Л.М.КОГАН
УЧИСЬ РЕШАТЬ
ЗАДАЧИ ПО
ФИЗИКЕ
Москва «Высшая школа» 1993
ББК 22.3
К57
УДК 53
Рекомендовано Комитетом по высшей школе Миннауки
России в качестве учебного пособия для слушателей подгото-
вительных отделений вузов
Рецензенты: кафедра медицинской и биологической фи-
зики 2-го Московского государственного медицинского ин-
ститута (зав. кафедрой проф. А. Н. Ремизов); канд. пед.
наук Б. С. Беликов (МАИ)
Коган Л. М.
К57 Учись решать задачи по физике: Учеб, пособие
для подгот. отделений техн, вузов.— М.: Высш,
шк., 1993.— 368 с; ил.
ISBN 5-06-000632-8
Основное назначение пособия научить абитуриентов решать
задачи. Излагаемый учебный материал разбит на десять разделов,
в каждом из которых приводятся краткие методические указания и ос-
новные формулы; особенности решения задач данного раздела: приме-
ры решения типовых задач с анализом наиболее распространенных
ошибок, допускаемых на вступительных экзаменах, задания для само-
стоятельного решения с ответами и контрольные задания.
К
4306021200 — 057
---------------121—92
001(01) —93" ........
I I'»...wwf
! saw* уий
Коган Леонид Михайлович
ББК 22.3
53
УЧИСЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Ведущий редактор Е. С. Гридасова. Оформление художника Т. В. Малю совой.
Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор JI. Л.
Муравьева. Корректор Г. И. Кострикова	.
ИБ № 8164	Z? v Ю
Изд. № ФМ-964. Сдано в набор 30.01.92. Подо, в печать 04.09.92. Формат
84 х 108/32. Бум. офс. № 2. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем 19,32
усл. печ. л. 19,53 усл. кр.-отт. 16,67 уч.-изд. л. Тираж 71 000 экз. Зак. № 3895.
Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
д. 29/14.
Отпечатано с диапозитивов Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудо-
вого Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Министерства
печати и информации Российской Федерации. 113054. Москва, Валовая, 28
в Московской типографии № 8 Министерства печати и массовой информации
РФ 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7. Тип. зак. 674.
ISBN 5-06-000632-8	© Л. М. Коган, 1993
Предисловие
Сегодня, когда предпринимаются отчаянные по-
пытки позитивных перемен и обновления всего
нашего общества, должно быть уделено особое
внимание совершенствованию народного образования
в целом, как первого, на наш взгляд главного,
этапа подготовки специалистов для народного хо-
зяйства.
С каждым годом растет число молодых людей,
имеющих желание получить высшее образование.
Среди них — люди, за плечами которых служба
в армии, жизненный и производственный опыт.
Как показывает практика, многим абитуриентам
перед поступлением в вуз требуется определенная
и целенаправленная помощь. Особенно в ней нуж-
даются те, кто намерен поступить в вуз спустя
несколько лет после окончания средних учебных
заведений.
Для этих категорий абитуриентов может быть
предложена дневная или вечерняя форма повторения
курса физики на подготовительных отделениях или
курсах; им прежде всего адресуется данное пособие.
Работа над настоящим пособием проводилась
с учетом того, что далеко не все бесспорно в про-
граммах по физике для средней школы. Практика
показала, что обычно, к сожалению, не все нововведе-
ния оправдываются проверкой в средних школах.
Так было прежде не раз. Поэтому мы вполне
сознательно осуществили разбор целого ряда задач
и предложили задачи для самостоятельного решения
и в контрольных работах в соответствии с устояв-
шимися, традиционными вопросами прежней про-
граммы по физике. Вместе с тем предложены
и задачи в соответствии с действующей программой
по физике для средней школы и для поступающих
3
в вузы (например, о смачивании и несмачивании
жидкостью твердых тел, капиллярности, об удельной
теплоемкости газов при постоянном давлении или
объеме). Показано решение некоторых задач геомет-
рической оптики с учетом отсутствия в действующих
программах формулы тонкой линзы. Однако реши-
тельно отказаться от этой формулы мы не могли,
полагая, что часть абитуриентов, которые восполь-
зуются данным пособием, изучали физику по пре-
жним программам.
Основной учебный материал пособия разбит на
десять разделов. В каждом из них приводятся
краткие методические указания и основные формулы;
некоторые особенности решения задач данного раз-
дела; примеры решения типовых задач с анализом
конкретных наиболее распространенных ошибок, до-
пускаемых абитуриентами; задания для самостоятель-
ного решения (с ответами) и контрольная работа
(два варианта по десять задач каждый).
В пособии используются задачи, которые в боль-
шинстве своем предлагались на конкурсных экзаме-
нах по физике в различные технические вузы в про-
шлые годы. Однако мы сочли целесообразным
разобрать и предложить для самостоятельного реше-
ния ряд задач повышенной трудности, представля-
ющих интерес с точки зрения углубления знаний
слушателей подготовительных отделений и курсов.
Предполагается, что эти задачи будут решать более
подготовленные абитуриенты.
Вместе с тем мы сочли возможным, исходя из
принципа профессиональной направленности обуче-
ния физике, включить в пособие ряд прикладных
задач, тематика которых в определенной мере связана
с настоящей или будущей трудовой деятельностью
слушателей В содержании таких задач используются
некоторые технические данные, характерные для
конкретных транспортных средств, двигателей, про-
мышленных установок, приспособлений и т. д.
Прежде чем начать работу с предлагаемым
пособием, рекомендуем внимательно ознакомиться
с общими методическими указаниями, в которых
Вы найдете полезные советы, как лучше, продук-
4
тивнее повторять курс физики средней школы с целью
подготовки к конкурсному экзамену в технический вуз.
Здесь же приводятся необходимые для решения
задач краткие сведения о приближенных вычислениях,
а также список литературы, которая может быть
использована для повторения материала.
Использование высшей математики ограничено
самыми общими сведениями, которые уже вошли
в школьные программы по математике и помогают
избегать громоздких преобразований при решении
некоторых задач и исследовании ряда выражений.
Наиболее важные формулы и соотношения имеют
нумерацию в пределах каждого раздела. Например,
ссылка на формулу (4.3) означает, что те или иные
соображения основаны на третьем по счету соот-
ношении из раздела IV и т. д. При разборе типовых
задач каждого раздела рисунки не нумеруются,
а формулы имеют сквозную нумерацию в пределах
каждой задачи.
Нам представляется, что пособие будет полезно
и слушателям заочных курсов по подготовке в тех-
нические вузы, которые могут использовать его
в процессе самоподготовки.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Учебная работа по повторению курса физики
слушателя подготовительного отделения складыва-
ется из двух основных элементов: работы с учебными
пособиями, содержащими все программные вопросы
курса физики средней школы, и решения задач.
1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С УЧЕБНЫМИ
ПОСОБИЯМИ
Без прочного и глубокого усвоения основных
теоретических положений школьного курса физики
невозможно применение полученных знаний на прак-
тике при решении задач. Поэтому самостоятельная
работа со школьными учебниками и учебными
пособиями является необходимым условием успеш-
ной подго говки слушателя подготовительного от-
деления к вступительному экзамену в вуз.
5
Наш многолетний опыт работы с абитуриентами
со всей очевидностью показал, что нет единообраз-
ного пути восприятия основ физики. Некоторые
абитуриенты лучше мыслят математическими сим-
волами, и им легче вообразить физический закон
в виде математической формулы. Другие абитуриен-
ты связывают физические законы с опытами, процес-
сами, которые им удалось наблюдать, для них
характерна склонность к модельному, образному
мышлению.
Учитывая разные пути восприятия основ физики,
дадим Вам совет — ни в коем случае не следует
заставлять себя обязательно стремиться, например,
к модельным представлениям, если Вам легче пред-
ставления математические, в виде формул. Помните,
что в конечном итоге Вам требуется понять и усвоить
законы физики, а как Вы будете себе представлять
их и как Вы будете в них ориентироваться — это
дело Вашего вкуса. Задачей преподавателей подго-
товительных отделений является предоставление аби-
туриентам полной свободы выбора воспринять ос-
новы физики так, как любому из Вас проще,
доступнее.
Мы настойчиво рекомендуем Вам заниматься
повторением курса физики систематически в течение
всего учебного периода. Повторение в сжатые сроки
перед вступительным экзаменом, как показывает
многолетний опыт, не дает глубоких и прочных
знаний. Помните, что чтение и заучивание любого
учебника или учебного пособия, даже самого хоро-
шего, без конспектирования, т. е. без записи главного
из того, что Вы поняли,— занятие весьма утомитель-
ное и бесполезное. Вы должны настойчиво учиться
размышлять, ибо только уровень Вашего мышления
определяет способность применять Ваши знания к ре-
шению задач.
Выбрав какое-либо учебное пособие в качестве
основного, старайтесь придерживаться именно его,
так как замена одного пособия другим в процессе
повторения курса физики может привести к утрате
логических связей между отдельными вопросами.
Однако, если в выбранном учебном пособии Вы
не найдете полного ответа на тот или иной вопрос
программы, можете обратиться к другим учебным
пособиям.
6
Самостоятельную работу по повторению курса
физики подвергайте систематическому самоконтро-
лю.
Однако бывает так, что при первом чтении
какая-то деталь вопроса Вам непонятна. Не следует
на ней останавливаться. В этом ничего страшного
нет. Следует читать дальше. А при повторном
чтении непонятные места обычно приобретают дру-
гой смысл и становятся более понятными.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Нередко приходится сталкиваться с ситуациями,
когда абитуриенты, неплохо ориентирующиеся в те-
оретических вопросах школьного курса физики, уме-
ющие записать и объяснить физический смысл прак-
тически любой формулы или закона, становятся
совершенно беспомощными при решении задач. И это
не случайно! Давно замечено, что для успешного
решения задач знание теории необходимо, но еще
не достаточно.
Решение физической задачи предполагает установ-
ление неизвестных связей между заданными и ис-
комыми физическими величинами и определение
последних. Установление же необходимых связей
между величинами предполагает умение анализиро-
вать физическую ситуацию, изложенную в условии
задачи.
Иными словами, в условии задачи всегда от-
ражено какое-то физическое явление (или совокуп-
ность физических явлений) и для ее решения необ-
ходимо не только знать теорию этого явления
(явлений), но и уметь анализировать заданную
в условии задачи физическую ситуацию, связанную
с этим явлением (явлениями). Это умение приоб-
ретается на опыте, в процессе решения задач. Од-
новременно постепенно реализуется достижение более
высокой цели — усвоение системы знаний по физике
и ее применение к решению задач.
В последние годы сложилось так, что материал
экзаменационных билетов по физике в технических
вузах на 60—100% состоит из задач. И это правиль-
но! Ибо именно решение задач помогает уяснить
физический смысл явлений, закрепляет в памяти
7
формулы, прививает навыки практического примене-
ния теоретических знаний.
Помните: решение задач- это творческий процесс.
Подходов к той или: иной задаче значительно больше,
чем самих задач. Для того чтобы научиться решать
задачи, следует придерживаться более или менее
систематического порядкт! действий. Мы предлагаем
такой порядок:
1.	Внимательно прочитайте задачу и математичес-
ки запишите условие, проследите, чтобы все заданные
величины были выражены в СИ.
2.	Обдумайте условие задачи. Выясните, о каких
физических процессах (явлениях) в ней идет речь,
каким закономерностям эти процессы (явления) под-
чиняются. Наметьте примерный путь решения; при
этом искомые величины — это «маяки», к которым
Вас зовут заданные и табличные величины.
3.	Сделайте чертеж, схему, рисунок с обозначе-
нием данных и искомых величин; помните при этом,
что любое построение — это не самоцель (кроме
специальных задач на построение), а помощь в реше-
нии задачи. Ошибка в построении неизбежно ведет
к ошибке в решении задачи.
4.	Используя математические записи физических
законов, отвечающих содержанию конкретных задач,
запишите уравнение или систему уравнений, содер-
жащих явно искомую или искомые физические ве-
личины. Помните, что решение задач следует со-
провождать краткими, но исчерпывающими поясне-
ниями.
5.	Решите задачу в общем виде, т. е. получите
математическое выражение (рабочую формулу), в ле-
вой чаши которого находится искомая величина,
а в правой—заданные в условии задачи и взятые
из таблиц величины.
6.	Произведите проверку размерности искомой
величины. Если в результате получена верная раз-
мерность, то это, конечно, не гарантия верного
решения; однако неверная размерность — прямое ука-
зание на допущенную ошибку. (В решении задач
пособия этот пункз опущен.)
7.	Подставьте в рабочую формулу числовые зна-
чения заданных и табличных величин, выраженные
в СИ, и произведите вычисления, руководствуясь
правилами приближенных вычислений.
s
8.	Оцените (там, где это возможно) правдоподоб-
ность числового ответа. В ряде случаев такая оценка
поможет Вам обнаружить ошибочность полученного
результата. Например, коэффициент полезного дей-
ствия не может превышать 100% или единицу;
электрический заряд не может быть меньше элемен-
тарного заряда е = 1,60  10'19 Кл; скорость тела
не может быть больше скорости света в вакууме
и т. д.
Помните, умение решать задачи приобретается
длительными и систематическими упражнениями.
Чтобы подготовиться к конкурсным экзаменам, Вам
следует сначала повторить очередной раздел про-
граммы, затем внимательно разберите помещенные
в этом пособии примеры решения типовых задач
и решите специально подобранные «Задачи для
самостоятельного решения». Самоконтроль осущест-
вляйте при решении контрольных задач.
3.	ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
При решении задач по физике, как правило,
имеют дело с приближенными числовыми значениями
физических величин. Такими величинами являются
многие физические постоянные и константы из
справочников. Например, ускорение свободного паде-
ния на поверхности Земли приближенно равно
9,81 м/с2, заряд электрона приближенно равен
— 1,60 • 10 19 Кл и др.
Часто Вы по своей неопытности добиваетесь при
вычислениях получения такой точности результатов,
которая, во-первых, совершенно не согласуется с по-
требностью в ней, а во-вторых, не оправдывается
точностью использованных данных.
В настоящее время в Вашем распоряжении име-
ются различные счетно-вычислительные машинки
(калькуляторы, микрокалькуляторы), которые при
вычислениях дают большое число значащих цифр.
Вы должны хорошо понимать, сколько значащих
цифр следует оставить, а остальные отбросить.
При этом пользуются следующими правилами
округления:
—	если первая отбрасываемая цифра больше 5,
то последняя сохраняемая цифра увеличивается на
9
единицу; например, число 76,5864 после округления
до сотых долей нужно записать 76,59;
—	если первая отбрасываемая цифра меньше 5,
то последняя сохраняемая цифра не меняется; на-
пример, число 251 749 после округления до сотен
нужно записать 251 700;
—	если отбрасывается одна цифра и она равна
5, то последняя оставленная цифра должна быть
четной, например 62,85 «62,8, но 54,35 «54,4.
Перечислим основные правила приближенных вы-
числений, которых Вам следует придерживаться при
решении задач:
—	при сложении и вычитании результат окру-
гляется так, чтобы он не имел значащих цифр
в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы
в одной из заданных величин; например,
2,3846+ 7,52-6,537 «3,37;
—	при умножении сомножители округляются так,
чтобы каждый содержал столько значащих цифр,
сколько их имеет сомножитель с минимальным их
числом; в произведении при этом оставляйте такое
же число значащих цифр, как и в сомножителях
после округления; например, 3,47 х 5,268 х 1,2 «
«3,5 х 5,3 х 1,2 = 22,3;
—	при делении соблюдайте такое же правило,
как и при умножении; например,
8,576:3,5 = 8,6:3,5 = 2,5;
—	при возведении в квадрат или куб в результате
оставляйте столько значащих цифр, сколько их имеет
основание степени; например, 2,683 = 19,2;
—	при извлечении квадратного или кубического
корня в результате оставляйте столько значащих
цифр, сколько их имеет подкоренное выражение;
например, ^/7,83 = 2,80;
—	при вычислении сложных выражений следует
применять перечисленные выше правила в соответ-
ствии с видом производимых действий.
Полезно запомнить следующие приближенные
равенства (для случая
(1 + а)1 2« 1 + 1а; (1 + и)3 « 1 + За;
1 + а « 1 + - а; д/г1+б!«1+-п;-« 1 -|- а.
-	“2 v “	-3	1±«
10
4.	ЛИТЕРАТУРА
1.	Балаш В. А. Задачи по физике и методы их
решения. М., 1983.
2.	Бендриков Г. А., Буховцев Б. Б., Кержен-
цев В. В., Мякишев Г. Я. Задачи по физике для
поступающих в вузы. М., 1985.
3.	Гольдфарб Н. И. Сборник вопросов и задач по
физике. М., 1983.
4.	Гурский И. П. Элементарная физика с приме-
рами решения задач. М., 1984.
5.	Евграфова Н. Н., Каган В. Л. Курс физики для
подготовительных отделений вузов. М., 1984.
6.	Мясников С. П., Осанова Т. Н. Пособие по
физике для подготовительных отделений вузов.
М., 1988.
7.	Селезнев Ю. А. Основы элементарной физики.
М., 1974.
8.	Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Вопросы и задачи
по физике. М., 1990.
9.	Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики.
Т I, II. М., 1981.
10.	Яворский Б. М., Селезнев Ю. А. Справочное
руководство по физике для поступающих в вузы
и самообразования. М., 1984.
РАЗДЕЛ I. КИНЕМАТИКА
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
Перемещение материальной точки
Аг = г2 — г15	(1.1)
где г, и г2 — ее радиусы-векторы соответственно
в начальном и конечном положениях. Иногда пе-
ремещение обозначают s.
Уравнению (1.1) эквивалентна система уравнений
для проекций векторов на выбранные оси координат:
\rx = x2 — %i =Ах, Агг = у2— У[ =А_у,	(1.2)
где —координаты точки в начальном положе-
нии, х2, у2— ее координаты в конечном положении.
Средняя скорость материальной точки
Уравнению (1.3) эквивалентна система уравнений
для проекций на оси координат:
= (ср)г = ^.	(1.4)
Мгновенная скорость материальной точки
v = Hm -=r'(z).	(1.5)
Средняя путевая скорость (скалярная средняя
скорость)
>.„=£.	(1.6)
где А.у — путь, пройденный за время А?.
12
Среднее ускорение материальной точки
Мгновенное ускорение материальной точки
а = lim — =	(1.8)
д(-оА/ ' '
Уравнениям (1.7) и (1.8) эквивалентны системы
уравнений для проекций векторов ускорений на
выбранные оси координат:
кР)х=^,	(1.9)
ау= lim —, пу = lim —.	(1.9а)
ai—о Л'	Д(^о А/
Движение материальной точки с постоянным
ускорением описывается двумя кинематическими ура-
внениями (законами движения):
.	.	а(Д/)2	....
Ar = v0 А/-)--—;	(1.10)
v, = v0+aA/.	(I-И)
При условии v0 || а движение будет прямолинейным.
Уравнение (1.10) эквивалентно уравнению
r = r0 + v0A/ + a^,	(1.12)
где г0 — радиус-вектор точки в ее начальном положе-
нии, г — ее радиус-вектор через промежуток времени
А/ после начала движения.
Векторным уравнениям (1.10)—(112) соответству-
Ю1 системы уравнений для проекций на выбранные
координатные оси:
Агх = г0ХМ + ^У, Дгу = г0УАг + ^|^;	(1.13)
(c)x = i;ox + «x (vI)y = vOr + ayA/; (1.14)
х = ло + гох +	, у = у0 + СоУ А/ + -—. (1.15)
При равномерном движении материальной точки
по окружности радиусом R ее период Т и частота
v равны соответственно
Т=1/п, v=n!t,	(1-16)
13
где п — число полных оборотов за время t.
Из формулы (1.16) следует, что
Tv=l, Т=~, v=-.	(1.17)
v Т
Линейная скорость точки при равномерном движе-
нии по окружности
^ = 3^ = 2n7?v	(1 Д8)
At Т
Угловая скорость точки в этом случае
(й = а<р = 2я = 2лу,	(1.19)
At Т
где Аср— угол поворота за время Ал
Из уравнений (1.18) и (1.19) следует, что
и = со7?.	(1.20)
Модуль нормального (центростремительного)
ускорения материальной точки при ее движении по
окружности
a =V1 = ^R.	(1.21)
" R
При равномерном движении ап=const.
Если рассматривается движение одной и той же
точки в разных системах отсчета, одна из которых
принимается за неподвижную, то
Аг = Агх + Аг2, v = v1+v2.	(1.22)
где Аг и v, Агг и Vj—перемещение и скорость точки
соответственно в неподвижной и подвижной системах
отсчета, Аг, и v2—перемещение и скорость подви-
жной системы отсчета относительно неподвижной.
Вместо векторных уравнений (1.22) могут быть
записаны системы уравнений для проекций на оси
координат:
ГХ = (Г1 )т + (Г2 )х ’ ГУ = (Г1 )г + (Г 2 ) Г ’
(1-23)
ГХ = (Г1 )хЗ~(Г2)х’ VY ~ (V1 )г + (Р2 )г •
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
При решении задач кроме общих правил решения,
изложенных в п. 2 «Общих методических указаний»,
14
приходится учитывать некоторые дополнения к ним,
связанные со спецификой того или иного раздела.
Задачи кинематики, предлагаемые на конкурсных
экзаменах в вузы, включают в себя задачи о рав-
номерном и равнопеременном прямолинейном движе-
нии одной или нескольких материальных точек
и задачи о равномерном движении точки по окру-
жности.
Решение задач кинематики прямолинейного дви-
жения основано на применении кинематических урав-
нений (1.12) и (1.11) к тому или иному конкретному
условию. Правда, использовать векторные уравнения
для нахождения из них модулей искомых величин
не всегда удобно; поэтому при решении задач обычно
записывают эти уравнения в форме (1.14), (1.15),
т. е. уравнения г (г) и v(z) проецируют на оси
выбранной системы координат.
Следует обратить особое внимание на выбор
системы отсчета. И хотя совершенно все равно,
какое тело принять за неподвижное, как направить
оси координат, какой момент времени выбрать за
zo = 0, все же удачный выбор системы отсчета
значительно упрощает решение задачи, сводя к ми-
нимуму математические расчеты.
Прочитав условие задачи, следует сделать
схематический чертеж, на котором отметить систе-
му отсчета, направления векторов скоростей, ускоре-
ний. Начало координат, как правило, удобнее
помещать в начальной точке движения тела или
одного из тел, а оси координат направлять так,
чтобы одна из них была направлена в сторону
движения тела. После этого следует отметить все
координаты движущегося тела (или тел) и спро-
ецировать векторы скоростей и ускорений на выбран-
ные оси.
При переходе к уравнениям для проекции ско-
ростей и ускорений очень важно помнить правила
расстановки знаков перед проекциями. Несоблюдение
этих правил является причиной многих ошибок при
решении задач кинематики. Напомним, что проекция
вектора а на какую-то ось ОК это величина,
равная йк = псо8(р, где а — модуль вектора, <р — угол
между направлением вектора а и положительным
направлением оси ОК'. он отсчитывается от поло-
жительного направления оси ОК против часовой
15
О
C05i^>0
au<0
cos^fO
a,k=0
cos if/,-- О
Рис. 1
стрелки. Из
рис. 1 видно,
что знак пе-
ред проекцией
вектора а за-
висит от зна-
ка косинуса
угла ориента-
ции вектора ср.
Выполнив чертеж, нужно установить связь между
всеми величинами, введенными в решение, с помо-
щью кинематических формул. Можно использовать
также формулу
(1.24)
аналогично Агу = ——— , являющуюся следствием
2aY
формул (1.13) и (1.14).
Решая задачи, в которых требуется произвести
расчет средней путевой скорости, следует помнить,
что уравнением для ее определения является выраже-
ние (1.6). Об этом приходится напоминать, так как
некоторые абитуриенты для нахождения средней
путевой скорости используют выражение
+... +
гсп = -— -------, которое очень часто приводит
п
к ошибочному результату.
Решая задачи на свободное падение тел или
движение тела, брошенного вертикально вверх, необ-
ходимо помнить, что эти движения происходят
с постоянным ускорением свободного падения
g = 9,8 м/с2, кинематические уравнения этого движе-
ния получаются автоматической заменой в формулах
(1.13), (1.14), (1.15) Агу на h и aY на gY, где
h — расстояние по вертикали, отсчитываемое от по-
верхности Земли. Особое внимание обратите на то,
что при движении тел, брошенных вертикально
вверх, уравнения (1.14) и (1.15) дают зависимость
координаты (У) и скорости (гу) для всего времени
движения тела и справедливы как для замедленного
подъема вверх, так и для ускоренного падения вниз,
поскольку в процессе всего движения g = const. Полез-
но помнить, что при этом движении время подъема
16
тела на максимальную высоту равно времени падения
его В исходную точку (/подъема = бдения), а модуль
начальной скорости бросания равен модулю скорости
падения в исходную точку (г0 = гпадсння). Эти равен-
ства советуем использовать как готовые результаты
при составлении вспомогательных уравнений.
В связи с использованием в школьной программе
элементов математического анализа на конкурсных
экзаменах предлагаются задачи, требующие умения
дифференцировать и исследовать несложные функции.
Решение таких задач разобрано на примерах, при-
веденных на с. 41, 262, 296 и др. пособия.
Большие затруднения у абитуриентов вызывают
задачи, в которых рассматривается движение тела
в разных системах отсчета. При решении таких
задач сразу же после выбора системы отсчета нужно
определить скорости и перемещения тел относитель-
но тела отсчета. Затем, как уже отмечалось, со-
ставляются кинематические уравнения и записыва-
ются дополнительные соотношения.
Движение тел, брошенных горизонтально или под
углом к горизонту, можно рассматривать как резуль-
тат суперпозиции (наложения) двух одновременных
прямолинейных движений по осям координат, на-
правленным вдоль поверхности Земли и по нормали
к ней. Решение удобно начинать с нахождения
проекций вектора начальной скорости v0 по этим
осям, а затем составлять кинематические уравнения
для каждого направления.
Решение задач о движении точки по окружности
следует проводить в соответствии с данными выше
рекомендациями. Особенность заключается лишь
в том, что при решении таких задач используются
соотношения (1.16) — (1-21).
При решении графических задач к абитуриенту
предъявляются лишь два требования: твердое знание
графиков элементарных функций и умение их ис-
следовать. В частности, следует хорошо изучить
графики линейных функций (прямая линия) и функций
второго порядка (парабола), отображающих геомет-
рически уравнения (1.13)- (1.15).
Все графические задачи можно условно разделить
на две группы. К первой из них относят задачи,
в которых дается график зависимости от времени
одних кинематических величин и по нему надо
17
построить график зависимости от времени других
кинематических величин. Приступая к решению таких
задач, следует тщательно проанализировать
предложенный график, установить характер дви-
жения, затем записать заданную зависимость в
виде уравнения. По этому уравнению необхо-
димо определить искомую зависимость и, исследо-
вав ее, построить требуемый график. При этом следует
помнить, что по наклону касательных к графику пути
или координаты можно найти модуль скорости тела
в тот или иной момент времени, а непрерывность
графика скорости обеспечивает сопряжение различных
частей графика пути (координаты).
Ко второй группе относят задачи, решение кото-
рых предполагает умение представить условия, задан-
ные аналитически, в виде графиков зависимости
кинематических величин от времени. Следует обра-
тить внимание на рациональный выбор масштаба
кинематических величин. Дальнейшее решение задачи,
состоящее в том, чтобы найти ту или иную величину
на готовом графике, затруднений обычно не вызывает.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Два автомобиля одновременно выез-
жают из городов А и В, расстояние между которыми
350,0 км, и движутся равномерно и прямолинейно
по трассе со скоростями 15,0 и 20,0 м/с навстречу
друг другу. Через какое время и на каком расстоянии
от города А они встретятся?
1=3,5 • 105 м;
vt = 15,0 м/с;
г2 = 20,0 м/с.
Рис. 2
Z-? л—?
Решение
В этой задаче удобно выбрать в качестве тела
отсчета Землю.
Направим ось абсцисс по линии, соединяющей
города А и В, в сторону города В, а начало
координат поместим в точку А (рис. 2).
Условимся отсчитывать время от общего для
обоих автомобилей момента начала движения. Тогда
18
уравнения движения* автомобилей, которые мы,
согласно условию задачи, примем за материальные
точки, будут иметь вид
Х1 = х01 + vrt и x2 = .v02 — r2z,
где и х2—координаты автомобилей в произ-
вольный момент времени, хО1=0, х02 = 1— начальные
координаты автомобилей.
В точке С, в которой автомобили встретятся,
координаты их будут одинаковы: х{~х2. Тогда
v,t = l—v2t, t = —Z—= 10 000 с % 2,8 ч.
Vi+v2
Место встречи автомобилей находится на расстоянии
s = xr или s = x2 от города А, т. е.
5=150 000 м = 150,0 км.
Эта задача может быть решена графически
(рис. 3).
Выберем для
времени единицу
5 • 103 с, а для ко-
ординаты — 0,5 х
х 105 км. Отло-
жим на оси абс-
цисс в выбранном
масштабе время
движения автомо-
билей, а по оси ординат—их координаты хг и х2.
Тогда зависимости координат от времени на графике
изобразятся прямыми 1(х1 = гГ1) и П(х2 = /—v2t).
Время и место встречи автомобилей определим
по положению точки С пересечения графиков. Ко-
ординаты точки С : г= 10 000 с, = х2 = 150 000 м.
Значит, автомобили встретятся через 10 000 с на
расстоянии 150 000 м от города А.
Задача 2. По параллельным железнодорожным пу-
тям в одном направлении следуют товарный поезд
длиной 420 м со скоростью 10 м/с и электропоезд
длиной 120 м со скоростью 30 м/с. В течение какого
времени электропоезд обгонит товарный? Движение
поездов считать равномерным.
* В этой и последующих задачах, если нет специальных
оговорок, считать, что все кинематические соотношения даны
в проекции на выбранные координатные оси.
19
vt = 10 м/с;
/1=420 м;
v2 = 30 м/с;
/2 = 120 м.
/—?
Решение
Прежде всего выясним, что понимать под време-
нем обгона. Началом обгона надо считать тот
момент времени /о = 0, в который координаты начала
электропоезда и конца товарного поезда одинаковы.
Окончанием же обгона будем считать момент време-
ни /, в который сравняются координаты начала
товарного поезда и конца электропоезда. Значит,
время обгона равно t — t0 = t.
Дадим решение этой задачи в двух вариантах,
отличающихся лишь выбором системы отсчета.
1 вариант. Свяжем систему отсчета с Землей.
Направим ось абсцисс в сторону движения поездов
и выберем начало координат в некоторой точке
О (рис. 4). Начало обгона будет соответствовать
начальной координате, скажем л0 (обратите внимание
на то, что начало координат выбрано произвольно!).
Тогда, если за начальный момент времени принять
начало обгона, закон движения начала товарного поезда
X^Xq + ^+vJ,	(1)
а	закон	движения конца	электропоезда
х2=х^	/2-Ь v2t.	(2)
Так	как	обгон	закончится	при xt=x2,	то, приравняв
правые части уравнений (1) и (2), получим
г = /1 + /1=27 с.
II вариант. Свяжем систему отсчета с одним
из движущихся поездов, например с товарным.
Направим ось в сторону движения поездов, а начало
координат совместим с началом товарного поезда
(рис. 5). Очевидно, скорость электропоезда относи-
тельно товарного поезда
1’отн = 1’2-г’1-
20
Тогда, если за начальный
момент времени принять
начало обгона, закон движе-
ния конца электропоезда
х = -х0 + иотн/, где х0 = 11 +
+ 12 — начальная координа-
та. Знак минус перед ней
Рис. 5
стоит потому, что .х0 отсчитывается влево от начала
координат. В момент завершения обгона конец
электропоезда будет в начале выбранной системы
коордйнат, т. е. х = 0. Тогда для этого момента
времени — (/j + /2) + (v2 — rj t = 0, откуда
z = A±k = 27 с.
Задача 3. Найти среднюю скорость тела в двух
случаях: а) первую четверть времени оно двигалось
со скоростью 7,0 м/с, оставшееся время — со скоро-
стью 4,0 м/с; б) первую четверть пути оно двигалось
со скоростью 7,0 м/с, оставшуюся часть пути — со
скоростью 4,0 м/с.
Решение
а)	б)'
3/4С	
14 = 7,0 м/с;	1?! = 7,0 м/с;
3/4о	3/4/;
v2 — 4,0 м/с.	v2 = 4,0 м/с.
Мы уже подчеркивали,
что для нахождения сред-
ней путевой скорости сле-
дует весь пройденный путь
разделить на все время
движения. Именно этот
факт является общим для
обеих задач:

v = sjt.	(1)
Однако задачи имеют и принципиальное отличие,
часто ускользающее от внимания абитуриентов:
в случае а) задано все время движения, а в случае
б) задан весь пройденный путь. Отсюда вытекает, что
для случая а) надо искать весь пройденный путь,
1
состоящий из двух участков: 5 = 5t-|-52, где ^=(^--7,
3
52 = г2’^ — участки пути, пройденные телом за пер-
вую четверть времени и за оставшиеся три четверти
21
времени соответственно. Следовательно, s = -vlt +
+ ^v2t = ^(v1 + 3v2). Подставляя это выражение в (1),
получим
v । -Г 3 v 2 ла I
v. = ---- = 4,8 м/с.
а 4	’ I
Для случая б) следует искать все время движения,
состоящее из времени прохождения первой чет-
верти пути и времени t2 прохождения оставшейся
I .?	3 ,s „	.?	Зл
части пути, т. е. г, =—.	—. Значит, t=—+— =
3	1 4 1>! 2 4 v2	4vt 4v2
_ ^(3bt + п2) р|одставляя это выражение в (1), получим
4г1и2
гб= — - = 4.5 м/с.
3ri+r2
Обратите внимание на то, что средние скорости
различны для обоих случаев.
Задача 4. Автобус, отходя от остановки, движется
равноускоренно и проходит за третью секунду 2,5 м.
Определить перемещение автобуса за пятую секунду.
53 = 2,5 м.
^5-?
Рис. 6
Решение
Обратите внимание на то, что в условии этой
задачи имеется «скрытый» элемент условия: началь-
ная скорость автобуса ио = 0. Это соответствует
выводу: автобус отходит от остановки.
Заметим также, что основной причиной неверного
решения этой и подобных задач является, на наш
взгляд, невнимательное прочтение условия задачи,
что приводит к путанице. В частности, ищут пере-
мещение за 5 с, а не за пятую секунду. В данном
случае это принципиально, так как эти перемещения
явно не одинаковы.
22
Свяжем систему отсчета с Землей, направим ось
абсцисс в направлении движения автобуса, а начало
оси выберем в точке, из которой автобус начинает
движение (рис. 6). В соответствии с уравнением
движения x2 = at2!2, x3 = atl/2, где х2 и х3—соот-
ветственно координаты автобуса через промежуток
времени /2 = 2с и /З = 3с. Тогда перемещение авто-
буса за третью секунду
v3 = x3-x2 = ^(^-^).	(1)
Аналогично, перемещение автобуса за пятую
секунду 55 = х5 —х4, где x5=at$/2 и x4 = at4/2—
координаты автобуса через промежутки времени
/5 = 5с и С = 4 с. Значит,
s5 = l(t25-tl).	(2)
s t2 — t2
Разделив уравнение (1) на (2), получим — = ——
откуда
ц —г:
55=.v3-—" = 4,5 м.
tl — / 2
1 3	1 2
Задача 5. Вдоль наклонной доски пустили катить-
ся снизу вверх шарик. На расстоянии 0,5 м от
начала пути шарик побывал дважды: через 1 и 4 с
после начала движения. Считая движение равно-
переменным, определить его начальную скорость
и ускорение.
/=0,50 м;
с = 1,00 с;
t2 = 4,00 с.
Решение
Рис. 7
Многие абитуриенты не могут справиться с подоб-
ными задачами, так как не могут сообразить, что
времена и t2 есть корни квадратного уравнения,
23
выражающего зависимость координаты х шарика
от времени.
Действительно, если наклонную доску выбрать
в качестве тела отсчета, а ось абсцисс выбрать так,
как показано на рис. 7, то эта зависимость выразится
следующим образом: .v = .v04-r0? — ш2/2, где .vo = 0.
При х = 1 имеем квадратное уравнение
l=vot-~-<	. (О
корнями которого являются заданные значения tx
и t2. Придадим уравнению (1) вид приведенного
квадратного уравнения:
+	(2)
а а
Тогда в соответствии с теоремой Виета
tx+t2 = 2v0!a	(3)
и
txt2^2lla.	(4)
2/	,
Из уравнения (4) находим а = — = 0,25 м/с . Под-
ставив это значение ускорения в уравнение (3), найдем
v0 = a(lx + /2)/2 = 0,62 м/с.
Обратим внимание на то, что использование
теоремы Виета значительно упрощает решение этой
задачи!
Задача 6. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с,
попадает в деревянную преграду и проникает в нее
на глубину 32 см. Найти ускорение и время движения
пули внутри преграды. Какова была ее скорость
на глубине 24 см? На какой глубине скорость пули
уменьшилась в 4 раза9 Движение считать равнопе-
ременным. Пулю считать абсолютно твердым телом.
го = 4,00 • 102 м/с;
/=0,32 м;
/1=0,24 м;
г2 = г0/4.
а— 2 t—2
”1~? /2 —?
° +-
а
Рис. 8
24
Решение
В этой задаче удобно направить ось абсцисс
вдоль движения пули, а началом отсчета считать
точку соприкосновения пули с преградой (рис. 8).
Тогда уравнения движения пули запишутся так:
at2
x=xo + vot- — ,	(1)
v = v0 — at.	(2)
Так как пуля движется вдоль прямой в одном
направлении, то ее координата х и пройденный
путь / равны в любой момент времени. Значит,
уравнение (1) запишется так:
/=%г—-2-	(3)
В конце пути I скорость пули г = 0 и уравнение (2)
запишется так:
Vq — at = 0.	(4)
Решая совместно уравнения (3) и (4), найдем
а = 2,50 • 10’ м/с2, / = 1,6мс.
Обратим внимание, что ускорение а можно по-
лучить из соотношения v о = lai, следующего из
формулы (1.24) V2 — «о=-lai. Последним выраже-
нием удобно воспользоваться для нахождения осталь-
ных искомых величин.
Действительно, на глубине
v 2 — v о = — 2а!г, откуда	= ^/г о — 2^ = 200 м/с,
на глубине /2
V 2 - г2
v 2 ~~ v о = ~ 2а!2, откуда 12= ——- = 0,30 м.
2а
Задача 7.
уравнением
Прямолинейное движение точки задано
х= — 2 + 3Z — 0,5г2. Написать уравнение
зависимости скорости точки от времени; построить
график этой зависимости; найти координату и ско-
рость точки через 2 и 8 с после начала движения;
по графику зависимости v=f(t) найти перемещение
и путь за время 2 и 8 с.
х — — 2 + 3/ —0,5/2;
г1=2 с;
/2 = 8 с.
х1 — ? х2~?
)
<г,
хо О	X
а
Рис. 9
25
Решение
Выберем в качестве тела отсчета Землю и на-
правим ось абсцисс в сторону движения точки, а так-
же выберем начало координат (рис. 9). Если сравнить
заданное уравнение с уравнением зависимости ко-
ординаты точки от времени в общем виде
x = xo + vot + at2/2,
то из этого сравнения можно будет извлечь полезную
информацию. Так, в начальный момент времени
координата точки была равна х0=—2 м, скорость
с0 = 3 м/с, ускорение а—- — 1 м/с2; значит, точка дви-
галась с уменьшающейся скоростью, так как ускоре-
ние было направлено в сторону, противоположную
направлению начальной скорости.
Для написания зависимости г=/(г) вспомним,
что v = x'(t). Тогда, взяв производную координаты
по времени., получим
r = 3-z.	(1)
График этой линейной зависимости изображен на
рис. 10. Из этого графика видно, что в начальный
момент времени точка
имела скорость t’0 = 3 м/с
и двигалась в положи-
тельном направлении
с уменьшающейся скоро-
стью. Через 3 с после
начала отсчета времени
она остановилась, а за-
тем начала двигаться
в противоположном на-
правлении с тем же уско-
рением (так как график
скорости не имеет изло-
мов!).
Для нахождения координаты точки в требуемые
моменты времени необходимо в заданное уравнение
зависимости x=/(z) подставить последовательно
(,=2с и z2 = 8 с. Получим
^ = 2 м и х2= — 10 м,
т. е. через 2 с точка будет находиться в двух метрах
справа от начала координат, а через 8 с — в десяти
метрах слева от начала координат. Скорость точки
26
го = 2О м/с;
/ = 8 с;
g= 10 м/с2.
в заданные моменты времени можно найти после
подстановки в уравнение (1) моментов времени
и t2. Получим
= 1 м/с, v2 = — 5 м/с.
Это означает, что через 2 с точка двигалась
вправо (см. рис. 9), а через 8 с — влево. И последнее.
Через = 2 с, т. е. до остановки точки, пройденный
ею путь равен модулю его перемещения: Z1 = |s11.
Обе эти величины можно найти, вычислив с учетом
масштабов площадь трапеции ОМАК: /1 = |s1| = 4m.
Через t2 = 8 с пройденный телом путь будет равен
сумме площадей треугольников OMN и NQB;
12=Пм. Модуль перемещения |s2| равен разности
площадей этих треугольников: |s2| = 8m.
Задача 8. С края крыши дома вертикально вверх
с начальной скоростью 20 м/с брошено тело. Опре-
делить координату тела и скорость его через про-
межуток времени 8 с, а также пройденный за это
время путь (принять ускорение свободного падения
равным 10 м/с2).
Решение
Обратите внимание на
то, что не задана высота,
с которой брошено тело.
Поэтому удобно, связав
систему отсчета с кры-
шей дома, выбрать на-
чало отсчета в точке бро-
сания, а ось ординал на-
править вверх (рис. 11).
Тогда начальная коорди-
ната у0 (или высота, с ко-
торой брошено тело) рав-
на нулю. При этом ки-
нематические уравнения
движения тела
y = vot-^-	(1)
и
v = v0-gt	(2)
дают значения координаты у и скорости v в любой
момент времени.
При достижении высшей точки подъема ртах ско-
рость тела и = 0. Из уравнения (2) найдем, что тело
у — ? г — ?
27
достигнет ymax спустя время t = vQ/g после бросания.
Заметьте, что при t^vojg координата у2 и путь
Н равны. В частности, при t = v0/g путь
^=ymax = fo/(2g). При t>v0/g координата у убывает,
в то время как путь, равный сумме всех пройденных
телом расстояний независимо от направления движе-
ния, продолжает увеличиваться. В частности, при
t = 2v0/g координата у = 0, т. е. тело возвратилось
в место бросания, а путь H=2ymax = Vo/g (вот разница
между путем и перемещением, которую Вы часто
не отличаете!).
При t>2v0/g координата у становится отрицатель-
ной, т. е. тело опускается ниже места бросания. Из
рисунка видно, что при t > 2г0 /g пройденный телом путь
(3)
где t — время, прошедшее с начала движения. Это
выражение верно и при t>2v0/g. В тех случаях,
когда t<v0/g, путь вычисляется, как и координата,
по формуле (I).
Для нахождения искомой величины Н следует
вычислить время максимального подъема тела и срав-
нить его с заданным в условии задачи значением
? 8 с. ^подъема ^0 IS 2 С, ЗНИЧИТ, бтодъема < ПОЭТОМУ
вычисление пути следует вести по формуле (3). При
этом //=200 м. Значения же координаты у и проекции
скорости v для этого момента времени, найденные по
формулам (1) и (2), будут' соответственно у= — 160 м
и vy = — 60 м/с. Знаки минус, очевидно, означают, что
тело к моменту времени t=8c будет находиться ниже
точки бросания (начала координат), а проекция ско-
рости его будет направлена
в сторону, противополож-
ную начальной скорости
бросания.
й = 4/5Я;
гп = !с;
g = 9,8 м/с2.
//-?
Z—?

Задача 9. Свободно па-
дающее тело в последнюю
секунду падения прошло 4/5
своего пути. Найти время
и высоту падения тела.
Решение
Задачи такого типа ча-
Рис. 12
сто встречаются на всту-
28
пительных экзаменах и нередко вызывают серьезные
затруднения у абитуриентов. Они пытаются выразить
значения h через уравнение движения для свободного
падения, забывая о том, что для этого надо знать
значение скорости в точке 1 (рис. 12). Ее, конечно,
можно вычислить, но это усложняет математическое
решение задачи.
Предлагаем следующие рассуждения. Свяжем тело
отсчета с Землей, а ось ординат направим вниз.
Начало отсчета поместим в точку, откуда тело
падает (рис. 12).
Так как идет речь о свободном падении, то
в любой момент времени координата будет равна
пройденному пути. Выразим теперь из уравнения
движения для свободного падения отрезки пути
Н и Н—h (оба они пройдены без начальной
скорости):
(1)	H-h=8-^ 2г")2.	(2)
(3)
(4)
Действительно, отрезок H—h пройден за время t—ta.
Теперь достаточно совместно решить уравнения (1)
и (2) с учетом условия задачи
Л = 4/5Н.
Из выражений (3) и (2) получаем
- 1
5	2
Деля уравнение (1) на уравнение (4), получаем
5 =	’ откуда /=1,8 с. Подставляя найденное
значение времени в выражение (1), получим искомую
высоту Н= 15,9 м.
Задача 10. Вертолет начал подниматься с
Земли вертикально вверх с ускорением 0,2 м/с2.
Через 10 с из него выпал груз. Через сколь-
ко времени от начала падения груз достигнет
Земли? Считать ускорение свободного падения
g= 10 м/с2.
29
a = 0,2 м/с2;
т=10,0 с;
g= 10,0 м/с2.
Решение
Затруднения, испыты-
ваемые абитуриентами
при решении таких задач,
возникают, по нашему
мнению, из-за неумения
удачно выбрать систему
отсчета. Если ее связать
с Землей, а ось ординат
направить вдоль движе-
ния вертолета, выбрав
начало в той точке, куда
/- -?
Рис. Г4
wAw.
0
упадет груз (рис. 13), то можно написать закон
движения груза.
Действительно, начальная координата груза у0
будет равна пути, который пройдет вертолет от
начала подъема, т. е.
у0 = «т2/2;
(1)
начальная скорость груза v0 относительно Земли
равна той скорости, которую будет иметь вертолет
через время т после начала подъема, т. е.
и0 = «т,
(2)
и, что особенно важно, проекция ооу>0. Тогда
уравнение зависимости координаты у груза от време-
ни t запишется так:
y = yo + vot-^~,
или с учетом (1) и (2)
Искомое время найдется при у = 0 (так как груз
должен упасть на Землю). Подставляя числовые
значения в (2), получим квадратное уравнение
/2 —0,4/ —2 = 0, откуда /=1,6 с (второй корень —1,2
отбрасываем, как не соответствующий условию за-
дачи).
Задача 11. С высоты 22 м над Землей начинает
свободно падать тело. Одновременно с высоты 8 м
вертикально вверх брошено второе тело. На высоте
30
2 м над Землей произошла их встреча. Найти,
с какой начальной скоростью было брошено второе
тело и через какой промежуток времени после начала
их движения тела встретились? Считать ускорение
свободного падения 10 м/с2.
Решение
7^! =22 м;
t’oi = 0;
Я2=8 м;
h = 2 м;
g= 10 м/с2.
Уо2
Рис. 14
Эго еще один тип задач,
при решении которых абитури-
енты испытываю! серьезные
трудности. Поскольку речь идет
о движении двух тел, рекомен-
дуем Вам пользоваться одной
системой координат. Покажем
решение этой задачи в системе
отсчета, связанной с Землей.
I вариант. Направим ось
ординат так, как показано на
рис. 14. Начало отсчета поме-
стим в точку, куда упадут оба
тела. Очевидно, что первое
тело свободно падает на Землю
(foi=0), его начальная коор-
дината >0, =	. Второе тело
относительно Земли находится в равнопеременном
движении с искомой начальной скоростью, его
начальная координата Уо2=^2- Законы движения тел
запишутся соответственно так:
J’i = Voi-y (1) и у2 = у02 + и02/-^-. (2)
Знаки перед членами, содержащими скорость и уско-
рение, поставлены в соответствии со знаками ко-
синусов углов, которые составляют векторы скоро-
стей и ускорений тел с положительным направлением
выбранной оси (рис. 14).
В момент встречи тел, очевидно, y1=y2=h.
Поэтому уравнения (1) и (2) можно переписать гак:
У1 = Н = Н{-^,
(3)
У 2 — — ^2 +
(4)
31
Решая совместно уравнения (3) и (4), получим
г02г=Я1-Я2, откуда
_я1-н2
и02---------
(5)
Время встречи тел легко найти из уравнения
(3):
(6)
Подставив найденное значение времени в уравнение
(5), находим
г()2 = 7 м/с.
II вариант. Нетрудно видеть, что тела движутся
одно относительно другого равномерно. Действи-
тельно, относительно Земли тела движутся со ско-
ростями vi = —gt и г2 = и02- gt. Значит, скорость
второго тела относительно первого
1’отн = 1,2 —[’i =1,о2~Яг+г??~г02- Начальное расстояние
между телами Z=j’oi—J’o2= =Н\~^2- Следователь-
но, скорость г02 может быть найдена из уравнения
равномерного движения: v02 = - = —-—где t — время
Рис. 15
свободного падения первого тела
с высоты Hl—h. Оно находится по
формуле (6) I варианта решения:
Ьн, —h)
t= /------= 2с. Тогда и02 = 7 м/с.
Задача 12. По заданному графику
зависимости скорости тела от време-
ни (рис. 15) начертить графики за-
висимости ускорения, пройденного
пути и координаты тела от времени.
Решение
Уже указывалось, что решение
графических задач представляет для
абитуриентов определенные трудно-
сти, так как зачастую они не умеют
извлечь из заданного графика необ-
32
ходимую информацию. Попробуем рассуждать
вместе.
Разделим весь рассматриваемый промежуток вре-
мени на четыре участка: О/,. tlt2, t2t3, t3t4. На
участке Otr тело движется равнопеременно с уве-
личивающейся скоростью, причем начальная скорость
равна нулю (<ях = 0); на участке /3/2 тело движется
равномерно (ах'=0); на участке f2t3 тело движется
вновь равнопеременно, но с уменьшающейся скоро-
стью (ах < 0); в момент времени t3 скорость тела
становится равной нулю, а затем на участке Z3Z4
оно продолжает движение с тем же ускорением (по
модулю и направлению!), но в противоположную
сторону.
Если Вы были внимательны, то легко могли
убедиться, что все сказанное выше изображено на
графике зависимости ускорения от времени. Пусть
не ускользнет оз Вас еще одна немаловажная деталь:
модули ускорений на участках Ot3 и г2/4 не оди-
наковы. Вы помните из теории, что модуль ускорения
равен тангенсу угла наклона графика скорости к оси
«времени». Но j tg ot r | < | tg а|. Поэтому графики
ускорения на этих участках изображены на разных
расстояниях оз оси абсцисс, причем | аО( | < | ar?,J.
Что касается графиков зависимости пути и ко-
ординаты тела от времени, то для их построения
следует рассуждать так. Так как на участке Otr
ах>(}, то графики пути и координазы изобразятся
параболой, обращенной ветвями вверх; на участке
tlt2, где «Л- = 0 и движение равномерное,— прямой
линией; на участке t2t3 (ах < 0) - - параболой, обращен-
ной везвями вниз. А дальше? Вспомним, что в мо-
мент времени г3 тело остановилось, а затем стало
двигаться в противоположном направлении. Значит,
координата тела стала уменьшаться, а пройденный
путь продолжал увеличиваться. Вот почему на участ-
ке z3/4 графики пути и координаты должны быть
«зеркальным отражением» один другого относитель-
но касательной К—К.
Отметим и здесь ряд деталей, которые могут
оказаться весьма полезными. Обратите внимание на
плавный переход параболы на участке Ol} в прямую
на участке tAt2, а далее в плавный переход прямой
параболы на участке Z2Z4. Такой плавный переход
2-674
33
(сопряжение) обусловлен непрерывностью заданного
графика скорости. Ведь скорости и в конце участка
Ot2, и на участке t1t2, и в начале участка t2t3
одинаковы. Значит, и углы наклона касательных
к параболам на участках Otr и ?2/3, как и угол
наклона прямой на участке /3/2 к оси абсцисс,
должны быть одними и теми же (а). А это может
быть лишь в случае сопряжения обеих парабол
с прямой.
И последнее. Вершины парабол должны соот-
ветствовать моментам времени 0 и t3, так как
в этих случаях касательные к параболам составят
угол с осью времени, равной нулю. Но тангенс
такого угла также равен нулю. Значит, и скорость
в моменты времени 0 и /3 равна нулю, что находится
в полном соответствии с заданным графиком за-
висимости скорости от времени.
Задача 13. Дождевые капли, падающие отвесно,
попадают на окно вагона, движущегося по горизон-
тальной прямой со скоростью 19,8 м/с, и оставляют
на нем след под углом 70° к вертикали. Какова
скорость падения капель: а) относительно вагона,
б) относительно Земли?
v3 = 19,8 м/с;
а = 70°.
v2 — ? V — ?
Решение
Задачи такого типа, которые рассматривают дви-
жение одного и того же тела в различных системах
отсчета, часто предлагаются на конкурсных экзаме-
нах. В частности, в этой задаче надо рассмотреть
движение капли в двух системах отсчета, одну из
которых (связанную с Землей) мы будем считать
неподвижной, а другую (связанную с движущимся
вагоном)—движущейся относительно первой равно-
мерно и прямолинейно. Тогда в соответствии со
вторым уравнением (1.22) v = v1+v2, где v — скорость
капли в системе отсчета, связанной с Землей, vt —
34
скорость вагона в системе отсчета, связанной с Зем-
лей, v2 — скорость капли в системе отсчета, связанной
с движущимся вагоном. Выберем оси координат
(рис. 16) и запишем систему уравнений для проекций
скоростей:
= )х + (1’г)х,	= )г + (1’г)г^
или
vt — v2 sin ot = 0, r = r2cosa,
откуда
tga = -,
V
V2 = y/v 2 + V 1 .
Окончательно
( = -'-- = 7,2 м/с, v2 = 21,1 м/с.
tg a
Задача 14. Лодочник, переправляясь через реку
шириной 400,0 м из пункта А, все время направляет
лодку под углом 30° к берегу (рис. 17). Определить
скорость лодки относительно воды, если скорость
течения 1,077 м/с, а лодку снесло ниже пункта В на
расстояние 30,0 м. Движения лодки относительно
воды и воды относительно берегов считать равномер-
ными и прямолинейными.
77 = 400,0 м;
а = 30°;
= 1,077 м/с;
/=30,0 м.
Рис. 17
Решение
и-?
Из условия задачи (равномерность движения
лодки и воды) следует, что скорость лодки и
относительно берега направлена вдоль прямой
/(С. Очевидно, эта скорость является вектор-
ной суммой скоростей лодки относительно воды
35
Отсюда искомая скорость
v и воды относительно
берегов vp u = v + v1
(рис. 18). Пусть направ-
ление скорости и состав-
ляет с направлением ско-
рости Vj угол р. Тогда
из треугольника AMN по
теореме синусов имеем
sin [J sin (180‘— а —Р)
использованием тригоно-
метрических формул при-
ведения)	-Д- = ——-.
sin р sin(a + P)
у, sin Р
sin (а+ Р)
Из треугольника ABC sin fl = Н , cos Z
^нг+Г-	Дя2 + /2
Учитывая, что sin (а + Р) = sin а  cos P + sin р  cos а,
получим
VlH 7№ + /2
х //: I / sin а + /Гcos а
Hv,
I sin а+ Н cos а
= 1,2 м/с.
Вы, конечно, обратили внимание на то, что речь
в задаче шла о сложном движении лодки. Решение
задачи было основано па принципе суперпозиции
(наложения). Однако, на наш взгляд, полезным для
Вас было бы решение этой задачи, основанное на
принципе независимости движений. Приведем его.
Выберем систему отсчета, связанную с Землей,
а оси координат направим так, как показано на
рис. 18. Начало координат совместим с пунктом А.
Выбор начала координат оправдан гем, что началь-
ные координаты лодки хо = 0, уо = 0- Так как движе-
ние лодки вдоль координатных осей происходит
независимо друг от друга, то координаты лодки 
х = (ft — г cos а) /, у = v sin а • /,
где г cos а и v sin а — проекции скорости v на выбран-
ные оси. Обратите внимание на знаки перед проек-
циями скоростей! В тот момент, когда лодка до-
36
стигнет противоположного берега (в точке С), х = 1,
у = Н. Получим l=(vt — v cos a) t, H = v • sin а  t. Решая
совместно эти уравнения, получим
Ящ 1 э /
v =----------= 1,2 м/с.
I sin а + Н cos а
Задача 15. Волчок, имея постоянную угловую
скорость 40,0 рад/с, свободно падает с высоты 19,6 м.
Сколько оборотов сделает волчок за время падения?
Чему равна линейная скорость точек волчка, рас-
положенных на расстоянии 0,15 м от его оси?
С каким ускорением движутся эти точки? Считать,
что на линейную скорость точек волчка не влияет
его свободное падение.
Решение
св = 40,0 рад/с;
Я=19,6 м;
7? = 0,15 м.
п—1 v—l а—1
тела. Поэтому
Трудности и, как следствие, невер-
ный результат решения подобных за-
дач, по нашему мнению, связаны с тем,
что абитуриенты нередко путают уг-
ловую скорость и частоту вращения
прежде всего вспомним, что угловая
скорость вращения связана с частотой вращения
соотношением св = 2лу, где
Следовательно, св = 2лн/?,
падения волчка с высоты
Н= — , t= /^. Значит,
2 V S
v = njt — частота вращения,
где t— время свободного
Н. Совершенно очевидно,
2лл
со = — --, откуда
(1)
2л
Линейная скорость связана с угловой соотношением
i=uR.	(2)
Подставив данные из условия в (1) и (2), получим
н=12,7; v = 6,0 м/с.
Не меняясь по величине, линейная скорость точек
волчка меняется по направлению. Поэтому они
движутся с нормальным ускорением, направленным
по радиусу к центру траектории. Значение этого
ускорения
а = — = 240,0 м/с2.
37
Задача 16. Из вертолета, движущегося горизон-
тально со скоростью 40 м/с, на высоте 500 м сброшен
груз без начальной скорости относительно вертолета.
На каком расстоянии по горизонтали от места
выброса упадет груз? Сколько времени он будет
падать? С какой скоростью и под каким углом
к горизонту он упадет на Землю? Через какое время
после выброса его скорость будет направлена под
углом 45 к горизонту? Ускорение свободного паде-
ния принять равным 10 м/с2. Сопротивлением воз-
духа пренебречь. Считать груз материальной точкой.
ио = 40 м/с;
//=500 м;
0 = 45?
g= 10 м/с2.
5-? Г-?
н —? а — ? С ~с>-
Рис. 19
Решение
Описываемое движение груза представляет собой
суперпозицию горизонтального равномерного движе-
ния и свободного падения. Воспользуемся принципом
независимости движений, в соответствии с которым
заменим движение груза в плоскости XOY незави-
симыми движениями вдоль выбранных координатных
осей (рис. 19). Физический смысл такой замены
заключается в том, что мы, по сути дела, пользуемся
двумя системами отсчета: в подвижной системе
(связанной с вертолетом) груз движется только по
вертикали и за время падения t смещается вдоль!
оси OY на расстояние Н, но в течение того же
промежутка времени подвижная система смещается
на расстояние s вдоль оси ОХ неподвижной системы
отсчета (связанной с Землей). При этом, повторяем,
оба движения не влияют друг на друга.	"
38
Поэтому уравнения для координат запишутся так:
gr2
х = х0 + М и у = у0- — ,
где х0 = 0, у0 = Н, или
x = vot,	(1) У = Н-^.	(2)
В момент падения груза на Землю 1=0; тогда
из уравнения (2) найдем искомое время падения:
Z = V2Z//g= 10 с.
Искомую дальность полета груза s по горизонтали
найдем из уравнения (1):
x = .s = 400 м.
Скорость падения груза равна u = v0 + uy.
Модуль этой скорости и =	+ Но вертика-
льная составляющая скорости wy связана с высотой
свободного падения соотношением uY = yJlgH. По-
этому
u = y/vo + 2gH = 108 м/с.
Что же касается искомого угла а, то из рис. 19
видно, что
uY JlgH	y/2gH
tg а = — = v	; а = arctg 68 .
Vo	va	va
Для нахождения времени tY, через которое угол
0 между направлением скорости v и горизонтом
станет равным 45у заметим, что tg0 = —=1. Отсюда
1>о
иу = и0. Но vy=gtY, поэтому v0=gtY, откуда
H=^o/g = 4 с.
Задача 17. Тело брошено под углом 30° к горизон-
ту со скоростью 10 м/с. Найти зависимость горизон-
тальной и вертикальной составляющих скоростей,
а также координат тела от времени. Найти уравнение
траектории движения тела. На какую максимальную
высоту поднимается тело? Найти время подъема
и время полета. На каком расстоянии по горизонтали
от места бросания упадет тело? Через какое время
39
камень будет на
не учитывать.
а = 30°;
v0 = 10,0 м/с;
h= 1,0 м.
и*=/'('); ==/(/);
*=/(?); y=f{t)-
y=f№
Н-1
/пл-? Z„-? S-?
высоте 1 м? Сопротивление воздуха
Рис. 20
Решение
И здесь (как и в предыдущей задаче) движение
тела удобно рассматривать как суперпозицию неза-
висимых горизонтального (равномерного) и верти-
кального (равнопеременного) движений. Если вы-
брать начало координат в точке бросания тела,
а оси координат направить так, как показано на
рис. 20, то проекции начальной скорости на выбран-
ные оси и0А- = ио cos a, иОу = и0 sin ос. Тогда
Vx = ”0.Y = VQ COS 01,	(1)
vY = v0Y-gt = v0 sin a-gt.	(2)
Кинематические уравнения для координат:
x=vxt = v0 COS 01  t,	(3)
a[£
v = Uorr--- = i’0sinotT—(4)
Для нахождения уравнения траектории следует ис-
ключить время t из уравнений (3) и (4). Получим
y = tgoc-A-
g
2го cos2 ос
(5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены
вниз (знак минус перед х2). Обратите внимание на
то, что в высшей точке подъема вертикальная
составляющая скорости гу = 0. Значит, из уравнения
(2) имеем 0 = го sin ос —gtaa, откуда /пд = г0 sin a/g.
Подставив это выражение в (4), найдем
vq sin2 а
п =-------.
2g
40
Так как в месте падения тела j'=0, то легко
найдется время полета из соотношения (4):
д] 2
O = t?osina-гпл—откуда
21>0 sin с/,
пл	
g
Дальность полета v найдется из соотношения (3):
«osin2ot
5 = r0cosa-/n,=---------.	(6)
g
Для нахождения th воспользуемся соотношением (4).
При y = h имеем квадратное уравнение относительно
д [У
th: h = v0 sin a • lh —	или
g g
Решая его, получим два значения для th. Это
означает, что на данной высоте тело побывает
дважды. Подставляя во все полученные формулы
данные условия задачи, находим:
гх = 8,7 м/с, иу = 5 —9,8/,
х = 8,7/, у= — 4,9/2 + 5/, Н=1,3м,
/пд = 0,5 с, /пл = 1,0 с, 5 = 8,9 м,
/й, = 0,3 с, th2 = 0,8 с.
Уравнение траектории
у = 0,58х — 0,06х2.
Примечание. В связи с только что решенной задачей
полезно поставить вопрос: при каком угле бросания а0 при
прочих одинаковых условиях дальность полета окажется мак-
симальной? Типичная математическая задача на нахождение
максимума. Вспомним, что для этого следует найти производную
функции т (а) и приравнять ее к нулю. Воспользуемся соотноше-
нием (6) и найдем
.? (а) = —2cos2ao = ().
g
Так как в полученном произведении только cos2ao = 0, то а0 = 45\
К тому же выводу можно прийти, анализируя выражение (6).
Действительно, максимальная дальность полета S будет при
максимальном значении sin2a0=l, откуда а0 = 45'. Весьма по-
учительное использование сведений из математики для решения
физических задач.
41
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ*
1.1. Через полустанок проследовал товарный по-
езд со скоростью 10,0 м/с. Через 0,5 ч через этот
же полустанок в том же направлении проследовал
экспресс, скорость которого в полтора раза выше
скорости товарного поезда. Через какое время после
того, как прошел товарный поезд, и на каком
расстоянии от полустанка экспресс нагонит товарный
поезд? Движение поездов считать равномерным
и прямолинейным. [1,5 ч; 54,0 км]
4 v 1.2. Два поезда идут навстречу друг другу по
параллельным путям со скоростями 20 и 15 м/с.
Определить время, в течение которого мимо пас-
сажира, находящегося в первом поезде, будет про-
ходить второй поезд, длина которого 175 м [5 с]
г 1.3. Первые 1500 м автобус двигался со средней
скоростью 25 м/с, затем в течение 40 с он двигался
со средней скоростью 20 м/с, после остановки, длив-
шейся в течение 70 с, автобус последние 900 м
прошел за время 30 с. Найти среднюю скорость
автобуса на всем пути. [16 м/с]
f 1.4. Найти среднюю скорость автомобиля в двух
случаях: а) первую треть времени он двигался со
средней скоростью 14 м/с, вторую треть времени — со
средней скоростью 16 м/с, последнюю треть време-
ни— со средней скоростью 9 м/с; б) первую треть
пути автомобиль двигался со средней скоростью
10 м/с, вторую треть пути — со средней скоростью
12 м/с, последнюю треть пути — со средней скоро-
стью 15 м/с. [13 м/с; 12 м/с]
1.5.	Средняя скорость поезда на всем пути
12,0 м/с, причем 40% всего пути он шел со средней
скоростью у15 а оставшуюся часть—со средней
скоростью гг>, в два раза большей, чем первую часть.
Каковы скорости поезда vL и v2? [8,4 м/с; 16,8 м/с]
1.6.	Шарик, скатываясь с наклонного желоба без
начальной скорости, прошел за четвертую секунду
путь 0,14 м. Какой путь пройдет шарик за десятую
секунду? [0,38 м]
1.7.	Поезд начинает равноускоренное движение
и через 10 с имеет скорость 80 м/с. Через сколько
* Здесь и далее в задачах, отмеченных * и если нет
специальной оговорки, ускорение свободного падения считать
равным g = 9,8 м/с2.
42
времени от начала движения его скорость станет
равной 6 м/с? [0,75 с]
. 1.8. Самосвал, двигаясь под уклон, прошел за
20 с путь 340 м и развил скорость 18 м/с. Считая
движение равноускоренным, найти ускорение само-
свала и его скорость в начале уклона. [0,1 м/с2;
16 м/с]
1.9.	При аварийном торможении автомобиль, дви-
жущийся со скоростью 20 м/с, остановился через
5 с. Найти тормозной путь. [50 м]
1.10.	Каким будет тормозной путь автомобиля
(см. задачу 1.9) при скорости 25 м/с? [78 м]
1.11*	. Тело движется по закону х=12/ — It2. По-
строить графики зависимостей координаты, пути,
скорости и ускорения тела от времени. Найти
координату, путь и скорость тела через 2 и 5 с. Найти
среднюю скорость тела в заданном интервале време-
ни. [16 м; 10 м; 16 м; 26 м; 4 м/с; 8 м/с; 10,3 м/с]
1.12.	Мяч брошен вертикально вверх с балкона
с начальной скоростью 20 м/с. Определить координа-
ту, путь и скорость мяча через 1 и 5с (#=10м/с2).
[15 м; —25 м; 15 м; 65 м; 10 м/с; —30 м/с]
Г 1.13. Через сколько времени мяч (см. задачу 1.12)
достигнет земной поверхности, если балкон находит-
ся на высоте 25 м над Землей? Какова скорость
мяча в момент его приземления? [5 с; —30 м/с]
1.14.	Через сколько времени мяч (см. задачу 1.12
и 1.13) будет на высоте 15 м над балконом? [1 с;
3 с; первый раз мяч будет на заданной высоте при
движении вверх, второй раз — при движении вниз]
1.15.	Тело свободно падает с высоты 80 м. Каково
его перемещение в последнюю секунду падения?
Принять g= 10 м/с2. [35 м]
г 1.16. С какой высоты падало тело, если за
последние 2 с прошло 60 м? Сколько времени падало
тело? Принять £=10м/с2. [80 м; 4 с]
1.17.	Из одной точки вертикально вверх брошены
два тела с однаковыми начальными скоростями
и интервалом времени 4,0 с. Определить их началь-
ные скорости, если тела встретились через 5,0 с
после бросания первого тела. [29,4,м/с]
1.18.	Тело брошено вертикально вверх со скоро-
стью 40 м/с. На какой высоте его скорость умень-
шится вчетверо? Сопротивление воздуха не учиты-
вать. Принять £=10м/с2. [75 м]
43
1.19*	. По заданным графикам зависимости ско-
рости тела от времени (рис. 21, а, б) построить графи-
ки зависимости ускорения, пути и координаты тела
от времени. Начальная координата в обоих случаях
равна нулю.
1.20.	По заданным графикам зависимости коорди-
наты тела от времени (рис. 22, а, б) построить графи-
ки зависимости пути, скорости и ускорения тела от
времени. Все отрезки кривых являются параболами.
Начальная скорость в случае б) равна нулю.
1.21.	Ширина проезжей части дороги 50 м. Пешеход
пересекает ее вдоль подземного перехода, составляюще-
го угол а = 30° с направлением дороги, со скоростью
2 м/с. Сколько времени должен занять переход? [50 с]
1.22.	Капли дождя оставляют следы на окне
неподвижного автомобиля, наклоненные под углом 60°
к горизонтальной плоскости. При движении автомоби-
ля со скоростью 5,0 м/с следы становятся вертикаль-
ными. Найти скорость капель дождя в случае полного
безветрия и скорость ветра. [8,7 м/с; 5,0 м/с]
1.23.	Эскалатор метро движется со скоростью
80 см/с. Пассажир, идущий в направлении движения
эскалатора со скоростью 40 см/с относительно него,
затратил па весь путь до вестибюля 30 с. Какова длина
эскалатора, которую преодолел пассажир? [36 м]
1.24.	Груз поднимается с помощью лебедки, диа-
метр барабана которой 0,16 м, со скоростью
44
0,628 м/с. Найти угловую скорость и частоту враще-
ния барабана лебедки. [7,85 рад/с; 1,25 с'1]
1.25.	Точки окружности вращающегося диска
имеют линейную скорость, равную по модулю 3 м/с,
а точки, находящиеся ближе к оси вращения на
0,1 м, имеют линейную скорость, модуль которой
2 м/с. Найти частоту и угловую скорость вращения
диска. Ответ дать с точностью до 0,1. [1,6 с'1;
10,0 рад/с]
1.26.	Вертолет начал снижаться вертикально
с ускорением 0,2 м/с2. Лопасть винта вертолета
длиной 5 м вращается с частотой 5с'1. Опреде-
лить число оборотов лопасти за время снижения
вертолета на 40 м, линейную скорость и нормальное
ускорение конца лопасти. Считать, что движение
вертолета не влияет на искомые величины. [100;
157 м/с; 5000 м/с2 ]
1.27*	. Между двумя параллельными рейками, дви-
жущимися в одну сторону со скоростями соответ-
ственно 2,0 и 1,0 м/с, поместили кольцо диаметром
0,1 м (рис. 23). Определить (в случае отсутствия
проскальзывания) линейную
скорость центра кольца, yr- <	„ ,._i —*- 7,
ловую скорость его враще-
ния и центростремительное	t ,
(нормальное) ускорение то-
чек касания кольца и реек.	Рис. 23
[1,5 м/с; 10 рад/с; 0,5 м/с2]
1.28.	Тело брошено горизонтально с высоты 20 м
с начальной скоростью го=10м/с. Найти уравнение
траектории. Найти максимальную дальность полета
тела и время его движения. Принять £=10м/с2.
[у=20—0,05 л2; 20 м; 2 с]
1.29.	Найти скорости тела (см. задачу 1.28) через
0,5 с после начала движения и на высоте 5 м над
Землей. Ответ дать с точностью до 0.1. [11,2 м/с;
20,0 м/с]
1.30.	Под каким углом к горизонту нужно бросить
с Земли тело, чтобы его максимальная высота
подъема была в четыре раза меньше дальности
полета? [45 ]
1.31.	Камень брошен под углом 30° к горизонту
со скоростью 10,0 м/с. Через сколько времени он
будет на высоте 1,05 м? Принять g= 10 м/с2. [0,3
и 0,7 с]
45
Контрольная работа № 1А
Контрольная работа № 1Б
1.1	А. Моторная лодка, име-
ющая собственную скорость
8 м/с, должна переправиться че-
рез реку по кратчайшему пути.
Под каким углом к берегу
следует направить лодку, если
скорость течения реки 1,5 м/с?
Сколько времени займет пере-
права, если ширина реки
2358 м? Ответ округлить до
целого числа.
1.2	А. По шоссе из двух городов
навстречу друг другу выехали
два автобуса: один со скоро-
стью 15 м/с, второй- со ско-
ростью 20 м/с и на 1800 с позже
первого. Длина маршрута каж-
дого из них 34000 м. Через
сколько времени после выхода
первого автобуса они встретят-
ся? На каком расстоянии от
первого города произойдет
встреча?
1.3	А. По графику зависимости
скорости движения тела от вре-
мени (рис. 24) найти среднюю
скорость на всем пути.
1.4	А. Движение автомобиля по
шоссе задано уравнением
х= —2t + t2 Найти скорость ав-
томобиля в момент времени
t—10 с. С каким ускорением
движется автомобиль?
1.1	Б. Самолет держит курс на
северо-восток под углом 25
к меридиану, но перемещается
при этом точно на север. Соб-
ственная скорость самолета
гс = 200 м/с. Какова скорость
восточного ветра? Какое рас-
стояние преодолеет самолет за
20 с? Ответ округлить до це-
лого числа.
1.2	Б. Со станции вышел товар-
ный поезд со скоростью 12 м/с,
за ним через 1 ч экспресс со
скоростью 22 м/с. Через сколь-
ко времени после выхода товар-
ного поезда экспресс его наго-
нит? На каком расстоянии от
станции это произойдет?
1.3	Б. Первые 20% всего пути
тело двигалось со средней ско-
ростью 10 м/с , следующие
50% — со средней скоростью
12 м/с, оставшуюся же часть
пути — со средней скоростью
15 м/с. Найти с точностью до
0,1 среднюю скорость движения
на всем пути.
1 4Б . Зависимост! > скорости
движения автомобиля от вре-
мени задана уравнением
i;-3 + 2r. Какой путь пройдет
автомобиль за 6 с?
1.5	Б. По заданному графику за-
висимости координаты тела от
времени (рис. 26) построить
графики зависимости скорости
и ускорения тела от времени.
1.6Б. Тело, брошенное вертика-
льно вверх, за третью секунду
46
1.5	А. По заданному графику за-
висимости скорости зела от
времени (рис. 25) построить
графики зависимости координа-
ты, пути и ускорения тела от
времени.
1.6	А. При равноускоренном
движении тело проходит за чет-
вертую секунду 2,1 м. Опреде-
лить перемещение тела за седь-
мую секунду. Начальная ско-
рость равна 2 м/с.
1.7	А. Тело, брошенное вертика-
льно вверх, находилось на вы-
соте 58,8 м дважды с интерва-
лом времени 4 с. С какой на-
чальной скоростью оно было
брошено? Сопротивлением воз-
духа пренебречь.
1.8	А. Автобус движется по пря-
молинейному участку, имея ско-
рость 15 м/с. На каком рассто-
янии от остановки он должен
начать тормозить, если ускоре-
ние при этом не должно пре-
вышать 0,5 м/с2? Сколько вре-
мени займет торможение до
полной остановки?
1.9А	. Модуль линейной скоро-
сти точки, лежащей на ободе
вращающегося колеса, в 2,5
раза больше модуля линейной
скорости точки, лежащей на
0,05 м ближе к оси колеса.
Найти радиус колеса.
1.10	А. Тело, брошенное гори-
зонтально со скоростью 19,6 м/с
с края крыши дома, упало на
землю. При этом скорость тела
в момент падения составила
с горизонтом угол 60е. Какова
высота дома? Сопротивление
воздуха не учитывать.
прошло 5,5 м. Определить на-
чальную скорость бросания.
1.7	Б. Автомобиль движется по
горизонтальной дороге равно-
мерно со скоростью 10 м/с.
В начале одного из прямоли-
нейных участков длиной 525 м
водитель включил другую пе-
редачу. В результате в конце
этого участка скорость автомо-
биля возросла до 25 м/с. Счи-
тая движение равноускоренным,
найти ускорение на участке
и время, за которое он был
пройден.
1.8	Б. Два тела начинают дви-
жение одновременно: одно сво-
бодно падает с высоты 30 м,
второе брошено с Земли вер-
тикально вверх со скоростью
10 м/с. Через сколько времени
расстояние между телами ста-
нет равным 5 м?
1.9	Б. Шкив диаметром 0,2 м де-
лает 100 оборотов за 20 с.
Определить угловую скорость
и нормальное ускорение точек
на ободе шкива, считая его
вращение равномерным.
1.10	Б. Тело, брошенное под
углом 45° к горизонту, че-
рез 5 с после бросания имело
вертикальную составляющую
скорости 9,8 м/с. Какова даль-
ность полета по горизонтали?
Сопротивление воздуха не учи-
тывать.
РАЗДЕЛ II. ДИНАМИКА
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
Первый закон Ньютона: существуют такие си-
стемы отсчета, в которых при отсутствии внешних
воздействий тела находятся в состоянии покоя или
равномерного прямолинейного движения.
Второй закон Ньютона: ускорение а, приобрета-
емое телом в инерциальной системе отсчета, прямо
пропорционально векторной сумме (равнодейству-
п
ющей) всех действующих на него сил V F,, обратно
i = 1
пропорционально массе зела т и направлено в сто-
рону равнодействующей силы:
а = У F,!m.
Основное уравнение динамики:
Е Fj -ma.
1 = 1
(2.1)
(2.2)
Уравнение 2-го закона Ньютона в импульсной форме:
Е F.A/ = Amv,
i = ।
(2.3)
где F,A? — импульс силы, действующей на тело,
mv — импульс (количество движения).
Каждому из уравнений (2.2) и (2.3) соответствуют
системы уравнений для проекций векторов на вы-
бранные координатные оси:
К	II
Е (F<j.Y = 'wax- Е (F/)y = way;
i = 1	i = 1
Е (F,)xAz = A/»rv.
i = I
it
E (Е;)уАг = А/игг.
i~ 1
(2.4)
(2.5)
Третий закон Ньютона: силы, с которыми любые
тела действуют друг на друга, равны по модулю,
противоположны по направлению и приложены к раз-
ным телам:
F t 2 Ь 2 I
(2.6)
48
где F12 — сила, действующая на первое тело со
стороны второго, F2i—сила, действующая на второе
тело со стороны первого.
Закон всемирного тяготения:
(2.7)
где тг и т2— массы взаимодействующих материаль-
ных точек, г—расстояние между ними,
(7 = 6,67 • 10’11 Нм2/кг2—гравитационная постоянная.
Уравнение (2.7) справедливо для тел сферической
формы, где г — расстояние между их центрами.
При взаимодействии тела массой т с Землей на
тело действует сила тяжести
F = mg,	(2.7а)
где g — ускорение свободного падения.
При взаимодействии тела с горизонтальной опо-
рой или нитью (со связями) сила, действующая на
связь, называется весом тела. Вес тела и сила
тяжести — это совершенно разные силы. Во-первых,
они приложены к разным телам (вес тела—к связи,
сила тяжести- к телу); во-вторых, они могут от-
личаться друг от друга по модулю (например, при
ускоренных движениях по вертикали).
Ускорение свободного падения тел у поверхности
Земли на высоте h<t:R
£0 = GM/R\	(2.8)
где М — масса Земли, R—радиус Земли.
Ускорение свободного падения тел на высоте
А над поверхностью Земли
g„ = GM/(7? + A)2.	(2.9)
Закон Гука для упругих взаимодействий:
Fynp=-AAI,	(2.10)
где Fynp— сила упругости, к жесткость, А1 -пере-
мещение конца тела (стержня, пружины) при дефор-
мации сжатия растяжения.
Знак минус указывает на противоположность
направлений векторов Fynp и А1.
Максимальная сила трения покоя и сила трения
скольжения (закон для силы г рения)
FTP=pe,	(2.П)
где ц — коэффициент трения. Q — сила нормального
давления.
49
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задачи динамики, требующие применения законов
Ньютона, рекомендуем решать в такой последова-
тельности:
— представьте физический процесс, заданный
в условии задачи, сделайте схематический чертеж;
укажите на нем все кинематические характеристики
движения. Если возможно, изобразите вектор ускоре-
ния и векторы всех сил, приложенных к движущемуся
телу; при этом помните, что, рассматривая движение
тела, подразумеваем движение материальной точки*;
показывая силы, приложенные к телу, руководст-
вуйтесь третьим законом Ньютона; помните, что
силы, действующие на тело,— результат взаимодей-
ствия с другими телами;
—	запишите основное уравнение динамики (2.2);
—	выберите систему отсчета и запишите уравне-
ния (2.4) для проекций векторов сил и ускорений;
— проследите, чтобы число независимых уравне-
ний было не меньше числа неизвестных; если окажет-
ся, что неизвестных величин больше, чем число
независимых уравнений, то следует использовать
соотношения между величинами, фигурирующими
в задаче, например кинематические соотношения из
раздела I или (2.7)—(2.11); лишь после этого при-
ступайте к решению полной системы уравнений
с уверенностью, что все искомые величины будут
определены.
При решении всех задач этого раздела мы
стремились убедить Вас, что в левую часть уравнения
(2.2) входят только те силы, которые действую! на
интересующее нас тело. Поэтому если в задаче
требуется найти вес тела, то следует помнить, что
на тело действует сила, равная по модулю весу,
но (в соответствии с третьим законом Ньютона)
направленная в противоположную сторону (сила
натяжения нити или сила реакции опоры).
При наличии трения силу трения следует находить
только из закона (2.11). Иногда абитуриенты записы-
вают закон в виде FTp = pmg (??), что приводит
к грубым ошибкам, поскольку это выражение для
* Поэтому все силы, действующие на тело, следует приклады-
вать к центру масс тела.
50
силы трения только частный случай чакона для
силы трения (2.11).
