Text
Н. М. СПЕРАНСКИЙ
НАН РЕШАТЬ
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИНЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1 96 7
530.1
Рекомендовано к изданию Министерством выс-
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для поступающих в выс-
высшие учебные заведения.
2-3-1
422-66
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемом пособии сделана попытка
систематически изложить методы решения задач
по основным разделам элементарного курса
физики с анализом характерных ошибок. На-
Настоящая книга не является ни справочником,
ни решебником. Она связывает основные тео-
теоретические вопросы с практикой решения за-
задач. Общеизвестно, что неумение применить
теорию к практике, к решению задач (не го-
говоря уже о задачах такого типа, с которыми
ученик ранее не встречался) — весьма суще-
существенный пробел в начальном образовании по
физике. Автор видит свою цель в том, чтобы
показать, как нужно учить решать задачи по
физике и как можно самостоятельно научиться
их решать. В этом отношении настоящее по-
пособие по своему содержанию перекликается
с хорошо известной книгой американского
профессора Д. Пойа «Как решать задачу»
(М. Учпедгиз, 1961), в которой разбираются
общие вопросы методики на примере решения
математических задач.
Широта взгляда на предложенную задачу,
умение связать ее с законами природы и с дру-
другими смежными задачами должны решительно
противопоставляться ремесленному подходу —
поиску «нужной формулы» на основе догадок,
выяснению, зачем дана та или другая вели-
величина.
— 3 -*
Самый первый и трудный этап решения за-
заключается в том, чтобы выразить физический
смысл рассматриваемого явления в наиболее
общем виде при помощи соответствующих урав-
уравнений или формул. Математическое выражение
физического смысла задачи должно быть стро-
строгим и оптимальным. При этом решающий за-
задачу должен не только понимать написанные
общие выражения, но и четко представить
себе, как преподаватель пришел к основной идее
решения, т. е. каким образом развивалась его
мысль, почему он отбрасывал одни соображе-
соображения и увязывал в единую цепь другие. Следую-
Следующий шаг — наложение на общие уравнения кон-
конкретных математических ограничений, которые
уточняют, например, место или время перехода
одних явлений в другие или связи между яв-
явлениями. Вся эта информация черпается из
условия и вопроса задачи. В результате число
неизвестных становится равным числу состав-
составленных уравнений. После этого необходимо
получить искомое неизвестное в буквенном
выражении, оценить достоверность получен-
полученной формулы, по возможности установить связи
с другими задачами и, только проделав все
это, получить требуемое числовое значение.
Настоящее пособие рассчитано на студен-
студентов педагогических институтов, на учителей
средних школ и на преподавателей средних
технических учебных заведений. Книгой могут
с успехом пользоваться лица, закончившие
среднюю школу и готовящиеся к сдаче прием-
приемных экзаменов в вузы, где физика является
профилирующей дисциплиной.
В заключение я хочу выразить свою искрен-
искреннюю благодарность кандидату физико-мате-
физико-математических наук П. Е. Медведеву и научным
сотрудникам физического факультета МГУ
Н. М. Дунаеву и Д. Г. Баканову за полезные
советы в процессе моей работы над этой книгой.
Автор
Глава I
КИНЕМАТИКА
§ 1. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
1. Некоторые основные определения
Механическим движением называется перемещение од-
одного тела относительно другого в пространстве с течением
времени. Тело, относительно которого рассматривается
перемещение других тел, называется телом отсчета. С те-
телом отсчета жестко связывается система координат (в ма-
математическом смысле слова), например прямоугольная
декартова система. Если известно, в какой момент вре-
времени и из какой точки пространства начало двигаться дан-
данное тело (начальные условия), то для того, чтобы опре-
определить местоположение тела в любой последующий мо-
момент времени, необходимо знать еще траекторию и закон
движения. Траекториями называются кривые, по которым
движутся все точки данного тела. Если тело достаточно
мало или оно движется поступательно, то для определе-
определения местоположения тела в целом достаточно знать траек-
траекторию любой его точки, например траекторию точки центра
тяжести. В этом случае тело можно рассматривать как
материальную точку.
Законом движения называется формула, устанавли-
устанавливающая зависимость между величиной пройденного пути
и временем, т. е. функция s = s (t). Например, законом
равномерного движения является зависимость
s = vt,
а законом равномерно переменного движения — формула
Смысл утверждения «движение относительно» заклю-
заключается в том, что движения вообще, т. е. движения без-
безотносительно к какому-либо телу, не существует. Вся-
Всякое перемещение существует в природе и может быть пред-
представлено только относительно другого тела — тела отсчета.
Следовательно, характер движения зависит от выбора
- 5 —
?ела отсчета. Это означает, что если перемещение одного
и того же тела рассматривается одновременно в разных
системах координат, т. е. относительно разных тел от-
отсчета, то закон и траектория движения данного тела
в этих разных координатных системах будут, вообще го-
говоря, различны.
Задача 1.
Из окна поезда, идущего по горизонтальному пути со
скоростью и, роняют тяжелый маленький шарик. Опре-
Определить траекторию и закон движения шарика: 1) в си-
системе координат, жестко связанной с поездом; 2) в системе
координат, жестко связанной с поверхностью земли. Со-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. 1. Поскольку шарик сохраняет скорость по-
поезда, то наблюдатель, выпустивший шарик из рук, видит
его падающим вдоль прямой, перпендикулярной к полотну
железной дороги. Траектория движения — прямая ли-
линия.
Законом движения шарика будет формула
где у — вертикаль.
2. Человек, стоящий на обочине дороги, видит шарик
летящим по параболе, так как шарик относительно земли
одновременно участвует в двух движениях: перемещается
с постоянной скоростью v относительно горизонтали х
и свободно падает вдоль вертикали у. Траектория движе-
движения — парабола.
Следовательно, движение шарика определяется двумя
уравнениями
х = vty
Эти уравнения называются законом движения тела
в параметрической форме. Параметром здесь является
время t.
Разобранный пример не только раскрывает смысл по-
понятия «движение относительно», но и приводит к важному
выводу, что при решении задачи принципиальным момен-
— 6 —
том является выбор тела отсчета. Несоблюдение этого тре-
требования часто приводит к грубым просчетам и ошибкам.
После правильного выбора тела отсчета дальнейшим
возможным шагом иногда является упрощение самой
задачи, конечно, без искажения ее физического смысла.
Задача 2.
Два корабля движутся параллельно друг другу в про-
противоположные стороны со скоростями vx и v2. С одного
из них стреляют в другой. Под каким углом ф к курсу
обстреливаемого корабля надо направить орудие, чтобы
попасть в цель, если выстрел производится в момент,
когда оба судна находятся на прямой, перпендикуляр-
перпендикулярной к направлению их движения? Скорость снаряда v0
(относительно орудия) считать постоянной.
Решение. Движения кораблей рассматриваются в си-
системе координат, связанной с неподвижной поверхностью
воды или с берегом.
Если решать задачу непосредственно, т. е. рассматри-
рассматривать движение обстреливаемого корабля и два одновре-
одновременных движения снаряда, то рассуждения могут ока-
оказаться громоздкими и длинными.
Сделаем чертеж (рис. 1, а). Здесь Л и В — корабли.
Выстрел производится с корабля В, идущего со ско-
скоростью vx\ v'Q — скорость снаряда относительно берега
или неподвижной поверхности воды; ф — искомый угол.
Поскольку составляющая скорости v'Q9 параллельная
курсу обстреливаемого корабля Л, равна v0 cos ф—vlt
из рис. 1, а непосредственно следует, что sx = s2, т. е.
(v0 cos ф — vx) t = v2ty
где v2 — скорость обстреливае-
мого корабля, t — время полета
снаряда.
Следовательно,
Ф = arccos Vl j~v*.
Рассмотрим эту же задачу, осно-
основываясь на принципе относитель-
относительности движения.
Относительная скорость между
кораблями равна vt + и2. Если* Рис. 1
- 7 —
мысленно остановить корабль, с которого производится
выстрел, а другой заставить двигаться со скоростью
Vi + v2, то относительная скорость между кораблями
остается прежней (рис. 1, б).
Задача № 2 превратилась в гораздо более простую.
Из рис. 1, б непосредственно следует, что искомое неиз-
неизвестное равно
s V\ -4- Vo
Ф = arccos — = arccos
arccos ¦
Таким образом, упрощение сложной задачи — дей-
действенный прием, но, во-первых, это прием тонкий, тре-
требующий большой осмотрительности, и, во-вторых, да-
далеко не всякую сложную задачу можно упростить. При
этом необходимо следить за тем, чтобы упрощаемая за-
задача не превращалась в принципиально другую задачу.
Задача 3.
С одного встречного поезда, имеющего скорость v1
на платформу другого, имеющего скорость v2, бросают
тяжелый шарик с начальной скоростью v0. Вектор ско-
скорости v0 параллелен горизонтальной плоскости и перпен-
перпендикулярен к направлению движения поездов. Определить:
1) угол фх между следом проекции шарика на полотне
и направлением рельсов;
2) угол ф2 между следом проекции шарика на плат-
платформе и краем платформы, параллельным линии рельс;
3) величины скоростей шарика относительно полотна t/
и относительно платформы xf.
Решение. Рассуждая так же, как и при решении за-
задачи № 2, останавливаем поезд, с платформы которого
бросают шарик, а встречный поезд заставляем мчаться
со скоростью vx + v2. Полученная более простая задача
приводит к неверным результатам при определении вели-
величин фх и v'. Однако решение п. 2 и найденная таким об-
образом величина v" оказываются правильными. Действи-
Действительно, фх и v' относятся только к одному поезду, с плат-
платформы которого бросают шарик. Второй поезд для реше-
решения этих вопросов вообще может не существовать. Поэтому
остановка поезда, с платформы которого бросают шарик,
искажает физический смысл задачи при вычислении фх
и v'y тогда как при определении ф2 и v", наоборот, пред-
предполагается наличие относительной скорости между поез-
— 8 —
а) б)
А
Рис. 2
дами, а это обстоятельство в результате сделанного упро-
упрощения не нарушается. Таким образом, при решении пер-
первого вопроса (рис. 2, а) получаем
На рис. 2, б стрелка АВ указывает направление дви-
движения платформы. Вдоль платформы шарик имеет ско-
скорость v = vx + v2 в противоположном направлении;
поперек платформы шарик движется со скоростью vOi
следовательно,
^ = arctg -j^qf^.
Из рис. 2, а следует, что
v' = ]Ло+1>1,
а из рис. 2, б находим
v" - |Ло + (in + v2f.
2. Независимость движения. Векторы
Принцип независимости движений является фунда-
фундаментальным при решении задач.
Назависимость движений выражается в том, что если
данное тело участвует сразу в нескольких движениях,
то каждое из них совершается так, как будто других
движений не существует. Например, тело, брошенное го-
горизонтально со скоростью у0, продолжает перемещаться
с этой же скоростью вдоль горизонтали (сопротивлением
воздуха пренебрегаем) и в то же время свободно падает
- 9 -
по закону h = -^— , т. е. так, как если бы горизонталь-
горизонтальное движение отсутствовало.
Поскольку изолированных тел в природе нет и все
тела взаимодействуют между собой, сообщая друг другу
соответствующие ускорения, то, естественно, что неза-
независимость движений является следствием независимости
тех действий, которые тела оказывают друг на друга.
Независимость взаимодействий между телами выражается
в принципе независимости действия сил: данные два тела
взаимодействуют друг с другом так, как если бы третьего
тела поблизости не существовало.
В законы движения тел входят величины скорости и
ускорения. Обе эти величины векторные. Векторной на-
называется такая величина, которая имеет численное зна-
значение, направление и точку приложения. Только наличие
этих трех моментов вместе позволяет данную величину
называть векторной о.
Векторные величины складываются геометрически: по
правилу многоугольника (рис. 3, б) или по правилу па-
параллелограмма (рис. 3, в). На рис. 3 заданные векторы
скорости vl9 v2, v3 лежат в одной плоскости и имеют
единую точку приложения. Вектор v = vx + v2 + v3
является их суммой и называется результирующей ско-
скоростью.
Любые величины, которые можно складывать по пра-
правилу многоугольника или по правилу параллелограмма,
!) Векторы обозначаются полужирной буквой (вектор скорости v,
вектор силы F и др.) или светлой буквой со стрелкой наверху (у,
F, а и др.).
*- 10 —
являются независимыми и наоборот. Независимыми яв-
являются силы (принцип независимости действия сил),
скорости и ускорения (принцип независимости движений).
§ 2. РАВНОМЕРНО ПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
1. Закон равномерно переменного движения и
формула изменения скорости со временем
Равномерно переменным движением называется дви-
движение с постоянным ускорением. Ускорением называют
векторную величину, численное значение которой равно
изменению скорости за единицу времени. Согласно опре-
определению, ускорение
t '
где v0 — начальная скорость, v — конечная скорость че-
через время t.
Из выражения для а получаем зависимость скорости
от времени в равномерно переменном движении:
v = v0 + at.
Из этой зависимости (учитывая определенные началь-
начальные условия) можно вывести, пользуясь методами высшей
математики, формулу зависимости пути от времени в рав-
равномерно переменном движении, т. е. закон движения
В элементарном курсе физики аналитический вывод
закона равномерно переменного движения основан на по-
понятии средней скорости.
Следует помнить, что если движение началось из на-
начала координат (точка О) и происходит вдоль оси ОХ,
то положение тела (материальной точки) в любой момент
времени, т. е. расстояние тела от точки О, определяется
формулой
Однако, если в начальный момент времени тело нахо-
находилось на оси ОХ на некотором расстоянии х0 от точки О,
— 11 —
то положение тела в любой момент времени (расстояние
до начала координат) определяется формулой
nil
х = xQ + vot + ~y .
Это, вообще говоря, очевидное утверждение часто упу-
упускают из вида при решении задач.
Многие задачи на равномерно переменное движение
решаются путем более или менее сложного комбинирова-
комбинирования двух формул: закона равномерно переменного движе-
движения и закона изменения скорости тела с течением времени.
Задача 4.
Тело брошено вертикально вверх. Доказать, что на-
начальная скорость бросания тела равна его конечной ско-
скорости падения, а время подъема равно времени падения.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Тело отсчета — поверхность Земли, откуда
взлетает тело. За положительное направление оси у вы-
выбрано направление вверх.
Вводим обозначения: tx — время подъема, /2 — время
падения, v0 — начальная скорость бросания, vK — ко-
конечная скорость падения, h — высота подъема.
Теперь условие задачи выражаем математически шаг
за шагом.
Тело летит вверх. Это означает, что его закон дви-
движения выражается в виде
где у — вертикаль, а скорость тела изменяется со време-
временем согласно уравнению
V = Vo— gt.
Тело достигает наивысшей точки подъема. Подставляем
в оба уравнения значение / = tx. В результате получаем
систему уравнений
так как скорость тела v в наивысшей точке подъема на
достигнутой высоте h равна нулю.
- 12 —
Затем тело начинает падать вниз с высоты Л; уравне-
уравнения этого движения имеют вид
Тело достигло поверхности земли: у = О, t = /25
следовательно,
B)
Таким образом, последовательное выражение смысла
задачи на языке математики вплотную подвело нас к вы-
выбору нужного пути решения задачи. Действительно,
из системы A) можно найти v09 выразив эту скорость
через hug:
а из системы B) можно легко найти значение скорости ик,
выразив ее через те же величины:
Если равны правые части равенств, то равны и их
левые части, т. е.
Щ = vK.
Равенство времен D = /2) теперь следует автомати-
автоматически из уравнений для v0 й .ик в системах A) и B).
Указанный прием часто применяется при решений
задач, в частности, на равномерно переменное движение.
Задача 5.
Тело проходит последовательно два одинаковых от-
отрезка пути по s каждый с постоянным ускорением. Найти
ускорение тела а и скорость v0 в начале первого отрезка
пути, если первый отрезок пройден телом за время tlf
а второй — за время t2.
Решение. Первый отрезок пути, который проходит
тело, равен
s =з vJx + ~y ,
— 13 —
второй отрезок пути равен
at\
где v'q — начальная скорость тела в начале второго от-
отрезка или конечная скорость в конце первого отрезка. Сле-
Следовательно,
v'o = v0 + atx.
Полученные уравнения полностью отвечают условию
задачи, так как содержат такое же число неизвестных.
Решая эту систему, находим ускорение а и начальную
скорость v0 в начале первого отрезка:
Задача 6.
Два тела брошены вертикально вверх одно вслед за
другим с интервалом в т сек с одинаковыми начальными
скоростями v0. Первое тело брошено с поверхности земли,
второе — с некоторой высоты h0. Через сколько времени
тела окажутся на одинаковой высоте?
Решение. Начало координат связываем с поверхностью
земли.
Первое тело движется по закону
Время начинаем фиксировать с момента вылета пер-
первого тела. Второе тело до встречи будет находиться ввоз-
духе на т сек меньше, чем первое, и, кроме того, в началь-
начальный момент второе тело отстоит на h0 от поверхности
земли. Следовательно, закон движения второго тела бу-
будет иметь вид
Последнее требование задачи (тела встречаются на
одной и той же высоте) математически выражается равен-
- 14 -~
ством их высот; ух =» уъ откуда легко находится иско-
искомое время;
- g "Г" 2
Задача 7,
На веревке, перекинутой через неподвижный блок,
поднимали груз с постоянной скоростью v0. На вы-
высоте /*о, считая от поверхности земли, веревка лопнула.
Определить время падения груза на землю и его конечную
скорость.
Решение. Начало системы координат, в которой про-
проводится расчет, помещаем на поверхность земли, откуда
поднимается груз. Направление вверх считаем положи*
тельным, вниз — отрицательным.
В начальный момент (t = 0) груз находится на вы-
высоте h0 и имеет начальную скорость и0, направленную
вверх. Следовательно, закон движения груза после того,
как веревка лопнула, выразится формулой
В момент, когда груз ударяется о поверхность земли,
у = 0. Из полученного квадратного уравнения находим
время падения груза
Второй корень отбрасывается, так как время не может
быть отрицательным.
Для нахождения конечной скорости падения груза на-
напишем закон изменения его скорости с момента времени,
когда веревка лопнула, и подставим туда найденное зна-
значение t = t±:
= ]/r2ghQ +
В этой задаче допускается типичная ошибка, когда
уравнение движения записывается в виде у = vot — ^~
с последующей заменой у на Ло, что означает, что тело
упало на поверхность земли. Ошибка возникает из-за
нечеткого представления того факта, что начало коорди-
- 15 -
нат должно находиться не в точке, удаленной от поверх-
поверхности земли на высоту /г0, а на поверхности земли, откуда
поднимают груз.
На примере разобранных задач можно сделать сле-
следующий общий вывод относительно методики решения за-
задач по кинематике. Поскольку кинематика изучает дви-
движения, не рассматривая причин, которые их вызывают,
основными физическими величинами этого раздела яв-
являются путь, скорость, ускорение, время. Уравнение,
связывающее все эти величины, является наиболее общим
уравнением кинематики. Такое уравнение называют за-
законом движения.
Решение задачи начинается с обдумывания условия:
необходимо четко представить себе, как движутся тела
в выбранной системе отсчета и относительно друг друга,
каковы начальные условия их движений. На основании
этих сведений для каждого рассматриваемого тела запи-
записывается закон движения. Совокупность этих уравнений
выражает физический смысл задачи в наиболее общем
виде. Следующий этап — наложение на уравнения си-
системы конкретных математических ограничений, которые
выражают дополнительные условия задачи (фиксирование
точки встречи тел, как, например, равенство ух = у2
в задаче № 6, условие приземления тела у = 0 в задаче № 7
и т. д.). После наложения всех конкретизирующих усло-
условий в системе уравнений остается столько неизвестных,
сколько имеется уравнений, т. е. система становится опре-
определенной. В результате ее решения искомая величина
получается в буквенном выражении, т. е. в общем виде.
Однако перед тем, как подставить соответствующие чис-
числовые значения (вместе с размерностями), необходимо по
возможности убедиться в правильности полученного вы-
выражения для неизвестного (на этот важный момент в даль-
дальнейшем неоднократно будет обращаться внимание). Рас-
Рассмотрим в качестве примера общие выражения искомых
неизвестных tx и v в задаче № 7. Во-первых, убеждаемся
в правильности размерности. Если размерность неверна,
ответ неверен. Обратное утверждение несостоятельно.
Итак, размерность рассматриваемых выражений верна.
Однако в правильности ответов нельзя быть еще уверен-
уверенным. Следует из выражений для tx и v получить более
простые, частные случаи, ответы для которых не вызывают
сомнений. Пусть, например, в момент обрыва нити тело
— 16 —
спокойно висело, не перемещаясь ни вверх, ни вниз.
Для этого случая очевидны такие значения для t и v:
Эти выражения должны получиться из ответов за-
задачи № 7, если положить в них v0 = 0, что действительно
имеет место. Наша уверенность в ответе возросла.
Очень полезно на решенную задачу посмотреть воз-
возможно шире, чем задано в условии, если это возможно.
Например, пусть в задаче № 7 в момент обрыва нити груз
не поднимали, а опускали. Можно ли ответ для этого слу-
случая получить непосредственно из результатов задачи № 7?
Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно, а за-
затем для указанного случая провести рассуждения, анало-
аналогичные рассуждениям, высказанным при решении за-
задачи № 7. Совпадение ответов, полученных указанными
двумя способами, должны еще больше укрепить уверен-
уверенность в том, что ответы задачи № 7 верны.
2. Конечная и средняя скорости в равномерно
переменном движении
Если тело, находившееся в состоянии покоя, начинает
двигаться с постоянным ускорением а, то в конце пути s
оно приобретает скорость v = Y%as- Действительно,
конечная скорость тела в данном случае v = at, но t =
= 1/ — и, следовательно, v = \r2as. Эта формула
часто употребляется при решении различных задач ме-
механики. Важным здесь является следующее.
Пусть тело сначала свободно падает с высоты h
(рис. 4, а)у затем свободно соскальзывает с наклонной
плоскости высотой h (рис. 4, б), свободно соскальзывает
с вершины полусферы радиуса h (рис. 4, в), качается как
математический маятник (рис. 4, г), отпущенный из го-
горизонтального положения (длина нити А), или вообще
свободно соскальзывает с высоты h по траектории произ-
произвольной формы (рис. 4, д). Всякий раз, если движение
началось из состояния покоя, а трением можно прене-
пренебречь, конечная скорость тела есть v — yr2gh, где h —
высота первоначального положения тела над землей или
- 17 —
а)
D
У//////////////////////////.
Рис. 4
расстояние между соответствующими горизонтальными
уровнями.
Независимость скорости тела от формы пути в поле
силы тяжести следует из энергетических рассуждений (как
наиболее общих): потенциальная энергия тела (поскольку
трением пренебрегаем) полностью переходит в кинети-
кинетическую энергию по достижении телом поверхности земли,
т. е.
откуда v = УФ
Наряду с этой формулой часто пользуются понятием
средней скорости. Как известно, средней скоростью пере-
переменного движения называется скорость такого равномер-
равномерного движения, у которого путь и время одинаковы с пе-
переменным.
В случае равномерно переменного движения и только
в этом случае средняя скорость равна полусумме началь-
начальной и конечной скоростей.
Задача 8.
Самолет летит горизонтально с постоянной ско-
скоростью v. Летчик в момент выпуска бомбы видит цель
под углом в 45° к вертикали. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить величину полной скорости бомбы
при ее попадании в цель.
Решение. Вектор искомой скорости (v6) лежит на ка-
касательной к параболе в последней ее точке (цель). Раз-
Разложим скорость v6 на две составляющие — горизонталь-
горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая равна
скорости самолета v, так как на бомбу вдоль горизонтали
не действуют никакие внешние силы (сила тяжести mg
— 18 -
перпендикулярна к линии горизонта, сопротивление воз-
воздуха не учитывается). Вертикальную составляющую ско-
скорости v6 обозначим через ив, высоту, на которой нахо-
находится самолет в момент выпуска бомбы, — через Л, а рас-
расстояние от основания h до цели — через s. Тогда условие,
что летчик видит цель в момент выпуска бомбы под уг-
углом в 45°, выразится равенством h = s. Пользуясь по-
понятием средней скорости, полагаем h = -у- t. По-
Поскольку s = vt, получаем vB = 2v.
Таким образом, величина полной скорости бомбы
в момент ее попадания в цель равна
v6 =
т. е. __
v6 = v 1/5.
Попутно остановимся на недоразумении, которое часто
возникает при определении угла между вектором конеч-
конечной скорости бомбы v6 и вертикалью. В этом случае часто
следует ответ, что угол равен 45°. Представления, что лет-
летчик видит цель в момент выпуска бомбы под углом в 45°
к вертикали и что бомба в конечном счете попадает в цель,
механически рождают приведенный ответ. Эта грубая
ошибка легко может быть предупреждена, если предста-
представить себе полет бомбы к цели. Как и всякое тело, полу-
получившее начальную скорость не перпендикулярно к поверх-
поверхности земли, бомба летит не по прямой линии, а по пара-
параболе. Полная скорость бомбы в конечной точке направ-
направлена по касательной к этой параболе. Следовательно,
искомый угол
а = arctg -^ .
Убедитесь в этом самостоятельно.
3. Движение тела, брошенного под углом
к горизонту
Если сопротивление воздуха отсутствует, то всякое
тело, брошенное под углом к горизонту, летит по параболе
(рис. 5). Поскольку в этом случае к телу приложена только
сила тяжести Р = mg, перпендикулярная к линии гори-
— 19 —
Рис. 5
зонта (ось ОХ), то вдоль
оси ОХ на тело не дей-
действуют никакие внеш-
внешние силы, л закон дви-
движения тела вдоль гори-
горизонтали выразится фор-
формулой
X — VOxtt
где vOx — постоянная скорость тела вдоль ОХ.
Из рис. 5 находим значения vOx и х:
где v0 — начальная скорость тела, а — угол бросания
(его называют также углом возвышения),
х = v0 cos a • t.
Вдоль вертикальной оси OY на тело действует сила
тяжести Р. Следовательно, тело, летящее по параболе,
движется одновременно и вдоль вертикали точно так же,
как тело, брошенное вертикально вверх с начальной ско-
скоростью Voy = v0 sin а (см. рис. 5), т. е. движется по за-
закону
Таким образом, законом движения тела, брошенного
под углом к горизонту, является система уравнений
y = vosina.t— *?.,
х = vQ cos a • t
(закон движения в параметрической форме).
Рассуждение, аналогичное предыдущему, позволяет
написать, как меняется скорость vy тела, летящего по
параболе, вдоль вертикали OY:
vy = v0 sin a — gt.
Если при решении системы A) исключить время, то
получится зависимость у = у (х) — уравнение параболы,
по которой движется данное тело.
- 20 -
Задача 9.
Тяжелый маленький шарик бросают с начальной ско-
скоростью v0 под углом а к горизонту (угол возвышения).
Точка бросания и точка приземления лежат на одной го-
горизонтали. 1. Определить: время полета шарика; макси-
максимальную высоту, на которую поднимается шарик; угол
возвышения а, при котором дальность полета вдоль
горизонтали максимальна.
2. Доказать, что если шарик бросают под углом воз-
возвышения а < 45° и он падает в некоторую точку А го-
горизонтали, то существует другой угол возвышения р ф
Ф а, при котором шарик упадет в ту же точку А гори-
горизонтали.
3. Найти значения конечной скорости v приземления
шарика и угла у между направлением v и горизонталью.
Решение. 1. Время полета шарика можно определить
различными способами, например из уравнения
y = vosma-t — Щ- A)
или из зависимости
vy = v0 sin a — gt. B)
Полагаем у = 0; тогда из уравнения A) находим, что
tx = 0 и t2 = v°sin a . Высота у равна нулю только
в двух точках, в точке О начала координат и в точке А
приземления шарика (см. рис. 5). Значение корня tt
соответствует начальному моменту времени, когда шарик
находится еще в руке человека, кидающего его, т. е. в на-
начале координат, а значение корня t2 соответствует мо-
моменту времени, когда шарик попадает в точку приземле-
приземления А.
Время ^2, следовательно, является искомым време-
временем полета шарика из точки О в точку А горизонтали.
Полагаем vy = 0. Вертикальная составляющая ско-
скорости тела, летящего по параболе, равна нулю лишь в наи-
наивысшей точке подъема. Следовательно, из уравнения B)
найдем половину времени полета шарика:
1 j. v0 sin a
— 21 —
Умножив этот результат на 2, получим искомое время
полета.
Полное время полета можно определить, пользуясь выводами
задачи № 4. Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно.
Максимальная высота подъема шарика легко нахо-
находится из уравнения A), если в него подставить время по-
полета шарика до его наивысшей точки:
_ tfcin2g
"max — 2g
Вдоль горизонтали шарик пролетит расстояние
х = v0 cos a» t2y
где t2 — найденное время полета, т. е.
v\ sin 2a
Значение х будет максимальным при sin 2а = 1,
т. е. при а' = 45°.
2. Будучи брошенным под углом а < 45°, шарик,
падая в некоторую* точку А горизонтали, пролетает
вдоль нее путь
vl sin 2a
*-—г-
Преобразуем полученное выражение, используя известные
тригонометрические формулы:
v\ sin 2a v\ sin A80° — 2а) v\ sin [2 • (90° — а)]
X ==
и ё
Следовательно, если бросить шарик под углом возвыше-
возвышения Р = 90° — а, он упадет в ту же точку А горизонтали,
как и в случае бросания его под любым углом а < 45°.
3. Полная скорость v приземления шарика может
быть разложена на горизонтальную составляющую (vx =
= v0 cos а) и вертикальную составляющую, равную
v0 sin а (см. задачу № 4). Пользуясь теоремой Пифа-
Пифагора, нетрудно показать, что v = v0-
Обозначив искомый угол через у> получим соотноше-
соотношение tg у = tg а. Поскольку углы у и а острые (это выте-
вытекает из физического смысла), из равенства их тангенсов
следует, что у = а.
— 22 —
§ 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Поступательное движение
Первое определение. Поступательным на-
называется такое движение твердого тела, когда все точки
тела описывают одинаковые траектории.
Следовательно, при поступательном движении все
точки тела имеют в любой момент времени одинаковые
скорости, т. е. движение тела в целом может быть описано
движением любой его точки. Обычно за такую точку вы-
выбирают точку центра масс, заменяя тело образом мате-
материальной точки.
Второе определение. Поступательным на-
называется такое движение твердого тела, когда каждая из
двух любых непараллельных прямых, жестко связанных
с телом, перемещается параллельно самой себе.
Как первое, так и второе определение содержит необ-
необходимые и достаточные признаки поступательности дви-
движения.
Из второго определения следует, что при поступатель-
поступательном движении твердого тела любая прямая, жестко
с ним связанная, перемещается параллельно самой себе.
Однако для решения вопроса, является ли заданное дви-
движение поступательным, необходимо доказать либо что
все точки тела описывают одинаковые траектории, либо
что какие-нибудь две прямые, не параллельные друг
другу и неизменно связанные с телом, перемещаются па-
параллельно самим себе.
Частые ошибки при определении поступательности
заданного движения возникают из-за того, что выбирают
наугад одну прямую, связанную с телом, и, если она пе-
перемещается параллельно самой себе, то утверждают, что
движение тела поступательно. Между тем условие, что
некоторая прямая, жестко связанная с телом, переме-
перемещается параллельно самой себе, является необходимым,
но недостаточным условием поступательности движения.
Приведем пример.
Насадим на тонкую спицу яблоко и, держа спицу за
кончик, будем перемещать ее вдоль некоторой прямой,
вращая в то же время кончик между пальцами. Спица
перемещается параллельно самой себе, однако яблоко
— 23 —
движется в целом не поступательно, так как имеет место
вращение. Если же воткнуть в яблоко вторую спицу не
параллельно первой, то эта вторая спица не будет пере-
перемещаться параллельно самой себе. Второе определение,
таким образом, удовлетворено не будет.
Для решения вопроса о поступательном характере
рассматриваемого движения полезно помнить оба приве-
приведенных определения, так как в одних случаях удобнее
пользоваться первым, а в других — вторым.
Задача 10.
Является ли поступательным движение велосипедной
педали? Плоскость педали считать ориентированной па-
параллельно горизонтальному участку пути.
Решение. Если основывать решение на первом опреде-
определении, то необходимо показать, что все точки педали опи-
описывают одинаковые траектории. Сделать это довольно
сложно. Попробуем поэтому исходить из второго опре-
определения.
Выберем одну прямую так, чтобы она лежала в плоско-
плоскости педали, а другую, например, перпендикулярно к этой
плоскости. Легко в этом случае видеть, что обе выбран-
выбранные прямые будут в процессе движения перемещаться
параллельно самим себе.
Следовательно, движение педали поступательно.
2. Движение материальной точки
по окружнооти
Вращательное движение, как известно, тесно связано
с колебательным. При вращении все точки тела движутся
по окружностям, совершая в соответствующих проек-
проекциях колебательные движения. Поэтому некоторые ос-
основные понятия связаны как с движением материальной
точки по окружности, так и с ее колебательным движе-
движением. К таким понятиям относятся:
1) период вращения (колебания) Т — время одного
полного оборота (колебания);
2) частота вращения (колебания) v — число оборотов
(колебаний), совершаемых в единицу времени.
— 24 —
Из этих двух Определений следует зависимость между
периодом и частотой:
3) циклическая (круговая) частота со — число обо-
оборотов (колебаний), совершаемых за период или за 2я сек,
т. е. со = 2nv. В случае вращательного движения со яв-
является угловой скоростью.
При решении задач на вращательное движение часто
применяется формула Эйлера, связывающая линейную
скорость, угловую скорость и радиус вращения:
В случае неравномерного движения по окружности фор-
формула Эйлера справедлива для мгновенных значений ве-
величин V И СО.
При движении материальной точки по окружности
линейная скорость непрерывно изменяется по направле-
направлению. Это изменение характеризуется величиной, называе-
называемой центростремительным ускорением, направленным по
радиусу к центру вращения. Численное значение центро-
центростремительного ускорения равно
^ == R '
где v — линейная скорость материальной точки, R —
радиус вращения.
Если линейная скорость точки, движущейся по окруж-
окружности, изменяется по величине, то это изменение, рассмо-
рассмотренное в единицу времени, характеризуется тангенциаль-
тангенциальным ускорением. Тангенциальное ускорение^, как и линей-
линейная скорость, направлено по касательной к окружности
и в случае равномерно переменного движения равно
— v~vo
Т f У
где vQ — начальная, v — конечная величина линейной
скорости за время t
Полное ускорение ап материальной точки, движу-
движущейся по окружности, складывается из центростремитель-
центростремительного ац и тангенциального а^ ускорений (рис. 6).
Если вращательное движение является равномерно
переменным, то при решении задач наряду с формулами,
— 25 —
Рис. 6
характерными только для враща-
вращательного движения, применяются за-
зависимости:
v = v0 + at, v = Y2asy
как и в случае равномерно переменного прямолинейного
движения, так как указанные формулы были выведены
только при условии, что величина ускорения а Ф 0 и
а = const. Но этому требованию удовлетворяет равно-
равномерно переменное движение по траектории любой формы.
Задача И.
Маховик, совершавший v оборотов в единицу времени,
стал вращаться равномерно замедленно с момента, когда
был выключен мотор, и остановился через время t. Сколько
оборотов сделал маховик за это время?
Решение. 1. Как и в предыдущих задачах, начинаем
с нахождения закона движения. Рассмотрим движение
любой точки на ободе маховика. Путь, пройденный этой
точкой с момента начала торможения до полной остановки,
равен
s = 2nRn,
где R — расстояние от оси вращения до выбранной точки,
п — искомое число оборотов.
Закон движения выбранной точки выразится форму-
формулой
at2
но v0 = (d0R> где оH — угловая скорость маховика до
начала торможения. Поскольку соо = 2яг, v0 = 2nvR,
п _ vQ _ 2nvR
a- f —>
получим
откуда
— 26 —
2. Более короткое решение можно предложить, осно-
основываясь на понятии средней скорости (обозначения оста-
оставим прежние). В этом случае
откуда п = -^- tf что справедливо и для случая ускорен-
ускоренного вращения маховика из состояния покоя до движе-
движения с частотой v. (Предлагается выполнить это само-
самостоятельно.) Более того, если начальная частота махо-
маховика равна vb а конечная через время t равна v2, то и для
равномерно ускоренного, и для равномерно замедленного
движений получим
3. Мгновенная ось вращения
Для решения многих задач механики важно правильно
представлять себе, что такое «мгновенная ось вращения».
Для уяснения этого понятия разберем такую задачу.
Задача 12.
По горизонтальной прямой со скоростью v катится
без проскальзывания материальная окружность. Опре-
Определить мгновенные скорости верхней и нижней точек
окружности.
Решение. Относительно заданной горизонтальной пря-
прямой скорость любой точки А окружности складывается
из скоростей поступательного и вращательного движе-
движений. Скорость поступательного движения равна v и на-
направлена параллельно горизонтали. Линейная скорость
вращения также равна v, но направлена по касательной
к окружности в данной ее точке 1>. Полная скорость vA
любой точки А равна геометрической сумме обеих ука-
указанных скоростей (рис. 7).
^ Это утверждение на первый взгляд является очевидным (окруж-
(окружность ведь не проскальзывает и только за счет ее качения возникает
поступательное движение тех же материальных точек). Однако оно
должно быть строго обосновано, т. е. доказано. Проведите такое дока-
доказательство самостоятельно.
— 27 —
Рассмотрим полную скорость
нижней точки О окружности.
Поступательная скорость точ-
точки О, равная v, направлена по
горизонтали в сторону качения,
а линейная скорость вращения
также равна vf но направлена
в противоположную сторону
(см. рис. 7). В результате
скорость нижней точки О окруж-
окружности относительно горизонтали
Рис 7 равна нулю. Прямая, проходя-
проходящая через эту точку перпенди-
перпендикулярно к плоскости окружности, называется мгно-
мгновенной осью вращения. В рассматриваемый момент
времени окружность в целом поворачивается вокруг
своей мгновенной оси. В последующий момент вре-
времени произойдет поворот вокруг другой мгновенной оси
и т. д. Таким образом, качение окружности без проскаль-
проскальзывания можно представить себе как непрерывный ряд
ее поворотов вокруг мгновенных осей вращения, сме-
смещающихся в сторону качения со скоростью поступатель-
поступательного движения.
Все остальные точки окружности, расположенные сим-
симметрично, считая от нижней, имеют, следовательно, все
нарастающие по величине скорости, а скорость верхней
точки М максимальна. Поступательная и вращательная
скорости точки М направлены вдоль горизонтали оди-
одинаково. Поэтому значение полной скорости этой точки
равно 2 v (см. рис. 7).
На рис. 7 изображена полная мгновенная скорость vA
некоторой точки А катящейся окружности. Здесь О —
точка, лежащая на мгновенной оси вращения, ОА — мгно-
мгновенный радиус вращения. В данный момент времени
окружность в целом поворачивается вокруг мгновенной
оси, проходящей через точку О и, следовательно, точка А
в данный момент движется по окружности L с радиусом О А.
Как известно, скорость точки, движущейся по окружно-
окружности, направлена по касательной к этой окружности.
Значит, вектор полной скорости v^ лежит на касательной
к окружности L и перпендикулярен к мгновенному
радиусу вращения О А,
- 28 —
Таким образом, векторы скоростей всех точек окруж-
окружности перпендикулярны к своим мгновенным радиусам
вращения. С другой стороны, векторы всех полных ско-
скоростей точек окружности должны быть направлены по
касательным к кривым, по которым эти точки движутся,
т. е. к своим траекториям. Этими траекториями являются
циклоиды.
Глава II
ДИНАМИКА
§ 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
1. Первый закон (закон инерции Галилея)
Галилей впервые ввел понятие «идеального движения»,
т. е. движения, происходящего без каких-либо помех.
В этом случае тело должно двигаться вечно с неизменной
по величине скоростью. Декарт, развивая эту точку зрения
чисто философски, добавил «и прямолинейно». Ньютон
в своей знаменитой книге «Математические начала на-
натуральной философии» формулирует этот закон следую-
следующим образом:
«Всякое тело продолжает сохранять свое состояние
покоя или равномерного и прямолинейного движения,
пока и поскольку оно не вынуждается действиями других
тел изменить это состояние».
Несмотря на то, что в реальных условиях невозможно
наблюдать «идеальное движение», т. е. невозможно пол-
полностью изолировать данное тело от воздействия других,
первый закон механики нельзя рассматривать как истину,
установленную чисто абстрактным путем. Он по существу
является обобщением экспериментальных данных. Гали-
Галилей установил этот закон, обобщая результаты экспе-
экспериментов с движениями шаров по наклонным плоско-
плоскостям. Общеизвестен, например, следующий опыт.
Если телу, лежащему на горизонтальной плоскости,
всякий раз сообщать одну и ту же начальную скорость,
предварительно повышая перед каждым опытом тщатель-
тщательность шлифовки плоскости, то тело будет отдаляться от
своего начального положения все дальше и дальше. При
этом потеря скорости перемещения происходит на все
более длительном отрезке времени. Естественно предполо-
предположить, что если горизонтальная плоскость станет идеально
гладкой (предельный случай), возникнет «идеальное дви-
движение», т. е. тело будет скользить по ней неограниченно
долго и прямолинейно. Таким образом, содержание по-
понятия «идеально гладкая» (или просто «гладкая») плоскость
— 30 —
сводится к тому, что плоскость перестает оказывать на
тело воздействие, препятствующее его движению.
Приведенные рассуждения помогают уяснить, что уже
первый закон механики тесно связан с понятием «сила», так
как силами в механике Ньютона называют такие взаимо-
взаимодействия между телами, которые сообщают или могут
сообщить этим телам ускорения.
В первом законе механики выражено основное и при
том простейшее свойство вещества — свойство инерции.
Под инерцией понимают свойство всех тел изменять свою
скорость под действием других тел не мгновенно и пассивно,
но постепенно, оказывая при этом ответное воздействие
на тела, вызывающие ускорение. Здесь же заложена мысль
об одновременном существовании действия и противо-
противодействия, о том, что действие всегда вызывает противо-
противодействие и что эти силы приложены к разным телам. Зна-
Значит, силы всегда возникают только попарно. Представле-
Представление об инерции тел, составляющее содержание первого
закона механики, не только может быть проверено на
опыте, но и вытекает из него.
Формально первый закон механики может рассматри-
рассматриваться как частный случай второго (если сумма всех сил,
действующих на тело, равна нулю, ускорение тела также
равно нулю).
2. Второй закон Ньютона. Вес и масса тела
Второй закон механики выражается двумя различ-
различными математическими формулами, которые, однако,
легко могут быть получены одна из другой. Соответственно
даются две формулировки, имеющие чисто формальные
различия.
Необходимость двух различных формулировок воз-
возникла из практических соображений: одни задачи теории
и практики проще решаются в результате применения вто-
второго закона в одной математической форме, другие —
в другой.
Первая формулировка. Ускорение, при-
приобретенное телом, пропорционально приложенной дей-
действующей силе и обратно пропорционально массе тела:
- 31 -
В механике рассматриваются три типа сил: силы упру-
упругих деформаций, силы трения и гравитационные силы.
В свою очередь, различаются масса инертная и масса
гравитационная (тяжелая). Масса, входящая во второй
закон механики, равна
и называется мерой инерции тела. Различные тела (по
форме, размерам и молекулярной структуре) имеют оди-
одинаковую степень инерции, т. е. имеют одинаковые массы,
если они приобретают одинаковые ускорения под действием
одинаковых сил. Таким образом, инертная массд количе-
количественно характеризует основное динамическое свойство
данного тела — свойство его инерции. Свойством инер-
инерции обладает само вещество. Из опыта следует, что вели-
величина инертной массы (—j пропорциональна количе-
количеству вещества в теле.
Гравитационная масса измеряется на рычажных; ве-
весах. Разные тела (по форме, размерам и молекулярной
структуре) имеют одинаковые гравитационные массы, если
на каждое из них действует одинаковая гравитационная
сила (равноплечные весы сбалансированы). Таким образом,
масса, выражаемая формулой Р = mg> является мерой
гравитационных свойств вещества. Из опыта следует,
что величина гравитационной массы также, как и инерт-
инертной, пропорциональна количеству вещества в теле. По-
Поэтому инертная и тяжелая массы измеряются в одних и
тех же единицах количества вещества — в килограммах
в системе СИ.
Равенство инертной и тяжелой масс неоднократно под-
подтверждалось опытным путем.
Вторая формулировка. Изменение коли-
количества движения пропорционально приложенной действую-
действующей силе и происходит по направлению действия этой
силы, т. е.
F • х = mv2 — тх)х>
где mv2 — тих — изменение количества движения тела
за время т, направленное в сторону действия силы F.
— 32 —
3. Третий закон Ньютона
Действию всегда есть равное и противоположно на-
направленное противодействие, или взаимодействия двух
тел друг с другом всегда равны по величине и противопо-
противоположны по направлению.
Задача 13,
Два мальчика, ухватившись за концы толстого рези-
резинового шнура, растягивают его, прилагая одинаковые
силы /. Мальчики относительно земли не двигаются. Опре-
Определить натяжение шнура.
Решение. Иногда отвечают: «Натяжение шнура равно
2/». Это грубая ошибка, возникающая в результате не-
непонимания третьего закона.
Натяжение шнура, согласно третьему закону механики,
равно /. Докажем это (доказательство от противного).
Предположим, что натяжение шнура равно /х Ф /, Тогда
шнур, стремясь сократиться, тянет как одного, так и дру-
другого мальчика к. середине с силой /1# Однако по третьему
закону механики каждый мальчик должен противодей-
противодействовать также с силой /х, что противоречит условию
задачи. Следовательно, натяжение шнура /х = /.
В качестве наглядной иллюстрации (но не доказатель-
доказательства!) приведем следующие рассуждения.
Привяжем один конец шнура к стене, а за другой по-
попросим одного из мальчиков потянуть с прежней силой f.
Натяжение шнура станет равным /. Шнур, стремясь со-
сократиться, с силой / тянет стенку, но стенка по третьему
закону «тянет» с силой / шнур в противоположную сто-
сторону (стенка деформировалась и в ней возникла сила упру-
упругой деформации, равная /).
Во втором случае роль одного из мальчиков выпол-
выполнила стенка, в первом случае один из мальчиков факти-
фактически выполняет роль стенки. Следовательно, шнур рас-
растягивается усилием, равным усилию одного мальчика и
потому натяжение шнура равно /.
Пользуясь третьим законом механики, следует твердо
помнить, что «действие» и «противодействие» — две силы,
возникающие и исчезающие одновременно, равные по
величине, направленные в противоположные стороны,
но приложенные к разным телам. Складывать эти силы,
следовательно, нельзя.
2 Зак 1180 _ 33 —
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ
ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
1. Составление уравнений движения
Под «уравнением движения» будем понимать второй
закон механики, написанный в виде
fi + U + • • • + ta = m(*i + а2 + Ъ а„),
где слева стоит геометрическая сумма всех сил, действую-
действующих на тело, а справа —„геометрическая сумма ускоре-
ускорений, приобретенных телом под действием движущих сил.
В большинстве задач элементарного курса рассмат-
рассматривается совокупность сил, действующих на тело вдоль
одной и той же прямой. Закон движения для такого част-
частного случая записывается в виде
h + к + • • • + L = та,
где слева записана алгебраическая сумма сил, а справа —
произведение массы тела на приобретенное им ускорение.
Задача 14.
На гладком столе лежат два тела, связанные нитью.
Массы тел т и М (М > т). К телу меньшей массы при-
приложена сила F> к телу большей массы — сила / (F > /).
Силы F и / направлены в противоположные стороны. Оп-
Определить натяжение Т соединяющей нити.
Примечание. Приведем два способа решения задачи, из ко-
которых второй основан только на составлении уравнений движения.
Решение. 1-й способ. Прежде всего необходимо четко
представить себе все силы, действующие на заданную
систему.
На тело большей массы действует сила /, на тело мень-
меньшей массы — сила F, которую можно представить суммой
двух сил: / и F — /. Целесообразность разложения силы F
на две составляющие подсказывается тем, что система
тел приходит в движение под действием силы F — /.
Теперь, принимая во внимание принцип независимости
действия сил, нетрудно сделать вывод: искомое натяжение
нити складывается из действия двух сил /, направленных
в противоположные стороны, и из натяжения, возникаю-
возникающего за счет действия движущей силы F — /.
— 34 -
Находим натяжение связующей нити, возникающее
вследствие действия двух сил /, направленных в проти-
противоположные стороны. По третьему закону механики это
натяжение равно / (см. задачу № 13).
Находим натяжение связующей нити, возникающее
в результате действия движущей силы F — /.
Сначала представим себе, что происходит в результате
действия силы F — /. Сила F — / сообщает обоим телам
F — f
одно и то же ускорение, равное т4_м > однако телу
массы М сила F — f сообщает ускорение не непосред-
непосредственно, а через связующую нить. Следовательно, тело
р ?
массы М приобретает ускорение, равное тл.м >
под действием силы натяжения нити, равной М ~*
т + М '
Это и есть то натяжение, которое создается вследствие
действия движущей силы F — f.
Искомое полное натяжение связующей нити равно
сумме двух найденных натяжений, т. е.
Т _ mf + MF
~ m + M *
2-й способ. Делаем чертеж, на котором тщательно
изображаем все силы, действующие на каждое тело в от-
отдельности (рис. 8).
Система движется влево. Примем это направление за
положительное и все векторные величины, направленные
влево, будем писать со знаком плюс, а направленные
вправо — со знаком минус.
Примечание. Уравнения движений не изменятся, если поло-
положительным считать направление, противоположное направлению дви-
движения. Убедитесь в этом самостоятельно.
На тело массы m действуют в противоположные сто-
стороны силы F и Т (натяжение связующей нити). Уравне-
Уравнение движения тела массы m запишется в виде
F — Т = та,
где а — ускорение системы.
Рис. 8
— 35 -.
На тело массы М действуют силы Ги/, также, направ-
направленные в противоположные стороны. Уравнение движе-
движения тела массы М имеет вид
Т — f = Ma.
Для нахождения искомой величины Т остается решить
систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая ее,
получаем
MF
1 —
М
Решение закончено. Один и тот же результат, получен-
полученный двумя различными путями, подтверждает правиль-
правильность проведенных рассуждений. Однако далеко не всегда
возможно легко найти два независимых пути решения.
Кроме того, имеется вероятность систематической ошибки.
Поэтому прибегают к различным косвенным приемам
проверки.
Прежде всего необходимо проверить правильность раз-
размерности. В данном случае полученная формула для Т
дает размерность силы.
Затем следует попытаться вывести из найденной фор-
формулы некоторые частные случаи, достоверность которых
очевидна. Например, из рис. 8 легко видеть, что если / =
= 0 и М = 0, то натяжение нити станет равным нулю.
Обращаясь к найденной формуле для Т и подставляя туда
значения / = 0 и М = 0, получаем Т = 0. В другом пре-
предельном случае (опять из рис. 8), когда m = 0 и / = 0,
натяжение нити равно F. Подставляя значения пг = 0
и / = 0 в формуле для Т, получаем тот же результат Т =
= F.
Найденная формула проверена. Действительно, разо-
разобранные частные случаи удовлетворяются полученной
в ответе формулой.
Задача 15.
Два мальчика, ухватившись за концы веревки, начали
растягивать ее один с силой F, другой с силой / (F > /).
Максимальная сила трения покоя (между подошвами и зем-
землей) больше F. Определить возникшее натяжение веревки.
Решение. Мальчик, который тянет с силой F (обозна-
(обозначим его буквой Л), перетянет второго и второй мальчик
(обозначим буквой В), развивший усилие Д вынужден
- 36 -
будет сделать шаг вперед. Веревка провиснет. Таким об-
образом, следует определить натяжение веревки в первый
момент, когда мальчики только начали ее растягивать.
Пусть масса мальчика В равна М.
Мальчик В тянет веревку с силой /, а мальчик А с си-
силой F = f + F — f, где/7 — / — движущая сила, сооб-
сообщающая ускорение мальчику В. Искомое натяжение ве-
веревки складывается из натяжения, возникающего вслед-
вследствие действия двух сил /, направленных в противополож-
противоположные стороны, и из натяжения, возникающего вследствие
действия движущей силы F — / (используется принцип
независимости действия сил). Первое равно / по третьему
Р f p t
закону механики, второе равно М м , где —~
ускорение, приобретаемое мальчиком В под действием
силы F — / (см. задачу № 14). Полное натяжение ве-
веревки будет
Г=^+М т е Г==/?
Полученный результат проверить трудно. Предельных
случаев, глядя на такой ответ, не придумаешь. Второе ре-
решение, независимое от первого, найти трудно. В этих ус-
условиях особое значение приобретает тщательность реше-
решения, умение глубоко вникнуть в задачу.
Глубокое понимание задачи приводит к тому, что, от-
отвлекаясь от конкретных особенностей условия, можно схе-
схематизировать задачу, сравнить ее с известными нам за-
задачами и на этом основании либо определить, каким дол-
должен быть метод решения (если задача еще не решена),
либо найти способ проверки, если решение уже получено.
В самом деле, нужно очень внимательно и вдумчиво по-
подойти, например, к решению задач № 14 и № 15, чтобы за
их внешним сходством рассмотреть далеко идущую ана-
аналогию. А между тем, если в задаче № 14 (см. рис. 8) поло-
положить т = О (сила F стала теперь действовать непосред-
непосредственно на нить), то в сущности возникнет условие задачи
№ 15. Подставив значение т = 0 в формулу Т = m , ., ,
обнаруживаем, что натяжение нити стало равным Л
т. е. задача № 15 является частным случаем задачи № 14.
Таким образом, задача № 14 оказалась весьма общей,
характерной для целого круга задач, связанных с опре-
— 37 -
делением натяжения нити, растягиваемой в противопо-
противоположные стороны.
Из сказанного можно извлечь следующий совет. Ре-
Решая задачи, надо пытаться затем схематизировать их,
отбрасывая конкретные особенности условий, сравни-
сравнивать решенные задачи друг с другом и запоминать то об-
общее, что приводит к выбору правильного пути решения,
характерного для данного круга задач.
Задача 16.
На полу лифта лежит тело массы т. С какой силой
тело давит на пол лифта, если лифт движется с ускоре-
ускорением а: 1) вверх равноускоренно и равнозамедленно;
2) вниз равноускоренно и равнозамедленно.
Решение. Рассматриваем лифт и тело в нем в системе
координат, связанной с поверхностью земли. Направле-
Направление вниз считаем положительным.
В любом из перечисленных случаев на тело действуют
сила тяжести Р = mg и сила реакции опоры R (сила дав-
давления со стороны пола). Величина искомой силы давления
тела на пол лифта равна R.
1. Лифт движется вверх.
Ускоренное движение тела вверх выразится уравне-
уравнением
mg — R = —та,
откуда
R = mg + та.
Полученный результат можно было предвидеть: именно
пол лифта, давя на тело, сообщает телу ускорение а вверх,
но, по третьему закону механики, тело, в свою очередь,
давит с такой же силой на пол, и, следовательно, полное
давление на пол оказывается равным mg + та.
Замедленное движение тела вверх выражается урав-
уравнением
mg — R = та,
откуда
R = mg — та.
Объясним качественно полученный результат. Лифт
затормаживают, но тело, лежащее в нем, «стремится»
- 38 -
сохранить приобретенную скорость, в то время как пол,
замедляя движение, «оттягивается» от тела, и тело давит
на пол с меньшей силой. Выражаясь более строго, надо
сказать, что давление на пол уменьшается вследствие
проявления свойства инерции: тело не мгновенно приоб-
приобретает сообщаемое ему ускорение, а постепенно, «стре-
«стремясь» сохранять свою скорость неизменной в каждый мо-
момент времени.
2. Лифт движется вниз.
Система координат по-прежнему связана с поверхно-
поверхностью земли: направление вниз считается положительным.
Для равномерно ускоренного движения вниз уравне-
уравнение движения тела запишется в виде
mg — R = та,
откуда
R = mg — та.
Полученный результат, как и предыдущие, качественно
объясняется проявлением свойства инерции.
Особое внимание заслуживают два частных случая: дви-
движение вниз с ускорением g (лифт свободно падает) и дви-
движение вниз с ускорением, большим g, например равным 2g.
При а = g сила реакции опоры R = О, т. е. тела пе-
перестают давить на подставку или растягивать нить под-
подвеса, и в лифте возникает состояние невесомости, как в ис-
искусственном спутнике Земли во время era орбитального
движения за пределами земной атмосферы (см. далее п. 4).
В этой связи состояние невесомости можно определить
как такое состояние тела, когда оно недеформировано.
При а = 2g пол и потолок в лифте меняются местами,
так как все тела прижимаются теперь с силой mg к по-
потолку. Люди в таком лифте ходили и действовали бы по
отношению к людям на лестничной клетке вниз головой,
чувствуя себя при этом как в обычной нормальной обста-
обстановке.
Случай равномерно замедленного движения вниз опи-
описывается уравнением
Щ — R = —та,
откуда
R = mg + та,
т. е. аналогично случаю ускоренного движения лифта
вверх.
- 39 -
Задача 17.
Через неподвижный блок А перекинута нить, к левому
концу которой привязан груз массы М, а к правому
концу — блок В, через который, в свою очередь, пере-
перекинута нить с грузами т1 и т2 на концах. При этом М ф
Ф Щ + я*2 и т1 4= т2.
Пренебрегая весом блока В и силами трения, опре-
определить: 1) натяжение Т нити, перекинутой через непо-
неподвижный блок А\ 2) натяжение t нити, перекинутой через
подвижный блок В.
Решение. Перед тем как искать пути решения, выберем
систему координат и уточним для себя условие. Систему
координат связываем с поверхностью земли (ускорения
грузов, следовательно, рассматриваем относительно верти-
вертикали). Направление вниз будем считать положительным.
Примем для определенности, что М < mx + m2,
а т1 < т2. (Можно было положить обратное: М > Щ +
+ т2 и тх > т2 или т1 < т2, так как любая из этих
комбинаций не противоречит исходному условию, нало-
наложенному на грузы.) Если М < т1 + т2 и т1 < т2,
то груз М движется с некоторым ускорением а вверх,
а блок В и грузы т1 и т2 с тем же ускорением а вниз.
В случае, если а = 0, груз mj двигался бы с некоторым
ускорением ах вверх, а груз т2 с тем же ускорением аг
вниз.
1-й способ. Предложенная задача не содержит ни-
ничего нового по сравнению с предыдущей. (Если бы в пре-
предыдущей задаче тело не лежало на полу, а было подве-
подвешено к потолку за нить, натяжение которой следовало
определить, то родственность обеих задач была бы более
очевидной.)
Искомое натяжение Т нити, перекинутой через блок Л,
равно силе, с которой ее растягивает тело массы М или
блок В. Этот вывод легко сделать на основе третьего за-
закона механики.
Примечание. Вспомним задачу № 13, в-которой два мальчика
растягивали шнур с одинаковыми силами /. Натяжение шнура, по
третьему закону, равно / (и обратно, если натяжение шнура равно /,
то, следовательно, его растягивают с одинаковыми усилиями / в разные
стороны). В этой задаче нить не вытянута в прямую линию, а переки-
перекинута через блок и растягивается она не мальчиками, а грузом массы М
и блоком В, находящимися в равномерно переменном движении. По-
Поскольку натяжение нити в обоих участках одно и то же, груз массы М
и блок В растягивают ее с одинаковыми силами, равными ее натяжению.
— 40 —
В задаче № 16, когда лифт движется ускоренно вверх,
тело давит на пол с силой R = mg + та. В разбираемой
задаче груз массы М вследствие тех же причин должен
растягивать нить с силой Т = Mg + Ma. Блок В тянет
за нить, перекинутую через блок А, с силой Т = 27\,
где 7\ — натяжение нити, перекинутой через блок В.
Объяснить это нетрудно. Тело массы пг1 растягивает нить
с силой 7\, но и тело с массой т2 растягивает эту же нить
за другой конец с силой 7\. Оба эти усилия направлены
в одну сторону, следовательно, нагрузка на ось блока В
равна 27\.
Определяем 7\, вновь опираясь на соображения и
результаты, изложенные в задаче № 16, и учитывая, что
ускорение груза с массой т1 равно а — аъ а ускорение
груза с массой /п2 равно a + av
Тело массы тх тянет с силой
тело массы т2 тянет с силой
Т — m2a — m2aly
где ax — ускорение грузов с массами т1 и /п2, возникаю-
возникающее вследствие скольжения их нити по желобу блока В
в случае, когда a = 0.
Теперь условие задачи оказалось полностью выражен-
выраженным математически и остается решить систему уравнений:
Т = Mg + Ma:
Тг = mxg — mxa + mxax\
Тг = m2g — m2a — m%a^
T = 27\.
2-й способ. Условие задачи можно математически вы-
выразить, написав для каждого груза его уравнение дви-
движения.
Груз М под действием силы тяжести Mg и натяжения
нити Т приобрел ускорение а (вверх). Грузы тг и т2 дви-
движутся соответственно под действием силт^, 7\ и m2g, Tl9
приобретая ускорения а и av Ускорение а направлено
вниз у обоих грузов, ускорение % — вверх у груза т1
— 41 —
и вниз у груза т2. Следовательно, уравнения движений
грузов М, тъ т2 запишутся так:
Mg — Т = — Ма\
— Тг = тга — тхаъ
Тг = m2a + m2av
Условие, что нить грузов тх и т2 перекинута через блок В,
запишется соотношением Т = 27\.
Решая полученную систему, находим
- М^г + т^
Т — bMm\m2g
1 М (mi + Щ)
Для проверки полученного конечного результата, на-
например для значения 7\ определим очевидные частные
случаи.
Так, при М = пг1 + т2 и т1 = т2 = т, натяжение Т1
должно быть равным М# или 2mg. Подставляя в формулу
для Т равенство М = 2/п, получаем Т = 2/ng".
Если положить тх = т2, оставив условие М Ф тг +
+ т2, то задача № 17 превратится в следующую гораздо
более простую задачу: через неподвижный блок переки-
перекинута нить, к концам которой прикреплены массы Мх
и Л12. Пренебрегая силами трения, определить натяже-
натяжение Т связующей нити.
Применив первый или второй способы рассуждений
задачи № 17, приведенную задачу решить легко. Ответ
должен совпасть со значением Т, полученным из формулы
A) при М = Мг, гп1 + гп2 = М2, М Ф т1 + т2 и т1 =
= т2:
Убедитесь в этом самостоятельно.
Подведем некоторые итоги. В задачах № 14 и № 17
иллюстрировались два разных метода решения. Первый
представляет собой логическую систему рассуждений,
воспроизводящих условие задачи последовательными при-
применениями второго и третьего законов. Второй метод
(составление уравнений движения) — формально мате-
— 42 —
матический, не требующий, как первый, детального пред-
представления физики явления, основан в сущности лишь на
перечислении действующих сил и приобретенных уско-
ускорений. Этот метод легче первого, и в трудных задачах
часто приводит быстрее к конечному результату, так как
составить систему уравнений движения, как правило,
бывает нетрудно. Между тем такая система, описывая
движение каждого тела и автоматически выражая взаимо-
взаимодействия между телами и связями, полностью передает
условие задачи математическим языком.
Задача 18.
На столе лежит доска массы М, на доске — груз
массы т. Коэффициент трения между грузом и доской къ
между доской и столом к2. Какую силу F следует прило-
приложить к доске, чтобы выдернуть ее из-под груза?
Решение. Часто рассуждают так. Сила, которую не-
необходимо приложить к доске, доЛжна превосходить силу
трения между доской и столом, равную (т + М) gk2, и
силу трения между грузом и доской, равную mgkx. Иско-
Искомая сила F должна, следовательно, удовлетворять нера-
неравенству
F > (т + М) gk2 + mgkv
На первый взгляд рассуждение гладкое и исчерпываю-
исчерпывающее. Однако ответ неверен.
Будем решать задачу методом составления уравнения
движения.
На доску действует искомая сила F и две силы тре-
трения (т + М) gk2 и mgkly направленные в сторону, про-
противоположную движению. Результирующая сила сооб-
сообщает доске некоторое ускорение а. Следовательно, урав-
уравнение движения доски запишется в виде
F — (т + М) gk2 — mgkt = Ma,
где а — ускорение доски относительно стола.
Груз с массой т покоится относительно стола, однако
в то же время относительно доски он приобретает ускоре-
ускорение а. Это возможно лишь в случаях, когда со стороны
верхней поверхности доски на груз действует сила, не-
несколько превосходящая силу трения покоя: та > mgkly
откуда а > gkv
— 43 —
Подставляя полученный результат в уравнение дви-
движения, находим искомую силу F:
F>g(m + M)(k1 + k2).
Теперь видно, в каком пункте первоначального рассу-
рассуждения была допущена ошибка. Фактически рассуждение
было основано на молчаливом допущении, что ускорение
доски а = 0 и доска движется равномерно. Однако на-
наряду с этим утверждалось, что сила F должна превосхо-
превосходить сумму сил трения или в крайнем случае равняться
ей, т. е.
F > (т + М) kbg+mgkv
Такое рассуждение, если рассматривать знак «>»,
противоречит второму закону, а если рассматривать
знак «==», согласуется с основными положениями ста-
статики, но не динамики.
2. Импульс силы.
Изменение количества движения
Ряд задач, в которых тела меняют свою скорость по
величине или по направлению за некоторый очень малый
промежуток времени т, удобнее решать, применяя вто-
второй закон механики в виде (см. § 4)
Fx = mv2 — tnvv
Таковы задачи на удар, столкновение, взрыв. Силы вза-
взаимодействия в этих случаях не постоянны по величине,
и речь может идти только об определении их средних зна-
значений.
Задача 19.
Мяч массы т летит к стене с постоянной скоростью v
по прямой, образующей с нормалью угол падения а
(рис. 9). Ударяясь, мяч отскакивает от стены под углом
отражения, также равным а с прежней по величине ско-
скоростью v. Время соударения т. Определить среднюю
силу удара F.
Решение. Для определения количества движения, пе-
переданного стенке в результате удара, представим себе
— 44 -*
картину изменения направления ско-
скорости v в момент удара.
Разложим скорость мяча v на
две составляющие — горизонталь-
горизонтальную i^ и вертикальную i^ (см. рис. 9).
В результате удара вертикальная
составляющая vy не изменяется ни
по величине, ни по направлению, но
горизонтальная составляющая vx ме-
меняет свое направление на обратное.
Следовательно,
Fx = mvx — (— mvx) = 2mvx.
Поскольку vx = v cos а, то
т, 2mv cos a
г = .
Рис. 9
Величину Fx можно найти, исходя лишь из качествен-
качественных соображений, не прибегая к математической записи.
Рассуждаем так
Мяч ударяется о стену под углом падения а. Состав-
Составляющая скорости vy в ударе не участвует, так как она па-
параллельна стене. Следовательно, мяч, ударяясь и дефор-
деформируясь, отдает стене количество движения mvx. В конце
удара мяч, отталкиваясь от стены и вновь приобретая
скорость vxi сообщает стене количество движения mvx\
итого 2 mvx. Так как v = v cos a, то количество движе-
движения, переданное стене, равно 2т v cos a.
Второй закон механики в форме изменения количества
движения удобно применять и в тех случаях, когда воз-
возникает необходимость определить полную величину Fx,
не вычисляя отдельно F или т.
Задача 20.
Человек, стоявший на неподвижном плоту, пошел со
скоростью v относительно плота. Масса человека ту масса
плота М. Определить, с какой скоростью начал двигаться
плот по поверхности воды.
Решение. Иногда решение представляют в виде равен-
равенства mv = Ми, где и — скорость движения плота.
Грубая ошибка, допущенная при этом, заключается
в том, что левая часть равенства (mv) написана в одной
системе координат, а правая часть (Ми) — в другой. Дей-
— 45
ствительно, v — скорость человека относительно плота,
аи — скорость плота относительно берега.
1-й способ. Свяжем систему координат с берегом или
с неподвижной поверхностью воды.
Сила трения покоя F, возникающая между подошвами
человека и шероховатой поверхностью плота, направлена
в сторону движения человека и изменяет его количество
движения от 0 до величины mvx, где vx — скорость че-
человека относительно берега. Однако человек с такой же
силой F отталкивает в процессе ходьбы плот, в свою оче-
очередь, изменяя его количество движения от 0 до ве-
величины Ми, где и — установившаяся скорость плота
относительно берега. Из этого рассуждения в частности
следует, что скорость и направлена в сторону, противо-
противоположную движению человека, а скорость человека от-
относительно воды vx = v — и.
Так как F-х = т (v — и) и Fx = Ми, то т (v — и) =
= Ми, откуда искомая величина
то
""" т + М *
2-й способ. Пусть сила взаимодействия между ступ-
ступнями человека и плотом (сила трения) равна F. Сила F
сообщает человеку ускорение a = v~~u, а плоту —
ускорение аг = -^-, где т — время изменения соответ-
соответствующих скоростей от нуля до установившихся значе-
значений V — U И U.
Так как F = /п^ и F = М-%-, то
откуда
mv
и~ т + М •
3. Закон сохранения количества движения
Закон сохранения количества движения является след-
следствием второго и третьего законов механики. Однако в от-
отличие от основных законов механики закон сохранения
- 46 -
количества движения справедлив только для механических
систем, удовлетворяющих условию замкнутости.
Под механической системой понимают совокупность
тел, соответствующим образом взаимодействующих друг
с другом. Эти взаимодействия, вызывающие ускорения тел,
называются внутренними силами системы.
Если на механическую систему не действуют никакие
внешние силы или сумма всех действующих внешних сил
равна нулю, то говорят, что такая система замкнута. На
любое тело, входящее в замкнутую систему, действуют
силы только со стороны других тел системы. Примером
замкнутой механической системы может служить сово-
совокупность шаров, сталкивающихся беспорядочно друг с дру-
другом на гладкой горизонтальной плоскости. Сила тяжести
каждого шара уравновешена реакцией опоры, и в резуль-
результате сумма всех действующих на шары внешних сил равна
нулю. Упругие силы, возникающие при соударениях,
являются внутренними силами системы. В результате
действия внутренних сил тела передают свое количество
движения друг другу полностью или частично. Сумма
количеств движения всех тел, составляющих систему, на-
называется количеством движения данной системы.
Закон сохранения количества движения формулируется
следующим образом: внутренние силы замкнутой механи-
механической системы не могут изменить ее количества движения,
или (вторая формулировка) количество движения замкну-
замкнутой механической системы есть величина постоянная.
Разберем еще один способ решения задачи № 20.
Человек стоит на плоту, плот относительно воды по-
покоится. Во всех горизонтальных направлениях система
человек — плот замкнута. В начальный момент количе-
количество движения системы равно нулю.
Человек пошел по плоту, изменив свое количество дви-
движения. Тотчас же плот двинулся назад. Скорости человека
и плота направлены в противоположные стороны, так как
суммарное количество движения системы должно остаться
равным нулю. Эта мысль выражается уравнением
т (v — и) — Ми = 0,
откуда
то
и =
т + М
— 47 —
Задача 21.
Две тележки Л и В, скрепленные нитью, стоят на рель-
рельсовом пути одна за другой. Масса тележки А равна 2т,
масса тележки В составляет т. На тележке В стоит чело-
человек массы т. С какой скоростью станут двигаться тележки,
когда человек пойдет в направлении тележки А со ско-
скоростью v относительно тележки В?
Решение. Эта задача ничем не отличается от предыду-
предыдущей (№ 20). Аналогично составляем рабочее уравнение,
применяя закон сохранения количества движения:
т (v — и) — ти — 2ти = 0,
где и — скорость обеих тележек, направленная противо-
противоположно скорости человека v — и (система координат
связана с поверхностью земли).
Решая это уравнение, находим
и =
Видоизменим теперь эту задачу следующим образом.
Задача 22.
Две тележки А и В стоят на параллельных рельсовых
путях (рис. 10; вид сверху). Нить, связывающая тележки,
перекинута через блок С, укрепленный между путями в го-
горизонтальной плоскости на уровне тележек.
Масса тележки А равна 2т, масса тележки В
будет т. На тележке В стоит человек массы т.
С какой скоростью станут двигаться тележки,
когда человек пойдет в направлении блока С
со скоростью v относительно тележки В? Тре-
Трением пренебречь.
Решение. Нетрудно сделать вывод, что эта
В задача принципиально ничем не отличается от
задач № 21 и N° 20. Однако наличие непо-
неподвижного блока создает некоторое отличие
в применении закона сохранения количества
движения. Действительно, если и — численное
Рис. 10 значение скорости тележек, то, рассуждая ана-
— 48 —
логично решениям задач № 20 (третий способ, см. стр. 47)
и № 21, нужно будет написать т (v — и) — ти + 2ти = 0,
где член 2ти взят со знаком плюс потому, что количе-
количество движения тележки В имеет то же направление, что
и количество движения т (v — и) человека. Однако в та-
таком виде уравнение явно неверно: из него следует про-
противоречащий условию вывод, что скорость человека v = 0.
Ошибка заключается в следующем.
Неподвижный блок меняет на противоположное направ-
направление движения тележки Л, обусловленное действием за-
закона сохранения количества движения (сравните с зада-
задачей № 21, где тележки выстроены в одну линию). Следо-
Следовательно, в случае неподвижных блоков уравнение закона
сохранения количества движения следует писать, основы-
основываясь на следующем правиле: сумма количеств движений
тел, связанных с одним концом нити, перекинутой через
блок, равна сумме количеств движений тел, связанных
с другим концом этой нити.
Таким образом, в этой формулировке учтено изменение
направления движения, создаваемое неподвижным блоком
вне всякой связи с законом сохранения количества дви-
движения.
Приняв во внимание сказанное, можно написать
т (v — и) — ти = 2яш,
откуда
Задача 23.
Через неподвижный блок перекинута нить, к левому
концу которой прикреплено тело массы 2т, а к правому —
лестница массы т, на которой стоит человек такой же
массы т. В начальный момент система находится в покое.
С какой скоростью начнет двигаться относительно земли
лестница, если человек пойдет по ней вверх со скоростью v
(относительно лестницы)?
Решение. Несмотря на кажущуюся разницу, эта задача
тождественна задаче № 22.
Выбрав систему координат на поверхности земли и счи-
считая направление вверх положительным, записываем урав-
- 49 —
нение закона сохранения количества движения в виде
т (v — и) — ти = 2ти, где и — скорость лестницы отно-
относительно земли.
Из этого уравнения следует, что и = v/4.
Задача 24.
Скорость пули можно определить при помощи балли-
баллистического маятника (ящика с песком, подвешенного на
нити). Застревая в песке, пуля отклоняет ящик от верти-
вертикали так, что ящик поднимается на некоторую высоту h
(рис. 11). Масса пули т, масса ящика с песком М. Прене-
Пренебрегая трением при поднятии и считая движение пули
горизонтальным, определить скорость пули в момент со-
соударения.
Решение. Иногда рассуждают так.
Поскольку трением можно пренебречь, кинетическая
энергия пули полностью переходит в потенциальную энер-
энергию ящика и пули, поднятых на высоту /г, т. е.
где v — искомая скорость пули.
Однако это принципиально неверно. Пуля, попав
в ящик, частично расплавилась, нагрев окружающие слои
песка. Следовательно, часть кинетической энергии пули
w - тхJ
к 2
перешла в тепловую форму, а часть — в потенциальную
энергию по поднятию массы т + М на заданную высоту h.
