Text
                    B.A. Ильин, B.A. Садовничий,
Бл.Х. Сендов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
НАЧАЛЬНЫЙ КУРС
Под редакцией академика А.Н. Тихонова
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальностям „Математика",
„Прикладная математика"
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1985


iiiiiiiiiii СОВМЕСТНОЕ ИЗДАНИЕ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА И СОФИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ КЛИМЕНТА ОХРИДСКОГО, НАПИСАННОЕ В СООТВЕТСТВИИ С ЕДИНОЙ ПРОГРАММОЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
УДК 517 Ильин В. А. и др. Математический анализ. Начальный курс/В. А. Иль- Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова.— 2-е изд., пёрераб.— М.: Изд-во МГУ, 1985.— 662 с. Учебник представляет собой первую часть трехтомного курса матема- математического анализа для высших учебных заведений СССР, Болгарии и Венгрии, написанного в соответствии с соглашением о сотрудничестве между Московским, Софийским и Будапештским университетами. Книга включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию не- непрерывности функций, дифференциальное и иитегральное исчисления функ- функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию неявных функций. Рецензент: Кафедра математики МИФИ (зав. кафедрой проф. А. И. Прилепко) Издательство 9585 @ 077@2)—S5 Московского университета, 1985 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА В настоящее время прогресс в математике в большой степени связан с развитием электронно-вычислительных средств. Матема- Математические методы исследования проникают во все области челове- человеческой деятельности. Все это повышает интерес к математике со стороны смежных наук, использующих различный объем матема- математических знаний, и ставит новые задачи в изучении самой мате- математики. В связи с этим возникает потребность в написании учеб- учебника по математическому анализу, учитывающего указанные за- закономерности. То обстоятельство, что решение математических задач реали- реализуется на ЭВМ с помощью вычислительных алгоритмов, предъ- предъявляет повышенные требования к четкости алгоритмического уровня изложения математических дисциплин. Однако такое из- изложение должно базироваться на классических концепциях ма- математики и не должно их затемнять. Эти общие принципы вместе с задачей четкого, ясного и до- доступного изложения и положены в основу написания предлагае- предлагаемой читателю книги. Книга написана с учетом согласованней между Московским и Софийским университетами программы пре- преподавания первой части математического анализа. В предлагаемом учебнике уделено большое внимание вопро- вопросам оптимизации, играющим в математике и ее приложениях большую роль. В частности, в книге впервые в учебной литерату- литературе в законченном виде излагается алгоритм отыскания как вну- внутреннего, так и краевого экстремума функции. В учебнике уделе- уделено значительное внимание изучению вопроса об исходной инфор- информации, доступной при решении задачи. Так, например, для отыс- отыскания экстремума функции одной переменной авторы предлагают алгоритм, базирующийся на информации только о значениях функции в точках области ее задания. Предлагаемое решение не опирается на знание значений производной в точках области за- задания и пригодно для отыскания экстремума недифференцируе- мых функций.- Такая постановка типична при решении задач об оптимизации производственных процессов. При выборе метода изложения авторы отправляются от того, что выбор алгоритма решения задачи зависит от того, какая ин- информация из постановки этой задачи может быть использована. Так, например, при введении понятия определенного интеграла
Предисловие титульного редактора Римана авторы отправляются от концепции изложения, базирую- базирующейся на использовании значений функции в точках сегмента. Эта концепция, несомненно, является более предпочтительной по сравнению с концепцией введения определенного интеграла Римана с помощью первообразной, ибо она отвечает идее числен- численных методов вычисления определенного интеграла, используемых на ЭВМ. В заключение хочу высказать уверенность, что предлагаемая книга будет способствовать повышению математической культуры читателей с различными запросами к объему математических знаний. А. Тихонов Москва, сентябрь 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании книга подверглась существенной перера- переработке и сокращению в целях максимального приближения ее ма- материала к тому курсу, который реально может быть прочитан студентам первого года обучения. Особенно существенной переработке были подвергнуты разде- разделы, посвященные теории вещественных чисел, теории множеств и теории метрических, топологических и нормированных про- пространств. В книге сохранены три уровня изложения (облегченный, ос- основной и повышенный). Так.же, как и в первом издании, текст повышенного уровня выделен в книге двумя вертикальными чертами, текст основного уровня — одной вертикальной чертой, а остальной текст книги относится к облегченному уровню изложения. Проведенные во втором издании переработки улучшили воз- возможности использования книги на указанных трех различных уровнях изложения. Авторы выражают благодарность сотрудникам кафедры ма- математического анализа механико-математического факультета МГУ и сотрудникам кафедры общей математики факультета вы- вычислительной математики и кибернетики МГУ за критические за- замечания по первому изданию этой книги. Авторы благодарят так- также В. М. Говорова, В. Н. Денисова, И. С. Ломова и В. В. Тихо- Тихомирова за помощь при подготовке второго издания этой книги. Особую благодарность авторы приносят А. И. Прилепко, прочи- прочитавшему рукопись второго издания и сделавшему критические за- замечания, способствующие ее улучшению. Москва, февраль 1985 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга является учебником по математическому анализу по согласованной между Московским и Софийским уни- университетами единой программе первого года обучения. Она пол- полностью охватывает материал первого года обучения, предусмот- предусмотренный программой для студентов университетов СССР и НРБ, обучающихся по специальностям «математика», «механика» и «прикладная математика». Особенностью этой книги является то, что она содержит три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, причем для понимания материала об- облегченного уровня не требуется чтения материалов основного и повышенного уровней, а для понимания материала основного уровня не требуется чтения материала повышенного уровня. Облегченный уровень отвечает программе технических вузов СССР с углубленным изучением математического анализа; основ- основной уровень изложения отвечает программе специальностей «при- «прикладная математика» и «физика» университетов СССР; материал повышенного уровня дополняет материал основного уровня раз- разделами, обычно излагаемыми на механико-математических фа- факультетах университетов. Текст, выделенный в книге двумя вертикальными чертами, от- относится к повышенному уровню изложения; текст, выделенный одной вертикальной чертой, — к основному уровню изложения; остальной текст книги составляет содержание облегченного уров- уровня изложения. Книга содержит вводную главу, разъясняющую возникновение основных понятий математического анализа и облегчающую вос- восприятие последующего материала. В книге нашла отражение возросшая роль вычислительных методов и содержится ряд примеров применения аппарата мате- математического анализа для вычисления элементарных функций, ин- интегралов и отыскания корней уравнений и точек экстремума. В настоящее время в СССР и НРБ имеется целый ряд учеб- учебников по математическому анализу, среди которых особенно удачными, по нашему мнению, являются учебники, написанные Л. Д. Кудрявцевым и С. М. Никольским в СССР и Я. Тагамлиц- ким в НРБ.
Предисловие к первому изданию Авторы настоящей книги, несомненно, испытали влияние этих прекрасных учебников. При написании этой книги авторы использовали часть мате- материала книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математиче- математического анализа», а также опыт преподавания математического ана- анализа в университетах. Авторы выражают глубокую благодарность титульному редак- редактору этой книги академику 'А. Н. Тихонову за большое количест- количество ценных советов и замечаний. Авторы благодарят также Л. Д. Кудрявцева, И. И. Ляшко, В. Л. Макарова, Д. Б. Дойчинова и Т. Боянова, критические за- замечания которых способствовали улучшению этой книги. Особой благодарностью авторы отмечают труд В. М. Говорова и Г. Христова, который намного превзошел рамки обычного ре- редактирования. София, март 1978 г.
Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В настоящей главе, не претендуя на точность формулировок и отправляясь от простейших задач механики, мы постараемся об- обрисовать основной круг понятий и проблем математического ана- анализа. 1. Начнем наше рассмотрение с выяснения тех математиче- математических понятий, которые неизбежно возникают при описании само- самого простейшего вида движения — движения материальной точки вдоль прямой линии. Если материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозна- обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то для описания указанного движения необходимо знать правило, посредством которого каждому значению времени х ставится в соответствие координата у движущейся точки в момент вре- времени х. В механике такое правило называют законом движе- движения. Абстрагируясь от конкретного механического смысла пере- переменных х и у и рассматривая в качестве х и у две совершенно произвольные переменные величины, мы придем к понятию функ- функции, являющемуся одним из важнейших понятий математиче- математического анализа. Если известно правило, посредством которого каждому значе- значению одной переменной х ставится в соответствие определенное значение другой переменной у, то говорят, что переменная у яв- является функцией переменной х, и пишут у=у(х) или y=f(x). При этом переменную х называют аргументом или не- независимой переменной, а переменную у — функцией аргумента х. Букву f в записи y = f(x) обычно называют характери- характеристикой рассматриваемой функции, а значение #=f(*) назы- называют частным значением функции в точке х. Сово- Совокупность всех частных значений функции принято называть о б - ластью изменения этой функции. Отметим сразу же, что приведенная формулировка понятия функции требует уточнения, ибо в этой формулировке ничего не говорится о том, из какого множества берутся значения незави- независимой переменной х. Множество, состоящее из тех и только тех чисел, которые яв- являются значениями независимой переменной х, обычно называют
11 областью задания функции. Описание областей задания функции требует развития теории числовых множеств. Отметим еще, что понятие функции (так же, как и понятие числа, множества и переменной величины) естественно считать начальным понятием (т. е. таким понятием, которое мож- можно описать, но нельзя строго определить, ибо любая попытка дать строгое определение указанного понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным). Таким об- образом, вместо термина «определение функции» естественнее упр- треблять термин «понятие функции». Отметим, наконец, что для обозначения аргумента функции и ее характеристики могут употребляться различные буквы. Так, например, запись x=y(t) обозначает, что переменная х является функцией аргумента t, причем характеристика этой функции .обо- .обозначена через ф. При одновременном рассмотрении нескольких функций одного аргумента t для обозначения характеристик этих функций необходимо употреблять различные символы. 2. Часто приходится рассматривать такую функцию y = f(x); аргумент х которой сам является функцией вида x=q>{t) некото- некоторой новой переменной t. В таком случае говорят, что переменная у представляет собой сложную функцию аргумента t, а переменную х называют промежуточным аргументом. Ука- Указанную сложную функцию называют также суперпозицией функций f и ф. Для обозначения указанной сложной функции естественно использовать символ y = f[y(t)]- Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий вение понятия сложной функции. Предположим, что ная точка М равномерно с постоян- постоянной угловой скоростью со враща- вращается по окружности радиуса R. Найдем закон движения проекции М' точки М на некоторую ось Оу, проходящую через центр О окруж- окружности и лежащую в ее плоскости (рис. 1.1). При этом естественно предположить, что в начальный мо- момент времени /=0 движущаяся точ- точка М находилась в точке Мо пере- пересечения окружности с осью Оу. Обозначим через у координату про- проекции М' точки М на ось Оу, а через х угол М0ОМ, на который по- повернется точка М за время t. Очевидно, что y=R cos x, x = at, и мы получим, что координата у проекции М' представляет собой сложную функцию времени t вида y=Rcosx, где x=at. Эту сложную функцию можно записать в виде y=R cos u>t. Отметим, что движение по закону y=R cos со/ в механике принято называть гармоническим колебанием. возникно- материаль- материальРис. 1.1
12 Гл. 1. Основные понятия математического анализа 3. Из курса физики известно, что важной характеристикой движения материальной точки является ее мгновенная скорость в каждый момент времени х. Если материальная точка движется вдоль оси Оу по закону y = f(x), то, фиксировав произвольный момент времени х и какое угодно приращение времени Ах, мы можем утверждать, что в момент времени х движущаяся точка имеет координату f(x), а в момент времени х+Ах— координату Н ) Таким образом, число Ay = f(x-\-Ax)—f(x) представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за промежуток времени от х до х+Ах. Отсюда вытекает, что отношение Ах Ах /1 1ч обычно называемое разностным отношением, представ- представляет собой среднюю скорость движущейся точки за про- промежуток времени от х до х-\-Ах. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится сред- средняя скорость A.1) при стремлении к нулю промежутка време- времени Ах. Если использовать известный из курса средней школы символ предела, то можно записать следующее соотношение для мгно- мгновенной скорости v(x) в момент времени х: lm lm дх-i-o Ах дж-»о Ах Физическое понятие мгновенной скорости приводит к фунда- фундаментальному математическому понятию производной. Абстраги- Абстрагируясь от механического смысла рассмотренной выше функции у= ==f(x), мы назовем производной произвольной функции у= = f(x) в данной фиксированной точке х предел, стоящий в пра- правой части A.2) (при условии, конечно, что этот предел сущест- существует) . Используя для обозначения производной функции y = f{x) в точке х символ f'(x) или у'(х), мы можем по определению за- записать следующее равенство: /' (х) = lim -^ = lim до Ах a lm lim . д*-»о Ах ax-j-o Ax Операцию нахождения производной договоримся называть диф- дифференцированием. Наше рассмотрение показывает, что при вычислении произ- производной фундаментальную роль играет понятие предела функции.
'13 Предварительное представление о понятии предела функции (да и о^самом понятии производной) дается в курсе средней шко- школы. Однако строгое и последовательное изучение понятия преде- предела возможно лишь на базе строгой теории вещественных чисел. Так, например, без строгой теории вещественных чисел невоз- невозможно установить существование двух следующих важных пре- пределов: iHiи ИтA+ ,)»/', неизбежно возникающих, как мы увидим ниже, при вычислении производных функций г/= sin л: и y=\ogax. Итак, проведенное нами рассмотрение показывает, что вопрос о существовании и вычислении производной упирается в необхо- необходимость развития строгой теории вещественных чисел и на ее базе теории пределов. 4. Займемся теперь вычислением производных двух конкрет- конкретных элементарных функций y=sinx и y = \ogax и выясним, какие математические проблемы неизбежно возникают при этом. Сначала вычислим производную функцию y=smx в любой фиксированной точке х. Для этой функции разностное отношение A.1), очевидно, имеет вид • .AL Д</ _ sin(*+A*)— sins _„_„/„, Аж \ 2 Ax Ax \ 2 Таким образом, производная функции y = sinx в точке х по опре- определению равна пределу Ах lim • д*-»о cos [х + sin — Аде \ 2 A.3) Ах 2 (при условии, что этот предел существует). Можно ожидать, что lim cos (x + —) = cosx. A.4) д*-*о \ 2 / Заметим, однако, что не для всякой фуйкции f(x) справедливо равенство nmf(x + ^f)=f(x). A.5) д*->о V 2 / Функция f(x), для которой в данной точке х справедливо ра- равенство (\ .5) , называется непрерывной (в точке х). Поня-
14 Гл. 1. Основные понятия математического анализа тие непрерывности функции является одним из важйейших мате- математических понятий и будет основательно изучаться в системати- систематическом курсе математического анализа. В частности, в система- систематическом курсе будет доказано, что функция y — cosx является непрерывной в каждой точке х, т. е. в каждой точке х справед- справедливо равенство A.4). Заметим теперь, что для вычисления предела A.3) недоста- недостаточно доказать справедливость соотношения A.4). Для этого не- необходимо еще вычислить следующий предел: sin — 1 • 2 , • sin t I. Ax \ /л ел Urn = lim \t — \ (l.b) A t \ 2 / В систематическом курсе анализа будет строго доказано, что предел A.6), часто называемый первым замечательным пределом, существует и равен единице. Только после того, как будет установлена непрерывность функции i/ = cos;t (т. е. равенство A.4)) и вычислен первый за- замечательный предел A.6), мы сможем, опираясь еще на то, что предел произведения равен произведению пределов сомножите- сомножителей, строго утверждать, что предел A.3) существует и равен cos л: или, что то же самое, производная функции y = sinx суще- существует и равна cos x. Перейдем теперь к вычислению производной функции у = = log0jc, считая, что 0<а=И=1, и фиксировав произвольную точку х>0. Для этой функции разностное отношение A.1) имеет вид Ay _ logq(x+-Ax)—l Ах Ах ( и выбирается так, что х+Дх>0). Таким образом, произ- производная функции y=\ogax в любой точке *>0 по определению равна пределу lim logq(х + А*) — '°ga* п j\ д*-*о Ах (при условии, что этот предел существует). Преобразуем дробь, стоящую в A.7), проделав следующие операции: 1) заменим раз- разность логарифмов логарифмом частного; 2) произведем умноже- умножение и деление на одну и ту же величину х>0\ 3) внесем множи- множитель, стоящий перед логарифмом, под знак логарифма, сделав его показателем степени. В результате получим, что предел A.7) равен Д*-+0
15 i _,In, {-Llog.[(l+,)<]) (<--?-<>). A.8) Рассмотрим отдельно предел при f->0 выражения, заключен- заключенного в правой части последнего равенства в квадратные скобки: Шп[A+ *)']• A.9) Этот предел часто называют вторым замечательным пределом. В систематическом курсе анализа будет установле- установлено, что этот предел равен иррациональному числу е, которое с точностью до пятнадцати знаков после запятой имеет вид е= = 2,718281828459045... Кроме того, в систематическом курсе будет доказана непре- непрерывность функции у=logo х в каждой точке х>0 и, в частности, в точке х—е. Но тогда из существования равного е предела A.9) будет следовать, что lim 1о& [A + t)~\ = loga e. Последнее соотношение и соотношение A.8) позволяют утвер- утверждать, что предел A.7) равен х lm Дх->о Ах Таким образом, после того как будет вычислен второй заме- замечательный предел и установлена -непрерывность функции у= = logo* в точке е, мы сможем строго утверждать, что логариф- логарифмическая функция имеет производную, причем (lq&, х)' - — logo е при 0 < а ф 1, х > 0. X 5. В курсе средней школы кроме двух рассмотренных нами функций #=sin* и y=\ogax изучались еще следующие функции: y=cosx, y = tgx, y = ctgx, y = xa (a — вещественное число), у= — ах @<a=?l), i/ = arcsinx, i/=arccosx, z/=arctgA::, i/ = arcctgx. Все перечисленные функции принято называть простей- простейшими элементарными. Замечательным является тот факт, что при вычислении произ- производных всех простейших элементарных функций не возникает ни- никаких новых трудностей, кроме тех, с которыми мы встретились при вычислении производных функций у=sin x и y=\ogax. He-
16 Гл. 1. Основные понятия математического анализа трудно проверить, что для вычисления производных всех простей- простейших элементарных функций требуются лишь арифметические свойства операции предельного перехода, два замечательных пре- предела и факт непрерывности каждой из этих функций в точках областей их задания. Отмеченное обстоятельство дает нам право без дальнейших разъяснений привести таблицу производных всех простейших эле- элементарных функций. 1°. (ха)' = аха~1 (х>0, а— вещественное число). 2°. (log,, х)' = -i- logoг .@<аф1, х> 0). В частности, при а = е 3°. (а*)'=а* log,а @<аФ1). В частности, при а = е (ех)'=ех. 4°. (sin;t)' = cos;t. 5°. (cos*)'=— sin*. 6°. (tg*)' = —L_ (Хф±. + пя, где я = 0, ±1,±2, ..Л. cos2 л: \ 2 / 7°. (ctgx)'= ^— (хфпя, где л = 0, ±1, ±2,...). 8°. (avCsmxy = -^=^ (|>|< 1). 9°. (агссо5л:):=1 (U|<1) 10°. (aretg*)^-^. 11°. (arcctg*)'=—-|—. Строгое обоснование приведенной таблицы является одной из важных задач той части математического анализа, которую при- принято называть дифференциальным исчислением. Традиционной задачей классического дифференциального ис- исчисления является и несколько более общая задача — вычисление производной любой функции f(x), которая получается из перечис- перечисленных выше простейших элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и конечного числа четырех арифметических действий (сложения, умножения, вычитания и деления). Такую функцию f(x) принято называть просто элементарной. Итак, элементарной называется функция, которая по- получается из простейших элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий.
17 Примером элементарной функции может служить функция Для вычисления производной любой элементарной функции- следует присоединить к выписанной нами таблице производных простейших элементарных функций два правила: 1) правило- дифференцирования сложной функции, 2) правило дифференци- дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций. Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), где u=(f(x), имеет следующий вид: если функция и=<р(х) имеет производную в данной точке хо, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке мо=<р(*о), то сложная функция y = f[<f(x)] имеет производную в точке хо, причем эта производная (обозначим ее через у') равна /=Пф(*о)]<р'(*о). A-10> т. е. равна произведению производной функции y = f(u) в точке «о=ф(*о) на производную функции и=«р(х) в точке хо. Справедливость для производной сложной функции формулы A.10) легко оправдать с помощью наводящих соображений, но строгий вывод формулы A.10) не является простым и будет при- приведен в систематическом курсе математического анализа. Гораздо проще устанавливаются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, которые имеют вид [u(x)±v(x)]' = u'(x)±vr(x), [u{x)v(x)Y=u'{x)v{x)+u(x)v'(x)t и(х) 'I' __ и' (х) v (х) — и (х) v' (х) v(x) J ^(х) (в последней формуле требуется необращение в нуль функции v(x) в рассматриваемой точке х). Подводя итог, мы можем заключить, что одной из важных за- задач части математического анализа, называемой дифференциаль- дифференциальным исчислением, является строгое обоснование таблицы произ- производных простейших элементарных функций и правил дифферен- дифференцирования сложной функции, а также суммы, разности, произве- произведения и частного функций. Это обоснование позволит вычислить производную любой эле- элементарной функции f{x), т. е. любой функции fix), получаю- получающейся из простейших элементарных путем конечного числа супер- суперпозиций и четырех арифметических действий. При этом оказы- оказывается, что производная любой элементарной функции представ- представляет собой также элементарную функцию, т. е. операция диффе- дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.
18 Гл. 1. Основные понятия математического анализа Отмеченное обстоятельство оправдывает введение класса элемен- элементарных функций как традиционного объекта классического ана- анализа. 6. Еще раз обратимся к рассмотрению механической задачи о движении материальной точки вдоль прямой линии — оси Оу, но на этот раз предположим, что для любого момента времени х нам задана мгновенная скорость f(x) движущейся точки и тре- требуется найти закон движения этой точки. Поскольку мгновенная скорость f(x) является производной ¦функции y=F(x), определяющей закон движения, то задача сво- сводится к разысканию по данной функции f(x) такой функции F(x), производная F'(х) которой равна f(x). Отвлекаясь от механиче- механического смысла функций f(x) и F(x), мы придем к математическим понятиям первообразной и неопределенного интеграла. Первообразной функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой F' (х) равна f(x). . Это определение требует уточнения: следует четко оговорить, «а каком множестве должно быть справедливо равенство F'(x) = = f(x). Отмеченное обстоятельство еще раз подчеркивает необхо- необходимость развития теории множеств. Уточнение понятия первооб- первообразной будет дано в систематическом курсе. Заметим, что если функция F(x) является первообразной ¦функции f(x), то и функция F(x)-\-C, где С — произвольная по- -стоянная, также является первообразной функции f(x) (в силу того, что производная постоянной С равна нулю). Более трудным является обратное утверждение: любые две первообразные одной и той же функции f(x) на интервале (а, Ь) могут отличаться лишь постоянным слагаемым. Доказательство этого утверждения требует развитого аппарата математического ¦анализа и будет проведено в систематическом курсе анализа. Опираясь на указанное утверждение, мы можем констатиро- констатировать следующий факт: если функция F(x) является одной из пер- первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) имеет вид F(x)-\-C, где С — постоянная. Совокупность всех первообразных данной функции f(x) назы- называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом U(x)dx. Только что отмеченный нами факт позволяет утверждать, что если F(x)—одна из первообразных функции f{x), то неопреде- неопределенный интеграл от функции f(x) равен где С — любая постоянная. Возвратимся к поставленной нами задаче об отыскании зако- закона движения материальной точки вдоль оси Оу по известной
19 мгновенной скорости f(x) этой точки. Мы теперь можем утвер- утверждать, что искомый закон движения определяется функцией # = () С — д, р фу = F(x) + C, где F(х) —любая первообразная функция f(x)> а постоянная. Как мы видим, без дополнительных условий закоа движения по мгновенной скорости определяется неоднозначно: с точностью до постоянного слагаемого С. Для определения посто- постоянной С должно быть привлечено дополнительное условие, обыч- обычно заключающееся в задании координаты уо движущейся точки в некоторый момент времени Хо- Используя это условие, мы п?>- лучим соотношение yo = F(хо)-\-С, из которого С=уо — F(x0), так что окончательно искомый закон движения имеет вид 7. Рассмотрим вопрос об отыскании первообразных и неопре- неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций. Так как функция f(x)=cosx является производной функции F(x) = = sin*, то функция F(x)=sinx является одной из первообразных функции f(Ar)=cosx, и потому любая первообразная функции f(x)=cosx имеет вид sinx+C, где С — постоянная. Таким об- образом, Г cos xdx = sin x + С. Только что проведенное рассуждение имеет общий характер.. Можно утверждать, что любая формула дифференциального ис- исчисления F'(x)=f(x), утверждающая, что функция f(x) является: производной функции F(x), порождает эквивалентную ей форму- формулу интегрального исчисления jf(x)dx = F(x)-\-C, утверждающую* что неопределенный интеграл от функции f(x) равен Р(х)-{-С,„ где С — любая постоянная. Таким образом, выписанная выше таблица производных про- простейших элементарных функций порождает эквивалентную ей таблицу важных неопределенных интегралов, которую мы приво- приводим ниже. 1°. [xx 2о. fJl = log,*H 3°. [axdx = -^ J l + loge а В частности, при а = е f exdx = i 4°. f sin xdx = —cosx+ С. 5°. $cosxdx = sin х+С.
f—^—= tgx + C ( — ¦—+пп<х<^- + пп, где п = 0, ±1, J cos2* \ 2 2 20 Гл. 1. Основные понятия математического анализа 6°. 70. Г dx =—ctgx+C (лп<*<л+лге, гдеп = 0, ±1, ±2, ...)• J sin2 л: 8°. Г .*^_ =arcsinx+C (|*|<1). Приведенная таблица в систематическом курсе анализа будет дополнена двумя важнейшими правилами интегрирования (инте- (интегрированием посредством замены переменной и интегрированием ло частям). Здесь мы не будем приводить формулировку этих правил, а лишь отметим, что написанная таблица вместе с этими правила- правилами составляет важный вычислительный аппарат той части мате- математического анализа, которую принято называть интеграль- иым исчислением. Следует, однако, сразу же подчеркнуть, что для вычисления многих важных неопределенных интегралов этого аппарата ока- оказывается недостаточно. Например, этого аппарата недостаточно для вычисления неопределенного интеграла Т dx, A.11) играющего важную роль в теории вероятностей и в других разде- разделах точных наук. Интеграл A.11) служит примером интеграла от элементарной функции, не являющегося элементарной функцией. Таким обра- образом, в отличие от операции дифференцирования, операция инте- интегрирования выводит нас из класса элементарных функций. Это об- обстоятельство подчеркивает условность самого понятия элементар- элементарной функции как традиционного объекта классического анализа. Недостаточность описанного нами аппарата ставит на повест- повестку дня задачу о существовании и о вычислении первообразной и неопределенного интеграла от любой функции f(x), только не- непрерывной в каждой точке х области своего задания. Оказывается, такую задачу можно решить при помощи друго- то подхода к проблеме интегрирования функции, к выяснению ко- которого мы сейчас и перейдем. 8. Снова предположим, что функция f(x) представляет собой мгновенную скорость движущейся вдоль оси Оу материальной точки. Поставим цель — вычислить путь, пройденный этой точкой за промежуток времени от х=а до х = Ь.
21 Для облегчения рассуждений будем считать, что скорость f(x) неотрицательна для всех значений времени х. Для решения поставленной задачи разобьем промежуток вре- времени на малые промежутки, ограниченные моментами времени а = хо<Х\<х2< ... <хп-1<хп = Ь. Естественно считать, что на каждом малом промежутке вре- времени от Xh-\ до хи (?/=1, 2,..., п) скорость f(x) меняется мало (что заведомо будет иметь место всякий раз, когда f(x) является непрерывной в каждой точке х). Но тогда приближенно можно считать скорость f{x) постоянной на каждом промежутке [xh^u Xh] и равной значению f(lu), где |& — некоторое значение време- времени из промежутка [Xk-u Xk] ¦ Таким образом, путь S[xk-i, Хь), пройденный движущейся точкой за промежуток времени от хп-\ до хъ., приближенно мож- можно считать равным произведению f(lu) на длину Axu — Xk — Хь-i промежутка [xu-i, Xh] ¦ Итак, S[xk-i, xk] ~f{lk)bxk. В таком случае путь' S [а, Ь], пройденный материальной точ- точкой за весь промежуток времени от х=а до х—Ь, будет прибли- приближенно равен сумме S[a, b]~f(h)/±xl+{(b)bx2+...+f(tn)/±xn. A.12) Сумму, стоящую в правой части A.12), принято называть ин- интегральной суммой. Естественно ожидать, что точное значение пути S [а, Ь) мы получим, переходя в интегральной сумме, стоящей в правой части A.12), к пределу при стремлении к нулю наибольшей из длин bkXk (при этом, конечно, общее число п частичных промежутков будет неограниченно возрастать). Используя символ предела и обозначая через d наибольшее из чисел Ал:], Ахг,..., Дх„, получим, что SM] = lim{/(g1)Ax1 + /(yAx2+... + /(yA*J. A.13) Разумеется, требует уточнения вопрос о том, что мы пони- понимаем под пределом интегральной суммы, стоящим в правой ча- части A.13). На этот раз операция предельного перехода встре- встречается в новой и более сложной форме, чем при вычислении обычного предела функции ttmf(x). Строгое определение и изучение свойств предела вида A.13) будет дано в систематическом курсе анализа. Здесь же мы ука- укажем,; что в математике предел, стоящий в правой части A.13),
22 Гл. 1. Основные понятия математического анализа называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до Ь и обозначается символом ь dx. ( Итак, определенный интеграл A.14) равен пути S[a, b], прой- пройденному движущейся со скоростью f(x) материальной точкой за? промежуток времени от х = а до х — Ь. Вместе с тем очевидно, что интегральная сумма, стоящая в- правой части A.12), геометрически представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых служат отрез- отрезки Axjj, а высотами — отрезки длины f(ih). Иными словами, интегральная сумма, стоящая в правой част» A.12), равна площади ступенчатой фигуры, обведенной на У' О 0 И П • х+Дх 1 ее Рис. 1.2 Рис. 1.3 рис. 1.2 жирной линией. Естественно ожидать, что при стремле- стремлении к нулю длины d наибольшего из чисел Axk площадь указан- указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади криволи- криволинейной фигуры, лежащей под графиком функции y = f(x) на от- отрезке а^х^Ь (на рис. 1.2 эта фигура заштрихована). Эту фигу- фигуру принято называть криволинейной трапецией. Таким образом, определенный интеграл A.14) равен площади указанной криволинейной трапеции. Конечно, проведенные нами наглядные рассуждения требуют уточнения. В частности, в систематическом курсе анализа надле- надлежит уточнить само понятие площади криволинейной трапеции и вообще площади плоской фигуры. Итак, с понятием определенного интеграла A.14) связаны две фундаментальные задачи: физическая задача о вычислении пути, пройденного движущейся со скоростью f(x) материальной точкой за промежуток времени от х = а до х=Ь, и геометрическая зада- задача о вычислении площади криволинейной трапеции. 9. Теперь настало время заняться вонросом о связи определен- определенного интеграла A.14) с введенным ранее неопределенным инте-
23 гралом (или с первообразной), а также вопросом о способах вы- вычисления определенного интеграла. Обозначим через F(x) определенный интеграл от функции f{x) в пределах от а до х, где а — некоторое фиксированное значение аргумента, а х — переменное значение. Иными словами, поло- F(x)= f f{t)dt. A.Д5) С геометрической точки зрения этот интеграл, как это пока- показывает проведенное выше рассмотрение, равен площади криволи- криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции y = f(x) на сегменте [а, х]. На рис. 1.3 эта криволинейная трапеция обве- обведена жирной линией. Используя наглядные геометрические соображения, убедимся в том, что введенная нами функция A.15) является одной из первообразных функции f(x), т. е. убедимся в том, что F'(x) = = f(x). Пусть Ал; — некоторое достаточно малое приращение аргумен- аргумента х. Очевидно, разность F{x-\-Ax)—F(x) представляет собой площадь «узкой» криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 1.3. С другой стороны, если функция f(x) непрерывна в каждой точке х, т. е. если значение этой функции при малом из- изменении аргумента меняется мало, то указанная площадь «узкой» криволинейной трапеции мало отличается от площади f(x) Ax прямоугольника с основанием Ах и высотой f(x). Отсюда следует, что при малом Ах разностное отношение F(x + bx)-F(x) A 16) Ах мало отличается от высоты f(x) указанного прямоугольника, т. е. предел при Ах-+0 разностного отношения A.16) обязан быть ра- равен f(x). Вместе с тем, по определению, указанный предел ра- равен производной F'(x). Итак, мы убедились в том, что F'(x)==f{x), т. е. функция A.15) является одной из первообразных функции f(x). Но тогда любая первообразная функции f(x) равна <D(*) = J/(*)#+С, A.17) а где С — постоянная. Проведенные нами рассуждения имеют предварительный ха- характер, но при наличии развитого аппарата математического ана- * Переменную под знаком определенного интеграла мы обозначаем через t, чтобы не путать ее с верхним пределом интегрирования х.
24 Гл. 1. Основные понятия математического анализа лиза им легко придать строгий характер и строго доказать, что у любой функции f(x), только непрерывной в каждой точке х, су- существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл), причем любая первообразная этой функции определяется равен- равенством A.17). Равенство A.17), в свою очередь, позволяет установить связь ь между определенным интегралом \f(x)dx и любой первообраз- а ной Ф(х) функции f(x). Для установления такой связи возьмем в равенстве A.17) в качестве верхнего предела интегрирования сначала число b, a затем число а. При этом получим , A.18) <D(a)=[f(t)dt + C = C A.19) (ибо интеграл {f(t)dt, очевидно, равен нулю). а Вычитая из равенства A.18) равенство A.19), мы получим, знаменитую формулу Ньютона — Лейбница сводящую вопрос о вычислении • определенного интеграла ъ Г / (х)Лх к вычислению разности значений любой первообразной а Ф(х) функции f(x) в точках Ъ и а. Строгое обоснование формулы Ньютона — Лейбница является одной из важных задач математического анализа. 10. Заметим, однако, что точное аналитическое выражение для первообразной можно получить лишь для узкого класса функций. Поэтому наличие формулы Ньютона — Лейбница не снимает вопроса о приближенных способах вычисления опреде- определенного интеграла. Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла (так называемый метод прямоугольников) ь основан на замене вычисляемого интеграла \f{x\dx интеграль- а ной суммой, стоящей в правой части A.12), у которой все точки
25 5ft являются серединами соответствующих сегментов [ ] длины всех указанных сегментов, т. е. все числа k равны друг другу. В систематическом курсе анализа будет доказано, что при определенных требованиях на функцию f{x) ошибка, совершае- ъ мая при замене интеграла {f(x)dx указанной специальной инте- а тральной суммой, имеет порядок п~ъ, где п — число частичных сегментов. Замечательным является то обстоятельство, что метод прямо- прямоугольников (как и многие другие методы приближенного вычис- вычисления определенного интеграла) допускает удобную реализацию на ЭВМ. Это обстоятельство и равенство A.17) делают эти ме- методы эффективным средством вычисления первообразных и не- неопределенных интегралов. Ниже мы приводим результат вычисления на ЭВМ по методу прямоугольников так называемого интеграла Пуассона i 2 dt для значения х из сегмента Результаты вычислений собраны нами в табл. 1, в которой в первой колонке стоит аргумент х интеграла Пуассона, во второй колонке указана длина h частичного сегмента (или шага), в третьей колонке приведен результат вычисления, а в четвертой колонке указано число п частичных сегментов *. Таким образом, для интеграла Пуассона, не являющегося, как указано выше, элементарной функцией, с помощью ЭВМ и про- простейших приближенных методов без труда могут быть составле- составлены таблицы его значений, делающие использование этого инте- интеграла столь же доступным, как и использование любой элемен- элементарной функции. 11. Наряду с приближенными методами вычисления интегра- интегралов важную роль в современной математике играют приближен- приближенные методы отыскания корней различных уравнений. Рассмотрим простейшее уравнение /(*)=0. A.20) В систематическом курсе анализа будет доказано, что при опре- * При этом следует учитывать ошибки округления, возникающие при пере- переводе чисел, взятых в десятичной системе счисления, в двоичную систему ЭВМ и обратном переводе чисел, полученных в двоичной системе счисления, в деся- десятичную. Вследствие указанных ошибок округления из десяти выписанных после запятой десятичных знаков можно гарантировать правильность первых шести знаков (остальные четыре знака в табл. 1 взяты в скобки).
26 Гл. 1. Основные понятия математического анализа Таблица 1 X 0,0999999642 0,1999999285 0,2999998927 0,3999998569 0,4999998212 0,5999997854 0,6999997497 0,7999997139 0,8999996781 0,9999996424 0,0999999642 0,1999999285 0,2999998927 0,3999998569 0,4999998212 0,5999997854 0,6999997497 0,7999997139 0,8999996781 0,9999996424 А 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964. 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 F[x) 0,039827 (9885) 0,079260 @074) 0,117911 (8581) 0,155422 C028) 0,191463 A319) 0,225747 F439) 0,258037 A805) 0,288145 D843) 0,315940 G870) 0,341345 F679) 0,039827 (8248) 0,079259 F848) 0,117911 C861) 0,155421 F952) 0,191462 D058) 0,225746 (8192) 0,258036 B789) 0,288144 E284) 0,315939 G992) 0,341344 F698) п 10 20 30 40 50 60 70 80' 90 100 100 20О 300 400 500 600 700 800 900 1000 деленных требованиях, налагаемых на функцию f{x), корень х— = с уравнения A.20) может быть найден как предел последова- последовательности итераций хп («=1, 2, 3,...), первая из которых х\ бе- берется из некоторого достаточно широкого диапазона, а все по- последующие шаг за шагом определяются по формуле / (хп) /„ 19 4 ^ Л 211 Г (хп) Указанный метод приближенного вычисления корня уравнения A.20) называется методом Ньютона (или методом ка- касательных). Этот метод допускает очень удобную реализа- реализацию на ЭВМ. В качестве конкретного примера рассмотрим уравнение A.20) с функцией f(x) вида f(x)=xk — а, где а — положительное веще- вещественное число, а 1С^2 — целое положительное число. Для такой, функции f(x) положительным корнем уравнения A.20) будет яв- являться число Уга (т. е. корень степени k из положительного ве- вещественного числа а). Формула A.21), определяющая последовательные приближе- приближения метода Ньютона, на этот раз принимает вид — 1 9 ч 1 Л 221 kx .ft—1 (Чтобы убедиться в этом, достаточно учесть, что f'(x)=kxk~l.)
27 Формула A.22) представляет собой эффективный легко реали- реализуемый на ЭВМ алгоритм вычисления корня степени k из поло- положительного числа а. Приведем пример вычислений, проведенных на ЭВМ по этой формуле. Всякое положительное вещественное число а представимо (и притом единственным способом) в виде а = 21х, где / — целое число, а х удовлетворяет неравенствам 1/2^х<1. Будем каждой раз выбирать за первое приближение х\ число %\ = 2Wh\ где k — степень извлекаемого корня, а символ [l/k] обозначает целую часть числа l/k. Результаты вычислений собраны нами в приводимую ниже табл. 2, в которой в первой колонке стоят числа а, из которых из- извлекается корень, во второй колонке указаны степени k извле- извлекаемых корней, в третьей колонке приведен результат вычисле- вычислений, а в четвертой колонке указано число сделанных итераций. Таблица 2 а 2 3 4 2 3 4 2 3 4 k 2 2 2 5 5 5 10 10 10 к г — У " 1,41423181 1,732049942 1,999999046 1,148697853 1,245730400 1,319507599 1,071773529 1,116123199 1,148697853 п 4 5 5 5 5 6 5 6 6 12. Мы рассмотрели постановку важнейших задач математи- математического анализа, отправляясь от простейшей механической моде- модели— движения материальной точки вдоль прямой линии. Такая модель естественно привела нас к необходимости построения диф- дифференциального и интегрального исчисления функции f(x) од- одной независимой переменной. При описании более сложных задач естествознания возникает понятие функции нескольких независимых переменных Х[, Х2,—,хт. Так, например, температура и нагреваемого тела пред- представляет собой функцию четырех независимых переменных: трех координат xi, X2, хз точки этого тела и времени t. Эту функцию естественно обозначить символом u = f(x\, x2, #з, t) ¦ Для функции нескольких независимых переменных естествен- естественно ввести понятие производной по каждой из переменных (такую производную называют частной производной по данной переменной).
28 Гл. 1. Основные понятия математического анализа Важной задачей для последующего развития математического анализа является построение дифференциального и интегрально- интегрального исчислений функций нескольких переменных. Наконец, математический анализ, понимаемый в совсем ши- широком смысле, включает в себя теорию так называемых диффе- дифференциальных уравнений (т. е. уравнений, содержащих искомые функции под знаками производных). В последние десятилетия широкое развитие получили теории, исходящие из обобщенной трактовки самого понятия функции, понятия производной и понятия решения дифференциального уравнения, связывающего производные функции. Создание математического анализа является одним из вели- величайших достижений человеческого разума. Оно позволило от рас- рассмотрения отдельных разрозненных физических и геометрических задач (таких, как падение тела под действием силы тяжести, вы- вычисление площади, лежащей под параболой) перейти к развитию общих методов решения больших классов задач. Развитие мате- математического анализа, в свою очередь, оказало огромное влияние на прогресс науки и техники. Классический математический анализ представляет собой очень удобную идеализированную модель, основанную на том, что мы располагаем точными значениями всех исходных величин и можем найти точные значения всех вычисляемых величин. Заметим вместе с тем, что, отправляясь от этой модели, мы, как правило, можем оценить погрешность, возникающую вслед- вследствие того, что исходные величины заданы нам с некоторой ошибкой и все вычисления могут быть проведены лишь с опреде- определенной точностью. Таким образом, аппарат математического анализа может быть использован для построения численных методов и оценки погреш- погрешностей. Подводя итог, систематизируем первоочередные и наиболее важные проблемы, выявившиеся в результате проведенного нами предварительного рассмотрения. 1. Уточнение понятий вещественного числа, множества и функции. 2. Развитие теории пределов и связанного с этой теорией по- понятия непрерывности функции. 3. Построение аппарата дифференциального и интегрального исчислений. 4. Построение теории определенного интеграла как предела сумм специального вида. 5. Развитие приближенных методов вычисления определенных интегралов и приближенных методов решения уравнений. 6. Выяснение некоторых геометрических понятий (таких, как площадь плоской фигуры, длина дуги).
Глава 2 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В предыдущей главе мы убедились в том, что развитие тео- теории вещественных * чисел необходимо для строгого и последова- последовательного изучения понятия предела, являющегося одним из важ- важнейших понятий математического анализа. Необходимая нам теория вещественных чисел, излагаемая в этой главе, включает в себя определение операций упорядочения сложения и умножения этих чисел и установление основных свойств указанных операций, а также доказательство существо- существования точных граней у множеств чисел, ограниченных сверху ил го снизу. В конце главы дается представление о дополнительных вопро- вопросах теории вещественных чисел, не являющихся необходимыми1 для построения теории пределов и вообще курса математического анализа (полнота множества вещественных чисел в смысле Гиль- Гильберта, аксиоматическое построение теории вещественных чисел, связь между различными способами введения вещественных: чисел). Самый последний параграф главы посвящен элементарным вопросам теории множеств, близко примыкающих к теории веще- вещественных чисел. § 1. МНОЖЕСТВО ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 1. Свойства рациональных чисел. Понятие рационального чис- числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса средней школы. В настоящем пункте мы даем систематизацию* хорошо известных из курса средней школы вопросов теории ра- рациональных чисел. Рациональным называется число, представимое (хотя бы одним способом) в виде отношения двух целых чисел, т. е. виде дроби tn/n, где тип — целые числа и 0 * Вместо термина «вещественное число» часто употребляют термин «дей- «действительное число».
