PQ=H при помощи v ■ 1 ■■■ v imJ шеста (рис. 66). Глаз наблюда- & теля находится в точке О на Г4 Рис. 65J высоте hx от земли. Известны расстояния ВС=а и BQ=b. В качестве шеста используется некая бамбуковая мачта с нанесенными на нее делениями. В задаче^ находится высота ее h. Высота пагоды в целом опре¬ деляется ~ просто: из подобия||:прямоугольных треугольников PLA и АКО, из пропорции (H—h)!b= ДААг, где Ah= h—h^ В задаче еще требуется найти высоту крыши пагоды PR—x, при этом наблюдатель фиксирует основание крыши на том же бамбуковом шесте в точке D (известно некоторое количество делений на нем, так что AD = l). После вычисления этого 3 а Рис. 66. «Пагода» 284
отрезка I на шесте, полученного при проектировании высоты крыши, из подобия произвольных треугольников PRO и ADO, а также прямоугольных РМО и А КО следует ряд отношений: xjl = OPlOA = (a-\-b)ja. Отсюда х=1 Тогда собственная высота пагоды будет равной Н—х, а высота центральной колонны пагоды, которую требуется заменить (что является конечной целью вычислений), получается, если к собственной высоте па¬ годы добавить некоторую величину, данную в условии задачи. Заметим, что еще одна задача практической геометрии находится в свитке XVI (задача 2) книги Цинь Цзю-шао. Задача эта про¬ стая, типичная для измерений на местности. Надо найти диаметр d (рис. 67) неприятельского лагеря, находящегося за рекой, на¬ блюдая из точки О с горы. Наблюдатель видит диаметр, который при этом проектируется на шесте AB=h, отстоящем на расстоя¬ нии DC=a, в виде отрезка AD = l, 00=1^. Решение, очевидно, основано на способе «чжун-ча», хотя он здесь и не назван, а указан лишь способ «гоу-гу», т. е. указано только на прямоугольные треугольники. Здесь следует рас¬ смотреть АРАБ ~ AAOL; пусть BQ=y, тогда (d+y)/h= =a/(h1—l). Из AQDB ~ ADOC следует ylh^alh^ y=ah!h1, a d=ah/(h1—l)—y. Китайская приближенная формула выражена проще: d=al/h1 (она будет точной, если hx^h+l).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате многолетней работы над переводом сохранив¬ шихся древнекитайских математических трактатов автор по¬ старался представить более или менее полно развитие матема¬ тики в Китае со II в. до н. э. по VII в. н. э. Иногда приходилось обращаться к более древнему времени, иногда, наоборот, к более поздним XIII—XIV вв. Первый случай имел место., например, при поисках древнейшей классификации фигур и тел, проис¬ текавших из необходимости измерения полей, дамб, плотин. Второй случай, например, при изучении проблемы решения систем сравнений по модулю в задачах с остатками. При этом мы не раз наблюдали, что метод обращения задач, взятых непо¬ средственно из практики, приводил к более сложным, чисто математическим задачам, над решением которых работали древ¬ ние математики. Зарождение группового десятичного счета и мультиплика¬ тивного принципа фиксирования чисел еще в эпоху Инь (пози¬ ционная именованная система), изобретение в дальнейшем счет¬ ной доски для проведения на ней вычислений привело к появ¬ лению позиционной системы счисления (но только на доске во время вычислений!) вместе с десятичными дробями, которые на доске выглядели как дроби с «плавающей запятой». Знака нуля при этом не существовало, поскольку пустая клеточка озна¬ чала пропуск разряда. Знаменатели и числители обыкновенных дробей располагались в определенных строках и столбцах, и на счетной доске дроби были представлены как пары чисел. Для действий со всеми этими числами были разработаны правила, очень похожие на современные; это были алгоритмы для счетной доски. В дальнейшем интенсивно разрабатывались алгоритмы для многих классов задач: был создан общий матричный способ ре¬ шения систем линейных уравнений, способ извлечения квадрат¬ ных и кубических корней, обобщенный в дальнейшем на любой случай корней n-й степени; табличный вариант правила двух ложных положений и многие другие. В создании исчислений обыкновенных ч и десятичных дробей в дальнейшем проявились два различных направления в развитии математики. Первое направление — аналитическое — связано с десятичными дробями, метрологическое происхождение кото¬ рых в древнекитайской математике находит объяснение в про¬ 286
цедуре деления, а также извлечения корней. Десятичные дроби потенциально содержат бесконечность и связанные с нею про¬ блемы. Они дали основание для обобщения идеи приближения в области рядов, которые также часто составляли предмет раз¬ мышлений для китайских математиков. Идея предела была при¬ менена при вычислении числа тг методом удвоения числа сторон правильного вписанного 6-угольника, в вычислениях объема пирамиды, сферы, приближенных корней уравнений высших степеней и т. д. Второе направление — алгебраическое — связано с обыкно¬ венными дробями и теоретико-числовыми проблемами. Дробь как пара послужила в дальнейшем развитии науки основанием для обобщения понятия числа, уже для построения поля отно¬ шений абстрактного коммутативного кольца (так строятся в со¬ временной алгебре все числовые поля). С такими дробями свя¬ зана разработка понятия наименьшего общего кратного, про¬ исхождение которого также хорошо видно из примеров, рассмот¬ ренных в книге; наибольшего общего делителя и ’алгоритма Евклида для его нахождения, который в точности совпадает с греческим правилом, но дан в арифметической форме. Были хорошо известны среднее арифметическое двух или нескольких чисел, свойства арифметической и геометрической прогрессий, учение о четных и нечетных, а также о числах «дру¬ гой природы» (об отрицательных числах и правилах действий с ними). Арифметика остатков (сравнения по модулю), теорема Пифагора и тройки пифагоровых чисел, конечные числовые по¬ следовательности с первыми, вторыми разностями, магические квадраты с их трансформациями, группы подстановок в задачах на прямоугольные треугольники (системы уравнений), неопре¬ деленные уравнения в целых числах и т. д. — все это свидетель¬ ствует об огромной практике в решении теоретико-числовых задач. Что касается общей модели древней математики, то следует отметить ее «линейность» как основу многих методов. Задачи натурального обмена прежде всего породили понятие коэффи¬ циента пропорциональности, который выражал величину отно¬ шения ценности одного продукта к другому. Точно так же и в гео¬ метрии первоначальным был коэффициент пропорциональности, который способствовал введению пропорциональности сторон прямоугольного и вообще произвольного треугольника. В со¬ четании со средним арифметическим, а также с установлением теоремы Пифагора и комплекса понятий, из нее проистекающих, линейная зависимость практически давала возможность изыски¬ вать метод решения почти любой задачи.