Только в таком плане можно было бы применить закон
сохранения энергии.
Используем закон сохранения количества движения.
Замкнута ли система? Вес ящика
уравновешен натяжением нити; вер-
вертикальным смещением пули прене-
пренебрегаем. Следовательно, внешние
силы до и в момент столкновения не
изменяют количества движения ящи-
ящика или пули.
Количество движения системы до
удара равно количеству движения
— 50 —
системы непосредственно после удара, т. е.
mv = (т + М) и,
где v — скорость пули в момент соударения, и — началь-
начальная скорость ящика (также направленная горизонтально).
Поскольку трением пренебрегаем, и = Y2gh (см. § 2,
п. 2). В результате получим
В условии задачи рекомендовалось считать скорость
пули, влетающей в ящик, горизонтальной, т. е. маятник
устанавливают в таком месте траектории пули, где верти-
вертикальным смещением пули можно пренебречь. Это обстоя-
обстоятельство играет существенную роль лишь для определения
скорости пули, близкой к истинной, но отнюдь не для при-
применения закона сохранения количества движения. Если бы
при попадании в ящик пуля была на излете, то получен-
полученный в задаче ответ являлся бы не полной скбростью,
а только горизонтальной составляющей скорости пули
в момент ее столкновения с ящиком. Вертикальная
составляющая скорости vB пули изменяется под дей-
действием внешней силы — силы тяжести mg (сопротивле-
(сопротивлением воздуха пренебрегаем), однако на отброс маят-
маятника значение vB не влияет, так как сила тяжести пер-
перпендикулярна к горизонтали. Именно поэтому можно со-
составлять уравнение количества движения для маятника
и горизонтальной составляющей скорости пули. Таким
образом, приходим к заключению, что механическая си-
система может оказаться замкнутой в одних направлениях
и незамкнутой в других. Закон сохранения количества
движения применим в направлениях замкнутости, и не
применим в направлениях действия на тело нескомпенси-
рованных внешних сил. Однако, если рассматривать из-
изменения скоростей, возникающие только в результате дей-
действия внутренних сил, то можно применять закон сохра-
сохранения количества движения независимо от действующих на
систему некомпенсированных внешних сил. Затем эти
скорости можно складывать со скоростями, приобретен-
приобретенными телами к соответствующему моменту времени вслед-
вследствие действия внешних сил.
Возможность такого подхода обусловлена принципом
независимости действия сил (см. § 1, п. 2).
— 51 —
Задача 25.
Из пушки, не имеющей противооткатного устройства
и свободно соскальзывающей с наклонной плоскости с уг-
углом наклона а, производится выстрел в горизонтальном
направлении в момент, когда пушка прошла путь s.
Масса пушки М, масса снаряда т. Какой должна быть
скорость снаряда, чтобы пушка после выстрела остано-
остановилась?
Решение. Рассмотрим сначала более простую (вспомо-
(вспомогательную) задачу. Из пушки, не имеющей противооткат-
противооткатного устройства и скользящей по горизонтальной плос-
плоскости с постоянной скоростью vy производится выстрел
в горизонтальном направлении в сторону движения. Масса
пушки Му масса снаряда т. Определим скорость снаряда
(относительно земли) в случае, если пушка после выстрела
остановилась.
В любом горизонтальном направлении система пушка—
снаряд является замкнутой. Вначале эта система имела
количество движения (т + М) v. После выстрела пушка
приобрела скорость отдачи (относительно земли) и и ко-
количество движения рассматриваемой системы стало
М (v — и) + tnv', где v' — искомая скорость снаряда.
Следовательно, (т + М) v = M (v — и) + mv'.
Поскольку пушка остановилась, то и = v и v' =
_ т + М
т
Предположим теперь, что пушка начала скользить по
горизонтальной плоскости с некоторым ускорением а,
причем в конце отрезка пути s произошел выстрел и пушка
остановилась. Какова была скорость снаряда? Условимся
считать, что снаряд вылетает мгновенно. Это допущение
(его необходимо сделать и при решении задачи № 25)
обусловлено следующими соображениями. Вдоль горизон-
горизонтальной плоскости на пушку действует некоторая постоян-
постоянная сила, вызывающая ускорение а, и, следовательно,
система не замкнута. Однако для достаточно малого от-
отрезка времени (когда изменением скорости пушки можно
пренебречь), точнее в любой момент времени, пушку можно
считать мгновенной инерциальной системой координат,
в которой для данного мгновения (если снаряд вылетает
мгновенно) можно применить закон сохранения количе-
количества движения. Поскольку для этого случая v = ]/r2as, то
— 52 —
искомая скорость снаряда (можно
повторить все предыдущие рассу-
рассуждения) равна
\а
т
Теперь обратимся к условию за-
задачи № 25. Пушка свободно соскаль-
соскальзываете наклонной плоскости с углом рис 12
наклона а. В момент выстрела ско-
скорость пушки равна Y%gs sin а, так как ее ускорение
равно g sin а (см. § 5, п. 4). Если бы дуло было напра-
направлено параллельно скатывающей плоскости, то для мгно-
мгновенной остановки пушки (затем она снова начнет скаты-
скатываться под действием внешних сил) необходимо, чтобы
снаряд вылетел со скоростью
т-\-М
v = ~ у 2gs sin a.
Однако дуло пушки ориентировано горизонтально, и,
следовательно, полученная скорость должна быть проек-
проекцией искомой скорости снаряда на направление скатыва-
скатывания (рис. 12), т. е.
Теперь согласно закону сохранения количества дви-
движения составим уравнение непосредственно для за-
задачи № 25:
(т + М) l/2gs sin a = М (Y^gs sin a — и') + mvx cos a,
где и' — скорость отката пушки (в результате выстрела)
вверх по плоскости наклона.
Согласно условию мгновенной остановки пушки за-
запишем и' = Y2gs sin а и, следовательно,
m + М
4. Наклонная плоскость
Наклонная плоскость относится к простым машинам
(см. далее гл. IV), однако здесь разберем лишь некоторые
чисто динамические вопросы, связанные с движением тел
— 53 —
\а
\А'
Рис. 13
по наклонной плоскости
и встречающиеся в ка-
качестве элементов при
решении более трудных
задач механики.
На всякое тело, ле-
лежащее на наклонной
плоскости, действуют со
стороны других тел три
реальные силы: сила
тяжести Р = mg, сила
реакции опоры N и сила
трения /тр (рис. 13). Так называемая скатывающая
сила /, направленная параллельно наклонной плоскости,
является геометрической суммой реальных сил Р и N. Из
рис. 13 видно, что / = mg sin а. Если коэффициент тре-
трения k = О, то Д.р = 0, и тело соскальзывает с наклонной
плоскости с ускорением а, которое находится из равенства
/ = та = mg sin а, т. е. а = g sin а.
Таким образом, все тела, соскальзывающие с данной-
наклонной плоскости, приобретают одинаковое ускорение,
не зависящее от их массы. Такой результат непосред-
непосредственно вытекает как частный случай из закона свобод-
свободного падения тел Галилея. Если коэффициент трения
k Ф 0, то сила, сообщающая телу некоторое ускоре-
ускорение #! вдоль плоскости наклона, равна
Г = т8 sm а —
тр-
Сила трения всегда равна произведению силы нормаль-
нормального давления на коэффициент трения. В свою очередь,
силой нормального давления называют ту силу, с которой
тело, находящееся на какой-либо поверхности, давит на
эту поверхность по нормали к ней. В нашем случае сила
нормального давления /' равна проекции веса тела на
линию Л'Л', перпендикулярную к скатывающей плос-
плоскости, т. е. /' = mg cos а (рис. 13). Заметим тут же, что
тогда сила N, действующая на тело со стороны наклонной
плоскости вдоль линии А'А\ также равна mg cos а. Итак,
сила трения /тр = kmg cos a, a из соотношения
/" = таг = mg sin а — kmg cos а
— 54 —
находим, что при наличии
трения все тела, положен-
положенные на наклонную плос-
плоскость с углом наклона а,
приобретают ускорение
ai ~ S (sm а — ^ cos °0«
Если тело соскальзы-
соскальзывает с наклонной плоско-
плоскости с углом наклона а
равномерно, то имеет место
равенство действующих на
тело сил:
Рис. 14
mg sin a = kmg cos а,
откуда коэффициент трения k = tg а (этот результат
также полезно запомнить).
Рассмотрим математический маятник массы т, укреп-
укрепленный на тележке, свободно скатывающейся по наклон-
наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 14).
Поскольку трением пренебрегаем, тележка и маятник
приобретают вдоль плоскости наклона ускорение a=gsina.
Так как на маятник действует вдоль наклонной плоскости
сила f = mg sin a, а сила Р = mg перпендикулярна к ос-
основанию наклонной плоскости, сторона АВ в треуголь-
треугольнике ОАВ должна быть перпендикулярна к плоскости
наклона. Следовательно, нить маятника ориентируется
Рис. 15
- 55 ^
в этом случае перпендикулярно к наклонной плоскости
и ее натяжение равно Т = tng cos a.
Качественно этот результат объясняется проявлением
инерции маятника. Пока маятник покоится на вершине
наклонной плоскости, нить его подвеса перпендикулярна
к основанию наклонной плоскости. Подставка маятника
первой начинает свободное движение с ускорением gsin a,
тогда как маятник, «стремясь» сохранить состояние покоя,
приобретает то же ускорение только тогда, когда его нить
отклонится до положения перпендикуляра к наклонной
плоскости.
Если маятник движется вдоль наклонной плоскости
с ускорением а < g sin а, то нить маятника располагается
где-то между прямыми КК и KxKi (рис. 15, а). Если ускоре-
ускорение маятника а > g sin а, то его нить отклоняется от
линии КК в сторону, противоположную движению
(рис. 15, б).
5. Движение тела по окружности
Для возникновения кругового движения необходимо
наличие двух условий: начального толчка и центральной
силы со стороны связи.
Под центральной силой будем понимать силу, прило-
приложенную к телу и направленную к неподвижному центру
вращения.
Связями называют тела, заставляющие данное тело
двигаться по круговой траектории.
Сила, приложенная к телу со стороны связи, непре-
непрерывно переводит тело с прямолинейной траектории, по
которой тело «стремится» двигаться после толчка, на кру-
круговую траекторию. Эта сила называется центростреми-
центростремительной. Одновременно с центростремительной силой воз-
возникает, вследствие инерции тела, сила сопротивления
действию связи, так называемая центробежная сила. В со-
соответствии со своей природой центробежная сила прило-
ложена со стороны тела к связи, направлена по радиусу
от центра вращения и численно равна центростремитель-
центростремительной силе по третьему закону механики. Поскольку цен-
центростремительное ускорение
— 56 —
где v — линейная скорость вращения, R — радиус вра-
вращения, величина центростремительной силы равна
где т — масса движущегося по окружности тела.
Связи, обеспечивающие возникновение центростреми-
центростремительных сил, бывают разные.
Если рассматривать движение по окружности камня,
привязанного за шнур, то связью является шнур. При
движении шарика по круговому желобу внешняя стенка,
к которой прижимается шарик в результате проявления
его свойства инерции, является связью. При движении,
например, Луны вокруг Земли связью является Земля.
Центростремительной силой в первом случае является
упругое натяжение шнура, во втором — сила упругой де-
деформации внешней стенки желоба, в третьем — притяже-
притяжение Луны Землей. Центробежной силой в первом случае
является сила упругой деформации растянутого шарика 1\
во втором — сила упругой деформации сжатого шарика2),
в третьем — притяжение Земли Луной. (В результате
действия этой силы на поверхности Земли возникают мор-
морские приливы.)
Остановимся на вопросе, который часто вызывает не-
недоумение при рассмотрении движения тела по окружности.
Центростремительное ускорение, характеризуя изме-
изменение линейной скорости тела по направлению, имеет,
однако, вполне определенную величину -~- и направлено
к центру вращения. Действие центростремительной силы
вдоль радиуса не компенсируется центробежной силой,
так как две эти силы приложены к разным телам и скла-
складывать их нельзя. С другой стороны, по второму закону,
тело под действием нескомпенсированной силы приводится
в состояние равномерно ускоренного движения вдоль ли-
линии действия силы. А между тем тела не движутся равно-
^ При возникновении движения по окружности слой тела, непо-
непосредственно связанный с нитью, первым начинает круговое движение,
тогда как последующие слои все еще движутся (вследствие толчка)
прямолинейно. В результате возникают растяжения от слоя к слою и
обусловленные этими растяжениями силы упругой деформации, кото-
которые слой за слоем переводят все тело на круговую траекторию.
2) Механизм возникновения сжатия такой же, как и механизм обра-
образования растяжений в шарике.
— 57 —
мерно ускоренно к своему центру вращения, например
спутники не падают на планеты и звезды, вокруг которых
они обращаются.
В действительности никакого противоречия, конечно,
нет. Под действием центростремительной силы тело на-
находится в состоянии непрерывного равномерно ускорен-
ускоренного движения к своему центру вращения и в то же время
расстояние между телом и центром вращения остается
неизменным. Круговое движение — новая форма движе-
движения по сравнению с прямолинейным, и здесь появляются
новые представления, отличные от тех, которые созданы
на основе прямолинейного движения тел. Поясним ска-
сказанное на примере движения искусственного спутника
Земли. Для простоты суждений будем считать траекторию
спутника круговой. Рассмотрим перемещение спутника
за бесконечно малый отрезок времени dt (рис. 16). За время
dt спутник из точки В траектории перемещается в точку D,
причем дуга BD и измеряемый ею центральный угол dqp —
бесконечно малые величины, что невозможно показать на
чертеже. (Здесь все линии изображены в конечных и зна-
значительных по величине масштабах.) Движение спутника
по дуге BD за отрезок времени dt можно рассматривать
как движение, возникающее в результате сложения рав-
равномерного и прямолинейного перемещения спутника на
пути ВС, происходящего со скоростью v и равномерно
ускоренного перемещения (свободного падения) вдоль ра-
радиуса к центру вращения на длине ВА. Линейная ско-
скорость вращения v сообщена спутнику в горизонтальном
(относительно поверхности Земли) направлении при вы-
выводе его на орбиту. Движение спутника вдоль прямой ВС
является равномерным только в течение выбранного бес-
бесконечно малого промежутка времени, так как бесконечно
малые величины — отрезок ВС и дуга BD эквивалентны.
Следовательно, можно записать
где ац — центростремительное ускоре-
ускорение.
Для оценки величин ВС и А В
какого-нибудь конкретного спутника
Рис. 16 можно брать не бесконечно малый про-
«_ 58 —
межуток времени, но достаточно малый, несоизмеримо ма-
малый по сравнению с периодом обращения спутника вокруг
центрального светила.
Например, для Луны общеизвестны такие данные. За
1 сек Луна проходит вдоль линии ВС путь в 1 км, несколько
отдаляясь от Земли, однако за это же время вдоль ра-
радиуса Луна проходит путь
* „ 2,7 мм/сек2 ,+ ч«> 1 пс
АВ = ——y A се/сJ = 1,35 мм.
Таким образом, спутник, непрерывно удаляясь от
Земли вдоль касательной, в то же время приближается
к Земле вследствие равномерно ускоренного движения
вдоль радиуса. В результате расстояние между телами
остается постоянным, в то время как спутник непрерывно
свободно падает на Землю.
Задача 26.
1. Небольшая тележка, вес которой Р, свободно ска-
скатывается внутри полусферы радиуса R. Определить силу
давления на дно полусферы со стороны тележки при про-
прохождении ею наинизшего горизонтального положения.
В исходном положении тележка была ориентирована вер-
вертикально на линии диаметра.
2. Тележка катится с постоянной скоростью v по вы-
выпуклой части полусферы радиуса R. Определить силу дав-
давления, создаваемую тележкой в наивысшей точке подъема,
когда она ориентирована горизонтально.
Решение. 1. Центростремительное ускорение тележки
создается деформированной внутренней частью полу-
полусферы, являющейся в данном случае связью. В наиниз-
наинизшей точке упругая сила деформации полусферы уравно-
уравновешивает вес тележки Р и обусловливает круговое дви-
жение, т. е. равна по величине Р + —~-. Поскольку
скорость v = Y2gR>l) давление тележки на дно полусферы
равно ЗР.
Можно рассуждать и так. Пусть iV — сила реакции
опоры, т. е. сила давления на тележку со стороны полу-
полусферы. Будем считать направление по радиусу от центра
вращения положительным, тогда уравнение движения те-
1) См. стр. 18.
- 59 -
лежки вдоль радиуса при прохождении ею наинизшего
положения запишется в виде
P-N --??-
И * "~ gR
откуда
N p+
так как v = lg
Но реакция опоры N по третьему закону равна силе
давления со стороны тележки на полусферу, т. е. искомый
ответ составляет ЗР.
Оба приема рассуждений следует сравнить с решениями тех пунк-
пунктов задачи № 16, где лифт движется равномерно ускоренно вверх и
равномерно замедленно вниз.
2. Движение тележки по выпуклому пути также обу-
обусловлено центростремительной силой, действующей на те-
тележку вдоль радиуса по направлению к центру полусферы.
Эта сила в наивысшей точке подъема является разностью
между силой тяжести и силой реакции опоры
У gR
откуда
Для решения другим способом условимся за положи-
положительное направление считать направление вдоль радиуса
к центру вращения. Тогда уравнение движения тележки
вдоль радиуса при прохождении ею наивысшего положения
на полусфере запишется в виде
Р N Pv*
откуда
Давление тележки на полусферу равно, следовательно,
— 60 -
Рекомендуется сравнить эти рассуждения с решением тех пунктов
задачи № 16, где лифт движется равномерно замедленно вверх и равно-
равномерно ускоренно вниз.
Задача 27.
С какой скоростью должен катиться шарик по стенке
внутри конусообразного стакана, ориентированного верти-
вертикально, чтобы удерживаться на заданном расстоянии от
дна? Угол наклона образующей поверхности стакана к го-
горизонтали равен а (а < 90°); радиус окружности, по ко-
которой катится шарик, R, коэффициент трения качения k.
Решение. Делаем чертеж (рис. 17, а).
Делать чертеж всегда нужно очень тщательно, стараясь правильно
передать содержание задачи графически и соблюдая в выбранном мас-
масштабе близкие к действительности соотношения величин углов, линий
фигур, векторных стрелок. (Если соотношения между величинами не
вытекают из условия, то, по крайней мере, необходимо строго соблю-
соблюдать относительность направлений между векторами и правильно пере-
передавать геометрические образы: например, прямоугольный треугольник
должен быть начерчен с действительно прямым углом, равносторон-
равносторонний — с равными сторонами и т. д.) Правильно сделанный чертеж суще-
существенно облегчает и выбор пути, и технику проведения решения.
Из рассмотрения рис. 17, а вытекает, что движение
шарика вдоль линии КК отсутствует, если сумма проек-
проекций всех действующих на шарик сил на линию КК равна
нулю (см. далее гл. IV).
На шарик вдоль линии КК действуют три силы: скаты-
скатывающая / = mg sin а, сила трения FTV и соответствую-
соответствующая составляющая центростремительной силы /^ == -^-.
Эту составляющую — проекцию F^ на направление КК
обозначим через Рц (на чертеже эта сила не указана).
Рис. 17
— 61 —
Сила трения равна произведению силы нормального
давления шарика на стенку и коэффициента трения. Сила
нормального давления складывается из силы mg cos a
(сила давления тела, лежащего на наклонной плоскости)
и соответствующей проекции f центробежной силы /',
mv*
которая равна /" *= -д— sin а. Сила трения
Л-р = (mg cosa + -~J- sin a\ k
направлена по линии КК вверх — противоположно ска-
скатывающей силе /. Проекция центростремительной силы на
линию КК, равная
mv*
также противодействует скатывающей силе Д так как тянет
шарик вверх. В этом пункте рассуждений часто возникает
неясность, так как при взгляде на чертеж видно, что F'^
направлена вдоль линии КК вниз и, казалось бы, ее знак
должен совпадать со знаком скатывающей силы. Однако F'
действует вверх, уравновешивая совместно с силой трения
силу f (рис. 17, б). Центростремительная сила F^ прило-
приложена к шару в точке Л. Шар, с такой же силой прижимаясь
к стенке вследствие проявления свойства инерции, вка-
вкатывается по стенке вверх. Следовательно, на шар по ли-
линии КК вверх действует проекция центростремительной
mv2
силы /^ = —g- cos ос.
Таким образом, уравнение, выражающее отсутствие
движения шарика вдоль линии КК, запишется в виде
sin
a) k =
откуда
/Rg(sin g — k cosa)
cos a + k sin a
Чтобы проверить полученный результат, рассмотрим
следующие частные случаи.
1. k = 0. Из найденной формулы следует, что
v = У Rg tg a.
- 62 -
Если решить задачу № 27 тем же путем, что и выше, но
положив k = О, получим такой же результат.
2. Пусть v = 0. Физически это означает, что шарик
покоится, находясь на стенке стакана. Из формулы ответа
получим
sin а — k cos a = 0,
откуда
k = tg a.
Действительно, тело покоится на наклонной плоскости,
если скатывающая сила / равна силе трения покоя
mgk cos ос. Конечно, угол а для шарика очень мал, но
он все же равен arctg kt что совпадает с известным нам
результатом.
6. Движение центра масс
Центром массы твердого тела является точка прило-
приложения равнодействующей параллельных сил, приложен-
приложенных ко всем материальным точкам тела *>. Если природа
этих сил гравитационная, то точка приложения их равно-
равнодействующей называется центром тяжести тела. Из этих
определений следует, что «центр масс» является более ши-
широким понятием, чем «центр тяжести».
Эти представления применимы не только в отношении
твердого тела. Они могут быть распространены и на со-
совокупность тел, составляющих некоторую механическую
систему. Центром масс системы называют точку прило-
приложения равнодействующей параллельных сил, действую-
действующих на все тела, составляющие механическую систему.
Например, точка центра масс двух однородных шариков,
расстояние между геометрическими центрами которых
равно /, находится на отрезке, связывающем шарики,
ближе к шарику большей массы и делит отрезок / на части,
обратно пропорциональные массам шариков. Пусть
(рис. 18, а) масса меньшего шарика А равна т, а масса
большего шарика В равна М. Равнодействующая сил тя-
тяжести Рг = mg и Р2 = Mg равна по величине Р = (т +
^ Твердым телом называют совокупность материальных точек,
расстояния между которыми неизменны, каковы бы ни были действую-
действующие на тело силы.
^ 63 —
б)
А
е-
т
В
-о
G-
в
+ М) g и приложена
в точке С, положение
которой на отрезке А В
определяется соотноше-
соотношением
м
Q СВ
mg
m
Рис. 18
Сокращение этого
равенства на величину
земного ускорения указывает на более широкое значение
точки С, чем только центр тяжести данных двух тел. Дей-
Действительно, если сообщить шарикам А и В одинаковые по
знаку электрические заряды q и Q, пропорциональные по
величине массам шариков т и М, т. е. q=k'm, Q=k'M9
и поместить шарики в однородное электростатическое поле
(рис. 17, б) (шарики связаны тонким стержнем из диэлек-
диэлектрика), то на шарики со стороны поля будут действовать
кулоновские силы / = k'mE и F = k'ME, где Е — напря-
напряженность поля (см. стр. 180, формула C)). Равнодействую-
Равнодействующая электростатических сил, равная по величине (т +
+ М) k E, приложена в некоторой точке С диэлектри-
диэлектрического стержня. Положение точки С на стержне опре-
определяется соотношением (см. рис. 18, б)
AC k'ME _ М
СВ k'mE ~~~ т *
т. е. точка С совпадает с точкой С,, если совместить рис. 17,6
и 17, а.
И в этом случае сократились величины, указывающие
на природу действующих сил. Это говорит о том, что если
рассматриваемые силы приложены ко всем материальным
точкам тел (или пропорциональны их массам) и парал-
параллельны друг другу, то их равнодействующая всегда при-
приложена в одной и той же точке, являющейся точкой центра
масс данного тела или данной системы тел.
Центр масс иногда называют центром инерции, так
как движение тел замкнутой механической системы всегда
совершается так, что точка центра масс движется по инер-
инерции (равномерно и прямолинейно), либо остается в покое.
Если точке центра масс приписать массу всей системы, то
можно утверждать, что количество движения центра масс
замкнутой механической системы есть величина постоян-
— 64 —
ная, равная сумме количеств движения всех тел системы:
= m1v1 + т2\2 + . . . + mnvn,
где уц — вектор скорости центра масс, \? — векторы ско-
скоростей тел системы, т? — массы тел, составляющих зам-
замкнутую механическую систему, М = т1 + т2 + . . + тп.
Если скорости Vn и vt (i>lf v2, . . ., vn) направлены
вдоль одной и той же прямой, как это и имеет место в боль-
большинстве задач элементарного курса, то количество дви-
движения центр масс, равное количеству движения замкнутой
механической системы, может быть записано в виде алге-
алгебраической суммы количеств движения всех тел системы:
^ = m1v1 + m2v2
mnvn.
Для решения задач, связанных с законом сохранения
количества движения, понятие центра масс, как правило,
не играет существенной роли, так как, если известно
только движение точки центра масс, то, вообще говоря,
нельзя конкретно представить себе движение всех тел си-
системы. Однако в отдельных случаях общий характер дви-
движения системы может быть все же выявлен, если известно
движение точки центра масс, и это приносит несомненную
пользу при решении.
Задача 28.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч.
На обруче сидит жук (рис. 19). Жук и обруч не двигаются.
Что произойдет с обручем, когда жук поползет по нему
вдоль окружности?
Зак. 1180
РИС. 19
— 65 —
Решение. Обруч станет двигаться, когда жук поползет
по нему, так как внутренние силы замкнутой механической
системы не могут изменить ее количества движения. Но
как будет двигаться обруч?
Пока жук еще спокойно сидит на обруче, количество
движения системы равно нулю и, следовательно, скорость
точки центра масс равна нулю. Жук сидит в-точке Л
(рис. 19, вид сверху), точка О является геометрическим
центром окружности обруча, центр масс системы покоится
в точке О'. В том что центр масс системы жук—обруч на-
находится в некоторой точке О', легко убедиться путем сле-
следующих рассуждений. Проведем мысленно диаметр через
точки Л и О и, подняв систему над столом, положим ее на
материальную линию так, чтобы выбранный диаметр и
материальная линия совпали. Считая жука материальной
точкой, а обруч однородным, легко себе представить, что
обруч и жук окажутся в равновесии и, следовательно,
центр тяжести (и, значит, центр масс) лежит где-то на
линии диаметра Л'Л. На диаметре А1 А находятся две оди-
одинаковые материальные точки Л' и Л (в которой сидит жук),
следовательно, центр масс обруча и жука находится на
диаметре Л'Л в некоторой точке О', расположенной где-то
между точками Л' и Л, но ближе к точке Л. Для того чтобы
точно определить расстояние 00' или- О1 А, необходимо
массу обруча считать сосредоточенной в точке О, а массу
жу^а — в точке Л. Расстояние О А также должно быть
известно.
Когда жук поползет по обручу, обруч станет двигаться
так, чтобы центр масс системы остался в прежней геоме-
геометрической точке пространства. Однако (как это следует
из рассуждений по определению положения точки О' —
центра масс системы) жук, точка О' и геометрический центр
обруча в любой момент времени должны находиться на
одной прямой. Следовательно, геометрический центр
обруча О будет описывать окружность радиуса О'О, а жук
при этом движется по окружности радиуса О'А. На
рис. 19, б схематически изображены положение I обруча
и жука до начала движения и положение II после пере-
перемещения жука из точки Л в некоторую точку Аг обруча.
Зная радиус обруча, его массу, а также массу жука,
нетрудно определить радиусы окружностей, по которым
движутся геометрический центр окружности и жук. Ре-
Рекомендуется убедиться в этом самостоятельно,
- 66 -
Задача 29.
На тележке (рис. 20, а) за верхний конец А поддержи-
поддерживается штанга. Нижний конец штанги укреплен в подвиж-
подвижном шарнире В на поверхности тележки. Штанга может
вращаться вокруг точки В без трения. В начальный момент
тележка покоится на горизонтальной плоскости. Как будет
двигаться тележка, если освободить верхний конец А
штанги? Трением качения пренебречь. Рассмотреть два пре-
предельных случая: 1) тележка навесома, 2) масса М тележки
значительно больше массы т штанги.
Решение. Сначала рассмотрим типичные ошибочные ре-
решения настоящей задачи.
На штангу, пока ее поддерживают, действуют две силы:
сила тяжести и сила реакции опоры в шарнире В: Обе
эти силы перпендикулярны к горизонтали. Если отпустить
верхний конец, штанга начнет вращаться, но по-прежнему
вдоль горизонтали на нее не действуют никакие внешние
силы. Следовательно, штанга упадет на тележку, не сме-
сместившись относительно горизонтальной плоскости.
Вывод: штанга вращается, тележка не движется.
Приведем суждение, которое является недостаточно
полным, но дает первый вариант решения задачи.
Во время движения штанги на нее не действуют вдоль
горизонтали никакие внешние силы. Однако из этого вы-
вытекает, что не штанга в целом, а ее центр тяжести не дол-
должен смещаться относительно горизонтальной плоскости.
Иными словами, штанга должна упасть на тележку так,
чтобы точка О ее центра тяжести осталась на одном пер-
перпендикуляре с точкой О' (точка О' была проекцией точки О,
когда штангу еще придерживали). Но для этого тележка
должна на соответствующее расстояние сместиться вдоль
горизонтали.
б)
Рис. 20
- 67 -
1. Рассмотрим теперь эту задачу при условии, что те-
тележка невесома. Ее тогда можно убрать, а нижний конец
штанги поместить на гладкую горизонтальную плоскость
(рис. 20, б). Остальные условия задачи остаются без из-
изменения. На первый взгляд все сделанные выводы остаются
прежними: штанга, как только ее верхний конец А от-
отпустят, начнет поворачиваться и одновременно скользить
вдоль горизонтали (соприкасаясь с плоскостью своим кон-
концом В), пока точки О и О' не совпадут. Однако это не сов-
совсем так. Конечно, точки О и О' обязаны в конечном счете
совпасть, так как вдоль горизонтали на штангу не дей-
действуют никакие внешние силы, но само явление будет про-
протекать сложнее: движение штанги приобретет иной ха-
характер.
Незаконченность приведенного решения обусловлена
тем, что не были учтены все начальные условия. Конечно,
живое воображение позволяет «видеть» и тележку, и
штангу, и то, как ее поддерживают, но этого для решения
физической задачи мало. Необходимо еще знать, какие
конкретные физические условия сопутствовали началу
явления.
Действительно, когда поддерживают верхний конец
штанги Л, нижний ее конец В давит на плоскость с неко-
некоторой силой f. Ничтожно деформированная плоскость,
в свою очередь, как сжатая пружина (на палец), давит на
конец штанги В. Силы f и — f нормальны к плоскости.
Если выпустить из рук верхний конец штанги, давление
на плоскость со стороны конца В исчезнет, т. е. сила f
становится равной нулю. Происходит то же самое, как
и в случае, если, сжав пальцем пружину, стоявшую верти-
вертикально на столе, быстро отдернуть руку. В данном случае
плоскость подобна сжатой пружине, на которую внезапно
перестали давить. Следовательно, конец В штанги дол-
должен подпрыгнуть. Движение балки станет более сложным,
однако точки О и О' в конечном случае совместятся.
Какова же роль тележки? Если тележка невесома, она
подпрыгнет вместе с концом штанги В.
2. Рассмотрим теперь случай, когда масса тележки
М ф 0, и для простоты суждений условимся, что масса
тележки концентрируется лишь в шарнире В.
Если М <^ т (т — масса штанги), центр тяжести си-
системы практически остается в точке О и подброс тележки
повторится. Если же М ~> оо, то центр тяжести системы
— 68 —
будет расположен бесконечно близко к шарниру В и те-
тележка при падении легкой штанги практически останется
на месте.
Нетрудно заметить, что при всех М, определенных не-
неравенством Mg > /, тележка перестает подпрыгивать и
будет лишь откатываться на все меньший отрезок с уве-
увеличением М.
Представляет интерес некоторая бытовая интерпретация только что
разобранной задачи. Человек, стоящий на коньках на хорошо полиро-
полированном льду, сделав неловкое движение, внезапно падает навзничь,
причем его ноги с коньками поднимаются вверх.
В заключение вернемся к вопросу о движении центра
масс системы. В начале настоящего пункта в отношении
центра масс были высказаны положения, которые могут
быть выражены формулировками, аналогичными формули-
формулировкам закона сохранения количества движения (см.
§ 5, п. 3): внутренние силы замкнутой механической системы
не могут изменить количество движения центра масс си-
системы, или (вторая формулировка) количество движения
центра масс замкнутой механической системы есть вели-
величина постоянная.
Рассмотрим в этой связи предыдущую задачу в таком
плане: тяжелая балка, стоящая под некоторым углом к го-
горизонтали, упирается своим нижним концом В в основа-
основание достаточно прочной стены. По освобождении верхнего
конца А балка начнет падать, вращаясь вокруг опоры В.
В этом случае центр тяжести балки смещается вдоль гори-
горизонтали (рекомендуется объяснить это самостоятельно) и
это смещение будет наибольшим, когда балка ударится
о землю. Однако если рассматривать движение балки
относительно Солнца, то силы взаимодействия между Зем-
Землей и балкой являются внутренними силами системы
балка—Земля и поэтому в результате падения балки центр
масс указанной системы-должен остаться на прежней
орбите. Для этого Земля должна несколько сместиться
в пространстве навстречу балке. Разумеется, такое сме-
смещение Земли ничтожно мало (по очевидной причине), од-
однако в результате сдвигов огромных горных хребтов из-
изменение ориентации оси вращения Земли может оказаться
заметным.
Если на механическую систему действует некоторая
внешняя сила, изменяющая количество движения си-
системы, то изменяется и количество движения центра масс
— 69 —
системы. При этом, если М — сумма масс всех тел системы,
vi и V2 — скорости точки центра масс соответственно
в начале и в конце некоторого отрезка времени т, то урав-
уравнение движения точки центра масс запишется в виде
Ft = M (v2 — vx),
где F — сила, действовавшая на систему в течение вре-
времени т.
Таким образом, точка центра масс движется так, как
если бы в ней была сосредоточена вся масса данной си-
системы.
Например, если рассматривать годовое движение
Земли, то вокруг Солнца по соответствующему эллипсу
движется центр масс системы Земля—Луна, а не центр
массы Земли, как обычно говорят. Соответственно и ве-
величина центростремительной силы определяется суммой
масс Земли и Луны *>.
7. Движение тел в воздухе
Воздушная среда существенно меняет характер дви-
движения тел по сравнению с теми кинематическими расче-
расчетами, которые проводятся для безвоздушного пространства
(меняются траектория, закон движения).
Для всех тел сопротивление воздуха возрастает с уве-
увеличением скорости движения. Зависимость эта сложная.
При малых скоростях сила сопротивления пропорцио-
пропорциональна скорости тела (или скорости воздушной струи от-
относительно тела, как в аэродинамических трубах), при
скоростях порядка 240 м/сек — пропорциональна скорости
во второй степени и при скоростях 240-т-ЗОО м/сек — ско-
скорости в третьей степени. Двигаясь со скоростью звука
C32 м/сек при 0° С), тело встречает силу сопротивления,
пропорциональную относительной скорости движения
в шестой степени. При дальнейшем возрастании скорости
показатель степени скорости уменьшается, принимая раз-
различные значения (целые или дробные), однако сила сопро-
сопротивления воздуха все время нарастает. При скоростях
в десятки тысяч метров в секунду воздух оказывает колос-
1) Однако при утверждении, что расстояние от Солнца до Земли
является радиусом земной орбиты, не возникает большой ошибки,
так как расстояние между центром масс Земля—Луна и центром Земли
ничтожно мало по сравнению с расстоянием до Солнца.
- 70 -
сальное сопротивление движению. Так, влетающие в зем-
земную атмосферу метеориты при столкновении с плотными
слоями атмосферы значительно теряют свою огромную
скорость на пути всего лишь в несколько сотен метров и
почти полностью сгорают. Их осколки падают иногда на
Землю со скоростями, не превышающими 2000 м/сек (ско-
(скорость снаряда, вылетающего из сверхдальнобойного
орудия).
Чем выше скорость тела, тем значительнее расхожде-
расхождения между параметрами движения, вычисленными без
учета сопротивления воздуха и полученными эксперимен-
экспериментально. Например, для тела, брошенного под углом к го-
горизонту, можно привести такую характерную картину.
По соответствующим кинематическим формулам (см. § 2,
п. 3) вычисляем, что при выстреле из винтовки под углом
возвышения а = 45° к горизонту пуля, имея начальную
скорость 870 м/сек, пролетает вдоль горизонта 77 км.
Однако в действительности при тех же начальных данных
пуля едва пролетает 3,5 км.
Механизм сопротивления, вызываемого воздушной сре-
средой, представляют следующим образом.
Тело, двигаясь в воздухе, заставляет воздух волнами
расступаться в стороны (примерно как нос корабля рас-
рассекает воду). При этом перед лобовой частью тела воз-
возникают сгущения воздуха, а непосредственно за телом
возникают разрежения и завихрения. Давление воздуш-
воздушной среды впереди тела больше, чем сзади. В этом основ-
основная причина сопротивления: тело непрерывно втягивается
в область разрежения и скорость его падает. Сопротивле-
Сопротивление, возникающее вследствие трения слоев воздуха между
собою и с поверхностью тела при ее обтекании, сравни-
сравнительно невелико.
Кинетическая энергия тела тратится на нагревание ок-
окружающего воздуха (главным образом при его сжатии),
на нагревание самого тела и на непрерывно возникающие
завихрения в хвостовой части.
Величина лобового сопротивления и интенсивность за-
завихрений при заданной скорости обусловлены формой тела
и размерами его поперечного сечения. Наименьшее сопро-
тцвление воздуха при прочих равных условиях вызывает
тело сигарообразной формы. С увеличением площади по-
поперечного сечения сила сопротивления возрастает и на-
наоборот — падает с уменьшением площади поперечного
— 71 -
сечения. В соответствии с этим изменяются скорость тела
и дальность его полета.
Помимо геометрических факторов (форма, размер, пло-
площадь поперечного сечения), на дальность полета тел в воз-
воздухе существенное влияние оказывает величина их массы.
Это и понятно: чем больше масса, тем большую кинетиче-
кинетическую энергию приобретает тело при прочих равных усло-
условиях, тем дольше оно расходует приобретенную энергию
и дальше летит. Так, выше было сказано, что пуля массой
10 г, выпущенная из винтовки под углом 45° к горизонту
с начальной скоростью 870 м/сек, пролетает вдоль гори-
горизонтали не более 3,5 км. Если увеличить массу такой пули
на 1 г, то дальность ее полета возрастет приблизительно
до 5,5 км.
Поэтому в условиях задач, в которых полученный без
учета сопротивления воздуха результат хотят максимально
приблизить к реальным условиям, пишут «маленький тя-
тяжелый шарик» или «небольшое тяжелое тело» и т. д. При
этом, конечно, рассматривают незначительные по вели-
величине скорости или достаточно короткие отрезки пути, на
которых тяжелые, хорошо обтекаемые, небольшие по своим
поперечным размерам тела (например, снаряды) движутся
так, что теряют свою кинетическую энергию на незначи-
незначительную (для данной задачи) величину.
Особый и практически важный случай представляет
собой падение тел в воздухе под действием силы тяжести.
Конечно, все сказанное выше остается в силе. Однако
вследствие сопротивления воздуха тело, начиная с не-
некоторого момента времени, падает равномерно или, как
говорят в таких случаях, падает «с установившейся ско-
скоростью». Всякое тело, достаточно долго падавшее в воз-
воздухе, движется затем с установившейся скоростью, так
как при падении у тела все время увеличивается скорость
под действием силы тяжести, но возрастает и сила сопро-
сопротивления воздуха, которая с некоторого момента стано-
становится равной по величине силе тяжести. Начиная с этого
момента, тело движется с установившейся скоростью. Ве-
Величину этой скорости можно считать прямо пропорцио-
пропорциональной весу тела и обратно пропорциональной наиболь-
наибольшей площади его поперечного сечения. Так, если увели-
увеличить радиус падающих шаров, сделанных из одного и
того же материала, то величина установившейся скорости
растет пропорционально кубу радиуса, а уменьшается об-
— 72 —
ратно пропорционально квадрату радиуса. Следовательно,
установившаяся скорость больших шаров больше, ма-
маленьких — меньше. При прочих равных условиях шар
большего радиуса достигает поверхности земли скорее,
чем шар меньшего радиуса.
Установившаяся скорость тяжелых тел (например, мощ-
мощных авиационных бомб, сбрасываемых с высоты 5—6 км)
равна 300 м/сек, установившаяся скорость человека в за-
затяжном парашютном прыжке составляет приблизительно
55 м/сек, дождевых капель — 7—8 м/сек.
Задача 30.
С одинаковой высоты одновременно начали падать кир-
кирпич и полкирпича. Какое тело скорее достигнет поверх-
поверхности земли?
Решение. Поверхности земли скорее достигнет то тело,
у которого средняя скорость падения больше, т. е. у ко-
которого больше величина установившейся скорости паде-
падения (даже если в данной задаче она и не достигается).
Если разломить кирпич пополам, то его наибольшее
поперечное сечение уменьшается вдвое (вдвое возросла
величина установившейся скорости), но вдвое же умень-
уменьшается и вес кирпича (вдвое уменьшилась установившаяся
скорость). В результате оба действующих фактора компен-
компенсировали друг друга. Следовательно, кирпич и полкир-
полкирпича упадут на землю одновременно.
§ 6. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
Изложение методов решений каждой задачи приводит
к выводу, что решать задачу следует в общем виде (в бук-
буквах) и лишь затем, проверив полученный результат всеми
доступными способами, можно переходить к вычислению
неизвестного.
Но прежде чем перейти к механической подстановке
в найденную общую формулу заданных величин и к после-
последующим формальным математическим действиям, все тре-
требуемые величины необходимо сначала выразить в неко-
некоторой единой системе единиц и затем подставить их в фор-
формулу ответа вместе с размерностями. Размерность неотде-
неотделима от числа, и все математические действия, совершае-
совершаемые с числами, производятся и с размерностями. В ре-
результате должно получиться число с той размерностью,
— 73 -
которая соответствует единице измерения искомой вели-
величины в выбранной системе единиц.
В настоящее время введена Международная система
единиц СИ (ГОСТ 9867—61). Однако в некоторых учеб-
учебниках и справочниках используются еще системы еди-
единиц СГС и МКГСС. Поэтому следует рассмотреть построе-
построение этих систем и единицы измерения основных физических
величин, применяемых в этих системах.
Система СГС. Основными единицами в этой си-
системе являются единица длины— сантиметр (см), единица
массы — грамм (г) и единица времени — секунда (сек).
Единица силы — дина (дин) является производной еди-
единицей. Из второго закона механики следует размерность
дины —^Щ-. Диной называется сила, сообщающая
массе в 1 г ускорение в 1 см/сек2.
1 дин — самая маленькая единица силы во всех применяющихся
системах единиц. Например, «сила тяги» муравья примерно равна
100 дин. Кулоновская сила взаимодействия между протоном (ядром
атома водорода) и электроном, обеспечивающая орбитальное движение
электрона, равна 9» 10~3 дин. Сила притяжения между Землей и Луной
составляет 2,3-1025 дин.
За единицу работы и энергии принимается эрг. Раз-
Размерность эрга —г'см2 следует из формулы работы А =
= F-s, где F — сила, совершающая работу на пути s.
Эргом называется работа силы в 1 дин на пути в 1 см.
Система СИ, в основу которой положена систе-
система МКС. Основными в этой системе являются единица
длины — метр (ж), единица массы — килограмм (кг) и
единица времени — секунда (сек).
Производной является единица силы, которую назы-
называют ньютоном (н). Размерность ньютона кг^ . Нью-
Ньютоном называется сила, сообщающая массе в 1 кг ускоре-
ускорение в 1 м/сек2. Согласно этому определению
1 н== 1 ка-1 -^г = 105 дин-
Единицей работы и энергии является джоуль (дж).
Размерность джоуля—кгм2 . Джоулем называется работа
силы в 1 н на пути в 1 м. Согласно этому определению
1 дж = 1 нЛ м = 107 эрг.
— 74 —
За единицу мощности принят ватт (вт). Ваттом назы-
называют работу в 1 дж, совершенную за 1 сек:
1 вт = 1 дж/сёк.
Система МКГСС. Основными единицами в этой
системе являются единица длины — метр (ж), единица
силы — килограмм (кГ), единица времени — секунда (сек).
Производной является единица массы, которую назы-
называют технической единицей массы (т. е. м.). Это такая
масса,.которой сила в 1 кГ сообщает ускорение в 1 м/сек2.
Размерность т. е. м.— .
Сила в 1 кГ — это такая сила, которая телу массой
в 1 кг сообщает ускорение g ж 9,80665 м/сек2 (на широте
45° на уровне моря), т. е.
1 кГ ед 1 кг-9,81 м/сек2. A)
Из определения единицы т. е. м. следует:
1 кГ = 1 т. е. м.Л -^г- B)
Следовательно,
1 т. е. м. = 9,81 кг\
1 кг = 0,102 т. е. м.
Из равенства A) или B) легко получить зависимость
1 кГ = 9,8Ы0б дин.
В технике широко пользуются единицей силы в 1 кГ.
В этих единицах вычисляют нагрузки мостов, деталей
машин, определяют силу тяги различных моторов.
За единицу работы и энергии, в системе МКГСС при-
принимается кйлограмм-сила-метр (кГ-м)—работа силы
в 1 кГ на пути в 1 м:
1 кГ-м = 1 кГЛ м = 9,81 нЛ*м = 9,81 дж\
за единицу мощности — килограмм-сила-метр в секунду
(кГ-м/сек). Часто употребляется единица мощности — ло-
лошадиная сила (л. с):
Цс, = 75 — « 736 вт.
сек
Мощность машин и механизмов, как правило, выра-
выражают в лошадиных силах.
— 75 —
Задача 31.
Тело весом 3 кГ движется со скоростью 2 м/сек. Опре-
Определить кинетическую энергию тела в системах единиц СГС,
СИ и МКГСС.
Решение. Из определения единицы силы в системе
МКГСС следует, что тело весом п кГ имеет массу, равную
п кг. Следовательно, тело весом 3 кГ имеет массу, равную
3 кг или 3-103 г. Находим кинетическую энергию тела в си-
системе СГС:
mv
3-103 г
B.10* J2L
\ сек
сек*
в СИ:
mv*
Зкг.
B— V
\ сек )
= 6
кг-м2
сек2
6 дж\
и в системе МКГСС, в которой масса тела выражается
в т. е. м. C кг = 3-0,102 т. е. м.):
W
mv*
~2~
= 0.612-
3-0,102
сек
сек*
= 0,612 кГ-м.
Единицы измерений физических величин в СИ
Наименование
величины
Единица
измерения
Соотношение между
внесистемными единицами
и единицами СИ
Длина
Масса
Время
Термодинамическая
температура
Сила электрического
тока
Сила света
Основные единицы
метр (м)
килограмм (кг)
секунда (сек)
градус Кельвина
ампер (а)
свеча (се)
1 м = 102 см
1 кг = 103 г =
= 0,102 т. е. м.
См. стр. 228
76 —
Продолжение
Наименование
величины
Единица
измерения
Соотношение между
внесистемными единицами
и единицами СИ
Плоский угол
Телесный угол
Сила, вес
Удельный
Дополнительные единицы
радиан (рад)
стерадиан
(стерад)
Производные единицы
Механические единицы
вес
Рабата и
Мощность
энергия
Давление
ние)
(напряже-
ньютон (н)
ньютон на куби-
кубический метр (н/м3)
джоуль (дж)
ватт (вт)
ньютон на квад-
квадратный метр
(н/м2)
1 килограмм-сила
A кГ) = 9,80665 н
1 дина (дин) = 1(Н н
1 килограмм-сила на
кубический дециметр
A кГ/дм*) =
= 9,80665-103 н/м9
1 килограмм-метр
(кГ-м) = 9,80665 дж
1 эрг — 1С дж
1 килограмм-метр
в секунду (кГ-м/сек) —
= 9,80665 вт
1 лошадиная сила
(Л. с.) = 735,499 вт
1 эрг в секунду
(эрг!сек) = 10~7 вт
1 техническая атмо-
атмосфера (атм) =-
= 980 665 н/м2
1 физическая атмосфера
(am) = 101 325 н/м2
1 мм рт. ст. =
= 133,322 н/м2 =
— 13,5952 мм вод. ст.
1 лш вод. ст. =
= 9,80665 н/м2
Тепловые единицы
Количество теплоты
Удельная
кость
теплоем-
Удельная теплота фа-
фазового превраще-
превращения, химической
реакции
джоуль (дж)
джоуль на кило-
килограмм-градус
[дж/(кг-град)]
джоуль на кило-
килограмм (дж/кг)
1 калория (кал) —
= 4,1868 дж
1 килокалория (ккал) =
= 4186,8 дж
1 килокалория на кило-
килограмм-градус
[ккал! (кг-град)] =
= 4186,8 дж/(кг-град)
1 килокалория на кило-
килограмм A ккал/кг) =
= 4186,8 дж/кг
- 77 -
Продолжение
Наименование
величины
Единица
измерения
Соотношение между
внесистемными единицами
и единицами СИ
Электрические и магнитные единицы
Количество электри-
электричества (электриче-
(электрический заряд)
Напряженность элек-
электрического поля.
Разность электриче-
электрических потенциалов,
электрическое на-
напряжение, электро-
электродвижущая сила
Электрическая ем-
емкость
Работа и энергия
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность ма-
магнитного поля
Индуктивность и вза-
взаимная индуктив-
индуктивность
кулон ^ (/с) или
ампер-секунда
(а-сек)
вольт на метр
(в/м)
вольт (в)
фарада (ф)
джоуль (дж)
вебер (вб)
тесла (тл) или
вебер на квадрат-
квадратный метр (вб/м2)
ампер на метр
(а/м) или ампер-
виток на метр
(аз/м)
генри (гн)
\ электрическая едини-
единица количества электри-
электричества (СГС^) =
= З-Ю"9 к
1 электрическая едини-
единица напряженности
(СГС?) = 3-104 в/м
1 электрическая едини-
единица разности потенциа-
потенциалов (СГСц) = 300 в
1 электрическая едини-
единица емкости (см) =
= 9-Ю11 *
1 киловатт-час
(квт-ч) = 36-Ю5 дж
1 электрон-вольт (эв) =
= 1,60207-Ю-19 дж
1 максвелл (мкс) =
= Ю-8 вб
1 гаусс (гс) — 10"*4 тл
103
1 эрстед (э) = -j— а/м
1 сантиметр (см) =
= 10"9 гн
Глава III
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
§ 7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Закон сохранения энергии в своем наиболее общем виде
является результатом обобщения огромного эксперимен-
экспериментального материала, накопленного многими поколениями,
главным образом в связи с безуспешными попытками со-
создать вечный двигатель. В наше время закон сохранения
энергии рассматривается как фундаментальный закон при-
природы, лежащий в основе самых разнообразных явлений,
протекающих в космическом пространстве, в мире атома,
в глубине живой клетки.
В своем наиболее общем виде закон утверждает, что
энергия не создается и не исчезает, а переходит из одной
формы в другую в эквивалентных отношениях.
Здесь имеются в виду все возможные формы энергии:
механическая, химическая, электрическая, энергия элек-
электрических и магнитных полей, электромагнитного излу-
излучения, ядерная энергия. Энергия, являясь наиболее об-
общей характеристикой физической системы, определяется
в механике, как способность тел совершать работу. При
этом переход физической системы из одного состояния
в другое сопровождается изменением ее энергии.
Величины, характеризующие состояние системы, на-
называются параметрами.
В механике состояние системы в данный момент вре-
времени определено, если для этого момента известны поло-
положения тел (координаты) и их скорости (координаты и ско-
скорости — параметры механической системы). Если все па-
параметры системы в конце концов приняли свои прежние
значения, то это означает, что система вернулась в свое
исходное состояние. Изменения энергии системы описы-
описываются уравнениями, построенными на законе сохранения
энергии. Такие уравнения выражают процессы, протекаю-
протекающие в физической системе при переходе ее из одного со-
состояния в другое, и, следовательно, являются наиболее
общими и достоверными суждениями при решении задач.
В механике и молекулярной физике рассматриваются
лишь кинетическая, потенциальная и внутренняя энергии
— 79 —
тел, причем под внутренней энергией понимают кинети-
кинетическую и потенциальную энергию всех частиц тела: мо-
молекул, атомов, электронов и т. д. Соответственно рассма-
рассматриваются три типа сил: силы упругой деформации и гра-
гравитационные силы, вызывающие изменение кинетической
и потенциальной энергии, и силы трения, обусловливаю-
обусловливающие переход энергии движения во внутреннюю энергию
тел. В пределах действия этих трех типов сил закон сохра-
сохранения энергии принимает свой частный случай и форму-
формулируется следующим образом: сумма кинетической, по-
потенциальной и внутренней энергии замкнутой механиче-
механической системы есть величина^ постоянная.
Однако во многих задачах механики силами трения
пренебрегают и рассматривают лишь гравитационные и
упругие силы. Для таких систем закон сохранения энер-
энергии формулируется следующим образом: сумма кинети-
кинетической и потенциальной энергии замкнутой механической
системы есть величина постоянная.
Кинетическая энергия — энергия движущегося тела —
независимо от типа силы, вызвавшей движение, всегда
выражается одной и той же формулой
2 *
где т — масса тела, v — его скорость.
Вид формулы потенциальной энергии — энергии, обу-
обусловленной положением тела, зависит от характера сил,
с которыми взаимодействуют между собою тела. Например,
энергия т^ела, поднятого над полом на высоту h, равна
(относительно пола)
Wn = mgh;
потенциальная энергия сжатой пружины равна
где k — коэффициент жесткости, S — величина сжатия.
Закон сохранения механической энергии является част-
частным случаем общего закона сохранения, сформулирован-
сформулированного в начале параграфа. Однако в то же время он является
следствием основных законов механики. Остановимся на
этом важном факте несколько подробнее.
Пусть тело массы т двигалось со скоростью vx. Внеш-
Внешняя сила /, действовавшая на тело в течение времени т,
изменила его скорость с величины vx до величины v2.
Подсчитаем работу силы / на пути s, пройденном точкой
приложения силы за время ее действия т:
где Л?/ — изменение энергии тела.
Аналогичный результат получается и для системы тел.
В этой связи закон сохранения механической энергии
можно сформулировать в более общем виде следующим
образом: изменение полной энергии механической системы
при переходе ее из одного состояния в другое равно работе
внешних сил.
Если на тело или механическую систему никакие внеш-
внешние силы не действуют (/ = 0), то AU = 0. Это означает,
что энергия замкнутой механической системы остается
величиной постоянной.
Поскольку закон сохранения механической энергии
является следствием основных законов механики, прин-
принципиально возможна их взаимозаменяемость при реше-
решении ряда задача одну и ту же задачу можно решать, при-
применяя или закон сохранения механической энергии, или
основные законы механики.
Задача 32.
Камень весом Р — 2 кГ> свободно падая с высоты h =
= 5 м, вдавливается в мягкий грунт на глубину s = 5 см.
Определить среднюю силу удара.
Решение. 1-й способ. Движение камня в почве можно
считать равномерно замедленным, так как рассматривается
неизменное (среднее) значение силы сопротивления F со
стороны грунта. Сила F, сообщающая камню некоторое
р
замедление а, равна F = — а. Поскольку скорость камня
о _____
в момент приземления равна v = V^2gh, а на глубине s м
- 81 -
она равна нулю, то замедление камня в течение времени т
равно
Глубина проникновения камня в почву s = 2g т,
откуда находим время т и подставляем его в выражение
для F. В результате получаем
2-й способ. За счет потенциальной энергии камня со-
совершается работа против силы сопротивления почвы:
Ph = F.s,
где F — среднее значение силы, откуда
'-¦?••
Производим вычисления:
F = 5-10"» ж = 1960 Н'
Задача 33.
Из орудия, вес ствола которого Р = 450 кГ, стреляют
в горизонтальном направлении. Вес снаряда Рг = 5 кГ,
его начальная скорость v = 450 м/сек. При выстреле ствол
откатывается на длину s = 45 еж. Определить среднюю
силу торможения, возникающую в противооткатном
устройстве орудия.
Решение. 1-й способ. Средняя сила сжимающих пру-
пружин F обусловливает равномерно замедленное движение
ствола, т. е. F = —а, где а—величина замедления ствола.
*) В условии задачи время т не дано, однако никогда не следует
бояться вводить в рассмотрение новую, пусть неизвестную величину,
так как в дальнейшем новое неизвестное либо выпадет (в результате
сокращения или приведения подобных членов), либо в комбинации
с другой величиной даст новую, уже известную или заданную величину.
В данном случае введенное новое неизвестное легко выражается через
заданные величины.
— 82 ~
Обозначив начальную скорость ствола через и, можно
написать
F- р и
где т — время сжатия пружины при отдаче. Однако
s = -у- т и тогда
Г "" g 2s *
Величину и определяем, пользуясь законом сохране-
сохранения количества движения:
Р Pt
U = ^-У,
g g '
откуда
и F^
2-й способ. Кинетическая энергия ствола полностью
переходит в работу по сжатию пружин:
Ри* Р
откуда средняя сила сжатия равна
Из закона сохранения количества движения опреде-
определяем и = -р- v. В результате имеем
__ ру
Производим вычисления
E-9,8 «JD50 —У
F = ^ ^ = 12 500 н.
2.9,8-^- -45-Ю-2 ж-450-9,8 н
Нетрудно^ заметить, что обе задачи были решены ко-
короче и проще в результате применения закона сохранения
— 83 —
энергии. Это и понятно, уравнение баланса энергии вслед-
вследствие своей общности автоматически охватывает все те
стороны процесса, которые требуют своего выражения не-
несколькими частными уравнениями, если идти другим пу-
путем. В сложных задачах это различие выступает еще более
ярко. Поэтому способ построения уравнения энергети-
энергетического баланса является не только более удобным и
простым, йо и более надежным методом решения.
Задача 34.
Легкий стержень длины / с двумя шариками массы т1
и т2 (т2 = 2т1) на концах может вращаться около оси,
ориентированной горизонтально, и проходящей через се-
середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень при-
приводят в горизонтальное положение и отпускают. Опре-
Определить скорости шариков в момент прохождения стержнем
вертикального положения.
Решение. Делаем чертеж (рис. 21). Выразим переход
системы из состояния I—I в состояние II—Ц с помощью
энергетического уравнения.
Больший шарик т2, переместившись из начального
положения в конечное, полностью истратил свою потен-
потенциальную энергию Wnt 5= ^г^.-у- В то же время мень-
меньший шарик т1 поднялся на высоту -^-, накопив потен-
потенциальную энергию Wnl = mxg -у, и шарики т1 и т2
приобрели некоторую линейную скорость v. Следова-
Следовательно,
I
I
L
Рис. 21
/77,
2
откуда
Поскольку /n2
получаем
171% -\- ttli
= 2mx, окончательно
— 84 —
Было бы ошибкой пытаться решить эту задачу каким-
либо другим элементарным способом. Дело в том, что ша-
шарики движутся неравномерно ускоренно, поскольку мо-
момент силы тяжести, приводящий систему во вращение,
изменяется от величины fn2g-^ Щё-^- (состояние I—I)
до нуля (состояние II—II).
Задача 35.
Через гладкий гвоздь, который вбит в стену, переки-
перекинута однородная нить длины /. Концы нити находятся на
одной горизонтали. Если слегка потянуть за один конец,
нить придет в движение. Определить скорость нити в тот
момент, когда она полностью соскользнет с гвоздя.
Решение. Делаем чертеж (рис. 22). В начальном поло-
положении центр массы сложенной пополам нити находится на
горизонтали аа, отстоящей от горизонтали а'а' и точки О
(где вбит гвоздь) на расстоянии — (толщиной гвоздя пре-
пренебрегаем). Когда нить полностью соскользнет с гвоздя,
она вытянется во всю свою длину вдоль вертикали и ее
центр массы окажется на горизонтали а'а'. В результате
центр массы системы опустится на высоту -j-.
Потенциальная энергия центра масс tng-r-{tn — масса
всей нити) переходит в кинетическую энергию -Щ--, где
v — скорость центра масс и, следовательно, скорость всей
нити, т. е. имеем
/ mv2
откуда
• - /?• I
Здесь, как и в предыдущей задаче,
неприменимы другие элементарные ме-
методы решения, так как нить движется ?'
неравномерно ускоренно. Рис. 22
— 85 —
q a Задача 36.
"Т—
\
С края горизонтального сто-
я' ла полностью свешивается одно-
однородная материальная нить мас-
массы т и длины /. Какую работу
необходимо затратить, чтобы
Рис. 23 вытянуть нить на стол? Трение
отсутствует.
Решение. Известно, что работа в поле силы тяжести
не зависит от формы пути, а зависит лишь от величины
кратчайшего расстояния между начальным и последующим
горизонтальными уровнями.
В начальном положении центр тяжести нити (точка О')
лежит на горизонтали а'а! (рис. 23). Возьмем нить за ко-
конец и отведем ее, вращая вокруг точки закрепления О
так, чтобы нить вытянулась вдоль горизонтального уровня
стола (линия аа). В результате центр тяжести нити ока-
окажется поднятым на высоту-^-, а потенциальная энергия
нити возрастет на величину Д Wn = tng-^- % Величина Д Wn
и есть та работа, которую необходимо затратить, чтобы
каким-либо образом (без трения) вытянуть нить на столе1).
Задача 37.
Легкий шкив (рис. 24) скреплен в центре (точка О)
с двумя легкими взаимно перпендикулярными спицами и
укреплен на горизонтально расположенной оси, прохо-
проходящей через точку О. На концах спиц находятся четыре
небольших одинаковых шарика массы т каждый. Расстоя-
1) Строгое математическое решение этой задачи может быть выпол-
выполнено только интегральным методом. Пусть q — плотность нити, рассчи-
рассчитанная на единицу ее длины. Выделим на нити элемент длины dy,
расстояние которого до плоскости стола равно у. Работа по подъему
элемента нити dy на высоту у будет
dA = q dy g-y = pgy dy.
Работа по вытягиванию всей нити равна
J
0
где т — масса всей нити, равная q/.
- 86 -
ния между шариками и осью вращения
равны /. Радиус шкива г. На шкив на-
намотана легкая нить, к концу которой
привязан груз' массы т0, находящийся
в начальный момент на высоте h0 от
земли. По освобождении системы шкив
начинает вращаться, а груз т0 прибли-
приближается к земле. Считая удар груза
о землю абсолютно неупругим, опре-:
делить, на какую высоту hx подни-
поднимется груз т0 после того, как нидъ
снова начнет наматываться на шкив.
Решение. В начальном положении,
когда система еще покоится, она обла-
обладает запасом потенциальной энергии,
равным Wn = mogho. По освобождении
шкива он начинает раскручиваться, а
груз т0 движется к земле. Потенциаль-
Потенциальная энергия системы Wn переходит в кинетическую энер-
энергию вращающихся шариков и в кинетическую энергию
груза т0. Составляем уравнение баланса энергии:
f-^, 0)
Рис. 24
где и — линейная скорость каждого шарика массы т
в момент соприкосновения груза т0 с поверхностью земли,
v — конечная скорость груза т0.
Теперь необходимо выразить математически вторую
часть условия: груз т0 неупругЪ соударяется с поверх-
поверхностью земли, после чего нить вскоре начинает наматы-
наматываться на шкив и груз т0 поднимается на некоторую вы-
высоту h^
В результате абсолютно неупругого удара кинетиче-
*^р- переходит в тепловую форму
4ти2
ская энергия груза
и система обладает лишь кинетической энергией 2 у
которая переходит в потенциальную энергию груза т0 по
поднятии его на высоту Ль т. е.
4/7Ш2 , /пч
mgb B)
В уравнениях A) и B) выразилось условие задачи в наи-
наиболее общем виде, однако этих двух уравнений недоста-
- 87 -
точно для решения задачи, так как в них фигурируют три
неизвестных величины: Лх, v и и. Такая неопределенность
обусловлена тем, что конкретные особенности данной за-
задачи, связанные с характером движений тел т и га0, тре-
требуют конкретного кинематического выражения. Действи-
Действительно, общие уравнения A) и B) могут описывать и дру-
другую задачу, где имеют место аналогичные энергетические
превращения, связанные, однако, с другими движениями
тел, т. е. в сущности уравнения A) и B) могут удовлетво-
удовлетворять не одной, а многим разным задачам. Эта мысль иллю-
иллюстрируется при разборе следующей задачи № 38.
Для того чтобы уравнения A) и B) выражали именно
условие рассматриваемой задачи, необходимо написать
соотношение между скоростями и и v, отражающее харак-
характер движений заданных тел. Искомое соотношение легко
получить из того соображения, что угловая скорость со
вращения шкива и спиц одна и та же, т. е. со = — и
со = -^-, откуда следует, что
vl = иг. C)
Решая совместно уравнения A), B) и C), находим иско-
искомое значение:
и — 4mh°12
1 m0r2 + 4т/2 '
Задача 38.
Шарик с массой т0 падает с высоты /г0 (рис. 25) в вы-
выемку «а», сделанную в вершине вертикально расположен-
расположенного стержня А. Стержень А передает удар двум горизон-
горизонтальным стержням В и Су которые создают горизонталь-
горизонтальные импульсы шарикам с массами т и М соответственно.
Шарик т ударяет шарик такой же массы, подвешенный на
нити длины /, ориентированной в начальный момент вре-
времени вертикально. В результате центрального упругого
соударения второй шарик массы т отскакивает, отклоняя
нить на некоторый угол а. Шарик массы М, покоившийся
вначале на краю стола высоты Я, приобретя импульс от
стержня С, падает затем на пол.
Определить угол а и кинетическую энергию шарика М
при его соприкосновении с полом.
— 88 —
О-т
\
Рис. 25
Считать, что в результате соударений энергия, не рас-
рассеиваясь в тепловую форму, передается от одних тел к дру-
другим полностью. Шарик /и0, попав в выемку «а», не подпры-
подпрыгивает.
Решение. Потенциальная энергия шарика /л0, равная
в результате толчка со стороны горизонтальных
стержней В и С полностью переходит в кинетическую энер-
энергию шариков т и М:
mv2 . Ми2 /1/ч
где v и и — начальные скорости соответственно шари-
шариков т и М.
Кинетическая энергия первого шарика т полностью
переходит в потенциальную энергию второго шарика т,
когда нить подвеса второго шарика отклоняется на иско-
искомый угол а. (После удара первый шарик т останавли-
останавливается. Рекомендуется- это доказать самостоятельно.)
Поэтому можно записать:
B')
где hx — высота, на которую поднимается центр тяжести
отклонившегося шарика.
Уравнения (Г) и B') выразили поставленную задачу
в наиболее общем виде, охарактеризовав те энергетические
— 89 -
изменения, которые произошли в рассмотренной системе.
Однако эти уравнения совпадают с уравнениями A) и B)
задачи № 37 и, следовательно, являются неопределен-
неопределенными, так как удовлетворяют разным задачам. Эта не-
неопределенность заключается в том, что в эти два уравнения
входят три неизвестных величины А1э v и и (как и в за-
задаче № 37). Поэтому необходимо выявить характер дви-
движения тел системы и составить еще одно — третье урав-
уравнение, дающее математическую связь между скоростями
тел, характерную только для данной задачи.
Рассмотрим рис. 25. Стержни В к С очень легки, а кон-
конструкция всего приспособления такова, что силы, дей-
действующие в момент соударения горизонтальных стерж-
стержней В и С с шариками т и М, а также время соударения
в том и в другом случаях одинаковы. Значит, равны им-
импульсы сил, равны и количества движений шариков:
mv = Ми. C')
Теперь, решая совместно уравнения (Г), B') и C'), на-
находим hlt vy и.
Далее из рис. 25 легко видеть, что hx = / — /cos a,
откуда
а = arccos П j- J.
Можно рассуждать и так. Поскольку mghx = —х—, то
mg (I — / cos a) = Щ- , откуда
а = arccos A —^J ) >
однако этот результат можно было получить непосред-
непосредственно из первого выражения для а, подставив туда
вместо hx величину -|~ (см. § 2, п. 2).
Определим теперь кинетическую энергию шарика М
в момент его соприкосновения с полом. В этот момент
шарик имеет горизонтальную скорость и и вертикальную
скорость Y*lgH . Полная кинетическая энергия W шарика
равна сумме кинетических энергий его горизонтального и
вертикального движений:
— so —
Это утверждение основано на принципе независимости
движений.
Иногда находят* сначала полную скорость тела vny
а затем определяют кинетическую энергию по формуле
2
2
р-. Такой подход принципиально ошибочен. Дело в том,
что скорости являются векторными величинами и склады-
складываются геометрически, тогда как энергия — скалярная
величина. Скалярные величины складываются алгебраи-
алгебраически.
В рассматриваемом случае и верный, и неверный путь
решения приводит к одному и тому же результату, но это,
конечно, случайное совпадение, обусловленное тем, что
шарик массы М одновременно участвует в двух взаимно
перпендикулярных движениях.
§ 8. ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ КАТЯЩЕЙСЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ
Определим полную энергию материальной окруж-
окружности !), катящейся без проскальзывания вдоль горизон-
горизонтальной плоскости со скоростью v.
Любая точка окружности одновременно участвует
в двух движениях: поступательном (относительно плос-
плоскости качения) и вращательном (вокруг геометрического
центра окружности). В соответствии с этим каждая мате-
материальная точка окружности имеет в любой момент вре-
времени две скорости — поступательную, направленную па-
параллельно плоскости качения, и линейную скорость вра-
вращения, направленную по касательной к окружности. И та,
и другая скорости по абсолютной величине равны v>
т. е. равны той скорости, с которой перемещается
вдоль плоскости качения геометрический центр окруж-
окружности.
^ Попробуйте полную энергию любой материальной точки окруж-
, mv2
- ности определить по формуле -^—, где v — полная скорость рассма-
рассматриваемой точки. Вы придете к ошибочному выводу, что полная энергия
каждой точки окружности непрерывно меняется, то уменьшаясь, то
возрастая (в пределах от 0 до 2ти2, так как v — поступательная ско-
скорость окружности меняется от 0 до 2v\ см. § 3, п. 3).
— 91 -
Полная энергия любой материальной точки окружности
равна сумме кинетических энергий поступательного и вра-
вращательного движений:
I
где индекс I указывает, что т является массой любой
1-й материальной точки. Сумма энергий всех материаль-
материальных точек окружности равна полной энергии W катя-
катящейся материальной окружности. Поскольку в окруж-
окружности содержится бесконечно большое число точек, то
i
& lim
но
где M — масса материальной окружности, и, следова-
следовательно,
w —
откуда попутно следует, что кинетическая энергия по-
поступательного движения материальной окружности равна
кинетической энергии ее вращательного движения.
Полная энергия катящейся без проскальзывания ма-
материальной окружности равна W = Mv2, где v — ско-
скорость перемещения точки центра масс окружности вдоль
плоскости качения.
Конечно, образ «материальная окружность» является
идеализацией реальных объектов природы, однако он иг-
играет такую же роль, как «материальная точка», «абсолютно
упругое» или «абсолютно неупругое» тело, «абсолютно
твердое» тело и др. В ряде задач, например, можно пре-
пренебречь толщиной кольца по сравнению с его радиусом и,
следовательно, считать, что масса кольца распределена
в «достаточно тонком» слое, т. е. практически в бесконечно
— 92 —
тонком слое. К такому кольцу с пренебрежительно малой
ошибкой можно применить результаты, полученные для
материальной окружности.
Принципиально иная задача возникает, если толщина
кольца соизмерима с его радиусом. В этом случае для опре-
определения кинетической энергии качения необходимо ввести
новое понятие — «момент инерции» тела.
Задача 39.
Кольцо, масса которого равномерно распределена
в весьма тонком слое, один раз свободно скатывается без
проскальзывания с наклонной плоскости высоты й, а дру-
другой раз свободно соскальзывает плашмя с вершины той же
наклонной плоскости. Пренебрегав трением качения и тре-
трением скольжения, определить конечную скорость кольца
в том и другом случаях.
Решение. Когда кольцо соскальзывает с наклонной
плоскости плашмя, вся потенциальная энергия кольца
переходит в кинетическую энергию его поступательного
движения, т. е. mgh = —к—, откуда конечная скорость
кольца равна
Когда кольцо скатывается, его начальная энергия mgh
в равных частях расходуется на поступательное и враща-
вращательное движения, т. е.
mv2 . mv2
откуда конечная поступательная скорость кольца равна
Полученный результат, во всяком случае качественно,
нетрудно было предвидеть: поступательная скорость
кольца должна быть меньше в том случае, когда оно ска-
скатывается, так как часть потенциальной энергии расхо-
расходуется на кинетическую энергию вращательного движения.
Задача 40.
Кольцо радиуса г, скатываясь по наклонной поверх-
поверхности, описывает в ее основании мертвую петлю радиуса R
(рис. 26). Определить, на какую минимальную высоту,
— 93 —
Е
Рис. 26
считая от центра петли,
было поднято кбльцо.
Масса кольца равномерно
распределена в достаточно
тонком слое. Трением ка-
качения пренебречь.
Решение. В исходном
положении I (рис. 26)
кольцо обладает потенци-
потенциальной энергией mgH, где
т — масса кольца, Я =
= О'В — высота поднятия
центра тяжести кольца
над горизонтальной ли-
линией О"В (О" — точка, в которой находится центр тяже-
тяжести кольца в положении II — наинизшем положении
кольца в петле). В положении II кольцо обладает пол-
полной кинетической энергией, равной mgH.
В положении III кольцо оказывается на высоте
2(R — г). При этом за счет энергии mgH совершается,ра-
совершается,работа mg»2 (R — г). Однако нельзя утверждать, что полная
энергия кольца в положении II целиком переходит в по-
потенциальную энергию 2mg (R — г). Если бы это было
так, то кольцо, исчерпав весь запас энергии, упало бы
из наивысшего положения III йГ положение II вдоль верти-
вертикали, не описав вторую часть петли. Чтобы кольцо спу-
спустилось в положении II по второй части петли, оно должно
иметь в положении III некоторую скорость поступатель-
поступательного и вращательного движений, т. е. обладать некоторой
кинетической энергией ту2. Следовательно, уравнение
баланса энергии должно быть записано в виде
mgH = 2mg (R — r) + mv\
где v — скорость движения кольца в наивысшей точке
петли.
Скорость v может иметь разные значения, так как
кольцо может скатываться с разных высот и всякий раз
описывать в конце спуска мертвую петлю. Однако суще-
существует такая величина скорости и, при меньших значе-
значениях которой кольцо упадет, не пройдя второй части
петли. Этому минимальному значению v соответствует
некоторая минимальная высота, на которой находится
кольцо.
— 94 —
Как же математически выразить это требование?
Кольцо, находясь в положении III, должно прижиматься
к внутренней поверхности петли с силой, большей своего
веса или равной ему. При этом центростремительная сила,
действующая на кольцо со стороны обода петли, должна
равняться весу кольца, т. е.
Если это условие выполняется, то можно вычислить
минимальное значение скорости v и, следовательно, ту
минимальную высоту, спускаясь с которой кольцо еще
может описать заданную мертвую петлю.