30 Гл. 2. Вещественные числа Рациональные числа обладают следующими 16 основными свойствами *. (При формулировке этих свойств мы вместо терми- термина «рациональное число» употребляем более краткий термин •«число».) 1°. Любые два числа а и Ь связаны одним и только одним из трех знаков >, < или =, причем если а>Ь, то &<а. Иными -словами, существует правило, позволяющее установить, каким из указанных трех знаков связаны два данных числа. Это правило называется правилом упорядочения**. 2°. Существует правило, посредством которого любым числам €i и b ставится в соответствие третье число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с = а+Ь***. Операция на- нахождения суммы называется сложением. 3°. Существует правило, посредством которого любым числам а и Ъ ставится в соответствие третье число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с=а•&****. Опе- Операция нахождения произведения называется умножением. Правило упорядочения обладает следующим свойством: 4°. Из а>Ь и 6>с вытекает, что а>с (свойство транзитивно- транзитивности знака >); из а = Ь и Ъ = с вытекает, что а = с (свойство тран- транзитивности знака =). Операция сложения обладает следующими четырьмя свойст- свойствами: 5°. а-\-Ь = Ъ-\-а (коммутативность или перестановочное свой- свойство) . 6°. (а-\-Ъ)-\-с = а-\-{Ъ-\-с) (ассоциативность или сочетательное свойство). 7°. Существует число 0 такое, что а+0=а для любого числа а (особая роль нуля). 8°. Для каждого числа а существует противоположное ему чи- число а' такое, что а+я' = 0. Аналогичными четырьмя свойствами обладает операция умно- умножения : * Все приводимые нами свойства рациональных чисел могут быть получены из свойств целых чисел. ** Правило упорядочения рациональных чисел формулируется так: два не- неотрицательных числа a=ml/nl и Ь=/п2/«2. у которых /ii>0 и Лг>0, связаны тем же знаком, что и два целых числа т\-п2 и m2-«i; два неположительных числа а и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа |Ь| и \а\; если а неотрицательно, а Ь отрицательно, то с>6. *** Правило образования суммы двух рациональных чисел а=т.\\п\ и m-L /щ m1-n2-\-nh-n1 J> = m2iri2 определяется равенством -\ = , которое пх п2 щ-щ, получается с помощью известного приема приведения к общему знаменателю. **** Правило образования произведения двух рациональных чисел а = = т-[1п\ и Ь = т2/л2 определяется равенством ¦ = "". Пх «2 Пх-«2
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 31 9°. а-Ъ = Ъ-а (коммутативность). 10°. (а-b) -с = а- (Ь-с) (ассоциативность). 11°. Существует число 1 такое, что а-1=а для любого чис- числа а (особая роль единицы). 12°. Для каждого числа аф& существует обратное ему число- а' такое, что а-а'=\. Операции сложения и умножения связаны следующим свой- свойством: 13°. (a-\-b) -c = a-c-\-b-c (дистрибутивность или распредели- распределительное свойство умножения относительно суммы). Следующие два свойства связывают операцию упорядочения с операцией сложения или соответственно умножения: 14°. Из а>Ь вытекает, что а-\-С>Ь-\-с. 15°. Из а>Ь и с>0 вытекает, что а-с>Ъ-с. Особая роль принадлежит последнему свойству. 16°. Каково бы ни было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а *. Перечисленные 16 свойств называют основными потому, что все другие алгебраические свойства, относящиеся к опера- операциям сложения и умножения и к сочетанию равенств и нера- неравенств, могут быть извлечены как логические следствия из ука- указанных 16 свойств. Так, например, из основных свойств вытекает следующее часто используемое в дальнейшем свойство, позволяющее почленно складывать неравенства одного знака: если а>Ъ и c>d, то a-\-c>b-\-d. В самом деле, из неравенств а>Ь и c>d и из свойств 14° и 5° вытекает, что а-\-с>Ъ-\-с и b-\-c~>b-\-d, а из двух последних неравенств и свойства 4° вытекает, что a+Ob-f-d 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрез- отрезков числовой оси. Договоримся называть числовой осью прямую» на которой выбраны определенная тонка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ, длину которого мы принимаем равной единице, и положительное направление (обычно от О к Е). Оче- Очевидно, каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка. В самом деле, из курса средней школы известно, как построить отрезок, длина которого составляет 1/я часть длины масштабного отрезка ОЕ (п — любое целое положи- положительное число). Следовательно, мы можем построить и отрезок, длина которого относится к длине масштабного отрезка как m/л, где m и п — любые целые положительные числа. Отложив такой отрезок вправо (влево) от точки О, мы получим точку М\(М2), соответствующую рациональному числу пг/п (—пг/п) (рис. 2.1). * Это свойство часто называют аксиомой Архимеда.
32 Гл. 2. Вещественные числа Заметим теперь, что не каждой точке М числовой оси соответ- соответствует рациональное число. Так, например, если точка М выбра- выбрана так, что длина отрезка ОМ равна диагонали квадрата, сторо- стороной которого служит масштабный отрезок ОЕ, то поскольку дли- длина масштабного отрезка ОЕ равна единице, по теореме Пифаго- Пифагора длина х отрезка ОМ является корнем уравнения х2 = 2 и, как показано в курсах средней школы, не является рациональным числом. Но это и означает, что указанной точке М не соответ- соответствует рациональное число. 0 м2{-%-) о ' ' ' о ' ¦ о о -о 1 I I 1 1 1 > I 1 о о ' ' и а, рм, Рис. 2.1 Рис. 2.2 Естественно, возникает потребность расширить множество ра- рациональных чисел и ввести в рассмотрение более широкое множе- множество чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества (или, что то же самое, чтобы с помощью этого более широкого множества чисел можно было выразить длину любого отрезка ОМ числовой оси). Убедимся в том, что посредством измерения отрезка ОМ каж- каждой точке М числовой оси можно поставить в соответствие впол- вполне определенную бесконечную десятичную дробь. Пусть М — любая точка числовой оси. Ради определенности 'Предположим, что точка М лежит направо от О. Проведем про- ¦цесс измерения отрезка ОМ при помощи масштабного отрез- отрезка ОЕ. Сначала выясним, сколько раз целый масштабный отрезок уложится в отрезке ОМ*. Могут представиться два случая: 1) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число а0 раз •с некоторым остатком NM, меньшим ОЕ (рис. 2.2). В этом слу- случае целое число ао представляет собой результат измерения по недостатку с точностью до числа 1. 2) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число а0 раз без остатка. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и целое рациональное число ао считать дли- длиной отрезка ОМ. Формально мы можем утверждать, что в этом •случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь .ао.ООО..., которая отождествляется с целым рациональным чис- числом ао- * В силу аксиомы Архимеда для отрезка, каковы бы ни были два отрезка АВ и CD, повторив один из этих отрезков слагаемым достаточно большое число раз, мы получим отрезок, длина которого превосходит длину второго «отрезка.
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 33 В первом случае процесс измерения следует продолжить и вы- выяснить, сколько раз 1/10 часть масштабного отрезка ОЕ уклады- укладывается в отрезке NM (являющемся остатком измерения с по- помощью целого отрезка ОЕ). Снова могут представиться два случая: 1) 1/10 часть ОЕ укладывается в отрезке NM а\ раз с некото- некоторым остатком РМ, меньшим 1/10 части ОЕ (см. рис. 2.2). В этой случае рациональное число ао, а\ представляет собой результат измерения ОМ по недостатку с точностью до числа 1/10. 2) 1/10 часть ОЕ укладывается в отрезке NM целое число а,\ раз без остатка. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и рациональное число ао, а\ считать длиной отрезка ОМ. Формально мы можем утверждать, что в этом слу- случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь ao,aiOOO..., отождествляемая с рациональным число ао.сц. Продолжая указанные рассуждения далее, мы придем к двум возможностям: 1) либо описанный процесс измерения оборвется на га-м шаге вследствие того, что точке М соответствует рациональное число ao,aia2.-.an (в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь ao,aiu2... ап000..., которую мы отождествляем с рациональным числом ao,aia2 ... ап); 2) либо описанный процесс измерения никогда не оборвется и мы получим бесконечную последовательность рациональных чисел а0; ao,'ai; ...; ao,aia2...an; ..., B.1) представляющих собой результат измерения по недостатку отрез- отрезка ОМ с точностью до 1, , ... , ——, .... Каждое из чисел последовательности B.1) может быть полу- получено обрыванием на соответствующем знаке бесконечной десятич- десятичной дроби ао, а\а2...ап.... B.2) Таким образом, в случае 2) точке М числовой оси отвечает вполне определенная бесконечная десятичная дробь B.2). Можно сказать, что и в случае 1) точке М отвечает бесконечная десятич- десятичная дробь B.2), но в этом случае у этой дроби все- десятичные знаки с номером, большим п, равны нулю, т. е. указанная дробь в случае 1) имеет вид а0, а\а%... а„000 .... Приведенные нами рассуждения применимы и для случая, ко- когда точка М лежит левее точки О, только в этом случае естест- естественно считать, что все элементы последовательности B.1) и бес- бесконечная дробь имеют отрицательный знак. Итак, мы убедились, что описанный нами процесс измерения позволяет поставить в соответствие каждой точке М числовой оси вполне определенную бесконечную десятичную дробь. Это об- 2 Зак. 72
34 Гл. 2. Вещественные числа стоятельство естественно приводит нас к необходимости рассмот- рассмотрения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Замечание. Конечно, описанный нами процесс измерения отрезка ОМ можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению не бесконечных десятичных, а, например, бесконеч- бесконечных двоичных или бесконечных троичных дробей. Жела- Желание рассматривать бесконечные десятичные дроби вызвано лишь той особой ролью, которую традиционно играет десятичная систе- система счисления. Развитие электронной вычислительной техники по- повысило роль двоичной и троичной систем счисления, ибо (в"силу конструктивных особенностей ЭВМ) эти системы счисления более удобны в практике использования ЭВМ. 3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. Во вводной главе мы уже отмечали, что понятие числа относится к так называемым начальным понятиям (т. е. к понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго опре- определены, ибо всякая попытка дать строгое определение такого по- понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным). Мы введем понятие вещественных чисел, отправ- отправляясь от множества бесконечных десятичных дробей. Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей (как положительных, т. е. взятых со знаком +, так и от- отрицательных, т. е. взятых со знаком —). Мы будем придерживаться следующего плана. Для множества всех чисел, представимых бесконечными деся- десятичными дробями, мы введем операцию упорядочения. После это- этого мы убедимся, что для введенной нами операции упорядочения остается справедливым то же самое свойство 4°, которое сформу- сформулировано в п. 1 для рациональных чисел (т. е. свойство транзи- транзитивности знаков > и =). Наличие только одного этого свойства позволит нам доказать замечательную теорему о том, что у множества чисел, представи- представимых бесконечными десятичными дробями и ограниченных сверху (или соответственно снизу), существует число, представимое бес- бесконечной десятичной дробью и являющееся точной верхней (или соответственно точной нижней) гранью указанного множества чисел. После этого вводятся операции сложения и умножения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Это дает нам возможность ввести вещественные числа как такие числа, которые представимы бесконечными десятичными дробями и для которых указанным нами способом определены операции упорядочения, сложения и умножения. Доказанная нами теорема о существова- существовании точных граней позволит доказать существование суммы и произведения двух любых вещественных чисел, а также справед- справедливость для этих чисел тех же самых 16 основных свойств, кото- которые сформулированы в п. 1 для рациональных чисел.
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 35 Приступим к реализации указанного плана. В этом пункте мы введем для чисел, представимых бесконеч- бесконечными десятичными дробями, операцию упорядочения и установим, что эта операция обладает свойством 4°, сформулированном в п. 1 для рациональных чисел (т. е. свойством транзитивности зна- знаков > и =). Рассмотрим произвольное число, представимое бесконечной десятичной дробью, отличной от 0,000.... Это число мы будем на- называть положительным, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком +, и отрицательным, ¦если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком —. Числа, не являющиеся положительными, мы будем называть неположительными, а числа, не являющиеся отрицательны- отрицательными,— неотрицательными. Сразу же отметим, что все рациональные числа относятся к множеству чисел, представимых бесконечными десятичными дро- дробями. Представление данного рационального числа бесконечной десятичной дробью можно получить двумя способами: 1) взяв точку М, отвечающую данному рациональному числу на числовой оси, и произведя измерение отрезка ОМ с помощью масштабного отрезка способом, указанным в п. 2; 2) взяв обыкновенную дробь mfn, представляющую данное ра- рациональное число, и поделив числитель пг на знаменатель п «столбиком» *. Мы представляем читателю убедиться в том, что оба эти спо- способа эквивалентны друг другу. Так, при любом из указанных способов рациональному числу 1/2 ставится в соответствие бес- бесконечная десятичная дробь 0,5000..., рациональному числу 4/3 — ¦бесконечная десятичная дробь 1,333.... Прежде чем перейти к формулировке правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рас- рассмотрим вопрос о представлении в виде бесконечных десятичных дробей тех рациональных чисел, которые представимы в виде ко- конечной десятичной дроби. Заметим, что такие рациональные числа допускают два представления в виде бесконечных десятичных дробей. На- Например, рациональное число 1/2 = 0,5 можно представить в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) 1/2 = 0,5000..., 2) 1/2 = 0,4999.... Вообще, рациональное число а = ао,а\аг...ап, где ап?=0, мож- можно записать в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) а = а0,aia2...an000..., 2) а = а0, aia2... an-i(an —1)999.... * В курсе средней школы доказывается, что при таком делении получается обязательно периодическая бесконечная десятичная дробь. 2*
36 Гл. 2. Вещественные числа Естественно, мы должны отождествить указанные две беско- бесконечные десятичные дроби (т. е. считать, что они представляют одно и то же вещественное число). Рассмотрим теперь два произвольных вещественных числа а и Ъ и предположим, что эти числа представляются бесконечными десятичными дробями ... а„ ..., b = ±bQ, Ьф2 ... Ьп ..., B.3) где из двух знаков + и — в каждом представлении берется ка- какой-то один. Исключим уже рассмотренный выше случай, когда обе беско- бесконечные десятичные дроби в B.3) имеют одинаковые знаки и слу- служат двумя различными представлениями одного и того же рацио- рационального числа, представимого конечной десятичной дробью. По- После исключения этого случая договоримся называть два числа а и Ь равными, если их представления в виде бесконечных десятич- десятичных дробей B.3) имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств ao = bo, a1 = bu a2 = b2,...,an = bn,.... B.4) Итак, мы называем два числа а и b равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей B.3) имеют одинаковые знаки и если либо справедлива цепочка равенств B.4), либо бесконечные десятичные дроби в B.3) служат двумя представлениями одного и того же рационального числа, предста- представимого конечной десятичной дробью. Пусть даны два неравных числа а и Ь, представимых беско- бесконечными десятичными дробями. Установим правило, позволяю- позволяющее заключить, каким из двух знаков, > или <, связаны эти числа. Договоримся называть модулем числа а, представимого бесконечной десятичной дробью, число, представимое той же са- самой бесконечной десятичной дробью, что и число а, но всегда взя- взятой со знаком +• Модуль числа а будем обозначать символом \а\. Число \а\ всегда является неотрицательным. Рассмотрим отдельно три возможных случая: 1) случай, когда а и b оба неотрицательны; 2) случай, когда оба числа а и b от- отрицательны; 3) случай, когда одно из чисел а и Ъ неотрицательно, а другое отрицательно. 1) Пусть сначала аи 6 оба неотрицательны и имеют представления а = а0,a\a2...; b = bo,blb2.... Так как числа а и b не являются равными, то нарушается хотя бы одно из равенств B.4). Обозначим через & наименьший из номеров я, для которого нарушается равенство ап = Ьп, т. е. предположим, что
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 37 Тогда мы будем считать, что а>Ь, если ah>bh, и будем счи- считать, что а<Ь, если ak<bh. 2) Пусть теперь оба числа а и Ъ отрицательны. Тогда мы будем считать, что а>Ь, если |Ь|>|а|, и а<Ь, если \Ь\< <|а|*. 3) Пусть, наконец, одно число (например, а) неотрицательно, а другое число (Ь) отрицательно. Тогда, естественно, мы будем считать, что а>Ь. Итак, мы полностью сформулировали правило упорядо- упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дро- дробями. Чтобы сделать, сформулированное правило безупречным с ло- логической точки зрения (или, как говорят в математике, коррект- корректным), докажем следующую лемму. Лемма. Если а = а0, а\п2 ¦¦¦.ап ...— произвольное неотрица- неотрицательное число, a b/ = b0,bib2....bn^ibn000... и b" = bo,bib2... ...bn-i(bn—1)999... при Ь«>0 — два различных представления одного и того же рационального числа bo,b\b2...bn, то условие а<Ь' эквивалентно условию а<Ь", а условие а>Ь' эквивалентно условию а>Ь". Эта лемма позволяет при упорядочении двух неравных чисел не заботиться о том, какое из двух возможных представлений в виде бесконечной десятичной дроби взято для числа, представи- мого конечной десятичной дробью. Доказательство. Для полного доказательства леммы сле- следует доказать четыре утверждения: 1) из а<У вытекает а<Ъ"\ 2) из а<Ь" вытекает а<Ь'; 3) из а>Ь' вытекает а>Ь"; 4) из а~>Ь" вытекает а>Ь'. Мы ограничимся доказательством утверждений 1) и 2), ибо утверждения 3) и 4) доказываются аналогично. Пусть а<.Ь'. Тогда по правилу упорядочения найдется номер k такой, что ao = bo, ai = 6i,..., afc_i = bft_i, ah<bh B.5) (в этих соотношениях следует считать все bn+\, bn+2,... равными нулю). Сразу же заметим, что ?</г, ибо при k>n неравенство ak<bk не может выполняться, так как 0^а^<9, a bh = Q. Если при этом &</г, то, поскольку при k<.n все десятичные знаки до порядка k у Ь' и Ь" совпадают, условия а<Ь' и а<Ь", очевидно, эквивалентны. Остается рассмотреть случай k = n. В этом случае соотношения B.5) принимают вид ao = bo, a\ — bu..., a-n_i = 6n_i, an<bn- Самое последнее неравенство эквивалентно неравенству ап^Ьп—1. Если при этом ап<.Ьп—1, то по правилу упорядочения а<Ь". * При этом мы учитываем, что для неотрицательных а и Ь прави- правило упорядочения уже определено (см. случай 1)).
38 Гл. 2. Вещественные числа Если же в указанном последнем неравенстве а„ = Ьп—1, то все десятичные знаки у чисел а и Ь" до порядка п совпадают. Поскольку у числа Ъ" все десятичные знаки порядка, большего п, равны девяти, то и в этом случае а<о", ибо у числа а все деся- десятичные знаки порядка, большего п, не могут быть равны девяти (в силу того, что а не равно о'). Итак, утверждение 1) доказано. Перейдем к доказательству утверждения 2). Предположим, что а<Ь". Договоримся о следующих обозначениях бесконечных десятичных дробей, представляющих числа о' и Ь". и/ U г и 'U I U ' h" U " U "U " h I" 0 = 0О ,01 02 ... 0П ..., О — 00 , О\ 02 ... 0„ ... . В этих представлениях Ь0' = Ь0" = Ь0, Ь1'=Ь1" = Ьи...,Ь'п-1 = Ь"п-1 =^-1, &„' = &., bn" = bn—1. Иными словами, справедлива цепочка соотношений С другой стороны, поскольку а<Ь", найдется номер k такой, что справедлива цепочка соотношений ао = Ьо", а\ = Ьх",..., ah-i = b"h-i, ah<bk"- Обозначим через т. наименьший из двух номеров п и k и сопоставим между собой две последние цепочки соотношений. Используя свойства транзитивности знаков > и = для целых чи- чисел, мы получим при этом следующую цепочку соотношений: ао=Ь0', а.\ = Ъ\',...,ат-\ = Ь'т-\, ат<Ъ'т. Полученные соотношения на основании правила упорядочения вещественных чисел устанавливают справедливость неравенства а<Ь'. Тем самым утверждение 2) также доказано. Еще раз подчеркнем, что доказанная лемма позволяет при упорядочении двух чисел, представимых бесконечными десятич- десятичными дробями, пользоваться любым из двух представлений в виде бесконечной десятичной дроби для рациональных чисел, представимых конечной десятичной дробью. Легко убедиться в том, что сформулированное правило упо- упорядочения в применении к двум рациональным числам, пред- представленным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и прежнее правило упорядочения рациональных чисел, представленных в виде отношения двух целых чисел. В самом деле, достаточно рассмотреть случай двух неот- неотрицательных рациональных чисел а и о. Пусть а~>Ъ со- согласно прежнему правилу упорядочения рациональных чисел, и пусть а — ао,а\а2.--ап...; b = b0, b\b2... 0ft .... Отложив рацио- рациональные числа а и Ъ на числовой оси, мы получим отвечающие
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 39 им точки Mi и М2, причем, поскольку а>Ь, отрезок ОМ\ боль- больше отрезка ОМ2. Из описанного в п. 2 процесса измерения от- отрезка числовой оси вытекает, что целое число а^ахйч... а-и пока- показывает, сколько раз 10~ft часть масштабного отрезка ОЕ укла- укладывается в отрезке ОМ\, а целое число babib2...bn показывает, сколько раз 10~ft часть ОЕ укладывается в отрезке ОМ2. По- Поскольку отрезок ОМ\ больше отрезка ОМ2, то найдется номер k такой, что aoai ...a,k-\ — bobi ...bh-i, a аой\ ...au>bobi... bh, но это и означает, что а>Ь согласно правилу упорядочения чи- чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Докажем теперь, что для сформулированного нами правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, остается справедливым свойство 4°, приведенное в п. 1 для рациональных чисел, т. е. докажем, что для любых трех чи- чисел a, b и с, представимых бесконечными десятичными дробями, из справедливости неравенств а>Ь и Ь>с вытекает справедли- справедливость неравенства а>с (свойство транзитивности знака >), а из справедливости равенств а = Ь и Ь = с вытекает справедливость равенства а —с (свойство транзитивности знака =). Свойство транзитивности знака = сразу же вытекает из спра- справедливости соответствующего свойства для целых чисел. Докажем свойство транзитивности знака >. Пусть a>b, b>c. Требуется доказать, что а>с. Рассмотрим три возможных случая: 1) с неотрицательно; 2) с отрицательно, а неотрицательно; 3) с отрицательно и а отрица- отрицательно. 1) Пусть сначала с неотрицательно. Тогда b также неотрица- неотрицательно, ибо если бы b было отрицательно, то в силу правила упо- упорядочения мы получили бы, что с>Ь, и это противоречило бы ус- условию &>с. Далее, повторяя те же рассуждения, мы получим, что и а неотрицательно (ибо в противном случае мы получили бы, что b>a, и это противоречило бы условию а>Ь). Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь и с неот- неотрицательны. Записав представления этих чисел бесконечными де- десятичными дробями а = ао, а\а2...; b = bG,bibi..:, c=co,C\c2..., мы получим, что в силу условия а>Ь найдется номер k такой, что B.6) Аналогично в силу условия Ь>с найдется номер р такой, что &о = со, bi = ci,..., bp_i = Cp_i, bp>cp. B.7) Обозначим через пг наименьший из двух номеров k и р. Тогда, очевидно, из соотношений B.6) и B.7) и из справедливости свойства транзитивности знаков > и = для целых чисел выте- вытекает, что Оо=с0, ai = ci, ..., am_i = cm_i, am>cm, а это и означает (по правилу упорядочения), что а>с.
40 Гл. 2. Вещественные числа 2) Пусть теперь с отрицательно, а неотрицательно. Тогда (не- (независимое от знака числа Ь) неравенство а>с справедливо в силу правила упорядочения. 3) Рассмотрим, наконец, случай, когда оба числа а и с отри- отрицательны. Заметим, что в этом случае и Ь отрицательно (ибо в противном случае мы получили бы из правила упорядочения, что Ь>а, и это противоречило бы условию а>Ь). Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь и с отри- отрицательны. Но в таком случае (в силу правила упорядочения) не- неравенства a>b, b>c эквивалентны неравенствам |Ь|>|а| и |с|>|Ь|. Hi последних двух неравенств (в силу свойства тран- транзитивности знака >, уже доказанного нами в случае 1) для не- неотрицательных чисел) вытекает, что |с|>|а|, а это и означает (в силу правила упорядочения отрицательных чисел а и с), что а>с. Тем самым доказательство свойства транзитивности знака > полностью завершено. § 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 1. Основные понятия. Рассмотрим совершенно произвольное множество {х} чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Отдельные числа, входящие в состав множества {х}, мы будем называть элементами этого множества. Всюду в этом параграфе мы будем требовать, чтобы рассмат- рассматриваемое множество {л:} содержало хотя бы один элемент (такое множество принято называть непустым). Введем важное понятие ограниченности множества сверху (или соответственно снизу). Определение 1. Множество {х} чисел, представимых беско- бесконечными десятичными дробями, называется ограниченным сверху' (соответственно ограниченным с низ у), если су- существует такое представимое бесконечной десятичной дробью чи- число М (соответственно такое представимое бесконечной десятич- десятичной дробью число ш), что каждый элемент х множества {х} удов- удовлетворяет неравенству х^-М (соответственно x^tri). B.8) При этом число М (число гп) называется верхней гранью (нижней гранью) множества {х}. Конечно, любое ограниченное сверху множество {х} имеет бес- бесконечно много верхних граней. В самом деле, если число М — од- одна из верхних граней множества {х}, то любое число М', большее числа М, также является верхней гранью множества {х} (ибо из
§ 2. Ограниченные множества 4! справедливости неравенства B.8) будет следовать, что Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних гра- граней ограниченного снизу множества {х}. Так, например, множество всех представимых бесконечными десятичными дробями отрицательных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани М такого множества можно взять лю- любое неотрицательное число. Множество всех целых положитель- положительных чисел 1, 2, 3,... ограничено снизу. В качестве нижней грани" этого множества можно взять любое число т, удовлетворяющее неравенству m=sCl. Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества. Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {х) называется г очной верх- верхней гранью этого множества и обозначается символом х= = sup {л:} *. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу мно- множества {х} называется точной нижней гранью этого мно- множества и обозначается символом x=inl{x} **. Определение 2 можно сформулировать н по-другому, а именно: Число х (число х) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества {х}, если выполнены следующие два требования: 1) каждый элемент х множества {х} удовлетворяет неравенству х^х (х^х); 2) како- каково бы ни было число х', меньшее х (большее х), найдется хотя бы один элемент х множества {х}, удовлетворяющий неравенству х> ( В этом определении требование 1) утверждает, что число х (число х) является одной из верхних (нижних) граней, а требо- требование 2) говорит о том, что эта грань является наименьшей (наи- (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может. 2. Существование точных граней. Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему. * Основная теорема 2.1. Если Множество {х} чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бы один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань. * sup — первые три буквы латинского слова supremum («супремум»), которое переводится как «наивысшее». ** inf — первые три буквы латинского слова infimum («инфимум»), кото- которое переводится как «наинизшее».
42 Гл. 2. Вещественные числа Доказательство. Мы остановимся лишь на доказатель- доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченно- ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично. Итак, пусть множество {х} ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества {х} удовлетво- удовлетворяет неравенству х^М. Могут представиться два случая: 1°. Среди элементов множества {х} есть хотя бы одно не- неотрицательное число. 2°. Все элементы множества {х} явля- являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим от- отдельно. 1°. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в со- состав множества {х}. Каждое из этих чисел представим в виде бес- бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих деся- десятичных дробей. В силу неравенства х^М все целые части не пре- превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через х0. Сохраним среди неотри- неотрицательных чисел множества {х} те, у которых целая часть равна х0, и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмот- рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через х\. Сохраним среди неотрицательных чи- чисел множества {х} те, у которых целая часть равна х0, а первый десятичный знак равен х\, и отбросим все остальные числа. У со- сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после за- запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через х2. Продол- Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно опре- определим десятичные знаки некоторого числа х: х = х0, хххъ ... хп .... B.б) Докажем, что это число х и является точной верхней гранью множества {х}. Для этого достаточно доказать два утвер- утверждения: 1) каждый элемент х множества {х} удовлетворяет не- неравенству хк^х; 2) каково бы ни было число х', меньшее х, най- найдется хотя бы один элемент х множества {х}, удовлетворяющий неравенству х>х'. Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный эле- элемент х множества {х} заведомо удовлетворяет неравенству х<х. Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицатель- неотрицательный элемент х множества {х} удовлетворяет неравенству x<jc. Предположим, что некоторый неотрицательный элемент х= =х0, x\Xi ...Xn ••• не удовлетворяет неравенству х<х. Тогда х>х и по правилу упорядочения найдется номер k такой, что хо = хо, xi = хк •¦¦ ,Xk—\—Xk~i, xft >xk. Но последние соотношения про-
§ 2. Ограниченные множества 43 тиворечат тому, что в качестве Xk берется наибольший из десятичных знаков хн тех элементов х, у которых целая часть и первые k—1 знаков после запятой соответственно равны хо,х\,... ...,Хк-\. Полученное противоречие доказывает утверждение 1). Докажем теперь утверждение 2). Пусть х' — любое число, удовлетворяющее условию х'<х. Требуется доказать, что сущест- существует хотя бы один элемент х множества {х}, удовлетворяющий неравенству х>х'. Если число х' является отрицательным, то неравенству х>х' заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества {х} (по предположению хотя бы один такой элемент существует). Остается рассмотреть случай, когда число х', удовлетворяю- удовлетворяющее условию х'<х, является неотрицательным. Пусть х'=х0', х/... ...хп'--- Из условия х'<х и из правила упорядочения вытекает, что найдется номер т такой, что /о = Хо, х[=Х1г ... , ХА~\ = Хт-и х'т < Хт. B.10) С другой стороны, из построения числа B.9) вытекает, что для любого номера т найдется неотрицательный элемент x=xo,xix2... ...хп— множества {х} такой, у которого целая часть и все первые т знаков после запятой те же, что у числа х. Иными словами, для номера т найдется элемент х такой, для которого Xq = Xq, Х1=Х1, ... , Хт—\ = Хт—\, Хт = Хт. (z.ll) Сопоставляя B.10) и B.11), мы получим, что Xq — Xq, Xj = Х\, . • • , Хт—1 — Хт—Ь Хт _^> Х/н, а это и означает (в силу правила упорядочения), что х>х'. Утверждение 2), а с ним и вся теорема для случая 1° доказаны. 2°. Аналогично доказывается существование точной верхней грани и во втором случае, когда все элементы х множества {х} являются отрицательными числами. В этом случае мы представим все элементы х отрицательными бесконечными десятичными дробями и обозначим через х0 наи- наименьшую из целых частей этих дробей, через х\ — наименьший из первых десятичных знаков тех дробей, целая часть которых рав- равна xq, через х2 — наименьший из вторых десятичных знаков тех дробей, целая часть и первый десятичный знак которых соответ- соответственно равны Xq и х,\ и т. д. _ Таким образом^ мы определим неположительное число X = Xq , Xj X2 • • • Хп .... В полной аналогии со случаем 1° доказывается, что это число х является точной верхней гранью множества {х}, т. е. доказы- доказывается справедливость утверждений 1) и 2), сформулированных при рассмотрении случая 1°. Теорема доказана.
44 Гл. 2. Вещественные числа § 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Докажем три леммы о приближении чисел, представимых бес- бесконечными десятичными дробями, рациональными числами. Сначала убедимся в том, что произвольное число а, предста- вимое бесконечной десятичной дробью, можно с наперед задан- заданной точностью приблизить рациональными числами. Ради определенности будем считать а неотрицательным и представим его дробью а=а0, а\а2... ап ¦¦¦. Обрывая указанную дробь на п-м знаке после запятой, мы получим рациональное число а0, а\а2...ап, причем из правила упо- упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дро- дробями, сразу же вытекает, что Увеличив указанное рациональное число на-10~", мы получим другое рациональное число а0, а\а2...an+10~", которое (в силу правила упорядочения) обязано удовлетворять неравенству Итак, для любого номера п мы нашли два рациональных чис- числа ai = a0, aia2...an и а2=а0, a\a2...an+\Qrn такие, что ai«sa<a2 и a?—«i = 10~n. Убедимся в том, что для любого наперед взятого положитель- положительного рационального числа г, начиная с некоторого номера п, спра- справедливо неравенство 10~п<е. В самом деле, в силу аксиомы Архимеда найдется лишь конеч- конечное число натуральных чисел, не превосходящих чисел 1/е. Зна- Значит, лишь для конечного числа номеров п справедливо неравенст- неравенство 10"<1/е, или 10~п>е. Для всех остальных номеров п справед- справедливо противоположное неравенство 10~л<е, что и требовалось доказать. Мы приходим к следующему утверждению. Лемма 1. Для любого пред ставимого бесконечной десятичной дробью числа а и любого наперед взятого положительного рацио- рационального числа е найдутся два рациональных числа ai и а2 такие, что ai<a<a2 и a2—ai<e. Докажем еще две леммы, характеризующие густоту распреде- распределения рациональных чисел среди произвольных чисел, представи- представимых бесконечными десятичными дробями. Лемма 2. Каковы бы ни были два представимых бесконечны- бесконечными десятичными дробями числа а и b такие, что а>Ь, найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое, что a>a>b (а следовательно, найдется и бесконечное множество раз- различных рациональных чисел, заключенных между а и Ь).
§ 3. Приближение чисел 45 Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотрицательны, ибо случай, когда а и b неположительны, сводится к указанному случаю посредст- посредством перехода к модулям, а случай, когда Ъ отрицательно, а а по- положительно, тривиален (в качестве а можно взять нуль). Итак, пусть а>Ь и оба числа а и Ъ неотрицательны. Предполо- Предположим, что а = ао, а\п2...ап ...; b = bo, Ьф2 ...Ьп ..., причем в случае, если а является рациональным числом, представимым конечной десятичной дробью, договоримся брать представление а десятич- десятичной дробью, заканчивающейся бесконечным числом девяток. Так как а>Ь, то найдется номер k такой, что ao = bo, a\ = b\, ..., ak-i = bk-i, ak>bk. В силу принятой нами договоренности все десятичные знаки ап при n>k не могут быть равны нулю. Обозначим через р наименьший из номеров /г, больших к, для которых пп'ФО. Тогда число а можно записать в виде . 0ap... ( С помощью правила упорядочения легко проверить, что рацио- рациональное число a = a0, aia2...uft00...0(ap—1)999 ... удовлетворяет неравенствам а>а>Ь. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть Х\ и х2 — два заданных числа, пред ставимых бесконечными десятичными дробями. Пусть далее для любого положительного рационального числа « найдутся два рациональных числа уг и у2 такие, что Тогда числа х\ и х2 равны. Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим, что Х\Ф%2. Не ограничивая общности, будем считать, что х\<х2. В силу леммы 2 найдутся два рациональных числа си и ссг такие, что Пусть теперь yi и 72 — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам Yi<*i<Y2, yi<^'2<'Y2- Из написанных выше неравенств и свойства транзитивности зна- знаков > и = получим Yi<ai<a2<Y2- Но тогда Y2—Yi>a2—«ь что противоречит тому, что разность у2—yi может быть сделана мень- меньше любого наперед взятого положительного рационального числа €. Лемма доказана.
4 6 Гл. 2. Вещественные числа § 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1. Определение операций сложения и умножения. Описание по- понятия вещественных чисел. Хорошо известно, как складывают два числа, представимых бесконечными десятичными дробями, когда требуется вычислить их сумму на практике. Для того чтобы сложить два таких числа а и Ь, заменяют их с требуемой точностью рациональными числами и за приближенное значение суммы чисел а и b берут сумму указанных рациональных чисел. При этом совершенно не заботятся о том, с какой стороны; (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа при- приближают а и Ъ. Фактически указанный практический способ сложения чисел,, представимых бесконечными десятичными дробями, предполагает,, что чем точнее рациональные числа аир приближают (с любой; стороны) числа а и b соответственно, тем точнее сумма а+р при- приближает то представимое бесконечной десятичной дробью число,. которое должно являться суммой чисел а и Ь. Желание оправдать указанный практический способ сложения естественно приводит к следующему определению. Определение 1. Суммой двух представимых бесконечны- бесконечными десятичными дробями чисел а и Ъ называется такое представи- представимое бесконечной десятичной дробью число х, которое для любых рациональных чисел <ц, аг, Рь $2, удовлетворяющих соотношениям 2, Pi<b<p2, удовлетворяет неравенствам Это число х обозначают символом а+Ь. В п. 2 будет доказано, что такое число х существует и притом только одно. Там же будет установлено, что таким числом явля- является точная верхняя грань множества {ai + Pi} сумм всех рацио- рациональных чисел cEi и Рь удовлетворяющих неравенствам ai<ay pi<b, или точная нижняя грань множества {(Z2 + P2} сумм всех ра- рациональных чисел «2 и р2, удовлетворяющих неравенствам р В п. 2 будет доказано также, что в применении к двум рацио- рациональным числам данное нами определение приводит к тому же результату, что и старое определение суммы рациональных чисел.. Перейдем теперь к определению произведения двух чисел, пред- представимых бесконечными десятичными дробями. Сначала опреде- определим произведение двух положительных чисел а и Ь. Определение 2. Произведением двух представимых положительными бесконечными десятичными дробями чисел а и Ь называется такое представимое бесконечной десятичной дробью' число х, которое для любых рациональных чисел аь аг, Рь Рг*
§ 4. Операции сложения и умножения 47 удовлетворяющих соотношениям 0<<xi<a<a2, 0<Pi<b<p2, удов- удовлетворяет неравенствам ai-Pi<x<a2-P2- Это число х обозначают символом а-Ъ. В п. 2 будет установлено, что такое число х существует и при- притом только одно. Таким числом х является точная верхняя грань множества {ap pi} произведений всех рациональных чисел ai и Рь удовлетворяющих неравенствам 0<at<.a, 0<Pi«:b, или точная нижняя грань множества {а2-Рг} произведений всех рациональных чисел сс2 и р2, удовлетворяющих неравенствам а<аг, Ь<р2. Произведение чисел любого знака определяется по следующе- следующему правилу: 1) для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а полагают, что 2) для произвольных отличных от нуля и представимых беско- бесконечными десятичными дробями чисел а и Ъ полагают , [ \a\-\b\, если а и Ь одного знака, a-b — I { —\а\ • |Ь|, если а и Ъ разных знаков. В п. 2 будет установлено, что в применении к двум рациональ- рациональным числам данное нами определение произведения приводит к гому же результату, что и прежнее определение произведения ра- рациональных чисел. Теперь мы располагаем всем тем, что необходимо для описа- описания понятия вещественных чисел. Договоримся называть вещественными числа, представив мые бесконечными десятичными дробями, при условии, что для этих чисел указанным выше способом определены три операции: упоря- упорядочения, сложения и умножения. Так как все изложенное в § 2 и 3 (и, в частности, основная теорема 2.1 и леммы 1—3) справедливо для произвольных чисел, представимых бесконечными дробями, для которых определена только одна операция упорядочения, то все изложенное в этих параграфах справедливо и для произвольных вещественных чисел. В дальнейшем будут рассматриваться числа, представимые ¦бесконечными десятичными дробями, для которых кроме опера- операции упорядочения определены также и операции сложения и ум- умножения. Такие числа в соответствии со сформулированным нами поня- понятием мы в дальнейшем будем называть вещественными. 2. Существование и единственность суммы и произведения ве- вещественных чисел. Теорема о существовании суммы веществен- вещественных чисел. Для любых вещественных чисел а и b существует вещественное число х, являющееся их суммой.
48 Гл. 2. Вещественные числа Доказательство. Фиксируем произвольные рациональные числа а2 и рг, удовлетворяющие неравенствам а<аг, Ь<рг, и рас- рассмотрим всевозможные рациональные числа ai и рь удовлет- удовлетворяющие неравенствам си<а, pi<b. Убедимся в том, что множество {ai + pi} всех сумм ai + Pi, от- отвечающих указанным выше всевозможным рациональным ai и рь ограничено сверху. В силу свойства транзитивности знаков > и = из неравенств а^а.2 и ai<a вытекает, что ai<a2, а из неравенств Ь<р2 и $\<Ь вытекает, что р1<Рг. Но два неравенства ai«X2 и Pi<<P2 одного знака, связывающие рациональные числа, можно складывать почленно (см. конец п. 1 § 1). Значит, справедливо неравенство которое и доказывает ограниченность множества {ai + pj сверху и тот факт, что число аг+Рг является одной из верхних граней это- этого множества. По основной теореме 2.1 (см. § 2) у множества {ai + pi} суще- существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через х. Остается убедиться в том, что это вещественное число х и являет- является суммой чисел а и Ь, т. е. удовлетворяет неравенствам ai + Pi< <x<ct2+p2- Справедливость левого неравенства ai-f Pi<x вытека- вытекает из того, что х является верхней гранью множества {ai + Pi}, а справедливость правого неравенства х<аг + Рг вытекает из того, что число а2 + р2 является одной из верхних граней множества {ai + Pi}, а число х является точной, т. е. наименьшей, верхней гранью этого множества. Теорема доказана. Аналогично можно было бы доказать, что в качестве х можно взять точную нижнюю грань множества {а2+Рг} сумм а2+Рг все- всевозможных рациональных чисел аг и Рг, удовлетворяющих нера- неравенствам a<a2) Ь<Рг- Теорема единственности суммы двух вещест- вещественных чисел. Может существовать только одно вещественное число х, являющееся суммой двух данных вещественных чисел а и Ь. Доказательство. Предположим, что существуют два ве- вещественных числа Х\ и х% удовлетворяющие неравенствам Рг- B.12) ai + Рг < Х2 < а2 + Рг для всевозможных рациональных чисел ai, a2, рь рг. удовлетворя- удовлетворяющих неравенствам ai<a<a2, Pi<b<p2. B.13) Фиксируем произвольное положительное рациональное число е. В силу леммы 1 из § 3 для положительного рационального числа
§ 4. Операции сложения и умножения 49 е/2 и для данного вещественного числа а найдутся такие рацио- рациональные числа cci и СЕ2, что ai<a<a2, причем а2—ai<e/2. Аналогично для указанного е/2 и для данного вещественного^ числа b найдутся такие рациональные числа pi и р2, что Pi<fr<gp2,, причем р2—Pi <е/2. Если взять в неравенствах B.13) указанные сц, a2, pi и р2, то мы получим, что оба числа х\ и х2 удовлетворяют неравенствам. B.12), которые можно переписать в виде положив Yi = Учитывая, что мы получим, что оба числа х\ и х2 заключены между рациональ- рациональными числами Yi и у2, разность между которыми меньше наперед, взятого положительного рационального е. В силу леммы 3 из § 3 мы получим, что Х\=х2. Теорема доказана. Следствие. В применении к двум рациональным числам а и b данное нами определение суммы вещественных чисел приводит к тому же результату, что и прежнее определение суммы рацио- рациональных чисел. В самом деле, пусть а и Ъ — два рациональных числа, а+Ь — их сумма согласно прежнему определению, ai, аг, Pi и р2 — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам; B.13). Тогда, очевидно, справедливы неравенства* B.14) причем, согласно теореме единственности число а + Ь является единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравен- неравенствам B.14). Совершенно аналогично доказывается существование и един- единственность произведения двух данных вещественных чисел. Ясно, что достаточно доказать существование и единственность, произведения двух положительных чисел а и Ъ. Для доказательства существования произведения фиксируем произвольные рациональные числа а2 и р2, удовлетворяющие не- неравенствам а<.а.2, Ь<р2, и рассмотрим всевозможные рациональ- рациональные числа си и рь удовлетворяющие неравенствам 0<ai<a, 0<pi«:b. Легко убедиться в том, что множество {ai-Pi} всех про- произведений cti-Pi ограничено сверху, причем число а2-р2 является одной из верхних граней этого множества. * Ибо для рациональных чисел неравенства одного знака можно склады- складывать почленно (см. конец п. 1 § 1).
350 Гл. 2. Вещественные числа По основной теореме 2.1 существует точная верхняя грань это- этого множества х, которая, как легко проверить, удовлетворяет не- неравенствам <xrPi-<:*<a2'f$2, т. е. является произведением чисел •а и Ь. Аналогично можно было бы доказать, что произведением по- положительных чисел а и b является точная нижняя грань множест- множества {ссг-рг} произведений а2-р2 всевозможных рациональных чисел «2 " рг, удовлетворяющих неравенствам а<а2, Ь<р2. Для доказательства единственности* произведения двух положительных вещественных чисел а и Ь предположим, что суще- существуют два вещественных чиола х\ и х2, удовлетворяющие нера- шенствам B.15) для всевозможных рациональных <ц, аг, Pi и р2 таких, что * B.16) Фиксировав любое положительное рациональное число е, мы -с помощью леммы 1 найдем для данных вещественных чисел а и b такие рациональные числа <ц, аг, Pi и р2, удовлетворяющие нера- неравенствам B.16), для которых а?—ai<e/2M и р2—Pi<e/2M. Но тогда в силу B.15) оба числа х\ и Xi будут заключены меж- между рациональными числами а2-р2 и arPi, разность между кото- которыми «2-Р2 — «г Pi = a2 (Ря—Pi) + Pi («2—«i) < 2M • -^ = e. В силу леммы 3 из § 3 получаем, что Xi = x2- С помощью теоремы единственности так же, как и для суммы, .доказывается, что в применении к двум рациональным числам ¦.данное нами определение произведения вещественных чисел при- приводит к тому же самому результату, что и прежнее определение произведения рациональных чисел. § 5. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1. Свойства вещественных чисел. В этом пункте мы убедимся в справедливости для произвольных вещественных чи- чисел всех основных свойств, перечисленных в п. 1 § 1 для рацио- рациональных чисел. Справедливость для вещественных чисел свойств 1°—4° уже установлена выше. Таким образом, нужно выяснить лишь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств 5°—16°. Легко убедиться в справедливости для вещественных чи- чисел свойств 5°—8° и 14°, связанных с понятием суммы. Справедли- Справедливость свойств 5°—8° непосредственно вытекает из определения В качестве М можно взять, например, число Af=2 (a+6).