ЛИТЕРАТУРА 1. Апокин И. А,, Майстров Л. Е. Развитие вычислительных ма¬ шин. М.: Наука, 1974. 2. Атеисты, материалисты, диа¬ лектики древнего Китая Ян Чжу, Лецзы, Чжуанцы (VI—IV вв. до н. э.)/Пер., вступ. статья и коммент. JI. Д. Позднеевой. М.: Наука, 1967. '3. Архимед. Сочинения/Пер., вступ. статья и коммент. И. Н. Весе¬ ловского; Пер. араб, текста. Б. А. Розенфельда. М.:^Физмат- гиз, 1962. 4. Вашмакова И. Г. Диофант и дио- фантовы уюавнения. М.: Наука, 1972. <3! 5. Вашмакова И• Г. Лекции по истории математики в древней Греции. —гИст.-мат. исслед., 1958, вып. XI, с. 225-438. 6. Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисле¬ ния. — Энциклопедия элемен¬ тарной математики. Т. 1/Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. М.; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 11—74. 7. Березкина*Э. И. О «Математике в девяти книгах». — Ист.-мат. исслед., 1957, вып. X, с. 427— 438. 8. Березкина Э. И. Трактат «Ма¬ тематика в^девяти книгах» и его значение в истории китайской науки. — Советское китаеведе¬ ние, 1958, № 3, с. 133-135. 9. Березкина Э. ^.^Арифметические вопросы в древнекитайском трак¬ тате «Математика в девяти кни¬ гах».'—’Из истории науки и техники в странах Востока, 1960, "вып. I, с^ 34-55. 40. Беревкина^Э. И. О математиче¬ ском трактате Сунь-ц8Ы. — Ист.-мат. исслед., 1960, вып. XIIL с. 219-230. 11. Березкина 9. И. О математиче¬ ском труде Сунь-цзы. — Из исто¬ рии науки и техники в странах Востока, 1963, вып. III, с. 5—21. 12. Березкина Э. И. Из истории де¬ сятичных дробей в Китае. — Математика в школе, 1963, № 3, с. 9—17. 13. Березкина Э. И. Об одном древ¬ некитайском трактате. — Ист.- г,мат. исслед., 1966, вып. XVII, с. 261—271. 14. Березкина Э. И. «О «Математи¬ ческом трактате пяти ве¬ домств». — Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 82-84. 15. Березкина' Э. И. О трактате Чжан Цю-цзяня по математике. — Физ.-мат. науки в странах Во¬ стока, 1969, вып. II (V), с. 18— 27. 16. Березкина 9. И. О математиче¬ ских методах древних. — Исто¬ рия и методол. естеств. наук, 1971, вып. XI, с. 172—185. 17. Березкина Э. И. Два текста Лю Хуэя по геометрии (публика¬ ция). — Ист.-мат. исслед., 1974, вып. XIX, с." 231-273. 18. Березкина ЭЯ И. О математиче¬ ских методах древних (букваль¬ ная геометрия и теорема Пифа¬ гора). — История и методол. естеств. наук, 1974, вып. XVII, с. 36-50. 19. Березкина Э. И. Математика f древнего Китая.г— Proceedings $N 2, XlVth Intern. Congress of the History of Science. Tokyo Г1 and Kyoto. Japan, 1974. Science Concil of Japan. Tokyo, 1975, fp. 99-102. 20. Бурбаки H. Очерки по истории математики/Пер. с франц. И. Г.!?Башмаковой: Под ред. К. А. Рыбникова. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 288
21. Вайман А. А. Шумеро-вавилон¬ ская математика. М., 1961. 22. Ван Сяо-тун, Математический трактат о продолжении древних (методов)/Пер. с древнекит. и примеч. Э. И. Березкиной. — Ист.-мат. исслед., 1975, вып. XXf с. 329—371. 23. Ван дер ^Варден Б. Л. Пробу¬ ждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Гре¬ ции/Пер. с голланд. И. Н. Ве¬ селовского. М.: Физматгиз, 1959. 24. Ващенко-Захарченко М. Е. Исто¬ рии математики. Киев, 1883. 25. Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. — Труды ИИЕ, 1948, т. II, с. 426-498. 26. Вилейтпнер Г. История матема¬ тики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматгиз, 1960. 27. Виноградов И, М. Теория чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. 28. Вопросы и решения вардапета Анания Ширакаци, армянского математика VII века/Пер. И. А. Орбели. Пб., 1918. 29. Выгодский М, Я. Происхожде¬ ние правила двух ложных поло¬ жений. — Ист.-мат. исслед., 1960, вып. XIII, с. 231-252. 30. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967. 31. Гошкевич И. А. О китайских сче¬ тах. — Труды членов Российской Духовной миссии в Пекине, т. II. СПб., 1853, с. 169-194. Uber das chinesische Rechenbrett. Ber¬ lin, 1858. Bd. 1. 32. Гуд Г. X., Макол P. Э. Системо¬ техника. Введение в проектиро¬ вание больших систем. М.: Сов. радио, 1962. 33. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер. с древнегреч. И. И. Веселов¬ ского; Ред. и коммент., вступ. статья И. Г. Башмаковой. М.: Наука, 1974. 34. Древнекитайская философия, т. I—II. М.: Наука, 1972—1974. 35. Думан Л. И. Реформы Ван Мана. — Вестник древней исто¬ рии, 1940, № 1, с. 82—98. 36. Еганян А. М. Математика в Арме¬ нии в V—VII вв. — Сб. научн. трудов Арм. гос. заочн. пед. ин-та, 1967, № 6, ч. 2, с. 1—80. 37. Зубов В. П.у Розенфельд Б. А., Юшкевич А. 77. Об исследова¬ ниях по истории математики средних веков. — Ист.-мат. исслед., 1963, вып. XV, с. 51— 72. 38. История математики (с древней¬ ших времен до начала XIX сто- летия)/Под ред. А. П. Юшке¬ вича, т. I—III. М.: Наука, 1970—1972. 39. История отечественной матема- тики/Под ред. И. 3. Штокало, т. I—IV. Киев: Наукова думка, 1966. 40. Ал-Каши Джемшид Гиясэддин, Ключ арифметики. Трактат об окружности/Пер. с араб. Б. А. Розенфельда; Ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича; Коммент. А. П. Юшкевича и Б. А. Розен- фельда. М.: Гостехиздат, 1956. 41. Книга Абу-р-Рейхана Мухам¬ мада ибн Ахмада ал-Бируни об индийских рашиках/Примеч. Б. А. Розенфельда. — Из исто¬ рии науки и техники в странах Востока, 1963, вып. III, с. 148— 170. 42. Колмогоров А. Н. Математика. — Большая советская энциклопе¬ дия. 2-е изд», 1954, т. XXVI. 43. Конрад Н. И. Сунь-цзы. Трактат о военном искусстве. М.; Д., 1950. 44. Конрад Н. И, У-цзы. Трактат о военном искусстве: Пер. и коммент. М., 1958. 45. Конрад Н. И. Восток и запад. М.: Наука, 1966. 46. Лебег А. Об измерении величин/ Пер. под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Учпедгиз, 1938. 47. Ли Янь. К вопросу о древне¬ китайской математике. Труды третьего всесоюзного математи¬ ческого съезда (Москва, 1956), 1959, 246—248. 48. Маракуев А. В. Меры и весы в Китае. Владивосток, 1930. 49. Математический трактат Сунь- цзы: Пер. с древнекит., примеч. Э. И. Березкиной.— Из истории науки и техники в странах Востока, 1963, вып. III, с. 22— 70. 50. Математика в девяти книгах/Пер. и примеч. Э. И. Березкиной.-* Ист.-мат. исслед., 1957. вып. X, с. 439-584. 289