При решении задач с использованием закона
Гука помните, что к телу приложена внешняя сила,
модуль которой в соответствии с третьим законом
Ньютона равен модулю силы из соотношения (2.10),
а вектор внешней силы
F = ZcAl.	(2.12)
При решении задач с использованием закона
всемирного тяготения (2.7) советуем для упрощения
расчетов применять соотношение (2.8).
Задачи на применение второго закона Ньютона
в импульсной форме (2.3) встречаются сравнительно
редко. Как правило, это задачи на соударение тел. При
их решении советуем обращать внимание на вектор-
ный характер величин, входящих в уравнение (2.3).
Зачруднения вызывают задачи, в которых рас-
сматривается динамика движения тел по окружности
с постоянной по модулю скоростью. Отметим, что
задачи такого типа решаются только на основании
соотношения (2.2). При этом следует помнить, что
равнодействующая всех сил, приложенных к челу,
направлена по радиусу к центру окружности и обес-
печивает нормальное (центростремительное) ускоре-
ние, которое находится из соотношения (1.21).
Для того чтобы выразить модуль равнодейст-
вующей силы через заданные в задаче величины,
следует найти сумму проекций сил на направление
радиуса. Во всем остальном порядок решения таких
задач остается прежним.
Нередко на конкурсных экзаменах предлагаются
задачи на движение системы тел, скрепленных нитью.
При этом нить, осуществляющую взаимодействие
между телами, как правило, наделяют рядом свойств,
позволяющих утверждать равенство модулей скоро-
стей и ускорений всех тел системы в любой момент
времени (нерастяжимая нить), равенство модулей
сил упругости между любыми соседними сечениями
(невесомая нить). Кроме того, считается, что нить
гибкая, это позволяет осуществить движение одного
из тел в определенном направлении за счет движения
другого тела в каком-то ином направлении.
Не учитываются также трение нити о блок
и трение в оси блока, иначе пришлось бы при
51
расчетах находить момент инерции блока, а этот
вопрос в курсе физики средней школы не рассмат-
ривается. Масса блока по этой же причине не
учитывается.
При решении таких задач следует записать урав-
нение (2.2) для каждого тела системы, предваритель-
но изобразив силы, действующие на каждое из них.
Сами тела при этом рассматриваются свободными
от всяких связей; действия же связей заменяются
силами.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Самосвал с грузом общей массой 10 т
движется по горизонтальному участку дороги со
скоростью 72 км/ч. На каком расстоянии от места
разгрузки самосвал должен начать тормозить, если
сила торможения постоянна и равна 5 кН? Сколько
времени займет торможение?
Решение
т= 1  104 кг;
го = 20 м/с;
Лор = 5  Ю3 Н.
Искомое расстояние и время мо-
жно найти из кинематических со-
отношений v0 = y/2as и v0 = at, откуда
5 — ? Г — ?
s = v/, (1) / = ^. (2)
la	а
Значит, решение задачи сводится к нахождению
ускорения.
На самосвал действуют сила тяжести mg, сила
торможения FTop и сила нормальной реакции Q (рис.
27). Основное уравнение динамики в векторной
форме:
Рис. 27
FTop + mg + Q = ma.	(3)
В системе отсчета, связан-
ной с неподвижным полот-
ном дороги, направим ко-
ординатные оси так, как
показано на рис. 27. Тогда
уравнению (3) эквивалентна
система уравнений для про-
екций векторов на коордиг
натные оси:
52
(Fnp)x + mgx + Qx = max, (Fnp)Y + mgY + QY = maY,
или
Frop = ma, Q — mg = O.	(4)
Из первого уравнения системы (4) найдем модуль
ускорения a = Fnp/m и подставим это выражение
в уравнения (1) и (2):
ITlvl АПН	т^П АП
s =—- = 400 м; Г=—2 = 40 с.
2F	F
Задача 2. Электровоз массой 1000 т на горизон-
тальном прямолинейном участке длиной 0,5 км
развивает постоянную силу тяги 147 кН. При этом
его скорость возрастает с 36 до 54 км/ч. Определить
силу сопротивления движению электровоза, считая
ее постоянной.
т= 1,0 • 10 кг;
/ = 0,5 103 м;
F= 14,7  104 Н;
Г1 = 10,0 м/с;
v2= 15,0 м/с.
Решение
На электровоз действуют сила тяги F, сила
сопротивления Fc, сила тяжести mg и сила нормаль-
ной реакции Q (рис. 28). Запишем основное уравнение
динамики в векторной форме:
F+Fc + mg + Q = ma.	(1)
Выберем систему отсчета, связанную с непод-
вижным железнодорожным полотном, и направим
координатные оси так, как показано на рис. 28.
Поскольку под действием постоянных сил электровоз
движется равноускоренно, вектор ускорения направ-
лен в сторону движения электровоза и совпадает
с положительным направлением оси ОХ. Уравнению
(1) эквивалентна система уравнений для проекций
векторов на координатные оси:
53
Fx + (Fc)x + mgx + Qx~maX’
FY+(Fc)Y + mgY + QY = inaY,
или
F—Fc = ma, Q — mg = Q.	(2)
Для нахождения искомой силы Fc достаточно
лишь первого из двух уравнений системы (2). При
этом модуль ускорения находится из кинематического
соотношения v^ — v\ = 2al, откуда а = Подставив
это выражение в первое уравнение системы (2),
получим
/'<: = F'-^(pl-r?) = 22,0 кН.
Задача 3. Тело массой 40 г брошено вертикально
вверх с начальной скоростью 30 м/с и достигло
высшей точки подъема через 2,5 с. Определить силу
сопротивления воздуха, считая ее постоянной.
Решение
т = 0,04 кг;
го = 30 м/с;
/ = 2,5 с.
F
* с
На движущееся тело дей-
| ствуют сила тяжести mg и си-
I о ла сопротивления Fc. Посколь-
( ) ку движение происходит с уме-
ныпающейся скоростью, век-
тор ускорения направлен
’'	в сторону, противоположную
движению, т. е. вниз (рис. 29).
Основное уравнение динамики
в векторной форме
Рис. 29	Fc + mg = ma. (1)
В системе отсчета, связанной с Землей, направим
координатную ось OY вниз. Тогда уравнению (1)
эквивалентно уравнение для проекций векторов на
выбранную ось: (Fc)Y+mgY = maY, откуда
Fc + mg = ma и F,.=m(a — g).	(2)
Модуль ускорения найдем из кинематического соот-
ношения v0=at, откуда а = у. После подстановку
чего в уравнение (2) получим
54
Fc = m\^-g 1 = 0,08 H.
Задача 4. Равноускоренный подъем груза массой
75 кг с помощью каната на высоту 15 м продолжался
3 с. Определить вес груза при подъеме.
Решение
т = 75 кг; 1</ Напомним, что вес — это сила,
Л=15 м;
t = 3 с.
Р-7
с которой груз действует на канат.
/ По третьему закону Ньютона,
канат действует на груз с силой
о Т=—Р. Модули этих сил равны:
[ ] Т=Р. Кроме силы натяжения Т на
тело действует сила тяжести mg
(рис. 30). Основное уравнение ди-
намики в векторной форме
Рис. 30
Т + mg = ma.
(1)
Если «связать» систему отсчета с Землей и ось
ординат О Y направить в сторону движения, то
уравнению (1) эквивалентно уравнение для проекций
векторов на выбранную ось:
TY + mgY = maY.
Тогда T—mg=ma, откуда
T=m(g + a).
(2)
Модуль ускорения найдем из кинематического соот-
ношения h = at2/2, откуда а = 2/г/Л Подставляя это
выражение в уравнение (2), получим
Т=Р = т\ g+ 1 = 985 Н.
Задача 5. Человек массой 60 кг находится в лифте.
Определить вес человека в следующих случаях: а) лифт
поднимается с увеличивающейся скоростью, б) лифт под-
нимается с уменьшающейся скоростью, в) лифт опу-
скается с увеличивающейся скоростью, г) лифт опу-
скается с уменьшающейся скоростью, д) лифт покоит-
ся, е) лифт поднимается с постоянной скоростью, ж)
лифт опускается с постоянной скоростью.
В случаях а), б), в), г) движение равнопеременное;
модуль ускорения в этих случаях принять равным
0,8 м/с2.
55
Решение
m = 60 кг;
а = 0,8 м/с2.
А>~?
рг-?
Ре-^
У
Во всех случаях
вес человека равен си-
ле, с которой он да-
вит на пол лифта (по
определению). Но по
третьему закону
Ньютона, на человека
со стороны пола дей-
ствует сила нормаль-
ной реакции Q=—р,
по модулю эти силы
Рие- 31 равны: Q=p. Кроме
того, в каждом случае на человека действует сила
тяжести mg (рис. 31). Значит, основное уравнение
динамики одинаково для всех случаев движения
человека вместе с лифтом:
Q + mg = ma.
(1)
В системе отсчета, связанной с Землей, уравнению
(1) эквивалентны уравнения для проекций векторов
на ось О У, положительное направление которой
выберем для определенности так, как показано на
рис. 31. Заметим, что ось OY можно было бы
направить вертикально вниз. Убедитесь (самостоя-
тельно!), что результат будет тот же. Запишем
уравнение для проекций векторов:
QY + mgY = maY.
Окончательно получим для			случаев a)—ж):
ба	— mg — ma,	откуда	2a=pa = m(g + a'
бб	— mg — — ma,	»	2б=/’б = «Ц,?-ф
бв	— mg= —ma,	»	QB=P^ = m(g-a
Qr	— mg — ma,	»	Qr=pr = m(g+a
Qa	— mg = 0,	»	Qa=pa=mg;
Qe	— mg — 0,	»	Qe=pc = mg;
Qx	— mg-=Q,	»	Q^=Px = mg.
Обращаем Ваше внимание на то, что вес тела,
оказывается, не зависит от того, в каком направлении
движется лифт, а зависит от направления вектора
ускорения а (сравните случаи а) и г) или б) и в)). В том
случае, если модуль ускорения а = 0, вес тела не зависит
от того, движется лифт или покоится, и если движется,
то вверх или вниз (сравните случаи д), е), ж)).
56
Окончательно имеем:
/’а=Рг = 636 И; рб=л, = 540 Н; />д=ре=/>ж = 588 Н.
Задача 6. Определить модуль силы F, которую
нужно приложить к деревянному бруску массой 2 кг
под углом 30 к вертикали, чтобы он двигался
вдоль вертикальной стены с ускорением 0,2 м/с2
(рис. 32). Коэффициент трения между бруском и сте-
ной равен 0,5.
Решение
/и = 2 кг;
а = 30°;
а = 0,2 м/с2;
g = 9,8 м/с2;
ц = 0,5.
На брусок действуют
силы Q, F, FTp, mg
(рис. 32). Тогда основное
уравнение динамики для
этого случая
F + mg + FTp + Q = ma,
или в проекциях на вы-
бранные оси координат
(рис. 32)
Рис. 32 Fx+mgx+(FTp)x + Qx —
= тах,
Fy + mgY +(Fip)Y + QY=maY,
откуда получим
Fsina—(2 = 0, Feos a — mg — FTp = ma.	(I)
По закону для силы трения скольжения, FTp = p(2,
но 2 = Fsina (из первого уравнения системы (1)).
Значит, FTp = gFsina.
С учетом этого выражения второе уравнение
системы (1) будет иметь вид Fcosa — mg — pFsina =
= та, откуда
F=- w^+g)- =32 H.
cos a — |isina
Задача 7. Ящик массой 60 кг начинают перемещать
по горизонтальной поверхности с ускорением!м/с2,
действуя на него постоянной силой, направленной под
углом 30'’ к горизонту. Коэффициент трения между
ящиками и поверхностью равен 0,2. Считая движение
ящика прямолинейным, определить силу тяги в двух
случаях: а) ящик толкают, б) ящик тянут.
57
т = 60 кг;
а= 1 м/с2;
а = 30°;
ц-0,2.
F Ft-"*
1 а • 2 6
Решение
В обоих случаях (рис. 33, а, 6) на ящик действуют
сила тяжести wg, сила нормальной реакции поверх-
ности Q, сила трения FTp и искомая сила тяги F.
(Все силы с индексом «а» относятся к случаю, когда
ящик толкают, силы с индексом «б» относятся
к случаю, когда его тянут.) В соответствии с ос-
новным уравнением динамики
Fa + Qa + (FTP)a + wg = ma; F6 + Qfi + (FTp)6 + mg = ma.
Выбрав для обоих случаев систему отсчета,
связанную с неподвижной поверхностью, запишем
системы уравнений для проекций векторов на вы-
бранные координатные оси:
{F3)x + (Qa)x + (Frp)aX+ mgx~maX^
I Fa)y + (<2a)r + (FTp)ay+mgy = may.
(F6)x + (Qb)x + (ЛР)бх + mgx = max,
(A)y + (бб)г + (^тр)бг + mgY = maY,
откуда получим:
Facosa —(Стр)а = иш, (1) F6cosa — (FTp)6 = ma, (3)
£?a-Fasin a-mg = 0, (2) F6 sin a + 06 -/ng = 0. (4)
Система четырех уравнений (1), (2), (3), (4)
содержит шесть неизвестных, и следует найти из
условия задачи еще какие-то соотношения, связы-
вающие величины, входящие в уравнения. В соот-
ветствии с выражением (2.11) запишем
(FTp)a = p0a, (FTp)6 = pC6.	(5)
58
Теперь мы имеем шесть уравнений (1) — (5)
с шестью неизвестными; решая эту систему, получим
искомые величины.
Силы реакции Qa и Q6 найдем соответственно
из уравнений (2) и (4):
2а = Fa sin + mg, Q6 = mg-F6smv..
(6)
Сравнивая	и Q6, видим, что 2а>2б- Это
объясняется тем, что в том случае, когда ящик
толкают, вертикальная составляющая силы Fa вместе
с силой тяжести mg прижимает ящик к поверхности,
а в том случае, когда ящик тянут, вертикальная
составляющая силы F6 уменьшает силу воздействия
ящика на поверхность (кстати, при F6sina$;mg ящик
может быть оторван от поверхности).
Подставив полученные выражения для Qa и Qs из
(6) в соответствующие выражения для (FTp)a и (FTp)6
из (5), получим
(FTP)a = p(^asina+wg), (FTp)6 = ji(mg —F6sina). (7)
Подставив в уравнение (1) и (3) (FTp)a и (FTp)6 из
(7), получим
Fa cos а — ц (Fa sin а + mg) = та,
F6 cos а — (i (mg — F6 sin а) = та,
откуда
Fa =	=230 И; F6 =	=180 И.
cos а — р sin а	cos а + р sin а
Как видите, выражения для Fa и F6 отличаются
лишь знаками вторых слагаемых в знаменателях.
При этом Fa>F6. Значит, для того чтобы толкать
или тащить (силой, направленной под углом к го-
ризонту!) какое-то тело с одним и тем же ускорением,
нужно прикладывать разные по модулю силы.
Почему же? Да только потому, что существует
сила трения. Действительно, если трение отсутствует
(ц = 0), то
Равенство сил Fa и F6 может быть и при
наличии трения, если приложенная сила горизон-
тальна (а = 0). Тогда
59
F, = F6 = m(a + {ig).
Наконец, в случае толкания ящика может случить-
ся, что никакая сила Fa не сдвинет ящик с места.
Это произойдет, если cos а sin а, т. е. если сила
Fa приложена к ящику под углом a^arcctgp. При
этом горизонтальная составляющая Facosa недоста-
точна для преодоления возникающей силы трения.
Задача 8. Автомобиль, масса которого равна 5 т,
начинает движение по прямой дороге с уклоном
10° под действием постоянной силы тяги 20 кН.
Коэффициент сопротивления (отношение силы со-
противления к силе нормального давления) равен
0,1. Какое расстояние пройдет автомобиль за 10
с после начала движения? Какова скорость авто-
мобиля к концу десятой секунды?
т = 5 • 103 кг;
ос = 10е;
F=2-104 Н;
(1 = 0,1;
Z = 10 с;
v0 = 0.
Z-? г-?
Решение
На рис. 34 изображены силы, приложенные к цен-
тру тяжести автомобиля, и координатные оси си-
стемы отсчета, связанной с полотном дороги. Так
как все силы постоянны, то движение автомобиля
будет равнопеременным с увеличивающейся скоро-
стью, т. е. вектор ускорения направлен в сторону
движения. Тогда искомые расстояние и скорость
автомобиля можно найти из кинематических соот-
ношений
/=у, (1) v = at.	(2)
Итак, решение задачи сводится к нахождению
ускорения. Запишем основное уравнение динамики:
F+Q + Fc + /Hg = /?7a.
60
Ему эквивалентна система уравнений для проекций
векторов на выбранные координатные оси:
Fx + Qx + (Ес)х + mgx = тах, FY + QY + (Fc)r + mgY = maY,
(3)
откуда получим
F—Fc — mgsma = ma, Q — mgcosa = 0.	(4)
Добавляя к этим уравнениям соотношение Fc = p.Q
(5), получим систему трех уравнений с тремя неиз-
вестными (уравнения (3), (4) и (5)). Из уравнения
(4) следует, что Q = mgcosct. Подставив это выраже-
ние в (5), получим Fc = nmgcoscL. Тогда уравнение
(3) будет иметь вид
F— ц mgcos a — mgsin а = та,
откуда
[F— mg (pcos ос+sin а)] / т.
Подставив значение ускорения из (6) в уравнения
(1) и (2), получим
. F-mgfjicosa + sina) ,
'------------ — t~ — b / м;
2m
F—mg(iicosa + sin a)
v=--------------' t= 13 м/с.
m
Задача 9. На прямой горизонтальной доске нахо-
дится тело массой М. Если постепенно приподнимать
один конец доски так, чтобы она поворачивалась
вокруг второго конца (наклонная плоскость с пере-
менным углом наклона к горизонту), то при угле
наклона 20° тело начнет соскальзывать с нее. Опреде-
лить коэффициент трения между телом и доской.
Решение
М;	На рис. 35 изобра-
77777/777^/7?/77777777,/77;'77/77/77'/7777Т/77^
Рис. 35
жены все силы, при-
ложенные к телу, и ко-
ординатные оси систе-
мы отсчета, связанной
с доской.
Рассмотрим два со-
стояния тела на доске.
Первое—до начала
соскальзывания, а вто-
61
рое — когда тело начнет соскальзывать.
До начала соскальзывания с доски тело нахо-
дится в состоянии покоя, ускорение тела равно нулю
и тогда
A/g + Fip + Q = 0.	(1)
Найдя проекции сил на оси координат, полу-
чим
Л/gsin a —FTp = 0, Q — Mgcosa. = 0.
Из закона для силы трения имеем
или
цЛ/g cos ot ^Л/g sin а.	(2)
Это условие покоя тела на доске.
С увеличением угла наклона а увеличивается
проекция силы тяжести на ось OX Mgsmu, вызы-
вающая в отсутствие трения соскальзывание тела.
В то же время максимальное значение силы трения
pA/gcosa уменьшается. Соскальзывание тела начнет-
ся при таком угле наклона а, когда Mg sin а превысит
pA/gcos а.
Однако нам достаточно рассмотреть «предельный
случай», когда уравнение (2) становится равенством
Mg sin а = цЛ-fgcos а. Так как Л/^0, то p = tga = 0,36.
Результат не зависит от массы тела и, что
особенно интересно, подсказывает простой способ
опытного определения коэффициента трения для
пары материалов, из которых изготовлены тело
и наклонная плоскость. При таком способе измерения
коэффициента трения не потребуется никаких слож-
ных измерительных устройств, кроме транспортира,
а в том случае, если и его нет под руками, выручит
и простая линейка!
Задача 10. Тело массой 2 кг начинает движение
по горизонтальной поверхности с помощью пружины,
жесткость которой равна 200 Н/м. Пружина при
движении оказывается все время растянутой на 2 см.
Определить, какой скорости достигнет зело, когда
оно пройдет расстояние по прямой линии, равное
4 м? Коэффициент трения между телом и поверх-
ностью равен 0,2. Считать, что пружина растянута
вдоль горизонтали.
62
т = 2,0 кг;
к = 2,0 • 102 Н/м;
Д/=0,02 м;
5 = 4,0 м;
^о = 0;
ц = 0,2.



Рис. 36
Решение
Искомую скорость найдем из кинематического
соотношения
V = ^/2aS.
(1)
Значит, для решения задачи необходимо знать ускоре-
ние, с которым движется тело. Изобразим на чертеже
все силы, действующие на тело (рис. 36).
Рассмотрим движение тела в системе отсчета,
связанной с поверхностью. Тогда основное уравнение
динамики запишется так:
F + Q + FTp + rag = wa,
где F — внешняя сила, равная по модулю силе
упругости пружины. В соответствии с соотношением
(2.12) F = A:A1, Запишем систему уравнений для проек-
ций векторов на выбранные координатные оси:
F\ + £>x + ( FTp)x + mgx = max,
Fy + Qy + ( FTp)Y + mgY = mar,
откуда имеем
k/\l-F,p = ma, Q—mg = 0.
Так как Лр = ц(9, то с учетом Q = mg получим
FTp = nmg.
Тогда kAl— y.mg = ma, откуда а = (кЛ1—[img)/m. Под-
ставив это выражение в формулу (1), получим
— (/<Л/~ щну) = 0.6 м/с.
Задача 11. Тело массой 0,4 кг начинает падать
с высоты 2 м с ускорением 9 м/с2. Найти силу,
63
с которой тело ударится о Землю, если продолжи-
тельность удара принят ь равной К) мс. Тело считать
абсолютно твердым.
Решение
»г = 0.4 кг;
h = 2 м;
а = 9 м/с* * 2;
г- = 0;
Ar = 1  10 2 с.
Для решения згой (и по-
у	добных) задач удобно вос-
пользоваться выражением
(2.3) для второго закона
j	Ньютона в импульсной
F—2	форме: £ F,A/ = A(mv).
...Ф" ,
Считая, что во время уда-
п ра тело испытывает воздеи-
Рнс. j/ r	С
ствие лишь со стороны Зем-
ли (но пренебрежем действием силы тяжести), можно
записать, что
FA/=/»v —/ну0,
(1)
где mv = 0.
В системе отсчета, связанной с Землей, направим
координатную ось вертикально вверх (рис. 37). Тогда
уравнению (1) будет соответствовать уравнение для
проекций векторов FfA/ = ( —тг0)г, или FAf = mv0,
откуда
/’= )иг0/Ал
(2)
Модуль скорости тела в момент падения на
Землю находится из соотношения v0 = x/2ah. Под-
ставив это выражение в (2), получим
= Н.
Л/
Отметим, что Fz^-mg, и это оправдывает наше
решение не учитывать действие силы тяжести на
тело в данных условиях.
Задача 12. Два искусственных спутника Земли
движутся на расстояниях 80 и 1600 км от ее
поверхности. Каковы периоды обращения спутников,
если их орбиты можно считать круговыми? Радиус
Земли принять равным 6400 км, а ускорение свобод-
ного падения на поверхности Земли — равным
9,8 м/с2. Силой сопротивления атмосферы пренебречь.
64
Решение
Т, -? Т2 —?
Нл =8,0- 104 м;
Я2 = 1,6- 106 м;
Я = 6,4-106 м;
g = 9,8 м/с2.
В подобных за-
дачах взаимодейст-
вием спутников
с Солнцем и други-
ми планетами пре-
небрегаю!. Это
упрощающее обсто-
ятельство даез воз-
можность считать,
круговой орбите вокруг
со
Рис. 38
что движение спутника по
Земли обеспечивается только силой тяготения
стороны Земли.
Основное уравнение динамики
F = та,,, где а,
направленное вдоль радиуса к центру
Земли), т - масса спутника.
Если связать систему отсчета с
OY направить так. как показано
получим Еу = т(с1п}у или F=ma„.
Г'	тМ	. /	о
г = G----—, где М — масса Земли,
(R + HF
где г —линейная скорость, получим
в этом случае
нормальное ускорение спутника,
орбиты (центру
Землей, а ось
на рис. 38, то
Учитывая, что
г2
что а„ —------,
R+H
Мт тг~
{r + H)2~~R~+If'
и
откуда
г_ GM
- R +Я'
(I)
и		2л(Л’+Я)	„
Но линейная скорость i> =--—Подставив это
выражение в уравнение (1), получим
4п2(/? + Я)2_ GM ^Т_2п /Гк + Я)3_2п
Т1	R + H	GM \] GM\ RJ
Последнее выражение можно упростизь, если
воспользоваться соотношением (2.8). Тогда получим
Т=2л	.
у Л ч
(2)
В случае движения спутника на высоте Нх <§; R
в выражении (2) можно пренебречь квадратом и ку-
бом отношения H'/R. Тогда
3-674
65
,,, т R , ЗН1 о И+3//, , .
Tt=2n -------- = 2п /---
\ g g \ . s
В случае движения спутника на высоте Н2,
сравнимой с радиусом Земли, воспользуемся соот-
ношением (2):
Задача 13. Вычислить ускорение свободного паде-
ния тела, находящегося на расстоянии 50 км от
поверхности Земли. Радиус Земли принять равным
6400 км. Ускорение свободного падения на поверх-
ности Земли go =9,8 м/с2.
Если пренеб-
речь силами вза-
имодействия тела * 1
с Солнцем и дру-
гими планетами,
то на него будет
действовать толь-
ко сила тяготе-
ния, направлен-
ная к центру Зем-
ли С (рис. 39),
(1)
где М—масса Земли.
Если пренебречь суточным вращением Земли, то
эта сила есть сила тяжести; модуль этой силы
F= mg.	(2)
Сравнивая (1) и (2), получим
Решение
/7=5,0 - 104 м;
Л = 6,4 -106 м;
go = 9,8 м/с2.
£-?
Рис. 39
(R + H)2
На поверхности Земли (при /7 = 0)
go = G^.	(4)
После почленного деления уравнения (3) на (4)
получим
66
g R2
- = -----откуда
% (R + H) '
R2	R2
g S'(R + H)2 "	,/	)f\-
'	' Я2 I + -
\ R
Так как If^R. то в знамена челе можно восполь-
зоваться приближенным соотношением (1+///7?)2 —
~ 1+2/7/Я. Тогда
,go^ м z 7
--------TvTiC-.
R + 2H
Задача 14. Груз массой 6 кг. связанный питью,
перекинутой через неподвижный блок, с другим
грузом массой 2 кг, движется вниз вдоль наклонной
плоскости. Коэффициент трения между первым гру-
зом и плоскостью равен 0,1. Найти силу натяжения
нити, считая ее невесомой и нерастяжимой, и рас-
стояние, которое проходят грузы за 2 с. Трением
в блоке пренебречь. Угол наклона доски к горизонту
равен 30 .
= 6 кг;
/и2 = 2 кг;
ц = (),1;
/ = 2 с;
с/. = 30 ;
g=10 м/с2.
/ ? / ?
Реше н и е
Рассмотрим движение каждого из грузов отдель-
но. Все действующие на них силы изображены на
рис. 40, где также показаны выбранные оси коор-
динат для каждого из грузов. Условие нерастяжи-
мости нити позволяет считать, что оба груза движут-
ся с одним и гем же (по модулю!) ускорением,
а условие невесомости нити дает возможность го-
ворить об одинаковости модулей сил натяжения
67
нити на каждом ее участке, в том числе и на ее
концах.
Запишем основное уравнение динамики для каж-
дого из грузов:
g + Q + Гтр + Т = тл a, m2g + T = т2л.
Каждому из этих уравнений соответствуют урав-
нения для проекций векторов на выбранные оси:
f mlSx + Qx+( ^тр)х—т1ах^	, .г
или
mxg sin ci — FTp— T=mx a,	(I)
Q — /«|gcosa = 0	(2)
r—m2g—m2a.	(3)
Учитывая, что FTp = pQ, из уравнения (2) найдем
2 = /H1gcosa. Тогда FTp = gm1gcosa. Подставив это
выражение в уравнение (I), получим
m^gsin a — pm!geos а — Т=тла.	(4)
Уравнения (3) и (4) представляю! систему с неиз-
вестными Т и а. Если эти уравнения почленно сло-
жить. то
w^gsin a — j.imtgcos a — in2g = (ml +m2)a.
откуда
in, (sin a —geos a) — m2
n/t +in2
(5)
Искомое расстояние / найдем из соотношения
, at2 /и, (sin а —ц cos a) - ш, t’,r . _
/=--— = ----------'—’ — - = 1,2 м.
1	in j +in2	2
Подставляя выражение (5) в (3). получим
Т=т2
nil (sin a—р cos а)--/и2
g 4	, S
т} T т2
nil + т-, + in, (sin a — li cos я) —
==m2g-
пц + т2
g( 1 +sin a — geos a) = 21 H.
WI, +/i/2
68
Задача 15. К концам невесомой и нерастяжимой
нити, перекинутой через невесомый неподвижный
блок, подвешены два груза массами по 0,10 кг
каждый. На один из грузов положен перегрузок
массой 0,05 кг. При этом вся система приходит
в движение. Найти ускорение, с которым движутся
грузы и перегрузок. Какова сила натяжения нити?
С какой силой перегрузок давит на груз? Какова
сила давления на ось блока? Трением в блоке
пренебречь.
Решение
тл = лг2 = А/ = 0,10 кг;
zn = 0,05 кг;
g= 10 м/с2.
а—7 Т-7
F—F- —7
*	•	1 блок
Рассмотрим дви-
жение каждого из
тел системы отдель-
но. Из условия не-
растяжимости нити
следует, что оба
груза и перегрузок
движутся с одина-
ковыми по модулю
ускорениями. Усло-
вие же невесомости
нити дает основа-
ние считать, что модуль силы натяжения нити Т
одинаков на любом участке нити. Все силы, дейст-
вующие на каждое из тел системы, изображены на
рис. 41.
На груз, подвешенный слева, действую! сила
тяжести A/g и сила воздействия нити Т. Под дейст-
вием этих сил он движется вертикально вверх с уско-
рением а. На правый груз действуют сила тяжести
A/g, сила воздействия нити 7 и сила давления
перегрузка F. Под действием этих сил он движется
вертикально вниз с тем же по модулю ускорением.
На перегрузок действуют сила тяжести mg и сила
реакции со стороны груза Q, причем в соответствии
с третьим законом Ньютона F = — Q, а по модулю
Основное уравнение динамики для каждого из
рассматриваемых тел запишем в виде
A/g + T = Л/а	(для груза, находящегося
на рис. 41 слева);
A/g + F + T = A/a	(для груза, находящегося
на рис. 41 справа);
69
mg + Q = ma
(для перегрузка).
Переходя к проекциям векторов на	выбранные
координатные оси, получим:	
Т— Mg — Ма,	(1)
Mg !	1 \!а.	(2)
mg — Q = ma.	(3)
Складывая почленно уравнения (I)- - (3) и учи-
тывая, что F=Q, найдем
ini;
а =----
2М 4- in
(4)
Подезавив выражение (4) в уравнение (1)
найдем соответственно Т и F—-Q:
(3),
T=
(5)
Г- /	\	/	"'й	\
г =--m\g — а] = m v —----------=----------g .
' Vs IM + iii! 2М + П1
(6)
Модуль силы давления шг ось блока FOjl<IK = 2T,
или с учетом
выражения (5)
М +111
^=4Mg-—-
(7)
Окончательно
а= 1,96 м/с2;
Г=1,18Н; F=0,39 Н; = 2,36 Н.
Задача 16. Определить силу, действующую на
мост со стороны автомобиля массой 5000 кг, дви-
жущегося с постоянной по модулю скоростью
36 км/ч, если мост: а) выпуклый, б) вогнутый. Радиус
кривизны моста в обоих случаях принять равным
500 м. Рассмотреть момент прохождения автомоби-
лем точки, направление на которую из центра
кривизны моста составляет с направлением на его
вершину угол 40 .
"ТТ \	М+ш
£ + ;; ~----- -------------------
2M-\-iii/	2М+П1
и
70
т = 5000 кг;
v= 10 м/с;
7? = 500 м;
а = 40.
F 1 F. ?
J а	* 1 6
Рис. 42
Решение
Рассмотрим движение автомобиля в инерциальной
системе отсчета, связанной с мостом. Силы, дейст-
вующие на автомобиль, а также оси координат
показаны на рис. 42. (Рис. 42, а иллюстрирует случай
а) задачи; рис. 42, б иллюстрирует случай б); индексы
выбранных осей и векторов сил также соответствуют
каждому из рассматриваемых случаев.)
Необходимое для движения по дуге окружности
нормальное ускорение а„ может быть обеспечено
равнодействующей всех действующих на автомобиль
сил: силы тяги F, силы трения FTp, силы тяжести
mg и силы реакции Q. Значит,
Fa+FTp + Qa4-mg = maa,	(1)
F6 + FTp + Q6 + mg = ma6.	(2)
Поскольку координатные оси Уа и Уб выбраны
так, что их направления совпадают с направлением
соответствующих нормальных ускорений, уравнениям
(1) и (2) будут эквивалентны уравнения для проекций
векторов:
— Qa+mgcosct=maa,	(3)
Q6 — mg cos a = mu,-,.	(4)
Так как модуль нормального ускорения выражает-
ся через модуль линейной скорости и радиус кривиз-
1,2 п
ны моста, то аа = а6 = —. Подставляя это выражение
7?
в уравнения (3) и (4) и учитывая, что в соответствии
с третьим законом Ньютона Fa = Qa, F6 = Q6, найдем
/	и2 \
Fa = mg[ cos a-1 = 36 кН,	(5)
71
F6 = nigl cosa + ^~ j = 38 кН.	(6)
Обратите внимание, что движение автомобиля
с постоянной по модулю скоростью исключает
необходимость рассматривать уравнения для проек-
ций всех сил на ось, совпадающую с касательной
к траектории движения. Дейсгвителыю. в этом случае
модули сил тяги и сил трения равны и на значения
искомых величин не влияют.
Анализ выражений (5) и (6) представляет прак-
тический интерес.
При заданных значениях т, и и при нахождении
автомобиля в точках моста, характеризующихся
одним и тем же углом a, FCy> Ел. а па вогнутый
мост действует большая сила, чем на выпуклый.
Именно поэтому вогнутых мостов не строя т. С вог-
нутостью приходится считаться и тогда, когда мост
плоский, так как при прохождении по нему тяжелого
транспорта он прогибается и становится вогнутым.
Из выражения (6) видно, что с уменьшением
скорости сила воздействия на вогнутый мост (пли
прогибающийся плоский) уменьшается. Так что до-
рожные знаки, ограничивающие скорость при выезде
на мосты, вывешиваются не случайно!
Для выпуклых мостов вроде бы никаких подобных
проблем не возникает: рост скорости движения
транспорта уменьшает силу воздействия на мост (см.
выражение (5)). Однако и здесь есть над чем подумать.
Если модуль скорости v = yjRg cos а, то выраже-
ние, стоящее в скобках в формуле (5), обращается
в нуль. Значит, Q^-F^Q, что означает отсутствие
воздействия на мост со стороны автомобиля. Авто-
мобиль «оторвался» от моста и движется, не касаясь
его, в воздухе. Если учесть, что обычный транспорт
не приспособлен для «полета», водителям следует,
как говорят, сбавить скорость ниже определенной
максимальной, которая зависит от геометрии моста
(от радиуса его кривизны, от длины) и не зависит от
массы транспортного средства. Так что и здесь без
знака ограничения скорости не обойтись! Тем более
что он в равной степени относится и к малолитраж-
ным автомобилям, и к большегрузным самосвалам!
Отметим, что на вступительном экзамене предла-
72
гаются и такие задачи, в которых требуется найти
силу давления на выпуклый мост в его верхней точке
или на вогнутый мост в его нижней точке. Решение
таких задач принципиально не отличается от приве-
денного решения. Действительно, ведь в этом случае
а = 0 и формулы (5) и (6) принимают вид
F:, = mg6F^mgfl+^-V
\ R«J	\ RsJ
Задача 17. Груз массой 0,10 кг находится на
стержне, укрепленном перпендикулярно оси центро-
бежной машины. Груз соединяю! с осью пружиной,
жесткость которой равна 300 Н/м. Каким должен
быть период вращения стержня, чтобы пружина
растянулась на четверть своей первоначальной дли-
ны? Стержень считать идеально гладким. Сопротив-
лением воздуха пренебречь.
т = 0,10 кг;
£ = 3,00  102 Н/м;
А/=0,25/.
F___?
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение груза в системе отсчета,
связанной с Землей. На него действуют сила тяжести
/ng. сила реакции стержня Q и внешняя сила F,
равная по модулю силе упругости пружины (рис. 43).
Необходимое для движения груза по окружности
нормальное ускорение обеспечивается равнодейству-
ющей этих сил.
Значит,
F + /ng + Q = /na„.	(1)
Выберем координатные оси так. как показано на
рис. 43, и запишем уравнения для проекций векторов:
rx + mgx + 2x = m(o„)y,	(2)
Fy + mgy + 2y = m(n„)y.	(3)
или
F= та„,	(4)
73
Q~mg = O.
(5)
Так как груз может двигаться только вдоль идеально
гладкого стержня (т. е. трение отсутствует), видим,
что необходимый для учета силы трения модуль
силы реакции Q для решения этой задачи не
понадобится. Поэтому сосредоточим свое внимание
только на уравнении (4).
Заметим, что модули силы F и силы упругости
пружины Fynp равны. Значит, F=k\l (по закону
Гука). Модуль нормального ускорения а„ = со2Т? =
4л2
= ууА, где R = l+AL Подставив последние равенства
в уравнение (4), получим
М/=ш^(/+Д/).
По условию задачи, /=4Л/. Значит,
Г=2тг У|" = 0,26 с.
Задача 18. Конькобежец движется по окруж-
ности радиусом 40 м с постоянной по модулю
скоростью, равной 10 м/с. Под каким углом к го-
ризонту он должен наклониться, чтобы сохранить
равновесие?
v= 10 м/с;
Л = 40 м.
а--?
Решение
На конькобежца действуют силы тяжести mg,
реакции опоры Q и трения FTp (рис. 44). Их равнодей-
ствующая обеспечивает конькобежцу нормальное
ускорение. Значит,
Q + mg + FTp = ma„.
В системе отсчета, связанной с Землей, выберем
74
координатные оси так. как показано на рис. 44.
Запишем уравнения для проекций векторов:
Qх +	+ (F,р)Л- = »' («„).v, Qy + »'.?>• + ()у =(<>„)у,
или
Flv = ma„. (I)	(2)
Конькобежец сохранит равновесие при вы-
полнении двух условий: во-первых, его центр тя-
жести должен находиться при движении на одном
горизонтальном уровне (т. е. не должен перемеща-
ться вдоль осн OY); во-вторых, результирующая
сила Frp + Q должна проходить через его центр
тяжести.
Из рис. 44 видно, что
tga = ^-.	'	(3)
Из уравнения (2) находим
0 = т».	(4)
Из уравнения (I) с учетом	выразим
R
Подставляя соотношения (4) и (5) в выражение
(3), получим tgof = ~. откуда
. Л.?
7. = arctg —=76 .
Г "
Задача 19. Шарик массой 0,05 кг подвешен
на невесомой и нерастяжимой нити. Найти силу
натяжения нити в двух случаях: а) шарик, совершая
колебания в вертикальной плоскости, попадает
в крайнее положение, при этом нить составляет
с вертикалью угол 60 . б) шарик описывает в го-
ризонтальной плоскости окружность, имея постоян-
ную по модулю скорость, и нить составляет с вер-
тикалью угол 60 .
75
т = 0,05 кг;
а = 60°.
Га-? Т6 1
Решение
Эта задача иллюстрирует один из многих случаев,
когда характер движения тела зависит не только
от того, какие силы действуют на тело, но и от
того, какими были начальные условия. Действитель-
но, в обоих случаях шарики движутся под действием
двух сил: силы тяжести mg и силы реакции нити
Т. Но в случае а) шарик отклонили от положения
равновесия, а затем предоставили самому себе. При
этом он будет колебаться. В случае б) отклоненному
шарику сообщена некоторая скорость, направленная
перпендикулярно плоскости, в которой произошло
отклонение. При этом он начнет двигаться по
окружности с постоянной по модулю скоростью.
В случае колебания (рис. 45, а) шарик движется по
дуге окружности и нормальное ускорение аа обес-
печивается равнодействующей сил Та и mg. В случае
движения по окружности с постоянной по модулю
скоростью (рис. 45, б) нормальное ускорение обес-
печивается равнодействующей сил Тб и mg. Поэтому
Та + mg = ma.,,	(1)
T5 + mg = ma6.	(2)
В инерциальной системе отсчета, связанной с Зем-
лей, при выборе координатных осей О К, и О
так, как показано на рис. 45, уравнениям (1) и (2)
эквивалентны уравнения для проекций векторов (со-
ставьте их самостоятельно!):
Ta — mg cosot =mat,	(3)
r6sina = mafl,	(4)
Т’б cos о: — mg = 0.	(5)
76
Так как в случае а) речь идет о крайнем положе-
нии шарика (1> = 0, па = 0), то 7а = mg cos а. В случае
б) для нахождения модуля силы 7’б достаточно
использовать уравнение (5), из которого 7}, = mg/cos а.
Искомые модули сил натяжения нити в обоих
случаях равны соответствующим модулям сил ре-
акции нитей и направлены в противоположную
сторону (по третьему закону Ньютона). Оконча-
тельно
7; = 0,24Н, 7’б = 0,98 Н.
Задача 20. На внутренней поверхности сферы
радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной
оси, находится небольшой предмет. С какой посто-
янной частотой должна вращаться сфера, чтобы
предмет находился в точке, направление на которую
из центра сферы составляло бы с горизонтом угол
45 ? Коэффициент трения между предметом и поверх-
ностью сферы равен 0,2.
Решение
0 = 0,20;
7. = 45;
/? = 0,10 м.
Рис. 46
При вращении
сферы предмет бу-
дет равномерно
двигаться по окру-
жности, радиус ко-
торой r=/?cosa.
На предмет дей-
ствуют сила тяже-
сти mg, сила нор-
мальной реакции
Q и сила трения
FTp, направленная по касательной к сфере в точке
нахождения предмета (рис. 46). Векторная сумма
этих сил обеспечивает нормальное ускорение при
движении предмета:
mg + Q + FTp = ma„.	(1)
В неподвижной системе отсчета, связанной с Зем-
лей, в выбранной системе координат XOY уравнению
(1) эквивалентны уравнения для проекций векторов:
mgx + Qx + (Fip}x = m(a„}x. mgy + Qy+(FTp)y = m(an)y.,
или
Qcosa — FTpsinot = ma)2Z?cosa,	(2)
77
(7 sin 7 +cos 7- mg-Q.	(3)
Система уравнений (2) и (3) содержит четыре
неизвестных. Добавляя к ней соотношение Ттр = р2>
вынося Q за скобки и деля уравнения (2) на (3),
будем иметь
cos a —usina	Rcosa
—---------=--------,	(4)
sin a + |.i cos a	t,'
где o) = 2nv. Из уравнения (4) найдем искомое
значение:
/ cos 7— |.i sin a /	?	1 —ц Iliac
/ RcOS 7 sin 7 +Ц COS 7 V /?COS7 11 + 127	, ,, -I
v = a/--------------~-------------------—-—.53 c .
2я
2я
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1.	Поезд массой 500 т, двигавшийся ио горизон-
тальному участку пути со скоростью 13 м/с, оста-
новился под действием постоянной силы трения,
равной 100 кН. Сколько времени потребовалось для
торможения? [65 с |
2.2.	Автомобиль массой 2 т, трогаясь с места,
прошел путь 100 м за 10 с. Найт и силу тяги
автомобиля, если сила сопротивления движению
I кН. [5 кН]
2.3.	Под действием горизонтальной силы, равной
12 Н, тело движется по закону .v = .v0+1.01/2. Найти
массу тела, если коэффициент трения равен 0,1,
ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2. [4 кг]
2.4.	В технике коэффициентом тяги автомобиля
называется отношение силы тяги к силе тяжести
автомобиля. С каким ускорением движется автомо-
биль при коэффициенте сопротивления 0,06 и ко-
эффициенте тяги 0,11? [0,50 м/с2 ]
2.5.	Воздушный шар массой 160 кг опускается
с постоянной скоростью. Какое количество балласта
нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же
скоростью? Подъемная сила воздушного шара равна
1372 Н. [40 кг]
2.6.	Трос выдерживает груз массой 110 кг при
подъеме его с некоторым ускорением по вертикали
и груз массой 690 кг при опускании его с тем же
78
по модулю ускорением. Какова максимальная масса
груза, который может быть поднят на тросе с посто-
янной скоростью? [190кг]
’ 2.7. Тело массой 0,20 кг бросили вертикально
вверх со скоростью 30,00 м/с. За третью секунду
оно прошло путь 5,00 м. Определить силу сопротив-
ления, считая ее постоянной. [0,04 Н ]
2.8.	Тело массой 0,5 кг начинает падать с высоты
39,2 м и в последнюю секунду проходит 36% всего
пути. Определить силу сопротивления воздуха, считая
ее постоянной. [3,3 Н]
2.9.	В лифте установлены пружинные весы, на
которых подвешено тело массой т = 0,5кг. Что
будут показывать весы, если: а) лифт поднимается
с увеличивающейся скоростью, б) лифт поднимается
с уменьшающейся скоростью, в) лифт опускается
с увеличивающейся скоростью, г) лифт опускается
с уменьшающейся скоростью, д) лифт покоится,
е) лифт равномерно поднимается, ж) лифт равно-
мерно опускается? В случаях а), б), в), г) движение
считать равнопеременным с ускорением, равным по
модулю 2,4 м/с2 [6,1 Н; 3,7 Н; 3,7 Н; 6,1 Н; 4,9 Н;
4,9 Н; 4,9 Н]
2.10.	Стальная проволока выдерживает груз, масса
которого не превышает 6,00-102 кг. С каким мак-
симальным ускорением можно поднимать груз мас-
сой 5,00-10^ кг, чтобы проволока не оборвалась?
[1,96 м/с2]
2.11.	Два груза массами 3,0 и 5,0 кг лежат на
гладком горизонтальном столе, связанные шнуром,
который разрывается при силе натяжения 24,0 Н.
Какую максимальную силу можно приложить к мень-
шему грузу? к большему грузу? [38,4 Н; 64,0 Н]
2.12.	Как изменится ответ в предыдущей задаче,
если учесть трение? Коэффициенты трения грузов
о стол одинаковы. [Не изменится]
2.13*	. Какую силу F надо приложить к нижнему
бруску, чтобы вытащить его из-под верхнего
(рис. 47)? Масса каждого бруска равна 0,50 кг. Ко-
эффициент трения на обеих поверхностях нижнего
бруска равен 0,40. [5,88 Н]
2.14*	. Тело массой /и = 50 кг находится на другом
теле массой М= 150 кг (рис. 48). Максимальное значе-
ние силы трения покоя между этими телами харак-
теризуется коэффициентом ц = 0,3. Найти минималь-
79

W/////-/777.
Рис. 47
м [
п
Рис. 4Н
ную силу, при действии которой на нижнее тело
происходит сдвиг верхнего тела относительно него.
Трением нижнего тела о поверхность, на которой
оно находится, пренебречь. [5,88 Н ]
2.15.	С какой силой следует придавить тело массой
4,5 кг к вертикальной стене, чтобы оно двигалось
вниз с ускорением 1,8 м/с2? двигалось вниз равномер-
но? находилось в покое? Коэффициент зрения равен
0,5. [72,0 Н; 88,2 Н; больше или равную 88,2 Н]
2.16.	Брусок весом 40 Н зажат между двумя
досками силами по 50 Н. Коэффициент трения между
поверхностью бруска и доской равен 0,50. Какую
силу следует приложить к бруску, чтобы он двигался
равномерно вниз? равномерно вверх? вниз с ускоре-
нием 0,2 м/с2? вверх с тем же по модулю ускоре-
нием? [10,0 Н; 90,0 Н; 10,8 Н; 90,8 Н]
2.17.	Магнит массой 5,0010~2кг прилип к же-
лезной вертикальной стенке. Для равномерного
скольжения магнита вниз прикладывают силу, рав-
ную 2,00 Н. Какую силу надо приложить, чтобы
магнит начал скользить вверх? [2,98 Н]
2.18.	Какую силу надо приложить к магниту
(см. задачу 2.17), чтобы через 10,00 с он достиг
скорости 8,00 м/с? Считать движение равноперемен-
ным. [3,02 Н]
2.19.	На концах невесомой и нерастяжимой нити,
перекинутой через неподвижный блок, подвешены
грузы, массы которых 0,60 и 0,40 кг. Определить,
какой скорости достигнут грузы через 2,00 с после
того, как система будет предоставлена самой себе?
Трением в блоке пренебречь.
[3,92 М/с]

2.20*. Решить задачу 2.19 при
условии, что нить с большим грузом
пропущена через щель, со стороны
которой на эту нить действует посто-
янная сила трения 0,96 Н. [2,00 м/с]
2.21. В устройстве, изображенном
Рис. 49 на рис. 49, массы тел равны соог-
80
ветственно 0,10 и 0,30 кг. Система предоставлена
самой себе. С каким ускорением движутся тела?
Каково натяжение нити при движении грузов? Мас-
сами блоков, трением в них пренебречь. Нить считать
невесомой и нерастяжимой. [5,60 м/с2; 2,80 м/с2;
1,26 Н]
2.22*	. Через неподвижный блок перекинута верев-
ка, на одном из концов которой висит груз массой
60,0 кг. На другом конце повис человек массой
65,0 кг, который, выбирая веревку, поднимает груз,
оставаясь при этом па одной и той же высоте над
полом. С каким ускорением поднимается груз?
Сколько времени требуется для подъема груза на
высоту 12,0 м? Массами веревки и блока, а также
трением в блоке пренебречь. Веревку считать нера-
стяжимой. [0,8 м/с2; 5,5 с]
2.23*	. В задаче 2.22 найти силу давления на
блок. [1,3 кН ]
2.24.	Два бруска, массы которых равны соответ-
ственно 3,0 и 2,0 кт, связанные нерастяжимой и не-
весомой нитью, находятся на горизонтальной поверх-
ности (рис. 50). К левому бруску приложена сила,
равная 50 Н и составляющая с горизонтом угол
20 . К правому бруску приложена сила, равная
60,0 Н и составляющая с горизонтом угол 40‘. Вся
система движется влево. Определить ускорение, с ко-
торым движутся грузы, и силу натяжения нити.
Коэффициенты трения брусков о поверхность оди-
наковы и равны 0,1. [1,2 м/с2; 45,0 Н]
2.25*	. Невесомая и нерастяжимая нить перекинута
через блок, массой которого можно пренебречь. На
одном конце нити повешено тело массой 0,03 кг.
Другой конец нити соединен с легкой пружиной,
к концу которой прикреплено тело массой 0,05 кг.
Длина пружины в нерастянутом состоянии равна
81
0,10 м. Найти длину пружины во время движения
грузов, если известно, что под действием силы
0,10 Н пружина растягивается на 0,02 м. Считать,
что колебания в системе отсутствуют. [0,17 м]
2.26.	Определить ускорение тел в системе, показан-
ной на рис. 51. Коэффициент трения между телом
и столом равен 0,1. Трением в блоке, массами
блока и нити пренебречь. Нить считать нерастяжи-
мой, т( = 1,5кг, ш2 = 0,5кг, /’=10.0 Н, а = 30°.
[1,4 м/с2 ]
2.27.	Два тела, массы которых 0,05 и 0.1 кг,
связаны невесомой и нерастяжимой нитью и ле-
жат на идеально гладкой горизонтальной поверх-
ности. С какой силой, направленной горизонталь-
но, можно тянуть более легкое тело, чтобы
нить, выдерживающая максимальную нагрузку 5,0 Н,
не оборвалась? Как изменится результат, если
силу прикладывать к более тяжелому телу? [7,5 Н;
15,0 Н]
2.28.	Найти силу тяги, которую развивает мотор
автомобиля, движущегося в гору с постоянным
ускорением 1,0 м/с2. Масса автомобиля равна
1,0 103 кг. Уклон прямолинейной трассы составляет
1,0 м на каждые 25,0 м пути. Коэффициент трения
равен 0,1. [2,4 кН]
2.29.	Тело скользит по наклонной доске, состав-
ляющей с горизонтом угол 45°. Пройдя расстояние
0,5 м, оно приобретает скорость 2,0 м/с. Чему равен
коэффициент трения тела о плоскость? [0,4]
2.30.	К пружине, жесткость которой равна
0,30 кН/м, подвешена гиря массой 0,60 кг. Найти
удлинение пружины в случае равнопеременного подъ-
ема гири с ускорением, равным 0,20 м/с2. Как
изменится результат в случае равнопеременного опу-
скания гири с тем же по модулю ускорением?
[2,00 см; 1,92 см]
2.31.	Найти ускорение свободного падения на
поверхности Луны. Считать, что радиус Луны в 3,7
раза меньше, чем радиус Земли, а ее масса в 81
раз меньше Земли. [1,6 м/с2]
2.32.	Вычислить первую космическую ско-
рость у поверхности Луны, если радиус Луны ра-
вен 1,8-106м, а ускорение свободного падения на
Луне в шесть раз меньше, чем на Земле.
[1,7 -103 м/с]
82
2.33*	. Вокруг некоторой планеты, имеющей форму
шара, по круговой орбите радиусом 4.7 109м со
скоростью 1,0 -I04 м/с обращается спутник. Какова
средняя плотность планеты, если ее радиус равен
1,5-108 м? [5,0-102 кг/м3 ]
2.34.	Ребенок массой 50 кг качается на качелях,
длина подвеса которых равна 4 м. С какой силой он
давит на сиденье при прохождении среднего положе-
ния с линейной скоростью, равной 6 м/с? [940 Н]
2.35.	Определить, на сколько изменился вес ребен-
ка (см. задачу 2.34) в момент прохождения среднего
положения? [450 Н ]
2.36.	Ведерко с водой, масса которого 2,0 кг,
привязано к веревке длиной 0,6 м и равномерно
вращается в вертикальной плоскости. Какова ми-
нимальная скорость ведерка, при которой вода из
него в высшей точке траектории не выливается?
Найти силы натяжения веревки в высшей и низшей
точках окружности при найденной скорости [2,4 м/с;
0; 39,2 Н ]
2.37.	Камень, привязанный к веревке длиной
0,5 м, равномерно вращается в вертикальной плос-
кости. При какой частоте вращения веревка оборвет-
ся, если она выдерживает максимальную нагрузку,
равную десятикратному весу камня? [2,1 с 1 ]
2.38.	Гирька массой 0,05 кг, привязанная к нити
длиной 0,25 м, описывает в горизонтальной плос-
кости окружность. Каким должен быть период
вращения, чтобы сила натяжения нити не превышала
1,96 Н? [0,50 с]
2.39.	Трамвайный вагой массой 7 т едет со
скоростью 4 м/с по кривой радиусом 100 м. Попереч-
ного уклона нет. Найти силу, действующую со
стороны внешнего рельса на реборду колеса. Как
изменится эта сила, если вагоновожатый увеличит
скорость трамвая в два раза? [1120 Н; увеличится
в 4 раза]
2.40.	Самолет, летящий с постоянной по модулю
скоростью 250 м/с, делает «мертвую петлю». Каков
должен быть радиус «мертвой петли», чтобы мак-
симальная сила, прижимающая летчика к сиденью,
не превышала десятикратного веса летчика? [711 м]
2.41*	. Шоссе имеет вираж с уклоном в 10 при
радиусе закругления дороги в 100 м. На какую
скорость рассчитан вираж? [13 м/с]
83
Контрольная работ а № 2А
Контрольная работа № 2Б
2.1	А. Железнодорожный состав,
масса которою 1.5- К)'1 * * кг, дви-
жется но горизонтальному пря-
молинейному участку нуги со
скоростью, равной 10.0 м/с. Ка-
кой скорости .достигает состав
через 2,5 мин, если тепловоз
развивает постоянную силу тя-
ги. равную I.5105 Н? Сила
сопротивления движению по-
стоянна и равна 5,0  К)4 Н.
2.2	А. Тело массой 0.3 кг бро-
шено вертикально вниз с на-
чальной скоростью 12 м/с. Че-
рез 4 с оно достигло Земли,
имея скорость, в четыре раза
большую, чем начальная. Най-
ти силу сопротивления воздуха,
считая сс постоянной.
2.З	А. Масса кабины лифга
с пассажирами 800 кг. Опреде-
лить ускорение лифта, если при
движении вес ею кабины с пас-
сажирами равен 7040 И.
2.4	А. Стальной магнит массой
0,05 кг прилип к вертикально
расположенной стальной' плите.
К нему прикладывают ситу,
направленную под углом 80
к вертикали. Под действием
этой силы магнит перемещается
вертикально вниз. Определить,
на какое расстояние опустится
магнит за 3 с. если приложен-
ная сила равна 1 Н, а коэф-
фициент трения равен 0 6’
2.5А. По наклонной дороге
с углом наклона 10 к горизон-
ту опускается вагонетка массой”
500 кг. Какова сизч натяжения
2.1	Б. Автомобиль, масса кото-
рого 1.2 г. снизил свою ско-
рость с 70 до 52 км/ч. Сколько
времени заняло торможение, ес-
ли сила торможения постоянна
и равна 50 Н?
2.2	Б. Тело массой 0,4 кг, бро-
не нос вертикально вверх,
достигло предельной высоты
45 м за 3 с с момента броса-
ния. Найти силу сопротивле-
ния воздуха. считая сс посто-
ягной .
2.3	Б. Груз массой! 140 кг, ле-
жащий на полу поднимающего-
ся лифта, весит 1400 Н. На
какую высоту поднимается
лифт с грузом за 4 с, если
начальная скорость равна ну-
лю'.’ Движение считать равно-
переменным.
2.4	Б.Под действием постоян-
ной силы, направленной под
углом 40 к вертикали, тело
движется вертикально вверх
вдоль стены и поднимается за
4,0 с на высоту 1,6 м. Опреде-
лить массу этого тела, если
сила равна 2,0 Н. а коэффици-
ент трения равен 0,4.
2.5	Б. Человек толкает впереди
себя сани массой 40 кг. дейст-
вуя на них силой, равной 100 Н
и направленной под углом 20
к горизонту. Коэффициент тре-
ния санок о сне, равен 0,1.
Какой путь пройдут сани за
2 с, если до начала действия
на них силы они имели ско-
рость 2 м/с?
2.6	Б. Какова жесткость букси-
ровочного троса, если при бук-
сировке автомобиля массой
I \
I \
। \
I
I
1
<
Рис. 52
84
троса при торможении вагон-
етки в конце спуска, если ее
скорость перед началом тор-
можения равна 2 м/с, а время
торможения равно 5 с? Коэф-
фициент трения принять рав-
ным 0,02. Движение считать
равнопеременным.
2.6	А. Брусок массой 3 кг дви-
жется равномерно и прямоли-
нейно по доске под действи-
ем пружины, расположенной
горизонтально. На сколько
удлинится пружина, если ее же-
сткость равна 150 Н/м? Коэф-
фициент трения бруска о доску
равен 0,25.
2.7	А. Ускорение свободного па-
дения па поверхности планеты
равно 14 м/с2. Какую горизон-
тальную скорость должны при-
дать космонавты своему кораб-
лю, чтобы обеспечить полет
корабля вокруг планеты по кру-
говой орбите радиусом
9-106м? Форму планеты счи-
тать шарообразной радиусом
8,9-106 м.
2.8	А. Тепловоз массой 100 т тя-
нет два вагона массой по 50 т
каждый. Коэффициент трения
равен 0,01. Какую силу тяги
развивает тепловоз и каковы
силы натяжения сцепок, если
через 30 с после начала движе-
ния состав имел скорость, рав-
ную 3 м/с? Движение считать
равнопеременным.
2.9	А. Найти силу натяжения ни-
ти в тот момент (рис. 52),
когда а = 20 . Масса груза равна
0,1 кг, модуль скорости равен
2,0 м/с, длина нити 0,4 м.
2.10	А. Каков должен быть ми-
нимальный коэффициент трения
между шинами автомобиля
и асфальтом, чтобы автомо-
биль мог пройти без проскаль-
зывания закругление радиусом
1,0 Ю2м при скорости
14,0 м/с?
2.0	т трос удлинился на 0,01 м,
причем автомобиль через 4.0
с после начала движения достиг
скорости 2,0 м/с? Трением пре-
небречь. Движение считать рав-
нопеременным.
2.7	Б. На какой высоте от по-
верхности Земли сила притяже-
ния космического корабля к Зе-
мле станет в 100 раз меньше,
чем на поверхности Земли? Ра-
диус Земли принять равным
6400 км.
2.8	Б. Брусок М массой 0.4 кг
под действием груза массой
0,1 кг (рис. 53) прошел из со-
стояния покоя путь 0,8 м за
2,0 с. Каков коэффициент тре-
ния бруска о поверхность?
2.9	Б. Мальчик, масса которого
равна 50 кг, качается на каче-
лях, длина подвеса которых
4 м. При прохождении среднего
положения он давит на сиденье
с силой, равной 950 Н. С какой
скоростью качели проходят это
положение?
2.10	Б. Горизонтально располо-
женный диск равномерно вра-
щается вокруг вертикальной
оси с частотой 0,5 с"'. На рас-
стоянии 0,2 м от оси вращения
на диске лежит тело. Каков
должен быз ь коэффициент тре-
ния между телом и диском,
чтобы тело не скользило во
время вращения диска?
85
РАЗДЕЛ III. СТАТИКА,
ГИДРО- И АЭРОСТАТИКА
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
Условием равновесия материальной точки в не-
которой инерциальной системе отсчета является
равенство нулю равнодействующей всех приложенных
к ней сил:
п
I F, = 0.	(3.1)
i = 1
Уравнению (3.1) эквивалентна система уравнений
для проекций векторов сил на выбранные координат-
ные оси:
f (Г,).у = 0. У(Г,)^--0.	(3.2)
i=i	/ = ।
Для равновесия твердого тела, которое может
совершать вращательное движение около закреплен-
ной оси, необходимо, чтобы кроме соотношения
(3.1) выполнялось условие
п
I 4=0.	(3.3)
i = 1
где М =-- FI момент силы, равный произведению
модуля силы F на длину плеча /. В зависимости
от того, по часовой стрелке или против нее
силы вращают твердое тело, моментам сил при-
писывают знаки соответственно минус или плюс.
При анализе равновесия частиц внутри объема
жидкости или газа пользуются величиной, которая
называется давлением:
р-lim V .	(3.4)
А. А A.S
где AF - проекция силы на нормаль к малому
элементу поверхности с площадью А5, на которой
распределена эта синь Если на всех элементах
плоской поверхности давление постоянно, то
(3-5)
где F - проекция на нормаль к поверхности сум-
марной силы, действующей на плоскую поверхность
86
с площадью S; AF и F в равенствах (3.4) и (3.5) —
силы давления.
Закон Паскаля: внутри малого элемента объема
жидкости или газа давление, обусловленное только
взаимодействием частиц, по всем направлениям один-
аково. Если же жидкость или газ испытывают
какое-то внешнее воздействие, то давление в зави-
симости от этого воздействия может меняться, но
его постоянство по всем направлениям не нарушится.
Давление внутри жидкости или газа на глубине
h не зависит от формы сосуда и равно
p = pg/z,	(3.6)
где р — плотность жидкости или газа.
При действии на свободную поверхность жид-
кости или газа внешнего давления р0 (например,
атмосферного или паров газа) выражение (3.6) за-
писывается в виде
P=Po + pgh-	(3-7)
На тело, погруженное в жидкость или газ,
действует выталкивающая (архимедова) сила, модуль
которой равен весу жидкости в объеме погруженной
части тела:
FA = pEg,	(3.8)
где р — плотность жидкости или газа, V—объем
погруженной части тела. Выталкивающая сила при-
ложена в центре тяжести вытесненного объема.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Правила решения задач статики материальной
точки принципиально ничем не отличаются от правил
решения задач динамики: вместо основного уравне-
ния динамики (2.2) следует составить уравнение
равновесия (3.1), а затем и (3.2).
Порядок действий при решении таких задач
остается таким же, каким был порядок действий
при решении задач динамики (см. с. 50 раздела II).
Однако при решении некоторых задач этого
раздела мы сочли целесообразным показать два
способа решения, один из которых основан на
правилах сложения и разложения векторов сил.
87
В случае решения задач статики твердого тела
основное внимание следует обратить на правильную
расстановку сил, действующих на тело; затем со-
ставить уравнение моментов сил (3.3) относительно
той или иной точки. Ее можно выбрать произвольно,
однако удачный выбор этой точки значительно
упрощает решение, позволяя проводить его без
применения выражений (3.1) или (3.2).
Если не удается ограничиться одним уравнением
(3.3), к нему добавляют уравнения (3.1) или (3.2).
При условиях (3.1) или (3.2) исключено всякое
ускоренное поступательное движение тела, а при
условии (3.3) невозможно его ускоренное вращение.
Это и учтено при решениях ряда задач, приведенных
на с. 89- —100 пособия.
При решении задач нахождения центра тяжести
плоских фигур с вырезами от абитуриента требуется
лишь знать, где находится центр тяжести фигуры
правильной геометрической формы (круг, квадрат,
треугольник и др.).
Задачи, в которых рассматривается равновесие
жидкости или газа, решают на основании закона
Паскаля и соотношений (3.6) или (3.7). Затруднения
у абитуриентов вызывают, в частное™, задачи,
в которых даны сообщающиеся сосуды с разнород-
ными жидкостями.
При решении подобных задач следует отметить
уровни каждой жидкости и, указав границы раздела,
выбрать поверхность, от которой отсчитываются
высоты столбов жидкостей (так называемый нулевой
уровень). В качестве поверхности нулевого уровня
выбирают поверхность самой нижней границы раз-
дела сред. Затем составляется уравнение равнове-
сия жидкости. Если до наступления момента рав-
новесия жидкость перетекала из одного колена
в другое, то к составленному уравнению добавляют
условие несжимаемости жидкости: уменьшение объ-
ема жидкости в одном из колен сообщающихся
сосудов равно увеличению объема жидкости в другом
колене. В случае необходимости к этим уравнениям
добавляют математическую связь между высотами
жидкостей. Решение системы этих уравнений, как
правило, дает возможность найти все искомые
величины.
Большой практический интерес представляет слу-
88
чай равновесия частиц свободной поверхности жид-
кости при движении всей жидкости вместе с сосудом.
Нужно учесть, что это равновесие достигается только
при условии перпендикулярности каждого участка
свободной поверхности к результирующей всех сил,
действующих на пего со стороны нижележащих
частиц. В противном случае возможно перетекание
частиц вдоль сЛоя, т. е. нарушение относительной
их неподвижности.
Решение задач о плавании тел принципиально
ничем не отличается от решения задач статики
материальной точки. Необходимо пользоваться соот-
ношениями (3.1), (3.2) с учетом архимедовой силы
(3.8). Если в задаче говорится о весе тела в среде,
то следует представить это тело как бы подвешенным
на нити и помнить, что вес тела в среде по модулю
равен модулю силы натяжения (но не силы тяжести!).
Если в задаче речь идет о плавании тела на границе
раздела двух жидкостей, то соотношение (3.8) записы-
вают в виде
^=Р1
где И, и Е2 объемы частей тела, находящихся
в жидкостях с плотностями соответственно pt и р2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Буксир тянет за собой две баржи,
двигаясь по прямолинейной траектории. Углы между
траекторией буксира и буксирными тросами один-
аковы и равны 30е. Модуль силы натяжения каждого
буксирного троса равен 5 кН. Модуль силы со-
в положении статического
противления воды при данной скорости движения
равен 4 кН. Какой по модулю должна быть сила
тяги двигателя буксира, чтобы при движении и бук-
сир. и баржа находились
равновесия?
oi = 3O ;
71 = 7, = 7 = 5,0- Ю3 Н;
/•\-4.0- IO3 Н.
Рис. 54
х
89
Решение
В задаче речь идет о равновесии движущихся
буксира и барж. Это возможно лишь при их
движении с постоянной скоростью; v = const. Запишем
условие равновесия в виде
f+tl+t2+fc=0.	(1)
Сложим силы Т\ и Т2 по правилу параллелограмма
(рис. 54). Модуль их равнодействующей R найдем
по теореме косинусов:
R =	+ Тгг- 2ТГ?ГсЩ18(Гс^ = 2 Tcos а.
Далее складываем силы R и Fc как силы, направ-
ленные вдоль одной прямой. Модуль их равнодей-
ствующей R j равен
Rl = R + Fc = 2Tcos а + Fc.
Тогда уравнение (1) запишем в виде F + Rj=0,
откуда модуль силы тяги F=Rt = 2Tcosa + Fc. Под-
ставив числовые данные, получим
F=13 кН.
Эту же задачу можно решить иначе. «Свяжем»
, у	систему отсчета с непод-
вижной водой и выберем
оси координат так, как
_____।—	_____„ показано на рис. 55.
О-	~ Тогда уравнению (1)
эквивалентна система
уравнений для проекций:
Ри<:- 55	Fx +	T2Jf + FcA- = 0,
/'’у+7\у+Т2у + /'’су —О,
или
— F+ Т{ cos а + Т2 cos а + Fc = О,
Т\ sina— T2sina = 0.
Второе уравнение системы (2) для решения задачи
не понадобится. А из первого уравнения получим
F=2Teosa + /'’c = 13 кН.
Задача 2. Увязший в грязи автомобиль удалось
вытащить с помощью троса длиной 20 м, привязан-
90
ного одним концом к автомобилю, а другим кон-
цом к дереву. Для этого водитель действовал на
трос силой, модуль которой равен 750 Н. Сила
была приложена к средней точке троса и направлена
вертикально вниз. Вследствие действия силы эрос
провис на 0,3 м. Найти силу, деповующую на
автомобиль. Считать, что вначале трос был натянут
горизонтально. Массой троса и его удлинением
(деформацией) пренебречь.
На рис. 56 С - точка крепления троса к ав то-
мобилю, В точка крепления к дереву, в точке
А приложена сила со стороны водителя. Так как
по условию задачи удлинением троса мочено пренеб-
речь, то его длина /= | ВС\| ВА | + | АС\. Мысленно
выделим точку А троса и рассмотрим ее статическое
равновесие в инерциальной системе отсчета, связан-
ной с Землей. В точке А приложены три внешние
силы: F (со стороны водителя), Т, и Т2 (со стороны
левой и правой ветвей троса). Условие статического
равновесия точки А может быть записано в виде
F+ Г| +Т2 = 0. Уравнение для проекций всех векторов
на выбранные координат ные оси ОХ и О Y (рис. 56)
запишем в виде
Fx+T1¥+r2X = 0,
или
— Г, COS 7.+ Т2 cos 3 = 0,	(1)
Г) sin а+Г2 sin р-/7=0,	(2)
где 7. и р- углы, которые образуют ветви оттянутого
троса с горизонтом. Так как, по условию задачи,
точка А середина троса, то 7 = р. Тогда из урав-
нения (1) получим, что 1\ = Т2 = Т. Из уравнения (2)
видно, что 2Tsina = /', откуда
91
В соответствии с третьим законом Ньютона
модуль силы, действующей на автомобиль в точке
С, равен Т и находится из уравнения (3). Угол
а легко находится из треугольника ABD'.
Окончательно
Подставляя числовые данные, получим
7=12,5 кН.
Эту же задачу можно решить иначе, используя
правило разложения силы на две составляющие,
направления которых совпадают с направлениями
действия сил на автомобиль и на дерево.
На рис. 57 показано разложение силы F на две
составляющие. Из
подобия треуголь-
ников ABD и AQM
имеем
F/2 _ d
V ~ и’
куда
F
Рис. 57
Обращаем Ваше внимание на выражение (3),
представляющее значительный практический интерес.
Из формулы (3) видим, что при малых углах а сила
воздействия троса на автомобиль может во много
раз превышать силу воздействия водителя на трос.
Действительно, угол а наклона ветвей троса будет
тем меньше, чем длиннее трос; тогда тем меньшую
силу необходимо прилагать водителю, чтобы сдви-
нуть автомобиль с топкого места. Поскольку тросу
приходится выдерживать большие напряжения, необ-
ходим достаточно прочный трос.
А можно ли натянуть трос так, чтобы он не
провисал? Ответ на этот вопрос Вы найдете, исследуя
формулу (3). Оказывается, это принципиально не-
выполнимая операция. Действительно, в этом случае
угол а = 0 и Т->сс, т. е. в горизонтально натянутом
тросе должна возникать бесконечно большая сила
натяжения. Такую силу, естественно, не выдержит
ни один, даже суперпрочный, трос.
Попутно заметим, что провисание троса (под
действием только собственной силы тяжести, не
говоря о других внешних воздействиях) происходит
за счет его упругих свойств. Если бы трос не мог
деформироваться (растягиваться), им нельзя было
бы пользоваться вообще, гак как он гут же раз-
рушился бы. Это относится не только к тросам,
проволокам и нитям.
В строительной технике учет прочности различных
конструкций теснейшим образом связан со способ-
ностью этих конструкций к упругим деформациям
(есть выражение: конструкция «должна дышать»).
Чрезмерно жесткие конструкции оказываются непри-
годными, гак как возникающие в них напряжения
становятся огромными при малейших деформациях.
Такие конструкции не выдерживают даже собствен-
ной силы тяжести. Именно по этой причине любая
прямая (на первый взгляд) балка, свободно лежащая
на опорах или с жестко заделанными в опоры
концами, никогда не может оставаться прямой. Это
не очевидно, но это так! К этому выводу нас
приводит анализ выражения (3).
Задача 3. Фонарь весом 40 Н подвешен на го-
ризонтальном шнуре AD длиной 1 м и шнуре DC
длиной 2 м (рис. 58). Каковы по модулю силы
упругости, возникшие в этих шнурах? | DC | = | ВС |.
Р = 0,4- 1()2 И;
| ADI= 1,0 м;
| £>С| = | £С| =2,0 м.
т 9 Т
‘ AD	• ‘ DC
93
Решение
Искомые силы упругости по модулю будут со-
впадать с составляющими силы тяжести фонаря на
направления AD и CD. Разложение силы тяжести
mg на составляющие TAD и Тьс выполнено на
рис. 58. Из него видно, что треугольники CDE
и силовой MNQ подобны. Учитывая, что модули
сил и Р равны и | СЕ\ --=| ВС\ — | ВЕ\, найдем
отношения сходственных сторон:
\MN\_\DC\	\MQ\_\CE\
1№1	]de\' \NQ\ \DlC
где | DE| = ^/1 DC\2 — ( | 5C| —| BE] )2. Из рис. 58 видно,
что \BE\ = \AD\. Значит, fZ>£| =	AW
Тогда
I DC I
Тл1)
\BC\-\AD\
4\Бс\г-(\вс\-\АО\у Р
Р
откуда

м______
.,	|ВС|-|ЛД|
A D — '	====^z
yi дер-(IЯС'!-млIP
Подставив
числовые данные из условия задачи.
получим
7 Л„ = 23,1 Н, Tcn = 46,2 Н.
Рис. 59
Эту же задачу можно ре-
ши гь и иначе, если рассмот-
реть статическое равновесие
точки в инерциальной системе
отсчета, связанной с Землей.
На рис. 59 изображены коор-
динатные оси этой системы
отсчета. В точке D приложены
три внешние силы, вес фонаря
р и силы упругости, возникшие
в шнурках TAfJ и TCD. Условие
равновесия для точки D запи-
94
шем в виде Р + Тлл + Тос = 0. Уравнения для проекций
на выбранные оси
?х + Т(ЛО} х + T\CD)x = О,
Ру + T(AD) У + T(CD) г = О,
или
TCflcosa— TAD = 0, Tcnsina — Р=0,
откуда
Синус и тангенс угла а найдем из треугольника
CDE:
\DE\
sina=-----,
|/)сГ
|£>£|
tga =-------
6	| ЕС\
Длины сторон |Z)E| и | ЕС | находятся так же, как
и в первом варианте решения этой задачи.
Предлагаем Вам довести решение до конца са-
мостоятельно.
Задача 4. Деревянный брусок массой 2,0 кг лежит
на наклонной доске с углом наклона к горизонту,
равным 60°. Коэффициент трения бруска о плоскость
равен 0,4. Какую минимальную по модулю силу
нужно приложить к бруску, чтобы он не соскользнул
с наклонной плоскости? Чему равен угол между
направлениями искомой силы и доски?
ш = 2,0 кг;
a = 60°;
ц = 0,4.
Решение
Г—? р —?
Прежде всего об-
ращаем Ваше вни-
мание на то, что
брусок, если бы на
него не действовала
сила F, непременно
начал бы скользить
вниз вдоль наклон-
ной доски, так как
коэффициент трения
p<tga. Чтобы удер-
жать брусок в рав-
новесии, к
некоторым
нему нужно приложить силу F под
углом (рис. 60) к доске так, чтобы эта
95
сила препятствовала скольжению бруска и прижи-
мала его к доске, увеличивая силу трения. Кроме
силы F на брусок действуют сила тяжести /ng, сила
трения FTp, нормальная реакция доски Q. В инер-
циальной системе отсчета, связанной с доской, усло-
вие равновесия бруска запишем в виде
F + mg + Q + Fip = 0. Этому уравнению в выбранной
системе координат соответствуют уравнения для
проекций
Fx + Ых + Qx + FTpX == О, Fy (/ng)у + ОY + F, р, = О,
или
mgsina —FcosP —FTp = 0,	(1)
Q~ nzgcos 7 — Fsin P = 0.	(2)
Решая совместно уравнения (I) и (2) с учетом
FTp = p2 относительно искомой силы, получим
„ sill 7 — Ц COS 7.	z-.
-f=—TP,—--/ng.	О)
cos + p sin p
В задаче поставлен вопрос о нахождении
минимальной по модулю силы, необходимой
для равновесия бруска. Из уравнения (3) вид-
но, что наименьшему значению силы соответст-
вует наибольшее значение знаменателя дроби.
Чтобы найти максимальное значение знаменателя,
т. е. функции /((3) = cos P + psin Р, следует найти
производную ,/'(Р) и приравнять ее к нулю. По-
лучим /У(Р)= — sin p + |j cos Р = 0, откуда p = tgP,
т. е.
Р = arctg ц.	(4)
Строго говоря, при найденном значении р из вы-
ражения (4) следует, что знаменатель дроби
(3) имеет экстремальное значение, а факт, что
он будет именно максимальным, следует еще про-
верить; взяв вторую производную Л(Р) =
= — cos р — |i sin р, убеждаемся, что так как р<л/2,
то /"(Р)<0. Значит, если угол Р определяется
выражением (4), то сила F будет иметь минимальное
значение.
Подставив числовые данные, получим
3 = 22 , F=I2,5 Н.
96
Определить
оси стержня,
тяжести системы.
Задача 5. Два однородных кубика весом 3 и 12 Н
с длинами ребер соответственно 0,08 и 0,12 м со-
единены при помощи однородного стержня длиной
0,1 ми весом 6 Н. Концы стержня прикреплены
к серединам граней кубиков, а центры кубиков
лежат на продолжении
положение центра
/2 = 8 • К) 2 м;
/2=12-10"2 м;
7= 10 - 10 2 м;
Pt = 3 Н;
Р2 = 12 Н;
Р = 6 Н.
Решение
этой и подобных задач
МОЖНО
закре-
Пусть
что
При решении
рекомендовать следующий метод. Мысленно
ним систему в ее центре тяжести (рис. 61).
при этом Вас не пугает то обстоятельство,
положение центра тяжести нам пока не известно.
Предположим, что он находится в точке С. Тогда,
если закрепить систему в этой точке, она будет
находиться в положении равновесия. При этом
условие равновесия (3.1) выполняется автоматически:
ведь не равную нулю результирующую внешних сил
mg, m,g, уравновешивает сила реакции Q. Но
условие (3.1) не дает нам возможности найти положе-
ние центра тяжести. Поэтому воспользуемся прави-
лом моментов (3.3): алгебраическая сумма моментов
сил тяжести относительно оси, проходящей через
центр тяжести С, равна нулю. Нетрудно сообразить,
что так как силы тяжести отдельных частей системы
приложены к геометрическим центрам этих частей,
то с соблюдением правила знаков момент
силы nijg равен = mlg(/1/2 + //2 + x), момент силы
mg равен M=mgx, момент силы /n2g равен
М2 = — m2g(/2/2 + //2 — .х). Поэтому условие равновесия
(3.2) примет вид mlg(/1/2 + //2Kr) + mg.v-m2g(/2/2 +
+ //2—л) = 0. Так как модули сил тяжести куби-
4-674
97
ков и стержня равны модулям их весов, то
Р{ (IJ2 +1/2 + х) + Рх-Р2(12/2 + 1/2-х) = 0.
Решая это уравнение относительно х, получим
(Л +/) _ с . i п - 2
2(Р,+Р2 + Р)
м.
так, что масса свисающей
Рис. 62
Значит, центр тяжести системы находится на рас-
стоянии 5 см от середины стержня, т. е. в точке
прикрепления большого кубика.
Задача 6. Балка заделана одним концом в стену
части равна 100 кг, а ее
длина 1,5 м (рис. 62). На
конце балки находится
груз массой 50 кг. Сила
давления балки на стену
в точке А не должна
превышать 6,0 103 Н.
Найти наименьшее до-
пустимое расстояние между опорами А и В и нагруз-
ку на опору В. Массой заделанной части балки
пренебречь.
Л/=1,0-102 кг;
£=1,5 м;
/и = 0,5-102 кг;
£л = 6,0-103 Н.
/-? £в—?
На балку действуют следующие силы: сила,
равная силе тяжести груза mg, сила тяжести сви-
сающей части балки Mg, приложенная к середине
свисающей части; сила реакции опор
Qt и QB (рис. 63), причем модули сил Qa — Fa
и Qb = Fb (по третьему закону Ньютона). Так как
балка находится в положении равновесия, то должно
выполняться условие (3.1):
mg + Mg + QA + QB = 0.
98
Выбрав в инерциальной системе отсчета оси
координат так, как показано на рис. 63, запишем
уравнение для проекций на ось О Y: (проекции
на ось OJV равны нулю), откуда получим
-mg-Mg + QA-QB = Q.
Из этого уравнения найдем искомую нагрузку
QB = Fu = Qa - (т + M)g=Fa - (т + М) g, Ftt = 4,5 • IОJ Н.
Для нахождения расстояния между опорами
А и В воспользуемся уравнением моментов (3.2)
относительно любой оси. В данном случае удобно
воспользоваться горизонтальной осью, перпендику-
лярной плоскости рисунка и проходящей через точку
А. Тогда (с учетом знаков моментов сил)
mgL+MgL/2-Qel = Q,
откуда
, mgL + MglJ2 2т+ М . п -
1=-------------= Lg--------; / = 0.3 м
Q„	А 2F„ ’
Задача 7. Лестница длиной 4,0 м приставлена
к идеально гладкой стене под углом 60 к горизонту.