§ 5. Свойства вещественных чисел 51 суммы вещественных чисел и из справедливости указанных свойств для рациональных чисел. Остановимся на доказательстве свойств 14°, т. е. докажем, что если a, b и с— любые три вещественных числа и а>Ь, то а+с> >Ь + с. Так как а>Ь, то в силу леммы 2 из § 3 найдутся рациональные числа си и р2 такие, что a>ai>[32>b. Для вещественного числа с и для положительного рационального числа е = си—р2 найдутся- рациональные числа yi и Y2 такие, что "Yi^c<Y2> причем Y2—Yi<e== = а\~—р2 (см. лемму 1 § 3). Пусть, далее, а2 и Pi— любые рацио- рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам a2>a, b>Pi. Тогда по определению суммы вещественных чисел Для доказательства того, что а+с~>Ь + с, в силу транзитивности знака > достаточно доказать, что ai+Yi>P2 + Y2> но это непосред- непосредственно вытекает из неравенства у2—у\<о,\—fb- Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о действии, обратном сложению, полностью исчерпывается на осно- основании свойств 5°—8°. Назовем разностью вещественных чисел а и b вещественное число с такое, что с + Ь=а. Убедимся в том, что таковой разностью является число с = = а + Ь', где Ь' — число, противоположное Ь. В самом деле, используя свойства 5°—8°, можем записать Убедимся в том, что существует только одно вещественное чис- число, являющееся разностью двух данных вещественных чисел. Предположим, что кроме указанного выше числа с = а + Ь'~ существует еще одно число d такое, что d+b — a. Тогда, с одной стороны, (d + b) +b/ = a+b' — c, с другой стороны, (d + b)+b' = = d+(b + b')=d+O=d, т. е. c = d. Из определения разности и из свойства 8° вытекает, что число а', противоположное а, равно разности 0—а. Это число обычно за- записывают в виде —а. Не вызывает затруднения перенесение на случай вещественных чисел свойств 9°, 10°, 11°, 12°, 13° и 15°, свя- связанных с понятием произведения. Отметим лишь в отношении свойства 12°, что если а — положительное вещественное число, а ai и а2 — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 0<ai<a<a2, то число а', обратное для а, определя- определяется как единственное вещественное число, удовлетворяющее не- неравенствам <С а! <^ а2 аг * В качестве числа а' может быть взята точная верхняя грань множества всех рациональных чисел {1/аг}.
:52 Гл. 2. Вещественные числа Свойства 9°—12° позволяют заключить, что для любых двух ве- вещественных чисел а и Ъ (ЬфО) существует и притом только одно вещественное число с, удовлетворяющее условию с-Ь = а. Это чис- число с называется частным чисел а и Ъ. Из определения частного и из свойства 12° вытекает, что число а', обратное числу а, равно частному 1/а. Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел перено- переносится и последнее, 16-е, свойство рациональных чисел, а именно: Каково бы ни было вещественное число а*, можно число 1 по- повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзой- превзойдет а *. Докажем это свойство. В случае а<0 доказательства не тре- требуется, ибо \>а. Пусть й>0, а = ао, а\а2 — - В силу того, что опре- ,деление суммы вещественных чисел в применении к сумме рацио- анальных чисел совпадает с определением суммы рациональных чисел, повторив число 1 слагаемым п раз, получим целое число п. "Таким образом, достаточно доказать, что для числа а найдется целое число п такое, что п>а. Но это очевидно: достаточно взять Таким образом, на случай вещественных чисел переносятся все основные свойства, сформулированные для рациональных чисел в п. 1 настоящего параграфа. Следовательно, для вещественных чисел сохраняют силу все правила алгебры, относящиеся к ариф- арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств. 2. Некоторые часто употребляемые соотношения. Докажем справедливость для любых вещественных чисел а и Ъ следующих двух соотношений: |а-Ь| = |а|-|Ь|, B.17) |а| + |Ь|. B.18) Соотношение B.17) непосредственно вытекает из-определения про- произведения двух вещественных чисел. Докажем соотношение B.18). На основании определения модуля и правила упорядочения для любых вещественных чисел а и Ь справедливы неравенства В силу справедливости основных свойств для вещественных чисел можно почленно складывать неравенства одного знака (это дока- доказано в конце п. 1 § 1). Поэтому Используя в случае а + Ь>0 правое, а в случае а + Ь«:О левое из последних неравенств, мы получим неравенство B.18). 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел. В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различными мно- * Заметим, что это свойство называют аксиомой Архимеда.
§ 5. Свойства вещественных чисел 53 жествами вещественных чисел. Будем обозначать произвольное множество вещественных чисел символом {х}, а числа, входящие в состав этого множества, будем называть элементами или точками этого множества. Мы будем говорить, что точка Х\ множества {х} отлична от точки х2 этого множе- множества, если вещественные числа Х\ и х2 не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство Xi>x2 {x\<x2), то мы будем говорить, что точка Х\ лежит правее (левее) точки х2. Рассмотрим некоторые наиболее употребляемые частные виды множеств вещественных чисел. 1°. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих нера- неравенствам скх^сЬ, где а<Ь, будем называть сегментом и обо- обозначать символом [а, Ь]. При этом числа а и Ъ мы будем называть граничными точками или концами сегмента [а, Ь], а любое число х, удовлетворяющее неравенствам а<х<Ь, будем называть внутренней точкой сегмента [а, Ь]. 2°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, будем называть интервалом и обозна- обозначать символом (а, Ь). 3°. Интервал (а—г, а+е), где е>0, будем называть е-окре- е-окрестностью точки а. 4°. Любой интервал, содержащий точку а, будем называть окрестностью точки а. 5°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<сх<Ь (или а<х<Ь), будем называть полусег- полусегментом и обозначать символом [а, Ь) (или (а, Ъ\). 6°. Множество всех вещественных чисел будем называть чис- числовой (бесконечной) прямой и обозначать символом (— оо, +оо). 7°. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих нера- неравенству х>а (или х<&), будем называть полупрямой и обо- обозначать символом [а, +оо) (или (¦—оо, Ь]). 8°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству х>а (или х<Ь), будем называть открытой полу- полупрямой и обозначать символом (а, +оо) (или (—оо, а)). Произвольное множество {х} будем называть плотным в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка множества, отличная от х. Примером плотного в себе множества может служить любое из определенных выше множеств Г—8°. Другим примером плотного множества может служить множество всех рациональных чисел, входящих в состав любого из множеств 1°—8°. В изложенном нами материале содержатся сведения, необходи- необходимые для построения аппарата математического анализа. В следу- следующих параграфах этой главы будут рассмотрены некоторые до- дополнительные вопросы теории вещественных чисел и элементы теории множеств.
54 Гл. 2. Вещественные числа § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Выше, для того чтобы ввести вещественные числа, были ис- использованы бесконечные десятичные дроби. Для множества бес- бесконечных десятичных дробей были определены правила упорядо- упорядочения, сложения и умножения и было установлено, что эти пра- правила удовлетворяют 16 основным свойствам (перечисленным в- п. 1 § 1 для рациональных чисел). Описанный метод введения' вещественных чисел, хотя и обладает несомненными эвристиче- эвристическими и методическими достоинствами, не является единствен- единственно возможным. Вещественные числа можно было бы ввести с помощью бесконечных двоичных дробей, с помощью так назы- называемых дедекиндовых сечений в области рациональных чисел*, с помощью последовательностей рациональных чисел ** и дру- другими способами. Чтобы выяснить взаимосвязь между различными методам» введения вещественных чисел, привлечем некоторые новые по- понятия и установим еще одно важное свойство множества изу- изученных выше вещественных чисел. 1. Полнота множества вещественных чисел. Пусть А и В — два произвольных множества. Будем говорить, что между мно- множествами А и В установлено взаимно однозначное со- соответствие, если каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В, каждый элемент множе- множества В сопоставлен некоторому элементу множества А и разным элементам множества А отвечают разные элементы множест- множества В. Назовем два множества, для элементов каждого из которых определены правила упорядочения, сложения и умножения, изоморфными друг другу относительно этих правил, если между элементами этих множеств можно установить взаимно- взаимнооднозначное соответствие так, что если элементам а и b перво- первого множества соответствуют элементы а' и Ь' второго множест- множества, то 1) элементы а' и Ь' связаны тем же знаком (>, < ил» = ), что и элементы а и Ь; 2) элементу а + b соответствует эле- элемент а'+Ь'; 3) элементу а-Ъ соответствует элемент а'-Ь'. Аналогично можно было бы говорить не о правилах упоря- упорядочения, сложения и умножения, а о каких-либо других прави- правилах, характеризующих соотношения между элементами, и вве- * Введение вещественных чисел с помощью дедекиндовых сечений изложе- изложено, например, в гл. 1 книги Ф. Франклина «Математический анализ» или в гл. 1 книги Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа». ** Этот способ введения вещественнмх чисел принадлежит Кантору. Его изложение можно, например, найти в книге В. В. Немыцкого, М. И. Слудской и А. Н. Черкасова «Курс математического анализа», т. I, гл. II, а также в кни- книге Я. Тагамлицкого «Дифференсиално смятане» (София, 1971).
§ 6. Дополнительные вопросы 55 сти понятие множеств, изоморфных друг другу относительно указанных правил. Примером двух множеств, изоморфных друг другу относи- относительно правил упорядочения, сложения и умножения, служит множество рациональных чисел, введенных в виде отношения целых чисел, с соответствующими (см. п. 1 § 1) правилами упорядочения, сложения и умножения и множество рациональных чисел, записанных в виде бесконечных дробей с обычными прави- правилами упорядочения, сложения и умножения вещественных чисел. Рассмотрим более внимательно два множества: множество всех рациональных чисел и множество всех вещественных чи- чисел. Для каждого из этих множеств определены правила упо- упорядочения, сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств. Вместе с тем ясно, что множество всех вещественных чисел является более «широким», чем множество всех рациональных чисел, ибо в целом множество всех вещест- вещественных чисел не изоморфно относительно правил упорядочения, сложения и умножения множеству всех рациональных чисел *, но в множестве вещественных чисел можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству рацио- рациональных чисел. Естественно, возникает вопрос, нельзя ли и для множества всех вещественных чисел построить более «широкое» множе- множество объектов, обладающее такими свойствами: 1) в этом более «широком» множестве определены правила упорядочения, сло- сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств; 2) в целом более «широкое» множество не изоморфно относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел; 3) в более «широком» множестве можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел. Мы докажем, что такого более «широко- «широкого» множества не существует, т. е. множество всех веществен- вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств. Вообще, произвольное множество объектов, для которого определены некоторые правила и справедливы некоторые свой- свойства, называется полным относительно этих правил и свойств, если нельзя построить более «широкое» множество объектов такое, чтобы 1) в этом более «широком» множестве были опре- определены те же правила и справедливы те же свойства; 2) в це- целом это более «широкое» множество не было изоморфно данно- данному относительно указанных правил; 3) в этом более «широком» * Это вытекает из того, что между множеством всех рациональных чисел -и всех вещественных чисел нельзя установить взаимно однозначное соответ- соответствие. В п. 3 § 7 будет доказано, что такого соответствия нет между рацио- рациональными числами и вещественными числами сегмента [0, 1]. Отсюда и выте- вытекает требуемое утверждение.
56 Гл. 2. Вещественные числа множестве существовала часть, изоморфная данному множеству относительно указанных правил. Можно утверждать, что множество всех рациональных чисел не является полным относительно правил упорядочения, сложе- сложения и умножения и остальных 16 основных свойств, ибо суще- существует более «широкое» множество (множество вещественных; чисел), удовлетворяющее требованиям 1), 2) 3) из только что сформулированного определения. Докажем теперь, что множество всех вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств. Предположим противное, т. е. предположим, что существу- существует более «широкое» множество объектов {х'} такое, что выпол- выполнены требования 1), 2), 3) из сформулированного выше опреде- определения, и обозначим через {х'} ту часть множества {х'}, которая: изморфна относительно правил упорядочения, сложения и ум- умножения множеству {х} всех вещественных чисел. Заметим прежде всего, что у множества {х'} существует един- единственная пара элементов 0' и Г, играющих особую роль нуля и единицы*. Далее можно утверждать, что элементы 0' и V входят в состав множества \х'} и находятся во взаимно одно- однозначном соответствии с вещественными числами 0 и 1 **. Пусть. а' — какой-либо элемент множества {х'}, не принадлежащий множеству {xf}. В силу правила упорядочения мы можем разбить все эле- элементы множества {х'} на два класса — верхний и нижний, отне- отнеся к верхнему классу все элементы х', удовлетворяющие нера- неравенству х'~>а, а к нижнему классу все элементы х', удовлетво- удовлетворяющие неравенству х'<а'. Оба эти класса не являются пусты- пустыми. В самом деле, докажем, например, что верхний класс не пуст. Повторив элемент Г слагаемым достаточное число раз, мы, в силу свойства 16°, получим элемент п' множества {х'}, удов- удовлетворяющий неравенству и'>а', т. е. принадлежащий верхне- верхнему классу. Из свойства 4° вытекает, что каждый элемент ниж- нижнего класса меньше любого элемента верхнего класса. * Если бы нашлись два элемента O'i и 02', играющие особую роль нуля, то в силу свойства суммы мы получили бы Oi'=Oi'-t-Oa'=О2Ч-О1'=О2', т. е.. 02' = 02'. Аналогично доказывается единственность элемента 1', играющего осо- особую роль единицы. ** Докажем, например, что нулевой элемент 0' множества {х'} принадле- принадлежит множеству {*'} и находится в соответствии с вещественным числом 0. Обозначим через 0 тот элемент множества {xf}, который находится в соответ- соответствии с вещественным числом 0, и заметим, что сумма 9+9 отвечает вещест- вещественному числу 0+0=0, и потому 9+9 = 9. С другой стороны, 0'+9 = 9 (па определению нулевого элемента (У). Из двух последних равенств заключаем, что 6+9 = 0' + 9. Прибавляя к обеим частям полученного равенства элемент W. противоположный 9, и учитывая, что 9+9' = 0', получим 9+0'=0'+0\ или (в силу свойства нулевого элемента) 9=0/. Аналогично проводятся рассуждения для единичного элемента.
§ 6. Дополнительные вопросы 57 В силу изоморфизма множества {х'} и множества {х} всех вещественных чисел можно утверждать, что множество всех вещественных чисел разбивается на два класса, причем каж- каждое число из нижнего класса меньше любого числа из верхнего класса. Но это означает, что нижний класс вещественных чисел ограничен сверху и имеет (в силу теоремы 2.1) точную верх- верхнюю грань М, а верхний класс имеет точную нижнюю грань т. Из определения точных граней вытекает, что обе грани рг и М заключены между вещественными числами, как угодно близкими между собой, а поэтому т=М. Так как число т=М является одним из вещественных чисел, то оно принадлежит одному из классов, т. е. существует либо наименьший элемент в верхнем классе, либо наибольший элемент в нижнем классе. Докажем, что оба зти утверждения абсурдны. Пусть, например, существует наименьший элемент в верхнем классе веществен- вещественных чисел. Тогда существует наименьший элемент чп' и в верх- верхнем классе, отвечающем разбиению множества {х'}. По опреде- определению верхнего класса т'~>а'. Согласно свойствам суммы су- существует разность т'—а', причем согласно этим свойствам т'—а'ХУ. Но тогда в силу свойства 12° для элемента т'-—а' существует обратный, который в силу свойств произведения ра- равен частному \'1{т'—а'). Согласно свойству 16° элемент V мож- можно повторить слагаемым столько раз, что полученный при этом «целый» элемент п' будет принадлежать {х'} и удовлетворять неравенству п'~>\'1{т'—а). Из последнего неравенства в силу свойств произведения и суммы получим* т' — >а'. B.19) п' Так как элементы т', 1' и п' принадлежат множеству {х'}, то / , г \ и элемент т также принадлежит этому множеству и, V п 1 у очевидно, удовлетворяет неравенству т' ¦ < т'. Но тогда п' неравенство B.19) означает, что в верхнем классе имеется эле- элемент,- меньший т', т. е. т не является наименьшим элементом. Полученное противоречие доказывает полноту множества веще- вещественных чисел **. 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. Для введения вещественных чисел мы использовали множество бесконечных десятичных дробей. Определив для множества этих дробей правило упорядочения и операции сложения и ум- * Эти свойства обеспечивают применимость всех правил алгебры. ** При доказательстве этой теоремы использовалась идея так называемого дедекиндова сечения. Дедекиндовым сечением в области рациональных чисел называется разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В таких, что любой элемент А меньше любого элемента В.
58 Гл. 2. Вещественные числа ножения, мы установили, что элементы этого множества обла- обладают 16 основными свойствами и, кроме того, свойством полно- полноты относительно 16 основных свойств. Описанный способ введения вещественных чисел, хотя и об- обладает несомненными эвристическими и методическими достоин- достоинствами, не является единственно возможным и целесообразным с научной точки зрения. Для окончательного оформления и полного логического завершения наших представлений о веще- вещественных числах более предпочтительным является аксиомати- аксиоматический метод введения этих чисел. Этот метод заключается в следующем. Множество вещественных чисел вводится как совокупность объектов*, удовлетворяющих 17 аксиомам, в качестве которых берутся 16 основных свойств и аксиома о полноте относительно 16 указанных свойств. Впредь мы будем называть упомянутые 17 аксиом аксиомами вещественного числа. Конк- Конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, и является изученное нами выше множество бесконечных десятичных дробей. Возможны и другие реализации указанной совокупности объектов. Имеет место следующее замечательное утверждение: Любая реализация совокупности объектов {х'}, удовлетворя- удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, изоморфна изученно- изученному выше множеству {х} бесконечных десятичных дробей. Доказательство этого утверждения можно найти в книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка: «Основы математического ана- анализа», ч. 1 (М., Наука, 1982, с. 608—612), а также в книге В. А. Ильина, В. А. Садовничего и Бл. X. Сендова «Математи- «Математический анализ» (М., Наука, 1979, с. 65—69). Подчеркнем, что аксиоматический метод и понятие изоморф- изоморфных (в различных смыслах) совокупностей объектов широко, используются в разнообразных разделах современной матема- математики и физики (при построении геометрии, теории вероятностей, классической механики, статистической физики, квантовой ме- механики** и др. разделов). В заключение заметим, что в геометрии множество точек прямой вводится как совокупность объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам, среди которых фундаментальную роль играет аксиома о полноте этой совокупности относительно ос- остальных аксиом. Упомянутые аксиомы позволяют установить * При этом ничего не предполагается о природе этих объектов. ** Так, квантовая механика первоначально возникла в виде двух внешне различных теорий: «матричной механики» Гейзенберга и «волновой механики» Шредингера. Позже было доказано, что эти две теории используют две изо- изоморфные друг другу конкретные реализации одной общей совокупности объек- объектов, вводимой аксиоматически и называемой абстрактным гильбертовым прост- пространством.
§ 7. Элементы теории множеств 59 взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством всех вещественных чисел *. Это соот- соответствие позволяет изображать вещественные числа точками на прямой (числовой оси), чем мы будем широко пользоваться в иллюстративных целях. § 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества. В предыдущих параграфах при изуче- изучении теории вещественных чисел важным понятием являлось поня- понятие множества. Подчеркнем, что множество мы рассматривали как начальное понятие, неопределяемое через другие. В этом па- параграфе мы будем изучать множества произвольной природы, или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы дан- данного множества, уже не обязаны быть вещественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функ- функции, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д. В математике обычно вводят множество как совокупность объ- объектов любой природы, обладающих определенным свойством. Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В, ... или X, У, ... и т. п., их элементы — малыми буквами а, Ь, ... или х, у,... и т. п. Утверждение «элемента принадлежит множеству А» будем записывать в виде а^А, если же элемент а н е при- принадлежит множеству А, то будем писать, что сеА или а^А. Если рассматриваются два произвольных множества А и В и из- известно, что все элементы множества В содержатся в множестве А, то В называется подмножеством множества А и обозначает- обозначается этот факт так: Вс=А. При этом говорят, что множество В вклю- включается в множество А. (Заметим, что при этом возможен случай В = А, т. е. случай, когда каждый элемент множества В принад- принадлежит множеству А и, наоборот, каждый элемент множества А принадлежит множеству В.) В дальнейшем удобно будет рассматривать множества, являю- являющиеся подмножествами некоторого фиксированного множества Е. Если множество вводится как совокупность объектов, облада- обладающих некоторым свойством, причем оказывается, что объектов, обладающих указанным свойством, не существует, то множество называется пустым и обозначается символом 0. Таким образом, пустое множество — это множество, не содер- содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмноже- подмножеством любого множества. Заметим, что когда речь идет о некотором выборе элементов, для которых ранее было введено обозначение, скажем, о наборе * См. книгу В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Аналитическая геометрия» (М., Наука, 1981; приложение в конце книги).
60 Гл. 2. Вещественные числа элементов х, то данная совокупность или данное множество может обозначаться и так {х} (говорят —«множество элементов «икс»). Далее, если X — какое-то множество, а Р — определенное свойство, то запись {х^Х:Р(х)} или {х^Х\Р(х)} обозначает множество элементов х, обладающих свойством Р. Например, если обозна- обозначить через N = {x) множество натуральных чисел: 1, 2, 3, ..., то за- запись {x^N : х2—4=0} означает множество корней уравнения х2—4 = 0, являющихся натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента: 2. Таким образом, {x&V:x2—4=0} = 2. Множество всех тех вещественных чисел {х}, которые одновре- одновременно удовлетворяют двум условиям: х<1 и 2<х, является пус- пустым. Пустым является и множество {хе?: хфх). 2. Операции над множествами. С ум мой (или объединен и- е м) двух множеств А и В называется третье множество С, состоя- состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. Сумма двух множеств обозначается так: C^=A[jB. Анало- Аналогично определяется сумма А любого числа множеств Аа. В этом случае пишут A = \jAa, что и означает, что множество А состоит из CS элементов, принадлежащих хотя бы одному Аа: Заметим, что не следует путать понятие суммы двух множеств с понятием суммы двух вещественных чисел. Например, если мы рассматриваем множества Л = {1}, В = {2}, т. е. множества, состоя- состоящие всего из одного элемента: в первом случае из единицы, во втором из числа два, то C=A\JB = {1\ 2} есть множество, состоя- состоящее из двух элементов — чисел 1 и 2. Ясно, что при этом 1+2 = 3 не является даже элементом множества С. Пересечением двух множеств А и В называется третье ¦ множество С, состоящее из элементов, принадлежащих как мно- множеству А, так и множеству В, т. е. из элементов, общих для мно- множеств А и В. Пересечение С двух множеств А и В обозначается так: С=А(]В. Аналогично определяется пересечение С произволь- произвольного числа множеств Aa:C=f\Aa, т. е. множество С, состоящее из а элементов, принадлежащих, каждому множеству Аа. Разностью С—А\В двух множеств А и В называется мно- множество, состоящее из элементов А, не принадлежащих В. Заметим, что если рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества Ё, то разность А' = Е\А на- называется дополнением множества А или дополнением до Е множества А. Подчеркнем также, что понятие разности двух множеств так- также не следует путать с понятием разности двух вещественных чисел. Дополнительные сведения о свойствах операций над множест- множествами и понятие отображения множеств будут даны в п. 4 в конце настоящего параграфа.
§ 7. Элементы теории множеств 6F 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества. Важным вопросом при изучении множеств» является вопрос о том, как сравнивать между собой два множе- множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся. Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит ко- конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы мо- можем просто каким-нибудь способом занумеровать. При этом может- оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина* ковое число элементов. Назовем такие два множества, содержа- содержащие конечное и одинаковое число элементов, эквивалентны- м и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов ока- окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую» мощность, чем другое из рассматриваемых множеств. Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще гово- говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещест- вещественных чисел, лежащих на сегменте [0, 1]. Назовем два множества А и В эквивалентными, если меж- между ними существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каж- каждому элементу а^.А отвечает единственный элемент Ь^В, каждый, элемент ЬеВ сопоставлен некоторому элементу аеЛ и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В. Взаимно однозначное соответствие называют иногда биектив- биективным соответствием. В частности, множества, содержащие конечное число элемен- элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат оди- одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обо- обозначается так: А~В. Покажем, например, что множество R = {r} рациональных чисел и множество N={n] натуральных чисел эквивалентны. Заметим сначала, что для любого целого кфО два рациональных числа пг/п и mkjnk являются одинаковыми (здесь п=?=0). Поэтому всякое- рациональное число г можно записать в виде г= — (q > 0)? q и дробь считать несократимой. Число 0 будем считать записанным одним способом: 0 = —. Назовем число h=\p\+q высотой рационального числа plq.* Ясно, что рациональных чисел г, имеющих данную высоту, конеч- конечное число. Будем нумеровать натуральными числами 1, 2, 3, ...- рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва зануме- занумеруем все рациональные числа высоты h—\. Такое число только- одно: 0. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е.. поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем зануме- занумеруем рациональные числа высоты 1г = 2. Таких чисел два: 1 =
2 Гл. 2. Вещественные числа -и 1 = . Первому из них поставим в соответствие натураль- натуральное число 2 (т. е. занумеруем его индексом 2), второму — число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответст- соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами, т. е. R~N. Введем понятие счетного множества. Определение 1. Множество называется счетным, если ¦оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным гвыше, мы получаем, что множество рациональных чисел является •счетным множеством. Докажем следующие два простых утверждения о счетных мно- множествах. Утверждение 1. Всякое непустое подмножество счетного множества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством счетным. Доказательство. Пусть А — исходное счетное множество, т. е. A~N—множеству натуральных чисел. Это означает, что эле- элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. 'Расположим элементы множества А в виде последовательности: «ь а2, ..., ап, .... Пусть В — непустое подмножество множества А. Рассмотрим последовательно элементы аи а% а3,... множества А. "Если а^В, то этот элемент мы обозначим через Ъ\\ если at^B, мы переходим к рассмотрению элемента а2. При рассмотрении •элемента а2 могут представиться две возможности: а) элемент щ^.В; если при этом было выполнено, что и а\^В, то элемент а2 Лш обозначим через Ь2; если же Щ^В, то элемент а^ обозначается через Ъ\\ б) элемент a2efi, тогда переходим к рассмотрению эле- элемента а3 и т. д. Ясно, что при этом может случиться, что все эле- элементы множества В будут расположены в виде конечной последо- последовательности: Ь\, Ь% >.., Ьм (М<оо). В этом случае множество В ^состоит из конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной по- последовательности элементов Ъ\, Ь2, ..., Ьп, ..., откуда следует, что множество В счетное. Утверждение доказано. Утверждение 2. Сумма любой конечной или счетной сово- совокупности счетных множеств есть множество счетное. Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда «имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть А\, А2, А3, ... —совокупность множеств, каждое из которых счетно. Рас- лоложим элементы множеств А\, А2, А3, ... в виде последователь- «юстей:
§ 7. Элементы теории множеств 6S At = {а„ , а,2 , %, . ••), Пусть Л= у Л„. Произведем нумерацию элементов а множе- л=1 ства Л = {а} следующим образом*: a,i = an, a2=a2u as=ct\2, сц=ази 05=^22, ав=сцз и т. д. У некоторых множеств Л, и Л/ могут оказаться общие элементы (при ?=/=/). В этом случае мы их учитываем только один раз. Таким образом, элементы множества Л можно занумеровать* т. е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множест- множеством натуральных чисел N, т. е. Л счетно. Утверждение доказано. Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные мно-. жества, т. е. такие бесконечные множества, которые нельзя поста- поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натураль- натуральных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме. Теорема 2.2. Множество всех точек сегмента [0, 1] несчетно. Доказательство. Рассмотрим интервал @, 1). Очевидно,, что если мы докажем, что интервал @,1) несчетен, то и сегмент- [0, 1] будет несчетен, так как множество точек сегмента [0, 1] отли- отличается от множества точек интервала @,1) всего двумя точками: 0 и 1. Итак, докажем, что множество точек интервала @, 1) не- несчетно. Допустим противное, т. е. предположим, что все вещест- вещественные числа интервала @, 1) можно занумеровать. Записывая все числа интервала • @, 1) в виде бесконечных: десятичных дробей, получим, что Х\ = 0, п\\С1\2 ... й\п ... , хп — 0, ап\аП2... апп..., Рассмотрим на интервале @,1) вещественное число х=0,Ьф2 ... ... Ьп..., где Ь\ — любая цифра, отличная от аи, 0 и 9; Ь2 — любая» цифра, отличная от а22, 0 и 9; и т. д.; Ъп — любая цифра, отличная от а„п, 0 и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним из чисел Х\, Xi, ..., хп, .... Число х не содержит после за- запятой нулей и девяток, т. е. это число не принадлежит классу ра- * В записи всех элементов множеств А\, А% приведенной выше, стрелки? указывают порядок, в котором мы производим нумерацию.
«64 Гл. 2. Вещественные числа циональных чисел, представимых двумя способами в виде беско- бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел х\, х% ¦¦¦, хп, ..., ибо совпадение чис- числа х с каким-либо числом хп означало бы совпадение Ь„ и аПп- Таким образом, интервал @, 1), а вместе с тем и сегмент [0, 1] несчетен. Теорема доказана. Определение 2. Множество, эквивалентное' множеству то- точек сегмента [О, 1], называется множеством мощности конти- континуум а. Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума и счетные множества не являются эквивалентными между собой множествами. В частности, из теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте [О, 1] не все числа рациональны: в противном случае их можно было бы перенумеровать. Из теоремы 2.2 также следует, что ирра- иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество или конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел — рациональных и иррациональных — было бы счетное множество. Рассмотрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, то мы будем говорить, что они имеют одинаковую мощность или являются равно мощными. Для обозначения равномощности множеств А и В использу- используют следующую символику: m(A)=m(B) *. Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножест' ва, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощ- мощность множества А меньше мощности множе- с т в а В. Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику: m{A)<m(B). Например, из данного выше определения множества мощности континуума, из теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных мно- множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощ- мощности множества сегмента [0, 1], т. е. мощности континуума. Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Л.огически возможны еще два случая: * Величину m(А), представляющую собой общую характеристику класса всех эквивалентных множеству А множеств, принято называть кардиналь- кардинальным числом. В частности, если А состоит из конечного числа элементов, то т(А) равно количеству элементов этого множества.
§ 7. Элементы теории множеств 65 а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквива- эквивалентное Л. б) Множества Л и В не эквивалентны, и ни одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эк- эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен. Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мощности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума. Ока- Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутст- отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит ак- аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиомати- аксиоматической теории множеств. В заключение докажем, что сегмент [0, 1] и интервал @, 1) — эквивалентные или, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте [0, 1] и интервале @, 1) по- последовательность точек 1 —, —, ... , —, ... I. I 2 3 п J Точке 0 сегмента [0, 1] поставим в соответствие точку — интервала @, 1), точке 1 сегмента [0, 1] поставим в соот- соответствие точку — интервала @, 1), далее точке— сегмента о Z [О, 1] поставим в соответствие точку — интервала @, 1) 4 и т. д., точке — сегмента [0, 1] поставим в соответствие точку п ¦ интервала @, 1), и>2. Всем остальным точкам сегмента п+2 (т. е. точкам, отличным от 0,1 и не принадлежащим-выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки инт тервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом [0, 1] и ин- интервалом @, 1) установлено. 4. Свойства операций над множествами. Отображение мно- множеств. Отметим ряд свойств, введенных выше операций над множествами. Отношение включения двух множеств облада- обладает следующими свойствами: 1°) АаА; 2°) если AczB и BczA, то А = В; 3°) если ВаА и AczC, то BczC; 4°) 0czA для любого множества А. 3 Зак. 72
66 Гл. 2. Вещественные числа Операции суммы (объединения) и пересечения мно- множеств обладают следующими, непосредственно проверяемыми свойствами: 5°) (\jAa)f\B = \j(Aaf\B) (дистрибутивность пересечения); а а 6°) (r\Aa)\jB — Q(Aa\JB) (дистрибутивность объединения); а а, 7°) Лс=В эквивалентно условиям A\jB = B или Af\B=A. Напомним, что для подмножеств {А} некоторого фиксирован- фиксированного множества Е мы ввели операцию дополнения Л' = =Е\А. Очевидно эта операция удовлетворяет следующим свой- свойствам: 8°) А\)А' = Е, АГ\А' = 0; 9°) 0' = Е, Е' = 0; 10°) ШЛ 11°) а а. Последние два свойства суть правила де Моргана *. Симметрической разностью двух множеств Л и В назовем множество C(A\JB)\(A(]B). Симметрическая разность множеств А и В обозначается символом ААВ. Легко видеть, что ААВ= (А\В)[)(В\А). Важнейшим понятием в анализе является понятие отобра- отображения одного множества в другое. Пусть X и У—какие-то множества. Если в силу некоторого закона f каждому элементу х^Х соответствует элемент y = f(x)^Y, то говорят, что задано отображение f множества X в множество У. Записывают этот факт в виде f:X-*Y или X-+Y. В этом случае элемент y=f{x) называют образом элемента х или значением f на элементе х, а элемент х — про- прообразом или одним из прообразов элемента у. Часто элемент х^Х называют переменным или аргументом отобра- отображения /. Образом множества AczX при отображении f: X^-Y назы- называют множество всех таких элементов из У, которые являются образами элементов хеЛ. Это множество обозначается симво- символом /(Л). Если BczY, то прообразом (или полным прообра- прообразом) множества В называют совокупность всех элементов j;el таких, что f(x)^B. Прообраз множества В обозначается сим- символом f~l(B). Отображение f:X^>-Y иногда удобно называть функцией с областью определения X и областью (или множеством) зна- значений f{X)aY. В некоторых разделах математики в зависимо- зависимости от природы множеств X и У и свойств / отображение f на- называется оператором, функционалом и т. д. А. де Морган — шотландский математик A806—1871).
§ 7. Элементы теории множеств 67 Про отображение f:X-*-Y говорят, что оно сюръективно (или является отображением X на У), если f(X)=Y; инъек- тивно (или является вложением), если для любых эле- элементов Х\, %2 множества X из условия f(xi)=/(x2) вытекает, что Xi = x2, т. е. различные элементы имеют различные образы; биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно. Если отображение f:X->-Y биективно, то, как мы отмечали в п. 3, множества X и Y называются эквивалентными (или равномощными). В случае биекции f : X-*-Y можно определить обратное отображе- отображение /~' : Y-*-X по правилу: если при отображении f элементу х^Х соответствует элемент je7, то /"'(</) полагается равным элементу х. Для любого г/еУ в силу сюръективности отображе- отображения f элемент f~x(y) всегда существует, а ввиду инъективности отображения / этот элемент/-1 (у) единственен. 3*
Глава 3 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций ма- математического анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в курсе анализа в различных фор- формах. В настоящей главе изучаются простейшие формы операции пре- предельного перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, ко- короче, предела) функции. В конце главы дается общее определение предела функции по базе. § 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Понятие числовой последовательности из- известно из курса средней щколы. Примерами числовых последова- последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элементов арифметической или геометрической прогрессии; 2) последова- последовательность периметров правильных л-угольников, вписанных в дан- данную окружность; 3) последовательность рациональных чисел Xi = 0,3, X2=0,33, х3 = 0,333, ..., приближающих число 1/3. Если каждому значению п из натурального ряда чисел 1, 2, ... ..., п, ... ставится в соответствие по определенному закону некото- некоторое вещественное число х„, то множество занумерованных вещест- вещественных чисел Х\, Х2, ... , Хп, ... C.1) мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. Отдельные числа хп мы будем называть элементами или члена- членами последовательности C.1). Для сокращенной записи последова- последовательности C.1) будем использовать символ {хп}. Так, например, символ |—— J обозначает последовательность 1, 1/22, 1/32, ..., 1/п2, ..., а символ {1 + (—1)"} обозначает после- последовательность 0, 2, 0, 2, ....
§ 1. Последовательность и ее предел 69 Рассмотрим наряду с последовательностью C.1) еще одну последовательность Уи Уг, .- , Уп C.2) Назовем последовательность X\ + yi, Х2+У2, •••, хп+Уп, ... суммой последовательностей C.1) и C.2), последовательность Х\—У\, х2—г/г, ..., хп—Уп, ... — разностью последовательностей C.1) и C.2), последовательность Х\-уи х2-у2, —, хп-уп, ... — про- произведением последовательностей C.1) и C.2) и, наконец, по- последовательность -^-, -^-, ... I—^Ц ... — частным последо- У\ Уг Уп вательностей C.1) и C.2). Конечно, при определении частного последовательностей C.1) и C.2) необходимо требовать, чтобы все элементы последователь- последовательности C.2) были отличны от нуля. Заметим, однако, что если у последовательности {уп} обращается в нуль лишь конечное число элементов, то частное I—2-} можно определить с того номера, I Уп J начиная с которого все элементы уп отличны от нуля. 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и беско- бесконечно большие последовательности. Совокупность всех элементов произвольной последовательности {хп} образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного сверху, снизу или с обеих сторон множества, мы приходим к следующим опре- определениям. Определение 1. Последовательность {хп} называется ог- раниченно й сверху (с низ у), если существует веществен- вещественное число М (вещественное число пг) такое, что каждый элемент этой последовательности хп удовлетворяет неравенству При этом число М (число ш) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности {хп}, а неравенство хп<сМ (х„»т) называется условием ограниченности этой последовательности сверху (снизу). Отметим, что любая ограниченная сверху последовательность имеет бесконечное множество верхних граней * и что в условии ограниченности последовательности сверху хп<М в качестве М может браться любая из верхних граней. Аналогичное замечание относится и к нижним граням ограниченной снизу последователь- последовательности. Определение 2. Последовательность {хп} называется огра- ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют два * В самом деле, если число М — одна из верхних граней, то в силу свой- свойства транзитивности знаков >и = и любое.яисло М*, большее М, является верхней гранью.
70 Гл. 3. Теория пределов вещественных числа Mum такие, что каждый элемент этой после- последовательности хп удовлетворяет неравенствам т<.хп<.М. C.3) При этом числа т и М называются соответственно нижней и верхней гранями последовательности {хп}, а неравенства C.3) на- называются условием ограниченности последовательности w. Подчеркнем, что в условии ограниченности C.3) могут фигу- фигурировать любая нижняя и любая верхняя грани последовательно- последовательности. Определение ограниченности последовательности требует су- существования хотя бы одной пары вещественных чисел т и М та- таких, что для любого элемента последовательности хп справедливы неравенства C.3). Заметим, что условие ограниченности последовательности мож- можно записать не только в форме удовлетворения неравенствам C.3), но и в другой эквивалентной форме: последовательность {хп} явля- является ограниченной тогда и только тогда, когда существует поло- положительное вещественное число А такое, что каждый элемент по- последовательности хп удовлетворяет неравенству \хя\<А. C.4) В самом деле, если каждый элемент хп удовлетворяет нера- неравенству C.4), то, положив пг=—А, А(=+Л, мы получим, что хп удовлетворяет неравенствам C.3). Если, наоборот, каждый эле- элемент хп удовлетворяет неравенствам C.3), то, обозначив через А наибольшее из двух чисел \гп\ и \М\, мы можем утверждать, что Хп удовлетворяет неравенству C.4). В соответствии с определением 2 ограниченной последователь- последовательности и условием ограниченности, взятым в форме C.4), мы мо- можем определить понятие неограниченной последовательности. Последовательность {хп} называется неограниченной, если для любого положительного вещественного числа А * найдется хотя бы один элемент последовательности хп, удовлетворяющий неравенству \хп\>А. C.5) С точки зрения этого определения всякая последовательность, которая ограничена только сверху или только снизу, является не- неограниченной. Так, например, последовательность 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2/г, ... огра- ограничена только снизу и является неограниченной: какое бы положи- положительное вещественное число А мы ни взяли, найдется элемент этой последовательности с четным номером, удовлетворяющий нера- неравенству C.5). * Сколь бы болышщ мы ни взяли это число.
§ 1. Последовательность и ее предел 71 Последовательность I —!, очевидно, является ограниченной: I л J каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравен- неравенствам C.3) при любых т<0 и Л1>1. Введем теперь понятия бесконечно большой и бесконечно ма- малой последовательностей. Определение 3. Последовательность {хп} называется бес- бесконечно большой, если для любого положительного веще- вещественного числа А* найдется номер N такой**, что при всех n>N элементы хп этой последовательности удовлетворяют нера- неравенству C.5). Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, ибо определение бесконечно большой последовательности требует, чтобы для любого Л>0 неравенству C.5) удовлетворяли все элементы последовательности, начиная с некоторого номера N, а определение неограниченной последова- последовательности требует, чтобы для любого Л>0 неравенству C.5) удов- удовлетворял хотя бы один элемент последовательности. Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, например, рассмотренная выше последовательность 1, 2, 1, 4, ..., 1, In, ..., будучи неограниченной, не является бесконечно большой, ибо для любого Л>1 неравенст- неравенство C.5) не имеет места для элементов хп со сколь угодно больши- большими нечетными номерами п. Определение 4. Последовательность {а„} *** называется бесконечно малой, если для любого положительного веще- вещественного числа г **** найдется номер N такой*****, что при всех n>>N элементы а„ этой последовательности удовлетворяют нера- неравенству |ая|<е. C.6): Докажем, что последовательность q, q2, ..., qn, ... является бес- бесконечно большой при |<?|>1 и бесконечно малой при \я\<\. Пусть сначала |<7|>1. Тогда |^| = 1+б, где б>0. Используя формулу бинома Ньютона, можем записать 191^= A + 6)^=1 +N8+ (положительные члены). Отсюда следует неравенство \q\N>8N. C.7) * Сколь бы большим мы ни взяли это число. ** Так как этот номер JV, вообще говоря, зависит от А, то иногда пишут: N=N(A). *** Элементы бесконечно малых последовательностей мы будем стремиться обозначать греческими буквами. **** Сколь бы малым мы ни взяли это число. ***** Так как этот номер N, вообще говоря, зависит от 8, то иногда пишут: N=N(e).
72 Гл. 3. Теория пределов Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер N такой, чтобы было справедливо неравенство 8N>A. C.8) Убедимся в том, что по любому Л>0 можно выбрать номер N, удовлетворяющий неравенству C.8). Договоримся обозначать сим- символом [х] целую часть положительного вещественного числа х. Поскольку неравенство C.8) эквивалентно неравенству N > —, то этому неравенству заведомо будет удовлетворять номер N, вы- [Л "I Г Л "I —- + 1 = + 1. 6 J , L \Я\— 1 J Заметим теперь, что поскольку |<7|>1. то из свойств произве- произведения вещественных чисел мы получим, что при всех n>-N \q\n>\q\N. C.9) Сопоставляя неравенства C.7), C.8) и C.9), мы получим, что для любого Л>0 найдется номер N = + 1 такой, что при L 191-1 J всех n>JV Это и доказывает, что при |<7|>1 последовательность {qn} явля- является бесконечно большой. Рассмотрим теперь случай |<7|<1. Мы должны доказать, что в этом случае последовательность {qn} является бесконечно малой. Исключая тривиальный случай <7 = 0, положим =1 + 6, где \я\ 6>0. Используя, как и выше, бином Ньютона, мы вместо C.7) получим неравенство ^ 1 C.7') Фиксируем произвольное положительное число е и выберем по нему номер N такой, чтобы было справедливо неравенство < е. C.8') 6N В силу того, что неравенство C.8') эквивалентно неравенству N > ——-, для выбора указанного номера достаточно положить во N = —— + 1 = — +1- Далее, поскольку, в силу L еб J [ еA —|<7|) J свойств произведения вещественных чисел, при |<7|<1 Для всех справедливо неравенство \q\n<\q\N, C.9')
§ 1. Последовательность и ее предел 73 то из сопоставления неравенств C.7'). C-8') и C.9') мы полу- получим, что для любого е>0 найдется номер N = — —— Ч- 1 L е A — \Я\) л такой, что при всех n~>N справедливо неравенство Это и доказывает, что при |<7|<1 последовательность является бесконечно малой. 3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема 3.1. Сумма {ап + Рп} двух бесконечно малых последо- последовательностей {ап} и {prt} представляет собой бесконечно малую по- последовательность. Доказательство. Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность {ап} является бесконечно малой, то для положительного числа е/2 найдется номер Ni такой, что при n>iVi справедливо неравенство |оп|<в/2. C.10) Аналогично, так как последовательность {рп} является беско- бесконечно малой, то для положительного числа е/2 найдется номер N2 такой, что при п>Лт2 справедливо неравенство C.11) Обозначим через N наибольший из двух номеров Ni и N2. Тогда при «>jV будут справедливы оба неравенства C.10) и C.11). Учитывая, что модуль суммы двух чисел не превосходит сум- суммы их модулей, мы получим, что для всех номеров n>-N |а» + р„|<|а»| + |ря|. C.12) Из соотношений C.12)., C.10) и C.11) вытекает, что при N справедливо неравенство Это и означает, что последовательность {<zn + prt} является беско- бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3.2. Разность {ап—Рп} двух бесконечно малых по- последовательностей {ап} и {р„} представляет собой бесконечно ма- малую последовательность. Доказательство этой теоремы отличается от доказательства теоремы'3.1 только тем, что вместо неравенства C.12) следует взять неравенство |оп—р»|<|оп|Ч-|Р»|. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой беско- бесконечно малую последовательность.
