Text
                    В. А. Зорин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Часть I
Издание второе,
исправленное и дополненное
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
факультетов и специальностей
высших учебных заведений
Ф
ФАЗИС
Москва • 1997


ББК 22.16 386 УДК 517 Издание осуществлено при поддержке >i/L Российского фонда, фундаментальных исследований по проекту 96-01-14113 Зорич В. А. Математический анализ. Насть I. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ФАЗИС, 1997. - xiv + 554 с. ISBN 5-7036-0031-6 В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, диффе- дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа). Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая сим- символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных. Органической частью текста являются примеры приложений развивае- развиваемой теории, а также большое количество задач. Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов и экзаменов. «Полная строгость изложения... соединена с доступностью и полнотой, а также воспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естест- естествознания» (Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании этой книги.) Издательство ФАЗИС (ЛР N«064705 от 09.08.96) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44 Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 Заказ № 2543 ISBN 5-7036-0031-6 © ФАЗИС, 1997
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию IX Из предисловия к первому изданию XI Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения 1 § 1. Логическая символика 1 1. Связки и скобки A). 2. Замечания о доказательствах C). 3. Некото- Некоторые специальные обозначения C). 4. Заключительные замечания C). Упражнения D). § 2. Множество и элементарные операции над множествами 5 1. Понятие множества E). 2. Отношение включения G). 3. Простей- Простейшие операции над множествами (8). Упражнения A0). § 3. Функция 11 1. Понятие функции (отображения) A1). 2. Простейшая классифика- классификация отображений A5). 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения A6). 4. Функция как отношение. График функции A9). Упражнения B2). § 4. Некоторые дополнения 25 1. Мощность множества (кардинальные числа) B5). 1. Об аксиомати- аксиоматике теории множеств B6). 2. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств B9). 'Упражне- 'Упражнения C1). Глава П. Действительные (вещественные) числа 33 § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 33 1. Определение множества действительных чисел C3). 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел C7). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множе- множества D1). § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 43 1. Натуральные числа и принцип математической индукции D3). 2. Ра- Рациональные и иррациональные числа D6). 3. Принцип Архимеда E0). - 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами E2). Задачи и упражнения F4).
IV ОГЛАВЛЕНИЕ и и § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел 68 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) F8). 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега F9). 3. Лем- Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса F9). Зада- Задачи и упражнения G0). § 4. Счетные и несчетные множества 71 1. Счетные множества G1). 2. Мощность континуума G3). Задачи и упражнения G4). Глава III. Предел 76 § 1. Предел последовательности 77 1. Определения и примеры G7). 2. Свойства предела последовательно- последовательности G9). 3. Вопросы существования предела последовательности (83). 4. Начальные сведения о рядах (92). Задачи и упражнения A02). § 2. Предел функции 105 1. Определения и примеры A05). 2. Свойства предела функции A09). 3. Общее определение предела функции (предел по базе) A24). 4. Во- Вопросы существования предела функции A28). Задачи и упражне- упражнения A44). Глава IV. Непрерывные функции 148 § 1. Основные определения и примеры 148 1. Непрерывность функции в точке A48). 2. Точки разрыва A53). § 2. Свойства непрерывных функций 156 1. Локальные свойства A56). 2. Глобальные свойства непрерывных функций A57). Задачи и упражнения A66). Глава V. Дифференциальное исчисление 170 § 1. Дифференцируемая функция 170 1. Задача и наводящие соображения A70). 2. Функция, дифферен- дифференцируемая в точке A75). 3. Касательная; геометрический смысл про- производной и дифференциала A77). 4. Роль системы координат A80). 5. Некоторые примеры A82). Задачи и упражнения A87). § 2. Основные правила дифференцирования 189 1. Дифференцирование и арифметические операции A89). 2. Диф- Дифференцирование композиции функций A92). 3. Дифференцирование обратной функции A96). 4. Таблица производных основных элемен- элементарных функций B00). 5. Дифференцирование простейшей неявно за- заданной функции B00). 6. Производные высших порядков B05). Зада- Задачи и упражнения B09). § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 210 1. Лемма Ферма и теорема Ролля B10). 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении B12). 3. Формула Тейлора B15). Задачи и упражнения B28). § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления ... 231
ОГЛАВЛЕНИЕ V 1. Условия монотонности функции B31). 2. Условия внутреннего экс- экстремума функции B32). 3. Условия выпуклости функции B38). 4. Пра- Правило Лопиталя B45). 5. Построение графика функции B46). Задачи и упражнения B55). § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 258 1. Комплексные числа B58). 2. Сходимость в С и ряды с комплекс- комплексными членами B62). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций B67). 4. Представление функции степенным рядом, анали- аналитичность B70). 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел B75). Задачи и упражнения B81). § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания 283 1. Движение тела переменной массы B83). 2. Барометрическая фор- формула B85). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный ко- котел B87). 4. Падение тел в атмосфере B89). 5. Еще раз о числе е и функции ехрх B91). 6. Колебания B93). Задачи и упражнения B97). § 7. Первообразная 301 1. Первообразная и неопределенный интеграл C01). 2. Основные об- общие приемы отыскания первообразной C03). 3. Первообразные ра- рациональных функций C09). 4. Первообразные вида / R(cos х, sin x) dx C14). 5. Первообразные вида IR(x,y(x))dx C16). Задачи и упраж- упражнения C19). Глава VI. Интеграл 324 § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функ- функций : 324 1. Задача и наводящие соображения C24). 2. Определение интеграла Римана C26). 3. Множество интегрируемых функций C28). Задачи и упражнения C40). § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла 342 1. Интеграл как линейная функция на пространстве 71[а,Ь] C42). 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования C42). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем C45). Задачи и упражнения C52). § 3. Интеграл и производная 354 1. Интеграл и первообразная C54). 2. Формула Ньютона — Лейбница C56). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и фор- формула Тейлора C57). 4. Замена переменной в интеграле C59). 5. Неко- Некоторые примеры C61). Задачи и упражнения C65). § 4. Некоторые приложения интеграла 369 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл C69). 2. Длина пути C71). 3. Площадь криволинейной трапеции C77). 4. Объем тела вращения C78). 5. Работа и энергия C79). Задачи и упражнения C85). § 5. Несобственный интеграл 386
VI ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегра- интегралов C86). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла C91). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями C98). За- Задачи и упражнения D01). Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерыв- непрерывность 403 § 1. Пространство Rm и важнейшие классы его подмножеств 403 1. Множество Rm и расстояние в нем D03). 2. Открытые и замкнутые множества в Rm D05). 3. Компакты в Rm D08). Задачи и упражне- упражнения D09). § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных 410 1. Предел функции D10). 2. Непрерывность функции многих пере- переменных и свойства непрерывных функций D15). Задачи и упражне- упражнения D20). Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих пере- переменных 421 § 1. Линейная структура в Rm 421 1. Rm как векторное пространство D21). 2. Линейные отображения L : Rm -» Rn D22). 3. Норма в Rm D23). 4. Евклидова структура в Rm D25). § 2. Дифференциал функции многих переменных 426 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке D26). 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функ- функции D27). 3. Координатное представление дифференциала отображе- отображения. Матрица Якоби D30). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке D31). § 3. Основные законы дифференцирования 432 1. Линейность операции дифференцирования D32). 2.'Дифференциро- 2.'Дифференцирование композиции отображений D34). 3. Дифференцирование обрат- обратного отображения D40). Задачи и упражнения D41). § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных 447 1. Теорема о среднем D47). 2. Достаточное условие дифференцируемо- сти функции многих переменных D49). 3. Частные производные выс- высшего порядка D50). 4. Формула Тейлора D53). 5. Экстремумы функ- функций многих переменных D54). 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных D61). Задачи и упражне- упражнения D65). § 5. Теорема о неявной функции 471 1. Постановка вопроса и наводящие соображения D71). 2. Простей- Простейший вариант теоремы о неявной функции D73). 3. Переход к случаю зависимости F(xl, ..., xm, у) = 0 D77). 4. Теорема о неявной функ- функции D80). Задачи и упражнения D85). § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции 489
VII ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Теорема об обратной функции D89). 2. Локальное приведение глад- гладкого отображения к каноническому виду D93). 3. Зависимость функ- функций D97). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших D99). 5. Лемма Морса E01). Задачи и упражнения E05). § 7. Поверхность в Rn и теория условного экстремума 506 1. Поверхность размерности к в Rn E06).. 2. Касательное простран- пространство E11). 3. Условный экстремум E16). Задачи и упражнения E28). Некоторые задачи коллоквиумов 533 Вопросы к экзамену 538 Литература 542 Алфавитный указатель 545
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки пер- первого1), сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые новые задачи, как правило, неформального характера. В предисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая характеристика, указаны основные принципы и направленность изложения. Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний, связанных с использованием книги в учеб- учебном процессе. Любым учебником обычно пользуются как студент, так и преподаватель — каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтересованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума теории, имеются по возможности разнообразные содержательные примеры ее использования, по- пояснения, исторический и научный комментарии, демонстрируются взаимосвя- взаимосвязи, указываются перспективы развития. Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот материал, который выносится на экзамен. Пре- Преподаватель точно так же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, который может и должен быть изложен в отведенное курсу время. В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника, конеч- конечно, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он написан. Что составило эту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен, по существу, це- целый задачник, состоящий, не столько из упражнений, сколько из содержа- содержательных задач естествознания или собственно математики, примыкающих к соответствующим разделам теории, а иногда и существенно расширяющих их. Во-вторых, в книге, конечно, разобрано много больше примеров, демонстри- демонстрирующих теорию в действии, чем это удается сделать на лекциях. Наконец, в-третьих, ряд глав, параграфов или отдельных пунктов сознательно написа- написаны как дополнение к традиционному материалу. Об этом сказано в разделах *' Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набора пер- первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнению Эйлера, чтение математического текста.
X ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ «О введении» и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изда- изданию. Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал предосте- предостеречь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно долгого сквозно- сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты. Чтобы показать, что на деле остается в реальном лекционном курсе от этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде изложить программу такого курса в целом, а также отметить возможные ее вариации в зависимости от контингента слушателей, я в конце книги привожу некоторые задачи коллоквиумов, а также экзаменационные вопросы последнего времени за первые два семестра, к которым относится эта часть I. По экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и порядок изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий и методов, и привлечение порой материала второй части учебника, когда рассматриваемый в первой части вопрос уже доступен слушателям в более общем виде1). В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне кол- коллег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изданию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензии А. Н. Кол- Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в профес- профессиональном плане имели так ободряюще много общего. Москва, 1997 В. Зорин 1> Часть записей соответствующих лекций опубликована и формально я даю ссылку на изданные по ним брошюры, хотя понимаю, что они уже малодоступны (лекции были прочи- прочитаны'и изданы ограниченным тиражом в Математическом колледже МНУ и на механико- математическом факультете МГУ).
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ дифферен- дифференциального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам пред- представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в особенности. Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, переплета- переплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится разветвлен- разветвленное дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный койтакт с внематематическои сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так называемой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количество книг, адресованных различным кругам читателей. Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства фун- фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внемате- внематематическои жизнью. Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоятельства- обстоятельствами, сводятся в основном к следующему. По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изло- изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и на- наводящих эвристических соображений по ее решению к основным понятиям и формализмам. Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере про- продвижения по курсу. Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее существен- существенные методы и факты и избежать искушения незначительного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств. Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для рас- раскрытия существа дела. Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь, сущест-
XII ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ венно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя ве- великолепному опыту Полна и Сеге, я часто старался представить красивый математический или важный прикладной результат в виде серий доступных читателю задач. Расположение материала диктовалось не только архитектурой математи- математики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого математического или, лучше сказать, естественно-математического образо- образования. По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II). Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное ис- исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функ- функций многих переменных. В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как ли- линейного эталона для локального описания характера изменения переменной величины. Кроме многочисленных примеров использования дифференциаль- дифференциального исчисления для исследования функциональных зависимостей (монотон- (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи простейших диф- дифференциальных уравнений — математических моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных задач. Рассмотрен ряд таких задан (на- (например, движение тела переменной массы, ядерный реактор, атмосферное да- давление, движение в сопротивляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функциям. Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула Эйлера и показано единство основных элемен- элементарных функций. Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на нагляд- наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложений это- этого вполне хватает1). Указаны различные приложения интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник). Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных доволь- довольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и ло- локальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстремума. Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифференци- дифференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном виде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифференциаль- дифференциальному исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных. Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой, кроме х) Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и выбиваю- выбивающихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляя к эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ XIII того, изложено интегральное исчисление функций многих переменных, дове- доведенное до общей формулы Ньютона—Лейбница — Стокса, приобретает, таким образом, определенную целостность. Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе). Остановимся теперь на некоторых частных вопросах. О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большин- большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о диф- дифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной математической завершенности предста- представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании логиче- логической символики, а также о теории действительного числа. Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, использу- используемых в классическом анализе. Собственно математический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может начать с главы III, возвращаясь к более ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным и вызовет во- вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в первых главах. О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплош- сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логиче- логической четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа. О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, уже упоминавшиеся главы I, II, посвященные его формально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы IX, X, XV второй части,.дающие совре- современный взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также глава XIX, посвященная некоторым эффективным асим- асимптотическим методам анализа. Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционный « курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в любом из- изложении предмета математикам.
XIV ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифи- квалифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе над этой книгой. Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласо- согласовывался с последующими современными университетскими математическими курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, дифферен- дифференциальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функцио- функциональный анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты и обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новико- Новиковым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделении математики. Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой мате- математического анализа механико-математического факультета МГУ. Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания к ротапринтному изданию моих лекций. При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое рас- распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я благодарен их владельцам. Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л. Д. Ку- Кудрявцеву, В. П. Петренко, СБ. Стечкину за конструктивные замечания, зна- значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте. Москва, 1980 В. Зорин
ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ § 1. Логическая символика 1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства математи- математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые бу- будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные симво- символы математической логики ->, Л, V, =>, <=> для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно».1) Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес вы- высказывания: L. «Если обозначения удобны для открытий ..., то поразительным обра- образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2)). Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» (А. Пуанкаре3)). G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей4)). *) В логике вместо символа Л чаще используется символ &. Символ =>• импликации ло- логики чаще пишут в виде ->, а отношение равносильности — в виде « > или «—>. Однако мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать традиционный для анализа знак —> предельного перехода. 2)Г. В. Лейбниц A646 —1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математик, которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно ма- малых. 3)А. Пуанкаре A854 — 1912) — французский математик, блестящий ум которого пре- преобразовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в мате- математической физике. 4) Г. Галилей A564 — 1642) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель. Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространстве и вре- времени. Отец современной физической науки.
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Тогда в соответствии с указанными обозначениями: Запись L=>P ((L =>Р)Л (-.Р)) => (-.L) ^((L<^G)V(PoG)) Означает L влечет Р L равносильно Р Если Р следует из L и Р неверно, то L неверно G не равносильно ни L, ни Р Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, — не всегда разумно. Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, соста- составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же син- синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов: -1, Л, V, =», <=». При таком соглашении выражение -*А ABWС => D следует расшифровать как (((-«A) AB)VC)=^D,a соотношение А V В => С — как (А V В) => С, но не как А V (В => С). Записи А => 5, означающей, что А влечет 5 или, что то же самое, В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что В есть необходимый признак или необходимое условие А и, в свою очередь, А — достаточное условие или достаточный признак В. Та- Таким образом, соотношение А «Ф=> В можно прочитать любым из следующих способов: А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В; А, если и только если В; А равносильно В. Итак, запись А <=> В означает, что А влечет В и, одновременно, В вле- влечет А. Употребление союза и в выражении А А В пояснений не требует. Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении А V В со- союз или неразделительный, т. е. высказывание А V В считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть х — такое
§ 1. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА действительное число, что х2 — За: + 2 = 0. Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение: (х2 - Зж + 2 = 0) <=> (х = 1) V (х = 2). 2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утверж- утверждение имеет вид А => В, где А — посылка, а В — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки А => С\ =>...=> Сп => В следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением1). В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вы- вывода: если А истинно и А =Ф- В, то В тоже истинно. При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание А V ->А (А или не А) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что -*(->А) <=> А, т. е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию. 3. Некоторые специальные обозначения. Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знака- знаками < и > соответственно. Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посред- посредством специального символа := (равенство по определению), в котором двое- двоеточие ставится со стороны определяемого объекта. Например,запись [f(x)dx:= lim <т(/;Р,0 J А(Р)->0 а определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предпола- предполагается известным. Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных вы- выражений. Например,запись п вводит обозначение сг(/;Р, ?) для стоящей слева суммы специального вида. 4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических вы- выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимо- выводимости, составляющих предмет исследования математической логики. Запись А => В => С будет употребляться как сокращение для (А => В) Л (В => С).
4 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализа- формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент фор- формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями. Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению се- сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями мате- математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в XVII —XVIII веках, но приобрели современный формализованный, од- однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной тео- теории действительных чисел (XIX век). Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе II построение всего здания анализа. Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференци- дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с III главы, возвра- возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости. Упражнения Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — символом 0. Тогда каждому из высказываний ->А, А А В, А V В, А => В можно сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зави- зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальным определением логических операций ->, Л, V, =>. Вот они: А ^А 0 1 1 0 АЛВ А\ 0 1 0 0 0 1 0 1 AV В В 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
§ 2. МНОЖЕСТВО И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, что если А ложно, то импликация А =>- В всегда истинна.) 2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения: a) -.(Л AB)^-iAv -.?; b) i(A V В) <=> -лА Л iB; c) (А => В) <=> (-,? => d) (Л => Б) «=> -.А V Б; e) -i(i4 => В) <=> А Л -iB § 2. Множество и элементарные операции над множествами 1. Понятие множества. С конца прошлого — начала нашего столетия наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изу- изучающей различные структуры (отношения) на множествах1). «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» — так описал понятие «множество» Георг Кантор2), основатель теории множеств. Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, поскольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описания — разъяснить понятие, связав его с другими. Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наив- «наивной») теории множеств сводятся к следующему: 1° Множество может состоять из любых различимых объектов. 2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объ- объектов. 3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свой- свойством обладают. Если х — объект, Р — свойство, Р(х) — обозначение того, что 2; обладает свойством Р, то через {х\Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладаю- обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества. * 1) Бурбаки Н. Архитектура математики. В кн.: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. 2)Г. Кантор A845 —1918) — немецкий математик, создатель теории бесконечных мно- множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Множество, состоящее из элементов #i, ..., хп, обычно обозначают как {х\, ..., хп}. Там, где это не вызывает недоразумения, для сокращения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множество {а} просто через а. Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной теории мно- множеств употребляют как синонимы термина «множество». Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии: множество букв «а» в слове «я»; множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле; совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек; семейство множеств; множество всех множеств. Различие в возможной степени определенности задания множества наводит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное понятие. И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто про- противоречиво. <4 Действительно, пусть для множества М запись Р(М) означает, что М не содержит себя в качестве своего элемента. Рассмотрим класс К = {М \ Р(М)} множеств, обладающих свойством Р. Если К — множество, то либо верно, что Р(К), либо верно, что ->Р(К). Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно, Р(К) невоз- невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К содержит К, т. е. что верно ~>Р(К); с другой стороны, -*Р(К) тоже невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это противоречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя не содержат. Следовательно, К — не множество. > Это классический парадокс Рассела1), один из тех парадоксов, к которым приводит наивное представление о множестве. В современной математической логике понятие множества подвергается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Однако в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующих ак- аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определенным набором свойств. Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиоматики те- теории множеств является постулирование правил, по которым из множеств 1^Б. Рассел A872 —1970) — английский логик, философ, социолог и общественный деятель.
§ 2. МНОЖЕСТВО И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ можно образовывать новые множества. В целом любая из существующих ак- аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных проти- противоречий наивной теории, а с другой — обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах матема- математики, и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом в широком смысле слова. Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множе- множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто используемых в анализе свойств множеств. Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут просмо- просмотреть пункт 2 из § 4 настоящей главы или обратиться к специальной литера- литературе. 2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, составляю- составляющие множество, принято называть элементами этого множества. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буквами латинского алфави- алфавита, а элементы множества — соответствующими строчными буквами. Высказывание их есть элемент множества X» коротко обозначают сим- символом х € X (или X Э х), а его отрицание — символом X (или X $ х). х В записи высказываний о множествах часто используются логические опе- операторы 3 («существует» или «найдется») и V («любой» или «для любого»), на- называемые кванторами существования и всеобщности соответственно. Например, запись Wx ((x e А) <=> (х ? В)) означает, что для любого объек- объекта х соотношения х ? А и х Е В равносильны. Поскольку множество вполне определяется своими элементами, указанное высказывание принято обозначать короткой записью А = В, читаемой «Л равно В», обозначающей совпадение множеств. Аи В. Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов. Отрицание равенства обычно записывают в виде Аф В. Если любой элемент множества А является элементом множества В, то пишут А С В или В D А и говорят, что множество Д является подмножеством множества В, или что В содержит А, или что В включает в себя А. В связи с этим отношение А С В между множествами В называется отношением включения (рис. 1). Рис. 1
8 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Итак, {А С В) := Vz {{х еА)^(хе В)). Если А С В и А ф В, то будем говорить, что включение А С В строгое или что А — собственное подмножество В. Используя приведенные определения, теперь можно заключить, что (А = В) <=» {А С Б) Л (В С А). Если М — множество, то любое свойство Р выделяет в М подмножество {хеМ\Р(х)} тех элементов М, которые обладают этим свойством. Например, очевидно, что . М - {х Е М\х Е М}. С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обладает ни один элемент множества М, например Р(х) := (х ф х), то мы получим множество 0 = {х е М \х ф х}, называемое пустым подмножеством множества М. 3. Простейшие операции над множествами. Пусть А и В — под- подмножества множества М. a. Объединением множеств А и В называется множество A U В := {х ? М | (а: € А) V (х Е Б)}, состоящее из тех и только тех элементов множества М, юэторые содержатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2). b. Пересечением множеств А и В называется множество А Г) В := {я Е М | (х Е А) Л (ж Е образованное теми и только теми элементами множества М, которые принад- принадлежат одновременно множествам А и В (рис. 3). Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
§ 2. МНОЖЕСТВО И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ с. Разностью между множеством А и множеством В называется множе- множество А \ В := {х € М | (х € А) Л (х ? Б)}, состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В (рис. 4). Разность между множеством М и содержащимся в нем подмножеством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через СмА или СА, когда из контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к А (рис. 5). Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных понятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де Моргана1)): СМ(А U В) = См А П СМВ, A) СМ(А ПВ) = См A U СМВ. B) «^ Докажем, например, первое из этих равенств: (х € Cm(AUB)) => (х ? {AU В)) =* ((х ? А) Л (х i В)) =* =* (я € См А) Л (х € СМ5) 4(xG (СМА П СМ5)). Таким образом, установлено, что СМ(А U В) с (СмА П СмВ). C) С другой стороны, (х € (СмА П СМВ)) =* ((х е СмА) Л (х € См#)) => ((х ? А) Л (х i В)) =* (х i (A U В)) =* (х € СМ(А U т. е. (СмА П СМЯ) С СМ(А U В). D) Из C) и D) следует A). > d. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух мно- множеств А, В можно образовать новое множество — пару {А, В} = {В, А}, эле- элементами которого являются множества А и В и только они. Это множество состоит из двух элементов, если А ф В, и из одного элемента, если А = В. Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств А, В, в отличие от упорядоченной пары (А, В), в которой элементы А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементы пары {А, В}. Равенство (А, В) = (С, D) А. де Морган A806 — 1871) — шотландский математик.
Ю ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ упорядоченных пар по определению означает, что А — С и В — D. В част- частности, если А ф Б, то (А, В) ф (В, А). Пусть теперь X и Y — произвольные множества. Множество X х Y := {(х,у)\(х ? X) Л (у ? Y)}, образованное всеми упорядоченными парами (х, у), первый член которых есть элемент из X, а второй член — элемент из У, называется прямым или декар- декартовым произведением множеств X и Y (в таком порядке!). Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, X х Y ф Y х X. Равенство имеет место, лишь если X = Y. В последнем случае вместо X х X пишут коротко X2. Прямое произведение называют также декартовым произведением в честь Декарта1), который независимо от Ферма2) пришел через систему коорди- координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямое произве- произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка сомножителей. Например, упорядоченным парам @,1) и A,0) отвечают различные точки плоскости. В упорядоченной паре z = (х1,хг), являющейся элементом прямого про- произведения Z = Х\ х Х2 множеств Х\ и Хг, элемент х\ называется первой проекцией пары z и обозначается через prx z, а элемент Х2 — второй проек- проекцией пары z и обозначается через pr2 z. Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией аналитиче- аналитической геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары. Упражнения В задачах 1, 2, 3 через A, J5, С обозначены подмножества некоторого множе- множества М. 1. Проверьте соотношения: a) (АСС)Л(ВСС)<=> ((A U В) С С); b) (С С А) А (С С В) <^> (С С (АП Б)); c) См(СмА) = А; d) (А С СМВ) <^(ВС См А); e) (А С В) <=> (СмА э СМВ). ^Р. Декарт A596 — 1650) — выдающийся французский философ, математик и физик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания. 2Ш. Ферма A601 — 1665) — замечательный французский математик, юрист по специ- специальности. Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ, анали- аналитическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел.
§ 3. ФУНКЦИЯ 11 2. Покажите, что a) A U (В U С) = (A U В) U С =: A U Б U С; b) АП(ВПС) = (АПВ)ПС=:АПВПС; c) А П (В U С) = (А П Б) U (А П С); d) A U (Б П С) = (A U Б) П (A U С). 3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пересече- пересечения: a) Cm(AUB) = СмАПСмВ] b) СМ(А ПВ) = См A U СМВ. 4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение: a) двух отрезков (прямоугольник); b) двух прямых (плоскость); c) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность); d) прямой и круга (цилиндр); e) двух окружностей (тор); f) окружности и круга (полноторие). 5. Множество Л = {(xi,X2) 6 X2\xi = ?2} называется диагональю декартова квадрата X2 множества X. Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в пунктах а), Ь), е) задачи 4. 6. Покажите, что a) (X xY = 0)<=>(Х = 0)V(Y = 0), а если X х У ф 0, то b) (А х В С X х Y) <t> (А С X) Л (В С Y), c) (X х У) U (Z х У) = (X U Z) х У, d) (X х У) П (X' х Уг) = (ХП X') х (У П У;). Здесь 0 — символ пустого множества, т. е. множества, не содержащего элементов. 7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ь) из упражнения 2 к § 1, установите соответствие между логическими операциями -«, Л, V на высказываниях и операциями С, П, U на множествах. § 3. Функция 1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к описанию фундаментального не только для математики понятия функциональной зави- зависимости. Пусть X и У — какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями в У, если в силу некоторого закона / каждому элементу х Е X соответствует элемент
12 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В этом случае множество X называется областью определения функции; символ х его общего элемента — аргументом функции или независимой пе- переменной] соответствующий конкретному значению Xq € X аргумента х эле- элемент уо € У называют значением функции на элементе Xq или значением функции при значении аргумента х = хо и обозначают через f(xo). При из- изменении аргумента х Е X значения у = f(x) Е У, вообще говоря, меняются в зависимости от значений х. По этой причине величину у — f(x) часто назы- называют зависимой переменной. Множество f(X) := {у 6 Y | Эх ((* 6 X) Л (у = /(*)))} всех значений функции, которые она принимает на элементах множества X, будем называть множеством значений или областью*значений функции. В зависимости от природы множеств X, У термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобра- преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распро- распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять. Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: /: X -» У, X -А У. Когда из контекста ясно, каковы область определения и область значе- значений функции, используют также обозначения х »-> /(х) или у = /(я), а чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом /. Две функции /i, /2 считаются совпадающими или равными, если они име- имеют одну и ту же область определения X и на любом элементе х ? X значения Л(я), /2 (я) этих функций совпадают. В этом случае пишут /i = /2. Если AcX,a,f:X-*Y — некоторая функция, то через f\A или /\а обозначают функцию <р : А —? Y, совпадающую с / на множестве А. Точнее, /|л(х) := р(х), если х Е А. Функция /\а называется сужением или ограни- ограничением функции / на множество А, а функция / : X -> Y по отношению к функции <р — $\а : А -> Y называется распространением или продолжением функции (р на множество X. Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию (р : А -> У, определенную на подмножестве А некоторого множества X, причем область значений (р{А) функции <р тоже может оказаться не совпадающим с У под- подмножеством множества У. В связи с этим для обозначения любого множества X, содержащего область определения функции, иногда используется термин область отправления функции, а любое множество У, содержащее область значений функции, называют тогда областью ее прибытия. Итак, задание функции (отображения) предполагает указание тройки
§ 3. ФУНКЦИЯ 13 X — отображаемое множество, или область определения функции; Y — множество, в которое идет отображение, или область прибытия функции; / — закон, по которому каждому элементу х € X сопоставляется определенный элемент у € У. Наблюдаемая здесь несимметричность между X и Y отражает то, что отображение идет именно из X в Y. Рассмотрим некоторые примеры функций. Пример 1. Формулы / = 2тгг и V = - тгг3 устанавливают функциональ- ную зависимость длины окружности / и объема шара V от радиуса г. По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию /: П&+ —У IR+, опреде- определенную на множестве П&+ положительных действительных чисел со значения- значениями в том же множестве IR+. Пример 2. Пусть X — множество инерцяальных систем координат, а с: X -* Ш — функция, состоящая в том, что каждой инерциальной системе координат х Е X сопоставляется измеренное относительно нее значение с(х) скорости света в вакууме. Функция с : X -> Ш постоянна, т. е. при любом х Е X она имеет одно и то же значение с (это фундаментальный эксперимен- экспериментальный факт). Пример 3. Отображение G : Ш2 -» Е2 (прямого произведения Ш2 = R х х Ш = Rt х Rx оси времени IR* и пространственной оси Rx) на себя же, зада- задаваемое формулами х' — х — vt, есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инерциаль- инерциальной системы координат (x,t) к другой — (х;,^), движущейся относительно первой со скоростью v. Той же цели служит отображение L : Е2 -> Ж2, задаваемое соотношениями х — vt x1 t — Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца1\ играющее фунда- фундаментальную роль в специальной теории относительности; с — скорость света. ^Г. А. Лоренц A853 — 1928) — голландский физик. Указанные преобразования были найдены им в 1904 г. и существенно использовались в сформулированной в 1905 г. Эйн- Эйнштейном специальной теории относительности.
14 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Пример 4. Проектирование ргх: Х\ х Х2 -» Х\, задаваемое соответст- вием Xi х Хг Э (xi,?2) 1—^ х\ Е Х\, очевидно, является функцией. Аналогич- Аналогичным образом определяется вторая проекция рг2 : Х\ х Х^ -> Х2- Пример 5. Пусть V{M) — множество всех подмножеств множества М. Каждому множеству А Е V(M) поставим в соответствие множество См А Е Е V(M), т. е. дополнение к Ав М. Тогда получим отображение См ' V{M) —> V(M) множества V(M) в себя. Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию \е ' М -» определенную на множестве М условиями (хе{х) — 1, если х Е Е) Л (хе(х) = = 0, если х Е СмЕ), называют характеристической функцией множества Е. Пример 7. Пусть M(X\Y) — множество отображений множества X в множество У, а х$ — фиксированный элемент из X. Любой функции / Е Е M(X;Y) поставим в соответствие ее значение /(хо) Е Y на элементе яо- Этим определяется функция F: М(Х; Y) -> У. В частности, если У = Е, т. е. если У есть множество действительных чисел, то каждой функции /: X —> Е функция F : М(Х;Е) -> Е ставит в соответствие число F(f) = f(xo). Таким образом, F есть функция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют функционалами. Пример 8. Пусть Г — множество кривых, лежащих на поверхности (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки. Каждой кривой 7 € Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим функцию F : Г -» Е, которую часто приходится рассматривать с целью отыскания кратчайшей линии или, как говорят, геодезической линии между данными точками на поверхности. Пример 9. Рассмотрим множество М(Е;Е) всех вещественнозначных функций, определенных на всей числовой оси Е. Фиксировав число а Е Е, ка- каждой функции / Е М(Е;Е) поставим в соответствие функцию /а Е М(Е;Е), связанную с ней соотношением fa(x) = f(x + a). Функцию /а(я) обычно на- называют сдвигом на а функции f{x). Возникающее при этом отображение А: М(Е;Е) -» М(Е;Е) называется оператором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями его также являются функции: fa = A(f). Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радиоприемник есть оператор / •—> /, преобразующий электромагнитные сигналы / в звуковые /; любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений. Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется упорядо- упорядоченной тройкой чисел (x,y,z), называемой ее координатами в пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно себе мыслить как прямое произведение Е х Е х Е = Е3 трех числовых осей Е. При движении в каждый момент времени t частица находится в некото- некоторой точке пространства Е3 с координатами (x(t),y(t),z(t)). Таким образом,
§ з. функция 15 движение частицы можно интерпретировать как отображение j: Е —У Е3, где Е — ось времени, а Е3 — трехмерное пространство. Если система состоит из п частиц, то ее конфигурация задается положе- положением каждой из частиц, т. е. упорядоченным набором (si,yi,2i; #2,2/2,^2; ... • • • ; Хп,Уп, Zn) из Зга чиселч Множество всех таких наборов называется конфи- конфигурационным пространством системы п частиц. Следовательно, конфигура- конфигурационное пространство системы п частиц можно интерпретировать как прямое произведение Е3 х Е3 х ... х Е3 = Е3п п экземпляров пространства Е3. Движению системы из п частиц отвечает отображение 7 : R ~> ^Зп °си времени в конфигурационное пространство системы. Пример 11. Потенциальная энергия U механической системы связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяется конфигурацией, которую имеет система. Пусть Q — множество реально возможных конфигу- конфигураций системы. Это некоторое подмножество конфигурационного простран- пространства системы. Каждому положению q Е Q отвечает некоторое значение U(q) потенциальной энергии системы. Таким образом, потенциальная энергия есть функция U: Q —> Е, определенная на подмножестве Q конфигурационного пространства со значениями в области Е действительных чисел. Пример 12. Кинетическая энергия К системы п материальных частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия системы Е = К + С/, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, зависит, таким образом, как от конфигурации q системы, так и от набора v скоростей ее частиц. Как и конфигурация q частиц в пространстве, набор v, состоящий из п трехмер- трехмерных векторов, может быть задан упорядоченным набором из Зтг чисел. Упо- Упорядоченные пары (q,v), отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в прямом произведении Е3п х Е3п = Е6п, называемом фазо- фазовым пространством системы п частиц (в отличие от конфигурационного пространства Е3п). Полная энергия системы является, таким образом, функцией Е : Ф -» Е, определенной на подмножестве Ф фазового пространства Е6п и принимающей значения в области Е действительных чисел. В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внешние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множества Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение Eq 6 2. Простейшая классификация отображений. Когда функцию /: X -» Y называют отображением, значение f(x) € У, которое она принимает на элементе х € X, обычно называют образом элемента х. Образом множества А С X при отображении /: X -> Y называют мно- множество f(A) := {у е Y | Эх ((* е А) Л (у = /(*))} тех элементов У, которые являются образами элементов множества А.
16 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Множество r1(B)-{xeX\f(x)eB) тех элементов X, образы которых содержатся в В, называют прообразом (или полным прообразом) множества В С Y (рис. 6). Про отображение /: X —У Y говорят, что х х¦---- х у \ оно: сюръективно (или есть отображение X на У), если /(X) = У; инъективно (или есть вложение, инъек- инъекция), если для любых элементов xi, ?2 мно- множества X Рис. 6 т. е. различные элементы имеют различные образы; биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно. Если отображение /: X —> У биективно, т. е. является взаимно однознач- однозначным соответствием между элементами множеств X и У, то естественно воз- возникает отображение Г1: У->*, которое определяется следующим образом: если f(x) = у, то f~x(y) — х, т. е. элементу у Е У ставится в соответствие тот элемент а; Е I, образом которого при отображении / является у. В силу сюръективности / такой элемент х Е X найдется, а ввиду инъективности / он единственный. Таким образом, отображение f~l определено корректно. Это отображение называют обратным по отношению к исходному отображению /. Из построения обратного отображения видно, что f~l: У -> X само явля- является биективным и что обратное к нему отображение (Z): X -> У совпа- совпадает с /: X -> У. Таким образом, свойство двух отображений быть обратными является вза- взаимным: если f~l — обратное для /, то, в свою очередь, / — обратное для f~l. Заметим, что символ f~l(B) прообраза множества В С У ассоциируется с символом f~l обратной функции, однако следует иметь в виду, что прообраз множества определен для любого отображения / : X -> У, даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет обратного. 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения. Бо- Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленения сложных функций на более простые — с другой, является операция компози- композиции отображений.
§ 3. ФУНКЦИЯ 17 Если отображения f:X-*Yng:Y->Z таковы, что одно из них (в нашем случае д) определено на множестве значений другого (/), то можно построить новое отображение gof:X->Z, значения которого на элементах множества X определяются формулой Построенное составное отображение д о / называют композицией отобра- отображения / и отображения д (в таком порядке!). Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений / и д. С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в гео- геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных ком- композицией простейших элементарных функций. Операцию композиции иногда при- приходится проводить несколько раз под- подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е. ho(gof) = (hog)of. Действительно, ho (до /)(*) = h((g о Рис. 7 = h(g(f(x))) = = (hog)(f(x)) = ((hog)of)(x). > Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок спаривания. Если в композиции fn о ... о Д все члены одинаковы и равны /, то ее обозначают коротко /п. Хорошо известно, например, что корень квадратный из положительного числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле начиная с любого начального приближения Хо > 0. Это не что иное, как после- последовательное вычисление /п(хо), где f(x) — - (х 4- —). Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге ста- становится ее аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы широко используются в математике.
18 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции д о / и / о д определены, вообще говоря, 9° f Ф f °9- Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество {а, 6} и отображения /: {а, 6} -> а, д : {а, 6} -* &. Тогда, очевидно, д о /: {а, 6} -* &, в то время как /ор: {о,&}-4о. Отображение /: X —>• X, сопоставляющее каждому элементу множества X его самого, т. е. я i—> х, будем обозначать через ех и называть тождест- тождественным отображением множества X. Лемма. (д о / = ех) => (<7 сюръективно) А (/ инъективно). Ч Действительно, если f: X -> Y, д : Y -+ X и ро X = ех(Х) = E ° f)(X) = g(f(X)) С и, значит, д сюръективно. Далее, если xi € X и х% € X, то («1 5^ «а) => (ex(a?i) # ех(х2)) => (E ° /)(*i) # (ff ° /)(x2)) =*• следовательно, / инъективно. > Через операцию композиции отображений можно описать взаимно обрат- обратные отображения. Утверждение. Отображения f: X -> Y', д : Y —> X являются биек- биективными и взаимно обратными в том и только в том случае, когда g о / = = ех и f og = eY. Ч В силу леммы одновременное выполнение условий д о/ = ех и / од = гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биективность каждого из отображений /, д. Эти же условия показывают, что у = f(x) в том и только в том случае, когда х = д(у). > Выше мы исходили из явного построения обратного отображения. Из до- доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее наглядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных отображений как та- таких, которые удовлетворяют двум условиям: д о f = ех и / о д = еу (см. в этой связи задачу б в конце параграфа).
§ з. функция 19 4. Функция как отношение. График функции. В заключение вер- вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претерпело дли- длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. Лейбница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу от 1698 г. Иоганн Бернулли1). В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале парагра- параграфа, встречается уже в учебниках математики С. Лакруа2^ A806 г.), переве- переведенных на русский язык. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский3^. Более того, Н. И. Лобачевский указал A834 г.), что «обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе»4^. Это и есть идея точного определения понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить. Приведенное в начале параграфа описание понятия функции представля- представляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с точки зрения современных канонов оно не может быть названо определением, ибо использу- использует эквивалентное функции понятие соответствия. Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается определение функции на языке теории множеств. а. Отношение. Отношением 71 называют любое множество упорядочен- упорядоченных пар (я, 2/). Множество X первых элементов упорядоченных пар, составляющих 7?, на- называют областью определения отношения 71, а множество Y вторых элемен- элементов этих пар — областью значений отношения 71. Таким образом, отношение 7Z можно интерпретировать как подмножество К прямого произведения X х Y. Если X С X1 и Y С У, то, разумеется, К С X х У с X' х У, поэтому одно и то же отношение может задаваться как подмножество различных множеств. Любое множество, содержащее область определения отношения, называют областью отправления этого отношения. Множество, содержащее область значений отношения, называют областью прибытия отношения. )И. Бернулли A667 —1748) — один из ранних представителей знаменитого семейства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков вариационно- вариационного исчисления. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления. 2> С. Ф. Лакруа A765 — 1843) — французский математик и педагог (профессор Нормаль- Нормальной и Политехнической школ, член Парижской академии наук). 3'Н. И. Лобачевский A792 — 1856) — великий русский ученый, которому, наряду с вели- великим немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом A777 — 1855) и выдающимся венгерским математиком Я. Бойяи A802 —1860), принадлежит честь открытия неевклидовой геомет- геометрии, носящей его имя. 4) Лобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т. 5. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С. 44. 2 Зорич В. Л.
20 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Вместо того чтобы писать {х,у) € 7?, часто пишут х TZy и говорят, что х связано с у отношением 71. Если 1Z С X2, то говорят, что отношение 1Z задано на X. Рассмотрим несколько примеров. Пример 13. Диагональ Д = {(а,Ь) еХ2\а = Ъ} есть подмножество X2, задающее отношение равенства между элементами множества X. Действительно, а А Ь означает, что (а, Ь) Е А, т. е. о = Ь. Пример 14. Пусть X — множество прямых в плоскости. Две прямые а Е X и Ь Е X будем считать находящимися в отношении 7Z и будем писать alZ 6, если прямая Ь параллельна прямой а. Ясно, что тем самым в X2 выделяется множество 71 пар (а, Ь) таких, что aTZb. Из курса геометрии известно, что отношение параллельности между прямыми обладает следующими свойствами: a 1Z а (рефлексивность); a 1Z Ь => Ы1а (симметричность); (a 1Z Ь) Л (Ь 71 с) => a 1Z с (транзитивность). Любое отношение 7?, обладающее перечисленными тремя свойствами, т. е. рефлексивное1), симметричное и транзитивное, принято называть отноше- отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности обозначается специаль- специальным символом ~, который в этом случае ставится вместо буквы 7?, обозна- обозначающей отношение. Итак, в случае отношения эквивалентности будем писать а ~ Ь вместо a 1Z Ь и говорить, что а эквивалентно Ь. Пример 15. Пусть М — некоторое множество, & X = V(M) — совокуп- совокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов а и Ь мно- множества X = V(M), т. е. для двух подмножеств а и Ь множества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей: а содержится в 6; Ь содер- содержится в а; а не является подмножеством Ь и Ь не является подмножеством а. Рассмотрим в качестве отношения 7Z в X2 отношение включения для под- подмножеств X, т. е. положим по определению alZb := (а С Ь). Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами: а 71 а (рефлексивность); (a 7Z b) A (b 71 с) => aTZc (транзитивность); (a 7Z Ь) Л (Ь 71 а) => а А &, т. е. а = Ь (антисимметричность). 1> Полезно для полноты отметить, что отношение 1Z называется рефлексивным, если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента а из области определения отношения 1Z выполнено
§ з. функция 21 Отношение между парами элементов некоторого множества X, обладаю- обладающее указанными тремя свойствами, принято называть отношением частично- частичного порядка на множестве X. Для отношения частичного порядка вместо а 71Ь часто пишут а^Ьи говорят, что b следует за а. Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение частич- частичного порядка, выполнено условие, что Va Vb {{аПЪ)\/(Ы1а)), т. е. любые два элемента множества X сравнимы, то отношение 1Z называется отношением порядка, а множество X с определенным на нем отношением порядка называется линейно упорядоченным. Происхождение этого термина связано с наглядным образом числовой пря- прямой Е, на которой действует отношение а ^ Ь между любой парой веществен- вещественных чисел. Ь. Функция и график функции. Отношение 7? называется функцио- функциональным, если (х П ух) Л{хП у2) => (j/i = у2)- Функциональное отношение называют функцией. В частности, если X и Y — два не обязательно различных множества, то определенное на X отношение 7Z С X х Y между элементами х из X и у из Y функционально, если для любого х € X существует и притом единственный элемент у Е Y, находящийся с х в рассматриваемом отношении, т. е. такой, для которого xTZy. Такое функциональное отношение 1Z С X х Y и есть отображение из X в Y, или функция из X в Y. Функции мы чаще всего будем обозначать символом /. Если / — функция, то вместо xfy мы по-прежнему будем писать у = f(x) или х \—> у, называя у — f(x) значением функции / на элементе х или образом элемента х при отображении /. Сопоставление по «закону» / элементу х € X «соответствующего» элемента у ? Y, о чем говорилось в исходном описании понятия функции, как видим, состоит в том, что для каждого х Е X указывается тот единственный элемент у е Y, что xfy, т. е. (х,у) е f С X х Y. Графиком функции /: X —t Y, понимаемой в смысле исходного описания, называют подмножество Г прямого произведения X х Y, элементы которого имеют вид (x,f(x)). Итак, T~{(x,y)€XxY\y = f(x)}. В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как подмножество / С X х Y, конечно, уже нет разницы между функцией и ее графиком.