Коэффициент трения между лестницей и полом равен
0.4. На какую максимальную высоту над полом
может подняться человек вдоль лестницы, прежде
чем она начнет скользить? Массы лестницы и челове-
ка соответственно равны 5,0 и 60,0 кг.
/=4,0 м;
Ц-0.4;
т = 5,0 кг;
М ~ 60,0 кг;
7. = 60 .
Л—?
Максимальная высота h над полом соответствует
тому предельному случаю, когда лестница еще находит-
ся в состоянии равновесия. Значит, можно записать
условия равновесия (3.1) и (3.2). На рис. 64 изображены
99
силы, действующие на лестницу: сила тяжести mg,
сила давления человека, равная Mg, сила трения FTp,
сила нормальной реакции стены и пола Qt и Q2.
В системе отсчета, связанной с полом, в выбранной
системе координат условие (3.1) приводит к уравнениям
2t-FTp = 0,	(1)
бт- mg — Mg = 0.	(2)
Правило моментов (3.3) удобнее записать относи-
тельно оси, проходящей через точку С перпендикуля-
рно плоскости чертежа. С учетом знаков получим
QJ sin oi — mg Г 2 cos a — Mgh ctg ot = 0.	(3)
Из уравнения (1) находим Qi=Frp, по Fip = pQ2^
а из уравнения (2) Qi = (m + M)g. Поэтому
Ql=\x(m +M)g. Подставим это выражение в урав-
нение (3):
ц (т + М) gl sin а — mglfl cos а — Mgh ctg а = 0,
откуда
! ц(аи+ М) /sin rt~ m//2cos a
\	М ctg а
Подставляя числовые данные,
(у/' получим Л = 2,5 м.
\	Задача 8. На плоском ше-
\	роховатом дне ящика находит-
ся шар, который при наклоне
дна на нек0Т0рЫй угол по
Рис 65	отношению к горизонту удер-
живается в равновесии нитью,
параллельной дну (рис. 65). При каком максималь-
ном угле а шар еще будет оставаться в положении
равновесия? Коэффициент трения шара о дно ящика
равен 0,5.
Решение
ц=0,5.
a — ?
Шар будет находиться в положе-
нии равновесия при выполнении условий
(3.1) и (3.3). На шар действуют силы
тяжести mg, реакции дна Q, натяжения
нити Т и трения Fip (рис. 66). Поэтому
условие равновесия (3.1) запишем в
виде
100
Q + T + FTp + mg = O. (1)
В неподвижной си-
стеме отсчета выберем
координатные оси так,
как показано на
рис. 66. Тогда уравне-
нию (1) будет эквива-
лентна система уравне-
ний для проекций век-
торов сил
Рис. 66
FtP + Т— mg sin д = О,
Q — mg cos д = 0.	(2)
Запишем закон для силы трения: Ftp=\hQ-
Прежде чем записать условие равновесия (3.3),
следуез подумать над тем, относительно какой
оси вращения писать правило моментов. Лучше
всего выбрать ось вращения так, чтобы момент
силы Т обратился в нуль (чтобы можно было
не вычислять эту силу). Такому условию удо-
влетворяет ось, проходящая через точку А за-
крепления нити перпендикулярно плоскости рисунка.
Относительно этой оси условие (3.3) с учетом
правила знаков запишем в виде
Frp -IR — mgR sin д = 0.	(3)
Из второго уравнения системы (2) Q = mgcosa.
Поэтому FXp = \xmg cos д (строго говоря, равновесие
шара зависит от выполнения неравенства
FTp^pmgcos а, но максимальному искомому значению
угла д соответствует последнее равенство). Значит, из
соотношения (3) с учетом значения FTp получим
2pmgcos д —mgsin д = 0, откуда tga = 2p, a = arctg2p.
Подставив вместо ц его числовое значение,
находим
д = 45°.
Задача 9. Однородная пластинка
имеет форму равностороннего тре-
угольника со стороной, равной
0,16 м. В пластинке вырезано круглое
отверстие радиусом 0,02 м (рис. 67).
Рис. 67
101
Определить положение центра тяжести полученной
фигуры при условии, что геометрический центр
отверстия лежит на отрезке высоты, опущенной из
вершины треугольника, а края отверстия касаются
боковых сторон треугольника.
Реше н ие
Задачи нахождения
центра тяжести одно-
родных плоских фигур
с вырезами, которые
могут встретиться на
конкурсном экзамене,
решаются элементар-
ными методами толь-
ко в тех случаях, когда
известно положение
центра тяжести целой
фигуры и центра тя-
жести вырезанной ча-
сти.
В данном случае центр тяжести фигуры в форме
равностороннего треугольника находится в точке
Е пересечения его медиан (или высоты, или бис-
сектрис), а центр тяжести круглого выреза — в гео-
метрическом его центре О (рис. 68). В задачах такого
типа фигуру с вырезом удобно изобразить так,
чтобы ось симметрии была горизонтальна.
В основе решения лежит следующее обстоятель-
ство, имеющее общий характер. Если вставить
вырезанную часть фигуры на прежнее место, то
силу тяжести всей фигуры Л/g (в данной задаче —
равностороннего треугольника) можно представить
в виде суммы двух параллельных сил: силы тяжести
круглого выреза niog и силы тяжести оставшейся
части фигуры (треугольника с отверстием) /ng, причем
сила mg приложена в не известном пока центре
тяжести этой оставшейся части фигуры (точке £)).
Если известны равнодействующая сила (Л/g), одна
из параллельных сил (znog), 10 нетрудно определить
положение линии действия второй силы mg, т. е.
искомое расстояние между центрами тяжести выре-
занной и целой фигур. Запишем правило моментов
(3.3) с учетом знаков относительно оси, проходящей
через точку Е перпендикулярно плоскости рисунка:
102
m0g\OE\-mg\ED\ = 0,	(1)
где | 0E\ = | AE\ — | АО |и | ED\ = x— плечи сил тяжести
mog и mg соответственно. Из геометрии известно,
что \AE\ = 2/3h=^a^, где/г = <7 ч/3/2— высота в рав-
ностороннем треугольнике со стороной а. Из тре-
угольника АОМ (или AON) найдем | ^<9| = r/sin(a/2).
Тогда \ОЕ\=^?- — —;—Модуль силы тяжести
3 sin (ос/2)
оставшейся части фигуры равен mg = Mg — mog. Под-
ставив полученные значения плеча | ОЕ | и модуля
силы mg в выражение (1), получим
mog\ -f - - -—-
\ 3 sina/z

(2)
Массы т0 и М выразим через заданные значения
а и г:
mo = pj/o = pSotf=p7tr2//, Л/-рГ=р,87/=р"2^3 /7.
где р — плотность материала, Н—толщина однород-
ной фигуры, Ио и V—объемы круглого выреза
и треугольника, л0 = лг и 5=——площади вы-
реза и треугольника. Подставляя значения
т0 и М в выражение (2) и решая полученное
уравнение относительно х, находим
Подставив числовые значения, получим
_х=6,7 мм.
Значит, центр тяжести сместится к основанию тре-
угольника на 6,7 мм.
Задача 10. В двух цилиндрических сообщаю-
щихся сосудах налита ртуть. Площадь сечения од-
ного из сосудов вдвое больше площади дру-
гого. Широкий сосуд доливают водой до края.
103
На какую высоту поднимается при этом уровень
ртути в узком сосуде? Первоначально уровень
ртути был на расстоянии 0,80 м от верхнего края
широкого сосуда. Плотности ртути и воды равны
соответственно 1,36- 104 и 1,0- 10* 3 кг/м3.
/ = 0,80 м;
— =2;
•S3
ррт= 1,36  104 кг/м3;
р„=1,00 103 кг/м3.
A//j — ?
Рис. 69
Р е ш е н и е
На рисунке отметим начальный уровень ртути
0—0 и высоты АЛХ, на которые ртуть поднялась
в узком и опустилась в широком сосудах (рис. 69).
Рассмотрим поверхность границы раздела воды
и ртути (1 — 1). Тогда, по закону Паскаля,
/’о + PpTg (А/' । + /')=Ро + р„зг (/+АЛ2).	(1)
В уравнении (1) три неизвестные величины: АЛХ,
h, Ыг2.
Но из рис. 69 видно, что
Л = АЛ2,	(2)
а условие несжимаемости приводит к выводу о том,
что увеличение объема ртути в узком сосуде равно
уменьшению ее объема в широком сосуде. Поэтому
(3)
Решая уравнения (1), (2). (3) совместно озносительно
искомой высоты А/г1, получим
Р,,, 3-(Si/S2)(ppI - Р.)
Подставляя заданные числовые значения, получаем
АЛ t= 0,04 м.
104
Задача 11. Сосуд с жидкостью движется поступа-
тельно в горизонтальном направлении с ускорением,
модуль которого равен 2,6 м/с2. Под каким углом
к горизонту будет располагаться свободная поверх-
ность жидкости при движении?
Решение
<2 = 2,6 м/с2;
g = 9,8 м/с2.
Так как в задаче ничего не
сказано о направлении вектора
ускорения, то следует рассмотреть
два случая: направления векторов
ускорения и скорости совпадают
а, -?	'
(рис. 70) и противоположны (рис. 71).
Рассмотрим одну из частиц свободной поверх-
ности (точка С на обоих рисунках). Если масса
частицы равна т, то, находясь в поле тяжести
Земли, она будет испытывать действие силы тяжести
mg. Кроме того, чтобы обеспечить неподвижность
частиц поверхностного слоя друг относительно друга,
г. е. невозможность перетекания частиц вдоль слоя,
необходимо учесть, что на каждую частицу (в том
числе и на частицу С) со стороны нижележащих
действуют силы, результирующая которых направ-
лена перпендикулярно свободной поверхности жид-
кости (силы Q, и Q2 па рисунках). По условию
задачи частица С вместе с сосудом движется горизон-
тально с ускорением. Причиной такого движения
может быть только сила (на рис. 70 это сила FH
являющаяся суммой сил Q, и mg и направленная
горизонтально в сторону ускорения; на рис. 71 это
105
сила F2 = Q2+mg, направленная горизонтально в сто-
рону, противоположную направлению скорости). Из
рис. 70, 71 видно, что для обеспечения сил Fj и F2 силы
Qi и Q2 должны быть наклонены к вертикали под
каким-то углом а, равным искомому углу, причем
F^mgtgotj, F2 = mglga2.	(1)
Выбрав координатную ось ОХ горизонтальной,
а ее положительное направление совпадающим с на-
правлением движения и воспользовавшись первым
соотношением (2.4), имеем:
F । — та, Fi v = max, Fi = ma\
(2)
F2=ma, F2x = max, —F2=—ma, F2^ni(i.
Сравнивая выражения для Ft и F2 из (1) и (2),
получаем tg Xj = tg a2 =	откуда
g
a
al =Of2 = arCtg
g
С учетом числовых значений a=15':.
Интересно, что угол наклона свободной поверх-
ности жидкости при постоянном g не зависит от
плотности жидкости, а зависит лишь от модуля
ускорения а.
Задача 12. Слиток сплава золота и серебра в воз-
духе весит 2,94 Н, а в воде — 2,69 Н. Определить
массу золота и серебра в слитке. Считать, что при
сплавлении объем слитка равен сумме объемов
компонентов. Выталкивающей силой воздуха пренеб-
речь. Плотности золота и серебра соответственно
равны 1,93  104 и 1,05 104 кг/м3.
Pi =2,94 Н;
Р2 = 2,69 Н;
р3=1,93-104 кг/м3;
рс= 1,05-104 кг/м3.
[]
ш3 — ? пгс—2
Рис. 7.2
106
Решение
На рис. 72 изображены процессы взвешивания
слитка в воздухе (слева) и в воде (справа). При
взвешивании в воздухе на слиток действуют силы
тяжести mg и натяжения нити Tj (не забудем, что вес
Р — это сила, с которой тело растягивает нить,
и приложена эта сила к нити). В соответствии с третьим
законом Ньютона модули сил Р и равны, т. е.
Р~Т}. При взвешивании в воде на слиток действуют
силы тяжести /ng, натяжения нити Т2 и архимедова сила
FA. Так как в обоих случаях слиток находится
в положении равновесия, то выполняется условие (3.1):
Ti+mg = 0, T2 + mg + FA = 0.
В инерциальной системе отсчета, связанной с Зем-
лей, выберем направление оси OY так, как показано
на рис. 72. Тогда
7iy + (mg)y = 0, T’2y + (mg)y + FAy = 0,
или
T\-mg = Q, T2 + FA-mg = 0.
Но Т1 = Р1 и Т2 = Р2, следовательно,
P|='wg, P2 = mg-FA.	(1)
Так как архимедова сила TA = pBl/g, где рв— пло-
тность воды, V—объем слитка, то второе уравнение
системы (1) будет иметь вид
P1=mg-pKVg=Pi -pBFg.	(2)
Но масса слитка
m = m3+ntQ,	(3)
а его объем
F=H+rc=-^ + ^.	(4)
Р, Ре
Решая совместно уравнения (2), (3), (4) и первое
уравнение системы (1), получим
(Т| “ Pl) pc — Pl Рв	Pl
----------; те—т — m3= — —m3.
pB(pc-p,k-g
Подставляя числовые значения, имеем
m3 = 0,07 кг, mc = 0,23 кг.
107
Задача 13. Брусок выполнен из материала, пло-
тность которого равна 2,20 • 103 кг/м3. Будучи по-
ложенным на плоскую деревянную доску толщиной
0,10 м, он полностью погрузился в воду. Определить
массу бруска и силу его давления на доску в воде,
если площадь доски равна 0,80 м2, плотность дерева
равна 0,80 • 103 кг/м3.
/1 = 0,10 м;
5=0,80 м;
рб = 2,20 • 103 кг/м3;
рд = 0,80  103 кг/м3;
рв= 1,00 • 103 кг/м3.
Рис. 73
Решение
ш ? /' ?
По условию задачи система брусок—доска на-
ходится в погруженном состоянии в равновесии. Так
что. казалось бы, достаточно записать условие (3.1)
для этой системы. Однако искомая сила давления
со стороны бруска на доску является внутренней
силой, действующей между телами в этой системе.
Поэтому условие (3.1) следует писать отдельно для
каждого тела системы.
Силы, действующие на брусок и доску, изо-
бражены на рис. 73 (для удобства линии действия
сил и точка их приложения вынесены за пределы
чертежа). Здесь mg и m.,g — силы тяжести, дейст-
вующие на брусок и доску; FA1 и FA2— архимедовы
силы, действующие на них; F и Q — соответственно
искомая сила давления и нормальная реакция, дей-
ствующая на брусок со стороны доски. По третьему
закону Ньютона, F=—Q, а модули этих сил равны:
F=Q.	(1)
Условие равновесия (3.1) для бруска и доски
запишем в виде
Q+FA14-mg = 0, FA2+ mag-F F = 0.
В системе отсчета, связанной с неподвижной
поверхностью воды, выберем координатную ось О У
(рис. 73). Запишем сразу уравнения:
108
6 + FA1-mg = 0, FA2-m^-F=O.	(2)
He заданные в явном виде величины тд, FA1,
FA2 выразим через известные:
тд = рдЛ5, FA1 = pBFg, F=-, FA2 = pBg/?5,	(3)
Рс
где V—объем бруска.
Решая совместно уравнения (1), (2), (3), получим
m=-p6-S'(p" Рд)^ г=(рв_рд)^
Рб Рв
Окончательно
т = 0,29 102 кг, F= 1,57 • 102 Н.
Задача 14. Тело в форме прямой призмы плавает
в воде, будучи погруженным в нее на 80% своего
объема. Какая часть призмы будет погружена в воду,
если поверх нее налить слой бензина, полностью
закрывающий тело. Плотности воды и бензина равны
соответственно 1,00-103 и 0,70 • 103 кг/м3. Вытал-
кивающей силой воздуха пренебречь.
рв = 1,00  Ю3 кг/м 3;
рб = 0,70 • 103 кг/м3;
—=0,8.
v
Решение
Рис. 74
На рис. 74 изображены положения призмы до
(слева) и после (справа) того, как был долит бензин.
В первом случае на призму действуют сила тяжести
mg и архимедова сила Fj; во втором случае — сила
тяжести mg, архимедовы силы со стороны воды
F2 и бензина F3. В обоих случаях призма находится
в равновесии и выполняется условие (3.1):
FL+mg = 0, F2 + F( + mg = 0.
109
Переходя к уравнениям для проекций векторов (в
системе отсчета, связанной с Землей, ось OY на-
правим вверх), получим
F1-/wg = 0, F2 + 7-3-mg = 0.	(1)
Обозначим объем погруженной в воду части
призмы в первом случае через И,, во втором случае
через И2. Если весь объем призмы И, плотность
материала р, то
Е1 = рвЕ1с?, F2 = pBF2g, F3 = p6(E-E2)g, m = pV.
С учетом этих соотношений запишем уравнения
(1) в виде
P^g^pEg, pBE2g+p6(E-E2)g=pEg, или
рвП = РЕ, рвЕ2 + р6(Е-Е2) = рЕ. (2)
Находя из первого уравнения системы (2) пло-
Н
тность материала призмы р = рв — и подставляя ее
значение во второе уравнение этой же системы,
получим после несложных преобразований
1/2_Рй(И/1/2)-Рб
Е Р„ — Рб
Окончательно имеем
» 2
=0,33, т. е. после того, как
V
будет долит бензин, в воде окажется 33% всего
объема призмы.
Задача 15. Железный шар, подвешенный на пружине
и имеющий внутри полость объемом 2,1 10“5 м3, ве-
сит в воздухе 2,6 Н. Определить плотность жидкости, в
которой вес этого шара станет равным 2,2 Н. Пло-
тность железа 7,8 103
кг/м3.
Еп = 2,1  10 5 м3;
Pi =2,6 Н;
Л = 2,2 Н;
Рж = 7,8  10’' кг/м3.
Рх~?
Рис. 75
НО
Решение
На рис. 75 изображены силы, действующие на
шар при его взвешивании в воздухе (слева) и жид-
кости, плотность которой надо определить. Здесь
/Hg — сила тяжести, и Т2 - силы упругости пру-
жины в воздухе и в воде, равные по модулю весу
шара соответственно в воздухе и в воде (TX = PV,
Т2 = Р2), FA— архимедова сила. Поскольку взвешива-
емый шар в обоих случаях находится в равновесии,
то можно записать условие (3.1) в виде
T1+mg = 0 (при взвешивании в воздухе),
T2 + mg + FA = 0 (при взвешивании в жидкости).
Связав систему отсчета с Землей и выбрав
координатную ось OY так, как показано на рисунке,
можно сразу записать уравнения:
Ti-wg = 0, Z\-mg = 0, m = Pl/g, (1)
72 + fA-/»g = 0. P2 + FA-wg = 0,	(2)
где CA = PxCg. Здесь V—объем шара, состоящий
из объема полости /п и объема материала, из
которого он изготовлен (в условии задачи это
объем железа Иж). Значит, V= И„+ Иж. Но Иж = ш/рж
или (с учетом выражения (1)) 1'ж =	/(#рж). Значит,
С= Y„ + Pi/gpx. Тогда
Fa = Pxg [ Сп + Pi /(gpj] = рЛ (g Ип + Pi / рж).	(3)
Подставив значение архимедовой силы из (3)
в уравнение (2), получим (с учетом выражения (1))
Л + Рх [ Н, + Pi /(p«g)] g - Pi = О,
p — p
откуда px =---!---—. Окончательно
J	К^+Л/Рж
px = 0,7  103 кг/м3.
Задача 16. Однородный стержень длиной 1,2 м
закреплен шарнирно одним концом на высоте 0,4 м
над уровнем воды и опущен другим концом в воду.
На какой глубине будет находиться нижний конец
стержня при равновесии? Какой угол составит на-
клонный стержень с поверхностью воды? Плотность
материала, из которого сделан стержень, равна
111
0.8 • 103 кг/м3. Плотность воды 1,0 103 кг/м3. Вытал-
кивающей силой воздуха пренебречь.
/=1,2 м;
Л = 0,4 м;
р = 0,8- 103 кг/м3;
рв= 1,0 103 кг/м3
// —? О! ?
Реше н и е
Так как стержень закреплен шарнирно одним
концом, то он может совершать только вращательное
движение относительно оси, проходящей через шар-
нир (на рис. 76 — точка О). Поэтому для равновесия
стержня достаточно выполнения условия (3.3), ибо
условие (3.1) выполняемся автоматически. Но для
составления правила моментов необходимо рассмот-
реть все силы, действующие на стержень, а затем
и моменты этих сил относительно точки О. Ясно,
что на стержень действуют: сила тяжести /ng,
приложенная к центру тяжести стержня В, находя-
щемуся на середине его длины; архимедова сила
FA, приложенная в точке ,4, в центре тяжести
вытесненного объема, находящемуся в середине той
части стержня, которая погружена в воду; сила
реакции шарнира Q, приложенная в месте закреп-
ления стержня в точке О. Обозначим плечи сил mg
и Fa через и /2 соответственно (плечо силы
Q равно нулю). Тогда условие (3.3) с учетом знаков
моментов сил запишем в виде равенства
^/(-^а/2=0.	(1)
Из рис. 76 видно, что
/.=- cosa, /2=-(/+—- )cosa.	(2)
2	2 у si п п I
Выразим массу стержня и архимедову силу:
112
m = pC=p!S, ГА = рвГ1Я=Ро( pg, (3)
\	sin a /
где V и kj—объем стержня и объем погруженной
в воду части соответственно; S—площадь поперечно-
го сечения стержня. Подставляя (2) и (3) в (1), получим
„/2	„ 1 (	h \ I , h \	„
py.S- cos a — p„g5 - /-/+--— cos а = О,
2	1 2 у sin а / \	sin a !
ИЛИ
p/2-pBf/2-f—Vo,
\	\ sin а/ J
откуда после несложных преобразований находим
sin a =——----= 0.75. a = arcsin0,75 = 49 7
/р -р/р-
Глубину H найдем из соотношения (рис. 76)
Н=/sinа — Л = 0,5 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1.	Электрическая лампа массой 1,0 кг подвешена
на шнуре АВ и оттянута горизонтальной оттяжкой
ВС (рис. 77). Найти модули сил натяжений шнура
и оттяжки, если угол a = 60°. [11,6 Н; 5,8 Н]
3.2.	Найти модули сил, действующих на подкос
ВС и тягу АС (рис. 78), если длина подкоса 4,0 м,
длина тяги 3,0 м, масса груза 200 кг. Расстояние
между точками креплений подкоса и тяги принять
равным 1,5 м. [4,0 кН; 5,3 кН]
3.3.	Системы грузов находятся в равновесии
113
(рис. 79). Определить массу груза т3 и угол а, если
известно, что mt= 18 кг, /и2=Ю,0кг, а часть нити
А\А2 натянута горизонтально. [14,9 кг; 56 ]
3.4.	Вагонетка массой 2,0-103 кг равномерно спу-
скается вдоль наклонного участка подвесной дороги.
Коэффициент трения колес вагонетки о несущий
канат, составляющий с горизонтом угол 30, равен
3,0 • К) 3. Найти модуль силы натяжения тягового
каната и силу давления вагонетки па несущий канат.
[1,0- 104 Н; 1,7 104 Н]
3.5.	Лодку тянут к берегу двумя канатами, рас-
положенными в горизонтальной плоскости. Угол
между каналами равен 90'. К канатам приложены
силы, равные по модулю 1,2 • 102 Н каждая. Какой
по модулю должна быть сила сопротивления воды,
чтобы лодка, приближаясь к берегу, находилась
в положении статического равновесия? [1,7-102 Н]
3.6.	Стержень , цилиндрической формы состоит из
трех материалов: на протяжении 0,5 м из железа
(плотность 7,8  103 кг/м ’), затем на протяжении 0,3
м из меди (плотность 8,9-103 кг/м3) и на протяжении
0,4 м из алюми-
X.	ния (плотность 2,7 х
х 103 кг/м3). Найти
положение центра тяже-
I	т! сти стержня. [На рас-
Шт|	□ т2	стоянии 0 66 м от же-
рис. 79	лезного конца стержня]
3.7.	Вагонетка мас-
сой 0,4-103 кг имеет длину кузова 3,0 м, а расстояние
между осями колес 1,8 м. С какой по модулю
вертикальной силой, приложенной к одному из
концов вагонетки, следует подействовать, чтобы этот
конец приподнять? [1,5 кН]
3.8.	Какую по модулю вертикальную силу нужно
приложить к одному из концов вагонетки (см. задачу
3.7), чтобы приподнять ее противоположный конец?
[5,9 кН]
3.9.	Концы стержня массой 0,1 • 102 кг и длиной
0,4 м нагружены сосредоточенными массами 0,4 -102
и 0,1 -102 кг. Где следует закрепить стержень, чтобы
он находился в положении статического равновесия?
[На расстоянии 0,1 м от более нагруженного конца]
3.10.	С какой по модулю силой, приложенной
к одному из концов доски перпендикулярно ей,
114
Рис. Ы)
Рис. ,41
рабочий должен удерживать доску, если масса ее
40 кг, а угол а=30: (рис. 80)? [170 Н]
3.11.	Два однородных шара с одинаковыми радиуса-
ми скреплены в точке касания. Масса одного шара
вдвое больше массы другого. Определить центр тяжести
системы. Радиусы шаров равны по 0,6 м. [В более
тяжелом шаре на расстоянии 0,2 м от точки касания]
3.12.	Центр тяжести однородной плоскости тон-
кой фигуры (рис. 81) расположен в точке О. Найти
отношение высоты h треугольной части фигуры
к длине / ее прямоугольной части. [1,73]
3.13.	Масса автомобиля 3,6 г. Его центр тяжести
делит расстояние между осями колес на отрезки,
находящиеся в отношении 1:3. Найти модули сил
давления каждой колесной пары на шоссе. [9,0  103 Н;
2,7-104 Н]
3.14.	Однородная балка массой 50 кг лежит на
двух опорах. На расстоянии четверти длины балки
от левой опоры она нагружена „ сосредоточенной
массой 100 кг. Найти модули сил давления балки
на опоры. [980 Н; 490 Н]
3.15.	Двое рабочих переносят цилиндрическую
железную трубу массой 80 кг. Один из них поддер-
живает трубу на расстоянии 1 м от конца, а второй
поддерживает противоположный ее конец. Опреде-
лить модуль нагрузки, приходящейся на каждого
рабочего, если длина трубы равна 5 м. [490 Н; 294 Н]
3.16.	Чему равны модули сил, действующих на
подшипники А и В (рис. 82), если масса вала 10 кг,
масса шкива 20 кг, расстояния шкива от подшип-
ников равны соответственно 1 и 0,4 м? [105 Н; 189 Н]
3.17.	Чему равны модули сил реакции подшип-
ников А и В (рис. 83), если масса вала 7 кг,
масса шкива 28 кг, а расстояния шкива от под-
шипников А и В равны соответственно 0,8 м
и 0,1 м? [10 Н; 360 Н]
3.18.	Под каким наименьшим углом к горизонту
115
можно прислонить лестницу к гладкой вертикальной
стене, если коэффициент трения лестницы о пол
равен 0,4? Считать, что центр тяжести лестницы
находится в ее середине. [51,3 ]
3.19.	Однородный стержень АВ массой 40 кг,
расположенный под углом а = 30с к горизонту, одним
концом А опирается на подшипник с горизонтальной
осью вращения, а другим концом В привязан к нити,
закрепленной в точке С, находящейся на одной
вертикали с точкой А (рис. 84). Стержень АВ на-
гружен сосредоточенной массой т = 90 кг в точке,
которая делит длину стержня в отношении 2:1,
считая от точки А. Найти модуль силы натяжения
нити, если треугольник АВС — равносторонний. Тре-
нием в подшипнике пренебречь. [784 Н ]
3.20.	На нити, прикрепленной одним концом
к вертикальной стене, висит шар, опирающийся на
эту стену. Нить касается шара в точке А и образует
с плоскостью стены угол а = 30'; (рис. 85). Найти
коэффициент трения шара о стену. [2,0]
3.21.	Однородная плоская пластинка имеет форму
круга радиусом 0,12 м, из которого вырезан кружок
вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга
Рис. 84
116
(рис. 86). Где расположен центр тяжести этой пла-
стинки? [На 0,14 м от точки касания малого
и большого круга]
3.22.	Определить положение центра тяжести од-
нородной квадратной пластинки со стороной 0,06 м,
в которой вырезано круглое отверстие так, как
показано на рис. 87. Радиус отверстия составляет
25% от длины стороны пластинки. [На диагонали
квадрата на 0,52-10“2 м левее и выше геометриче-
ского центра]
3.23.	Найти давление в морской воде на глубине
8,50 м. Атмосферное давление равно 1,01 • I05 Па.
Плотность морской воды 1,03  103 кг/м3
[1,87-105 Па]
3.24.	В цилиндрический сосуд налили две несме-
шивающиеся жидкости, плотности которых 1,0 103
и 0,9 • 103 кг/м3. Найти давление жидкостей на дно
сосуда, если общая высота слоя 0,4 м. Массы
жидкостей одинаковы. [4,0-Ю3 Па]
3.25.	В сообщающихся сосудах, диаметр одного
из которых вчетверо больше диаметра другого,
находится ртуть. В узкий сосуд наливают столбик
воды высотой 0,70 м. Найти, на сколько поднимется
уровень ртути в одном сосуде и опустится в другом.
[0,3  10 * м; 4,8  10“2 м]
3.26.	В сосуд с водой вставлена трубка сечением
2,0-10“3м2. В трубку налили масло массой
7,2  10“2 кг, плотность которого 0,9  103 кг/м3. Найти
разность уровней масла и воды. [4,0-10“2м]
3.27.	На горизонтальном прямолинейном участке
железнодорожная цистерна с бензином стала двигать-
ся так, что свободная поверхность бензина составила
с направлением движения угол 170 . Найти длину
этого участка пути, если он был пройден за 4,0 с.
[78,4 м]
3.28.	Кусок сплава меди и серебра подвешен
к динамометру, показания которого в воздухе 2,40 Н,
а в воде 2,17 Н. Каков процент содержания компонен-
тов в куске? Выталкивающей силой воздуха пренеб-
речь. Плотности меди и серебра равны соответствен-
но 0,89 • 104 и 1,05  104 кг/м3 [14,54%; 85,46%]
3.29.	Шарик, подвешенный на пружине, опускают
в воду. При этом растяжение пружины уменьшается
вдвое. Определить плотность материала шарика.
[2,0- 103 кг/м3]
117
3.30.	Вес однородного тела в воздухе 2,80 Н.
а в воде 1,69 Н. Пренебрегая выталкивающей силой
воздуха, определить плотность тела. [2,52- 103 кг/м3]
3.31.	Бревно, длина которого 3,5 м, а диаметр
0,3 м, плавает в воде. Человек какой массы может
стоять на бревне не замочив пог? Плотность дерева
равна 700 кг/м3. [74 кг]
3.32.	Один конец троса закреплен на дне водоема,
а второй прикреплен к поплавку, плотность матери-
ала которого равна 0.25  I03 кг/м3. При этом 0,75
всего объема поплавка погружено в воду. Определить
натяжение троса, если масса поплавка равна 2,25 кг.
[44,10 Н]
3.33.	Стальной шарик плавает в ртути. Какая
часть объема шарика будет находиться в ртути,
если поверх нее налить слой воды, полностью
закрывающей шарик? Плотности стали, ртути и воды
равны соответственно 7,80-103;	1,36 I О4;
1,00 103 кг/м3. [0,54]
3.34.	В сосуд налита ртуть и поверх нее масло.
Шар, опущенный в сосуд, плавает так, что половина
его объема находится в масле. Какова плотность
материала шара? Плотности ртути и масла равны
соответственно 1,36 104 и 0,90 • 103 кг/м3.
[7,25- 103 кг/м3 ]
3.35.	Полый алюминиевый шар, внешний радиус
которого 0,51 м, а внутренний—0,50 м, плавает на
поверхности воды. Какова должна быть плотность
вещества, которым следует заполнить внутреннюю
полость шара, чтобы он находился внутри воды
в безразличном равновесии? Плотности воды и алю-
миния равны соответственно 0,10-104 и 0,27 х
х I04 кг/м3. [0,98 • IО3 кг/м3]
3.36.	Полый шар массой 5,0 кг, отлитый из
свинца, плавает в воде, погрузившись в нее на 50%
своего объема. Найти объем внутренней полости
шара. Плотности воды и свинца равны соответст-
венно 1,0-I03 и 11,3-103 кг/м3. [9,6 10 3м 3]
3.37.	Тело плавает на поверхности масла, будучи
погруженным в него на 80% своего объема. Опре-
делить, на сколько процентов своего объема погру-
зится это тело при плавании на поверхности гли-
церина? Плотности масла и глицерина равны соот-
ветственно 900 и 1260 кг/м3. [57% ]
3.38.	Полый шар весит в воздухе 2,60  10“2 Н,
118
в воде 2,17-10“2 Н. Определить плотность матери-
ала, из которого сделан шар, если объем его
внутренней полости равен 1,ЗО-1О”5м3. Выталкива-
ющей силой воздуха пренебречь. Плотность воды
равна 0,10 • 104 кг/м3. [0,88  104 кг/м3]
3.39.	Тонкая палочка длиной 0,5 м, закрепленная
шарнирно на одном конце, опущена свободным
концом в жидкость, плотность которой втрое больше
плотности материала, из которого сделана палочка.
Какова длина той части палочки, которая будет
находиться в жидкости при равновесии палочки?
[0,1 м]
3.40.	К планке, вращающейся
вокруг оси О, проходящей через
ее середину, подвешены два тела
равной массы, погруженные в воду
(рис. 88). Плотность первого тела
в девять раз, а плотность второго
тела в три раза больше плотности
воды. Определить, на каком рас-
стоянии ВО надо подвесить второе
Рис. 88
тело, чтобы система находилась в равновесии, если
ОЛ=0,09м. Плотность воды равна 0,10  104 кг/м 3
[0,12 м]
3.41.	Найти модуль подъемной силы воздушного
шара объемом 20,0 м3, наполненного гелием, если
масса шара с оборудованием и корзиной 12,4 кг,
масса поднимаемого груза 3,6 кг. Плотность воздуха
считать постоянной и равной 1,3 кг/м3, плотность
гелия 0,2 кг/м3 [9,8 Н]
Контрольная работа № ЗА
ЗЛА. Груз весом 0,10- 103 Н
подвешен к кронштейну АВС
(рис. 89), у которого длина
стержня АВ равна 0.15 м, а дли-
на подкоса ВС равна 0,25 м.
Определить модули сил уп-
ругости, возникших в гори-
зонтальном стержне АС и под-
косе ВС.
3.2А. Груз массой 1,0 х
х 102 кг лежит на наклонной
доске, образующей угол 40!
с горизонтом. Какую по
Контрольная работа № ЗБ
3.1 Б. Лампа весом 25 Н под-
вешена на шнуре к стержню
АВ п оттянута наклонной тягой
ВС, составляющей угол 45
с вертикалью (рис. 91). Найти
модули сил упругости, возника-
ющих в стержне и тяге.
3.2Б. По ледяной горке с углом
при . основании 30 движутся
санки массой 2,0 кг. Коэффици-
ент трения между санками
и горкой равен 0,1. С какой
по модулю силой, перпендику-
119
модулю горизонтальную силу
нужно приложить к грузу, что-
бы удержать его в равновесии?
Найти модуль силы реакции
доски. Коэффициент трения
груза о доску равен 0,1.
З.ЗА. Концы балки длиной
0,1  I02 м и массой 0,1  105 кг
лежат на двух опорах. На рас-
стоянии 2,0 м от левого конца
балки нагружена сосредоточен-
ной массой 0,5 Ю4 кг. Опреде-
лить модули сил реакции опор.
3.4А. К гладкой вертикальной
стене на веревке длиной 0,5 м
подвешен шар массой 3,5 кг,
радиус которого равен 0,3 м.
Найти модуль силы давления
шара на стенку.
3.5А. Определить положение
центра тяжести однородного
диска радиуса %8.0 1(1 2 ч,
из которого вырезано круг-
лое отверстие радиуса г = 3,0 х
х 10“2 м. Центр выреза нахо-
дится на расстоянии от центра
диска (рис. 90).
3.6А. В сообщающиеся сосу-
ды налили ртуть, а поверх
лярной к поверхности горки,
надо прижать санки, чтобы они
съезжали с нее равномерно?
З.ЗБ. Передняя колесная пара
трактора давит на почву силой
7,5 кН, а задняя- силой 2,8 кН.
На каком расстоянии от перед-
ней оси находится центр тяжести
трактора, если расстояние между
осями равно 2,2 м?
3.4	Б. Лестница массой 6,0 кг
прислонена к стене и образует
с ней угол 22'. Центр тяжести
лестницы находи гея на рассто-
янии ’/3 длины от ее верхнего
конца. Какую по модулю го-
ризонтальную силу нужно при-
ложить к середине лестницы,
чтобы верхний ее конец не
оказывал давления на стену?
3.5	Б. Найти положение центра
тяжести квадратной однород-
ной пластинки с вырезом, изо-
браженной на рис. 92. если
а=4,2- Ю 2 м.
3.6	Б. В сообщающихся сосудах
одинакового диаметра находит-
ся ртуть. Затем в один из
сосудов поверх ртути наливают
воду до тех пор, пока разность
уровней ртути в обоих сосудах
не стала равной 0,01 м. Найти
высоту столба воды.
3.7	Б. Вес тела в воде впятеро
меньше, чем в воздухе. Какова
плотность вещества тела? Пло-
тность воды равна 1,00 х
х 103 кг/м3. Плотностью воз-
духа пренебречь.
3.8	Б. Плавающий в ртути куб
пстружен в нее на 25% своего
объема. На поверхность ртути
наливают слой воды, полностью
закрывающей куб. Какой про-
цент объема куба будет нахо-
120
нес в один сосуд налили столб
масла высотой 0,48 м, а в
другой -столб керосина высо-
той 0,20 м. Определить раз-
ность уровней ртути в обоих
сосудах.
3.7	А. Кипа хлопка в возду-
хе весит 1,47 103 Н. Оп-
ределить истинный вес хлоп-
ка в кипе, если плотности
хлопка и воздуха равны соот-
ветственно	0,84-103
и 1,30 кг/м3.
3.8	А. Какой минимальный груз
из свинца нужно подвесить
к куску пробки массой 1,0 кг,
чтобы пробка и груз полностью
погрузились в воду? Какова при
этом будет сила натяжения ни-
ти? Плотности свинца и пробки
равны соответственно 1,3 I О4
и 2,0 -102 кг/м3.
3.9	А. При взвешивании медно-
го шара в воздухе и в воде
динамометр показал соответст-
венно 1,78 и 1,42 Н. Сплошной
это шар или полый? Чему
равен объем полости? Пло-
тность воды 0,10• 104 кг/м3,
плотность меди 0,89 I О4 кг/м3.
Выталкивающей силой воздуха
пренебречь.
3.10	А. Однородная палочка ша-
рнирно укреплена за верхний
конец, а ее нижний конец опу-
щен в воду. Палочка находится
в равновесии, когда в воду
погружена половина ее длины.
Найти плотность материала, из
которого сделана палочка. Пло-
тность воды равна 1  103 кг/м3.
Выталкивающей силой воздуха
пренебречь.
литься в воде? Плотности ртути
и воды равны соответственно
1,36 Ю4 и 1,00-103 кг/м3.
3.9Б. Тело массой 0,4 кг всплы-
вает в жидкости, плотность ко-
торой в три раза больше плот-
ности материала, из которого
сделано тело. При какой по
модулю силе сопротивления
жидкости тело при всплытии
будет находиться в положении
равновесия? Движение тела счи-
тать поступательным.
ЗЛОБ. К концам невесомого од-
нородного стержня длиной
0.45 м подвешены два тела,
имеющие одинаковые обьемы
(рис. 93). Плотность первого те-
ла в девять раз, а плотность
второго тела в три раза больше
плотности воды. Па каком рас-
стоянии от левого конца нужно
закрепить стержень, чтобы си-
стема находилась в равновесии?
Плотность воды I • 103 кг/м3.
Рис. 9J
121
РАЗДЕЛ IV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В МЕХАНИКЕ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ,
ФОРМУЛЫ
Для системы взаимодействующих тел мож-
но записать соотношение, аналогичное выражению
(2.3):
к	п
А/=	(4.1)
j	i
к
где — импульс равнодействующей всех внеш-
них сил, действующих на тела системы;
fl
— векторная сумма импульсов всех тел, вхо-
дящих в систему.
Система тел является замкнутой, если £F; = 0;
в такой системе выполняется закон сохранения
импульса:
=	(4.2)
т. е. изменение импульса замкнутой системы равно
нулю.
Из выражения (4.2) следует', что
п
const,	(4.3)
/
т. е. импульс замкнутой системы есть величина
постоянная.
Для двух тел, составляющих замкнутую систему,
выражение (4.3) может быть записано в виде
/HjVi +т2^2	+W2V2>	(4-4)
т. е. векторные суммы импульсов тел до (левая
часть равенства) и после (правая часть равенства)
взаимодействия равны.
Механическая работа, совершаемая телом под
действием постоянной силы, равна
122
A =(Fs) = F5Cosa,	(4.5)
где a — угол между направлениями векторов силы
F и перемещения s.
Механическая работа упругой силы равна
Д = ГсрА/=Л<	(4.6)
где Fcp = (Fj+F2)/2 — модуль средней силы упругости,
к — жесткость, А/—модуль упругой деформации те-
ла .
В общем случае работа является количественной
мерой изменения энергии. В механике различают
два вида энергии — кинетическую (энергия, которой
обладает система чел вследствие их движения) и по-
тенциальную (энергия, обусловленная взаимным рас-
положением тел или частей тела и их взаимодейст-
вием друг с другом).
Кинетическая энергия
K=niv2 /2,	(4.7)
где т — масса материальной точки, движущейся со
скоростью v , (либо твердого тела, движущегося
поступательно с этой же скоростью).
Потенциальная энергия деформированной пружи-
ны
П=к(М)2/2.	(4.8)
Потенциальная энергия тела, поднятого над по-
верхностью Земли на высоту	где R -радиус
Земли,
n=mgH.	(4.9)
Выражение (4.9) справедливо для случая, когда
нулевой потенциальный уровень выбран на поверх-
ности Земли.
Полная механическая энергия системы тел равна
Е=£^ + £/7;.	(4.10)
i	i
Если в замкнутой системе тел механическая
энергия не преобразуется в другие виды энергии,
то полная механическая энергия системы остает-
ся постоянной (закон сохранения механической
123
энергии):
+	= const.	(4.11)
Из уравнения (4.11) следует, что
£,_£1=0, Ег=Е2,	(4.12)
где Ех и Е2 - полные механические энергии изо-
лированной системы тел в произвольные два момента
времени.
Если система тел не является замкнутой, то
£2-£1 = Д,	(4.13)
т. е. изменение механической энергии равно работе
внешних сил.
Мощность, развиваемая постоянной силой F,
£ = -,	(4.14)
t
или с учетом формулы (4.5)
Р — Fl' cos а,	(4.15)
где v — модуль средней скорости движения.
Коэффициент полезного действия (КПД) машины,
механизма или двигателя равен
(4J6)
где Лп, Р„ -соответственно полезные работа и мощ-
ность, Л1ат, Р1ат— соответственно полные (затрачен-
ные) работа и мощное н>.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В этом разделе обычно предлагаются задачи,
решение которых связано:
—	с расчетом работы постоянной или переменной
силы;
—	с расчетом мощности, развиваемой постоянной
силой;
—	с применением законов сохранения импульса
и энергии.
124
Правила решения задач о работе постоянной
силы:
—	установить, работу какой силы требуется опре-
делить и записать исходную формулу (4.5), где
F может быть и отдельной силой, и равнодейст-
вующей нескольких сил;
—	сделать чертеж, указав на нем все силы,
приложенные к телу;
—	установить, чему равен угол а, входящий
в формулу (4.5);
—	если в условии задачи сила не задана, ее
нужно найти в соответствии с правилами, изложен-
ными в разделе II;
—	если неизвестен модуль перемещения, его сле-
дует найти в соответствии с правилами, изложенными
в разделе 1;
—	подставить полученные выражения для
F и 5 в формулу (4.5) и провести вычисления.
Задачи о работе переменной силы решают в соот-
ветствии с формулой (4.6)*. Если в условии задачи
не задана жесткость пружины, то его находят из
формулы (2.12).
Решение задач, связанных с расчетом мощности,
основано на применении формулы (4.14) или (4.15),
причем, приступая к решению таких задач, следует
в первую очередь установить, какую мощность нужно
определить—среднюю или максимальную. В первом
случае оправдано применение любой из названных
формул, во втором следует пользоваться формулой
(4.16), где и — модуль скорости в конце перемещения.
Если она не задана в условии задачи, ее находят
по формулам кинематики. Если по ходу решения
задачи необходимо найти модуль силы (равнодей-
ствующей сил), то это делается так же, как и в за-
дачах на расчет работы постоянной силы. Если
в задаче задан КПД двигателя, рекомендуем сначала
разобрать, какая мощность является полезной, а ка-
кая— затраченной, и использовать формулу (4.16).
Затруднения у абитуриентов вызывают задачи,
в которых требуется произвести расчеты некоторых
* Следует заметить, что этой формулой можно пользоваться
лишь тогда, когда переменная сила пропорциональна перемеще-
нию. В любых других случаях для нахождения механической
работы требуется использование высшей математики.
125
кинематических характеристик (скоростей, перемеще-
ний), но силы, действующие на тела, не заданы.
Такие задачи удобно решать с помощью закона
сохранения импульса. Задачи, требующие применения
этого закона, включают в себя разрыв одного тела
на части или соединение тел в одно, движение
одних тел по поверхности других в изолированной
системе, различные столкновения (упругие и неуп-
ругие), о которых пойдет речь ниже. Решение таких
задач проводится с помощью соотношений (4.2),
(4.3) или (4.4). Всегда следует помнить, что закон
сохранения импульса носит векторный характер, ибо,
если этого не учитывать, результат решения может
оказаться неверным. Поэтому обязательно надо
выполнить следующее:
—	установить, является ли рассматриваемая си-
стема тел замкнутой;
—	сделать чертеж, на котором для каждого тела
системы изобразить векторы импульса в начале
и конце рассматриваемого процесса;
—	выбрать систему координат и записать урав-
нение (4.2), (4.3) или (4.4) в проекциях на выбранные
оси, затем перейти к уравнениям для модулей
импульсов.
Дальнейший ход решения задачи соответствует
правилам, изложенным в п. 2 «Общих методических
указаний».
В тех случаях, когда векторы импульсов направ-
лены вдоль одной прямой, можно выбрать лишь
одну ось и, выбрав ее положительное направление,
находить проекции векторов только на эту ось.
Обратим Ваше внимание на то, что при состав-
лении уравнения закона сохранения импульса ско-
рости тел и их изменения, как правило, рассмат-
риваются относительно неподвижной" системы от-
счета, связанной с Землей. Однако в некоторых
задачах скорости тел задаются друг относительно
друга. В этих случаях, выбрав неподвижную систему
отсчета, следует все скорости выразить именно в ней,
используя соотношения (1.22) и (1.23).
Большая группа конкурсных задач требует для
своего решения использования закона сохранения
энергии. Поскольку этот закон связывает харак-
теристики начального и конечного состояния системы
взаимодействующих тел, он позволяет не рассмат-
126
ривать действующие между телами силы, тем самым
значительно упрощая решение многих задач кине-
матики и динамики.
Среди задач этой группы можно условно выде-
лить четыре типа задач, каждый из которых имеет
свою специфику.
1. Задачи, в которых рассматривается незамкнутая
система взаимодействующих тел, а требуется найти
модуль внешней силы или какую-нибудь кинематичес-
кую характеристику. Задачи этого типа можно ре-
шать в таком порядке:
—	сделать схематический чертеж, установить на-
чальное и конечное состояния рассматриваемого тела
системы;
—	выбрать нулевой уровень потенциальной
энергии (если она меняется); в принципе его
можно выбирать произвольно, но удобнее—по
самому нижнему положению, которое занимает
движущееся тело;
— записать уравнение (4.13);
— с помощью формул (4.5), (4.6), (4.7), (4.8),
(4.9) составить выражения для работы внешних сил
и полной механической энергии тела в конечном
и начальном положениях, подставить эти выражения
в уравнение (4.13) и решить его относительно
искомой величины.
2.	Задачи, в которых рассматривается замкнутая
система взаимодействующих тел, причем задаются
начальное и конечное положения тела (тел) в про-
странстве при неравномерном движении, а нужно
определить его (их) кинематические характеристики.
Порядок решения таких задач ничем не отличается
от предыдущего. Только вместо уравнения (4.13)
следует записывать уравнение (4.12). Если неизвест-
ных окажется больше одного, то к уравнению (4.12)
добавляют формулы кинематики. Решая полученную
систему уравнений, находят искомые величины.
3.	Задачи, в которых рассматривается замкнутая
система взаимодействующих тел, а требуется найти
модуль внутренней силы, действующей со стороны
одного тела системы на другое при заданных
начальном и конечном состояниях системы или
наоборот.
Решение таких задач основано на применении
уравнений (4.12) и (2.2). Схема решения таких задач
127
дана на с. 50—52 пособия. Если система уравнений
(4.12) и (2.2) окажется неполной, то для нахождения
искомых величин следует привлечь необходимые
формулы кинематики.
4.	Задачи, в которых рассматриваются неупругие
и упругие (центральные и нецентральные) столкнове-
ния, решаются на основе законов сохранения энергии
(4.12) и импульса (4.3) или (4.4). Приступая к реше-
нию таких задач, необходимо помнить, чго в случае
неупругого столкновения механическая энергия си-
стемы не сохраняется. Поэтому при отыскании
промежуточных кинематических характеристик тел
системы (например, модулей скоростей) нельзя
пользоваться уравнением (4.12), а следует пользовать-
ся уравнением (4.4). При упругих столкновениях
можно пользоваться уравнением (4.12), но для оты-
скания модулей скоростей после взаимодействия тел
его, оказывается, недостаточно. Система уравнений
окажется полной, если к уравнению (4.12) добавить
уравнение (4.3) или (4.4). Однако при этом следует
иметь в виду одно важное упрощающее предположе-
ние (хотя часто оно и не оговаривается): продолжи-
тельность взаимодействия (удар, взрыв и пр.) счита-
ется бесконечно малой, поэтому можно пренебречь
изменением импульса и энергии системы во время
столкновения. И конечно же нельзя забывать о век-
торном характере уравнений (4.3) и (4.4), ибо при
решении многих задач (особенно если идет речь
о нецентральных упругих взаимодействиях) это мо-
жет привести к неверному результату. В задачах
такого типа принято рассматривать три состояния
системы: первое — до взаимодействия, второе—сразу
же после взаимодействия, третье — конечное состо-
яние (иногда, если условие задачи этого не требует,
третье (конечное) состояние не рассматривают).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Орудие массой 500 кг, находящееся на
горизонтальной ледяной площадке, стреляет под
углом 30 к горизонту. Масса снаряда 20 кг. Какова
скорость орудия после выстрела, если снаряд вылета-
ет из него со скоростью 200 м/с относительно Земли?
Смещением тел за время выстрела пренебречь.
128
М=5,0 102 кг;
т = 20,0 кг;
а = 30°;
и = 2,0 • 102 м/с.
и — ?
Рис. 94
Решение
Если в соответствии с условием задачи пренебречь
смещением орудия за то время, в течение которого
оно сообщает скорость снаряду, то можно с до-
статочной степенью точности считать, что система
Земля — орудие — снаряд является замкнутой, т. е.
внешние силы на нее не действуют. Тогда иско-
мую скорость орудия можно определить из закона
сохранения импульса. В задаче рассматриваются
два состояния системы тел в системе отсчета,
связанной с Землей, которую мы будем считать
неподвижной: до и после выстрела. На рис; 94
изображены импульсы каждого тела после выстрела.
До него импульс каждого тела был равен нулю, так
как тела покоились. После выстрела импульс снаряда
стал равным mv, орудия — Ми, земного шара — Af3v3.
В соответствии с законом сохранения импульса
0 = ту + М и + М 3v3.
Проецируя это уравнение на выбранные координат-
ные оси, получим для оси ОХ
Q = mv cos cl — Ми,	(1)
для оси О Y
0 =/иг sin а — Л/3г3.	(2)
Из уравнения (I) находим
т	/ТА
и = — и cos а.	(3)
м
Уравнение (2) позволяет оценить скорость Земли,
которую она приобретает после выстрела:
т
v. = — v sin а.
Л/,
5-674
129
Так как	то скорость Земли практически
равна нулю. Именно поэтому обычно импульс Земли
не учитывается. Подставляя в выражение (3) задан-
ные числовые значения, получим
w = 6.9 м/с.
Задача 2. Лодка массой 120 кг и длиной 3 м
стоит в спокойной воде. На носу лодки стоит
человек массой 60 кг. На какое расстояние сместится
лодка, если человек перейдет с носа на корму
(рис. 95)? Сопротивление воды не учитывать. Счи-
тать, что при движении лодки вода ею не увлекается.
Принять скорости движения человека и лодки от-
носительно воды постоянными.
1 = 3 м;
М = 120 кг;
т = 60 кг.
Решение
Условие задачи позволяет считать систему тел
лодка — человек замкнутой по любому направлению.
В системе отсчета, связанной со спокойной водой,
вначале и лодка и человек покоились. Следовательно,
векторная сумма их импульсов была равна нулю.
Как только человек пошел вдоль лодки со скоростью
гч относительно нее, лодка стала двигаться ему
навстречу со скоростью пл относительно воды. Тогда
векторная сумма их импульсов станет равной
т(уч~ул) + М\л,
где v4 —v„— скорость человека относительно
воды, т. е.
ш(у'ч-vj +A/v;[ = 0.
Проецируя это уравнение на направление движе-
ния лодки, получим
130
применительно к бурению пород большие механические скоро-
сти соответствуют породам, легче разбуриваемым, что достига-
ется, например, при применении качественных коронок одного и
того же типа. Тогда следует пользоваться критерием (VI.32),
более мощным по сравнению с двусторонним критерием (VI.31)
и уменьшающим вероятность ошибки второго рода (принятие
неверной гипотезы). Вероятность же ошибки первого рода (от-
клонение верной гипотезы) в обоих случаях одинакова и не пре-
вышает уровня значимости р.
Если генеральные дисперсии не равны между собой и нера-
венство (VI.32) не выполняется, следует пользоваться прибли-
женным критерием для проверки нулевой гипотезы. Гипотеза
отвергается, если выполняется неравенство
______!* — УI /	+ ^»_____> t,	(VI ,33)
"1^1-р(«х—0+ t’a#i-p(n2—*)
где v^S^/nt и v2 = S22/n2; /i-P(/ii—1) и t^p(n2— 1)—квантили
распределения Стьюдента для п\—1 и п2—1 степеней свободы
соответственно при использовании одностороннего критерия.
Поскольку совокупность р(р\, .... Рп) полученных по всему
геологическому разрезу величин проходки за оборот является
линейно-упорядоченной, будем образовывать выборки хну сле-
дующим образом: в выборку х, отнесем первый элемент общей
совокупности р, а в выборку у\ — остальные п—1 элементы, за-
тем в выборку х2 — два первых элемента общей совокупности р,
а остальные п—2 элементы — в выборку у2 и т. д.
Для каждого такого разделения вычислим левые части не-
равенств (VI.32) или (VI.33) в зависимости от того, значимо
или незначимо различие между дисперсиями выборок х и у.
Если наибольшая величина из всех п—1 полученных критериев
(например, для разделения хь и уь) превышает единицу, то сле-
дует считать, что между k-м и (й+1)-м элементами общей со-
вокупности проходит более вероятная граница. Аналогичные
разделения (при наличии границы) проводим в каждой из по-
лученных таким методом совокупности, так как неизвестно, од-
нородны они или нет. В итоге будем иметь совокупности, в кото-
рых вычисленные значения левых частей формул не превышают
единицы, т. е. совокупности однородные. Разрез, таким образом,
делится на однородные по буримости пород интервалы.
В результате может оказаться, что некоторые выделенные
границы будут ложными. Поэтому следует проверять каждую
границу, пользуясь теми же формулами. Граница считается
ложной и не учитывается, если левая часть выражения (VI.32)
или (VI.33) меньше единицы.
Приведем пример разделения скважин на интервалы по бу-
римости пород в одной из экспедиций Мингео СССР. Геологи-
141
ческий разрез (в интервале 100—225 м) скважины, которая бу-
рилась комбинированным твердосплавным и алмазным спосо-
бами с использованием станка ЗИФ-ЗООМ, представлен следую-
щими разновидностями пород: алевролиты VII категории по бу-
римости, алевролиты с тонкозернистым песчаником, алевропес-
чаники и песчаники VIII категории, мелкозернистые песчаники
IX категории, которые часто перемежались между собой (мощ-
ность слоев от 0,5 до 3 м).
Усредненная категория, рассчитанная по данному разрезу,
равна 7,6. В связи с частой перемежаемостью пород в разрезе и
трудностью точного учета общей мощности прослоев, пробурен-
ных коронками различных типов в породах VII—VIII катего-
рий, в практике нормирования устанавливают средний норма-
тив времени для бурения алмазными и твердосплавными ко-
ронками при условии примерно равных объемов проходки. В за-
висимости от соотношения пород различных категорий в раз-
резе усредненная категория, а следовательно, и норматив могут
меняться в широких пределах. Между тем фактическая бури-
мость пород колеблется незначительно.
В табл. 18 показан результат статистического разделения
разреза скважины при уровне значимости, равном 10%.
Из табл. 18 видно, что, несмотря на незначительную раз-
ницу в скорости бурения первого и второго интервалов, между
ними проведена граница. Это объясняется тем, что разделение
проводилось по показателям проходки за оборот, которые раз-
личаются при бурении алмазными и твердосплавными корон-
ками в породах невысокой крепости.
С помощью статистического критерия породы можно разде-
лять при различных уровнях значимости: 5; 7,5; 10 %. Чем выше
уровень значимости, тем более детально расчленяется разрез на
интервалы. Для рассмотренных условий наиболее приемлемые
результаты получены при уровне значимости 5%, дальнейшее
его уменьшение не вызывает существенного изменения резуль-
татов разделения, т. е. не повышает достоверности. Более обос-
нованный выбор уровня значимости и рациональной степени
расчленения разреза возможен с помощью методов математиче-
ской статистики с учетом требования технического нормирова-
ния о расчете заработной платы рабочих с заданной точностью.
Один из подходов к обоснованию уровня значимости рас-
смотрен выше. Переход от статистических методов разделения
Таблица 18
Выделенные интервалы, м	Средняя скорость бурения, м/ч	Способ бурения
100,0-148,7	1,72	Алмазный
148,7—198,5	1,87	Твердосплавный
198,5—224	1,32	Алмазный и твердосплавный
142
пород по буримости к классификации
осуществляется с помощью тех же
критериев, которые по содержанию
совпадают с критериями качества
(оптимальности), используемыми
в работах по распознаванию образов.
В терминах статистической классифи-
кации рассмотренные методы разде-
ления пород по буримости являются
параметрическими, так как критерии
построены на допущении, что из-
вестны параметры распределения при-
знаков. Переход к классификации
будет окончательным при анализе
межгрупповых границ.
В соответствии с общими принци-
пами оптимальности классификация
пород по буримости должна содержать
Рис. 16. Схема классифи-
кации пород по буримости
необходимые сведения
для выбора оптимального породоразрушающего инструмента
и режима бурения в конкретных породах и нормативы для раз-
работки норм времени. Для вращательного бурения схема клас-
сификации пород по буримости показана на рис. 16.
Согласно схеме можно сформулировать норматив буримости
пород:
пд
А —> L —» а.\
В зависимости от состава пород А в каждом классе, глу-
бины их залеганий L определяется механическая скорость бу-
рения нб (/г — частота вращения бурильной колонны; б — про-
ходка за оборот) и проходка за рейс h для каждого типа поро-
доразрушающего инструмента а и соответствующей частоты
вращения.
Содержание классификации для одного класса с определен-
ной б в соответствии с данной схемой показано в табл. 19.
В общем случае, т. е. для нескольких классов при значитель-
ном количестве разновидностей пород, классификация должна
содержать большое количество информации о технологии буре-
ния и свойствах пород, залегающих на различной глубине. Оче-
видно, что в процессе накопления информации с учетом техно-
логических исследований необходимо определять для каждого
класса пород наиболее эффективные типы породоразрушающих
инструментов и параметры режима бурения. После этого прово-
дится сжатие информации и классификация становится более
компактной, отражающей оптимальную технологию.
Разработка подобной классификации пород по буримости и
ее корректировка при непрерывном поступлении оперативной
информации, полученной с помощью КИП, связана с созданием
143
Таблица 19
Порода	Глубина залегания L, м	Тип породо- разрушаю- щего инструмента	Частота вращения п, об/мин	Проходка за рейс, м
Песча ни к ал еврити сты й среднезернистый, мелко- зернистый v Переслаивание мелкозер- ни стого	п есчани К4 с алевролитом Песчаник мелкозерни- стый, алевритистый пес- чаник Песчаник среднезерни- стый	16—18 28-50 70—110 180—200 50—70 95—110 23—40	Твердо- сплавные коронки То же Алмазные коронки Шарошеч- ные долота	237 142, 182 102, 237 209 358 182 237	3,0] 3,0 4,5—5,0 6,0
автоматизированного банка данных. Это означает, что класси-
фикация существует в памяти информационной системы и мо-
жет отражаться в ответах на запросы.
Для перехода от группирования однородных пород по бури-
мости к классификации могут применяться и эвристические
алгоритмы автоматической классификации. Рассмотрим, напри-
мер, алгоритм Боннера [12], легко реализуемый на ЭВМ. Алго-
ритм работает следующим образом. Обозначим через R(x, у)
расстояние между точками х и у. В качестве R(x, у) можно ис-
пользовать евклидову меру (корень из суммы квадратов разно-
стей координат точек) или расстояние по Хеммингу (число не-
совпадающих разрядов в кодах сравниваемых точек). Тогда
точки х и у называются близкими, если R(x, у)^Т, где Т — за-
ранее выбранный порог.
Из заданного набора N точек случайно или целенаправленно
выбирается k точек-эталонов и каждая точка х, (j=l, .. ., N)
кодируется двоичным кодом из k двоичных символов, причем i-й
символ соответствует i-му эталону и равен единице, если точка
Xj близка к г-му эталону, и i-й символ равен нулю в противном
случае. Точки, имеющие один и тот же код, относятся к одному
классу. Пусть, например, после разделения разреза скважины
на однородные по буримости интервалы получим следующие
показатели проходки за оборот:
Номер объекта............. 1
Глубина залегания L, м . . О—20
6, мм....................0,327
2	3	4	5	6
20—30	30—40	40—70	70—75	75—80
0,178	0—127	0,189	0,081	0,053
Номер "объекта.............
Глубина залегания L, м . .
S, мм......................
7	8	9
80—85 85—100 100—120
0,177	0,082	0,227
Продолжение
10	И
120-150 150—160
0,125	0,055
144
Для простоты примем в качестве меры расстояния величину
R(x, £/) = |-V—у\. По этой формуле находим расстояние между
точками вещественной оси, которая является простейшим при-
мером метрического пространства. В качестве эталонов возьмем
две точки, соответствующие максимальному и минимальному
значению проходки за оборот, т. е. 0,327 и 0,053. В качестве
порога примем величину 0,200. Тогда точки кодируются следую-
щим образом: 10; 10; 10; 10; 01; 01; 10; 01; 10; 10; 01. Точки
(объекты) 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10 отнесены к 1-му классу, а точки 5,
6, 8, 11 — ко 2-му.
При разработке классификации пород по буримости в тра-
диционной табличной или шкальной форме основное — построе-
ние шкалы классификации и определение величины разрыва
между нормативами смежных категорий. В бурении и горном
деле на протяжении нескольких десятилетий не удается разра-
ботать однозначные рекомендации по структуре шкалы класси-
фикации и определению категорий пород по буримости. Опыт
показывает, что любая классификация горных пород по бури-
мости не может быть точной для всех условий. Одной из при-
чин возникновения ошибок при определении категорий пород по
буримости по действующим классификациям можно считать де-
терминированный характер отнесения случайной величины пока-
зателя буримости к соответствующему классу (категории) по-
род. При этом не учитывается вероятность встречи в конкрет-
ных условиях пород различных категорий.
Применение единой шкалы классификации пород по бури-
мости, не отражающей всех условий, допускает возможность
установить для какой-То породы категорию, которая фактиче-
ски не присутствует в данном геологическом разрезе. Например,
в разрезе присутствуют породы VII и X категорий. При опреде-
лении категории породы по буримости по малой выборке можно
получить показатель буримости, соответствующий в шкале
классификации VI, VIII, IX и XI категориям, хотя фактически
в разрезе их нет, а показатель буримости получен вследствие
случайного разброса показателей.
В классификации пород по буримости, построенной на ос-
нове статистических алгоритмов, разрыв между классами за-
висит от принятого уровня значимости, фактического распре-
деления вероятностей показателя буримости и содержания
различных пород в разрезе, показатели буримости которых
используются при составлении классификации. Статистические
алгоритмы и ЭВМ дают возможность разработать подробную
классификацию пород по буримости для каждого района или
месторождения. В региональном ИВЦ классификации для от-
дельных месторождений могут объединяться с уточнением тех-
нологии бурения пород различных классов.
Для решения задач технологии бурения и нормирования
труда из банка данных может выдаваться классификация пород
по буримости, характерная для района, откуда поступил запрос.
145
Таким образом, разработка автоматизированной системы клас-
сификации пород по буримости и механическим свойствам ис-
ключает необходимость разработки классификаций пород по бу-
римости в традиционной форме со всеми сопутствующими ей
неразрешимыми, по-видимому, вопросами.
Примеры статистических правил распознавания
Правила распознавания случайных объектов могут быть ос-
нованы на теории статистических решений, имеющей хорошо
разработанный математический аппарат. В задачах распознава-
ния часто применяется байесовский метод, основанный на изве-
стной теореме Байеса из теории вероятностей. Рассмотрим его
на некоторых условных примерах, показывающих принципы по-
строения решающих правил.
При бурении с продувкой воздухом в районах залегания
мерзлых пород в летнее время в некоторых скважинах возни-
кают осложнения, выражающиеся в водопроявлении и, как след-
ствие, в образовании сальников, обвалов, прихвата бурового
снаряда. Причины водопроявлений могут быть технологические
(недостаточное охлаждение воздуха, плохая изоляция оттаяв-
шего горизонта) и гидрогеологические (наличие минерализо-
ванной воды) В зависимости от интенсивности водопроявлений
и глубины их возникновения скважину можно добурить в усло-
виях осложнения или необходимо применять дополнительные
меры (ограничение растепления стенок скважины, изоляция их
обсадными трубами и т. д.).
Замечено, что если количество пульпы, образующейся при
смешивании воды со шламом, за время одного рейса не превы-
шает объема шламовой трубы, то скважину удается добурить
с определенной вероятностью. Требуется оценить вероятность
успешного добуривания скважины, если наблюдается незначи-
тельная интенсивность водопроявления (меньше объема шламо-
вой трубы).
Имеем два несовместимых класса событий, которые могут
быть во всех скважинах, где возникают водопроявления: At—
скважину не удается добурить в условиях осложнений (необхо-
димы дополнительные меры); А? — скважину удается добурить
в условиях осложнений. По данным статистических материалов
можно оценить вероятности этих событий как: P(At) =п,/т и
P(AZ) =п2/т, где nt и и2— число скважин, которое соответ-
ственно не удалось и удалось добурить; т — общее число сква-
жин, в которых наблюдались осложнения.
Так как рассматриваемая группа событий полная, то
N
£ Р (Л<) = Р (Л,) + Р (Л2) = 1	(VI.34)
1=1
(N — количество событий).
146
С одним из событий {41, Аг} может произойти с различной
вероятностью случайное событие Bi, заключающееся в том, что
количество шлама не превышает объема шламовой трубы.
Реализацией события Bi можно считать подъем неполной
шламовой трубы, более точно В{ проверяется при наличии в ко-
лонне двух шламовых труб. Поскольку события (В|, А,) и (Bi,
А2) попарно несовместимы, то к событию Bi можно применить
правило сложения вероятностей, что дает P(Bi) = P(Bi, Ai) +
+ Р (В{, Аг) •
Применяя к каждому из слагаемых правило умножения ве-
роятностей, приходим к формуле полной вероятности
Р (BJ = Р (ЛП Р (Bi/Ai) | Р (Д2) Р (Bi/A2).	(VI.35)
Условная вероятность P(Bi/Ai) оценивается как отношение
числа скважин п’{, в которых во всех рейсах наблюдалось со-
бытие Bi, к числу скважин nit которые не удалось добурить
в условиях осложнений. Вероятность P(Bi/A2) оценивается как
отношение числа скважин «г, в которых во всех рейсах наблю-
далось событие Bi, к числу скважин п2, которые удалось добу-
рить.
Построим байесовскую модель распознавания возможности
добуривания скважины в условиях осложнения или с помощью
дополнительных мер при наличии признака Bi.
В соответствии с формулой Байеса вероятность гипотезы
о принадлежности данной скважины, характеризуемой измерен-
ным признаком Bi, к классу (группе событий) Ai или Аг опре-
деляется по формулам:
Р (Ai/Bi) =________________________________
Р (А^ Р (В^А^ + Р (А2) Р (Bi/A2)
Р (А2/В1) =________________________________
P(Ai)P(Bi/Ai)-[-P(A2)P(BilA2)
(VI. 36)
(VI.37)
В знаменателе обеих формул стоит выражение полной ве-
роятности события Bi, определяемой формулой (VI.35). Вероят-
ности P(Ai/Bi) и P(A2/Bi) являются апостериорными вероятно-
стями событий Ai и А2 при условии, что произошло событие Bi.
Пусть для каких-то условий получены следующие данные:
Р(А,)=0,8; Р (А2) =0,2; Р (Bi/Ai) =0,1; P(Bi/A2) =0,9. При бу-
рении данной скважины наблюдается событие Bi. Требуется пе-
реоценить вероятности P(AJ и Р(А2).
По формулам (VI.36) и (VI.37) находим вероятности:
Р (А^ВА =------о,3;
0,8-0,1 + 0,2 0,9
0,2 0,9
Р (AJBi) =
О,80,1 + 0,20,9
Так как P(A2/Bt) >Р(А1/В1) принимается решение о принад-
лежности данной скважины к классу А2.
0,7.
147
Рис. 17. Графики функции плотности распределения показателей проходки
за оборот для трех классов 6], 62, 63
В качестве признака распознавания в рассмотренном при-
мере можно было взять другое событие, например событие В2,
заключающееся в том, что объем накапливаемого за рейс шлама
больше объема шламовой трубы. В данном случае это событие
является противоположным событию Bi, т. е. вероятность собы-
тия /’(В2) = 1—P(Bi). Вообще необходимо выбирать наиболее
информативные признаки, пользуясь соответствующими мето-
дами.
Если распознаваемый объект или технологическая ситуация
могут быть отнесены к нескольким классам (At, А2, .... Ат),
по формуле (VI.36) определяются апостериорные вероятности
принадлежности объекта ко всем классам, и решение принима-
ется в пользу большей вероятности. Поскольку знаменатель
входит во все формулы без изменения, его можно не записывать
и байесовское решающее правило будет следующее. Объект х
относится к классу А,, т. е. хеЛ,-, если для него выполняется
условие
Р (X/Ai) Р (At) 5; Р (X/Aj) Р (Л/),
для каждого j =-Гт.	(VI.38)
Рассмотрим действие этого решающего правила на примере
отнесения породы к классам по буримости. Пусть при реализа-
ции алгоритмов классификации пород по буримости на каком-то
месторождении по результатам бурения нескольких опорно-тех-
нологических скважин выделены три класса пород по значению
проходки за оборот (рис. 17). Функции плотности распределе-
ния аппроксимированы нормальным законом с параметрами
распределения: математическое ожидание Л16, и дисперсия о?
(X — Mhj)-
f(6i)= -------е	.	(VI.39)
V2л со-
отношения объемов бурения по породам с показателями
61, 62, 6з к общему объему бурения V, по которому составлена
148
классификация, соответственно будут: V6i/V, V62/V, V63/V. Они
являются оценками вероятностей P(6i), Д(62), /’(бз) встречи
этих пород в других скважинах на участке проведения буровых
работ. Пусть требуется определить, к какому классу относится
порода, показатель буримости которой равен х (рис. 17). В со-
ответствии с решающим правилом (VI.38) необходимо для по-
казателя буримости х определить вероятности его принадлеж-
ности к одному из классов, т. е. P(x/6i), Р(х/62), Р(х/б3)- Ве-
роятности вычисляются по формуле (VI.39). После этого
с учетом вероятностей встречи классов в данном разрезе опре-
деляется по решающему правилу (VI.38) принадлежность х
к одному из классов.
Если, например, оказалось, что Р (x/6i) =0,5, Р (х/б2) =0,3,
Р(х/б3) =0,001; a P(6i) =0,1; Р(62)=0,7 и P(6i)=0,2, то х<=б2,
так как P(x/f>2)P(^2) >P(x/di)P(6i) >Р(х/бз)Р(бз).
В задаче определения буримости пород пересечение распре-
делений бывает обычно не более чем для двух классов, что уп-
рощает расчеты. Очевидно, можно установить граничное значе-
ние признака бо. При всех х<бо принимаем решение в пользу
класса 61, при всех х>бо — в пользу класса б2. При этом воз-
можны две ошибки, вероятности которых описываются выраже-
ниями:
Pi (-0 = f fi (6) М-,
К
в„
Рг(е) = J	(VI.40)
—00
где fi(6) и /2(б) —плотности априорных распределений вероят-
ностей показателей буримости первого и второго классов соот-
ветственно.
Изменением порогового значения бо можно уменьшить одну
из указанных ошибок, но только за счет увеличения другой.
Если обе ошибки Pi(e) и Р2(е) имеют равную значимость, то
оптимальным критерием будет такой, который минимизирует
вероятность суммарной ошибки:
Р («) = Р (61) Pi (е) + Р[(б2) Р2 (е).
Данный критерий требует выбора такого значения бо, при
котором выполняется равенство
Р (МК (бо) = Р (б2) f2 (бо).
Отсюда следует, что пороговое значение можно определить
отношением 7.o = P(62)/P(6i), называемым отношением правдо-
подобия. Текущее значение отношения правдоподобия опреде-
ляется как
^ = /(х/б1)//(х/б2).
149
Тогда при Х<ко принимается решение, что xefii, а при
А,>Хо—хеба. Выбор порогового значения по критерию (Р1), как
было отмечено, сделан при условии равных цен ошибок.
Если цены ошибок задать в виде матрицы, каждый элемент
которой характеризует потери, связанные с отнесением объекта
к данному классу, в то время как он принадлежит к другому, то
равные цены ошибок означают, что во всех диагональных эле-
ментах матрицы стоят нули, а в остальных — одинаковые цены
ошибок. Такая функция потерь называется симметричной и обо-
значается
С (At/Ak) = 1 -	=
О J[npH i = k
if,
Ij^npn i=/=k
где 8ik — символ Кронекера.
Симметричная функция потерь допустима при определении
буримости пород с целью нормирования и оплаты труда, так как
переплата и недоплата рабочим считаются одинаково нежела-
тельными. Однако при определении буримости пород и разра-
ботке технологии бурения (выбор породоразрушающего инстру-
мента, режима бурения и др.) ошибка в отнесении пород к раз-
личным классам имеет неодинаковую цену. Решающее правило
в этом случае минимизирует условный средний риск, определяе-
мый по формуле
Цх, ЛА) = £ C(Ai/Ak)P(x/Ai)P(Ai).	(VI.41)
‘=1
Представленная таким образом функция потерь интерпрети-
руется как потери, связанные с наблюдением некоторого объ-
екта х и отнесением его к разным классам с различными ве-
сами. Решающее правило следующее:
x£Ak, если L (х, Ak)<L[(xlt А/),
для V/=l, т (i^=k).	(VI.42)
Если в решающих правилах (VI.38), (VI.42) окажутся ра-
венства, решение может приниматься произвольно для данных
классов, Решающее правило, минимизирующее средний риск,
было применено для распознавания осложнений и аварий при
бурении скважин.
На основе изменения расхода промывочной жидкости, дав-
ления на выходе насосов, нагрузки на крюке, скорости бурения
распознавались моменты засорения промывочных отверстий
в долоте, обвала в скважине, слома бурильной колонны и дру-
гие аварийные ситуации.
При использовании критерия минимального среднего риска
пороговое значение отношения правдоподобия определяется по
формуле
Р (A i) (41-/ц)
Р М2) (4г 4г)
(VI. 43)
150
где разности в числителе и знаменателе представляют собой от-
носительные цены ошибок определения класса, к которому от-
носится X.
Если принять, что потери при правильном распознавании от-
сутствуют, т. е. /п = l\i = 0, то величина порога
Р(Л1)/21	(VI44)
Р (Л.) G,
При неизвестных априорных вероятностях встречи классов
Р(Д1), /’(Лг) решение может быть принято по отношению
между Р(х/Л1) и Р(х/А2). При этом полагается Хо=1 и равно-
вероятность встречи классов, т. е. Р(Л1)=Р(Л2). Этот критерий
называется критерием максимального правдоподобия.
Следует отметить, что реализация различных решающих
правил с учетом целей классификации приведет к различному
разделению классов горных пород по буримости. Кроме того,
разные задачи технологии бурения отличаются и функциями
потерь, что, по-видимому, также повлияет на разделение клас-
сов и результаты распознавания. Это подтверждает принципи-
альную невозможность разработки универсальной классифика-
ции горных пород по буримости или другим показателям тех-
нологического процесса, хотя не исключает объединения клас-
сов при условии их близости по значениям признаков.
Рассмотренные критерии предполагают, что совершается
вполне определенное число измерений признаков. Если имеется
возможность увеличить число измерений в процессе распознава-
ния, наиболее эффективные результаты распознавания обеспе-
чивает критерий, основанный на теории последовательного
анализа Вальда. Последовательный критерий распознавания
позволяет установить допустимые значения двух порогов, с по-
мощью которых все возможные значения признаков разбива-
ются на три множества:
# "gC #q,	#01 < X ^02 ’	% #02*
При выполнении первого неравенства объект относится
к первому классу; при выполнении третьего — ко второму
классу; при выполнении второго неравенства решение не прини-
мается и продолжаются измерения объекта. Пороги определя-
ются по формулам
х01 = (1 - а)/₽; Хог = а/(1 - 0),	(VI.45)
где а, р — вероятности ошибок первого и второго рода.
Вероятность ошибок первого рода показывает вероятность
отклонения испытуемой гипотезы, когда она верна, а вероят-
ность ошибок второго рода — вероятность принятия испытуемой
гипотезы, когда верна альтернативная.
Опишем применение метода последовательного анализа для
распознавания прихватов колонны бурильных труб при бурении
скважин на нефть и газ [35]. Известные виды прихватов объеди-
15J
йены по физической однородности вероятных причин и обстоя-
тельств их возникновения в три категорий:
I	— прихват под действием перепада давления;
II	— заклинивание колонны труб при движении ее в стволе
скважины;
III	— прихват вследствие сужения сечения ствола скважины
при оседании шлама, утяжелителя, обвалах и течении пород,
сальникообразовании и т. д.
С помощью метода экспертных оценок выделены следующие
факторы (признаки распознавания), являющиеся информатив-
ными с точки зрения возникновения прихватов: местонахожде-
ние долота в момент прихвата, тип породы в зоне прихвата,
пластовое давление, перепад давления и температура в зоне
прихвата, плотность бурового раствора, вязкость по СПВ-5,
статическое напряжение сдвига (СНСщо), водоотдача по ВМ-6,
длина УБТ в компоновке низа бурильной колонны, зазор между
УБТ и стенкой скважины, искривление ствола скважины в зоне
прихвата, содержание смазочной добавки, реагентов-понизите-
лей вязкости, реагентов — понизителей водоотдачи, ингибирую-
щих добавок в буровом растворе.
Перечисленные признаки образуют вектор, состоящий из 18
компонент, каждая из которых разбивается на градации (ин-
тервалы) изменения. Для различных интервалов изменения
признаков (компонент вектора) определены оценки вероятно-
стей их при различных категориях прихватов. При этом важно
правильно выбрать число интервалов изменений признаков,
обычно оно принимается равным 8—12.
Решение о виде прихвата по вектору состояния принимается
по отношению правдоподобия для всех компонент вектора
ПР
*о2 < Д- — <х01.	(VI.46)
ПрШ
Ч	'
Для удобства вычислений решающее правило представляют
в виде
*02 = 1g < £ ДК (%') <х011g 1—Д ,	(VI.47)
1 — Р /Si	Р
где ДК (х) —диагностические коэффициенты, равные сумме
логарифмов отношений правдоподобия для всех компонент век-
тора состояний и градаций их применения.
Диагностические коэффициенты находят из специальных таб-
лиц, построенных на основе представительного статистического
материала, для распознаваемых видов прихвата по характери-
зуемым регионам. В таблице для каждого вида прихвата ука-
заны значения ДК для различных градаций изменения при-
знаков.
152
Может оказаться, что после суммирования диагностических
коэффициентов для всех компонент не будет преодолен ни один
из порогов. В этом случае на основе имеющейся информации
нельзя сделать определенный вывод о принадлежности объекта
к той или иной категории прихвата.
Диагностирование возможности возникновения прихвата лю-
бой категории в процессе бурения скважины практически не от-
личается от методики определения категории уже возникшего
прихвата. В ходе бурения скважины фиксируют все включенные
в диагностическую таблицу факторы. Применяя принцип после-
довательного диагностирования, суммируют диагностические
коэффициенты в порядке убывания их информативности. При
достижении порога делают вывод о возможности прихвата той
или иной категории. После этого приступают к выбору меро-
приятий, проведение которых позволит предотвратить прихват.
Распознавание технологических операций
при диспетчерском телеконтроле
В системах диспетчерского телеконтроля и управления буро-
выми работами в последнее время стали применять устройства
распознавания вида технологических операций при бурении
скважин. Эти устройства служат основной частью информаци-
онно-измерительной системы (ИИС) диспетчерского управле-
ния. С помощью этой системы одновременно измеряют большое
число параметров, характеризующих состояние объекта, мате-
матически и логически обрабатывают их с целью сокращения
избыточности и представления результатов в виде, пригодном
для ЭВМ и для записи на машинных носителях информации.