74 Гл. 3. Теория пределов Теорема 3.3. Произведение ограниченной последовательно- последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство. Пусть {хп} — ограниченная и {а„} — бес- бесконечно малая последовательности. По определению ограниченной последовательности найдется вещественное число Л>0 такое, что для всех элементов хп справедливо неравенство \хп\<А. C.13) Фиксируем произвольное положительное число е. Так как по- последовательность {ап} является бесконечно малой, то для положи- положительного числа г/А найдется номер N такой, что при n>jV спра- справедливо неравенство C.14) Учитывая, что модуль произведения двух чисел равен произве- произведению модулей этих чисел, мы получим с помощью неравенств C.13) и C.14), что для всех п>Л/> || [|||^ =е. Это и означает, что последовательность {хп-ап} является беско- бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3.4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной-. Доказательство. Пусть {ап} — бесконечно малая последо- последовательность. Фиксируем некоторое положительное число е. По оп- определению бесконечно малой последовательности найдется отве- отвечающий этому е номер N такой, что |ая|<е для всех номеров n>jV. Обозначим через А наибольшее из следующих № чисел: в, \щ\, [ct21, .... |ctw-i|. Тогда очевидно, что |а„|<Л для всех но- номеров п, а это и означает ограниченность последовательности {ап}. Теорема доказана. Следствие из теорем 3.3 и 3.4. Произведение двух (и лю- любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Теорема 3.5. Если все элементы бесконечно малой последо- последовательности {ап} равны одному и тому же числу с, то с = 0. Доказательство. Допустим, что сфО. Обозначим через е положительное число е=|с|. По определению бесконечно малой последовательности для указанного е=|с| найдется номер N та- такой, что |art|<|c| при всех n>-N. Но неравенство |art|<|c| (в силу того, что все ап равны с) превращается в заведомо аб- абсурдное неравенство |с|<|с|. Следовательно, наше допущение сФО не имеет места, и теорема доказана. Теорема 3.6. Если {хп} — бесконечно большая последова- последовательность, то, начиная с некоторого номера п, определено частное
§ 1. Последовательность и ее предел 75 {—— 1 двух последовательностей {1}* и {хп}, которое представля- { хп J ет собой бесконечно малую последовательность. Если все элемен- элементы бесконечно малой последовательности {ап} отличны от нуля, то частное I 1 двух последовательностей {1} и {ап} представляет I а„ J собой бесконечно большую последовательность. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Заметим, что у бесконечно большой последовательности {хп} лиш» конечное число элементов может быть равно нулю. В самом деле, по определению- бесконечно большой последовательности для числа А = \ найдется номер N* такой, что |л:п|>Л = 1 для всех n>N*. Значит, при п^Л/1* все элементы хп не обращаются в нуль, и мы можем, начиная с номера N*, рассматривать частное | \ [ хп ) последовательностей {1} и {хп}. Докажем, что это частное являет- является бесконечно малой последовательностью. Фиксируем произволь- произвольное положительное число е. По определению бесконечно большой последовательности для положительного числа — найдется но- 8 мер N (этот номер мы возьмем таким, чтобы он превосходил N*) такой, что \хп\ >— при n>iV или, что то же самое, 8 1 Хп < е при n^N. Это и означает, что последовательность м — 1 является бесконечно малой. Для доказательства второй части теоремы предположим, что все элементы бесконечно малой последовательности {ап} отличны от нуля. Фиксируем произвольное положительное число А. Так как \ап} является бесконечно малой последовательностью, то для положительного числа — найдется номер N такой, что |а„| < — А А при n^s>N или, что то же самое, 1 1«„| при Это и означает, что последовательность I — 1 является бесконечно UnJ большой. Теорема доказана. 4. Сходящиеся последовательности и их свойства. Введем фун- фундаментальное понятие сходящейся последовательности и ее пре- предела. Определение 1. Последовательность {хп} называется схо- сходящейся, если существует такое вещественное число а, что по- последовательность {хп—а} является бесконечно малой. При этом ее- * .Символ {1} обозначает последовательность, все элементы которой рав- равны 1.
76 Гл. 3. Теория пределов щественное число а называется пределом последовательности {Хп}*. Если последовательность {хп} является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывают так: Игл хп = а или хп-*-а при n-voo. п- Используя определение бесконечно малой последовательности, мы приходим к другому определению сходящейся последовательно- последовательности, эквивалентному определению 1. Определение 2. Последовательность {хп} называется схо- сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа г найдется номер N такой **, что при всех n>>N элементы хп этой последовательности удовлетворяют неравенству \хп-а\<е. C.15) При этом число а называется пределом последовательности {Xnl Неравенство C.15) можно записать в эквивалентной форме —г<хп—а< + г или, что то же самое, а—е<хп<а+е. C.15') На геометрическом языке неравенства C.15') означают, что элементы хп при n^N лежат в интервале (а—е, а+е), который мы договорились называть е-окрестностью точки а. Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящей- сходящейся последовательности, эквивалентное определениям 1 и 2. Определение 3. Последовательность {хп} называется схо- сходящейся, если существует такое число а, что в любой г-окрест- ности точки а находятся все элементы последовательности {хп}, начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от е). Установим специальное представление для элементов любой сходящейся последовательности {х„}. В силу определения 1 раз- разность хп—а — ап является элементом бесконечно малой последова- последовательности. Следовательно, элемент хп сходящейся последователь- последовательности, имеющей своим пределом вещественное число а, может быть представлен в следующем специальном виде: х„=а+ап, C.16) где ап — элемент некоторой бесконечно малой последовательно- последовательности {ап}. * В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последова- последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число о=0. ** Так как этот номер N, вообще говоря, зависит от е, то иногда пишут: N=N(e).
§ 1. Последовательность и ее предел 77 Замечание 1. Из определения сходящейся последовательно- последовательности и ее предела сразу же вытекает, что удаление любого конеч- конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину ее предела. Замечание 2. Последовательности, не являющиеся сходя- сходящимися, принято называть расходящимися. Замечание 3. Иногда формально договариваются тракто- трактовать бесконечно большие последовательности как последователь- последовательности, сходящиеся к пределу оо. Такая формализация позволяет^ использовать для бесконечно большой последовательности {хп) следующую символику Игл хп = оо. Л-»ОО Если при этом элементы бесконечно большой последователь- последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный [отри- [отрицательный] знак, то используют следующую символику*: lim хп = + °° [Пт хп = —оо]. л-»а> я-»оо В качестве примера докажем, что последовательность {хп} с элементами *„=0,33...3 п раз сходится к пределу а = 1/3. Фиксируем произвольное положитель- положительное число е и докажем возможность выбора по этому е такого но- номера N, что < е при всех n>N. Так как число 1/3 3 представимо бесконечной десятичной дробью 0,333..., то из прави- правила упорядочения вещественных чисел вытекают следующие нера- неравенства: 0,33 ...3 < — <0,33 ...3+ 3 ~ 10" ' л раз л раз справедливые для любого номера п. Из последних неравенств мы получим для числа хп = 0,33 ... 3 л раз следующее соотношение: 3 ^ 10" * Так как <—тг для всех п>М то для нахождения по дан- 10" 10™ ному е>0 номера N такого, что хп <'8 при всех n>-N, О | достаточно выбрать этот номер N. из условия —^- < 8- * Иными словами, limxn = -f-oo[=—оо], если для любого Л>0 найдется отвечающий этому А номер N такой, что хп>А[хп<—А] для всех
78 Гл. 3. Теория пределов Напомним, что в п. й мы установили возможность выбора но- номера N из условия |<7|^<е для любого |^| <1. Там доказано, что такой номер N можно взять равным (-1. В нашем случае |<7|=0> 1, так что Перейдем к установлению свойств произвольных сходящихся последовательностей. Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и Ь являются пределами сходящейся последовательности {хп}. Тогда в силу специального представления элементов сходя- сходящейся последовательности C.16) мы получим, что хп=а + ап и Хп=Ь + $п, где {ап} и {рп} — некоторые бесконечно малые последо- последовательности. Из последних двух равенств получим, что ап—рп = = Ъ—а. В силу теоремы 3.2 последовательность {«„—рп} является бесконечно малой, а в силу равенства аи—Р«.=Ь—а все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числу ?>¦—а. На основании теоремы 3.5 это чис- число b—а равно нулю, т. е. Ь = а. Теорема доказана. Теорема 3.8. Всякая сходящаяся последовательность являет- является ограниченной. Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся последова- последовательность на — ее предел. Фиксируем некоторое положительное число е и по нему номер N такой, что \хп—а\ <enpnn>iVили,что то же самое, а—г<хп<.а + г при n^N. Обозначим через А наи- наибольшее из следующих (N+1) чисел: \а— е|, |а + е|, |*i|, \x2\,... ..., |jcjv_i|. Тогда, очевидно, |я„|«:Л для всех номеров п, а это и доказывает ограниченность последовательности {хп}. Теорема до- доказана. Замечание 4. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, последовательность 0, 1, О, 1, ..., 0, 1, ... является ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим п-й член этой последовательности симво- символом хп и предположим, что эта последовательность сходится к не- некоторому пределу а. Но тогда каждая из последовательностей {Хп+\—а) и {хп—а} являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательно- последовательностей {хп+\—Хп}, а этого быть не может в силу того, что \xn+i—хп\ = = 1 для всех номеров п.
§ 1. Последовательность и ее предел 79 Следующие четыре теоремы показывают, что четыре арифме- арифметические операции над элементами сходящихся последовательно- последовательностей приводят к аналогичным операциям над их пределами. Теорема 3.9. Сумма сходящихся последовательностей {хп} и {уп} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хп} и {уп}- Доказательство. Предположим, что последовательности {хп} и {уп} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последователь- последовательности C.16) будут справедливы соотношения хп=а+ап, #n = fc + Pn, C.17) в которых ап и ря представляют собой элементы некоторых беско- бесконечно малых последовательностей {ап} и {р„}. Из соотношений C.17) вытекает, что C.18) Так как сумма {art+pn} Двух бесконечно малых последовательно- последовательностей {ап} и {рп} представляет собой бесконечно малую последова-. тельность (теорема 3.1), то из соотношения C.18) вытекает в силу определения 1, что последовательность {хп+уп} сходится и веще- вещественное число а + Ь является ее пределом. Теорема доказана. Теорема 3.10. Разность сходящихся последовательностей {хп} и {уп} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хп} и {Уп}. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.9, только вместо соотношения C.18) мы получим соот- ношение (хп—Уп) — (а—Ь) = а„—р„. Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательно- последовательностей {хп} и {уп} представляет собой сходящуюся последователь- последовательность,, предел которой равен произведению пределов последова- последовательностей {хп} и {«/„}. Доказательство. Предположим, что последовательности {хп} и {уп} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы специальные представления C.17), перемножая которые, мы получим хп • уп = а • b + а ¦ р„ + b ¦ ап+ап ¦ рп или, что то же самое, хпуп—a-b = a$n + ban+<in-$n. C.19) Для доказательства теоремы в силу определения 1 остается убе- убедиться в том, что в правой части C.19) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу же вытекает из теоремы
80 Гл. 3. Теория пределов 3.3 (согласно этой теореме последовательности {а-$п} и {Ь-ап} являются бесконечно малыми), из следствия из теорем 3.3 и 3.4 (согласно этому следствию последовательность {ап-$п} является бесконечно малой) и из теоремы 3.1 (согласно этой теореме сум- сумма трех бесконечно малых последовательностей {а-ря}, {Ь-ап} и {an-PrJ является бесконечно малой последовательностью). Теоре- Теорема доказана. Теореме о частном двух сходящихся последовательностей пред- предпошлем следующую лемму. Лемма 1. Если последовательность {уп} сходится к отлично- отличному от нуля пределу Ь, то, начиная с некоторого номера, определе- определено частное | — \ последовательностей {1} и {уп}, которое пред- \ Уп ) ставляет собой ограниченную последовательность. Доказательство. Учитывая, что ЬфО, обозначим через е положительное число е =-"—-. Для этого е найдется номер N такой, что при п>Лг справедливо неравенство \уп—Ь\<Сг или, что то же самое, \Уп-Ь\<-^-. C.20) Итак, для всех номеров п, начиная с номера N, выполняется неравенство C.20). Убедимся в том, что из неравенства C.20) вы- вытекает следующее неравенство: \Уп\>-^-> C-21) которое тем самым оказывается ¦ справедливым также для всех номеров п, начиная с номера N. В самом деле, так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел, то, исходя из тождества bs=(b—уп)+уп и используя неравенство C.20), мы получим Из последнего неравенства сразу же вытекает неравенство C.21), справедливость которого, начиная с номера N, установлена. Неравенство C.21) позволяет утверждать, что при n^>N эле- элементы уп не обращаются в нуль и, начиная с номера N, можно рассматривать частное I —}. I Уп) Из C.21), в свою очередь, вытекает, что для всех и>Я спра- справедливо неравенство 1 <_2_ Уп ¦ I Ь\ '
§ 1. Последовательность и ее предел 81 Это последнее неравенство и доказывает, что последователь- последовательность {—1, если ее рассматривать, начиная с номера N, явля- I Уп) ется ограниченной. Лемма доказана. Теорема 3.12. Частное двух сходящихся последовательнос- последовательностей {хп} и {уп}, предел второй из которых отличен от нуля, опре- определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходя- сходящуюся последовательность, предел которой равен частному преде*- лов последовательностей {хп} и {«/„}. Доказательство. Предположим, что последовательности {хп} и {уп} сходятся к пределам а и ЬфО соответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы уп не- необращаются в' нуль, определена последовательность <—} и эта I Уп } последовательность является ограниченной. Начиная с указанного» номера N, мы и будем рассматривать частное I—2-}. В силу опре- I Уп ) деления 1 достаточно доказать, что последовательность |— — I является бесконечно малой. Будем исходить из тож- I Уп Ь ) дества Уп Ь Уп-Ь Так как для элементов хп и уп справедливы специальные представ- представления C.17), то х-п-Ь—уп-а= (а+ап) -Ь—(fe + pn) -a = anb—рп-а. C.23) Подставляя C.23) в C.22), получим хп а 1 тт , "fp« • C-24) Уп о уп \ о 1 Остается доказать, что в правой части C.24) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из теоремы 3.3 и из того, что последовательность I — I (в силу I Уп ) леммы 1) является ограниченной, а последовательность Ып — р„ I (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана. Убедимся теперь в том, что неравенства, которым удовлетво- удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, приводят к ана- аналогичным неравенствам для пределов этих последовательностей. Теорема 3-13. Если все элементы сходящейся последова- последовательности {хп}, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn>-b[xn<b], то и предел х этой по- последовательности удовлетворяет неравенству x>-b[x-<b].
<82 Гл. 3. Теория пределов Доказательство. Предположим, что все элементы хп, по крайней мере начиная с некоторого номера N*, удовлетворяют не- неравенству хп>-Ь. Докажем, что и предел х этой последователь- последовательности удовлетворяет неравенству х>-Ь. Допустим, что это не так, т. е. справедливо неравенство х<Ъ. Тогда по определению сходящейся последовательности для по- положительного числа г = Ь—х найдется такой номер N (этот номер •мы возьмем еще и таким, чтобы он превосходил N*), что при n>N •будет справедливо неравенство \хп—#|<е или \хп—х\<.Ь—х. Последнее неравенство эквивалентно неравенствам — (Ь—х) < <хп—х<Ь—х, правое из которых означает, что хп<Ь при всех n>N, а это противоречит условию теоремы. Полученное противо- противоречие означает, что наше предположение о том, что х<Ь, неверно, т. е. х>&. Случай хп<Ь рассматривается аналогично. Теорема доказана. Замечание 5. Если все элементы сходящейся последова- ¦гельности {хп} удовлетворяют строгому неравенству хп>Ь, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что и предел х этой последо- &ательности удовлетворяет строгому неравенству х>Ь. (Можно лишь утверждать, что #>Ь.) Например, если хп = —, то для всех номеров хп>0, однако п шредел lim — = х = 0 не удовлетворяет неравенству х>0. Следствие 1. Если все элементы двух сходящихся после- последовательностей {хп} и {уп}, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам хп*суп, то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству limxrt<lim у„. C.25) Л-»-00 Л->00 В самом деле, начиная с указанного номера, все элементы по- последовательности {уп—хп} неотрицательны. В силу теоремы 3.13 и предел указанной последовательности Jim(уп — хп) неотрицате- лен. В силу теоремы 3.10 tim(yn — хп) = lim уп — lim xn и мы по- rt-»0O rt-»oo Л-»-00 лучим, что lim уп—limxn^0. Из последнего неравенства выте- Л-» 00 П-ЮО кает C.25). Следствие 2. Если все элементы сходящейся последова- последовательности {хп} находятся на сегменте [а, Ь], то и предел х этой последовательности лежит на сегменте [а, Ъ]. В самом деле, так как а*?хп<Ь для всех номеров п, то (в силу теоремы 3.13) а<л:<6. Доследнюю теорему, к доказательству которой мы сейчас пере- -ходим, можно назвать принципом двустороннего огра- шичения.
§ 2. Монотонные последовательности 8Э Теорема 3.14. Пусть {хп} и {уп} — две сходящиеся последо- последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, все- элементы третьей последовательности {zn}, no крайней мере начи- начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам xn<zn*cyn. C.26)' Тогда последовательность {zn} сходится к тому же самому пре- пределу а. Доказательство. Предположим, что неравенства C.2В) справедливы, начиная с номера N*. Тогда, начиная с того же само- самого номера N*, справедливы и неравенства хп—a<zn—а<уп—а. C.27) Из неравенств C.27) вытекает, что для каждого номера п, пре- превосходящего N*, \zn—a|<max{|*n—a\, \yn—а\}. C.28) (Эта запись означает, что \zn—а\ не превосходит наибольшего из-, двух чисел \хп—а\ и \уп—а\.) Фиксируем произвольное положительное число е. Тогда в силу- сходимости последовательностей {хп} и {уп} к пределу а найдутся» номера Ni и N2 такие, что \хп — а\<г при n^Nlt „ 2g. \У„ — а\<е при « > jV2. Если мы теперь обозначим через N наибольший из трех номеров- N*, Ni и Л/2, то при n>N будут справедливы оба неравенства в- C.29) и мы получим в силу C.28), что при n>iV справедливо не- неравенство \zn—а\<г. Это и доказывает сходимость последовательности {zn} к преде- пределу а. Теорема доказана. § 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Понятие монотонной последовательности. Определение 1. Последовательность {хп} называется неубы- неубывающей [невозрастающей], если каждый элемент этот последовательности, начиная со второго, не меньше [не больше] предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров п (я=1,2, ...)• справедливо неравенство ¦^n<#n+i [хп^-Хп+\]. C.30); Определение 2. Последовательность {хп} называется- монотонной, если она является либо неубывающей, либо невоз- невозрастающей.
84 Гл. 3. Теория пределов Если элементы неубывающей последовательности для всех но- номеров п удовлетворяют строгому неравенству xn<xn+i, то эту по- последовательность называют возрастающей. Аналогично, если элементы невозрастающей последовательнос- последовательности для всех номеров п удовлетворяют строгому неравенству Хп>хп+и то эту последовательность называют убывающей. Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (либо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого эле- элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента). Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, а невозрастающая по- последовательность будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Рассмотрим примеры монотонных последовательностей. 1. Последовательность 1, 1, 2, 2,... является неубывающей. Она ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не ограничена. о гт 2 3 4 п+\ 2. Последовательность —, —, —, ... , , ... является 1 2, о ft убывающей. Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а снизу, например, числом 1. 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последова- последовательности. Справедливо следующее фундаментальное утверждение. Основная теорема 3.15. Если неубывающая (невозрас- (невозрастающая) последовательность {хп} ограничена сверху (снизу), то она сходится. Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей и огра- ограниченной сверху последовательности {хп}. Множество всех элемен- элементов такой последовательности ограничено сверху, а потому по ос- основной теореме 2.1 гл.2 у этого множества существует точная верх- верхняя грань, которую мы обозначим символом х. Докажем, что это число х и является пределом последовательности {хп}. Во-первых, заметим, что по определению верхней грани любой элемент хЛ последовательности {хп} удовлетворяет неравенству Хп*?Х. C.31) Далее фиксируем произвольное положительное число е и заме- заметим, что по определению точной верхней грани найдется хотя бы один элемент последовательности Xn, удовлетворяющий нера- неравенству х—e<xN. C.32)
§ 2. Монотонные последовательности 85 Учтем теперь, что последовательность {хп} является неубываю- неубывающей и вследствие этого Xn^xu для всех номеров п, удовлетворяю- удовлетворяющих неравенству n>.N. Сопоставляя неравенство Хх<хп с нера- неравенством C.32), мы получим, что для всех n>N х—е<хп. C.33) Объединяя неравенства C.31) и C.33), мы получим, что для всех n^>N справедливы неравенства х—е<хп<х. Следовательно, для всех n^>N справедливо неравенство \хп—*|<е, которое и доказывает, что последовательность {хп} сходится к пределу * = sup{xn}- Если последовательность {хп} является невозрастающей и ограничена снизу, то совершенно аналогично доказывается, что она сходится к пределу х=Ш{хп}- Теорема доказана. Замечание 1. Теорему 3.15 можно сформулировать в дру- другом виде. Во-первых, заметим, что в силу сказанного в п. 1 после- последовательность {хп}, удовлетворяющая условию теоремы 3.15, яв- является ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной. Поэтому теорему 3.15 можно переформулировать так: для того чтобы монотонная последовательность {хп} сходилась, достаточно, чтобы она была ограничена. Легко убедиться в том, что эта формулировка может быть заме- заменена более «сильной»: для того чтобы монотонная последователь- последовательность {хп} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена (необходимость вытекает из теоремы 3.8). Замечание 2. Конечно, не всякая сходящаяся последова- последовательность является монотонной. Например, заведомо сходящаяся к нулю последовательность , —, , ... , —, , ... Л 2> о о ft tl не является монотонной, так как знаки ее элементов чередуются. Замечание 3. Из приведенного выше доказательства тео- теоремы 3.15 вытекает, что все элементы неубывающей, ограниченной сверху последовательности {хп} не больше ее предела х (хп<х). Аналогично легко убедиться в том, что все элементы невозрастаю- невозрастающей, ограниченной снизу последовательности не меньше ее пре- предела ?_ Извлечем важное следствие из теоремы 3.15. Договоримся называть бесконечную последовательность сегмен- сегментов [аи bi], [a2, bz],...,[an, bn],-.. стягивающейся систе- системой сегментов, если выполнены два требования: 1) каждый следующий сегмент содержится в предыдущем, т. е. ап<ап+и bn+l*?bn для любого я=1, 2,...; 2) длина n-го сегмента [ап, Ьп], т. е. разность Ьп—ап, стремится к нулю при п->-оо. Следствие из теоремы 3.15. У всякой стягивающейся системы сегментов {[ап, &„]} существует и притом единственная точка с, принадлежащая всем сегментам этой системы.
86 Гл. 3. Теория пределов Доказательство. Прежде всего заметим, что точка с, принадлежащая всем сегментам, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась еще одна точка d, отличная от с и принад- принадлежащая всем сегментам, то, предположив ради определенности, что d>c, мы получили бы, что сегмент [с, d] принадлежит всем сегментам [ап, Ьп]. Но тогда для любого номера п выполнялись бы неравенства Ьп—an>d—с>0, что невозможно в силу того, что Ьп—an-v0 при п-*-оо. Докажем теперь, что существует точка с, принадлежащая всем сегментам. Так как система сегментов является стягиваю- стягивающейся, то последовательность левых концов {ап} не убывает, а по- последовательность правых концов {Ьп} не возрастает. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все их элементы нахо- находятся на сегменте [ab &i]), то обе они сходятся (в силу теоре- теоремы 3.15). Из того, что разность Ъп—ап является бесконечно ма- малой, вытекает, что эти две последовательности {ап} и {&„} сходят- сходятся к общему пределу, который мы обозначим через с. В силу заме- замечания 3 для любого номера п справедливы неравенства ап<с<Ьп, т. е. с принадлежит всем сегментам [ап, Ьп]. Следствие доказано. 3. Число е. Применим теорему 3.15 для доказательства сходи- сходимости последовательности {хп}, элемент хп которой определяется равенством В силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что эта последова- последовательность 1) является возрастающей; 2) ограничена сверху. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для хп следую- следующее выражение: г - 1 -1-я 1 д. "("-1) 1 | я(п-1)(я-2) 1 " я 2! л2 3! п* + я(я-1)(л-2) ...[я-(п-1I 1 . + Это выражение перепишем в следующем виде: Для следующего элемента последовательности {хп} в полной аналогии с C.34) получится следующее выражение:
§ 2. Монотонные последовательности 87 | (( ( п\\ п + 1 А п+1 ) ' \ п + 1 ) C.35) + (я + 1)! Для того чтобы убедиться в том, что последовательность {хп} является возрастающей, сравним между собой выражения C.34) и C.35). Во-первых, заметим, что правая часть C.34) состоит из п слагаемых, а правая часть C.35) — из я+1 слагаемых, при- причем последнее (и+1)-е слагаемое в правой части C.35) является «трого положительным. Сопоставим теперь между собой любое из остальных п слагае- !мых в правой части C.35) с соответствующим слагаемым в пра- правой части C.34). Легко видеть, что для любого номера k, равного 2, 3,..., п, справедливо неравенство AI V п+1 )\ я+1 У \ я+1 Это последнее неравенство означает, что k-e слагаемое в правой части C.34) меньше соответствующего fe-ro слагаемого в правой части C.35). Итак, мы доказали, что хп<хп+1, т. е. последовательность {хп} является возрастающей. Докажем теперь, что эта последовательность ограничена свер- ху. Заметим, что если каждую круглую скобку в правой части C.34) заменить единицей, то указанная правая часть возрастет. Поэтому Заметим далее, что для любого номера fe>2 справедливо нера- неравенство &! = 2-3...fe>2ft. Поэтому неравенство C.36) дает право утверждать, что хп< 2 + — + — +... Н — ^з — < 3. C.37) " 2 22 2" 2" (Мы воспользовались формулой для суммы членов геометрической прогрессии.) Неравенство C.37) доказывает ограниченность после- последовательности {хп}. По основной теореме 3.15 последовательность {хп} имеет пре- предел, который, следуя Л. Эйлеру *, мы обозначим через е. * Леонард Эйлер A707—1783) — великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни провел в России, по происхождению швейцарец.
88 Гл. 3. Теория пределов Убедимся в том, что число е удовлетворяет неравенствам 2<е<3. Для этого (в силу следствия 2 из теоремы 3.13) достаточ- достаточно доказать, что каждый элемент хп последовательности {хп} удовлетворяет неравенствам 2<е<3. Неравенство *„<3 вытекает из C.37), а неравенство 2^.хп вытекает из C.34), если отбросить в C.34) все члены, кроме пер- первого. В дальнейшем выяснится, что число е играет важную роль в математике, и будет указан способ вычисления этого числа с любой степенью точности. 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. Нач- нем с рассмотрения последовательности, которая широко исполь- используется в современной вычислительной математике для приближен- приближенного нахождения корня квадратного из положительного вещест- вещественного числа а. Эта последовательность определяется следующей рекуррентной формулой *: хп+1 = -L (хп + -?-) (п = 1, 2, ... ), C.38) где в качестве первого приближения xi берется любое положитель- положительное число. Прежде всего докажем, что такая последовательность {хп} сходится, для чего в силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что она ограничена снизу и, начиная со второго номера, является не- возрастающей. Начнем с доказательства огр а ниче нности снизу. По ус- условию #i>0. Но тогда из рекуррентной формулы C.38), взятой при я=1, вытекает, что х2>0, далее из той же формулы C.38),. взятой при п = 2, вытекает, что #з>0,.... Продолжая эти рассужде- рассуждения далее, мы последовательно докажем, что все хп>0. Итак, рас- рассматриваемая последовательность ограничена снизу. Докажем теперь, что при п>2 все элементы хп удовлетворяют неравенству #n>"|/a. Переписав формулу C.38) в виде C.39) воспользуемся тривиальным неравенством t -\ > 2, справед- справедливым для всех />0 **. * Рекуррентная формула (от латинского recurrens — возвращающийся) —¦ формула, выражающая (я+1)-й элемент последовательности через значения ее первых п элементов. ** Это неравенство для всех <>0 эквивалентно неравенству t2+l>2t, выте- вытекающему из того, что (t—1J0
§ 2. Монотонные последовательности 89 ?Х X Взяв в этом неравенстве t =^-й=>0, мы получим, что—т= + У а V а -f ^ 2, и поэтому соотношение C.39) дает xn+i>ya при п=\, хп 2,.... Это и означает, что хп>>^а при п = 2, 3,.... Докажем, наконец;, что последовательность {хп}, если ее рас- рассматривать с номера п=2, является невозрастающей. Из рекур- рекуррентной формулы C.38) вытекает, что * -i2±L —J- xn 2 \~ + Из последнего соотношения, учитывая, что хп~^Уа при п>2, по- получим, что -Хп+1 <1 при п>2 или xn+i<.xn при п>2. Итак, при хп п>2 последовательность {#п} является невозрастающей. По теореме ЗЛ5 последовательность {хп} сходится к некоторо- некоторому пределу х. Остается найти этот предел. Учитывая, что хп^а при п>2, мы получим (в силу теоремы 3.13), что х>~\/а>0. Принимая во внимание, что *>0, перейдем к пределу при я-мэо в рекуррентном соотношении C.38). Мы получим в пределе при п-*-оо из C.38) следующее равенство: 2 Это равенство представляет собой уравнение для определения предела х. Единственный положительный корень этого уравнения есть х = Ya ¦ Итак, мы окончательно доказали, что последовательность {хп}, определяемая рекуррентной формулой C.38) при любом выборе JCi>0, сходится к пределу У^а . ¦ В качестве другого применения теоремы 3.15 рассмотрим во- вопрос о вычислении предела последовательности {хп}, элементы ко- которой имеют вид *„ = -^-. C.40) л! где t — любое фиксированное вещественное число. Для любого фиксированного t найдется номер N такой, что |?|<и+1 при всех Но тогда, поскольку -*n+1 = , мы получим, что х я+1 ]+|| тельность { при всех n>iV, т. е., начиная с номера N, последова- последовахп\} является убывающей. Так как, кроме того, эта ( ) { \} у р последовательность ограничена снизу (например, числом нуль), то
90 Гл. 3. Теория пределов по теореме 3.15 она сходится к некоторому пределу х. Для нахож- нахождения х запишем соотношение C.40) для номера п+1: __ *n+i _ Vх t _¦ \t Xn+1 ~ (л+1)! ~~ ~~п~\ ' я+1 ~Х"' п+1 ' Таким образом, IXn+J = |хп 1 • , и, перейдя в последнем равен- п+1 стве к пределу при л-voo, мы получим соотношение 1x1 = Ы-lim —^— = 0. it it «ii п-+<х> Я + 1 Итак, последовательность \хп\, а вместе с ней и последователь- последовательность C.40), сходится к пределу х = 0. В обоих рассмотренных примерах мы применили часто употреб- употребляемый прием: сначала с помощью теоремы 3.15 доказали сущест- существование предела последовательности, а затем нашли этот предел, устремив номер п к бесконечности в рекуррентном соотношении, выражающем (л + 1)-й элемент последовательности через ее л-й элемент. В качестве третьего примера изучим вопрос о сходимости после- последовательности {хп}, элемент хп которой имеет вид = V C.41) при условии, что а>0 и общее число извлекаемых корней рав- равно п. Указанную последовательность {хп} можно задать рекуррент- рекуррентным соотношением Va + xn (л=1,2, ...) C.42) при условии, что xx = Va. C.43) .Для доказательства сходимости рассматриваемой последова- последовательности достаточно (в силу теоремы 3.15) доказать, что она воз- возрастает и ограничена. Сначала докажем возрастание последовательности C.41), т. е. докажем, что для любого номера *„<*„+!. C.44) Доказательство этого неравенства проведем по индукции До- Достаточно доказать два утверждения: 1) неравенство C.44) спра- справедливо для номера п=\, т. е. справедливо неравенство Xi<xz; C.45) 2) из справедливости неравенства C.44) для данного номера п
§ 2. Монотонные последовательности 91 вытекает справедливость этого неравенства и для номера л+1, т. е. вытекает справедливость неравенства Xn+l<Xn+Z. C.46) Справедливость неравенства C.45) сразу вытекает из равенст- равенства C.43) и из соотношения x2=V a + У а ~>У а • Докажем, что из справедливости неравенства C.44) вытекаеу справедливость неравенства C.46). Из неравенства C.44) и рекур- рекуррентной формулы C.42) вытекает, что хп+1 = Va + xn < У a + xn+1. C.47) С другой стороны, записывая рекуррентное соотношение C.42) для номера п+\, мы получим равенство C.48) Из сопоставления равенства C.48) с неравенством C.47) и выте- вытекает неравенство C.46). Тем самым индукция завершена и воз- возрастание последовательности C.41) доказано. Докажем теперь, что эта последовательность ограничена свер- сверху. Снова пользуясь методом математической индукции, мы дока- докажем, что для всех номеров п хп<М, C.49) где М — наибольшее из двух чисел а и 2. Сначала проверим, что неравенство C.49) справедливо для номера п=\. Пользуясь равенством C.43) и рассматривая от- отдельно случаи 0<а<2 и а>2, мы получим х1=Уа'<]^2<2 при 0<а<2, C.50) хх = ~\Га < а при а > 2. Из C.50) вытекает, что Х\<.М, где М = тах{а, 2}. Пусть теперь неравенство C.49) справедливо для данного но- номера п. Пользуясь рекуррентным соотношением C.42) и рассмат- рассматривая отдельно случаи 0<а<2 и а>2, мы получим, что хп+1 = Va + хп < Vi + 2 = 2 приО<а<2, __ C-51) хп+1 = У а + хп < У а + а = У 2а < а при а > 2. Из C.51) вытекает справедливость неравенства xn+i<.M, где М = тах{с, 2}. Таким образом, индукция завершена, и ограниченность последо- последовательности C.41) доказана.
92 Гл. 3. Теория пределов По теореме 3.15 последовательность C.41) сходится к некото- некоторому пределу х. Остается найти этот предел. Из соотношения C.41) очевидно, что все элементы рассматри- рассматриваемой последовательности неотрицательны. Следовательно, в си- силу теоремы 3.13 и искомый предел х этой последовательности не- неотрицателен. Возводя в квадрат рекуррентное соотношение C.42), мы полу- получим равенство C.52) Так как последовательность {хп} сходится к пределу х, то, переходя в равенстве C.52) к пределу при я-voo и пользуясь тео- теоремой о пределе суммы и произведения двух сходящихся последо- последовательностей, мы получим следующее соотношение для определе- определения искомого предела х: х2=а + х или, что то же самое, х*—х—а = 0. C 53) Соотношение C.53) представляет собой квадратное уравнение для определения искомого предела х. Это уравнение имеет два корня: i + Ki+4a Оих= 1-/T+S 2 2 ^ Так как искомый предел, как уже указано выше, является не- неотрицательным числом, то мы окончательно получим, что он сов- совпадает с положительным корнем уравнения C.53), т. е. равен X :==: § 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последова- последовательности. Рассмотрим некоторую последовательность Х\, х2,..., хп, ... и произвольную возрастающую последовательность целых по- положительных чисел ki, kz,..., kn Выберем из последовательности {хп} элементы с номерами k\, k2, ..., kn,— и расположим их в по- порядке возрастания указанных номеров. Мы получим при этом но- новую последовательность . которую принято называть подпоследовательностью ис- исходной последовательности {хп}. В частности, и сама последовательность {хп} может рассмат- рассматриваться как подпоследовательность с номерами kn = n.
§ 3. Произвольные последовательности 93 , Заметим сразу же, что всегда kn^>n, ибо любая подпоследова- подпоследовательность, не совпадающая со всей последовательностью, получает- получается путем некоторого прорежения элементов последовательности. Справедливы два тривиальных утверждения: 1°. Если последовательность {хп} сходится к пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пре- пределу а. 2°. Если все подпоследовательности некоторой последователь* ности {хп} сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пре- пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность). Докажем сначала утверждение 1°. Фиксируем произвольное положительное число е и, пользуясь сходимостью последовательности {хп} к пределу а, выберем по этому е номер N такой, что \хп—а|<е при всех n>-N. Пусть {xkn} — произвольная подпоследовательность последовательности '{#„}. Так как kN>-N,To для всех номеров n^N элементы подпосле- подпоследовательности {Xkn} удовлетворяют неравенству \xkn — а|<е, а эта и означает, что подпоследовательность {Xkn} сходится к пределу а. Для доказательства утверждения 2° достаточно учесть, что так как сама последовательность {хп} (как частный случай подпосле- подпоследовательности) сходится к некоторому пределу а, то и любая ее. подпоследовательность сходится к тому же пределу а (в силу утверждения 1°). В полной аналогии с утверждением Iе доказывается, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность. Введем фундаментальное понятие предельной точки последо- последовательности. Определение 1. Точка х бесконечной прямой (—оо, +оо) называется предельной точкой последовательности {хп}, если в любой г-окрестности точки х содержится бесконечно много- элементов этой последовательности. Определение 2. Точка х бесконечной прямой (—оо, +оо) называется предельной точкой последовательности {хп}у если из этой последовательности можно выделить подпоследова- подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Убедимся в том, что определения 1 и 2 эквивалентны. 1) Пусть в любой е-окрестности х содержится бесконечно много элементов последовательности {хп}. Рассмотрим совокупность е-ок- рестностей точки х, для которых е последовательно равно 1 J_ _L _L 1 2 ' 3' ••¦" n В первой из этих окрестностей выберем элемент последователь- последовательности xhl с некоторым номером ku во второй из указанных окрест- окрестностей выберем элемент последовательности Хиг с номером кг, удовлетворяющим условию kz>ki, в третьей из указанных окрест-
Гл. 3. Теория пределов ностей выберем элемент последовательности хиг с номером k3, удовлетворяющим условию k3>k2.... Этот процесс можно продол- продолжать неограниченно, так как в любой е-окрестности точки х со- содержится бесконечно много элементов последовательности {хп}. В результате мы получим подпоследовательность **,,.**,,**,, .... jCkn, ... последовательности {хп}, которая сходится к пределу х, ибо \xkn — x\<—. 2) Предположим, что из последовательности {хп} можно выде- выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Тогда в лю- любой е-окрестности точки х лежит бесконечно много элементов под- подпоследовательности (все, начиная с некоторого номера). Так как каждый элемент подпоследовательности является элементом и всей последовательности, то в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности. Эквивалентность определений 1 и 2 доказана. Выясним вопрос о наличии предельных точек у сходящейся последовательности. Лемма 1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой по- последовательности. Доказательство. Пусть последовательность {хп} сходится •к пределу х. Тогда в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности {хп} (все, начиная с некоторо- некоторого номера), а поэтому х является предельной точкой последова- последовательности {хп}. Остается доказать, что ни одно число х', отличное от х, не яв- является предельной точкой последовательности {хп}, но это непо- непосредственно вытекает из доказанного выше утверждения 1, соглас- согласно которому из сходимости всей последовательности к пределу х вытекает сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу х. Приведем пример ограниченной последовательности {хп}, имею- имеющей две предельные точки. Докажем, что последовательность —, 1 , —, 1 —, 1 , ... имеет только две 2 2 3 3 it ti предельные точки х=0 и х—1. Тот факт, что эти две точки д;=0 и х=1 являются предельными, вытекает из того, что подпоследова- подпоследовательность всех нечетных элементов рассматриваемой последова- последовательности сходится к пределу х = 0, а подпоследовательность всех четных элементов рассматриваемой последовательности сходится к пределу х=\. Остается доказать, что ни одно число Хо, отличное ют 0 и 1, не является предельной точкой нашей последовательности. Так как хо=т^О и х<ф\, то заведомо можно указать столь малое по- положительное число е, что е-окрестности трех точек 0, 1 и Хо не будут иметь общих точек (рис. 3.1).
§ 3. Произвольные последовательности 95 Но все нечетные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в е-окрестности числа 0, а все чет- четные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого ног мера, находятся в е-окрестности числа 1. Поэтому за пределами е-окрестностей чисел 0 и 1 (и, в частности, в е-окрестности числа* Хо) может лежать лишь конечное число элементов нашей последо- последовательности. Это и означает, что х0 не является предельной точкой последовательности. Приведем теперь пример ограниченной последовательности {хп}, имеющей бесконечно много предельных точек. Выше (в п. 3 § 7 гл. 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел из сегмента [0, 1] можно занумеровать в последовательность {хп}- Докажем, что любое вещественное число х из сегмента [0, 1] яв- является предельной точкой указанной последовательности {хп}- Заметим, что, каково бы ни было число х из сегмента [0, 1] для- любого 0<е<1/2 хотя бы одно из двух чисел х—е и х + е также принадлежит сегменту [0,1]. Предположим ради определенности, что число х + е принад- принадлежит сегменту [0, 1]. Между двумя не равными друг другу ве- вещественными числами х и х+е, в силу леммы 2 § 3 гл. 2, лежит бесконечно много различных рациональных чисел. Это означает, что при любом 0<е<1/2 в е-окрестности точки х лежит бесконеч* но много элементов последовательности {хп}, т. е. х является пре- предельной точкой этой последовательности. Естественно, возникает идея рассмотрения наибольшей и наи- наименьшей предельных точек последовательности. Определение 3. Наибольшая предельная точка последова- последовательности {Хп} называется верхним пределом этой последо- последовательности и обозначается символом х= lim xn. Определение 4. Наименьшая предельная точка последова- последовательности {хп} называется нижним пределом этой последо- последовательности и обозначается символом х = lim xn. Возникает вопрос о существовании хотя бы одной предельной точки и верхнего и нижнего пределов у любой ограниченной по- последовательности.
Гл. 3. Теория пределов Справедлива следующая замечательная теорема. Основная теорема 3.16. У всякой ограниченной последо- еательности существуют верхний и нижний пределы и, в. частно- частности, существует хотя бы одна предельная точка. Доказательство. Остановимся на доказательстве сущест- существования у любой ограниченной последовательности хотя бы одной предельной точки и верхнего предела. (Существование нижнего предела доказывается аналогично.) Пусть {хп} — произвольная ограниченная последовательность. По условию ограниченности найдутся два вещественных числа m и М такие, что любой элемент хп последовательности {хп} удов- удовлетворяет неравенствам т<схп<М. Рассмотрим множество {х} всех вещественных чисел х таких, что правее * каждого из этих чисел либо вовсе нет элементов по- последовательности {хп}> либо таких элементов лишь конечное число. Иными словами, вещественное число х принадлежит множест- множеству {х}, если правее х лежит не более чем конечное число элемен- элементов последовательности {хп}, и не принадлежит множеству {х}, •если правее этого числа х лежит бесконечно много элементов по- последовательности {Хп}- Заметим, что множество {х} заведомо не является пустым: ему принадлежит любое вещественное число х, удовлетворяющее нера- неравенству x>Af (ибо правее такого х нет элементов последователь- последовательности {хп}). Кроме того, очевидно, что множество {х} ограничено снизу и в качестве его нижней грани может быть взято любое число, меньшее т (правее такого числа лежат все элементы после- последовательности {хп}, а их бесконечно много). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества {х} существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом х. Дока- Докажем, что это число x=inf{x} и является верхним пределом после- последовательности {хп}. Достаточно доказать два утверждения: 1°. Число х является предельной точкой последовательности \хп} (т. е. в любой е-окрестности х лежит бесконечно много эле- элементов последовательности {хп})- 2°. Ни одно число х, большее х, уже не является предельной точкой последовательности {хп} (это и будет означать, что х яв- является наибольшей предельной точкой, т. е. верхним пределом {*„}). Для доказательства утверждения 1° фиксируем произвольное положительное число е. По определению нижней грани любое число, меньшее х (и, в частности, число х—е), не принадлежит введенному нами множеству {х}. Значит, правее х—е лежит беско- бесконечно много элементов последовательности {хп}. * Напомним, что термин «г/ лежит правее хъ означает, что числа х и у связаны неравенством у>х.