22 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Мы указали на принципиальную возможность формального теоретико- множественного определения функции, сводящуюся по существу к отожде- отождествлению функции и ее графика. Однако мы не собираемся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функции. Функциональное от- отношение иногда удобно задать в аналитической форме, иногда таблицей зна- значений, иногда словесным описанием процесса (алгоритма), позволяющего по данному х € X находить соответствующий элемент у € Y. При каждом таком способе задания функции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью гра- графика, что формулируют так: построить график функции. Задание числовых функций хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что делает наглядным основные качественные особенности функциональной зави- зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (номограммы), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует высокой точности. Для точных расчетов используют табличное задание функции, а чаще — алгорит- алгоритмическое, реализуемое в вычислительных машинах. Упражнения 1. Композиция 7Z2 о 7Z\ отношений 7Z\, 7Z2 определяется следующим образом: П20П1 :={(x,z)\3y (x7Ziy)A(y7Z2z)}. В частности, если TZi С X х У и 7^2 С У х Z, то 71 = 7^2 о TZi С X х Z, причем х П z := 3 у {{у е У) Л (х Их у) Л (у П2 a) Пусть Ах — диагональ множества X2, а Ау — диагональ множества У2. Покажите, что если отношения IZi С X х Y и 1Z2 С Y х X таковы, что G?г о И\ = — Ах) Л AZi о 7^2 = Ау), то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств X, Y. b) Пусть 1Z С X2. Покажите, что условие транзитивности отношения 71 равно- равносильно тому, что 1Z о 7? С 71. c) Отношение 7Z' С Y х X называется транспонированным отношением 7Z С С X х У, если (у 71'х) <=> (х 71 у). Покажите, что антисимметричность отношения 71 С X2 равносильна условию тгптг'с а*. d) Проверьте, что любые два элемента множества X связаны (в том или ином порядке) отношением 7Z С X2, если и только если 7ZU7Z' = X2. 2. Пусть /: X -» У — отображение. Прообраз f~l{y) С X элемента у G У назы- называется слоем над у. а) Укажите слои для отображений : Х\ xX2->Xi, рг2 : Х\ х Х2 -> Х2. Ь) Элемент х\ G X будем считать связанным с элементом х2 G X отношением 7Z С X2 и писать xi7?x2, если f(x\) = f(x2), т. е. если х\ и х2 лежат в одном слое. Проверьте, что 7Z есть отношение эквивалентности.
§ з. функция 23 c) Покажите, что слои отображения /: X —> Y не пересекаются, а объединением слоев является все множество X. d) Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами множе- множества позволяет представить это множество в виде объединения непересекающихся классов эквивалентных элементов. 3. Пусть /: X —> Y — отображение из X в Y. Покажите, что: если А и В — подмножества X, то a) (А С В) => (f(A) С f{B)) ф (А С В), b) (А ф 0) => (f(A) ф 0), c) /(А П В) С/(А) Л/(В), d) /(A U В) = f(A) U /(В); если А' и В' — подмножества У, то e) ;а' с в') =* (/-Ча') с f) \ 1 g) если УэА'э В', то h) 1 1 для любого множества А С X и любого множества В' С Y j) rVWJDA, к) НГЧв1)) с в'. 4. Покажите, что отображение /: X —> Y а) сюръективно, если и только если для любого множества В' С Y справедливо Ъ) биективно, если и только если для любого множества А С X и любого мно- множества В' CY справедливо 5. Проверьте эквивалентность следующих утверждений относительно .отображе- .отображения / : X -» Y: a) / инъективно; b) f~l{f{A)) = А Для любого множества Л С Х\ c) /(А П В) = /(А) П /(В) для любой пары А, В подмножеств Х\ d) f(A) П /(Л) = 0^»ЛПВ = 0; e) /(А \ В) = /(А) \ /(В), если X D A D В. 6. а) Если отображения f:X—>Yug:Y—>X таковы, что д о f = ex, где ex — тождественное отображение множества X, то д называется левым обратным отображением для /, а / — правым обратным для #. Покажите, что, в отличие от единственного обратного отображения, может существовать много односторонних обратных отображений.
24 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Рассмотрите, например, отображения f:X-+Yug:Y-+X} где X — одноэле- одноэлементное, а У — двухэлементное множества, или отображения последовательностей ) • • • /) B/2, ...,уп, ..) <-^-» B/1,2/2, ...,2/п, .- b) Пусть /:Х—>Уи(?:У-»? — биективные отображения. Покажите, что отображение д о / : X —> Z биективно и что (д о f)~l = f~l о д~1. c) Покажите, что для любых отображений f : X —У Y, д : Y —> Z и любого множества С С Z справедливо равенство d) Проверьте, что отображение F:XxY-+YxX, задаваемое соответствием (х,у) ь-> (у,х), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно обратных отоб- отображений f: X —>Y ъ f~l\Y -* X. 7. а) Покажите, что при любом отображении / : X —> Y отображение F*: X —> —> X х У, определяемое соответствием х i—У (х,/(х)), является инъективным. Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности У; пусть X — ось вре- времени и х i—> у — соответствие между моментом времени х G X и положением у = = /(ж) G У частицы. Изобразите график функции /:1чУв1хУ. 8. а) Для каждого из разобранных в § 3 примеров 1 — 12 выясните, является ли указанное в нем отображение сюръективным, инъективным, биективным или оно не принадлежит ни одному из указанных классов. b) Закон Ома / = V/R связывает силу тока / в проводнике с напряжением V на концах проводника и сопротивлением R проводника. Укажите, отображение О: X -» —> У каких множеств соответствует закону Ома. Подмножеством какого множества является отношение, отвечающее закону Ома? c) Найдите преобразования С?, L, обратные к преобразованиям Галилея и Лоренца. 9. а) Множество 5 С X называется устойчивым относительно отображения / : X -4 X, если /E) С S. Опишите множества, устойчивые относительно сдвига плоскости на данный лежащий в ней вектор. b) Множество I С X называется инвариантным относительно отображения /: X —> X, если /(/) = /. Опишите множества, инвариантные относительно пово- поворота плоскости вокруг фиксированной точки. c) Точка р G X называется неподвижной точкой отображения /: X -» X, если f(p) — Р- Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и гомотетии плоско- плоскости имеет неподвижную точку, если коэффициент гомотетии меньше единицы. d) Считая преобразования Галилея и преобразования Лоренца отображениями плоскости на себя, при которых точка с координатами (x,t) переходит в точку с координатами (ж',?'), найдите инвариантные множества этих преобразований. 10. Рассмотрим установившийся поток жидкости (т. е. скорость в каждой точке потока не меняется со временем). За время t частица, находящаяся в точке х потока, переместится в некоторую новую точку ft{x) пространства. Возникающее отобра- отображение х »-> ft(x) точек пространства, занимаемого потоком, зависит от времени t и называется преобразованием за время t. Покажите, что ft2 о ftl = ftl о ft2 = ftx+t2 и ft о f-t = /о =
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 25 § 4. Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардинальные числа). Говорят, что мно- множество X равномощно множеству У, если существует биективное отображе- отображение X на У, т. е. каждому элементу х е X сопоставляется элемент у € У, причем различным элементам множества X отвечают различные элементы множества У и каждый элемент у Е У сопоставлен некоторому элементу мно- множества X. Описательно говоря, каждый элемент х € X сидит на своем месте у € У, все элементы X сидят и свободных мест у Е У нет. Ясно, что введенное отношение X 71Y является отношением эквивалент- эквивалентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом случае X ~ Y вместо X 71Y. Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств ла классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (равномощны), а разных — разное. Класс, которому принадлежит множество X, называется мощностью мно- множества X, а также кардиналом или кардинальным числом множества X и обозначается символом cardX. Если X ~ У, то пишут cardX = card У. Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать количества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т. е. к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел N = {1, 2, 3, ...}. Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципиально невозможно. Говорят, что кардинальное число множества X не больше кардинального числа множества У, и пишут cardX ^ card У, если X равномощно некоторому подмножеству множества У. Итак, (cardX ^ card У) := CZ С У | cardX = cardZ). Если X С У, то ясно, что cardX ^ card У. Однако, оказывается, соот- соотношение X С У не мешает неравенству card У ^ cardX, даже если X есть собственное подмножество У. Например, соответствие х н-> -—г-г есть биективное отображение проме- 1 — \х\ жутка — 1 < х < 1 числовой оси Е на всю эту ось. Возможность для множества быть равномощным своей части является характерным признаком бесконечных множеств, который Дедекинд1) даже предложил считать определением бесконечного множества. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномощно х)р. Дедекинд A831 — 1916) — немецкий математик-алгебраист, принявший активное участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксиоматику мно- множества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано — по имени Дж. Пеано A858 —1932), итальянского математика, сформулировавшего ее несколько позже.
26 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ никакому своему собственному подмножеству; в противном случае оно на- называется бесконечным. Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действительные числа на числовой прямой, введенное отношение неравенства упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств. А именно, можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного отношения: 1. (cardX ^ cardF) Л (cardУ ^ cardZ) => (cardX ^ cardZ) (очевидно). 2. (cardX ^ cardF) Л (card У ^ cardX) => (cardX = card У) (теорема Шредера—Бернштейна1)). 3. VX УУ (cardX ^ card У) V (card У ^ cardX) (теорема Кантора). Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядо- упорядоченным. Говорят, что мощность множества X меньше мощности множества У, и пишут cardX < card У, если cardX ^ card У и в то же время cardX ф card У. Итак, (cardX < card У) := (cardX ^ card У) Л (cardX ф card У). Пусть, как и прежде, 0 — знак пустого множества, аР(Х) — символ мно- множества всех подмножеств множества X. Имеет место следующая открытая Кантором Теорема. cardX < card'P(X). М Для пустого множества 0 утверждение очевидно, поэтому в дальнейшем можно считать, что X ф 0. Поскольку V(X) содержит все одноэлементные подмножества X, cardX ^ Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что cardX ф Ф cardP(X), если X ф 0. Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение /: X —У V(X). Рассмотрим множество А = {х Е Х\х $ f{x)} тех элементов х Е X, которые не содержатся в сопоставленном им множестве f(x) E V{X). Поскольку А € V(X), то найдется элемент а € X такой, что /(а) = А. Для элемента а Е X невозможно ни соотношение а € А (по определению А), ни соотношение а ? А (опять-таки по определению А). Мы вступаем в противо- противоречие с законом исключенного третьего. > Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные множества существуют, то и «бесконечности» бывают разные. 2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта — дать ин- интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описывающих свойства математического объекта, называемого множеством, и продемонстрировать про- простейшие следствия этих аксиом. . Бернштейн A878 — 1956) — немецкий математик, ученик Г. Кантора; Э. Шредер A841 — 1902) — немецкий математик.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 27 1° Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы. Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «множество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает, что если мы желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что Vx ((x 6 А) <=> <=>(хе В)). 2° Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отвечает множество В, элементы которого суть те и только те элементы множества А, которые обладают свойством Р. Короче, утверждается, что если А — множество, то и В = {х G А \ Р(х)} — тоже множество. Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях, когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обладающих тем или иным свойством. Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмножество 0х = {х G X | х ф х} в любом множестве X, а с учетом аксиомы объемности заклю- заключаем, что для любых множеств X и Y выполнено 0х = 0у, т. е. пустое множество единственно. Его обозначают символом 0. Из аксиомы выделения следует также, что если А и В — множества, то А \ В — = {х G А | х ? В} — тоже множество. В частности, если М — множество и А — его подмножество, то См А — тоже множество. 3° Аксиома объединения. Для любого множества М множеств сущест- существует множество UM, называемое объединением множества М, состоящее из техф и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества М. Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств», то ак- аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким образом, объедине- объединение множества есть множество, причем iGUM <=> ЗХ ((X G М) А (х 6 X)). Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить пере- пересечение множества М (семейства множеств) как множество пм := {х ? им | \/х ((X ем)=>(хе X))}. 4° Аксиома пары. Для любых множеств X и Y существует множество Z такое, что X и Y являются его единственными элементами. Множество Z обозначается через {X, У} и называется неупорядоченной парой множеств X nY. Множество Z состоит из одного элемента, если X = Y. Как мы уже отмечали, упорядоченная пара (X, Y) множеств отличается от неупо- неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары. Например, Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упорядо- упорядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если воспользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой. 5° Аксиома множества подмножеств. Для любого множества X су- существует множество V(X), состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества X. Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множества.
28 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (х,у), где х € X, а у € У, действительно образуют множество X х Y := {р е V(P(X) U V(Y)) |р = (х,у) Л (х 6 X) Л (у € У)}. Аксиомы 1°—5° ограничивают возможность формирования новых множеств. Так, в множестве V(X) по теореме Кантора (о том, что cardX < card'P(X)) имеется элемент, не принадлежащий X, поэтому «множества» всех множеств не существу- существует. А ведь именно на этом «множестве» держится парадокс Рассела. Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие последо- последователя Х+ множества X. Положим по определению Х+ = X U {X}. Короче, к X добавлено одноэлементное множество {X}. Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого своего элемента. 6° Аксиома бесконечности. Индуктивные множества существуют. Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом 1°—4° создать эталонную модель множества No натуральных чисел (по фон Нейману1'), определив No как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множество. Элементами No являются множества 0, 0+=0U{0} = которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами 0, 1, 2, ... и назы- называем натуральными числами. 7° Аксиома подстановки. Пусть Т(х>у) — такое высказывание (точнее, формула), что при любом хо из множества X существует и притом единствен- единственный объект уо такой, что Т(хо,уо) истинно. Тогда объекты у, для каждого из которых существует элемент х 6 X такой, что J-(x,y) истинно, образуют мно- множество. Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем. Аксиомы 1°—7° составляют аксиоматику теории множеств, известную как ак- аксиоматика Цермело — Френкеля 2\ К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1°—7° и часто ис- используемая в анализе 8° Аксиома выбора. Для любого семейства непустых множеств сущест- существует множество С такое, что, каково бы ни было множество X данного семей- семейства, множество X ПС состоит из одного элемента. Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точности по одному представителю так, что выбранные элементы составят множество С. Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала горячие дискуссии специалистов. 1^Дж. фон Нейман A903 —1957) — американский математик. Работы по функциональ- функциональному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологическим группам, теории игр, математической логике. Руководил созданием первых ЭВМ. 2)Э. Цермело A871 — 1953) — немецкий математик; А. Френкель A891 — 1965) — немец- немецкий, затем израильский математик.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 29 2. Замечания о структуре математических высказываний и запи- записи их на языке теории множеств. В языке теории множеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа математических высказываний: утверждение х Е А о том, что объект х есть элемент множества Л, и утвер- утверждение А = В о том, что множества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа: (х € А) <=> (х е В).) Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся из ато- атомарных посредством логических операторов — связок -«, Л, V, =>• и кван- кванторов V, 3 с использованием скобок ( ). При этом формирование сколь угод- угодно сложного высказывания и его записи сводится к выполнению следующих элементарных логических операций: a) Образование нового высказывания путем постановки отрицания перед некоторым высказыванием и заключение результата в скобки. b) Образование нового высказывания путем постановки необходимой связ- связки Л, V, => между двумя высказываниями и заключение результата в скобки. c) Образование высказывания «для любого объекта х выполнено свойст- свойство Р» (что записывают в виде Vx P(x)) или высказывания «найдется объект х, обладающий свойством Р» (что записывают в виде Зх Р{х)). Например, громоздкая запись Зх (Р(х) Л (Vj/ ((P(y)) ^(у = х)))) означает, что найдется объект х, обладающий свойством Р и такой, что если у — любой объект, обладающий свойством Р, то у = х. Короче: существу- существует и притом единственный объект х, обладающий свойством Р. Обычно это высказывание обозначают в виде Э!х Р(х), и мы будем использовать такое сокращение. Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стараются опу- опустить столько скобок, сколько это возможно без потери однозначного толко- толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее приоритета операторов -1, Л, V, => считают, что наиболее жестко символы в формуле связываются знаками Е, =, затем 3, V и потом связками ->, Л, V, =>. С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать Э!х Р(х) := Эх (Р(х) Л V</ (P(y) =>у = х)). Условимся также о следующих широко используемых сокращениях: (Vx е X) Р := Vx (x G X => Р(х)), (Эх е X) Р := Эх (х е X Л Р(х)), (Vx > а) Р := Ух (х G Ш Л х > а => Р(х)), (Эх > а) Р := Эх (х G Ш Л х > а Л Р(х)). Здесь Е, как всегда, есть символ множества действительных чисел.
30 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ С учетом этих сокращений и правил а), Ь), с) построения сложного выска- высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую запись lim /(ж) = А := Уе > 0 38 > 0 Ух G E @ < \x - a\ < S =* |/(x) - Л| < е) «>a того, что число А является пределом функции /: Е —>• Е в точке о G Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом параграфе явля- являются для нас следующие правила построения отрицания к высказыванию, со- содержащему кванторы. Отрицание к высказыванию «для некоторого х истинно Р(х)» означает, что «для любого х неверно Р(ж)», а отрицание к высказыванию «для любого х истинно Р(х)» означает, что «найдется х, что неверно Р(х)». Итак, -.За; Р(х) -•Уж Р(х) <=>3х -«Р(ж). Напомним также (см. упражнения к § 1), что На основании сказанного можно заключить, что, например, ¦ч((Уж > а) Р) <=> (Эх > a) -iP. Написать в правой части последнего соотношения (Эх ^ а) ->Р было бы, ко- конечно, ошибочно. В самом деле, ((Уж > а) Р) := -I (Уж (xGEAx>a=> Р(ж))) (хЕЕЛх>а=> Р(х)) Эх ((ж е ЕЛх > а)Л-«Р(ж)) =: (Эх > а) -«Р. Если учесть указанную выше структуру произвольного высказывания, то теперь с использованием построенных отрицаний простейших высказываний можно было бы построить отрицание любого конкретного высказывания. Например, ( lim /(ж) = А) <=> Зе > 0 У5 > 0 Эх G G Е @ < |х - а\ < S Л |/(х) - Л| ^ е). Практическая важность правильного построения отрицания связана, в частности, с методом доказательства от противного, когда истинность не- некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение -«Р ложно.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 31 Упражнения 1. а) Установите равномощность отрезка {гг€К|0^а;^1}и интервала {х 6 €R|O<?<1} числовой прямой R как с помощью теоремы Шредера — Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции. Ь) Разберите следующее доказательство теоремы Шредера — Бернштейна (card X ^ card У) Л (card У ^ cardX) => (card* = card У). < Достаточно доказать, что если множества Х) У, Z таковы, что X D Y D Z и card Л* = cardZ, то cardX = card У. Пусть / : X —> Z — биективное отображение. Тогда биекция д : X —ь У может быть задана, например, следующим образом: /(х), если х € fn{X) \ /П(У) для некоторого п 6 N, х в противном случае. Здесь /п = / о ... о / — п-я итерация отображения /, а N — множество натуральных чисел. > 2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 определение прямого произведения X х У множеств X, У корректно, т. е. множество V(V(X) U U V(Y)) содержит все упорядоченные пары (х, у), в которых х ? X и у € У. b) Покажите, что всевозможные отображения f: X —> Y одного фиксированно- фиксированного множества X в другое фиксированное множество У сами образуют множество M(X,Y). c) Проверьте, что если 11 — множество упорядоченных пар (т. е. отношение), то первые элементы пар, принадлежащих множеству 11 (как и вторые), сами образуют множество. 3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и беско- бесконечности, проверьте, что для элементов множества No натуральных чисел по фон Нейману справедливы следующие утверждения: 1° х = у => х+ = у+; 2° (VxGNo) (х+^0); 3° х+ = у+ =Ф- х = у; 4° (Vx e No) (х ф 0 => (Эу е No) (x = у+)). Ъ) Используя то, что No — индуктивное множество, покажите, что для любых его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествами) справедливы следующие соотношения: 1° cardx ^ cardx+; 2° card0 < cardx+; 3° cardx < card у <=Ф- cardx" < cardt/+; 4° cardx < cardx+; 5° card x < card у => card x+ ^ card y\ 6° x = у <<=>> cardx = cardy; 7° (xCy)V(xDy).
32 ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ с) Покажите, что в любом подмножестве X множества No найдется такой (наи- (наименьший) элемент хт, что (Vx 6 X) (cardxm ^ cardx). (В случае затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы И.) 4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого множества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В настоящей задаче это очень удобно. a) Проверьте, что запись Vx Зу Vz (z G у <=$- Зги (z G w Л w G х)) выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объединение множества х. b) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями Vx Vy Vz ({z G x <<=>• z G у) <=>• x = у), Vx Vy 3z Vt; (г; 6 z <=$> (v ~ x V v = y)), Vx 3y Vz (z G у <=> Vu (u e z =Ф- и e x)), Эх (Vy (-1З2 (z € y) => у G x) Л Vw (гу € 1 => Vw (Vv (г; G г* <=> <=$> (v = w V г; G гу)) ^=Ф- it G x)). c) Проверьте, что формула Vz (z € f => Cxi 3yi (xi G x Л yi G у Л z = (xi, j/i))) Л Л Vxi (xi G x =» 3yi 3z (yi G у Л z = (xi,yi) Л z € f)) Л Л Vxi Vyi Vy2 Czi 3z2 (zi G /Л Z2 G /Л zi = (xi,yi) Л Az2 = (xi,y2)) => yi = У2) последовательно накладывает на множество / три ограничения: / есть подмноже- подмножество х х у; проекция / на х совпадает с х; каждому элементу xi из х отвечает ровно один элемент у\ из у такой, что (xi,yi) G /. Таким образом, перед нами определение отображения /: х —> у. Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его записью на разго- разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в дальнейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться по- полезной для достижения большей компактности или ясности изложения. 5. Пусть /: X —> У — отображение. Запишите логическое отрицание каждого из следующих высказываний: a) / сюръективно; b) / инъективно; c) / биективно. 6. Пусть X и Y — множества и / С X х Y. Запишите, что значит, что множество / не является функцией.
ГЛАВА II ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позво- позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают чи- числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вско- вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют. Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонят- непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундамен- фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического исполь- использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода — основной неарифметической операции анализа. § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел Определение 1. Множество Ш называется множеством действитель- действительных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (веществен-
34 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА ными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел: (I) Аксиомы сложения Определено отображение (операция сложения) 4-: К х ЛС -> сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х, у из Ж неко- некоторый элемент х + у Е Ж, называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия: 1+. Существует нейтральный элемент 0 (называемый в случае сло- сложения нулем) такой, что для любого х Е 2+. Для любого элемента х Е Ж имеется элемент -iEl, называемый противоположным к х, такой, что х 4- (—х) = (—х) 4- х = 0. 3+. Операция 4- ассоциативна, т. е. для любых элементов х, у, z из выполнено х + (у~+ z) = (х 4- у) 4- z. 4+. Операция 4- коммутативна, т. е. для любых элементов ж, у из выполнено х 4- у = у 4- х. Если на каком-то множестве G определена операция, удовлетворяющая ак- аксиомам 1+, 2+, 3+, то говорят, что на G задана структура группы или что G есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие 4+, то группу называют коммутативной или абелевойг\ Итак, аксиомы 1+— 4+ говорят, что Ш есть аддитивная абелева группа. (II) Аксиомы умножения Определено отображение (операция умножения) сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х,у) элементов я, у из Е не- некоторый элемент х • у Е Ж, называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия: 1^Н. X. Абель A802 — 1829) — замечательный норвежский математик, доказавший не- неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений выше четвертой степени.
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 35 #. Существует нейтральный элемент 1 Е Е \ О {называемый в случае умножения единицей) такой, что Vx E х •1 = 1 • х = х. 2#. Для любого элемента х Е Е\0 имеется элемент х Е Е, называемый обратным, такой, что х • х~1 — х~1 • х = 1. 3#. Операция • ассоциативна, т. е. для любых х, у, z из х- (у- z) = (х-у) • z. 4#. Операция • коммутативна, т. е. для любых х, у из х - у = у • х. Заметим, что по отношению к операции умножения множество Е \ 0, как можно проверить, является (мультипликативной) группой. (I, II) Связь сложения и умножения Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. Vx, у, z G Ш (х 4- y)z — xz + yz. Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство со- сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей. Если на каком-то множестве G действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то G называется алгебраическим полем или просто полем. (III) Аксиомы порядка Между элементами Ш имеется отношение ^, т. е. для элементов х, у из Ж установлено, выполняется ли х ^ у или нет. При этом должны удо- удовлетворяться следующие условия: . Vx G Е (х ^ х). ^ У) Л (у ^ х) => (х = у). ^y)A(y^z)=> (x^z). . Vx G E V</ ? E (x ^ y) V (у ^ x). Отношение $J в Е называется отношением неравенства. Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0^, 1^, 2^, как известно, называют частично упо- упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3^, т. е. любые два элемен- элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.
36 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено от- отношением неравенства между его элементами. (I, III) Связь сложения и порядка в Если х, у, z — элементы Е, то (х ^ у) => (х + z ^ у + z). (II, III) Связь умножения и порядка в Если х, у — элементы Е, то х) Л ((К </) => (IV) Аксиома полноты (непрерывности) Если X и Y — непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов х Е X и у € Y выполнено х $С у, то существует такое с Е М, что х ^ с ^у для любых элементов х (Е X и у Е Y. Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел. Это определение формально не предполагает никакой предварительной ин- информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хоте- хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний. Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, куби- кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональ- рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диа- диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» («меньше»); что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии. Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса. Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует ли^множество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворе- непротиворечивости аксиоматики. Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математиче- математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 37 Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем Ед и Ев, удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами 1ЕЦ, Е# можно уста- установить биективное соответствие, пусть /: Ед —> Rb ? сохраняющее арифмети- арифметические операции и отношение порядка, т. е. Я*-у) = /(*)¦/(у), х ^ у О /(*) ^ /(у). С математической точки зрения Ед и Ев в таком случае являются всего- навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, Ед — бесконечные десятичные дроби, а Шв — точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморф- изоморфными, а отображение / — изоморфизмом. Результаты математической дея- деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики. Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них. Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики все- всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно по- построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечислен- перечисленным свойствам. Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа. 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел. Покажем на примерах, как известные свойства чисел получаются из приведенных аксиом. а. Следствия аксиом сложения 1° В множестве действительных чисел имеется только один нуль. < Если 0] и О2 — нули в Е, то по определению нуля d = 0i 4- 02 = 02 + 0i = 02. > 2° В множестве действительных чисел у каждого элемента имеется единственный противоположный элемент. < Если х\ и Х2 — элементы, противоположные х Е Е, то = х\ + 0 = х\ + (х 4- х2) = (xi 4- х) + Х2 = 0 4- х2 = х2. >
38 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Здесь мы использовали последовательно определение нуля, определение противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определение противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля. 3° Уравнение а 4- х = 6 в Ш имеет и притом единственное решение х = 6 4- (—а). < Это вытекает из существования и единственности у каждого элемента а Е Ш противоположного ему элемента: (а 4- х = 6) <=> ((ж 4- а) 4- (-а) = 6 4- (-а)) <Ф(х + (а + (-а)) = 6 4- (-а)) <=> (х + 0 = 6 4- (-а)) <=> (х = 6+ (-а)). > Выражение 6 4- (—а) записывают также в виде 6 — а. Этой более короткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться. b. Следствия аксиом умножения 1° В множестве действительных чисел имеется только одна единица. 2° Для каждого числа х ф О имеется только один обратный элемент х~х. 3° Уравнение ах = 6 при а е Ш\0 имеет и притом единственное решение х = 6 • а. Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказательства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим. c. Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привлекая до- дополнительно аксиому (I, II), связывающую сложение и умножение, получаем дальнейшие следствия. Г Для любого xeR х • О = 0 • х = 0. < (х • 0 = х - @ 4- 0) = х • 0 4- х • 0) => (х • 0 = х • 0 4- (-(ж • 0)) = 0). > Отсюда, между прочим, видно, что если х е К \ 0, то х бМ\0. 2° (z-2/ = O)=>(z = O)VB/ = O). < Если, например, у ф 0, то из единственности решения уравнения ху = 0 относительно х находим х = 0 у~х =0. > 3° Для любого xeR —х = (—1) • х. < х 4- (—1) • х = A 4- (—1)) х = 0х = х-0 = 0, и утверждение следует из единственности противоположного элемента. >
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 39 4° Для любого числа х << Следует из 3° и единственности элемента х, противоположного — х. > 5° Для любого числа жбМ (—х)(—х) = х • х. < (-*)(-*) = ((-1) • х)(-х) = (х • (-1))(-х) = х((-1)(-х)) = х • х. Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утверждениями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения. > d. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение х ^ у (читается ах меньше или равно ?/») записывают также в виде у ^ х («у больше или равно х»); отношение х ^ у при х ф у записывают в виде х < у (чи- (читается «х меньше у») или в виде у > х («у больше х») и называют строгим неравенством. 1° Для любых х, у Е К всегда имеет место в точности одно из соотно- соотношений: х < 2/, х = 2/, х > у. < Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиом и 3<. > 2° Для любых чисел х, у, z из (х < у) Л (у ^ z) => (х < z), ^ у) Л (у < z) => (х < z). ^ Приведем для примера доказательство последнего утверждения. По аксиоме 2^ транзитивности отношения неравенства имеем х ^ у) Л (у < z) «Ф (х ^ у) Л (у ^ z) Л (у ф z) => (х ^ *). Осталось проверить, что х ф z. Но в противном случае (х ^ у) Л (у < г) О (z ^ у) Л (у <г)о^^у)Л(у<^г)Л(уф z), В силу аксиомы 1^ отсюда следует (у = г)/\{уф z) — противоречие. >
40 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умножением. Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка использовать аксиомы (I, III), (II, III), связывающие порядок с арифметическими операци- операциями, то можно получить, например, следующие утверждения: 1° Для любых чисел х, у, z, w из (х < у) => (х 4- z) < (у + z), @ < х) => (-ж < 0), (х ^ у) Л (z ^ w) => (х 4- z ^ у 4- w), (х ^ у) Л (z < w) =>> (х -f z < у 4- w). < Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме (I, III) имеем + z). Остается проверить, что х + z фу 4- z. В самом деле, ((ж 4- z) = (у 4- z)) =» (ж = (?/ + *) - z = у + (z ~ z) = 2/), что несовместимо с условием а; < у. > ж, у, z — числа из Е, шо @ < х) Л @ < у) => @ < яг/), (ж < 0) Л (у < 0) => @ < ху), (х < 0) Л @ < у) => (ху < 0), Л @ < z) => (xz < 2/z), ж < 2/) Л (z < 0) => B/z < xz). < Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого нера- неравенства и аксиоме (II, III) @ < х) Л @ < у) => @ ^ х) Л @ ^ у) =» @ ^ Ж2/). Кроме того, 0 ^ ^2/, поскольку, как уже было показано, (х • у = 0) => (ж = 0) V (у = 0). * Проверим еще, например, и третье утверждение: (х < 0) Л @ < у) => @ < -х) Л @ < у) => =» @ < (-»)_;») =>(<>< ((-1) • х)у) => ,=>''@ < (-1) • (ху)) =»¦ @ < -(ху)) => (ху < 0). >
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 41 Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно осталь- остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из скобок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части. 3° 0 < 1. <4 1 е R\0, т. е. Оф 1. Если предположить, что 1 < 0, то по только что доказанному A < 0) Л A < 0) =* @ < 1 • 1) =» @ < 1). Но мы знаем, что для любой пары чисел х,у еШ реализуется и притом только одна из возможностей: х < у, х = у, х > у. Поскольку 0 ф 1, а предполо- предположение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению 0 < 1, то остается единственная возможность, указанная в утверждении. > 4° @ < х) => @ < х) и @ < х) Л (х < у) => @ < у'1) Л (у < ж). < Проверим первое из этих утверждений. Прежде всего, х ф 0. Предположив, что х < 0, получим (х~х < 0) Л @ < х) => (х • х < 0) => (К 0). Это противоречие завершает доказательство. > Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положительны- положительными, а числа меньшие нуля — отрицательными. Таким образом, мы доказали, например, что единица — положительное число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, а величина, обратная положительному числу, также положи- положительна. 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества Определение 2. Говорят, что множество X С Ш ограничено сверху (снизу), если существует число с Е К такое, что х ^ с (соответственно, с ^ х) для любого х Е X. Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) грани- границей множества X или также мажорантой (минорантой) множества X. Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называ- называется ограниченным. Определение 4. Элемент а Е X называется наибольшим или макси- максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества X С Е, если х ^ а (соответственно, а ^ х) для любого элемента х G X.
42 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно: (а = maxX) := (а 6 X Л Vx е X (х ^ а)), (а = min X) := (а € X Л Vx € X (а ^ х)). Наряду с обозначениями maxX (читается «максимум X») и minX (чита- (читается «минимум X»), в том же смысле используются соответственно символы тахх и minx. Из аксиомы 1^ порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один. Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максималь- максимальный (минимальный) элемент. Например, множество Х = {хЕЕ|0^х<1} имеет минимальный эле- элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента. Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество 1С I сверху, называется верхней гранью (или точной верхней границей) множества X и обозначается supX (читается «супремум X») или sup x. хех Это основное определение настоящего пункта. Итак, = supX:= VxeX ((x^s)A(Vs'<s Эх'еХ (s1 < х1))). В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написало, что s ограничивает X сверху; вторая скобка говорит, что s — минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее 5, уже не является верхней границей X. Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней границы) множества X как наибольшей из нижних границ множества X. Определение 6. z = infX:= VxeX ((г ^ х) Л (Уг < г' Зх1 е X (х'<г'))). Наряду с обозначением inf X (читается «инфимум X») для нижней грани X употребляется также обозначение inf x. Таким образом, даны следующие определения: supX :=min{cG R|Vx e X (х ^ с)}, infX :=max{ce R\Vx e X (с ^ х)}. Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и ниж- нижней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую доста- доставляет следующая
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 43 Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единствен- единственную верхнюю грань, М Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней гра- грани. Пусть X С Ш — данное подмножество, a Y = {у Е Ш\ Vx E X (х ^ у)} — множество верхних границ X. По условию, X ф 0 nY ф 0. Тогда в силу ак- аксиомы полноты существует число с Е К такое, что Vx G X Vj/ G Y (x ^ с ^у). Число с, таким образом, является мажорантой X и минорантой Y. Как мажо- мажоранта X, число с является элементом У, но как миноранта F, число с является минимальным элементом множества У. Итак, с = иипУ = supX. > Конечно, аналогично доказывается существование и единственность ниж- нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет место Лемма. (X ограничено снизу) => C! inf X). На доказательстве мы не останавливаемся. Теперь вернемся к множеству X = {zGlR|0^#<l}. В силу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому определению множества X и определению верхней грани очевидно, что supX ^ 1. Для того чтобы доказать, что supX = 1, таким образом, необходимо про- проверить, что для любого числа q < 1 найдется число х е X такое, что q < я, т. е., попросту, что между q и 1 есть еще числа. Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что q < 2~x(q + 1) < 1), но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последовательно и подробно. Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минимальным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем inf X = 0. Другие, более содержательные примеры использования введенных здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе. §2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индукции а. Определение множества натуральных чисел. Числа вида 1, 1 + 1, A + 1) + 1 и т. д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3 и т. д. и называют натуральными числами. Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет полное представление о натуральных числах, включая их запись, например, в деся- десятичной системе счисления.
44 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однозначным, поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточнения, которое доставляет фундаментальный принцип математической индукции. Определение 1. Множество X С К называется индуктивным, если вместе с каждым числом х Е X ему принадлежит также число х 4-1. Например, К является индуктивным множеством; множество положитель- положительных чисел также является индуктивным множеством. Пересечение X = f] Xa любого семейства индуктивных множеств Ха, если оно непусто, является индуктивным множеством. Действительно, (x € X = П Ха) => (Va € A (x 6 Xa)) => ^v ?• Уч =» (Va Gi((x + 1N Xa)) =» ((я + 1) € П Xe = Л"). Теперь примем следующее Определение 2. Множеством натуральных чисел называется наимень- наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, т. е. пересечение всех индуктив- индуктивных множеств, содержащих число 1. Множество натуральных чисел обозначают символом N; его элементы на- называются натуральными числами. С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее нату- натуральные числа начинать с 0, т. е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако нам удобнее на- начинать нумерацию числом 1. Следующий фундаментальный и широко используемый принцип является прямым следствием определения множества натуральных чисел. Ь. Принцип математической индукции Если подмножество Е множества натуральных чисел N таково, что 1 6 Е и вместе с числом х Е Е множеству Е принадлежит число х 4-1, то Итак, (Е С N) Л A е Е) Л (Vx в Е (х е Е =» (х 4-1) € Е)) => Е = N. Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью не- несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств натураль- натуральных чисел. 1° Сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными чи- числами.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 45 4 Пусть m,n6N; покажем, что (т + п) Е N. Обозначим через Е множе- множество тех натуральных чисел п, для которых (m + n) Е N при любом т Е N. Тогда 1 Е Е, поскольку (m Е N) => ((ш + 1) Е N) для любого т Е N. Если п Е Е, т. е. (m+n) Е N, то и (п+1) 6 Е, так как (m+ (n+1)) = ((m-hn) + l) Е N. По принципу индукции Е = N, и мы доказали, что сложение не выводит за пределы N. Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чисел п, для которых (ш • п) Е N при любом т Е N, находим, что 1 Е Е, так как m • 1 = m, и если п Е 13, т. е. т • n E N, то m • (п Н-1) = mn -f m есть сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит N. Таким образом, (п Е Е) =Ф =^ ((п 4-1) Е Е) и по принципу индукции 1? = N. > 2° Покажем, что (n E N) Л (п # 1) => ((п - 1) Е N). < Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида п — 1, где п — нату- натуральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = N. Поскольку 1 Е N, то 2 := A + 1) Е N, а значит, 1 = B - 1) Е ?. Если m Е Е, то m = п — 1, где п Е N; тогда т 4-1 = (п +1) — 1 и, поскольку (п + 1) Е N, имеем (т + 1) Е J5. По принципу индукции заключаем: Е = N. > 3° Длл любого п Е N б множестве {х Е N | п < ж} есть минимальный элемент, причем min {ж Е N | п < ж} = п + 1. <* Покажем, что множество JS тех n E N, для которых утверждение спра- справедливо, совпадает с N. Сначала проверим, что 1 Е Е, т. е. min {ж Е N| 1 < х} = 2. Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции. Пусть По определению М имеем 1 Е М. Далее, если х Е М, то либо ж = 1и тогда ж + 1 = 2 € М, либо 2 ^ х, тогда 2 ^ (ж + 1) и снова (х + 1) Е М. Таким образом, М = N и, значит, если (ж ^ 1)Л(# Е N), то 2 ^ я, т. е. действительно min{x Е N11 < х} = 2. Итак, 1 Е ?. Покажем теперь, что если п Е JS, то и (п + 1) Е В самом деле, если xE{xEN|n-hl< я}, то .(ж — 1) =i/ € 0/EN|n < ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому (п + 1 < х) =Ф A < х) => (х ^ 1), а тогда в силу утверждения 2° (х — 1) = ?/ Е N. Если п Е Е, то min {2/ Е N| n < 2/} = n+1, т. е. ж-1 ^? Значит, Е {х Е N | п 4-1 < ж}) =*> (х ^ п + 2)
46 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА и, следовательно, min {х G N | п + 1 < х} = п + 2, т. е. (п + 1) G По принципу индукции 2? = N, и утверждение 3° доказано. > В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2° и 3° получаем следующие свойства 4°, 5°, 6° натуральных чисел: 4° 5° Число (п + 1) G N непосредственно следует в N за натуральным чи- числом п, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию п < х < < п + 1, еслтг п G N. 6° #слг* n б N « п / 1, то число (n — 1) G N г* (п — 1) непосредственно предшествует числу п в N, т. е. кет натуральных чисел х, удовлетворяю- удовлетворяющих условию п — 1 < х < п, если п G N. 7° Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент. <4 Пусть М С N. Если 1 G М, то min М = 1, поскольку Vrc G N A ^ п). Пусть теперь 1 ? М, т. е. 1 G Е = N \ М. В множестве Е должно найтись такое натуральное число п Е Е, что все натуральные числа, не превосходя- превосходящие гг, лежат в Е, а (п + 1) G М. Если бы такого п не было, то множе- множество Е с N, содержащее единицу, вместе с п € Е содержало бы и (п + 1) и по принципу индукции совпадало бы с N. Последнее невозможно, поскольку N\E = M ф0. Найденное число (n-f 1) G М и будет минимальным в М, поскольку между пип + 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. > 2. Рациональные и иррациональные числа а. Целые числа Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множе- множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется мно- множеством целых чисел и обозначается символом Z. Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы N, то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества Z. < Действительно, если т^п G Z, то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма т + п равна другому числу, т. е. (ш 4- п) G Z, а произведение m • п = О G Z, либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо т, п G N и тогда (ш + п) G N С Ъ и (т • п) G N С Z, либо (-m), (-n) G N и тогда mn = ((-l)m)((—l)n) G N, либо (—m),n G N и тогда (-m-n) G N, т. е. m • n G Z, либо, наконец, m, —n G N и тогда (—т • n) G N и снова m • n G Z. > Таким образом, Z есть аб&яева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество Z и даже Z \ 0 не являет- является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в Z (кроме числа, обратного единице и минус единице).