Устройство распознавания операций технологического про-
цесса позволяет автоматически формировать баланс рабочего
времени при бурении скважины. Определение вида операции
заключается в отыскании объективных признаков, позволяю-
щих однозначно распознавать операции или их группы: бурение,
промывка ствола скважины, проработка ствола, подъем, спуск,
наращивание бурильной колонны и простой [50].
Алгоритмы распознавания вида технологических операций
используют математический аппарат алгебры логики, которая
применяется для описания системы событий или системы вы-
сказываний. В ней рассматриваются функции (булевы, пере-
ключательные функции), областью определения и изменения ко-
торых является множество, состоящее из двух чисел: 0			Табл	и ц а 20
и 1. Эти числа интерпрети- руются следующим образом:	х	ft (х)	W	ft (х)	ft <Х)
сказывание истинное; 0—	о событие не произошло, вы-	i сказывание ложное. Таким	0 0	0 1	1 0	1 1
153
л	g	Рис. 18. Схема реализации логиче-
х, х2	Хг	ской функции:
y-xfAx2 y=xfVx2
образом, каждая логиче-
ская переменная (ар-
гумент) и функция мо-
гут принимать только два
значения 0 и 1, а п пере-
менных могут принимать
2” наборов. От одной пе-
ременной х можно полу-
чить четыре функции gt
(х), принимающие раз-
ные значения при х = 0 и
х= 1 (табл. 20).
От двух переменных, принимающих четыре состояния, можно
получить 16 булевых функций, многие из которых имеют спе-
циальные названия (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эк-
вивалент, отрицание и др.).
Конъюнкция соответствует в высказывании союзу «и», назы-
вается иногда логическим умножением (обозначается Д). Си-
стема, реализующая логическую функцию конъюнкции, обеспе-
чивает появление на ее выходе правильной реакции только при
наличии импульсов на всех ее входах (рис. 18, а).
Система, реализующая логическую функцию дизъюнкции
(соответствует союзу «или» и обозначается V)> обеспечивает
появление на ее выходе правильной реакции при наличии хотя
бы одного положительного импульса на ее входах (рис. 18,6).
Функция отрицания (инверсия) означает, что появление по-
ложительного импульса на входе приводит к отрицательной ре-
акции на выходе, обозначается Дх, х, читается не х.
В автоматических устройствах функции алгебры логики реа-
лизуются с помощью электрических реле и бесконтактных пере-
ключающих элементов, называемых дискретными элементами.
Бесконтактные схемы выполняются с помощью полупроводни-
ковых приборов или магнитных элементов, они не имеют движу-
щихся, трущихся или искрящихся узлов и контактов, поэтому
более надежны в работе.
Для распознавания вида операций бурения по комплексу
сигналов, характеризующих технологические параметры, каж-
дую операцию выражают в виде предиката. Предикат — это та-
кое выражение из булевых функций, которое после подстановки
в него вместо переменных их значений становится высказыва-
нием, т. е. некоторым предложением, являющимся истинным
154
Таблица 21
Признаки распознавания	Логические переменные	Операции		
		Бурение	Промывка	Подъем инст- румента
Вес на крюке	Х1	+	—	+
Давление промывочной	* жидкости		+	+	—
Отсутствие давления	х3	—	—	—
Забой	xt	+	—	—
Отсутствие забоя		—	+	—
Простой лебедки 1 мин	*в	—	+	—
Отсутствие простоя		—	—	+
Простой лебедки 5 мин	ХЯ	—	—	—
Отсутствие простоя	х9	—	—	+
или ложным. В табл. 21 показаны виды операций процесса бу-
рения и соответствующие им состояния параметров процесса
(наличие сигнала « + », отсутствие «—»). Перечень признаков
и состояний здесь упрощен по сравнению с реальным устрой-
ством. Конъюнкции признаков, отмеченных в каждом столбце
знаком « + », позволяют однозначно определить соответствую-
щую операцию.
Предикаты для операций будут следующие: бурение —
xiA*2A*4’> промывка —	подъем инструмента—XiA
A*?A*9- Эти предикаты можно объединить в одну формулу на
основе теоремы о совершенной дизъюнктивной нормальной
форме, в которой наборы конъюнкций соединены знаками
дизъюнкции. После минимизации в соответствии с теоремами
алгебры логики формула может служить для определения вида
операций и реализуется в автоматическом устройстве.
ГЛАВА VII
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И СИСТЕМЫ
В БУРЕНИИ
Особенности работы оператора в сложных системах
Человек в системе управления осуществляет функции регу-
лирования управляемого объекта и одновременно функции са-
морегулирования собственной деятельности с учетом изменяю-
щейся обстановки. Успешное выполнение функций регулирова-
ния зависит от особенностей протекания технических процессов
и эффективности саморегулирования, т. е. поддержания необ-
ходимых показателей собственной деятельности. Поэтому раз-
витие современной техники в системах управления происходит
с учетом психофизиологических возможностей человека-опера-
тора.
Учет возможностей человека, а также машины, т. е. их пре-
имуществ и недостатков — один из принципов рационального
распределения функций управления в сложных динамических
системах, изучением которых занимается кибернетика. Инфор-
мационное взаимодействие человека с техническими устрой-
ствами на основе выявления технических закономерностей дея-
тельности человека в сложных системах является областью изу-
чения инженерной психологии [22].
Сложная человеко-машинная система характеризуется двумя
основными признаками, отличающими ее от несложной: опера-
тор контролирует состояние управляемого объекта и воздей-
ствует на него через дистанционные передачи, что обусловли-
вает неопределенность взаимодействия с объектом; у оператора
нет заранее заданной жесткой программы действий вследствие
невозможности предвидения всех задач управления и однознач-
ных способов их решения.
Очевидно, что процесс управления бурением скважины в со-
ответствии с указанными признаками относится к сложным си-
стемам. Действительно, у бурильщика нет непосредственного
сенсорного (через органы чувств) восприятия объекта управле-
ния (породоразрушающего инструмента и колонны бурильных
труб) и оценки его состояния, а также предмета труда (забой,
стенки скважины). Бурильщик судит о состоянии управляемого
объекта, основываясь на ограниченных данных, получаемых по
дистанционной передаче, или по косвенным признакам, не все-
гда поддающимся формализации. Возможности его воздействия
на объект ограничены выведенными органами дистанционного
управления и случайными помехами, затрудняющими передачу
управляющих воздействий.
156
Бурильщику часто невозможно или нецелесообразно зада-
вать жесткую программу, даже по режимам бурения, не говоря
уже о действиях при возникновении отклонений от ожидаемого
состояния скважины. Программный метод управления в буре-
нии, даже при изученном геологическом разрезе, отличается
большей неопределенностью, чем например, в металлообра-
ботке, строительстве и других отраслях народного хозяйства.
Для бурения характерны резкие изменения условий труда — от
расслабляющей монотонности до ситуаций, требующих экстрен-
ных решительных действий для спасения дорогостоящего обору-
дования, а иногда и людей. Это признак сложных систем.
При анализе структуры систем человек — машина оператор
рассматривается как компонент системы управления (с учетом
его психофизиологических особенностей и возможностей) и ис-
следуется теми же статистическими методами, которые исполь-
зуются для оценки технических устройств. Статистические пока-
затели человека-оператора аппроксимируют функциональными
связями в виде графиков и алгоритмов.
В сложной системе управления оператор, как было отмечено,
лишен возможности непосредственно наблюдать управляемый
объект и вынужден судить о нем по информации, поступающей
через дистанционную передачу. Подобная деятельность чело-
века-оператора называется деятельностью с информационной
моделью реального объекта.
Информационной моделью называется организованное в со-
ответствии с определенными правилами отображение управляе-
мого объекта, его системы управления, внешней среды и спосо-
бов воздействия на них [22]. Материально информационная
модель реализуется посредством различных индикаторных при-
боров, сигнализаторов, табло и других средств отображения
информации. На информационной модели оператор мысленно
перебирает различные варианты действий и принимает реше-
ние, реализацию которого тоже контролирует по информацион-
ной модели.
В настоящее время в практике буровых работ построение
информационной модели бурильщиком осуществляется по ком-
плексу незначительного числа прямых и в основном косвенных
качественных и количественных признаков, характеризующих
работу породоразрушающего инструмента, бурильной колонны
и бурового оборудования. Используемая контрольно-измеритель-
ная аппаратура не всегда позволяет однозначно оценивать ко-
личественные характеристики параметров режима бурения и
аварийных ситуаций, возникающих в скважине. Поэтому инфор-
мационная модель, получаемая с приборов, дополняется сигна-
лами другой физической природы (звук работы двигателя, на-
соса, вид промывочной жидкости на выходе из скважины, ха-
рактер движения бурильной колонны и др.).
Чтобы по дополнительным признакам судить о состоянии
объекта, бурильщик должен иметь достаточный опыт для рас-
157
кодирования такой информации. При этом очень важно устано-
вить соответствие между дополнительной и основной получае-
мой от приборов информацией. Чтобы по информационной мо>
дели оценить сложившуюся в системе управления ситуацию,
необходимо связать разрозненные сигналы в единую систему.
Для этого оператор должен располагать знаниями о законо-
мерностях, связывающих параметры управляемого объекта,
о динамике этих связей и их проявлениях в параметрах инфор-
мационной модели.
Совокупность представлений человека-оператора о состоянии
управляемого объекта, системы и внешней среды, возникшая на
основе информационной модели, ранее накопленных знаний и
опыта и сложившаяся применительно к разрешаемой задаче,
называется концептуальной моделью. Очевидно, что одна и та
же информационная модель порождает в сознании человека-
оператора разные концептуальные модели.
Чтобы эффективно регулировать процесс бурения скважины,
необходимо целенаправленно управлять созданием концепту-
альных моделей у бурильщиков. Для этого служит прежде всег'
геолого-технический наряд или проектная экономико-технологи-
ческая карта, в которой в соответствующих разделах указыва-
ются возможные осложнения при бурении различных пород,
признаки этих осложнений и мероприятия по их устранению.
Для правильного построения концептуальной модели по пока-
заниям контрольно-измерительной аппаратуры необходимы
специальные исследования по установлению связи между зна-
чениями сигналов или формой их записи на диаграммах и со-
стоянием инструмента в различных геолого-технических усло-
виях и разработка соответствующих инструктивных указаний
для бурильщиков.
В последнее время этим вопросам уделяется большое внима-
ние, так как помимо повышения эффективности регулирования
процесса бурения накопление и систематизация информацион-
ных моделей является необходимым условием разработки мето-
дов и средств автоматической диагностики технологических си-
туаций в процессе бурения.
Правильное истолкование информационных моделей и систе-
матизация их позволяют улучшить процесс обучения буриль-
щиков, использовать современные методы и технические сред-
ства обучения (тренажеры и др.). Пример систематизации ин-
формационных моделей и использования их для повышения
объективности концептуальных моделей — методические реко-
мендации по контролю и регулированию процесса алмазного бу-
рения по диаграммам затрат мощности.
В результате исследований, проведенных в ВИТРе, ИСМ АН
УССР и в производственных организациях, установлено, что ин-
формацию о затратах мощности на бурение можно использо-
вать для непрерывного контроля работы алмазной коронки. Не-
обходимыми предпосылками этого явились: 1) достоверное опи-
158
сание некоторых забойных процессов на основании данных,
полученных при аналитических, стендовых и производственных
исследованиях системы алмазная коронка — порода; 2) уста-
новление связи между некоторыми изменениями в процессе
бурения скважины и характерными формами записи затрат
мощности.
Оказалось, что диаграммы затрат мощности содержат значи-
тельно больший объем информации о бурении, чем тот, который
воспринимался бурильщиком раньше. Таким образом, с по-
мощью самопишущего ваттметра Н-348 была установлена устой-
чивая обратная связь между оператором-бурильщиком и неко-
торыми процессами в скважине. Это способствовало повышению
качества регулирования алмазного бурения и стимулированию
разработки более совершенных приемов и технических средств
для поиска и поддержания оптимального режима работы буро-
вой установки.
Восприятие и преобразование информации
Для применения статистической теории информации к ана-
лизу и оценке психических процессов человека имеются препят-
ствующие и благоприятствующие факторы. Препятствующие
факторы касаются в основном общих психических процессов не-
посредственного восприятия объектов, которое по природе
своей целостно, избирательно и осмысленно. Поэтому нельзя
оценивать информацию об объекте как сумму информаций об
его отдельных свойствах, т. е. в соответствии с теорией инфор-
мации. Благоприятствующие факторы касаются инженерной
психологии, изучающей деятельность оператора, который полу-
чает информацию о состоянии управляемого объекта не столь
определенно и целостно, как это бывает при непосредственном
восприятии объекта.
Информация об объекте поступает в виде сравнительно са-
мостоятельных сообщений об отдельных свойствах объекта.
Так, бурильщик получает данные о работе породоразрушаю-
щего инструмента в виде сигналов о нагрузке, крутящем мо-
менте, затратах мощности, механической скорости бурения
и т. д. И здесь представляет интерес процесс восприятия опера-
тором каждого отдельного сообщения и для количественной
оценки восприятия оказываются пригодными методы теории ин-
формации.
Приложение аппарата теории информации для анализа пси-
хических процессов возможно при выделении единиц психиче-
ской деятельности, которыми оперирует человек при решении
той или иной задачи, связи между этими единицами и т. д. При
анализе информационной деятельности оператора выделяют
восприятие и преобразование информации. В процессе восприя-
тия можно выделить три основных этапа: обнаружение, иден-
тификацию, интерпретацию. Процесс обнаружения информации
159
имеет значительный удельный вес в информационной деятель-
ности бурильщика.
В зависимости от цели бурения скважины или вида выпол-
няемой при этом работы обнаружение информации может быть
основной целью деятельности бурильщика или проявляться
в специальных операциях. При бурении разведочной скважины,
например, на нефть и газ основное внимание бурильщика на-
правлено на обязательное обнаружение сигнала о наличии по-
лезного ископаемого в проходимых породах. В этом случае об-
наружение информации в виде сигналов о проявлении полез-
ного ископаемого — основная цель бурильщика.
При поиске рациональной нагрузки на алмазную коронку
бурильщик обычно увеличивает нагрузку до величины, при ко-
торой снижается темп прироста скорости бурения, т. е. обнару-
жение этой информации является специальной самостоятель-
ной операцией. Обнаружение сигнала в условиях действия по-
мех будет зависеть от принятой стратегии деятельности, т. е.
от того, что для бурильщика важнее: не пропустить полезный
сигнал или не допустить ложного обнаружения. Например, для
достижения максимума рейсовой скорости при малой глубине
скважины главное — не пропустить полезный сигнал о сниже-
нии механической скорости бурения ниже установленного пре-
дела, т. е. не передержать инструмент на забое; а в глубокой
скважине главное — не допустить обнаружения ложного сиг-
нала о снижении механической скорости бурения, т. е. не до-
пустить преждевременного подъема инструмента.
Формирование правильной стратегии у бурильщика так же,
как и повышение объективности концептуальных моделей,
должно быть обусловлено достижением конечной цели бурения
скважин? При этом важную роль, конечно, играют вопросы оп-
латы и стимулирования труда.
Процесс идентификации информации рассматривается как
акт отождествления обнаруженных сигналов с некоторыми об-
разами их в памяти. В процессе управляющей деятельности
оператор усваивает типичные связи между показателями при-
боров и отдельными состояниями объектов. С накоплением
опыта эти связи формируются в некие целостные образования,
позволяющие оператору одномоментно воспринимать объекты
по отдельным комплексам сигналов. Например, процесс зашла-
мования колонковой, трубы шламом, препятствующим прохож-
дению промывочной жидкости, распознается по сочетанию ком-
плекса сигналов: повышению давления на манометре, прекра-
щению циркуляции жидкости, повышению затрат мощности на
бурение, затрудненной работе насоса, сопровождающейся рез-
ким металлическим стуком в цилиндрах, «набуханию» нагне-
тательного шланга и др.
Опытному бурильщику достаточно заметить любой из этих
признаков, чтобы быстро оценить создавшуюся ситуацию. Од-
нако одномоментно идентифицировать возникшую задачу по
160
любому признаку не всегда удается, поэтому после обнаруже-
ния отдельного признака (например, повышение затрат мощ-
ности па бурение) необходимо заниматься специальным инфор-
мационным поиском дополнительных данных, подтверждающих
возникшее предположение. В подобных случаях процесс иден-
тификации оказывается уже развернутым во времени. Процесс
идентификации заканчивается интерпретацией информации,
в результате которой завершается формирование концептуаль-
ной модели. При интерпретации уточняются и дополняются по-
лученные ранее сведения.
Рассмотренные этапы восприятия информации находятся
в тесной связи и при поступлении однотипных сигналов оказы-
ваются свернутыми во времени, т. е. для деятельности опера-
тора наиболее типичны не отдельные изолированные операции
по восприятию информации или выполнению движения, а ком-
плексные перцептивно-моторные операции, в которых восприя-
тие приборной информации и двигательный ответ на нее сое-
диняются в едином автоматизированном акте. Однако, когда
появляется необычная информация, часто возникает необходи-
мость развертывания процесса восприятия во времени и вклю-
чения в него элементов информационного поиска.
Идентификация информации, развернутая во времени, ха-
рактерна при ликвидации осложнений и аварий в скважине.
При бурении в неизвестных разрезах неопределенность ситуа-
ций также усложняет процесс восприятия информации буриль-
щиком, что влияет на эффективность его деятельности. Оче-
видно, что от начала восприятия информации до принятия
решения проходит определенное время. В. Хик установил и
многие исследователи подтвердили наличие линейной зависи-
мости между количеством средней воспринятой информации I
и временем реакции на нее
Zon = a-P*/,	(VII.1)
где /Оц - -время от начала получения зрительной информации
до выдачи команды, с; а — время от момента появления сиг-
нала до реакции на пего человека (скрытое время реакции),с;
h — величина, обратная скорости переработки информации,
с/бит; 1 — среднее количество информации, бит.
Коэффициенты а и b зависят от условий эксперимента. Зна-
чение а изменяется от 0,1 до 1,1 с, а величина b — от 0,15 до
0,35 с/бит [34].
Общее количество информации /2, которое получает бу-
рильщик с приборов, можно определить по формуле
(VII.2)
i=i
где /2 — число приборов; Л—количество информации, получае-
мое с 1-го прибора.
6 Заказ № 1ЗЕ5
161
Рис. Ill
Рис. 112
свободно падает на Землю
с высоты 5,0 м. Определить аб-
солютную деформацию пружи-
ны, если при ударе ее ось
остается вертикальной.
4.7	А. Груз массой 25,0 кг висит
на шнуре длиной 2,5 м, про-
чность на разрыв которого рав-
на 5,5 10а Н. На какую пре-
дельную высоту можно отвести
груз в сторону, чтобы при даль-
нейших свободных качаниях
шнур не оборвался?
4.8	А. Для определения скоро-
сти пули используют баллисти-
ческий маятник. С какой по
модулю горизонтальной скоро-
стью летела пуля массой 10,0 г,
если маятник массой 5,0 кг,
подвешенный на нити длиной
4,0 м, после попадания в него
пули отклонился на угол 25
от вертикали?
4.9	А. Два абсолютно упругих
шара массами 10 и 20 г движут-
ся навстречу друг другу со
скоростями соответственно 20
и 10 м/с по идеально гладкой
горизонтальной поверхности.
Каковы будут скорости шаров
после центрального удара?
4.10	А. На горизонтальном сто-
ле находится тяжёлый брус,
одна сторона которого пред-
ставляет собой идеально глад-
кий цилиндр радиусом 0,2 м
(рис. 111). Шайбе массой 0,2 кг,
находящейся на этом столе,
сообщают скорость 10,0 м/с
вдоль стола. С какой силой
шайба будет давить на брусок
в точке А. находящейся на
высоте 0,75/? от стола?
шаровые копры, подвешенные
на тросах. Какова сила натяже-
ния троса при прохождении коп-
ром массой 150 кг положения
равновесия, если он был откло-
нен на угол 40 от вертикали?
4.8Б. Автоматический пистолет
имеет подвижный кожух массой
250 г, связанный с корпусом
пружиной, жесткость которой
980 Н/м. Какова должна быть
минимальная скорость пули
при выстреле, чтобы пистолет
перезаряжался, если для этого
кожух должен отойти назад на
3 см? Масса пули 10 г. Трение
не учитывать.
4.9Б	. Два упругих шарика, мас-
сы которых 0,1 и 0,3 кг, под-
вешены на одинаковых нитях
длиной 0,5 м, касаясь друг дру-
га. Первый шарик отклонили
от положения равновесия на
угол 90° и отпустили. Считая,
что радиусы шаров несоизме-
римо малы по сравнению с дли-
ной нити и пренебрегая со-
противлением воздуха, найти
высоту подъема каждого шари-
ка после удара.
4.10	Б. Шарик	массой
0,25  103 кг скатывается без тре-
ния с высоты 0,03  102 м по
наклонному желобу, переходя-
щему в «мертвую петлю» ради-
усом 0,01  102 м. С какой силой
шарик давит на верхнюю точку
«петли» (рис. 112)?
152
РАЗДЕЛ V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ФИЗИКИ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ,
ФОРМУЛЫ
Состояние идеального газа определяют совокуп-
ностью нескольких параметров состояния, важней-
шими из которых являются давление (р), объем
(V), температура по шкале Кельвина (Г), масса (т).
Уравнение состояния идеального газа, или уравнение
Менделеева — Клапейрона, имеет вид
(5.1)
м
где R = 8,3 Дж/(моль  К) — молярная (универсальная)
газовая постоянная, М—молярная масса газа. Ино-
гда вместо массы газа рассматривают число его
молекул (У) в заданном объеме. Тогда
N = N^	М
где Уд = 6,02-1023 моль 1—число молекул (атомов),
содержащихся в одном моле любого вещества (эле-
мента), называемое постоянной Авогадро; т)М —
число молей в заданном объеме.
При переходе газа* из одного состояния в другое
могут меняться все его параметры. Из уравнения
,, м	Pv R n
(5.1) следует, что — = —. Поэтому для двух произ-
тТ М
вольных состояний одного и того же газа имеет
место соотношение, которое в наиболее общем виде
связывает параметры его состояний:
^±=^2.	(5.3)
тх 7, т2Т2
Если при переходе газа из одного состояния в другое
масса его не меняется, то из уравнения (5.3)
следует, что
* В разделе V речь идет об идеальном газе, который для
краткости в дальнейшем будем называть просто газом.
153
Cooi ношение (5.4) называют объединенным га-
зовым законом.
Из закона (5.4) можно получить соотношения,
соответствующие частным случаям, называемым изо-
процессами.
При T=const (изотермический процесс)
Р1И=/ЪП.	(5.5)
При р — const (изобарный процесс)
=	(5.6)
т{ т2
При V=const (изохорный процесс)
Соотношения (5.5), (5.6), (5.7) называются зако-
нами соответственно Бойля — Мариотта, Гей-Люс-
сака, Шарля.
Все изопроцессы могут быть изображены в виде
определенных графиков на плоскости в различных
координатных осях (рис. 113, а, б, в).
Вследствие испарения с открытой поверхности
жидкости над нею всегда находится ее пар. Если
между паром и жидкостью установится динамическое
равновесие, то плотность пара над жидкостью и его
давление (упругость) не меняются и для данной
жидкости при данной температуре имеют максималь-
ное значение. Такой пар называется насыщаю-
щим.
Пар, давление и плотность которого меньше
давления и плотности насыщающего пара при данной
температуре, называется ненасыщающим. Можно
считать, что ненасыщающие пары подчиняются всем
р и Ыара 0
154
основным законам идеальных газов ((5.1), (5.4), (5.5),
(5.6), (5.7)).
Воздух, содержащий водяной пар, называется
влажным. Различают абсолютную и относительную
влажность воздуха. Абсолютной влажностью называ-
ется плотность водяного пара при данной тем-
пературе (р) или давление водяного пара (упругость)
при этой же температуре (р). Относительной влаж-
ностью называется отношение
В = —• 100%= —• 100%,	(5.8)
Рнп	Рнп
где рнп и рип—соответственно плотность и давление
насыщающего пара при данной температуре.
Ненасыщающий пар может стать насыщающим
при изохорном охлаждении или изотермическом
сжатии.
Температура, при которой пар становится насы-
щающим в случае изохорического охлаждения, на-
зывается точкой росы (Гр). При Г< Гр происходит
частичная конденсация пара.
У границы со стенкой сосуда свободная поверх-
ность жидкости всегда икривлена — образуется ме-
ниск. Форма мениска может быть вогнутой (в случае
смачивания жидкостью вещества стенок) или выпук-
лой (в случае несмачивания жидкостью вещества
стенок). В поверхностном слое всегда действуют
силы поверхностного натяжения, направленные вдоль
поверхности перпендикулярно ее границе и стремящи-
еся уменьшить величину поверхности. Отношение
силы поверхностного натяжения (Гпн) к длине
границы (/) поверхностного слоя жидкости назы-
вается коэффициентом поверхностного натяжения
(о):
o = FnH//.	(5.9)
Поскольку поверхностный слой жидкости нахо-
дится в состоянии натяжения, он обладает запасом
потенциальной энергии (/7). Поэтому коэффициент
поверхностного натяжения можно определить как
отношение потенциальной энергии поверхностного
слоя к площади его поверхности (S):
a = n/S.	(5.10)
155
Изогнутый поверхностный слой оказывает на
жидкость избыточное давление по сравнению с дав-
лением, которое испытывала бы жидкость с плоским
поверхностным слоем. Если форму мениска считать
сферической, то избыточное давление
ризб=±2ст//?,	(5.11)
где знаки плюс и минус соответствуют выпуклому
и вогнутому менискам, R — радиус мениска.
Избыточное давление вызывает заметный подъем
(в случае смачивания) или опускание (в случае
несмачивания) жидкости в капиллярных трубках.
Смачивающая жидкость поднимается, а несмачива-
ющая— опускается в капиллярных трубках относи-
тельно общего уровня на величину
где р — плотность жидкости.
Вещества в твердом и жидком состояниях при
изменении температуры изменяют свои линейные
размеры и объем по законам
/ = /0(1 + аАГ), Е=Е0(1 + рАТ), (5.13)
где /0 и Ео— соответственно длина и объем тела
при температуре 273 К, а и Р— соответственно
коэффициент линейного и объемного расширения
(их размерность К -1). Для твердых тел р«3а. Для
жидких тел первая из формул (5.13), естественно,
не имеет смысла. Изменение объема твердых и жид-
ких тел приводит к изменению их плотности:
р = —(5.14)
Н 1 + рАТ	7
где ро — плотность вещества тела при 273 К.
Воздействия на тело со стороны других тел или
полей вызывают его деформацию. Для упругих
деформаций растяжения или сжатия справедлив закон
Гука в форме
А/=1а/0,	(5.15)
F
где А/=/—/0— абсолютная деформация тела; /0 — его
первоначальная длина; Е—модуль продольной уп-
156
ругости (модуль Юнга); <y = F/S— механическое на-
пряжение; F—сила, действующая на тело; 5—
площадь его поперечного сечения.
Напряжение (опр), ПРИ котором тело,подвергнутое
деформации, начинает разрушаться, называется пре-
делом прочности.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В этом разделе обычно предлагаются задачи,
решение которых связано со свойствами идеальных
газов или паров, со свойствами поверхностного слоя
жидкости, с закономерностями, связанными с теп-
ловым расширением жидких и твердых тел, а также
с упругими деформациями.
Задачи, в которых предлагается произвести расчет
параметров состояния идеальных газов, можно усло-
вно разделить на три группы. К первой следует
отнести задачи, в которых рассматривается изменение
состояния некоторой массы газа, причем значение
этой массы не задано и оно не используется.
В результате каких-то процессов (нагревание, рас-
ширение и пр.) газ переходит из некоторого исход-
ного состояния (pi, Тг) в конечное (р2, V2, Т2).
Задачи этой группы удобно решать, применяя соот-
ношение (5.4). Если какой-либо параметр остается
неизменным, то соотношение (5.4) автоматически
переходит в одно из трех уравнений: (5.5), (5.6) или
(5-7).
Вторую группу составляю! задачи, в которых
состояние газа не меняется, но меняется масса (или
плотность, или число молей). Здесь для решения
удобно применить соотношение (5.1) и при необ-
ходимости (5.2).
К третьей группе можно отнести задачи с пе-
ременной массой газа (его подкачивают в сосуд
или он расходуется). Такие задачи, как правило, не
имеют готовых рецептов решения и требуют сугубо
индивидуального подхода. Иногда удобно восполь-
зоваться соотношением (5.3), а иногда задачи этой
группы сводятся к задачам первых двух групп или
к комбинациям этих задач.
Для решения задач всех трех групп можно
рекомендовать такую последовательность:
157
—	внимательно проанализировать условие задачи,
установить, какой газ участвует в процессе,
какие параметры меняются, какие — остаются по-
стоянными;
—	сделать, если возможно, схематический чертеж,
указав при этом, какие параметры характеризуют
каждое состояние;
—	особое внимание уделить параметрам, задан-
ным неявно; иногда для нахождения объема газа
нужно использовать формулы геометрии (например,
если газ заключен в сосуд в форме цилиндра), для
нахождения давления газа на жидкость — закон Па-
скаля или соотношение (3.7);
—	для каждого состояния записать нужные соот-
ношения и решить полученную систему уравнений
относительно искомой величины.
В особую группу следует выделить графические
задачи, для решения которых следует хорошо знать
графическое изображение на плоскости всех изо-
процессов в различных координатных осях (рис. 113).
Задачи, для решения которых используется по-
нятие влажности, принципиально почти не отлича-
ются от задач об идеальных газах. Однако заметим,
что при решении этих задач кроме уже названных
соотношений используется соотношение (5.8). Кроме
того, предполагается широкое использование таблиц
упругости и плотности водяных паров, из которых
находятся дополнительные данные к тем, что заданы
в условии задачи. Например, при заданной тем-
пературе ненасыщающего пара и его точке росы
можно с помощью таблиц определить абсолютную
и относительную влажность воздуха; при заданной
температуре насыщающего пара таблица помогает
найти его давление (упругость) и плотность при
этой температуре. Напомним также, что если заданы
температура и плотность (давление) ненасыщенного
пара, то его давление (плотность) определяется из
соотношения (5.1). Затруднения у ряда абитуриентов
вызывают задачи, в которых идет речь о количестве
сконденсированного пара (в виде росы, «запотевания»
стенок сосуда, окон квартир). Здесь следует рас-
сматривать массу росы как разность масс пара до
и после его частичной конденсации.
Для решения задач на пары и влажность мож-
но рекомендовать ту же последовательность, что
158
и в задачах с использованием свойств идеальных
газов.
Задачи, в которых требуется использовать свой-
ства поверхностного слоя жидкости, решаются с при-
менением соотношений (5.9)--(5.12). Однако, как
правило, только этих соотношений оказывается не-
достаточно, ибо в качестве экзаменационных могут
быть предложены комбинированные задачи, в ко-
торых поверхностные свойства жидкостей рассмат-
риваются в совокупности с вопросами кинематики,
динамики, гидростатики и т. д.
Если в задаче наряду с поверхностными свой-
ствами жидкости рассматривается движение тел
под действием или против действия сил поверх-
ностного натяжения, то следует установить длину
границы, на которую действуют силы поверхност-
ного натяжения и другие внешние силы, показать
эти силы на схематическом рисунке. Искомая
величина обычно находится из системы уравнений,
состоящей из соотношения (5.9) и добавленного
к нему условия равновесия (3.1) или основного
уравнения динамики (2.2) вместе с необходимыми
формулами кинематики.
Если в задаче рассматривается поверхностный
слой жидкости, находящийся в сообщающихся со-
судах, то следует обязательно выяснить, смачивает
или не смачивает жидкость материал трубок, ибо
от этого зависит знак избыточного давления в соот-
ношении (5.11). Обычно соотношение (5.11) вместе
с условием равновесия жидкости в сообщающихся
сосудах (3.7) составляют полную систему уравнений,
дающую возможность найти искомую величину.
В задачах о капиллярных трубках применяют
соотношение (5.12). При этом следует помнить,
что если вертикальная трубка находится в воздухе,
то сила поверхностного натяжения действует и на
верхний, и на нижний поверхностные слои жид-
кости.
Для решения задач, где учитываются свойст-
ва поверхностного слоя жидкости и его следст-
вия, можно рекомендовать такую последователь-
ность:
—	уточнить, о какой жидкости идет речь — о
смачивающей или не смачивающей стенки сосуда
(установить, таким образом, форму мениска);
159
—	определить границу поверхностного слоя, на
которую действует сила поверхностного натяжения
и внешние силы;
—	записать необходимые для данной задачи соот-
ношения (5.9) — (5.12);
—	в комбинированных задачах записать допол-
нительные уравнения механики;
—	решить полученную систему уравнения от-
носительно искомой величины.
Решение задач, связанных с явлениями теплового
расширения тел, основано на применении одной из
формул (5.13), (5.14). Следует помнить, что /0, Ко,
р0 в формулах (5.13) и (5.14)—это длина, объем
тела и плотность вещества при 273 К, но не при
начальной температуре, как считают некоторые аби-
туриенты. Если в задаче рассматривается ряд со-
стояний тела (тел), эти формулы следует записывать
для каждого состояния тела (каждого из тел).
В случае комбинированных задач к формулам (5.13)
и (5.14) добавляют формулы кинематики, калоримет-
рии (такие задачи будут разобраны в разделе VI),
упругой деформации (5.15), формулы других разде-
лов курса физики, о которых идет речь в условии
задачи.
Можно рекомендовать следующий порядок реше-
ния задач о тепловом расширении тел:
—	для каждого теплового состояния каждо-
го тела записать одно из соотношений (5.13),
(5.14);
—	если в задаче рассматриваются и другие
процессы, то к вышеназванным соотношениям до-
бавляют формулы, отражающие эти процессы;
—	проверить, является ли полученная система
уравнений полной, и решить ее относительно искомой
величины.
Задачи, в которых надо учитывать упругую
деформацию тел, решаются с применением закона
Гука в форме (5.15). Требуемое для решения неко-
торых задач значение предела прочности материала
находят из специальных таблиц. В комбинированных
задачах соотношение (5.15) является лишь частью
системы уравнений, описывающей рассматриваемое
в задаче явление. Другую часть системы составляют,
как правило, соотношения, связанные с тепловым
линейным расширением (первая из формул (5.13)),
160
механикой или законами сохранения. Порядок реше-
ния задач, в которых учитывается упругая дефор-
мация, такой же, как и при решении задач о тепловом
расширении.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Газ, занимающий при температуре
400 К и давлении 1-105 Па объем 2-10“3м , изо-
термически сжимают до объема Иг и давления />г,
затем изобарно охлаждают до температуры 200 К,
после чего изотермически изменяют объем до значе-
ния 1 • 10 3 м3. Найти конечное давление.
Решение
Г1=400 К;
pr = 1  105 Па;
ГД =2- 10 ' м3;
Ti = Ta-
рз=рг;
Тз = 200 К;
Г4=Гз;
И4= 1 • 10“3 м3.
Р4- = ‘1
Проблемы, возникающие у аби-
туриентов при решении подобных
задач, заключаются в том, что они
запутываются, описывая переходы
газа из одного состояния в другое.
В задаче говорится о четырех со-
стояниях одного и того же газа,
масса которого не меняется. Осу-
ществим решение задачи поэтапно.
Начнем с конца.
Изотермический переход газа из
третьего состояния в четвертое описывается законом
Бойля — Мариотта: ^зИз=р4И4, откуда
„ Рз и3
=
(1)
Изобарный переход из второго состояния
г . .. п	Г И
описывается законом 1 еи-Люссака: — = —
Т2 Гз
Гз = —
в третье
откуда
(2)
Изотермический переход из первого состояния
во второе описывается соотношением
откуда
Pi И,
р2 =-------
' V,
(3)
6-674
161
Решив систему уравнений (1) — (3) с учетом равенства
Рз=Р2 (по условию), получим
Р	= 1 • )05 Па.
1’.Г\
Задача 2. Закрытый цилиндр длиной 0,5 м раз-
делен на две равные части теплонепроницаемым
поршнем. В обеих половинах находятся одинаковые
массы одного и того же газа при температуре
200 К. На какое расстояние сместится поршень, если
в одной из частей цилиндра температуру газа
повысить до 300 К?
Решение
/=0,50 м;
Л =200 К;
Г2 = 300 К;
m = const;
М = const.
I/?
t/2
Трудности, с которы-
ми сталкиваются абиту-
риенты при решении по-
добных задач, во многом
зависят от неумения глу-
боко вникнуть в условие.
А/—?	!	Анализ показывает, что
Рис- 114 в задаче идет речь о двух
состояниях газа, находящегося в двух частях цилин-
дра (кстати, тот факт, что газ один и лот же, не
суть важен! Газы могут быль и разными!).
До нагревания газа в левой половине цилиндра
его параметры были одинаковыми в обеих частях
цилиндра: давление р, объем V=S![2, температура
(здесь А — площадь основания цилиндра). После
нагревания газа его параметры стали различными
для левой и правой частей цилиндра. Так как
поршень сдвинулся вправо на искомое расстояние
А/, то в левой части обл>ем газа увеличился и стал
равным Г+АИ=А(//2 +А/) (рис. 114), давление стало
равным /?!, а температура — Т2. Тогда параметры
газа, находящегося в левой части цилиндра, до
и после нагревания можно связать соотношением
объединенного газового закона:
л
/Щ __pt (И + ЛИ)
г? Т2
(1)
Так как объем газа в левой части цилиндра увеличил-
ся, то в правой части он уменьшился и стал равным
И—АГ = А(//2 —А/), температура осталась пре-
162
жней, давление изменилось и стало равным р2.
Тогда параметры газа, находящегося в правой части
цилиндра, связаны соотношением
/Щ_/ъ(Ц-ДГ)
Г, л	J
В соотношениях (1) и (2) левые части одинаковы.
Поэтому
р,(Г+ДГ)_р2(Г-ДР)	pJ/./2 + Д/) /)2(//2 —Д/)
-----------------ИЛИ----------—---------.	(51
Учтем, что поршень сместится на такое расстояние,
которому будет соответствовать равенство давлений
Р\~Р1 слева и справа от него. Тогда, решая
уравнение (3) относительно искомой величины,
получим
A/=:/Z±JrI = O,O5 м.
2 Т2 + 7\
Задача 3. Пятилитровый баллон с гели-
ем, масса которого 2 кг, снабжен предо-
хранительным клапаном в виде неболь-
шого цилиндра с невесомым поршнем
площадью 10 см2, упирающимся в дно
цилиндра с помощью пружины жесткостью
166 Н/м (рис. 115). При температуре 250 К
поршень находится на 30 см ниже отвер-
стия, через которое газ может расходовать-
ся. До какой температуры следует нагреть
гелий, чтобы часть его смогла быть ис-
пользована? Молярная масса гелия равна pUc. 1/5
4 10' кг/моль.
Решение
И=5- 10 ‘3 м3;	В задаче идет речь о двух
т = 2 кг;	состояниях одной и той же мае-
5=1 -Ю“3 м2;	сы гелия. Из условия ясно, что
к : = 166 Н/м;	при температуре гелий зани-
Л = 250 К;	мал объем V и находился под
Я=30- 10 2 м;	давлением Р. Все параметры ге-
Л/= 4 • 10 3 кг/моль.	лия в этом состоянии связаны
		уравнением Менделеева — Кла-
т2 ?	пейрона
pV=^RTt. (1)
м
163
При нагревании гелия до искомой температуры
Т2 его объем оказывается равным V+SH. а давление
увеличивается на величину \р и становится равным
р + Ар, причем изменение давления Ар связано с подъ-
емом поршня на высоту Н или, иными словами,
со сжатием пружины на величину Н.
Пренебрегая массой поршня (по условию задачи)
и используя выражения (3.5) и (2.12), получим
Тогда давление гелия после нагревания равно
p + kH/S. Уравнение нового состояния гелия
р + ~)(УЗ-УН) = "^Т2.	(2)
Уравнения (1) и (2) содержат неизвестные величины
р и Т2. Разделив почленно уравнение (1) на V,
уравнение (2) на V+SH и вычитая одно из другого,
получим
T2 = (^+SH)(к—+Т± ) = 265 К.
'	7 \ SmR V )
Задача 4. В баллоне объемом 0,2 м3 находится
газ под давлением 1,0  105 Па при температуре 290 К.
После подкачивания газа давление повысилось до
3,0-105Па, а температура увеличилась до 320 К.
На сколько увеличилось число молекул газа? Моляр-
ная газовая постоянная /? = 8,3 Дж/(моль  К), посто-
янная Авогадро Ул = 6,02• 1023 моль-1.
Решение
Л = 290 К;
Р=0,2 м3;
Pi = 1,0 • 105 Па;
р2 = 3,0 105 Па;
Т2 = 320 К;
7? = 8,3 Дж/(моль К);
УА = 6,02 • 1023 моль 1.
АУ—?
Для решения подобных
задач следует помнить, что
в одном моле любого газа
содержится число молекул,
равное числу Авогадро УА.
Значит, для ответа на поста-
вленный в задаче вопрос не-
обходимо знать, на сколько
увеличилось число молей
после подкачивания газа. Но
164
число молей п = —, где т — масса, М — молярная
М
масса газа. Тогда увеличение числа молей
Ан = Am / М,
где Лт = т2 — т1—увеличение массы газа после под-
качивания. Учитывая вышесказанное, запишем
ЛУ=УА Ди = УА —.	(1)
и
Итак, решение задачи сводится к нахождению измене-
ния числа молей газа в баллоне, объем которого,
естественно, не меняется. Это легко сделать с по-
мощью уравнения Менделеева — Клапейрона. Выде-
лим два состояния газа: до подкачивания
Pi, V, 7\, тг и после подкачивания р2, V, Т2, т2.
Запишем для этих состояний уравнения Менделеева —
Клапейрона:
p2V=^RT2, (2) P1V='^RT2.
м	м
Из уравнений (2) и (3) найдем
/и. p-.V	тг p2V
П,=---=--- И «2=----=--- 
М RTt	М RT2
(3)
Тогда
\п = п2 — «1
Дт VI р2 Pi
~М~ R\T2
Подставив это выражение в уравнение (1), получим
£1-^ = 8,6- 1024.
яут2 TiJ
Задача 5. Цилиндрическая труба длиной 0,8 м
запаяна с одного конца и опущена в воду открытым
концом так, что дно трубы находится на глубине
1,2 м от уровня поверхности воды. Во сколько раз
увеличится плотность воздуха в трубе, если тем-
пература воздуха была равна 300 К, а температура
воды 290 К? Плотность воды 1,0  103 кг/м3, ускоре-
ние свободного падения 9,8 м/с2, атмосферное дав-
ление 1,0 105Па. Тепловое расширение материала
трубы не учитывать.
165
Решение
/=0,8 м;
Я=1,2 м;
'Л = 300 К:
Т2 = 290 К;
р= 1,0  103 кг/м3;
g = 9,8 м/с2;
/>о=1,0-105 Па.
Р2/Р1~ ?
Рис. 116
= В задаче идет
-=: речь о двух состо-
яв яниях одной и той
SS же массы воздуха:
ПН до и после опуска-
ЦЦ пия трубы в воду.
Поэтому увеличе-
-^= ние плотности воз-
ШЛ духа связано с уме-
ньшением его объ-
ема. Если масса
воздуха т. а его объемы в первом и взором
состояниях соответственно VX = IS и J/2 = hS, где
,8’—площадь сечения цилиндрической трубы, то
т т	т т
И, IS	Г, hS
откуда следует, что
Р"' = '	И)
р| Л
Значит решение задачи сводится к нахождению
высоты столба воздуха в трубе, опущенной в воду.
Для этого воспользуемся объединенным газовым
законом. В первом состоянии параметры воздуха
р0, V\=IS, Tv \ во втором состоянии — соответственно
р2 + pg(H + h), E2 = /;S, Г2. Особое внимание об-
ращаем на то, что воздух во втором состоянии
находится под давлением столба воды высотой
,, , ,	,	11Z.	PolS Г/70 + Р.ДИ+/1)]hS „
Н+h (рис. 116). Тогда	---1	---n. Это
квадратное уравнение относительно Л после пре-
образований приводим к виду
h 2 +	h - Рп'Тг = 0.
Решая его, получим
_ <’0~4 /7/>оТР/ТЛ2 | PolTi
2pg V \ 2pg /	'
Чтобы не усложнять решение, вычислим h и под-
ставим в формулу (1). Получим
р2/Р1 = 1,1-
166
Задача 6. Два сосуда наполнены одним и тем
же газом под давлением 4,0- 105 и 9,0-105 Па массой
0,2 и 0,3 кг соответственно. Сосуды соединяют
трубкой, объемом которой можно пренебречь по
сравнению с объемами сосудов. Найти установив-
шееся давление в сосудах, если температура газа
в них была одинакова и после установления искомого
давления увеличилась на 20%.
Решение
т! =0,2 кг;
/»2 = 0,3 кг;
р1=4,0 105 Па;
д2 = 9,0-105 Па;
Г = Г+0,2Г= 1.272
J '"г
]Рг
Рис. 117
Подобные
задачи нередко
встречаются на
вступительном
экзамене и, как
правило, вызы-
вают затрудне-
ния у части
абитуриентов.
Здесь следует рассмотреть три состояния одного
и того же газа. В левом сосуде (рис. 117) газ массой
т2 находился в объеме под давлением р2 при
температуре Т. В правом сосуде газ имел параметры
ш2, Pi- 72 После соединения сосудов газ занял
объем Pi + И2, его масса стала равной тх+т2,
давление р, а температура Т'. Запишем уравнение
Менделеева — Клапейрона для каждого состояния.
Для левого сосуда
pxVx='^RT,	(1)
м
для правого сосуда
р2К2=^-ЯГ,	(2)
после соединения сосудов
р(И1 + И2) = ^'3/?Г',	(3)
где, по условию,
Г'= 1,2 Г.	(4)
Выражая из уравнений (1) и (2) незаданные объемы
И, и и подставляя их в уравнение (3), получим
= ('«1 +mi)P\PiT'
(гщр2+т2рР)Т
167
Окончательно с учетом выражения
(4) имеем
/? = 7,2 - 105 Па.
Задача 7. На рис. 118 дан гра-
фик изменения состояния идеаль-
ного газа в координатах р— V.
круговой процесс (цикл) в коор-
динатах р—Т, обозначив соответствующие точки,
и объяснить построение.
Решение
Графические задачи -традиционно «слабое ме-
сто» в знаниях абитуриентов. Их решение следует
начинать с внимательного «чтения» заданного графи-
ка. Газ из начального состояния (точка 7) изотер-
мически (кривая 1—2 в осях р — V—изотерма, т. е.
1\ = Т2) сжимается (так как объем уменьшается,
а давление растет в соответствии с законом Бойля -
Мариотта) до какого-то состояния (точка 2), затем
изобарно (прямая 2—3 в осях р— V— изобара, т. е.
р2=Рз) расширяется (так как объем растет) до
какого-то состояния (точка 5). При этом его тем-
пература растет (в соответствии с законом Гей-
Люссака), т. е. Т3>Т2. Далее газ изохорно перево-
дится в состояние 4 (прямая 3—4 в осях р— V—
изохора). При этом его давление уменьшается
(Р4<РзУ а следовательно, в соответствии с законом
Шарля уменьшается и температура, т. е. Тд.<Т3.
Наконец, цикл завершается изобарным сжатием (пря-
мая 4—1 в осях р~ V—изобара), объем уменьшается
до первоначального значения (Ki<K4). уменьшается,
следовательно, и температура до
Перенос исходного графика в систему координат
р Т должен осуществляться в строгом соответствии
с изложенными рассуждениями. Произведем его
постепенно (рис. 119). Изотермическое сжатие, со-
провождающееся ростом давления, в осях р—Т
изобразится изотермой 7-2;
2______, изобарное расширение, сопрово-
I	ждающееся ростом температу-
*	ры, изобразится изобарой 2—3;
4_________уменьшение давления при посто-
7 янном объеме, сопровождающе-
го 119	еся уменьшением температуры,
168
изобразится изохорой 3—4. Так Д
как на исходном графике завер-	.s'*
шение цикла происходит изобар- .S*
но (т. е. =Pi), то на искомом s
графике следует проследить, что-
бы изохора 3—4 продолжалась о	т
до такой точки, в которой дав-	р
ление (рд.) было бы равно пер-
воначальному (pi). Именно в этом случае прямая
4—1 будет являться изобарой, что соответствует
условию задачи, заданному в виде графика.
Обращаем внимание на то, что графики должны
выполняться с большей аккуратностью, иначе они
могут оказаться неверными. Например, в разобран-
ной задаче следует проследить, чтобы изотерма Г -2
была параллельна оси давлений, изобары 2—3 и 4—1
были параллельны оси температур, а продолжение
изохоры 3—4 непременно проходило бы через начало
координат.
Задача 8. Некоторое количество газов из состо-
яния 1 переводится в состояние 2 (рис. 120). Как
изменилось давление в этом процессе? Масса газа
не меняется. Ответ обосновать графически.
Решение
Проведем изобары через состояния 1 и 2
(рис. 121). Для ответа на вопрос, какая из них
соответствует большему (или меныпему) давлению,
проведем произвольную изотерму АВ, пересекающую
обе изобары в точках рг и д2- Обратим внима-
ние на то, что в состояниях р± и р2 газ имеет
одинаковую температуру и, следовательно, подчи-
няется закону Бойля — Мариотта. Так как объем
газа V„ в состоянии р, больше объема газа
Pl	' 1
VP2 в состоянии р2, то давление в состоянии р^
меньше давления в состоянии р2.
Значит, изобара, проходящая че-
рез состояние газа 7, соответ-
ствует меньшему давлению,
а изобара, проходящая через со-
стояние газа 2, соответствует
большему давлению. Следова-
тельно, при переходе газа из
состояния 7 в состояние 2 его
Рис. 121
давление увеличивается.
169
К этому же выводу можно прийти, если провести
произвольную изохору, пересекающую обе изобары
(попробуйте все рассуждения провести самостоя-
тельно!).
Задача 9. В помещении, объем которого 150 м3,
поддерживается дневная температура 293 К и от-
носительная влажность воздуха 60%. Сколько воды
выделится на окнах при «запотевании» стекол, если
ночью температура понизится до 281 К? Молярная
масса водяного пара 0,018 кг/моль.
Решение
1,5 • 102 м3;
1\ =293 К;
fi = 0,6;
Т2 = 281 К;
Л/=1,8-10-2 кг/моль;
7? = 8,3 Дж/(моль • К).
В задаче рассматривается
два состояния водяного пара,
находящегося в воздухе: до
и после охлаждения. Чтобы
определить искомую массу
выделившейся на стеклах во-
ды, следует найти вначале
массу водяного пара при тем-
пературах 7', и Л, а затем
разность значений этих масс. При этом удобно
воспользоваться уравнением Менделеева Клапейро-
на, составив его для каждого из двух состояний
пара. Пусть параметры состояния пара до его
охлаждения были рх, V. 7\, тх. Тогда P\V= — RTX,
м
откуда
— ?

р, VM
R7\
(В
Если параметры состояния пара после охлаждения
Шт
обозначить р2, И, Г2, /и2, то р2 И= — RT2, откуда
м
т2 =
Р1 VM
rt2
(2)
Искомая масса воды Ат = т1~т2, или с учетом
выражений (1) и (2)
Ат =
VM /р,
~R ’\Г,
1>Д
TiJ'
(3)
170
Обычно трудности в решении подобных задач
заключаются в неумении некоторых абитуриентов
определить давление pt и р2. Поэтому остано-
вимся на этом вопросе подробнее. Давление
Рх водяного пара при температуре 7’, находится
исходя из заданной в условии относительной влаж-
ное™ В.
Так как В = рх!р'нп, где р'пи--давление насыщен-
ного пара при температуре 7\, то р} =Вр'ип. Давление
р'„п при температуре 293 К находим из таблицы:
р'нп = 2,3 Па. Тогда
р{ = 1,4 кПа.
При охлаждении воздуха до температуры
Т2 конденсация пара происходит лишь в том случае,
если пар является насыщенным. По условию задачи
конденсация произошла. Поэтому давление р2 есть
давление насыщенного пара при температуре Т2.
Оно также находится из таблицы и равно
р2 = 1,1 кПа.
Подставив значения рА и рг. а также данные
условия задачи в выражение (3), найдем
Лш = 0,3 кг.
Задача 10. Нефть, заполняющая железную ци-
линдрическую цистерну высотой 6.0 м при тем-
пературе 273 К, не доходиг до краев цистерны на
0,2 м. При какой температуре должна храниться
нефть, чтобы она не перелилась через край цистерны?
Коэффициент линейного расширения железа
1,2 10 5 К "1, коэффициент объемного расширения
нефти 1,010' К
Решение
Н = 6,0 м;
Л = 0,2 м;
Го = 273 К;
аж=1,210"5 К1;
рн = 1,0 10~3 К'.
Рис. 122
171
Вследствие теплового расширения цистерны и не-
фти их объемы при нагревании увеличиваются.
Температурный коэффициент расширения жидкостей
всегда больше температурного коэффициента рас-
ширения твердых тел. Поэтому при одинаковом
повышении температуры увеличение объема неф-
ти будет больше увеличения объема железной цис-
терны и при некоторой температуре нефть перель-
ется через край цистерны. Очевидно, нас интере-
сует предельный случай, т. е. та температура, при
которой объемы цистерны (1'ж) и нефти (Йн) срав-
няются.
Если площадь основания цистерны S, то при
температуре То объем цистерны равен УОж = SH,
а объем нефти VOh = S(H—h) (рис. 122). Тогда при
искомой температуре Т объем цистерны
Еж=ЕОж(1+ЗажДГ), объем нефти Ен= ЕОн(1+ Р„ДТ).
Здесь мы учли, что коэффициент объемного рас-
ширения железа Рж«3аж, а ДТ=Т— То. Искомая
температура
Г=Г0 + ДГ.	(1)
Из условия Еж = Ен найдем изменение темпера-
туры:
SH(\ +ЗажД7) = 5(Я-А)(1 + рнД7),
откуда
Рн(Я-Л)-Заж//'
а Подставив это выражение в (1), получим
J’—J' _______h______
° рн(Я-А)-ЗажЯ’
Окончательно
„	Г=308,8 К.
Задача 11. Определить разность уровней спир-
та в коленах образной стеклянной трубки (рис.
123), диаметры каналов которой равны 2,0- К)3
и 0,8 10“3м. Спирт смачивает стекло. Плот-
ность и коэффициент поверхностного натяжения
спирта равны соответственно 0,8 103 кг/м3
и 2,2-Ю~2 Н/м.
172
Решение
^ = 2,0-10~3 м;
</2=0,8 10~3 м;
<5 = 2,2-I0 2 Н/м;
р = 0,8 103 кг/м3.
А/7 ?
Задача представляет интерес
с точки зрения учета некоторых
свойств поверхностного слоя жи-
дкости. В частности, неверное
решение подобных задач в зна-
чительной степени связано с не-
умением некоторых абитуриентов
использовать менисковый эффект, имеющий место
при взаимодействии жидких и твердых тел.
Условие равновесия жидкости в сообщающихся
сосудах (см. раздел III) имеет вид
Рл=Рв,
(1)
где рА и рв— давления в левом и правом коленах
на выбранном горизонтальном уровне АВ. Так как
спирт смачивает стекло, то поверхностный слой
спирта будет иметь вогнутый мениск, «растягива-
ющий» нижележащие слои и создающий, таким
образом, избыточное давление, равное
/\зб = 2о/А,
где R- радиус сферической поверхности мениска.
Следует учесть также, что в случае смачивания
радиус мениска равен радиусу капилляра. Тогда
Pa~Po~Pl и Рв=Ро~Р2+Ран, где р0 — атмосферное
2а 4а	2а 4а	_
давление, р{= — = — и р2 =— = — — избыточные да-
/?]	R. 2 d 2
вления, обусловленные кривизной менисков спирта
соответственно в левом и нравом коленах трубки,
Рьн = Рё&Н— давление столба спирта высотой ХН.
Тогда
4а	4а .
Ра=Ро~-г, Рв—Ро----p + Vg^H.
«1	<<2
С учетом условия равновесия (1) имеем
4а	4а	...
Ро—р=Ро—p+Pg&H,
«I	“2
откуда
д^ = 4п(г/^/у1 = 8.4-10 3 м.
Pgdtd2
173
Задача 12. Стальной брус сечением 100 см2 заде-
лан между двумя кирпичными стенами при температу-
ре 273 К. При какой температуре сила, действующая
на каждую стену, не будет превышать 7,5 кН? Модуль
Юнга и коэффициент линейного расширения стали
равны соответственно 2,1 -1011 Па и 1,2 10”5 К
Тепловое расширение кирпича не учитывать.
Решение
5=1,010"4 м2;
Го = 273 К;
F=7,5 - 103 Н;
£=2,1-10н Па;
а=1,210 5 К 1
В задаче идет речь о нагрева-
нии стального бруса. Если бы
он был свободен, то при нагрева-
нии до искомой le.Miicpaiypbi его
длина стала бы
---------------/=/0[1+а(Г-Г0)].	(1)
Т__?
Здесь /0 — длина при температуре
То. Но по условию задачи расстояние между стенами
не меняется. Поэтому абсолютное удлинение бруса
А/ = /—/0 определяет его деформацию сжатия. По
закону Гука,
А/=- ст/0,
(2)
где <3 = F/S— напряжение материала бруса. Из урав-
нения (1) находим А/=/оа(Г—7ф). Из уравнения
1 F
(2) — А/=—/0 . Сравнивая правые части последних
Е S
двух выражений, имеем
/оа(Г-Го)=|.(/(),
Г. э
откуда
Г=Г0 + —= 302,8 К
ESci
— максимальная температура, удовлетворяющая
условию задачи.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. Газ изотермически сжимают от объема
0,15 м3 до объема 0,1 м3. При этом давление
повысилось на 1,5 • 105 Па. Определить первоначаль-
ное давление газа. Ответ выразить в МПа. [0,3 МПа]
174
* 5.2. В цилиндр длиной 50 см, заполненный
воздухом при нормальном атмосферном давле-
нии 1  105 Па, начали вдвигать поршень пло-
щадью 50 см2. Какую силу следует приложить к по-
ршню, чтобы удержать его на расстоянии 40 см от
дна цилиндра? Процесс считать изотермическим.
[625 Н ]
5.3.	Запаянную с одного конца цилиндрическую
трубу длиной 1,1 м опустили в воду так. что дно
трубы находится на уровне поверхности воды. Во
сколько раз уменьшился объем воздуха в трубе?
Плотность воды 1,0'103 кг/м3, ускорение свободного
падения 10,0 м/с2, атмосферное давление 1,0 -105 Па.
Считать температуру воздуха в трубе неизменной.
[1,1 раза]
-.5.4. Посредине откачанной и запаянной с обо-
их концов горизонтальной трубки длиной 1,0 м
находится столбик ртути длиной 0,2 м. При пере-
воде трубки в вертикальное положение столбик
опустился на 0,1 м. До какого давления была
откачана трубка? Плотность ртути 13,6  I03 кг/м3.
[5,0- 104 Па]
5.5.	Давление в камере автомобильной шины при
температуре 275 К равно 4,4 105 Па. При движении
автомобиля температура воздуха в камере повыси-
лась до 300 К. На сколько при этом изменилось
давление воздуха? Считать объем шины постоянным.
[40 Па]
5.6.	Сосуд, наполненный газом, плотно закрыз
пробкой, площадь сечения которой равна 2,5 см2.
Газ находится под давлением 100 кПа при тем-
пературе 270 К. До какой максимальной температуры
можно нагревать газ в сосуде, чтобы пробка не
вылетела из него, если сила трения, удерживающая
пробку, равна J2,5 Н? [405 К]
5.7.	Резиновую лодку надули ранним угром
при температуре окружающего воздуха 280 К. На
сколько процентов увеличилось давление воздуха
в лодке, если днем под лучами солнца воздух
прогрелся до. 308 К? Считать объем воздуха в лодке
постоянным. [10% ]
5.8.	Температура воздуха в цилиндре 280 К. На
сколько переместится поршень при нагревании воз-
духа на 20 К, если /=0,14 м (рис. 124)? Процесс
считать изобарным. [0,01 м]
175
!. t ,!	5.9. Наружный воздух, поступа-
________. ющий через вентиляционную камеру
__________1 в туннель метрополитена, предвари-
__________Ц I тельно подогревают от 253 до 303 К.
р /74 Во сколько раз изменяется объем
воздуха? Давление наружного воздуха
и воздуха в туннеле считать одинаковым. [Увели-
чивается в 1,2 раза]
5.10.	Открытую стеклянную колбу вместимостью
250 см3 нагрели до 400 К, после чего ее горлышко
опустили в воду. Сколько граммов воды войдет
в колбу, если она охладится до 280 К? Давление
воздуха в колбе считать неизменным, тепловым
расширением материала колбы пренебречь. Пло-
тность воды 1000 кг/м3. [75 г]
5.11.	На какую глубину в воду (плотность воды
1,0 • 103 кг/м3) надо опус।шь надутый воздухом ре-
зиновый шар, чтобы ею объем уменьшился в 10
раз? Температуры воздуха и воды соответственно
300 и 282 К. Атмосферное давление 1,0 105 Па,
ускорение свободного падения 9,8 м/с2. Ответ окру-
глить до десятых долей метра. [85,7 м ]
5.12.	В цилиндре дизельного двигателя в начале
такта сжатия температура воздуха была равна 290 К.
Определить температуру воздуха в конце такта
сжатия, если объем уменьшился в 8 раз, а давление
возросло в 32 раза. [1160 К]
5.13.	Объем, занимаемый газом, увеличили
на 20%, а давление понизили на 10%. На ско-
лько градусов изменилась температура газа,
если его начальная температура была равна
100 К? [8 К]
5.14.	Закрытый цилиндр разделен на две рав-
ные части теплонепроницаемым поршнем. В обеих
половинах находятся одинаковые массы одного и то-
го же газа при температуре 300 К и давлении
6000 Па. В одной из частей цилиндра газ нагрели
до 350 К, а в другой части температуру оставили
прежней. Какое при этом установилось давление?
[6500 Па]
5.15.	Какая масса водорода находится в баллоне
емкостью 20 л под давлением 830 кПа при тем-
пературе 290 К? Молярная масса водорода
0,002 кг/моль. [0,014 кг]
5.16.	В литровом баллоне содержится 12 кг кис-
176
лорода при температуре 280 К. Каково его давление?
Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль. Ответ
выразить в МПа. [871,5 МПа]
5.17.	При какой температуре находятся 2,5 моля
газа, занимающего объем 1,66 л и находящегося
под давлением 2,5 МПа? [200 К]
5.18.	Баллон объемом 0,02 м3 содержит сжатый
кислород при температуре 300 К и давлении 7,5 МПа.
В процессе газосварки давление в баллоне понизилось
до 5,9 106Па, а температура стала равной 295 К.
Какая масса кислорода была израсходована при
газосварке? [0,4 кг]
5.19.	В баллоне содержится газ под давлением
2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину
массы газа, баллон поместили в помещение с другой
температурой. Какова температура в помещении,
если давление газа в баллоне стало равным 1,5 МПа?
[300 К ]
5.20.	На сколько понизилось давление кислорода,
находящегося в сосуде объемом 0,2 м3 при тем-
пературе 280 К, если выпущено 0,08 кг газа? Моляр-
ная масса кислорода 0,032 кг/моль. Ответ округлить
до сотых долей МПа. [0,03 МПа]
5.21.	Когда из сосуда выпустили некоторое ко-
личество газа, давление в нем понизилось на 80%,
а температура — на 60%. Определить, какую часть
газа выпустили. [0,5]
5.22.	Чему равна молярная масса газа, который
при давлении 1,0-105 Па и температуре 300 К имеет
плотность 0,162 кг/м3? [4,0 • 10“3 кг/моль]
5.23.	В объеме 4,0 л находится газ массой 12,0 г
при температуре 450 К. При какой температуре
плотность этого газа станет равной 6,0 кг/м , если
давление возрастет в 1,2 раза? [270 К]
5.24.	Сосуд, содержащий 5,0 л воздуха при
давлении 1,0-105Па, соединяют с пустым сосудом
вместимостью 4,5 л. Какое давление установит-
ся в сосудах, если температура не меняется?
[5,3 • 104 Па]
5.25.	Определить объем засасывающей камеры
поршневого насоса, если при откачивании этим
насосом воздуха из баллона объемом 4,0-10“3м3
давление уменьшается при каждом цикле откачки
в 1,2 раза. Температура воздуха не меняется. Ответ
выразить в литрах. [0,8 л]
177
Рис. 127
5.26.	За один ход поршня насоса давление в подсо-
единенной к насосу камере объемом 0,3 м3 возрастает
на 2%. Определить объем насоса в литрах, считая
температуру газа постоянной. Объемом соединитель-
ного шланга пренебречь. [6 л]
5.27.	Два сосуда одинаковой емкости содержат
воздух при температуре соответственно 250 и 300 К
под давлением соответственно 250 и 600 кПа. Сосуды
соединены и после выравнивания давлений и тем-
ператур воздух нагрели до 500 К- Какое установится
давление после нагревания? [750 000 Па]
5.28.	На рис. 125 и 126 даны графики изме-
нения состояния идеального газа, масса которого
не меняется. Представить эти процессы на графиках
в координатах р Т и V Т (рис. 125), р— V и р — Т
(рис. 126).
5.29.	На графиках представлены две изотермы
(рис. 127), две изохоры (рис. 128) и две изобары
(рис. 129). Во всех случаях массы идеального газа
неизменны. Какая изотерма соответствует более
высокой температуре? Какая изохора соответствует
большему объему? Какая изобара соответствует
более высокому давлению? Ответы обосновать гра-
фически.
5.30	*. С некоторой массой идеального газа был
произведен замкнутый процесс, изображенный на
рис. 130. Объяснить и обосновать графически, как
менялся объем газа при переходах I — 2, 2—3, 3—4,
4—7? [Масса газа не менялась]
5.31.	Влажный термометр психрометра показывает
283 К, а сухой — 287 К. Каковы относительная влаж-
ность и давление водяных паров? [60% ]
5.32.	Определить относительную влажность воз-
духа при температуре 288 К, если абсолютная влаж-
178
Рис. 128
о	т
Рис. 130
ность воздуха при этой температуре равна
1,2 • 10'2 кг/м3. [94% ]
5.33.	Относительная влажность воздуха равна
63%, температура 291 К. На сколько должен остыть
воздух, чтобы выпала роса? [7 К]
5.34.	В сосуде объемом 400 см3 находится водяной
пар при температуре 423 К под давлением 8500 Па.
Сосуд охладили до 295 К, в результате пар стал
конденсироваться. Сколько миллиграммов воды ока-
залось на стенках сосуда? [9 мг]
5.35.	Стальной моет построен в климатической
зоне, в которой возможны колебания температуры
от 223 до 293 К. Каков должен быть зазор, ком-
пенсирующий удлинение моста, если строительство
велось при 273 К? Длина моста при этой температуре
равна 100 м. Коэффициент линейного расширения
стали 1 -105 К'1. Ответ выразить в миллиметрах.
[20 мм]
5.36.	При пропускании электрического тока через
платиновую проволоку, длина которой при 273 К
равна 1,5 м, она удлинилась на 1,5 см. До какой
температуры нагрелась проволока, если коэффициент
линейного расширения платины равен 9,0-10'6 К'1?
[1373 К]
5.37.	Какова разница в числе оборотов паровоз-
ного колеса летом при температуре 308 К и зимой
при температуре 248 К при движении паровоза на
пути 200 км? Радиус колеса при температуре Т1Ъ К
равен 1 м. Коэффициент линейного расширения ра-
вен 1,2-10'5 К'1. Ответ округлить до целого чис-
ла. [23 ]
5.38.	Спирт, взятый при 273 К в количестве
0,4 кг, имел объем 0,5 л. Какова плотность спирта
при 288 К? Коэффициент объемного расширения
равен 1,1 10'3 К *. [787 кг/м3 ]
5.39.	Определить коэффициент поверхностного
натяжения масла, плотность которого 910 кг/м3, если
179
при пропускании через пипетку 4,0-10 6 м3 масла
получилось 304 капли. Диаметр шейки пипетки
1,2-10"3м. [3,1 • К) 2 Н/м]
5.40.	На сколько давление воздуха внутри мыль-
ного пузыря больше атмосферного, если диаметр
пузыря 5.0-103м? [62,5 Па]
5.41.	Капиллярная трубка с внутренним диамет-
ром 2.0-10' м наполнена водой и приведена в вер-
тикальное состояние. Какова высота столбика оста-
вшейся воды? Плотность и коэффициент поверх-
ностного натяжения воды равны соответственно
1,0- 103 кг/м3 и 7,4- 10 2 Н /м. Отвез' выразить в мил-
лиметрах. [30,2 мм]
5.42.	В капиллярной трубке диаметром 1,0- 10 3 м
жидкость поднялась на 1,1 • 10 2 м. Какова плотность
жидкости, если ее коэффициент поверхностного на-
тяжения равен 2.2 10 2 Н/м? [0,8  103 кг/м3 ]
5.43.	Деревянная палочка длиной 0,04 м и массой
0,10-10" 2 кг покоится на поверхности воды. По
одну сторону от нее осторожно налили мыльный
раствор. С каким ускорением начнет двигаться
палочка? Сопротивлением воды при движении палоч-
ки пренебречь. Плотность дерева 0,80  103 кг/м3.
Коэффициенты поверхностного натяжения воды
и мыльного раствора соответственно 7,40- 10 2 и
0,04 Н/м. [1,36 м/с2]
5.44.	Деревянная свая высотой 3 м и сечением
3 10“2м2 подверглась удару силой 5-105 Н. Чему
равно абсолютное сжатие сваи, если модуль уп-
ругости дерева 1 • Ю10 Па? [5 мм]
5.45.	Медная проволока диаметром 1,00 10-3м
разрывается при нагрузке 184,63 Н. Каков предел
прочности меди при растяжении? [2,35 108 Па]
5.46.	Найти напряжение стального бруса при
293 К, если он жестко заделан между неподвижными
вертикальными стенами, строительс гво которых ве-
лось при 273 К. Модуль упругости и коэффициент
линейного расширения стали равны соответственно
2,1-1011 Па и 1,2-КГ5 К"1. [50,4-106 Па]
5.47.	Стальная струна площадью поперечного
сечения 2,0 • К)"6 м2 натянута между двумя непод-
вижными вертикальными столбами. На сколько из-
менится сила натяжения струны при ее охлаждении
на 30 К? Все недостающие данные имеются в задаче
5.46. [151.2 Н]
180
Контрольная работа № 5А
5.1	А. Объем пузырька воздуха,
всплывающего со дна водоема
на поверхность, увеличился
в 5,9 раза. Какова глубина
водоема? Плотность воды рав-
на 1000 кг/м3, ускорение сво-
бодного падения 9,8 м/с2, ат-
мосферное давление 1 • 105 Па.
Считать, что температура воды
на любой глубине водоема одна
и та же.
5.2	А. Баллон, наполненный воз-
духом при температуре 273 К
и атмосферном давлении 100
кПа, закрыт клапаном, поверх-
ность которого 10 см2, а вес
20 Н. До какой температуры
следует нагреть воздух в бал-
лоне, чтобы он открыл клапан?
5.3А. Аэростат объемом 1000 м3
должен быть заполнен водоро-
дом при температуре 280 К.
Давление в нем должно быть
равно 100 кПа. Какое количест-
во баллонов водорода емкостью
по 50 л при температуре 300 К
и при давлении 4 МПа потребу-
ется для заполнения аэростата?
5.4А. В баллоне находится газ
при температуре 300 К. Во
сколько раз уменьшится давле-
ние газа, если 40% его выйдет
из баллона, а температура при
этом понизится на 50 К?
5.5	А. Два баллона соединены
трубкой с закрытым клапаном,
объемом которой можно пре-
небречь. В баллоне объемом
0,02 м3 находится газ под дав-
лением 1,6- 104 Па, а в баллоне
объемом 0,06 м3 — тот же газ
под давлением 1,2 104Па. Ка-
кое давление установится в бал
лонах, если открыть клапан?
Температура газа до и после
открытия клапана постоянная.
5.6	А. На графике показана за-
висимость давления р от тем-
пературы Т некоторого идеаль-
ного газа (рис. 131). Как менял-
ся объем газа в этом процессе9.
Масса и химический состав газа
постоянны. Ответ обосновать
графически.
Контрольная работа № 5Б
5.1	Б. Г аз, находящийся при те-
мпературе 300 К, изобарно на-
гревают до 750 К. В результате
его объем увеличился на
0,18 м3. Определить первона-
чальный объем газа.
52Б. Стакан высотой 0,3 м опу-
скают вверх дном в воду так,
что его дно находится на уров-
не воды. До какой высоты
войдет вода в стакан? Атмос-
ферное давление равно
1,0 105 Па. Плотность воды
1,0 • 103 кг/м3, ускорение сво-
бодного падения 9,8 м/с2. Тем-
пературу считать постоянной.
5.3	Б. При уменьшении объема
газа в два раза давление уве-
личилось на 120 кПа, а тем-
пература возросла на 10%. Ка-
ким было первоначальное дав-
ление?
5.4	Б. В помещении при тем-
пературе 290 К и давлении
1,0 10’ Па находится 6,0-1027
молекул воздуха. Каков объем
помещения? Постоянная Авога-
дро Ад =6,02 • 1023 моль-1. Мо-
лярная газовая постоянная
/? = 8,3 Дж/(мольК). Ответ
округлить до целого числа.
5.5	Б. Два сосуда объемами 40
и 20 л содержат газ под дав-
лением соответственно 1,50
и 0,60 мПа при одинаковой
температуре. Во сколько раз
следует понизить температуру
газа, чтобы при соединении со-
судов установилось давление
1,00- 106 Па?
5.6	Б. На рис. 132 дан график
изменения состояния идеаль-
ного газа в координатах И— Т
Представить этот процесс на
графике в координатах р — Т.
Масса газа остается посто-
янной.
5.7	Б. Для осушки воздуха, на-
ходящегося в сосуде емкостью
Юл, в сосуд ввели кусок осу-
шителя , поглотившего 130 мг
воды. Какова была относи-
тельная влажность воздуха
в сосуде, если его температура
181
Рис. 131
5.7	А. В комнате объемом 60 м3
поддерживается температура
295 К. Определить относитель-
ную влажность воздуха и ко-
личество водяных паров, содер-
жащихся в комнате, если точка
росы равна 280 К. Молярная
масса водяного пара
0,018 кг/моль.
5.8	А. Железная канистра ем-
костью 50,0 л до краев запол-
нена керосином при темпера-
туре 273 К. Какая масса керо-
сина вылилась из бака при его
хранении при температуре
293 К? Плотность керосина при
температуре 273 К равна
0,8 • 103 кг/м3. Коэффициенты
линейного расширения железа
и объемного расширения керо-
сина равны соответственно
1,2 • 10 А и 1,0- 10"-’ К
5.9	А. Воздушный пузырек диа-
метром 2,0-10"6 м находится
в воде у ее поверхности. Опре-
делить давление воздуха внутри
пузырька. Атмосферное давле-
ние равно 1,0-10* Па, коэффи-
циент поверхности натяжения
воды 7,4 • К) - Н/м.
5.10	А. Бетонный стержень за-
креплен при помощи зажимов
на прочном основании при 273
К. При какой температуре стер-
жень разорвется? Прочность на
разрыв равна 5 • 106 Па. Модуль
упругости и коэффициент ли-
нейного расширения бетона ра-
вны соответственно 1  IO10 Па
и 1 • 10"5 К’1.
не менялась и была равна
293 К? Молярная масса во-
дяных паров 0,018 кг/моль.
5.8	Б. Латунный сосуд при на-
гревании увеличился в объеме
на 0,6%. На сколько кельвин
был нагрет сосуд, если коэф-
фициент линейного расширения
латуни равен 1,9 10 5К1?
5.9	Б. Определить массу воды,
поднявшейся по капиллярной
трубке диаметром 0,5 10"3 м.
Плотность и коэффициент по-
верхностного натяжения воды
равны соответственно 1,0 103
кг/м3 и 7,4- 10 2 Н/м.
5.10	Б. Железная проволока се-
чением 2 мм2 при 303 К на-
тянута горизонтально и закреп-
лена концами между неподвиж-
ными опорами. С какой силой
будет действовать проволока на
точки закрепления при пониже-
нии температуры до 263 К?
Модуль упругости и коэффици-
ент линейного расширения же-
леза равны соответственно
2,1 10“ Па и 1,2- 10"5 К’1.
182
РАЗДЕЛ VI. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
В термодинамике изучаются наиболее общие
закономерности преобразования энергии. В отличие от
механики учитывается наличие у любого тела внутри -
ней энергии (С), зависящей от его температуры.
Изменение внутренней энергии (АС) возможно в ре-
зультате двух процессов: теплообмена и превращения
механической энергии во внутреннюю. Мерой измене-
ния внутренней энергии тела в случае теплообмена
является количество теплоты (Q), в случае превраще-
ния механической энергии- механическая работа (Л ).
В общем случае количество теплоты, подведенной'
к телу (системе тел), идет на изменение внугрегпеи
энергии тела (системы тел) и на совершение работы
над внешними телами:
£ = АС + Л.	(6.1)
Уравнение (6.1) называется первым законом те-
рмодинамики. В нем Q>Q. если телу (системе тел)
сообщено количество теплоты; Q<0, если оно отдано
телом (системой тел); А>0, если тело (система тел)
совершает работу; /4<0. если работа совершается
над телом (системой тел) внешними телами.
Если при подведении к телу (системе тел) ко-
личества теплоты механическая работа не соверша-
ется (А=0), то
2 = АЕ.
(6-2)
При этом изменение внутренней энергии каждого
тела системы можно рассчитать с помощью следу-
ющих соотношений:
	АЕ = /нсАГ	(6.3)
в случае	нагревания или охлаждения; At/ = + тК	(6.4)
в случае	плавления или кристаллизации; A U = + тг	(6.5)
в случае	парообразования или конденсации.	
В соотношениях (6.3) — (6.5) с -удельная теплоем-
кость вещества, Дж/(кг К); тс—тепюемкость тела,
1 83
Дж/К; X и г— удельные теплоты плавления и парооб-
разования, Дж/кг; АТ - изменение температуры, К.
При полном сгорании топлива выделяется коли-
чество теплоты
Q=AU=mq,	(6.6)
где q— удельная теплота сгорания топлива, Дж/кг.
Если в изолированной системе тел не происходит
никаких превращений энергии кроме теплообмена,
то количество теплоты, отданное телами, внутренняя
энергия которых уменьшается, равно количеству
теплоты, полученному телами, внутренняя энергия
которых увеличивается. При этом суммарная внут-
ренняя энергия системы не меняется и уравнение
(6.2) записывается в виде
At/= f А6/,= 0.	(6.7)
i = 1
Уравнение (6.7), являющееся следствием уравнения
(6.1), называется уравнением теплового баланса.
Если изменение внутренней энергии тела (системы
тел) происходит за счеч совершения механической
работы тел без теплообмена с окружающей средой
((2 = 0), то уравнение (6.1) записывается в виде
0 = AU+A, откуда
АП=-/1.	(6.8)
Механическую работу можно вычислить с помо-
щью соотношений (4.5), (4.13), (4.14).
Энергетические потери учитываются с помощью
коэффициента полезного действия (ц), показывающе-
го, какую часть затраченной энергии (в долях или
процентах) составляет полезная энергия. Вопрос
о том, какая энергия является полезной или затрачен-
ной. решается исходя из условия конкретной задачи.
Изменение внутренней энергии при изменении его
температуры определяется уравнением (6.3). При
этом для каждого газа следует различать удельные
теплоемкости при постоянном давлении (ср) и при
постоянном объеме (сг). Если при постоянном дав-
лении р температура газа меняется на АТ=Г2 — 7\,
то его объем изменяется на АИ=1/2—Et. При этом
газ совершает (в случае нагревания) или над газом
совершается (в случае охлаждения) работа
Л^-^рАГ.	(6.9)
184
Коэффициент полезного действия идеальной те-
пловой машины равен
П =	=	(6.10)
где Qt и Q2 — соответственно количества теплоты,
полученное от нагревателя и отданное холодильнику;
7', и Т2 — соответственно температуры нагревателя
и холодильника.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Основная трудность при решении задач термо-
динамики заключается в том, что абитуриенты не
всегда могут правильно применить уравнение (6.1)
к конкретному физическому процессу. Следует об-
ратить особое внимание на различие между количе-
ством теплоты и изменением внутренней энергии,
на то, что все величины (Q, Ku, А), входящие
в уравнение (6.1), выражаются в одних и тех же
единицах (джоуль). Нередко абитуриенты испыты-
вают затруднения в расчетах, связанных с превраще-
нием энергии из одного вида в другой; в ис-
пользовании заданного КПД процесса; при состав-
лении уравнения (6.7) не учитывают, что в интервале
заданных температур возможны агрегатные перехо-
ды. К сожалению, традиционно трудными являются
задачи, решение которых основано на применении
формул не только термодинамики, но и других
разделов курса физики (механики, молекулярной
физики).
Все предлагаемые на конкурсных экзаменах задачи
термодинамики можно условно разделить на не-
сколько групп.
В одной из них рассматриваются явления теплооб-
мена в изолированной системе тел, где за счет
уменьшения внутренней энергии одних тел увеличива-
ется внутренняя энергия других. Эти задачи реша-
ются на основании уравнения (6.7) с использованием
формул (6.3) — (6.5). Можно рекомендовать такой
порядок их решения:
— внимательно ознакомившись с условием за-
дачи, установить, какие тела нагреваются, какие —
остывают;
185
особое внимание обратить на то, происходят
ли в процессе теплообмена агрегатные превращения;
— для тел, внутренняя энергия которых умень-
шается, записать суммарное ее уменьшение в виде
£A/71=(2i=AL1+A6/2+ ... +ДС'„;
(6.П)
аналогично для тел, внутренняя энергия которых
увеличивается, записать суммарное ее увеличение
в виде
УД£/2 = Qi = AU\ +ДС/'2... +U'k:	(6.12)
на основании (6.11) и (6.12) составить уравнение
(6.7) и решить его относительно искомой величины.
Практически удобнее при решении задач пользо-
ваться уравнением (6.7) в виде £Д U, =	U2. Однако
н	к
здесь следует помнить, что в формуле (6.3) для
нахождения разности температур нужно всегда из
большей температуры вычитать меньшую.
Задачи другой группы объединяют явления, связан-
ные с превращением энергии из одного вида в другой.
Как правило, внутренняя энергия какого-то тела
меняется вследствие совершенной им или над ним
работы, причем теплообмен не учитывается. Эти
задачи решаются на основании уравнения (6.8).