§ 3. Произвольные последовательности 97 Далее, из того, что число х является точной нижней гранью {х}, и из неравенства х<х+г вытекает, что найдется хотя бы один элемент х' множества {х}, удовлетворяющий неравенствам х<х'<. <х + е, т. е. лежащий левее х + г (рис. 3.2). В силу определения множества {х} правее этого числа х' лежит не более чем конечное число элементов последовательности {хп}. На рис. 3.2 условно указано, что правее числа х—е лежит бес- бесконечно много элементов последовательности {хп}, а правее чис- числа х' лежит не более чем конечное число элементов этой последо- последовательности. Бесконечное число элементов Конечное_чиспо*' злементод~*~ _ _ _ = = ос-е х сс+е=х-е х Так как правее х—е лежит бесконечно много, а правее х' — лишь конечное число элементов последовательности {хп}, то мы приходим к выводу, что на полусегменте (х—е, х'] (а значит, и на интервале (х—е, х+г)) лежит бесконечно много элементов по- последовательности {хп}- Итак, мы доказали, что для любого е>0 в е-окрестности точ- точки х лежит бесконечно много элементов последовательности {хп}- Это и означает, что х является предельной точкой последо- последовательности {хп}. Утверждение 1° доказано. Подчеркнем, что попутно мы доказали, что для любого е>0 правее числа х+г лежит не более чем конечное число элементов последовательности {хп}. Это последнее утверждение используем для доказательства утверждения 2° о том, что х является наибольшей предельной точкой. _ Пусть х — любое число, большее х. Обозначим через е поло- положительное число г=_(х—хI2. При таком выборе е_интервалы (х—е, х+г) и (х—е, х+г), т. ек е-окрестности точек х и х, не будут иметь общих точек, а точнее, вся е-окрестность точки х будет лежать правее числа х+г, т. е. правой границы е-окрестности точ- точки х (рис. 3.3). Выше мы установили, что для любого е>0 правее х+г лежит не более чем конечное число элементов последовательности {хп}. Значит, в рассматриваемой нами е-окрестности точки х лежит не более чем конечное число элементов последовательности {хп}, а это и означает, что х не является предельной точкой последователь- ности {х„}. Утверждение 2° доказано. 4 Зак. 72
98 Гл. 3. Теория пределов Мы доказали существование у ограниченной последовательнос- последовательности {хп} верхнего предела (т. е. наибольшей предельной точки). Со- Совершенно аналогично доказывается, что у такой последователь- последовательности существует нижний предел, являющийся точной верхней гранью того множества вещественных чисел {х}, левее каждого из которых лежит не более чем конечное число элементов последова- последовательности {хп}. Теорема 3.16 доказана. Следствие 1 из теоремы 3.16. Если {хп} — ограничен- ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, е — любое положительное число, то на интервале (х—е, х + г) лежат все элементы этой последовательности] начиная с некоторо- некоторого номера (зависящего, конечно, от е). Достаточно доказать, что для любого е>0 вне интервала (х—е, х+е) лежит не более чем конечное число элементов после- последовательности {Хп}- Тем более достаточно доказать, что правее — . е е ^ х-\ и левее х лежит не более чем конечное число элемен- элементов последовательности {хп}. Тот факт, что для любого е>0 правее х -\ лежит не более чем конечное число элементов {хп}, уже установлен в процессе доказательства теоремы 3.16. Совершенно аналогично доказывается, что для любого е>0 левеех — лежит не более чем конечное число элементов последовательности {хта|}. Следствие 2 из теоремы 3.16. Пусть {хп} — ограничен- ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, (а, Ъ) — интервал, вне которого лежит не более чем конечное чис- число элементов последовательности {хп}. Тогда интервал (х, х) со- содержится в интервале (а, Ь) и, в частности, х—х-<Ь—а. Доказательство. Достаточно доказать два неравенства х<.Ь и а<х. Первое из этих неравенств вытекает из того, что точ- точка Ь, правее которой лежит не более чем конечное число элемен- элементов последовательности {хп}, принадлежит множеству {я}, рас- рассмотренному при доказательстве теоремы 3.16, а х является точной нижней гранью этого множества. Второе неравенство а<х уста- устанавливается аналогично. Следствие 3 из теоремы 3.16 (теорема Больца- но — Вейерштрасса*). Из всякой ограниченной' последо- последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 3.16 и определения 2 предельной точки. Теорема 3.16 проливает свет на то, как устроено множество всех предельных точек любой ограниченной последовательности. * Бернгард Больцано — чешский философ и математик A781—1848), Карл Вейерштрасс — немецкий математик A815—1897).
§ 3. Произвольные последовательности 99 Если, как и выше, обозначить через х и х нижний и верхний пре- пределы этой последовательности, то можно утверждать, что все ее предельные точки лежат на сегменте [х, 5с], причем если указан- указанная последовательность не является сходящейся, то она имеет по крайней мере две предельные точки х и х. Рассмотренная нами 1,11,1 1 , выше последовательность —, 1 , —, 1 , ... , —, 1 — 2 2 3 3 п , ... представляет собой пример последовательности, имею- п щей только две предельные точки х=0 и х= 1. Другая рассмотренная выше последовательность {хп}, содер- содержащая все рациональные числа из сегмента [0, 1], представляет собой пример последовательности, предельные точки которой по- покрывают весь сегмент [х, х], у которого ?=0, х=1. Легко построить пример последовательности, предельными точ- точками которой служат; 1) наперед заданное конечное множество точек «1, а2, ••¦, аи; 2) наперед взятая бесконечная последователь- последовательность точек аь а2, •••. #п> ••• * (во втором случае каждая предельная точка последовательности предельных точек {ап} будет являться предельной точкой исходной последовательности {*п})- 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. Аналогом теоремы Больцано — Вейерштрасса для не- неограниченной последовательности является следующее утверж- утверждение. Лемма 2. Из всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность (и, в частности, бесконечно, большую подпоследовательность, все эле- элементы которой имеют определенный знак). Доказательство. Прежде всего заметим, что если у не- неограниченной последовательности отбросить любое конечное число первых ее элементов, то после такого отбрасывания получится снова неограниченная последовательность**. Пусть {xn}i — произ- произвольная неограниченная последовательность. Тогда найдется эле- элемент Xkx этой последовательности, удовлетворяющий неравенству 1*4, |>1. Учитывая, что последовательность {хп}, рассматривае- рассматриваемая с номера ki+l, также является неограниченной, мы получим, что найдется элемент этой последовательности х^, удовлетворяю- удовлетворяющий неравенству \х/,,\ >2 при kz>ki. Продолжая эти рассуждения далее, мы получим, что для любого номера п найдется элемент Xkn, удовлетворяющий неравенству \xkn\>n при kn>kn-i. * Таковой является последовательность <h, ai, <h> <h< <h, <h, ... • ** Ибо предположение о том, что это не так, приводит к противоречию с требованием неограниченности исходной последовательности.
100 Гл. 3. Теория пределов Очевидно, что построенная нами подпоследовательность Xkt* Xk,, ... >Xkn> ••• является бесконечно большой. Замечая, что эта подпоследовательность заведомо содержит бесконечно много либо положительных, либо отрицательных членов, мы может выделить из нее бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма доказана. Из леммы 2 и из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает следующее утверждение. Лемма 3. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма 3 естественно приводит к идее расширения понятия пре- предельной точки последовательности. Договоримся формально до- дополнить введенные выше конечные предельные точки последова- последовательности еще двумя возможными предельными точками +оо и — се. Будем говорить, что + се [—се] является предельной точкой последовательности {хп}, если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элемен- элементы которой положительны [отрицательны]. При таком расширении понятия предельной точки из леммы 3 вытекает следующее утверждение: у совершенно произвольной по- последовательности1 существует хотя бы одна предельная точка *. Естественно, считая, что + се и — сю связаны с любым конеч- конечным вещественным числом х соотношением -^-ce<x< + ce, убе- убедимся в том, что у совершенно произвольной последовательности {хп} существуют верхний и нижний пределы (т. е. существуют наи- наибольшая и наименьшая предельные точки). Ради определенности остановимся на доказательстве существо- существования верхнего предела. В силу теоремы 3.16 достаточно рассмотреть лишь случай, ког- когда последовательность {хп} не является ограниченной. Если при этом последовательность {хп} не является ограничен- ограниченной сверху, то из нее можно выделить бесконечно большую после- последовательность, все элементы которой положительны, и поэтому + се является предельной точкой, а значит, и верхним пределом последовательности {хп}. Остается рассмотреть случай, когда неограниченная последова- последовательность {хп} является ограниченной сверху, т. е. когда сущест- существует вещественное число М такое, что все элементы хп последова- последовательности удовлетворяют неравенству хп^.М. Так как при этом последовательность \хп} не является ограниченной снизу, то из нее можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, * Либо конечная, либо равная +<х> или —оо.
§ 3. Произвольные последовательности 101 все элементы которой отрицательны, т. е. — оо является предель- предельной точкой такой последовательности. Если при этом указанная последовательность {хп} не имеет ни одной конечной предельной точки, то единственная предельная точ- точка — оо и является верхним пределом этой последовательности. Если же при этом у указанной последовательности есть хотя бы одна конечная предельная точка Хо, то, фиксировав некоторое е>0» мы выделим из этой последовательности подпоследовательность тех ее элементов хп, которые удовлетворяют неравенствам * М Хд Выделенная подпоследовательность ограничена, и по теоре- теореме 3.16 у нее существует наибольшая предельная точка, которая является наибольшей предельной точкой (т. е. верхним пределом) и всей последовательности {#„}. Существование у совершенно произвольной последовательности верхнего предела доказано. Ана- Аналогично доказывается, что у совершенно произвольной последова- последовательности существует нижний предел. В заключение заметим, что почти все понятия и утверждения, установленные нами в этом и в предыдущем пунктах, переносятся на случай произвольного числового множества {х}, имеющего бесконечное число элементов. Точку а бесконечной прямой (—оо, + оо) назовем предель- предельной точкой такого множества, если в любой е-бкрестности точ- ки а содержится бесконечно много элементов этого множества. Наибольшую и наименьшую предельные точки множества {х} назовем соответственно верхней и нижней предельными точками этого множества. Повторяя рассуждения теоремы 3.16 с заменой термина «по- «последовательность {хп}» термином «множество {х}, содержащее бес- бесконечное число элементов», мы придем к следующему утвержде- утверждению: у всякого ограниченного множества {х}, имеющего бесконеч- бесконечное число элементов, существуют верхняя и нижняя предельные точки (и, в частности, существует хотя бы одна предельная точка). Из этого утверждения вытекает следующее обобщение теоремы Больцано — Вейерштрасса: из элементов всякого ограниченного множества {х}, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся подпоследовательность **. Как и для случая последовательности, удобно расширить поня- понятие предельной точки и считать, что + оо [—оо] является пре- предельной точкой множества {х}, если из элементов этого мно- * Заметим, что Хо^М, ибо все элементы хп последовательности {хп} удовлетворяют неравенству хп^.М. Далее заметим, что в силу того, что хо — предельная точка, существует бесконечно много элементов хп последователь- последовательности {хп}, удовлетворяющих неравенству хо—е^хп^.М. ** Любые два элемента которой являются различными элементами мно- множества {х}.
102 Гл. 3. Теория пределов жества можно выделить бесконечно большую последовательность, состоящую из положительных [отрицательных] чисел. Эта формализация позволяет нам утверждать, что у совер- совершенно произвольного числового множества {х}, имеющего бесконечное число элементов, существуют хотя бы одна предельная точка, а также верхняя и нижняя предельные точки. 3. Критерий Коши * сходимости последовательности. При изу- изучении вопроса о сходимости последовательности {хп} с помощью определения сходящейся последовательности приходится оценивать разность хп—а элементов последовательности и ее предполагаемо- предполагаемого предела а. Иными словами, приходится предугадывать величину предела а этой последовательности. В этом пункте мы установим «внутренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий сделать заключение о ее сходи- сходимости лишь по величине ее элементов и не использующий величи- величины предполагаемого предела этой последовательности. Для уста- установления такого критерия введем понятие фундаментальной по- последовательности. Определение. Последовательность {хп} называется фун- фундаментальной, если для любого положительного числа в най- найдется номер N такой, что для всех номеров п, удовлетворяющих условию n>-N, и для любого натурального р (р=1, 2,...) справед- справедливо неравенство \хп+р—Хп\<е. Установим два важных свойства л ю б о й фундаменталь- фундаментальной последовательности. Свойство 1. Для любого положительного числа г найдется элемент фундаментальной последовательности х^ такой, что в е-окрестности этого элемента xN находятся все элементы хп этой последовательности с номерами п, удовлетворяющими условию N Другими словами, для любого е>0 найдется элемент фундамен- фундаментальной последовательности Xn, вне е-окрестности которого лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности. Для доказательства этого свойства следует фиксировать произ- произвольное положительное число е и взять в определении фундамен- фундаментальной последовательности номер п равным N. Мы получим при этом, что для любого натурального р (р=1, 2,...) элементы фун- фундаментальной последовательности удовлетворяют неравенству \xN+P—xN[\<e или, что то же самое, неравенству Xn—е < xN+p <xN + e. * Огюстен Луи Коши — французский математик A789—1857).
§ 3. Произвольные последовательности 103 Так как р — любое натуральное число, то последние неравенства и означают, что все элементы фундаментальной последовательности, номер которых не меньше N, находятся в интервале (хк—е, Xjv + e), т. е. в е-окрестности Xn- Свойство 1 доказано. Свойство 2. Фундаментальная последовательность является ограниченной. Доказательство. Фиксируем некоторое е>0. Так как по- последовательность {хп} является фундаментальной, то для этого g. (в силу свойства 1) найдется элемент х$ такой, что все элементы хп с номерами n>iV удовлетворяют неравенству Обозначим теперь через А наибольшее из следующих (N+1) чисел: \xi\, \х2\,..., \xN-i\, \xn—е|, |*лг + в|. Тогда, очевидно, для всех номеров п будет справедливо неравенство |хте|<Л, которое и означает ограниченность последовательности {.*„}. Свойство 2 до- доказано. Докажем теперь следующую вспомогательную теорему. Теорема 3.17. Для того чтобы последовательность {хп} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была огра- ограниченной и ее верхний и нижний пределы х и х совпадали между собой. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последова- последовательность {хп} сходится. Тогда она ограничена (в силу теоре- теоремы 3.8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 1 из п. 1 этого параграфа). Это и означает, что ее верхний и нижний пределы х и х совпадают между собой. 2) Достаточность. Пусть последовательность {хп} ограничена (при этом она в силу теоремы 3.16 имеет верхний предел х и ¦'нижний предел х), и пусть х~х. Положим х—х=х. В силу следст- следствия 1 из теоремы 3.16 для любого е>0 в интервале (х—г, х+&) лежат элементы последовательности {хп}, начиная с некоторого номера. В силу определения 3 сходящейся последовательности (см. п. 4 § 1) это и означает, что последовательность {хп} сходится к пределу х. Теорема 3.17 доказана. Докажем теперь следующую важнейшую теорему. Основная теорема 3.18 (критерий Коши сходи- сходимости последовательности). Для того чтобы последова- последовательность {хп} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последова- последовательность {хп} сходится к некоторому пределу х. Докажем, что эта последовательность является фундаментальной. Фиксируем произ- произвольное положительное число г. Так как последовательность {хп} сходится к пределу х, то для положительного числа в/2 найдется номер N такой, что при всех iV
104 Гл. 3. Теория пределов \хп—х\<г/2. C.54) Если р — любое натуральное число, то при всех n>-N и подавно будет справедливо неравенство \хп+р—х\<е/2 C.55) (ибо при n^N заведомо будет справедливо неравенство n+p>N). Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их мо- модулей, то из неравенств C.54) и C.55) мы получим, что при всех n>N и для любого натурального р \Хп+р—Хп\ = | [Хп+р~X] + [X—Хп] | < \Хп+р—Х\ + \ХП—Х\ <В, а это и означает фундаментальность, последовательности {хп}. 2) Достаточность. Пусть последовательность {хп} является фундаментальной. Требуется доказать, что эта последовательность является сходящейся. В силу теоремы 3.17 достаточно доказать, что последовательность {хп} ограничена и что ее верхний и нижний пределы х и х_совпадают между собой. Ограниченность любой фундаментальной последовательности уже установлена нами выше (см. свойство 2). Остается доказать, что для любой фундаментальной последовательности {хп} верхний предел х и нижний предел х совпадают. Фиксируем произвольное положительное число в. В силу свойства 1 фундаментальной после- последовательности найдется элемент этой последовательности xN такой, что вне е-окрестности этого элемента, т. е. вне интервала (xN—e, xN+s) лежит не более чем конечное число элементов по- последовательности {хп}- Но тогда в силу следствия 2 из теоре- теоремы 3.16 интервал (х, х) обязан содержаться в интервале (xN—e, Xzv + e) и, в частности, должно быть справедливо неравенст- неравенство х—#< (xN + e) — (xN—в) =2е. Так как, кроме того, х>?, то для любого е>0 будут справедли- справедливы неравенства 0<х—л:<2в. В силу произвольности е из этих не- неравенств вытекает, что х—?=0*, т. е. х=х. Критерий Коши пол- полностью доказан. Применим критерий Коши для установления расходимости последовательности {хп} с элементами хп= 1 -J Ь ••• + —. 2 п Заметим, что если для любого номера п натуральное число р взять равным п, то мы получим, что для всех номеров п *„|= 2n * В самом деле, если бы разность х~х равнялась положительному числу а, то,_взяв в качестве е число а/3, мы бы получили противоречие с неравен- неравенством х—х
§ 4. Предел функции • 105 1 я+1 1 _ 2я ~~ ¦+¦ 1 2 1 я+2 1 1 2я ибо подчеркнутая сумма содержит п слагаемых, наименьшее из которых равно . Таким образом, для положительного числа е = — не сущест- существует номера N такого, что при всех n>-N и для любого натураль- натурального р справедливо неравенство \хп+Р—хп\<е. Это означает, что рассматриваемая последовательность не является фундаменталь- фундаментальной и (в силу критерия Коши) расходится. В качестве второго примера применим критерий Коши для уста- установления сходимости последовательности {хп} с элементами хп=* — \ + q + ... +qn, где q — любое число из интервала 0<д<1. Для любого номера п и любого натурального числа р (р = = 1, 2,...) справедливо неравенство \хп+р-хп\ = A + q + .. • + qn+P) -(I + q+....+ <7n)> ^^ !li C.56) ^ < 1—^ 1— Фиксируем произвольное положительное .число е. Так как при 0<<7<1 последовательность {qn} является бесконечно малой, то для положительного числа еA—q) найдется номер N такой, что прк всех n>N справедливо неравенство q). C.57) Из неравенств C.56) и C.57) вытекает, что при всех tf>N и для любого натурального р а это означает, что рассматриваемая последовательность является фундаментальной и (в силу критерия Коши) сходится. § 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) ФУНКЦИИ Перейдем теперь к изучению другой более сложной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела (или предельного значения) функции. Но прежде всего мы должны уточнить сами понятия переменной величины и функции. 1. Понятия переменной величины и функции. Как мы уже ви- видели в гл. 1, к понятию функции приводит изучение двух перемен*
106 Гл. 3. Теория пределов ных величин, изменение которых взаимообусловлено. Поэтому есте- естественно начать с уточнения понятия переменной величины. Рассмотрение реальных физических переменных величин при- приводит нас к выводу, что эти величины не всегда могут принимать произвольные значения. Так, скорость материальной точки не может быть больше 3-1010 см/с (т. е. скорости света в пустоте), температура тела не может быть меньше —273°, смещение мате- материальной точки, совершающей гармонические колебания по закону у=Асо$(о)?+6), может принимать значения только из сегмента [-А, +А]. . Отвлекаясь от конкретных физических свойств наблюдаемых в природе переменных величин, мы приходим к понятию матема- математической переменной величины, характеризуемой толь- только численными значениями, которые она может принимать *. Множество {х} всех значений, которые может принимать дан- данная переменная величина х, называется областью измене- изменения данной пер ем е иной в ел и ч и н ы. Переменная вели- величина считается заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы, как правило, будем обозначать переменные величины малыми латинскими буквами х, у, t,..., а области изме- изменения этих переменных величин соответственно символами {х}, {у}, {/},.... Перейдем теперь к уточнению понятия функции. Пусть задана переменная величина х, имеющая областью изме- изменения некоторое множество {х}. Если каждому значению переменной х из множества {х} ста- ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве {х} задана функция у = у{х) или y=f(x). При этом переменная х называется аргументом или неза- независимой переменной, множество {х} называется об- областью задания функции, а то число у, которое соответ- соответствует данному значению х, называется частным значением функции в точке х. Совокупность всех частных значений об- образует вполне определенное множество {у}, которое называют либо областью изменения функции, либо множест- множеством всех значений функции. В обозначении y=f(x) букву / часто называют характерис- характеристикой фун кци.и. Для обозначения аргумента, функции и ее характеристики могут употребляться различные символы. Остановимся на примерах функций. I9. г/ = К4—х2. Эта функция задана на сегменте — 2<л:«:2 (при этом выражение под знаком корня является неотрицатель- * Понятие переменной величины также относится к числу начальных мате- математических понятий.
§ 4. Предел функции 107 ным), а множеством всех ее значений является сегмент 0<су<2 (рис. 3.4). 2°. Так называемая функция Дирихле*, которая опреде- определяется так: , _., . @, если х — иррациональное число, У=Р(х)=\л {1, если х — рациональное число. Эта функция задана на бесконечной прямой — оо<лг< + жество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1. 3°. у = sgn х = + 1, если х >0, 0, если х = 0, — 1, если х < 0. а мно- мно(Термин «sgn» происходит от латинского слова signum —, знак.) Читается: «г/ равно сигнум х». Эта функция задана на всей беско- бесконечной прямой — оо<х< + оо, а множество всех ее значений со- состоит из трех точек у=—1, г/ = 0 и г/=1 (рис. 3.5). 2 х У 1 0 X -1 Рис. 3.4 Рис. 3.5 4°. у=[х], или у=Е(х), где символ [х] или Е(х) обозначает целую часть числа х или, точнее, наибольшее целое число, не пре- превосходящее х. Читается: «г/ равно антье я» (от французского слова entier — целый). Эта функция задана на всей бесконечной пря- прямой— oo<#< + oo, а множеством всех ее значений является мно- множество всех целых чисел (рис. 3.6). 5°. у = п\. Эта функция задана на множестве всех натуральных чисел я=1, 2, 3 Множеством всех значений этой функции яв- является множество натуральных чисел вида л! = Ь2-3- ... -п, где л=1, 2, 3,... (рис. 3.7). Часто закон, устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции, за- задается посредством формул. Такой способ задания функции назы- называется аналитическим. * Петер Густав Л ежен-Дирихле — немецкий математик A805—1859).
108 Гл. 3. Теория пределов При этом следует подчеркнуть, что функция может задаваться разными формулами на разных участках области своего задания. Например, функция — х при х<С О, х2 при х > О задана аналитическим способом э (рис. 3.8). на всей бесконечной прямой I — — _ х х. Рис. 3.8 Рис. 3.7 Весьма распространенным способом задания функции является так называемый табличный способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. При таком способе задания можно приближен- приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, отве- отвечающие промежуточным значениям аргумента. Для этого приме- применяется метод интерполяции, заключающийся в замене функ- функции между ее соседними табличными значениями какой-либо функцией простой природы (например, линейной или квадратич- квадратичной). Примером табличного способа задания функции может слу- служить расписание движения поезда, которое определяет местополо-
§ 4. Предел функции 109 жение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позво- позволяет приближенно определить местоположение поезда в любой промежуточный момент времени. В практике физических измерений весьма распространенным является и еще один способ задания функции — так называемый графический способ, при котором соответствие между ар- аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе). 2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть функция y—f(x) определена на некотором бесконечном множестве {х}, и пусть а — точка бесконечной прямой (—оо, +оо), быть может и не принадлежащая множеству {х}, но обладающая тем свойством, что в любой б-окрестности этой точки а имеются точки множества {х}, отличные от а *. Например, множеством {х} может служить интервал (а, Ь); в этом случае точка а, являясь граничной точкой интервала, ему не принадлежит, но в любой б-окрестности а содержатся точки ука- указанного интервала. Другим примером множества {х}, на котором задана функция f{x), может служить множество всех рациональных чисел, принад- принадлежащих интервалу (а—б, а+6) с выкинутой точкой а. Заметим, кстати, что при любом б>0 интервал (а—б, а+б), из которого выкинута точка а, принято называть проколотой 6-окрестностью точки а. Определение 1 (предел функции по Гейне**). Число b называется пределом (или предельным значе- значением) функции z/=/(x) в точке а {или при х-*-а), если для любой последовательности значений аргумента Х\, Xz,..., хп, —, сходящейся к а и состоящей из чисел хп, отличных от а, соответствующая по- последовательность значений функции f(Xi), f(X2),...,f(xn) ...сходит- ...сходится к числу Ь. Определение 1* (предел функции по Коши). Число b называется пред ело м (или предельным значе- значением) функции y—f(x) в точке а (или при x-xz), если для любого положительного числа в найдется отвечающее ему поло- положительное число б такое***, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0<|х—а|<б, справедливо неравенство \f(x)-b\<e. C.58) Для обозначения предельного значения функции y=f(x) в точ- точке а используют следующую символику: lim/(#) = & или f(x)-+b при х-*¦ а. * Это означает, что # является предельной точкой множества {*}. ** Генрих Эдуард Гейне — немецкий математик A821—1881). *** Так как б зависит от е, то иногда пишут: б=6(е).
ПО Гл. 3. Теория пределов Прежде чем доказывать эквивалентность определений 1 и 1 *, сделаем несколько замечаний, разъясняющих смысл этих опреде- определений. Замечание 1. Подчеркнем важность фигурирующего в оп- определении 1 требования, обязывающего элементы последователь- последовательности значений аргумента хп быть отличными от а, и аналогичного требования в определении 1*, обязывающего брать значения ар- аргумента х, удовлетворяющие условию 0<|л:—а\, т. е. отличные от а. Это требование вызвано уже тем, что функция y=f(x) может быть не определена в точке а. Отсутствие этого требования сдела- сделало бы невозможным использование предела функции для опреде- определения производной функции. В самом деле, из гл. 1 нам известно, что производная f (а) функции f(x) в точке а представляет собой предел при x-mz следующей функции: х — а Очевидно, что эта функция F(x) не определена в точке а и это вызвано существом дела. Замечание 2. Особо подчеркнем, что множество {х}, на котором задана функция f{x), вовсе не обязано сплошь покрывать некоторую проколотую б-окрестность точки а. От этого множест- множества {х} требуется только, чтобы оно имело хотя бы один элемент в любой проколотой б-окрестности точки а. Примером множества {х} может служить множество всех элементов последовательности лежащих в фиксированной б-окрестности точки а = 0. Замечание 3. Заметим, что фигурирующее в определе- определении 1* условие 0<|л:—а\<6 эквивалентно соотношениям а—б< <х<а+8, хфа, т. е. означает, что х принадлежит проколотой б-окрестности точки а. Аналогично, фигурирующее в определе- определении 1* неравенство C.58) эквивалентно неравенствам Ъ—в< <f(x)<b + e, т. е. означает, что f(x) принадлежит е-окрестности Ь. Замечание 4. Привлекая идею приближения функции f(x) в окрестности точки а с наперед заданной точностью в, мы можем следующим образом перефразировать определение 1* предела функции по Коши: число Ъ называется предельным значе- значением функции f(x) в точке а, если для любой наперед за- заданной точности е>0 можно указать такую д-окрестность точ- точки а, что для всех значений аргумента х, отличных от а и принад- принадлежащих указанной Ь-окрестности точки а, число Ь приближает значение функции f(x) с точностью в (рис. 3.9). Замечание 5. Отметим, что функция f(x) может иметь в точке а только один предел. В самом деле, для определения предела функции по Гейне это вытекает из единственности предела последовательности {f(xn)}, а для определения предела функции
§ 4. Предел функции 111 „¦ по Коши это вытекает из устанавливаемой ниже эквивалентности этого предела пределу функции по Гейне. Докажем теперь следующую важную теорему. Теорема 3.19. Определения 1 и 1* предела функции по Гей- Гейне и по Коши являются эквивалентными. Доказательство. 1) Пусть сначала число b является пре- пределом функции y~f(x) в точке а по Коши. Докажем, что это же число Ъ является пределом функции y = f(x) в точке а и по Гейне.» Пусть {хп} — любая сходящаяся к а после- последовательность значе- значений аргумента, все элементы которой от- отличны от а. Требуется доказать, что соответ- соответствующая последова- / i тельность значений функции {f{xn)} схо- сходится к Ъ. Фиксируем произ- произвольное положитель- положительное число в и по нему положительное число 8, которое в силу опре- определения предела функции по Коши гарантирует справедливость неравенства C.58) для всех значений х, для которых 0< \х—а|<б. В силу сходимости последовательности {хп} к а для указанного положительного числа б найдется номер N такой, что при всех n>-N справедливо неравенство \хп—а|<б. Поскольку хпфа для всех номеров п, то при всех n>>N справедливы неравенства 0< <\хп—а|<б и, значит, в силу определения предела функции по Коши при всех n^N справедливо неравенство \f(xn)—b\<e. Это и означает, что последовательность {f{xn)} сходится к числу Ь. 2) Пусть теперь число b является пределом функции y=f{x) в точке а по Гейне. Докажем, что это же число Ь является преде- пределом функции y=f(x) в точке а и по Коши. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого положительного числа е и для сколь угодно малого положительного числа б найдется хотя бы одно зна- значение аргумента х такое, что 0<|л:—а|<б, но \f{x)—й|>е. Таким образом, мы можем взять последовательность Рис. 3.9 (я=1, 2,...) и утверждать, что для каждого ее элемента найдется хотя бы одно значение аргумента хп такое, что п 1 0<\xn-a\<j-, но C.59)
112 Гл. 3. Теория пределов Левое из неравенств C.59) означает, что последовательность {хп} сходится к а и состоит из чисел, отличных от а. Но в таком случае согласно определению предела по Гейне соответствующая последо- последовательность значений функции {f(xn)} обязана сходиться к чис- числу Ь, а этому противоречит правое из неравенств C.59), справед- справедливое для всех номеров п. Полученное противоречие доказывает теорему. Приведем примеры функций, как обладающих, так и не обла- обладающих в данной точке а предельным значением. Г. Функция f(x) =c = const имеет равный с предел в каждой точке а бесконечной прямой. В самом деле, для любого значения аргумента х разность f(x)—с равна нулю, и поэтому \f(x)—с|<е для любого е>0 и для всех значений аргумента (в данном случае для любого в>0 в определении предела по Коши можно брать в качестве б любое положительное число). 2°. Функция f(x) =x в любой точке а бесконечной прямой имеет предел, равный а. В самом деле, для этой функции последователь- последовательности значений аргумента и соответствующих значений функции тождественны, и поэтому, если последовательность {хп} сходится к а, то и последовательность {f{xn)} также сходится к а. 3°. Функция Дирихле D(x), значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных точках — нулю, не имеет предела ни в одной точке а бесконечной прямой. Это выте- вытекает из того, что для сходящейся к а последовательности рацио- рациональных значений аргумента предел последовательности соответ- соответствующих значений функции равен единице, в то время как для сходящейся к а последовательности иррациональных значений ар- аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен нулю. Введем теперь понятие одностороннего (т. е. правого или левого) предела функции в данной точке а. Для этого нам прежде всего следует уточнить характер того множества {х}, на котором задана функция f(x). Мы теперь потребуем, чтобы это множество {х} для любого б>0 имело хотя бы один элемент, при- принадлежащий интервалу (а, а+б) [интервалу (а—б, а)]. Определение 2 (правый [левый] предел функ- функции по Гейне). Число b называется правым пределом [левым пределом} функции y = f(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргумента {хп}, сходя- сходящейся к а и состоящей из чисел, больших а [меньших а], соответ- соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу Ь. Определение 2* (правый [левый] предел функ- функции по Коши). Число b называется правым пределом [ле в ым п р е д е ло м] функции y = f(x) в точке а, если для любого положительного числа в найдется отвечающее ему по- положительное число б такое, что для всех значений аргумента х.
§ 4. Предел функции ¦ ИЗ- удовлетворяющих условию а<х<а-\-8 [условию а—6<х<а]„ справедливо неравенство C.58). Для обозначения правого [левого] предела функции f (x) в точ- точке а используют следующую символику: lim f(x) = b [ lim f{x) = b] *->-a+0 x-+a—0 или более краткую символику f(a+O)=fr [f {a—0)=&]. В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалент- эквивалентность определений 2 и 2*: следует лишь во всех проведенных при; доказательстве этой теоремы рассуждениях брать значения аргу- аргумента х и элементы последовательности {хп} большими числа № [меньшими числа а]. В качестве примера рассмотрим функцию + 1, если х > О, f(x)=sgnx= ¦ О, если х = О, — 1, если- х < 0. Эта функция имеет в точке а — О как правый, так и левый преде- пределы, причем sgn@+0) = + 1, sgn@—0) =—1. В самом деле, для- любой сходящейся к а=0 последовательности {хп}, состоящей и» чисел, больших нуля, соответствующая последовательность- {sgnxn} сходится к +1, а для любой сходящейся к а—О последо- последовательности {хп}, состоящей из чисел, меньших нуля, соответству- соответствующая последовательность {sgnxn} сходится к —1. Из проведенных рассуждений вытекает, что у рассматриваемо» функции z/ = sgnx не существует в точке а = 0 предела. Итак, функция y = sgnx не имеет в точке а=0 предела, но- имеет в этой точке правый предел, равный +1, и левый предел, равный —1. Тот факт, что правый и левый пределы этой функции не равны друг другу, не является случайным, ибо справедливо' следующее утверждение: если функция f(x) имеет в точке а как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы-, равны одному и тому же числу Ь, то эта функция имеет в точке а- предел, равный Ь*. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользо- воспользоваться определениями 1* и 2* и учесть, что если неравенство» C.58) справедливо для значений аргумента х, удовлетворяющих, условиям а<д;<а+б и а—6<#<a, то неравенство C.58) справед- справедливо и для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию* 0<|лг—a|6 * Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если функция f(x) име- имеет в точке а равный Ь предел, то как правый, так и левый пределы f(x) в» точке а существуют и оба равны Ь.
Щ4 Гл. 3. Теория пределов Сформулируем теперь понятие предела функции при л;->с». Для введения этого понятия следует потребовать, чтобы множест- 'ео {х}, на котором задана функция y=f(x), для любого б>0 име- имело хотя бы один элемент, лежащий вне сегмента [—б, +б]. Определение 3 (предел функции при х-^-оо по Гейне). Число Ъ называется пределом (или предельным значением) функции y=f(x) при #->-оо, если для любой ^бесконечно большой последовательности значений аргумента {хп} соответствующая последовательность значений функции lf(Xn)} сходится к числу Ь. Определение 3* (предел функции при #->-оо по !Коши). Число b называется пределом (или предельным значением) функции y=f(x) при х-^оо, если для любого ¦положительного числа е найдется отвечающее ему положительное •число б такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяю- удовлетворяющих условию |х|>6, справедливо неравенство C.58). Для обозначения предела функции y=f{x) при л:->-оо исполь- используют следующий символ: lim/(») = &. В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалент- эквивалентность определений 3 и 3*. Следует лишь в рассуждениях, исполь- использованных при доказательстве этой теоремы, всюду заменить схо- сходящуюся последовательность значений аргумента {хп} бесконечно большой последовательностью значений аргумента {хп}, а нера- неравенство 0<|х—а|<б заменить неравенством |#|>б. Примером функции, имеющей предел при #->-оо, может слу- служить функция f(x) — — (хфО), В самом деле, для любой беско- X ¦иечно большой последовательности значений аргумента {хп} соот- соответствующая последовательность значений функции f{xn) = 1/хп (в силу теоремы 3.6) является бесконечно малой, т. е. имеет «своим пределом число Ь=0. Значит, в силу определения 3 lim — = 0. Сформулируем, наконец, понятие предела функции при стрем- стремлении х к бесконечности определенного знака. Для введения тако- такого понятия потребуем, чтобы функция y=f(x) была задана на та- талом множестве {х}, которое для любого б>0 имеет хотя бы один элемент, лежащий правее б [левее — б]. Определение 4 (предел функции при л;->- + оо [х-^>—оо] по Гейне). Число Ъ называется пределом ¦¦(или предельным значением) функции y = f(x) при jc-^+ оо [при х-+—оо], если для любой бесконечно большой пос- последовательности значений аргумента {хп}, все элементы которой
§ 4. Предел функции 115 положительны {отрицательны], соответствующая последователь- последовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу Ь. Определение 4* (предел функции при х-^ + оо [х-*—оо] по Коши). Число b называется пределом (или предельным значением) функции y = f(x) при* х->- + оо [при х->—<х>]1 если для любого положительного числа в найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для\ всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию х>8 [х< <—:б], справедливо неравенство C.58). Для обозначения введенных понятий используется следующая символика: lim f(x) = b [ lim f(x) = b]. дс-Н-оо ж-»—оо Эквивалентность определений 4 и 4* доказывается по схеме до- доказательства теоремы 3.19: следует только во всех рассуждениях, заменить сходящуюся последовательность значений аргумента1 {Хп} на бесконечно большую последовательность значений аргу- аргумента {х„}, состоящую из положительных [отрицательных] чисел,., а неравенство 0<|х—а|<б заменить неравенством х>8 [х<—б]. Замечание 6. Отметим, что изученное нами в § 1—3 поня- тие предела числовой последовательности {хп} можно рассматри- рассматривать как частный случай предела функции при #->-+оо. В самом- деле, если взять в качестве {х} множество всех натуральных чисел, 1, 2, ..., п, ..., а в качестве функции f(x), заданной на этом множе- множестве, ту функцию, которая каждому значению аргумента п ставит в соответствие л-й член последовательности хп, то определение 4*" предела такой функции при л:->+оо в точности совпадет с опре~ делением предела числовой последовательности {хп}. Замечание 7. Естественно, возникает идея связать воеди- воедино все введенные нами понятия пределов функции и предел числовой последовательности. В § 5 настоящей главы вводите» понятие общего предела функции по базе, включающее в себя» как частный случай все введенные нами понятия пределов; функции и понятие предела числовой последовательности. 3. Критерий Коши существования предела функции. Ради опре- определенности рассмотрим подробно случай предела функции z/=f(x)* в точке а, введенного определениями 1 и 1*. Определение. Будем говорить, что функция y=f(x) удов- удовлетворяет в точке а условию Коши, если для любого поло- жительного числа г найдется отвечающее ему положительное чис- число б такое, что для любых двух значений аргумента х' и х"'„ удовлетворяющих условиям 0<|x'—а|<б, 0<|лг"—а|<б, C.60> справедливо неравенство
116 Гл. 3. Теория пределов Теорема 3.20 (критерий Коши существования предела функции в то'чке а). Для того чтобы, функция y^f(x) имела в точке а конечный предел, необходимо и достаточ- достаточно, чтобы функция y=f(x) удовлетворяла в точке а условию JKouiu. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть существует конечный предел lim/(x) = 6. Фиксируем произвольное положи- х-ю тельное число е. В силу определения 1* предела функции по Коши для положительного числа в/2 найдется положительное число б такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие условиям 0<\х'—а|<06, 0<|х"—а|<б, для со- соответствующих значений функции справедливы неравенства \f(x')-b\<-±-, \f(x")~b\<-^ C.62) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы дах модулей, то в силу неравенств C.62) мы получим, что \f(x')-f (х") | = | [f{x')-b] + [b-f & это и означает, что функция */=/(*) удовлетворяет в точке а условию Коши. 2) Достаточность. Пусть функция f(x) удовлетворяет в точке <t условию Коши. Требуется доказать, что функция f(x) имеет ъ точке а предел. Пусть {хп} — произвольная последовательность значений аргумента;- сходящаяся к а и состоящая из чисел, отлич- отличных от а. В силу определения 1 предела по Гейне достаточно до- доказать, что соответствующая последовательность значений функ- функции {f(xn)} сходится к некоторому числу b и что это число b одно и то же для всех сходящихся к а последовательностей {хп}, состо- состоящих из чисел, отличных от а. Докажем сначала, что для каждой сходящейся к а последо- последовательности {хп} значений аргумента, отличных от а, соответству- соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число в и по нему отвечающее ему, согласно условию Коши, по- положительное число б. В силу сходимости последовательности {хп} к а и в силу условия хпфа для этого б>0 найдется номер N та- такой, что 0<|хп—а|<б при n>>N. Если теперь р — любое нату- натуральное число (р=1, 2, 3, ...), то тем более 0<\хп+р—а\ <б при n>N * Таким образом, при ri^N и для любого натурального р спра- справедливы два неравенства: 0<\хп+р—а\<8, 0<\хп—а\<8. * Ибо если ri^N, то и подавно
§ 4. Предел функции 117 Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при N и для любого натурального р а это означает фундаментальность последовательности {f(xn)}- В силу критерия Коши. сходимости числовой последовательности (см. теорему 3.18) последовательность {/(#«)} сходится к некото- некоторому числу Ь. Остается доказать, что для любых двух сходящихся к а после- последовательностей значений аргумента {хп} и {х/}, все элементы кото- которых отличны от а, соответствующие последовательности значений функции {/(#„)} и {/(а/)} сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности {/{#„)} и {f(xn')} сходятся к пределам Ь и Ъ' соответственно. Рассмотрим новую последова- последовательность значений аргумента х\, Х\, х2, х2, #з,1 #з', .... хп, хн', ..., также сходящуюся к а и состоящую из чисел, отличных от а. В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений функции /(*,), /(*/), f(x2), f(x2'), .... f(xM), f(x/),... обя- 'зана сходиться к некоторому пределу Ь". Но тогда в силу утверж- утверждения, доказанного в начале п. 1 § 3, и любая подпоследователь- подпоследовательность этой последовательности обязана сходиться к тому же са- самому пределу Ь". Значит, как подпоследовательность нечетных элементов f(xi), f(x2), ..., f(xn), —, так и подпоследовательность четных элементов f(xi'), f(x2), ..., f(xn'), ... обе сходятся к Ь". Отсюда вытекает, что Ъ — Ъ'=Ъ". Теорема полностью доказана. Аналогично формулируется условие Коши и доказывается кри- критерий Коши и для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при лс->-оо и предела при лг->+оо[д;->-—оо]. При формулировке условия Коши достаточно в приведенном выше определении заменить условия C.60) для случая правого [левого] предела в точке а условиями а<х"<а+8 [а—8<х'<а, а—61<х"<а], для случая предела при #->oo условиями И>6, |*"|>6 и, наконец, для случая предела при #-»-+ оо [#-»—-оо] условиями Соответствующие критерии Коши доказываются по схеме дока- доказательства теоремы 3.20: следует только во всех рассуждениях понимать под последовательностями значений аргумента {хп'} и {хп"} в случае правого [левого] предела в точке а последователь- последовательности, сходящиеся к а и состоящие из чисел, больших а [меньших л], в случае предела при х->оо бесконечно большие последова- последовательности и, наконеп, ; случае предела при х-> + оо[х->—оо] бес-
1 18 Гл. 3. Теория пределов конечно большие последовательности, состоящие из положитель- положительных [отрицательных] чисел. 4. Арифметические операции над функциями, имеющими пре- предел. Справедлива следующая фундаментальная теорема. Основная теорема 3.21. Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном и том же множестве {х} и имеют в точке а пре- пределы, соответственно равные b и с. Тогда функции f(x)+g(x)f f(x)—g(x), f(x)-g(x) u f(x)/g(x) имеют в точке а пределы, соот- соответственно равные b + c, b—с, Ь-с, b/с (в случае частного нужно- дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля). Доказательство. Пусть {хп} — произвольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения 1 предела по Гейне соответст- соответствующие последовательности значений функции {f{xn)} и {g(хп)} сходятся к пределам бис соответственно. Но тогда в силу теорем 3.9—3.12 последовательности {/(*„) +g(xn)}, {f(xn)—g(xn)}, {f(xn) -g(Xn)} и 1 '(Xn>А сходятся к пределам b + c, b—с, b-c и bjc соответственно. Это последнее в силу произвольности последо- последовательности значений аргумента {хп}, сходящейся к а, и в силу определения 1 предела по Гейне означает, что функции f(x) + + §(х), Hx)-g(x), f(x)-g(x) и f{x)/g(x) имеют в точке а преде- пределы, соответственно равные b + c, b—с, Ь-с и Ь/с. Теорема доказана. Доказательство соответствующей теоремы для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при л:->-оо и предела при х-*- + оо[х-+—оо] проводится по той же схеме. Все отличие состо- состоит в том, что в качестве последовательности значений аргумента {хп} следует взять в случае правого [левого] предела в точке а последовательность, сходящуюся к а и состоящую из чисел, боль- больших а [меньших а], в случае предела при х->оо — бесконечно большую последовательность и, наконец, в случае предела при ¦х-у-+ оо [х-*—оо] бесконечно большую последовательность, состо- состоящую из положительных' [отрицательных] чисел. Рассмотрим примеры применения теоремы 3.21. Выше в п. 2 мы убедились в том, что для любой точки а бесконечной прямой limx = a. Используя теорему 3.21, мы можем утверждать, что х-*а limx2 = Шплг-Итл: = аа = а? х-м дс-ш х-»а и, вообще, для любого номера п Нт Xя — ап. х-+а Пусть теперь Лг(*) =bo+blx+b2x2+... + bnxn, где b0, bu ..., &„_,, Ьп?=0 — некоторые постоянные числа. Такая функция Рп(х) на- называется многочленом степени п. В силу той же теоремы 3.21
§ 4. Предел функции 119 lim Pn(x) = lim [b0 + Ъхх + ... + bnxn\ = Ь0+Ьха + ... + bnan = Р„(а) для любой точки а бесконечной прямой. Итак, многочлен Рп(х) имеет предел в любой точке а бесконеч- бесконечной прямой, и этот предел равен частному значению этого много- многочлена в точке а. Пусть, наконец, Рп(х) и Qm(x) — два произвольных многочле- многочлена степеней пят соответственно. Частное R(x)~——— принято* Qm{x) называть рациональной дробью. В силу теоремы 3.21 для случая частного lim Pn(x) UmR(x) = lim M^J^l = MEl = R{a) x+a Qm(x) HmQm(x) Qm(a) x-»a в любой точке а, не являющейся корнем многочлена Qm(x). Таким образом, рациональная дробь имеет предел в каждой точке а бес- бесконечной прямой, не являющейся корнем ее знаменателя, и этот предел равен частному значению этой дроби в указанной точке а. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Ради оп- определенности будем рассматривать предел функции в точке а. Функция а(х) называется бесконечно малой в точке а, если предел этой функции в точке а равен нулю. Примером бесконечно малой в точке а функции может служить функция а(х) = (х—а)п, где п — любое целое положительное число. В самом деле, в конце предыдущего пункта мы установили, что многочлен (х—а)п имеет предел в каждой точке а, причем этот предел равен частному значению этого многочлена в точке х=а, т. е. равен нулю. Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке а, рав- равный числу Ь, то функция a(x)=f(x)—b является бесконечно ма- малой в точке а. Это вытекает из того, что пределы каждой из функций f(x) и g(x)==b в точке а равны числу Ь, и из теоремы 3.21 для случая разности f(x)—g(x). Сформулированное утверждение приводит нас к следующему специальному представлению для функции f(x), имею- имеющей равный b предел в точке а: f(x)=b + a(x), C.63) где a(x) — некоторая бесконечно малая в точке а функция. Пред- Представление C.63) весьма удобно в различных приложениях теории пределов. Введем теперь понятие бесконечно большой в данной точке а справа [или слева] функции.