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 47 •4 Действительно, если т Е Z и m ^ 0, 1, то, считая сначала т Е N, имеем 0 < 1 < ш и, поскольку m • га = 1 > 0, должно быть 0 < т~1 < 1 (см. в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким образом, га ? Z. Случай, когда т — отрицательное целое число, отличное от — 1, непосредственно сводится к уже разобранному. > В том случае, когда для чисел m,n E Z число к = т • n~l Е Z, т. е. когда т = к-Пу где к Е Z, говорят, что целое число ш делится на целое число п или кратно п, или что п есть делитель т. Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е. домно- жением на — 1, если в этом есть необходимость, немедленно приводится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и изу- изучается в арифметике. Напомним без доказательства так называемую основную теорему арифме- арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваться. Число р Е N, р ф 1, называется простым, если в N у него нет делителей, отличных от 1 и р. Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число до- допускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножителей) представление в виде произведения п = pi... pk, где piy ..., р^ — простые числа. Числа m, n E Z называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от 1 и —1. Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение т • п взаимно простых чисел т, п делится на простое число р, то одно из чисел т, п также делится на р. Ь. Рациональные числа Определение 4. Числа вида т • п, где m, n E Z, называются рацио- рациональными. Множество рациональных чисел обозначается знаком Q. Таким образом, упорядоченная пара (ш, п) целых чисел определяет рацио- рациональное число q = т • п, если п ф 0. Число q = т п~1 записывают также в виде отношения1) тип или так называемой рациональной дроби —. п Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой фор- форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из х) Обозначение Q — по начальной букве англ. quotient — отношение (от лат. quota — часть, приходящаяся на единицу чего-либо, и quot — сколько).
48 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В част- частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же от- личное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби —г- и пк — представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку (nk)(k-ln-1) = 1, т. е. (п • А;) = А; • п, то {тк){пк)-1 = (тк^к^п'1) = = т • п~1. Таким образом, различные упорядоченные пары (т,п) и (тк.пк) задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соответствующих сокращений любое рациональное число можно задать упорядоченной парой взаимно простых целых чисел. С другой стороны, если пары (mi,ni) и G712,^2) задают одно и то же рациональное число, т. е. rai-nj = шг-п^1, то т\П2 = гп2П\, и если, например, 77ii и rii взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики П2 • щ1 = т2 • mj = к € Ъ. Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (mi,ni), G712,712) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число к Е Z такое, что, например, 7712 = кт\ И П2 = kn\. с. Иррациональные числа Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональны- рациональными, называются иррациональными. Классическим примером иррационального действительного числа является \/2, т. е. число s € R такое, что s > 0 и s2 = 2. Иррациональность у/2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действи- действительное число s € М, квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что s ? Q. < Пусть X viY — множества положительных действительных чисел такие, что Ухе X (х2 < 2), Vj/ € Y B < у2). Поскольку l€X, a2eF, тоХиУ — непустые множества. Далее, поскольку для положительных х и у (х < у) <^ (х2 < у2), то любой элемент х € X меньше любого элемента у € Y. По аксиоме полноты сущест- существует число s e R такое, что х ^ s ^ у для Vx 6 X и Vy € F. Покажем, что s2 = 2. 9 — 2 Если бы было s2 < 2, то, например, квадрат числа s H ^-, большего os чем 5, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 б X, поэтому I2 ^ s2 < 2 и = 2-52<1. Значит,
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 49 Следовательно, Is 4- r-J € X, что несовместимо с неравенством х ^ s для любого элемента х € X. 2 _ л Если бы было 2 < s2, то, например, квадрат числа s —, меньшего oS чем s, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 € У, поэтому 2 < s2 ^ 22 или = s2-2<3 и 0<у<1. Отсюда и мы вступаем в противоречие с тем, что s ограничивает множество Y снизу. Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: s2 = 2. ТЭТ ТЭТ ТЭТ Покажем, наконец, что s Ф Q. Предположим, что s € Q, и пусть п несократимое представление s. Тогда т2 = 2-п2, следовательно, т2, а значит, и m делится на 2. Но если т = 2&, то 2&2 = п2 и по той же причине п должно 7Т7. 7Т7. делиться на 2, что противоречит несократимости дроби —. > п Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррацио- иррациональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все дей- действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел. Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраиче- алгебраические иррациональности и трансцендентные числа. Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения а>охп •+... + ап-\х + ап = О с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами. В противном случае число называется трансцендентным. Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцен- трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности. Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометри- геометрическое число тг является трансцендентным1), а одна из знаменитых проблем XJn — число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее диаме- диаметру. Отсюда общепринятое с XIII века обозначение этого числа начальной буквой греческо- греческого слова nepupepia — периферия (окружность). Трансцендентность тг доказана немецким математиком Ф. Линдеманом A852 — 1939). Из трансцендентности тг, в частности, вытека- вытекает невозможность построения циркулем и линейкой отрезка длины тг (задача о спрямлении окружности), как и неразрешимость этими средствами древней задачи о квадратуре круга.
50 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Гильберта1) состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа а^, где а — алгебраическое, (а > 0) Л (а ф 1), a /3 — алгебраическое иррациональное число (например, а — 2, /3 = л/2). 3. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретическом от- отношении, так и в плане конкретного использования чисел при измерениях и вычислениях принципу Архимеда2). Мы докажем его, опираясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верхней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел этот фундаментальный прин- принцип часто включают в список аксиом. Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о натураль- натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому полноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности, отражает свойства на- натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой полноты. С этих свойств мы и начнем. 1° В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества натуральных чисел имеется максимальный элемент. < Если Е С N — рассматриваемое множество, то по лемме о верхней грани 3! sup Е = s € М. По определению верхней грани, в Е найдется натуральное число п € Е, удовлетворяющее условию s — 1 < п ^ s. Тогда п = max 2?, поскольку все натуральные числа, которые больше п, не меньше п + 1, а 71+ 1 > 5. > Следствия. 2° Множество натуральных чисел не ограничено сверху. < В противном случае существовало бы максимальное натуральное число. Но п < п + 1. > 3° В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел имеется максимальный элемент. Ч Можно дословно повторить доказательство утверждения 1°, заменяя N на Z. > 4° В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множества целых чисел имеется минимальный элемент. < Можно, например, повторить доказательство утверждения 1°, заменяя N на Z и используя вместо леммы о верхней грани лемму о существовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества. х' Д. Гильберт A862 — 1943) — выдающийся немецкий математик, сформулировавший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впоследствии название «проблем Гильберта». Вопрос, о котором идет речь в тексте (седьмая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934 г. советским математиком А. О. Гельфондом A906 — 1968) и немецким математиком Т. Шнайдером A911 — 1989). 2) Архимед B87 — 212 гг. до н. э.) — гениальный греческий ученый, про которого один из основоположников анализа Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды Архимеда, пе- перестаешь удивляться успехам современных математиков».
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 51 Можно также перейти к противоположным числам («поменять знаки») и воспользоваться уже доказанным в 3°. > 5° Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу. < Вытекает из 3° и 4° или прямо из 2°. > Теперь сформулируем 6° Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное положи- положительное число h, то для любого действительного числа х найдется и при- притом единственное целое число к такое, что (к — l)h ^ х < kh. < Поскольку Z не ограничено сверху, множество jn € Z г <п\ ~ непу- непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел. Тогда (см. 4°) в нем есть минимальный элемент к, т. е. (& — 1) ^ x/h < к. Поскольку h > О, эти неравенства эквивалентны приведенным в формулировке прин- принципа Архимеда. Единственность к Е Z, удовлетворяющего двум последним неравенствам, следует из единственности минимального элемента числового множества (см. § 1, п. 3). > Некоторые следствия: 7° Для любого положительного числа е существует натуральное число п такое, что 0 < — < е. п Ч По принципу Архимеда найдется п € Z такое, что 1 < е • п. Поскольку О < 1 и 0 < е, имеем 0 < п. Таким образом, пбМиО<-<е. > п 8° Если число х € М таково, что О ^ х и для любого п 6 N выполнено х < —, то х = 0. 71 Ч Соотношение 0 < х невозможно в силу утверждения 7°. > 9° Для любых чисел а, 6 G Ш таких, что а < Ь, найдется рациональное число г € Q такое, что а < г < Ь. < Учитывая 7°, подберем п 6 N так, что 0 < - < 6 — а. По принципу п Архимеда найдем такое число т € Z, что т ~ ^ а < —. Тогда — < 6, ибо в п п п противном случае мы имели бы ^ а < Ь ^ —, откуда следовало бы, что п п - > Ь - а. Таким образом, г=-еОио<-<6. > 71 71 71 10° Для любого числа х ? Ж существует и притом единственное целое число к € Z такое, что к ^ х < к + 1. < Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда. > Указанное число к обозначается [х] и называется целой частью числа.х. Величина {х} := х — [х] называется дробной частью числа х. Итак, х = = [х] + {я}, причем {х} ^ 0. 3 Зорич В. А.
52 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами а. Числовая ось. По отношению к действительным числам часто исполь- используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоятельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой L и множеством Е вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие /: L —> Е. Причем это соответствие свя- связано с движениями прямой. А именно, если Т — параллельный перенос пря- прямой L по себе, то существует число t € Е (зависящее только от Т) такое, что f(T(x)) = f(x) + t для любой точки xGL. Число /(я), соответствующее точке х € L, называется координатой точ- точки х. Ввиду взаимной однозначности отображения / : L —> Е координату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы «отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1». Прямую L при наличии указанного соответствия / : L —> Е называют координатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биективности / само множество Е вещественных чисел также часто называют числовой прямой, а его элемен- элементы — точками числовой прямой. Как отмечалось, биективное отображение /: L —> Е, задающее на L коор- координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты образов точек прямой L отличаются от координат самих точек на одну и ту же величину t € Е. Ввиду этого / полностью определяется указанием точки с координа- координатой 0 и точки с координатой 1 или, короче, точки нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определяемый этими точками, называется единичным отрезком. Направление, определяемое лучом с вершиной 0, содер- содержащим точку 1, называется положительным, а движение в этом направлении (от 0 к 1) — движением слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее 0, а 0 — левее 1. При параллельном переносе Т, переводящем начало координат хо в точ- точку Х\ — Т(хо) с координатой 1, координаты образов всех точек на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку x<i — Т{х\) с ко- координатой 2, точку х^ = Т(х2) координатой 3, ... , точку zn+i = T(xn) с координатой п + 1, а также точку Х-\ = Т~г(хо) с координатой —1, ... , точ- точку Х-п-1 — Т~1(х-п) с координатой — п — 1. Таким образом, получаем все точки с целыми координатами m 6 Ъ. Умея удваивать, утраивать, ... единичный отрезок, по теореме Фалеса его же можно разбить на соответствующее число п конгруэнтных отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало координат, для координаты х другого конца имеем уравнение п • х — 1, т. е. х =*—. Отсюда m n находим все точки с рациональными координатами — € Q. п Но останутся еще точки L, ведь есть же отрезки, несоизмеримые с единич- единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой) разбивает пря-
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 53 мую на два луча, на каждом из которых есть точки с целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного геометрического принципа Архиме- Архимеда). Таким образам, точка производит разбиение или, как говорят, сечение Q на два непустых множества X и У, отвечающие рациональным точкам (точ- (точкам с рациональными координатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется чцсло с, разделяющее X и Y, т. е. х ^ с ^ у для ViGXh \/у е Y. Поскольку X U Y = Q, то supX = s = i = inf F, ибо в противном случае s < г и между s и г нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в X, ни в Y. Таким образом, s = г = с. Это однозначно определенное число с и ставится в соответствие указанной точке прямой. Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставляет нагляд- наглядную модель как отношению порядка в Е (отсюда и термин «линейная упорядо- упорядоченность»), так и аксиоме полноты, или непрерывности Е, которая на геоме- геометрическом языке означает, что в прямой L «нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (такое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой L). Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отображения / : L -> Е, поскольку геометрическую интерпретацию множества действи- действительных чисел мы будем привлекать исключительно для наглядности и для возможного подключения весьма полезной геометрической интуиции читате- читателя. Что же касается формальных доказательств, то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов, который мы уже получили из ак- аксиоматики действительных чисел, либо непосредственно на эту аксиоматику. Геометрический же язык мы будем использовать постоянно. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже число- числовых множеств: ]а, Ь[ := {х € Е | а < х < Ь} — интервал аЪ\ [а, Ь] := {х € Е | а ^ х ^ 6} — отрезок а&; ]а,Ь]:={хбЕ|а<х^6} — полуинтервал аб, содержащий конец 6; [а, Ь[ := {х € Е | а ^ х < 6} — полуинтервал ab, содержащий конец а. Определение б. Интервалы, отрезки и полуинтервалы называются числовыми промежутками или просто промежутками. Числа, определяющие промежуток, называются его концами. Величина Ь — а называется длиной промежутка ab. Если / — некоторый промежуток, то длину его мы будем обозначать через |/| (происхождение та- такого обозначения вскоре станет понятным). Множества ]а,+оо[ := {х € Е|а < я}, ]-оо,Ь[ := {х € Е|х < 6}, [а, +оо[ := {х е Е | а ^ я}, ]-оо, Ь] := {х ? Е | х ^ 6}, а также ]—оо, +оо[ := Е, принято называть неограниченными промежутками.
54 ГЛ, II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА В соответствии с таким употреблением символов +оо (читается «плюс бес- бесконечность») и —оо (читается «минус бесконечность») для обозначения неогра- неограниченности числового множества X сверху (снизу), принято писать supX = = +00 (infX = —оо). Определение 7. Интервал, содержащий точку х € М, будем называть окрестностью этой точки. В частности, при 8 > 0 интервал ]х — 6, х + 6[ называется S-окрестностью точки х. Его длина 28. Расстояние между числами х, у € М измеряется длиной промежутка, кон- концами которого они являются. Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. х < у или у < х, и чему равна длина, у — х или х — у, можно использовать полезную функцию х при х > О, \х\ = < 0 при х = О, k —х при х < О, называемую модулем или абсолютной величиной числа. Определение 8. Расстоянием между х, у € Ж называется величина Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении х и у; расстояние от х до у и от у до х одно и то же, ибо \х — у\ = \у — х\; наконец, если z € М, то \х — у\ ^ \х — z\ + |z — j/|, т. е. имеет место так называемое неравенство треугольника. Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величины чи- числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо получается из предыдущего при z = 0 и замене у на —у). А именно, для любых чисел х, у справедливо неравенство \х + у\ ^ причем равенство в нем имеет место в том и только в том случае, когда оба числа х, у неотрицательны или неположительны. Ч Если 0 ^ х и 0 ^ у, то 0 ^ х + у, \х + у\ = х + у, \х\ = х, \у\ = у и равенство установлено. Если х ^ 0 и у ^ 0, то х + у ^ 0, \х + у\ = -(х + ?/) = -х - ?/, |ж| = —ж, |?/| = —2/ и опять равенство имеет место. Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно, напри- например, х < 0 < у. Тогда либо х < х + у ^ 0, либо 0 ^ х + у < у. В первом случае \х + у\ < |я|, во втором \х + у\ < \у\, т. е. в обоих случаях \х + у\ < \х\ + \у\. >
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 55 Используя принцип индукции, можно проверить, что \х\ + ... -Ь хп\ ^ \х\\ + • • • 4- \х причем равенство имеет место, если и только если все числа х\, ..., хп одно- одновременно неотрицательны или одновременно неположительны. Число ^—— часто называется серединой или центром промежутка с кон- цами а, 6, поскольку оно равноудалено от концов промежутка. В частности, точка х € R является центром своей <5-окрестности ]х—<5, я+<5[ и все точки <5-окрестности удалены от х меньше чем на S. Ъ. Задание числа последовательностью приближений. Измеряя ре- реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как правило, ме- меняется при повторном измерении, особенно если изменить инструмент или метод измерения. Таким образом, результатом измерения обычно является некоторое приближенное значение искомой величины. Качество или точность измерения характеризуется, например, величиной возможного уклонения ис- истинного значения величины от ее значения, полученного в результате изме- измерения. При этом может случиться, что точное значение величины (если оно в принципе существует) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструктивную позицию, можно (или следует) считать, что мы впол- вполне знаем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с после- последовательностью1) все более точных его приближений числами, получаемыми при измерении. Но всякое измерение есть конечная совокупность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним его частью, поэтому результат измерения должен выражаться натуральными, целыми или, более общо, ра- рациональными числами. Значит, последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать все множество вещественных чисел, построив после должного анализа математическую копию или, лучше сказать, модель того, что делают с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описа- описании. А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых вели- величин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда, правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких действий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились с точными значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос). Отождествив число с последовательностью его приближенных значений, мы, таким образом, желая, например, сложить два числа, должны складывать последовательности их приближенных значений. Получающуюся при этом но- новую последовательность чисел надо считать новым числом, называемым сум- суммой первых двух. Но число ли это? Деликатность вопроса состоит в том, что 1^Если п — номер измерения, а хп — результат измерения, то соответствие п ь-> хп есть не что иное, как функция / : N —> R натурального аргумента, т. е., по определению, последовательность (в данном случае последовательность чисел). Подробному изучению числовых последовательностей посвящен § 1 гл. III.
56 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА не каждая случайным образом построенная последовательность служит по- последовательностью сколь угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходимо еще научиться по самой последовательности узнавать, представляет она некоторое число или нет. Другой вопрос, который возни- возникает при попытке математического копирования операций с приближенными числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть последо- последовательностями приближений одной и той же величины. Соотношение между последовательностями приближений, определяющими число, и самими числа- числами примерно такое же, как между точкой на карте и указкой, которая указы- указывает нам эту точку. Положение указки определяет точку, но точка определяет положение только конца указки, не мешая взять указку по-другому, поудоб- поудобнее. Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чисел еще О. Ко- Коши1'. Надо надеяться, что после изучения теории пределов вы будете в состо- состоянии самостоятельно повторить эти конструкции Коши. Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математическую стро- строгость. Цель этого неформального отступления — обратить внимание читателя на принципиальную возможность одновременного существования различных естественных моделей действительных чисел; я пытался также дать некото- некоторое представление об отношении чисел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль натуральных и рациональных чисел; наконец, мне хо- хотелось показать естественность и необходимость приближенных вычислений. Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым в даль- дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым, но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических операциях над приближенными величинами. Переходим к точным формулировкам. Определение 9. Если х — точное значение некоторой величины, а х — известное приближенное значение той же величины, то числа := \х — ж|, 8(x) :¦ х\ называются соответственно абсолютной и относительной погрешностью приближения х. Относительная погрешность при х = 0 не определена. Поскольку значение х неизвестно, значения А(х) и 8(х) также неизвест- неизвестны. Однако обычно бывают известны оценки сверху Д(я) < А, 8(х) < 8 этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или относительная погреш- погрешность приближения х не превосходит Д или 8 соответственно. На практике х) О. Коши A789 — 1857) — французский математик, один из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического анализа.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 57 приходится иметь дело только с оценками погрешностей, поэтому сами вели- величины Д и S часто называют абсолютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого делать не будем. Запись х = х ± Д означает, что х-Д^х^ж + Д. Например, гравитационная постоянная G = F,670 ± 0,007) • 10~п Н • м2/кг2, скорость света в вакууме с = B99792,4562 ± 0,0001) км/с, постоянная Планка h = F,62517 ± 0,00023) • 10~34 Дж • с, заряд электрона е = A,60206 ± 0,00003) • 10~19 Кл, масса покоя электрона те = (9,1083 ± 0,00003) • 10~31 кг. Основным показателем точности измерения является величина относитель- относительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процентах. Так, в приведенных примерах относительные погрешности не превосходят соответственно 11-Ю; 35-Ю1; 35-Ю; 2-Ю; 33 • 10~7 или, в процентах от результата измерения, 11 • ИГ2 %; 35 • 10~9 %; 35 • 10 %; 2 • КГ3 %; 33 • КГ5 %. Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических операци- операциях с приближенными величинами. Утверждение. Если \х-х\ = Д(х), \у-у\ = то А(х + у) := |(х + »)-(* + jf)| ^ Д(х) + Д(Л), A) А(х • у) := \х • у - х • у| ^ |?| Д(у) + |у|А(х) + Д(х) • Д(у); B) если, кроме того, уф 0, уф 0 и то / ~* ч ^ дт == У У 1 - S(y)
58 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА <4 Пусть х = ж + a, у = у + C. Тогда А(х + у) = |(х + у) - (ж + у)\ = |а + /3| ^ |а| + Щ = Д(х) + Д(у), Д(ж • у) = |я?у - ху\ = \(х + а) (у + /3) - жу | = = \х/3 + уа + а/3\ ^ |х| \/3\ + \у\ \а\ + \а/3\ = = \х\ А(у) + \у\ Д(у), \У/ X У X У + а )у- ху -ух УУ У2 1- 1 1 Т* 1 1 / ¦ 1 ^^— 1111 1 ?*\11 1 1 ™-J 1 1 r-J 1 I 1 *• 1 1 я_Д 1 j. у2 1 - 6(у) У2 1 ~ *5(у) Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следующие оценки относительных погрешностей: / Д(*) + \х + у\ ж • ж- 8(- У 5(х) + 6(у) A') B') C') На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями, А(х) х х А (у) « 0, S(x) • 5(у) « 0, 1 — E(у) « 1, поэтому пользуются соответствую- соответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными вариантами фор- мул B), C), B'), C'): \х\А(у) + \у\А(х) У У2 Формулы C), C') показывают, что надо избегать деления на близкие к ну- нулю или довольно грубые приближения, когда у или 1 — 5(у) малы по абсолютной величине. Формула A;) предостерегает от сложения приближенных величин, если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, поскольку тогда \х + у\ близко к нулю.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 59 Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти. Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором. Точ- Точность измерения ±0,5 см. Перед вторым измерением вам под ноги подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты измерений будут такими: #i = B00 ±0,5) см и Я2 = A99,8 ±0,5) см соответственно. Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разности #2 - #ь из которой только следует, что толщина не больше 0,8 см, что, ко- конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать «отражает») истинное положение вещей. Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистичный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пачки в 1000 листов той же бумаги и получили результат B0 ± 0,5) см, то толщина одного листа @,02 ± 0,0005) см= @,2 ± 0,005) мм, что вытекает из формулы A). То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005 мм, толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого измерения не превышает 0,025 или 2,5%. Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделения сла- слабого периодического сигнала из превышающих его случайных радиопомех, называемых обычно белым шумом. с. Позиционная система счисления. Выше говорилось о том, что каж- каждое число можно задать последовательностью приближающих его рациональ- рациональных чисел. Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, который позволяет единообразно для каждого действительного числа строить такую последовательность рациональных приближений. Этот метод ведет к позици- позиционной системе счисления. Лемма. Если фиксировать число q > 1, то для любого положительного числа iGl найдется и притом единственное целое число k Е Ъ такое, что qk~l ^ х < qk. < Проверим сначала, что множество чисел вида qk, k Е N, не ограничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань 5 и по определению верхней грани нашлось бы натуральное число т Е N такое, что - < qm ^ s. Но тогда s < qm+l и s — не верхняя грань нашего множества. Поскольку 1 < д, то qm < qn при т < n, m, n E Z, поэтому мы заодно показали, что для любого числа с G R найдется такое натуральное число N Е N, что при любом натуральном п > N будет с < qn. Отсюда вытекает, что для любого числа е > 0 найдется число М Е N такое, что при всех натуральных т > М будет — < е.
60 ТЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Действительно, достаточно положить c=-,aiV = M; тогда - < qm при га > М. Итак, множество целых чисел п Е Z, удовлетворяющих неравенству х < qm при х > 0, ограничено сризу. Тогда в нем есть минимальный элемент fc, который, очевидно, и будет искомым, так как для него qk~l ^ х < qk. Единственность такого целого числа к следует из того, что если га, п Е Z и, например, га < п, то га ^ п — 1, и поэтому если g > 1, то qm ^ д71. Действительно, из этого замечания видно, что неравенства qm~l ^ х < qm и qn~1 ^ х < qn, из которых следует qn~1 ^ х < qm, несовместны при т ф п. > Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции. Фиксируем q > 1 и возьмем произвольное положительное число х G Е. По лемме найдем единственное число р Е Z такое, что др^ж<др+1. A) Определение 10. Число р, удовлетворяющее соотношению A), назы- называется порядком числа х по основанию q или (при фиксированном q) просто порядком числа х. По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число ар Е N такое, что apqp <^x<apqp +qp. B) Учитывая A), можно утверждать, что apG{l, ...,g — l}. Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг, кото- который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения B). Из соотношения B) и принципа Архимеда следует, что существует и при- притом единственное число ap_i Е {0,1, ..., q - 1} такое, что apqp + ap-i^ <С х < apqp + ар-^р~1 + qp~l. C) Если уже сделано п таких шагов и получено, что apqp х < apqp + ap-nf-1 + ... + ap_n<f ~n + qp~n, то по принципу Архимеда найдется единственное число ap_n_i E {0,1, ... ..., q — 1} такое, что apqp + ... + ap-nqp~n ж Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному числу х однозначно ставится в соответствие последовательность чисел ap, ap_i, ...
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 61 ..., ар_п, ... из множества {0,1,..., q — 1} или, менее формально, последова- последовательность рациональных чисел гп специального вида: rn = apgp + ... + ap_ngp-n, D) причем так, что rn^z<rn + —. E) Иными словами, мы строим всё лучшие приближения снизу и сверху для числа х посредством специальной последовательности рациональных чисел D). Символ ар ... cxv-n - • • есть шифр всей последовательности {гп}. Чтобы по нему можно было восстановить последовательность {гп}, необходимо как-то отметить величину р — порядок числа х. Условились при р ^ 0 после ао ставить точку или запятую; при р < О слева от ар дописывать |р| нулей и после крайнего левого ставить точку или запятую (напомним, что ар ф 0). Например, при q = 10 123,45 := 1 • 102 + 2 • 101 + 3 • 10° + 4 • КГ1 + 5 • ИГ2, 0,00123 := 1 • 10 + 2 • 10 + 3 • ИГ5; при q = 2 1000,001:= 1 Таким образом, значение цифры в символе ар ... ap_n ... зависит от пози- позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой. После этого соглашения символ ар ... ао,... позволяет однозначно восста- восстановить всю последовательность приближений. Из неравенств E) видно (проверьте!), что двум различным числам х, х' от- отвечают различные последовательности {гп}, {г'п}, а значит, и разные символы С*р ... С*О j • • • , ***я ... (Д>г\, • • • Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида ар ... ао,.. • отвечает не- некоторое число х € Е. Оказывается, нет. Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного получения чисел ap_n Е {0,1,..., q — 1} не может случиться так, что все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны q — 1. Действительно, если при п > к гп = apqp + ... + ap-kqp-k + (q - ^ т. е. то в силу E) Г к Н г ^ X < 74 к~Р п~Р qk—p qn—p qk~P
62 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Тогда для любого п > к О < гк + -1Г-7 -х < ,к-р п—р * что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно. Полезно также отметить, что если среди чисел ар-к-\, • •, аР-п хотя бы одно меньше q — 1, то вместо F) можно написать, что 1 1 qk-p qn- или, что то же самое, п + ,п-р <Гк 1 *к-р ' G) Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ ап ... од,..., соста- составленный из чисел ак Е {0,1,..., q — 1}, в котором как угодно далеко встреча- встречаются числа, отличные от q — 1, соответствует некоторому числу х ^ 0. В самом деле, по символу ар ... ар_п ... построим последовательность {гп} вида D). В силу того, что го ^ т\ ^ ... ^ гп ^ ..., а также учитывая F) и G), имеем го ...<... ^ гп + го + (8) Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует понимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого элемента правой последовательности. Это вытекает из G). Если теперь взять х = sup rn (= inf (rn + q~^n~p^)I то последовательность GN rn будет удовлетворять условиям D), E), т. е. символ ар ... ар_п ... отвечает найденному числу х G Е. Итак, каждому положительному числу xGK мы взаимно однозначно со- сопоставили символ вида ар ... од,..., если р ^ 0, или 0,0... 0 ар ..., если р < 0. |р| нулей Он называется q-ичной позиционной записью числа х\ цифры, входящие в сим- символ, называют знаками] позиции знаков относительно запятой называются разрядами. Числу х < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ поло- положительного числа —х. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0... 0... Тем самым завершено построение позиционной q-ичной системы записи действительных чисел. Наиболее употребительными являются десятичная система (в обиходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычислительных машинах).
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 63 Менее распространены, но также используются в элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы. Формулы D), E) показывают, что если в g-ичной записи числа х оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося при этом приближения D) числа х не превысит единицы последнего сохраняемого разряда. Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в подпункте b формулами оценивать погрешности, возникающие при арифметических опе- операциях над числами в результате замены точных значений чисел соответству- соответствующими приближенными значениями вида D). Последнее замечание имеет также определенную теоретическую ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта b мы отождествим веще- вещественное число х с его g-ичной записью, то, научившись выполнять арифме- арифметические действия непосредственно над д-ичными символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-видимому, наиболее ценную с вычи- вычислительной точки зрения. Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, таковы. Надо двум g-ичным символам поставить в соответствие новый символ — сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а именно, складывая все более точные рациональные приближения исходных чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения их суммы. Пользуясь сделан- сделанным выше замечанием, можно показать, что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем получать все больше таких д-ичных знаков суммы, которые уже не меняются при последующем уточнении приближений. Тот же вопрос надо решать и относительно умножения. Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чисел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду. Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в множестве Q рациональных чисел, т. е. с разбиением Q на два не имеющих общих элементов множества А, В таких, что Vo Е A V6 Е В (о < 6). При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда. По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто называют аксиомой Дедекинда. Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел. Показа- Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел. Показано, как из принятой нами аксиоматики1) вытекают основные свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множества действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты теории действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических операциях с приближенными величинами; g-ичная позиционная система счисления. *) Почти в приведенном выше виде она была сформулирована на рубеже XX века Гиль- Гильбертом; см., например, в кн.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948. (Добавление VI: О понятии числа.)
64 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Задачи и упражнения 1. Опираясь на принцип индукции, покажите, что a) сумма х\ +... +хп вещественных чисел определена независимо от расстановки скобок, предписывающих порядок сложения; b) то же для произведения х\ ... хп\ c) |Ж1 + ... + хп\ ^ \х\\ И- ... И- |хп|; d) \х\ ... хп\ = |xi|... \хп\] e) ((га, п е N) Л (га < п)) =» ((п - га) G N); f) (l+z)n^l + nz при i > -1 и п 6 N, причем равенство возможно либо при п=1, либо при х = 0 (неравенство Бернулли)\ g) 1! 2! (п — 1)! (бином Ньютона). 2. а) Проверьте, что Z и Q — индуктивные множества. Ь) Приведите примеры индуктивных множеств, отличных от N, Z, Q, R. 3. Покажите, что любое индуктивное множество не ограничено сверху. 4. а) Любое индуктивное множество бесконечно (т. е. равномощно своему под- подмножеству, отличному от него самого). Ь) Множество Еп = {х 6 N| x < п} конечно (caxdEn обозначают через п). 5. а) Алгоритм Евклида. Пусть га, п 6 N и т > п. Наибольший общий делитель (НОД (ш, п) = d € N) можно за конечное число шагов найти, пользуясь следующим алгоритмом Евклида последовательного деления с остатком: га = qin + ri (ri < n), п = qir\ +r2 (r2 < ri), + О, и d = rk. Ъ) Если d = НОД (га, п), то можно подобрать числа р, q 6 Z так, что pm + qn = d\ в частности, если га, п взаимно просты, то pm + qn = I. 6. Попробуйте самостоятельно доказать основную теорему арифметики (форму- (формулировка в тексте § 2, п. 2а). 7. Если произведение га • п натуральных чисел делится на простое число р, т. е. га • п = р • к, где А; 6 N, то либо га, либо п делится на р. 8. Из основной теоремы арифметики следует, что множество простых чисел бес- бесконечно. 9. Покажите, что если натуральное число п не имеет вида fcm, где к, m 6 N, то 771 u уравнение х =пне имеет рациональных корней. 10. Покажите, что запись рационального числа в любой д-ичной системе счисле- счисления периодична, т. е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически по- повторяющейся группы цифр.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 65 11. Иррациональное число а € R назовем хорошо приближаемым рациональными числами, если для любых натуральных чисел п, N 6 N существует рациональное чи- число - такое, что Я ъ р а Я 1 Nqn a) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа. b) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может быть алгебраическим, т. е. оно трансцендентно {теорема Лиувилля1'). 12. Знал, что по определению дроби — := т • п, где т 6 Z, п 6 N, вывести п «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие равенства двух дробей. 13. Проверьте, что рациональные числа Q удовлетворяют всем аксиомам дейст- действительных чисел, кроме аксиомы полноты. 14. Принимая геометрическую модель множества действительных чисел — чи- числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а + b> a — Ь, aft, -. 15. а) Проиллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси. Ь) Докажите, что принцип верхней грани эквивалентен аксиоме полноты. 16. а) Если А С В С R, то sup A ^ sup Б, a inf A ^ inf В. b) Пусть RDI/0 и R Э У # 0. Если Vx G X и Vy G Y выполнено х ^ у, то X ограничено сверху, Y — снизу и supX ^ inf У. c) Если множества X, Y из Ь) таковы, что X U Y — R, то supX = inf У. d) Если X, У — множества, определенные в с), то либо 3maxX, либо ЗгшпУ (теорема Дедекиида). e) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна аксиоме пол- полноты. 17. Пусть А + В — множество чисел вида а + Ь и А • В — множество чисел вида а • 6, где аб^СК и b e В CR. Проверьте, всегда ли a) sup (А 4- В) = sup A -f supJ5; b) sup (A • J5) = sup A • sup Б. 18. Пусть —А есть множество чисел вида —а, где a G А С R. Покажите, что sup (—A) = —inf А. 19. а) Покажите, что уравнение хп = а при п 6 N и а > 0 имеет положительный корень (обозначаемый ^/^или°1^п)- Ь) Проверьте, что при а>0, Ь > 0 и п, и V V5 = п• c) (a1/n)m = (am)i/n =: am/n и ai/n • aVm = ai/n d) (a™/71) = (aO71/71 =: a~m/n. e) Покажите, что для любых ri, гг 6 ari -аГ2 =аГ1+Г2 и (аГ1)Г2 = аГ1Г2 . Лиувилль A809 — 1882) — французский математик; работы по комплексному ана- анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике.
66 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но не полной!) упорядоченности множеств. Ь) Пусть А, В, С — такие множества, что А С С, ? С С, А\В ф 0 и В\А Ф 0. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а). Укажите максимальный и мини- минимальные элементы множества {А, В, С}. (Обратите внимание на неединственность!) 21. а) Покажите, что так же, как и множество Q рациональных чисел, множество Q{y/n) чисел вида а 4 Ь\/п, где а, Ь 6 Q, a n — фиксированное натуральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты. b) Проверьте, какие из аксиом действительных чисел не будут удовлетворяться для Q(^/rl), если в Q(^n) оставить прежние арифметические операции, а отношение порядка ввести по правилу (а 4- Ьу/п ^ а' 4 Ь'у/п) := ((Ь ^ Ь') V ((Ь = Ь') Л (а ^ а'))). Будет ли тогда для Q(-\/n) выполнен принцип Архимеда? c) Упорядочите множество F[x] многочленов с рациональными или действитель- действительными коэффициентами, считая Рт(х) = ао + а\х 4 ... + amim >- 0, если am > 0. d) Покажите, что множество Q(x) всех рациональных дробей _ ao + а\х 4 ... 4 amxm * ' Ьо + Ъ\х 4 ... +Ъпхп с коэффициентами из Q или из R после введения в нем порядка Rm,n У 0, если т21 > 0, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но не Оп архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть выведен из аксиом R, минуя аксиому полноты. 22. Пусть п G N и п > 1. В множестве Еп = {0,1, ..., п} определим сумму и про- произведение элементов как остаток от деления на п «обычной» суммы и произведения этих чисел в R. Множество Еп с так определенными в нем операциями обозначают символом Zn. a) Покажите, что если п не простое число, то в Zn есть такие отличные от нуля числа га, к, что ш • к = 0. (Такие числа называются делителями нуля.) Это значит, что из а Ь — с-Ь даже при Ь ф0 в Zn не следует, что а — с. b) Покажите, что при простом р в Zp отсутствуют делители нуля и Zp есть поле. c) Покажите, что ни при каком простом р поле Zp нельзя упорядочить так, чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями Zp. 23. Покажите, что если RhR'- две модели множества действительных чисел, а /: R -> R' — такое отображение, что f(x 4 у) = f(x) 4 f(y) и f(x • у) = f(x) ¦ f(y) для любых х, j/ € R, то: а)/@)=0'; b) /A) = 1', если f(x) ? 0', что мы дальше будем считать выполненным; c) /(га) = га7, где га 6 Z и т' 6 Z', причем отображение /: Z -+ Zr биективно и сохраняет порядок; d) /(-) = ^т, где га, п € Z, п ф 0, га', n' G Z', п' ф 0', /(га) = гаг, /(п) = пг. Таким образом, / : Q -> Q' есть сохраняющая порядок биекция. e) /: R —> R' есть биективное, сохраняющее порядок отображение.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 67 24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что акси- аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с точностью до изоморфизма (до способа реализации), т. е. что если R и R' — два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно однозначное отображение /: IR —> R', сохраняющее арифметические операции и порядок: f(x + y) = /(#) + /(j/)> f(x ¦ у) = f(x) ¦ /(у) и (* < у) <=» (f(x) < /(у)). 25. В ЭВМ число х представляется в виде к i где р — порядок ж, а М = ?) —¦?• — мантисса числа х (- ^ М < 1). n=i Я Я При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел: при q =¦ 2 обычно |р| ^64, а к = 35. Оцените этот диапазон в десятичной системе. 26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6x6) для шестеричной системы счисления. b) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком» в шестеричной системе E32)б A45N и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе. c) Поделите «уголком» A301N|B5)б и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе, d) Проведите сложение «столбиком» D052) 6 27. Запишите A00) ю в двоичной и троичной системах. 28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в виде где at G {0,1,2}, возможна и также единственна его запись в виде (Pnfin-l ¦ • • А))з, где/? е {-1,0,1}. Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на чашеч- чашечных весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что она отлича- отличается от остальных монет по весу? 29. Какое наименьшее количество вопросов с ответами «да» или «нет» надо за- задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров? 30. а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же вопрос для двоичной системы. В пользу экономичности какой из этих систем говорит сравнение результатов?
68 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА b) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, располагая п знаками д-ичной системы. (Ответ: qn^q.) c) Нарисуйте график функции /(х) = хп^х над множеством натуральных значе- значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления. § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каждый из ко- которых можно было бы положить в основу построения теории вещественных чисел в качестве аксиомы полноты1). Эти принципы мы назвали основными леммами в соответствии с их широ- широким использованием во всевозможных доказательствах теорем анализа. 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) Определение 1. Функцию / : N —> X натурального аргумента на- называют последовательностью или, полнее, последовательностью элементов множества X. Значение /(п) функции /, соответствующее числу п € N, ч&сто обозна- обозначают через хп и называют n-м членом последовательности. Определение 2. Пусть Х\, Х2, ... , Хп, ... — последовательность каких-то множеств. Если Х\ Э Х2 Э ... Э Xn D ..'., т.е. Vn G N (Хп Э Э Xn+i), то говорят, что имеется последовательность вложенных множеств. Лемма (Коши — Кантор). Для любой последовательности 1\ Э I2 D • • • ... Э In D ... вложенных отрезков найдется точка 6 € R, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, известно, что для любого е > 0 в последовательности можно найти отрезок /*, длина которого |/*| < е, то с — единственная общая точка всех отрезков. < Заметим прежде всего, для любых двух отрезков Im = [am,6m], In = — [«n5bn] нашей последовательности имеет место ат $С Ьп. Действительно, в противном случае мы получили бы ап ^ Ьп < ат ^ Ьт, т. е. отрезки /т, 1п не имели бы общих точек, в то время как один из них (имеющий больший номер) должен содержаться в другом. Таким образом, для числовых множеств А = {ат \ т € N}, В = {bn \ n € N} выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется число с € Ш такое, что Vam E A, V6n Е В выполнено ат ^ с ^ Ьп. В частности, ап ^ с ^ ^ Ъп для любого п € N. Но это и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам 1п. . задачу 4 в конце параграфа.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ R 69 Пусть теперь С\ и С2 — две точки, обладающие этим свойством. Если они различны и, например, с\ < С2, то при любом п ? N имеем ап ^ С\ < < С2 ^ Ьп, поэтому 0 < С2 — с\ < Ъп — ап и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины c*i — С\. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная. > 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега) Определение 3. Говорят, что система 5 = {X} множеств X покрыва- покрывает множество F, если Y С U X, (т. е. если любой элемент у множества Y xes содержится по крайней мере в одном из множеств X системы 5). Подмножество множества 5 = {X}, являющегося системой множеств, бу- будем называть подсистемой системы 5. Таким образом, подсистема системы множеств сама является системой множеств того же типа. Лемма (Борель—Лебег1)). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок. <4 Пусть S = {U} — система интервалов f/, покрывающая отрезок [а, Ь] = = 1\. Если бы отрезок 1\ не допускал покрытия конечным набором интервалов системы 5, то, поделив 1\ пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через /г, тоже не допускает конеч- конечного покрытия. С отрезком /г проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок /з и т. д. Таким образом, возникает последовательность 1\ Э h Э ... D 1п Э ... вло- вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами систе- системы 5. Поскольку длина отрезка, полученного на n-м шаге, по построению равна |/п| = |ii| • 2~п, то в последовательности {/п} есть отрезки сколь угод- угодно малой длины (см. лемму из § 2, п. 4с). По лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам /n, n ? N. Поскольку с € 1\ = [а, 6], то найдется интервал ]а,/3[ = U € 5 системы 5, содержащий точку с, т. е. а < с < /3. Пусть е = min{c — а, /3 — с}. Найдем в постро- построенной последовательности такой отрезок /п, что |/п| < е. Поскольку с € 1п и |/п| < е, заключаем, что 1п С U = ]а,/3[. Но это противоречит тому, что отрезок 1п нельзя покрыть конечным набором интервалов системы. > 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса). Напомним, что окрестностью точки х € Е мы назвали интервал, содержащий эту точку; (^-окрестностью точки х — интервал ]х — 5, х + 6[. Определение 4. Точка р € R называется предельной точкой множе- множества X С IR, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное под- подмножество множества X. Х)Э. Борель A871 — 1956), А. Лебег A875 — 1941) — известные французские математики, специалисты в области теории функций.
70 ГЛ. И. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точ- точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множества X. (Проверьте!) Приведем несколько примеров. Если X = \— G I п € N >, то предельной для X является только точка In J 0е R. Для интервала ]а,6[ предельной является каждая точка отрезка [а, 6], и других предельных точек в этом случае нет. Для множества Q рациональных чисел предельной является каждая точ- точка Е, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа. Лемма (Больцано — Вейерштрасс1)). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку. <4 Пусть X — данное подмножество Ж. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [а, Ь] = I С R. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка J является предельной для X. Если бы это было не так, то каждая точка х ? / имела бы окрестность U(x), в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность {U(x)} таких окрестностей, построенных для каждой точки х ? /, образует покрытие отрезка / интервалами f/(x), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему U(x\), ..., U(xn) интервалов, покрывающую отрезок /. Но, поскольку X С /, эта же си- система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале U(x{) только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конеч- конечное число точек X, т. е. X — конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство. > Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) если / — произвольная система вложенных отрезков, то sup {а € R | [а, b] € /} = и[а,C]= f| [а,Ц; Ъ) если / — система вложенных интервалов ]а, 6[, то пересечение р| ]а, Ь[ может оказаться пустым. ]л,Ь[е/ Указание: ]ап,Ьп[= 0, - . 2. Покажите, что а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить ко- конечную подсистему, покрывающую этот отрезок; ^Б. Больцано A781 — 1848) — чешский математик и философ; К. Вейерштрасс A815 — 1897) — немецкий математик, уделявший большое внимание логическому обоснованию ма- математического анализа.