Рекомендуется такой порядок решения:
— при анализе условия задачи убедиться, что
теплообмен с внешней средой действительно отсут-
ствует (6=0);
выяснить причину изменения внутренней энер-
гии тела—само ли тело совершает работу или работа
совершается над ним; это очень важно, так как можно
ошибиться в выборе знака перед А в уравнении (6.8);
— если в задаче указан КПД процесса, то
использовать его следует очень осмотрительно, вник-
нуть в смысл задачи; при этом если работа совер-
шается за счет уменьшения внутренней энергии тела
и часть ее идет на совершение телом работы, то
уравнение (6.8) записывают в виде г|А(/ = Д; если
же внутренняя энергия увеличивается за счет работы,
совершенной над телом, и часть ее идет на увеличе-
186
ние внутренней энергии, то уравнение (6.8) имеет
вид АЙ = г|Л;
— составив уравнение (6.8), следует подставить
в него выражения для А и At/ и найти искомую
величину.
Еще одну группу составляют задачи, в которых
рассматривается процесс сообщения телу (системе
тел) некоторого количества теплоты, вследствие чего
изменяется внутренняя энергия и совершается работа.
Эти задачи решаются на основании уравнения (6.1).
В качестве объекта, которому сообщается количество
теплоты, обычно служит идеальный газ, состояние
которого меняется либо изобарно (р = const), либо
изохорно (И=const).
В первом случае газ при расширении совершает
работу (или работа совершатся над газом при его
сжатии), которая вычисляется в соответствии с фор-
мулой (6.9). Во втором случае, так как АЕ=0, газ
работу не совершает. Количество теплоты в обоих
случаях вычисляется по формуле Q = mcAT, причем
в первом случае учитывается удельная теплоемкость
ср, во втором случае — cv. Таким образом, изменение
внутренней энергии газа в изобарном процессе равно
A U = тсрА Т— р А К,
в изохорном процессе —
At/=mcrAT.
Для идеальных газов внутренняя энергия определя-
ется только температурой, поэтому изменение внут-
ренней энергии идеального газа всегда равно
A U=mcv А Т.
Порядок решения задач этой группы не отлича-
ется от порядка, описанного для задач первых двух
групп.
В комбинированных задачах уравнению первого
начала термодинамики в форме (6.1) или его след-
ствиям (6.2), (6.8) добавляют необходимые соот-
ношения из механики или молекулярной физики.
И наконец, незначительную группу составляют
задачи, в которых рассматриваю гея процессы, проис-
ходящие в идеальной тепловой машине. Решение
таких задач основано на применении соотношения
(6.10). Трудностей у абитуриентов они обычно не
вызывают.
187
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. В медный калориметр массой 0,2 кг со
льдом массой 1,5 кг, имеющие температуру 270 К, впу-
стили пар при температуре 390 К, после чего в калори-
метре установилась температура 320 К. Определить
массу пара. Удельные теплоемкости пара, воды, льда
и меди равны соответственно 1,7; 4,2; 2,1; 0,38 кДж/
/(кг-К). Удельные теплоты парообразования воды
и плавления льда равны соответственно 2,1 МДж/кг
и 0,33 Дж/кг. Считать систему лед—калориметр — пар
изолированной. Ответ округлить до целого числа.
Решение
тм = 0,2 кг;
тл = 1,5 кг;
Тмл = 270 К;
Тл = 390 К;
0 = 320 К;
сп=1,7-103 Дж/(кг-К);
св = 4,2-103 Дж/(кг-К);
сл = 2,1 -105 Дж/(кг-К);
см = 3,8 102 Дж/(кг К);
г = 2,1  10б Дж/кг;
Х = 3,3  105 Дж/кг.
тп-?
По условию задачи те-
плообмен системы лед — ка-
лориметр — пар с внешней
средой не происходит. По-
этому внутренняя энергия
системы не меняется. Зна-
чит, процесс теплового вза-
имодействия между льдом,
калориметром и паром мо-
жно описать уравнением те-
плового баланса с учетом
агрегатных превращений.
Кроме того, в результате
теплового взаимодействия
в калориметре останется во-
да (судя по температуре смеси 0). Внутренняя
энергия пара, отдающего теплоту, уменьшается,
а внутренняя энергия калориметра и льда, получа-
ющих теплоту, увеличивается.
При анализе теплового взаимодействия между
телами системы внимательно проследим все стадии
изменения внутренней энергии тел. Пар, отдавая
теплоту, остывает от температуры Т„ до
ГКОНД = 373 К, затем конденсируется, и далее получен-
ная вода остывает до температуры 0. В результате
внутренняя энергия пара уменьшается на величину
А (2<>ТД	^П^п(-^П	^КОН д) “И	4“	В ( 2"кон Д	0).
Лед, получая теплоту, нагревается от температуры
Тмл до Гплав = 273 К, затем плавится, после чего
полученная вода нагревается до температуры 0.
188
В результате внутренняя энергия льда увеличивается
на величину
A U 2 Q пол уч л ( 7 плав ^мл) П/ЛА. ~f- /7/лСв (0 2"плав)-
Калориметр, принимая теплоту, нагревается от
температуры Гмл до 0. В результате его внутренняя
энергия возрастает на величину
Д^З = <2^луч=^мГм(0-7,вл)-
Составим уравнение теплового баланса:
АС!=АС2 + АС3 ИЛИ 0отд = 2получ + бпоЛуч-
Для описанного процесса оно будет иметь вид
т„сп (Тп - Тконд) + т„г + т„са (Тконд - 0)= шлсл х
( СПлаа Смл) Ч-/НЛХ ШЛСВ (0 Сплав) гимсм (0 Свл),
откуда
__7ВЛ [/ л ( CuiaB Са) "Г Т I II (0 бы,в)j T м (0 7*мл]   р
G.lli.i) + '' < в(С,,иД~0)
Задача 2. В изолированный латунный калориметр
массой 200 г с водой, взятой в количестве 400 г
при температуре 293 К, поместили 100 г льда при
температуре 243 К. Каковы температура и объем
содержимого калориметра после установления теп-
лового равновесия? Удельные теплоемкости латуни,
воды и льда принять равными соответственно 380,
4200, 2100 Дж/(кг-К). Плотности воды и льда равны
соответственно 1000 и 920 кг/м3. Искомый объем
выразить в кубических сантиметрах.
Решение
шк = 0,2 кг;
ск = 3,8 102 Дж/(кг-К);
/?7„ = 0,4 кг;
с„ = 4,2- 103 Дж/(кг-К);
Твк = 293 К;
т„ = 0,1 кг;
сл = 2,1 • 103 ДжДкгК);
Гл = 243 К;
Х = 3,3  103 Дж/кг;
рв= 1,0  103 кг/м3;
р„ = 9,2  102 кг/м3.
©-? И-?
В этой задаче процесс
теплового взаимодействия
между калориметром, во-
дой и льдом, входящими
в изолированную от вне-
шней среды систему, опи-
сывается уравнением тепло-
вого баланса. Однако это
уравнение можно составить
только тогда, когда изве-
стен конкретный результат
теплового взаимодействия
тел системы. Из условия
задачи неизвестно, одна фа-
IS9
за (вода или лед) или обе фазы вместе будут
существовать после установления теплового равно-
весия.
Действительно, можно предположить, что осу-
ществится один результат из четырех возможных:
1) весь лед растает и температура содержимого
0>273 К; 2) вся вода замерзнет и температура
0<273 К; 3) температура 0 = 273 К и часть воды
замерзнет; 4) 0 = 273 К и часть льда растает. И для
каждого случая уравнение теплового баланса должно
иметь свой вид, отличный от других. Чтобы не
загромождать решение задачи, рекомендуем в подоб-
ных случаях производить несложное исследование,
смысл которого заключается в следующем.
При остывании калориметра с водой до тем-
пературы Тф = 273 К их внутренняя энергия умень-
шается на величину
At/i = 2ОТД = ткск (Твк - То) + твсв (Твк - То) = 35 120 Дж.
При нагревании льда до температуры То = 273 К
его внутренняя энергия увеличивается на
А и2 = <2получ = тлсл (То - тл) = 6300 Дж.
Сравнивая A(7i и А(72, видим, что калориметр
с водой выделяет гораздо больше энергии, чем
требуется льду для его нагревания до температуры
плавления, т. е. исключаются случай 3) и тем более
2). Для плавления льда требуется энергия
А С'з = /)/,/. = 33000 Дж.
Значит, при полном плавлении льда его внутренняя
энергия должна увеличиться на
A U2 + А С3 = 39300 Дж.
Так как A(7t <А(72 + А(73, го исключается случай
1), т. е. растает лишь часть льда /ик. В этом случае
в калориметре будут существовать две фазы вещест-
ва: вода и лед. Следовательно, температура смеси
0 = 273 К.
Для случая 4) уравнение теплового баланса будет
иметь вид А (71 = А (72+ шкХ, откуда найдем массу
растаявшего льда:
mR =----;----= 0,087 кг.
190
Таким образом, масса воды и льда при тем-
пературе 0 = 273 К будут равны соответственно
тв + тк и шл — тк. Их объемы Ив = (тц + шк)/рв,
1/л = (тл — тк)/ рл, а общий объем
И=Ив+Ил = '^— + —- = 501,1 см3.
Рн	Р II
Задача 3. С какой скоростью должно быть
брошено вертикально вниз с высоты 350 м свинцовое
тело, чтобы при неупругом ударе о Землю 5% его
массы расплавилось. Считать, что 80% энергии зела
пошло на его нагревание. Начальная темперазура
тела 300 К, температура плавления свинца 600 К,
удельная теплоемкость его 130 Дж/кг, удельная те-
плота плавления 25 кДж/кг.
Решение
// = 3,5 -102 м;
и?। = 5%/;/= 0,05 ш;
То = 300 К;
Т=600 К;
Г|=0,8;
с= 1,3 - 102 Дж/(кг • К);
Х = 2,5- 104 Дж/кг.
ос-
те-
г--?
Задача решается на
новании первого закона
рмодинамики	Q = A U+ А.
Исходя из условия задачи,
можно предположить, что
время удара тела о Землю
настолько мало, что тепло-
обмен с внешней средой пра-
ктически отсутствует,
Q = 0. Тогда
АС= -Л,
внутренней энергии
при ударе. Если в момент
г. е.
СО
тела;
где АС — изменение
А = г[А1—работа силы
бросания полная механическая энергия тела состояла
из кинетической K=mv2 /2 и потенциальной Y\ = ivgH
(при условии, что нулевой уровень потенциальной
энергии выбран на поверхности Земли), а после
удара она стала равной нулю, го на основании (4.13)
. I mv~	\
А = -I ——\-mgH 1.
С учетом коэффициента т), показывающего, какая
часть механической энергии пошла на нагревание
тела, можно записать, что
А =	+	)•
191
При нагревании и частичном плавлении тела его
внутренняя энергия возросла на величину
AU=mc(T— T0)+miX.
Подставляя выражения для А и A U в уравнение
/ mv 2	\
(1), получим тс(Т— T0) + mi Х = р I — -4-rngH ), от-
куда
C(r"ro) + m^_g//
г| /;/г|
= 306,2
м/с.
Задача 4. Установленный на велосипеде двигатель
дает возможность расходовать 1,7 л бензина на
100 км пути при скорости движения велосипеда 7 м/с.
Какую среднюю мощность развивает двигатель, если
его КПД равен 20%? Плотность и удельная теплота
сгорания бензина равны соответственно 700 кг/м3
и 44 МДж/кг.
Решение
И=1,7- Ю3 м3;
.v=l,0 -105 м;
и = 7,0 м/с;
г) =0,2;
р = 7,0- 102 кг/м3;
q = 4,4- 107 Дж/кг.
При движении велосипеда ко-
личество теплоты, выделяемое при
сгорании бензина, равное
Q = mq= Ир<7,
частично идет на увеличение внут-
ренней энергии двигателя и вы-
хлопных газов, частично же идет
на совершение двигателем меха-
нической работы
A =Pt,
где Р — искомая мощность двигателя, t = s / v — время
движения велосипеда. Так как в условии задачи
изменение внутренней энергии учитывается коэф-
фициентом полезного действия т), то можно записать
первый закон термодинамики в форме 11(2=4.
Подставив в это уравнение значения для Q и А,
я
получим v\Vpq = P. откуда
V
p=nJW = 733 Вт.
192
Задача 5. Снеготаялка имеет КПД, равный 25%.
Какой площади поверхность можно освободить от
снега при температуре 270 К, если сжечь 2 т дров?
Толщину снежного покрова считать одинаковой,
равной 0,3 м. Плотность снега 300 кг/м3 *, его удель-
ная теплоемкость 1,8 Дж / (кг • К), удельная теплота
плавления 0,34 МДж/кг, удельная теплота сгорания
дров 12,6 МДж/кг.
Решение
г) = 0,25;
Т=270 К;
То = 273 К;
т = 2,0 • 103 кг;
/7=0,3 м;
р = 3,0  102 кг/м3;
< = 1,8- 103 Дж/(кг-К);
А. = 3,4- 105 Дж/кг;
q = 12,6  10° Дж/кг.
По условию задачи коли-
чество теплоты, выделяющей-
ся при сгорании дров, с уче-
том КПД идет только на
изменение внутренней энергии
снежного покрова толщиной
Н и площадью S. Поэтому
первый закон термодинамики
запишем в форме
r\Q = bU.	(1)
Л •	Внутренняя энергия снежного
покрова увеличится на A U= Мс(Т0 — Т) + Л/А., где
M = NSp — масса снега, Т() -температура его пла-
вления. В этом выражении первое слагаемое -
увеличение внутренней энергии снега при его
нагревании до точки плавления То, второе — уве-
личение внутренней энергии снега при его плавлении.
Количество теплоты, выделившейся при сгорании
дров, равно Q = mq.
Подставив значения Q и Л 7/ в уравнение (1),
получим v\mq = HSp\c(T0 — Г) + А], откуда
5 = —---------= = 202,7 м2.
НрКТо-Г) + Х]
Задача 6. В теплоизолированном сосуде находит-
ся вода при 273 К. Выкачивая из сосуда воз-
дух, добились того, что при интенсивном испаре-
нии части воды остальная часть ее обратилась в лед.
Определить, какая часть воды обратилась в лед.
Удельные теплоты плавления льда и испаре-
ния воды при 273 К равны соответственно
0,33 и 2,5 МДж/кг. Ответ выразить в процен-
тах.
7-674
193
Решение
X = 3,3  105 Дж/кг; По условию задачи теплообмен
г = 2,5 • 106 Дж/кг. содержимого сосуда с окружающей
средой отсутствует. Известно, что
т ,_____при испарении поверхность воды
л	покидают наиболее быстрые мо-
лекулы. В результате внутренняя энергия оставшейся
части воды уменьшается и молекулы ее могут образо-
вывать твердую фазу- лед. Так как в данном про-
цессе вода не получает энергии извне (0 = 0) и механи-
ческая работа не совершается (Т=0), то внутренняя
энергия всей системы не меняется, а это значит, что
уменьшение внутренней энергии оставшейся части воды
At/, равно увеличению внутренней энергии испарив-
шейся части воды А(72. Пусть масса воды в сосуде
была ш, масса образовавшегося льда тл. Тогда
где т — тл -масса испарившейся воды. Так как
A£71=At/2, то шлХ = (/и — тл)г. Разделив обе части
уравнения на	находим
= 88.3 %.
П) }. + г
Задача 7. Тигель с оловом нагревается электриче-
ским током. Количество теплоты, ежесекундно подво-
димой к тиглю, постоянно. За 10 мин олово нагре-
лось от 293 до 343 К, а спустя еще 83 мин полностью
расплавилось. Найти удельную теплоемкость олова.
Температура и удельная теплота плавления олова
равны соответственно 505 К и 58,5 кДж / (кг • К). Теп-
лоемкость тигля и потери теплоты в окружающее
пространство считать бесконечно малыми.
Р е ш е н и е
?! = 10 мин;
Г] =293 К;
Г2 = 343 К;
/2 = 83 мин;
Гплав = 505 К;
Х = 58,5  103 Дж/(кг-К).
с ?
Подводимая к тиглю
энергия тока Q по условию
задачи идет только на уве-
личение внутренней энергии
олова. Механическая работа
не совершается (/1=0). По-
этому первый закон термо-
динамики запишем в виде
194
Q = \U. Разобьем весь процесс на два этапа. На
первом этапе за время внутренняя энергия олова
увеличилась на Абд =те(Т2— Tt), на втором уве-
личилась на
A U 2 = тс (Гплан — Т2) + т 7,
где первое слагаемое выражает увеличение внутрен-
ней энергии олова при нагревании от 7’2 до тем-
пературы плавления, второе — увеличение внутренней
энергии при плавлении. Так как по условию задачи
скорость подведения тепла к тиглю постоянна, то
и увеличение внутренней энергии олова на каждом
AUi AU-,
этапе одинаково, i. е. ----=-----. Тогда
/| 12
т (Т2 — Тj) _тс(Тп11а - Т,) + пГ/>.
П	ц
Сокращая это уравнение на массу олова (т # 0)
и решая его относительно с, получим
Задача 8. Стальная балка длиной 3,6 м жестко
закреплена между двумя упорами при температуре
273 К. С какой силой она будет действовать на
упоры, если в результате нагревания она получит
420 кДж энергии? Модуль упругости для стали
2,1-10" Па, коэффициент линейного расширения,
удельная теплоемкость и плотность стали соответ-
ственно 1,2 • 10 "71 К ~’, 460 Дж / (кг  К), 7800 кг/м3.
Решение
/О = 3,6 м;
2 = 4,2- 105 Дж;
£=2.1 -10" Н/м2;
ос= 1,2  10 s К ';
с = 4,6- I02 Дж/(кг-К);
р = 7,8- 103 кг/м3.
Эго комплексная по со-
держанию задача. Для ее
решения требуется ис-
пользование знаний из раз-
ных разделов курса физи-
ки, и потому она обычно
вызывает за груднения
у части абитуриентов. Так
как при получении б'алкой
количества теплоты Q механическая работа не совер-
шается (74=0), то вся теплота идет лишь на
увеличение внутренней энергии балки (Q = А С), что
обусловливает увеличение температуры балки, так
195
как AU = тс АТ, где m — p/0S— масса балки, А
площадь ее поперечного сечения. Значит,
<2 = р/0АсАГ.	(I)
В результате возрастания увеличивается длина
балки, которая должна была бы сталь равной
/ = /0(1+аАГ).	(2)
Но это невозможно из-за жесткого закрепления
балки. Поэтому относительное удлинение, найденное
из соотношения (2), равно
— =хАТ.	(3)
/о
Оно определяет механическое напряжение балки и,
как следствие, искомую силу, которую найдем из
закона Гука:
Решая совместно систему уравнений (1), (3), (4).
вычислим искомую силу:
F=A—= 81,9- К)3 И.
р/<>т
Задача 9. В вертикальном цилиндре под поршнем
находится 2 кг кислорода. При повышении тем-
пературы кислорода на 5 К его внутренняя энергия
увеличилась на 6570 Дж. Найти количество теплоты,
сообщенное кислороду; работу, совершаемую им при
расширении; его удельную теплоемкость в двух
случаях: а) поршень не закреплен; б) поршень закреп-
лен. Молярная масса кислорода 32 • 10 3 кг/моль.
Молярная (универсальная) газовая постоянная
Л = 8,3 Дж/(моль К).
Решен и е
т = 2 кг;
АГ=5 К;
А17= 6570 Дж;
М=32 • 10 3 кг/моль;
R = 8,3 Дж / (моль • К).
Qp--2 ср-? Ар-?
Qy-2 су- ? Ау '!
В случае а) при нагревании
кислород расширяется и со-
вершает работу против силы
тяжести поршня, силы трения
его о стенки цилиндра и силы
атмосферного давления, дей-
ствующих на поршень. Учи-
тывая, что все перечисленные
196
силы постоянны, а процесс нагревания достаточно
медленен, можно утверждать, что нагревание кис-
лорода будет изобарным (р = const). В случае б),
когда объем кислорода не меняется, его нагревание
будет изохорным (Р'= const). Все искомые величины
снабжены индексами р или V, обозначающими, какой
параметр не меняется в процессе нагревания кис-
лорода. В случае а) часть энергии, подводимой
к нему, идет на увеличение его внутренней энергии,
а часть — на совершение работы по перемещению
поршня. Поэтому процесс теплообмена опишем урав-
нением первого закона термодинамики в виде
Q„ = AU+AP.	(1)
В случае б) кислород работы не совершает, так
как его объем не меняется. Значит, Лг = 0 и все
подводимое к газу количество теплоты идет лишь
на увеличение его внутренней энергии. Процесс
теплопередачи в этом случае описывается уравнением
Qv = ^u.	(2)
Обратим внимание на то, что в обоих случаях
изменение внутренней энергии кислорода, зависящее
только от разности температур (газ идеальный),
остается одним и тем же. Работу расширения
Ар найдем из соотношения Ap=p(V2 — П), где
V\ и И2— объемы кислорода соответственно после
и до нагревания.
Поскольку в условии задачи не заданы ни
давление, ни объемы, воспользуемся уравнением
Менделеева — Клапейрона, записанным для началь-
ного и конечного состояний кислорода:
/11
pVl = "-RT\, pV2 = -RT2.
м	м
Вычитая из второго уравнения первое, получим
р(У2 — yi) = ^R(T2 — Л). Следовательно, выражение
для Ар можно записать в виде
/1,) = ^7?(Т2-Т1) = ^7?АТ=2594 Дж.
м	м
Тогда из уравнения (1) находим Qp = 9164 Дж.
Для случая же б) из уравнения (2) следует,
что = 6570 Дж. Удельные теплоемкости кислорода
197
найдем из соотношений Qp = тср\Т и Qv = mcv\T,
откуда
ср= м,=916 дж/^кг 	657 дж/(кг • «)
т&Т	шАТ
Обращаем Ваше внимание на то, что для любого
газа имеется заметная разница в значениях удельных
теплоемкостей при р = const и V=const! Для твердых
и жидких тел в большинстве случаев этой разницей
можно пренебречь из-за значительно меныпего ко-
эффициента их объемного расширения.
Задача 10. В цилиндре двигателя внутреннего
сгорания при работе образуются газы, температура
которых 1000 К. Температура отработанного газа
373 К. Двигатель расходует в час 36 кг топлива,
удельная теплота сгорания которого 43 МДж/кг.
Какую максимальную полезную мощность может
развивать этот двигатель?
Р е ш е п и е
Л = 1000 К; Г, = 373 К; / = 3600 с; m = 36 кг; <7 = 43 • 106 Дж/кг.	По определению, Л,ол = т1Г1О;1//,	(1) где Лпол—полезная работа, совер- шаемая двигателем. Так как нас интересует максимальная мощ-
Р 1 пол	ность /J„o„, то следует искать мак- симальную работу Лпол, которую
возможно совершить в том случае, если двигатель
будет работать в режиме идеальной тепловой ма-
шины, в которой рабочее тело (газ) изменяет со-
стояние по замкнутому циклу Карно. Очевидно, что
внутренняя энергия газа в замкнутом цикле остается
неизменной (Д£7=0). Поэтому уравнение первого
закона термодинамики с учетом КПД запишем
в виде г](2 = Л|]ОЛ, где Q = mq — количество теплоты,
выделяемое при сгорании топлива. Она будет мак-
симальной, очевидно, тогда, когда максимальным
будет КПД, г. е. р = (	- T2)i 7\. То1да
Т-'О _ .<
..  ^9	ПОЛ •
• 1
Подставив значение 4„ол в уравнение (I), получим
Рпол =	= 296610 Вт.
198
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1.	Кусок свинца массой 1,0 кг расплавился
наполовину при сообщении ему количества теплоты
54,5 кДж. Какова была начальная температура свин-
ца? Удельная теплоемкость, удельная теплота плав-
ления и температура плавления свинца равны соот-
ветственно 0,13 кДж/(кг • К), 24 кДж/кг, 6,0102К.
[273,1 К]
6.2.	Какое количество теплоты необходимо для
того, чтобы 0,1 кг воды, взятой при температуре
283 К, довести до кипения и 10% ее испарить?
Удельная теплоемкость воды 4,2 • 103 Дж/(кг  К), ее
удельная теплота парообразования 22,6 • 105 Дж/кг,
температура кипения воды 373 К. Ответ выразить
в килоджоулях и округлить до целого числа.
[60 кДж]
6.3.	В латунный калориметр массой 0,2 кг, содер-
жащий 0,4 кг воды при температуре 290 К, опустили
0,6 кг серебра при 358 К. Вода нагрелась до 295 К.
Определить удельную теплоемкость серебра. Удель-
ные теплоемкости латуни и воды равны соответст-
венно 380 и 4200 Дж/(кг • К). [230 Дж/(кг • К)]
6.4.	В калориметр теплоемкостью 2-103Дж/К,
содержащий 500 г воды при температуре 313 К,
влили 20 кг расплавленного свинца при температуре
плавления 600 К. При этом часть воды выкипела.
Определить массу испарившейся воды. Ответ выра-
зить в граммах. [364 г]
6.5.	В сосуд с теплоемкостью 20 Дж/К, содер-
жащий 500 г воды при температуре 293 К, опустили
100 г льда при температуре 253 К. Определить
установившуюся температуру воды. [276 К]
6.6.	В калориметр, теплоемкостью и теплообме-
ном с внешней средой которого можно пренебречь,
налито 2 кг воды и положен кусок льда массой
5 кг. Температуры воды и льда равны соответственно
278 и 233 К. Определить температуру и объем
содержимого калориметра после установления теп-
лового равновесия. Объем выразить в кубических
сантиметрах. [273 К; 7540 см3]
6.7.	Какую массу должны иметь железные вагон-
ные тормоза, чтобы при полной остановке вагона
массой 10,0 т, двигавшегося со скоростью 10,0 м/с,
они нагрелись не более чем на 100 К? Считать, что на
199
нагревание тормозов идет 80% энергии вагона.
[8,7 кг]
6.8.	Свинцовая пуля, летевшая со скоростью
400 м/с, пробив доску, потеряла 25% своей скорости.
Считая, что 80% работы по преодолению сопротив-
ления доски пошло на нагревание пули, найти, какая
часть ее расплавится. Начальная температура пули
380 К. Ответ выразить в процентах. [2% ]
6.9.	Два железных шара одинаковой массы дви-
жутся со скоростью 100 и 200 м/с навстречу друг
другу. На сколько повысится их температура после
неупругого столкновения, если на нагревание пойдет
80% энергии, выделившейся в результате удара?
Удельная теплоемкость железа 460 Дж/(кг-К). [20 К]
6.10.	Сани с седоком общей массой 50,0 кг
скатываются с горы длиной 50,0 м без начальной
скорости. У подножья горы их скорость равна
6,0 м/с. На сколько повысится температура железных
полозьев, если их масса 1,2 кг? Считать, что на
нагревание полозьев идет 80% теплоты, выделя-
ющейся при трении полозьев о снег. [16,4 К]
6.11.	КПД тепловоза равен 3()%. Определить
массу нефти, расходуемую в нем на каждый киловатт
мощности в час. Удельная теплота сгорания нефти
4,3 • 107 Дж/кг. [0,3 кг]
6.12.	Речное судно на подводных крыльях «Ме-
теор», КПД двигателя которого равен 0,3, развивает
мощность 1,5 МВт. Найти массу горючего, расходу-
емого на каждый километр пути при средней ско-
рости движения 15 м/с. Удельная теплота сгорания
горючего 4,6 • 107 Дж/кг. [7,2кг]
6.13.	Автомобиль массой 4.6 т трогается с места
на подъеме с уклоном, равным 0,025, и, двигаясь
равноускоренно, за 40 с проходит 200 м. Каков расход
бензина (в литрах) на этом участке, если коэффициент
сопротивления 0,02 и КПД двигателя 20%? [0,1 л]
6.14.	В газовой горелке используется газ, удельная
теплота сгорания которого 36 МДж/м3. На нагрева-
ние чайника, теплоемкость которого 100 Дж/К, с во-
дой, взятой в количестве 3 л, от 283 К до кипе-
ния было израсходовано 60 л газа. Вычислить
КПД горелки. Удельная теплоемкость воды
4200 Дж/(кг К). [53% ]
6.15.	В электрическом чайнике мощностью 800 Вт
кипятят воду, взятую при температуре 293 К, за
200
20 мин. КПД чайника 52%. Сколько литров воды
было в чайнике? [1,5 л]
6.16.	На электроплитке мощностью 600 Вт с те-
пловой отдачей 45% нагрели от 283 К до кипения
1,5 л воды за 40 мин. Какая часть воды (в %)
выкипела? [2,3% ]
6.17.	Определить массу воды, находящейся в те-
плоизолированном сосуде, если после интенсивного
испарения 2,71 г ее остальная часть замерзла. Про-
цесс происходит при 273 К. Удельные теплоты
испарения воды при 273 К и кристаллизации льда
равны соответственно 2,47 мДж/кг и 3.35- 105 Дж/кг.
[22,69 г]
6.18.	Определить массу воды, которая может
быть превращена в лед при 273 К испарением эфира,
масса которого 0,1 кг, а температура 293 К. Началь-
ная температура воды также равна 293 К. Удельная
теплота испарения эфира и его удельная теплоем-
кость равны соответственно 3,8  105 Дж/кг
и 2,1 • 103 Дж/(кгК). [0,1 кг]
6.19.	Вода при 273 К была нагрета до точки
кипения и превращена в пар за 1 ч 35 мин в течение
15 мин. Считая, что ежесекундный подвод теплоты
к воде не менялся в течение всего процесса, и пренеб-
регая теплообменом с окружающей средой, найти
удельную теплоту парообразования воды. Удельная
теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг К).
[22,4-105 Дж/кг]
6.20.	В холодильнике вода массой 2,0 кг за 20 мин
остыла от 289 до 276 К. За сколько минут можно
получить 0,4 кг льда при 273 К? Теплообменом
с внешней средой пренебречь. Считать уменьшение
внутренней энергии воды пропорциональным време-
ни. Удельная теплоемкость и удельная теплота
плавления льда соответственно 4,2 кДж/(кг  К)
и 0,33 МДж/кг. [28,8 мин]
6.21.	Какое количество теплоты сообщили мед-
ному шару, если его объем увеличился на 10 см3?
Удельная теплоемкость, плотность и коэффициент
линейного расширения меди равны соответственно
3,8 • 102 Дж/(кг К),	8,9  103 кг/м3, 1,7 -10 5 К1.
[663,1 кДж]
6.22.	Какого сечения латунный стержень необ-
ходимо взять, чтобы при сообщении ему 300,0 кДж
энергии в виде теплоты он удлинился на 0.2 см?
201
Ответ выразить в квадратных сантиметрах. Коэффици-
ент линейного расширения, удельная теплоемкость
и плотность латуни равны соответственно
1,9-10 5 К-1, 3.8-102 Дж/кг К, 8,5  103 кг/м3. [8,8 см2]
6.23. Температура воздуха в комнате объемом
70 м3 была 280 К. После того как протопили печь,
температура поднялась на 16 К. Найти работу воз-
духа при расширении, если давление постоянно
и равно 100 кПа. [400 кДж]
6.24.	В цилиндре под поршнем находится 1,6 кг
кислорода при 290 К и давлении 4-105 Па. До какой
температуры следует изобарно нагреть кислород,
чтобы при расширении была совершена работа
40 кДж? Молярная масса кислорода 32- 10 ~3 кг/моль.
[383 К]
6.25.	Вычислить увеличение внутренней энергии
2 кг водорода при изобарном повышении его тем-
пературы на 10 К. Удельная теплоемкость водорода
при постоянном давлении ср = 14 кДж/(кг  К), его
молярная масса 2 • 10 3 кг/моль, молярная газовая
постоянная 8,3 Дж/(моль • К). [197 кДж]
6.26.	Температура 28 г азота повышается на 50 К
один раз изобарно, а другой раз изохорно. На
сколько отличаются друг от друга количества сооб-
щенных азоту геплот Qp и Qv' На сколько отличают-
ся их удельные теплоемкости ср и су? Молярная масса
азота 28•10 3 кг/моль, молярная газовая постоянная
8,3 ДжДмоль • К). [415 Дж; 296/(Дж/(кг  К)]
6.27.	Давление азота, находящегося в закрытом
сосуде объемом 3,0 л. после нагревания возросло
на 2,2 МПа. Какое количество теплоты было сооб-
щено азоту? Удельная теплоемкость азота при- посто-
янном объеме су = 745 Дж/(кг • К). Ответ выразить
в килоджоулях. [16,5 кДж]
6.28.	Газ в идеальной тепловой машине отдает
холодильнику 70% теплоты, полученной от нагрева-
теля. Какова температура холодильника, если тем-
пература нагревателя 430 К? [301 К]
6.29.	Температуры нагревателя и холодиль-
ника идеальной тепловой машины соответственно
380 и 280 К. Во сколько раз увеличится КПД
машины, если температуру нагревателя увеличить
на 200 К? [2]
6.30.	В паровой турбине вследствие сгора-
ния 0,45 кг дизельного топлива совершается ра-
202
бота 5,04 МДж. Температура поступающего в тур-
бину пара 520 К, температура холодильника 300 К.
Во сколько раз КПД идеальной машины, работа-
ющей в тех же температурных режимах, что и тур-
бина, выше фактического КПД турбины? Удельная
теплота сгорания дизельного топлива 42 МДж/кг.
[1,58]
Контрольная работа № 6А
6.1	А. В латунный калориметр
массой 0,2 кг, содержащий
0,5 кг воды при 300 К, помеща-
ют кусок льда массой 0,05 кг,
взятый при температуре 263 К.
Определить температуру воды
в калориметре после тою, как
лед растает. Удельные теплоем-
кости латуни, воды и льда
равны соответственно 0,38; 4.2;
2,1 кДж/(кг • К). Удельная теп-
лота плавления льда
0,33 МДж/ki . Считать, что те-
плообмен с внешней средой ни-
чтожно мал.
6.2	А. В изолированный сосуд
теплоемкостью которого мож-
но пренебречь, поместили 0.4 кг
воды при температуре 293 К
и 0,1 кг льда при температуре
265 К. Определить массы ком-
понентов (в граммах) после
установления теплового равно-
весия.
6.3	А. Стальной осколок, падая
с высоты 800 м, имел у поверх-
ности Земли скорость .50 м На
сколько повысилась температу-
ра осколка, если считать, что
90% работы сопротивления воз-
духа пошло на его нагревание?
Удельная теплоемкость стали
460 ДжДкгК).
6.4	А. Гусеничный трактор раз-
вивает номинальную мощность
60 кВт и при этой мощности
расходует в среднем 18 кг ди-
зельного топлива в час. Найти
КПД его двигателя. Удельная
теплота сгорания дизельного
топлива 42 МДж/кг.
6.5	А. На электроплитке мощ-
Контрольная работа Ks 6Б
6.1 Б. В железную банку массой
0,3 кг, содержащую 0,5 кг воды
при 290 К, впустили 0,1 кг во-
дяного пара при температуре
380 К, который обратился в во-
ду, Определить температуру во-
ды после установления теплового
равновесия. Удельные теплоем-
кости железа, воды и пара
равны соответственно 4,6-1()2;
4,2 К)3;	1,7- I03 Дж ./(кг К).
Удельная теплота парообразо-
вания воды 2,1 • Ю6 Дж/(к1 К).
Теплообмен с окружающей сре-
дой отсутствует.
6. 2К Смешано 0,2 кг воды при
температуре 303 К и столько
же льда при температуре 2.33 К.
Определить объемы компонен-
тов после установления равно-
весной температуры. Теплоем-
костью сосуда пренебречь, со-
суд считать изолированным.
Ответ выразить в кубических
сантиметрах.
6. ЗБ. Пировой молот .мтссой
10 т свободно падает на желез-
ную болванку массой 200 кг.
Считая, что на нагрсванисб ол-
ванки идет 30*1<3 кол ичсстпч те-
плоты, выделенной при ударах,
определить, сколько раз должен
упасть молот, чтобы болванка
нагрелась на 20 К.
6.4	Б. Двигатель автомобиля,
развивая мощность 22.4 кВт,
израсходовал 7 л бензина. Ка-
кой путь прошел лвтомобии,
если он двшался со средней
скоростью 20 м/с? КПД двига-
теля 22%.
6.5	Б. Для нагревания на спир-
203
ностью 500 Вт, имеющей КПД
40%, нагрели 0,8 л воды, взятой
при температуре 288 К, до ки-
пения. При этом 10% воды
обратилось в пар. Как долго
длилось нагревание? Ответ вы-
разить в минутах.
6.6	А. Под колоколом воздуш-
ного насоса находится 40 г
воды при температуре 273 К.
При откачивании воздуха из-
под колокола часть воды ин-
тенсивно испаряется, а осталь-
ная часть замерзает. Опреде-
лить массу (в граммах) об-
разовавшегося льда.
6.7	А. В электрическом чайнике
вода нагревается от 273 К до
кипения за 10 мин. За сколько
минут после этого вся вода
выкипит? Теплоемкость чайника
и теплообмен с окружающей
средой не учитывать. Скорость
подвода теплоты к чайнику счи-
тать постоянной.
6.8	А. На нагревание железного
бруска израсходовано 1,7 МДж
теплоты. Каково изменение
объема бруска? Ответ выразить
в кубических сантиметрах.
6.9	А. Для изобарного нагрева-
ния 800 моль газа на 500 К ему
сообщили количество теплоты
9,4 МДж. Определить работу,
совершенную газом при рас-
ширении и приращении его вну-
тренней энергии. Молярная га-
зовая	постоянная
8,3	ДжДмоль • К). Ответ выра-
зить в мегаджоулях.
6.10А. Температура нагревателя
идеальной тепловой машины
423 К, а холодильника 293 К.
Как велика работа, произве-
денная машиной, если рабочее
тело получило от нагревателя
1,0 105 кДж количества тепло-
ты? Ответ выразить в кило-
джоулях.
товке 0.3 кг воды от 293 до
343 К ее поместили в железную
кружку с теплоемкостью
41,7 Дж/К. При этом было
сожжено 7,0 ДО-3 кг спирта.
Каков КПД спиртовки? Удель-
ная теплота сгорания спирта
29 МДж/кг. Удельная теплоем-
кость воды 4,2 кДж/(кг • К).
6.6	Б. В колбе находилась вода
при температуре 273 К. Выка-
чав из колбы воздух, заморо-
зили воду посредством соб-
ственного испарения. Какая
часть воды испарилась, если
притока теплоты снаружи нет?
Удельная теплота испарения во-
ды при 273 К равна
2,49 МДж/кг, удельная теплота
плавления льда 0,33 МДж/кг.
6.7	Б. При изготовлении льда
в холодильнике вода за 5 мин
остыла от 277 до 273 К и еще
через 100 мин превратилась
в лед. Какова удельная теп-
лота плавления льда? Теплооб-
меном с внешней средой пре-
небречь. Считать, что умень-
шение внутренней энергии во-
ды пропорционально времени.
Удельная теплоемкость воды
4200 ДжДкг К).
6.8	Б. Какое количество теплоты
нужно сообщить стальному
рельсу площадью поперечного
сечения 20,0 см’-, чтобы он
удлинился на 6.0 мм? Ответ
выразить в мегаджоулях.
6.9	Б. Какую работу совершил
воздух массой 290 г при его изо-
барном нагревании на 20 К? Ка-
кое количество теплоты ему при
этом сообщили? Каково измене-
ние внутренней энергии воздуха?
Удельная теплоемкость воздуха
ср = 1000 Дж / (кг  К). Молярная
газовая постоянная Л = 8,3 Дж х
х моль '  К 1. Молярная масса
воздуха М=29  10 ~3 кг/моль.
6.10	Б. В идеальном тепловом
двигателе рабочее тело, полу-
чив от нагревателя 40 кДж ко-
личества теплоты, совершило
работу 27 кДж. Во сколько раз
температура нагревателя выше
температуры холодильника?
204
РАЗДЕЛ VII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ, ФОРМУЛЫ
Если в инерциальной системе отсчета находятся
неподвижные точечные электрические заряды, то
модуль силы взаимодействия между ними определя-
ется законом Кулона, который записывается в виде
С=-^-2,	(7.1)
4я££0/'
где и </2—абсолютные значения зарядов, е —
диэлектрическая проницательность среды, е0 = (4д -9 х
х 109) Ф/м = 8,85  I012 Ф/м — электрическая посто-
янная, г — расстояние между зарядами. Закон записан
в Международной системе единиц (СИ).
Выражением (7.1) пользуются также при нахож-
дении модуля силы взаимодействия между двумя
заряженными шарами, если можно пренебречь яв-
лением электростатической индукции. В этом случае
г — расстояние между центрами шаров.
В системе заряженных тел, не обменивающейся
электрическими зарядами с телами, не принадлежа-
щими этой системе, так называемая электрическая
изолированная система, алгебраическая сумма заря-
дов системы есть величина постоянная (закон со-
хранения зарядов):
£<7, = const.	(7.2)
п
Напряженность электрического поля в данной
точке
F
Е=-.	(7.3)
‘/о
где F -сила, действующая на точечный положитель-
ный заряд q(), помещенный в данную точку.
Модуль вектора напряженности электрического
поля, образованного точечным зарядом q на рас-
стоянии г от него, равен
Е
4лЕ£0Г
(7.4)
205
Потенциал электрического поля в данной точ-
ке
Ф = -,	(7.5)
'/о
где А работа по перемещению точечного поло-
жительного заряда q0 из бесконечности в данную
точку.
Потенциал электрического поля, созданного то-
чечным зарядом q, на расстоянии г от него равен
Если электрическое поле создано проводящим
шаром, по поверхности которого распределен заряд
<7, то внутри шара напряженность поля всюду равна
нулю, а потенциал всюду одинаков и равен потен-
циалу на поверхности шара. На поверхности же
шара и за его пределами напряженность и потенциал
поля такие же, какие создавал бы точечный заряд
</, будучи помещен в центре шара, г. е. определяются
выражениями (7.4) и (7.6).
Если электрическое поле создано несколькими
точечными зарядами (или заряженными шарами),
то напряженность поля в данной точке равна
векторной сумме напряженностей, созданных в этой
точке каждым зарядом в отдельности, а потенциал
тюля в данной точке равен алгебраической сум-
ме потенциалов, созданных в этой точке каждым
зарядом (принцип суперпозиции электрических
полей):
Е = ХЕ,.; <₽ = 1ф,.	(7.7)
/I	/I
Если заряд q перемещается в электрическом
поле из точки с потенциалом <pt в точку с по-
тенциалом <р2, то независимо от формы пути
силы электрического поля совершают над зарядом
работу
^=<7(ф1-ф2)-	(7.8)
В однородном электрическом поле (Е = const)
модуль вектора напряженности связан с разностью
потенциалов равенством
206
= ‘P i - <Р2 _Аф
' ~ d ~ d
(7.9)
где (/- расстояние между точками с потенциалами
epi и ф2, отсчитываемое вдоль силовой линии.
Электроемкость уединенного проводника, име-
ющего заряд q и потенциал ср,
С = ц/ф.	(7.10)
Электроемкость уединенного проводящего шара
радиусом R, находящегося в среде с диэлектрической
проницаемостью 8,
С = 4rt8£0 R.
(7.11)
Электроемкость конденсатора, заряд на пластинах
которого </, а разность потенциалов между пласти-
нами Аф,
С = г//Аф.
(7.12)
Электроемкость плоского конденсатора, площадь
каждой из пластин которого 5. а расстояние между
пластинами d.
С = £80 S’/ (/,
(7.13)
где 8 — диэлектрическая проницаемость среды между
пластинами.
Электрическая энергия уединенного заряженного
тела
И/=^ф = 1сФ2 = ^.	(7.14)
где q, ф, С—соответственно заряд, потенциал,
электроемкость тела.
Энергия электрического поля заряженного кон-
денсатора
ц/_7А(Р _С(А1Р)2 _‘/2
2	2 2С
(7.15)
где ц, Аф, С соответственно заряд на пластинах,
разность потенциалов между ними, электроемкость
конденсатора.
207
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
На конкурсных экзаменах по физике обычно
предлагаются такие задачи электростатики, в кото-
рых по известному распределению точечных зарядов
в пространстве или по известному расположению
и форме заряженных проводников требуется найти
характеристики созданного ими электрического поля
или, наоборот, зная характеристики электрического
поля, найти заряды, создавшие его. В качестве
заряженных проводников рассматриваются простей-
шие из них: шары и конденсаторы.
При всем многообразии задач электростатики
можно все же условно разделить их на две группы.
К первой из них отнесем задачи, в которых рас-
сматриваются электрические поля, созданные точеч-
ными зарядами. Решение таких задач основано на
применении формул (7.1) — (7.9). Если в условия
задач включены элементы механики, то рекомендуем
их решать в таком порядке:
— расставить на чертеже все силы, действую
щие на точечный заряд, помещенный в электриче
ское поле; записать для него условия равновесия
или основное уравнение динамики материальной
точки;
— выразить электрические силы по формулам
(7.1) или (7.3), считая, что один из зарядов находится
в поле другого заряда; если вместо напряженности
однородного электрического поля задана разность
потенциалов между двумя фиксированными точка1'и
поля, то используют соотношение (7.9); если гфи
взаимодействии происходит перераспределение заря-
дов, то к составленным уравнениям добавляют
уравнение закона сохранения з арядов (7.2);
— записать, если требуется, вспомогательные ура-
внения из кинематики, молекулярной физики и других
разделов курса и решить полученную систему урав-
нений относительно искомой величины.
В задачах на расчет полей, созданных системами
точечных зарядов, нахождение напряженности и по-
тенциала в некоторой точке пространства основано
на применении соотношений (7.3)— (7.7). Особое
внимание обращаем на векторный характер напря-
женности и на знак перед значением потенциала,
определяемый знаком заряда, создающего поле.
208
Вычисление работы, совершенной полем над то-
чечным зарядом, производят по формуле (7.8),
причем если рассматривается изменение взаимного
расположения двух зарядов, то считают, что один из
них (любой) движется в электрическое поле, создан-
ном другим зарядом. Полезно помнить, что положи-
тельные заряды, предоставленные сами себе, движут-
ся от точек с большим потенциалом к точкам
с меньшим потенциалом. Отрицательные заряды
перемещаются в противоположном направлении. Ес-
ли в задаче идет речь об энергии, которую приобрета-
ет заряд в результате воздействия на него сил по-
ля, то пользуются уравнением закона сохранения
энергии совместно с формулой (7.8) и, если требует-
ся, (7.9).
Ко второй группе отнесем задачи, в которых
идет речь об электрических полях, созданных заря-
женными телами, размерами которых нельзя пренеб-
речь (шары, конденсаторы). Решение таких задач
основано на применении формул (7.9) — (7.15).
Если по условию задачи дано одно заряженное
тело, то величины, характеризующие его электрические
свойства, могут быть найдены из формул (7.9) — (7.13)
или их комбинаций. Если электрическое поле образова-
но шаром с равномерно распределенным на его
поверхности зарядом, то для нахождения характери-
стик поля используют формулы (7.4) и (7.6), считая, что
заряд шара сосредоточен в его геометрическом центре.
Здесь следует помнить о замечаниях, сделанных
в первом пункте этого раздела относительно величин
L л (р внутри, на поверхности и вне шара. Если в задаче
идет речь о соединении двух изолированных заряжен-
ных шаров проводником, электрической емкостью
которого можно пренебречь, то следует помнить, что
перераспределение зарядов происходит до тех пор,
пока не выравняются потенциалы шаров (а не заряды,
как иногда полагают некоторые абитуриенты). При
решении таких задач применяют соотношения (7.10),
(7.11), обязательно добавляя к ним уравнение (7.2).
Если в таких задачах требуется выяснить изменение
энергии шаров до и после их соединения проводником,
то используют одно из соотношений (7.14) в зависимо-
сти от того, какие величины заданы в условии задачи.
Вместе с уравнением закона сохранения энергии все
перечисленные соотношения обычно составляют пол-
209
ную систему уравнений, решение которой позволяет
найти искомые величины.
При расчете полей, созданных в плоском конден-
саторе, следует помнить, что эти ноля с достаточной
степенью точности могут считаться однородными.
Если плоский конденсатор подключить к источнику
питания, зарядить его и затем отключить, то при
изменении его электроемкости (путем раздвижения
или сдвижения обкладок, смещения пластин друг
относительно друга, внесения или удаления диэлект-
рика) заряд на конденсаторе не меняется. Если же
конденсатор подключен к источнику питания и не
отключен, то при всех указанных изменениях его
электроемкости постоянной остается разность потен-
циалов между пластинами. Что происходит с заряда-
ми на пластинах, как изменяются разность потенциа-
лов между ними, напряженность и энергия электриче-
ского поля в обоих случаях, определяют анализируя
формулы (7.9), (7.12), (7.13), (7.15).
Если два заряженных конденсатора соединяются
заряженными пластинами, то при расчетах зарядов
на пластинах, разности потенциалов между ними,
изменения энергии системы до и после соединения
следует руководствоваться теми же правилами, что
и при соединении заряженных шаров, и пользоваться
соотношениями (7.2), (7.12), (7.13), (7.15).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 11. Цилиндрический стержень, объем ко-
торого 1,6 10“2 м3, а длина 2,0 м, поместили вплот-
ную между двумя свинцовыми шарами радиусом
1,0 см каждый. Какое механическое напряжение будет
испытывать материал стержня, если у каждых 108
атомов одного из шаров забрать по одному эле-
ктрону и перенести их на другой шар. Плотность
и молярная масса свинца равны соответственно
11,3 • 103 кг/м3 и 20,7 • 10 3 кг/моль. Заряд электрона
1,6-10-19 Кл. Постоянная Авогадро 6,0 • 1023 моль-1.
Электрическая постоянная е0 = 8,85 • 10“12 Ф/м.
И= 1,6 - 10 ? м3;
/=2,0 м;
Решение
I Для решения этой задачи
I необходимо вспомнить ряд
210
Л=1,о-10 2 м;
Z= 108;
р= 11,3 • 103 кг/м3;
Л/=20,7 • 10"2 кг/моль;
с=1,6 - 10“19 Кл;
А\ = 6,0 • 1023 моль" ';
е0 = 8,85 - 10 12 Ф/м;
ст -?
соотношений из других раз-
делов курса физики. В ча-
стности, в разделе V мы
напоминали, что механичес-
кое напряжение
c = F/S, (1)
где F—сила, вызывающая
механическое напряжение
материала тела,
S= Vjl	(2)
— площадь поперечного сечения тела. Основная
трудность в решении задачи заключается в нахож-
дении силы F.
Если у п атомов одного шара отобрать по
одному электрону и все их поместить на другой
шар, то первый шар будет иметь заряд пе, второй
же — пе. Между заряженными шарами возникнет
сила кулоновского притяжения F, которая и вызовет
механическое напряжение материала цилиндра. По
условию задачи, /»/?, т. е. расстояние между ша-
рами (длина цилиндра) во много раз больше их
размеров. Поэтому сила притяжения между шарами
с достаточной степенью точности может быть най-
дена из закона Кулона. Модуль этой силы
где е=1—диэлектрическая проницаемость среды (в
данном случае воздуха).
Если число атомов, находящихся в каждом шаре,
равно 7V, то, по условию задачи, число электронов
на каждом шаре
n = N / Z.	(4)
Из формулы (5.2) имеем
N=(m/M)NX,	(5)
где
щ=4/3яр7?3	(6)
— масса каждого шара.
211
Уравнениями (1)—(6) условие задачи исчерпыва-
ется полностью. Решая их совместно относительно
искомого
числовые
механического напряжения ст и подставляя
данные, получаем
ст -= — _	j = | 4 . J04 П;1
г.с0/1'\	37 М I
Задача 2. Три одинаковых точечных заряда вели-
чиной по —-1,7 • 10“9 Кл каждый расположены в вер-
шинах равностороннего треугольника. Найти вели-
чину точечного заряда, который следует поместить
в центре масс треугольника, чтобы вся система
находилась в равновесии.
с]= -1,7- 10"9 Кл.
Рис. 133
Решение
При решении подобных задач абитуриенты допу-
скают в основном две ошибки. Первая из них является
следствием невнимательного прочтения условия зада-
чи. Отсюда и попытки исследовать условие равновесия
самого искомого заряда. Между тем из соображений
симметрии при данном условии совершенно очевидно,
что любой заряд, помещенный в центре масс равно-
стороннего треугольника, будет находиться в положе-
нии равновесия. В условии задачи говорится о равно-
весии системы точечных зарядов. Поэтому следует
рассмотреть условие равновесия любого (опять же из
соображений симметрии!) из зарядов, расположенных
в вершинах заданного треугольника. Вторая, тоже
весьма распространенная, ошибка заключается в том,
что векторные величины складываю тся алгебраически
и это приводит к заведомо неверному результату.
212
Итак, рассмотрим, например, заряд в правой
нижней вершине треугольника (рис. 133). На него
действуют три силы кулоновского взаимодействия:
Fi и F2—силы взаимодействия с зарядами q,
расположенными в других вершинах треугольника,
F3 — сила взаимодействия с искомым зарядом с/0,
расположенным по условию задачи в точке пересече-
ния медиан треугольника. Отметим, что искомый
заряд q0 должен быть положительным, иначе равнове-
сие заряда q невозможно ни при каких условиях.
Запишем условие равновесия для заряда q в виде (3.1):
Fi-|-F2 + F3 = 0.
Выберем ось ОХ и запишем условие равновесия
в виде (3.2): F1X + F3X + F3X = 0, или
F{ cos (а/2) + F2 cos(a/2) — F3 =0.	(1)
Так как заряды в вершинах треугольника одина-
ковы, а сам треугольник равносторонний, то 1'\=12-
Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде
2F1Cos(a/2) = F3.	(2)
Из условия задачи следует, что a = 60'. По закону
Кулона,
где а — сторона равностороннего треугольника, г —
расстояние между зарядами q и q0. Из геометрии
известно, что точка пересечения медиан делит их
в отношении 2:1, считая от вершины. Так как
в равностороннем треугольнике медианы, высоты
и биссектрисы совпадают, нетрудно получить соот-
ношение между а и г:
гocos(a/2).	(5)
Решая совместно систему уравнений (2) — (5) от-
носительно q0, получим
go = 8?.COS9-(ot/2-)=l,0 10~9 Кл.
Задача 3. Два шарика из одного материала
одинаковых радиусов и масс подвешены в одной
213
точке на нитях одинаковой длины. Когда их заря-
жают одноименными зарядами, нити расходятся
на некоторый угол. Какова должна быть диэлект-
рическая проницаемость жидкого диэлектрика, чтобы
при погружении в него этой системы угол расхож-
дения нитей не изменился? Отношение плотности
материала шариков к плотности жидкого диэлект-
рика равно 3.
Решение
Для решения этой задачи необходимо вспомнить
некоторые соотношения из раздела III, так как речь
идет о статическом равновесии шариков в воздухе
и в жидком диэлектрике (рис. 134). Так как шарики
одинаковы и находятся в одинаковых положениях,
то достаточно исследовать положение равновесия
любого из них. В обоих случаях, например, на
правый шарик действуют силы тяжести /ng, силы
натяжения нити Tt и Т,, силы электростатического
отталкивания и F2 (кулоновы силы); кроме того,
при погружении системы в жидкий диэлектрик на
шарики действует архимедова сила FA. В соответ-
ствии с соотношением (3.1) условия равновесия
шарика запишем в виде
F,+Т,+mg =0 (в воздухе),	(1)
F2 +T2 + FA + wg = 0 (в жидкости). (2)
Заметим, что выталкивающей силой в воздухе
мы пренебрегаем из-за того, что рв03 <^рш. Выбрав
систему координат так, как показано на рис. 134,
214
на основании соотношения (3.2) запишем условие
равновесия шарика в проекциях на выбранные оси
и получим для уравнения (1)
Fj —F, sin(a/2) = 0, 1\ cos(a/2) — mg —О,	(3)
для уравнения (2)
Л , —'Г, sin (ot/2) = 0, F2cos(a/2) + FA — mg = 0.	(4)
Перепишем системы уравнений (3) и (4) в виде
fT1sin(a/2) = F1,	(Т2 sin(a/2) = F2,
[Tj cos(ot/2) = mg;	(T2 cos(a/2) = mg — FA.
Разделив первые уравнения систем (5) и (6) на
вторые, получим
tg(a/2) = ^- = -—2--.	(7)
mg mg—I'A
Модули сил кулоновского отталкивания
F =	(8)	F2--l/^/2	(9)
4Я£,£ОГ“	4л£2£<|Г-
модуль архимедовой силы в соответствии с соот-
ношением (3.8)
^а = Рж^ = Рж — g = — mg.	(10)
Р,„ Рш
Подставив выражения (8) — (10) в (7), получим после
несложных алгебраических преобразований
£1 ~£2 (1 — Рж/ Рш),
откуда
Задача 4. Ромб составлен из двух равносторонних
треугольников со стороной, длина которой равна
0,2 м. В вершинах при острых углах ромба помещены
одинаковые положительные заряды по 6,0 10“ 7 Кл.
В вершине при одном из зупых углов помещен
отрицательный заряд 8,0-10"7Кл. Определить на-
пряженность и потенциал электрического поля в чет-
вертой вершине ромба. Электрическая постоянная
е0 = (4л • 9 • 109)“ 1 Ф/м. Диэлектрическая проницае-
мость е = 1.
215
a = 60 ;
a = 0,2 м;
6/l = ^2 = 6,0- 10 ‘7 Кл;
</.,= —8,0- 10 " 7 Kji;
е0 = (4л-9- IO9) 1 Ф/м;
8=1.
E ? <p ?
P e in e н и e
Большая часть ошибок при решении подобных
задач связана с неумением найти векторную сумму
напряженностей полей, создаваемых несколькими за-
рядами, особенно если эти заряды имеют проти-
воположные знаки. Нельзя забывать, что напряжен-
ность электрического поля величина векторная: ее
направление в данной точке поля зависит только
от знака заряда, создающего это поле.
При решении задач для установления направления
напряженности в конкретной точке электрического
поля в нее мысленно помешают пробный положи-
тельный заряд. В данной задаче гак и поступим.
Поместим мысленно в четвертую вершину положи-
тельный заряд. Тогда напряженности полей, создава-
емых зарядами q}. q2, q3, направлены так, как
показано на рис. 135. Обозначим их соответствен-
но Е,, Е2, Е3. Согласно принципу суперпозиции
искомая напряженное ль в четвертой вершине
е = е,те2 + е3.	(1)
Потенциал же поля величина скалярная, поэтому
ф = ф,+ф2 + ф3.	(2)
Выберем систему координат с началом в четвертой
вершине (точка О) так, как показано на рис. 135.
Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные оси:
Ех = cos 7. + Е2 cosot — £3,	(3)
Еу = Е, sin ос — Е, sin a.	(4)
Так как	~—;, С2 = —Е3 =	. то
4псс0«“	4тгг.Е(|а-	4лс£0«'
выражения (3) и (4) принимают вид
216
г <7i+72)cosa —1<?31	(</2 —t/Jsin ct
По условию
Значит, искомая
Е=|£х|, где
4Л££оД	4л££0«
задачи, ^,=^2- Поэтому Ег =0.
напряженность по модулю равна
„ _2</, cosot —|</з |

Потенциалы полей в четвертой вершине ромба,
созданные зарядами q{, q2, q5, равны соответственно
<7i	<72	1<7,1	п
<р, =—-—, <р2 =——, фз=------------—• Подставив эти
4лееоа	4лее()а	4itea,,</
значения в выражение (2), получим
4Л£СО27
Подставив в выражения (5) и (6) числовые значения
величин, имеем окончательно
Ех = -4,5- 104 В/м; (р=1,8-104 В.
Обратите внимание на знак минус перед значе-
нием напряженности. Он означает, что искомая
напряженность электрического поля в четвертой
вершине ромба направлена в сторону заряда с/3,
т. е. в сторону, противоположную выбранному нами
направлению оси ОХ.
Задача 5. В однородном электрическом поле с на-
пряженностью 3,0 МВ/м, силовые линии которого
составляют с вертикалью угол 30', висит на шли
шарик массой 2,0 г, а заряд равен 3,3 нКл. Опре-
делить силу натяжения нити.
Реше н и е
£=3,0 - 106 В/м;
а = 30°;
771= 2,0 -1 О ’ кг;
q = 3,3- 10“9 Кл;
g = 9,8 м/с2.
Это одна из типичных задач,
для решения которых следует при-
менять соотношения не только из
электростатики, по и из других
разделов курса физики. В частно-
сти, в этой задаче идет речь
о статическом равновесии шарика.
Поэтому необходимо рассмотреть
все силы, действующие на шарик, и записать условие
его равновесия. Так как в задаче не указано направ-
217
ление электрического поля, рассмотрим два возмож-
ных случая: поле направлено вниз (рис. 136, а) и поле
направлено вверх (рис. 136, б). В обоих случаях на
шарик действуют силы тяжести mg, натяжения нити
Т и электрическая со стороны поля F,. Условие
равновесия запишем в виде
T + mg + F, = 0.
Выбрав систему координат так, как показано на
рис. 136, проецируя это векторное уравнение на
выбранные оси, получим
Tcos P = mg + F3cosa (1) и Tsin р = F, sin ct. (2)
В уравнении (1) знак плюс относится к случаю,
когда электрическое поле направлено вниз, а знак
минус когда электрическое поле направлено вверх.
Возводя в квадрат уравнения (1) и (2) и складывая
их, получим (с учетом Рэ = цЕ)
Т = ^/{mg}2 + 2qmgEcos а + {qE)2.
Подставив числовые значения, найдем для первого
и второго случаев
Г1=2,9 10 2 Н, Г2 = 1.2- 10 2 Н.
Рис. 137
Задача 6. Определить работу элек-
трических сил при перемещении за-
ряда 4=1,0-10 8 Кл из точки
С в точку D (рис. 137), если
4] =5,0 • 10~6 Кл, 42 = 2,0-10‘6 Кл,
/=0,4 м. Линия АВ, соединяющая за-
ряды 4] и 42, параллельна траек-
тории движения заряда q (линия О),
218
а расстояние между этими линиями d=Q,3 м. Все
заряды считать точечными.
Решение
<7=1,0- 10 8 Кл;
г/1=5,0 - 10 б Кл;
<72 = 2,0- 10 6 Кл;
/=0,4 м;
<7=0,3 м.
Работа электрической силы по
перемещению заряда q в поле,
созданном зарядами q{ и q2,
между точками С и D равна
Л=<7(срс-<р0),	(1)
А - А
С и D.
где фс
В соответствии с
и (pD—потенциалы точек
принципом суперпозиции
фс~Фс1+фс2, (2) Фп-Фв1+Фо2, (3)
где <рС| и ф01—потенциалы, созданные в точках
С и D зарядом qt; фС2 и фй2 — потенциалы,
созданные в тех же точках зарядом q2. Так как,
по условию задачи, заряды точечные, то
Фс!=г^г (4) ФС2= q2.RrC (5)
4яеЕ(//	4яее0 I Ж- I
где | ВС| = v/72 + с/2;
Фп.=,~(6) фВ2=	(7)
4лее0|/1О|	4ле£0</
где | A D | = 12 + d2. Подставив выражения (4) и (5)
в (2), (6) и (7) в (3), получим
Фс = -—+	(8)
4л££0\4
<Pd = 4-~-(%JW<7')-	(9)
4ле£о yv//2 + i/2 a J
Подставляя выражения (8) и (9) в уравнение (1),
после несложных преобразований находим
/|=?Й/1-</2)Л_-1--\ 3 6.10-4 ДЖ
4л££0	^/l2 + d2J
Задача 7. Шарик массой 1-10 4 кг, имеющий
заряд 2-10“4Кл, перемещается под действием элек-
трической силы в однородном электрическом поле.
219
В точке, потенциал которой равен 50 кВ, шарик
имел скорость 1 • 102 м/с. Каков потенциал точки,
в которой скорость шарика увеличится втрое?
Решение
т = 1 • 10 4 кг;
4 = 2-10’4 Кл;
(Pi=5-104 В;
I?! = 1 • 102 м/с;
v2 = 3  102 м/с.
ф2-?
Электрическая сила, под дейст-
вием которой происходит движение
заряженного шарика, по отношению
к нему является внешней. Как извес-
тно (вспомним соотношение (4.13)),
работа внешних сил равна измене-
нию энергии движущегося тела, т. е.
Л=ДГК	(1)
Но работа электрической силы А = </(ф! — ф2),
а изменение энергии (в нашем случае кинетической)
АИ/= ——— . Значит, учитывая соотношение (1),
получим
/	, пп- /иг?
4/(ф1-ф2)=_z—
откуда
/и(и|-и?)	_ 1п4 D
ф2 = ф1=--7----- =3 • 104 В.
2<7
Задача 8. Между двумя пластинами, расположен-
ными горизонтально в вакууме на расстоянии 4,8 мм
друг от друга, движется отрицательно заряженная
шарообразная капелька масла радиусом 1,4-10“5м
с ускорением 5,8м/с2, направленным вниз. Сколько
«избыточных» электронов имеет капелька, если раз-
ность потенциалов между пластинами равна 1,0 кВ?
Плотность масла 0,8 • 103 кг/м3.
J=4,8 10 3 м;
/?=1,4 10-5 м;
<а = 5,8 м/с2;
Аф = 1,0-103 В;
р = 0,8- 103 кг/м3;
е=1,6-10'19 Кл;
g = 9,8 м/с2.
А
ту
и — ?
У
Рис. 138
220
Решение
В соответствии с условием задачи капля масла
может двигаться лишь под действием двух сил:
тяжести mg и электрической F,. Возникает вопрос:
куда направлена сила F,? Ускорение капли а может
быть направлено вниз (рис. 138) и в случае, когда
F, направлена вверх, и в случае, когда эта сила
направлена вниз. В первом случае a<g, во втором
a>g. Так как, по условию задачи, a<g, то ясно,
что силы F, и mg направлены в противоположные
стороны. Уточнив эту деталь, наметим ход решения
задачи: по второму закону Ньютона найдем
зная F3, можно определить заряд капли с/0. Так
как капля заряжена отрицательно, то число «избыточ-
ных» электронов найдем из соотношения q — ne,
откуда
n = qje.	(1)
По второму закону Ньютона, mg + F3 = /?7.a. Записав
это уравнение в проекции на выбранную ось
(рис. 138), получим mg — F3 = mu, откуда
F3 = т (g — а).	(2)
Однако электрическая сила F,=qE, где Е -модуль
напряженности электрического поля, связанный с раз-
ностью потенциалов между пластинами соотноше-
нием E=\g>jd. Значит,
F^ = q\q> id.
Сравнивая (2) и (3), получим m(g — = откуда
(4)
А<р
Массу капли найдем из соотношения т = рЕ, где
И=4/3лЛ3— объем капли. Значит, ш = 4/3л/?3р. Под-
ставив это выражение в (4), а полученное выражение
для q в (1), находим окончательный ответ:
। 1 1 о3
ЗеДф
Задача 9. Плоский конденсатор с площадью
пластин 5,0 • 10 2 м2 и расстоянием между ними
2,0 мм заряжается до разности потенциалов 50,0 В.
Определить величину заряда и напряженность эле-
ктрического поля в конденсаторе в грех случаях:
а) конденсатор зарядили и, не отключая от
зарядного устройства, залили керосином; б) кон-
денсатор вначале залили керосином, а затем начали
заряжать; в) конденсатор зарядили и отключили
от зарядного устройства, а затем залили керосином.
Какую работу нужно совершать, чтобы в случае
в) увеличить расстояние между пластинами втрое?
Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2,0.
Решение
При решении подобных за-
дач следует помнить, что при
изменении электрической емко-
сти конденсатора, подключен-
ного к источнику напряжения,
меняется величина заряда на
его пластинах; разность потен-
циалов же не меняется; при
изменении емкости конденсато-
ра, отключенного от источника
напряжения, меняется разность
потенциалов на его пластинах,
а величина заряда остается при
этом неизменной.
случай а), для которого A<p = const.
После того как конденсатор залили керосином, его
электроемкость стала равной
5=5,0-10 2 м2;
г/= 2,0 - 10 3 м;
А<р = 50,0 В;
ек = 2,0;
е= 1,0;
е0 = 8,85  10’ 12 Ф/м;
^1/^ = 3;
— 
q2—">.
A—l
£i-?
е2-'!
Рассмотрим
C\=EKE0S!d.	(1)
Но, по определению,
C^-T/i/Аф.	(2)
Сравнивая (I) и (2), получим
^1=^о5Дф_ = 22.10-8 кл.
(1
Напряженность электрического поля связана с раз-
ностью потенциалов соотношением
£1=^ = 2,5-104 В/м.
В случае б) конденсатор заряжается, будучи
залитым керосином. На момент окончания зарядки
222
его электроемкость определяется соотношениями (1)
и (2), полученными при рассмотрении первого пункта
данного раздела. Следовательно,
= 91 =2,2  10 8 Кл; £2 = £1 = 2,5-104 В/м.
В случае в) имеем q3 = const. Поэтому тот заряд,
который был сообщен пластинам в процессе зарядки
конденсатора, не изменится после того, как будет
залит керосином. Так как q3 = С3Аф, a C3 = E£0S/d, то
^3 = £Ео-5А/₽=|,1 • 10 -8 Кл,
d
где е — диэлектрическая проницаемость воздуха. На-
пряженность £3 = Асрз/d, где А(р3—разность потен-
циалов на пластинах конденсатора после того, как
он был залит керосином. Воспользуемся окончатель-
ным выражением для заряда, полученным при рас-
смотрении случая а):
9з = £Е05Аф/б/; q3 = e.Kt:0S\<p3/d;
здесь q'3 и q3 — заряды на пластинах конденсатора
до и после его заливки керосином. Так как q'3=-q3,
££05Дф £к£о5Д(Рз
то ------=--------, откуда
d	d
Аф3 = еАф/йк.	(3)
Тогда
£3 = _^= 1,2- 104 В/м.
Для увеличения расстояния между пластинами
следует совершить работу, равную изменению энергии
конденсатора: A=WK—W0, где = Ск(А<рк)2/2 — ко-
нечная энергия конденсатора, И/о = С0(Аф0)2/2—его
начальная энергия. Так как
Со=£^-, (4)	Ск=^\	(5)
d	d [
Со d
то — =—, откуда
Ск d
C^Cod/d,.	(6)
Так как конденсатор отключен от зарядного устрой-
ства, то заряд на пластинах не изменяется после
223
увеличения расстояния между ними: ^ = С0Аф0 =
С0Аф0
= СкАфк, откуда Афк =---------, или с учетом равенств
(4) и (5)
А	А	1
Афь.-Аф0
а
(7)
Тогда, учитывая равенства (6) и (7), получим выраже-
ние для искомой работы:
А _ С04(Аф0)2Л( _ Ср (Афр)2 _ Со(Дфр)2 /	_ Л
2d,d2	2	”	2 L/ Г
В этом выражении Со и Аф0 = Аф3 определяются
равенствами (4) и (3) соответственно. Находим
окончательно
^=£о£2А(Аф)2	| = 258 -10-7 дж.
2d\ d	I
Задача 10. Два проводящих шара, заряженные
до потенциалов соответственно 10,0 и 20,0 В, на-
ходятся на таком большом расстоянии друг от
друга, что их можно считать уединенными. Элект-
рические емкости шаров равны 4,0 и 6,0 мкФ. Каковы
будут заряды на шарах, если их соединить тонким
проводником, имеющим пренебрежимо малую элек-
трическую емкость по сравнению с электрической
емкостью шаров? Каким станет потенциал каждого
из шаров?
С, =4,0  10 6 Ф;
С2 = 6,0- 10 6 Ф;
ф1 = 10,0 В;
ф2 = 20,0 В.
Решение
Рис. 139
Qi	—
Так как потен-
циалы шаров не
одинаковы, то
после их соедине-
ния тонким про-
водом произой-
дет перераспреде-
которого больше,
ление зарядов: с шара, потенциал
заряды переместятся на шар, потенциал которого
меньше (рис. 139). Перераспределение зарядов закон-
чится тогда, когда потенциалы шаров сравняются.
Фактически при решении этой задачи мы встречаемся
224
с кратковременным электрическим током, который
прекращается, когда разность потенциалов между
шарами становится равной нулю. Так как эле-
ктрической емкостью соединительного проводника
по условию задачи можно пренебречь, то в со-
ответствии с законом сохранения заряда суммарный
заряд шаров до и после их соединения проводником
не изменится. Заряды шаров до соединения их
проводником
<710 —^i<pi (I) и 720 = С2ф2;	(2)
после соединения
71 =710+ 7 И 72 = 720 ~ 7’
где с/ — заряд, перешедший со второго шара на
первый (см. рисунок). Тогда потенциал каждого из
71 7з
шаров станет равным ф	с учетом равенств
С[ С 2
(1) и (2) имеем
C'l'Pl + 4 = Сф2 - Ч
Решая уравнение (3) относительно q. получим
Учитывая равенства (4) и (1). (4) и (2), находим
=£11£l<P1±£^2) = 6,4- HI 5 Ка;
C.-rC2
q =	= 9,6  i о ”5 Кл.
c,+c2
Тогда потенциал каждого из шаров
ф = 16,0 В.
Задача 11. Маленький шарик подвешен па ди-
электрической пружине в пространстве плоского
конденсатора, пластины которого — круги радиусом
0,1 м — расположены горизонтально. Заряд шарика
равен — 3,0 нКл. Когда пластинам конденсатора со-
общили заряд 2.0'108Кл. растяжение пружины
увеличилось вдвое. Определить массу шарика. Мас-
сой пружины пренебречь.
q= _3,0• 10“9 Кл;
0 = 2,0- 10 “8 Кл;
Д/2 / AZr = 2;
R = 0,1 м.
m —1
Решение
И до, и после сообщения пластинам конденсатора
заряда Q шарик находился в статическом равновесии.
На рис. 140 изображены силы, действующие на
шарик. До зарядки конденсатора на шарик дей-
ствовали силы тяжести и упругости пружины
После зарядки конденсатора на шарик кроме
указанных сил стала действовать сила электрического
поля конденсатора F3, вследствие чего сила упругости
F2 увеличилась. Запишем условия равновесия шарика:
F|+mg = 0; F2+/ng + F3 = 0.
Запишем эти уравнения в проекции на выбранную
ось О Y:
F>=mg (1) и F2=mg + F.,.	(2)
Так как, по закону Гука, Е1=кЛ.11^ F2 = kAl2, то
k\l}=mg. (3) kM2 = mg + F,.	(4)
Разделив уравнение (4)	на	(3), получим
Д/2 mg + F,	F,
— =--------=1-1---, откуда
AI i mg	mg
т = ---—---—.	(5)
Модуль электрической силы, действующей на заря-
женный шарик, равен F^ — qE, где E=\q>jd—на-
пряженность однородного электрического поля внут-
ри конденсатора, А(р = 0/С— разность потенциалов
на пластинах, C = ss05/d—электроемкость конден-
226
сатора, d—расстояние между пластинами, S = nR2 —
площадь каждой из круглых пластин. Значил,
Подставив выражение (6) в (5), получим окончательно
т = --------------------------- = 2.2  10 ~5 кг.
(Д/2 Д/1— 1),?С£ол/? 2
Задача 12. Конденсаторы, емкости которых 2,0
и 0,5 мкФ, заряжены до разности потенциалов соотве-
тственно 1,0-102 и 0,5-102 В (рис. 141). Какое количе-
ство теплоты выделился, если эти конденсаторы
соединить одноименно заряженными пластинами?
Cj =2,0 10 6 Ф;
С2 = О,5 1О“6 Ф;
Аср^КО Ю2 В;
А(р2 = 0,5102 В.

Q - '
l>iic. 141
Р е ш е н и е
При решении подобных задач следует иметь
в виду, что при соединении конденсаторов заряжен-
ными обкладками разность потенциалов на их об-
кладках становится одинаковой; в соответствии с за-
коном сохранения зарядов сумма зарядов на об-
кладках конденсатора до и после их соединения не
меняется, т. е.
+чт.=я\+ч\
(1)
где
=С\\<Р1, (2) ^2 = С2Дф2.
(3)
заряды на пластинах конденсаторов до их соедине-
ния. Количество теплоты, которое выделяется при
соединении конденсаторов, 2=W/1 —1К2, где
Ид и W2 энергии, запасенные конденсаторами
соответственно до и после их соединения. Так как
227
то
(9 = ci(A(Pi)2 сЯЛ<р_1 )J _ с(Дф)2
^2'2	2
(6)
Из выражения (6) видно, что для решения задачи
необходимо найти электроемкость батареи С и раз-
ность потенциалов на ее пластинах Аф. Подставив
формулы (2)—(5) в уравнение (1), получим
С\ A(pj + С2Аф2 = (С1 + С,)Аф, откуда
лФ	°’.	(7)
„	.	7	71+^2
Но разность потенциалов Лф = — = —или е уче-
том (2) и (3)
лФ=£1221(8)
Сравнивая (7) и (8), находим
С=С, + С2.	(9)
Подставив равенства (7) и (9) в уравнение (6), после
несложных алгебраических преобразований получим
= ССфДф!!-Д_чъН = t о . ]о -s дж
V	2(С1 + С)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
7.1.	Два точечных заряда перенесли из вакуума
в керосин, увеличив при этом расстояние между
зарядами в три раза. Во сколько раз уменьшилась
сила взаимодействия между зарядами? Диэлектричес-
кая проницаемость для вакуума равна I, а для
керосина 2. [18]
7.2.	Два одинаковых металлических шарика, име-
ющих заряды 9-10-8 и 3- 10 к Кл, приведены в со-
прикосновение и разведены на прежнее расстояние.
Определить отношение модулей сил взаимодействия
шариков до и после соприкосновения. [0,75]
7.3.	Решить задачу 7.2 при условии, что шарики
заряжены разноименно. [3]
7.4.	Два отрицательно заряженных шарика, рас-
положенные на расстоянии 4,8 мкм, взаимодействуют
228
с силой 3,6 • 10“10 Н. Найти число «избыточных»
электронов на каждом шарике. Заряд электрона
1,6-10“19 Кл. Электрическую постоянную принять
равной (4л  9 • 109) “1 Ф/м. [6,0  103 ]
7.5.	Три отрицательных заряда величиной по
6,0-10“13 Кл помещены в вершинах равностороннего
треугольника. Сила, действующая на каждый из
зарядов со стороны двух остальных, равна
7,2 • 10“13 Н. Определить длину стороны треуголь-
ника. [0,1 м]
7.6.	Два шарика одинакового радиуса и массы
подвешены в воздухе на нитях так, что их поверхно-
сти соприкасаются. Когда каждому шарику сообщили
заряд 4,0 • 10 “7 Кл, они разошлись на угол 60’. Найти
массу шариков, если расстояние от точки подвеса до
центра каждого из них равно 0,2 м. [6,2 • 10“3 кг]
7.7.	Вокруг точечного заряда 2,0 10“9Кл рав-
номерно движется по окружности под действием
сил притяжения маленький отрицательно заряженный
шарик. Угловая скорость вращения шарика равна
6,0 рад/с, радиус окружности 4,0-10“2м. Каково
отношение заряда шарика к его массе?
[1,3 • 10 4 Кл/кг]
7.8.	Два точечных заряда по 0,1 мкКл располо-
жены на расстоянии 6,0 см друг от друга. Найти
напряженность и потенциал в точке, удаленной на
5,0 см от каждого из зарядов. Принять
е0 = (4л-9  109)”1 Ф/м. [5,8 • 105 В/м; 3,6 104 В]
7.9.	Решить задачу 7,8, если точечные заряды
имеют противоположные знаки. [4,3 105 В; 0]
7.10.	Точечный заряд удалили от данной точки
на расстояние, в шесть раз превышающее первона-
чальное. Во сколько раз уменьшилась напряженность
электрического поля в этой точке? [36]
7.11.	Определить напряженность электрического
поля в точке, удаленной на расстояние 0,10 м от
точечного заряда, если в точке, удаленной от него
на 0,05 м, напряженность равна 40 В/м. [10 В/м]
,7.12. В вертикально направленном однородном
электрическом поле капелька массой 2,0-10“8 кг,
имеющая заряд 110“9Кл, оказалась в равновесии.
Определить модуль напряженности электрического
поля. Принять #=10м/с2. [200 В/м]
7.13.	Металлический шарик, подвешенный на
пружине, поместили в однородное вертикальное
229
электрическое поле напряженностью 0,4 кВ/м. При
этом растяжение пружины увеличилось на 0,1 м.
Найти заряд шарика, если жесткость пружины
равна 0,2 • 102 Н/м. [0,5 10"2Кл]
7.14.	Определить величину точечного электриче-
ского заряда, при внесении которого из бесконеч-
ности в точку электрического поля с потенциа-
лом 3,2-104В совершена работа 1,610“2Дж.
[0,5 - 10 й Кл]
7.15.	Определить напряженность однородного эле-
ктрического поля, если при перемещении заряда
5,0 10 5 Кл вдоль линии напряженности на рассто-
яние 1,0-10“2м была совершена работа
1,0 10'2 Дж. [0,2 105 В/м]
7.16.	Напряженность поля между пластинами
плоского воздушного конденсатора, подключенного
к источнику напряжения, равна 2-104В/м. Какой
станет напряженность при увеличении расстояния
между пластинами конденсатора вдвое? [1-104В/м]
7.17.	Шар радиусом 2,5 м зарядили до потенциала
80 В. Найти потенциал поля в точке, отстоящей от
поверхности шара на расстоянии 1,5 м. [50 В]
7.18.	Два шарика с зарядами 8,0 10 и
5,0 -10 7 Кл находятся на расстоянии 0,4 м друг от
друга. До какого расстояния их можно сблизить,
если совершить работу 2,7-10 2 Дж? [0,1м]
7.19.	Определить величину разности потенциалов
между точками А и В, если скорость электрона
в точке А равна 5 106м/с, а в точке В ЗЮ6 м/с.