Следовательно,
mgH = 2mg (R-r) + mg (R - r),
откуда
H = 3 (R - r).
Искомая высота, считая от центра петли, равна
h = Н — (R — г), т. е. h = 2(R — г).
% 9. УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ УДАРЫ
1. Упругий удар
Абсолютно упругим ударом называется такое кратко-
кратковременное взаимодействие тел, после которого тела пол-
полностью восстанавливают свою первоначальную форму,
а величина их суммарной кинетической энергии не из-
изменяется.
Упругий удар возникает при столкновении таких тел,
у которых силы противодействия зависят только от ве-
величины деформации, но не зависят от скорости деформа-
деформации. В подобных телах упругие силы действуют до тех
пор, пока деформации не исчезнут и тело не восстановит
своей первоначальной формы. В реальных телах упругая
сила противодействия всегда зависит и от величины де-
деформации, и от скорости изменения деформации *). Однако,
для ряда тел силами противодействия, обусловленными
только скоростью изменения деформаций, можно прене-
пренебречь по сравнению с величиной; упругой силы, вызывае-
^ Силы, зависящие от скорости деформаций, по своей природе
подобны силам трения.
~- 95 -
мой самой деформацией. Такие тела считают упругими.
К упругим телам можно отнести слоновую кость и ряд
высококачественных марок сталей.
Во время удара тела деформируются и часть кинетиче-
кинетической энергии (или вся кинетическая энергия) переходит
в потенциальную энергию упругой деформации тел. Од-
Однако в конце удара упругие тела восстанавливают свою
первоначальную форму полностью, вследствие чего про-
происходит обратный процесс перехода потенциальной энер-
энергии в кинетическую. В результате сумма кинетических
энергий тел остается величиной постоянной, тогда как
скорости тел после удара становятся, вообще говоря, раз-
различными.
Задача 41.
Определить скорости, приобретенные шарами после
центрального упругого удара, если массы шаров т1 и m2, a
их скорости до соударения соответственно равны vt и v2.
Решение. Воспользуемся законами сохранения энер-
энергии и количества движения
J mxv\ + m2v\ =-= mxv{* + m2v2\
\ mxvx + т(р2 = mxv[ + m2v'2,
^ и v'2 — скорости первого и второго тела после удара.
Решая полученную систему J>, находим:
v' — ("h — гпг) ул + 2т2аа , = (т2 — тх) v2
1 тъ + тъ '2 mi_)_m
) Систему уравнений A) можно предварительно упростить следую-
следующим способом"!
10/2 ,2 9
mxv[ — m1t;1 = m2v2 — т2У2,
т^ = m2v'2 — m2v2\
+ V'l) = Щ (V2 - V2) (V2 + V2)>
После почленного деления одного уравнения на другое получаем новую
систему
+ v[ = v2 + v2.
- 96 -
Задача 42.
Найти изменения кинетической энергии AW и им-
импульса Ар тела в результате его упругого удара о стенку.
Тело и стенка движутся в одном и том же направлении
равномерно со скоростями vx и v2 соответственно (vx >u2)-
Масса тела тъ масса стенки m2 > тх.
Решение. Иногда рассуждают так.
Масса стенки бесконечно велика и потому стенка после
удара сохранит свою скорость v% неизменной. Изменится
лишь скорость тела. Поскольку в момент соударения тело
движется, прижавшись к стенке, со скоростью v2, ско-
скорость тела изменяется на величину vx — v2, а так как
удар упругий, то тело отскочит от стенки со скоростью
vi — V2- Следовательно,
Вывод неверен, так как правильно начатое рассужде-
рассуждение незакончено.
Тело действительно отскочит от стенки со скоростью,
по абсолютной величине равной vt — v2f т. е. приобретет
в результате удара скорость — (vx — v2) = v2— vx (ско-
(скорость — векторная величина, и изменение направления
на противоположное должно фиксироваться изменением
знака).
Однако тело сохранит в первоначальном направ-
направлении скорость равную v2, так как соударение тела
и стенки произошло при их относительной скорости
vi — V2> a тело двигалось со скоростью vv Следова-
Следовательно, после удара тело будет двигаться со скоро-
скоростью v2 — (v± — v2) = 2v2 — vx. Направление движе-
движения тела зависит от соотношения между величинами
2и2 и vv
Приведем другой способ рассуждений.
Масса тела тъ масса стенки т2* Найдем скорости,
приобретенные стенкой и телом после упругого удара, и
затем потребуем, чтобы масса т2 была бесконечно велика,
т. е., получив значения скоростей v[ тела и v'2 стен-
стенки после упругого удара, перейдем к пределу при
т2 -> оо.
4 Зак. 1180 — 97 —
Значения скоростей v[ и щ уже найдены в задаче № 41.
Скорость тела в данной задаче после удара о стенку равна
m2
скорость стенки после соударения с телом равна
lim -^
т»-»оо
-f-
Изменение кинетической энергии и импульса тела те-
теперь легко находятся из соотношений
тА
Ар = /пх Bу2 — ух) — m^i.
Окончательно получим
AW = 2тх (ия — ух) у2, Ар = 2/Пх (у2 — ух).
Из этих соотношений в частности следует, что если
тело с бесконечно большой массой покоится, то AW = О
и Др == —2m1v (см. задачу № 19, если, положить а = 0).
Однако открытым остался вопрос: куда исчезла после
удара часть кинетической энергии тела, если скорость
стенки осталась прежней?
Поскольку удар упругий и переход энергии в тепловую
форму отсутствует, необходимо сделать вывод, что часть
кинетической энергии, потерянной телом, израсходова-
израсходовалась на работу по перемещению стенки с постоянной ско-
— 98 -
ростью v2 во время удара. Значит, стенка движется в вяз-
вязкой среде, сила трения которой равна силе взаимодействия
между телом и стенкой во время удара. Физической ил-
иллюстрацией к сказанному может служить поршень в го-
горизонтально расположенном цилиндре, движущийся под
действием расширяющегося газа. Масса поршня неиз-
неизмеримо больше массы каждой молекулы. Молекулы, до-
догоняя поршень, ударяют в его днище и отскакивают, по-
потеряв часть своей кинетической энергии. Таким образом,
поршень, преодолевая трение, движется за счет кинети-
кинетической энергии молекул газа. В результате газ охлаж-
охлаждается.
2. Неупругий удар
Неупругим называется такой удар, в результате ко-
которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются
одинаковыми, а величина их суммарной кинетической
энергии уменьшается.
Неупругий удар происходит между телами, в которых
силы противодействия зависят только от скорости дефор-
деформации, но не зависят от величины деформации. Тела,
обладающие такими свойствами, называют неупругими.
К неупругим телам можно отнести пластилин, мягкую
глину.
Все эти тела легко деформируются небольшими уси-
усилиями, если скорость деформации невелика. Однако,
если с силой бросить, например, глиняный шарик об пол,
шарик отскочит и деформация его будет невелика. За-
Зависимость сил противодействия только от скорости* де-
деформации (в некоторых реальных телах — в основном
от скорости деформации) обусловливает специфику неупру-
неупругого удара.
Представим себе два неупругих шарика, летящих вдоль
одной прямой друг за другом, причем второй шарик на-
настигает первый. При соударении шариков между ними
возникают расталкивающие их силы тем более значитель-
значительные по величине, чем быстрее сжимаются шарики. В ре-
результате скорость первого шарика возрастает, скорость
второго уменьшается, однако в момент, когда скорости
шариков становятся равными, деформации перестают на-
нарастать, и силы противодействия исчезают. Шарики про-
продолжают движение с одинаковыми скоростями, находясь
— 99 —
в соприкосновении друг с другом и сохраняя приобретен-
приобретенные^ во время столкновения деформации.
При упругом ударе наоборот: в момент выравнивания
скоростей упругие силы деформации не исчезают, так как
шарики еще деформированы. В результате скорости ша-
шариков вновь становятся различными, после того как их
деформации исчезают полностью.
Поскольку при неупругом ударе возникают остаточ-
остаточные деформации и тела не восстанавливают свою преж-
прежнюю форму, часть кинетической энергии тел теряется,
превращаясь в тепловую форму.
Задача 43.
Определить потерю кинетической энергии при неупру-
неупругом центральном ударе двух шаров, если их массы тх и
т2, а скорости до удара соответственно равны vx и v2.
Решение. Искомая потеря кинетической энергии AW
равна разности между суммами кинетических энергий
шаров после удара и до удара:
= (mi + т2) у* _ «V? _ пи/%
где v — скорость шаров после соударения.
Скорость v легко найти из закона сохранения коли-
количества движения:
m1v1 + m2v2 = (т1 + т2) v,
откуда
Тогда получим
§ 10. МОЩНОСТЬ
Мощностью называют величину, численно равную отно-
отношению работы ко времени, за которое эта работа совер-
совершена:
юо
При этом подразумевается, что точка приложения силы
F, совершающей работу, перемещается равномерно, т. е.
А = p.s = F- vty и, следовательно,
N = F-v. B)
По формуле B) обычно вычисляют мощность машин
и механизмов.
В случаях, когда точка приложения силы перемещается
с переменной скоростью, мощность, рассчитанная по
формуле A), приобретает смысл средней величины, так
как за равные промежутки времени в этом случае совер-
совершается разная работа. Средняя мощность, вычисленная
за отрезок времени At \-гг> где АЛ — работа, совершен-
совершенная за время At), тем меньше отличается от других сред-
средних значений мощности, вычисленных внутри данного
отрезка (например, за время -=- и т. д.], чем меньше ве-
величина At. При неограниченном дроблении At неограни-
неограниченно уменьшается и величина АЛ. В результате отноше-
ние -дт- настолько мало4 начинает отличаться от прочих
средних значений мощности внутри А/, что никакими
приборами не удалось бы эти различия выявить. Начиная
А Л
с такого значения А/, отношение -ду- при Д/-> О можно
считать величиной постоянной. Практически получена
мощность в некоторый момент времени, к которому стя-
стянулся отрезок At. Рассуждая более строго, мощность
в данный момент времени — это lim -ту-, т. е. производ-
производило АГ
Пая от работы по времени.
Физически понятие «мощность в данный момент вре-
времени» означает, что, если, начиная с данного момента,
работа, совершаемая за равные промежутки времени,
станет впредь одинаковой, то, начиная с этого момента,
АЛ
отношение -^ для любых разных отрезков времени At
станет величиной постоянной. Такая интерпретация сле-
следует из формулы B), где скорость v может быть рассмо-
рассмотрена как мгновенная. Действительно, мгновенной ско-
скоростью называется скорость, с которой двигалось бы тело,
если бы, начиная с данного момента, его движение стало
равномерным.
- 101 -
Таким образом, если, например, точка приложения
силы,, совершающей работу, перемещается равномерно
ускоренно из начального положения, где ее начальная
скорость v0 = О, приобретая в конце отрезка времени t
скорость v, то мощность, развиваемая в последний момент
времени, равна
N' = F- v.
Средняя мощность на отрезке времени / равна N =
= —, где А — вся произведенная работа за время t.
Поскольку А = F-s = F* vcpt = F»~ *> то средняя мощ-
мощность за время t также равна
Сравнивая формулы для N' и Л/, заключаем, что N' =
Задача 44.
Какую мощность развивает во время бега спортсмен,
если через 2 сек он приобретает скорость 9 м/сек? Масса
спортсмена 70 кг.
Решение. Средняя мощность спортсмена на дистанции
равна
1Г ~ mv* /икг'Ь17е1? 70.81 кг-м*
" ~~ t ~~ 2t ~~ 2-2 сек "~ 4 сек3
^1418 вт*&2 л. с.
Находим мощность, развитую спортсменом в конце
2-й секунды:
При решении задач, связанных с работой машин и ме-
механизмов, часто приходится пользоваться понятием «по-
«полезная мощность», которая равна
N = N' — ДАТ,
где ЛГ — мощность, потребляемая данной машиной,
AN' — часть потребленной мощности, израсходованной
на преодоление сил трения в самой машине во время ее
работы.
— 102 —
Таким образом, полезная мощность — это та часть
от передаваемой машине мощности, которая отдается
машиной обратно и может быть израсходована на совер-
совершение полезной работы. Отношение -jp-, выраженное
в процентах, называют коэффициентом полезного действия
машины или механизма.
Задача 45.
Вертолет весит 3 Т. На подъем его тратится 30% мощ-
мощности мотора. Определить мощность мотора вертолета,
если он может подняться на высоту 1500 ж за 2 мин.
Движение вертолета считать равномерным.
Решение. Поднявшись на высоту h за время /, вертолет
совершил работу mgh и развил полезную мощность рав-
равную -^S—. Если N' — искомая мощность мотора, то,
согласно условию, полезная мощность равна
Nn = Of. = О.ЗЛГ,
откуда
3.103 1сг.9,8-?Ц.15.10» м
\Tt fngh сек2 1Л лс та
N = оЖ = 0,3-120 шс = 12,25.105 вт.
Г л а в а IV
СТАТИКА
§ 11. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В статике рассматриваются два вида сил: объемные
и поверхностные.
Объемными или массовыми силами называются силы,
действующие на все материальные точки тела. Этот тип
взаимодействий между телами возникает, когда тела дей-
действуют друг на друга через посредство поля, которое они
образовали.
В задачах, решаемых методами статики, из массовых
сил наиболее часто встречается сила тяжести, реже —
кулоновские и магнитные силы (обычно такие задачи отно-
относят к разделам, излагающим электричество и магнетизм).
Равнодействующая сил тяжести всех материальных
точек тела равна сумме этих сил и называется весом
тела. Точка приложения веса называется центром тяже-
тяжести тела.
Поверхностные силы возникают при действии тел
друг на друга непосредственным соприкосновением. Точ-
Точкой приложения поверхностных сил является точка сопри-
соприкосновения тел.
При решении задач статики точки приложения сил
можно переносить по линиям их действия. Этот принци-
принципиальный момент лежит в основе графических методов
решения. Возможность таких переносов вытекает из по-
понятия «абсолютно твердого тела» или просто «твердого
тела». В статике рассматриваются только твердые тела
(см. стр. 63).
Основным свойством твердого тела является его спо-
способность оказывать ответное воздействие в соответствии
с третьим законом механики, не испытывая при этом
никаких деформаций. В реальных телах взаимодействия
связаны с деформациями, и перенос точек приложения
сил по линиям их действия изменяет картину распределе-
распределения деформаций в теле. Однако во многих телах значи-
значительные по величине силы упругих деформаций обуслов-
обусловлены незначительными деформациями, которыми в усло-
условиях конкретной задачи можно пренебречь. К таким телам
— 104 —
можно применять условия равновесия, сформулированные
для твердого тела.
Рассмотрим условия равновесия для тел, на которые
действуют только сходящиеся силы. Силы, линии действия
которых пересекаются в одной точке, называются сходя-
сходящимися. В твердом теле сходящиеся силы можно отложить
от одной точки.
1-е условие равновесия. Для равновесия
тела, находящегося под действием системы сходящихся
сил, необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма
этих сил равнялась нулю.
Здесь имеется в виду наиболее общий, пространствен-
пространственный, случай расположения действующих сил (когда силы
не лежат в одной плоскости).
В различных практических вопросах часто рассматри-
рассматривается плоская система трех сил, для которой нетрудно
доказать следующую теорему: если тело под действием
трех сил, лежащих в одной плоскости, находится в равно-
равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной
точке.
При решении задач с учетом общего условия равнове-
равновесия 1 удобно пользоваться правилом силового треуголь-
треугольника, которое заключается в следующем.
Пусть на тело (рис. 27, а) действует плоская система
трех сходящихся сил Flf F2> F3, но тело не находи?ся под
действием этих сиЛ в равновесии. Складывая эти силы
по правилу параллелограмма (рис. 27, б), находим их
равнодействующую R. Можно, однако, поступить не-
несколько иначе. Отложим сначала силу Fi, затем от ее
конца силу F2 и от конца силы F2— силу F3 (рис. 27, в).
Такая операция называется построением плана сил. При
этом все силы вычерчиваются в масштабе и откладываются
в строгом соответствии с их действительными направле-
направлениями. На рис. 27, в равнодействующая R, замыкая
ломаную, составленную из сил Fx, F2, F3, образует че-
четырехугольник (см. рис. 3). При равновесии тела R = О
и силовой четырехугольник превращается в силовой
треугольник. В этих случаях часто одной из действующих
на тело сил является сила тяжести, а две другие — силы
реакции со стороны связей.
Рассмотрим вопрос о реакциях связей. Связями на-
называют тела, стесняющие свободу движения данного тела.
Реакция связи — это сила, возникающая по третьему
закону механики со стороны связи. Например, тело, ле-
лежащее на наклонной плоскости, испытывает в то же время
ответное воздействие (реакция опоры) со стороны пло-
плоскости, которая не дает телу двигаться под действием
силы тяжести вдоль вертикали. В этом случае наклонная
плоскость играет роль связи.
Если тело опирается на поверхность и трение отсут-
отсутствует, то реакция со стороны поверхности всегда прило-
приложена к телу вдоль прямой, перпендикулярной к поверх-
поверхности в точке соприкосновения поверхности с телом. Так,
в случае тела, скользящего вдоль наклонной плоскости,
реакция опоры направлена по перпендикуляру к плоскости
наклона. В общем случае, когда тело соприкасается с про-
произвольной поверхностью в некоторой точке А (рис. 28, а),
реакция N перпендикулярна к касательной к этой поверх-
поверхности в точке А. При наличии трения, кроме нормальной
реакции N, возникает реакция Fy представляющая собой
силу трения и лежащая на касательной к соответствующей
кривой, ограничивающей поверхность плоской фигуры
или связи в точке А (рис. 28, б). Если тело лежит на на-
наклонной плоскости (рис. 28, в), то полная реакция связи N'
1
Рис. 28
— 106 —
Рис. 29
складывается из силы N, рав-
равной по величине силе нор-
нормального давления тела на
плоскость (mgcos а), и
силы F, представляющей
собой силу трения между
телом и плоскостью.
Задача 46.
Однородная балка весом
Р, находящаяся в равнове-
равновесии, опирается на угол сте-
стены В (рис. 29, а) и одним
своим концом упирается
в угол А. На угол В балка
давит с силой Р' и составляет с вертикальной гранью
угла В угол а. Определить реакции угла А и стены В.
Решение. Уточним, какие силы действуют на балку.
На балку действуют сила тяжести Р и две реакции опоры:
реакция угла А и реакция угла В (рис. 29, а). Реакция
угла Л, равная А/, складывается из реакций Nx и N2
его граней, которые перпендикулярны каждая к своей
грани. Направление N определится из соображения, что
силы Л/, Р (вес балки) и N' (реакция угла В, перпендику-
перпендикулярная к балке и равная по величине Р') должны, пере-
пересекаться в одной точке (точка О на рис. 29, а).
Для определения величины N построим соответствую-
соответствующий силовой треугольник (рис. 29, б), из которого находим
N = ]/>2 + ЛГ2 — 2Р N' cos (90 — а) ==
= ]/>2 + Р'2 — 2РР' sin а.
Задача 47.
Фонарь весом Р подвешен на проволоке над серединой
улицы шириной /. Допустимое натяжение проволоки Т.
Какова должна быть высота крепления концов проволоки,
чтобы точка крепления фонаря находилась на высоте h
над землей?
Решение. Сделаем чертеж, отображающий задачу в це-
целом (рис. 30, а). Иногда предлагают сразу же построить
и силовой треугольник под предлогом, что его все равно
— 107 -
'/////////////////////У.
Рис. 30
необходимо строить.
Однако такой подход
методологически вреден:
он вносит элемент сти-
стихийности в решение,
когда, рассматривая за-
заданные в условии вели-
величины, стараются уга-
угадать, как скомбиниро-
скомбинировать из них ответ.
На рис. 30, а иско-
искомая высота Я = А + АЛ,
где ДА = -y-tga, т. е.
#=/*+-^-tg а. Теперь ясно, что для определения
угла а надо строить силовой треугольник (рис. 30, б).
Из рис. 30, б следует, что tg a = „г и» следова-
следовательно,
Принципиальный интерес представляет собой следую-
следующий вывод. Пусть A -> #, т. е. ДА уменьшается до нуля.
Поскольку
Pi
где Р и I — постоянные величины, величина Т должна
неограниченно возрастать и сделаться бесконечно большой
при ДА = 0. Физически условие ДА = 0 означает, что
проволока не растяжима (она натянута строго параллельно
мостовой, без прогиба), а условие Т -> оо говорит о том,
что фонарь своим весом вызвал неограниченно большое
по величине натяжение проволоки. При этом (как это
видно из выражения для ДА) вес фонаря Р может быть
сколь угодно малым. Отсюда нетрудно сделать вывод,
что нерастяжимые шнур, канат или проволока могут быть
оборваны сколь угодно малым усилием. Понятие «нера-
«нерастяжимый» — аналог «абсолютно твердого». Возникший
парадокс напоминает нереальность объекта (абсолютно
твердого тела), для которого сформулированы общие усло-
— 108 -,
вия равновесия. В действительности даже значительные
усилия не разрывают канатов потому, что, несмотря на
малые, часто недоступные глазу деформации, возникают
достаточные упругие силы противодействия.
Из 1-го условия равновесия вытекает важное для ре-
решения задач следствие: для равновесия тела, находяще-
находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо
и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на лю-
любое направление равнялась нулю 1К
Задача 48.
Клин заколачивают в бревно. Клин имеет при вершине
угол а. Каков должен быть коэффициент трения, чтобы
клин не выскакивал из бревна?
Решение. Делаем чертеж (рис. 31). (Весом клина пре-
пренебрегаем.) На щеки клина действуют силы нормального
давления N со стороны полена и силы трения /. Клин
может двигаться только вдоль вертикали АА. Спроекти-
Спроектируем на эту вертикаль все силы, действующие на клин.
Поскольку клин находится в равновесии, то сумма про-
1) Общее условие равновесия твердого тела в векторной форме
записывается так:
где R — равнодействующая всех п сходящихся сил.
Однако выражение A) можно выразить в проекциях на оси
координат следующим образом:
1
п
^ = 2^ = 0, B)
п
1
где FiXi Fiy, Fiz — проекции любой силы F$ на координатные оси
х, у и z.
Из формуя B) следует сформулированное утверждение.
— 109 -
екций всех действующих на него сил на вертикаль АА
должна равняться нулю:
но / = kN и, следовательно, k = tg-|-.
Покажите самостоятельно, что найденное значение k является ми-
минимальным. Клин не выскочит из бревна также и при всех других k,
больших, чем tga, т. е. что ?>t
Рис. 31
Задача 49.
Рис. 32
Тяжелый шар весом Р, привязанный за нить, конец
которой прикреплен в некоторой точке Оъ находится
в равновесии на наклонной плоскости с углом наклона a
(рис. 32). Нить O2Oi образует с перпендикуляром к на-
наклонной плоскости угол <р. Трение отсутствует. Опре-
Определить силу, с которой шар давит на плоскость.
Решение. На шар действуют сила тяжести Р, натяже-
натяжение шнура Г, реакция опоры N (рис. 32). Выберем прямо-
прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс
совпадала с линией наклона плоскости 1>.
Спроектируем все действующие на шар силы на ось ОХ:
—mg sin a + Т sin q> = О,
х) Направления координатных осей можно выбирать произвольно;
например,, продолжить линии лрямого угла наклонной плоскости и
принять их за оси координат. Важно только, чтобы выбранная система
координат максимально упрощала составление уравнений, необходи-
необходимых для решения задач: чтобы большее число сил проектировалось
в точку, чтобы возможно более легко находились углы, определяющие
проекции сил, действующих на тело.
— ПО —
и на ось 0Y:
—mg cos a + N + Т cos ф = 0.
Решая полученную систему, нахо-
находим значение N, равное по третьему
закону искомой силе, с которой шар Рис. 33
давит на наклонную плоскость:
дг ^ Р sin (ф — а)
sin ф
Из полученной формулы, если она верна, должны
вытекать два частных случая (рис. 32). 1) N = Р cos a,
когда точка Ог лежит на оси ОХ, т. е. если нить натянута
параллельно наклонной плоскости (ф=4н; 2) N = 0,
если направление нити совпадает с направлением дей-
действия силы тяжести (ф = а).
2-е условие равновесия. Для равновесия
твердого тела, закрепленного на оси, необходимо и до-
достаточно, чтобы сумма моментов всех действующих на
тело сил равнялась нулю.
Моментом силы М называется произведение силы F
на плечо d. Плечом называют расстояние от оси вращения
до линии действия силы (рис. 33). Момент силы — вектор-
векторная величина. Положительными считаются моменты, вра-
вращающие тело по часовой стрелке, а отрицательными —
вращающие тело против часовой стрелки. При таком опре-
определении под суммой моментов сил, действующих на тело,
следует понимать алгебраическую сумму, которая может
быть равна положительному числу (тело вращается по
часовой стрелке), отрицательному числу (тело вращается
против часовой стрелки), нулю (тело находится в равно-
равновесии).
Задача 50.
Рабочие медленно спускают с наклонной плоскости
груз, положенный на тележку. Как легче спускать груз,
прикладывая усилия к корпусу тележки или к верхним
частям обода колес?
Решение. И в том, и в другом случаях для равномерного
спуска тележки необходимо на каждом ее колесе уравно-
уравновесить момент силы, равный -j- P sin a« R, где Р sin а —
— 111 —
скатывающая сила, действующая на груз и тележку, Р —
общий вес тележки и груза, R — радиус каждого колеса
тележки (см. §3, п. 3). Если прикладывать общее усилие F
к ^корпусу тележки, то плечом этой силы опять-таки будет
радиус колес, так как толкать в корпус все равно, что
толкать в оси колес:
F-R = Р sin а-Я,
откуда
F = P-sin a.
Если прикладывать усилие / к верхним частям колес,
то плечом силы на каждом колесе будет не /?, а 2/?, тогда
f-2R = Psin a-/?,
откуда
/=-~-sina.
Итак, груз, лежащий на тележке, в два раза легче
спускать с наклонной плоскости, прикладывая усилия
к верхним частям обода колес, чем к корпусу тележки.
Задача 51.
Цилиндр весом Р удерживается на наклонной пло-
плоскости при помощи двух нитей, огибающих цилиндр.
Одна пара концов нитей закреплена на наклонной пло-
плоскости, другая — над плоскостью (рис. 34, а). Считая
верхние части нитей ориентированными вдоль вертикали,
определить натяжение / каждой нити. Угол наклона
плоскости a = 30°.
Решение. 1-й способ. Для равновесия цилиндра не-
необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов двух сил /
и силы Р (рис. 34, б) равнялась нулю. Точка О' лежит
на мгновенной оси вращения цилиндра (см. § 3, п. 3) и,
следовательно, моменты действующих на цилиндр сил
должны быть написаны относительно точки О'. Плечом
силы Р является отрезок О'О" = R sin a.
Плечом силы / будет О'О'" =/? + /? sin a. Запишем
уравнение моментов:
2/ (R + R sin a) — PR sin a = 0,
откуда
/— Psin a
' "~ 2 A + sin a) *
- 112 -
После вычислений получим /=-?-•
2-й способ. Выберем координатные оси ОХ и 0Y, как
указано на рис. 34, в, и спроектируем на них все силы,
действующие на цилиндр, учитывая, что цилиндр поддер-
поддерживается двумя веревками.
Сумма проекции всех сил на ось ОХ:
N sin а — 2/ cos а = О,
на ось OY:
2/ — Р + N cos а + 2/ sin а = О,
где N — реакция опоры.
Решая систему, находим искомую величину /:
* _ Р sin а __ Р
' ~~ 2 A + sin а) "" 6 #
§ 12. ВИДЫ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Различают три вида равновесия: устойчивое, неустой-
неустойчивое и безразличное.
Устойчивым равновесием называют такое состояние,
когда центр тяжести тела занимает наинизшее положение
- 113 -«
из всех других возможных близлежащих положений тела,
или (второе определение) устойчивым равновесием назы-
называют такое положение, находясь в котором, тело обладает
минимумом потенциальной энергии по сравнению с дру-
другими возможными близлежащими положениями.
Традиционным примером устойчивого равновесия яв-
является положение шарика, покоящегося на дне полу-
полусферы. Если сообщить такому шарику небольшой импульс
(толкнуть шарик), шарик сместится из своего равновес-
равновесного положения, но при этом возникает сила, которая
возвратит его обратно. Если трение мало, шарик неко-
некоторое время будет совершать затухающие колебания
вокруг своего положения устойчивого равновесия. Опи-
Описанный прием является удобным практическим правилом
для определения данного вида равновесия.
Неустойчивым равновесием называется такое состоя-
состояние, когда центр тяжести тела занимает наивысшее по-
положение из всех других возможных близлежащих поло-
положений тела, или (второе определение) неустойчивым равно-
равновесием называют такое положение, находясь в котором
тело обладает максимальной потенциальной энергией по
сравнению с другими возможными близлежащими по-
положениями.
Примером неустойчивого равновесия может служить
шарик, находящийся на вершине большого шара. Если
сообщить шарику малый импульс, шарлк сместится из
своего равновесного положения, и при этом возникнет
сила, которая еще дальше уведет шарик от его начального
положения. Неустойчивое равновесие очень трудно, под-
подчас невозможно осуществить в реальных условиях опыта,
так как случайные малые колебания стен и пола лабора-
лаборатории существенно препятствуют этому.
Безразличным равновесием называется такое состоя-
состояние, когда центр тяжести тела находится на такой же
высоте, как и в других возможных близлежащих положе-
положениях тела, или когда тело обладает такой же величиной
потенциальной энергии, как и во всех соседних положе-
положениях.
Примером безразличного равновесия является шарик,
лежащий на горизонтальной подставке. Если сообщить
такому шарику малый импульс, то, сместившись, шарик
останется на том же горизонтальном уровне, т. е. сохра-
сохранит свою потенциальную энергию неизменной.
— 114 —
Рис. 35
Задача 52.
Длина коромысла рычажных
весов 2/, вес коромысла Р, длина
стрелки D. Стрелка закреплена
в точке Ох центра тяжести коро-
коромысла. Если поместить на одну
из чашек перегрузок Plf то конец
стрелки отклоняется от верти-
вертикального положения на расстоя-
расстояние г. Определить расстояние
d=OxO центра тяжести коромысла
от ребра призмы (рис. 35).
Решение. Центр тяжести коромысла Ох лежит ниже
точки О призмы, на которую положено коромысло весов.
Поэтому равновесие сбалансированных весов является
устойчивым. Под действием перегрузка Ръ положенного
на правую чашу, коромысло поворачивается вокруг
точки О по часовой стрелке, и центр тяжести коромысла Ох
смещается влево от вертикали, проходящей через центр
вращения О. В результате возникает момент силы Р,
направленный против часовой стрелки и увеличиваю-
увеличивающийся по мере дальнейшего вращения коромысла. Усло-
Условием равновесия накренившегося коромысла является
равенство моментов сил Рх и Р. Плечо силы Рг равно
00" = I cos а, плечом силы Р будет 00' = ООХ sin а,
где а — угол поворота весов (угол между правым пле-
плечом коромысла и горизонталью). Для нахождения отрезка
ОХО = d составляем уравнение моментов:
Рх/ cos а = Pd sin a,
°ТКУДа л
Psina
но
sin a = -=r-, следовательно,
Задача 53.
На вертикальной оси укреплена горизонтальная
штанга, по которой могут свободно перемещаться два
груза с массами т1 и т2, связанные нитью длины /. Си-
Система вращается с постоянной угловой скоростью со.
— 115 -
Пренебрегая трением, опре-
определить:
1) на каких расстояниях от
оси вращения находятся грузы
в положении равновесия?
2) какое это положение рав-
Рис 36 новесия?
Решение. Делаем схемати-
схематический чертеж (рис. 36). В по-
положении равновесия грузы движутся по окружностям
благодаря силе натяжения Т связующей нити. Натяже-
Натяжение Т представляет собой центростремительную силу
одного и другого грузов 1):
Т = /Hi©2^ и Г = m2oJr
2.
Грузы, в свою очередь, растягивают нить каждый
с силой Т (сравните с задачей № 13). Поскольку m1(o2r1 =
= m2(o2r2 и гх + г2^= /, получаем
mjt пгг1
ri = ^ ¦ ^ и г2 =
Чтобы решить вопрос о виде равновесия, потянем
мысленно тела вдоль штанги, приложив усилие, напри-
например, к телу массы т2. Радиус г2 при этом будет увеличи-
увеличиваться, а радиус гх уменьшаться. Обозначим новые ра-
радиусы соответственно через г'2 и г[. Так как угловая
скорость со является неизменной, сила, с которой тело т2
растягивает нить (центробежная сила), возрастает, а
сила, с которой растягивает нить тело массы mlt наоборот,
уменьшается. Натяжение нити при новом положении
грузов станет равным т2ы2г'2 (см. задачу № 15). Однако
новое натяжение нити т2(д2г'2 теперь больше, чем т^г^
(центростремительная сила, действующая на массу т1
при новом положении грузов-). В результате масса т1
под действием силы т2(д2г'2 — т^г^ начнет двигаться
вдоль штанги к центру вращения. Одновременно и
вместе с тх в сторону от центра вращения начнет двигаться
тело /п2, которое растягивает нить с силой т2(о2г2. Но
нить не закреплена, нить сама смещается вдоль штанги
г) Для простоты предполагается, что концы нити закреплены в точ-
точках центров масс тел.
— 116 —
под действием разности центробежных сил и потому ее
натяжение, равное m2<u2r'v не может обеспечить телу т2
кругового движения по окружности радиуса г'2.
Из приведенных рассуждений следует, что грузы тх
и тг вначале находились в положении неустойчивого
равновесия.
Задача 54.
Почему на закруглениях трамвайных или железно-
железнодорожных путей внешний рельс кладется выше внутрен-
внутреннего?
Решение. Во время поворота на вагон действуют две
силы: Р — вес вагона я N — сила реакции опоры со сто-
стороны рельсов, обусловливающие центростремительную
силу /ц (их равнодействующая). Если вагон катится прямо-
прямолинейно, то оба рельса находятся на одном и том же гори-
горизонтальном уровне и силы Р и N равны по величине и
лежат на одной вертикали. Равнодействующая их равна
нулю. Чем внешний рельс выше внутреннего на закругле-
закруглении, тем с большей скоростью может поворачивать вагон,
так как величина /ц (давление на вагон со стороны рельс)
возрастает вследствие большего отклонения силы N от
вертикали. Вагон потеряет устойчивость и опрокинется
(за внешний рельс), если сила, с которой он будет давить
на рельсы, превзойдет по величине /ц, обусловленную
соответствующим наклоном вагона внутрь закругления.
§ 13. ПРОСТЫЕ МАШИНЫ
Простыми машинами являются такие приспособления,
при помощи которых перемещают тело против сил, про-
противодействующих движению, в результате применения
усилий, по величине меньших, чем эти силы. При этом
предполагается равномерное движение перемещаемого
тела. Поэтому характер действия простой машины выра-
выражается условием ее равновесия, а задачи на простые ма-
машины решаются либо через условие равновесия машины,
либо посредством применения «золотого правила» меха-
механики, являющегося частным случаем закона сохранения
энергии.
К простым машинам относятся рычаг, блок, клин,
винт и др.
— 117 —
Рис. 37
Рычаг. Рычаги бывают первого и второго родов
(рис. 37, а и б).
Условие равновесия рычага
/•а = Л6,
где / — сила, совершающая полезную работу против
силы F. Рычаг дает выигрыш в силе (-р) во столько раз,
во сколько раз плечо а больше плеча Ь.
Из числа прочих простых машин рычаг получил наи-
наиболее широкое распространение и встречается не только
в виде различных инструментов и орудий для перемещения
тяжестей, но и в комбинации с другими простыми маши-
машинами и в качестве деталей сложных машин и механизмов.
Блок. Неподвиж-
Неподвижный блок не дает вы- Q) m G)
игрыша в силе и упот-
ребляется лишь для из-
изменения направления
приложенной силы при
подъеме тяжестей. По-
Подвижный блок (рис. 38)
/////////////////У///////////
'/////////// '¦''//////. Л
Рис. 39
— 118 —
Рис. 40
дает выигрыш в силе в два раза, так как сила, совер-
р
шающая работу, равна / = -у, где Р — вес поднимаемого
груза.
Для подъема тяжестей употребляются также сложные
системы блоков — полиспасты. Полиспасты делятся на
обычные и степенные (рис. 39, а и б). Обычные полиспасты
с п подвижными и п неподвижными блоками (каждая
группа блоков укреплена в специальном держателе) дают
выигрыш в силе (-г-) в 2п раз, так как натяжение каждой
Р
нити системы равно -^—, где Р — вес поднимаемого груза
(рис. 39, а).
Степенной полиспаст дает выигрыш в силе (-*-)
в 2Л, где Р — вес поднимаемого груза, / — сила, совер-
совершающая работу, an — число подвижных блоков в си-
системе. Этот результат легко получить, рассматривая
рис. 39, б. Значительный выигрыш в силе — большое
достоинство степенного полиспаста, однако ввиду боль-
большой громоздкости он редко употребляется на практике.
Другой комбинацией блоков, часто встречающейся
в различных механических мастерских, является двойной
блок, или дифференциальный ворот (рис. 40, а). Разно-
Разновидностью дифференциального ворота можно считать
ворот для подъема воды из колодца (рис. 40, б).
— 119 —
Задача 55.
Какой выигрыш в силе дают ворот деревенского ко-
колодца (рис. 40, б) и дифференциальный йорот (рис. 40, а)?
Решение. 1. Условие равновесия ворота (колодца):
/•/ = /--Р, откуда следует, что для медленного подъема
ведра с водой из колодца необходимо к рукоятке прикла-
прикладывать силу /, во столько раз меньшую веса груза Р,
во сколько раз длина / рукоятки больше радиуса г де-
деревянного цилиндра.
2. Условие равновесия дифференциального ворота:
/.*+ -^.г--?-•/? = 0,
откуда искомое отношение
Р 2R
— -!>—;•
Этот же реаультат легко получить, применив «зо-
«золотое правило» механики: простая машина не может дать
ни выигрыша, ни проигрыша в работе, так как, "что вы-
выиграно в силе, то проиграно в пути, и наоборот (трением
пренебрегаем).
Будем считать силы, вращающие ворот по часовой
стрелке, положительными, а силы, вращающие ворот
против часовой стрелки,— отрицательными. Сделаем мыс-
мысленно полный оборот блоков. Алгебраическая сумма
совершенных при этом работ должна быть равна нулю,
согласно «золотому правилу» механики, т. е.
откуда
Р 2R
f - Я-/-'
Клин. Разновидностью клина, широко применяе-
применяемой при перемещении тяжестей, является наклонная
плоскость. Из «золотого правила» механики следует, что
работа по поднятию груза Р на высоту h вдоль вертикали
равна работе по перемещению этого груза на ту же вы-
высоту h вдоль наклонной плоскости с произвольным углом
— 120 —
наклона а (трением пренебрегаем). Это утверждение выте-
вытекает также из следующих простых рассуждений. Работа
по поднятию тела вдоль вертикали Ах = Ph, а вдоль
наклонной плоскости А2 = Р sina-/, где / — длина пло-
плоскости наклона. Поскольку / = ——, то А2 = Ph = Аг.
Полученный результат используется при доказатель-
доказательстве следующего важного положения: работа в поле силы
тяжести не зависит от формы пути, а зависит только от
кратчайшего расстояния между двумя горизонтальными
уровнями, на которых находилось тело, или работа в поле
силы тяжести по замкнутому контуру равна нулю.
Другой разновидностью клина является хорошо извест-
известный многим калун, применяемый при колке дров.
Из условия и решения задачи № 48 следует, что
в отличие от рычагов и блоков силы трения в некоторых
случаях применения клина как простой машины прин-
принципиально необходимы для удержания системы в равно-
равновесии.
Клин можно мысленно рассматривать как тело, со-
состоящее из двух наклонных плоскостей (обычной малой
высоты), сложенных вместе своими основаниями. Опре-
Определим, какой выигрыш в силе можно получить, приме-
применяя клин (рис. 41). Допустим клин загоняют в бревно,
прикладывая к его основанию силу /. Сила / во столько
раз меньше силы N (сила давления со стороны щек клина
на полено, когда клин его раздвигает), во сколько раз
длина основания клина d короче длины его щеки /:
Это условие следует из подобия тре-
треугольников ABC и А'В'С.
Таким образом, чем острее угол
клина, тем большую разрушающую силу
можно получить.
Винт действует подобно клину
или наклонной плоскости, но только
груз поднимается не по наклонной пря-
прямой, а по пологой винтовой линии. Раз-
Разновидностью винта является автомо-
автомобильный домкрат. Схематически устрой-
ство домкрата можно представить дебе
следующим образом. Рис. 41
— 121 —
2scr
Рис. 42
Возьмем цилиндр ради-
радиуса г и прямоугольный тре-
треугольник ABC с катетами h
и 2лг (рис. 42). Если навить
прямоугольный треугольник
на цилиндр, закрепив в осно-
основании цилиндра вершину тре-
треугольника С, то, когда точ-
точка В совместится с точкой. С,
закончится резьба, соответ-
соответствующая одному полному
обороту винта. Для построения резьбы второго оборота
необходимо повторить операцию, совместив точку С
второго прямоугольного д А'В'С\ равного Д ABC,
с точкой Л и т. д.
Расстояние, на которое переместится винт (или груз
в случае домкрата) при полном обороте винта (или при-
приспособления, поднимающего груз), называется шагом
винта. Шаг винта, изображенного на рис. 42, равен АВ =
= й.
Выигрыш в силе, получаемый винтом, легко найти из
соотношения «золотого правила» механики для наклонной
плоскости:
f.2nr = Phy
где / — сила, вращающая винт (или головку домкрата),
Р — сила сопротивления среды, где находится винт (или
вес поднимаемого груза). Сила / во столько раз меньше
силы Р, во сколько раз шаг винта h меньше длины диа-
диаметра винта.
Винты применяются для скрепления деталей (шурупы,
болты), в тисках и прессах и т. д. В тисках, прессах,
домкратах винт поворачивается не непосредственно за
головку, а при помощи более или менее длинной рукоятки.
В этих случаях налицо комбинация двух простых машин —
ворота и винта (клина).
Задача 56.
В винтовом прессе (рис. 43) винт имеет резьбу с шагом
h = 5 мм. В головку винта вделана рукоятка длины I =
= 40 еле. Пренебрегая трением, определить силу Д которую
нужно приложить к рукоятке, чтобы пресс давил с силой
Р = 10* н.
— 122 —
Решение. Вдоль резьбы
винта действуют две силы:
проекция силы / и проек-
проекция силы Р. На рис. 42
обозначим угол АС В тре-
треугольника через а. Сила /
действует параллельно
основанию винта и, сле-
следовательно, ее проекция
на направление СА рав-
равна f cos а. Сила Р дей-
Рис. 43
ствует вдоль цилиндрической поверхности винта, т. е.
параллельно катету АВ. Проекция силы Р на направле-
направление АС равна Psina. Условием равновесия винта
является равенство моментов этих сил относительно оси
симметрии цилиндрической поверхности винта:
С R
/cosa-/ = Pi
где СВ —длина окружности поперечного сечения винта,
откуда
* р ^ ев
но
где АВ = Л, следовательно,
Ph
Ph Ю
н-0,5 см
2-3,14-40 см
н.
Глава V
СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
§ 14. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
Два тела притягиваются друг к другу с силой, про-
пропорциональной их массам и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними:
A)
В такой математической записи закон тяготения Нью-
Ньютона справедлив для точечных тел или для однородных
тел шаровой формы. Точечными называют тела, линейные
размеры которых ничтожно малы по сравнению с их
взаимными расстояниями. Для шаровых однородных тел
закон тяготения в записанном выше виде можно приме-
применять независимо от того, соизмеримы или несоизмеримы
радиусы тел с расстоянием между ними. В случае шаровых
однородных тел расстояние г отсчитывается между геоме-
геометрическими центрами.
Коэффициент пропорциональности y называют гравита-
гравитационной постоянной. Из формулы A) следует, что грави-
гравитационная постоянная есть величина, численно равная
силе, с которой притягиваются друг к другу две единич-
единичные массы, находящиеся друг от друга на расстоянии,
равнрм единице длины. Величина и размерность у зави-
зависят от системы единиц, в которой вычисляется значение
силы тяготения.
Задача 57.
Гравитационная постоянная y в физической системе
единиц равна 6,67«1(Г8 см*/г*сек2: Выразить ее значение
в СИ.
Решение.
у = 6,67.КГ* с*/г-се# = 6,67-10"*
= 6,67. КГ11 м*/кг-сек2.
— 124 —
В системе единиц МКГСС
Y = 6,53-100 мЧкГ-сек*
(получите этот результат само-
самостоятельно).
Ньютон при выводе закона
всемирного тяготения опирался
на законы Кеплера. Законы
Кеплера получены чисто эмпи-
эмпирическим путем. Рис. 44
Первый закон Кеп-
Кеплера. Все спутники движутся по эллипсам, в одном из
фокусов которых находится центральное светило.
Эллипсы, по которым движутся планеты нашей солнеч-
солнечной системы, близки к окружностям. Поэтому в целом
ряде практических задач орбиты планет для простоты
считаются окружностями.
Второй закон Кеплера. При движении
спутника по орбите его радиус-вектор за равные проме-
промежутки времени описывает равные площади (рис. 44).
Здесь пути аЬ и а'Ь' проходятся спутником за равные
промежутки времени. Заштрихованные площади равйы.
Центральное светило находится в фокусе О.
Из этого закона вытекает, что линейная скорость
спутника на разных участках орбиты различна: она воз-
возрастает с приближением спутника к центральному светилу
и уменьшается с увеличением их взаимного расстояния.
Третий закон Кеплера. Квадраты вре-
времен обращения спутников относятся как кубы их средних
расстояний до центрального светила:
п -*г
Этот закон может быть получен при помощи закона
тяготения.
Действительно, центростремительной силой, обусловли-
обусловливающей движение спутников по орбите, является сила тяго-
тяготения, сообщающая спутникам центростремительное уско-
ускорение -^~, т. е.
тМ mv2
125 —
где М — масса центрального светила, т — масса спут-
спутника, v — линейная скорость спутника, R — расстояние
от спутника до центрального светила, у — гравитацион-
гравитационная постоянная.
Поскольку v = со/? = -^-R, где со — угловая ско-
скорость орбитального движения, для каждого спутника
получаем соотношение
уМ __ R*_
4я2 ~~ г2 '
Для двух разных спутников, вращающихся вокруг
одного и того же центрального светила, можно написать
уМ __ #i уМ _ ^2
"Зя2" ~~ 7|" И "St2" "" т\ У
откуда следует третий закон Кеплера.
Задача 58.
Определить период обращения Т искусственного спут-
спутника Земли, если средняя высота спутника над поверх-
поверхностью Земли h = 3000 км. Радиус R Земли считать
равным 6400 км.
Решение. В условии задачи не даны масса М Земли
и масса m спутника. Поскольку без этих величин невоз-
невозможно написать ни значение центростремительной силы,
ни закон тяготения, то их необходимо ввести. При этом
возможны два варианта: либо введенные неизвестные
величины в конце концов исчезнут в результате сокраще-
сокращения, приведения подобных членов, выражения неизвест-
неизвестных величин через величины, заданные в условии; либо
в ответе окажется величина, не заданная в условии, но
легко определяемая из таблиц.
Центростремительной силой, обусловливающей орби-
орбитальное движение спутника, является сила притяжения
спутника Землей. Полагая линейную и угловую скорости
спутника равными соответственно у и со, записываем
тМ __ mv*
Y (R + hf "" R + h > W
где v = со (R + h) = -~(i? + h). Следовательно,
— 126 —
Величина уМ может быть определена из таблиц. Однако
прежде чем обращаться к таблицам, следует попытаться
выразить уМ через величины, заданные в условии. Ис-
Используем частный случай, когда h = 0. Формально мате-
математически это возможно. Но что физически означает этот
случай? При h = 0 условие B) говорит нам, что спутник
движется (катится) по поверхности Земли со скоростью v.
Это, конечно, нелепо. Спутник может только лежать на
поверхности Земли перед запуском. Но когда спутник
лежит на Земле, он ведь тоже притягивается Землей.
Математически это выражается условием mg = у -^,
откуда уМ = gR2.
Окончательно получаем
т -
1 -
~/ т
где^ — ускорение свободного падения тел на поверхности
Земли (табличная величина).
Подставляя числовые значения, находим, что Т ж
« 134 мин.
Задача 59.
Определить, как изменяется ускорение свободного
падения в зависимости от высоты тела над поверхностью
Земли. Суточное вращение Земли не учитывается. Радиус
Земли R.
Решение. Поскольку суточное вращение Земли не
учитывается, тело, поднятое над поверхностью Земли на
высоту Л, давит на горизонтально ориентированную не-
неподвижную подставку с силой mg', равной силе, с которой
Земля притягивает данное тело, т. е.
=
(R + Kf '
где g' — ускорение свободного падения тела на высоте Л.
Деля почленно данное равенство на/п, и учитывая, что в не-
непосредственной близости от Земли й = 0и ускорение тела
vM
g = -^2~, получаем искомую зависимость
8' ==g (R + h)* •
- 127 —
Используя этот результат, можно предложить еще одно, более
простое решение предыдущей задачи № 58. Действительно, спутник
движется по своей орбите под действием центростремительной силы,
равной весу тела:
==mg =mg
Поскольку
получаем
Задача 60.
На сколько изменится ход маятниковых часов за сутки,
если эти часы перенести с поверхности Земли на высоту Л?
Период колебания маятника часов в начальном положе-
положении Го, радиус земли R.
Решение. Строим решение сначала в наиболее общем
виде. Для этого необходимо выяснить, почему и в каком
направлении (опережение по времени, отставание) изме-
изменится ход маятниковых часов с изменением высоты их
расположения.
Запишем формулу периода математического маятника
Т=2п У±,
где / — длина нити маятника, g — ускорение силы тяже-
тяжести в том месте, где находится маятник.
Поскольку величина g изменяется с высотой, изме-
изменяется при этом и период Т качаний маятника, изменяется,
следовательно, и ход часов. Если поднять маятник над
землей; уменьшится величина g, увеличится период кача-
качаний Т и часы замедлят свой ход. Пусть поднятые на не-
некоторую высоту h часы начнут отставать на Ат сек в сутки.
Обозначив новый период качаний через Т, а число секунд
в сутках через N, запишем решение задачи в наиболее
общем виде:
где -= число полных колебаний маятника часов за
сутки на высоте /i.
— 128 —
Начальный период Го = 2я 1/—, последующий период
—/— / /? \ 2
—, r№g = go\-jf+j) (см. предыдущую за-
g
дачу). Следовательно,
_ ол R + h I / / R +
итак,
л Nh
В заключение параграфа подчеркнем еще раз ширрту
обобщения в законе тяготения Ньютона. Универсальность
закона тяготения, его всемирный характер приводят к вы-
выводу, что поля тяготения вокруг других планет и звезд
принципиально ничем не отличаются от поля тяготения
Земли. Известно, например, что близ поверхности Земли
все тела независимо от их массы приобретают одинаковые
ускорения, что работа в поле силы тяжести Земли по зам-
замкнутому контуру равна нулю. Аналогичными свойствами
обладают и поля тяготения других тел вселенной. Эти
поля получили одно собирательное название «гравитацион-
«гравитационные поля».
Задача 61.
Определить ускорение, которое Солнце сообщает телам,
лежащим на поверхности Земли. Период обращения Земли
вокруг Солнца Г, радиус земной орбиты R.
Решение, Всем телам, лежащим на поверхности Земли,
Солнце сообщает такое же ускорение, как и самой Земле.
Это ускорение является центростремительным и выра-
выражается формулой
Зак. 1180 — 129
где v — орбитальная (линейная) скорость Земли. По-
Поскольку v = со/?, а со = -^-, получаем
"Ц ~ J2 ^-
В результате вычислений находим
Оц^ 6.10 jw/шс2.
§ 15. СУТОЧНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ
Земля вращается с Запада на Восток с угловой ско-
скоростью а) ^ 7,3-10~5 сек. Эта скорость невелика и на
большинство явлений, происходящих на Земле, не оказы-
оказывает заметного влияния. Однако при решении ряда прин-
принципиальных и практических вопросов вращением Земли
пренебрегать нельзя1).*
Остановимся на таком важном понятии как вес тела.
Часто весом называют силу, с которой Земля^притягивает
тело. Если бы Земля не вращалась, такое определение было
бы правильным. Однако она вращается, и поэтому точным
является другое определение: весом тела называют силу,
с которой тело давит на горизонтально ориентированную
подставку или растягивает нить подвеса, причем под-
подставка или нить подвеса относительно Земли неподвижны.
Рассмотрим тело, лежащее на поверхности Земли
(рис. 45). По направлению к центру Земли на тело дей-
тМ *
ствует сила тяготения у» -^-, сообщающая телу уско-
ускорение g*. Перпендикулярно к оси вращения Земли (О'О")
на тело действует-центростремительная сила mco2^ cos cp,
сообщающая телу ускорение g''. Вес тела mg равен гео-
геометрической разности между силами mg* и mgf, т. е.
mg = mg* — mg'.
^ Линейная скорость поверхностных точек Земли на экваторе
v & 450 м/сек. Это, конечно, большая скорость, хотя живыми суще- /
ствами она не ощущается. Вращение Земли доказано экспериментально
(классические опыты Фуко с маятниками); известен также ряд механи-
механических явлений, возникновение которых непосредственно связано с су-
суточным вращением Земли: образование обрывистых правых берегов рек,
текущих в северном полушарии с Севера на Юг, возникновение регу-
регулярных северо-восточных пассатов в северном полушарии и др.
— 130 —
На экваторе ?'^ояп?*>
а на широте Москвы или
Ленинграда gf « 490 ?*• Ес-
Если g принять равным g*9 то
допускается относительная
ошибка порядка 0,1% в се-
северных широтах и около
0,3%- на экваторе, что вполне
допустимо при решении мно-
многих практических вопросов.
Из рис. 45 видно, что век-
вектор g составляет с векто-
вектором g* некоторый угол а.
Угол а ничтожно мал, и если считать, что векторы g и g*
коллинеарны, т. е; лежат на радиусе к центру Земли,
то возникает относительная ошибка, которая значительно
меньше ошибки, допущенной при замене величины g на g*.
Задача 62.
Определить, как меняется вес тела в зависимости от
широты места. Радиус Земли R, угловая скорость враще-
вращения Земли со. Ускорение свободного падения тел на полю-
полюсах g*.
Решение. Делаем чертеж (рис. 46). Считаем ускорение
свободного падения g тел в любой точке земной поверх-
поверхности направленным по радиусу к центру Земли. Тогда
вес тела mg в любой точке А можно считать равным алге-
алгебраической разности между mg и проекцией центростре-
центростремительной силы mg' на радиус
Земли О А.
Поскольку mg' = тиР-АА', а
А А' = R cos ф, то имеем
mg = mg* — mco2 R cos2 ф.
Это выражение и будетv отве-
ответом задачи.
Ускорение тел близ поверхно-
поверхности Земли в зависимости от ши-
широты места изменяется, следова-
следовательно, по закону
Рис. 46 g = g* — оJ/? cos2 ф,
- 131 —
уменьшаясь от величины g* на полюсах до величины
g* —- со2/? на экваторе.
Некоторая сплющенность Земли у полюсов, возникшая
в результате вращения Земли вокруг своей оси, усиливает
эту закономерность, так как на полюсе тело ближе к цен-
центру Земли и испытывает более сильное притяжение, чем
на экваторе1). Из этого утверждения, однако, нельзя де-
делать вывод, что чем ближе к центру Земли, тем с большей
силой Земля притягивает тело. Наоборот, в центре Земли
вес тела равен нулю, т. е. имеет место состояние невесо-
невесомости, как в искусственном спутнике. Нельзя, следо-
следовательно, формально экстраполировать физические яв-
явления.
Закон тяготения в виде формулы A) § 14 справедлив
для любых однородных шаровых масс, находящихся на
любых расстояниях друг от друга, вплоть до их соприкос-
соприкосновения, но он не выполняется для случая проникновения
одной шаровой массы в другую. Если, например, пере-
перемещать шарик по узкому каналу к центру Земли, то вес
шарика начнет уменьшаться за счет нарастающего при-
притяжения со стороны окружающих пород, а в центре Земли
шарик будет притягиваться во все стороны одинаково,
и вес его станет равным нулю. Камень, брошенный в та-
такой сквозной желоб, начнет колебаться вокруг центра
Земли от одного ее края до другого.
Если вырезать в сплошном шаре концентрический шар
меньшего радиуса и как-то удалить его, то пустотелый
шар будет притягивать внешние телаг, как сплошной, только
с силой во столько раз меньшей, во сколько раз уменьши-
уменьшилась масса первоначального шара. Иными словами, опре-
определяя гравитационную силу между однородными шарами,
можно мысленно считать массы шаров сконцентрирован-
сконцентрированными в их геометрических центрах и применять закон
тяготения не в дифференциальной форме, а в виде
формулы F = у т1™2 , справедливой для материальных
точек.
** Из рис. 45 видно, что истинный вес тела, лежащего на поверхности
Земли, Р — mg может рассматриваться как сила давления верхних
слоев почвы на нижние. Проекция Р на касательную АВ и есть сила,
сплющивающая Землю в северном полушарии. В южном полушарии
все обстоит аналогично, в чем легко убедиться, сделав соответствующий
чертеж.
— 132 —
Задача 63.
Согласно одной из гипотез, Земля состоит из железо-
никелевого ядра и каменной оболочки. Плотность ядра
q0 ^ 8 г/см3, плотность оболочки qx « 3 г/см3. Определить
радиус предполагаемого ядра.
Решение. Из этой гипотезы вытекает, что сила, с кото-
которой Земля притягивает тела, лежащие на ее поверхности,
складывается из сил притяжения к ядру и к оболочке.
Ядро притягивает любое тело массы т с силой
где т1 — масса предполагаемого ядра, R — радиус Земли.
Каменная оболочка притягивает то же тело массы т
с силой
где т2 — масса каменной оболочки и R — радиус Земли.
Сила, с которой Земля притягивает тело, равна
Полагая вес тела приблизительно равным силе, с кото-
которой тело притягивается к Земле, записываем, что
где
Отсюда находим
4nyR (Q0 — Qx) f
после вычислений имеем Rx = 5370 км.
Глава VI
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 16. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ
Задачи, связанные с изменением внутренней энергии
тел, опираются на закон сохранения энергии.
Под внутренней энергией тела понимают сумму кине-
кинетических и потенциальных энергий всех частиц тела:
молекул, атомов, электронов и т. д. Поскольку тепловые
явления зависят лишь от скорости движений и взаимного
расположения молекул и не зависят от процессов, проте-
протекающих внутри атомов, в калориметрии под внутренней
энергией тела подразумевают лишь кинетическую и потен-
потенциальную энергию его молекул. О величине кинетической
энергии молекул судят по температуре тела (и наоборот).
Потенциальная энергия молекул друг относительно друга
является функцией их взаимных расстояний. Так как
взаимные расстояния между молекулами в твердых,
жидких и газообразных телах различны, внутренняя
энергия тел, находящихся при одной и той же температуре,
зависит от их агрегатного состояния. У тел, находящихся
в одном и том же агрегатном состоянии и при одной и той
же температуре, величины внутренней энергии будут раз-
различными, если различны поверхности этих тел. Действи-
Действительно, если размельчить кусок твердого тела или неко-
некоторый объем жидкости, то в поверхностных слоях окажется
гораздо больше молекул, чем прежде. На разрыв меж-
межмолекулярных связей затрачивалась некоторая работа,
превратившаяся в дополнительную потенциальную
энергию молекул поверхностных слоев. Таким обра-
образом, внутренняя энергия тел зависит еще и от их
формы.
Следовательно, внутренняя энергия характеризует
состояние тела. Изменение внутренней энергии взаимодей-
взаимодействующих тел находится в строгом соответствии с законом
сохранения энергии. На основе закона сохранения энер-
энергии записываются уравнения баланса энергии, в которых
показано, как происходит обмен внутренними энергиями
между телами.
— 134 —
Часть внутренней энергии, перешедшей от одного тела
к другому в результате теплообмена, называется коли-
количеством теплоты.
Под теплообменом понимают обмен внутренними энер-
энергиями без совершения работы. Теплообмен может совер-
совершаться путем теплопроводности (тела, находящиеся при
разных температурах, соприкасаются между собой не-
непосредственно или через третье тело), путем конвекции
(в жидкостях и газах) и лучеиспусканием или лучепогло-
щением. При этом процесс теплопередачи всегда совер-
совершается от тела более горячего к телу менее горячему.
Обратный переход возможен только в результате совер-
совершения определенной работы (например, в холодильных
машинах). Таким образом, под температурой можно по-
понимать величину, указывающую направление передачи
энергии при теплообмене.
Количество теплоты, согласно Определению, в СИ
измеряется в джоулях; внесистемной единицей коли-
количества теплоты является калория. Соотношение между
этими единицами:
1 кал = 4,1868 дж.
Количество теплоты, отданное или воспринятое телом
в процессе теплообмена, равно
Q = cm.(t2 — /J,
где с — удельная теплоемкость, т — масса, (/а — tx) —
разность между конечной и начальной температурами
тела.
Удельной теплоемкостью тела называется величина,
равная количеству теплоты, которое необходимо затратить,
чтобы повысить температуру единицы массы данного ве-
вещества на 1°. Величина cm, показывающая, какое коли-
количество теплоты необходимо затратить, чтобы повысить
температуру всего тела на один градус, называется тепло-
теплоемкостью данного тела.
Строго говоря, не вся подводимая к телу энергия рас-
расходуется на повышение его температуры. Некоторая
часть подведенной энергии затрачивается на работу про-
против упругих сил, однако вследствие незначительности
расширения твердых тел и жидкостей во многих практи-
практических случаях потерей энергии на расширение прене-
пренебрегают и, следовательно, не различают, в отличие от
- 135 —
газов, теплоемкость при постоянном объеме и при постоян-
постоянном давлении. Другим существенным упрощением яв-
является условие независимости теплоемкости тела от тем-
температуры. На самом деле теплоемкость твердых тел не-
несколько возрастает с ростом температуры, а теплоемкость
воды, наоборот, несколько уменьшается.
За единицу удельной теплоемкости в системе СИ при-
принята удельная теплоемкость такого вещества, для нагре-
нагревания 1 кг которого на 1 град требуется количество теплоты,
равное 1 дж. Эта единица называется джоуль на кило-
килограмм-градус (дж/кг-град). При решении различных прак-
практических вопросов встречается так называемая мольная
теплоемкость. Единица ее измерения называется джоуль
на киломоль-градус (дж/кмоль-градI).
Единицей теплоемкости тела в СИ является джоуль
на градус (дж/град).
Задача 64.
В ванну влито V = 210 л воды при tx = 10° С. Сколько
кипятка надо влить в ванну, чтобы температура воды
стала t2 = 37° С?
Решение. Влитое в ванну количество воды в объеме У
отдает некоторое количество теплоты воде, имевшейся
в ванне ранее. Теплообмен между этими массами будет
происходить до тех пор, пока.температура во всех точках
ванны не станет равной t2- Запишем уравнение теплового
баланса:
Упол == Уотд>
т. е.
- tj = cQV(t2-t1),
X
где с — удельная теплоемкость воды, q — плотность воды.
Отсюда получим
ух- юо-*2 v ~yu л-
Рассмотрим превращение твердых тел в жидкие и жид-
жидких тел в газообразные.
^ Моль — это количество вещества, масса которого, выраженная
в граммах, численно равна молекулярному весу этого вещества;
1 киломоль (кмоаь) = 1000 моль.
— 136 —
Для превращения единицы массы жидкости в пар той
же температуры необходимо определенное количество
теплоты, называемое удельной теплотой парообразования
или удельной теплотой испарения данной жидкости при
данной температуре. Например, удельная теплота паро-
парообразования К воды при температуре 100° С и нормальном
атмосферном давлении приблизительно равна 2,252 X
X 106 дж/кг. Это означает, что в процессе кипения воды
все подводимое к ней количество теплоты расходуется на
образование цара. Кипящая вода поглощает подводимое
количество теплоты, при этом ее внутренняя энергия увели-
увеличивается только в результате увеличения межмолекулярных
расстояний (возрастает потенциальная энергия молекул),
а средняя кинетическая энергия молекул не меняется,
так как не изменяется температура кипения. Когда вну-
внутренняя энергия кипящей воды возрастает до вполне
определенной величины А,*, расстояния между молеку-
молекулами становятся такими же, как у пара, т. е. вода превра-
превращается в пар. Однако величина А,*- не равна 2,252 X
X 106 дж/кг. Дело в том, что резкое возрастание меж-
межмолекулярных расстояний при переходе жидкости в пар
внешне выражается в увеличении объема, ранее занятого
жидкостью. В свою очередь, увеличение первоначального
объема связано с затратой некоторой части подведенной
тепловой энергии, расходующейся на совершение работы
против атмосферного давления, если жидкость кипит
в открытом сосуде, или против какого-то внешнего давле-
давления, если сосуд герметизирован.
Задача 65.
В вертикально расположенном цилиндре под поршнем,
который может двигаться без трения, нагревается неко-
некоторое количество жидкости. На поршне лежит груз, соз-
создающий (вместе с поршнем) давление рг. В начальном
положении поршень касается жидкости. В результате
нагревания жидкости поршень поднимается на некоторую
высоту. Определить, на сколько возрастает внутренняя
энергия каждого грамма пара по сравнению с внутренней
энергией 1 г жидкости, находящейся при температуре
кипения, если К — теплота парообразования жидкости
при температуре кипения, q — плотность ее паров при
той же температуре.
— 137 —
Решение. Анализируем механизм происходящего явле-
явления и строим решение сначала в самом общем виде.
Для образования 1 г пара из 1 г жидкости при темпе-
температуре кипения необходимо затратить количество теплоты,
равное К дж/г. При образовании пара происходит увели-
увеличение объема, занимаемого первоначально одной жидко-
жидкостью. Поршень поднимается, но при этом совершается
работа против силы давления, равной (рх + р) S, где р —
атмосферное давление, S — площадь поршня. Если пор-
поршень поднялся на некоторую высоту Л, то работа, затрачен-
затраченная на его подъем, равна
А = (Рг + р) Sh.
На некоторой высоте h поршень остановится, так как
внешнее давление рг + р будет уравновешено?внутренним
давлением пара. Работа А совершается упругой силой
образовавшегося пара. Следовательно, внутренняя энер-
энергия образовавшегося пара уменьшится на величину (рг +
+ р) Sh дж.
Если образовалось т г пара (когда поршень поднялся
на высоту Л), то внутренняя энергия каждого грамма пара
уменьшилась после совершения работы А на величину
— дж/г. Значит, внутренняя энергия 1 г пара больше
внутренней энергии 1 г кипящей жидкости на величину
V = (k — J дж/г. Поскольку А = (рг + р) Sh> m =
= qS/i г, то
Если снять с поршня груз и сам поршень считать не-
невесомым, то
W = {% — -?-}дж/г,
Q
где р выражено в w/ж2, плотность q — в г/м6. Величина —
показывает, какая работа совершается против атмосфер-
атмосферного давления при образовании каждого грамма пара.
Для воды, например, при нормальном давлении и темпе-
температуре кипения 100° С имеем q = 5,97 -102 г/м6 и V ^
^ 2084 дж/г, т. е. на 168 дж меньше теплоты парообразо-
парообразования воды при указанных условиях.
— 138 —
Остановим внимание на величине работы Л (рх + р) Shy
совершаемой паром при подъеме поршня на высоту h.
Давление со стороны пара на поршень рх + р положим
равным р'. Величина Sh представляет собой объем, воз-
возникший в результате перемещения поршня. Если началь-
начальный объем был Vl9 а после совершения работы объем бу-
будет V2> то Sh = V2 — Уъ и поэтому
Л = р' (V% - Vx).
Полученная формула работы, которая совершается паром
или газом при расширении, является одной из основных
формул в молекулярной физике.
Остановимся коротко на вопросах кипения и плавле-
плавления. Температура кипения жидкости зависит от давления
окружающей среды. Кипение происходит при такой тем-
температуре, когда давление насыщающих паров жидкости
становится равным внешнему давлению. Например, вода
в открытом сосуде при атмосферном давлении 1,013 X
X 10е н/м2 G60 мм рт. ст.) кипит при 100° С. В паровых
котлах при давлении около 20 am вода закипает при тем-
температуре около 250° С. Если при помощи вакуумной уста-
установки откачивать воздух из сосуда, в котором находится
вода при комнатной температуре, то можно вызвать
кипение воды приблизительно при 2,266-103 н/м2 A7 мм
рт. ст.).
Плавление твердых тел (как и превращение жидкостей
в пар) по достижении соответствующей температуры.про-
температуры.протекает лишь при дополнительном подведении теплоты
извне. Количество теплоты, необходимое для превращения
единицы количества вещества в расплав, называется
удельной (скрытой) теплотой плавления. При затвердева-
затвердевании вещества выделяется такое же количество теплоты,
которое было поглощено им при расплавлении.
Рассмотрим несколько подробнее процесс таяния льда.
Если в сосуде находится плавящийся лед и талая вода,
то температуры той и другой фаз одинаковы и в произ-
произвольно выбранной шкале Цельсия приняты за 0°. Темпе-
Температура 0° С остается неизменной пока не растает весь лед,
после чего температура воды возрастет до температуры
окружающей среды. Тающий лед непрерывно поглощает
теплоту из окружающего воздуха и, следовательно,
его внутренняя энергия непрерывно возрастает. Между
тем температура льда остается неизменной. Это говорит
— 139 —
о том, что внутренняя энергия тающего льда возрастает
лишь вследствие увеличения потенциальной энергии его
молекул вызванного увеличением межмолекулярных рас-
расстояний.
Такой процесс «разрыхления» кристаллической ре-
решетки вызывает все большее ослабление межмолекуляр-
межмолекулярных связей и, начиная с некоторого момента, когда вну-
внутренняя энергия льда становится равной внутренней
энергии воды, кристаллическая решетка сламывается: лед
превращается в воду.
Задача 66.
В калориметр, наполненный водой при температуре tl9
кладут кусок тающего льда. Определить температуру воды
в калориметре, когда лед растает. Масса воды (включая
водяной эквивалент калориметра) будет М, масса
льда т, теплоемкость воды с и скрытая теплота плавления
льда %.
Решение. Вода и калориметр отдают некоторое коли-
количество теплоты, расходующейся на расплавление льда
и затем на нагревание образовавшейся из льда воды до
установившейся общей (искомой) температуры 0. Состав-
Составляем уравнение теплового баланса
сМ (/х — 0) = Km + cmQ,
откуда
л c/vi t\ — Л./7Х
с(т + М) *
Так определяют в лабораторных условиях скрытую теплоту пла-
плавления легкоплавких тел (калориметрический метод). Температуру G
в этом опыте измеряют градусником или термоэлементом. Из написан-
написанного уравнения теплового баланса легко находят неизвестное "к.
Задача 67.
В калориметр, содержащий 200 г воды при темпера-
температуре 8° С, погружают 100 г льда, температура которого
—20° С. Какая температура установится в калориметре?
Каково будет содержимое калориметра после установле-
установления в нем теплового равновесия?
Решение. Иногда рассуждают так. Вода охлаждается
до какой-то температуры 0, а у льда повышается темпе-
— 140 —
ратура до значения в. Найдем установившуюся темпе-
температуру в смеси из уравнения баланса энергии:
= 2,1 -|^.100 г-(в + 20) град,
откуда
в = 2,4 °С.
Ответ неверен, так как задача решалась механически,
без анализа процессов, протекавших в калориметре; Дей-
Действительно, в конечном счете при установлении теплового
равновесия часть воды может оказаться замороженной
или, наоборот, часть положенного куска льда растаявшей.
Наконец, вся вода может превратиться в лед или весь
лед может растаять. Все зависит от соотношения коли-
количеств воды и льда и от их начальных температур. Таким
образом, написанное выше уравнение теплового баланса
является неправильным потому, что не охватывает всего
многообразия возможных явлений.
Будем рассуждать, строго фиксируя процессы, про-
протекающие в калориметре.
Конечно, вода будет охлаждаться, а лед нагреваться.
Однако при 0° С дальнейший приток теплоты к куску
льда вызывает процесс плавления, а потеря теплоты водой
при той же температуре сопровождается замораживанием
воды. Имея это ввиду, строим наши рассуждения так.
1. Количество теплоты, которое может выделиться при
охлаждении воды от 8° С до 0° С, равно
x = 4,19 ^|^-200 г-8 град = 6688 дж.
2. Чтобы нагреть лед до 0° С, необходимо количество
теплоты
Q2 = 2,1 -^. 100 г-20 град = 4200 дж.
Теперь ясно, как пойдет теплообмен между заданными
массами льда и воды. В калориметре установится темпе-
температура 0° С, а количество теплоты в размере 2488 дж,
переданные льду водой при ее охлаждении до 0° С, истра-
— 141 —
тятся на расплавление некоторой массы льда тх. Для
определения тх составляем уравнение*:
2488 дж = 334,4 -^ т„
где 334,4 дж1г — скрытая теплота плавления льда, откуда
тх ^ 7,5 г.
Ответ. В калориметре установится температура 0° С.
После наступления теплового равновесия в калориметре
останется 207,5 г воды и 92,5 г льда.
Задача 68.
Свинцовая пуля массы т — 5 г, имеющая скорость v =
= 300 м/секу попадает в стальную плиту и останавливается.
Пренебрегая теплообменом с плитой, определить, какая
часть массы пули расплавится при соударении. Темпера-
Температура пули в момент столкновения с плитой tx = 27° С.
Температура плавления свинца t2 = 327° С, удельная
теплоемкость свинца с = 125,4 дж/кг'град, теплота плав-
плавления X = 26,3-103 дж/кг.
Решение. Представим себе, как протекало явление,
заданное в условии задачи.
Поскольку пуля не углубилась в плиту и не разлете-
разлетелась свинцовыми брызгами в разные стороны, вся кинети-
кинетическая энергия W пули израсходовалась на нагревание
пули (теплообменом с плитой пренебрегаем). В результате
часть пули расплавилась. Известно, что тело плавится,
если его нагреть до температуры плавления и затем про-
продолжать подводить к нему дополнительное количество
теплоты. Следовательно, одна часть энергии W израсхо-
израсходовалась на нагревание всей массы пули от температуры tx
до t2t а другая — на расплавление некоторой массы тх
свинца.
Теперь, когда картина полностью ясна, составим урав-
уравнение баланса энергии, которое выразит физический смысл
задачи:
^ = cm (t2 — h) + ХтХУ
— 142 -
откуда
_ mv* - 2тс (t2 - h) _
тх _ ^— -
5- Ю-3 /C2.9.1O4-^V —2.5.IO-3 /сг.125,4—5^Ц.3.102 град
сек2 кг-град
2.26,3.103 —
кг
450—125,4.3 « , 1А_,
" 52,6.юз к* ^М-Ю 3 кг,
т. е.
тх ^ 1,4 г.
Ответ. Расплавится 0,28 массы пули.
§ 17. ЗАКОНЫ ДЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Модель идеального газа отвечает следующим требова-
требованиям.
1. Молекулы представляют собой абсолютно твердые
шарики, движущиеся хаотически. Между шариками про-
происходят упругие соударения.