§ 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 71 b) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал; c) из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить ко- конечную подсистему, покрывающую этот интервал. 3. Покажите, что если вместо полного множества R всех вещественных чисел взять только множество Q рациональных чисел, а под отрезком, интервалом и окрестностью точки г € Q понимать соответствующие подмножества Q, то ни одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в силе. 4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять a) принцип Больцано — Вейерштрасса или b) принцип Бореля — Лебега, то получится равносильная прежней система аксиом R. Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме. c) Замена аксиомы полноты принципом Коши —Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши — Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего па- параграфа). § 4. Счетные и несчетные множества Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавление к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в главе I. 1. Счетные множества Определение 1. Множество X называется счетным, если оно равно- мощно множеству N натуральных чисел, т. е. cardX = cardN. Утверждение, а) Бесконечное подмножество счетного множества счетно. Ь) Объединение множеств конечной или счетной системы счетных мно- множество есть множество счетное. < а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножество Е мно- множества N натуральных чисел равномощно N. Нужное биективное отображение / : N —>• Е построим следующим образом. В Е\ := Е имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 € N и обозначим е\ ? Е. Мно- Множество Е бесконечно, поэтому Е2 := Е\е\ непусто. Минимальный элемент множества ??2 сопоставим числу 2 и назовем его ег € Еч- Затем рассмотрим Е<$ := iJ\{ei,ег} и т. д. Поскольку Е — бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на каком шаге с номером п € N, и, как следует из принципа индукции, таким способом каждому числу п ? N будет сопоставле- сопоставлено некоторое число еп ? Е. Построенное отображение /: N —> Е, очевидно, инъективно.
72 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Остается проверить его сюръективность, т. е. что /(N) = Е. Пусть еб Множество {п € N | п ^ е} конечно, и тем более конечно его подмножество {п € Е | п ^ е}. Пусть к •— число элементов в последнем множестве. Тогда по построению е = е^. Ь) Если Х\, ..., Хп, ... — счетная система множеств, причем каждое мно- множество Хт = {х^, ..., xjjj, ... } само счетно, то поскольку мощность множе- множества X = U Хп, состоящего из элементов х^, где m, n ? N, не меньше мощ- ности каждого из множеств Хт, то X — бесконечное множество. Элемент х^ € Хт можно отождествить с задающей его упорядоченной парой (т, п) натуральных чисел. Тогда мощность X не больше мощности множества та- таких упорядоченных пар. Но отображение /: N х N —> N, задаваемое формулой (га, n) i—> + т, как легко проверить, биективно (оно име- имеет наглядный смысл: мы нумеруем точки плоскости с координатами (т,п), последовательно переходя от точек одной диагонали, где т + п постоянно, к точкам следующей, где эта сумма на 1 больше). Таким образом, множество упорядоченных пар (га, п) натуральных чисел счетно. Но тогда cardX ^ cardN и, поскольку X — бесконечное множество, на основании доказанного в а) заключаем, что cardX = cardN. > Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно. Если про множество известно, что оно либо конечно, либо счетно, то говорят, что оно не более чем счетно (равно- (равносильная запись: cardX ^ cardN). Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не более чем счетного семейства не более чем счетных множеств само не более чем счетно. Следствия. 1) cardZ = cardN. 2) cardN2 = cardN. Этот результат означает, что прямое произведение счетных множеств счетно. 3) cardQ = cardN, т. e. множество рациональных чисел счетно. < Рациональное число — задается упорядоченной парой (га,п) целых чисел. Две пары (т,п), (т',п') задают одно и то же рациональное число в том и только в том случае, когда они пропорциональны. Такимубразом, выби- выбирая каждый раз для записи рационального числа единственную пару (т,п) с минимальным возможным натуральным знаменателем п 6 N, мы получим/ что множество Q равномощно некоторому бесконечному подмножеству мно- множества Z х Z. Но cardZ2 = cardN и, значит, cardQ = cardN. >
§ 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 73 4) Множество алгебраических чисел счетно. < Заметим сначала, что из равенства cardQ xQ = cardN по индукции получаем, что для любого А; € N выполнено cardQ* = cardN. Элемент г ? Q* есть упорядоченный набор (п, ...,г*) к рациональных чисел. Алгебраическое уравнение степени к с рациональными коэффициентами можно записать в приведенном виде хк + г\ хк~1 + ... + г* =0, где коэффици- коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных алгебраических уравнений степени к столько же, сколько различных упорядоченных наборов (п> • • •» гк) рациональных чисел, т. е. счетное множество. Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (произволь- (произвольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение (по степе- степеням) счетных множеств. У каждого такого уравнения лишь конечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более чем счетно. Но оно бесконечно и, значит, счетно. > 2. Мощность континуума Определение 2. Множество R действительных чисел называют также числовым континуумом1^, а его мощность — мощностью континуума. Теорема (Кантор). cardN <cardK. Теорема утверждает, что бесконечное множество R имеет мощность боль- большую, чем бесконечное множество N. <4 Покажем, что уже множество точек отрезка [0,1] несчетно. Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде после- последовательности х\, Х2, ..., хп, ... Возьмем точку х\ и на отрезке [0,1] = /о фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку х\. В отрезке 1\ строим отрезок /2, не содержащий Х2, и если уже построен отрезок /п, то, поскольку |/п| > 0, в нем строим отрезок /n+i так, что xn+i ? /n+i и |Jn+i| > 0. По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам /о, /i, ..., /п, • • • Но эта точка отрезка /о = [0,1] по построе- построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности х\, Х2, ..., хП1 ... > Следствия. 1) Q т^ Е и существуют иррациональные числа. 2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебра- алгебраических чисел счетно. (После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, навер- наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраи- алгебраические числа».) Continuum (лат.) — непрерывное, сплошное.
74 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли мно- множества промежуточной мощности между счетными множествами и множе- множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют. Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским математиком П. Ко- эном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики,— ситуация, вполне аналогичная не- независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии. Задачи и упражнения 1. Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно множеству точек интервала ]—1,1[. 2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между a) точками двух интервалов; b) точками двух отрезков; c) точками отрезка и интервала; d) точками отрезка [0,1] и множеством R. 3. Покажите, что a) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество; b) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел; c) объединение бесконечного множества и не более чем счетного множества име- имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество; d) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума; e) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. 4. Покажите, что a) множество {ni < 712 < ... } возрастающих последовательностей натуральных чисел равномощно множеству дробей вида 0, акхг ...; b) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность конти- континуума. 5. Покажите, что a) множество V(X) подмножеств множества X равномощно множеству всех функций на X со значениями 0,1, т. е. множеству отображений / : X -> {0,1}; b) для конечного множества X из п элементов caidV(X) = 2П; c) учитывая результаты задач 4Ь) и 5а), можно писать, что caidV(X) = 2cardx и, в частности, cardP(N) = 2cardN = cardR; d) для любого множества X card X < 2 саг , в частности, п <2п при любом п ? N. Указание. См. теорему Кантора в п. 1 § 4, гл. I.
§ 4, СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА75 6. Пусть Х\, ..., Хт — конечная система конечных множеств. Покажите, что ( U Хг ) = ]Г card ( U Хг ) = ]Г cardXix - ^ card (Xh П card №i n X<2 nXis) -••• + (-1O71 card (Xi П ... П *1<*2<*3 причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах 1, ... ..., га, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам. 7. На отрезке [0,1] С R изобразите множество чисел х ? [0,1], троичная запись которых х = 0, ctict2OL3 .. •, где а» ? {0,1,2}, обладает свойством: a) ol\ ф 1; b) (ai ф 1) Л (а2 / 1); c) Vi Е N (а» ^ 1) (кантпорово множество). 8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что a) множество тех чисел х € [0,1], троичная запись которых не содержит 1, равно- мощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет вид 0, /?i/?2 • • •; b) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка [0,1].
ГЛАВА III ПРЕДЕЛ Обсуждал различные стороны понятия действительного числа, мы, в частно- частности, отметили, что при измерении реальных физических величин получаются последовательности их приближенных значений, с которыми затем и прихо- приходится работать. Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три следующих вопроса: 1) Какое отношение имеет полученная последовательность приближений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сторону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще означает выражение «последовательность приближенных значений» и в какой мере такая последо- последовательность описывает значение величины; однозначно ли это описание или одна и та же последовательность может отвечать разным значениям измеря- измеряемой величины. 2) Как связаны операции над приближенными значениями величин с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризуются те опера- операции, при выполнении которых допустима подмена точных значений величин приближенными? 3) Как по-самой последовательности чисел определить, может ли она быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения некоторой величины? Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела функ- функции — одно из основных понятий анализа. Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функций на- натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяснившейся фун- фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой простейшей ситуации.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 77 § 1. Предел последовательности 1. Определения и примеры. Напомним следующее Определение 1. Функция /: N —> X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Значения f(n) функции / называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет ото- отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргумента, хп := f(n). Саму последовательность в связи с этим обозначают символом {хп}, а также записывают в виде х\, #2, • • •» хт ... и называют последовательностью в X или последовательностью элементов множества X. Элемент хп называется п-м членом последовательности. Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности /: N —> Е действительных чисел. Определение 2. Число А € Ш называется пределом числовой после- последовательности {хп}, если для любой окрестности V(A) точки А существует такой номер N (выбираемый в зависимости от V(A)), что все члены последо- последовательности, номера которых больше JV, содержатся в указанной окрестности точки А. Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения преде- предела числовой последовательности: Число А Е 1 называется пределом последовательности {хп}, если для любого е > 0 существует номер N такой, что при всех п > N имеем \хп - А\ < е. Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), ес- если заметить, что в любой окрестности V(A) точки А содержится некоторая е-окрестность этой же точки. Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность е > 0 мы ни задали, найдется номер N такой, что абсолютная по- погрешность приближения числа А членами последовательности {хп} меньше чем ?, как только п > N. Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логи- логической символике, договорившись, что запись « lim xn — А» означает, что п—юо А — предел последовательности {хп}. Итак, lim хп = А := VV(A) 3NeN Vn > N (хп € V(A)) и соответственно lim xn = А := Ve > О 3N <Е N Vn > N (\хп - А\ < е) п—юо
78 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Определение 3. Если lim хп = А, то говорят, что последовательность П—?ОО {хп} сходится к А или стремится к А и пишут хп -> А при п -> оо. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последова- Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. lim — = 0, так как п—ЮО 71 тт о v Пример 2. lim п—Юс 71 71 71 1, так как 71 +1 п . 1. n при n>N= Г- = — < е при п > N = Пример 3. lim I 1 + n—»-oc при п > N = - . Пример 4. lim ( (-l)n^ im I 1 + -—— 1=1, так как __ y = - < ? п sinn П—ЮО 71 О, так как sinn -О п - < е при п> N = \ Ц. n ^ UJ Пример 5. lim — = 0, если \q\ > 1. П—ЮО Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. II, § 2, п. 4с, для любого е > 0 можно найти число N G N такое, что -г-гг? < е. По- скольку |#| > 1, то для любого п > N будем иметь и определение предела удовлетворено. qn г? Пример б. Последовательность 1, 2, -, 4, -, б, -, ... с п-м членом ^n=^^-1^ , nGN,— расходящаяся. Действительно, если А — предел последовательности, то, как следует из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены последователь- последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа. Число А ф 0 не может быть пределом данной последовательности, ибо вне \А\ Л ^-окрестности А при е = J-r-L > 0 лежат все члены нашей последовательности + 12' вида для которых Число 0 тоже не может быть пределом этой последовательности, посколь- поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже имеется бес- бесконечно много членов нашей последовательности. Пример 7. Аналогично можно проверить, что последовательность 1,-1, +1, —1, ... , для которой хп = (—1)п, не имеет предела. *) [х] — целая часть числа ж; см. следствие 10° принципа Архимеда, гл. II, § 2, п. 3.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 79 2. Свойства предела последовательности a. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, которыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые последователь- последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать только для числовых последовательностей. Последовательность, принимающую только одно значение, будем называть постоянной. Определение 4. Если существуют число А и номер N такие, что хп = = А при любом п > 7V, то последовательность {хп} будем называть финально постоянной. Определение 5. Последовательность {хп} называется ограниченной, если существует число М такое, что \хп\ < М при любом п ? N. Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сходится. b) Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа. c) Последовательность не может иметь двух различных пределов. d) Сходящаяся последовательность ограничена. М а) Если хп — А при п > TV, то для любой окрестности V(A) точки А имеем хп ? V(A) при п > TV, т. е. lim xn = А. П—ЮО b) Утверждение непосредственно следует из определения предела последо- последовательности. c) Это важнейший пункт теоремы. Пусть lim хп = А\ и lim xn = А2. п—юс п—юс Если А\ ф Лг, то фиксируем непересекающиеся окрестности V(Ai), V(A2) точек А\, Ач- В качестве таковых можно взять, например, E-окрестности этих точек при S < - \Ai — Лг]. По определению предела найдем числа N\ и Л^ так, что Vn > > Ni (xn e V(Ai)) и Vn > N2 (xn e V(A2)). Тогда при п > max{NliN2} получим хп € V{A\) П V(A2). Но это невозможно, поскольку V(A\) П V(A2) = = 0. d) Пусть lim xn = А. Полагая в определении предела е — 1, найдем номер п—юо N такой, что Vn > TV (\xn - А\ < 1). Значит, при п> N имеем \хп\ < \А\ + 1. Если теперь взять М > max{|xi|, • • •, |яп|, \А\ + 1}, то получим, что Vn > TV (|xn| < М). > b. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если {хп}, {уп} — две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с общим определе- определением суммы, произведения и частного функций) называются соответственно последовательности
80 гл. ш. предел Частное, разумеется, определено лишь при уп ф 0, п € N. Теорема 2. Пусть {хпу, {уп} ~~ числовые последовательности. Если lim xn = A, lim ?/п = В, то: п—>оо п—юо a) lim (жп + уп) = А + В] п—юс b) lim хП'уп = А В; п—>оо c) lim — = — еслгг упф^ (гг- =1,2,...) и В ф 0. П—»-ОО 1/п -О ^ В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см. гл. II, § 2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при арифмети- ческих операциях с приближенными значениями величин. Положим \А — хп\ = Д(хп), \В — уп\ = А(уп). Тогда для случая а) имеем \(А + В) - (хп + уп)\ ^ А(хп) + Д(уп). Пусть задано число е > 0. Поскольку lim xn = Л, найдется номер TV' та- п—»-оо кой, что Vn > TV' (Д(ггп) < е/2). Аналогично, поскольку lim yn = Б, найдет- п—»-оо ся номер 7V" такой, что Vn > TV" (Д(уп) < ^/2). Тогда при n > max{7V', TV"} будем иметь что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а). Ь) Мы знаем, что \(А • В) - (хпУп)\ < kn| Д(Уп) + Ш &(Хп) + Д(я?п); Д(Уп) По заданному е > 0 найдем числа N' и N" такие, что Vn>N' (Д(х„) Vn>7V» (ДЫ (|B| Тогда при п> N = max {N',N"} будем иметь |у„| < \В\ + Д(уп) Д(х„)-
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 81 Таким образом, при п> N \хп\ А(уп) < (\А\ \уп\ А(хп) < (\В\ 3(|В| ? 3' ? 3' поэтому \АВ — хпуп\ < е при п > N. с) Воспользуемся оценкой А х п хп\А(уп) -f \уп\А(хп) где А(уп) При заданном ? > 0 найдем числа TV' и N" так, что Vn>N' Vn>N" (Д(уп)<ппп Тогда при п > max {N',N"} будем иметь \B \уп\ > \В\ - А(уп) ¦<'<ь>-тйм§8; 1 2' поэтому \х п\ ± А(уп)< (\А\ Уп Уп А(хп) < 0< в2 ¦ 2 е|Б| _ е ? 4' 1 8 <2 4'
82 гл. ш. предел и, следовательно, 4 - — < е при n > 7V. > В уп Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее кон- конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю по школь- школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем говорить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривал предел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как именно по ограничениям на по- погрешность результата арифметической операции ищутся допустимые погреш- погрешности значений величин, над которыми эта операция производится. с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Пусть {хп}, {уп} ~~ две сходящиеся последовательно- последовательности, причем lim хп = Ar lim уп = В. Если А < В, то найдется номер п—юо п—юс N ? N такой, что при любом п > N выполнено неравенство хп < уп. Ъ) Пусть последовательности {хп}, {уп}, {zn} таковы, что при любом п > N ? N имеет место соотношение хп ^ уп ^ zn. Если при этом последо- последовательности {хп}, {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последо- последовательность {уп} также сходится и к этому dice пределу. Л а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению предела найдем числа TV' и N" так, чтобы при любом п > N' иметь \хп — А\ < С — А и при любом п > N" иметь \уп — В\ < В - С. Тогда при п > N = max {TV', N"} получим хп < А + (С - А) = С = В - (В - С) < уп. Ь) Пусть lim xn = lim zn — А. По е > 0 найдем числа N' и N" так, п—>оо п—юо чтобы при любом п > Nf иметь А — е < хп и при любом п > N" иметь zn < < А+е. Тогда при п> N = max{7V', N"} получим А—е < хп ^ уп ^ zn < А+е или \уп - А\ < е, т. е. А = lim yn. > п—»-оо Следствие. Пусть lim xn = А и lim yn = B. Если существует номер N такой, что при любом п > N: a) хп > уп, то b) хп ^ уп, то c) хп > В, то А^ В; d) хп ^ Б, то А^ В. Ч Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно получа- получаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть частные случаи первых двух, получающиеся при уп = В. > Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в ра- равенство. Например, - > 0 при любом п G N, но lim — = 0. П П—ЮО П
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83 3. Вопросы существования предела последовательности а. Критерий Коши Определение 7. Последовательность {хп} называется фундаменталь- фундаментальной (или последовательностью Коши1)), если для любого числа е > О най- найдется такой номер N ? N, что из п> N и т > N следует \хт — хп\ < е. Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундамен- фундаментальна. < Пусть lim хп = А. По числу е > 0 найдем номер N так, чтобы при п—юо п > N иметь \хп — А\ < -. Если теперь т > N и п > N, то \хт — хп\ < < |#т — ^4| + |#п"-^4| < о~*~о =б:и> таким образом, проверено, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть теперь {#*} — фундаментальная последовательность. По заданному е > 0 найдем номер N такой, что из т ^ N и к ^ N следует \хт — Xk\ < г. о Фиксировав т = N, получаем, что при любом к > N XN - ^< Хк < XN -\- -, A) но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности {хп} с номерами,-не превосходящими N, то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена. Для п G N положим теперь ап := inf #*, Ьп := Из этих определений видно, что ап ^ an+i ^ 6n+i ^ Ьп (поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков [an,6n] имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А. Поскольку при любом п € N ап ^ А ^ 6П, а при к ^ п ап = inf хк ^хк^ supxk = Ьп, то при к ^ п имеем |Л-х*| ^ Ьп -ап. B) Но из A) следует, что при п > N ^ 25f ^Ьп = sup ж* ^ жлг 4- -, к>п х) Последовательности Коши ввел Больцано, пытавшийся, не располагая точным поняти- понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последовательности. Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, обоснованный впоследствии Кантором. 4 Зорич В. А.
84 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ поэтому при п > т 2е Ъп ~ а>п ^ -г- < е. C) Сравнивая B) и C), находим, что при любом к > N \А-хк\ <е, и мы показали, что lim я* — А. > к—юо Пример 8. Последовательность (—1)п (п = 1, 2, ...) не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последова- последовательность {хп} фундаментальная, выглядит так: Эе>0 VTVeN 3n>N 3m>N (\xm - хп\ ^ е), т. е. найдется е > 0 такое, что при любом N € N найдутся числа п, га, боль- большие TV, для которых \хт — хп\ ^ е. В нашем случае достаточно положить е — 1. Тогда при любом TV € N будем иметь |ялг+1 - ялг+2| = |1 - (-1I = 2 > 1 = е. Пример 9. Пусть = 0, — некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к предыдущей. По- Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть т> п. Оценим разность хт — хп: bm 2n+l 2m +...+i m Таким образом, подобрав по заданному е > 0 число N так, что —^ < е для любых т> п > N, получаем оценку \хт - хп\ < — < -^ < е, доказывающую фундаментальность последовательности {хп}. Пример 10. Рассмотрим последовательность {хп}, где 2 п Поскольку для любого п € N |#2п — Хп\ = + . . . Н > П • — = -, 1 ' п+ 1 п + п 2п 2 то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 85 b. Критерий существования предела монотонной последовательности Определение 8. Последовательность {хп} называется возрастающей, если Vn € N (хп < ?n+i)l неубывающей, если Vn G N (хп ^ ?n+i); невозра- стающей, если Vn G N (xn ^ xn_|_i); убывающей, если Vn G N (xn > xn+i)- Последовательности этих четырех типов называют монотонными последова- последовательностями. Определение 9. Последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что Vn € N (хп < М). Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последова- последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была огра- ограниченной сверху. Л То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было дока- доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности, поэтому интерес представляет только второе утверждение теоремы. По условию множество значений последовательности {хп} ограничено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань s = supxn. n€N По определению верхней грани, для любого е > 0 найдется элемент х^ G G {хп} такой, что s — е < х^ ^ s. Поскольку последовательность {хп} не- неубывающая, при любом п > N теперь получаем s — е < х^ ^ хп ^ s, т. е. \s — хп\ = s — хп < е. Таким образом, доказано, что lim xn = s. > 7l-»OO Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае lim хп = inf xn. п-юо n€N Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невозраста- (невозрастающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограничен- ограниченности этой последовательности. Рассмотрим несколько полезных примеров. Пример 11. lim — =0, если а > 1. п-юо qn * 4 Действительно, если хп = —, то xn+i = хп, п G N. Поскольку qn nq = lim (l + -) - = lim f 1 + -) ¦ lim - = 1 • - = - < 1, то най- n-+oo \ n/ q n—юо \ n/ n—foo q q q lim ^± n-?oo nq дется номер TV такой, что при п > N будет < 1. Таким образом, при nq п > N будем иметь xn+i < хП1 т. е. после члена х^ наша последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последователь- последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел последовательности
86 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Члены последовательности положительны, т. е. последовательность огра- ограничена снизу. Значит, она имеет предел. 71 4" 1 Пусть х = lim хп. Из соотношения хп+\ = хп теперь следует п-юо nq т / \ т (п + 1 А т П + 1 ,. 1 ж = lim (яп+i) = lini I жп I = lim • lim xn = -ж, n—юо п—юо \ ng / n-+oo 71^ n-+oo g откуда находим A х = 0их = 0. > V q/ Следствие 1. lim r\/n=l. П—ЮО M При фиксированном e > 0 по доказанному найдется N G N такое, что при п > N будем иметь 1 < п < A + е)п. Тогда при п > N получим 1 ^ < 1 + е и, значит, действительно lim \fn = 1. > п—юо Следствие 2. lim V^ = 1 пРи любом а > 0. Пусть а ^ 1. Для любого е > 0 найдем AT G N так, что при п > N а < A + е)п, и тогда при п> N получаем 1 ^ \[а < 1 -he, т. е. lim V^ = 1- П—+ОО Если 0 < а < 1, то 1 < - и а lim \fa = lim —= = V a n Пример 12. lim ^7 = 0; здесь q — любое действительное число, п € п—юо п! п! := 1 • 2 •... • п. Если ^ = 0, то утверждение очевидно. Далее, поскольку _n 71! П! » то достаточно доказать утверждение для q > 0. Рассуждая в этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что хп+\ = —^—-хп. Поскольку множество п + 1 натуральных чисел не ограничено сверху, найдется номер N такой, что при п > N будет 0 < —2L- < 1. Тогда при п > N будем иметь жп+1 < хп и, п -+-1 учитывая положительность членов последовательности, можно теперь гаран- гарантировать существование предела lim xn = х. Но тогда п—юо х = lim a;n+i = lim -хп = lim • lim xn = 0 • х = 0. > п—юо п—юо п + 1 п—юо п + 1 ^о с. Число е A \п 1 Н— 1 . п/ Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйлера буквой е, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии тг. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться по очень разным поводам.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 87 Проверим сначала следующее неравенство: A + а)п ^ 1 + па при п € N и а > -1 (называемое иногда неравенством Я. Бернулли1)). М При п = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для n E N, то и для п 4-1 тоже, поскольку тогда A + a)n+1 = A4 а)A 4 а)п ^ A + а)A + па) = = 1 4 (п 4 1)а 4 па2 ^ 1 4 (п 4 1)а. По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого пе N. Из выкладки, кстати, видно, что при а ф 0 имеет место строгое неравен- неравенство. > / i\n+1 Покажем теперь, что последовательность уп = A Н— 1 убывающая. М Пусть n ^ 2. Используя доказанное неравенство, находим, что n-l/ _ п2п Уп-1 V1 + n-l/ п2п п Уп n2-l/n4l \ n2- Поскольку члены последовательности положительны, существует предел A 14-) Но тогда lim A + -) = lim A + -) A + -) = п-юо \ n/ n-+oo \ n/ \ П/ = lim A + -) lim T = lim A + - П—?ОО \ 71/ П—ЮО i i_ П—ЮО \ fl/ П Итак, Определение 10. Бернулли A654 — 1705) — швейцарский математик, представитель знаменитого семейства ученых Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и теории вероят- вероятностей.
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ d. Подпоследовательность и частичный предел последовательности Определение 11. Если xi, Х2, ..., хп, ... — некоторая последова- последовательность, а п\ < П2 < ... < rik < .!. — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность хП1, хП2, ... , хПк, ... называется подпоследовательностью последовательности {хп}. Например, последовательность 1, 3, 5, ... нечетных натуральных чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследовательностью после- последовательности 1, 2, 3, ... Но последовательность 3, 1, 5, 7, 9, ... уже не является подпоследовательностью последовательности 1, 2, 3, ... Лемма 1 (Больцано —Вейерштрасс). Каждая ограниченная последова- последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследователь- подпоследовательность. Ч Пусть Е — множество значений ограниченной последовательности {хп }. Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка х Е Е и после- последовательность 7ii < п>2 < • • • номеров такие, что хП1 = хП2 = ... = х. Подпо- Подпоследовательность {хПк} постоянна и, значит, сходится. Если Е бесконечно, то по принципу Больцано — Вейерштрасса оно обла- обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х — предельная точка Е, можно выбрать rii Е N так, что \хП1 — х\ < 1. Если п& Е N уже выбрано так, что \хПк — х\ < -, то, учитывая, что х — предельная точка Е, найдем 71*+1 е N так, что п* < п*+1 и |xnfc+1 — х\ < . Поскольку lim — = 0, построенная подпоследовательность хП1, хП2, ... , k—юо К хПк, ... сходится к х. > Определение 12. Условимся писать хп —> +оо и говорить, что после- последовательность {хп} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа с найдется номер N EN такой, что хп > с при любом п > N. Запишем это и два аналогичных определения в логических обозначениях: хп -> +оо := Vc € К 3NE N Vn > N (с < хп), хп -> -оо := Vc € R 3Ne N Vn > N (хп < с), хп ->. оо := Vc € R 3Ne N Vn > N (с < |ж В последних двух случаях говорят соответственно: последовательность {хп} стремится к минус бесконечности и последовательность {хп} стре- стремится к бесконечности. Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стре- стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. Например, хп =
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 89 Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причисляем к сходящимся. Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе. Лемма 2. Из каждой последовательности действительных чисел мож- можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности, Л Новым является только тот случай, когда последовательность {хп} не ограничена. Тогда по k Е N будем выбирать rtk Е N так, что \хПк\ > к и п*; < 7ifc+i. Получим подпоследовательность {xnfc}, которая стремится к бес- бесконечности. > Пусть {xk} — произвольная последовательность действительных чисел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречавшуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность гп = inf х*. По- к^ скольку in ^ гп+1 для любого п Е N, то либо последовательность {in} имеет конечный предел lim in = /, либо in -У + оо. п—>оо Определение 13. Число / = lim inf х* называется нижним преде- лом последовательности {xk} и обозначается lim Xk или lim inf х*. Если in —> -Ьоо, то принято говорить, что нижний предел последовательности ра- равен плюс бесконечности, и писать lim Xk — +00 или lim inf Xk = +00. Если к исходная последовательность {хь} не ограничена снизу, то при любом п Е N будем иметь in = inf Хк = — оо. В этом случае говорят, что нижний предел к^ последовательности равен минус бесконечности, и пишут lim х* = — оо или к—>оо lim inf Xk = —00. Итак, с учетом всех перечисленных возможностей запишем теперь кратко определение нижнего предела последовательности := lim inf Xk- Аналогично, рассматривая последовательность sn = supx*, приходим к определению верхнего предела последовательности Определение 14. := lim supx* Приведем несколько примеров.
90 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Пример 14. хк = (-1)*, к € N: lim lim к~?ОО lim inf П-?ООк>П = lim inf(-l)' n-юо • ~ lim (-1) n->oo = lim sup a;*. = lim sup(—1) = lim 1 = 1, - •-- ry n->oo Пример 15. я* = A;(-1)fc, A; € N: lim = lim inf = lim 0 = 0, n—>oo lim k—HX> = lim supfc* ' = lim (+oo) = +oo fl->OO Пример 16. Xk = A;, A; G N: lim к = lim inf к = lim n = +oo, n—>oo fc>n n—>oo lim к = lim sup к = lim (+oo) = +oo. k—HX> - • -- - • -- Пример 17. хк = , A; G N: (-1)* lim —;— = lim inf v y = lim ^ A; n->oo л>п к п->оо ' 1 —, если n = 2m -f 1 , если n = 2ra lim —;— = lim sup . к n-foo *.>„ к = lim < n—>oo Пример 18. xfc =-А;2, к G N: n-f 1 = o, —, если п = 2ra I 71+1 , если n = 2m + 1 lim (—A:2) = lim inf (—A;2) = —oo. = 0. Пример 19. хк = (~1)кк, A;GN: lim(-l)*fc= lim inf(-l)*Jk= lim (-00) =-oo, n—>oo ik>n n—>oo = lim (+00) = +oo. n->oo lim (—1)*A;= lim к-?ОО П->ОО Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «нижний» пре- пределы последовательности, введем следующее
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 91 Определение 15. Число (или символ — оо или -Ьоо) называют частич- частичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, стремящаяся к этому числу. Утверждение 1. Нижний и верхний пределы ограниченной последо- последовательности являются соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов1^. < Докажем, это, например, для нижнего предела i = lim Xk- Про последо- вательность гп = inf Xk нам известно, что она неубывающая и lim гп = г Е к^ п-+оо Для чисел п € N, используя определение нижней грани, по индукции подберем числа кп е N так, что гп ^ Xkn < гп Н— и кп < A;n+i. Поскольку lim in = п n+i у П п->оо = lim lin H—J = г, то, опираясь на свойства предела, можем утверждать, что lim Xh = г. Мы доказали, что г — частичный предел последовательно- п->оо сти {х^. Это наименьший частичный предел, поскольку для каждого е > О найдется число п е N такое, что г — е < гп, т. е. г - е < in = inf ж* ^ Xk при любом А; ^ п. к^п Неравенство г — е < Хк при к > п означает, что ни один частичный предел нашей последовательности не может быть меньше г — е. Но е > 0 произвольно, поэтому он также не может быть меньше г. Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично проведен- проведенному. > Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к — оо. Но в этом случае и lim х* = — оо и можно условиться считать, что снова нижний пре- дел есть наименьший из частичных пределов. Верхний предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он является наибольшим из частич- частичных пределов; он может быть и бесконечным. Если lim Xk = + оо, то последо- к—>оо вательность не ограничена также и сверху и можно выделить подпоследова- подпоследовательность, стремящуюся к +оо. Если же lim х* = —оо, что тоже возможно, к—-юо то это означает, что supx^ = sn —> —оо, т. е. и сама последовательность стремится к —оо, ибо sn ^ хп. Аналогично, если lim ж* = Ч-оо, то Xk -> +оо. к—>оо Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что справедливо Утверждение 1'. Для любой последовательности нижний предел есть наименьший из ее частичных пределов, а верхний предел последовательно- последовательности — наибольший из ее частичных пределов. 1> При этом считаются принятыми естественные соотношения — сю < х < + оо между символами —оо, -Ьоои числами iGM.
92 гл. ш. предел Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают. <4 Случай, когда lim Xk = lim Xk = + оо, и случай, когда lim = lim Xk = —оо, уже разобраны выше, поэтому можно считать, что lim Xk = = lim Xk = A Е R. Поскольку in = inf х^ ^ xn ^ supx^ = sn и по условию fc-юо к^ lim г'п = lim sn = Л, то по свойствам предела также lim xn = А. > п—юо п-»оо п—юо Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность. < Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовательности. Бели последователь- последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпадают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, откуда вытекает ее схо- сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности. Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследователь- подпоследовательности можно взять саму последовательность. > Следствие 3. Лемма Больцано — Вейерштрасса как в узкой, так и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утверждения V соответственно. < Действительно, если последовательность {xk} ограничена, то точки г = = lim Xk и s = lim Xk конечны и по доказанному являются частичными пределами последовательности. Только при г = s последовательность имеет лишь одну предельную точку; при i < s их уже по крайней мере две. Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то существует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бесконечности. > Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некото- некоторым превышением) все три пункта намеченной перед началом параграфа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельного перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимо- сходимости последовательности. Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень по- полезный вид последовательностей — ряды. 4. Начальные сведения о рядах а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть {ап} — последовательность действительных чисел. Напомним, что сумму ар + ap+i + я + ... + aq (p ^ q) принято обозначать символом YL ап- Мы хотим теперь п=р
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 93 придать точный смысл выражению а\ 4- а2 4-... + ап 4-..., подразумевающему суммирование всех членов последовательности {ап}. Определение 16. Выражение а\ 4- Я2 4-... 4- ап 4-... обозначают симво- оо лом ]Г ап и обычно называют рядом или бесконечным рядом (чтобы подчерк- п=1 нуть отличие его от суммы конечного числа слагаемых). Определение 17. Элементы последовательности {ап}, рассматривае- рассматриваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент ап называют п-м членом ряда. п Определение 18. Сумму sn = Ylak называют частичной суммой ряда или, когда желают указать ее номер, n-й частичной суммой ряда1). Определение 19. Если последовательность {sn} частичных сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся. Если последовательность {sn} не имеет предела, то ряд называют расходящимся. Определение 20. Предел lim sn = s последовательности частичных п—>оо сумм, если он существует, называется суммой ряда. Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись оо п=1 Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм {sn}> то применением к {sn} критерия Коши сразу полу- получается Теорема 6 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд а\ 4- ... 4- ап 4- ... сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется такое число N Е N, что из т^ п > N следует \ап 4-... 4- ат\ < е. Следствие 1. Если в ряде изменить только конечное число членов, то получающийся при этом новый ряд будет сходиться, если сходился исходный ряд, и будет расходиться, если исходный ряд расходился. 4 Для доказательства достаточно в критерии Коши считать число N пре- превышающим максимальный из номеров измененных членов ряда. > Следствие 2. Для того чтобы ряд а\ 4- ... 4- ап 4-.. • сходился, необ- необходимо, чтобы его члены стремились к нулю при п —> оо; т. е» необходимо lim an = 0. п—юо ' Таким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару (П ч Sn = Yl ak )•
94 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ <4 Достаточно положить в критерии ш = пи воспользоваться определени- определением предела последовательности. > Вот другое доказательство: ап = sn—sn-i и, коль скоро lim sn = s, имеем П-+ОО lim an = lim (sn — sn-i) = lim sn — lim sn_i =5 — 5 = 0. n—>oo n—»oo n—>oo n»oo Пример 20. Ряд l + G + (jr + ... + gn + ... часто называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость. Поскольку \qn\ = \q\n, то при \q\ ^ 1 будет \qn\ ) 1ив этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть теперь \q\ < 1. Тогда 1 — ап sn = 1 + q + ... + qn~l = ч и lim sn = , поскольку lim qn = 0, если \q\ < 1. n—>oo 1 — q n—>oo oo Таким образом, ряд ]Г qn~x сходится тогда и только тогда, когда |д| < 1 п=1 и в этом случае его сумма равна . Пример 21. Ряд 1 + - + ...Н h... называется гармоническим, по- 2 п скольку каждый член этого ряда, начиная со второго, является средним гар- гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого параграфа). Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частичных сумм 1 1 п' как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится. Это означает в данном случае, что sn —> + 00 при п —> оо. Итак, гармонический ряд расходится. Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример. Ряд 1 — 1 + 1 — ... + (—l)n+1 + ... расходится, что видно и по последова- последовательности 1, 0, 1, 0, ... его частичных сумм, и по тому, что чшены ряда не стремятся к нулю. Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот новый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю. Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд + (-1 + 1) + (- то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 95 Бели в исходном ряде переставить все члены, равные —1, на две позиции вправо, то получим ряд расставив в котором скобки, придем к ряду A + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ..., сумма которого равна двум. Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с конеч- конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды. И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом выяснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным образом и будем работать. Ь. Абсолютная сходимость; теорема сравнения и ее следствия оо Определение 21. Ряд ?) ап называется абсолютно сходящимся, если оо n=1 сходится ряд Yj \anV n=l Поскольку \ап +... + ат\ ^ \ап\ +... + |ат|, из критерия Коши следует, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е. что аб- абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере. Пример 23. Ряд 1 — 1 + т — г + г—«+..., частичные суммы которого Z Z о о равны либо —, либо 0, сходится к нулю. 71 Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия Коши: 1.1. .1.1 71 + 1 71+1 '" П + П П = 2(—L- + ... + -J—) \п + 1 п + п) > 2п—— = 1 Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд абсолютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ряды с неотрица- неотрицательными членами. Имеет место
96 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Теорема 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд а\ Н-... + ап 4- •.., члены которого — неотрицательные числа, сходит- сходится тогда и только тогда, корда последовательность его частичных сумм ограничена сверху. < Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимости неубывающей последовательности, каковой в данном случае является последо- последовательность S\ ^ «2 ^ ... ^ sn ^ ... частичных сумм нашего ряда. > Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике очень полезная оо оо Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть ]Р аП1 ]Г] Ьп — два ряда с п—1 п=1 неотрицательными членами. Если существует номер N Е N такой, что при любом п > N имеет место неравенство ап ^ Ъп, то из сходимости оо оо оо ряда Yl bn вытекает сходимость ряда ]Р ап, а из расходимости ряда ]Р ап п—1 оо п=1 п—1 вытекает расходимость ряда ?) Ьп. п=1 < Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, можно без ограничения общности считать, что ап ^ Ьп для любого п G N. Тогда п п оо Ап = ]Г ak ^ Yl bk = Вп. Если ряд ]Г Ьп сходится, то последовательность fc=l fc=l n=l {Вп}, не убывая, стремится к пределу В. Тогда Ап ^ Вп ^ В при любом оо п € N и, следовательно, последовательность {Ап} частичных сумм ряда J2 ап п=1 ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами оо (теорема 7) ряд ]Р ап сходится. п=1 Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедленно по- получаем из уже доказанного. > Пример 24. Поскольку —, -г < т < т тт~ ПРИ п > 2, по теореме п(п + 1) п2 (п1)п ОО -1 ОО -I сравнения заключаем, что ряды У) —г- и У" —7 гт сходятся или расходятся п=1 п п=1 п(п + !) одновременно. Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заметив, что, 111 П1 1 °° 1 *(*+!) = *-(*+!) ипоэтому? MifcTl) = ^^ГГ- Значит' ОО j = 1. Следовательно, ряд Y1 ~ч также является сходящимся. Любопытно, что по ¦ 2 П=1 1 7Г У" —г = -г-. В дальнейшем это будет доказано. п=1 П 6 Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема сравнения относится только к рядам с неотрицательными членами. Действительна^
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 97 оо положим, например, ап = -п, а Ьп = 0, тогда ап < 6П, ряд ]Г &п сходится, 71=1 оо но ряд 5^ ап расходится. п=1 Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходи- оо оо мости ряда). Пусть J2 ап и J2 Ьп — два ряда. Пусть существует номер п=1 п=1 N ? N такой, что при любом п > N имеет место соотношение \ап\ ^ Ьп. оо При этих условиях для абсолютной сходимости ряда ]Р ап достаточно, чтобы ряд 53 Ьп сходился. п=1 < Действительно, по теореме сравнения тогда ряд ]Р \ап\ будет сходиться, оо п=1 оо что и означает абсолютную сходимость ряда ]Г ап. > п=1 Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто форму- формулируют кратко: если члены ряда (по абсолютной величине) мажорируются членами сходящегося числового ряда, то исходный ряд сходится абсолютно. оо smn smn Пример 26. Ряд У2 —т~ абсолютно сходится, так как °° 1 П=1 ряд 22 ~~2> как МЫ выяснили в примере 24, сходится. п=1 п оо Следствие 2 (признак Коши). Пусть Y1 ап ~~ "данный ряд и а = n=i = lim Я/f^nI- Тогда справедливы следующие утверждения: п—>оо оо a) Если а < 1, то рлс? ]Р ап абсолютно сходится. п=1 со b) ^слгл а > 1, то ряд ^2 ап расходится. п=1 c) Существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых а = 1. 4 а) Если а < 1, то можно выбрать число q 6 М так, что а < g < 1. Фиксировав число q, в соответствии с определением верхнего предела найдем номер N е N такой, что при п > N выполнено ^|an| < q. Таким образом, оо при п > N будем иметь \ап\ < qn и, поскольку ряд Y1 Яп ПРИ \я\ < 1 сходит- оо n=1 ся, ряд ^2 ап (по теореме сравнения или признаку Вейерштрасса) сходится п=1 абсолютно.