Отношение массы электрона к его заряду равно
5,7- 10 "12 кг/Кл. [45,6 В]
7.20.	Электрон переместился в ускоряющем элек-
трическом поле из точки с потенциалом 2,0-102 В
в точку с потенциалом 3,0 • 102 В. Найти кинетичес-
кую энергию электрона, считая, что его начальная
скорость равна нулю. Заряд электрона равен
1,6-10 19 Кл. [1,6-10~'7 Дж]
7.21.	Две параллельные металлические пластины,
находящиеся на расстоянии 0,1 м друг от друга,
заряжены до разности потенциалов 2-103 В. Какая
сила действует на заряд 1 10 4 Кл, помещенный
между пластинами? [2 Н ]
7.22.	Разность потенциалов между пластинами
конденсатора равна 9,0 • 102 В. Какую скорость при-
обретает электрон, пролетев из состояния покоя
230
путь, равный расстоянию между пластинами? От-
ношение заряда электрона к его массе
1,76  Ю11 Кл/кг. [1,8 -107м/с]
7.23.	Электрон влетает в плоский воздушный
конденсатор со скоростью 2,0-107 м/с, направленной
параллельно его пластинам, расстояние между ко-
торыми 2,0-10”2 м. Найти отклонение электрона,
вызванное полем конденсатора, если к пластинам
приложена разность потенциалов 2,0-102 В, а длина
пластин 5,0-10“2 м. Отношение заряда электрона
к его массе 1,76 -1011 Кл/кг. [5,5-10”3 м]
7.24.	Плоский конденсатор емкостью 5 10 "2 Ф
заряжен до разности потенциалов 1  103 В. Какой
заряд находится на каждой из его пластин? [5 нКл]
7.25.	Плоский конденсатор состоит из двух прямо-
угольных пластин, имеющих каждая длину 0,2 м
и ширину 0,1 м. Расстояние между пластинами
2,0 -10 3 м. Какой наибольший заряд можно сооб-
щить конденсатору, если допустимая разность потен-
циалов не более 3,0 • 103 В, а диэлектриком является
слюда (8 = 6)? [1,6  10-6 Кл]
7.26.	Плоский конденсатор был отключен от за-
рядного устройства после того, как на его пластины
была подана разность потенциалов 200 В. Какой
станет разность потенциалов после заполнения про-
странства между пластинами слюдой (8 = 7) и уве-
личения расстояния между пластинами от первона-
чального 0,2- 10“3 до 0,7-10 “3 м? [100 В]
7.27.	Двум проводникам, электроемкость которых
1,0-10” 11 и 3,0-10 11 Ф, сообщены заряды соот-
ветственно 6,0- 10 7 и —2,0 10 7 Кл. Найти заряды
и потенциалы проводников после их соединения
проволокой, электроемкостью которой можно пре-
небречь. Проводники считать достаточно удаленными
друг от друга. [1.0 10 7 Кл;1,0-104 В; 3,0  10 7 Кл]
7.28.	Шар, заряженный до потенциала 1,0-105 В,
соединен с незаряженным шаром тонким проводом,
электроемкостью которого можно пренебречь. Найти
заряд каждого шара и их потенциал, если электроем-
кости шаров равны соответственно (5/9)10 11
и (2/3)- 10 11 Ф. Шары считать уединенными.
[2,5-10 7 Кл; 3,0-10'7Кл; 4,5-104 В].
7.29.	Электрон, начав движение из состояния
покоя и пролетев в поле плоского конденсатора
расстояние между его пластинами, равное 2,0  10 2 м.
231
достиг скорости 1,0-1О7 м/с. Заряд на пластинах
конденсатора равен 5,0 10 ч Кл. Найти площадь
пластин конденсатора. Отношение заряда электрона
к его массе равно 1,76-10“ Кл/кг. [3,9 • 10“2 м2]
7.30.	Между вертикальными круглыми пластина-
ми плоского конденсатора, находящегося в воздухе,
подвешен на тонкой шелковой нити маленький
шарик, несущий заряд 3,3-10 9 Кл. Какой заряд
надо сообщить пластинам конденсатора, чтобы ша-
рик отклонился от вертикали на угол 45°? Масса
шарика 4,0-10”3 кг. Радиус каждой пластины 0.1 м.
Массой нити пренебречь. [3,3 10 6 Кл]
7.31.	В импульсной фотовспышке лампа питается
от конденсатора емкостью 8,0 • 10“4 Ф. заряженного
до разности потенциалов 3,0-102 В. Каковы энергия
и средняя мощность вспышки, если время разрядки
равно 2,4- 10~3 см? [36,0 Дж; 1,5-10** Вт]
7.32.	Какой заряд нужно сообщить шару ради-
усом 0,1 м, чтобы электрическая энергия, запасенная
им, стала равной 4,5 Дж? [1,0-10”5 Кл ]
7.33.	Конденсатор, заряженный до разности по-
тенциалов 1,0 102 В, соединяется одноименно заря-
женными обкладками с конденсатором удвоенной
электроемкости, заряженным до разности потенци-
алов 0,4-102 В. Определить отношение энергий си-
стемы до и после соединения обкладок. [1,2]
Контрольная работа № 7А Контрольная работа № 7Б
7.1А. Два заряда по 2,50 х
х 10' я Кл каждый, расположен-
ные на расстоянии 0,24 м друг
от друга, образуют электроста-
тическое поле. С какой силой
это поле действует на заряд
0,20 -10 я Кл, помещенный
в точку, удаленную на 0,15 м
от каждого из зарядов?
7.2А. На каком расстоянии от
шарика Л, имеющего заряд
7,0- 10 9 Кл, должна быть рас-
положена стальная пылинка
В объемом 9,0  10 4 м3, име-
ющая заряд — 2.1-10 ° Кл,
чтобы она находилась в рав-
новесии (рис. 142)? Вся система
погружена в керосин, плотность
и диэлектрическая проницае-
мость которого равны соответ-
ственно 0,8  1()3 кг/м3 и 2,1.
7.1	Б. Четыре одинаковых заря-
да по 4,0 -10 я Кл каждый за-
креплены в вершинах квадрата
со стороной 0.1 м. Найти силу,
действующую на один из этих
зарядов со стороны трех
остальных.
7.2	Б. Два шарика массой по
1,0- 10 3 кг каждый подвешены
на нитях, верхние концы кото-
рых соединены вместе. Длина
каждой нити 0,1 м. На какой
угол разойдутся нити, если каж-
дому шарику будет сообщен
заряд 7,9  10 я Кл?
7.3	Б. Расстояние между точечны-
ми зарядами 1,0- 10 я Кл и - -
1,0 -10 "9 Кл равно 1.1 м. Найти
напряженность поля в точке на
прямой, соединяющей заряды,
в которой потенциал равен пулю.
232
“Т“ Плотность стали
7.8 • 103 кг/м3.
7.ЗА. Металличес-
кий шар диаметром
4,0 • 10"' м ' имеет
заряд 1.0- 10 7 Кл
—-	”-	и находится в керо-
сине. Найти напря-
...- . ?. жс|uiucи. и ।;оГешui-
7-_- _ I ал электрического
Pue /42 п";,я в точке' Уда-
ленной от поверхно-
сти шара на 1,0- 10 2 м. Ди-
электрическая проницаемость
керосина 2,1.
7.4	А. В вертикальном электри-
ческом ПО..1С. напряксшюсть ко-
торого равна 0,8 -К)5 В/м. ви-
си г заряженная капля массой
4.0-10'7 кг. Каков заряд ка-
пли'.’
7.5	А. Два точечных электричес-
ких заряда 3,0 10 5 и 2,0 х
х 10 5 Кл находятся на рассто-
янии 1.0 м друг от друга. Какую
работу совершает электрическое
поле при сближении этих заря-
дов до расстояния 0,2 м?
7.6	А. Найти скорость, приобре-
тенную покоящейся частицей
массой 1 • 10 5 кг, если после
сообщения ей заряда 5- 10' Кл
она прошла ускоряющую раз-
носи, потенциалов 10 В.
7.7	А. Пылинка имеет массу
1.0 10 11 кг п заряд
9.8-10 1,1 Кл. Каким должно
быть расстояние между гори-
зонтально расположенными
пластинами, к которым прило-
жена разность потенциалов
5,0-103 В, чтобы пылинка ви-
села между ними'?
7.8	А. Шар, электроемкость ко-
торого 2.1) • 10-5 Ф, заряженный
до потенциала 1,0-102 В, со-
единили с другим шаром, за-
ряженным до потенциала
0,4-102 В. Определив заряды
шаров до п после их соединения
и электроемкость второго ша-
ра. Считать шары уединенны-
ми; провод, соединяющий ша-
ры, имеет пренебрежимо малую
электроемкость по сравнению
с электроемкостями шаров.
7.4Б. Заряженный шарик мас-
сой 6,0-10'’ кг подвешен на
нити в однородном горизон-
тальном электрическом поле.
Заряд шарика 1,2 10" Кл. Че-
му равн/i напряженность элект-
рического поля, если нить об-
разует с вертикалью угол 45 ?
7.5<». На какое расстояние
вдоль линии напряженности пе-
ремешен заряд I • 10-9 Кл, если
при этом была совершена ра-
бота 2-10'3 Дж, а напряжен-
ность однородного электриче-
ского ноля равна I0 I06 В/м?
7.6Б. Электрон вылетает из
точки шсктрпчсского поля, по-
тенциал которой равен
15,5-102 В. со скоростью
1,6 10 м/с. Определить потен-
циал точки поля, в которой
скорость электрона станет рав-
ной нулю. Заряд электрона ра-
вен— 1,6- 10 ч К л. сю масса
9- 10'31 кг.
7.717 Между двумя параллель-
ными горизонтальными пласти-
нами. расположенными на рас-
стоянии 0,4 К)’2 м друг от
др\ га. висит капелька нефти
объемом 3,4-10’" м3, име-
ющая четыре «избыточных»
электрона. Найти разность по-
тенциалов, приложенную к пла-
стинам.
7.8Б. Пластины плоского кон-
денсатора, расстояние между
которыми 8.0 -10'3 м. изолиро-
ваны друг от друга слоем па-
рафина, диэлектрическая прони-
цаемость которого равна 2,1.
Конденсатор заряжен до раз-
ности потенциалов 4.2-102 В.
Какой станет разность потен-
циалов на итастинтл. если',
а) парафин удалить; б) сдви-
нуть пластины до расстояния
3,0 - 10 "3 м°
7.9Б. В плоском конденсаторе
электроемкостью 3,5 10’10 Ф.
пластины которого расположе-
ны горизонтально, движется
вниз заряженная капля массой
2.5-10’4 кг с ускорением
1,8 м'с2. Определить заряд на
пластинах конденсатора, если
233
7.9А. Электрон, обладая на-
чальной скоростью 2,0- 106 м/с,
проходит в однородном элект-
рическом поле плоского кон-
денсатора по направлению ли-
ний напряженности путь
3,0-I0 2 м. При этом скорость
электрона уменьшается. Какова
электроемкость плоского конде-
нсатора, если заряд на ei о
пластинах равен 4,6- 10 я Кл,
а расстояние между ними равно
5,0 10 2 м? Отношение заряда
электрона к его массе
1,76 10“ Кл/кг.
7.10А. Площадь пластин плос-
кого воздушного конденсатора
1,0- 10“2 м2, расстояние между
ними 5.0-К)"  м. Какой заряд
нужно сообщить пластинам
конденсатора, чтобы при ею
разряде выделилось 4,2 мДж
теплоты?
заряд капли 1,0 • 10' 6 Кл. а рас-
стояние между пластинами
0,1 м.
7.10Б. Определить запас эне-
ргии плоского конденсатора,
круглые пластины которого
радиусом 8,0 10 2 м располо-
жены на расстоянии
4,0 10'3 м, а пространство
между ними заполнено слюдой.
Разность потенциалов на пла-
стинах равна 2,0 • 102 В. Ди-
электрическая проницаемость
слюды равна 7,0.
РАЗДЕЛ VIII. ПОСТОЯННЫЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
Электрический ток—это направленное движение
заряженных частиц под действием сил электрического
поля или сторонних сил.
В общем случае силой тока называется скалярная
величина, равная
/= lim ^ = q'(t\	(8.1)
л,.оЛ/
где \q— количество электричества (величина заряда),
которое переносится через поперечное сечение про-
водника за время А/.
Для постоянного тока
I=qft,	(8.2)
где q — количество электричества, прошедшее через
поперечное сечение проводника за время I.
Плотностью тока называется отношение
/ / -S’.	(8.3)
где 5 -площадь поперечного сечения проводника.
Плотность тока —вектор, направление которого совпа-
дает с движением положительно заряженных частиц.
Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока
называется физическая величина, равная
/Г2_, =	(8.4)
где Лст- работа сторонних сил при перемещении
положительного заряда q па участке 12 (рис. 143).
Напряжением (падением напряжения) называется
величина
U2-,=A/q.	(8.5)
где А полная работа кулоновских и сторонних сил
при перемещении положительного заряда q на участ-
ке 1—2 (рис. 143).
Учитывая соотношения (8.4), (8.5),
а также (7.8), можно записать	е.
т—*-----г
, =(<р, - ф2) + ^2_ 1-	(8.6) Рис. 143
235
Электрическим сопротивлением называют одну
из характеристик электрических свойств участка цепи,
которая определяет направленное движение заряжен-
ных частиц на этом участке. Для однородного
цилиндрического проводника
R = pl/S,	(8.7)
где I — длина проводника, 5— площадь его попереч-
ного сечения, р — удельное сопротивление материала
проводника.
Удельное сопротивление материала проводника
зависит от температуры:
р = р0(1 +аДГ),	(8.8)
где ро — удельное сопротивление при температуре
273 К, а—термический коэффициент сопротивления,
АГ=Г— То — изменение температуры проводника.
Для произвольного участка цепи (рис. 143) на-
пряжение на этом участке равно произведению
сопротивления этого участка на силу тока:
t/2-i=/^o6ui. Сравнивая значения U2~i из последнего
равенства и равенства (8.6), имеем 77?Общ==(ф1 — (р2) +
4- S2 -1, откуда
/ ='°	11	.	(s .9)
^общ
Равенство (8.9) является законом Ома для произ-
вольного участка цепи, содержащего источник постоян-
ного тока; 7?1)6щ — общее сопротивление участка, равное
сумме внешнего (R) и внутреннего (г) сопротивлений.
Из закона Ома (8.9) следует, что для участка
цепи, не содержащего источника тока (Л = 0, /=0),
можно записать соотношение
/=(фЛ^Фг) = £
R R	'
называемое законом Ома для участка цепи, не содер-
жащего ЭДС (или законом Ома для участка цепи).
Из равенства же (8.9) следует, что в замкнутой
цепи, содержащей источник тока, где <Pi =<рэ, имеет
место закон Ома для замкнутой цепи:
Из закона Ома (8.11) следует, что S = IR + Ir,
236
где IR=UBU1 — падение напряжения на внешнем участ-
ке цепи. Оно, следовательно, равно
UBUl — S' — Ir.	(8.12)
Соотношение (8.12) имеет большое практическое
значение для решения задач, поскольку позволяет
вычислить показания вольтметра, подключенного
к полюсам источника для замкнутой и разомкнутой
цепей.
Законы Ома (8.9) — (8.11) являются следствием
закона сохранения энергии для частного случая
электрических цепей.
В общем случае электрическая цепь представляет
собой совокупность источников тока и проводников
(резисторов, «нагрузок», потреби!елей). Проводники
могут соединяться последовательно или параллельно.
Смешанное соединение представляет собой комби-
нацию этих видов соединений. При последовательном
соединении конец предыдущего проводника соединя-
ется с началом последующего (рис. 144). В этом
случае сила тока во всех проводниках одинакова;
падение напряжения на всем последовательно со-
единенном участке равно сумме падений напряжений
на каждом отдельном проводнике; сопротивление
всего участка равно сумме сопротивлений каждого
проводника; падение напряжения на проводниках
прямо пропорционально их сопротивлениям, т. е.
/=const; X С,; R=Y Rc, — = — . (8.13)
i=l	1=1	^2	^2
При параллельном соединении начала провод-
ников соединены в одной точке, а концы их — в
другой (рис. 145).
Рис. 145
237
В этом случае сила тока в неразветвленной части
цепи равна сумме сил токов, текущих в каждом
проводнике; падение напряжения на всех проводниках
одинаково; величина, обратная общему сопротивле-
нию (проводимость участка), равна сумме обратных
величин сопротивлений (проводимостей) каждого
проводника: силы токов в каждом проводнике об-
ратно пропорциональны их сопротивлениям, т. е.
/=V/ ; (/=const; У -; л А’ '.	(8.14)
А,	л Л Я,
При прохождении по участку цепи количества
электричества электрическое поле совершает работу
A=qU=IUl = l2Rt = ~t,	(8.15)
где первые две формулы справедливы для любого
участка цепи, на концах которого поддерживается
разность потенциалов U, а последние две -для
однородных участков цепи.
Мощность тока
р = 7/7=/2д = £:.	(8,|б)
Для формул (8.16) справедливо то же замечание,
что и для формул (8.15).
Коэффициент полезного действия генератора тока
Р и
(8.17)
Р iarp
где Рпол и U—соответственно мощность и падение
напряжения на внешнем участке цепи; Р1атр и 8—
полная мощность, вырабатываемая источником, и его
ЭДС. Полная мощность (затраченная) есть сумма
мощностей выделяемых генератором на внешнем
и внутреннем участках цепи.
Если участок цепи не содержит источников тока,
то необратимые преобразования энергии в провод-
нике связаны с увеличением его внутренней энергии.
Количество теплоты, выделяющееся в проводнике
за время t.
Q = I2Rt~	t = Pt = A,	(8.18)
где I, U, R. Р, А — соответственно сила тока, напря-
жение на концах, сопротивление проводника, мощ-
ность и работа тока на этом участке. Первое из
238
уравнений (8.18) называется законом Джоуля — Лен-
ца, остальные—его следствия, получаемые при ис-
пользовании закона Ома для данного участка цепи.
В общем случае при протекании тока по замкну-
той электрической цепи за счет развиваемой источ-
ником мощности происходит не только увеличение
внутренней энергии проводников, но и совершается
механическая работа, осуществляются химические
реакции и пр.
Прохождение тока через электролиты сопровож-
дается выделением на электродах составных частей
растворенного вещества. Этот процесс называется
электролизом.
Первый закон электролиза (Фарадея):
m = kq=klt,	(8.19)
где т — масса выделившегося на электроде вещества,
q = lt— количество электричества, прошедшее через
электролит, к — электрохимический эквивалент ве-
щества.
Второй закон электролиза (Фарадея):
к = --,	(8.20)
F п
где Е=9,65-104 Кл/моль — постоянная Фарадея, А —
атомная (молярная) масса вещества, п—его вален-
тность.
Объединенный закон электролиза (Фарадея):
т = --П.	(8.21)
/ и
Если проводник, по которому течет ток, поме-
стить в однородное магнитное поле, то на него со
стороны поля действует сила Ампера, модуль ко-
торой равен
F=IIB sina,	(8.22)
где I—сила тока в проводнике, / — его длина,
а — угол между направлениями тока и вектора
магнитной индукции В. Вектор F всегда перпен-
дикулярен плоскости, в которой находятся проводник
и вектор В. Направления тока, векторов силы Ампера
и магнитной индукции связаны правилом левой руки.
Вектор индукции В является силовой харак-
теристикой магнитного поля. Его вводят как фи-
239
зическую величину, численно равную максимальному
моменту сил, действующему со стороны поля на
рамку единичной площади, по которой зечез ток
единичной силы.
На заряженную частицу, движущуюся в магнит-
ном поле, действует со стороны поля сила Лоренца,
модуль которой
F ==([гВ sin 7,	(8.23)
где q- заряд частицы, v—модуль ее скорости,
а— угол между направлениями векторов В и v.
Направления векторов F. v и В связаны правилом
левой руки (если речь идез о движении положительно
заряженной частицы).
Магнитный поток (поток вектора магнитной ин-
дукции) однородного магнитного поля через плоскую
поверхность равен
Ф-flScosa,	(8.24)
где 7. — угол между направлениями вектора индукции
В и нормали к поверхности площадью S.
При изменении магнитного потока, пронизыва-
ющего коптур, в нем возникаез ЭДС индукции,
а в случае замкнутого контура - индукционный ток.
В соотвезствии с законом Ленца индукционный ток
имеет такое направление, при котором создаваемое
им магнитное поле препятствует изменению магнит-
ного потока, вызвавшему индукционный ток. Модуль
ЭДС индукции пропорционален скорости изменения
магнитного потока. С учетом правила Ленца
/  lin- Vl>  Ф (/).	(8.25)
м .о
где Ф'(/)— производная магнитного потока по времени.
При изменении магнитного потока, пронизыва-
ющего катушку, содержащую N витков, в ней
возникаез' ЭДС индукции
|= Нпз А — = АФ'(/).	(8.26)
дг->о Л/
Явление возникновения ЭДС индукции в контуре
при изменении магнитного потока, создаваемого
током, текущим по самому контуру, называется
явлением самоиндукции. При этом магнитный поток,
сцепленный с контуром, пропорционален силе тока
в контуре:
ДО
Ф = и,	(8.27)
где L — индуктивность контура.
Индуктивность катушки длиной / и площадью
поперечного сечения S, содержащей N витков, равна
£ =	(8.28)
где ц0 = 4л  10“7 Гн/м — магнитная постоянная, ц—
магнитная проницаемость среды.
ЭДС самоиндукции с учетом формул (8.25)
и (8.27) равна
<?,= -£-,	(8.29)
Л/
д/
где -----средняя скорость изменения силы тока
в контуре.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Все задачи этого раздела, обычно предлагаемые
на вступительных экзаменах, можно условно раз-
делить на две большие группы: задачи на
расчет электрической цепи и на действия эле-
ктрического тока.
Из задач первой группы можно выделить не-
сколько подгрупп: задачи о вычислении сопротивле-
ний проводников; задачи о расчете различных со-
единений проводников; задачи на определение силы
тока, напряжения на каких-либо участках цепи;
задачи о расчете шунтов и добавочных сопротивле-
ний к гальванометру.
Если в условии задачи приводятся сведения
о геометрических размерах проводника или его
массе и указан материал, из которого проводник
изготовлен, то для нахождения сопротивления сле-
дует пользоваться формулой (8.7) и соотношением
между массой, плотностью и объемом проводника
m=DV. Для учета зависимости сопротивления от
температуры к указанным формулам добавляют
формулу (8.8). При этом следует иметь в виду,
что табличные значения температурных коэффи-
циентов сопротивления а предполагаются неизмен-
ными для заданного в условии задачи интервала
температур. Кроме того, нельзя забывать о том,
что табличные значения удельных сопротивлений
ро заданы для температуры 243 К.
241
При вычислении общего сопротивления произ-
вольного контура необходимо прежде всего устано-
вить, какие из проводников соединены последова-
тельно, а какие — параллельно. Тогда расчет основан
на формулах общего сопротивления (8.13) и (8.14).
Однако во многих случаях требуется вычислить
сопротивление довольно сложных соединений провод-
ников, в которых способ соединения проводников
можно указать лишь после предварительного анализа
схемы. Если удается найти в схеме проводники,
соединенные последовательно или параллельно,
то, используя формулы общего сопротивления (8.13)
или (8.14), следует заменить их сопротивления эк-
вивалентными и получить более простую схему.
В схемах со смешанным соединением проводников
этот прием следует повторить несколько раз и по-
лучить закую эквивалентную схему, в которой нахож-
дение общего сопротивления не представляло бы
труда.
Если в контуре не удалось найти ни последова-
тельно, ни параллельно соединенных проводников,
то следует воспользоваться следующим правилом:
найдите на схеме точки с одинаковыми потенци-
алами; соедините или разъедините их (в зависимости
от заданной схемы) и помните, что режим работы
схемы при этом не меняется, а сама схема значи-
тельно упрощается; в полученной эквивалентной
схеме сразу видно, какие проводники соединены
последовательно, а какие—параллельно.
Точки с одинаковыми потенциалами всегда есть
в схемах, обладающих осью или плоскостью сим-
метрии относительно точек подключения к полюсам
источника. Здесь возможны два случая.
Схема симметрична относительно оси или плос-
кости, проходящей через точки подключения к ге-
нератору. В этом случае точки с одинаковыми
потенциалами находятся на концах симметричных
проводников, так как по ним текут одинаковые токи.
Схема симметрична относительно оси или плос-
кости, перпендикулярной линии, на которой находят-
ся точки подключения к генератору (поперечная ось
или плоскость симметрии). Тогда одинаковыми по-
тенциалами обладают точки, которые лежат на
пересечении этой оси или плоскости с проводниками.
Сложные схемы, в которых нет точек с одина-
242
ковыми потенциалами, рассчитывают с помощью
правил Кирхгофа. Такие схемы на вступительных
экзаменах в технические вузы не предлагают.
Задачи на расчет силы тока и напряжения на
участках цепи следует решать в таком порядке:
—	начертить схему и указать на ней все элементы
цепи (источники, резисторы, конденсаторы и т. д.);
установить, какие элементы цепи соединены
последовательно, а какие параллельно; в случае
сложных схем заменить их эквивалентными, но более
простыми, пользуясь предыдущими указаниями;
—	используя формулы (8.10), (8.11), (8.13), (8.14),
установить связи между силами тока, напряжениями,
сопротивлениями, ЭДС ио очника тока.
В результате получается система уравнений, по-
зволяющая найти искомые величины. Следует по-
мнить, что если в какой-то участок цепи включен
конденсатор, то ток по этому участку не идет, так
как на нем цепь разомкнута, но напряжение на
пластинах конденсатора имеется. Иногда для нахож-
дения некоторых характеристик конденсатора к ука-
занным формулам (8.10), (8.11). (8.13), (8.14) добав-
ляют соотношение (7.10).
Некоторые трудности испытывают абитуриенты
при расчетах шунтов и добавочных сопротивлений
к гальванометру, по эти трудности относятся к раз-
ряду, скорее, психологических. Нужно помнить, что
шунт — это сопротивление, подключаемое параллель-
но к гальванометру для «расширения» его шкалы
при измерении силы тока; добавочное сопротивление
подключается последовательно к гальванометру для
«расширения» его шкалы при измерении напряжения.
Тогда становится очевидным, что расчет шунтов
и добавочных сопротивлений сводится к расчету
сопротивлений, сил токов, напряжений при пос-
ледовательном или параллельном соединении рези-
сторов и основано на применении формул (8.10),
(8.13), (8.14).
В заключение анализа решения задач первой
группы отметим, что решение задач о постоянном
токе основано на применении закона Ома для
замкнутой цепи. Его можно записать в виде
формул (8.10) или (8.12). Последней формулой
очень удобно пользоваться тогда, когда в условии
задачи не заданы внешние сопротивления. Ценность
243
применения этой формулы возрастает с ростом
сложности цепей. Из формулы (8.12) следует,
что в случае разомкнутой цепи (/=0) показания
вольтметра совпадают с ЭДС генератора.
Вторую группу задач составляют задачи о яв-
лениях, сопровождающих ток в цепи. Здесь можно
выделить задачи о работе, мощности и тепловом
действии тока; задачи о химическом действии тока
(электролиз); задачи о магнитном действии тока.
Из задач о работе, мощности и тепловом действии
тока можно, в свою очередь, выделить несколько
типов задач. К первому из них отнесем задачи на
расчет электрической цепи, в которых или требуется
найти значение мощности, выделяемой в проводниках,
или заданы эти значения мощности. Анализируя
условия таких задач, очень важно не путать мощ-
ность, на которую рассчитан потребитель («номиналь-
ная» мощность), и мощность, которую он потребляет
(которая на нем выделяется). Обычно такие задачи
решаются аналогично тем, которые рассматривались
выше. Только к формулам (8.10), (8.11), (8.13), (8.14)
добавляют формулы (8.15), (8.16). Особое внимание
следует обратить на выбор исходной формулы. Если
в задаче идет речь о последовательном соединении
проводников, то удобнее пользоваться третьей форму-
лой (8.15) или второй формулой (8.16), так как в этом
случае сила тока независимо от сопротивления
потребителей в них одинакова. Если же в задаче
идет речь о параллельном соединении провод-
ников, то удобнее пользоваться последними
формулами (8.15) или (8.16), так как в этом случае
напряжение на концах потребителей независимо от их
сопротивлений одинаково. Удачный выбор исходной
формулы может существенно упростить решение задачи.
Если в задаче рассматривается мощность, выделя-
емая на внешнем участке цепи, и при этом учитыва-
ется КПД источника тока, то к расчетным формулам
добавляется формула (8.17).
Ко второму типу задач этой подгруппы отнесем
задачи на тепловое действие тока. Основным расчет-
ным соотношением для них является формула закона
Джоуля — Ленца и его следствий (8.18). Здесь необхо-
димо иметь в виду следующее. Формулу (8.17) можно
применять для тех участков цепи, которые не
содержат источника тока. Если же участок цепи
244
содержит источник тока, то можно пользоваться лишь
первой из формул (8.18), добавляя к ней в случае
отсутствия данных о силе тока формулу (8.11).
В задачах о сравнении количеств теплоты, выделя-
емой в различных проводниках, следует руководст-
воваться теми указаниями, которые были даны выше
для работы и мощности тока, потребляемого провод-
никами при их последовательном или параллельном
соединении.
И наконец, выделим в этой подгруппе еще
один тип задач, в которых идет речь о превращении
электрической энергии в другие виды энергии с уче-
том КПД. Решение таких задач основано на
применении закона сохранения и превращения эне-
ргии и формулы
Qiarp ^эагр £атр £агр
При этом следует помнить, что количество тепло-
ты, выделяемое в проводнике при прохождении по
нему тока Q,aTp, работа тока Лзатр, превращаемая
электроэнергия £затр или потребляемая мощность тока
Латр — величины затраченные, а количество теплоты,
идущее на увеличение внутренней энергии чего-то за
счет (2заТр, механическая работа, совершаемая за счет
Лзатр, различные виды энергии, в которые преврати-
лась Ёзатр или механическая мощность, развиваемая
чем-то за счет Рзатр,— это величины полезные (соотве-
тственно бпол, Лпол. £пол, Рпол). Поэтому для решения
этого типа задач в зависимости от условия к послед-
ней формуле добавляют формулы (8.15), (8.16), (8.18),
формулы механики и калориметрии, а в случае
необходимости также законов постоянного тока.
Решение задач об электролизе удобно начинать
с составления уравнений законов Фарадея (8.19) или
(8.21). Если в условии задачи указаны электрохи-
мический эквивалент вещества, то проще использо-
вать первый закон Фарадея (8.19), если же он не
указан, то — объединенный закон Фарадея (8.21).
Если величины, входящие в формулы законов Фа-
радея, заданы в неявном виде, то к формулам (8.19)
или (8.21) добавляют вспомогательные формулы
(8.2), (8.3), связи массы с плотностью и объемом
выделившегося вещества и т. д. В результате получа-
245
ют систему уравнений, решение которой дает воз-
можность связать заданные и искомые величины.
Ими могут быть, к примеру, толщина отложившегося
слоя металла, скорость роста этого слоя, расход
электроэнергии и пр. Если в условии задачи говорит-
ся об электролизе двух (или более) веществ, то
законы Фарадея записываются для каждого из них.
Если в задаче рассматривается электрический ток
в газе, то при необходимости к формулам (8.19) или
(8.21) добавляют уравнение Менделеева -Клапейрона
(5.1). Обычно через массу газа, входящую в формулы
(8.19), (8.21), (5.1), удается установить зависимость
между всеми входящими в условие задачи величинами.
Еще одну подгруппу задач второй группы со-
ставляют расчетные задачи по элементарному курсу
электромагнетизма. Здесь, в свою очередь, можно
выделить задачи о взаимодействии однородного
магнитного поля с проводниками, по которым идет
ток, с движущимися заряженными частицами, а также
задачи о явлении электромагнитной индукции.
Задачи первых двух типов удобно решать в сле-
дующем порядке:
—	сделать схематический чертеж, указав на нем
в зависимости от условия проводник, контур с током
или движущуюся заряженную частицу;
—	показать направление линий магнитной ин-
дукции поля, отметив углы между направлением
вектора магнитной индукции и проводником, от-
дельными элементами контура или вектором началь-
ной скорости частицы, указать заряд частицы;
—	используя правило левой руки, определить
направление сил, действующих на проводник, каждый
элемент контура (сила Ампера) или на заряженную
частицу (сила Лоренца); указать эти силы на чертеже;
для нахождения направления силы Лоренца знак
заряда частицы имеет особое значение, ибо по нему
судят о направлении тока: у положительно заряжен-
ных частиц направление их скорости совпадает
с направлением тока, а у отрицательно заряженных
эти два направления противоположны;
—	записать для сил Ампера и Лоренца формулы
(8.22) и (8.23); в простейших случаях решение задачи
сводится к тому, чтобы выразить искомую величину
через заданные; в более сложных задачах дальнейшее
решение зависит от условия.
246
Если рассматривается равновесие проводника с то-
ком, то нужно помимо силы Ампера указать и все
остальные силы, приложенные к нему, затем записать
условие равновесия (3.1). Дальнейший ход решения
аналогичен решению задач статики твердого тела.
Если рассматривается взаимодействие магнитного
поля с контуром, по которому идет ток, то следует
указать направление силы Ампера для каждого
элемента контура; затем по известным правилам
находят равнодействующую эзих сил.
При рассмотрении движения заряженной частицы
вначале следует установить траекторию ее движения.
Как правило, в тех задачах, которые предлагаются
на конкурсных экзаменах, это сделать нетрудно.
Затем решение задачи сводится к написанию основ-
ного уравнения динамики материальной точки (2 2)
и решению этого уравнения относительно искомой
величины. В некоторых случаях к уравнению (2.2)
добавляют формулы кинематики. Вместе с формулой
(8.23) получается система уравнений, решение кото-
рой дает возможность найти неизвестные величины.
Основным расчетным соотношением для задач об
электромагнитной индукции является уравнение зако-
на электромагнитной индукции (8.23) или (8.26).
Анализируя условие задачи, следует установить,
о каком значении ЭДС индукции идет речь: о среднем
или мгновенном. Если речь идет о среднем значении
<f„, то следует пользоваться первой из формул (8.25)
или (8.26). При этом, используя соотношение (8.24),
определяют, за счет чего изменяется величина АФ: за
счет изменения индукции магнитного поля, за счет
изменения площади контура, описанного в простран-
стве движущимся проводником, или за счет измене-
ния ориентации контура в магнитном поле. Далее по
формуле (8.24) определяют магнитные потоки, соот-
ветствующие начальному и конечному моментам
времени изменения АФ. Подставив значения АФ и А/
в первую из формул (8.25) или (8.26), получают
уравнение закона электромагнитной индукции в раз-
вернутом виде. Если требуется, к этому уравнению
добавляют геометрические формулы связи площади
контура с его сторонами, радиусом, формулы элект-
ростатики и т. д. Решение этих систем, как правило,
дает возможность найти искомые величины.
Если по смыслу задачи следует использовать
247
мгновенное значение ЭДС индукции, то следует
пользоваться второй из формул (8.25) или (8.26).
При этом следует в формуле для Ф (8.24) найти
зависимость ot(z). В конкурсных задачах по элект-
ромагнетизму это, как правило, кинематическое соот-
ношение а = оз t = 2л v г Найдя производную Ф'(/)
и подставив в ее значение заданный момент времени
или заданное значение угла от, получают мгновенное
значение <S„. В случае необходимости к развернутому
второму уравнению (8.25) или (8.26) добавляют
формулы из раздела электростатики.
Задачи о явлении самоиндукции решают на основе
формулы (8.29). Эти задачи обычно пе вызывают
затруднений. В том случае, если не задано значение
индуктивности катушки, к формуле (8.29) добавляют
формулу (8.28) и, решая полученную систему, находя]
искомую величину.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Стальной проводник диаметром 0,1 мм
включен в цепь постоянного тока с силой тока
0,4 А. Как изменится напряженность электрического
поля в проводнике при повышении его температуры
от 273 до 373 К? Удельное сопротивление стали
при 273 К равно 1,2 • 10 ”7 Ом • м, температурный
коэффициент сопротивления а = 6,0 • 10 -3 К “ 1.
Решение
Абитуриенты испытывают
затруднения при решении таких
задач, так как часто считают,
что напряженность можно вве-
сти только для электростати-
ческих полей. На самом деле
напряженность можно ввести
для любого электрического по-
ля. Кроме того, при решении
задачи следует предположить, что заданное значение
а справедливо для интервала температур А Г= Т2 — Т\.
Если по участку цепи, в которой включен провод-
ник, проходит ток 7, то в соответствии с законом
Ома напряжение на концах проводника
L'=1R,	(Г)
где R = pllS—сопротивление проводника. Но напря-
248
0=1,0-10-4 м;
7=0,4 А;
Г, =273 К;
Г2 = 373 К;
р0= 1,2 • 10“7 Ом м;
ос = 6,О- IO 3 К
АО—?
жение на концах проводника связано с напряжен-
ностью поля внутри него соотношением (7.9):
U=El.	(2)
Сравнивая выражения (1) и (2), получим с учетом
значения R E=pl/S или, так как S=nD2/4,
£ = 4/р/(лО 2).	(3)
Полученное соотношение (3) является основным
для решения задачи. Вначале, когда температура
проводника была равна Т}, удельное сопротивление
стали было равно р0. Поэтому, используя зависи-
мость (3), можно записать
(5)
Ех=-^.	(4)
~1) -
После повышения температуры проводника до
Т2 удельное сопротивление стали увеличилось и стало
равным р = р0(1+аАТ). Тогда
£,= 4Д = 1^(1+«Д Г).
- nD2	’
Вычитая из уравнения (5) уравнение (4), получим
искомое изменение напряженности:
4Гр(,о(Д7’ u
А£ =-----,— = 3,/ В/м.
nD-	'
Из последнего соотношения, в частности, следует,
что при постоянной плотности тока напряженность
поля в проводнике растет с увеличением температуры.
Задача 2. На катушку намотан круглый стальной
провод диаметром 1,2 мм. Масса провода 0,2 кг.
На катушку подается напряжение 53,8 В. Определить
силу тока, идущего по проводу, если он нагрелся
до 393 К. Удельное сопротивление стали при 293 К
равно 1,2 • 10 7 Ом • м, температурный коэффициент
сопротивления стали а = 6,0 • 10 3 К “ 1. Плотность
стали d='l^ - 103 кг/м3.
1,2 • 10 3 м;
т = 0,2 кг;
L' = 53,8 В;
£=393 К;
Решение
Трудности,
абитуриентами
таких задач,
в том, что они
испытываемые
при решении
заключаются
не учитывают
249
изменение удельного сопро-
р29з = 1,2 10 7 Ом • м; тивления материала провод-
/—?
ника в зависимости от тем-
пературы. Кроме того, неко-
торые из них не могут вы-
разить линейный размер проводника (или площадь
его поперечного сечения) через его массу и плотность
вещества.
Искомая сила тока в соответствии с законом
Ома для участка цепи равна
J=UjR,
(1)
где R — сопротивление стального провода, равное
R — Рз93^/ S.
(2)
В формуле (2) р393— удельное сопротивление
стали при температуре Т. Однако в большинстве
физических таблиц удельные сопротивления матери-
алов заданы при температуре 293 К. Для преодоления
этого затруднения воспользуемся заданным значе-
нием температурного коэффициента сопротивления
а. Придется допустить, что значение коэффициента
а не меняется в интервале температур от 273 до
393 К. Теперь воспользуемся формулой зависимости
удельного сопротивления от температуры:
Рз9з —Р27з(1+0(АТ),
Р29 3 = р273 0 +	2 ! ),
(3)
(4)
где р273—удельное сопротивление при температуре
273 К, Д 7= Г—273= 120 К, Д^ =293 К-273 К =
= 20 К. Разделив выражение (3) на (4). получим
Р393 -Р293
1 + аДТ
(5)
В системе уравнений (1), (2), (5) пять неизвестных
величин: I, R, р393, I, S. Чтобы система уравнений
была полной, следует записать еще два уравнения.
Одно из них, связывающее S' и D, легко получить
из геометрических соображений:
S— nD 2/4.
(6)
Последнее уравнение мы запишем, если выразим
массу провода через его длину, площадь поперечного
сечения и плотность стали:
250
m = dV=dlS,
(7)
где V—IS -- объем провода.
Решая систему уравнений (1), (2), (5) — (7) от-
носительно искомого значения /, получаем
1= пЧУШЦ+аТУ) = |4 5 А
16/г/р293(1 +аАТ)
Задача 3. На рис. 146 изображена электрическая
цепь, в которой —4 В; R = 45 Ом, г=1Ом. Опре-
делить показания вольтметра и амперметра. Считать
сопротивление вольтметра бесконечно большим, а со-
противление амперметра бесконечно малым. Сопро-
тивлением соединительных проводов пренебречь.
<? = 4 В;
r= 1 Ом;
/? = 45 Ом.
Рис. 146
Решение
I ? С ?
Сделаем одно существенное замечание. Некоторые
абитуриенты полагают, что если сопротивлением
проводника можно пренебречь, то этот проводник
можно вооб[це не принимать во внимание. Это
серьезное заблуждение! Ибо пренебречь сопротивле-
нием проводника и пренебречь самим проводником —
принципиально не одно и го же. Не учитывать
в схеме проводник означает заменить его бесконечно
большим сопротивлением, тогда как не учитывать
сопротивление проводника означает заменить его
сопротивлением, равным нулю. Учтите это!
Для решения задачи упростим заданную схему.
Для этого найдем на ней точки с одинаковыми
потенциалами. Так как сопротивления соединитель-
ных проводов равны нулю, то точки A, S, С на
рис. 146 имеют одинаковый потенциал: <рл = (рл = <рс;
то же самое можно сказать и о точках D, F, В:
сРп = (Рг = Фв- Значит, если совместить точки с один-
аковыми потенциалами друг с другом, то станет
очевидным, что начала всех сопротивлений находятся
в одной точке, а концы — в другой, т. е. все со-
противления соединены параллельно (рис. 147). Схема
получилась предельно упрощенной, и рассчитать ее
становится легко.
251
Рис. 147
Действительно, общее вне-
шнее сопротивление Rn = R/3.
По закону Ома для замкнутой
цепи,
1=
+ /' Р + 3/'
Показания вольтметра
U=IR
° Л + Зг
Подставляя числовые
данные, получим окончательно
/=0,25 А; £/=3,75 В.
Задача 4. На рис. 148 изображена электрическая
схема. Определить показания амперметра и вольт-
метра, если jRj = 1 Ом, R2 = 3 Ом, А3 = 4 Ом, <§ = 3,3 В,
/' = 0,2 Ом. Рассчитать силы токов в резисторах RL,
R2, R2, а также падения напряжений на них.
Сопротивление амперметра считать бесконечно ма-
лым, сопротивление вольтметра считать бесконечно
большим. Сопротивлением проводов пренебречь.
Ri = 1 Ом;
R2 = 3 Ом;
7?з = 4 Ом;
г = 0,2 Ом;
<§ = 3,3 В.
с - ? /- ?
Л	•’ с
Л	•’ с, ?
G. •’ и,- ?
Рис. 148
Решение
В заданной схеме вроде бы и нет ни пос-
ледовательных, ни параллельных соединений. Дей-
ствительно, сопротивления Rt и R2 нельзя считать
соединенными последовательно, ибо между ними
включен проводник сопротивлением А3; сопротивле-
ния Rr и A’j, R2 и R2 нельзя считать соединенными
параллельно, так как ючки В и D замкнуты тем
же проводником.
Заметим, что сопротивления включены симмет-
рично (ось симметрии АС на рис. 148 проведена
252
пунктиром). Это значит, что в схеме должны быть
точки, обладающие одинаковым потенциалом. Найдем
эти точки и сведем задачу к типу предыдущей. Так как
при разветвлении тока в точке А (или С) условия
прохождения его до точки С (или Л) по обеим ветвям
одинаковы, то потенциалы в точках В и D будут равны:
<Рв = Фп.
Это означает, что по сопротивлению 7?3 ток не пойдет,
т. е. /3 = 0. Следовательно, падение напряжения на
этом сопротивлении С3 = /37?3 = 0. Тогда, не нарушая
режима работы цепи, можно исключить сопротивле-
ние R3. Схема упрощается и становится такой, как на
рис. 149 (для большей наглядности мы включили
Рис. 149
амперметры А3 и /12 и вольтметры V\ и Г2, показания
которых соответствуют искомым величинам). Стано-
вится очевидным, что сопротивления Rv и R2 соедине-
ны последовательно, а верхняя и нижняя ветви —
параллельно. Расчет такой цепи элементарен. Сопро-
тивление каждой из двух параллельных ветвей
Rii = Ri + Ri- Общее внешнее сопротивление
П _ Pl2 _
— —об-2---------
По закону Ома для полной
ЛОб + г Д1 + Д2 + 2|"
Напряжение
2
цепи,
Сила тока в каждой ветви
Л = /2 = 1/2/=0,75 А.
Падение напряжения
253
Ut =-.ц Rx = o,75 В; U2 = 1xR2 = 2,25 В.
Обратим внимание на то, что выбрасывать провод-
ник сопротивлением можно лишь тогда, когда
схема симметрична, ибо только в этом случае
(pB = (pD. В противном случае приведенный метод
расчета будет ошибочным.
Задача 5. Гальванометр со шкалой от 0 до 50
делений имеет цену деления 2 мкА/дел и внутреннее
сопротивление 200 Ом. Какое добавочное сопротив-
ление следует подключить, чтобы гальванометр мож-
но было использовать как вольтметр для измерения
напряжения до 2 В? Какой шунт следует подключить
к этому гальванометру, чтобы его можно было
использовать как миллиамперметр для измерения
силы тока до 10 мА?
п = 50 дел.;
а = 2,0  10 6А/дел.;
7? = 2,0- 10* (I) 2 Ом;
[/= 2,0 В;
7=1,0-10'2 А.
Решение
R 9 R 9
Д\.д	. Пщ
В задаче рассматривается два варианта подключе-
ния резисторов к гальванометру: в качестве до-
бавочного сопротивления (рис. 150, а) и шунта
(рис. 150,6). В первом случае, когда прибор ис-
пользуется в качестве вольтметра для измерения
напряжения, превышающе! о допустимое, к нему
последовательно подключается дополнительное со-
противление. Это делается для того, чтобы падение
напряжения на гальванометре L'(l не превышало
допустимого. Так как при последовательном соедине-
нии U=U0 + U„, где - падение напряжения на
добавочном сопротивлении, то
О.- / i „.
(I)
Учитывая, что при последовательном соединении
сила тока, проходящего через добавочное сопротив-
ление и гальванометр, одна и та же, можно по
закону Ома для участка цепи вычислить R,:
R I : I...
(2)
254
где IQ = <xn—сила тока, на который рассчитан галь-
ванометр.
Допустимое напряжение Uo по закону Ома равно
U0 = InR = anR.	(3)
Решая совместно уравнения (1)—(3) относительно
Яд, получим (с учетом значения /0)
U-anR = 19	1()з Ом
д 0U1
Во втором случае, когда прибор используется
в качестве амперметра для измерения силы тока,
превышающего допустимый, параллельно ему вклю-
чают шунт. Это делается для того, чтобы через
гальванометр шел допустимый ток I(l = rJ.n. а через
шунт — 1Ш. Так как при параллельном соединении
/=/0 + /ш, то /ш = 7 —/0 или с учетом /0
(4)
Учитывая, что при параллельном соединении падение
напряжения на гальванометре и шунте одно и то
же и не должно превышать t/0, в соответствии
с законом Ома для участка цепи запишем
RUI=UO/JIU.	(5)
Решая совместно уравнения (3) - (5) относительно
7?ш, получаем
/?ш= ^1=2,02 Ом.
I—ZLlt
Задача 6. На рис. 151 изображена схема элект-
рической цепи, источник тока в которой имеет
внутреннее сопротивление 1 Ом. Сопротивления ре-
зисторов Ri =4 Ом, Л2 = 6Ом. Вольтметр, подклю-
ченный к полюсам источника, до замыкания цепи
показывает 3 В, после замыкания — 2,5 В. Считая
сопротивление вольтметра
и пренебрегая сопротивлением
соединительных проводов, най-
ти силу тока в цепи, сопро-
тивление резистора R3 и заряд
на пластинах конденсатора.
Электроемкость конденсатора
1 мкФ.
бесконечно большим
Инс. 15 i
255
Решение
<Г = 3 В;
«7=2,5 В;
г = 1 Ом;
/?1==4 Ом;
R2 = 6 Ом;
С=1 • 10“6 Ф.
/-? Я3-?
При решении подобных задач аби-
туриенты испытывают затруднения,
связанные, во-первых, с включением
конденсатора в цепь постоянного то-
ка; во-вторых, им иногда неизвестно,
каковы показания вольтметра, под-
ключенного к полюсам источника
тока в случаях замкнутой и ра-
зомкнутой цепи.
Воспользуемся законом Ома для
замкнутой цепи:
I=£l(R + r),	(I)
где R — внешнее сопротивление цепи. Из формулы
(1) следует, что S = IR + Ir, где IR = U - падение
напряжения на внешнем участке цепи, 1г— падение
напряжения на внутреннем сопротивлении источника.
В случае замкнутой цепи вольтметр, подключенный
к полюсам источника, показывает именно величину
U. Тогда можно записать, что
=	(2)
Советуем обратить внимание на формулу (2). Ею
можно пользоваться даже тогда, когда неизвестны
внешние сопротивления. Кроме того, из нее становит-
ся ясным, что показывает вольтметр, подключенный
к полюсам источника тока, при разомкнутой внешней
цепи: в этом случае /=0 и, следовательно, U = S'.
Теперь становится понятно, что означают в условии
задачи показания волюметра до и после замыкания
цепи. Из формулы (2) сразу же находим силу тока:
1= ---- =0,5 А.
Г
Из закона Ома для внешнего участка цепи
следует, что
R=U[I.	(3)
Внешняя цепь сопротивлением R состоит из двух
участков, соединенных последовательно: первый из
них состоит из двух резисторов R{ и соединенных
D R.Ri
параллельно, и имеет сопротивление Rl2=---------;
второй участок состоит из параллельно включенных
256
ГЛАВА X
ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИИ
И ОРГАНИЗАЦИИ БУРОВЫХ РАБОТ
Применение теории статистических решений в задачах
технологии бурения
При организации оперативного планирования работы буро-
вых бригад возникает необходимость решения ряда технологи-
ческих и технико-экономических задач: выбор конструкции
скважин, определение рациональных границ применения раз-
личных породоразрушающих инструментов и др. От решения
указанных задач во многом зависят результаты хозяйственной
деятельности геологоразведочной организации в целом. Од-
нако указанные задачи решаются в неопределенности, обуслов-
ленной вероятностным характером изменения геолого-техниче-
ских условий бурения скважин.
Таким образом, задача сводится к выбору наиболее рацио-
нального варианта реализации стратегии управления производ-
ственным процессом. Для принятия решений в условиях неоп-
ределенности можно использовать методы теории статистиче-
ских решений. Применение ее уже рассматривалось в задачах
распознавания информации при управлении бурением сква-
жин, когда использовался байесовский статистический подход.
Байесовские решающие функции могут применяться при реше-
нии задач проектирования технологии бурения и организации
работ при наличии некоторых статистических распределений
параметров задачи.
В общем случае постановка задачи представляет собой сле-
дующее: задано множество возможных состояний системы W,
которое оценивается вероятностями его возникновения /’(W7!),
Р(№2), ..., P(Wi), ..., P(Wn) для	i=17~n где и —
число возможных состояний системы; задано также множе-
ство возможных решений D. Необходимо найти такое решение
dj\ /=1, т для V d^D (где т — число возможных решений);
чтобы средние потери от принятия неверного решения были
минимальными.
Задается функция потерь, например в матричной форме.
L = f(d, Г):
W1		W,	Wi	
di	L GOT)	L GOT)	L faWi)	L (chWr.)
d2	L (f№	L GOT)	L GOT)	£ (d2Wn)
9 Заказ № 1355
257
dj HdjWJ L(djW2) L(djWi) L(djWn)
dm L(dmW\) L(dmW2) L(dmWi) L(dmWn).
Элементы матрицы потерь представляют собой плату за
принятое решение dj, когда истинным является состояние Wj.
При заданном распределении вероятностей P(W) состоя-
ний W средний риск р определяется по формуле
р; = J L (dj, Wi) Р (It/;).	(Х.1)
1=1
где п—множество возможных состояний; L(djWi)—функция
потерь; P(Wi) —вероятности состояний.
По формуле (Х.1) для каждого возможного решения dj,
е D рассчитывается средний риск от принятия ошибочных
решений, взвешенных по вероятностям Р(И7;). Из множества
возможных решений принимается то, для которого p(dJWi)—
минимально. Таким образом, критерием качества выбора опти-
мального решения является среднее значение потерь от оши-
бочных решений, взвешенных по вероятностям их появления.
В тех случаях, когда распределение вероятностей состояний
получить довольно трудно или его нет, можно применять кри-
терий минимаксного риска
min max {L (dj, W71)|.	(X.2)
i i
Это означает, что для каждого решения из матрицы потерь
выбирают максимальные значения потерь для всех состояний
и из них формируется столбец максимальных потерь, а затем
в качестве оптимального выбирается решение, которому в ука-
занном столбце соответствует минимальное значение потерь.
При последовательном выборе различных решений техноло-
гических вариантов должно соблюдаться следующее условие:
Р (djW) < р (dj^W)-,
Р (djW) - р (ф-хГ) < 0 <==> Р (dj) <	t	(Х 3)
Lj-i(dtW)
где P(dj) —вероятность успешного применения /-го решения;
Lj(diW), L>-}(diW)—соответственно потери от принятия по-
следующего и предыдущего решений.
Каждый последующий вариант целесообразно применять
в том случае, если средний риск его меньше предыдущего или
разность средних рисков меньше нуля. Разность будет меньше
нуля, если вероятность успешного использования последующего
решения (средства) меньше отношения потерь последующего
средства к предыдущему.
Поясним изложенное на примерах решения конкретных тех-
нико-экономических задач.
258
Решение
Для решения задачи вспомним, что, по определе-
нию, т) = РП0Л/Р, где РПОЛ = /2Д0 — мощность, выделя-
емая во внешней цепи (полезная мощность); здесь
7?0 — полное сопротивление внешнего участка;
Р=I2 (Ro + г)—мощность, выделяемая на внешнем
и внутреннем участках цепи. Значит,
п= /2/?0	- R('
l2(R0 + r) Ro--C
(1)
Итак, решение задачи сводится к нахождению
Ro. Анализируя заданную схему, устанавливаем, что
потенциалы точек С и D одинаковы ((pc = <pD),
поэтому эти точки можно	!
соединить, после чего ста-	,» , j| «
новится очевидной эквива-	~н=1 и
лентная схема (рис. 154). Из	й 1=1 с
нее нетрудно установить, д	с—1	в
что сопротивление парал-
дельного участка ВС равно
R/2, сопротивление после-	Rl“' 134
довательного участка АВС равно 3/?/2 и, наконец,
сопротивление параллельного участка АС
RO = 3/5R.	(2)
Подставив значение Ro из формулы (2) в (1)
и решив полученное уравнение относительно R,
находим
Л=--5^Ц =60 Ом.	(3)
3(1-ф	'
Полезная мощность с учетом выражения (2)
РПол = 3/5/2/?.	(4)
Силу тока найдем из закона Ома для замкнутой
цепи:
е _ 5<s
Ro + f 3 R + 5г
(5)
Решив совместно уравнения (3) -(5) относительно
Рпол, после несложных алгебраических преобразова-
ний получим
Лол—-2-^1 П>=69 Вт.
Г
259
Задача 9. К источнику постоянного тока с ЭДС
280 В подключена лампа, находящаяся на расстоянии
400 м от него. Лампа рассчитана на мощность
100 Вт. Какова масса алюминиевого провода, кото-
рым выполнена проводка? Потери напряжения в про-
водах не превышают 1%. Плотность и удельное
сопротивление алюминия равны соответственно
2,7 • 103 кг/м3 и 2,8 • 10“8 Ом • м. Внутренним сопро-
тивлением источника пренебречь.
<Г = 280 В;
Р= 100 Вт;
/ = 400 м;
Аг = 0,01;
р = 2,8 • 10 8 Ом -м;
D = 2,7- 103 кг/м3.
Решение
т — ?
Рис. 155
ного сечения). Если заданы D и р,
Массу про-
вода можно оп-
ределить, зная
материал, из
которого он
сделан, его со-
противление и
длину (или пло-
щадь попереч-
то т = D -21S,
21
А=р—.
r S'
Здесь учтен тог факт,
что линия передачи
электроэнергии — двухпроводная, поэтому ее длина
в два раза превышает расстояние между генератором
и лампой. Исключая из последних двух формул не
заданную в условии площадь поперечного сечения
провода, получим
m = 4pDl2/R.	(1)
Все величины, входящие в равенство (1), кроме
сопротивления линии R, заданы; поэтому решение
задачи сводится к нахождению R. Из рис. 155
видно, что
4 = £/пр + [/л,	(2)
где Unp и U„ — падения напряжений на проводах
и лампе. В равенстве (2) учтен согласно условию
задачи факт пренебрежения внутренним сопротивле-
нием источника. По закону Ома для участка цепи,
Unp=lR,	(3)
где /—сила тока в линии.
По условию задачи,
1Л,р = А^.	(4)
260
г В системе уравнений (2) — (4) четыре неизвестных:
7/пр, Uл, 7, R. Для того чтобы она была полной,
к ней следует добавить еще одно уравнение, свя-
зывающее неизвестные величины. Таким уравнением
является
P=TU„.	(5)
Решая совместно уравнения (2) — (5) относительно
R, получаем
R = S(\-k)kiP.	(6)
Подставив выражение (6) в (1), окончательно находим
т =
4pDl2P
£2к(1~к)
= 6,2 кг.
Задача 10. Источник тока питает внешнюю цепь
(рис. 156). При силе тока 2 А во внешней цепи
выделяется мощность 24 Вт, а при силе тока 5 А —
мощность 30 Вт. Определить силу тока короткого
замыкания источника. Какая максимальная мощность
может выделяться во внешней цепи?
71=2 А;
Л =24 Вт;
72 = 5 А;
Р2 = 30 Вт.
7п — Р — ?
*0	• * 1 max
Решение
По закону Ома для
S г замкнутой	цепи,
---1|--- 7 = 6’/(R + г). При сопро-
тивлении внешней цепи
R = 0 по ней течет ток
короткого замыкания.
Поэтому
Рис. 156
(1)
Значит, решение задачи сводится к нахождению
ЭДС и внутреннего сопротивления источника. По
условию задачи, выделяемые мощности
P^HRn P2 = I22R2,	(2)
где 7?! и R2—сопротивления внешней цепи в каждом
из двух случаев. Кроме того, по закону Ома,
<?•	_ 6
Rt+P 2-Л2 + г’
(3)
Система уравнений (2) и (3) содержит четыре
261
неизвестных: R{, R2, S, г. Решая ее относительно
S и г, находим
т — ---------------------------
(5)
Подставляя значения & и г из выражений (5)
и (4) в (1), получаем
Анализ выражений (2) и (3) показывает, что
мощность выделяемая на внешнем участке, связана
с его сопротивлением R соотношением
Р = <^2 R/(R + r)2.
(6)
Из математики известно, что для нахождения
максимума функции Р =f(R) следует взять производ-
ную функции и приравнять ее нулю. Так как
S' и г — неизменные характеристики источника, то
P’{R) = S2
(Л + г)2
(/? + 4
откуда следует, что максимальная мощность будет
выделяться во внешнюю цепь при условии
R = r.
(7)
Подставив условие (7) в соотношение (6), получим
(8)
С учетом равенств (4) и (5) соотношение (8)
принимает вид
4ЛА(Л-'Л)(^,Л-ЛЛ)
Задача 11. Электровоз массой 300 т спускается
вниз с горы со скоростью 72 км/ч. Уклон горы
равен 0,01. Коэффициент сопротивления движению
0,02, напряжение в линии 3 кВ. КПД электровоза
80%. Определить сопротивление обмотки электро-
двигателя.
262
	Решение
m = 3,0 • 105 кг; - v= 10,0 м/с; tga = 0,01; 0 = 0,02; £/=3,0 - 103 В; Т] = 0,8.	Искомое сопротивление можно найти, если известна потеря мощ- ности в обмотке двигателя: РДВ = /2Л, откуда R-=PaJl\	(1) где /—сила тока, идущего через
/?--?	обмотку. Мощность Рдв составляет часть мощности, потребляемой двигателем
электровоза (затраченной мощности) Рзатр = /СЛ Дру-
гую часть этой мощности составляет мощность,
развиваемая электровозом при движении (полезная
мощность), Pno„ = Fv. Значит, Р^тр = Рав +Рпол, или
IU = Рдв + F v, откуда
PaB = IU—Fv.	(2)
Коэффициент полезного действия, по определе-
Р„„„ Fv
нию, т]=-----= —, откуда
F затр IF
/= —
Л С/
Решая совместно уравнения (1)— (3), получаем
д_(1-п)п^2
Fv
(3)
(4)
В уравнении (4) неизвестным является модуль
силы тяги, развиваемой электровозом. Сделав чертеж
(рис. 157) и расставив все си-
лы, приложенные к электро-
возу, запишем основное урав-
нение динамики (считаем эле-
ктровоз в этой задаче мате-
риальной точкой): F + FTp +
+mg-l-Q = 0, где F — сила тя-
ги, FTp—сила сопротивления
движению, Q — сила реакции
Рис. 157
опоры, mg—сила тя-
жести. Выбрав систему отсчета, связанную с непод-
вижным полотном дороги, запишем уравнения для
проекций векторов на координатные оси:
OX:	F+ mg sin a ~F,P = 0,	(5)
OY:	Q — mgcosa = Q.	(6)
263
Решая систему уравнений (5) — (6) с учетом
получаем
F= mg (ц cos a — sin а).	(7)
Так как для малых углов sinaxTga, то равенство
(7) перепишем так:
F— mg sin а (ц ctg а — 1).	(8)
Подставляя равенство (8) в (4), находим
R =-----------------= 2,4 Ом.
mgv sin a(p cig а — I)
Задача 12. Под каким напряжением следует
проводить электролиз воды на установке с КПД
80%, чтобы при затратах электроэнергии не свыше
965 кДж выделившийся кислород находился в объеме
1 л под давлением 200 кПа при температуре 300 К?
Постоянная Фарадея, валентность кислорода и мо-
лярная газовая постоянная равны соответственно
96 500 Кл/моль; 2; 8,3 Дж/(моль • К).
Решение
Г) = 0,8; £=965 103 Дж; V=\  10 3 м3; р = 2- 105 Па; Г=300 К; F=965  102 * Кл/моль; п = 2; £ = 8,3 Дж/(моль-К).	Следует иметь в виду, что при решении подобных задач ЭДС поляризации, возника- ющей на электродах ванны, пренебрегают. Тогда искомое напряжение можно найти из соотношения E„01I — qU, откуда U=EnO!llq,	(1)
U—2	где £„ол — электроэнергия, иду- щая непосредственно на выде- ление кислорода (полезная),
q— заряд, прошедший через воду. Так как полезная
электроэнергия связана с затраченной соотношением
О = Ещ^Е, то
£ПОл = П£-
(2)
Величина заряда, прошедшего через воду, входит
А
в уравнение объединенного закона Фарадея т — — q.
Поэтому
q = mFnj А.
(3)
264
Подставив соотношения (2) и (3) в (1), получим
7=^-.	(4)
mFn
В соотношение (4) входят не известные пока
масса (т) выделившегося кислорода и его атомная
масса А. Нетрудно установить, что массу кислорода
можно выразить из уравнения Менделеева—Клапей-
рона через параметры его состояния:
pV=-RT,
г м
(5)
где М — молярная масса кислорода. Так как кис-
лород— газ двухатомный, то
М = 2А.	(6)
Выразив массу кислорода из уравнения (5) с уче-
том выражения (6) и подставив ее в соотношение
(4), получим окончательно
и=п£лт = 25 в
2FnpV
Задача 13. Для серебрения 12 ложек, каждая из
которых имеет поверхность 50 см2, через раствор
соли серебра пропускают ток 1,8 А. С какой средней
скоростью увеличивается толщина серебряного по-
крытия ложек? Плотность, атомная масса и вален-
тность серебра равны соответственно 10,5 кг/м3;
0,108 кг/моль; 1. Постоянная Фарадея 96500 Кл/моль.
Решение
А'= 12;
5= 5,0- I03 м2;
7= 1,8 А;
р= 10,5 • 103 кг/м3;
А = 10,8 • 10'2 кг/моль;
п = 1;
7=96,5  103 Кл/моль.
v — 1
Средняя скорость увеличе-
ния толщины покрытия ложек
>’ = Ж	(1)
где Н — толщина серебряного
покрытия по обе стороны ка-
ждой ложки, t -время элек-
тролиза, т. е. время роста то-
лщины покрытия. Ни одна из
величин, входящих в правую
часть выражения (1), не извес-
тна. Однако нетрудно установить, что толщина
покрытия связана с массой серебра соотношением
265
М = р И = pNSH, где V = NSH—объем покрытия всех
ложек. Значит,
т
рЖ
(2)
Неизвестная масса серебра из соотношения (2)
может быть легко выражена в соответствии с объ-
единенным законом Фарадея, куда входит и время
Л
t из соотношения (1): т=—It, откуда
Fn
mFn
t =----
IA
(3)
Подставив равенства (2) и (3) в формулу (I),
получим
1) = —^ = 3,2-10’9
pNSnF
м/с.
Задача 114. К источнику постоянного напряжения
130 В подключен алюминиевый квадратный с диа-
гональю контур, выполненный из проволоки диамет-
ром 1,8 мм (рис. 158). Плоскость контура располо-
жена параллельно линиям индукции магнитного поля.
Определить модуль и направление силы, дейст-
вующей на контур со стороны магнитного поля,
если индукция магнитного поля равна 1,6-10~2Тл.
Удельное сопротивление алюминия равно
2,6  I0 8 Ом • м.
(7=130 В;
d= 1,8 • 10’3 м;
В= 1,6  10“2 Тл;
р = 2,6 10 8 Ом • м.
F ?
266
Решение
Известно, что на расположенный в магнитном
поле проводник, по которому течет ток, действует
сила Ампера F= IBlsin а, где I -сила тока в провод-
нике, I — его длина, а — угол между направлениями
индукции магнитного поля и тока. Направление силы
Ампера определяется правилом левой руки. Трудно-
сти, возникающие при решении таких задач, связаны
с тем, что в условии не заданы ни силы токов, ни
длины проводников. Кроме того, различные провод-
ники по-разному ориентированы в магнитном поле.
В принципе для нахождения модуля и направления
искомой силы нужно знать модули и направления
сил, действующих на отдельные элементы контура.
По ориентации элементов контура в магнитном поле
выделим пять прямолинейных проводников: ab, be,
ас, ad, de. Из рисунка видно, что при заданном
включении контура в цепь генератора проводники
abc, ас, ade соединены параллельно, причем участки
abc и ade состоят из последовательно соединенных
проводников, соответственно ah и he, ad и de. Из
рисунка же видно, что проводники ah и cd ориентиро-
ваны параллельно линиям индукции, т. е. для них
угол а = 0. Значит, в соответствии с законом Ампера
Fab = Ft.d = 0. Проводники Ьс и ad ориентированы
перпендикулярно линиям индукции, т. е. для них
а = 90 . Проводник ас составляет с вектором индук-
ции угол аас = 45 . Если обозначить длины сторон
квадрата через I, то длина диагонали будет равна
/v/2. Тогда модули сил, действующих па проводники
be, ad и ас, будут равны
Ры: = 1аЬс1В, Fad = Iadl.lB-, Fac = l„clj2sm^ae-В. (1)
Учитывая, что проводники однородны, можно
утверждать, что точки приложения всех сил находят-
ся в середине проводников в соответствии с пр авилом
левой руки направлены перпендикулярно плоскости
рисунка (к нам). Поэтому искомая сила
F ~ Fbc + Fad + F.
(2)
Силы тока, входящие в соотношения (1), легко
определяются из закона Ома:
(3)
267
Сопротивления равны	Rahc = Radc = р • 21/ S,
Яас=Р1уД/S, где S=itd2/4— площадь сечения. Тогда
соотношения (3) принимают вид
.	—Unci2. , _ Und2
* abc * adc Z Г~ i *ac	•
8P^	4p/x/2
Решая совместно уравнения (1), (2), (4) относи-
тельно искомой силы, находим
(4)
F=£^(l + sina ) = 345 9 н.
4р '	'
Задача 15. Электрон, прошедший ускоряющую
разность потенциалов 1,0 кВ, влетает в однородное
магнитное поле с индукцией 10,0 мТл под углом
а к линиям индукции. Определить радиус и шаг
спиральной линии, по которой будет двигаться
электрон, если aj = 60r'; a2 = 90°. Заряд и масса
электрона равны соответственно 1,6-10'19Кл
и 9,1 • 10“31 кг.
0=1,0-103 В;
В= 1,0- 10 2 Тл;
<?=1,6 10~19 Кл;
ш = 9,1  10 11 кг;
ос1 = 6О°;
а2 = 90°.
Решение
Рис. 159
Л1-? я2-9
/гх-? /г2 —?
Известно, что когда заряженная частица влетает
в однородное магнитное поле так, что вектор
скорости v направлен под углом а к вектору
индукции В, то в случае, если действием всех сил,
кроме силы Лоренца Fn, можно пренебречь, тра-
екторией движения частиц будет являться винтовая
линия. В этом можно убедиться, если в выбранной
системе координат XOY (рис. 159) найти проекции
вектора v на оси ОХ и ОУ:
Ух=г cos a;
vy=v sin a.
(1)
Представим движение электрона как суперпози-
цию его движения по окружности некоторого радиуса
R в вертикальной плоскости и горизонтального
268
движения вдоль линий индукции магнитного поля.
Если воспользоваться известным из кинематики прин-
ципом независимости движений, то станет очевидно,
что период обращения электрона по окружности
радиуса R равен времени смещения электрона на
один шаг вдоль поля.
Как правило, абитуриенты испытывают трудности
при оценке характера каждого из независимых
движений. Поэтому остановимся на этом вопросе
подробней.
Обратите внимание, что при указанных на рисунке
направлениях векторов В и v сила Лоренца Рл,
действующая на электрон, в соответствии с правилом
левой руки направлена перпендикулярно плоскости
рисунка (к нам), т. е. ± v. Так как другими
силами, действующими на электрон, мы пренебрег-
ли, то сила Лоренца, как известно из кинематики,
меняез лишь направление составляющей vy; модуль
же vy = const. Значит, движение электрона по окру-
жности в вертикальной плоскости будет равно-
мерным.
Движение же электрона вдоль линий индукции
поля будет равномерным и прямолинейным, по-
скольку в этом направлении на него вообще не
действуют силы.
Так как сила Лоренца (с учетом равенств (1))
F1i = evyB — evB sin а	(2)
сообщает электрону в плоскости, перпендикулярной
линиям индукции, нормальное ускорение
v2 __ v2 sin2 а
(3)
то в соответствии со вторым законом Ньютона
Fn = ma„ или с учетом равенств (2) и (3)
_ .	v2 sin2 а
evB sin а = т—-—, откуда
= —i—.	(4)
еВ
Поскольку вдоль линий индукции электрон дви-
жется прямолинейно с постоянной скоростью
269
vx = const, шаг винтовой линии h = vxT, где
T='lKRjvy — период обращения электрона. Следова-
тельно, с учетом равенств (1) и (4)
2nmv cos cz
(5)
В соотношениях (4) и (5) кроме искомых R и h не-
известной величиной является скорость, модуль ко-
торой можно найти через заданную ускоряющую
разность потенциалов. По закону сохранения и пре-
вращения энергии работа сил поля A=eU равна
изменению кинетической энергии электрона
Л£=1/2шг2. Значит, eU='l2mv2, откуда v = ^2eU/m.
Подставив эту скорость в соотношения (4) и (5),
получим
I llm U 	/	1 т l2rnU
R = ~ /------sin а; « = -2я /--------cos а
В С е	В е
(6)
Подставив числовые
значения, находим искомые
величины для углов otj и
RX=9,2\Q 2 м; /i1 = 3,310 2 м;
Л2 = l,l • IO 2 м: Л2 = 0.
Обратите внимание на соотношение (5), из ко-
торого следует, что траектории заряженных частиц,
влетающих в однородное магнитное поле перпе-
ндикулярно его линиям индукции (а = 90), пред-
ставляю! собой дуги окружностей (шаг винтовой
линии /? = 0).
Задача 16. В однородном магнитном поле с ин-
дукцией
20 мТл расположены вертикально на рас-
стоянии 80 см друг от друга два проволоч-
ных прута, замкнутых наверху. Плоскость,
в которой расположены прутья, перпен-
дикулярна направлению линий индукции
магнитного поля. По прутьям с постоянной
скоростью 1,5 м/с скользит вниз перемычка
массой 1,2 г (рис. 160). Определить ее со-
противление, считая, что при движении
Рис. 160 коптакт перемычки с прутьями не наруша-
ется. Трением при движении перемычки и сопротив-
лением остальной части системы пренебречь.
270
B = 2,Q- I0 2 Тл;
/=8,О-10 1 м;
v = 1,5 м/с;
т = 1,2  КГ3 кг.
Я-?
Решение
Рис. 161
Известно, что
в замкнутом конту-
ре индуцируется эле-
ктрический ток, если
магнитный поток
сквозь площадь это-
го контура с тече-
нием времени меня-
ется. В нашем слу-
чае при движении
перемычки ad вниз
меняется площадь
замкнутого контура abed (рис. 161) и, как следствие,
происходит изменение магнитного потока, вы-
зывающее ЭДС индукции. Если контур замкнут,
то, по закону Ома, /=|<^И|/Я, откуда
Л = М„|/Л
(1)
В числителе выражения (1) находится абсолютное
значение ЭДС индукции. В связи с этим напомним
Вам о том, что в соответствии с правилом Ленца
ЭДС индукции направлена так, чтобы препятствовать
изменению магнитного потока, хотя для данной
задачи направление ЭДС индукции не имеет значения.
Итак, задача сводится к отысканию абсолюзного
значения ЭДС индукции и силы индукционного тока.
По закону электромагнитной индукции Фарадея,
(2)
где AO = BAScosa — изменение магнитного потока,
пронизывающего контур abed. Так как по условию
задачи плоскость, в которой находится контур,
перпендикулярна направлению линий индукции маг-
нитного поля, то а = 0 и АФ = ВА5. Учтем, что за
промежуток времени А/ перемычка ad, двигаясь
равномерно со скоростью v, пройдет расстояние с А/
и площадь контура измени гея на величину АА==/гАт
Тогда АФ = Blv&t. Подставив это выражение в урав-
нение (2), получим
\^\ = Blv.
(3)
Для нахождения силы тока вспомним, что на
271
перемычку с током, движущуюся в магнитном поле,
действует сила Ампера F. Она должна быть направ-
лена вверх, иначе в отсутствие силы трения перемыч-
ка не смогла бы двигаться равномерно. Условием
равномерного движения перемычки является вектор-
ное уравнение F + mg = 0. Проецируя это уравнение
на выбранную ось О У (рис. 161), получим F=mg.
С другой стороны, по закону Ампера, модуль силы
Ампера F=fi//sin|3, где |3 = 9OG—угол, который со-
ставляет перемычка ad с вектором индукции В (по
условию). Значит. F=BIl. Сравнивая значения мо-
дулей силы Ампера, получаем
(4)
Подставляя соотношения (3) и (4) в уравнение
(1), находим
D 2. ]2
/?= — = 3,3 • 10' 2 Ом.
Задача 17. В однородном магнитном поле с индук-
цией 20 мТл находится катушка диаметром 10 см,
имеющая 120 витков проволоки. Ось катушки состав-
ляет угол 20° с направлением вектора магнитной
индукции. Концы катушки замыкают на конденсатор
емкостью 4 мкФ. Определить среднее значение заряда
на пластинах конденсатора, если катушка станет
равномерно с частотой 10 Гц поворачиваться и ее ось
составит угол 80 с направлением вектора магнитной
индукции. Определить значение заряда на пластинах
конденсатора в момент, когда ось катушки составляет
угол 80° с направлением вектора магнитной индукции.
Р е ш е н и е
d= 1,0  10“ 1 м;
N= 120;
С = 4,0 -10 6 Ф;
5 = 2,0- 10“2 Тл;
v=10,0 Гц;
а1 = ‘/9тг;
«2= /дл.
<7ср • *7мгн 
Искомые заряды связаны с эле-
ктроемкостью конденсатора С и
разностью потенциалов А<р на его
пластинах соотношением </ = CAip.
Из этого уравнения видно, что так
как электроемкость конденсатора
задана по условию и так как она —
неизменная характеристика конден-
сатора, то заряд и разность потен-
циалов на пластинах будут изменяться по одному
и тому же закону. По условию требуется найти
272
среднее и мгновенное значения заряда; следовательно,
решение задачи сводится к нахождению среднего
и мгновенного значений разности потенциалов, что
и представляет для абитуриентов основную трудность.
Возникновение разности потенциалов на концах
проволоки при равномерном повороте катушки в ма-
гнитном поле вызвано изменением магнитного пото-
ка, пронизывающего витки катушки, и, как следствие,
возбуждением в ней ЭДС индукции Как показано
в решении задачи 6, разность потенциалов в разо-
мкнутой цепи (а цепь в данной задаче разомкнута
из-за наличия в ней конденсатора) равна ЭДС
источника. Поэтому A(p = <f„, тогда
^/ср ^(АИ)ср, ^7 МГН С(<Ри)мгШ	(О
где (<Ги)ср и (<?и)мгн — соответственно среднее и мгно-
венное значения ЭДС индукции, возникающей в ка-
тушке. При изменении магнитного потока, прони-
зывающего катушку, состоящую из W витков, в ней
индуцируется ЭДС, которая в соответствии с законом
электромагнитной индукции равна
АФ
Аг
(2)
где ДФ = Ф2-Ф]—изменение магнитного потока за
время поворота катушки от угла до угла а2.
По условию задачи в исходном положении катушка
была расположена так, что ее ось составляла угол
с направлением поля, а через время Az — угол
а2. По определению, магнитный поток
® = BScosa.	(3)
Поэтому Ф, = cos од; Ф2 = 5Асо8а2. Тогда
АФ —- BS (cos а2 — cos dj),	(4)
где S=itd2/4 — площадь сечения катушки.
Время поворота катушки найдем из кинематиче-
ского соотношения а2 —ot] =Аа = соД/, где m = 2nv —
угловая скорость поворота катушки. Значит,
Az = aC_±C	(5)
2rcv
Разделив равенства (4) и (5), получим среднюю
скорость изменения магнитного потока АФ/А/,
273
которое и определяет среднее значение ЭДС индукции
в уравнении (2). Решая совместно уравнения (2),
(4), (5) и первое из уравнений (1), получим
Для нахождения мгновенного значения заряда на
пластинах конденсатора, соответствующего углу
а2 между осью катушки и направлением магнитного
поля, найдем из второго уравнения (1) значение
(^и)мгн- Известно, что
(в)
где Ф'(/)— производная магнитного потока по време-
ни. Найдем производную функции (3) по времени
с учетом а2 = ю/. Получим Ф' (А= — BSm sin он. Под-
ставив это выражение в (6), найдем (<?и)мгн =
= NBS(£i sin (ot. Тогда с учетом значений для S,
со и а2 найдем
^Мгн=:(1/2) CNBvn2d2 sin а2 = 4,7 • 10 6 Кл.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
8.1.	До какого напряжения можно зарядить кон-
денсатор электроемкост ью 100 мкФ за 0,5 с, если
среднее значение зарядного тока 0,1 А? [500 В]
8.2.	Какой заряд прошел через поперечное сечение
проводника за 10 с, если диаметр проводника равен
1мм? Плотность тока 200 мА/м2. [1570 Кл]
8.3.	Определить сопротивление медной проволоки
сечением 0,1 мм2, масса которой 0,5 кг. Плотность
меди 8,9  103 кг/м3, ее удельное сопротивление
1,7 • 10-8 Ом м. [95,5 0м]
8.4.	Сопротивление обмотки электромагнита, вы-
полненной из медной проволоки, при 293 К равно
2 Ом. После длительной работы сопротивление уве-
личилось на 0,4 Ом. До какой температуры нагрелась
обмотка? [347 К]
8.5.	Определить температуру вольфрамовой нити
лампы, включенной в сеть с напряжением 380 В, если
по нити идет ток 1,2 А. Сопротивление нити при 293 К
равно 36,0 Ом. Температурный коэффициент сопроти-
вления вольфрама равен 4,6-Ю3 К [2144 К]
 8.6. Какова площадь поперечного сечения алю-
миниевого проводника, если при силе тока 1,0 А
274
напряженность электрического поля в нем равна
2,0-КС2 В/м? Удельное сопротивление алюминия
равно 2,8 • 10~8 Ом • м. [1,4-10 6 м2 ]
8.7.	Цепь, имеющая сопротивление 100 Ом, пита-
ется от источника постоянного напряжения. На
сколько уменьшилась сила тока в цепи после включе-
ния в нее амперметра с внутренним сопротивлением
1 Ом, показавшего силу тока 5 А? Найти напряжение,
вырабатываемое источником. [0,05 А; 505 В]
8.8.	Реостат, изготовленный из железной про-
волоки, площадь сечения которой 0,75 мм2, включен
в цепь элемента с ЭДС 2,1 В и внутренним
сопротивлением 0,2 Ом. Определить длину про-
волоки, если напряжение на зажимах элемента
равно 2 В. Удельное сопротивление железа
1,2 • 10”7 Ом • м. [25 м]
8.9.	Определить сопротивление нити лампочки по
показаниям амперметра 0,5 А и вольтметра 50 В,
включенных в цепь по схеме, изображенной на
рис. 162. Сопротивление вольтметра равно 40 кОм.
Сопротивление амперметра и подводящих проводов
не учитывать. [100,2 Ом]
8.10.	Определить показания вольтметра, имеюще-
го внутреннее сопротивление 100 Ом, в цепи, изо-
браженной на рис. 163, если сила тока до развет-
вления равна 0,9 А, сопротивления 7?= 10 Ом,
г = 5Ом. [7,5 В]
8.11.	После включения внешней цепи напряжение
на зажимах батареи оказалось равным 18 В. Чему
равно внутреннее сопротивление батареи, если ее
ЭДС равна 30 В, а сопротивление внешней цепи
6 Ом? [4 Ом]
8.12.	На рис. 164 изображена схема электрической
цепи, в которой <£ = 20 В, г=1 Ом, й1=40м,
А2 = ЗОм, Л3=12Ом, R4 = 6 Ом. Найти показания
амперметра и вольтметра; произвести расчет сил
Рис. 162
Рис. 163
Рис. 164
275
токов и падений напряжений на
каждом из сопротивлений. Со-
противление амперметра беско-
нечно мало, сопротивление
вольтметра бесконечно велико.
Сопротивлением подводящих
проводов пренебречь. [5 А; 15 В;
1,9 А; 2,5 А; 0,6 А; 2,5 А; 7,5 В;
7,5 В; 7,5 В; 15 В]
8.13. Определить показания амперметра и вольт-
метра, включенных в схему, изображенную на
рис. 165, если S = 1,5 В, г = 0,50 м, R} = 1,80 м,
Я2 = 2Ом, Л3 = ЗОм, Л4 = 6Ом. Найти силу тока
и напряжения для каждого из внешних резисторов.