120 Гл. 3. Теория пределов Функция А(х) называется бесконечно большой в точ- точке а справа [слева] функцией, если для любой сходя- сходящейся к а последовательности {хп} значений аргумента, все эле- элементы которой больше а [меньше а], соответствующая последова- последовательность значений функции {А(хп)} является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны. Для бесконечно больших в точке а справа [слева] функций используется следующая символика: ИЛИ lim А(х) = +оо [ lim А(х> = + оо] x-ta+0 х-*а—0 lim А(х) = —оо [ lim А(х) = — оо]. -»а+0 х-*а—0 Иногда употребляют более лаконичную символику: А (а+0)'= + оо [Л (а—0) = +оо] или А (а+0) =—оо [Л (а—0) =—оо]. Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке а функций. Пусть а(х) и $(х) — две функции, за- заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке а. 1°. Говорят, что а(х) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем $(х) (имеет в точке а более высокий порядок малости, чем $(х)), если lim-^- = 0. C.64) х-*а 2°. Говорят, что a(х) и р(х) являются в точке а беско- бесконечно малыми одного порядка (имеют в точке а одинаковый порядок малости), если предел, стоящий в левой части C.64), равен конечному числу, отличному от нуля. 3°. Говорят, что а(х) и р(х) являются в точке а эквива- эквивалентными бесконечно малыми, если предел, стоящий в левой части C.64), равен единице. Для обозначения того, что а(х) является в данной точке беско- бесконечно малой более высокого порядка, чем р(#), используют сле- следующую запись: а=о(р) (читается: «а равно о малому от р»). Итак, символ о(р) обозначает любую бесконечно малую в дан- данной точке а функцию, имеющую в этой точке более высокий по- порядок малости, чем бесконечно малая в той же точке функция
§ 4. Предел функции 121 ). Из этого определения символа «о малое» вытекают следую- следующие его свойства: 1) o(p)+o(p)=o(j3), o(P)-o(p)=o(p); 2) если7 = о(Р), то о(р) +о{у) = о(р); 3) если а и р— любые две бесконечно малые в данной точке функции, то а-р = о(а) и а-р=о(Р). Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке а справа (или слева) функции. Пусть А(х) и В(х) определены для одних и тех же значений» аргумента и для определенности lim А(х) = + о°, () x-ta+Q х-ю+0 1°. Говорят, что А (х) имеет в точке а справа б о лее вы- со кий порядок роста, чем В (х), если функция В(х) является бесконечно большой в точке а справа. 2°. Говорят, что А(х) и В(х) имеют в точке а справа оди- А(х) наковый порядок роста, если предел функции —^-^- при х->а+О равен конечному числу, отличному от нуля. Приведем примеры сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций. 1. Функции а(х) = х'6—х5 и $(х) = 5х3+х* являются в точке дг = О бесконечно мальп/и одного порядка, ибо ,. а(х^ ,. д;3~д* .. 1 х* 1 lim—i— lim = lim x-+Q p(x x-*o 53 + * 2. Функции a(x) = (x—2J- (x— 1) и p(a;) = (x—2J являются в точке х=2 эквивалентными бесконечно малыми, ибо (ЛГ-2) О I v 1 3. Функции А (х) = и В(х) = — являются бесконечно большими одинакового порядка роста в точке я = 0 как справа, так и слева, ибо lim -4гг = Нт B + х) = 2. х»0 в(х) х0 х-»0 Аналогично определяются и сравниваются функции, бесконеч- бесконечно малые или бесконечно большие при х-^оо, а также при х-^+оо (соответственно при х—г—с»).
122 Гл. 3. Теория пределов § 5. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Анализируя определения различных видов предела функции f (х) по Коши, мы легко можем заметить, что во всех этих опре- определениях требуется, чтобы для любого е>0 все значения этой функции, отвечающие значениям аргумента х, принадлежащим некоторому множеству С6, удовлетворяли неравенству C.58), т. е. принадлежали е-окрестности Ь. При этом множество С5, определенное для всех 6>0, имеет разный вид при определении различных видов предела. При оп- определении предела в точке а множество С6 представляет собой проколотую б-окрестность точки а, при определении правого [левого] предела в точке а множество С6 представляет собой интервал (а, а + б) [соответственно (а—б, а)], при определении предела при х->=оо множество Св представляет собой внешнюю часть сегмента [—6, +6] и, наконец, при определении предела при х->оо [при х-*—оо] множество Св представляет собой отк- открытую полупрямую (б, +оо) [соответственно (—оо, —б)]. Если функция f(x) задана на множестве {х}, то во всех оп- определениях пределов по Коши требуется, чтобы неравенство C.58) было справедливо для тех элементов множества {х\, ко- которые принадлежат соответствующему множеству Сб. Догово- Договоримся обозначать символом Вв подмножество тех элементов {х}, которые принадлежат С5, т. е. положим Естественно, возникает вопрос, какими общими свойствами обладает совокупность всех подмножеств Вь множества {х}. Анализ условий, при которых формулируются определения 1*—4* пределов функции по Коши, приводит нас к выводу, что множество {х} задания функции f(x) всякий раз имеет хотя бы один элемент, принадлежащий Сб, т. е. множество В5 всегда не является пустым. Далее легко убедиться в том, что для всех видов пределов пересечение двух любых множеств совокупности {В6} представ- представляет собой некоторое множество той же совокупности. Так, например, пересечение двух множеств В6 и В/, первое из которых состоит из значений аргумента, принадлежащих проколотой б-окрестности точки а, а второе — из значений аргумента, принадлежащих проколотой б'-окрестности точки а, представляет собой совокупность значений аргумента, принад- принадлежащих проколотой б"-окрестности точки а, где б" — наимень- наименьшее из двух положительных чисел б и б', т. е. представляет собой множество Вь" той же совокупности {В6}. В более общей ситуации, которая может встретиться, напри- например, при изучении функции нескольких переменных, пересече-
§ 5. Общее определение предела функции по базе 123 ние двух любых множеств совокупности {В&} само может не яв- являться элементом этой совокупности, но обязательно содержит элемент этой совокупности. Проведенное рассмотрение, естественно, приводит нас к фун- фундаментальному понятию базы множества {х} задания функции. Определение 1. Будем говорить, что бесконечная со- совокупность B = {B6} подмножеств В6 множества {х} образует базу (или базис фильтра) множества {х}, если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый элемент В6 является непустым подмножеством мно- множества {х}; 2) в пересечении любых двух элементов совокуп- совокупности {В6} обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности. Приведем примеры наиболее употребительных баз (базисов фильтра). 1°. Пусть функция f(x) задана на множестве {х}, имеющем хотя бы один элемент в любой проколотой б-окрестности точки а. Указанную проколотую б-окрестность точки а обозначим символом С(, и положим Bt = {x}[\Cb. Очевидно, совокупность В = {В«} множеств Вь при всех б>0 образует базу множества {л:}, ибо каждое множество В6 при любом б>0 не является пус- пустым и пересечение любых двух множеств совокупности {BJ, как уже отмечалось выше, представляет собой множество из той же совокупности. Рассмотренную базу {В6} принято обозначать символом х->а. 2°. Пусть функция /(х) задана на множестве {х}, имеющем при любом б>0 хотя бы один элемент, принадлежащий интер- интервалу (a, a+ 6) [соответственно (а—б, а)]. Обозначив указан- указанный интервал символом С6, положим Bi = {x}plCs. Тривиально проверяется, что совокупность В = {В6} множеств Bs, отвечаю- отвечающих всевозможным б>0, образует базу множества {х}. Указанную базу принято обозначать символом х-^а + 0 [со- [соответственно х->а—0]. 3°. Пусть функция f(x) задана на множестве {х}, имеющем хотя бы один элемент вне сегмента [—б, +б] при любом б>0. Положим Сб=(—оо, +оо)\[—б, +'б], B6={x}f\CB. Легко прове- проверить, что совокупность В = {В6} образует базу множества {х}. Эту базу принято обозначать символом jc-voo. 4°. Пусть функция f(x) задана на множестве {х}, имеющем при любом б>0 хотя бы один элемент на полупрямой ( + б, +оо) [соответственно (—с», —б)]. Обозначим указанную полупрямую символом С„ и положим В& = {х}(\С6. Легко убедить- убедиться в том, что совокупность В—{В6} образует базу множест- множества {х}. Эту базу обозначают символом л:->+оо [соответственно JC-»-—оо].
124 Гл. 3. Теория пределов 5°. Пусть, наконец, множество {х} представляет собой мно- множество всех натуральных чисел 1, 2, 3 п Положив Вв= = {¦*}(")( + 6. +°°)-Для любого 6>0, мы легко убедимся и в том, что совокупность В={5«} образует базу множества {х}. Эту базу принято обозначать символом я->оо. Сформулируем теперь фундаментальное определение преде- предела функции f(x) по базе В множества ее задания, содержащее в себе как все рассмотренные выше виды предела функции, так и предел числовой последовательности. Предположим, что функция f(x) задала на множестве {х} и что совокупность В = {В6} подмножеств Вь множества {х} обра- образует базу множества {х}. Множество всех значений, которые принимает функция f(x), когда ее аргумент х пробегает множество В6, договоримся на- называть образом множества В6 и обозначать символом. f(B) Определение 2. Число Ь называется пределом функции f(x) no базе В множества ее задания, если для любого е>0 существует такой элемент В6 базы В, образ f(Bt) которого принадлежит е-окрестности точки Ъ, т. е. принадлежит интервалу (Ь—е, Ь + е). Для обозначения предела функции f(x) по базе В множест- множества ее задания будем использовать симв )л lim f(x) = b. в Читатель без труда проверит, что это общее определение предела по базе содержит в себе как часовые случаи изученные выше виды пределов, отвечающие базам »->а, я->а+0, х->а—0, я-^°°, д;-^-+оо, х->—оо И «->оо. Легко проверить также, что для общего определения преде- предела по базе остаются справедливыми основные свойства преде- предела, отвечающего простейшей базе х-*~а. Мы ограничимся тем, что докажем критерий Коши сущест- существования общего предела функции f(x) по базе В множества ее задания. Теорема 3.22. Для существования предела функции f(x) по базе В = {В6} множества ее задания необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашелся элемент Вь базы В, образ f(Bt) которого содержится в некотором интервале длины 2е. Доказательство. 1) Необходимость очевидна: если су- существует предел b функции {(х) по базе В, то для любого е>0 найдется элемент этой базы 58, образ которого /(fi5) со- содержится в интервале (Ь—е, Ь + е), имен щем длину 2е. 2) Достаточность. Пусть для любого е>0 существует эле- элемент Вц базы В, образ которого f(B6) содержится в некотором интервале длины 2е. Рассмотрим бесконечно малую последова-
§ 5. Общее определение предела функции по базе 12S тельность положительных чисел е„ = — («=1, 2, 3, ...)• Для:' п каждого 8п найдется элемент базы В&п, образ которого /(?sra) содержится в некотором интервале длины 2е«. По определению базы в пересечении элементов 5а, и B6i, обязательно лежит некоторый элемент базы, который мы обоз- обозначим символом.^. Образ этого элемента /!Ве2) лежит как в некотором интервале Д длины 2ei, так и в некотором интер- интервале /2' длины 2е2. Пересечение интервалов 1Х и 1% представляет- собой интервал h длины, не большей 2ег, содержащийся в ин- интервале 1\. Далее, по определению базы в пересечении элемен- элементов Вег и Бб3 обязательно лежит некоторый элемент базы, ко- который мы обозначим символом В(,3. Образ этого элемента /B?63) лежит как в интервале h длины, не большей 2г% так н в некотором интервале h' Длины 2ез. Пересечение интервалов- h и h' представляет собой интервал h длины, не большей 2ез,- содержащийся в интервале /г. Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последо- последовательность элементов базы В&г, В&„...,Ъ&, ... таких, чт& образ f(B(,n) каждого элемента В&п содержится в некотором интервале /„ длины, не большей 2е„, причем в последовательнос- последовательности интервалов h, h, ¦¦-, In, ... каждый следующий интервал со- содержится в предыдущем. Обозначим символом 1„ сегмент, по- получающийся добавлением к интервалу 1п его концов. Так как последовательность 72, h, ..., Тп, ... представляет собой стяги- стягивающуюся систему сегментов (см. п. 2 § 2), то в силу следствия; из теоремы 3.15 существует, и притом единственная, точка Ъ, принадлежащая всем сегментам. Остается доказать, что Ь является пределом функции f(x) по базе В, т. е. убедиться в том, что для любого е>0 найдется элемент базы В, образ которого содержится в интервале- (Ь—г, Ъ + г). В силу того, что система сегментов {/«} является стягиваю- стягивающейся и Ъ является общей точкой всех сегментов, мы можем утверждать, что для любого е>0 найдется сегмент 7« с доста- достаточно большим номером п, содержащийся в интервале (Ь—е, Ь + е). Это означает, что при соответствующем номере п элемент базы Ё&п имеет образ f{B$ ), содержащийся в интер- интервале (Ь—е, b + г). Теорема доказана. Подчеркнем, что доказанная теорема содержит в качестве- частных случаев как критерий Коши сходимости числовой пос- последовательности, так и критерии Коши существования всех рассмотренных выше видов предела функции.
J26 Гл. 3. Теория пределов В качестве возможных обобщений изложенной теории мож- можно рассматривать функции, заданные на подмножествах произ- произвольного метрического пространства (см. по этому поводу до- дополнение 2 к гл. 12). Замечание. Базы В и D множества {х} называются экви- эквивалентными, если для любого элемента B&t базы В най- найдется такой элемент D^ базы D, что D^CZB^, и для любого элемента D^ базы D найдется такой элемент 5в2 базы В, что Be.CZDe,. Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества {а'} называется фильтром мно- множества {х}. Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и D справедливы одновременно.
Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В настоящей главе будет всесторонне изучаться важнейшее по- понятие математического анализа — понятие непрерывности» функции. В дополнении 2 к гл. 12 понятие непрерывности будет введено в общей ситуации, когда задано отображение одного метрического» пространства в другое. § 1. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 1. Определение непрерывности функции. Пусть точка а при- принадлежит области задания функции f{x}* и любая е-окрестность точки а содержит отличные от а точки области задания функции* Формальное определение непрерывности в. точке а. Функция f{x} называется непрерывной в точке а, если функция f(x) имеет в точке а предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке а. Используя определения предела функции y=f(x) в точке а по. Гейне и по Коши, мы приходим к определению непрерывности функции в данной точке а по Гейне и по Коши. Определение 1 (непрерывность в точке а по? Гейне). Функция y=f(x) называется непрерывной в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента хи х%, ..., хп, соответствующая последовательность зна- значений функции f(xi), /(x2), ..., f(xn), ... сходится к числу f(a). Замечание 1. По сравнению с определением 1 предела функции по Гейне (см. п. 2 § 4, гл. 3) в определении непрерывнос- непрерывности по Гейне мы опустили требование, обязывающее все элементы последовательности {хп} быть отличными от а. Это можно сделать в силу того, что добавление к элементам последовательности {f(xn)}, сходящейся к числу f(a), любого числа новых элементов, равных f(a), не нарушит сходимости этой последовательности, к /(а). * Заметим, что этого не требовалось, когда мы рассматривали предел1 функции {(х) .в точке а. ** Т. е. точка а является предельной точкой множества {х}, на котором задана функция f(x).
fl28 Гл. 4. Непрерывность функции Определение 1* (непрерывность в точке а по Кош и). Функция f(x) называется непрерывной в точке •а, если для любого положительного числа е найдется отвечающее «ему положительное число б такое, что для всех значений аргумен- аргумента х, удовлетворяющих условию \х—а|<б, справедливо неравен- ство |/(*)-/(а)|<е. Замечание 2. По сравнению с определением 1* предела -функции по Коши (см. п. 2 § 4, гл. 3) в определении непрерывнос- непрерывности по Коши мы опустили требование, обязывающее все значения аргумента х удовлетворять неравенству \х—а|>0, т. е. быть от- отличными от а. Это можно сделать в силу того, что для значений jc=a разность f(x)—/(а) равна нулю и удовлетворяет неравенству \f(x)— /(°0 I <е при любом s>0. Условие непрерывности функции f(x) в точке а символически можно выразить следующим равенством: limf(je) = /(a). Так как а = \\тах, то этому равенству можно придать следую- х-+а щую форму: lim f(x) = f{\\mx). Следовательно, для непрерывной в точке а функции символ lim х-*а лредельного перехода и символ / характеристики функции можно менять местами. Из теоремы об эквивалентности определений предельного зна- значения по Гейне и по Коши (см. теорему 3.19 из п. 2 § 4 гл. 3) «следует, что определения непрерывности функции по Гейне и по Коши (определения 1 и 1*) эквивалентны. Сформулируем теперь определение односторонней непрерыв- непрерывности функции f(x) в точке а, т. е. непрерывности в точке а либо только справа, либо только слева. От множества {х} задания функции f(x) мы на этот раз долж- должны потребовать, чтобы это множество включало точку а и для любого б>0 имело хотя бы один элемент, лежащий на интервале [а, a+б) Соответственно (а—б, а)]. Формальное определение непрерывности в точке а справа [слева]. Функция f(x) называется непре- непрерывной в точке а справа [с л е в а], если правый [левый] предел этой функции в точке а существует и равен частному зна- значению f(a) функции f(x) в точке а. Используя определения правого [левого] предела функции f(x) в точке о по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции f(x) в точке а справа [слева] по Гейне и яо Коши.
§ 1. Понятие непрерывности функции 129 Определение 2 (непрерывность функции в точ- точке а справа [слева] по Гейне). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента {Хп}, все элементы которой удовлетворяют условию хп>а[хп<а], соответствующая последовательность значений функции {/(*«)} сходится к числу f(a). Заметим, что в этом определении условие хп>а [хп<а] можно заменить менее жестким условием хп^а [хп^а], ибо добавление к последовательности {/(#«)}> сходящейся к f(a), какого угодно числа новых элементов, равных f(a), не нарушит сходимости этой последовательности к f(a). В применениях более эффективно условие хп>а[хп<а]. Определение 2* (непрерывность функции.в точ- точке а справа [слева] по Кош и). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для лю- любого положительного числа е найдется отвечающее ему положи- положительное число б такое, что для всех значений аргумента х, удов- удовлетворяющих условию a<x<a+6 [а—8<х<.а], справедливо не- неравенство Заметим, что и в этом определении условие а<х<а + 6 [а—б<х<а] можно было бы заменить менее жестким условием а^х<а + 8 [а—8<х^а]. Эквивалентность определений 2 и 2* вытекает из эквивалент- эквивалентности соответствующих определений предела функции. Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке а справа [слева], записывают так: lim/(х) = f (а) или f(a + O) = f (a) х-нг+О [ lim/(%) = /(а) или/(а-0) = /(а)]. х-*а—О Замечание 3. Если функция j(x) непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрерывна в этой точке. Действительно, в силу утверждения, доказанного в п. 2 § 4 гл. 3, в этом случае существует предел функции в точке а, равный f(a). Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывнос- непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Рассмотрим примеры. 1) Степенная функция f(x)=xn, где п — натуральное число, непрерывна в каждой точке а бесконечной прямой (—оо, +оо). Действительно, в гл. 3 было установлено, что предельное зна- значение этой функции в любой точке а бесконечной прямой равно частному значению а". 5 Зак. 72
130 Гл. 4. Непрерывность функции 2) Многочлены и рациональные дроби имеют в каждой точке области задания предельное значение, равное частному значению (см. п. 3 § 4 гл. 3). Поэтому они являются непрерывными функ- функциями в каждой точке области задания. 3) Функция f(x)=sgnx имеет разрыв в точке х = 0 и непрерыв- непрерывна во всех остальных точках числовой оси. Действительно, в точке х=0, как было показано в гл. 3, существуют правый (равный +1) и левый (равный —1) пределы функции sgn;c. Поскольку эти од- односторонние пределы не равны друг другу, функция sgnx в точ- точке 0 разрывна (не является непрерывной). В остальных точках оси она обладает предельным значением, равным частному значе- значению, и непрерывна. 4) Функция Дирихле D(x) (см. § 4 гл. 3) разрывна в каждой точке числовой оси, поскольку она не имеет предельного значения ни в одной точке. Заметим, однако, что функция f(x)=x-D(x), где D(x) — функ- функция Дирихле, является непрерывной в точке д; = 0 и разрывной во всех остальных точках бесконечной прямой. Разрывность f(x) в любой точке Хот^О устанавливается точно -так же, как для функ- функции D(x) (для любой сходящейся к Хо последовательности {хп} рациональных точек соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к числу Хо=т^О, а для любой сходящейся к х0 последова- последовательности {хп} иррациональных точек соответствующая последова- последовательность {f(xn)} сходится к нулю). Убедимся в том, что функция f(x) = x-D(x) непрерывна в точке х=0. Для любой бесконечно малой последовательности значений аргумента {хп} последовательность {D(xn)} ограничена, а потому (в силу теоремы 3.3 из гл. 3) последовательность f(xn)=xn-D(xn) является бесконечно малой, т. е. имеет предел нуль, равный част- частному значению /@). Мы будем говорить, что функция непрерывна на множе- с т в е {х}, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Например, функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной на интервале. Особо договоримся называть функцию f(x) непрерывной на сегменте [а, Ь], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь. Выше, давая определение непрерывности функции f(x) в точке а, мы предположили, что точка а обладает тем свойством, что в любой ее е-окрестности содержатся точки области задания, от- отличные от а. Формально этого предположения можно бы было и не делать и допустить, что точка а обладает е-окрестностью, сво- свободной от точек области задания функции, а в самой точке а функция определена. В этом случае формально .функцию .[(х) можно считать непрерывной в точке а. Однако вся содержатель- содержательная часть понятия непрерывности функции относится как раз
§ 1. Понятие непрерывности функции 131 к случаю, когда а —• предельная точка области определения функции. Определение непрерывности функции можно дать и в следу- следующей, эквивалентной форме. Определение 1**. Функция f(x) называется непре- непрерывной в точке а, если для любой окрестности точки f(a) найдется такая окрестность точки а, что образ всех точек мно- множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки а? при отображении, осуществляемом функцией f(x), целиком ле- лежит в указанной окрестности точки f(a). В дополнении 2 к гл. 12 будет показано (даже в более об- общей ситуации), что последнее определение непрерывности экви- эквивалентно предыдущим. Предлагается в качестве упражнения проверить это. Используя введенное в § 5 гл. 3 общее определение предела функции f(x) по базе В множества ее задания, мы можем объ- объединить в одной формулировке понятие непрерывности в точке а, в точке а справа и в точке а слева. Пусть функция f{x) задана на множестве {х}, которое вклю- включает точку а и допускает базу В одного из видов х-^-а, х->а+0, х-уа—0*. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел по базе В множества ее задания существует и равен На). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Убедимся в том, что арифметические операции над непрерыв- непрерывными функциями приводят снова к непрерывным функциям. Справедлива следующая теорема. Основная теорема 4.1. Пусть на одном и том же Мно- Множестве заданы функции f(x) и g(x), непрерывные в точке а. Тогда функции f(x) + g(x), f(x)—g(x), f(x)-g(x) и -^-L непрерывны. g{x) в точке а (в случае частного нижно дополнительно требовать 8{а)Ф0). Доказательство. Так как непрерывные в точке а функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равны f(a) и g(a), то в силу теоремы 3.21 из гл. 3 пределы функций f(x) + + 8{х), }(x)—g(x), f(x)-g(x) и ' (х' существуют и равны соот- соответственно f(a)+g(a), f(a)—g(a), f{a)-g{a) и -Ю-. Но как раз эти величины равны частным значениям перечисленных функций в точке а. По определению эти функции непрерывны в точке а, что и требовалось доказать. * См. § 5 гл. 3.
132 Гл. 4. Непрерывность функции 3. Сложная функция и ее непрерывность. Функции, полученные в результате суперпозиции двух или нескольких функций, мы бу- будем называть сложными. Под суперпозицией двух функций мы понимаем функцию, полученную в результате наложения или последовательного применения указанных двух функций в опреде- определенном порядке. Ясно, что достаточно определить сложную функ- функцию, полученную в результате суперпозиции только двух функций. Указанный алгоритм можно будет применять, беря суперпозицию трех и большего конечного числа функций. Пусть функция x = q>(t) задана на множестве {/}, и пусть {х} — множество ее значений. Допустим, что на множестве {х} задана функция y=f(x). Тогда говорят, что на множестве {}} задана сложная функция y=f[<f(t)]=F(t) или y=f(x), где х = ф(?). Справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть функция x=<p(t) непрерывна в точке а, а функция y=f{x) непрерывна в точке Ь = у(а), Тогда сложная функция y=f[<p(t)] —F(t) непрерывна в точке а. Доказательство. Пусть {tn} — произвольная последова- последовательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция x = q>(t) непрерывна в точке а, то (в силу опре- определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последова- последовательность значений функции xn = q>{tn) сходится к числу Ь = ф(а). Далее, поскольку функция y=f(x) непрерывна в точке Ь=ф(а) и для нее указанная выше последовательность {хп}, сходящаяся к Ь=ф(а), является последовательностью значений аргумента, то (в силу того же определения 1 непрерывности по Гейне) соот- соответствующая последовательность значений функции f(xn) = =f[4(tn)]=F(tn) сходится к числу /(Ь)=/[ф(а)] =F(a). Итак, для любой последовательности {tn} значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответствующая последова- последовательность значений самой сложной функции {F(tn)} = J[q>(tn)] сходится к числу F(a) =/[ф(а)]. В силу определения 1 непрерыв- непрерывности по Гейне сложная функция непрерывна в точке а. Теорема доказана. § 2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Монотонные функции. Введем понятие монотонной функции. Определение I.-Функция f(x) называется неубываю- неубывающей [невозрастающей] на множестве {х}, если для любых Х\ и х2 из этого множества таких, что Х\<.х2, справедливо неравен- неравенство f(xO^f(x2) U(xO>f(x2)]. Неубывающие и невозрастающие функции называют моно- монотонными функциями. Определение 2. Функция называется возрастающей [убывающей] на множестве {х}, если для любых Х\ и х2 из
§ 2. Свойства монотонных функций 133 этого множества таких, что Xi<.x2, справедливо неравенство f(xi)<f(x2) [Д*1)>/Ы]. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Приведем примеры монотонных функций. 1. Функция f(x) =xz — строго монотонна, а именно возрастает на всей числовой оси. 2. Функция у — х2 — возрастает на полуоси х^О и убывает на» полуоси х<0. 3. Функция y=sgnx — неубывающая на всей числовой оси. 4. Функция f(x) = убывает на множествах х<0 и х>0. 2. Понятие обратной функции. Пусть функция y = f{x) задана на сегменте [а, Ь], и пусть сегмент [a, р] является множеством значений этой функции. Пусть, кроме того, каждому у из сегмента [а, р] соответствует только одно значение х из сегмента [а, Ь], для которого f(x)=y. Тогда на сегменте [а, р] определена функ- функция, которая каждому у из [а, р] ставит в соответствие то значе- значение х из [а, Ь], для которого f(x)=y. Эта функция обозначается символом x=f~1(y) и -называется обратной для функций В проведенных выше рассуждениях вместо сегментов [а, Ь\ и [а, р] можно было бы рассматривать интервалы (а, Ь) и (а, р) или, например, случай, когда один или оба из этих интервалов превращаются в бесконечную прямую или открытую полупрямую. Можно рассматривать и самый общий случай, когда задано отображение / одного множества {х} на другое множество {у}, причем отображение / устанавливает взаимно однозначное соот- соответствие между элементами этих множеств. Тогда можно опреде- определить обратное отображение /"' множества {у} на множество {х}. В этом случае уравнение y=f{x) можно разрешить относительно х, т. е. можно однозначно определить х, зная элемент у, и мы име- имеем x = f~l(y). Отметим, что если x—f~l(y) — обратная функция для y=f(x), то, очевидно, функция y=f{x) является обратной для функции x=f~1(y). Поэтому функции y=f{x) и x=f~l(y) называются вза- взаимно обратными. Очевидно, что f[f~l{y)]=y, f~l[f{x)]=x. Приведем примеры взаимно обратных функций. 1. Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция у = 2х. Множест- Множеством значений этой функции будет сегмент [2а, 2Ъ]. Функция x = f~x{y) = — ' определенная на [2а, 2Ь], будет обратной к за- заданной функции у — 2х. 2. Рассмотрим на сегменте [0, 2] функцию у=х2. Множество значений этой функции есть сегмент [0, 4]. На этом сегменте оп- определена обратная к заданной функции функция х=Уу .
134 Гл. 4. Непрерывность функции 3. Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию х, если х—рациональное число, 1-х, если х—иррациональное число. Нетрудно убедиться, что заданная на сегменте [0, 1] функция ( у, если у—рациональное число, { 1—у, если у—иррациональное число, будет обратной к заданной функции. Докажем несколько утверждений о монотонных функциях. Начнем с доказательства леммы, справедливой для любой мо- монотонной (не обязательно строго монотонной) функции. Лемма. Если функция f(x) является монотонной на сегменте [а, Ь], то у нее существуют правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента [а, Ь] и, кроме того, существуют пра- правый предел в точке а и левый предел в точке Ь. Доказательство. Для полного доказательства леммы дос- достаточно доказать два факта: 1) существование правого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам a^.c<cb; 2) су- существование левого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам a<c*cb. Мы установим только первый из указанных двух фактов, ибо второй устанавливается аналогично. При этом мы проведем все рассуждения для функции f{x), неубывающей на сегменте [а, Ь] (ибо для невозрастающей функ- функции они проводятся аналогично). Итак, пусть функция f(x) не убывает на [а, Ь], с — любая точка, удовлетворяющая неравенствам а^.с<Ь. Рассмотрим мно- множество {/(л)} всех значений функции f(x) для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенствам с<х^Ь. Это множество {/(*)} непусто (в силу того, что с<Ь) и ограничено снизу (в силу неубы- неубывания функции f(x) для всех х из полусегмента с<.х^Ь справед- справедливо неравенство f(c)^.f(x), которое означает, что f(c) является нижней гранью рассматриваемого множества). По основной тео- теореме 2.1 гл. 2 у рассматриваемого множества существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом у. Докажем, что это число у и является правым пределом функции f(x) в точке с, т. е. докажем, что y=f(c + O). Фиксируем произвольное е>0. По определению точной нижней грани найдется положительное число б, не превосходящее Ъ—с и такое, что значение функции /(с+6) удовлетворяет неравенству Но тогда в силу неубывания функции f(x) для всех х из ин- интервала с<х<с + б и подавно 'будет справедливо неравенство f(x)<y + e. Так как, кроме того, для всех х из указанного интер- интервала справедливо неравенство y^.f(x), то мы получим, что для всех х из интервала c<x<c + 6 справедливы неравенства
§ 2. Свойства монотонных функций 135 или |у—/(*)|<е, а это и означает (в силу определения правого предела по Коши)', что число 7 является правым пределом f(x) в точке с. Лемма до- доказана. Замечание к лемме. В предположениях леммы при ус- условии неубывания f(x) для любых сих, удовлетворяющих соот- соотношениям а<с<л:<Ь, будут справедливы неравенства D.1) а для любых с я х, удовлетворяющих соотношениям а^.х<с^.Ь, будут справедливы неравенства D.2) При условии невозрастания f(x) все знаки в неравенствах D.1) и D.2) следует заменить на противоположные. Пусть, например, f(x) не убывает на [а, Ь] и а^.с<х^Ь. Тог- Тогда /(flX/(c)</(jc)</fb). Из последних неравенств сразу же вы- вытекает, что /(аХ/(сХ/(с + 0Х/(Ь). Для завершения доказа- доказательства неравенств D.1) следует убедиться в том, что /(с+0)^ ^f(x)^.f(b) для любого х из полуинтервала с<х^.Ь, но это сразу вытекает из того, что число y = f(c+O) является, как доказано в лемме, точной нижней гранью множества значений f(x) на полу? интервале с<х^Ь. Справедливость неравенств D.2) проверяется аналогично. ' Докажем теперь три. теоремы о строго монотонных функциях. Теорема 4.3. Пусть функция y=f{x) возрастает (убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть a=f(a), р = /(Ь). Тогда, если множе- множеством всех значений функции y — f(x) является сегмент [а, р] (соответственно сегмент [р, а]), то на этом последнем сегменте определена обратная для y=f(x) функция x=f~l(y), которая так- также возрастает (убывает) на указанном сегменте. Доказательство. Проведем все рассуждения в предполо- предположении, что f(x) возрастает на сегменте [а, р] (для убывающей функции рассуждения аналогичны). Убедимся в том, что функция y = f{x) устанавливает взаимно однозначное соответствие между сегментами а^.х^.Ь и а^г/^р. Действительно, то, что каждому х из [а, Ь] соответствует только одно значение у из [a, р], следует из самого понятия функции y=f(x), а то, что каждому у из [а, р] соответствует только одно х из [а, Ь], вытекает из возрастания функции y=f(x). Убедимся теперь, что если y=f(x) возрастает на [а, Ь], то и x=f~l(y) также возрастает на [а, р]. Пусть У\<у%, где уi и уч — любые два числа из [а, р]. Тогда лсх =/~I(f/i) <X2=zf~1(y2), ибо из неравенства х\^х2 и из возрастания функции y—f(x) следовало бы, что уи^уъ, что противоречит неравенству у\<у2- Теорема до- доказана.
136 Гл. 4. Непрерывность функции Замечание 1. Совершенно аналогично доказывается более общее утверждение: пусть y = f(x) задана и возрастает (убывает)^ на некотором множестве {х}, а {у} — множество всех значений этой функции. Тогда на множестве {у} определена обратная для y=f(x) функция x = f~1(y), которая также возрастает (убывает) на указанном множестве {у}. Теорема 4.4. Пусть функция y = f(x) возрастает (или убы- убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть a=f(a), $=f(b). Тогда для того, чтобы функция y=f(x) являлась непрерывной на сегменте [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы любое число у, заключен- заключенное между а и р, было значением этой функции. Доказательство. Все рассуждения проведем для возрас- возрастающей на сегменте [а, Ь] функции, ибо для убывающей функции они аналогичны. 1) Необходимость. Пусть функция y = f(x) возрастает и непре- непрерывна на сегменте [а, Ь]. Требуется доказать, что любое число у, удовлетворяющее условиям а<-у<Р, является значением функции в некоторой точке с сегмента [а, Ь]. Пусть {*} — множество всех значений х из сегмента [а, Ь], для которых f(x)^y. Это множество {х} непусто (ему принадле- принадлежит, например, точка а, ибо f(a)=a<y) и ограничено сверху (на- (например, числом Ь). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества {х} существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через с: c = sup{;t}. Остается доказать, что f{c)=y. Сначала убедимся в том, что f(x)^.y для всех х из [а, Ь], ле- лежащих левее с, и f(x)>y для всех х из [а, Ь], лежащих правее с. В самом деле, если х<с, то по определению точной верхней грани найдется х' из полуинтервала х<х'^.с, принадлежащее множеству {х}, т. е. такое, что f(x')^.y. Но тогда из возрастания f(x) будет вытекать, что и f{x)^.y (ибо f(x) <f(x')). Далее, любое х, лежащее правее с, не принадлежит множеству {х}, а потому для такого х справедливо неравенство f{x)>y. Теперь убедимся в том, что с является внутренней точкой сегмента [а, Ь]. Докажем, что с<Ь. Предположим, что это не так, т. е. допустим, что с = Ь. Возьмем любую сходящуюся к с=Ь воз- возрастающую последовательность {хп} точек сегмента [а, Ь]. Так как все ее элементы хп лежат левее с, то f(xn)^y для всех номе- номеров п, а поэтому (в силу теоремы 3.13 гл. 3) и Нт/(хй)<у- Но так как функция f(x) непрерывна в точке с—Ъ, то \\mf{xn)=f(b). Тем самым мы получаем неравенство P=/(bXv. которое проти- противоречит условию y<P- Полученное противоречие доказывает, что с<Ь. Совершенно аналогично доказывается, что а<с. Итак, доказано, что с — внутренняя точка сегмднта [а, Ь]. Теперь для того, чтобы доказать, что f(c)=y, рассмотрим две
§ 2. Свойства монотонных функций 137 сходящиеся к с с разных сторон последовательности точек сегмен- сегмента [а, Ь] — возрастающую последовательность {хп'} и убывающую последовательность {хп}. В силу того, что функция f(x) непре- непрерывна в точке с, lim / {х'п) = lim / (х"п) = / (с). С другой стороны, поскольку Хп <с<хп" для любого номера п, то f(Xn)^y, f(Xn")>y (для любого номера п). Но тогда в силу теоремы 3.13 т. е. /(c)=v Необходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть функция f{x) возрастает на сегменте [а, Ь], и пусть любое число у из сегмента [а, р] является значе- значением этой функции. Докажем, что функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь]. Достаточно доказать, что f(x) непрерывна справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а^с<Ь, и непрерыв- непрерывна слева в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с^Ь. Мы ограничимся доказательством непрерывности справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а^с<Ь, ибо вторая часть утверждения доказывается аналогично. Предположим, что функция f(x) не является непрерывной справа в некоторой точке с, удовлетворяющей условиям а^.с<.Ь. Тогда ее правый предел /(с + 0), который существует согласно доказанной выше лемме, будет отличен от значения f(c), и по- поэтому справедливые в силу замечания к указанной лемме неравен- неравенства D.1) примут вид a=/(a)<f(c)<f(c + O)<f(xKf(b)=f5 D.2') (для всех х из полуинтервала с<х^Ь). Неравенства D.2') означают, что содержащийся в [а, |3] ин- интервал (f{c), /(с+0)) не содержит значений функции f(x)*, а это противоречит тому, что любое число у из сегмента [а, р] является значением этой функции. Теорема 4.4 полностью доказана. Теорема 4.5. Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [а, Ь), и пусть a=f(a), fi=f(b). Тогда на сегменте [а, р] (соответственно на сегменте [р, а]) определе- определена обратная для y=f(x) функция x=f~x(y), которая возрастает (убывает) и непрерывна на указанном сегменте. Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непре- непрерывности на сегменте [a, b] данной функции вытекают существо- * В самом деле, для х^с значение f(x) удовлетворяет неравенству {()^ f(c) (в силу возрастания функции), а для х~>с значение f(x) удовлетворяет неравенству /(с+0)</(х) (в силу D.2')).
138 Гл. 4. Непрерывность функции вание, строгая монотонность и непрерывность на соответствующем сегменте обратной функции. Доказательство. Проведем все рассуждения для возрас- возрастающей функции, ибо для убывающей функции они проводятся аналогично. Так как f(x) возрастает и непрерывна на сегменте [а, Ь], то в силу необходимости теоремы 4.4 множеством всех значений этой функции является сегмент [а, р]. Но тогда теорема 4.3 обеспечи- обеспечивает существование на этом сегменте возрастающей обратной функции x—f^l(y). Остается доказать непрерывность указанной обратной функции на сегменте [а, р]. Для этого достаточно учесть, что множеством всех значений обратной функции x=f~l(y) служит сегмент [а, Ь], где а=/~1(а), 6=f~'(P). и использовать для этой обратной функции достаточность теоремы 4.4. Доказа- Доказательство теоремы 4.5 завершено. Замечание 2. Можно показать, что из существования об- обратной функции для функции f(x), непрерывной на сегменте [а, Ь], следует, что f(x) строго монотонна на этом сегменте (см. п. 2 § 6 настоящей главы). § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Простейшими элементарными функциями, как уже отмечалось, обычно называют следующие функции: у=ха, у = ах, y = \ogax, y=sinx, y=cosx, y — tgx, y=ctgx, #=arcsin*, «/ = arccosx, y = = arctg*, i/ = arcctg;e. ¦ Нашей основной целью является изучение вопроса об опреде- определении и непрерывности простейших элементарных функций. Сле- Следует заметить, что вопрос об определении простейших элемен< тарных функций далеко не прост. Так, например, показательная функция у = ах легко может быть определена для рациональных значений аргумента х, вместе с тем эту функцию следует опреде- определить для произвольных вещественных значений х, т. е. следует оп- определить возведение вещественного числа в любую вещественную степень х. Далее, определение тригонометрических функций sin* и cos х с помощью наглядных геометрических соображений имеет логический пробел. Возможность определить эти функции для всех вещественных значений аргумента х сводится к возможности установления взаимно однозначного соответствия между точками единичной окружности и всеми вещественными числами полусег- полусегмента [0, 2я). Всеми этими вопросами мы и будем заниматься в настоящем параграфе. 1. Показательная функция. Начнем наше рассмотрение с опре- определения рациональных степеней положительных чисел. Для того чтобы возвести любое вещественное число х в целую положитель- положительную степень п, следует умножить это число х само на себя п раз.
§ 3. Простейшие элементарные функции 139 Следовательно, при целом п мы можем считать определенной степенную функцию у=хп для всех вещественных значений х. Установим некоторые простейшие свойства этой функции. Утверждение 1. Степенная функция у = х" при х^О и це- целом положительном п возрастает и непрерывна. Доказательст.во. Покажем, что функция у = хп возраста- возрастает. Пусть 0<jci<jc2. Тогда x2n—xin= (x2—x{) {x2n-l + x2n'2-Xi + ... ... + JE1"). Оба сомножителя в правой части, в соответствии с вы- выбором значений х2 и х\, положительны. Поэтому положительна и левая часть равенства, т. е. x2n~>x\n, а это означает возрастание функции у = хп при х^О. Непрерывность функции у = хп в любой' точке а бесконечной прямой (—оо, +оо) была установлена в примере 1 п. 1 § 1 нас- настоящей главы. Утверждение 1 доказано. Рассмотрим степенную функцию у=хл на сегменте [О, N], где N — любое положительное число. Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то в силу теоремы 4.5 она имеет на сегменте [О, N"] возрастающую и непрерывную обратную функцию, которую мы обозначим через х=у1/п. Поскольку Л' мож- можно выбрать как угодно большим, то и Nn также можно сделать сколь угодно большим. Следовательно, функция х = у1/п определе- определена для всех неотрицательных значений у. Меняя для этой функ- функции обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, мы получим степенную функцию у = х1/п, определенную для всех вещественных х^О. Теперь мы в. состоянии определить любую рациональную сте- степень г положительного числа а. Определим, прежде всего, а1/п дак вещественное число Ь, равное значению функции х11" в точке а. Далее, если г = —. где тип — целые положительные числа, п то мы положим т ar = an = (al'n)m. Кроме того, положим по определению а°=1, сгг= {—) при г>0. \ а I Тем самым, мы определили любую рациональную степень положи- положительного вещественного числа а. Выполняются следующие свойства рациональной степени по- положительных вещественных чисел: (ar)s = ars, ar-br=(a-b)r, ar-as = ar+s. (*) I Докажем сначала справедливость первого свойства (*). т Заметим, что при целом положительном р равенство (а"I =
140 Гл. 4. Непрерывность функции =а , в котором под тип понимаются любые целые поло- положительные числа, заведомо справедливо, ибо как левая, так и правая части этого равенства равны произведению числа а11* самого на себя т-р раз. Полагая г = -^-, s = -^-> докажем равенство (ar)s~ars пг щ. в ситуации любых положительных рациональных г и s. Поло- mi m2 mt-m2 жим сг — (а "')"*, с2 = ап'. Если бы с\ было отлично от Сг, то из возрастания степенной функции у = хПг следовало бы, что и С\п'Фс2Пг, а последнее соотношение, в силу уже доказанной m m-p справедливости равенства (ая)р = ап при целом р, означало бы, что (ап')т'^=а "* . Полученное соотношение противоречит уже доказанному нами для целых положительных ть п\ и тг равенству (ani)m' = a "' . Тем самым С\ = с2, и первое равенство (*) доказано для любых положительных рациональных г и 5. Распространение этого равенства на неположительные г и s не представляет труда в силу нашей договоренности о том, что а0 = 1, а~г = — при г > 0. аг Второе равенство (*) также достаточно доказать для поло- положительного рационального г. Полагая это г равным пг/п, где тип — целые положительные числа, заметим, что нам достаточно доказать равенство axln-bl^n~{a-b)l/n, ибо пе- перемножением т таких равенств будет доказано общее соотно- соотношение ar-br= (a-b)r. Для доказательства равенства d[ln-bl'n={a-b)l/n заметим, что в силу свойств взаимно обратных функций у = х1/п и х=уп мы можем утверждать, что (bx/n)n=b, (d[ln)n—a, {{ab)l'n)n — = ab. Поэтому, положив ci = ai/n-b1'n, c2=(ab)l/n и предполагая, что С\ФС2, мы получили бы, что С\пФс2п, что противоречит ра- равенству a-b = ab. Докажем теперь последнее свойство (*), учитывая, что первые два уже доказаны. Пусть r = -^-, s=-^-. тогда г=; пх п2 Л%1 * tl% 171л • П.л = ' s= , и мы приходим к следующему равенству: 1 1 1 дг ,qs _ /?»t ¦ п*\«»• «2 ia«1 ¦ плгщ ¦ л, __ , в, л,ч/Л1 • га2+т2 • п, (Последнее равенство справедливо, так как т^-Яг и m2-«i — целые числа.)