2. Межмолекулярных сил взаимодействия нет, так как
молекулы-шарики находятся на значительных расстояниях
друг от друга. Возникают лишь кратковременные упругие
силы, расталкивающие молекулы при соударениях. Сле-
Следовательно, каждая молекула между соударениями дви-
движется равномерно и прямолинейно.
3. Объем, занимаемый собственно молекулами, ни-
ничтожно мал по сравнению с объемом, в котором находится
газ.
Реальные газы не удовлетворяют нарисованной модели.
Однако реальный газ, заключенный в достаточно большой
объем и подвергнутый не Слишком высоким давлениям,
практически ведет себя как газ идеальный.
Состояние данной массы газа однозначно характери-
характеризуется тремя параметрами: объемом, давлением и темпера-
температурой. Газовые законы Шарля, Бойля—Мариотта и Гей-
Люссака описывают зависимость между соответствующими
двумя параметрами при неизменном третьем. Объединен-
Объединенный газовый закон, устанавливающий зависимость между
всеми тремя параметрами, является уравнением состояния
- 143 —
для данной массы идеального газа. Еще более общее урав-
уравнение, связывающее объем, давление, температуру и
массу, называется уравнением состояния идеального газа
формула Менделеева—Клапейрона).
1. Закон Шарля
С изменением температуры на 1 град давление некоторой
массы газа в неизменном объеме изменяется на ъ_о t g долю
Z/o, ID
своего давления при 0° С.
Эмпирическая формула, выражающая этот закон, запи-
записывается так:
p = po(l+at), V= const, A)
где а = -973I5 гРа^г называется термическим коэффи-
коэффи-973I5
циентом давления газа, р0 — давление газа при 0° С.
Графически в координатах р; t уравнение A) представ-
представляет собой прямую линию, которая называется изохорой.
Если продолжить изохору (относящуюся к любой массе
газа) до пересечения ее с осью температур, то точка пере-
пересечения будет соответствовать температуре —273°, 15 С
(абсолютный нуль).
Закон Шарля нарушается для сильно сжатых газов и
для газов, находящихся при температурах, близких к сжи-
сжижению.
Следует твердо помнить, что а = 273 5 от величины
/?о, если р0 — давление при Q° С. Если же выбрать за на-
начало отсчета не температуру плавления льда, а, например,
температуру кипения воды при давлении в 1,013 105 н/м2,
то величина термического коэффициента давления газа
стала бы другой, и закон Шарля формулировался бы так:
с изменением температуры на 1° давление некоторой массы'
газа в неизменном объеме изменяется на k-ю долю своего
давления при 100° С, т. е.
Р = Ро A + kf) при V = const.
Задача 69.
Предположим, что за начальное давление газа принято
давление не при 0° С, а при t°x С. Определить для этого
случая термический коэффициент давления а газа.
— 144 —
Решение. Очевидно, что физический смысл закона
Шарля не может измениться в результате переноса по тем-
температурной шкале точки отсчета начального давления.
Закон Шарля формулируется теперь так: давление неко-
некоторой массы газа при нагревании ее на 1 град в неизменном
объеме будет возрастать на а-ю долю своего давления при
t\ С. Однако перенос точки отсчета связан с изменением
математической формы уравнения. Следовательно, для
любой температуры t можно написать закон Шарля, один
раз выразив его через известный нам термический коэффи-
коэффициент давления а газа, а другой раз — через неизвестный
термический коэффициент давления а. Оба уравнения для
одной и той же температуры t должны дать одну и ту же ве-
величину давления газа /?, так как сам закон. Шарля не
меняется.
Через термический коэффициент давления газа а закон
Шарля выразится формулой
а в новой интерпретации для точки отсчета tx получаем
Р = Рглх A + at),
где pot — начальное давление газа при t\ С. Величина
pot неизвестна, однако ее можно определить в старой
шкале, когда за начальную температуру берется 0° С.
Действительно,
Итак, получено равенство
Ро П + «(*!+ 01 = Ро A + «У A +at),
откуда находим
а—г*
Если, например, за tt принять температуру кипения
воды при нормальном атмосферном давлении, то а =
— 145 —
При решении задач число 0,16 обычно для простоты
опускают и а считают равным -^=т град. Ошибка, допу-
допускаемая при этом, ничтожна по сравнению с ошибками,
возникающими как при расчетах (округления), так и при
определении значений многих физических величин.
2. Давление газа
Давлением называется физическая величина, численно
равная силе, действующей по нормали на единицу пло-
площади.
В СИ давление выражается в ньютонах на квадратный
метр. Единица давления ньютон на квадратный метр
(н/м2) — это такое равномерно распределенное давлецие,
при котором на 1 м2 поверхности по нормали к ней дей-
действует сила, равная 1 н.
Единицей давления является также атмосфера. Давле-
Давление в 1 атм оказывает воздух, уравновешивающий ртутный
столбик сечением 1 см2 и высотой 76 см на широте 45° на
уровне моря, где g = 980, 665 см/сек2 при плотности ртути
13,595 г/смг, т. е. это так называемое нормальное атмосфер-
атмосферное давление, равное 760 мм рт. ст. Из этого определения
следует, что 1 атм равна весу указанного ртутного столба,
приходящегося на 1 см2, т. е.
1 атм = 76 см-13,595 -~-980,665
см
= 1,013-
см
0,1 см Л слеМ 3,595-^—980,665
1 мм рт. ст. = т—^
= 1333 дии/сж2 = 133,3 н/м2.
Выясним, от каких величин зависит давление газа.
В задаче № 19 было показано, что абсолютно упругий
шарик, ударяясь перпендикулярно о стенку, сообщает
стенке количество движения 2т v, где т — масса шарика,
v — его скорость. Если принять, что число ударов моле-
молекул в 1 см2 стенки по нормали к ней за 1 сек равно N, то
согласно второму закону механики результирующий
- 146 —
импульс Fx = N-2mv. Поскольку т = 1 сек, величина Fx
есть сила, действующая на 1 см2 площади стенки по нор-
нормали к ней, т. е. давление р. Из молекулярно-кинетиче-
ской теории следует, что N пропорционально концентра-
концентрации газа п (число молекул в единице объема) и средней
скорости v газовых молекул. Следовательно, р ~ nmv2.
Более точные расчеты приводят к формуле
р = -L птг)\ B)
Если концентрация газа не меняется, то давление р
растет вследствие увеличения скорости v молекул. В свою
очередь, v возрастает с увеличением температуры газа.
Так качественно можно объяснить закон Шарля.
3. Закон Бойля — Мариогта
Произведение давления газа на его объем при постоян-
постоянной температуре есть величина постоянная:
pV = const, C)
t = const;
Графически в координатах /?, V, уравнение C) выра-
выражается равнобочной гиперболой.
Условие ^=const нужно понимать следующим образом.
Предположим, что в состоянии I давление и объем неко-
некоторой массы газа равны соответственно рх и Vl9 а в поло-
положении II — р2 и V2. Согласно формуле C) получаем вы-
выражение
PiVi = P*V2. D)
Выражение D) можно применить в двух случаях:
1) температура при переходе газа из состояния I в со-
состояние II не менялась;
2) температура газа менялась как угодно, но в состоя-
состояниях I и II она приобретала одно и то же значение.
Приведем вторую формулировку закона Бойля—Ма-
риотта: при изотермическом процессе давление газа изме-
изменяется пропорционально его плотности:
где Qx и q2 — плотности газа соответственно в состоя-
состояниях I и II.
— 147 —
Выражение E) легко получается из D), если объем газа
выразить через его массу и плотность.
Возвращаясь к формуле B), заметим, что при t = const
давление газа пропорционально лишь концентрации,его
молекул. В свою очередь, число молекул в единице объема
пропорционально плотности газа, и, следовательно, из B)
вытекает, что при изотермическом процессе давление
газа пропорционально его плотности.
Выражения D) и E) хорошо выполняются для реаль-
реальных газов при давлениях до 100 атм. При больших давле-
давлениях расхождения между теорией и экспериментом стано-
становятся все более значительными, а при давлениях в ты-
тысячи атмосфер — огромными. Например, при давлении
15 000 атм действительная плотность азота почти в 16 раз
меньше плотности, указываемой выражением (б).
Это и понятно: при сильных сжатиях молекулы сбли-
сближаются на расстояния, соизмеримые с их линейными раз-
размерами. Возникают межмолекулярные силы взаимодей-
взаимодействия, и модель идеального газа становится абсолютно
непригодной для выражения свойств такого реального
газа.
4. Закон Гей-Люссака
При нагревании некоторой массы газа на один градус
в условиях постоянного давления объем газа увеличивается
на 2 3 долю своего объема при 0° С:
v = v0 A + р/), F)
р = const,
где Р = 7375 гРа^~1 называется коэффициентом объем-
объемного расширения газов.
Закон Гей-Люссака (как и законы Шарля и Бойля—
Мариотта) выведен опытным путем.
Графически в координатах V, t, уравнение F) выра-
выражается прямой линией, называемой изобарой. Если про-
продолжить изобару (относящуюся к любой массе газа) до
пересечения ее с осью температур, то точка пересечения
будет соответствовать температуре —273,15° С (абсолют-
(абсолютный нуль).
— 148 —
Совпадение значений термического коэффициента дав-
давления а в законе Шарля и коэффициента объемного рас-
расширения р в законе Гей-Люссака не является случай-
случайностью. Можно доказать, пользуясь законами Шарля,
Бойля—Мариотта и Гей-Люссака, что а должен быть
равен р.
Так же, как и предыдущие два закона, закон Гей-Люс-
Гей-Люссака нарушается при больших давлениях и низких.темпе-
низких.температурах, когда газ близок к сжижению.
5. Абсолютная шкала температур
Исследования свойств реальных газов и стремления
к упрощению математической формы законов для идеаль-
идеальных газов привели к установлению новой температурной
шкалы, которая называется шкалой Кельвина или шкалой
абсолютной температуры. Шкала Кельвина вводится сле-
следующим обр азом.
Нагреем некоторую.массу газа в неизменном объеме
сначала до температуры tl9 а затем до температуры t2 (по
Цельсию). Согласно закону Шарля имеем:
Pi = Ро A + <*'i),
Рг = Ро A + а^)-
Разделив почленно одно равенство на другое, получим
Р1_ _ 273,15° + *! т
р2 ~~ 273,15° + t2 # I''
Будем отсчитывать температуру 273,15° + / от 0° в не-
некоторой новой шкале температур (Т), т. е. положим Т =
= 273,15° + L
Нуль температуры в новой шкале (Т = 0) соответствует,
как это следует из выражения G), температуре —273,15°
по шкале Цельсия, т. е. абсолютная шкала температур,
разбитая на градусы такой же величины, как и произволь-
произвольная шкала Цельсия, имеет нуль там, где в шкале Цельсия
стоит цифра —273,15°. Температура —273,15° С или 0° К
называется абсолютным нулем температуры. Такое назва-
название обусловлено тем, что ни одно тело ни при каких усло-
условиях не может быть охлаждено ниже 0° К.
— 149 —
С приближением температуры !> к абсолютному нулю
затухает тепловое движение вещества — хаотическое дви-
движение молекул жидких газов, колебания молекул вокруг
своих центров равновесия в твердых телах, однако не
прекращается движение электронов в атомах и движение
свободных электронов в металлах.
Из выражения G) получаем закон Шарля через абсо-
абсолютные температуры:
-?±- = -±- при V = const,
Р2 * 2
т. е. давления газа в неизменном объеме пропорциональны
абсолютным температурам.
Аналогично выводится через абсолютные температуры
закон Гей-Люссака:
-тг- = "т^" ПРИ Р — COnS^
т. е. объемы газа при постоянном давлении пропорцио-
пропорциональны абсолютным температурам.
6. Уравнение состояния идеального газа
Из уравнений Шарля, Бойля—Мариотта и Гей-Люс-
Гей-Люссака легко выводится объединенный газовый закон:
справедливый для любой постоянной массы газа. Здесь ръ
Vi и Т1 — параметры газовой системы в ее начальном
состоянии, р2, V2 и Т2 — в ее конечном состоянии.
Однако выражение (8) далеко не всегда является удоб-
удобным для решения как практических, так и теоретических
задач. Многие задачи быстрее и легче решаются в резуль-
результате применения формулы Менделеева—Клапейрона,
которую называют уравнением состояния идеального
газа. Выведем это уравнение.
Рассмотрим m г газа в двух состояниях: в состоянии I—
рг = 1 ашм, 7\ = 273° К, объем Vx и в состоянии II —
давление газа р, объем V и температура Т.
^Современная техника низких температур позволяет охладить
тело всего лишь до тысячных долей градуса выше абсолютного нуля.
— J50 —
Согласно формуле (8) имеем
pV_ _ PlV1
т ~ т1 •
Поскольку 1 грамм-молекула любого газа занимает
объем Vo = 22,4 л при давлении в 1 агпм и при темпера-
температуре 0°С, то пгг газа при тех же условиях займут некото-
некоторый объем Vl9 связанный с Vo пропорцией:
Уг _ т_
Vo ~~ (i '
где (а — масса грамм-молекулы газа. Следовательно,
pV __ jn
где ^~ = const.
_ j_
Величина -~А является постоянной для всех газов и
11
называется универсальной газовой постоянной. Обозначив
^~- буквой /?, получим формулу Менделеева—Клапей-
Менделеева—Клапейрона:
(9)
Нетрудно видеть, что формула (8) непосредственно
вытекает из (9).
Выясним теперь величину и физический смысл универ-
универсальной газовой постоянной R:
1 апгм- 22,4 л
* "" Tt ~ 273 мо ль-град ^
1,013.10б -^--22,4.Ю-3 м3
м -^8,31 дж/моль-град.
21Ъ моль • град
В системе единиц СГС получаем
l>013-106-^-.22,4.103 см3
Я = 273С1оль-гРад ^8,ЗЫ07 эрг/моль.град.
— 151 —
Используя соотношение между калориями и джоулями,
находим величину /?, выраженную в калориях: R ^
^1,97 кал/моль*град.
Задача 70.
В вертикально расположенном цилиндре под тяжелым
поршнем, который может двигаться без трения, находится
грамм-молекула любого газа. Какую работу совершит газ,
если его температуру повысить на 1 град?
Решение. Представим себе четко физический процесс,
описанный в условии, и величины, которые нужно найти.
Один моль газа находится в вертикально расположен-
расположенном цилиндре под тяжелым поршнем. Газ в начальном
состоянии имеет какую-то температуру (обозначим ее
через То) и занимает некоторый объем (обозначим его
через Vq). Вес поршня уравновешивается силой давления
молекул газа. При нагревании сила давления газа возра-
возрастает и, так как трение между цилиндром и поршнем от-
отсутствует, поршень поднимается вверх. Когда температура
газа становится равной То + 1, объем газа вдзрастает до
некоторой величины Vl9 а вес поршня вновь оказывается
уравновешенным силой давления со стороны газа. В ре-
результате расширения газа им совершается работа А = Р/г,
где Р — вес поршня, h — путь, пройденный поршнем.
Однако в условии задачи ни Р, ни h не даны. Есте-
Естественно, возникает необходимость выразить работу А
через другие величины, значения которых можно найти
в таблицах. Для этого продолжаем анализировать физиче-
физический смысл условия задачи.
Вес поршня Р уравновешивается в начальном и конеч-
конечном положениях упругой силой со стороны газа. Эта сила
равна произведению давления газа р на площадь поршня 5.
Если процесс поднятия поршня шел достаточно медленно,
давление газа р можно считать постоянным, и тогда А =
= pSh.
В этом выражении для работы А газа появились две
величийы S и А, характеризующие геометрию цилиндра.
Сделав для наглядности чертеж, замечаем, что Sh =
Из
Теперь
- 1/0. Итак,
А =
этой формулы
= р(Уг- Vo).
вытекает, что
следует применить уравнение
— 152 —
А =» pVx —
состояния
A0)
pVo-
для
идеальных газов в виде pV = RT, так как в данном случае
т = ц:
pV0 = #Г0,
pVi = R (То + 1).
Окончательно получим, что работа газа
Л = R (Гв + 1) - #Г0,
откуда
Л = R-1 г/?од.
Теперь можно определить физический смысл универ-
универсальной газовой постоянной R.
Универсальной газовой постоянной называется вели-
величина, численно равная работе, которую совершает один
моль газа при повышении его температуры на один градус.
Из этого определения следует, что при повышении тем-
температуры одного моля газа на (Т2 — Гх) градусов совер-
совершается работа, равная R (Г2 — Гх), а если на та-
такую же температуру нагревается m г газа, то совершаемая
газом работа А равна
A = -fR(T%-Ti). (И)
Формулу A1) можно получить непосредственно из A0),
пользуясь уравнением состояния (9). Действительно,
Работа газа равна
Формулы A0) и A1) являются очень важными при ре-
решении задач на газовые законы. Из выражения A0) сле-
следует, что работа по расширению (или сжатию) газа может
быть выражена в литро-атмосферах (л-апгм):
1 л-атм = 103 ел*3-1,013-106-^ = 1,013-102 дж.
— 153 —
7. Теплоемкость газов при постоянном объеме
и при постоянном давлении
При изучении специальных теоретических вопросов
и в условиях достаточно тонкого эксперимента различают
для жидких и твердых тел теплоемкость при постоянном
объеме и теплоемкость при постоянном давлении. Для га-
газов разница между величинами обеих теплоемкостей на-
настолько велика, что пренебрегать ею нельзя даже в про-
простейших задачах. Резкое различие между указанными
теплоемкостями для газа обусловлено его способностью
значительно изменять свой объем под действием внутрен-
внутренних и внешних сил.
Теплоемкостью некоторой массы газа при постоянном
объеме (Cv) называется количество теплоты, необходимое
для повышения температуры этой| массы газа на 1 град
при неизменном объеме.
Теплоемкостью некоторой массы газа при постоянном
давлении (Ср) называется количество теплоты, необходимое
для повышения температуры данной массы газа на 1 град
при постоянном давлении.
Из этих определений вытекает, что Ср > Су. Дей-
Действительно, чтобы повысить температуру некоторой массы
газа на 1 град при неизменном объеме, нужно затратить
количество теплоты Су. Если же объем газа может изме-
изменяться (например, газ находится под поршнем в цилин-
цилиндре, как в задаче № 70), то подведенное к газу коли-
количество теплоты Cv будет израсходовано частично на
нагревание газа, а частично на совершение газом работы
при его расширении. В результате температура газа
возрастает меньше, чем на 1 град. Чтобы в этих усло-
условиях повысить температуру газа на 1 град, нужно, сле-
следовательно, затратить количество теплоты Cp = Cv + kq,
где количество теплоты Су повышает температуру газа
на 1 град, а А? — теплота, расходуемая на совершение
работы.
Если Ср и Су — мольные теплоемкости, т. е. теплоем-
теплоемкости одного моля газа, то Aq = R согласно определе-
определению /?. В этом случае получаем известный закон
Майера:
Ср = Су + R. A2)
— 154 —
Задача 71.
В цилиндре под тяжелым поршнем находится 10 г
азота. Какую работу совершит азот при нагревании его
от температуры 25° С до 625° С?
Решение. Нужно вычислить работу, совершенную га-
газом при его нагревании. Запишем выражение для работы
газа
сразу же замечаем, что написанная общая формула пол-
полностью исчерпывает поставленную задачу. Следовательно,
можно переходить к вычислениям:
А = ———8,31 ^-.600 град = 1780 дж.
2g г___ ' моль-град ^
моль
Задача 72.
Какое количество тепла необходимо для нагревания
т = 7 г азота, находящегося в цилиндре под тяжелым
поршнем, от 10° С до 25° С? Теплоемкость одной грамм-
молекулы азота Cv = 20,9 дж/моль -град.
Решение. Поскольку в условии задачи дана теплоем-
теплоемкость газа при постоянном объеме, искомое количество
теплоты Q представляется суммой двух членов: тепло Qlf
идущее на нагревание газа, и тепло Q2, затрачиваемое на
совершение работы по поднятию поршня, т. е.
Q = Qi + Q2.
Так как Cv — мольная теплоемкость, то
Qi=-fCv(T%-TJ.
Теплота, расходуемая на совершение работы, равна
Qt = -fR(Tt-T&
Определяем искомое количество теплоты:
Q = J^(T2-T1) (Cv + R).
г*
— 155 —
Величина Cv + /?, согласно формуле A2), равна Ср.
Следовательно, если в подобных задачах дается теплоем-
теплоемкость газа при постоянном давлении, то определяемое ко-
количество теплоты выражается одним членом, который авто-
автоматически учитывает и количество теплоты, идущее на
нагревание газа, и количество теплоты, расходуемое на
совершение работы.
Производим вычисления:
Q = \ 15 град-B0,9 дж/моль-град +
28 —
МОЛЬ
+ 8,31 дж/моль»град)^ 109 дж.
Задана 73.
Некоторое количество газа т нагревается при постоян-
постоянном давлении первый раз от температуры То, а второй раз
от температуры#(Г0 + 1) град. В обоих случаях нагревание
прекращается, когда объем газа увеличивается вдвое.
Одинаковое или неодинаковое количество теплоты необ-
необходимо затратить в том и в другом случаях? Удельная
теплоемкость взятого газа при постоянном давлении
равна ср.
Решение. Находим количество теплоты, затраченное
в первом случае:
Qx = тср (Т - Го),
где Т — температура, при которой объем газа удвоился.
Поскольку нагревание газа ведется при постоянном
давлении, для определения Т можно применить закон
Гей-Люссака:
2V0 ~ Т '
где Vo — первоначальный объем газа, соответствующий
температуре То. Итак, Т = 2Т0, a Qt = mcpT0.
Теплоту Q2 для второго случая не обязательно опреде-
определять таким же способом. Всегда следует стремиться к более
компактному решению, избегая по возможности повто-
повторений. Заметив, что в формуле для Qx температура То
является величиной произвольной, можно сразу написать
выражение для Q2:
Q* = mcp (То + 1).
— 156 —
Следовательно, количество теплоты, затраченное во
втором случае, на величину тсрЛ град больше количества
теплоты, затраченного в первом случае.
Поскольку То — произвольная величина, делаем сле-
следующий вывод: количество теплоты Q, * необходимое для
того, чтобы объем газа увеличился вдвое при постоянном
давлении, зависит от начальной температуры газа TQ.
Зависимость Q от Го, т. е. Q = / (Го), выражается форму-
формулой Q = тсрТ0.
Задача 74.
Каковы были первоначальный объем и температура 5 г
гелия, заключенного под невесомым поршнем в цилиндре,
если при охлаждении гелия до —25° С груз в 157 я, лежа-
лежавший на поршне, совершил работу, равную 39 дж? Пло-
Площадь поршня 200 см2\ атмосферное давление считать нор-
нормальным.
Решение. Необходимо найти первоначальный объем и
температуру газа. В условии задачи дана работа, которую
совершает груз, лежащий на поршне. Естественно, что
решение следует начать с общей формулы, связывающей
работу и начальную температуру газа,
Здесь А—работа, совершаемая внешними силами, сжимаю-
сжимающими охлаждаемый газ. Убыль внутренней энергии газа
равна Л. Полная работа равна А =А1 + А-21 где А1 = 39dw,
А 2 — работа, совершаемая силой атмосферного давления,
Таким образом, чтобы вычислить начальную темпера-
температуру газа
А
необходимо в конечном счете отыскать работу А 2.
Работу А 2 находим по формуле А 2 = F- А, где F — сила,
обусловленная атмосферным давлением р и равная /?S, h —
высота, на которую опустится поршень. Следовательно,
А 2 = pSh. Работа Ах совершается грузом Р тоже на пути Л,
поэтому
Аг = РК
откуда
л- р •
- 157 -
Таким образом, Л2 = Аг ¦—- ^ 490 дж 1\ А = А1
+ А 2 = 529 дж.. Вычисляем искомую температуру:
529 дж-4
248° К ^299° К.
Г1==4-— + Т* =
Я m ^Цг-5 г
моль-град
Первоначальный объем V1 газа находим из уравнения
состояния Менделеева—Клапейрона:
V
где
т. е.
5 т
[СЛС
ности, находим, что
f pS \i
Подставляя числовые значения величин и их размер-
1/х д» 29,4-Ю"8 ж3.
Рассмотрим еще раз вопрос о теплоемкости газа при
постоянном давлении Ср. Представим себе вертикально
расположенный цилиндр, в котором находится некоторая
масса газа под поршнем. Поршень может двигаться без
трения. Пусть вес поршня Р, площадь его поперечного
сечения S. В результате нагревания газа на 1 град поршень
поднимается на высоту h. Найдем количество теплоты Ср.
Согласно определению Ср пишем равенство
где Cv — количество теплоты, обеспечивающее нагрева-
нагревание данной массы газа на 1 град, pAV—количество теплоты,
расходующейся на совершение газом работы по поднятию
поршня.
^Работу 2 ру
Vx — V2 есть изменение объема газа. С другой стороны,
Р S
&V Поскольку ДК=А1-д-, получим
^Работу Л2 можно вычислить другим способом: Л2
где АК= Vx — V2 есть изменение объема газа. С другой
Р S
= Л1-^ =490 дж.
— 158 —
р
Поскольку р = -«-, а ДУ = SA, получаем
CP = CV + Ph.
Следовательно, величина Ср зависит от веса поршня и
его сечения и при разных условиях (разные сечения ци-
цилиндров, разный вес грузов) имеет разные значения.
Однако, если Ср выразить через универсальную газо-
газовую постоянную R через массу газа т и массу грамм-
молекулы газа [г, то получим выражение
в которое не будет входить вес поршня и сечение его,
так как давление р сокращается.
Постоянная R (см. задачу № 70) автоматически учиты-
учитывает работу по поднятию поршня любого веса и любого
сечения. Именно поэтому в общую формулу работы A1)
не входит давление газа р — величина, зависящая от веса
поршня и его сечения.
Задача 75.
Сосуд объемом 600 см3, содержавший 2 г гелия, разор-
разорвался при температуре 400 ° С. Какое максимальное коли-
количество азота может храниться в таком сосуде при 30° С и
при пятикратном запасе прочности?
Решение. Уточняем условие: дано количество гелия
т = 2 г. Известна масса его грамм-молекулы \i == 4 г.
Гелий находился при Т = 400° + 273° = 673° К в объеме
V = 600 см3.
Сосуд разорвался при давлении р.
Требуется найти пгх — количество азота в объеме
V = 600 см3 при давлении р1 = -—¦ и температуре 7\ =
= 303° К. Известна масса грамм-молекулы азота (хх =
= 28 г. Запишем уравнения состояния для того и другого
газа:
для гелия (в момент разрыва)
pV-fRT;
для азота (условие хранения)
— 159 —
откуда
Поскольку /?! = -|р получим
но pi/ = -^ /?Г, и поэтому
В формулу ответа не вошл'а одна из величин, заданных
в условии задачи — объем сосуда V = 600 смг. Верен ли
наш ответ? Проверяем еще раз исходные рассуждения и
математические действия. Значение величины объема V
исчезает там, где произведение pV заменяется на — RT.
Действительно, при сравнении состояния двух газов, оди-
одинаковые параметры исчезают тем или иным образом, на-
например сокращаясь при делении.
Не использованное при решении значение V = 600 см9
в условии задачи дано не случайно. Иногда учащиеся не
знакомы с понятием универсальной газовой постоянной.
Решение в этом случае основано на так называемом приве-
приведении газа к нормальным условиям. Такой метод неудобен
вследствие громоздкости и нерационален, так как по суще-
существу всякий раз повторяет вычисления, связанные с на-
нахождением величины R.
§ 18. НАСЫЩАЮЩИЕ И НЕНАСЫЩАЮЩИЕ ПАРЫ
Насыщающим называется пар, находящийся в динами-
динамическом равновесии со своей жидкостью.
Динамическим равновесием .между жидкостью и паром
называют такое состояние, когда число молекул, вылета-
вылетающих из жидкости в пар (в единицу времени), равно числу
молекул, возвращающихся из пара в жидкость. Такое рав-
равновесное состояние можно назвать устойчивым в том
смысле, что если каким-либо способом увеличивать коли-
количество пара, не меняя температуру и объем его, то одно-
— 160 —
временно возникнет процесс конденсации, а если каким-
либо способом отбирать часть насыщающего пара, то число
молекул, вылетающих из жидкости, превысит число моле-
молекул, влетающих из пара в жидкость. И в том, и в другом.
случаях возникнет тенденция к восстановлению создав-
создавшегося динамического равновесия.
Насыщающие пары не подчиняются законам для иде-
идеальных газов. Так, давление насыщающего пара при неиз-
неизменной температуре не зависит от объема. В этой связи
напомним следующий принципиальный опыт.
Пусть в запаянной пробирке имеется некоторое коли-
количество жидкости и насыщающего пара (воздуха в пробирке
нет). Перевернем пробирку быстрым движением «вверх
дном». Жидкость упадет, издав стук, как если бы упал
твердый шарик. Значит ничто не препятствовало падению
жидкости (если бы в пробирке был воздух, то он, сжимаясь
как пружина, самортизировал бы удар жидкости о дно).
Под жидкостью в перевернутой пробирке находится насы-
насыщающий пар — среда, обладающая некоторой плотностью,
и, однако, вода пролетает, не испытывая тормозящего
воздействия. Объяснить это странное на первый взгляд
явление можно следующим образом.
По мере падения жидкости нижний объем б пробирке
уменьшается и соответственно часть насыщающего пара
конденсируется. Верхний объем (над жидкостью), напро-
напротив, возрастает, но вследствие интенсивного испарения
в этом объеме возникает насыщающий пар. Поскольку
температура в пробирке не меняется, давления я нижнем
и верхнем объемах одинаковы вплоть до соприкосновения
жидкости с дном пробирки.
Из этого опыта вытекает также, что скорости испарения
и конденсации весьма велики. В зависимости от длины
пробирки жидкость может падать в десятые и сотые доли
секунды, однако описанный эффект будет прежним..
Давление насыщающего пара резко возрастает с темпе-
температурой. В отличие от газов давление насыщающего пара
в неизменном объеме увеличивается с температурой не
только в результате возрастания средней скорости моле-
молекул, но и вследствие увеличения концентрации молекул
пара (числа молекул пара в единице объема). Это и понятно,
С ростом температуры увеличивается средняя скорость
молекул жидкости, и все большее и большее их число
приобретает энергию, достаточную для совершения работы
6 Зак. 1180 — 161 —
выхода (работы против сил поверхностного натяжения).
Одновременно возрастает и скорость испарения.
Как известно, испаряются все жидкости. Однако в раз-
разных жидкостях силы сцепления между молекулами раз-
различны (силы сцепления обусловливают поверхностное на-
натяжение). Поэтому при одинаковых температурах из раз-
разных жидкостей вылетает разное число молекул. В резуль-
результате давление насыщающих паров больше у летучих жид-
жидкостей, у которых силы поверхностного натяжения меньше
и, наоборот, давление насыщающих паров меньше у жид-
жидкостей с большим поверхностным натяжением. Эти жидко-
жидкости имеют более высокую точку кипения, чем жидкости
с меньшим поверхностным натяжением, так как жид-
жидкость закипает, когда давление ее насыщающего пара
становится равным внешнему давлению. Этим обстоя-
обстоятельством широко пользуются в технике, разделяя ком-
компоненты какой-либо смеси выпариванием с последующей
конденсацией.
Ненасыщающие пары с достаточной степенью точности
подчиняются законам для идеальных газов вдали от точки
насыщения. Поэтому во многих задачах, не требующих
большой точности, законы для идеальных газов можно
применять к ненасыщающим парам вплоть до точки насы-
насыщения.
Если сжимать ненасыщающий пар, давление его воз-
возрастает и, наконец, может оказаться равным давлению
насыщающего пара при'данной температуре. Дальнейшее
сжатие (при постоянной температуре) вызывает сгущение
пара в жидкость. Так изменения давлений и температур
вызывают процесс конденсации водяных паров в атмосфере.
Конденсация водяного пара в воздухе возникает при отно-
относительной влажности воздуха, равной единице, или 100%.
Напомним, что относительной влажностью называется
отношение давления водяного пара в воздухе к давлению
насыщающего водяного пара при данной температуре.
Это отношение часто выражают в процентах, х
Однако конденсация водяного пара в воздухе не всегда
наступает при выполнении указанного условия. Если в бал-
баллоне содержится воздух, хорошо очищенный от пыли, то
при охлаждении этой массы воздуха наступит момент, когда
давление паров воды, находящихся в воздухе, станет рав-
равным давлению насыщающего водяного пара при некоторой
температуре, а затем даже превзойдет его, и все же конден-
— 162 —
сации не произойдет. Такие пары называются пересыща-
пересыщающими. В этом случае отсутствуют микрочастицы. Пы-
Пылинки служат ядрами конденсации, т. е. такими центрами,
на которых зарождается и протекает процесс конденсации
пара. Интенсивность конденсации тем больше, чем больше
пылинок содержится в воздухе. Поэтому в местах с по-
повышенным содержанием дыма туманы чаще и гуще.
Аналогично обстоит дело с жидкостями при их превра-
превращении в твердые тела. В обычных условиях понижение
температуры расплавленного тела ниже его точки плавле-
плавления сопровождается процессом отвердевания. Мелкие
инородные частички являются ядрами, центрами, на кото-
которых начинается кристаллизация. Например, вода при
охлаждении ее ниже 0° С превращается в лед (так называе-
называемый гексагональный лед, т. е. лед, имеющий гексагональ-
гексагональную кристаллическую решетку). Однако небольшие ка-
капельки воды, если из них удалены посторонние микроскопи-
микроскопические тела, могут быть охлаждены до —33° С и ниже,
причем вода не превращается в лед (переохлажденная жид-
жидкость). В этом случае можно получить лед с кубической
кристаллической решеткой и температурой плавления
не 0° С, а —70° С.
Рассмотрим еще одно необходимое условие конденса-
конденсации пара. Пусть в закрытом сосуде имеется некоторое ко-
количество жидкости и ее насыщающего пара. Если повышать
температуру жидкости, плотность жидкости начнет умень-
уменьшаться, а плотность насыщающего пара возрастать. При
некоторой температуре, которую называют критической,
плотность жидкости становится равной плотности ее насы-
насыщающего пара. Свойства жидкости и ее насыщающего
пара в точке, соответствующей критической температуре,
совпадают. Условимся считать, что выше критической
температуры существует газообразная фаза, называемая
газом. Раньше считалось, что газ невозможно превратить
в жидкость. В настоящее время разработаны способы сжи-
сжижения любого газообразного вещества. Ниже критической
температуры вещество может существовать одновременно
в двух фазах — газообразной и жидкой. Газообразное
вещество, находящееся при температуре ниже критической,
будем называть паром. Пар превращается в жидкость при
выполнении условий, указанных выше. Для воды, напри-
например, критическая температура равна 374° С, для кисло-
кислорода — 118° С, для гелия — 268° С.
— 163 —
Задача 76.
Колба объемом 100 см3 была заполнена при 100° С
воздухом с относительной влажностью 40%. Как нужно
изменить объем колбы, чтобы воздух внутри нее стал сухим
при 20° С? Давление насыщающих паров воды при 20° С
равно 2266 н/м2.
Решение. Условие задачи: «воздух должен стать сухим»
означает, что воздух не должен содержать водяной пар.
Куда исчезнет водяной пар? Он сконденсируется, и
капельки воды выступят на стенках и на дне колбы.
Конденсация наступает с момента, когда давление паров
воды становится равным 2266 н/м2.
Итак, условие задачи описывает два состояния водяного
пара:
состояние I
Pl _ ? уг = 100 см\ 7\ = 373° К;
состояние II
р2 = 2266 н/м2, V2 — ? Т2 = 293° К.
Теперь ясно, что надо применить уравнение состояния
для идеальных газов в виде
Pi^i __ P2V2
Чтобы найти У2 из этого уравнения, необходимо знать
рх — давление водяного пара в начальном состоянии,
когда относительная влажность воздуха равнялась 40%.
Относительная влажность — это отношение давления водя-
водяного пара (в данном случае рг) к давлению насыщающего
водяного пара при данной температуре A00° С). Давление
насыщающих паров воды при 100° С равно 1,013-105 н/м2.
Следовательно,
1,013-10* н/м* ' 10° = 40)
откуда
^105 н/м2.
Теперь вычисляем искомый объем колбы:
V —
2~
-|-1,013.Ю6 я/лс2.293 град-100 см3
373
— 164 —
Задача 77.
В комнате объемом 120 м6 при температуре 15° С отно-
относительная влажность воздуха В = 60%. Определить массу
паров воды, находящихся в комнате. Плотность D насы-
насыщающих паров воды при 15° С равна 12,8 V^3.
Решение. Массу паров воды в заданном объеме V можно
найти по формуле
т = qV,
где q — плотность паров воды при температуре 15° С.
Задача сводится к нахождению Q. Заданная в условии
задачи относительная влажность воздуха согласно опре-
определению равна
В = -?-. 100,
Р\
где р — давление паров воды при температуре 15° С,
а Рх — давление насыщающих паров воды при той же тем-
температуре.
Величины р и рх неизвестны. Теперь следует найти
формулы, связывающие давление и плотность. Можно ли
применить формулу
р = — nmv2
(см. §7, п. 2) к данной задаче? В условии задачи температура
воздуха 15° С не меняется, не меняется и средняя скорость
молекул пара. Следовательно, плотность насыщающего
пара при 15° С и плотность искомого количества пара при
той же температуре связаны с давлениями р и рг следующим
соотношением:
-х- nmv2
в = -?-• юо = 4 юо - 4- юо,
откуда
BD UV7Q* L*,O С/ЛЯГ j лп р/^,3
6 ~~ 100% — 100% "~ />о° г!М •
Находим массу паров воды
m==QV = 7,68 г/м3-120 м3« 922 г.
— 165 —
Примечание. Если числитель и знаменатель полученной
в этой задаче формулы
пт о
~~ Nm" ~~~ Ц~
помножить на У, то
и для В можно дать следующее новое определение.
Относительной влажностью воздуха называется величина, равная
отношению количества водяного пара к максимально возможному коли-
количеству водяного пара при данной температуре и выраженная в процентах.
Закон Дальтона. Давление смеси газов или
паров равно сумме парциальных давлений.
Пусть смесь состоит из газов Л, В, С, . . ., находя-
находящихся в объеме V. Парциальным давлением, например
газа В, называют давление газа В в объеме V, если из
этого объема удалены остальные газы, образовавшие
смесь.
Закон Дальтона вытекает из основной формулы кине-
кинетической теории газов: р = -j- nmv2 (см. § 17, п. 2).
Поскольку р = -у п Щ- ,,. а. Щ- = w — средняя кине-
кинетическая энергия молекул газа при данной температуре 7\
то для любого газа
р = -у /ш.
Пусть концентрации молекул газов Л, Б, С, ...
в объеме V равны соответственно лл, пв, пс> . . ., а число
молекул смеси газов в единице объема будет п. Тогда
п = пА + пв + пс +... Умножим это равенство почленно
на «Y ш. Согласно основной формуле кинетической тео-
теории газов, давления газов, составивших смесь, равны
X nAw> T HbWi Т ncw' • • м а Давление всей смеси
Р = тпа® + Т п^ + |- "с^+ ... = у тй;. A3)
Формула A3) и есть закон Дальтона, так как ее слагае-
слагаемыми являются парциальные давления газов, образовав-
образовавших смесь.
- 166 -,
Выражение A3) приводит к следующим выводам.
1. Давление смеси газов равно сумме давлений газов,
составивших смесь.
2. Поскольку левая и правая части равенства A3) ум-
ножены на -g- w, было сделано молчаливое допущение,
что средние кинетические энергии молекул разных газов
равны, если равны температуры газов.
Это утверждение можно доказать следующим образом.
Для одного моля любого газа справедливо уравнение
2 —
состояния в виде pV = RT. Заменяя р выражением -~- /ш,
получаем
откуда
— 3 RT
Однако nV = N = 6,02-1023 моль'1. Это число Авогадро —
число молекул в одном моле газа. Следовательно,
п> = 1Г-ТТ-
р
Величина -тг-, одинаковая для всех газов, называется
постоянной Больцмана или газовой постоянной одной мо-
молекулы и имеет значение
к _
8.3Ы07 эрг _ « ^ 10-16 эрг
6,02.102з град " 1>°°'ш град
Постоянная Больцмана показывает, какую работу
совершает одна молекула газа, движущаяся с некоторой
средней скоростью, при повышении температуры газа
на 1 градх\
Из формулы A4) вытекает, что средняя кинетическая
энергия (энергия поступательного движения) молекулы
зависит лишь от абсолютной температуры газа и про-
пропорциональна ей.
'** Понятие «температура» применительно к одной молекуле не
имеет смысла.
— 167 —
Таким образом, абсолютная температура характеризует
величину средней кинетической энергии молекул газа
(или любого другого тела).
Задача 78.
Сосуд с малым отверстием, содержащий небольшое
количество воды, находится при температуре 76° С и атмо-
атмосферном давлении 750 мм рт. ст. Через некоторое время
сосуд закупорили и погрузили в жидкий воздух, кипевший
при температуре 80° К. Каково теперь давление в сосуде?
Давление насыщающих паров воды при температуре
76° С равно 300 мм рт. ст. Давлением насыщающего пара
льда при температуре 80° К можно пренебречь.
Решение. Вначале в сосуде при 76° С и внешнем давле-
давлении 750 мм рт. ст. имелись вода, насыщающий пар и
воздух — это состояние /.
После погружения закупоренного сосуда в жидкий
кипящий воздух пары воды сконденсировались и вся вода
замерзла. В сосуде остался только воздух — это состоя-
состояние 2.
Следовательно, нужно найти давление воздуха в состоя-
состоянии 2.
Объем сосуда постоянный; изменились температура и
давление воздуха. Значит, можно применить закон Шарля
Pi _ Тг
р% ~ т% '
где рх — давление воздуха при температуре 7\ = 349° К,
р2 — искомое давление воздуха при температуре Т2 =
= 80° К:
Для определения рх, величина которого неизвестна,
обратимся к состоянию 1 системы. Внешнее давление
750 мм рт. ст. равно сумме парциальных давлений смеси
воздуха и насыщающего пара в сосуде, т. е.
750 мм рт. ст. = рх + 300 мм рт. ст.
Таким образом,
Рх = 450 мм рт. ст.,
80° К
р2 = 450 мм рт. ст. • о^Тс ~ ^ мм ^т% ст*
— 168 —
Задача 79.
Замкнутый сосуд разделен тонкими перегородками на
три объема Vl9 V2 и V3» в которых содержатся соответ-
соответственно газы А, В, С. Давление р одинаково во всех объ-
объемах. Перегородки каким-то образом удаляют (например,
выдвигают через узкие упругие щели) и газы смешиваются
в результате диффузии. Определить давление смеси, счи-
считая, что температура внутри сосуда не менялась.
Решение. Поскольку каждый из газов, составляющих
смесь в данном объеме, ведет себя так, как если бы других
газов вместе с ним не было, можно для каждого газа Л,
В, С написать закон Бойля—Мариотта:
рУг = рА (V, + V2 + Уз),
pV2 = Рв (V, + V2 + Уз),
рУъ = Рс (Vi +V2+ К3),
гАе Ра> Рв и Рс — давления газов А; В к С после завер-
завершения процесса диффузии. Давление смеси, согласно за-
закону Дальтона, равно рА+ рв + рс. Произведя расчет,
находим, что давление смеси равно р — первоначальному .
давлению каждого газа.
Решив задачу, полезно более широко осмыслить полу-
полученный результат. Давление смеси р = -у nw, где w —
средняя кинетическая энергия молекул газов, составив-
составивших смесь, а п — концентрация смеси. Поскольку темпе-
температура в течение процесса не менялась и давление в сосуде
осталось прежним, концентрация и плотность смеси газов
равны соответственно концентрации и плотности каждого
газа до начала процесса диффузии.
Закон Авогадро. В равных объемах разных
газов при одинаковых температуре и давлении содержится
одинаковое число молекул.
Задача W.
Вывести закон Авогадро из следующего опытного
факта: при одинаковых условиях (равны температуры,
давления и объемы) плотности двух разных газов относятся
как их молекулярные веса.
— 169 -^
Решение. Из эксперимента вытекает соотношение
Qi _ Pi
где Qi и Qa — плотности двух разных газов, находящихся
при одинаковых условиях, Рг и Р2 — грамм-молекуляр-
грамм-молекулярные веса этих газов. Поскольку Рг = Mxg, P2 = М<?,
где Мх и М2 — массы газов (g — земное ускорение), то
q2 M2
где mx и m2 — массы молекул, Nx и N2 — число молекул
одного и другого газов.
Итак, как следствие из эксперимента получено соот-
соотношение, куда входят величины N± и N 2, равенство кото-
которых необходимо доказать.
Для решения поставленной задачи необходимо второе
уравнение, связывающее те же величины. В приведенном
эксперименте газы находятся в одинаковых условиях.
Как это использовать при решении задачи ?
Согласно определению, плотность — это количество
вещества в единице объема: qx = -~ и q2 = -у- t однако
эти равенства не приводят к намеченной цели.
Известно также, что плотность q = тп, где т — масса
молекулы, п—число молекул в единице объема. Эта
формула связывает плотность газа с массой каждой мо-
молекулы. Для данной задачи имеем:
Qx = тхпъ
Q2 =
Однако концентрации молекул пх и п2 неизвестны.
2
Величина п входит в формулу р = -g- nw (см. «Закон
Дальтона»). Из этой формулы вытекает, что газы, находя-
находящиеся в одинаковых условиях, имеют одинаковые концен-
концентрации молекул, т. е. пх = я2, и тогда qx = mxny Q2'=
р= ш2/г. Следовательно,
q2 m2
откуда Л/1! = N2.
— 170 -
Из закона Авогадро вытекает важное следствие: грамм-
молекулы разных газов содержат одинаковое число моле-
молекул N. Многочисленные и различные по своей методике
измерения приводят к одному и тому же результату:
N = 6,02-1023 моль'1 (число Авогадро).
Закон Авогадро, как и закон Дальтона (закон Даль-
Дальтона является следствием закона Авогадро), строго говоря,
применимы лишь к идеальным газам.
Глава VII
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 19. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ
Учение об электричестве начало последовательно раз-
развиваться с начала XVIII в. В первых же экспериментах
было замечено, что при электризации тел (трением, через
влияние) йа них всегда возникают заряды, равные друг
другу по величине, но противоположные по знаку. По-
Подобные опыты привели к заключению, что в любом электри-
электрически нейтральном теле содержится одинаковое число как
положительных, так и отрицательных зарядов, компенси-
компенсирующих действия друг друга. В результате обобщения
обширного экспериментального материала был сделан
вывод, что заряды не создаются и не исчезают, они могут
лишь переходить от одного тела к другому (электризация
трением) или перемещаться внутри тела (электризация
через влияние). Это закон сохранения заряда, играющий
фундаментальную роль в теории электричества.
Опыты с электризацией тел через влияние (путем ин-
индукции) привели к выводу, что заряды одного знака не
могут перемещаться по проводнику, в отличие от зарядов
противоположного знака. Однако только после открытия
электрона и построения планетарной атомной модели (на-
(начало XX столетия) возникли четкие суждения о том, что
представляют из себя электрические заряды. Электриче-
Электрическим зарядом называют совокупность элементарных носи-,
телей электричества. Элементарным, т. е. наименьшим и
неделимым, отрицательным зарядом является электрон.
Наименьшим положительным зарядом (по величине равным
заряду электрона) является один раз ионизированный атом
(атом, у которого оторван один из его валентных электро-
электронов). Положительные заряды (ионы) не могут двигаться
в металлическом проводнике, так как они составляют остов
кристаллической решетки металла. Находясь в узлах
кристаллической решетки, ионы металла колеблются около
своих положений равновесия. Вокруг ионов беспорядочно
движутся свободные электроны (валентные электроны),
взаимодействующие с разными ионами, но не принадле-
— 172 —
жащие какому-нибудь конкрет-
конкретному .атому. Подчеркивая это [ I
обстоятельство, иногда говорят, *+++ + + + + 4 + + + +
что кристаллическая решетка ме-
металла погружена в «электронный
газ». ~
Рассмотрим причины электри- Рис- 47
зации трением. При сближении
двух тел на расстояние, сравнимое с атомными раз-
размерами (^10~8 см), атомы одного вещества захватывают
электроны другого. В результате такого смещения элек-
электронов из одного тела в другое в области соприкосновения
тел возникает двойной электрической слой (рис.47), тол-
толщина которого порядка 1 А A А = 10~* см). При этом, когда
тела скользят по поверхности друг друга, между ними воз-
возникает гораздо больше центров соприкосновения, удовлет-
удовлетворяющих условию захвата электронов, чем когда тела
просто прижимают друг к другу. Сами же силы трения при
электризации трением никакой принципиальной роли не
играют.
Потерев тела друг о друга, их затем раздвигают, раз-
разрывая образовавшийся двойной электрический слой, и тем
самым получают два тела, заряженные разноименными, но
одинаковыми по величине зарядами. При этом необходимо
чтобы оба тела не были металлическими. Действительно,
за счет шероховатости поверхностей нельзя разъединить
тела так, чтобы отделение молекул одного тела от молекул
другого произошло одновременно и повсеместно на одина-
одинаковые расстояния. На каком-либо участке остается еще
соприкосновение, по которому сбегут (в случае металличе-
металлических тел) захваченные электроны. Электризация трением
возможна лишь, когда оба трущихся тела — изоляторы
или полупроводники, или хотя бы одно из этих тел неме-
неметаллическое.
Процесс утечки электронов в случае разъединения двух проводников
можно объяснить на примере следующей схемы. Конденсаторы А и В
соединены параллельно и заряжены (рис. 48). Разность потенциалов на
обоих конденсаторах одинакова (система в равновесии). Будем раздви-
раздвигать пластины конденсатора А. Емкость С конденсатора А при этом
начнет уменьшаться. Поскольку заряд Q на конденсаторе А в первый
момент остается прежним, разность потенциалов U на конденсаторе А
растет, так как С — -~, что вызывает стекание заряда с этого конден-
конденсатора А на конденсатор В.
— 173 —
При разъединении двойного электрического
слоя, возникшего на границе двух металлических
проводников, принципиально происходит то же
самое, так как одни участки проводников отделя-
отделяются друг от друга на значительно ббльшие рас-
расстояния, чем другие. Если же отделяется провод-
проводник от полупроводника, то течение электронов
вследствие возникшей разности потенциалов прак-
практически невозможно, так как электроны проводи-
проводимости в полупроводнике не могут перемещаться
Рис. 48 столь же легко, как по проводнику.
Задача 81.
Если прижать к теплой кафельной печи лист бумаги
и разглаживать его сухими ладонями от середины к краям,
то лист пристанет к кафельной плитке. При отрывании
листа слышен треск, а в темноте видны искры между бу-
бумагой и печкой. Объясните явление.
Почему этот опыт часто не удается с холодной нетоп-
ленной печью?
Решение. В описанном явлении возникает электриза-
электризация трением. Бумага и кафель — изоляторы. При слипа-
слипании их поверхностей возникает двойной электрический
слой, а при разрывании электроны соскакивают с одного
тела на другое. Поэтому в темноте видны искры. Треск
возникает благодаря резкому сжатию воздушной про-
прослойки при проскакивании искр: образуется звуковая
волна — поперечные сжатия и разрежения воздуха (мол-
(молния и гром в миниатюре) 1>.
В условии задачи говорится, что опыт может не
удасться, если печь холодная, хотя он проводится точно
так же, как и в случае, когда печь была теплой. Следова-
Следовательно, возникает какой-то фактор, при котором электри-
электризация невозможна. Из теории явления известно, что
электризации трением не последует, если оба соприкаса-
соприкасающихся тела — проводники. Однако решение первой
части задачи было основано на том, что бумага и кафель —
изоляторы. Может быть, в случае холодной печи бумага
и кафель, по крайней мере в своих поверхностных слоях,
^ При разведении двух слоев разноименных зарядов совершается
работа, величина которой равна энергии электростатического поля
образовавшегося конденсатора. При этом разность потенциалов U между
слоями нарастает. Искры проскакивают именно вследствие резкого
нарастания U (пробой диэлектрика в случае воздушной прослойки
з конденсаторе).
— 174 —
становятся проводниками? Такое предположение объяс-
объясняет неудачу в эксперименте, но оно само нуждается в до-
доказательстве. Будем внимательно анализировать условия
опытов.
И в том, и в другом случае листок бумаги имеет ком-
комнатную температуру. Если приложенный к печке листок
некоторое время притирать к кафелю, то он приобретает
температуру, практически равную температуре печи.
Во втором случае (если не очень усиленно тереть бумагу)
принципиально получается то же самое, только теперь
температура кафеля и листка бумаги иная. Значит, при
температуре более высокой, чем комнатная (например,
50—60° С), опыт удается, а при комнатной температуре
опыт иногда не удается. Электризация трением происходит
на границе соприкосновения тел и, следовательно, зависит
не только от вещества, из которого изготовлены тела, но
и от состояния самих поверхностей. Если наши заключе-
заключения верны, то в первом случае поверхности бумаги и ка-
кафеля не обладают проводящими свойствами, а при комнат-
комнатной температуре они могут приобретать такие свойства.
Поскольку печь и лист бумаги находятся в контакте с окру-
окружающим воздухом, нетрудно сделать заключение, что если
воздух достаточно влажен, то на поверхности тел обра-
образуется тонкий слой молекул воды, в результате чего эти
поверхности становятся проводящими и опыт не удается
(холодная печь). При нагревании вода испаряется и опыт
удается.
Рассмотрим электризацию через влияние. Электрически
заряженное тело, поднесенное к незаряженному провод-
проводнику, в зависимости от своего знака либо притягивает
к себе свободные электроны проводника, либо отталкивает
их. В результате на двух противоположных частях про-
проводника возникают электрические заряды разных знаков.
При удалении возбуждающего заряда свободные электроны
вновь распределяются с одинаковой плотностью и провод-
проводник становится, как и прежде, электрически нейтральным.
Из этого опыта вытекает, что индуцированные заряды
противоположны по знаку, но одинаковы по величине.
Поднесем, например, положительно заряженное тело
к незаряженному проводнику, укрепленному на изоли-
изолирующей подставке. Часть свободных электронов стя-
стянется в область проводника, наиболее близко расположен-
расположенную к поднесенному заряду. Одновременно на противопо-
— 175 —
ложном конце проводника за счет потери электронов воз-
возникает положительный заряд, по величине равный отри-
цатель'ному заряду. Если теперь прикоснуться к провод-
проводнику рукой, не относя от него заряженное тело, то из земли
по руке на проводник натечет такое количество электро-
электронов, которое необходимо для полной компенсации поло-
положительного заряда. На проводнике останется лишь отри-
отрицательный заряд. Следовательно, индукция возможна
только в таких телах, электроны которых обладают доста-
достаточной подвижностью и могут смещаться под действием
возбуждающего поля.
Задача 82.
Что произойдет, если к заряженному электроскопу
поднести незаряженное металлическое тело?
Решение. Часто ограничиваются следующим правиль-
правильным, но неисчерпывающим рассуждением. Металлическое
тело зарядится через влияние. На удаленном конце тела
возникнет заряд по знаку такой же, как и заряд на шарике
электроскопа, а в области тела, наиболее близко располо-
расположенной к шарику, возникнет заряд, по знаку противопо-
противоположный заряду электроскопа.
^Однако не следует забывать о взаимосвязи между явле-
явлениями. Явление В, вызванное явлением Л, может оказы-
оказывать обратное влияние, несколько изменяя А. В данном
случае заряд, индуцированный на поднесенном теле,
взаимодействует с зарядом/ находящимся на электроско-
электроскопе. Может ли это что-нибудь изменить? Обратимся к ме-
механизму электризации через влияние. Пусть на электро-
электроскопе находится отрицательный заряд. Тогда положитель-
положительный индуцированный заряд тела притянет с листочков
электроскопа к его шарику часть электронов, в результате
чего листочки несколько опадут. Если электроскоп заря-
заряжен положительно, то отрицательный заряд, индуцирован-
индуцированный на теле, будет отталкивать электроны с шарика элек-
электроскопа к его листочкам. Часть положительного заряда
на листочках скомпенсируется, и листочки опять-таки
несколько опадут.
Теперь ответ на вопрос задачи стал исчерпывающим.
Однако всегда полезно по возможности шире представить
себе затронутое явление. В данном случае ответ на во-
вопрос задачи вызывает другой законный вопрос: «Что будет,
если к заряженному электроскопу поднести заряженное
— 176 —
тело?». Повторяя рассуждения, только что проделанные
выше, приходим к выводу, что листочки заряженного
электроскопа опадут при поднесении тела, несущего заряд
противоположного знака, и еще больше расходятся при
поднесении заряда того же знака. Поэтому электроскопом
можно определить не только наличие, но и знак электри-
электрических зарядов.
Теперь решение предложенной задачи можно считать
более исчерпывающим.
§ 20. ЗАКОН КУЛОНА
Закон Кулона получен экспериментальным путем и не-
неоднократно проверялся в опытах гораздо более тонких,
чем опыт самого Кулона. Закон справедлив лишь для
точечных электрических зарядов. Точечными называются
заряды, нанесенные на тела, линейные размеры которых
ничтожно малы по сравнению с их взаимными расстоя-
расстояниями. Если точечные заряды взаимодействуют в вакууме,
закон Кулона выражается формулой
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от
системы единиц, в которой выражаются остальные вели-
величины, г — расстояние между зарядами qx и q2, F — сила
взаимодействия между зарядами, которую часто называют
кулоновской силой 1К
Физический смысл коэффициента пропорциональности
k легко установить из формулы A), положив дг = q2 =
==» 1 ед. заряда, г = 1 ед. длины.
Коэффициентом пропорциональности k в законе Ку-
Кулона называется величина, численно равная силе, с кото-
которой взаимодействуют два единичных точечных заряда,
находящихся друг от друга на расстоянии, равном еди-
единице длины.
В системе СГСЭ единицу заряда выбирают таким обра-
образом, чтобы коэффициент k был безразмерной величиной,
равной единице.
^Практически формула A) применяется и в тех случаях, когда
заряды находятся в воздухе, так как диэлектрическая постоянная воз-
воздуха ничтожно мало отличается от значения е = 1 для вакуума.
— 177 —
За единицу заряда в этой системе A ед. СГСЭ^) прини-
принимается такой заряд, который взаимодействует с равным
ему зарядом в вакууме с силой в 1 дин на расстоянии
в 1 см.
Размерность 1 ед. СГСЭ^ выводится, из формулы A):
= 1 см УЪпн = г/г см8/2 сек~\
В СИ за единицу заряда принимается кулон (к):
Чтобы представить себе, насколько велик заряд, равный 1 /с, под-
подсчитаем, с какой силой взаимодействуют два заряда в 1 к каждый,
если они находятся на расстоянии 1 км друг от друга:
09 г'/2-см8/* секJ
= \ = /inf
г2 A05 смJ
Задача 83.
= 9-Ю8дш< = 9.103/^918 кГ.
Атом водорода состоит из положительного ядра, вокруг
которого вращается единственный электрон. С какой часто-
частотой должен обращаться электрон вокруг ядра, чтобы не
упасть на ядро, если его орбита — окружность с радиусом
г = 3-10~8 см? Масса электрона /п = 9-108 г, заряд
электрона е = 4,8-КГ10 СГСЭГ
Подобные задачи часто встречаются в кинематике и динамике, где
можно писать общие формулы, охватывающие движение тел в целом
(закон движения s = / (t) в кинематике и уравнение движения fx +
+ *2 "?¦ * *#^" f/i= ma B динамике). Предложенная задача по существу
является задачей динамики.
Решение. Напишем уравнение движения электрона.
Поскольку электрон движется вокруг ядра по окружности,
существует центростремительная сила F^ обеспечивающая
это движение и равная
где v — линейная орбитальная скорость электрона.
По своей природе Fu является кулоновской силой,
й2
т. е. Fu = -g- (положительный заряд протона по величине
равен заряду электрона е). Условие задачи выражается
уравнением движения
е2 mv2
— 178 —
Определяем неизвестную величину v через искомую
частоту v:
v = со/* = 2nvr.
Подставляя v в уравнение движения, находим, что
V = ;=.
2яг Ymr
Вычислим полученный результат:
4,8. 100 г1/2 .^ж3/2 -сек'1
2я-3. Ю-8 см У 9-10-28 г.з.Ю-8
ел » 4,9-1014
§21. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Электрические заряды взаимодействуют друг с другом
не непосредственно, а через поле, которое они образуют.
Вещество и поле — две известные в настоящее время
формы материи. Так же как и вещество, поле тесно свя-
связано с пространством и временем. Электростатическое
поле образуется в пространстве неподвижными электриче-
электрическими зарядами. Подвижные электрические заряды соз-
создают магнитное поле. И магнитные, и электростатические
поля являются частными случаями электромагнитного
поля, которое может существовать независимо от электри-
электрических зарядов. Электромагнитное поле, будучи столь же
реальным, как и: вещество, обладает определенными физи-
физическими свойствами — массой и энергией, которые могут
быть локализованы в пространстве или передаваться из
одной области пространства в другую с конечной скоростью
(электромагнитные волны).
Электростатическое поле формально можно определить,
как область пространства, где проявляется взаимодействие
между неподвижными электрическими зарядами. Электро-
Электростатическое поле характеризуется двумя величинами:
напряженностью (силовая характеристика) и разностью
потенциалов (энергетическая характеристика). Наглядно
это поле может быть представлено при помощи силовых
линий и эквипотенциальных поверхностей. Эксперимен-
Экспериментально основные характеристики электростатического
— 179 —
поля определяются при помощи пробного положительного
точечного заряда, вносимого в поле. Такой пробный заряд
должен быть достаточно малым по величине, чтобы поле,
куда он помещается, заметно не искажалось.
1. Напряженность
Напряженностью электростатического поля назы-
называется величина, численно равная силе, с которой поле
действует на единичный положительный заряд.
Напряженность — векторная величина. Численное
значение вектора напряженности Е определяется величи-
величиной силы, действующей на единичный заряд; за положи-
положительное направление вектора Е в любой точке поля при-
принимается направление, по которому на пробный заряд +q
действует кулоновская сила со стороны заряда, образо-
образовавшего поле. Определим величину.напряженности? поля.
Цусть Q — заряд, образовавший поле, q — проб-
пробный заряд, внесенный в это поле, г—расстояние между
зарядами Q и q. Величина кулоновской силы взаимо-
взаимодействия F — -Щ-. Тогда, согласно определению, на-
напряженность на расстоянии г от заряда Q выразится фор-
формулой
? B)
или
Bа)
Важно отметить, что какой бы величины не был заряд q,
р
отношение — на расстоянии г от заряда Q остается од-
одним и тем же, что вытекает из эксперимента и непосред-
непосредственно из закбна Кулона. Согласно формуле B) запи-
запишем
F = qE. C)
F — сила, действующая на заряд q со. стороны электроста-
электростатического поля напряженности Е. Если заряд q поло-
положителен, то направления силы F и вектора напряженности
совпадают. Если же q — отрицательный заряд, то направ-
— 180 ~=
ление силы F в любой точке поля противоположно на-
направлению напряженности Е.
В формуле Bа) заряд Q должен быть точечным. В слу-
случае равномерно заряженного шара напряженность поля
в любой точке Л, не лежащей внутри шара, также
равна ¦—- , где г — расстояние от геометрического центра
шаровой поверхности до точки А. При этом не имеет зна-
значения, распределяется электрический заряд -равномерно
лишь по поверхности сферы (металлическое тело) или
весь шар заряжен с одинаковой объемной плотностью
(вещество шара —диэлектрик).
Формула C) может применяться при соблюдении сле-
следующих требований: либо заряд q — точечный, а поле
может быть однородным !> или неоднородным, либо за-
заряд q — неточечный, но тогда поле должно быть однород-
однородным по крайней мере в области пространства, где нахо-
находится заряд q.
За единицу напряженности электростатического поля
в системе СГСЭ принимается напряженность такого поля,
которое действует на 1 ед. СГСЭ^ с силой в 1 дин:
г см сек
В СИ за единицу напряженности принимают ньютон
на кулон (н1к) — напряженность поля, действующего на
заряд в 1 к с силой в 1 н\ соотношение между приведенными
единицами:
. н 10б г-см'сект2 1 сгг^
к ЪЛФ г '• см '• сек г ^'1°4 Е
Задача. 84.
На кольце из тонкой проволоки равномерно распре-
распределен заряд Q = 50 СГСЭ^. Радиус кольца г = 5 см.
Определить напряженность' поля: а) в центре кольца;
б) в точках, удаленных от всех элементов кольца на рас-
расстояние R = 10* см.
Решение. 1. Формула Е = -—- справедлива для то-
точечных зарядов или для зарядов, равномерно распреде-
!) Однородным называется такое поле, напряженность которого
во всех точках пространства одинакова по величине и направлению.
— 181 —
ленных на сфере. Заряд на кольце нельзя
считать точечным. Поэтому разобьем кольцо
на столь малые одинаковые дуги, чтобы
длина каждой была ничтожно мала по срав-
сравнению с радиусом. Таких дуг будет конеч-
конечное число. Заряды, находящиеся на малых
кусочках-дугах, можно считать точечными
и равными другу другу, так как весь за-
заряд Q распределен по кольцу равномерно.
Поскольку точка, в которой определяется
напряженность, является точкой симметрии
кольца, напряженность поля в ней от каж-
каждой пары точечных зарядов, лежащих на
противоположных концах диаметра, равна
нулю. Следовательно, напряженность от
всего заряда Q в центре кольца также равна
нулю.
2. Точки, где необходимо определить
Рис: 49 напряженность, лежат в вершинах двух
прямых круговых конусов, общим основа-
основанием которых является заряженное тонкое
кольцо (рис. 49). Как и в первом случае, рассматривае-
рассматриваемые точки О' и О" расположены симметрично относительно
всех элементов кольца. Основываясь на рассуждениях
пункта 1, найдем напряженность поля в точках О' и О"
от двух точечных зарядов, находящихся на концах лю-
любого диаметра. На рис. 49 напряженность от любого то-
точечного заряда кольца обозначена символом ?', а от со-
соответствующей пары точечных зарядов — символом ?"'.
По соображениям симметрии очевидно, что напряжен-
напряженности в точках О' и О" от всех пар точечных зарядов, ле-
лежащих на концах разных диаметров, равны по величине
и направлены вдоль продолжения высот одного и другого
конусов. Обозначив величину каждого точечного заряда
через е, можно составить следующие равенства:
откуда
г, 2* 2е]/#2 —г2
Е =—cosa =
- 182 —
Напряженность поля в точке О' или в точке (У равна
1* , 2е VR* — г2
Я*
¦ + ...+
где число слагаемых равно числу выделенных нами пар
точечных зарядов. Следовательно, (е +е + . . . + е) = -~
и искомая напряженность будет
Полученный результат можно подвергнуть косвенной
проверке.
Прежде всего обращаем внимание на размерность по-
полученного выражения для Е. Размерность — правильная.
Далее, в процессе обдумывания задачи и ее решения сле-
следует отметить, что первый и второй вопросы условия тесно
связаны. Результат решения первого вопроса должен
вытекать из формулы решения второго как частный слу-
случай. Действительно, это имеет место при R = г.
Рассмотрим предельные случаи.
Пусть радиус проволочного кольца стремится к нулю.
Тогда при г = 0 заряд Q становится точечным (кольцо
стягивается в точку). Напряженность поля на рас-
расстоянии R от заряда Q должна в этом случае рав-
равняться -Jj- • Полагая г = 0 в формуле ответа, получаем,
что Е действительно равно -^- . Пусть теперь R ->оо.
На достаточно большом удалении при R > г можно все
кольцо целиком считать точечным зарядом, пренебрегая
величиной г по сравнению с R> т. е. просто считая rlR
равным нулю. В этом случае на бесконечном удалении
напряженность поля должна равняться нулю, согласно
формуле Е = -?§- . В нашем случае Е =
при R -> со.
— 183 —
Закончив проверку полученного результата и убе-
убедившись в его правильности, произведем вычисления:
0,43 СГСЭ?.
2. Линии напряженности
В начале настоящего параграфа отмечалось, что
поле, являясь формой существования материи, столь же
реально, как и вещество. В ряде случаев можно наблю-
наблюдать конфигурацию электростатического поля точно
так же, как наблюдают при помощи мелких железных
опилок конфигурацию магнитного поля тока или постоян-
постоянного магнита.
Выполним эксперимент. В прозрачную со всех сторон
кювету наливают жидкий диэлектрик (например, касто-
касторовое масло), в котором во взвешенном состоянии равно-
равномерно распределены кристаллики сернокислого хинина,
имеющие удлиненную форму. В ориентации кристалли-
кристалликов не наблюдается каких-либо преимущественных на-
направлений, они располагаются хаотически. Когда в кю-
кювету помещают заряженные тела, кристаллики благодаря
воздействию поля становятся электрическими диполями
и располагаются в соответствии с конфигурацией поля
(рис. 50).
В целях наглядной графической передачи формы поля
и величины его напряженности пользуются линиями
напряженности, или силовыми линиями. Линией напря-
напряженности называется кривая, проведенная мысленно
в поле таким образом, чтобы вектор напряженности
поля Е в любой точке этой кривой был направлен по
касательной к ней.
Из определения напряженности нетрудно заключить,
что вектор Е в любой точке поля имеет только одно направ-
направление и одну вполне определенную величину. Следова-
Следовательно, силовые линии поля не могут пересекаться (в про-
противном случае в точке пересечения существовало бы по
крайней мере два вектора Е с разными направлениями,
что противоречит определению напряженности). На рис. 51
при, помощи силовых линий схематично изображены поля
— 184 -
W/A
Рис. 50
двух разноименно заряженных шариков, двух разно-
разноименно заряженных пластин, одного положительно за-
заряженного шарика и одного отрицательно заряженного
шарика (ср. с рис. 50). Поскольку при определении по-
понятия «напряженность электростатического поля» за по-
положительное направление вектора Е принято его направ-
направление от положительного заряда к отрицательному, усло-
условились считать, что силовые линии поля, начинаясь на
положительных зарядах, направлены к отрицательным
зарядам и заканчиваются на. отрицательных зарядах.
Из формулы Bа) вытекает, что напряженность поля
точечного заряда уменьшается обратно пропорционально
квадрату расстояния до заряда. Если рассматривать
силовые линии изолированного точечного заряда и по-
— 185 -*
Рис. 51
строить из точки, где находится этот заряд, ряд кон-
концентрических сферических поверхностей, то нетрудно
видеть, что число силовых линий, проходящих через еди-
единичную площадку каждой последующей сферы, умень-
уменьшается обратно пропорционально квадрату радиусов
сфер, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния
до точечного заряда (это утверждение вытекает из того
факта, что поверхности сфер возрастают пропорционально
квадрату их радиусов). Такое соответствие между изме-
изменением величины Е и изменением числа силовых линий
через площадку, ориентированную перпендикулярно к си-
силовым линиям, приводит к мысли, что по изменению гу-
густоты силовых линий можно судить об изменении вели-
величины напряженности поля. Так обычно и поступают при
составлении карт электростатических полей, проводя
силовые линии гуще там, где напряженность поля больше,
и наоборот. Для удобства сравнения различных электро-
электростатических карт принято следующее условие. Если на-
напряженность поля равна 1 СГСЭ?, то через площадку
— 186 —
в 1 см2, ориентированную перпендикулярно к силовым
линиям, проходит лишь одна силовая линия.
Следует отметить, что сам по себе образ «силовая ли-
линия» или «линия напряженности» фиктивен, так как такой
линии реально не существует. Однако формы силовых
линий графически воспроизводят действительную кон-
конфигурацию поля, а густота их позволяет судить о величине
напряженности в данном поле.
При решении задач метод изображения поля сово-
совокупностью силовых линий часто придает большую на-
наглядность рассуждениям и существенно облегчает реше-
решение.
Задача 85.
Каким способом можно перевести весь заряд с заря-
заряженного проводника на незаряженный?
Решение. Подобные задачи часто вызывают наиболь-
наибольшую трудность, так как условие не содержит никаких
конкретных величин, а вопрос является весьма общим.
Прежде всего четко представим себе, что дано и что надо
найти. Даны два изолированных проводника, один из
которых заряжен (о знаке заряда ничего не сказано,
и поэтому нельзя установить, насколько, существенным яв-
является это условие). Предположим для определенности,
что на одном из тел находится отрицательный электри-
электрический заряд, т. е. имеется избыток свободных электро-
электронов. Задача сводится к созданию условий, при которых
заряд (все избыточные электроны) с заряженного провод-
проводника полностью перейдет на незаряженный проводник.
При каких условиях вообще заряд с одного проводника
переходит на другой?
Соединим проводники проволокой. При этом про-
произойдет перемещение зарядов, но оно прекратится, как
только сравняются потенциалы проводников. Такой спо-
способ, следовательно, к задаче не подходит.
Можно передать заряд незаряженному проводнику
путем индукции. Для этого поднесем заряженный про-
проводник к незаряженному. Изобразим это графически
(рис. 52, а). Если теперь соединить оба проводника А к В
проволокой (укрепленной на изолированной ручке) или
сблизить их до соприкосновения, то электроны с провод-
проводника В будут перетекать на А до тех пор, пока индуци-
индуцированный положительный заряд на А не будет полностью
— 187 —
Рис. 52
скомпенсирован. После разъединения проводников на Л
останется лишь отрицательный заряд. Будет ли он равен
заряду, находившемуся на проводнике В? Будет, если все
избыточные электроны с В перейдут на Л.
При каком условии все электроны с В перетекут на Л ?
При условии, если положительный заряд, индуцирован-
индуцированный на Л, был по величине равен заряду на В.
Имело ли это место в нашем опыте? Посмотрим вни-
внимательно на рис. 52, а. Силовые линии связывают отри-
отрицательный заряд правой половины тела В с положитель-
положительными зарядами, возникшими в результате индукции на
окружающих телах. Сделаем соответствующий чертеж
(рис. 52, б). Из этого рисунка непосредственно вытекает,
что если соединить проводники В, Л, Л' и Л" проволо-
проволоками, то весь отрицательный заряд стечет с проводника В
и распределится на проводниках Л, Л' и Л". Таким об-
образом, оказалась решенной несколько иная задача, чем
поставленная: «Каким способом можно передать весь
заряд с одного заряженного проводника на несколько
других, незаряженных?». Эти «другие проводники», как
следует из рис. 52, б, расположены вокруг заряженного
проводника В и, по-видимому, недалеко от него. В про-
противном случае следовало бы учитывать не два тела (Л' и
Л"), а много окружающих проводников, что, впрочем,
не изменило бы сути дела.
Подытожим наши рассуждения.
Мы решили задачу похожую, более легкую, чем
заданная. Будем эту задачу называть вспомогатель-
вспомогательной.
Какое условие является главным для решения вспо-
вспомогательной задачи?
— 188 —
Заряженный проводник В должен находиться в непо-
непосредственном окружении других незаряженных провод-
проводников.
Можно ли это условие осуществить при наличии од-
одного незаряженного проводника? Иными словами,
можно ли одним незаряженным проводником окружить
другой заряженный проводник? Это условие может быть
осуществлено, если в незаряженном проводнике сделать
достаточно глубокий канал с диаметром, несколько пре-
превосходящим диаметр заряженного шарика, и ввести в этот
канал шарик (цилиндр Фарадея; рис. 52, в). Прикоснемся
к внутренней стенке канала шарикодо. Положительный
заряд на внутренней стенке полностью компенсируется
отрицательным зарядом шарика, а шарик станет электри-
электрически нейтральным. На внешней поверхности проводника
останется отрицательный заряд, равный по величине за-
заряду, который был на шарике.