Сопротивление вольтметра считать бесконечно боль-
шим. Сопротивление амперметра и подводящих про-
водов не учитывать. [ЗА; 6 В; 2 А; 1,2 А; 0,8 А;
1 А; 3,6 В; 2,4 В; 2,4 В; 6 В]
8.14.	Стрелка миллиамперметра отклоняется до
конца шкалы, если через него проходит ток 0,01 А.
Сопротивление прибора 5 Ом. Какое дополнительное
сопротивление нужно подключить к прибору, чтобы
он мог измерить напряжение 300 В? [29 995 0м]
8.15.	К амперметру с внутренним сопротивлением
0,03 Ом подключен медный шунт длиной 10 см
и диаметром 1,5 мм. Какой максимальный ток
можно измерить этим амперметром, если он рас-
считан на силу тока 0,4 А? Удельное сопротивление
меди 1,7-10“® Ом м [12,9 А]
8.16.	Гальванометр с ценой деления 1 мкА/дел
и числом делений 100 имеет внутреннее сопротив-
ление 50 Ом. Как приспособить этот гальванометр
для измерения токов до 10 мА или напряжений до
1 В? [Включить шунт сопротивлением 50,5 Ом, до-
бавочное сопротивление 199 Ом]
8.17.	В цепи источника, ЭДС которого равна
30 В, идет ток 3 А. Напряжение на зажимах
батареи равно 30 В, идет ток 3 А. Напряжение
на зажимах батареи равно 18 В. Найти сопротивление
внешней цепи и внутреннее сопротивление источника.
[6 Ом; 4 Ом]
8.18.	Лампочка подключена медными проводами
к аккумулятору, имеющему ЭДС 2 В и внутреннее
сопротивление 0,04 Ом. Длина проводов 4 м, диаметр
0,8 мм. Напряжение па клеммах аккумулятора равно
276
1,98 В. Найти сопротивление нити лампочки. Удель-
ное сопротивление меди 1,7 • 10 я Ом  м. [3,82 Ом]
8.19.	Электрическая цепь собрана по схеме, изобра-
женной на рис. 166. Сопротивление резисторов
Т?1=1?2 = 25 Ом, 7?3 = 41,20 м. Внутреннее сопротивление
источника тока равно 8,8 Ом. Найти ЭДС источника,
если электроемкость конденсатора равна 5 мкФ, а заряд
на его пластинах равен 1,1 • Ю-4 Кл. [НОВ]
8.20.	Найти заряд на пластинах конденсатора
электроемкостью 3,5106Ф в электросхеме, изо-
браженной на рис. 167, если /?, = 1Ом, 7?2 = 2 Ом.
ЭДС источника 4 В, его внутреннее сопротивление
0,5 Ом. [8 10-6Кл]
8.21.	Две лампочки сопротивлениями 180
и 360 Ом подключили параллельно к сети с напряже-
нием 120 В. Какую мощность будет потреблять
каждая лампочка? [80 Вт; 40 Вт]
8.22.	Решить задачу 8.21 для случая последова-
тельного включения лампочек. [8,9 Вт; 17,8 Вт]
8.23.	Десять параллельно соединенных ламп со-
противлением по 0,5 кОм, рассчитанных каждая на
напряжение 120 В, питаются через реостат от сети
напряжением 220 В. Какова мощность электрического
тока в реостате? Каков КПД этой цепи? [240 Вт; 54% ]
8.24.	К источнику с ЭДС 8 В подключена нагруз-
ка. Напряжение на зажимах источника 6,4 В. Опре-
делить КПД установки. [80% ]
8.25.	Определить силу тока в цепи источника
тока с ЭДС 2,2 В, если сопротивление нагрузки
равно 0,5 Ом, а КПД схемы равен 65%. Какова
сила тока короткого замыкания? Какую максималь-
ную мощность может отдавать этот источник во
внешнюю цепь? [2,86 А; 8,15 А; 4,48 Вт]
8.26.	Лампа, рассчитанная на напряжение 120 В
и мощность 60 Вт, включена вместе с добавочным
277
сопротивлением в сеть 220 В. Добавочным сопротив-
лением является нихромовая проволочка сечением
0,5 мм2. Какова ее длина, если лампа работает
в нормальном режиме? Удельное сопротивление
нихрома равно 1,1-Ю“6Ом-м [90,9 м]
8.27.	Найти силу тока короткого замыкания в це-
пи источника тока с ЭДС 70 В, если при увеличении
сопротивления нагрузки с 3 до 10,5 Ом КПД схемы
увеличился в два раза. [10 А]
8.28.	Максимальная мощность во внешней цепи
равна 12 Вт при силе тока 2 А. Какова сила тока
короткого замыкания? [4 А]
8.29.	От генератора с ЭДС 40 В и внутренним
сопротивлением 0,04 Ом ток поступает по медному
кабелю сечением 170 мм2 к месту электросварки,
удаленному от генератора на 50 м. Найти напряжение
на зажимах генератора и на сварочном аппарате,
если сила тока в цепи равна 200 А. Какова мощность
сварочной дуги? [32 В; 30 В; 6 кВт]
8.30.	Генератор с ЭДС 250 В и внутренним со-
противлением 0,1 Ом питает нагрузку, рассчитанную
на мощность 22 кВт и напряжение 220 В. Какова
масса алюминиевого провода, из которого сделана
линия электропередачи, если расстояние от генера-
тора до нагрузки 100 м? Плотность и удельное
сопротивление алюминия равны соответственно
2,7 • 103 кг/м3 и 2,7-10 * Ом-м [15,1кг]
8.31.	В электрочайнике с двумя нагревателями
нагревают 2 л воды от 293 К до 373 К. Каждый
из нагревателей, включенный в электросеть отдельно,
выделяет мощность 250 Вт. Через сколько времени
нагреется вода в трех случаях: в сеть включен один
нагреватель; в сеть включены два нагревателя пос-
ледовательно; в сеть включены два нагревателя
параллельно? КПД чайника 80%. Удельная теплоем-
кость воды 4,2 кДж/(кг • К). [56 мин; 112 мин; 28 мин]
8.32.	Электрический чайник имеет два нагрева-
теля. При включении одного из них вода в чайнике
закипает за 10 мин; при включении второго — за
40 мин. Через сколько времени закипает вода, если
обе секции включены последовательно? параллельно?
[50 мин; 8 мин]
8.33.	Троллейбус массой 11 т движется равномер-
но со скоростью 10 м/с. Коэффициент сопротивления
движению равен 0,02. Какова сила тока в обмотке
278
двигателя, если напряжение равно 550 В, а КПД
двигателя 80%? [49 А]
8.34.	Решить задачу 8.33 для случая, когда трол-
лейбус движется вверх по дороге с уклоном 0,01.
[294 А ]
8.35.	Две электрические ванны с растворами хло-
ристого и хлорного железа (FeCl2 и FeCl3) включены
последовательно в цепь постоянного тока, питаемую
генератором с ЭДС 20 кВ и внутренним сопротив-
лением 4,5 Ом. Определить массы выделившихся на
электродах железа и хлора в каждой ванне, если
их сопротивления равны соответственно 7,5 и 8,0 Ом.
Атомные массы железа и хлора соответственно
55,9-10-3 и 35,4  10 3 кг/моль. Постоянная Фарадея
96,5  103 Кл/моль. [8,3 кг; 5,6 кг; 10,6 кг]
8.36.	При электролизе раствора серной кислоты
затрачивается мощность 37 Вт. Определить сопротив-
ление электролита, если за время 50 мин выделилось
0,3 г водорода. КПД установки 80%. Постоянная
Фарадея 96,5 • 103 Кл/моль. А томная масса и вален-
тность водорода равны соответственно
1,0 • 10 3 кг/моль; 1. [0,3 Ом]
8.37.	При никелировании изделия толщина слоя
и никеля росла в среднем со скоростью 9 10“4 м/с.
Определить плотность тока при электролизе. Эле-
ктрохимический эквивалент и плотность никеля рав-
ны соответственно 3-10“7 кг/Кл и 8,9  103 кг/м3.
[267 А/м2 ]
8.38.	Определить количество выделившейся меди
при электролизе, если затрачено 18 МДж электро-
энергии. Напряжение на клеммах ванны 10 В. КПД
установки 75%. Электрохимический эквивалент меди
3,3  10“7 кг/Кл [445 г]
8.39.	При электролизе воды через ванну прошел
заряд 1000 Кл. Под каким давлением будет находить-
ся выделившийся кислород, если он находится в объ-
еме 0,5 л при температуре 1550 К? Электрохимичес-
кий эквивалент и молярная масса кислорода равны
соответственно 8,3 • 10“8 кг/Кл и 3,2  10 2 кг/моль.
Молярная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль • К).
[66,7 кПа]
8.40.	Прямой проводник АВ длиной 20 см и мас-
сой 5 г подвешен горизонтально на двух легких
нитях в однородном магнитном поле, вектор ин-
дукции которого направлен горизонтально и пер-
279
пендикулярно проводнику (рис. 168).
Определить силу и направление тока,
который надо пропустить через про-
водник, чтобы одна из нитей ра-
зорвалась. Индукция магнитного поля
4,9 10“2Тл. Каждая нить разрыва-
Рис. 168
ется при нагрузке 7=39,2-10 3 Н. [3 А; от А к В ]
8.41.	Между полосами магнита на двух невесомых
нитях подвешен горизонтально линейный проводник
массой 10 г и длиной 0,4 м. Вектор индукции маг-
нитного поля направлен вертикально; значение ин-
дукции равно 0,25 Тл. На какой угол от вертикали
отклонятся нити, на которых подвешен проводник,
если по нему пропустить ток 2 А? Считать, что
весь проводник находится в магнитном поле. [64 ]
8.42.	Рамка в форме равностороннего треуголь-
ника помещена в однородное магнитное поле с ин-
дукцией 8-102Тл, направленной под углом 60
к плоскости рамки. Определить длину стороны
рамки, если известно, что при равномерном исчез-
новении поля в течение 3 10“2с в рамке возникла
ЭДС индукции, равная 10 мВ. [0,1 м]
8.43.	Круглый виток провода замкнут на конденса-
тор емкостью 20 мкФ. Нормаль к плоскости витка
составляет угол 60 с направлением вектора магнитной
индукции. Определить скорость изменения магнитного
поля, если заряд на пластинах конденсатора равен
1 • 10 9 Кл. Диаметр витка равен 8 см. [2 • 10-4 Тл/с]
8.44.	Рамка в форме квадрата со стороной 10 см
содержит 200 витков провода сопротивлением 12 Ом.
Она равномерно вращается в однородном магнитном
поле с индукцией 60 мТл вокруг оси, лежащей
в плоскости рамки и перпендикулярной линиям
индукции. Определить, какой заряд протечет через
рамку при изменении угла между вектором магнит-
ной индукции и нормалью к рамке от 0 до 30"?
от 30 до 60"? от 60 до 90"? от 0 до 180 ? [13,4 Кл;
36.6 Кл; 50,0 Кл; 200,0 Кл]
8.45.	Какой ток идет через гальванометр, присо-
единенный к железнодорожным рельсам, когда к не-
му со скороетью 20 м/с приближается поезд? Вер-
тикальная составляющая магнитного поля Земли
равна 50 мкТл. Сопротивление гальванометра
100 Ом. Расстояние между рельсами принять равным
1,5 м. Считать рельсы изолированными друг от
280
друга и от земли. Сопротивление рельс, оси поезда,
соединительных проводов не учитывать. [15 мкА]
8.46.	На рельсах, расстояние между которыми
60 см, покоится перпендикулярно им металлический
стержень. Вся система находится в вертикальном
однородном магнитном поле с индукцией 60 мТл.
Определить силу тока, который надо пропустить
по стержню, чтобы он начал двигаться. Масса
стержня 0,5 кг; коэффициент трения стержня о рельсы
0,8. Рассмотреть два случая: а) рельсы расположены
горизонтально; б) рельсы составляют с горизонтом
угол 30'. [109 А; 348 А для движения вверх по
рельсам; 20 А для движения вниз по рельсам]
8.47.	Заряженная частица влетела в однородное
магнитное поле под углом 80 к линиям магнитной
индукции. Во сколько раз шаг винтовой линии
больше ее радиуса? [1,1]
8.48.	Электрон влетает в однородное магнитное
поле с индукцией 4,0 мТл так, что направление его
скорости перпендикулярно линиям магнитной ин-
дукции. Найти период обращения электрона. Заряд
и масса электрона равны соответственно
1,6 10 19 Кл и 9,1 10 39 кг. [8,9 нс]
8.49.	Соленоид длиной 4,0-10 ' м и диаметром
1,2-10“1 м имеет 1000 витков провода. С какой
скоростью нужно менять силу тока в соленоиде,
чтобы в нем возникла ЭДС самоиндукции 1,0 В?
Магнитная постоянная ц0 = 4гс • 1()7 Гн/м. [28,1 А/с]
8.50.	Катушка длиной 50 см и площадью сечения
10 см2, содержащая 25 000 витков провода, подклю-
чена к генератору с ЭДС 1,5 В. Через сколько
времени сила тока в катушке станет равной 10 А?
Активным сопротивлением катушки и внутренним
сопротивлением генератора пренебречь. [52,3 с]
Контрольная работа № 8А
8.1А. Электрическая лампочка
накаливания снабжена вольфра-
мовым волоском, имеющим
при горении лампы температу-
ру 2500 К. Какую силу тока
потребляет лампа, если диа-
метр волоска равен 2.0 10 5 м,
а напряженность электрическо-
го поля в нем 400 В/м? Удель-
ное сопротивление вольфрама
Контрольная работа № 8Б
8.1 Б. Сопротивление алюмини-
евого проводника при 273 К
равно 10,0 Ом. Определить па-
дение напряжения на этом про-
воднике при температуре 373 К,
если известно, что за время
5,0 мин через него прошел за-
ряд 1,2 • 10* Кл.
8.2Б. Найти показания ампер-
метра в цепи, изображенной на
281
Рис. 169
Рис. 170
при 273 К равно 5,6-I0"8
Ом • м, температурный коэффи-
циент сопротивления равен
4,6- 10 "3 К1.
8.2	А. Вычислить общее сопро-
тивление цепи, изображенной
на рис. 169. Найти показания
амперметра и вольтметра. ЭДС
источника тока равна 11 В, его
внутреннее сопротивление
0,5 Ом, сопротивление /? = 8
Ом. Сопротивлением подводя-
щих проводов пренебречь. Со-
противление амперметра счи-
тать бесконечно малым, сопро-
тивление вольтметра считать
бесконечно большим.
8.3	А. Гальванометр, шкала ко-
торого имеет 50 делений с це-
ной деления 0,2 мА/дел, может
быть использован в качестве
вольтметра, измеряющего на-
пряжения до 30 В. Какое до-
полнительное сопротивление
нужно подключить к гальвано-
метру, чтобы с его помощью
измерить напряжения до 150 В?
8.4	А. Найти	электроемкость
конденсатора, включенного
в цепь по схеме, изображенной
на рис. 170, если ЭДС источ-
ника 2,2 В, его внутреннее со-
рис. 171, если ЭДС элемента
равна 4 В, его внутреннее со-
противление I Ом, каждое из
сопротивлений Я = 2Ом Рас-
считать падение напряжения
и силу тока для каждого со-
противления R Сопротивлени-
ем амперметра и подводящих
проводов пренебречь.
8.3	Б. Амперметр, накоротко
присоединенный к гальваничес-
кому элементу с ЭДС 1,5
В и внутренним сопротивлени-
ем 0,2 Ом, показывает силу
тока 5 А. Какую силу тока
покажет этот амперметр, если
его зашунтировать сопротивле-
нием 0,1 Ом?
8.4	Б. Чему равно внутреннее
сопротивление источника тока,
ЭДС которого равна 30 В, если
после включения внешней цепи
сопротивлением 6 Ом напряже-
ние на зажимах батареи стало
равным 18 В?
8.5	Б. На каком расстоянии от
генератора с напряжением 750
В необходимо поместить на-
грузку, рассчитанную на 5 кВт,
чтобы потери мощности в мед-
ных проводах сечением 1 мм2
не превышали 10% мощности
нагрузки? Удельное сопротив-
ление меди 1,7 10 8 Ом м.
8.6	Б. В проводнике сопротивле-
нием 2 Ом, подключенном к ис-
точнику с ЭДС 1,1 В, идет ток
0,5 А. Какова сила тока при
коротком замыкании? Каков
КПД источника? Какая
максимальная мощность мо-
жет быть выделена на на-
грузке?
282
противление 1 Ом, сопротивле-
ние У?! =10 Ом, заряд на пла-
стинах конденсатора равен
5-10 * Кл.
8.5А. При подключении к источ-
нику тока с ЭДС 15 В сопротив-
лением 15 Ом КПД источника
равен 75%. Какую максималь-
ную мощность во внешней цепи
может выделять этот источник?
8.6А. Электродвигатель подъ-
емного крана работает под на-
пряжением 380 В и потребляет
ток 20 А. На какую высоту
может быть поднят груз, массой
1 т за время 50 с, если со-
противление обмотки мотора
равно 10 Ом?
8.7	А. Каков коэффициент по-
лезного действия установки для
электролиза меди, если на вы-
деление 0,5 кг меди была за-
трачена электроэнергия 15
МДж? Напряжение на клеммах
установки 8 В. Электрохимичес-
кий эквивалент меди равен
3.3 1O'7 кг/Кл.
8.8	А. Сколько времени потре-
буется для покрытия изделия
слоем золота толщиной 5 мкм
при норме плотности тока
в растворе хлористого золота
20 А/м2? Плотность, атомная
масса и валентность золота ра-
вны соответственно 19,3-103
кг/м3; 0,197 кг/моль; постоян-
ная Фарадея 96 500 Кл/моль.
8.9	А. Найти модуль и направ-
ление индукции магнитного по-
ля, в котором горизонтально
расположенный проводник дли-
ной 20 см и массой 4 г может
висеть в воздухе, когда по нему
течет ток 10 А. Силу сопротив-
ления воздуха и архимедову
силу не учитывать.
8.10	А. Соленоид, содержащий
1000 витков провода, находится
в однородном магнитном поле,
индукция которого изменяется
со скоростью 20 мТл/c. Ось со-
леноида составляет с направле-
нием линий индукции поля угол
60 . Определить ЭДС индукции,
возникающей в соленоиде, если
его диаметр равен 4 см.
8.7Б. Найти расход энергии на
рафинирование 100 кг меди,
если по техническим нормам
напряжение на клеммах элект-
рической ванны не должно пре-
вышать 0,4 В. КПД установки
75%. Валентность и молярная
масса меди равны соответст-
венно 2; 0,064 кг/моль. Посто-
янная Фарадея 96 500 Кл/моль.
8.8Б. При электролизе воды че-
рез ванну в течение получаса
шел ток 20 А. Какова тем-
пература выделившегося водо-
рода, если он находится в объ-
еме 20 л под давлением 100
кПа? Электрохимический экви-
валент водорода равен 110"8
кг/Кл. Молярная газовая посто-
янная 8,3 Дж/(моль • К).
8.9Б. В однородное магнитное
поле перпендикулярно линиям
индукции влетает электрон с ки-
нетической энергией 4$ 10"15
Дж. Какова индукция магнит-
ного поля, если радиус кривиз-
ны траектории движения элек-
трона равен 5,8 см? Заряд
и масса электрона равны соот-
ветственно 1,6- 10 17 Кл
и 9.1 • 10 31 кг.
8.10Б. В однородном магнит-
ном поле находится круглая
рамка с 10 витками провода,
расположенная под углом 30"
к линиям индукции поля . Диа-
метр рамки равен 3,6 см. Со-
противление провода 16.2 Ом.
Найти силу тока, текущего по
рамке, если магнитное поле
убывает с постоянной скоро-
ctijo 10 мТл/с.
РАЗДЕЛ IX. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ,
ФОРМУЛЫ, ГРАФИКИ
Колебательными процессами (колебаниями) называ-
ются изменения состояния систем, обладающие свой-
ством повторяемости во времени. Из всего многообра-
зия колебаний здесь рассматриваются лишь гармони-
ческие колебания, т. е. такие, в которых колеблющаяся
физическая величина изменяется с течением времени по
синусоидальному или косинусоидальному закону.
Анализируя различные по природе колебания,
такие, как колебания груза на пружине, математиче-
ского маятника, некоторых физических величин, ха-
рактеризующих процессы в колебательном контуре,
можно прийти к выводу, что все перечисленные
колебания имеют общие закономерности и исследу-
ются одними и теми же математическими методами.
Гармонические колебания представляют собой
частный случай периодических колебаний, т. е. таких,
при которых значения физических величин, изменя-
ющихся в процессе колебаний, повторяются через
одинаковые промежутки времени. Наименьший про-
межуток времени, по истечении которого повторя-
ются значения величин, характеризующих колебатель-
ный процесс, называется периодом колебания Т. За
время Т совершается одно полное колебание.
Число полных колебаний, совершенных за единицу
времени, называется частотой v периодических ко-
лебаний.
Если за произвольный промежуток времени t со-
вершено п полных колебаний, то, по определению,
Т=-; v = ”; T v=l; Г=-; v = l. (9.1)
nt	v Т
Циклической (круговой) частотой периодических
колебаний со называется число полных колебаний,
которые совершаются за 2л единиц времени:
(n = 2rtv = y.	(9.2)
Если на колебательную систему не влияют внеш-
ние переменные воздействия, то ее колебания называ-
284
ются свободными. Если при этом не происходи!
рассеяния энергии, то свободные колебания будут
являться незатухающими. Так. свободные колебания
пружинного и математического маятников будут
являться незатухающими при отсутствии трения
и других видов сопротивления. То же самое можно
сказать и о свободных колебаниях в колебательном
контуре, если пренебречь активным сопротивлением
(Ла = 0), на котором выделяется часть энергии в виде
теплоты. Очевидно, что незатухающие колебания
представляют собой идеализацию релейных колеба-
ний, ибо различными видами сопротивлений в меха-
нике можно пренебречь лишь с известной степенью
точности.
В случае гармонических незатухающих колебаний
математического или пружинного маятников смеще-
ние х от положения равновесия меняется по закону
V = Л sin (сог 4-<р0),	(9.3)
где А—максимальное абсолютное значение смеще-
ния, называемое амплитудой колебания; выражение
®/ + Фо определяет значение в данный момент време-
ни t и называется фазой колебания; в начальный
момент времени /() = 0 фаза равна начальной фазе <р0.
Вместо уравнения (9.3) можно записать зависимость
х = А cos ((£)/' + фо),	(94)
отличающуюся от уравнения (9.3) начальной фазой
Фо = Фо-л/2.
Под скоростью v и ускорением а гармонического
колебания точки,согласно их определениям, понима-
ют соответственно
г = х'(/) = —(оЛ sin ((о/ + ф'о);
ci = v'(l)= — ®2Лсо5((о/ + фо).	(9.5)
Значит, и скорость, и ускорение меняются по
гармоническому закону с таким же периодом Т,
что и смещение л. Скорость и ускорение сдвинуты
по фазе относительно смещения соответственно на
п/2 и л (рис. 172).
Свободные гармонические колебания материаль-
ной точки возможны лишь под действием квазиуп-
ругой силы, т. е. силы, изменяющейся по закону
F=—kx,	(9.6)
285
где к — коэффициент
квазиупругой силы
для данной колеба-
тельной системы,
равный
к=та>2. (9.7)
В случае гармо-
нических незатухаю-
щих колебаний в ко-
лебательном конту-
ре происходят пери-
одические изменения заряда q, разности потенциалов
А(р на обкладках конденсатора:
q = gosin (coz + ф0); q = <?0cos (cot + ф'о);	(9.8)
Аф = ь' = ь'08ш((£П + ф0); A(p = M = M0cos(on + (p'o). (9.9)
Сила тока в цепи /, равная, по определению,
1= q' (Z) = (nq0cos (coz + <p0),	(9.10)
также изменяется по гармоническому закону и сдви-
нута по фазе относительно заряда на п/2.
Период Т собственных колебаний математиче-
ского маятника
T=2itjl/a,
(9.И)
где / — длина нити маятника, а — модуль полного
ускорения, сообщаемого маятнику силой натяжения
нити.
Период собственных колебаний пружинного ма-
ятника
Т = 2тг ^/Ти/А,
(9.12)
где m — масса колеблющегося тела. А—жесткость
пружины.
Период собственных колебаний колебательного
контура
T=2izJ~LC,
(9.13)
где С—электроемкость конденсатора, Л- индуктив-
ность катушки.
При гармонических колебаниях в полном соот-
ветствии с законом сохранения и превращения энер-
гии происходят превращения энергии из одного вида
286
в другой. Так, процесс колебаний математического
или пружинного маятников сопровождается пери-
одическим переходом кинетической энергии К колеб-
лющейся точки в потенциальную П и обратно,
причем полная энергия
„	.. „ nw2 кх2 кА2	,п , ..
Е=К+П =-------1---= — = const, (9.14)
2	2	2
где к определяется формулой (9.7), А — амплитуда
колебаний.
Процесс колебаний в колебательном контуре
сопровождается периодическим переходом энергии
электрического поля конденсатора в энергию маг-
нитного поля электрического тока и обратно, причем
полная энергия
где U и I—соответственно напряжение на обкладках
конденсатора и сила тока в контуре в любой момент
времени; Uo и /0 — максимальные (амплитудные)
значения этих же величин.
Наряду со свободными колебаниями система
может совершать вынужденные колебания. Это не-
затухающие колебания, вызываемые периодически
изменяющейся с течением времени возмущающей
силой F (в случае механических колебаний) или
ЭДС (в случае электромагнитных колебаний). При
этом если частота собственных колебаний системы
приближенно совпадает с частотой ее вынужденных
колебаний, то наступает явление резонанса.
Разновидностью вынужденных электромагнитных
колебаний является переменный ток, изменяющийся
по гармоническому закону с частотой v, совпадающей
с частотой ЭДС.
Если ЭДС меняется по закону А = А0 sin <в/ или
= <^0cosa>/, то сила тока в цепи меняется по закону
1= 70sin(tot + ф) или 1= /Ocos(оэг + ф'),	(9.16)
где /0— амплитудное значение силы тока, ф, ф' —
сдвиг фазы между колебаниями силы тока и ЭДС.
В общем случае цепь переменного тока пред-
ставляет собой колебательный контур, к которому
приложена ЭДС, меняющаяся по гармоническому
287
чакону. На рис. 173 изображе-
на простейшая цепь перемен-
ного тока: к зажимам гене-
ратора с ЭДС, меняющейся
по гармоническому закону,
присоединен колебательный контур. В этом случае
t/Ra = //?a— напряжение на активном сопротивлении
R
а,
(7С = -— напряжение на емкостном сопротивлении
Яс, CL=—<?сам = £ —— напряжение на индуктивном
Д/
сопротивлении RL.
Если в цепи, изображенной на рис. 173, UR »UR(.
и t/Ra»CL, то такая цепь называется цепью перемен-
ного тока с активным сопротивлением R. В этом
случае гармонические колебания силы тока проис-
ходят с частотой и фазой колебаний ЭДС (рис. 174):
^ = «?osin со/. /=/osinco/.
(9.17)
Если в цепи, изображенной на рис. 173, Uc = 0
и CRa« UL, то такая цепь называется цепью перемен-
ного тока с индуктивным сопротивлением RL. В та-
кой цепи колебания силы тока отстают по фазе от
колебаний вынуждающей ЭДС (рис. 175) на л/2:
<5' = Аоsin со/, /=/osin(co/ —л/2).	(9.18)
Индуктивное сопротивление
Rl = &L,	(9.19)
где L — индуктивность цепи.
Если в цепи, изображенной на рис. 173, CL = 0,
CRa«t/c, то такая цепь называется цепью перемен-
ного тока с емкостным сопротивлением. В такой
288
цепи колебания силы тока
опережают по фазе колеба-
ния вынуждающей ЭДС на
л/2 (рис. 176):
<о =«fosin со/,
Z=7osin(co/ + n/2).	(9.20)
Емкостное сопротивление
о) С
где С электроемкость конденсатора.
Соотношение амплитудных значений силы тока
/0 и ЭДС для цепи переменного гока, изо-
браженной на рис. 173, определяется законом Ома
/0 = ^()/7?.
(9.22)
где R полное сопротивление, равное
/	/ I
R= Rl + \ ыЬ - ,
(9.23)
Закон Ома в форме (9.23) справедлив и для
действующих (эффективных) значений силы гока
Лф и ЭДС Л,+:
Лф = о,ф//?.	(9.24)
Действующие (эффективные) значения силы гока
/эф, ЭДС и напряжения С)ф связаны с ам-
плитудными значениями этих же величин соот-
ношениями
/,Ф Л -	С.Ф	(9.25)
/2	ч ?	v 2
Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и ЭДС
определяется соотношением
cos ф = R.R-	(9.26)
где R полное сопротивление (9.23), R, активное
сопротивление.
Мощность в цепи переменного тока
/’ = Лф^,фСО8ф.	(9.27)
Из формулы (9.27) следует, что необратимое
преобразование энергии в цепи переменного тока
10-674
2X9
происходит только на участках, в которых имеется
активное сопротивление Ла. На участках цепи с ин-
дуктивным и емкостным сопротивлениями мощность
не выделяется, так как в этом случае косинус сдвига
фаз между колебаниями силы тока и ЭДС
cos<p = cos л/2 = 0.
Количество теплоты Q. выделяющееся на участке
с активным сопротивлением 7?а за время /, равно
Q = I^Ra1 = C^t.	(9.28)
Анализируя формулу (9.22), приходим к выводу
о том, что амплитуда силы тока /() в цепи перемен-
ного тока достигает максимального значения при
минимальном значении полного сопротивления R.
Из формулы (9.23) заключаем, что эго возможно
при условии <bL = —, откуда следует (с учетом
шС
формулы (9.2)), что
Гвын-2л JLC,	(9.29)
т. е. период Твын вынужденных колебаний в контуре
совпадает с периодом Т собственных его колебаний
(9.13). Значит, равенство RL = RC является условием
резонанса в цепи переменного тока.
Система, состоящая из двух обмоток, связанных
одним сердечником, и предназначенная для повыше-
ния или понижения напряжения в сетях переменного
тока, называется трансформатором. Если первичная
и вторичная обмотки трансформатора имеют числа
витков соответственно //, и п2, то коэффициент
трансформации
=	(9.30)
", 1
где и S2 — ЭДС индукции, наводимые в первичной
и вторичной обмотках.
Коэффициент полезного действия трансформатора
р = Г2-Ю0%.	(9.31)
Р1
где ?! и Р2 — соответственно мощность, подводимая
к первичной обмотке, и мощность, отдаваемая
потребителю вторичной обмоткой.
290
Всякие возмущения состояния вещества или поля,
распространяющиеся в пространстве, называются во-
лнами. Колеблющиеся тела, вызывающие эти воз-
мущения в упругой среде, называются источниками
волн, а сами волны—упругими волнами. Распрост-
раняющиеся в пространстве колебания напряжен-
ности Е и индукции В электромагнитного поля
называются электромагнитными волнами. Источни-
ками электромагнитных волн являются изменяющи-
еся со временем электрические токи.
Для волнового процесса справедливо соотношение
Zr/-''
где 1 длина волны, v — скорость распространения
волны, Т и v соответственно период и частота
колебаний источника волн.
Уравнение плоской волны записывают в виде
Л' = A sin со t —1 + фо
(9.33)
или
(9.34)
Уравнения (9.33) и (9.34) отличаются лишь началь-
ными фазами ф0 и ф'о, причем ф'0 = ф0 —тг/2; г -
расстояние от источника волн до рассматриваемой
точки.
Разность фаз Дф двух колеблющихся точек
волны равна
Д Ф = 2тг Дг/Х,
(9.35)
где X— длина волны, Дг = г2 — г,—разность рассто-
яний этих точек от источника волн.
В результате наложения двух волн, распрост-
раняющихся в противоположных направлениях, у ко-
торых частоты, амплитуды и направления колебаний
одинаковы, образуется стоячая волна. Длина стоячей
волны Хст равна
Хст — Х/2,
где X — длина бегущей волны.
(9.36)
291
В средах ограниченной длины / стоячие волны
образуются при выполнении одного из двух условий:
/ = (2/с-1)у, /=2Л^=/аст (А = 1, 2, 3, ...). (9.37)
Первое из условий (9.37) выполняется тогда, когда
в среде ограниченной длины па одном конце образу-
ется узел стоячей волны (точка, в которой амплитуда
колебаний ЯС1=0), а па другом конце пучность
(точка, в которой амплитуда колебаний максималь-
на). Второе же из условий (9.37) выполняется тогда,
когда на обоих концах образуются пучности.
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задачи о колебаниях и волнах условно можно
разделить на четыре группы: задачи с использова-
нием общих законов гармонических колебаний; за-
дачи о свободных колебаниях конкретных колеба-
тельных систем; задачи о вынужденных колебаниях;
задачи о волнах различной природы.
Основная трудность при решении задач первой
Iруппы заключается в составлении уравнений (9.3)
или (9.4), (9.8), (9.9). .Абитуриенты не всегда пред-
ставляют, что для нахождения таких параметров
колебательного движения, как период Т. частота V,
круговая частота со, амплитудное значение колеб-
лющейся величины Л, </0. гЦ), форма записи не
играет никакого значения; если задано значение
колеблющейся величины в начальный момент време-
ни / = 0. то форма записи закона гармонического
колебания может быть выбрана произвольно (через
синус или косинус), гак как найденное значение
начальной фазы <р0 будет соответствовать той или
иной форме записи. А вот значение колеблющейся
величины в произвольный момент времени будет
зависеть от формы записи закона гармонических
колебаний. Поэтому если в условии указывается
начальная фаза колебаний <р0, то должно быть
указание на тригонометрическую функцию, через
которую должен быть записан закон колебаний.
Если уравнения (9.3). (9.4). (9.8), (9.9) записаны,
то их анализ дает возможность без особых труд-
ностей довести решение задачи до конца.
292
Если в задачах идет речь о скорости и и ускорении
<т, силе тока / в произвольный момент времени,
пользуются соотношениями (9.5) и (9.10), добавляя
их к одному из перечисленных выше уравнений.
Если в задачах учитывается переход энергии из
одного вида в другой, то кроме общих уравнений
гармонических колебаний используют уравнения за-
кона сохранения энергии (9.14), (9.15).
Из задач этой группы отметим те, для решения
которых требуется использование соотношения (9.6).
Это соотношение требует выражения коэффициента
к через те или иные величины, характеризующие
заданную колебательную систему. В некоторых за-
дачах именно нахождение явного выражения для
коэффициента к представляет для абитуриентов ос-
новную сложность.
Задачи второй группы решаются на основании
формул (9.11) (9.13) с использованием соотношений
(9.1), (9.2). Иногда для нахождения емкости кон-
денсатора и индуктивности контура к формуле (9.13)
добавляют формулы (7.13), (8.28) или (8.29).
Из задач второй группы особо выделим задачи
о математических маятниках, требующие глубокого
понимания формулы (9.11). Дело в том, что обычно
абитуриенты пишут в знаменателе подкоренного
выражения этой формулы ускорение свободного
падения g в данном месте Земли. Но формула
Т=	применима лишь в тех случаях, когда
точка подвеса маятника находится в состоянии
статического равновесия относительно Земли.
Если точка подвеса движется относительно Земли
с каким-то ускорением ат „, то сила натяжения нити
сообщает маятнику, находящемуся в состоянии рав-
новесия, ускорение a = g + aT п . Находя известными
методами модуль ускорения а и подставив его
значение в формулу (9.11), получим формулу периода
колебаний математического маятника с учетом уско-
ренного движения точки подвеса.
Из задач третьей группы выделим задачи о пе-
ременном токе, требующие применения общих урав-
нений гармонических колебаний ЭДС, силы тока
и напряжения в цепи, и задачи о трансформаторах.
Для решения первого из перечисленных типов
задач используется довольно широкий спектр формул
293
(9.16)—(9.29). Чаще других на конкурсных экзаменах
предлагаются задачи на расчет цепей переменного
тока. В принципе этоз расчет мало чем отличается
от уже разобранного расчета цепей постоянного
тока. Однако следует иметь в виду, что в отличие
от цепей постоянного тока, где нам приходилось
иметь дело лишь с активным сопротивлением, в це-
пях переменного тока могут быть еще и индуктивное,
и емкостное сопротивления, расчет которых ведется
по формулам (9.19) и (9.21). Кроме того, нельзя
забывать о том, что в цепях переменного тока
имеется сдвиг фаз между силой тока и напряжением.
Его учитывают соотношением (9.26), которое с уче-
том формулы (9.23) может иметь различный вид
в зависимости от состава конкретной цепи. Основным
расчетным соотношением, как и в цепях постоянного
тока, остается уравнение закона Ома (9.22) или
(9.23) с учетом соотношений (9.25).
При решении задач на мощность и тепловые
действия переменного тока следует пользоваться
формулами (9.27) и (9.28). В простейших случаях
этих формул вместе с соотношениями (9.25) и (9.26)
вполне достаточно для отыскания неизвестных вели-
чин. В более сложных задачах, в которых идет речь
о превращении электрической энергии в механичес-
кую или во внутреннюю, к основным соотношениям
добавляют формулы механики и калориметрии.
Для решения задач о трансформаторах пользу-
ются формулами (9.30) и (9.31). Следует помнить
о том, что если по условию задачи активным
сопротивлением обмоток трансформатора можно
пренебречь, то напряжения на зажимах обмоток
UL и U2 мало отличаются от индуцированных ЭДС
и равенство (9.31) окажется справедливым не только
для ЭДС, но и для этих напряжений:
/	112
к = — = — .
''1 ГА
Из задач четвертой группы выделим задачи, для
решения которых требуется или написать уравнение
плоской бегущей волны и, используя его, найти
искомое величины, или по данным условия написать
уравнение такой волны. В любом случае применять
уравнения (9.33) или (9.34) и соотношения (9.32)
294
и (9.35). Решение таких задач обычно не является
сложным и напоминает решение задач первой
группы.
Если в результате наложения двух бегущих волн
образуется стоячая волна, то надо использовать
соотношение (9.36). При этом если в задаче говорится
об образовании стоячей волны в среде ограниченной
длины, то пользуются одним из условий (9.37)
с учетом формул (9.36), (9.1), (9.2).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Конец ножки камертона колеблется
с частотой 500 Гц. В момент времени, принятый
за начальный, он имел максимальное смещение,
равное 1 мм. Считая колебания гармоническими,
написать уравнение колебаний конца ножки камер-
тона и начертить график. Написать уравнения за-
висимости скорости и ускорения от времени. Опре-
делить амплитудное значение скорости и ускорения
конца ножки. Найти его смещение, скорость и ускоре-
ние через 0,1 с после начала отсчета времени. За
какое время после начала колебаний конец ножки
пройдет расстояние, равное половине амплитуды?
Чему равна средняя скорость его движения на этом
участке пути?
Решение
v = 5,00  102 Гц;
Л = 1,00 10’3 м;
Z = 0,10 с.
A' = -V(r), (’ = !’(/),
«-«(/); гтох ?
Й11Ш  3 Ао,1 1 г’о,1	•
Под ? t д/2 ^’ср 3
Так как по условию
задачи колебания конца
ножки камертона являются
гармоническими, то урав-
нение колебаний можно за-
писать или в виде
A sin (сог+фо))-	(1)
или в виде
= А со8(сог + ф02),
(2)
где А — амплитуда колебаний, o> = 2nv — циклическая
частота, t -время, ф01 и ф02 -начальные фазы,
соответствующие формам записи (1) или (2). Так
как по условию задачи при t — 0 х = А, то, используя
форму записи (Г), получим Л = /18Й1ф01, откуда
295
(poi =arcsin I = (2k + 1)|, где £ = 0, 1, 2, .... Из триго-
нометрии известно, что период синусоидальной фун-
кции равен 2л. Поэтому изменение фазы на 2л не
меняез состояния колебательного движения. Тогда
можно принять
<р0|=л/2.	(3)
Используя форму записи (2), получим
Л = Л cos фол- откуда ф02 = агссо8 1 — 2пк, где
А=0, 1, 2.... По	гем же соображениям, что и в пер-
вом случае, находим
фол = 0.
(4)
С учетом равенств (I)--(4), а также выражения
для со уравнения колебаний примут вид или
х = A sin(2nv/ +л/2), или A- = 4cos2nv/.
Учитывая данные условия задачи, получим
а = 0,001 sin(1000л/+ л/2) или а = 0,001 cos 1000л/.
График этого гармони-
веского колебания изобра-
/s.------/х---- жен на рис. 177.
/ \	/ \ 5	ГТ
/	\	/	Для дальнейшего реше-
1——31—1—*—'—*—1—* ния задачи выберем какую-
либо одну форму записи
уравнения колебаний. Дело
в том, что для нахождения
конкретных искомых значе-
ний скоростей, ускорений,
времени форма записи не имеет никакого значения,
тем более что по формулам приведения 8П1(2лу/-|-л/2) =
= cos(2kv/).
Поэтому пусть для определенности
х = 0,001 cos 1000 л/.	(5)
Для нахождения зависимоеги г(/) найдем произ-
водную .v'(r):
x'(/) = i; = —nsin 1000л/.	(6)
Чтобы найти зависимость a = a(t), необходимо
вычислить производную г'(/):
/7 (/) = «= —1000л2 cos л/.	(7)
2%
Из равенств (6) и (7) находим максимальные
значения скорости и ускорения конца ножки ка-
мертона:
k’maxl = л = 3,14 м/с, |amax|- 1 000 тс2 = 9,86 • 103 м/с2.
Чтобы найти смещение, скорость и ускорение
конца ножки камертона через время 0,1 с после
начала колебаний, следует в равенствах (5), (6), (7)
положить / = 0,1 с. Тогда
.Го.! =0,001 cos 100 л = 0,001 м,
|r01| = nsin 1000п = 0,
|<?011= 1000rc2cos л = 9,86 • 10а м/с2.
Чтобы найти время 1А ,2 прохождения расстояния,
равного первой половине амплитуды, нужно в равен-
стве (5) положить .х = Л/2 и решить уравнение
относительно tА/2. Делая такую подстановку, нахо-
дим cos 1000л/л/2 =0,5, откуда
1000л •/л 2 = л/3 и /л/2=0,ЗЗмс.
Средняя скорость конца ножки камертона за это
время по определению равна
Я . .
t\.n =------— I М/С .
Р 2/4,2
Задача 2. Груз массой 0,4 кг. подвешенный к пру-
жине жесткостью 40 Н/м, совершает гармонические
незатухающие колебания. В начальный момент вре-
мени груз находится на расстоянии 2 см от положе-
ния равновесия и обладает энергией 0,5 Дж. Написать
уравнение гармонических колебаний груза и закон
изменения возвращающей силы от времени. Найти
наибольшее значение возвращающей силы и ее
значение через 0,2 периода.
Решение
т = 0,4 кг;
к = 40,0 Н/м;
.г(| = 2,0 • 10~2 м;
£=0,5 Дж;
G =0,2 Т.
Найти _v = .v(/), F=F(/);
/	' Г
1 max 1 1
Напишем уравнение гар-
монических колебаний гру-
за в форме
х = А cos(co/ + <p0).	(1)
Но в условии задачи ничего
не сказано ни об амплитуде
Л, ни о круговой частоте
и, ни о начальной фазе <р0.
297
Поэтому воспользуемся соотношениями, связыва-
ющими эти величины с величинами, заданными
в условии задачи. Так как период колебаний
Т= 2л а круговая частота со = 2л/Г, то
(й = ^к)т.	(2)
В условии задачи оговорено, что груз совершает
незатухающие колебания. Этот факт предполагает
отсутствие каких-либо потерь энергии груза. Значит,
в соответствии с законом сохранения энергии задан-
ное значение энергии груза в начальный момент
времени не зависит от его положения и равно
£=1/2шЭ2(о2, откуда с учетом выражения (2)
А=у/2Ё[к.	(3)
Чтобы найти начальную .фазу <р0, вспомним, что,
по условию задачи, при / = 0 х = х0- Тогда уравнение
(1) с учетом выражения (3) примет вид
*о = cos фо, откуда
90 = arccos(x0 ^].	(4)
\ V 2с/
Для того чтобы уравнение (I) не выглядело
очень громоздким, произведем вычисления. Из соот-
ношений (2)—(4) находим:
ю= 10 рад/с, Л = 0,2 м, ф0=1,4рад.	(5)
Подставляя значения (5) в уравнение (1), получим
х = 0,2 cos (101+1,4).	(6)
Чтобы написать закон изменения возвращающей
силы от времени, воспользуемся условием совер-
шения гармонических колебаний, в соответствии
с которым
F=-kx.	(7)
На основании равенств (6) и (7) получим
F= —8cos(101+1,4).	(8)
Из уравнения (8) находим
|Ттах1 = 8 Н.
298
Чтобы найти модуль силы Fv, следует в уравнении
(8) положить г = /( и с учетом выражения для
периода Т решить его относительно 7,. Тогда
1 = 7,1 Н.
Задача 3. Кубик совершает гармонические коле-
бания с периодом 1 с в вертикальной плоскости,
двигаясь без трения по внутренней поверхности
сферической чаши, внутренний радиус которой много
больше ребра кубика. Чаша покоится относительно
Земли. С каким ускорением относительно Земли
и в каком направлении по вертикали должна двигаться
чаша, чтобы кубик за время 1,5 мин совершил
60 колебаний?
Решение
7=1,0 с;
t = 90,0 с;
п = 60.
я -?
Задачи, в которых рассматриваются
колебания математического маятника
в системе, движущейся с ускорением от-
носительно Земли, как правило, в школе
не разбираются, поэтому решение подоб-
ных задач и вызывает у абитуриентов
зачастую трудности.
Тот факт, что колебания кубика эквивалентны
колебаниям математического маятника, очевиден.
Действительно, раз движение кубика по внутренней
поверхности сферической чаши происходит без тре-
ния, то колебания кубика, ребро которого много
меньше радиуса чаши, можно заменить колебаниями
тела, геометрические размеры которого много мень-
ше длины нити, на которой оно подвешено, причем
точка подвеса находится в геометрическом центре
сферической чаши, а длина ниги равна радиусу чаши.
Итак, по условию задачи, пока чаша покоится
относительно Земли, период колебания кубика равен
70, а сила натяжения нити сообщает кубику в со-
стоянии равновесия ускорение, равное по модулю
ускорению свободного падения и направленное вер-
тикально вверх. Тогда
70 = 2л
где R — длина нити, равная радиусу сферической
чаши (рис. 178).
299
При вертикальном ускоренном от-
носительно Земли движении чаши си-
ла натяжения нити сообщает кубику
в состоянии равновесия ускорение
g + <7 (см. решение задачи №3 из
раздела И; а также задачи 2.6, 2.9,
2.10). Тогда при вертикальном движе-
нии чаши с ускорением а период
колебания кубика равен Т='= причем знак
п VA'±Z'
плюс в знаменателе подкоренного выражения соот-
ветствует ускорению, направленному вверх, а знак
минус — ускорению, направленному вниз. Пусть для
определенности
(2)
Из выражений (1) и (2) найдем отношение периодов:
То
т
Toll =
откуда
/Т2//2	\
a = g\—----1 |= —5.4 м/с2.
\ г J
Анализ результата решения задачи показывает,
что направление вертикального движения чаши (г. е.
направление ее скорости) на период колебания кубика
не влияет. Важно знать направление ускорения.
В нашем случае ускорение чаши направлено вниз,
а это возможно либо при ускоренном опускании
чаши, либо при замедленном ее подъеме. Модуль
же ускорения равен
|п| = 5,4 м/с2.
Задача 4. Как изменится ход маятниковых часов
за 1 ч, если их поместить в однородное направленное
вертикально вниз электрическое поле напряженно-
стью 2 104В/м, а маятнику сообщить положитель-
ный заряд 3-I08 Кл? Масса маятника равна 0,1 кг.
Считать, что длина стержня намного больше раз-
меров маятника, укрепленного на нем; массой стерж-
ня пренебречь.
300
Решение
/0 = 3,6- 102 с;
4 = 3,0 - 10 Кл;
£=2,0- 104 В/м;
т= 1,0 • Ю-2 кг.
А/ - ?
При решении задач на расчет
поправки к маятниковым часам сле-
дует в первую очередь выяснить
причину их неверного хода. Так
как по условию задачи маятник
можно считать математическим, то
при ее решении будем пользоваться
соответствующими законами колебания.
Время, показываемое маятниковыми часами, про-
порционально числу п полных колебаний маятника
(так устроен механизм маятниковых часов). При
заданном времени наблюдения /0 это число зависит
от периода колебаний, а следовательно, от длины
маятника и ускорения, создаваемого силой натяжения
стержня. Но в рассматриваемой задаче длина стержня
не меняется в зависимости от наличия или отсутствия
электрического поля. А вот ускорения маятника,
создаваемые силой натяжения стержня, находящегося
в состоянии равновесия, будут отличаться друг от
друга. В отсутствие электрического поля сила натяже-
ния стержня сообщает маятнику ускорение, равное
по модулю ускорению свободного падения я, но
направленное вертикально вниз; на положительно
заряженный маятник кроме силы тяжести будет
действовать дополнительная сила F = gE, направлен-
ная тоже вертикально вниз и равная по модулю
F=qE.
(1)
Поэтому сила натяжения стержня увеличится
и модуль создаваемого ею ускорения станет
равен g+a.
Итак, причина неверного хода часов установлена:
сила натяжения стержня создает различные ускорения
маятнику. Тогда периоды колебаний маятника вер-
ных и неверных часов будут равны соответственно
70 = 2л Д Т=2к 14,.
(2)
Если за время наблюдения /0 маятниковые часы,
идущие верно, делают п0 полных колебаний, а часы,
идущие неверно,— п полных колебаний, то
10 = п0Т0 = пТ.	(3)
301
Если показания верных часов - /0, а неверных - t,
>0 _ Пр
1 п
(4)
Изменение хода часов, г. е. разность показаний
верных и неверных часов, равно
А/ = г0 —г
(5)
В выражении (5) знак плюс для числового
значения А/ будет соответствовать случаю, когда
/0>/,—неверные часы отстают; знак минус, когда
/0</,— неверные часы спешат.
(6)
Формула (6) является расчетной для нахождения
поправки к маятниковым часам в условии данной
задачи.
Осталось найти лишь модуль ускорения а, вызван-
ного постоянным однородным электрическим полем.
Из основного уравнения динамики материальной
точки имеем a = Ffm, или с учетом формулы (1)
а = цЕ[т. Подставив значение а в выражение (6),
получим окончательно
А/ = г0( I - /1 U- 11,0 с.
V "’.‘j
Итак, за 1 ч маятниковые часы уйдут вперед на 11 с.
Задача 5. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жид-
кости. Если его погрузить немного в жидкость,
а затем отпустить, то он начнет совершать колебания
с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра гар-
моническими и незатухающими, найти плотность
жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикаль-
ной цилиндрической трубки ареометра равен 5,0 мм.
/л = 0,2 кг;
Т= 3,4 с;
Р е ш е н и е
По условию задачи ареометр со-
вершав! гармонические колебания,
,- = 5.0-10 3 м. а это возможно при условии, что
возвращающая сила в процессе ко-
<>	лебания изменяется пропорционально
Р
302
смещению х и направлена к положению равновесия
ареометра:
Г=-£х,	(1)
где к— постоянный для данной системы коэффици-
ент, который нам предстоит в процессе решения
задачи выразить через величины, характеризующие
защитную колебательную систему.
Возвращающей силой, под действием которой
ареометр совершает колебания, является результи-
рующая всех сил, действующих на ареометр. Так
как по условию задачи колебания являются неза-
тухающими, то предполагается отсутствие потерь
энергии на преодоление сил сопротивления жидкости
и воздуха при колебательном движении. Если же
всеми силами сопротивлений можно пренебречь, то
на ареометр действуют только две силы: сила
тяжести mg, направленная вертикально вниз, и ар-
химедова сила FA, направленная вертикально вверх.
Сила тяжести mg при движении ареометра не
меняется, а вот архимедова сила па основании
формулы (3.8) зависит от объема его погруженной
части. Значит, величина и направление возвращающей
силы mg4-FA будут меняться в зависимости от
глубины погружения ареометра. Пока ареомезр пла-
вает и колебаний не наблюдается. mg+FA = 0. Выбрав
вертикальную ось координат, проецируя на нее это
уравнение, получим с учетом формулы (3.8)
mg = р Eg,	(2)
где V—объем погруженной части ареометра, р —
искомая плотность жидкости.
Небольшое погружение ареометра в жидкость
приведет к увеличению объема погруженной части,
а следовательно, и к увеличению архимедовой силы.
Тогда равенство (2) нарушится и возвращающая
сила будет направлена вертикально вверх. Найдем ее.
Если ареометр погрузить в жидкость на неко-
торую глубину х, то объем погруженной части
станет равным E+S.v, где S = nr2—площадь сечения
трубки ареометра, и возвращающая сила примет
значение F=mg— pg(E+5x), или с учетом равенства
(2) и выражения для .8’ имеем
F= -pgirrEv.	(3)
303
Сравнивая выражения (1) и (3), находим
/т = рхлг2.	(4)
Известно’, что если колебания совершаются под
действием силы, изменяющейся по закону (1) или
(3), то независимо от природы этой силы период
колебаний
Т= 2д у/ш'к.
Решая совместно
искомой плотности,
(5)
уравнения (4) и (5) относительно
находим
4пт
0.9 • 103 кг/м3.
Задача 6. На горизош альной пружине укреплено
тело массой 10 кг, лежащее на абсолютно гладком
столе. В эго тело попадает и застревает в нем
пуля массой 10 г, летящая со скоростью 500 м/с,
направленной вдоль оси пружины. Тело вместе
с застрявшей в нем пулей отклоняется о г положения
равновесия и начинает колебаться с амплитудой
10 см. Считая началом колебаний момент попадания
пули в тело, написать уравнение колебания системы.
Массой пружины и сопротивлением воздуха пре-
небречь.
Р е ш е н тт е
М— 10,0 кг;
т= 1,0  10 2 кг;
V — 5,0 • 102 м/с;
А = 0,1 м.
Найти x=x(t).
Пуля, попадающая в тело, сооб-
щает ему кинетическую энергию,
в результате тело вмесэе с застря-
вшей пулей приходит в движение
и сжимает пружину. 'Это проис-
ходит до тех пор, пока кинетическая
энергия тела с пулей полностью
не перейдет в потенциальную энергию сжатой пру-
жины. В этот момент смещение зела с пулей
относительно положения
Рис. 179
равновесия станет макси-
мальным (рис. 179) и про-
цесс пойдет в обратном по-
рядке. Так возникнут коле-
бания. По условию задачи
потери энергии на преодо-
ление силы трения и со-
противления воздуха отсут-
304
ствуют. Значит, колебания будут незатухающими.
Возвращающая сила — сила упругости пружины, при-
ложенная к телу; в любой точке она пропорци-
ональна его смещению. Поэтому колебания будут
гармоническими. Тогда уравнение колебаний запи-
шем в форме
х = А cos(<a/ + <Po).	(1)
Для нахождения начальной фазы (р0 восполь-
зуемся тем, что, по условию задачи, при / = 0 х = 0
(здесь следует заметить, что смещением тела за
время проникновения в него пули мы, как обычно,
пренебрегаем). Тогда из уравнения (1) имеем
cos ф0 = 0, откуда
Фо = л/2.	(2)
Для нахождения циклической частоты воспользуем-
ся соотношением со=2л/Т, где 7’=2пх/(Л/ + ш)//с—пе-
риод колебания тела массой М с пулей массой т. Тогда
а> = ^к![М+ш).	(3)
Итак, решение задачи свелось к нахождению
жесткости пружины к. Вспомним, что этот коэф-
фициент входит в формулу (4.8) потенциальной
энергии сжатой пружины П= 1/2/с(Д/)2. Поэтому для
его нахождения воспользуемся уравнением закона
сохранения энергии (4.13).
Рассмотрим два состояния системы: момент
начала движения тела вместе с застрявшей пу-
лей и момент наибольшей деформации пружины.
В первом состоянии энергия пружины была рав-
на нулю, а тело вместе с пулей обладало энер-
гией Ех = 1/2 (М + т) и2. Во втором состоянии энер-
гия системы равна только потенциальной энергии
сжатой пружины. Так как смещение тела достигло
амплитудного значения А, то £'2 = 1/2^2. Внеш-
ние по отношению к системе тело — пуля — пру-
жина силы (силы трения, сопротивления воздуха,
тяжести, реакции опоры) работу над системой не
совершают. Поэтому, подставив значения
Et и Е2 в уравнение (4.13), получим 1/2(M + m)w2 =
= 1/2/сЛ2, откуда
к = (М+т)и2/А2.	(4)
305
11-674
Чтобы найти скорость и, которую телу сообщила
пуля, попавшая в него, используем уравнение (4.4)
закона сохранения импульса для системы пуля —
тело. Так как до взаимодействия тела с пулей тело
покоилось, то импульс системы был равен пп; после
попадания и застревания пули импульс системы стал
равен (М + т)и. Значит, пк=(М + т)и. Проецируя
это уравнение на ось пружины, вдоль которой
происходит движение до и после взаимодействия,
получим mv=(M+ni)u, откуда
тс
М 4 /?/
(5)
Уравнения (3)—(5) являются исходной системой
уравнений для нахождения циклической частоты со.
Решая эту систему, получим
раЛ;/с- <6)
А \М ил)
Подставив выражения (6) и (2) в уравнение (1),
запишем окончательно
. /Л , Л \
А'= 0,1 COS-/ + - .
уо.6 2 /
Задача 7. Колебательный контур приемника со-
стоит из слюдяного конденсатора, площадь пластин
которого 800 см2, а расстояние между ними 1 мм,
и катушки. На какую длину волны резонирует этот
контур, если максимальное значение напряжения на
пластинах конденсатора в 100 раз больше максималь-
ного значения силы тока в катушке? Активным
сопротивлением контура пренебречь.
Р е ш е н и е
е = 7;
5=8- 10 6 м2;
<7= 1 • 10“3 м;
U0/l = 100.
к—?
Решение подобных задач предпо-
лагает умение абитуриентов не толь-
ко связывать искомые и заданные
в условии величины, но и применять
знания фундаментальных законов для
конкретных случаев.
Искомая длина волны зависит от
периода колебания заданного контура:
(1)
306
где с = 3 108м/с— скорость распространения элек-
тромагнитных волн. Период же собственных ко-
лебаний
T=2kJlC.	(2)
В условии задачи есть все данные, чтобы найти
значение электроемкости конденсатора, равной
C = EEQS/d.
(3)
Как же найти индуктивность катушки? Вспомним,
что при электромагнитных колебаниях в контуре
наблюдается переход энергии электрического поля
конденсатора в энергию магнитного поля катушки.
Так как активным сопротивлением контура можно
пренебречь, то закон сохранения энергии в примене-
нии к конкретному заданному контуру выразится
в том, что максимальная энергия электрического
<-^о
поля конденсатора равна максимальной энергии
LI2 CL’2 LI2
магнитного поля катушки т. е. — - = -	откуда
(4)
Решая совместно уравнения (1)—(4), находим
2ясее05 1/0
г/	/ и
= 933 м.
Задача 8. Колебательный контур состоит из
конденсатора емкости 2,5- 10“2 мкФ и катушки с ин-
дуктивностью 101,5 • 10~2 Гн. Пластинам конденса-
тора сообщают заряд 2,5 мкКл. Найти значение
силы тока в контуре в тот момент, когда напряжение
на пластинах конденсатора равно 70,7 В. Активным
сопротивлением цепи пренебречь.
Решение
С=2,5- КГ* Ф;
£=101,5 10 “ Гн;
4о = 2,5  10 6 Кл;
£/ = 70,7 В.
Если нам удастся написать
уравнения изменения напряжения
на пластинах конденсатора £/(/)
и силы тока в цепи 7(z) в за-
висимости от времени, то даль-
нейший ход решения станет
7—?
307
очевидным. Подставив в уравнение U(t) заданное
в условии задачи значение напряжения, мы найдем
момент времени /, соответствующий этому значению;
подставив же найденный момент времени в уравнение
I(t), получим искомое значение силы тока, соответ-
ствующее этому моменту.
Пусть начальный момент времени соответствует
максимальному заряду q0 на пластинах конденсатора.
Тогда с учетом соотношения C=q0IUa можно утвер-
ждать, что при / = 0 напряжение на пластинах также
будет иметь максимальное значение, ибо С = const.
В этом случае уравнение t/(/) записывают в форме
U— Uo COS (£>t,	(1)
где t/0 = <70/C= 100 В.
Для написания уравнения /(/) вспомним, что, по
определению, I=q'(t). Но изменение заряда на
пластинах со временем происходит по тому же
закону, что £/(/). Поэтому q = q0cos(ot. Находя
производную q'получим
/= — 40(DsinciH= — /osincot,	(2)
где l = q0со --амплитудное значение силы тока.
В уравнениях (Г) и (2) со — круговая частота,
связанная, как известно, с периодом колебания
соотношением со = 2л/7’, где 7,= 2лх/£С. Тогда
со = —=2л • 103 рад/с; 70 = 15,7 - 10 3 А.
Уте
Запишем уравнения (1) и (2) с учетом значений
Uo, Io, (,j-
U= 100cos(2л- IO3/); 7= - 15,7  10“3 sin(2n  103/).(3)
Найдем момент времени /, соответствующий
заданному в условии задачи значению напряжения:
70,7= 100cos(2л  Ю3/), или cos(2л- 103/) = 0,707, откуда
/= 12,5 - 10 5 с.
Подставив это значение времени во второе из
уравнений (3), найдем
1= —11,1 мА.
308
Задача 9. В сеть переменного тока с действующим
напряжением 220 В и частотой 50 Гц включен
контур, состоящий из резистора сопротивлением
100 Ом, конденсатора емкостью 35,4 мкФ и катушки
с индуктивностью 0,7 Гн. Написать уравнения U(t)
и I(l) зависимости напряжения и силы тока от
времени. Найти падение напряжения на резисторе,
конденсаторе и катушке. Определить частоту пе-
ременного тока, при которой в данной цепи нас-
тупит резонанс, и мощность, потребляемую кон-
туром.
£7эф = 220,0 В;
v = 50,0 Гц;
R= 1,0 • 102 Ом;
С=35,4 10”6 Ф;
£ = 0,7 Гн.
Рис. 180
Найти £(с), /(/);
t/R-? £с~? UL--?
v0-?P-?
Решение
В задаче идет речь о вынужденных незатухающих
электромагнитных колебаниях силы тока, вызванных
периодически изменяющимся внешним напряжени-
ем U. В подобных случаях следует записать урав-
нения £/(/) и 7(7) в общем виде. Анализ этих
уравнений покажет, какие величины не заданы в усло-
вии задачи и, следовательно, какие величины нужно
искать, используя величины заданные.
На рис. 180 изображена соответствующая условию
задачи цепь переменного тока, в которой колебания
силы тока I и внешнего напряжения U происходят
по синусоидальному закону с одинаковой круговой
частотой со и сдвигом по фазе ср:
7=/0sincoZ, U= С70sin(согН-ср).	(1)
Из уравнений (Г) следует, что основное внимание
нужно сосредоточить на нахождении амплитудного
значения силы тока /0 и сдвига фазы ср, ибо неизвестные
амплитудное значение напряжения 77О и круговая
частота со легко находятся из данных условия задачи.
Действительно,
£0 = С/эфч/2, co = 2nv.	(2)
309
Вспомним, что соотношение амплитудных значе-
ний 10 и Uo в цепи переменного тока определяется
законом Ома:
/О “ С0//?полн,	(3)
где
К поли = х/Л2+(^.-Лс)2	(4)
— полное сопротивление цепи переменного тока.
Величина, стоящая иод знаком радикала в скобках
в выражении (4), есть реактивное сопротивление
цепи переменного тока, в котором
=	Rc=~~,	(5)
<u С
— соответственно индуктивное и емкостное сопро-
тивления.
Решая совместно уравнения (2) — (5), находим
/о=—=^Ы1==-.	(6)
(InvL--'—
\	\	2л£С/
Подставляя числовые значения в выражения (2)
и (6), получим:
£7о = 311 В, /о=1,9А, со=100лс1.
Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и внешнего
напряжения определяется соотношением
cos ср = 7?//? ПОЛИ,	(7)
или с учетом выражений (4) и (5)
cos <р =	—	R—------=0,61; <р = О,Зл.	(8)
ЛМ2 + \ aL-у)
V \ (Л су
С учетом полученных числовых значений /0. £/0,
со, ср уравнения (1) принимают окончательный вид:
1= 1,9 sin (100л/), £7 = 311 sin(100nt + 0,3л).
Следовательно, в заданной цепи напряжение опережа-
ет по фазе силу тока на 0,3л рад, или на 54°.
Расчет падений напряжения на различных элемен-
тах цепи переменного тока принципиально ничем
не отличается от подобного расчета в цепи посто-
310
явного тока. Так как все элементы цепи соединены
последовательно, то Ur = I^R, Ъ'с = 1^ Rc- Ul — Ii^Rl,
где /эф = Zo/^/2. С учетом последнего соотношения,
а также формул (5)
L/K = Uc= — — . Ul=
Ф-	С2
Подставляя в эти выражения данные в условии
и найденные в решении задачи числовые значения,
получаем
Ur =134 В, Uc= 121 В, £7ь = 295 В.
Для нахождения частоты vo. при которой в цепи
наступит резонанс, вспомним, что последний со-
провождается резким возрастанием амплитуды вы-
нужденных колебаний силы тока. Анализируя форму-
лу (6), приходим к' выводу, что амплитуда силы
тока /о достигает наибольшего значения при наи-
меньшем значении полного сопротивления Rn0I,H, т. е.
при условии
2tivoL-----1— =0,
2kv0C
откуда
v0==	=32 Гц.
2л7£С
Мощность, потребляемая контуром,
р = 1эф C^cos ср =	cos ф.	(9)
Подставляя в формулу (9) найденные значения
Io, Uo, cos ф, получим
Р= 180 Вт.
Интересное следствие вытекает из анализа фор-
мулы (9). Если подставить в нее значение UQ и cos ф
из формул соответственно (3) и (7), то получим
р__ IoR ПОЛИ R _	_ j р
'у п	э ЭФ
Х **Т1ОЛН
Следовательно, потребляемая контуром мощность
выделяется только на активном сопротивлении. На
индуктивном и емкостном сопротивлениях мощность
не выделяется. Этот вывод дает принципиальную
возможность расчета мощности, которую должен
311
потреблять контур, чтобы в нем поддерживались
незатухающие колебания: потребляемая контуром
мощность должна компенсировать мощность, выде-
ляемую на активной нагрузке.
Задача 10. Трансформатор, содержащий в пер-
вичной обмотке 300 витков, включен в сеть перемен-
ного тока с действующим напряжением 220 В. Вто-
ричная цепь трансформатора питает нагрузку с ак-
тивным сопротивлением 50 Ом. Найти действующее
значение силы тока во вторичной цепи, если падение
напряжения во вторичной обмотке трансформатора,
содержащей 165 витков, равно 50 В. Индуктивным
сопротивлением обмоток и активным сопротивле-
нием первичной обмотки пренебречь.
Решение
Искомую силу тока /2 во вторичной
щ =300;
и, = 165; обмотке можно выразить двумя спосо-
t/j =220 В; бами. По закону Ома для полной вторич-
С2 = 50 В; ной цепи,
/? = 50 Ом.
где Л2- индуцированная во вторичной обмотке ЭДС.
г2— активное сопротивление вторичной обмотки. По
закону Ома для участка цепи, содержащего только
вторичную обмотку трансформатора,
/2 = С2/г
(2)
В уравнениях (1) и (2) три неизвестные величины:
/2, S2 и г2- Для однозначного решения этой системы
необходимо записать еще одно уравнение. Восполь-
зуемся известным соотношением, связывающим ин-
дуцированные в обмотках ЭДС и числа витков
в обмотках:
где к — коэффициент трансформации. Так как по
условию задачи активным сопротивлением первичной
обмотки можно пренебречь, то индуцированная
в ней ЭДС равна подведенному напряжению. По-
этому &\ = ИГ. Тогда из последнего соотношения
следует, что
312
(3)
Решая систему уравнений (1) —(3) относительно /2,
находим
=	= 1,4 А
п, R
Задача 11. Плоская бегущая волна распространя-
ется вдоль прямой со скоростью 20 м/с. Две точки,
находящиеся на этой прямой на расстояниях 12
и 15 м от источника волн, колеблются с разностью
фаз 0,75 л. Амплитуда колебаний источника волн
равна 0,1 м. Определить, в какой момент времени
после начала распространения волн дальняя от
источника волн точка будет иметь смещение 7,1 см.
Каково смещение ближней к источнику волн точки
в этот момент?
Решение
г = 20,0 м/с; 4 = 0,1 м; /д = 12,0 м; /д = 15,0 м; А(р = 0,75лрад; л2 = 7,1 • Ю 2 м.	Ни на один из поставленных вопросов невозможно ответить до тех пор, пока мы не напишем уравнение плоской волны: л = A cos и (г — г/г).	(1) Когда же мы это сделаем, то
Г-? Xi-?	нетрудно будет найти искомое вре- мя 1. Для этого в уравнении (1)
положим х=х2	и г = г2. Затем, подставив в это же
уравнение найденное значение / и полагая г=д,
найдем искомое значение ад.
Для реализации такого порядка решения нам
следует отыскать не заданную в условии круговую
частоту го. Вспомним, что оз=2к/Т, где Т—период
колебаний. Но период колебаний Т связан с заданной
скоростью распространения волн соотношением
г = Х/Г, где X—-длина волны. Значит, Г=Х/г и
со = 2лг/Х.
(2)
Возникшая проблема отыскания незаданной дли-
ны волны легко разрешима, если помнить о том,
что точки, находящиеся друг от друга на любом
расстоянии Ат = т2 —ад, колеблются с разностью фаз
. 2лДг 2л(г2—Г/)
Дф= = -i--—
(3)
313
Подставляя найденное из формулы (3) значение
X в формулу (2), 'находим
чД<р ,
св=-----= 5лрад/с.
<2 - 1'1
Подставляя заданные и найденные значения А,
г, со в уравнение (1), запишем уравнение плоской
волны в виде
.х = 0,1 cos5n(t-.	(4)
\	20/	7
Дальнейший ход решения уже известен. Полагая
в уравнении (4) л = .г2 = 7,1  10'2 м и г = г2=15м,
находим
/ = 0,8 с.
Подставляя в уравнение (4) найденное значение
Z и полагая г = г1 = 12 м, находим
х2 = — 0,1 м.
Задача 12. К верхнему концу цилиндрического
сосуда, из которого постепенно выливается вода,
поднесен камертон. Первый раз звук, издаваемый
камертоном, заметно усилился, когда расстояние от
поверхности жидкости до верхнего края сосуда
достигло значения 0,2 м. Определить частоту колеба-
ния камертона. Определить расстояние от поверх-
ности жидкости до верхнего края сосуда в тот
момент, когда звук усилится во второй раз. Скорость
звука в воздухе принять равной 340 м/с.
Решение
/?! = 0,2м;	Как известно, громкость звука зави-
г = 340 м/с. сит от амплитуды колебаний в звуковой
__________ волне. В условии разбираемой задачи
v_7 ь увеличение амплитуды колебаний звуко-
2 ' вой волны связано с явлением резонанса,
когда частота собственных колебаний воздушного
столба в сосуде совпадает с искомой частотой
колебаний камертона. Итак, сосредоточим внимание
на нахождении частоты собственных колебаний воз-
душного столба в сосуде.
Воздушный столб сосуда с постепенно вытека-
ющей водой представляет собой среду ограниченной
длины, в которой звуковая волна, возбуждаемая
314
камертоном, отражается от поверхности волны. В ре-
зультате сложения двух волн — возбужденной камер-
тоном и отраженной — возникает стоячая волна дли-
ны ^ст.
Почему стоячая? Дело в том, что для образова-
ния стоячих волн необходимо выполнение следую-
щих условий: две налагаемые бегущие волны должны
распространяться во взаимно противоположных
направлениях; их частоты, амплитуды и направ-
ления колебаний должны быть одинаковыми.
Все эти условия в разбираемой задаче выполняют-
ся. Так как сосуд закрыт слоем воды лишь с од-
ной стороны, то у закрытого конца образуется
узел смешения частиц воздуха, а у открытого
конца—пучность. По определению, Хст = \/2. где
X — длина бегущей волны. Так как расстояние между
Лс, Л
соседним узлом и пучностью равно — = — , то
усиление звучания камертона будет происходить
тогда, когда в свободной ог воды части сосуда
будет укладываться нечетное число полуволн ?.ст/2,
т. е. в общем случае
Л = (2/<- 1)Ц = РА  i)z. (/<== (	।	(|)
2	4
Учитывая соотношение X = r/v. где г — скорость
распространения бегущей звуковой волны с частотой
v, уравнение (1) примет вид
л.'ДДр	(2)
4v
Уравнение (2) является основным расчетным урав-
нением для решения задачи. Совершенно очевидно,
что различным значениям высот /; воздушного столба
должны соответствовать различные значения к. При
А'= I Л<= — , откуда частота v собственных колебаний
4v
воздушного столба, равная частоте колебания камер-
тона, равна
v =—=425 Гц.
4Л1
Следующий раз усиление звучания камертона
произойдет при такой высоте /<2 воздушного столба,
315
которой будет соответствовать значение к = 2. В соот-
ветствии с уравнением (2)
h2 = ~ = 0,6 м.
4v
Заканчивая разбор задачи, обратим Ваше внима-
ние на ряд интересных следствий, имеющих приклад-
ной характер. Так, например, уравнение (1) дает
возможность опытного определения длины звуковой
волны методом резонанса. Для этого способа необ-
ходимо иметь кроме камертона лишь цилиндрический
сосуд с отверстием для вытекания жидкости и мас-
штабную линейку. А уравнение (2) дает основание
полагать, что собственные частоты колебаний струн
или воздушных столбов можно изменять в зависи-
мости от их длин. А это прямой путь к изобретению
и эксплуатации различных струнных и духовых
музыкальных инструментов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
9.1.	Уравнение колебания материальной точки
имеет вид
х = 0,02 sin |~/ + -
V 4
Каковы период и амплитуды скорости и ускорения
точки? [4 с; 3,14-10 2 м/с; 4,93 • 10 2 м/с2 ]
9.2.	Период косинусоидальных колебаний мате-
риальной точки равен 2,4 с, амплитуда — 5 см. Ка-
ковы смещение, модули скорости и ускорения точки
через 0,4 с после начала колебаний? В момент начала
отсчета времени маятник находился: а) в положении
равновесия; б) в одном из крайних положений.
[0,04 м; 0,06 м/с; 0,30 м/с2; 0.02 м; 0,11 м/с; 0,17 м/с2]
9.3.	Написать уравнение синусоидального колеба-
тельного движения, если частота колебаний равна
0,50 Гц, а максимальное уравнение колеблющейся
точки равно 0,49 м/с2. В начальный момент времени
точка смещена от положения равновесия на 25 мм.
х = 0,05
9.4.	Полная энергия тела, совершающего синусо-
идальные колебания, равна 3,0 10“5 Дж; максималь-
316
ная сила, действующая на это тело, равна 1,5  10”3 Н.
Написать уравнение движения колеблющегося тела,
если период колебаний равен 2,0 с, а в начальный
момент времени смещение тела от положения рав-
новесия составляло 3,0 см. [х = 0,04 sin (nt + 0,3л)]
9.5.	За одно и то же время один математический
маятник делает 50 полных колебаний, а второй — 30.
Найти длины маятников, если один из них длиннее
другого на 32 см. [0,18 м; 0,50 м]
9.6.	Какова длина математического маятника, со-
вершающего колебания по закону х= 0,004cos (21 + 0,8) ?
[2,45 м]
9.7.	В кабине вертолета установлены маятниковые
часы. Без начальной скорости вертолет начинает
подниматься вертикально вверх с ускорением
0,2 м/с2. На какую высоту поднимается вертолет за
то время, за которое маятник длиной 1,0 м совершит
40 полных колебаний? [631 м]
9.8.	На сколько изменится частота колебаний
секундного маятника, если его поместить в кабину
стартующего по горизонтальной взлетной полосе
с ускорением 3,0 м/с2 самолета? [Уменьшится на
0,49 Гц]
9.9.	Маятниковые часы, выверенные при комнат-
ной температуре, поместили на сутки в помещение,
где температура на 100 К выше. На сколько отстанут
часы за это время? Коэффициент линейного рас-
ширения материала маятника 2,0-10”5 К”1. Маятник
считать математическим. [125 с]
9.10.	Найти массу груза, который на пружине
с жесткостью 250 Н/м совершает 100 полных колеба-
ний за 1 мин 20 с. [4 кг]
9.11.	Груз, подвешенный на пружине с жесткостью
1 кН/м, совершает косинусоидальные колебания с ам-
плитудой 2 см. Найти кинетическую и потенциальную
энергию груза, если начальная фаза равна п/3 рад.
[150 мДж, 50 мДж]
9.12.	Пружинный маятник совершает косинусоидаль-
ные колебания после того, как его вывели из положения
равновесия и отпустили. Через сколько времени (в долях
периода) после начала колебаний кинетическая энергия
груза станет равна его потенциальной энергии? [778].
9.13.	К пружине подвешена чашка весов с гирями.
При этом период вертикальных колебаний равен
0,5 с. После того как на чашку весов поместили
317
Рис. 181
добавочные гири, период вертикальных
колебаний увеличился на 0,1 с. На сколько
удлинилась пружина после прибавления
добавочного груза? [2,7 см]
9.14.	Тело массой 0,2 кг упало с высоты
0,5 м на чашу пружинных весов (рис. 181)
и начало совершать гармонические колеба-
ния. Жесткость пружины 2,0- 102 Н/м. На-
писать уравнение колебания зела. Массой
чаши и пружины пренебречь.
х = 0,1 cos( 31,6/ + -
\	2
= 0,1 sin 31,6/
9.15.	Электроемкость переменного конденсатора
контура приемника изменяется в пределах от С до
25 С. Определить диапазон длин волн контура, если
минимальной емкости конденсатора соответствует
длина волны 3 м. [3—15 м]
9.16.	Катушка, индуктивность которой 3 10“ 5 Гн,
присоединена к плоскому конденсатору с площадью
пластин 100 см2 и расстоянием между ними 0,1 мм.
Чему равна диэлектрическая проницаемость среды,
заполняющей пространство между пластинами, если
контур резонирует на волну длиной 750 м? [6]
9.17.	В колебательном контуре сила тока изменя-
ется по закону /= — 0,02sin(400rc/). Индуктивность
контура равна 1 Гн. Найти электроемкость конден-
сатора в этом контуре и максимальное значение
энергии его электрического поля. Активным со-
противлением пренебречь. [6,3 • ИГ 7 Ф; 2,6 • 10~4 Дж]
9.18.	Написать уравнения U=U(l) и в цепи
электроплитки сопротивлением 50 Ом, включенной
в сеть переменного синусоидального тока стандарт-
ной частоты. Действующее напряжение в сети 220 В.
Начальная фаза равна нулю. [U— 331 sin 100л/;
7=6,2 sin 100л/]
9.19.	Конденсатор емкостью 36 мкФ включен
в сеть переменного синусоидального тока стандарт-
ной частоты напряжения 220 В. Написать уравнение
(7=t/(/) и	для этой цепи. Активным со-
противлением пренебречь. U= 311 sin 100л/;
1= 5,3 sin I 100л/+-
\	2
318
9.20.	Катушка с ничтожно малым активным со-
противлением и индуктивностью 160 мГн включена
в цепь переменного синусоидального тока стандарт-
ной частоты. Амперметр, включенный в эту цепь,
показал ток 2,5 А. Пренебрегая сопротивлением ам-
перметра и соединительных проводов, написать урав-
нения U=U(t) и	[(7= 177 sin (100кг);
7=3,5 sinjlOOnZ — л/21]
9.21.	При подаче на катушку постоянного на-
пряжения 15 В сила тока в ней была 0,5 А. При
подаче такого же переменного напряжения с частотой
50 Гц сила тока уменьшилась на 40%. Какова
индуктивность катушки? [0,13 Гн]
9.22.	В сеть переменного тока стандартной ча-
стоты включены активное сопротивление 100 Ом
и конденсатор емкостью 40 мкФ. Определить амп-
литуду тока в цепи. Действующее напряжение в сети
127 В. [1,4 А]
9.23.	В сеть переменного синусоидального тока
стандартной частоты включены последовательно ак-
тивное сопротивление 1 кОм, катушка с индуктив-
ностью 0,5 Гн и конденсатор с электроемкостью
1 мкФ. Действующее напряжение в сети 71 В. На-
писать уравнения колебания напряжения и силы то-
ка в сети. Определить мощность, выделяемую в
ней. [U= 100 sin (1 OOnz — 0,4л): 7=3,1 • 10"2sin 100л/;
0,5 Вт]
9.24.	Электропечь, включенная в сеть переменного
тока 7= 10sin 100л/, имеет сопротивление 22,0 Ом.
КПД печи 90%. Сколько воды, взятой при тем-
пературе 373 К, можно выпарить в этой печи за
1 ч? Удельная теплота парообразования воды
22,6  105 Дж/кг. [1,6 кг]
9.25.	Цепь состоит из активного сопротивления
1 Ом, катушки с индуктивностью 28 мкГн и кон-
денсатора емкостью 2222 пФ. Какую мощность долж-
на потреблять цепь, чтобы в ней поддерживались
незатухающие колебания, при которых амплитудное
значение напряжения на обкладках конденсатора не
превышало 5 В? [1 мВт]
9.26.	Понижающий трансформатор, в обмотках
которого содержится соответственно 1000 и 100
витков, включен в сеть с напряжением 220 В
и питает нагрузку сопротивлением 2 Ом. Каково
напряжение на выходе трансформатора, если
319
активное сопротивление вторичной обмотки 0,2 Ом?
Сопротивлением первичной обмотки пренебречь.
[2 В]
9.27.	Первичная обмотка трансформатора
включена в сеть напряжением 220 В. Напряжение
на зажимах вторичной обмотки 20 В, ее сопротив-
ление 1 Ом, сила тока во вторичной цепи 2 А.
Определить коэффициент трансформации и коэф-
фициент полезного действия трансформатора. По-
терями энергии в первичной обмотке пренебречь.