§ 3. Простейшие элементарные функции 141 Таким образом, f g Hi-fis /-»"*  f t g что и требовалось. Яры а>\ и рациональном г>0 справедливо неравенство аг>\. В самом деле, пусть г = — и аг = ат/"<1. Перемножая пот п членно п указанных неравенств, получим ат^1. Но это неравенст- неравенство противоречит неравенству ат>\, полученному почленным пере- перемножением т неравенств вида а>1. Отметим также, i что если рациональная дробь г = —имеет нечетный знаменатель п, то определение рациональной степени можно распространить и на отрицательные числа, полагая при «>0, что (—а)г = аг, если т четное, (—а)г=—аг, если т нечетное. Убедимся в том, что функция у = а" при а>1, определенная нами на множестве рациональных чисел, монотонно возрастает на этом множестве. Действительно, пусть rt и г2 — два рациональных числа таких, что г2>г\. Тогда ан—ап = агг (a'2-<-i — 1). D.3) Поскольку r-i—/"i>0 и а>1, то (в силу установленного выше)' ar*-r'>l. Таким образом, правая часть равенства D.3) поло- положительна. Следовательно, ап—ап > о, т. е. аг* > аг', что и требовалось. Определим, наконец, функцию у—ах не только для рациональ- рациональных значений х, но и для любых вещественных значе- значений. Пусть х — произвольное вещественное число. Рассмотрим всевозможные рациональные числа аир, удовлетворяющие нера- неравенствам D.4) Определим а" при а> 1 как вещественное число у, удовлетворяю- удовлетворяющее неравенствам D.5) при всевозможных рациональных аир, удовлетворяющих нера- неравенствам D.4).
142 Гл. 4. Непрерывность, функции Оказывается, что такое число у существует и притом только одно. Следовательно, таким путем функция у = а" будет определе- определена на множестве всех вещественных х. Мы покажем, что эта функция возрастает и непрерывна на всей вещественной прямой. Эти результаты содержатся в доказы- доказываемых ниже утверждениях. Утверждение 2. Для любых фиксированных вещественных чисел х и а>\ и всевозможных рациональных чисел а и $, удов- удовлетворяющих неравенствам D.4), существует и притом единствен- единственное вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам D.5). Доказательство. Докажем сначала существование такого числа у. Фиксируем произвольное рациональное число р, удовлет- удовлетворяющее правому неравенству D.4), и рассмотрим всевозможные рациональные числа а, удовлетворяющие левому неравенству D.4). Так как а<р и показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, возрастает, то аа<аР. Таким об- образом, множество {аа} ограничено сверху, и число ав является одной из верхних граней этого множества. Из основной теоремы 2.1 следует, что множество {аа} имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через у. Покажем, что у удовлетво- удовлетворяет неравенствам D.5). Из определения верхней грани вытекает справедливость левого неравенства D.5), а справедливость пра- правого неравенства D.5) вытекает из того, что а9 — одна из верх- верхних граней, а у — точная верхняя грань множества {аа}. Докажем теперь, что такое число у только одно. Достаточно доказать, что для любого е>0 найдутся такие рациональные числа аир, удовлетворяющие неравенствам D.4), для которых ар—аа<е. Тогда любые два числа у\ и у2, удовлетворяющие нера- неравенствам D.5), обязаны совпасть, так как разность между ними по модулю меньше любого наперед заданного числа е>0. Фиксируем произвольное положительное число е и некоторое рациональное число Ро, удовлетворяющее правому неравенству D.4). Тогда так как аа<а$\ то а»—аа=аа(ар-а— 1)<аР° (а»-а— 1). Неравенство а9—аа<е будет доказано, если мы установим воз- возможность выбора в неравенствах D.4) таких рациональных а и р, что а$~а — 1 < —в- • В гл. 2 было доказано, что для любого натурального п можно выбрать рациональные числа аир, удовлетворяющие неравенст- неравенствам D.4), так, что разность р—а будет меньше 1/л. Таким обра- образом, достаточно доказать, что существует такое натуральное п, что а>!« - 1 < -4-.
§ 3. Простейшие элементарные функции 143 Пусть а1/п==1 + бл. Так как al/n>\, то бп положительно. Используя первые два члена бинома Ньютона, мы получим, что Отсюда а—1>п-8п, т. е. 0<6„<^—L Значит а>1п — 1 <^^• п п Выберем теперь натуральное п удовлетворяющим неравенству — <4" или п> ^-')-flP° . тогда a^-l<^i<-4-.. n aPo е п а9" и доказательство однозначной определенности числа у, удовлетво- удовлетворяющего неравенствам D.5), завершено. Утверждение 2 дока- доказано. Заметим, что если х — рациональное число и ах — значение в точке х показательной функции, первоначально определенной лишь на множестве рациональных чисел, то ах и является тем единственным числом у, которое удовлетворяет неравенствам D.5). Утверждение 3. Показательная функция у=ах при а>1 возрастает на всей бесконечной прямой. Доказательство. Пусть х\ и х^ — любые два веществен- вещественных числа такие, что x\<.x%. Всегда существуют рациональные числа аир такие, что Xi<a<p<X2 (см. лемму 2 § 3 гл. 2). Так как xi<a и Р<#2> то по определению показательной функции вы- выполнены неравенства а*1 •< аа, аР *С а?'- С другой стороны, так как а<р, то из возрастания показательной функции на множестве рациональных чисел вытекает аа<а9. Сопоставляя неравенства cx'-<aa, aa<iaP и а®<СаХг и используя свойство транзитивнос- транзитивности знаков > и =, получим, что ax^<iax\ а это и доказывает воз- возрастание функции ах. Утверждение доказано. Утверждение 4. Показательная функция у — ах при а>1 яв- является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой. Доказательство. Пусть х — произвольное вещественное число, а {хп} — любая сходящаяся к х последовательность. В силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любого е>0 существует такой номер N, что \а"п—а*|<е при всех ri^N. Фиксируем произвольное е>0 и по нему рацио- рациональные числа аир такие, что а<х<р и а?—аа<е. Возможность фиксировать по любому е>0 такие рациональные числа аир была установлена в утверждении 2. Поскольку последователь- последовательность {хп} сходится к х и а<х<р, то существует такой номер N, что при всех ri^-N справедливы неравенства а<х„<р. Так как по- показательная функция монотонно возрастает, то a < ах < аР, аа < < а*п < ар при всех ri^-N. Таким образом, оба числа а*п и ах при ri^N заключены меж- между двумя числами аа и а?, разность между которыми а"—аа мень- меньше е. Отсюда следует, что при ri^N справедливо неравенство
144 Гл. 4. Непрерывность функции \а"п—ах|<е, которое и доказывает непрерывность показатель- показательной функции в произвольной точке х. Утверждение 4 доказано. Получим теперь некоторые следствия из доказанных свойств показательной функции. Прежде всего заметим, что если 0<а<1, то а = —. где Ь>\. Поэтому функцию г/=аЛ при 0<а<1 можно Ь определить как функцию у—Ь~х при Ь = — > 1. Следствие 1. Показательная функция у — ах при а>1 поло- положительна (при всех значениях х). Если х — произвольная точка числовой оси, а г — рациональ- рациональное число такое, что г<х, то по определению показательной функ- функции на множестве рациональных чисел ar>0, a по утверждению 3 ах>аг при а>\. Следовательно, ах>0. Следствие 2. Показательная функция у = ах при а>\ удов- удовлетворяет условиям: limax = 0, lima*=+oo. В самом деле, так как а>1, то a=l-f6, где б>0 и а" = = A+6)">л6. Следовательно, lima"=+°°- В силу монотон- П— ности функции у = ак получаем, что и lim ax= +оо. Так как агп ——, то lima~" = 0, и поэтому lima* = 0. йп Я-юо Х-»-—оо Следствие 3. Значения функции у=ах при а>\ заполняют всю положительную полупрямую у>0. Действительно, по следствию 1 функция у=ах принимает только положительные значения, а по следствию 2 она принимает как сколь угодно малые, так и сколь угодно большие положитель- положительные значения. Из непрерывности и строгой монотонности а* и из теоремы 4.4 вытекает, что любое положительное число является значением функции у = ах. Следствие 4. Для любых вещественных чисел х\ и Хг справедливы соотношения В самом деле, эти соотношения уже были установлены нами для рациональных показателей. Отсюда вытекает справедливость их и для произвольных вещественных показателей. Убедимся, на- например, в справедливости первого соотношения. Пусть {/¦'„} и {/•„"} — последовательности рациональных чисел, сходящиеся со- i ir /и ответственно к х\ и х2. Тогда (ап)п = ап ". Переходя к пределу при п-^-оо и используя непрерывность показательной функции, получим (a*i)x2=aXi*2. Аналогично устанавливаются и остальные равенства. Заметим теперь, что мы фактически изучили и сврйства пока- показательной функции у — ах при 0<а<1. Действительно, ее непре-
§ 3. Простейшие элементарные функции 145 рывность следует из самого определения. Из определения следует также, что эта функция монотонно убывает на бесконечной пря- прямой. Следствия 1, 3, 4 верны и для функции у = ах при 0<а.<1, а следствие 2, очевидно, будет выглядеть так: lima*=+oo, lima* = 0. На рис. 4.1 и 4.2 изображены графики показательной функции у —а" для случаев а>\ и 0<а<1. СС Рис. 4.2 Замечание. Показательную функцию можно было бы опре- определить как решение некоторого функционального уравнения, удов- удовлетворяющее определенным условиям. Можно доказать, что суще- существует, и притом единственная, функция }(х), определенная на всей бесконечной прямой и удовлетворяющая трем требованиям: 1) для любых вещественных х\ и х% выполнено соотношение f(xl+x2)=f(xl)-f(x2); 2) /@) = 1*ЛA)=апр.иа>1; 3) функция f(x) непрерывна при х=0. Такой функцией и является построенная выше функция f(x)=ax при а>1. 2. Логарифмическая функция. Логарифмическую функцию мы определим как обратную к показательной. Пусть [с, к] — произ- произвольный сегмент бесконечной прямой. На этом сегменте функция у=ах при а>1 возрастает и непрерывна. Поэтому в силу теоремы 4.5 функция y=f(x)=ax имеет на сегменте [ас, ad\ возрастающую и непрерывную обратную функцию x = f~1(y), которая и называ- называется лога ри ф мической и обозначается так: Заменяя обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, запишем ее в более привычном нам виде: * Можно доказать, что требование f@)=l является следствием остальных, требований (и потому может быть опущено).
146 Гл. 4. Непрерывность функции Случай 0<а<1 рассматривается аналогично. Отметим следу- следующие свойства логарифмической функции, вытекающие из ее ¦определения: 1) Логарифмическая функция определена для всех положи- положительных значений х. В самом деле, аргумент логарифмической «функции представляет собой значения показательной функции, которые, как мы знаем, только положительны и заполняют всю полупрямую х>0. 2) Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на зсей полупрямой х>0 при а>\ и непрерывна и убывает на всей полупрямой х>0 при 0<а<1, причем Нт1о§^л:= —оо, limlogajc = + <х> при а > 1, Х->-0+0 Х-*+а> limlogaje = -foo, limlogax =—оо при 0<а<1. Х-»0+0 + 'Справедливость этих свойств вытекает из свойств показательной ¦•функции. 3) Для любых положительных х\ и Х2 \0ga (Xi • X2) = loga X\ + logo X2. Это свойство также вытекает из свойств показательной функции. Замечание. Следует особо выделить логарифмическую функцию y = \ogex, где e = lim(l 4-—) ¦ Для этой функции л-><ю \ П j используется обозначение у = \пх. Логарифмы по основанию е на- называются натуральными. У х х Рис. 4.3 Рис. 4.4 На рис. 4.3 и 4.4 изображены графики логарифмической функ- функции y = \ogax для случаев а>1 и 0<а<1. 3. Степенная функция. Определим теперь степенную функцию с любым вещественным показателем а через суперпозицию лога- логарифмической функции и показательной. Пусть х>0г Тогда общая степенная функция определяется так:
§ 3. Простейшие элементарные функции 147 где а — любое фиксированное число, ради определенности большее единицы: Из этого определения и из того, что при а>1 логарифмиче- логарифмическая функция возрастает на всей полупрямой х>0, а показатель- показательная функция возрастает на всей бесконечной прямой, вытекает, что степенная функция у = ха = ааЛоеах возрастает при а>0 и убывает при а<0 на полупрямой х>0. Справедливы следующие свойства: 1) Для степенной функции выполнены соотношения: ПтлЯ = 0 при a > 0, limxa = +°o при сс<0. *-»0+0 х-*0+0 В самом деле, пусть {хп} ¦— любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента хп. Так как limlogaxn = п- = — оо, то из свойств показательной функции вытекает, что 1с8<»х" = 0 при а>0 и Птаа1°8Л= +оо при а<0. По- ПО П определению положим 0а=0 при а>0 и будет считать это выраже- выражение неопределенным при а<0. 2) Степенная функция у~ха = аа']0°аХ непрерывна в каждой точке х открытой полупрямой х>0. Это сразу же вытекает из теоремы 4.2 непрерывности слож- сложной функции с учетом того, что функция u = a-\ogax непрерыв- непрерывна в любой точке х>0, а функция у=аи непрерывна в любой, точке и бесконечной прямой. Замечание. Если показатель а степенной функции пред- представляет собой рациональное число пг/п, где п — нечетное целое число, то степенную функцию у = ха можно определить на всей числовой оси, полагая при х<0: у = | х \а, если а — — и пг четное, п у= — | х \а, если a = — и пг нечетное. На рис. 4.5—4.7 изображены графики степенной функции у—х^ для различных значений а. 4. Тригонометрические функции. Мы уже имеем представление о тригонометрических функциях y=sinx и y=cosx и функциях, s in х cos y которые через них выражаются, y~\gx = , y = ctgx = cos a: sin a; , t/ = cosecx = i cos x sin x Во введении к этому параграфу мы уже говорили о логических пробелах, возникающих при определении функций # = sinx к
48 Гл. 4. Непрерывность функции X Рис. 4.5 Рис 4.6 а.70 Рис. 4.7 г/ = соэл; с помощью наглядных геометрических соображений. Ло- Логически безупречно эти функции можно определить как решение некоторой системы функциональных уравнений. Точнее, можно до- доказать следующее утверждение: существует и притом единственная пара функций f(x) и g(x), определенных для всех вещественных значений аргумента х и удовлетворяющих условиям: 1) f(xi + x2)=f(xl)g(x2)+f(x2)-g(x1), g(xi+x2)=g(xl)-g(x2)—f(xl)-g(x2), f( [2) 3) -0, g@) = \, f —1> f]=0; Справедливость неравенства f(x) g(x) 8 (¦*•) D.6) для 0 < х < —— следует из ос- тальных сформулированных здесь условий (см. по этому поВоду указываемое ниже дополнение к книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка).
§ 3. Простейшие элементарные функции 149 Первую из этих функций назовем синусом и обозначим символом f(x) = sinх, вторую назовем косинусом и обозначим символом g(x) = cos х. Доказательство приведенного утверждения можно найти в до- дополнении к гл. 4 книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 1 (М., Наука, 1982). Нетрудно доказать, что из свойств 1), 2) и 3) можно извлечь в виде следствий все другие свойства функций y = s'mx $ y—zosx, известные читателю из школьных учебников и устанав- устанавливаемые в средней школе из наглядных геометрических сообра- соображений. Впрочем, этот факт сразу вытекает из того, что свойства 1), 2) и 3) определяют единственную пару функций f(x) и g(x) и что введенные в средней школе из наглядных гео- геометрических соображений функции f(x)=sinx и g(x)=cosx этими тремя свойствами обладают. В качестве примера установим с помощью свойств 1), 2), 3) некоторые свойства функций y = sinx и y=cosx, которые понадо- понадобятся нам при доказательстве непрерывности этих функций и для отыскания участков их монотонности. а) Из третьего соотношения 1), имеющего вид sin2x+cos2x=l, сразу же вытекает, что sin2x<l и cos2^<l, т. е. <:l. D.7) б) Далее, с помощью первых двух соотношений 1) и первых двух равенств 2) мы получим, что sin 0=sin[x+ (—х)] =sin*-cos(—х) +cos^-sin(—х) =0, cosO=cos[x+ (—х)] =cos;C'COs(—x)—sin x- sin (—x) = 1. Полученные два равенства представляют собой систему двух уравнений относительно двух неизвестных cos(—х) и sin(—х). Ре- Решая эту систему и учитывая, что sin2x+cos2x=l, мы получим, что cos (—х) = cos х, sin (—х) = —sin x, D.8)' т. е. cos* представляет собой четную функцию, a sinx — нечет- нечетную функцию *. в) Из соотношений 1), в свою очередь, вытекают равенства sin (xi— х2) = sin [xi + (—х2) ] = sin xx ¦ cos (—х2) + + cos x\ ¦ sin (—х2) = sin x{ • cos x2—cos x\ ¦ sin x%, D.9) COS (X1—X2) =COS [Xi + (—X2) ] = COS Xi • COS (—*2) — —sinxi -sin(—x2) = * Функция <f(x), определенная для всех вещественных значений х, назы- называется четной, если <р(—дг)=ф(д:) (для любого значения х), и нечетной, если <р(—х)=—ц>(х) (также для любого значения х).
150 Гл. 4. Непрерывность функции г) Из первого соотношения 1) и первого соотношения D.9) мы получим, что / хг + xi i sinх2 = sin 2^ 1 + 2 \ 2 + \ 2 2 . cos -^=^- + sin ?—& ¦ cos Складывая и вычитая полученные два равенства, мы придем к соотношениям sinx2+ sinx1 = 2sin-^C^i-.Cos-^—ii-, * -* DЛ0> sin x» ¦— sin x, = 2cos *2 * ¦ sin ——— ¦ 21 2 2 д) Далее, из первого соотношения D.9) и из последних двух равенств 2) получим, что sin (— х) = sin—-cosх—cos — • sinx = cosx, V 2 ) 2 2 т. e. cosx=sin( ——x\- D.11) e) Убедимся, наконец, в периодичности функций /(x)=sinx и g(x)=cosx с периодом 2л. Из первых двух соотношений 1) при x=xi = x2 получим, что sin2x=2sinx-cosx, cos2x=cos2x—sin2x. D.12> Учитывая, что в силу равенств 2) sin—=1, cos— = 0, мы-по- лучим из соотношений D.12) при х — — , что sinn = 0, соэя= = —1, а из последних двух равенств и из соотношений D.12) при х=тт получим, что sin2n = 0, соэ2я=1. Используя последние два равенства, мы получим из первых двух соотношений 1), что sin(x+2jt) =sinx-cos2it + sin 2it-cos x = si cos(x + 2n) =cos x-cos 2я—sin х- sin 2sx = cos x,
§ 3. Простейшие элементарные функции 151 а это и означает периодичность функций sin x и cos x с перио- периодом 2я*. ж) В заключение несколько усилим неравенства, содержащие- содержащиеся в свойстве 3). Мы установим, что для всех вещественных х справедливо следующее несколько общее неравенство: |sin*|<:|*|. D.13) При 0<#<— соотношение D.13) следует из неравенств, содержащихся в свойстве 3). При <#<0, в силу соотношения sin(—х) = —sinx, неравенство D.13) следует из следующих неравенств: О < sin (—х) < — х при —— < х < О, а эти последние неравенства справедливы вследствие того, что {—х) лежит в интервале @, —) • При *=0 sin;t=.*;. При — <|*| имеем f sltiл:| < 1< — < \х\, т. е. |sin*[«s. <г|*|. Перейдем к установлению двух основных свойств функций ) =sin х и g(x) =cos x. 1°. Функции sin х и cos x непрерывны в каждой точке х беско- бесконечной прямой. Доказательство. Достаточно установить непрерывность в каждой точке х только функции f(x) = smx, ибо непрерывность в каждой точке х функции g(;t)=cos;t будет при этом вытекать из •соотношения D.11) и теоремы 4.2. Сначала докажем, что функция sin x непрерывна в точке х—0. Так как в силу первого равенства 2) sin 0 = 0, то в силу •определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любой бесконечно малой последовательности {хп} последова- последовательность значений функции {sin*,,} также является бесконечно малой. Из неравенства D.13) и из условия |sinx|>0 вытекает, что для всех х 0<:|sinx|<|x|. D.13') ¦Следовательно, 0< | sinХя| < \Xn\- Последние неравенства в силу принципа двустороннего ограни- ограничения (см. теорему 3.14 гл. 3) означают, что последовательность * Функция ф(х), определенная для всех вещественных х, называется перио- периодической с периодом Т, если <р(х+Т) =q>(#) для всех х.
152 Гл. 4. Непрерывность функции {|sinдг«j}, а значит, и последовательность {sin*,,} является беско- бесконечно малой. Непрерывность функции sin* в точке х=0 доказана. Докажем теперь, что функция sin x непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Пусть {хп} — произвольная последова- последовательность, сходящаяся к х. Достаточно доказать, что соответству- соответствующая последовательность {sin xn} сходится к sin x. Воспользуемся вторым соотношением D.10), положив в нем Х2 = хп, Х[ = х. Получим + -sin Xn~x • D.14) 2 Достаточно доказать, что в правой части D.14) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из. sin—- , в силу уже доказан- доказанной непрерывности синуса в нуле, является бесконечно малой, а последовательность ]2соз Хп х 1. в силу второго неравенства D.7) является ограниченной. 2°. Функция sin х возрастает на каждом из сегментов 2Ы— —, 2kn + — \ и убывает на каждом из сегментов Bk + 1) я— —, Bk+l)n + — ; функция cos x убывает на каждом из 2 2 J сегментов \2kn, 2йя+я] и возрастает на каждом из сегментов [2kn—п, 2kn] (здесь всюду k — любое целое число, т. е. k = 0, ±1, ±2,...). Доказательство. Все рассуждения достаточно провеет» для функции sin х, ибо после нахождения всех участков монотон- монотонности функции sin х участки монотонности функции cos x могут быть получены, исходя из равенства D.11). Далее, поскольку sin x — периодическая функция с периодом 2я, то достаточно найти участки ее монотонности, лежащие в пределах одного периода, т. е., например, для значений аргумента —, 2я — — • Докажет сначала, что функция sin x возрастает на сегменте 0, — • Пусть х\ и дг2 — любые два числа из этого сегмента такие, что'*2>*1- Тогда, очевидно, числа *» + ¦** и *«~*i.. принадлежат интервалу @, —), причем в силу второго равен- равенства D.10) sins,—зШ*^2cos Xt + Xl -Bin Xt~Xl ¦ D.15>
§ 3. Простейшие элементарные функции 153 Достаточно доказать, что в правой части D.15) стоит положи- положительное число, а для этого достаточно убедиться в том, что для всех значений аргумента из интервала 10, —) функции sin x и cos х принимают только положительные значения. Для функции /(*)=sin* это вытекает из свойства 3), а для функции cos x следует из равенства D.11). Итак, доказано, что функция sin* возрастает на сегменте 0, — • Из нечетности функции sin x, т. е. из второго соотно- соотношения D.8), в таком случае следует, что функция sin x возрастает и на сегменте , 0 • Тем самым доказано, что функция sin x возрастает на сегменте —, —- • Остается исследовать поведение функции sin* на сегменте -—, я + — • В пункте е) мы убедились в том, что sinn = 0, cosjt= —1, а из этих равенств и из первого соотно- соотношения 1) вытекает, что эт(*+я) =sin *-cos я+cos *-sin я= •—sin x. Полученное соотношение позволяет заключить, что из установлен- . . Г я я 1 ного нами возрастания функции sin х на сегменте , — вытекает убывание этой функции на сегменте —, я -\ • L 2 2 J Изучение участков монотонности функций sin x и cos x пол- полностью завершено. т-. , sin* , cos* В силу представлении tg* = , ctgx= и в силу cos* sin* теоремы 4.1 для случая частного функция tg* непрерывна в любой точке х Ф \-Ы, а функция ctg л: непрерывна в любой точке хфкл. Пользуясь соотношениями sin(*+rc) =—sin*, cos (x+n) = = —cos *, мы получим, что tg (* + я) = S1 = tg * и аналогично COSX ctg (*+я) = ctgл:. Это означает, что tg* и ctg* являются периоди- периодическими функциями с периодом я. Значит, достаточно произвести исследование участков монотонности этих функций только в пре- пределах интервала длины п. Из равенства D.16) g2g1 cos xz cos x1 cos x2 ¦ cos хг и из того, что sin x принимает только положительные значения на интервале @, я), a cos* принимает только положительные значе-
154 Гл. 4. Непрерывность функции ния на интервале ( — , —) • вытекает, что функция tg х возрастает на интервале — , — )• (ДЛЯ ЛЮбых И Х2 из интервала ( —, —) таких, что х{>х\, в правой части V 2 2 / D.16) будет стоять положительная величина.) Аналогично устанавливается, что функция ctg x убывает на интервале @, п). Мы не останавливаемся на изучении функций secx: = - COS X и cosecjc = l sin* Графики всех тригонометрических функций изображены на рис. 4.8—4.13. -я л 2/ У У> /1 и -1 я и = cos х Рис. 4.9 -п\ у = ctg х Рис. 4.11 5. Обратные тригонометрические функции. Остановимся на вопросах определения и свойствах непрерывности и -монотонности обратных тригонометрических функций.
§ 3. Простейшие элементарные функции 155 y=cosec х Рис. 4.13 Для определения функции «/ = arcsinx рассмотрим функцию г я я 1 „ . V = sinx на сегменте , — • Согласно п. 4 на этом сег- L 2 2 J менте функция y = sinx монотонно возрастает и непрерывна. Мно- Множество ее значений есть сегмент [—1, 1]. В силу теоремы 4.5 на сегменте [—1, 1] существует. непрерывная возрастающая обрат- обратная функция, принимающая значение в точке —1 и значе- значение — в точке 1. Эту функцию обозначают символом х= = arcsin«/ или, меняя обозначение аргумента у на х и обозначе- обозначение х для функции на у, символом z/ = arcsin;t. Точно так же оп- определяется на сегменте [—1, 1] функция у = arc cos x, обратная по отношению к функции x=cosy, убывающей и непрерывной на сегменте 0<г/<я. Функция «/ = arccosx убывает и непрерывна на сегменте f—1, +1] и принимает в точках х= — 1 и лг= + 1 значения, соот- соответственно равные л и 0. Функции i/ = arctgx и (/ = arcctgx определяются как обратные для тангенса и котангенса, рассматриваемых на интервалах (-——, — \ и @, п). Эти функции определены и монотонны
156 Гл. 4. Непрерывность функции У Я 2 . 2 y-arcsinse Рис. 4.14 y~ ж 2 У л 2 's*— 0 у = arctfl х X У' 0 л 2 у=тй^ * Рис. 4.16 Рис. 4.17 на всей бесконечной прямой. На рис. 4.14—4.17 изображены гра- графики обратных тригонометрических функций. x * 6. Гиперболические функции. Функции gX I g" —— gX g называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом и обозначаются символа- символами chx и sh*: Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определя- определяются соответственно формулами sh х ех — ё~х chx ех+ех sh x Из определения гиперболических функций следует, "что гипербо- гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тан-
§ 3. Простейшие элементарные функции 157 гене заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки х=0. На рис. 4.18—4.21 изображены графики этих функций. У У +1 0 -/1 y=thcc У' +1 0 y = cthx Рис. 4.20 Рис. 4.21 Гиперболические функции непрерывны в каждой точке облас- области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы 4.1). Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогич- аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для ги- гиперболических функций имеют место теоремы сложения, анало- аналогичные теоремам сложения для тригонометрических функций: sh(x+y) =sh дг-ch y+ch лг-.sh у, ch(x+y) =ch *-ch y+sh дг-sh y. Непосредственно также проверяются формулы sh 2jc = 2 sh^-ch x,
158 Гл. 4. Непрерывность функции ch2 х—sh2;t=l-. Эпитет же «гиперболический» связан с тем обстоя- обстоятельством, что равенства x=a-cht, y=a-sht задают гиперболу, подобно тому, как равенства x=a-cost, y = a-smt задают. ок- окружность. Действительно, в первом случае мы, очевидно, имеем Х2—у2=а2^ т е уравнение гиперболы, а во втором х2+у2=а2 — уравнение окружности. § 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА 1. Первый замечательный предел. Прежде всего докажем сле- следующую теорему, представляющую собой функциональный аналог теоремы 3.14. Теорема 4.6 (функциональный аналог принци- принципа двустороннего ограничения). Пусть в некоторой проколотой д-окрестности точки а* заданы три функции f{x), h(x) и g(x), две из которых f(x) и g(x) имеют в точке а общий пре- предел, равный Ъ. Тогда если всюду в указанной проколотой Ь-ок- рестности точки а справедливы неравенства f(x)<h(x)<g(x), D.17) го и функция h(x) имеет в точке а предел, равный Ъ. Доказательство. Пусть {хп} — произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. Тогда, с одной стороны, в силу определения пре- предела по Гейне, обе последовательности соответствующих значений функций {/(*„)} и {g(xn)} сходятся к Ь, а с другой стороны, в си- силу D.17), для всех номеров п справедливы неравенства f{Xn)<h(Xn)<g(Xn). В силу теоремы 3.14 мы можем утверждать, что последователь- последовательность h(xn) также сходится к Ь, а это и означает, что число Ъ является пределом функции h(x) в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.7. Предел функции h{x) — в точке jc = O существует и равен единице, т. е. *-»о х Доказательство. Будем отправляться от неравенств О/ oifi v .x*"" v jS' \ct v I гтгмл1 C\ ^~ v -^* ^___ \ (A. 1 Q\ * Напомним, что проколотой 6-окрестностью точки а назувается интервал {а—б, а+б), из которого выкинута точка а.
§ 4. Два замечательных предела 1591 указанных в п. 4 § 3. Посредством деления на sin;t>0 мы по- получим из D.18) следующие неравенства: 1 < х < 1 sin* cos л; \ 2 Для обратных величин, очевидно, справедливы обратные нера- неравенства I (при 0<х<— )• D.19) л V 2 / Заметим, что из того, что неравенства D.19) справедливы при 0<jc<—. вытекает, что эти неравенства справедливы и при < х < 0, ибо при замене х на —х все три функции cos xr и 1 не меняют своих значений*. х Таким образом, неравенства D.19) справедливы для всех зна- значений х из интервала—^- < х < -^ За исключением точки х=0, т. е. справедливы всюду в проколотой окрестности точки x = 0. Так как, кроме того, обе функции /(;t)=cos;t и g{x) = l имеют в точке jc=O равный единице предел, то в силу теоремы 4.6 , t / \ sin* „ и функция п(х) = имеет в точке х=0 предел, равный еди- единице. Теорема доказана. 2. Второй замечательный предел. Теорема 4.8. Предел функции f{x) = A+хI/х в точке х=О существует и равен числу е **. Доказательство. Достаточно доказать, что как правый, так и левый пределы функции f(x) = A+*I/JC в точке х=0 суще- существуют и оба равны е. 1) Сначала докажем, что правый предел указанной функ- функции в точке х=0 существует и равен е. В силу определения правого предела по Коши достаточно до- доказать, что для любого е>0 найдется отвечающее ему б>0 такое, * В самом деле в п. 4 § 3 мы установили, что cos(—x)=cosj:, sin(—х) = sin (—х) sin* = — sin* и, значит, —; = (—х) х ** Число е введено в п. 3 § 2 гл. 3 как предел последовательности | I 1 +
160 Гл. 4. Непрерывность функции что для любого х из интервала 0<jc<6 справедливо неравен- неравенство х—е|<е. D.20) Фиксируем произвольное е>0 и рассмотрим две последова- последовательности {ап} и {Ьп} с элементами ага= A -i ) , bn= (l + \ и + 1 / \ Н ] • Убедимся в том, что обе эти последовательности схо- п ) дятся ке. В самом деле, поскольку в силу п. 3§2гл. 3 lim A + 1 \п 4-— = е, то на основании теорем о пределе частного и произ- п 1 ведения двух сходящихся последовательностей мы получим, что lim a. = lim ч -"¦¦*¦' Л->со l+- п+1 -, 1 + 1 Я+1 lim 1 + lim 1 + П-кв "+1/ _ e -„ ¦— ~ к, 1 \ 1 п+\ n Так как обе последовательности {ап} и {Ьп} сходятся к е, то для фиксированного выше е>0 найдутся номера N\ и N2 такие, что \ап—е|<е при n^Nu \bn—е|<е при n>>N2. Пусть N — это наибольший из двух номеров N\ и Af2. Тогда, очевидно, при tC^N будут справедливы оба неравенства: \ап—е\<г и \Ьп—е\<е. D.21) Теперь для завершения доказательства существования равно- равного е правого предела функции f(x) = A+хI/х в точке jc = O убе- убедимся в том, что если взять б = —, то для любого х из интер- интервала 0<л:<6 = — будет справедливо неравенство D.20). В самом деле, пусть х — любое число из интервала 0 < х < < 6=—. Тогда—> ^.Обозначив через п целую часть числа N х —, т. е. положив п = — , мы, во-первых, с помощью нера- х I х \ венства —>N можем утверждать, что n>-N, а во-вторых, мо- х жем утверждать, что справедливы неравенства
§ 4. Два замечательных предела 161 «< — О+1. D.22) х Из D.22) вытекают неравенства 1 <Ки1 + <1 + д:<1 + п+1 п п-\-\ п D.23) Из сопоставления неравенства D.22) со вторым неравенством D.23) и из свойства возрастания показательной функции с осно- основанием, большим единицы, вытекает, что , 1 \A<(\+y<( +) или n+l 1 \ Итак, мы доказали, что для любого х из интервала <6= — при некотором tf>N, зависящем, конечно, от х, будут справедливы неравенства an<.(l + xI/x<bn, а значит, и неравен- неравенства ап—е<{\ + хУ'х—е<Ьп—е. D.24) Из сопоставления D.24) с неравенствами D.21), справедливыми для любого n>-N, мы окончательно убедимся в том, что для лю- любого х из интервала 0<д:<б = — будут справедливы нера- неравенства D.20). 2) Докажем теперь, что и левый предел функции f(x) = = A + хI/х в точке х=Ь существует и равен е. В силу определения левого предела по Гейне достаточно дока- доказать, что для любой бесконечно малой последовательности отри- отрицательных чисел {хп} соответствующая последовательность значе- значений функции /(*„) = A + хп) 1/хп сходится к е. Пусть {хп} — произвольная бесконечно малая последователь- последовательность отрицательных чисел. Эту последовательность мы будем рассматривать, начиная с того номера N, с которого все элементы хп по модулю меньше единицы. Положим уп= —, так что хп = —. Тогда, оче- 1 + Хп 1 +Уп видно, {уп} будет являться бесконечно малой последовательностью, состоящей из положительных чисел, причем 1+Уп 1+Уп 6 Зак. 72
162 Гл. 4. Непрерывность функции Таким образом, f + yn) D.25> при условии, что существуют пределы в правой части D.25). Но поскольку {уп} сходится к нулю и состоит из положительных чи- чисел, то lim A + уУ" — е (в силу уже доказанного существовав ния равного е правого предела), a lim A+ «/„)= 1. Тем самым Л-»оо доказано, что последовательность {/(#„)} сходится к числу е. Теорема 4.8 полностью доказана. Следствие. Предел функции f(t)=(l + — } при ^->-оо> существует и равен е. В силу определения предела при t-+<x> по Гейне требуется до- доказать, что для любой бесконечно большой последовательности {/„} соответствующая последовательность значений функции f(tn)=ll-j ) " сходится к числу е. Мы будем рассматри- V n I вать бесконечно большую последовательность {tn}, начиная с того номера N, с которого все ее элементы tn по модулю превосходят единицу. Положим хп=—, так что tn= . В силу теоре- мы 3.6 из гл. 3 последовательность {хп} является бесконечно ма- малой, причем /(у= (l +±Y» = ( Остается заметить, что в силу теоремы 4.8 § 5. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 1. Классификация точек разрыва функции. В § 1 мы договори- договорились называть точками разрыва функции f(x) те точки, в которых эта функция не обладает свойством непрерывности. При этом подразумевается, что функция f(x) определена в той точке, кото- которую мы апробируем на предмет наличия или отсутствия в ней свойства непрерывности-. Расширяя наше рассмотрение, мы можем подвергнуть изуче- изучению и те точки, в которых функция f(x) не определена (при усло- условии, конечно, что эти точки являются предельными для множест- множества задания функции). Выясним возможные типы точек разрыва.
§ 5. Точки разрыва функции и их классификация 163 1°. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устра- устранимого разрыва функции y=f{x), если предел функции f(x) в точке а существует, но в точке а функция f(x) либо не опреде- определена, либо имеет частное значение f(a), отличное от предела f(x) в этой точке. Например, функция sin* 0,5 при х = 0 имеет в точке х=0 устранимый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке д;=0, как мы доказали в п. 1 § 4, равно 1. Частное же значение 051 Если функция f(x) имеет в точке а устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от а. Для этого достаточно поло- положить значение функции в точке а равным ее предельному значе- значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточ- достаточно положить /@) = 1 и тогда lim = /@) = 1, т. е. функция *-»-о х f(x) станет непрерывной в точке jc = O. В физических процессах точки устранимого разрыва встреча- встречаются при сосредоточенных распределениях физических величин. 2°. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой раз- разрыва, первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы lim !(х)Ф lim х-+а+0 х->а—0 Образно выражаясь, разрыв первого рода можно назвать конеч- конечным скачком. Приведем некоторые примеры. 1) Функция 1 при х > 0, / (х) = sgn х = | 0 при х = 0, —1 при х<С 0 в точке х = 0 имеет разрыв первого рода*. Действительно, Функция f(x)=sgnx, очевидно, может быть записана так: х при *=^=0, О при х = 0.
1 64 Гл. 4. Непрерывность функции lim sgnдс = 1, lim sgnx=—1, и, таким образом, эти пределы Х-+0+О дс-»О—О не равны между собой. 2) Другой пример дает функция /(*) = при хфО. Для этой функции lim smx = 1, lim smx . — —\t так что точка х~М)+0 \х\ х-»0— 0 \х\ х=0 является точкой разрыва первого рода. 3) Функция /(*) = , определенная всюду, кроме точ- точки х=1, имеет в точке х=1 разрыв первого рода. В самом деле, если {хп} сходится к 1 и состоит из элементов л;га>1, то I 1 является бесконечно большой последователь- I хп — 1 ) ностью с положительными членами. Поэтому {1 + 2*п—1} — бесконечно большая последовательность и, значит, последователь- последовательность / (хп) = является бесконечно малой, т. е. Если же {хп} сходится к 1 и состоит из элементов хп<1, то 1 1 является бесконечно большой последовательностью с I хп — 1 J отрицательными членами. Поэтому {2х" } сходится к нулю и, значит, последовательность f (хп) ~ ¦ сходится к еди- 1 + 2 нице, т. е. lim /(*) = 1. дс->-1—О 3°. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой раз- разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или ес- если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Примеры. 1) Функция ¦ x-cos— при jc< О, X /(*) = { 0 при х = О, cos — при х > О "I х обладает левым пределом в точке х=0, равным нулю: lim f{x) — х-*й—О = 0. В самом деле, если {хп} — последовательность, сходящаяся
§ 5. Точки разрыва функции и их классификация 165 к нулю и состоящая из чисел хп<0, то 0< cos- <\хп\. х„ Поскольку |дсп]-»-0 при «->-оо, то lim f(x,) = Q. rt-»oo Убедимся теперь в том, что рассматриваемая функция не имеет в точке х=0 правого предела. Для этого рассмотрим две сходя- сходящиеся к нулю и состоящие из положительных чисел последовав тельности х„ = и х'п— . Если бы функция обладала + 1Ш 2 в точке х=0 правым пределом, то обе последовательности {f(xn)} и {f{x'n)} сходились бы к одному и тому же числу. Однако (л \ Ь ял = 2 I = 0 сходится к нулю. Итак, рассматриваемая функция имеет в точке *=0 разрыв вто- второго рода. 2) Функция /(jc) = tg лг, очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек xft = \-nk, где k = 0, ±1, ±2,..., ибо в каж- каждой такой точке Xk lim /(*)= +оо, lim f(x)=—oo. x->-xh— 0 Можно образно сказать, что в каждой точке хи функция tgjc имеет бесконечный скачок. 3) Функция sin — при х ф 0, /(*) = X 1 при х = О имеет разрыв второго рода в точке *=(), ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов. В самом деле, по- поскольку sin = —sin—, достаточно удостовериться в отсут- —х х ствии в точке #=0 только правого предела, а для этого достаточ- достаточно заметить, что двум последовательностям значений аргумента хп= — и хп = отвечают последовательности значе- ний функции f(xn) = sin nn=0 и / (х'п) = sin f — + 2пп I = 1, сходящиеся первая к нулю, а вторая — к единице. Введем понятие кусочно непрерывной функции, часто встре- встречающееся в математике и в ее приложениях.
166 Гл. 4. Непрерывность функции Функция f(x) называется кусочно непрерывной на сегменте [а, Ь], если эта функция определена всюду на сег- сегменте [а, Ь], непрерывна во всех внутренних точках этого сегмен- сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в кото- которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке Ъ. Функция f(x) называется кусочно непрерывной на инт е р в але (или на бесконечной прямой), если](х) кусочно непрерывна на любом принадлежащем этому интервалу (или бесконечной прямой) сегменте. Например, функция у=[х] кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и на бесконечной прямой. 2. О точках разрыва монотонной функции. Следующее ут- утверждение проливает свет на природу точек разрыва монотон- монотонной функции. Теорема 4.9. Если функция f(x) определена на сегменте [а, Ь] и является монотонной * на этом сегменте, то она может иметь на этом сегменте только точки разрыва первого рода, причем множество всех ее точек разрыва не более чем счетно. Доказательство. В силу леммы, доказанной в п. 1 § 2, монотонная функция имеет конечные правый и левый пре- пределы в любой внутренней точке сегмента [а, Ь] и, кроме того, конечный правый предел в точке а и конечный левый предел в точке Ъ. Отсюда и вытекает, что точками разрыва монотонной функции могут быть только точки разрыва первого рода. Чтобы доказать вторую часть теоремы о том, что множество всех точек разрыва не более чем счетно, будем ради опреде- определенности считать, что f{x) является неубывающей на сегменте [а, Ь]. Достаточно доказать не более чем счетность множества точек разрыва, расположенных на интервале (а, Ь), т. е. точек разрыва, являющихся внутренними точками сегмента [а, Ь]. Заметим, что в каждой такой точке разрыва х справедливо не- неравенство для правого и левого пределов f(x+O)>f(x—0) (см. замечание к указанной выше лемме). В силу леммы 2 гл. 2, каковы бы ни были два вещественных числа, не равных друг другу, всегда найдется рациональное число, заключенное меж- между ними. Так как в каждой точке разрыва х справедливо неравен- неравенство f(x + O)>f(x—0), то каждой точке разрыва х можно по- поставить в соответствие некоторое рациональное число г(х), удовлетворяющее неравенствам /(л:4-0)>г(л:)>/(л:—0). Заметим, что при этом разным точкам разрыва будут постав- поставлены в соответствие разные рациональные числа. В самом деле, если х\ и *2 — две точки разрыва такие, что xi<x2, то из не- Т. е. либо неубывающей, либо невозрастающей.
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 167 убывания функции следует, что /(*i + 0) </(jc2—0), а поэтому r(xi)<r(x2). Таким образом, множество всех точек разрыва функции f(x), расположенных внутри сегмента [а, Ь] эквивалентно подмноже- подмножеству множества рациональных чисел, которое, как доказано в § 7 гл. 2, является не более чем счетным. Теорема доказана. § 6. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ К локальным свойствам относятся те свойства функции, которые справедливы в сколь угодно малой окрестности фиксиро- фиксированной точки области определения функции. Эти свойства харак- характеризуют поведение функции при стремлении аргумента к иссле- исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точ- точке области ее определения является локальным свойством этой функции. Глобальные свойства — это свойства, связанные со всей областью определения функции. Например, монотонность функции на сегменте [а, Ь] является ее глобальным свойством. 1. Локальные свойства непрерывных функций. Введем новые понятия. Предположим, что функция f(x) задана на множестве М- Определение 1. Функция f(x) называется о г р а н и ч е н- ной сверху (снизу) на множестве {х}, если существует такое вещественное число М (вещественное число пг), что для всех значений аргумента х из множества {х} справедливо нера- неравенство f(x)<^M (f(x)^>m). При этом число М (число пг) называ- называется верхней (нижней) гранью функции f(x) на мно- множестве {х}. Определение 2. Функция f(x) называется ограничен- ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной) на множестве {х}, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу, т. е. если найдутся такие вещественные числа пг и М, что для всех значений аргумента х из множества {х} справедливы не- неравенства m<:f(x)<M. Таким образом, ограниченность функции f(x) на множестве {х} фактически означает ограниченность множества всех значений этой функции (отвечающих значениям аргумента из множества to)- Примеры. 1) Функция /(лг) = tgлг, рассматриваемая на ин- интервале @,—), ограничена на этом интервале снизу (в ка- качестве нижней грани можно взять число т<0), а сверху не огра- ограничена.