Если вновь зарядить шарик электричеством отрица-
отрицательного знака и повторить операцию внесения, то отри-
отрицательный заряд на внешней поверхности проводника
возрастет на соответствующую величину, и т. д. Смысл
рассуждений не изменится, если вначале зарядить шарик
не отрицательным зарядом, а положительным. Убеди-
Убедитесь в этом самостоятельно. В соответствии с описанным
методом конструируются приборы для точного измерения
зарядов, наносимых на металлические тела. В этих целях
цилиндр Фарадея соединяют с головкой электроскопа,
заключенного (для экранировки листочков) в металли-
металлический кожух (см. задачу № 86). Такие приборы на-
называются электрометрами. В технике свойство цилиндра
Фарадея используется в электростатических машинах для
получения напряжений, порядка десятков тысяч вольт
(машины Ван-дер-Граафа).
Задана 86,
Металлический шар радиуса гг = 2 см окружен кон-
концентрической металлической оболочкой радиуса г2 =
= 4 см. На шаре находится заряд qx = + 10 СГСЭ^,
на оболочке — заряд q2 = —20 СГСЭ^ Определить на-
напряженность поля на расстояниях г3 = 3 см и г4 = 5 см
от центра шара.
— 189 —
Рис. 53
Решение. Сделаем графическое построение соответ-
соответствующих полей, так как цель задачи состоит в опре-
определении их напряженности (рис. 53, а).
Силовые линии, связанные с зарядами qx и q2, — пря-
прямые линии, направленные вдоль радиусов. Силовые ли-
линии, выходящие из положительного заряда qly упираются
во внутреннюю полость металлической оболочки, на ко-
которой возникает индуцированный заряд —qt. В резуль-
результате на внешней поверхности оболочки, где находится
заряд — q2, выступает заряд +qx (рис. 53, б). За-
Заряды —^2 и +9i соединяются, и на внешней поверхности
оболочки остается заряд —(q2 — qx). Отрицательный
заряд —(q2 — <?i) индуцирует на окружающих телах
положительный заряд q2 — qu силовые линии которого
заканчиваются на заряде —(q2 — qx).
Если предположить, что все внешние тела удалены
достаточно далеко, то линии напряженности вблизи обо-
оболочки можно считать прямыми линиями, направленными
вдоль радиусов (рис. 53, в).
Итак, в пространстве между шаром и оболочкой поле
создается только зарядом ql9 а во внешнем пространстве -Ў
зарядами qx и q2 [или зарядом —(q2 — qj]. Металли-
Металлическая оболочка, следовательно, выполняет роль элек-
электростатической защиты или, как часто говорят, экрани-
экранирует предметы, находящиеся внутри.
Теперь нетрудно вычислить искомые напряженности:
„ qx ' 10 г1г-см1г-секГх •
п __ \Яг\ — Я\ _
С 2 о —
у им
10 г1г. см*1* -сек
25 см*
— 0,4СГСЭя.
— 190 —
3. Теорема Остроградского — Гаусса
Вспомним основные выводы о линиях напряженности
в электростатическом поле.
1. Через каждую точку пространства можно провести
только одну силовую линию (силовые линии нигде не пе-
пересекаются и не касаются друг друга).
2. Число силовых линий в поле бесконечно велико.
3. Изображая конфигурацию полей графически, сле-
следует проводить через каждую единичную площадку пер-
перпендикулярно к ней определенное число силовых линий,
равное величине напряженности в данной области поля.
Одна силовая линия через площадку в 1 см2, направлен-
направленная по перпендикуляру к ней, соответствует напряжен-
напряженности в 1 СГСЭ?.
4. Число силовых линий от точечного уединенного
заряда, проходящих через единичную площадку по пер-
перпендикуляру к ней, уменьшается обратно пропорцио-
пропорционально квадрату расстояния от площадки до заряда,
т. е. точно так же, как и величина напряженности.
Совокупность всех силовых линий, пронизывающих
некоторую поверхность, называют потоком вектора на-
напряженности через эту поверхность.
Подсчитаем величину потока напряженности N через
сферическую поверхность радиуса г, в центре которой
находится точечный электрический заряд q.
Пусть число силовых линий от заряда q через указан-
указанную сферическую поверхность равно N, а напряженность
поля на расстоянии г от заряда q равна Е, Тогда, согласно
принятому условию о густоте линий напряженности
?_ N _ д
" г2 '
откуда
N = Anq. D)
Формула D) является следствием закона Кулона.
Таким образом, чтобы число силовых линий через
единичную площадку, перпендикулярную к ним, равня-
равнялось в любой области пространству величине напряжен-
напряженности Е поля, следует из каждого точечного заряда q
проводить Anq симметрично расположенных силовых ли-
линий.
— 191 —
Обобщая этот факт на поверхности любой формы и на
произвольное расположение зарядов внутри поверхности,
приходят к теореме Остроградского—Гаусса, являющейся,
как й формула D), следствием закона Кулона.
Поток вектора напряженности через любую замкнутую
поверхность, внутри которой находятся заряды, равен
произведению 4л на алгебраическую сумму этих зарядов,
т. е.
N =4n(qi + q2 + .. .+ qn). E)
Резберем некоторые важные для нас следствия из
теоремы Остроградского—Гаусса.
1. Пусть задана сферическая поверхность, заряжен-
заряженная равномерно зарядом +Q и имеющая радиус г. Опре-
Определим напряженность поля в любой точке пространства,
находящейся на расстоянии R от геометрического центра
поверхности (точка О), причем R > г. Построим из точки О
вторую сферическую поверхность радиуса R. Поскольку
первая поверхность, на которой распределен заряд, яв-
является эквипотенциальной (см. далее п. «Разность потен-
потенциалов»), силовые линии заряда +Q нормальны.к первой
и, следовательно, ко второй поверхности и направлены
вдоль их радиусов. Учитывая также, что заряд распре-
распределен по всей поверхности равномерно, и исходя из со-
рбражений симметрии, нетрудно сделать вывод, что вели-
величина напряженности во всех точках второй поверхности
одинакова. Поток напряженности через вторую поверх-
поверхность N = EAnR2. Применяя теорему Остроградского—
Гаусса, пишем равенство
EAnR* =4nQ,
откуда
Полученная формула позволяет сделать следующий
вывод. Равномерно заряженная сферическая поверхность
создает во внешнем пространстве поле такой же конфи-
конфигурации и напряженности, как если бы весь заряд был
сосредоточен в геометрическом центре этой поверхности.
2. Определим теперь напряженность поля на рас-
расстоянии г' от центра О заряженной поверхности радиуса г
(г' < г). Как и в первом случае, построим вспомогатель-
вспомогательную сферическую поверхность радиуса г'. Поскольку Е'
— 192 —
(если она существует) по величине одинакова в любой
точке вспомогательной поверхности, можно составить
равенство
откуда ?' =* 0. Значит, напряженность внутри равно-
равномерно заряженной сферической поверхности в любой точке
равна нулю.
Эти выводы относятся и к сплошным металлическим
телам шаровой формы, так как электрические заряды рас-
распределяются лишь по поверхности металлических про-
проводников.
3. Шар из диэлектрика, заряженный с равномерной
нлотностью, создает во внешнем пространстве такую же
напряженность, как если бы весь заряд был сосредоточен
в его центре. (Вывод опускаем.)
4. Подсчитаем напряженность поля, создаваемого рав-
равномерно заряженной плоскостью бесконечной протяжен-
протяженности.
Представим себе плоскость неограниченных линейных
размеров, разделяющую все мыслимое нами простран-
пространство на две половины — левую и правую. На плоскости
с постоянной плотностью а распределен, например, по-
положительный заряд (а — заряд, приходящийся на еди-
единицу площади). Поскольку рассматриваемая плоскость
является эквипотенциальной поверхностью, силовые ли-
линии выходят из нее по нормалям. Из соображения сим-
симметрии следует, что число силовых линий, выходящих
из плоскости в правую область пространства, равно числу
силовых линий, уходящих в левую область. Общий по-
поток напряженности с единицы площади равен 4ясг. Число
силовых линий, уходящих с единицы площади только
вправо или только влево, равно 2ясг* Следовательно,
напряженность поля по ту и по другую сторону плоско-
плоскости
Е = 2яа. F)
5. Определим напряженность поля в пространстве
между двумя плоскостями бесконечной протяженности,
заряженными разноименно с одинаковой плотностью за-
зарядов а.
В пространстве между указанными плоскостями воз-
возникает однородное электростатическое поле, силовые ли-
7 Зак. 1180 — 193 —
нии которого нормальны к обеим плоскостям. Число
силовых линий, выходящих с единицы площади положи-
положительно заряженной плоскости и входящих в единицу пло-
площади отрицательно заряженной плоскости, равно 4яа.
Следовательно, напряженность поля в пространстве между
плоскостями
Е = 4яа. G)
Во внешних областях пространства поле отсутствует.
6. Представим себе цилиндрическую поверхность бес-
бесконечной длины радиуса г, заряженную равномерно.
Пусть ц — заряд, приходящийся на каждую единицу
длины зтой поверхности. Найдем напряженность поля
на любом расстоянии от оси симметрии заряженной ци-
цилиндрической поверхности. Выделим на заданной поверх-
поверхности участок длины / и построим вокруг этого участка
коаксиально вспомогательную цилиндрическую поверх-
поверхность радиуса R (рис. 54). Поскольку заданная поверх-
поверхность является эквипотенциальной, силовые линии пер-
перпендикулярны к ней и к вспомогательной поверхности
(по. построению) и направлены вдоль их радиусоз. Вслед-
Вследствие симметрии напряженность в любой точке вспомога-
вспомогательной поверхности одинакова по величине. Поток на-
напряженности через вспомогательную поверхность равен
N = E*2nR-l. Согласно теореме Остроградского—Гаусса
запишем
E-2nR-l = 4л г]/,
откуда
4
Внутри заряженной цилиндрической поверхности на-
напряженность равна нулю. Это нетрудно показать, по-
построив вспомогательную цилиндрическую поверхность
длины / и радиуса г' < г коаксиально с заряженной.
Согласно теореме Остроградского—Гаусса получим
E'-2nr'l = 0, ?' = 0.
Вспомним, что напряжен-
напряженность внутри равномерно заря-
заряженной сферической поверхно-
поверхности тоже равна нулю. Эти фак-
факты не случайны. Пользуясь
теоремой Остроградского—Гаус-
Рис. 54
— 194 —
са, можно показать, что напряженность поля внутри
любой заряженной металлической поверхности равна
нулю. Электрические заряды, нанесенные на метал-
металлический проводник, распределяются только по его
поверхности, приобретая равновесное состояние (состоя-
(состояние с минимальной энергией). Внутри металлического про-
проводника нет зарядов и нет электростатического поля от
его поверхностных зарядов.
4. Разность потенциалов
Представим себе электростатическое поле, образован-
образованное уединенным точечным зарядом !> +Q. Поместим в поле
заряда +Q, например в точку Л, пробный электрический
заряд +<7 и предоставим его самому себе (рис. 55). Если
заряд +q может свободно перемещаться в поле, он начнет
двигаться под действием кулоновской силы из точки А
к точке Вив точке В будет обладать некоторой кинети-
кинетической энергией. Следовательно, в точке А пробный
заряд +<7 обладал некоторой потенциальной энергией ЛА.
Если остановить заряд +<7 в точке В, а затем убрать за-
задерживающее препятствие, движение возобновится. Зна-
Значит, и в точке В заряд +q обладает некоторой потенциаль-
потенциальной энергией Пв.
Для пробных зарядов разной величины qt (где I =
= 1,2,...) значения потенциальных энергий (Пл, Пд)
будут различны (разные кулоновские силы между Q и
<7,), однако отношения —-, —г для данного поля
всегда одни и те же. В этом проявляется одно из ос-
основных свойств электростатического поля.
Введем обозначения:
—
д.
U = UB. (9)
Величина ?/, равная отношению потенциальной энер-
энергии, которой обладает электрический заряд, помещенный
в любую точку поля, к величине этого заряда, называется
О Выбор простейшего поля обусловлен стремлением к большей про-
простоте и наглядности суждений. Последующие выводы справедливы для
любых электростатических полей и для зарядов обоих знаков.
~ 195 —
потенциалом данной точки поля. Потен-
Потенциал любой точки. С поля равен
где Q — заряд, образовавший поле,
г — расстояние от Q до точки С. По-
Поскольку напряженность поля от заря-
Рнс. 55 да Q ослабевает на бесконечном уда-
удалении до нуля, то, учитывая форму-
формулы (9) и A0), можно дать следующее определение: По-
Потенциал любой точки поля есть величина, численно
равная работе, которую необходимо совершить, чтобы
перенести единичный положительный электрический заряд
из бесконечности в данную точку поля.
Разность потенциальных энергий НА — Пв, очевидно,
равна работе Л, затрачиваемой на перемещение заряда q
из точки Л в точку В, т. е.
Л =q(UA-UB): A1)
Величина UA — UB называется разностью потенциа-
потенциалов между точками Л и В.
Согласно формуле A1), разностью потенциалов назы-
называется величина, численно равная работе, которую не-
необходимо совершить, чтобы перенести единичный поло-
положительный заряд из одной точки поля в другую.
Разность потенциалов — скалярная величина. Тем не
менее в ее определении уточняются и величина, и знак
переносимого заряда: «единичный положительный» (то же
самое относится-и к понятию потенциала точки). Такое
уточнение делается для того, чтобы величина и знак ра-
работы Л, совершаемой при перемещении зарядов, зависели
только от существующего поля и не зависели от величины
и знака переносимых зарядов. Именно поэтому разность
потенциалов и является энергетической характеристикой
электростатического паля.
В задачах работа Л, вычисляемая по формуле A1),
может оказаться положительной или отрицательной ве-
величиной. Если работа по перемещению заряда ±q совер-
совершается силами поля, величина Л приобретает знак плюс.
Если же работа по перемещению заряда ±q совер-
совершается против сил поля, величина Л получается
— 196 —
с минусом. Поэтому формулу A1) условимся записывать
в виде
А =^((/1_[/2), (Па)
где Ux и U2 — соответственно потенциалы начальной и
конечной точек перемещения заряда q.
Из формулы (Па) вытекают определения единиц для
измерения разности потенциалов или потенциала любой
точки поля.
За единицу разности потенциалов в системе СГСЭ
принимается разность потенциалов такого поля, где при
перенесении +1 СГСЭ,, из одной точки в другую затра-
затрачивается работа в 1 эрг.
Положив в формулу (Па) V2 = 0, что соответствует
бесконечно удаленной точке, получаем для единицы по-
потенциала любой точки поля следующее определение:
в системе СГСЭ за единицу потенциала принимается по-
потенциал такой точки поля, находясь в которой +1 СГСЭ^
обладает потенциальной энергией, равной 1 эрг.
В СИ единицей разности потенциалов является вольт.
Между двумя точками поля существует разность по-
потенциалов в 1 в, если при перенесении положительного
заряда, равного 1 к, из одной точки в другую необходимо
затратить работу в 1 дж:
1 к 3-Ю9 г1/2-смя/2-секГ1 300
"" 00" <*>'
Любая точка поля обладает потенциалом в 1 в, если
положительный заряд, равный 1 ас и находящийся в этой
точке, обладает потенциальной энергией в 1 дж.
Из формулы (Па) следует, что работа, затрачиваемая
в электростатическом поле на перемещение зарядов,
может выражаться также в электрон-вольтах (эв). Элек-
Электрон-вольтом называется кинетическая энергия, приоб-
приобретенная электроном, пролетевшим расстояние между
двумя точками поля с разностью потенциалов в 1 в:
1 эв » е. 1 в = 4,8 • 1(Г10 ги. сми. сек. щ eVf • сж1/я. сек =
= 1,6.10-" 5/?г.
— 197 —
В ядерной физике и технике часто пользуются едини-
единицами в тысячу и миллион раз большими, чем 1 эв:
1 килоэлектрон-вольт (кэв) = 103 эв;
1 мегаэлектрон-вольт (Мэв) = 106 эв.
Как уже говорилось, U = — есть потенциал любой
точки поля, отстоящей на расстоянии г от точечного за-
заряда Q.
Однако эту формулу можно применять и в том
случае, если заряд Q равномерно распределен по сфери-
сферической поверхности или если сплошной шар из диэлек-
диэлектрика заряжен с равномерной объемной плотностью. При
этом формула A0) определяет как потенциалы точек, на-
находящихся вне сферических поверхностей, так и потен-
потенциалы точек, лежащих на сферических поверхностях.
Во всех случаях расстояние г отсчитывается от геометри-
геометрического центра шаровых тел, т. е. заряд Q следует счи-
считать точечным и сосредоточенным в геометрическом центре
шаровой поверхности.
Важно помнить, что потенциалы шаровых поверхно-
поверхностей можно определять по формуле A0) только в том
случае, если эти поверхности расположены достаточно
далеко друг от друга. В противном случае взаимное влия-
влияние зарядов вызывает изменение потенциалов шаров.
Строго говоря, по формуле A0) можно определять лишь
потенциал уединенной шаровой поверхности.
Задача 87.
Какую работу надо совершить, чтобы перенести то-
точечный заряд q = 30 СГСЭ^ из бесконечности в точку,
расположенную на расстоянии d = 10 см от поверхности
металлического шарика, находящегося в воздухе? По-
Потенциал шарика U = 300 в, радиус R = 2 см.
Решение. Искомая работа А = qU\ где U' — потен-
потенциал рассматриваемой точки поля (величина, численно
равная работе по перемещению единичного положитель-
положительного заряда из бесконечности в данную точку). В свою
очередь, V1 = ъ\д > где Q — заряд шарика. По-
Поскольку потенциал шарика U = •—, получаем
— 198 —
Задача 88.
Точечный заряд qx = —5 СГСЭ^, находившийся на
расстоянии гх = 2 см от заряда q2 = 30 СГСЭ^, перено-
переносят в точку, отстоящую от заряда q2 на расстоянии г2 =
= 10 см. Определить работу внешних сил.
Решение. Поскольку в неоднородном электростати-
электростатическом поле кулоновская сила F — величина переменная
(зависящая от расстояния между зарядами), нельзя поль-
пользоваться известной формулой работы А = F*s. Обра-
Обратимся к формуле (Па). Заряд qx переносится из точки
с потенциалом Vx = — в точку с потенциалом V2 =
= —. Совершенная при этом работа
(b l) ll=I± = — 6 • Ю дж.
Знак минус показывает, что работа А совершена про-
против сил поля.
При использовании формулы (Па) не было надоб-
надобности уточнять, как ориентирована вторая точка (куда
переносится заряд qx) относительно заряда q2. Достаточно
было знать только расстояние от этой точки до заряда q2.
Это принципиальный момент. Он связан с тем, что работа,
затрачиваемая на перемещение зарядов в электростати-
электростатическом поле, не зависит от формы пути, а определяется
только потенциалами соответствующих точек и величиной
переносимых зарядов. Работа по любому замкнутому
контуру в электростатическом поле равна нулю. Дей-
Действительно, при перемещении заряда по любому замкну-
замкнутому контуру, возвращаются в конце концов в исходную
точку и, так как Vx = V2> то А =0. Таким же свойством
обладает и гравитационное поле. Глубокая аналогия, су-
существующая между электростатическим и гравитацион-
гравитационным полями, обусловлена формально математическим
сходством закона тяготения Ньютона и закона Кулона.
Благодаря этому сходству и в том, и в другом поле массы
и заряды соответственно обладают потенциальными энер-
энергиями, а все точки этих полей характеризуются определен-
определенными потенциальными функциями ( V = -j в элек-
электростатическом поле, qh — в поле силы тяжести). Из этих
- 199 -
особенностей и вытекает независимость работы от формы
пути в обоих видах полей.
Обратим внимание еще на один существенный момент,
возникающий в связи с решением задачи. Для вычисле-
вычисления работы А = qxq2 H~r n достаточно знать только
расстояние между зарядами qx и q2 в начале и после пере-
переноса заряда <7i B Другую точку. Следовательно, безраз-
безразлично, какой заряд перемещать — qx или q2. Приведенное
выше решение основано на том, что заряд q2 неподвижен,
а заряд <7i перемещается. Поскольку движение относи-
относительно и существенным является лишь изменение рас-
расстояния между зарядами, будем перемещать заряд q2t
считая заряд qx неподвижным. Потенциал точки, где вна-
вначале находился заряд q2, равен Vx = —. Последую-
Последующая точка, куда перенесен заряд q%, характеризуется по-
потенциалом V 2 = ¦—- . Совершенная работа
Получился тот же результат, что можно было предуга-
предугадать, исходя из алгебраической симметрии ответа отно-
относительно зарядов qx и q2. Физический смысл полученного
совпадения ответов заключается в том, что разность по-
потенциальных энергий зарядов обусловлена не способом
перенесения зарядов, а лишь начальным и конечным рас-
расположением зарядов друг относительно друга (см. фор-
формулу 11а).
Задача 89.
На кольце из тонкой проволоки находится заряд Q =
== 50 СГСЭ^. Радиус кольца г = 5 см. Определить потен-
потенциалы: 1) в центре кольца; 2) в точках, удаленных от
всех элементов кольца на расстояние R = 10 см (ср. с за-
задачей № 84).
Решение. Для определения потенциала любой точки
поля известна формула U = —, справедливая для
точечных зарядов или для зарядов, равномерно распре-
распределенных на сфере. Заряд на кольце нельзя считать то-
точечным. Поэтому разобьем кольцо на столь малые одина-
— 20 0 -
ковые дуги, чтобы длина каждой была ничтожно мала
по сравнению с радиусом. Таких дуг будет конечное число.
Заряды, находящиеся на малых кусочках-дугах, можно
считать точечными и равными друг другу, так как весь
заряд Q распределен по кольцу равномерно. (До сих
пор наши рассуждения полностью совпадают с рассужде-
рассуждениями, приведенными в начале решения задачи № 84.)
Поскольку потенциал — скалярная величина, потенциал
любой точки поля, образованного несколькими зарядами,
равен алгебраической сумме % потенциалов от всех рас-
рассматриваемых зарядов. В центре кольца каждый заряд е,
-который можно считать точечным, создает потенциал,
равный -у, а все эти заряды создадут потенциал -?- -f-
+ j- + • • • + у-, где е + е + • • • + е = Q, т. е.
U = -?- - 10 СГСЭФ.
Совершенно аналогичное рассуждение приводит к вы-
выводу, что потенциал в одной и другой точках, удовлетво-
удовлетворяющих требованию второго вопроса задачи, равен
V = \ = 5 СГСЭФ.
5. Графическое изображение
электростатических полей
Графически электростатические поля изображаются
силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями.
Эквипотенциальной называется поверхность, все точки
которой имеют одинаковые потенциалы. Было установлено,
что электрические заряды располагаются только на внеш-
внешней поверхности металлического тела, приобретая равно-
равновесное состояние. Равновесное состояние зарядов воз-
возникает с того момента, когда выравниваются потенциалы
всех точек поверхности проводника. Таким абразом,
поверхность заряженного металлического тела всегда
эквипотенциальна. Если соединить проволокой два заря-
заряженных проводника, имеющих разные потенциалы, воз-
возникает кратковременный электрический ток и в резуль-
результате нового перераспределения зарядов потенциалы всех
трех тел (двух заряженных проводников и проволоки)
— 201 —
окажутся одинаковыми, т. е. их поверхности станут еди-
единой эквипотенциальной поверхностью !).
Силовые линии всегда нормальны к эквипотенциальным
поверхностям.
Докажем эту теорему.
Пусть точечный заряд q переносится по эквипо-
эквипотенциальной поверхности из любой точки 1 в любую
точку 2. Затрачиваемая работа А = q {Уг — V2) = О,
так как Vx = V2 согласно определению эквипотенциаль-
эквипотенциальной поверхности. Следовательно, электрические силы
поля перпендикулярны к линии, по которой переносится
заряд q2K Поскольку векторы напряженности поля направ-
направлены по касательным к силовым линиям, силовые
линии перпендикулярны к эквипотенциальным поверх-
поверхностям.
Приведенное доказательство позволяет сформулиро-
сформулировать обратную теорему: если силовые линии нормальны
к некоторой поверхности, то эта поверхность является
эквипотенциальной.
Эквипотенциальные поверхности, как и силовые ли-
линии, нигде не пересекаются и не соприкасаются друг с дру-
другом.
Задача 90.
Начертить карты электростатических полей, образо-
образованных телами: 1) положительно заряженным металличе-
металлическим шариком, находящимся в пространстве между двумя
параллельными металлическими пластинами. Диаметр
шарика мал по сравнению с линейными размерами пла-
пластин; 2) двумя параллельными металлическими пласти-
пластинами, заряженными разноименно. В середине положи-
положительно заряженной пластины, перпендикулярно к ней
*) Известно, что заряд распределяется на поверхности металличе-
металлического тела с неравномерной плотностью. Плотность заряда больше там,
где радиус кривизны поверхности меньше (особенно на остриях), и
меньше в тех областях, для которых радиус кривизны больше. Если
радиус кривизны поверхности везде одинаков (шар, цилиндрическая
поверхность бесконечной длины), плотность заряда тоже везде оди-
одинакова.
2) В общем случае работа Л = Fs cos а, где а — угол между на-
направлениями движения и силы F. Если тело перемещается по линии,
перпендикулярной к направлению действующей силы, то работа этой
силы равна нулю. Например, центростремительная сила не совер-
совершает никакой работы.
— 2Q2 —
а)
6)
Рис. 56
укреплен металлический
стержень, длина которого
меньше расстояния между
пластинами.
Решение. В подобных за-,
дачах, как правило, удоб-
удобнее начинать с вычерчива-
вычерчивания эквипотенциальных по-
поверхностей. Эквипотенциаль-
Эквипотенциальные поверхности, располо-
расположенные в непосредственной
близости от металлических
тел, достаточно правильно
повторяют их форму. Начнем
с вычерчивания именно та-
таких эквипотенциальных по-
поверхностей (I и II, рис. 56,а).
Все остальные эквипотенци-
эквипотенциальные поверхности, распо-
расположенные между I и II,
имеют форму, более близ-
близкую к I, если они расположены ближе к I, или более
близкую к II, если они расположены ближе к II.
Это условие позволяет нам начертить все эквипотенциаль-
эквипотенциальные поверхности. Силовые линии везде нормальны к экви-
эквипотенциальным поверхностям и провести их теперь очень
легко (рис. 56, б).
Аналогично поступаем и во втором случае, учитывая,
однако, эффекты неоднородности поля, возникающие
около краев пластин (краевые эффекты; см. рис. 51, б).
Первый шаг иллюстрируется рисунком 56, в. Дальнейшее
построение эквипотенциальных поверхностей произво-
производится согласно указанному выше правилу: промежуточные
.эквипотенциальные поверхности варьируют формы двух
крайних, вычерченных вначале. Полная карта представ-
представлена на рис. 56, г.
Задача 91.
Маленький шарик, имеющий заряд q = +50 СГСЭ^,
находится на расстоянии а = 3 см от металлической
стенки, линейные размеры которой значительно превосхо-
превосходят диаметр шарика. Стенка заземлена. Других металли-
— 203 —
Рис. 57
ческих тел поблизости нет.
С какой силой взаимодей-
взаимодействуют заряд и стенка?
Решение, Сделаем чер-
чертеж (рис. 57, а). Металли-
Металлическая стенка заземлена.
Следовательно, на ней воз-
возник лишь один отрицатель-
отрицательный заряд. Поскольку по-
поверхность стенки является
эквипотенциальной, сило-
силовые линии от заряда +д
нормальны к ней. Предпо-
Предполагая, что других метал-
металлических тел поблизости нет, и учитывая огромные раз-
размеры стенки по сравнению с диаметром шарика, несущего
заряд +q, можно сделать вывод, что заряд, индуцирован-
индуцированный на стенке, равен —q. Из рис. 57, а также видно,
что поле между зарядами -\-q и —q неоднородное, а
заряд —<?, в отличие от заряда +q, нелъзя считать то-
точечным.
Значит, применять закон Кулона или формулу f — qE
нельзя. Поэтому можно решить задачу, если свести взаимо-
взаимодействие между зарядами +q и —q к взаимодействию
каких-то точечных зарядов и учесть конфигурацию поля
(рис. 57, а). Можно предположить, что перед нами только
половина искомого поля или что металлическая стенка
эквивалентна точечному заряду —q, расположенному
правее стенки и на таком же расстоянии от нее, как и
заряд +q (рис. 57, б). На рис. 57, б заряд —q является
зеркальным отображением заряда +q в плоскости А'А',
где раньше находилась металлическая стенка.
Высказанная нами гипотеза, являющаяся ключом
к решению задачи и основанная лишь на соображениях
симметрии, нуждается в доказательстве. Вынесем из поля
(рис. 57, а) металлическую стенку, соединенную с землей
и, следовательно, имеющую нулевой потенциал, и заменим
ее точечным зарядом —q, расположенным симметрично
точечному заряду +q относительно плоскости, где находи-
находилась до этого стенка (след этой плоскости обозначен бук-
буквами А'А' на рис. 57, б). Однако плоскость А'А' на
рис. 57, б является эквипотенциальной поверхностью нуле-
нулевого потенциала, как и металлическая поверхность, нахо-
— 204 —
дившаяся здесь ранее (это утверждение вытекает из фор-
формулы A0) применительно к точечным зарядам +q и —q).
Следовательно, от произведенной замены характеристики
поля не могли измениться, т. е. металлическая заземлен-
заземленная стенка А А (рис. 57, а) и точечный заряд —q на рис. 57,6
эквивалентны в смысле их взаимодействия с зарядом +q.
Исходя из этих соображений, искомая сила равна
Сделаем некоторые выводы на основе разобранной за-
задачи.
Метод, примененный для решения данной задачи,
в электростатике называется методом зеркальных отобра-
отображений. Он основан на следующем очевидном утверждении.
Если в электростатическом поле предоставляется возмож-
возможность заменить некоторую эквипотенциальную поверх-
поверхность реальной металлической поверхностью такого же
потенциала, то форма поля, напряженности и потенциалы
всех точек поля не изменятся, т. е. поле останется преж-
прежним.
Из опыта известно, что Земля, являясь проводником,
обладает избыточным отрицательным зарядом. Если соеди-
соединить заряженный проводник с поверхностью Земли, то
потенциалы проводника и Земли после соответствующего
перераспределения зарядов станут одинаковыми. Вслед-
Вследствие огромных размеров Земли изменение ее потенциала
в таких случаях ничтожно мало. Это обстоятельство
позволило выбрать поверхность Земли (являющуюся экви-
эквипотенциальной) за нулевую поверхность при отсчете по-
потенциалов. Таким образом, если заряженный проводник
соединен с Землей (заземлен), то его потенциал считается
равным нулю. Соответственно положительными или отри-
отрицательными считаются потенциалы, большие или мень-
меньшие, чем потенциал Земли. В этой связи можно
дать следующее определение потенциала любой точки
поля.
Потенциалом любой точки электростатического поля
называется величина, численно равная работе, которую
необходимо затратить, чтобы перенести единичный поло-
положительный заряд с поверхности Земли в данную точку
поля.
- 205 -
Указанная работа равна работе по перемещению еди-
единичного положительного заряда из бесконечности в дан-
данную точку поля (смотрите определение потенциала, данное
выше).
6. Связь между напряженностью
и разностью потенциалов
Представим себе однородное электростатическое поле
напряженности Е (рис. 58). Найдем зависимость между
напряженностью Е и разностью потенциалов UAB между
двумя любыми точками Л и Б. Поскольку величина UAB
связана с работой по перенесению зарядов, а величина Е
дает представление о силах поля, которые совершают эту
работу, рассмотрим работу Л, затрачиваемую на перенос
заряда q из точки А в точку В:
А = qVAB = F.BC,
где ВС — расстояние между двумя соответствующими
эквипотенциальными поверхностями, F — кулоновская
сила, равная qE. Следовательно,
qUAB = qE-BC,
откуда, обозначив ВС через d и опустив индекс АВ> полу-
получаем искомую зависимость
U = Ed. A2)
Таким образом, в однородном электростатическом поле
разность потенциалов между двумя любыми точками, не
лежащими на одной эквипотенциальной поверхности,
равна произведению напряженности поля на расстояние
между соответствующими эквипотенциальными поверх-
поверхностями. Из формулы A2) вытекает еще одна единица для
измерения величины напряженности в СИ — вольт на метр
кЕ {в/м)9 часто применяющаяся в элек-
электротехнических расчетах. Однородное
поле имеет напряженность, рав-
равную 1 в/м9 если разность потенциалов
между двумя любыми точками, от-
отстоящими друг от друга на 1 м вдоль
\с
Рис. 58 силовой линии, составляет 1 в.
— 206 —
Задача 92.
На какой угол 6 отклонится электрон, пролетев в ва-
вакууме между пластинами плоского конденсатора? Началь-
Начальная скорость электрона v0 параллельна пластинам кон-
конденсатора. Расстояние между пластинами d, длина конден-
конденсатора /, напряжение между пластинами U. Краевым эф-
эффектом поля конденсатора пренебречь.
Решение. Представим себе физический смысл явления.
На электрон, влетевший в пространство между пласти-
пластинами, действует со стороны однородного поля конденса-
конденсатора кулоновская сила F = еЕ (см. формулу 3). Поскольку
сила F постоянна по величине и направлению (электрон от-
отталкивается одной пластиной и притягивается другой),
электрон в пространстве медкду пластинами летит по пара-
параболе (аналогично телу, брошенному под углом а Ф 90°
к горизонту; см. § 2, п. 3).
Сделаем чертеж (рис. 59, а). Пунктирная линия а!а! —
возможная траектория, по которой двигался бы электрон,
если бы поле в конденсаторе отсутствовало. Другая пунк-
пунктирная линия а"а" указывает направление, по которому
движется электрон, вылетевший из конденсатора; а"а" яв-
является касательной к последней точке А параболы (крае-
(краевым эффектом пренебрегаем). Угол 6 — угол между лини-
линиями а'а' и а"а". Для того чтобы найти Э, нужно знать чис-
численные значения каких-либо векторов, параллельных
линиям а!а! и d'd' и связанных с движением электрона.
Одним из таких векторов является полная скорость элек-
электрона в точке Л. Вектор этой скорости (обозначим его
численное значение через v) лежит на прямой aV. Разло-
Разложим скорость v на две составляющие: vlf параллельную
пластинам конденсатора, и v2, перпендикулярную к ним
(рис. 59, б). Искомый угол равен
Таким образом, решение задачи найдено в наиболее
общем виде. Теперь следует определить v± и и2. Можно
сразу сказать, что vx = v0, так как вдоль линии а'а! на
электрон не действуют никакие внешние силы. Вдоль
линии КК (составляющая и2 полной скорости парал-
параллельна линии КК) на электрон действует кулоновская
сила F = е?, сообщающая ему некоторое постоянное уско-
ускорение а. Поскольку вдоль линии КК электрон не имел
начальной скорости, то v2 = at, где ^=-? время
полета электрона через поле конденсатора. Для определе-
определения ускорения а используем второй закон механики,
который для данного случая можно записать в виде
еЕ = та,
где т — масса электрона. Поскольку Е = -т-, получим
Подставляя значения vt и v2 в найденное выше выражение
для 6, получаем ответ
Величины е и т — табличные, и их можно считать
известными.
§ 22. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Если на разные проводники наносить одинаковые по
величине и знаку заряды, то потенциалы этих проводников
будут различны. Этот опытный факт указывает на наличие
определенного физического свойства проводников, кото-
которое названо электроемкостью. Путь Qlf Q2, . . ., Qn —
заряды, наносимые на проводник, а 1)ъ U2, . . ., Un —
потенциалы проводника, соответствующие этим зарядам.
— 208 —
Если проводник уединен или расположение окружающих
его тел не меняется, то из опыта следует, что
¦*-¦?—¦--?-«*•
т. е.
^- = C = const. A3)
Величина С, зависящая от геометрии проводника (его
формы и размеров) и от расположения внешних тел отно-
относительно данного проводника, называется электрической
емкостью. Чтобы исключить случайные влияния внешних
тел, определение емкости, основанное на соотношении A3),
формулируется для уединенного проводника.
Электрической емкостью уединенного проводника назы-
называется величина, численно равная заряду, который необ-
необходимо нанести на незаряженный проводник, чтобы потен-
потенциал этого проводника стал равным единице потенциала.
Из формулы A3) вытекают и определения для единиц,
которыми измеряют величину С.
В системе СГСЭ за единицу емкости A СГСЭС) прини-
принимают емкость такого незаряженного уединенного провод-
проводника, потенциал которого становится равным 1СГСЭФ
в результате нанесения на этот проводник 1 СГСЭ^.
Электроемкостью в -1 СГСЭС обладает уединенный метал-
металлический шар радиуса в 1 см. Действительно, потенциал
шара U = -^- , а емкость шара С = -~-, следовательно,
С = R, т. е. электроемкость шара численно равна его
радиусу. Поэтому 1 СГСЭС условно называют сантимет-
сантиметром.
В СИ за единицу электрической емкости принимают
емкость такого незаряженного уединенного проводника,
потенциал которого становится равным 1 в в результате
нанесения на этот проводник заряда в 1 /с. Эта единица
емкости называется фарадой:
Ш СГСЭ*
Электроемкостью в 1 ф обладает уединенный металли-
металлический шар радиуса 9-1011 см = 9.10е км (в 1400 раз
— 209 —
больше радиуса Земли). Ввиду того что фарада — огром-
огромная единица, на практике пользуются ее миллионными
долями — микрофарадами A мкф = 10~6 ф) и пикофара-
дами A пф -= 1(Г12 ф).
Конденсаторы можно считать уединенными телами,
так как заряды проводников, из которых состоит всякий
конденсатор, практически изолированы от внешних заря-
зарядов. Рассмотрим подробно плоский конденсатор.
Напряженность поля Е плоского конденсатора (без
диэлектрика внутри) можно считать величиной постоянной,
равной Ana (a — плотность электрического заряда), так
как расстояние между пластинами обычно ничтожно мало
по сравнению с линейными размерами пластин (см. след-
следствие из теоремы Остроградского—Гаусса, § 21). По-
Поскольку а = -^-, где Q — величина заряда каждой пла-
пластины, S — площадь каждой пластины, получим
Но Q = CU = CEdy где» С — емкость конденсатора,
d — расстояние между его пластинами. Следовательно,
с
Иногда возникает вопрос, почему емкость плоского или
любого конденсатора С = -—-, а не -jj , так как Q —заряд
только одной пластины. Дело в том, что на одну из пла-
пластин конденсатора помещается именно заряд Q, но на
другой пластине, по индукции, возникает такой же по
величине заряд противоположного знака.
Присоединим конденсатор (плоский или любой дру-
другой) к источнику тока: на одной пластине конденсатора,
соединенной с отрицательным полюсом источника, накап-
накапливаются электроны, а с противоположной пластины такое
же количество электронов уходит в цепь. Конденсатор
заряжен. Электроны на одной из пластин конденсатора
накапливаются до такой плотности, пока разность потен-
потенциалов на конденсаторе не станет равной напряжению
на полюсах источника. Поэтому разности потенциалов на
пластинах группы параллельно соединенных конденсато-
конденсаторов одинаковы. Этим можно воспользоваться для вывода
формулы емкости батареи конденсаторов, соединенных
— 210 —
параллельно. Емкость такой батареи равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов, т. е.
C^Ci + Сг + ...+С». A5)
Если группу последовательно соединенных конденса-
конденсаторов присоединить к полюсам источника тока, то на одной
из крайних пластин, соединенной с отрицательным полю-
полюсом источника, возникнет отрицательный заряд, который
по индукции возбудит на пластинах всех последующих
конденсаторов чередующиеся по знаку заряды такой же
величины. Исходя из того, что в этом случае заряды на всех
конденсаторах одинаковы, нетрудно получить формулу
емкости группы конденсаторов, соединенных последова-
последовательно:
т. е. обратная величина емкости такой группы равна
сумме обратных величин емкостей отдельных конденса-
конденсаторов.
Задача 93.
Определить, с какой силой взаимодействуют пластины
плоского конденсатора, если заряд конденсатора Q, на-
напряженность поля Е.
Решение. Заряды на пластинах равны по величине,
но противоположны по знаку. Следовательно, пластина А
притягивает к себе пластину В с такой же силой, с какой
пластина В «тянет к себе» пластину А. Сила, с которой
одна пластина притягивает другую, и есть сила взаимо-
взаимодействия между пластинами. Чтобы нагляднее представить
себе этот вывод, вспомним задачу № 15 с мальчиками, рас-
растягивающими шнур с силой f каждый. Конечно, это до-
довольно грубая аналогия, но она помогает уяснить суть
дела. Взаимодействие между мальчиками осуществляется
через натянутый шнур, упругая сила деформации которого
равна /. Мальчики, растягивая шнур с силой / каждый,
взаимодействуют друг с другом через шнур с силой /,
так как шнур тянет их друг к другу с силой /. В раз-
разбираемой задаче притягивают друг друга заряды через
поле, которое они образовали. Значит, по третьему закону
механики сила, с которой каждая пластина действует
на другую, и есть сила их взаимного притяжения.
- 211 -
Следовательно, надо найти величину силы, с которой одна
пластина А конденсатора действует на другую В.
В задаче дано однородное электростатическое поле,
образованное двумя параллельными металлическими пла-
пластинами, расстояние между которыми ничтожно мало по
сравнению с линейными размерами пластин. Напряжен-
Напряженность от каждой пластины равна — (см. следствие D) из
теоремы Остроградского—Гаусса, § 21); суммарная на-
напряженность будет Я. Заряд пластины В, по величине рав-
равный Q, находится в однородном поле, созданном пласти-
пластиной А. Следовательно, согласно формуле C), искомая сила
/-4-е.
Задача 94.
Определить энергию W электростатического поля
плоского конденсатора, если емкость конденсатора С, на-
напряжение на его пластинах-/У.
Решение. Из решения предыдущей задачи вытекает, что
сила, с которой взаимодействуют пластины плоского кон-
конденсатора, не зависит от расстояния между ними. Следова-
Следовательно, работа, затрачиваемая на раздвижение пластин
из положения, когда они соприкасались, до некоторого
расстояния d между ними, равна
Эта работа равна потенциальной энергии электроста-
электростатического поля. Поскольку Е = —т-, a Q = CU, оконча-
окончательно получаем искомое значение энергии:
Можно было рассуждать и так. При сближении пла-
пластин плоского конденсатора до их соприкосновения, когда
заряды пластин —Q и +Q компенсируются, энергия элек-
электростатического поля убывает до нуля. За счет этой энер-
энергии электростатическими силами поля совершается работа
т. е. W =
— 212 —
Задача 95.
Дана электрическая схема (рис. С,
60). Э. д. с. источника тока & = 12e, | II-
емкости конденсаторов: Сг = 1 л*кф,
С2 = 2 ж/сф, С3 = 3 мкф. Определить ь
заряды на конденсаторах. г
с,
Решение. Заряд на каждом кон- ,
денсаторе определяется формулой Рис 60
Q = CU. Обозначим разность потен-
потенциалов на конденсаторе Сг через Uly а заряд через Qt
(аналогично и для конденсаторов с емкостями С2 и С3).
Поскольку конденсаторы С2 и С3 соединены параллельно,
их разности потенциалов одинаковы и равны ?/2. Соста-
Составляем систему уравнений:
Qi = Сх?/1;
Однако в этих трех уравнениях пять неизвестных.
Недостающие два уравнения необходимо составить таким
образом, чтобы они выражали именно данную схему.
Рассмотрим распределение напряжений в схеме:
и = иг+ и2У
где U — разность потенциалов на полюсах источника
тока. Цепь источника тока не замкнута, следовательно,
U = ?0 и <§ = U1 + U2.
Способ соединения конденсаторов в батарею выра-
выражается формулой емкости этой батареи:
п Qi + Q2 Н~ Qe
1
с,
1 с2-
8
1
f с,
1
с •
Итак, получена система уравнений, в которых отобра-
отображены все элементы заданной электрической схемы и основ-
0 Электродвижущая сила равна разности потенциалов на полюсах
незамкнутого на внешнюю цепь источника тока.
- 213 —
ные связи между ними. Теперь можно в общем виде найти
искомые значения Qlf Q2 и Q3. Однако, приступая к ре-
решению полученной системы, мы с первых же шагов сталки-
сталкиваемся с громоздкими выражениями, оперировать кото-
которыми очень неудобно. Если еще раз обратиться к схеме* то
можно заметить, еще одну зависимость, введение которой
существенно облегчает математические операции. Конден-
Конденсаторы, соединенные последовательно, заряжаются по
индукции и поэтому заряды, возникшие на них, оди-
одинаковы. В данном случае Qx = Q2 + Q3. Теперь произво-
производим вычисления:
П — ?Cl (С2 + Сз) _ 1Л-5 /,
Qi- -10 *¦
- = 4-Ш ° /С,
з — ?2 _|_ ? — о • ш /с.
Задача 96.
Плоский конденсатор соединен с источником тока.
Первый раз его пластины раздвигают, не отключая источ-
источника, второй раз — предварительно разорвав цепь-
Pi в первом, и во втором случае расстояния между пла-
пластинами в начале и в конце раздвижения соответственно
равны. В каком случае совершается большая работа?
Решение. Начнем анализ со второго случая, так как
он проще. Конденсатор заряжен, цепь размыкают, пла-
пластины раздвигают. Емкость конденсатора уменьшается,
согласно формуле A4). Поскольку совершаемая работа
переходит в энергию поля конденсатора, которая равна
-g- , разность потенциалов U на конденсаторе возрастает.
Нетрудно видеть, что U возрастает обратно пропорцио-
пропорционально величине С, так как С = -~-,ав данном случае
Q = const.
В первом случае емкость конденсатора также умень-
уменьшается, так как емкость конденсатора зависит только от
его геометрии: размеров пластин и расстояния между
ними. В начальный момент разность потенциалов на кон-
конденсаторе равнялась э. д. с. источника. По мере раздви-
- 214 -
жения пластин разность потенциалов на конденсаторе
возрастает, и с пластин конденсатора происходит отток
электронов к источнику тока. Уменьшение заряда конден-
конденсатора происходит в таких количествах, чтобы на протяже-
протяжении всего процесса раздвижения пластин разность потен-
потенциалов на конденсаторе выравнивалась по величине
с э. д. с. источника. В этом случае внутренняя энергия
конденсатора уменьшается (некоторая ее доля возвра-
возвращается обратно источнику тока, за счет энергии которого
образовалось поле конденсатора). Работа/по раздвижению
пластин затрачивается на ленц—джоулево тепло, выделяе-
выделяемое при прохождении электрического тока от конденса-
конденсатора к источнику.
Итак, в первом случае вследствие уменьшения заряда
сила взаимодействия между пластинами конденсатора
уменьшается (см. задачу № 93), а во втором случае она
не меняется. Следовательно, работа, затраченная во вто-
втором случае, будет больше, чем в первом.
Задача 97.
В плоский конденсатор параллельно его обкладкам
вдвигают металлическую пластину толщиной d. Расстоя-
Расстояние между обкладками конденсатора D, площадь каждой
обкладки S, напряженность поля Е, заряд Q. Как изме-
изменятся емкость конденсатора, энергия поля конденсатора,
разность потенциалов?
Будут ли изменяться указанные величины при переме-
перемещении пластины параллельно самой себе от одной обкладки
конденсатора к другой?
Решение. В условии не уточняется, на каком расстоя-
расстоянии от обкладок вводится в конденсатор металлическая
пластина. Сделаем чертеж, считая это рас- А „
стояние произвольным (рис. 61). Поскольку
внутри пластины поле отсутствует, то воз-
возникло два конденсатора, соединенных после-
последовательно: один с расстоянием между об- +
кладками х обладает емкостью Съ другой
с расстоянием между обкладками у имеет
емкость С2. Из чертежа видно, что х = D —
— у — d. Емкость указанных двух конден-
конденсаторов равна
Сх + С2 ' Рис. 61
— 215 —
где
1 4л (D — у — d) ' 2 ~ 4яу
Подставляя значения Сх и С2 в формулу для С, полу-
получаем величину емкости конденсатора с вдвинутой в него
металлической пластиной
— d) e
До вдвижения пластины энергия поля конденсатора
равна Wo = -тр-О (см. задачу № 94). После вдвижения
пластины заданный конденсатор разбивается на два раз-
разных конденсатора, соединенных последовательно. Оче-
Очевидно, теперь энергия заданного конденсатора будет
Найдем разность потенциалов между обкладками А и В.
Ввиду отсутствия поля внутри металлической пластины,
разность потенциалов между эквипотенциальными пло-
плоскостями Сх и С2 равна нулю. Следовательно, искомая
разность потенциалов между А и В равна сумме разно-
разностей потенциалов между А и Съ С2 и В:
U = Е {D — у — d) + Еу = Е {D — d).
Вернемся к формуле емкости, полученной в ответе.
Часто возникает следующее недоразумение. Пусть d -> О,
тогда С -> Со = -?-q , т. е. суммарная емкость двух кон-
конденсаторов стремится к емкости, которую имел заданный
конденсатор до вдвижения в него металлической пластины.
При d = 0 указанные емкости становятся равными друг
другу. Но пусть d->D. При поверхностном взгляде на
этот предельный случай может показаться, что npnd = D
конденсатор как таковой перестает существовать, однако
емкость С = сю. Дело в том, что при d = D заряд на кон-
конденсаторе Q = 0. Но в этом случае и U = Е (D — d) = 0.
Конденсатор как таковой превращается в обычное металт
лическое незаряженное тело, электроемкость которого
конечная величина.
- 216 -
Кажущееся противоречие объясняется тем, что формула
4л (D — <2)
определяет емкость только плоского конденсатора, тогда
как формула
определяет электроемкость любого металлического тела.
Естественно, превращение плоского конденсатора в обыч-
обычное металлическое тело не может быть описано формулой
емкости плоского конденсатора. Для этого нужна более
общая формула, которой и является С = -~.
Ответим на последний вопрос задачи. Поскольку в най-
найденные выражения для С, W и U не входит параметр х или
j/, эти физические величины не изменяются при указанном
в условии перемещении1 металлической пластины.
Рассмотрим коротко другие типы простейших конден-
конденсаторов.
Шаровой конденсатор состоит из двух кон-
концентрических сферических поверхностей, одна из которых
(обычно внешняя) заземлена (рис. 62). Поле шарового
конденсатора сосредоточено между его обкладками и
имеет такой же вид, как если бы заряд +Q внутренней
обкладки был сосредоточен в геометрическом центре обеих
поверхностей. Поэтому потенциалы внутренней и внешней
обкладок равны соответственно иг = — и U2 = -т?-«
Электроемкость такого конденсатора будет
Г — Q — Г% (\ 7\
Если R — г = d <^ г, т. е. расстоя-
расстояние между обкладками значительно
меньше радиуса внутренней поверх-
поверхности г, то для вычисления емкости
сферического конденсатора пользуются
формулой
Г2
A8)
Помножив числитель и знамена-
знаменатель формулы A8) на 4я, приходим
- 217 -
Рис. 62
к формуле С = -j—j, где S — площадь боковой поверх-
поверхности обкладки.
Лейденская банка является разновидностью
цилиндрического конденсатора, устройство которого ясно
из рис. 62. Лейденская банка представляет собой цилин-
цилиндрический стеклянный сосуд (банка), обклеенный снаружи
и изнутри листовым оловом (станиолем) приблизительно
до 2/3 высоты. Внешняя поверхность заземляется. Обычно
емкость лейденской банки составляет приблизительно
10~3 мкф. Ввиду малой емкости и значительного по вели-
величине заряда на обкладках напряжение на лейденской банке
исчисляется тысячами вольт. Этот прибор особенно удобен
в опытах с высокими напряжениями. Если толщина стекла d
мала по сравнению с радиусом банки, то поле между обклад-
обкладками можно с достаточной степенью точности считать одно-
однородным и при вычислении емкости можно пользоваться
соответствующей формулой плоского конденсатора.
§ 23. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В диэлектриках (изоляторах) все электроны находятся
в связанном состоянии с молекулами и атомами данного
вещества. В целом молекулы являются" электрически ней-
нейтральными, так как положительные и отрицательные за-
заряды распределяются таким образом, что электрическое
поле, образованное ими, не распространяется за пределы
молекулярного объема. Однако под действием внешнего
электрического поля связанные электроны могут сме-
смещаться в пределах своей молекулы. В результате такого
смещения на одном конце молекулы возникает нескомпен-
сированный положительный заряд, а на другом — отри-
отрицательный. Молекулы становятся электрическими дипо-
диполями. Описанный процесс получил название поляризации
диэлектрика.
В некоторых диэлектриках молекулы (без воздействия
внешнего поля) являются диполями вследствие структур-
структурных особенностей данного вещества. Однако тело в целом
электрически нейтрально за счет того, что при хаотическом
объемном распределении диполей не может возникнуть
какое-либо преимущественное направление в их ориента-
ориентации и, следовательно, диполи, взаимодействуя друг с дру-
другом, компенсируют свои заряды. Картина существенно
— 218 -
меняется, когда диэлектрик
вносится в электростатическое
поле. Молекулы-диполи (или
молекулы, ставшие диполями
под действием поля) выстраи-
выстраиваются цепочками вдоль на-
направлений, по которым дей-
действуют электрические силы
внешнего поля. В результате
внутри диэлектрика суммарный
заряд равен нулю (плюсы и
минусы диполей в цепочке чере-
чередуются), однако на двух про-
противоположных поверхностях
диэлектрика выступают связан-
Рис. 63
ные некомпенсированные заряды разных знаков (рис. 63).
Рассмотрим явления, обусловленные поляризацией
диэлектрической пластины, вставленной в плоский кон-
конденсатор (рис. 64). Внутри пластины однородность поля
сохраняется, однако напряженность его уменьшается.
Действительно, напряженность поля плоского конден-
конденсатора с вакуумным или воздушным промежутком между
обкладками равна Ео = 4я<т0, где а0 — плотность заряда
на дбкладках. Диэлектрическая пластина создает однород-
однородное поле противоположного направления и напряженности
?" = 4ла', где а' — плотность связанных зарядов, воз-
возникших вследствие поляризации. Результирующее поле
внутри диэлектрика имеет напряженность Е = 4я (<т0 —а').
Величина а' зависит только от структурных особенностей
вещества и для данного вещества является величиной по-
постоянной. Таким образом, напряженность поля конденса-
конденсатора (любого) уменьшается в определенное число раз при
вдвижении в конденсатор диэлектрика, изготовленного
из определенного вещества, т. е.
Е==—•
Величина е, характеризующая степень
поляризации диэлектрика, называется отно-
относительной диэлектрической проницаемостью
вещества. У разных диэлектриков — разные
значения величины е. Вообще напряжен-
Рис. 64 ность любого электростатического поля осла-
- 219 -
бляется в диэлектрической среде с диэлектрической про-
проницаемостью е в е раз. Поэтому кулоновская сила вза-
взаимодействия между зарядами, погруженными в какую-то
диэлектрическую среду, ослабляется в е раз. Закон
Кулойа в этом случае записывается формулой
Поскольку в плоском конденсаторе разность потендиа-
лов U = Ed, величина U также уменьшается в г раз после
вдвижения диэлектрика, т. е. U = —-. Этот вывод спра-
ведлив для любого конденсатора. Как известно, емкость
любого конденсатора С = -д-. Так как заряд Q в резуль-
результате вдвижения диэлектрика не меняется (поляризованные
заряды связаны со своими молекулами), емкость любого
конденсатора возрастает при вдвижении диэлектрика
в е раз, т. е. С = еС0. Этим обстоятельством широко поль-
пользуются для увеличения емкости конденсаторов. Чаще
всего применяются диэлектрики из слюды, парафиниро-
парафинированной бумаги и стекла, имеющие большие значения диэле-
диэлектрической проницаемости. Помимо значительной вели-
величины е, диэлектрик, используемый в конденсаторах, дол-
должен обладать достаточно высоким электросопротивлением,
в противном случае заряд конденсатора будет стекать по
диэлектрику 1К Третьей важной характеристикой диэлек-
диэлектрика является величина его пробивного напряжения.
Действительно, напряжение на конденсаторе нельзя повы-
повышать беспредельно, так как всегда наступает такой момент,
когда связанные электроны под действием поля выры-
вырываются из своих молекул и конденсатор замыкается на-
накоротко: возникает пробой диэлектрика, в результате
которого конденсатор разрушается.
О Разделение тел на проводники, полупроводники и диэлектрики
очень условно. Строго говоря, не все электроны в диэлектриках свя-
связаны с молекулами данного вещества. Имеется и некоторое количество
свободных электронов. Конечно, число их (по сравнению с числом элек-
электронов в металлах) ничтожно мало, однако во многих случаях, когда
недопустимы даже незначительные утечки, с этим необходимо считаться.
Например, в электроскопах даже малые утечки могут быть соизмеримы
с величиной исследуемого заряда. Поэтому изолирующим материалом
в электроскопах выбран янтарь — лучший диэлектрик.
^- 220 —
Задача 98.
Плоский конденсатор с расстоянием между пласти-
пластинами D погружают полностью в жидкий диэлектрик с ди-
диэлектрической проницаемостью е. Показать, что в резуль-
результате такого погружения эйергия электростатического поля
конденсатора уменьшается. Как нужно изменить расстоя-
расстояние между пластинами конденсатора, погруженного в ди-
диэлектрик, чтобы энергия его поля осталась прежней?
Решение. В результате погружения конденсатора в ди-
диэлектрик возникло явление поляризации. Для образо-
образования и ориентации электрических диполей (или только
для ориентации, если диполи уже существовали до вне-
внесения диэлектрика в поле) необходимо совершить некото-
некоторую работу. Эта работа совершается силами поля конден-
конденсатора за счет энергии поля. Следовательно, энергия поля
конденсатора при его погружении в диэлектрик умень-
уменьшается.
Для восстановления части энергии, затраченной на
поляризацию, необходимо раздвинуть пластины конден-
конденсатора на какое-то дополнительное расстояние d, которое
следует определить. Пусть Wo — энергия поля конденса-
конденсатора до погружения его в жидкий диэлектрик, a W —
после погружения. Затраченная на поляризацию разность
энергий Wo— W = fd, где /—сила взаимодействия между
пластинами. В воздушном конденсаторе пластины взаимо-
взаимодействуют друг с другом с силой ^—- (см. задачу № 93).
После погружения конденсатора в диэлектрик, напряжен-
напряженность его поля становится Е' = —, тогда как заряд не
Е
изменяется. Следовательно,
^ = Г
Чтобы найти d, необходимо выразить величины Wo и W
>ез Q ]
очередь
/"•//2
через Q и ?. Известно, что Wo = ~р-, a U = ED. В свою
_ CU2
2е2 ~" 2е
— 221
Разность энергий равна
откуда
d = D (8 - 1),
т. е. расстояние между пластинами конденсатора нужно
сделать равным eD.
Можно было рассуждать так: энергия поля конденсатора до погру-
погружения в диэлектрик равна Wo = ~— D, после погружения W — ^—Д
так как Q и D при погружении не меняются, а Е уменьшается в е раз.
Следовательно, чтобы достигнуть первоначального значения энергии,
необходимо начальное расстояние D увеличить в е раз, раздвигая пла-
пластины на расстояние d = eD — D = D (e — 1).
Всегда бывает полезно поискать более простое решение.
Задача 99.
Плоский конденсатор с плотностью заряда на пласти-
пластинах <т0 погружают полностью в жидкий диэлектрик с ди-
диэлектрической проницаемостью е. То же самое делают
с металлическим шариком, заряженным до плотности <т0.
Определить плотности поляризационных зарядов в том
и другом случаях.
Решение. 1-й случай. Напряженность поля конденса-
конденсатора до погружения Ео = 4яа0, после погружения Е' =
= —^. Ослабление напряженности Ео происходит за счет
действия встречного поля поляризационных зарядов.
Напряженность этого поля равна 4яа', где а' — плотность
поляризационных зарядов. Следовательно,
откуда
8—1
2-й случай. Без диэлектрика напряженность поля от
металлического шарика Ео = -^" > внутри диэлектрика
*- 222 -
Ef = -j^-. Поляризационный заряд Qr облегает поверх-
поверхность шарика равномерно с плотностью а'. Ослабление
величины напряженности Ео происходит за счет взаимо-
взаимодействия поля шарика с встречным полем поляризацион-
ного заряда Q', создающего напряженность -^-.
Следовательно,
Q ?в JL
г2 г2 ег2 *
Заряды Q и Q' равны соответственно 4яг2а0 и 4яг2а',
т. е.
е —1
Из проведенных рассуждений следует, что полученный
результат справедлив не только для плоского конденса-
конденсатора и шарика. Любое металлическое тело, заряженное
с разной плотностью а, окружается поляризационным за-
зарядом, плотность которого а' во всех точках поверхности
тела пропорциональна плотности заряда тела а и
равна a e~~ .
Задача 100.
В плоский конденсатор с расстоянием между обклад-
обкладками D вводят параллельно обкладкам пластину из ди-
диэлектрика толщиной d. Диэлектрическая проницаемость
пластины е. Заряд конденсатора Q, напряженность поля
до введения пластины ?0, площадь каждой обкладки S.
Определить (после ввода диэлектрической пластины):
1) емкость конденсатора; 2) энергию поля конденсатора;
3) силы, действующие на пластины конденсатора.
Решение. Делаем чертеж (рис. 65). На рис. 65 диэлек-
диэлектрическая пластина касается одной из обкладок конден-
конденсатора. Такое расположение пластины выбрано для боль-
большей простоты суждений.
Рекомендуем провести аналогичное исследование с произвольным
расположением пластины, плоскости которой параллельны обкладкам
конденсатора.
— 223 —
D
d
Искомая емкость С
Рис. 65
?.
где
так как в пространстве, не занятом
диэлектриком, напряженность поля
должна остаться прежней. Действи-
Действительно, через воздушное простран-
пространство конденсатора проходят все сило-
силовые линии от заряда +Q (левой
обкладки), однако часть их заканчи-
заканчивается на поляризованном заряде—Q'
пластины. Через диэлектрик проходит уже меньшее число
силовых линий, соответствующее величине напряжен-
р
ности —?-. Итак,
с
Выражая величины Q и Ео через плотность заряда, т. е.
Q = (XpS, Ео = 4ясг0, получаем
5
На левую обкладку конденсатора (рис. 65) поле дей-
действует с силой -~-2-, так как левая обкладка примыкает
к воздушной прослойке с напряженностью поля Ео (Ео —
напряженность от двух обкладок конденсатора). Работа
по перемещению левой обкладки параллельно самой себе
до соприкосновения с поверхностью диэлектрической
пластины равна
Энергия конденсатора с расстоянием между обклад-
обкладками d, заполненного диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью е, будет:
— 224 —
Следовательно, искомая энергия
W = Ai+W1 = -S^-fr(D-d) + d].
На левую обкладку поле конденсатора действует с си-
ОЕ
лой -^~. К правой обкладке примыкает диэлектрическая
пластина, ослабляющая напряженность ?овераз. Значит,
на правую обкладку поле конденсатора действует с силой
28 #
Если диэлектрическая пластина не примыкает ни к од-
одной из обкладок, то сила, действующая на каждую из них,
QE0
равна -^тр-.
3 Зак. 1180
Глава VIII
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
§ 24. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОВОДНИКАХ
Во всяком металлическом проводнике атомы, находясь
в ионизированном состоянии, образуют остов кристалли-
кристаллической решетки. Металлические ионы расположены в узлах
решетки и колеблются вокруг своих положений равнове-
равновесия по всем возможным направлениям. Кинетическая
энергия этих колебаний тесно связана с абсолютной темпе-
температурой тела: чем больше частота колебаний ионов, тем
выше абсолютная температура. Понижение температуры
сопровождается уменьшением частоты и, следовательно,
скорости колеблющихся ионов. Вся решетка погружена
в «электронный газ», представляющий собой совокупность
свободных электронов, беспорядочно движущихся вокруг
ионов. Свободные электроны (их также называют элек-
электронами проводимости) распределяются так, чтобы раз-
разность потенциалов между двумя любыми точками изолиро-
изолированного и незаряженного проводника равнялась нулю.
Однако и заряженный изолированный проводник характе-
характерен тем, что поверхность efo является эквипотенциальной,
а избыточные электрические заряды, располагающиеся на
поверхности, не создают поля внутри проводника. Все это
коренным образом меняется, когда проводники присоеди-
присоединяют к клеммам источника постоянного напряжения.
В самом проводнике в этом случае возникает электриче-
электрическое поле, сообщающее свободным электронам направлен-
направленное движение. Электроны проводимости, продолжая дви-
двигаться хаотически, приобретают вместе с тем и движение
вдоль проводника от минуса к плюсу батареи, а поверх-
поверхность проводника перестает быть эквипотенциальной.
На всем протяжении проводника возникает разность по-
потенциалов между двумя любыми его точками, причем
величина потенциала непрерывно возрастает по мере про-
продвижения от минуса к плюсу источника. Чем выше раз-
разность потенциалов между полюсами источника, тем боль-
большее количество электронов проходит через поперечное
— 226 -
сечение проводника в единицу времени. Направленное
движение электронов вдоль проводника называют элек-
электрическим током. Основной характеристикой электриче-
электрического тока является сила тока, численно равная отноше-
отношению величины заряда AQ, протекающего через поперечное
сечение проводника за время t, ко времени t, т. е.
Если проводник соединен с полюсами источника по-
постоянного напряжения, в цепи под действием постоянных
электрических сил возникает постоянный электрический
ток (/ = const). Конечно, свободные электроны под дей-
действием постоянных сил поля приобретают направленное
движение с некоторым постоянным ускорением. Однако
они не могут беспрепятственно продвигаться сквозь кри-
кристаллическую решетку. «Сталкиваясь» непрестанно с ио-
ионами, электроны отдают им кинетическую энергию своего
направленного движения и вновь приобретают ее за счет
энергии источника. Этот процесс повторяется снова и
снова: в промежутках между ионами электроны разго-
разгоняются полем, затем, «сталкиваясь» с ионами, теряют ско-
скорость своего направленного движения, вновь разгоняются
и т. д. Таким образом, течение электрического тока, если
его рассматривать в микрообъемах и за очень иглце про-
промежутки времени, представляется нам скачкообразным.
Однако на расстояниях, неизмеримо больших, чем по-
постоянная решетки, и за отрезки времени, неизмеримо
большие, чем время свободного пробега электронов, пере-
перемещение электронов вдоль проводника можно считать
равномерным, происходящим так же, как и движение тела
под действием постоянной силы, равной силе трения.
Только вместо трения здесь имеет место механизм непре-
непрестанных «столкновений» электронов с ионами. Этот фактор,
противодействующий электрическому току, называют со-
сопротивлением проводников R. Сопротивление R возра-
возрастает с ростом температуры проводника. Действительно,
ионы в результате столкновений с электронами приобре-
приобретают дополнительную кинетическую энергию. Это выра-
выражается в повышении температуры проводника. Однако при
этом ионы начинают колебаться с большей скоростью
(большей частотой). В результате число соударений их
с электронами увеличивается, а значит возрастает и вели-
227 —
чина R. На перемещение электронов вдоль проводника
затрачивается какая-то определенная работа. Эта работа,
совершаемая за счет энергии источника постоянного на-
напряжения, расходуется на ^преодоление сопротивления
проводника току и сопровождается выделением в провод-
проводнике некоторого количества теплоты (ленц — джоулево
тепло). Это также аналогично случаю, когда тело движется
под действием постоянной силы, равной силе трения:
работа по перемещению тела расходуется ца преодоление
трения и полностью переходит в тепловую" форму.
Представленный механизм переноса электричества в ме-
металлических проводниках позволяет качественно понять
основные законы постоянного тока. К ним относятся
прежде всего законы Ома (для участка цепи и для всей
цепи), зависимость изменения сопротивления проводника
от температуры, закон Ленца—Джоуля. Эти законы впер-
впервые были получены экспериментально, но можно их вы-
вывести и теоретически.
§ 25. ЗАКОН ОМА,ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ
Сила тока на любом участке цепи пропорциональна
разности потенциалов на концах этого участка, т. е.
где R — электрическое сопротивление проводника. Вели-
Величину А(/ часто называют падением напряжения на данном
участке.
Остановимся на единицах измерения рассмотренных
физических величин.
В Международной системе единиц СИ в качестве основ-
основной единицы выбран ампер.
Ампер — сила неизменяющегося тока, который, про-
проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения,
расположенным на расстоянии 1 м один от другого в ва-
вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу взаимо-
взаимодействия, равную 2-10~7 н на каждый метр длины.
Соответствующая эталонная установка, на которой из-
измеряется сила взаимодействия между проводниками, на-
называется ампер-весами.
- 228 -*
На практике часто пользуются тысячными долями
ампера — миллиамперами A ма = 10~3 а) и микроампе-
микроамперами A мка = 10 а).
В металлах носителями тока являются электроны,
движущиеся от минуса к плюсу источника, т. е. в одном
и том же направлении. В электролитах электрический ток
представляет собой совокупность двух встречных потоков
ионов разных знаков. В разреженных газах электрический
ток может складываться из двух встречных потоков — по-
положительных ионов и электронов. Однако в любом случае
остается справедливой формула A), где AQ является
арифметической суммой всех зарядов, прошедших через
поперечное сечение проводящей среды. Поскольку на-
направление движения зарядов не играет роли при определе-
определении величины /, во всех правилах физики и электротех-
электротехники до сих пор исходят из исторически сложившихся
представлений, что ток течет от плюса к минусу источ-
источника напряжения.
Величина электрического сопротивления R измеряется
в СИ в омах. Согласно формуле B) этой единице дается
следующее определение: сопротивлением в 1 ом обладает
проводник, через который протекает ток силой в 1 а при
разности потенциалов на концах проводника в 1 в. В си-
системе СГСЭ за единицу сопротивления (ед. СГСЭд) при-
принимается сопротивление такого проводника, по которому
течет ток, равный 1 СГСЭ7 = 1Q9 а при разности потен-
потенциалов на концах проводника, равной 1 СГСЭ^ = 300 в.
Пользуясь формулой B) находим
1 ом = 9Ло
Электросопротивление металлических проводников
зависит от их структуры: от размеров кристаллической
решетки, от характера связей между ионами, образующими
решетку. Именно поэтому неодинаковы электросопротив-
электросопротивления двух одинаковых по длине и сечению проводников,
изготовленных из разных металлов. Экспериментально
установлено, что электросопротивление любого металличе-
металлического проводника
— 229 —
где I — длина проводника, S — площадь его поперечного
сечения, q — величина, характеризующая структурные
особенности данного металла. Величина q, разная для
разных металлов, называется удельным электросопротив-
электросопротивлением проводника. Из формулы C) вытекают определение
и размерность величины q.
Удельным электросопротивлением называется сопро-
сопротивление металлического проводника, длина которого
равна единице длины, а площадь поперечного сечения —
единице площади. Очень часто q выражают в ом-санти-
ом-сантиметрах (ом-см)> измеряя длину проводника в сантиметрах,
а площадь его поперечного сечения в квадратных санти-
сантиметрах. В технике принято сопротивление проводника
выражать в омах, длину в метрах, а сечение в квадратных
миллиметрах, тогда единицей удельного сопротивления
будет 1 <ш« —. Запишем соотношение между указанными
единицами:
1 0Ж.Л^1=1 ом-™~01™2 = 1(Г4 ом-см.
Электросопротивление металлических проводников
возрастает с температурой. Опытным путем получена
следующая формула:
Я< = ЯоО+ «ДО, D)
где RQ — начальное сопротивление проводника при неко-
некоторой температуре t0 (обычно полагают, что Ro — сопро-
сопротивление проводника, находящегося при 0° С), Rt —
сопротивление проводника при температуре /, большей
или меньшей, чем t0, At = /— t0, a — температурный
коэффициент сопротивления, единица измерения которого
согласно формуле D) — градус в минус первой степени
(град). Установим физический смысл коэффициента а,
решив относительно него выражение D).
Температурный коэффициент сопротивления а показы-
показывает, на какую долю своего сопротивления при 0° С из-
изменяется сопротивление проводника при изменении его
температуры на 1 град.
Формула D) применима лишь в среднем и весьма узком
интервале температур (приблизительно 20—200° С), так
как на самом деле а не является константой и тоже изме-
изменяется с температурой.
— 230 —
Определить сопротивление уча-
участка цепи, состоящего из двух
проводников с сопротивлениями
Rx и R2, если проводники соеди-
соединены: а) последовательно, б) па-
параллельно.
Решение. Делаем чертеж (рис.
66). На рис. 66, а через оба про* Рис 6б
водника проходит ток силой /.
Согласно закону Ома / = Vl "Z V*, где (Vx — V2) — раз-
разность потенциалов на концах участка цепи, R — сопро-
сопротивление участка.
Рассматриваемый участок можно разбить на два:
один — сопротивлением Rx с разностью потенциалов на
концах Vx—Vi, второй—сопротивлением R2 с раз-
разностью потенциалов на концах V[ — V2. Согласно закону
Ома
но (v, - v:\ + (v: - v9) = vx - v2, T. e.
откуда
R = Rx + R2.
На рис. 66, б ток /, текущий в цепи, разветвляется на
два тока: /х и /2. Затем 1Х и /2 (после прохождения рас-
рассматриваемого участка) соединяются, образуя ток прежней
силы /. Пусть сопротивление участка параллельно соеди-
соединенных проводников равно R', Согласно закону Ома
Vi - V, = (Л + /2) R' = /Л = /,/?,.
Рассмотрим это равенство по частям:
(/х + /2) R' = ЛЛх;
/itfi = /i«,. E)
Из первого соотношения получаем
A+?)*'-*„
— 231 —
Подставив сюда вместо ~~ его значение из равенства E),
получаем
J L J- —
Обратим внимание на равенство E). При параллельном
соединении проводников основной ток всегда разбивается
на отдельные токи, силы которых обратно пропорцио-
пропорциональны величинам сопротивлений. Этим обстоятельством
широко пользуются в лабораторной практике. Предполо-
Предположим, что некоторым амперметром нужно измерить силу
тока, в п раз большую, чем тот предельный ток, на который
рассчитан этот амперметр. Внутреннее сопротивление ам-
амперметра R. Присоединим параллельно к амперметру шунт,
т. е. некоторое сопротивление Rx < R. Если в цепи проте-
протекает ток силой /, то через амперметр должен, согласно
нашему требованию, пройти ток силой —. Следовательно,
через шунт будет идти ток силой / . Пользуясь зако-
законом Ома для участка цепи, можно составить равенство
откуда
т. е. получена известная формула для шунтирования ам-
амперметра.
Задача 102.
Какое напряжение можно дать на катушку, имеющую
п = 1000 витков медной проволоки, со средним диаметром
витков d = 6. см, если допустимая плотность тока % =
= 2 а/мм2?
Решение. Плотностью электрического тока называется
величина тока, приходящаяся на единицу площади попе-
поперечного сечения проводника, т. е.
где S — сечение проводника, / — сила тока в провод-
проводнике.
— 232 —
В задаче следует определить разность потенциалов
на концах проводника, намотанного на катушечный кар-
каркас. Из закона Ома для участка цепи, как наиболее об-
общего соотношения в таких случаях (в участке цепи нет
э. д. с), следует Д(/ = IR, однако / = iS, R = q-^-,
где q — удельное сопротивление меди. Следовательно,
ДG = Qil.