51. Математический трактат Чжан Цю-цзяня/Пер. с древнекит. Э. И. Березкиной. — Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 27-81. 52. Математический трактат пяти ве- домств/Пер. с древнекит. Э. И. Бе¬ резкиной. — Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 85-97. 53. Медовой М. И. Об одном случае применения отрицательных чи¬ сел у Абу-л-Вафы. — Ист.-мат. исслед., 1958, вып. XI, с. 593— 598. 54. Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII веке. М.: Учпед¬ гиз, 1953. 55. Начала Евклида/Пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай- Болтовского и И. Н. Веселов¬ ского, т. I—III. М.; JL: Гостех- издат, 1948—1950. 56. Нейгебауер ЛЛекции по исто¬ рии античных математических наук/Пер., предисл., примеч. С. Я. Лурье. М.; Л., 1937. 57. Нейгебауер О. Точные науки в древности/Пер. Е. В. Гохман; Под ред., с предисл. А. П. Юшке¬ вича. М.: Наука, 1968. 58. Переломов Л. С. Империя Цинь— первое централизованное госу¬ дарство в Китае (221—202 гг. до н. э.). М., 1962. 59. Петросян, Г. Б. Математика в Армении в древние и средние века. Ереван, 1959. 60. Раик А. Е. О вычислении неко¬ торых объемов в древнекитай¬ ском трактате «Математика в де¬ вяти книгах». — Ист.-мат. ис¬ след., 1961, вып. XIV, с. 467— 472. 61. Роаенфельд Б. А., Копелевич Ю. X. Мухаммед ал-Хорезми. Математические трактаты. Таш¬ кент, 1964. 62. Рыбников К. А. История мате¬ матики, т. I—II, М.: изд-во МГУ, 1960. 63. Серкина А. А. Опыт дешифровки древнейшего китайского письма. М., 1973. 64. Скачков П. Е. История русского китаеведения. М.: Наука, 1977. 65. Славу тин Е. И. Алгебраические методы в древности. Автореф. канд. дис. М., ИИЕиТ, 1973. 66. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики/Пер. и доп. И. Б. Погребысского. М., 1964, 1969. 67. Сыма Цянь. Исторические за¬ писки («Ши цзи»)/Пер. с кит. и коммент. Р. В. Вяткина и В. С. Таскина, т. I—И. М.: Наука, 1972, 1975. 68. Фаддеев Д. if., Фаддеева В. Н. Вы¬ числительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 69. Флуг К. К. История китайской печатной книги Сунской эпохи X—XIII вв. М.; Л., 1959. 70. Ху а Ло-гэн. Предисловие к рус¬ скому изданию «Математики в девяти книгах». — Ист.-мат. исслед., 1957, вып. X, с. 425— 426. 71. Шицзин (Избранные песни)/Пер. А. А. Штукина: Под ред. Н. И. Конрада. М., 1957. 72. Штейн В. М. Гуань-цзы. М., 1959. 73. Штейн В. М. Экономические и культурные связи между Китаем и Индией в древности (до III в. н. э.) /Под. ред. Ю. П. Рериха. М., 1960. 74. Щуцкий Ю. К. Китайская клас¬ сическая «Книга перемен». М., 1960. 75. Шридхара. Патиганита/Пер. с санскр. О. Волковой и А. Во¬ лодарского. — Физ.-мат. науки в странах Востока, 1966, вып. I (IV). 76. Эсхил. Прометей прикованный/ Пер. под ред. С. К. Апта. М., 1956. 77. Юань Кэ. Мифы древнего Ки¬ тая/Пер. Е. И. Лубо-Лесни- ченко, Е. В. Пузицкого, В. Ф. Сорокина; Под ред. и с послесл. Б. Л. Рифтина. М.: Наука, 1965. 78. Юшкевич^А. П. Исследования по истории математики в_ стра¬ нах Востока в средние_ века. Итоги и перспективы. — Физ.- мат. науки в странах Востока. 1969, вып. II (V), с. 5—17. 79. Юшкевич А. П. О достижениях китайских ученых в области ма¬ тематики. — Ист.-мат. исслед., 1955, выл. VIII. См. также в кн.: Из истории науки и техники Китая. М., 1955. 80. Юшкевич А. П., Роаенфельд Б. А. Математика в странах Востока в средние века. — Из истории науки и техники в странах Во¬ стока, 1960, т. I, с. 349—421. 290
81. Юшкевич А. П. История матема¬ тики в средние века. М.: Физмат¬ гиз, 1961. 82. Яновская С. А. К теории египет¬ ских дробей. — Труды ИИЕ, 1947, т. I, с. 269-282. 83. Яновская С. А. — В кн.: Из исто¬ рии науки и техники в странах Востока, т. III. М., 1963, с. И— 12. 84. Яншина Э. М. О некоторых изображениях на рельефах хань- ских погребений. — Вестник древней истории, 1961, № 3, с. 70-78. 85. Яншина Э. М. Каталог гор и морей. Шаньхай цзин. М.: Наука, 1977. 86. Ян Юн-го. История древне¬ китайской идеологии/Под ред. и с вступ. статьей Ян Хин-шуна. М., 1957. 87. Го Мо-жо. Исследования надпи¬ сей на костях и черепашьих панцирях (Цзягу вэньцзы янь- цзю). Пекин, 1952. 88. Гуань Се-чу. Иньские надписи (Цзягу вэнь). Пекин, 1952. 89. Дун Цзо-бинъ. Исследование пе¬ риодизации надписей на чере¬ пашьих панцирях и костях. Пе¬ кин, 1958. 90. Ду Ши-жанъ. Достижения в ме¬ тоде решения систем фан-чэн из «Математики в девяти кни¬ гах». (Цзю чжан суань шу чжун сяньюй фанчэн цзефады чэн- цзю). — Шусюэ тунбао, 1956, № 11. 91. Ли Янь. О системе счета на суань- пане (Чжусуань чжиду као). — Яньцзин сюэбао, 1931. 92. Ли Янь, История китайской ма¬ тематики (Чжунго суаньсюэ ши). Шанхай, 1955. 93. Ли Янь. Математические трак¬ таты, открытые в Дунхуанских пещерах (Дунхуан ши ши ли- чэн суаньцзин). — Голи Бэй- пин тушугуань куан. Пекин, 1935, № 9; Тушу чжикуан, 1939, № 1. 94. Ли Янь. Материалы по истории древнекитайской математики. (Чжунго гудай шусюэ шиляо). Шанхай, 1954. 95. Ли Янь. Собрание исследований по истории китайской матема¬ тики (Чжунсуаныпи луньцун). Пекин, т. I—V, 1954—1955. 96. Ли Янь. Народная математика в Китае с XIII по XIV вв. (Шисань - шисы шицзе миндянь шусюэ). Пекин, 1957. 97. Ли Янь. О развитии китайской математики (Чжунго шусюэ фач- жан цинсин). — Шусюэ тунбао, 1955, № 7. 98. Ли Янь. Способы числовых за¬ писей у китайских математиков (Чжунсуань цзяды цзишу фа).— Шусюэ тунбао, 1958, № 6. 99. Ли Янь. Очерки истории древ¬ ней китайской математики. (Чжунго гудай шусюэ цзянь ши), т. I—II. Пекин, 1963— 1964. 100. Суань цзин ши шу. (Десять математических трактатов). Де- сятикнижье/Под ред. Цянь Бао- цуна. Пекин, 1963. 101. Суй Чи-фань. Древнекитай¬ ские четыре системы счета. (Чжунго гудайды сычжун цзиши суаньфа). — Шусюэ дяосюэ, 1956, № 1. 102. Сюй Чунь-фан. Древнекитай¬ ские методы суммирования ря¬ дов. — Кэсюэ дачжун, 1956, № 6. 103. Ху а Шэн-у. Геометрические знания у Мо-цзы (Моцзыды цзи- хэсюэ чжиши). — Шусюэ цзяо- сюэ, 1957, N° 8. 104. Хуа Ло-гэн. О треугольнике Паскаля в истории китайской математики. Пекин, 1959. 105. Цинь Цзю-шао. Девять книг по математике (Шу шу цзю чжан). Шанхай, 1937. 106. Цзи С янь-линь. Очерки по исто¬ рии культурных связей Китая и Индии. (Чжун-инь вэньхуа ляньси ши лунь цзун). Пекин, 1957. 107. Цянъ Бао-цун. Метод решения уравнений фанчэн в «Матема¬ тике в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу фанчэншу цзяо ли цзи). — Шусюэ тунбао, 1955, № 6. 108. Цянь Бао-цун. Об истоках древ¬ ней математики (Гу суань као- юань). Шанхай, 1930. 109. Цянъ Бао-цун. О заимствова¬ нии правила 2-х ложных поло¬ жений из «Математики в девяти книгах» европейцами. (Цзю чжан суань шу ин-бу-цзу шу люйчжуань оу-чжоу као). — Кэсюэ. 1927, № 12. 291