98 гл. ш. предел b) Поскольку а является частичным пределом последовательности {ап} (см. утверждение 1), то найдется подпоследовательность {anjt} такая, что lim nSfa^k~ = а. Если а > 1, то найдется номер К € N такой, что при любом Л—>оо к > К будет \аПк\ > 1, тем самым необходимое условие сходимости (ап —»• 0) оо для ряда ?_) ап не выполнено и он расходится. п=1 оо 1 оо -I c) Мы уже знаем, что ряд Y1 — расходится, а ряд J2 ~ сходится г г rfn~ г (абсолютно, так как — = --). Вместе с тем lim 41 — = lim -7= = 1 71 71 П—>ОО у 71 П—>ОО^/71 и lim i/--- = lim л/-^ = lim (_гт= ) = 1. > п—>оо и 71* п—>оо V 71^ Пример 27. Исследуем, при каких значениях х 6 IR ряд П=1 СХОДИТСЯ. Подсчитаем а = Шп VlB'+("^Г^! = И Пт |2 + (-1)п| = 3|х|. п—>оо п—>оо Таким образом, при |х| < - ряд сходится и даже абсолютно, а при |х| > - 1 ряд расходится. Случай |х| = - требует специального рассмотрения. В на- о шем примере оно элементарно, ибо при |х| = - для четных значений п имеем о B -+¦ (—1Jк)х2к = 32*(-J = 1 и ряд расходится, поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости. оо Следствие 3 (признак Даламбера1)). Пусть для ряда Y1 ап существу- п=1 ет предел lim = а. Тогда справедливы следующие утверждения: п—^оо оо a) Если а < 1, то рл<? ^ ап сходится абсолютно. п=1 оо b) ?сли а > 1, то рл(? ?_! ап расходится. п=1 c) Существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых а = 1. •* а) Если а < 1, то найдется такое число д, что а < g < 1; фиксировав q и учитывая свойства предела, найдем номер N ? N такой, что при любом п > N будет —^— < q. Поскольку конечное число членов не влияет на характер . Л. Даламбер A717 — 1783) — французский ученый, прежде всего механик, входив- входивший в группу философов-энциклопедистов.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 99 сходимости ряда, без ограничения общности будем считать, что при любом п € N. Поскольку а п < Оп+1 On • on on-i • • • о2 01 on+i 01 оо мы получаем, что |on+i| ^ |ai| • qn. Но ряд J2 lail?n сходится (его сумма, n=l очевидно, равна ), поэтому ряд Y1 ап абсолютно сходится. 1~~ Я n=i Ь) Если a > 1, то, начиная с некоторого номера N € N, при любом п > N будем иметь a n 00 > 1, т. е. \ап\ < |on+i|, и, следовательно, для ряда Y1 ап п=1 не выполнено условие ап -> 0, необходимое для сходимости. с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут служить оо ряды п~1 п п=1 " Пример 28. Выясним, при каких значениях х ? R сходится ряд оо ^ п! п=1 При х = О он, очевидно, сходится и даже абсолютно. 1x1 При х имеем lim п—юо an = lim = 0. п—>оо 71 -+- 1 Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении х € Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встречающий- встречающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную последователь- последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необходимый и достаточный признак сходимости. оо Утверждение 2 (Коши). Если а\ ^ а2 ^ •.. ^ 0, то ряд ]Г] ап схо- п=1 оо дится тогда и только тогда, когда сходится ряд ]Г] 2*а2* = Oi -f 2a2 -f 4- 4а4 4- 8ag 4-... *=о Поскольку «2 ^ «2 «з 4а8 ^ а5 -f а6 4- ay -f 4а4, . • . 4*
100 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ то, складывая эти неравенства, получим 1 с где А* = ai 4-.. .+ a*, 5n = ai +2a2 +.. .+2na2« — частичные суммы рассматри- рассматриваемых рядов. Последовательности {Ak} и {Sn} неубывающие, и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо одновременно ограни- ограничены, либо одновременно не ограничены сверху. Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсюда следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или расходятся одновременно. > Отсюда вытекает полезное оо Следствие. Ряд ]>3 — сходится при р > 1 и расходится при р ^ I.1) Ч Если р ^ 0, то по доказанному наш ряд сходится или расходится вместе с рядом оо л оо 2* 1 = V B1~р)к k=0 v ' *=0 а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы было q = = 21~р < 1, т. е. р> 1. ОО -j Если р ^ 0, то расходимость ряда V — очевидна, поскольку в этом случае п=1 пР все члены ряда больше 1. > ОО | Важность этого следствия состоит в том, что ряд ^3 — часто служит п=1 основой для сравнения при исследовании сходимости рядов. с. Нисло е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вернемся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющий уже довольно удобный способ вычисления е. Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении выра- A \п 1 Н— 1 . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или не решил задачу lg) из гл. II, § 2, могут, без потери связности изложения, опустить настоящее добавление о числе е и вернуться к нему после формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу бинома Ньютона. Нам известно, что е = lim A Н— 1 . *) Формально в нашей книге мы пока определили пр только для рациональных значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только для тех р, для которых определено пр.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 101 По формуле бинома Ньютона i 1! п • • • I 2! n n(n - nk '" nn 14-777A 14- ••• 4- 77 I ^ ) \ ^ IX... 2! V п) к\\ п)\ п) ... х A ) + ...+—( 1 ) ••• ( 1 • \ п ) п\\ п) \ п J A\п 14— 1 =еп и п/ 1 - 2! 1 г = sn, таким образом, имеем п! Sfi \ Sfi yTl ~- X, а, ... у. С другой стороны, при любом фиксированном к ип^ к, как видно из того же разложения, имеем < При п —>• оэ левая часть этого неравенства стремится к^,а правая поэтому мы теперь можем заключить, что Sk ^ е для любого А; 6 N. Но тогда из соотношения к е, при п —> оэ получаем, что lim sn — e. п—юо В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем записать Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа е. Оценим разность е — sn: 0 < е - sn = (п + 1)! (п + 2)! (n + 1)! 1 1 + п + 1)! 1 + (n + 2)(n 1 1 n + 2 (n + 2J 1 1 п + 2 1 (п + 1)! 1 L. п! (п + IJ п\п ' п + 2 Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа е чи- числом sn не превосходила, например, 10 , достаточно, чтобы было —г— < Этому условию удовлетворяет уже $6- п\п 1000
102 гл. ш. предел Выпишем несколько первых десятичных знаков числа е: е = 2,7182818284590... Полученную оценку разности е — sn можно записать в виде равенства n ^-> где О<0П<1. 71171 Из такого представления числа е немедленно следует его иррациональ- ность. В самом деле, если предположить, что е = -, где р, q € N, то число q\e Я должно быть целым, а вместе с тем ile = q\(i + ±)=4+± + ±+...+« и тогда число — тоже должно быть целым, что невозможно. Я Для сведения читателя отметим, что число е не только иррационально, но' даже трансцендентно. Задачи и упражнения 1. Покажите, что число xGR рационально тогда и только тогда, когда его запись в любой д-ичной системе счисления периодична, т. е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр. 2. Мяч, упав с высоты h, подскакивает на высоту qh, где q — постоянный коэф- коэффициент, 0 < q < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на земле, и путь, который он к этому моменту пролетит. 3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксирован- фиксированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в п 6 Z радиан. Ука- Укажите все предельные точки построенного множества. 4. Выражение 1 712 + - + 7ljfe-l Ч пк где П{ 6 N, называется конечной цепной или непрерывной дробью, а выражение 1 Til Ч ; 712 + 713 + . — бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся из цепной дроби при отбрасы- отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подходящими дробями.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 103 Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется предел последова- последовательности ее подходящих дробей. Покажите, что: а) Каждое рациональное число —, где га, п 6 N, может быть разложено и притом единственным способом в цепную дробь: га _ 1 п + ! Яп Указание. Числа q\, ..., qn, называемые неполными частными, получаются алгоритма Евклида га = п • qi Ч~ t*i, п — т\ - дг + Г2, Ч- если его записать в виде га 1 Т = 01 Ч- n/ri ^2 Ч- . b) Подходящие дроби Ri = gi, R2 = gi 4 , ... удовлетворяют неравенствам Ri < Лз < ... < ifofc-i < — < R2k < Л2Л-2 < ... < 2Л п с) Числители Рд. и знаменатели Qk подходящих дробей Rk формируются по за- закону Рк = Pk- d) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле e) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение. f) Значение бесконечной цепной дроби иррационально. g) — h) Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (т. е. ип = un-i + ип-2 и ui = иг = .1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в g), задаются формулой '-( \-у/Ъ п
104 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ к i) Подходящие дроби Rk = 77" в g) таковы, что Q к Рк 2 Q k . Срав- ните этот результат с утверждениями задачи 11, § 2, гл. И. 5. Покажите, что: а) При п ^ 2 справедливо равенство ¦*- 4" тт 4* Т7 4" • • • 4" —г 4" —;— —• 3 — 1! 2! ¦" п\ п\п ~ 122! "' (n-l)n-n! оо с) Для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула е « 1 4- 4- тт + • • • + ~т + ~Г~ > а не исходная формула ewlH-T7 + --- + -7 (оцените погрешности, 1! п! п\п 1! п! посчитайте и сравните результат со значением е, приведенным на с. 102). 6. Если а и Ъ — положительные числа, ар — произвольное отличное от нуля вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2 — среднее квадратическое, при р = — 1 — среднее гармоническое чисел а, Ь. a) Покажите, что среднее Sp(a,b) любого порядка заключено между числами а и 6. b) Найдите пределы последовательностей {5n(a,fe)}, {5_n(a,fe)}. 7. Покажите, что если а > 0, то последовательность xn+i = « ( х™ "I ) ПРИ лю~ 2 V а:п/ бом xi > 0 сходится к арифметическому квадратному корню из а. Оцените скорость сходимости, т. е. величину абсолютной погрешности \хп — а\ = |АП| в зависимости от п. 8. Покажите, что а) S0(n)± l° + ... + n° =n, и вообще Sfc(n) = ak+\nk+1 4-... 4- а\п + — многочлен от п степени к 4-1. b) lim
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 105 § 2. Предел функции 1. Определения и примеры. Пусть Е — некоторое подмножество мно- множества R действительных чисел и а — предельная точка множества Е. Пусть /: Е -> Ш — вещественнозначная функция, определенная на Е. Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки х € Е к а значения f(x) функции / приближаются к некоторому числу А, которое естественно назвать пределом значений функции / или пределом функции / при я, стремящемся к а. Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция /: Е Ш стремится к А при х, стремящемся к а, или что А является пределом функции f при х, стремящемся к а, если для любого числа в > 0 существует число S > 0 такое, что для любой точки х € Е такой, что 0 < \х — а\ < ($, выполнено соотношение \f{x) — А\ < е. В логической символике сформулированные условия запишутся в виде Ve > 0 36 > 0 VxeE @ < \х - а\ < S =» \f(x) - А\ < е). Если А — предел функции f(x) при ж, стремящемся по множеству Е к точке а, то пишут f(x) -t А при х —> а, х € Е, или lim f(x) = А. Вместо х—va,x<zE символа х —> a, iGB, мы, как правило, будем использовать более короткое обозначение Е Э х -> а и вместо lim /(ж) будем писать lim f(x) = A. >ЕЕ ЕЭх—ю. Пример 1. Пусть Е = R \ 0, /(ж) = ж sin -. Проверим, что lim х sin - = 0. X Действительно, при заданном е > 0 возьмем ($ = е, тогда при 0 < \х\ < S = = ?, учитывая, что . 1 sin - , будем иметь . 1 sin - < е. х Из этого примера, кстати, видно, что функция / : Е —>¦ Ж может иметь предел при Е Э х -> а, даже не будучи определенной в самой точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в определении предела в виде неравенства 0 < \х — а\. Напомним, что окрестностью точки а ? Ж мы назвали любой интервал, содержащий эту точку. Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется окрест- окрестность точки, из которой исключена сама эта точка. Если U(а) — обозначение окрестности точки а, то проколотую окрестность о этой точки будем обозначать символом U(а).
106 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Множества UE{a) := UE(a) :=EilU(a) будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрестностью точки а в множестве Е. о Если а — предельная точка Е, то Ue{o) ф &, какова бы ни была окрест- окрестность U (а). Если на минуту принять громоздкие символы UE(a) и Vj^A) для обозна- обозначения проколотой (J-окрестности точки а в множестве Е и е-окрестности точки А в R, то приведенное выше так называемое «е-($-определение» Коши предела функции можно переписать в виде lim f{x) = A := VVjf(A) #j #j Эта запись говорит, что А является пределом функции / : Е *-> R при , стремящемся к а по множеству Е, если для любой е-окрестности ^ О г точки А найдется проколотая (J-окрестность UE(a) точки а в множестве Е, О г образ которой f(UE(a)) при отображении f:E->R полностью содержится в окрестности ^ Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится так- также некоторая симметричная окрестность ((J-окрестность) этой же точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения предела, которую и будем считать основной. Определение 3. lim /(*) = A := VVr(A) 3UE(a) (f(UE(a)) CVR(A)). Итак, число А называется пределом функции f:E-+R при я, стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ кото- которой при отображении f:E—>R содержится в заданной окрестности точки А. Мы привели несколько формулировок определения предела функции. Для числовых функций, когда а, А ? Е, как мы видели, эти формулировки экви- эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна то одна, то другая из них. Например, при численных оценках удобна исходная форма, указыва- указывающая допустимую величину отклонения хото, при которой уклонение f(x) от А не превысит заданной величины. А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие функции, определенные не на числовом мно- множестве, наиболее удобной является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее, кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 107 отображения f:X-+Y, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в X и bY, или, как говорят, если в X и Y будет задана топология. Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение примеры. Пример 2. Функция 1 при х > 0, sgn х = < 0 при х = 0, k —1 при х < 0 (читается «сигнум ж»1)) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при х, стремящемся к 0. Это значит, что €E 3V(A) VL/(O) 3x?U@) (f(x)$V(A)), т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом sgnx при х -> 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность V(A) точки А, что, какую бы (ма- о лую) проколотую окрестность U@) точки 0 ни взять, в ней есть по крайней о мере одна точка х ? t/@), значение функции в которой не лежит в V(A). Поскольку функция sgn ж принимает только значения —1, 0, 1, то ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом функции, ибо оно имеет окрестность V(A), не содержащую ни одно из этих трех чисел. Если же А € {—1,0,1}, то возьмем в качестве V{A) е-окрестность точки А при е = 1/2. В такую окрестность заведомо не могут попасть одновременно о обе точки —1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность U@) точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрицательные числа, т. е. есть и точки я, где f(x) = 1, и точки, где f(x) = —1. о Значит, найдется точка х € С/@) такая, что f(x) ? V(A). Условимся, если функция /: 25 -» R определена во всей проколотой окрест- о о о ности некоторой точки а € R, т. е. когда Ue{o) = Ur(u) = U(a), вместо записи Е Э х —> а употреблять более короткую запись х —у а. Пример 3. Покажем, что lim IsgnaH = 1. Действительно, при х € R \ 0 имеем |sgnx| = 1, т. е. функция постоянна о и равна 1 в любой проколотой окрестности U@) точки 0. Значит, для любой окрестности V(l) получим /(G@)) = 1 € ^A). Обратите внимание, что хотя в данном случае функция | sgn x \ и определена в самой точке 0 и |sgn0| = 0, но это значение не имеет никакого влияния на величину рассматриваемого предела. Таким образом, не следует смешивать значение /(а) функции в точке а с пределом lim f(x) функции при ж, стремящемся к а. х—Уа Signum (лат.) — знак.
108 гл. ш. предел Пусть R_ и R+ — множества отрицательных и положительных чисел со- соответственно. Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел lim sgnx не суще- ствует. Замечая, однако, что ограничение sgn|R_ функции sgn на М_ есть постоянная функция, равная — 1, asgn|R есть постоянная, равная 1, можно, как и в примере 3, показать, что lim sgn а; = —1, lim sgn a; = 1, R90 R90 т. е. ограничение одной и той же функции на различные множества может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не иметь его, как это было в примере 2. Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично показать, что функция sin - не имеет предела при х —> 0. Х „ о ° Действительно, в любой проколотой окрестности С/@) точки 0 всегда есть точки вида г-—-— и ———-—, где п € N, в которых функция принима- 7Г/2 +¦ 2тгп 7Г/2 -+¦ 2тгп ет значения —1 и 1 соответственно. Но оба эти числа не могут одновременно содержаться в е-окрестности V(A) точки AgM, если е < 1. Значит, ни одно число А ? К не может быть пределом этой функции при х ~> 0. Пример 6. Если x, nG -тг/2 4-2тгп и Е+ = \х € К х = /о * о—, n€Ni, I тг/2 4-2тгп J то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что lim sin - = — 1 и lim sin - = 1. Е-ЭХ-+0 X Е+Эх->0 X Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела последова- последовательности и введенным здесь понятием предела произвольной числовой функ- функции имеется тесная связь, которую выражает следующее Утверждение I1). Соотношение lim fix) = А имеет место тогда ЕЭх->а и только тогда, когда для любой последовательности {хп} точек хп € Е\а, сходящейся к а, последовательность {f(xn)} сходится к А. иногда называют утверждением о равносильности определений предела по Коши (через окрестности) и по Гейне (через последовательности). Э. Гейне (Хайне) A821 — 1881) — немецкий математик.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 109 <4 То, что ( lim fix) = А) => ( lim f(xn) = А), сразу следует из опре- V ЕЭх-*а ' \ п—юо / делений. Действительно, если lim f(x) = А, то для любой окрестности ЕЭ* о V(A) точки А найдется проколотая окрестность Ue{o) точки а в Е такая, о что для х € Ue{o) имеем f(x) € ^(^4)- Если последовательность {хп} точек множества Е \а сходится к а, то найдется номер N такой, что при п > N о будет хп € Ue{o) и, значит, f(xn) ? ^(^4). На основании определения предела последовательности, таким образом, заключаем, что lim f(xn) = A. п—>оо Перейдем к доказательству обратного утверждения. Если А не является пределом f(x) при Е Э х —> а, то найдется окрестность V(A) такая, что при любом п € N в —окрестности точки а найдется точка хп € Е\а такая, что п /(^п) & У {А). Но это означает, что последовательность {f(xn)} не сходится к Л, хотя последовательность {хп} стремится к а. > 2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно ис- используемых свойств предела функции, многие из которых аналогичны уже до- доказанным свойствам предела последовательности и потому, в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что доказанного утвержде- утверждения 1 многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следу- следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравен- неравенствах. Тем не менее мы вновь проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определенный смысл. Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколотых окрест- о ностей предельной точки множества: Bi) Ue(o>) ф 0, т. е. проколотая окрест- окрестность непуста, и В2) VUfE{a) VJ7?(a) 3UE(a)(UE(a) С U'E{a) П Щ(а)), т. е. в пересечении любой пары проколотых окрестностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет нас к общему понятию предела функ- функции и возможности в будущем использовать теорию предела уже не только для функций, определенных на числовых множествах:. Чтобы изложение не было простым повторением сказанного в § 1, мы используем здесь некоторые новые полезные приемы и понятия, которые не демонстрировались в § 1. а. Общие свойства предела функции. Сначала несколько определе- определений. Определение 4. Функцию /: Е —> R, принимающую только одно зна- значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция /: Е —у R назы- называется финально постоянной при Е Э х —У а, если она постоянна в некоторой проколотой окрестности Ue{o) точки а, предельной для множества Е. Определение 5. Функция f:E-+R называется ограниченной, ограни- ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число С € Ш такое, что для любого х ? Е выполнено соответственно \f(x)\ < С, f(x) < С, С < f(x).
НО ГЛ. III. ПРЕДЕЛ В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений выполнено о лишь в некоторой проколотой окрестности Ue(o) точки а, функция /: Е —> R называется соответственно финально ограниченной при Е Э х —> а, финаль- финально ограниченной сверху при Е Э х —> а, финально ограниченной снизу при Е Э х -> а. Пример 7. Функция /(х) = (sin —\- х cos - ), определенная этой фор- \ х х/ мулой при х ф 0, не является ограниченной на области определения, но она финально ограничена при х —> 0. Пример 8. То же самое относится к функции /(х) = х на Теорема 1. a) (f : Е —У R при Е Э х -> а есть финально постоян- постоянная А) => ( Ит /(х) = А). b) C Ит /(х)) => (/: Е —> Е финально ограничена при Е Э х —> а). c) ( lim )( ) \ ЕЭ «4 Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей предел, вы- вытекают прямо из соответствующих определений. Обратимся к доказательству единственности предела. Предположим, что А\ ф Аъ- Возьмем тогда окрестности V(A\), V(A2) так, чтобы они не имели общих точек, т. е. V(A\) П V(^2) = 0- По определению предела имеем lim f(x) = A1=>3U'E(a) ЕЭх-+а lim f(x) = A2=>3U?(a) (/(^(a)) С V{A2)). ЕЭх->а о Возьмем теперь проколотую окрестность Ue(o>) точки а (предельной о , о о о для Е) такую, что Ue{o) С U'E(a) П U'i{a) (например, можно взять Ue{o) = о о = U'E{a) П UE(a), поскольку это пересечение тоже есть проколотая окрест- окрестность). о Ч ° Поскольку Ue{o) ф 0, берем х ? 'Ue{o)- Тогда /(х) € V(A\) П V(A2), что невозможно, так как окрестности V(Ai), V{A2) по построению не имеют общих точек. > Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение б. Если две числовые функции /:?J->M, g : Е -» имеют общую область определения J5, то их суммой, произведением и част- частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 111 следующими формулами: (f + если д(х) ф 0 при х € Е. Теорема 2. Пусть f: Е -> R и д : Е -> R — две функции с общей областью определения. Если lim f(x) = A, lim g(x) = В, то: ЕЭх-+а " a) lim b) lim ЕЭх—Кг c) lim ( — )(х) = —, если В ф 0 и д(х) ф 0 при х ? Е. Еэх-+а \д/ В Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредственно вы- вытекает из соответствующей теоремы о пределах последовательностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1. Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы об арифметических свойствах предела последовательности. Все изменения в до- доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся к тому, что всю- всюду, где раньше мы выбирали «N € N, начиная с которого...», нужно будет о выбирать некоторую проколотую окрестность Ue{cl) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это. Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного случая, когда А = В = 0 (утверждение с) при этом, разумеется, не рассматривается). Функцию /: Е —> Е принято называть бесконечно малой при Е Э х —> а, если lim f(x) = 0. ЕЭх-+а V ' Утверждение 2. а) Если а: Е -> М и C: Е —У R — бесконечно малые функции при Е Э х —> а, то их сумма а И- /3 : Е —> R — также бесконечно малая функция при Е Э х -> а. b) Если а: Е -+ R и /3: Е —> R — бесконечно малые функции при Е Э х -> —У а, то их произведение а • C : Е -> R — также бесконечно малая функция при Е Э х —У а. c) Если а : Е —> R — бесконечно малая функция при Е Э х —> а, а /3: Е —>• —> R — финально ограниченная функция при Е Э х —> а, то произведение а • /3 : Е —> R есть бесконечно малая функция при Е Э х —> а. < а) Проверим, что ( lim а(х) =о)л( lim /?(х) = 0W ( lim (а 4- /3)(х) =
112 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Пусть задано число е > 0. По определению предела имеем € U'E(a) x)= 0\ => (зи?(а) Vx € #?(а) (\0(х)\ < §))• Тогда для проколотой окрестности Ue{o) С U'E(a) П i/#(a) получаем Vz G UE(a) \(а + /3)(я:)| = |а(х) -I- /3(х)| ^ \а(х)\ + |/?(ж)| < ?, т. е. проверено, что lim (а 4- /3){х) = 0. ЕЭх—>-а b) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку всякая функция, имеющая предел, финально ограничена. c) Проверим, что ( lim а(х) = о) Л (ЗМе R 3%?(a) Vx € %?(а) (|/3(х) < Af)) \ ЕЭх-+а / ( lim а(х)/?(х) =0). \ЕЭх->а / Пусть задано е > 0. По определению предела имеем а(х) = О) Тогда для проколотой окрестности U^(a) С {/^(а) П Ue{o) получаем Vx € U?(a) |(а -/?)(х)| = |а(х)/?(х)| = |а(х)||/?(х)| < ^ ¦ М = е. Тем самым проверено, что lim а(х) /3(х) = 0. > ЕЭх->а Теперь сделаем следующее полезное Замечание. lim f(x) = A <?=> (f(x) —Ал- <х{х)) Л ( lim a(x) = ЕЗх—ya Иными словами, функция / : Е —У R стремится к А тогда и только то- тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А 4- а(#), где а(х) — бесконечно малая при Е Э х —> а функция (уклонение f(x) от 1^ *) Любопытная деталь: это почти очевидное, но очень полезное в вычислительном плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским математиком и механиком Лазаром Карно A753 — 1823), революционным генералом и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно A796 — 1832).
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 113 Это непосредственно следует из определения предела, в силу которого lim f{x) = А <=> lim (f(x) - А) = 0. Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свойствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных свойствах: бесконечно малых функций. Ч а) Если ton f(x) = А и ton д(х) = В, то f(x) = А + а(х) и д(х) = = В + ^З(х), где а(х) и /3(а;) — бесконечно малые при Е Э х —> а. Тогда (/ + 0H*0 = /0*0 + д(х) = А + а(х) + В + /3(х) = (А + В) + 70*0, где 70*0 = = а(х) 4- /?0*0> как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая функция при Е Э х —> а. Таким образом, ton (/ 4- д)(х) = А 4- В. ЕЭ b) Вновь представив f(x) и д(х) в виде f(x) — А-\- а(х) и д(х) = В + имеем (/ ' 9){х) = f(x)g(x) = {А + а(х)){В 4- 0(х)) = А • В 4- 70*0, где 7(я) = ^/?(^) + Ва(х) 4- а(х)^3(х) по свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая функция при Е Э х —> а. Таким образом, ton (/ • д)(х) = А • В. ЕЭх->а c) Вновь запишем, что f(x) = А + а(х) и д{х) = В + /3(х), где lim a(x) = ЕЭх->а = 0, lim /3(х) = 0. ЕЭх->а Поскольку В^О, существует проколотая окрестность Ue(o), в любой точ- точке которой \/3(х)\ < ф, и потому |^(х)| = |В + /3(ж)| ^ |В| - \/3(х)\ > о 12 1 Тогда в UeM будем иметь также , , Ч| < -г:, т. е. функция —г-г финально |Р(«I 1^1 9(х) ограничена при Е Э х -> а. Теперь запишем _ А + а(х) В д(х) В 1 1 - д(х) По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной ограничен- ограниченности —гт) функция 7(я) есть бесконечно малая при Е Э х —У а. Таким д(х)' ^J образом, доказано, что lim ( - )(х) = —. > Еэх-+а \д/к J В с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Если функции f : Е -> Ш и д : Е —> R таковы, что lim f(x) = A, lim g(x) = В и А < В, то найдется проколотая окрест- Э+ 0 ЕЭх-+а 0 ноешь Ue{o) точки а в множестве Е, в любой точке которой выполнено неравенство f(x) < g(x).
114 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ b) Если между функциями f: Е -> Е, g : Е -+R' и h: Е -+ R на множе- множестве Е имеет место соотношение f(x) ^ g(x) ^ h(x) и если lim f(x) = ЕЭх—ta = lim h(x) = С, то существует также предел д(х) при Е Э х -> а, причем ЕЭх->а lim g(x) = С. <* а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению преде- о о ла найдем проколотые окрестности U'E(a) и UE(a) точки а в множестве Е о о так, чтобы при х € U'E{a) иметь \f(x) - А\ < С — А и при х € ?^(а) иметь о |у(х) — В\ < В — С. Тогда в любой проколотой окрестности Ue{o), содержа- содержась о щейся в UE{a) П UE{a), получим f(x) < А + (С - А) = С = В - (В - С) < д(х). Ь) Если lim f(x) = lim h(x) — С, то по любому фиксированному е > О ЕЭх—>а ЕЭ> 0 найдутся такие проколотые окрестности UE{a) и ?/^(о) точки а в множестве о о ??, что при х € {/^(а) имеем С — е < f(x) и при х Е UE{a) имеем Л(х) < С 4- ?. о о о Тогда в любой проколотой окрестности Ue(o>), содержащейся в UE(a) П С/^(а), будем иметь С — е < f(x) ^ у(х) ^ Л(х) < С 4- ?, т. е. |у(х) — С| < е, и, следовательно, lim g(x) = С. > Следствие. Пусть lim /(x) = А и lim g(x) = В. Если в некоторой ЕЭх-*а ЕЭ* о проколотой окрестности Ue{o) точки а: a) выполнено f(x) > д(х)у то А^ В\ b) выполнено f(x) ^ у(х); то А^ В; c) выполнено /(х) > В, то А ^ В; d) выполнено f(x) ^ В, mo A ^ В. ^ Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедленно получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения с), d) получаются из первых двух при д(х) = В. > d. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему изло- изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важных примерах использование уже доказанных теорем. Пример 9. Здесь мы будем апеллировать к школьному определению sin x как ордина- ординаты точки, в которую переходит точка A,0) при повороте (с центром в начале координат) на угол х (радиан). Полнота такого определения всецело зависит
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 115 от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действи- действительными числами. Поскольку сама система действительных чисел в школе не была описана достаточно подробно, надо считать, что нам необходимо уточнить определение sin x (то же самое отно- относится и к функции cosx). ^ ^б = (C0SXf sinx) В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность. ( q—г1Л = A, 0) а) Покажем, что 2 sin я;., п ^ \ \ ^ п cos х < < 1 при 0 < \х\ < — . рис g X ?i М Так как cos^ x и четные функции, то достаточно рассмотреть х случай 0 < х < тг/2. Из рис. 8 и определения cos я и sin я, сравнивая площади сектора <OCD, треугольника АОАВ и сектора <ОАВ, имеем = « \ОС\ • \CD\ = -(cosa;)(xcosx) = -2 ? Z Z < Saoab = \ \OA\ ¦ \BC\ = | • 1 • sins = | sinx < < S<Oab = ± Разделив эти неравенства на - ж, получаем то, что и утверждалось. > b) Из а) следует, что |sinx| ^ \х\ при любом xGl, причем равенство имеет место только для х = 0. Ч При 0 < |х| < тг/2, как показано в а), имеем |sinx| < \х\. Но |sina:| ^ 1, поэтому для \х\ ^ тг/2 > 1 также выполнено последнее неравен- неравенство. И только при х = 0 имеем sin х = х = 0. > c) Из Ь) следует, что lim sins = 0. 4 Поскольку 0 ^ |sinx| ^ |х| и поскольку lim |х| = 0, на основании тео- х—Ю ремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что lim Isinxl = 0, +0 следовательно, lim sinx = 0. > 0 d) Теперь докажем, что lim ^-^ = 1. ж->0 X 5 Зорич Б. Л.
116 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Считая, что |х| < тг/2, в силу полученного в а) неравенства имеем - .2 ^ sin а: 1 — sin х < < 1. х Но lim(l — sin2 х) = 1 — lim sinx • lim sinx = 1 — 0 = 1, значит, по теореме о »0 ж»0 х->0 1. sinx ^ . предельном переходе в неравенствах можем заключить, что lim = 1. > х—>О X Пример 10. Определение показательной, логарифмической и степен- степенной функций на основе теории предела. Мы продемонстрируем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение показательной и ло- логарифмической функций, если располагать теорией действительного числа и теорией предела. Для удобства ссылок и полноты картины проделаем всё с самого начала. а) Показательная функция. Пусть а > 1. 1° Для п Е N полагаем по индукции а1 := а, ап+1 := ап • а. Таким образом, на N возникает функция ап, которая, как видно из опре- определения, обладает свойством ° _ пт-п ап если т, п € N и т > п. 2° Это свойство приводит к естественным определениям а0 := 1, а~п := — при п € N, ап после которых функция ап оказывается распространенной на множество Z целых чисел и для любых m, n E Z ат ап = ат+п 3° В теории действительных чисел мы отметили, что для а > 0 и п € N существует единственный арифметический корень n-й степени из а, т. е. число х > 0 такое, что хп = а. Для него принято обозначение al/n. Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения показателей: По той же причине естественно положить am/n := (а1/71I71 и а/71 := = (а1/71) для п € N и m € Z. Если окажется, что a^mk)^nk) = am/n для fc € Z,"to можно считать, что мы определили о? для г € Q. 4° Для чисел 0 < х, 0 <• у по индукции проверяем, что для п € N (х < у) <=* (хп < у
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 117 поэтому, в частности, (х = у) *> (хп = у"). 5° Это позволяет доказать правила действий с рациональными показате- показателями, в частности, что а(тк)/(пк) _ ат/п И Действительно, a(m*)/(n*) > 0 и ат/п > 0. Далее, поскольку b ** = /i/(nfcl =атк И то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4° установлено. Аналогично, / m2/n2\ И поэтому второе равенство также доказано. > Таким образом, мы определили аг для г € Q, причем аг > 0 и для любых аГ1-аГ2 =аГ1+Г2. 6° Из 4° следует, что для п, г 2 € Q <г2) => (ап <аГ2). ^ Поскольку A < а) <=» A < а1/71) для п € N, что сразу следует из 4°, то (a1/11) = am/n > 1 при n, m € N, что опять-таки следует из 4°. Таким образом, при 1 < а для г > 0, г Е Q имеем ar > 1. Тогда при г\ < Г2 на основе 5° получаем аГ2 = аГ1 • аГ2~Г1 > аГ1 • 1 = ari 5*
118 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ 7° Покажем, что для го € lim аг = аг° < Проверим, что ар -> 1 при Q Э р -+ 0. Это следует из того, что при < - имеем в силу 6° а-1'* <ар < а1/». Мы зн*аем, что al/n —>> 1 (и а~х1п -> 1) при п —^ оо. Тогда стандартным рассуждением проверяем, что для е > 0 найдется ? > 0 такое, что при \р\ < S будет 1-е<ар<1+е. В качестве ? можно взять -, если 1 — е < аГх1п и а1//п < 1 -К ?. п Теперь докажем основное утверждение. По е > 0 подберем ? так, что при |р| < S Го <ар < Ц Если теперь \г — го\ < ?, то aro(l-ea-ro) <ar = ar°-ar-r° < аг°A или аго - е < аг < аг° + г. > Итак, на Q определена функция аг со свойствами: а1 = а > 1; аГ1-аГ2 =аГ1+Г2; аГ1 < аГ2 при ri < Г2; аГ1 —> аГ2 при Q Э ri —>• гг. Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом. 8° Пусть х € Е, 5 = sup ar и г = inf ar. Ясно, что 5, г € R, так как Q9> при п < х < Г2 имеем аГ1 < аГ2. Покажем, что на самом деле s = г (и тогда эту величину мы обозначим через ах). Ч По определению 5 и г, при г\ < х < г2 имеем ari Тогда 0 ^ i - s ^ аГ2 - аГ1 = аГ1(аГ2~Г1 - 1) < 5(ar2"ri - 1). Но ар -> 1 при Q Э р —> 0, поэтому для любого е > 0 найдется ? > 0 такое, что при
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 119 О < Г2 — r\ < S будет аГ2~Г1 — 1 < е/s. Тогда получим, что 0 ^ г — s < e, и, поскольку е > О произвольно, заключаем, что г = 5. > Положим ах := s = г. 9° Покажем, что ах = lim ar. Ч Учитывая 8°, для е > 0 найдем У < х так, что s — е < аг ^ 5 = ах, и г" так, что ах — г ^ аг < % + е. Поскольку г' < г < г" влечет аг < аг < аг , для всех г € Q, лежащих в интервале ]г;, г"[, будем тогда иметь а* - е < аг < ах + е. > Займемся теперь свойствами построенной функции ах на R. 10° Для a?i,X2 € R при а > 1 (a?i < х2) =» (аЖ1 < аХ2). Ч На интервале ]xi,a?2[ найдутся два рациональных числа г\ < гъ- Если < г2 ^ X2, то по определению ах, данному в 8°, и свойствам функции aXl <ari <аГ2 <аХ2. > ах на О имеем 11° Для любых a?i, а:2 € R верно aXl • аХ2 = аХ1+Х2. Л В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произведения и свойства 9° можно утверждать, что для любого е > 0 найдется число 6' > 0 такое, что при \х\ — r\\ < S', \х2 — гг| < <J' будет ? < ап Уменьшая, если нужно, й;, можно подобрать S < 6' так, что при \х\ — r\\ < S, — гг| < 6, т. е. при |(a?i + жг) — (ri + Г2)| < 2E, будем иметь также Но аГ1 • аГ2 = аГ1+Г2 для ri,r2 € Q, значит, из полученных неравенств вытекает, что aXl • аХ2 - е < aXl+X2 < aXl • аХ2 + е. Поскольку е > 0 произвольно, заключаем, что а11-а*2 =аХ1+Х2. > 12° lim ах = ах°. (Напомним, что «ж -> хо» — принятое сокращение для X—?Xq Э х Проверим сначала, что lim ах = 1. По е > 0 найдем n G N так, что - х->0 1-?< а~1/п < а1/п <1 + е.
120 гл. ш. предел Тогда в силу 10° при \х\ < 1/п будем иметь 1 - е < о/п <ах < al/n < 1 + е, т. е. проверено, что lim ax = 1. х—уО Если теперь взять S > 0, чтобы при \х — хо\ < S было \ах~х° — 1| < еа~х°, то получим ахо - е < ах = аХо (ах~х° - 1) < ах° + е и тем самым проверено, что lim ах = аХо. > 13° Покажем, что множеством значений построенной функции х н* ах является множество R+ всех положительных действительных чисел. М Пусть 2/о € R+. Если а > 1, то, как нам известно, найдется число п € N такое, что а~п < уо < ап. В силу этого оба множества = {x?R\ax <у0} и В = {х €Ж\у0 < ах} непусты. Но поскольку (х\ < х%) <=> {aXl < аХ2) (при а > 1), то для любых чисел д?1, Х2 € К таких, что Xi € А и ^2 € В, имеем xi < #2. Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из которой следует суще- существование числа хо такого, что х\ ^ хо ^ хг для любых элементов Xi € А и Х2 € В. Покажем, что ах° = j/o- Если бы было аХо < уо, то, поскольку а*0+1/п -> аж° при п -» оо, нашлось бы число п € N такое, что аЖо+1/п < i/o- Получилось бы, что (жо + —) € в то время как точка хо разделяет А и В. Значит, предположение аХо < у о неверно. Аналогично проверяем, что неравенство ах° > уо тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда заключаем, что ах° = j/0- > 14° Мы пока считали, что о > 1. Но все построения можно было бы по- повторить и для 0 < а < 1. При этом условии 0 < аг < 1, если г > 0; по- поэтому в 6°, а затем окончательно в 10° теперь получим, что при 0 < а < 1 (xi <х2) =*> (аХ1 >аХ2). Итак, при а > 0, а ф 1 на множестве Е действительных чисел* мы постро- построили действительнозначную функцию х н* ах со следующими свойствами: 1) а1 = а; 2) аХ1-аХ2 =а* 3) ах -+ аХо при х '4) (а*1 < а*2) <=> (xi < х2), если а > 1, (аХ1 > аХ2) <<=> (xi < х2), если 0 < а < 1; 5) множеством значений функции х н* ах является множество R+ = {у € Е К. 10 < у} всех положительных чисел.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 121 Определение 7. Отображение х *-» ах называется показательной или экспоненциальной функцией при основании а. Особенно часто встречается функция х н-> ех, когда а = е, которую нередко обозначают через ехрх. В связи с этим для обозначения функции х н* ах также иногда используется символ ехра х. Ь) Логарифмическая функция. Поскольку отображение ехра : Е -» Е+, как видно из свойств показательной функции, биективно, оно имеет обратное отображение. Определение 8. Отображение, обратное к ехра : Е -> Е+, называется логарифмической функцией при основании а (О < а, а ф 1) и обозначается символом loga : Е+ -+ Е. Определение 9. При основании а = е логарифмическая функция, или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается In: Е+ Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом даже бо- более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который мы изложим после построения основ дифференциального и интегрального исчисления. По определению логарифма как функции, обратной экспоненциальной, имеем Чх е Е (loga(a*) = х), V2/GE+ Из этого определения и свойств показательной функции, в частности, полу- получается, что в области Е+ своего определения логарифм обладает следующими свойствами: 1') logaa = l; 2') loga B/1' 2/2) = loga 2/1 -I- loga 2/2; 3;) bga у -> loga 2/0 при E+ Э у -> 2/o € E+; 4') (loga2/i < loga2/2) <=*> B/1 < 2/2), если a > 1, (loga 2/1 > loga 2/2) «=> B/1 < У2), если 0 < a < 1; 5;) множество значений функции loga: E+ —> E совпадает с множеством Е всех действительных чисел. М Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма полу- получаем 1;). * Из свойства 2) показательной функции получаем 2;). Действительно, пусть хг = loga 2/1 и х2 = loga 2/2. Тогда 2/i = a*1, 2/2 = aX2 и по 2) угУ2= aXl • аХ2 = = аХ1+Ж2, откуда logaB/1 • 2/2) = хг + х2.
122 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4;) лога- логарифмической. Очевидно, 5) => 5'). Осталось доказать 3'). В силу свойства 2') логарифма loga у - loga 2/о = bga ( — ), поэтому неравенства -е < loga у - loga 2/о < е равносильны соотношению a (О = -е< loga( — ) < е = \oga(a?), \2/о/ которое по свойству 4;) логарифма равносильно У -а? < — < а? при а > 1, а? < — < а~? при 0 < а < 1. 2/о У \пх В любом случае мы получаем, что если Уоа~? < у < уоа? при а > 1 или Уоа? < у < уоа~€ при 0 < а < 1, то —? <С loga у — loga 2/о ^ ?• Таким образом, проверено, что рис. 9 На рис. 9 изображены графики функций ех, 10х, In х, Iog10:r = /1\х =: logx, а на рис. 10 — графики функций ( - 1 , @,1)х, Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже часто при- приходится пользоваться.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 123 Рис. 10 Покажем, что для любого ft > 0 и любого а € М справедливо равенство 6;) loga(ft«) = alogaft. ^ 1° Равенство справедливо при a = п 6 N, ибо из свойства 2') логарифма по индукции получаем logaB/1... уп) = loga уг + ... + loga </п, значит, loga(bn) = loga ft + ... + loga ft = n loga ft. 2° loga(ft~1) = - loga ft, ибо если /3 = loga ft, то ft = ft = or и loga (ft) = -/}. 3° Из 1° и 2° теперь заключаем, что для a € Z равенство loga(fta) = a loga ft справедливо. 4° loga(ft^n) = - loga ft при п € Z. Действительно, 5° Теперь можно проверить, что для любого рационального числа а = — е Е Q утверждение справедливо. В самом деле, m п loga ft = mloga (ft1/-) = loga = ioga (ft-/-). 6° Но если равенство loga ftr = r loga ft справедливо для любого г е Q, то, устремляя г по Q к а, на основании свойства 3) показательной и свойства 3')
124 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ логарифмической функций получаем, что если г достаточно близко к а, то Ь близко к Ьа и loga 6Г близко к loga 6a. Это означает, что lim loga6r =loga6a. 9* Ho loga br = r loga 6, поэтому loga ba = lim loga br = lim r loga b = a loga 6. > QBr—»a Q3r—toe Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для любых а, /3 € К и а > О имеет место равенство п\ (пос\C _J aocC Ч При а = 1 считаем, по определению, 1а = 1 для а € Е. Таким образом, в этом случае равенство тривиально. Если же а ф 1, то по доказанному = /31og>a) = /3 • aloga a = /3 • a = loge(aa*), У что в силу свойства 4;) логарифма доказывает справедливость указанного равенства. > с) Степенная функция. Если считать la = 1, то при любом х>0иаЕ1 мы определили величину ха (читается «х в степени а»). Определение 10. Функция i4xQ, определенная на множестве R+ положительных чисел, называ- ется степенной функцией, а число а называется показателем степени. 1 Степенная функция, очевидно, является композицией показатель- показательной и логарифмической функций, точнее, 1 0 -1/2 ха = Рис. 11 На рис. 11 изображены графики функции у = ха при различных зна- значениях показателя степени. 3. Общее определение предела функции (предел по базе). Дока- Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрест- окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств Bi), B2), указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обсто- обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 125 а. База; определение и основные примеры Определение 11. Совокупность В подмножеств В С X множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия: Bi) VB € В {Вф 0); в2) VBi € в vb2 ев зв ев (в с вг п в2). Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности. Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы. Обозначение базы х —У а X —У ОО х —У а, х € Е или Е Э х -> о или х —> а х —* оо, х G 2? или Е Э х -> оо или х —> оо Чтение обозначения х стремится к а х стремится к бесконечности х стремится к а по множеству Е х стремится к бесконечности по множеству Е Из каких множеств (элементов) состоит база База проколотых окрестностей точ- точки а € R База окрестностей бесконечности База*) проколотых окрестностей точки а в множестве Е База**) окрестностей бесконечности в мно- множестве Е Определение и обозна- обозначение элементов базы Ща) := = {х € R о - 6i < С ж / 1 где ^i > 0, ^2 > 0 С/(оо) := = {х е R\S < х|}, где S € R 1/я(оо) :=?7ПС/(оо) *) Предполагается, что а — предельная точка множества Е. *' Предполагается, что множество Е не ограничено. Если Е = Е+ = {х € Щх > а} (Е = Е~ = {х € R| х < а}), то вместо х -У а, х € Е пишут х —у а + 0 (х —У а — 0) и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При а = 0 принята краткая запись х -У +0 (я: -> -0) вместо х -> 0 + 0 (х -> 0 - 0).