Вычислим длину / проводника, так как известны диа-
диаметр витков и число витков катушки:
/ = 2п-^-п = ndn.
Общее решение задачи выразится формулой
Д[/ =
В соответствующей таблице находим удельное сопро-
сопротивление меди q = 1,7- КГ6 ом-см. Производим вычисле-
вычисления:
Д(/ = 3,14-6 gm-IOMJ-IO ом-см-2 f 2^6,4 в.
% 26. ЗАКОН ЛЕНЦА —ДЖОУЛЯ
Подсчитаем работу, которая затрачивается источником
тока на продвижение электронов вдоль замкнутой цепи.
Пусть разность потенциалов на любом участке цепи равна
Vv — V2. Заряд, проходящий через этот участок за время /,
пусть равен Q, сопротивление участка /?. Искомая работа
А = Q (Уг — V2). Так как сила тока / = ~-, то
А = It{Vx- V2). F)
Формула F) и есть закон Ленца—Джоуля, полученный
в свое время экспериментально Ленцем и независимо от
него Джоулем. Используя закон Ома для участка цепи и
обозначив Vx — V2 = At/, можно выразить закон Ленца—
Джоуля следующими соотношениями:
А = /At//,
Fа)
— R —/.
— 233 --,
Если / выражать в амперах, Д?/ — в вольтах, R —
в омах, / — в секундах, работа А получится в джоулях.
Поскольку работа А полностью переходит в тепло, выделяющееся
в проводнике при прохождении тока, очень часто величину А вычисляют
не в джоулях, а в калориях. В этих случаях выражения закона Ленца —
Джоуля записываются с учетом механического эквивалента теплоты
A кал & 4,2 дж, откуда 1 дж & 0,24 кал):
А = 0,24/AUt,
Из формул Fа) вытекает, что мощность, выделяющаяся
в цепи при прохождении электрического тока, равна
Задача 103.
R
Сколько ламп мощностью по N = 300 em, рассчитан-
рассчитанных на напряжение иг— 110 в каждая, можно установить
в помещении, если напряжение на клеммах источника
постоянного тока U2 = 122 в? Проводка выполнена мед-
медным проводом длиной / = 100 м и сечением S = 9 мм2.
Решение. Известно, что мощность есть работа, совер-
совершаемая в проводнике при прохождении тока за каждую
единицу времени. Значит, если на лампе имеется падение
напряжения Ux = 110 в (на которое рассчитана лампа,) то
внутри лампы ежесекундно выделяется количество теплоты
ЛГ = 300 дж.
В условии не указано соединение ламп — последова-
последовательное или параллельное. Поскольку никаких конкрет-
конкретных технических требований не высказано, лампы следует
соединить параллельно. Это гораздо удоб-
удобнее, так как если перегорит одна из ламп,
другие не погаснут.
Делаем чертеж (рис. 67). На концах
заданной цепи действует постоянная раз-
разность потенциалов G2. Э. д. с. источника
не дана. Значит, наиболее общим и, сле-
следовательно, исходным уравнением будет
закон Ома для участка цепи. Применим
его к нашей схеме, обозначив сопротивле-
Рис. 67 ние подводящих проводов (от источника
и2
- 234 -
до точек А и В) через R, а сопротивление участка парал-
параллельно соединенных ламп через /?':
U2 = /(/? + #').
Величину R можно вычислить, так как известен мате-
материал провода, его длина и сечение. Определим R'. Пусть
неизвестное число ламп равно пу а внутреннее сопротивле-
сопротивление каждой лампы равно г. Сопротивлением связующих
проводов между точками А и В пренебрегаем. Тогда можно
написать следующее равенство:
где число слагаемых равно числу ламп п. Нетрудно видеть,
что /?' = —. Теперь общая формула решения приобретает
вид:
Внутреннее сопротивление г каждой лампы можно
определить из данных условия задачи: напряжение на
каждой лампе Ult а выделяющаяся в лампе мощность N.
Следовательно, г = -~- и
Итак, в общем уравнении, которое соответствует задан-
заданной схеме (рис. 67), появилось искомое неизвестное, но
осталась еще неизвестной величина силы тока / в цепи.
Сила тока через каждую лампу равна —. Внутреннее
сопротивление каждой лампы г, падение напряжения на
каждой лампе должно равняться Uv Применяя закон Ома
/ Ui
для любой лампы, получаем, что Ux = ^-, откуда
/ = -^-. Подставляя найденное значение / в общую фор-
формулу решения, получаем
— 235 —
Теперь определим искомое число ламп:
' NR
Поскольку R = q -^-, окончательно находим
Ql N
Производим вычисления:
9 (Ю-1 смJ-12 в-110 g
em
ШГП'
Пусть лампы будут соединены последовательно.
Сопротивление последовательно соединенных k ламп
обозначим R'. Применяя закон Ома для участка цепи, по-
получим, что U2 ==/(/? + /?'). Величина /?' = &г, где г —
сопротивление каждой лампы. Поскольку г = -—-, можно
записать общее уравнение решения в виде
Определим силу тока /: Для этого, как и в предыдущем
случае, рассмотрим участок цепи, представленный одной
лампой. Так как падение напряжения на каждой лампе
равно иъ а все лампы соединены последовательно, то
имеем, 0г = /г, откуда
/ — Hjl— u*n _ JL
г ~~ и2 ~~~ ~В~\'
^ N
Искомое неизвестное
где, как и в предыдущем случае, R = q -у. Проведя соот-
соответствующие вычисления, находим, что k = 1 шт.
Последний результат кажется неожиданным. Проана-
Проанализируем его. Постоянное напряжение на концах цепи
— 236 —
122 в, на лампочку приходится 110 в, напряжение A22 в —
—110 в) = 12 в падает на соединительных проводах. Ко-
Конечно, при таких условиях можно использовать лишь
одну лампу. Такую оценку следовало провести вначале.
Задача 104.
Определить количество т меди, потребное для устрой-
устройства проводки с общей длиной /. Напряжение на шинах
станции Uo. Допустимая потеря напряжения в цепи Р%.
Мощность, поступающая к потребителю, W.
Решение. Уточнив смысл последнего условия: «допу-
«допустимая потеря напряжения в цепи равна Р%». Так как
на шинах станции напряжение равно ?/0, то на шинах
потребителя разность потенциалов U должна быть меньше
Уо за счет падения напряжения в цепи при прохождении
тока, т. е.
Потребитель имеет мощность W. Это значит, что мощ-
мощность Wo, посылаемая в цепь со станции, на Р% больше
величины W. Действительно, мощность пропорциональна
напряжению, а потеря напряжения в цепи составляет Р%.
По условию задачи нужно найти массу провода опреде-
определенной длины / и сечения S. Согласно формуле плотности
можно записать, что т = DIS, где D — плотность веще-
вещества провода. Величина S не задана, но она входит
в формулу сопротивления проводника: R = Q -^-, откуда
и тогда
Таким образом, следует определить сопротивление
цепи.
В таких случаях часто стараются связать искомое не-
неизвестное с величинами, заданными в условии. Правиль-
Правильнее идти по.другому пути: нужно стараться выразить усло-
условие задачи каким-то общим уравнением. Со станции в цепь
подается некоторая мощность Wo. Часть этой мощности
Д1^ теряется в проводах за счет ленц — джоулевого тепла
- 237 -
и к потребителю поступает мощность W < Wo, т. е.
Wo= W + /±W0.
Определим величину Д№0- Поскольку мощность про-
пропорциональна току и напряжению, а потеря напряжения
в цепи, согласно условию, равна Р%, то и потеря мощно-
мощности kW0 составит Р% от подаваемой в цепь мощности WOy
т. е. bW0 = РИУЮО.
Общее уравнение решения приобретает теперь вид:
Остается определить Wo.
В этом пункте часто допускают ошибку, полагая Wo =
2
U2
U
= -—-. Находя таким образом R и подставляя его в выра-
выражение для т, приходят к следующему выражению:
т =
(—
Размерность этого выражения правильна, так как при
вычислениях получаются единицы массы. Однако проверим
полученный ответ еще одним способом. Рассмотрим какой-
либо предельный или частный случай, результат которого
заведомо известен. Положим, что Р = 0. Это условие фи-
физически означает, что отсутствуют какие-либо потери на-
напряжения или мощности в цепи от станции к потребителю.
Но это может быть в случае, если сопротивление соедини-
соединительных проводов R равно нулю. Поскольку т = —~—,
то для устройства подобной линии пришлось бы изгото-
изготовить провода бесконечно большой толщины, на что потре-
потребовалось бы бесконечно много меди. Итак, при Р = 0 из
полученной формулы для т должно вытекать, что т = оо.
А этого как раз из найденной формулы не следует. Значит,
результат решения неверен.
и2
Ошибка допущена при предположении, что Wo = -?-,
к
так как Uo не является падением напряжения на сопротив-
сопротивлении R. Более того, не известнд величина внутреннего
сопротивления источника (на станции), разделив на кото-
которую значение U\ можно получить Wo. Следовательно,
надо найти другой способ определения Wo.
— 238 —
о)
Сделаем чертеж (рис. 68, а). Для большей простоты
суждений заменим схему рис. 68, а, эквивалентной ей
схемой, приведенной на рис. 68, б.
Рассмотрим прохождение тока по цепи, представленной
на рис. 68, б. Мощность, направляемая со станции в сеть,
равна р-. В сети на участке о!а' теряется величина мощ-
PW хк PW
ности равная 100__р • Мощность 100_р превращается на
участке о!о! в тепло и, согласно закону Ленца—Джоуля,
равна PR, где / — сила тока, проходящего по цепи.
Величину / можно найти по закону Ома для участка цепи
с учетом, что на рассматриваемом участке а'а! теряется
ртт
Р% от напряжения ?/0. Действительно, / = 1QQ/? и, так
PW
как iqq__p = I*R> находим, что
Подставляя это выражение в формулу для искомой ве-
величины т, получаем на этот раз правильный ответ:
\0QWqWP
Р A00 - Р) Vl '
— 239 —
Задача 105.
Два одинаковых плоских конденсатора с площадью
пластин S = 25 см2, расстояние между которыми d =
= 1,8 лш, соединены параллельно через сопротивление
R = 100 ком. В конденсаторы вставлены пластины из ди-
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е = 5,3.
Одна из пластин с постоянной скоростью выдвигается из
конденсатора вверх за 2 сек и затем с той же скоростью
вдвигается обратно. Какая механическая работа совер-
совершается при этом, если разность потенциалов на обкладках
конденсаторов в начале равнялась 300 в?
Решение. Сделаем чертеж (рис. 69). Введем обозначе-
обозначения, так как в задаче содержится много различных (за-
(заданных и неизвестных) величин, и их четкое разграниче-
разграничение придаст необходимую наглядность нашим рассужде-
рассуждениям.
Сделаем первый, формальный анализ физического яв-
явления, которое. протекает при соблюдении условий за-
задачи. Допустим мы не знаем, что именно будет происходить
в схеме при вынимании одной из диэлектрических пластин.
Из рис. 69 можно легко заключить, что до момента, когда
начали вынимать одну из пластин, разности потенциалов
на конденсаторах были одинаковы. Из условия задачи зак-
заключаем, что емкости рассматриваемых конденсаторов в на-
начальный момент равны. Обозначим эти емкости через Cv
Когда вынули диэлектрическую пластину из конден-
конденсатора В, емкость его изменилась. Поскольку С = -тп-»
изменились и заряд, и разность потенциалов на конден-
конденсаторе В. Поэтому следует ввести обозначения величин
начальных и конечных зарядов и напряжений на обоих
конденсаторах. Пусть разность потенциалов вначале (до
выдвижения пластины) на том и другом конденсаторах
равна AU. Заряды на конденсаторах
А и В вначале также равны. Обозна-
Обозначим их величину через Q. Пусть ем-
емкость конденсатора В в конце (после
полного выдвижения пластины) равна
С2. После выдвижения пластины раз-
разности потенциалов на конденсаторах
станут вновь одинаковыми. Обозначим
их через Д(/\ Поскольку емкости кон-
конденсаторов А и В стали разными, а их
— 240 —
разности потенциалов — вновь одинаковыми, заряды на
этих конденсаторах окажутся разными. Пусть на кон-
конденсаторе А заряд стал равен Q1# а на конденсаторе
В — Q2. Нетрудно видеть, что Qx > Q2.
Когда пластина вставляется обратно, система в конеч-
конечном счете приходит в исходное состояние, так как емкости
конденсаторов вновь становятся прежними и равными
друг другу. В результате прежними становятся заряды
и разности потенциалов. Теперь установим физическую
сущность задачи. По условию задачи надо определить
работу, затрачиваемую на выдвижение и вдвижение пла-
пластины конденсатора В. Иногда рассуждают так. «Пусть
энергия нашей системы вначале равнялась Wx (Wt — сумма
энергий электростатических полей конденсаторов А и В),
а после выдвижения пластины полная энергия системы
стала W2. Затраченная работа, следовательно, равна
W2 — Wt\ После вдвижения пластины наша система
вернулась в исходное состояние с энергией Wl9 т. е.
работа, совершенная при вдвижении пластины обратно,
равн^ Wx — W2. Вся работа равна (W2 — Wx) + (Wr —
- W2) = О».
В принципе это рассуждение кажется совершенно пра-
правильным. Действительно, если система в конце какого-то
цикла возвращается в прежнее состояние, т. е. снова
характеризуется старыми параметрами, то запас ее энер-
энергии в конечном счете остается прежним. В этом случае
полная работа всегда складывается из работы, совершае-
совершаемой над системой со стороны внешних тел (эта работа
считается отрицательной), и из работы, совершаемой са-
самой системой над внешними телами (положительная ра-
работа). Суммарная работа в конце цикла, когда система
возвращается в исходное состояние, равна нулю. Рас-
Рассмотрим более простой случай, чем тот, который задан
в условии настоящей задачи. Представим себе тело ве-
весом Р, лежащее на столе. Потенциальная энергия, которой
обладает тело относительно пола, равна РЛ, где А — вы-
высота стола. Поднимем тело на высоту къ считая от уровня
стола. Потенциальная энергия тела относительно пола
станет равной Р (h + hx). Положим снова наше тело на
стол. Состояние этой простейшей системы определяется
координатой А. Она снова приняла прежнее значение, и
потенциальная энергия тела относительно пола стала
прежней. Следовательно, суммарная работа, которая со-
- 241 —
вершена сначала против силы тяжести, а затем по на-
направлению действия силы тяжести, в конечном счете
равна нулю, так как система вернулась в исходное со-
состояние. Однако это не означает, что мускулы человека,
поднимавшего это тело, не совершили никакой работы
и что подобную операцию можно повторить какое уго-
угодно количество раз. Мускулы потеряли при этом энер-
энергию, эквивалентную работе, равной 2Phv
Однако в поле силы тяжести нами совершена сначала
работа +Phlf а затем работа —Phl9 т. е. суммарная ра-
работа в гравитационном поле оказалась равной нулю.
Итак, когда тело поднято и затем опущено на прежний
горизонтальный уровень, была совершена механическая
работа, равная 2Phlt только за счет мускульных усилий
человека. Система же не приобретает в конечном случае
никакой дополнительной энергии и не теряет ничего
из той энергии, которой обладала.
Вернемся теперь к нашей задаче. Вначале система
обладала энергией
После того как одну из пластин вынули, энергия си-
системы стала
w _Ci(A(/')* , C2(AU')*
w2- g I 2 *
Механическая работа, связанная только с изменением
электрической энергии системы в течение всего цикла
(пластина вынута и вновь вставлена) равна 2 (W2 — Wx).
При вынимании пластины были уничтожены поляризован-
поляризованные заряды, находящиеся на ней. Энергия, которая была
ранее затрачена на поляризацию зарядов, возвращается
системе конденсаторов и вследствие этого их суммарная
энергия возрастает. При вдвижении пластины обратно
вновь вызывается явление поляризации. Поляризация
протекает за счет энергии системы, и поэтому после
вдвижения пластины энергия системы, уменьшившись,
вновь достигает начальной величины. Работа 2 (W2 — WJ
совершается за счет энергии внешнего источника (как
и работа 2Phx в примере, разобранном выше). При
вынимании пластины работа совершается против электри-
— 242 —
ческих сил, втягивающих диэлектрик обратно, и в на-
направлении действия этих сил, когда пластинка встав-
вставляется обратно.
Однако при вынимании или вдвигании пластины в цепи
возникает перемещение зарядов. Когда из конденсатора В
вытаскивают диэлектрическую пластину, емкость его
уменьшается, разность потенциалов начинает возрастать
(по сравнению с разностью потенциалов на конденсаторе А)
и возникает электрический ток от В к Л. При вдвигании
пластины явление повторяется, но только заряды теперь
стекают в противоположном направлении — с конденса-
конденсатора А на конденсатор В. При этом имеет место выделение
ленц—джоулевого тепла, т. е. потеря определенного
количества энергии. В конце цикла система возвращается
в исходное энергетическое состояние. Следовательно,
выделение тепловой энергии в соответствии с законом
Ленца—Джоуля должно происходить за счет источника
энергии того приспособления (или человека), при помощи
которого вынимается пластина. При вдвижении пластин
обратно происходит обратное перемещение того же самого
заряда за тот же самый срок. Обозначив работу, экви-
эквивалентную количеству теплоты, которое выделяется при
выдвижении пластины, через Л, можно теперь утверждать,
что полная механическая работа, затраченная на вынима-
вынимание и обратное вдвижение диэлектрической пластины,
равна
2{W2— Wx + A).
Таково общее решение поставленной задачи1). Теперь
следует конкретизировать общую формулу, т. е. выра-
выразить ее отдельные члены через величины, заданные
в условии.
Выше указывалось, что при вынимании диэлектрика
из поля конденсатора, уничтожается поляризованный
заряд, так как электрические диполи, упорядоченные
полем, теперь вновь ориентируются произвольно. Энер-
Энергия, которая ранее была затрачена на поляризацию,
*) Если быть предельно точным, то к полученному общему выраже-
выражению для механической работы необходимо добавить euje величину рав-
равную 2Phly где Р — все пластинки, ht — высота перемещения ее центра
тяжести вдоль вертикали (если пластинка вынимается снизу вверх),
однако в данной задаче рассматривается работа, совершаемая только
электрическими силами.
— 243 —
возвращается полю конденсатора. В результате разность
потенциалов на конденсаторе должна возрастать 1).
Напряжения на конденсаторах А и В вначале были
равны. Следовательно, по мере выдвижения пластины,
возникает процесс стекания заряда с конденсатора В на
конденсатор А. За время t выдвижения пластины в цепи
перемещается некоторый заряд AQ. Искомая работа А
легко может быть выражена через величину AQ по закону
Ленца—Джоуля с учетом того, что сила протекающего
т АО
по цепи тока / = —jr-:
л -
л —
_ ^
где R — сопротивление цепи (известная величина).
Находим AQ. Пользуясь введенными ранее обозначе-
обозначениями, получаем согласно закону сохранения заряда
следующее равенство:
AQ = Qi - Q = Q - Q2.
Первоначальный заряд Q = СХД(/. Для определения
Qx или Q2 необходимо знать еще какое-то другое соотно-
соотношение между Qx и Q2.
Заряд A Q протекал по цепи до тех пор, пока напряже-
напряжения на конденсаторах не выравнялись, т. е. можно зави-
зависать равенство
Рассматривая совместно это равенство и условие Qx +
4- Q2 = 2Q (закон сохранения заряда), находим Qx или Q2
и затем, используя выражение A Q = Qx — Q или A Q =
= Q — Фг» определяем AQ:
Теперь следовало бы выразить A, Wx, W2 через ве-
величины, заданные в условии задачи, и, получив общую
формулу решения, приступить к вычислениям. Однако
ввиду того, что окончательный результат* представляется
^ Это видно и из формулы энергии поля конденсатора W=— 2 •
Поскольку W растет, а С уменьшается, величина At/ возрастает.
— 244 —
весьма громоздкой для вычислений формулой, лучше
провести вычисление по частям:
ел,
Q = ClAU = 1,63-10'9 ф.3-102 в «s 4.910-7 к;
AQ%3,4-10-7 /с;
А = -^- R ъ 5,8- 1(Г9 дж = 5,8-10 эрг.
Найдем теперь другой член общего решения:
Wt = Сх (At/I, = 1,63-10"* ф- C-102 вJ % 1,47-10 дж;
i^2 % 2,быо-4 алс,
\J72— Гх = 1,14-10 аж = 1,14.10s эрг.
Искомая работа
А' = 2 (Г2 — Гх) + 2Л = B,28-103 + 11,6- 1(Г2) эрг.
Нетрудно видеть, что членом 2Л при конкретных рас-
расчетах можно пренебречь и считать, что А1 ^ 2 (W2 — U^i).
§ 27. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОЛНОЙ ЦЕПИ
Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содер-
содержащую источник постоянного напряжения с э. д. с. <§ и
внутренним сопротивлением г. Если сопротивление внеш-
внешнего участка цепи равно /?, то согласно закону Ома для
такой замкнутой цепи сила тока в ней
Пбд электродвижущей силой источника подразумевают
разность потенциалов между клеммами источника, не
- 245 —
замкнутого на внешнюю цепь. Внутреннее сопротивление
источника в принципе аналогично механизму сопротивле-
сопротивления металлических проводников.
Преобразуем формулу G) следующим образом:
S = IR + 1г.
Величина IR есть падение напряжения на внешнем уча-
участке цепи, т. е. разность потенциалов на клеммах источ-
источника, действующего в цепи. Величина /г — падение на-
напряжения на внутреннем сопротивлении источника. Обо-
Обозначая разность потенциалов на полюсах замкнутого
источника тока через Vx — V2, формулу G) можно запи-
записать в виде
€ = Vt - V2 + Ir. (8)
Если цепь разорвать, то следует положить / = 0, и
тогда из выражения (8) вытекает определение э. д. с,
данное выше.
Однако в конкретных схемах встречается такое явле-
явление, когда батарея замкнута на внешнюю цепь, но тем не
менее (благодаря встречным напряжениям) ток в цепи
отсутствует. В этом случае разность потенциалов на полю-
полюсах батареи равна ее э. д. с., точно так же, как если бы цепь
батареи была разомкнута. Учитывая это обстоятельство,
можно определять э. д. с. как разность потенциалов
между полюсами источника, через который не проходит
электрический ток.
Задача 106.
Батарея с внутренним сопротивлением г = 1 ом зам-
замкнута на сопротивление R. Вольтметр, подключенный
к зажимам батареи, показывает напряжение Ux => 20 в.
Когда параллельно R присоединяется такое же сопротив-
сопротивление R, показание вольтметра уменьшается до U2 =
= 15 в. Определить величину R, считая, что сопротивле-
сопротивление вольтметра намного больше R. Сопротивлением под-
подводящих проводов пренебречь.
Решение. Сделаем чертеж, состоящий из двух соответ-
соответствующих схем (рисунок не дается). Поскольку внутрен-
внутреннее сопротивление вольтметра намного больше R, можно
считать его вообще бесконечно большим. Из этого условия
вытекает важное следствие, что такой вольтметр практи-
— 246 -
чески измеряет падение напряжения только на том участке
цепи, параллельно к которому он присоединен.
Для первой схемы будет справедливо уравнение
где /х — сила тока, протекающего по цепи.
Для второй схемы следует записать уравнение
где /2 — сила тока, текущего во второй цепи.
Что конкретно измеряет вольтметр? В первой цепи
вольтметр показал падение напряжения Ux = IxRf а во
второй — падение напряжения U2 = /2-у • Э. д. с. ис-
источника неизвестна. Поэтому разделим почленно одно
уравнение на другое:
1 — 7l R + r
'•4+'*
Из условия, показывающего, что измеряет вольтметр в той
и другой схемах, находим отношение токов: -—¦ = -^л- •
Теперь определим искомое неизвестное R:
Подставляя числовые значения, находим, что R =
= 2 ом.
Задача 107.
К реостату сопротивлением R =4-103 ом, включен-
включенному как потенциометр, приложена разность потенциа-
потенциалов U = ПО в. Между концом реостата и его движком
включен вольтметр с внутренним сопротивлением R± =
= 104 ом. Что покажет вольтметр, и
если движок находится посередине i * = *¦
реостата?
Решение. Делаем чертеж (рис. 70).
Выясним, на каком именно участке
вольтметр покажет падение напряже-
напряжения. На этот раз внутреннее сопро-
сопротивление вольтметра сравнимо с со- Рис. 70
— 247 —
Щ
(R \
у), параллельно к которому
он подключен. Следовательно, вольтметр покажет
падение напряжения на участке двух параллельно соеди-
D
ненных проводников сопротивлением у и Rt. Обозначим
искомое падение напряжения через (/'. Поскольку со-
п п
противление участка АВ равно ор * р , получаем
U' = I J*lR ,
где / — сила тока в цепи. Таким образом, для нахожде-
нахождения U' необходимо определить /.
Теперь следует написать достаточно общее уравнение,
которое отразило бы заданную схему в целом. Таким
уравнением является закон Ома для данной цепи:
и
I =
Подставляя полученное значение / в формулу для {/',
находим искомое неизвестное:
Проверим правильность формулы общего решения.
Пусть взятый вольтметр имеет внутреннее сопротивление,
неизмеримо большее, чем участок реостата сопротивле-
нием у, к которому он подключен. В таком случае
вольтметр покажет напряжение -у. Следовательно, если
полученная формула для V верна, то при /?х-> оо напря-
напряжение U' должно равняться у . Проверим это утвержде-
утверждение:
21/ .
при Rx -> оо отношение RIRX можно положить равным
нулю, т. е.
IV _ 2U _ U
U ~" Т"~ 2 *
— 248 -
Если внутреннее сопротивление вольтметра ничтожно
мало (^1 <^-у)» то ток в основном пойдет через вольт-
метр, а не через участок -у. В этом случае при -~—> оо
напряжение U' -> 0, т. е. вольтметр покажет нуль. Не-
Нетрудно убедиться, что найденная формула удовлетворяет
и этому граничному условию.
Задача 108.
Для определения неизвестной э. д. с. источника можно
воспользоваться схемой, изображенной на рис. 71. На-
Напряжение U больше искомой э. д. с. Сопротивление АС,
включенное как потенциометр, представляет собой обыч-
обычный реохорд с движком В. При некотором положении
движка В ток в цепи батареи /2 = 0. В цепь включен
чувствительный гальванометр G.
Определить <§, если известно напряжение U, длина
плеча реохорда А В — 1Х и длина всего реохорда /. Сопро-
Сопротивлением гальванометра и подводящих проводов прене-
пренебречь.
Решение. Отсутствие тока (/2 = 0) в цепи батареи,
э. д. с. которой определяют, позволяет заключить,
что § равна разности потенциалов на полюсах бата-
батареи, т. е. падению напряжения U' на плече рео-
реохорда АВ.
Пусть сопротивление плеча реохорда А В равно г,
а сопротивление всего реохорда R. Падение напряжения
на всем реохорде равно (А Применяя закон Ома для
U V'
участка цепи АС, получаем соотношение -^- =—-,
откуда, положив {/'=<§, находим, что
Поскольку проволока реохорда /2
имеет на всем своем протяжении
одно и то же сечение, получаем,
что э. д. с. источника
— + и -
Рис.71
— 249 —
Задача 109.
Несколько одинаковых элементов соединены, как ука-
указано на рис. 72: один раз последовательно (рис. 72, а),
другой раз — навстречу друг другу (рис. 72, б). Опре-
Определить разности потенциалов между точками Л В, АВЪ
А В2, ... в той и другой схемах. Сопротивлением соеди-
соединительных проводов пренебречь.
Решение. 1. Найдем разность потенциалов V ав между
полюсами одного из элементов. Согласно закону Ома для
всей цепи, э. д. с. этого элемента
S = VAB + /г,
а
, пё 8
1
где п — число элементов в цепи (э. д. с. батареи последо-
последовательно соединенных элементов равна сумме э. д. с,
этих элементов; в данном случае общая э. д. с. равна п&).
Подставляя значение / в уравнение для <§, находим, что
Vab = 0.
Находить значение Vabx> Vab^ • • • v каждый раз тем
же методом не рационально, а если число элементов очень
велико, то такой путь вообще непригоден. Рассмотрим
разность потенциалов между точками Л и X, причем ме-
между этими точками находятся k источников тока. Согласно
полному закону Ома запишем
kg = Vax + Ikr,
где /=¦?--f. т.е. VAx = 0.
Этот результат не должен вызывать недоумение. Полу-
Получить его можно из чисто качественных рассуждений. Если
а)
соединить последовательно несколько элементов и эту
батарею заставить работать в режиме короткого замыка-
замыкания, соединив два оставшиеся свободными полюса прово-
проволокой, практически не имеющей сопротивления, то
э. д. с. всей батареи будет равна суммарному падению
напряжений на внутренних сопротивлениях всех эле-
элементов, а э. д. с. каждого элемента, следовательно, равна
падению напряжения на его внутреннем сопротивлении.
Поскольку вся э. д. с. батареи выражается теперь паде-
падением напряжения на внутренних сопротивлениях, раз-
разность потенциалов VAx должна быть равна нулю.
2. Заметим, что для того чтобы все элементы были со-
соединены навстречу друг другу, число их должно быть
обязательно четным.
Начнем опять с анализа, что представляет величина
Vab- Согласно закону Ома для всей цепи
<g= VAB + Ir.
Однако в данном случае / = О, так как всех элемен-
элементов — четное число, а их э. д. с. направлены друг против
друга. Следовательно, Vab = <?• Но Vabx = 0, так как
между точками А и Вг расположены два элемента, ком-
компенсирующие действия друг друга. А величина Vab2
вновь равна <§, поскольку между А и В2 расположены три
элемента, два из которых компенсируют действия друг
друга и т. д.
Нетрудно сделать вывод, что VAx = ?> если между
точками А и X находится нечетное число элементов, и
Vay = 0» если между точками А и Y находится четное
число элементов.
§ 28. ПРАВИЛА КИРХГОФА
(РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ)
Первое правило Кирхгофа относится к узлам
электрических схем. Узлом называется точка соединения
по меньшей мере трех проводников (рис. 73). Поскольку
в неразветвленной цепи, где циркулирует постоянный
ток, сила тока одинакова в любой точке, в том числе и
в узле (точка Л), то и заряд, находящийся в любой момент
времени в узле, равен заряду, находящемуся в любой
другой точке указанной цепи. Таким образом, заряд нигде
не скапливается и нигде не возникает недостатка заряда.
- 251 -
Из этого общего принципа вытекает
первое правило Кирхгофа: сумма сил
токов, притекающих к узлу, равна
сумме сил токов, оттекающих от
узла (рис. 73), т. е.
Однако токам, притекающим к
узлу, можно приписывать, напри-
например, знак плюс, а токи, оттекающие от узла, можно
брать со знаком минус. В этом случае первое пра-
правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраиче-
алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю, т. е.
= 0. (9)
Второе правило Кирхгофа относится к про-
произвольному замкнутому контуру, в котором могут дей-
действовать самые различные э. д. с: сумма произведений
сил токов на сопротивления соответствующих участков
любого замкнутого контура равна сумме э. д. с, дей-
действующих в этом контуре, т. е.
Для того чтобы составить равенство A0), необходимо
придерживаться двух ограничений. Наметив какой-то
замкнутый контур, следует мысленно обойти его из лю-
любого узла по часовой стрелке или против нее. При этом
токи, текущие в направлении обхода, берутся со знаком
плюс, а токи, текущие против направления обхода,— со
знаком минус. Соответственно э. д. с, повышающие по-
потенциал в направлении обхода (от «—» к «+»), записы-
записываются со знаком плюс, а э. д. с, понижающие потенциал
в направлении обхода (от «+» к «—»), — со знаком минус.
Задача ПО.
п одинаковых элементов с э. д. с. & и внутренним
сопротивлением г соединяют в батарею один раз после-
последовательно, другой раз параллельно. Затем батарею
замыкают на внешнюю цепь сопротивления /?. Определить
силу тока в цепи в обоих случаях.
— 252 —
Решение. Делаем чертеж
(рис. 74). Для первого случая
имеется лишь один замкнутый
контур. Обойдем его против
часовой стрелки и составим
равенство, аналогичное A0):
IR + 1-пг = п§у
а)
J4HH-4
откуда
S
Если обходить тот же контур по
часовой стрелке, то следовало бы
написать:
R
Рис. 74
—/# — /-n/- = — п8.
Ответы будут одинаковы.
Во втором случае цепь состоит из п контуров. Для
любого из этих п контуров можно написать равенство
/
п 9
откуда
Применяя второе правило Кирхгофа непосредственно
к цепи, содержащей лишь один источник тока и влнешнее
сопротивление R, можно получить закон Ома. Это говорит
о том, что второе правило Кирхгофа шире, чем закон Ома
для полной цепи.
Задача 111.
Для точного определения омических сопротивлений
(с точностью до ±0,1 ом) часто применяют схему, назы-
называемую мостом Уитстона (рис. 75). В левом плече моста А В
находится неизвестное сопротивление Rx, в правом плече—
известное сопротивление Ro (магазин сопротивлений).
Сопротивление AD представляет собой проволоку рео-
реохорда с движком С. Перемещая движок вдоль реохорда,
добиваются такого его положения, когда ток через весьма
чувствительный гальванометр G отсутствует. Движок С
— 253 —
делит в этом случае рео-
реохорд на отрезки 1г и /2.
Определить Rx.
Решение. В условии
задачи указывается, что
на участке ВС при данном
положении движка тока
нет. Однако строить реше-
решение непосредственно на
этом условии нельзя. Не-
Необходимо математически
воспроизвести общий слу-
случай и уже затем накладывать ограничения в связи
с изменениями в распределении токов.
В схеме рис. 75 можно выделить четыре замкнутых
контура: АВСА, BDCB, ABDA и AD<§A. Однако лишь
три из них дадут линейно независимые уравнения. Дей-
Действительно, контуры А ВС А и BDCB составляют контур
ABDA.
Нетрудно убедиться, что уравнения, написанные в соответствии
со вторым правилом Кирхгофа для контуров А ВС А и BDCB, в сумме
дадут соответствующее уравнение для контура ABDA.
Итак, напишем три независимых уравнения, выбрав,
например, контуры ABC A, BDCB и ADSA (можно вы-
выбрать любую другую комбинацию трех контуров, даю-
дающих три линейно независимых уравнения):
для контура А ВС А
IiRx + hRG — hRi = О,
для контура BDCB
для контура AD&A
Потребуем теперь, чтобы /3 = 0. В этом случае общая
картина распределения токов меняется. Сила тока /4
становится равной силе тока 1Ъ и уравнения для контуров
приобретают соответственно следующий вид:
*iRx — 12R1 == 0»
/2) г + /2
— 254 —
Для решения данной задачи достаточны первые два
уравнения. Деля их почленно одно на другое, находим,
что
или
Генератор постоянного тока с внутренним сопротивле-
сопротивлением г = 0,2 ом и э. д. с. § = 12 в заряжает батарею
аккумуляторов с э. д. с. ёг = 10 в и внутренним сопро-
сопротивлением г' =0,6 ом. Параллельно батарее включена
лампочка с сопротивлением R = 3 ом. Определить силы
токов, протекающих через лампу и аккумуляторную
батарею.
Решение. Чертим схему (рис. 76). Поскольку батарея
заряжается, зарядный ток должен проходить через нее
от плюса к минусу. Именно поэтому на рис. 76 аккумуля-
аккумуляторная батарея включена «навстречу» генератору, а не
последовательно с ним. При последовательном включении
оба источника совместно посылали бы ток во внешнюю
цепь, и батарея разряжалась бы. При способе включения,
приведенном на рис. 76, батарея аккумуляторов заря-
заряжается, когда <? ?> <§' и разряжается, работая на генера-
генератор и внешнюю цепь, если g < <§'. Цепи подобного рода
широко применяются в технике (например, в автомоби-
автомобилях).
Цель задачи в данном случае — найти силы токов 1Х
и /2. Запишем в начале закона Кирхгофа для контура
А ВС А:
V - I2R =-?', (А) - +
а также для контура ACBDKA
(либо для контура,ABDKA):
Ir + I2R = <§.
Однако / = It
уравнение для
ACBDKA запишется
-/2, и
контура
в виде
+ /, (г + R) = ё. (В)
<н
Рис. 76
- 255 —
Итак, получено два уравнения с двумя неизвестными.
Умножим уравнение (А) на г, а уравнение (В) на г' и за-
затем вычтем из второго уравнения первое:
I*{r+ R) г' + I2Rr = Sr' + <§V,
откуда
Подставляя значение /2 в уравнение (А), находим вто-
второе неизвестное
Нетрудно уловить сходство между методом решения задач на раз-
разветвленные цепи, когда используются правила Кирхгофа, и методами
решения задач кинематики и динамики, основанными на составлении
общих уравнений s = s (t) и fх 4- f2 + • • •+ frt = ma. Во^всех этих
случаях физический смысл задачи выражается не в результате глубокого
анализа сущности физического явления, а в результате составления
общих уравнений на основе учета каких-то внешних признаков. Учиты-
Учитывая основные внешние признаки (например, силы, действующие на
тело) чисто формальным способом (суммируя их с учетом их направле-
направлений, т. е. находя fi + f2 + • • . + *л), составляют общее уравнение
(*i + fa +¦ • • •+ f/i = ma), которое автоматически выражает физиче-
физический смысл данной задачи. Пользуясь правилами Кирхгофа и руко-
руководствуясь опять-таки чисто формальными критериями, мы также
составляем уравнения, достаточно общие для выражения физического
содержания какой-то конкретной задачи.
Глава IX
МАГНЕТИЗМ
§ 29. ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
Согласно современным воззрениям всякий ненамаг-
ниченный ферромагнетик (железо, никель, кобальт и не-
некоторые их сплавы) во всем своем объеме разбит на
небольшие области (домены), самопроизвольно (спон-
(спонтанно) намагниченные до насыщения в самых разнообраз-
разнообразных направлениях. Домены состоят из множества молекул
данного вещества и в первом приближении v могут рас-
рассматриваться как магнитики, компенсирующие действия
друг друга. При помещении ферромагнетика в магнитное
поле домены поворачиваются вдоль его линий напряжен-
напряженности, выстраиваясь цепочками. В слабых магнитных по-
полях эта цепочка из магнитиков образует ломаные линии,
заметно отличающиеся по своей форме от силовых линий
магнитного поля. В более сильных полях магнитики
(домены) поворачиваются значительнее и цепочки из них
точнее воспроизводят конфигурацию силовых линий поля.
Таков в первом приближении, процесс намагничивания
ферромагнетиков (сравните с поляризацией диэлектри-
диэлектриков). Магнитики-домены, поворачиваясь под действием
внешнего поля, испытывают и тормозящее противодей-
противодействие (внутреннее трение), поэтому тела (при равных
условиях) намагничиваются значительнее и лучше раз-
размагничиваются, если их подвергнуть встряске и толчкам
(например, бить молотком).
Представление о том, что ферромагнетик состоит из
элементарных магнитиков, особая ориентация которых
обусловливает магнетизм тела в целом, было введено еще
Кулоном. Тем самым учтено известное из опыта правило,
что получить постоянный магнит с одним полюсом (или
с нечетным числом полюсов) невозможно никаким дробле-
дроблением. Было замечено также, что свойством притягивать
железные предметы обладает не вся поверхность постоян-
постоянного магнита. Например, если кусок магнитного желез-
железняка (природный постоянный магнит Fe3O4 — химическое
соединение железа с кислородом) поместить в кучу мел-
мелких железных опилок и затем вытащить оттуда, то опилки,
9 Зак. 1180 — 257 —
в основном, двумя кучками («бороды») пристанут лишь
к его каким-то двум противоположным концам. Пытаясь
объяснить этот опытный факт, Кулон пришел к выводу,
что на концах постоянных магнитов сосредоточиваются
особые магнитные заряды. Места сосредоточения магнит-
магнитных зарядов были названы полюсами.
Различают два противоположных полюса магнита —
северный и южный. Северным называют тот полюс, кото-
которым магнит (если он может свободно вращаться) ориенти-
ориентируется к северному географическому полюсу Земли; юж-
южный полюс магнита повернут к южному полюсу Земли.
Для длинных и тонких постоянных магнитов (намагни-
(намагниченные спицы) Кулон экспериментально установил закон,
аналогичный его же закону в электростатике.
Два точечных магнитных полюса взаимодействуют
друг с другом с силой, прямо пропорциональной их маг-
магнитным зарядам (количествам магнетизма) и обратно про-
пропорциональной квадрату расстояния между ними:
Точечными считают такие магнитные полюсы, размеры
которых ничтожно малы по сравнению с расстоянием
между ними. При этом оба взаимодействующих магнита
должны быть достаточно длинными (неизмеримо длинее
расстояния между полюсами). В противном случае нельзя
будет пренебречь взаимодействием между рассматривае-
рассматриваемыми полюсами разных магнитов и вторыми полюсами
этих магнитов. Поэтому говорят, что закон Кулона при-
приблизительно справедлив, для тонких и длинных постоян-
постоянных магнитов. В таких магнитах магнитные заряды прак-
практически сосредоточены на их концах.
В физической системе СГСМ выбирают единицу коли-
количества магнетизма таким образом, чтобы коэффициент k
в формуле A) был безразмерной величиной, равной еди-
единице. В этом случае из формулы A) вытекает следующее
определение единицы магнитного заряда: за единицу маг-
магнитного заряда принимается такое количество магнетизма,
которое- действует в вакууме на равное ему количество
магнетизма с силой в 1 дин с расстояния в 1 см.
Эту единицу принято называть единицей количества
магнетизма СГСМ (ед. СГСМт). Согласно формуле A),
размерность этой единицы такая же, как и у абсолютной
— 258 —
электростатической единицы количества электричества
в электростатике.
Определяя напряженность магнитного поля аналогично
напряженности электрического поля как величину, чис-
численно равную силе, с которой поле действует на точечный
северный полюс единичного магнитного заряда, можно
записать, что
т '
где т — магнитный заряд точечного северного полюса,
внесенного в поле. Если М — магнитный заряд полюса,
образовавшего данное поле, то (согласно формуле Кулона)
Я = 4' B)
где г — расстояние между полюсами т и М, т. е. расстоя-
расстояние от М до точки, в которой определяется напряжен-
напряженность Я. Поскольку напряженность — векторная вели-
величина, то из ее определения следует, что за положительное
направление вектора напряженности магнитного поля
принимается направление, в котором ориентируется своим
северным полюсом достаточно малый магнитик, помещен-
помещенный в данную область поля. На рис. 77, а изображено
поле прямого постоянного магнита. Стрелочки (маленькие
«пробные» магнитики) указывают своими острыми кон-
концами (северные полюсы) направление магнитных силовых
линий. Как и в электростатике, направление магнитных
силовых линий или направление поля определяется в каж-
каждой точке направлением вектора Н, который лежит на
касательной к силовой линии. Необходимо помнить, что
силовая линия магнитного поля — воображаемая кривая,
в каждой точке которой вектор напряженности Н направ-
направлен по касательной. При помощи силовых линий можно
схематически представлять себе конфигурацию реального
магнитного поля. Так, конфигурация (форма) поля от
прямого постоянного магнита, выявленная при помощи
мелких железных опилок (фотография на рис. 77, а),
схематически изображена на рис. 77, б силовыми линиями.
На рис. 77, а, б видно, что силовые линии (линии напря-
напряженности) кажутся выходящими из северного полюса
магнита и входящими в его южный полюс. Силовые линии
магнитного поля нигде не соприкасаются и не пересе-
— 259 —
а)
Рис. 77
каются. Изображая магнитное поле схематически, наносят
на карту силовые линии так, чтобы число их было про-
пропорционально соответствующей величине напряженности
поля. При этом руководствуются следующим условием:
если сквозь мысленно выделенную площадку в 1 см2 по
перпендикуляру к ней проходит лишь одна силовая ли-
линия, то напряженность в этой области поля равна единице
напряженности в системе СГСМ. Эта единица называется
эрстедом (э).
Из выражений A) и B) вытекает важная для решения
задач формула
F = mHf C)
где F — сила, действующая на магнитный полюс т, по-
помещенный в некоторую точку поля с напряженностью Я.
— 260 —
Задача ИЗ.
Определить напряженность поля в точке С, удаленной
на одинаковое расстояние г от каждого из полюсов по-
постоянного прямого магнита. Длина магнита /, магнитный
заряд каждого из полюсов т.
Решение. Делаем чертеж (рис. 78). Искомая величина Н
является геометрической суммой напряженностей HN и
Hs. Однако можно выразить величину Н через значения HN
и Hs, используя подобие треугольников NCS и CHNH:
Hi Tj i HN
-77— — * n = I .
HN r ' r
Величина HN = -^- и, следовательно,
Произведение магнитного заряда одного из полюсов
на длину магнита (ml) называют магнитным моментом
данного магнита. Полагая ml = p> полученный ответ
запишем в виде
Если магнит недостаточно тонкий и длинный, то его
способность притягивать железные опилки заметно про-
проявляется и в областях между концами магнита и пол-
полностью исчезает только в середине. Однако если бы для
такого магнита (короткого бруска) ре-
решалась только что разобранная задача,
то был бы получен ответ #'=—,
где А — некоторая постоянная, харак-
характеризующая геометрию и величину
магнитных зарядов данного магнита.
Из эксперимента известно, что по-
стоянный магнит и соленоид с током
эквиваленты в том смысле, что они
образуют во внешнем пространстве маг-
магнитные поля, одинаковые по своей кон-
конфигурации. При некотором дополни-
дополнительном условии эти поля одинаковы
не только в качественном, но и в ко-
количественном отношении. Так, если Рис. 78
^
\
\
г\
1
1
1
\ 1
/
/
/л
+)Н
— 261 —
бы задача № 113 решалась для соленоида, по которому
течет некоторый постоянный ток, то был бы получен
В
ответ Н" =
где В — постоянная, характеризующая
геометрию соленоида и величину магнитных зарядов на
его полюсах. Величины р, А и В объединяются одним
общим термином — магнитный момент магнита (р и Л),
соленоида (В), намагниченной тонкой пластинки и экви-
эквивалентного ей по своим магнитным свойствам витка, по
которому течет постоянный ток.
Магнитный момент следует рассматривать как вели-
величину векторную. За положительное направление магнит-
магнитного момента магнита (тонкой спицы, соленоида с током,
намагниченной тонкой пластинки, витка с током) считают
направление вдоль магнита от его южного полюса к се-
северному.
Задача № ИЗ решается так же, как аналогичная ей
электростатическая задача.
Для наглядности рекомендуем решить задачу № 113,
считая что задан не магнит, а электрический диполь
(тонкая изолированная палочка длины /, на концах кото-
которой находятся точечные электрические заряды +q и —q).
И чертеж, и решение, и, наконец, ответ Г-^-, где ql —
момент диполя, тоже считающийся векторной величи-
величиной, имеющей направление вдоль диполя от —q к -\-q) —
все аналогично задаче № 113, так как при решении фор-
формально используется закон Кулона для тонких длинных
магнитов, т. е. закон, в математическом отношении совпа-
совпадающий с законом Кулона в электростатике. Нельзя,
конечно, утверждать, что
магнитное и электростати-
электростатическое поля изучаются и
описываются одинаковыми
методами, так как всегда
следует помнить, что для
электрических точечных
зарядов закон Кулона
выполняется с любой сте-
степенью точности, а для маг-
магнитов—весьма приближен-
приближенно (достаточно хорошо
Рис. 79 лишь для ряда практиче-
— 262 —
ских целей). Поэтому в ряде практических случаев можно,
например, опускать вопрос о замкнутости магнитных сило-
силовых линий и, считая их выходящими из северного магнит-
магнитного полюса и входящими в южный, сравнивать с силовыми
линиями электростатического поля, которые начинаются
на положительных зарядах и заканчиваются на отрица-
отрицательных. Если взять плоские наконечники магнита до-
достаточно большой площади (рис. 79) и сблизить их так,
чтобы зазор стал много меньше линейных размеров пла-
пластин, то поле между ними можно считать однородным, и
проводить расчеты точно так же, как будто перед нами не
магнит, а плоский конденсатор.
Задача 114.
Постоянный магнит в форме подковы с круглым се-
сечением, диаметр которого d = 2 см, способен удержать
якорь с грузом общим весом Р = 981 н. Чему равна на-
напряженность Н магнитного поля вблизи полюсов? Чему
равна плотность а магнитных зарядов на полюсах?
Решение. Делаем чертеж (рис. 80). Под якорем в дан-
данном случае нужно понимать кусок мягкого железа (хо-
(хорошо намагничивается в присутствии внешнего поля и
практически полностью размагничивается при удалении
из поля), к которому приделано приспособление для
переноса груза. В результате индукционного намагничи-
намагничивания на концах якоря, прижатого к полюсам магнита,
возникают полюсы, по знаку противоположные полюсам
магнита (рис. 80).
Напряженность электростатического поля вблизи
равномерно заряженной плоскости равна 2яа, где а —
плотность электрического заряда. Аналогично напряжен-
напряженность магнитного г*оля вблизи намагниченной пластинки
Я = 2ла, где а — плотность фиктивных
магнитных зарядов.
В данном случае якорь, намагничиваясь,
прижимается к магниту, и затем на якорь
навешивают груз Р. В очень узком зазоре
между полюсами магнита и якоря возникает
однородное поле напряженности 4ла. Из
условия задачи, по-видимому, следует, что
груз Р по весу предельно допустимый. Силу Р
можно разложить на две параллельные Рис. 80
— 263 —
I
составляющие, приложенные к полюсам якоря и равные по
величине Р/2. Следовательно, сила, с которой взаимодей-
взаимодействует каждый полюс магнита с полюсом якоря, равна Р/2.
Известно, что в плоском конденсаторе одна пластина при-
ОЕ
тягивает другую с силой -у-, где Q — заряд каждой
пластины, Е — напряженность электростатического поля.
Поэтому можно записать (опять по аналогии), что
_Р_ __ т4пв
где т — магнитная масса каждого полюса (магнита и
якоря). Полагая т = oS, где S — площадь любого по-
полюса магнита, получаем следующие уравнения:
Н = 4яст,
откуда
Р =
Производим вычисления:
I / сек
f == У Л OQ2 п*Л
500 ги -см-ч*-сек-1 = 500 СГСМО;
1/ З.Н-98Ы05 ^
= 2 г ' оМ—т^-
о1 слс
6260 ги • си<~'/г • сек~х = 6260 э.
Найденное значение Я является напряженностью
однородного поля в узком зазоре между полюсами маг-
магнита и якорем. Если убрать якорь и допустить, что си-
силовые линии магнита исходят только из торцов подковы
(но не с ее боков), то напряженность поля вблизи полюсов
опять-таки можно считать равной 4по = 6260 э.
В качестве аналогии можно сослаться на плоский кон-
конденсатор, у,которого пластины разведены так, что лежат
на одной горизонтальной прямой. Напряженность вблизи
таких пластин, где поле можно Считать однородным,
остается равной 4зта.
Из сказанного нетрудно сделать вывод, что число
силовых линий, исходящих из полюса постоянного маг-
магнита (подковообразного или прямого), равно 4шп, где т —
заряд магнитного полюса.
— 264 —
§ 30. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Вокруг проводника, по которому течет электрический
ток, возникает магнитное поле, качественно совершенно
такое же, как и магнитные поля постоянных магнитов.
И ток, и постоянный магнит вызывают особое и притом
одинаковое состояние окружающего их пространства.
Этот вывод следует из эксперимента, поскольку все изве-
известные нам опыты протекают совершенно одинаково как
в тех, так и в других полях. Однако при некоторых опре-
определенных условиях имеет место и количественное совпа-
совпадение соответствующих величин, характеризующих маг-
магнитные поля токов и постоянных магнитов. При разборе
задачи № 113 указывалось, что магнитные поля прямого
магнита и соленоида, по которому течет постоянный ток,
не только одинаковы (во внешнем пространстве) по своей
конфигурации, но и совершенно тождественны (в каче-
качественном и количественном отношениях), если магнитный
момент соленоида с током равен магнитному моменту
постоянного магнита. То же самое можно сказать относи-
относительно намагниченного листка и витка с током (на рис. 81
показано магнитное поле витка кругового тока или на-
намагниченного тонкого листка). И листок, и виток харак-
характеризуются своими магнитными моментами, а формы их
полей такие же, как и у постоянного магнита, и у соле-
соленоида. Поэтому все эти четыре тела испытывают в по-
посторонних (внешних) магнитных полях одинаковое, ориен-
ориентирующее воздействие. Все эти тела взаимодействуют друг
с другом через те магнитные поля, которые ими образо-
образованы. В § 29 для количественной оценки действия по-
постоянных магнитов друг на
друга использовался при-
приближенный закон Кулона.
Конечно, этот закон можно
применять и к расчету вза-
взаимодействия двух тонких и
длинных соленоидов с током,
так как их поля такие же,
как и у намагниченных
спиц. Однако взаимодействие
двух проводников с током
в общем случае описывается
лишь весьма громоздким и Рис. 81
— 265 —
сложным законом Ампера. Раз-
^з берем только три частных слу-
случая из закона Ампера.
1. Формула Ампера
для проводника с то-
Рис- 82 ком в магнитном поле.
На каждый элемент проводни-
проводника А/ в магнитном поле действует сила
А/ = ЫН A/ sin ее, D)
где Я — напряженность поля, которую на достаточно
малой длине проводника А/ можно считать величиной
постоянной, / — сила тока в проводнике, а — угол между
направлениями / и Я, k — коэффициент пропорциональ-
пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
Из формулы D) следует, что на проводник с током дей-
действует лишь та составляющая Я, которая перпендику-
перпендикулярна к рассматриваемому участку проводника (рис. 82).
Составляющая Яц, параллельная направлению /, ника-
никакого действия на проводник с током не оказывает. Сила А/
всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат
проводник с током и вектор напряженности Н магнитного
поля. Направление силы А/ определяется либо по правилу
левой руки, либо по правилу буравчика.
Задача 115.
В плоскости настоящего листа расположена квадрат-
квадратная рамка со стороной /, по которой течет ток силой /.
Параллельно плоскости рамки направлено однородное
магнитное поле напряженностью Я. Какие силы дей-
действуют на рамку? Как будет двигаться paivka?
Решение. Делаем чертеж (рис. 83, а). В момент, когда
рамка находится в плоскости чертежа, на нее действует
пара сил /, /. Обе силы / перпендикулярны плоскости
рамки. На две другие стороны рамки (токи параллельны
направлению Н) никакие силы со стороны поля не дей-
действуют. Величина действующего механического момента
равна
М =//,
однако
/ = klHl и М = klHl2.
— 266 ->
о)-
Рис. 83
Величину II2 (произведение силы тока на площадь
рамки) называют магнитным моментом рамки р. Магнит-
Магнитному моменту условно приписывают направление от юж-
южного полюса рамки к северному перпендикулярно ее пло-
плоскости. Это направление легко может быть определено
по правилу буравчика. Таким образом, магнитный мо-
момент р рассматривается как векторная величина. Поэтому
момент пары сил /, / обычно записывают в виде
М = kpH.
Нетрудно видеть, (убедитесь в этом самостоятельно),
что на магнитную стрелку, расположенную перпенди-
перпендикулярно направлению Н, также действует пара сил, соз-
создающая вращающий момент
М' = kp'Hy
где р' — магнитный момент магнитной стрелки (см. за-
задачу № 113).
Итак, момент сил /, / будет поворачивать рамку (или
магнитную стрелку) таким образом, чтобы направления
векторов Н и р совпали. Рассмотрим силы, действующие
на рамку, когда ее момент р образует с направлением Н
некоторый угол а (рис. 83, б). На боковые стороны,
перпендикулярные направлению Н, по-прежнему дей-
действуют силы / и /, ориентированные перпендикулярно
плоскости чертежа. Однако теперь момент, создаваемый
этими силами, равен (рис. 83, б):
М = kfl sin a = kpH sin a.
Составляющая Н± (перпендикулярная плоскости рамки)
вызывает дополнительные силы, растягивающие рамку
— 267 —
во все стороны. На рис. 83, б ©ти силы обозначены
символами /2. Итак, рамка вращается под действием
момента, величина которого непрерывно уменьшается
от некоторого максимального значения Мтах до нуля.
Одновременно возрастают (от нуля) до некоторой мак-
максимальной величины / силы /2, разрывающие рамку.
В результате рамка приводится полем в такое положение,
когда направление ее магнитного момента р совпадает
с направлением поля Н (/_ а = 0). Точно такое же ориен-
ориентирующее воздействие со стороны поля испытывает и
магнитная стрелка, магнитный момент которой перво-
первоначально был ориентирован под углом a = 90° к на-
направлению Н. Момент сил, ориентирующих стрелку
точно так же, как и рамку, равен
М' = kp'H sin a.
И рамка, и стрелка в конечном счете приобретут со-
состояние устойчивого равновесия, расположившись так,
чтобы угол между р и Н стал равным нулю. В этом поло-
положении на рамку во все четыре стороны будут действовать
силы, по величине равные /, стремящиеся превратить ее
в кольцо..
Задача 116.
Как будет вести себя подвижная рамка с током в не-
неоднородном магнитном поле?
Решение. Изобразим графически неоднородное магнит-
магнитное поле (например, поле вблизи полюса прямого постоян-
постоянного магцита) и поместим в него рамку с током, подвешен-
подвешенную на гибком проводе (рис. 84, а). Рамка может пере-
передвигаться в любом направлении. Основываясь на выводах
предыдущей задачи, можно утверждать, что на рамку
действует ориентирующая ее по направлению внешнего
поля пара сил (/^ и f2). Однако эти силы не равны по вели-
величине, так как размеры рамки достаточно велики, и не-1
однородностью поля на расстоянии, равном длине стороны
рамки, пренебречь нельзя. Тем не менее, силы fx и /2
(пусть fx > /2) повернут рамку (точно так же, как и маг-
магнитную стрелку) по полю, обратив ее северный полюс
к южному полюсу постоянного магнита. Однако в про-
процессе поворота на рамку будут действовать (как и в случае
предыдущей задачи) все возрастающие по величине силы,
стремящиеся разорвать ее на части. Но, в отличие от пре-
предыдущего случая силы, поворачивающие и разрывающие
рамку, не исчерпывают полностью ее взаимодействия
с внешним полем. Если обратиться к рис. 84, б (для про-
простоты рассматривается случай, когда рамка полностью
повернулась по полю), то нетрудно заметить, что силы
Ампера, действующие на нее, ориентированы таким обра-
образом (они перпендикулярны к току и к силовым линиям
поля), что их составляющие, лежащие в плоскости рамки,
разрывают рамку во все стороны, тогда как составляю-
составляющие,, перпендикулярные к плоскости рамки, втягивают
ее в область, где силовые линии внешнего магнитного поля
гуще. Таким образом, рамка, поворачиваясь по полю и
испытывая растяжение, одновременно движется к полюсу
и в конце концов наденется на него.
Задача 117.
Сила Ампера, действующая на проводник с током в маг-
магнитном поле, возникает следующим образом. Электроны,
перемещающиеся вдоль проводника, отклоняются маг-
магнитным полем и толкают проводник в остов его кристал-
кристаллической решетки. В результате проводник в целом при-
приобретает направленное движение. Сила, действующая со
стороны магнитного поля на каждый движущийся элек-
электрон, называется силой Лоренца. Зная силу Ампера (AF =
= klH A/ sin а), вычислить силу Лоренца.
Решение. Необходимо конкретно представить себе по-
поведение микрообъекта, зная лишь закономерность, при-
присущую макрообъекту. Иными словами, в заданной фор-
формуле для AF какую-то величину нужно выразить через
величины, непосредственно связанные с электронами.
Согласно определению силы тока, запишем / = —~.
За время At через поперечное сечение проводника S прой-
— 269 —
дет заряд AQ, равный количеству
электронов, находящихся в объеме
S'vAt, где v — скорость электронов
(рис. 85). Если обозначить через п0
Рис g5 ' ' концентрацию электронов (число
электронов в единице объема), а
через е — заряд электрона, то можно положить
AQ = noeSvAt.
Тогда
/ = noeSv
и
AF = knoeSvH A/ sin a,
где n0S A/ — число электронов, содержащихся в выделен-
выделенном объеме S А/ и проходящих за время At через сечение
проводника S. AF есть сила, действующая на число элек-
электронов n0S А/. Следовательно, сила, действующая на один
электрон, есть сила Лоренца, равная
д/ AF
n0SM '
т. е.
А/ = kevH sin a. E)
Вернемся к рис. 82. Синус угла а между направле-
направлениями / и Н входит в формулу Ампера D), из которой
получено выражение E). Однако за направление / во всех
правилах берется направление от плюса к минусу источ-
источника. В действительности же электроны движутся в на-
направлении, противоположном направлению /, указанном
на рис. 82. Направленное движение электронов состав-
составляет в этом случае с вектором Н угол A80 — а). Однако
sin A80 — а) = sin а, и поэтому в формуле E) угол а
можно рассматривать как угол между направлением по-
полета электрона и направлением Н. Направление силы
Лоренца, конечно, совпадает с .направлением действия
силы Ампера. Однако для определения направления силы
Лоренца необходимо вытянутые пальцы ,левой руки рас-
располагать не по направлению движения электрона, а про-
против него, учитывая, что правило левой руки, как и другие
правила физики, формулируются для так называемого
технического направления тока (от плюса к минусу источ-
источника).
— 270 —
Из выражения E) следует, что сила Лоренца не дей-
действует на заряд, покоящийся в магнитном поле (v =T)),
или на заряд, движущийся вдоль силовой линии поля
(sin а = 0). Кроме того, выражение E) справедливо не
только для электронов и вообще для отрицательных за-
зарядов, но и для положительных зарядов, движущихся
поперек силовых линий магнитного поля.
Задача 118.
Как будет двигаться электрон в однородном магнитном
поле напряженности Я, если он приобрел скорость v
перпендикулярно к силовым линиям поля?
Решение. Предположим для определенности, что одно-
однородное поле направлено параллельно плоскости настоя-
настоящего листа снизу вверх и что электрон приобрел скорость v
параллельно листу слева направо. Применяя правило
левой руки, находим, что в начальный момент сила,
действующая на электрон, перпендикулярна к плоскости
листа и направлена от нас за лист. Поскольку во все время
движения электрона сила Лоренца перпендикулярна
к направлению его движения, т. е. к вектору скорости v
(и к силовым линиям поля), электрон будет двигаться
по окружности некоторого радиуса R (против часовой
стрелки, если смотреть на это движение вдоль листа
сверху вниз). Сила Лоренца, таким образом, играет в дан-
данном случае роль центростремительной силы, т. е. ^- =
= kevH, откуда находим радиус орбиты
р mv
где т — масса электрона.
2. Закон Би о—С авар а—Л а п л а с а уста-
установлен эмпирическим путем в результате обобщения экс-
экспериментальных данных. В дифференциальной форме
этот закон применим к проводнику любой формы, по ко-
которому течет постоянный ток /. Пусть А/ — элемент
длины проводника любой формы. Тогда напряженность
магнитного поля ДЯ, образованного от элемента Д/ на
расстоянии г, выразится формулой
и l^l sin а ,а v
Й!—^ , F а)
— 271 —
где а — угол между направлением тока / в элементе Д/
и радиусом г (рис. 86). Вектор напряженности ДН пер-
перпендикулярен к плоскости', в которой лежат элемент А/
и радиус г, а направление ДН находится по правилу
буравчика (поступательное движение буравчика должно
срвпадать с направлением /, тогда направление вращения
ручки буравчика указывает направление ДН). Для опре-
определения величины ДЯ выбирается единица измерения та-
таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности kx
был безразмерной величиной, равной единице. Тогда
. F6)
Однако экспериментально невозможно вычислить напря-
напряженность от какого-то одного элемента Д/ произвольного
проводника. Поэтому единицу напряженности определяют
не из выражения F6), а из некоторых частных случаев
закона Био—Савара—Лапласа. Рассмотрим один из этих
частных случаев подробнее.
Дан бесконечно длинный прямой провод, по которому
течет ток силой /. Определим напряженность поля в не-
некоторой точке О, не лежащей на проводе.
Выделим на проводе бесконечно малый участок dl
(рис. 87). Ввиду того, что dl— бесконечно мало, можно
считать ОС = О А = г. Согласно закону Био—Савара—
Лапласа, напряженность от участка dl равна
dH =
Idl sin a
Однако dl =
AB
тогда как AB — бесконечно малая
sin a*
хорда, эквивалентная дуге радиуса г, т. е.
г da
AB = r da и dl =
sin a
Рис. 86
П>
Рис. 87
— 2Г2 —
Подставляя найденное значение dl в формулу закона,
получаем
Однако r^Cos(90°-a) =^h и' следовательно,
ПЬскольку подобных элементов на рассматриваемом
проводе бесконечно много, напряженность в точке О от
всего провода выразится интегралом:
я
/ Г 2/
~~ >*о J ~~ го *
О
(Предел интегрирования от 0 до я выбран потому, что
все элементы dl, расположенные от г0 вверх, укладываются
в интервал изменения а от 0 до -^-, а все элементы dl,
расположенные ниже г0, укладываются в интервале изме-
изменения а от у до я. Значит, при суммировании всех
отрезков dl необходимо брать интервал изменения а от О
до я.) Таким образом, напряженность в любой точке О,
отстоящей на расстоянии г от прямого бесконечно длин-
длинного провода, равна
Выражение G) является интегральной формой закона
Био—Савара—Лапласа для данного частного случая.
Для решения задач необходимо знать еще два частных
случая:
напряженность магнитного поля в центре кольца ра-
радиуса г, по которому циркулирует ток /, равна
н = ^г; (8)
напряженность поля на оси бесконечно длинного тон-
тонкого соленоида будет
Н = 4яя/, (9)
— 273 —
где п — число витков, приходящихся на единицу длины
соленоида. Если поперечное сечение соленоида соизмеримо
с его длиной, то выражение (9), строго говоря, нельзя
применять даже для средней точки соленоида, лежащей
на его оси. Чем тоньше и длиннее соленоид, тем на большем
серединном интервале может быть с хорошей степенью
точности применено выражение (9). На концах тонкого
и длинного соленоида напряженность поля в два раза
меньше, чем в его середине.
Если измерять все величины, входящие в выражение D)
в системе СГСЭ, то коэффициент пропорциональности этого
выражения k уже не может быть выбран произвольно
(как это было сделано в выражении F) для коэффициента kx
при определении единицы измерения для АН). Коэффи-
Коэффициент k в данном случае приобретает вполне определенную
величину и размерность
k
где с — электродинамическая постоянная, численно рав-
равная скорости света в вакууме, измеренной в сантиметрах
в секунду. Таким образом, сила по закону Ампера равна
Д/ = J^/дЛ/sin а, A0)
где / — сила тока в единицах СГСЭ7, Н — напряженность
поля в эрстедах, А/ — элемент длины провода в санти-
сантиметрах, А/ — сила в динах.
Таким образом, в выражении A0) все величины изме-
измерены в абсолютной электростатической системе единиц СГС
(симметричной).
3. Рассмотрим взаимодействие двух бесконечно длин-
длинных прямых проводников, по которым текут токи 1г и /2.
Пусть расстояние между проводниками равно s, а токи 1г
и /2 текут параллельно друг другу в противоположных
направлениях (рис. 88). Можно с полным равноправием
считать, что либо участок проводника длины I с током /2
находится в магнитном поле, созданном током Ilt либо
ток 1Х находится в магнитном поле, созданном током /2.
В первом случае на участок проводника с током /2 дей-
действует со стороны магнитного поля тока 1Х сила Ампера
- 274 -
а во втором случае амперова сила, дей-
действующая на участок / проводника
с током Il9 будет
f - 1 т и 1
/21 — ~^Г 1\пг1-
Однако, согласно формуле G), ~*%
имеем
Следовательно,
1 2IJ I Рис 88
/21 — /12 — "^2 g »
где силы f21 и /12, равные по величине, направлены в про-
противоположные стороны. Направления сил /21 и /12 опре-
определяются, как обычно, по правилу буравчика или по пра-
правилу левой руки.
Итак, проводники, по которым текут параллельные
токи противоположных" направлений, отталкиваются.
Нетрудно показать, что если 1Х и /2 текут по проводникам
в одном направлении, то эти проводники притягиваются.
Это и есть закон Ампера для параллельных токов. Сле-
Следовательно, сила взаимодействия параллельных токов
(сила» с которой два параллельных тока притягиваются
или отталкиваются) записывается в системе СГС (симме-
(симметричной) выражением
При решении задач по электромагнетизму полезно
помнить следующие соотношения между единицами си-
систем СГСЭ и СГСМ:
1 ед. СГСМ, = 3-Ю10 ед. СГСЭ/ = 10 а.
Следовательно,
1 ед. СГСМ, = 3-1010 ед. СГСЭ, = 10 к;
— 275 —
ч^ у
Рис. 89
Задача 119.
По двум длинным параллельным проводникам, нахо-
находящимся на расстоянии d = 5 см друг от друга, текут
в противоположных направлениях токи по 10 а. Опреде-
Определить напряженность магнитного поля: 1) в точке, отстоя-
отстоящей на расстоянии 2 см от одного и 3 см от другого провода;
2) в точке, находящейся на расстоянии 5 см от обоих
проводов.
Решение. 1. Делаем чертеж (рис. 89, а), из которого
непосредственно вытекает, что искомая напряженность
согласно формуле G) равна
Н = Г + Т" = 2*1 СГСМ/ (yTJ + 2"W) **l>7 9-
2. Делаем чертеж (рис. 89, б), изображая схематически
магнитные поля каждого провода, их напряженности, по
величине равные Я в заданной точке Л, и искомую напря-
напряженность Нх (в точке В результирующая напряженность
также равна Нх). Теперь из рис. 89, б следует, что
Щ- = #cos60°, Нх = Н = Ц- == 0,4 5.
Задача У20.
Магнитный полюс заряда m = 4 СГСМт обводится
вокруг прямых проводников, по которым течет ток / =
= 2 а, как указано на рис. 901}. Какая работа совершается
в случаях а, б, в?
^ Знак «плюс» в кружке обозначает ток, уходящий за чертеж пер-
перпендикулярно к нему; знак «тире» в кружке — ток, текущий от чертежа
к нам перпендикулярно чертежу.
— 276 -,
Решение, а) Направле-
Направление, в котором проводник
с током обводится магнит-
магнитным полюсом, совпадает
в каждой точке пути с на-
направлением напряженно-
напряженности Н магнитного поля.
Следовательно, работа по
перемещению магнитного
полюса совершается сила-
силами магнитного поля тока
где F = тН, a s = 2nR.
! \ (
cW'W;
Рис. 90
вычисляется по формуле
F-s,
Однако Н =
2/
и окончательно получим
Аг = 4ят/ == 4.3,14-4СГСМт.2- Ю^СГСМ, ^10 зрг.
б) Легко видеть, что работа в этом случае равна удвоен-
удвоенному значению работы А19 совершенной в первом случае,
т. е.
А 2 ss 20 эрг.
Посмотрим, с какими видами энергии связаны работы Ах
и А2. Поскольку и та, и другая работа совершается си-
силами магнитного поля тока, то непосредственно расхо-
расходуется энергия магнитного поля. Однако убыль энергии
магнитного поля непрерывно восполняется за счет энер-
энергии источника тока. Таким образом, потенциальная элек-
электрическая энергия источника при замыкании электриче-
электрической цепи расходуется на образование магнитного поля
и на сообщение кинетической энергии электронам. При
установившемся постоянном токе энергия-источника тра-
тратится только на перемещение электронов вдоль проводника
(на преодоление омического сопротивления). Случайные
перемещения типа а) и б) осуществляются также за счет
источника. Когда цепь размыкают, магнитное поле исче-
исчезает, а его энергия превращается в энергию кратковре-
кратковременного тока, так называемого экстратока размыкания,
наблюдаемого в виде искры, проскакиваемой между раз-
разрываемыми контактами.
в) На этот раз проводник, по которому ток течет за
чертеж, обводится магнитным лолюсом в направлении,
— 277 —
совпадающем с направлением напряженности его магнит-
магнитного поля, тогда как.проводник, по которому ток течет
«к нам», обводится в направлении, противоположном
направлению напряженности его магнитного поля. В пер-
первом случае совершается работа 4я/л/ силами поля (берем
эту работу со знаком плюс), а во втором случае работа,
равная 4ят/, совершается против сил магнитного поля
тока (берем эту работу со знаком минус). В результате
полная работа
Л3 = 4ят/ — 4ят/ = 0.
На основании этого результата делаем следующий вывод. При
обводе первого проводника работа совершается силами магнитного
поля, созданного этим проводником за счет энергии источника. Однако
одновременно обводится и второй проводник, причем совершается такая
же по величине работа, но против сил магнитного поля, созданного
этим проводником. В результате компенсируется потеря энергии источ-
источника. Аналогично происходит и с сжатой пружиной. Распрямляясь,
пружина совершает работу над внешним телом за счет своей потен-
потенциальной энергии. Когда пружину вновь сжимают до начальной длины,
совершаемая работа против силы сжатия пружины переходит вновь
в ее потенциальную энергию.
Остановимся несколько подробнее на полученных
результатах. Работа по обводу магнитным полюсом пря-
прямого проводника с током (и в направлении, совпадающем
с направлением напряженности поля, и в противополож-
противоположном направлении) равна
А = 4ят/ A2)
или
А = 2-2я-т/,
где 2я — угол в радианной мере, соответствующий 360°.
Если обвод происходит лишь на длине, которой соответ-
соответствует центральный угол Дер, то совершаемая работа
АА = 2т/ Дф. A3)
Формула A3), полученная для прямого тока, спра-
справедлива для проводника с током любой формы.
Из формулы A2) вытекает, что работа, совершаемая
в магнитном поле по замкнутому контуру, не равна нулю,
если внутри контура имеется проводник с током, и равна
нулю, если замкнутый контур обхода не охватывает про-
проводник с током (/ = 0). В этом проявляется принципиаль-
— 278 —
ное отличие магнитного и электростатического полей.
Итак, вследствие замкнутости магнитных силовых линий
и отсутствия магнитных зарядов точкам магнитного поля
нельзя поставить в соответствие какие-то определенные
энергетические характеристики, аналогичные потенциаль-
потенциальным функциям гравитационного и электростатического
полей, а это означает, что работа в магнитном поле ста-
становится зависимой от формы пути.
Если контур обхода охватывает несколько токов /lf
/2, . . ., /ft, то выражение A2) принимает вид
п
А = 4лт 2 Л>
причем сумма сил токов составляется с учетом направле-
направления их течения. Так, в случае в) задачи № 120 обход
совершался по контуру «с» (рис. 90) так, что два тока +/
и —/ попадали внутрь контура: В результате работа,
связанная с таким обходом, оказалась равной нулю
[А = 4лтA — I) =0].
Задача 121.
Определить напряженность магнитного поля Н на
оси тороида (рис. 91), по которому течет ток /.
Решение, Как видно из рис. 91, тороид можно получить,
соединив концами гибкий соленоид, ось симметрии, ко-
которого превращается в «окружность. Если провести маг-
магнитный полюс т вдоль этой окружности в направлении
действия напряженности поля Я, то, согласно A2), ра-
работа
А =
где N — число витков тороида. С другой стороны,
А = ttiHl,
где тН — сила, действующая
на магнитный полюс во время
обхода, / — длина окружности,
являющаяся осью тороида.