110. Цянъ Бао-цун. История китай¬ ской математики (Чжунго шу- сгоэ ши). Пекин, 1964. — Кю- сюэ чубаныпэ, 1964. 111. Цянь Бао-цун. Комментарии к методу задач 2 и 3 трактата «Цигу суань шу» Ван Сяо-туна. (Ци гу суань шу диэрти ди- саньти гшу вэньчучжэн). — Кюсюэ цзиган, 1966, № 9. 112. Цянь Линь-чжао. Китайское на¬ учное произведение периода ранней Цинь—Моцзин (У ого сяньцинь шидайды кэсюэ чже- цзо—Моцзин). — Кэсюэ дач- жун, 1954, № 12. 113. Юань Юань. Биографии (ки¬ тайских) математиков и астро¬ номов (Чоу жэнь чжуань). Пе¬ кин, 1799. 114. Янь Дунъ-цзе. История рас¬ пространения арабских цифр в Китае (Алобо шумацзы чжуань дао лайды лиши). — Шу¬ сюэ тунбао, 1957, № 10. 115. Янь Дунъ-цзе. Влияние на мате¬ матику эпохи Сун, Юань (Сун юань суань сюэ цункао). — Кюсюэ, 1947, № 29. 116. Янъ Дунъ-цзе. Успехи древне¬ китайской математики (Чжунго гудай шусюэ ды ченцзю). Пе¬ кин, 1956. 117. Adamo М. La matematica nell'- antika China. — Osiris, 1968, 15, p. 175—195. 118. Becker О., Hoffman 1. E. Ge- schichte der Mathematik. Bonn. 1951. 119. Berezkina E. I. On the early history of desimal frection. — In: Actes du XI-е Congr. Intern. d'Hist. des Sciences (Varsovie— Cracovie), 1965. Varsovie, 1968, 3, p. 157-159. 120. Bhandarkar A. S. The decimal notation. — J. Bombay Branch Roy. Asiat. Soc., 1954, 29, N 1, p. 94-95. 121. Biernatzki K. L. Die Arithmetik der Chinesen. — J. reine und angew. Math., 1856, 52, S.'59— 94. 122. Biot E. Traduction et Examen d'un ancien Ouvrage intitul6 Tcheou—Pei, litt6ralment «Sty¬ le ou signal dans une cir- соп!ёгепсе». — J. asiat., 1841, N 11; 1842, N 13. Comment, by J. B. Biot. J. des savants, 1842. 123. Cajory F. A history of mathe¬ matics. N. Y., 1893. 124. Camman S. The evolution of ma¬ gic squares in China. — J. Americ. Orient. Soc., 1960, 80, p. 116-124. 125. Cantor M. Vorlesungen iiber die Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1907—1913, Bd. 1—4. 126. Freudental H. 5000 jaren inter- nazionale wetenschap. Groningen (Noordhoff),* 1946. 127. Goodrich L. C. The Abacus in China. — Isis, 1948, N 39. 128. Hartner W. Classicism et Dec- lin Culturel dans la Civilisa- tion^Chinoise. — In: Symposium de' Bordeaux: Cl. et D. C. dans l'Histoire d'lslam^ 1957, p. 367— 375. 129 . Hashimoto K. Some recent Ja¬ panese books on the history of science and technologie in China. — Arch, intern, hist, sci., 1974, 24, p. 161-163. 130ч Нёе L. van. Les cent volailles ou l'analyse indeterminee en China. T'oung Pao, 14, p. 203— 210. 131. Нёе L. van. Le z6ro en China. — T'oung Pao, 1914, 15, p. 181 — 192. 132. Нёе L. van. The arithmetic clas¬ sic of Hsia-Hou Yang. — Amer. Math. Mon., 1924, 31, p. 235— 237. 133. Нёе L. van. Le classique de 1'ile^maritime, ouvrage chinois du III siecle. — In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Astronomie und Physik. 1933, Abt. B, Bd. 2, S. 255—280. 134* Histoire generale des sciences, sous la direction de R. Taton. Paris, 1957—1964. Vol. I—IV. 135. Ho Peng-Yoke. The lost problems of the Chang Ch'iu-chien Soan Ching, a fifth-century Chinese mathematical manuel. — Oriens Extremus, 1965, 2, p. 37—53. 136. Karpinski L. C. History of arith¬ metic. N. Y., 1925. 137. Kwan Chao-chin. History of ma¬ thematics in ancient China. — People's China, 1956, N 20, p. 34-35. m 138. Lacouperie ^ T. — Numismatic, 1883, 3 ser., p. 297. 139. Lam Lay Yong. The geometri¬ cal basis of the ancient Chinese 292
square-toot method. — Isis, 1969, 61, p. 96-102. 140. Lam Lay Yong. A critical study of the Yang Hui Suan Fa, 13th centure Chinese mathematish treatise. Singapore, 1977. 141. Li Shu-T'ien. Origin and de¬ velopment of the Chinese Aba¬ cus. — J. Assoc. Comput. Mach., 1959, 6, N 1, 102—110. 142. Libbrecht U. Chinese mathema¬ tics in the thirteenth century. The Shu-shu chiu-chang of Ch'in Chiu-shao. Cambridge (Mass.), London, MIT Press, 1973. 143. Loria G. Storia delle Matema- tiche. Torino, 1929, vol. !, p. 261—295. Milano, 1950, Ch. L'Enigma Cinese. 144. Loria G. Chinese mathematics. — Sci. Mon., 1921, N 12. 145. Loria G. Che cosa debbono le matematica dei Cinesi. — Boll. Math., 1920, N 12. 146. Menninger К. Zahlwort und Ziffer. Gottingen, 1957, Bd. 1/2. 147. Mikami /. The development of mathematics in China and Japan. Leipzig, 1913. 148. Moon P. H. The abacus: Its hi¬ story, its design, its possibili¬ ties in the modem world. NY., 1971. 149. Nakayama S. A history of Ja¬ panese astronomy. Chinese back¬ ground and Western impact. Cambridge (Mass.): Harvard Univ. Press, 1969. 150. Needham J. Science and Civili¬ sation in China/With the col¬ laboration of Wang Ling. Cam¬ bridge, 1959. Vol. 3. Mathema¬ tics and the Science of the Earth. 151. Needham J. Mathematics and science in China and the West. Sience and society. N. Y., 1956, p. 20. 152. Needham J. The social position of scientific men and physicians in medieval China. — In: XlVth International Congress of the History of Science. Proc. N 4, Tokyo; Kyoto, 1974. Tokyo, 1975, p. 19-34. 153. Needham /., Beer Л., Ho Ping- yii, Lu Gwei—djen, Dalleyblank jE. G. and Thompson G. 7. An eighth-century meridian line: I-Hsing's chain of gnomons and the prehistory of the metric system. Vistas in astronomy. Oxford, 1964. 154. Neugebauer O. Mathematische Keilschrift-Texte. Quellen und Studien zur Geschichte der Ma- thematik, Astronomie und Physik. Berlin, 1935—1937. Abt. A, Bd. 3. 155. Neugebauer О. Die grundlagen der Sgyptische Briichenrechnung. Berlin: Springer, 1926. 156. Neun Bucher arithmetischer Te- chnik/Hrsg. K. Vogel. Miinchen, 1968. 157. Pullan J. M. The history of the Abacus. New York; Washington, 1969. 158. Reiffler E. The philological and mathematical problems of the Wang Mang's standard grain measures. 1965, p. 387—402. 159. Renou L. and Filliozat Y. L'Inde classique, manuel des etudes Indiennes. Paris, 1947, vol. 1; 1953, vol. 2. 160. RippsD. L. The origin of zero. — Cornell Eng., 1958, 24, N 2, p. 15-17. 161. Sarton G. Introduction to the history of science. Washington; Baltimore, 1927—1948, vol. 1—5. 162. Sedillot L. P. E. A. De 1'astro- nomie et des mathematiques ches les Chinois. — Boll, bibliogr. e storia delle sci. mat. e fis., 1868, N 1. 163. Sivin N. Cosmos and computa¬ tion in early Chinese mathema¬ tics. Astronomy, Leiden, 1969. 164. Smith D. E. History of mathe¬ matics. Boston, 1923—1925. vol. I—II. 165. Smith D. E., Mikami J. A hi¬ story of Japanese mathematics. Chicago, 1914. 166. Stevin S. De Thende/Uber und erlaut. von H. Gericke, K. Vo¬ gel. Frankfurt a. М., 1965.. 167. Struik D. J. On ancient Chinese mathematics. — Euklides, 1965/65, 40, p. 65—79. 168. Swetz Fr. The amazing Chiu Chang Suan Shu. — Mathema¬ tical Teacher, 1972, vol. 65, p. 425—430. 169. Vogel K. Vorgriechische Mathe- matik. Hannover: Padenbomv 1959. Bd. I, Vorgeschichte und Agypten. Bd. II, Die Mathema- tik der Babylonier. 170. Vogel К. Bericht tiber Neuere, in westlichen Sprachen erschie-