126 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ Запись ? 3 а; 4 а + 0 (Е Э х -+ а — 0) будет употребляться вместо х -* а, х Е 1? П 15+ (х -» а, хе^П -Б"). Она означает, что х стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем о. Если = {хе Ш\с<х} (Е = Е^ = {хеЩх < с}), то вместо х -> оо, х Е 15 пишут # —>> +оо (я -> —оо) и говорят, что а: стре- стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности). Запись Е Э х -> -Ьоо (?зж-^ —оо) будет употребляться вместо х -» оо, хб?ПЕ+ (хчоо, жЕВПЕ"). При 1? = N вместо х -> оо, х Е N мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать п -> оо. Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пе- пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси1). Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обо- обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра*, а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданно- созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру2\ Ь. Предел функции по базе Определение 12. Пусть /: X —> Ш — функция на множестве X; В — база в X. Число А Е Ш называется пределом функции f : X -> Е по базе В, если для любой окрестности V(A) точки А найдется элемент В Е В базы, образ которого f(B) содержится в окрестности V(A). Если А — предел функции /: X -> R по базе В, то пишут = А. Повторим определение предела по базе в логической символике: lim/(:r) = A:= \fV(A) ЗВ Е В (f(B)cV(A)). Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующук>'форму этого основного определения: lim/(x) = А := Ve > О ЭВ 6 В Уж € Б (|/(х) - А\ < е). 1' Например, совокупность открытых (без граничной окружности) кругов, содержащих данную точку плоскости, является базой. Пересечение двух элементов базы не всегда круг, но всегда содержит круг из нашей совокупности. 2) Подробнее об этом см.: Бурбаки Н. Общая топология. М.: ИЛ, 1958.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 127 В этрй формулировке вместо произвольной окрестности V(A) берется сим- симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалент- Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полно- полностью!). Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рас- рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифро- расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы. Так, lim /Or) = A:= Ve >O 36 > 0 Vx€]a-rf,a[ (|/(а?) - A\ x-*a—O lim /(a?) = A := Ve > 0 35 € R Vz < 5 (|/(s) - A| < e). X—*— OO Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения: lim/(x) = oo:= VF(oo) ЗВ Е В (f (В)) С V(оо)) или, что то же самое, lim/(а?) = оо := Ve > О ЗВ Е В УхЕВ (е < lim/(ж) = +оо := Ve E R ЗВ ЕВ УхЕВ (е < lim /Or) = -оо := Me Е Ж ЗВ ЕВ VxeB (f(x) < e). Обычно под е подразумевают малую величину. В приведенных определе- определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать lim /(я) = -оо := Ve E R 36 Е Ш Vx>6 (f(x)<e). Советуем читателю самостоятельно написать полное определение предела для различных баз в случае конечных (числовых) и бесконечных пределов. Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае пре- предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы Е Э х -> а, необходимо дать соответствую- соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций. Определение 13. Функция /: X -» Ш называется финально постоянной при базе В, если существуют число А Е R и такой элемент В Е В базы, в любой точке х Е В которого f(x) = A.
128 гл. ш. предел Определение 14. Функция /: X —> Ш называется ограниченной при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют число с € Ш и такой элемент В ? В базы, в любой точке х € В которого \f(x)\<c. Определение 15. Функция /: X -> R называется бесконечно малой при базе В, если lim/(a:) = 0. После этих определений и основного наблюдения о том, что для доказа- доказательства теорем о пределах нужны только свойства Bi) и Вг) базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе. В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при х —> оо, или при х -> —оо, или при х -> + оо. Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на числовых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К примеру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом предельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности. В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введен- введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого кон- конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз. Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произволь- произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде. 4. Вопросы существования предела функции а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши, да- дадим следующее полезное Определение 16. Колебанием функции /: X -> R на множестве Е С X называется величина (fE):= sup т. е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек Х\, Х2 G Е. Примеры. 11) а,(*2;[-1 12) Цх;[-1,2]) = 13) w(x;]-1,20=3.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 129 14) u;(sgn:r;[-l,2])=2. 15) cj(sgna;;[0,2]) = 1. 16) cj(sgna;;]0,2]) =0. Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции). Пусть X — множество и В — база в X. Функция /: X -> R имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда для любого числа е > 0 найдется элемент В ? В базы, на котором колебание функции меньше е. Итак, Э ton Дат) ** Ve > 0 ЗВ ? В И/; В) < e). в << Необходимость. Если lim Да?) = А, то для любого е > 0 найдется в элемент В базы В, в любой точке х которого \f(x) — А\ < е/3. Но тогда для любых х\, i2 из В |/(ая) - Дх2)| < !/(*!) -А\ + |/(х2) - А\ < \е и, значит, cj(f; В) < е. Достаточность. Докажем теперь основную часть критерия, утвер- утверждающую, что если для любого е > 0 найдется элемент В базы В, на котором u(f) В) < ?, то функция / имеет предел по базе В. Придавая е последовательно значения 1, -, ... , —, ..., получим последо- 2 п вательность В\, 1?2» • • • » ВП1 ... элементов базы таких, что шЦ\Вп) < 1/п, п € N. Поскольку Вп -ф 0, в каждом Вп можно взять по точке хп. После- Последовательность f(x\), f(x2), ... , f(xn), ••• фундаментальная. Действительно, Вп П Вт ф 0, и, взяв вспомогательную точку х G Вп П 2?т, получим, что \f(xn) - f(xm)\ < \f(xn) - f(x)\ -f \f(x) - f(xm)\ < 1/n -f 1/m. По доказанному для последовательностей критерию Коши, последовательность {f(xn), п ? Щ имеет некоторый предел А. Из установленного выше неравенства при т —> оо следует, что |/(хп) — А\ ^ 1/п, а отсюда, учитывая, что u(f;Bn) < 1/п, за- заключаем теперь, что если п > N = [2/е] + 1, то в любой точке х € Вп будет - А\ < е. > Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже, оста- остается в силе для функций со значениями в любом так называемом полном про- пространстве Y. Если же Y = R, а этот случай нас сейчас в первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той же идеей, что и в дока- доказательстве достаточности критерия Коши для последовательностей. << Полагая тв = inf Дя), М# = sup f(x) и замечая, что для любых эле- хев хеВ ментов В\, B<i базы В выполнено тпв1 ^ ™>в1пв2 ^ Мв1пв2 ^ Мв2-> по аксио- аксиоме полноты найдем число A G R, разделяющее числовые множества {тв} и
130 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ {Mb}, где В € В. Поскольку u(f; В) = Мв—тв, то теперь можно заключить, что как только о;(/; В) < е, так \f(x) - А\ < е в любой точке х Е В. > Пример 17. Покажем, что в случае, когда X = N и В есть база га -> оо, га Е N, доказанный общий критерий Коши существования предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши существования предела последовательности. Действительно, элементом базы га -> оо, га G N является множество В = = N П ?/(оо) = {га G N | га > N} тех натуральных чисел га G N, которые больше некоторого числа N ? Ш. Без ограничения общности можно считать, что N G N. Соотношение u(f;B) < e в нашем случае означает, что Vrai,ri2 > имеем |/(rai) — /(гаг)! < е- Таким образом, условие, что для любого ? > 0 найдется элемент В € базы, на котором колебание о>(/; В) функции / меньше ?., для функции /: N равносильно условию фундаментальности последовательности {/(га)}. Ь. Предел композиции функций Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть Y — множество; — база в Y; д: Y —> Е — отображение, имеющее предел по базе By- Пусть X — множество, Вх — база eXuf:X->Y— такое отображе- отображение X в Y, что для любого элемента By G By базы By найдется элемент Вх € Вх базы Вх, образ которого f(Bx) содержится в By. При этих условиях композиция g о /: X -> R отображений fug опреде- определена, имеет предел по базе Вх и \im(g о f)(x) = limg{y)> В By <4 Композиция g о /: X -> R определена, поскольку f(X) С Y. Пусть limg(y) = А. Покажем, что lim (gof)(x) = А. По заданной окрестно- окрестному Вх сти V(A) точки А найдем элемент By € By базы By такой, что д(Ву) С V(A). По условию найдется элемент Вх G Вх базы Вх такой, что f(Bx) С By. Но тогда (д о f)(Bx) = g(f(Bx)) С д(Ву) С V(A) и мы, таким образом, прове- проверили, что А является пределом функции (д о /): X —> R по базе Вх- > Пример 18. lim = ? ж-+о 7х Если положить д(у) = 5S2, а /(х) = 7х, то (д о/)(х) = S1^ ж. В нашем у (к случае Y = R \ 0, X = R. Поскольку lim p(j/) = lim ^2J? = i? то для примене- з/-+о j/-^o г/ ния теоремы надо проверить, что, какой бы элемент базы у —> 0 мы ни взяли, найдется элемент базы х —у 0, образ которого при отображении f(x) = 7x со- содержится в указанном элементе базы у —> 0. Элементами базы J/ —>• 0 являются о проколотые окрестности Uy@) точки 0 Е R. Элементами базы х —> 0 также являются проколотые окрестности С/х@) точки 0 G R. Пусть U у @) = {j/GR|a<j/</9, 2/^0} (где a, /? G R, причем
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 131 а < О, /3 > О) — произвольная проколотая окрестность нуля в Y. Если взять Ux@) = {х Е R| ^ <#< ^, х ^ 0}, то эта проколотая окрестность нуля в X 7 7 о о о уже обладает тем свойством, что f(Ux)@) = Uy@) С Uy(O). Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что ,. sin7x ,. sin у л hm —-— = hm —- = 1. ж—>о 7х у-+о у Пример 19. Функция д(у) — |sgnj/|, как мы уже видели (см. пример 3), имеет предел lim |sgnj/| = 1. у—уо Функция у = f(x) = xsin -, определенная при х ф 0, также имеет предел lim xsin - =0 (см. пример 1). Однако функция (д о f)(x) = sgn (x sin ~ при х —> 0 не имеет предела. Действительно, в любой проколотой окрестности точки х = 0 имеются ну- нули функции sin -, поэтому функция х sgn в любой такой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию Коши не может иметь предел при х —> 0. Не противоречит ли это доказанной теореме? Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены ли здесь условия теоремы. Пример 20. Покажем, что < Пусть Y = N, By — база п -> оо, п Е N; X = Ш+ = {х е R | х > 0}, Вх — база х -+ +оо; f:X->Y есть отображение a: i—> [х], где [х] — целая часть числа х (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее числа х). Тогда для любого элемента By = {n € N|n. > N} базы п ->• оо, ?i G N, очевидно, найдется элемент Bx = {xeE|x>iV + l} базы х ->• Н-оо, образ которого при отображении х —>• [х] содержится в By. A \п / 1 \п / 1 \n+i 1 + -J , gi{n) = A + ^J-jJ , дз(п) = (l + ^J , как нам уже известно, имеют своим пределом по базе п —> оо, п G N число е.
132 гл. ш. предел По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что тогда функции (92 о /)(*) = (l + также имеют своим пределом по базе х —> +оо число е. Теперь остается заметить, что при х [Ж] / и так как при х —> +оо крайние члены стремятся к е, то по свойствам предела (теорема 3) получаем lim A + — ) = е. ж—>>+оо \ X/ Используя теорему о пределе композиции функций, покажем теперь, что lim (l + -У = е. ж—>>~оо\ X/ Запишем im f I + -) = lim A -f т^^ = lim f 1 - >-oo V XJ (-t)->-oo\ (-*)/ t-^+oo V * = lim A + -—- ) = lim A + -—г ' lim = lim f^l f) frrl lim Написанные равенства с учетом произведенных замен и = t — 1 и t = —х обосновываются с конца (!) на основе теоремы о пределе композиции функ- / 1 \и ций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пределу lim (l-f-1 , существование которого уже доказано, теорема позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и равен этому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным числом таких переходов придем к ис- исходному пределу. Это довольно типичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной функции при вычислении пределов. Итак, мы имеем lim Г1 + -) =е lim х/ ж-++оо A + -) . \ х/ A \х 1 Н— 1 = е. х / Действительно, пусть задано число s > 0.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 133 A \х 1 + - ) = е, найдется число с\ € R такое, что при х < с\ X / будет о+а < ?. A \х 1 И— 1 = е, найдется число С2 € R такое, что при c<i < х х / будет - — e < е. A \ 1 H—J — e самым проверено, что lim A H— ) = e. > Ж—^OO \ X/ Пример 21. < е. Тем М После замены х = \/t возвращаемся к пределу, рассмотренному в пре- предыдущем примере. > Пример 22. х х lim — = 0, если а > 1. >+ qx < Мы знаем (см. § 1, пример 11), что lim — =0, если q > 1. п—юо qn Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное отобра- отображение / : R+ —> N, осуществляемое функцией [х] (целая часть х). Воспользовавшись неравенствами [х] х q* и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены стре- от от мятся к нулю при х -> +оо, заключаем, что lim — = 0. > ж-++оо qx Пример 23. lim ж—>-foo ^ Пусть а > 1. Полагаем ? = logaar, находим ж = а*. По свойствам показательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность an, п € N) имеем (х —>• +оо) -Ф=> (t —>• +оо). Используя теорему о пределе сложной функции и результат примера 4, получаем logax ? lim —— = lim -r = 0. Если 0 < a < 1, то положим — t = logax, x = а~ь. Тогда (х"-> +оо) +оо), и так как I/a > 1, то снова logax lim —2S— = lim = - lim г = 0. >
134 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один частный, но весьма полезный класс числовых функций — монотонные функции. Определение 17. Функция / : Е —> R, определенная на числовом мно- множестве Е С К, называется возрастающей на Е, если E (xi < х2 => f(xx) < Дх2)); неубывающей на Е, если Vxbx2 Е E (xi <x2=> f(xi) ^ Дх2)); невозрастающей на Е, если Vxbx2 е Е (хг < х2 =* f(xx) ^ /(х2)); убывающей на i?, если > f(x2)). Функции перечисленных типов называются монотонными на множестве Предположим, что числа (или символы —оо, +оо) г = inf Е и 5 = supi? являются предельными точками множества Е и f : Е —> Ж — монотонная функция на Е. Имеет место следующая Теорема б (критерий существования предела монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве Е функция f: Е -> R имела предел при х —> 5, х G Е, необходимо и достаточно, чтобы она была ограни- ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел прих —> i, х Е Е, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу. < Докажем теорему для предела lim f(x). ЕЭх—ts Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция / оказывается финально ограниченной при базе Е Э х —> s. Поскольку / — неубывающая на Е функция, отсюда следует, что / огра- ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что f(x) ^ lim f(x) ЕЭх-ts для любого х Е Е. Это будет видно из дальнейшего. Перейдем к доказательству существования предела lim f(x) при условии ЕЭх—?в ограниченности / сверху. Если / ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, кото- которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = sup /(x); покажем, что lim f(x) — А. По е > 0, на основании определения верхней грани множе- ЕЭх—ts ства, найдем точку хо G Е, для которой А — е < /(хо) ^ А. Тогда ввиду неубывания / на Е получаем, что при xq < x G Е будет А — е < f(x) ^ А. Но
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 135 множество {х Е Е\хо < х}, очевидно, есть элемент базы х -> s, х ? Е (ибо 5 = supi?). Таким образом, доказано, что lim f(x) = A. ЕЭх—ts Для предела lim fix) все рассуждения аналогичны. В этом случае имеем ЕЭi lim f(x) = inf /(яг). > ЕЭх—>t €E d. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот пункт мы начнем поясняющими тему примерами. Пусть тг(х) — количество простых чисел, не превосходящих данного ве- вещественного числа х ? R. Имея возможность при любом фиксированном х найти (хотя бы перебором) значение 7г(ж), мы тем не менее не в состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя функция тг(х) при х —> + оо или, что то же самое, каков асимптотический закон распределения простых чисел. От Евклида нам известно, что тг(х) —> +оо при х —>• +оо, но доказать, что тг(х) растет примерно как -—, удалось только в прошлом веке шх П. Л. Чебышеву1). Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не опреде- определена, говорят, что интересуются асимптотикой или асимптотическим по- поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит зна- значения изучаемой функции. Так, 7г(ж) при х —у +оо ведет себя как -—; функция при х —> О 111 J0 X ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении функции х2 + х + sin - при х —> оо, мы, ясно, скажем, что она в основном ведет себя как функция х2, а при х ->• 0 — как sin -. х Дадим теперь точные определения некоторых элементарных понятий, от- относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими понятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе изучения анализа. Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство функ- функций или соотношение между функциями выполнено финально при данной базе В, если найдется элемент В е В базы, на котором оно имеет место. Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоянство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально выполнено соотно- соотношение f(x) = g(x)h(x) между некоторыми функциями /, g, h. Эти функций 1^П. Л. Чебышев A821 — 1894) — великий русский математик и механик, основатель большой математической школы в России.
136 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы инте- интересуемся их асимптотическим поведением при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы В. Определение 19. Говорят, что функция / есть бесконечно малая по сравнению с функцией д при базе В и пишут / = о(д) или f = о(д) при В, в если финально при базе В выполнено соотношение f(x) = а(х) • д(х), где а — функция, бесконечно малая при базе В. Пример 24. х2 = о(х) при х —> 0, так как х2 = х • х. Пример 25. х = о{х2) при х —> оо, так как финально, когда уже х ф О, 1 2 X = - -X . X Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при которой / = о(д), совершенно необходимо. Обозначение / = о(д) читается «/ есть о малое от д». Из определения следует, в частности, что получающаяся при д{х) = 1 за- запись / = оA) означает просто, что / есть бесконечно малая при базе В. Определение 20. Если / = о(д) и функция 4д сама есть бесконечно в малая при базе В, то говорят, что / есть бесконечно малая более высокого по сравнению с д порядка при базе В. Пример 26. х~2 = —- при х —> оо есть бесконечно малая более высокого х1 порядка по сравнению с бесконечно малой х~1 = -. х Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при данной базе, называют бесконечно большой функцией или просто бесконечно большой при данной базе. Определение 22. Если / и g — бесконечно большие при базе В и / = о(д), то говорят, что д есть бесконечно большая более высокого порядка в по сравнению с /. Пример 27. - -> оо при х ->• 0, -г -> оо при х -> 0 и - = о( —?) х х2 х \х2) при х —>• 0, поэтому — есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с - при х —> 0. ' Вместе с тем при х —> оо функция х2 есть бесконечно большая более высо- высокого порядка, чем х. Не следует думать, что, выбрав степени хп для описания асимптотическо- асимптотического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую или бесконечно большую характеризовать некоторым числом п — ее степенью.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 137 Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом п G Ит %=0, т. е. хп = о(аж) при х -* 4-оо. ^ Если п ^ 0, то утверждение очевидно. Если же п G N, то, полагая g = ^/а, имеем д>1 и ^¦ = (¦7) > поэтому хп (х \п х х lim — = lim ( — I = lim — •... • lim — =0. х-++ооах х—*+ooyqx J x—н-oo qx x—>>+oo qx п раз Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения и результатом примера 22. > Таким образом, при любом п G Ъ получаем хп = о{ах) при х —> +оо, если а > 1. Пример 29. Развивая предыдущий пример, покажем, что при а > 1 и любом а € R lim — = О, х—>+оо аж т. е. ха = о(аж) при х —> + оо. ^ Действительно, возьмем число n G N такое, что п > а. Тогда при х > 1 получим Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, получаем, ха что lim — = 0. > х—>+00 ах Пример 30. Покажем, что при а > 1 и любом a G Е lim ^ = 0, R+Эж-Ю Ха т. е. а~1/ж = о(ха) при х -> 0, х G K+. «^ Полагая в этом случае х = —l/t,no теореме о пределе сложной функции, используя результат предыдущего примера, находим lim = lim — = 0. > ха Пример 31. Покажем, что при а > 0 lim ж—>>+оо Ха
138 гл. ш. предел т. е. при любом положительном показателе степени а имеем logax = о(ха) при х -> +оо. < Если а > 1, то положим х = а*/а. Тогда по свойствам показательной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции функций и результат примера 29, находим logax (t/a) I t n hm = hm . = — lim — = 0. a1 a t—>+oo a1 Если 0 < a < 1, то I/a > 1 и после замены x = а~~ь/а получаем hm —2— = hm -——— = hm 7 = 0. > z->+oo xa t-н-оо a~l a t-n-oo (I/a) Пример 32. Покажем еще, что при любом a > 0 ха loga х = оA) при х —>• 0, х G IR+. ^ Нам нужно показать, что lim xa loga х = 0 при a > 0. Полагая RЭ^О х = 1/?, применяя теорему о пределе композиции функций и результат пре- предыдущего примера, находим г а, ,. bga(l/t) logat hm xa loga x = hm ° = - hm ° = 0. > Определение 23. Условимся, что запись / = О(д) или f = О(д) при базе В (читается «/ есть О большое от д при базе В») будет означать, что финально при базе В выполнено соотношение /(х) = /3(х)д(х), где C(х) — финально ограниченная при базе В функция. В частности, запись / = 0A) означает, что функция / финально ограни- ограничена при базе В. Пример 33. (—(- sinxj х = О(х) при х —>• оо. Определение 24. Говорят, что функции /ид одного порядка при базе В, если одновременно / = О(д) и д = O(f). Пример 34. Функции B + sinx)x и х одного порядка при х -> оо, но A + sinx)x и х не являются функциями одного порядка при х -» оо. Условие, что функции f и д одного порядка при базе В, очевидно, равно- равносильно тому, что найдутся числа с\ > 0, С2 > 0 и элемент В базы В такие, что на В имеют место соотношения или, что то же самое, 1|/(х)| ^ \д(х)\ С2
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 139 Определение 25. Если между функциями / и д финально при базе В выполнено соотношение /(х) = j(x)g(x), где Imi7(#) = 1, то говорят, что при базе В функция f асимптотически ведет себя как функция g или, короче, что / эквивалентна g при базе В. Будем в этом случае писать f ~ g или f ~ g при базе В. Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что {f ~ (/ %9)*(9~h) => (/ - h). Действительно, соотношение / ~ / очевидно, в этом случае *у(х) = 1. Да- Далее, если Ит7(#) = 1, то lim —г—г = 1 и д(х) = —т-г/(х). Здесь надо только В В ~ix) К\х) объяснить, почему можно считать, что 7(я) Ф 0. Если соотношение /(х) = = 7(#)#(#) имеет место на элементе В\ € S, а соотношение ^ < \j(x)\ < - — на элементе Бг G В, то мы можем взять элемент В С 2?i П Дг, на котором будет выполнено и то и другое. Всюду вне В, если угодно, можно вообще считать, что у(х) = 1. Таким образом, действительно (f ~ g) => (g ~ f)- Наконец, если /(х) = ji(x)g(x) на 5i G В и ^(х) = 72(#)М#) на -^2 € #, то на элементе В е В базы В таком, что В С 5i П Б2, оба эти соотно- соотношения выполнены одновременно, поэтому /(х) = 71 (#) 72(#) М#) на В. Но lim 71 (х) 72 (#) = lim 7i (х) • lim 72 (#) = 1 и тем самым проверено, что f ~ h. Полезно заметить, что поскольку соотношение Iini7(x) = 1 равносильно тому, что j(x) = l-fa(x), где lim a(x) = 0, то соотношение f ~ g равносильно тому, что /(х) = #(х) + а(х) #(х) = ^(х) + о(^(х)) при базе В. Мы видим, что относительная погрешность |а(х)| = f(x)-g{x) прибли- жения функции с помощью функции #(х), эквивалентной /(х) при базе S, есть величина бесконечно малая при базе В. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 35. x2+x=(l + -Jx2~x2 при х ->¦ оо. Абсолютная величина разности этих функций |(х2+х) -х2| = |х| стремится, к бесконечности, однако относительная погрешность U- = — за- xz \х\ мены функции х2 Ч- х на эквивалентную величину х2 стремится к нулю при х —>• оо.
140 гл. ш. предел Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом асим- асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в состоянии записать его точную формулировку: / \ х , ( х \ тг(х) = ¦ Ь о\ -— 1 при х lnx \1пх/ 00. S1X1 X Пример 37. Поскольку lim = 1, то sinx ~ x при х -* О, что можно х—>0 X написать также в виде равенства sinx = х + о(х) при х -* 0. Пример 38. Покажем, что InA + х) ~ х при х —> 0. м lim ln(l + *) = Иш 1ПA + x)l'x = In( lim (I + хI'*) = lne = 1. х->0 X *-*0 \х->0 ' ) Мы воспользовались в первом равенстве тем, что loga(fta) = alogaft, а во втором тем, что lim loga t = logab = loga ( lim t). > Итак, ln(l 4- x) = x + o(x) при x -> 0. Пример 39. Покажем, что ех = 1 + x Ч- о(х) при х -> 0. ex — 1 t 4 lim = lim -— г = 1. x l(l t) Мы сделали замену x = ln(l4-t), ex — 1 = t и воспользовались тем, что ех —>• е° = 1 при х -> 0, причем е1 ^ 1 при х ^ 0. Таким образом, на основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего примера утверждение доказано. > Итак, ех — 1 ~ х при х -> 0. Пример 40. Покажем, что A + х)а = 1 + ах + о(х) при х -> 0. lim .. eolnA+I) -1 aln(l-hx) = lim —— г- • ^ L = l(l) = lim г х х->о aln(l-l-x) х r el r ln(l-hx) = a lim • lim — =»а. t^o t х-уо х В этой выкладке мы, предполагая а ф 0, сделали замену а1пA+х)=?и воспользовались результатами двух предыдущих примеров. Если же а = 0, то утверждение очевидно. > Таким образом, A + х)а — 1 ~ ах при х -> 0. При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое Утверждение 3. Если f ~ f, то lim f(x)g(x) = \imf(x)g(x), если один из этих пределов существует.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 141 Действительно, коль скоро /(х) = j(x)f(x) и Iim7(#) = 1, то в x) jr(x)g(x) = Ii7() /()p() Пример 41. ,. In cos x 1 .. In cos2 x 1 ,. ln(l-sin2x) hm —: — = - hm r— = - hm — - = 2 2 xz 2 * 1 ,. -sin x 1 ,. x2 1 = — lim -— = — — lim — = ——. 2 x->o x2 2 x->o x2 2 Мы воспользовались тем, что ln(l + а) ~ а при а —> О, sin х ~ х при х ->- О, • -г при Р —^ 0 и sin2 х ~ х2 при х -> 0. sin /3 Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно заменять функции на им эквивалентные при данной базе. Не следует распространять это правило на суммы и разности функций. Пример 42. у? + х ~ х при х -> +оо, но lim (ух2 + х — х) Ф lim (х — х) = 0. 4+осЛ ' х±+оо ' В самом деле, li lim (v х2 -f x — х) = lim , = lim -^+оо ж^+оо jx2 f X f X ж4+ lim . -f X -f X ж-4+оо Д , 1 , i 2 V Д , 1 , i V X Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила обраще- обращения с символами о(-), О(-). Утверждение 4. При данной базе: a) o(f) + o(f) = o(f); b) o(/) есть также О(/); c) о(/) + O(f) = O(f); d) O(f) + O(f) = O(f); g(x) \g(x)J g(x) Обратите внимание на особенности действий с символами о(-), О(-), выте- вытекающие из смысла этих символов. Например, 2о(/) = о(/), или о(/) + O(f) = = O(f) (хотя, вообще говоря, o(f) ф 0), или о(/) = О(/), но Of/) ^ о(/). Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть». Сами символы о(), О(-) обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асим- асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и /, и 2/, и т. п.
142 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ М а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает выглядеть не- неожиданным. Первый символ o(f) в нем означает некоторую функцию вида c*i(x)/(x), где limai(x) = 0. Второй символ о(/), который можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида аг(х)/(х), где Итаг(х) = 0. Тогда ai(x)/(x) -I- аг(х)/(х) = = (ai(x) + a2(x))/(x) = a3(x)/(x), где Ита3(х) = 0. b) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является фи- финально ограниченной. c) Следует из Ь) и d). d) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций финально ограничена. _а(х)/(х)_^ч/(х)_У/(х) 9(х) 9(х) Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е). > Пользуясь этими правилами и эквивалентностями, полученными в при- примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел из при- примера 42: lim (а/х2 + х - х) = lim x —^ + ОО >¦ ' X—Ц-ОО 1+--1 = = lim x(l + ±-± + o(±)-l) = lim V 2 X \X -Ч-хо(-)) = 9 V т / / = lim (l+o(l)\ \2 v 7 2 Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, которые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения: х = 1 + -гх+ —х2 + + ех = 1 + -гх+ —х2 + ... + —%хп + ... при х G R, 1! 2! п\ 1 1 (—1)* cosx = 1 -*?т х2 + — х4 + ... + 77Г7ТГ х2Л + • • • ПРИ х Z! 4! (^^' при 1 2 1 3 ("I) 2 3 ' n n—1 хп + ... при п.! '
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 143 Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислительными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, полученные в примерах 37-40: hx+kx2+-+hxn+°(xn+1) прих^о, при х —> 0, 1! 3! BA: -f 1)! v — xn + O(xn+1) при x^O, п а(а-1)(а-п+1)х {хП+1) _^ Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством при отыс- отыскании пределов элементарных функций. При этом полезно иметь в виду, что O(xm+1) = xm+1 • O(l) = хт • х • ОA) = хт • оA) = о(хт) при х -> 0. Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти форму- формулы в работе. Пример 43. x.sina. ( ) = ЙЬ —^ ? ^ = Ь ( + °W) = 3! Пример 44. lim x2 (I/5i±* _ Cos i^ =? Имеем при х —^ оо: ТТхЗ = 1+х-3 " V1 + х2 J I1 + г3 J = 1,11 cos — = 1 — — • ~
144 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ откуда получаем 7/x3 +x К 9 1 , Гх. _ . " Г = ТТ • -У + ° \-Ч при X -> 00. Таким образом, искомый предел равен 14 Пример 45. lim SB-+OO Ит ехр< х2 In A Н— ) — х\ = -юо I \ X/ J = lim ехр (х2 A - -L + Of-IY) - х} = *->оо *^ t Vx 2х2 \х3// J р(^ *-юо L 2 VX Задачи и упражнения 1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на R функ ция, удовлетворяющая требованиям: /A) = а (а > 0, а ф 1), /(xi)-/(x2) ч= /(xi +х2), /(х) -> /(хо) при х -> хо- Ь) Докажите, что существует и притом единственная определенная на R+ функ ция, удовлетворяющая требованиям: /(а) = 1 (о > 0, а # 1), /(*i) + /(*2) = /(xi -х2), /(х) -> /(хо) при хо € R+ и R+ Э х -> Указание. Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логарифмиче- логарифмической функций, разобранную в примере 10. 2. а) Установите взаимно однозначное соответствие у> : R -> R+ так, чтобы для любых х, у € R было 1р(х + у) = у>(х) • у>(у), т. е. чтобы операции сложения в прообразе (в R) отвечала операция умножения в образе (в R+). Наличие такого
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 145 отображения означает, что группы (R, +) и (R+, •) как алгебраические объекты одинаковы, или, как говорят, изоморфны. Ь) Докажите, что группы (R, +) и (R \ 0+, •) не изоморфны. 3. Найдите пределы: a) lim xx: 1 х++0 b) lim х С) Вт х+0 х-+0 пх — 1 d) lim . 4. Покажите, что 1 + - + ...Ч—= Inn -fc + o(l) при п —> оо, где с — постоянная. (Число с = 0,57721... называется постоянной Эйлера.) Указание. Можно воспользоваться тем, что In 2-±-i = In (l + i) = !+ Of Л) при n->oo. 5. Покажите, что: оо оо a) если два ряда Y1 ап, ?Ьп с положительными членами таковы, что ап ~ Ьп п=1 п=1 при п —> оо, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно; оо ^ b) ряд ^2 sin — сходится только при р > 1. п=1 п 6. Покажите, что: оо / 1 \ а) если ап ^ an+i > 0 при любом п € N и ряд ^ an сходится, то ап = о ( — ) при п=1 Чп/ п -> сх>; A \ °° —), то всегда можно построить сходящийся ряд ^ ап такой, что bn = o(an) при п -> оо; оо оо с) если ряд ^2 ап с положительными членами сходится, то ряд Y1 Ап > гДе -^п = п=1 п=1 оо / оо a>k — a S afc» тоже сходится, причем an = о(Лп) при п —> сх>; оо оо d) если ряд ^2 ап с положительными членами расходится, то ряд ^ Ап, где п=1 п=2 п /п-1 а* "" -\/ S afc» тоже расходится, причем Ап = о(ап) при п -> сх>. V Из с) и d) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может слу- служить универсальным эталоном для установления сходимости (расходимости) других рядов путем сравнения с ним.
146 ГЛ. III. ПРЕДЕЛ 7. Покажите, что: оо а) РЯД Е 1пап, где ап > О, п € N, сходится тогда и только тогда, когда после- n=l довательность {Пп = ai ... оп} имеет отличный от нуля предел; оо Ь) ряд Yl ln(l + an), где |an| < 1, абсолютно сходится тогда и только тогда, оо когда сходится абсолютно ряд Y1 а" • п=1 Указание. См. задачу 5а). оо 8. Говорят, что бесконечное произведение Yl e* сходится, если последователь- k=1 w ность чисел Пп = Yl е* имеет конечный, отличный от нуля предел П. Тогда пола- к=1 оо гают П = Yl k=i Покажите, что а) если бесконечное произведение Yl еп сходится, то еп —> 1 при п -> оо; оо n=l оо b) если Vn € N (en > 0), то бесконечное произведение Yl en сходится тогда и п=1 оо только тогда, когда сходится ряд ^2 In en; п=1 оо c) если en = l-han и все ап одного знака, то бесконечное произведение Yl A+atn) оо ~ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ^2 ап • п=1 9. а) Найдите П A +х2п). п=1 оо Ь) Найдите Yl cos ^г и докажите следующую формулу Виета1^: п=1 2 7Г 1 - + - - + - Д с) Найдите функцию /(ж), если /@) = 1, = cos2 ж • /(х) -> /@) при х -> 0. Указание: ж = 2 • —. . Виет A540 — 1603) — французский математик, один из создателей современной алгебраической символики.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 147 10. Покажите, что h °° а) если г-2— = 1 + /Зп, п = 1, 2, ..., и ряд 53 Рп абсолютно сходится, то суще- Ол+1 п=1 ствует предел lim Ьп = Ь € R; оо b) если —— = 1 -f — + an, n = l, 2, ..., причем ряд 53 a" абсолютно сходится, то fln ~ -г при п -> оо; оо оо оо оо с) если ряд J2 ап таков, что —З— = 1 -f - +an и ряд У] an абсолютно сходится, n=l an+l П ~! оо то ряд 53 о>п абсолютно сходится при р > 1 и расходится при р ^ 1 (признак Гаусса абсолютной сходимости ряда). 11. Покажите, что для любой последовательности {ап} с положительными чле- членами Ш ап и эта оценка неулучшаема.
ГЛАВА IV НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. Основные определения и примеры 1. Непрерывность функции в точке. Пусть / — вещественнозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки a G Ш. Описательно говоря, функция / непрерывна в точке а, если ее значения f(x) по мере приближения аргумента х к точке а приближаются к значению f(a) функции в самой точке а. Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке. Определение 0. Функция / называется непрерывной в точке а, если для любой окрестности V(f(a)) значения /(а) функции в точке а найдется та- такая окрестность U(a) точки а, образ которой при отображении / содержится в V(f(a)). Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе: / непрерывна в точке а := VF(/(a)) 3U(a) (f(U(a)) С \/е > 0 3U(a) \/x e U(a) (\f{x) - f{a)\ < е), Ve > 0 36 > 0 Vx е Ж (\х-а\<6=* \f{x) - f(a)\ < е). Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) любая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрестность этой точки. Например, если по любой е-окрестности Vе(f (а)) точки /(а) можно подо- подобрать окрестность U(a) точки а так, что Vx G U(a) (\f(x) — /(a)| < е), т. е. f(U(a)) С Ve(f(a)), то и для любой окрестности V(f(a)) тоже можно подо- подобрать соответствующую окрестность точки а. Действительно, достаточно сначала взять Vе(f (а)) С V(f(a)), а затем по Vе(/(а)) найти U(a). Тогда f(U(a)) С Vе(f(a)) С F(/(a)).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 149 Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле второго из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения. Обратное очевидно, поэтому эквивалентность первых двух фор- формулировок проверена. Дальнейшую проверку оставляем читателю. Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непрерывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция / определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть /: -Е -+ К — вещественнозначная функция, определенная на некото- некотором множестве Е С К, и а — точка области определения функции. Определение 1. Функция f: Е -+ Ж называется непрерывной в точ- точке а € Е, если для любой окрестности V(f(a)) значения /(а) функции, при- принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность Ue{o) точки а в мно- множестве1) Е, образ которой /(С/я(а)) содержится в V(f(a)). Итак, / : Е —> Ш непрерывна в a G Е := 3UE(a) (f(UE(a))cV(f(a))). Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е - 5-форме, рассмотрен- рассмотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно и даже не- необходимо. Запишем эти вариации определения 1: /: Е —>- R непрерывна в a G Е := = Ve > 0 3UE(a) \/x (Е UE(a) (\f{x) - f(a)\ < е), или /: Е -+Ш непрерывна в a G Е := = Ve > О 3S > О V* е Е (\х - а\ < S => \f(x) - f(a)\ < e). Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке. 1° Если а — изолированная, т. е. не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность U(a) точки а, в которой нет других точек множе- множества Е, кроме самой точки а. В этом случае Ue{o) = а, и поэтому /(С/^(а)) = = /(а) С F(/(a)), какова бы ни была окрестность V(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непре- непрерывна. Но это вырожденный случай. Напомним, что Ue(o>) = Е П U(a).
150 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ t 2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким обра- образом, к тому случаю, когда а € Е и а — предельная точка множества Е. Из определения 1 видно, что (/: Е —>- Ж непрерывна в а € -Б, где а — предельная точка Е) W lim f( \ ЕЭх-+а < В самом деле, если а — предельная точка Е, то определена база Е Э х —> а о проколотых окрестностей Ue{o) = Ue(o) \ о, точки а. Если / непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности V(f(a)) окрест- окрестность Ue{o) такую, что /(t/e(a)) С F(/(a)), мы одновременно будем иметь о 1(Уе{о)) С F(/(a)) и в силу определения предела, таким образом, lim f(x) = Обратно, если известна, что lim fix) = /(а), то по окрестности F(/(a)) оо найдем проколотую окрестность Ue{cl) так, что /({/^(а)) С F(/(a)). Но по- поскольку /(a) G F(/(a)), то тогда и /(С/^(а)) С V(/(a)). В силу определения 1 это означает, что функция / непрерывна в точке a G Е. > 3° Поскольку соотношение lim f(x) = /(а) можно переписать в форме ЕЭх—ю. f(x) = /( li мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точке функ- функции (операции) и только они перестановочны с операцией предельного пере- перехода. Это означает, что то число /(а), которое получается при выполнении операции / над числом а, можно сколь угодно точно аппроксимировать зна- чениями, получаемыми при выполнении операции / над соответствующими заданной точности приближенными значениями х величины а. 4° Если заметить, что при а € Е окрестности Ue{o) точки а образуют базу Ва (независимо от того, является ли а предельной или изолированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число f(a) — значение функции в точке а — является пределом функции / по этой базе, т. е. (/: Е -* R непрерывна в а € Е) <=> (\imf(x) = /(a)V 5° Заметим, однако, что если lim f(x) существует, то, поскольку a G Ue(o) Da для любой окрестности f/^(a), этот предел неизбежно оказывается равным /(а). Таким образом, непрерывность функции /: Е -* Ж в точке а € Е равно- равносильна существованию предела этой функции по базе Ва окрестностей (но не проколотых окрестностей) Ue{o) точки а в Е.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 151 Итак, (/: 25 -> R непрерывна в а € Е) <^ (З lim f(x)}. 6° В силу критерия Коши существования предела теперь можно сказать, что функция непрерывна в точке a G Е тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется окрестность Ue{o) точки а в Е такая, на которой колебание u(f; Ue(o>)) функции меньше е. Определение 2. Величина u(f]a) = lim tj(/;[/j|(a)) (где U^(a) есть S>Ю 5-окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием функции f: Е —> Ж в точке а. Формально символ u{f\X) уже занят, он обозначает колебание функции на множестве X. Однако мы никогда не будем рассматривать колебание функ- функции на множестве, состоящем из одной точки (это колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ cj(/;a), где а — точка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что ввели определе- определением 2. Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина u(f;U^(a)) есть невозрастающая функция от 6. Поскольку она неотрицательна, то либо она имеет конечный предел при S —> +0, либо при любом 6 > 0 выполнено u(f; U^(a)) = +oo. В последнем случае естественно полагают u(f; a) = +оо. 7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюмировать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это: : Е -? R непрерывна в о Е В) ^ (^(/; а) = 0). Определение 3. Функция f: Е —> Ж называется непрерывной на мно- множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множе- множестве Е, условимся обозначать символом С(Е;Ш) или, короче, С(Е). Мы обсудили понятие непрерывности функции. Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 1. Если f: Е -+ Ш — постоянная функция, то / G С(Е). Это утверждение очевидно, ибо f(E) = с С V(c), какова бы ни была окрестность V(c) точки с G Пример 2. Функция / (х) = х непрерывна на Действительно, для любой точки Хо G Ш имеем \f(x) — f(xo)\ = \x — хо\ < ?, как только \х — xq\ < S = е.
152 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Пример 3. Функция f(x) = sin ж непрерывна на Ж. В самом деле, для любой точки х0 € Ш имеем sinx — 2 cos + sin sin X X 2 ч -Xq 2 2 = \X - Xq ?, как только \х — a?o| < <J = s. Мы воспользовались неравенством |sinx| ^ |x|, доказанным в гл. III, §2, п. 2d, пример 9. Пример 4. Функция f(x) = cos ж непрерывна на Ж. Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки xq € имеем Icosx - 9 sin X + 2 Xq 2 sin sin X — 2 2 Xq как только \х — xq\<& — е. Пример 5. Функция f(x) = ax непрерывна на Действительно, по свойству 3) показательной функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10а) в любой точке xq G К. имеем lim ах = ахо, что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ах в точке Пример 6. Функция f(x) = logax непрерывна в любой точке xq G области определения R+ = {х € Ш \ х > 0}. В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. III, § 2, п. 2d, пример 10Ь) в любой точке xq € 1R+ имеем lim что равносильно непрерывности функции loga x в точке Попробуем, кстати, по заданному е > 0 найти окрестность Ur+(xq) точки так, чтобы в любой точке х G C/r+(xo) иметь | loga х — loga xo| <е. Это неравенство равносильно соотношению Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равносильно условию ~? < х < хоаЕ.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 153 Интервал ]хоа~е, xque[ и есть искомая окрестность точки Хо. Полезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины е, так и от самой точки жо, чего не наблюдалось в примерах 1 — 4. Пример 7. Любая последовательность / : N —у Ж есть функция, непре- непрерывная на множестве N натуральных чисел, поскольку каждая точка множе- множества N является его изолированной точкой. 2. Точки разрыва. Для того чтобы лучше освоиться с понятием непре- непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности той точки, где она не является непрерывной. Определение 4. Если функция / : Е -> Ж не является непрерывной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой разрыва функции /. Построив отрицание к утверждению «функция / : Е —> Ж непрерывна в точке a G Е», мы получаем следующую запись определения того, что а — точка разрыва функции /: a G Е — точка разрыва функции / := = 3V{f(a)) 4UE(a) Зх € UE(a) (/(*) I V(/(o))). Иными словами, а ? Е — точка разрыва функции /: J3 —> R, если найдется такая окрестность V(f(a)) значения /(а) функции в точке а, что в любой окрестности Ue{o) точки а в множестве Е найдется точка х ? С/я(а), образ которой не содержится в V(f(a)). Be- J-форме это же определение выглядит так: Зе > О V6 > 0 Зх е Е (\х - а\ < S A \f(x) - f(a)\ > e). Рассмотрим примеры. Пример 8. Функция f(x) = sgnx постоянна и, значит, непрерывна в окрестности любой точки абМ, отличной от нуля. В любой же окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, 0 — точка разрыва функции sgnx. За- Заметим, что функция имеет в точке 0 и предел слева lim sgnx = — 1, и пре- х->—О дел справа lim sgnx = 1, но, во-первых, они не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает со значением sgnO = 0 функции в точке 0. Это прямая проверка того, что 0 — точка разрыва функции. Пример 9. Функция f(x) = |sgnx| имеет предел lim |sgnx| = 1 при х -> 0, но /@) .= |sgnO| = 0, поэтому lim f(x) ф /@) и 0 — точка разрыва ж->0 функции. Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную в точке 0, т. е. устраним разрыв.