В результате получаем форму-
формулу, аналогичную (9):
Н = 4лп/,
где п — число витков тороида
на единицу его длины. Рис. 91
— 279 —
§ 31. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
1. Закон электромагнитной индукции Фарадея.
Правило Ленца
Для решения задач, как правило, удобнее пользо-
пользоваться законом электромагнитной индукции Фарадея
в формулировке Максвелла.
При изменении потока магнитной индукции через зам-
замкнутый проводящий контур, в этом контуре возникает
э. д. с. индукции, пропорциональная скорости изменения
магнитного потока:
Потоком магнитной индукции Ф через какой-либо
контур называют число магнитных силовых линий, про-
проходящих через площадь, ограниченную этим контуром.
Если силовые линии нормальны к рассматриваемой пло-
площадке S, то их число сквозь эту площадку Ф = BS,
«где В — магнитная индукция. В общем случае, когда
силовые линии не перпендикулярны к рассматриваемой
площадке S, можно записать
Ф = BS cos a, B)
где а — угол между нормалью к S и направлением сило-
силовых линий в точках их пересечения с площадкой.
Если рассматривать магнитное поле внутри какого-
либо однородного магнетика, то можно записать следу-
следующее соотношение между магнитной индукцией и напря-
напряженностью:
В = \io\iH, C)
где [к — магнитная проницаемость среды, [х0 — магнитная
постоянная (в системе СГСМ [х0 = 1).
Если в формуле A) положить k = 1, то э. д. с. индук-
индукции будет измеряться в вольтах, At — в сек, АФ — в ве-
берах (вебер — единица магнитного потока в СИ).
В СИ за единицу магнитной индукции принята тесла
(тл) — индукция такого однородного поля, в котором
поток магнитной индукции через площадку в 1 jk2 по
перпендикуляру к ней равен 1 вб. Если поток мкгнитной
индукции измерен в единицах системы СГСМ — максвел-
— 280 -г-
о)
б)
Рис. 92
лах A мкс = 1 э-см2), то поскольку 1 в = 108 СГСМф,
коэффициент пропорциональности k в формуле A) ста-
становится равным k = 10 ~8. В этом случае ?,• измеряется
в вольтах, At — в сек. Нетрудно показать, что 1 вб =
= 108 мкс.
Знак минус в выражении A) указывает направление
э.-д. с. индукции согласно правилу Ленца. Приведем две
формулировки этого правила.
1. Индукционный ток всегда возникает в таком на-
направлении, чтобы образованный им поток магнитной ин-
индукции через контур компенсировал изменение магнит-
магнитного потока, вызвавшего э. д. с. индукции.
2. Индукционные токи всегда направлены таким об-
образом, чтобы возникало противодействие тому движению,
которым они были вызваны.
Рассмотрим пример. Представим себе кольцо из про-
проволоки, укрепленное на куске пробки, плавающей в воде
(рис. 92). Если подносить северный полюс постоянного
магнита к кольцу, например, перпендикулярно его пло-
плоскости, то число магнитных силовых линий, проходящих
внутри кольца, возрастает. Е> результате в кольце возни-
возникает индукционный ток такого направления (рис. 92, а),
что его собственный магнитный поток компенсирует
(в данном случае уменьшает до прежней величины) маг-
магнитный поток от постоянного магнита. В результате на
стороне витка (кольца), обращенной к северному полюсу
магнита, возникает тоже северный полюс, противодей-
противодействующий дальнейшему продвижению магнита. Сила от-
отталкивания, возникающая между полюсами, приводит
— 281 —
в движение плавающий проволочный виток, заставляя
его плыть в сторону движения магнита. В случае, указан-
указанном на рис. 92, б, постоянный магнит, наоборот, отдаляют
от витка. Поток магнитной индукции через виток умень-
уменьшается, и в витке возникает ток, поле которого компенси-
компенсирует (восполняет) уменьшение числа силовых линий через
площадь витка. В результате на стороне витка, обращен-
обращенной к северному полюсу магнита, возникает южный гЮлюс,
противодействующий удалению магнита. Сила притяже-
притяжения /, действующая между полюсом магнита и витком,
заставляет виток плыть за магнитом.
Задача 122.
Катушка, состоящая из N = 100 витков с радиусами
а = 1 см, помещена между полюсами электромагнита пер-
перпендикулярно к его силовым линиям. Концы катушки при-
присоединены к прибору, который показывает, что при вы-
вынимании катушки из поля в ней протекает индуцирован-
индуцированный заряд Q = 6,28 • 10 к. Сопротивление катушки г =
= 50 ом, внутреннее сопротивление прибора Rx =
= 1550 ом. Определить напряженность поля между полю-
полюсами магнита.
Решение. При вынимании катушки из поля в каж-
каждом ее витке возникает э. д. с. индукции <§,- = тт- ,
где At — время выноса катушки из поля, ДФ — поток
магнитной индукции через катушку в междуполюсном
пространстве магнита.
Во всей катушке возникает э. д. с. индукции
Изменение величины потока равно
ДФ = |i|ji0A#-S,
где [i0 = 1 в системе СГСМ, \i = 1 для воздуха, ДЯ — иско-
искомая величина, S — площадь каждого витка, равная па2.
Величина Д/ неизвестна, и, естественно, для Si необходимо
написать еще одно соотношение. Поскольку в цепи нет
источника тока, можно воспользоваться законом Ома для
участка цепи: \St\ = //?, где / — сила индукционного тока,
— 282 —
R — полное сопротивление цепи, равное г + R\. Так
как / = -~-, получаем соотношение
откуда
Задача 123.
В катушке без железного сердечника, имеющей со =
= 1000 витков диаметром d = 10 см каждый, сила тока
равномерно изменяется на 0,1 а за 1 сек. Длина катушки
/ = 50 см. На катушку надето кольцо из медной проволоки
сечением Sx = 2 мм2. Внутренний диаметр кольца можно
принять равным d = 10 см. Определить силу индукцион-
индукционного тока в кольце.
Решение. Поскольку ток в катушке меняется равно-
равномерно, в медном кольце возникает постоянный индукцион-
индукционный ток, который будет циркулировать в течение одной
секунды 1К Согласно закону Ома для замкнутой цепи, не
содержащей источника тока,
где Si — э. д. с. индукции, R — сопротивление медного
кольца, которое определяется по формуле R = Q-?-9
где /х — длина медного кольца.
Согласно A) запишем
i г» i АФ
где ДФ — изменение потока магнитной индукции Ф, Ф —
поток магнитной индукции через площадь, ограниченную
медным кольцом, до начала изменения силы тока / в ка-
катушке. АФ = AS-S, где Д5 — изменение магнитной
^ Поток магнитной индукции Ф, пронизывающий катушку, про-
пропорционален силе тока в катушке:
Ф= L/,
где L — коэффициент индуктивности катушки.
- 283 —
индукции внутри катушки за время At = 1 сек. Магнит^
ная индукция внутри катушки (соленоида)
следовательно,
ДВ-4я-^-Д/,
где Д/ = 0,1 а. Итак,
где
(здесьр — 1,7-10~8 ож-jw — удельное сопротивление меди).
Следовательно,
В катушке с сопротивлением /?, имеющей со витков,
находится постоянный магнит с магнитными зарядами
на полюсах т. Поскольку магнит гораздо длиннее катушки
можно считать, что катушку пронизывают все его сило-
силовые линии. Определить величину заряда, который про-
протечет по виткам катушки при вытаскивании магнита.
Решение. Искомый заряд q =. /• Д/, где / — сила ин-
индукционного тока, Д/ — время протекания тока (время,
за которое полностью выдвигается магнит). Величину /
можно выразить через э. д. с. индукции §ь и сопротивле-
сопротивление катушки R по закону Ома для участка цепи; однако
для этого необходимо допустить, что / = const, т. е. что
магнит вынимают каким-то вполне определенным движе-
движением. Поскольку такого допущения в условии не делается,
поставленная задача фактически упрощается, так как рас-
рассматривается ее частный случай.
Итак, / = -L^i- = со. . Изменение магнитного
потока через катушку ДФ = ДВ-S, где AS — изменение
— 284 —
магнитной индукции поля от величины В, когда магнит
находится в катушке, до нуля, когда магнит вынули,
т. е. ДФ = B-S. Не имеет смысла выражать В через /,
как это делалось в предыдущей задаче, поскольку надо
найти именно величину / из формулы / = ев- ^ * . Сле-
Следовательно, В необходимо выразить через какую-то дру-
другую величину., В разных областях пространства напря-
напряженность поля, создаваемого магнитом, различна, так как
различна густота силовых линий, проведенных от гёблюса
магнита. В задаче следует определить число силовых ли-
линий ДФ, пронизывающих все витки катушки. Значит,
можно считать, что Я — это напряженность поля вблизи
полюса, S (в формуле ДФ = B-S) является площадью
конца магнита, а не площадью катушки, которая может
быть много больше S. Действительно, силовые линии
вблизи конца магнита можно считать равномерно распре-
распределенными по площади полюса S, но тогда (см. за-
задачу № 114) В = 4яа, где а — плотность магнитного за-
заряда полюса. Поскольку g*S = m, получаем известный
уже по задаче № 114 результат:
ДФ = 4ят.
Итак,
j Ыт
I =¦ со» п А .¦>
а искомая величина заряда
4ясот
* = -R-
Поскольку в конечную общую формулу решения не вошла
скорость изменения магнитного потока, величина индуци-
индуцированного заряда в катушке не зависит от того, как быстро
вытаскивают из нее магнит. Поэтому допущение, сделан-
сделанное нами в начале решения, не суживало поставленной
задачи, а лишь упрощало рассуждения. Это утверждение
можно было доказать еще вначале. Действительно,
откуда
ЬЯГ Цг' D)
— 285 —
В эту формулу не входит время, за которое происходит
изменение потока магнитной индукции, и, следовательно,
величина индуцированного заряда зависит только от ве-
величины ДФ. Это и понятно. Если бы величина индуциро-
индуцированного заряда при одном и том же ДФ зависела от вре-
времени изменения ДФ, то нарушался бы закон сохранения
заряда. Из этого последнего весьма общего соображения
можно сделать вывод, что q не зависит от Д/, даже не
прибегая к конкретным формулам, из которых получено
выражение D).
Задача 125.
Определить разность потенциалов, которая возникает
между крайними точками прямого проводника длины /,
движущегося с постоянной скоростью v в однородном
магнитном поле напряженности Я перпендикулярно к си-
силовым линиям этого поля.
Решение. Дел'аем чертеж (рис. 93). Применяя правило
левой руки (или правило буравчика), находим направле-
направление действия силы Лоренца и, следовательно, направле-
направление движения электронов на выделенном участке. Пусть
электроны движутся от А' к А под действием силы Ло-
Лоренца / (см. задачу № 117), возникшей вследствие того,
что все электроны приобрели направленное движение
(вместе с проводником) слева направо. Сила.
f = evH,
где е — заряд электрона (табличная величина), вызывает
направленное движение электронов и ее можно заменить
эквивалентной ей электрической силой /' = еЕ, которая
сообщала бы электронам такое же движение. Поскольку
/ = /', можно положить Е = vH. Следовательно, искомая
величина напряжения
U = vHl. E)
Рассмотрим подробнее выражение E).
Произведение vl численно равно площади,
пройденной участком ЛА' = / за одну секунду.
Величина vHl представляет собой число сило-
силовых линий, пересеченных участком AfA = /
за одну секунду, т. е.
Рис.93
— 286 —
где |<§;| — величина э. д. с. индукции на участке АА' =
== /. Таким образом, э. д. с. индукции, возникающая
в любом участке замкнутого контура, пропорциональна
числу силовых линий, пересекаемых этим участком в еди-
единицу времени. Такая формулировка закона электромаг-
электромагнитной индукции была дана Фарадеем.
Полная э. д. с, возникающая во всем контуре, равна
в этом случае сумме э. д. с, возникающих в различных
участках контура.
2. Самоиндукция
До сих пор разбирались вопросы, связанные с элек-
электромагнитной индукцией, вызванной изменением какого-то
внешнего магнитного потока. Рассмотрим явление элек-
электромагнитной индукции, возникающее вследствие измене-
изменения магнитного потока самого контура в результате изме-
изменения в нем силы тока*.Представим себе, например, соле-
соленоид без сердечника, по которому течет некоторый ток /1#
Область пространства, охватываемая соленоидом, прони-
пронизана определенной совокупностью магнитных силовых ли-
линий. Число этих линий через площади всех витков есть
поток магнитной индукции Ф через соленоид. Согласно
закону Био—Савара—Лапласа напряженность Н магнит-
магнитного поля, образованного любым током, пропорциональна
силе этого тока /. Но величина потока Ф пропорциональ-
пропорциональна Я, следовательно,
Ф = L/, F)
где L — некоторый коэффициент пропорциональности.
Пусть теперь ток 1Ъ протекавший в соленоиде, по ка-
какой-то причине стал изменяться и через время Д/ приоб-
приобрел значение /2. Согласно F)
Фх = Ыъ Ф2 = Ыг.
В соленоиде благодаря изменению потока ДФ = Ф2—Ф х
возникнет э. д. с. самоиндукции, величина которой
определяется соотношением D), а направление — прави-
правилом Ленца. Согласно D) запишем
АФ
287
т. е.
где все величины измерены в СИ (<§с — в вольтах, L —
в генри, / — в амперах, t — в секундах).
Физический смысл коэффициента пропорциональ-
пропорциональности L можно установить из выражения F) или G).
Из F) следует, что L численно равен величине потока
через контур, вызванного током силой в одну единицу,
протекающим в этом контуре. Это — статическое опре-
определение L. Из G) вытекает так называемое динамическое
определение: L есть величина, численно равная э. д. с.
самоиндукции, возникающей в контуре при изменении
силы тока в этом контуре на единицу за единицу времени.
L называют коэффициентом самоиндукции, который ха-
характеризует индукционные свойства контуров и зависит
от их геометрии (от формы проводников, от их числа) и от
среды, охватывающей контур.
Единица измерения L — генрй (гн) вытекает из ра-
равенства G): индуктивностью в 1 гн обладает катушка (или
любой другой контур), в которой возникает э. д. с. само-
самоиндукции в 1 в при изменении в ней силы тока на 1 а
за 1 сек. Следовательно,
« « в • сек
1 гн = 1 ,
В системе СГСМ индуктивность измеряется в санти-
сантиметрах (см). Нетрудно получить соотношение
1 гн = 109 см.
Для практики важными разновидностями самоиндук-
самоиндукции являются так называемые экстратоки размыкания
и замыкания. Так, при размыкании цепи (а в каждой цепи
всегда имеется какая-то индуктивность) между размыка-
размыкающимися контактами проскакивает искра. Пользуясь
правилом Ленца, можно показать, что этот кратковремен-
кратковременный ток размыкания имеет то же направление, что и пре-
прерываемый ток. В случае значительных индуктивностей
экстратоки размыкания могут во много раз пре-
превосходить силу первоначального тока и несмотря на крат-
кратковременность приводят к повреждениям электрических
приборов и цепей схемы. Поэтому, например, перед отклю-
отключением электромагнита от источника питания, ток, теку-
— 288 —
щий в его обмотках, плавно уменьшают при помощи рео-
реостатов до какой-то минимальной величины.
Применяя правило Ленца, также можно установить,
что экстраток замыкания направлен против возникающего
в цепи тока. В результате ток в цепи достигает своего
постоянного значения не сразу и тем медленнее, чем боль-
большей индуктивностью обладает цепь. Если в цепь, содер-
содержащую значительную индуктивность, включить^последо-
вательно обычную электрическую лампочку, то хорошо
будет видно, как накал ее возрастает от красного цвета
до ослепительного каления. Этот процесс протекает очень
быстро и поэтому неощутим при незначительных индук-
тивностях, например, когда зажигают настольную лампу.
Задача 126.
Определить коэффициент самоиндукции соленоида
длиной / = 50 см с поперечным сечением S =¦= 10 см2 и
числом витков N = 3000.
Решение. Эту задачу проще всего делать в системе СГСМ.
Исходная формула в данном случае запишется в виде
Ф = L/,
где L выражено в сантиметрах, / и Ф — в соответствующих
единицах той же системы СГСМ. Формулу напряженности
на оси соленоида необходимо при этом взять в виде
Н = 4ял/,
так как сила тока / должна быть выражена в едини-
единицах СГСМ7. Следовательно,
т. е.
где L — вычисляется в сантиметрах. Пользуясь соотно-
соотношением 1 гн = 109 см, получим формулу
1= \Qr*.4n'!j-S {гн).
Произведя необходимые вычисления, получаем
L ъ 0,023 гн.
10 Зак. 1180 — 289 —
Однако полученный результат несколько превышает дей-
действительное значение L, так*~как напряженность поля на
оси соленоида предполагалась величиной постоянной. На
самом деле напряженность поля на концах соленоида
в два раза меньше, чем в середине за счет краевых эффек-
эффектов, т. е. равна 2пп1.
Задача. 127.
В катушке без железного сердечника длиной I = 25 см
и диаметром d = 10 см> содержащей N = 1000 витков,
ток равномерно увеличивается на 1 а в 1 сек. На эту ка-
катушку надета другая, число витков которой N х = 100.
Какая э. д. с. будет индуцироваться во второй катушке?
Решение. Несомненно, здесь следует применить вы-
выражение D). Поскольку в данном случае число витков
N1% то
Определяем величину изменения потока, пользуясь фор-
формулой напряженности на оси соленоида (как в предыду-
предыдущей задаче):
Следовательно,
1*1 Л~ N1N С А/
Производим вычисления:
Глава X
ОПТИКА
§ 32. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
1. Основные положения. Законы отражения и
преломления
Основным понятием геометрической (или лучевой) оп-
оптики является «световой луч», а фундаментальными зако-
законами — закон отражения и закон преломления. Исполь-
Используя только эти два закона, можно изобразить при помощи
лучей распространение световых волн как в самой простой,
так и в самой сложной оптической системе. Математиче-
Математический аппарат, которым пользуется лучевая оптика, —
геометрия Эвклида.
Волновым фронтом (любого волнового возмущения) на-
называется геометрическое место точек, достигаемых дан-
данным волновым возмущением одновременно. Это означает,
что колебания, характерные для данного волнового про-
процесса во всех точках волнового фронта, совершаются в од-
одной фазе.
Световым лучом называют геометрическую линию,
проведенную перпендикулярно к волновому фронту
и показывающую направление, в котором распростра-
распространяется видимое нами электромагнитное колебание
(свет).
Представим себе, например, волны, «бегущие» в море
одна за другой. В этом случае линия, мысленно проведен-
проведенная по вершине гребня (или по наинизшим точкам впа-
впадин) будет линией волнового фронта. Направление, в ко-
котором «бегут» эти волны, определяется стрелкой, лежащей
на нормали к указанной линии, т. е. к волновому фронту.
Аналогично и для кольцевых волн на воде: линии волно-
волнового фронта — окружности, направления распростране-
распространения этих волн определяются радиусами, проведенными от
центра возникновения волн: В случае пространственных
волн (звук, свет) волновым фронтом является, вообще
говоря, не линия, а какая-то поверхность (шаровая для
точечного источника), однако и здесь стрелки, лежащие
на перпендикулярах к таким поверхностям, указывают
— 291 —
а)
б)
/ А
/!/
у
в
в' /
А'
/
Ai
С
A D /
/г
/ /
/
В
Рис. 94
направления, в которых
распространяется дан-
данное колебание *>.
Прибегая к аналогии,
поверхность волнового фрон-
фронта можно сравнить с экви-
эквипотенциальной поверхностью,
а лучи—с силовыми линиями,
которые всегда нормальны
к эквипотенциальным поверх-
поверхностям.
О том, что свет рас-
распространяется прямоли-
прямолинейно, знали уже во вре-
времена Эвклида. Напри-
Например, в слегка задымлен-
задымленном или запыленном помещении с узкими щелями в солнеч-
солнечный день ясно видны узкие световые пучки, параллельные
друг другу, ровность обработанной поверхности прове-
проверяли по «лучу зрения». Общеизвестны классические
опыты, доказывающие прямолинейность распростране-
распространения света в однородных средах. Остановимся подробнее
лишь на одном таком эксперименте, поскольку он имеет
прямое отношение к решению определенного типа за-
задач и наглядно иллюстрирует границы применимости
лучевой оптики.
Рассмотрим, как возникает изображение в камере
с малым отверстием (рис. 94, а). Здесь АВ — предмет
(светящаяся стрелка), а А' В' — его изображение на экране
внутри камеры. Изображение А'В' является действитель-
действительным, перевернутым и в зависимости от расстояния от АВ
до диафрагмы О в камере уменьшенным, равным АВ или
большим, чем АВ. Через каждую светящуюся точку
стрелки АВ проходит поток световой энергии, из которого
отверстие диафрагмы вырезает определенную часть, за-
заключенную в конусе COD (рис. 94, б). Основанием этого
конуса является небольшое световое пятнышко D.
Если диаметр этого пятнышка значительно больше раз-
размеров деталей стрелки, то изображение А'В' размыто,
^ Если источник сферических волн (звезды^ очень далек, то отно-
относительно небольшой участок волнового фронта (даже в масштабах
Земли) можно считать с достаточной степенью точности плоским', за-
заменяя дугу с огромным по величине радиусом кривизны прямой Линией.
— 292 —
и невозможно, глядя только на А' В\ сказать, какой пред-
ме! изображен hl экране камеры. Однако по мере диафраг-
диафрагмирования отверстия О, А' В' становится все менее раз-
размытым и, начиная приблизительно с момента, когда диа-
диаметр D равен размеру деталей стрелки, изображение А'В'
начинает становиться все более и более четким. Иными
словами, чем меньше становится диаметр пятнышка D
по сравнению с деталями предмета АВУ тем более четким
становится его изображение А'В'. Если бы эта законо-
закономерность проявлялась и при сколь угодно малых отвер-
отверстиях диафрагмы, понятие «луч света» было бы не только
геометрическим, но и физическим. Однако получить бес-
бесконечно тонкий световой пучок нельзя. Так, в описанном
нами опыте световой пучок по мере дальнейшего диафраг-
диафрагмирования (начиная с отверстия диаметром порядка
0,01 мм, т. е. 10 мкм) заметно расширяется вследствие
явления дифракции, в результате чего изображение А'В'
становится все более размытым и бесформенным.
Итак, при помощи лучей в практических задачах можно
легко найти направления движения световых колебаний
и, следовательно, направления, в которых распростра-
распространяется световая энергия. Конечно, те же самые .практи-
.практические выводы можно получить, исходя только из волно-
волновой природы света, но тогда самые элементарные задачи
имели бы весьма громоздкие решения. Лучевая оптика
значительно упрощает расчеты и простых, и сложных
оптических систем, однако выводы ее достоверны лишь
в тех случаях, когда можно пренебречь явлением ди-
дифракции световых воли.
Задача 128.
Какой минимальной величины детали предмета можно
еще четко различить на изображении этого предмета в ка-
камере с малым отверстием диаметра d, если глубина камеры
в два раза меньше расстояния от предмета до отверстия
в камере?
Решение. Делаем чер-
чертеж (рис. 95) и вводим
необходимые обозначе-
обозначения: А В — предмет,
ОЕЕ'О — схематическое
изображение конуса,
в объеме которого сосре- Рис. 95
Ю И8о _ 293 —
доточен световой поток, исходящий из светящейся точки О.
Точка О принадлежит какой-то детальке предмета; ЕЕ' —
диаметр основания конуса — светлое пятнышко, переда-
передающее изображение светящейся точки О. Полагаем ЕЕ' =
= D, СС = d (диаметр малого отверстия); КО' = L,
где L — расстояние от предмета до отверстия в камере,
/ — глубина камеры. Из условия известно, что L = 21.
Однако рассмотрим более общий случай, когда L и I даны,
но соотношение между ними неизвестно.
Согласно теории, детали предмета изображаются на
экране камеры четк€>, если их линейные размеры больше,
чем ЕЕ' = Ь, или, в крайнем случае, равны D. Детали
предмета, меньшие по своим размерам, чем D, уже не
будут просматриваться на изображении предмета четко.
Следовательно, наша задача сводится к определению диа-
диаметра пятнышка D.
Из подобия треугольников ОСС и ОЕЕ' вытекает соот-
соотношение
00' _ 00"
d - D ' '
так как согласно построению, 00' и 00" — биссектрисы
указанных треугольников. Однако 00' = , а 00" =
= саГа , где а — угол между OOf и L или между 00"
и L + L Учитывая это, получаем соотношение
L __ L + 1
d - D '
откуда
Теперь можно ввести заданное в условии соотношение
между / и L и определить конкретное значение D.
Закон отражения. Луч падающий, луч отра-
отраженный и перпендикуляр к границе двух сред в точке
отражения луча лежат в одной плоскости, причем угол
падения равен по величине углу отражения.
Задача 129.
В плоском зеркале построить изображение точечного
источника света S, расположенного относительно зер-
зеркала 3, как указано на рис. 96, а.
— 294 —
а)
S*
I)
*s
I
I
I
Рис. 96
Решение. От источника S свет распространяется по
всем возможным направлениям. Рассмотрим произвольно
выбранные лучи 1 и 2У падающие на поверхность зеркала.
Углы падения и отражения луча 1 меньше соответству-
соответствующих углов луча 2. Следовательно, продолжения этих
лучей, изображенные штрихами, должны пересечься в не-
некоторой точке S'. Соединим точки S и S' и продолжим
пунктирную линию, ограничивающую поверхности зер-
зеркала, до пересечения ее с прямой SS' (О — точка пересе-
пересечения).
Поскольку стороны SOxn S'Ox равны (это следует из
равенства треугольников SOiO2 и S'OxOz), углы SOft
и S'OiO равны (следует из закона отражения), сторона 0^
для треугольников SOfl и S'OxO является общей, то
треугольники S0x0 и 8'0г0 равны. Значит, и прямые SO
и S'O равны, а углы Б00г и Sf00x каждый равен 90°.
Теперь можно принять очень простой способ построе-
построения изображения точечного источника света в плоском
зеркале, если этот источник не находится непосредственно
над зеркалом. Продолжив пунктиром линию, ограничива-
ограничивающую поверхность зеркала, строим изображение точеч-
точечного источника так, кай если бы он находился непосред-
непосредственно над плоскостью зеркала (рис. 96, в).
Изображением точечного источника всегда является
точка, образованная либо пересечением самих лучей, про-
прошедших сквозь какую-то оптическую систему, либо пере-
пересечением продолжений вышедших из оптической системы
лучей. В первом случае изображение источника действи-
действительное, во втором — мнимое.
От действительного изображения точечного источника
лучи расходятся внутри определенного телесного угла.
Действительное изображение может быть запечатлено на
— 295 —
матовом экране либо на фотопластинке. Мнимое изображе-
изображение, напротив, не излучает свет, оно является как бы
оптическим миражем и вследствие своей нематериальности
не может быть воспроизведено на экране или фотоплас-
фотопластинке, помещаемой в ту часть пространства, где, как
нам кажется, оно находится.
Для получения любого изображения точечного источ-
источника необходимо и достаточно провести два разных луча.
Если два луча, по которым построено изображение, яв-
являются крайними (в том смысле, что все остальные лучи,
по которым строится то же изображение, проходят между
ними), то изображение светящейся точки можно видеть
только из той области пространства, которая находится
внутри телесного угла, образованного двумя указанными
крайними лучами.
Задана 130.
На рис. 97, а изображены два плоских зеркала, рас-
расположенных под небольшим углом а друг к другу, и то-
точечный источник света S. Найти область пространства,
откуда наблюдатель мог бы одновременно видеть оба изо-
изображения светящейся точки S.
Решение. Прежде всего необходимо уяснить, при
каких условиях вообще можно видеть одновременно два
изображения, возникающих в зеркальной системе.
Изображение в плоскости зеркала наблюдатель видит
потому, что лучи, исходящие от предмета и отраженные
зеркалом, попадают на сетчатку глаза наблюдателя. Сле-
Следовательно, видеть сразу два изображения (одно в одном
зеркале, другое в другом) можно только в той части про-
пространства, где смешиваются лучи, вышедшие из светя-
светящейся точки S и отразившиеся как от одного, так и от
другого зеркала; причем, согласно правилу построения
изображения в плоском зеркале, на продолжении этих
лучей должны лежать мнимые, изображения S' и S"
точки S.
Значит, решение нужно начинать с построения изо-
изображений S' и S", а искомая область будет образована
пересечением лучей, на продолжении которых лежат S'
и S".
В зеркале I (рис. 97, б) для построения изображения S'
используем два луча: один, перпендикулярный зеркалу,
другой (/), направленный в точку О соприкосновения
обоих зеркал. В зеркале II можно построить изображе-
изображение S", используя правило, полученное в задаче № 129.
Так как луч / направлен в точку О — в край как одного,
так и другого зеркала, то для зеркала I получаем луч
отраженный, идущий по направлению О Г, а в зер-
зеркале II отражение (того же луча /) происходит в направ-
направлении 01".
Таким образом, область ОГ1" (заштрихована на
рис. 97, б) является искомой. В пространстве эта область
представляет собой конус световых лучей с вершиной
в точке О.
Найденная область ОГ1" по своей протяженности яв-
является максимальной, так как лучи ОГ, 01" являются
крайними лучами из всех других возможных лучей, удов-
удовлетворяющих требованию задачи. Рассмотрим, например,
луч 2У выходящий из точки S и отражающийся от зер-
зеркала II. Из области О'2Г тоже можно одновременно ви-
видеть и S', и S", однако она меньше области 01'1". Все
другие аналогичные построения приведут нас к тому же
выводу. Читателю было бы полезно убедиться в этом са-
самостоятельно.
Максимальные размеры найденной нами области за-
зависят от величины угла а (рис. 97, а) и от положения
источника S относительно зеркал. Однако, изменяя на-
начальные данные задачи (в нашем случае угол а и относи-
— 297 -,
тельное расположение S), всегда надо иметь в виду воз-
возможность возникновения нового явления. При некотором
определенном значении а и определенном положении то-
точечного источника S в зеркалах возникают и одновременно
просматриваются не два, как ранее, а большее число изо-
изображений S.
На рис. 98, а приводится построение для случая, когда
в рассматриваемой системе возникают три изображения
светящейся точки S. Здесь лучи / и 2, дающие изображе-
изображение 5' точки 5 в зеркале I, отражаясь от зеркала II, дают
в этом зеркале изображение S", которое, как это следует
из чертежа, можно формально рассматривать изображе-
— 298 —
нием в зеркале II изображения S'. Для того чтобы по-
построить все изображения точечного источника S в какой-то
системе плоских зеркал, необходимо построить изображе-
изображение в каждом плоском зеркале (оно находится на перпен-
перпендикуляре к зеркалу с противоположной стороны на таком
же расстоянии от зеркальной поверхности, как и S), а за-
затем строить изображения от тех полученных изображений,
которые не лежат за соответствующими зеркалами. Так, на
рис. 98, а Я'является изображением S в зеркале I, но S'
находится перед линией зеркала II, и надо построить
в этом зеркале его изображение S", которое оказывается
за обоими зеркалами и поэтому больше никаких изобра-
изображений не имеет. Аналогично и SM (изображение источ-
источника S в зеркале II) не имеет изображения в зеркале I,
поскольку находится за ним. Однако S можно перенести
в такую точку между зеркалами I и II, что Sm окажется
перед линией зеркала I, и в этом случае можно будет
увидеть одновременно четыре изображения точки S.
На рис. 98, б более наглядно иллюстрируются только
что изложенные соображения.
Закон преломления. Луч падающий, луч
преломленный и перпендикуляр к границе двух сред
в точке преломления луча лежат в одной плоскости, при-
причем угол падения i и угол преломления г связаны между
собой отношением
sin i
п
где п—показатель преломления второй среды (куда луч пре-
преломляется) относительно первой среды (откуда луч падает).
Из явления обратимости световых лучей непосред-
непосредственно вытекает, что если п — показатель преломления
второй среды относительной первой, то
«'=4- <»>
является показателем преломления первой среды относи-
относительно второй (теперь луч падает из второй среды, прелом-
преломляясь в первую) 1).
1J Явление обратимости световых лучей заключается в том, что если
лучи, отражаясь и преломляясь, прошли сквозь какую-то оптическую
систему и затем отразились строго по линии своего выхода, то они
вновь пробегут ту же оптическую систему по тем же линиям, но только
в обратномлпюрядке.
— 299 —
Если световая волна падает из вакуума и затем пре-
преломляется на границе раздела вакуум—некоторая среда,
то отношение -?2i- дает так называемый абсолютный пока-
показатель преломления данной среды. Слово «абсолютный»,
как правило, опускают и просто говорят «показатель пре-
преломления данной среды», имея в виду показатель прелом-
преломления рассматриваемой среды относительно вакуума.
Показателем преломления данной среды называется
величина, показывающая, во сколько раз скорость света
в этой среде меньше, чем скорость света в вакууме, т. е.
П--5-. B)
где с — скорость света в вакууме, v — скорость света
в среде, показатель преломления которой п. Среда, для
которой показатель преломления имеет большее значе-
значение, (v меньше), называется оптически более плотной и
наоборот.
Если п — показатель преломления второй среды от-
относительно первой, п2 — показатель преломления вто-
второй среды, а пг — показатель преломления первой среды,
то нетрудно показать, что
»-¦?• <3>
Преломляются, конечно, не только световые, но и все
другие электромагнитные волны, причем волны разных
длин имеют разные показатели преломления. В случае
белого света, представляющего, как известно, совокуп-
совокупность различных видимых электромагнитных волн от
красного цвета до фиолетового, показатель преломления
связан с цветностью. Волны темно-красного цвета (к =
= 0,8 мкм) имеют больший показатель преломления и,
следовательно, их угол преломления наименьший, а волны
фиолетового цвета (X = 0,4 мкм) имеют меньший пока-
показатель преломления и соответственно наибольший угол
преломления. Световые волны остальных цветов распола-
располагаются между двумя указанными крайними в соответ-
соответствии с простым правилом: чем меньше длина волны, тем
больше угол преломления.
Описанное явление называется дисперсией. Дисперсией
объясняются такие хорошо нам известные явления, как
— 300 —
радуга, синий цвет неба, яркие краски заката и восхода
Солнца. В оптических приборах вследствие дисперсии воз-
возникает так называемая хроматическая аберрация.
Задача 131.
Начертить ход лучей, проходящих через плоскопарал-
плоскопараллельную пластину, для двух случаев: 1) на пластину падает
монохроматический пучок света (т. е. световая волна
одного цвета), 2) на пластину падает пучок белого
света.
Решение. 1. При переходе из воздуха в стекло световой
луч преломляется так, что угол преломления г меньше
угла падения /, так как показатель преломления всегда
больше единицы 1К При вторичном преломлении луча из
стекла в воздух угол преломления V становится больше
угла падения г. Делаем чертеж (рис. 99, а).
На границе раздела воздух—стекло
sin i
sin r
= /2,
где п — показатель преломления стекла относительно
воздуха (показатель преломления воздуха можно считать
равным единице), а при вторичном преломлении луча
на границе стекло—воздух имеем [см. формулу A)]:
sin г 1
sin Г "~ ~/Г*
Перемножив почленно оба выражения, получаем ра-
равенство
sin i' = sin i.
^ Из закона преломления вытекает, вообще говоря, более общее
правило: если луч падает из
оптически менее плотной сре-
среды и преломляется в среде
оптически более плотной, то
угол преломления всегда
меньше угла падения; если
же луч переходит из оптиче-
оптически более плотной среды
в среду с меньшей оптической
плотностью, то наоборот —
угол падения всегда меньше
угла преломления. Рис. 99
а)
/г
>
I
V)
А
— 301 —
Но так как углы V и I каждый меньше 90°, то V = I.
Таким образом, луч, падающий из воздуха на стеклянную
плоскопараллельную пластинку, параллелен лучу, пре-
преломившемуся из пластинки в воздух.
Рассмотрим подробнее преломление луча на границе
воздух—стекло. Из сказанного выше вытекает, что если
увеличивать угол падения i луча на пластину, то угол пре-
преломления г также возрастает, но медленнее, оставаясь
всегда меньше угла падения. Для угла падения, близ-
близкой к 90° (для практического расчета можно при-
принять i = 90°), угол преломления в стекле достигает
своего максимального значения 40° Г, или приблизи-
приблизительно 40°, если показатель преломления стекла равен
1,555.
В случае i = 0 лучи не преломляются (следовательно,
нельзя рассматривать применительно к формуле закона
преломления случай / = 0, г = 0). При i = 0 почти вся
световая энергия (95%) проходит сквозь стеклянную пло-
плоскопараллельную пластину и лишь незначительная ее
часть E%) отражается от поверхности пластины.
Если не принимать в расчет крайних случаев (лучи
падают на пластину перпендикулярно к ней, либо имеет
место полное внутреннее отражение), то, вообще говоря,
не существует только отражения или только преломления.
Если лучи падают на зеркальную поверхность, то интен-
интенсивность отраженных лучей гораздо больше, чем интен-
интенсивность лучей преломленных. Если же лучи падают
на стеклянную пластину, то наоборот — интенсивность
преломленных лучей значительно выше интенсивности лу-
лучей отраженных. При падении лучей, например, на по-
поверхность воды интенсивности лучей в обоих явлениях
уже соизмеримы, т. е. имеет место не только преломление,
но и заметное отражение.
2. Для каждого монохроматического луча из пучка
белого света, падающего на пластину, можно повторить
рассуждения, приведенные в первом разделе решения.
Следовательно, ход лучей может быть изображен так,
как показано на рис. 99, б (буква «к» обозначает луч
красного цвета, «ф» — фиолетового; остальные цвета рас-
располагаются между ними в соответствии с длинами их
волн).
Все цветные лучи, выходящие из пластины, парал-
параллельны белому лучу, падающему на пластину.
— 302 —
Задача 132.
Предмет находится на расстоянии L = 15 еж от одной
из граней плоскопараллельной стеклянной пластины. На-
Наблюдатель рассматривает предмет через пластину так, что
луч зрения нормален к ней. На каком расстоянии от бли-
ближайшей к наблюдателю грани находится изображение
предмета, если толщина пластины d = 4,5 сму а показа-
показатель преломления стекла п = 1,5?
Решение. В задаче необходимо найти расстояние от
изображения до той грани пластинки, которая ближе
к наблюдателю. Значит, надо нарисовать пластину, све-
светящуюся точку, принадлежащую предмету, указать место,
где находится глаз наблюдателя, и затем построить изо-
изображение светящейся точки, видимое глазом (рис. 100);
А — глаз наблюдателя, S — светящаяся точка предмета,
S' — изображение точки S. Лучи 1 и 2 входят в глаз
наблюдателя, поэтому угол а в действительности очень
мал.
Искомая величина х = у + d. Чтобы найти у, опреде-
определим отрезок
I = be = ас — ab.
Из рис. 100, б следует, что
I = d-tg г = (d + у) tg i — L tg /,
откуда
I
б)
/
i
1
s
Рис. 100
— 303 -
'
S'
1
1
/A
a/2
s
Однако, вследствие малости угла а и, следовательно,
yfyiOB i и г, тангенсы этих углов эквивалентны их синусам
(и самим углам, если они выражены в радианах), т. е.
tg i sin i
tgr sin r
= n.
Этот прием типичен для задач геометрической оптики и
его следует всегда иметь в виду. Возвращаясь к разби-
разбираемой задаче, пишем
d = (d + у) п — Lny
откуда
Подставляя значение у в наше исходное условие х — у +
+ d, окончательно получаем:
х = L -\ = 18 см.
2. Полное внутреннее отражение
Явление полного внутреннего отражения наступает на
границе раздела двух сред, когда луч падающий нахо-
находится в среде оптически более плотной. В.задаче № 131
было рассмотрено преломление лучей, падающих из воз-
воздуха на стеклянную пластину, и показано, что с прибли-
приближением угла падения i к 90° угол преломления г стремится
к своему предельному значению г % 40°, если показатель
преломления стекла п = 1,555.
Основываясь на явлении обратимости световых лу-
лучей, можно мысленно проделать тот же опыт в обратном
порядке, пуская луч на границу* раздела стекло—воздух
теперь уже из стекла. С увеличением угла падения i от 0
до ^40° луч преломленный все значительнее отклоняется
от перпендикуляра и при i = I* = 40° скользит йдоль
границы раздела воздух—стеклянная пластина. В этом
случае
sin i* __ J_
sin 90° ~ n *
или
=:JLf D)
- 304 —
Рис. 101
где п — показатель преломле-
преломления стекла (показатель прелом-
преломления стекла относительно воз-
воздуха или вакуума). Угол i*
называют предельным углом
или углом полного внутреннего
отражения. Строго говоря, яв-
явление полного внутреннего
отражения наступает при всех
углах падения /, больших /*,
когда все световые лучи, падаю-
падающие из среды оптически более
плотной, полностью отражаются
на границе раздела со средой
оптически менее плотной в соот-
соответствии с законом отражения.
В оптически менее плотную
среду не выходит при этом даже
самая малая доля световой энергии. Однако в практи-
практических задачах для простоты полагают, что полное внут-
внутреннее отражение наступает при угле падения /, равном
предельному значению i*.
На рис. 101 изображена схема опыта, наглядно иллю-
иллюстрирующего полное внутреннее отражение (светящийся
фонтан). Пучок света, посланный в струю, испытывая
многократные внутренние отражения, «изгибается»
вместе со струей, освещая ее изнутри.
Более эффектное зрелище представляют собой на-
настоящие фонтаны, многочисленные струи которых осве-
освещаются разноцветными лампочками.
В природе полное внутреннее отражение имеет место
в радуге, при возникновении миражей в пустынях, когда
путники видят в результате отражения от границы раска-
раскаленный—холодный воздух действительно существующие
оазисы, но расположенные от их каравана подчас на сотни
километров. Наблюдались случаи, когда из некоторых
пунктов нашего побережья Черного моря можно было до-
довольно отчетливо видеть отражение турецкого берега
и даже контуры крупных городов.
В технике явление полного внутреннего отражения
используется в поворотных и оборачивающих призмах,
получивших широкое распространение.
— 305 —
Задача 133.
На какой глубине под водой находится водолаз, если
он видит отраженными от поверхности воды те части гори-
горизонтального дна, которые расположены от него на рас-
расстоянии I = 15 м и дальше? Рост водолаза d = 1,8 м\
показатель преломления воды п = 4/3.
Решение. Анализируем условие задачи. Нужно найти
глубину погружения водолаза, если известно, что он видит
отражение тех частей горизонтального дна, которые от-
отстоят от него не ближе, чем на I = 15 ж. Видеть отражение
дна, глядя на поверхность воды, водолаз может лишь бла-
благодаря полному внутреннему отражению. Следовательно,
лучи, исходящие от деталей дна, расположенных от водо-
водолаза на расстоянии I = 15 м, направлены к поверхности
воды под углом падения, равным его предельному зна-
значению i*. Теперь ясно, что на чертеже нужно схемати-
схематически изобразить водолаза, уровень воды и лучи, исхо-
исходящие от деталей дна, находящихся на расстоянии / =
= 15 м от водолаза, и попадающие ему в глаза вследствие
полного внутреннего отражения под предельным углом i*
(рис. 102). Из рис. 102 следует, что
АС = I, ВС = d tg /*.
Следовательно,
sin
Находим значение ctg i*. Поскольку sin t* = —, а
i* + cos2 i* = 1, после соответствующих подстано-
вок получим, что ctg /*=]/м2 — 1.
- Окончательный ответ запишем
в виде:
Рис. 102
ВЫЧИСЛИМ
— 306 ^
А%7,5 м.
3. Сферические зеркала
Среди различных кривых зеркал, применяемых как
в астрономии, так и в технике получения высоких темпе-
температур (путем использования солнечных лучей), сфери-
сферические зеркала являются простейшими. В зависимости от
того, какая поверхность (внутренняя или внешняя) ис-
используется для отражения лучей, сферические зеркала
подразделяются на вогнутые и выпуклые. Как и в плоских
зеркалах, изображением S' светящейся точки S в вогну-
вогнутом или выпуклом зеркале является точка, причем S
и S' сопряжены !> между собой вследствие обратимости
световых лучей.
Вогнутые зеркала. Рассмотрим рис. 103, на
котором показано вогнутое сферическое зеркало и даны
элементы построения изображения точечного источника S,
лежащего на главной оптической оси этого зеркала.
Точка Р делит рассматриваемую сферическую поверх-
поверхность на две равные половины. Это — полюс зеркала.
Точка О является центром кривизны поверхности. Она
называется центром зеркала. Прямую, проходящую через
точки О и Р, называют главной оптической осью. Точка О',
делящая пополам отрезок ОР, является фокусом зеркала.
Если не принимать во внимание сферическую аберрацию,
то при решении задач можно считать, что в точке О'
(в, фокусе) пересекаются после отражения от зеркала все
лучи, параллельные главной оптической оси и достаточно
близко прилегающие к ней 2>.
Рассмотрим, как строится изображение S' точечного
источника света S, находящегося на главной оптической
оси вогнутого зеркала. На рис. 103 луч 1 совпадает с глав-
1* Если источник 5 поместить в точку, где прежде находилось S',
то теперь 5' возникает в точке, где до перемещения находился источ-
источник S. Тогда говорят, что 5 и 5' сопряжены. Правило сопряжения
очень полезно для построений изображений в зеркалах и линзах.
2) Здесь следует уточнить два пункта. Во-первых, лучи, параллель-
параллельные главной оптической оси и «достаточно близко прилегающие к ней»,
строго говоря, должны составлять бесконечно тонкий пучок. Однако
на практике рассматривают соответствующие пучки конечного (доста-
(достаточно малого) сечения. Во-вторых, при достаточно малых углах между
лучами следует считать их параллельными друг другу для удобства
построений и расчетов. Например, солнечные лучи, падающие на объ-
объектив телескопа, считают параллельными, так как расстояние от объек-
объектива до Солнца несоизмеримо велико по сравнению с диаметром объек-
объектива.
— 307 -
ной оптической осью. Отра-
зившись о\ зеркала в точ-
точке Р, он возвращается обрат-
обратно вдоль той же прямой.
Луч 2 в точке М отражается
в соответствии с законом от^
ражения (ОМ — нормаль к
зеркалу в точке М). Пересе-
Пересечение этих лучей дает дей-
действительное изображение S'
точки S, лежащее на главной
оптической оси зеркала.
Для решения задач необходимо помнить следующие
правила:
1. Если точечный источник S расположен перед цен-
центром зеркала, его изображение S' возникает между центром
и фокусом зеркала, причем чем дальше от центра О поме-
помещен источник, тем ближе к фокусу располагается его
изображение. Если S удален от точки О в бесконечность,
S' находится в фокусе О'.
2. По мере приближения S из бесконечности к точке О
изображение S' перемещается от точки О' к точке О и,
когда S' попадает в центр зеркала О, оно сливается с источ-
источником S.
3. При движении S от центра зеркала к фокусу, изо-
изображение S' (гораздо быстрее) удаляется от точки О в бес-
бесконечность. Когда точечный источник расположен ^в фо-
фокусе зеркала, его изображение S' находится в бесконеч-
бесконечности (сравните этот пункт с пунктами 1 и 2, приняв во
внимание сопряженность точек S и S').
4. Когда S передвигается от фокуса зеркала к его
подюсу, мнимое изображение S"- (см. на рис. 103 лучи 3
и 4) «пробегает» огромные расстояния, придвигаясь из бес-
бесконечного удаления к полюсу зеркала со стороны его
выпуклой (не рабочей) части 1>.
Перейдем к построению изображений в вогнутом сфе-
сферическом зеркале источников света, имеющих конечные
размеры.
Существующие правила построения относятся к про-
протяженным объектам таких размеров, которые видны из
J) Для доказательства этого положения используется свойство
сопряженности точек 5 и 5', если данное зеркало рассматривать и как
вогнутое, и как выпуклое.
— 308 —
Рис. 104
Рис. 105
центра зеркала под достаточно малыми углами, т. е. к пред-
метам^, крайние точки которых удалены от главной опти-
оптической оси на незначительные расстояния. Чем меньше
эти расстояния, тем более четким является изображение
предмета. При увеличении указанных расстояний изобра-
изображение размывается по краям, становясь все более нечетким.
Для построения изображения предмета в вогнутом
зеркале можно использовать любые два луча из четырех,
указанных на рис. 104. Взаимное расположение предме-
предмета и его изображения относительно центра, фокуса и по-
полюса вогнутых зеркал аналогично случаю взаимных распо-
расположений точечного источника S, лежащего на главной
оптической оси, и его изображения S'. Если предмет не
находится в фокусе зеркала или между его фокусом и по-
полюсом, то изображение предмета всегда действительное
и обратное, уменьшенное или увеличенное. Если предмет
помещен в фокус зеркала, его изображение находится
в бесконечности. В случае, когда предмет расположен
между фокусом и полюсом зеркала, его изображение всегда
мнимое, прямое и увеличенное (рис. 105). При помощи
вогнутого зеркала можно получить увеличенное изобра-
изображение предмета, поместив пред-
предмет между центром и фокусом
зеркала. Отношение линейных
размеров изображения к соот-
соответствующим линейным разме-
размерам предмета называется линей-
линейным увеличением. Из рис. 106
видно, что ДЛВР и ДЛ'В'Р
подобны, и поэтому
А'В' _ В'Р
АВ ~ РВ ' Рис. 106
— 309 —
Обозначив расстояние от предмета АВ до полюса зеркала Р
через d, а от полюса Р до изображения А'В' предмета
через /, получим для линейного увеличения, даваемого
вогнутым зеркалом, следующую формулу:
ЛГ--?. E)
Используя свойство сопряженности предмета и его изо-
изображения, нетрудно заметить, что формула E) может дать
и величину уменьшения изображения по сравнению с раз-
размерами предмета, если предмет поместить перед центром
зеркала (со стороны бесконечного удаления).
Для практических расчетов необходимо запомнить
важную формулу вогнутого зеркала, вывод которой ре-
рекомендуем разобрать возможно тщательнее:
где F — расстояние от полюса вогнутого зеркала до его
фокуса, d — расстояние от полюса до предмета и / — рас-
расстояние от полюса до изображения.
Иногда бывает целесообразно пользоваться формулой
вогнутого зеркала в виде
F2 = a-b G)
(формула Ньютона). Здесь аи b соответственно расстояния
от предмета и от его изображения до фокуса зеркала.
Было бы полезно вывести выражение G) самостоятельно.
При решении задач, связанных с расчетом оптических
систем, следует помнить, что в сложных оптических си-
системах часто не геометрические построения, а предвари-
предварительный расчет помогает затем правильно расставить на
чертеже те изображения, которые возникают в зеркалах
и линзах, образующих систему.
Задача 134.
Изображение предмета в вогнутом зеркале в три раза
меньше самого предмета. Если предмет подвинуть ближе
к зеркалу на / = 15 см,~чо изображение станет в 1,5 раза
меньше предмета. Определить фокусное расстояние зер-
зеркала.
Решение. Выразим условие задачи математически.
Пусть расстояния от предмета и его изображения до по-
— 310 —
люса зеркала в первом случае равны соответственно d
и fi а во втором — d! и f. Согласно F) для первого и вто-
второго случаев имеем соответственно равенства
f_ fd и~ Г*
* и t ~ "
где F — искомая величина. Поскольку в первом случае
изображение в 3 раза меньше предмета, а во втором —
в 1,5 раза, получаем (см. формулу 5):
откуда d = 3/ и, так как df = d — / (по условию), то
v _ d-l
' ""~Т5~#
Написанные соотношения полностью исчерпывают усло-
условие задачи и приводят к следующему результату:
F = —
откуда-
F = 10 см.
Многие задачи, связанные с расчетом расстояний от
предметов и их изображений особенно в сложных опти-
оптических системах, можно (и часто даже предпочтительнее)
решать без предварительного чертежа.
Задача 135.
Точечный источник света S расположен на главной
оптической оси на расстоянии d = 75 см от полюса во-
вогнутого зеркала, фокусное расстояние которого F = 25 см.
Зеркало разрезают на две равные половины и раздвигают
их друг от друга на расстояние / = 1 см так, что линия
главной оптической оси остается осью симметрии обеих
половинок. В результате возникают два точечных изо-
изображения источника: одно — от одной половины зеркала,
другое — от другой. На каком расстоянии друг от друга
окажутся эти изображения?
Решение. Делаем чертеж (рис. 107). При выполнении
чертежа встает вопрос: лежат ли изображения S' и S[
на перпендикуляре к оптической оси SP неразрезанного
зеркала Л? На рис. 107 S' — изображение S в неразре-
- 311 -
Рис. 107
занном зеркале A, a S[—изо-
S[—изображение 5 в верхней поло-
половине I. Покажем, что отрез-
отрезки S'XS' и SP взаимно пер-
перпендикулярны.
Оптические оси полови-
половинок ОхРг и О2Я2 получились
как бы из расщепления глав-
главной оптической оси неразре-
неразрезанного зеркала. Согласно
условию переноса 0хРх =
= О2Р2 = ОР. Прямая SOXS[
является нормалью к поло-
зине зеркала I и принци-
принципиально ничем не отличается
от любой другой нормали
к зеркалу Л, включая и его
главную оптическую ось SP (которая отличается от лю-
любой нормали лишь тем, что делит это зеркало на две рав-
равные половины). Поскольку же S[ является изображением 5
в одной из половинок зеркала А, то отношение, например,
50 к 55' должно равняться отношению SOX к SS[. Это
означает, что /^SOXO и Д SS{S' подобны. Однако точки О
и Ох лежат на перпендикуляре к отрезку SP (согласно
условию переноса половинок I и II). Следовательно, от-
отрезок S'XS' также перпендикулярен к SP.
Из соображений симметрии нетрудно видеть, что изо-
изображение S'2 источника S в нижней половинке II строится
так же, как и S'v Поэтому искомое расстояние L = 25'S^.
Находим S'S'V Из подобия &SOXO и &SS[S' следует,
что
S'Sj ООг
SO
откуда
S'P).
Обозначая S'P через /, получаем
i~ 2{d — 2F) '
— 312 —
где f легко определяется из формулы F) вогнутого зер-
зеркала. Окончательно получим
L- d-2F •
Оставлять ответ в таком виде, даже если бы в условии
было дано /, не целесообразно. Объясним это. Пусть ис-
источник S перемещается вдоль оси SP к точке О. Тогда S'
и с ним S[ и S2 будут приближаться соответственно к точ-
точкам О, О[ и 0'2. Когда S окажется в точке О, S' сольется
с S, а изображения S[ и S2 расположатся в точках 0\
и 0'2 соответственно. Это легко доказать построением,.
Однако в этом случае d = f = 2F, и найденная нами фор-
мула дает неопределенность вида -^-, вместо того, чтобы
дать значение для L, равное 2/. Конечно, при некоторых
условиях эта определенность может быть раскрыта и можно
получить предельный случай L = 2/, однако лучше по-
попробовать сразу перейти к более простой общей формуле.
Для этого воспользуемся выражением F). В результате
получаем следующий окончательный ответ в общем виде:
U d-F'
Исследуем возможные предельные случаи.
1. Источник S удаляется в бесконечность. В этом слу-
случае S' смещается в точку 6' (фокус зеркала А), а изобра-
изображения S[ и Sg — в точки Q[ и 0g соответственно. (Дока-
(Докажите это утверждение, не прибегая к выведенной формуле
для L.) Из полученной нами формулы следует, что, если
d -> сю, то
'-J-'
где величина -j- является бесконечно малой, и в пределе
получим L = /. Поскольку же было доказано, что S[S'±.SPt
изображения S[ и S'2 при d = сю оказываются в точ-
точках Q[ и 9^ соответственно.
2. Если d = 2F, то S и S' сливаются в точке О, а изо-
изображения SJ и S2 оказываются в точках О[ и 02 (рис. 107).
- 313 —
7f^
Рис. 108
В этом случае L дол-
должно равняться 2/, что
следует и из нашей ко-
конечной формулы для L.
После такого все-
всестороннего исследова-
исследования (в условии было
дано, что точечный ис-
источник S находится пе-
перед двойным фокусным
расстоянием, и поэтому
случай, когда S нахо-
находится между точками О
и Р, можно не рассма-
рассматривать) можно перейти
к вычислениям. Подставив заданные значения в общую
формулу для L, находим L = 1,5 см.
Выпуклые зеркала. Лучи, параллельные главной
оптической оси выпуклого зеркала, отражаются от его по-
поверхности по закону отражения так, что их продолжения
пересекаются в некоторой точке О', лежащей за зеркалом
(рис. 108). Точка О' называется фокусом выпуклого зер-
зеркала, а расстояние О'Р = F (фокусное расстояние)
ОР
равно половине радиуса R кривизны !>, т. е. F = -?-.
Изображение в выпуклом зеркале всегда мнимое.
На рис. 109 выполнено построение изображения точечного
источника света 5, лежащего на главной оптической оси.
На рис. ПО показаны три луча, из которых любые два
фиксируют изображение лю-
любой точки предмета, не ле-
лежащей на главной оптиче-
оптической оси зеркала. Из этих
построений вытекает, что
изображение протяженного
предмета в выпуклом зеркале
всегда мнимое, прямое,
уменьшенное и располагает-
располагается к полюсу зеркала ближе, Рис. 109
!) Для наглядности построения на рис. 108 выбран широкий пучок
лучей и не принято во внимание явление сферической аберрации.
Все соображения по этому вопросу, высказанные относительно вогну-
вогнутых сферических зеркал, должны автоматически распространяться и
на выпуклые зеркала.
— 314 —
Рис. ПО
чем предмет. При движении предмета из бесконечности
к полюсу зеркала его изображение перемещается от фо-
фокуса к полюсу, всегда оставаясь между ними.
Расчетная формула для выпуклого зеркала вытекает
из формулы F) путем замены в ней величин F и / на —F
и —/, так как фокус и изображение в выпуклом зеркале
мнимые и располагаются по другую сторону зеркала от-
относительно самого предмета:
(8)
и соответственно
-Я =
Задача 136.
Определить область пространства, из которой наблю-
наблюдатель может видеть изображение предмета в выпуклом
зеркале.
Решение. На рис 111 изображение А'В' предмета АВ
построено при помощи двух простейших лучей / и 2,
проведение которых не требует линейки и транспортира.
Однако изображение А'В' возникает благодаря отраже-
отражению от всей поверхности зеркала всех лучей, идущих от
предмета АВ. Крайними из них являются лучи 3 и 4.
Следовательно, видеть изображение А'В' можно из лю-
любой точки пространства, заключенного в конусе лучей,
аналогичных лучам 3 и 4. Однако практически, чем дальше
расположен наблюдатель от зеркала, тем меньшее коли-
количество лучей, на продолжении которых можно видеть изо-
изображение, попадает в его глаза и тем бледнее само изобра-
изображение. Начиная с некоторого расстояния, изображен
— 315 -^
Рис. Ill
ние А'В1 не будет различаться: оно сольется с общим
фоном.
Из рис. 111 видно, что выпуклое зеркало предоставляет
весьма широкий обзор.вида, находящегося за спиной на-
наблюдателя, ориентированного лицом к зеркалу. (Для
сравнения полезно выполнить аналогичное построение для
вогнутого зеркала.) Этим свойством выпуклого зеркала
пользуются для получения изображений предметов, на-
находящихся за спиной наблюдателя, например, в автомо-
автомобилях, на сложных перекрестках, где для ориентации
шоферов устанавливают выпуклые зеркала значительных
размеров.
Задача 137.
Между выпуклым зеркалом и предметом установили
непрозрачный экран так, что он закрыл половину зеркала.
Каким будет изображение?
Решение. На рис. 112 показан ход лучей / и 2, с по-
помощью которых легче всего (не прибегая к линейке и транс-
транспортиру) можно построить изображение в выпуклом зер-
зеркале. Однако сквозь поставленный экран эти лучи не про-
проходят. Поэтому иногда полагают, что изображения вообще
не будет, а если закрыть, например, четверть зеркала
перед предметом, то возникает изображение лишь части
предмета. Вывод неверный, так как изображение возни-
возникает в результате отражения лучей (идущих от предмета)
от всей поверхности зеркала. В данном случае нижняя
половина зеркала дает изображение предмета, располо-
г- 316 —
Рис. 112
женное там же, где оно
было получено при помощи
тех же простейших лучей
1 Я 2, условно пропущен-
пропущенных сквозь экран. Это
утверждение вытекает из
законов отражения, в со-
соответствии с которыми вы-
выбраны и лучи / и 2.
С установкой экрана
Меняется лишь яркость
изображения: она умень-
уменьшается, так как часть
лучей, идущих от предмета, не попадает на зеркало.
Этот вывод относится и к вогнутым зеркалам, и к лин-
линзам.
4. Линзы
Линзой может быть любое прозрачное тело (даже пу-
пузырек воздуха в воде). Ассортимент линз чрезвычайно
широк, так как разнообразны требования, предъявляе-
предъявляемые к современным оптическим приборам. Однако наи-
наибольшее распространение, особенно в практике физиче-
физические лабораторий, получили линзы, имеющие сфериче-
сферические поверхности: двояковыпуклые и плосковыпуклые
(собирающие), двояковогнутые и плосковогнутые (рассеи-
(рассеивающие). Для всех линз соблюдается общее правило:
проходящие световые лучи на границе среда—поверхность
линзы или поверхность линзу—среда преломляются
в строгом соответствии с рассмотренным выше фунда-
фундаментальным законом преломления.
Собирающие линзы. Рассмотрим сфериче-
сферическую двояковыпуклую линзу из стекла, находящуюся
в воздухе (рис. 113).
Точки Ох и О2 являют-
являются центрами кривизны
двух сферических по-
поверхностей, ограничи-
ограничивающих линзу. Точка О
(оптический центр) на-
находится точно в середи-
середине линзы и делит отре-
Рис. 113
317 -*
зок ОгО2 пополам. Прямая, проходящая через точки
Oit О у О 2, называется главной оптической осью
линзы. Все остальные прямые, проведенные через
точку О, называются побочными оптическими осями.
Необходимо запомнить, что все последующие вы-
выводы относятся лишь к тонким линзам — таким, у ко-
которых толщина А В ничтожно мала по сравнению с радиу-
радиусами кривизны 0хВ и 02А. Для тонкой линзы участки ее
поверхностей вблизи точки О можно считать параллель-
параллельными, т. е. образующими очень тонкую плоскопараллель-
плоскопараллельную пластину. Смещениями лучей, проходящих через
такую пластину, можно пренебречь и, следовательно,
можно полагать, что все лучи, идущие через оптический
центр, проходят сквозь линзу, практически не пре-
преломляясь. Остальные лучи испытывают двойное прелом-
преломление: на границе воздух—стекло и стекло—воздух
(рис. 113).
Если на линзу падает достаточно узкий пучок парал-
параллельных световых лучей, группирующихся вокруг глав-
главной оптической оси, то по другую сторону линзы, на ее
главной оптической оси, эти лучи пересекутся в весьма
малой области, которая на экране изобразится небольшим
светлым пятнышком, практически светящейся точкой.
Это главный фокус линзы. Размеры пятнышка возрастают
с утолщением линзы или вследствие расширения указан-
указанного светового пучка, причем четкость пятнышка умень-
уменьшается (оно размывается по краям), так как преломлен-
преломленные линзой лучи пересекают ее главную оптическую ось
на отрезке все большей длины. Это явление называется
сферической аберрацией. В случае, если на линзу падает
не монохроматический пучок, а белый свет, к сферической
аберрации добавляется еще аберрация хроматическая:
лучи с большей длиной волны пересекаются в точках
главной оптической оси, несколько более удаленных от
оптического центра линзы. В задачах по элементарному
курсу эти явления, как правило, не учитываются, однако
терять их из поля своих представлений не следует.
Двояковыпуклая линза имеет два главных фокуса,
что непосредственно вытекает из соображений симметрии.
Если рассматривать линзу, схематическое изображение
которой находится в плоскости настоящего листа, то
фокус, расположенный слева от линзы, называют перед-
передним, а справа — задним. Плоскость, ,перпендикулярная
— 318 —
Рис. 114
к главной оптической оси и
проходящая через фокус линзы,
называется ее фокальной плос-
плоскостью. Фокальная плоскость _
замечательна тем, что в ее точ-
точках пересекаются после прелом-
преломления в линзе различные падав-
падавшие на линзу пучки параллель-
параллельных лучей (рис. 114). Таким
образом, если предмет распо-
расположен достаточно далеко от
двояковыпуклой линзы, его изображение возникает в фо-
фокальной плоскости линзы, и наоборот—из свойства обра-
обратимости световых лучей следует, что изображение пред-
предмета, расположенного в фокальной плоскости, удалено
в бесконечность.
Рассмотрим построение изображений. На рис. 115
указан прием построения изображения точечного источ-
источника света, лежащего на главной оптической оси двояко-
двояковыпуклой линзы (сравните с рис. 113). На рис. 113 и 115
углы падения лучей 2 на линзу меньше, чем углы падения
лучей 3. Соответственно различаются и углы преломления
этих лучей после выхода из линз. На рис. 115 также ука-
указаны штриховкой области пространства, в которых на-
наблюдатель одновременно видит как точечный источник
света S, так и его изображение S'.
Если источник S находится в бесконечности, то его
изображение S' расположено в заднем фокусе линзы. По
мере продвижения S из бесконечного удаления к двои-
ному фокусному расстоянию BF), начиная с некоторого
момента, изображение S' начнет перемещаться из заднего
фокуса линзы к точке 2F. Когда S достигнет точки 2F
слева, S' окажется в точке 2F справа. При дальнейшем
движении S к переднему фокусу изображение S' начнет
удаляться от точки 2F вправо и окажется в бесконечном
удалении, когда S попадет в передний фокус линзы. И,
наконец, когда S окажется между передним фокусом и
оптическим центром линзы, его изображение S" станет
мнимым и расположится также слева от линзы, но уже
позади источника S. Из условия обратимости световых
лучей, следует, что точки S и S' являются сопряженными,
как и в случае сферических зеркал.
Все сказанное относительно S и S' в той же мере от-
относится и к объектам конечных размеров. При этом сле-
следует помнить о сферической аберрации и тогда можно
сделать вывод, что чем меньше размеры предмета, тем бо-
более четким является'его изображение. Это условие можно
сформулировать несколько точнее: чем меньше угол,
под которым виден предмет из оптического центра линзы,
тем более четким является его изображение.
На рис. 116 показан ход трех простейших лучей,
любые два из которых могут быть использованы при по-
построении изображений протяженных объектов. При по-
строениях с помощью, указанных лучей следует пользо-
пользоваться следующими правилами:
1. Предмет находится на расстоянии от линзы, боль-
большем чем 2F. В этом случае его изображение действитель-
действительное, перевернутое, уменьшенное и расположенное за
линзой между вторым фокусом и двойным фокусным
расстоянием (рис. 116, а).
2. Если предмет находится на двойном фокусном рас-
расстоянии, то его изображение действительное, обратное,
равное предмету и расположено за линзой также на двой-
двойном фокусном расстоянии от ее оптического центра.
3. Предмет расположен между фокусом и двойным
фокусным расстоянием. Результат вытекает из п. 1 с уче-
учетом сопряженности объекта и его изображения: изобра-
изображение действительное, перевернутое, увеличенное и на-
находится за линзой на расстоянии, большем чем 2F.
4. Изображение предмета, расположенного в фокаль-
фокальной плоскости, удалено в бесконечность.
5. Если предмет находится между фокусом и опти-
оптическим центром, его изображение всегда мнимое, прямое,
увеличенное и расположено также перед линзой, но по-
позади предмета (рис. 116, б).
Пользуясь теми же обозначениями, как и для сфери-
сферических зеркал, приводим основную формулу собирающей
линзы:
+
вывод которой рекомендуется выполнить самостоятельно;
здесь F — фокусное расстояние, / — расстояние от динзы
до изображения, d — расстояние от оптического центра
линзы до предмета.
Как и в сферических зеркалах, линейное увеличение,
даваемое линзой, определяется формулой
* = тг = -аг» (»)
где А'В' и АВ — соответственно линейные размеры изо-
изображения и предмета.
Задача 138.
Собирающая линза дает четкое изображение предмета
на экране. Высота изображения равна а. Оставляя не-
неподвижными экран и предмет, начинают перемещать линзу
— 321 —
и находят, что высота второго четкого изображения
равна Ь. Найти действительную высоту предмета с.
Решение, Согласно формуле A1) для первого и второго
изображений соответственно имеем:
JL = JL. JL-JL
с d ' с ~~ d' '
Если бы вместе с линзой перемещался и экран, всякий
раз попадая в место возникновения изображения, то число
четких изображений предмета на экране было бы неогра-
неограниченным. Но поскольку расстояние между предметом и
экраном не меняется, и при некотором положении линзы
возникает четкое изображение (на экране после прелом-
преломления в линзе пересекаются лучи, идущие от любой све-
светящейся точки предмета), то вследствие сопряженности
изображения и предмета должно существовать еще одно
(и только одно) четкое изображение, находящееся от линзы
на расстоянии /' = d, причем df = /. Следовательно,
<* f и
c=j-a; с = \Ь.
Помножив оба эти равенства почленно, находим, что
с = уrab.
Из проведенного анализа вытекает, что если при пер-
первом четком изображении линза находилась ближе к пред-
предмету, то для получения второго четкого изображения ее
следует передвинуть к экрану, и наоборот. Кроме того,
предмет не может располагаться ни в фокальной плоско-
плоскости, -ни в промежутке между фокусом и оптическим цент-
центром линзы. Учитывая эти соображения, сделайте чертежи,
иллюстрирующие условия задачи.
Задача 139.
Предмет находится на расстоянии а = 80 мм перед
двояковыпуклой линзой с фокусным расстоянием F =
= 380 мм. За линзой на расстоянии Ъ = 300 мм от нее
установлено плоское зеркало. Где расположено изобра-
изображение предмета?
Решение. Строим изобращение предмета в заданной
оптической системе, используя простейшие лучи, указан-
указанные ранее для линз и зеркал — лучи 1 и 2 (рис. 117).
Луч У, исходящий из точки А предмета, преломляется
— 322 —
Рис. 117
в линзе, затем отражается от зеркала и, лройдя вновь
4ej)e3 точку А (теперь уже в обратном направлении),
проходит через передний фокус линзы. Луч 2, преломив-
преломившись в линзе и отразившись от зеркала, снова попадает
на линзу (справа) в точке а. После вторичного прелом-
преломления в линзе луч 2 пересекается с лучом / в некоторой
точке Z), являющейся изображением точки А предмета.
Чтобы определить положение точки D возможно точ-
точнее, воспользуемся вспомогательным лучом /С/С, кото-
который проведем параллельно отрезку са. Луч КК, про-
проходящий через оптический центр линзы, должен пере-
пересечься с лучом 2 и с фокальной плоскостью Б Б' линзы
в одной и той же точке Ь (см. рис. 114).
Полученное таким образом изображение D'D пред-
предмета А А' в заданной оптической системе является дей-
действительным, обратным и, если довериться точности по-
построения, то и увеличенным. Последнее, однако, не оче-
очевидно, так как даже ничтожная количественная ошибка,
допущенная при изображении углов, может привести
в конечном счете к существенному искажению размеров
искомых отрезков. Однако возвращаемся вновь к рис. 117.
Продолжим пунктиром лучи 1 и 2 таким образом, чтобы
возникли на пересечении их продолжений точки В и С.
Соответственно получим мнимые отрезки ВВ' и СС.
Нетрудно видеть, что ВВ' есть мнимое изображение в линзе
предмета АА', а если рассматривать треугольники ВЕс и
СЕс с учетом закона отражения, то окажется, что они
равны, и так как BE = ЕС, то отрезок СС будет изобра-
изображением мнимого отрезка ВВ' в зеркале 3. Ли-
Линии CEMFD и CcabD проведены в соответствии с прави-
правилом построения изображений в линзах, и поэтому изо-
— 323 —
бражение D'D предмета А А' в данной оптической системе
можно условно рассматривать, как изображение лишь
в линзе мнимого отрезка СС.
Из всего сказанного вытекает следующее формальное
правило построения изображения предмета А А' в рас-
рассмотренной системе:
1) строим изображение ВВ' предмета А А' в. линзе;
2) строим изображение СС отрезка ВВ' в плоском
зеркале;
3) строим изображение D'D отрезка СС в линзе
(как будто зеркала не существует, поскольку, оно повер-
повернуто к СС своей непрозрачной, нерабочей, половиной).
Все построения от мнимых источников производим так же,
как и от действительных. Отрезок D'D оказывается изо-
изображением предмета А А' в заданной оптической системе.
В соответствии с этим правилом производим по формуле
A0) расчеты. Изображение ВВ' оказывается расположен-
расположенным на расстоянии, приблизительно равном — 101 мм 1\
а СС — на расстоянии 701 мм от линзы. Поскольку СС
находится за зеркалом, его изображение D'D строится
только в линзе. Искомое изображение D'D является дей-
действительным, так как С С отстоит от линзы на 701 мм,
что превышает ее фокусное расстояние2). D'D отстоит
от линзы на расстоянии 830 мм.
В заключение отметим, что выведенное при разборе
данной задачи правило построения изображения предмета
в оцтической системе является универсальным, т. е. спра-
справедливым для любой оптической системы. Это утвержде-
утверждение основано на законах отражения и преломления лу-
лучей и на свойстве их обратимости.
Полезно самостоятельно рассмотреть различные про-
простейшие комбинации, например, из линз и зеркал, и по-
повторить рассуждения, изложенные в данной задаче.
Глаз как оптический прибор. Глаз
можно сравнить с известными оптическими системами,
например с фотоаппаратом. Зрачок глаза, расширяю-
* Знак «минус» показывает, что изображение ВВ' находится на
расстоянии 101 мм слева от линзы и что оно является мнимым. Если
при решении некоторых задач, значение для фокуса зеркала или линзы
будет получено отрицательным, то это означает, что фокус является
мнимым.
2) Поскольку СС располагается между фокусом и двойным фоку-
фокусом линзы, его изображение D'D является увеличенным.
— 324 —
щийся и сужающийся рефлекторно в зависимости от того,
меньше или больше освещенность предмета, играет роль
диафрагмы. Расположенный за зрачком хрусталик — про-
прозрачное тело, представляющее собой двояковыпуклую
линзу, служит как бы объективом. Несмотря на то что
хрусталик (в отличие от тонкой линзы) имеет конечную
толщину, соизмеримую с радиусов кривизны его поверх-
поверхностей, внутри хрусталика, вблизи его задней стенки,
имеется точка, через которую лучи проходят практически
не преломляясь. Эту точку называют центром глаза.
Изображение предметов возникает на светочувстви-
светочувствительной сетчатке глаза (фотопластинка), расположенной
у нормального глаза на расстоянии 15 мм от его оптиче-
оптического центра. Сетчатка нормального ненапряженного
глаза находится в фокальной плоскости (точнее поверх-
поверхности) линзы-хрусталика. Поэтому нормальный глаз от-
отчетливо видит удаленные предметы (рис. 118, а). Если бы
хрусталик не был снабжен особой мышцей, которая мо-
может изменять кривизну ограничивающих его поверхно-
поверхностей, то, переведя взгляд с удаленных предметов на близ-
близлежащие, мы увидели бы их в расплывчатом виде, так как
по мере приближения предмета его четкое изображение
перемещалось бы за сетчатку, находящуюся в фокальной
плоскости хрусталика. Однако по мере приближения пред-
предмета к глазу соответствующая мышца увеличивает кри-
кривизну поверхностей хрусталика, в результате чего лучи,
идущие от предмета, преломляются под большими углами
и, пересекаясь на сетчатке, обеспечивают нам четкую
видимость. Этот процесс называется аккомодацией глаза
и вполне аналогичен наведению на резкость фотоаппарата.