nene Arbeiten zur Mathematik der Chinesen. Prismata. Wiesba¬ den, 1977. 171. Waerden van der. Die Entste- hungsgeschichte der aegyptischen Bruchrechnung. — In: Quel- len und Studien zur Geschichte der Mathematik, 1937. Ser. B. 172. Wang Ling — Needhem J. Hor¬ ner's method in Chinese mathe¬ matics; its origins in the root- extraction procedures of the Han dynasty. — Thoung Pao, 1955, 43, p. 345-401. 173. Wang Ling. The «Chiu Chang Suan Shu» and the history of Chinese mathematics during the Han Dynasty. Diss. Cambridge, 1956. 174. Wang Ling. The decimal place- value system in the notation of numbers in China. — In: Com¬ munication to the XXIIIrd Intern. Congress of Orientalists. Cambridge, 1954. 175. Wang Ling. The development of decimal fractions in China. — In: Proc. VIHth Intern. Congr. of the History of Science. Flo¬ rence, 1956, p. 13. 176. Wang Ling. The Date of the Sun-Tzu Suan Ching and the Chinese Remainder Problem. — In: Proc. 10th Intern. Congr. of The History of Science (Ithaca, 1962), 1964, vol. 1, p. 489-492. 177. Wang Ping. Alexander Wylie's influence on Chinese mathema¬ tics. — In: Intern. Assoc, of Historians of Asia, Proceed. Se¬ cond Biennial Conference, Tai¬ pei 1962, p. 777. 178. Wong G. H. Some aspects of Chi¬ nese science before the arrival of the Jesuits. — Chung Chi J., 1963, 2, p. 169—180. 179. Wylie A. Jottings on the science of the Chinese arithmetic. — North China Herald, August — Novemberausgabe 1852. 180. Yabuuchi K. Thq. development of the sciences in China from the 4th to the end of the 12th century. — J. World Hist., 1958, 4, p. 330—348. 181. Yamazaki Y. History of instru¬ mental multiplication and divi¬ sion in China from the reconing blocks to the abacus. — Mem. Res. Dept Toyo Bunko, 1962, 21, p. 125—148,
Приложение СПИСОК ДРЕВНЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ Бань Половина ^ шао бань Меньшая половина, т. е. Vs сяо бань Малая половина, т. e. Vs тай бань Ббльшая половина, т. е. 2/3 да бань Большая половина, т. е. 2/3 бе нао Призма с треугольным основанием бин Объединить, сложить ^ бу Мера длины, букв, шаг ^ (двойной) «бу мань фа чжи, и фа мин чжи» «Если делитель больше де- лимого, то обозначь дели- тель» (термин для счетной доски), т. е. со счетной доски снимается остаток и составляется дробь в ча¬ стном бяо Шест (измерительный), по- ^ лоска ми чу гу бяо Полоска, выступающая за многоугольник (из вычис¬ лений числа п) вань Десять тысяч (название ^ разряда) вэй Позиция, место (в пози- ционной системе счисле¬ ния) вэй фэнь Мельчайшие доли (о раз¬ рядах десятичной дроби) гай тянь (Теория) гай-тянь, букв. небо-покрывало ге Букв* резать, т. е. делить i|jj (при увеличении числа сто¬ рон правильного вписан¬ ного многоугольника) 295
гоу гу гуй да янь ден шу ДУН жи ся жо жу бу кэ ге Станет невозможно делить xpFf Ц|| Букв. крюк, катет гоу, >fjj горизонтальный, меньший Букв. берцовая кость, ка- тет гу, вертикальный, больший «гоу-гу» Назв.: 1) зависимости сто- рон прямоугольного тре¬ угольника (теорема Пифа¬ гора); 2) кн. IX «Матема¬ тики в девяти книгах» ' Связка (монет), денежная Щ единица гуй вэнь Связка вэней (грошей), де- неж. единица Большое расширение (спец. термин для сравне¬ ний по модулю) да янь шу Большое расширенное число да янь цю и шу Способ отыскания единиц ^ по большому расширению, т. е. решение системы срав¬ нений по модулю «Да янь лэй» «Класс задач на большое расширение» (из кн. Цинь Цзю-шао) Равное число, т. е. общий наибольший делитель (двух или нескольких чи¬ сел) Подвижный (спец. термин Щ для обратно пропорцио¬ нальных чисел) бу дун Неподвижный Букв. нижнее Солнце, 0”|\ термин для проекции точки Недостаток, с недостатком Щ (ср. цян) и чень жо Назв. для дроби вида n/i2» - букв. одной (доли) не до¬ стает до полного комплекта Составить (термин для счетной доски) 296
«И цунь ЦЯНЬ ли» «Ин бу цзу» кай фан кун «Jio шу» люй жу фан-чэн Составить фан-чэн, т. е. матрицу для системы ли¬ нейных уравнений Назв. метода измерения — «один цунь, тысяча ли» «Избыток—недостаток» (назв. кн. VII «Математики в девяти книгах») Букв, раскрытие стороны (квадрата), т. е. извлече¬ ние квадратного корня кай ли фан Извлечение кубического корня Пустота, пустой Назв. древнего магиче- ^Jjs: ского квадрата Коэффициент, т. е. отвле- Щ ченное число в отличие от именованного (шу); основ¬ ная норма, основная еди¬ ница со цюй люй Коэффициент для искомого (правило четвертого про¬ порционального числа) цзы жань чжи люй юань люи со ю люй Коэффициент для данного ЩЩЩк (правило четвертого про¬ порционального числа) Натуральные коэффициен¬ ты, т. е. числа 3, 4, 5 для сторон прямоугольного треугольника Коэффициент круга, т. е. 6,28 Древний коэффициент, т. e. 7t=3 Точный коэффициент, т. е. более точное значение тс, чем 3 юань су ча люй Коэффициент разности для круглого пучка «Люй цзя лянь ху» «Гармонично прекрасная мера ху», назв. для эта¬ лона мер ми Букв. покрывало, пло- щадь, квадрат (числа) гу люи ми люи 20 Э. И. Березкина 297
му му се су суань Му, мера площади Знаменатель (дроби) Букв, косая (линия), диа¬ гональ (прямоугольника, квадрата) лян юй сян цюй (Наибольшее) расстояние между углами, т. е. диа¬ гональ (квадрата) Зернышко (чумизы), мини¬ мальная мера веса «Соотношение между раз¬ личными видами зерновых культур», назв. кн. II «Ма¬ тематики в девяти книгах» Считать, счет Счетные палочки Искусство счета, т. е. ма¬ тематика (древний термин) Счеты (кит.) «Суми» ш. ш SB ми** т т* суань-цзы суань-шу суань-пань жт шш Суань цзин «Суань цзин ши «Десять классических книг шу» «Сунь-цзы суань цзин» «Ся Хоуян суань цзин» сянь сянь чу туй вэй по математике» («Десяти¬ книжье») «Математический трактат Сунь-цзы» тянь «Фан тянь» «М атематический Сяхоу Яна» Букв, тетива, гипотенуза Клин, геометрическое тело в виде клина Отступить по разрядам, т. е. на счетной доске сдвинуть число вправо, зна¬ чит уменьшить его в де¬ сять и более раз Поле, плоская фигура, пло¬ щадь «Измерение полей» (назв. кн. I «Математики в девяти книгах»), ректангулиро- вание (но не квадрирова- ние!), более поздний тер¬ мин: квадратное поле трактат ШШМШШ Ш тР % ш ш ш 298