154 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Определение 5. Если точка разрыва а € Е функции f:E-> E такова, что существует непрерывная функция f: Е -+ Е такая, что /|#\а = /\е\сп т0 а называется точкой устранимого разрыва функции f: Е -> Е. Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что су- существует предел lim f(x) = А, но А ф /(а), и достаточно положить ЕЭх+а f(x) при xGE, х ф а, при х = а, fix) = как мы уже получим непрерывную в точке а функцию /: Е Пример 10. Функция = < sin - при х ф 0, X 0 при х = 0 разрывна в точке 0. При этом она даже не имеет предела при х —>- 0, ибо, как было показано в гл. III, § 2, п. 1, пример 5, не существует предела lim sin -. График функции sin - изображен на рис. 12. х Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию. Определение 6. Точка а € Е называется точкой разрыва первого рода для функции /: Е если существуют пределы 1) lim f(x) =: f(a 0), lim ЕЭх-+а+0 а — точка разрыва, то а — предельная точка множества Е. Однако может слу- случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки а лежат по одну сторону от точки а. В этом случае рассматривается только один из указанных в определении пре- пределов.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 155 но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значением /(а) функции в точке а. Определение 7. Если а € Е — точка разрыва функции /: Е —> Ж и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов, указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода. Приведем еще два классических примера. Пример 11. Функция 1, если х е Q, Т>(х) = < О, если х € R \ Q, называется функцией Дирихле1^. Эта функция разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее точки разрыва — второго рода, так как на любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа. Пример 12. Рассмотрим функцию Римана2^ Щх) = < , если х = — € Q, где несократимая дробь, п п п О, если х еЖ\ Заметим, что, каковы бы ни были точка а € К и ее ограниченная окрест- окрестность U(а) и каково бы ни было число N G N, в U(a) имеется только конечное число рациональных чисел —, m G Z, п € N, таких, что п < N. п Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаменатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа а, если а € Q), уже больше чем N. Таким образом, в любой точке х € U(a) \Щх)\ < 1/N. Мы показали тем самым, что в любой точке а € Ш \ lim Щх) = 0. х+а Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точке. В остальных точках, т. е. в точках х € Q, функция разрывна, и все эти точки являются точками разрыва первого рода. 1^П. Г. Л. Дирихле A805 — 1859) — крупный немецкий математик-аналитик, занявший пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса A855). 2>Б. Ф. Риман A826 — 1866) — выдающийся немецкий математик, фундаментальные ра- работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и анализа.
156 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 2. Свойства непрерывных функций 1. Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функ- функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрест- окрестности точки области определения. Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функ- функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свойство функции. Укажем основные локальные свойства непрерывных функций. Теорема 1. Пусть f: Е -> Ж — функция, непрерывная в точке а € Е. Тогда справедливы следующие утверждения: 1° Функция f ограничена в некоторой окрестности Ue{o) точки а. 2° Если f(a) ф 0, то в некоторой окрестности Ue(o>) точки а все значе- значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a). 3° Если функция g: Ue{cl) —> Ж определена в некоторой окрестности точ- точки а и, как и f : Е —> Ж, непрерывна в самой точке а, то функции: а) (/ + $)(*) :=/(*)+$(*), Ь) (f\ /(я) — )(х) := -у-^ (при условии, что д(х) ф 0) определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точке а. 4° Если функция g : Y —> Ж непрерывна в точке b G Y, а функция f такова, что f:E-+Y, f(a) = b и f непрерывна в точке а, то композиция (9 ° /) определена на Е и также непрерывна в точке а. М Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. § 1), что не- непрерывность функции / или g в некоторой точке а области определения рав- равносильна тому, что предел этой функции по базе Ва окрестностей точки а существует и равен значению функции в самой точке a: lim/(x) = /(a), limg(x) =g(a). Таким образом, утверждения 1°, 2°, 3° теоремы 1 непосредственно вы- вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответствующих свойств предела функции. В пояснении нуждается только то, что отношение ^-7—7 в самом деле опре- 9(х) делено в некоторой окрестности Ue(o>) точки а. Но, по условию, д(а) ф 0 и в силу утверждения 2° теоремы найдется окрестность %(а), в любой точке fix) которой д(х) ф 0, т. е. ^~~ определено в Ue(а)- 9\х)
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 157 Утверждение 4° теоремы 1 является следствием теоремы о пределе компо- композиции, в силу которой Urn (д о f)(x) = limg(y) = g(b) = g(f(a)) = (g о /)(а), что равносильно непрерывности (д о f) в точке a. Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно проверить, что для любого элемента Uy(b) базы Вь найдется элемент Ue(o) базы Ва та- такой, что /(С/#(а)) С С/уF). Но в самом деле, если Uy(b) = КП ?/(Ь), то по определению непрерывности функции /: Е —>- У в точке а для окрестности {/F) = U(f(a)) найдется окрестность Ue{o) точки а в множестве Е такая, что /(f/^(a)) С U(f(a)). Поскольку / действует из Е в Y, то /(%(а))С УП П U(f(a)) = Uy(b) и мы проверили законность применения теоремы о пределе композиции. > Пример 1. Алгебраический многочлен Р(х) = аохп + aix*1 + ... 4- an является функцией, непрерывной на Е. х Действительно, из пункта 3° теоремы 1 по индукции следует, что сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в примерах 1 и 2 § 1, что постоянная функция и функции f(x)=x непрерывны на Ш. Тогда на непрерывны и функции ахт = а х... ж, а следовательно, и полином Р(х). т раз Р(х) Пример 2. Рациональная функция R(x) = ; : Q(x) мов — непрерывна всюду, где она определена, т. е. где Q(x) ф 0. Это следует из примера 1 и утверждения 3° теоремы 1. Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций непре- непрерывна в любой точке области своего определения. Это по индукции вытекает из утверждения 4° теоремы 1. Например, функция esin (lnlcos*l) непрерывна всюду на R, за исключением точек ^B к -hi), fe€Z, где она не определена. 2. Глобальные свойства непрерывных функций. Глобальным свой- свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связанное со всей областью определения функции. Теорема 2 (теорема Больцано — Коши о промежуточном значении). Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуль. В логической символике эта теорема имеет следующую запись1): (/ € С[а,Ь)) А {/(а) ¦ f(b) < 0) => Зс € [а,Ь] (/(с) = 0). „, ч — отношение полино- Q(x) *' Напомним, что символ С(Е) обозначает совокупность всех функций, непрерывных на множестве Е. В случае Е = [а,Ь] вместо С([а, Ь]) часто пишут сокращенно С[а,Ь].
158 гл. iv. непрерывные функции Ч Делим отрезок [а, Ь] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком посту- поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком [а, Ь], т. е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше. Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с € [а, Ь], где /(с) = О, либо получим последовательность {/п} вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых / принимает значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о вложенных отрезках найдется един- единственная точка с Е [а, Ь], общая для всех этих отрезков. По построению су- существуют две последовательности {х'п} и {х„} концов отрезков 1п такие, что f(x'n) < 0, /(#„) > 0, lim х'п = lim х„ = с. По свойствам предела и опреде- п—юо п—Уоо лению непрерывности получаем lim f(x'n) = /(с) ^ 0, lim f(x'^) = /(с) ^ 0. П—ЮО П—?О0 Таким образом, /(с) = 0. > Замечания к теореме 2. 1° Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения f(x) = 0 на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков. 2° Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном измене- изменении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наобо- наоборот, не приняв по дороге значения нуль. 3° К описательным высказываниям типа 2° следует относиться с разум- * ной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается больше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную — 1 на отрезке [0,1] и равную 1 на отрезке [2,3]. Ясно, что эта функция непрерывна на обла- области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание показывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторо- некоторого свойства ее области определения (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным). Следствие теоремы 2. Если функция <р непрерывна на интервале и в каких-то точках а и Ь интервала принимает значения <р(а) = А и ip(b) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с, лежащая между точками а иЬ, в которой (р(с) = С. < Отрезок / с концами а, Ь лежит в нашем интервале, поэтому функ- функция f(x) = <р(х) — С определена, непрерывна на / и, поскольку /(а) • f(b) = = (А — С)(В — С) < 0, по теореме 2 между а и Ь найдется точка с, в которой /(с) = ф) - С = 0. > Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении). Функ- Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. При этом на отрезке есть точка, где функция принимает максимальное значение, и есть точка, где она принимает минимальное значение.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 159 4 Пусть /: Е -* Ш — непрерывная функция на отрезке Е = [а, 6]. В силу локальных свойств непрерывной функции (см. теорему 1) для любой точки х G Е найдется окрестность U(x) такая, что на множестве Ue(x) = Е П U(x) функция ограничена. Совокупность таких окрестностей U(x), построенных для всех точек х G 2?, образует покрытие отрезка [а, 6] интервалами, из кото- которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему U(xi), ..., U(xn) интервалов, покрывающих в совокупности отрезок [а, Ь]. Поскольку на множестве ECiU(xk) = Ue(xic) функция ограничена, т. е. m* ^ f(x) ^ где т*, Мк €Ш и х € Е/#(я*), то в любой точке х G Е = [а, Ь] имеем min{mi, ..., mn} ^ f(x) ^ max {Mi, ..., М„}. Ограниченность функции на отрезке [а, Ь] установлена. Пусть теперь М = sup/(я). Предположим, что в любой точке х G Е (f(x) < М). Тогда непрерывная на Е функция М — f(x) нигде на Е не обра- обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция ——77~т > с одной стороны, в силу ло- М — j\x) кальных свойств непрерывных функций, непрерывна на Е, ас другой — не ограничена на Е, что противоречит уже доказанной ограниченности функ- функции, непрерывной на отрезке. Итак, существует точка хм € [а, Ь], в которой /(хм) = М. Аналогичным образом, рассмотрев т = inf f(x) и вспомогательную •I *Cii функцию -77—г , докажем, что существует точка хт G [а, Ь], в которой f(x) — m f(xm) = т. > Заметим, что, например, функции /i(#) = #, /г(^) = - непрерывны на х интервале Е = @,1), но /i не имеет на Е ни максимального, ни минимально- минимального значений, а функция f2 не ограничена на Е. Таким образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны с некоторым свой- свойством области определения, а именно с тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Такие множе- множества мы впоследствии назовем компактами. Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим Определение 1. Функция /: Е -» Ж называется равномерно непрерыв- непрерывной на множестве Е С Ш, если для любого числа е > 0 найдется число S > О такое, что для любых точек a;i,#2 € Е таких, что \х\ — х2\ < S, выполнено - Д*2)| < е. Короче, f: Е -+ Ш равномерно непрерывна := = Ve > 0 3S > 0 Vxi G E Vx2 G Е (\хг - х2\ < S => \/(хг) - f(x2)\ < e).
160 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Обсудим понятие равномерной непрерывности. 1° Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерыв- непрерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном определе- определении положить х\ = х и Х2 = а и мы видим, что определение непрерывности функции /:?->1в точке a Е Е удовлетворено. 2° Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномерную не- непрерывность. Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция f(x) = sin - на интервале ]0,1[ = Е непрерывна. Однако в любой окрестности точки 0 в множестве Е функция принимает как значение —1, так и значение 1, поэтому при е < 2 для нее уже не выполнено условие |/(#i) — /(#2)! < ?• Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства функции быть равномерно непрерывной: /: Е —> Ш не является равномерно непрерывной := 3хг еЕ Зх2 еЕ {\xi -x2\ < SA\f(x1)-f(x2)\ ^ Рассмотренный пример делает наглядным различие между непрерывно- непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы ука- указать то место в определении равномерной непрерывности, откуда проистека- проистекает это различие, приведем подробную запись того, что значит, что функция /: Е —? Ш непрерывна на множестве Е: f: Е -*Ш непрерывна на Е := = Va G E V? > 0 36 > 0 Vs G Е (\х - а\ < S => \f(x) - f(a)\ < e). Таким образом, здесь число S выбирается по точке а ? Е и числу е и потому при фиксированном е может меняться от точки к точке, как это и происходит в случае функции sin -, рассмотренной в примере 1, или в случае функции loga х или аж, рассматриваемых на полной области их определения. В случае же равномерной непрерывности гарантируется возможность вы- выбора 8 только по числу е > 0 так, что во всех точках a G Е из \х — а\ < S при х G Е будет следовать \f(x) — /(a)| < e. Пример 5. Если функция /: Е —> R не ограничена в любой окрестности фиксированной точки хо G Е, то она не является равномерно непрерывной. Действительно, тогда при любом S > 0 в --окрестности хо найдутся точ- ки д?1, Х2 Е Е такие, что \f(xi) - /(яг)! > 1» хотя \xi - х2\ < S. Так обстоит дело с функцией f(x) = -, рассматриваемой на множестве х R \ 0. В данном случае xq = 0. Так обстоит дело и с функцией loga x, определенной на множестве положи- положительных чисел и неограниченной в окрестности точки xq = 0.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 161 Пример 6. Функция f(x) = х2, непрерывная на К, не является равно- равномерно непрерывной на R. В самом деле, в точках х'п = у/п + 1, х1^ = у/п, где и Е N, имеем f(x'n) = = и + 1, /«) = п, поэтому /(а?) - /«) = 1. Но lim (у/п~+Т — у/п) = lim . п-+оо n-юо ^/п + 1 + поэтому при любом S > О найдутся точки д;^, ж^ такие, что |д;^ - х„\ < 6, в то время как /(я;^) - f(xn) = 1- Пример 7. Функция /(х) = sin я2, непрерывная и ограниченная на Е, не является равномерно непрерывной на Ш. Действительно, в точках х'п = , < = ^|п, где п е N, имеем |/«) - /(ж^)| = 1, в то время как lim \х'п - х„\ = 0. После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы можем те- теперь оценить следующую теорему. Теорема 4 (теорема Кантора—Гейне о равномерной непрерывности). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке. Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называют тео- теоремой Кантора. Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем при ссылках сохраняем это распространенное наименование. Ч Пусть /: Е —> Е — данная функция; Е = [а, Ь] и / ? С{Е). Посколь- Поскольку / непрерывна в любой точке х G Е, то (см. § 1, п. 1, 6°) по е > 0 можно найти такую J-окрестность U5(x) точки я, что колебание u(f)U^(x)) функ- функции / на множестве U^(x) = ED U6(x) точек области определения функции, лежащих в IIs (х), окажется меньше е. Для каждой точки х € Е построим окрестность Us(x), обладающую этим свойством. Величина S при этом мо- может меняться от точки к точке, поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную окрестность символом Us^(x), но, поскольку весь символ определяется точкой я, можно условиться в следующей сокращенной записи: Щх) = Us^(x) и V(x) = U6^/2(x). Интервалы V(x), x G Е, в совокупности образуют покрытие отрезка Е == = [а, Ь], из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конеч- конечное покрытие V(xi), ..., V(xn). Пусть S = mini-S(xi), ..., -S(xn)\. Пока- Покажем, что для любых точек х', х" Е Е таких, что \х' — х"\ < 6, выполнено \f(x') — f(x")\ < е. Действительно, поскольку система интервалов V(x\),... ... , V(xn) покрывает Е, найдется интервал V(xi) этой системы, который со- содержит точку х;, т. е. \х' — Xi\ < -6(х{). Но в таком случае х" - Xi\ ^ \х' - х"| + \af - Xi\ < S + i
162 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Следовательно, х', х" е и?*{)(х{) =ЕП Us^XiHxi) и потому |/(*') - /(х")| Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора сущест- существенно опирается на некоторое свойство области определения функции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство состоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и выяснить, как, например, функция sin я2, равномерно непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной прямой, оказывается не равномерно непрерывной на Ш. Причина здесь вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция может оказаться не равномерно непре- непрерывной. На сей раз мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в этом вопросе. Теперь перейдем к последней теореме параграфа — теореме об обратной функции. Нам предстоит выяснить условия, при которых непрерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и в каких случаях эта обратная функция непрерывна. Утверждение 1. Непрерывное отображение f: Е —> Е отрезка Е = = [а, Ь] в R инъективно в том и только в том случае, когда функция f строго монотонна на отрезке [а, Ь]. < Если функция / возрастает или убывает на произвольном множестве Е С М, то отображение /: Е —> М, очевидно, инъективно: в различных точках множества Е функция принимает различные значения. Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 состоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение /: [а, Ь] -» Ж отрезка осуществляется строго монотонной функцией. Предположив, что это не так, мы найдем три точки х\ < Х2 < х$ отрезка [а, Ь] такие, что /(#2) не лежит между f(x\) и /(#з)- В таком случае либо /(#з) лежит между f(xi) и /(а^), либо f{x\) лежит между /(а^) и /(хз)- Пусть для определенности имеет место последняя из двух указанных возможностей. По условию функция / непрерывна на отрезке [2:2,0:3], и потому (см. следствие теоремы 2) на нем есть точка х[ такая, что f(x[) = f(xi). Таким образом, х\ < х[ и f(x\) = f(x[), что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда /(#з) лежит между /(#i) и /(#2), разбирается аналогично. > Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция /: X определенная на числовом множестве ХсМ, обладает обратной функцией /-1: Y -> М, которая определена на множестве Y = f{X) значений функции / и имеет на Y тот же характер монотонности, какой имеет функция f на множестве X.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 163 < Отображение /: X —? Y = f(X) сюръективно, т. е. является отображе- отображением на множество Y. Пусть для определенности f:X->Y возрастает на X. В этом случае X V#2 € X (x\ < Х2 <=> f(xi) < /(#2)Ь A) Таким образом, отображение f: X -> Y в различных точках принимает различные значения, т. е. оно инъективно. Следовательно, f:X—>Y биектив- биективно, т. е. / — взаимно однозначное отображение X на Y. Значит, определено обратное отображение f~l: Y -* X, задаваемое формулой х = /~г(у), если У = f(z). Сопоставляя определение отображения f~l: Y -4 X с соотношением A), приходим к соотношению V»i € Y V2/2 e Y {Г1(Уг) < Г1Ш **У1< 2/2), B) означающему, что функция f~l возрастает на области своего определения. Случай, когда / : X ->> Y убывает на X, очевидно, разбирается анало- аналогично. > В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться не- непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции, полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций. Утверждение 3. Функция /: Е —? IR, монотонная на множестве Е С С Ш, может иметь на Е разрывы только первого рода. М Пусть, для определенности, / — неубывающая функция. Предположим, что а ? Е есть точка разрыва функции /. Поскольку а не может быть изоли- изолированной точкой множества Е, то а — предельная точка по крайней мере для одного из двух множеств Е~ = {х G Е \ х < а}, Е+ = {х 6 Е \ х > а}. Посколь- Поскольку / — неубывающая функция, для любой точки х ? Е~ имеем f(x) ^ /(а) и ограничение f\E- функции / на множество Е~ оказывается неубывающей ограниченной сверху функцией. Тогда существует предел lim (f\E-)(x)= lim /(*) = ~Эх^аУ *а/ ЕЭх^а-0 Аналогично доказывается существование предела lim f(x) = /(a + 0), ЕЭх-+а+0 если а — предельная точка множества Случай, когда / — невозрастающая функция, можно либо разобрать, по- повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции —/, свести дело к уже рассмотренному случаю. > Следствие 1. Если а — точка разрыва монотонной функции f: Е то по крайней мере один из пределов lim /(x) = /(a-0), lim /(*) =/(a + 0) ЕЭх->а-0 ЕЭх-+а+0
164 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ определен; по крайней мере в одном из неравенств f(a — 0) ^ /(а) ^ /(а + 0), если f — неубывающая (или /(а — 0) ^ /(а) ^ /(а + 0), если / — невозра- стающая) функция, имеет место знак строгого неравенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством, нет ни одного значения функции; указанные интервалы, отвечающие различным точкам разрыва монотонной функции, не пересекаются. < Действительно, если а — точка разрыва, то она предельная для множе- множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва первого рода. Таким образом, по крайней мере одна из баз Е Э х —> а — 0, Е Э х -+ а+0 определена и по ней (а в случае определенности обеих баз — по каждой из них) существует предел функции /. Пусть, для определенности, / — неубывающая функция. Поскольку а — точка разрыва, то по крайней мере в одном из неравенств /(а — 0) ^ /(а) ^ /(а + 0) на самом деле имеет место строгое неравенство. Поскольку f(x) ^ lim fix) = f(a — 0), если х Е Е и х < а, и, аналогично, ЕЭх-+а—О /(а + 0) ^ f(x), если х Е Е и а < х, то интервал, определяемый строгим неравенством /(а — 0) < /(а) или /(а) < /(а + 0), действительно свободен от значений функции. Пусть а±, п2 — две различные точки разрыва функции, и пусть а\ < п2- Тогда, в силу неубывания функции /, имеем /(«0 ^ /(<*1 + 0) ^ /(О2 - 0) ^ /Ы ^ /(О2 + 0). Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы, отве- отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. > Следствие 2. Множество точек разрыва монотонной функции не бо- более чем счетно. < С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по следствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва и одним из пре- пределов функции при приближении аргумента справа или слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой может быть не более чем счет- счетное множество непересекающихся интервалов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов ока- окажется равномощным подмножеству счетного множества Q всех рациональных чисел. Значит, оно само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва монотонной функции. > Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Мо- Монотонная функция f: Е ->> IR, заданная на отрезке Е = [а, Ь], непрерывна на нем тогда и только тогда, когда множество f(E) ее значений само явля- является отрезком с концами1^ /(а) и /F). *) При этом /(а) ^ /F), если / — неубывающая, и /F) ^ /(а), если / — невозрастающая функция.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 165 < Бели / — непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности / все значения, которые функция принимает на отрезке [а,Ь], лежат между значениями /(а) и /(Ь), которые она принимает в концах отрезка. Ввиду не- непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между /(а) и f(b). Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке [а, Ь], действительно является отрезком с концами /(а) и /(Ь). Докажем теперь обратное утверждение. Пусть / — монотонная на от- отрезке [а,Ь] функция. Бели она разрывна в некоторой точке с ? [а, 6], то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов ]/(с — 0), /(с)[, ]/(с), /(с + 0)[ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции. Но ввиду моно- монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами /(а), /(Ь), поэтому если на отрезке [а, Ь] монотонная функция имеет хотя бы одну точ- точку разрыва, то весь отрезок с концами /(a), f(b) не может лежать в области значений функции. > Теорема 5 (теоремаоб обратной функции). Функция /: X ->> Е, строго монотонная на множестве X С Е, имеет обратную функцию f~l : Y —У -у Е, определенную на множестве Y = f(X) значений функции f. Функция /-1: Y —> Е монотонна и имеет на Y тот же вид монотонности, какой имеет функция f: X —у Е на множестве X. Если, кроме того, X есть отрезок [а, Ь] и функция f непрерывна на нем, то множество Y = f(X) есть отрезок с концами f(a), f(b) и функция f~x:Y-yR непрерывна на нем. М Утверждение теоремы о том, что в случае X = [а, Ь] и непрерывности / множество Y = f(X) есть отрезок с концами /(а), /(Ь), следует из доказанно- доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что f~l: Y —> Е — непрерывная функция. Но /~х монотонна на У, Y есть отрезок и f~x(Y) = X = [а,Ь] — тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция /~* непрерывна на отрезке Y с концами /(a), f(b). > Пример 8. Функция у = f(x) = sinx возрастает и непрерывна на от- отрезке [—?»?]• Значит, ограничение этой функции на отрезок [—?»?] имеет обратную функцию х = /~1B/), обозначаемую х = arcsiny, определенную на отрезке f sin Г-~J, sin уРп = [—1,1], возрастающую от — ~ до ^ и непрерыв- непрерывную на этом отрезке. Пример 9. Аналогично, ограничение функции у = cos а; на отрезок [0, тг] есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоремы 5 име- имеет обратную функцию, обозначаемую х = arccosy, определенную на отрезке [—1,1] и убывающую на нем от значения тг до значения 0. Пример 10. Ограничение функции у = tgx на интервал X = 1—?, тН есть возрастающая от —оо до +оо непрерывная функция, которая в силу пер- первой части теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = arctgy,
166 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ определенную на всей числовой прямой у Е К и возрастающую на ней в пре- пределах интервала 1""х»?| своих значений. Чтобы доказать непрерывность функции х = arctg у в любой точке у о ее области определения, возьмем точку хо = arctg j/о и отрезок [хо — е,хо + е], содержащий xq внутри и содержащийся в интервале 1 -™, тг Г. Если х0 - е = arctg B/0 — <^i) и а?о + ? = arctg (у0 + <J2), то ввиду возрастания функции х = arctg у можно утверждать, что при любом yGl таком, что уо — 8\ < у < уо + <$2, будем иметь а?о — ? < arctgy < Хо + е. Итак, \axctgy — aictgyo\ < е при — Ji < у — уо < <$2 и тем более при \у — t/o| < < S = min{<Ji, J2}, что и проверяет непрерывность функции д; = arctg у в точке Пример 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в предыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции у = ctgx на интервале ]0, тг[ есть убывающая от +оо до —оо непрерывная функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую х = arcctgy, определенную на всей числовой оси М, убывающую на ней в пределах интервала своих значений ]0, тг[ от тг до 0 и непрерывную на Ш. Замечание. При построении графиков взаимно обратных функций у = = f(x) и х = f~l{y) полезно иметь в виду, что точки плоскости с координа- координатами (x,f(x)) = (х, у) и (у,/~г(у)) = (у,х) в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось х или ось у) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображенные в од- одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой бис- биссектрисы. Задачи и упражнения 1. Покажите, что: a) Если / G С(А) и В С А, то f\B G С(В). b) Бели функция /: Е\ U 2?2 ->• R такова, что /\е{ ? C(Ei), г = 1, 2, то не всегда f eC(EiUE2). c) Функция Римана 7?, как и ее ограничение 7Z\q на множество рациональных чисел, разрывна в каждой точке множества Q, кроме нуля, и все точки разрыва при этом устранимые (см. § 1, пример 12). 2. Покажите, что если функция / G С[а,6], то функции т(х) = min /(*), М(х) = max f(t) также непрерывны на отрезке [а, 6]. 3. а) Докажите, что функция, обратная функции, монотонной на интервале, не- непрерывна на области своего определения. Ь) Постройте монотонную функцию со счетным множеством точек разрыва.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 167 с) Покажите, что если функции f : X -> Y и f~x: Y -> X взаимно обратны (здесь X,Y — подмножества R) и / непрерывна в точке хо Е X, то из этого еще не следует непрерывность функции f1 в точке уо = /(яо) € Y. 4. Покажите, что: a) Если / е С[а,Ъ] л д € С[а,6], причем /(а) < р(а) и /F) > #(Ь), то существует точка с Е [а, 6], в которой /(с) = р(с). b) Любое непрерывное отображение / : [0,1] —> [О,1] отрезка в себя имеет непо- неподвижную точку, т. е. точку х Е [0,1] такую, что f(x) = х. c) Если два непрерывных отображения /ид отрезка в себя коммутируют, т. е. / о д = д о /, то они имеют общую неподвижную точку. d) Непрерывное отображение /: R —> R может не иметь неподвижной точки. e) Непрерывное отображение /: ]0,1[ —> ]0,1[ может не иметь неподвижной точки. f) Если отображение /: [0,1] —> [0,1] непрерывно, /@) = 0, /A) = 1 и (fof)(x) = = х на [0,1], то /(х) = х. 5. Покажите, что множеством значений любой непрерывной на отрезке функции является отрезок. 6. Покажите, что: a) Если отображение /: [0,1] —> [0,1] непрерывно, /@) = 0, /A) = 1 и при не- некотором n G N fn(x) := ( /о... о/ )(х) = х на [0,1], то /(х) = х. п раз b) Если функция /: [0,1] —> [0,1] непрерывна и не убывает, то для любой точки х G [0,1] реализуется по крайней мере одна из двух возможностей: либо х — непо- неподвижная точка, либо fn(x) стремится к неподвижной точке (здесь fn(x) = /о.. .о/ — п-я итерация /). 7. Пусть /: [0,1] —? R — непрерывная функция такая, что /@) = /A)- Покажите, что a) при любом п G.N существует горизонтальный отрезок с концами на графике этой функции, длина которого равна —; п b) если число / не имеет вида —, то найдется функция указанного вида, в график которой уже нельзя вписать горизонтальный отрезок длины /. 8. Модулем непрерывности функции /: Е —> R называется функция шF), опре- определяемая при S > 0 следующим образом: = sup \f(xi)-f(x2)l Таким образом, верхняя грань берется по всевозможным парам точек xi, ж2 множе- множества Е, удаленным друг от друга меньше чем на S. Покажите, что: a) Модуль непрерывности — неубывающая неотрицательная функция, имеющая предел^ cj(+O) = lim ljF). b) Для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что для любых точек Ж1,Ж2 € Е соотношение |xi — хг| < 6 влечет |/(xi) — /(хг)| < cj(H-O) + ?• Поэтому модуль непрерывности обычно рассматривают при 8 ^ 0, полагая ш@) =
168 ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ c) Бели Е — отрезок, интервал или полуинтервал, то для модуля непрерывности функции /: Е —> R имеет место соотношение d) Модулем непрерывности функции х и sin ж2, рассматриваемых на всей число- числовой прямой, являются соответственно функция шF) = 6 и постоянная и>F) = 2 в области 8 > 0. e) Функция / равномерно непрерывна на множестве Е тогда и только тогда, когда ш(-1-0) = 0. 9. Пусть fug — ограниченные функции, определенные на одном и том же множе- множестве X. Величина А = sup \f(x) — д(х)\ называется расстоянием между функциями f и д. Она показывает, насколько хорошо одна функция аппроксимирует другую на данном множестве X. Пусть X — отрезок [а, 6]. Покажите, что если /, д € С[а, 6], то Зхо € [а, 6], где А = |/(жо) — <?(яо)|, и что для произвольных ограниченных функций это, вообще говоря, не так. 10. Пусть Рп(х) — многочлен (полином) степени п. Будем приближать ограни- ограниченную функцию /: [а, 6] —> R многочленами. Пусть Д(РП)= sup |/(*)-Рп(*)| и Sn(/)=infA(Pn), х€[а,Ь] рп где нижняя грань берется по всевозможным многочленам степени п. Многочлен Рп называется многочленом (полиномом) наилучшего приближения функции /, если для него Д(Рп) = #п(/). Покажите, что: a) Существует многочлен Ро(х) = ао наилучшего приближения степени нуль. b) Среди многочленов Q\(x) вида ЛРп(х), где Рп — фиксированный многочлен, найдется такой многочлен Q\o, что Д(<?Ло) = c) Бели существует многочлен наилучшего приближения степени п, то существу- существует также многочлен наилучшего приближения степени п + 1. d) Для любой ограниченной на отрезке функции и любого п = 0, 1, 2, ... най- найдется многочлен наилучшего приближения степени п. 11. Покажите, что: a) Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. b) Бели Рп— многочлен степени п, то функция sgnPn(«) имеет не более п точек разрыва. c) Бели на отрезке [а, 6] имеется п -I- 2 точки хо < х\ < ... < жп+1 такие, что величина постоянна при i = 0,..., п + 1, то En(f) ^ min |/(ж») — Рп(х%)\ (теорема Валле- O^t^n+l Пуссена1^). (Определение En(f) см. в задаче 9.) . Ж. ла Балле-Пуссен A866—1962) — бельгийский математик и механик.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 169 12. а) Покажите, что при любом п € N функция Тп(х) = cos(narccos#), опреде- определенная на отрезке [—1,1], является алгебраическим многочленом степени п (поли- (полиномы Чебышева). b) Найдите явное алгебраическое выражение полиномов Ti, Тг, Тз, Та и нари- нарисуйте их графики. c) Найдите корни многочлена Тп(х) на отрезке [—1,1] и те точки отрезка, где величина |Тп(х)| достигает максимума. d) Покажите, что среди многочленов Рп{х) степени п с коэффициентом 1 при хп многочлен Тп(х) является единственным многочленом, наименее уклоняющимся от нуля, т. е. Еп@) = max |Tn(#)| (определение En(f) см. в задаче 9). 13. Пусть / € С[а,Ъ]. a) Покажите, что если для полинома Рп(х) степени п найдутся п 4- 2 точки хо < ... < хп+1 (называемые точками чебышевского алътернанса) такие, что f(xi)-Pn(xi) = (-1)'Д(Рп)-а, где Д(РП) = max |/(x) -Pn(x)|, a а — постоянная, х?[а,Ь] равная 1 или —1, то Рп(х) является и притом единственным полиномом наилучшего приближения функции / степени п (см. задачу 9). b) Докажите теорему Чебышева: многочлен Рп(х) степени п тогда и только тогда является многочленом наилучшего приближения функции / € С[а,Ъ], когда на отрезке [а, Ь] найдется по крайней мере п + 2 точки чебышевского альтернанса. c) Покажите, что для разрывных функций предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно. d) Найдите многочлены наилучшего приближения нулевой и первой степени для функции \х\ на отрезке [—1,2]. 14. В § 2 мы обсуждали локальные свойства непрерывных функций. Настоящая задача уточняет понятие локального свойства. Две функции / и д будем считать эквивалентными, если найдется такая окрест- окрестность U(a) фиксированной точки а € R, что Уж 6 U(a) имеем f(x) = g(x). Это отношение между функциями, очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. действительно является отношением эквивалентности. Класс эквивалентных между собой в точке а функций называется ростком функ- функций в данной точке а. Если рассматривают только непрерывные функции, то гово- говорят о ростке непрерывных функций в точке а. Локальные свойства функций — это свойства ростков функций. a) Определите арифметические операции над ростками числовых функций, за- заданными в одной и той же точке. b) Покажите, что арифметические операции над ростками непрерывных функ- функций не выводят из этого класса ростков. c) Покажите, учитывая а) и Ь), что ростки непрерывных функций образуют кольцо — кольцо ростков непрерывных функций. d) Подкольцо / некоторого кольца К называется идеалом кольца К, если про- произведение любого элемента кольца К и элемента под кольца / лежит в /. Найдите идеал кольца ростков функций, непрерывных в точке а. 15. Идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца. Множество С[а, Ь] функций, непрерывных на отрезке, образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций. Найдите.максимальные идеалы этого кольца.
ГЛАВА V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Дифференцируемая функция 1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, следуя Нью- Ньютону1), мы хотим решить кеплерову2) задачу двух тел, т. е. хотим объяс- объяснить закон движения одного небесного тела га (планета) относительно дру- другого тела М (звезда). Выберем в плоскости движения декартову систему координат с началом в М (рис. 13). Тогда положе- положение га в момент времени t можно охарактеризо- охарактеризовать численно координатами (x(t),y(t)) точки га в этой системе координат. Мы хотим найти функ- функции x{t), y(t). Движением га относительно М управляют два знаменитых закона Ньютона: общий закон движения т Рис. 13 ma = F, A) связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через коэф- коэффициент пропорциональности га — инертную массу тела3), и закон всемирного тяготения, позволяющий найти гравитационное воздей- ^И. Ньютон A642 —1727) — английский физик, механик, астроном и математик, круп- крупнейший ученый, сформулировавший основные законы классической механики, открывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Лейбницем) основы дифференциаль- дифференциального и интегрального исчисления. Оценен был уже современниками, которые на его могиле начертали: «Здесь покоится то, что было смертного у Ньютона». 2)И. Кеплер A571 —1630) — знаменитый немецкий астроном, открывший законы движе- движения планет (законы Кеплера). 3^Мы обозначили массу символом самого тела, но это не приведет к недоразумениям. Заметим также, что если т <^С Л/, то выбранную систему координат можно считать инер- циальной.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ171 ствие тел т и М друг на друга по формуле г, B) где г — вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом теле, |г| — длина вектора г, или расстояние между т и М. Зная массы m, M, по формуле B) без труда выражаем правую часть урав- уравнения A) через координаты x(t), y(t) тела т в момент ?, чем исчерпываем всю специфику данного движения. Чтобы получить теперь соотношения на x(t), y(t), заключенные в урав- уравнении A), необходимо научиться выражать левую часть уравнения A) через функции x(t), y(t). Ускорение есть характеристика изменения скорости v(?), точнее, просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи прежде всего не- необходимо научиться вычислять скорость v(?), которую имеет в момент t тело, движение которого задается радиус-вектором г(?) = (x(t),y(t)). Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную ско- скорость тела, которую подразумевает закон движения A). Измерить — значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае может служить эталоном для определения мгновенной скорости движения? Наиболее простым видом движения является такое, которое совершает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за равные промежутки времени происходят равные (как векторы) перемещения тела в пространстве. Это так называемое равномерное (прямолинейное) движение. Бели точка дви- движется равномерно, г@) и гA) — ее радиус-векторы относительно инерциаль- ной системы координат в моменты t = 0 и t = 1 соответственно, то в любой момент времени будем иметь r(t) - г@) = v • *, C) где v = гA) — г@). Таким образом, перемещение r(t) — г@) оказывается в простейшем случае линейной функцией времени, причем роль множителя про- пропорциональности между перемещением г(?)—г@) и временем t играет в данном случае вектор v перемещения за единицу времени. Этот вектор и называется скоростью равномерного движения. То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения его траектории: r(t) = г@) + v • t, являющегося (см. курс аналитической геометрии) уравнением прямой. Мы знаем, таким образом, скорость v равномерного прямолинейного дви- движения, задаваемого формулой C). По закону инерции, если на тело не дей- действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямолинейно. Значит, если в момент t экранировать действие тела М на тело т, то последнее про- продолжит свое движение уже равномерно с некоторой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать, что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в момент t.
172 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чистой аб- абстракцией, не дающей никаких рекомендаций для конкретного вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство первостепенной важно- важности, которое мы сейчас обсудим. Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочного») круга, в который мы вошли, написав уравнение движения A), а затем принявшись вы- выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из уравнения A) можно сде- сделать следующие эвристические выводы. Если силы отсутствуют, т. е. F = О, то ускорение тоже равно нулю. Но если скорость а(?) изменения скорости v(?) равна нулю, то, по-видимому, сама скорость v(t) вообще не меняется со временем. И мы приходим к закону инерции, по которому свободное тело действительно движется в пространстве с постоянной во времени скоростью. Из того же уравнения A) видно, что ограниченные по величине силы спо- способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но если на отрез- отрезке времени [0, t] абсолютная величина скорости изменения некоторой величи- величины P(t) не превышала некоторой постоянной с, то, по нашим представлениям, изменение \P(t) — Р@)\ величины Р за время t не превышает с • ?, т. е. в этой ситуации за малый промежуток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция P(t) оказывается непрерывной). Значит, реальная механиче- механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры. В частности, скорость v(t) тела т во все моменты времени t, близкие к некоторому моменту to, должна быть близка к значению v(?q), которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в малой окрестности момента to должно мало отличаться от равномерного движения со скоро- скоростью v(?o), причем тем меньше отличаться, чем меньше мы уходим от to. Если бы мы сфотографировали траекторию тела га через телескоп, то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее: Рис. 14 Представленный на фотографии с участок траектории соответствует столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить истинную
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 173 траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле на этом участке похожа на прямолинейную, а движение — на равномерное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить, что, решив задачу об опреде- определении мгновенной скорости (а скорость — векторная величина), мы одновре- одновременно решим и чисто геометрический вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в данном случае служит траектория движения). Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть v(t) « v(?o) при ?, близких к to, т- е. v(t) -» v(?q) при t —>• to или, что то же самое, v(t) = = v(?o) + o(l) при t -> to- Тогда должно быть также r(t) - r(t0) » v(*0) • (t - to) при t, близких к to у точнее, величина смещения r(t) — r(to) эквивалентна v(to)(t — to) при t -> to, или r(t) - r(t0) = v(to)(t - to) + o(v(to)(t - to)), D) где o(v(to)(t — ^o)) есть поправочный вектор, величина которого при t стремится к нулю быстрее, чем величина вектора v(to)(t — fo)- Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда v(?o) = 0. Чтобы не исключать этот случай из общего рассмотрения, полезно заметить, что1) |v(?o)(? — *о)| = = |v(^o)||* - *о|- Таким образом, если |v(to)| ф 0, то величина \v(to)(t - *о)| того же порядка, что и |? — to\, и поэтому o(v(to)(t - *о)) = o(t — t0). Значит, вместо D) можно записать соотношение r(t) - r(to) = v(to) (t - t0) + o(t - t0), E) которое не исключает также случая v(?o) = 0. Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых предста- представлений о скорости мы пришли к соотношению E), которому скорость должна удовлетворять. Но из E) величина v(?0) находится однозначно: v(*0) = Шп *Ь?&>, F) t-+to t — to поэтому как само фундаментальное соотношение E), так и равносильное ему соотношение F) можно теперь принять за определения величины v(?o) — мгно- мгновенной скорости тела в момент ?о- Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопроса о пре- пределе векторнозначной функции и ограничимся сведением его к уже рассмо- рассмотренному во всех подробностях случаю предела вещественнозначной функции. Поскольку вектор r(t) — г(*о) имеет координаты (x(t) — x(to), y(t) — y(to)), то p(t) - p(t0) t-t0 (x(t) - x(t0) y(t) - y(t0) \ = i _i-^— N \ -^—f±—z- J и, значит, если считать, что векторы \ t — to t — to / Здесь |t — to I — модуль числа t — to, a |v| — модуль, или длина вектора v.
174 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ близки, если их координаты близки, то предел в F) следует понимать так: ,. , r r(t) - г(*р) / x(t) - x(t0) y(t)-y(to)\ v(t0) = hm —— —- = ( hm —— —-, hm —— —- , 7 t-+to t-t0 \ t->t0 t-t0 t-+t0 t-t0 ) a o(t — to) в E) надо понимать как вектор, зависящий от t и такой, что вектор ^- стремится (покоординатно) к нулю при t —> to. t — Со Наконец, заметим, что если v(to) ф 0, то уравнение г - г(«о) = v(*0) • (* - to) G) задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна быть признана касательной к траектории в точке (х(to), у (to))- Итак, эталоном для определения скорости движения служит скорость равномерного прямолинейного движения, задаваемого линейным соотноше- соотношением G). Эталонное движение G) подгоняется к исследуемому так, как этого требует соотношение E). То значение v(to), при котором E) вы- выполнено, может быть найдено предельным переходом F) и называется ско- скоростью движения в момент to- Рассматриваемые в классической механике движения, описываемые законом A), должны допускать сравнение с таким эталоном, т. е. должны допускать линейную аппроксимацию, указанную в E). Если r(t) = (x(t),y(t)) — радиус-вектор движущейся точки т в момент ?, r(t) = (x(t),y(t)) = v(?) — вектор скорости изменения г(?) в момент ?, а г(?) = = (я@> ?К0) = а@ ~ вектор скорости изменения v(?), или ускорение в момент ?, то уравнение A) можно записать в виде откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном виде Это точная математическая запись нашей исходной задачи. Поскольку мы знаем, как по г(?) искать r(t) и далее г(?), то уже сейчас мы в состоянии отве- ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций (#(?),$/(?)) задавать движе- движение тела т вокруг М. Для этого надо найти x(t), y(t) и проверить, выполнены ли соотношения (8). Система (8) является примером системы так называемых дифференциальных уравнений. Пока что мы можем только проверять, явля- является ли некоторый набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше сказать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений, изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма ответственном отделе анализа — теории дифференциальных уравнений.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 175 Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких числовых функций — координат вектора. Таким образом^ эту операцию следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем случае вещественнознач- ных функций вещественного аргумента, чем мы теперь и займемся. 2. Функция, дифференцируемая в точке. Начнем с двух предвари- предварительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним. Определение Oi. Функция /: Е -> К, определенная на множестве Е С С К, называется дифференцируемой в точке a Е Е, предельной для множества Е, если существует такая линейная относительно приращения х — а аргумента функция А • (х — а), что приращение f(x) — /(а) функции / представляется в виде f(x) — f(a) = А • (х — а) + о(х - а) при х -> а, х G Е. (9) Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а. Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями, опреде- определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не только на каком-то подмножестве этой окрестности. Определение Ог- Линейная функция А - (х — а) из (9) называется диф- дифференциалом функции / в точке а. 4 Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9) следует hm ^-^-^—г-1-1 = lim А -I- — = А ЕЭх->а Х — а ЕЭх->а\ X — О, ) и в силу единственности предела число А определено однозначно. Определение 1. Величина /(Х)/(О) . A0) ЕЭх-+а Х — а называется производной функции / в точке а. Соотношение A0) можно переписать в эквивалентной форме х — а где а(х) —> 0 при х -> а, х Е Е, что в свою очередь равносильно соотношению f(x) - f(a) = f'(a)(x - а) + о(ж - а) при х -> а, ж € ?. A1) Таким образом, дифференцируемость функции равносильна наличию у нее производной в соответствующей точке.