168 Гл. 4. Непрерывность функции 2) Функция Дирихле D(x), равная нулю в иррациональных точках и единице в рациональных точках, ограничена (с обеих сторон) на любом множестве {х}. Справедлива следующая теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечное предельное значение. Теорема 4.10 (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Пусть функ- функция f(x) задана на множестве {х} и имеет конечное предельное значение в точке а. Тогда существует такое положительное число 6, что функция f(x) ограничена на множестве Вь, представляющем собой пересечение множества {х} с интервалом (а—б, а + б), т. е. с 8-окрестностью точки а. Замечание 1. Если множество задания функции f(x) сплошь покрывает некоторую б-окрестность точки а, то в качестве Вь можно взять сам интервал (а—б, а + б). Доказательство. Пусть предел f(x) в точке а равен Ь. В силу определения предела по Коши для некоторого положи- положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для всех значений аргумента х из проколотой 6-ок- рестности точки а* справедливо неравенство \f(x)—Ь[<е или b—z<f(x)<b + e. D.26) Если множество {х} задания функции не содержит точку а, то теорема доказана, ибо в этом случае неравенства D.26) озна- означают, что для всех точек множества В6 = {х}{](а—б, а + б) значе- значения функции f(x) заключены между числами m = b—е и М = Ь + е. Если же множество {х} задания функции f(x) содержит точку а и этой точке отвечает некоторое значение функции f(a), то, обозначив через m наименьшее из двух чисел Ъ—е и f(a), а через М наибольшее из двух чисел b + е и f{a), мы получим, что для всех точек множества В6 = {х}(](а—б, а + б) будут справедливы неравенства** m<f(x)<M, D.27) которые и означают ограниченность f{x) на множестве В6. Теорема доказана. Иллюстрацией к доказанной теореме может служить рис. 4.22. Следствие из теоремы 4.10. Если функция f(x) непре- непрерывна в точке а, то эта функция ограничена на множестве всех значений ее аргумента, принадлежащих некоторой 8-окрестности точки а. * Напомним, что проколотой б-окрестностью точки а называется интервал (а—б, а+б) без точки а. ** В самом деле, для всех точек множества В6={х}(](а—б, а+6), за исключением точки а, будут справедливы неравенства D.26), а потому и нера- неравенства D.27). Для точки х=а неравенства D.27) справедливы вследствие выбора чисел m и М.
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 169 Достаточно заметить, что непрерывная в точке а функция имеет в этой точке конечное предельное значение. Теорема 4.11 (об устойчивости знака непрерыв- непрерывной в точке функции). Пусть функция f(x) задана на множестве {х}, непрерывна в точке а этого множества и ее значе- значение f(a) положительно [отрицательно]. Тогда существует такое положительное число б, что функция f(x) является положительной [отрицательной] всюду на множестве В6, представляющем собой пересечение множества {х} с 8-окрестностью точки а. Рис. 4.22 Замечание 2. Если множество задания функции f(x) сплошь покрывает некоторую б-окрестность точки а, то в качестве В6 можно взять саму б-окрестность точки а. Доказательство. В силу определения непрерывности по Коши для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для всех значений аргумен- аргумента х из б-окрестности точки а справедливо неравенство или то D.28) оба f(a)-E<f(x)<f(a)+s. Если взять в качестве е положительное число 2 числа f(a)—е и f(a) + s будут положительны при f(a)>0 и отри- отрицательны при f(a)<Q. Поэтому неравенства D.28) будут означать, что для всех зна- значений аргумента из б-окрестности точки а функция f(x) является положительной при /(а)>0 и отрицательной при /(а)<0. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 4.11 может служить рис. 4.23. Теорему 4.11 легко переформулировать на случай, когда функ- функция /(х) непрерывна в точке йтолько справа или только слева.
170 Гл. 4. Непрерывность функции Договоримся называть полусегмент [а, а+б) правой Ь-полу- окрестностью точки а, а полусегмент (а—6, а] — левой Ь-полу- окрестностью точки а. Теорема 4.11*. Пусть функция f(x) задана на множестве {х}, непрерывна в точке а этого множества справа [слева] и ее значение f(a) не равно нулю. Тогда найдется такое положительное число б, что функция f(x) не обращается в нуль и имеет тот же знак, что и в точке а, для всех значений х из множества {х}, при- принадлежащих правой [левой] 6-полуокрестности точки а. Для доказательства этой теоремы следует дословно повторить доказательство теоремы 4.11 с заменой термина «б-окрестность точки а» термином «правая [левая] б-полуокрестность точки а». Замечание 3. К числу локальных свойств непрерывных в данной точке функций следует отнести доказанные выше теоремы 4.1 и 4.2 о непрерывности суммы, разности, произведения и част- частного двух непрерывных в данной точке функций и о непрерыв- непрерывности сложной функции. 2. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема4.12 (прохождение непрерывной функ- функции через нуль при смене знаков). Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], и пусть значения этой функ- функции на концах сегмента f(a) и f(b) суть числа разных знаков. Тогда внутри сегмента [а, Ь] найдется такая точка ?, значение функции в которой равно нулю. Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи- считать, что /(а)<0, /F)>0. Пусть {х} — множество всех значений х из сегмента [а, Ь], для которых /(д;)<0. Это множество непусто (ему, например, принадлежит точка х=а) и ограничено сверху (например, числом Ь). Согласно теореме 2.1 у множества {х} существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через |. Заметим, что точка % — внутренняя точка сегмента [а, Ь], так как из непрерывности функции f(x) на [а, Ь] и из условий f(a)<0, f(b)>0, в силу теоремы 4.11*, вытекает, что найдется правая 6-полуокрестность точки а, в пределах которой f(x)<0, и левая б-полуокрестность точки Ъ, в пределах которой f(x)>0. Убедимся в том, что /(?)=0. Если бы это было не так, то по теореме 4.11 нашлась бы б-окрестность \—б<л:<? + б точки |, в пределах которой функция f(x) имела бы определенный знак. Но это невозможно, так как по определению точной верхней гра- грани найдется хотя бы одно значение х из полусегмента %—б<дг<| такое, что /(*)<0, а для любого значения х из интервала ?<лг<|+б справедливо неравенство /(л:)»0. Полученное противо- противоречие доказывает, что /(|)=0. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 4.12 может служить рис. 4.24. Теорема 4.13 (прохождение непрерывной функ- функции через любое промежуточное значение).
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 171 1. V 0 А / | >- -У л I "/Т Рис. 4.24 Рис. 4.25 Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], причем /(а)=а, /(&)={5. Пусть, далее, у — любое число, заключенное между а м р. Тогда на сегменте [а, Ь] найдется точка | такая, что f{l)=y. Доказательство. В доказательстве нуждается, очевид- очевидно, лишь случай аф$ (в противном случае \ = <х = р и можно взять %=а). По этой же причине отпадает случай, когда у совпа- совпадает с одним из чисел а или р. Не ограничивая общности, будем считать, что а<р, a<v<P- Рассмотрим функцию q>(x)=f(x)—у. Эта функция непрерывна на сегменте [a, b] (как разность непрерывных функций) и при- принимает на концах этого сегмента значения разных знаков: Ф(а) =f (а)-у = а-у<0, ч(Ь) =/F)_Y = p_Y>0. По теореме 4.12 внутри сегмента [a, b] найдется точка | такая, что ф(|) =/(?)—y = 0, т. е. f(l) =y. Теорема доказана. Используя только что доказанную теорему, мы убедимся в справедливости замечания 2, высказанного в п. 2 § 2. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] й су- существует функция, обратная для f(x), рассматриваемой на этом сегменте. Тогда f(x) строго монотонна на указанной сегменте [а, Ь]. Доказательство. Из существования обратной функ- функции для f(x) следует, что f(a)^f(b). Пусть f(a)<f(b) [f(a)>f(b)]. Покажем, что f(x) строго монотонно возрастает [убывает] на сегменте [a, b]. Рассмотрим случай f(a)<f(b). (Если f(a)>f(b), то рассуждения аналогичны.) Предвари- Предварительно установим справедливость неравенства f(x)<f(b) для всех х из (a, b). Действительно, пусть существует такое iie(a, b), что f(xi) >f(b). (Равенство f(x\)=f(b) невозможно ввиду, существования обратной функции для функции f(x).) Применяя теорему 4.13 для сегментов [a, Xi] и [хи Ь] и ис- используя вытекающие из f (a) <f (b) <f (xi) неравенства f{a)<m±m<Hxih
172 Гл. 4. Непрерывность функции убедимся в существовании двух таких чисел gie(a, х\) и fee (ж,, Ь), что f(g1)-f(i2)=/faH+f(&). Итак, ЬФ\ъ но f(li)=/(|2), что противоречит существованию обратной функ- функции для функции f(x) на сегменте [a, b]. Установим теперь строго монотонное возрастание f(x) на сегменте [а, Ь]. Пусть существуют два числа Xi<x2, принадле- принадлежащие полусегменту [а, &), такие, что f(xi)>f(x2). Покажем, что это предположение приводит нас к противоречию. Приме- Применяя теорему 4.13 для сегментов [х\, х2] и [дг2, Ь] и используя вытекающие из f(xi)>/(x2), /(*i)<f(b) неравенства убедимся в существовании двух таких чисел |з^ (х\, х2) и g4e(*2,b), что /(|з) = /(У = ^М±1М. Итак, ЬФЬ, но /Aз)=/(§4), что также противоречит существованию обратной функции для функции f(x) на сегменте [a, b]. Замечая, что условие f(xi) = /(я2) для Xi<x2 также невозможно, мы прихо- приходим к выводу, что f(xi)<f(x2) для любых х\<х2 из сегмента [a, b]. Замечание доказано. Теорема 4.14 (первая теорема В ейер штр а ее а). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она ограни- ограничена на этом сегменте. Доказательство. Докажем, что функция f(x) ограни- ограничена на сегменте [a, b] сверху (ограниченность снизу доказыва- доказывается аналогично). Доказательство проведем от противного, т. е. предположим, что f(x) не является ограниченной сверху на сегменте [a, b]. Тогда для любого натурального п (я=1, 2,...) найдется хотя бы одна точка хп из [a, b] такая, что f(xn)>n. (В противном случае f(x) была бы ограничена сверху на сегменте [а, &].) Таким образом, мы указали последовательность значений {хп} из сегмента [a, b] такую, что соответствующая последователь- последовательность значений функции {f(xn)} является бесконечно большой. В силу теоремы Больцано—Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 п. 1 § 3 гл. 3) из последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность {**„}, я=1,2,..., сходящуюся к некоторой точке |. Так как все элементы подпоследовательности {Xk } лежат на сегменте [a, ft], то и точка | принадлежит сег-
§ 6- Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 173 менту [а, Ь] (в силу следствия 2 из теоремы 3.13). В силу непре- непрерывности функции f(x) в точке | соответствующая подпоследова- подпоследовательность значений функции {/(**„)} обязана сходиться к /(?). Но это противоречит тому, что подпоследовательность {/(*&„)}, будучи выделена из бесконечно большой последова- последовательности {f(xn)}t сама является 0есконечно большой. Получен- Полученное противоречие доказывает теорему. Замечание 1. Для интервала (или полусегмента) утверж- утверждение, высказанное в теореме 4.14, уже несправедливо, т. е. из непрерывности функции на интервале (или полусегменте) не вы- вытекает ее ограниченность на этом множестве. Рассмотрим, напри- например, функцию f(x) = — на интервале @,1) (или на полу- полусегменте @,1]). Эта функция непрерывна на указанном множе- множестве, но неограниченна на нем. В самом деле, последовательность х =— (л = 2,3,...) принадлежит указанному множеству, а п последовательность значений функции {f(xn)}={n} является бес- бесконечно большой. Рассмотрим функцию f(x)> ограниченную на данном множест- множестве {х} сверху (снизу). Определение. Число М (число т) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве {х}, если выполнены два требования: 1) для каждого значения х из множества {х} справедливо неравенство f(x)*cM (f(x)>-m); 2) для любого числа е>0 существует такое значение х из множества {х}, что для соответствующего значения функции f(x) справедливо неравенство f(x)>M—e (f(x)<m+e). Заметим, что в данном определении условие 1) означает, чго число М (число пг) является одной из верхних (нижних) граней функции f(x) на множестве {х}, а условие 2) означает, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увели- (увеличена) быть не может. Точная верхняя грань М функции f(x) на множестве {х} обыч- обычно обозначается символом М = sup {f{x)}]= sup f{x). {*) {*} Аналогично точная нижняя грань m функции f(x) на множестве {х} обозначается символом. m = ini{f(x)}= inff(x). W {*} В частности, точная верхняя грань функции f(x) на сегменте {а, Ь] может обозначаться любым из следующих четырех симво- символов:
174 Гл. 4. Непрерывность функции sup /(*) = sup {f(x)}= sup f(x)= sup {f(x}}. ^^b <«b x?[a,b] x?[a,b] Аналогичные четыре символа для точной нижней г,рани имеют вид inf f(x)= infj {/(*)} = inf f(x)= inf/t/ (x)>. <<b ^cb x?[a,b] *Е[ДО] Справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) ограничена на множестве \х} сверху [снизу], то у нее существует на этом множестве точная верхняя грань [точная нижняя грань]; 2) если функция f(x) ограничена на множестве {х} (с обеих 'сторон), то у нее существуют на атом множестве как точная верх- верхняя, так и точная нижняя грани. Эти утверждения являются прямым следствием теоремы 2.1 гл. 2, ибо ограниченность функции f(x) на множестве {х} сверху [снизу] означает, что множество всех значений этой функции ограничено сверху [снизу]. Возникает вопрос о том, является ли точная верхняя [точная нижняя] грань ограниченной на множестве {х} функции f{x) достижимой, т. е. существует ли среди точек множества {х} такая точка х0, значение функции в которой f(xo) равно точной верхней [соответственно точной нижней] грани f(x) на множест- множестве {х}. Следующий пример показывает, что точные грани ограничен- ограниченной на данном множестве функции, вообще говоря, не являются достижимыми. Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию f(x) следующего вида (рис. 4.25): х2 при 0 < х < 1, 1/2 при х = 0 и х — 1. Эта функция ограничена на сегменте [0, 1] и имеет на нем точную верхнюю грань М=1 и точную нижнюю грань т=0. Од- Однако эти грани недостижимы: среди точек сегмента [0, 1] не су- существует точек, значения функции в которых были бы равны нулю или единице. Заметим, что рассматриваемая функция f(x) не является не- непрерывной на сегменте [0, 1] (она имеет разрывы в точках х=0 и x=l). Оказывается, это обстоятельство не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение. Теорема 4.15 (вторая теорема Вейерштр а ее а). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она дости- достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней, т. е. среди точек сегмента [а, Ь] найдутся такие точки Х\ и Хг, что значение \{х\) равно точной верхней грани f(x) на сегменте
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 175 [а, Ь], а Значение f(x2) равно точной нижней грани f(x) на сег- сегменте [а, Щ. Доказательство. В силу первой теоремы Вейерштрасса 4.14 функция f{x) ограничена на сегменте [a, b], a поэтому у нее существует на этом сегменте точная верхняя грань М и точная нижняя грань т. Остановимся на доказательстве достижимости точной верхней грани М, ибо достижимость точной нижней грани т доказывается аналогично. Предположим, что точная верхняя грань М не является дости- достижимой, т. е. предположим, что во всех точках сегмента [а, Ь] функция f{x) принимает значения, строго меньшие М. Тогда мы можем рассмотреть функцию F(x) = - M-f(x) Знаменатель М—f(x) представляет собой функцию, непрерыв- непрерывную и строго положительную на сегменте [а, Ь]. Поэтому по тео- теореме 4.1 (для случая частногр) функция F(x) будет являться не- непрерывной на сегменте [а, Ь]. Значит, по первой теореме Вейер- Вейерштрасса 4.14 функция F(x) ограничена на сегменте {а, Ь], т. е. найдется положительное число А такое, что F (х) = <" M—f(x) -<Л для всех х из сегмента [а, Ь]. Так как функция М—f(x) строго положительна на [а, Ь], то последнее неравенство экви- эквивалентно неравенству f(x)^.M- для всех х из сегмента [а, Ь], а это противоречит тому, что число М является точной верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних граней функции f(x) на сегменте [а, Ь]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположе- предположение о недостижимости точной верхней грани является неверным. Теорема доказана. Замечание 2. После того как доказана достижимость не- непрерывной на сегменте [а, Ь] функцией своих точных верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю грань М максимальным значением, а точную нижнюю грань т минимальным значением функции \{х) на сегменте [а, Ь]. Теорему 4.15 можно переформулировать в виде: непрерыв- непрерывная на сегменте [а, Ь] функция f(x) имеет на этом сегменте мак- максимальное и минимальное значения. Максимальное значение функции f(x) на сегменте [а, Ь] обозначается одним из следующих символов: max /(x)= max {f(x)}— max f(x)= max {f (x)}. <<6 <*;& x&[a,b] 6[&]
176 Гл. 4. Непрерывность функции Аналогичные символы для минимального значения f(x) на сегменте [а, Ь] имеют вид min /(x)= min {/(*)}= min f(x) — min {/(*)}• а<х<Ь as^xfb х6[аЬ] *6[&] Замечание З. Заметим, что и функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут достигать на этом сег- сегменте своих точной верхней и точной нижней граней. Примером может служить функция Дирихле D{x), равная нулю для всех иррациональных х и равная единице для всех рациональных х. Эта функция разрывна в каждой точке сегмента [0, 1], но, оче- очевидно, достигает на этом сегменте своей точной верхней грани, равной единице, и своей точной нижней грани, равной нулю. Замечание 4. Утверждение теоремы 4.15 окажется невер- неверным, если в ее формулировке термин «сегмент» заменить терми- термином «интервал» или «полусегмент». Так, функция f(x)=x является непрерывной на интервале (О, 1) или на полусегменте [0, 1), однако точная верхняя грань этой функции на указанном интервале или полусегменте М—1 хотя и существует, но не достигается. К этому следует добавить, что у функции, являющейся непре- непрерывной на интервале или полусегменте, точные грани могут даже не существовать, ибо такая функция может не являться ограни- ограниченной на указанном интервале или полусегменте (см. замеча- замечание 1). 3. Понятие равномерной непрерывности функции. Предполо- Предположим, что функция y=f(x) задана на таком множестве {х}, каж- каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Примером такого множества могут служить сегмент, интервал, полусегмент, полупрямая, бесконечная прямая, множество всех рациональных точек, принадлежащих любому из перечисленных множеств. Определение. Функция y—f(x) называется равномер- равномерно непрерывной на множестве {х}, если для любого поло- положительного числа е найдется отвечающее ему положительное чис- число б такое, что для любых двух точек х' и х" множества {х}, удов- удовлетворяющих условию \х'—x"|<6, справедливо неравенство \f(x')-f(x")\<z. D.29) Замечание 1. Сразу же подчеркнем, что если функция f(x) равномерно непрерывна на множестве {х}, то она непрерывна в каждой точке х множества {х}. В самом деле, взяв в сформу- сформулированном определении в качестве х" данную фиксированную точку хо множества {х}, а в качестве х' — любую точку этого множества, мы придем к определению непрерывности функции f(x) в точке хо по Коши. Замечание 2. Основным в сформулированном определе- определении равномерной непрерывности является требовайие, гаранти-
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 177 рующее существование по любому е>0 такого универсального 5>0, которое обеспечивает справедливость неравенства D.29) сразу для всех точек х' и х" множества {х}, удовлетворяющих условию \х/—х"\ <б. Если потребовать непрерывности функции f(x) в каждой точ- точке хо множества {х}, то для любого е>0 и любой точки х0 мно- множества {х} можро гарантировать существование «своего» положи- положительного числа б = б(е, Хо), зависящего не только от е, но и or Хо и обеспечивающего справедливость неравенства- |/(д;)—f(xo)\< <е для всех х из множества {х}, удовлетворяющих условию \х—Яо|<6(е, Хо). При этом, вообще говоря, может не существо- существовать положительной точной нижней грани указанных б(е, х0) по всем точкам хо множества {х}, т. е. равномерная не- непрерывность функции на множестве {х} не вытекает, вообще го- говоря, из непрерывности этой функции в каждой точке хо мно- множества {х}. Замечание 3. Из данного нами определения равномерной непрерывности непосредственно вытекает, что если функция f{x} равномерно непрерывна на множестве {х}, то эта функция равно- равномерно непрерывна и на любом подмножестве множества {х}. Рассмотрим примеры функций, как обладающих, так и не об- обладающих на данном множестве {х} свойством равномерной не- непрерывности. 1. Убедимся в том, что функция /(*) = — равномерно не- непрерывна на полупрямой х>1. В самом деле, для любых двух х' и х" из указанной полупрямой справедливо неравен- точек ство (*')-/(*•)!= -V 1 1 х' х" X" — X' X' ¦ X" \х" —х'\ х' ¦ х" I y" y' I I х —х \ Поэтому, взяв для любого е>0 положительное число б рав- равным е, мы получим, что для любых двух точек х' и х" полупря- полупрямой [1, +°о), удовлетворяющих условию \х"—х'|<8, справед- справедливо неравенство \\{х')—/(л;")|<6=е. 2. Функция /(x) = sin— не является равномерно непрерыв- непрерывной на интервале @, 1)*. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что для некоторого е>0 и для любого как угодно малого 6>0 найдется хотя бы одна пара точек х' и- х" интервала @, 1) таких, что \х'—х"\<Ь, но [fix')— * Хотя эта функция и является непрерывной в каждой точке интервала- @,1).
178 Гл. 4. Непрерывность функции Рассмотрим две последовательности точек, принадлежащих интервалу @, 1), {х'п} и {х"п} с элементами х' и х"п = , п=1, 2 п-п " п — Обе эти последовательности, а значит, и их разность являются бесконечно малыми. Поэтому для любого как угодно малого 5>0 найдется номер п такой, что \х'п—х"п\ < б. Вместе с тем для любого номера п sin я/г—sin (— + 2я/г) | = 1. Поэтому для е= — >0 и для как угодно малого б>0 най- найдется пара точек х' и х" из интервала @, 1) таких, что \хп'— —Хп"\<6, в то время как \f{xn')—f(xn") |>e, это и означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале @, 1). Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию f(x) — sm— не на интервале @, 1), а на интервале (у, 1), где у — любое число из интервала 0<y<1, to приведенные выше рас- рассуждения уже не имели бы места. Этот факт не является случай- случайным, ибо ниже мы покажем, что указанная функция является равномерно непрерывной на интервале (y, 1) при 0<y<1. 3. Докажем, что функция f(x)=x2 не является равномерно не- непрерывной на полупрямой я>1. Заметим, что для любых двух то- точек х' и х" полупрямой л;> 1 справедливо неравенство (Т1 D.30); = \х/+х"\ • \х'—х"\>х'- \х'—х"\. Убедимся теперь в том, что не только для некоторого s>0, а даже для любого е>0 и для любого как угодно мало- малого 6>0 найдется пара точек х' и х" из' полупрямой х>-\ таких, что \х'-х"\<8, но (Это и будет означать отсутствие свойства равномерной непре- непрерывности у функции f(x)=x2 на рассматриваемой полупрямой.) Фиксировав произвольные е>0 и 6>0, возьмем в качестве х' произвольное число, превосходящее единицу и такое, что хг>—^~, о и положим х" = х'-\ . Для таких х' и х" будет справедливо
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 179 неравенство \х'—х"\ — — < б. С другой стороны, в силу D.30) для этих же х' и х" будет справедливо неравенство Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцик> f(x)=x2 не на полупрямой *>1, а на любом сегменте [1, Ь], где b — любое число, то проведенные нами рассуждения уже не име- имели бы места. Этот факт становится понятным в силу следующей фундамен- фундаментальной теоремы. Основная теорема 4.16. Если функция f(x) непре- непрерывна на сегменте [а, Ь], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство. Предположим, что функция f(x) не- непрерывна на сегменте [а, Ь], но не является равномерно непре- непрерывной на этом сегменте. Тогда для некоторого е>0 и для любого как угодно малого б>0 найдутся две точки х' и х" сегмента [а, Ь] такие, что \х'—х"\<Ь, но |/(л:')— /(*")!>е. Выберем бесконечно малую последовательность положительных чисел б„=— (я=1,2,...). Можно утверждать, что для ука- п занного е>0 и для любого номера п найдутся две точки хп' и хп" сегмента [а, Ь] такие, что К-К1 <т- но 1/«)-/Ю1>«- D-3D Так как последовательность {х„'} состоит из точек сегмента [а> Ь], то она ограничена и по теореме Больцано—Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 гл. 3) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {х'ь}, я=1, 2 Предел | указанной подпоследовательности (в силу следствия 2 из тео- теоремы 3.13 гл. 3) будет также принадлежать сегменту [а, Ь]. В силу левого неравенства D.31) соответствующая подпоследо- подпоследовательность {x"k } будет сходиться к той же самой точке |. Поскольку функция f(x) непрерывна в каждой точке сегмента [а, Ь], она непрерывна и в точке ?*. Но тогда, в силу определе- определения непрерывности по Гейне, обе подпоследовательности соответ- соответствующих значений функции {f(x'k )} и {f(x"k )} обязаны схо- сходиться к f(S), т. е. разность указанных подпоследовательностей * В случае, если | совпадает с одним из концов сегмента [а, Ь], под не- непрерывностью следует понимать одностороннюю непрерывность.
380 Гл. 4. Непрерывность функции if ix'k )—f(xl)} обязана быть бесконечно малой. Это противо- противоречит правому неравенству D.31), справедливому для всех номе- номеров п и потому для всех номеров kn. Полученное противоречие доказывает, что наше предположе- предположение о том, что непрерывная на сегменте [а, Ь] функция не явля- является равномерно непрерывной на этом сегменте, является невер- неверным. Теорема доказана. Возвратимся теперь к рассмотренному выше примеру 2 и по- покажем, что функция f(x) = sin— является равномерно непре- X рывной на интервале (у, 1) при любом у из интервала 0<y<1. В самом деле, при любом таком у функция f(x) = sin— непре- непрерывна на сегменте [у, 1]. Значит, по теореме 4.16 функция f(x) = = sin равномерно непрерывн • на сегменте [у, 1]. В силу заме- X чания 3 к определению равномерной непрерывности функция f(x) = sin—. тем более является равномерно непрерывной на интервале (у, 1), представляющем собой подмножество сегмента [Y, !]• Теорему 4.16 удобно переформулировать в терминах колеба- колебания функции на данном сегменте. Пусть функция f(x) ограничена на данном сегменте [с, d]. Назовем колебанием функции f(x) на сегменте [с, d] раз- разность (и = М—m между точной верхней и точной нижней гранями функции f(x) на этом сегменте. Для непрерывной на сегменте [с, d] функции f(x) колебание равно разности между максимальным и минимальным значения- значениями этой функции на указанном сегменте. Из теоремы 4.16 непосредственно вытекает следующее утверж- утверждение. Следствие из теоремы 4.16. Если функция f(x) не- непрерывна на сегменте [а, Ь], то для любого положительного чис- числа е найдется отвечающее ему положительное число б такое, что колебание функции f(x) на любом содержащемся в сегменте [а, Ь] сегменте длины, меньшей б, будет меньше числа г. Замечание 4. Анализируя доказательства теорем 4.14 и ¦4.15 Вейерштрасса и теоремы 4.16, нетрудно заметить, что в этих трех теоремах вместо сегмента [а, Ь] можно взять произвольное множество {х}, для которого выполнены два требования: 1) это множество {х} является ограниченным; 2) это множество {х} со- содержит любую свою предельную точку (такое множество догово- договоримся называть замкнутым). Множество {х}, удовлетворяющее указанным двум требова- требованиям, договоримся называть компактным множеством
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 181 или компактом. Таким образом, указанные три теоремы (т. е. две теоремы Вейерштрасса и теорема 4.16) справедливы не только для функции, непрерывной на сегменте, но и для функции, непрерывной на любом компакте. В § 7 настоящей главы будут сформулированы более точные оп- определения замкнутого и компактного множеств. Впрочем, для случая числовых множеств эти более точные определения оказы- оказываются эквивалентными приведенным нами выше определениям^ 4. Понятие модуля непрерывности функции. Предположим, что функция f(x) определена и непрерывна на некотором мно- множестве {х}, каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Определение. Для каждого б>0 назовем модулем непрерывности функции f(x) на множестве {х} точную верхнюю грань модуля разности \f{x')—f{x")\ no всем точкам %'. и х", принадлежащим множеству {х} и удовлетворяющим неравенству | х'—х" | < б. Для обозначения указанной точной верхней грани обычно употребляют следующий символ: sup{| f (x')-/{х") | : \х'-х"| <: б; х', х"^{х}}. Сам же модуль непрерывности функции f(x) на множестве {х} принято обозначать символом со(/, б). Таким образом, по определению со (/, б) = sup{ | f (x') -f (х") | : | х'-х" | <: б; х', /е{4 D.32) Замечание. При определении' модуля непрерывности o)(f, 6) в правой части D.32) вместо \f(x')—f(x") | можно было бы писать разность [f(x')—f(x")] без знака модуля. Это вытекает из того, что точки х' и х" можно поменять местами (при этом разность [f{x')—f{x")] изменит знак на противопо- противоположный, в то время как величина \х'—х"\ не изменится). Отметим два свойства модуля непрерывности со(/, 6). Г. Модуль непрерывности со(/, б) всегда неотрицателен: со(/, б)>0. Это свойство непосредственно вытекает из определения мо- модуля непрерывности D.32). 2°. Модуль непрерывности со(/, б) представляет собой не- неубывающую функцию б всюду на полупрямой б>0. В самом деле, при уменьшении б множество, по которому берется супремум D.32), сужается, а супремум на части мно- множества не превосходит супремума на всем множестве. Вычислим модули непрерывности некоторых функций. 1. Вычислим модуль непрерывности функции f(x)=x2 на сегменте [0, 1]. Пусть х' и х" — любые две точки сегмента [0, 1] такие, что х" = х'—б, где 0<б<1. Тогда, очевидно,
182 Гл. 4. Непрерывность функции Из последнего неравенства, учитывая замечание к определению модуля непрерывности, мы получим, что С другой стороны, взяв х'=1, х"=\—б, так что \х'—*"|=6, мы получим, что Значит, ы(/, 6)=а(х2, б) =26—б2 (если б<1). 2. Вычислим далее модуль непрерывности функции / (х) — = sin— на интервале @, 1). х Так как —^—sin—г ^ sin-^ + sin-^ < 2, sin 1 sin 1 x" I/(*')-/(*")! = то (o(/, 6) «2. С другой стороны, взяв две бесконечно малые после- последовательности {хп'} и {хп"} точек интервала @, 1) вида х' = . х" = . где п = 1, 2, ..., мы для любо- " я я 2 ^ 2 го б>0 сможем указать номер «такой, что 0<х„'<6 и 0<хп"< <б, так что |дгп'—хп"\<б, причем 1 1 х'п хп Отсюда следует, что ю(/, б) = « (sin—, S j = 2. 3. Вычислим, наконец, модуль непрерывности функции f(x) = — на интервале @, 1). Убедимся в том, что этот модуль непрерывности равен +оо. Фиксировав произвольное 6>0, рассмотрим только такие точки х' и х", которые удовлетворяют соотношениям 0<*'<6\ х" = 8, так что \х'—*"|<:6. Очевидно, что* В заключение докажем теорему, устанавливающую связь между свойством равномерной непрерывности функции f(x) на * Мы учитываем, что при сужении множества значений xf t и х", по кото- которым берется супремум, этот супремум может только уменьшаться.
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 183 множестве {х} и величиной модуля непрерывности этой функ- функции на указанном множестве. Теорема 4.17. Для того чтобы функция f(x) являлась равномерно непрерывной на множестве {х}, необходимо и дос- достаточно, чтобы модуль непрерывности со(/, б) этой функции на указанном множестве удовлетворял соотношению Ига ю(/,б) = 0. D.33) 6-s-O+O Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция }(х) равномерно непрерывна на множестве {х}. Требуется дока- доказать, что справедливо соотношение D.33), т. е. требуется дока- доказать, что для любого е>0 найдется отвечающее ему 6е>0 та- такое, что для всех б, удовлетворяющих условию 0<6<6е, спра- справедливо неравенство at(f, 6)<е*. По определению равномерной непрерывности для любого е>0 найдется отвечающее ему бЕ>0 такое, что для всех х1 и х" из множества {х}, удовлетворяющих условию \х'—х"\<Ь„ справедливо неравенство \f(x')—/(#")|<-—. Но это и оз- начает, что для любого 6 из интервала 0<6<б„ справедливо неравенство e>(f,6) = suv{\f(x')-f(x")\:\x'-x"\<6; х', х» е= {*}}< -j- < г. 2-) Достаточность. Пусть выполнено соотношение D.33), т.е. для любого е>0 существует отвечающее ему бе>0 такое, что для всех 6, удовлетворяющих условию 0<6<6„, справедливо неравенство ©(/, б)<е. Из определения модуля непрерывности ¦ следует, что для всех х' и х" из множества {х}, удовлетворяющих условию \х'—дс//|-<б<бе, справедливо неравенство \f{x')—/(д;")|<е, а это и означает, что функция f{x) равномерно непрерывна на множестве {х}. Теорема доказана. Выше мы вычислили модули непрерывностей трех функций: функции х2 на сегменте [0, 1] и функций sin— и — на X X интервале @, 1). Так как со (х2,6) = 26—б2, «(sin—, б) =2, «of—, б) = +оо, V х ) \ х ) то из теоремы 4.17 сразу же вытекает, что функция х2 равномерно непрерывна на сегменте [0, 1], а функции sin — и — не являются равномерно непрерывными на интервале (О,*)- • Мы учитываем при этом, что ш(/, б)>0.
184 Гл. 4. Непрерывность функции § 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА 1. Открытые и замкнутые множества. Рассмотрим произ- произвольное множество вещественных чисел {х}. Определение 1. Точка х множества {х} называется внутренней точкой этого множества, если существует поло- положительное число б такое, что ^-окрестность точки х также при- принадлежит множеству {х}. Определение 2. Множество {х} называется от к р ы- т ы м, если любая точка этого множества является внутренней: его точкой. Примерами открытых множеств могут служить интервал,, открытая полупрямая, бесконечная прямая, объединение не- нескольких непересекающихся интервалов. Определение 3. Множество {х} называется замкну- замкнутым, если дополнение этого множества (т. е. разность (—<х>>, + оо)\{д:}) является открытым множеством. В замечании 4 в конце п. 3 § 6 было дано другое опреде- определение замкнутого множества. Напомним его формулировку. Определение 3*. Множество {х} называется з амкну- т ы м, если это множество содержит все свои предельные- точки. Убедимся в том, что для случая произвольных числовых множеств определения 3 и 3* эквивалентны. 1) Пусть сначала множество {х} является дополнением от- открытого множества. Докажем, что в таком случае любая пре- предельная точка х этого множества {х} обязательно ему принад* лежит. В самом целе, предположив, что предельная точка х не при- принадлежит множеству {х}, мы бы получили, что х принадлежит дополнению множества {х}, которое является открытым мно- множеством. Но тогда х принадлежала бы этому открытому мно- множеству вместе с некоторой своей 6-окрестностью, т. е. некото- некоторая б-окрестность точки х не содержала бы точек множества {х}, а это противоречило бы тому, что х является предельной, точкой множества {х}. 2) Пусть любая предельная точка множества {х} принадле- принадлежит этому множеству. Докажем, что множество {х} является до- дополнением открытого множества. Пусть х — любая точка до- дополнения множества {х}. Требуется доказать, что это дополне- дополнение содержит и некоторую б-окрестность точки х. Если бы это было не так, то любая б-окрестность точки х содержала бы точки множества {х}, т. е. точка х являлась бы предельной точкой множества {х} и по условию ему принадле- принадлежала, а это противоречило бы тому, что х — точка дополнения множества {х}. 2. О покрытиях множества системой открыты* множеств.
§ 7. Понятие компактности множества 185 Определение1. Будем говорить, что система {Еа} от- открытых множеств Бо образует покрытие множества {х}, если любая точка х множества {х} принадлежит хотя бы одному из множеств системы {2а}- Докажем две замечательные леммы о покрытиях множест- множества системой открытых множеств. Лемма Гейне—Бор ел я для сегмента. Из лю- любой системы {2а} открытых множеств 2а, образующей покры- покрытие сегмента [а, Ь], можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие этого сегмента. Доказательство. Пусть бесконечная система {2а} открытых множеств 2а образует покрытие сегмента [а, Ь]*. Допустим, что сегмент /= [а, Ь] нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы {Ба}. Тогда, разделив этот сегмент / пополам, мы получим, что хотя бы одну из по- половин сегмента / нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы {Ба}. Обозначим эту половину, через 1\. Поделив /i пополам, мы получим, что хотя бы одну из поло- половин h (обозначим ее через /2) нельзя покрыть конечным набо- набором множеств из системы {2а}. Продолжая далее эти рассуждения, мы получим систему вложенных сегментов {/«}, каждый из которых нельзя покрыть конечным набором множеств из системы {2а}. Длина я-го сег- сегмента 1п составляет 1/2п часть длины основного сегмента I=[a, b] и стремится к нулю при п-+оо. В силу следствия из теоремы 3.15 (см. п. 2 § 2 гл. 3) су- существует единственная точка с, принадлежащая всем сегмен- сегментам {In}- Так как эта точка с принадлежит основному сегмен- сегменту I=[a, b], то в системе {Ба} найдется открытое множество 2а, которому принадлежит точка с. В силу того, что множество 2а является открытым, найдется б>0 такое, что б-окрестность точки с, т. е. интервал (с—б, с + 6) также принадлежит мно- множеству 2а. В силу того, что все сегменты /„ содержат точку с и длины этих интервалов стремятся к нулю при я-э-оо, можно утверж- утверждать, что найдется номер п0 такой, что при п>яо все сегменты /„ содержатся в интервале (с—6, с+б). Но это означает, что все сегменты 1п при п>Ло могут быть покрыты одним множеством Ба системы {?«}. Тем самым мы получили противоречие с утверждением о том, что ни один сегмент 1п нельзя покрыть конечным набором множеств из системы {2«}. Полученное противоречие завершает доказатель- доказательство леммы. Докажем теперь более общее утверждение. * Если бы система {So}, образующая покрытие сегмента [а, Ь], не явля- являлась бесконечной, то лемма была бы доказана.
186 Гл. 4. Непрерывность функции Лемма Гейн е— Б ореля для замкнутого огра- ограниченного множества. Из любой системы {S«} откры- открытых множеств 2а, образующей покрытие замкнутого ограни- ограниченного множества {х}, можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие множества {х}. Доказательство. Пусть {х} — замкнутое ограниченное множество, {2а} — система открытых множеств, образующая покрытие множества {х}. Так как множество {х} ограничено, то найдется сегмент [а, Ь], содержащий это множество. Обозначим через Ер от- открытое множество, являющееся дополнением к замкнутому множеству {х} и заметим, что объединение системы {Еа} с от- открытым множеством 2р образует покрытие сегмента [а, Ь]. В силу леммы Гейне—Бореля для сегмента из этого покрытия можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие сегмента [а, Ь]. Если множество 2Р входит в эту конечную подсистему, то, удалив его из нее, мы получим конечную подсистему системы {2а}, образующую покрытие множества {х}*. Если же множество 2Р не входит в конечную подсистему, образующую покрытие сегмента [а, Ь], то эта конечная под- подсистема состоит исключительно из множеств 2а системы {2„} и образует покрытие множества {х}, содержащегося в сегмен- сегменте [а, Ь]. Лемма доказана. 3. Понятие компактности множества. Пусть {х} — произ- произвольное множество вещественных чисел. Определение 1. Множество {х} называется компакт- компактным множеством (или компактом), если из любой системы {Б«} открытых множеств, образующей покрытие мно- множества {х} можно выделить конечную подсистему, также обра- образующую покрытие множества {х}. В замечании 4 в конце п. 3 § 6 было дано другое опреде- определение компактного множества. Напомним его формулировку. Определение 1*. Множество {х} называется компакт- компактным, если оно является замкнутым и ограниченным**. Докажем, что для произвольных числовых множеств опре- определения 1 и 1* эквивалентны. 1) Пусть сначала множество {х} является замкнутым и огра- ограниченным. Тогда тот факт, что из любой системы открытых множеств {2а}, образующей покрытие {х}, можно выделить ко- конечную подсистему, также образующую покрытие {х}, сразу вытекает из леммы Гейне—Бореля (см. п. 2). * Мы учитываем, что множество 2j, являясь дополнением к множеству {*}, не содержит ни одной точки множества {х}. ** Относительно термина «компактность» см. п. 2 § 3 гл. 12. -
§ 7. Понятие компактности множества 187 2) Пусть множество {х} таково, что из любой системы от- открытых множеств {Бо}, образующей покрытие {х}, можно выде- выделить конечную подсистему, также образующую покрытие {х}. Докажем, что множество {х} является замкнутым и ограни- ограниченным. Сначала докажем замкнутость множества {х}. Достаточно доказать, что дополнение D множества {х} яв- является открытым множеством. Фиксируем произвольную точку у дополнения D. Требуется доказать, что существует некоторая б-окрестность точки у, так- также принадлежащая дополнению D. Пусть х — любая точка множества {х}. Так как хфу, то число б (х) = является положительным, причем 6(х) — окрестности точек х и у ), Wx=(y~8(x), y+6(x)) не пересекаются. Поскольку система открытых множеств {2*}, отвечающих всевозможным точкам х множества {х} образует покрытие мно- множества {х}, то из этой системы можно выделить конечную под- подсистему 2Xl, S*2, ... ,Ихп, также образующую покрытие мно- множества {х}. Обозначим через WXi, Ч*"^, ... ,ХРХ соответствующую ко- конечную подсистему б-окрестностей точки у. Наименьшая из этих б-окрестностей будет содержаться во всех множествах Ч"*,. ^х2. ¦••,Ч?хп и потому не будет иметь общих точек ни с одним из множеств 2*,, S*,,... ,2Жп. Но тогда, поскольку под- подсистема 2Х,, 2^,. .., S*n образует покрытие множества {х}, указанная наименьшая б-окрестность точки у не будет содер- содержать точек множества {х}, т. е. будет целиком принадлежать дополнению D множества {х). Тем самым доказано, что множество D является открытым и потому множество {х} является замкнутым. Докажем теперь, что множество {х} является ограничен- ограниченным. Если бы это было не так, то нашлась бы последователь- последовательность {хп} не совпадающих друг с другом точек множества {х}, удовлетворяющая условию (л=1, 2,...). Так как эта последовательность не имеет конечных пре- предельных точек, то каждая точка хп имеет б-окрестность 2*п , свободную от других точек последовательности {хп}. Очевидно, что из бесконечной системы открытых множеств {2* }, образующих покрытие множества точек {#„}, нельзя
188 Гл. 4. Непрерывность функции выбрать конечной подсистемы, образующей покрытие всех то- точек {Хп}- Так как множество {хп} является подмножеством {х}, то тем более нельзя из всякой системы открытых множеств, обра- образующих покрытие {х}, выделить конечную подсистему, также образующую покрытие {х}. Но это противоречит нашему пред- предположению о множестве \х). Полученное противоречие доказы- доказывает ограниченность множества {х}. Заметим в заключение, что все введенные в этом параграфе понятия в более общей ситуации изучаются в дополнении 2 к гл. 12.
Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В настоящей главе будут введены фундаментальные понятия производной и дифференциала функции. Мы установим основные правила дифференцирования и вычислим производные всех прос- простейших элементарных функций, уже приведенные нами в гл. 1 а известные из школьного курса. В конце главы будут рассмотре- рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков и вопрос о^ дифференцировании функции, заданной параметрически. § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1. Приращение функции. Разностная форма условия непрерыв- непрерывности. Рассмотрим функцию y = f(x), заданную на интервале (а, Ь)*. Пусть х — любая фиксированная точка интервала (a, b), a Ал; — произвольное число, настолько малое, что значение х+Ах также находится на интервале (а, Ь). Это число Ал; обычно на- называют приращением аргумента. Приращением функции y = f(x) в точке х, отвечающим приращению аргумента Ах, будем называть число Ay = f(x+Ax)-f(x). E.1) Так, для функции у = sin х приращение в точке х, отвечающее приращению аргумента Ал;, имеет вид Ay = sin(x+ Ах) — sinA; = 2cos (х Н — j sin——. E.2) Справедливо следующее утверждение: Для того чтобы функция y = f(x) являлась непрерывной в точ- точке х, необходимо и достаточно, чтобы приращение Ау этой функ- функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Ах, являлось бесконечно малым при Дх-»-0. В самом деле, по определению функция y = f{x) непрерывна в точке х, если существует предел Urn f(x+Ax) = f(x). E.3) Дж->0 В силу п. 4 § 4 гл. 3 существование предельного значения E.3) * В качестве множества задания функции вместо интервала (а, Ь) можна взять любое плотное в себе множество {х} (см. гл. 2, § 5, п. 3).
t90 Гл. 5. Дифференциальное исчисление эквивалентно тому, что функция [f(x + Ax)—f{x)] аргумента А* является бе