«Да гуань тянь» чжи тянь гуй тянь се тянь цзи тянь «Общее измерение полей» (назв. правила), т. е. когда стброны поля—рациональ¬ ные числа Прямоугольник Треугольник Трапеция Трапеция-совок сы бу ден тянь Четырехугольник вольного вида произ- ЙШ ЙШ т жш тянъ юань юань тянь вань тянь гуй тянь хуай тянь тянь юань шу ди юань жень юань у юань у чжи сань эр и «У цзин суань.шу» «У цао суань цзин» фан фан-чэн ms ш звд Круг Сектор Сегмент Кольцо Буке, небесный. зяадюнт, неизвестное в уравнении высшей степени Букв. метод небесного элемента, т. е. численный метод решения уравнения высшей степени, эквива¬ лентный методу Руффини— Горнера Элемент-земля Элемент-человек Элемент-вещь Букв, не переводится, означает разделить на 3/Б и взять одну долю «Искусство счета в Пяти- книжье» «Математический тракддт ЗьЦ* ЛЖ пяти ведомств» Делитель ^ Прямоугольник (частный случай—квадрат), сторона квадрата, куба; направле¬ ние, т. е. наша горизон¬ тальная строка (китай¬ ская строка—хэн — вер¬ тикальна) «Правило Фан-чэн» (назв. кн. IX «Математики в де¬ вяти книгах»); букв. вы- ±7С Л7С $£.=гЙ- 299 20*
страивание по направле¬ ниям в прямоугольную таблицу коэффициентов си¬ стемы линейных уравне¬ ний жу фан-чэн фу фэнь юэ фэнь чун фэнь хэ фэнь цзян фэнь пин фэнь чэн фэнь цзин фэнь «Хай дао суань цзин» хэ ти хэн «Це ван лэй» цзи цзин баньцзин Составить прямоугольную матрицу ий коэффициентов системы линейных урав¬ нений Отрицательное (число) Дробь, доля, десятые доли fo (у десятичной дроби) Сокращение дробей Сложные дроби, т. е. чис- jjffr литель и знаменатель сами являются дробями Сложение дробей Вычитание дробей Уравнивание дробей, т. е. найти среднее арифметиче¬ ское дробей Умножение дробей (цра- вильных) Деление дробей ШЯ* «Математический трактат о морском острове» Совпадает телесно (с окруж- ностью; из вычислений и) Столбец (по-китайски стро- ка, так как она верти¬ кальна) «Класс задач на измерение :Щ1]ё§3§| и наблюдение» (в кн. Цинь Цзю-шао) Площадь, объем (совокуп- Щ ность единиц без указания размерности), произведе¬ ние (сторон) Поперечник (угла), гипо- ^ тенуза, диагональ (в пря¬ моугольнике), поперечник (круга), т. е. диаметр Радиус 300
бань чжи цзин юй цзин цзин вэй «Цзин ю , . Цзун цзюэ чжи цзы «Цзю цзю» «Цзю чжан суань шу» цзюань цзюань цзюй «Цзюнь шу» цзянь ду цзяо вай цзяо ней цзяо «Ци гу суань цзин» цюй чи цян ЦЯНЬ Полдиаметра Остаток от диаметра (в вы- числении л) Букв. пройти вперед на jfgfjjr позицию, т. е. передвинуть влево по разрядам (число) или увеличить в 10 раз и более «Имеется. . .» (обычное на- чало любой задачи в «Ма¬ тематике в девяти книгах») Расстояние от угла (квад- £ рата) до (его центра), ~ т. е. полудиагональ квад¬ рата Числитель (дроби) -ji «Девятью девять» (китай- ская таблица умножения) «Математика в девяти кни- гах» Свиток-книга Целая, т. е. дробь вида ^ n/n=i Угольник, прямоуголь- ный треугольник (древ¬ ний термин) «Равномерное распределе- ние» (назв. кн. VI «Мате¬ матики в девяти книгах») Трехгранная призма Угол Внешний угол Внутренний угол «Математический трактат о продолжении древних [методов]» Геометрическая фигура в виде изогнутого обелиска Избыток, с избытком, Л с превышением Монета, единица денеж- Ц ного исчисления, деньги 301 я ft# тш&
чжоу-би «Чжоу-би суань цзин» чжоу чжоу сань цзин и вай чжоу «Чжан Цю-цзянь суань цзин» чжун-ча чжи чжэн чоу чоу-суань чоу-цзе суань-чоу чу тун чу МЭН чу чуй ЧЖЭН фу шу чжи чу «Чуй фэнь» фань чуй чуй сян цюй Гномон, шест «Математический трактат о Чжоу-би» Обвод, окружность, дуга jgj Окружность — 3, диа- метр — 1, т. е. соотноше¬ ние диаметра с окружно¬ стью, равное 1 : 3 Внешняя окружность (они- ^JjfJ санная) «Математический трактат i||§ir|5|j!: Чжан Цю-цзяня» ШШ Двухслойная разность jgjU (спец. термин) Установить, т. е. располо- jg[ жить на счетной доске Положительное (число) j£ Правило знаков для поло- жительных и отрицатель¬ ных чисел м Счетная палочка (для счет- ной доски) ЩШ шш Геометрическое тело в ви- де обелиска Геометрическое тело в ви- ^ ^ де призмы с прямоуголь- 5FZ ным основанием Делить Образовать остатки Ступени, т. е. члены про¬ грессии «Деление по ступеням», т. е. «Пропорциональное деление» (назв. кн. III) Обратные ступени, т. е# обратно пропорциональные числа То, на сколько понижается каждая ступень от сосед- 302
чэн «Шан гун» шан ши чжи «Шао гуан» ши «Ши жу фа шу «Шу шу цзи и» шу юань сян чэн ху чэн цзы чэн эр и» Да шу со ю шу юань чжоу юань чжун и ней, т. е. разность арифме¬ тической прогрессии Умножить Перемножить взаимно, т. е. ^ 0^ умножить друг на друга Поочередно умножить (это определенный алгоритм при вычислениях с дро¬ бями) Умножить (число) само на [ЦЦ себя, т. е. квадрат числа «Объем работ» (назв. кн. V jSjJEjj «Математики в девяти кни¬ гах») Поднять по разрядам, т. e. подвинуть влево (число) значит увеличить число в 10 раз Назв. кн. IV «Матема- тики в девяти книгах» Делимое, подкоренное jf (число) «Объединить делимое и де- —* литель в одно число» (тер¬ мин для счетной доски) Величина, число (имено- Ц£г ванное) Букв. большое число, т. e. большой счет, система наименований (для разря¬ дов больших чисел) Имеющееся число (4-е про- порциональное) «Забытые записи по искус¬ ству счета» Просинка, зернышко (про¬ со), минимальная мера ем¬ кости Круг Периметр круга, т. е. окружность Внутри круга, т. е. впи¬ санный в круг юн»!! ш OBJ ШФЯ 303
«Юй ми туй шу» ян ма «По остаткам зерна вы¬ числить его количество» (назв. задачи из кн. Цинь Цзю-шао) Геометрическое тело в ви¬ де пирамиды с прямоуголь¬ ным основанием