176 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пункте 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость изменения функ- функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линей- линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки. Если функция f : Е -* R дифференцируема в различных точках множе- множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величина А, так и функция о(х — а) в (9) могут меняться (к чему мы уже явно пришли в A1)). Указанное обстоятельство следует отметить уже в самом определении диф- дифференцируемой функции, и мы приведем теперь это основное определение в его полной записи. Определение 2. Функция /: Е -> К, заданная на множестве Е С называется дифференцируемой в точке х G Е, предельной для множества Е, если 1 ' A2) f(x + ft) - f(x) = A(x)h + a(x; ft), где ft н* A(x)h — линейная относительно ft функция, а a(x;ft) = o(ft) при ft ->• 0, x + ft G E. Величины Ax(h) := (x -I- ft) — ж = ft и Д/(х; Л) := /(* + Л) - Дх) называют соответственно приращением аргумента и приращением функции (соответствующим этому приращению аргумента). Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Ах и Д/(х) самих функций от ft. Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента ft является линейной с точностью до поправки, бесконечно малой при ft —>• 0 в сравнении с приращением аргу- аргумента. Определение 3. Линейная по ft функция ft »-> A(x)h из определения 2 называется дифференциалом функции f: Е -> Е в точке х G Е и обозначается символом df(x) или Df(x). Таким образом, df(x)(h) = A(x)ft. Из определений 2, 3 имеем Д/(х; ft) - d/(x)(ft) = a(x; ft), причем a(x; ft) = o(ft) при ft -> 0, я + ft G J5, т. е. разность между приращением функции, вызванным приращением ft ее аргумента, и значением при том же ft
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 177 линейной по h функции df(x) оказывается бесконечно малой выше чем первого порядка по h. По этой причине говорят, что дифференциал есть (главная) линейная часть приращения функции. Как следует из соотношения A2) и определения 1, A(x) = f(x) = ton /o поэтому дифференциал можно записать в виде df(x)(h) = f(x)h. A3) В частности, если f(x) = ж, то, очевидно, f'{x) = 1 и dx(h) = 1 • h = Л, поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной совпа- совпадает с ее приращением». Учитывая это равенство, из A3) получаем df(x)(h) = f'(x)dx(h), ¦ A4) т. е. x) = f(x)dx. A5) Равенство A5) надо понимать как равенство функций от h. Из A4) получаем df(x) т. е. функция —— (отношение функций df(x) и dx) постоянна и равна f'(x). По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символом dfix) -v —— наряду с предложенным впоследствии Лагранжем1^ символом f'(x). В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции (p(t) по времени t используется символ ф(г) (читается «ip с точкой от t»). 3. Касательная; геометрический смысл производной и диффе- дифференциала. Пусть /: Е -+ Е — функция, определенная на множестве ЕсЖ, и !со — фиксированная предельная точка множества Е. Мы хотим подобрать постоянную со так, чтобы она лучше всех остальных констант характеризо- характеризовала поведение функции в окрестности точки xq. Точнее, мы хотим, чтобы . Л. Лагранж A736 — 1813) — знаменитый французский математик и механик.
178 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ % разность /(х) — со при х —? хо, х ? Е была бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е. /(х) = со + оA) при х -^ х0, х е Е. A7) Последнее соотношение равносильно тому, что lim /(х) = cq. Если, в ЕЭх—>хо частности, функция непрерывна в точке хо, то lim /(х) = /(хо) и, есте- ЕЭх—?хо ственно, со = f(xo). Попробуем теперь подобрать функцию со 4- ci(x — хо) так, чтобы иметь /(х) = со + с\(х - х0) + о(х - хо) при х -? х0, х е Е. A8) Очевидно, это — обобщение предыдущей задачи, поскольку формулу A7) мож- можно переписать в виде /(х) = со + о((х — хо)°) при х -» хо, х е Е. Из A8) при х —> хо, х G Е немедленно следует, что со = lim /(x), и если ЕЭх—Ухо функция непрерывна в точке, то со = /(#о)- Если со найдено, то из A8) следует, что /(х) - со с\ = lim —— . ЕЭх-+хо X — Хо И вообще, если бы мы искали полином Рп(хо;х) = со + ci(x — хо) + ... + + сп(х — хо)п такой, что /(х) = со + ci(x - хо) + ... + с„(х - хо)п + + о((х - хо)п) при х -> хо,- х е Е, A9) то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы со = lim /(x), ЕЭх—>хо /(х) - со = hm —— , ЕЭх-+хо X — сп = lim ; -, ЕЭх-*хо (X — Хо)п при условии, что все указанные пределы существуют; в противном случае условие A9) невыполнимо и задача решения не имеет. Если функция / непрерывна в точке хо, то из A8), как уже отмечалось, следует, что со = /(#о) и мы приходим к соотношению /(х) - /(х0) = ci(x - х0) + о(х - х0) при х -? хо, х ? Е, равносильному условию дифференцируемости функции /(х) в точке
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 179 Отсюда находим Cl= Um ЕЭ ЕЭх—?хо X — Хо Таким образом, доказано Утверждение 1. Функция / : Е -? R, непрерывная в точке хо G Е, предельной для множества Е С R, допускает линейное приближение A8) в толе м только в том случае, когда она дифференцируема в этой точке. Функция (р(х) = со + ci(x - хо) B0) при со = /(#о) и ci = /'(хо) является единственной функцией вида B0), удо- удовлетворяющей соотношению A8). Итак, функция 4>(х) = f(xo) + /'(хо)(я - яо) B1) доставляет наилучшее линейное приближение функции / в окрестности точки Хо в том смысле, что для любой другой функции вида B0) /(х) — (р(х) ф Ф о(х — хо) при х —? хо, х G Е. Графиком функции B1) является прямая проходящая через точку (хо,/(хо)) и имеющая угловой коэффициент /'(^о)- Поскольку прямая B2) доставляет наилучшее возможное линейное прибли- приближение графика функции у = /(х) в окрестности точки (xo,f(xo)), то естест- естественно принять Определение 4. Если функция /: Е —? R определена на множестве ?с!и дифференцируема в точке хо G Е, то прямая, задаваемая уравнением B2), называется касательной к графику этой функции в точке (хо, /(хо)). Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с дифферен- цируемостыо функции в точке, которые мы к настоящему моменту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение функции и значе- значение дифференциала; на рисунке изображены график функции, касательная к графику в точке Ро = (so>/(#o)) и, для сравнения, произвольная прямая (на- (называемая обычно секущей), проходящая через Ро и некоторую точку Р ф Ро графика функции. Развитием определения 4 является Определение 5. Если отображения f: Е -? R, g : Е -? R непрерывны в точке хо G Е, предельной для множества Е С R, и /(х) — д(х) = о((х — хо)п) при х —? хо, х G Е, то говорят, что / и д имеют в точке хо касание порядка п (или, точнее, порядка не ниже п). При п = 1 говорят, что отображения / и g касаются друг друга в точке хо. В соответствии с определением 5 отображение B1) касается в точке хо G Е отображения /: Е —? R, дифференцируемого в этой точке. 7 Зорин В. Л.
180 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теперь можно также сказать, что полином Рп(хо;х) = со + с\(х — + ... + сп(х — хо)п из соотношения A9) имеет с функцией / касание не ниже чем порядка п. У о У = fix) - fix,) df(xQ)(h) Число ft = х — хо, т. е. приращение аргумента, можно рассматривать как вектор, приложенный к точке хо и определяющий переход из хо в х = хо + h. Обозначим совокупность таких векторов через ТМ(хо) или TUL^.1) Анало- Аналогично, обозначим через ТЖ(уо) или ТШу0 совокупность векторов смещения от точки J/0 по оси у (см. рис. 15). Тогда из определения дифференциала видно, что отображение d/(x0): TR(xo) -> TR(/(x0)), B3) задаваемое дифференциалом h hj f'(xo)h = d/(xo)(/i), касается отображения + h) - А/(х0; B4) задаваемого приращением дифференцируемой функции. Заметим (см. рис. 15), что если отображение B4) есть приращение орди- ординаты графика функции у = /(х) при переходе аргумента из точки хо в точку хо + Л, то дифференциал B3) дает приращение ординаты касательной к гра- графику функции при том же приращении h аргумента. 4. Роль системы координат. Аналитическое определение 4 касатель- касательной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетворенность. Мы постараемся сформулировать, что именно может составить предмет этой неудовлетворенности. Однако прежде укажем одну более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой ее точке Pq (см. рис. 15). — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения TXQR или
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Ш Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от Pq. Прямая, опре- определяемая парой точек Ро, Р, как уже отмечалось, называется секущей по от- отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой стремиться к точке Ро- Если при этом секущая будет стремиться к некоторому предель- предельному положению, то это предельное положение секущей и есть касательная к кривой в точке Ро. Такое определение касательной при всей его наглядности в данный момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кривая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой» и, наконец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущей». Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим основ- основную разницу между двумя рассмотренными определениями касательной. Вто- Второе было чисто геометрическим, не связанным (во всяком случае, до уточне- уточнений) с какой бы то ни было системой координат. В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся в некоторой системе коорди- координат графиком дифференцируемой функции. Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что если эту кривую записать в другой системе координат, то, например, соответствующая функция перестанет быть диф- дифференцируемой или будет дифференцируемой, но в результате новых вычи- вычислений мы получим другую прямую в качестве касательной. Этот вопрос об инвариантности, т. е. независимости от системы коорди- координат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некоторой системы координат. В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости, которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже отмечалось, включает в себя понятие касательной. Точка, вектор, прямая и т. д. имеют в разных системах координат разные численные характеристики (координаты точки, координаты вектора, уравне- уравнение прямой). Однако, зная формулы, связывающие две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым представлениям выяснить, явля- являются ли они записью в разных системах координат одного и того же гео- геометрического объекта или нет. Интуиция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от системы координат, в которой проводились вычисле- вычисления. В свое время, при изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобного рода вопросы. Инвариантность определения скорости от- относительно различных систем координат будет проверена уже в следующем параграфе. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров, подведем некоторые итоги. Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной скоро- скорости движущегося тела. Эта задача привела к задаче аппроксимации заданной функции в окрест- окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометрическом плане 7*
182 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ привело к понятию касательной. Функции, описывающие движение реаль- реальной механической системы, предполагаются допускающими такую линейную аппроксимацию. Тем самым среди всех функций естественно выделился класс дифференци- дифференцируемых функций. Было введено понятие дифференциала функции в точке как линейного ото- отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравнению с величиной смещения описывает поведение приращения дифференцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки. Дифференциал df(xo)h = f'(xo)h вполне определяется числом f'(xo) — производной функции / в точке хо, которое может быть найдено предельным переходом ЕЭх—>хо X — Физический смысл производной — скорость изменения величины f(x) в мо- момент хо; геометрический смысл производной — угловой коэффициент каса- касательной к графику функции у = f(x) в точке (хо,/(хо)). 5. Некоторые примеры Пример 1. Пусть /(х) = sinx. Покажем, что /'(х) = cosx. .. sm(x + /i)-sinx ,. 2sin(|)cos(X + l) < hm - J. = hm 4Z/ ч LL = h—>0 h h—>0 h sin(h\ = lim cos(x -h — ) • lim —x^4 = cosx. > / V 2/ /i-чо (i) Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывностью функции cosx, эквивалентностью sin2 ~ t при t —> 0 и теоремой о пределе композиции. Пример 2. Покажем, что cos' х = — sin x. .. cos(x + /i)-cosx r ~2sin(|)sin(:r + |) < hm -1 = lim \±±- 1 ±L- = h h-*o h = — lim sin / . \ Sin ( - I in I x + — • hm —/,v = — sin x. \ 2/ /i-^o (h\
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 183 Пример 3. Покажем, что если f(t) = rcosut, то /'(?) = — rusinut. ,. г cosu/(* + Л) - г cos u/* r sin(,Tj SmaV + 2 У hm ~ = г lim —— = л-ю h h->o h —r hm sin ш 11 + — 1 • lim —/ Л = —ru sin ut. > /i->o \ 2/ /i-^o /^^\ V 2 У Пример 4. Если f(t) = rsmut, то f'(t) = rucosut. ^ Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3. > Пример 5. Мгновенная скорость и ускорение материальной точки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной системе координат закон ее движения описывается дифференцируемыми функциями от времени х = x(t), у = y(t) или, что то же самое, вектором r(t) = (x(t), Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в мо- момент t есть вектор где x(t), y(t) — производные функций x(t), y(t) по времени t. Ускорение а(?) есть скорость изменения вектора v(t), поэтому a(*)=v(t) = f(t) = (*(*),»(*)), где x(t), y(t) — производные по t функций x(t), y(t), или так называемые вторые производные функций x(t), y(t). Таким образом, по смыслу физической задачи функции x(t), y(t), описыва- описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые и вторые про- производные. Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окружности радиуса г. Пусть и — угловая скорость точки, т. е. величина центрального угла, на который перемещается точка за единицу времени. В декартовых координатах (в силу определений функций cos a;, sinx) это движение запишется в виде г(?) = (rcos(u;? + a), rsin(u;? + а)), а если г@) = (г, 0), то в виде = (rcosu>?, rsmut).
184 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения записи будем считать, что г@) = (г, 0). Тогда в силу результатов примеров 3 и 4 v(t) = r(t) = (—г и smut, ги cos ut). Из подсчета скалярного произведения (v(t),r(t)) = — r2LJsmut cosut + r2ucosLjtsmLjt = 0, как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор v(t) скорости ортогонален радиус-вектору r(t) и направлен по касательной к окружности. Далее, для ускорения имеем а(?) = v(t) = r(t) = (—rLj2cosut, —ru2smut), т. e. a(t) = — и2 • r(t) и ускорение, таким образом, действительно центро- центростремительное, ибо имеет направление, противоположное направлению век- вектора r(t). Далее, Г " Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости низкого спутника Земли. В этом случае г совпадает с радиусом Земли, т. е. г « « 6400 км, а |а(?)| « д, где д » 10 м/с2 — ускорение свободного падения у поверхности Земли. Таким образом, v2 = |а(*)| г » 10 м/с2 х 64 • 105 м = 64 • 106 (м/сJ и v » 8 • 103 м/с. Пример 6. Оптическое свойство параболического зеркала. Рассмот- Рассмотрим (рис. 16) параболу у = r-х2 (р > 0) и построим касательную к ней в Zp точке (so,2/o) = ^) Поскольку f(x) = 5~a;2, то lim — — = — lim (х + х0) = - >* X — Х 2р х>х Р Значит, искомая касательная имеет уравнение 1 2 1 / ч У -—х? =-хо(х - хо) ИЛИ - хо (х - хо) - B/ - Уо) = 0, B5)
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 185 , если х Ф О, если* = О. Рис. 16 Рис. 17 Вектор n = f—хо,1), как видно из последнего уравнения, ортогонален прямой B5). Покажем, что векторы еу = @,1) и е/ = (— хо, ~ —2/о) образуют с п равные углы. Вектор еу есть единичный вектор направления оси Оу, а е/ — вектор, направленный из точки касания (хо»2/о) = (яо> ^"^о) в ТОЧКУ 10, — 1 — фокус параболы. Итак, cose/n = In р р 2 1 е/||п ^ 2р 1 п Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в точке (О, ~J — в фокусе параболического зеркала, даст пучок, параллельный оси Оу зеркала, а приходящий параллельно оси Оу пучок зеркало пропустит через фокус (см. рис. 16). Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная является всего- навсего лучшим линейным приближением графика функции в окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единственную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет специальный разговор.) Пусть функция f(x) задана в виде = x2sin -, если х ф О, х О, если х = О. График этой функции изображен на рис. 17. ' 2 • 1
186 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Найдем касательную к графику в точке @,0). Поскольку /'@) = li О • 1 л xz sin О X . 1 л — = lim х sin - = 0, х—?0 X — 0 ж—И) X то касательная имеет уравнение -0 = 0(х-0), или просто Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью Ох, с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в любой окрестности точки касания. В силу определения дифференцируемое™ функции /:?чМв точке хо Е € Е имеем /(х) - /(х0) = А(хо)(х - хо) +о(х - х0) при х -> х0, х е Е. Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при х —? хо, х Е -Б, то lim /(x) = /(хо), так что дифференцируемая в точке функция обязана ??Эх—?хо быть непрерывной в этой точке. Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место. Пример 8. Пусть /(х) = |х| (рис. 18). Тогда в точке хо = 0 х—ухо— О X — /(*) - /(хо) = lim х|-0 _ —х lim *->—о х — 0 И-о = lim X — *-и-о х — 0 lim х—>— О X lim — = 1. х—>+0 X — —1, Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а значит, и не дифференцируема в этой точке. Пример 9. Покажем, что ex+h — ех = = exh + o(h) при h -* 0. Таким образом, функция ехр(х) = ех диф- дифференцируема, причем dexp(x)h = exp(x)/i, или de* = e*dx, и тем самым ехр'х = ехрх, de* или dx ¦ f>x+h „x — Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. III, § 2, п. 4 формулой eh - 1 = h + o(/i) при
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ 187 Пример 10. ax+h — ах = axlnah + o(h) при h -> 0 и а > 0. Таким образом, dax = ах \nadx и -г— = ах In а, ах ax+h ~ах = ax(ah - 1) = a*(eMne - 1) = = ax(h\na + o(ftlna)) = a*lna/i + о(Л) при Пример 11. ln|x + h\ — ln|x| = -Л + о(Л) при /i -4 0 и х ф 0. Таким образом, dlnlxl = -dx и —у^—- = -. х ах х =ln X 1+-, поэтому для достаточно малых значений X При \h\ < \х\ имеем можно написать = 1. х при h —>• 0. Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в примере 38, гл. III, § 2, п. 4, ln(l -f t) = t + o(t) при t —? 0. > Пример 12. logjx + h\ — loga|x| = —:—h + o(h) при h -> 0, x ^ 0, X 111 О 0< a^ 1. " E1 = _J_. h 1 Таким образом, dloga|x| = —-—dx и , 01 ' xlna dx loga|x + Л| - loga|x| = loga In a x х lnaVx x xlna Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию логарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении примера 10. > Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) касательная к эллипсу в точке (хо,2/о) имеет уравнение х2 v х I У ХХр а2 б2 _ 1 Ь) световые лучи от источника, помещенного в одном из двух фокусов F\ = = (—у/а2 — б2, 0), F2 = (л/a2 —б2, 0) эллипса с полуосями а > b > 0, собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
188 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений a) sin (^ + а) при значениях а, близких к нулю; b) sinC0°+ а0) при значениях а0, близких к нулю; c) cosf j + а) при значениях а, близких к нулю; d) cosD5° + а0) при значениях а°, близких к нулю. 3. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ш. Пусть у = /(х) — уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения. 2 a) Покажите, что f{x) = — х, где д — ускорение свободного падения (см. при- пример 5). b) Подберите /(х) так, чтобы функция /(х) удовлетворяла условию, указанному в а) (см. пример 6). c) Изменится ли приведенное в а) условие на функцию /(х), если ось вращения не будет совпадать с осью стакана? 4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы тяже- тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференцируемой функ- функции у = /(х). a) Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, ко- которое имеет тело в точке (хо,уо)- b) В случае, когда /(х) = х2 и тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы у = х2, в которой горизонтальная составляющая ускорения макси- максимальна. 5. Положим х, если 0 ^ х ^ -, 1-х, если - ^ х < 1, и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту продолжен- продолженную функцию обозначим через <ро. Пусть, далее, Ых) = -^оD"*). Функция <рп имеет период 4~п и производную, равную +1 или —1 всюду, кроме точек х = ——-, п 6 Z. Пусть *> т 1 оо п=1 Покажите, что функция / определена и непрерывна на R, но ни в одной точке не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному современному голланд- голландскому математику Б. Л. Ван дер Вар дену. Первые примеры непрерывных функции, не имеющих производной, были построены Больцано A830 г.) и Вейерштрассом A860 г.).)
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 189 § 2. Основные правила дифференцирования Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, отыс- отыскание ее производной называется операцией дифференцирования функции1). 1. Дифференцирование и арифметические операции Теорема 1. Если функции f: X -> IR, g : X -> R дифференцируемы в точке х € X, то а) их сумма дифференцируема в х, причем b) их произведение дифференцируемо в х, причем (/¦9У(х)=Пх)-9(х)+/(х)-9'(х); c) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) ф 0, причем 9 << В доказательстве мы будем опираться на определение дифференцируе- дифференцируемой функции и свойства символа о(), установленные в гл. III, § 2, п. 4. 9)(х + Л) - (/ + ?)(*) = (/(* + К) + fl(x + Л)) - - (f(x) + ^(х)) = (/(х + Л) - /(х)) + (д(х + К) - ^(х)) = ' + (g'(x)h + b) (/ • ^)(х + Л) - (/. </)(х) = /(х + h)g(x + Л) - = (/(яг) + /#(х)Л + о(Л))(^(х) + g'{x)h + o(h)) - f(x)g(x) = = U'{x)g{x) + f{x)g'{x))h c) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке х G непрерывна в этой точке, то, учитывая, что #(х) ф 0, на основании свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при достаточно малых 1> При математической равносильности задачи отыскания дифференциала и задачи отыскания производной, все же производная и дифференциал — не одно и то же, и поэто- поэтому, например, во французском математическом языке имеются два термина: derivation — «деривация», нахождение производной (скорости), и differentiation — «дифференцирование», нахождение дифференциала.
190 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ значениях h также д(х + h) ф 0. В следующих выкладках предполагается, что h мало: 9 1 (/(as + h)g(x) - f(x)g(x + h)) = д(х)д(х + h) х) - f(x)(g(x) + g'(x)h + о(Л)) = Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции д в точке х и того, что д(х) ф 0, lim д(х)д(х т. е. 1 1 где оA) есть бесконечно малая при /ь-*0, x-f/iGX. > Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируе- дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций. М Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее про- производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении Ь) теоремы 1, что / = const = с, имеем (сд)'(х) = сд'(х). Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать (Pi/ + с2д)'(х) = (ci/)'(x) + (с2дУ(х) = Clf'(x) + с2д'(х). С учетом доказанного, по индукции проверяем, что cnfn)'(x) = cif[(x) + ... + cnf'n{x). > Следствие 2. Если функции /i, ..., fn дифференцируемы в точке х, то М Для п = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого п Е N, то в силу утверждения Ь)
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 191 теоремы 1 оно справедливо также для (п +1) € N. В силу принципа индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого п 6 N. > Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 1 может быть записана также через дифференциалы. Именно: a) d(f + g)(x) = df{x) + dg(x); b) d(f ¦ g)(x) = g(x)df(x) + f(x)dg(x); 0 <*)(»)-'('W(%fX)*(g), еслид(х)*0. Проверим, например, а). Действительно, d(f + g)(x)h = (/ + g)'(x)h = (/' + g'){x)h = = (/'(*) + 9'{x))h = /'(x)/i + 0 = df(x)h + dg(x)h = (d/(x) -f dg{x))h, и совпадение функций d(/ + #)(x), d/(x) -f d^(x) проверено. > Пример 1. Инвариантность определения скорости. Теперь мы в со- состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной точки, который был определен в п. 1 § 1, не зависит от выбора системы декартовых координат. Мы проверим это даже для любой из аффинных систем координат. Пусть (ж1, х2) и (ж1, х2) — координаты одной и той же точки плоскости в двух различных системах координат, связанных между собой соотношениями х1 =a\xl +a\x2 + Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется парой точек, а его координаты суть разности координат начала и конца вектора, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах должны быть связаны соотношениями v1 = a\vl + ait;2, B) ~1 1 Л 0 1 V / Если закон движения точки в одной системе задается функциями ж2(?), то в другой — функциями xl{t), x2(t), связанными с первыми посред- посредством соотношений A). Дифференцируя соотношения A) по времени ?, по правилам дифференци- дифференцирования находим ж1 = а\х1 + ~2 1 • 1 х2 =а\х1 + ^ '
192 Гл v ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таким образом, координаты (v1, v2) = (ж1, ж2) вектора скорости в первой системе и координаты (гI, гJ) = (ж1, ж2) вектора скорости во второй системе оказались связанными соотношениями B), говорящими нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и того же вектора. Пример 2. Пусть f(x) = tgx. Покажем, что f'{x) = всюду, где COS X cos ж ^ 0, т. е. в области определения функции tgx = В примерах 1 и 2 из § 1 было показано, что sin'ж = cos ж, cos'ж = —sin ж, поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при cos ж ф 0: Vcos — sin ж cos ж COS2 Ж cos ж cos ж + sin ж sin ж COS2 Ж COS2 Ж Пример 3. ctg^ , , cos x функции с!сж = ——. sin x Действительно, sin2 x ПРИ sin ж ^ 0, т. е. в области определения sin — cos ж sin ж sin2 ж — sin a; sin ж — собжсоэж sin2 ж sin2 ж Пример 4. Если Р(х) = со + схж -f ... + спжп — полином, то -Р'(ж) = = Ci 4- п~1 + ... + ncnx J J П Действительно, поскольку — = 1, то по следствию 2 -j— = пхп~1 и теперь ci«Z/ ax утверждение вытекает из следствия 1. 2. Дифференцирование композиции функций Теорема (теорема о дифференциале композиции функций). Если функ- функция f: X —> Y С Е дифференцируема в точке х ? X, а функция g : Y 'дифференцируема в точке у = /(ж) Е F, то композиция g о f : X этих функций дифференцируема в тдчке х, причем дифференциал d{gof)(x) ТЕ(ж) -> TR(g(f(x))) композиции равен композиции dg(y) о df(x) дифферен циалов df(x): ТЩх) -> ТЩу = /(ж)), = /(ж)): ТВД -> ТЩд(у)) Условия дифференцируемости функций / и д имеют вид /(ж + Л) -/(ж) = f'(x)h + o(h) при /ь-»0, ж + при
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 193 Заметим, что в последнем равенстве функцию o(t) можно считать опреде- определенной и при t = 0, а в представлении o(t) = 7@*) гДе 7@ -> 0 при ? ->• 0, 2/ + ? € У, можно считать 7@) ^= 0. Полагая f(x) = у, f(x + Л) = 2/ -f t, в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывности функции / в точке х заключаем, что при h ->> 0 также ? ->> 0, и если я + h € X, то у -I-1 € Y. По теореме о пределе композиции теперь имеем 7(/(х + Л) - /(ж)) = a(h) -» 0 при Л -> 0, ж + Л G и, таким образом, если t = f(x + Л) — /(ж), то о(«) = 7(/(х + h) - /(х))(/(х + Л) - /(*)) = = a(h)(f'(x)h + o(h)) = a(h)f'(x)h + a(h)o(h) = = o(h) + o(/i) = o(h) при ft -> 0, ж + ft € X Далее, о f){x + h)-{go f)(x) = g(f(x + h)) - g(f(x)) = = g(y +1) - g(y) = g'(y) t + o(t) = = »'(/(*))(/(* + h) - fix)) + o(f(x + ft) - Six)) = = д'ЦШПФ + o(ft)) + o(/(« + ft) - /(*)) = = 9'(№)(f'(x)h)+g'ifix))io(h)) + oiSix + ft) - /(*)). Поскольку величину ^/(/(ж))(//(х)Л), очевидно, можно интерпретировать как значение dg(f(x))odf(x)h композиции h \ 9 У °—% g'{f{x))-f'{x)h отоб- ражении h \ > / (х)д, г i > 9ЛУ)Т на смещении д, то для завершения доказательства теоремы остается заметить, что сумма есть величина бесконечно малая в сравнении с h при /ь-*0, ж + ЛбХ, ибо, как мы уже установили, o(f(x + /i) - /(ж)) = o(/i) при /i -^ 0, ж + h € Итак, показано, что при Л -> 0, i + Следствие 4. Производная (д о /)'(ж) композиции дифференцируемых веществ еннозначных функций равна произведению ^/(/(ж))-//(ж) производных этих функций, вычисленных в соответствующих точках.
194 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Большим искушением к короткому доказательству последнего утвержде- утверждения являются содержательные обозначения Лейбница для производной, в ко- которых, если z — z(y), а у = 2/(х), имеем dz _ dz dx dy dx' dz dy что представляется вполне естественным, если символ — или -j- рассматри- ay clx y вать не как единый, а как отношение dz к dy или, соответственно, dy к dx. Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть разностное отношение Az_ _ Az Ах Ау Ах и затем перейти к пределу при Ах —>• 0. Трудность, которая тут появляется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться!), состоит в том, что Ау может быть нулем, даже если Ах ф 0. Следствие 5. Если имеется композиция (fn о ... о /i)(x) дифференци- дифференцируемых функций J/1 = /i(x), ..., уп = fn(yn-i), то (fn О ... О ДУф = /;(»„-!)/;_! (уя-2) . . . /{(*)• М При п = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого п Е N, то из теоремы 2 следует, что оно справедливо также для п+1, т. е. по принципу индукции установлено, что оно справедливо для любого п G N. > Пример 5. Покажем, что при a G Ш в области х > 0 имеем —— = ах01, ах т. е. dxa = axa~1dx, и (х + h)a - ха = аха~1Н + o(/i) при А -» 0. ^ Запишем ха = еа1пх и применим доказанную теорему с учетом резуль- результатов примеров 9и11из§1и пункта Ь) теоремы 1. Пусть д(у) = еу и у = f(x) = alnx. Тогда ха = (д о /)(х) и (до/У(х) = ^B/) ' /Ч«) = еу- - = еа1пж • ~ = ха • 2 = ах*. > X XX t Пример 6. Производная от логарифма модуля дифференцируемой функ- функции часто называется логарифмической производной. Поскольку F(x) = ln|/(x)| = (In о | | о /)(х), то в силу результата примера 11 из § 1 F'(x) = (ln|/|)'(x) =
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 195 Таким образом, Пример 7. Абсолютная и относительная погрешности значения диф- дифференцируемой функции, вызванные погрешностями в задании аргумента. Если функция / дифференцируема в точке х, то f{x + К) - fix) = f'{x)h + а(х; Л), где а(х; /ь) = о(/ь) при /ь ->> 0. Таким образом, если при вычислении значения f(x) функции аргумент х определен с абсолютной погрешностью Л, то вызванная этой погрешностью абсолютная погрешность |/(# + h) — f(x)\ в значении функции при достаточно малых h может быть заменена модулем значения дифференциала \dfix)h\ = = \f'{x)h\ на смещении h. Тогда относительная погрешность может быть вычислена как отношение \f'(*)h\ \df(x)h\ или как модуль произведения /'(*) \h\ логарифмической производной функции на величину абсолютной погрешности аргумента. Заметим, кстати, что если f(x) = In ж, то din х = — и абсолютная погреш- погрешность в определении значения логарифма равна относительной погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно используется, напри- например, в логарифмической линейке (и многих других приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы связали ее координату у и записали ее над точ- точкой, а под этой точкой записали число х = еу. Тогда у = \пх. Одна и та же числовая полуось оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравномерной (ее называют логарифмической) шкалой х. Чтобы найти lnx, надо установить визир на числе х is. прочитать наверху соответствующее чи- число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку не зависит от числа х или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой величиной Ау (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной шкале, то при определении по числу х его логарифма у мы будем иметь примерно одну и ту же абсолют- абсолютную погрешность, а при определении числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относительную погрешность во всех частях шкалы. Пример 8. Продифференцируем функцию и(х)у(х\ где и(х) и v(x) — дифференцируемые функции и и(х) > 0. Запишем u(x)v^ = ev(x)*nu(x) и вос- воспользуемся следствием 5. Тогда dev(x)\nu(x) v(x)lnu(x)f ,, ч. /ч , ,и(х)\ = eHx)lnu^x)[v (x)\nu(x) + v(x) -f-f = dx \ и(х)) = u(x)v^ •v'{x)\nu{x)+vix)u{x)vi<x)-1 'u'(x).
196 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Дифференцирование обратной функции Теорема 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть функ- функции f : X -? Y, f~x : Y -> X взаимно обратны и непрерывны в точках х0 е X и f(xo) =y0 eY соответственно. Если функция f дифференцируема в точке хо и f'(xo) ф 0, то функция f~l также дифференцируема в точке уо, причем 4 Поскольку функции /: X —> Y, f~x :Y~*X взаимно обратны, то вели- величины f(x) - /(яо), f~X(y) — /~Х(Уо) при у = f{x) не обращаются в нуль, если х ф хо- Из непрерывности f в хо и f~l в уо можно, кроме того, заключить, что (X Э х -> хо) <=> (Y Э у -> уо)' Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим X) — J{Xq) = lim ff(x)-f(xo)\ f'(x0) \ X — J Xo J Таким образом, показано, что в точке у о функция f~l : Y -> X имеет производную и (Г'УШ = (/'(хо)). > Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функция f дифференцируема в точке j/o, то из тождества (/~х о f)(x) = x по теоре- теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что (ГЧ'Ы • ГЫ = 1. Замечание 2. Условие f'(xo) Ф 0, очевидно, равносильно тому, что отображение h *-> f'(xo)h, осуществляемое дифференциалом df(xo): ТЩхо) ->¦ -> ТЩуо), имеет обратное отображение [^/(хо)]: ТЩу0) -? TR(x0), зада- задаваемое формулой т *-> (//(хо))~1т. Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоре- теоремы 3 можно было бы записать следующим образом: Если функция f дифференцируема в точке хо и в этой точке ее диффе- дифференциал df(xo): ТЩхо) -> ТЩуо) обратим, то дифференциал функции f, обратной к f, существует в точке уо = /(#о) и является отображением 1: ТЖ(у0) обратным к отображению df(xo): TR(xq) —>• ТЩуо)
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 197 Пример 9. Покажем, что arcsin'г/ = , при \у\ < 1. Функции у/1-у2 sin : [~тг/2, тг/2] -> [-1,1] и arcsin : [-1,1] ->• [-тг/2,тг/2] взаимно обратны и непрерывны (см. гл. IV, § 2, пример 8), причем sin'a; = cos ж ф 0, если |х| < тг/2. При |х| < тг/2 для значений у = sinx имеем |j/| < 1. Таким образом, по теореме 3 arcsin у = . , = sin x cosx у/1 _ sin2 x y/l-y2 Знак перед радикалом выбран с учетом того, что cosx > 0 при |х| < тг/2. Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из § 2 гл. IV), что arccos'j/ = . при \у\ < 1. л/1-2/2 Действительно, arccos' у = cos'x sinx у/1 - cos2 x y/\ - 2/2 Знак перед радикалом выбран с учетом того, что sinx > 0, если 0 < х < тт. Пример 11. arctg'2/ = ——г, ye 1 + у* Дй Действительно, 1 1 2 arctg у = т-т— = т—-—г- = cos х = tg'x / 1 ^ тт тг = cos х = гт = tg'x / 1 ^ l-htg2x 1-fj/ Пример 12. arcctg'2/= - ——2, у € Действительно, arcctg' у = —— = 7 -—- = -sin2x = - ctg'x ( ±_\ \ sin2 х / 1 -f ctg2 х 1 + у2 ' Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из § 1), что функции у = /(х) — ах и х = f~~l{y) = logax имеют производные /'(х) = axlna и Проверим, как это согласуется с теоремой 3: = = #(x) a* In a 2/ In a' U) (У) \y\naj
198 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 14. Гиперболические, обратные гиперболические функции и их производные. Функции называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим ко- косинусом1^ от х. Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как вы- выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции sin я, cosx. Заметим, что sh(—х) = —shx, ch(—x) = chx, т. е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная. Кроме того, очевидно следующее основное тож- тождество: ch2x — sh2x = 1. = sh х О х Рис. 19 Графики функций у = shx и у = chx изображе- изображены на рис. 19. Из определения функции shx и свойств функ- функции ех следует, что shx — непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно Е на Е. Обрат- Обратная функция к shx, таким образом, существует, определена на Е, непрерывна и строго монотонно возрастает. Ее обозначают символом arshy (читается «ареа-синус^ от у»). Эту функцию легко выразить через уже из- известные. Решая уравнение относительно х, найдем последовательно у + (ех > 0, поэтому ех ф у — у/1 + у2) и х = 1п(у -Ь 2/2) *) От лат. sinus hyperbolici, cosinus hyperbolici. 2'Полное название — area sinus hyperbolici (лат.); почему здесь используется термин «площадь» (area), а не «дуга» (arcus), как в круговых функциях, выяснится несколько позже.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 199 Итак, arshy = ln(y + y/T+ у2), у ? R. Аналогично, используя монотонность функции у = ch x на участках Е_ = = {х € М | х ^ 0}, R+ = {х € R | х ^ 0}, можно построить функции arch_ у и arch+ у, определенные для у ^ 1 и обратные к ограничению функции chx на _ и R+ соответственно. Они задаются формулами arch_ у = In (у - у/у2 - 1), arch+ у = In (у 4- л/у2 - 1). Из приведенных определений находим sh'x = \(ех + е~х) = chx, ch'x = ^(ex -e"x) = shx, Zi а на основе теоремы о производной обратной функции получаем 111 1 sh'x chx arsh; у = 1 1 1 1 arch у = -—-j— = —— = . = = . , v > 1, ~У ch'a: shx -УЬ21 V^7! 1 1 1 1 arch. у = —г— = -— = . = = 7 , 2/ > 1. + ch'x shx /tfi fiF^l Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций arshy и arch у. Например, 2/ Н- \/1 + 2/ -hy2 \/l-fy2 Подобно tg х и ctg х можно рассмотреть функции ., shx ., chx thx = —— и cthx = ——, ch x sh x называемые гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом со- соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс: |i±J \у\<1,
200 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и ареа-котангенс: arcthy= ±1п^—-, \y\ > 1. ? У — 1 Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опус- опускаем. По правилам дифференцирования имеем th х = cth' x = sh' x ch x — sh x ch; x _ ch x ch x — sh x sh x ch2 x ch2 x ch'xshx — chxsh'x shxshx — chxchx 1 ch2 x' 1 sh x sh x По теореме о производной обратной функции arth' х = sh x 7 th'x = сд2 х = l-th2x , M < i, arcth' x = cth'x ( 1_\ \ sh2xJ = — sh x = 1 cth2x-l Две последние формулы можно проверить и непосредственным дифференци- дифференцированием явных формул для функций arth у и arcth у. 4. Таблица производных основных элементарных функций. Вы- Выпишем теперь (см. табл. 1) производные основных элементарных функций, подсчитанные в § 1 и 2 . 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции. Пусть у = y(t) и х = x(t) — дифференцируемые функции, определенные в окрестности U(to) точки fo € R. Предположим, что функция х = x(t) име- имеет обратную функцию t = ?(х), определенную в окрестности У(хо) точки хо = х(?о)- Тогда величину у = y(t), зависящую от ?, можно рассматривать также как функцию, неявно зависящую от х, поскольку y(t) = y(t(x)). Най- Найдем производную этой функции по х в точке хо, предполагая, что х'(?о) Ф 0. Используя теорему о дифференцировании композиции и теорему о дифферен- дифференцировании обратной функции, получаем = dy(t(x)) *x\x=x0 fa X—Xq = dy{t) dt t=to dt(x) dx dy(t) dt dx(t) dt t=to t=to x't(t0) (Здесь использовано стандартное обозначение f(x)\ _ := /(xq).)
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 201 Функция /(х) 1. С (const) 2. ха 3. ах 4. logjx| 5. sinx 6. COS X 7. tgx 8. ctgx Q arcsin x 10 АГССОЧ T 11. axctgx 12. arcctgx 13. shx 14. ch x К fit r 16. cthx 17. arshx ln(x + %/l + x2) 18. axchx-ln(x±v/x2-l) 10 n.rtb т .-in .f ."t.i? 0 <*• 1 Производная f'(x) 0 ax-" axlna 1 xlna cosx — sinx 1 COS2X 1 • 2 иДХХ JU 1 ¦v/ 1 — Of** v ¦*• •*• 1 \/l — x2 1 14-x2 1 1 4-х2 chx shx 1 1 1 + 1 1 1-х2 1 1-х2 Таблица 1 Ограничения на область изменения аргумента х G R х > 0 при a G R х G R при a G N х G R (a > 0, а ф 1) xGR\0 (a>0, аф 1) хф^+пк, к G Z x т^ 7Г&, fc G Z • | - |x|<l M>i Если одна и та же величина рассматривается как функция различных ар- аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцировании явно ука- указывают переменную, по которой это дифференцирование проводится, что мы и сделали.
202 ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 15. Закон сложенгм скоростей. Движение точки в доли пря- прямой вполне определяется, если в каждый момент t выбранной нами системы отсчета времени мы знаем координату х точки в выбранной системе коорди- координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел (х,?) определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон движения точки запишется в виде некоторой функции х = x(t). Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в терминах другой системы координат (ж,?). К примеру, новая числовая ось движется равномерно со скоростью — v относительно первой (вектор скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним числом). Будем для про- простоты считать, что координаты @,0) и в той и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что в момент i = 0 точка х = 0 совпадала с точкой х = 0, в которой часы показывали t = 0. Тогда один из возможных вариантов связи координат (х, ?), (x,i), опи- описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных систем координат, доставляют классические преобразования Галилея х = х + vt, D) t=t. Рассмотрим несколько более общую линейную связь х = ах + Bt, E) t = + $? разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т. е. определитель ма- трицы [ \ ) отличен от нуля. \7 о) Пусть х = x(t) и х = x(i) — закон движения наблюдаемой точки, записан- записанный в этих системах координат. Зная зависимость х = x(t), из формул E) найдем x(t) = ax(t) + t(t) = jX{t) + 6t, а в силу обратимости преобразований E), записав х = ах + fit, t = 7x 4- Si, . зная х = х(?), можно найти i = dx(i) + pi, Si. Из соотношений F) и (8) видно, что для данной точки существуют взаимно обратные зависимости i = i(t) и t = t(i).
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 203 Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей V(t) = *gU it(t) и нашей точки, вычисленных в системах координат (ж, t) и (х, ?) соответственно. Используя правило дифференцирования неявной функции и формулы F), имеем dx dx , а+ или где i и t — координаты одного и того же момента времени в системах (х, t) и (x,i). Это всегда имеется в виду при сокращенной записи формулы (9). В случае преобразований D) Галилея и