Предмет, который мы видим, всегда находится перед
двойным фокусным расстоянием глаза (глубина глаза,
как уже говорилось, 15 мм). Поэтому изображение,, воз-
возникающее на сетчатке, всегда действительное, обратное,
а)
уменьшенное и расположено между фокусным и двой-
двойным фокусным расстояниями глаза. С приближением
предмета в результате аккомодации фокусное расстояние
глаза уменьшается (фокус перемещается от сетчатки
к хрусталику). На рис. 118, б показано, как строится
на сетчатке изображение близлежащего предмета. Из этого
рисунка вытекает, что чем ближе к глазу предмет, тем
больше его изображение на сетчатке и тем более четким
оно является, так как просматривается большее количе-
количество деталей. Однако способность к аккомодации с умень-
уменьшением расстояния весьма ограничена и ослабевает с воз-
возрастом. Минимальное расстояние ясной видимости у че-
человеческого глаза увеличивается с возрастом приблизи-
приблизительно от 10 до 22 см. Принято считать, что расстоянием
наилучшего зрения для нормального глаза (глаз не устает,
рассматривая предметы четко) является 25 см.
Под словами «нормальный» глаз понимается такой глаз,
в котором лучи, идущие от бесконечно удаленных пред-
предметов, после преломления в хрусталике фокусируются
на сетчатке. Поэтому близорукость и дальнозоркость яв-
являются отклонениями от нормы. Близорукий глаз в нена-
ненапряженном состоянии видит удаленные предметы рас-
расплывчато, так как его фокус лежит перед сетчаткой.
Попытка вглядеться в предмет только ухудшает види-
видимость, так как с утолщением хрусталика его фокус стано-
становится короче. Дальнозоркий глаз удаленные предметы
рассматривает с усилием, так как его фокус лежит за сет-
сетчаткой и не видит отчетливо близлежащих предметов
вследствие ограниченной возможности к аккомодации.
Для близорукого глаза расстояние наилучшего зрения
несколько меньше 25 см> для дальнозоркого — несколько
больше.
На рис. 118, б через ф обозначен угол зрения, т. е.
угол, под которым предмет виден из оптического центра
глаза. С приближением предмета угол зрения увеличи-
увеличивается, благодаря чему, как указывалось выше, детали
предмета, ранее незаметные, становятся видимыми и изо-
изображение предмета в целом делается более четким. При
этом минимальному расстоянию ясной видимости соот-
соответствует минимальный угол зрения, принимаемый рав-
равным Г. Поэтому задачей оптических приборов является
увеличение угла зрения, под которым рассматривается
предмет. Благодаря увеличению угла зрения и увеличению
- 326 —
изображения на сетчатке вооруженный глаз видит неболь-
небольшие частички в микроскопе или детальнее удаленные пред-
предметы в телескопе. Увеличением, которое дает оптическая
система, называется отношение угла зрения ср' вооружен-
вооруженного глаза к углу зрения ф невооруженного глаза (при
прочих равных условиях) или отношение длины изобра-
изображения L на сетчатке вооруженного глаза к длине изобра-
изображения / на сетчатке невооруженного глаза, т. е.
Простейшим - оптическим прибором, которым часто
пользуются при выполнении ювелирных и прочих тонких
работ, является лупа. Лупой называется двояковыпуклая
линза с коротким фокусным расстоянием (от 10 до 100 мм).
Лупу располагают возможно ближе к глазу, а рассматри-
рассматриваемый предмет помещают между ее фокусом и оптиче-
оптическим центром. Перемещая в указанных пределах пред-
предмет, добиваются того, чтобы его мнимое, прямое и уве-
увеличенное изображение расположилось от глаза на рас-
расстоянии наилучшего зрения. При этом предмет оказывается
гораздо ближе к фокусу лупы, чем к ее оптическому центру.
Задача 140.
Построить изображение предмета на сетчатке глаза,
вооруженного лупой.
Решение. Поместим небольшой предмет перед лупой
вблизи ее фокальной плоскости. Непосредственно за лу-
лупой расположена линза-хрусталик и далее сетчатка, на
которой возникает четкое изображение предмета. Наша
задача, таким образом, сводится к построению изображе-
изображения предмета в оптической системе, состоящей из двух
линз, причем известна поверхность (сетчатка), где пере-
пересекаются лучи, прошедшие через указанную систему.
Следуя обычным правилам построения изображений в лин-
линзах, строим изображение предмета АВ, применяя любую
пару лучей /, 2, 3 (рис. 119). Однако глазу наблюдателя
«кажется», что изображение предмета АВ лежит на продол-
продолжении лучей /, 2 и 3 в области их пересечений (пунктир
на рис. 119). С другой стороны, кажущееся глазу изобра-
изображение А1 В' предмета АВ является (вследствие построе-
построения) мнимым изображением АВ в лупе Л. Если убрать
лупу, а А1 В1 сделать предметом, то его изображением на
— 327 —
г А
Л
Рис. 119
сетчатке будет по-прежнему Л"Д". Действительно, из
наших построений вытекает, что изображение А"В" пред-
предмета АВ можно построить следующим образом. Сначала
находим мнимое изображение А'В' предмета АВ в лупе,
а затем строим от А'В\ как от предмета, его изображе-
изображение А"В" в линзе-хрусталике (см. аналогичные построе-
построения в задаче № 139).
Задача 141.
Какой оптической силы очки нужны человеку, который
может четко различать предметы невооруженным и нена-
ненапряженным глазом лишь на расстоянии 60 см.
Указание. Предположить, что система очки—глаз имеет оп-
оптическую силу, равную сумме оптических сил очков и глаза.
Решение. Оптической силой линзы называется вели-
величина, обратная ее фокусному расстоянию (-^-)- Оп-
Оптическая сила выражается в диоптриях. Любая линза
(собирающая или рассеивающая), фокусное расстояние
которой равно 1 му обладает оптической силой в 1 диоп-
диоптрию. Чтобы -=- выразить в диоптриях, нужно вели-
величину F брать в метрах.
Человек, работающий в очках, видит предметы четко,
без напряжения, на расстоянии наилучшего зрения dx =
= 25 см. Сняв очки, он видит четко только более удален-
удаленные предметы. Значит, глаза его дальнозоркие. Даже
при аккомодации лучи от близких предметов пересекаются
за сетчаткой. На сетчатке возникают пересечения лучей
(без напряжения глаз), идущих от предметов, расположен-
расположенных лишь на расстоянии 60 см от глаз. Это условие запи-
запишется формулой
JL = JL.L _L
F d<i f
— 328 —
где F — фокусное расстояние хрусталика, d2 = 60 см,
f — глубина глаза (расстояние от хрусталика до сет-
сетчатки).
Когда человек надевает очки, оптическая сила системы
очки—глаз, согласно сделанному предположению, равна
— + -р~' где F'—фокусное расстояние линз—очков,
которые должны быть собирающими, чтобы увеличивать
углы преломления лучей, идущих от ближних предметов.
Следовательно,
JL + .L--L + JL
F + F " йг + f '
Вычитая первое уравнение из второго, находим, что
искомая величина
1 J1
т. е. -рг^2,33 диоптрии.
Для близорукого глаза, наоборот, очки представляют
собой рассеивающие линзы. Оптическая сила рассеиваю-
рассеивающих линз есть величина отрицательная, собирающих —
положительная.
Задача 142.
Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива
F = 50 см установлена на бесконечность. На какое рас-
расстояние А/ надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно
видеть предметы на расстоянии L = 50 м?
Решение. Если труба установлена' на бесконечность,
то изображение удаленных предметов (Луна, планеты)
возникает практически в. задней фокальной плоскости
объектива. В этом случае нормальный глаз видит четко
указанное изображение, если задний фокус объектива
совпадает с передним фокусом окуляра, играющего роль
лупы. Из окуляра-лупы лучи выходят параллельным
пучком, и нормальный глаз, прильнув к окуляру, без
аккомодации, рассматривает, как в лупу, соответствую-
соответствующее (действительное) изображение удаленного предмета,
возникшее в объективе (имеется в виду телескоп Кеплера).
Если построенную таким образом зрительную трубу на-
навести на предмет, лежащий на таком расстоянии от объек-
объектива, что лучи, идущие от этого предмета, нельзя считать
11 1180 -329-
Рис. 120
параллельными, то изображение предмета в объективе
возникает между фокусным и двойным фокусным рас-
расстоянием объектива, и лучи, выходящие из окуляра, не
будут параллельными. В результате глаз, несмотря на
аккомодацию, будет видеть предмет в расплывчатом виде.
Чтобы добиться четкого изображения, необходимо ото-
отодвинуть окуляр от объектива таким образом, чтобы зад-
задний фокус объектива вновь совпал с передним фокусом
окуляра и чтобы снова изображение, даваемое объекти-
объективом, находилось в его фокальной плоскости. Лучи вновь
будут выходить из окуляра параллельным пучком, и ви-
видимость станет ясной. Пусть окуляр отодвинут от объек-
объектива на длину Д/, и изображение, даваемое объективом,
возникло в его фокальной плоскости. Это обстоятельство
можно записать так:
1
F + М 9
откуда
L-F #
Подставляя соответствующие численные значения, на-
находим, что А/ ^0,51 см. На рис. 120 показан ход лучей
в оптической системе телескоп Кеплера—глаз.
Рассеивающие линзы. После преломле-
преломления в рассеивающей линзе лучи расходятся и пересекаются
только их продолжения. Отсюда вытекает, что фокус
вогнутой линзы мнимый и изображения предметов в во-
вогнутых линзах мнимые (рис. 121). Помимо этого, изобра-
изображение в вогнутой линзе всегда прямое и уменьшенное.
Из рис. 121 видно, что линейные размеры L предмета так
относятся к линейным размерам / изображения, как рас-
— 330 -
стояние предмета от вогнутой
линзы к расстоянию от нее до
изображения, т. е.
L d
Ввиду того что фокус и изо-
изображение в вогнутой линзе мни-
мнимые, формула для таких линз
записывается в виде
4
=-т+4-
Рис.
Задача 143.
На систему линз, изображенную на рис. 122, падает
слева параллельный пучок световых лучей. Найти поло-
положение точки схождения этого пучка после прохождения
им указанной системы. Фокусные расстояния линзы I,
II, III соответственно равны Fx = 10 см, F2 = —20 см,
F3 = 9 см.
Решение.^ Как уже указывалось (см. решение за-
задачи № 134), отыскивать местоположение изображений
в оптических системах гораздо удобнее без предваритель-
предварительного чертежа, который часто нельзя сделать качественно
правильным потому, что неизвестны положения промежу-
промежуточных изображений. Правило построения изображения
в оптических системах аналитическим путем было ука-
указано при разборе задачи № 139. Воспользуемся им.
Изображение бесконечно удаленного предмета в линзе I
расположится в ее задней фокальной плоскости (на рас-
расстоянии 10 см от линзы). От этого изображения, как от
источника, рассчитываем положение его изображения
в рассеивающей линзе II:
?3
1
20- см
1
5 см
1
Т'
Рис. 122
откуда
f = 4 см.
Следовательно, мнимое
изображение в линзе II ле-
лежит перед линзой III на рас-
расстоянии 9 см от нее. От по-
- 331 -
лученного мнимого изображения, как от предмета, необ-
необходимо найти изображение в линзе III:
9 см 9 см ' /' '
откуда
Г = °о,
что очевидно, так как мнимое изображение лежит в фо-
фокусе этой линзы. Итак, лучи, по выходе из рассмотренной
системы, вновь оказались параллельными. Такая система
называется телескопической.
§ 33. ФОТОМЕТРИЯ
1. Основные определения
Световым потоком Ф через мысленно выделенную пло-
площадку S называется количество энергии, переносимое
через эту площадку световыми волнами в единицу вре-
времени. Из этого определения вытекает, что размерность Ф
совпадает с размерностью мощности.
Пусть, например, некоторое тело (абсолютно черное)
поглотило весь световой поток Ф, в результате чего
температура тела возросла на А/ градусов. Тогда Ф =
= С-At, где С — теплоемкость данного тела.
Силой света / называете^ величина, численно равная
световому потоку, распространяющемуся от точечного
источника в -единичном телесном угле (равном 1 стера-
стерадиану).
Под точечным источником понимают светящееся тело,
размеры которого ничтожно малы по сравнению с рас-
расстоянием до места, где воспринимаются световые волны,
расходящиеся от этого тела равномерно по всем направ-
направлениям.
Телесным углом называют часть пространства, за-
заключенную внутри конической поверхности с замкнутой
направляющей (бесконечная воронка). Плоский угол из-
измеряется дугой окружности, описанной произвольным
радиусом из вершины этого угла как из центра. Телесный
угол измеряется частью поверхности сферы произволь-
произвольного радиуса с центром в вершине угла. За меру телес-
— 332 —
ного угла Q с вершиной О принято отношение площади S,
которая вырезана телесным углом на поверхности шара,
описанного произвольным радиусом из центра О, к квад-
квадрату радиуса этого ша^а:
Поскольку S ~ ^R2, Q не зависит от радиуса. Например,
телесный угол, образованный тремя взаимно перпендику-
перпендикулярными плоскостями (дно и две стенки прямоугольной
коробки), равен -^-, так как этот угол вырезает из со-
соответствующей сферы V8 ее часть.
Телесные углы измеряются в стерадианах. Стерадиа-
Стерадианом (стерад) называется телесный угол, который выре-
вырезает из сферы (с центром в вершине угла) площадь, рав-
равную площади квадрата, построенного на радиусе. По-
Поскольку площадь всей боковой поверхности шара 4л/?2,
телесный угол, охватывающий все пространство вокруг
источника, равен 4я.
Согласно данному выше определению сила света
откуда
Ф=»/О,
где Q — телесный угол, в котором распространяется све-
световой поток Ф.
Из формулы A) следует, что параллельный пучок све-
световых лучей (Q = 0) не несет никакой энергии (Ф = 0).
Это, конечно, невозможно, так как световые волны всегда
переносят определенную энергию. Следовательно, парал-
параллельного пучка в действительности не существует, а сам
термин «параллельные лучи» является чисто геометри-
геометрическим понятием (см. § 32). Полный световой поток, ис-
испускаемый точечным (или изотропным х>) источником,
равен
Ф = 4л/. B)
Единица светового потока устанавливается на осно-
основании выражения A), где сила света / измерена в све-
1) Изотропным источником называется такой источник, сила света
которого одинакова по всем направлениям.
— 333 —
чах (се) 1). За единицу светового потока (люмен) прини-
принимается поток, распространяющийся в телесном угле,
равном 1 стерад, от изотропного источника света с силой
в 1 св.
Освещенностью называется величина, численно рав-
равная потоку, приходящемуся на единицу освещенной по-
поверхности:
В СИ единицей освещенности является люкс {лк). Осве-
Освещенностью в 1 лк обладает площадка в 1 ж2, по которой
равномерно распределен световой поток в 1 лм.
2. Законы освещенности
1. Если площадка перпендикулярна к световому по-
потоку, то ее освещенность Е равна силе света /, деленной
на квадрат ее расстояния до источника:
?=-^2-. C)
Если на разных расстояниях от одного и того же ис-
источника рассматриваются две площадки (соответственно
их индексы / и 2), то из формулы C) следует:
IL = ^- D)
Выражение D) часто называют законом обратных квад-
квадратов. Этот закон справедлив для точечных (изотропных)
источников, линейные размеры которых не превышают
0,1 расстояния до освещаемой площадки.
2. Если световой поток падает на площадку под не-
некоторым углом (угол между направлением лучей и пер-
перпендикуляром к площадке, т. е. угол падения), то осве-
освещенность площадки
р /COS(p /rv
? = E)
1) Определение этой единицы см. в кн. *А. Г. Чертов. Междуна-
Международная система единиц измерения. Росвузиздат, 1963.
- 334 —
Условия, при которых выполняется соотношение E) —
закон Ламберта, такие же, как и для выражений
C) и D).
Задача 144.
Проекционный аппарат имеет линзу с фокусным рас-
расстоянием F = 5 см. Квадратный диапозитив площадью
S' = 10 см2, находящийся на расстоянии d = 5,1* ел* от
линзы, пропускает световой поток Ф = 10 лм. Определить
освещенность изображения диапозитива на экране. Счи-
Считать, что световой поток не рассеивается.
Решение. В проекционном фонаре одна линза распо-
расположена относительно предмета таким образом, чтобы на
экране возникало четкое изображение этого предмета
(диапозитива). Освещенность изображения на экране
где S — площадь изображения (которое возникает в рам-
рамках квадрата, большего чем квадрат диапозитива). В за-
задаче следует найти Е.
Согласно A1) из § 32 получаем соотношение
JL-JL
5' "" <Р э
где S' — площадь диапозитива, d — расстояние от диапо-
диапозитива до линзы, / — расстояние от линзы до изображе-
изображения. Поскольку
ТО
Неизвестную величину / находим из формулы линзы:
f
Чтобы найти освещенность в люксах (система СИ),
необходимо S' выразить в метрах [значения (d — F)
и F могут быть подставлены и в сантиметрах, поскольку
- 335 —
их размерности сокращаются]. Проделав требуемые дей-
действия, получаем численное значение неизвестного:
Е = 4 лк.
Задача 145.
Освещенность, получаемая при нормальном падении
солнечных лучей на поверхность Земли, равна Ео % 105 лк.
Какова освещенность изображения Солнца, даваемого
линзой с диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием
F = 10 см? Угловая величина Солнца ср = 30'.
Решение. На рис. 123, а можно увидеть, что световой
поток Ф, проходящий через линзу, образует яркое пят-
пятнышко вокруг точки А у являющейся изображением
Солнца в фокальной плоскости линзы. Поток
Ф= F S
где S = я-j-. Если обозначить площадь пятнышка че-
через S', то его освещенность
Чтобы найти S\ воспользуемся заданным углом ф. Де-
Делаем соответствующий чертеж (рис. 123, б). Из рис. 123, б
следует, что диаметр пятнышка
'/////////////////////'////////////л '//////////////////////?
//////////////
А в
Рис. 123
— 336 —
а его площадь
Следовательно,
4F4g'J-
В результате вычислений получаем
Е^39.107ж.
Задача 146.
С какого наибольшего расстояния можно заметить
ночью огонек папиросы, если сила света папиросы при
втягивании дыма достигает значения /=400 св^ ^аИ"
меньший световой поток, воспринимаемый глазом, Ф =
= 10~13 лм, а площадь зрачка глаза в темноте S = 0,4 см2.
Решение. На сетчатке глаза возникает изображение
огонька папиросы благодаря проникновению в глаз све-
светового потока Фо. Поток Фо распространяется в телесном
о
угле Й = —х-, где г — искомое расстояние, S — пло-
т
щадь поверхности зрачка, которую можно считать сфе-
сферической и обращенной вогнутостью к нашему точечному
источнику света. Поскольку, Ф = /Q, то
откуда
Переводя S в квадратные метры, находим, что г =
= 103 м.
Задачи для самостоятельных
решений 1
Кинематика
I. Две материальные точки движутся вдоль одной прямой со ско-
скоростями vx и v2 (v\ > v2). Найти скорость точки, всегда находящейся
посередине между ними, если: а) материальные точки движутся друг
за другом, б) в противоположные стороны, в) навстречу друг другу.
г) Большинство из предлагаемых для самостоятельного решения
задач заимствовано из материалов приемных экзаменов по физике на
физическом и других факультетах МГУ.
-337 —
2. Две материальные точки движутся в плоскости листа со скоро-
скоростями 3 м/сек и 5 м/сек. Угол между векторами скоростей 45°. Опреде-
Определить скорость одной материальной точки относительно другой. Как
с течением времени меняется расстояние между точками?
3. Прямая линия, пересекающая стороны прямого угла и перпен-
перпендикулярная к его биссектрисе, перемещается параллельно самой себе
с постоянной скоростью v. С какой скоростью движутся точки, образо-
образованные пересечением линии со сторонами угла?
4. С платформы, движущейся по горизонтальному пути со скоро-
скоростью у, бросают тяжелые шарики: один вертикально вверх, другой го-
горизонтально в сторону, противоположную движению платформы.
Начальные скорости шариков также равны v. Как будут двигаться
шарики относительно платформы и относительно Земли? Напишите за-
законы движения шариков в обеих указанных координатных системах.
5. Тело, имея начальную скорость vOf движется с ускорением а.
Определить путь,*'проходимый телом в n-ю секунду. (Решить двумя
способами.)
6. За время / тело прошло путь s, а его скорость уменьшилась в п
раз. Считая движение равнозамедленным, определить величину замед-
замедления а.
7. Тонкая нить, к которой прикреплены (п + 1) тяжелых шари-
шариков, поддерживается за верхний конец так, что нижний шарик почти
касается пола, а расстояния остальных шариков от нижнего равны
соответственно 1 см, 4 см, 9 см, ..., п2 см. Когда нить выскальзывает
из зажима, шарики один за другим ударяются о пол. Определить про-
промежутки времени, через которые следуют эти удары.
8. С башни высотой h бросают два шарика — один вертикально
вверх со скоростью vlt другой вертикально вниз со скоростью v2. Каков
промежуток времени At, отделяющий моменты их падения на Землю?
9. Тело, брошенное горизонтально, в конце 5-й секунды при-
приобрело скорость v = 100 м/сек. Найти угол между направлениями ско-
скорости v и полного ускорения тела в указанный момент времени. Уско-
Ускорение силы тяжести принять равным 10 м/сек2.
10. Тела, находящееся на высоте Н = 80 м над землей, брошено
горизонтально с начальной скоростью v0 = 15 м/сек. Найти полную
скорость тела в тот момент, когда оно окажется на высоте h = 60 м
<¦ над землей. Ускорение силы тяжести принять равным 10 м/сек2.
11. Камень, брошенный горизонтально с крыши дома со скоростью
с^о = 15 м/сек, упал на землю под углом а = 60° к горизонту. Какова
скорость камня в момент соударения с землей? Какова высота дома?
12. Камень брошен вниз с башни высотой h под углом а к верти-
вертикали с начальной скоростью v0. Найти расстояние х, которое пролетит
камень вдоль поверхности земли. Поверхность земли считать горизон-
горизонтальной.
Указание. Составить уравнения движения камня х = х (t)
и У = У М- Из уравнения у = у (/) найти время и подставить его в пер-
первое.
13. Тяжелый шарик бросают с начальной скоростью v0 вверх под
углом а к горизонту. В момент бросания шарик находится на высоте h
над поверхностью земли. Считая поверхность земли горизонтальной,
определить: а) расстояние, которое пролетит шарик вдоль горизон-
горизонтали; б) конечную скорость шарика v; в) угол между направлением v
и горизонталью.
Указание. См. указание к задаче № 12
- 338 -
14. Из окна поезда, движущегося по горизонтально расположен-
расположенному пути с постоянной скоростью и, бросают вверх под углом а к го-
горизонту тяжелый шарик в сторону, противоположную движению. На-
Начальная скорость шарика v±. В момент бросания шарик находится на
высоте h над плоскостью путей. Определить: а) расстояние х, которое
пролетит шарик вдоль горизонтали; б) путь s, который успеет пройти
поезд за время полета шарика. Рассмотреть случаи, когда vx cos a < v,
v1 cos а = 0, vx cos а > v. Для случая vx cos a = v написать закон
движения шарика относительно Земли вдоль вертикали и найти из
него время полета шарика.
15. Самолет снижается под углом а к горизонту со скоростью vv
По земле перемещается платформа со скоростью и2 в том же направле-
направлении. На каком расстоянии по горизонтали от цели самолет, находясь
на высоте Л, должен сбросить вымпел, чтобы он упал на платформу?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
16. Два тонких картонных диска закреплены на одной оси и вра-
вращаются электрическим моторчиком с частотой 50 гц. Расстояние между
дисками 22,5 см. Перед одним из дисков с внешней стороны произво-
производится выстрел из пистолета. Пуля пробивает оба диска со смещением
пробоин друг относительно друга, составляющим 1/20 часть* окруж-
окружности. Определить скорость пули.
17. Один из двух математических маятников совершает за некоторое
время 10 колебаний, другой 6. Разность длин их нитей равна 20 см.
Определить длину каждого маятника.
18. По горизонтальной плоскости катится без проскальзывания
материальная окружность, радиус которой R. Поступательная скорость
окружности (скорость перемещения ее геометрического центра) равна v.
Для любой точки окружности определить: а) форму траектории, б) за-
закон движения в параметрической форме (параметр — время t), в) время
одного полного оборота, г) полную скорость как функцию угла а между
линейной и поступательной скоростями, д) полную скорость как фун-
функцию времени.
Динамика. Статика
19. Тело массы т = 40 г, брошенное вертикально вверх с началь-
начальной скоростью v0 = 30 м/сек, достигло наивысшей точки подъема
спустя время t = 2,5 сек. Определить среднее значение силы F
сопротивления воздуха, действовавшей на тело во время его движения
вверх.
20. Пуля массы т = 0,3 г, выпущенная из пневматического ружья
вертикально вверх, упала на землю спустя время /=11 сек. Какова
скорость v0 пули при ее вылете из ствола? Каково среднее давление» воз-
воздуха р на пулю в канале ствола, если его длина / = 45 см, а диаметр
d = 4,5 мм? Трением пули о стенки ствола и сопротивлением воздуха
во время ее движения пренебречь.
21. Две нули одинаковых размеров с массами т1 = 10 г, т2 =
= 15 г подлетают перпендикулярно к доске с одинаковыми скоростями
v = 600 м/сек и пробивают ее. Первая пуля вылетает из доски со ско-
скоростью ух = 400 м/сек. С какой скоростью вылетит вторая пуля,
если полагать, что сила сопротивления доски от скорости пули не за-
зависит?
22. Воздушный шар массы М = 400 кг опускается с ускорением
а = 1 м/сек2. С каким ускорением будет двигаться шар, если из гондолы
- 339 -
выбросить т = 50' кг балласта? Сопротивление воздуха не учитывать.
Подъемную силу считать постоянной.
23. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, требуется
сдвинуть с места приложенной к нему силой F. При каком наклоне линии
действия этой силы к горизонту ее численное значение будет наимень-
наименьшим? Коэффициент трения равен k.
24. К бруску массы т1 = 2 кг, лежащему на столе, привязана нить,
перекинутая через блок, укрепленный на краю стола. К концу нити,
который спущен со стола, привязан груз массы т2 = 0,5 кг. Опреде-
Определить коэффициент трения бруска о стол, если, двигаясь без начальной
скорости, брусок за время t— 2 сек прошел путь s = 1 м.
25. Две гири с массами т1=5/сгит2 = 10 кг висят на концах
нити, перекинутой через блок. Более легкая гиря находится ниже тя-
тяжелой, причем разность между их высотами относительно пола равна Л.
После того как гири (без начальной скорости) пришли в движение,
они через время t = 1 сек оказались на одной высоте. Каково было на-
начальное расстояние h между ними?
26. К концу веревки прикрепили тело массы т2 = 5 кг и несколько
выше тело т1 = 3 кг. Определить натяжение веревки выше тела т1
и натяжение участка между телами, если веревку тянут вверх с уско-
ускорением а = 3 м/сек2.
27. Через неподвижный блок Л перекинута нить, к левому концу
которой привязан блок 5, а к правому — блок С. Через блоки В и С
также перекинуты нити, к концам которых привязаны грузы с массами
mlt m2 и m8, m4 соответственно. Пренебрегая весом блоков и трением
в них, определить натяжения связующих нитей, если известно, что
т4 > тз ?> тг > mi или> наоборот, m4 <J т3 <: w2 < тг.
28. Сани скатываются с вершины ледяной горы, имеющей вид
наклонной плоскости и останавливаются на горизонтальном ледяном
поле на расстоянии s = 300 ж, считая от вершины горы по горизон-
горизонтали. Коэффициент трения скольжения k == 0,02. Определить высоту
горы.
29. Математический маятник массы т = 0,5 кг укреплен на тележке
при помощи стержня и перекладины. Тележка скатывается с наклон-
наклонной плоскости угла наклона а = 30°. Коэффициент трения k = 0,2.
Определить натяжение нити маятника.
30. Нить маятника, установленного в ракете, отклонена до гори-
горизонтального положения и отпущена. В момент, когда маятник проходил
положение равновесия, ракета начала подниматься вертикально вверх.
Максимальный угол отклонения маятника от вертикали оказался
равным 45°. Определить ускорение gx ракеты в момент старта.
31. На вершине наклонной плоскости угла наклона а укреплен
неподвижный блок, через который перекинута нить так, что тело с мас-
массой т, прикрепленное к одному ее концу, находится на наклонной плос-
плоскости, тогда как другое тело с массой М, прикрепленное к второму
концу нити, висит, растягивая ее вдоль вертикали.
Коэффициент трения между телом т и плоскостью наклона равен ?.
Предполагая, что значение k не меняется при переходе от покоя к дви-
движению и пренебрегая весом нити и трением в блоке, определить: 1) зна-
значения отношения М/m, при которых тело массы т движется по наклон-
наклонной плоскости равномерно ускоренно (вверх и вниз); 2) значения М/т,
при которых возможно равномерное движение грузов (вверх и вниз);
3) значения М/т, при которых грузы будут неподвижны; 4) натяжение
связующей нити во всех указанных случаях.
— 340 -
32. На равноплечных весах вместо одной из чашек подвешен на
нитях маятник Максвелла — тяжелый диск, в который впрессована
ось. На концы оси намотаны нити, прикрепленные к коромыслу. В на-
начальный момент диск не раскручивается, так как он скреплен дополни-
дополнительной нитью с плечом коромысла. На другой чашке весов лежит раз-
разновес. Весы уравновешены. После того как удерживающую нить пе-
пережгли, диск, раскручиваясь на нитях подвеса, стал двигаться вниз.
Когда длина подвеса исчерпалась, произошел толчок (концы нитей
привязаны к оси диска), который из рассмотрения исключается, после
чего диск стал накручиваться на нити и подниматься вверх. Как изме-
изменится равновесие весов при движении диска: а) вниз; б) вверх?
33. Две материальные точки с массами т1 и т2 движутся вдоль
одной прямой. Их текущие координаты равны соответственно хх и х2.
Доказать, что координата х точки их центра масс в любой момент вре-
времени определяется выражением
Считая скорости указанных материальных точек постоянными
и равными соответственно их и t>2, показать, что количество движения
системы равно количеству движения ее центра масс, т. е. m±vx +
+ m2v2 = Ми, где М = mx + m2, a v — скорость центра масс.
84. По горизонтальным рельсам без трения движется со скоростью
v =» 20 лм/ч платформа весом Р = 1960 н. На нее по вертикали падает
сверху камень веса Рг = 490 «, который затем движется вместе с плат-
платформой. Через некоторое время в платформе открывается люк, камень
проваливается вниз. С какой скоростью vx движется после этого плат-
платформа?
85. Брусок массы М движется без трения по горизонтальной плос-
плоскости со скоростью v0. На его передний край кладут монету массы т.
Начальной скорости у монеты нет, ее размерами можно пренебречь
по сравнению с длиной бруска. Коэффициент трения между бруском
и монетой равен k. При какбй длине / бруска монета не соскользнет
с него?
36. Ракета движется по инерции в космическом пространстве.
На ее conVto надели изогнутую трубу выходным отверстием в сторону
движения (трубу можно заменить плоскостями двухгранного угла,
полусферой и т. д.) и включили двигатели. Изменится ли скорость
ракеты?
37. Какую скоррать должен иметь вагон, движущийся по закруг-
закруглению радйуёа $ «в [00 м> чтобы шар, подвешенный на нити к потолку
вагона, отклонился от вертикали на угол а = 45°? Чему равна сила
натяжений нити, если масса шара т = 1 /се?
Зо. В вагоне поезда, идущего по закруглению со скоростью и,
производится взвешивание груза на пружинных весах. Истинный вес
груза Р. Показания весов F. Определить радиус R закругления.
Ж На горизонтально вращающейся платформе на расстоянии
R = 50 см от оси вращения лежит груз. Груз начинает скользить по
платформе, когда скорость вращения достигает 0,1 об/сек. Найти коэф-
коэффициент трения k между грузом и платформой.
40. Мальчик вращал на веревке длиной / = 0,5 м в вертикальной
плоскости камень массы т == 100 в. Веревка оборвалась в тот момент,
когда скорость камня была направлена вертикально вверх. Через
-341 -
сколько времени / камень упал на землю, если веревка лопнула при
нагрузке f = 2 кП Сколько оборотов в секунду делал камень перед
обрывом веревки?
41. Математический маятник оттянут в горизонтальное положение
и затем отпущен. Какой угол а нить маятника составляет с вертикалью
в момент, когда полное ускорение маятника направлено вдоль гори-
горизонтали?
42. На середине невесомого жесткого стержня длиной / = 1 м
укреплен груз массы т. Будучи поставлен вертикально на землю,
стержень находился в неустойчивом равновесии и упал от незначитель-
незначительного толчка. Считая нижний конец стержня неподвижным, определить
скорость, с которой верхний конец достиг земли.
43. На легкий длинный стержень А В насажен массивный шар,
находящийся ближе к концу В стержня. В каком случае стержень
упадет быстрее: если его поставить вертикально на конец А или конец В?
Стоящий на земле конец стержня не проскальзывает.
Указание. Доказать с помощью энергетического уравнения.
44. На столе лежит однородная цепочка длины /. Определить на-
наибольшую длину /j части цепочки, которая может свешиваться со стола.
Коэффициент трения между цепочкой и ловерхностью стола равен k.
45. Необходимо вырыть колодец глубиной h = 12 м и попереч-
поперечным сечением S = 2 м2. Какую работу требуется совершить, чтобы всю
вынимаемую землю поднять до верхнего края колодца? Считать, что
вынутая земля рассыпана вокруг колодца тонким слоем. Вес 1 ж3 земли
в среднем равен 1,8 Т.
46. Брусок массы М равномерно втягивается вверх по доске, име-
имеющей наклон а к горизонту, на высоту h. Определить энергию Wy за-
затрачиваемую при этом на нагревание доски и бруска, если коэффициент
трения равен k?
47. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся
равноускоренно. Средние мощности автомобилей одинаковы. За одно
и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую,
чем второй. Во сколько раз масса первого автомобиля меньше массы
второго? Трением о дорогу пренебречь.
48. Какую мощность должен развивать трактор весом 15 Г, чтобы
подниматься в гору с постоянной скоростью 5 м/сек, если угол наклона
горы к горизонту составляет 30°?
49. Какой путь s пройдет за время / воз весом Р, если, следуя
басне Крылова, щука и рак тянут его в противоположные стороны
с силами. Fj и F2, а лебедь тянет с силой F3 в ту же сторону, что и рак,
но под углом а к горизонту? Коэффициент трения равен /. Начальная
скорость равна 0.
50. Однородный массивный стержень с укрепленными на его кон-
концах грузами тх = 5,5 кг и т2 = 1 кг находится в равновесии, если его
подпереть на расстоянии 1/5 его длины от более тяжелого груза. Какова
масса т стержня?
51. Шар весом Р подвешен за нить АВУ прикрепленную к нему
в точке В, В некоторой точке Вх к шару привязывают другую нить и от-
оттягивают шар так, что нить А В образует с вертикалью угол а, а вторая
нить, прикрепленная в точке С к стене, ориентирована параллельно
горизонтали. Определить натяжения 7\ и Т2 нитей АВ и ВгС.
52. К гладкой вертикальной стене прислонили лестницу. Угол
между лестницей и горизонтальным участком земли а = 60°. Считая,
что центр тяжести лестницы находится в ее середине, определить, под
- 342 -
каким углом к горизонту направлена сила, действующая на лестницу
со стороны земли.
53. К середине невесомого троса длиной / = 20 м подвешен груз
весом Р = 20 кГ. Определить силу натяжения троса, если образовав-
образовавшийся провес h = 10 см.
54. Квадрат из однородной проволоки, у которого отрезана одна
из сторон, одним из углов повешен на гвоздь. Определить угол, обра-
образованный средней стороной с вертикалью.
55. При выводе спутника на круговую орбиту, проходящую вблизи
поверхности Земли, была совершена работа, равная 109 кГм. Плоскость
орбиты проходит через полюсы Земли. Сопротивление воздуха отсут-
отсутствует. Считая радиус Земли равным 6400 км^ и полагая g = 10 м/сек?.
определить вес спутника.
56. Во сколько раз изменится период колебания математического
маятника при переносе его с Земли на Луну? Масса Луны в 81 раз
меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны
57. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а диаметр Луны
равен 3/11 среднего диаметра Земли. С какой скоростью упадет на лун-
лунную поверхность камень, если он был поднят над ней на высоту h =
= 20 м и не имел начальной скорости?
58. На сколько секунд в сутки будут отставать маятниковые часы,
если их поместить на вершину горы высотой h = 4 км} Предпола-
Предполагается, что у подножия горы часы шли верно и период колебаний их
маятника был равен 1 сек. Радиус Земли считать равным 6400 км.
59. Каков радиус орбиты спутника, если его период обращения
вокруг Земли равен периоду обращения Земли вокруг своей оси? Ра-
Радиус Земли принять равным R = 6400 км.
60. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находя-
находящихся на расстоянии D = 5 • 1013 см друг от друга. Масса каждой звезды
М = 1,5'1087 г. Найти период Т их обращения вокруг общего центра
тяжести. Гравитационная постоянная У = -тг-*\0~9 м?/кг*сек2.
61. Один из способов определения массы Земли (способ Иолли,
1871 г.) заключается в следующем. К концам коромысла равноплеч-
ных рычажных весов подвешены две чашки I и П. К чашке I привязана
на нити чашка III, а к чашке II — еще одна чашка IV. На чашку I
кладут сферическую массу пгъ а на IV—шарик т2. Массы mv m2i
а также длины нитей подбираются так, чтобы весы находились в равно-
равновесии (вес всех чашек, конечно, строго одинаков). После этого под чаш-
чашкой IV помещают большой шар массы М. Расстояние d между шарами
тг2 и М фиксируется. Чтобы восстановить нарушившееся равновесие,
на чашку I кладут грузик массы т.
Примечание. Проведя эксперимент на чашках I и IV, де-
делают затем то же самое, пользуясь чашками II и.III. Тем самым исклю-
исключают ошибки, связанные с самой установкой.
Определить массу Земли, зная, что М =? 5775,2 кг, ш2 = 5,00 кг,
m == 598 мг% d = 56,86 см и радиус Земли R = 6366 км.
Молекулярная физика
62. На сколько нагреется медная трубка, внутренний диаметр ко-
которой 2 см, длина 6 см и толщина стенки 5 мм, при нарезании в ней
резьбы с шагом 0*75 мм, если при нарезке к вороту нужно приложить
- 343 -
силу, момент которой М ¦* 60 кГ*см. Удельная теплоемкость меди с =
= 0,39 джЫ-грф.
63. Какое количество керосина т требовалось бы сжечь, чтобы
вывести спутник массы тх =* 1 т на круговую орбиту вблизи поверх-
поверхности Земли? Теплотворная способность керосина <7 = 46 • 103 дж/з.
Тепловыми потерями и сопротивлением воздуха пренебречь.
64. В стеклянный стакан массы тх = 120 г> имеющий темпера-
температуру t\ = 20° С, влили т2 = 200 г кипятка (t2 = 100° С). Спустя
время х = 5 мин температура воды и стакана стала равна t3 = 40° С.
Предполагая, что потеря тепла шла равномерно, найти количество
тепла q, терявшееся за секунду. Удельная теплоемкость стекла С\ —
= 0*2 кал/г»град.
65. Лед массы т1 = 2 кг при температуре tx = —20° С опустили
в воду, масса которой т2 = 2 кг, а температура t2 — 12° С. Какая
температура установилась в калориметре? Сколько стало в калориметре
льда и воды?
66. Кусок льда массы тх — 4 кг при температуре tt = —10° С
опустили в воду, масса которой т2 == 3 кг, а температура t2 = 20° С.
Сколько воды и льда будет в смеси, когда она придет в состояние тепло-
теплового равновесия?
67. В горизонтально расположенной трубке с газрм, закрытой
с обоих концов, находится капля ртути длиной а = 20 мм. Капля
делит трубку на две равные части. Длина трубки / = 200 мм. Если
трубку ставят вертикально, капля перемещается вниз на h = 80 мм.
Чему равно давление р газа в трубке, когда она находится в горизон-
горизонтальном положении?
68. В горизонтально расположенной стеклянной трубке, запаян-
запаянной с одного конца, находится воздух, отделенный от атмосферы стол-
столбиком ртути. Длина трубки /0, длина столбика ртути -~, длина воздуш-
воздушного столба также равна -|-, а его давление равно атмосферному р0.
Какая часть ртути выльется, если трубку установить вертикально за-
запаянным концом вверх?
69. Тонкий резиновый шар радиуса Яг— 1 дм наполнен воздухом
при температуре tx = 20° С и давлении рх — 760 мм рт. ст. Атмосфер-
Атмосферное давление также равно рг. Каков будет радиус шара R2> если его
опустить в воду с температурой t2 = 4° С на глубину h = 20 ж?
70. Для определения глубины погружения приборов в море при-
применяется запаянная с одного конца стеклянная трубка длины / = 1 ж,
которая погружается в воду вместе с приборами в вертикальном поло-
положении открытым концом вниз. Вода, вступая в трубку, растворяет спе-
специально подобранную краску, которой обмазана внутренняя стенка.
До какой глубины Н были погружены приборы, если краска оказалась
смытой до расстояния h == 0,8 м от открытого конца трубки? Темпе-
Температура на поверхности tx «= 27° С, в глубине воды t2 — 7° С; атмосфер-
атмосферное давление р0 = 75 см рт. ст. Принять плотность воды q = 1 г/см3\
g = 980 см/сек2.
71. Открытую стеклянную колбу, имеющую, форму шара ради-
радиуса R = 2 см с горлышком длиной / = 10 см и диаметром d = 1 см,
нагрели до некоторой температуры t{y а затем погрузили целиком в воду
горлышком вниз. При охлаждении стекла вода вошла в горлышко.
Когда колба приняла температуру воды t2= 13° С, ее начали подни-
- 344 —
мать из воды, не переворачивая, так, что шарообразная часть оказалась
над водой, а горлышко — погруженным в воду. При дальнейшем подъ-
подъеме наступил момент, когда уровень воды в горлышке совпал с уровнем
воды, находящейся снаружи колбы. В этот момент над водой находилась
половина горлышка. Какова была температура tx? Изменением размеров
колбы при нагревании пренебречь.
72. Закрытый цилиндр объемом V = 500 см3 разделен на две части
тонким поршнем, который может двигаться без трения. По одну сторону
поршня в цилиндре находится некоторое количество газа при темпера-
температуре tx — —73° С, а по другую — столько же газа при температуре
t%— 27° С. Поршень находится в равновесии. Определить объемы V,
и V2, на которые разделен цилиндр.
73. Воздух, находившийся в открытом баллоне, при температуре
+27° С, нагревается. В результате нагревания масса воздуха, оставше-
оставшегося в баллоне, составляет 40% от массы воздуха, первоначально на-
находившегося в баллоне. До какой температуры нагрет воздух в баллоне
в этот момент?
74. Найти массу т азота N2, находящегося в баллоне емкостью
V = 30 л, если при температуре t = 100° С давление газа в баллоне
р = 100 am.
75. Найти массу т кислорода О2, заключенного в баллон объе
мом V = 11,2 л, если при температуре t = 27° С давление р кислорода
в баллоне равно 2 am. r
76. Газ массы тх = 20~г, находящийся в открытом сосуде, нагре
вается от 27 до 527° С. Нагревание производится при постоянном внеш-
внешнем давлении. На сколько изменится масса газа в сосуде?
77. В цилиндре, верхний конец которого сообщается с атмосфе-
атмосферой, может без трения перемещаться невесомый поршень. В начальный
момент поршень находится на расстоянии 10 см от дна цилиндра,
а температура газа, заключенного под поршнем, равнялась 27° С. На
сколько сместится поршень, если газ нагреть до 127° С?
78. Определить температуру кислорода, если 8 г этого газа, нахо-
находясь э баллоне объемом 11,2 л, оказывают на его стенки давление
1,5 am.
79. Стеклянный баллон объемом 1 л был наполнен испытуемым
газом до давления 520 мм рт. ст. и взвешен. Его вес оказался равным
9,91 • 104 дин. Затем часть газа была откачана и давление в баллоне упало
до 100 мм рт. ст. Новый вес баллона оказался равным 9,8Ы04 дин
Считая температуру опыта постоянной, определить плотность испыту
емого газа.
80. Сколько молекул газа содержится в сосуде объемом V = 2 л,
если давление газа в сосуде р= 4,1 am, а температура / = 127° С?
81. Найти плотность водяного пара при 27° С и давлении
190 мм рт. ст.
82. Определить удельный объем азота при температуре 27° С
и давлении 1,013 • 105 н/м2.
83. Определить массу аммиака NH3, содержащегося в баллоне
емкостью 20 л при температуре 27° С и давлении 260 мм рт. ст.
84. Какова концентрация п молекул газа в сосуде, если в нем под-
поддерживается давление 0,5 am при температуре 17° С?
85. В сосуде объемом V = 1 л при температуре t = +183° С на-
находится N = 1,62 «10м молекул газа. Каково будет давление газа в со-
сосуде, если его объем изотермически увеличить в 5 раз? В 1 см3 газа при
нормальных условиях содержится 2J»1019 молекул.
- 345 —
86. Определить плотность смеси, состоящей из тг — 2 г окиси
углерода и т2 = 20 г углекислого газа, находящихся при темпера-
температуре 27° С и давлении 760 мм рт. ст.
87. Азот при расширении совершил работу, равную 1960 дж. Какое
количество тепла было подведено, если расширение происходило:
а) изобарически, б) изотермически?
Электричество и магнетизм
88. Металлический шарик радиуса R = 1 см зарядили до потен-
потенциала U = З'Ю3 в и соединили проволочкой с незаряженным шариком
радиуса г = 3 мм. Шарики находятся на расстоянии / = 12 см друг
от друга. С какой силой они будут отталкиваться?
89. Электрон находится в вакууме внутри плоского конденсатора
вблизи пластины, заряженной отрицательно. Разность потенциалов
на конденсаторе U = 103 в. С какой скоростью v электрон подлетит
к положительно заряженной пластине, если его начальная скорость
равна нулю? Масса электрона т=9,Ы0~28 г, его заряд е = 4,8 X
X Ю~10 СГСЭ. Объяснить, почему v не зависит от расстояния между
пластинами.
90. На шарик радиуса г — 2 см помещен заряд q — 4 • 10~1а к.
С какой скоростью подлетает к нему электрон, начавший движение из
бесконечно удаленной от шарика точки? Масса электрона те— 9,1 X
X Ю-28 г, заряд в= 4,8- 1О-*о СГСЭ.
91. Шарик массы m = 0,2 г, несущий заряд q = 1 СГСЭ, помещают
на расстоянии гх = 10 см от неподвижного заряда Q = 500 СГСЭ.
Какую скорость приобретет шарик, когда он, начав движение без на-
начальной скорости, окажется на расстоянии г2 = 50 см от заряда Q?
92. Плоский конденсатор, заряженный до разности потенциалов
V— З'Ю4 в, установлен вертикально. Расстояние между пластинами
d = 10 см. Внутри конденсатора на нити висит небольшой шарик массы
т = 0,3 г, на котором имеется заряд q = 2 СГСЭ. Какой угол с верти-
вертикалью составляет нить подвеса шарика?
93. Два равных положительных заряда qx — q2 == q — 10 СГСЭ рас-
расположены друг от друга на расстоянии R = 20 еж. Посередине между
ними находится отрицательный заряд q3 = —2 СГСЭ. Какую работу А
необходимо совершить, перенеся заряд q3 так, чтобы все три заряда
оказались в вершинах равностороннего треугольника?
94. В двух острых углах ромба, составленного из двух равносто-
равносторонних треугольников со стороной а, помещены одинаковые точеч-
точечные заряды Q. В одном из тупых углов помещен точечный заряд — Q.
Определить напряженность электростатического поля во второй вер-
вершине ромба с тупым углом.
95. В двух вершинах квадрата, расположенных на одной диаго-
диагонали, находятся заряды <7i = 10 СГСЭ и q2— —10 СГСЭ. В третьей
вершине помещен заряд q3 = —20 СГСЭ. Сторона квадрата а = 2 см.
Найти величину и направление вектора напряженности электростати-
электростатического поля в четвертой вершине квадрата.
96. Батарея, состоящая из двух одинаковых последовательно со-
соединенных конденсаторов, заряжена до разности потенциалов U1 и за-
затем отключен-а от источника напряжения. Каково будет напряжение U2
на батарее, если один из конденсаторов погрузить в жидкий диэлек-
диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = 2?
- 346 —
97. Два одинаковых плоских конденсатора соединены парал-
параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 3 в. Определить раз-
разность потенциалов на конденсаторах, если (после отключения их от
источника тока) у одного конденсатора уменьшили расстояние между
пластинами в 3 раза?
98. Конденсатор емкостью С1= 2 мкф заряжен до разности по-
потенциалов иг — 9 в. Какой заряд q будет на обкладках этого конден-
конденсатора, если его соединить параллельно с другим конденсатором ем-
емкостью С2 = 3 мкф, заряженного до разности потенциалов U2 = 18 в?
Какова станет разность потенциалов на конденсаторах?
99. Имеются два плоских конденсатора с емкостями Сх = 4 мкф
и С2 = 5 мкфу у каждого из которых одна обкладка заземлена. Первый
конденсатор заряжается до разности потенциалов Цг = 540 б, второй —
до V 2 = 360 б. Затем их незаземленные обкладки соединяются провод-
проводником. Какое количество заряда Aq пройдет по проводнику?
100. Источник тока с э. д. с. &, сопротивления Rlt /?4 и конденса-
конденсатор емкостью С соединены последовательно. Параллельно к источнику
и сопротивлению Rx подключены два сопротивления R2 и /?3, соединен-
соединенные друг с другом последовательно. Пренебрегая сопротивлением под-
подводящих проводов, определить заряд q на конденсаторе.
101. Гальванический элемент с внутренним сопротивлением г =
= 5 ом замкнут проводником с сопротивлением R = 10 ом. К зажимам
элемента подключен конденсатор емкостью 5 мкф. Определить э. д. с.
гальванического элемента, если заряд на конденсаторе q = 10~4 к.
Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
102. Два одинаковых сопротивления гг — г2 = 25 ом и конденса-
конденсатор, соединенные друг с другом параллельно, включены в цепь источ-
источника постоянного тока с э. д. с. 220 в последовательно с сопротивле-
сопротивлением R = 50 ом. Определить емкость С конденсатора, если его заряд
Q = 1,1 -10^4 к. Внутренним сопротивлением источника тока и сопро-
сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
103. Два параллельно соединенных сопротивления Rx = 60 ом
и R2 — 30 ом подключены к зажимам аккумулятора с э. д. с. 24 б. Сила
тока на неразветвленном участке цепи равна 1 а. Определить силу тока
короткого замыкания аккумулятора. Сопротивлением подводящих
проводов пренебречь.
104. Миллиамперметр со шкалой в 50 делений и ценой деления
500 мка имеет внутреннее сопротивление 200 ом. Какой шунт следует
включить в цепь, чтобы указанным прибором можно было измерить
токи до 1 а? Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
105. Электрическая схема составлена из двух параллельно соеди-
соединенных сопротивлений /?i = 12 ом и R2 = 4 ому подключенных к за-
зажимам генератора с э. д. с. 15 в. Сила тока на неразветрленном участке
цепи / = 3 а. Чему равна сила тока короткого замыкания генератора?
106. Два одинаковых сопротивления гх = г2 = 3« 103 ом соединены
последовательно друг с другом и с источником постоянного тока,
э. д. с. которого равна 250 в. Параллельно сопротивлению гх подключен
вольтметр с внутренним сопротивлением Rx = 8-103 ому а параллельно
сопротивлению г2 — вольтметр с внутренним сопротивлением R2 =
= 4-Ю3 ом. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника тока
и сопротивлением подводящих проводов, определить показания вольт-
вольтметров.
107. К источнику тока с э. д. с. §0 = 12 в и внутренним сопротив-
сопротивлением г = 1 ом подключен как потенциометр реостат сопротивлением
- 347 -
R = 20 ом. Параллельно участку А В реостата присоединен источник
с неизвестной э. д. с. €х (точка А является входной клеммой реостата,
а точка В — клеммой движка). Найти $Xt если показание амперметра,
установленного в цепи источника с э. д. с. 8Х, равно нулю, когда со-
сопротивление г участка А В равно 2,3 ом.
108. Цепь, состоящая из двух параллельных сопротивлений Rx =
= 6сши/?2=12 ом, соединенных последовательно с сопротивлением
R = 15 ом, подключена к зажимам генератора с э. д. с. 200 в и внутрен-
внутренним сопротивлением г = 1 ом. Определить мощность, выделяющуюся
на сопротивлении Rv Сопротивлением подводящих проводов прене-
пренебречь.
109. От источника с напряжением ПО б необходимо передать мощ-
мощность 5 кет на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление
может иметь линия электропередачи, чтобы потери энергии в ней не
превышали 10% от потребляемой полезной мощности?
110. Каков коэффициент полезного действия линии электропере-
электропередачи, если по ней передается мощность W = 5000 кет на расстояние / =
= 10 км? Напряжение на линии U = 10 кв. Провода медные (q = 1,7 X
XlO"8 ом*м) диаметром d = 1 см.
111. Каково внутреннее сопротивление батарейки карманного
фонаря с э. д. с. 4,5 в, если подключенная к этой батарейке лампочка
мощностью W — 1 em, рассчитанная на напряжение V = 3,5 б, горит
нормально (без перекала или недокала)?
112. Лампочка накаливания с вольфрамовой нитью рассчитана
на напряжение U = 120 в и мощность W = 60 вт. При измерении
сопротивления нити оказалось, что оно равно Rx = 20 ом. Какова нор-
нормальная температура накала нити, если температурный коэффициент
сопротивления вольфрама а = 5-10~3 град?
113. Сопротивление стоваттной электролампы, работающей при
напряжении U = 120 б, в накаленном состоянии в 10 раз больше, чем
в холодном. Температура накала /= 2000° С. Найти сопротивление
лампы в холодном состоянии при t0 = 20° С и температурный коэф-
коэффициент сопротивления нити накала.
114. Нагрузка сопротивлением R = 400 ом находится на рассто-
расстоянии / = Л км от источника тока с э. д. с. 5* 103 в и пренебрежимо ма-
малым внутренним сопротивлением. Какой должна быть площадь
поперечного сечения проводов с удельным сопротивлением q =
= 1,1'10~8 .оле'Ж, чтобы через них можно было передать в нагрузку
мощность W = 50 кет?
115. В электропечи должно выделяться количество теплоты Q =
= 10е дж за время t = 10 мин. Какова Должна быть длина нихромовой
проволоки сечением 5 = 0,5 лш2* если печь рассчитана на напряже-
напряжение U = 36 б? Удельное сопротивление нихрома q =_1,2'10" ом*м.
116. Металлический^ Стержень длиной / = 10 еж и массой т = 20 г
подвешен горизонтально на двух нитях, привязанных за его концы.
Концы стержня присоединены гибкими проводниками к источнику
постоянного тока. Стержень помещен в однородное магнитное поле
напряженностью Я = 1000 5, направленное вертикально. При включе-
включении тока стержень переместился, отклонив нити подвеса от вертикали
на угол а == 30°. Определить силу тока, проходящего по стержню.
117. Квадратная рамка с током / = 0,1 а помещена в однородное,
магнитное поле так, что две стороны рамки перпендикулярны направ-
направлению силовых линий, а нормаль к плоскости рамки образует с на-
направлением силовых линий угол а = 30°. Сторона квадрата / = 1 сх.
- 348 —
Напряженность магнитного поля Н = 100 э. Найти момент сил, дей-
действующий на рамку.
118. Рамка, имеющая форму равностороннего треугольника со
стороной а = 33 см, помещена в однородное магнитное поле с напряжен-
напряженностью И = 800 э, которое составляет угол а (а < 90°) с перпендику-
перпендикуляром к плоскости рамки. Определить величину угла а, если среднее
значение э. д. с. индукции, действующей в рамке в течение Д/ = 0,03 сек
в результате выключения поля, равно НО мв.
119. Прямой проводник длины / = 20 см и весом Р — 6 Г подвешен
горизонтально за две легкие проволочки, укрепленные на его концах.
Весь проводник находится в горизонтальном однородном поле, которое
к нему перпендикулярно. Напряженность поля Н — 490,5 э. Каждая
проволочка разрывается При нагрузке на нее в 5 Г. Какой минимальный
ток необходимо пропустить через проводник, чтобы поддерживающие
его проволочки разорвались?
120. Первичная обмотка силового трансформатора для питания
накала радиоприемника имеет пх = 12 000 витков и включена в цепь
с напряжением Ux — 120 в. Какое количество витков п2 должна иметь
вторичная обмотка, если ее сопротивление г — 0,5 ом, а напряжение на
накале t/2 = 3,5 в при силе тока 1 а?
121. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэф-
коэффициентом трансформации k = 10 включена в цепь с напряжением
Ui = 120 в. Сопротивление вторичной обмотки трансформатора г =
— 1,2 ом, сила тока в ней i — 5 а. Определить величину сопротивле-
сопротивления R нагрузки трансформатора и напряжение U2 на зажимах вторич-
вторичной обмотки. Потерями в первичной цепи пренебречь.
Оптика
122. Пучок света падает на стеклянную пластину под углом / =
= 60° и испытывает затем полное внутреннее отражение. Толщина плас-
пластины d = 4 мм, показатель преломления стекла п == 1,5. Какой длины
путь проходит свет в пластине?
123. Какова' кажущаяся глубина расположения предмета под
водой, если его истинная глубина погружения Н = 50 еле, угол между
лучом зрения и поверхностью воды а = 30°, а показатель преломления
воды п = 1,33?
124. На дне водоема лежит зеркало. На каком расстоянии от места
вхождения луча в воду из воздуха этот луч выйдет на поверхность воды
после отражения от зеркала? Угол падения луча на границу воды из
воздуха а = 30°, глубина водоема h = 1,2 лс, показатель преломления
воды п = 1,33.
125. На какую максимальную глубину можно погрузить в воду
точечный источник света, чтобы квадратный плот со стороной 4 м не
пропустил ни одного луча в пространство над поверхностью воды?
Центр плота находится над источником света. Показатель преломления
воды п = 1,33.
126. На поверхности воды плавает тонкий фанерный- круг ради-
радиуса г = 40 см. Над его центром на некоторой высоте h расположен то-
точечный источник света. Найти такое значение Л, когда радиус R тени
от круга на дне водоема максимален. Определить величину R. Глубина
водоема Я = 1,2 м, показатель преломления воды /г = 1,33.
127. Узкий пучок- света, проходя через небольшое отверстие в эк-
экране (перпендикулярно ему), попадает на вращающееся шестигранное
- 349 -
зеркало так, что линия направления лучей перпендикулярна к оси вра-
вращения и проходит через нее. Расстояние между зеркалом и экраном
/ = 1 м. Какой длины полоска прочерчивается на экране отраженными
от зеркала лучами? Размерами граней зеркала по сравнению с рассто-
расстоянием / можно пренебречь.
128. Через круглое отверстие в экране, имеющее диаметр 4 см,
падает на выпуклое зеркало параллельный пучок света. Пучок направ-
направлен вдоль оптической оси зеркала перпендикулярно экрану. Отразив-
Отразившись от зеркала, пучок попадает на экран и образует вокруг отверстия
светлое пятно диаметром 6 см. Каков радиус кривизны зеркала R?
Считать, что ширина пучка мала по сравнению с R. Расстояние от эк-
экрана до зеркала 16 см.
129. На каком расстоянии от выпуклого зеркала находится пред-
предмет, если он в два раза больше своего изображения? Фокусное расстоя-
расстояние зеркала 20 см.
130. Величина действительного изображения предмета в вогнутом
сферическом зеркале в четыре раза больше предмета. Расстояние между
предметом и его изображением 225 см. Определить оптическую силу
зеркала.
131. На каком расстоянии d от вогнутого зеркала необходимо по-
поместить предмет, чтобы его изображение оказалось мнимым и увеличен-
увеличенным в 4 раза? Фокусное расстояние зеркала 60 см.
132. Предмет находится на расстоянии 180 см от экрана. Между
предметом и экраном перемещают линзу, причем при одном ее положе-
положении на экране возникает увеличенное изображение предмета, а при дру-
другом — уменьшенное. Отношение линейных размеров изображений
4:1. Определить фокусное расстояние линзы.
133. Точечный источник света находится на оптической оси линзы
на расстоянии от нее а = 25 см. Фокусное расстояние линзы F = 10 см,
ее диаметр D = 5 см. По другую сторону линзы помещается экран так,
что на нем получается четкое изображение источника. Затем экран пе-
перемещают вдоль оптической оси на расстояние / = 5 см. Определить
диаметр светового пятна на экране.
134. Изображение предмета получается на матовом стекле фото-
фотоаппарата. На какое расстояние надо передвинуть объектив фотоаппа-
фотоаппарата, если между объективом и матовым стеклом поместить стеклян-
стеклянную пластинку толщиной 4 мм"? Показатель преломления стекла ра-
равен 1,6.
Примечание. Если угол а мал, то sin а та tga.
135. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы равно 5 см.
Точечный источник света находится на оси линзы на расстоянии 6 см
от нее. Линза разрезается на две равные части и половинки разносятся
симметрично оптической оси на расстоянге 1 см друг от друга. Найти
расстояние между изображениями указанного источника.
136. Линза с фокусным расстоянием F = 5 см плотно вставлена
в круглое отверстие в доске. Диаметр отверстия 3 см. На расстоянии
а = 15 см от линзы на ее оптической оси находится точечный источник
света. По другую сторону доски помещен лист бумаги, на котором по-
получено четкое изображение источника. Каков будет диаметр светлого
пятна на листе бумаги, если линзу вынуть из отверстия?
137. Кинооператору требуется сфотографировать автомобиль,
движущийся перпендикулярно линии съемки со скоростью 72 км/ч.
В момент фотографирования расстояние между автомобилем и опера-
- 350 -
тором равно 26 м. Фокусное расстояние объектива кинокамеры 13 мм.
Какова должна быть экспозиция, чтобы размытость контуров изобра-
изображения автомобиля на пленке была менее 0,2 мм?
138. Параллельный пучок падает на собирающую линзу, а затем
на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием 18 см. Расстояние между
линзой и зеркалом 32 см. Какое фокусное расстояние должно быть
у линзы, чтобы свет, отразившись от зеркала, собрался в точке, удален-
удаленной от зеркала на 6 см?
139. Фокусные расстояния окуляра и объектива микроскопа равны
соответственно 4 см и 2,5 см. Расстояние между задним фокусом объек-
объектива и передним фокусом окуляра 16 см. Определить увеличение ми
кроскопа.
140. Три одинаковых точечных источника света силой 10 ев распо-
расположены в вершинах равностороннего треугольника со сторонами / =
= 1 м. В центре треугольника перпендикулярно его плоскости и парал-
параллельно одной из сторон находится маленькая пластинка. Определить
освещенность обеих сторон пластинки.
141. Круглый стол диаметром 1 м освещается лампой, висящей
на высоте 1 м над центром стола. Какова освещенность края стола,
если полный поток, посылаемый лампой, равен 300 лм7 Лампу считать
точечным источником света.
Ответы
1. а) °1 + °2 ; б) и в) Vl~V* . 2. о «3,6 м/сек; s = vt.
з.
4. Законы движения шариков выразятся следующими формулами:
в системе координат, жестко связанной с платформой:
у = h + vot - -1L- ,
г = 0;
1
х = vt\
где h — высота шариков над платформой в момент бросания; в системе
координат, жестко связанной с Землей:
at2
= H + vt-?j-
где Н — высота шариков над плоскостью путей.
- 351 -
5. s = vox-4-ln о~)ат2 где т=1^к 6. в = -^> ¦
7. Л/ = l/^iL где s0 = 1
, 2/* / 01 , а2 i/^ 2*
9. 60° 10. 25 м/сек. И. «30 л/аж; 34,4 л.
закон
время
12. х-
13. а) д
б) i
в) t
14. а) х =
г =
б)
движения 1ш
i
его полета
g
v0 cos
v
arctg —
у — их с
g
V
|рика
-(]/t,2cos2c
a /i/ 2 •
-2^Л;
'^sin2a +
y0 cos a
os a 1л/ ^2 „
v0 sin at —-
sin2 a + 2gh
g
2a +
2*/г
in2a-
2" '
2gh
f 2^
ft +
L sin
u0cosaj-
+ v0 sin a
h +vx sin
1>! sin a);
a
15. x = A>! cos a —/ v2) ( 1/ ( —^- sin a J -\ ~ sin a L
16. 225 и«/сел;; ?« 810 /сж/час. 17. 11,2 см\ 31,2 еж.
18. а) Циклоида;
б) j,e*[i_c
в) r = -i-; г) t;a = 2у cos-|-; д) о/ = 2у sin
19. 8,8- Ю-2 а. 20. у0 = -^- » 54 лс/^л; р = —^~ # 6,3-10*
21. 476 л/с^л. 22. —0,26 ж/шса.
—352 —
Я. k
23. Величина F — r—t—: имеет наименьшее значение,
cos a + k sin а
когда cos a + k sin а достигает своего наибольшего значения. Учитывая,
что cosa + k sina = ]Al -f- & -cos (a— ф), где
1 . k
sn
cos<p=
находим a = arctg k.
24. k=
t2mig
0,186.
26. /i«
26. V = (tnx + m2) (a + g)& 102,5 н\ Г = m2 (a + g) ^64,1 н.
27. Натяжения нитей, перекинутых через блоки В и С:
{ =: i . . i •
Ш\Ш2 (/И3 ~f" ^4) "Г* ^3^4 (^1 "Т" ^*2/
через блок A T = 2t. 28. 6 м. 29. 3,82 н. 30. gt ==—pJ .
31. 1) > sin a + k cos а (вверх); < sin а — k cos а (вниз);
2) = sin а + k cos а (вверх); = sinct — k cos а (вниз);
3) sin а — k cos а < < sin а + k cos a; 4) для случая 1 при дви-
движении вверх
Т = ., — A -f- sin a + k cos a),
при движении вниз
T = ¦ • A + sin a — k cos a),
для всех остальных случаев Т = Mg.
32. В обоих случаях будет перетягивать чашка, на которой лежит
Mv
= 16км/ч. 35. />
. 36. Таким
разновес. 34. с*= -т^—. = 16км/ч. 35. />о, ,
г М + m *^ 2fcg (m + М)
способом можно остановить ракету и даже заставить ее лететь в обрат-
обратном направлении. Если вместо трубы укрепить невдалеке от сопла две
плоскости, составляющие острый двухгранный угол, то, изменяя поло-
положение угла и его величину, можно осуществить маневрирование и даже
поворот на обратный курс. 37. 113 км/ч; 1,41 кГ.
38. R
9. 0,02. 40. t
9 -ш F /f
— 1/ -^- » 2,
Dim
2,02 сек;
n = ~2^- у -
3,16 об/сек 41. a = arccos -~=r или arctg
- 353 ^
42. о = 2 KiZ & 6,26 ж/гас. 43. На конец В. 44. /2 = jx
j
45. 2,54.10е дж. 46. ^ = ЛМ^Л ctg а. 47. В четыре раза.
48. 367,5 /сет. 49. s = -|?- [| F3 cos а + F2- Л | - (Р~ Fs sin а) fl.
50. т = 2т* ~ 8т* = 1 кг. 51. '^«JL-; T2 =
52. р = arctg 2 J/T = ~ arctg —j=-. 53. 9,81.10* я.
64. а = arctg -|-. 55. 320 кГ. 56. В 2,43 раза. 57. 8 м/сек.
о
/ fBLY & 4,2.104 /еле.
2л
м vJ 18 суток. 61. М3 = 6,15-1027 е.
62. Приблизительно на 10°. 63. 685 кг.
64. а — ¦ - ¦ = 160,5 дж/сек.
т
65. 0°С; 1,95 кг: 2,05 кг 66. По 3,5 кг. 67. 2,4 мм рт. ст.
68. —
69. R2 = Ri
70. Н = !
Qg/ 1 У — Л)
71 Г -= 2Г2 A6fl3 + 3№) ^ 316о у
72. 300 еж3; 200 см3. 73. 477° С. 74. 2,75 кг. 75. 29 г. 76. На 12,5 г.
77. На 3,3 см. 78. 820° К. 79. 1,24.10-» г/см3. 80. 1,5-10м молекул.
81. 15.10-» г/см3. 82. 0,907 л/г. 83. 4,73 г. 84. 1,266-10*» сж~8.
85. 2-10* н/м2. 86. 1J.10-8 г/см3. 87. а) 6884 дм; б) 1966 дм.
88. 0,12 дин. 89. 1,9-10» сж/шс. 90. 8-107 см/сек. 91. 20
92. 3°53'. 93. Л = -?М§= 2арг. 94. 0. 95. 4,3 СГСЭ?. 96. 0,751/х.
97. 1,5 в. 98. 28,8-10"* к; 14,4 в. 99. Ч-10-4к.
100. д=Сё „ЬЦ'п .
101. 30 в. 102. 2,5 мкф. 103. 6 а. 104. 5,1 ом. 105. 7,5 а. 106. ПО в,
8№о/
140 в. 107. 1,3 в. 108. 267 вт. 109. 0,2 ом. 110. г\ = 1 *!* =
= 0,78, т. е. г]=78%. 111. 3,5 оле. 112. 2220° С. ИЗ. 14,4 ом;
4-10-8град-1. 114. 0,02 еж2. 115. 3,25 ж. 116. 11,3 а. lift. 0,5 дин-см.
- 354 -
118. 30°. 119. 4а. 120. 400 витков. 121. R = ^El—IL = 1,2 ом;
?/2= б в. 122. 9,8 мм. 123. 25 еж. 124. s 2/l sin ^ ^ р,98 л*
Vn2 — sin2 a
125. 1,8 м. 126. При h = 0 #max = г + —?=-=== 176 еж.
__ у п2 —- 1
127. 2/]/гЗ"^3,46ж. 128. /? = 64 см. 129. 20 еж. 130. 1,66 диоптрий.
131. d = 45 см. 132. F= 40 еж. 133. 1,5 еж.
134. х= **("—!) = i<5 жж. 135. беж. 136. 4,5 еж.
п
137. 0,02 сек. 138. 41 еж. 139. В 40 раз. 140. 30 ж. 141. 17 лк.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава I. Кинематика 5
§ 1. Механическое движение 5
1. Некоторые основные определения 5
2. Независимость движения. Векторы 9
§ 2. Равномерно переменное движение 11
1. Закон равномерно переменного движения и
формула изменения скорости со временем ... 11
2. Конечная и средняя скорости в равномерно пере-
переменном движении 17
3 Движение тела, брошенного под углом к гори-
горизонту 19
§ 3. Поступательное и вращательное движения твердого
тела 23
1. Поступательное движение 23
2. Движение материальной точки по окружности 24
3. Мгновенная ось вращения 27
Глава II. Динамика 30
§ 4. Основные законы механики 30
1. Первый закон (закон инерции Галилея) ... 30
2. Второй закон Ньютона. Вес и масса тела ... 31
3. Третий закон Ньютона 33
§ 5. Применение основных законов механики 34
1. Составление уравнений движения 34
2. Импульс силы. Изменение количества движения 44
3. Закон сохранения количества движения ... 46
4. Наклонная плоскость 53
5. Движение тела по окружности ........ 56
6. Движение центра масс 63
7. Движение тел в воздухе 70
§ 6. Системы единиц 73
Глава III. Работа и энергия 79
§ 7. Закон сохранения энергии 79
§ 8. Полная энергия катящейся материальной окруж-
окружности 91
— 356 -
Стр.
§ 9. Упругий и неупругий удары 95
1. Упругий удар 95
2. Неупругий удар 99
§ 10. Мощность 100
Глава IV. Статика - 104
§11. Условия равновесия твердого тела 104
§ 12. Виды равновесия твердого тела 113
§ 13. Простые машины 117
Глава V. Силы тяготения 124
§ 14. Закон всемирного тяготения Ньютона 124
§ 15. Суточное вращение Земли 130
Глава VI. Молекулярная физика 134
§ 16. Внутренняя энергия. Количество теплоты .... 134
§ 17. Законы для идеальных газов 143
1. Закон Шарля 144
2. Давление газа 146
3. Закон Бойля — Мариотта 147
4. Закон Гей-Люссака 148
5. Абсолютная шкала температур 149
6. Уравнение состояния идеального газа 150
7. Теплоемкость газов при постоянном объеме
и при постоянном давлении „ . 154
§ 18. Насыщающие и ненасыщающие пары . . . . . . 160
Глава VII. Электростатика 172
§ 19. Электрические заряды 172
§ 20. Закон Кулона 177
§ 21. Электростатическое поле 179
1. Напряженность -180
2. Линии напряженности 184
3. Теорема Остроградского — Гаусса 191
4. Разность потенциалов 195
5. Графическое изображение электростатических
полей 201
6. Связь между напряженностью и разностью
потенциалов 206
§ 22. Электрическая емкость 208
§ 23. Диэлектрики в электростатическом поле 218
Глава VIII. Постоянный электрический ток 226
§ 24. Электрический ток в металлических проводниках 226
§ 25. Закон Ома для участка цепи 228
§ 26. Закон Ленца — Джоуля 233
§ 27. Закон Ома для полной цепи 245
§ 28. Правила Кирхгофа (разветвленные электрические
цепи) 251
Глава IX. Магнетизм 257
§ 29. Постоянные магниты 257
§ 30, Электромагнетизм 265
§ 31. Электромагнитная индукция 280
— 357 —
Стр.
1. Закон электромагнитной индукции Фарадея.
Правило Ленца 280
2. Самоиндукция 287
Глава X. Оптика 291
§ 32. Геометрическая оптика 291
1. Основные положения. Законы отражения и пре-
преломления 291
2. Полное внутреннее отражение 304
3. Сферические зеркала 307
4. Линзы 317
Собирающие линзы 317
Глаз как оптический прибор 324
Рассеивающие линзы 330
§ 33. Фотометрия 332
1. Основные определения . . . . , 332
2. Законы освещенности 334
Задачи для самостоятельных решений 337
Ответы - 351
Николай Михайлович Сперанский
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Научный редактор В. И. Чечерникое
Редактор издательства Е. С. Гридасова
Художник Л. Е. Григорьев
Художественный редактор Т. А Дурасова
Технический редактор Е. М. Лопухова
Корректор В А. Орлова
Т-15456 Сдано в набор 2/VIII—66 г. Подп. к печати 9/ХЦ—66 г.
Формат 84XIO8V32 Объем 11,25 печ. л. 18,9 усл. п. л. Уч.-изд. л.16,43
Зак. 1180 Изд. № ФМ-292 Тираж 50 000 экз. Цена 56 коп.
Тематический план издательства «Высшая школа»
(вузы и техникумы) на 1966 г. Позиция № 422
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14
Издательство «Высшая школа»
Ленинградская типография № 6 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Ленинград, ул. Моисеенко, 10