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН* Абель H. X. 206 Абу-л-Вафа Мухаммед ибн Мухам¬ мед ал-Бузджани 193, 196, 290 Адамо М. 8, 292 Александров П. С. 288 Апокин И. А. 8, 288 Аполлоний 77, 85 Алт С. К. 290 Ариабхата 76 Архимед 17, 77, 85, 219, 263, 266, 267," 288 Ашшурбанипал 94 Бань Гу 82 Башмакова И. Г. 3, 288, 289 Бекер О. 48, 292 Березкина Э. И. 4, 288—290, 292 Бернацкий К. JI. 6, 292 Бине Ж. Ф. М. 186 Био Ж. Б. 6, 292 Био Э. 6, 292 Бир А. 293 ал-Бируни Абу-р-Рейхан Мухам¬ мед ибн Ахмад 60, 148, 289 Брахмагупта 148, 193, 266 Бурбаки Н. 288 Бхандаркар А. С. 292 Бхаскара I 76 Вайли А. 6—8, 21, 294 Вайман А. А. 289 Ван Бин 8 Ван Г. X. 8 Ван Гуань 18 Ван дер Варден Б. JI. 74, 78, 289, 294 Ван И-жун 80 Ван Лин 7, 8, 48, 52, 54, 293, 294 Ван Ман 20, 263, 289 Ван Пин 294 Ван Сяо-тун 21, 25—27, 56, 62—65, 173, 207, 227, 229, 231, 237, 241, 260, 269, 270, 289, 292 Ван Фань 264 ВгОценко-Захарченко М. Е. 6, 289 Веселовский И. Н. 86, 288—290 * Составитель А. Ф. Лапко. Видман Я. 148 Виет Ф. 10, 207 Вилейтнер Г. 289 Виноградов И. М. 166, 289 Волкова О. 290 Володарский А. И. 290 Вонг Г. X. 294 Вронский И. (Гёне-Вронский) 186 Выгодский М. Я. 8, 198, 289, 290 Вэй Чжуан 18, 23 Вяткин Р. В. 290 Галуа Э. 206 Гартнер В. 8, 292 Гаусс К. Ф. 9, 32, 166, 172, 181, 182, 186 Герике Г. 293 Геродот 12 Герон 219 Го Пен-яй 292 Го Пин-юй 293 Го Шоу-цзинь 21 Горнер В. Г. 8-10, 31, 65, 173, 206- 208, 212, 213, 218-220, 225, 227, 234, 235, 237, 299 Гофман И. Е. 48, 292 Гохман Е. В. 290 Гошкевич И. А. 6, 289 Гуань Се-чу 291 Гуань-цзы 14, 290 Гуд Г. X. 289 Гудрич Л. 97, 292 Гунсун Лун 17 Гунсунь Ни-цзы 60 Гэн Чоу-чан 20, 22, 28 Дай Шэн 60 Даллейбланк Е. Г. 293 Декарт Р. 11, 289 Джинабхадро Гани 78 Диофант 11, 193, 196, 259, 288, 289 Ду Чжун 20 Ду Ши-жань 7, 291 Думан Л. И. 289 Дун Цзо-бинь 291 Дун Чжун-шу 19, 55 305
Евклид 17, 21, 27, 45, 110, 116, 124, 130, 139, 148, 169, 178, 258, 287, 290 Еганян А. М. 289 Жун Фан 22, 65, 66 Зубов В. П. 289 Я Синь 63, 293 Инь Сянь 20 Камман С. 8, 292 Канси ИЗ, 114 Кантор М. 6, 292 Кардано Дж. 62, 206 Карл Великий 62 Карпинский JI. 7, 292 К аул Чао-ши 8, 292 ал-Каши Гийас ад-Дин Джемшид И, 98, 99, 105, 106, 207, 270, 289 Колмогоров А. Н. 3, 9, 116, 289 Конрад Н. И. 23, 289, 290 Конфуций (Кун-цзы) 6, 14—17, 23, 86 Копелевич Ю. X. 290 Коши О. 186 Крамар Г. 183 Кун Ин-да 23, 55, 60, 84 ал-Кушчи Али ал-Дин Али ибн Мухаммед 10, 99, 196 Кушьяр ибн Лаббан ал-Джилли 10, 207 Кэджори Ф. 6, 292 Кэли А. 186 Лакуперьё Т. 97, 292 Лам Ля-юнь 292, 293 Лао-цзы 14, 79 Лаплас П. С. 77 Лебег А. 289 Лейбниц Г. В. 6, 16, 186 Лем Лэй-ян 8 Леонардо Пизанский 134, 172, 196, 200 Ле-цзы 14, 288 Ли Ди 7 Ли Е 5, 7, 173, 195, 232, 237, 238 Ли То 235 Ли Чунь-фэн 5, 20, 21, 25, 26, 28, 34, 42, 46, 47, 52, 56, 65, 149, 150, 264, 278 Ли Шань-лань 21 Ли Шоу 12, 27, 79 Ли Шу-Тянь 8, 293 Ли Янь 7, И, 12, 19—21, 48, 97, 114, 125, 144, 162, 178, 180, 230, 289, 291 Либбрехт У. 8, 158, 293 Ломоносов М. В. 4 Лориа Дж. 6, 7, 293 Лубо-Лесниченко Е. И. 290 Лурье С. Я. 290 Лю. Сяо-сунь 25, 42 Лю Хун 20, 61 Лю Хуэй 5, 7, 20, 22—25, 28, 34—37, 47, 58, 65, 66, 68, 87, 99, 100, 109, ИЗ, 125, 131, 138, 141, 143, 184, 185, 188-190, 194, 201, 241, 247-249, 251, 254, 256, 261, 263—269, 271—274, 276, 279, 280, 282, 288 Лю Цзинь 97 Лю Цзо 20 Лю Ци 20, 264, 265, 269 Ма Сюй 20 Майстров Л. Е. 8, 288 Макол Р. Э. 289 Маракуев А. В. 7, 289 Маркушевич А. И. 288 Медовой М. И. 290 Меннингер К. 293 Метон 57 Миками И. 7, 35, 48, 50, 293 Молодший В. Н. 290 Мордухай-Болтовской Д. Д. 290 Мо-цзы 14, 16, 17, 291 Муун П. X. 8, 293 Мэн Тянь 86 Мэн-цзы 14 Накаяма С. 293 ан-Насави Абу-л-Хасан Али ибн Ах¬ мед 10, 207 Нейгебауер О. 70, 151, 154, 155, 177, 290, 293 Неморарий И. 229 Непер Дж. 98 Нидем Дж. 6, 7, 48, 52, 54, 66, 78, 97, 293 Ньютон И. 109, 207 Орбели И. А. 289 Паскаль Б. 16, 238, 291 Переломов Л. С. 18, 290 Петросян Г. Б. 290 Пифагор 3, 5, 14, 22, 27, 28, 33, 58, 65—68, .214, 252, 254—257, 260, 261, 268, 287, 288, 296 Платон 25, 65, 122, 258 Погребысский И. Б. 290 Позднеева Л. Д. 288 Пузицкий Е. В. 290 Пуллан Дж. М. 8, 293 306
Раик А. Е. 8, 290 Райфлер Э. 8, 293 Рекорд Р. 180 Рено JI. 293 Рерих Ю. П. 290 Риррс Д. JI. 293 Рифтин Б. Л. 290 Розенфельд Б. А. 4, 288—290 Рудольф Хр. 134 Руффини П. 9, 31, 173, 206, 299 Рыбников К. А. 288, 290 Сартон Дж. 293 Свитц Ф. 8, 293 Се Ча-вэй 26, 43 Сегаль В. С. 289 Седийо JI. 6, 7, 293 Секи Нова 186 Серен Антийский 63 Серкина А. А. 290 Серре Ж. А. 177 Сивин Н. 8, 293 Сиддхарта 75 Сильвестр Д. Д. 186 Синь И 16 Скачков К. А. 6 Скачков П. Е. 290 Славутин Е. И. 231, 290 Смит Д. Е. 6, 7, 48, 293 Сорокин В. Ф. 290 Стевин С. 98, 99, 293 Стройк Д. 8, 290, 293 Суй Чи-фань 291 Сун Юй 14 Сунь-цзы 14, 20, 36, 166 Сунь-цзы (III—IV в.) 5, 22, 24, 25, 36-42, 44-54, 56-58, 60, 84, 88-95, 100-109, 111-115, 118, 127, 130, 132, 133, 136— 139, 142, 143, 147, 149-151, 163, 166, 167, 172, 188—190, 201— 203, 208, 216, 250, 251, 257, 258, 278, 288, 289, 298 Сыма Цень 12, 59, 83, 290 Сю Юй 55, 61 Сюань Цзян 62 Сюанди 28 Сюй Чунь-фан 7, 291 Сюй Шан 20 Сюй Юй 22 Сюй Юэ 20 Сюнь-цзы 14 Ся Юй 12 Сяхоу Ян 5, 7, 20-22, 24, 25, 36, 48, 52—54, 88, 105, 257, 298 Тай-цзун 55 Тарталья Н. 62, 148, 206 Таскин В. С. 290 Татон Р. 7, 292 Теон Александрийский 63 Теон Смирнский 172 Тимей 65 Томсон Г. И. 293 ат-Туси Насир ад-Дин Абу Джафар Мухаммед ибн Мухаммед 207 ат-Туси Шараф ад-Дин 10, 207 Уван 65 ал-Уклидиси Абу-л-Хасан Ахмад 98 Улугбек Мирза Мухаммед ибн Шах- рух ибн Тимур 99 У-цзы 14, 289 Фа Ся 111, 112 Фаддеев Д. К. 290 Фаддеева В. Н. 290 Фалес 253 Феррари Л. 206 дель Ферро Ш. 206 Флуг К. К. 290 Филлиоэа И. 293 Фогель К. 8, 261, 293 Фрейденталь Г. 78, 292 Хайям Абу-л-Фатх Омар ибн Иб¬ рахим 62 Хань Тан 17 Хань Фей-цзы 14 Хань Юй 61 Хань Янь (VI в. до н. э.) 22, 47 Хань Янь (780-804) 53 Хасимото К. 8, 292 ал-Хатайм 198 ван Хе Л. 7, 54, 292 Хин чин А. Я. 288 Хой Ан 17 ал-Хорезми Абу Абдаллах Мухам¬ мед ибн Муса ал-Маджуси 75, 266, 290 Хуа Ло-гэн 290, 291 Хуа Шэн-у 291 Хуанди 11, 12, 18, 27, 57, 79, 114 Хуань Туан 17 Цай Лунь 86 Цай Юн 20 Цао Цао 23 Цзи Сянь-линь 291 Цзу Хэн 20, 269, 270 Цзу Чун-чжи 20, 100, ИЗ, 263, 269, 270 Цзя Сянь 16 Цинь Цзю-шао 5, 8, 21, 36, 42, 57, 62, 77, 150, 152, 158, 160, 161, 166-170, 172, 173, 191, 204— ^207, 215, 219, 221, 222, 226, 232— 238, 269, 270, 272, 279—282, 284, 285, 291, 293, 296, 300, 304 307
Цинь Ши-хуан 15, 110 Цинь Шихуанди 18 Цюй Юань 14, 38 Цюйтань Сид 75 Цянь Бао-цун 7, 22, 25, 35, 42, 48, 52, 55, 61, 66, 217, 237, 254, 270, 291, 292 Цянь Линь-чжао 292 Чжан Хэн 20, 264, 265, 269 Чжан Цан 20, 22, 28 Чжан-цзянь 38, 52 Чжан Цю-цзянь 5, 20, 21, 24—26, 41-47, 52, 57, 61, 109, 110, 117, 118, 127, 128, 131, 133, 135, 142, 143, 149-152, 155-158, 173, 181, 186, 190, 191, 208, 209, 216, 217, 219, 264, 278, 279, 282, 283, 288, 290 Чжао Цзюнь-цин 20, 22, 65, 67, 68, 252, 254, 255 Чжень Сюань 20 Чжоу Сун-юань 3 Чжоу-гун 14, 22 Чжоугун Дань 27, 28, 65—67, 252 Чжу Ши-цзе 5, 16, 21, 114, 120, 161, 173, 232, 238, 239 Чжуан-цзы 14, 16, 65, 67, 79, 288 Чжэнь Луань 5, 20—22, 24, 25, 28, 42, 47, 52, 55—61, 65, 85, 254, 257 Ц я ТТЛ ОТТ Rf? Чэнь-цзы 22, 65, 66, 69, 254 Шан Гао 22, 65—67, 252, 253 Ширакаци Ананий 63, 289 Шихуан 28 Шридхара 290 Штейн В. М. 290 Штифель М. 134, 196 Штокало И. 3. 289 Штукин А. А. 290 Шэнь Ко 21, 161 Шюке Н. 196 Щуцкий Ю. К. 15, 290 Эйлер Л. 172, 177 Эсхил 79, 290 Юань Кэ 290 Юань Юань 292 Юй Си 20 Юшкевич А. П. 3, 7, 9, 288—291 Ябуути К. 8, 294 Якоби К. Г. Я. 186 Ямацаки И. 8, 294 Ян Хин-шун 291 Ян Хуэй 5, 8, 16, 21, 161, 172, 180, 185 Ян Чжу 288 Ян Ши-гу 55 Ян Юн-го 291 Яновская С. А. 3, 136, 175, 291 Яншина Э. М. 291 Янь Дунь-цзе 7, 292