[0,1; 91%]
9.28.	Определить частоту звуковых колебаний
в стали, если расстояние между ближайшими точками
звуковой волны, отличающимися по фазе на 90°,
равно 1,54 м. Скорость распространения звуковых
волн в стали 5000 м/с. [812 Гц]
9.29.	Плоская звуковая волна, частицы которой
колеблются в воздухе с частотой 2 кГц и амплитудой
1,7 мкм, распространяется со скоростью 340 м/с.
Написать уравнение волны. Найти смещение точки,
отстоящей от источника волны на расстоянии 3,4 м,
через 12 мс после начала колебания источника волн.
х=1,7-10 ° sin Q4it - 103	; 0
9.30.	Движение некоторой точки незатухающей
волны описывается уравнением х = 0,05 cos 2nt. На-
писать уравнения движения точек, лежащих на пря-
мой, вдоль которой распространяется волна, и от-
стоящих от заданной на расстояниях 15 и 30 см.
Скорость распространения волны 0,6 м/с.
[х = 0,05 sin (2л/); х = 0,05 cos (2л/)]
9.31.	Ведра с водой на коромысле имеют частоту
собственных колебаний 0,625 Гц. При какой длине
шага вода будет особенно сильно выплескиваться,
если человек с ведрами движется с постоянной
скоростью 2,7 км/ч? [0,6 м]
9.32.	Трактор, прошедший по грунтовой дороге,
оставил следы в виде ряда углублений, находящихся
на расстоянии 0,3 м друг от друга. По этой дороге
движется автомобиль массой 2,0 т, имеющий две
одинаковые рессоры жесткостью 4,4- 107 Н/м каждая.
При какой скорости движения автомобиля водитель
будет испытывать максимальные вертикальные рас-
качивания? [10,0 м/с]
320
9.33.	Закрытая труба издает основной тон «до»,
соответствующий частоте 130,5 Гц. Трубу открыли.
Какой основной тон она издает теперь? Какова
длина трубы? Скорость звука в воздухе равна
340 м/с. [261 Гц; 0,65 м]
Контрольная работа № 9А
Контрольная работа № 9Б
9.1	А. Амплитуда синусоидаль-
ных незатухающих колебаний
материальной точки равна 5 см.
Написать уравнение колебаний
этой точки, если ее масса равна
Юг, а энергия колебаний в мо-
мент начала отсчета времени,
когда смещение от положения
равновесия было равно 4 см.
составляла 3,1-10*’Дж. Найти
модули скорости и ускорения
через четверть периода после
начала колебаний.
9.2	А. Часы с секундным маят-
ником на поверхности Земли
идут точно. На сколько от-
станут эти часы за 8 ч. если
их поднять на высоту 800 м
над поверхностью Земли? Счи-
тать поверхность Земли шаро-
образной. Радиус земной по-
верхности принять равным
6400 км.
9.3	А. Уравнение колебания пру-
жинного маятника массой 200 г
имеет вид _т = 0,05 cos (8лг + л/3).
Определить жесткость пружи-
ны, если ее массой можно пре-
небречь.
9.4	А. Переменный конденсатор
меняет свою электроемкость
в пределах от 56 до
Какой набор катушек
дукции нужно иметь,
колебательный контур
было настраивать на
станции, в диапазоне длин волн
от 40 до 2600 м? Скорость
распространения радиоволн
3 10й м/с.
9.5	А. Заряд на обкладках кон-
денсатора колебательного кон-
тура изменяется по закону
q = 3-10 : cos 800 nt. Индуктив-
ность контура 2 Гн. Пренебре-
гая активным сопротивлением.
667 пФ.
самоии-
чтобы
можно
радио-
9.1Б. Уравнение колебания ма-
териал),пой	точки массой
1,6  10 2 кг имеет вид
/л
л=0.1 sin -/ + - . Написать
\8	4/
уравнение зависимости силы,
действующей на точку, от вре-
мени. Найти модули макси-
мальной силы и силы, дейст-
вующей на точку, через 4,0 с
после начала колебаний. Чему
равна полная энергия колеблю-
щейся точки?
9.2	Б. Шарик массой 12,00 г,
подвешенный на длинной нити,
совершает гармонические коле-
бания. Во сколько раз уве-
личился частота колебаний, ес-
ли шарику сообщить положи-
тельный заряд 2,40 мкКл, а всю
систему поместить в однород-
ное электрическое поле напря-
женностью 40 кВ/м, силовые
линии которого направлены ве-
ртикально вниз?
9.3	R К пружине подвешен груз
массой 10 кг. Сколько полных
колебаний может совершить
этот пружинный маятник за 5 с,
если под действием силы 20 Н
пружина растягивается на
3 см?
9.4	Б. При изменении тока в ка-
тушке индуктивности на вели-
чину 1 А за время 0,6 с в ней
возникает ЭДС самоиндукции,
ранная 0.2 мВ. Генератор, кон-
тур которого состоит из этой
катушки и конденсатора, излу-
чает радиоволны длиной
2450 м. Определить электроем-
к осп, кон ленечтора. Скорость
распространения радиоволн ра-
вна 3  108 м/с.
9.5	Б. Напряжение на обкладках
321
найти электроемкость конден-
сатора и максимальные значе-
ния энергии электрического по-
ля конденсатора и магнитного
поля катушки индуктивности.
9.6	А. В сеть переменного тока
с действующим напряжением
120 В последовательно включе-
ны проводник с активным со-
противлением 15 Ом и катушка
с индуктивностью 50 мГн. Ам-
плитуда тока в цепи 7 А. Найти
частоту переменного тока
и сдвиг фаз между колебаниями
силы тока и напряжения.
9.7	А. Какой длины надо взять
никелиновую проволоку сечени-
ем 0.84 ммг, чтобы изготовить
нагреватель, с помощью кото-
рого можно было бы нагреть
2 л воды на 80 К за 10 мин
при КПД 80%? Напряжение
в сети изменяется по закону
£7=310sin (314л:г). Удельное со-
противление никелина равно
42- 10-8 Омм.
9.8	А. Первичная обмотка сило-
вого трансформатора для пита-
ния лампы радиоприемника
имеет 12 000 витков и включена
в сеть с напряжением 120 В.
Какое количество витков долж-
на иметь вторичная обмотка,
если активное ее сопротивление
0,5 Ом, а напряжение начала
лампы 3.5 В при силе тока 1 А?
Потерями энергии в первичной
обмотке трансформатора пре-
небречь.
9.9	А. Уравнение бегущей плос-
кой звуковой волны имеет вид
х = 6,0- 1 0 5 cos (1 800/— 5,3г).
Найти отношение амплитуды
смещения частиц среды к длине
волны.
9Л0А. При опытном определе-
нии длины звуковой волны
в воздухе методом резонанса
первое усиление звука камер-
тона было получено при длине
столба воздуха, равной 33 см.
Какова скорость звука в воз-
духе, если камертон издает звук
«до» в третьей октаве? Частота
колебаний, соответствующая
этому звуку, равна 261 Гц.
322
конденсатора в колебательном
контуре меняется по закону
£/= 50 cos (I О4тг/). Электроем-
кость конденсатора 0,9 мкФ.
Найти индук тивность конту-
ра и макси мальное значение
энергии магнитного поля ка-
тушки.
9.6	Б. В сеть переменного тока
с действующим напряжением
200 В последовательно включе-
ны резистор сопротивлением
150 Ом и конденсатор элект-
роемкостью 16 мкФ. Изменение
силы тока в зависимости от
времени задано уравнением
/= /0 cos(co/ + <р0). Определить
сдвиг фаз между колебаниями
силы тока и напряжения.
9.7	Б. В цепь переменного тока
с частотой 400 Гц включена
катушка с индуктивностью
0,1 Гн. Какой электроемкости
конденсатор надо включить
в эту цепь, чтобы осуществился
резонанс?
9.8	Б. Первичная обмотка транс-
форматора включена в сеть
с напряжением 220 В. Активное
сопротивление вторичной об-
мотки 2 Ом, сила тока в ней
3 А. Найти напряжение на за-
жимах вторичной обмотки, если
коэффициент трансформации
равен 0,125. Потерями энергии
в первичной обмотке прене-
бречь.
9.9	Б. Чему равна разность фаз
двух точек волны, отстоящих
друг от друга на расстоянии
0,2 м, если при частоте 450 Гц
скорость распространения вол-
ны 360 м/с’.
9.10	Б. При какой скорости дви-
жения поезда маятник длиной
11 см, подвешенный к потолку
вагона, будет особенно силь-
но раскачиваться, если рассто-
яние между стыками рельсов
12,5 м?
РАЗДЕЛ X. ОПТИКА
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, СООТНОШЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
В этом разделе рассматриваются свойства света —
представляющего собой диалектическое единство
противоположностей — волновых и корпускулярных
свойств. Действительно, такие явления, как интер-
ференция, дифракция, дисперсия света, объясняются
его волновыми свойствами, а такие явления, как
фотоэффект,	люминесценция,— корпускулярными
свойствами света.
Однако в оптике имеется ряд задач, при решении
которых нет необходимости учитывать, как рас-
пространяется свет (как волна или как поток фо-
тонов). Решением таких задач занимается геомет-
рическая оптика.
Если свет встречает на своем пути поверхность
какого-либо вещества (поверхность раздела двух
сред), то в зависимости от условий, при которых
свет взаимодействует с этим веществом, могут
возникать явления отражения, преломления или по-
глощения света*.
При описании процессов отражения и преломле-
ния света пользуются таким геометрическим поняти-
ем, как световой луч, представляющий собой линию,
совпадающую с направлением распространения света.
Тела, системы тел, преобразующие ход световых
лучей, называют оптическими системами.
Для того чтобы наблюдать светящийся объект,
необходимо, чтобы в глаз наблюдателя вошел пучок
расходящихся лучей, идущих от объекта, при этом
если глаз увидит изображение объекта в месте
пересечения самих лучей, то изображение называют
действительным; если же глаз увидит изображение
объекта в месте пересечения продолжений преобразо-
ванных лучей, то изображение называют мнимым.
При отражен”" световых лучей от границы раз-
дела двух сред справедлив закон отражения (рис. 182):
луч падающий SO, луч отраженный ОВ и пер-
пендикуляр АО к отражающей поверхности в точке
падения О луча лежат в одной плоскости;
— угол падения а равен углу отражения р.
* Процесс поглощения света веществом в курсе физики
средней школы подробно не рассматривается.
323
о
Рис. 182
При построении изображения
светящейся точки S (рис. 183)
в плоском зеркале следует помнить,
что продолжения всех отраженных
лучей будут пересекаться в точке
S', являющейся мнимым изображе-
нием точки .8. При этом точки
S' всегда расположены симметрично относитель-
плоскосзи зеркала. Изображение протяженно-
S и
но
го предмета в плоском зеркале всегда будет мни-
мым, равным по размерам самому предмету, рас-
положенным симметрично относительно плоскости
зеркала.
При описании преломления света на границе
раздела двух сред пользуются понятиями абсолют-
ного и относительного показателя преломления. Под
абсолютным показателем преломления понимают
показатель преломления среды относительно ваку-
ума, относительный показатель преломления — это
показатель преломления одной среды относительно
другой. Чем больше абсолютный показатель прелом-
ления среды, тем среда считается оптически более
плотной. Если луч света преломляется на границе
сред с абсолютными показателями преломления
щ и п2 (рис. 184), то справедлив закон прелом-
ления:
—	луч падающий SO, луч преломленный ОС
и перпендикуляр АО к преломляющей поверхности
в точке О лежат в одной плоскости;
—	отношение синуса угла падения а к синусу
угла преломления у для двух данных сред есть
величина постоянная и называется относительным
показателем преломления второй среды относительно
первой:
324
sin a
-	=H21 
sin у
(10.1)
Относительный показатель преломления света
п2 связан с абсолютными показателями преломления
п2 и и2 (показателями преломления сред относитель-
но вакуума) и со скоростями распространения света
Vi и v2 в этих средах соотношениями
— [1
21---------------
1’2
(10.2)
В вакууме скорость распространения света посто-
янна и равна с = 3 108м/с.
При переходе луча света из среды оптически
более плотной в среду оптически менее плотную
может наблюдаться явление внутреннего отражения,
заключающееся в том, что лучи света, падающие
на границу раздела двух сред под углами, большими
некоторого предельного оео, не переходят во вторую
среду, а полностью отражаются от этой границы.
Предельным углом падения а0 называется угол,
при котором преломленный луч скользит вдоль
поверхности раздела двух сред (угол преломления
при этом равен у = 90°). Предельный угол находится
из соотношения
sina0 = ”-.	(10.3)
«I
Большой практический интерес представляез пос-
ледовательное прохождение светом нескольких гра-
ниц раздела различных прозрачных сред. В средней
школе рассматриваются лишь простейшие случаи
прохождения света через плоскопараллельную пла-
стину, призму и линзы.
При прохождении луча света через плоскопарал-
лельную пластину (рис. 185) он смещается, не меняя
направления, на величину х, зависящую от толщины
пластины d, угла падения луча а и относительного
показателя преломления вещества пластины относи-
тельно среды, в которой пластина находится.
При прохождении луча света через призму
(рис. 186) он отклоняется к ее основанию. Угол
<р называют преломляющим углом призмы, угол
5 — углом отклонения между входящим и выходящим
325
из призмы лучами, причем угол отклонения 3 зависит
от угла падения луча а, от преломляющего угла
<р и от относительного показателя преломления
вещества призмы относительно среды, в которой
она находится.
Прозрачные тела, ограниченные криволинейными
преломляющими поверхностями, называются лин-
зами. В средней школе рассматривают лишь тонкие
линзы — линзы с двумя сферическими преломляющи-
ми поверхностями (двояковогнутая и двуяковыпук-
лая, плосковыпуклая, плосковогнутая и выпукло-
вогнутая линзы), толщиной которых можно пренеб-
речь. Линзы, превращающие падающий на них
параллельный пучок лучей в пучок расходящихся
лучей, называются рассеивающими. На рис. 187 пред-
ставлены схематические изображения собирающей
(слева) и рассеивающей (справа) линз. На рис. 188
и 189 представлены характерные точки и линии,
используемые при построении изображения в собира-
ющих (рис. 188) и рассеивающих (рис. 189) линзах.
Рис. 187
326
Точка О, через
которую лю-
бой луч прохо-
дит, не меняя
своего направ-
ления, называ-
ется оптиче-
ским центром
линзы. Именно
от него отсчи-
тываются все
расстояния в	р11С
задачах о по-
лучении изображений предметов с помощью линз.
Любая прямая линия, проходящая через оптичес-
кий центр линзы, называется оптической осью линзы.
Ось, на которой расположены центры преломляющих
поверхностей, называют главной оптической осью
линзы (в отличие от остальных, называемых побоч-
ными оптическими осями).
Точка на главной оптической оси, в которой
пересекаются преломленные линзой лучи (или их
продолжения), которые перед падением на линзу
шли пучком, параллельным ее главной оптической
оси, называется главным фокусом линзы (F), а рас-
стояние от главного фокуса до оптического центра
линзы — фокусным расстоянием. Любая линза имеет
два главных фокуса: передний (со стороны падающих
лучей) и задний (со стороны преломленных лучей).
Если в фокусе линзы пересекаются сами лучи,
преломленные в ней, то такой фокус называют
действительным, а линзу — собирающей; если же
в фокусе пересекаются продолжения преломленных
лучей, то такой фокус называют мнимым, а линзу —
рассеивающей.
Для построения изображения в линзе какой-либо
светящейся точки следует проследить ход любых
двух лучей, падающих на линзу и преломленных
в ней до их пересечения (или до пересечения их
продолжения). Изображение протяженных светящихся
предметов представляет собой совокупность изо-
бражений отдельных его точек. Наиболее удобными
лучами, используемыми при построении изображений
в линзах, являются следующие характерные лучи
(рис. 188, 189):
327
—	луч 1, проходящий через оптический центр
линзы, не испытывает никаких отклонений;
-	-- луч 2, падающий на линзу параллельно глав-
ной оптической оси, после собирающей линзы про-
ходит через ее задний фокус, после же рассеивающей
линзы он иде1 так, что его продолжение проходит
через передний фокус линзы;
—	луч 3, который перед падением на собира-
ющую линзу проходит через передний фокус, после
преломления идет параллельно ее главной оптической
оси, если же аналогичный луч падает на рассе-
ивающую линзу так, что его продолжение пересекает
ее задний фокус, то после преломления в линзе он
также пойдет параллельно главной оптической оси;
—	луч 4, который перед падением на собира-
ющую линзу проходит через точку 2F, после прелом-
ления в ней проходит также через точку 2F, но
находящуюся по другую сторону линзы. Ход ана-
логичного луча через рассеивающую линзу таков,
что через точки 2F проходят продолжения лучей
до падения на линзу и после преломления в ней.
Кроме перечисленных лучей при построении изо-
бражений в тонких линзах используют лучи, парал-
лельные какой-либо побочной оптической оси. Следу-
ет иметь в виду, что лучи, падающие на собирающую
линзу пучком, параллельным побочной оптической
оси (рис. 190), пересекают заднюю фокальную плос-
кость линзы РР в гой же точке М, что и побочная
ось АА; лучи, падающие на рассеивающую линзу
пучком, параллельным побочной оптической оси
(рис. 191), после преломления в линзе идут так, что
их продолжения пересекают переднюю фокальную
плоскость QQ в той же точке N, что и побочная
ось ВВ.
328
Расстояние от предмета до линзы (г/), расстояние
от изображения до линзы (/) и главное фокусное
расстояние линзы (F) связаны соотношением
±^.= ±- + |.,	(Ю.4)
F а /
называемым формулой тонкой линзы.
В формуле (10.4) все расстояния до действитель-
ных точек берутся со знаком плюс, до мнимых — со
знаком минус. Фокусное расстояние собирающей
линзы принято считать величиной положительной
(F>0), рассеивающей линзы — величиной отрицатель-
ной (F<0).
Оптической силой линзы D называется величина,
обратная главному фокусному расстоянию:
D = ~.	(Ю.5)
Линейным увеличением линзы Г называется от-
ношение линейного размера изображения Н к линей-
ному размеру предмета:
Г = "=<	(1°'6)
Интерференцией света называется явление наложе-
ния когерентных световых волн, в результате которо-
го в одних точках пространства возникают максиму-
мы, а в других — минимумы интенсивности (освещен-
ности) световых колебаний. Когерентными называют-
ся такие волны, у которых разность фаз во всех точках
волнового поля не зависит от времени. Для этого
источники колебаний должны быть также когерентны-
ми, т. е. излучать с неизменной разностью фаз.
Характер интенсивности световых колебаний за-
висит от оптической разности хода (А) волн, идущих
от когерентных источников. Все возможные формулы,
описывающие интерференцию, можно записать так:
' 2к^— максимум;
(2к+ 1)| — максимум;
А = г2 — г! = 5 нецелое число к/2— частичное	(Ю-7)
усиление или ослабление
интенсивности световых колебаний,
329
где k=l, 2, 3, ...—целое число; X — длина волны.
Дифракцией света называется явление отклонения
светового пучка в область геометрической тени.
Дифракцию света можно наблюдать в том случае,
когда на пути световой волны встречаются непроз-
рачные участки или отверстия в больших по раз-
мерам и непрозрачных для света преградах, причем
размеры этих участков или отверстий соизмеримы
с длиной световой волны.
Одним из важнейших дифракционных устройств
является дифракционная решетка, для которой имеет
место соотношение
<7sin <р = к	(II). 8)
где d—период решетки, ф— угол отклонения луча,
X — длина волны падающего на решетку света, к = 1,
2, 3, ... — порядок спектра (целое число).
Явление испускания электронов проводниками при
их облучении светом называется фотоэффектом.
Для фотоэффекта справедливо уравнение Эйнштей-
на, выражающее закон сохранения энергии:
’	00.9)
/так
где
f. = /7V	(10.10)
— энергия фотона' Лвых — работа выхода электрона
(mv2 \
— I — максимальная кинетическая
2 J max
энергия электрона, испущенного металлом;
й = 6,62 • Ю-34 Дж с в формуле (10.10) — постоянная
Планка.
Анализ формул (10.9) и (10.10) показывает, что
фотоэффект возможен при облучении металла светом,
частота которого больше или равна частоте v0,
называемой красной границей (порогом) фотоэффек-
та. При v = v0
hv0 — A,	(10.11)
т. е. энергии фотона хватает лишь на то, чтобы
вырвать электрон из металла. Скорость электронов,
а следовательно, и их кинетическая энергия при
этом равны нулю.
330
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Большую часть задач этого раздела, предлага-
емых на конкурсных экзаменах по физике, составляют
задачи геометрической оптики. Их решение почти
всегда следует начинать с выполнения построений,
причем следует помнить, что для построения изо-
бражения предмета достаточно найти изображение
двух его крайних точек, поскольку в элементарном
курсе физики рассматривают только такие зеркала
и линзы, в которых всякая прямая линия преобразу-
ется в прямую. Изображение точек предмета строят
при помощи двух характерных лучей.
Это замечание относится не только к тем задачам,
в которых следует выполнить только графическое
построение, но и к задачам расчетного характера.
Все задачи геометрической оптики можно условно
разделить на четыре группы.
К первой группе отнесем сравнительно немно-
гочисленные задачи на построение изображений
в плоском зеркале. Эти задачи, как правило,
не представляют больших трудностей для абиту-
риентов. Все построения сводятся к использова-
нию закона отражения света. Определенных навы-
ков решения требуют лишь задачи, связанные
с построениями и расчетами в системах плоских
зеркал. Принципиально такие задачи не отличаются
от задач на одно зеркало, однако требуют для
своего решения более умелого применения теорем
из геометрии.
Ко второй группе отнесем задачи о преломлении
света на плоской границе раздела двух сред, в ча-
стности задачи о прохождении света через плоско-
параллельную пластину и призму. Эти задачи реша-
ют на основании формул (10.1), (10.2) и (10.3).
Можно рекомендовать следующий порядок реше-
ния таких задач:
— сделать чертеж с указанием хода лучей, идущих
из одной среды в другую; в точке падения луча
на границу раздела двух сред провести нормаль
к поверхности, отметить углы падения и преломле-
ния, указать стрелкой начальное направление луча;
особое внимание следует обратить на оптическую
плотность рассматриваемых сред и помнить, что
при переходе луча света из оптически более плотной
331
среды в оптически менее плотную возможно явление
полного внутреннего отражения;
—	записать требуемую формулу (10.1) —
(10.3) для каждого перехода луча из одной среды
в другую;
—	составить вспомогательные уравнения, связы-
вающие углы, расстояния (заданные в задаче и ис-
комые), используя геометрические и тригономет-
рические соотношения;
—	решить полученную систему уравнений от-
носительно неизвестной величины.
К третьей группе отнесем задачи о построениях
и расчетах изображений в одиночных линиях. Эти
задачи для своего решения требуют применения
формул (10.4)—(10.6).
Обычно абитуриенты испытывают трудности при
построении изображений точек, лежащих на главной
оптической оси линзы. Эти построения следует
проводить с использованием побочный оптической
оси. При этом рассматривают произвольный луч
света, падающий на линзу под некоторым углом.
Затем проводят побочную оптическую ось, парал-
лельную рассматриваемому лучу, и находят побоч-
ный фокус линзы. Он расположен в точке пересечения
побочной оси с фокальной плоскостью.
В случае собирающей линзы рассматриваемый
луч после преломления должен пройти через задний
побочный фокус; в случае рассеивающей линзы
продолжение рассматриваемого луча должно пройти
через передний побочный фокус.
Можно рекомендовать следующий порядок реше-
ния задач третьей группы:
—	построить изображение светящейся точки или
предмета, указав на чертеже характерные точки
линзы О, F, 2F, расстояния d, f F;
—	записать уравнения (10.4)—(10.6), обратив осо-
бое внимание на знаки перед слагаемыми в формуле
линзы уравнение (10.4), помня, что все расстояния
до действительных точек надо брать со знаком
плюс, а до мнимых — со знаком минус;
—	если записанных уравнений недостаточно для
решения задачи, то следует добавить вспомогатель-
ные уравнения, отражающие дополнительные данные
условия задачи; как правило, вспомогательные урав-
нения устанавливают связи между заданными и ис-
332
комыми расстояниями; эти связи можно получить
из анализа чертежа;
—	решить систему основных и вспомогательных
уравнений относительно искомой величины.
В четвертую группу входят задачи на расчет
и построение изображений в различных оптических
системах, состоящих из нескольких линз или линз
и плоских зеркал и т. д.
Задачи этой группы следует решать по такой схеме:
— сделать схематический чертеж, соответству-
ющий условию задачи; отметить на нем линзы,
зеркала и другие системы, изменяющие ход светового
луча, а также отметить характерные точки линз
и заданные расстояния;
—	построить изображение предмета в первой
линзе, считая, что вторая линза, отсутствует;
—	используя формулы (10.4), (10.5) и, если требу-
ется определить размеры изображения, (10.6), найти
расстояние от этого изображения до первой, а затем
и до второй линз; при этом настоятельно рекомен-
дуется сразу же находить числовые значения этих
расстояний, так как это дает возможность судить
о конкретном расположении изображения относи-
тельно второй линзы;
—	считая первое изображение предметом для
второй линзы, аналогично находят построением
положение и размер второго изображения;
—	вновь записывают уравнения (10.4)—(10.6) для
второй линзы;
—	из условия задачи или анализа чертежа к за-
писанным уравнениям добавляют вспомогательные
уравнения связи между различными расстояниями;
—	получив полную систему уравнений, решить
ее относительно искомых величин.
Обратим внимание на существенную деталь. При
построении и расчетах всегда следует различать
случаи, когда на вторую линзу лучи падают схо-
дящимся или расходящимся пучком. В первом случае
изображение точки нужно рассматривать как мнимый
предмет для второй линзы, во втором — как дей-
ствительный. В связи с этим особое значение приоб-
ретает вопрос о выборе знаков перед слагаемыми
уравнения (10.4).
Порядок расчета в системах, состоящих из
линз и зеркал или из линз и плоскопараллельной
333
пластины, такой же, как и в системах, состоящих
только из линз.
Значительно меньшую часть задач оптики со-
ставляют задачи, в которых учитываются волновые
или квантовые свойства света.
Задачи волновой оптики, предлагаемые на всту-
пительном экзамене по физике, имеют довольно
ограниченную тематику. В частности, для решения
задач об интерференции света следует воспользовать-
ся одним из уравнений (10.7). В случае необходимости
к этому уравнению добавляют дополнительные связи
между заданными и искомыми расстояниями, кото-
рые вытекают из геометрических соотношений.
Решение задач о дифракции света основано на
применении соотношения (10.8) или в случае необ-
ходимости некоторых геометрических и тригономет-
рических соотношений.
Задачи квантовой оптики решаются с применени-
ем уравнения Эйнштейна (10.9) и формулы (10.10).
Иногда к этим соотношениям добавляют связь
между длиной волны, частотой и скоростью света
(9.32). Эти задачи, как правило, не вызывают особых
трудностей у абитуриентов.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Свет от удаленного источника наблюда-
ют в зрительную трубу после двукратного отражения
от системы двух плоских зеркал, образующих дву-
гранный угол 42°. Под каким углом к первичному
лучу следует расположить ось зрительной трубы,
чтобы наблюдать данный источник? Что будет
происходить с изображением наблюдаемого объекта
при вращении системы около ребра?
<р = 42°.
у-?
334
Решение
Для ответа на первый вопрос задачи установим,
как зависит искомый угол у оз направления пер-
вичного луча. Так как в условии об этом ничего
не сказано, выберем для определенности направление
луча 1 так, как показано па рис. 192: первичный
луч I падает на зеркало А под углом аъ затем
отражается под углом р(, далее падает на зеркало
В под углом а2, отражаемся от него под углом
Р2 и идет в соответствии с условием задачи в зритель-
ную трубу, причем ось трубы должна совпадать
с направлением луча 3.
Далее решение задачи сводимся к использованию
закона отражения света и некоторых теорем из
геометрии. Рассмотрим треугольник MNK. Угол
у является внешним по отношению к нему, поэтому
у = «!+ Р,+а2 + р2. Так как, по закону отражения,
«1 = Рь а2 = р2.
(I)
то
у = 2(а1 + а2).	(2)
Рассмотрим треугольник ONK. В нем
Z_6WX'=9(T —а2, a LOKN=9&— рг Так как сумма
внутренних углов треугольника равна 180', то
ф + 90° —а2 + 90° —Р) = 180°. С учетом равенства
(1) имеем
Ф = а1+а2.	(3)
Сравнивая (2) и (3), получим
у = 2ф.
Из последнего выражения следует, что искомый
угол у не зависит от направления первичного луча
и при любых значениях углов аир определяется
лишь значением двугранного угла ф. Таким образом,
у = 84с.
В этом выводе частично заключен ответ и на
второй вопрос. Поскольку параллельный пучок лучей
от удаленного источника после отражения от обоих
зеркал отклоняется на постоянный угол у, изображе-
ние наблюдаемого объекта будет иметь место и при
вращении системы около ребра. Если же система
повернется так, что луч не попадет на отражающую
335
поверхность, то изображение источника в поле зрения
трубы исчезнет. Значит, при вращении системы около
ребра изображение наблюдаемого объекта будет то
появляться, то исчезать.
Задача 2. Человек, стоящий на берегу водоема,
видит в гладкой поверхности воды изображение
Солнца, высота которого над горизонтом составляет
25°. Присев на скамейку, он обратил внимание на
то, что изображение Солнца в воде приблизилось
к нему на 240 см. Найти высоту скамейки, если
рост человека равен 160 см.
Ф = 25;
1= 240 см;
11 = 160 см.
/г—?
Решение
При решении подобных задач обычно предполага-
ют, что лучи света от удаленного источника (а
Солнце можно считать именно таким источником)
параллельны. Трудности при решении таких задач
возникают зачастую от того, что абитуриенты не
могут внимательно разобраться в условии задачи
и нарисовать ход лучей. На рис. 193 уровень 1 — 1
изображает поверхность воды, уровень 2—2 соответ-
ствует глубине, на которой человек AD видит
изображение Солнца, точки А и В -положение глаз
до и после того, как человек сел на скамейку. Из
рисунка видно также, что стоящий человек и сидящий
видит изображения источника 5 в точках соответ-
ственно Sj и S2, отстоящих друг от друга (по
условию задачи) па расстоянии I. Совершенно очевид-
но, что искомая высота скамейки
И = И — \АВ\,	(1)
где Н—рост человека. |.4В|—изменение уровня его
глаз над поверхностью воды. Из геометрических
соотношений, а также на основании закона отражения
света имеем
336
LS1AD = a = 90 ~-(p = p.	(2)
Проведем дополнительное построение: BC\\SlS2.
Тогда ВС= S{S2 = I. Ясно, что в прямоугольном
треугольнике АВС
I ВС\ /
-----=-------= tg сс.
|,4В| |ЛД|
(3)
Решая совместно уравнения (Г) — (3), находим
h = Н — /tg <р = 48 см.
Задача 3. Какова истинная глубина водоема, если
камень, лежащий на дне его, при рассматривании по
вертикали кажется находящимся на расстоянии
1,50 м? Абсолютный показатель преломления воды
равен 1,33.
h = 1,50 м;
н = 1,33.
Н ?
Решение
На рис. 194 схематически изображен водоем, ис-
комая глубина которого Н. В точке О находится
рассматриваемый камень, который виден несколько
приподнятым и находящимся в точке О\. Почему?
Проведем из точки О два луча: О А, который не
преломляется, так как он перпендикулярен поверх-
'ности воды (вертикален), и ОВ, угол падения ко-
торого а. После преломления луч ВВГ (как и луч
ОААГ) попадает в глаз наблюдателя под малым
углом у (у > ос, так как свет переходит из среды
оптически более плотной в среду оптически менее
плотную). Глаз увидит изображение камня в точке
пересечения (точка ОД расходящихся лучей АА{
и ВВ{. Дальнейший ход решения задачи зависит от
12—674
337
умения абитуриентов связывать знания, полученные
на занятиях по физике и математике. Рассмотрим
треугольники АОВ и АО^В и выразим их общую
сторону АВ — Hlgv. = h tg у, откуда
//=/Mgy/tg7.	(I)
Из-за малости углов д и у можно, применяя
приближенную формулу, записать tga^sina, tgy-
% sin у. То1да выражение (1) можно записать в виде
Z/ = /jsiny/sin я.	(2)
По закону преломления, — - = - .Подставляя эго
sin у н
выражение в формулу (2). получим окончательно
H = h п — 1,99 м.
Заметим, что решение этой задачи позволяет
задуматься и оценить народную мудрое! ь, гласящую:
«Не зная брода, не суйся в воду!».
Задача 4. На поверхности водоема глубиной 4,5 м
находился круглый плот, радиус которого равен
6,5 м. Над центром плота на некоторой высоте
расположен точечный источник света. Наши мак-
симальный радиус теневого круга на горизонтальном
дне водоема. Абсолютный показатель преломления
воды равен 1,3.
/7 = 4,5 м;
/ =6,5 м;
/7 = 1 ,3.
Д —9
'Мпах
S
Рис. 195
Решение
При решении подобных конкурсных задач абиту-
риенты должны продемонстрировать не только зна-
ние законов преломления света, но и наличие навыков
в проведении различных математических операций.
По условию задачи необходимо найти максималь-
ный радиус теневого крута. Этот факт ставит перед
нами две проблемы: во-первых, выяснить, ог каких
338
величин зависит искомый радиус; во-вторых, найти
функциональную зависимость радиуса от этих вели-
чин. Решение этих проблем удобнее всего начать
с анализа рис. 195, из которого очевидно, что радиус
теневого круга R меняется в зависимости от углов
падения а и преломления у, которые, в свою очередь,
зависят от высоты h расположения точечного ис-
точника света .S'. Кроме того, и это тоже очевидно,
радиус R зависит от глубины водоема Н и радиуса
плота г. Для решения задачи, следовательно, необ-
ходимо найти зависимость R=j(h, г, Н).
Из рис. 195 видно, что
R = r + Н tgy, tga = r/h.	(1)
По определению, абсолютный показатель пре-
ломления
77 = sin cz/sin у.
(2)
Из выражений (1) и (2), применяя известные
формулы тригонометрии и произведя алгебраические
преобразования, получаем
/?=r(i+—=JL=).	(3)
\ .jп2h2 + г2 (п2 — 1)/
Анализ выражения (3) показывает, что R = RmiX
при Л = 0, так как величины п, Н, г в условии
задачи не меняются. Тогда
Задача 5. Луч света падает на границу раздела
двух сред под углом 32°. Абсолютный показатель
преломления первой среды равен 2,4. Каков аб-
солютный показатель преломления второй среды,
если известно, что преломленный луч перпенди-
кулярен от-
раженному?
а =32°;
«1=2,4;
ОА1ОВ.
«2-3
Рис. 196
339
Решение
В задаче идет речь о падении луча света
из среды с абсолютным показателем преломления
на границу среды с абсолютным показателем
преломления п2. В этом случае закон преломления
запишем в виде
sina_n2
sin-/
где а и у — соответственно углы падения и прелом-
ления.
Из рис. 196 видно, что lKOB = [\. LAOK=y
(как углы с соответственно перпендикулярными сто-
ронами). Учитывая, что а = р (по закону отражения) и
/ АОК+ L KOB = 9G -(по условию), имеем
а + у = 90‘.	(2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим
sin a sin а sin а	п2
— = —:-------- =--= tg а = —,
sin у sin (90 - у) cos a	п,
откуда
я2=«т tga= 1,5.
Задача 6. Луч света падает на границу раздела
алмаза и с текла под углом 20". Каким должно
быть отношение толщин этих веществ, чтобы время
распространения света в них было одинаковым?
Абсолютные показатели преломления алмаза — 2,42,
стекла—1,50.
Решение
a = 20°;
«1=2,42;
и2 = 1,50;
z = const.

Приступая к решению подобных задач,
следует хорошо помнить, что физический
смысл абсолютного показателя преломле-
ния заключается в том, что он показывает,
во сколько раз скорость света в вакууме
больше скоросзи свел а в данном веществе.
Тогда становится очевидным, что скорости
распространения света в алмазе тд и стекле г2
связаны с абсолютными показателями преломления
этих веществ соотношением
n, 1Д
(О
340
Из рис. 197 видно, что луч
света, падая на границу раз-
дела алмаза и стекла под
углом а, проходит в алмазе
расстояние О A а в стек-
ле— расстояние ОВ = 12, эти
расстояния связаны с толщи-
нами сред h2 и h2 соот-
ношениями	h j = /! cos а (из
ДАОО^) и /г2 = /2со8у(из
ЛВОО2). Поэтому
Л, /j cosat
h2 Z2cosy
А О,
Рис. 197
(2)
Так как свет в однородной среде распространяется
с постоянной скоростью, то /1=vts^ l2 = v2t, где
vr и v2 — скорости распространения света в алмазе
Л V >
и в стекле. Тогда —=— или (с учетом выражения (1))
/2 v2
Л
^2
»2
«1
(3)
В соответствии с законом преломления света
sin a	w2
sin у	«1
(4)
Выразим из формулы (4) sin y = (H1/H2)sina. Тогда,
используя известное тригонометрическое соотноше-
ние cos у = ^/1 — sin2 у, будем иметь
I 7п	V
cosy= /1 — I—sina).	(5)
V \И2	/
Подставив соотношения (3) и (5) в формулу (2),
получим окончательно
Задача 7. На дне водоема глубиной 3,0 м на-
ходится точечный источник света. На поверхности
воды плавает круглый непрозрачный диск так, что
центр находится над источником. Какова должна
быть минимальная площадь этого диска, чтобы
341
с вертолета нельзя было обнаружить источник света?
Абсолютный показатель преломления воды 1,3.
S
Рис. 198
Решение
Лучи, идущие от точечного источника света S,
падают на границу раздела сред вода — воздух,
переходя, таким образом, из среды оптически более
плотной в среду оптически менее плотную. Те лучи
(SM и SN на рис. 198), которые падают на границу
раздела под углами а, большими предельного а0,
будут полностью отражаться в воду под углами
р = о(. С вертолета же можно наблюдали источник
лишь в том случае, если лучи света, идущие от
него, выходят в воздух. Но из рис. 198 видно, что
в воздух выйдут лишь лучи, заключенные внутри
конуса SAB с диаметром основания AB = d и вер-
шиной в точке 5. Поэтому если на поверхность
воды поместить непрозрачный диск диаметром d,
то ни один луч не выйдет в воздух и источник
света с вертолета не будет виден. Таким образом,
искомая минимальная площадь диска
S=Kd2jA.
(1)
Итак, проблема заключается в нахождении ми-
нимального диаметра диска. Обратимся к рисунку,
из которого ясно, что диаметр диска служит ос-
нованием равнобедренного треугольника SAB. Тогда
t 4'2
нетрудно видеть, что tg ос0 = —, откуда
r/=2//tg%.	(2)
Для лучей, падающих на границу раздела двух
сред под предельным углом а0, можно записать
sina0 = «2///1,	(3)
342
где пг — абсолютный показатель преломления воз-
духа.
В уравнениях (1), (2), (3) три неизвестные вели-
чины:	d, а0. Решая их совместно относительно
площади диска S и полагая и2=1, находим
S
тс/7 2 п j
II 2 — II 2
= 40,9 м2.
Задача 8. Плоскопараллельная стеклянная чишети-
на толщиной 4,20 см находится в воде. Луч света
падает на пластинку иод углом 50 . Под каким
углом луч, пройдя сквозь пластинку, выйдет из нее?
Каково смещение луча при выходе его из пластинки?
Абсолютные показатели преломления воды и стекла
равны соответственно 1,33 и 1,50.
г/=4,20 см;
а = 50';
н, = 1,33;
п2 = 1,50.
Ф — ? х — ?
Решение задачи начнем с построения рисунка,
на котором изобразим стеклянную пластинку тол-
щиной d, окруженную водой, и ход луча SMNP
(рис. 199). Так как п2>п1, то при входе в пластинку
а>у, а при выходе из нее у<ф, где а, у, ф углы
падения и преломления луча на границах сред
вода — стекло и стекло - вода.
Для ответа на первый вопрос задачи запишем
формулы закона преломления для каждого перехода
луча из одной среды в другую в точках И и А1:
sin а	л, siny
sin у sin (р	н2
(I)
Если почленно перемножить эти уравнения, то
sin а .
получим ----=1, откуда
sin <р
Ф = а = 50 .
343
Равенство углов означает, что, пройдя через
плоскопараллельную пластинку, луч NP выйдет из нее
параллельно своему первоначальному направлению SM.
Найдем смещение луча х, т. е. расстояние между
лучами до и после преломлений. Из прямоугольного
треугольника MNK катет х = МТУ sin (ot — у), а из
прямоугольного треугольника NMQ гипотенуза
MW=c//cosy. Значит,
f/sin (ot — у)
cos у
(2)
Исключая из уравнений (1) и (2) угол у и используя
тригонометрические формулы cos y = x/T^sin2 у
и sin(« — у) = sin a cos у — cos а sin у, получим после не-
сложных преобразований для смещения луча
x = JsinaM——”1 _cos7J = 72 см. (3)
\	х'г/2— Щ sin2 а/
Из формулы (3), в частности, следует, что если
луч света падает нормально поверхности пластинки
(а = 0), то он не смещается от своего первоначального
направления (х = 0), что находится в полном соот-
ветствии с законом преломления света.
Задача 9. Одна из граней стеклянной призмы
с преломляющим углом 60 примыкает к воде. На
другую грань падает под углом 40 луч света,
который после двукратного преломления входит
в воду. Под каким углом луч выходит из призмы?
Каков угол отклонения луча от первоначального
направления? Под каким углом следует направить
луч света на грань призмы, чтобы он не вышел
в воду? Абсолютные показатели преломления стекла
и воды равны соответственно 1,6 и 1,3.
<р = 60 ?
а, = 40°;
щ = 1,6;
л2 = 1,3.
7.; '• о ?
«о )
Рис. 200
344
Р е ш е н и е
Изобразим дальнейший ход луча, падающего на
грань АВ призмы в точку М под углом at (рис. 200).
Преломившись в точке Л/, он пойдет по направлению
MN на грань АС, причем у1<а1. Попав в точку
N грани АС под углом а2, луч, вторично преломив-
шись, войдет в воду, причем гак как л2</г|. то
У2>®2-
Для нахождения искомого угла у2 запишем закон
преломления па границе стекло -вода:
sin у.2 п2
siny3 нх
(1)
Не известный пока угол а2 найдем из геомет-
рических соотношений. В треугольнике AMN сумма
углов <р+ LAMN+ LANM= 180 ". Из рисунка видно,
что /_AMN = 90	lANM = 90 -7,. Поэтому ф +
+ 90 — у2 + 90 - а2 = 180откуда
а2 = ф-уг
(2)
Для нахождения угла у, запишем закон прелом-
ления на границе воздух — стекло:
Решая совместно уравнения (1)- (3) относительно
искомого угла у2, получим после преобразований
(4)
откуда
72=47
Чтобы найти угол отклонения луча 5, рассмотрим
треугольник PMN, для которого угол 5 является
внешним. Поэтому 5= LPMN+ LPNM. Но из рисун-
ка видно, что lPMN = vx — у,, L PNM = у2 — а2. По-
этому 5 = ott--Yj +у2 — а2, или с учетом равенства (2)
5 = aj + у2 - ф = 27'
Для ответа на последний вопрос задачи следует
проанализировать соотношение (4). отражающее
связь между углами и у,. Очевидно, что, для
того чтобы луч не вышел в воду, необходимо
345
выполнение условия у2^90 , при котором на границе
стекло--вода будет иметь место явление полного
отражения. В предельном случае при у2 = 90г угол
а, принимает значение искомого угла %. Тогда
"i • /	• sina0\ .
соотношение (4) примет вид -sin <p —arcsin-" = I,
откуда
sin а() = пл sin I ср--arcsin	= 0,16; 7.0 = 9 .
\	п ’/
Задача 10. Предмет находится на расстоянии 10 см
от переднего фокуса собирающей линзы, а экран,
на котором получается четкое изображение предмета,
расположен за задним фокусом линзы на расстоянии
40 см от него (рис. 201). Найти оптическую силу
линзы и увеличение предмета.
а= 10 см = 0,1 м; д ,
b = 40 см = 0,4 м.	К
£> —? Г — ?
Рис. 201
Решение
Прежде всего уточним местонахождение предмета.
Так как его изображение по условию задачи находит-
ся на экране, то оно является действительным, а это
значит, что предмет расположен перед передним
фокусом.
Отметим на рис. 201 заданные в условии задачи
расстояния и вспомним, что искомая оптическая
сила линзы связана с ее главным фокусным рас-
стоянием соотношением (10.5)
Z> = \/F.
(1)
Для нахождения F применим формулу линзы
(10.4), которую запишем в виде
Самостоятельно выясните, почему в этой формуле
все знаки « + ».
346
Из рис. 201 видно, что
d = F+ a, f=b + F.
(3)
Тогда
1 1 _ 1
F+a^~ F+h F
откуда следует, что F=^fab. Подставив это значение
в формулу (1), получим
г >
£• = —— = 5 дптр.
По определению линейного увеличения’ линзы
имеем из формулы (10.4) и соотношений (3)
р_f_ /> + /_/> + yafc _
d a + F a + ^ab У а
Задача 11. Точка движется по окружности с посто-
янной по модулю линейной скоростью 0,2 м/с вокруг
главной оптической оси собирающей линзы в плос-
кости, перпендикулярной оси и отстоящей от линзы
на расстоянии, в 1,5 раза большем фокусного. Центр
окружности лежит на главной оптической оси линзы.
С какой линейной скоростью движется изображение?
г = 0,2 м/с;
d— \,5F.
Решение
Если точка движется по окружности с постоянной
по модулю линейной скоростью, то можно утвер-
ждать, что угловые скорости точки и ее изображения
одинаковы.
Изобразим радиусы движения точки А В и ее
изображения A1Bi в плоскости, перпендикулярной
плоскости рисунка, и отметим расстояния от центров
окружности до линзы точки d и изображения
f (рис. 202). Запишем формулу связи между линейной
и угловой скоростями для точки и ее изображения:
г = <в| АВ\, г, =со| At Тогда
347
v _ |ЛЙ|
г, 14,5,1
Из подобия треугольников АВС и
|Лв| _d
мТвЛ-/"
Из равенств (1) и (2) следует, что
’’ _ d
f i 7"
Из формулы линзы, записанной в
получаем
d d j
7~7“
Подставляя значение <7. получим
t///=0,5,
V I
откуда — = -, или
14	2
= 2и = 0,4 м/с.
Задача 12. Сходящийся пучок лучей имеет вид
конуса с вершиной в точке 5. Когда на пути лучей
поставили рассеивающую линзу, сходящийся пучок
превратился в расходящийся с вершиной в точке
(рис. 203). Определить главное фокусное рассто-
яние линзы, если известно, что точки 5 и
находятся на главной оптической оси линзы, рас-
стояние между ними равно 30,0 см и оптический
центр линзы делит отрезок 5,5 в отношении 2:3.
' С)
At В{С имеем
(2)
(3)
1	1 I
виде
а / F
(4)
1= 30,0 см;
|5,С|_2
I CS| -з’
F-?
348
Решение
Из условия задачи следует, что сходящийся пучок
лучей падает на линзу так, словно его излучает
светящаяся точка S, служащая мнимым источником
света. Так как после преломления в линзе в точке
Sj пересекаются не сами лучи, а их продолжения,
то точка Л) является мнимым изображением ис-
точника. Так как фокус рассеивающей линзы является
мнимым, то формулу линзы запишем в виде
Обозначим па рис. 203 расстояния от линзы до
мнимого источника d и до мнимого изображения f
Тогда, вводя обозначения |5j5| = /, |S'1C,| = a,
|5С| = А, в соответствии с условием задачи запишем
f+d=l,	(2)
а п
Решая совместно уравнения (I) и (2), получим
--------------------7---= 7,2 см.
а)Ь + Ыа + 2
Задача 13. На главной оптической оси собира-
ющей линзы с фокусным расстоянием 12 см находит-
ся точечный источник света на расстоянии 6 см от
линзы. По ту же сторону, что и источник, перпен-
дикулярно главной оптической оси помещают плос-
кое зеркало, с тем чтобы по другую сторону от
линзы на расстоянии 20 см от нее существовало
действительное изображение источника (рис. 204).
Найти расстояние от зеркала до линзы.
F= 12 см;
d=6 см;
/=20 см.
Решение
Для того чтобы существовало действительное
изображение источника S' на расстоянии f от линзы,
349
необходимо, как известно, чтобы сам источник
находился на расстоянии d{ от нее, определяемом
1 I
—+ откуда
Ф /
1
линзы -
F
формулой
(1)
Но по условию задачи источник 5 находится
на расстоянии d линзы. Значит, плоское зеркало
необходимо для того, чтобы полученное в нем
мнимое изображение источника Ф, находилось на
расстоянии <ф от линзы и служило для нее источ-
ником света.
Отметим на рис. 204 все заданные и искомые
расстояния. Из того, что источник света S и
его мнимое изображение в плоском зерка-
ле всегда расположены симметрично относитель-
но плоскости зеркала, следует, что зеркало сле-
дует расположить так, чтобы его плоскость делила
отрезок	пополам, т. е. | С | = | CS |. Из рис.
204 видно, что | S(.S | = dt --d. Значит, \CS\ = ~^.
Тогда искомое расстояние х = | CS\ + d=^~-+d
или
х = 1(^ + 4	(2)
Подставляя в формулу (2) выражение для dt из
формулы (1), получим окончательно
 / ff- , с
х= -I ----\-d =18 см.
2 ^7- F	J
Задача 14. Точечный источник света расположен
на главной оптической оси тонкой двояковыпуклой
линзы с оптической силой 5,0 дптр на расстоянии
0,3 м от нее (рис. 205). На какое расстояние сместится
изображение источника, если между линзой и ис-
точником поместить плоскопараллельную стеклян-
ную пластинку толщиной 0,15 м с показателем
преломления относительно воздуха 1,5? Считать углы
падения и преломления лучей при прохождении через
пластину малыми.
350
Л./ ?
D = дптр;
<7=0,3 м;
Н=0,15 м;
77= 1,5.
Решен и е
Исходя из условия задачи, сделаем рисунок.
Учтем, что так как источник света 5 находится на
расстоянии г/, большем главного фокусного рассто-
яния F=\D. то изображение его S' в отсутствие
плоскопараллельной пластинки будет действитель-
ным и расположенным на главной оптической оси
линзы в точке S' на расстоянии /'. определяемом
формулой линзы (рис. 205).
Если на пути произвольного луча, например SN,
поместить плоскопараллельную прозрачную пластин-
ку, то, как известно, луч сместится параллельно
самому себе и пойдет так, как если бы он вышел
из точки .S',, расположенной на главной оптической
оси линзы на расстоянии г/, от нее. Таким образом,
наличие плоскопараллельной пластинки равносильно
перемещению источника света из точки S' в точку
на расстояние &.d=d— dY. Но в этом случае
и изображение источника 5( должно переместиться
в точку S\ на искомое расстояние |	|, равное
Д/ =./,-/	(1)
Расстояние / найдем из формулы линзы:
7= D = -+1 откуда
/= —	(2)
 Dd—\
Аналогично найдем	—. где d,=d— Sd.
Для нахождения неизвестного значения Аг/ рассмот-
рим треугольник SSXP. в котором S}P=KN = x~
351
вертикальное смещение луча. Как видно из рисунка,
х — NQ — KQ. Тогда Аб(=—- = —. Но из треуголь-
tg п	tg а
ников MQN и MQK находим соответственно | NQ | =
= /7tga, | KQ | = Н tg а. Следовательно, A d=
= Hag«ztgZ) = H/1_tgy\ Значит d
tg a	\ tg a /	\ tg 7
Для малых углов at и у (но условию) отношение
тангенсов можно заменить отношением синусов.
tgy sin у I ...	.	. Н(п- I )
Поэтому — =------= -. 1огда ах =а--------. Подста-
tg a sin a n	n
вив значение в выражение для /j, получим
d—H(n — 1)/п
(</-Н)п + Н
D [(с/— Н) п + Н ] — п
(3)
После подстановки значений f и Д из (2) и (3)
в выражение (1) получаем окончательно
'	D[(d-H)n+H]-n Dd—\
Задача 15. Точечный источник света помещен на
оптической оси собирающей линзы с фокусным
расстоянием 0,2 м на расстоянии 0,5 м от нее. По
другую сторону линзы в ее фокальной плоскости
помещена рассеивающая линза (рис. 206). Каким
должно быть фокусное расстояние рассеивающей
линзы, чтобы мнимое изображение в ней источника
совпало с самим источником?
Г1 = 0,2 м;
<7=0,5 м.
F___9
г 2
352
Решение
Для того чтобы мнимое изображение источника
в рассеивающей линзе Л2 совпало с самим источ-
ником S, необходимо, чтобы продолжения лучей
после преломления в обеих линзах пересекались
в точке S.
Отметим на рис. 206 все заданные в усло-
вии расстояния. Если бы не было линзы Л2,
то действительное изображение источника S нахо-
дилось бы в точке 5,. Тогда изображение S) являет-
ся мнимым источником для линзы Л2. Таким
образом, для линзы Л2 и источник 5^, и его
изображение S, и фокус F2 являются мнимыми.
С учетом этого замечания запишем для нее формулу
линзы в виде
0)
^2	“2 А
где d2=f—Fl—расстояние от мнимого источника до
линзы Л2, f2 = d+Fl—расстояние от мнимого изо-
бражения до нее же. Тогда уравнение (1) примет вид
Неизвестное расстояние / от изображения .S’, до
линзы Д, можно найти из формулы линзы Лр
Решая совместно уравнения (2) и (3), получим
после несложных алгебраических преобразований
F2-5^+F.)-0.1 м.
Задача 16. Зритель с нормальным зрением
смотрит на сцену, находящуюся от него на рас-
стоянии 15 м, в театральный бинокль. Фокусные
расстояния объектива и окуляра бинокля соответст-
венно равны 20 и — 5 см (рис. 207). Каким должно
быть расстояние между объективом и окуляром
бинокля, чтобы зритель, рассматривая изображение
с расстояния наилучшего зрения, мог четко видеть
сцену?
353
t/j =0,15 • 102 м;
Fo6 = 0,20 m;
FOK = —0,05 m;
f2 = 0,25 m.
Решение
7—?
Для того чтобы зрителю с нормальным зрением
хорошо было видно то, что происходит на сцене,
необходимо, чтобы изображение происходящего, да-
ваемое оптической системой линз бинокля, было
мнимым, прямым и находилось иа расстоянии
наилучшего' зрения от окуляра.
Построим ход лучей в бинокле (рис. 207). Для
простоты построения изображения расположим бинокль
так, чтобы рассматриваемый объект (он не указан на
рис. 207) был расположен по одну сторону от главной
оптической оси линз объектива (Ло6) и окуляра (Лок). Так
как в бинокль рассматривают сравнительно удаленные
объекты (d1zs>Fo6'), то их изображения получаются на
незначительных расстояниях от фокальной плоскости
линзы объектива. Поэтому для построения промежуточ-
ного изображения в линзе Ло6 используем произвольный
луч 7, проходящий через ее оптический центр, учитывая,
что изображение А} В не указанного на рисунке
удаленного объекта должно быть расположено где-то
рядом за фокальной плоскостью линзы Лой.
Для того чтобы окончательное изображение объекта
в бинокле было мнимым и прямым, рассеивающую
линзу Лок помещают перед фокальной плоскостью
линзы Jlog. Это делается для того, чтобы лучи,
которые давали бы изображение А}В,. падали на
линзу Лок сходящимся пучком и изображение А1В1
можно было рассматривать как мнимый объект для
окуляра. Тогда после преломления в линзе лучи пойдут
расходящимся пучком, а их продолжения дадут окон-
чательное мнимое и прямое изображение А2В2 объекта.
Естественно, что искомое расстояние / должно
быть подобрано таким образом, чтобы изображение
сценического объекта получалось в линзе Лок на
расстоянии лучшего зрения /2.
354
После такого подробного анализа хода лучей
в бинокле дальнейший ход решения задачи не
должен, на наш взгляд, затруднить абитуриентов.
Из рис. 207 видно, что
/ = Л-г/2,	(1)
где /,—расстояние от линзы объектива до изо-
бражения А^В^, d2—расстояние от линзы окуляра
до изображения А^Ву, являющегося для нее мнимым
объектом. Расстояние j\ найдем из формулы соби-
рающей линзы Л об:
(2)
Расстояние d1 найдем из формулы рассеивающей
линзы Лок с учетом того, что предмет AlBi для
нее является мнимым:
1 _ 1
(3)
Решая совместно уравнения (1) — (3), получим
Задача 17. С помощью микроскопа, главные
фокусные расстояния объектива и окуляра которого
равны соответственно 3 мм и 5 см, наблюдается
предмет, расположенный на расстоянии 3,1 мм от
объектива. Каково увеличение предмета, если его
рассматривать нормальным глазом? Какова длина
тубуса микроскопа?
Fo6 = 0,30 см;
F01[ = 5,00 см;
dr = 0,31 см;
/2 = 25,00 см.
Г — ? /—?
355
Решение
В микроскоп обычно наблюдают предметы, насто-
лько малые по своим размерам, что они не видны
невооруженным глазом. Для того чтобы наблюдение
стало возможным, предмет АВ располагают вблизи
фокальной плоскости линзы объектива (Лоб)
(рис. 208). Для удобства построения хода лучей
микроскоп расположим так, чтобы предмет АВ
находился по одну сторону от главной оптической
оси, как показано на рис. 208. Для построения
изображения точки В предмета АВ в линзе
Лоб рассмотрим два луча, исходящих из этой точки.
Луч 7, проходящий через фокус Fo6 линзы Лоб, после
преломления пойдет параллельно главной оптической
оси до пересечения с линзой окуляра (Лок); после
преломления в линзе Л,)К луч 7 пройдез через ее фокус
FOK. Луч 2, проходящий через оптический центр Ot
линзы Лоб, без преломления пройдет до пересечения
с линзой Лок. Чтобы отыскать его дальнейшее
направление, проведем через оптический центр О2
линзы ЛО1С побочную оптическую ось РО2К, парал-
лельную лучу 2, до пересечения с фокальной плоско-
стью MN линзы Лок в точке D. Тогда, как известно,
луч 2 после преломления в линзе Лок также пройдет
через эту точку. Точка пересечения Вх лучей 1 и 2 пос-
ле их преломления в линзе Лоб является действитель-
ным изображением точки В предмета АВ, тогда
А1В1—действительное, увеличенное, перевернутое
изображение предмета АВ в линзе Ло6. Оно располо-
жено от объектива на расстоянии fi, которое можно
найти из формулы линзы Лоб:
При этом увеличение предмета в линзе объектива равно
Го6=.Ш.	(2)
Линзу окуляра Лок располагают относительно изо-
бражения так, чтобы оно рассматривалось через нее
как через лупу, т. е. так, чтобы изображение А{ВХ
оказалось расположенным между линзой Лок и ее
фокусом. Тогда продолжения лучей 7 и 2 после
преломления в линзе Лок пересекутся в точке В2. Эта
точка будет мнимым изображением точки Вх, а А2В2—
окончательным мнимым изображением предмета АВ.
356
Для того чтобы оно отстояло от линзы окуляра на
расстоянии наилучшего зрения /2, надо подобрать
расстояние d2 от линзы Лок до изображения Л1В1
так, чтобы оно удовлетворяло формуле линзы Лок
При этом увеличение, даваемое линзой Лок,
действующей как лупа, будет
roK=/2/foK.	(4)
Из рис. 208 видно, что искомая длина тубуса —
расстояние между линзами Лоб и Лок — равна
l=fi+d2.	(5)
Полное увеличение оптической системы равно
произведению увеличений, даваемых каждой линзой
в отдельности. Поэтому
Г = ГобГок.	(6)
Решая систему уравнений (1)—(6) относительно
неизвестных I и К, получим
/ =	+	13,47 см; г = -——=150.
di-Fa6 +	(dt -F„6) F„K
Задача 18. В опыте с зеркалами Френеля рас-
стояние между мнимыми изображениями источника
света с длиной волны 0,5 мкм было равно 5,0 мм.
Расстояние от линии, соединяющей источники света,
до экрана 5,0 м. Какова освещенность на экране
в точке О (рис. 209)?
Решение
/. = 5.0-10 ' м;
d=5,Q • I0 '3 м;
/ = 5,0 м
О
Рис. 209
В задаче идет речь
об интерференции све-
та, излучаемого дву-
мя когерентными ис-
точниками	и
,S2 (рис. 209). В ре-
зультате на экране
ЭОЭ возникает интер-
ференционная картина
с различной степенью
интенсивности свето-
вых колебаний, зави-
357
сящей от величины разности хода лучей, исходящих
из источников St и S2. Если разность хода лучей
А содержит четное число световых полуволн, то
в данной точке экрана наблюдается максимум осве-
щенности. Если разность хода лучей содержит не-
четное число световых полуволн, то в данной точ-
ке экрана наблюдается минимум освещенности. Во
всех остальных случаях наблюдается частичное уси-
ление или ослабление интенсивности световых ко-
лебаний.
Итак, для ответа на вопрос задачи запишем
соотношение А = £-, откуда найдем число
к = 2Л/к
(1)
Разность хода лучей А = | А2О| —| 5^1 найдем из
геометрических соотношений. Отметим на рисунке
все заданные расстояния. Тогда если |.S'1O| = /,
\ S2O\ = ^/P + d2, то
/ /	/,\2
Д = х//2 + (/2_/=/	/1+	-1
Так как d«l, то можно воспользоваться при-
ближенной формулой УТ + а = 1 + 1 /2а и получить
d2
V
А = / 1 +
(2)
Подставив значение А из формулы (2) в соот-
ношение (1), получим
Таким образом, разность хода лучей содержит
четное число (10) световых полуволн. Поэтому
в точке О экрана ЭОЭ будет наблюдаться максимум
освещенности.
Задача 19. Сколько штрихов на 1 мм длины
имеет дифракционная решетка, если зеленая линия
ртути с длиной волны 546,1 нм в спектре первого
порядка наблюдается под углом 19'8'? Определить
наибольший порядок главного максимума, который
может образовать эта дифракционная решетка для
данной длины волны.
358
Решение
Х=546.1 • 1(Г9 м;
к=\;
<р= 19,1 °.
Л',, - ?	?
Воспользуемся формулой диф-
ракционной решетки r/sin <р = XX, где
d—период решетки. <р—угол от-
клонения луча, X. — длина волны
падающего на решетку света, к —
порядок спектра (целое число). Так как число
штрихов Лг0, приходящихся на единицу длины решет-
ки, связано с периодом решетки d соотношением
N0 = 1 /d, то--= кк, откуда
,V s21ip = 600 мм	(1)
° кк
Из соотношения (I) выразим
Анализируя формулу (2), приходим к выводу,
что при известных значениях No и /. наибольший
порядок главного максимума соответствует наиболь-
шему значению sincp0=l, т. е.
=—= 3.
МЛ
Задача 20. Красная граница фотоэффекта для
некоторого металла равна 0,5 мкм. При какой ча-
стоте света оторвавшиеся с его поверхности элек-
троны полностью задерживаются обратным потен-
циалом в 3,0 В? Заряд электрона принять равным
1,610-19Кл; постоянная Планка 6,6 • 1034 Дж с;
скорость света 3,0-108 м/с.
Решение
Хо = 5,0- 10“7 м; (р,аД = 3,0 В; е=1,6- 10 19 Кл; /г = 6,6-10 34 Дж с; с = 3,0- 108 м/с. V- ?	Основным расчетным соот- ношением для решения задачи служит выражение закона со- хранения энергии. Действитель- но, чтобы задержать вылета- ющие электроны, необходимо приложить задерживающее эле-
ктрическое поле, причем вылет электронов прекратит-
ся, очевидно, тогда, когда потенциальная энергия
359
электрона в задерживающем поле, равная П-<чр1ад,
станет равной его кинетическом энергии А —I —
\ ^ /mux
Поэтому
<о.., /ш 2 2.	(1)
Кинетическая энергия К электрона входит в вы-
ражение закона сохранения энергии для явления
фотоэффекта, где этот закон записывается в виде
формулы Эйнштейна:
г = //v=/l+(""’)	.	(2)
\ - / так
В уравнении (2) s = /?v - энергия фотона, А
работа выхода электрона из металла. Сравнивая
выражения (1) и (2), находим /;v = А + сф1ад, откуда
v (/<(?„, д/л	(3)
В выражении (3) неизвестной является работа
А выхода электрона из металла, которую найдем
из следующих соображений. Известно, что явление
фотоэффекта наблюдается только при облучении
металла с частотой, не меньшей частоты красной
границы фотоэффекта v(). Воспользуемся заданной
в условии задачи красной границей фотоэффекта;
учитывая, что частота связана с длиной волны
соотношением v0 = t'/7.0, где с — скорость света, и по-
лагая, что красная граница соответствует энергии
фотонов, при которой скорость вырываемых с метал-
ла электронов равна нулю, получим из уравнения (2)
/щ(1 ==--=/1.	•	(4)
Подставив найденное значение рабсил выхода
А в формулу (3), получим окончательно
V = —+ ——= 1,3 -1015 Гц.
>-о А
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЮЛ. На какой угол повернется луч, отраженный
от плоского зеркала, при повороте последнего на
18е? [36]
360
10.2.	Внутри ДЕ1угранного juia. образованного
двумя плоскими зеркалами, расположен точечный
источник света. Изображение ио очника в одном из
зеркал находится на расстоянии 0,12 м, а во вто-
ром— на расстоянии 0,16 м от источника. Расстояние
между изображениями равно 0,20 м. Найти двугран-
ный угол. [90 ]
10.3.	Над центром круглого бассейна радиусом
5,0 м, залитого до краев водой, висит лампа. Мак-
симальное расстояние, на которое может отойти
человек ростом 1,8 м от края бассейна, чтобы еще
видеть изображение лампы в воде, равно 3,0 м На
каком расстоянии от своих глаз наблюдатель видит
изображение лампы? [9,3 м]
10.4.	Какова должна быть минимальная высота
вертикального зеркала, в котором человек ростом
170 см мог бы видеть свое изображение во весь
рост, не изменяя положения головы? [85 см]
10.5.	Алмазный кубик с ребром 7,2 мм имеет на
верхней и нижней гранях царапины. При наведении
микроскопа с верхней царапины на нижнюю его
тубус пришлось опустить на 3,0 мм. Чему равен
абсолютный показатель преломления алмаза? Счи-
тать, что ось микроскопа расположена перпендику-
лярно граням кубика. [2,4]
10.6.	Луч падает на поверхность воды под углом
40 е. Под каким углом луч должен упасть на
поверхность стекла, чтобы угол преломления оказал-
ся таким же? Абсолютные показатели преломления
воды и стекла равны соответственно 1,3 и 1,5. [47,9е]
10.7.	Под каким углом луч света должен упасть
на поверхность воды, чтобы уг ол преломления был
в 1,2 раза меньше угла падения? Абсолютный
показатель преломления воды равен 1,33. [58]
10.8.	Во сколько раз длина тени от вертикального
шеста в воздухе больше длины тени того же шеста
в воде при его полном вертикальном погружении?
Углы падения лучей в обоих случаях одинаковы.
Абсолютный показатель преломления воды равен
1,33. Отношение косинусов углов преломления и па-
дения равно 1,2. [1,6]
10.9.	Найти показатель преломления второй среды
относительно первой, если при угле падения 53°
преломленный луч перпендикулярен отраженному.
[1,33]
361
10.10.	Параллельный пучок света шириной 1,2 м
падает на границу раздела двух прозрачных сред
под углом 72 2 Определить ширину пучка во второй
среде, если показатель преломления второй среды
относительно первой равен 1,34. [2,7 м]
10.11.	Свет идет по кратчайшему пути из одной
среды в другую. Каков показатель преломления
второй среды относительно первой, если толщины
слоев равны соответственно 0,84 м и 0,5 м, а время
прохождения светом первого слоя в 1,2 раза больше
времени прохождения второго слоя9 [1,4]
10.12.	Предельный угол внутреннего отражения
в системе скипидар -воздух равен 42 . Определить
угол преломления при переходе свела из воздуха
в скипидар, если угол падения равен 32'. [21]
10.13.	В системах бензин-- воздух и стекло —
воздух предельные углы внутреннего отражения
равны соответственно 44 и 35'. Каков предельный
угол внутреннего отражения для системы стекло
бензин? [56 ]
10.14.	В водоем на некоторую глубину помещают
источник белого света. Показатели преломления воды
для красных и фиолетовых лучей равны соответст-
венно 1,328 и 1,335. Вычислить отношение радиусов
кругов, в пределах которых возможен выход красных
и фиолетовых лучей в воздух. [0,11]
10.15.	Водолаз ростом 1,8 м, стоящий на горизон-
тальном дне озера, видит отраженными от воды
предметы дна, расположенные от него на расстоянии
не ближе 48,0 м. Какова глубина озера? Абсолютный
показатель преломления воды равен 1,33. [21,9 м]
10.16.	Луч света падает по углом 40 па
систему из трех плоскопараллельных прозрачных
пластинок, имеющих различные показатели пре-
ломлений. Под каким углом выйдет луч из последней
пластинки? [40° ]
10.17.	Луч света проходит через трехгранную
призму с преломляющим углом 45 таким образом, что
угол падения луча на призму равен углу преломления
при выходе из нее. Каков показатель преломления
вещества призмы, если луч отклоняется от своего
первоначального направления на угол 15 ? [1,3]
10.18.	Преломляющий угол трехгранной призмы
равен 60е. Найти угол падения луча света на одну
из граней призмы, при котором выход луча из
362
второй грани становится невозможным. Показатель
и преломления вещества призмы относительно воз-
духа равен 1,4- [20' ]
10.19.	Написать соотношение между расстояниями
от линзы до предмета (d), от линзы до изображения
(/) и главным фокусным расстоянием (/’) (формула
линзы), если предмет расположен: а) за фокусом
собирающей линзы; б) между фокусом и собирающей
линзой; в) перед рассеивающей линзой.
d~f ~F
10.20.	Перпендикулярно главной оптической оси
собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см
на расстоянии 5 см от фокуса расположен предмет
высотой 2 см. Определить высоту изображе ния. Рас-
смотреть два случая: а) предмет расположен за
фокусом линзы: б) предмет расположен между фо-
кусом и линзой. [4 см]
10.21.	С помощью тонкой линзы с оптической
силой 1,0 дптр на экране получили изображение
предмета с увеличением, равным единице. Затем
предмет приблизили к линзе на полметра. На какое
расстояние от прежнего положения нужно отодвинуть
экран для получения резкого изображения? Во сколь-
ко раз изменилось увеличение линзы? [1,0 м; уве-
личилось в 2 раза]
10.22.	Изображение светящейся точки в рассе-
ивающей линзе расположено в два раза ближе
к линзе, чем сама точка. Найти положение светящей-
ся точки, если известно, что она лежит на главной
оптической оси линзы. Оптическая сила линзы рав-
на— 5,0 дптр. [0,2 м]
10.23.	Экран расположен на расстоянии 24 см от
отверстия, в которое вставлена линза диаметром
5 см. На линзу падает сходящийся пучок лучей,
в результате чего на экране образуется светлое
пятно. Определить оптическую силу линзы, если
в ее отсутствие диаметр пятна не меняется. Рас-
смотреть два случая: а) линза собирающая; б) линза
рассеивающая. [ + 5 дптр ]
10.24.	На расстоянии 0,15 м от тонкой собира-
ющей линзы с фокусным расстоянием 0,3 м помещена
свеча. За линзой в ее втором фокусе находится
плоское зеркало. Где получится изображение свечи?
[На расстоянии 0.6 м от линзы со стороны свечи]
363
10.25.	Рассеивающая и собирающая тонкие линзы
с фокусными расстояниями соответственно — 10
и 15 см расположены вдоль общей главной оптиче-
ской оси на расстоянии 30 см друг от друга. На
расстоянии 12 см от рассеивающей линзы на главной
оптической оси поместили точечный источник света.
Определить расстояние между точечным источником
и его действительным изображением в оптической
системе. [68 см]
10.26.	Две тонкие собирающие линзы с фокус-
ными расстояниями соответственно 20 и 40 см рас-
положены вдоль общей оптической оси на расстоянии
150 см друг от друга. На расстоянии 25 см от
первой линзы помещен предмет высотой 2 см. После
прохождения лучей через эту оптическую, систему
получено изображение предмета. Определить рас-
стояние от второй линзы до изображения и высоту
изображения. [200 см; 32 см]
10.27.	Изображение предмета получается на ма-
товом стекле фотоаппарата. На какое расстояние
надо передвинуть объектив фотоаппарата, если меж-
ду объективом и матовым стеклом поместить стек-
лянную пластину толщиной 4,0 мм? Показатель пре-
ломления стекла относительно воздуха равен 1,6.
Все углы падения и преломления считать малыми.
[1,5 мм]
10.28.	С помощью зрительной трубы наблюдается
очень удаленный предмет, изображение которого,
даваемое линзой окуляра, находится от нее на
расстоянии наилучшего зрения (25 см). Какова длина
трубы, если фокусные расстояния линз объектива
и окуляра соответственно равны 25 и 8 см? [31 см]
10.29.	Расстояние между линзами объектива и оку-
ляра микроскопа равно 16 см. Микроскоп дает
200-кратное увеличение для нормального глаза, рас-
стояние наилучшего зрения для которого равно
25 см. Найти увеличение линзы окуляра, если фокус-
ное расстояние линзы объектива равно 0,5 см. [8]
10.30.	Чему равно расстояние между линзами
объектива и окуляра театрального бинокля, если
изображение рассматривается глазом с расстояния
наилучшего зрения, равного 25 см? Фокусные рас-
стояния линз объектива и окуляра равны соответ-
ственно 8 и —4 см. [3,2 см]
10.31.	Два когерентных источника .S\ и S2
364
(рис. 210) излучают монохроматичес- „ к с ;
кий свет с длиной волны 600 нм. ’	1
Определить, на каком расстоянии от
точки О будет первый максимум
освещенности, если	| ОС | = 4,0 м
и | 5, S2 | = 1,0 мм? [2,4 мм ]	ц ।------18
10.32.	Расстояние на экране АОВ	°
(рис. 210) между двумя соседними ма-
ксимумами освещенности равно Рис- 2,0
1,2 мм. Определить длину волны света, излучаемого
когерентными источниками S', и S2, если |ОС| = 2м,
| .S'pS^ | = 1 мм. [600 нм]
10.33.	Дифракционная решетка содержит
120 штрихов на 1 мм. Найти длину волны моно-
хроматического света, падающего на решетку, если
угол между двумя главными максимумами первого
порядка равен 8". [580 нм]
10.34.	На дифракционную решетку нормально па-
дает пучок света от разрядной трубки. Чему должна
быть равна постоянная дифракционной решетки,
чтобы в направлении под углом 41 к оси пучка
совпали максимумы двух линий с длиной волны
656,3 и 410,2 мм? [5 мкм]
10.35.	Красная граница фотоэффекта для серебра
равна 2,6-10“7м. Определить работу выхода элек-
трона из серебра. Скорость света равна 3,0 • 108 м/с;
постоянная Планка 6,6 • 10“34 Дж  с. [7,6  10“19 Дж]
10.36.	Каков абсолютный показатель преломления
среды, в которой свет с энергией фотона
4,4- 10“ 19 Дж имеет длину волны 3,0- 10”7 м? Посто-
янную Планка считать равной 6,6  10“34 Дж с, ско-
рость света в пустоте 3,0  108 м/с. [1,5]
10.37.	Какой длины волны следует направить свет
на поверхность цинка, чтобы максимальная скорость
фотоэлектронов была равна 2,6-106 м/с? Красная
граница фотоэффекта для цинка равна 3,5-10“7м.
Масса электрона 9,1 10“31 кг; скорость света
3-108м/с; // = 6,6-10“34 Дж-с. [8,3-10“8 м]
Контрольная работа № 10А
ЮЛА. Зеркальный гальвано-
метр расположен на расстоянии
2 м от шкалы. При пропуска-
нии тока через гальванометр
зеркальце повернулось так, что
Контрольная работа № ЮБ
10.1 Б. Над центром круглого
бассейна радиусом 8,0 м, за-
литого до краев водой, на вы-
соте 4,0 м над поверхностью
воды висит лампа. На какое
365
световое пятно на шкале сме-
стилось от центра на 50 см.
На какой угол повернулось зер-
кальце?
ЮЛА. На задней стенке плос-
копараллельной стеклянной
пластинки имеется чернильное
пятно. На каком расстоянии по
вертикали от истинного поло-
жения наблюдатель увидит это
пятно, если толщина пластинки
0,60 м, а абсолютный показа-
тель преломления стекла равен
1,5? Угол зрения наблюдателя
перпендикулярен поверхности
пластинки.
10.3А. Водолаз ростом 1,7 м
стоит на горизонтальном дне
водоема глубиной 20,0 м. Вы-
числить минимальное расстоя-
ние от места, где стоит водо-
лаз, до тех предметов, которые
он видит в результате полного
внутреннего отражения от по-
верхности воды. Абсолютный
показатель преломления воды
равен 1,33.
ЮЛА. На прозрачную плоско-
параллельную пластинку тол-
щиной <7=8,4 см падает луч
света, идущий вдоль траекто-
рии SABCD (рис. 211). Найти
угол <р выхода луча и длину
пути АВС луча в пластине, если
а = 30“, а абсолютный показа-
тель преломления материала
пластины 1,8.
Ю.5А. Луч света падает на
оптическую призму из кварце-
вого стекла, преломляющий
угол которой равен 40‘ , и вы-
ходит из нее под углом 27е.
Каковы угол падения луча на
призму и угол отклонения его
от первоначального направле-
ния? Абсолютный показатель
Рис. 211
расстояние от края бассейна
может отойти человек ростом
1,6 м, чтобы все еще видеть
отражение лампы в воде?
Ю.2Б. Столб высотой 3,6 м
установлен на дне озера, глу-
бина которого 2,4 м. Какова
длина тени столба на дне озера,
если высота солнца над гори-
зонтом равна 30е ? Абсолютный
показатель преломления воды
равен 1,3.
Ю.ЗБ. В цистерне с сероугле-
родом на глубине 0,26 м под
поверхностью расположен то-
чечный источник света. Вычис-
лить максимальный диаметр
круга на поверхности сероуг-
лерода, в пределах которого
можно наблюдать источник.
Показатель преломления серо-
углерода относительно воздуха
равен 1,64.
Ю.4Б. Луч света падает на
плоскопараллельную стеклян-
ную пластинку под углом 60е.
Какова толщина пластинки, ес-
ли при выходе из нее луч
сместился на 2,0 см? Абсолют-
ный показатель преломления
стекла равен 1,5.
Ю.5Б. В призме с преломля-
ющим углом 303 одна из бо-
ковых граней посеребрена. Луч
света, падающий на другую
боковую грань, после прелом-
ления в ней и отражения от
посеребренной грани выходит
из призмы по тому же направ-
лению. Определить показатель
преломления материала призмы
относительно воздуха, если
угол падения луча на призму
равен 45е.
Ю.6Б. Два точечных источника
света находятся на главной оп-
тической оси тонкой собира-
ющей линзы на расстоянии
0,24 м друг от друга. При этом
изображения обоих источников
совпали. Каково фокусное рас-
стояние линзы, если известно,
что она делит отрезок между
источниками в отношении 1 •. 3?
Ю.7Б. Две тонкие линзы: соби-
рающая с фокусным расстояни-
366
кварцевого стекла равен 1,54.
10.6А. Светящаяся точка рав-
номерно движется по окружно-
сти с центром на оси рассе-
ивающей линзы в плоскости,
перпендикулярной оси и отсто-
ящей от линзы на расстоянии
в 1,8 раза больше фокусного.
Определить линейную скорость
точки, если линейная скорость
ее изображения равна 0,5 м/с.
ЮЛА. Две одинаковые тонкие
собирающие линзы с фокусным
расстоянием 6.0 см располо-
жены в фокусам друг друг'к
так. что их главные оптические
оси совпадают. На расстоянии
8,0 см от одной из них на-
ходится точечный ист очник све -
та. На каком расстоянии от
второй линзы находится его
изображение?
10.8А. Зрительная труба с фо-
кусным расстоянием 50 см на-
ведена на отдаленный светя-
щийся объект. После тою как
линзу окуляра передвинули на
некоторое расстояние, стали яс-
но видны предметы, удаленные
от линзы объектива на .50 см.
На какое расстояние передви-
нули линзу окуляра при на-
водке'?
10.9А. Чему равна постоянная
дифракционной решетки, если
для тою, чтобы увидеть крас-
ную линию с длиной волны
7 10 7 м в спектре второго
порядка, зрительную трубу при-
шлось направить под углом 30
к оси коллиматора? Какое чис-
ло штрихов нанесено на 1 см
длины этой решетки? Свет па-
дает на решетку нормально.
Ю.10А. Красная граница фотоэф-
фекта у лития 5,2 • 10 7 м. Какую
обратную разность потенциалов
нужно приложить к фотоэлемен-
ту, чтобы задержать электроны,
излучаемые литием под дейст-
вием ультрафиолетовых лучей
длиной волны 2,0- 10 7 м? Ско-
рость света принять равной
3,0-108 м/с; постоянная Планка
6.6- КГ34 Дж-с; заряд электрона
1,6-10’19 Кл.
ем 3,0 см и рассеивающая с фо-
кусным расстоянием —3,0 см —
расположены на расстоянии
_т друг от друга так, что их
оптические оси совпадают. На
расстоянии х перед собирающей
линзой на главной оптической
оси поместили точечный источ -
ник све га, изображение которо-
го оказалось на таком же рас-
стоянии ;< за рассеивающей ли-
нзой. Определить расстояние х.
10.8Б. Определить фокусное
расстояние линзы окуляра мик-
ро жопа ,дающег о 2500-кратное
увеличение, если расстояние от
заднего фокуса линзы объек-
тива до переднего фокуса линзы
окуляр-к равно 15 Q см .Фокус-
ное расстояние линзы объек-
тива равно 0,3 см. Расстояние
наилучшего зрения 25,0 см.
10.9Б. Во сколько раз увеличит-
ся расстояние ,между соседними
интерференционными полосами
на экране в опыте Юнга, если
зеленый светофильтр заме-
нить красным? Длины волн
зеленого и красного света со-
ответственно равны 5,0-10'4
и 6,5 • 10'4 мм.
10.10Б. Красная граница фото-
эффекта для калия 6,2- 10 7 м.
Какую максимальную скорость
могут получить вырванные из
калия электроны при облучении
его фиолетовым светом с дли-
ной волны 4,2-10'7 м? Массу
электрона принять равной
9.1 • 1 б 31 кг; скорость света
3,0- 108 м/с; постоянная Планка
6,6- 10 34 Дж-с.