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Часть первая ИСТОЧНИКИ Глава первая ВВЕДЕНИЕ 1. Обзор литературы . . . 2. Развитие математики в Китае (краткий очерк) Глава вторая ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ» 3. Классическая «Математи¬ ка в девяти книгах» . . . 4. Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии 27 34 5. Метрологический трак¬ тат Сунь-цзы 36 6. Математический трак¬ тат Чжан Цю-цзяня . . 41 7. Практическое руководство ддят чиновников пяти ве¬ домств 47 8. Арифметическое пособие Сяхоу Яна . . 52 9. Два трактата Чжэнь Луаня. 55 10. Трактат Ван Сяо-туна об уравнениях третьей степени 62 11. Трактат о гномоне ... 65 Часть вторая ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ Глава первая СИСТЕМА 1. Как считают СЧИСЛЕНИЯ китайцы? О месте китайского счета в общей истории современ¬ ной системы счисления . . 3. Чей же нуль? 4. Узелки и зарубки . . . 5. Становление китайской системы счета .... 6. Большие числа .... 72 74 77 78 Глава вторая АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 7. Счетная доска ..... 8. Позиционный принцип . . 9. Арифметические опера¬ ции . . . 10. Таблицы 11. Счетты. ‘ 79 Глава третья 82 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 12. Роль китайских десятич¬ ных дробей в истории науки 85 88 88 93 95 98 309
13. Метрологические дроби 99 14. Переход к абстрактной дроби 102 15. Основное свойство. Опе¬ рации 104 16. Древнекитайское понятие десятичной дроби .... 108 17. Метрология и происхожде¬ ние десятичных дробей . . 18. Метрологические табли¬ цы Сунь-цзы 19. Роль счетной доски в пре¬ образовании метрологии 110 112 114 Часть третья ПОНЯТИЕ ЧИСЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ Глава первая ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 1. Дроби в %Десятикнижье» 2. Натуральные дроби . . . 3. Дробь как мера или име¬ нованное число 4. Приведение дробей к об¬ щему знаменателю. Наи¬ меньшее общее кратное . . 5. Общий наибольший дели¬ тель. Алгоритм Евклида. Основное свойство дроби 6. Деление дробей. Задачи на распределение 7. Дробь как пара чисел . \ Глава вторая ПРОПОРЦИИ И ПРОГРЕССИИ 8. Пропорциональное деле- 117 118 121 9. Пропорции. Коэффициент пропорциональности. По¬ добие 10. Тройное правило. Про¬ центы 11. Прогрессии в «Десяти¬ книжье» и у Цинь Цзю- шао Глава третья ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ 12. Еще раз о делении .... 13. Деление с остатком . . . 14. Системы сравнений пер¬ вой степени. Задачи Сунь- цзы и Цинь Цзю-шао . . Часть четвертая АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 123 130 132 136 Глава первая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Тождественные преобра¬ зования 2. Китайская ^символика* 3. Классы задач и алгоритмы 4. Линейные системы. Ме¬ тод Гаусса 5. Китайская матрица . . . 6. Решение системы .... 7. Усовершенствование ме¬ тода 8. Неопределенная система 9. Отрицательные числа. Приведение уравнений к каноническому виду . . 174 177 181 181 183 186 188 191 193 10. Второй матричный ме¬ тод. Правило двух лож¬ ных положений 11. О происхождении матрич¬ ного метода. Частные при¬ емы 12. Линейные системы в книге Цинь Цзю-шао Глава вторая РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ 13. Извлечение квадратных и кубических корней в трак¬ татах математического чДесятикнижьяь 139 145 148 150 161 163 166 196 200 204 207 310
14. Квадратные уравнения в «,Десятикнижье» . . • . 214 15. Задачи, приводящие к квад¬ ратным уравнениям, в сочинении Цинь Цзю-шао %Девять книг по матема¬ тике» . . 219 16. Ban Сяо-тун. Кубические уравнения 227 17. Численный метод решения уравнений у Цинь Цзю- шао, JIu Е и Чжу Ши-цзе 232 Часть пятая ГЕОМЕТРИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ Глава первая ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ 1. «Измерение полей». Древ¬ няя классификация фигур 240 2. Вычислительные задачи. Приближения 244 3. Объемы 246 4. Площади 249 5. Древние понятия площади и объема 250 Глава вторая ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 6. Древняя формулировка теоремы. Доказательство Чжао Цзюнь-цина .... 252 7. «Метод гоу-гу» 256 8. Тройки пифагоровых чисел 261 Глава третья ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА И ШАРА 9. Древние значения числа те. Эталон мер Ван Мана 263 10. Метод Лю Хуэя и его понятие предела .... 266 11. Цзу Чун-чжи 269 Глава четвертая ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО НЕДОСТУПНЫХ ПРЕДМЕТОВ 12. Три классические задачи древней «Математики в девяти книгах» .... 271 13. «Метод чжун-чаь у Лю Хуэя. Подобие треуголь¬ ников 272 14. Задачи на измерение рас¬ стояний в других тракта¬ тах %Десятикнижья» . . 278 15. «Измерения и наблюдения» у Цинь Цзю-шао .... 280 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 286 ЛИТЕРАТУРА 288 Приложение СПИСОК ДРЕВНЕМАТЕМА¬ ТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ,* ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ 295 УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН .... 305
Эльвира Ивановна Березкина МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ Утверждено к печати Институтом истории естествознания и техники Академии наук СССР Редактор А. Ф. Лапко Редактор издательства Э. С. Павлинова Художник И. Е. Сайко Художественный редактор Т. П. Поленова Технический редактор JI. И. Куприянова Корректоры Н. И Казарцна, В. Г. Петрова ИБ № 16112 Сдано в набор 29.02.80. Подписано к печати 13.10.80. Т-16350. Формат 60x90Vie* Бумага типографская JsTb 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Уел. печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 20,4. Тираж 4100 экз. Тип. 8ак. 1358. Цена 2 р. 40 к. Издательство «Наука» 117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90 Ордена Трудового Красного Знамени Первая типография издательства «Наука» 199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12